# Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Chapitre VII
### CHAPITRE VII.
#### § I. — Considérations générales sur les expressions imaginaires.

En Analyse, on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par elle-même ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle qu’elle doit naturellement avoir. On nomme de même équations symboliques toutes celles qui, prises à la lettre et interprétées d’après les conventions généralement établies, sont inexactes ou n’ont pas de sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts, en modifiant et altérant selon des règles fixes, ou ces équations elles-mêmes, ou les symboles qu’elles renferment. L’emploi des expressions ou équations symboliques est souvent un moyen de simplifier les calculs et d’écrire sous une forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence. C’est ce qu’on a déjà vu dans le second paragraphe du troisième Chapitre, où la formule (9) fournit une valeur symbolique très simple de l’inconnue $x$ assujettie à vérifier les équations (4). Parmi les expressions ou équations symboliques dont la considération est de quelque importance en Analyse, on doit surtout distinguer celles que l’on a nommées imaginaires. Nous allons montrer comment on peut être conduit à en faire usage.
On sait que les sinus et cosinus de l’arc $a+b$ sont donnés en fonction des sinus et cosinus des arcs $a$ et $b$ par les formules
| (1) | $\left\{{\begin{aligned}\cos(a+b)=&\cos a\cos b-\sin a\sin b,\\\sin(a+b)=&\sin a\cos b+\sin b\cos a.\end{aligned}}\right.$ |
Supposons que l’on multiplie l’une par l’autre les deux expressions symboliques
${\begin{aligned}\cos a+&{\sqrt {-1}}\sin a,\\\cos b+&{\sqrt {-1}}\sin b,\end{aligned}}$
en opérant d’après les règles connues de la multiplication algébrique, comme si ${\sqrt {-1}}$ était une quantité réelle dont le carré fût égal à $-1.$ Le produit obtenu se composera de deux parties : l’une toute réelle, l’autre ayant pour facteur ${\sqrt {-1}}\,;$ et la partie réelle fournira la valeur de $\cos(a+b),$ tandis que le coefficient ${\sqrt {-1}}$ fournira celle de $\sin(a+b).$ Pour constater cette remarque, on écrit la formule
| (2) | $\left\{{\begin{aligned}\cos &(a+b)+{\sqrt {-1}}\sin(a+b)\\&=\left(\cos a+{\sqrt {-1}}\sin a\right)\left(\cos b+{\sqrt {-1}}\sin b\right).\end{aligned}}\right.$ |
Les trois expressions que renferme l’équation précédente, savoir
${\begin{aligned}\cos a&+{\sqrt {-1}}\sin a,\\\cos b&+{\sqrt {-1}}\sin b,\\\cos(a+b)&+{\sqrt {-1}}\sin(a+b),\end{aligned}}$
sont trois expressions symboliques qui ne peuvent s’interpréter d’après les conventions généralement établies, et ne représentent rien de réel. On les a nommées pour cette raison expressions imaginaires. L’équation (2) elle-même, prise à la lettre, se trouve inexacte et n’a pas de sens. Pour en tirer des résultats exacts, il faut, en premier lieu, développer son second membre par la multiplication algébrique, ce qui réduit cette équation à
| (3) | $\left\{{\begin{aligned}\cos &(a+b)+{\sqrt {-1}}\sin(a+b)\\&=\cos a\cos b-\sin a\sin b+{\sqrt {-1}}(\sin a\cos b+\sin b\cos a).\end{aligned}}\right.$ |
Il faut, en second lieu, dans l’équation (3), égaler la partie réelle du premier membre à la partie réelle du second, puis le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ dans le premier membre au coefficient de ${\sqrt {-1}}$ dans le second. On est ainsi ramené aux équations (1) que l’on doit considérer comme implicitement renfermées l’une et l’autre dans la formule (2).
En général, on appelle expression imaginaire toute expression symbolique de la forme
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$
$\alpha ,\beta$ désignant deux quantités réelles ; et l’on dit que deux expressions imaginaires
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\qquad \gamma +\delta {\sqrt {-1}}$
sont égales entre elles, lorsqu’il y a égalité de part et d’autre : 1$^o$ entre les parties réelles $\alpha$ et $\gamma \,;$ 2$^o$ entre les coefficients de ${\sqrt {-1}},$ savoir $\beta$ et $\delta .$ L’égalité de deux expressions imaginaires s’indique, comme celle de deux quantités réelles, par le signe $=,$ et il en résulte ce qu’on appelle une équation imaginaire. Cela posé, toute équation imaginaire n’est que la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles. Par exemple, l’équation symbolique
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\gamma +\delta {\sqrt {-1}}$
équivaut seule aux deux équations réelles
$\alpha =\gamma ,\qquad \beta =\delta .$
Lorsque, dans l’expression imaginaire
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$
le coefficient $\beta$ de ${\sqrt {-1}}$ s’évanouit, le terme $\beta {\sqrt {-1}}$ est censé réduit à zéro, et l’expression elle-même à la quantité réelle $\alpha .$ En vertu de cette convention, les expressions imaginaires comprennent, comme cas particuliers, les quantités réelles.
Les expressions imaginaires peuvent être soumises, aussi bien que les quantités réelles, aux diverses opérations de l’Algèbre. Si l’on effectue en particulier l’addition, la soustraction ou la multiplication de deux ou de plusieurs expressions imaginaires, en opérant d’après les règles établies pour les quantités réelles, on obtiendra pour résultat une nouvelle expression imaginaire qui sera ce qu’on appelle la somme, la différence ou le produit des expressions données ; et l’on se servira des notations ordinaires pour indiquer cette somme, cette différence ou ce produit. Par exemple, si l’on donne seulement deux expressions imaginaires
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\qquad \gamma +\delta {\sqrt {-1}},$
on trouvera
${\begin{array}{ll}({\text{4}})\qquad &\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)+\left(\gamma +\delta {\sqrt {-1}}\right)=\alpha +\gamma +(\beta +\delta ){\sqrt {-1}},\\({\text{5}})&\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)-\left(\gamma +\delta {\sqrt {-1}}\right)=\alpha -\gamma +(\beta -\delta ){\sqrt {-1}},\\({\text{6}})&\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\times \left(\gamma +\delta {\sqrt {-1}}\right)=\alpha \gamma -\beta \delta +(\alpha \delta +\beta \gamma ){\sqrt {-1}}.\end{array}}$
Il est bon de remarquer que le produit de deux ou plusieurs expressions imaginaires, comme celui de deux ou plusieurs binômes réels, restera le même, dans quelque ordre qu’on multiplie ses différents facteurs.
Diviser une première expression imaginaire par une seconde, c’est trouver une troisième expression imaginaire qui, multipliée par la seconde, reproduise la première. Le résultat de cette opération est le quotient des deux expressions données. On se sert pour l’indiquer du signe ordinaire de la division. Ainsi, par exemple,
${\frac {\alpha +\beta {\sqrt {-1}}}{\gamma +\delta {\sqrt {-1}}}}$
représente le quotient des deux expressions imaginaires
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\qquad \gamma +\delta {\sqrt {-1}}.$
Élever une expression imaginaire à la puissance du degré $m$ $(m$ désignant un nombre entier$),$ c’est former le produit de $m$ facteurs égaux à cette expression. On indique la puissance $m$$^{ième}$ de $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ par la notation
$\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{m}.$
Extraire la racine $n$$^{ième}$ de l’expression imaginaire $\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$ ou, en d’autres termes, élever cette expression à la puissance du degré ${\frac {1}{n}}$ $(n$ désignant un nombre entier quelconque$),$ c’est former une nouvelle expression imaginaire dont la puissance $n$$^{ième}$ reproduise $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}.$ Ce problème admettant plusieurs solutions (voir le § IV), il en résulte que l’expression imaginaire $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ a plusieurs racines du degré $n.$ Lorsque nous voudrons désigner indistinctement l’une quelconque d’entre elles, nous emploierons la notation
${\sqrt[{n}]{\!\!\!\!{\sqrt {\alpha +\beta {\sqrt {-1}}}}}}$
ou la suivante
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{n}}.$
Dans le cas particulier où $\beta$ s’évanouit, $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ se réduit à une quantité réelle $\alpha ,$ et parmi les valeurs de l’expression
${\sqrt[{n}]{\!\!\!\!{\sqrt {\alpha }}}}=((\alpha ))^{\frac {1}{n}}$
il peut s’en trouver une ou deux de réelles, comme on le verra ci-après.
Outre les puissances entières et les racines correspondantes des expressions imaginaires, on a souvent à considérer ce qu’on appelle leurs puissances fractionnaires ou négatives. On doit faire à ce sujet les remarques suivantes.
Pour élever l’expression imaginaire $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ à la puissance fractionnaire du degré ${\frac {m}{n}},$ il faut, en supposant la fraction ${\frac {m}{n}}$ réduite à sa plus simple expression : 1$^o$ extraire la racine $n$$^{ième}$ de l’expression donnée ; 2$^o$ élever cette racine à la puissance entière du degré $m.$ Le problème pouvant être résolu de plusieurs manières (voir ci-après le § IV), nous désignerons indistinctement l’une quelconque des puissances du degré ${\frac {m}{n}}$ par la notation
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {m}{n}}.$
$\beta$
Élever l’expression imaginaire $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ à la puissance négative du degré $-m,$ ou $-{\frac {1}{n}},$ ou $-{\frac {m}{n}}$ c’est diviser l’unité par la puissance du degré $m,$ ou ${\frac {1}{n}},$ ou ${\frac {m}{n}}$ de la même expression. Le problème admettant une solution seulement, dans le premier cas, et plusieurs solutions dans chacun des deux autres, on indique la puissance du degré $-m$ par la notation simple
$\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{-m},$
tandis que les deux notations
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{-{\frac {1}{n}}},$
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{-{\frac {m}{n}}}$
représentent, la première, une quelconque des puissances du degré $-{\frac {1}{n}},$ et la seconde une quelconque des puissances du degré $-{\frac {m}{n}}.$
On dit que deux expressions imaginaires sont conjuguées l’une à l’autre, lorsque ces deux expressions ne different entre elles que par le signe du coefficient de ${\sqrt {-1}}.$ La somme de deux semblables expressions est toujours réelle, ainsi que leur produit. En effet les deux expressions imaginaires conjuguées
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\qquad \alpha -\beta {\sqrt {-1}}$
donnent pour somme $2\alpha$ et pour produit $\alpha ^{2}+\beta ^{2}.$ La dernière partie de cette observation conduit à un théorème relatif aux nombres, et dont voici l’énoncé :
Théorème I. — Si l’on multiplie l’un par l’autre deux nombres entiers dont chacun soit la somme de deux carrés, le produit sera encore une somme de deux carrés.
Démonstration. — Soient
$\alpha ^{2}+\beta ^{2},\qquad \alpha '^{2}+\beta '^{2}$
$\alpha ^{2},\beta ^{2},\alpha '^{2},\beta '^{2},$
${\begin{aligned}\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\left(\alpha '+\beta '{\sqrt {-1}}\right)=&\alpha \alpha '-\beta \beta '+(\alpha \beta '+\alpha '\beta ){\sqrt {-1}},\\\left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)\left(\alpha '-\beta '{\sqrt {-1}}\right)=&\alpha \alpha '-\beta \beta '-(\alpha \beta '+\alpha '\beta ){\sqrt {-1}},\end{aligned}}$
et, en multipliant celles-ci membre à membre, on obtiendra la suivante
| (7) | $\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}\right)=\left(\alpha \alpha '-\beta \beta '\right)^{2}+\left(\alpha \beta '+\alpha '\beta \right)^{2}.$ |
Si l’on échange entre elles dans cette dernière les lettres $\alpha '$ et $\beta ',$ on trouvera
| (7) | $\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}\right)=\left(\alpha \beta '-\alpha '\beta \right)^{2}+\left(\alpha \alpha '+\beta \beta '\right)^{2}.$ |
Il y a donc en général deux manières de décomposer en deux carrés le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme de deux carrés. Ainsi, par exemple, on tire des équations (7) et (8)
$\left(2^{2}+1\right)\left(3^{2}+2^{2}\right)=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2}.$
On voit par ces considérations que l’emploi des expressions imaginaires peut être d’une grande utilité, non seulement dans l’Algèbre ordinaire, mais encore dans la Théorie des nombres.
Quelquefois on représente une expression imaginaire par une seule lettre. C’est un artifice qui augmente les ressources de l’Analyse, et dont nous ferons usage dans ce qui va suivre.
Une propriété remarquable de toute expression imaginaire
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$
c’est de pouvoir se mettre sous la forme
$\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),$
$\rho$
$\theta$
| (1) | $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)$ |
ou, ce qui revient au même, les deux équations réelles
| (2) | $\left\{{\begin{aligned}\alpha =&\rho \cos \theta ,\\\beta =&\rho \sin \theta ,\end{aligned}}\right.$ |
on en tirera
| (3) | $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \right)=\rho ^{2},$ |
et, après avoir ainsi déterminé la valeur du nombre $\rho ,$ il ne restera, pour vérifier complètement les équations (2), qu’à trouver un arc $\theta$ dont le cosinus et le sinus soient respectivement
| (4) | $\left\{{\begin{aligned}\cos \theta =&{\frac {\alpha }{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}},\\\sin \theta =&{\frac {\beta }{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}.\end{aligned}}\right.$ |
Ce dernier problème est toujours soluble, attendu que chacune des quantités ${\frac {\alpha }{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}},{\frac {\beta }{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}$ a une valeur numérique inférieure à l’unité, et que la somme de leurs carrés est égale à $1.$ De plus, il admet une infinité de solutions différentes, puisque, après avoir calculé une valeur convenable de l’arc $\theta ,$ on pourra, sans changer ni le sinus ni le cosinus, augmenter ou diminuer cet arc d’un nombre quelconque de circonférences.
Lorsque l’expression imaginaire $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ se trouve ramenée à la forme
$\rho (\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta ),$
la quantité positive $\rho$ est ce qu’on appelle le module de cette expression imaginaire ; et ce qui reste après la suppression du module, c’està-dire le facteur
$\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta ,$
est ce que nous nommerons l’expression réduite. Comme des quantités $\alpha$ et $\beta$ supposées connues on ne déduit pour le module $\rho$ qu’une valeur unique déterminée par l’équation (3), il en résulte que le module reste le même pour deux expressions imaginaires égales. On peut donc énoncer le théorème suivant :
Théorème I. — L’égalité de deux expressions imaginaires entraine toujours l’égalité des modules et, par conséquent, celle des expressions réduites.
Si l’on compare entre elles deux expressions imaginaires conjuguées, on trouvera encore que leurs modules sont égaux. Le carré du module commun à ces deux expressions ne sera autre chose que leur produit.
Lorsque dans l’expression imaginaire $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ le second terme $\beta$ s’évanouit, cette expression se réduit à une quantité réelle $\alpha .$ Dans la mème hypothèse, on tire des équations (3) et (4): 1$^o$ quand $\alpha$ est positif,
$\rho ={\sqrt {\alpha ^{2}}},$
$\cos \theta =1,\qquad \sin \theta =0$
et, par suite,
$\theta =\pm 2k\pi ,$
$k$ désignant un nombre entier quelconque ; 2$^o$ quand $\alpha$ est négatif,
$\rho ={\sqrt {\alpha ^{2}}},$
$\cos \theta =-1,\qquad \sin \theta =0$
et, par suite,
$\theta =\pm (2k+1)\pi .$
Ainsi le module d’une quantité réelle $\alpha$ n’est autre chose que sa valeur numérique ${\sqrt {\alpha ^{2}}},$ et l’expression réduite qui correspond à une semblable quantité est toujours $+1$ ou $-1,$ savoir
$+1=\cos(\pm 2k\pi )+{\sqrt {-1}}\sin(\pm 2k\pi ),$
$-1=\cos(\pm {\overline {2k+1}}\pi )+{\sqrt {-1}}\sin(\pm {\overline {2k+1}}\pi ).$
lorsqu’il s’agit d’une quantité négative.
Toute expression imaginaire qui a zéro pour module se réduit ellemême à zéro, puisque ses deux termes s’évanouissent. Réciproquement, comme le cosinus et le sinus d’un arc ne deviennent jamais nuls en même temps, il en résulte qu’une expression imaginaire ne peut se réduire à zéro qu’autant que son module s’évanouit.
Toute expression imaginaire qui a l’unité pour module est nécessairement une expression réduite. Ainsi, par exemple,
${\begin{array}{rr}\cos a+{\sqrt {-1}}\sin a,&\cos a-{\sqrt {-1}}\sin a,\\-\cos a-{\sqrt {-1}}\sin a,&-\cos a+{\sqrt {-1}}\sin a\end{array}}$
sont quatre expressions réduites conjuguées deux à deux. Effectivement, pour tirer ces quatre expressions de la formule
$\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta ,$
il suffira de poser successivement
${\begin{alignedat}{2}\theta =&\pm 2k\pi +a,&\theta =&\pm 2k\pi -a,\\\theta =&\pm (2k+1)\pi +a,\qquad &\theta =&\pm (2k+1)\pi -a.\end{alignedat}}$
$k$ désignant un nombre entier quelconque.
Les calculs relatifs aux expressions imaginaires pouvant être simplifiés par la considération des expressions réduites, il importe de faire connaitre les principales propriétés de ces dernières. Ces propriétés sont comprises dans les théorèmes que je vais énoncer.
Théorème II. — Pour multiplier l’une par l’autre deux expressions réduites
$\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta ,\qquad \cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta ',$
il suffit d’ajouter les arcs $\theta$ et $\theta '$ qui leur correspondent.
Démonstration. — On a, en effet,
| (5) | $\left\{{\begin{aligned}&\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right)\\&\quad =\cos(\theta +\theta ')+{\sqrt {-1}}\sin(\theta +\theta ').\end{aligned}}\right.$ |
Corollaire. — Si dans la formule précédente on fait $\theta =-\theta ,$ on trouvera, comme on devait s’y attendre,
| (6) | $\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\left(\cos \theta -{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)=1.$ |
Théorème III. — Pour multiplier les unes par les autres plusieurs expressions réduites
$\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta ,\quad \cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta ',\quad \cos \theta ''+{\sqrt {-1}}\sin \theta '',\quad \ldots ,$
il suffit d’ajouter les arcs $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots$ qui leur correspondent.
Démonstration. — En effet, on aura successivement
${\begin{aligned}&\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right),\\&\quad =\cos(\theta +\theta ')+{\sqrt {-1}}\sin(\theta +\theta '),\\\\&\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right)\left(\cos \theta ''+{\sqrt {-1}}\sin \theta ''\right)\\&\quad =\left[\cos(\theta +\theta '+{\sqrt {-1}}\sin(\theta +\theta ')\right]\left(\cos \theta ''+{\sqrt {-1}}\sin \theta ''\right)\\&\quad =\cos(\theta +\theta '+\theta '')+{\sqrt {-1}}\sin(\theta +\theta '+\theta ''),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et, en continuant de même, on trouvera généralement, quel que soit le nombre des arcs $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots ,$
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}&\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right)\left(\cos \theta ''+{\sqrt {-1}}\sin \theta ''\right)\ldots \\&\quad =\cos(\theta +\theta '+\theta ''+\ldots )+{\sqrt {-1}}\sin(\theta +\theta '+\theta ''+\ldots ).\end{aligned}}\right.$ |
Corollaire. — Si l’on développe par la multiplication immédiate le premier membre de l’équation (7), le développement se composera de deux parties, l’une toute réelle, l’autre ayant pour facteur ${\sqrt {-1}}.$ Cela posé, la partie réelle fournira la valeur de
$\cos(\theta +\theta '+\theta ''+\ldots ).$
${\sqrt {-1}}$
$\sin(\theta +\theta '+\theta ''+\ldots ).$
Supposons, par exemple, que l’on considère seulement trois arcs $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots$ L’équation (7) deviendra
${\begin{aligned}&\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right)\left(\cos \theta ''+{\sqrt {-1}}\sin \theta ''\right)\\&\quad =\cos(\theta +\theta '+\theta '')+{\sqrt {-1}}\sin(\theta +\theta '+\theta ''),\end{aligned}}$
et, après avoir développé le premier membre de cette dernière par la multiplication algébrique, on en conclura
${\begin{aligned}\cos(\theta +\theta '+\theta '')=&\quad \cos \theta \cos \theta '\cos \theta ''-\cos \theta \sin \theta '\sin \theta ''\\&-\sin \theta \cos \theta '\sin \theta ''-\sin \theta \sin \theta '\cos \theta '',\\\\\sin(\theta +\theta '+\theta '')=&\quad \sin \theta \cos \theta '\cos \theta ''+\cos \theta \sin \theta '\cos \theta ''\\&+\cos \theta \cos \theta '\sin \theta ''+\sin \theta \sin \theta '\sin \theta ''.\end{aligned}}$
Théorème IV. — Pour diviser l’expression réduite
$\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta$
par la suivante
$\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta ',$
il suffit de retrancher l’arc $\theta ',$ qui correspond à la seconde, de l’arc $\theta$ correspondant à la première.
Démonstration. — Soit $x$ le quotient cherché, en sorte qu’on ait
$x={\frac {\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta }{\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '}}.$
Ce quotient devra être une nouvelle expression imaginaire tellement choisie, que, en la multipliant par $\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '$ on reproduise $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta .$ En d’autres termes, $x$ devra satisfaire à l’équation
$\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right)x=\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta .$
Pour tirer de cette équation la valeur de $x,$ il suffira de multiplier les deux membres par
$\cos \theta '-{\sqrt {-1}}\sin \theta '.$
$x$
${\begin{aligned}x&=\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\left(\cos \theta '-{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right)\\&=\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\left[\cos(-\theta ')+{\sqrt {-1}}\sin(-\theta ')\right]\\&=\cos(\theta -\theta ')+{\sqrt {-1}}\sin(\theta -\theta ').\end{aligned}}$
On aura donc en définitive
| (8) | ${\frac {\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta }{\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '}}=\cos(\theta -\theta ')+{\sqrt {-1}}\sin(\theta -\theta ').$ |
Corollaire. — Si dans l’équation (8) on fait $\theta =0,$ elle donnera
| (9) | ${\frac {1}{\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '}}=\cos \theta '-{\sqrt {-1}}\sin \theta '.$ |
Théorème V. — Pour élever l’expression imaginaire
$\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta$
à la puissance du degré $m$ $(m$ désignant un nombre entier quelconque$),$ il suffit de multiplier dans cette expression l’arc $\theta$ par le nombre $m$.
Démonstration. — En effet, les arcs $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots$ pouvant être quelconques dans la formule (7), si on les suppose tous égaux à l’arc $\theta$ et en nombre $m,$ on trouvera
| (10) | $\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)^{m}=\cos m\theta +{\sqrt {-1}}\sin m\theta .$ |
Corollaire. — Si dans l’équation (10) on fait successivement $\theta =z,$ $\theta =-z,$ on obtiendra les deux suivantes :
| (11) | $\left\{{\begin{aligned}\left(\cos z+{\sqrt {-1}}\sin z\right)^{m}=&\cos mz+{\sqrt {-1}}\sin mz,\\\left(\cos z-{\sqrt {-1}}\sin z\right)^{m}=&\cos mz-{\sqrt {-1}}\sin mz.\end{aligned}}\right.$ |
Le premier membre de chacune de ces dernières, étant toujours un produit de $m$ facteurs égaux, pourra être développé par la multiplication immédiate de ces facteurs ou, ce qui revient au même, par la formule de Newton. Si, après avoir effectué le développement dont il s’agit, on égale de part et d’autre dans chaque équation : 1$^o$ les parties réelles ; 2$^o$ les coefficients de ${\sqrt {-1}},$ on en conclura
| (12) | $\left\{{\begin{aligned}\cos mz=&cos^{m}z-{\frac {m(m-1)}{1.2}}\cos ^{m-2}z\sin ^{2}z\\&+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{1.2.3.4}}\cos ^{m-4}z\sin ^{4}z-\ldots ,\\\\\sin mz=&{\frac {m}{1}}\cos ^{m-1}z\sin z\\&-{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}\cos ^{m-3}z\sin ^{3}z+\ldots .\end{aligned}}\right.$ |
On trouvera, par exemple, en supposant $m=2,$
${\begin{aligned}\cos 2z=&\cos ^{2}z-\sin ^{2}z,\\\sin 2z=&2\sin z\cos z\,;\end{aligned}}$
en supposant $m=3,$
${\begin{aligned}\cos 3z=&\cos ^{3}z-3\cos z\sin ^{2}z,\\\sin 3z=&3\cos ^{2}z\sin z-\sin ^{2}z,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Théorème VI. — Pour élever l’expression imaginaire
$\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta$
à la puissance du degré $-m$ $(m$ désignant un nombre entier quelconque$),$ il suffit de multiplier dans cette expression l’arc $\theta$ par le degré $-m$.
Démonstration. — En effet, d’après la définition que nous avons donnée des puissances négatives (voir le § I), on aura
$\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)^{-m}={\frac {1}{\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)^{m}}}={\frac {1}{\cos m\theta +{\sqrt {-1}}\sin m\theta }}.$
Par suite, en ayant égard à la formule (9), on trouvera
| (13) | $\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)^{-m}=\cos m\theta -{\sqrt {-1}}\sin m\theta$ |
| (14) | $\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)^{-m}=\cos(-m\theta )+{\sqrt {-1}}\sin(-m\theta ).$ |
Après avoir établi, comme nous venons de le faire, les principales propriétés des expressions réduites, il devient facile de multiplier ou de diviser l’une par l’autre deux ou plusieurs expressions imaginaires, quels que soient leurs modules, aussi bien que d’élever une expression imaginaire quelconque à la puissance du degré $m$ ou $-m$ $(m$ désignant un nombre entier$).$ On peut, en effet, exécuter simplement ces diverses opérations à l’aide des théorèmes suivants :
Théorème VII. — Pour obtenir le produit de deux ou de plusieurs expressions imaginaires, il suffit de multiplier le produit des expressions réduites qui leur correspondent par le produit des modules.
Démonstration. — Le théorème énoncé se déduit immédiatement de ce principe, que le produit de plusieurs facteurs réels ou imaginaires reste le même dans quelque ordre qu’on les multiplie. Soient effectivement
$\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),\ \ \rho '\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right),\ \ \rho ''\left(\cos \theta ''+{\sqrt {-1}}\sin \theta ''\right),\ \ \ldots$
plusieurs expressions imaginaires, dont $\rho ,\rho ',\rho '',\ldots$ désignent les modules. Lorsqu’on voudra multiplier entre elles ces expressions dont chacune est le produit d’un module par une expression réduite, on pourra, en vertu du principe qu’on vient de rappeler, former, d’une part, le produit de tous les modules, de l’autre, celui de toutes les expressions réduites, puis multiplier ces deux derniers produits l’un par l’autre. On trouvera de cette manière pour résultat définitif
| (15) | $\rho \rho '\rho '',\ldots \left[\cos(\theta +\theta '+\theta ''+\ldots )+{\sqrt {-1}}\sin(\theta +\theta '+\theta ''+\ldots )\right].$ |
Corollaire I. — Le produit de plusieurs expressions imaginaires est une nouvelle expression imaginaire qui a pour module le produit des modules de toutes les autres.
Corollaire II. — Comme une expression imaginaire ne s’évanouit jamais qu’avec son module, et que, pour faire évanouir le produit de plusieurs modules, il faut nécessairement supposer l’un d’eux réduit à zéro, il est clair qu’on peut tirer du théorème VII la conclusion suivante :
Le produit de deux ou de plusieurs expressions imaginaires ne peut s’évanouir qu’autant que l’une d’elles se réduit à zéro.
Théorème VIII. — Pour obtenir le quotient de deux expressions imaginaires, il suffit de multiplier le quotient des expressions réduites qui leur correspondent par le quotient des modules.
Démonstration. — Supposons qu’il s’agisse de diviser l’expression imaginaire
$\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),$
dont le module est $\rho ,$ par la suivante
$\rho '\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right),$
dont le module est $\rho '.$ Si l’on désigne par $x$ le quotient demandé, $x$ devra être une nouvelle expression imaginaire propre à vérifier l’équation
$\rho '\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right)x=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right).$
Pour tirer de cette équation la valeur de $x,$ on multipliera les deux membres par le produit des deux facteurs
${\frac {1}{\rho '}},\qquad \cos \theta '-{\sqrt {-1}}\sin \theta ',$
et l’on trouvera de cette manière, en écrivant ${\frac {\rho }{\rho '}}$ au lieu de $\rho {\frac {1}{\rho '}},$
$x={\frac {\rho }{\rho '}}\left[\cos(\theta -\theta ')+{\sqrt {-1}}\sin(\theta -\theta ')\right].$
On aura donc en dernière analyse
| (16) | ${\frac {\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)}{\rho '\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right)}}={\frac {\rho }{\rho '}}\left[\cos(\theta -\theta ')+{\sqrt {-1}}\sin(\theta -\theta ')\right]\,;$ |
$\cos(\theta -\theta ')+{\sqrt {-1}}\sin(\theta -\theta ')$
est précisément le quotient des deux expressions réduites
$\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta ,\qquad \cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta ',$
il est clair que, après avoir établi la formule (16), nous devons considérer le théorème VIII comme démontré.
Corollaire. — Si dans l’équation (16) on fait $\theta =0,$ elle donnera
| (17) | ${\frac {1}{\rho '\left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right)}}={\frac {1}{\rho '}}\left(\cos \theta '-{\sqrt {-1}}\sin \theta '\right).$ |
Théorème IX. — Pour obtenir la $m$$^{ième}$ puissance d’une expression imaginaire $(m$ désignant un nombre entier quelconque$),$ il suffit de multiplier la $m$$^{ième}$ puissance de l’expression réduite correspondante par la $m$$^{ième}$ puissance du module.
Démonstration. — En effet, si dans le théorème VII on suppose les expressions imaginaires
${\begin{aligned}&\rho \ \ \left(\cos \theta \;+{\sqrt {-1}}\sin \theta \ \ \right),\\&\rho '\ \left(\cos \theta '+{\sqrt {-1}}\sin \theta '\ \right),\\&\rho ''\left(\cos \theta ''+{\sqrt {-1}}\sin \theta ''\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$
toutes égales entre elles et en nombre $m,$ leur produit sera équivalent à la puissance $m$$^{ième}$ de la première, c’est-à-dire à
$\left[\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\right]^{m}\,;$
et, comme dans cette hypothèse l’expression (15) deviendra
$\rho ^{m}\left(\cos m\theta +{\sqrt {-1}}\sin m\theta \right),$
on aura définitivement
| (18) | $\left[\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\right]^{m}=\rho ^{m}\left(\cos m\theta +{\sqrt {-1}}\sin m\theta \right).$ |
$\cos m\theta +{\sqrt {-1}}\sin m\theta$
étant égale (en vertu du théorème V) à
$\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)^{m},$
il en résulte que, après avoir établi la formule (18), on doit considérer le théorème IX comme démontré.
Théorème X. — Pour élever une expression imaginaire à la puissance du degré $-m$ $(m$ désignant un nombre entier$),$ il suffit de former les puissances semblables du module et de l’expression réduite, puis de multiplier ces deux dernières l’une par l’autre.
Démonstration. — Supposons qu’il s’agisse d’élever à la puissance du degré $-m$ l’expression imaginaire
$\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),$
dont le module est $\rho .$ On aura, en vertu de la définition des puissances négatives,
${\begin{aligned}\left[\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\right]^{-m}=&{\frac {1}{[\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)]^{m}}}\\=&{\frac {1}{\rho ^{m}\left(\cos m\theta +{\sqrt {-1}}\sin m\theta \right)}}.\end{aligned}}$
Par suite, en ayant égard à la formule (17), on trouvera
$\left[\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\right]^{-m}={\frac {1}{\rho ^{m}}}\left(\cos m\theta -{\sqrt {-1}}\sin m\theta \right)$
ou, ce qui revient au même,
| (19) | $\left[\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\right]^{-m}=\rho ^{-m}\left(\cos m\theta -{\sqrt {-1}}\sin m\theta \right).$ |
Cette dernière formule réunie à l’équation (13) fournit la démonstration complète du théorème X.
Supposons que l’on désigne par $m$ et $n$ deux nombres entiers premiers entre eux. Si l’on fait usage des notations adoptées dans le § I, les racines $n$$^{ièmes}$ de l’unité, ou, ce qui revient au même, ses puissances du degré ${\frac {1}{n}}$ seront les diverses valeurs de l’expression
${\sqrt[{n}]{\!\!\!\!{\sqrt {1}}}}=((1))^{\frac {1}{n}}\,;$
et, de même, les puissances fractionnaires de l’unité, positives ou négatives, du degré ${\frac {m}{n}}$ ou $-{\frac {m}{n}},$ seront les diverses valeurs de
$((1))^{\frac {m}{n}}\quad {\text{ou}}\quad ((1))^{-{\frac {m}{n}}}.$
On en conclura que, pour déterminer ces racines et ees puissances, il suffit de résoudre, l’un après l’autre, les trois problèmes suivants.
Problème I. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l’expression
$((1))^{\frac {1}{n}}.$
Solution. — Soit $x$ l’une de ces valeurs ; et, afin de la présenter sous la forme générale qui comprend à la fois toutes les quantités réelles et toutes les expressions imaginaires, supposons
$x=r\left(\cos t+{\sqrt {-1}}\sin t\right),$
$r$ désignant une quantité positive, et $t$ un arc réel. On aura, d’après la définition même de l’expression $((1))^{\frac {1}{n}},$
| (1) | $x^{n}=1$ |
ou, ce qui revient au même,
$r^{n}\left(\cos nt+{\sqrt {-1}}\sin nt\right)=1.$
$r^{n}=1,$
$\cos nt+{\sqrt {-1}}\sin nt=1,$
et, par suite,
$r=1,$
$\cos nt=1,\qquad \sin nt=0,\qquad nt=\pm 2k\pi ,$
$t=\pm {\frac {2k\pi }{n}},$
$k$ représentant un nombre entier quelconque. Les quantités $r$ et $t$ étant ainsi déterminées, les diverses valeurs propres à vérifier l’équation (1) seront évidemment comprises dans la formule
| (2) | $x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}.$ |
En d’autres termes, les diverses valeurs de $((1))^{\frac {1}{n}}$ seront données par l’équation
| (3) | $((1))^{\frac {1}{n}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}.$ |
Soit maintenant $h$ le nombre entier le plus rapproché du rapport ${\frac {k}{n}}.$ La différence entre les deux nombres $h,$ ${\frac {k}{n}}$ sera tout au plus égale à ${\frac {1}{2}},$ en sorte qu’on aura
${\frac {k}{n}}=h\pm {\frac {k'}{n}},$
${\frac {k'}{n}}$ désignant une fraction égale ou inférieure à ${\frac {1}{2}},$ et, par suite, $k'$ un nombre entier inférieur ou tout au plus égal à ${\frac {n}{2}}.$ On en conclura
${\frac {2k\pi }{n}}=2h\pi \pm {\frac {2k'\pi }{n}},$
$\cos {\frac {2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}=\cos {\frac {2k'\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k'\pi }{n}}.$
Par conséquent, toutes les valeurs de $((1))^{\frac {1}{n}}$ seront comprises dans la formule
$\cos {\frac {2k'\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k'\pi }{n}},$
$k'$
$0,{\frac {n}{2}},$
$k$
Corollaire I. Lorsque $n$ est pair, les diverses valeurs que le nombre entier $k$ peut recevoir, sans sortir des limites $0,{\frac {n}{2}},$ sont respectivement
$0,\quad 1,\quad 2,\quad \ldots ,\quad {\frac {n-2}{2}},\quad {\frac {n}{2}}.$
Pour chacune de ces valeurs de $k,$ la formule (3) fournit en général deux valeurs imaginaires conjuguées de l’expression $((1))^{\frac {1}{n}},$ c’est-à-dire deux racines imaginaires de l’unité conjuguées et du degré $n.$ Seulement, on trouve, pour $k=0,$ une racine réelle $+1,$ et, pour $k={\frac {n}{2}},$ une autre racine réelle $-1.$ En résumé, lorsque $n$ est pair, l’expression
$((1))^{\frac {1}{n}}$
admet deux valeurs réelles, savoir
$+1,\qquad -1,$
avec $n-2$ valeurs imaginaires conjuguées deux à deux, savoir
| (4) | $\left\{{\begin{array}{ll}\cos {\frac {2\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{n}},&\cos {\frac {2\pi }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{n}},\\\cos {\frac {4\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {4\pi }{n}},&\cos {\frac {4\pi }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {4\pi }{n}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\cos {\frac {(n-2)\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(n-2)\pi }{n}},&\cos {\frac {(n-2)\pi }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(n-2)\pi }{n}}.\end{array}}\right.$ |
Le nombre total de ces valeurs réelles ou imaginaires est égal à $n.$
Supposons, par exemple, $n=2.$ On trouvera qu’il existe deux valeurs de l’expression
$((1))^{\frac {1}{2}},$
$x$
$x^{2}=1,$
et que ces valeurs, toutes deux réelles, sont respectivement
$+1,\quad -1.$
Supposons encore $n=4.$ On trouvera qu’il existe quatre valeurs de l’expression
$((1))^{\frac {1}{4}},$
ou, ce qui revient au même, quatre valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation
$x^{4}=1.$
Parmi ces quatre valeurs, deux sont réelles, savoir
$+1,\quad -1.$
Les deux autres sont imaginaires et respectivement égales, la première à
$\cos {\frac {\pi }{2}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{2}}=+{\sqrt {-1}},$
la seconde à
$\cos {\frac {\pi }{2}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{2}}=-{\sqrt {-1}}.$
Corollaire II. — Lorsque $n$ est impair, les diverses valeurs que le nombre entier $k$ peut recevoir, sans sortir des limites $0,{\frac {n}{2}},$ sont respectivement
$0,\quad 1,\quad 3,\quad \ldots ,\quad {\frac {n-1}{2}}.$
Pour chacune de ces valeurs de $k,$ la formule (3) fournit en général deux valeurs imaginaires conjuguées de l’expression $((1))^{\frac {1}{n}},$ c’est-à-dire deux racines imaginaires conjuguées et du degré $n.$ Seulement, on trouve, pour $k=0,$ une racine unique et réelle, savoir $+1.$ En résumé, lorsque $n$ est impair, l’expression
$((1))^{\frac {1}{n}}$
$+1,$
$n-1$ valeurs imaginaires conjuguées deux à deux, savoir
| (5) | $\left\{{\begin{array}{ll}\cos {\frac {2\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{n}},&\cos {\frac {2\pi }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{n}},\\\cos {\frac {4\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {4\pi }{n}},&\cos {\frac {4\pi }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {4\pi }{n}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\cos {\frac {(n-1)\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(n-1)\pi }{n}},&\cos {\frac {(n-1)\pi }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(n-1)\pi }{n}}.\end{array}}\right.$ |
Le nombre total de ces valeurs réelles ou imaginaires est égal à $n.$
Supposons, par exemple, $n=3.$ On trouvera qu’il existe trois valeurs de l’expression
$((1))^{\frac {1}{3}},$
ou, ce qui revient au même, trois valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation
$x^{3}=1,$
et que ces valeurs, dont une est réelle, sont respectivement
$+1,$
$\cos {\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{3}},\qquad \cos {\frac {2\pi }{3}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{3}}.$
De plus, le côté de l’hexagone étant, comme on sait, égal au rayon, et le supplément de l’arc sous-tendu par ce côté ayant pour mesure ${\frac {2\pi }{3}},$ on obtiendra facilement les équations
$\cos {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}},\qquad \sin {\frac {2\pi }{3}}=+{\frac {3^{\frac {1}{2}}}{2}},$
en vertu desquelles les valeurs imaginaires de l’expression $((1))^{\frac {1}{2}}$ se réduisent à
$-{\frac {1}{2}}+{\frac {3^{\frac {1}{2}}}{2}}{\sqrt {-1}},\qquad -{\frac {1}{2}}-{\frac {3^{\frac {1}{2}}}{2}}{\sqrt {-1}}.$
Corollaire III. — $n$ désignant un nombre entier quelconque, le nombre des valeurs, soit réelles, soit imaginaires, de l’expression $((1))^{\frac {1}{n}},$ ou, ce qui revient au même, le nombre des valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation $x^{n}=1$ restera toujours égal à $n.$
Problème II. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l’expression
$((1))^{\frac {m}{n}}.$
Solution. — Les nombres $m$ et $n$ étant supposés premiers entre eux, on aura, d’après la définition même de l’expression $((1))^{\frac {m}{n}},$
$((1))^{\frac {m}{n}}=\left[((1))^{\frac {1}{n}}\right]^{m}\,;$
puis, en remettant pour $((1))^{\frac {1}{n}}$ sa valeur générale tirée de l’équation (3), on trouvera
$((1))^{\frac {m}{n}}=\left[\cos {\frac {2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right]^{m}$
et, par suite,
| (6) | $((1))^{\frac {m}{n}}=\cos {\frac {m.2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {m.2k\pi }{n}}.$ |
Pour déduire de cette dernière formule toutes les valeurs de $((1))^{\frac {m}{n}},$ il ne reste qu’à donner successivement à $k$ toutes les valeurs entières comprises entre $0$ et ${\frac {n}{2}}.$ Soient $k',k''$ deux de ces valeurs supposées inégales. Je dis que les cosinus
$\cos {\frac {m.2k'\pi }{n}},\qquad \cos {\frac {m.2k''\pi }{n}}$
seront nécessairement différents l’un de l’autre. En effet, ces cosinus ne pourraient devenir égaux que dans le cas où les arcs qui leur correspondent seraient liés entre eux par une équation de la forme
${\frac {m.2k'\pi }{n}}=2h\pi \pm {\frac {m.2k''\pi }{n}},$
h désignant un nombre entier. Or on tire de cette équation
$h={\frac {m(\pm k'\pm k'')}{n}}.$
Il faudrait donc, puisque $m$ est premier à $n,$ que $\pm k'\pm k''$ fut divisible par $n,$ ce qu’on ne saurait admettre, attendu que, les nombres $k',k''$ étant inégaux, et chacun d’eux ne pouvant surpasser ${\frac {1}{2}}n,$ leur somme ou leur différence est nécessairement inférieure à $n.$ Ainsi, deux valeurs différentes de $k$ comprises entre les limites $0$ et ${\frac {1}{2}}n$ fournissent deux valeurs différentes de
$\cos {\frac {m.2k\pi }{n}}.$
On conclut aisément de cette remarque, que les valeurs réelles ou imaginaires de l’expression $((1))^{\frac {m}{n}}$ données par l’équation (6) sont en même nombre que les valeurs réelles ou imaginaires de $((1))^{\frac {1}{n}}$ déterminées par l’équation (3). De plus, comme on a évidemment
$\left(\cos {\frac {m.2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {m.2k\pi }{n}}\right)^{n}=\cos(m.2k\pi )\pm \sin(m.2k\pi )=1,$
il en résulte que toute valeur de $((1))^{\frac {m}{n}}$ est une expression réelle ou imaginaire dont la puissance $n$ équivaut à l’unité, par conséquent une valeur de $((1))^{\frac {1}{n}}.$ Ces observations conduisent à la formule
| (7) | $((1))^{\frac {m}{n}}=((1))^{\frac {1}{n}},$ |
dans laquelle le signe $=$ indique seulement que l’une des valeurs du premier membre est toujours égale à l’une des valeurs du second.
Problème III. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l’expression
$((1))^{-{\frac {m}{n}}}.$
Solution. — On aura, d’après la définition des puissances négatives,
$((1))^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{((1))^{\frac {m}{n}}}},$
$((1))^{\frac {m}{n}}$
| (8) | $((1))^{{\frac {m}{n}}-}=\cos {\frac {m.2k\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {m.2k\pi }{n}}.$ |
Il suit de cette dernière équation que les diverses valeurs de $((1))^{-{\frac {m}{n}}}$ sont les mêmes que celles de $((1))^{\frac {m}{n}}$ et par conséquent égales à celles de $((1))^{\frac {1}{n}}.$ On a donc
| (9) | $((1))^{-{\frac {m}{n}}}=((1))^{\frac {1}{n}},$ |
le signe $=$ devant être interprété comme dans l’équation (7).
Corollaire. — Si l’on fait $m=1,$ la formule (9) donnera
| (10) | $((1))^{-{\frac {1}{n}}}=((1))^{\frac {1}{n}}.$ |
Supposons maintenant que l’on cherche les racines et puissances fractionnaires, non plus de l’unité, mais de la quantité $-1.$ Les racines $n$$^{ième}$ de cette quantité, ou, ce qui revient au même, ses puissances du degré ${\frac {1}{n}},$ seront les diverses valeurs de l’expression
${\sqrt[{n}]{\!\!\!\!{\sqrt {-1}}}}=((-1))^{\frac {1}{n}}\,;$
et de même, les puissances fractionnaires de $-1,$ positives ou négatives, du degré ${\frac {m}{n}}$ ou $-{\frac {m}{n}},$ seront les diverses valeurs de
$((-1))^{\frac {m}{n}}\quad {\text{ou}}\quad ((-1))^{-{\frac {m}{n}}}.$
En conséquence, pour déterminer ces racines et ces puissances, il suffira de résoudre l’un après l’autre les trois nouveaux problèmes que je vais énoncer.
Probleme IV. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l’expression
$((-1))^{\frac {1}{n}}.$
Solution. — Soit
$x=r\left(\cos t+{\sqrt {-1}}\sin t\right)$
l’une de ces valeurs, $r$ désignant une quantité positive, et $t$ un arc réel. On aura, d’après la définition même de l’expression $((-1))^{\frac {1}{n}},$
| (11) | $x^{n}=-1$ |
ou, ce qui revient au même,
$r^{n}\left(\cos nt+{\sqrt {-1}}\sin nt\right)=-1.$
On tirera de cette dernière équation (à l’aide du théorème I, § II),
$r^{n}=1,$
$\cos nt+{\sqrt {-1}}\sin nt=-1.$
et, par suite,
$r=1,$
$\cos nt=-1,\qquad \sin nt=0,\qquad nt=\pm (2k+1)\pi ,$
$t=\pm {\frac {(2k+1)\pi }{n}},$
$k$ représentant un nombre entier quelconque. Les quantités $r$ et $t$ étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation (11) se trouveront évidemment comprises dans la formule
| (12) | $x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {(2k+1)\pi }{n}}.$ |
En d’autres termes, les diverses valeurs de $((-1))^{\frac {1}{n}}$ seront données par l’équation
| (13) | $((-1))^{\frac {1}{n}}=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {(2k+1)\pi }{n}}.$ |
Soit maintenant $h$ le nombre entier le plus rapproché du rapport ${\frac {2k+1}{2n}}.$ La différence entre les deux nombres $h,{\frac {2k+1}{n}}$ sera évidemment une fraction de numérateur impair, inférieure ou tout au plus égale à ${\frac {1}{2}}\,;$ en sorte qu’on aura
${\frac {2k+1}{2n}}=h\pm {\frac {2k'+1}{2n}},$
$2k'+1$ désignant un nombre impair égal ou inférieur à $n.$ On en conclura
${\frac {(2k+1)\pi }{n}}=2h\pi \pm {\frac {(2k'+1)\pi }{n}},$
$\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {(2k+1)\pi }{n}}=\cos {\frac {(2k'+1)\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {(2k'+1)\pi }{n}}.$
Par conséquent toutes les valeurs de $((-1))^{\frac {1}{n}}$ seront comprises dans la formule
$\cos {\frac {(2k'+1)\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {(2k'+1)\pi }{n}},$
si l’on y suppose $2k'+1$ renfermé entre les limites $0,n,$ ou, ce qui revient au même, dans la formule (13), si l’on y suppose $2k+1$ renfermé entre les mêmes limites.
Corollaire I. — Lorsque $n$ est pair, les diverses valeurs que $2k+1$ peut recevoir, sans sortir des limites $0,n,$ sont respectivement
$1,\quad 3,\quad 5,\quad \ldots ,\quad {\overline {n-1}}.$
Pour chacune de ces valeurs de $2k+1,$ la formule (13) fournit toujours deux valeurs imaginaires conjuguées de l’expression $((-1))^{\frac {1}{n}}.$ Par suite, cette expression, dans le cas que nous considérons ici, n’admet point de valeurs réelles, mais seulement $n$ valeurs imaginaires conjuguées deux à deux, savoir :
| (14) | $\left\{{\begin{alignedat}{2}\cos {\frac {\pi }{n}}\;\;+&{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{n}},&\cos {\frac {\pi }{n}}\;\;-&{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{n}},\\\cos {\frac {3\pi }{n}}+&{\sqrt {-1}}\sin {\frac {3\pi }{n}},&\cos {\frac {3\pi }{n}}-&{\sqrt {-1}}\sin {\frac {3\pi }{n}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\cos {\frac {(n-1)\pi }{n}}+&{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(n-1)\pi }{n}},&\qquad \cos {\frac {(n-1)\pi }{n}}-&{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(n-1)\pi }{n}}.\end{alignedat}}\right.$ |
Supposons, par exemple, $n=2.$ On trouvera qu’il existe deux valeurs de l’expression $((-1))^{\frac {1}{2}},$ ou, ce qui revient au même, deux valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation
$x^{2}=-1,$
et que ces valeurs, toutes deux imaginaires, sont respectivement
${\begin{aligned}\cos {\frac {\pi }{2}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{2}}=&+{\sqrt {-1}},\\\cos {\frac {\pi }{2}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{2}}=&-{\sqrt {-1}}.\end{aligned}}$
Supposons encore $n=4.$ On verra qu’il existe quatre valeurs de l’expression $((-1))^{\frac {1}{4}},$ ou, en d’autres termes, quatre valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation
$x^{4}=-1\,;$
et que ces quatre valeurs sont comprises dans les deux formules
${\begin{aligned}\cos {\frac {\pi }{4}}\;\;&\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{4}},\\\cos {\frac {3\pi }{4}}&\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {3\pi }{4}},\end{aligned}}$
ou, ce qui revient au même, dans la seule formule
$\pm \cos {\frac {\pi }{4}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{4}}.$
Comme on a d’ailleurs
$\cos {\frac {\pi }{4}}=\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}},$
on trouvera définitivement
$((-1))^{\frac {1}{4}}=\pm {\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}}}\pm {\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {-1}}.$
Corollaire II. — Lorsque $n$ est impair, les diverses valeurs que $2k+1$ peut recevoir sans sortir des limites $0$ et $n$ sont respectivement
$1,\quad 3,\quad 5,\quad \ldots ,\quad n-2,\quad n.$
$2k+1,$
$((-1))^{\frac {1}{n}},$
$-1$
$n.$
$2k+1=n,$
$-1.$
$n$
$((-1))^{\frac {1}{n}}$
$-1,$
$n-1$ valeurs imaginaires conjuguées deux à deux, savoir
| (15) | $\left\{{\begin{array}{ll}\cos {\frac {\pi }{n}}\ +{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{n}},&\cos {\frac {\pi }{n}}\ -{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{n}},\\\cos {\frac {3\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {3\pi }{n}},&\cos {\frac {3\pi }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {3\pi }{n}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\cos {\frac {(n-2)\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(n-2)\pi }{n}},&\cos {\frac {(n-2)\pi }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(n-2)\pi }{n}}.\end{array}}\right.$ |
Le nombre total de ces valeurs réelles ou imaginaires est égal à $n.$
Supposons, par exemple, $n=3.$ On trouvera qu’il existe trois valeurs de l’expression $((-1))^{\frac {1}{3}},$ ou, ce qui revient au même, trois valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation
$x^{3}=-1,$
et que ces valeurs, dont une est réelle, sont respectivement
$-1,$
${\begin{aligned}\cos {\frac {\pi }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{3}}=&{\frac {1}{2}}+{\frac {3^{\frac {1}{2}}}{2}}{\sqrt {-1}},\\\cos {\frac {\pi }{3}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\pi }{3}}=&{\frac {1}{2}}-{\frac {3^{\frac {1}{2}}}{2}}{\sqrt {-1}}.\end{aligned}}$
Corollaire III. — $n$ désignant un nombre entier quelconque, le nombre des valeurs, soit réelles, soit imaginaires, de l’expression $((-1))^{\frac {1}{n}},$ ou, ce qui revient au même, le nombre des valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation $x^{n}=-1,$ restera toujours égal à $n.$
Problème V. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l’expression
$((-1))^{\frac {m}{n}}.$
Solution. — Les nombres $m$ et $n$ étant supposés premiers entre eux, on aura, d’après la définition même de l’expression ((-1))^\frac mn,
$((-1))^{\frac {m}{n}}=\left[((-1))^{\frac {1}{n}}\right]^{m}\,;$
puis, en remettant pour $((-1))^{\frac {1}{n}}$ sa valeur générale tirée de l’équation (13), on trouvera
| (16) | $((-1))^{\frac {m}{n}}=\cos {\frac {m(2k+1)\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {m(2k+1)\pi }{n}}.$ |
Pour déduire de cette dernière formule toutes les valeurs de $((-1))^{\frac {m}{n}},$ il ne reste qu’à donner successivement à $2k+1$ toutes les valeurs entières et impaires comprises entre $0$ et $n.$ Soient $2k'+1,2k''+1$ deux de ces valeurs supposées inégales. Je dis que les cosinus
$\cos {\frac {m(2k'+1)\pi }{n}},\qquad \cos {\frac {m(2k''+1)\pi }{n}}$
seront nécessairement différents l’un de l’autre. En effet, ces cosinus ne pourraient devenir égaux que dans le cas où les arcs qui leur correspondent seraient liés entre eux par une équation de la forme
${\frac {m(2k'+1)\pi }{n}}=\pm 2h\pi \pm {\frac {m(2k''+1)\pi }{n}},$
$h$ désignant un nombre entier. Or on tire de cette équation
$h={\frac {m\left[{\frac {\pm (2k'+1)\pm (2k''+1)}{2}}\right]}{n}}.$
Il faudrait donc, puisque $m$ est premier à $n,$ que le nombre entier
${\frac {\pm (2k'+1)\pm (2k''+1)}{2}}$
$n,$
$2k'+1,2k''+1$
$n,$
$n.$
$2k+1$
$0$
$n$
$\cos {\frac {m(2k+1)\pi }{n}}.$
On conclut aisément de cette remarque que les valeurs réelles ou imaginaires de l’expression $((-1))^{\frac {m}{n}}$ données par l’équation (16) sont au nombre de $n,$ comme celles de $((1))^{\frac {1}{n}}$ et de $((-1))^{\frac {1}{n}}.$ De plus, comme on a évidemment
${\begin{aligned}&\left[\cos {\frac {m(2k+1)\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {m(2k+1)\pi }{n}}\right]^{n}\\&\qquad =\cos m(2k+1)\pi \pm {\sqrt {-1}}\sin m(2k+1)\pi =(-1)^{m}=\pm 1,\end{aligned}}$
il en résulte que toute valeur de $((-1))^{\frac {m}{n}}$ est une expression réelle ou imaginaire dont la puissance $n$$^{ième}$ équivaut à $\pm 1,$ par conséquent, une valeur de $((1))^{\frac {1}{n}}$ ou de $((-1))^{\frac {1}{n}}.$ Cette remarque conduit à l’équation
| (17) | $((-1))^{\frac {m}{n}}=((1))^{\frac {1}{n}},$ |
toutes les fois que $(-1)^{m}=1,$ c’est-à-dire toutes les fois que $m$ est un nombre pair, et à la suivante
| (18) | $((-1))^{\frac {m}{n}}=((-1))^{\frac {1}{n}},$ |
lorsque $(-1)^{m}=-1,$ c’est-à-dire lorsque $m$ est un nombre impair. Ajoutons que l’on peut comprendre les équations (17) et (18) dans une seule formule, en écrivant
| (19) | $((-1))^{\frac {m}{n}}=\left(\left((-1)^{m}\right)\right)^{\frac {1}{n}}.$ |
Probleme VI. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l’expression
$((-1))^{-{\frac {m}{n}}}.$
Solution. — On aura, d’après la définition des puissances négatives,
$((-1))^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{((-1))^{\frac {m}{n}}}}\,;$
puis, en remettant pour $((-1))^{\frac {m}{n}}$ sa valeur générale tirée de l’équation (16), et ayant égard à la formule (9) du paragraphe précédent,
| (20) | $((-1))^{-{\frac {m}{n}}}=\cos {\frac {m(2k+1)\pi }{n}}\mp {\sqrt {-1}}\sin {\frac {m(2k+1)\pi }{n}}.$ |
Il suit de cette dernière équation que les diverses valeurs de $((-1))^{-{\frac {m}{n}}}$ sont les mêmes que celles de $((1))^{\frac {m}{n}}\,;$ on aura en conséquence
${\begin{array}{lll}({\text{21}})\qquad \qquad &((-1))^{-{\frac {m}{n}}}=((1))^{\frac {1}{n}}&{\text{si }}m{\text{ est pair}}\\{\text{et}}\\({\text{22}})&((-1))^{-{\frac {m}{n}}}=((-1))^{\frac {1}{n}}&{\text{si }}m{\text{ est impair.}}\end{array}}$
À la place des deux formules qui précèdent, on peut se contenter d’écrire la suivante :
| (23) | $((-1))^{-{\frac {m}{n}}}=\left(\left((-1)^{m}\right)\right)^{\frac {1}{n}}.$ |
Corollaire. — Si l’on fait $m=1,$ la formule (23) donnera
| (24) | $((-1))^{-{\frac {1}{n}}}=((-1))^{\frac {1}{n}}.$ |
En terminant ce paragraphe, nous ferons remarquer que les équations (3), (6), (8), (13), (16) et (20), à l’aide desquelles on détermine les valeurs des expressions
${\begin{array}{ccc}((1))^{\frac {1}{n}},&((1))^{\frac {m}{n}},&((1))^{-{\frac {m}{n}}},\\((-1))^{\frac {1}{n}},&((-1))^{\frac {m}{n}},&((-1))^{-{\frac {m}{n}}},\end{array}}$
$a$
$((1))^{a}$
| (25) | $((1))^{a}=\cos 2ka\pi \pm {\sqrt {-1}}\sin 2ka\pi ,$ |
tandis que la valeur de $((-1))^{a}$ déterminée par l’équation (13), (16) ou (20) sera
| (26) | $((-1))^{a}=\cos(2k+1)a\pi \pm {\sqrt {-1}}\sin(2k+1)a\pi .$ |
Dans les deux formules précédentes, on peut prendre pour $k$ un nombre entier quelconque.
Soit
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$
une expression imaginaire quelconque. On pourra toujours trouver (voir le § II) une valeur positive de $\rho$ et une infinité de valeurs réelles de $\theta$ propres à vérifier l’équation
| (1) | $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right).$ |
Cela posé, concevons que l’on désigne par $m$ et $n$ deux nombres entiers premiers entre eux. Si l’on fait usage des notations adoptées dans le § I, les racines $n$$^{ièmes}$ de l’expression $\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$ ou, ce qui revient au même, ses puissances du degré ${\frac {1}{n}},$ seront les diverses valeurs de
${\sqrt[{n}]{\!\!\!\!{\sqrt {\alpha +\beta {\sqrt {-1}}}}}}=\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{n}}\,;$
et, de même, les puissances fractionnaires de $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ positives ou négatives, du degré ${\frac {m}{n}}$ ou, $-{\frac {m}{n}},$ seront les diverses valeurs de
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {m}{n}}\quad {\text{ou}}\quad \left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{-{\frac {m}{n}}}.$
Problème I. — Trouver les diverses valeurs de l’expression
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{n}}.$
Solution. — Soit
$x=r\left(\cos t+{\sqrt {-1}}\sin t\right)$
l’une de ces valeurs, $r$ désignant une quantité positive et $t$ un arc réel.
On aura, d’après la définition même de l’expression $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{n}},$
| (2) | $x^{n}=\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),$ |
ou, ce qui revient au même,
$r^{n}\left(\cos nt+{\sqrt {-1}}\sin nt\right)=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right).$
On tirera de cette dernière équation, à l’aide du théorème I, § II,
$r^{n}=\rho ,$
$\cos nt+{\sqrt {-1}}\sin nt=\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta$
et, par suite,
$r=\rho ^{\frac {1}{n}},$
$\cos nt=\cos \theta ,\qquad \sin nt=\sin \theta ,\qquad nt=\theta \pm 2k\pi ,$
$t={\frac {\theta \pm 2k\pi }{n}},$
$k$ représentant un nombre entier quelconque. Les quantités $r$ et $t$ étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation (1) seront évidemment comprises dans la formule
${\begin{aligned}x&=\rho ^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {\theta \pm 2k\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta \pm 2k\pi }{n}}\right)\\&=\rho ^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {\theta }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{n}}\right)\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\end{aligned}}$
ou, ce qui revient au même, dans la suivante :
| (3) | $x=\rho ^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {\theta }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{n}}\right)((1))^{\frac {1}{n}}.$ |
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{n}},$
$((1))^{\frac {1}{n}},$
$n$
| (4) | $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{n}}=\rho ^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {\theta }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{n}}\right)((1))^{\frac {1}{n}}.$ |
Corollaire I. — Supposons $n=2\,;$ on trouvera qu’il existe deux valeurs de l’expression
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{2}},$
ou, ce qui revient au même, deux valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation
$x^{2}=\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right).$
et que ces deux valeurs sont comprises dans la formule
$\pm \rho ^{\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\theta }{2}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{2}}\right).$
Corollaire II. — Supposons encore $n=3\,;$ on trouvera qu’il existe trois valeurs de l’expression
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{3}},$
ou, ce qui revient au même, trois valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation
$x^{3}=\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right).$
et que ces deux valeurs sont respectivement
${\begin{aligned}&\rho ^{\frac {1}{3}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right),\\&\rho ^{\frac {1}{3}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)\left(\cos {\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{3}}\right)\\&\qquad =\rho ^{\frac {1}{3}}\left(\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta +2\pi }{3}}\right),\\\\&\rho ^{\frac {1}{3}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)\left(\cos {\frac {2\pi }{3}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2\pi }{3}}\right)\\&\qquad =\rho ^{\frac {1}{3}}\left(\cos {\frac {\theta -2\pi }{3}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta -2\pi }{3}}\right).\end{aligned}}$
$n=4\,;$
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{4}},$
ou, ce qui revient au même, quatre valeurs de $x$ propres à vérifier l’équation
$x^{4}=\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),$
et que ces quatre valeurs sont comprises dans les deux formules
${\begin{aligned}&\pm \rho ^{\frac {1}{4}}\left(\cos {\frac {\theta }{4}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{4}}\right),\\&\pm \rho ^{\frac {1}{4}}\left(\cos {\frac {\theta }{4}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{4}}\right).\end{aligned}}$
Problème II. — Trouver les diverses valeurs de l’expression
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {m}{n}}.$
Solution. — Les nombres $m$ et $n$ étant supposés premiers entre eux, on aura, d’après la définition même de l’expression $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {m}{n}},$
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {m}{n}}=\left[\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{n}}\right]^{m}\,;$
puis, en remettant pour $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{n}}$ sa valeur générale tirée de l’équation (4), on trouvera
| (5) | $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {m}{n}}=\rho ^{\frac {m}{n}}\left(\cos {\frac {m\theta }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {m\theta }{n}}\right)((1))^{\frac {m}{n}}.$ |
Corollaire I. — Si dans l’équation (5) on remet pour $((1))^{\frac {m}{n}}$ sa valeur tirée de la formule (6) (§ III), on obtiendra la suivante :
| (6) | $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {m}{n}}=\rho ^{\frac {m}{n}}\left[\cos {\frac {m(\theta \pm 2k\pi )}{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {m(\theta \pm 2k\pi )}{n}}\right].$ |
Problème III. — Trouver les diverses valeurs de l’expression
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{-{\frac {m}{n}}}.$
Solution. — On aura, d’après la définition même des puissances négatives,
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {m}{n}}}}\,;$
puis, en remettant pour $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {m}{n}}$ sa valeur tirée de l’équation (6), et ayant égard à la formule (17) du § II, on trouvera
${\begin{aligned}&\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{-{\frac {m}{n}}}\\&\qquad =\rho ^{-{\frac {m}{n}}}\left[\cos {\frac {m(\theta \pm 2k\pi )}{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {m(\theta \pm 2k\pi )}{n}}\right]\\&\qquad =\rho ^{-{\frac {m}{n}}}\left(\cos {\frac {m\theta }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {m\theta }{n}}\right)\left(\cos {\frac {m.2k\pi }{n}}\mp {\sqrt {-1}}\sin {\frac {m.2k\pi }{n}}\right)\end{aligned}}$
ou, en d’autres termes,
| (7) | $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{-{\frac {m}{n}}}=\rho ^{-{\frac {m}{n}}}\left(\cos {\frac {m\theta }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {m\theta }{n}}\right)((1))^{-{\frac {m}{n}}}.$ |
Corollaire I. — Si l’on fait $m=1,$ l’équation (7) donnera
| (8) | $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{-{\frac {1}{n}}}=\rho ^{-{\frac {1}{n}}}\left(\cos {\frac {\theta }{n}}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\theta }{n}}\right)((1))^{-{\frac {1}{n}}}.$ |
Après avoir fixé, comme on vient de le faire, les diverses valeurs des quatre expressions
${\begin{array}{ll}\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {1}{n}},&\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{\frac {m}{n}},\\\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{-{\frac {1}{n}}},&\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{-{\frac {m}{n}}},\end{array}}$
on reconnaîtra sans peine que les équations (4), (5), (8) et (7), à l’aide desquelles on détermine ces valeurs, peuvent être remplacées par une seule formule. Si l’on représente par a une quantité positive ou négative dont la valeur numérique soit fractionnaire, la formule dont il s’agit sera
| (9) | $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}=\rho ^{a}\left(\cos a\theta +{\sqrt {-1}}\sin a\theta \right)((1))^{a}.$ |
$\rho$
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$
${\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},$
$\theta$
| (10) | $\left\{{\begin{aligned}\cos \theta =&{\frac {\alpha }{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}},\\\sin \theta =&{\frac {\beta }{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}.\end{aligned}}\right.$ |
En divisant ces deux dernières l’une par l’autre, on en conclura
| (11) | $\operatorname {tang} \theta ={\frac {\beta }{\alpha }}.$ |
Par suite, si l’on nomme $\zeta$ le plus petit arc, abstraction faite du signe, qui ait pour tangente ${\frac {\beta }{\alpha }},$ ou, en d’autres termes, si l’on fait
| (12) | $\zeta =\operatorname {arc\,tang} {\frac {\beta }{\alpha }},$ |
on trouvera
| (13) | $\operatorname {tang} \theta =\operatorname {tang} \zeta .$ |
Cela posé, il deviendra facile d’introduire au lieu de l’arc $\theta ,$ dans les diverses formules rapportées plus haut, l’arc $\zeta ,$ dont la valeur est complètement déterminée. On y parviendra, en effet, par les considérations suivantes.
Les arcs $\theta$ et $\zeta ,$ ayant la même tangente, auront aussi, abstraction faite du signe, le même sinus et le même cosinus ; et, comme d’ailleurs l’équation (13) peut se mettre sous la forme
${\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\sin \zeta }{\cos \zeta }},$
il est clair que, pour y satisfaire, on devra poser en même temps ou
| (14) | $\cos \theta =\cos \zeta ,\qquad \sin \theta =\sin \zeta$ |
ou bien
| (15) | $\cos \theta =-\cos \zeta ,\qquad \sin \theta =-\sin \zeta .$ |
$\cos \theta$
$\alpha ,$
$\zeta$
$-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}$
$\alpha$
$\alpha$
Si d’abord on suppose $\alpha$ positif, les équations (10) pourront être remplacées par les équations (14), et l’on déduira de celles-ci une infinité de valeurs de $\theta ,$ parmi lesquelles on doit remarquer la suivante :
| (16) | $\theta =\zeta .$ |
Lorsqu’on fait usage de cette valeur, les formules (1) et (9) deviennent respectivement
| (17) | $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right),$ |
| (18) | $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}=\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right)((1))^{a}.$ |
Si l’on suppose en second lieu $\alpha$ négatif, les équations (10) pourront être remplacées par les équations (15), desquelles on déduira, entre autres valeurs de $\theta ,$
| (19) | $\theta =\zeta +\pi .$ |
Par suite, on pourra, dans cette hypothèse, aux formules (1) et (9) substituer celles qui suivent :
| (20) | $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=-\rho \left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right).$ |
| (21) | $\left\{{\begin{aligned}&\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}\\&\qquad =\rho ^{a}\left[\cos(a\zeta +a\pi )+{\sqrt {-1}}\sin(a\zeta +a\pi )\right]((1))^{a}\\&\qquad =\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right)\left(\cos a\pi +{\sqrt {-1}}\sin a\pi \right)((1))^{a}.\end{aligned}}\right.$ |
Si l’on fait en particulier $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=-1,$ c’est-à-dire $\alpha =-1,$ $\beta =0,$ on trouvera
$\zeta =\operatorname {arc\,tang} {\frac {0}{-1}}=0,$
et la formule (21) deviendra
| (22) | $((-1))^{a}=\left(\cos a\pi +{\sqrt {-1}}\sin a\pi \right)((1))^{a}.$ |
Il en résulte qu’on aura généralement dans l’hypothèse admise
| (23) | $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}=\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right)((-1))^{a}.$ |
En réunissant aux formules (17), (18), (20) et (23) les équations (25) et (26) du § III, on obtiendra définitivement les conclusions suivantes.
Soient $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ une expression imaginaire quelconque, $a$ une quantité positive ou négative dont la valeur numérique soit fractionnaire, et $k$ un nombre entier choisi arbitrairement. Si l’on fait, de plus,
| (24) | $\rho ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},\qquad \zeta =\operatorname {arc\,tang} {\frac {\beta }{\alpha }},$ |
on aura, pour des valeurs positives de $\alpha ,$
| (25) | $\left\{{\begin{aligned}&\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right),\\&\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}=\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right)((1))^{a},\\&((1))^{a}=\cos 2ka\pi \pm {\sqrt {-1}}\sin 2ka\pi ,\end{aligned}}\right.$ |
et, pour des valeurs négatives de $\alpha ,$
| (26) | $\left\{{\begin{aligned}&\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=-\rho \left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right),\\&\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}=\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right)((-1))^{a},\\&((-1))^{a}=\cos \left({\overline {2k+1}}a\pi \right)\pm {\sqrt {-1}}\sin \left({\overline {2k+1}}a\pi \right).\end{aligned}}\right.$ |
On doit ajouter que, si l’on désigne par $n$ le dénominateur de la fraction la plus simple qui représente la valeur numérique de $a,$ $n$ sera précisément le nombre des valeurs distinctes de chacune des expressions
$((1))^{a},\qquad ((-1))^{a},\qquad \left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a},$
et que, pour déduire ces mêmes valeurs des formules (25) et (26), il suffira d’y substituer successivement, au lieu de $2k$ et de $2k+1,$ tous les nombres entiers qui ne sortent pas des limites $0$ et $n.$
Si la valeur numérique de $a$ devenait irrationnelle, chacune des expressions réduites
$\cos 2ka\pi \pm {\sqrt {-1}}\sin 2ka\pi ,$
$\cos \left({\overline {2k+1}}a\pi \right)\pm {\sqrt {-1}}\sin \left({\overline {2k+1}}a\pi \right),$
aurait un nombre indéfini de valeurs correspondantes aux diverses valeurs entières de $k\,;$ et, par suite, on ne pourrait plus admettre dans le calcul les notations
$((1))^{a},\qquad ((-1))^{a},\qquad \left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a},$
à moins de considérer chacune d’elles comme propre à représenter une infinité d’expressions imaginaires distinctes les unes des autres. Pour éviter cet inconvénient, nous n’emploierons jamais les notations dont il s’agit que dans le cas où la valeur numérique de a sera fractionnaire.
Parmi les diverses valeurs de $((1))^{a},$ il en est une toujours réelle et positive, savoir, $+1,$ que l’on indique par la notation $(1)^{a}$ ou $1^{a},$ en faisant usage de parenthèses simples, ou même les supprimant entièrement. Si l’on substitue cette valeur particulière de $((1))^{a}$ dans la seconde des équations (25), on obtiendra une valeur correspondante de
$\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a},$
que l’analogie nous porte à indiquer, à l’aide de parenthèses simples, par la notation
$\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{a}.$
C’est ce que nous ferons désormais. Par suite, on aura, en supposant $\alpha$ positif, et les quantités $\rho ,\zeta$ déterminées par les équations (24),
| (27) | $\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{a}=\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right).$ |
Cette dernière équation ayant lieu toutes les fois que la valeur numérique de $a$ est entière ou fractionnaire, l’analogie nous conduit encore à la considérer comme vraie dans le cas où cette valeur numérique devient irrationnelle. En conséquence, nous conviendrons de désigner par
$(\alpha +\beta {\sqrt {-1}})^{a}$
le produit $\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right),$ dans le cas où a sera positif, quelle que soit la valeur réelle attribuée à la quantité $a.$ En d’autres termes, si l’on désigne par $\zeta$ un arc compris entre les limites $-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}},$ on aura, quel que soit $a,$
$\left[\rho \left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right)\right]^{a}=\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right).$
Si dans l’équation précédente on fait $\rho =1,$ elle deviendra
| (28) | $\left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right)^{a}=\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta .$ |
Cette dernière formule est entièrement semblable aux équations (10) et (14) du § II, avec cette seule différence qu’elle subsiste uniquement pour des valeurs de comprises entre les limites $-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}},$ tandis que les équations dont il s’agit s’étendent à des valeurs quelconques de $\theta .$
Lorsque la quantité $\alpha$ devient négative, on ne voit plus, même en supposant fractionnaire la valeur numérique de $a,$ quelle est celle des valeurs de l’expression $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}$ que l’on pourrait distinguer des autres et désigner par la notation
$\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{a}.$
Mais alors, $-\alpha$ étant une quantité positive, il est facile d’établir, pour des valeurs quelconques de $a,$ la formule
| (29) | $\left(-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)^{a}=\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right).$ |
Nous terminerons ce paragraphe en faisant observer que, dans le cas où la valeur numérique de $a$ devient fractionnaire, les formules (27) et (29) réduisent les équations (18) et (23) à celles qui suivent
${\begin{array}{ll}({\text{30}})\qquad \qquad &\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}=\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{a}((1))^{a},\\({\text{31}})&\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}=\left(-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)^{a}((-1))^{a},\end{array}}$
Nous allons appliquer les principes établis dans les précédents paragraphes à la résolution de trois problèmes sur les sinus et cosinus.
Probleme I. — Transformer $\sin mz$ et $\cos mz$ $(m$ désignant un nombre entier quelconque$)$ en un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes et entières de $\sin z,$ ou du moins en un produit formé par la multiplication d’un semblable polynôme et de $\cos z.$
Solution. — Lorsque dans les équations (12) du § II on remplace les puissances paires de $\cos z$ par des puissances entières de $1-\sin ^{2}z,$ ces équations deviennent, pour des valeurs paires de $m,$
${\begin{aligned}\cos mz=&\left(1-\sin ^{2}z\right)^{\frac {m}{2}}-{\frac {m(m-1)}{1.2}}\left(1-\sin ^{2}z\right)^{\frac {m-2}{2}}\sin ^{2}z\\&\quad +{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{1.2.3.4}}\left(1-\sin ^{2}z\right)^{\frac {m-4}{2}}\sin ^{4}z-\ldots ,\\\\\sin mz=&\cos z\left[{\frac {m}{1}}\left(1-\sin ^{2}z\right)^{\frac {m-2}{2}}\sin z\right.\\&\qquad \qquad \left.-{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}\left(1-\sin ^{2}z\right)^{\frac {m-4}{2}}\sin ^{3}z+\ldots \right].\end{aligned}}$
et, pour des valeurs impaires de $m,$
${\begin{aligned}\cos mz=&\cos z\left[\left(1-\sin ^{2}z\right)^{\frac {m-1}{2}}-{\frac {m(m-1)}{1.2}}\left(1-\sin ^{2}z\right)^{\frac {m-3}{2}}\sin ^{2}z\right.\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{1.2.3.4}}\left(1-\sin ^{2}z\right)^{\frac {m-5}{2}}\sin ^{4}z-\ldots \right],\\\\\sin mz=&{\frac {m}{1}}\left(1-\sin ^{2}z\right)^{\frac {m-1}{2}}\sin z\\&\qquad -{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}\left(1-\sin ^{2}z\right)^{\frac {m-3}{2}}\sin ^{3}z+\ldots .\end{aligned}}$
$\cos z$
$sinz,$
$m,$
$m$
| (1) | $\left\{{\begin{aligned}\cos mz=&1-{\frac {m}{1}}\left({\frac {m-1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)\sin ^{2}z\\&+{\frac {m(m-2)}{1.3}}\left[{\frac {(m-1)(m-3)}{2.4}}+{\frac {m-1}{2}}{\frac {3}{2}}+{\frac {3.1}{2.4}}\right]\sin ^{4}z-\ldots .\\\\\sin mz=&\cos z\left\{{\frac {m}{1}}\sin z-{\frac {m(m-2)}{1.3}}\left({\frac {m-1}{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\sin ^{3}z\right.\\&\left.+{\frac {m(m-2)(m-4)}{1.3.5}}\left[{\frac {(m-1)(m-3)}{2.4}}+{\frac {m-1}{2}}{\frac {5}{2}}+{\frac {5.3}{2.4}}\right]\sin ^{5}z-\ldots \right\}\,;\end{aligned}}\right.$ |
et, pour les valeurs impaires de $m,$
| (2) | $\left\{{\begin{aligned}\cos mz=&\cos z\left\{1-{\frac {m-1}{1}}\left({\frac {m}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)\sin ^{2}z\right.\\&\left.+{\frac {(m-1)(m-3)}{1.3}}\left[{\frac {m(m-2)}{2.4}}+{\frac {m}{2}}{\frac {3}{2}}+{\frac {3.1}{2.4}}\right]\sin ^{4}z-\ldots \right\},\\\\\sin mz=&{\frac {m}{1}}\sin z-{\frac {m(m-1)}{1.3}}\left({\frac {m-2}{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\sin ^{3}z\\&+{\frac {m(m-1)(m-3)}{1.3.5}}\left[{\frac {(m-2)(m-4)}{2.4}}+{\frac {m-2}{2}}{\frac {5}{2}}+{\frac {5.3}{2.4}}\right]\sin ^{5}z-\ldots .\end{aligned}}\right.$ |
Les équations (1) et (2) comprennent évidemment la solution de la question proposée. Il ne reste plus qu’à les présenter sous la forme la plus simple. Pour y parvenir, il suffira d’observer que le coefficient de chaque puissance entière de $\sin z$ renferme généralement une somme de fractions à laquelle l’équation (5) du Chapitre IV (§ III) permet de substituer une fraction unique. Par suite de cette réduction, les développements de $\cos mz$ et de $\sin mz$ deviendront, pour des valeurs paires de $m,$
| (3) | $\left\{{\begin{aligned}\cos mz=&1-{\frac {m.m}{1.2}}\sin ^{2}z+{\frac {(m+2)m.m(m-2)}{1.2.3.4}}\sin ^{4}z\\&\quad -{\frac {(m+4)(m+2)m.m(m-2)(m-4)}{1.2.3.4.5.6}}\sin ^{6}z+\ldots \end{aligned}}\right.$ |
| (4) | $\left\{{\begin{aligned}\sin mz=&\cos z\left[{\frac {m}{1}}\sin z-{\frac {(m+2)m(m-2)}{1.2.3}}\sin ^{3}z\right.\\&\qquad \qquad +\left.{\frac {(m+4)(m+2)m(m-2)(m-4)}{1.2.3.4.5}}\sin ^{5}z-\ldots \right]\,;\end{aligned}}\right.$ |
et, pour des valeurs impaires de $m,$
| (5) | $\left\{{\begin{aligned}\cos mz=&\cos z\left[1-{\frac {(m+1)(m-1)}{1.2}}\sin ^{2}z\right.\\&\qquad \qquad +\left.{\frac {(m+3)(m+1)(m-1)(m-3)}{1.2.3.4}}\sin ^{4}z-\ldots \right]\,;\end{aligned}}\right.$ |
| (6) | $\left\{{\begin{aligned}\sin mz=&{\frac {m}{1}}\sin z-{\frac {(m+1)m(m-1)}{1.2.3}}\sin ^{3}z\\&\qquad \qquad +{\frac {(m+3)(m+1)m(m-1)(m-3)}{1.2.3.4.5}}\sin ^{5}z-\ldots .\end{aligned}}\right.$ |
Corollaire I. — Si dans l’équation (3) on fait successivement
$m=2,\qquad m=4,\qquad m=6,\qquad \ldots ,$
on obtiendra les suivantes :
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}\cos 2z=&1-\ \ 2\sin ^{2}z,\\\cos 4z=&1-\ \ 8\sin ^{2}z+\ \ 8\sin ^{4}z,\\\cos 6z=&1-18\sin ^{2}z+48\sin ^{4}z-32\sin ^{6}z,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$ |
Corollaire II. — Si dans l’équation (6) on fait successivement
$m=1,\qquad m=3,\qquad m=5,\qquad \ldots ,$
on en tirera
| (8) | $\left\{{\begin{aligned}\sin \ \ z=&\ \ \sin z,\\\sin 3z=&3\sin z-\ \ 4\sin ^{3}z,\\\sin 5z=&5\sin z-20\sin ^{3}z+16\sin ^{5}z,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$ |
Problème II. — Transformer $\sin mz$ et $\cos mz$ $(m$ désignant un nombre entier quelconque$)$ en un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes et entières de $\cos z,$ ou du moins en un produit formé par la multiplication d’un semblable polynôme et de $\sin z.$
Solution. — Pour obtenir les formules qui résolvent la question proposée, il suffit de remplacer, dans les équations W(3), W(4), (5) et (6), $z$ par ${\frac {\pi }{2}}-z,$ et d’observer en outre qu’on $a,$ pour des valeurs paires de $m,$
${\begin{aligned}\cos \left({\frac {m\pi }{2}}-mz\right)=&(-1)^{\frac {m}{2}}\;\;\cos mz,\\\sin \left({\frac {m\pi }{2}}-mz\right)=&(-1)^{{\frac {m}{2}}+1}\sin mz\,;\end{aligned}}$
et, pour des valeurs impaires de $m,$
${\begin{aligned}\cos \left({\frac {m\pi }{2}}-mz\right)=&(-1)^{\frac {m-1}{2}}\sin mz,\\\sin \left({\frac {m\pi }{2}}-mz\right)=&(-1)^{\frac {m-1}{2}}\cos mz.\end{aligned}}$
On trouvera de cette manière, si $m$ est un nombre pair,
| (9) | $\left\{{\begin{aligned}(-1)^{\frac {m}{2}}\cos mz=1&-{\frac {m.m}{2}}\cos ^{2}z+{\frac {(m+2)m.m(m-2)}{1.2.3.4}}\cos ^{4}z\\&-{\frac {(m+4)(m+2)m.m(m-2)(m-4)}{1.2.3.4.5.6}}\cos ^{6}z+\ldots ,\end{aligned}}\right.$ |
| (10) | $\left\{{\begin{aligned}(-1)^{{\frac {m}{2}}+1}\sin mz=\sin z&\left[{\frac {m}{1}}\cos z-{\frac {(m+2)m(m-2)}{1.2.3}}\cos ^{3}z\right.\\&\quad \left.+{\frac {(m+4)(m+2)m(m-2)(m-4)}{1.2.3.4.5}}\cos ^{5}z-\ldots \right]\,;\end{aligned}}\right.$ |
et, si $m$ est un nombre impair,
| (11) | $\left\{{\begin{aligned}(-1)^{\frac {m-1}{2}}\sin mz=\sin z&\left[1-{\frac {(m+1)(m-1)}{1.2}}\cos ^{2}z\right.\\&\quad \left.+{\frac {(m+3)(m+1)(m-1)(m-3)}{1.2.3.4}}\cos ^{4}z-\ldots \right],\end{aligned}}\right.$ |
| (12) | $\left\{{\begin{aligned}(-1)^{\frac {m-1}{2}}\cos mz={\frac {m}{1}}\cos z&-{\frac {(m+1)m(m-1)}{1.2.3}}\cos ^{3}z\\&+{\frac {(m+3)(m+1)m(m-1)(m-3)}{1.2.3.4.5}}\cos ^{5}z-\ldots .\end{aligned}}\right.$ |
Corollaire I. — Si dans la formule (9) on fait successivement
$m=2,\quad m=4,\quad m=6,\quad \ldots ,$
on obtiendra les suivantes :
| (13) | $\left\{{\begin{aligned}-\cos 2z=&1+\ \ 2\cos ^{2}z,\\\cos 4z=&1-\ \ 8\cos ^{2}z+\ \ 8\cos ^{4}z,\\-\cos 6z=&1-18\cos ^{2}z+48\cos ^{4}z-32\cos ^{6}z,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$ |
Corollaire II. — Si dans l’équation (12) on fait successivement
$m=1,\quad m=3,\quad m=5,\quad \ldots ,$
on en conclura
| (14) | $\left\{{\begin{aligned}\cos \ \ z=&\ \ \cos z,\\-\cos 3z=&3\cos z-\ \ 4\cos ^{3}z,\\\cos 5z=&5\cos z-20\cos ^{3}z+16\cos ^{5}z,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$ |
Problème III. — Exprimer les puissances entières de $\sin z$ et de $\cos z$ en fonction linéaire des sinus et cosinus des arcs $z,2z,3z,\ldots .$
Solution. — On résout facilement ce problème, en ayant égard aux propriétés des deux expressions imaginaires conjuguées
$\cos z+{\sqrt {-1}}\sin z,\qquad \cos z-{\sqrt {-1}}\sin z.$
Si l’on désigne la première par $u,$ et la seconde par $v,$ on aura
$2\cos z=u+v,\qquad 2{\sqrt {-1}}\sin z=u-v.$
En élevant les deux membres de chacune des équations précédentes à la puissance entière du degré $m,$ les divisant ensuite par $2$ ou par $2{\sqrt {-1}},$ puis effectuant les réductions indiquées par les formules
$uv=1,$
${\frac {u^{n}+v^{n}}{2}}=\cos nz,\qquad {\frac {u^{n}-v^{n}}{2{\sqrt {-1}}}}=\sin nz,$
dont les deux dernières subsistent pour des valeurs entières quelconques de $n,$ on trouvera, si $m$ représente un nombre pair,
| (15) | $\left\{{\begin{aligned}2^{m-1}\cos ^{m}z=\cos mz&+{\frac {m}{1}}\cos \left({\overline {m-2}}.z\right)\\&+{\frac {m(m-1)}{1.2}}\cos \left({\overline {m-4}}.z\right)+\ldots \\&+{\frac {1}{2}}{\frac {m(m-1)\ldots \left({\frac {m}{2}}+1\right)}{1.2.3\ldots {\frac {m}{2}}}},\end{aligned}}\right.$ |
| (16) | $\left\{{\begin{aligned}(-1)^{\frac {m}{2}}2^{m-1}\sin ^{m}z=&\cos mz-{\frac {m}{1}}\cos \left({\overline {m-2}}.z\right)\\&+{\frac {m(m-1)}{1.2}}\cos \left({\overline {m-4}}.z\right)-\ldots \\&\pm {\frac {1}{2}}{\frac {m(m-1)\ldots \left({\frac {m}{2}}+1\right)}{1.2.3\ldots {\frac {m}{2}}}}\,;\end{aligned}}\right.$ |
et, si $m$ représente un nombre impair,
| (17) | $\left\{{\begin{aligned}2^{m-1}\cos ^{m}z=&\cos mz+{\frac {m}{1}}\cos \left({\overline {m-2}}.z\right)\\&+{\frac {m(m-1)}{1.2}}\cos \left({\overline {m-4}}.z\right)+\ldots \qquad \quad \\&+{\frac {m(m-1)\ldots {\frac {m+3}{2}}}{1.2.3\ldots {\frac {m-1}{2}}}}\cos z,\end{aligned}}\right.$ |
| (16) | $\left\{{\begin{aligned}(-1)^{\frac {m-1}{2}}2^{m-1}\sin ^{m}z=&\sin mz-{\frac {m}{1}}\sin \left({\overline {m-2}}.z\right)\\&+{\frac {m(m-1)}{1.2}}\sin \left({\overline {m-4}}.z\right)-\ldots \\&\pm {\frac {m(m-1)\ldots {\frac {m+3}{2}}}{1.2.3\ldots {\frac {m-1}{2}}}}\sin z.\end{aligned}}\right.$ |
Corollaire I. — Si dans la formule (15) on fait successivement
$m=2,\quad m=4,\quad m=6,\quad \ldots ,$
| (19) | $\left\{{\begin{aligned}2\cos ^{2}z=&\cos 2z+1,\\8\cos ^{4}z=&\cos 4z+4\cos 2z+3,\\32\cos ^{6}z=&\cos 6z+6\cos 4z+15\cos 2z+10,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$ |
On arriverait aux mêmes équations, si l’on cherchait à déduire des formules (13) les valeurs successives de
$\cos ^{2}z,\quad \cos ^{4}z,\quad \cos ^{6}z,\quad \ldots$
en fonctions linéaires de
$\cos 2z,\quad \cos 4z,\quad \cos 6z,\quad \ldots .$
Corollaire II. — Si dans la formule (16) on fait successivement
$m=2,\quad m=4,\quad m=6,\quad \ldots ,$
on obtiendra les équations
| (20) | $\left\{{\begin{aligned}-2\sin ^{2}z=&\cos 2z-1,\\8\sin ^{4}z=&\cos 4z-4\cos 2z+3,\\-32\sin ^{6}z=&\cos 6z-6\cos 4z+15\cos 2z-10,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$ |
que l’on pourrait également déduire des formules (7), par l’élimination des quantités
$\sin ^{2}z,\quad \sin ^{4}z,\quad \sin ^{6}z,\quad \ldots .$
Corollaire III. — Si dans la formule (17) on fait successivement
$m=1,\quad m=3,\quad m=5,\quad \ldots ,$
on en conclura
| (21) | $\left\{{\begin{aligned}\cos z=&\cos z,\\4\cos ^{3}z=&\cos 3z+3\cos z,\\16\cos ^{5}z=&\cos 5z+5\cos 3z+10\cos z,\\.\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}\right.$ |
$\cos z,\quad \cos ^{3}z,\quad \cos ^{5}z,\quad \ldots$
en fonctions linéaires de
$\cos z,\quad \cos 3z,\quad \cos 5z,\quad \ldots .$
Corollaire IV. — Si dans la formule (18) on fait successivement
$m=1,\quad m=3,\quad m=5,\quad \ldots ,$
on obtiendra les équations
| (22) | $\left\{{\begin{aligned}\sin z=&\sin z,\\-4\sin ^{3}z=&\sin 3z-3\sin z,\\16\sin ^{5}z=&\sin 5z-5\sin 3z+10\sin z,\\.\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}\right.$ |
que l’on pourrait également déduire des formules (8) par l’élimination des quantités
$sinz,\quad \sin ^{3}z,\quad \sin ^{5}z,\quad \ldots .$
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