# Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Chapitre II
### CHAPITRE II.
#### § I. — Des quantités infiniment petites et infiniment grandes.

On dit qu’une quantité variable devient infiniment petite, lorsque sa valeur numérique décroît indéfiniment de manière à converger vers la limite zéro. Il est bon de remarquer à ce sujet qu’on ne doit pas confondre un décroissement constant avec un décroissement indéfini. La surface d’un polygone régulier circonscrit à un cercle donné décroît constamment à mesure que le nombre des côtés augmente, mais non pas indéfiniment, puisqu’elle a pour limite la surface du cercle. De même encore, une variable qui n’admettrait pour valeurs successives que les différents termes de la suite
${\frac {2}{1}},\quad {\frac {3}{2}},\quad {\frac {4}{3}},\quad {\frac {5}{4}},\quad {\frac {6}{5}},\quad \ldots ,$
prolongée à l’infini, décroîtrait constamment, mais non pas indéfiniment, puisque ses valeurs successives convergeraient vers la limite $1.$ Au contraire, une variable qui n’aurait pour valeurs successives que les différents termes de la suite
${\frac {1}{4}},\quad {\frac {1}{3}},\quad {\frac {1}{6}},\quad {\frac {1}{5}},\quad {\frac {1}{8}},\quad {\frac {1}{7}},\quad \ldots ,$
prolongée à l’infini, ne décroîtrait pas constamment, puisque la différence entre deux termes consécutifs de cette suite est alternativement positive et négative ; et, néanmoins, elle décroîtrait indéfiniment, puisque sa valeur finirait par s’abaisser au-dessous de tout nombre donné.
On dit qu’une quantité variable devient infiniment grande, lorsque sa valeur numérique croit indéfiniment de manière à converger vers la limite $\infty .$ Il est encore essentiel d’observer ici qu’on ne doit pas confondre une variable qui croit indéfiniment avec une variable qui croit constamment. La surface d’un polygone régulier inscrit à un cercle donné croit constamment, mais non pas indéfiniment, à mesure que le nombre des côtés augmente. Les termes de la suite naturelle des nombres entiers
$1,\quad 2,\quad 3,\quad 4,\quad 5,\quad \ldots$
croissent constamment et indéfiniment.
Les quantités infiniment petites et infiniment grandes jouissent de plusieurs propriétés, qui conduisent à la solution de questions importantes, et que je vais exposer en peu de mots.
Soit $\alpha$ une quantité infiniment petite, c’est-à-dire une variable dont la valeur numérique décroisse indéfiniment. Lorsque dans un même calcul on fait entrer les diverses puissances entières de \alpha, savoir
$\alpha ,\quad \alpha ^{2},\quad \alpha ^{3},\quad \ldots ,$
ces diverses puissances sont respectivement désignées sous le nom d’infiniment petits du premier, du second, du troisième ordre, etc. En général, on appelle infiniment petit du premier ordre toute quantité variable dont le rapport avec $\alpha$ converge, tandis que la valeur numérique de $\alpha$ diminue, vers une limite finie différente de zéro ; infiniment petit du second ordre toute quantité variable avec $\alpha ,$ et dont le rapport avec $\alpha ^{2}$ converge vers une limite finie différente de zéro, etc. Cela posé, si l’on désigne par $k$ une quantité finie différente de zéro, et par $\varepsilon$ un nombre variable qui décroisse indéfiniment avec la valeur numérique de $\alpha ,$ la forme générale des quantités infiniment petites du premier ordre sera
$k\alpha \quad {\text{ou du moins}}\quad k\alpha (1\pm \varepsilon )\,;$
${\begin{array}{lll}k\alpha ^{2}&{\text{ou du moins}}&k\alpha ^{2}(1\pm \varepsilon ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\end{array}}$
enfin la forme générale des infiniment petits de l’ordre $n$ ($n$ représentant un nombre entier) sera
$k\alpha ^{n}\quad {\text{ou du moins}}\quad k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon ).$
On peut facilement établir, à l’égard de ces divers ordres de quantités infiniment petites, les théorèmes suivants :
Théorème I. — Si l’on compare l’un à l’autre deux infiniment petits d’ordres différents, pendant que tous les deux convergeront vers la limite zéro, celui qui est de l’ordre le plus éleve finira par obtenir constamment la plus petite valeur numérique.
Démonstration. — Soient, en effet,
$k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon ),\qquad k'\alpha ^{n'}(1\pm \varepsilon ')$
deux infiniment petits, l’un de l’ordre $n,$ l’autre de l’ordre $n',$ et supposons $n'>n\,;$ le rapport entre le second de ces infiniment petits et le premier, savoir
${\frac {k'}{k}}\alpha ^{n'-n}{\frac {1\pm \varepsilon '}{1\pm \varepsilon }},$
convergera indéfiniment avec $\alpha$ vers la limite zéro, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la valeur numérique du second finit par devenir constamment inférieure à celle du premier.
Théorème II. — Un infiniment petit de l’ordre $n,$ c’est-à-dire de la forme
$k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon ),$
change de signe avec $\alpha$ toutes les fois que $n$ est un nombre impair, et conserve pour de très petites valeurs numériques de $\alpha$ le même signe que la quantité $k,$ lorsque $n$ est un nombre pair.
Démonstration. — En effet, dans la première hypothèse, $\alpha ^{n}$ change de signe avec $\alpha ,$ et, dans la seconde, $\alpha ^{n}$ est toujours positif. De plus, le signe du produit $k(1\pm \varepsilon )$ est le même que celui de $k,$ lorsque $\varepsilon$ est très petit.
Théorème III. — La somme de plusieurs infiniment petits des ordres
$n,\quad n',\quad n'',\quad \ldots$
$(n',n'',\ldots$ désignant des nombres supérieurs à $n)$ est un nouvel infiniment petit de l’ordre $n.$
Démonstration. — En effet,
${\begin{aligned}&k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon )+k'\alpha ^{n'}(1\pm \varepsilon ')+k''\alpha ^{n''}(1\pm \varepsilon '')+\ldots \\=&k\alpha ^{n}\left[1\pm \varepsilon +{\frac {k'}{k}}\alpha ^{n'-n}(1\pm \varepsilon ')+{\frac {k''}{k}}\alpha ^{n''-n}(1\pm \varepsilon '')+\ldots \right]\\=&k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon _{1}).\end{aligned}}$
$\varepsilon _{1}$ étant un nombre qui converge avec $\alpha$ vers la limite zéro.
Des principes qu’on vient d’énoncer on déduit aisément, comme on va le voir, plusieurs propositions remarquables qui se rapportent à des polynomes ordonnés suivant les puissances ascendantes d’une quantité infiniment petite $\alpha .$
Théorème IV. — Tout polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de \alpha, par exemple
$a+b\alpha +c\alpha ^{2}+\ldots$
ou, plus généralement,
$a\alpha ^{n}+b\alpha ^{n'}+c\alpha ^{n''}+\ldots$
(les nombres $n,n',n'',\ldots ,$ formant une suite croissante), finit par être, pour de très petites valeurs numériques de $\alpha ,$ constamment de même signe que son premier terme
$a\quad {\text{ou}}\quad a\alpha ^{n}.$
Démonstration. — En effet, la somme faite du second terme et de ceux qui le suivent est, dans le premier cas, un infiniment petit du premier ordre, dont la valeur numérique finit par être inférieure à celle de la quantité finie $a,$ et, dans le second cas, un infiniment petit de l’ordre $n',$ qui finit par obtenir constamment une valeur numérique inférieure à celle d’un infiniment petit de l’ordre $n.$
Théorème V. — Lorsque, dans le polynôme
$a\alpha ^{n}+b\alpha ^{n'}+c\alpha ^{n''}+\ldots ,$
ordonné suivant les puissances ascendantes de $\alpha ,$ le degré $n'$ du second terme est un nombre impair, ce polynôme, pour de très petites valeurs numériques de $\alpha ,$ est tantôt supérieur et tantôt inférieur à son premier terme $a\alpha ^{n},$ suivant que la variable $\alpha$ et le coefficient $b$ sont de même signe ou de signes contraires.
Démonstration. — En effet, dans l’hypothèse admise, la somme des termes qui suivent le premier, savoir
$b\alpha ^{n'}+c\alpha ^{n''}+\ldots ,$
sera, pour de très petites valeurs numériques de $\alpha ,$ de même signe que chacun des deux produits $b\alpha ^{n'},b\alpha .$
Théorème VI. — Lorsque, dans le polynôme
$a\alpha ^{n}+b\alpha ^{n'}+c\alpha ^{n''}+\ldots ,$
ordonné suivant les puissances ascendantes de $\alpha ,$ le degré $n'$ du second terme est un nombre pair, ce polynôme, pour de très petites valeurs numériques de $\alpha ,$ finit par devenir constamment supérieur à son premier terme, toutes les fois que $b$ est positif, et constamment inférieur, toutes les fois que $b$ est négatif.
Démonstration. — En effet, dans l’hypothèse admise, la somme des termes qui suivent le premier aura, pour de très petites valeurs numériques de $\alpha ,$ le signe du produit $b\alpha ^{n'},$ et, par suite, le signe de $b.$
Corollaire. — En supposant, dans le théorème qui précède, $n=0,$ on obtiendra la proposition suivante :
Théorème VII. — Si, dans le polynôme
$a+b\alpha ^{n'}+c\alpha ^{n''}+\ldots ,$
ordonné suivant les puissances ascendantes de $\alpha ,$ $n'$ désigne un nombre pair ; parmi les valeurs de ce polynôme correspondantes à des valeurs infiniment petites de $\alpha ,$ celle qui correspond à $\alpha =0,$ c’est-à-dire $a,$ sera toujours la plus petite, lorsque $b$ sera positif, et la plus grande, lorsque $b$ sera négatif.
Cette valeur particulière du polynôme, plus grande ou plus petite que toutes les valeurs voisines, est ce qu’on appelle un maximum ou un minimum.
Les propriétés des quantités infiniment petites étant établies, on en déduit les propriétés analogues des quantités infiniment grandes, en observant que toute quantité variable de cette dernière espèce peut être représentée par ${\frac {1}{\alpha }},$ $\alpha$ désignant une quantité infiniment petite. Ainsi, par exemple, lorsque, dans le polynôme
$ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+\ldots +hx+k,$
ordonné suivant les puissances descendantes de la variable $x,$ cette variable devient infiniment grande ; en la mettant sous la forme ${\frac {1}{\alpha }},$ on réduit le polynôme dont il s’agit à
${\frac {a}{\alpha ^{m}}}\left(1+{\frac {b}{a}}\alpha +{\frac {c}{a}}\alpha ^{2}+\ldots +{\frac {h}{a}}\alpha ^{m-1}+{\frac {k}{a}}\alpha ^{m}\right),$
et l’on reconnaît alors immédiatement que, pour de très petites valeurs numériques de $\alpha ,$ ou, ce qui revient au même, pour de très grandes valeurs numériques de $x,$ ce polynôme est de même signe que son premier terme
${\frac {a}{\alpha ^{m}}}=ax^{m}.$
Comme cette remarque subsiste dans le cas même où quelques-unes des quantités $b,c,\ldots ,h,k$ se réduisent à zéro, il en résulte qu’on peut énoncer le théorème suivant :
Théorème VIII. — Lorsque, dans un polynôme ordonné suivant les puissances descendantes de la variable $x,$ on fait croître indéfiniment la valeur numérique de cette variable, le polynôme finit par être constamment de même signe que son premier terme.
Parmi les objets qui se rattachent à la considération des infiniment petits, on doit placer les notions relatives à la continuité ou à la discontinuité des fonctions. Examinons d’abord sous ce point de vue les fonctions d’une seule variable.
Soit $f(x)$ une fonction de la variable $x,$ et supposons que, pour chaque valeur de $x$ intermédiaire entre deux limites données, cette fonction admette constamment une valeur unique et finie. Si, en partant d’une valeur de $x$ comprise entre ces limites, on attribue à la variable $x$ un accroissement infiniment petit $\alpha ,$ la fonction elle-même recevra pour accroissement la différence
$f(x+\alpha )-f(x),$
qui dépendra en même temps de la nouvelle variable $\alpha$ et de la valeur de $x.$ Cela posé, la fonction $f(x)$ sera, entre les deux limites assignées à la variable $x,$ fonction continue de cette variable, si, pour chaque valeur de $x$ intermédiaire entre ces limites, la valeur numérique de la différence
$f(x+\alpha )-f(x)$
décroît indéfiniment avec celle de $\alpha .$ En d’autres termes, la fonction $f(x)$ restera continue par rapport à $x$ entre les limites données, si, entre ces limites, un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même.
On dit encore que la fonction $f(x)$ est, dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à la variable $x,$ fonction continue de cette variable, toutes les fois qu’elle est continue entre deux limites de $x,$ même très rapprochées, qui renferment la valeur dont il s’agit.
Enfin, lorsqu’une fonction $f(x)$ cesse d’être continue dans le voisinage d’une valeur particulière de la variable $x,$ on dit qu’elle devient alors discontinue et qu’il y a pour cette valeur particulière solution de continuité.
D’après ces explications, il sera facile de reconnaître entre quelles limites une fonction donnée de la variable $x$ est continue par rapport à cette variable. Ainsi, par exemple, la fonction $\sin x,$ admettant pour chaque valeur particulière de la variable $x$ une valeur unique et finie, sera continue entre deux limites quelconques de cette variable, attendu que la valeur numérique de $\sin \left({\frac {1}{2}}\alpha \right),$ et par suite celle de la différence
$\sin \left(x+\alpha \right)-\sin x=2\sin \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)\cos \left(x+{\frac {1}{2}}\alpha \right),$
décroissent indéfiniment avec celle de $\alpha ,$ quelle que soit d’ailleurs la valeur finie que l’on attribue à $x.$ En général, si l’on envisage sous le rapport de la continuité les onze fonctions simples que nous avons considérées ci-dessus (Chap. I, § II), savoir
$a+x,\quad a-x,\quad ax,\quad {\frac {a}{x}},\quad x^{a},\quad \mathrm {A} ^{x},\quad \mathrm {L} (x),$
$\sin x,\quad \cos x,\quad \operatorname {arc\,sin} x,\quad \operatorname {arc\,cos} x,$
on trouvera que chacune de ces fonctions reste continue entre deux limites finies de la variable $x,$ toutes les fois que, étant constamment réelle entre ces deux limites, elle ne devient pas infinie dans l’intervalle.
Par suite, chacune de ces fonctions sera continue dans le voisinage d’une valeur finie attribuée à la variable $x,$ si cette valeur finie se trouve comprise :
${\begin{array}{c}&{\text{Pour}}\\&{\text{les fonctions}}\\\end{array}}$
$\left.{\begin{array}{c}&a+x\\&a-x\\&ax\\&\mathrm {A} ^{x}\\&\sin x\\&\cos x\end{array}}\right\$
$x=-\infty ,\ x=+\infty \,;$
${\begin{array}{c}&{\text{Pour}}\\&{\text{la fonction}}\end{array}}$
${\frac {a}{x}}\quad \left\{{\begin{alignedat}{8}1^{\circ }{\text{ entre les limites }}x=&-\infty ,\qquad &x=&0,\\2^{\circ }{\text{ entre les limites }}x=&0,&x=&\infty \,;\end{alignedat}}\right.$
${\begin{array}{c}&{\text{Pour}}\\&{\text{les fonctions}}\\\end{array}}$
$\left.{\begin{array}{c}&x^{a}\\&\operatorname {L} (x)\end{array}}\right\$
$x=0,\qquad x=\infty \,;$
enfin
${\begin{array}{c}&{\text{Pour}}\\&{\text{les fonctions}}\\\end{array}}$
$\left.{\begin{aligned}\operatorname {arc\,sin} x\\\operatorname {arc\,cos} x\end{aligned}}\right\$
$x=-1,\qquad x=+1.$
Il est bon d’observer que, dans le cas où l’on suppose $a=\pm m$ $(m$ désignant un nombre entier), la fonction simple
$x^{a}$
est toujours continue dans le voisinage d’une valeur finie de la variable $x,$ pourvu que cette valeur soit comprise :
${\text{si }}a=+m,\qquad {\text{ entre les limites }}x=-\infty ,\qquad x=+\infty ,$
${\text{si }}a=-m,\left\{{\begin{alignedat}{2}{\text{entre les limites }}x=&-\infty ,\qquad &x=&0\\{\text{ou bien}}\qquad \qquad &\\{\text{entre les suivantes }}x=&0,&x=&\infty .\end{alignedat}}\right.$
Parmi les onze fonctions que l’on vient de citer, deux seulement deviennent discontinues pour une valeur de $x$ comprise dans l’intervalle des limites entre lesquelles ces mêmes fonctions restent réelles. Les deux fonctions dont il s’agit sont
${\frac {a}{x}}\quad {\text{et}}\quad x^{a}({\text{ lorsque }}a=-m).$
L’une et l’autre deviennent infinies, et par conséquent discontinues, pour $x=0.$
Soit maintenant
$f(x,y,z,\ldots )$
une fonction de plusieurs variables $x,y,z,\ldots ,$ et supposons que, dans le voisinage de valeurs particulières $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ attribuées à ces variables, $f(x,y,z,\ldots )$ soit à la fois fonction continue de $x,$ fonction continue de $y,$ fonction continue de $z,\ldots .$ On prouvera aisément que, si l’on désigne par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ des quantités infiniment petites, et si l’on attribue à $x,y,z,\ldots$ les valeurs $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ ou des valeurs très voisines, la différence
$f(x+\alpha ,y+\beta ,z+\gamma )-f(x,y,z,\ldots )$
sera elle-même infiniment petite. En effet, il est clair que, dans l’hypothèse précédente, les valeurs numériques des différences
${\begin{aligned}&f(x+\alpha ,y,z,\ldots )-f(x,y,z,\ldots ),\\&f(x+\alpha ,y+\beta ,z,\ldots )-f(x+\alpha ,y,z,\ldots ),\\&f(x+\alpha ,y+\beta ,z+\gamma ,\ldots )-f(x+\alpha ,y+\beta ,z,\ldots ),\end{aligned}}$
décroîtront indéfiniment avec celles des quantités variables $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ savoir, la valeur numérique de la première différence avec la valeur numérique de $\alpha ,$ celle de la seconde différence avec la valeur numérique de $\beta ,$ celle de la troisième avec la valeur numérique de $\gamma ,$ et ainsi de suite. On doit en conclure que la somme de toutes ces différences, savoir
$f(x+\alpha ,y+\beta ,z+\gamma ,\ldots )-f(x,y,z,\ldots ),$
convergera vers la limite zéro, si $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ convergent vers cette même limite. En d’autres termes,
$f(x+\alpha ,y+\beta ,z+\gamma ,\ldots )$
aura pour limite
$f(x,y,z,\ldots ).$
La proposition qu’on vient de démontrer subsiste évidemment dans le cas même où l’on établirait entre les nouvelles variables $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ certaines relations. Il suffit que ces relations permettent aux nouvelles variables de converger toutes en même temps vers la limite zéro.
Lorsque, dans la même proposition, on remplace $x,y,z,\ldots$ par $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots ,$ et $x+\alpha ,y+\beta ,z+\gamma ,\ldots$ par $x,y,z,\ldots ,$ on obtient l’énoncé suivant :
Théorème I. — Si les variables $x,y,z,\ldots$ ont pour les quantités fixes et déterminées $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots ,$ limites respectives et que la fonction $f(x,y,z,\ldots )$ soit continue par rapport à chacune des variables $x,y,z,\ldots$ dans le voisinage du système des valeurs particulières
$x=\mathrm {X} ,\qquad y=\mathrm {Y} ,\qquad z=\mathrm {Z} ,\qquad \ldots ,$
$f(x,y,z,\ldots )$ aura pour limite $f(\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots ).$
Comme, dans ce second énoncé, les variables $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ se trouvent remplacées par $x-\mathrm {X} ,\,y-\mathrm {Y} ,\,z-\mathrm {Z} ,\ldots ,$ les relations qu’on pouvait établir, dans le premier énoncé, entre $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ pourront être établies, dans le second, entre les quantités $x-\mathrm {X} ,\,y-\mathrm {Y} ,\,z-\mathrm {Z} \,;$ et il en résulte que la fonction $f(x,y,z,\ldots )$ aura pour limite $f(\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots ),$ dans le cas même où les variables $x,y,z,\ldots$ seraient assujetties à certaines relations, pourvu que ces relations leur permettent de s’approcher indéfiniment des limites $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots .$
Supposons, pour fixer les idées, que $x,y,z,\ldots$ soient fonctions d’une même variable $t$ considérée comme indépendante, et continues par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur particulière
$t=\mathrm {T} .$
Si l’on fait, pour plus de commodité,
$f(x,y,z,\ldots )=u,$
$u$ sera ce qu’on appelle une fonction composée de la variable $t$ ; et, si
${\rm {X,\quad Y,\quad Z,\quad \ldots ,\quad U}}$
désignent respectivement ce que deviennent
$x,\quad y,\quad z,\quad \ldots ,\quad u$
dans le cas où l’on suppose $t=\mathrm {T} ,$ il est clair, d’une part, qu’une valeur de $t$ très voisine de $\mathrm {T}$ fournira pour $u$ une valeur unique et finie ; d’autre part, qu’il suffira de faire converger $t$ vers la limite T, pour que les variables $x,y,z,\ldots$ convergent vers les limites $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots ,$ et, par suite, la fonction $u=f(x,y,z,\ldots )$ vers la limite $\mathrm {U} =f(\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots ).$ On prouverait absolument de la même manière que, si l’on attribue à $t$ une valeur très voisine de $\mathrm {T} ,$ la valeur correspondante de la fonction $u$ sera la limite de laquelle cette fonction s’approchera indéfiniment, tandis que $t$ convergera vers la valeur donnée ; et l’on doit conclure que $u$ sera fonction continue de $t$ dans le voisinage de $t=\mathrm {T} .$ On peut donc énoncer le théorème suivant :
Théorème II. — Désignons par
$x,\quad y,\quad z,\quad \ldots$
plusieurs fonctions de la variable $t,$ qui soient continues par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur particulière $t=\mathrm {T} .$ Soient, de plus.
$\mathrm {X,\quad Y,\quad Z} ,\quad \ldots$
les valeurs particulières de $x,y,z,\ldots$ correspondantes à $t=\mathrm {T} \,;$ et supposons que, dans le voisinage de ces valeurs particulières, la fonction
$u=f(x,y,z,\ldots )$
soit en même temps continue par rapport à $x,$ continue par rapport à $y,$ continue par rapport à $z,\ldots \,;$ $u,$ considérée comme une fonction de $t,$ sera encore continue par rapport à $t$ dans le voisinage de la valeur particulière $t=\mathrm {T} .$
Si, dans le théorème précédent, on réduit les quantités variables $x,y,z,\ldots$ à une seule, $x,$ on obtiendra un nouveau théorème, qu’on peut énoncer comme il suit :
Théorème III.. — Supposons que, dans l’équation
$u=f(x).$
la variable $x$ soit fonction d’une autre variable $t.$ Concevons de plus que la variable $x$ soit fonction continue de $t$ dans le voisinage de la valeur particulière $t=\mathrm {T} ,$ et $u$ fonction continue de $x$ dans le voisinage de la valeur particulière $x=\mathrm {X}$ correspondante à $t=\mathrm {T} .$ La quantité $u,$ considérée comme fonction de $t,$ sera encore continue par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur particulière $t=\mathrm {T} .$
Supposons, par exemple,
$u=ax\quad {\text{et}}\quad x=t^{n},$
$a$ désignant une quantité constante, et $n$ un nombre entier. On conclura du théorème III que
$u=at^{n}$
est, entre des limites quelconques de la variable $t,$ fonction continue de cette variable.
De même, si l’on fait
$u={\frac {x}{y}},\qquad x=\sin t,\qquad y=\cos t,$
on conclura du théorème II que la fonction
$u=\operatorname {tang} t$
est continue par rapport à $t$ dans le voisinage d’une valeur finie quelconque de cette variable, toutes les fois que la valeur dont il s’agit n’est pas comprise dans la formule
$t=\pm 2k\pi \pm {\frac {\pi }{2}},$
$k$ désignant un nombre entier ; c’est-à-dire toutes les fois qu’à cette valeur de $t$ correspond une valeur finie de $\operatorname {tang} t.$ Au contraire, la fonction $\operatorname {tang} t$ admettra une solution de continuité, en devenant infinie, pour chacune des valeurs de $t$ comprises dans la formule précédente.
Supposons encore
${\begin{aligned}&u=a+x+y+z+\ldots ,\\&x=bt,\qquad y=ct^{2},\qquad \ldots ,\end{aligned}}$
$a,b,c,\dots$
$u$
$x,y,z,\dots$
$x,y,z,\dots$
$t$
$u=a+bt+ct^{2}+\cdots$
est elle-même continue par rapport à $t$ entre des limites quelconques. Par suite, comme $t=0$ donne $a=a$, si l’on fait converger $t$ vers la limite zéro, la fonction $u$ convergera vers la limite $a$ et finira par obtenir le même signe que cette limite, ce qui s’accorde avec le théorème IV du § I.
Une propriété remarquable des fonctions continues d’une seule variable, c’est de pouvoir servir à représenter en Géométrie les ordonnées de lignes continues droites ou courbes. De cette remarque on déduit facilement la proposition suivante :
Théorème IV. — Si la fonction $f(x)$ est continue par rapport à la variable x entre les limites $x=x_{0},$ $x=\mathrm {X} ,$ et que l’on désigne par $b$ une quantité intermédiaire entre $f(x_{0})$ et $f(\mathrm {X} ),$ on pourra toujours satisfaire à l’équation
$f(x)=b$
par une ou plusieurs valeurs réelles de $x$ comprises entre $x_{0}$ et $\mathrm {X} .$
Démonstration. — Pour établir la proposition précédente, il suffit de faire voir que la courbe qui a pour, équation
$y=f(x)$
rencontrera une ou plusieurs fois la droite qui a pour équation
$y=b$
dans l’intervalle compris entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses $x_{0}$ et $\mathrm {X} \,;$ or c’est évidemment ce qui aura lieu dans l’hypothèse admise. En effet, la fonction $f(x)$ étant continue entre les limites $x=x_{0}$, $x=\mathrm {X}$, la courbe qui a pour équation $y=f(x)$ et qui passe 1$^o$ par le point correspondant aux coordonnées $x_{0},f(x_{0}),$ 2$^o$ par le point correspondant aux coordonnées $\mathrm {X}$ et $f(\mathrm {X} ),$ sera continue entre ces deux points ; et, comme l’ordonnée constante $b$ de la droite qui a pour équation $y=b$ se trouve comprise entre les ordonnées $f(x_{0}),$ $f(\mathrm {X} )$ des deux points que l’on considère, la droite passera nécessairement entre ces deux points, ce qu’elle ne peut faire sans rencontrer dans l’intervalle la courbe ci-dessus mentionnée.
On peut, au reste, comme on le fera dans la Note III, démontrer le théorème IV par une méthode directe et purement analytique, qui a même l’avantage de fournir la résolution numérique de l’équation
$f(x)=b.$
Lorsque, pour un système de valeurs attribuées aux variables qu’elle renferme, une fonction d’une ou de plusieurs variables n’admet qu’une seule valeur, cette valeur unique se déduit ordinairement de la définition même de la fonction. S’il se présente un cas particulier dans lequel la définition donnée ne puisse plus fournir immédiatement la valeur de la fonction que l’on considère, on cherche la limite ou les limites vers lesquelles cette fonction converge, tandis que les variables s’approchent indéfiniment des valeurs particulières qui leur sont assignées ; et, s’il existe une ou plusieurs limites de cette espèce, elles sont regardées comme autant de valeurs de la fonetion dans l’hypothèse admise. Nous nommerons valeurs singulières de la fonction proposée celles qui se trouvent déterminées comme on vient de le dire. Telles sont, par exemple, celles qu’on obtient en attribuant aux variables des valeurs infinies, et souvent aussi celles qui correspondent à des solutions de continuité. La recherche des valeurs singulières des fonctions est une des questions les plus importantes et les plus délicates de l’Analyse : elle offre plus ou moins de difficultés, suivant la nature des fonctions et le nombre des variables qu’elles renferment.
Si d’abord on considère les fonctions simples d’une seule variable, on trouvera qu’il est facile de fixer leurs valeurs singulières. Ces valeurs correspondent toujours à l’une des trois hypothèses
$x=-\infty ,\qquad x=0,\qquad x=\infty ,$
et sont respectivement
${\begin{array}{c}&{\text{Pour}}\\&{\text{les}}\\&{\text{fonctions}}\end{array}}$
${\begin{alignedat}{3}a+x\quad &a{\text{ quelconque}}\ldots \quad &a+(-\infty )=&-\infty \qquad &\ldots \ldots \ldots &\qquad &a+\infty =&\ \quad \infty \\a-x\quad &a{\text{ quelconque}}\ldots &a-(-\infty )=&\ \quad \infty \qquad &\ldots \ldots \ldots &&a-\infty =&-\infty \end{alignedat}}$
$ax\ \ \left\{{\begin{alignedat}{4}&a{\text{ positif }}\ \ldots \ldots \quad \ &a\times (-\infty )=&-\infty \qquad &\ldots \ldots \ldots &\qquad &a\times \infty =&\ \quad \infty \\&a{\text{ négatif}}\ldots \ldots &a\times (-\infty )=&\ \quad \infty \qquad &\ldots \ldots \ldots &&a\times \infty =&-\infty \end{alignedat}}\right.$
${\frac {a}{x}}\;\left\{{\begin{alignedat}{4}&a{\text{ positif }}\ \ldots \ldots \quad \ &{\frac {a}{-\infty }}=&0\qquad \qquad \qquad &{\frac {a}{0}}=&\pm \infty \qquad &{\frac {a}{\infty }}\ =&0\\&a{\text{ négatif}}\ldots \ldots &{\frac {a}{-\infty }}=&0&{\frac {a}{0}}=&\mp \infty &{\frac {a}{\infty }}\ =&0\end{alignedat}}\right.$
$x^{a}\ \ \left\{{\begin{alignedat}{4}&a{\text{ positif}}&\ldots \ldots \qquad &\ldots \ldots \ldots &\qquad \qquad \quad \;\;&0^{a}=&0\qquad \quad \ \ &\infty ^{a}=&\infty \\&a{\text{ négatif}}&\ldots \ldots \qquad &\ldots \ldots \ldots &&0^{a}=&\infty \qquad \quad \ \ &\infty ^{a}=&0\end{alignedat}}\right.$
$\mathrm {A} ^{x}\ \ \left\{{\begin{alignedat}{4}&\mathrm {A} {\text{ sup. à l’unité}}\ldots \quad &\mathrm {A} ^{-\infty }=&0\qquad \qquad \quad &\mathrm {A} ^{0}=&1\qquad \quad \;\;&\mathrm {A} ^{\infty }=&\infty \\&\mathrm {A} {\text{ inf. à l’unité}}\ldots &\mathrm {A} ^{-\infty }=&\infty &\mathrm {A} ^{0}=&1&\mathrm {A} ^{\infty }=&0\end{alignedat}}\right.$
$\operatorname {L} (x)\left\{{\begin{alignedat}{4}&\left.{\begin{aligned}&{\text{Base des log. sup}}.\\&\quad {\text{à l’unité}}\ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\ldots \ldots \ldots \qquad \qquad \quad &\operatorname {L} (0)=&-\infty \quad &\operatorname {L} (\infty )=&\ \quad \infty \\&\left.{\begin{aligned}&{\text{Base des log. inf}}.\\&\quad {\text{à l’unité}}\ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\ldots \ldots \ldots \qquad \qquad \quad &\operatorname {L} (0)=&\ \quad \infty \quad &\operatorname {L} (\infty )=&-\infty \\\end{alignedat}$
${\begin{alignedat}{3}\sin x\quad &\ldots \ldots \ldots \ldots \quad &\sin(-\infty )=&\mathrm {M} ((-1,+1))\quad &\ldots \ldots &\quad &\sin(\infty )=&\mathrm {M} ((-1,+1))\\\cos x\quad &\ldots \ldots \ldots \ldots &\cos(-\infty )=&\mathrm {M} ((-1,+1))&\ldots \ldots &&\cos(\infty )=&\mathrm {M} ((-1,+1))\end{alignedat}}$
La notation $\mathrm {M} ((-1,+1))$ désigne ici, comme dans les préliminaires, une quelconque des quantités moyennes entre les deux limites
$-1\quad {\text{et}}\quad +1.$
Il est bon d’observer que, dans le cas où l’on suppose $a=\pm m,$ $m$ désignant un nombre entier, la fonction simple
$x^{a}$
admet constamment trois valeurs singulières, savoir :
${\begin{aligned}&{\text{ lorsque}}\\&a=+m\end{aligned}}\left\{{\begin{alignedat}{4}&m{\text{ étant un nombre pair}}.&(-\infty )^{m}\;\;=&\infty ,&0^{m}=&0,&\infty ^{m}=&\infty ,\\&m{\text{ étant impair}}\ldots \ldots \ldots &(-\infty )^{m}\;\;=&-\infty ,\ \quad &0^{m}=&0,\qquad \quad &\infty ^{m}=&\infty ,\end{alignedat}}\right.$
${\begin{aligned}&{\text{ lorsque}}\\&a=-m\end{aligned}}\left\{{\begin{alignedat}{4}&m{\text{ étant pair}}\ldots \ldots \ldots &(-\infty )^{-m}=&0,\quad &0^{-m}=&\infty ,\quad &\infty ^{-m}=&0,\\&m{\text{ étant impair}}\ldots \ldots \ldots &(-\infty )^{-m}=&0,\quad &((0))^{-m}=&\pm \infty ,\quad &\infty ^{-m}=&0,\end{alignedat}}\right.$
Considérons maintenant les fonctions composées d’une seule variable $x.$ Quelquefois il est aisé de trouver leurs valeurs singulières. Ainsi, par exemple, si l’on désigne par $k$ un nombre entier quelconque, on reconnaîtra sans peine que la fonction composée
$\operatorname {tang} x={\frac {\sin x}{\cos x}}$
a ses valeurs singulières comprises dans les trois formules
${\begin{aligned}&\operatorname {tang} ((\infty ))=\mathrm {M} ((-\infty ,+\infty )),\\&\operatorname {tang} \left(\left(2k\pi \pm {\frac {\pi }{2}}\right)\right)=\pm \infty ,\\&\operatorname {tang} ((-\infty ))=\mathrm {M} ((-\infty ,+\infty )),\end{aligned}}$
tandis que les valeurs singulières de la fonction inverse
$\operatorname {arc\,tang} x=\operatorname {arc\,sin} {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
sont respectivement
$\operatorname {arc\,tang} (-\infty )=-{\frac {\pi }{2}},\qquad \operatorname {arc\,tang} (\infty )={\frac {\pi }{2}}.$
Mais souvent aussi de semblables questions présentent de véritables difficultés. Par exemple, on n’aperçoit pas immédiatement comment on peut déterminer la valeur singulière de la fonction
$x^{x},$
$x=0,$
$x^{\frac {1}{x}},$
lorsqu’on prend $x=\infty .$ Pour donner une idée des méthodes qui conduisent à la solution des questions de cette espèce, je vais établir ici deux théorèmes à l’aide desquels on peut, dans un grand nombre de cas, déterminer les valeurs singulières que reçoivent les deux fonctions
${\frac {f(x)}{x}},\qquad \left[f(x)\right]^{\frac {1}{x}},$
lorsqu’on y suppose $x=\infty .$
Théorème I. — Si, pour des valeurs croissantes de $x,$ la différence
$f(x+1)-f(x)$
converge vers une certaine limite $k,$ la fraction
${\frac {f(x)}{x}}$
convergera en même temps vers la même limite.
Démonstration. — Supposons d’abord que la quantité $k$ ait une valeur finie, et désignons par $\varepsilon$ un nombre aussi petit que l’on voudra. Puisque des valeurs croissantes de $x$ font converger la différence
$f(x+1)-f(x)$
vers la limite $k,$ on pourra donner au nombre $h$ une valeur assez considérable pour que, $x$ étant égal ou supérieur à $h,$ la différence dont il s’agit soit constamment comprise entre les limites
$k-\varepsilon ,\qquad k+\varepsilon .$
Cela posé, si l’on désigne par $n$ un nombre entier quelconque, chacune des quantités
${\begin{aligned}&f(h+1)-f(h),\\&f(h+2)-f(h+1),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&f(h+n)-f(h+n-1),\end{aligned}}$
et, par suite, leur moyenne arithmétique, savoir
${\frac {f(h+n)-f(h)}{n}},$
se trouvera comprise entre les limites $k-\varepsilon ,$ $k+\varepsilon .$ On aura donc
${\frac {f(h+n)-f(h)}{n}}=k+\alpha ,$
$\alpha$ étant une quantité comprise entre les limites $-\varepsilon ,+\varepsilon .$ Soit maintenant
$h+n=x.$
L’équation précédente deviendra
| (1) | ${\frac {f(x)-f(h)}{x-h}}=k+\alpha ,$ |
et l’on en conclura
| (2) | ${\begin{aligned}f(x)=&f(h)+(x-h)(k+\alpha ),\\{\frac {f(x)}{x}}=&{\frac {f(h)}{x}}+\left(1-{\frac {h}{x}}\right)(k+\alpha ).\end{aligned}}$ |
De plus, pour faire croître indéfiniment la valeur de $x,$ il suffira de faire croître indéfiniment le nombre entier $n$ sans changer la valeur de $h.$ Supposons, en conséquence, que dans l’équation (2) on considère $h$ comme une quantité constante, et $x$ comme une quantité variable qui converge vers la limite. Les quantités
${\frac {f(h)}{x}},\qquad {\frac {h}{x}},$
renfermées dans le second membre, convergeront vers la limite zéro. et le second membre lui-même vers une limite de la forme
$k+\alpha ,$
$\alpha$ étant toujours compris entre $-\varepsilon$ et $+\varepsilon .$ Par suite, le rapport
${\frac {f(x)}{x}}$
aura pour limite une quantité comprise entre $k-\varepsilon$ et $k+\varepsilon .$ Cette conclusion devant subsister, quelle que soit la petitesse du nombre $\varepsilon ,$ il en résulte que la limite en question sera précisément la quantité $k.$ En d’autres termes, on aura
| (3) | $\lim {\frac {f(x)}{x}}=k=\lim \left[f(x+1)-f(x)\right].$ |
Supposons, en second lieu, $k=\infty .$ En désignant alors par $\mathrm {H}$ un nombre aussi grand que l’on voudra, on pourra toujours attribuer au nombre $h$ une valeur assez considérable, pour que, $x$ étant égal ou supérieur à $h,$ la différence
$f(x+1)-f(x),$
qui converge vers la limite $\infty ,$ devienne constamment supérieure à $\mathrm {H} \,;$ et, en raisonnant comme ci-dessus, on établira la formule
${\frac {f(h+n)-f(h)}{n}}>\mathrm {H} .$
Si maintenant on pose $h+n=x,$ on trouvera, au lieu de l’équation (2), la formule suivante
${\frac {f(x)}{x}}>{\frac {f(h)}{x}}+\mathrm {H} \left(1-{\frac {h}{x}}\right),$
de laquelle on conclura, en faisant converger $x$ vers la limite $\infty ,$
$\lim {\frac {f(x)}{x}}>\mathrm {H} .$
La limite du rapport
${\frac {f(x)}{x}}$
$\mathrm {H} ,$
Supposons enfin $k=-\infty .$ Pour ramener ce dernier cas au précédent, il suffira d’observer que, la différence
$f(x+1)-f(x)$
avant pour limite $-\infty ,$ la suivante
$\left[-f(x+1)\right]-\left[-f(x)\right]$
aura pour limite $+\infty .$ On en conclura que la limite de ${\frac {-f(x)}{x}}$ est égale à $+\infty ,$ et par suite celle de ${\frac {f(x)}{x}}$ à $-\infty .$
Corollaire I. — Pour montrer une application du théorème précédent, supposons
$f(x)=\operatorname {L} (x),$
$\mathrm {L}$ étant la caractéristique des logarithmes dans un système dont la base surpasse l’unité. On trouvera
$f(x+1)-f(x)=\operatorname {L} (x+1)-\operatorname {L} (x)=\operatorname {L} \left(1+{\frac {1}{x}}\right)$
et, par suite,
$k=\operatorname {L} \left(1+{\frac {1}{\infty }}\right)=\operatorname {L} (1)=0.$
On peut donc affirmer que, $x$ venant à croître indéfiniment, le rapport
${\frac {\operatorname {L} (x)}{x}}$
convergera vers la limite zéro ; et il en résulte que, dans un système dont la base est supérieure à l’unité, les logarithmes des nombres croissent beaucoup moins rapidement que les nombres eux-mêmes.
Corollaire II. — Supposons, en second lieu,
$f(x)=\mathrm {A} ^{x},$
$\mathrm {A}$
$f(x+1)-f(x)=\mathrm {A} ^{x+1}-\mathrm {A} ^{x}=\mathrm {A} ^{x}(\mathrm {A} -1)$
et, par suite,
$k=\mathrm {A} ^{\infty }(\mathrm {A} -1)=\infty .$
On peut donc affirmer que, $x$ venant à croître indéfiniment, le rapport
${\frac {\mathrm {A} ^{x}}{x}}$
converge vers la limite $\infty ,$ et il en résulte que l’exponentielle $\mathrm {A} ^{x},$ lorsque le nombre $\mathrm {A}$ surpasse l’unité, finit par croître beaucoup plus rapidement que la variable $x.$
Corollaire III. On doit observer, au reste, qu’il n’y a lieu à chercher par le théorème I la valeur du rapport
${\frac {f(x)}{x}},$
correspondante à $x=\infty ,$ que dans le cas où la fonction $f(x)$ devient infinie avec la variable $x.$ Si cette fonction restait finie pour $x=\infty ,$ le rapport ${\frac {f(x)}{x}}$ aurait évidemment zéro pour limite.
Je passe au théorème qui sert à déterminer dans plusieurs cas la valeur de
$\left[f(x)\right]^{\frac {1}{x}}$
pour $x=\infty .$ Voici en quoi il consiste :
Théorème II. — Si, la fonction $f(x)$ étant positive pour de très grandes valeurs de $x,$ le rapport
${\frac {f(x+1)}{f(x)}}$
converge, tandis que $x$ croît indéfiniment, vers la limite $k,$ l’expression
$\left[f(x)\right]^{\frac {1}{x}}$
convergera en même temps vers la même limite.
Démonstration. — Supposons d’abord que la quantité $k,$ nécessairement positive, ait une valeur finie, et désignons par $\varepsilon$ un nombre aussi petit que l’on voudra. Puisque des valeurs croissantes de $x$ font converger le rapport
${\frac {f(x+1)}{f(x)}}$
vers la limite $k,$ on pourra donner au nombre $h$ une valeur assez considérable pour que, $x$ étant égal ou supérieur à $h,$ le rapport dont il s’agit soit constamment compris entre les limites
$k-\varepsilon ,\qquad k+\varepsilon .$
Cela posé, si l’on désigne par $n$ un nombre entier quelconque, chacune des quantités
${\frac {f(h+1)}{f(h)}},\qquad {\frac {f(h+2)}{f(h+1)}},\quad \ldots \quad {\frac {f(h+n)}{f(h+n-1)}},$
et, par suite, leur moyenne géométrique, savoir
$\left[{\frac {f(h+n)}{f(h)}}\right]^{\frac {1}{n}},$
se trouvera comprise entre les limites $k-\varepsilon ,k+\varepsilon .$ On aura donc
$\left[{\frac {f(h+n)}{f(h)}}\right]^{\frac {1}{n}}=k+\alpha ,$
$\alpha$ étant une quantité comprise entre les limites $-\varepsilon ,+\varepsilon .$ Soit maintenant
$h+n=x.$
L’équation précédente deviendra
| (4) | $\left[{\frac {f(x)}{f(h)}}\right]^{\frac {1}{x-h}}=k+\alpha ,$ |
et l’on en conclura
$f(x)=f(h)(k+\alpha )^{x-h},$
| (5) | $[f(x)]^{\frac {1}{x}}=[f(h)]^{\frac {1}{x}}(k+\alpha )^{1-{\frac {h}{x}}}.$ |
$x,$
$n,$
$h.$
$h$
$x$
$\infty .$
$\left[f(h)\right]^{\frac {1}{x}},\qquad 1-{\frac {h}{x}},$
renfermées dans le second membre, convergeront vers la limite $1,$ et le second membre lui-même vers une limite de la forme
$k+\alpha ,$
$\alpha$ étant toujours compris entre $-\varepsilon$ et $+\varepsilon .$ Par suite, l’expression
$\left[f(x)\right]^{\frac {1}{x}}$
aura pour limite une quantité comprise entre $k-\varepsilon$ et $k+\varepsilon .$ Cette conclusion devant subsister, quelle que soit la petitesse du nombre $\varepsilon ,$ il en résulte que la limite en question sera précisément la quantité $k.$ En d’autres termes, on aura
| (6) | $\lim \left[f(x)\right]^{\frac {1}{x}}=k=\lim {\frac {f(x+1)}{f(x)}}.$ |
Supposons, en second lieu, la quantité $k$ infinie, c’est-à-dire, puisque cette quantité est positive, $k=\infty .$ En désignant alors par $\mathrm {H}$ un nombre aussi grand que l’on voudra, on pourra toujours attribuer au nombre $h$ une valeur assez considérable pour que, $x$ étant égal ou supérieur à $h,$ le rapport
${\frac {f(x+1)}{f(x)}},$
qui converge vers la limite $\infty ,$ devienne constamment supérieur à $\mathrm {H} \,;$ et, en raisonnant comme ci-dessus, on établira la formule
$\left[{\frac {f(h+n)}{f(h)}}\right]^{\frac {1}{n}}>\mathrm {H} .$
$h+n=x,$
$\left[f(x)\right]^{\frac {1}{x}}>\left[f(h)\right]^{\frac {1}{x}}\mathrm {H} ^{1-{\frac {h}{x}}},$
de laquelle on conclura, en faisant converger $x$ vers la limite $\infty ,$
$\lim \left[f(x)\right]^{\frac {1}{x}}>\mathrm {H} .$
La limite de l’expression
$\left[f(x)\right]^{\frac {1}{x}}$
sera donc supérieure au nombre $\mathrm {H} ,$ quelque grand qu’il soit. Cette limite, supérieure à tout nombre assignable, ne peut être que l’infini positif.
Nota. — On pourrait facilement démontrer l’équation (6), en cherchant par le théorème I la limite vers laquelle converge le logarithme
$\operatorname {L} \left[f(x)\right]^{\frac {1}{x}}={\frac {\operatorname {L} \left[f(x)\right]}{x}},$
et repassant ensuite des logarithmes aux nombres.
Corollaire I. Pour donner une application du théorème II, supposons
$f(x)=x\,;$
on aura
${\frac {f(x+1)}{f(x)}}={\frac {x+1}{x}}=1+{\frac {1}{x}},$
et, par suite, en passant aux limites,
$k=1.$
Donc, si l’on fait croître indéfiniment la variable $x,$ la fonction
$x^{\frac {1}{x}}$
convergera vers la limite 1.
Corollaire II. — Soit, en second lieu,
$f(x)=ax+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\ldots =\mathrm {P} ,$
en sorte que $\mathrm {P}$ désigne un polynôme en $x$ du degré $n.$ On trouvera
${\frac {f(x+1)}{f(x)}}={\frac {a\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{n}+{\frac {b}{x}}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{n-1}+{\frac {c}{x^{2}}}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{n-2}+\ldots }{a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots }}$
et, en passant aux limites,
$k={\frac {a}{a}}=1.$
Si donc $\mathrm {P}$ représente un polynôme entier quelconque, $\mathrm {P} ^{\frac {1}{x}}$ aura pour limite $1.$
Corollaire III. — Soit enfin
$f(x)=\operatorname {L} (x).$
On trouvera
${\frac {f(x+1)}{f(x)}}={\frac {\operatorname {L} (x+1)}{\operatorname {L} (x)}}={\frac {\operatorname {L} (x)+\operatorname {L} \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\operatorname {L} (x)}}=1+{\frac {\operatorname {L} \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\operatorname {L} (x)}}$
et, en passant aux limites,
$k=1.$
Par suite, $\left[\operatorname {L} (x)\right]^{\frac {1}{x}}$ a encore pour limite l’unité.
Les théorèmes I et II subsistent évidemment dans le cas même où la variable $x$ est considérée comme ne pouvant admettre que des valeurs entières. En effet, pour rendre applicables à ce cas particulier les démonstrations que nous avons données des deux théorèmes, il suffit de concevoir que la quantité désignée par $h$ dans chacune de ces démonstrations devienne un nombre entier très considérable. Si, dans le même cas, on représente les valeurs successives de la fonction $f(x)$ correspondantes aux diverses valeurs entières de $x,$ savoir
$f(1),\quad f(2),\quad f(3),\quad \ldots ,\quad f(n),$
par
$\mathrm {A_{1},\quad A_{2},\quad A_{3}} ,\quad \ldots \quad \mathrm {A} _{n},$
Théorème III. — Si la suite des quantités
$\mathrm {A_{1},\quad A_{2},\quad A_{3},\quad \ldots ,\quad A} _{n},\quad \ldots$
est telle que la différence entre deux termes consécutifs de cette suite, savoir
$\mathrm {A} _{n+1}-\mathrm {A} _{n},$
converge constamment, pour des valeurs croissantes de $n,$ vers une limite fixe $\mathrm {A} ,$ le rapport
${\frac {\mathrm {A} _{n}}{n}}$
convergera en même temps vers la même limite.
Théorème IV. — Si la suite des nombres
$\mathrm {A_{1},\quad A_{2},\quad A_{3},\quad \ldots ,\quad A} _{n},\quad \ldots$
est telle que le rapport entre deux termes consécutifs, savoir
${\frac {\mathrm {A} _{n+1}}{\mathrm {A} _{n}}},$
converge constamment, pour des valeurs croissantes de $n,$ vers une limite fixe $\mathrm {A} ,$ l’expression
$(\mathrm {A} _{n})^{\frac {1}{n}}$
convergera en même temps vers la même limite.
Pour montrer une application du dernier théorème, supposons
$\mathrm {A} _{n}=1.2.3\ldots n.$
La suite $\mathrm {A_{1},A_{2}} ,\ldots$ deviendra
$1,\quad 1.2,\quad 1.2.3,\quad \ldots ,\quad 1.2.3\ldots (n-1)n,\quad \ldots .$
et le rapport entre deux termes consécutifs de la même suite, savoir
${\frac {\mathrm {A} _{n+1}}{\mathrm {A} _{n}}}={\frac {1.2.3\ldots n(n+1)}{1.2.3\ldots n}}=n+1,$
$n,$
$\infty .$
$(\mathrm {A} _{n})^{\frac {1}{n}}=(1.2.3\ldots n)^{\frac {1}{n}}$
converge vers la même limite.
On trouverait, au contraire, que l’expression
$\left({\frac {1}{1.2.3\ldots n}}\right)^{\frac {1}{n}}$
converge, pour des valeurs croissantes de $n,$ vers la limite zéro.
Souvent, à l’aide des théorèmes I et II, on peut déterminer la valeur singulière que reçoit une fonction composée de la variable $x,$ tandis que cette variable s’évanouit. Ainsi, par exemple, si l’on veut obtenir la valeur singulière de $x^{x}$ correspondante à $x=0,$ il suffira de chercher la limite vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes de $x,$ l’expression $\left({\frac {1}{x}}\right)^{\frac {1}{x}}={\frac {1}{x^{\frac {1}{x}}}}.$ Cette limite, en vertu du théorème II (corollaire I), est égale à l’unité.
De même, on conclurait du théorème I (corollaire I) que la fonction
$x\operatorname {L} (x)$
s’évanouit avec la variable $x.$
Lorsque les deux termes d’une fraction sont des quantités infiniment petites, dont les valeurs numériques décroissent indéfiniment avec celle de la variable $\alpha ,$ la valeur singulière que reçoit cette fraction, pour $\alpha =0,$ est tantôt finie, tantôt nulle ou infinie. En effet, désignons par $k,k'$ deux constantes finies qui ne soient pas nulles, et par $\varepsilon ,\varepsilon '$ deux nombres variables qui convergent avec $\alpha$ vers la limite zéro. Deux infiniment petits, l’un de l’ordre $n,$ l’autre de l’ordre $n',$ pourront être représentés respectivement par
$k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon ),\qquad k'\alpha ^{n'}(1\pm \varepsilon '),$
${\frac {k'\alpha ^{n'}(1\pm \varepsilon ')}{k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon )}}={\frac {k'}{k}}{\frac {1\pm \varepsilon '}{1\pm \varepsilon }}\alpha ^{n'-n}={\frac {k'}{k}}{\frac {1\pm \varepsilon '}{1\pm \varepsilon }}{\frac {1}{\alpha ^{n-n'}}},$
aura évidemment pour limite
${\begin{array}{rll}{\frac {k'}{k}},&{\text{si l'on suppose}}&n'=n,\\0,&{\text{si l'on suppose}}&n'>n,\\\pm \infty ,&{\text{si l'on suppose}}&n'<n.\end{array}}$
On prouverait de même que la limite vers laquelle converge le rapport de deux quantités infiniment grandes, tandis que leurs valeurs numériques croissent indéfiniment avec celle d’une même variable $x,$ peut être nulle, finie ou infinie. Seulement, cette limite a un signe déterminé, constamment égal au produit des signes des deux quantités que l’on considère.
Parmi les fractions dont les deux termes convergent avec la variable $\alpha$ vers la limite zéro, on doit placer la suivante
${\frac {f(x+\alpha )-f(x)}{\alpha }},$
toutes les fois qu’on attribue à la variable $x$ une valeur dans le voisinage de laquelle la fonction $f(x)$ reste continue. En effet, dans cette hypothèse, la différence
$f(x+\alpha )-f(x)$
est une quantité infiniment petite. On peut même remarquer qu’elle est en général un infiniment petit du premier ordre, en sorte que le rapport
${\frac {f(x+\alpha )-f(x)}{\alpha }}$
converge ordinairement, tandis que la valeur numérique de $\alpha$ diminue, vers une limite finie différente de zéro. Cette limite sera, par exemple,
$2x,$
$f(x)=x^{2}$
et
$-{\frac {a}{x^{2}}},$
$f(x)={\frac {a}{x}}.$
$x=0,$
${\frac {f(x+\alpha )-f(x)}{\alpha }}$
se réduit à cet autre
${\frac {f(\alpha )-f(0)}{\alpha }}.$
Parmi les rapports de cette dernière espèce, nous nous bornerons ici à considérer le suivant
${\frac {\sin \alpha }{\alpha }}.$
Comme il peut être mis sous la forme
${\frac {\sin(-\alpha )}{-\alpha }},$
sa limite restera la même, quel que soit le signe de $\alpha .$ Cela posé, concevons que l’arc $\alpha$ reçoive une valeur positive très petite. La corde de l’arc double $2\alpha$ étant représentée par $2\sin \alpha ,$ on aura évidemment $2\alpha >2\sin \alpha$ et, par suite,
$\alpha >\sin \alpha .$
De plus, la somme des tangentes menées aux extrémités de l’arc $2\alpha$ étant représentée par $2\operatorname {tang} \alpha ,$ et formant une portion de polygone qui enveloppe cet arc, on aura encore $2\operatorname {tang} \alpha >2\alpha$ et, par conséquent,
$\operatorname {tang} \alpha >\alpha .$
En réunissant les deux formules qu’on vient d’établir, on trouvera
$\sin \alpha <\alpha <\operatorname {tang} \alpha \,;$
puis, en remettant pour $\operatorname {tang} \alpha$ sa valeur,
$\sin \alpha <\alpha <{\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$
et, par suite,
$1<{\frac {\alpha }{\sin \alpha }}<{\frac {1}{\cos \alpha }},$
$1>{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}>\cos \alpha .$
$\alpha$
$\cos \alpha$
$1\,:$
${\frac {\sin \alpha }{\alpha }}$
$1$
$\cos \alpha ,$
| (7) | $\lim {\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=1.$ |
La recherche des limites vers lesquelles convergent les rapports ${\frac {f(x+\alpha )-f(x)}{\alpha }},$ ${\frac {f(\alpha )-f(0)}{\alpha }}$ étant un des principaux objets du Calcul infinitésimal, nous ne nous y arrêterons pas davantage.
Il nous reste à examiner les valeurs singulières des fonctions de plusieurs variables. Quelquefois ces valeurs sont complètement déterminées et indépendantes des relations que l’on pourrait établir entre les variables. Ainsi, par exemple, si l’on désigne par
$\alpha ,\quad \beta ,\quad x,\quad y$
quatre variables positives, dont les deux premières convergent vers la limite zéro et les deux dernières vers la limite $\infty ,$ on reconnaîtra sans peine que les expressions
$\alpha \beta ,\quad xy,\quad {\frac {\alpha }{x}},\quad {\frac {y}{\beta }},\quad \alpha ^{y},\quad x^{y}$
ont pour limites respectives
$0,\quad \infty ,\quad 0,\quad \infty ,\quad 0,\quad \infty .$
Mais le plus souvent la valeur singulière d’une fonction de plusieurs variables ne peut être entièrement déterminée que dans le cas particulier où, en faisant converger ces variables vers leurs limites respectives, on établit entre elles certaines relations ; et, tant que ces relations ne sont pas fixées, la valeur singulière dont il s’agit est une quantité ou totalement indéterminée, ou seulement assujettie à rester comprise entre des limites connues. Ainsi, comme on l’a remarqué plus haut, la valeur singulière à laquelle se réduit le rapport de deux variables infiniment petites, dans le cas où chacune de ces variables s’évanouit, peut être une quantité quelconque finie, nulle ou infinie.
Afin de présenter une dernière application des principes qu’on vient d’établir, cherchons quelles valeurs il faut attribuer aux variables $x$ et $y$ pour que la valeur de la fonction
$y^{\frac {1}{x}}$
devienne indéterminée. Si l’on désigne par $\mathrm {A}$ un nombre supérieur à l’unité, et par $\mathrm {L}$ la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est $\mathrm {A} ,$ on aura évidemment
$y=\mathrm {A} ^{\operatorname {L} (y)},$
et, par suite,
$y^{\frac {1}{x}}=\mathrm {A} ^{\frac {\operatorname {L} (y)}{x}},$
Or il est clair que l’expression
$\mathrm {A} ^{\frac {\operatorname {L} (y)}{x}}$
convergera vers une limite indéterminée, lorsque le rapport
${\frac {\operatorname {L} (y)}{x}}$
convergera lui-même vers une semblable limite, ce qui arrivera dans deux cas différents, savoir : 1$^o$ lorsque $\operatorname {L} (y)$ et $x$ seront deux quantités infiniment petites, c’est-à-dire lorsque $x$ et $y$ auront pour limites respectives $0$ et $1\,;$ 2$^o$ lorsque $\operatorname {L} (y)$ et $x$ seront deux quantités infiniment grandes, c’est-à-dire lorsque, $x$ ayant une limite infinie, $y$ aura pour limite $0$ ou $\infty .$ Il est bon d’observer que, dans l’un et l’autre cas, la limite indéterminée de l’expression
$\mathrm {A} ^{\frac {\operatorname {L} (y)}{x}}=y^{\frac {1}{x}}$
sera nécessairement positive. Il peut même arriver que cette limite soit assujettie à demeurer comprise entre les valeurs extrêmes $0$ et $1,$ ou bien entre les suivantes $1$ et $\infty .$ Concevons, par exemple, que chacune des variables $x$ et $y$ converge vers la limite $\infty .$ Dans ce cas, la limite du rapport
${\frac {\operatorname {L} (y)}{x}}$
étant une quantité positive quelconque, celle de $y^{\frac {1}{x}}=\mathrm {A} ^{\frac {\operatorname {L} (y)}{x}}$ ne pourra être qu’une quantité moyenne entre $1$ et $\infty .$ Cette moyenne sera d’ailleurs indéterminée, tant que l’on n’établira pas entre les variables infiniment grandes $x$ et $y$ de relation particulière. Mais, si l’on suppose
$y=f(x),$
$f(y)$ désignant une fonction qui croisse indéfiniment avec la variable $x,$ alors la moyenne dont il s’agit, n’étant autre chose que la limite de
$\left[f(x)\right]^{\frac {1}{x}},$
obtiendra une valeur déterminée, que l’on pourra souvent calculer à l’aide du théorème II.
Si, au lieu de la fonction $y^{\frac {1}{x}},$ on eût considéré la suivante
$y^{x},$
on aurait trouvé que cette dernière devient indéterminée : 1$^o$ lorsque la variable $y$ converge vers la limite $1$ et la variable $x$ vers l’une des suivantes $-\infty ,\,+\infty \,;$ 2$^o$ lorsque, la variable $x$ ayant zéro pour limite, $y$ converge vers zéro ou vers l’infini positif.
Quelquefois on rencontre dans le calcul des expressions singulières qui ne peuvent être considérées que comme des limites vers lesquelles convergent des fonctions de plusieurs variables, tandis que ces mêmes variables deviennent infiniment petites ou infiniment grandes, ou même, plus généralement, convergent vers des limites fixes. Telles sont, par exemple, les expressions
$0\times 0,\quad {\frac {0}{0}},\quad \infty \times \infty ,\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad 0\times \infty ,\quad 0^{0},\quad 1^{\infty },\quad \ldots ,$
parmi lesquelles on doit regarder les deux premières comme les limites vers lesquelles convergent le produit et le rapport de deux variables infiniment petites, les deux suivantes comme les limites du produit et du rapport de deux variables positives infiniment grandes, etc. Si l’on considère en particulier les expressions singulières que produisent les fonctions
$x+y,\quad xy,\quad {\frac {x}{y}},\quad y^{x},\quad y^{\frac {1}{x}},$
on trouvera que les valeurs de ces mêmes expressions, lorsque les variables restent indépendantes, peuvent être aisément fixées par ce qui précède. Les équations qui serviront à déterminer ces valeurs seront respectivement
${\begin{array}{c}{\text{Pour}}&\\{\text{les}}&\\{\text{fonctions}}&\end{array}}$
$x+y\quad \ \ \infty +\infty =\infty ,\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \infty -\infty =\mathrm {M} ((-\infty ,+\infty ))\,;$
$xy\quad \left\{{\begin{array}{ll}0\times 0=0,&0\times \infty =0\times -\infty =\mathrm {M} ((-\infty ,+\infty )),\\\infty \times \infty =-\infty \times -\infty =\infty ,\quad &\infty \times -\infty =-\infty \,;\end{array}}\right.$
${\frac {x}{y}}\quad \left\{{\begin{array}{ll}{\frac {0}{0}}=\mathrm {M} ((-\infty ,+\infty )),&{\frac {0}{\infty }}={\frac {0}{-\infty }}=0,\qquad {\frac {\infty }{0}}={\frac {-\infty }{0}}=\pm \infty ,\\{\frac {\infty }{\infty }}={\frac {-\infty }{-\infty }}=\mathrm {M} ((0,\infty )),\;\;\qquad &{\frac {\infty }{-\infty }}={\frac {-\infty }{\infty }}=\mathrm {M} ((-\infty ,0))\,;\end{array}}\right.$
$y^{x}\quad \left\{{\begin{array}{ll}0^{0}=\infty ^{0}=\mathrm {M} ((0,\infty )),\quad \qquad &0^{\infty }=\infty ^{-\infty }=0,\\0^{-\infty }=\infty ^{\infty }=\infty ,&1^{\infty }=1^{-\infty }=\mathrm {M} ((0,\infty ))\,;\end{array}}\right.$
$y^{\frac {1}{x}}\ \ \left\{{\begin{array}{ll}0^{\frac {1}{0}}=\infty ^{\frac {1}{0}}=0\quad {\text{ou}}\quad \infty ,\qquad &0^{\frac {1}{\infty }}=\infty ^{\frac {1}{-\infty }}=\mathrm {M} ((0,1)),\\0^{\frac {1}{-\infty }}=\infty ^{\frac {1}{\infty }}=\mathrm {M} ((1,\infty )),&1^{\frac {1}{0}}=\mathrm {M} ((0,\infty )).\end{array}}\right.$