# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Analise transcendante, article 6
## ANALISE TRANSCENDANTE.
### Note sur l’intégration d’une classe particulière d’équations ;

Soit une équation différentielle du premier ordre de la forme
$\operatorname {F} (x-M,y-N)=0,\qquad$
dans laquelle $M$ et $N$ sont supposées des fonctions de $p$ ou ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\,;$ si ces fonctions sont telles qu’on ait
$\left({\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} p}}\right)=p\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} p}}\right),\qquad$
l’intégration pourra être exécutée avec la plus grande facilité, ainsi qu’on va le voir.
En différentiant la proposée, elle prendra la forme
$G\operatorname {d} x+H\operatorname {d} y-G{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p-H{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p=0\,;\qquad$
$G$ et $H$ étant des fonctions de $x-M$ et $y-N.$ Remplaçant dans cette équation $\operatorname {d} y$ par $\operatorname {d} x$ et ${\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} p}}$ par $p{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} p}},$ elle deviendra
$(G+Hp)\operatorname {d} x-(G+Hp){\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p=0,$
ou bien
$(G+Hp)\left(\operatorname {d} x-{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p\right)=0\,;$
équation qui est satisfaite en posant
$\operatorname {d} x={\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p,$
d’où
$x=M+a.\qquad$
Si, dans la même équation (3), on met pour $\operatorname {d} x$ sa valeur ${\frac {\operatorname {d} y}{p}},$ et pour ${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} p}}$ sa valeur ${\frac {1}{p}}.{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} p}},$ elle deviendra
$(G+Hp)\operatorname {d} y-(G+Hp){\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p=0.$
ou bien
$(G+Hp)\left(\operatorname {d} y-{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p\right)=0\,;$
équation qui est satisfaite en posant
$\operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p,$
d’où
$y=N+b\,;\qquad$
donc l’intégrale complète de l’équation (1) résultera de l’élimination de $p$ entre les équations (4) et (5). Cette équation renfermera deux constantes arbitraires $a$ et $b\,;$ mais elles n’équivaudront réellement qu’à une seule ; car, en mettant pour $x$ et $y$ dans l’équation (1) les valeurs données par les équations (4) et (5), on obtient entre ces deux constantes, l’équation de relation
$\operatorname {F} (a,b)=0.$
Soit prise, pour exemple, l’équation
$y-p^{2}=\operatorname {Log} .(x-2p),$
dans laquelle les fonctions $p.$ et $2p$ satisfont à la condition que nous avons supposé avoir lieu. Pour en avoir l’intégrale, il suffira d’éliminer $p$ entre les deux équations
$x=2p+a,\qquad y=p^{2}+b,$
ce qui donnera
$4(y-b)=(x-a)^{2}\,;$
équation dans laquelle les deux constantes $a$ et $b$ seront liées par la relation $b=\operatorname {Log} .a\,;$ de sorte qu’on pourra écrire
$4(y-\operatorname {Log} .a)=(x-a)^{2},$
comme on peut d’ailleurs le vérifier par la différentiation et l’élimination de $a$.
La classe d’équations que nous venons de considérer comprend toutes celles dont l’intégrale complète représente une suite de courbes égales et parallèles.
* ↑ Ce problème est l’inverse de celui qui a été traité à la page 294 du précédent volume.J. D. G.