# Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Chapitre X
### CHAPITRE X.

Considérons une équation algébrique dont le premier membre soit une fonction rationnelle et entière de la variable $x.$ Si $n$ représente le degré de cette équation, elle pourra se mettre sous la forme
| (1) | $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0,$ |
$a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}$ étant des coefficients constants réels ou imaginaires. On appelle racine de cette même équation toute expression réelle ou imaginaire qui, substituée à la place de l’inconnue $x,$ rend le premier membre égal à zéro. Supposons d’abord, pour fixer les idées, que les constantes $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ se réduisent à des quantités réelles. Alors, si deux valeurs réelles de $x$ substituées dans le premier membre de l’équation (1) fournissent deux résultats entre lesquels zéro se trouve compris, c’est-à-dire deux résultats de signes contraires, on conclura du Chapitre II (§ II, théorème IV) que l’équation (1) admet une ou plusieurs racines réelles comprises entre ces valeurs. Il en résulte que toute équation de degré impair aura au moins une racine réelle. En effet, si $n$ est un nombre impair, le premier membre de l’équation (1) changera de signe, avec son premier terme $a_{0}x^{n},$ toutes les fois qu’en attribuant à la variable $x$ des valeurs numériques très considérables on fera passer cette variable du positif au négatif (voir le théorème VIII du Chapitre II, § I).
Lorsque $n$ devient un nombre pair, la quantité $x^{n}$ demeurant positive tant que la variable $x$ est réelle, le premier membre de l’équation (1) finit par être, pour de très grandes valeurs numériques de $x,$ constamment de même signe que $a_{0}.$ Si, dans la même hypothèse, $a_{n}$ et $a_{0}$ sont de signes contraires, le premier membre changera évidemment de signe, lorsqu’on passera d’une très grande valeur numérique de $x$ à une très petite, en laissant la variable toujours positive ou toujours négative. L’équation (1) aura donc alors deux racines réelles : l’une positive et l’autre négative.
Lorsque, $n$ étant un nombre pair, $a_{0}$ et $a_{n}$ sont de même signe, il peut arriver que le premier membre de l’équation (1) reste, pour toutes les valeurs réelles de $x,$ de même signe que $a_{0},$ sans jamais s’évanouir. C’est ce qui a lieu, par exemple, pour chacune des équations binômes
$x^{2}+1=0,\qquad x^{4}+1=0,\qquad x^{6}+1=0,\qquad \ldots .$
Dans un cas semblable, l’équation (1) n’aura plus de racines réelles ; mais on y satisfera en prenant pour $x$ une expression imaginaire
$u+v{\sqrt {-1}},$
$u,v$ désignant deux quantités réelles et finies. Cette proposition et celles que nous venons d’établir se trouvent renfermées dans le théorème suivant :
Théorème I. — Quelles que soient les valeurs réelles ou les valeurs imaginaires des constantes $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1},a_{n},$ l’équation
| (1) | $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0,$ |
dans laquelle $n$ désigne un nombre entier égal ou supérieur à l’unité, a toujours des racines réelles ou imaginaires.
Démonstration. — Désignons, pour abréger, par $f(x)$ le premier membre de l’équation (1): $f(x)$ sera une fonction réelle ou imaginaire, mais toujours entière, de la variable $x\,;$ et, puisque toute expression réelle $u$ se trouve comprise comme cas particulier dans une expression imaginaire $u+v{\sqrt {-1}},$ il suffira, pour établir le théorème énoncé, de démontrer généralement qu’on peut satisfaire à l’équation
| (1) | $f(x)=0,$ |
en prenant
$x=u+v{\sqrt {-1}},$
puis attribuant aux nouvelles variables $u$ et $v$ des valeurs réelles. Or, si l’on substitue la valeur précédente de $x$ dans la fonction $f(x),$ le résultat sera de la forme
$\varphi (u,v)+{\sqrt {-1}}\chi (u,v),$
$\varphi (u,v),\chi (u,v)$ désignant deux fonctions réelles et entières des variables $u$ et $v.$ Cela posé, l’équation (1) deviendra
$\varphi (u,v)+{\sqrt {-1}}\chi (u,v)=0\,;$
et, pour y satisfaire, il suffira de vérifier les deux équations réelles
| (2) | $\left\{{\begin{aligned}\varphi (u,v)=&0,\\\chi (u,v)=&0\end{aligned}}\right.$ |
ou, ce qui revient au même, l’équation unique
| (3) | $\left[\varphi (u,v)\right]^{2}+\left[\chi (u,v)\right]^{2}=0.$ |
Donc, si l’on pose, pour plus de commodité,
| (4) | $\operatorname {F} (u,v)=\left[\varphi (u,v)\right]^{2}+\left[\chi (u,v)\right]^{2},$ |
il restera seulement à montrer que l’on peut obtenir des valeurs réelles de $u$ et de $v$ propres à faire évanouir la fonction
$\operatorname {F} (u,v).$
On y parviendra sans peine à l’aide des considérations suivantes.
D’abord, pour déterminer la valeur générale de la fonction $\operatorname {F} (u,v),$ on représentera chacune des constantes réelles ou imaginaires $a_{0},a_{1},\ldots ,$ $a_{n-1},a_{n},$ ainsi que la variable imaginaire $u+v{\sqrt {-1}},$ par le produit d’un module et d’une expression réduite ; et l’on écrira, en conséquence,
| (5) | $\left\{{\begin{aligned}a_{0}\quad =&\rho _{0}\quad \left(\cos \theta _{0}\quad +{\sqrt {-1}}\sin \theta _{0}\quad \right),\\a_{1}\quad =&\rho _{1}\quad \left(\cos \theta _{1}\quad +{\sqrt {-1}}\sin \theta _{1}\quad \right),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\a_{n-1}=&\rho _{n-1}\left(\cos \theta _{n-1}+{\sqrt {-1}}\sin \theta _{n-1}\right),\\a_{n}\quad =&\rho _{n}\quad \left(\cos \theta _{n}\quad +{\sqrt {-1}}\sin \theta _{n}\quad \right),\end{aligned}}\right.$ |
| (6) | $u+v{\sqrt {-1}}=r\left(\cos t+{\sqrt {-1}}\sin t\right).$ |
On aura, par suite,
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}f&(u+v{\sqrt {-1}})\\\quad =&\quad \rho _{0}r^{n}\left[\cos(nt+\theta _{0})+{\sqrt {-1}}\sin(nt+\theta _{0})\right]\\&+\rho _{1}r^{n-1}\left[\cos({\overline {n-1}}.t+\theta _{1})+{\sqrt {-1}}\sin({\overline {n-1}}.t+\theta _{1})\right]+\ldots \\&+\rho _{n-1}r\left[\cos(t+\theta _{n-1})+{\sqrt {-1}}\sin(t+\theta _{n-1})\right]\\&+\rho _{n}\left(\cos \theta _{n}+{\sqrt {-1}}\sin \theta _{n}\right)\,;\end{aligned}}\right.$ |
et l’on en déduira
| (8) | $\left\{{\begin{aligned}\varphi (u,v)=&\rho _{0}r^{n}\cos(nt+\theta _{0})+\rho _{1}r^{n-1}\cos({\overline {n-1}}.t+\theta _{1})+\ldots \\&\ldots +\rho _{n-1}r\cos(t+\theta _{n-1})+\rho _{n}\cos \theta _{n},\\\\\chi (u,v)=&\rho _{0}r^{n}\sin(nt+\theta _{0})+\rho _{1}r^{n-1}\sin({\overline {n-1}}.t+\theta _{1})+\ldots \\&\ldots +\rho _{n-1}r\sin(t+\theta _{n-1})+\rho _{n}\sin \theta _{n},\end{aligned}}\right.$ |
| (9) | $\left\{{\begin{aligned}\operatorname {F} (u,v)=&\quad \left[\rho _{0}r^{n}\cos(nt+\theta _{0})+\rho _{1}r^{n-1}\cos({\overline {n-1}}.t+\theta _{1})+\ldots \right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \left.\ldots +\rho _{n-1}r\cos(t+\theta _{n-1})+\rho _{n}\cos \theta _{n}\right]^{2}\\&+\left[\rho _{0}r^{n}\sin(nt+\theta _{0})+\rho _{1}r^{n-1}\sin({\overline {n-1}}.t+\theta _{1})+\ldots \right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \left.\ldots +\rho _{n-1}r\sin(t+\theta _{n-1})+\rho _{n}\sin \theta _{n}\right]^{2}\\\\=&r^{2n}\left[\rho _{0}^{2}+{\frac {2\rho _{0}\rho _{1}\cos(t+\theta _{0}-\theta _{1})}{r}}\right.\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {\rho _{1}^{2}+2\rho _{0}\rho _{2}\cos(2t+\theta _{0}-\theta _{2})}{r^{2}}}+\ldots \right].\end{aligned}}\right.$ |
Il résulte de cette dernière formule que la fonction $\operatorname {F} (u,v),$ toujours évidemment positive, est le produit de deux facteurs, dont l’un, savoir
$r^{2n}=\left(u^{2}+v^{2}\right)^{n},$
croîtra indéfiniment si l’on attribue aux variables $u,v,$ ou à l’une d’elles seulement, des valeurs numériques de plus en plus grandes, tandis que l’autre facteur convergera dans la même hypothèse vers la limite $\rho _{0}^{2},$ c’est-à-dire vers une limite finie différente de zéro. On en conclura que la fonction $\operatorname {F} (u,v)$ ne peut conserver une valeur finie qu’autant que les deux quantités $u,v$ reçoivent elles-mêmes des valeurs de cette espèce, et devient infiniment grande dès que l’une des deux quantités croît indéfiniment. De plus, comme l’équation (4) donne pour $\operatorname {F} (u,v)$ une fonction entière, et par conséquent une fonction continue des variables $u$ et $v,$ il est clair que $\operatorname {F} (u,v),$ variant avec elles par degrés insensibles, et ne pouvant s’abaisser au-dessous de zéro, atteindra une ou plusieurs fois une certaine limite inférieure qu’elle ne dépassera jamais. Représentons par $\mathrm {A}$ cette limite, et par $u_{0},v_{0}$ un des systèmes de valeurs finies de $u$ et de $v,$ pour lesquels $\operatorname {F} (u,v)$ se réduit à $\mathrm {A} ,$ en sorte qu’on ait identiquement
| (10) | $\operatorname {F} (u_{0},v_{0})=\mathrm {A} .$ |
La différence $\operatorname {F} (u,v)-\operatorname {F} (u_{0},v_{0})$ ne s’abaissera jamais au-dessous de zéro ; par conséquent, si l’on fait
| (11) | $u=u_{0}+\alpha h,\qquad v=v_{0}+\alpha k,$ |
$\alpha$ désignant une quantité infiniment petite, et $h,k$ deux quantités finies, l’expression
$\operatorname {F} (u_{0}+\alpha h,v_{0}+\alpha k)-\operatorname {F} (u_{0},v_{0})$
ne sera jamais négative. En partant de ce principe, il sera facile de déterminer la valeur de la constante $\mathrm {A} ,$ ainsi qu’on va le faire voir.
Si dans l’expression imaginaire $f\left(u+v{\sqrt {-1}}\right)$ on substitue pour $u$ et $v$ leurs valeurs données par les formules (11), cette expression, devenant alors une fonction imaginaire et entière du produit
$\alpha \left(h+k{\sqrt {-1}}\right),$
pourra être développée suivant les puissances entières et ascendantes de ce même produit. En désignant par
${\begin{aligned}&\mathrm {R} \ \ \left(\cos \mathrm {T} \ \ +{\sqrt {-1}}\sin \mathrm {T} \ \ \right),\\&\mathrm {R} _{1}\left(\cos \mathrm {T} _{1}+{\sqrt {-1}}\sin \mathrm {T} _{1}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {R} _{n}\left(\cos \mathrm {T} _{n}+{\sqrt {-1}}\sin \mathrm {T} _{n}\right)\end{aligned}}$
les coefficients imaginaires de ces puissances dont quelques-uns peuvent se réduire à zéro, et faisant, pour plus de commodité,
| (12) | $h+k{\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),$ |
on obtiendra l’équation
| (13) | $\left\{{\begin{aligned}&f\left[u_{0}+v_{0}{\sqrt {-1}}+\alpha \left(h+k{\sqrt {-1}}\right)\right]\\&\quad =\mathrm {R} \left(cos\mathrm {T} +{\sqrt {-1}}\sin \mathrm {T} \right)\\&\qquad \quad +\alpha \mathrm {R} _{1}\rho \left[\cos(\mathrm {T} _{1}+\theta )+{\sqrt {-1}}\sin(\mathrm {T} _{1}+\theta )\right]+\ldots \\&\qquad \quad \ldots +\alpha ^{n}\mathrm {R} _{n}\rho ^{n}\left[\cos(\mathrm {T} _{n}+n\theta )+{\sqrt {-1}}\sin(\mathrm {T} _{n}+n\theta )\right],\end{aligned}}\right.$ |
dans laquelle les termes du second membre, et par conséquent les modules
$\mathrm {R,\quad R_{1},\quad \ldots ,\quad R} _{n},$
ne sauraient s’évanouir tous en même temps. Comme on aura d’ailleurs
| (14) | $\left\{{\begin{aligned}f&\left[u_{0}+\alpha h+(v_{0}+\alpha k){\sqrt {-1}}\right]\\&=\varphi (u_{0}+\alpha h,v_{0}+\alpha k)+{\sqrt {-1}}\chi (u_{0}+\alpha h,v_{0}+\alpha k),\end{aligned}}\right.$ |
on conclura de l’équation (13)
| (15) | $\left\{{\begin{aligned}\varphi &(u_{0}+\alpha h,v_{0}+\alpha k)\\&=\mathrm {R} \cos \mathrm {T} +\alpha \mathrm {R} _{1}\rho \cos(\mathrm {T} _{1}+\theta )+\ldots +\alpha ^{n}\mathrm {R} _{n}\rho ^{n}\cos(\mathrm {T} _{n}+n\theta ),\\\\\chi &(u_{0}+\alpha h,v_{0}+\alpha k)\\&=\mathrm {R} \sin \mathrm {T} +\alpha \mathrm {R} _{1}\rho \sin(\mathrm {T} _{1}+\theta )+\ldots +\alpha ^{n}\mathrm {R} _{n}\rho ^{n}\sin(\mathrm {T} _{n}+n\theta ),\end{aligned}}\right.$ |
| (16) | $\left\{{\begin{aligned}\operatorname {F} &(u_{0}+\alpha h,v_{0}+\alpha k)\\&=\quad \left[\mathrm {R} \cos \mathrm {T} +\alpha \mathrm {R} _{1}\rho \cos(\mathrm {T} _{1}+\theta )+\ldots +\alpha ^{n}\mathrm {R} _{n}\rho ^{n}\cos(\mathrm {T} _{n}+n\theta )\right]^{2}\\&\quad +\left[\mathrm {R} \sin \mathrm {T} +\alpha \mathrm {R} _{1}\rho \sin(\mathrm {T} _{1}+\theta )+\ldots +\alpha ^{n}\mathrm {R} _{n}\rho ^{n}\sin(\mathrm {T} _{n}+n\theta )\right]^{2}.\end{aligned}}\right.$ |
Si dans cette dernière formule on pose $\alpha =0,$ on en tirera
$\operatorname {F} (u_{0},v_{0})=\mathrm {R} ^{2}.$
Donc $\mathrm {R^{2}=A} ,$ $\mathrm {R=A} ^{\frac {1}{2}}.$ Si maintenant on développe le second membre de l’équation (16) suivant les puissances descendantes de $\mathrm {R} ,$ et que l’on y remplace ensuite $\mathrm {R}$ par $\mathrm {A} ^{\frac {1}{2}},$ cette équation deviendra
| (17) | $\left\{{\begin{aligned}\operatorname {F} &(u_{0}+\alpha h,v_{0}+\alpha k)\\&=\mathrm {A} +2\mathrm {A} ^{\frac {1}{2}}\alpha \rho \left[\mathrm {R} _{1}\cos(\mathrm {T} _{1}-\mathrm {T} +\theta )+\ldots +\alpha ^{n-1}\rho ^{n-1}\mathrm {R} _{n}\cos(\mathrm {T} _{n}-\mathrm {T} +n\theta )\right]\\&\quad \qquad +\alpha ^{2}\rho ^{2}\left\{\;\;\left[\mathrm {R} _{1}\cos(\mathrm {T} _{1}+\theta )+\ldots +\alpha ^{n-1}\rho ^{n-1}\mathrm {R} _{n}\cos \mathrm {T} _{n}+n\theta )\right]^{2}\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \left.+\left[\mathrm {R} _{1}\cos(\mathrm {T} _{1}+\theta )+\ldots +\alpha ^{n-1}\rho ^{n-1}\mathrm {R} _{n}\cos \mathrm {T} _{n}+n\theta )\right]^{2}\right\}\,;\end{aligned}}\right.$ |
et, si l’on fait passer dans le premier membre la quantité $\mathrm {A} =\operatorname {F} (u_{0},v_{0}),$ on trouvera définitivement
| (18) | $\left\{{\begin{aligned}\operatorname {F} &(u_{0}+\alpha h,v_{0}+\alpha k)-\operatorname {F} (u_{0},v_{0})\\&=2\mathrm {A} ^{\frac {1}{2}}\alpha \rho \left[\mathrm {R} _{1}\cos(\mathrm {T} _{1}-\mathrm {T} +\theta )+\ldots +\alpha ^{n-1}\rho ^{n-1}\mathrm {R} _{n}\cos(\mathrm {T} _{n}-\mathrm {T} +n\theta )\right]\\&\quad \qquad +\alpha ^{2}\rho ^{2}\left\{\;\;\left[\mathrm {R} _{1}\cos(\mathrm {T} _{1}+\theta )+\ldots +\alpha ^{n-1}\rho ^{n-1}\mathrm {R} _{n}\cos \mathrm {T} _{n}+n\theta )\right]^{2}\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \left.+\left[\mathrm {R} _{1}\cos(\mathrm {T} _{1}+\theta )+\ldots +\alpha ^{n-1}\rho ^{n-1}\mathrm {R} _{n}\cos \mathrm {T} _{n}+n\theta )\right]^{2}\right\}.\end{aligned}}\right.$ |
Cela posé, puisque la différence
$\operatorname {F} (u_{0}+\alpha h,v_{0}+\alpha k)-\operatorname {F} (u_{0},v_{0})$
ne doit jamais s’abaisser au-dessous de la limite zéro, il faudra de toute nécessité que, pour de très petites valeurs numériques de $\alpha ,$ le second membre de l’équation précédente, et par suite le premier terme de ce second membre, c’est-à-dire le terme qui renferme la plus petite puissance de $\alpha ,$ ne puisse devenir négatif. Or, en désignant par $\mathrm {R} _{m}$ la première des quantités
$\mathrm {R} _{1},\quad \mathrm {R} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {R} _{n}$
$2\mathrm {A} ^{\frac {1}{2}}\alpha ^{m}\rho ^{m}\mathrm {R} _{m}\cos(\mathrm {T} _{m}-\mathrm {T} +m\theta ),$
si $\mathrm {A}$ n’est pas nul, et
$\alpha ^{2mp}\rho ^{2m}\mathrm {R} _{m}^{2}$
dans l’hypothèse contraire. De plus, comme, la valeur de l’arc étant tout à fait indéterminée, on peut en disposer de manière à donner au facteur
$\cos(\mathrm {T} _{m}-\mathrm {T} +m\theta ),$
et par conséquent au produit
$2\mathrm {A} ^{\frac {1}{2}}\alpha ^{m}\rho ^{m}\mathrm {R} _{m}\cos(\mathrm {T} _{m}-\mathrm {T} +m\theta ),$
tel signe que l’on voudra, il est clair que la seconde hypothèse reste seule admissible. On aura donc nécessairement
| (19) | $\mathrm {A} =0,$ |
ce qui réduira l’équation (10) à
| (20) | $\operatorname {F} (u_{0},v_{0})=0.$ |
Il en résulte que la fonction $\operatorname {F} (u,v)$ s’évanouira si l’on attribue aux variables $u,v$ les valeurs réelles $u_{0},v_{0}\,;$ et, par suite, que l’on vérifiera l’équation
| (1) | $f(x)=0$ |
en prenant
$x=u_{0}+v_{0}{\sqrt {-1}}.$
En d’autres termes, $u_{0}+v_{0}{\sqrt {-1}}$ sera une racine de l’équation
| (1) | $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0.$ |
La démonstration précédente du théorème I, quoique différente en plusieurs points de celle qu’en a donnée M. Legendre (Théorie des Nombres, Ire Partie, § XIV), est fondée sur les mêmes principes.
Corollaire. — Le polynôme
$f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n},$
s’évanouissant, ainsi qu’on vient de le dire, pour
$x=u_{0}+v_{0}{\sqrt {-1}},$
sera, en vertu du théorème I (Chapitre VIII, § IV), algébriquement divisible par le facteur
$x-u_{0}-v_{0}{\sqrt {-1}}.$
Le quotient, ne pouvant être qu’un nouveau polynome du degré $n-1$ par rapport à $x,$ sera encore nécessairement divisible par un nouveau facteur de même forme que le précédent, c’est-à-dire du premier degré par rapport à $x.$ Désignons par
$x-u_{1}-v_{1}{\sqrt {-1}}$
ce nouveau facteur. Le polynôme $f(x)$ sera équivalent au produit des deux facteurs
$x-u_{0}-v_{0}{\sqrt {-1}},\qquad x-u_{1}-v_{1}{\sqrt {-1}}$
par un troisième polynome du degré $n-2.$ On prouvera que ce troisième polynôme est divisible par un troisième facteur semblable aux deux autres ; et, en continuant à opérer de la même manière, on finira par obtenir $n$ facteurs linéaires du polynôme $f(x).$ Soient respectivement
$x-u_{0}-v_{0}{\sqrt {-1}},\quad x-u_{1}-v_{1}{\sqrt {-1}},\quad x-u_{n-1}-v_{n-1}{\sqrt {-1}}$
ces mêmes facteurs. n divisant le polynôme $f(x)$ par leur produit, on trouvera pour quotient une constante évidemment égale au coefficient $a_{0}$ de la plus haute puissance de $x$ dans $f(x).$ On aura, en conséquence,
| (21) | $f(x)=a_{0}\left(x-u_{0}-v_{0}{\sqrt {-1}}\right)\left(x-u_{1}-v_{1}{\sqrt {-1}}\right)\ldots \left(x-u_{n-1}-v_{n-1}{\sqrt {-1}}\right).$ |
Cette dernière équation renferme un théorème que l’on peut énoncer ainsi qu’il suit :
Théorème II. — Quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires des constantes $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1},a_{n},$ le polynôme
$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=f(x)$
sera équivalent au produit de la constante $a_{0}$ par $n$ facteurs linéaires de la forme
$x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}.$
Déterminer les facteurs dont il est ici question, c’est ce qu’on appelle décomposer le polynôme $f(x)$ en ses facteurs linéaires. Il n’y a qu’une seule manière d’effectuer cette décomposition. Pour le démontrer, supposons que deux méthodes différentes aient fourni les deux équations
| (22) | $\left\{{\begin{aligned}f(x)=&a_{0}\left(x-u_{0}-v_{0}{\sqrt {-1}}\right)\left(x-u_{1}-v_{1}{\sqrt {-1}}\right)\ldots \left(x-u_{n-1}-v_{n-1}{\sqrt {-1}}\right),\\f(x)=&a_{0}\left(x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}\right)\left(x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\ldots \left(x-\alpha _{n-1}-\beta _{n-1}{\sqrt {-1}}\right).\end{aligned}}\right.$ |
On en tirera
| (23) | $\left\{{\begin{aligned}&\left(x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}\right)\left(x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\ldots \left(x-\alpha _{n-1}-\beta _{n-1}{\sqrt {-1}}\right)\\=&\left(x-u_{0}-v_{0}{\sqrt {-1}}\right)\left(x-u_{1}-v_{1}{\sqrt {-1}}\right)\ldots \left(x-u_{n-1}-v_{n-1}{\sqrt {-1}}\right).\end{aligned}}\right.$ |
Le dernier membre de la formule précédente s’évanouissant lorsqu’on attribue à la variable $x$ la valeur particulière $u_{0}+v_{0}{\sqrt {-1}},$ il faudra de toute nécessité que, pour cette même valeur de $x,$ le premier membre, et par conséquent l’un de ses facteurs (voir le Chapitre VII, § II, théorème VII, corollaire II), se réduise à zéro. Soit
$x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}$
le facteur dont il s’agit. On aura identiquement
$\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}}=u_{0}+v_{0}{\sqrt {-1}}$
et, par suite,
$x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}=x-u_{0}-v_{0}{\sqrt {-1}}.$
${\begin{aligned}&\left(x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\ldots \left(x-\alpha _{n-1}-\beta _{n-1}{\sqrt {-1}}\right)\\=&\left(x-u_{1}-v_{1}{\sqrt {-1}}\right)\ldots \left(x-u_{n-1}-v_{n-1}{\sqrt {-1}}\right).\end{aligned}}$
Le second membre de celle-ci s’évanouissant lorsqu’on suppose
$x=u_{1}+v_{1}{\sqrt {-1}},$
l’un des facteurs du premier membre, par exemple,
$x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}},$
devra s’évanouir dans la même hypothèse, ce qui entraînera deux nouvelles équations identiques de la forme
${\begin{aligned}\alpha _{1}+\beta _{1}{\sqrt {-1}}=&u_{1}+v_{1}{\sqrt {-1}},\\x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}=&x-u_{1}-v_{1}{\sqrt {-1}}.\end{aligned}}$
En répétant plusieurs fois le même raisonnement, on prouvera que les différents facteurs linéaires dont se composent les seconds membres des équations (22) sont absolument les mêmes dans l’une et l’autre équation. Il est essentiel d’ajouter que chaque facteur imaginaire de la forme
$x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}$
se change en un facteur réel $x-\alpha ,$ toutes les fois que la quantité $\beta$ se réduit à zéro.
Le premier membre de l’équation (1), étant, d’après ce qu’on vient de dire, décomposable d’une seule manière en facteurs linéaires, ne peut s’évanouir qu’avec l’un de ces facteurs. Si donc on les égale successivement à zéro, on obtiendra toutes les valeurs possibles de $x$ propres à vérifier l’équation (1), c’est-à-dire toutes les racines de cette équation. Le nombre de ces racines, comme celui des facteurs linéaires, sera égal à $n.$ De plus, à chaque facteur réel de la forme $x-\alpha$ correspondra une racine réelle $\alpha ,$ et à chaque facteur imaginaire de la forme
$x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}$
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}}.$
Ces remarques suffisent pour établir la proposition suivante :
Théorème III. — Quelles que soient les valeurs réelles ou les valeurs imaginaires des constantes $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1},a_{n},$ l’équation
| (1) | $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0$ |
a toujours $n$ racines réelles ou imaginaires, et n’en saurait avoir un plus grand nombre.
Il peut arriver que plusieurs des racines de l’équation (1) soient égales entre elles. Dans ce cas, le nombre des valeurs différentes de la variable propres à vérifier cette même équation devient nécessairement inférieur à $n.$ Ainsi, par exemple, l’équation du second degré
$x^{2}-2ax+a^{2}=0$
ayant ses deux racines égales, on ne pourra y satisfaire que par une seule valeur de $x,$ savoir
$x=a.$
Lorsque les constantes $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1},a_{n}$ sont toutes réelles, l’expression imaginaire
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$
ne peut évidemment être une racine de l’équation (1), sans que l’expression conjuguée
$\alpha -\beta {\sqrt {-1}}$
soit une autre racine de la même équation. Par conséquent, dans cette hypothèse, les facteurs imaginaires et linéaires du polynome qui forme le premier membre de l’équation (1) sont deux à deux conjugués et de la forme
$x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}},\qquad x-\alpha +\beta {\sqrt {-1}}.$
Le produit de deux semblables facteurs étant un polynôme réel du second degré, savoir
$(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2},$
Théorème IV. — Lorsque $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1},a_{n}$ désignent des constantes réelles, le polynôme
| (24) | $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}$ |
est décomposable en facteurs réels du premier ou du second degré.
Dans ce qui précède, nous avons présenté les racines imaginaires de l’équation (1) sous la forme
$\alpha \pm \beta {\sqrt {-1}}.$
Alors, pour le polynôme (24), un facteur réel du second degré correspondant à deux racines imaginaires conjuguées
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\qquad \alpha -\beta {\sqrt {-1}}$
était de la forme
$(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}.$
Si l’on fait, pour plus de commodité,
$\alpha \pm \beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta \pm {\sqrt {-1}}\sin \theta \right)$
$(\rho$ désignant une quantité positive et $\theta$ un angle que l’on pourra supposer compris entre les limites $0,\pi ),$ le même facteur réel du second degré deviendra
$\left(x-\rho \cos \theta \right)^{2}+\left(\rho \sin \theta \right)^{2}=x^{2}-2\rho x\cos \theta +\rho ^{2}.$
Il est facile de construire géométriquement cette dernière expression dans le cas où l’on attribue à la variable $x$ une valeur réelle. En effet, si l’on trace un triangle dans lequel un angle soit égal à $\theta ,$ les deux côtés adjacents étant respectivement représentés l’un par la valeur numérique de $x,$ l’autre par le module $\rho ,$ le carré du troisième côté sera (d’après un théorème connu de Trigonométrie) la valeur du trinôme
$x^{2}-2\rho x\cos \theta +\rho ^{2},$
$x$
$x$
$\theta$
Le troisième côté du triangle dont il est ici question ne peut s’évanouir que dans le cas où les deux premiers côtés tombent sur une même droite, et où leurs extrémités coïncident, ce qui exige : 1$^o$ que l’angle se réduise à zéro ou à $\pi \,;$ 2$^o$ que la valeur numérique de $x$ soit égale à $\rho$. Par suite, le facteur
$x^{2}-2\rho x\cos \theta +\rho ^{2}$
ne pourra devenir nul pour une valeur réelle de $x,$ à moins que l’on ne suppose
$\cos \theta =1\quad {\text{ou}}\quad \cos \theta =-1\,;$
et la seule valeur de $x$ propre à faire évanouir ce facteur sera, dans la première hypothèse,
$x=\rho ,$
dans la seconde,
$x=-\rho .$
On arriverait directement au même but en observant que l’équation
$x^{2}-2\rho x\cos \theta +\rho ^{2}=0$
a deux racines
$\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),\qquad \rho \left(\cos \theta -{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),$
qui ne peuvent cesser d’être imaginaires sans devenir égales, et que les seules valeurs de $\theta$ capables de produire cet effet sont celles qui vérifient la formule
$\sin \theta =0,$
de laquelle on tire
$\cos \theta =\pm 1$
et, par conséquent,
$x=\pm \rho$
pour la valeur commune des deux racines.
Jusqu’à présent, nous nous sommes bornés à déterminer le nombre des racines de l’équation (1), avec la forme de ces mêmes racines et celle des facteurs qui leur correspondent. Nous allons, dans les paragraphes suivants, passer en revue quelques cas particuliers dans lesquels on est parvenu à résoudre de semblables équations, sans être obligé de concevoir leurs coefficients convertis en nombres, et à exprimer les racines en fonctions algébriques ou trigonométriques de ces coefficients. Nous observerons ici à ce sujet que, dans toute équation algébrique dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière de la variable $x,$ on peut réduire par la division le coefficient de la plus haute puissance de $x$ à l’unité, et celui de la puissance immédiatement inférieure à zéro par un changement de variable. En effet, si dans l’équation
$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0$
$a_{0}$ n’est pas égal à $1,$ il suffira de diviser l’équation par $a_{0}$ pour réduire le coefficient de $x^{n}$ à l’unité ; et, si dans une équation mise sous la forme
$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0$
$a_{1}$ n’est pas nul, il suffira de poser
$x=z-{\frac {a_{1}}{n}}$
pour obtenir une transformée en $z$ du degré $n,$ qui n’ait plus de second terme, c’est-à-dire une transformée dans laquelle le coefficient de $z^{n-1}$ s’évanouisse.
Considérons l’équation binôme
| (1) | $x^{n}+p=0,$ |
$p$ désignant une quantité constante. On en tirera
$x^{n}=-p$
$\rho$
$\rho ,$
$x^{n}=\pm \rho .$
On aura donc à résoudre l’équation
| (2) | $x^{n}=\rho ,$ |
si $-p$ est positif, et la suivante
| (3) | $x^{n}=-\rho ,$ |
si $-p$ est négatif. On satisfait à la première en prenant
| (4) | $x=((\rho ))^{\frac {1}{n}}=\rho ^{\frac {1}{n}}((1))^{\frac {1}{n}},$ |
et à la seconde en prenant
| (5) | $x=((-\rho ))^{\frac {1}{n}}=\rho ^{\frac {1}{n}}((-1))^{\frac {1}{n}}.$ |
Quant aux diverses valeurs de chacune des deux expressions $((1))^{\frac {1}{n}},$ $((-1))^{\frac {1}{n}},$ elles sont toujours en nombre égal à $n$ (voir le Chapitre VII, § III), et se déduisent des deux formules
| (6) | $\left\{{\begin{aligned}((1))^{\frac {1}{n}}=&\cos {\frac {2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k\pi }{n}},\\((-1))^{\frac {1}{n}}=&\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {(2k+1)\pi }{n}},\end{aligned}}\right.$ |
dans lesquelles il suffit d’attribuer successivement à $k$ toutes les valeurs entières qui ne surpassent pas ${\frac {n}{2}}.$ Lorsque $n$ est un nombre pair, la première des équations (6) fournit deux valeurs réelles de $((1))^{\frac {1}{n}},$ savoir $+1$ et $-1,$ correspondantes l’une à $k=0,$ l’autre à $k={\frac {n}{2}}.$ Dans la même hypothèse, toutes les valeurs de $((-1))^{\frac {1}{n}}$ sont imaginaires. Lorsque $n$ devient un nombre impair, l’expression $((1))^{\frac {1}{n}}$ a une seule valeur réelle $+1$ correspondante à $k=0,$ et l’expression $((-1))^{\frac {1}{n}}$ une seule valeur réelle $-1$ correspondante à $k={\frac {n-1}{2}}.$ Par suite, l’équation (1) admet deux racines réelles, ou n’en admet aucune, lorsque $n$ est un nombre pair, et la même équation admet une seule racine réelle dans le cas contraire. De plus, on reconnaît immédiatement à l’inspection des formules (6) que les racines imaginaires sont conjuguées deux à deux, ainsi qu’on devait s’y attendre.
Considérons maintenant l’équation trinôme
| (7) | $x^{2n}+px^{n}+q=0,$ |
$p,q$ désignant deux quantités constantes choisies à volonté. On en tirera
$x^{2n}+px^{n}=-q$
et, par suite,
| (8) | $\left(x^{n}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q.$ |
Si ${\frac {p^{2}}{4}}-q$ est positif, l’équation qui précède entraînera l’une des deux suivantes :
${\begin{aligned}x^{n}+{\frac {p}{2}}=&+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}},\\x^{n}+{\frac {p}{2}}=&-{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}\,;\end{aligned}}$
en sorte que $x^{n}$ admettra deux valeurs réelles comprises dans la formule
| (9) | $x^{n}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}.$ |
Lorsque le nombre $n$ se réduit à l’unité, la formule (9) fournit immédiatement les deux racines réelles de l’équation trinôme du second degré
| (10) | $x^{2}+px+q=0.$ |
Dans le cas contraire, en substituant la formule dont il s’agit à l’équation (7), on n’a plus à résoudre que deux équations binômes semblables à celles que nous avons traitées ci-dessus.
Supposons maintenant la quantité ${\frac {p^{2}}{4}}-q$ négative. L’équation (8) entraînera l’une des deux suivantes :
${\begin{aligned}x^{n}+{\frac {p}{2}}=&+{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}{\sqrt {-1}},\\x^{n}+{\frac {p}{2}}=&-{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}{\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}$
en sorte que $x^{n}$ admettra deux valeurs imaginaires comprises dans la formule
| (11) | $x^{n}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}{\sqrt {-1}}.$ |
Si le nombre $n$ se réduit à l’unité, ces valeurs seront les racines imaginaires de l’équation (10). Mais, si l’on suppose $n>1,$ il restera encore à déduire des valeurs connues de $x^{n}$ les valeurs de $x.$ Désignons par $\rho ,$ dans cette hypothèse, le module de l’expression imaginaire qui sert de second membre à la formule (11). On aura évidemment
| (12) | $\rho =q^{\frac {1}{2}}.$ |
Faisons en outre, pour plus de commodité,
| (13) | $\zeta =\operatorname {arc\,tang} {\frac {\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}{-{\frac {p}{2}}}}.$ |
Lorsque $p$ sera négatif, les deux valeurs de $x^{n}$ données par la formule (11) deviendront
| (14) | $x^{n}=\rho \left(\cos \zeta \pm {\sqrt {-1}}\sin \zeta \right),$ |
et l’on en conclura
| (15) | $x=\rho ^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {\zeta }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {\zeta }{n}}\right)((1))^{\frac {1}{n}}.$ |
$p$
| (16) | $x^{n}=-\rho \left(\cos \zeta \pm {\sqrt {-1}}\sin \zeta \right)$ |
et, par suite,
| (17) | $x=\rho ^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {\zeta }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {\zeta }{n}}\right)((-1))^{\frac {1}{n}}.$ |
Dans le cas particulier où l’on a
${\frac {p^{2}}{4}}-q=0,$
$\zeta$ devient nul ; en sorte que les équations (15) et (17) prennent la forme des équations (4) et (5).
Si l’on désigne, pour abréger, $\rho ^{\frac {1}{n}}$ par $r,$ on tirera des équations (12) et (13), en supposant la quantité $p$ négative,
$p=-2r^{n}cos\zeta ,\qquad q=r^{2n},$
$x^{2n}+px^{n}+q=x^{2n}-2r^{n}x^{n}\cos \zeta +r^{2n}.$
Dans la même hypothèse, la formule (15) donnera
${\begin{aligned}x=&r\left(\cos {\frac {\zeta }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {\zeta }{n}}\right)\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\\=&r\left(\cos {\frac {\zeta \pm 2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {\zeta \pm 2k\pi }{n}}\right),\end{aligned}}$
$k$ représentant un nombre entier, et l’on en conclura que le trinôme
$x^{2n}-2r^{n}x^{n}\cos \zeta +r^{2n}$
est décomposable en facteurs réels du second degré de la forme
$x^{2}-2rx\cos {\frac {\zeta \pm 2k\pi }{n}}+r^{2},$
Si l’on suppose au contraire la quantité $p$ positive, le trinôme
$x^{2n}+px^{n}+q$
deviendra
$x^{2n}+2r^{n}x^{n}\cos \zeta +r^{2n},$
$x^{2}-2rx\cos {\frac {\zeta \pm (2k+1)\pi }{n}}+r^{2}.$
Dans l’une et l’autre hypothèse, on pourra construire géométriquement les facteurs réels du second degré par la méthode ci-dessus indiquée (voir le § I), toutes les fois que l’on attribuera des valeurs réelles à la variable $x.$ Si l’on prend la valeur numérique de cette variable pour base commune de tous les triangles qui correspondent aux différents facteurs, et que dans chaque triangle on fasse aboutir constamment à une même extrémité de cette base le côté connu, représenté par $r,$ on trouvera que les sommets des divers triangles coïncident avec les points de division d’une circonférence décrite du rayon $r$ en parties égales. Il en résulte que, si l’on multiplie entre eux les carrés des lignes menées de la seconde extrémité de la base aux points dont il s’agit, le produit de ces carrés sera la valeur du trinôme
$x^{2n}+px^{n}+q=x^{2n}\pm 2r^{n}x^{n}\cos \zeta +r^{2n}.$
Dans le cas particulier où $\zeta =0$ le produit des lignes elles-mêmes représente la valeur numérique du binôme
$x^{n}\pm r^{n},$
laquelle se confond avec la racine carrée positive du trinôme
$x^{2n}\pm 2r^{n}x^{n}+r^{2n}.$
Des deux propositions qu’on vient d’énoncer, la première est le théorème de Moivre, et la seconde celui de Cotes.
Considérons l’équation générale du troisième degré. On pourra toujours, en faisant disparaître le second terme de cette équation. la ramener à la forme
| (1) | $x^{3}+px+q=0,$ |
$p,q$ désignant deux quantités constantes. D’ailleurs, si l’on pose
$x=u+v,$
$u,v$ étant deux nouvelles variables, on en conclura
$x^{3}=(u+v)^{3}=u^{3}+v^{3}+3uvx,$
| (2) | $x^{3}-3uvx-\left(u^{3}+v^{3}\right)=0.$ |
Pour rendre l’équation (2) identique avec la proposée, il suffira d’assujettir les inconnues $u$ et $v$ aux deux conditions
| (3) | $u^{3}+v^{3}=-q,$ |
| (4) | $uv=-{\frac {p}{3}}.$ |
La résolution de l’équation (1) se trouve ainsi réduite à la résolution simultanée des équations (3) et (4).
Cherchons d’abord les valeurs de $u^{3}$ et de $v^{3}.$ Si l’on fait
| (5) | $u^{3}=z_{1},\qquad v^{3}=z_{2},$ |
on aura, en vertu des équations (3) et (4),
$z_{1}+z_{2}=-q,\qquad z_{1}z_{2}=-{\frac {p^{3}}{27}}\,;$
et, par suite, en nommant $z$ une nouvelle variable,
$(z-z_{1})(z-z_{2})=z^{2}+qz-{\frac {p^{3}}{27}}.$
Il en résulte que $z_{1},z_{2}$ seront les deux racines de l’équation
| (6) | $z^{2}+qz-{\frac {p^{3}}{27}}=0.$ |
Ces deux racines étant connues, on déduira des formules (5) trois valeurs de $u$ et trois valeurs de $v,$ qui se correspondront deux à deux de manière à vérifier la formule (4). Soit $\mathrm {U}$ l’une quelconque des trois valeurs de $u,$ et $\mathrm {V}$ la valeur correspondante de $v,$ en sorte qu’on ait
$\mathrm {UV} =-{\frac {p}{3}}.$
Désignons en outre par $\alpha$ l’expression imaginaire
$\cos {\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{3}}\,;$
les trois valeurs de l’expression $((1))^{\frac {1}{3}}$ seront respectivement
$\alpha ^{0}=1,$
${\begin{aligned}\alpha \ \ =&\cos {\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {3^{\frac {1}{2}}}{2}}{\sqrt {-1}},\\\alpha ^{2}=&\cos {\frac {2\pi }{3}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {3^{\frac {1}{2}}}{2}}{\sqrt {-1}},\end{aligned}}$
et les trois valeurs de $u,$ évidemment comprises dans la formule générale $((1))^{\frac {1}{3}}\mathrm {U} ,$ deviendront
$\mathrm {U} ,\quad \alpha \mathrm {U} ,\quad \alpha ^{2}\mathrm {U} .$
On trouvera, pour les valeurs correspondantes de $v,$
$\mathrm {V} ,\quad {\frac {\mathrm {V} }{\alpha }},\quad {\frac {\mathrm {V} }{\alpha ^{2}}},$
ou, ce qui revient au même,
$\mathrm {V} ,\quad \alpha ^{2}\mathrm {V} ,\quad \alpha \mathrm {V} .$
Par conséquent, si l’on nomme $x_{0},x_{1},x_{2}$ les trois racines de l’équation (1), on aura
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}x_{0}=&\mathrm {\quad U+\quad V} ,\\x_{1}=&\mathrm {\alpha \ \ U+\alpha ^{2}V} ,\\x_{2}=&\mathrm {\alpha ^{2}U+\alpha \ \ V} .\end{aligned}}\right.$ |
Il est essentiel d’observer que, $\mathrm {U} ,\alpha \mathrm {U} ,\alpha ^{2}\mathrm {U}$ étant les trois valeurs de $u=((z))^{\frac {1}{3}},$ et $\mathrm {V,\alpha ^{2}V,\alpha V}$ les valeurs correspondantes de $v=-$ p $3((z_{1}))^{\frac {1}{3}},$ les racines $x_{0},x_{1},x_{2},$ déterminées par les équations (7), seront respectivement égales aux trois valeurs de $x$ données par la formule
| (8) | $x=((z))^{\frac {1}{3}}-{\frac {p}{3((z))^{\frac {1}{3}}}}.$ |
Lorsque l’équation (6) a ses racines réelles, les formules (5) fournissent un système de valeurs réelles de $u$ et de $v$ qui se correspondent de manière à vérifier l’équation (4). Si l’on prend ces mêmes valeurs pour $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V} ,$ on reconnaîtra immédiatement que des trois racines $x_{0},x_{1},x_{2},$ la première est nécessairement réelle, et les deux autres réelles ou imaginaires, suivant que la quantité
${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{2}}{27}}$
est nulle ou positive, c’est-à-dire suivant que l’équation (6) a ses racines égales ou inégales. Dans le premier cas, on trouve
$x_{0}=2\mathrm {U} ,\qquad x_{1}=x_{2}=-\mathrm {U} .$
Lorsque les racines de l’équation (6) deviennent imaginaires, on peut les présenter sous la forme
$z_{1}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),\qquad z_{2}=\rho \left(\cos \theta -{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),$
le module $\rho$ étant déterminé par l’équation
$\rho ^{2}=-{\frac {p^{3}}{27}}.$
Comme on a, dans cette hypothèse,
$((z))^{\frac {1}{3}}=\rho ^{\frac {1}{3}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)((1))^{\frac {1}{3}},$
la formule (8) se trouve réduite à
| (9) | $x=\rho ^{\frac {1}{3}}\left[\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)((1))^{\frac {1}{3}}+\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right){\frac {1}{((1))^{\frac {1}{3}}}}\right].$ |
$\mathrm {U}$
$\rho ^{\frac {1}{3}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right),$
on conclura des équations (7)
| (10) | $\left\{{\begin{aligned}x_{0}=&2\rho ^{\frac {1}{3}}\cos {\frac {\theta }{3}},\\x_{1}=&2\rho ^{\frac {1}{3}}\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}},\\x_{2}=&2\rho ^{\frac {1}{3}}\cos {\frac {\theta -2\pi }{3}}.\end{aligned}}\right.$ |
Ces trois dernières valeurs de $x$ sont toutes réelles, et coïncident avec celles que fournit la formule (9).
Dans les calculs précédents, l’équation (6), dont la solution entraîne celle de l’équation (1), est ce qu’on appelle la réduite. Ses racines $z_{1},z_{2}$ équivalent nécessairement à certaines fonctions des racines cherchées $x_{0},x_{1},x_{2}.$ Pour déterminer ces fonctions, il suffira d’observer que, $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V}$ désignant des valeurs particulières de $u$ et $v,$ on aura, en vertu des formules (5),
$z_{1}=\mathrm {U} ^{3},\qquad z_{2}=\mathrm {V} ^{3}.$
On tire d’ailleurs des équations (7)
${\begin{aligned}3\mathrm {U} =&x_{0}+\alpha x_{2}+\alpha ^{2}x_{1}=\alpha \left(x_{2}+\alpha x_{1}+\alpha ^{2}x_{0}\right)=\alpha ^{2}\left(x_{1}+\alpha x_{0}+\alpha ^{2}x_{2}\right),\\3\mathrm {V} =&x_{0}+\alpha x_{1}+\alpha ^{2}x_{2}=\alpha \left(x_{1}+\alpha x_{2}+\alpha ^{2}x_{0}\right)=\alpha ^{2}\left(x_{2}+\alpha x_{0}+\alpha ^{2}x_{1}\right).\end{aligned}}$
On trouvera donc, par suite,
| (11) | $\left\{{\begin{aligned}27z_{1}=&\left(x_{0}+\alpha x_{2}+\alpha ^{2}x_{1}\right)^{3}=\left(x_{2}+\alpha x_{1}+\alpha ^{2}x_{0}\right)^{3}=\left(x_{1}+\alpha x_{0}+\alpha ^{2}x_{2}\right)^{3},\\27z_{2}=&\left(x_{0}+\alpha x_{1}+\alpha ^{2}x_{2}\right)^{3}=\left(x_{1}+\alpha x_{2}+\alpha ^{2}x_{0}\right)^{3}=\left(x_{2}+\alpha x_{0}+\alpha ^{2}x_{1}\right)^{3}.\end{aligned}}\right.$ |
Il en résulte que $z_{1},z_{2}$ sont respectivement égales (à un coefficient numérique près) aux deux seules valeurs distinctes que présente le cube de la fonction linéaire
$x_{0}+\alpha x_{1}+\alpha ^{2}x_{2},$
$x_{0},x_{1},x_{2}$
${\frac {1}{27}}$
${\frac {1}{3}}.$
Considérons maintenant l’équation générale du quatrième degré. On pourra, en faisant disparaître le second terme, la ramener à la forme
| (12) | $x^{4}+px^{2}+qx+1=0,$ |
$p,q,r$ désignant des quantités constantes. Si l’on pose, en outre,
$x=u+v+w,$
$u,v,w$ étant trois nouvelles variables, on en conclura
$x^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}+2(uv+uw+vw)$
et, par suite,
$\left[x^{2}-\left(u^{2}+y^{2}+w^{2}\right)\right]^{2}=4\left(u^{2}v^{2}+u^{2}w^{2}+v^{2}w^{2}\right)+8uvw.x$
ou, ce qui revient au même,
| (13) | $\left\{{\begin{aligned}&x^{4}-2\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)x^{2}-8uvw.x\\&\quad \ +\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)^{2}-4\left(u^{2}v^{2}+u^{2}w^{2}+v^{2}w^{2}\right)=0.\end{aligned}}\right.$ |
Pour rendre cette dernière équation identique avec la proposée, il suffira d’assujettir les inconnues $u,v,w$ aux conditions
| (14) | $\left\{{\begin{aligned}4\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)=&-2p,\\8uvw=&-q,\\16\left(u^{2}v^{2}+u^{2}w^{2}+v^{2}w^{2}\right)=&p^{2}-4r.\end{aligned}}\right.$ |
La résolution de l’équation (12) se trouve ainsi réduite à la résolution simultanée des équations (14).
Cherchons d’abord les valeurs de $4u^{2},4v^{2},4w^{2}.$ Si l’on fait
| (15) | $4u^{2}=z_{1},\qquad 4v^{2}=z_{2},\qquad 4w^{2}=z_{3},$ |
$z_{1}+z_{2}+z_{3}=-2p,\quad z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}=p^{2}-4r,\quad z_{1}z_{2}z_{3}=q^{2}\,;$
et, par suite, en nommant $z$ une nouvelle variable,
$(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})=z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}.$
Il en résulte que $z_{1},z_{2},z_{3}$ seront les trois racines de l’équation
| (16) | $z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}=0\,;$ |
et, puisque ces trois racines doivent vérifier la formule $z_{1}z_{2}z_{3}=q^{2},$ on peut assurer que l’une d’elles sera positive, les deux autres étant toutes deux à la fois positives, ou négatives, ou imaginaires. Lorsqu’on aura déterminé ces mêmes racines, les deux premières des équations (15) fourniront pour chacune des variables $u$ et $v$ deux valeurs égales, au signe près. Soient
$u=\pm \mathrm {U} ,\qquad v=\pm \mathrm {V}$
les valeurs réelles ou imaginaires dont il s’agit ; et $\mathrm {W}$ une quantité réelle ou une expression imaginaire déterminée par l’équation
$8\mathrm {UVW} =-q.$
Si dans la seconde des formules (14) on suppose
$u=+\mathrm {U} ,\qquad v=+\mathrm {V}$
ou bien
$u=-\mathrm {U} ,\qquad v=-\mathrm {V} ,$
on en tirera
$w=+\mathrm {W} .$
Si l’on y fait, au contraire,
$u=+\mathrm {U} ,\qquad v=-\mathrm {V} ,$
ou bien
$u=-\mathrm {U} ,\qquad v=+\mathrm {V} ,$
on trouvera
$w=-\mathrm {W} .$
De cette manière on obtiendra pour les variables $u,v,w$ quatre systèmes de valeurs propres à vérifier les équations (14) ; et, si l’on représente par $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},$ les quatre valeurs correspondantes de l’inconnue
$x=u+v+w,$
on aura
| (17) | $\left\{{\begin{aligned}x_{0}=&\mathrm {\;\;\,U+V+W} ,\\x_{1}=&\mathrm {-U-V+W} ,\\x_{2}=&\mathrm {\;\;\,U-V-W} ,\\x_{3}=&\mathrm {-U+V-W} .\end{aligned}}\right.$ |
Il est aisé de reconnaître que ces quatre valeurs de $x$ seront toutes réelles, si l’équation (16) a ses trois racines positives, et toutes imaginaires, si l’équation (16) a deux racines négatives inégales, tandis que deux valeurs seront réelles, et deux imaginaires, si l’équation (16) a deux racines négatives égales, ou deux racines imaginaires.
Par la méthode qu’on vient d’exposer, la résolution de l’équation (12) se trouve ramenée à celle de l’équation (16). Cette dernière, qu’on nomme la réduite, a nécessairement pour racines certaines fonctions des racines de la proposée. Si l’on veut déterminer ces fonctions, c’est-à-dire exprimer $z_{1},z_{2},z_{3}$ par le moyen de $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},$ il suffira d’observer que, $\mathrm {U,V,W}$ étant des valeurs particulières de $u,v,w,$ on a, en vertu des formules (15),
$z_{1}=4\mathrm {U} ^{2},\qquad z_{2}=4\mathrm {V} ^{2},\qquad z_{3}=4\mathrm {W} ^{2}.$
On tire d’ailleurs des équations (17)
${\begin{aligned}4\mathrm {U} \ =&x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3},\\4\mathrm {V} \ =&x_{0}-x_{1}+x_{3}-x_{2},\\4\mathrm {W} =&x_{0}-x_{2}+x_{1}-x_{3}.\end{aligned}}$
On trouvera, en conséquence,
| (18) | $\left\{{\begin{aligned}4z_{1}=&(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3})^{2}=(x_{1}-x_{0}+x_{3}-x_{2})^{2},\\4z_{2}=&(x_{0}-x_{1}+x_{3}-x_{2})^{2}=(x_{1}-x_{0}+x_{2}-x_{3})^{2},\\4z_{3}=&(x_{0}-x_{2}+x_{1}-x_{3})^{2}=(x_{2}-x_{0}+x_{3}-x_{1})^{2}.\end{aligned}}\right.$ |
$z_{1},z_{2},z_{3}$
${\frac {1}{4}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2},$
$x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}$
lorsque dans cette fonction on échange entre elles les racines $x_{0},x_{1},$ $x_{2},x_{3}$ de toutes les manières possibles. Cette même fonction linéaire, pouvant s’écrire ainsi qu’il suit
$x_{0}+(-1)x_{1}+(-1)^{2}x_{2}+(-1)^{3}x_{3},$
n’est évidemment qu’un cas particulier de la formule générale
$x_{0}+\alpha x_{1}+\alpha ^{2}x_{2}+\alpha ^{3}x_{3},$
lorsqu’on désigne par $\alpha$ une des valeurs de l’expression $((1))^{\frac {1}{4}}.$
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