# L’Encyclopédie/1re édition/APPROXIMATION

APPROXIMATION, approximatio, s. f. (en Mathématique.) est une opération par laquelle on approche toûjours de plus en plus de la valeur d’une quantité cherchée, sans cependant en trouver jamais la valeur exacte. Voyez Racine.
Wallis, Raphson, Halley, & d’autres, nous ont donné différentes méthodes d’approximation : toutes ces méthodes consistent à trouver des séries convergentes, à l’aide desquelles on approche si près qu’on veut de la valeur exacte d’une quantité cherchée ; & cela plus ou moins rapidement, selon la nature de la série. Voyez Convergent & Série.
Si un nombre n’est point un quarré parfait, il ne faut pas s’attendre d’en pouvoir tirer la racine exacte en nombres rationels, entiers ou rompus ; dans ces cas il faut avoir recours aux méthodes d’approximation, & se contenter d’une valeur qui ne differe que d’une très-petite quantité de la valeur exacte de la racine cherchée. Il en est de même de la racine cubique d’un nombre qui n’est pas un cube parfait, & ainsi des autres puissances, comme on peut voir dans les Transact. phil. n°. 215.
La méthode la plus simple & la plus facile d’approcher de la racine d’un nombre, est celle-ci : je suppose, par exemple qu’on veuille tirer la racine quarrée de 2 ; au lieu de 2, j’écris la fraction $\scriptstyle {\frac {20000}{10000}}$, qui lui est égale, ayant soin que le dénominateur 10000 soit un nombre quarré, c’est-à-dire, renferme un nombre pair de zeros ; ensuite je tire la racine quarrée du numérateur 20000 ; cette racine, que je peux avoir à une unité près, étant divisée par 100, qui est la racine du dénominateur, j’aurai à $\scriptstyle {\frac {1}{100}}$ près la racine de $\scriptstyle {\frac {20000}{10000}}$, c’est-à-dire, de 2.
Si on vouloit avoir la racine plus approchée, il faudroit écrire $\scriptstyle {\frac {2000000}{1000000}}$, & on auroit la racine à $\scriptstyle {\frac {1}{1000}}$ près, &c. de même pour avoir la racine cubique de 2, il faudroit écrire $\scriptstyle {\frac {2000000}{1000000}}$, 1000000 étant un nombre cubique, & on auroit la racine à $\scriptstyle {\frac {1}{1000}}$ près, & ainsi à l’infini.
Soit $\scriptstyle aa+b$ un nombre quelconque qui ne soit pas un quarré parfait, & $\scriptstyle a^{3}+b$ un nombre quelconque qui ne soit pas un cube parfait. Soit $\scriptstyle aa$ le plus grand quarré parfait contenu dans le premier de ces nombres. Soit $\scriptstyle a^{3}$, le plus grand cube parfait contenu dans le second de ces nombres, on aura $\scriptstyle {\sqrt {aa+b}}=a+{\frac {b}{2a}}-{\frac {3bb}{8a^{3}}}$ &c. & $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{a^{3}+b}}=a+{\frac {b}{3a^{2}}}-{\frac {bb}{9a^{5}}}$ &c. Voyez Binome. A l’aide de ces équations, on aura facilement des expressions fort approchées des racines quarrées & cubiques que l’on cherchera.
Soit proposé d’avoir la racine d’une équation par Approximation, 1°. d’une équation du second degré. Soit l’équation donnée du second degré dont il faut avoir la racine par approximation, $\scriptstyle x^{2}-5x-31=0$ ; on suppose que l’on sache déja que la racine est à peu-près à ; ce que l’on peut trouver aisément par différentes méthodes dont plusieurs sont exposées dans le VIe livre de l’Analyse démontrée du P. Reyneau.
Soit 8+y la racine de l’équation proposée, ensorte que y soit une fraction égale à la quantité dont 8 est plus grand ou plus petit que la racine cherchée, on aura donc
* $\scriptstyle x^{2}=64+16y+y^{2}$
* $\scriptstyle -5x=-40-5y$
* $\scriptstyle -31=-31.$
* $\scriptstyle -7+11y+y^{2}=0.$
Or comme une fraction devient d’autant plus petite que la puissance à laquelle elle se trouve élevée est grande, & que nous ne nous proposons que d’avoir une valeur approchée de la racine de l’équation, nous négligerons le terme y$^2$ ; & la derniere équation se réduira à
* $\scriptstyle -7+11y=0$
* $\scriptstyle y={\frac {7}{11}}={\frac {6}{10}}$ à peu-près$\scriptstyle =0.6$.
* Donc $\scriptstyle x=8+0.6=8.6$.
Soit encore $\scriptstyle x=8.6+y$, on aura
* $\scriptstyle x^{2}={\frac {7396}{100}}+{\frac {172}{10y}}+y^{2}$
* $\scriptstyle -5x=-{\frac {430}{10}}-5y$
* $\scriptstyle -31=-31.$
* $\scriptstyle {\frac {7396}{100}}-{\frac {430}{10}}-31+{\frac {172}{10y}}-5y=0.$
Réduisant les fractions au même dénominateur, on aura l’équation suivante :
$\scriptstyle 73.96-4300-3100+(1720-500)y=0$
* $\scriptstyle -0.04+1220y=0.$
* $\scriptstyle 12.20y=0.04.$
* $\scriptstyle y=004:12.20=0.0032.$
* Donc $\scriptstyle x=8.6000+0.0032=8.6032.$
Soit encore $\scriptstyle x=8.6032+y$ : on aura
* $\scriptstyle x^{2}=7401505024+17.206400007+y^{2}$
* $\scriptstyle -5x=-43.01600000-500000000$
* $\scriptstyle -31=-31.00000000.$
* $\scriptstyle -0.000094976-12.20640000y=0.$
* $\scriptstyle y=0.000094976:12.20640000y=0.000077808.$
* Donc $\scriptstyle x=8.6032000000+0.0000076808$
* Donc $\scriptstyle x$$\scriptstyle =8.603277808.$
Soit maintenant cette équation du troisieme degré, dont il faut chercher la racine par approximation, $\scriptstyle x^{3}+2x^{2}-23x-70=0$, & dont on suppose que l’on sache à peu-près la valeur de la racine, par exemple 5.
Soit donc la racine de cette équation 5+y. Comme on peut négliger les termes où y se trouve au second & au troisieme degré, il n’est pas nécessaire de les exprimer dans la transformation. On aura donc seulement
* $\scriptstyle x^{3}=125+75y$
* $\scriptstyle +2x^{2}=50+20y$
* $\scriptstyle -23x=115-23y$
* $\scriptstyle -70=-70.$
* $\scriptstyle -10+72y=0.$
* $\scriptstyle y=-{\frac {10}{72}}=0.1.$
* Donc $\scriptstyle x=5+0.1=5.1.$
Soit derechef $\scriptstyle x=5.1+y$, on aura
* $\scriptstyle x^{3}=132.651+73.030y$
* $\scriptstyle +2x^{2}=52.020+20.400y$
* $\scriptstyle -23x=-117.300-23.000y$
* $\scriptstyle -70=-70.000.$
* $\scriptstyle -2.629+75.430y=0$
* $\scriptstyle 75.430y=2.629.$
* $\scriptstyle y=2.629:75.430=0.0348.$
Donc $\scriptstyle x=5.1+0.0348=5.1348$, & ainsi de suite à l’infini. Il est évident que plus on réitérera l’opération, plus la valeur de x approchera de la valeur exacte de la racine de l’équation proposée.
Cette méthode pour approcher des racines des équations numériques, est dûe à M. Newton. Dans les Mém. de l’Acad. de 1744, on trouve un mémoire de M. le marquis de Courtivron, où il perfectionne & simplifie cette méthode. Dans les mêmes Mémoires, M. Nicole donne aussi une méthode pour approcher des racines des équations du troisieme degré dans le cas irréductible ; & M. Clairaut, dans ses Elémens d’Algebre, enseigne aussi une maniere d’approcher de la racine d’une équation du troisieme degré dans ce même cas. V. Cas irréductible du troisieme degré. (O)