# § 0. Introduction

Cet article est la traduction du document écrit en Allemand par Friedrich Robert Helmert en 1876. Ce document est accessible sur le site de publication de l'université de Goettingen en Allemagne aux pages 192 à 218 (Article X) de l'article Zeitschrift für Mathematik und Physik, 1876
L'article original a d'abord été traduit en allemand moderne et ensuite en français. Toutes les formules mathématiques ont été converties en Latex puis automatiquement en Mathml.

# § 1. Formules générales

On note les valeurs absolues des erreurs de n{\textstyle n} observations par ε$_1$, ε$_2$, ⋯ε$_n${\textstyle \varepsilon _{1}, \varepsilon _{2}, \cdots \varepsilon _{n}} et la somme de leurs m$^{ten}${\textstyle m^{ten}} puissances ε$^m${\textstyle \varepsilon ^{m}} par n σ$_m${\textstyle n\ \sigma _{m}}. La valeur moyenne de n σ$_m${\textstyle n\ \sigma _{m}}, si l’on attribue à chaque ε{\textstyle \varepsilon } toutes les valeurs possibles de probabilité, est égale à n S$_m${\textstyle n\ S_{m}}, où
| $S_{m}=\int _{0}^{a}{\varepsilon ^{m}~\psi (\varepsilon )}~{\text{d}}\varepsilon$ | 1) |
Ici, la variable a{\textstyle a} représente l'erreur maximale pouvant être atteinte et ψ(ε)=φ(+ε)+φ(−ε){\textstyle \psi (\varepsilon )=\varphi (+\varepsilon )+\varphi (-\varepsilon )} désigne la probabilité qu'une erreur d'observation ε{\textstyle \varepsilon } par rapport à son signe soit comprise entre ε−dε/2{\textstyle \varepsilon -d\varepsilon /2} and ε+dε/2{\textstyle \varepsilon +d\varepsilon /2}.
Nous allons maintenant nous demander quelle est la probabilité que la somme des m$^{ten}${\textstyle m^{ten}} puissances maximales de n{\textstyle n} erreurs d’observation se situe entre les limites ε−dε/2{\textstyle \varepsilon -d\varepsilon /2} and ε+dε/2{\textstyle \varepsilon +d\varepsilon /2},
où, par souci de simplicité, nous dirons que δ$_m${\textstyle \delta _{m}} représente à peu près le différentiel de σ$_m${\textstyle \sigma _{m}}.
On note cette probabilité par φ(σ$_m$)δ$_m${\textstyle \varphi (\sigma _{m})\delta _{m}}.
Pour comprendre cela, nous avons deux moyens. Soit l’on étudie les valeurs successives de n{\textstyle n}, soit l’on choisit une valeur arbitraire de n{\textstyle n} et au moyen d’un facteur de discontinuité on essaye de faire face aux intégrations qui se présenteront à nous.
Dans tous les cas, le problème ne peut être résolu que dans des conditions restrictives. Il est bien connu que Gauss a donné les formules finales sans preuve, ce qui présuppose un très grand n{\textstyle n}, mais devrait s’appliquer à une loi d’erreur tout à fait arbitraire φ(ε){\textstyle \varphi (\varepsilon )}. Déjà, dans une recherche similaire, Poisson a montré pour m=1{\textstyle m=1} que, dans tous les cas, une restriction aux lois d'erreur concevables est nécessaire et que φ(+ε){\textstyle \varphi (+\varepsilon )} peut ne pas être toute fonction imaginable de ε{\textstyle \varepsilon }.
Si n=1{\textstyle n=1}, la probabilité que ε$_1$$^m${\textstyle \varepsilon _{1}^{m}} se situe entre σ$_m$−dε/2 {\textstyle \sigma _{m}-{\frac {d\varepsilon }{2}}} et σ$_m$+dε/2 {\textstyle \sigma _{m}+{\frac {d\varepsilon }{2}}} est égal à
* $\varphi {(\sigma _{m})}_{1}\delta _{m}=\int _{\sqrt[{m}]{\sigma _{m}-{\frac {\delta _{m}}{2}}}}^{\sqrt[{m}]{\sigma _{m}+{\frac {\delta _{m}}{2}}}}{\psi (\varepsilon )d\varepsilon }$
où l'indice 1 a été ajouté à l’expression φ(σ$_m$){\textstyle \varphi (\sigma _{m})} parce que n=1{\textstyle n=1}.
Puisque δ$_m${\textstyle \delta _{m}} est supposé n’être qu’un différentiel, l’expression précédente peut s’écrire sous la forme suivante
* $\varphi (\sigma _{m})_{1}\delta _{m}=({\sqrt[{m}]{\sigma _{m}+{\frac {\delta _{m}}{2}}}}-{\sqrt[{m}]{\sigma _{m}-{\frac {\delta _{m}}{2}}}})\psi ({\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}})$
Maintenant, en supposant que σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} ne soit jamais autorisé à être égal à zéro mais qu'il doit toujours en rester éloigné d'au moins δ$_m$/2{\textstyle \delta _{m}/2} (puisqu'un seuil négatif pour ε$_1$$^m${\textstyle \varepsilon _{1}^{m}} est exclu), nous obtenons, après une légère réduction, l’équation suivante
| $\varphi {(\sigma _{m})}_{1}\delta _{m}={\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}})}{m\sigma _{m}^{1-{\frac {1}{m}}}}}\delta _{m}$ | 2) |
Si n=2{\textstyle n=2}, la tâche consiste à rechercher la probabilité que ε$_1$$^m$+ε$_2$$^m${\textstyle \varepsilon _{1}^{m}+\varepsilon _{2}^{m}} soit compris entre 2(σ$_m$−dε/2){\textstyle 2(\sigma _{m}-{\frac {d\varepsilon }{2}})} et 2(σ$_m$+dε/2){\textstyle 2(\sigma _{m}+{\frac {d\varepsilon }{2}})}. Maintenant, selon (2), la probabilité que ε$^m${\textstyle \varepsilon ^{m}} soit compris entre x−dx/2{\textstyle x-dx/2} et x+dx/2{\textstyle x+dx/2} vaut
* ${\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{x}})}{mx^{1-{\frac {1}{m}}}}}~{\text{d}}x$
et donc, si on distingue les x{\textstyle x} en fonction des indices de leur ε{\textstyle \varepsilon }, la probabilité recherchée vaut
* $\varphi {(\sigma _{m})}_{2}\delta _{m}={\frac {1}{m^{2}}}\int _{p}^{q}{dx_{2}}\int _{2(\sigma _{m}-{\frac {\delta _{m}}{2}})-x_{2}}^{2(\sigma _{m}+{\frac {\delta _{m}}{2}})-x_{2}}{\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{x_{2}}})}{x_{2}^{1-{\frac {1}{m}}}}}{\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{x_{1}}})}{x_{1}^{1-{\frac {1}{m}}}}}dx_{1}$
ou en prenant en compte le montant et en omettant l'indice 2 en dessous de l'intégrale
| $\varphi {(\sigma _{m})}_{2}\delta _{m}={\frac {2\delta _{m}}{m^{2}}}\int _{p}^{q}{\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{x}})}{x^{1-{\frac {1}{m}}}}}{\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{2\sigma _{m}-x}})}{{(2\sigma _{m}-x)}^{1-{\frac {1}{m}}}}}~{\text{d}}x$ | 3) |
où p=0{\textstyle p=0}, q=2σ$_m${\textstyle q=2\sigma _{m}} pour 2σ$_m$>a$^m${\textstyle 2\sigma _{m}>a^{m}}
p=2σ$_m$−a$^m${\textstyle p=2\sigma _{m}-a^{m}}, q=a$^m${\textstyle q=a^{m}} pour 2σ$_m$<a$^m${\textstyle 2\sigma _{m}<a^{m}}
On peut continuer de résoudre successivement le problème pour n = 3,4 en utilisant la même méthode pour autant que l’intégration précédente est toujours possible.
Si n{\textstyle n} est indéfini, la probabilité que la somme des m$^{ten}${\textstyle m^{ten}} puissance de ε$^m${\textstyle \varepsilon ^{m}} se situe entre n(σ$_m$−dε/2){\textstyle n(\sigma _{m}-{\frac {d\varepsilon }{2}})} et n(σ$_m$+dε/2){\textstyle n(\sigma _{m}+{\frac {d\varepsilon }{2}})} devient égale à
| $\varphi (\sigma _{m})_{n}\delta _{m}=\int _{0}^{a}{d\varepsilon _{1}\int _{0}^{a}{d\varepsilon _{2}...\int _{0}^{a}{d\varepsilon _{n}\psi (\varepsilon _{1})\psi (\varepsilon _{2})...\psi (\varepsilon _{n})}}}F$ | 4) |
où F{\textstyle F} désigne le facteur de discontinuité:
| $F={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\cos(\varepsilon ^{m})z{\text{d}}z}\int _{n(\sigma _{m}-{\frac {\delta _{m}}{2}})}^{n(\sigma _{m}+{\frac {\delta _{m}}{2}})}{\cos(z\Theta ){\text{d}}\Theta }$ | 5) |
Laquelle pour tout ε$^m${\textstyle \varepsilon ^{m}} entre les bornes n(σ$_m$± dε/2){\textstyle n(\sigma _{m}\pm {\frac {d\varepsilon }{2}})} est égale à 1, mais pour ε$^m${\textstyle \varepsilon ^{m}} en dehors de celle-ci est égale à zéro et peut être utilisée pour chaque (σ$_m$δ$_m$/2){\textstyle (\sigma _{m}\delta _{m}/2)}.
Il est donc, comme auparavant, inadmissible de fixer σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} exactement égal à zéro. Si on effectue l'intégration selon Θ{\textstyle \Theta } dans (5), le facteur F{\textstyle F} vaut alors.
| $F={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{{\frac {\sin zn(\sigma _{m}+{\frac {\delta _{m}}{2}})-\sin zn(\sigma _{m}-{\frac {\delta _{m}}{2}})}{z}}\cos(\varepsilon ^{m})z.{\text{d}}z}$ | 5*) |
Si ω$_m${\textstyle \omega _{m}} représente la différence S$_m$−σ$_m${\textstyle S_{m}-\sigma _{m}}, alors évidemment la loi de probabilité des déviations ω$_m${\textstyle \omega _{m}} se retrouve également dans φ(σ$_m$){\textstyle \varphi (\sigma _{m})}. Si on considère différentes valeurs de m{\textstyle m}, alors on remarque que les ω$_m${\textstyle \omega _{m}} ne sont pas du tout comparables; il faut donc les réduire à des écarts similaires. Vous pouvez facilement prendre ces mesures en vous rappelant que le calcul de l'erreur d'observation probable est le ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} au lieu de l'inconnu ᵐ√(S$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{S_{m}}}} et qu'il est obtenu en multipliant cette taille de racine par un nombre dépendant de l'erreur.
Donc on définit
* ${\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}={\sqrt[{m}]{S_{m}}}.(1+v_{m})$
Ainsi, v$_m${\textstyle v_{m}} ne signifie pas seulement l'amélioration négative de ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} en fractions de ᵐ√(S$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{S_{m}}}}, mais également l'amélioration de l'erreur d'observation probable calculée en fractions de sa valeur stricte. Ainsi, les v$_m${\textstyle v_{m}} pour la variable m{\textstyle m} sont des quantités comparables.
Si on sait maintenant φ(σ$_m$)δ$_m${\textstyle \varphi (\sigma _{m})\delta _{m}}, alors on en trouve la probabilité φ(v$_m$)dv$_m${\textstyle \varphi (v_{m})dv_{m}}, elle tombe v$_m${\textstyle v_{m}} entre les limites v$_m$−dv$_m$/2{\textstyle v_{m}-{dv}_{m}/2} et v$_m$+v$_m$/2{\textstyle v_{m}+v_{m}/2}, par substitution des quantités v$_m${\textstyle v_{m}} et dv$_m${\textstyle {dv}_{m}} des relations
| $\sigma _{m}=S_{m}(1+v_{m})^{m},\delta _{m}=mS_{m}(1+v_{m})^{m-1}{\text{d}}v_{m}$ | 6) |
ce qui peut être justifié par sa rigueur [comme la formule (2)].

# § 2. Probabilité d'erreur constante

ψ(ε)=1/a {\textstyle \psi (\varepsilon )={\frac {1}{a}}} pour ε>a{\textstyle \varepsilon >a}, autrement il est égal à zéro..

## § 2.1 n = 1

Pour les cas où m=1, 2 et 3 la formule (2) fournit les fonctions suivantes:
| ${\begin{array}{r}\varphi (\sigma _{1})_{1}\delta _{1}={\frac {1}{a}}\delta _{1},\\\varphi (\sigma _{2})_{1}\delta _{2}={\frac {1}{2a}}\sigma _{2}^{-{\frac {1}{2}}\delta _{2}},\\\varphi (\sigma _{3})_{1}\delta _{3}={\frac {1}{3a}}\sigma _{3}^{-{\frac {2}{3}}\delta _{3}}.\\\end{array}}$ | 7) |
Afin d’obtenir une preuve de ces formules, j’ai intégré le premier de 0 à a{\textstyle a}, le second de 0 à a$^2${\textstyle a^{2}}, le troisième 0 à a$^3${\textstyle a^{3}} et, comme cela se doit, j’en ai trouvé une. En fait, il est certain que σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} prendra l’une des valeurs comprises entre 0 et a$^m${\textstyle a^{m}}.
En introduisant les relations (6) et en considérant que S$_m$=a$^m$/(m+1) {\textstyle S_{m}={\frac {a^{m}}{m+1}}}
on trouve plus loin des fonctions φ(σ)$_1$δ{\textstyle \varphi (\sigma )_{1}\delta }:
| | $\varphi (v_{1})_{1}v_{1}={\frac {1}{2}}{\text{d}}v_{1},$ | $-1<v1<+1,$ |
| (8) | $\varphi (v_{2})_{1}v_{2}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\text{d}}v_{2},$ | $-1<v2<{\sqrt {3}}-1,$ |
| | $\varphi (v_{3})_{1}v_{3}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{4}}}{\text{d}}v_{3},$ | $-1<v3<{\sqrt[{3}]{4}}-1.$ |
Les figures 1, 2 et 3 donnent un graphique des fonctions φ(v)$_1${\textstyle \varphi (v)_{1}} en ordonnée pour les abscisses v{\textstyle v}. Dans le cas présent, les φ(v)$_1${\textstyle \varphi (v)_{1}} sont des droites parallèles à l'axe des abscisses et la zone qui croise l'ordonnée φ{\textstyle \varphi } lorsque v{\textstyle v} s'étend sur toutes les valeurs possibles est hachurée. Les figures incluront bientôt la représentation de ψ(v)$_1$=φ(+v)$_1$+φ(−v)$_1${\textstyle \psi (v)_{1}=\varphi (+v)_{1}+\varphi (-v)_{1}} en ordonnée du val.abs. v{\textstyle v} comme abscisse. On remarquera que malgré la simplicité, quelque chose est déjà compliqué.
La figure 4 montre enfin le comportement mutuel des fonctions ψ(v1), ψ(v2), ψ(v3){\textstyle \psi (v1), \psi (v2), \psi (v3)}.

## § 2.2 n = 2

Pour les cas où m=1,2 et 3, la formule (3) fournit les fonctions suivantes :
* $\varphi (\sigma _{1})_{2}\delta _{1}={\frac {2\delta _{1}}{a^{2}}}\int _{p}^{q}{\text{d}}x,$
* $\varphi (\sigma _{2})_{2}\delta _{2}={\frac {2\delta _{2}}{4a^{2}}}\int _{p}^{q}{\frac {{\text{d}}x}{\sqrt {x(2\sigma _{2}-x)}}},$
* $\varphi (\sigma _{3})_{2}\delta _{3}={\frac {2\delta _{3}}{9a^{2}}}\int _{p}^{q}{\frac {{\text{d}}x}{\sqrt[{3}]{x^{2}(2\sigma _{3}-x)^{2}}}}.$
Après quelques réductions, il en découle que
| $\varphi (\sigma _{1})_{2}\delta _{1}=\{{\begin{matrix}{\frac {4\sigma _{1}}{a^{2}}}\delta _{1}&{\text{für}}~2\sigma _{1}<a\\{\frac {4(a-\sigma _{1})}{a^{2}}}\delta _{1}&{\text{für}}~2\sigma _{1}>a\\\end{matrix}}$ | 9) |
| $\varphi (\sigma _{2})_{2}\delta _{2}=\{{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2a^{2}}}\delta _{2}&{\text{für}}~2\sigma _{2}<a^{2}\\{\frac {1}{a^{2}}}\arcsin({\frac {a^{2}}{\sigma _{2}}}-1)\delta _{2}&{\text{für}}~2\sigma _{2}>a^{2}\\\end{matrix}}$ | 10) |
| $\varphi (\sigma _{3})_{2}\delta _{3}=\{{\begin{matrix}{\frac {2\delta _{3}}{3a^{2}{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}}}}\int _{0}^{1}{(1-t^{3})^{-{\frac {2}{3}}}{\text{d}}t}&{\text{für}}~2\sigma _{3}<a^{3}\\{\frac {2\delta _{3}}{3a^{2}{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}}}}\int _{\sqrt[{3}]{1-{\frac {a^{3}}{2\sigma _{3}}}}}^{\sqrt[{3}]{\frac {a^{3}}{2\sigma _{3}}}}{(1-t^{3})^{-{\frac {2}{3}}}{\text{d}}t}&{\text{für}}~2\sigma _{3}>a^{3}\\\end{matrix}}$ | 11) |
La preuve des formules (9) et (10) s’obtient facilement en intégrant σ{\textstyle \sigma } sur toutes les valeurs possibles. Cela confirme leur exactitude.
En particulier
* $\int _{0}^{a^{2}}{\phi (\sigma _{2})_{2}\delta _{2}}={\frac {\pi }{2a^{2}}}\int _{0}^{\frac {a^{2}}{2}}\delta _{2}+\int _{\frac {a^{2}}{2}}^{a^{2}}{\arcsin({\frac {a^{2}}{\sigma _{2}}}-1)\delta _{2}},$
et si l’on accepte les arcsin{\textstyle \arcsin } comme premier facteur de la seconde intégrale de la main droite et l’intègre partiellement, on a alors
* $\int _{0}^{a^{2}}{\phi (\sigma _{2})_{2}\delta _{2}}=\int _{\frac {a^{2}}{2}}^{a^{2}}{\frac {\delta _{2}}{\sqrt {2a^{2}\sigma _{2}-a^{4}}}}=1$
En ce qui concerne la première partie de la formule (11), le développement en série directe y donne lieu à une faible convergence. Nous mettons donc t=1−z{\textstyle t=1-z} et intégrons à la place de z{\textstyle z} la variable y=(1−t$^3$)$^−${\textstyle y=(1-t^{3})^{-}}; alors il devient facile au moyen d'une charge géométrique
| $\varphi (\sigma _{3})_{2}\delta _{3}={\frac {2\delta _{3}}{3a^{2}{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}}}}(1+\int _{1}^{\infty }{(1-{\sqrt[{3}]{1-y^{-{\frac {3}{2}}}}})dy})={\frac {1,17...}{a^{2}{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}}}},$ | 11*) |
2σ$_3$>a$^3${\textstyle 2\sigma _{3}>a^{3}}..
Pour la deuxième partie des formules (11), l’extension en série directe est suffisante (car seule la construction de courbe ultérieure est considérée ici)
| $\varphi (\sigma _{3})_{2}\delta _{3}={\frac {2\delta _{3}}{3a^{2}{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}}}}\{{\begin{array}{r}{\sqrt[{3}]{\frac {a^{3}}{2\sigma _{3}}}}\lbrack 1+{\frac {1}{6}}({\frac {a^{3}}{2\sigma _{3}}})+{\frac {5}{63}}({\frac {.}{.}})^{2}+{\frac {4}{81}}({\frac {.}{.}})^{3}+{\frac {110}{3159}}({\frac {.}{.}})^{4}...\rbrack \\-{\sqrt[{3}]{1-{\frac {a^{3}}{2\sigma _{3}}}}}\lbrack 1+{\frac {1}{6}}(1-{\frac {a^{3}}{2\sigma _{3}}})+{\frac {5}{63}}({\frac {.}{.}})^{2}+{\frac {4}{81}}({\frac {.}{.}})^{3}+{\frac {110}{3159}}({\frac {.}{.}})^{4}...\rbrack \\\end{array}}\}$ | 11**) |
pour 2σ$_3$<a$^3${\textstyle 2\sigma _{3}<a^{3}}.
Pour preuve, si l'on intègre la fonction φ(σ)2δ$_3${\textstyle \varphi (\sigma )2\delta _{3}} in (11 *) de σ3{\textstyle \sigma 3} égal à 0 à a$^3$/2 {\textstyle {\frac {a^{3}}{2}}}, il s'ensuit sans effort particulier que la première intégrale vaut 0,88 ...; la suite de l'intégration jusqu'à a$^3${\textstyle a^{3}} d’après la formule (11 **) a été plus fastidieuse à trouver et vaut 0,12 ... au moyen d'une quadrature mécanique, donc ensemble 1.
La substitution des relations (6) conduit aux formules suivantes:
| $\varphi (v_{1})_{2}dv_{1}=\{{\begin{matrix}(1+v_{1})dv_{1},&-1<v_{1}<0;\\(1-v_{1})dv_{1},&0\leq <+1;\\\end{matrix}}$ | 12) |
| $\varphi (v_{2})_{2}dv_{2}=\{{\begin{matrix}{\frac {\pi }{3}}(1+v_{2})dv_{2},&-1<v_{2}\leq {\sqrt {\frac {3}{2}}}-1;\\{\frac {2(1+v_{2})}{3}}\arcsin({\frac {3}{(1+v_{2})^{2}}}-1)dv_{2},&{\sqrt {\frac {3}{2}}}-1\leq v_{2}<{\sqrt[{3}]{2}}-1;\\\end{matrix}}$ | 13) |
| $\varphi (v_{3})_{2}dv_{3}=\{{\begin{matrix}1,10...(1+v_{3})dv_{3},&-1<v_{3}\leq {\sqrt[{3}]{2}}-1;\\{\frac {1+v_{3}}{\sqrt[{3}]{4}}}(\alpha (1+{\frac {\alpha ^{3}}{6}}+{\frac {5\alpha ^{6}}{63}}+{\frac {4\alpha ^{9}}{81}}+{\frac {110\alpha ^{1}2}{3159}}...)&\\-\beta (1+{\frac {\beta ^{3}}{6}}+{\frac {5\beta ^{6}}{63}}+{\frac {4\beta ^{9}}{81}}+{\frac {110\beta ^{1}2}{3159}}...))dv_{3},&{\sqrt[{3}]{2}}-1\leq v_{3}\leq {\sqrt[{3}]{4}}-1;\\{\text{who}}~\alpha ={\frac {\sqrt[{3}]{2}}{1+v_{3}}};\beta ={\sqrt[{3}]{1-{\frac {2}{(1+v_{3})^{3}}}}}&\\\end{matrix}}$ | 14) |
Les figures 5, 6 et 7 représentent les courbes φ(v$_2$){\textstyle \varphi (v_{2})}, ainsi que les courbes correspondantes ψ(v$_2$){\textstyle \psi (v_{2})}, que ces dernières sont notamment composées à titre comparatif sur la figure 8.

## § 2.3 Conclusion

La prise en compte des courbes φ{\textstyle \varphi } avec zone ombrée sur les figures 1-3 et 5-7 révèle immédiatement que les fonctions φ(v$_1$){\textstyle \varphi (v_{1})} et φ(v$_2$){\textstyle \varphi (v_{2})} diffèrent grandement de la loi des erreurs de Gauss, mais augmentent néanmoins en nombre n{\textstyle n} des observations semblent se rapprocher.
Au moyen des figures 4 et 8, on remarque qu'avec l'augmentation de l'exposant m{\textstyle m}, la probabilité augmente et que ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} avec ᵐ√(S$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{S_{m}}}}.
Pour mieux comprendre cela, j’ai intégré φ(v)dv{\textstyle \varphi (v)dv} entre ces limites (−v)$_m${\textstyle (-v)_{m}} et (+v)$_m${\textstyle (+v)_{m}} qui vient de revenir ½. Alors la probabilité que ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} se situe entre les bornes ᵐ√(S$_m$).(1±v$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{S_{m}}}.(1\pm v_{m})} est aussi de ½, donc v$_m${\textstyle v_{m}} sont les erreurs probables de ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} par rapport à ᵐ√(S$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{S_{m}}}} (et en fractions de cette valeur).
v$_m${\textstyle v_{m}} prend alors les valeurs suivantes:
| | n = 1 | n = 2 |
| m = 1 | 0,50 | 0,29 |
| m = 2 | 0,43 | 0,24 |
| m = 3 | 0,40 | 0,23 |
Selon ces résultats, on obtient (dans les cas considérés ici) la plus grande probabilité que les valeurs ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} coïncident avec le ᵐ√(S$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{S_{m}}}} en appliquant le plus grand exposant possible m{\textstyle m}.

# § 3. Loi d’erreur de la fonction de Gauss.

* $\psi (\varepsilon )={\frac {2h}{\sqrt {\pi }}}e^{-h^{2}\varepsilon ^{2}}$

## § 3.1 n = 1.

Pour les cas où m=1, 2 et 3, la formule (2) fournit les fonctions suivantes :
| ${\begin{array}{r}\varphi (\sigma _{1})_{1}\delta _{1}={\frac {2h}{\sqrt {\pi }}}e^{-h^{2}\sigma _{1}^{2}}\delta _{1},\\\varphi (\sigma _{2})_{1}\delta _{2}={\frac {2h}{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-h^{2}\sigma _{2}^{2}}\sigma _{2}^{-1/2}\delta _{2},\\\varphi (\sigma _{3})_{1}\delta _{3}={\frac {2h}{3{\sqrt {\pi }}}}e^{-h^{2}\sigma _{3}^{2}}\sigma _{3}^{-2/3}\delta _{3}.\\\end{array}}$ | 15) |
Pour preuve, j'ai intégré ces formules en fonction de σ{\textstyle \sigma } de 0 à ∞{\textstyle \infty } et pour chacune, j’ai obtenu les intégrales suivantes :
* ${\begin{array}{r}S_{1}={\frac {2h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\varepsilon e^{-h^{2}\varepsilon ^{2}}d\varepsilon ={\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}},\\S_{2}={\frac {2h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\varepsilon ^{2}e^{-h^{2}\varepsilon ^{2}}d\varepsilon ={\frac {1}{2h^{2}}}},\\S_{3}={\frac {2h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\varepsilon ^{3}e^{-h^{2}\varepsilon ^{2}}d\varepsilon ={\frac {1}{h^{3}{\sqrt {\pi }}}}}.\\\end{array}}$
Si on introduit ces valeurs dans les relations (6) puis que celles-ci se substituent à (15), on obtient
| | $\varphi (v_{1})dv_{1}={\frac {2}{\pi }}e^{-{\frac {(1+v_{1})^{2}}{\pi }}}dv_{1}$ | $-1<v1\ ;$ |
| (16) | $\varphi (v_{2})dv_{2}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {(1+v_{2})^{2}}{2}}}dv_{2}$ | $-1<v2\ ;$ |
| | $\varphi (v_{3})dv_{3}={\frac {2}{\pi }}{\sqrt[{3}]{\pi }}e^{-{\frac {(1+v_{1})^{2}}{\sqrt[{3}]{\pi }}}}dv_{3}$ | $-1<v3\ .$ |
Les figures 9, 10 et 11 montrent les courbes φ(v)$_1${\textstyle \varphi {(v)}_{1}}, ainsi que les courbes correspondantes ψ(v)$_1${\textstyle \psi {(v)}_{1}}, qui sont à nouveau compilées avec ces dernières sur la figure 12 pour plus de commodité.

## § 3.2 n = 2.

Pour les cas où m=1, 2 et 3, la formule (3) fournit les fonctions suivantes :
* $\varphi (\sigma _{1})_{2}\delta _{1}={\frac {8h^{2}\delta _{1}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{2\sigma _{1}}{e^{-h^{2}\lbrack x^{2}+(2\sigma _{1}-x^{2}\rbrack }dx},$
* $\varphi (\sigma _{2})_{2}\delta _{2}={\frac {8h^{2}\delta _{2}}{4\pi }}\int _{0}^{2\sigma _{2}}{{\frac {e^{-2h^{2}\sigma _{2}}}{\sqrt {x(2\sigma _{2}-x}}}dx},$
* $\varphi (\sigma _{3})_{2}\delta _{3}={\frac {8h^{2}\delta _{3}}{9\pi }}\int _{0}^{2\sigma _{3}}{{\frac {e^{-h^{2}\lbrack x^{2/3}+(2\sigma _{3}-x)^{2/3}\rbrack \sigma _{2}}}{\sqrt {x(2\sigma _{2}-x}}}dx}.$
Après quelques réductions on obtient les fonctions suivantes:
| $\varphi (\sigma _{1})_{2}\delta _{1}={\frac {8{\sqrt {2}}h}{\pi }}e^{-2h^{2}\sigma _{1}^{2}}\delta _{1}\int _{0}^{h\sigma _{1}{\sqrt {2}}}{e^{-t^{2}}dt},$ | 17) |
| $\varphi (\sigma _{2})_{2}\delta _{2}=2h^{2}e^{-2h^{2}\sigma _{2}}\delta _{2},$ | 18) |
| $\varphi (\sigma _{3})_{2}\delta _{3}={\frac {8h^{3}\delta _{3}}{3\pi (h{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}})}}\int _{0}^{1}{{\frac {e^{-\lbrack z^{2}+(1-z^{3})^{2/3}\rbrack (h{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}})^{2}}}{(1-z^{3})^{2/3}}}dz}.$ | 19) |
Pour effectuer l'intégration selon σ$_1${\textstyle \sigma _{1}}, nécessaire à l'examen de la formule (17), on peut d'abord définir z=t:h√2{\textstyle z=t:h{\sqrt {2}}}, puis introduire des coordonnées polaires au moyen de la relation rsin=z{\textstyle r\sin =z}, rcos=σ$_1${\textstyle r\cos =\sigma _{1}}, puis obtenir
* $\int _{0}^{\infty }{\varphi (\sigma _{1})_{2}\delta _{1}}={\frac {16h^{2}}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{d\Theta }\int _{0}^{\infty }{e^{-2h^{2}r^{2}}rdr}=1.$
Cette formule (18) consiste en un examen par intégration, un sondage immédiatement.
En ce qui concerne la formule (19), je me suis contenté de produire une expression approximative suffisante pour la construction d'un dessin. Cependant, l'exposant z$^2$+(1−z$^3$)$^2${\textstyle z^{2}+(1-z^{3})^{2}} change très peu sa valeur entre les limites z=0{\textstyle z=0} et 1{\textstyle 1};
z = 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Exponent = 1,00 1,01 1,04 1,07 1,12 1,17 1,21 1,24 1,26 1,23 1,00
et, en tenant compte de la variabilité du dénominateur (1−z$^3$)$^2${\textstyle (1-z^{3})^{2}}, une division de l'intégrale en trois intégrales est possible, pour laquelle l'exposant a une moyenne constante:
* $\int _{0}^{1}=e^{-1,09(h{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}})^{2}}\int _{0}^{0,6}{\frac {dz}{(1-z^{3})^{2/3}}}+e^{-1,24(h{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}})^{2}}\int _{0,6}^{0,9}{\frac {dz}{(1-z^{3})^{2/3}}}+e^{-1,07(h{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}})^{2}}\int _{0,9}^{1}{\frac {dz}{(1-z^{3})^{2/3}}}$
Les nombres 1.10, 1.25, 1.14 sont également choisis pour que vous ayez la formule exacte pour σ$_3$=S$_3${\textstyle \sigma _{3}=S_{3}}. Dans les deux premiers cas, les intégrations restant à effectuer peuvent être effectuées rapidement par expansion directe en série, dans le dernier cas après substitution préalable de z=1−ζ{\textstyle z=1-\zeta }, avec une netteté suffisante, et on obtient
| $\varphi (\sigma _{3})_{2}\delta _{3}={\frac {h^{3}\delta _{3}}{h{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}}}}\lbrack 0,530~e^{-1,09(h{\sqrt[{3}]{2\sigma _{3}}})^{2}}+0,391~e^{-1,24(\div )^{2}}+0,576~e^{-1,07(\div )^{2}}\rbrack .$ | 19*) |
L'intégration selon σ$_3${\textstyle \sigma _{3}} de 0{\textstyle 0} à ∞{\textstyle \infty } donne 1,004 au lieu de 1, donc suffisamment cohérente pour le but recherché.
L'introduction des relations (6) (en suivant les valeurs données de S1{\textstyle S1}, S2{\textstyle S2}, S3{\textstyle S3}) dans les formules (17), (18) et (19 *) conduit ce qui suit:
| | $\varphi (v_{1})_{2}dv_{1}={\frac {8{\sqrt {2}}}{\pi {\sqrt {\pi }}}}e^{\frac {-2(1+v_{1})^{2}}{\pi }}\int _{0}^{(1+v_{1}){\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}{e^{-t^{2}}dt},$ | $-1<v1\ ;$ |
| (20) | $\varphi (v_{2})_{2}dv_{2}=2(1+v_{2})e^{-(1+v_{2})^{2}}dv_{2},$ | $-1<v2\ ;$ |
| | $\varphi (v_{3})_{2}dv_{3}=(1+v_{3})(0,86{\ e}^{-1,18(1+v_{3})^{2}}+0,64{\ e}^{-1,34(1+v_{3})^{2}}+0,94{\ e}^{-1,15(1+v_{3})^{2}})dv_{3}$ | $-1<v3\ .$ |
Les figures 13, 14 et 15 montrent les courbes φ(v$_2$){\textstyle \varphi (v_{2})} et, en outre, la courbe ψ(v$_2$){\textstyle \psi (v_{2})} correspondante, pour laquelle la dernière figure 16 offre encore une composition particulière.

## § 3.3 Conclusion

L'examen des figures 9-11 et 13-15 montre que la fonction φ(v){\textstyle \varphi (v)} se rapproche assez rapidement de la forme de la loi de Gauss sur l'erreur lorsque n augmente. Nous étudierons cela plus en détail pour au moins m=2{\textstyle m=2} dans le paragraphe suivant, car dans ce cas, le traitement mathématique est le plus pratique. Les figures 12 et 16 montrent en outre que, comme pour une probabilité d'erreur constante avec l'augmentation de m, la probabilité qu'elle tombe ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} ne se produit pas.
moi le ᵐ√(S$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{S_{m}}}} ensemble, grandit. Apparemment, m=2{\textstyle m=2} offre la plus grande probabilité.
Pour clarifier cela, j’ai calculé le tableau suivant des erreurs probables v$_m${\textstyle v_{m}} (avec la signification suivante: la probabilité que le ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} se situe entre les limites ᵐ√(S$_m$).(1±v$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{S_{m}}}.(1\pm v_{m})} est égale à ½):
| m | n=1 | n=2 |
| 1 | 0,545 | 0,372 |
| 2 | 0,515 | 0,355 |
| 3 | 0,521 | 0,361 |

# § 4. Loi de probabilité de Gauss (continuation).

m=2, n > 3
Soit n=3{\textstyle n=3} et déterminons ainsi la probabilité que ε$_1$$^2$+ε$_2$$^2$+ε$_3$$^2${\textstyle \varepsilon _{1}^{2}+\varepsilon _{2}^{2}+\varepsilon _{3}^{2}} se situe entre les limites 3(σ$_2$± δ$_2$/2){\textstyle 3(\sigma _{2}\pm {\frac {\delta _{2}}{2}})}. Selon la deuxième formule (15) et selon la formule (18) cependant, si ε$_1$$^2${\textstyle \varepsilon _{1}^{2}} est désigné par x{\textstyle x} et ε$_2$$^2$+ε$_3$$^2${\textstyle \varepsilon _{2}^{2}+\varepsilon _{3}^{2}} par y{\textstyle y}:
* $\varphi (x)dx={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}e^{-h^{2}x}\cdot x^{-1/2}dx,$
* $\varphi (y)dy=h^{2}e^{-h^{2}y}dy;$
Ainsi, la probabilité recherchée devient égale à
* $\varphi (\sigma _{2})_{3}\delta _{2}={\frac {h^{3}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{3\sigma _{2}}{dx}\int _{3(\sigma _{2}-{\frac {\delta _{2}}{2}})-x}^{3(\sigma _{2}+{\frac {\delta _{2}}{2}})-x}{e^{-h^{2}(x+y)}x^{-1/2}dy}.$
Compte tenu du fait que (x+y)=3σ$_2${\textstyle (x+y)=3\sigma _{2}} et que δ$_2${\textstyle \delta _{2}} devrait être un différentiel, donc
| $\varphi (\sigma _{2})_{3}\delta _{2}={\frac {2h^{3}}{\sqrt {\pi }}}(3\sigma _{2})^{1/2}e^{-h^{2}(3\sigma _{2}}(3\delta _{2}).$ | 21) |
La substitution des relations (6) donne
| $\varphi (v_{2})_{3}dv_{2}=3{\sqrt {\frac {6}{\pi }}}(1+v_{2})^{2}e^{-{\frac {3}{2}}(1+v_{2})^{2}}dv_{2},$ | 22) |
La figure 17 fournit une représentation graphique de cette fonction. Pour vérifier la formule (17), il convient de noter que
* $\int _{0}^{\infty }{\varphi (\sigma _{2})_{3}\delta _{2}}={\frac {2h^{3}}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{h^{3}}}=1$
Si maintenant n=4{\textstyle n=4} et que l'on veut déterminer que la probabilité ε$_1$$^2$+ε$_2$$^2$+ε$_3$$^2$+ε$_4$$^2${\textstyle \varepsilon _{1}^{2}+\varepsilon _{2}^{2}+\varepsilon _{3}^{2}+\varepsilon _{4}^{2}} est comprise entre les limites 4(σ$_2$± δ$_2$/2){\textstyle 4(\sigma _{2}\pm {\frac {\delta _{2}}{2}})}, alors la double application de la formule (18) aux parties ε$_1$$^2$+ε$_2$$^2$=x{\textstyle \varepsilon _{1}^{2}+\varepsilon _{2}^{2}=x} et ε$_3$$^2$+ε$_4$$^2$=y{\textstyle \varepsilon _{3}^{2}+\varepsilon _{4}^{2}=y} donne facilement
| $\varphi (\sigma _{2})_{4}\delta _{2}=h^{4}(4\sigma _{2})e^{-h^{2}(4\sigma _{2})}(4\delta _{2})$ | 23) |
avec pour preuve que
* $\int _{0}^{\infty }{\varphi (\sigma _{2})_{4}\delta _{2}}=h^{4}\cdot {\frac {\Gamma (2)}{h^{4}}}=1$
L’application des relations (6) à (23) conduit à
| $\varphi (\sigma _{2})_{4}dv_{2}=8(1+v_{2})^{3}e^{-2(1+v_{2})^{2}}dv_{2}$ | 24) |
dont la figure 18 donne une représentation graphique.
Les développements précédents suggèrent qu'en général pour tout n{\textstyle n}, la probabilité que$ se situe entre les limites n(σ$_2$± δ$_2$/2){\textstyle n(\sigma _{2}\pm {\frac {\delta _{2}}{2}})} est la même
| $\varphi (\sigma _{2})_{n}\delta _{2}={\frac {h^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}(n\sigma _{2})^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-h^{2}n\sigma _{2}}\cdot n\delta _{2},$ | 25) |
c’est pourquoi qui appartient encore à la formule
| $\varphi (\sigma _{2})_{n}dv_{2}={\frac {2}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}({\frac {n}{2}})^{\frac {n}{2}}(1+v_{2})^{n-1}e^{-{\frac {n}{2}}(1+v_{2})^{2}}dv_{2},-1<v_{2}$ | 26) |
Tout d'abord, l'intégration selon σ$_2${\textstyle \sigma _{2}}, la formule (25); Pour prouver son exactitude, il suffit de montrer qu'il vaut aussi pour (n+2){\textstyle (n+2)}, puisqu'il vaut déjà pour n=1{\textstyle n=1} et 2{\textstyle 2}. Nous fixons 1$^n$=x{\textstyle 1^{n}=x} et ε$_{n+1}$$^2$+ε$_{n+2}$$^2$=y{\textstyle \varepsilon _{n+1}^{2}+\varepsilon _{n+2}^{2}=y}. Ensuite, les formules (18) et (25) donnent l’expression de la probabilité que la somme de (n+2){\textstyle (n+2)} carrés se situe entre (n+2)(σ$_2$± δ$_2$/2){\textstyle (n+2)(\sigma _{2}\pm {\frac {\delta _{2}}{2}})}
* $\varphi (\sigma _{2})_{n+2}\delta _{2}={\frac {h^{n+2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{(n+2)\sigma _{2}}{dx}\int _{(n+2)(\sigma _{2}-{\frac {\delta _{2}}{2}})-x}^{(n+2)(\sigma _{2}+{\frac {\delta _{2}}{2}})-x}{e^{-h^{2}(x+y)}\cdot x^{{\frac {n}{2}}-1}dy}$
Ce qui permet de déduire facilement que, comme dans les cas précédents
* $\varphi (\sigma _{2})_{n+2}\delta _{2}={\frac {h^{n+2}}{{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}((n+2)\cdot \sigma _{2})^{\frac {n}{2}}e^{-h^{2}(n+2)\sigma _{2}}\cdot (n+2)\delta _{2}.$
Mais si nous substituons la valeur n+2{\textstyle n+2} à n{\textstyle n} dans (25), nous obtenons la formule qui vient d'être obtenue en divisant n/2 Γ(n/2)=Γ(n/2+1){\textstyle {\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})=\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}
Si$ est suffisamment assez grand, alors nous avons la formule
* $\Gamma ({\frac {n}{2}})={\sqrt {2\pi }}({\frac {n}{2}})^{\frac {n-1}{2}}\cdot e^{-{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{6n}}+{\frac {1}{45n(n+2)(n+4)}}...}$
Pour simplifier les formules (26) pour leur première partie, indépendante de v2{\textstyle v2}, très proche
* ${\frac {2}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}({\frac {n}{2}})^{\frac {n}{2}}={\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\cdot e^{\frac {n}{2}},$
Quelle expression pour n=16{\textstyle n=16} correspond à environ 1 pour cent, n=160{\textstyle n=160} à environ 1 pour mille us.s.f. est défectueux. De (26) devient si
| $\varphi (\sigma _{2})_{n}dv_{2}={\sqrt {\frac {n}{\pi }}}(1+v_{2})^{n-1}\cdot e^{-nv_{2}(1+{\frac {v_{2}}{2}})}dv_{2}$ | 27) |
Et quand on s'éloigne enfin du développement
* $1+v_{2}=e^{v_{2}-1/2v_{2}^{2}+1/3v_{2}^{3}...}$
L'utilisation de cette formule valable pour v$_2$$^2$<1{\textstyle v_{2}^{2}<1}, donne
| $\varphi (\sigma _{2})_{n}dv_{2}={\sqrt {\frac {n}{\pi }}}e^{-v_{2}-(n-1/2)v_{2}^{2}+{\frac {n-1}{3}}v_{2}^{3}...}dv_{2}$ | 28) |
Ce rapprochement exprime clairement à quelles conditions on a droit
| $\varphi (\sigma _{2})_{n}dv_{2}={\sqrt {\frac {n}{\pi }}}e^{-nv_{2}^{2}}dv_{2}$ | 29) |
L’exposant e{\textstyle e} équivaut précisément à
* $-nv_{2}^{2}(1+{\frac {1}{nv_{2}}}-{\frac {1}{2n}}-{\frac {v_{2}}{3}}...)$
Et en ce qui concerne l'applicabilité de la formule (29), il s'ensuit que [tandis que pour v$_2$=0{\textstyle v_{2}=0} les expressions (27) et (29) sont en tout cas d'accord], même pour les valeurs v$_2${\textstyle v_{2}} d'ordre 1:√n{\textstyle 1:{\sqrt {n}}} la parenthèse de l'exposant peut être égale à 1;
Pour de plus grande valeur de v$_2${\textstyle v_{2}}, la formule (29) est valable, car, conformément à la formule plus stricte (27), la plus petite amplitude de l’exponentielle réduit la probabilité φ(v$_2$)$_n${\textstyle \varphi (v_{2})_{n}} à presque zéro.
Par différenciation unique selon v$_2${\textstyle v_{2}}, il est facile de constater que, selon la formule stricte (26), la valeur maximale de φ(v$_2$)$_n${\textstyle \varphi (v_{2})_{n}} augmente de
* $v_{2}=-1\pm {\sqrt {1-{\frac {1}{n}}}}$
à savoir près de −1/2n {\textstyle -{\frac {1}{2n}}}, alors que la formule approximative (29) nécessite v$_2$=0{\textstyle v_{2}=0}. Les deux valeurs maximales sont dans le rapport φ(v$_2$)$_n${\textstyle \varphi (v_{2})_{n}}.
Par deux différenciations selon v$_2${\textstyle v_{2}}, on trouve en outre de (26) l'abscisse des points d'inflexion de la courbe φ(v$_2$)$_n${\textstyle \varphi (v_{2})_{n}}:
* $v_{2}=-1+{\sqrt {1-{\frac {1}{2n}}\pm {\sqrt {{\frac {2}{n}}-{\frac {7}{4n^{2}}}}}}}d.i.-nahe\pm {\frac {1}{\sqrt {2n}}}-{\frac {1}{2n}}$
par contre, les points d'inflexion de (29) sont ± 1/√(2n) {\textstyle \pm {\frac {1}{\sqrt {2n}}}}. Comme le montre la formule stricte, même pour n=2, les deux points de retournement sont réels (Fig. 14).
Pour avoir un exemple chiffré, définissons n=100{\textstyle n=100} et l’obtenons selon la formule (27), resp. (29) les valeurs suivantes pour φ(v$_2$)$_{100}${\textstyle \varphi (v_{2})_{100}}:
| v | (27). | (29). |
| 0 | 5,64 | 5,64 |
| +0,1 | 1,94 | 2,08 |
| -0,1 | 2,21 | 2,08 |
| +0,2 | 0,11 | 0,10 |
| -0,2 | 0,09 | 0,10 |
| +0,3 | 0,0012 | 0,0007 |
| -0,3 | 0,0003 | 0,0007 |

# § 5 Toute loi de l’erreur; Nombre n d’observations très important.

Nous traitons ce cas après la procédure de Poisson ** et Glaisher *** dans un examen similaire avec m = 1. Les formules 4) et 5*) donnent en tenant compte de la relation e$^i$=cos⁡γz+isin⁡γz{\textstyle e^{i}=\cos \gamma z+i\sin \gamma z} que la probabilité φ(σ$_m$)$_n$δ$_m${\textstyle \varphi (\sigma _{m})_{n}\delta _{m}} est égale à la partie réelle de
* ${\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\int _{0}^{a}{\psi (\varepsilon )e^{iz\varepsilon ^{m}}d\varepsilon }){\frac {\sin(zn(\sigma _{m}+{\frac {\delta _{m}}{2}}))-\sin(zn(\sigma _{m}-{\frac {\delta _{m}}{2}}))}{z}}dz}$
Si l’on met cela
* $\int _{0}^{a}{\psi (\varepsilon )\cos(z\varepsilon ^{m})d\varepsilon }=R\cos(r)$
et
* $\int _{0}^{a}{\psi (\varepsilon )\sin(z\varepsilon ^{m})d\varepsilon }=R\sin(r)$
Donc, la grande parenthèse passe dans Re$^{ir}${\textstyle {Re}^{ir}}, et si celle-ci est élevée au pouvoir n$^{ten}${\textstyle n^{ten}} et sépare ensuite les parties réelles et imaginaires, alors
| $\varphi (\sigma _{m})_{n}\delta _{m}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{R^{n}\cos(rn){\frac {\sin(zn(\sigma _{m}+{\frac {\delta _{m}}{2}}))-\sin(zn(\sigma _{m}-{\frac {\delta _{m}}{2}}))}{z}}dz}$ | 30) |
Pour R$^2${\textstyle R^{2}}, quadrature et addition des valeurs de rcos⁡(r){\textstyle r\cos(r)} et rsin⁡(r){\textstyle r\sin(r)} , et après réduction supplémentaire d’une manière connue
| $R^{2}=\int _{0}^{a}{\int _{0}^{a}{\psi (\varepsilon )\psi (\varepsilon ')\cos z(\varepsilon -\varepsilon ')d\varepsilon }d\varepsilon '}$ | 31) |
Si l’on coûte maintenant dans les expressions pour rcos⁡(r){\textstyle r\cos(r)} , rsin⁡(r){\textstyle r\sin(r)} et R$^2${\textstyle R^{2}} le cos{\textstyle \cos }, respectivement, sin{\textstyle \sin } dans une série de puissance, alors plus loin [avec l’utilisation de la formule 1) ]
| $R~cos(r)=1-{\frac {z^{2}}{2}}S_{2m}+{\frac {z^{4}}{24}}S_{4m}-...$ | 32) |
dans laquelle les coefficients A, B, C ... ont les valeurs positives suivantes en tant que sommes de carrés:
* $A=S_{2m}-S_{m}^{2}$
À présent, pour les lois d’erreur réelles ψ(ε){\textstyle \psi (\varepsilon )} toujours l’équation
* $\lim _{p\rightarrow +\infty }({\frac {S_{pm}}{(p-1)pS_{(p-2)m}}})=0$
Genüge geleistet werden wird, so gelten die Reihen 32) für jedes endliche z.*
? 32) pour chaque e.*
L’expression 31) montre maintenant que R$^2${\textstyle R^{2}} est généralement une fraction vraie et n’est égale que pour z={\textstyle z=}0 de l’unité. Plus on suppose que n{\textstyle n} est grand, plus le R$^n${\textstyle R^{n}} le sera généralement et seuls les R$^n${\textstyle R^{n}} qui appartiennent à z=0{\textstyle z=0} et très proches de zéro seront pris en compte. Peu importe ici que R$^2${\textstyle R^{2}} ne diminue pas avec l’augmentation de z{\textstyle z}, mais puisse augmenter à nouveau en partie, puisque l’intégrale dans 30), si l’on remplace la limite inférieure zéro par une petite valeur z, du moins selon les formules connues avec n{\textstyle n} croissant se rapproche de la limite zéro. Pour la vitesse de cette approximation, il est important que R$^2${\textstyle R^{2}} pour z<0{\textstyle z<0} ne redevienne pas très proche de un, qui peut probablement être lu à partir de 31) sans autre recherche; De plus, ce R$^2${\textstyle R^{2}} pour z=∞{\textstyle z=\infty } devient zéro. Cela peut être reconnu plus facilement par Rsin⁡(r){\textstyle R\sin(r)} et Rcos⁡(r){\textstyle R\cos(r)} individuellement. Si la nouvelle variable t{\textstyle t} est définie dans l’expression intégrale pour Rsin⁡(r){\textstyle R\sin(r)} au lieu de ε$^m${\textstyle \varepsilon ^{m}} , le résultat est
* $R~\sin(r)={\frac {1}{m}}\int _{0}^{a^{m}}{{\frac {1}{t^{m}}}\psi ({\frac {1}{t^{m}}}){\frac {\sin(zt)}{t}}dt}$
et puisque εψ(ε){\textstyle \varepsilon \psi (\varepsilon )} reste sans doute toujours fini, mais pour ε=0{\textstyle \varepsilon =0} est nul, alors est lim$_x$Rsin⁡(r){\textstyle \lim _{x}R\sin(r)} .
Dans les expressions intégrales pour Rcos⁡(r){\textstyle R\cos(r)}, nous remplaçons zε$^m${\textstyle z\varepsilon ^{m}} par la nouvelle variable t$_1${\textstyle t_{1}} et obtenons
* $R~\cos(r)={\frac {1}{mz^{\frac {1}{m}}}}\int _{0}^{za^{m}}{\psi ({\sqrt[{m}]{\frac {t_{1}}{z}}}){\frac {\cos(t_{1})}{t_{1}^{1-{\frac {1}{m}}}}}dt_{1}}$
Mais si p{\textstyle p} signifie un entier, ϱ{\textstyle \varrho } une fraction réelle, telle que za$^m$=(p+ϱ) π/2 {\textstyle {za}^{m}=(p+\varrho ){\frac {\pi }{2}}}, alors la dernière intégrale se décompose en intégrales (p+1){\textstyle (p+1)} avec les limites 0, π/2, 2 pi/2, ..., p π/2, (p+ϱ) π/2 {\textstyle 0, {\frac {\pi }{2}}, 2{\frac {pi}{2}}, ..., p{\frac {\pi }{2}}, (p+\varrho ){\frac {\pi }{2}}}, et si l’on y substitue les nouvelles variables t$_1$=t, t+pi/2, t+2.pi/2, ...{\textstyle t_{1}=t, t+{\frac {pi}{2}}, t+2.{\frac {pi}{2}}, ...}, le résultat est
* $R~\cos(r)={\frac {1}{mz^{\frac {1}{m}}}}\lbrack {\begin{array}{r}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{\frac {t}{z}}})}{t^{1-1/m}}}-({\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{\frac {t+\pi }{z}}})}{(t+\pi )^{1-1/m}}}+({\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{\frac {t+2\pi }{z}}})}{(t+2\pi )^{1-1/m}}}-...)cos(t)dt\\-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{\frac {t+{\frac {\pi }{2}}}{z}}})}{(t+{\frac {\pi }{2}})^{1-1/m}}}-({\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{\frac {t+{\frac {3\pi }{2}}}{z}}})}{(t+{\frac {3\pi }{2}})^{1-1/m}}}+...)sin(t)dt\\+\int _{0}^{\frac {\varrho \pi }{2}}({\frac {\psi ({\sqrt[{m}]{\frac {t+p{\frac {\pi }{2}}}{z}}})}{(t+p{\frac {\pi }{2}})^{1-1/m}}})cos(t+p{\frac {\pi }{2}})dt\\\end{array}}\rbrack$
Si z{\textstyle z} devient infiniment grand, p{\textstyle p} devient aussi infiniment grand, mais les deux premières séries d’intégrales conservent des valeurs finies, puisqu’elles convergent dès que ψ(ε){\textstyle \psi (\varepsilon )} n’a que la propriété de ne pas augmenter à partir d’un certain ε>a{\textstyle \varepsilon >a} (s’il augmente avec l’augmentation de ε{\textstyle \varepsilon }). Ce sera toujours le cas avec les lois sur les erreurs. La valeur de la troisième intégrale, comme les derniers membres des deux séries mentionnées, converge avec l’augmentation de p{\textstyle p} vers zéro. Puisque la valeur finie de la parenthèse bouclée est divisée par z$^1${\textstyle z^{1}}, alors lim$_z$Rcos⁡(r)=0{\textstyle \lim _{z}R\cos(r)=0}.
Pour la petite valeur z{\textstyle z}, qui doit maintenant être prise en compte seule, une approximation égale
* $R^{2}=e^{--Az^{2}},r=zS_{m}$
Les valeurs les plus précises seraient de passer à R$^n${\textstyle R^{n}} et r$^n${\textstyle r^{n}} en même temps:
* $R^{n}=e^{-{\frac {1}{2}}Az^{2}n-{\frac {1}{4}}(A^{2}-2B)z^{4}n-{\frac {1}{6}}(A^{3}-3AB+3C)z^{6}n...}$
* $rn=znS_{m}-{\frac {z^{3}n}{6}}(S_{3m}-3S_{2m}S_{m}+2S_{m}^{2})...$
Si l’on pense que z{\textstyle z} passant de zéro à une valeur z$_0${\textstyle z_{0}}, pour laquelle e$^1${\textstyle e^{1}} est déjà très petit, c’est-à-dire 1/2 Az$_0$$^2$n{\textstyle {\frac {1}{2}}{Az}_{0}^{2}n} est un nombre plus grand (environ 6), alors pour cette valeur z$_0${\textstyle z_{0}} chacun des membres avec z$_0$$^3$n, z$_0$$^4$n, ...{\textstyle z_{0}^{3}n, z_{0}^{4}n, ...} en R$^n${\textstyle R^{n}} et rn{\textstyle rn} doit encore être suffisamment petit, à négliger. Sans aucun doute, cela dépend beaucoup de la nature de la loi de l’erreur. Par exemple, la loi de Gauss pour m={\textstyle m=}1
* $R^{n}=e^{-u_{1}+{\frac {0,144}{n}}u_{1}^{2}+{\frac {3,8}{n^{2}}}u_{1}^{3}...},u_{1}=0,285{\frac {z^{2}n}{h^{2}\pi }}$
De plus, pour la même loi d’erreur pour m=2{\textstyle m=2}
* $R^{n}=e^{-u_{2}+{\frac {2}{n}}u_{2}^{2}+{\frac {16}{3n^{2}}}u_{2}^{3}...},u_{2}={\frac {z^{2}n}{4h^{2}}}$
Avec le même degré d’approximation, n{\textstyle n} doit être supposé légèrement plus élevé dans le second cas que dans le premier. Si la probabilité d’erreur est constante, alors pour m=1{\textstyle m=1}
* $R^{n}=e^{-u_{1}+{\frac {0,2}{n}}u_{1}^{2}+{\frac {0,076}{n^{2}}}u_{1}^{3}...},u_{1}={\frac {a^{2}z^{2}n}{24}}$
Par contre, pour m=2{\textstyle m=2}
* $R^{n}=e^{-u_{2}-{\frac {0,14}{n}}u_{2}^{2}-{\frac {0,004}{n^{2}}}u_{2}^{3}...},u_{2}={\frac {2a^{4}z^{2}n}{45}}$
À elles seules, ces évolutions donnent peu d’indications sur le degré de convergence. Cependant, il a été montré précédemment que n=100{\textstyle n=100} pour m=2{\textstyle m=2} dans la loi de Gauss montre déjà une forte approximation de la fonction (υ$_2$){\textstyle (\upsilon _{2})} à la loi de l’erreur de Gauss (qui, comme on le verra, coïncide avec l’admissibilité de l’abréviation mentionnée ci-dessus de R$^n${\textstyle R^{n}} et rn{\textstyle rn} sur un membre chacun); Etant donné que dans les quatre cas particuliers, les séries pour R$^n${\textstyle R^{n}} et rn{\textstyle rn} ne diffèrent pas beaucoup l’une de l’autre, on peut s’attendre à ce que, pour ces cas, n=100{\textstyle n=100} offre une approximation égale.
L’expression 30) introduit les expressions simplifiées de R$^n${\textstyle R^{n}} et rn{\textstyle rn} dans
| $\varphi (\sigma _{m})_{n}\delta _{m}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{e^{{\frac {1}{2}}Az^{2}n}\cos(zn)S_{m}({\frac {\sin(zn(\sigma _{m}+{\frac {\delta _{m}}{2}}-\sin(zn(\sigma _{m}-{\frac {\delta _{m}}{2}}}{z}})dz}$ | 33) |
dans laquelle la limite supérieure pourrait être étendue en toute sécurité de z$_0${\textstyle z_{0}} à ∞{\textstyle \infty }, puisque l’erreur résultante est probablement encore plus petite que celle causée par la négligence de la valeur intégrale stricte de z$_0${\textstyle z_{0}} à ∞{\textstyle \infty }. Maintenant, divisez en 33) les produits cos.sin{\textstyle \cos .\sin } dans la différence de deux sin{\textstyle \sin } et appliquez le
* $\int _{0}^{\infty }{e^{-\alpha z^{2}}{\frac {\sin(\beta z)}{z}}dz}={\sqrt {\pi }}\int _{0}^{\frac {\beta }{2{\sqrt {\alpha }}}}{e^{-t^{2}}dt}$
, on obtient donc après simple réduction
* $\int _{\frac {n(S_{m}+\sigma _{m}-{\frac {\delta _{m}}{2}})}{\sqrt {2An}}}^{\frac {n(S_{m}+\sigma _{m}+{\frac {\delta _{m}}{2}})}{\sqrt {2An}}}{e^{-t^{2}}dt}+\int _{\frac {n(S_{m}-\sigma _{m}-{\frac {\delta _{m}}{2}})}{\sqrt {2An}}}^{\frac {n(S_{m}-\sigma _{m}+{\frac {\delta _{m}}{2}})}{\sqrt {2An}}}{e^{-t^{2}}dt}$
donc en tenant compte de la valeur de δ$_m${\textstyle \delta _{m}}
* $\varphi (\sigma _{m})_{n}\delta _{m}=\delta _{m}{\sqrt {\frac {n}{2A\pi }}}(e^{-{\frac {(S_{m}+\sigma _{m})^{2}n}{2A}}}+e^{-{\frac {(S_{m}-\sigma _{m})^{2}n}{2A}}})$
La première des deux quantités exponentielles peut être négligée car elle est très petite pour chaque valeur de σ$_m${\textstyle \sigma _{m}}. Ainsi, avec restitution simultanée de l’impression pour A{\textstyle A}
| $\varphi (\sigma _{m})_{n}\delta _{m}={\sqrt {\frac {n}{2\pi (S_{2m}-S_{m}^{2})}}}e^{-{\frac {n(S_{m}-\sigma _{m})^{2}}{2(S_{2m}-S_{m}^{2})}}}\delta _{m}$ | 34) |
Les différences S$_m$−σ$_m${\textstyle S_{m}-\sigma _{m}} suivent la loi de l’erreur de Gauss, où la précision est √(n/2(S$_2$−S$_m$$^2$)){\textstyle {\sqrt {\frac {n}{2(S_{2}-S_{m}^{2})}}}}. C’est aussi la probabilité que σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} entre les limites
* $(S_{m}\pm 0,6745{\sqrt {\frac {S_{2m}-S_{m}^{2}}{n}}})$
va tomber, juste 1/2 {\textstyle {\frac {1}{2}}}.
Si l’on forme l’intégrale de φ(σ$_m$)$_n$δ$_m${\textstyle \varphi (\sigma _{m})_{n}\delta _{m}} pour σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} de zéro à ∞{\textstyle \infty }, où S$_m$−σ$_m${\textstyle S_{m}-\sigma _{m}} va de S$_m${\textstyle S_{m}} à −∞{\textstyle -\infty }, on n’obtient pas exactement, mais très proche de un, puisque la valeur manquante de l’intégrale de S$_m${\textstyle S_{m}} à +∞{\textstyle +\infty } est très peu.
Si nous remplaçons maintenant les relations 6) dans 34), il faut garder à l’esprit que seuls les très petits (S$_m$−σ$_m$){\textstyle (S_{m}-\sigma _{m})}, c’est-à-dire seulement les très petits υ$_m${\textstyle \upsilon _{m}}, ont une probabilité notable. On peut donc abréger
* $\sigma _{m}=S_{m}(1+m\upsilon _{m}),\delta _{m}=mS_{m}d\upsilon _{m}$
et reçoit donc de 34)
| $\varphi (\upsilon _{m})_{n}d\upsilon _{m}={\sqrt {\frac {nm^{2}S_{m}^{2}}{2\pi (S_{2m}-S_{m}^{2})}}}.e^{-{\frac {nm^{2}S_{m}^{2}}{2(S_{2m}-S_{m}^{2})}}\upsilon _{m}^{2}}d\upsilon _{m}$ | 35) |
plus n{\textstyle n} est grand, plus précisément les υ$_m${\textstyle \upsilon _{m}} suivent la loi de Gauss. La précision est égale à √(nm$^2$S$_m$$^2$/2π(S$_2$−S$_m$$^2$)){\textstyle {\sqrt {\frac {{nm}^{2}S_{m}^{2}}{2\pi (S_{2}-S_{m}^{2})}}}} et la probabilité est 1/2 {\textstyle {\frac {1}{2}}} que ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} tombent entre les limites
| ${\sqrt[{m}]{S_{m}}}(1\pm 0,6745{\sqrt {\frac {S_{2m}-S_{m}^{2}}{nm^{2}S_{m}^{2}}}}$ | 36) |
L’expression entre parenthèses avec le signe ±{\textstyle \pm } sera appelée, comme précédemment, υ$_m${\textstyle \upsilon _{m}} en abrégé.

# § 6 Probabilité constante d’erreur;  n{\textstyle n} très grand.

Voici S$_m$=a$^m$/(m+1) {\textstyle S_{m}={\frac {a^{m}}{m+1}}}, où 36) donne
| ${\sqrt[{m}]{S_{m}}}(1\pm {\frac {0,675}{\sqrt {n(2m+1)}}})$ | 37) |
Pour comparaison avec les tablettes I) pour n=1, 2{\textstyle n=1, 2} et m=1, 2, 3{\textstyle m=1, 2, 3} on introduit ces valeurs en 37) et obtient, correspondant à I), la table des υ$_m${\textstyle \upsilon _{m}} suivante:
I*)
| m | n=1 | n=2 |
| 1 | 0,39 | 0,28 |
| 2 | 0,30 | 0,21 |
| 3 | 0,25 | 0,18 |
ce qui montre que pour les petits exposants m{\textstyle m} même quelques observations n{\textstyle n} suffisent pour appliquer la formule 37). L’approximation est évidemment beaucoup plus grande en ce qui concerne cette formule seule qu’en ce qui concerne la fonction (σ$_m$){\textstyle (\sigma _{m})}, resp. (υ$_m$){\textstyle (\upsilon _{m})} à la loi de Gauss.
La formule 37) confirme maintenant pour de nombreuses observations ce qui a été trouvé précédemment pour quelques-unes: C’est la probabilité que le ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} coïncide avec le ᵐ√(S$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{S_{m}}}}, plus grand est le plus grand exposant m{\textstyle m} est supposé.
Maintenant, si l’erreur d’observation probable est inconnue et que vous voulez la calculer (ou plus simplement l’erreur maximale a) à partir d’un σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} donné selon la formule
| $\alpha ={\sqrt[{m}]{(m+1)\sigma _{m}}}$ | 38) |
Quelle formule suppose que σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} est juste S$_m${\textstyle S_{m}}, il est avantageux de supposer m{\textstyle m} aussi grand que possible. Cependant, la façon dont les hypothèses les plus favorables sur a{\textstyle a} se comportent à un (∗)ε{\textstyle (*)\varepsilon } donné sera étudiée plus avant.

# § 7 La loi de l’erreur de Gauss; n très grand.

Voici S$_m$=(Γ((m+1)/2))/h$^m$√π {\textstyle S_{m}={\frac {\Gamma ({\frac {m+1}{2}})}{h^{m}{\sqrt {\pi }}}}} et donc
| $S_{1}={\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}$ | 39) |
Si vous ajoutez à l’abréviation
| $S_{m}={\frac {\alpha }{h^{m}}},S_{2m}={\frac {\beta }{h^{2m}}}$ | 39*) |
donc maintenant au lieu de 36)
| ${\sqrt[{m}]{S_{m}}}(1\pm 0,6745{\sqrt {\frac {\beta -\alpha ^{2}}{nm^{2}\alpha ^{2}}}})$ | 40) |
Pour voir quelle approximation cette expression offre pour les petits n{\textstyle n}, nous mettons m=1{\textstyle m=1} à 3{\textstyle 3} pour n=1{\textstyle n=1} et 2{\textstyle 2} et obtenons ainsi ce qui suit, correspondant à la tablette II, des limites probables ε$_m${\textstyle \varepsilon _{m}} :
II*)
| m | n=1 | n=2 |
| 1 | 0,510 | 0,360 |
| 2 | 0,477 | 0,337 |
| 3 | 0,497 | 0,352 |
Selon cela, l’approximation de la formule 40) est déjà plus petite n{\textstyle n} en tout cas significative, comme on l’a également trouvé avec une probabilité constante d’erreur. Dans ce cas, cependant, la différence est que les puissances de deuxième erreur donnent les limites les plus étroites ±υ$_m${\textstyle \pm \upsilon _{m}}: La probabilité que le ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} coïncide avec le ᵐ√(S$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{S_{m}}}} est la plus grande pour l’exposant m=2{\textstyle m=2}. Gauss a donné la formule 40) à ce théorème, qui est démontré ici pour les petits et grands n{\textstyle n}, en supposant un grand n{\textstyle n} et l’a appliqué à m=1{\textstyle m=1} à 6{\textstyle 6}. En regardant les υ$_m${\textstyle \upsilon _{m}} en question, il ne fait aucun doute qu’à mesure que m{\textstyle m} continue de croître, il en sera de même pour ε$_m${\textstyle \varepsilon _{m}}; Après tout, un changement dans ces circonstances pourrait éventuellement se produire. Mais ce n’est pas le cas, comme on peut facilement le montrer. Si, puisqu’il ne peut être plus grand que m{\textstyle m}, dans les impressions pour S$_m${\textstyle S_{m}} environ, mais très proche correctement Γ((m+1)/2)=√(2π)((m+1)/2)$^m$e$^−${\textstyle \Gamma ({\frac {m+1}{2}})={\sqrt {2\pi }}({\frac {m+1}{2}})^{m}e^{-}} (cf. §4), 40) passe en
| ${\sqrt[{m}]{S_{m}}}(1\pm 0,6745{\sqrt {{\frac {1}{nm^{2}}}\lbrack {\sqrt {\frac {e}{2}}}({\frac {2m+1}{m+1}})^{m}-1\rbrack }})$ | 41) |
Et vous pouvez immédiatement voir que le bord radique de la racine carrée croît de plus en plus vite avec l’augmentation de m{\textstyle m}.
Selon ce qui précède, avec une précision inconnue h{\textstyle h}, il est plus avantageux d’utiliser la moyenne σ$_2${\textstyle \sigma _{2}} des puissances secondes d’erreurs données pour calculer h{\textstyle h}. On pariera juste S$_2${\textstyle S_{2}} en supposant que c’est σ$_2${\textstyle \sigma _{2}} .
| $h={\frac {1}{\sqrt {2\sigma _{2}}}}$ | 42) |

# § 8 Probabilité constante d’erreur; Différentes hypothèses

Dans les considérations précédentes, en ce qui concerne la détermination de l’erreur maximale a{\textstyle a}, on a supposé qu’un σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} donné était pris pour S$_m${\textstyle S_{m}}. Cette hypothèse selon laquelle σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} est juste S$_m${\textstyle S_{m}} est, en fait, la plus pratique et la plus pratique. Mais ce n’est pas toujours le meilleur. Ceci est déjà indiqué par le fait qu’avec a{\textstyle a} connu, la probabilité d’occurrence pour σ$_m$=S$_m${\textstyle \sigma _{m}=S_{m}} n’est qu’un maximum pour les très grands n{\textstyle n}, mais pas pour les petits n{\textstyle n}.
Pour arriver à la meilleure hypothèse de calcul à partir d’un σ$_m$.a{\textstyle \sigma _{m}.a} donné, nous différencions 34) par a{\textstyle a} et fixons le quotient différentiel à zéro. Plus n{\textstyle n} est grand, plus la meilleure hypothèse est précise a=ᵐ√((m+1)σ$_m$){\textstyle a={\sqrt[{m}]{(m+1)\sigma _{m}}}}, avec le calcul précédent après 38).
Pour les petits m{\textstyle m}, cependant, cette correspondance est manquante. Les formules 7) enseignent qu’à n=1{\textstyle n=1}, il est préférable de définir a=ᵐ√(σ$_m$){\textstyle a={\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}}, c’est-à-dire égal à celui donné ε{\textstyle \varepsilon } [et ici la formule définirait 38) a=εᵐ√((m+1)){\textstyle a=\varepsilon {\sqrt[{m}]{(m+1)}}}]. Les formules 9) à 11) montrent en outre qu’à n=2{\textstyle n=2} et m=1{\textstyle m=1} à 3{\textstyle 3} meilleur a=ᵐ√(2σ$_m$){\textstyle a={\sqrt[{m}]{2\sigma _{m}}}}, c’est-à-dire iᵐ√(ε$_1$$^m$+ε$_2$$^m$){\textstyle i{\sqrt[{m}]{\varepsilon _{1}^{m}+\varepsilon _{2}^{m}}}} est à prendre (formule 38) donnerait a=ᵐ√((ε$_1$$^m$+ε$_2$$^m$) (m+1)/2 ){\textstyle a={\sqrt[{m}]{(\varepsilon _{1}^{m}+\varepsilon _{2}^{m}){\frac {m+1}{2}}}}}. Comment le calcul de a{\textstyle a} à partir de \sigma_m pour n<2{\textstyle n<2} selon la meilleure hypothèse est conçu ne peut être spécifié sans une enquête laborieuse. Par conséquent, il faut généralement revenir à l’hypothèse pratique et calculer après 38).
Après tout, cette formule 38) a le défaut qu’elle peut donner a{\textstyle a} plus petit que la plus grande des erreurs données ε{\textstyle \varepsilon }. Si nous appelons cela ε$_M${\textstyle \varepsilon _{M}}, aε$_M${\textstyle a\varepsilon _{M}} doit être choisi. Cela montre maintenant à nouveau qu’à cet égard aussi avec l’augmentation de m{\textstyle m} l’hypothèse 38) devient moins cher. Parce qu’apparemment lim$_m$ᵐ√((m+1)σ$_m$){\textstyle \lim _{m}{\sqrt[{m}]{(m+1)\sigma _{m}}}},où vous pouvez écrire en premier
* ${\sqrt[{m}]{(m+1)\sigma _{m}}}=\varepsilon _{M}{\sqrt[{m}]{{\frac {m+1}{n}}\lbrack 1+({\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{M}}})^{m}+({\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{M}}})^{m}+...\rbrack }}$
et réalise maintenant que le facteur de ε$_M${\textstyle \varepsilon _{M}} converge vers un.
L’hypothèse a=ε$_M${\textstyle a=\varepsilon _{M}} est la plus avantageuse parmi les meilleures hypothèses pour calculer a{\textstyle a} à partir de n’importe quel σ$_M${\textstyle \sigma _{M}}. Mais c’est l’hypothèse absolument la plus favorable. Car elle seule donne ε$_1$...ε$_n${\textstyle \varepsilon _{1}...\varepsilon _{n}} pour la probabilité de survenance des erreurs effectivement commises, c’est-à-dire pour 1/a$^n$ {\textstyle {\frac {1}{a^{n}}}} un maximum.

# § 9 Loi de l’erreur gaussienne; Différentes hypothèses

Les recherches antérieures ont également tourné autour de l’hypothèse que σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} coïncide avec S$_m${\textstyle S_{m}} dans le cas de la loi de l’erreur de Gauss, dans la mesure où le calcul de la précision h{\textstyle h} était possible. En fait, cette hypothèse est pratiquement la plus pratique pour déterminer h{\textstyle h} à partir de σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} ; Mais ce n’est pas non plus toujours la meilleure hypothèse, ce qui est suggéré par le fait que seulement pour les grands n{\textstyle n} la valeur la plus probable de σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} coïncide avec S$_m${\textstyle S_{m}}, tandis que pour les petits n{\textstyle n} elle est différente de S$_m${\textstyle S_{m}} selon nos développements antérieurs.
Afin d’arriver à la meilleure hypothèse de calcul de la précision h{\textstyle h} à partir d’un σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} donné, on a, comme précédemment, en différenciant de 34) à h$^m${\textstyle h^{m}} , dans laquelle la formule pour S$_m${\textstyle S_{m}} et S$_2${\textstyle S_{2}} les valeurs après 39*) doit être introduite en premier, la condition
* $1={\frac {n\alpha \sigma _{m}}{\beta -\alpha ^{2}}}h^{m}({\frac {\sigma _{m}}{\alpha }}h^{m}-1)$
et de là découle pour h$^m${\textstyle h^{m}} avec plus ou moins approximation de la gravité
| $h^{m}={\frac {\alpha }{\sigma _{m}}}(1+{\frac {\beta -\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}n}})~und~h^{m}={\frac {\alpha }{\sigma _{m}}}$ | 43) |
Après cela, dès que n{\textstyle n} est grand, il sera préférable de prendre un σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} donné pour S$_m${\textstyle S_{m}} et h{\textstyle h} selon la formule
| $h={\sqrt[{m}]{\frac {\alpha }{\sigma _{m}}}}$ | 44) |
à calculer. Mais si n{\textstyle n} est petit, alors (à l’exception de l’exposant m=2{\textstyle m=2}) la meilleure hypothèse en devient une autre;
Les formules 15) montrent qu’à n=1{\textstyle n=1} au lieu de 44) devait être mieux supposé
| $h={\sqrt {\frac {1}{2{\sqrt[{m}]{\sigma _{m}^{2}}}}}},~d.i.~{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {2}}}}$ | 45) |
Les calculs pour dériver les expressions pour m2{\textstyle m2} deviennent plus compliqués et on se sent obligé de donner à partir de la meilleure hypothèse et d’appliquer la formule 44). De plus, cette hypothèse pratique semble se rapprocher rapidement de la meilleure hypothèse.
Par exemple, pour le cas le plus intéressant, vous avez m=1{\textstyle m=1}
à n=1{\textstyle n=1} après 44) h=0, 564/ε {\textstyle h={\frac {0, 564}{\varepsilon }}}, mieux après 45) h=0, 707/ε {\textstyle h={\frac {0, 707}{\varepsilon }}};
at n=2{\textstyle n=2} after 44) h=2.0, 564/(ε$_1$+ε$_2$) {\textstyle h={\frac {2.0, 564}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}}, mieux après 17) h=2.0, 628/(ε$_1$+ε$_2$) {\textstyle h={\frac {2.0, 628}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}}.
Si h{\textstyle h} selon la formule 44) doit être calculé et que l’on a le choix de l’exposant m{\textstyle m} gratuit, alors il est plus avantageux selon §7 de calculer avec les puissances secondes. Bien sûr, cela ne signifie pas que ce calcul donne l’hypothèse absolument la plus favorable sur h{\textstyle h}; Parce que dès que les erreurs d’observation de n{\textstyle n} ε{\textstyle \varepsilon } sont connues individuellement, une autre fonction du ε{\textstyle \varepsilon } qu’un simple σ$_m${\textstyle \sigma _{m}}, pourrait conduire à l’hypothèse mentionnée. Eh bien, comme on le sait, Gauss a montré que la moyenne des puissances secondes conduit à l’hypothèse absolument la plus favorable, car pour cela la probabilité de l’occurrence du ε{\textstyle \varepsilon } donné devient un maximum.

# § 10 Loi gaussienne de l’erreur; Erreur probable des hypothèses

Les recherches du §7 ne montrent qu’en général la valeur relative du calcul de h{\textstyle h} à partir de différents σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} selon la formule 44). Il est souhaitable de connaître l’erreur probable de ces hypothèses. Selon 34), cependant, en ce qui concerne 39*), la probabilité d’une hypothèse supérieure à h{\textstyle h} est proportionnelle
* $h^{m}~e^{\frac {n(\alpha -h^{m}\sigma _{m})^{2}}{2(\beta -\alpha ^{2})}}$
Si nous notons maintenant la valeur h{\textstyle h} calculée après 43) comme H{\textstyle H} et généralement définie h=H+λ{\textstyle h=H+\lambda }, alors l’expression précédente avec omission des parties indépendantes de λ{\textstyle \lambda }
| $(1+{\frac {\lambda }{H}})^{m}e^{-{\frac {n\alpha ^{2}}{2(\beta -\alpha ^{2})}}({\frac {\sigma _{m}}{\alpha }}(H+\lambda )^{m}-1)^{2}}$ | 46) |
Étant donné qu’un grand n{\textstyle n} est requis ici, seuls les très petits λ{\textstyle \lambda } ont une probabilité possible; Il est donc nécessaire de procéder à une approximation suffisante de
* $(1+{\frac {\lambda }{H}})^{m}=e^{{\frac {m\lambda }{H}}-{\frac {m\lambda ^{2}}{2H^{2}}}}$
en remplaçant la première des expressions 43)
* ${\frac {\sigma _{m}}{\alpha }}(H+\lambda )^{m}=1+{\frac {m\lambda }{H}}+{\frac {m(m-1)\lambda ^{2}}{2H^{2}}}+{\frac {\beta -\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}n}}$
et de celui-ci dans la même approximation
* $({\frac {\sigma _{m}}{\alpha }}(H+\lambda )^{m}-1)^{2}={\frac {m^{2}\lambda ^{2}}{H^{2}}}+2{\frac {\beta -\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}n}}({\frac {m\lambda }{H}}+{\frac {m(m-1)\lambda ^{2}}{2H^{2}}})$
Cela signifie que 46) est transféré à
* $e^{-{\frac {nm^{2}\alpha ^{2}}{2H^{2}(\beta -\alpha ^{2})}}\lambda ^{2}-{\frac {m^{2}\lambda ^{2}}{2H^{2}}}}$
mais en cela on peut négliger la seconde partie de l’exposant contre la première. Maintenant, vous pouvez facilement trouver la probabilité que la valeur correcte de h{\textstyle h} se situe entre (H+λ){\textstyle (H+\lambda )} et (H+λ+dλ){\textstyle (H+\lambda +d\lambda )}, la valeur h{\textstyle h}
| ${\frac {K}{\sqrt {\pi }}}e^{-{\frac {nm^{2}\alpha ^{2}}{2H^{2}(\beta -\alpha ^{2})}}}d\lambda$ | 47) |
La dernière expression de K{\textstyle K} est calculée en tenant compte du fait que la limite intégrale inférieure −H{\textstyle -H} a été étendue à −∞{\textstyle -\infty }. Un regard sur 47) montre K{\textstyle K} en signification comme précision, qui appartient aux écarts λ{\textstyle \lambda }, et donc la probabilité est même 1/2 {\textstyle {\frac {1}{2}}} que la valeur correcte de h{\textstyle h} tombe entre les limites
| ${\sqrt[{m}]{\frac {\alpha }{\sigma _{m}}}}(1\pm 0,6745{\sqrt {\frac {\beta -\alpha ^{2}}{nm^{2}\alpha ^{2}}}})$ | 48) |
En ce qui concerne la parenthèse, 48) est d’accord avec 40). En ce qui concerne la signification de 48), il ne faut pas oublier qu’elle présuppose un σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} donné, à partir duquel la précision est calculée, et que les valeurs des erreurs d’observation ε{\textstyle \varepsilon } sont ignorées en détail, comme c’est effectivement le cas. Si, sur la base de la probabilité de la coïncidence des observateurs n{\textstyle n}, une expression correspondant à 48) devait être déterminée, elle prendrait une forme différente; Mais cela n’aurait (me semble-t-il) aucune valeur pratique. Soit dit en passant, pour σ$_2${\textstyle \sigma _{2}}, les deux expressions fusionnent l’une dans l’autre. 48) donne alors
* ${\sqrt {\frac {1}{2\sigma _{2}}}}(1\pm {\frac {0,4769}{\sqrt {n}}})$
cohérent avec les limites probables données par Gauss sur l’hypothèse absolument favorable.
Pour voir comment 48) se comporte pour les petites n{\textstyle n}, regardons le cas n=1{\textstyle n=1} suivant votre formule 15). La probabilité de l’hypothèse h{\textstyle h} étant donné σ$_m${\textstyle \sigma _{m}} est ici proportionnelle
* $he^{-h^{2}\sigma _{m}^{2/m}}$
et donc la probabilité que la précision soit comprise entre h{\textstyle h} et h+dh{\textstyle h+dh} est égale à
* $Khe^{-h^{2}\sigma _{m}^{2/m}}dh$
La probabilité est également de seulement 1/2{\textstyle 1/2} que la valeur correcte de h{\textstyle h} entre les limites
| ${\sqrt[{m}]{\frac {\alpha }{\sigma _{m}}}}(1\pm \upsilon _{m}')$ | 49) |
où, comme il est facile de le trouver, υ$_m$$^′${\textstyle \upsilon _{m}'} doit satisfaire à la condition:
| $e^{-\alpha ^{2/m}(1-\upsilon _{m}')^{2}}-e^{-\alpha ^{2/m}(1+\upsilon _{m}')^{2}}=1/2$ | 50) |
De celui-ci a la valeur suivante, à laquelle nous mettons de côté le correspondant après 48) :
III*)
| n=1 | colspan="2"| Valeur | colspan="2"| Valeur |
| m | Selon 50) | Selon 48) | Selon 50) | Selon 48) |
| m | 1. | 2. | 3. | 4. |
| 1 | 0,589 | 0,510 | 0,470 | 0,407 |
| 2 | 0,440 | 0,477 | 0,440 | 0,477 |
| 3 | 0,382 | 0,497 | 0,446 | 0,580 |
Les colonnes 3 et 4 contiennent les valeurs υ$_m$$^′${\textstyle \upsilon _{m}'}, multipliées par une taille proportionnelle à la valeur de h{\textstyle h} telle qu’elle est à partir de 48), notez que dans ce cas le ᵐ√(σ$_m$){\textstyle {\sqrt[{m}]{\sigma _{m}}}} devient et donc les valeurs h{\textstyle h} dépendent uniquement du α{\textstyle \alpha }. Alors que pour n=1{\textstyle n=1}, les valeurs de h{\textstyle h} calculées sur la base de différents exposants m{\textstyle m} sont dans un rapport indépendant de ε{\textstyle \varepsilon }, pour n<1{\textstyle n<1} ce n’est plus le cas et le ratio en général ne peut plus être spécifié. En général, donc, la qualité de la détermination de h{\textstyle h} sera jugée en fonction de υ$_m$$^′${\textstyle \upsilon _{m}'}, alors que dans le cas particulier n=1{\textstyle n=1}, ni le rapport spécifié des valeurs h{\textstyle h} ne tiendront également compte des valeurs correspondantes des colonnes 3 et 2 (et non 4, qui n’est jointe que par souci d’exhaustivité); On peut s’attendre à une approximation rapide de 48) à la rigueur avec une augmentation de n{\textstyle n}.
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