# Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Chapitre XI
### CHAPITRE XI.
#### § I. — Décomposition d’une fraction rationnelle en deux autres fractions de même espèce.

Prenons pour $f(x)$ et $\operatorname {F} (x)$ deux fonctions entières de la variable $x.$
${\frac {f(x)}{\mathrm {\operatorname {F} } (x)}}$
sera ce qu’on appelle une fraction rationnelle. Si l’on désigne par $m$ le degré de son dénominateur $\operatorname {F} (x),$ l’équation
| (1) | $\operatorname {F} (x)=0$ |
admettra $m$ racines réelles ou imaginaires, égales ou inégales ; et si, en les supposant d’abord toutes inégales, on les représente par
$x_{0},\quad x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{m-1},$
les facteurs linéaires du polynôme $\operatorname {F} (x)$ seront respectivement
$x-x_{0},\quad x-x_{1},\quad x-x_{2},\quad \ldots ,\quad x-x_{m-1}.$
Cela posé, faisons
| (2) | $\operatorname {F} (x)=(x-x_{0})\varphi (x)$ |
et
| (3) | ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}=\mathrm {A} .$ |
$\varphi (x)$
$\mathrm {A}$
${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}-\mathrm {A} ={\frac {f(x)-\mathrm {A} \varphi (x)}{\varphi (x)}}$
s’évanouira pour $x=x_{0}.$ Par suite, il en sera de même du polynome
$f(x)-\mathrm {A} \varphi (x),$
et ce polynôme sera divisible algébriquement par $x-x_{0}\,;$ en sorte qu’on aura
$f(x)-\mathrm {A} \varphi (x)=(x-x_{0})\chi (x),$
| (4) | $f(x)=\mathrm {A} \varphi (x)+(x-x_{0})\chi (x),$ |
$\chi (x)$ désignant une nouvelle fonction entière de la variable $x.$ Si l’on divise par $\operatorname {F} (x)$ les deux membres de cette dernière équation, en ayant égard à la formule (2), on en conclura
| (5) | ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}={\frac {\mathrm {A} }{x-x_{0}}}+{\frac {\chi (x)}{\varphi (x)}}.$ |
Donc, si l’on partage le polynôme $\operatorname {F} (x)$ en deux facteurs dont l’un soit linéaire, on pourra décomposer la fraction rationnelle ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}$ en deux autres qui aient pour dénominateurs respectifs les deux facteurs dont il s’agit, et dont la plus simple ait un numérateur constant.
Concevons maintenant que l’on partage la fonction $\operatorname {F} (x)$ en deux facteurs dont le premier, au lieu d’être linéaire, corresponde à plusieurs racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0.$ Prenons, par exemple, pour ce premier facteur le facteur du second degré
$(x-x_{0})(x-x_{1}),$
et posons, en conséquence,
| (6) | $\operatorname {F} (x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\varphi (x).$ |
La fraction ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$ conservera une valeur finie, non seulement pour $x=x_{0},$ mais encore pour $x=x_{1}\,;$ et, si l’on désigne par $u$ un polynôme du premier degré qui, dans l’une et l’autre hypothèse, devienne égal à ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}},$ on trouvera (Chapitre IV, § I)
| (7) | $u={\frac {f(x_{0})}{\varphi (x_{0})}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}}+{\frac {f(x_{1})}{\varphi (x_{1})}}{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.$ |
Le polynôme $u$ étant déterminé, comme on vient de le dire, l’équation
${\frac {f(x_{0})}{\varphi (x_{0})}}-u=0$
ou
$f(x)-u\varphi (x)=0$
comptera parmi ses racines $x_{0}$ et $x_{1}\,;$ et par suite le polynôme
$f(x)-u\varphi (x)$
sera divisible par le produit
$(x-x_{0})(x-x_{1}).$
On aura donc
$f(x)-u\varphi (x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\chi (x),$
| (8) | $f(x)=u\varphi (x)+(x-x_{0})(x-x_{1})\chi (x),$ |
$\chi (x)$ désignant une nouvelle fonction entière de la variable $x.$ Si l’on divise la dernière équation par $\operatorname {F} (x),$ en ayant égard à la formule (6), on en conclura
| (9) | ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}={\frac {u}{(x-x_{0})(x-x_{1})}}+{\frac {\chi (x)}{\varphi (x)}}.$ |
On prouverait de même qu’il suffit de poser
| (10) | $\operatorname {F} (x)=(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\varphi (x)$ |
et
| (11) | $\left\{{\begin{aligned}u=&\quad {\frac {f(x_{0})}{\varphi (x_{0})}}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}\\&+{\frac {f(x_{1})}{\varphi (x_{1})}}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}}\\&+{\frac {f(x_{2})}{\varphi (x_{2})}}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}\end{aligned}}\right.$ |
| (12) | ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}={\frac {u}{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}}+{\frac {\chi (x)}{\varphi (x)}},$ |
etc.
Ainsi généralement, lorsque l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ n’a pas de racines égales, si l’on partage le polynôme $\operatorname {F} (x)$ en deux facteurs dont le premier soit le produit de plusieurs facteurs linéaires, la fraction rationnelle ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}$ sera décomposable en deux’autres fractions de même espèce qui recevront pour dénominateurs respectifs les deux facteurs cidessus mentionnés, et dont la première aura un numérateur d’un degré moins élevé que son dénominateur.
Je passe au cas où l’on suppose que l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ a des racines égales. Soient, dans cette seconde hypothèse,
$a,\quad b,\quad c,\quad \ldots$
les diverses racines de cette même équation, et désignons par $m'$ le nombre des racines égales à $a\,;$ par $m''$ le nombre des racines égales à $b\,;$ par $m'''$ le nombre des racines égales à $c,$ etc. La fonction $\operatorname {F} (x)$ sera équivalente au produit
$(x-a)^{m'}(x-b)^{m''}(x-c)^{m'''}\ldots$
ou à ce produit multiplié par un coefficient constant, et l’on aura
$m'+m''+m'''+\ldots =m.$
Cela posé, faisons
| (13) | $\operatorname {F} (x)=(x-a)^{m'}\varphi (x)$ |
et
| (14) | ${\frac {f(a)}{\varphi (a)}}=\mathrm {A} .$ |
$\varphi (a)$ n’étant pas nul, la constante $\mathrm {A}$ restera finie, et la différence
${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}-\mathrm {A}$
$x=a.$
$f(x)-\mathrm {A} \varphi (x)$
est divisible par $x-a,$ et l’on aura, par suite,
| (15) | $f(x)=\mathrm {A} \varphi (x)+(x-a)\chi (x),$ |
$\chi (x)$ désignant une nouvelle fonction entière de la variable $x.$ Enfin, si l’on divise par $\operatorname {F} (x)$ les deux membres de l’équation (15) en ayant égard à la formule (13), on trouvera
| (16) | ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}={\frac {\mathrm {A} }{(x-a)^{m'}}}+{\frac {\chi (x)}{(x-a)^{m'-1}\varphi (x)}}.$ |
On démontrerait, en raisonnant de la même manière, qu’il suffit de poser
| (17) | $\operatorname {F} (x)=(x-a)^{m'}(x-b)^{m''}\varphi (x)$ |
et
| (18) | $u={\frac {f(a)}{\varphi (a)}}{\frac {x-b}{a-b}}+{\frac {f(b)}{\varphi (b)}}{\frac {x-a}{b-a}}$ |
pour obtenir une équation de la forme
| (19) | ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}={\frac {u}{(x-a)^{m'}(x-b)^{m''}}}+{\frac {\chi (x)}{(x-a)^{m'-1}(x-b)^{m''-1}\varphi (x)}},$ |
$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
Soit
${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}$
la fraction rationnelle que l’on considère ; $m$ le degré de la fonction $\operatorname {F} (x),$ et
$x_{0},\quad x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{m-1}$
| (1) | $\operatorname {F} (x)=0$ |
supposées inégales. On aura, en désignant par $k$ un coefficient constant,
| (2) | $\operatorname {F} (x)=k(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{m-1})\,;$ |
et, en vertu des principes établis dans le paragraphe qui précède, la fraction rationnelle ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}$ pourra être décomposée en deux autres, dont la première sera de la forme
${\frac {\mathrm {A} _{0}}{x-x_{0}}},$
$\mathrm {A} _{0}$ représentant une constante, tandis que la seconde aura pour dénominateur
${\frac {\operatorname {F} (x)}{x-x_{0}}}=k(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{m-1}).$
En décomposant cette seconde fraction rationnelle par la même méthode, on obtiendra :
1$^o$ Une nouvelle fraction simple de la forme
${\frac {\mathrm {A} _{1}}{x-x_{1}}}\,;$
2$^o$ Une fraction qui aura pour dénominateur
$k(x-x_{2})\ldots (x-x_{m-1}).$
En continuant ainsi, on fera disparaître successivement du polynome
$\operatorname {F} (x)=k(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{m-1})$
tous les facteurs linéaires qu’il renferme ; en sorte qu’on réduira définitivement ce polynôme à la constante $k.$ Donc, lorsque, par une suite de décompositions partielles semblables à celles que nous venons d’indiquer, on aura extrait de la fraction ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}$ une suite de fractions simples de la forme
${\frac {\mathrm {A} _{0}}{x-x_{0}}},\quad {\frac {\mathrm {A} _{1}}{x-x_{1}}},\quad {\frac {\mathrm {A} _{2}}{x-x_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {\mathrm {A} _{m-1}}{x-x_{m-1}}},$
le reste ne pourra être qu’une fraction rationnelle à dénominateur constant, c’est-à-dire une fonction entière de la variable $x.$ En désignant par $\mathrm {R}$ cette fonction entière, on trouvera
| (3) | ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}=\mathrm {R} +{\frac {\mathrm {A} _{0}}{x-x_{0}}}+{\frac {\mathrm {A} _{1}}{x-x_{1}}}+{\frac {\mathrm {A} _{2}}{x-x_{2}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} _{m-1}}{x-x_{m-1}}}.$ |
Il reste maintenant à savoir quelles sont les valeurs des constantes
$\mathrm {A} _{0},\quad \mathrm {A} _{1},\quad \mathrm {A} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{m-1}.$
Ces valeurs se déduiraient sans difficulté de la méthode de décomposition indiquée dans le § I. Mais on parvient plus directement à leur détermination à l’aide des considérations suivantes :
Si l’on multiplie par $\operatorname {F} (x)$ les deux membres de l’équation (3), on en tirera
| (4) | $\left\{{\begin{aligned}f(x)=\mathrm {R} \operatorname {F} (x)&+\mathrm {A} _{0}{\frac {\operatorname {F} (x)}{x-x_{0}}}+\mathrm {A} _{1}{\frac {\operatorname {F} (x)}{x-x_{1}}}\\&+\mathrm {A} _{2}{\frac {\operatorname {F} (x)}{x-x_{2}}}+\ldots +\mathrm {A} _{m-1}{\frac {\operatorname {F} (x)}{x-x_{m-1}}}.\end{aligned}}\right.$ |
Si dans les deux membres de cette dernière formule on fait
$x=x_{0}+z,$
la somme
$\mathrm {R} \operatorname {F} (x)+\mathrm {A} _{1}{\frac {\operatorname {F} (x)}{x-x_{1}}}+\mathrm {A} _{2}{\frac {\operatorname {F} (x)}{x-x_{2}}}+\ldots +\mathrm {A} _{m-1}{\frac {\operatorname {F} (x)}{x-x_{m-1}}},$
qui est évidemment un polynôme en $x$ divisible par $x-x_{0},$ prendra la forme
$z\mathrm {Z} ,$
$\mathrm {Z}$ désignant une fonction entière de $z,$ et l’on aura, par suite,
| (5) | $f(x_{0}+z)=\mathrm {A} _{0}{\frac {\operatorname {F} (x_{0}+z)}{z}}+z\mathrm {Z} .$ |
$x+z$
$x$
$\operatorname {F} (x)$
| (6) | $\operatorname {F} (x+z)=\operatorname {F} (x)+z\operatorname {F_{1}} (x)+z^{2}\operatorname {F_{2}} (x)+\ldots .$ |
On en déduira
$\operatorname {F} (x_{0}+z)=z\operatorname {F_{1}} (x_{0})+z^{2}\operatorname {F_{2}} (x_{0})+\ldots ,$
et l’équation (5) deviendra
$f(x_{0}+z)=\mathrm {A} _{0}[\operatorname {F_{1}} (x_{0})+z\operatorname {F_{2}} (x_{0})+\ldots ]+z\mathrm {Z} .$
Lorsqu’on fait dans cette dernière $z=0,$ elle se réduit à
$f(x_{0})=\mathrm {A} _{0}\operatorname {F_{1}} (x_{0}),$
et l’on en conclut
| (7) | $\mathrm {A} _{0}={\frac {f(x_{0})}{\operatorname {F_{1}} (x_{0})}}.$ |
On trouverait, par un calcul entièrement semblable,
| (8) | $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}\quad =&{\frac {f(x_{1})}{\operatorname {F_{1}} (x_{1})}},\\\mathrm {A} _{2}\quad =&{\frac {f(x_{2})}{\operatorname {F_{1}} (x_{2})}},\\..\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {A} _{m-1}=&{\frac {f(x_{m-1})}{\operatorname {F_{1}} (x_{m-1})}}.\end{aligned}}\right.$ |
Les valeurs qu’on vient d’obtenir pour
$\mathrm {A_{0},\quad A_{1},\quad A_{2},\quad \ldots ,\quad A} _{m-1}$
sont évidemment indépendantes du mode employé pour la décomposition de la fraction rationnelle ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}\,;$ d’où il résulte que cette fraction ne peut être décomposée que d’une seule manière en fractions simples qui aient pour dénominateurs les facteurs linéaires du polynome $\operatorname {F} (x)$ avec des numérateurs constants.
Il est aisé de voir comment l’équation (7) et la formule (3) du paragraphe précédent s’accordent entre elles. En effet, $\operatorname {F} _{1}(x_{0})$ est ce que devient le polynôme
$\operatorname {F} _{1}(x_{0})+z\operatorname {F} _{2}(x_{0})+\ldots ={\frac {\operatorname {F} (x_{0}+z)}{z}}={\frac {\operatorname {F} (x)}{x-x_{0}}}$
lorsqu’on y fait $z=0$ ou $x=x_{0}\,;$ et par suite, si l’on pose
| (9) | $\operatorname {F} (x)=(x-x_{0})\varphi (x),$ |
on aura
$\operatorname {F_{1}} (x_{0})=\varphi (x_{0}),$
| (10) | $\mathrm {A} _{0}={\frac {f(x_{0})}{\varphi (x0)}}.$ |
Pour montrer une application des formules ci-dessus établies, supposons qu’il s’agisse de décomposer en fractions simples la fraction rationnelle
${\frac {x^{n}}{x^{m}-1}},$
$n$ désignant un nombre entier inférieur à $m$. On aura, dans ce cas particulier,
$f(x)=x^{n},\qquad \operatorname {F} (x)=x^{m}-1,\qquad k=1\,;$
et, si l’on représente par $h$ un nombre entier qui ne surpasse pas ${\frac {m}{2}},$ les diverses racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ toutes inégales entre elles, seront comprises dans la formule
$\cos {\frac {2h\pi }{m}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2h\pi }{m}}.$
Soit $a$ l’une de ces racines, et cherchons le numérateur $\mathrm {A}$ de la fraction simple qui a pour dénominateur $x-a.$ Ce numérateur sera
$\mathrm {A} ={\frac {f(a)}{\operatorname {F_{1}} (a)}}={\frac {a^{n}}{\operatorname {F_{1}} (a)}},$
la valeur de $\operatorname {F_{1}} (a)$ étant déterminée par l’équation
$\operatorname {F} (a)+z\operatorname {F_{1}} (a)+\ldots =\operatorname {F} (a+z)=(a+z)^{m}-1=a^{m}-1+ma^{m-1}z+\ldots ,$
$ma^{m-1}.$
$\mathrm {A} ={\frac {a^{n}}{ma^{m-1}}}={\frac {1}{m}}a^{n+1-m}.$
Comme on a d’ailleurs
$\left(\cos {\frac {2h\pi }{m}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2h\pi }{m}}\right)^{n+1-m}=\cos {\frac {2h(n+1)\pi }{m}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2h(n+1)\pi }{m}},$
on conclura de ce qui précède, en faisant, pour abréger,
| (11) | ${\frac {(n+1)\pi }{m}}=\theta ,$ |
| (12) | $\left\{{\begin{aligned}{\frac {x^{n}}{x^{m}-1}}={\frac {1}{m}}&\left({\frac {1}{x-1}}+{\frac {\cos 2\theta +{\sqrt {-1}}\sin 2\theta }{x-\cos {\frac {2\pi }{m}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{m}}}}+{\frac {\cos 2\theta -{\sqrt {-1}}\sin 2\theta }{x-\cos {\frac {2\pi }{m}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{m}}}}\right.\\&\qquad \quad +{\frac {\cos 4\theta +{\sqrt {-1}}\sin 4\theta }{x-\cos {\frac {4\pi }{m}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {4\pi }{m}}}}+{\frac {\cos 4\theta -{\sqrt {-1}}\sin 4\theta }{x-\cos {\frac {4\pi }{m}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {4\pi }{m}}}}\\&\qquad \quad {\bigg .}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\bigg )}.\end{aligned}}\right.$ |
On trouverait, en raisonnant de la même manière,
| (13) | $\left\{{\begin{aligned}{\frac {x^{n}}{x^{m}+1}}=-{\frac {1}{m}}&\left({\frac {\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta }{x-\cos {\frac {\pi }{m}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{m}}}}+{\frac {\cos \theta -{\sqrt {-1}}\sin \theta }{x-\cos {\frac {\pi }{m}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{m}}}}\right.\\&\quad +{\frac {\cos 3\theta +{\sqrt {-1}}\sin 3\theta }{x-\cos {\frac {3\pi }{m}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {3\pi }{m}}}}+{\frac {\cos 3\theta -{\sqrt {-1}}\sin 3\theta }{x-\cos {\frac {3\pi }{m}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {3\pi }{m}}}}\\&\quad {\bigg .}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\bigg )}.\end{aligned}}\right.$ |
Il est essentiel d’observer que la dernière des fractions simples comprises dans le second membre de l’équation (12) ou (13) sera, pour des valeurs paires de $m,$ s’il s’agit de l’équation (12), et pour des valeurs impaires de $m,$ s’il s’agit de l’équation (13),
${\frac {\cos m\theta }{x+1}}={\frac {cos(n+1)\pi }{x+1}}={\frac {(-1)^{n+1}}{x+1}}.$
Ainsi, par exemple, on aura
${\begin{aligned}(14)\quad {\frac {1}{x^{2}-1}}=&\quad {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{x+1}}\right),\\(15)\quad {\frac {x}{x^{2}-1}}=&\quad {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}\right),\\(16)\quad {\frac {1}{x^{3}+1}}=&-{\frac {1}{3}}\left({\frac {\cos {\frac {\pi }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{3}}}{x-\cos {\frac {\pi }{3}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{3}}}}+{\frac {\cos {\frac {\pi }{3}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{3}}}{x-\cos {\frac {\pi }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{3}}}}-{\frac {1}{x+1}}\right),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
On peut remarquer encore que, si dans les seconds membres des équations (12) ou (13) on réunit par l’addition deux fractions simples correspondantes à deux facteurs linéaires conjugués du binôme $x^{m}\pm 1,$ la somme sera une nouvelle fraction qui aura pour dénominateur un facteur réel du second degré, et pour numérateur une fonction réelle et linéaire de la variable $x.$ On trouvera, par exemple, en prenant $n=0,$ $m=3,$
| (17) | $\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{x^{3}+1}}=&-{\frac {1}{3}}\left({\frac {2x\cos {\frac {\pi }{3}}-2}{x^{2}-2x\cos {\frac {\pi }{3}}+1}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\\=&\quad {\frac {1}{3}}\left({\frac {2-x}{x^{2}-x+1}}+{\frac {1}{x+1}}\right).\end{aligned}}\right.$ |
Il est facile de généraliser cette remarque ainsi qu’il suit.
Supposons que, les fonctions entières $f(x),\operatorname {F} (x)$ étant réelles, on désigne par
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\qquad \alpha -\beta {\sqrt {-1}}$
deux racines imaginaires conjuguées de l’équation (1), et prenons pour $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ deux quantités réelles propres à vérifier la formule
| (18) | ${\frac {f\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {F_{1}} \left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)}}=\mathrm {A-B} {\sqrt {-1}},$ |
$\operatorname {F_{1}} (x)$ représentant toujours le coefficient de $z$ dans le développement de $\operatorname {F} (x+z).$ On aura nécessairement
${\frac {f\left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {F_{1}} \left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)}}=\mathrm {A+B} {\sqrt {-1}}\,;$
et par suite, si l’on décompose la fraction rationnelle ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}},$ les deux fractions simples correspondantes aux facteurs linéaires conjugués
$x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}},\qquad x-\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$
seront respectivement
| (19) | ${\frac {\mathrm {A-B} {\sqrt {-1}}}{x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}}},\qquad {\frac {\mathrm {A+B} {\sqrt {-1}}}{x-\alpha +\beta {\sqrt {-1}}}}.$ |
En ajoutant ces deux fractions, on obtiendra la suivante :
| (20) | ${\frac {2\mathrm {A} (x-\alpha )+2\mathrm {B} \beta }{(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}.$ |
Cette dernière, qui a pour numérateur une fonction réelle et linéaire de la variable $x$ et pour dénominateur un facteur réel du second degré du polynôme $\operatorname {F} (x),$ ne diffère pas de la fraction
${\frac {u}{(x-x_{0})(x-x_{1})}}$
que renferme la formule (9) du paragraphe I, dans le cas où l’on suppose
$x_{0}=\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\qquad x_{1}=\alpha -\beta {\sqrt {-1}}.$
Soient
${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}$
la fraction rationnelle que l’on considère, $m$ le degré du polynome $\operatorname {F} (x),$ et
$a,\quad b,\quad c,\quad \ldots$
les diverses racines de l’équation
| (1) | $\operatorname {F} (x)=0.$ |
On aura, en désignant par $k$ un coefficient constant, et par $m,m',m'',\ldots$ plusieurs nombres entiers dont la somme sera égale à $m,$
| (2) | $\operatorname {F} (x)=k(x-a)^{m'}(x-b)^{m''}(x-c)^{m'''}\ldots .$ |
Cela posé, si l’on fait usage de la méthode exposée dans le paragraphe I, on décomposera la fraction rationnelle ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}$ en deux autres dont la première sera de la forme
${\frac {\mathrm {A} }{(x-a)^{m'}}},$
tandis que la seconde aura pour dénominateur
${\frac {\operatorname {F} (x)}{x-a}}==k(x-a)^{m'-1}(x-b)^{m''}(x-c)^{m'''}\ldots .$
En décomposant cette seconde fraction rationnelle par la même méthode, on obtiendra : 1$^o$ une nouvelle fraction simple
${\frac {\mathrm {A} _{1}}{(x-a)^{m'-1}}},$
$\mathrm {A_{1}} ,$
$k(x-a)^{m'-2}(x-b)^{m''}(x-c)^{m'''}\ldots .$
En continuant ainsi, on fera disparaître successivement du polynôme $\operatorname {F} (x)$ les différents facteurs linéaires dont se compose la puissance $(x-a)^{m'}\,;$ et, lorsqu’on aura extrait de ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}$ une suite de fractions simples de la forme
${\frac {\mathrm {A} }{(x-a)^{m'}}},\quad {\frac {\mathrm {A} _{1}}{(x-a)^{m'-1}}},\quad {\frac {\mathrm {A} _{2}}{(x-a)^{m'-2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {\mathrm {A} _{m'-1}}{x-a}},$
le reste sera une nouvelle fraction rationnelle dont le dénominateur se trouvera réduit à
$k(x-b)^{m''}(x-c)^{m'''}\ldots .$
Si de ce reste on extrait une seconde suite de fractions simples de la forme
${\frac {\mathrm {B} }{(x-a)^{m''}}},\quad {\frac {\mathrm {B} _{1}}{(x-a)^{m''-1}}},\quad {\frac {\mathrm {B} _{2}}{(x-a)^{m''-2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {\mathrm {B} _{m''-1}}{x-a}},$
on obtiendra un second reste dont le dénominateur sera
$k(x-c)^{m'''-1}\ldots .$
Enfin, si l’on prolonge ces opérations jusqu’à ce que le polynôme $\operatorname {F} (x)$ se trouve réduit à la constante $k,$ le dernier de tous les restes sera une fonction rationnelle à dénominateur constant, c’est-à-dire une fonction entière de la variable $x.$ Appelons $\mathrm {R}$ cette fonction entière. On aura définitivement pour la valeur de ${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}$ décomposée en fractions simples
| (3) | $\left\{{\begin{aligned}{\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}=\mathrm {R} &+{\frac {\mathrm {A} }{(x-a)^{m'}}}+{\frac {\mathrm {A} _{1}}{(x-a)^{m'-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} _{m'-1}}{x-a}}\\&+{\frac {\mathrm {B} }{(x-b)^{m''}}}+{\frac {\mathrm {B} _{1}}{(x-b)^{m''-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {B} _{m''-1}}{x-b}}\\&+{\frac {\mathrm {C} }{(x-c)^{m'''}}}+{\frac {\mathrm {C} _{1}}{(x-c)^{m'''-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {C} _{m'''-1}}{x-c}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$ |
$\mathrm {A,A} _{1},\ldots ,\mathrm {A} _{m'-1}\,;$
$\mathrm {B,B} _{1},\ldots ,\mathrm {B} _{m'-1}\,;$
$\mathrm {C,C} _{1},\ldots ,\mathrm {C} _{m'-1}\,;$
(4) Faisons, pour plus de commodité,
| (4) | $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {R} &+{\frac {\mathrm {B} }{(x-b)^{m''}}}+{\frac {\mathrm {B} _{1}}{(x-b)^{m''-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {B} _{m''-1}}{(x-b)}}\\&+{\frac {\mathrm {C} }{(x-c)^{m'''}}}+{\frac {\mathrm {C} _{1}}{(x-c)^{m'''-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {C} _{m'''-1}}{(x-c)}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&={\frac {\mathrm {Q} }{(x-b)^{m''}(x-c)^{m'''}\ldots }}\,;\end{aligned}}\right.$ |
$\mathrm {Q}$ sera une nouvelle fonction entière de la variable $x,$ et l’équation (3) deviendra
${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}}={\frac {\mathrm {A} }{(x-a)^{m'}}}+{\frac {\mathrm {A} _{1}}{(x-a)^{m'-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} _{m'-1}}{(x-a)}}+{\frac {\mathrm {Q} }{(x-b)^{m''}(x-c)^{m'''}\ldots }}.$
Si l’on multiplie les deux membres de cette dernière par
$\operatorname {F} (x)=k(x-a)^{m'}(x-b)^{m''}(x-c)^{m'''}\ldots .$
on en conclura
| (5) | $f(x)=\left[\mathrm {A+A} _{1}(x-a)+\ldots +\mathrm {A} _{m'-1}(x-a)^{m'-1}\right]{\frac {\operatorname {F} (x)}{(x-a)^{m'}}}+k\mathrm {Q} (x-a)^{m'}\,;$ |
et par suite, en faisant
$x=a+z,$
on trouvera
| (6) | $f(a+z)=\left[\mathrm {A+A} _{1}z+\ldots +\mathrm {A} _{m'-1}z^{m'-1}\right]{\frac {\operatorname {F} (a+z)}{z^{m'}}}+\mathrm {Z} z^{m'},$ |
$\mathrm {Z}$ désignant la valeur du polynome $k\mathrm {Q}$ exprimée en fonction de $z.$ Supposons maintenant que la substitution de $x+z,$ au lieu de $x,$ dans les fonctions $f(x)$ et $\operatorname {F} (x),$ donne généralement
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}f(x+z)=&f(x)+zf_{1}(x)\;+z^{2}f_{2}(x)+\ldots ,\\\operatorname {F} (x+z)=&\operatorname {F} (x)+z\operatorname {F_{1}} (x)+z^{2}\operatorname {F_{2}} (x)+\ldots \\&\qquad \,+z^{m'}\operatorname {F} _{m'}(x)+z^{m'+1}\operatorname {F} _{m'+1}(x)+\ldots .\end{aligned}}\right.$ |
$x=a+z,$
$\operatorname {F} (x)=\operatorname {F} (a+z)$
doit être divisible par $(x-a)^{m'}=z^{m'},$
| (8) | $\left\{{\begin{aligned}f(a+z)=&f(a)+zf_{1}(a)\;+z^{2}f_{2}(a)+\ldots ,\\\operatorname {F} (a+z)=&\left[\operatorname {F} _{m'}(a)+z\operatorname {F} _{m'+1}(a)+z^{2}\operatorname {F} _{m'+2}(a)+\ldots \right]z^{m'}\,;\end{aligned}}\right.$ |
| (9) | $\operatorname {F} (a)=0,\quad \operatorname {F_{1}} (a)=0,\quad \ldots ,\quad \operatorname {F} _{m'-1}(a)=0.$ |
Cela posé, la formule (6) se trouvera réduite à
| (10) | $\left\{{\begin{aligned}f&(a)+z^{2}f_{1}(a)+z^{2}f_{2}(a)+\ldots \\&=\left(\mathrm {A} +\mathrm {A} _{1}z+\mathrm {A} _{2}z^{2}+\ldots \right)\\&\qquad \quad \times \left[\operatorname {F} _{m'}(a)+z\operatorname {F} _{m'+1}(a)+z^{2}\operatorname {F} _{m'+2}(a)+\ldots \right]+z^{m'}\mathrm {Z} ,\end{aligned}}\right.$ |
et l’on en tirera, en égalant dans les deux membres les coefficients des puissances semblables de $z,$
| (11) | $\left\{{\begin{aligned}f(a)\ =&\mathrm {A} \operatorname {F} {m'}(a),\\f_{1}(a)=&\mathrm {A} _{1}\operatorname {F} _{m'}(a)+\mathrm {A} \ \operatorname {F} _{m'+1}(a),\\f_{2}(a)=&\mathrm {A} _{2}\operatorname {F} _{m'}(a)+\mathrm {A} _{1}\operatorname {F} _{m'+1}(a)+\mathrm {A} \operatorname {F} _{m'+2}(a),\\.\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$ |
On trouvera par un calcul entièrement semblable
| (12) | $\left\{{\begin{alignedat}{3}f(b)=&\mathrm {B} \operatorname {F} {m''}(b),\quad &f_{1}(b)=&\mathrm {B} _{1}\operatorname {F} _{m''}(b)+\mathrm {B} \operatorname {F} _{m''+1}(b),&\quad f_{2}(b)=&\ldots ,\\f(c)=&\mathrm {C} \operatorname {F} {m'''}(c),&f_{1}(c)=&\mathrm {C} _{1}\operatorname {F} _{m'''}(c)+\mathrm {C} \operatorname {F} _{m'''+1}(c),&f_{2}(c)=&\ldots ,\\\ldots \ldots &..\ldots \ldots \ldots &.\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &.\ldots \ldots &\ldots ..\end{alignedat}}\right.$ |
Ces diverses équations suffiront pour fixer complètement les valeurs des constantes $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots ,$ $\mathrm {B,B_{1},B_{2}} ,\ldots ,$ $\mathrm {C,C_{1},C_{2}} ,\ldots ,$ Elles donneront, par exemple,
| (13) | $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} \ \ =&{\frac {f(a)}{\operatorname {F} _{m'}(a)}},\\\mathrm {A} _{1}=&{\frac {f_{1}(a)-\mathrm {A} \operatorname {F} _{m'+1}(a)}{\operatorname {F} _{m'}(a)}},\\\mathrm {A} _{2}=&{\frac {f_{2}(a)-\mathrm {A} _{1}\operatorname {F} _{m'+1}(a)-\mathrm {A} \operatorname {F} _{m'+2}(a)}{\operatorname {F} _{m'}(a)}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$ |
${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}},$
Il est aisé de voir que la première des équations (13) s’accorde avec la formule (14) du paragraphe I. En effet, la quantité $\operatorname {F} _{m'}(a)$ est ce que devient le polynôme
$\operatorname {F} _{m'}(a)+z\operatorname {F} _{m'+1}(a)+z^{2}\operatorname {F} _{m'+2}(a)+\ldots ={\frac {\operatorname {F} (a+z)}{z^{m'}}}={\frac {\operatorname {\operatorname {F} } (x)}{(x-a)^{m'}}}$
lorsqu’on y fait $z=0$ ou $x=a\,;$ et par suite, si l’on pose
| (14) | $\operatorname {F} (x)=(x-a)^{m'}\varphi (x),$ |
on aura
$\operatorname {F} _{m'}(a)=\varphi (a),$
| (15) | $\mathrm {A} ={\frac {f(a)}{\varphi (a)}}.$ |
Dans le cas où, les fonctions $f(x)$ et $\operatorname {F} (x)$ étant réelles l’une et l’autre, l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ admet $m'$ racines égales à $\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$ la même équation admet encore $m'$ racines égales conjuguées aux premières, et par conséquent représentées par
$\alpha -\beta {\sqrt {-1}}.$
Dans cette hypothèse, si, après la décomposition de la fraction rationnelle
${\frac {f(x)}{\operatorname {F} (x)}},$
on réunit deux à deux les fractions simples qui ont pour dénominateurs
${\begin{array}{lcl}\left(x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)^{m'}&{\text{et}}&\left(x-\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{m'},\\\left(x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)^{m'-1}&{\text{et}}&\left(x-\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{m'-1},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{array}}$
$x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\quad {\text{et}}\quad x-\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$
les différentes sommes obtenues seront des fractions réelles et rationnelles qui auront pour dénominateurs respectifs
${\begin{aligned}&\left[(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}\right]^{m'},\\&\left[(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}\right]^{m'-1},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\ (x-\alpha )^{2}+\beta ^{2},\end{aligned}}$
et dont le système pourra être remplacé par une suite d’autres fractions qui, avec les mêmes dénominateurs, auraient pour numérateurs des fonctions réelles et linéaires de la variable $x.$ Au reste, il est facile de calculer directement cette nouvelle suite de fractions, en commençant par celles qui correspondent aux plus hautes puissances de $(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}.$ Cherchons, par exemple, celle qui a pour dénominateur
$\left[(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}\right]^{m'}=\left(x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)^{m'}\left(x-\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{m'}.$
D’après les principes établis dans le paragraphe I, elle sera
| (16) | ${\frac {u}{\left[(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}\right]^{m'}}},$ |
pourvu que l’on fasse
| (17) | $\left\{{\begin{aligned}u={\frac {1}{2\beta {\sqrt {-1}}}}&\left[{\frac {f\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)}{\varphi \left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)}}\left(x-\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right.\\&\qquad \left.-{\frac {f\left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)}{\varphi \left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)}}\left(x-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)\right]\\\end{aligned}}\right.$ |
et
| (18) | $\varphi (x)={\frac {\operatorname {F} (x)}{\left[(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}\right]^{m'}}}.$ |
Ajoutons que, si dans la formule précédente, on pose successivement
$x=\alpha +\beta {\sqrt {-1}}+z,\qquad x=\alpha -\beta {\sqrt {-1}}+z,$
${\begin{aligned}\varphi \left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}+z\right)=&{\frac {\operatorname {F} _{m'}\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)+z\operatorname {F} _{m'+1}\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)+\ldots }{\left(2\beta {\sqrt {-1}}+z\right)^{m'}}},\\\varphi \left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}+z\right)=&{\frac {\operatorname {F} _{m'}\left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)+z\operatorname {F} _{m'+1}\left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)+\ldots }{\left(2\beta {\sqrt {-1}}+z\right)^{m'}}},\end{aligned}}$
et, par suite,
| (19) | $\left\{{\begin{aligned}\varphi \left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)=&{\frac {\operatorname {F} _{m'}\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)}{\left(2\beta {\sqrt {-1}}\right)^{m'}}},\\\varphi \left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)=&(-1)^{m'}{\frac {\operatorname {F} _{m'}\left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)}{\left(2\beta {\sqrt {-1}}\right)^{m'}}}.\end{aligned}}\right.$ |
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