# Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Chapitre V
### CHAPITRE V.

Lorsque, au lieu de fonctions entières, on conçoit des fonctions quelconques, dont on laisse la forme entièrement arbitraire, on ne peut plus réussir à les déterminer d’après un certain nombre de valeurs particulières, quelque grand que soit ce même nombre ; mais on y parvient quelquefois dans le cas où l’on suppose connues certaines propriétés générales de ces fonctions. Par exemple, une fonction continue de $x,$ représentée par $\varphi (x),$ peut être complètement déterminée lorsqu’elle est assujettie à vérifier, pour toutes les valeurs possibles des variables $x$ et $y,$ l’une des équations
| (1) | $\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y),$ |
| (2) | $\varphi (x+y)=\varphi (x)\times \varphi (y),$ |
ou bien, pour toutes les valeurs réelles et positives des mêmes variables, l’une des équations suivantes :
| (3) | $\varphi (xy)=\varphi (x)+\varphi (y),$ |
| (4) | $\varphi (xy)=\varphi (x)\times \varphi (y).$ |
La résolution de ces quatre équations présente quatre problèmes différents que nous allons traiter l’un après l’autre.
Problème I. — Déterminer la fonction $\varphi (x)$ de manière qu’elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable $x,$ et que l’on ait pour toutes les valeurs réelles des variables $x$ et $y$
| (1) | $\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y).$ |
Solution. — Si dans l’équation (1) on remplace successivement $y$ par $y+z,$ $z$ par $z+u,\ldots ,$ on en tirera
$\varphi (x+y+z+u+\ldots )=\varphi (x)+\varphi (y)+\varphi (z)+\varphi (u)+\ldots ,$
quel que soit le nombre des variables $x,y,z,u,\ldots \,;$ si, de plus, on désigne par $m$ ce même nombre, par $\alpha$ une constante positive, et que l’on fasse
$x=y=z=u=\ldots =\alpha ,$
la formule que l’on vient de trouver deviendra
$\varphi (m\alpha )=m\varphi (\alpha ).$
Pour étendre cette dernière équation au cas où le nombre entier $m$ se trouve remplacé par un nombre fractionnaire ${\frac {m}{n}},$ ou même par un nombre quelconque $\mu ,$ on fera, en premier lieu,
$\beta ={\frac {m}{n}}\alpha ,$
$m$ et $n$ désignant deux nombres entiers, et l’on en conclura
${\begin{aligned}n\beta =&m\alpha ,\\n\varphi (\beta )=&m\varphi (\alpha ),\end{aligned}}$
$\varphi (\beta )=\varphi \left({\frac {m}{n}}\alpha \right)={\frac {m}{n}}\varphi (\alpha )\,;$
puis, en supposant que la fraction ${\frac {m}{n}}$ varie de manière à converger vers un nombre quelconque $\mu ,$ et passant aux limites, on trouvera
$\varphi (\mu \alpha )=\mu \varphi (\alpha ).$
$\alpha =1,$
$\mu ,$
| (5) | $\varphi (\mu )=\mu \varphi (1)$ |
et, par suite, en faisant converger $\mu$ vers la limite zéro,
$\varphi (0)=0.$
D’ailleurs, si dans l’équation (1) on pose $x=\mu ,$ $y=-\mu ,$ on en tirera
$\varphi (-\mu )=\varphi (0)-\varphi (\mu )=-\mu \varphi (1).$
L’équation (5) subsistera donc lorsqu’on y changera $\mu$ en $-\mu .$ En d’autres termes, on aura, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable $x,$
| (6) | $\varphi (x)=x\varphi (1).$ |
Il suit de la formule (6) que toute fonction $\varphi (x)$ qui, demeurant continue entre des limites quelconques de la variable, vérifie l’équation (1), est nécessairement de la forme
| (7) | $\varphi (x)=ax,$ |
$a$ désignant une quantité constante. J’ajoute que la fonction $ax$ jouira des propriétés énoncées, quelle que soit la valeur de la constante $a.$ En effet, le produit $ax$ est, entre des limites quelconques de la variable $x,$ fonction continue de la variable, et, de plus, la supposition $\varphi (x)=ax$ change l’équation (1) en cette autre
$a(x+y)=ax+ay,$
laquelle est évidemment toujours identique. La formule (7) fournit donc une solution de la question proposée, quelle que soit la valeur attribuée à la constante $a.$ La faculté que l’on a de choisir arbitrairement cette constante lui a fait donner le nom de constante arbitraire.
Problème II. — Déterminer la fonction $\varphi (x)$ de manière qu’elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable $x,$ et que l’on ait pour toutes les valeurs réelles des variables $x$ et $y$
| (2) | $\varphi (x+y)=\varphi (x)\varphi (y).$ |
Solution. — Il est d’abord facile de s’assurer que la fonction $\varphi (x),$ assujettie à vérifier l’équation (2), n’admet que des valeurs positives ; et, en effet, si dans l’équation (2) on fait $y=x,$ on trouvera
$\varphi (2x)=\left[\varphi (x)\right]^{2}\,;$
puis on en conclura, en écrivant ${\frac {1}{2}}x$ au lieu de $x,$
$\varphi (x)=\varphi \left[\left({\frac {1}{2}}x\right)\right]^{2}.$
La fonction $\varphi (x)$ est donc toujours équivalente à un carré, par conséquent toujours positive. Cela posé, concevons que dans l’équation (2) on remplace successivement $y$ par $y+z,$ $z$ par $z+u,\ldots ,$ on en tirera
$\varphi (x+y+z+u\ldots )=\varphi (x)\varphi (y)\varphi (z)\varphi (u)\ldots ,$
quel que soit le nombre des variables $x,y,z,u,\ldots .$ Si, de plus, on désigne par $m$ ce même nombre, par $\alpha$ une constante positive, et que l’on fasse
$x=y=z=u=\ldots =\alpha ,$
la formule que l’on vient de trouver deviendra
$\varphi (m\alpha )=\left[\varphi (\alpha )\right]^{m}.$
Pour étendre cette dernière formule au cas où le nombre entier $m$ se trouve remplacé par un nombre fractionnaire ${\frac {m}{n}},$ ou même par un nombre quelconque $\mu ,$ on fera, en premier lieu,
$\beta ={\frac {m}{n}}\alpha ,$
$m$ et $n$ désignant deux nombres entiers, et l’on en conclura
${\begin{aligned}n\beta =&m\alpha ,\\\left[\varphi (\beta )\right]^{n}=&\left[\varphi (\alpha )\right]^{m},\end{aligned}}$
$\varphi (\beta )=\varphi \left({\frac {m}{n}}\alpha \right)=\left[\varphi (\alpha )\right]^{\frac {m}{n}}\,;$
${\frac {m}{n}}$
$\mu ,$
$\varphi (\mu \alpha )=\left[\varphi (\alpha )\right]^{\mu }.$
Si maintenant on prend $\alpha =1,$ on aura pour toutes les valeurs positives de $\mu$
| (8) | $\varphi (\mu )=\left[\varphi (1)\right]^{\mu }$ |
et, par suite, en faisant converger $\mu$ vers la limite zéro,
$\varphi (0)=1.$
D’ailleurs, si dans l’équation (2) on pose $x=\mu ,$ $y=-\mu ,$ on en conclura
$\varphi (-\mu )={\frac {\varphi (0)}{\varphi (\mu )}}=\left[\varphi (1)\right]^{-\mu }.$
L’équation (8) subsistera donc lorsqu’on y changera $\mu$ en $-\mu .$ En d’autres termes, on aura pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable $x$
| (9) | $\varphi (x)=\left[\varphi (1)\right]^{x}.$ |
Il suit de l’équation (9) que toute fonction $\varphi (x)$ propre à résoudre le second problème est nécessairement de la forme
| (10) | $\varphi (x)=\mathrm {A} ^{x},$ |
$\mathrm {A}$ désignant une constante positive. J’ajoute qu’on peut attribuer à cette constante une valeur quelconque entre les limites $0$ et $\infty .$ En effet, pour toute valeur positive de $\mathrm {A} ,$ la fonction $\mathrm {A} ^{x}$ reste continue depuis $x=-\infty$ jusqu’à $x=+\infty ,$ et l’équation
$\mathrm {A} ^{x+y}=\mathrm {A} ^{x}\mathrm {A} ^{y}$
est identique. La quantité $\mathrm {A}$ est donc une constante arbitraire qui n’adinet que des valeurs positives.
Nota. — On pourrait arriver très simplement à l’équation (9) de la manière suivante.
Si l’on prend les logarithmes des deux membres de l’équation (2) dans un système quelconque, on trouvera
$\operatorname {L} \varphi (x+y)=\operatorname {L} \varphi (x)+\operatorname {L} \varphi (y)\,;$
et l’on en conclura (voir le problème I)
$\operatorname {L} \varphi (x)=x\operatorname {L} \varphi (1),$
puis, en repassant des logarithmes aux nombres
$\varphi (x)=\left[\varphi (1)\right]^{x}.$
Problème III. — Déterminer la fonction $\varphi (x)$ de manière qu’elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable $x,$ et que l’on ait pour toutes les valeurs positives des variables $x$ et $y$
| (3) | $\varphi (xy)=\varphi (x)+\varphi (y).$ |
Solution. — Il serait facile d’appliquer à la solution du problème III une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le premier ; mais on arrive plus promptement à la solution cherchée en mettant l’équation (3), ainsi qu’on va le faire, sous une forme analogue à celle de l’équation (1).
Si l’on désigne par $\mathrm {A}$ un nombre quelconque et par $\mathrm {L}$ la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est $\mathrm {A} ,$ on aura, pour toutes les valeurs positives des variables $x$ et $y,$
$x=\mathrm {A} ^{\operatorname {Lx} },\qquad y=\mathrm {A} ^{\operatorname {Ly} },$
en sorte que l’équation (3) deviendra
$\varphi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x+\operatorname {L} y}\right)=\varphi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x}\right)+\varphi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} y}\right).$
Comme, dans cette dernière formule, les quantités variables $\operatorname {L} x,\operatorname {L} y$ admettent des valeurs quelconques positives ou négatives, il en résulte qu’on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables $x$ et $y,$
$\varphi \left(\mathrm {A} ^{x+y}\right)=\varphi \left(\mathrm {A} ^{x}\right)+\varphi \left(\mathrm {A} ^{y}\right).$
On en conclura [voir le problème I, équat. (6)]
$\varphi \left(\mathrm {A} ^{x}\right)=x\varphi \left(\mathrm {A} ^{1}\right)=x\varphi \left(\mathrm {A} \right)$
et, par suite,
$\varphi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x}\right)=\varphi (\mathrm {A} )\operatorname {L} x,$
ou, ce qui revient au même,
| (11) | $\varphi (x)=\varphi (\mathrm {A} )\operatorname {L} x.$ |
Il suit de la formule (11) que toute fonction $\varphi (x),$ propre à résoudre le problème III, est nécessairement de la forme
| (12) | $\varphi (x)=a\operatorname {L} (x),$ |
$a$ désignant une constante. Il est d’ailleurs aisé de s’assurer : 1$^o$ que la constante $a$ demeure entièrement arbitraire, 2$^o$ que, en choisissant convenablement le nombre $\mathrm {A} ,$ qui est lui-même arbitraire, on peut la réduire à l’unité.
Problème IV. — Déterminer la fonction $\varphi (x)$ de manière qu’elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable $x$ et que l’on ait, pour toutes les valeurs positives des variables $x$ et $y$,
| (4) | $\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y).$ |
Solution. — Il serait facile d’appliquer à la solution du problème IV une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le second. Mais on arrivera plus promptement à la solution cherchée, si l’on observe que, en désignant par $\mathrm {L}$ la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est $\mathrm {A} ,$ on peut mettre l’équation (4) sous la forme
$\varphi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x+\operatorname {L} y}\right)=\varphi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x}\right)\varphi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} y}\right).$
Comme, dans cette dernière équation, les quantités variables $\operatorname {L} (x),$ $\operatorname {L} (y)$ admettront des valeurs quelconques positives ou négatives, il en résulte qu’on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables $x$ et $y$,
$\varphi \left(\mathrm {A} ^{x+y}\right)=\varphi \left(\mathrm {A} ^{x}\right)\varphi \left(\mathrm {A} ^{y}\right).$
On en conclura [voir le problème II, équat. (9)]
$\varphi \left(\mathrm {A} ^{x}\right)=\left[\varphi (\mathrm {A} )\right]^{x}$
et, par suite,
$\varphi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x}\right)=\left[\varphi (\mathrm {A} )\right]^{\operatorname {L} x}=x^{\operatorname {L} \varphi (\mathrm {A} )},$
ou, ce qui revient au même,
| (13) | $\varphi (x)=x^{\operatorname {L} \varphi (\mathrm {A} )}.$ |
Il résulte de l’équation (13) que toute fonction $\varphi (x),$ propre à résoudre le problème IV, est nécessairement de la forme
| (14) | $\varphi (x)=x^{a},$ |
$a$ désignant une constante. Il est d’ailleurs aisé de s’assurer que cette constante doit demeurer entièrement arbitraire.
Les quatre valeurs de $\varphi (x)$ qui satisfont respectivement aux équations (1), (2), (3), (4), savoir
$ax,\qquad \mathrm {A} ^{x},\qquad a\operatorname {L} x,\qquad x^{a}$
ont cela de commun, que chacune d’elles renferme une constante arbitraire $a$ ou $\mathrm {A} .$ On doit en conclure qu’il y a une grande différence entre les questions où il s’agit de calculer les valeurs inconnues de certaines quantités et les questions dans lesquelles on se propose de découvrir la nature inconnue de certaines fonctions d’après des propriétés données. En effet, dans le premier cas, les valeurs des quantités inconnues se trouvent finalement exprimées par le moyen d’autres quantités connues et déterminées, tandis que dans le second cas les fonctions inconnues peuvent, comme on le voit ici, admettre dans leur expression des constantes arbitraires.
Dans chacun des problèmes du paragraphe précédent, l’équation à résoudre renfermait, avec la fonction inconnue $\varphi (x),$ deux autres fonctions semblables, savoir, $\varphi (y)$ et $\varphi (x+y)$ ou $\varphi (xy).$ Nous allons maintenant nous proposer un nouveau problème du même genre, mais dans lequel l’équation de condition, que la fonction $\varphi (x)$ doit vérifier, renferme quatre fonctions semblables au lieu de trois. Voici en quoi il consiste :
Problème. — Déterminer la fonction $\varphi (x)$ de manière qu’elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable $x,$ et que l’on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables $x$ et $y$,
| (1) | $\varphi (y+x)+\varphi (y-x)=2\varphi (x)\varphi (y).$ |
Solution. — Si dans l’équation (1) on fait $x=0,$ on en tirera
$\varphi (0)=1.$
La fonction $\varphi (x)$ se réduit donc à l’unité, pour la valeur particulière $x=0,$ et, puisqu’on la suppose continue entre des limites quelconques, il est clair qu’elle sera, dans le voisinage de cette valeur particulière, très peu différente de l’unité, par conséquent positive. On pourra donc, en désignant par a un nombre très petit, choisir ce nombre de telle manière que la fonction $\varphi (x)$ reste constamment positive entre les limites
$x=0,\qquad x=\alpha .$
Cela posé, il arrivera de deux choses l’une ou la valeur positive de $\varphi (x)$ sera comprise entre les limites $0$ et $1,$ ou cette valeur sera supérieure à l’unité. Nous allons examiner successivement ces deux hypothèses.
Concevons d’abord que $\varphi (\alpha )$ ait une valeur comprise entre les limites $0$ et $1.$ On pourra représenter cette valeur par le cosinus d’un certain arc $\theta$ renfermé entre les limites $0,{\frac {\pi }{2}},$ et poser en conséquence
$\varphi (\alpha )=\cos \theta .$
De plus, si, dans l’équation (1) mise sous la forme
$\varphi (y+x)=2\varphi (x)\varphi (y)-\varphi (y-x),$
on fait successivement
${\begin{alignedat}{2}x=&\alpha ,\qquad &y=&\alpha ,\\x=&\alpha ,&y=&2\alpha ,\\x=&\alpha ,&y=&3\alpha ,\\.\ldots &\ldots ,&.\ldots &\ldots ,\end{alignedat}}$
on en déduira l’une après l’autre les formules
${\begin{aligned}\varphi (2a)=&2\cos ^{2}\theta -1=\cos 2\theta ,\\\varphi (3\alpha )=&2\cos \theta \cos 2\theta -\cos \theta =\cos 3\theta ,\\\varphi (4\alpha )=&2\cos \theta \cos 3\theta -\cos 2\theta =\cos 4\theta ,\end{aligned}}$
et en général, $m$ désignant un nombre entier quelconque,
$\varphi (m\alpha )=2\cos \theta \cos(m-1)\theta -\cos(m-2)\theta =\cos m\theta .$
J’ajoute que la formule
$\varphi (m\alpha )=\cos m\theta$
subsistera encore, si l’on y remplace le nombre entier $m$ par une fraction ou même par un nombre quelconque $\mu .$ C’est ce que l’on prouvera facilement, ainsi qu’il suit.
Si dans l’équation (1) on fait $x={\frac {1}{2}}\alpha ,\,y={\frac {1}{2}}\alpha ,$ on en tirera
$\left[\varphi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)\right]^{2}={\frac {\varphi (0)+\varphi (\alpha )}{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}=\left(\cos .{\frac {1}{2}}\theta \right)^{2}\,;$
puis, en extrayant les racines positives des deux membres et observant que les deux fonctions $\varphi (x),$ $\cos x$ restent positives, la première entre les limites $x=0,x=\alpha ,$ la seconde entre les limites $x=0,x=\theta ,$ on trouvera
$\varphi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)=\cos {\frac {1}{2}}\theta .$
De même, si dans l’équation (1) on fait
$x={\frac {1}{4}}\alpha ,\qquad y={\frac {1}{4}}\theta ,$
on en tirera
$\left[\varphi \left({\frac {1}{4}}\alpha \right)\right]^{2}={\frac {\varphi (0)+\varphi \left({\frac {1}{2}}\right)\alpha }{2}}={\frac {1+\cos {\frac {1}{2}}\theta }{2}}=\left(\cos {\frac {1}{4}}\theta \right)^{2}\,;$
puis, en extrayant de part et d’autre les racines positives,
$\varphi \left({\frac {1}{4}}\alpha \right)=\cos {\frac {1}{4}}\theta .$
Par des raisonnements semblables, on obtiendra successivement les formules
${\begin{aligned}&\varphi \left({\frac {1}{8}}\alpha \right)\ \ =\cos {\frac {1}{8}}\theta ,\\&\varphi \left({\frac {1}{16}}\alpha \right)=\cos {\frac {1}{16}}\theta ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et en général, $n$ désignant un nombre entier quelconque,
$\varphi \left({\frac {1}{2^{n}}}\alpha \right)=\cos {\frac {1}{2^{n}}}\theta .$
Si l’on opère sur la valeur précédente de $\varphi \left({\frac {1}{2^{n}}}\alpha \right)$ pour en déduire celle de $\varphi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right),$ comme on a opéré sur la valeur de $\varphi (\alpha )$ pour en déduire celle de $\varphi (m\alpha ),$ on trouvera
$\varphi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right)=\cos {\frac {m}{2^{n}}}\alpha \,;$
puis, en supposant que la fraction ${\frac {m}{2^{n}}}$ varie de manière à s’approcher indéfiniment du nombre $\mu ,$ et passant aux limites, on obtiendra l’équation
| (2) | $\varphi (\mu x)=\cos \mu \theta .$ |
De plus, si dans la formule (1) on fait
$x=\mu \alpha ,\qquad y=0,$
on en conclura
$\varphi (-\mu \alpha )=\left[2\varphi (0)-1\right]\varphi (\mu \alpha )=\cos \mu \theta =\cos(-\mu \theta ).$
L’équation (2) subsistera donc lorsqu’on y remplacera $\mu$ par $-\mu .$ En d’autres termes, on aura, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable $x,$
| (3) | $\varphi (\alpha x)=\cos \theta x.$ |
Si dans cette dernière formule on change $x$ en ${\frac {x}{\alpha }},$ elle donnera
| (4) | $\varphi (x)=\cos {\frac {\theta }{\alpha }}x=\cos \left(-{\frac {\theta }{\alpha }}x\right).$ |
La valeur précédente de $\varphi (x)$ est relative au cas où la quantité positive $\varphi (\alpha )$ reste comprise entre les limites $0$ et $1.$ Supposons maintenant cette même quantité supérieure à l’unité. Il est facile de voir que, dans cette seconde hypothèse, on pourra satisfaire par une valeur positive de $r$ à l’équation
$\varphi (\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right).$
Il suffira, en effet, de prendre
$r=\varphi (x)+\left\{\left[\varphi (\alpha )\right]^{2}-1\right\}^{\frac {1}{2}}.$
Cela posé, si dans l’équation (1) on fait successivement
${\begin{alignedat}{2}x=&\alpha ,\qquad &y=&\alpha ,\\x=&\alpha ,&y=&2\alpha ,\\x=&\alpha ,&y=&3\alpha ,\\.\ldots &\ldots ,&.\ldots &\ldots ,\end{alignedat}}$
${\begin{aligned}&\varphi (2\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)^{2}-1={\frac {1}{2}}\left(r^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\right),\\&\varphi (3\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)\left(r^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(r\ +{\frac {1}{r}}\ \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{3}+{\frac {1}{r^{3}}}\right),\\&\varphi (4\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)\left(r^{3}+{\frac {1}{r^{3}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(r^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(r^{4}+{\frac {1}{r^{4}}}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et en général, $m$ désignant un nombre entier quelconque,
$\varphi (m\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)\left(r^{m-1}+{\frac {1}{r^{m-1}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(r^{m-2}+{\frac {1}{r^{m-2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(r^{m}+{\frac {1}{r^{m}}}\right).$
J’ajoute que la formule
$\varphi (m\alpha )={\frac {1}{2}}\left(r^{m}+{\frac {1}{r^{m}}}\right)$
subsistera encore, si l’on y remplace le nombre entier $m$ par une fraction, ou même par un nombre quelconque $\mu .$ C’est ce que l’on prouvera facilement, ainsi qu’il suit.
Si dans l’équation (1) on fait $x={\frac {1}{2}}\alpha ,$ $y={\frac {1}{2}}\alpha ,$ on en tirera
$\left[\varphi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)\right]^{2}={\frac {\varphi (0)+\varphi (\alpha )}{2}}={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}\left(r^{\frac {1}{2}}+r^{-{\frac {1}{2}}}\right)^{2}\,;$
puis, en extrayant les racines positives des deux membres, et en observant que la fonction $\varphi (x)$ reste positive entre les limites $x=0,$ $x=\alpha ,$ on trouvera
$\varphi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{2}}+r^{-{\frac {1}{2}}}\right).$
De même, si dans l’équation (1) on fait
$x={\frac {1}{4}}\alpha ,\qquad y={\frac {1}{4}}\alpha ,$
on en tirera
$\left[\varphi \left({\frac {1}{4}}\alpha \right)\right]^{2}={\frac {\varphi (0)+\varphi ({\frac {1}{2}}\alpha )}{2}}={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{2}}+r^{-{\frac {1}{2}}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}\left(r^{\frac {1}{4}}+r^{-{\frac {1}{4}}}\right)^{2}\,;$
$\varphi \left({\frac {1}{4}}\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{4}}+r^{-{\frac {1}{4}}}\right).$
Par des raisonnements semblables, on obtiendra successivement les formules
${\begin{aligned}&\varphi \left({\frac {1}{8}}\alpha \right)\ ={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{8}}+r^{-{\frac {1}{8}}}\right),\\&\varphi \left({\frac {1}{16}}\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{16}}+r^{-{\frac {1}{16}}}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et en général, $n$ désignant un nombre entier quelconque,
$\varphi \left({\frac {1}{2^{n}}}\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {1}{2^{n}}}+r^{-{\frac {1}{2^{n}}}}\right).$
Si l’on opère sur la valeur précédente de $\varphi \left({\frac {1}{2^{n}}}\alpha \right),$ pour en déduire celle de $\varphi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right),$ comme on a opéré sur la valeur de $\varphi (\alpha ),$ pour en déduire celle $\varphi (m\alpha ),$ on trouvera
$\varphi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {m}{2^{n}}}+r^{-{\frac {m}{2^{n}}}}\right)\,;$
puis, en supposant que la fraction ${\frac {m}{2^{n}}}$ varie de manière à s’approcher indéfiniment du nombre $\mu ,$ et passant aux limites, on obtiendra l’équation
| (5) | $\varphi (\mu \alpha )={\frac {1}{2}}\left(r^{\mu }+r^{-\mu }\right).$ |
De plus, si dans la formule (1) on fait
$x=\mu \alpha ,\qquad y=0,$
on en conclura
$\varphi (-\mu \alpha )=\left[2\varphi (0)-1\right]\varphi (\mu \alpha )={\frac {1}{2}}\left(r^{-\mu }+r^{\mu }\right).$
$\mu$
$-\mu .$
$x,$
| (6) | $\varphi (\alpha x)={\frac {1}{2}}\left(r^{x}+r^{-x}\right).$ |
Si dans cette dernière formule on change $x$ en ${\frac {x}{\alpha }},$ elle donnera
| (7) | $\varphi (x)={\frac {1}{2}}\left(r^{\frac {x}{\alpha }}+r^{-{\frac {x}{\alpha }}}\right).$ |
Lorsqu’on fait, dans l’équation (4), $\pm {\frac {\theta }{\alpha }}=a,$ et, dans l’équation (7), $r^{\pm {\frac {1}{\alpha }}}=\mathrm {A} ,$ ces équations prennent respectivement les formes suivantes :
| (8) | $\varphi (x)=\cos ax,$ |
| (9) | $\varphi (x)={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} ^{x}+\mathrm {A} ^{-x}\right).$ |
Si donc l’on désigne par $a$ une quantité constante, et par $\mathrm {A}$ un nombre constant, toute fonction $\varphi (x)$ qui, demeurant continue entre des limites quelconques de la variable, vérifiera l’équation (1), sera nécessairement comprise sous l’une des deux formes qu’on vient de rapporter. Il est d’ailleurs facile de s’assurer que les valeurs de $\varphi (x)$ fournies par les équations (8) et (9) résolvent la question proposée, quelles que soient les valeurs attribuées à la quantité $a$ et au nombre $\mathrm {A} .$ Ce nombre et cette quantité sont donc deux constantes arbitraires, dont l’une ne peut admettre que des valeurs positives.
D’après ce qu’on vient de dire, les deux fonctions
$\cos ax,\qquad {\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} ^{x}+\mathrm {A} ^{-x}\right)$
ont la propriété commune de satisfaire à l’équation (1), ce qui établit entre elles une analogie remarquable. L’une et l’autre de ces deux fonctions se réduisent encore à l’unité pour $x=0.$ Mais une différence essentielle entre la première et la seconde, c’est que la valeur numérique de la première est constamment au-dessous de la limite $1,$ lorsqu’elle n’atteint pas cette limite ; tandis que, dans la même hypothèse, la valeur numérique de la seconde est constamment au-dessus.
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