# L’Encyclopédie/1re édition/SOUSTRACTION

SOUSTRACTION, s. f. en Arithmétique, la soustraction est la seconde regle, ou pour mieux dire, la seconde opération de l’arithmétique : elle consiste à ôter un nombre d’un autre nombre plus grand, & à trouver exactement l’excès de celui-ci sur celui-là.
En un mot, la soustraction est une opération par laquelle on trouve un nombre qui, ajouté au plus petit de deux nombres homogenes, fait avec lui une somme égale au plus grand de ces nombres. Voyez Arithmétique.
Voici ce qu’il faut observer dans cette opération.
Pour soustraire un plus petit nombre d’un plus grand. 1°. Ecrivez le plus petit nombre sous le plus grand, les unités sous les unités, les dixaines sous les dixaines, &c. en général les quantités homogenes les unes sous les autres, ainsi que nous l’avons prescrit pour l’addition. 2°. Tirez une ligne sous les deux nombres. 3°. Soustrayez séparément les unités des unités, les dixaines des dixaines, les centaines des centaines ; & commençant à droite, & procédant vers la gauche, écrivez chaque reste sous le caractere sur lequel vous avez opéré, & qui vous l’a donné. 4°. Si le chifre que vous avez à soustraire est plus grand que celui dont il doit être soustrait, empruntez une unité sur le chifre qui suit immédiatement en allant vers la gauche, cette unité empruntée vaudra 10 ; ajoutez cette dixaine au plus petit caractere, & soustrayez le plus grand de la somme. S’il se rencontroit un zéro immédiatement devant celui qui vous contraint d’emprunter, parce qu’il est trop petit ; l’emprunt se feroit sur le chifre qui suit immédiatement ce zéro, en allant vers la gauche. Mais sans emprunter sur les nombres suivans, ce qui cause quelquefois de l’embarras ; il vaut mieux ajouter une unité au nombre qui suit immédiatement, & qui vaut toujours dix unités, par rapport au nombre qui le précede ; & dans la colonne suivante soustraire une unité de plus dans la quantité que l’on soustrait ; afin de détruire par cette derniere opération l’augmentation que l’on a faite par la premiere.
Il n’y a point de nombre qu’on ne puisse ôter d’un plus grand, en observant ces regles. Exemple.
| soit | 9800403459. |
| d’où il faut soustraire | 4743865263. |
| le reste sera | 5056538196. |
Car, commençant par le premier caractere qui se présente à droite, & ôtant 3 de 9, reste 6, que j’écris au-dessous de la ligne. Passant au second caractere, je trouve 6 que je ne peux ôte de 5 ; c’est pourquoi j’emprunte sur le 4 qui suit le plus immédiatement 5, en allant vers la gauche, & qui marque des centaines, une unité, ou dix dixaines. J’ajoute ces 10 dixaines, aux 5 dixaines que j’avois, & qui me produit 15 dixaines, d’où soustrayant 6 dixaines, il m’en reste 9, j’écris donc 9 sous la ligne & sous les dixaines. J’en suis aux centaines, je dis 2 & 1 que j’ai emprunté, font 3 ; 3 de 4, reste un, que j’écris sous la ligne. J’avance & je dis, 5 ne se peut ôter de 3 ; j’emprunte, non sur le zéro, mais sur le 4 qui vient après le zéro, toujours en allant vers la gauche. Cet 1 vaut cent mille, par conséquent si on le suppose à la place du zéro, il vaudra 10 dixaines de mille. J’emprunte sur ces 10 dixaines de mille, une unité qui vaudra 10 mille, & par conséquent le zéro se trouvera valoir 9 dixaines de mille : or ces dix mille ajoutés à trois mille que j’ai, produisent 13 mille ; de cet 13 mille, j’ôte 5 mille, reste 8 mille, que j’écris sous la ligne. Je dis ensuite 6 de 9, reste 3, que j’écris sous la ligne. J’arrive au 4 sur lequel j’ai emprunté une unité, & qui ne vaut par conséquent que trois ; je ne dirai donc point 8 de 4, mais 8 de 3 : on achevera la soustraction, en continuant d’opérer, comme nous avons fait jusques-là.
Si l’on proposoit d’ôter un nombre héterogene, d’un autre nombre héterogene plus grand ; on suivroit la même méthode, observant seulement que les unités que l’on emprunte, ne valent pas 10 unités ; mais autant qu’il en faut de la plus petite espece, pour continuer une unité de la plus grande. Exemple.
| liv. | sols | d. |
| 45 | 16 | 6 |
| 27 | 19 | 9 |
| 17 | 16 | 9 |
Je ne peut ôter 9 deniers de 6 deniers. J’emprunte 1 sol, sur les 16 sols qui précedent les 6 deniers. Ce sol vaut 12 deniers. Ces 12 deniers joints aux 6 deniers que j’ai deja, font 18 deniers, d’où j’ôte 9 deniers, & il me reste 9 deniers, j’écris donc 9 sous la ligne. Pareillement 19 sols ne peuvent se soustraire des 15 sols restans. J’emprunte donc sur les 45 livres qui précedent, une livre qui vaut 20 sols. Ces 20 sols joints aux 15 sols que j’ai, font 35 sols, d’où j’ôte 19 sols. & il me reste 16 sols que j’écris sous la ligne. Enfin j’ôte 27 livres, de 44 livres qui me restent, & j’écris la différence 17 sous la ligne.
Si le nombre à soustraire est plus grand que celui d’où il faut le soustraire ; il est évident que l’opération est impossible. Dans ce cas, il faut ôter le plus petit nombre du plus grand, & écrire le reste avec un signe négatif. Exemple, soient 8 livres à payer avec 3 livres ; j’en paye 3 des 8 que je dois, avec les 3 que j’ai, & il en reste 5 de dûes ; j’écris donc au dessous de la ligne − 5.
La preuve de la soustraction se fait en ajoutant le nombre soustrait avec le reste ; ou l’excès du plus grand nombre sur le plus petit avec le plus petit. S’ils font une somme égale au plus grand, l’opération a été bien faite. Exemple.
| | | liv. | sol. | d. | |
| 9800403459 | | 156 | 11 | 3$\scriptstyle {\frac {1}{4}}$ | |
| 4743865263 | nomb. soust. | 21 | 17 | 2$\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ | nomb. soust. |
| 5056538196 | reste | 134 | 14 | 0$\scriptstyle {\frac {1}{4}}$ | reste |
| 9800403459 | | 156 | 11 | 3$\scriptstyle {\frac {1}{4}}$ | |
Soustraction en Algebre, pour faire une soustraction algébrique, quand il s’agit de monomes, on écrit ces quantités de suite, en changeant simplement le signe de la grandeur à soustraire ; & l’on fait ensuite la réduction, si ces quantités sont semblables : ainsi pour ôter + c de b, on écrit b − c ; puisque − est le signe de la soustraction : & pour ôter − b de a, on écrit a + b, en changeant le signe − en + ; ensorte que la grandeur a est augmentée par cette soustraction ; en effet ôter des dettes, c’est augmenter les facultés de quelqu’un : soustraire des moins, est donc aussi donner des plus.
S’il est question de polinomes, on disposera les termes de la grandeur à soustraire, sous ceux de la grandeur dont on soustrait ; c’est-à-dire, les termes de l’une, sous les termes semblables de l’autre, en changeant simplement tous les signes de la grandeur à soustraire, en des signes contraires, c’est-à-dire, que l’on mettra − où il y aura +, & le signe + où l’on verra le signe −. Ainsi, pour retrancher le polinome $\scriptstyle -2acx+3acx^{2}+4a^{3}m-5a^{3}b$ (A) du polinome $\scriptstyle 7cx^{2}-4a^{3}b+5a^{3}m-acx+bd$, (B) on disposera comme on le voit ici.
* $\scriptstyle 7cx^{2}-4a^{3}b+5a^{3}m-acx+bd$ (B).
* $\scriptstyle -3cx^{2}+5a^{3}b+4a^{3}m+2acx$ (A).
* $\scriptstyle 4cx^{2}+a^{3}b+a^{3}m+acx+bd.$
Les termes du polinome A, sous les termes du polinome B ; les termes semblables les uns sous les autres, en changeant tous les signes du polinome A, en des signes contraires. Cette préparation faite, on réduira les termes à leur plus simple expression ; & cette réduction donnera $\scriptstyle 4cx^{2}+a^{3}b+a^{3}m+acx+bd$, qui est la différence cherchée.
Quand il n’y a point de termes semblables, on écrit simplement la quantité à soustraire, dont on change les signes, à la suite du polinome, dont on fait la soustraction : ainsi pour ôter $\scriptstyle xx-2cx+cc$ de $\scriptstyle 2a^{4}-3b^{2}$, écrivez $\scriptstyle 2a^{4}-3b^{2}-xx+2cx-cc$ ; en changeant simplement les signes de la grandeur $\scriptstyle xx-2cx+cc$, qui n’a aucuns termes semblables à ceux de la quantité $\scriptstyle 2a^{4}-3b^{2}$. (E)
Soustraction, s. f. (Gram. & Jurisprud.) est l’action d’ôter & enlever frauduleusement une chose du lieu où elle devroit être.
C’est principalement pour les papiers que l’on a détournés que l’on se sert de ce terme ; cela s’appelle une soustraction de pieces.
Soustraction d’une minute d’un notaire, c’est l’enlevement qui est fait de cette minute.
Soustraction de pieces dans une production, c’est lorsque l’on retire frauduleusement d’une production quelque cotte ou quelque piece d’une cotte, que l’on a intérêt de supprimer. Voyez Divertissement, Enlevement, Recelé, Suppression. (A)