# Commentaires des Principes de Newton - Solution analytique, 1
### SOLUTION ANALYTIQUE DES PRINCIPAUX Problêmes qui concernent le Syſtême du Monde.
#### SECTION PREMIERE. Des Trajectoires dans toutes ſortes d’hypothèſes de peſanteur.
##### I.

SI un corps part d’un point quelconque avec une vîteſſe & une direction données, & qu’il ſoit continuellement ſollicité vers un centre par une force qui agiſſe ſuivant une loi quelconque des diſtances à ce centre, tous les eſpaces renfermés entre deux rayons quelconques (qu’on appelle rayons vecteurs) & l’arc de la courbe qu’ils comprennent, ſont égaux, lorſque les arcs qui les terminent ſont parcourus en tems égal.
Si le corps étant parti de $M$, ſe trouvoit en $m$ au bout du premierFig. I. inſtant, & que la force qui le porte dans la ligne $Mmn$, agit ſeule ſur lui, ce corps par ſon inertie ſeroit en $n$ à la fin du ſecond inſtant égal au premier ; car on ſuppoſe $Mm=mn$ ; mais le corps étant continuellement ſollicité vers le centre $C$, obéira à chacune de ces deux forces ſelon la quantité de leur action ſur lui : exprimant donc la force qui le porte vers $C$ par $n\mu$, le corps au lieu d’être en $n$ à la fin du ſecond inſtant, ſera en $\mu$, & parcourra la diagonale $m\mu$ du parallélogramme $mn\mu o$ fait ſur les forces $mn$ & $n\mu$.
Les triangles $CMm$, $Cmn$ ayant des baſes égales ſont égaux : Fig. 2. 118
les triangles C’mn, Cmp qui ont la même baſe & qui font entre mêmes paralléles font auſſi égaux ; donc le triangle CMm=le triangle Cmμ : or comme on peut faire le même raiſonnement fur tous les triangles ou ſecteurs que le corps peut décrire autour du centre C dans des inftans égaux, les ſommes de ces petits triangles, ou les ſecteurs finis compoſés de ces petits ſecteurs feront proportionnels aux nombres des inftans, ou aux tems entiers dans leſquels ils feront parcourus. C. Q. F. D. Cette propoſition eſt la premiere du Livre des Principes, & c’eſt ce qu’on appelle la premiere analogie de Kepler. I I. PROPOSITION II. THEORÉME II. Si un corps parcourt autour d’un centre des aires proportionnelles au tems, ſes viteſſes aux différens points de la courbe qu’il décrit feront en raiſon réciproque des perpendiculaires tirées du centre ſur les tangentes à ces points. Les triangles ou ſecteurs C Mm, CN n décrits en tems égal, font CHx Mm CIX Nn égaux par la Prop. 1. Ainfi d’où l’on > 2 2 tire Mm : Nn ::CI : CH ; mais Mm : Nn comme la vîteffe par Mm eſt à la vîteffe par Nn, puiſque ces petites portions de courbe font parcourues en tems égal par l’hypothèſe ; donc les vîteffes font entr’elles en raiſon inverſe des perpendiculaires. C. Q. F. D. 1 1 1. PROPOSITION III. THEORÉME III. 75 Les forces par leſquelles le corps révolvant autour du centre C eſt attir vers le centre en deux lieux quelconques m & P de la courbe M P = font entr’elles comme les petites fléches ny. & pa, lorſque les ſecteurs Cmp, CP= font égaux, & ſi ces ſecteurs ne font pas de même ſuperficie, les forces feront comme les fléches nµ, pa diviſées par les quarrés des ſec-teurs Cm, CPT. 119 La première partie de cette proposition, fait savoir que, quand les vecteurs sont égaux, on a F : q ::nµ : p est si claire par elle-même, & suit avec une telle évidence de la prop. 1. qu’elle n’a pas besoin d’être démontrée. Quant à la seconde partie, c’est-à-dire, que lorsque les vecteurs sont inégaux, on a F:f::${\frac {nu}{Cmu}}^{2}$:${\frac {pu}{CP}}^{2}$ en voici la démonstration. Je fais le vecteur Cme égal au vecteur CPT, & alors on aura par la première partie de cette proposition F : 0 ::10 : pm ; j’ai donc à prouver que 8 : pr :: 12 U. 12 μl CITL the
72 11. Cmp 2 : PT CPT
PT Cm μ СР п 2 2 2 > en voici la démonfou :: ܐ
рт Cm62 2 2 c’est-à-dire, que 10 : nu ::Cm0 : Cm µ, ou enfin que te : nu :: 2 me : m : mais à cause des triangles semblables o nµ, heb on a nμ : t ::op. 0h, la seconde partie de cette proposition fera donc -7 prouvée, ſi on fait voir que o p. : 0 h ::m µ : mê, ce qui fera facile en regardant my 0 comme un petit arc de cercle. Car les petits arcs mp, mè étant pris pour leurs cordes, on fçait que leurs quarrés doivent être entr’eux comme leurs ſinus verſes. C. Q. F. D. I V. SCHOLI E. Les espaces étant proportionnels aux tems, la proposition précédente peut encore s’énoncer ainſi. Les forces en deux lieux différens d’une même courbe font entr’elles en raiſon directe des fléches qu’elles font parcourir, & inverſe des quarrés des tems dans leſquels elles font parcourues. Sous cet énoncé la propoſition a cet avantage qu’elle convient également au cas où l’on compare les forces en deux lieux de la même courbe, & celui où il s’agit de les comparer dans deux points de différentes courbes. La démonſtration en eſt facile en combinant ces deux propoſitions : car ſi l’on prend les tems égaux dans les deux courbes, les forces font comme les fléches, & Fig. 3. 120
fi on les ſuppoſe inégaux dans la même courbe, les fléches diviſées par les quarrés des tems repréſentent les forces. V. PROPOSITION IV. THE ORÉME IV. Trouver l’expreſſion générale des fléches n µ. p. Je tire les tangentes HM, h m aux points M & m, & du centre C j’abaiſſe ſur les tangentes les perpendiculaires CH, Ch, ayant mené enſuite K perpendiculaire ſur mn, décrit l’arc de cercle Dd du rayon quelconque CD. Je fais CH=p. ho=dp. AM=s. Mm=ds. CM=y. mR=dy. CD=1. Dd=dx. Les triangles ſemblables CHM, MRm donnent CM : HM ::Mm. Rm, c’efty dy à-dire, y : HM ::ds : dy, donc =HM= =om : D’un auds. tre côté les triangles ſemblables hom, m Kµ donnent om : ho :: dpd s² mp. : Kμ, c’est-à-dire, ydy : dp ::ds= = Kµ. Enfin ydy ds Fon a par les triangles ſemblables MRm, Kn µ ; MR : M m :: dpd s³ c’eſt à-dire dpd s² dx : ds :: y dy
y² dydx Ku : nus C. Q.F.T. لاد VI. COROLLAIRE I Les triangles ſemblables CHM, MR m donneront la valeur de P ou de CH : car on aura Mm : MR ::CM : CH, c’eſt-à-dire dp ds³ =P2 donc l’expreſſion précédente yydx ds : y
    y dx ::y : ~
ds yydxdy peut s’écrire ainſi dpdsz pdy fls. = 12 1₂ V-I I. COROLLAIRE II. On a trouvé (Art. 3.) que l’expreſſion de la force centripéte aux aux différents points de la même courbe eſt ${\frac {\mu \eta }{{\bar {Cm\mu }}^{2}}}$, mais les ſecteurs $Cm\mu$ ont pour valeur $pds$, donc la force centripéte eſt proportionnelle à ${\frac {\frac {dpds^{2}}{pdy}}{ppds^{2}}}$ qui ſe réduit à ${\frac {dp}{p^{3}dy}}$ expreſſion générale de la force centripéte à un point quelconque de la courbe décrite.

##### VIII.

L’expreſſion générale de la petite flèche $\mu \eta$ étant (art. 6.) ${\frac {dpds^{2}}{pdy}}$, puiſqu’on a trouvé (Article 6.) que quand on veut comparer les forces dans les courbes différentes, lorſque les temps ſont différents, ces forces ſont entre elles comme les flèches diviſées par les carrés des temps ; l’expreſſion générale pour comparer les forces dans deux courbes différentes, quand les temps ſont inégaux, eſt ${\frac {dpds^{2}}{pdydt^{2}}}$.

##### IX.

Trouver l’expreſſion de la force centripète dans l’ellipſe, en prenant un des foyers pour centre des forces.
L’équation polaire de l’ellipſe par rapport au foyer, eſt Fig. 6. 7.
bdy yV 2 ay yy-bi donc la perpendiculaire p ou da fera = Yy dx ds 122 dx= conſéquent d p = 'g': . 1 ou

###### ainſi dans ce cas ds=dyV zay-yy

Vzay-yy-bb & par- dp 3 p³ dy y qui eſt (art. 7.) 2 ay y y l'expreſſion générale de la force centripéte devient en ce cas C. Q.F.T. aby dy bº ds 2 a' a' a bbyy On voit donc que dans cette courbe la force centripéte agit en raiſon inverſe du quarré de la diſtance au centre des forces. www. ܂ X. PROPOSITION VI. THEORÉME IV. Si deux corps attirés par une même force centrale décrivent deux ellip- ſes, leurs viteſſes dans leur moyenne diſtance du centre feront en raiſon renverſée des racines de ces moyennes diſtances. Soient deux ellipſes A D B, A' D' B' ayant pour centres C & Cª pour foyers F & F ;FD=AC,FD'=A'C', pour moyennes diſtan- ces à leur foyer F & F¹; DK, D'K', pour rayons de la développée au point D & D': on ſçait que eg eſt troiſiéme proportionnelle à DK & à D d, de même que eg' à D' K³ & D' d'; faiſant donc les lignes FD = a, F¹ D'=d. FL=b. FL=b. Dd=ds. a' a bds2 D'd = ds'. DK=¹ª. D' R' = 4ª² -. on aura e g = bdy YV zay-yy-bb ay-bb 5, aura pour valeur -, donc cy.

###### donc

by zay-yy ds a a
    mais les triangles ſemblables LFD, efg: UFD',
ou dx fera d (ay-bb) су √(1—(ay—bb) c'y' & $e'f'g'$ donneront $eg:fg::LF::FD$ & $e'g'::f'g'::L'F':F'D'$, c’est-à-dire ${\frac {bds^{2}}{aa}}:fg::b:a$, & ${\frac {b'ds'^{2}}{a'a'}}::f'g'::b':a'$, donc $fg={\frac {ds^{2}}{a}}$ & $f'g'={\frac {ds'^{2}}{a'}}$, ce qui donne $ds^{2}::ds'^{2}::a\times fg:a'\times f'g'$; mais les flèches $fg$ & $f'g'$ proportionnelles aux forces ſont entr’elles, par ce qu’on vient de trouver, dans la raison de ${\frac {1}{aa}}$ à ${\frac {1}{a'a'}}$, donc $ds^{2}::ds'^{2}::{\frac {I}{a}}::{\frac {I}{a'}}$, ou, ce qui revient au même, $ds:ds'::{\frac {1}{\sqrt {a}}}:{\frac {1}{\sqrt {a'}}}$, & comme les petits espaces $ds,ds'$ ſont entr’eux dans la même raison que les vîteſſes qui les font parcourir, on aura donc, la vîteſſe en $D$ : la vîteſſe en $D'::{\frac {1}{\sqrt {a}}}:{\frac {1}{\sqrt {a'}}}$, c’est à-dire en raison renverſée des moyennes distances. C. Q. F. D.

##### XI.

Les tems périodiques dans deux courbes différentes font entr’eux comme les racines quarrées des cubes des moyennes diſtances au centre, lorſque lintenſité des forces eſt la même.
Gardant les mêmes dénominations que dans la propoſition précédente, ${\frac {1}{2bds}}$ ſera l’expreſſion du petit triangle ou ſecteur $FDd$, & ${\frac {1}{2abc}}$ celle de l'aire entiere de l'ellipſe ($c$ exprimant le rapport de la circonférence au rayon.) On aura donc en nommant $dt$ le temps par $Dd$ & $T$ le temps total ; $dt:T::{\frac {1}{2}}bds::{\frac {1}{2}}abc$ ; mais au lieu de $ds$ on peut mettre $udt$ donc $dt:T::udt:ac$, d’où l’on tire $T={\frac {ac}{u}}$, c’eſt-à-dire, les temps en raiſon directe des moyennes distances, & en raison renverſée des vîteſſes : mais (Article 10.) les vîteſſes dans les ellipſes en $D$ & $D'$ ſont en raison renversée des racines des moyennes distances, lorsque l'intenſité des forces eſt la même ; donc les temps périodiques font comme les racines quarrées des cubes des moyennes distances, lorsque l’intenſité des forces est la même. C. Q. F. D. Cette proposition démontre ce qu’on appelle la seconde analogie de Kepler.

### PROPOSITION VIII. PROBLÈME III.

Comparer les vîteſſes dans deux courbes, lorsque l'intenſité des forces eſt différente.
Kg. 8. <>. Je suppose d’abord l’ellipſe $AM$ parcourue dans le cas où la force centrale a pour intensité $n$, c’est-à-dire, lorsque la force en $M$ est exprimée par ${\frac {n}{yy}}\ (CM=y)$[illisible]. Je ſuppoſe ensuite cette courbe parcourue dans le cas où la force ſeroit ${\frac {n'}{yy}}$, & je commence par chercher en quelle raison la vîteſſe au point $M$ dans le premier cas, doit être à la vîteſſe au même point dans le ſecond cas. L’expression ${\frac {\mu n}{dt^{2}}}$ qui déſigne (Article 4.) en général la force centripète, ſera dans le premier cas ${\frac {n}{yy}}$, & dans le ſecond, ${\frac {n'}{yy}}$, ou, ce qui revient au même, à cauſe de $dt^{2}={\frac {ds^{2}}{u^{2}}}$ on aura qui u’ — dans le premier cas, se ds’ y y yyxpn
Tt d s ^
A’ ■=. — dans le fécond ; mais v, d j, /* g étant les mêmes yyxpn
dans CCS deux cas, puisque c’est la même courbe, on aura alors a : w’ : : V » : V g’i De plus on a vû (Prop. 6.) que dans deux eUipfes différentes, la vîteflè « en Af est à la vîteflè a’ en Af’, lorfque l’intcnfité de se force est se même, comme à > composent composant donc ces deux propositions ensemble, on verra que dans deux courbes différentes, & dans lesquelles l’intensité de la force est différente, on aura $u:u'::{\frac {\sqrt {n}}{\sqrt {CM}}}:{\frac {\sqrt {n'}}{\sqrt {C'M'}}}$ C.Q.F.T.

##### XIII.

Trouver les temps périodiques dans deux ellipfes différentes, lerfqut Kg. S. 9. Vinterifité des forces est aussi différente, Lorsque daus la même courbe l’intensité de la force est différente, on a (Article iz.) « : d : :V n i V n -, ot, puisque dt = on aura : ^7^ : : dt i dé, Sc par conséquent z : t : é, c’est-à-dire que les temps périodiques Ibnt inversement comme les racines des intensités des forccs, lorsque les courbes font les mêmes. Mais (Article n.) lorsque les intensités font les mêmes Sc les courbes différentes, les tems périodiques font 3. X
comme C M ’ 8c C M ’, composant donc ces deux raisons, on aura les tems périodiques dans la raison de à lorfl Ir tt w Jt
que les intensités Sc les ellipfcs font différentes. C. Q. F, T.

##### XIV.

Puifque dans deux ellipfes différentes, Sc avec des forces d’ia- Rg. 8.9. X I
tenfité différente, ©n a T : T :: , on aura CM : y n y n
CM ! : : c’est-à-dire, que Ifes moyennes distances feront entr’elles, comme les racines cubes des quarrés des tems périodiques, multipliées par les racines cubes des maffes.
X V.
PROPOSITION X. PROBLEME V.
Trouver l’expreſſion de la force centripéte dans l’hyperbole, en prenant un foyer pour centre des forces.
L’équation polaire de l’hyperbole eſt pour le foyer dx = ainſi dans ce cas d s bdy y vzaytyy-bb" & par conſéquent p. ou ds yydx fera = abydy dp= dp p³ dy qui eſt l’expreſſion géné- 2 ay + y y rale de la force centripéte trouvée ( Article 7.) devient lorſque acea C ay-ac+aa C b b ay су & partant dx ou > " 홀 a la courbe eſt une hyperbole bbyy c’eſt-à-dire que dans cette courbe comme dans l’ellipſe, la force agit dans la raiſon inverſe des quarrés des diſtances.
X V I.
PROPOSITION XI. PROBLEME VI.
Trouver l’expreſſion de la force centripéte dans la parabole, lorſque le foyer eſt le centre des forces. L’équation polaire de la parabole, eſt pour le foyer $dx=$ ${\frac {cdy}{y{\sqrt {cy-cc}}}}$, ainſi dans ce cas $ds={\frac {dy{\sqrt {cy}}}{\sqrt {cy-cc}}}$, & par conſéquent $p$ ou ${\frac {yydx}{ds}}$ ſera $={\sqrt {cy}}$ qui donne $dp={\frac {cdy}{2{\sqrt {cy}}}}$, donc ${\frac {dp}{p^{3}dy}}$ qui eſt (Art. 7), l’expreſſion générale de la force centripéte à un point quelconque de la courbe quelconque, devient ici ${\frac {1}{cyy}}$ ; donc la force centripète dans la parabole, lorſque le centre des forces eſt dans le foyer, eſt encore en raiſon renverſée du quarré de la diſtance. C. Q. F. T.

##### XVII.

Trouver la courbe décrite par un corps qu’on ſuppoſe parti d’un point donné avec une viteſſe & une direction données, lorsque ce corps eſt continuellement ſollicité vers un centre par une force qui agit comme une fonction quelconque de la diſtance à ce centre, & dont l’intenſité eſt donnée.
On a trouvé (Art. 8.) que lorſqu’on veut comparer la force dans deux courbes différentes, l’expreſſion est ${\frac {dpds^{2}}{pdydt^{2}}}$. Lorſque les tems ſont inégaux, il faut commencer par chaſſer l’élément $dt^{2}$ par les conditions du problême qu’on ſe propoſe actuellement, qui ſont, que la vîteſſe & la direction du corps ſoient données au point d’où il part.
Fig. 12.Je fais les lignes $M\mu =ds$. $CR=p$. La vîteſſe au point $P$ d’où part le corps $=f$. Le rayon vecteur en ce point $CP=h$. La perpendiculaire à la tangente au même point $CQ=l$. Par l’Art. 1. les ſecteurs ſont proportionnels aux temps : ainſi on aura $CPp:CM\mu ::{\frac {Pp}{f}}:{\frac {pds}{lf}}=$ au temps par l’arc $M\mu =dt$, donc ${\frac {dpds^{2}}{pdydt^{2}}}$ devient ${\frac {l^{2}f^{2}dp}{p^{3}dy}}$. Il faut égaler à préſent cette expreſſion générale d’une force quelconque, à la fonction de $y$, qu’on ſuppoſe exprimer la force par les conditions du Problême.
Soit pris $Y$ pour repréſenter cette fonction, on aura pour l’équation de la courbe cherchée ${\frac {l^{2}f^{2}dp}{p^{3}dy}}=Y$, ou $Ydy={\frac {l^{2}f^{2}dp}{p^{3}}}$ qu’il ne s’agit plus que d’intégrer, ce qui donne ${\frac {2B-2fYdy}{l^{2}f^{2}}}={\frac {1}{p^{2}}}$, dans laquelle équation $B$ eſt une conſtante ajoutée ; or $p$ eſt $={\frac {yydx}{\sqrt {yydx^{2}+dy^{2}}}}$ & partant ${\frac {1}{p^{2}}}={\frac {yydx^{2}+dy^{2}}{y^{4}dx^{2}}}$, on aura donc ${\frac {2By^{4}-2y^{4}\int Ydy}{l^{2}f^{2}}}-yy={\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}$, ou $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {2Byy-2yy\int Ydy}{l^{2}f^{2}}}-1}}}}$, équation différentielle par laquelle on conſtruira la courbe, auſſi-tôt qu’on connaîtra $Y$. C. Q. F. T.

##### XVIII.

On vient de trouver ${\frac {pds}{lf}}$ pour la valeur de l’inſtant, que le corps met à parcourir un arc infiniment petit $M\mu$, donc ${\frac {\int pds}{lf}}$ ou ${\frac {\int yydx}{lf}}$ ſera la valeur du temps total employé à parcourir un arc fini quelconque $PM$ ; mettant donc dans cette valeur du temps total ${\frac {\int yydx}{lf}}$ au lieu de $dx$, ſa valeur trouvée dans cette présente proposition ${\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {2Byy-2yy\int Ydy}{l^{2}f^{2}}}-1}}}}$ on aura pour l’expreſſion générale du temps employé à parcourir un arc fini quelconque l’integr. de ${\frac {ydy}{\sqrt {2Byy-2yy\int Ydy-l^{2}f^{2}}}}$.

##### XIX.

Pour déterminer la quantité B par les conditions du Problème, on reprendra l’équation ${\frac {2B-2\int Ydy}{l^{2}f^{2}}}={\frac {1}{p^{2}}}$ on mettra dans cette équation à la place de $\int Ydy$, la quantité qui vient après l’intégration qu’on aura fait d’abord qu’on aura connu la fonction des distances qu’exprime Y ; ensuite on fera $l=p$ & $y=k$, & on aura par ce moyen une équation qui ne contiendra que $B$ & des constantes, & qui donnera par conséquent la valeur de $B$.

##### XX.

Trouver la courbe que le corps décrira, en supposant $Y={\frac {n}{yy}}$.
Fig. 12.On aura alors $\int Ydy={\frac {\int ndy}{yy}}=-{\frac {n}{y}}$, ainſi l’équation générale dx = dy y V ₂ Ey y + any y VzB 2 2 1= f² dy 2y²jY dy 1²f² • 272 h Afin de pouvoir comparer la lettre f qui marque la vîteffe au point P d'où part le corps, avec la lettre n qui marque l'intenſité de la gravité dans la ſuppoſition préſente, ſuppoſons que cette vîteffe f ſoit celle que le corps, en partant du point donné P où le corps eſt ſuppoſé en repos, a ac- quis en tombant de la hauteur K, étant pouffé conſtamment par 72 -1 n la force que devient la force lorſque y h, alors en hh employant ce Théoréme ſi connu qu'un corps qui tombe de la hauteur K, & qui eſt pouffé conſtamment par une force 9, acquiert la vîteffe V2K, on aura dans le cas préſent où la V2nK force eſt hh²f= hh
Si l'on exécute à préſent l'Article dix-neuviéme pour avoir la valeur de B, l'équation 22 2 B-2fYdy dans la fuppo- yy > deviendra dx = 12. fition préſente de la force = deviendra yy mettant p pour 1, & h pour y, on aura 2 B = f² 2 P 2 B + 2 n - 1² f² - ²B+27= f², donc h
Par ce moyen l’équation $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {2Byy+2ny}{l^{2}f^{2}}}-1}}}}$ ſe changera, en y mettant pour $2B$ ſa valeur $f^{2}-{\frac {2n}{h}}$, en $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {(f^{2}-{\frac {2n}{h}})y^{2}+2ny}{l^{2}f^{2}}}-1}}}}$, mais on vient de voir que dans la ſuppoſition préſente $f={\frac {\sqrt {2nK}}{hh}}$, donc en mettant dans cette équation pour $f^{2}$ ſa valeur ${\frac {2nK}{hh}}$, on aura $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {(K-h)y^{2}+h^{2}y}{Kl^{2}}}-1}}}}$ pour l’équation générale de toutes les trajectoires qui peuvent être décrites, lorſque la force centripéte agit en raiſon inverſe du quarré des diſtances. C. Q. F. T.

##### XXI.

Réduction de l’équation $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {(K-h)y^{2}+h^{2}y}{Kl^{2}}}-x}}}}$ aux équations des ſections coniques.
On peut ſuppoſer $h>$, $=$ ou $<K$ ; dans le premier cas, le terme $(K-h)yy$ deviendra négatif, & alors l’équation exprimera une ellipſe dont le grand axe ſera ${\frac {hh}{h-K}}$, & le petit axe ${\frac {2l{\sqrt {K}}}{\sqrt {h-K}}}$ : dans le ſecond, le terme $(K-h)yy$ fera zéro, & alors l’équation exprimera une parabole dont le paramétre ſera ${\frac {4Kl^{2}}{h^{2}}}$ : dans le troiſiéme enfin, $(K-h)y^{2}$ ſera poſitif, & Fig. Si Fig. 11,
132 l’équation exprime alors une hyperbole dont le grand axe fera 2 IVK hh Kh & le petit J Démonftration de ces trois Cas. Premier Cas. L’équation polaire de l’ellipſe pour un de ſes bdy (fuivant l’art. 9.) lorſque foyers, eſt d x = yVray-yy bb a eſt le demi grand axe, & b le demi petit axe : lui donnant cette dy forme dx = I & 7/7/7/6 b b yVzay-yy b b b b quation générale de la trajectoire dans le cas préſent, c’eſt-àdire, lorſque le terme (K-h) yy eſt négatif, laquelle eſt alors dy dx= y√—(h—K) yy+h² y hK Κι· .. Bike > -C.C C. Q. F. 1º. D. & la comparant à l’é> I Kiz d’où l’on tirera b = > — I hh 2Xh-K Donc le corps partant du point P avec une vîteffe moindre : que celle qu’il auroit acquiſe en tombant de la hauteur PC, decrira une ellipſe. Second Cas. L’équation polaire de la parabole pour ſon foyer, eſt lorſque c eſt la diſtance du ſommet au cay y v cy foyer ; en lui donnant cette forme dx = on aura > LVK Vh-K 2 a h= bb K12 dy I > y Vy C parant à l’équation générale de la trajectoire qui eſt dans la ſuppoſition & la compoſition de ce ſecond cas, $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {h^{2}y}{l^{2}K}}-1}}}}$, on aura ${\frac {1}{c}}={\frac {hh}{Kl^{2}}}$ d’où on tire $c={\frac {Kl^{2}}{hh}}$. C. Q. F. 2$^o$. D..
Ainſi le corps en partant du point $P$ avec une vîteſſe égale à celle qu’il auroit acquiſe en tombant de la hauteur $PC$, décrira une parabole.
Troiſiéme Cas. L’équation polaire de l’hyperbole pour un de ſes foyers eſt $dx={\frac {bdy}{y{\sqrt {2ay+yy-bb}}}}$, lorſque le demi grand axe eſt $a$, & le demi petit axe $b$ : en lui donnant cette forme $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {2ay}{bb}}+{\frac {y^{2}}{bb}}-1}}}}$, & la comparant avec l’équation générale de la trajectoire qui eſt dans le cas préſent $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {(K-h)y^{2}+h^{2}y}{Kl^{2}}}-1}}}}$, on aura ${\frac {2a}{bb}}={\frac {hh}{Kl^{2}}}$, & ${\frac {1}{bb}}={\frac {K-h}{Kl^{2}}}$, d’où l’on tirera $b={\frac {l{\sqrt {K}}}{\sqrt {K-h}}}$, &$a={\frac {hh}{2(K-h)}}$. C. Q. F. 3$^o$. D.
Donc le corps partant du point $P$ avec une vîteſſe plus grande que celle qu’il auroit acquiſe en tombant de la hauteur $PC$, décrira une hyperbole.

##### XXII.

On voit par ces trois ſuppoſitions de $h>$, $=$ ou $<K$ qui ſont les trois cas poſſibles, que lorſque la force agit en raiſon inverſe du quarré des diſtances, les trajectoires ne peuvent être que des ſections coniques, ayant le centre des forces dans un foyer, quelle que ſoit la force projectile. Fig. 12. 134 PRINCIPES MATHEMATIQUES XXIII. PROPOSITION XIV. PROBLÉME IX. Trouver la courbe que le corps décrira, en ſuppoſant Y=ny. 72 On aura fydy=fnydy : y y, 2 dy 2yySY dy 22f2 y V₂ Byy. dy уугвуу-nyt 1²f² 2 B-2fYdy (2j2 I I j’aurai 2 B 2 & l’équation générale deviendra dx =
    pour chaſſer B je reprens l’équation
qui devient en ce cas 2 B -12 nyy 2 & mettant pour p, & h pour y dans cette équation, 3
    f² + nhh, & par conſéquent dx =
dy

###### ſuppoſant enſuite, comme

y√ (f¹ +nh²) yy-ny4 I 1²f² devroit tomdans l’Art. 20. que K ſoit la hauteur d’où le corps ber lorſqu’il eſt pouffé avec la force conſtante exercée à la diſtance h, on aura ƒ=√ 2 h nK, qui étant ſubſtituée dans cette dy équation, la changera en dx = 2 yV (2 Kh+hh) y² —yª 22² h K qui eſt l’équation générale de toutes les courbes qui peuvent être décrites, lorſque la force centripéte agit en raiſon de la ſimple diſtance. C. Q. F. T. XXIV. PROPOSITION XV. THEORÉME VII. Réduction de l’équation générale dx= à l’équation de l’ellipſe, ou maniere d’exprimer la force centripéte dans l’ellipſe, en prenant le centre de l’ellipſe pour le centre des forces. L’équation polaire de l’ellipſe eſt pour le centre dx === abdy
    en lui donnant cette forme dx =
Vyy-bbxVaa— yy dy yV (a a+bb) y ². a abb de la trajectoire d x = a a+bb a abb = y, T 2Kh+hh 2 1² h K que j’appelle s fera & par conſéquent u = b су y+ 77 abdy yyyy-bb х
* Pour trouver cette équation ſoit l’ellipſe A B D, je tire du centre C la Fig. 13.
ligne C M, j’abaiſſe MQ perpendiculaire für l’axe AD, & du pôle C comme centre, je trace l’arc de cercle OP, & je fais les lignes CO = 1. CQ QM= CM y. AC-a. CB=b. CF. U. c. Ayant alors dans l’elu²+ a²b²b²u Va lipfe z b a V aa-uu, on trouvera C M= H C dy yv (2Kh-+hh) y ³-y4. — I 21¹b K I dy g y√(2Kh+hh) y²—y * — I 21² h K & aabb 21¹ h K, d’où l’on tire a = aamyy : or -yy & la comparant à l’équation > Vyy-bb. qui donne d s 135 ds cQ CM 1155 C. Q. F. T. on aura a 2 2 ſinus de l’angle OC P ab dy cyyy-bb dx, donc d x > & == Fig. 14.
V₂Kh+kh+V(2 Kh+ h h) ² — 2 l ² h K,. & b = V₂Kh+hh 2 2 136 2 V (2 K h+ h b) ² — 21hK. C.Q.F.F. Ainfi quelque ſoit la 2 vîteffe projectile, la trajectoire ne pourra jamais être qu’une ellipſe dans cette ſuppoſition de la force centripéte en raiſon directe de la diſtance au centre. X X V. SCHOLIE. Si le corps dans cette hypothèſe au lieu d’être attiré vers le centre C en étoit repouſſé, en ce cas la lettre n qui marque l’intenſité de la force feroit négative, ou, ce qui en eſt une fuite, la lettre K qui exprime la hauteur d’où le corps auroit dû tomber vers € pour acquérir la vîreffe ƒ, devroit être faite négative dy dans l’équation précédente dx = 2 y √ (2 Kh+hh) y²— yê 2 1² h K laquelle ſe changeroit par conſéquent en celle-ci dx dy dy ou dx3 yV (hh-2 Kh) y²-y 21² h K yv (2 Khhh)y ²+y^ 2.1² h K & exprimeroit toujours une hyperbole quelle que fut la vîteffe projectile, & cette hyperbole auroit ſon centre de figure dans le centre des forces : car l’équation polaire de l’hyperbole pour abdy le demi ſon centre eſt * dx = > I yvyy+bbxVyy-aa grand axe étant a, & le demi petit axe b. — I " — I
* Voici comment on trouve cette équation. Soit l’hyperbole C M, je tire du
centre A la ligne A M, j’abaiſſe MQ perpendiculaire ſur l’axe AC, & du pôle A comme centre, je décris l’arc de cercle OP, & je fais les lignes AO = I. AQ : =QM-AM-y. AC = a. A B = b. AFc. L’équation Од : X37 On peut douner à cette équation cette forme dx dy yV (bb_aa) y y + y = a²b² 2 tion générale de la trajectoire dans la ſuppoſition préſente, on bb. —aa & aabb 21² Kh ; d’où a abb aura l’on tire b--hh+2 Kh+√ (hh — 2 Kh) ² + 2 Kl¹h & a 2 Vhh--2 Kh + V (hh-— 2 Kh) ² + 2 2 2 hh+zKh 21² Kh 2 loi de force centripéte, en ſuppoſant que la force attractive vers le centre ſe change en force repulfive, le corps ne pourra jamais décrire qu’une hyperbole, quelle que ſoit la vîteffe projectile. XXV I. PROPOSITION XVI. THEORÉME VIII. Dans toutes les ellipfès, lorſque la force attractive tend au centre, les tems périodiques font égaux ſi les intenſités des forces font les de l’hyperbole étant u u — a a — Va²u 2 6 ² + b donc 400 AQ AM qui donne de ds mêmes. On a vú dans l’Article 4. que quand les arcs font parcourus en temps égal, les forces font comme les fléches ; donc lorſque les fléches feront comme les diſtances, les temps dans leſquels a 1-55 2 & la comparant à l’équa> 2 = 21² Kh : ainſi dans cette j’en tire AM, ou , qui étant égalée à y, donne u 2 ſinus de l’angle BAP que j’appelle s fera ab dy cy¹ √yy+bb dx, donc dx = & b су yyy+bb. √yy-aa ISS —
* u+{{=
√yy+bb ; Vyy+bb, ce abdy C yy-ad, ou .C. Q.F.T. Fig. 15.
1.38
PRINCIPES MATHEMATIQUES
elles font parcourues feront égaux. La queſtion eſt donc réduite à prouver que ſi dans chaque ellipſe on prend deux ſecteurs infiniment petits qui ſoient chacun en même raiſon avec l’aire entiere de l’ellipſe, les fléches dans chacun de ces ſecteurs ſeront proportionnelles aux diſtances.
Premier Cas. Il eſt aiſé de voir la vérité de cette propoſition dans les ellipſes ſemblables, car toutes les lignes font proportionnelles dans ces courbes. ſemblables,
Second Cas. Quant aux ellipſes qui ne feroient pas pour les mieux conſidérer on commencera par ſuppoſer qu’elles ayent un axe de commun, tandis que l’autre varieroit dans une raiſon quelconque ; or on fçait qu’alors toutes les ordonnées de ces ellipſes feront proportionnelles à l’axe qu’on rend variable ; donc les ſecteurs CM, CM³ (C M M eſt élevé perpendiculairement à CP) qui font entr’eux comme les ordonnées µ P, P feront auſſi comme les demi axes CM, CM, & feront par conſéquent des parties ſemblables de leurs ellipſes totales. Mais dans ces ſecteurs les fléches mµ, m font viſiblement comme les diſtances Cp, C’ ; donc les ellipſes A MB, A M’B feront parcourues dans le même temps, puiſqu’on avoit réduit la queſtion à trouver deux ſecteurs proportionnels à ces ellipſes, dans leſquels les fléches fuffent comme les diſtances. Mais ſi deux ellipſes qui ont un axe de commun font parcourues en temps égaux, & que deux ellipſes qui n’ont point d’axe commun, mais qui ſoient ſemblables, ſoient auſſi parcourues dans le même temps, il eſt clair que toutes les ellipſes imaginables le feront auſſi, puiſqu’on n’aura qu’à faire ſur l’axe de l’une une ellipſe ſemblable à l’autre. C. Q. F. D. X X VII. PROPOSITION XVII. PROBLÉME X. Trouver la courbe que le corps décrira, en ſuppoſant Y = F : On aura dans cette ſuppoſition Sydy = ndy, & en intégrant fydy yV₂ Byy = 72 > 2yy dy 2yyfYdy 1² f² pour fydy ſa valeur préſente YV la ſuppoſition préſente donc alors l’équation générale dx on a trouvé (Art. o.) ² B-25 (5²—7//h) hh I 72 2 yy’2 B + n yy 7²f² 2 -72 y² + n 2 B-2fYdy BARANYA I = dx= deviendra en ſubſtituant I 23 P 139 dy YV2 Byy+n 2 I tant pour p & h pour f) 2 B=f² — The & mettant cette valeur de 2 B dans l’équation précédente, elle devient dx = dy
    mais dans le cas préſent la
G I qui devient dans d’où je tire (en met1² f² force ſuppoſée agir uniformément ſur le corps pour lui donner la viteſſe f, en tombant de la hauteur K eſt ; donc en emn 723 ployant le même Theoréme dont on a fait uſage (Art. 21.) on Vink 2 /23 aura f = & mettant pour fƒ¹ ſa valeur dans l’équation 140
dy (21 K —1₁) h3 précédente, elle fera dx = ou dx = I XV dy h yVT 2 K [2) y + h³ 2 KI² générale de toutes les trajectoires qui peuvent être décrites, lorſque la force agit en raiſon inverſe du cube des diſtances. X XVIII. PROPOSITION XVIII. THEORÉME IX. dy Cas où l’équation dx= 2 n K 12 h 3 h YV (1= 2K1²) ſe réduit à celle de la logarithmique Spirale. 2 x² + 2 I =
9 I 2 y² + h³ 2 KI équation h Si dans dans cette équation on ſuppoſe, le pre2 K/2³ mier terme du ſigne radical fera zéro, & alors l’équation ſe dy réduira à dx = qui donne y dx à dy dans JV h3 2 KP² la raiſon conſtante de V h 3 2 Kl I à — 1, ce qui eſt la propriété de la ſpirale logarithmique d’où l’on tire ſon équation : car tous les rayons de cette courbe faiſant un angle conſtant avec les arcs qui les terminent, ydx eſt toujours à dy en raiſon conſtante ; donc dans cette hypothèſe, c’eſt-à-dire lorſque la vîteffe projectile fera telle que 1 = 2K la trajectoire ſera h > toujours une ſpirale logarithmique. XXIX. Réduction de l’équation dx =
h TV ( ₁ = 2K ! ² dans le cas où l’on ſuppoſe que le corps part du point P perpendiculairement à la ligne CP, & dans lequel par confequent 1=h. dy Cette équation deviendra donc alors dx = XXIX. PROPOSITION XX. THEORÉME X. dy y² + h 2 у + hh ou dx 2 K h 2 K 2 K I qu’on peut écrire ainſi dx= comme I’dy y v h —I XVI 2. K d’où l’on tire dx= > 1 par le ſecteur hyperbolique.. VI h y y h h 2 K. y²+ h ³ 2 K12 3 JV T ( ᏤᏤ. ſelon 141 dy que I 2 Kh dy √ 1 h X √ yy. 2 K hhi -I (²²/12 — ¹) ou que 1. Le premier de ces deux cas, celui de h 2 K ſe conſtruit par l’arc de cercle, & le ſecond celui de ħi 2 K Premier Cas. Ayant tracé le cercle AVP dont le rayon CP = h, tirant une tangente TV à l’un de ſes points quelconques , & prolongeant l’axe CP juſqu’en T, où il rencontre la tangente TV, on aura la trajectoire cherchée en prenant toutes CT, & faiſant les angles MCT aux angles PCV les C M — I eſt à 1. fera : Fig. 16, Fig. 17. 144
Pour le prouver faiſant les lignes CQ u. QV : hh = CM = y, on a pour la valeur de l’angle U du
    h. CT=
VCP ſ -hhdy yy V nh hdy yvyy I IT PCV comme h 2K & Vhh > U U VI
    I
I ta mais puiſqu’on 3 & Vnn— II

###### donc puiſque l’angle PCM eſt à l’angle

h h V h h 2 K d’où l’on tire dx = 2 K eſt à [ hyyy-hh U U = y S hh I U I =y, on aura du du
    I.
on aura dx : hdy x I = {. CP A hdy yVyyhh [dy IV h x Vyy 2.K hh propofoit de conſtruire. Second Cas. Pour avoir maintenant la courbe que le corps h décrit, lorſque 1, on trouve l’hyperbole équilatere PV, ▷ 2 K dont CP= h ſoit le demi axe tranſverſal : on menera une tangente quelconque VT à l’un de ſes points quelconques ainſi que le rayon CV, & la trajectoire cherchée ſe conſtruira en prenant les C M = CT, & en faiſant les angles MCT aux CPV I rapports CP² h 2 K yyyy. , qui eſt l’équation qu’on ſe ou da hh Pour les trouver je fais les lignes CQ hh h. CT —=CM y. On aura le ſecteur CPV = =. QV= {. CP 143’I { Sudz — Szdu ; mais ¿ = √uu – hh & dz == 2 uudu udu VuuI hh 9 Sduvuu donc le ſecteur VCP = hh. xvyy hh l’on tirera dx = = √₂ 2 y, on aura yuu& par conſéquent le ſecteur •hh = h y hh du U tila forme dx= > Vhh hh IS ; ==

###### mais puiſque

-yy & du = CPV CP² dy I XVIy v h 2 K qu’on ſe propofoit à conſtruire. C. Q. F. D. X X¹X. VUU -yy hb dy nhuth 2 K hh hh u hdy yvhhyy COROLLAIRE. Au reſte il eſt aiſé de voir que la conſtruction donnée dans ces deux cas, eſt la même que celle de M. Newton, Corol. 3. Prop. 41. qu’on trouve à la page 136. de cet Ouvrage, Tom. I. X X X I. SCHOLI E. Si on fuppofoit que la force fut centrifuge au lieu d’être centripéte, la lettre n qui déſigne la quantité de la force devroit être négative, & par conſéquent la lettre K le feroit auſſi, ce qui donneroit à l’équation précédente dx = dy ᏤᏤ 1 XVyy hh hhdy y y qui eſt la courbe d’où > 2. K Ia144
quelle ne peut être conſtruite, comme il eſt aiſé de le voir, que par l’opération du cas premier, où l’on a vû par la nature de la courbe, ainſi que par celle du Problême, que le corps en partant du point P s’éloignera de plus en plus du centre. X X XII. PROPOSITION XXI. PROBLÉME XI.. Trouver la trajectoire que le corps décrira en ſuppoſant Y = YY 72 72 +77. 3 y On aura dans ce cas Ydy = grant : y V2 Byy z 九九 Y 2 yy l’équation générale trouvée. (Article 17.) d.x ſe changera en dy dy 2 yyſ Y dy 1²f² dy. y V z By y + i nv + n m 2. Byy+ 12.f2. même article, n m +777. hh on tire 2 B 2 B-2fYdy. 12f2 — I. 2 12 12 M hh = YV ( P² — 27 — 27/ 7/2. -2.72 m hh. 1.² f² —72 M. L 272 h lfdy ·.) P² fi ( en mettant h pour y & pour p) d’où. fr. V l. ²f² —112 12 jort 72 3 Mais on a trouvé dans ce : yV (fa h2 Pour efſayer de réduire cette équation aux équations polaires des ſections coniques, je lui donne cette forme dx = lfdy d’où l’on : donc on aura 2 B + n m h.h. en intéy y + 2 ny + n. m. 1.² f². 7.2 2 2 ny 2 72¹ h.

###### donc dx ==

-1.712 T= f tire tire dx = yVf² conſéquent f¹ == " VI y√f² — 2 n — n m h [²f². 2 212 m n hh — M 72 h [²f². m r Mais on a vû (note de l’Art. 20.) que f* = 29 K, or dans la préſente ſuppoſition You (car on a ſuppoſé y V 2 K (h+ m) y ou la diſtance = h) on aura donc 7 (h+ m²). n K h³ hh y y t I www — -2 k n m 1²f² 2 2 dy yy + 72 hh 2 cette valeur de f² dans la derniere équation d x dy 72 112 1² f² d’y + 2 12 y 1² f² — m n h 3 POMA 2 ny 1² f² —12 12 <— 72 72 2 Kl² (h+m) — m h²³ y ² + 12:3 m.h mh ³ 21² K ( h + m Web-d 145 Ir 12 h2 3 Subſtituant à préſent (m + h), & par 2h³y 2Kl² (m+h) mh³ I, on aura dx = —; or on voit par cette équation, en la comparant avec l’équation polaire des ſections coniques, qu’elle peut leur être comparée exactement, à l’exception du coefficient de dy, lequel apprend feulement que cette équation exprime une ſection conique dont on augmente ou diminue les angles en raiſon conſtante, & on conſtruira ainſi cette trajectoire. Soit décrite la ſection conique AQP exprimée par l’équation dx Fig. 18. & 19. Fig. 18. & 19. 146 PRINCIPES MATHEMATIQUES dy y √ 2 K (h+m) -2/2² — m 2h³y 2Klª(h+m). yy+ m2 h 3 2 K l ² (m+ h) — m h ³ ſoient pris enſuite les angles PC M aux angles PCQ dans la & la courbe qui paſſera par raiſon de 1 à mhi 2 Kl ² (h+ m)’tous les points M, fera la trajectoire cherchée. C. Q. F. T. X X XIII. I, SCHOLIE. On verra aiſément que ſi l’on ſuppoſe que pendant que le corps marche dans l’ellipſe AQP de P en Q, cette courbe ellemême avance d’un mouvement angulaire qui ſe faffe autour du centre C dans le même ſens, & que le mouvement angulaire ſoit de la quantité P CH = Q CM le corps étant arrivé au point Q de l’ellipſe ſe trouvera au point M par le mouvement de l’ellipſe même, donc la courbe qui paſſera par tous les points M fera la courbe cherchée. Cette conſtruction s’exécutera donc en ſuppoſant ſimplement un mouvement angulaire dans les apſides de cette ſection conique, qui ſoit de la quantité que donnera le coëfficient de dy, & qui ſe fera dans le même ſens que le mouvement du corps ou en ſens contraire, c’eſt-à-dire du côté de Q ou du côté oppoſé, ſelon que l’angle PCM> ou < PCQ, c’eſt-à-dire, ſelon que la quantité qui eſt fous le ſigne du coëfficient de dy, fera ou I. Remarque. On a commencé par examiner dans le Problême précédent, ce qui arrive dans le cas où I exprimant la force en raiſon inverſe du quarré des diſtances, on y ajoute une force inverſement proportionnelle au cube des diſtances exprimée par m2 72 3 y > parce que le cas de la force en raiſon inverſe du quarré des diſtances étant celui qui a lieu dans le Syftême du Monde, eſt le 147 plus important à connoître, & on a ſuppoſé de plus, dans cet Article précédent, que le corps partoit du point donné avec une vîteffe & une direction données. Examinons à préſent ce qui arriveroit dans toutes fortes d’hypothèſes de peſanteur, par la même addition de force. XXXIV. PROPOSITION XXI. PROBLEME XII. On demande les trajectoires décrites dans toutes fortes d’hypothèſes de peſanteur, en ajoutant à la force quelconque la force m > Dans ce cas où la force totale feroit Y + donc on y ³ auroit alors au lieu de Sydy la quantité Sydy + fmd Smdy, c’eſt-à-dire fydy nérale dx = ᏤᏤ. 2 B’V² f² ² y V2 m -712 . Prenant à préſent l’équation gédy de toutes les 2yy 2 V²By²—_ ży²ſYdy trajectoires, & y ſubſtituant pour Ydy ſa valeur dans la ſuppoſition préſente, on aura alors l’équation dx dy 2 yV2 By y 2yys Ydy+m I 12 712 & tue au lieu des conſtantes B, 1, f de la ſolution précédente — d’autres conſtantes B’, l’, f’, afin de n’être pas reftraint à faire partir le corps avec la même vîteffe & la même direction, de pouvoir déterminer au contraire la relation des nouvelles conſtantes aux premieres, la plus propre à comparer les courbes l’on a dans ces deux hypothèſes. que L’équation précédente peut avoir cette forme dx = dy m ys > dans laquelle je fubftiy.y уучить Erform т 25% Sydy 2 I > & on aura Fig. 13 148 2 B I 2 B¹ alors m V² ft2 1² f² & fm, ou l’¹ fiz fiz 12 f, d’où l’on voit qu’en donnant au corps au point de départ une viteſſe & une direction convenables, on décrira cette trajectoire en ſuppoſant un mouvement d’apſides dans la courbe que l’équation de l’art. 17. a donnée : il ne s’agira donc plus que de déterminer les / & ƒ, c’eſt-à-dire de donner au corps en partant de P une certaine direction, car alors on connoîtra B ; -2fYdy reprenant donc la valeur générale de B trouvée [²f² 2 B 2 B-fYdy + = I I 2 >
elle deviendra dans le cas préſent elle deviendra 2 B’-fYdy + fr+H T²f² . 712 & mettant pour p & h pour y, comme dans l’Art. 20. > 772 2 I M. 2 h h fYdy = H lorſque y = h, on aura 2 B’= H : ſuppoſant en même tems que l’on ait fait dans l’Article 20. fYdy H lorſque y a la même valeur h, la valeur de B dans cette fuppoſition deviendra 2 B = f+H. Mettant donc 2 B dans l’équation ci-deſſus 1² f² 2 B’z fiz B les deux valeurs qu’on vient de trouver, on aura Ayant ainſi les deux équations 12 2 & får fr, & ſuppoſant que 2 li ħi M M’2 [² f iyy pour B’, & pour főz m +H 2 h2 h² -772 I 2. f¹ 2 m+ H 2hh. 2 — M. & Pr + f² + H [²f² que les deux inconnues l’& f*, on en tirera les valeurs de ces. deux quantités, leſquelles feront f=V² +_m
zh-h & ² f¹²-m=/f leſquelles ne renferment plus 3 A 2 ✓ (1²f² + m²) 2 h ² h²f² + m 2 teffe que doit avoir le corps au point P afin qu’il décrive la même trajectoire que celle que l’équation de l’Art. 17. a donnée ; donc en donnant à cette courbe le mouvement d’apſides déterminé par le coëfficient de dy, elle deviendra celle qui réſulte de la force Y+ ſuppoſée ici. C. Q.F.T. m X X X V. SCHOLIE. 45 Cette Propofition contient la démonſtration des Propofitions 44 & de la ſection du premier Livre qui traite du mouvement des apſides. Après avoir vû dans les Propofitions précédentes le temps & la vîteſſe des corps dans les courbes que différentes forces centripétes leur feroient décrire, on ne fera peutêtre pas fâché de trouver ici le temps & la vîteffe des corps à différentes diſtances du centre, lorſqu’ils y tombent en ligne droite, ce qui arrive lorſqu’on ne leur donne aucune impulſion à leur point de départ, ou lorſque celle qu’on leur donne tend au centre.. Pp fera y X X X V I.. PROPOSITION XXII. PROBLÉME XIII. On demande le temps & la viteſſe d’un corps qui tombe vers un centre vers lequel il eſt attirê par une force quelconque, ce corps étant placé à une diſtance quelconque de ce centre. 149 mais & ƒ donnent la direction & la vî3 Faifant d’abord AC= a. CP=y. AP-a— —y. Ppdy, Fig. 20 ; la vîteffe acquiſe de A en P : u, l’inſtant employé à parcourir aura du = d’y y, & multipliant cet inſtant par la force Y on IL Ydy, ou adu=-Ydy dont l’intégrale eſt 36
ASYdy u. Quant à la conſtante A elle ſe détermine par cette condition, que ſi y = a, u foito, c’eſt-à-dire, qu’au point de départ le corps n’ait aucune vîteffe (s’il en avoit une vers le centre, on feroit A tel que u feroit égal à cette vîteffe lorſqu’on feroit y=a) : de u (-2ƒ Y dy, on tire « = -dy, devient de 2 U ISO V2A-25Ydy ; donc de dy V₂A-2jYdy www. -72 B = √ndy = = ² 2 ² Suppofant à préſent le cas où Y : . C.Q.F.T. 272 COROLLAIRE I. ou dt = XXXVII ou 2.72 pour-fYdy, on aura 2 A+ = ² ; or quand y= y y a, u = 0 (hyp), donc on aura dans cette ſuppoſition 2 A + 272 a = o ; donc alors A a cette valeur dans l’équation 2 A + = ² qui donne u = 2 72 y 22 2 Vamy mettant donc dans les équations précédentes a 12 2 > -y Va-y VIRX a ay deviendra par les mêmes ſubſtitutions dt = y -dy√y x √ a 2 12 Ambat on aura } & mettant¸ à la place de A > 2f Y dy V212-272 SY dy a & le temps 2 ², on aura ou 2 n X dy V2A-2S Y dy dy V¹n X Vam y y total par AP fera ISI
l’intégrale de cette quantité, & pourra être déterminé par cette conſtruction. Ayant décrit ſur la ligne A € le demi cercle A MVC, le Fig. 21, temps de la chute par AP fera proportionnel au produit du ſecteur ACM par V AC. La raiſon de cette conſtruction eſt aiſée à trouver. Faifant les lignes AC a. PM=Vay-yy. CM : vay mo -ady AM=Vaan ay. CP=y. A Pa y. 2V aa-ay pour s’accorder avec les dénominations précédentes. On voit d’abord que le petit ſecteur Mcm différentielle du ſecteur ACM a pour valeur le produit de C M par mo différentielle de AM, ady

## donc le ſecteur A CM =

c’eſt-à-dire ✔ay x W 2 Vaay www.com
    , qui étant multiplié par
-afdy Vy 4 Va y preſſion précédente du temps par Pp, ou dt = V ou CX A V8 a n > donc le temps par A P ſera égal au ſecteur force eſt comme le quarré. X X X VIII. COROLLAIRE II. Et le temps total de la chute par A C fera C²V = 72 deviendra l’exdy vy ACM VAC -y X X APCVM VAC 72 Va 272 quand X en mettant à la place du demi cercle I APCVM ſa valeur c. A C¹, on voit par cette CX8 preſſion que dans la loi de peſanteur en raiſon renverſée du quarré de la distance, le temps des chutes depuis un point quelIS2 PRINCIPES MATHEMATIQUES conque juſqu’au centre des forces, eſt comme la racine quarrée du cube de l’eſpace parcouru en tombant. On devoit bien s’aten dre à l’accord de cette Prop. avec celle qui eſt entre le temps périodique des planetes & leur moyenne diſtance, puiſqu’on peut regarder un corps qui tombe vers un centre, comme s’il décrivoit une ellipſe infiniment étroite dont le grand axe feroit hauteur de la chute, & qu’en ce cas la chute ou l’eſpace AC eſt le double de la moyenne diſtance ; c’eſt ainſi que M. Newton a. conſidéré les chutes rectilignes des corps (Prop. 36.) Si on vouloit comparer le temps de la révolution d’une planete avec celui qu’elle mettroit à tomber dans le Soleil, rien ne feroit plus facile par ce qu’on vient de donner : car le temps de la chute par le rayon pouvant être regardé comme la demie révolution dans une planete qui auroit ce rayon pour grand axe, I VI 4 2 il n’eſt queſtion que de prendre la moitié de la partie du temps de la révolution même de la planete pour avoir le temps. de ſa chute, en ſuppoſant qu’elle commençât à tomber du lieu où elle eſt dans ſa moyenne diſtance. Si elle tomboit d’un autre lieu, le temps total de ſa chute feroit à ce qu’il feroit en partant de la moyenne diſtance, en raiſon fefquiplée de la raiſon qui eſt entre le rayon par lequel on la fuppoferoit tomber & la moyenne diſtance. Si on veut comparer le temps qu’une planete mettroit à tomber vers le Soleil avec celui qu’un ſatellite mettroit à tomber vers la planete qui lui ſert de centre, il faudra prendre les rapports qu’auroient les mêmes temps, fi. on regardoit le ſatellite comme une planete. principale qui feroit à la même diſtance du Soleil que le ſatellite de ſa planete principale, & diviſer la raiſon de ces temps par celle qui eſt entre les racines quarrées des maſſes centrales, c’eſt-à-dire de : la maffè ou planete qui attire le ſatellite, à la maſſe du Soleil. XXXIX. X X X IX. COROLLAIRE III, > Si au lieu d’avoir ſuppoſé Y= on l’avoit ſuppoſé ny, on auroit eu fydy=fnydy, & en intégrant / Ydy= nyy mettant enſuite cette valeur dans l’équation 2 A-2ƒYdy 2 2 =u², & ſuppoſant de même que quand ya, "=0, on -nyy, devient en ou √n x Vaay y. Et d t = eſt aura 2 Ana a, & on aura en ſubſtituant u = √naa—, dy V2A-25Ydy 72 yy a a — -dy ce cas dt = y y n2 x Vaafant ſur A C comme rayon un quart de cercle, & élevant au point P la perpendiculaire PM, le temps employé à parcourir la droite ▲ P aura pour valeur l’arc ACM × ² car cet arc I dy yy Vo dy Si on ſuppoſe dans cette équation dx = n XV aaуу y=a, on aura alors pour l’expreſſion du temps par A C le proI duit de V n par le nombre qui exprime l’angle droit, ou ce qui revient au même par le rapport du de cercle au rayon. quart Ce qui fournit cette remarque finguliere que le corps central étant le même dans cette hypothèſe de peſanteur, de quelque diſtance que ce corps parte, il arrivera dans le même temps au point C puiſque la hauteur n’entre pas dans l’expreſſion du temps. 353 3 Jedną d’où l’on voit qu’en faiFig. 22. 154 , &c. X L. SCHOLIE, Il en eſt donc des chutes rectilignes comme des mouvemens dans les orbes elliptiques, & la hauteur totale dans le premier cas, répond à l’axe tranſverfal dans l’autre, ce qu’il eſt aiſé de voir en conſidérant la hauteur AC comme la derniere ellipſe qu’on peut décrire ſur elle, & c’eſt ainſi que M. Newton l’a conſidérée dans la Section 7º. de ſon premier Livre des Principes.
* ↑ Fig. 5, Voici comment on trouve cette équation. Soit l’ellipſe $ABH$, je tire du foyer C la ligne $CM$, j’abaiſſe $MQ$ perpendiculaire ſur l’axe $AH$ et du Pôle $C$ comme centre, et du rayon $CO$ pris à volonté je trace l’arc de cercle $OP$, je fais enſuite les lignes $CO=1$, $DQ=u$, $AD=a,DB=b,CM=y,DE={\frac {ad}{c}},CQ=c+u$. On a par les ſections coniques $CM:LM::AC:AE$, c’eſt-à-dire $y:{\frac {aa}{c}}+u::a-c:{\frac {aa-ac}{c}}$ ; donc $y=CM={\frac {aa+cu}{a}}$, d’où on tire $\mu ={\frac {ay-aa}{c}}$ : donc ${\frac {CQ}{CM}}$ ſinus de l’angle $OCP$ que je nomme
* ↑ Fig. 10.Voici comment on trouve cette équation. Soit l’hyperbole C M, je tire du foyer F la ligne F M, j’abaiſſe MQ perpendiculaire fur l’axe A H, & du pôle F comme centre je trace l’arc de cercle OP, enſuite je fais les lignes CQ = 1. FM=y. AF— c. AC 4. AB=b, AE = CF =ca. On a C par les ſections coniques, FM : L M ::FC : CE, c’eſt-à-dire, y : cu+acmaa FM= a donc qui donne ds ds - dy vzay+yy Vzay+yy-b6 by Vzay+yy’> суу > ce qui donne donc y  ; donc FQ , ou le ſinus de l’angle FM Q que je nommes, FM’√zay+yy-bb, bbdyss b су bdy ISS 3√zay+3y-66 · ac+cu-aa C d’où on tire u
* ↑ Fig. 11.Voici comment on trouve cette équation. $AM$ repréſentant la parabole propoſée, $FM$ une ligne tirée de ſon foyer à un des points quelconques $M,MQ$ une perpendiculaire abbaiſſée de $M$ ſur l’axe $AH,OP$ un arc de cercle décrit d’un rayon quelconque, on fera les lignes $AQ=u$. $FM=y$. $AF=c$. $FO=1$. & l’on aura $y$ ou $FM=u+c$, ou $u=y-c$, & par conſéquent ${\frac {FQ}{FM}}$ ou le ſinus de $FMQ$ que j’appelle $s$, ſera ${\frac {y-2c}{y}}$, qui étant ſubſitué dans l’équation $dx={\frac {ds}{\sqrt {1-ss}}}$ donnera $dx={\frac {cdy}{y{\sqrt {cy-cc}}}}$. C. Q. F. T.
* ↑ Voici comme on démontre ce Théoréme. La force par l'inſtant dt ou odk Z 72 (26 = du, ou o, au point de étant la vîreffe) eſt égale à l'increment du de la vîteffe ; donc od K udu, ou 2 Q K départ P en ſuppoſant la vîteffe or de 2 q Kuu, on tire u = : √ zq K. C. Q. F. D. 2 Z dK