# Les mathématiques et le divers

LES MATHEMATIQUES ET LE DIVERS
En présentant, dans le troisième livre de notre travail sur le Cheminement de la pensée (1), notre théorie du raisonnement mathématique, nous avions nous-même marqué en quoi elle diffère des conceptions qui ont précédé la nôtre. Celle de Kant, en particulier, est fondée sur la conviction d'une vertu constructive spécifique de la déduction dans ce domaine. « La nature de l'espace (ou du temps), dit M. C. J. Lewis, en résumant cette partie de la doctrine du grand penseur, en tant qu'appréhendée a priori, porte la démonstration en des endroits que les « principes plus généraux de l'analyse logique ne sauraient lui faire atteindre ». C'est ainsi également grosso modo que juge M. Brunschvicg (sauf, cependant, pour ce qui concerne l'analyse logique, qu'à l'encontre de Kant, il mésestime, comme on sait, grandement). En un certain sens, Milhaud est d'un avis analogue, étant donné que (CP, § 181, 386, 387) la spontanéité de la pensée sur laquelle il insiste implique (comme il le dit lui-même) une véritable « vertu créatrice ; de même le sont aussi les logisticiens, qui maintiennent la possibilité d'un progrès de la pensée dans la tautologie, c'est-à-dire dans l'apriori et l'identique pur. Toutefois, ni Milhaud, ni les logisticiens n'introduisent, dans cet ordre d'idées, une distinction entre le mathématique et le non-mathématique, puisque Milhaud juge que la démarche de l'esprit est analogue chez le physicien qui formule des lois (CP, § 19, 386), et que les logisticiens ramènent tout le mathématique au logique pur. Dans le très bel article que M. Dominique Parodi a bien voulu consacrer à notre livre, l'éminent auteur de La Philosophie contemporaine en France a fait ressortir avec force les objections auxquelles se heurte notre manière de voir.
Les mathématiques, expose-t-il, tirent K d'un petit nombre de notions et de leurs formes les plus simples, des relations de plus en plus complexes (1) ». C'est là une difficulté à laquelle nous avions essayé de parer dans le livre même. Sans doute aurions-nous dû insister davantage sur cette question, où notre manière de voir tranche assez fortement sur ce qui passe en général (du moins auprès de la majorité de nos contemporains) pour établi sans conteste. En effet, selon nous, le raisonnement mathématique n'est jamais réellement pur, c'est-à-dire entièrement dépourvu d'éléments empiriques (CP, § 243). Car, toujours et partout, aussi bien dans les démarches les plus simples de l'arithmétique que dans les opérations les plus complexes du calcul infinitésimal, etc., il fait, constamment et nécessairement, appel aux opérations telles que l'addition, etc., qui n'ont pu être conçues que grâce à des manipulations exécutées à l'aide d'objets, par exemple de cailloux(CP, §219). En analysant (CP, §279) un exposé de M. Padoa (2) ou ce dernier s'est précisément efforcé de marcher dans l'identique pur, nous nous sommes appliqué à montrer que le raisonnement s'arrêterait instantanément si l'on renonçait à faire intervenir tout ce qui y déroge. Alors que nous avons tenté, d'autre part, de montrer comment le raisonnement mathématique, même le plus avancé, fait sans cesse et nécessairement appel au comportement du réel, en rattachant par le raisonnement les concepts abstraits qu'il crée aux objets concrets de la perception, à l'aide du principe de Hankel (CP, § 224, 225, 226, 245, 263, 420) ; nous avons constaté aussi, en citant particulièrement M. Hilbert, que, de même, on ne raisonnait, en géométrie non-euclidienne, qu'en appliquant les normes de comportement que fournit l'espace commun (CP, § 225). Mais il s'agit, dans ces cas, d'un comportement qui, par suite de sensations et d'expériences mille et mille fois répétées, nous est devenu à tel point familier que nous ne distinguons plus bien si cela vient de nous ou des choses (CP, § 412).
Alors que, d'autre part, les constatations qu'il implique se prêtent, avec une aisance surprenante, à l'application du concept d'identité, qui est, lui, véritablement l'essence de la raison. Et c'est ce qui fait que le mathématique entier est susceptible de paraître, comme le dit Kant, sous les espèces d'une raison pure qui réussit à s'étendre elle-même sans le secours de l'expérience (CP, §434). En particulier, l'addition, si elle n'est point, pour nous, une opération expérimentale, contrairement à ce qu'affirmait Mill, n'est pas non plus purement apriorique, comme le prétendait Kant. Car Mill perdait de vue qu'elle allait dans le sens de l'identification (CP, § 238), tandis que Kant a eu le tort de ne pas s'apercevoir qu'elle identifiait un divers, que 7 + 5 n'est pas 12 mais fait 12 (CP, 201). L'addition est, comme toutes les démarches de l'esprit, mêlée d'apriori et d'a posteriori, et l'élément empirique que recèle le raisonnement ne disparaît jamais (CP, § 221), si loin qu'on pousse le raisonnement mathématique, si abstrait qu'il puisse apparaître à première vue. Reste cependant, ainsi que M. Parodi le fait ressortir avec raison, l'étonnement devant l'ensemble des mathématiques. Comment ce prodigieux édifice, si éloigné de ce que nous présente le réel immédiatement perçu, a-t-il pu être édifié? Car ce que nous venons d'exposer n'explique que le fait qu'en chaque cas particulier on a trouvé une démonstration, laquelle, en faisant intervenir le comportement du réel, a réussi à faire prévaloir l'identité; en d'autres termes. La théorie a l'air de n'expliquer que l'aspect régressif du raisonnement mathématique. Mais d'où venait l'élément progressif, à défaut duquel les mathématiques, de toute évidence, piétineraient sur place? On peut même serrer le problème d'un peu plus près encore, en faisant valoir (comme M. Parodi l'indique également) que, puisque, chez nous, tout raisonnement, pour avancer, a besoin d'un divers, on n'aperçoit pas l'intervention de ce divers dans les mathématiques, d'où l'expérience est totalement absente. C'est sur ce point, il nous semble, que l'exposé, dans le livre, est le plus insuffisant ; nous allons donc le reprendre à pied d'oeuvre, en quelque sorte. Revenons à l'exemple algébrique que nous avions choisi (a+b)*(a-b)=a^2–b^2. Qu'a-t-on entendu démontrer? Le fait que la somme et la différence des mêmes nombres jouit d'une certaine propriété.
Cette propriété n'appartient pas à tout nombre en tant que tel si je multiplie simplement m par n, je ne pourrai, dans cet ordre d'idées, rien énoncer au sujet du produit ; mais je le puis dans les conditions indiquées par le théorème, c'est-à-dire quand les deux nombres que je multiplie ne sont pas des nombres quelconques, mais au contraire choisis d'une manière déterminée dans la série des nombres. Cependant a et b sont bien, eux, des nombres quelconques ; c'est pour indiquer cette situation que nous avons substitué, à des nombres réels, des symboles. Ainsi, ce que nous démontrons, en dernier lieu, c'est bien une propriété du nombre en tant que membre de la série des nombres (le fait que le théorème puisse s'appliquer à d'autres choses qu'à des nombres naturels constituant une généralisation ultérieure). Et il est clair qu'il en va ainsi dans l'algèbre entière partout ce qu'on démontre ce sont les propriétés des nombrés. En ce sens, l'algèbre entière peut être dite une théorie des nombres (bien qu'il soit d'usage de réserver cette appellation au savoir qui traite des nombres appartenant à une classe particulière). Elle est une arithmétique générale, et nous avons nous-même, en parlant d'arithmétique, entendu inclure celle qui se sert de ces nombres généraux. Ainsi, voici le divers que nous cherchions il réside dans le nombre et ses propriétés, dans les particularités qu'offre la série des nombres. Et cette série est non seulement à la base de tout, elle est partout effectivement présente; si nous entendons formuler le théorème avec rigueur, nous commencerons par énoncer (comme l'a fait très correctement M. Padoa dans la démonstration que nous avions reproduite au § 279) « a et b étant des nombres. » Ce qui permet du reste de voir un peu plus clair en ce qui concerne la distinction entre notre manière de voir et la conception de ceux pour qui l'arithmétique est de l'apriori pur. En effet, si l'on admet que le nombre est une pure création de l'esprit, l'arithmétique entière apparaît comme sortie, en quelque sorte, de rien (ainsi que le dit M. Study, CP, § 275). Mais on sait que ce n'est pas là notre opinion. Le nombre, pour nous, est une propriété de l'amas (CP, § 193), et ce qui permet de nier la participation de l'expérience lors de la constitution de cette notion, c'est uniquement le fait qu'en lui l'accord entre le rationnel et le réel se manifeste avec une puissance particulière, par l'application constante de l'identification (CP, § 234).
Ainsi, le nombre même recélant de l'empirique, c'est cet empirique qui fournit le divers qui conditionne le progrès dans l'arithmétique. En parlant de la figuration x selon Holder (au § 246), nous avions noté que l'imagination mathématique ne retrace que rarement l'ensemble de la voie qui, de l'abstrait, ramène au concret, se contentant d'assimiler le nouveau concept à un autre, dont le comportement lui est devenu familier. Or, au fond de tout cela, il y a la série des nombres. Le concept le plus familier de tous et dont tous les autres dérivent (CP, § 229). Et une fois parvenu à ce tuf, on se trouve en effet en présence du réel concret, car le nombre l'inclut. Bien entendu, la présence de ce facteur provenant du réel est plus apparente encore dans le géométrique. Revenons, cette fois encore, à l'exemple que nous avions mis en avant dans le livre, celui de la démonstration euclidienne du théorème de Pythagore. On entend démontrer que les deux carrés construits sur les côtés ont ensemble la même aire que celui de l'hypoténuse. On fera disparaître un divers, on le réduira (à un certain point de vue, s'entend) à l'identique. Est-il besoin d'indiquer d'où venait ce divers? Il venait manifestement de la figure, c'est-à-dire de notre sensation spatiale. Et il est clair que c'est là aussi une observation très générale. Sans doute, la figuration n'a-t-elle pas besoin d'être tout à fait exacte, notre imagination en redressera suffisamment les défauts (CP, § 212), mais elle devra pourtant indiquer nettement le divers que la démonstration sera chargée de réduire. D'ailleurs, en cette matière encore, on peut parfaitement nier l'intervention du réel, affirmer avec Kant (CP, § 178) que le spatial, et par conséquent la figure, sont de l'apriori pur. Mais on sait que c'est là une manière de voir abandonnée assez généralement par les mathématiciens d'à présent. Nous objectera-t-on que le mathématicien, en progressant, a néanmoins le sentiment d'inventer librement? Eh bien, nous oserons nous inscrire en faux contre une telle affirmation. Sans doute pourra-t-on faire valoir quelques déclarations allant dans ce sens. Mais elles émanent, croyons-nous, plutôt de philosophes mathématiciens, tels que Milhaud (CP, § 197. 386).
Quant au mathématicien de métier, et surtout à celui qui est en train d'innover, il a semble-t-il, bien plutôt la conviction qu'il n'invente pas, mais se contente de découvrir. Nous avons cité (CP, 136, 240, 243) des opinions d'Hermite, de Galois, de Klein, de Hudson, allant dans ce sens. Il nous semble bien que tout cela contredit nettement l'opinion selon laquelle le mathématicien, en progressant, se sentirait véritablement créateur ou inventeur. Car la découverte, assurément, implique l'intervention d'un facteur venant du dehors, de la sensation, l'application de l'intellect à ce qui préexistait à son action. Cependant, Milhaud et les philosophes mathématiciens dont nous avons parlé plus haut n'avaient pas extrêmement tort non plus, car, tout en renfermant du réel, la série des nombres en représente une expression déjà sublimée, épurée. Elle renferme donc aussi de la pensée, et c'est parce qu'elle est réel et pensée à la fois, par l'accord constant, dans le 7+5=12, entre la sensation venant du dehors et l'identité issue de l'intellectus ipse, qu'elle domine notre esprit plus puissamment que n'importe quelle autre de nos connaissances. Ainsi, comme l'a dit L. Lichtenstein dans le beau travail qu'il a consacré à nos conceptions dans le domaine mathématique, le mathématicien, en réalité, n'invente point librement ni ne découvre ce qui préexistait tel quel, mais épouse des vérités auxquelles participent aussi bien le monde de la perception que notre intellect (1). Que la série des nombres se trouve au fond de toute vérité mathématique, c'est ce dont d'autres mathématiciens de métier ont eu le sentiment vigoureux. Car c'est évidemment cette conviction que respirent les distiques où C. G. Jacobi affirme que c'est « parmi les dieux de l'Olympe que « trône le nombre éternel (cf. DR, § 23). Et, de manière plus définie encore, Kronecker a exprimé la même opinion, en disant « Les nombres entiers ont été faits par le bon Dieu, le reste est œuvre humaine » (CP, p. 740). Qu'il en soit encore ainsi dans les mathématiques les plus élevées, en dépit de l'éloignement apparent de ce savoir de la forme entière du sens commun, c'est ce que l'éminent mathématicien contemporain dont nous avons cité le nom plus haut a mis hors de doute.
Parlant de la constitution des méthodes du calcul infinitésimal, M. Lichtenstein constate que le progrès prend sa source entièrement dans la représentation et que « c'est là qu'il puise tout son contenu, toute sa vigueur persuasive », ce qui est « on ne peut plus apparent dans le calcul des fluxions newtonien. Il ajoute que « l'oeuvre de Georg Cantor a le même caractère ». De même encore, le fameux théorème de Zermelo. Il relève aussi que « le rattachement au monde du réel est particulièrement apparent dans la théorie des groupes, tant dans celle des groupes abstraits que, par exemple, dans celle des groupes de permutations ». Les voies par lesquelles la pensée mathématique progresse « reviennent toujours aux directions indiquées par la représentation », car « les mathématiques mêmes ne sauraient créer quelque chose au moyen du néant », elles « s'appuient sur la matière première de l'expérience. Partout aussi notre conviction de la vérité de ce qui est ainsi créé (ou découvert) repose sur l'accord profond entre la pensée et le réel, accord dont M. Lichtenstein a encore davantage précisé la notion en la qualifiant d' « isomorphisme ». Ce dernier consiste essentiellement en une « correspondance biunivoque entre objets et opérations, situés d'une part dans le réel, et d'autre part dans le domaine de l'esprit », le réel pouvant d'ailleurs « se trouver représenté par des images-souvenirs, par une perception intérieure plus ou moins purifiée (1). Il nous semble que, toutes choses égales d'ailleurs, la théorie qui assimile le raisonnement mathématique au non-mathématique paraît devoir prendre le pas sur celle qui admet une raison mathématique spécifique. En effet, qu'il soit possible d'attribuer la création des mathématiques à une faculté sui generis de l'esprit, c'est ce dont personne ne saurait douter. II est, de même, loisible de supposer, pour chaque domaine de l'activité intellectuelle, une faculté ou aptitude particulière, et il est de fait que, dans le discours commun, nous avons tous l'air, bien souvent, de raisonner comme si nous affirmions l'existence de ces facultés le professeur parlera, sans hésiter, d'une aptitude particulière de l'enfant pour la géographie, l'histoire, les langues, etc., et des critiques littéraires, bien souvent, ne se gênent pas pour édifier des conceptions entières sur une telle base. Mais le philosophe n'est-il pas astreint à juger d'une autre façon?
La philosophie n'est-elle pas, avant tout, accord, et de ces conceptions, suggérées par une généralisation facile, ne doit-elle pas élaguer un grand nombre par une critique rigoureuse? Nous dirons qu'en ce sens, le philosophe, comme il est le moins métaphysicien des hommes, est aussi celui qui a le moins de ces idées (que le public n'est que trop porté à qualifier de philosophiques), jusqu'à ce qu'il arrive (comme l'a dit M. Bergson) à n'avoir en quelque sorte qu'une idée unique, autour de laquelle tournera sa pensée entière. Mais s'il en est ainsi, ne faut-il pas appliquer ici le rasoir d'Occam? Et dès lors n'y a-t-il pas lieu de se demander si la supposition d'une raison mathématique spéciale est non pas possible, mais nécessaire, et s'il ne convient pas, tout au contraire, de briser, dans ce cas encore, ce que M. Brunschvicg appelle les cadres factices des facultés (CP, § 431) nous n'avons pas besoin de faire ressortir que M. Brunschvicg lui-même serait en désaccord complet avec nous sur ce point particulier. Or nous croyons avoir montré que les facultés de l'esprit dont nous apercevons le fonctionnement ailleurs suffisent parfaitement à expliquer la marche du raisonnement mathématique l'apparence de spécificité provenant, comme nous l'avons dit plus haut, de ce que l'accord entre la pensée et le réel est plus parfait ici que dans tout autre domaine. Dira-t-on qu'en faisant intervenir cet accord nous introduisons à notre tour un élément particulier? Mais cette supposition de l'accord est une constatation que l'on fait, qu'on le veuille ou non, à tous les instants, en appliquant, sans hésitation, au réel les résultats des calculs; le penseur qui croit à la spécificité du mathématique en a donc besoin comme nous, puisque lui aussi ne fait de mathématique qu'en vue du réel. A moins, évidemment, qu'il ne soit pas mathématicien, auquel cas, le réel n'étant que mathématique, l'accord s'établit en quelque sorte tout seul, mais c'est là précisément, nous avons à peine besoin de l'indiquer, pousser à l'extrême cette idée de l'accord. On remarquera d'ailleurs à' quel point, à la lumière des principes que nous croyons avoir dégagés, le fonctionnement de cette raison mathématique spéciale serait anormal, extravagant. La raison, dit M. Delacroix, « n'est jamais pure, avec quoi penserait-elle? (CP. § 394). Or, ici, elle le serait, elle créerait de toutes pièces ce avec quoi elle doit penser.
A l'encontre de tout autre divers, le divers en mathématiques, selon M. Parodi, ne viendrait pas « réellement du dehors H. il viendrait « de l'esprit même, qui répète et complique ses actes » il serait « vraiment construit et créé' Ainsi la raison, qui apparaît foncièrement incapable d'engendrer un divers, en fabriquerait ici, pour le plaisir (si l'on ose parler ainsi) de pouvoir s'exercer sur lui, le réduire à l'identique puisque tout le mathématique (c'est une observation vulgaire) se résout en fin de compte en égalités. Arrêtons-nous quelques instants à cette observation, sur laquelle nous avions déjà insisté (GP, § 199), mais sans doute de manière encore insuffisante, puisque son intérêt semble souvent méconnu. Il est vrai que notre opinion va à l'encontre de ce qui constitue un des fondements de la logique symbolique actuelle, à savoir l'affirmation de la primauté des jugements de relation. Que ces énoncés ne se plient pas à la forme des jugements prédicatifs, c'est ce que nous avions nous-même fait ressortir en citant un fameux passage de Leibniz sur l'accident qui aurait une jambe dans l'un des sujets et l'autre dans l'autre, ce qui est contre la notion des accidents (CP, § 148); nous avions aussi à ce propos loué les logisticiens qui ont eu le mérite d'examiner et de classer ces propositions avec une grande minutie. Mais peut-on maintenir que, dans l'ensemble des raisonnements, ces jugements priment d'importance' ceux que la logique classique place en première ligne? N'est-il pas évident que, s'il en allait réellement ainsi, cette situation devrait se répercuter sur les mathématiques? Or, il est de toute évidence que c'est au contraire l'égalité qui y prévaut grandement les énoncés d'inégalité y sont certainement plutôt rares, en comparaison de ceux où prévaut le signe bien connu, lequel semble véritablement l'expression de la forme où la pensée du mathématicien se coule de préférence. C'est ce qui a été, du reste, reconnu par Frege, dont aucun logisticien ne récusera le témoignage. Constatant que les opinions des mathématiciens au sujet de l'égalité diffèrent, l'auteur des Grundgesetze déclare que cela ne signifie rien de moins que le fait que les mathématiciens ne sont point d'accord sur le contenu de leur science, qu'il n'existe pas de science mathématique uniforme, et que les mathématiciens, en vérité, ne s'entendent point l'un l'autre.
Car le sens de presque toutes les propositions d'arithmétique et de beaucoup de propositions de géométrie dépend, directement ou indirectement, du sens du terme égal (CP, § 199). Ainsi, et tout en reconnaissant l'existence de la proposition non prédicative, la forme même des mathématiques nous impose cette conviction que c'est bien l'identification, la réduction à l'identique du divers qui a sa source en dehors de la raison, qui est la forme essentielle du raisonnement. Et dès lors comment se représenter la création d'un divers opéré par cette raison même? Ce serait là un processus à peu près analogue à celui ou à ceux (car ces philosophes, on le sait, n'étaient pas pleinement d'accord entre eux, et parfois même ont varié, chacun en particulier, sur ce point essentiel) par lesquels la philosophie romantique allemande se représentait la transition entre la pensée et le réel. Nous n'affirmons nullement l'impossibilité d'une telle opération il s'agit là de la querelle entre l'idéalisme et le réalisme qui ne nous concerne pas ici. Ce que nous entendons faire ressortir, c'est simplement qu'elle n'est pas plus aisée dans le mathématique qu'ailleurs. Mieux vaut donc, en tout cas, s'en passer là où elle n'est pas absolument indispensable. Notre conception présente encore cet avantage important de ne pas rompre la continuité entre l'arithmétique et la géométrie. Qu'il y ait une telle continuité, c'est ce que, semble-t-il, on sent de manière immédiate on sent que la géométrie a beaucoup plus de commun avec l'arithmétique (et l'algèbre) qu'avec la physique, et le fait que les deux premières branches du savoir ont été, de tout temps, réunies sous ce terme de mathématiques (ou encore mathématiques pures) et séparées de l'ensemble des sciences physiques n'est que la manifestation extérieure de ce sentiment. M. Bertrand Russell a dit avec raison (CP, notes, page 876) qu'affirmer que les énoncés arithmétiques sont d'essence purement empirique, cela « sonne faux ». Eh bien, nous croyons qu'il sonne faux), de même manière et pour des raisons analogues, de prétendre creuser un fossé entre l'arithmétique et la géométrie, en maintenant le pur apriori de celle-là et en rejetant celle-ci vers la physique.
Or, si l'on excepte le mathématisme extrême de M. Brunschvicg, les théories de ceux qui, de nos jours, ont scruté les fondements des mathématiques aboutissent généralement à une telle conception (CP, § 178) (1). Pour nous, tout au contraire, s'il y a également de l'apriori et de l'expérience dans les mathématiques que l'on qualifiait de pures, ces deux facteurs ne se trouvent pas cantonnés respectivement dans l'arithmétique et la géométrie, et les domaines de leur action ne sont point délimités par ce qui distingue l'une de l'autre .apriori et expérience interviennent sans cesse l'un et l'autre ici et là et leurs interventions s'enchevêtrent. Afin de mieux préciser notre attitude en cette matière quelque peu complexe, il sera peut-être utile de se poser cette question épineuse que seraient devenues ces parties du savoir, quelles formes auraient-elles prises si l'expérience s'était prononcée dans un sens différent de celui qui conditionne l'arithmétique et la géométrie actuelles? Nous venons de qualifier la question d'épineuse, et elle l'est en effet, comme toutes celles où l'on pose l'existence d'un réel ou d'un savoir différents de ceux que nous connaissons. Nous reviendrons tout à l'heure sur ce point ; pour le moment contentons-nous de faire valoir, en guise de circonstance atténuante en quelque sorte, que, dans le cas qui nous occupe en ce moment, dangers et inconvénients se trouvent grandement atténués par le fait que le problème a été traité avant nous et résolu dans un sens parfaitement défini ; nous aurons donc devant les yeux un schéma précis, ce qui aidera grandement notre travail d'analyse. La solution à laquelle nous faisons allusion est celle proposée par l'empirisme extrême.
1. Dans un petit ouvrage qui vient de paraître (Ziele und Wege der heutigen Naturphilosophie, Leipzig, 1931, page 25), M. Reichenbach déclare que le problème de l'application au réel (Wirklichkeitsgeltung) a abouti, en ce qui concerne la géométrie, à une solution empiriste et que la géométrie, à ce point de vue, ne se distingue point de tout autre savoir physique formulant des lois. Ainsi le nombre est un fait, mais nullement une nécessité (ib. page 27). Il est, à notre sens, parfaitement choquant d'entendre affirmer que « l'aisance de compréhension représentative (die anschauliche Erfassbarkeit) de la géométrie euclidienne est uniquement un produit de l'habitude. Il suffit, en effet, d'y prendre garde pour saisir que l'apparence d'apriori en géométrie n'est nullement une illusion pure : est-il vraiment nécessaire de rappeler à ce propos l'admirabte démonstration de Platon (Platon, Oeuvres complètes, Ménon, traduction A. Croiset et L. Bodin, éditions de !'Association Guillaume Budé, Paris, 1923, page 251?
Pour J. S. Mill, en effet, on le sait assez, les vérités mathématiques sont, sans exception aucune, des vérités acquises par une longue et constante expérience, des vérités inductives, les formules fondamentales de ce savoir reposant uniquement sur le témoignage des sens et le raisonnement mathématique, comme l'affirme un penseur plus récent de cette école, M. F. C. S. Schiller, ne différant des autres inductions que par l'ancienneté et la familiarité des résultats sur lesquels il repose (CP, § 182, 183). Il s'ensuit évidemment que, si, dans le réel, chaque, fois que nous porterions cinq cailloux vers sept autres, un treizième caillou mystérieusement, du moins selon nos idées actuelles venait s'ajouter au total, nous écririons 7 + 5 = 13. Or, selon nous, cette vue n'est point juste ou, du moins, n'est juste que partiellement. Il y a bien de l'empirique dans le mathématique, et il y en a même dans l'énoncé arithmétique le plus élémentaire, le plus évident. Mais il n'y a pas uniquement de l'empirique ; tout au contraire, il s'y manifeste aussi un facteur rationnel, un facteur d'identité : il nous semble aller de soi que les cailloux que nous avons déplacés n'ont pu subir aucune modification relative au nombre, et dans le groupe des douze nous pouvons encore, en traçant une démarcation purement idéale – et qui, par conséquent ne saurait influer en rien sur le résultat de nos opérations réelles distinguer les deux tas primitifs de sept et de cinq. Ainsi, il y a ici collaboration de l'empirique et du rationnel le rôle important de ce second facteur expliquant que l'on ait pu aller jusqu'à oublier entièrement le premier, en maintenant que tout, dans le mathématique, était uniquement déductif. Mais cela non plus n'est pas exact, et c'est parce qu'il y a en l'espèce un accord complet entre les deux fondements de notre connaissance que les mathématiques, selon la juste et belle expression de M. Russell (CP, 209), constituent « une demeure éternellement debout où nos aspirations idéales sont pleinement satisfaites et nos meilleurs espoirs ne sont point déçus ». De toute évidence, un tel accord ne subsisterait pas dans l'univers hypothétique du treizième caillou. Et dès lors, cela est clair, il n'y aurait point de mathématiques, dans le sens que nous attachons à présent à ce terme. Le mathématicien, en dépit de l'expérience, du témoignage des sens, n'écrirait pas, ne pourrait pas écrire 7 + 5 = 13, car le signe d'égalité n'est point l'expression d'un état de fait pur et simple, mais la manifestation de l'accord entre le fait et les exigences de la raison.
Tout au plus ce mathématicien supposé pourrait-il réunir les deux expressions par une flèche, comme on a en effet proposé de le faire pour l'équation chimique (CP, § 166), parce que, précisément, le non identique des deux côtés du signe y est à tel point apparent que le signe même peut paraître inapproprié. Ce n'est, répétons-le, que sous les plus expresses réserves que nous avançons ces suppositions concernant l'univers chimérique, où le réel et la pensée seraient à ce point en conflit. Dès Identité et réalité (p. 492), nous faisions ressortir le malaisé de tels raisonnements, en écrivant « Nous ne connaissons qu'un seul univers. Il est seul et est ce qu'il est. » Il est vrai, pourtant, que l'on trouve assez fréquemment, chez les philosophes, des raisonnements où cette difficulté se trouve plus ou moins méconnue. D'aucuns même ont paru croire que c'était un privilège du philosophe que de se poser (et, bien entendu, de résoudre) de telles questions. Mais nous avons, au contraire, constaté que, dans un domaine bien moins semé d'embûches puisqu'il ne s'agissait que de prévoir quelle serait l'attitude de la science en face d'éventualités qui ne s'étaient pas encore produites, mais qui ne devaient nullement être en désaccord avec le canevas général qui, selon nos idées actuelles, sous-tend les phénomènes des représentants on ne peut plus autorisés de la science aussi bien que de la philosophie (Poincaré et Lotze) avaient fait fausse route en essayant de trancher à l'avance des questions que le réel n'avait pas encore effectivement posées à la raison humaine. La légèreté (pour ne pas dire plus) avec laquelle certains semblent se mouvoir dans ce domaine est, en vérité, non pas un privilège, mais une tare du philosophe, par trop enclin à considérer ses chimères comme effectivement réalisées. Ainsi il ne faut point trop s'étonner de ce que nous n'ayons pu parvenir, dans cet ordre d'idées, qu'à une conclusion en quelque sorte purement négative. Notons cependant que cette conclusion s'applique également à la géométrie ; celle que nous connaissons, et dont le caractère déductif implique la mise en œuvre continuelle de l'identification ainsi que le manifeste, là encore, le rôle prédominant du signe d'égalité n'existerait pas dans l'univers paradoxal dont nous avons évoqué l'image, évoqué de manière très sommaire et très insuffisante, cela va sans dire.
Ce qui la remplacerait serait un savoir réellement et uniquement empirique, et la difficulté que nous éprouverions certainement, si nous essayions de nous figurer d'un peu plus près ce que ce serait, est la manifestation de la profonde distinction entre les deux géométries s'il est permis de décorer encore de ce nom la science fictive de l'espace dont nous supposons l'existence. Et tout ceci nous prouve aussi que la géométrie, contrairement à ce que prétendent certains mathématiciens un peu trop enclins à bouleverser les cadres anciens, n'est point une science entièrement empirique, qu'elle ne l'est pas devenue par le triomphe de la relativité, mais qu'elle a, tout comme l'arithmétique, des fondements en partie a priori et en partie a posteriori, l'accord, plus parfait que dans les sciences physiques, justifiant le sentiment qui a trouvé son expression dans ce terme de mathématiques pures, en tant qu'englobant arithmétique et géométrie.
ÉMILE MEYERSON.