# Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Chapitre IV
### CHAPITRE IV.
#### § I. — Recherche des fonctions entières d’une seule variable, pour lesquelles on connaît un certain nombre de valeurs particulières.

Déterminer une fonction d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, c’est ce qu’on appelle interpoler. Lorsqu’il s’agit d’une fonction d’une ou de deux variables, cette fonction peut être considérée comme l’ordonnée d’une courbe ou d’une surface, et le problème de l’interpolation consiste à fixer la valeur générale de cette ordonnée d’après un certain nombre de valeurs particulières, c’est-à-dire à faire passer la courbe ou la surface par un certain nombre de points. Cette question peut être résolue d’une infinité de manières, et en général le problème de l’interpolation est indéterminé. Toutefois, l’indétermination cessera si, à la connaissance des valeurs particulières de la fonction cherchée, on ajoute la condition expresse que cette fonction soit entière, et d’un degré tel que le nombre de ses termes devienne précisément égal au nombre des valeurs particulières données.
Supposons, pour fixer les idées, que l’on considère d’abord les fonctions entières d’une seule variable $x.$ On établira facilement à leur égard les propositions suivantes :
Théorème I. — Si une fonction entière de la variable x</math> s’évanouit pour une valeur particulière de cette variable, par exemple pour $x=x_{0},$ elle sera divisible algebriquement par $x-x_{0}.$
Théorème II. — Si une fonction entière de la variable $x$ s’évanouit pour chacune des valeurs de $x$ comprises dans la suite
$x_{0},\quad x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n-1},$
$n$ désignant un nombre entier quelconque, elle sera nécessairement divisible par le produit
$(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1}).$
Soient maintenant $\varphi (x)$ et $\psi (x)$ deux fonctions entières de la variable $x,$ l’une et l’autre du degré $n-1,$ et qui deviennent égales entre elles pour chacune des $n$ valeurs particulières de $x$ comprises dans la suite $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}.$ Je dis que ces deux fonctions seront identiquement égales, c’est-à-dire qu’on aura, quel que soit $x,$
$\varphi (x)=\psi (x)\,;$
et, en effet, si cette égalité n’avait pas lieu, on trouverait dans la différence
$\psi (x)-\varphi (x)$
un polynome entier dont le degré ne surpasserait pas $n-1,$ mais qui, s’évanouissant pour chacune des valeurs de $x$ ci-dessus mentionnées, serait pourtant divisible par le produit
$(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1}),$
c’est-à-dire par un polynôme du degré $n,$ ce qui est absurde. On serait assuré a fortiori de l’égalité absolue des deux fonctions $\varphi (x)$ et $\psi (x),$ si l’on savait qu’elles deviennent égales entre elles pour un nombre de valeurs de $x$ supérieur à $n.$ On peut donc énoncer le théorème suivant :
Théorème III. — Si deux fonctions entières de la variable $x$ deviennent égales pour un nombre de valeurs de cette variable supérieur au degré de chacune des deux fonctions, elles seront identiquement égales, quel que soit $x.$
On en déduit comme corollaire cet autre théorème :
Théorème IV. — Deux fonctions entières de la variable $x$ sont identiquement égales toutes les fois qu’elles, deviennent égales pour des valeurs qu’elles deviennent entières quelconques de cette variable, ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.
Dans ce cas, en effet, le nombre des valeurs de $x,$ pour lesquelles les deux fonctions deviennent égales, est indéfini.
Il suit du théorème III qu’une fonction entière $u$ du degré $n-1$ sera complètement déterminée, si l’on connaît ses valeurs particulières
$u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n-1}$
correspondantes aux valeurs
$x_{0},\quad x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n-1}$
de la variable $x.$ Cherchons dans cette hypothèse la valeur générale de la fonction $u.$ Si l’on suppose d’abord que les valeurs particulières $u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n-1}$ se réduisent toutes à zéro, à l’exception de la première $u_{0},$ la fonction $u,$ devant alors s’évanouir pour $x=x_{1},$ pour $x=x_{2},\ldots ,$ enfin pour $x=x_{n-1},$ sera divisible par le produit
$(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1}),$
et sera par conséquent de la forme
$u=k(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1}),$
$k$ ne pouvant être qu’une quantité constante. De plus, $u$ devant se réduire à $u_{0}$ pour $x=x_{0},$ on en conclura
$u_{0}=k(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})$
et, par suite,
$u=u_{0}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}.$
De même, si les valeurs particulières $u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n-1}$ se réduisent toutes à zéro, à l’exception de la seconde $u_{1},$ on trouvera
$u=u_{1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-2})}},$
Enfin, si elles se réduisent toutes à zéro, à l’exception de la dernière $u_{n-1},$ on trouvera
$u=u_{n-1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-2})}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}.$
En réunissant les diverses valeurs de $u$ correspondantes aux diverses hypothèses qu’on vient de faire, on obtiendra pour somme un polynôme en $x$ du degré $n-1,$ qui aura évidemment la propriété de se réduire à $u_{0}$ pour $x=x_{0},$ à $u_{1}$ pour $x=x_{1},\ldots ,$ à $u_{n-1}$ pour $x=x_{n-1}.$ Ce polynome sera donc la valeur générale de $u$ qui résout la question proposée, en sorte que cette valeur générale se trouvera déterminée par la formule
| (1) | $\left\{{\begin{aligned}u=&\quad \ u_{0}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}\\&+u_{1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-1})}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+u_{n-1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-2})}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}.\end{aligned}}\right.$ |
On pourrait déduire directement la même formule de la méthode que nous avons employée ci-dessus (Chap. III, § I) pour résoudre dans un cas particulier des équations linéaires à plusieurs variables (voir à ce sujet la Note V).
Si, en désignant par $a$ une quantité constante, on remplace dans la formule (1) la fonction $u$ par la fonction $u-a,$ qui sera évidemment de même degré, et les valeurs particulières de $u$ par les valeurs particulières de $u-a,$ on obtiendra l’équation
| (2) | $\left\{{\begin{aligned}u-a=&\quad \ (u_{0}-a){\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}\\&+(u_{1}-a){\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-1})}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+(u_{n-1}-a){\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-2})}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}\,;\end{aligned}}\right.$ |
et, en comparant cette équation à la formule (1), on trouvera la suivante
| (3) | $\left\{{\begin{aligned}1=&\quad \ {\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}\\&+{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-1})}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-2})}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}.\end{aligned}}\right.$ |
Cette dernière équation est identique et subsiste quel que soit $x.$
Les équations (1) et (2) peuvent servir l’une et l’autre à résoudre, pour les fonctions entières, le problème de l’interpolation ; mais il convient, en général, de préférer pour cet objet l’équation (2), attendu qu’on peut y faire disparaître l’un des termes du second membre, en prenant la constante $a$ équivalente à l’une des quantités
$u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n-1}.$
Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de faire passer une droite par deux points donnés. Désignons par $x_{0},y_{0}$ les coordonnées rectangulaires du premier point, par $x_{1},y_{1}$ celles du second, et par $y$ l’ordonnée variable de la droite. En remplaçant dans la formule (2) la lettre $u$ par la lettre $y,$ puis faisant $n=1$ et $a=y_{0},$ on trouvera pour l’équation de la droite
| (4) | $y-y_{0}=(y_{1}-y_{0}){\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.$ |
Supposons, en second lieu, qu’il s’agisse de faire passer par trois points donnés une parabole dont l’axe soit parallèle à l’axe des $y.$ Nommons
$x_{1}\quad {\text{et}}\quad y_{1},\qquad x_{2}\quad {\text{et}}\quad y_{2},\qquad x_{3}\quad {\text{et}}\quad y_{3}$
les coordonnées rectangulaires des trois points. Soit de plus $y$ l’ordonnée variable de la parabole. En remplaçant toujours, dans la formule (2), la lettre $u$ par la lettre $y,$ puis faisant $n=2$ et $a=y_{1},$ on trouvera pour l’équation de la parabole
| (5) | $\left\{{\begin{aligned}y-y_{1}=&\quad \ (y_{0}-y_{1}){\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}\\&+(y_{2}-y_{1}){\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}\end{aligned}}\right.$ |
ou, ce qui revient au même,
| (6) | $y-y_{1}={\frac {(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})}}\left[(y_{0}-y_{1}){\frac {(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})}}+(y_{2}-y_{1}){\frac {(x-x_{0})}{(x_{2}-x_{1})}}\right].$ |
Lorsque dans l’équation (1) on prend $u=x^{m}$ $(m$ désignant un nombre entier inférieur à $n),$ les valeurs particulières de $u$ représentées par
$u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n-1}$
se réduisent évidemment à
$x_{0}^{m},\quad x_{1}^{m},\quad x_{2}^{m},\quad \ldots ,\quad x_{n-1}^{m}.$
On aura donc, pour les valeurs entières de $m$ qui ne surpassent pas $n-1,$
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}x^{m}=&\quad \ x_{0}^{m}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}\\&+x_{1}^{m}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-1})}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+x_{n-1}^{m}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-2})}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}.\end{aligned}}\right.$ |
Cette dernière formule comprend comme cas particulier l’équation (3). De plus, si l’on observe que chaque puissance de $x,$ et en particulier la puissance $x^{n-1},$ doit nécessairement avoir le même coefficient dans les deux membres de la formule (7), on trouvera :
1$^o$ En supposant $m<n-1,$
| (8) | $\left\{{\begin{aligned}0=&\quad \ {\frac {x_{0}^{m}}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}\\&+{\frac {x_{1}^{m}}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-1})}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {x_{n-1}^{m}}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}\,;\end{aligned}}\right.$ |
2$^o$ En supposant $m=n-1,$
| (9) | $\left\{{\begin{aligned}1=&\quad \ {\frac {x_{0}^{n-1}}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}\\&+{\frac {x_{1}^{n-1}}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-1})}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {\left(x_{n-1}\right)^{n-1}}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}.\end{aligned}}\right.$ |
Il est bon de remarquer que la formule (8) subsiste dans le cas même où l’on suppose $m=0,$ et devient alors
| (10) | $\left\{{\begin{aligned}0=&\quad \ {\frac {1}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}\\&+{\frac {1}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-1})}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {1}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}.\end{aligned}}\right.$ |
Les méthodes par lesquelles on détermine les fonctions d’une seule variable, d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, peuvent être facilement étendues, comme on va le voir, aux fonctions de plusieurs variables.
Considérons d’abord, pour fixer les idées, des fonctions de deux variables $x$ et $y.$ Soient $\varphi (x,y),\psi (x,y)$ deux semblables fonctions, l’une et l’autre du degré $n-1$ par rapport à chacune des variables, et qui deviennent égales entre elles toutes les fois que, en attribuant à la variable $x$ une des valeurs particulières
$x_{0},\quad x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n-1},$
on attribue en même temps à la variable $y$ l’une des suivantes
$y_{0},\quad y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1}.$
$\varphi (x_{0},y),\psi (x_{0},y)$ seront deux fonctions de la seule variable $y,$ qui deviendront égales entre elles pour $n$ valeurs particulières de cette variable. Par suite (en vertu du théorème III, § I), ces deux fonctions seront constamment égales, quel que soit $y.$ On aura donc identiquement
$\varphi (x_{0},y)\qquad =\qquad \;\,\psi (x_{0},y).$
On trouvera de même
${\begin{aligned}&&\varphi (x_{1},y)&&=&&\psi (x_{1},y),\\&&\varphi (x_{2},y)&&=&&\psi (x_{2},y),\\&&\ldots \ldots \ldots &&\ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\\&&\varphi (x_{n-1},y)&&=&&\psi (x_{n-1},y).\end{aligned}}$
D’ailleurs, les premiers membres des $n$ équations précédentes sont autant de valeurs particulières de la fonction $\varphi (x,y)$ dans le cas où l’on y considère $x$ seul comme variable, et les seconds membres représentent les valeurs particulières correspondantes de la fonction $\psi (x,y).$ Les deux fonctions
$\varphi (x,y),\qquad \psi (x,y),$
lorsqu’on y attribue à $y$ une valeur constante choisie arbitrairement, deviennent donc égales pour $n$ valeurs particulières de $x\,;$ et, comme elles sont toutes deux du degré $n-1$ par rapport à $x,$ il en résulte qu’elles resteront égales, non seulement pour une valeur quelconque attribuée à la variable $y,$ mais encore pour une valeur quelconque de $x.$ On serait assuré, a fortiori, de l’égalité absolue des deux fonctions \varphi(x,y),\psi(x,y), si l’on savait qu’elles deviennent égales toutes les fois que les valeurs des variables $x$ et $y$ sont respectivement prises dans deux suites composées chacune de plus de $n$ termes différents. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème I. — Si deux fonctions entières des variables $x$ et $y$ deviennent égales toutes les fois que les valeurs de ces deux variables sont respectivement prises dans deux suites qui renferment l’une et l’autre un nombre de termes supérieur aux exposants les plus élevés de $x$ et de $y$ dans ces mêmes fonctions, elles seront identiquement égales.
On en déduit, comme corollaire, cet autre théorème :
Théorème II. — Deux fonctions entières des variables $x$ et $y$ sont identiquement égales, toutes les fois qu’elles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de ces variables, ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.
Dans ce cas, en effet, le nombre des valeurs de $x$ et de $y$ pour lesquelles les deux fonctions deviennent égales est indéfini.
Il suit du théorème I que, si la fonction $\varphi (x,y)$ est supposée entière et du degré $n-1$ par rapport à chacune des variables $x$ et $y,$ cette fonction sera complètement déterminée dès que l’on connaîtra les valeurs particulières qu’elle reçoit, lorsque, en prenant pour valeur de $x$ l’une des quantités
$x_{0},\quad x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n-1},$
on prend en même temps pour valeur de $y$ l’une des suivantes
$y_{0},\quad y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1}.$
Dans la même hypothèse, la valeur générale de la fonction pourra être facilement déduite de la formule (1) du paragraphe précédent. En effet, si l’on remplace dans cette formule $u$ par $\varphi (x,y),$ on en tirera
| (1) | $\left\{{\begin{aligned}\varphi (x,y)=&\quad \ {\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}\varphi (x_{0},y)\\&+{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-1})}}\varphi (x_{1},y)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-2})}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}\varphi (x_{n-1},y),\end{aligned}}\right.$ |
et l’on aura, de plus, en désignant par $m$ un des nombres entiers $1,2,3,\ldots ,n-1,$
| (2) | $\left\{{\begin{aligned}\varphi (x_{m},y)=&\quad \ {\frac {(y-y_{1})(y-y_{2})\ldots (y-y_{n-1})}{(y_{0}-y_{1})(y_{0}-y_{2})\ldots (y_{0}-y_{n-1})}}\varphi (x_{m},y_{0})\\&+{\frac {(y-y_{0})(y-y_{2})\ldots (y-y_{n-1})}{(y_{1}-y_{0})(y_{1}-y_{2})\ldots (y_{1}-y_{n-1})}}\varphi (x_{m},y_{1})\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {(y-y_{0})(y-y_{1})\ldots (y-y_{n-2})}{(y_{n-1}-y_{0})(y_{n-1}-y_{1})\ldots (y_{n-1}-y_{n-2})}}\varphi (x_{m},y_{n-1}).\end{aligned}}\right.$ |
On conclura immédiatement des deux équations qui précèdent la valeur générale de $\varphi (x,y).$ On trouvera, par exemple, en supposant $n=2,$
| (3) | $\left\{{\begin{aligned}\varphi (x,y)=&\quad \ {\frac {(x-x_{1})}{(x_{0}-x_{1})}}{\frac {(y-y_{1})}{(y_{0}-y_{1})}}\varphi (x_{0},y_{0})\\&+{\frac {(x-x_{0})}{(x_{1}-x_{0})}}{\frac {(y-y_{1})}{(y_{0}-y_{1})}}\varphi (x_{1},y_{0})\\&+{\frac {(x-x_{1})}{(x_{0}-x_{1})}}{\frac {(y-y_{0})}{(y_{1}-y_{0})}}\varphi (x_{0},y_{1})\\&+{\frac {(x-x_{0})}{(x_{1}-x_{0})}}{\frac {(y-y_{0})}{(y_{1}-y_{0})}}\varphi (x_{1},y_{1})\\\end{aligned}}\right.$ |
Si l’on considérait des fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables, on obtiendrait des résultats entièrement semblables à ceux auxquels on vient de parvenir pour des fonctions de deux variables seulement. On trouverait, par exemple, à la place du théorème $\mathrm {II} ,$ la proposition suivante :
Théorème III. — Deux fonctions entières de plusieurs variables $x,y,z,\ldots$ sont identiquement égales toutes les fois qu’elles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de ces variables, ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.
Pour appliquer les principes établis dans les paragraphes précédents, considérons en particulier des produits formés par la multiplication de facteurs successifs dont chacun surpasse le suivant d’une unité, le premier facteur étant l’une des variables $x,y,z,\ldots ,$ et cherchons à exprimer, au moyen de ces sortes de produits, le produit tout semblable qu’on obtiendrait en prenant pour premier facteur la somme des variables données, savoir
$x+y+z+\ldots .$
Si l’on réduit toutes les variables à deux, le problème qu’il s’agit de résoudre pourra s’énoncer comme il suit :
Problème I. — Exprimer le produit
| (1) | $(x+y)(x+y-1)(x+y-2)\ldots (x+y-n+1),$ |
dans lequel $n$ désigne un nombre entier quelconque, par le moyen des produits suivants
${\begin{aligned}&x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1),\\&y\,(y-1)\,(y-2)\ldots (y-n+1)\end{aligned}}$
et de tous ceux qu’on peut en déduire, en changeant seulement la valeur de $n.$
Solution. — Pour résoudre plus facilement la question précédente, supposons d’abord que $x$ et $y$ soient des nombres entiers égaux ou supérieurs à $n.$ Alors le produit (1) ne sera autre chose que le numérateur de la fraction qui exprime le nombre des combinaisons possibles de $x+y$ lettres prises $n$ à $n,$ puisque ce nombre est précisément
${\frac {(x+y)(x+y-1)(x+y-2)\ldots (x+y-n+1)}{1.2.3\ldots n}}.$
Cela posé, concevons que les lettres
$a,\quad b,\quad c,\quad \ldots ,\quad p,\quad q,\quad r,\quad \ldots$
étant en nombre égal à $x+y,$ on les divise en deux groupes, de telle manière que les lettres $a,b,c,\ldots$ du premier groupe soient en nombre égal à $x,$ et les lettres $p,q,r,\ldots$ du second groupe en nombre égal à $y.$ Parmi les combinaisons formées avec ces différentes lettres, les unes renfermeront seulement des lettres prises dans le premier groupe. Le nombre des combinaisons de cette espèce sera
${\frac {x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots n}}.$
D’autres renfermeront $n-1$ lettres prises dans le premier groupe, et une lettre prise dans le second. On déterminera facilement le nombre des combinaisons de cette seconde espèce, et l’on verra qu’il est égal à
${\frac {x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {y}{1}}.$
On trouvera de même pour le nombre des combinaisons qui renferment $n-2$ lettres prises dans le premier groupe, et deux lettres prises dans le second,
${\frac {x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+3)}{1.2.3\ldots (n-2)}}{\frac {y(y-1)}{1.2}},$
etc.; enfin, pour le nombre des combinaisons qui renferment seulement des lettres prises dans le dernier groupe,
${\frac {y(y-1)(y-2)\ldots (y-n+1)}{1.2.3\ldots n}}.$
La somme des nombres des combinaisons de chaque espèce devant reproduire le nombre total des combinaisons des $x+y$ lettres données prises $n$ à $n,$ on en conclura
| (2) | $\left\{{\begin{aligned}&{\frac {(x+y)(x+y-1)\ldots (x+y-n+1)}{1.2.3\ldots n}}\\&\quad ={\frac {x(x-1)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots n}}+{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {y}{1}}\\&\qquad +{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+3)}{1.2\ldots (n-2)}}{\frac {y(y-1)}{1.2}}+\ldots \\&\qquad +{\frac {x}{1}}{\frac {y(y-1)\ldots (y-n+2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}+{\frac {y(y-1)\ldots (y-n+1)}{1.2.3\ldots n}}.\end{aligned}}\right.$ |
L’équation précédente, étant ainsi démontrée pour le cas où les variables $x$ et $y$ obtiennent des valeurs entières supérieures à $n,$ subsistera, en vertu du théorème II (§ II), pour des valeurs quelconques de ces variables, et la valeur du produit (1) tirée de la même équation sera
| (3) | $\left\{{\begin{aligned}&(x+y)(x+y-1)\ldots (x+y-n+1)\\&\quad =x(x-1)\ldots (x-n+1)+{\frac {n}{1}}x(x-1)\ldots (x-n+2)y\\&\qquad +{\frac {n(n-1)}{1.2}}x(x-1)\ldots (x-n+3)y(y-1)+\ldots \\&\qquad +{\frac {n}{1}}xy(y-1)\ldots (y-n+2)+y(y-1)\ldots (y-n+1).\end{aligned}}\right.$ |
Corollaire I. — Si dans l’équation (2) on remplace $x$ par $-x$ et $y$ par $-y,$ on obtiendra la suivante :
| (4) | $\left\{{\begin{aligned}&{\frac {(x+y)(x+y+1)\ldots (x+y+n-1)}{1.2.3\ldots n}}\\&\quad ={\frac {x(x+1)\ldots (x+n-1)}{1.2.3\ldots n}}+{\frac {x(x+1)\ldots (x+n-2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {y}{1}}\\&\qquad +{\frac {x(x+1)\ldots (x+n-3)}{1.2\ldots (n-2)}}{\frac {y(y+1)}{1.2}}+\ldots \\&\qquad +{\frac {x}{1}}{\frac {y(y+1)\ldots (y+n-2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}+{\frac {y(y+1)\ldots (y+n-1)}{1.2.3\ldots n}}.\end{aligned}}\right.$ |
Corollaire II. — Si dans l’équation (2) on remplace $x$ par ${\frac {x}{2}}$ et $y$ par ${\frac {y}{2}},$ on trouvera
| (5) | $\left\{{\begin{aligned}&{\frac {(x+y)(x+y-2)\ldots (x+y-2n+2)}{2.4.6\ldots (2n)}}\\&\quad ={\frac {x(x-2)\ldots (x-2n+2)}{2.4.6\ldots (2n)}}+{\frac {x(x-2)\ldots (x-2n+4)}{2.4.6\ldots (2n-2)}}{\frac {y}{2}}\\&\qquad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\qquad +{\frac {x}{2}}{\frac {y(y-2)\ldots (y-2n+4)}{2.4.6\ldots (2n-2)}}+{\frac {y(y-2)\ldots (y-2n+2)}{2.4.6\ldots (2n)}}.\end{aligned}}\right.$ |
Corollaire III. — En développant les deux membres de l’équation (2), et ne conservant, de part et d’autre, que les termes dans lesquels la somme des exposants des variables est égale à $n,$ on obtiendra la formule
| (6) | $\left\{{\begin{aligned}{\frac {(x+y)^{n}}{1.2.3\ldots n}}=&\quad \ {\frac {x^{n}}{1.2.3\ldots n}}+{\frac {x^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {y}{1}}\\&+{\frac {x^{n-2}}{1.2.3\ldots (n-2)}}{\frac {y^{2}}{1.2}}+\ldots \\&+{\frac {x}{1}}{\frac {y^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}+{\frac {y^{n}}{1.2.3\ldots n}}.\end{aligned}}\right.$ |
La valeur de $(x+y)^{n}$ tirée de cette dernière formule est précisément celle que fournit le binôme de Newton.
Les formules qu’on vient d’obtenir peuvent être facilement étendues au cas où l’on considère plus de deux variables ; et la méthode qui nous a conduits à la solution du problème I se trouve également applicable à la question suivante :
Problème II. — $x,y,z,\ldots$ désignant des variables en nombres quelconques, exprimer le produit
$(x+y+z+\ldots )(x+y+z+\ldots -1)(x+y+z+\ldots -2)$
$\ldots (x+y+z+\ldots -n+1)$
en fonction des suivants
${\begin{aligned}&x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1),\\&y\,(y-1)(y-2)\ldots (y-n+1),\\&z\,(z-1)\,(z-2)\ldots (z-n+1),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et de tous ceux qu’on peut en déduire en changeant la valeur de $n.$
On commencera par résoudre le problème dans le cas où $x,y,z,\ldots$ désignent des nombres entiers supérieurs à $n,$ en partant de ce principe que la fraction
${\frac {\begin{aligned}(x+y+z+\ldots )(x+y+z+\ldots -1)&(x+y+z+\ldots -2)\\&\ldots (x+y+z+\ldots -n+1)\end{aligned}}{1.2.3\ldots n}}$
est égale au nombre des combinaisons que l’on peut former avec $x+y+z+\ldots$ lettres prises $n$ à $n\,;$ puis on passera au cas où les variables $x,y,z,\ldots$ deviennent des quantités quelconques, en s’appuyant sur le théorème III du § II. Lorsque l’on aura ainsi démontré la formule qui résout la question proposée, on en déduira sans peine la valeur de la puissance
$(x+y+z+\ldots )^{n}.$
On y parviendra, en effet, en développant les deux membres de la formule trouvée, et ne conservant de part et d’autre que les termes dans lesquels les exposants réunis des variables $x,y,z,\ldots$ forment une somme égale à $n.$
‌