# Simmetria assiale nel piano complesso

Lo studio della simmetria assiale nel piano complesso viene proposto attraverso alcuni casi particolari.

## Casi particolari
### Simmetria rispetto all'asse delle ascisse Ox

La simmetria rispetto all'asse delle ascisse $Ox$ è la trasformazione:
    ${\begin{aligned}S_{x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'={\overline {z}}\end{aligned}}$
che associa ad ogni numero complesso $z$ il suo complesso coniugato $z'={\overline {z}}$.
Infatti, scritto il numero complesso in forma trigonometrica, $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$, si ottiene che
    $z'={\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta )+i\sin(-\vartheta ))=\rho e^{-i\vartheta }$
che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di $z$ rispetto all'asse delle ascisse $Ox$.
Quindi:
passare da un numero complesso $z$ al suo coniugato ${\overline {z}}$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto all'asse delle ascisse $Ox$.

### Simmetria rispetto all'asse delle ordinate Oy

La simmetria rispetto all'asse delle ordinate $Oy$ è la trasformazione:
    ${\begin{aligned}S_{y}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-{\overline {z}}\end{aligned}}$
che associa ad ogni numero complesso $z$ l'opposto del suo coniugato $z'=-{\overline {z}}$.
Infatti se $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$,
    $z'=-{\overline {z}}=e^{i\pi }{\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta +\pi )+i\sin(-\vartheta +\pi ))=\rho e^{i(-\vartheta +\pi )}$
che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di $z$ rispetto all'asse delle ordinate $Oy$
Quindi:
passare da un numero complesso $z$ all'opposto del suo coniugato $-{\overline {z}}$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto all'asse delle ordinate $Oy$.

### Simmetria rispetto alla bisettrice y=x

La trasformazione
    ${\begin{aligned}S_{y=x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=i{\overline {z}}\end{aligned}}$
che associa ad ogni numero complesso $z$ il prodotto $i{\overline {z}}$ rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante $y=x$.
Infatti se $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$, la rappresentazione nel piano cartesiano di
    $z'=i{\overline {z}}=e^{i{\pi \over 2}}{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{\pi \over 2}\right)+i\sin \left(-\vartheta +{\pi \over 2}\right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{\pi \over 2})}$
coincide con il simmetrico di $z$ rispetto alla bisettrice $y=x$.
Quindi:
passare da un numero complesso $z$ al prodotto $i{\overline {z}}$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto alla retta $y=x$, bisettrice del primo e del terzo quadrante.

### Simmetria rispetto alla bisettrice y=-x

La trasformazione
    ${\begin{aligned}S_{y=-x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-i{\overline {z}}\end{aligned}}$
che associa ad ogni numero complesso $z$ il prodotto $-i{\overline {z}}$ rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante $y=-x$.
Infatti se $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$, la rappresentazione nel piano cartesiano di
    $z'=-i{\overline {z}}=e^{i{3 \over 2}\pi }{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)+i\sin \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{3 \over 2}\pi )}$
coincide con il simmetrico di $z$ rispetto alla bisettrice $y=-x$.
Quindi:
passare da un numero complesso $z$ al prodotto $-i{\overline {z}}$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto alla retta $y=-x$, bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

### Simmetria rispetto alla retta y=y$_0$

Dato $\omega _{0}=2y_{0}i$, la trasformazione
    ${\begin{aligned}S_{y=y_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'={\overline {z}}+\omega _{0}={\overline {z}}+2y_{0}i\end{aligned}}$
che associa ad ogni numero complesso $z$ il numero complesso ${\overline {z}}+2y_{0}i$ rappresenta la simmetria rispetto alla retta $y=y_{0}$.
Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione di coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle $x$, e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.
Se $z=x+iy$, allora
    ${\overline {z}}=x-iy$
e
    ${\overline {z}}+2y_{0}i=x-iy+2y_{0}i=x+i(2y_{0}-y)$
il che equivale a
    ${\begin{cases}x'=x\\y'=2y_{0}-y,\end{cases}}$
equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta $y=y_{0}$.
Quindi:
passare da un numero complesso $z$ al numero complesso $z'={\overline {z}}+2y_{0}i$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto alla retta di equazione $y=y_{0}$.

### Simmetria rispetto alla retta x=x$_0$

Dato $t=2x_{0}i$, la trasformazione
    ${\begin{aligned}S_{x=x_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-{\overline {z}}+t=-{\overline {z}}+2x_{0}\end{aligned}}$
che associa ad ogni numero complesso $z$ il numero complesso $-{\overline {z}}+2x_{0}i$ rappresenta la simmetria rispetto alla retta $x=x_{0}$.
Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione dell'opposto del coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle $y$, e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.
Se $z=x+iy$, allora
    ${\overline {z}}=x-iy$
e
    $-{\overline {z}}+2x_{0}i=-x+iy+2x_{0}i=(2x_{0}-x)+iy$
il che equivale a
    ${\begin{cases}x'=2x_{0}-x\\y'=y,\end{cases}}$
equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta $x=x_{0}$.
Quindi:
passare da un numero complesso $z$ al numero complesso $z'=-{\overline {z}}+2x_{0}$ significa applicare al punto $P(z)$ la simmetria rispetto alla retta di equazione $x=x_{0}$.