# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Optique, article 1
## OPTIQUE.
### Recherches sur les caustiques ;

Soit, dans un milieu homogène, un point lumineux $\mathrm {A,}$ d’où, émanent, en tous sens, des rayons qui se réfractent, en passant de ce milieu dans un autre milieu également homogène, séparé du premier par une surface plane ou sphérique. Nous nous proposons ici de déterminer la nature de la surface caustique formée par la rencontre consécutive des rayons réfractés.
Supposons d’abord (fig. 1 et 2) que la surface de séparation soit un plan. Abaissons du point $\mathrm {A}$ sur ce plan une perpendiculaire $\mathrm {AC,}$ que nous prolongerons d’une quantité $\mathrm {CB=AC,}$ et par laquelle nous conduirons, à volonté, un plan $\mathrm {ACD}$ qui coupera le proposé suivant une droite $\mathrm {CD,}$ perpendiculaire à $\mathrm {CA.}$ Il est clair que tous les rayons émanés du point $\mathrm {A}$ qui tomberont dans ce plan $\mathrm {ACD}$ n’en sortiront pas en passant dans le second milieu. Ainsi nous n’avons à considérer que ce qui se passe dans le plan $\mathrm {ACD,}$ qui est celui de la figure.
Soient donc $\mathrm {AI}$ un rayon incident quelconque, $\mathrm {I}$ son point d’incidence sur la droite $\mathrm {CD}$ et $\mathrm {IK}$ la direction qu’il prend en se réfractant. Soit $\mathrm {IL}$ le prolongement de cette direction $\mathrm {IK}$ du côté du point $\mathrm {A} \,;$ élevons $\mathrm {IF}$ perpendiculaire à $\mathrm {CD} \,;$ les sinus des angles $\mathrm {AIF}$ et $\mathrm {LIF}$ d’incidence et de réfraction seront entre eux, d’après une loi connue, dans un rapport constant que nous nommerons ${\frac {a}{c}}.$
Faisons passer par les trois points $\mathrm {A,B,I}$ une circonférence de cercle. Cette circonférence touchera $\mathrm {IF}$ en $\mathrm {I,}$ et coupera de nouveau la droite $\mathrm {IL}$ en un point $\mathrm {M.}$ Il est aisé de voir que les sinus des angles $\mathrm {AIF,MIF}$ que la tangente $\mathrm {IF}$ au cercle $\mathrm {AIB}$ fait avec les cordes $\mathrm {IA,IM}$ sont entre eux comme ces cordes. Donc le rapport de celles-ci est donné et égal à ${\frac {a}{c}}\,;$ et suivant c que $a$ sera plus grand ou plus petit que $c,$ les points $\mathrm {I}$ et $\mathrm {M}$ seront ou ne seront pas situés tous deux du même côté de $\mathrm {AB.}$ Ces deux cas doivent être examines séparément.
Premier cas (fig. 1). $a>c,$ d’où $\mathrm {IA>IM} .$
L’angle $\mathrm {AMB}$ étant alors égal à l’angle $\mathrm {AIB,}$ prenons sur $\mathrm {MB}$ une portion $\mathrm {MG}$ égale à $\mathrm {MA}$ et joignons $\mathrm {AG.}$ les deux triangles isocèles $\mathrm {AIB,AMG}$ seront semblables ; donc l’angle $\mathrm {MAG}$ sera égal à l’angle $\mathrm {IAB,}$ et par conséquent l’angle $\mathrm {BAG}$ égal à l’angle $\mathrm {IAM} \,;$ mais on a aussi l’angle $\mathrm {ABG}$ égal à l’angle $\mathrm {IAM} \,;$ donc les deux triangles $\mathrm {BAG}$ et $\mathrm {AMI}$ sont semblables, et donnent conséquemment cette proportion
$\mathrm {{\frac {BA}{BG}}={\frac {IA}{IM}}} ,\quad$
$\quad \mathrm {\frac {BA}{BG}} ={\frac {a}{c}}$
donc $\mathrm {BG}$ est constant et donné de grandeur ; et comme
$\mathrm {BG=MB-MG=MB-MA} ,$
on voit que la différence $\mathrm {MB-MA}$ est constante, et que par conséquent le point $\mathrm {M}$ est à une branche d’hyperbole dont les foyers sont $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ et dont l’axe transverse est égal à $\mathrm {BG.}$
De plus $\mathrm {MI}$ est la normale à cette courbe au point $\mathrm {M} ,$ puisqu’elle fait, avec les deux rayons vecteurs $\mathrm {MA,MB,}$ des angles $\mathrm {AMI,BMI,}$ supplémens de l’autre, comme sous-tendus dans le cercle $\mathrm {AMB}$ par des cordes égales $\mathrm {BI,AI.}$ Tous les rayons réfractés $\mathrm {IK}$ sont donc normaux à la branche d’hyperbole dont il s’agit.
Ainsi, lorsque l’angle de réfraction est moindre que l’angle d’incidence, la caustique formée par les rayons réfractès est la développée d’une branche d’hyperbole dont le foyer est le point de départ des rayons incidens, dont le centre est la projection du même point sur la droite séparatrice des deux milieux, et dont l’excentricité est à l’axe transverse dans le rapport donné du sinus d’incidence au sinus de réfraction.
Deuxième cas (fig. 2). $a<c,$ d’où $\mathrm {IA<IM} .$
L’angle $\mathrm {AMB}$ étant alors supplément de $\mathrm {AIB,}$ prolongeons $\mathrm {BM}$ d’une quantité $\mathrm {MG=MA}$ et joignons $\mathrm {AG} \,;$ les triangles isocèles $\mathrm {AIB,AMG}$ étant semblables, l’angle $\mathrm {MAG}$ sera égal à $\mathrm {IAB,}$ et par conséquent l’angle $\mathrm {BAG}$ égal à l’angle $\mathrm {IAM} \,;$ mais l’angle $\mathrm {ABG}$ est égal à l’angle $\mathrm {AIM} \,;$ donc les deux triangles $\mathrm {BAG,IAM}$ sont semblables et donnent couséquemment
$\mathrm {{\frac {BA}{BG}}={\frac {IA}{IM}}} ,\quad$
$\quad \mathrm {\frac {BA}{BG}} ={\frac {a}{c}}\,;$
donc $\mathrm {BG}$ est donné de grandeur ; et comme
$\mathrm {BG=MG+MB=MA+MB} ,$
on voit que le point $\mathrm {M}$ appartient à une ellipse dont $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont les foyers et dont le grand axe est égal à $\mathrm {BG.}$
De plus $\mathrm {MI}$ est la normale à cette courbe, puisqu’elle fait, avec les rayons vecteurs $\mathrm {MA,MB,}$ des angles $\mathrm {IMA,IMB}$ égaux entre eux, comme sous-tendant des cordes égales $\mathrm {IA,IB}$ du cercle $\mathrm {AMB.}$ Tous les rayons réfractés $\mathrm {IK}$ sont donc normaux à l’ellipse dont il s’agit.
Ainsi, lorsque l’angle de réfraction est plus grand que l’angle d’incidence, la caustique formée par les rayons réfractés est la développée d’une demi-ellipse, dont le foyer est le point de départ des rayons incidens, dont le centre est la projection du même point sur la droite séparatrice des deux milieux, et dont l’excentricité est au demi-grand axe dans le rapport donné du sinus d’incidence au sinus de réfraction. Il faut remarquer qu’ici l’angle d’incidence ne saurait croître au-delà d’une certaine limite déterminée par la formule $\operatorname {Sin} .\mathrm {AIF} ={\frac {a}{c}}.$
Comme les résultats que nous venons d’exposer sont déjà connus et ont été démontrés par l’analise, nous ne nous y arrêterons pas davantage. Passons donc à d’autres recherches.
Supposons (fig. 3, 4, 5) que la surface séparatrice des deux milieux soit une surface sphérique. Tirons de son centre $\mathrm {C}$ au point lumineux $\mathrm {A}$ une droite indéfinie $\mathrm {CA,}$ par laquelle nous ferons passer un plan $\mathrm {CAD,}$ qui coupera cette surface suivant un cercle $d\mathrm {D} \delta ,$ représenté dans la figure. Il est clair que tous les rayons émanés du point $\mathrm {A}$ dans ce plan $\mathrm {CAD}$ n’en sortiront pas en pénétrant du premier milieu dans le second.
Soient donc $\mathrm {AI}$ un rayon incident quelconque, $\mathrm {I}$ son point d’incidence sur le cercle $d\mathrm {D} \delta$ et $\mathrm {IK}$ la direction qu’il prend en se réfractant. Soit $\mathrm {IL}$ le prolongement de $\mathrm {IK}$ dans la direction opposée, et tirons le rayon ou la normale $\mathrm {CI.}$ Les sinus des angles $\mathrm {AIC,LIC}$ d’incidence et de réfraction sont toujours entre eux dans un rapport donné. Il faut remarquer, en outre, que ces angles doivent toujours être de même espèce, c’est-à-dire, tous deux aigus ou tous deux obtus.
Prenons, sur la direction de la droite $\mathrm {CA,}$ un point $\mathrm {B}$ tel que le produit de $\mathrm {CA}$ par $\mathrm {CB}$ soit égal au quarré du rayon $\mathrm {CI}$ ou $\mathrm {C} d.$ Les triangles $\mathrm {CAI,CIB}$ seront semblables et donneront $\mathrm {{\frac {IA}{IB}}={\frac {CA}{CI}}} \,;$ le rapport $\mathrm {\frac {IA}{IB}}$ sera donc constant. Posons
$\mathrm {\frac {IA}{IB}} ={\frac {a}{b}}.$
Le triangle $\mathrm {CAI}$ donne encore
${\frac {Sin.\mathrm {CIA} }{Sin.\mathrm {CAI} }}=\mathrm {\frac {CA}{CI}} ={\frac {a}{b}}.$
et comme les angles $\mathrm {CAI,CIB}$ sont égaux, on a
${\frac {Sin.\mathrm {CIA} }{Sin.\mathrm {CIB} }}=\mathrm {\frac {CA}{CI}} ={\frac {a}{b}}.$
Si le point $\mathrm {A}$ est tellement placé, à l’égard de la surface séparatrice, que le rapport de $\mathrm {CA}$ au rayon $\mathrm {CI}$ soit égal au rapport donné du sinus d’incidence au sinus de réfraction, la formule ci-dessus fait voir que, l’angle d’incidence étant $\mathrm {CIA,}$ l’angle de réfraction sera $\mathrm {CIB,}$ pourvu toutefois que ces deux angles soient de même espèce. Cette condition n’est remplie qu’autant que le point $\mathrm {I}$ tombe sur l’arc $\delta \mathrm {D} ,$ déterminé sur le cercle $d\mathrm {D} \delta$ par la perpendiculaire $\mathrm {AD}$ à $\mathrm {CA}$ (fig. 3) ou par la tangente $\mathrm {AD}$ à ce cercle (fig. 4, 5), suivant que $\mathrm {A}$ lui est intérieur ou extérieur. Ce cas particulier, dans lequel la courbure sphérique fait converger en un seul et même point les directions des rayons réfractés, a été signalé par M. le professeur de La Rive fils, dans son mémoire sur les Caustiques, imprimé récemment à Genève.
Pour rentrer dans la généralité de la question, faisons passer une circonférence par les trois points $\mathrm {A,B,I} \,;$ cette circonférence coupera la droite $\mathrm {IL}$ en un second point $\mathrm {M} \,;$ et, à cause de la relation $\mathrm {CA.CB={\overline {CI}}^{2},\ CI}$ lui sera tangente en $\mathrm {I.}$ Cela étant, les sinus des angles $\mathrm {CIA,CIM,}$ formés par cette tangente $\mathrm {CI}$ avec les cordes $\mathrm {IA,IM}$ seront entre eux comme ces cordes. Soit ${\frac {a}{c}}$ le rapport donné de ces sinus : on aura ainsi $\mathrm {\frac {IA}{IM}} ={\frac {a}{c}},$ de sorte que les trois droites $\mathrm {IA,IB,IM}$ seront constamment proportionnelles aux trois constantes $a,b,c.$
La circonférence qui passe par les trois points $\mathrm {A,B,I,}$ est divisée par ces points en trois arcs sur chacun desquels le point $\mathrm {M}$ peut également se trouver. Voilà donc trois cas distincts qu’il faut discuter séparément.
Premier cas (fig. 3). Le point $\mathrm {M}$ tombe sur l’arc $\mathrm {AB.}$
Les angles $\mathrm {AIB,AMB}$ étant alors supplémens l’un de l’autre ; prolongeons $\mathrm {BM}$ d’une longueur $\mathrm {MG}$ qui soit à $\mathrm {MA}$ dans le rapport donné de $b$ à $a$ ou de $\mathrm {IB}$ à $\mathrm {IA,}$ et soit menée $\mathrm {AG.}$ Les triangles $\mathrm {AIB,AMG}$ ayant un angle égal en $\mathrm {M}$ et $\mathrm {I,}$ compris entre deux côtés proportionnels, seront semblables ; d’où il suit que l’angle $\mathrm {MAG}$ sera égal à l’angle $\mathrm {IAB,}$ et par conséquent l’angle $\mathrm {BAG}$ égal à l’angle $\mathrm {IAM.}$ Les triangles $\mathrm {BAG,IAM}$ ayant en outre les angles $\mathrm {ABG,AIM}$ égaux sont donc semblables et donnent
$\mathrm {{\frac {BA}{BG}}={\frac {IA}{IM}}} ,\quad$
$\quad \mathrm {\frac {BA}{BG}} ={\frac {a}{c}}\,;$
donc $\mathrm {BG}$ est constante et donnée de grandeur. Or, on a
$\mathrm {BG=MB+MG} ,\qquad \mathrm {MG} ={\frac {b}{a}}\mathrm {MA} \,;$
ainsi
$\mathrm {MB} +{\frac {b}{a}}\mathrm {MA=BG} ,\quad$
$\quad a.\mathrm {MB} +b.\mathrm {MA} =c.\mathrm {AB} .\qquad$
Le lieu géométrique du point $\mathrm {M}$ est donc une courbe dans laquelle la somme des produits des rayons vecteurs, rapportés aux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ par deux constantes, est elle-même une quantité constante.
Deuxième cas (fig. 4). Le point $\mathrm {M}$ se trouve sur l’arc $\mathrm {AI.}$
Les angles $\mathrm {AIB,AMB}$ étant alors égaux entre eux, soit prise sur $\mathrm {MB,}$ prolongée, s’il est nécessaire, au-delà du point $\mathrm {B} ,$ une longueur $\mathrm {MG}$ qui soit à $\mathrm {MA}$ dans le rapport donné de $b$ à $a,$ et soit menée $\mathrm {AG.}$ Les triangles $\mathrm {AMG,AIB}$ ayant un angle égal en $\mathrm {M}$ et $\mathrm {I,}$ compris entre deux côtés proportionnels, seront semblables ; d’où il suit que l’angle $\mathrm {MAG}$ sera égal à l’angle $\mathrm {IAB,}$ et conséquemment plus petit que $\mathrm {MAB} \,;$ de sorte que $\mathrm {G}$ doit réellement tomber entre $\mathrm {M}$ et $\mathrm {B.}$ Ensuite l’angle $\mathrm {BAG}$ sera égal à l’angle $\mathrm {IAM} \,;$ et, comme les angles $\mathrm {ABG,AIM}$ sont aussi égaux, on voit que les triangles $\mathrm {BAG,IAM}$ sont aussi semblables, et donnent conséquemment
$\mathrm {{\frac {BA}{BG}}={\frac {IA}{IM}}} ,\quad$
$\quad \mathrm {\frac {BA}{BG}} ={\frac {a}{c}}\,;$
donc $\mathrm {BG}$ est constant et donné de grandeur. Or, on a
$\mathrm {BG=MB-MG,\qquad MG} ={\frac {b}{a}}\mathrm {MA} ,$
ainsi
$\mathrm {MB} -{\frac {b}{a}}\mathrm {MA=BG} ,\quad$
$\quad a.\mathrm {MB} -b.\mathrm {MA} =c.\mathrm {AB} .\qquad$
Le lieu géométrique du point $\mathrm {M}$ est donc une courbe dans laquelle la différence des produits des rayons vecteurs, rapportés aux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ par deux constantes est elle-même une quantité constante.
Troisième cas (fig. 5), Le point $\mathrm {M}$ tombe sur l’arc $\mathrm {BI.}$
Soit prise sur $\mathrm {BM,}$ prolongée, s’il est nécessaire, au-delà de $\mathrm {B}$ une longueur $\mathrm {MG} ={\frac {b}{a}}\mathrm {MA} ,$ et soit menée. Par là les triangles $\mathrm {AMG}$ et $\mathrm {AIB}$ seront semblables, l’angle $\mathrm {MAB}$ égal à l’angle $\mathrm {IAB,}$ et plus grand que l’angle $\mathrm {MAB} \,;$ de sorte que $\mathrm {G}$ doit réellement tomber sur le prolongement de $\mathrm {MB.}$ Ensuite, l’angle $\mathrm {BAG}$ sera égal à l’angle $\mathrm {IAM} \,;$ mais d’ailleurs les angles $\mathrm {ABG,AIM}$ sont égaux, comme ayant le même supplément $\mathrm {ABM} \,;$ donc les triangles $\mathrm {BAG,IAM}$ sont semblables et donnent
$\mathrm {{\frac {BA}{BG}}={\frac {IA}{IM}}} ,\quad$
$\quad \mathrm {\frac {BA}{BG}} ={\frac {a}{c}}\,;$
donc $\mathrm {BG}$ est constant et donné de grandeur. Or, onr a
$\mathrm {BG=MG-MB,\qquad MG} ={\frac {b}{a}}\mathrm {MA} ,$
ainsi
${\frac {b}{a}}\mathrm {MA} -\mathrm {MB=BG} ,\quad$
$\quad b.\mathrm {MA} -a.\mathrm {MB} =c.\mathrm {AB} .\qquad$
Le lieu géométrique du point $\mathrm {M}$ est donc encore ici une courbe dans laquelle la différence des produits des rayons vecteurs, rapportés aux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ par deux constantes est elle-même une quantité constante ; mais ici la différence est inverse de celle du cas précédent.
En résumé, nous voyons que le lieu géométrique du point $\mathrm {M}$ est une courbe telle que la somme ou la différence des produite des distances de ses points aux deux points fixes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ par deux coefficiens déterminés est constante et donnée de grandeur. Il sera donc toujours facile de construire cette courbe, d’après l’équation qui lui correspondra ; on trouvera que c’est une courbe du genre de l’ellipse ou de l’hyperbole, différant d’autant moins de l’une ou de l’autre de celles-ci que le rayon du cercle dont le centre est $\mathrm {C}$ sera plus grand par rapport à la distance du point $\mathrm {A}$ à sa circonférence, et qu’en même temps les deux coefficiens seront moins inégaux.
Nous allons faire voir présentement que la normale au point $\mathrm {M}$ de la courbe dont il s’agit coïncide avec le rayon réfracté $\mathrm {MI.}$ Soit en effet $\mathrm {MN}$ cette normale (fig. 3), la courbe répondant alors à l’équation (1). Comme on peut toujours, d’un point pris à volonté sur le plan d’une courbe, lui mener une ou plusieurs normales, supposons que la normale $\mathrm {MN}$ à la courbe proposée soit celle qui passe par un point fixe $\mathrm {P} ,$ pris sur son plan. D’après les théories connues, sa portion $\mathrm {PM}$ sera un minimum ou un maximum, entre toutes les droites que l’on peut mener du point $\mathrm {P}$ à la même courbe. Donc, en vertu de l’équation (1), la somme
$p.\mathrm {PM} +a.\mathrm {MB} +b.\mathrm {MA} ,$
dans laquelle $p$ est un coefficient constant arbitraire, sera aussi un minimum ou un maximum. De là résulte, suivant un théorème général que nous avons démontré ailleurs, que, si l’on applique au point $\mathrm {M}$ trois forces dirigées suivant les droites $\mathrm {PM,BM,AM}$ et proportionnelles aux quantités $p,a,b,$ respectivement, leur résultante sera dirigée suivant la normale $\mathrm {MN.}$ Or, l’une d’elles ayant déjà cette direction, les deux autres qui agissent suivant $\mathrm {BM}$ et $\mathrm {AM}$ devront aussi avoir leur résultante dirigée suivant $\mathrm {MN} ,$ avec laquelle elles feront des angles $\mathrm {BMN,AMN,}$ dont les sinus devront être conséquemment en raison inverse de leurs intensités, c’est-à-dire, dans le rapport de $b$ à $a.$ Mais $\mathrm {MI}$ fait avec $\mathrm {MB}$ et $\mathrm {MA}$ des angles dont les sinus sont entre eux comme les cordes $\mathrm {IB,IA}$ qui les sous-tendent, dans le cercle $\mathrm {AMB,}$ c’est-à-dire, dans le rapport de $b$ à $a\,;$ donc la normale $\mathrm {MN}$ coïncide avec $\mathrm {MI.}$ On démontrerait la même chose pour le cas des équations (2) et (3), (fig. 4 et 5).
Cette propriété fait voir que la courbe à laquelle sont tangens les rayons réfractés $\mathrm {IK}$ ou $\mathrm {IM,}$ est la développée de l’une des courbes (1), (2), (3) ; or, cette courbe n’est autre chose que la caustique formée par ces rayons réfractés, d’où il faut conclure que la caustique que forment les rayons lumineux qui émanent d’un point, après s’être réfractés à la rencontre d’une circonférence dans le plan de laquelle ce point se trouve situé, est la développée d’une courbe dont la propriété caractéristique est que la somme ou la différence des produits des distances de ses points au point lumineux et à son conjugué par rapport au cercle, par deux coefficiens constans est une quantité constante. Les courbes de ce genre ayant quelque ressemblance soit avec l’ellipse, soit avec l’hyperbole, on doit en conclure que les caustiques dont il s’agit ici ne doivent pas différer extrêmement des développées de ces deux courbes.
La proposition que nous venons d’établir doit maintenant être appliquée aux différentes circonstances que peut présenter la question.
Tout étant supposé comme ci-dessus (fig. 3), soit d’abord supposé le point $\mathrm {A}$ dans l’intérieur du cercle réfringent, ce qui donne $a<b.$ Élevons la perpendiculaire $\mathrm {AD}$ à l’axe $\mathrm {CA.}$ L’angle $\mathrm {CDB}$ étant égal à l’angle $\mathrm {CAD,\ BD}$ sera tangente au cercle $d\mathrm {D} \delta ,$ et l’angle $\mathrm {CDA=CBD,}$ sera la plus grande valeur que puisse prendre l’angle d’incidence $\mathrm {CIA,}$ qui est toujours égal à $\mathrm {CBI.}$ Concevons décrit le cercle $\mathrm {AIB,}$ pour chaque point $\mathrm {I}$ d’incidence ; il faudra supposer successivement que le point $\mathrm {I}$ tombe sur l’arc $\mathrm {dD} ,$ puis sur l’arc $\delta \mathrm {D} ,$ en se rappelant que l’angle $\mathrm {CIM}$ ne peut devenir obtus.
Si l’on a $c<a,$ il s’ensuit $\mathrm {IM<IA,}$ le point $\mathrm {M}$ tombe toujours sur l’arc $\mathrm {AI,}$ quel que soit $\mathrm {I} \,;$ la caustique formée par les rayons réfractés est alors la développée de la courbe (2).
Si l’on a $c>a$ et $<b,$ $\mathrm {IM}$ est compris entre $\mathrm {IA}$ et $\mathrm {IB,}$ le point $\mathrm {M}$ tombe sur l’arc $\mathrm {AB,}$ quel que soit $\mathrm {I} \,;$ la caustique répond alors à la courbe (1).
Soit enfin $c>a$ et $>b,$ d’où $\mathrm {IM>IA}$ et $>\mathrm {IB} .$ Si le point d’incidence tombe sur l’arc $\mathrm {dD,}$ on voit que la caustique est la développée de la courbe (1) ; et, s’il tombe sur $\delta \mathrm {D} ,$ elle devient celle de la courbe (3). L’angle d’incidence a ici une limite au-dessous de $\mathrm {CDA,}$ qu’on obtient en faisant $Sin.\mathrm {CIM} =1,$ dans la formule ${\frac {Sin.\mathrm {CIA} }{Sin.\mathrm {CIM} }}={\frac {a}{c}},$ d’où $Sin.\mathrm {CIA} ={\frac {a}{c}}<{\frac {a}{b}}$ ou $<Sin.\mathrm {CDA} .$
Examinons maintenant ce qui a lieu (fig. 4 et 5), quand le point $\mathrm {A}$ est extérieur au cercle, d’où résulte $a>b.$ Soit alors $\mathrm {AD}$ tangente au cercle $\mathrm {dD} \delta \,;$ il est clair que les rayons qui partent du point $\mathrm {A}$ ne pourront pas tomber, à la fois, sur les deux arcs $\mathrm {dD}$ et $\delta \mathrm {D} \,;$ ils tomberont seulement sur l’un ou sur l’autre. D’après cela, si l’on suppose décrit le cercle $\mathrm {AIB}$ pour chaque point $\mathrm {I,}$ en se rappelant que les angles $\mathrm {CIA,CIM}$ sont toujours de même espèce, et que le premier est obtus ou aigu, suivant que $\mathrm {I}$ tombe sur $\mathrm {dD}$ ou sur $\delta \mathrm {D} ,$ on parviendra aux résultats suivans.
Les rayons incidens tombant sur l’arc $\mathrm {dD,}$ si l’on a $c<a,$ la caustique est la développée de la courbe (2) ; mais, si l’on a $c>a,$ elle répondra à la courbe (1) ; les rayons incidens susceptibles de réfraction n’atteindront pas $\mathrm {AD,}$ et leur limite sera donnée par la formule $Sin.\mathrm {CIA} ={\frac {a}{c}}.$
Les rayons incidens tombant sur l’arc $\delta \mathrm {D} ,$ si l’on a $c<a,$ la caustique se rapporte à la courbe (1) ou à la courbe (3), suivant qu’on a $c>$ ou $<b.$ Mais $c>a$ se rapporte à la courbe (2). Dans ce dernier cas, l’angle d’incidence $\mathrm {CIA}$ a une limite au-dessous de l’angle droit $\mathrm {CDA,}$ donnée par la formule $Sin.\mathrm {CIA} ={\frac {a}{c}}.$
Outre les suppositions que nous venons de parcourir, il reste celle de $c=b.$ Nous avons vu qu’alors, tant que les rayons incidens tombent sur l’arc $\delta \mathrm {D} ,$ la caustique se réduit à un point unique $\mathrm {B} \,;$ mais, à l’égard de ceux qui tombent sur l’autre arc $\mathrm {dD,}$ la caustique devient la développée de la courbe (1) ou de la courbe (2), suivant que le point $\mathrm {A}$ est intérieur ou extérieur au cercle $\mathrm {dD} \delta .$
Pour compléter ces recherches, nous allons encore considérer la surface sphérique comme surface réfléchissante, ou, ce qui revient au même, le cercle comme courbe réfléchissante, et nous ferons connaître la nature de la caustique que forment alors les rayons réfléchis.
En admettant les mêmes notations et constructions que ci-dessus, on parvient aisément alors aux conclusions que voici :
Si la distance du point $\mathrm {A}$ au centre du miroir est plus petite que son rayon, la caustique formée par les rayons réfléchis est la développée de la courbe définie par l’équation ${\frac {b}{a}}\mathrm {MA-MB=AB} .$
Si la distance du point $\mathrm {A}$ au centre du miroir est plus grande que son rayon, la caustique est la développée de la courbe $\mathrm {MB} +{\frac {b}{a}}\mathrm {MA=AB}$ ou de la courbe $\mathrm {MB} -{\frac {b}{a}}=\mathrm {AB} ,$ suivant que le miroir est convexe ou concave à l’égard du point $\mathrm {A.}$
Il convient de rappeler ici une autre propriété optique dont jouissent en commun les courbes désignées par (2) et (3) dans ce qui précède, et qui se trouve énoncée dans les Œuvres de Descartes ; propriété qui découle de celle que nous avons exposée relativement aux normales de ces courbes. En voici l’énoncé. Soient $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ deux points donnés de position, et soit ${\frac {b}{a}}$ un rapport donné ; soit construite une courbe telle que, pour chacun de ses points $\mathrm {M,}$ la quantité $b.\mathrm {MA} -a.\mathrm {MB}$ soit égale à une constante arbitraire qu’on peut prendre positive, négative ou nulle. Si des rayons lumineux, partant du point $\mathrm {A,}$ se réfractent à la rencontre de cette courbe, de telle sorte que les sinus des angles d’incidence et de réfraction soient entre eux dans le rapport donné de $a$ à $b,$ les directions des rayons réfractés convergeront vers le point fixe $B$.
* ↑ Voyez le mémoire inséré à la page 229 du XI.e volume du présent recueil.J. D. G.
* ↑ Nous aurions déjà annoncé cet intéressant mémoire que nous n’avons reçu au surplus que depuis peu, si nous n’avions voulu faire connaître en même temps quelques résultats sur le même sujet que nous avons obtenus depuis long-temps, mais que le défaut de loisir nous a empêché jusqu’ici de mettre en ordre.J. D. G.
* ↑ Voyez tom. XIV, pag. 115.
* ↑ Si l’on voulait faire usage du calcul différentiel, on aurait ; en nommant $r,r'$ les droites $\mathrm {MA,MB,}$ et $\operatorname {d} s$ l’élément de la courbe $br\pm ar'=Const.\quad$d’où$\quad b{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} s}}\pm a{\frac {\operatorname {d} r'}{\operatorname {d} s}}=0\,;$ or, ${\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} s}}$ et ${\frac {\operatorname {d} r'}{\operatorname {d} s}}$ sont les sinus des angles que fait la normale avec les rayons vecteurs $r$ et $r'\,;$ donc, etc.
* ↑ Ce qui précède nous conduit à une construction assez simple des courbes (1), (2), (3). Soit prise (fig. 6) sur la direction de $\mathrm {IA}$ une longueur $\mathrm {IM'=IM,}$ et soit $\mathrm {M'C',}$ parallèle à $\mathrm {CI,}$ qui coupe en $C'$ la direction de $\mathrm {CA.}$ On a d’abord $\mathrm {\frac {IA}{IM'}} ={\frac {a}{c}},\quad$d’où$\quad \mathrm {\frac {IA}{M'A}} ={\frac {a}{c-a}}.$ les triangles $\mathrm {CIA,C'M'A}$ donnent ensuite $\mathrm {{\frac {CA}{C'A}}={\frac {CI}{C'M'}}={\frac {IA}{M'A}}} ={\frac {a}{c-a}}\,;$ donc le point $\mathrm {C} '$ est donné de position et la distance $\mathrm {C'M'}$ donnée de grandeur ; de sorte que le point $\mathrm {M'}$ appartient à une circonférence de cercle dont on connaît le centre $\mathrm {C'}$ et le rayon. Ainsi, décrivons un cercle dont le centre $\mathrm {C'}$ et le rayon $\mathrm {C'M'}$ soient déterminés par les proportions $\mathrm {\frac {CA}{CC'}} ={\frac {a}{c}},\quad$et$\quad \mathrm {{\frac {CI}{C'M'}}={\frac {CA}{C'A}}} ={\frac {a}{c-a}}\,;$ le point $\mathrm {A}$ sera un centre de similitude des cercles dont $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ sont les centres. Soient menées par ce point $\mathrm {A}$ des droites $\mathrm {IM} '$ qui coupent ces deux cercles en des points corrélatifs $\mathrm {I}$ et $\mathrm {M} ',$ de sorte que les rayons $\mathrm {CI,C'M'}$ soient parallèles entre eux ; puis, faisant passer par les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ une suite de cercles $\mathrm {AIB,}$ prenons sur chacun d’eux une corde $\mathrm {IM}$ égale à $\mathrm {IM',}$ tellement que l’angle $\mathrm {CIM}$ soit de même espèce que $\mathrm {CIA} \,;$ nous obtiendrons, par cette construction, tous les points $\mathrm {M}$ de la courbe demandée, et toutes ses normales $\mathrm {MI.}$ Une construction analogue, indiquée (fig. 2), a lieu relativement à l’ellipse et à l’hyperbole dont il a été question (fig. 1 et 2).
* ↑ Nous avons déjà insinué ailleurs (tom. V, pag. 289) qu’il se pourrait bien que la plupart des caustiques, d’ordinaire d’une figure si compliquée, ne fussent que des développées de courbes beaucoup plus simples. Cette pensée semble avoir présidé au beau travail qu’on vient de lire ; et c’est sans doute ce qui a conduit son estimable auteur aux élégans résultats auxquels il est parvenu, et qui jettent tant de jour sur un des plus épineux sujets que puisse offrir l’analise appliquées. J. D. G.