# Rapidità (relatività ristretta)

Nella teoria della relatività ristretta, la rapidità (da non confondere con la pseudorapidità) è una grandezza introdotta per poter scrivere le trasformazioni di Lorentz in maniera concisa. Questa grandezza ${\vec {\zeta }}$ è definita come:
    $\zeta _{i}={\frac {1}{2}}\ln \left(\displaystyle {\frac {1+\beta _{i}}{1-\beta _{i}}}\right)$
tale che $\beta =\tanh \zeta$, con $\beta _{i}={\frac {v_{i}}{c}}$

## Uso

Definendo come di consuetudine:
    $\gamma =(1-\beta ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}$
un boost di Lorentz lungo la direzione $x_{1}$
    $\left\{{\begin{array}{l}x_{0}^{\prime }=\gamma \left(x_{0}-\beta x_{1}\right)\\x_{1}^{\prime }=\gamma \left(x_{1}-\beta x_{0}\right)\\x_{2}^{\prime }=x_{2}\\x_{3}^{\prime }=x_{3}\\\end{array}}\right.$
usando le relazioni $\gamma =\cosh(\zeta _{1})$ e $\gamma \beta =\sinh(\zeta _{1})$ può essere scritto come:
    $\left\{{\begin{array}{l}x_{0}^{\prime }=x_{0}\cosh {\zeta _{1}}-x_{1}\sinh {\zeta _{1}}\\x_{1}^{\prime }=-x_{0}\sinh {\zeta _{1}}+x_{1}\cosh {\zeta _{1}}\\x_{2}^{\prime }=x_{2}\\x_{3}^{\prime }=x_{3}\end{array}}\right.$
che è l'espressione di una rotazione immaginaria. La più generale trasformazione di Lorentz, esprimibile tramite la matrice $\Lambda$, prende la forma
    $\Lambda =e^{-{\vec {\zeta }}\cdot {\vec {K}}-{\vec {\omega }}\cdot {\vec {S}}}$
dove
    ${\vec {S}}=(S_{1},S_{2},S_{3})$ e ${\vec {K}}=(K_{1},K_{2},K_{3})$.
Le coordinate di ${\vec {S}}$ e ${\vec {K}}$ sono i generatori del gruppo di Lorentz.
    $S_{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right)\quad S_{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right)\quad S_{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$
    $K_{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)\quad K_{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)\quad K_{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right)$
e generano rispettivamente le rotazioni attorno ai tre assi cartesiani, e i boost di Lorentz lungo tali assi. Il restante parametro ${\vec {\omega }}$ ha come coordinate gli angoli di rotazione attorno ai tre assi spaziali.

## Proprietà

Un'ultima considerazione riguarda le rapidità di particelle viste in diversi sistemi di riferimento. Se prendiamo in considerazione come parametri per la descrizione del sistema l'impulso e la rapidità della particella si ha:
    ${\tilde {\zeta _{i}}}=\zeta _{i}-Z$
dove se indichiamo con ${\tilde {k}}$ un altro sistema di riferimento, con $k_{i}$ il sistema di riferimento solidale alla $i$-esima particella, e se indichiamo con una freccia una particolare trasformazione di Lorentz abbiamo:
    $k{\stackrel {\zeta _{i}}{\rightarrow }}k_{i}{\stackrel {\tilde {\zeta _{i}}}{\leftarrow }}{\tilde {k}}$
e la $Z$ è la rapidità della trasformazione da $k$ a ${\tilde {k}}$. Dimostriamolo. Intanto assegniamo al sistema ${\tilde {k}}$ i parametri ${\vec {B}}$ e $\Gamma$ che ne definiscono il moto rispetto a $k$.
    $\ln \left({\frac {p_{0}+p_{z}}{p_{0}-p_{z}}}\right)=2\zeta \qquad \quad \ln \left({\frac {{\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z}}{{\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z}}}\right)=2{\tilde {\zeta }}$
    $2({\tilde {\zeta }}-\zeta )=\ln \left[{\frac {({\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z})(p_{0}-p_{z})}{({\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z})(p_{0}+p_{z})}}\right]$
    ${\begin{array}{l}{\tilde {p}}_{0}=\Gamma (p_{0}-Bp_{z})\\{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{z}-Bp_{0})\end{array}}\qquad {\mbox{ con }}\Gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-B^{2}}}}$
    ${\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{0}+p_{z})(1-B)\quad {\mbox{ e }}\quad {\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{0}-p_{z})(1+B)$
quindi
    $2({\tilde {\zeta }}-\zeta )=\ln \left({\frac {1-B}{1+B}}\right)=\ln \left({\frac {\cosh Z-\sinh Z}{\sinh Z+\cosh Z}}\right)=\ln \left({\frac {e^{-Z}+e^{-Z}}{e^{Z}+e^{Z}}}\right)=\ln e^{-2Z}=-2Z$
La comodità di utilizzare come parametri ${\vec {p}}$ e $\zeta$ è quella per cui in due diversi sistemi di riferimento le rapidità delle particelle risultano traslate di un valore fisso $Z$ che rappresenta la rapidità della trasformazione di Lorentz che collega i due sistemi di riferimento.