# Autofunzioni del momento angolare

In meccanica quantistica, le autofunzioni del momento angolare sono le autofunzioni che rappresentano gli autostati dell'operatore momento angolare nella base della posizione.

## Autofunzioni di L$_z$

Considerata la componente $L_{z}$ del momento angolare:
    $L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)$
risolvendo l'equazione agli autovalori:
    $L_{z}\psi (x,y,z)=m\hbar \psi (x,y,z)$
Riscriviamo l'operatore $L_{z}$ in coordinate sferiche:
    ${\begin{cases}x=r\cos \varphi \sin \theta \\y=r\sin \varphi \sin \theta \\z=r\cos \theta \end{cases}}$
Allora le derivate parziali diventano:
    ${\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x}}=\cos \varphi \sin \theta {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi \cos \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial }{\partial y}}=\sin \varphi \sin \theta {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\sin \varphi \cos \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial }{\partial z}}=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\end{cases}}$
L'operatore $L_{z}$ diventa:
    $L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \varphi }}$
L'equazione agli autovalori per $L_{z}$ diventa ($\psi$ dipende solo da $\varphi$):
    $-i\hbar {\frac {\partial \psi (\varphi )}{\partial \varphi }}=m\hbar \psi (\varphi )$
questa è un'equazione differenziale al primo ordine, con soluzione generale:
    $\psi (\varphi )=Ce^{im\varphi }$
Non resta che trovare il valore della costante, che deve essere tale che:
    $\int _{0}^{2\pi }|\psi (\varphi )|^{2}\,d\varphi =|C|^{2}\int _{0}^{2\pi }\,d\varphi =1$
da cui:
    $C={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$
Per cui l'autofunzione di $L_{z}$ è in definitiva:
    $\psi (\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }$
Le espressioni di $L_{x}$ ed $L_{y}$ sono:
    ${\begin{cases}L_{x}=i\hbar \left(\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\cos \varphi }{\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\\L_{y}=i\hbar \left(-\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\sin \varphi }{\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\end{cases}}$
ovviamente non vi è nessun motivo particolare per scegliere la componente $L_{z}$, ma visto che una rotazione degli assi nello spazio non modifica lo stato quantistico, possiamo sempre immaginare di porci con l'asse $z$ in modo tale che il momento angolare abbia proiezione su $z$.

## Autofunzioni di L$^2$

Riscriviamo il momento angolare (quadrato) ${\vec {L}}^{2}$ in coordinate polari sferiche:
    ${\vec {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]$
e gli operatori di scala sempre in coordinate polari sferiche:
    $L_{\pm }=\hbar e^{\pm i\varphi }\left(\pm {\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)$
Sappiamo che l'autofunzione è simultanea di ${\vec {L}}^{2}$ e $L_{z}$. Abbiamo trovato la soluzione di $L_{z}$. Esprimiamo l'autofunzione completa con:
    $Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\cdot \Phi (\varphi )=\Theta (\theta )\cdot e^{im\varphi }$
dove si è sostituita la soluzione per $L_{z}$. Ci resta da determinare $\Theta (\theta )$, che dipende solo dall'angolo $\theta$. Per fare ciò cerchiamo la soluzione dell'equazione agli autovalori, ricordando che gli autovalori del momento angolare orbitale sono $l(l+1)$:
    $-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{l,m}(\theta ,\varphi )$
Esplicitiamo la soluzione per $\Phi (\varphi )$ trovata sopra:
    $-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]e^{im\varphi }\Theta (\theta )=\hbar ^{2}l(l+1)e^{im\varphi }\Theta (\theta )$
quindi eseguendo la derivata seconda sull'esponenziale al primo membro e semplificando $\hbar ^{2}$:
    $\left[-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\Theta (\theta )=l(l+1)\Theta (\theta )$
Facciamo un cambio di variabile esprimendo tutto in termini di $\cos \theta$:
    $\theta \to \cos \theta \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\sin \theta {\frac {\partial }{\partial (\cos \theta )}}$
quindi:
    $\left[{\frac {m^{2}}{1-\cos ^{2}\theta }}-{\frac {\partial }{\partial (\cos \theta )}}\left((1-\cos ^{2}\theta ){\frac {\partial }{\partial (\cos \theta )}}\right)\right]\Theta (\cos \theta )=l(l+1)\Theta (\cos \theta )$
Per $m=0$ questa equazione è quella di Liouville:
    $-{\frac {\partial }{\partial (\cos \theta )}}\left((1-\cos ^{2}\theta ){\frac {\partial }{\partial (\cos \theta )}}\right)\Theta _{l,m=0}(\cos \theta )=l(l+1)\Theta _{l,m=0}(\cos \theta )$
con soluzione:
    $\Theta _{l,m=0}={\frac {(-1)^{l}}{2^{l}\cdot l!}}{\frac {d^{l}}{d(\cos \theta )^{l}}}(1-\cos ^{2}\theta )^{l}$
La soluzione $\Theta _{l,m}$ è:
    $\Theta _{l,m}=C{\frac {1}{(\sin \theta )^{m}}}\left({\frac {d}{d(\cos \theta )}}\right)^{l-m}(1-\cos ^{2}\theta )^{l}$
dove C è una costante di normalizzazione.

## Armoniche sferiche

Abbiamo quindi trovato che l'autofunzione del momento angolare ${\vec {L}}^{2}$ e della sua componente $L_{z}$ (è simultanea perché $[{\vec {L}}^{2},L_{z}]=0$) può essere espressa:
    $Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\cdot \Phi (\varphi )=\Theta (\theta )\cdot e^{im\varphi }$
dove:
    $\Phi (\varphi )=e^{im\varphi }$
e
    $\Theta _{l,m}=C{\frac {1}{(\sin \theta )^{m}}}\left({\frac {d}{d(\cos \theta )}}\right)^{l-m}(1-\cos ^{2}\theta )^{l}$
dove inglobiamo le costanti di normalizzazione nel fattore C. Quindi la soluzione completa è data:
    $Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=C{\frac {e^{im\varphi }}{(\sin \theta )^{m}}}\left({\frac {d}{d(\cos \theta )}}\right)^{l-m}(1-\cos ^{2}\theta )^{l}$
queste soluzioni sono ben note alla fisica matematica e si chiamano armoniche sferiche, che dipendono ovviamente dai valori di $l=0,1,\dots$ ed $m=-l,-l+1,\dots ,l$. Le armoniche sferiche hanno importanti proprietà di parità, tra le quali:
    $Y_{l,m}(\pi -\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{l}Y_{l,m}$
che ha un diretto significato fisico, essa rappresenta l'inversione spaziale delle coordinate polari sferiche.