# Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Chapitre VI
### CHAPITRE VI.
#### § I. — Considérations générales sur les séries.

On appelle série une suite indéfinie de quantités
$u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad u_{3},\quad \ldots$
qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée. Ces quantités elles-mêmes sont les différents termes de la série que l’on considère. Soit
$s_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n-1}$
la somme des $n$ premiers termes, $n$ désignant un nombre entier quelconque. Si, pour des valeurs de $n$ toujours croissantes, la somme $s_{n}$ s’approche indéfiniment d’une certaine limite $s,$ la série sera dite convergente, et la limite en question s’appellera la somme de la série. Au contraire, si, tandis que $n$ croit indéfiniment, la somme $s,$ ne s’approche d’aucune limite fixe, la série sera divergente et n’aura plus de somme. Dans l’un et l’autre cas, le terme qui correspond à l’indice $n,$ savoir $u_{n},$ sera ce qu’on nomme le terme général. Il suffit que l’on donne ce terme général en fonction de l’indice $n,$ pour que la série soit complètement déterminée.
L’une des séries les plus simples est la progression géométrique
$1,\quad x,\quad x^{2},\quad x^{3},\quad \ldots ,$
qui a pour terme général $x^{n},$ ", c’est-à-dire la puissance $n$$^{ième}$ de la quantité $x.$ Si dans cette série on fait la somme des $n$ premiers termes, on trouvera
$1+x+x^{2}+\ldots +x^{n-1}={\frac {1}{1-x}}-{\frac {x^{n}}{1-x}}\,;$
et, comme pour des valeurs croissantes de $n,$ la valeur numérique de la fraction ${\frac {x^{n}}{1-x}}$ converge vers la limite zéro, ou croît au delà de toute limite, suivant qu’on suppose la valeur numérique de $x$ inférieure ou supérieure à l’unité, on doit conclure que, dans la première hypothèse, la progression
$1,\quad x,\quad x^{2},\quad x^{3},\quad \ldots$
est une série convergente qui a pour somme ${\frac {1}{1-x}},$ tandis que, dans la seconde hypothèse, la même progression est une série divergente qui n’a plus de somme.
D’après les principes ci-dessus établis, pour que la série
| (1) | $u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,u_{n},\quad u_{n+1},\quad \ldots$ |
soit convergente, il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de $n$ fassent converger indéfiniment la somme
$s_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n+1}$
vers une limite fixe $s\,;$ en d’autres termes, il est nécessaire et il suffit que, pour des valeurs infiniment grandes du nombre $n,$ les sommes
$s_{n},\quad s_{n+1},\quad s_{n+2},\quad \ldots$
différent de la limite $s,$ et par conséquent entre elles, de quantités infiniment petites. D’ailleurs, les différences successives entre la première somme $s_{n}$ et chacune des suivantes sont respectivement déterminées par les équations
${\begin{aligned}&s_{n+1}-s_{n}=u_{n},\\&s_{n+2}-s_{n}=u_{n}+u_{n+1},\\&s_{n+3}-s_{n}=u_{n}+u_{n+1}+u_{n+2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$
Donc, pour que la série (1) soit convergente, il est d’abord nécessaire le terme général $u_{n},$ décroisse indéfiniment, tandis que $n$ augmente ; mais cette condition ne suffit pas, et il faut encore que, pour des valeurs croissantes de $n,$ les différentes sommes
${\begin{aligned}&u_{n}+u_{n+1},\\&u_{n}+u_{n+1}+u_{n+2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
c’est-à-dire les sommes des quantités
$u_{n},\quad u_{n+1},\quad u_{n+2},\quad \ldots ,$
prises, à partir de la première, en tel nombre que l’on voudra, finissent par obtenir constamment des valeurs numériques inférieures à toute limite assignable. Réciproquement, lorsque ces diverses conditions sont remplies, la convergence de la série est assurée.
Prenons pour exemple la progression géométrique
| (2) | $1,\quad x,\quad x^{2},\quad x^{3},\quad \ldots$ |
Si la valeur numérique de $x$ est supérieure à l’unité, celle du terme général $x^{n}$ croîtra indéfiniment avec $n,$ et cette seule remarque suffira pour constater la divergence de la série. La série sera encore divergente si l’on suppose $x=\pm 1,$ parce qu’alors la valeur numérique du terme général $x^{n},$ se réduisant à l’unité, ne décroîtra pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de $n.$ Mais, si la valeur numérique de $x$ est inférieure à l’unité, les sommes des termes de la série pris à partir de $x^{n}$ en tel nombre que l’on voudra, savoir :
${\begin{aligned}&\qquad x^{n},\\&\qquad x^{n}\quad +x^{n+1}=x^{n}{\frac {1-x^{2}}{1-x}},\\&x^{n}+x^{n+1}+x^{n+2}=x^{n}{\frac {1-x^{3}}{1-x}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
se trouvant toutes comprises entre les limites
$x^{n},\qquad {\frac {x^{n}}{1-x}},$
$n$
Prenons pour second exemple la série numérique
| (3) | $1,\quad {\frac {1}{2}},\quad {\frac {1}{3}},\quad {\frac {1}{4}}\ldots ,\quad {\frac {1}{n}},\quad {\frac {1}{n+1}},\quad \ldots$ |
Le terme général de cette série, savoir ${\frac {1}{n+1}},$ décroit indéfiniment à mesure que $n$ augmente, et cependant la série n’est pas convergente ; car la somme faite du terme ${\frac {1}{n+1}}$ et de ceux qui le suivent jusqu’au terme ${\frac {1}{2n}}$ inclusivement, savoir
${\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\ldots +{\frac {1}{2n-1}}+{\frac {1}{2n}},$
reste constamment supérieure, quel que soit $n,$ au produit
$n{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}\,;$
et par suite cette somme ne décroît pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de $n,$ ainsi que cela aurait lieu si la série était convergente. Ajoutons que, si l’on désigne par $s_{n}$ la somme des $n$ premiers termes de la série (3), et par $2^{m}$ la plus haute puissance de $2$ renfermée dans $n+1,$ on trouvera
${\begin{aligned}s_{n}=1&+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n+1}}>1+{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)\\&+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{2^{m-1}+1}}+{\frac {1}{2^{m-1}+2}}+\ldots +{\frac {1}{2^{m}}}\right),\end{aligned}}$
et, a fortiori,
$s_{n}>1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{2}}=1+{\frac {m}{2}}.$
On en conclura que la somme $s_{n}$ croît indéfiniment avec le nombre entier $m,$ et par conséquent avec $n,$ ce qui est une nouvelle preuve de la divergence de la série.
Considérons encore la série numérique
| (4) | $1,\quad {\frac {1}{1}},\quad {\frac {1}{1.2}},\quad {\frac {1}{1.2.3}},\quad \ldots ,\quad {\frac {1}{1.2.3\ldots n}},\quad \ldots$ |
Les termes de cette série, qui occupent un rang supérieur à $n,$ savoir
${\frac {1}{1.2.3\ldots n}},\quad {\frac {1}{1.2.3\ldots n(n+1)}},\quad {\frac {1}{1.2.3\ldots n(n+1)(n+2)}},\quad \ldots ,$
seront respectivement inférieurs aux termes correspondants de la progression géométrique
${\frac {1}{1.2.3\ldots n}},\quad {\frac {1}{1.2.3\ldots n}}{\frac {1}{n}},\quad {\frac {1}{1.2.3\ldots n}}{\frac {1}{n^{2}}},\quad \ldots$
Par suite, la somme des premiers termes pris en tel nombre que l’on voudra sera toujours inférieure à la somme des termes correspondants de la progression géométrique, qui est une série convergente, et à plus forte raison, à la somme de cette progression, c’est-à-dire à
${\frac {1}{1.2.3\ldots n}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{n}}}}={\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {1}{n-1}}.$
Comme cette dernière somme décroit indéfiniment à mesure que $n$ augmente, il en résulte que la série (4) est elle-même convergente. On est convenu de désigner par la lettre $e$ la somme de cette série. En ajoutant les $n$ premiers termes, on obtiendra, pour valeur approchée du nombre $e,$
$1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+\ldots +{\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}\,;$
et, d’après ce qu’on vient de dire, l’erreur commise sera inférieure au produit du $n$$^{ième}$ terme par ${\frac {1}{n-1}}.$ Ainsi, par exemple, si l’on suppose $n=11,$ on trouvera pour la valeur approchée de $e$
| (5) | $e=2{,}7182818\ldots \,;$ |
et l’erreur commise dans cette hypothèse sera inférieure au produit de la fraction ${\frac {1}{1.2.3.4.5.6.7.8.9.10}}$ par ${\frac {1}{10}},$ c’est-à-dire à ${\frac {1}{36288000}},$ sorte qu’elle n’altérera pas la septième décimale.
Le nombre $e,$ déterminé comme on vient de le dire, sera souvent employé dans la sommation des suites et dans le Calcul infinitésimal. Les logarithmes pris dans le système qui a ce nombre pour base s’appellent népériens, du nom de Néper, inventeur des logarithmes, ou hyperboliques, parce qu’ils servent à mesurer les diverses parties de l’aire comprise entre l’hyperbole équilatère et ses asymptotes.
On indique généralement la somme d’une série convergente par la somme de ses premiers termes suivie de points. Ainsi, lorsque la série
$u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad u_{3},\quad \ldots$
est convergente, la somme de cette série est représentée par
$u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots$
En vertu de cette convention, la valeur du nombre $e$ se trouvera déterminée par l’équation
| (6) | $e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+{\frac {1}{1.2.3.4}}+\ldots \,;$ |
et, si l’on considère la progression géométrique
$1,\quad x,\quad x^{2},\quad x^{3},\quad \ldots ,$
on aura, pour des valeurs numériques de $x$ inférieures à l’unité,
| (7) | $1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots ={\frac {1}{1-x}}.$ |
La série
$u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad u_{3},\quad \ldots$
étant supposée convergente, si l’on désigne sa somme par $s,$ et par $s_{n}$ la somme de ses $n$ premiers termes, on trouvera
$s=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n-1}+u_{n}+u_{n+1}+\ldots =s_{n}+u_{n}+u_{n+1}+\ldots$
et, par suite,
$s-s_{n}=u_{n}+u_{n+1}+\ldots .$
$u_{n},\quad u_{n+1},\quad u_{n+2},\quad \ldots$
formeront une nouvelle série convergente dont la somme sera équivalente à $s-s_{n}.$ Si l’on représente cette même somme par $r_{n},$ on aura
$s=s_{n}+r_{n}\,;$
et $r_{n}$ sera ce qu’on appelle le reste de la série (1) à partir du $n$$^{ième}$ terme.
Lorsque, les termes de la série (1) renfermant une même variable $x,$ cette série est convergente, et ses différents termes fonctions continues de $x,$ dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à cette variable,
$s_{n},\quad r_{n}\quad {\text{et}}\quad s$
sont encore trois fonctions de la variable $x,$ dont la première est évidemment continue par rapport à $x$ dans le voisinage de la valeur particulière dont il s’agit. Cela posé, considérons les accroissements que reçoivent ces trois fonctions, lorsqu’on fait croître $x$ d’une quantité infiniment petite $\alpha .$ L’accroissement de $s_{n}$ sera, pour toutes les valeurs possibles de $n,$ une quantité infiniment petite ; et celui de $r_{n}$ deviendra insensible en même temps que $r_{n}$ si l’on attribue à $n$ une valeur très considérable. Par suite, l’accroissement de la fonction $s$ ne pourra être qu’une quantité infiniment petite. De cette remarque on déduit immédiatement la proposition suivante :
Théorème I. — Lorsque les différents termes de la série (1) sont des fonctions d’une même variable $x,$ continues par rapport à cette variable dans le voisinage d’une valeur particulière pour laquelle la série est convergente, la somme $s$ de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de $x.$
En vertu de ce théorème, la somme de la série (2) devra rester fonction continue de la variable $x,$ entre les limites $x=-1,$ $x=1\,;$ ce qu’on peut vérifier à l’inspection de la valeur de $s$ donnée par l’équation
$s={\frac {1}{1-x}}.$
Lorsque la série
| (1) | $u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n},\quad \ldots$ |
a tous ses termes positifs, on peut ordinairement décider si elle est convergente ou divergente, à l’aide du théorème suivant :
Théorème I. — Cherchez la limite ou les limites vers lesquelles converge, tandis que $n$ croît indéfiniment, l’expression $(u_{n})^{\frac {1}{n}},$ et désignez par $k$ la plus grande de ces limites, ou, en d’autres termes, la limite des plus grandes valeurs de l’expression dont il s’agit. La série (1) sera convergente si l’on a $k<1,$ et divergente si l’on a $k>1.$
Démonstration. — Supposons d’abord $k<1,$ et choisissons à volonté entre les deux nombres $1$ et $k$ un troisième nombre $\mathrm {U} ,$ en sorte qu’on ait
$k<\mathrm {U} <1.$
$n$ venant à croître au delà de toute limite assignable, les plus grandes valeurs de $(u_{n})^{\frac {1}{n}}$ ne pourront s’approcher indéfiniment de la limite $k,$ sans finir par être constamment inférieures à $\mathrm {U} .$ Par suite, il sera possible d’attribuer au nombre entier $n$ une valeur assez considérable pour que, $n$ obtenant cette même valeur ou une valeur plus grande encore, on ait constamment
$(u)^{\frac {1}{n}}<\mathrm {U} ,\qquad u_{n}<\mathrm {U} ^{n}.$
Il en résulte que les termes de la série
$u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n+1},\quad u_{n+2},\quad \ldots$
$1,\quad \mathrm {U} ,\quad \mathrm {U} ^{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {U} ^{n},\quad \mathrm {U} ^{n+1},\quad \mathrm {U} ^{n+2},\quad \ldots \,;$
et, comme cette progression est convergente $($à cause de $\mathrm {U} <1),$ on peut, de la remarque précédente, conclure a fortiori la convergence de la série (1).
Supposons, en second lieu, $k>1,$ et plaçons encore entre les deux nombres $1$ et $k$ un troisième nombre $\mathrm {U} ,$ en sorte qu’on ait
$k>\mathrm {U} >1.$
Si $n$ vient à croître au delà de toute limite, les plus grandes valeurs de $(u_{n})^{\frac {1}{n}},$ en s’approchant indéfiniment de $k,$ finiront par devenir supérieures à $\mathrm {U} .$ On pourra donc satisfaire à la condition
$(u_{n})^{\frac {1}{n}}>\mathrm {U}$
ou, ce qui revient au même, à la suivante
$u_{n}>\mathrm {U} ^{n},$
par des valeurs de $n$ aussi considérables que l’on voudra ; et par suite, on trouvera dans la série
$u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n},\quad u_{n+1},\quad u_{n+2},\quad \ldots$
un nombre indéfini de termes supérieurs aux termes correspondants de la progression géométrique
$1,\quad \mathrm {U} ,\quad \mathrm {U} ^{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {U} ^{n},\quad \mathrm {U} ^{n+1},\quad \mathrm {U} ^{n+2},\quad \ldots$
Comme cette progression est divergente (à cause de $\mathrm {U} >1),$ et qu’en conséquence ses différents termes croissent à l’infini, la remarque que l’on vient de faire suffira pour établir la divergence de la série (1).
Dans un grand nombre de circonstances, on peut déterminer la valeur de la quantité $k$ à l’aide du théorème IV (Chap. II, § III). En effet, en vertu de ce théorème, toutes les fois que le rapport ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}$ convergera vers une limite fixe, cette limite sera précisément la valeur de $k.$ On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème II. — Si, pour des valeurs croissantes de $n,$ le rapport
${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}$
converge vers une limite fixe $k,$ la série (1) sera convergente toutes les fois que l’on aura $k<1,$ et divergente toutes les fois que l’on aura $k>1.$
Concevons, par exemple, que l’on considère la série
$1,\quad {\frac {1}{1}},\quad {\frac {1}{1.2}},\quad {\frac {1}{1.2.3}},\quad \ldots ,\quad {\frac {1}{1.2.3\ldots n}},\quad \ldots \,:$
on trouvera
${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots n(n+1)}}={\frac {1}{n+1}},\qquad k={\frac {1}{\infty }}=0,$
et par conséquent la série sera convergente, ce que l’on savait déjà.
Le premier des deux théorèmes qu’on vient d’établir ne laisse d’incertitude sur la convergence ou la divergence d’une série dont tous les termes sont positifs, que dans le cas particulier où la quantité représentée par $k$ devient égale à l’unité. Dans ce cas particulier, il n’est pas toujours facile de décider la question. Toutefois, nous allons démontrer ici deux nouvelles propositions à l’aide desquelles on peut souvent y parvenir.
Théorème III. — Lorsque, dans la série (1), chaque terme est inférieur à celui qui le précède, cette série et la suivante
| (2) | $u_{0},\quad 2u_{1},\quad 4u_{3},\quad 8u_{7},\quad 16u_{15},\quad \ldots$ |
sont en même temps convergentes ou divergentes.
Démonstration. — Supposons d’abord la série (1) convergente, et désignons sa somme par $s.$ On aura
${\begin{aligned}u_{0}&=\;u_{0},\\2u_{1}&=2u_{1},\\4u_{3}&<2u_{2}+2u_{3},\\8u_{7}&<2u_{4}+2u_{5}+2u_{6}+2u_{7},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et par suite la somme des termes de la série (2), pris en tel nombre que l’on voudra, sera inférieure à
$u_{0}+2u_{1}+2u_{2}+2u_{3}+2u_{4}+\ldots =2s-u_{0}.$
Il en résulte que la série (2) sera convergente.
Supposons, en second lieu, la série (1) divergente. La somme de ses termes, pris en très grand nombre, finira par surpasser toute limite assignable ; et, comme on aura
${\begin{aligned}u_{0}&=u_{0},\\2u_{1}&>u_{1}+u_{2},\\4u_{3}&>u_{3}+u_{4}+u_{5}+u_{6},\\8u_{7}&>u_{7}+u_{8}+u_{9}+u_{10}+u_{11}+u_{12}+u_{13}+u_{14},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
on devra conclure que la somme des quantités
$u_{0},\quad 2u_{1},\quad 4u_{3},\quad 8u_{7},\quad \ldots ,$
prises en très grand nombre, finit elle-même par devenir supérieure à toute quantité donnée. La série (2) sera donc alors divergente, conformément au théorème énoncé.
Corollaire. — Si pour la série (1) on prend la suivante
| (3) | $1,\quad {\frac {1}{2^{\mu }}},\quad {\frac {1}{3^{\mu }}},\quad {\frac {1}{4^{\mu }}},\quad \ldots ,\quad$ |
$\mu$ désignant une quantité quelconque, la série (2) deviendra
$1,\quad 2^{1-\mu },\quad 4^{1-\mu },\quad 8^{1-\mu },\quad \ldots$
$\mu >1,$
$\mu$
$\mu =1$
$\mu <1.$
| (4) | $1,\ \quad {\frac {1}{2^{2}}},\ \quad {\frac {1}{3^{2}}},\ \quad {\frac {1}{4^{2}}},\ \quad \ldots ,$ |
| (5) | $1,\ \ \quad {\frac {1}{2}},\ \ \quad {\frac {1}{3}},\ \ \quad {\frac {1}{4}},\ \ \quad \ldots ,$ |
| (6) | $1,\quad {\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}}},\quad {\frac {1}{3^{\frac {1}{2}}}},\quad {\frac {1}{4^{\frac {1}{2}}}},\quad \ldots ,$ |
la première sera convergente et les deux autres divergentes.
Théorème IV. — Supposons que l’on désigne par $\mathrm {L}$ la caractéristique des logarithmes dans un système quelconque, et que, pour des valeurs croissantes de $n,$ le rapport
${\frac {\operatorname {L} (u_{n})}{\operatorname {L} \left({\frac {1}{n}}\right)}}$
converge vers une limite finie $h.$ La série (1) sera convergente si l’on a $h>1,$ et divergente si l’on a $h<1.$
Démonstration. — Supposons d’abord $h>1,$ et choisissons à volonté entre les deux quantités $1$ et $h$ une troisième quantité $a,$ en sorte qu’on ait
$h>a>1.$
Le rapport ${\frac {\operatorname {L} (u_{n})}{\operatorname {L} \left({\frac {1}{n}}\right)}},$ ou son égal
${\frac {\operatorname {L} \left({\frac {1}{u_{n}}}\right)}{\operatorname {L} (n)}},$
finira par être, pour de très grandes valeurs de $n,$ constamment supérieur à la quantité $a.$ En d’autres termes, $n$ venant à croître au delà d’une certaine limite, on aura toujours
${\frac {\operatorname {L} \left({\frac {1}{u_{n}}}\right)}{\operatorname {L} (n)}}>a$
ou, ce qui revient au même,
$\operatorname {L} \left({\frac {1}{u_{n}}}\right)>a\operatorname {L} (n),$
et, par suite,
${\frac {1}{u_{n}}}>n^{a},\qquad u_{n}<{\frac {1}{n^{a}}}.$
Il en résulte que les termes de la série (1) finiront par être constamment inférieurs aux termes correspondants de la suivante
$1,\quad {\frac {1}{2^{a}}},\quad {\frac {1}{3^{a}}},\quad {\frac {1}{4^{a}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {1}{n^{a}}},\quad {\frac {1}{(n+1)^{a}}},\quad \ldots \,;$
et, comme cette dernière sera convergente $($à cause de $a>1),$ on pourra de la remarque précédente conclure a fortiori la convergence de la série (1).
Supposons, en second lieu, $h<1,$ et plaçons encore entre les quantités $1$ et $h$ une troisième quantité $a,$ en sorte qu’on ait
$h<a<1.$
On finira par avoir constamment, pour de très grandes valeurs de $n,$
${\frac {\operatorname {L} \left({\frac {1}{u_{n}}}\right)}{\operatorname {L} (n)}}<a$
ou, ce qui revient au même,
$\operatorname {L} \left({\frac {1}{u_{n}}}\right)<a\operatorname {L} (n),$
et, par suite,
${\frac {1}{u_{n}}}<n^{a},\qquad u_{n}>{\frac {1}{n^{a}}}.$
Il en résulte que les termes de la série (1) finiront par être constamment supérieurs aux termes correspondants de la suivante
$1,\quad {\frac {1}{2^{a}}},\quad {\frac {1}{3^{a}}},\quad {\frac {1}{4^{a}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {1}{n^{a}}},\quad {\frac {1}{(n+1)^{a}}},\quad \ldots \,;$
et, comme cette dernière sera divergente $($à cause de $a<1),$ on pourra de la remarque qu’on vient de faire conclure a fortiori la divergence de la série (1).
Étant données deux séries convergentes dont tous les termes sont positifs, on peut, en ajoutant ou multipliant ces mêmes termes, former une nouvelle série dont la somme résulte de l’addition ou de la multiplication des sommes des deux premières. Nous établirons à ce sujet les deux théorèmes suivants :
Théorème V. — Soient
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}&u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n},\quad \ldots \\&v_{0},\quad \,v_{1},\quad v_{2},\quad \ldots ,\quad v_{n},\quad \ldots \end{aligned}}\right.$ |
deux séries convergentes, qui, uniquement composées de termes positifs, aient respectivement pour sommes $s$ et $s'\,:$
| (8) | $u_{0}+v_{0},\quad u_{1}+v_{1},\quad u_{2}+v_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n}+v_{n},\quad \ldots$ |
sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme $s+s'.$
Démonstration. — Si l’on fait
${\begin{aligned}s_{n}=&u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n-1},\\s'_{n}=&v_{0}\,+v_{1}+v_{2}\,+\ldots +v_{n-1},\end{aligned}}$
$s_{n}$ et $s'_{n}$ convergeront respectivement, pour des valeurs croissantes de $n,$ vers les limites $s$ et $s'.$ Par suite, $s_{n}+s'_{n},$ c’est-à-dire la somme des $n$ premiers termes de la série (8), convergera vers la limite $s+s',$ ce qui suffit pour établir le théorème énoncé.
Théorème VI. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent,
| (9) | $\left\{{\begin{aligned}&u_{0}v_{0}\quad u_{0}v_{1}+u_{1}v_{0},\quad u_{0}v_{2}+u_{1}v_{1}+u_{2}v_{0},\quad \ldots \\&\ldots ,\quad u_{0}v_{n}+u_{1}v_{n-1}+\ldots +u_{n-1}v_{1}+u_{n}v_{0}\quad \ldots \end{aligned}}\right.$ |
sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme $ss'.$
Démonstration. — Soient toujours $s_{n},s'_{n}$ les sommes des $n$ premiers termes des deux séries (7), et désignons en outre par $s''_{n},$ la somme des $n$ premiers termes de la série (9). Si l’on représente par $m$ le plus grand nombre entier compris dans ${\frac {n-1}{2}},$ c’est-à-dire ${\frac {n-1}{2}}$ lorsque $n$ est impair, et ${\frac {n-2}{2}}$ dans le cas contraire, on aura évidemment
$u_{0}v_{0}+(u_{0}v_{1}+u_{1}v_{0})+\ldots +(u_{0}v_{n-1}+u_{1}v_{n-2}+\ldots +u_{n-2}v_{1}+u_{n-1}v_{0})$
$<(u_{0}+u_{1}+\ldots +u_{n-1})(v_{0}+v_{1}+\ldots +v_{n-1})$
et
$>(u_{0}+u_{1}+\ldots +u_{m})(v_{0}+v_{1}+\ldots +v_{m}),$
ou, en d’autres termes,
$s''_{n}<s_{n}s'_{n}\quad {\text{et}}\quad >s_{m+1}s'_{m+1}.$
Concevons maintenant que l’on fasse croître $n$ au delà de toute limite. Le nombre
$m={\frac {n-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}{2}}$
croitra lui-même indéfiniment, et les deux sommes $s_{n},s_{m+1}$ convergeront vers la limite $s,$ tandis que $s'_{n}$ et $s'_{m+1}$ convergeront vers la limite $s'.$ Par suite, les deux produits $s_{n}s'_{n},$ $s_{m+1}s'_{m+1}$ et la somme $s''_{n}$ comprise entre ces deux produits convergeront vers la limite $ss',$ ce qui suffit pour établir le théorème VI.
Supposons que la série
| (1) | $u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n},\quad \ldots$ |
se compose de termes, tantôt positifs, tantôt négatifs, et soient respectivement
| (2) | $\rho _{0},\quad \rho _{1},\quad \rho _{2},\quad \ldots ,\quad \rho _{n},\quad \ldots$ |
$u_{0}=\pm \rho _{0},\quad u_{1}=\pm \rho _{1},\quad u_{2}=\pm \rho _{2},\quad \ldots ,\quad u_{n}=\pm \rho _{n},\quad \ldots .$
La valeur numérique de la somme
$u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n-1}$
ne pouvant jamais surpasser
$\rho _{0}+\rho _{1}+\rho _{2}+\ldots +\rho _{n-1},$
il en résulte que la convergence de la série (2) entraînera toujours celle de la série (1). On doit ajouter que la série (1) sera divergente, si quelques termes de la série (2) finissent par croitre au delà de toute limite assignable. Ce dernier cas se présente lorsque les plus grandes valeurs de $(\rho _{n})^{\frac {1}{n}}$ convergent, pour des valeurs croissantes de $n,$ vers une limite supérieure à l’unité. Au contraire, lorsque cette limite devient inférieure à l’unité, la série (2) est toujours convergente. On peut, en conséquence, énoncer le théorème suivant :
Théorème I. — Soit $\rho _{n}$ la valeur numérique du terme général $u_{n}$ de la série (1), et désignons par $k$ la limite vers laquelle convergent, tandis que $n$ croît indéfiniment, les plus grandes valeurs de l’expression $(\rho _{n})^{\frac {1}{n}}.$ La série (1) sera convergente si l’on a $k<1,$ et divergente si l’on a $k>1.$
Lorsque la fraction ${\frac {\rho _{n+1}}{\rho _{n}}},$ c’est-à-dire la valeur numérique du rapport ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}},$ convergera vers une limite fixe, cette limite sera, en vertu du théorème IV (Chap. II, § III), la valeur cherchée de $k.$ Cette remarque conduit à la proposition que je vais écrire :
Théorème II. — Si pour des valeurs croissantes de $n,$ la valeur numérique du rapport
${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}$
converge vers une limite fixe $k,$ la série (1) sera convergente toutes les fois que l’on aura $k<1,$ et divergente toutes les fois que l’on aura $k>1.$
Par exemple, si l’on considère la série
$1,\quad -{\frac {1}{1}},\quad +{\frac {1}{1.2}},\quad -{\frac {1}{1.2.3}},\quad +\ldots ,$
on trouvera
${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=-{\frac {1}{n+1}},\qquad k={\frac {1}{\infty }}=0\,;$
d’où il résulte que la série sera convergente.
Le premier des deux théorèmes qu’on vient d’établir ne laisse d’incertitude sur la convergence ou la divergence d’une série que dans le cas particulier où la quantité représentée par $k$ devient égale à l’unité. Dans ce cas particulier, on peut quelquefois constater la convergence de la série proposée, soit en s’assurant que les valeurs numériques de ses différents termes forment une série convergente, soit en ayant égard au théorème suivant :
Théorème III. — Si dans la série (1) la valeur numérique du terme général $u_{n}$ décroît constamment et indéfiniment, pour des valeurs croissantes de $n,$ si de plus les différents termes sont alternativement positifs et négatifs, la série sera convergente.
Considérons, par exemple, la série
| (3) | $1,\quad -{\frac {1}{2}},\quad +{\frac {1}{3}},\quad -{\frac {1}{4}},\quad +\ldots \pm {\frac {1}{n}},\quad \mp {\frac {1}{n+1}},\quad \ldots .$ |
La somme des termes dont le rang surpasse $n,$ si on les suppose pris en nombre égal à $m,$ sera
$\pm \left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}+{\frac {1}{n+3}}-{\frac {1}{n+4}}+\ldots \pm {\frac {1}{n+m}}\right).$
Or la valeur numérique de cette somme, savoir
${\begin{aligned}{\frac {1}{n+1}}&-{\frac {1}{n+2}}+{\frac {1}{n+3}}-{\frac {1}{n+4}}+\ldots \pm {\frac {1}{n+m}}\\&={\frac {1}{n+1}}-\left({\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+3}}\right)-\left({\frac {1}{n+4}}-{\frac {1}{n+5}}\right)-\ldots \\&=\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}\right)+\left({\frac {1}{n+3}}-{\frac {1}{n+4}}\right)+\left({\frac {1}{n+5}}-{\frac {1}{n+6}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$
${\frac {1}{n+1}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}},$
décroîtra indéfiniment pour des valeurs croissantes de $n,$ quel que soit $m,$ ce qui suffit pour établir la convergence de la série proposée. Les mêmes raisonnements peuvent évidemment s’appliquer à toutes les séries de ce genre. Je citerai, entre autres, la suivante
| (4) | $1,\quad -{\frac {1}{2^{\mu }}},\quad +{\frac {1}{3^{\mu }}},\quad -{\frac {1}{4^{\mu }}},\quad \ldots ,\quad$ |
laquelle, en vertu du théorème III, restera convergente pour toutes les valeurs positives de $\mu .$
Si dans la série (4) on supprime le signe $-$ devant chacun des termes de rang pair, on obtiendra la série (3) du § II, qui est divergente toutes les fois que l’on suppose $\mu =1$ ou $\mu <1.$ Par suite, pour transformer une série convergente en série divergente, ou réciproquement, il suffit quelquefois de changer les signes de certains termes. Au reste, cette remarque est uniquement applicable aux séries pour lesquelles la quantité désignée par $k$ dans le théorème II se réduit à l’unité.
Étant donnée une série convergente dont tous les termes sont positifs, on ne peut qu’augmenter la convergence en diminuant les valeurs numériques de ces mêmes termes, et changeant les signes de quelquesuns. Il est bon d’observer qu’on produira ce double effet si l’on multiplie chaque terme par un sinus ou par un cosinus, et cette observation suffit pour établir la proposition suivante :
Théorème IV. — Lorsque la série
| (2) | $\rho _{0},\quad \rho _{1},\quad \rho _{2},\quad \ldots ,\quad \rho _{n},\quad \ldots ,\quad$ |
uniquement formée de termes positifs, est convergente, chacune des suivantes
| (5) | $\left\{{\begin{array}{lllll}\rho _{0}\cos \theta _{0},&\rho _{1}\cos \theta _{1},&\rho _{2}\cos \theta _{2},&\ldots &\rho _{n}\cos \theta _{n},&\ldots ,\\\rho _{0}\sin \theta _{0},&\rho _{1}\sin \theta _{1},&\rho _{2}\sin \theta _{2},&\ldots &\rho _{n}\sin \theta _{n},&\ldots \end{array}}\right.$ |
l’est pareillement, quelles que soient les valeurs des arcs $\theta _{0},\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n},\ldots$
Corollaire. — Si l’on suppose généralement
$\theta _{n}=n\theta ,$
$\theta$ désignant un arc quelconque, les séries (5) deviendront respectivement
| (6) | $\left\{{\begin{array}{lllll}\rho _{0}&\rho _{1}\cos \theta ,&\rho _{2}\cos 2\theta ,&\ldots ,&\rho _{n}\cos n\theta ,&\ldots ,\\&\rho _{1}\sin \theta ,&\rho _{2}\sin 2\theta ,&\ldots &\rho _{n}\sin n\theta ,&\ldots \end{array}}\right.$ |
Ces deux dernières seront donc toujours convergentes en même temps que la série (2).
Si l’on considère à la fois deux séries dont chacune renferme des termes positifs et des termes négatifs, on démontrera facilement à leur égard les théorèmes V et VI du § II, ainsi qu’on va le voir.
Théorème V. — Soient
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}&u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n},\quad \ldots \\&v_{0},\quad \,v_{1},\quad v_{2},\quad \ldots ,\quad v_{n},\quad \ldots \end{aligned}}\right.$ |
deux séries convergentes qui aient respectivement pour sommes $s$ et $s'\,;$
| (8) | $u_{0}+v_{0},\quad u_{1}+v_{1},\quad u_{2}+v_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n}+v_{n},\quad \ldots$ |
sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme $s+s'.$
Démonstration. — Si l’on fait
${\begin{aligned}s_{n}=&u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n-1},\\s'_{n}=&v_{0}\,+v_{1}+v_{2}\,+\ldots +v_{n-1},\end{aligned}}$
$s_{n}$ et $s'_{n}$ convergeront respectivement, pour des valeurs croissantes de $n,$ vers les limites $s$ et $s'.$ Par suite, $s_{n}+s'_{n},$ c’est-à-dire la somme des $n$ premiers termes de la série (8), convergera vers la limite $s+s',$ ce qui suffit pour établir le théorème énoncé.
Théorème VI. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si chacune des séries (7) reste convergente, lorsqu’on réduit ses différents termes à leurs valeurs numériques,
| (9) | $\left\{{\begin{aligned}&u_{0}v_{0},\\&u_{0}v_{1}+u_{1}v_{0},\\&u_{0}v_{2}+u_{1}v_{1}+u_{2}v_{0},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&u_{0}v_{n}+u_{1}v_{n-1}+\ldots +u_{n-1}v_{1}+u_{n}v_{0},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}\right.$ |
sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme $ss'.$
Démonstration. — Soient toujours $s_{n},s'_{n}$ les sommes des $n$ premiers termes des deux séries (7), et désignons en outre par $s''_{n},$ la somme des $n$ premiers termes de la série (9). On trouvera
${\begin{aligned}s_{n}s'_{n}-s''_{n}=u_{n-1}v_{n-1}&+(u_{n-1}v_{n-2}+u_{n-2}v_{n-1})+\ldots \\&+(u_{n-1}v_{1}+u_{n-2}v_{2}+\ldots +u_{2}v_{n-2}+u_{1}v_{n-1}).\end{aligned}}$
De plus, le théorème VI ayant été démontré dans le second paragraphe pour le cas où les séries (7) ne renferment que des termes positifs, il en résulte que, dans cette hypothèse, chacune des quantités $s_{n}s'_{n},$ $s''_{n}$ converge, pour des valeurs croissantes de $n,$ vers la limite $ss',$ et par suite la différence $s_{n}s'_{n}-s''_{n}$ ou, ce qui revient au même, la somme
${\begin{aligned}u_{n-1}v_{n-1}&+(u_{n-1}v_{n-2}+u_{n-2}v_{n-1})+\ldots \\&+(u_{n-1}v_{1}+u_{n-2}v_{2}\qquad \;+\ldots +u_{2}v_{n-2}+u_{1}v_{n-1}).\end{aligned}}$
vers la limite zéro.
Concevons maintenant que, les termes des séries (7) étant les uns positifs et les autres négatifs, on désigne respectivement par
| (10) | $\left\{{\begin{array}{llllll}\rho _{0},&\rho _{1},&\rho _{2},&\ldots ,&\rho _{n},&\ldots ,\\\rho '_{0},&\rho '_{1},&\rho '_{2},&\ldots ,&\rho '_{n},&\ldots ,\\\end{array}}\right.$ |
les valeurs numériques de ces différents termes. Supposons de plus, conformément à l’énoncé du théorème, que les séries (10), composées de ces mêmes valeurs numériques, soient toutes deux convergentes. En vertu de la remarque qu’on vient de faire, la somme
${\begin{aligned}\rho _{n-1}\rho '_{n-1}&+(\rho _{n-1}\rho '_{n-2}+\rho _{n-2}\rho '_{n-1})+\ldots \\&+(\rho _{n-1}\rho '_{1}+\rho _{n-2}\rho '_{2}\qquad \;+\ldots +\rho _{2}\rho '_{n-2}+\rho _{1}\rho '_{n-1}).\end{aligned}}$
convergera, pour des valeurs croissantes de $n,$ vers la limite zéro ; et, comme la valeur numérique de cette somme sera évidemment supérieure à celle de la suivante
${\begin{aligned}u_{n-1}v_{n-1}&+(u_{n-1}v_{n-2}+u_{n-2}v_{n-1})+\ldots \\&+(u_{n-1}v_{1}+u_{n-2}v_{2}\qquad \;+\ldots +u_{2}v_{n-2}+u_{1}v_{n-1}),\end{aligned}}$
il en résulte que cette dernière ou, ce qui revient au même, la différence $s_{n}s'_{n}-s''_{n}$ convergera elle-même vers la limite zéro. Par suite, $ss',$ qui est la limite du produit $s_{n}s'_{n},$ sera encore celle de $s''_{n}.$ En d’autres termes, la série (9) sera convergente et aura pour somme le produit $ss'.$
Scolie. — Le théorème précédent pourrait ne plus subsister si les séries (7), supposées convergentes, cessaient de l’être après la réduction de chaque terme à sa valeur numérique. Concevons, par exemple, que pour chacune des séries (7) on prenne la suivante
| (11) | $1,\quad -{\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}}},\quad +{\frac {1}{3^{\frac {1}{2}}}},\quad -{\frac {1}{4^{\frac {1}{2}}}},\quad +{\frac {1}{5^{\frac {1}{2}}}},\quad -\ldots .$ |
La série (9) deviendra
| (12) | $\left\{{\begin{aligned}&1,\\&-\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),\\&+\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{\sqrt {2.2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right),\\&-\left({\frac {1}{\sqrt {4}}}+{\frac {1}{\sqrt {3.2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2.3}}}+{\frac {1}{\sqrt {4}}}\right),\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$ |
$\pm \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {1}{\sqrt {(n-1)2}}}+{\frac {1}{\sqrt {(n-2)3}}}+\ldots +{\frac {1}{2{\sqrt {(n-1)}}}}+{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right),$
a une valeur numérique évidemment supérieure à
${\frac {n}{\left[{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}+1\right)\right]^{\frac {1}{2}}}}=\left({\frac {4n}{n+2}}\right)^{\frac {1}{2}}$
lorsque $n$ est pair, et à
${\frac {n}{\left[\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}={\frac {2n}{n+1}}$
lorsque $n$ est impair, c’est-à-dire, dans tous les cas possibles, une valeur numérique supérieure à l’unité. Cependant la série (11) est convergente. Mais on doit observer qu’elle cesse de l’être lorsqu’on réduit chaque terme à sa valeur numérique, puisqu’elle se change alors en la série (6) du § II.
Soit
| (1) | $a_{0},\quad a_{1}x,\quad a_{2}x^{2},\quad \ldots ,\quad a_{n}x^{n},\quad \ldots$ |
une série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable $x,$
| (2) | $a_{0},\quad a_{1},\quad a_{2},\quad \ldots ,\quad a_{n},\quad \ldots$ |
désignant des coefficients constants positifs ou négatifs. Soit de plus $\mathrm {A}$ ce que devient pour la série (2) la quantité $k$ du paragraphe précédent (voir le § III, théorème II). La même quantité, calculée pour la série (1), sera équivalente à la valeur numérique du produit
$\mathrm {A} x.$
$x$
${\frac {1}{\mathrm {A} }}.$
$x$
${\frac {1}{\mathrm {A} }}.$
Théorème I. — Soit $\mathrm {A}$ la limite vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes de $n,$ la racine $n$$^{ième}$ des plus grandes valeurs numériques de $a_{n}.$ La série (1) sera convergente pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre les limites
$x=-{\frac {1}{\mathrm {A} }},\qquad x=+{\frac {1}{\mathrm {A} }},$
et divergente pour toutes les valeurs de $x$ situées hors des mêmes limites.
Lorsque la valeur numérique du rapport ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ converge vers une limite fixe, cette limite est (en vertu du théorème IV, Chap. II, § III) la valeur cherchée de $\mathrm {A} .$ Cette remarque conduit à une nouvelle proposition que je vais écrire :
Théorème II. — Si, pour des valeurs croissantes de $n,$ la valeur numérique du rapport
${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$
converge vers la limite $\mathrm {A} ,$ la série (1) sera convergente pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre les limites
$-{\frac {1}{\mathrm {A} }},\qquad +{\frac {1}{\mathrm {A} }},$
et divergente pour toutes les valeurs de $x$ situées hors des mêmes limites.
Corollaire I. — Prenons pour exemple la série
$1,\quad 2x,\quad 3x^{2},\quad 4x^{3},\quad \ldots ,\quad (n+1)x^{n},\quad \ldots .$
Comme on trouvera dans cette hypothèse
${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {n+2}{n+1}}=1+{\frac {1}{n+1}}$
$\mathrm {A} =1,$
on en conclura que la série (3) est convergente pour toutes les valeurs de $x$ renfermées entre les limites
$x=-1,\qquad x=+1,$
et divergente pour les valeurs de $x$ situées hors de ces limites.
Corollaire II. — Prenons pour second exemple la série
| (4) | ${\frac {x}{1}},\quad {\frac {x^{2}}{2}},\quad {\frac {x^{3}}{3}},\quad \ldots ,\quad {\frac {x^{n}}{n}},\quad \ldots ,\quad$ |
dans laquelle le terme constant est censé réduit à zéro. On trouvera dans cette hypothèse
${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {n}{n+1}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{n}}}}$
et, par suite, $\mathrm {A} =1.$ La série (4) sera donc encore convergente ou divergente, suivant que la valeur numérique de $x$ sera inférieure ou supérieure à l’unité.
Corollaire III. Si pour la série (1) on prend la suivante
| (5) | $1,\quad {\frac {\mu }{1}}x,\quad {\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}x^{2},\quad \ldots ,\quad {\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)\ldots (\mu -n+1)}{1.2.3\ldots n}}x^{n},\quad \ldots ,\quad$ |
$\mu$ désignant une quantité quelconque, on trouvera
${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {\mu -n}{n+1}}=-{\frac {1-{\cfrac {\mu }{n}}}{1+{\cfrac {1}{n}}}}$
et, par suite,
$\mathrm {A} =\lim {\frac {1-{\cfrac {\mu }{n}}}{1+{\cfrac {1}{n}}}}=-{\frac {1-{\cfrac {1}{\infty }}}{1+{\cfrac {1}{\infty }}}}=1.$
On en conclura que la série (5) est, comme les séries (3) et (4), convergente ou divergente, suivant que l’on attribue à la variable $x$ une valeur numérique inférieure ou supérieure à l’unité.
Corollaire IV. — Considérons encore la série
| (6) | $1,\quad {\frac {x}{1}},\quad {\frac {x^{2}}{1.2}},\quad {\frac {x^{3}}{1.2.3}},\quad \ldots ,\quad {\frac {x^{n}}{1.2.3\ldots n}},\quad \ldots .$ |
Comme on aura dans ce cas
${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{n+1}}$
et, par suite,
$\mathrm {A} ={\frac {1}{\infty }}=0,$
on en conclura que la série est convergente entre les limites
$x=-{\frac {1}{0}}=-\infty ,\qquad x=+{\frac {1}{0}}=+\infty ,$
c’est-à-dire pour toutes les valeurs réelles possibles de la variable $x.$
Corollaire V. — Considérons enfin la série
| (7) | $1,\quad 1.x,\quad 1.2.x^{2},\quad 1.2.3.x^{3},\quad \ldots ,\quad 1.2.3\ldots n.x^{n},\quad \ldots .$ |
En lui appliquant le théorème II, on trouvera
${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=n+1,\qquad \mathrm {A} =\infty ,$
et l’on aura par suite
${\frac {1}{\mathrm {A} }}=0.$
On en conclura que la série (7) est toujours divergente, excepté lorsqu’on suppose $x=0,$ auquel cas elle se réduit à son premier terme $1.$
En examinant les résultats qu’on vient d’obtenir, on reconnaît immédiatement que, parmi les séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x,$ les unes sont tantôt convergentes, tantôt divergentes, selon la valeur attribuée à cette variable, tandis que d’autres restent toujours convergentes, quel que soit $x,$ et d’autres toujours divergentes, excepté pour $x=0.$ On peut ajouter que le théorème I ne laisse d’incertitude sur la convergence d’une semblable série que dans le cas où la valeur numérique de $x$ devient égale à la constante positive représentée par ${\frac {1}{\mathrm {A} }},$ c’est-à-dire lorsqu’on suppose
$x=\pm {\frac {1}{\mathrm {A} }}.$
Dans ce cas particulier, la série est tantôt convergente, tantôt divergente, et la convergence dépend quelquefois du signe de la variable $x.$ Par exemple, si dans la série (4), pour laquelle $\mathrm {A} =1,$ on fait successivement
$x=1\qquad x=-1,$
on obtiendra les deux suivantes
${\begin{array}{lrrrrrrr}{\text{(8)}}\qquad \qquad &1,&{\frac {1}{2}},&{\frac {1}{3}},&{\frac {1}{4}},&\ldots ,&{\frac {1}{n}},&\ldots ,\\{\text{(9)}}&-1,&+{\frac {1}{2}},&-{\frac {1}{3}},&+{\frac {1}{4}},&\ldots ,&\pm {\frac {1}{n}},&\ldots ,\end{array}}$
dont la première est divergente (voir dans le § II le corollaire du théorème III) et la seconde convergente, ainsi que cela résulte du théorème III (§ III).
Il est encore essentiel de remarquer que, par suite du théorème I, lorsqu’une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières d’une variable $x$ sera convergente pour une valeur numérique de $x$ différente de zéro, elle restera convergente, si l’on vient à diminuer cette valeur numérique ou même à la faire décroître indéfiniment.
Lorsque deux séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x$ sont convergentes pour une même valeur de la variable, on peut leur appliquer les théorèmes V et VI du § III. Cette remarque suffit pour établir les deux propositions que je vais énoncer :
Théorème III. — Supposons que les deux séries
| (10) | $\left\{{\begin{array}{llllll}a_{0},&a_{1}x,&a_{2}x^{2},&\ldots ,&a_{n}x^{n},&\ldots ,\\b_{0},&b_{1}x,&b_{2}x^{2},&\ldots ,&b_{n}x^{n},&\ldots ,\end{array}}\right.$ |
étant à la fois convergentes, lorsqu’on attribue à la variable $x$ une certaine valeur, aient alors pour sommes respectives $s$ et $s',$
| (11) | $a_{0}+b_{0},\quad (a_{1}+b_{1})x,\quad (a_{2}+b_{2})x^{2},\quad \ldots ,\quad (a_{n}+b_{n})x^{n},\quad \ldots$ |
sera, dans le même cas, une nouvelle série convergente, qui aura pour sommes $s+s'.$
Corollaire. — On étendra facilement ce théorème à tant de séries que l’on voudra. Par exemple, si les trois séries
${\begin{array}{llll}a_{0},&a_{1}x,&a_{2}x^{2},\ldots ,\\b_{0},&b_{1}x,&b_{2}x^{2},\ldots ,\\c_{0},&c_{1}x,&c_{2}x^{2},\ldots ,\end{array}}$
sont convergentes pour une même valeur attribuée à la variable $x,$ et que l’on désigne par $s,s',s''$ leurs sommes respectives,
$a_{0}+b_{0}+c_{0},\quad (a_{1}+b_{1}+c_{1})x,\quad (a_{2}+b_{2}+c_{2})x^{2},\quad \ldots$
sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme $s+s'+s''.$
Théorème IV. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si de plus chacune des séries (10) reste convergente, lorsqu’on réduit ses différents termes à leurs valeurs numériques,
| (12) | $\left\{{\begin{aligned}&a_{0}b_{0},\quad (a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x,\quad (a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2},\ldots ,\\&\ldots ,\quad (a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\ldots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0})x^{n},\ldots \end{aligned}}\right.$ |
sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme $ss'.$
Corollaire I. — Le théorème précédent se trouve compris dans la formule
| (13) | $\left\{{\begin{aligned}&\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)\left(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots \right)\\&\quad =a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$ |
qui subsiste dans le cas où chacune des séries (10) reste convergente lors même qu’on réduit ses différents termes à leurs valeurs numériques, et qui sert à développer dans cette hypothèse le produit des sommes des deux séries en une nouvelle série de même forme.
Corollaire II. — En répétant plusieurs fois de suite l’opération indiquée par l’équation (13), on pourrait multiplier entre elles les sommes de trois ou d’un plus grand nombre de séries semblables aux séries (10), et dont chacune resterait convergente après la réduction de ses différents termes à leurs valeurs numériques. Le produit obtenu serait la somme d’une nouvelle série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x.$
Corollaire III. — Si dans les deux corollaires précédents on suppose que toutes les séries dont on multiplie les sommes deviennent égales, on obtiendra pour produit une puissance entière de la somme de chacune d’elles, et cette puissance se trouvera encore représentée par la somme d’une série du même genre. Par exemple, si dans l’équation (13) on fait $a_{0}=b_{0},$ $a_{1}=b_{1},$ $a_{2}=b_{2},\ldots ,$ on en tirera
| (14) | $\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)^{2}=a_{0}^{2}+2a_{0}a_{1}x+\left(2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}\right)x^{2}+\ldots .$ |
Corollaire IV. — Si l’on prend pour termes généraux des séries (10)
${\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)\ldots (\mu -n+1)}{1.2.3\ldots n}}x^{n}$
et
${\frac {\mu '(\mu '-1)(\mu '-2)\ldots (\mu '-n+1)}{1.2.3\ldots n}}x^{n},$
$\mu ,\mu '$ désignant deux quantités quelconques, et la variable $x$ étant renfermée entre les limites $x=-1,$ $x=+1,$ chacune des séries (10) restera convergente, même lorsqu’on réduira ses différents termes à leurs valeurs numériques, et le terme général de la série (12) deviendra
$\left[{\frac {\mu (\mu -1)\ldots (\mu -n+1)}{1.2.3\ldots n}}+{\frac {\mu (\mu -1)\ldots (\mu -n+2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {\mu '}{1}}+\ldots \right.$
$\left.+{\frac {\mu }{1}}{\frac {\mu '(\mu -1)\ldots (\mu '-n+2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}+{\frac {\mu '(\mu '-1)\ldots (\mu '-n+1)}{1.2.3\ldots n}}\right]x^{n}$
$={\frac {(\mu +\mu ')(\mu +\mu '-1)(\mu +\mu '-2)\ldots (\mu +\mu '-n+1)}{1.2.3\ldots n}}x^{n}.$
Cela posé, si l’on appelle $\varphi (\mu )$ la somme de la première des séries (10) dans l’hypothèse que l’on vient de faire, c’est-à-dire, si l’on pose
| (15) | $\varphi (\mu )=1+{\frac {\mu }{1}}x+{\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}x^{2}+\ldots ,$ |
les sommes des séries (10) et (12) seront respectivement désignées, dans la même hypothèse, par $\varphi (\mu ),\varphi (\mu ')$ et $\varphi (\mu +\mu ')\,;$ en sorte que l’équation (13) deviendra
| (16) | $\varphi (\mu )\varphi (\mu ')=\varphi (\mu +\mu ').$ |
Lorsque dans l’équation (13) on remplace la somme de la série
$b_{0},\quad b_{1}x,\quad b_{2}x^{2},\quad \ldots$
par un polynôme composé d’un nombre fini de termes, on obtient une formule qui ne cesse jamais d’être exacte, tant que la série
$a_{0},\quad a_{1}x,\quad a_{2}x^{2},\quad \ldots$
demeure convergente. C’est ce que nous allons prouver directement, en établissant le théorème qui suit :
Théorème V. — Si, la série (1) étant convergente, on multiplie la somme de cette série par le polynôme
| (17) | $kx^{m}+lx^{m-1}+\ldots +px+q,$ |
dans lequel $m$ désigne un nombre entier, on obtiendra pour produit la somme d’une nouvelle série convergente de même forme, dont le terme général sera
$\left(qa_{n}+pa_{n-1}+\ldots +la_{n-m+1}+ka_{n-m}\right)x^{m},$
pourvu que l’on considère comme nulles dans les premiers termes celles des quantités
$a_{n-1},\quad a_{n-2},\quad \ldots ,\quad a_{n-m+1},\quad a_{n-m}$
qui se trouveront affectées d’indices négatifs en d’autres termes, on aura
| (18) | $\left\{{\begin{aligned}&(kx^{m}+lx^{m-1}+\ldots +px+q)(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots )\\&\quad =qa_{0}+(qa_{1}+pa_{0})x+\ldots +(qa_{m}+pa_{m-1}+\ldots +la_{1}+ka_{0})x^{m}\\&\qquad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\qquad +\left(qa_{n}+pa_{n-1}+\ldots +la_{n-m+1}+ka_{n-m}\right)x^{n}+\ldots .\end{aligned}}\right.$ |
Démonstration. — Pour multiplier la somme de la série (1) par le polynôme (17), il suffira de la multiplier successivement par les différents termes de ce polynôme. On aura donc
${\begin{aligned}&\left(kx^{m}+lx^{m-1}+\ldots +px+q\right)\left(a_{0}+a_{1}x+a2x^{2}+\ldots \right)\\&\quad =q\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)+px\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)\\&\qquad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\qquad +lx^{m-1}\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)+kx^{m}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ).\end{aligned}}$
Comme on a de plus, pour des valeurs entières quelconques de $n,$
${\begin{aligned}q&\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n-1}x^{n-1}\right)\\&=qa_{0}+qa_{1}x+qa2x^{2}+\ldots +qa_{n-1}x^{n-1},\end{aligned}}$
on en conclura, en faisant croître $n$ indéfiniment, et passant aux limites,
$q\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)=qa_{0}+qa_{1}x+qa_{2}x^{2}+\ldots .$
On trouvera de même
${\begin{aligned}px(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots )&=pa_{0}x+pa_{1}x^{2}+pa_{2}x^{3}+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\lx^{m-1}\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)&=la_{0}x^{m-1}+la_{1}x^{m}+la_{2}x^{m+1}+\ldots ,\\kx^{m}\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)&=ka_{0}x^{m}+ka_{1}x^{m+1}+ka_{2}x^{m+2}\ldots .+\end{aligned}}$
$x,$
Concevons maintenant que dans la série (1) on fasse varier la valeur de $x$ par degrés insensibles. Tant que la série restera convergente, c’est-à-dire tant que la valeur de $x$ demeurera comprise entre les limites
$-{\frac {1}{\mathrm {A} }},\qquad +{\frac {1}{\mathrm {A} }},$
la somme de la série sera (en vertu du théorème I, § I) une fonction continue de la variable $x.$ Soit $\varphi (x)$ cette fonction continue. L’équation
$\varphi (x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots$
subsistera pour toutes les valeurs de $x$ renfermées entre les limites $-{\frac {1}{\mathrm {A} }},+{\frac {1}{\mathrm {A} }},$ ce que nous indiquerons en écrivant ces limites à côté de la série, comme on le voit ici :
| (19) | $\varphi (x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \quad \left(x=-{\frac {1}{\mathrm {A} }},\quad x=+{\frac {1}{\mathrm {A} }}\right).$ |
Lorsque la série est supposée connue, on peut quelquefois en déduire la valeur de la fonction $\varphi (x)$ sous forme finie, et c’est là ce qu’on appelle sommer la série. Mais le plus souvent la fonction $\varphi (x)$ est donnée, et l’on se propose de revenir de cette fonction à la série, ou, en d’autres termes, de développer la fonction en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x.$ Il est facile d’établir à ce sujet la proposition que je vais énoncer :
Théorème VI. — Une fonction continue de la variable $x$ ne peut être développée que d’une seule manière en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de cette variable.
Démonstration. — En effet, supposons qu’on ait développé par deux méthodes différentes la fonction $\varphi (x),$ et soient.
${\begin{array}{llllll}a_{0},&a_{1}x,&a_{2}x^{2},&\ldots ,&a_{n}x^{n},\ldots ,\\b_{0},&b_{1}x,&b_{2}x^{2},&\ldots ,&b_{n}x^{n},\ldots \end{array}}$
les deux développements, c’est-à-dire deux séries dont chacune, étant convergente pour des valeurs de $x$ différentes de zéro, ait pour somme, tant qu’elle demeure convergente, la fonction $\varphi (x).$ Ces deux séries étant constamment convergentes pour de très petites valeurs numériques de $x,$ on aura, pour de semblables valeurs,
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots =b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots .$
Comme, en faisant évanouir $x,$ on tire de l’équation précédente
$a_{0}=b_{0},$
il en résulte qu’on peut la réduire généralement à
$a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots =b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots$
ou, ce qui revient au même, à
$x(a_{1}+a_{2}x+\ldots )=x(b_{1}+b_{2}x+\ldots ).$
Si l’on multiplie par ${\frac {1}{x}}$ les deux membres de cette dernière équation, on obtiendra la suivante
$a_{1}+a_{2}x+\ldots =b_{1}+b_{2}x+\ldots ,$
qui devra encore subsister pour de très petites valeurs numériques de la variable $x,$ et de laquelle on conclura, en posant $x=0,$
$a_{1}=b_{1}.$
En continuant de même, on ferait voir que les constantes $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ sont respectivement égales aux constantes $b_{0},b_{1},b_{2},\ldots ,$ d’où il suit que les deux développements de la fonction $\varphi (x)$ sont identiques.
Le Calcul différentiel fournit des méthodes très expéditives pour développer les fonctions en séries. Nous exposerons plus tard ces méthodes, et nous nous bornerons pour l’instant à faire connaitre, avec le développement de la fonction $(1+x)^{\mu },$ dans laquelle $\mu$ désigne une quantité quelconque, deux autres développements que l’on ramène facilement au premier, savoir, ceux des fonctions
$\mathrm {A} ^{x}\quad {\text{et}}\quad \operatorname {L} (1+x),$
$\mathrm {A}$ désignant une constante positive, et $\mathrm {L}$ la caractéristique des logarithmes dans un système choisi à volonté. En conséquence, nous allons résoudre l’un après l’autre les trois problèmes qui suivent :
Problème I. — Développer, lorsque cela se peut, la fonction
$(1+x)^{\mu }$
en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x.$
Solution. — Si d’abord on suppose $\mu =m,$ $m$ désignant un nombre entier quelconque, on aura, par la formule de Newton,
$(1+x)^{m}=1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1)}{1.2}}x^{2}+\ldots .$
La série dont la somme constitue le second membre de cette formule est toujours composée d’un nombre fini de termes ; mais, si l’on y remplace le nombre entier $m$ par une quantité quelconque $\mu ,$ la nouvelle série que l’on obtiendra, savoir
| (5) | $1,\quad {\frac {\mu }{1}}x,\quad {\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}x^{2},\quad \ldots ,$ |
se trouvera composée en général d’un nombre indéfini de termes, et sera convergente seulement pour des valeurs numériques de $x$ inférieures à l’unité. Soit, dans cette hypothèse, $\varphi (\mu )$ la somme de la nouvelle série, en sorte qu’on ait
| (15) | $\varphi (\mu )=1+{\frac {\mu }{1}}x+{\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}x^{2}+\ldots \quad (x=-1,\quad x=+1).$ |
En vertu du théorème I (§ I), $\varphi (\mu )$ sera fonction continue de la variable $\mu$ entre des limites quelconques de cette variable, et l’on aura (voir le théorème III, corollaire IV)
| (16) | $\varphi (\mu )\varphi (\mu ')=\varphi (\mu +\mu ').$ |
Cette dernière équation étant entièrement semblable à l’équation (2) du Chapitre V (§ I) se résoudra de la même manière, et l’on en conclura
$\varphi (\mu )=[\varphi (1)]^{\mu }=(1+x)^{\mu }.$
La valeur de $\varphi (\mu )$ étant ainsi déterminée, si on la substitue dans la formule (15), on trouvera, pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre les limites $x=-1,$ $x=+1,$
| (20) | $(1+x)^{\mu }=1+{\frac {\mu }{1}}x+{\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}x^{2}+\ldots \quad (x=-1,\quad x=+1).$ |
Lorsque la valeur numérique de $x$ devient supérieure à l’unité, la série (5), n’étant plus convergente, cesse d’avoir une somme, en sorte que l’équation (20) ne subsiste plus. Dans la même hypothèse, il devient impossible, ainsi qu’on le prouvera plus tard à l’aide du Calcul infinitésimal, de développer la fonction $(1+x)^{\mu }$ en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x.$
Corollaire I. — Si dans l’équation (20) on remplace $\mu$ par ${\frac {1}{\alpha }}$ et $x$ par $\alpha x,$ $\alpha$ désignant une quantité infiniment petite, on aura, pour toutes les valeurs de $\alpha x$ renfermées entre les limites $-1,+1,$ ou, ce qui revient au même, pour toutes les valeurs de $x$ renfermées entre les limites $-{\frac {1}{\alpha }},+{\frac {1}{\alpha }},$
$(1+\alpha x)^{\frac {1}{\alpha }}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}(1-\alpha )+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}(1-\alpha )(1-2\alpha )+\ldots$
$\left(x=-{\frac {1}{\alpha }},\quad x=+{\frac {1}{\alpha }}\right).$
Cette dernière équation devant subsister, quelque petite que soit la valeur numérique de $\alpha ,$ si l’on désigne à l’ordinaire, par l’abréviation lim placée devant une expression qui renferme la variable $\alpha ,$ la limite vers laquelle converge cette expression, tandis que la valeur numérique de $\alpha$ décroît indéfiniment, on trouvera, en passant aux limites,
| (21) | $\lim(1+\alpha x)^{\frac {1}{\alpha }}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots \quad \left(x=-\infty ,\quad x=+\infty \right).$ |
Il reste à chercher la limite de $(1+\alpha x)^{\frac {1}{\alpha }}.$ Or, en premier lieu, on tirera de la formule précédente
$\lim(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+\ldots ,$
ou, en d’autres termes,
| (22) | $\lim(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}=e,$ |
$e$ désignant la base des logarithmes népériens [voir le § I, équat. (6)]. On en conclura immédiatement
$\lim(1+\alpha x)^{\frac {1}{\alpha x}}=e,$
et, par suite,
$\lim(1+\alpha x)^{\frac {1}{\alpha }}=\lim \left[(1+\alpha x)^{\frac {1}{\alpha x}}\right]^{x}=e^{x}.$
Si maintenant on remet la valeur de $\lim(1+\alpha x)^{\frac {1}{\alpha }}$ dans l’équation (21), on obtiendra la suivante :
| (23) | $e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots \quad \left(x=-\infty ,\quad x=+\infty \right).$ |
On pourrait arriver directement à l’équation (23) en observant que la série
| (6) | $1,\quad {\frac {x}{1}},\quad {\frac {x^{2}}{1.2}},\quad {\frac {x^{3}}{1.2.3}},\quad \ldots$ |
est convergente pour toutes les valeurs possibles de la variable $x,$ et cherchant la fonction de $x$ qui représente la somme de cette même série. En effet, soit $\varphi (x)$ la somme de la série (6) qui a pour terme général
${\frac {x^{n}}{1.2.3\ldots n}},$
$\varphi (y)$ sera la somme de la série qui a pour terme général
${\frac {y^{n}}{1.2.3\ldots n}}\,;$
et (en vertu du théorème VI, § III) le produit de ces deux sommes sera la somme d’une nouvelle série qui aura pour terme général
${\begin{aligned}{\frac {x^{n}}{1.2.3\ldots n}}&+{\frac {x^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {y}{1}}+\ldots \\&+{\frac {x}{1}}{\frac {y^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}+{\frac {y^{n}}{1.2.3\ldots n}}={\frac {(x+y)^{n}}{1.2.3\ldots n}}.\end{aligned}}$
Ce produit sera donc égal à $\varphi (x+y),$ et par suite, si l’on fait
$\varphi (x)=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots ,$
la fonction $\varphi (x)$ vérifiera l’équation
$\varphi (x)\varphi (y)=\varphi (x+y).$
En résolvant cette équation, on en tirera
$\varphi (x)=\left[\varphi (1)\right]^{x}=\left(1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+\ldots \right)^{x},$
c’est-à-dire
$\varphi (x)=e^{x}.$
Corollaire II. — Si, après avoir retranché l’unité de chaque membre de l’équation (20), on divise les deux membres par $\mu ,$ l’équation que l’on obtiendra pourra s’écrire ainsi qu’il suit :
${\frac {(1+x)^{\mu }-1}{\mu }}=x-{\frac {x^{2}}{2}}(1-\mu )+{\frac {x^{3}}{3}}(1-\mu )\left(1-{\frac {1}{2}}\mu \right)-\ldots$
$(x=-1,\quad x=+1)\,;$
$\mu$
| (24) | $\lim {\frac {(1+x)^{\mu }-1}{\mu }}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\ldots .$ |
De plus, comme en désignant par $\mathrm {l}$ la caractéristique des logarithmes népériens pris dans le système dont la base est $e,$ on a évidemment
$1+x=e^{\operatorname {l} (1+x)},$
$(1+x)^{\mu }=e^{\mu \operatorname {l} (1+x)}=1+{\frac {\mu \operatorname {l} (1+x)}{1}}+{\frac {\mu ^{2}\left[\operatorname {l} (1+x)\right]^{2}}{1.2}}+\ldots ,$
on en conclura
${\frac {(1+x)^{\mu }-1}{\mu }}=\operatorname {l} (1+x)+{\frac {\mu }{2}}[\operatorname {l} (1+x)]^{2}+\ldots$
et, par suite,
| (25) | $\lim {\frac {(1+x)^{\mu }-1}{\mu }}=\operatorname {l} (1+x).$ |
Cela posé, la formule (24) deviendra
| (26) | $\operatorname {l} (1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\ldots \quad (x=-1,\ x=+1).$ |
L’équation précédente subsiste tant que la valeur numérique de $x$ reste inférieure à l’unité ; et, dans ce cas, la série
| (27) | $x,\quad -{\frac {x^{2}}{2}},\quad {\frac {x^{3}}{3}},\quad \ldots ,\quad \pm {\frac {x^{n}}{n}},\quad \ldots$ |
est convergente, aussi bien que la série (4), qui en diffère seulement par les signes des termes de rang impair. Les mêmes séries devenant divergentes, dès qu’on suppose la valeur numérique de $x$ supérieure à l’unité, l’équation (26) cesse d’avoir lieu dans cette hypothèse.
Dans le cas particulier où l’on prend $x=1,$ la série (27) se réduit à la série (3) du troisième paragraphe, laquelle est convergente, comme on l’a fait voir. L’équation (26) doit donc alors subsister, en sorte qu’on a
| (28) | $\operatorname {l} (2)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots .$ |
Si l’on prenait au contraire $x=-1,$ la série (27) deviendrait divergente et n’aurait plus de somme.
On peut remarquer encore que, si après avoir écrit $-x$ au lieu de $x$ dans la formule (26), on change à la fois les signes des deux membres, on obtiendra la suivante
| (29) | $\operatorname {l} \left({\frac {1}{1-x}}\right)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\ldots \quad (x=-1,\ x=+1).$ |
Problème II. — Développer la fonction
$\mathrm {A} ^{x},$
dans laquelle $\mathrm {A}$ désigne un nombre quelconque, en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x.$
Solution. — Désignons toujours par la caractéristique $\operatorname {l}$ les logarithmes népériens pris dans le système dont la base est $e.$ On aura, d’après la définition même des logarithmes,
$\mathrm {A} =e^{\operatorname {l} (\mathrm {A} )},$
et l’on en conclura
| (30) | $\mathrm {A} ^{x}=e^{x\operatorname {l} (\mathrm {A} )}.$ |
Par suite, en ayant égard à l’équation (23), on trouvera
| (31) | $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} ^{x}=1+&{\frac {x\operatorname {l} (\mathrm {A} )}{1}}+{\frac {x^{2}[\operatorname {l} (\mathrm {A} )]^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}[\operatorname {l} (\mathrm {A} )]^{3}}{1.2.3}}+\ldots \\&\qquad (x=-\infty ,\ x=+\infty ).\end{aligned}}\right.$ |
Cette dernière formule subsiste pour toutes les valeurs réelles possibles de la variable $x.$
Probleme III. — La caractéristique $\operatorname {L}$ désignant les logarithmes pris dans le système dont la base est $\mathrm {A} ,$ développer, lorsque cela se peut, la fonction
$\operatorname {L} (1+x)$
en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x.$
Solution. — Désignons toujours par $\operatorname {l}$ la caractéristique des logarithmes népériens. On aura, en vertu des propriétés connues des logarithmes,
$\operatorname {L} (1+x)={\frac {\operatorname {L} (1+x)}{\operatorname {L} (\mathrm {A} )}}={\frac {\operatorname {l} (1+x)}{\operatorname {l} (\mathrm {A} )}},$
et par suite, en ayant égard à l’équation (26), on trouvera, pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre les limites $-1,+1,$
| (32) | $\operatorname {L} (1+x)={\frac {1}{\operatorname {l} (\mathrm {A} )}}\left(x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\ldots \right)\qquad (x=-1,\ x=+1).$ |
Cette dernière formule subsiste dans le cas même où l’on prend $x=1\,;$ mais elle cesse d’avoir lieu lorsqu’on suppose $x=-1$ ou $x^{2}>1.$
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