# Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Introduction
### INTRODUCTION.

Quelques personnes, qui ont bien voulu guider mes premiers pas dans la carrière des sciences, et parmi lesquelles je citerai avec reconnaissance MM. Laplace et Poisson, ayant témoigné le désir de me voir publier le Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, je me suis décidé à mettre ce Cours par écrit pour la plus grande utilité des élèves. J’en offre ici la première partie connue sous le nom d’Analyse algébrique, et dans laquelle je traite successivement des diverses espèces de fonctions réelles ou imaginaires, des séries convergentes ou divergentes, de la résolution des équations, et de la décomposition des fractions rationnelles. En parlant de la continuité des fonctions, je n’ai pu me dispenser de faire connaître les propriétés principales des quantités infiniment petites, propriétés qui servent de base au calcul infinitésimal. Enfin, dans les préliminaires et dans quelques notes placées à la fin du volume, j’ai présenté des développemens qui peuvent être utiles soit aux Professeurs et aux Élèves des Collèges royaux, soit à ceux qui veulent faire une étude spéciale de l’analyse.
Quant aux méthodes, j’ai cherché à leur donner toute la rigueur qu’on exige en géométrie, de manière à ne jamais recourir aux raisons tirées de la généralité de l’algèbre. Les raisons de cette espèce, quoique assez communément admises, sur-tout dans le passage des séries convergentes aux séries divergentes, et des quantités réelles aux expressions imaginaires, ne peuvent être considérées, ce me semble, que comme des inductions propres à faire pressentir quelquefois la vérité, mais qui s’accordent peu avec l’exactitude si vantée des sciences mathématiques. On doit même observer qu’elles tendent à faire attribuer aux formules algébriques une étendue indéfinie, tandis que, dans la réalité, la plupart de ces formules subsistent uniquement sous certaines conditions, et pour certaines valeurs des quantités qu’elles renferment. En déterminant ces conditions et ces valeurs, et en fixant d’une manière précise le sens des notations dont je me sers, je fais disparaître toute incertitude ; et alors les différentes formules ne présentent plus que des relations entre les quantités réelles, relations qu’il est toujours facile de vérifier par la substitution des nombres aux quantités elles-mêmes. Il est vrai que, pour rester constamment fidèle à ces principes, je me suis vu forcé d’admettre plusieurs propositions qui paraîtront peut-être un peu dures au premier abord. Par exemple, j’énonce dans le chapitre VI, qu’une série divergente n’a pas de somme ; dans le chapitre VII, qu’une équation imaginaire est seulement la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles ; dans le chapitre IX, que, si des constantes ou des variables comprises dans une fonction, après avoir été supposées réelles, deviennent imaginaires, la notation à l’aide de laquelle la fonction se trouvait exprimée, ne peut être conservée dans le calcul qu’en vertu d’une convention nouvelle propre à fixer le sens de cette notation dans la dernière hypothèse ; &c. Mais ceux qui liront mon ouvrage reconnaîtront, je l’espère, que les propositions de cette nature, entraînant l’heureuse nécessité de mettre plus de précision dans les théories, et d’apporter des restrictions utiles à des assertions trop étendues, tournent au profit de l’analyse, et fournissent plusieurs sujets de recherches qui ne sont pas sans importance. Ainsi, avant d’effectuer la sommation d’aucune série, j’ai dû examiner dans quels cas les séries peuvent être sommées, ou, en d’autres termes, quelles sont les conditions de leur convergence ; et j’ai, à ce sujet, établi des règles générales qui me paraissent mériter quelque attention.
Au reste, si j’ai cherché, d’une part, à perfectionner l’analyse mathématique, de l’autre, je suis loin de prétendre que cette analyse doive suffire à toutes les sciences de raisonnement. Sans doute, dans les sciences qu'on nomme naturelles, la seule méthode qu’on puisse employer avec succès consiste à observer les faits et à soumettre ensuite les observations au calcul. Mais ce serait une erreur grave de penser qu’on ne trouve la certitude que dans les démonstrations géométriques, ou dans le témoignage des sens ; et quoique personne jusqu’à ce jour n’ait essayé de prouver par l’analyse l’existence d’Auguste ou celle de Louis XIV, tout homme sensé conviendra que cette existence est aussi certaine pour lui que le carré de l’hypoténuse ou le théorème de Maclaurin. Je dirai plus ; la démonstration de ce dernier théorème est à la portée d’un petit nombre d’esprits, et les savans eux-mêmes ne sont pas tous d’accord sur l’étendue qu’on doit lui attribuer ; tandis que tout le monde sait fort bien par qui la France a été gouvernée dans le dix-septième siècle, et qu’il ne peut s’élever à ce sujet aucune contestation raisonnable. Ce que je dis ici d’un fait historique peut s’appliquer également à une foule de questions, en religion, en morale, en politique. Soyons donc persuadés qu’il existe des vérités autres que les vérités de l’algèbre, des réalités autres que les objets sensibles. Cultivons avec ardeur les sciences mathématiques, sans vouloir les étendre au-delà de leur domaine ; et n’allons pas nous imaginer qu’on puisse attaquer l’histoire avec des formules, ni donner pour sanction à la morale des théorèmes d’algèbre ou de calcul intégral.
En terminant cette Introduction, je ne puis me dispenser de reconnaître que les lumières et les conseils de plusieurs personnes m’ont été fort utiles, particulièrement ceux de MM. Poisson, Ampère et Coriolis. Je dois à ce dernier, entre autres choses, la régie sur la convergence des produits composés d’un nombre infini de facteurs, et j’ai profité plusieurs fois des observations de M. Ampère, ainsi que des méthodes qu’il développe dans ses Leçons d’analyse.