# Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Chapitre XII
### CHAPITRE XII.
#### § I. — Considérations générales sur les séries récurrentes.

Une série
| (1) | $a_{0},\quad a_{1}x,\quad a_{2}x^{2},\quad \ldots ,\quad a_{n}x^{n},\quad \ldots$ |
ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x,$ est appelée récurrente, lorsque dans cette série, considérée à partir d’un terme donné, le coefficient d’une puissance quelconque de la variable s’exprime en fonction linéaire des coefficients des puissances inférieures pris en nombre fixe, en sorte qu’il suffise de recourir aux valeurs de ces derniers coefficients pour en déduire celui que l’on cherche. Ainsi, par exemple, la série
| (2) | $1,\quad 2x,\quad 3x^{2},\quad \ldots ,\quad (n+1)x^{n},\quad \ldots$ |
est récurrente, attendu que, si l’on fait
$a_{n}=n+1,$
on aura constamment, pour des valeurs de $n$ supérieures à l’unité,
| (3) | $a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}.$ |
En général, la série (1) sera récurrente, si, pour toutes les valeurs de $n$ supérieures à une certaine limite, les coefficients
$a_{n},\quad a_{n-1},\quad a_{n-2},\quad \ldots ,\quad a_{n-m}$
de plusieurs puissances consécutives de $x$ se trouvent liés entre eux par une équation du premier degré. Soit
| (4) | $ka_{n-m}+la_{n-m+1}+\ldots +pa_{n-1}+qa_{n}=0$ |
l’équation dont il s’agit, $k,l,\ldots ,p,q$ désignant des constantes déterminées. La suite de ces constantes formera ce qu’on appelle l’échelle de relation de la série, échelle dont les constantes elles-mêmes seront les différents termes.
Dans la série (1), supposée récurrente, la variable $x$ et les coefficients $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},$ peuvent être ou des quantités réelles, ou des expressions imaginaires. Cela posé, représentons par $\rho _{n}$ le module de l’expression $a_{n},$ et par conséquent la valeur numérique de cette expression, lorsqu’elle est réelle. On conclura immédiatement des principes établis dans les Chapitres VI et LX que la série (1) sera tantôt convergente, tantôt divergente, suivant que le module ou la valeur numérique de $x$ sera inférieur ou supérieur à la plus petite des limites vers lesquelles converge, tandis que $n$ croît indéfiniment, l’expression $(\rho _{n})^{-{\frac {1}{n}}}.$
Toutes les fois qu’une fraction rationnelle peut se développer en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable, cette série est en même temps récurrente, ainsi qu’on va le faire voir.
Considérons d’abord la fraction rationnelle
| (1) | ${\frac {\mathrm {A} }{(x-a)^{m}}},$ |
dans laquelle $a,\mathrm {A}$ désignent deux constantes réelles ou imaginaires, et $m$ un nombre entier. Elle pourra se mettre sous la forme
$(-1)^{m}{\frac {\mathrm {A} }{a^{m}}}\left(1-{\frac {x}{a}}\right)^{-m},$
$\left(1-{\frac {x}{a}}\right)^{-m},$
en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x,$ si la valeur numérique du rapport ${\frac {x}{a}}$ supposé réel, ou le module du même rapport supposé imaginaire, est une quantité comprise entre les limites $0$ et $1.$ Cette condition sera remplie, si le module de la variable $x,$ module qui se réduit à la valeur numérique de la même variable quand celle-ci devient imaginaire, est inférieur au module de la constante a ; et l’on aura, dans cette hypothèse,
| (2) | $\left\{{\begin{aligned}\left(1-{\frac {x}{a}}\right)^{-m}&=1+{\frac {m}{1}}{\frac {x}{a}}+{\frac {m(m+1)}{1.2}}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+\ldots \\&={\frac {1.2.3\ldots (m-1)}{1.2.3\ldots (m-1)}}+{\frac {2.3.4\ldots m}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {x}{a}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad +{\frac {3.4.5\ldots (m+1)}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}\right.$ |
On trouvera par suite
| (3) | ${\frac {\mathrm {A} }{(x-a)^{m}}}=(-1)^{m}\left({\frac {\mathrm {A} }{a^{m}}}+{\frac {m}{1}}{\frac {\mathrm {A} x}{a^{m+1}}}+{\frac {m(m+1)}{1.2}}{\frac {\mathrm {A} x^{2}}{a^{m+2}}}+\ldots \right)$ |
et si l’on fait, pour abréger,
| (4) | $\left\{{\begin{aligned}&(-1)^{m}{\frac {\mathrm {A} }{a^{m}}}=a_{0},\\&(-1)^{m}{\frac {m}{1}}{\frac {\mathrm {A} }{a^{m+1}}}=a_{1},\\&(-1)^{m}{\frac {m(m+1)}{1.2}}{\frac {\mathrm {A} }{a^{m+2}}}=a_{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$ |
on obtiendra l’équation
| (5) | ${\frac {\mathrm {A} }{(x-a)^{m}}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}+\ldots .$ |
$(a-x)^{m}\,;$
| (6) | $\left\{{\begin{aligned}(-1)^{m}\mathrm {A} =&\left[a^{m}-{\frac {m}{1}}a^{m-1}x+{\frac {m(m-1)}{1.2}}a^{m-2}x^{2}+\ldots \pm x^{m}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)\\=&a^{m}\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{m}x^{m}+a_{m+1}x^{m+1}+\ldots \right)\\&-{\frac {m}{1}}a^{m-1}\left(a_{0}x+a_{1}x^{2}+\ldots +a_{m-1}x^{m}+a_{m}x^{m+1}+\ldots \right)\\&+{\frac {m(m-1)}{1.2}}a^{m-2}\left(a_{0}x^{2}+\ldots +a_{m-2}x^{m}+a_{m-1}x^{m+1}+\ldots \right)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \pm \left(a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m+1}+\ldots \right)\end{aligned}}\right.$ |
ou, ce qui revient au même,
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}(-1)^{m}\mathrm {A} &=\\a^{m}a_{0}&+\left(a^{m}a_{1}-{\frac {m}{1}}a^{m-1}a_{0}\right)x\\&+\left[a^{m}a_{2}-{\frac {m}{1}}a^{m-1}a_{1}+{\frac {m(m-1)}{1.2}}a^{m-2}a_{0}\right]x^{2}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\left[a^{m}a_{n}-{\frac {m}{1}}a^{m-1}a_{n-1}+{\frac {m(m-1)}{1.2}}a^{m-2}a_{n-2}-\ldots \pm a_{n-m}\right]x^{n}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$ |
Cette dernière formule devant subsister toutes les fois que le module de la variable $x$ est inférieur au module de la constante $a,$ par conséquent toutes les fois que l’on attribue à $x$ une valeur réelle peu différente de zéro, on en conclura, par des raisonnements semblables à ceux que nous avons employés pour démontrer le théorème VI du Chapitre VI (§ IV),
| (8) | $\left\{{\begin{aligned}&(-1)^{m}\mathrm {A} =a^{m}a_{0},\\&a^{m}a_{1}-{\frac {m}{1}}a^{m-1}a_{0}=0,\\&a^{m}a_{2}-{\frac {m}{1}}a^{m-1}a_{1}+{\frac {m(m-1)}{1.2}}a^{m-2}a_{0}=0,\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right.$ |
| (9) | $a^{m}a_{n}-{\frac {m}{1}}a^{m-1}a_{n-1}+{\frac {m(m-1)}{1.2}}a^{m-2}a_{n-2}-\ldots \pm a_{n-m}=0.$ |
Il est essentiel de remarquer que l’équation (9) a lieu seulement pour des valeurs entières de $n$ égales ou supérieures à $m,$ et qu’elle doit être remplacée, lorsqu’on suppose $n<m,$ par l’une des formules (8). De plus, comme l’équation (9), étant linéaire par rapport aux constantes
$a_{n},\quad a_{n-1},\quad a_{n-2},\quad \ldots ,\quad a_{n-m},$
donnera pour la première de ces constantes une fonction linéaire de toutes les autres, il en résulte que, dans la série
| (10) | $a_{0},\quad a_{1}x,\quad a_{2}x^{2},\quad \ldots ,\quad a_{n}x^{n},\quad \ldots$ |
considérée à partir du terme $a_{m}x^{m},$ le coefficient d’une puissance quelconque de $x$ s’exprimera en fonction linéaire des coefficients des puissances inférieures pris consécutivement et en nombre égal à $m$. Cette série sera donc l’une de celles que nous avons nommées récurrentes.
Parmi les diverses formules particulières qu’on peut déduire de l’équation (3), il est bon de remarquer celles qui correspondent aux deux suppositions $m=1,$ $m=2.$ On trouve, dans la première hypothèse.
| (11) | ${\frac {\mathrm {A} }{x-a}}=-\left({\frac {\mathrm {A} }{a}}+{\frac {\mathrm {A} }{a^{2}}}x+{\frac {\mathrm {A} }{a^{3}}}x^{2}+\ldots \right),$ |
et, dans la seconde,
| (12) | ${\frac {\mathrm {A} }{(x-a)^{2}}}={\frac {\mathrm {A} }{a^{2}}}+2{\frac {\mathrm {A} }{a^{3}}}x+3{\frac {\mathrm {A} }{a^{4}}}x^{2}+4{\frac {\mathrm {A} }{a^{5}}}x^{3}+\ldots .$ |
Les deux formules précédentes, dont la première détermine la somme d’une progression géométrique, subsistent, ainsi que l’équation (3), toutes les fois que le module de $x$ est inférieur au module de $a.$
$\mathrm {A} =1,\quad a=1,$
on obtient la suivante
| (13) | ${\frac {1}{(x-1)^{2}}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\ldots ,$ |
qui a pour second membre la somme de la série (2) (§ 1), et suppose le module de $x$ inférieur à l’unité.
Considérons maintenant une fraction rationnelle quelconque
| (14) | ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}},$ |
$f(x),\operatorname {F} (x)$ étant deux fonctions entières de la variable $x.$ Représentons par $a,b,c,\ldots$ les diverses racines de l’équation
| (15) | $\operatorname {F} (x)=0,$ |
par $m'$ le nombre des racines égales à $a,$ par $m''$ le nombre des racines égales à $b,$ par $m'''$ le nombre des racines égales à $c,\ldots ,$ et par $k$ le coefficient de la plus haute puissance de $x$ dans le polynôme $\operatorname {F} (x),$ en sorte qu’on ait
| (16) | $\operatorname {F} (x)=k(x-a)^{m'}(x-b)^{m''}(x-c)^{m'''}\ldots .$ |
La méthode exposée dans le Chapitre précédent fournira, pour la décomposition de la fraction rationnelle ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}$ en fractions simples, une équation de la forme
| (17) | $\left\{{\begin{aligned}{\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}=\mathrm {R} &+{\frac {\mathrm {A} }{(x-a)^{m'}}}+{\frac {\mathrm {A} _{1}}{(x-a)^{m'-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} _{m'-1}}{(x-a)}}\\&+{\frac {\mathrm {B} }{(x-b)^{m''}}}+{\frac {\mathrm {B} _{1}}{(x-b)^{m''-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {B} _{m''-1}}{(x-b)}}\\&+{\frac {\mathrm {C} }{(x-c)^{m'''}}}+{\frac {\mathrm {C} _{1}}{(x-c)^{m'''-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {C} _{m'''-1}}{(x-c)}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$ |
$\mathrm {A,A_{1},\ldots ,B,B_{1},\ldots ,C,C_{1}} ,\ldots ,$ etc., désignant des constantes déterminées, et $\mathrm {R}$ une fonction entière de $x$ qui s’évanouira lorsque le degré du polynôme $f(x)$ sera inférieur à celui du polynôme $\operatorname {F} (x).$ Cela posé, concevons que le module de la variable $x$ soit inférieur aux modules des diverses racines $a,b,c,\ldots ,$ et par conséquent au plus petit de ces modules. On pourra développer chacune des fractions simples que renferme le second membre de l’équation (17) en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable $x\,;$ puis, en ajoutant les développements ainsi formés au polynôme $\mathrm {R} ,$ on obtiendra une nouvelle série convergente toujours ordonnée suivant les puissances ascendantes de $x,$ et dont la somme sera équivalente à la fraction rationnelle ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}.$ Soit
| (18) | $a_{0},\quad a_{1}x,\quad a_{2}x^{2},\quad \ldots ,\quad a_{n}x^{n},\quad \ldots$ |
la nouvelle série dont il est ici question. La formule
| (19) | ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots$ |
subsistera toutes les fois que cette nouvelle série sera convergente, c’est-à-dire toutes les fois que le module de la variable $x$ sera inférieur au plus petit des nombres qui servent de modules aux racines de l’équation (15). J’ajoute que la série (18) sera toujours une série récurrente. C’est ce que l’on prouvera aisément ainsi qu’il suit.
Désignons par $m$ la somme des nombres entiers $m',m'',m''',\ldots ,$ ou, ce qui revient au même, le degré du polynôme $\operatorname {F} (x),$ et faisons, en conséquence,
| (20) | $\operatorname {F} (x)=kx^{m}+lx^{m-1}+\ldots +px+q,$ |
$k,l,ldots,p,q$ représentant des constantes réelles ou imaginaires. L’équation (19) deviendra
| (21) | ${\frac {f(x)}{kx^{m}+lx^{m-1}+\ldots +px+q}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots .$ |
Après l’avoir mise sous la forme
| (22) | $f(x)=\left(q+px+\ldots +lx^{m-1}+kx^{m}\right)\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right),$ |
| (23) | $\left\{{\begin{aligned}f(x)=qa_{0}&+(qa_{1}\ +pa_{0})x\,+\ldots \\&+(qa_{m}+pa_{m-1}+\ldots +la_{1}+ka_{0})x^{m}+\ldots \\&+(qa_{n}\ +pa_{n-1}\ +\ldots +la_{n-m+1}+ka_{n-m})x^{n}+\ldots .\end{aligned}}\right.$ |
Cette dernière formule devant subsister tant que le module de la variable $x$ est inférieur aux modules des constantes $a,b,c,\ldots ,$ on démontrera, par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait usage pour établir le théorème VI du Chapitre VI (§ IV), que les coefficients des puissances semblables de $x$ dans les deux membres sont nécessairement égaux entre eux. Il en résulte : 1$^o$ que les coefficients des diverses puissances de $x$ dans les différents termes du polynôme $f(x)$ sont respectivement égaux aux coefficients des mêmes puissances dans la série dont la somme constitue le second membre de l’équation (23) ; 2$^o$ que dans cette série les coefficients des puissances dont l’exposant surpasse le degré du polynôme $f(x)$ se réduisent à zéro. D’ailleurs, si l’on considère un terme de la série dans lequel l’exposant $n$ de la variable $x$ surpasse le degré du polynôme $f(x),$ et soit en même temps égal ou supérieur à $m,$ ce terme sera de la forme
$(qa_{n}+pa_{n-1}+\ldots +la_{n-m+1}+ka_{n-m})x^{n},$
Donc, toutes les fois que la valeur de $n,$ étant supérieure au degré du polynôme $f(x),$ sera de plus égale ou supérieure au degré $m$ du polynôme $\operatorname {F} (x),$ les coefficients
$a_{n},\quad a_{n-1},\quad \ldots ,\quad a_{n-m+1},\quad a_{n-m}$
se trouveront assujettis à l’équation linéaire
| (24) | $qa_{n}+pa_{n-1}+\ldots +la_{n-m+1}+ka_{n-m}=0\,;$ |
et par suite, pour une semblable valeur de $n,$ le coefficient $a_{n}$ de la puissance $x^{n}$ s’exprimera en fonction linéaire de ceux des puissances inférieures prises consécutivement au nombre de $m$. La série (18) sera donc l’une de celles que l’on nomme récurrentes. Son échelle de relation se composera des constantes
$k,\quad l,\quad \ldots ,\quad p,\quad q,$
respectivement égales aux coefficients des diverses puissances de $x$ dans le polynôme $\operatorname {F} (x).$
Parmi les séries qui représentent les développements des fractions renfermées dans le second membre de la formule (17), et qui sont toutes convergentes dans le cas où le module de la variable $x$ reste inférieur aux modules des diverses racines de l’équation (15), l’une au moins deviendrait divergente si le module de la variable venait à surpasser celui de quelque racine. Par suite, la série (18), toujours convergente dans le premier cas, sera divergente dans le second. D’autre part, si l’on fait croître indéfiniment le nombre entier $n,$ et si l’on désigne par $\rho _{n}$ le module du coefficient $a_{n}$ dans la série (18), cette série sera convergente ou divergente (voir le § I) suivant que le module de $x$ sera inférieur ou supérieur à la plus petite des limites de $(\rho _{n})^{-{\frac {1}{n}}}.$ Comme les deux règles de convergence que nous venons d’énoncer doivent nécessairement s’accorder entre elles, on peut conclure que le plus petit des modules qui correspondent aux racines de l’équation (15) est précisément égal à la plus petite des limites de l’expression $(\rho _{n})^{-{\frac {1}{n}}}.$
Lorsque les deux fonctions $f(x),\operatorname {F} (x)$ sont réelles, le coefficient $a_{n}$ l’est aussi, et son module $\rho _{n}$ ne diffère pas de sa valeur numérique. Si dans la même hypothèse l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ n’a que des racines réelles, la racine qui aura la plus petite valeur numérique sera, d’après ce qu’on vient de dire, égale (au signe près) à la plus petite des limites de $(\rho _{n})^{-{\frac {1}{n}}}.$ Enfin, si le rapport ${\frac {\rho _{n}}{\rho _{n+1}}}$ converge vers une limite fixe, on pourra la substituer (Chap. II, § III, théorème II) à la limite cherchée de l’expression $(\rho )^{-{\frac {1}{n}}}.$ Cette remarque conduit à la règle qu’a donnée Daniel Bernoulli pour déterminer numériquement la plus petite (abstraction faite du signe) de toutes les quantités qui représentent les racines supposées réelles d’une équation algébrique.
Lorsqu’une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable $x$ est à la fois convergente et récurrente, elle a toujours pour somme une fraction rationnelle. En effet, soit
| (1) | $a_{0},\quad a_{1}x,\quad a_{2}x^{2},\quad \ldots ,\quad a_{n}x^{n},\quad \ldots$ |
une semblable série, et supposons que, pour des valeurs de $n$ supérieures à une certaine limite, le coefficient $a_{n}$ de la puissance $x^{n}$ soit déterminé, en fonction linéaire des coefficients des puissances inférieures pris en nombre égal à $n,$ par une équation de la forme
| (2) | $ka_{n-m}+la_{n-m+1}+\ldots +pa_{n-1}+qa_{n}=0,$ |
en sorte que les constantes
$k,\quad l,\quad \ldots ,\quad p,\quad q$
forment l’échelle de relation de la série. Si l’on multiplie la somme de cette série, savoir
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots$
par le polynome
$kx^{m}+lx^{m-1}+\ldots +px+q,$
le produit obtenu sera la somme d’une nouvelle série dans laquelle le coefficient de $x^{n},$ calculé comme dans le Chapitre VI (§ IV, théorème V), s’évanouira pour des valeurs de $n$ supérieures à la limite assignée. En d’autres termes, le produit dont il est question sera un nouveau polynòme d’un degré marqué par cette limite. Si l’on désigne ce nouveau polynome par $f(x),$ on aura
| (3) | $f(x)=\left(kx^{m}+lx^{m-1}+\ldots +px+q\right)\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)$ |
| (4) | $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ={\frac {f(x)}{kx^{m}+lx^{m-1}+\ldots +px+q}}.$ |
Donc toute série qui, ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable $x,$ est à la fois convergente et récurrente, a pour somme une fraction rationnelle, dont le dénominateur est un polynome dans lequel les puissances successives de $x$ ont pour coefficients les différents termes de l’échelle de relation de la série.
Lorsque pour faire connaitre une série récurrente on donne seulement ses premiers termes et l’échelle de relation qui sert à déduire des premiers termes tous ceux qui les suivent, on détermine sans peine, à l’aide de la méthode que nous venons d’indiquer, la fraction rationnelle qui représente la somme de la série dans le cas où elle demeure convergente. Cette fraction rationnelle étant calculée, on pourra lui substituer une somme de fractions simples augmentée, s’il y a lieu, d’une fonction entière de la variable $x\,;$ et, si l’on cherche ensuite les séries récurrentes qui, pour des valeurs de $x$ convenablement choisies, expriment les développements des fractions simples dont il s’agit, on obtiendra, en ajoutant les termes généraux de ces mêmes séries, le terme général de la série proposée.
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