# Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur le Problème de Képler
### SUR LE PROBLÈME DE KÉPLER.

Ce Problème consiste, comme on sait, à couper l’aire elliptique en raison donnée, et sert principalement à déterminer l’anomalie vraie des planètes par leur anomalie moyenne. Depuis Képler, qui a le premier essayé de le résoudre, plusieurs savants Géomètres s’y sont appliqués et en ont donné différentes solutions qu’on peut ranger dans trois classes. Les unes sont simplement arithmétiques et sont fondées sur la règle de fausse position ce sont celles dont les Astronomes se servent ordinairement dans le calcul des éléments des planètes ; les autres sont géométriques ou mécaniques, et dépendent de l’intersection des courbes celles-ci sont plutôt de simple curiosité que d’usage dans l’Astronomie ; la troisième classe enfin comprend les solutions algébriques, qui donnent l’expression analytique de l’anomalie vraie par l’anomalie moyenne, aussi bien que celle du rayon vecteur de l’orbite, expressions qui sont d’un usage continuel et indispensable dans la théorie des perturbations des corps célestes.
L’équation, par laquelle on doit déterminer la relation qui a lieu entre l’anomalie moyenne et l’anomalie vraie, est transcendante et ne peut par conséquent être résolue que par approximation, de sorte qu’on est obligé d’avoir recours aux suites infinies : or on ne peut déterminer directement que l’anomalie moyenne par l’anomalie vraie ; et pour avoir l’expression de celle-ci par le moyen de celle-là, il faut employer la méthode du retour des suites, qui est non-seulement longue et pénible, mais qui a aussi l’inconvénient de donner des séries irrégulières où l’on ne saurait connaître la loi des termes. J’ai donné, dans un Mémoire imprimé dans le volume de l’année 1768, une méthode particulière pour résoudre, par le moyen des séries, toutes les équations, soit algébriques ou transcendantes ; comme cette méthode joint à l’avantage de la facilité et de la simplicité du calcul celui de donner toujours des séries régulières et dont le terme général soit connu, j’ai cru qu’il ne serait pas inutile d’en faire l’application au fameux Problème de Képler, et de fournir par là aux Astronomes des formules plus générales que celles qu’ils ont eues jusqu’à présent pour la solution de ce Problème c’est là l’objet du présent Mémoire
Soit $\mathrm {ABD}$ une demi-ellipse dont le grand axe $\mathrm {AD}$ est égal à $2a,$ le demi-petit axe $\mathrm {CB}$ égal à $ma,$ la demi-excentricité $\mathrm {CF}$ égale à $na=a{\sqrt {1-m^{2}}},$
en sorte que $n={\sqrt {1-m^{2}}}\,;$ soit de plus le rayon vecteur $\mathrm {FL}$ égal à $ar,$ l’angle de l’anomalie vraie $\mathrm {DFL}$ égal à $u,$ le rapport de l’aire entière de l’ellipse à l’aire $\mathrm {DFL}$ comme l’angle de quatre droits, que je nomme $\varpi ,$ à l’angle $t$ qui sera par conséquent l’angle de l’anomalie moyenne ; il s’agit de déterminer tant $r$ que $u$ par $t.$
Pour cela on décrira sur le grand axe $\mathrm {AD}$ le demi-cercle $\mathrm {AED} ,$ et ayant mené par le point $\mathrm {L}$ la droite $\mathrm {NLM}$ perpendiculaire à $\mathrm {AD} ,$ et tiré par $\mathrm {N}$ les droites $\mathrm {NF}$ et $\mathrm {NC} ,$ on considérera que par la nature de l’ellipse l’aire elliptique $\mathrm {DFL}$ a à l’aire $\mathrm {DFN}$ la même proportion que l’aire entière de l’ellipse a à l’aire entière du cercle, laquelle est ${\frac {a^{2}\varpi }{2}},$ de sorte qu’on aura aussi
$\varpi :t={\frac {a^{2}\varpi }{2}}:\mathrm {DFN} ,$
et par conséquent
$t={\frac {2\mathrm {DFN} }{a^{2}}}.$
Or, nommant $x$ l’angle $\mathrm {DCN}$ qu’on appelle, d’après Képler, l’anomalie de l’excentrique, on aura
$\mathrm {CM} =a\cos x,\quad \mathrm {MN} =a\sin x,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {ML} =ma\sin x\,;$
donc
$\mathrm {DFN=DCN+FCN=DCN+{\frac {FC\times MN}{2}}} ={\frac {a^{2}x}{2}}+{\frac {na^{2}\sin x}{2}},$
donc
$t=x+n\sin x.$
Maintenant on aura
$\mathrm {FL} =ar=\mathrm {\sqrt {{\overline {FM}}^{2}+{\overline {ML}}^{2}}} =a{\sqrt {(a+\cos x)^{2}+m^{2}\sin ^{2}x}},$
et, à cause de $m^{2}=1-n^{2},$
$ar=a{\sqrt {1+2n\cos x+n^{2}\cos ^{2}x}}=a(1+n\cos x)\,;$
donc
$r=1+n\cos x.$
De là on aura
${\begin{aligned}\sin u=&\mathrm {\frac {ML}{LF}} ={\frac {m\sin x}{1+n\cos x}},\\\\\cos u=&\mathrm {\frac {FM}{LF}} ={\frac {n+\cos x}{1+n\cos x}},\end{aligned}}$
donc
${\frac {\sin u}{1+\cos u}}={\frac {m}{1+m}}{\frac {\sin x}{1+\cos x}},$
ou bien
$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u={\frac {m}{1+m}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}x.$
Si l’on voulait avoir l’expression de l’angle $u,$ on différentierait cette équation, ce qui donnerait
${\frac {du}{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}u}}={\frac {m}{1+n}}{\frac {dx}{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}x}},$
ou bien
${\frac {du}{1+\cos u}}={\frac {m}{1+n}}{\frac {dx}{1+\cos x}},$
et, substituant pour $1+\cos u$ sa valeur $(1+n){\frac {1+\cos x}{1+n\cos x}},$ on aurait
$du={\frac {mdx}{1+n\cos x}}.$
Ainsi l’on aura d’abord $x$ en $t,$ et ensuite $r$ et $u$ en $x.$
Il faut donc commencer par tirer la valeur de $x$ de l’équation
$t=x+n\sin x,$
ce qui ne peut se faire que par approximation ; or, de toutes les méthodes connues d’approximation, je crois que la plus simple et la plus générale est celle que j’ai exposée dans mon Mémoire sur la résolution des équations littérales. J’ai prouvé dans ce Mémoire que si l’on a une équation quelconque, telle que
$\alpha -x+\varphi (x)=0$
[$\varphi (x)$ dénotant une fonction quelconque de $x$], et qu’on veuille avoir la valeur d’une autre fonction quelconque de $x,$ telle que $\psi (x),$ faisant ${\frac {d\psi (x)}{dx}}=\psi '(x),$ la série
$\psi (x)+\varphi (x)\psi '(x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d[\varphi (x)]^{2}\psi '(x)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}[\varphi (x)]^{3}\psi '(x)}{dx^{2}}}+\ldots$
exprimera la fonction cherchée, en y mettant après les différentiations, à la place de $x.$ D’où il suit qu’ayant l’équation
$t=x-\varphi (x),$
$\psi (x)=\psi (t)-\varphi (t)\psi '(t)+{\frac {1}{2}}{\frac {d[\varphi (t)]^{2}\psi '(t)}{dt}}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}[\varphi (t)]^{3}\psi '(t)}{dt^{2}}}+\ldots .$
Ainsi, faisant $\varphi (x)=n\sin x,$ notre équation
$t=x+n\sin x$
donnera sur-le-champ
$\psi (x)=\psi (t)-n\sin t\psi '(t)+{\frac {n^{2}}{2}}{\frac {d\sin ^{2}t\psi '(t)}{dt}}-{\frac {n^{3}}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{3}t\psi '(t)}{dt^{2}}}+\ldots ,$
de sorte qu’il n’y aura plus qu’à exécuter les différentiations indiquées en prenant $dt$ constant.
Supposons premièrement $\psi (x)=x$ pour avoir la valeur de $x$ en $t,$ et l’on aura $\psi (t)=t,\ \psi '(t)=1,$ et par conséquent
$x=t-n\sin t+{\frac {n^{2}}{2}}{\frac {d\sin ^{2}t}{dt}}-{\frac {n^{3}}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{3}t}{dt^{2}}}+\ldots .$
Pour pouvoir trouver facilement les valeurs des différentielles des puissances de $\sin t,$ il sera à propos de réduire ces puissances en simples sinus ou cosinus d’angles multiples de $t.$ Or on sait que
${\begin{aligned}2\sin ^{2}t&={\frac {2}{2}}-\cos 2t,\\4\sin ^{3}t&=3\sin t-\sin 3t,\\8\sin ^{4}t&={\frac {4.3}{2.2}}-4\cos 2t+\cos 4t,\\16\sin ^{5}t&={\frac {5.4}{2}}\sin t-5\sin 3t+\sin 5t,\\32\sin ^{6}t&={\frac {6.5.4}{2.2.3}}-{\frac {6.5}{2}}\cos 2t+6\cos 4t-\cos 6t,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Donc, substituant ces valeurs dans la formule précédente et faisant les
${\begin{aligned}x=&t-n\sin t+{\frac {n^{2}}{2\times 2}}2\sin 2t\\&+{\frac {n^{3}}{4\times 2.3}}\left(3\sin t-3^{2}\sin 3t\right)\\&-{\frac {n^{4}}{8\times 2.3.4}}\left(4.2^{3}.\sin 2t-4^{3}\sin 4t\right)\\&-{\frac {n^{5}}{16\times 2.3.4.5}}\left({\frac {5.4}{2}}\sin t-5.3^{4}.\sin 3t+5^{4}\sin 5t\right)\\&-{\frac {n^{6}}{32\times 2.3.4.5.6}}\left({\frac {6.5}{2}}2^{5}\sin 2t-6.4^{5}.\sin 4t+6^{5}\sin 6t\right)\\&-{\frac {n^{7}}{64\times 2.3.4.5.6.7}}\left({\frac {7.6.5}{2.3}}\sin t-{\frac {7.6}{2}}3^{6}\sin 3t+7.5^{6}.\sin 5t-7^{6}\sin 7t\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Ainsi l’on connaîtra l’anomalie de l’excentrique $x$ par l’anomalie moyenne $t,$ ensuite de quoi on pourra trouver le rayon vecteur $r$ et l’anomalie vraie $u$ par les formules
$r=1+n\cos x,\quad {\text{et}}\quad \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u={\frac {m}{1+n}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}x\,;$
mais on peut aussi trouver les valeurs de $r$ et de $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u$ directement de la manière suivante.
Il est clair que pour avoir la valeur de
$r=1+n\cos x,$
il n’y aura qu’à faire dans la formule générale de l’Articte II $\psi (x)=n\cos x,$ ce qui donnera $\psi (t)=n\cos t$ et $\psi '(t)=-n\sin t,$ de sorte qu’on aura sur-le-champ
$r=1+n\cos t+n^{2}\sin ^{2}t-{\frac {n^{3}}{2}}{\frac {d\sin ^{3}t}{dt}}++{\frac {n^{4}}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{4}t}{dt^{2}}}-\ldots .$
Donc, substituant les valeurs de $\sin ^{2}t,\sin ^{3}t,\ldots$ en sinus et cosinus
$t,$
${\begin{aligned}r=&1+n\cos t-{\frac {n^{2}}{2}}(-1+\cos 2t)\\&-{\frac {n^{3}}{4\times 2}}\left(3\cos t-3\cos 3t\right)\\&+{\frac {n^{4}}{8\times 2.3}}\left(4.2^{2}.\cos 2t-4^{2}\cos 4t\right)\\&+{\frac {n^{5}}{16\times 2.3.4}}\left({\frac {5.4}{2}}\cos t-5.3^{3}.\cos 3t+5^{3}\cos 5t\right)\\&-{\frac {n^{6}}{32\times 2.3.4.5}}\left({\frac {6.5}{2}}2^{4}\cos 2t-6.4^{4}.\cos 4t+6^{4}\cos 6t\right)\\&-{\frac {n^{7}}{64\times 2.3\ldots 6}}\left({\frac {7.6.5}{2.3}}\cos t-{\frac {7.6}{2}}3^{5}\cos 3t+7.5^{5}.\cos 5t-7^{5}\cos 7t\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
De même, pour avoir la valeur de $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u,$ on fera
$\psi (x)={\frac {m}{1+n}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}x=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u\,;$
par conséquent aussi
$\psi (t)={\frac {m}{1+n}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t,$
ce qui donnera
$\psi '(t)={\frac {m}{1+n}}{\frac {1}{2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}t}}={\frac {m}{1+n}}{\frac {1}{1+\cos t}}={\frac {m}{1+n}}{\frac {1-\cos t}{\sin ^{2}t}}.$
Donc, substituant ces valeurs dans la formule de l’Article II, on aura
$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u={\frac {m}{1+n}}\left[\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t-n{\frac {1-\cos t}{\sin t}}+{\frac {n^{2}}{2}}{\frac {d(1-\cos t)}{dt}}\right.$
$-{\frac {n^{3}}{2.3}}{\frac {d^{2}(1-\cos t)\sin t}{dt^{2}}}+{\frac {n^{4}}{2.3.4}}{\frac {d^{3}(1-\cos t)\sin ^{2}t}{dt^{3}}}$
$\left.-{\frac {n^{5}}{2.3.4.5}}{\frac {d^{4}(1-\cos t)\sin ^{3}t}{dt^{4}}}+\ldots \right]\,;$
${\frac {1-\cos t}{\sin t}}=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t,\quad \cos t={\frac {d\sin t}{dt}},$
de sorte que l’équation précédente deviendra
$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u={\frac {m}{1+n}}\left[(1-n)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t\right.$
$-\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n^{3}}{2.3}}\right){\frac {d^{2}\sin t}{dt^{2}}}+\left({\frac {n^{3}}{2\times 2.3}}+{\frac {n^{4}}{2.3.4}}\right){\frac {d^{3}\sin ^{2}t}{dt^{3}}}$
$\left.-\left({\frac {n^{4}}{3\times 2.3.4}}+{\frac {n^{5}}{2.3.4.5}}\right){\frac {d^{4}\sin ^{3}t}{dt^{4}}}+\ldots \right].$
d’où l’on aura
$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u={\frac {m}{1+n}}\left[(1-n)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t\right.$
${\begin{aligned}&+{\frac {n^{2}}{2}}\left(1+{\frac {n}{3}}\right)\sin t-{\frac {n^{3}}{2\times 2.3}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {n}{4}}\right)2^{3}\sin 2t\\&-{\frac {n^{4}}{4\times 2.3.4}}\left({\frac {1}{3}}+{\frac {n}{5}}\right)\left(3\sin t-3^{4}\sin 3t\right)\\&+{\frac {n^{5}}{8\times 2.3.4.5}}\left({\frac {1}{4}}+{\frac {n}{6}}\right)\left(4.2^{5}.\sin 2t-4^{5}\sin 4t\right)\\&+{\frac {n^{6}}{16\times 2.3\ldots 6}}\left({\frac {1}{5}}+{\frac {n}{7}}\right)\left({\frac {5.4}{2}}\sin t-5.3^{6}\sin 3t+5^{6}\sin 5t\right)\\&{\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}$
Si l’on voulait avoir la valeur de l’angle même $u,$ il faudrait faire (Article II)
$\psi (x)=m\int {\frac {dx}{1+n\cos x}}=u\,;$
donc
$\psi (t)=\int {\frac {dt}{1+n\cos t}}\quad {\text{et}}\quad \psi '(t)={\frac {m}{1+n\cos t}}\,;$
${\frac {1}{1+n\cos t}}=1-n\cos t+n^{2}\cos ^{2}t-n^{3}\cos ^{3}t+n^{4}\cos ^{4}t-\ldots \,;$
donc, substituant ces valeurs dans la formule de l’Article II, et ordonnant les termes par rapport à $n,$ on aura
$u=m\left\{t-n\left(\int \cos tdt+\sin t\right)\right.$
${\begin{aligned}&+n^{2}\left(\int \cos ^{2}tdt+\cos t\sin t+{\frac {1}{2}}{\frac {d\sin ^{2}t}{dt}}\right)\\&-n^{3}\left[\int \cos ^{3}tdt+\cos ^{2}t\sin t+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\cos t\sin ^{2}t\right)}{dt}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{3}t}{dt^{2}}}\right]\\&+n^{4}\left[\int \cos ^{4}tdt+\cos ^{3}t\sin t+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\cos ^{2}t\sin ^{2}t\right)}{dt}}\right.\\\end{aligned}}$
$+\left.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\cos t\sin ^{3}t\right)}{dt^{2}}}\left.+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}\sin ^{4}t}{dt^{3}}}\right]+\ldots \right\$
et il ne s’agira plus que d’exécuter les intégrations et les différentiations indiquées, ce qui sera facile dès qu’on aura réduit les produits des sinus et cosinus de $t$ à des sinus et cosinus d’angles multiples de $t.$
Mais, pour rendre le calcul plus simple, il est bon de faire en sorte que l’expression de $u$ ne contienne, que des puissances de $\sin t\,;$ c’est pourquoi on changera la quantité ${\frac {1}{1+n\cos t}}$ en celle-ci (Article I)
${\frac {1-n\cos t}{1-n^{2}\cos t}}={\frac {1-n\cos t}{1-n^{2}+n^{2}\sin t}}={\frac {1-n\cos t}{m^{2}+n^{2}\sin ^{2}t}},$
laquelle, étant ensuite réduite en série, donnera
${\begin{aligned}{\frac {1}{1+n\cos t}}=&{\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {n\cos t}{m^{2}}}-{\frac {n^{2}\sin ^{2}t}{m^{4}}}+{\frac {n^{3}\sin ^{2}t\cos t}{m^{4}}}\\&+{\frac {n^{4}\sin ^{4}t}{m^{6}}}-{\frac {n^{5}\sin ^{4}t\cos t}{m^{6}}}-{\frac {n^{6}\sin ^{6}t}{m^{8}}}+\ldots ,\end{aligned}}$
$u={\frac {t}{m}}-{\frac {2n}{m}}sinnt$
${\begin{aligned}&-{\frac {n^{2}}{2}}\left({\frac {2}{m^{3}}}\int \sin ^{2}tdt-{\frac {4}{2m}}{\frac {d\sin ^{2}t}{dt}}\right)\\&+{\frac {n^{3}}{3}}\left({\frac {4}{m^{3}}}\sin ^{3}tdt-{\frac {6}{2.3.m}}{\frac {d^{2}\sin ^{3}t}{dt^{2}}}\right)\\&+{\frac {n^{4}}{4}}\left({\frac {4}{m^{5}}}\int \sin ^{4}tdt-{\frac {6}{2m^{3}}}{\frac {d\sin ^{4}t}{dt}}+{\frac {8}{2.3.4.m}}{\frac {d^{3}\sin ^{4}t}{dt^{3}}}\right)\\&-{\frac {n^{5}}{5}}\left({\frac {6}{m^{5}}}\sin ^{5}t-{\frac {8}{2.3.m^{3}}}{\frac {d^{2}\sin ^{5}t}{dt^{2}}}+{\frac {10}{2.3.4.5.m}}{\frac {d^{4}\sin ^{5}t}{dt^{4}}}\right)\\&+{\frac {n^{6}}{6}}\left({\frac {6}{m^{7}}}\int \sin ^{6}tdt-{\frac {8}{2.m^{5}}}{\frac {d\sin ^{6}t}{dt}}+{\frac {10}{2.3.4.m^{3}}}{\frac {d^{3}\sin ^{6}t}{dt^{3}}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {12}{2.3.4.5.6.m}}{\frac {d^{5}\sin ^{6}t}{dt^{5}}}\right)\\&+{\frac {n^{7}}{7}}\left({\frac {8}{m^{7}}}\sin ^{7}t-{\frac {10}{2.3.m^{5}}}{\frac {d^{2}\sin ^{7}t}{dt^{2}}}+{\frac {12}{2.3.4.5.m^{3}}}{\frac {d^{4}\sin ^{7}t}{dt^{4}}}\right.\end{aligned}}$
$\left.-{\frac {14}{2.3.4.5.6.7.m}}{\frac {d^{6}\sin ^{7}t}{dt^{6}}}\right)$
$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$
Réduisant maintenant les puissances de $\sin t$ en sinus et cosinus de multiples de $t$ par les formules de l’Article III et exécutant les intégrations et les différentiations indiquées, on aura
${\begin{aligned}u=&{\frac {t}{m}}-{\frac {2n}{m}}\sin t\\&-{\frac {n^{2}}{2.2}}\left[{\frac {2.2}{2m^{3}}}t-\left({\frac {2}{2m^{3}}}+{\frac {4.2}{2m}}\right)\sin 2t\right]\\&+{\frac {n^{3}}{4.3}}\left[3\left({\frac {4}{m^{3}}}+{\frac {6}{2.3.m}}\right)\sin t-\left({\frac {4}{m^{3}}}+{\frac {6.3^{2}}{2.3.m}}\right)\sin 3t\right]\\&+{\frac {n^{4}}{8.4}}\left[{\frac {4.4.3}{2.2.m^{5}}}t-4\left({\frac {4}{2m^{5}}}+{\frac {6.2}{2m^{3}}}+{\frac {8.2^{3}}{2.3.4.m}}\right)\sin 2t\right.\end{aligned}}$
$\left.+\left({\frac {4}{4m^{5}}}+{\frac {6.4}{2m^{3}}}+{\frac {8.4^{3}}{2.3.4.m}}\right)\sin 4t\right]$
${\begin{aligned}-{\frac {n^{5}}{16.5}}&\left[{\frac {5.4}{2}}\left({\frac {6}{m^{5}}}+{\frac {8}{2.3.m^{3}}}+{\frac {10}{2.3.4.5.m}}\right)\sin t\right.\\&\,\ \ -5\left({\frac {6}{m^{5}}}+{\frac {8.3^{2}}{2.3.m^{3}}}+{\frac {10.3^{4}}{2.3.4.5.m}}\right)\sin 3t\\&\quad \ +\left.\left({\frac {6}{m^{5}}}+{\frac {8.5^{2}}{2.3.m^{3}}}+{\frac {10.5^{4}}{2.3.4.5.m}}\right)\sin 5t\right]\\\end{aligned}}$
$-{\frac {n^{6}}{32.6}}\times$
${\begin{aligned}\left[{\frac {6.6.5.4}{2.2.3.m^{7}}}t-{\frac {6.5}{2}}\left({\frac {6}{2m^{7}}}+{\frac {8.2}{2m^{5}}}+{\frac {10.2^{3}}{2.3.4.m^{3}}}+{\frac {12.2^{5}}{2.3\ldots 6.m}}\right)\sin 2t\right.\ \ &\\\quad +6\left({\frac {6}{4m^{7}}}+{\frac {8.4}{2m^{5}}}+{\frac {10.4^{3}}{2.3.4.m^{3}}}+{\frac {12.4^{5}}{2.3\ldots 6.m}}\right)\sin 4t\ \ &\\\quad -\left.\left({\frac {6}{6m^{7}}}+{\frac {8.6}{2m^{5}}}+{\frac {10.6^{3}}{2.3.4.m^{3}}}+{\frac {12.6^{5}}{2.3\ldots 6.m}}\right)\sin 6t\right]&\end{aligned}}$
Nous avons donné plus haut (Article V) la valeur de $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u\,;$ si l’on voulait aussi avoir celle du logarithme de la même tangente, on la trouverait avec la même facilité en faisant
$\psi (x)=\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u=\log \left({\frac {m}{1+n}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}x\right),$
et par conséquent
$\psi (t)=\log {\frac {m}{1+n}}+\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t\quad {\text{et}}\quad \psi '(t)={\frac {1}{\sin t}}\,;$
ce qui étant substitué dans la formule de l’Article II on aurait
${\begin{aligned}\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u=&\log {\frac {m}{1+n}}+\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t-n+{\frac {n^{2}}{2}}{\frac {d\sin t}{dt}}\\&-{\frac {n^{3}}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{2}t}{dt^{2}}}+{\frac {n^{4}}{2.3.4}}{\frac {d^{3}\sin ^{3}t}{dt^{3}}}-\ldots ,\end{aligned}}$
c’est-à-dire, en réduisant les puissances de $\sin t$ en sinus et cosinus de
$t,$
$\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u=\log {\frac {m}{1+n}}+\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t-n$
${\begin{aligned}&+{\frac {n^{2}}{2}}\cos t\\&-{\frac {n^{3}}{2\times 2.3}}2^{2}\cos 2t\\&-{\frac {n^{4}}{4\times 2.3.4}}\left(3\cos t-3^{3}\cos 3t\right)\\&+{\frac {n^{5}}{8\times 2.3.4.5}}\left(4.2^{4}.\cos 2t-4^{4}\cos 4t\right)\\&+{\frac {n^{6}}{16\times 2.3.4.5.6}}\left({\frac {5.4}{2}}\cos t-5.3^{5}.\cos 3t+5^{5}\cos 5t\right)\\&-{\frac {n^{7}}{32\times 2.3\ldots 7}}\left({\frac {6.5}{2}}2^{6}\cos 2t-6.4^{6}.\cos 4t+6^{6}\cos 6t\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$
Les séries que nous venons de trouver dans les Articles précédents sont ordonnées par rapport aux puissances de l’excentricité $n$ or, comme leur loi est assez claire, il ne serait pas difficile de les ordonner par rapport aux sinus ou cosinus des angles multiples de $t,$ ainsi qu’on le pratique communément ; cependant, pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, je vais donner ici d’autres séries équivalentes à celles-là, et disposées de cette dernière manière.
Pour y parvenir je remarque (comme je l’ai déjà fait dans le Mémoire cité, n$^o$ 17) que, si l’on prend la fraction
${\frac {\psi '(t)}{z\left[1+z\varphi (t)\right]}},$
qu’on la développe suivant les puissances de $z,$ ce qui donne
${\frac {\psi '(t)}{z}}-\varphi (t)\psi '(t)+z\left[\varphi (t)\right]^{2}\psi '(t)-z^{2}\left[\varphi (t)\right]^{3}\psi '(t)+\ldots ,$
et qu’ensuite on change ${\frac {1}{z}}$ en $\int dt,$ $z$ en ${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}},$ $z^{2}$ en ${\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}},\ldots ,$ et ainsi des autres puissances de $z,$ on aura la valeur de la fonction $\psi (x)$ (Article II).
Supposons que les fonctions $\varphi (t)$ et $\psi (t)$ soient exprimées par des sinus et des cosinus de $t,$ il est facile de voir qu’en employant les exponentielles imaginaires, on pourra toujours développer la fraction ${\frac {\psi '(t)}{z\left[1+z(t)\right]}}$ en une série de cette forme
${\begin{aligned}\mathrm {M} &+\,\ \mathrm {M} 'e^{t{\sqrt {-1}}}+\,\ \mathrm {M} ''e^{2t{\sqrt {-1}}}+\ \mathrm {M} '''e^{3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+\mathrm {N} 'e^{-t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} ''e^{-2t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} '''e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots ,\end{aligned}}$
où les coefficients $\mathrm {M,M',M'',\ldots ,N',N'',\ldots }$ seront des fonctions de $z.$ Donc, dès qu’on aura développé ces coefficients suivant les puissances de $z,$ il n’y aura qu’à mettre, dans $\mathrm {M} ,$ $t$ à la place de ${\frac {1}{z}},$ et zéro à la place de $z,z^{2},\ldots \,;$ dans $\mathrm {M} ',$ ${\frac {1}{\sqrt {-1}}}$ à la place de ${\frac {1}{z}},$ ${\frac {\sqrt {-1}}{2}}$ à la place de $z,$ ${\frac {\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2.3}}$ à la place de $z^{2},$ ${\frac {({\sqrt {-1}})^{3}}{2.3.4}}$ à la place de $z^{3},\ldots \,;$ dans $\mathrm {M} ',$ ${\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}$ à la place de ${\frac {1}{z}},$ ${\frac {2{\sqrt {-1}}}{2}}$ à la place de $z,$ ${\frac {(2{\sqrt {-1}})^{2}}{2.3}}$ à la place de $z^{2},\ldots \,;$ et en général dans $\mathrm {M} ^{(r)},$ ${\frac {1}{r{\sqrt {-1}}}}$ à la place de ${\frac {1}{z}},$ ${\frac {r{\sqrt {-1}}}{2}}$ à la place de $z,$ ${\frac {(r{\sqrt {-1}})^{2}}{2.3}}$ à la place de $z^{2},\ldots \,;$ on fera les mêmes substitutions dans $\mathrm {N',N'',\ldots ,N} ^{(r)},$ mais en prenant ${\sqrt {-1}}$ avec le signe $-\,;$ et nommant $\mathrm {P,P',P'',P'''} ,\ldots$ les quantités dans lesquelles se changeront les coefficients $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ et $\mathrm {Q,Q',Q''} ,\ldots$ celles dans lesquelles se changeront les coefficients $\mathrm {N,N',N''} ,\ldots ,$ on aura pour la valeur de $\psi (x)$ cette expression
${\begin{aligned}\psi (x)=\mathrm {P} &+\ \ \mathrm {P} 'e^{t{\sqrt {-1}}}+\,\ \ \mathrm {P} ''e^{2t{\sqrt {-1}}}+\ \ \mathrm {P} '''e^{3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+\mathrm {Q} 'e^{-t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {Q} ''e^{-2t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {Q} '''e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots ,\end{aligned}}$
laquelle se réduira facilement à une série de sinus ou cosinus d’angles multiples de $t.$
Soit, comme plus haut, $\varphi (t)=n\sin t,$ et la fraction qu’il s’agira de développer, pour avoir la valeur de $\psi (x),$ sera
${\frac {\psi '(t)}{z(1+nz\sin t)}}.$
$\sin t={\frac {e^{t{\sqrt {-1}}}-e^{-t{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},$
on aura
${\frac {1}{1+nz\sin t}}={\frac {1}{1+{\dfrac {nz}{2{\sqrt {-1}}}}\left(e^{t{\sqrt {-1}}}-e^{-t{\sqrt {-1}}}\right)}}\,;$
cette fraction peut se partager en celles-ci
$\alpha +\beta \left({\frac {1}{p+qe^{t{\sqrt {-1}}}}}+{\frac {1}{p-qe^{-t{\sqrt {-1}}}}}\right),$
en faisant
$p^{2}-q^{2}=1,\quad pq={\frac {nz}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \alpha \left(p^{2}-q^{2}\right)+2p\beta =1,\quad \alpha pq+\beta q=0\,;$
d’où l’on tire
$\alpha =-{\frac {1}{p^{2}+q^{2}}},\quad \beta ={\frac {p}{p^{2}+q^{2}}},$
${\begin{aligned}p+q{\sqrt {-1}}=&{\sqrt {1+nz}},\\p-q{\sqrt {-1}}=&{\sqrt {1-nz}},\end{aligned}}$
et par conséquent
${\begin{aligned}p=&{\frac {{\sqrt {1+nz}}+{\sqrt {1-nz}}}{2}},\\q=&{\frac {{\sqrt {1+nz}}-{\sqrt {1-nz}}}{2{\sqrt {-1}}}}.\end{aligned}}$
Maintenant on aura
${\frac {1}{p+qe^{t{\sqrt {-1}}}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {qe^{t{\sqrt {-1}}}}{p^{2}}}+{\frac {q^{2}e^{2t{\sqrt {-1}}}}{p^{3}}}-{\frac {q^{3}e^{3t{\sqrt {-1}}}}{p^{4}}}+\ldots ,$
et de même
${\frac {1}{p-qe^{-t{\sqrt {-1}}}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {qe^{-t{\sqrt {-1}}}}{p^{2}}}+{\frac {q^{2}e^{-2t{\sqrt {-1}}}}{p^{3}}}+{\frac {q^{3}e^{-3t{\sqrt {-1}}}}{p^{4}}}+\ldots \,;$
donc la fraction ${\frac {1}{1+nz\sin t}}$ deviendra
${\begin{aligned}{\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}&\left(1-{\frac {q}{p}}e^{t{\sqrt {-1}}}\,\ \ +{\frac {q^{2}}{p^{2}}}e^{2t{\sqrt {-1}}}\ \ -{\frac {q^{3}}{p^{3}}}e^{3t{\sqrt {-1}}}\ \ +\ldots \right.\\&\ \,\quad +\left.{\frac {q}{p}}e^{-t{\sqrt {-1}}}+{\frac {q^{2}}{p^{2}}}e^{-2t{\sqrt {-1}}}+{\frac {q^{3}}{p^{3}}}e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \right).\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&p^{2}+q^{2}={\sqrt {1-n^{2}z^{2}}},\\&{\frac {q}{p}}={\frac {{\sqrt {1+nz}}-{\sqrt {1-nz}}}{\left({\sqrt {1+nz}}+{\sqrt {1-nz}}\right){\sqrt {-1}}}}={\frac {nz}{1+{\sqrt {1-n^{2}z^{2}}}}}{\frac {1}{\sqrt {-1}}}.\end{aligned}}$
De sorte que si l’on fait, pour abréger,
$\mathrm {Z} ={\frac {z}{1+{\sqrt {1-n^{2}z^{2}}}}},$
et qu’on remarque que
${\frac {1}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}={\frac {1}{z{\sqrt {1-n^{2}z^{2}}}}},$
on aura
${\frac {1}{z(1+nz\sin t)}}=$
${\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}\left({\frac {1}{\mathrm {Z} }}-{\frac {n}{\sqrt {-1}}}e^{t{\sqrt {-1}}}+{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{({\sqrt {-1}})^{2}}}e^{2t{\sqrt {-1}}}-{\frac {n^{3}\mathrm {Z} ^{2}}{({\sqrt {-1}})^{3}}}e^{3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \right.$
$+\left.{\frac {n}{\sqrt {-1}}}e^{-t{\sqrt {-1}}}+{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{({\sqrt {-1}})^{2}}}e^{-2t{\sqrt {-1}}}+{\frac {n^{3}\mathrm {Z} ^{2}}{({\sqrt {-1}})^{3}}}e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \right),$
et il ne s’agira plus que de développer, suivant les puissances de $z,$ les quantités ${\frac {1}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\mathrm {Z} {\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots .$
Considérons, en général, la quantité
$\mathrm {Z} ^{r-1}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}={\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {Z} ^{r}}{dz}},$
et faisant $\mathrm {Z} ^{r}=y,$ en sorte que
$\mathrm {Z} ^{r-1}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}={\frac {1}{r}}{\frac {dy}{dz}},$
j’aurai
${\frac {dy}{y}}={\frac {rd\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} }}={\frac {rdz}{z{\sqrt {1-n^{2}z^{2}}}}}\,;$
d’où je tire, en multipliant les deux membres de cette équation en croix et différentiant après les avoir carrés,
$r^{2}ydz^{2}-\left(1-2n^{2}z^{2}\right)zdydz-\left(1-n^{2}z^{2}\right)z^{2}d^{2}y=0,$
$y$
$z.$
$\mathrm {Z} ,$
$y=\mathrm {Z} ^{r},$
$z,$
$y=\mathrm {A} z^{r}+n^{2}\mathrm {B} z^{r+2}+n^{4}\mathrm {C} z^{r+4}+\ldots ,$
où le premier coefficient $\mathrm {A}$ sera ${\frac {1}{2^{r}}}.$ Substituant donc cette série à la place de $y$, et égalant à zéro les termes homogènes, on aura
${\begin{aligned}r(r+1)\mathrm {A} +\left[r^{2}-(r+2)^{2}\right]\mathrm {B} &=0,\\(r+2)(r+3)\mathrm {B} +\left[r^{2}-(r+4)^{2}\right]\mathrm {C} &=0,\\(r+4)(r+5)\mathrm {C} +\left[r^{2}-(r+6)^{2}\right]\mathrm {D} &=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$
d’où l’on tire
${\begin{aligned}\mathrm {B} =&{\frac {r(r+1)\mathrm {A} }{4(r+1)}},\\\mathrm {C} =&{\frac {(r+2)(r+3)\mathrm {B} }{4.2.(r+2)}},\\\mathrm {D} =&{\frac {(r+4)(r+5)\mathrm {C} }{4.3.(r+3)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et par conséquent, à cause de $\mathrm {A} ={\frac {1}{2^{r}}},$
${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {1}{2^{r}}},\\\mathrm {B} =&{\frac {r}{2^{r+2}}},\\\mathrm {C} =&{\frac {r(r+3)}{2.2^{r+4}}},\\\mathrm {D} =&{\frac {r(r+4)(r+5)}{2.3.2^{r+6}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Donc
$\mathrm {Z} ^{r}={\frac {1}{2^{r}}}\left[z^{r}+r\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}z^{r+2}+{\frac {r(r+3)}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}z^{r+4}\right.$
$\left.+{\frac {r(r+4)(r+5)}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}z^{r+6}+\ldots \right],$
$\mathrm {Z} ^{r-1}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}={\frac {1}{2^{r}}}\left[z^{r-1}+(r+2)\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}z^{r+1}+{\frac {(r+3)(r+4)}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}z^{r+3}\right.$
$\left.+{\frac {r(r+4)(r+5)(r+6)}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}z^{r+5}+\ldots \right]\,;$
de sorte qu’en faisant successivement $r=0,1,2,\ldots ,$ on aura
${\begin{aligned}{\frac {1}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=&\quad {\frac {1}{z}}\quad \ +2\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}z\,\ +{\frac {3.4}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}z^{3}+{\frac {4.5.6}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}z^{5}+\ldots \\{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=&{\frac {1}{2}}\ \ \left[1\ \ +3\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}z^{2}+{\frac {4.5}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}z^{4}+{\frac {5.6.7}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}z^{6}+\ldots \right],\\\mathrm {Z} {\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=&{\frac {1}{2^{2}}}\left[z\ \ +4\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}z^{3}+{\frac {5.6}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}z^{5}+{\frac {6.7.8}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}z^{7}+\ldots \right],\\\mathrm {Z} ^{2}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=&{\frac {1}{2^{3}}}\left[z^{2}+5\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}z^{4}+{\frac {6.7}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}z^{6}+{\frac {7.8.9}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}z^{8}+\ldots \right],\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Reprenons le cas de l’Article III où l’on demande l’anomalie de l’excentrique $x$ par l’anomalie moyenne $t.$ On fera donc $\psi (x)=x$ et $\varphi (t)=t,\ \psi '(t)=1,$ ce qui donnera la fraction
${\frac {1}{z(1+nz\sin t)}},$
qui peut se développer en une série de cette forme
${\begin{aligned}\mathrm {M} &+\,\ \mathrm {M} 'e^{t{\sqrt {-1}}}+\,\ \mathrm {M} ''e^{2t{\sqrt {-1}}}+\ \mathrm {M} '''e^{3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+\mathrm {N} 'e^{-t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} ''e^{-2t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} '''e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots ,\end{aligned}}$
où l’on aura (Article précédent)
${\begin{alignedat}{3}\mathrm {M} =&{\frac {1}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\quad &\mathrm {M} '=&-{\frac {n}{\sqrt {-1}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\quad &\mathrm {M} ''=&{\frac {n^{2}}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}}\mathrm {Z} {\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots ,\\&&\mathrm {N} '=&{\frac {n}{\sqrt {-1}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},&\mathrm {N} ''=&{\frac {n^{2}}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}}\mathrm {Z} {\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots .\end{alignedat}}$
${\frac {1}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\mathrm {Z} {\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots .$
${\begin{aligned}x=&t-{\frac {n\mathrm {A} '}{2{\sqrt {-1}}}}\left(e^{t{\sqrt {-1}}}-e^{-t{\sqrt {-1}}}\right)+{\frac {n^{2}\mathrm {A} ''}{2^{2}{\sqrt {-1}}}}\left(e^{2t{\sqrt {-1}}}-e^{-2t{\sqrt {-1}}}\right)\\&-{\frac {n^{3}\mathrm {A} '''}{2^{3}{\sqrt {-1}}}}\left(e^{3t{\sqrt {-1}}}-e^{-3t{\sqrt {-1}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$
ou bien
$x=t-2\left({\frac {n}{2}}\right)\mathrm {A} '\sin t+2\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}\mathrm {A} ''\sin 2t-2\left({\frac {n}{2}}\right)^{3}\mathrm {A} '''\sin 3t$
$+2\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin 4t-\ldots ,$
où les coefficients $\mathrm {A',A''} ,\ldots$ seront déterminés ainsi
${\begin{aligned}\mathrm {A} '\ \ &=\ \ 1\ \ -3\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}\ \ \ {\frac {1}{2.3}}\ \ \ +{\frac {4.5}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}{\frac {1}{2.3.4.5}}\ \ -\ldots ,\\\mathrm {A} ''\ &=\ {\frac {2}{2}}\ \ -4\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}\ \ {\frac {2^{3}}{2.3.4}}\ +{\frac {5.6}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}{\frac {2^{5}}{2.3\ldots 6}}-\ldots ,\\\mathrm {A} '''&={\frac {3^{2}}{2.3}}-5\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}{\frac {3^{4}}{2.3.4.5}}+{\frac {6.7}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}{\frac {3^{6}}{2.3\ldots 7}}-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
c’est-à-dire, en faisant ${\frac {n}{2}}=\nu ,$
${\begin{aligned}\mathrm {A} '\ \ &=1-{\frac {\nu ^{2}}{2}}+{\frac {\nu ^{4}}{2^{2}.3}}-{\frac {\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4}}+\ldots ,\\\mathrm {A} ''\ &={\frac {2}{2}}-{\frac {2^{3}\nu ^{2}}{2.3}}+{\frac {2^{5}\nu ^{4}}{2^{2}.3.4}}-{\frac {2^{7}\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4.5}}+\ldots \\\mathrm {A} '''&={\frac {3^{2}}{2.3}}-{\frac {3^{4}\nu ^{2}}{2.3.4}}+{\frac {3^{6}\nu ^{4}}{2^{2}.3.4.5}}-{\frac {3^{8}\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4.5.6}}+\ldots \\\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&={\frac {4^{3}}{2.3.4}}-{\frac {4^{5}\nu ^{2}}{2.3.4.5}}+{\frac {4^{7}\nu ^{4}}{2^{2}.3.4.5.6}}-{\frac {4^{9}\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4.5.6.7}}+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Pour avoir de la même manière la valeur du rayon vecteur
$ar=a(1+n\cos x),$
on fera, comme dans l’Article IV
$\psi (t)=n\cos t\quad {\text{et}}\quad \psi '(t)=-n\sin t,$
d’où l’on aura la fraction
${\frac {-n\sin t}{z(1+nz\sin t)}},$
laquelle peut se réduire à ces deux-ci
$-{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{z^{2}(1+nz\sin t)}},$
de sorte qu’on aura (Article IX) une série de cette forme
${\begin{aligned}\mathrm {M} &+\,\ \mathrm {M} 'e^{t{\sqrt {-1}}}+\,\ \mathrm {M} ''e^{2t{\sqrt {-1}}}+\ \mathrm {M} '''e^{3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+\mathrm {N} 'e^{-t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} ''e^{-2t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} '''e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots ,\end{aligned}}$
dans laquelle
${\begin{alignedat}{3}\mathrm {M} =&{\frac {1}{\mathrm {Z} z}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}-{\frac {1}{z^{2}}},\quad &\mathrm {M} '=&-{\frac {n}{z{\sqrt {-1}}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\quad &\mathrm {M} ''=&{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{z\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots ,\\&&\mathrm {N} '=&{\frac {n}{z{\sqrt {-1}}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},&\mathrm {N} ''=&{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{z\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots .\end{alignedat}}$
Donc, substituant les valeurs de ${\frac {1}{\mathrm {Z} z}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ {\frac {1}{z}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots$ en $z$ et faisant les réductions convenables (Article VIII), on aura, pour la valeur de $r,$ la série
${\begin{aligned}r=\mathrm {B} &+{\frac {n\mathrm {B} '}{2}}\left(e^{t{\sqrt {-1}}}+e^{-t{\sqrt {-1}}}\right)-{\frac {n^{2}\mathrm {B} ''}{2^{2}}}\left(e^{2t{\sqrt {-1}}}+e^{-2t{\sqrt {-1}}}\right)\\&-{\frac {n^{3}\mathrm {B} '''}{2^{3}}}\left(e^{3t{\sqrt {-1}}}+e^{-3t{\sqrt {-1}}}\right)-\ldots ,\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}r=&\mathrm {B} +2\left({\frac {n}{2}}\right)\mathrm {B} '\cos t-2\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}\mathrm {B} ''\cos 2t\\&+2\left({\frac {n}{2}}\right)^{3}\mathrm {B} '''\cos 3t-2\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos 4t+\ldots ,\end{aligned}}$
dans laquelle on aura les valeurs suivantes des coefficients
${\begin{aligned}\mathrm {B} \ \ \ &=1\ +2\left({\frac {n}{2}}\right)^{2},\\\mathrm {B} '\ \ &=1\ -3\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}{\frac {1}{2}}+{\frac {4.5}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}{\frac {1}{2.3.4}}-\ldots ,\\\mathrm {B} ''\ &=1\ -4\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}{\frac {2^{2}}{2.3}}+{\frac {5.6}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}{\frac {2^{4}}{2.3.4.5}}-\ldots ,\\\mathrm {B} '''&={\frac {3}{2}}-5\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}{\frac {3^{3}}{2.3.4}}+{\frac {6.7}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}{\frac {3^{5}}{2.3.4.5.6}}-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
ou bien, en faisant ${\frac {n}{2}}=\nu ,$
${\begin{aligned}\mathrm {B} \ \ \ &=1+2\nu ^{2},\\\mathrm {B} '\ \ &=1-{\frac {3\nu ^{2}}{2}}+{\frac {5\nu ^{4}}{2^{2}.3}}-{\frac {7\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4}}+\ldots ,\\\mathrm {B} ''\ &=1-{\frac {4.2^{2}.\nu ^{2}}{2.3}}+{\frac {6.2^{4}.\nu ^{4}}{2^{2}.3}}-{\frac {8.2^{6}.\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4.5}}+\ldots ,\\\mathrm {B} '''&={\frac {3}{2}}-{\frac {5.3^{3}.\nu ^{2}}{2.3.4}}+{\frac {7.3^{5}.\nu ^{4}}{2^{2}.3.4.5}}-{\frac {9.3^{7}.\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4.5.6}}+\ldots ,\\\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&={\frac {4^{2}}{2.3}}-{\frac {6.4^{4}.\nu ^{2}}{2.3.4.5}}+{\frac {8.4^{6}.\nu ^{4}}{2^{2}.3.4.5.6}}-{\frac {10.4^{8}.\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4.5.6.7}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Voyons maintenant comment on pourra trouver, par la même méthode, la valeur de l’angle $u$ de l’anomalie vraie ; pour cela il faudra faire, comme dans l’Article VI,
$\psi (t)=m\int {\frac {dt}{1+n\cos t}}\quad {\text{et}}\quad \psi '(t)={\frac {m}{1+n\cos t}},$
${\frac {m}{z(1+nz\sin t)(1+n\cos t)}}.$
Or on a déjà trouvé (Article IX)
${\frac {1}{z(1+nz\sin t)}}={\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}\left[{\frac {1}{\mathrm {Z} }}-{\frac {n}{\sqrt {-1}}}e^{t{\sqrt {-1}}}\ \,+{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{({\sqrt {-1}})^{2}}}e^{2t{\sqrt {-1}}}-\ldots \right.$
$\left.+{\frac {n}{\sqrt {-1}}}e^{-t{\sqrt {-1}}}+{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{({\sqrt {-1}})^{2}}}e^{-2t{\sqrt {-1}}}+\ldots \right],$
et l’on trouvera, de la même manière, en mettant $m$ à la place de ${\sqrt {1-n^{2}}},$
${\frac {1}{z(1+n\cos t)}}={\frac {1}{m}}\left[1-{\frac {n}{1+m}}e^{t{\sqrt {-1}}}\ \,+{\frac {n^{2}}{(1+m)^{2}}}e^{2t{\sqrt {-1}}}-\ldots \right.$
$\left.-{\frac {n}{1+m}}e^{-t{\sqrt {-1}}}+{\frac {n^{2}}{(1+m)^{2}}}e^{-2t{\sqrt {-1}}}-\ldots \right].$
Donc, mnltipliant ces deux séries l’une par l’autre, on aura la valeur de la fraction
${\frac {m}{z(1+nz\sin t)(1+n\cos t)}},$
laquelle sera exprimée de cette manière
${\begin{aligned}\mathrm {M} &+\,\ \mathrm {M} 'e^{t{\sqrt {-1}}}+\,\ \mathrm {M} ''e^{2t{\sqrt {-1}}}+\ \mathrm {M} '''e^{3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+\mathrm {N} 'e^{-t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} ''e^{-2t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} '''e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots ,\end{aligned}}$
en supposant, pour abréger,
${\begin{aligned}\mathrm {M} \ =&{\frac {1}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}\left[1+{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)^{2}({\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{4}}{(1+m)^{4}({\sqrt {-1}})^{4}}}+\ldots \right]\\\mathrm {M} '=&{\frac {n}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}\left[-{\frac {1}{1+m}}-{\frac {\mathrm {Z} }{\sqrt {-1}}}-{\frac {n^{2}\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)({\sqrt {-1}})^{2}}}-{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{3}}{(1+m)^{2}({\sqrt {-1}})^{3}}}-\ldots \right.\end{aligned}}$
$\left.+{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{(1+m)^{2}{\sqrt {-1}}}}-{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)^{3}({\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{3}}{(1+m)^{4}({\sqrt {-1}})^{3}}}-\ldots \right],$
${\begin{aligned}\mathrm {M} ''\ ={\frac {n^{2}}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}&\left[{\frac {1}{(1+m)^{2}}}+{\frac {\mathrm {Z} }{(1+m){\sqrt {-1}}}}+{\frac {\mathrm {Z} ^{2}}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}}\right.\\&+{\frac {n^{2}\mathrm {Z} ^{3}}{(1+m)\left({\sqrt {-1}}\right)^{3}}}+{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{4}}{(1+m)^{2}({\sqrt {-1}})^{4}}}+{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{5}}{(1+m)^{3}({\sqrt {-1}})^{5}}}+\ldots \\&-\left.{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{(1+m)^{3}{\sqrt {-1}}}}+{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)^{4}({\sqrt {-1}})^{2}}}-{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{3}}{(1+m)^{5}({\sqrt {-1}})^{3}}}+\ldots \right],\\\\\mathrm {M} '''={\frac {n^{3}}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}&\left[-{\frac {1}{(1+m)^{3}}}-{\frac {\mathrm {Z} }{(1+m)^{2}{\sqrt {-1}}}}-{\frac {\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathrm {Z} ^{3}}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{3}}}\right.\\&-{\frac {n^{2}\mathrm {Z} ^{4}}{(1+m)\left({\sqrt {-1}}\right)^{4}}}-{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{5}}{(1+m)^{2}({\sqrt {-1}})^{5}}}-{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{6}}{(1+m)^{3}({\sqrt {-1}})^{6}}}-\ldots \\&+\left.{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{(1+m)^{4}{\sqrt {-1}}}}-{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)^{5}({\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{3}}{(1+m)^{6}({\sqrt {-1}})^{3}}}-\ldots \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\\\mathrm {N} '\ \ ={\frac {n}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}&\left[-{\frac {1}{1+m}}+{\frac {\mathrm {Z} }{\sqrt {-1}}}-{\frac {n^{2}\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)({\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{3}}{(1+m)^{2}({\sqrt {-1}})^{2}}}-\ldots \right.\\&\left.-{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{(1+m)^{2}{\sqrt {-1}}}}-{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)^{3}({\sqrt {-1}})^{2}}}-{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{3}}{(1+m)^{4}({\sqrt {-1}})^{3}}}-\ldots \right],\\\\\mathrm {N} ''\ ={\frac {n^{2}}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}&\left[{\frac {1}{(1+m)^{2}}}-{\frac {\mathrm {Z} }{(1+m){\sqrt {-1}}}}+{\frac {\mathrm {Z} ^{2}}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}}\right.\\&-{\frac {n^{2}\mathrm {Z} ^{3}}{(1+m)\left({\sqrt {-1}}\right)^{3}}}+{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{4}}{(1+m)^{2}({\sqrt {-1}})^{4}}}-{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{5}}{(1+m)^{3}({\sqrt {-1}})^{5}}}+\ldots \\&+\left.{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{(1+m)^{3}{\sqrt {-1}}}}+{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)^{4}({\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{3}}{(1+m)^{5}({\sqrt {-1}})^{3}}}+\ldots \right],\\\\\mathrm {N} '''={\frac {n^{3}}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}&\left[-{\frac {1}{(1+m)^{3}}}+{\frac {\mathrm {Z} }{(1+m)^{2}{\sqrt {-1}}}}-{\frac {\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}}+{\frac {\mathrm {Z} ^{3}}{\left({\sqrt {-1}}\right)^{3}}}\right.\\&-{\frac {n^{2}\mathrm {Z} ^{4}}{(1+m)\left({\sqrt {-1}}\right)^{4}}}+{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{5}}{(1+m)^{2}({\sqrt {-1}})^{5}}}-{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{6}}{(1+m)^{3}({\sqrt {-1}})^{6}}}+\ldots \\&-\left.{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{(1+m)^{4}{\sqrt {-1}}}}-{\frac {n^{4}\mathrm {Z} ^{2}}{(1+m)^{5}({\sqrt {-1}})^{2}}}-{\frac {n^{6}\mathrm {Z} ^{3}}{(1+m)^{6}({\sqrt {-1}})^{3}}}-\ldots \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$
$\mathrm {VIII}$
$u,$
${\begin{aligned}u=t&-{\frac {n\mathrm {K} '}{\sqrt {-1}}}\left(e^{t{\sqrt {-1}}}-e^{-t{\sqrt {-1}}}\right)+{\frac {n^{2}\mathrm {K} ''}{\sqrt {-1}}}\left(e^{2t{\sqrt {-1}}}-e^{-2t{\sqrt {-1}}}\right)\\&-{\frac {n^{3}\mathrm {K} '''}{\sqrt {-1}}}\left(e^{3t{\sqrt {-1}}}-e^{-3t{\sqrt {-1}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$
c’est-à-dire,
$u=t-2n\mathrm {K} '\sin t+2n^{2}\mathrm {K} ''\sin 2t-2n^{3}\mathrm {K} '''\sin 3t+2n^{4}\mathrm {K} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin 4t-\ldots ,$
dans laquelle les coefficients $\mathrm {K',K'',K'''} ,\ldots$ seront tels, que si l’on fait, en général,
${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {1}{\rho }}-\rho \left({\frac {n}{2}}\right)^{2}+{\frac {\rho ^{3}}{2^{2}}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}-{\frac {\rho ^{5}}{2^{2}.3^{2}}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}+\ldots ,\\\mathrm {Q} =&1\ \ -{\frac {\rho ^{2}}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}+{\frac {\rho ^{4}}{2^{2}.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}-{\frac {\rho ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}+\ldots ,\\\mathrm {R} =&\rho \ \ -{\frac {\rho ^{3}}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}+{\frac {\rho ^{5}}{2^{2}.3.4}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}-{\frac {\rho ^{7}}{2^{2}.3^{2}.4.5}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}+\ldots ,\\\mathrm {S} =&\rho ^{2}-{\frac {\rho ^{4}}{2.3.4}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}-{\frac {\rho ^{6}}{2^{2}.3.4.5}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}-{\frac {\rho ^{8}}{2^{2}.3^{2}.4.5.6}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et qu’on dénote par $\mathrm {P',P''P'''\ldots ,Q',Q'',Q'''\ldots ,R',R'',R'''} \ldots$ les valeurs de $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ qui répondentà $\rho =1,2,3,\ldots ,$ on aura
${\begin{aligned}\mathrm {K} '\ =&{\frac {\mathrm {P} '}{1+m}}+\left[1-{\frac {n^{2}}{(1+m)^{2}}}\right]{\frac {\mathrm {Q} '}{2}}+n^{2}\left[1+{\frac {n^{2}}{(1+m)^{2}}}\right]{\frac {\mathrm {R} '}{2^{2}(1+m)}}\\&+n^{4}\left[1-{\frac {n^{2}}{(1+m)^{2}}}\right]{\frac {\mathrm {S} '}{2^{3}(1+m)^{2}}}+n^{6}\left[1+{\frac {n^{2}}{(1+m)^{2}}}\right]{\frac {\mathrm {T} '}{2^{4}(1+m)^{2}}}+\ldots ,\\\mathrm {K} ''=&{\frac {\mathrm {P} ''}{(1+m)^{2}}}+\left[1-{\frac {n^{2}}{(1+m)^{2}}}\right]{\frac {\mathrm {Q} ''}{2(1+m)}}+\left[1+{\frac {n^{4}}{(1+m)^{4}}}\right]{\frac {\mathrm {R} ''}{2^{2}}}\\&+n^{2}\left[1-{\frac {n^{4}}{(1+m)^{4}}}\right]{\frac {\mathrm {S} ''}{2^{3}(1+m)}}+n^{4}\left[1+{\frac {n^{4}}{(1+m)^{4}}}\right]{\frac {\mathrm {T} ''}{2^{4}(1+m)^{2}}}\\&+n^{6}\left[1-{\frac {n^{4}}{(1+m)^{4}}}\right]{\frac {\mathrm {V} ''}{2^{5}(1+m)^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\mathrm {K} '''=&{\frac {\mathrm {P} '''}{(1+m)^{3}}}+\left[1-{\frac {n^{2}}{(1+m)^{2}}}\right]{\frac {\mathrm {Q} '''}{2(1+m)^{2}}}+\left[1+{\frac {n^{4}}{(1+m)^{4}}}\right]{\frac {\mathrm {R} '''}{2^{2}(1+m)}}\\&+\left[1-{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {S} '''}{2^{3}}}+n^{2}\left[1+{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {T} '''}{2^{4}(1+m)}}\\&+n^{4}\left[1-{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {V} '''}{2^{5}(1+m)^{2}}}+n^{6}\left[1+{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {X} '''}{2^{6}(1+m)^{3}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Les valeurs des coefficients $\mathrm {K',K'',K'''} ,\ldots$ dépendent, comme on voit, de l’excentricité $n$ et du rapport $1:m$ du grand axe au petit axe de l’ellipse ; or, si l’on suppose l’excentricité fort petite, ce qui est nécessaire pour que les séries soient convergentes, et qu’on veuille que les valeurs des coefficients soient exprimées par des séries ordonnées suivant les puissances de $n,$ il faudra mettre à la place de $m$ sa valeur ${\sqrt {1-n^{2}}}$ et développer ensuite ce radical suivant les méthodes ordinaires ; donc, comme les expressions des coefficients dont il s’agit ne renferment d’autres fonctions de $m$ que les puissances de ${\frac {1}{1+m}},$ il est bon de voir comment il faut s’y prendre pour réduire facilement en série chacune des puissances de
${\frac {1}{1+m}}={\frac {1}{1+{\sqrt {1-n^{2}}}}}.$
Qu’on demande donc, en général, la valeur de ${\frac {1}{(1+m)^{r}}}$ ; il est facile de voir que cette valeur sera la même que celle de $\mathrm {Z} ^{r}$ que nous avons donnée dans l’Article IX, en y faisant seulement $z=1,$ ce qui rend
$\mathrm {Z} ={\frac {1}{1+{\sqrt {1-n^{2}}}}}={\frac {1}{1+m}}\,;$
ainsi l’on aura sur-le-champ
${\frac {1}{(1+m)^{r}}}={\frac {1}{2^{r}}}\left[1+r\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}+{\frac {r(r+3)}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}+{\frac {r(r+4)(r+5)}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}\right.$
$\left.+{\frac {r(r+5)(r+6)(r+7)}{2.3.4}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{8}+\ldots \right]\,;$
$r=1,2,3,\ldots ,$
${\frac {n}{2}}=\nu ,$
${\begin{aligned}{\frac {1}{1+m}}\ \ &=\ {\frac {1}{2}}\left(1+\ \nu ^{2}\ +\,\ \ {\frac {4\nu ^{4}}{2}}\ \ +\ \ \ {\frac {5.6.\nu ^{6}}{2.3}}+\,\ \ \quad {\frac {6.7.8.\nu ^{8}}{2.3.4}}+\ldots \right),\\{\frac {1}{(1+m)^{2}}}&=\ {\frac {1}{4}}\left(1+2\nu ^{2}\,+{\frac {2.5.\nu ^{4}}{2}}+{\frac {2.6.7.\nu ^{6}}{2.3}}+\,\ \ \ {\frac {2.7.8.9.\nu ^{8}}{2.3.4}}+\ldots \right),\\{\frac {1}{(1+m)^{3}}}&=\ {\frac {1}{8}}\left(1+3\nu ^{2}\,+{\frac {3.6.\nu ^{4}}{2}}+{\frac {3.7.8.\nu ^{6}}{2.3}}+\ \ {\frac {3.8.9.10.\nu ^{8}}{2.3.4}}+\ldots \right),\\{\frac {1}{(1+m)^{4}}}&={\frac {1}{16}}\left(1+4\nu ^{2}+{\frac {4.7.\nu ^{4}}{2}}+{\frac {4.8.9.\nu ^{6}}{2.3}}+{\frac {4.9.10.11.\nu ^{8}}{2.3.4}}+\ldots \right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Ainsi il n’y aura qu’à substituer ces valeurs dans les expressions de $\mathrm {K} ',$$\mathrm {K'',K'''} ,\ldots ,$ et après avoir fait les multiplications nécessaires, on pourra facilement ordonner les termes par rapport aux puissances des $n.$
Il est clair que la méthode employée dans ce Mémoire peut servir aussi à résoudre avec facilité les équations de la forme
$t=x+a\sin mx+b\cos mx+c\sin nx+f\cos nx+\ldots ,$
ou de celle-ci
$t=x+ae^{mx}+be^{nx}+ce^{px}+\ldots$
(lorsque les coefficients $a,b,c,$ sont fort petits), et d’autres équations semblables qu’on ne pourrait résoudre par les méthodes connues que d’une manière indirecte et très-laborieuse.
Supposons, par exemple, qu’on demande la valeur de $x$ en $t$ par l’équation
$t=x+ae^{mx},$
on fera, dans la formule générale de l’Article II,
$\varphi (x)=ae^{mx}\quad {\text{et}}\quad \psi (x)=x,\quad \psi (t)=t,\quad \psi '(t)=1,$
$x=t-ae^{mt}+{\frac {a^{2}}{2}}{\frac {de^{mt}}{dt}}-{\frac {a^{3}}{2.3}}{\frac {d^{2}e^{mt}}{dt^{2}}}+\ldots ,$
c’est-à-dire,
$x=t-ae^{mt}+{\frac {2ma^{2}}{2}}e^{2mt}-{\frac {3^{2}m^{2}a^{3}}{2.3}}e^{3mt}+{\frac {4^{3}m^{3}a^{4}}{2.3.4}}e^{4mt}-\ldots \,;$
donc, si l’on fait $t=0,$ en sorte qu’il s’agisse de déterminer $x$ par l’équation
$x+ae^{mx}=0,$
on aura
$x=-a\left(1-{\frac {2ma}{2}}+{\frac {(3ma)^{2}}{2.3}}-{\frac {(4ma)^{3}}{2.3.4}}+\ldots \right).$
Ainsi, si l’on avait la série
$1+{\frac {2\alpha }{2}}+{\frac {(3\alpha )^{2}}{2.3}}+{\frac {(4\alpha )^{3}}{2.3.4}}+\ldots ,$
et qu’on en demandât la somme, il faudrait tirer la valeur de $x$ de l’équation $x-e^{\alpha x}=0,$ et ce serait la somme cherchée.
* ↑ Lu à l’Académie le 1e novembre 1770.
* ↑ Œuvres de Lagrange, t. III, p. 5.