# Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Chapitre I
## PREMIÈRE PARTIE. ANALYSE ALGÉBRIQUE.
### CHAPITRE I. DES FONCTIONS RÉELLES.
#### § I. — Considérations générales sur les fonctions.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, la valeur de l’une d’elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d’entre elles, qui prend alors le nom de variable indépendante ; et les autres quantités exprimées au moyen de la variable indépendante sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable.
Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, les valeurs de quelques-unes étant données, on puisse en conclure celles de toutes les autres, on conçoit ces diverses quantités exprimées au moyen de plusieurs d’entre elles, qui prennent alors le nom de variables indépendantes ; et les quantités restantes, exprimées au moyen des variables indépendantes, sont ce qu’on appelle des fonctions de ces mêmes variables.
Les diverses expressions que fournissent l’Algèbre et la Trigonométrie, lorsqu’elles renferment des variables considérées comme indépendantes, sont autant de fonctions de ces mêmes variables. Ainsi, par exemple,
$\operatorname {L} (x),\quad \sin x,\dots$ sont des fonctions de la variable $x$; $x+y,\quad x^{y},\quad xyz,\quad \dots$ des fonctions des variables $x$ et $y$ ou $x$, $y$ et $z,\;\dots$.
Lorsque des fonctions d’une ou de plusieurs variables se trouvent, comme dans les exemples précédents, immédiatement exprimées au moyen de ces mêmes variables, elles sont nommées fonctions explicites. Mais, lorsqu’on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c’est-à-dire les équations auxquelles ces quantités doivent satisfaire, tant que ces équations ne sont pas résolues algébriquement, les fonctions, n’étant pas exprimées immédiatement au moyen des variables, sont appelées fonctions implicites. Pour les rendre explicites, il suffit de résoudre, lorsque cela se peut, les équations qui les déterminent. Par exemple, $y$ étant une fonction implicite de $x$ déterminée par l’équation $\operatorname {L} (y)=x,$ si l’on nomme $\mathrm {A}$ la base du système de logarithmes que l’on considère, la même fonction, devenue explicite par la résolution de l’équation donnée, sera $y=\mathrm {A} ^{x}.$
Lorsqu’on veut désigner une fonction explicite d’une seule variable $x$ ou de plusieurs variables $x,\;y,\;z,\;\dots$, sans déterminer la nature de cette fonction, on emploie l’une des notations $f(x),\quad \operatorname {F} (x),\quad \varphi (x),\quad \chi (x),\quad \psi (x),\quad \omega (x),\quad \dots ,$ $f(x,y,z,\dots ),\quad \operatorname {F} (x,y,z,\dots ),\quad \varphi (x,y,z,\dots ),\quad \dots .$
Pour qu’une fonction d’une seule variable soit complètement déterminée, il est nécessaire et il suffit que de chaque valeur particulière attribuée à la variable on puisse déduire la valeur correspondante de la fonction. Quelquefois, pour chaque valeur de la variable, la fonction donnée en obtient plusieurs différentes les unes des autres. Conformément aux conventions adoptées dans les préliminaires, nous désignerons d’ordinaire ces valeurs multiples d’une fonction par des notations dans lesquelles la variable sera entourée de doubles traits ou de doubles parenthèses. Ainsi, par exemple, $\operatorname {arc\ sin} ((x))$ indiquera un quelconque des arcs qui ont $x$ pour sinus ; ${\sqrt {\sqrt {x}}}=\pm {\sqrt {x}}$ l’une quelconque des deux racines carrées de la variable $x$ supposée positive, etc.

#### § II. — Des fonctions simples.

Parmi les fonctions d’une variable $x$, on appelle simples celles qui résultent d’une seule opération effectuée sur cette variable. Les fonctions simples que l’on considère ordinairement en Analyse sont en très petit nombre, et se rapportent les unes à l’Algèbre, les autres à la Trigonométrie. L’addition et la soustraction, la multiplication et la division, l’élévation aux puissances et l’extraction des racines, enfin la formation des exponentielles et des logarithmes produisent les fonctions simples qui se rapportent à l’Algèbre. En conséquence, si l’on désigne par $\mathrm {A}$ un nombre constant, et par $a=\pm \mathrm {A}$ une quantité constante, les fonctions algébriques simples de la variable $x$ seront
$a+x,\quad a-x,\quad ax,\quad {\frac {a}{x}},\quad x^{a},\quad \mathrm {A} ^{x},\quad \operatorname {L} (x).$ Nous ne tenons pas ici compte des racines, parce qu’on peut toujours les ramener aux puissances. Quant aux fonctions simples qui se rapportent à la Trigonométrie, on pourrait en compter un grand nombre, si l’on rangeait parmi les fonctions simples toutes les lignes trigonométriques et les arcs qui correspondent à ces mêmes lignes ; mais nous les réduirons aux quatre suivantes $\sin x,\;\cos x,$ $\operatorname {arc\ sin} x,\quad \operatorname {arc\ cos} x,$ et nous mettrons au nombre des fonctions composées les autres lignes trigonométriques $\operatorname {tang} x,\;\operatorname {\mathrm {s{\acute {e}}c} } x,\;\dots$ avec les arcs correspondants $\mathrm {arc\ tang} \ x,\;\mathrm {arc\ s{\acute {e}}c} \ x,\;\dots ,$ attendu que ces dernières lignes peuvent toujours être exprimées par le moyen du sinus et du cosinus. Nous pourrions même, à la rigueur, réduire les deux fonctions simples $\sin x$ et $\cos x$ à une seule, puisqu’elles sont liées entre elles par l’équation $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ ; mais l’emploi de ces deux fonctions est si fréquent, qu’il est utile de les conserver toutes deux à la fois dans le calcul comme fonctions simples.

#### § III. — Des fonctions composées.

Les fonctions qui se déduisent d’une variable à l’aide de plusieurs opérations prennent le nom de fonctions composées ; et l’on distingue parmi ces dernières les fonctions de fonctions qui résultent de plusieurs opérations successives, la première opération étant effectuée sur la variable, et chacune des autres sur le résultat de l’opération précédente. En vertu de ces définitions, $x^{x},\quad {\sqrt[{x}]{x}},\quad {\frac {lx}{x}},\quad \dots$ sont des fonctions composées de la variable $x$ ; et $l(\sin x),\quad l(\cos x),\quad \dots$ des fonctions de fonctions, dont chacune résulte de deux opérations successives.
Les fonctions composées se distinguent les unes des autres par la nature des opérations qui les produisent. Il semble que l’on devrait nommer fonctions algébriques toutes celles que fournissent les opérations de l’Algèbre ; mais on a réservé particulièrement ce nom à celles que l’on forme en n’employant que les premières opérations algébriques, savoir, l’addition et la soustraction, la multiplication et la division, enfin l’élévation à des puissances fixes ; et, dès qu’une fonction renferme des exposants variables ou des logarithmes, elle prend le nom de fonction exponentielle ou logarithmique.
Les fonctions que l’on nomme algébriques se divisent en fonctions rationnelles et fonctions irrationnelles. Les fonctions rationnelles sont celles dans lesquelles la variable ne se trouve élevée qu’à des puissances entières. On appelle, en particulier, fonction entière tout polynôme qui ne renferme que des puissances entières de la variable, par exemple, $a+bx+cx^{2}+\dots ,$ et fonction fractionnaire on fraction rationnelle le quotient de deux semblables polynômes. Le degré d’une fonction entière de $x$ est l’exposant de la plus haute puissance de $x$ dans cette même fonction. La fonction entière du premier degré, savoir $a+bx$ s’appelle aussi fonction linéaire, parce que, dans l’application à la Géométrie, on s’en sert pour représenter l’ordonnée d’une ligne droite. Toute fonction entière ou fractionnaire est par cela même rationnelle, et toute autre espèce de fonction algébrique est irrationnelle.
Les fonctions que produisent les opérations de la Trigonométrie sont désignées sous le nom de fonctions trigonométriques ou circulaires.
Les divers noms que l’on vient d’attribuer aux fonctions composées d’une seule variable s’appliquent également aux fonctions de plusieurs variables, lorsque ces dernières fonctions jouissent, par rapport à chacune des variables qu’elles renferment, des propriétés que supposent les noms dont il s’agit. Ainsi, par exemple, tout polynôme qui ne contiendra que des puissances entières des variables $x,\;y,\;z,\;\dots ,$ sera une fonction entière de ces variables. On appelle degré de cette fonction entière la somme des exposants des variables dans le terme où cette somme est la plus grande. Une fonction entière du premier degré, telle que $a+bx+cy+dz+\dots ,$ prend le nom de fonction linéaire.
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