# Sur une classe remarquable de raisonnement (G. Vailati)
### SUR UNE CLASSE REMARQUABLE DE RAISONNEMENTS PAR RÉDUCTION À L’ABSURDE

Il n’est pas rare, dans les discussions philosophiques, de se trouver en état de réfuter une thèse déterminée rien qu’en montrant que celui qui la soutient vient à se mettre, par cela seul, en contradiction avec lui-même.
C’est le cas du sceptique qui, tout en affirmant que « rien n’est certain » et en insistant sur la vérité indiscutable de cette assertion, admet, par cela même, qu’il y a quelque chose de certain ; ou de l’agnostique qui, tout en déclarant qu’un certain ordre de questions n’est pas abordable à l’intelligence humaine, vient par cela même à attribuer à sa propre intelligence une compétence qu’on peut lui contester en faisant appel à l’opinion qu’il a énoncée. Un exemple classique de cette sorte de raisonnements nous est fourni par Platon dans ce passage du Théétète (XXII, 169 D — 171 C) qui représente Socrate discutant avec Protagoras sur la validité de la thèse, soutenue par ce dernier, que « pour chacun est vrai ce qui lui semble tel » (τὸ δοκοῦν ἑκάστῳ τοῦτο καὶ εἶναι ᾧ δοκεῖ, Théét., 170 A).
L’argument de Socrate peut se résumer de la manière suivante :
Ne pouvant nier qu’il y ait des hommes qui ne sont pas de son avis, Protagoras doit admettre, en vertu même de son principe, que leur opinion n’est pas moins vraie que la sienne. Il doit donc admettre que ceux qui nient sa thèse n’ont pas plus tort de la nier qu’il n’en a de l’affirmer, et il se trouve, par conséquent, vis-à-vis de ses adversaires dans cette situation étrange (τοῦτ’ἔχει κομψότατον) de ne pouvoir les convaincre d’erreur qu’à la condition de renier, ipso facto, sa propre thèse (ἐκεῖνος μὲν περὶ τῆς αὑτοῦ οἰήσεως τὴν τῶν ἀντιδοξαζόντων οἴησιν, ᾗ ἐκεῖνον ἡγοῦνται ψεύδεσθαι, συγχωρεῖ που ἀληθῆ εἶναι ὁμολογῶν τὰ ὄντα δοξάζειν ἅπαντας — Οὐκοῦν τὴν αὑτοῦ ἂν ψευδῆ συγχωροῖ, εἰ τὴν τῶν ἡγουμένων αὐτὸν ψεύδεσθαι ὁμολογεῖ ἀληθῆ εἶναι ; 171 A).
« Quel parti choisiras-tu donc, Protagoras, ajoute ironiquement Socrate, puisque les conclusions auxquelles lu es amené en supposant que ta thèse soit vraie, ne diffèrent point de celles qu’on pourrait obtenir en admettant qu’elle est fausse ? (Πότερον ἀληθῆ φῶμεν ἀεὶ τοὺς ἀνθρώπους δοξάζειν, ἢ τοτὲ μὲν ἀληθῆ τοτὲ δὲ ψευδῆ ; ἐξ ἀμφοτέρων γάρ που συμβαίνει μὴ ἀεὶ ἀληθῆ αὐτοὺς δοξάζειν), 170 C.
On pourrait croire que les argumentations du type qu’on vient de caractériser ne sont que de simples jeux d’esprit, et qu’elles ne sont pas susceptibles de trouver d’application en dehors des subtilités des discussions métaphysiques.
Le premier qui ait attiré l’attention sur leur emploi dans les démonstrations mathématiques semble avoir été le philosophe et mathématicien Girolamo Cardano (1501-1576).
Voici dans quels termes emphatiques il vante, dans son Opus de proportionibus (lib. V, prop. 201), la portée logique d’une démonstration dans laquelle il applique un raisonnement de ce genre.
« Hoc nunquam fuit factum ab aliquo, imo videtur plane impossibile ; et est res admirabilior quae inventa sit ab orbe condito, scilicet ostendere aliquod ex suo opposito, demonstratione non ducente ad impossibile, et ita ut non possit demonstravi ea demonstratione nisi per illud suppositum quod est contrarium conclusioni. Velut si quis demonstraret quod Socrates est albus quia est niger et non possit demonstrare aliter, et ideo est longe majus Chrysippaeo Syllogismo. »
Cardano a eu cependant tort, non seulement de s’ériger en inventeur du procédé logique en question, mais aussi de se croire le premier à le mettre en œuvre dans une démonstration mathématique.
C’est ce que lui est reproché par le célèbre commentateur d’Euclide, Christophe Clavius, dans un passage de son édition des Éléments, et précisément dans un scholie qui se rapporte à la proposition 12e du livre IX.
La démonstration qu’Euclide donne de cette proposition constitue en effet un exemple caractéristique du type d’argumentation dont nous parlons. Je la reproduirai ici, en l’abrégeant par l’emploi de notations modernes.
Euclide veut démontrer que, si une puissance $a^{n}$ d’un nombre entier quelconque $a$ est divisible par le nombre premier $p$, $a$ aussi est divisible par $p$.
À cet effet il observe avant tout que, si $a^{n}$ est divisible par $p$, il existera un nombre entier $b$ tel qu’on ait : $a^{n}=bp$, c’est-à-dire tel qu’on ait :
${\frac {a^{n-1}}{b}}={p}{a}$
Que l’on suppose maintenant que $a$ ne soit pas divisible par $p$. Alors, puisque $p$ est un nombre premier, les deux nombres $a$ et $p$ seront premiers entre eux, et la fraction ${\frac {p}{a}}$ sera réduite à sa plus simple expression. Mais on a précédemment démontré (prop. 21 du VIIe livre) que, si deux fractions sont égales et si l’une d’elles est réduite à sa plus simple expression, son numérateur et son dénominateur sont respectivement des diviseurs du numérateur et du dénominateur de l’autre. Il s’ensuit que $a^{n-1}$ devra être divisible par $p$.
Ainsi la supposition que $a$ n’est pas divisible par $p$ nous a porté à conclure que, si $a^{n}$ est divisible par $p$, $a$ l’est aussi. Elle nous portera de la même manière à conclure que, si $a^{n-1}$ est divisible par $p$, $a$ l’est aussi, etc., et enfin à la conclusion que $a$ est divisible par $p$. Puis donc que la supposition même que $a$ n’est divisible par $p$ nous oblige à conclure que $a$ est divisible par $p$, elle se détruit elle-même, et l’on ne peut que la rejeter.
Il est important de remarquer que le type de raisonnement dont cette démonstration nous fournit un exemple est bien loin d’avoir cessé de jouer un rôle fondamental dans la branche des mathématiques modernes dans laquelle rentre la proposition dont on vient de transcrire la démonstration, c’est-à-dire dans la théorie des nombres. C’est précisément à l’aide d’un raisonnement de ce genre que Gauss, dans ses Disquisitiones arithmeticae, démontre cette proposition capitale que « le produit de deux nombres entiers, dont chacun est plus petit qu’un nombre premier donné, ne peut être divisible par ce nombre premier ».
Le procédé suivi par Gauss dans la démonstration de cette proposition, est, en effet, bien à distinguer du procédé ordinaire de réduction à l’absurde, qui consiste à faire voir que la négation de la proposition à démontrer porte à quelque conclusion qui est en contradiction avec des propositions antérieurement admises (ou qui ont été énoncées comme des conditions restrictives de la vérité de la thèse qu’on veut démontrer).
La contradiction à laquelle aboutit la démonstration de Gauss est, au contraire, une contradiction entre deux propositions dont chacune est déduite par lui de l’hypothèse que la proposition à démontrer est fausse.
Les deux propositions contradictoires, que Gauss déduit de l’hypothèse qu’un nombre premier $p$ est contenu un nombre entier de fois dans le produit de deux nombres $a$, $b$ plus petits que lui, sont les deux suivantes :
1$^o$ Il existe un multiple de $a$ divisible par $p$ et plus petit que tout autre multiple de $a$ divisible par $p$. Cela résulte immédiatement de la supposition même qu’il existe un multiple de $a$ (c’est-à-dire $ab$) qui est divisible par $p$.
2$^o$ Étant donné un multiple quelconque de $a$ divisible par $p$, on peut toujours déterminer un autre multiple de $a$ plus petit que le multiple donné et qui est encore divisible par $p$. Voilà comme cette deuxième proposition est démontrée :
Soit, en effet, $ma$ le multiple en question. Ou bien on $a\geq mp$, et, dans ce cas, $p$ étant par hypothèse plus grand que $b$, $m$ sera plus grand que $b$, et par conséquent il existera un multiple de $a$ (c’est-à-dire $ab$) plus petit que $ma$, et divisible par $p$. Ou bien on a $m<p$, et alors, puisque $p$, étant premier, ne peut pas être un multiple de $m$, on aura (par division) :
| $p=rm+s$ | (1) |
$r$ étant un nombre entier positif, et $s$ un nombre entier positif plus petit que $m$.
De l’égalité (1) on déduit :
$ap=arm+as$
Le produit $as$, étant la différence de deux termes $ap$, $ram$ dont chacun est divisible par $p$, sera divisible par $p$, et il y aura donc un multiple de $a$, divisible par $p$ et plus petit que $ma$. C. q. f. d.
Ayant démontré de cette manière que, de la supposition que le produit $ab$ est divisible par $p$, découlent deux propositions qui se contredisent entre elles, Gauss en conclut qu’une telle supposition n’est pas admissible, c’est-à —dire que la proposition qui était à démontrer est vraie.
Il faut remarquer que cette démonstration, tout en étant, en elle-même, complète et n’ayant pas besoin d’être ultérieurement confirmée, est toutefois susceptible d’être immédiatement ramenée au type ordinaire des réductions à l’absurde. Il suffit pour cela qu’on poursuive les raisonnements, dont on s’est servi pour démontrer l’existence d’un multiple de $a$ divisible par $p$ et plus petit que $ma$, jusqu’à ce qu’on parvienne à la conclusion que $a$ même est divisible par $p$, ce qui contredit à la supposition que $a$ est plus petit que $p$.
C’est sous cette forme que la démonstration du théorème en question se présentent chez Legendre, et c’est cette forme qu’on tend le plus souvent à donner, dans les expositions ordinaires de la théorie des nombres, aux démonstrations dans lesquelles, comme dans celle que nous venons de rapporter, on prouve que, si la proposition à démontrer n’était pas vraie pour un nombre $n$ entier positif quelconque, il existerait un autre nombre entier positif plus petit que $n$ et pour lequel elle ne serait pas vraie non plus : ce qui conduirait à cette conséquence absurde qu’il existerait un nombre infini de nombres entiers positifs plus petits qu’un nombre donné.
Ce procédé s’applique surtout lorsqu’il s’agit de démontrer l’impossibilité qu’une relation donnée soit vérifiée par des nombres entiers positifs quelconques Car il suffît alors de démontrer que, si elle était vérifiée par un nombre <math>n<math>, elle le serait aussi par un autre nombre (entier positif) plus petit que <math>n<math>, pour en conclure qu’elle ne peut être vérifiée par aucun nombre.
Il y a une analogie très remarquable entre ce type d’argumentation, caractéristique de la théorie des nombres, et certains procédés démonstratifs que l’on rencontre dans la théorie des limites et, chez les géomètres anciens, dans les démonstrations qu’on appelle « par exhaustion ».
Dans ces dernières, en effet, on parvient à prouver que deux quantités (longueurs, aires, volumes) sont égales entre elles en faisant voir que l’on ne peut supposer qu’il y ait une différence entre elles, sans être conduit, par cela même, à ces deux conclusions contradictoires qu’il y a et qu’il n’y a pas de quantités plus petites que cette différence même.
Le type d’argument dont nous venons d’examiner le rôle dans les démonstrations mathématiques n’est pas moins susceptible d’applications importantes dans le domaine de la logique formelle.
C’est au mathématicien et logicien génois Girolamo Saccheri (16702-1733) que revient le mérite d’en avoir reconnu la portée à cet égard. Dans son petit traité Logica demonstrativa (publié à Turin dans l’année 1697) il l’utilise d’une façon très ingénieuse pour la démonstration des règles relatives à la validité des syllogismes. Je donnerai ici un essai de sa méthode en représentant, dans ses parties essentielles, la démonstration qu’il donne de la règle scolastique bien connue : In prima figura minor non potest esse negativa. Se proposant de démontrer cette règle, au moyen du seul syllogisme Barbara, qui a ses deux prémisses universelles et affirmatives. Saccheri observe avant tout que son but serait atteint, si, pour chacune des différentes formes de syllogismes, à mineure négative, qu’on pourrait construire dans la première figure, l’on réussissait à trouver des exemples (c’est-à-dire à choisir de telles significations particulières des termes qui y figurent) pour lesquelles, les deux prémisses étant vraies, la conclusion ne le serait pas :
« Si quispiam syllogismus taliter constructus non recte concludit, nullus alius similiter constructus vi formae concludet » (Logica dem, p. 130). Soit, par exemple, à démontrer que, des deux prémisses :
on ne peut déduire la conclusion :
Pour cela nous attribuons aux termes A, B, C, respectivement les trois significations suivantes :
A = syllogisme de la première figure, ayant les deux prémisses universelles et affirmatives ;
B = syllogisme valide ;
C = syllogisme de la première figure ayant une prémisse négative.
Les deux prémisses : Tout A est B, Nui C n’est A deviendront alors les deux propositions suivantes :
1) Tout syllogisme de la première figure ayant les deux prémisses universelles affirmatives est valide.
2) Nul syllogisme de la première figure ayant l’une des prémisses négatives, n’est un syllogisme de la première figure ayant les deux prémisses universelles affirmatives.
Or ces deux prémisses étant vraies, ou bien on devra admettre que la conclusion : Nul C n’est B (c’est-à-dire Nul syllogisme de la première figure ayant l’une des deux prémisses négatives n’est valide est vraie, ou bien concéder que les significations que nous avons donné aux termes A, B, C, du syllogisme, dont la validité est en question, rendent vraies ses deux prémisses et fausse sa conclusion. Dans les deux cas on est donc également conduit à admettre que le syllogisme en question n’est pas valide.
« Vel concedis vel negas consequentiam. Si concedis habetur intentum. Si negas, conclusioni dissentiens post concessas premissas, fateris ipse legitimum non esse ex præmissis ejusmodi consequentiam quod intendebatur » (Loc. cit., p. 132).
Puis donc que la supposition même de la validité des syllogismes en question (c’est-à-dire des syllogismes du type : Tout A est B, Nul C n’est A, donc Nul C n’est B, nous porte à conclure que de tels syllogismes ne sont pas valides, cette supposition ne peut pas être admise, et la supposition contraire, c’est-à-dire la proposition à démontrer, est vraie.
On peut résumer le procédé démonstratif que nous venons de décrire, dans le langage de la logique moderne, en disant qu’on y démontre l’indépendance de la proposition « Nul C n’est B » par rapport à deux autres : « Tout A est B », « Nul C n’est A » en faisant voir que la négation même de cette indépendance, c’est-à-dire l’affirmation que la dernière peut être déduite de deux autres, suffirait à nous mettre en état d’assigner une interprétation des trois termes A, B, C dont il résulterait que les deux dernières propositions peuvent être vraies sans que la première le soit.
Il n’est pas moins important au point de vue de l’histoire de la logique qu’à celui de l’histoire de la géométrie, de remarquer que les spéculations de Saccheri, dont nous venons de parler, précèdent de plus d’une trentaine d’années la publication de son ouvrage « Euclides ab omni naeco vindicatus » (Mediolani 1732) dans lequel il se propose de démontrer, par cette même méthode d’argumentation, le postulat enclidien (V) affirmant l’impossibilité de mener par un point donné plus d’une droite parallèle à une droite donnée.
Ce qui détermina Saccheri à aborder un tel problème, qu’il savait bien avoir résisté aux efforts de plusieurs des géomètres les plus éminents de tous les temps, depuis Ptolémée jusqu’à Wallis, semble avoir été précisément sa conviction d’avoir à sa disposition une méthode nouvelle et plus puissante, dont l’idée ne s’était pas présentée à ses prédécesseurs.
Cette méthode, consistant, comme nous avons vu, à démontrer une proposition en faisant voir qu’elle découle comme conclusion de sa négation même, lui permettait, en effet, d’ajouter aux prémisses dont ses prédécesseurs pouvaient se servir (c’est-à-dire aux autres postulats d’Euclide), une prémisse nouvelle, à savoir la négation du postulat même qui était à démontrer.
C’est ainsi qu’il fut amené à développer les conséquences de cette négation et, en particulier, les deux hypothèses alternatives auxquelles elle donne lieu, et qui consistent respectivement à admettre que le quatrième angle d’un quadrilatère, ayant trois angles droits, est plus grand (hypothesis anguli obtusi) ou plus petit qu’un angle droit (hypothesis anguli acuti).
Comme il se proposait de déduire, tant de l’une que de l’autre de ces deux hypothèses, le « postulat » d’Euclide, et d’arriver ainsi à prouver qu’elles se réfutaient par elles-mêmes (se ipsas destruunt), il poussa aussi loin qu’il put la série des conséquences qui dérivent de chacune d’elles, et construisit ainsi, sans même s’en apercevoir, le premier chapitre de ce qu’on appelle aujourd’hui la géométrie non-euclidienne.
Ou sait maintenant pourquoi le but auquel il visait, c’est-à-dire la démonstration du postulat d’Euclide, ne pouvait être atteinte, pas même par la méthode nouvelle dont il avait eu l’idée de le servir.
Voici comme il résume le résultat de ses efforts dans cette direction :
« Circa hypothesin anguli obtusi res est meridiana luce clarior, quandoquidem ex ea assumpta ut vera demonstratur absoluta universalis veritas pronunciati euclidei, ex quo postea demonstratur absoluta falsitas ipsius talis hypothesis. — Contra vero non devenio ad probandam falsitatem alterius hypothesis quae est anguli acuti… ex visceribus ipsiusmet hypotheseos prout opus foret ad perfectum redargutionem. » (Euclid. a. o. naevo vindic., p. 98.)
Néanmoins, tout en reconnaissant ce « notabile discrimen » entre les deux hypothèses auxquelles donne lieu la négation du postulat d’Euclide, et tout en avouant que pour une seule d’entre elles sa méthode de réfutation a fourni un résultat définitif, il ne renonce pas à l’espoir qu’on puisse, par cette même voie, parvenir aussi à la réfutation de l’autre, et par conséquent à la démonstration complète et parfaite du postulat euclidien.
Cela résulte des expressions mêmes dont il se sert pour justifier Euclide d’avoir inséré la proposition dont il est question dans la série des prémisses fondamentales de la géométrie. Car, observe Saccheri, ce qui caractérise les vérités primitives et fondamentales, c’est précisément cela, de ne pouvoir être démontrées que par la méthode dont nous avons parlé, c’est-à-dire en faisant voir qu’on serait contraint de les admettre même si l’on partait de la supposition qu’elles ne fussent pas vraies :
« Nam hic maxime videtur esse cujusque primae veritatis veluti character ut non nisi exquisita aliqua redargutione ex suo ipso contradictorio assumpto ut vero illa ipsi sibi tandem restitui possit. Atque ita a prima usque aetate mihi feliciter contigisse circa examen quorumdam veritatum profiteri possum prout constat ex mea Logica demonstrativa. » (Eucl. vindic., p. 99.)
Il y a une remarquable coïncidence entre cette opinion de Saccheri et celle qui a été exprimée par Leibniz sur un sujet analogue dans une discussion qu’il eut avec Christophe Rojas de Spinola dont la trace nous est conservée dans un précieux fragment récemment publié par M. Couturat (Opuscules et Fragments inédits de Leibniz, p. 183) : « Notabam praeterea me aliqua demonstrare posse nihil aliud assumendo nisi concessa. Ut si quis opinionem aliquam defendit quam ego ostendere volo absurdam, assumam propositiones ab illo concessus et, in legitima forma, inde concludam contradictorium alicujus quod ipse asseruit. Ex quo sequitur falsitatem alicui ex propositionibus ab eo assumptis adesse, idest eas non posse esse veras simul. — Et ita cessat illa difficultas quae omnes torquet de modo quo ipsorum principiorum certi sumus ex quibus demonstrationes ducantur. Dicendum enim est demonstrationes ex nullis assertionibus sed ex concessionibus sive hypothesibus procedere neque aliud agere quum ut ostendant hypotheses quasdam inter se pugnare. Unde quodammodo omnis demonstratio est demonstratio ad hominem. »
L’analogie qui subsiste entre les raisonnements du type que nous venons de considérer et ceux que les logiciens qualifient comme des arguments ad hominem ne doit pas toutefois nous faire perdre de vue un point essentiel sur lequel ils diffèrent.
Tandis en effet que, dans les arguments ad hominem, on parvient à la conclusion que l’on a en vue, en la déduisant de quelque opinion que l’adversaire a exprimée mais qu’il pourrait bien désavouer ou renier après avoir reconnu qu’elle a des conséquences qu’il ne peut ou ne veut pas admettre ; dans notre cas, au contraire, puisque l’admission de l’adversaire qu’on prend pour point de départ est précisément celle de la fausseté de la proposition qu’on se propose de lui prouver, il ne peut ni renier ni abandonner sa thèse sans concéder, par cela même, la vérité de la proposition qu’il s’agit de lui faire accepter.
On peut même dire qu’on réfute ainsi non pas tel ou tel adversaire, mais tout adversaire possible, en tant qu’on fait voir que, quelque opinion que l’on puisse avoir sur le sujet dont on discute, on arrive tout de même à la conclusion qu’il s’agit de démontrer.
On peut faire ressortir les avantages inhérents à ce procédé de démonstration, à l’aide des symboles de la logique mathématique, en disant qu’il consiste à substituer, à la déduction exprimée par la formule :
$abcd\dots \circlearrowright p$
où a, b, c, d… représentent les postulats donnés et p la proposition à démontrer, les déductions exprimées par les deux formules :
$qabcd\dots \circlearrowright p,$
${\overline {q}}abcd\dots \circlearrowright p$
($q$ étant une proposition quelconque dont la vérité ou fausseté n’a pas besoin d’être décidée), ou bien encore les déductions exprimées par les quatre formules :
$rqabcd\dots \circlearrowright p$﻿ $r{\overline {q}}abcd\circlearrowright p$
${\overline {r}}qabcd\dots \circlearrowright p$
${\overline {rq}}abcd\circlearrowright p$
(où $r$ aussi est une autre proposition arbitrairement choisie) et ainsi de suite.
Il arrive ici quelque chose d’analogue à ce qui a lieu en mécanique dans les transformations de mouvements obtenues à l’aide des machines, dans lesquelles on ne peut gagner en puissance qu’à la condition de perdre en vitesse. Dans notre cas la perte est représentée par l’augmentation du nombre des démonstrations, et le gain par l’augmentation (moins rapide pourtant) du nombre des prémisses qu’on a à sa disposition dans chacune d’elles.
* ↑ Cardani Opera (Lugduni, 1663), t. IV, p. 579.
* ↑ C’est à ce procédé que se rapporte l’observation suivante de Fermat (Lettre à Carcavi, août 1639, cf. Œuvres, éd. Tannery, t. IV, p. 430), qui m’a été signalée par M. Vacca : « Et pour ce que les méthodes ordinaires qui sont dans les livres étaient insuffisantes à démontrer des propositions si difficiles, je trouvai enfin une route tout à fait singulière pour y parvenir. J’appelai cette manière de démontrer la descente infinie. »
* ↑ Ce sont les théorèmes que Fermat appelle « négatifs » (loc. cit.), en les opposants aux « affirmatifs » auxquels cette forme de démonstration est plus difficilement applicable : « Je fus longtemps sans appliquer ma méthode aux questions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé que celui dont je me sers aux négatives. Je me trouvais en belle peine. Mais enfin une démonstration plusieurs fois réitérée me donna les lumières qui me manquaient et les questions affirmatives passèrent par ma méthode… ».