# Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation/chap. 13
### CHAPITRE XIII. NOTIONS DE CALCUL TENSORIEL

S’il est légitime d’employer des coordonnées arbitraires, quelle peut être leur utilité et quel but poursuivons-nous ?
Nous cherchons comment, conformément au principe de relativité généralisé, la covariance des équations de la Physique peut être obtenue ; et si, dans l’Univers réel, nous reconnaissons que les potentiels de gravitation $g_{\mu \nu }$ doivent être assujettis à certaines relations, ces relations exprimeront la loi générale de la gravitation.
Dans la théorie de la relativité généralisée, l’invariant $ds$ joue un rôle fondamental. On est conduit, de plus, à envisager des êtres mathématiques appelés tenseurs ; chacun d’eux est défini par un certain nombre de fonctions qui sont dites « composantes du tenseur ». Le « calcul différentiel absolu », créé par Riemann, Christoffel, Ricci et Levi-Civita (antérieurement à la théorie d’Einstein) donne les règles permettant de calculer les composantes d’un tenseur dans un nouveau système de coordonnées lorsqu’on connaît ces composantes pour un premier système, et lorsque, bien entendu, la transformation qui relie les deux systèmes est donnée.
Les tenseurs sont caractérisés par le fait que les équations de transformation de leurs composantes sont linéaires et homogènes : si toutes les composantes d’un tenseur sont nulles dans un système de coordonnées, elles disparaissent aussi dans tous les autres systèmes. Une loi naturelle formulée par l’annulation d’un tenseur, ce qui veut dire par l’annulation de toutes les composantes d’un tenseur, ou formulée par l’égalité de deux tenseurs, est covariante d’une façon générale : elle est donc mise sous la forme exigée par le principe de relativité.
En cherchant les règles d’après lesquelles on peut former des tenseurs, on obtient les moyens d’exprimer les lois de la Physique sous une forme intrinsèque, où tout système de coordonnées a disparu.

#### 61. Quadrivecteurs contrevariants et quadrivecteurs covariants.

Quadrivecteurs contrevariants. Passons d’un système de coordonnées $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ à un autre système $(x'_{1},x'_{2},x'_{3},x'_{4}).$
L’élément de ligne, défini par ses quatre « composantes » $dx_{1},$ $dx_{2},$ $dx_{3},$ $dx_{4}$ est transformé selon les équations
$\left.{\begin{aligned}dx'_{1}&={\dfrac {\partial x'_{1}}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\dfrac {\partial x'_{1}}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\dfrac {\partial x'_{1}}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+{\dfrac {\partial x'_{1}}{\partial x_{4}}}\,dx_{4}\\.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..\end{aligned}}\right\$
qu’on peut résumer sous la forme abrégée.
| (1-13) | $dx'_{\sigma }=\sum _{\nu }{\dfrac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\nu }}}\,dx_{\nu },$ |
$\sigma$ étant le même indice 1, ou 2, ou 3, ou 4 dans les deux membres, et la sommation étant faite, pour chaque indice $\sigma ,$ en remplaçant successivement $\nu$ par 1, 2, 3, 4. L’expression (1-13) représente donc les 4 équations qu’on obtient en faisant successivement $\sigma =$ 1, 2, 3, 4, et dans chacune de ces équations la sommation est faite par rapport à $\nu .$
Tout groupe de quatre quantités $\mathrm {A} ^{\nu }$ (de mêmes dimensions physiques) qui se transforment suivant la même loi que les $dx_{\nu },$ c’est-à-dire telles que
| (2-13) | $\mathrm {A} '^{\sigma }=\sum _{\nu }{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\nu }}}\mathrm {A} ^{\nu }$ |
constitue par définition un quadrivecteur contrevariant, ou tenseur contrevariant de premier ordre.
On a pris l’habitude de placer l’indice en haut $(\mathrm {A} ^{\sigma })$ pour synthétiser les quatre composantes d’un quadrivecteur contrevariant, sauf cependant pour $dx_{\sigma }$ qui, bien que contrevariant, est écrit avec indice en bas.
Il est évident que si $\mathrm {A} ^{\sigma }$ et $\mathrm {B} ^{\sigma }$ sont les composantes de quadrivecteurs contrevariants, il en est de même de $(\mathrm {A} ^{\sigma }\pm \mathrm {B} ^{\sigma })$ (même indice $\sigma$ pour $\mathrm {A}$ et pour $\mathrm {B}$ dans chaque composante).
Quadrivecteurs covariants. — Quatre grandeurs $\mathrm {A} _{\nu }$ (indice en bas) sont appelées composantes d’un quadrivecteur ou tenseur de premier ordre covariant si, $\mathrm {B} ^{\nu }$ étant un quadrivecteur contrevariant arbitraire, on a
| (3-13) | $\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} ^{1}+\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {A} _{3}\mathrm {B} ^{3}+\mathrm {A} _{4}\mathrm {B} ^{4}=\sum _{\nu }\mathrm {A} _{\nu }\mathrm {B} ^{\nu }={\text{invariant}}.$ |
La loi de transformation des quadrivecteurs covariants résulte immédiatement de cette définition. Dans le second membre de l’équation
$\sum _{\sigma }\mathrm {A} '_{\sigma }\mathrm {B} '^{\sigma }=\sum _{\nu }\mathrm {A} _{\nu }\mathrm {B} ^{\nu }$
remplaçons $\mathrm {B} ^{\nu }$ par l’expression obtenue en inversant l’équation (2-13), c’est-à-dire
$\mathrm {B} ^{\nu }=\sum _{\sigma }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {B} '^{\sigma }$
nous obtenons
$\sum _{\sigma }\mathrm {B} '^{\sigma }\mathrm {A} '_{\sigma }=\sum _{\sigma }\mathrm {B} '^{\sigma }\sum _{\nu }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\nu },$
ou, puisque le quadrivecteur $\mathrm {B} '^{\sigma }$ est arbitraire,
| (4-13) | $\mathrm {A} '_{\sigma }=\sum _{\nu }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\nu }.$ |
Notation simplifiée. — On voit sur les équations qui précèdent que la sommation doit être faite en donnant successivement les valeurs 1, 2, 3, 4 à celui des indices qui figure deux fois sous le signe $\sum ,$ et que la sommation ne doit être faite que par rapport à cet indice qui se nomme indice muet.
L’indice muet n’a pas de signification propre, puisque dans la sommation qui donne le développement complet de l’expression d’une seule et même composante, on doit lui attribuer successivement les valeurs 1, 2, 3, 4. La lettre qui désigne l’indice muet peut donc être à volonté remplacée par une autre lettre quelconque, pourvu que cette dernière lettre ne figure pas déjà dans le terme considéré : ainsi, au lieu de (4-13), on peut écrire
$\mathrm {A} '_{\sigma }=\sum _{\alpha }{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\alpha },$
mais non
$\mathrm {A} '_{\sigma }=\sum _{\sigma }{\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\sigma }.$
Les remarques qui précèdent permettent de supprimer le signe $\sum$ sans nuire à la clarté de la notation. Il en sera de même dans la généralisation que nous allons faire : les indices muets sont faciles à reconnaître et il est sous-entendu qu’il faut sommer par rapport à chacun des indices muets.

#### 62. Tenseurs de second ordre et d’ordres supérieurs.

Tenseurs contrevariants. Formons les 16 produits $\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }$ des composantes $\mathrm {A} ^{\mu }$ et $\mathrm {B} ^{\nu }$ de deux quadrivecteurs contrevariants
| (5-13) | $\mathrm {A} ^{\mu \nu }=\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }.$ |
D’après (2-13) la loi de transformation de ces produits est
$\mathrm {A} '^{\sigma \tau }=\sum _{\mu }\sum _{\nu }{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{\nu }}}\mathrm {A} ^{\mu \nu }\,;$
d’après la remarque faite plus haut, nous abrégeons l’écriture en supprimant les $\sum$ et nous écrivons simplement
| (6-13) | $\mathrm {A} '^{\sigma \tau }={\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{\nu }}}\mathrm {A} ^{\mu \nu },$ |
$\mu$ et $\nu$ sont les indices muets et nous savons que dans le développement complet de $\mathrm {A} '^{\sigma \tau }$ il faudrait sommer en donnant successivement à chacun d’eux les valeurs 1, 2, 3, 4. On aurait
${\begin{aligned}\mathrm {A} '^{\sigma \tau }={\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{1}}}\mathrm {A} ^{11}&+{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{2}}}\mathrm {A} ^{12}+\ldots \\&+{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{1}}}\mathrm {A} ^{21}+{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{2}}}\mathrm {A} ^{22}+\ldots \end{aligned}}$
ceci est l’expression d’une composante, correspondant à deux valeurs déterminées pour $\sigma$ et $\tau$, et pour écrire les 16 composantes, il faudrait donner successivement à $\sigma$ et à $\tau$ les valeurs 1, 2, 3, 4 ; $\mathrm {\mathrm {A} } '^{11},$ $\mathrm {\mathrm {A} } '^{12},\dots$
Dans la suite nous n’emploierons plus que la notation abrégée telle que (6-13).
Revenons aux 16 produits (5-13) ${\big\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ dans le premier système de coordonnées, $\mathrm {A} '^{\sigma \tau }$ d’après (6-13) dans le second système${\big ]}.$ Ils constituent les composantes d’un tenseur contrevariant de second ordre.
D’une façon générale, tout ensemble de 16 fonctions $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ qui se transforment suivant la loi précédente (6-13) forme un tenseur contrevariant de second ordre.
Un tel tenseur n’est pas nécessairement constitué, comme (5-13), par les produits des composantes de deux quadrivecteurs. On démontre que les 16 composantes $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ d’un tenseur sont les sommes des $\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }$ de quatre paires de quadrivecteurs convenablement choisis.
Il est clair qu’on peut généraliser et définir des tenseurs contrevariants d’ordre 3, 4, $\dots ,$ $n,$ un tenseur de rang $n$ ayant $4^{n}$ composantes : par exemple, les 64 expressions
$\mathrm {A} '^{\sigma \tau \rho }={\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{\beta }}}{\frac {\partial x'_{\rho }}{\partial x_{\gamma }}}\mathrm {A} ^{\alpha \beta \gamma }$
$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$
constituent un tenseur contrevariant d’ordre 3.
Tenseurs covariants. — De même l’ensemble des 16 produits des composantes de deux quadrivecteurs covariants, et d’une façon générale l’ensemble de 16 quantités qui se transforment suivant la loi
| (7-13) | $\mathrm {A} '_{\sigma \tau }={\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{\sigma }}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\tau }}}\mathrm {A} _{\mu \nu }$﻿ (indices muets $\mu ,\,\nu$) |
constitue un tenseur covariant de second ordre.
Les 64 expressions
$\mathrm {A} '_{\sigma \tau \rho }={\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\sigma }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\tau }}}{\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\rho }}}\mathrm {A} _{\alpha \beta \gamma }$
sont les composantes d’un tenseur d’ordre 3,…
Tenseurs mixtes. L’ensemble de $4^{n'+n''}$ fonctions qui participent à la fois des deux modes précédents de transformation
$\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma \ldots }^{\alpha \beta \gamma \ldots }={\frac {\partial x'_{\alpha }}{\partial x_{a}}}{\frac {\partial x'_{\beta }}{\partial x_{b}}}{\frac {\partial x'_{\gamma }}{\partial x_{c}}}\cdots {\frac {\partial x_{m}}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{p}}{\partial x'_{\sigma }}}\cdots \mathrm {A} _{mnp\ldots }^{abc\ldots },$
$n'$ étant le nombre des indices $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,\dots \,;$ $n''$ le nombre des indices $\mu ,$ $\nu ,$ $\sigma ,\,\dots ,$ est un tenseur mixte d’ordre $n=n'+n'',$ contrevariant d’ordre $n'$ et covariant d’ordre $n''.$
Tenseurs symétriques. Un tenseur (contrevariant ou covariant) est dit symétrique, quand les composantes obtenues par permutation de deux indices $\mu$ et $\nu$ sont égales, par exemple
$\mathrm {A} ^{\mu \nu }=\mathrm {A} ^{\nu \mu }$
$\mathrm {A} _{\mu \nu }=\mathrm {A} _{\nu \mu }.$
Cette symétrie se conserve dans toutes les transformations de coordonnées.
Tenseurs symétriques gauches. On appelle ainsi des tenseurs dont les composantes sont égales mais de signes opposés quand on permute deux indices
$\mathrm {A} ^{\mu \nu }=-\mathrm {A} ^{\nu \mu },\qquad \mathrm {A} _{\mu \nu }=-\mathrm {A} _{\nu \mu },\qquad \dots$
Si le tenseur est de second ordre, les 4 composantes à indices égaux $\mathrm {A} ^{\mu \mu }$ (ou $\mathrm {A} _{\mu \mu }$) sont nulles. Des 12 composantes qui restent, 6 seulement ont des valeurs différentes, au signe près (Sechservektor).
Un tenseur symétrique gauche d’ordre 3 n’a que 4 composantes différentes (au signe près) et un tenseur symétrique gauche d’ordre 4 n’a plus qu’une composante. Il n’y a pas de tenseur symétrique gauche d’ordre supérieur à 4, du moins dans une multiplicité à quatre dimensions comme celle que nous envisageons.

#### 63. Multiplication des tenseurs.

Multiplication extérieure. Si l’on multiplie deux à deux les composantes d’un tenseur d’ordre $n$ et celles d’un tenseur d’ordre $n',$ on obtient $4^{n+n'}$ expressions. On déduit aisément des règles de transformation précédentes que ce sont les composantes d’un tenseur (ordre $n+n'$). Par exemple, les produits suivants de tenseurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des tenseurs $\mathrm {T} :$
$\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} _{\sigma }=\mathrm {T} _{\mu \nu \sigma },\qquad \mathrm {A} ^{\alpha \beta }\mathrm {B} ^{\gamma \delta }=\mathrm {T} ^{\alpha \beta \gamma \delta },\qquad \mathrm {A} _{\alpha \beta }\mathrm {B} ^{\gamma \delta }=\mathrm {T} _{\alpha \beta }^{\gamma \delta },\qquad \ldots$
Contraction d’un tenseur mixte. — Une opération d’une extrême importance est celle de la contraction.
Avec un tenseur mixte, on peut former un tenseur d’un ordre inférieur de deux unités en égalant un indice de caractère covariant et un indice de caractère contrevariant, c’est-à-dire en imposant la condition que ces deux indices aient toujours même valeur. Par exemple, dans le tenseur mixte $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\tau },$ imposons la condition $\sigma =\tau ,$ nous obtenons un tenseur $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\sigma }$ qui n’est plus que du second ordre. Nous avons en effet
| (8-13) | $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\prime \sigma }={\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\sigma }}}{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\delta }}}\mathrm {A} _{\alpha \beta \gamma }^{\delta }.$ |
Mais
${\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\sigma }}}{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\delta }}}={\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x_{\delta }}}=0\quad {\text{ou}}\quad 1$
selon que $\gamma \neq \delta$ ou que $\gamma =\delta .$
Nous avons donc, en effectuant la sommation par rapport à $\delta ,$
${\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\sigma }}}{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\delta }}}\mathrm {A} _{\alpha \beta \gamma }^{\delta }=0+0+0+\mathrm {A} _{\alpha \beta \gamma }^{\gamma },$
substituant dans (8-13)
$\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\prime \sigma }={\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}\mathrm {A} _{\alpha \beta \gamma }^{\gamma }.$
$\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }^{\sigma }$ est donc un tenseur covariant d’ordre 2.
De même le tenseur de quatrième ordre $\mathrm {A} _{\alpha \beta }^{\gamma \delta }$ donne, par une première contraction, le tenseur de second ordre.
$\mathrm {A} _{\beta }^{\delta }=\mathrm {A} _{\alpha \beta }^{\alpha \delta }=\sum _{\alpha }\mathrm {A} _{\alpha \beta }^{\alpha \delta }$
$\alpha$ a perdu son individualité et est devenu indice muet. Ce tenseur de second ordre donne lui-même, par contraction, le tenseur d’ordre nul
$\mathrm {A} =\mathrm {A} _{\beta }^{\beta }=\mathrm {A} _{\alpha \beta }^{\alpha \beta }.$
Un tenseur d’ordre nul (1 composante) est indépendant du système de coordonnées ; c’est un invariant appelé aussi scalaire.
En résumé, on voit que si l’on impose l’égalité d’un indice supérieur et d’un indice inférieur, on forme un tenseur dont l’ordre est abaissé de deux unités, parce que les qualités de contrevariance et de covariance, correspondant à ces deux indices, se détruisent mutuellement.
Multiplication intérieure et multiplication mixte. — Nous pouvons combiner la multiplication extérieure et la contraction.
Considérons, par exemple, le tenseur covariant de second ordre $\mathrm {A} _{\mu \nu },$ et le tenseur contrevariant de premier ordre (quadrivecteur) $\mathrm {B} ^{\sigma }:$ par multiplication extérieure nous formons le tenseur mixte
$\mathrm {D} _{\mu \nu }^{\sigma }=\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} ^{\sigma },$
puis, par contraction, nous formons le quadrivecteur covariant
$\mathrm {D} _{\mu }=\mathrm {D} _{\mu \nu }^{\nu }=\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} ^{\nu }.$
Nous appellerons ce quadrivecteur produit intérieur des tenseurs $\mathrm {A} _{\mu \nu }$ et $\mathrm {B} ^{\sigma }.$
De même soit
$\mathrm {D} _{\mu \nu }^{\sigma \tau }=\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} ^{\sigma \tau }\,;$
si, par contraction, nous formons
$\mathrm {D} _{\mu }^{\tau }=\mathrm {D} _{\mu \nu }^{\nu \tau }=\mathrm {A} _{\mu \nu }\mathrm {B} ^{\nu \tau }$
nous faisons une opération mixte, car c’est une multiplication extérieure vis-à-vis de $\mu$ et $\tau ,$ intérieure vis-à-vis de $\nu$ et $\sigma$.

#### 64. Procédés permettant de reconnaître le caractère tensoriel.

Procédé par invariance d’un produit intérieur. — D’après ce qui précède, le produit intérieur $\mathrm {A} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }\mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }$ est un scalaire lorsque $\mathrm {A} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }$ et $\mathrm {B} _{\varepsilon \eta \ldots }^{\sigma \tau \ldots }$ sont deux tenseurs tels que les ordres de covariance et de contrevariance du second soient respectivement égaux aux ordres de contrevariance et de covariance du premier.
Inversement, lorsqu’un groupe de quantités $\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \,\alpha \beta \ldots )$ déterminées par $n$ indices, comme un tenseur, mais dont on ignore a priori la nature, est tel que
| (9-13) | $\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \,\alpha \beta \ldots )\mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }=$ invariant |
pour un choix arbitraire d’un tenseur $\mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }$ à $n$ indices dont $n'$ indices covariants et $n''$ indices contrevariants, on peut affirmer que $\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \,\alpha \beta \ldots )$ est un tenseur contrevariant d’ordre $n'$ et covariant d’ordre $n''.$
En effet, d’après (9-13), on a pour une transformation arbitraire
| (10-13) | $\mathrm {A} '(mn\ldots \,ab\ldots )\mathrm {B} _{ab\ldots }^{\prime mn\ldots }=\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \,\alpha \beta \ldots )\mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }.$ |
Or, par inversion des formules (6-13) et (7-13) généralisées, on a
$\mathrm {B} _{\alpha \beta \ldots }^{\mu \nu \ldots }={\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{m}}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{n}}}\cdots {\frac {\partial x'_{a}}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{b}}{\partial x_{\beta }}}\cdots \mathrm {B} _{ab\ldots }^{\prime mn\ldots }\,;$
transportant dans (10-13), il vient
${\begin{aligned}{\bigg\mathrm {A} '&(mn\ldots ab\ldots )-\\&\left({\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{m}}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{n}}}\cdots {\frac {\partial x'_{a}}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{b}}{\partial x_{\beta }}}\cdots \right)\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \alpha \beta \ldots ){\bigg ]}\mathrm {B} _{ab\ldots }^{\prime mn\ldots }=0.\end{aligned}}$
Cette équation devant avoir lieu quel que soit le choix de $\mathrm {B} ',$ la quantité entre crochets est nulle. $\mathrm {A} (\mu \nu \ldots \alpha \beta \ldots )$ se transforme donc conformément aux règles de définition d’un tenseur $\mathrm {A} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }$ contrevariant par rapport aux indices $\alpha ,\beta ,\ldots$ et covariant par rapport aux indices $\mu ,\nu ,\ldots ,$ ce qui démontre la proposition.
Par exemple, si $\mathrm {A} (\mu \nu )\mathrm {B} ^{\mu \nu }$ est un invariant pour un choix arbitraire d’un tenseur $\mathrm {B} ^{\mu \nu }$ contrevariant du second ordre, $\mathrm {A} (\mu \nu )$ est un tenseur covariant du second ordre $\mathrm {A} _{\mu \nu }.$
De même, soient $\mathrm {B} ^{\mu }$ et $\mathrm {C} ^{\nu }$ des quadrivecteurs arbitraires ; si le produit intérieur $\mathrm {A} (\mu \nu )\mathrm {B} ^{\mu }\mathrm {C} ^{\nu }$ est un scalaire, $\mathrm {A} (\mu \nu )$ est un tenseur covariant du second ordre $\mathrm {A} _{\mu \nu }.$
Ce dernier résultat est encore exact si, pour un quadrivecteur quelconque $\mathrm {B} ^{\mu },$ le produit intérieur $\mathrm {A} (\mu \nu )\mathrm {B} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }$ est un invariant et si, de plus, la quantité $\mathrm {A} (\mu \nu )$ est symétrique $[\mathrm {A} (\mu \nu )=\mathrm {A} (\nu \mu )].$ On voit en effet aisément que $\mathrm {A} (\mu \nu )+\mathrm {A} (\nu \mu )$ a le caractère tensoriel, d’où il résulte, à cause de la symétrie, que $\mathrm {A} (\mu \nu )$ est un tenseur. Bien entendu, si $\mathrm {B} ^{\mu }$ est contrevariant, $\mathrm {A} _{\mu \nu }$ est covariant, et si $\mathrm {B} _{\mu }$ est covariant, $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ est contrevariant.
Loi du quotient (Eddington). — Une quantité, qui peut s’exprimer symboliquement comme le quotient d’un tenseur par un quadrivecteur, est elle-même un tenseur ou plus précisément un groupe de quantités dont le produit intérieur par un quadrivecteur (covariant ou contrevariant) quelconque est un tenseur est lui-même un tenseur.
Supposons en effet que le produit de $\mathrm {A} (\mu \nu \sigma \ldots \alpha \beta \ldots )$ par $\mathrm {B} ^{\nu }$ soit un tenseur covariant par rapport à $\mu \sigma \ldots ,$ contrevariant par rapport à $\alpha \beta \ldots$ quel que soit le quadrivecteur $\mathrm {B} ^{\nu }.$ On a
${\begin{aligned}\mathrm {A} '&(mns\ldots ab\ldots )\mathrm {B} '^{n}\\&\quad ={\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{m}}}{\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{s}}}\cdots {\frac {\partial x'_{a}}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{b}}{\partial x_{\beta }}}\cdots [\mathrm {A} (\mu \nu \sigma \ldots \alpha \beta )\mathrm {B} ^{\nu }]\,;\end{aligned}}$
or
$\mathrm {B} ^{\nu }={\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{n}}}\mathrm {B} '^{n}\,;$
substituant, on obtient
${\begin{aligned}{\bigg\mathrm {A} '&(mns\ldots ab\ldots )-\\&{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{m}}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{n}}}{\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{s}}}\cdots {\frac {\partial x'_{a}}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{b}}{\partial x_{\beta }}}\cdots \mathrm {A} (\mu \nu \sigma \ldots \alpha \beta \ldots ){\bigg ]}\mathrm {B} '^{n}=0,\end{aligned}}$
$\mathrm {B} '^{n}$ étant arbitraire, la quantité entre crochets est nulle, ce qui prouve que $\mathrm {A} (\mu \nu \sigma \ldots \alpha \beta \ldots )$ obéit à la loi de définition des tenseurs covariants par rapport à $\mu \nu \sigma \ldots$ contrevariants par rapport à $\alpha \beta \ldots .$
En particulier, si $\mathrm {A} (\mu \nu )\mathrm {B} ^{\nu }$ est un quadrivecteur covariant [ou $\mathrm {A} (\mu \nu )\mathrm {B} _{\nu }$ un quadrivecteur contrevariant] pour un choix arbitraire du quadrivecteur $\mathrm {B} ^{\nu }$ (ou $\mathrm {B} _{\nu }$), on peut en conclure que $\mathrm {A} (\mu \nu )$ est un tenseur du second ordre covariant (ou contrevariant).

#### 65. Les tenseurs fondamentaux.

Le tenseur covariant fondamental $g_{\mu \nu }.$ — Dans l’expression de l’invariant $ds^{2}$ (8-12)
| (11-13) | $ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }$ |
$dx_{\mu }$ joue le rôle d’un quadrivecteur contrevariant arbitraire. Comme $g_{\mu \nu }$ est symétrique $(g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }),$ il résulte d’une des règles indiquées au n$^o$ 64 que $g_{\mu \nu }$ est un tenseur covariant symétrique du second ordre.
Le tenseur contrevariant fondamental $g^{\mu \nu }.$ — Écrivons le déterminant des $g_{\mu \nu }$
| (12-13) | $g=\left|{\begin{array}{ccc}g_{11}&g_{12}&g_{13}&g_{14}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}&g_{24}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}&g_{34}\\g_{41}&g_{42}&g_{43}&g_{44}\\\end{array}}\right|\qquad g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },$ |
puis formons le mineur de chaque $g_{\mu \nu }$ et divisons chaque mineur par la valeur $g$ du déterminant. Nous obtenons 16 grandeurs $g^{\mu \nu }$ (10 seulement sont distinctes, car $g^{\mu \nu }=g^{\nu \mu }$) qui constituent un tenseur contrevariant, ainsi que nous allons le montrer.
D’après une propriété connue des déterminants, on a
| (13-13) | $g_{\mu \sigma }g^{\nu \sigma }=1$﻿ ou ﻿$0,$ |
selon que $\mu =\nu$ ou que $\mu \neq \nu .$.
Posons
| (14-13) | $g_{\mu \sigma }g^{\nu \sigma }=g_{\mu }^{\nu }.$ |
$g_{\mu }^{\nu }$ étant égal à 1 ou à 0 suivant que $\mu =\nu$ ou que $\mu \neq \nu ,$ au lieu de l’expression (11-13) de $ds^{2},$ nous pouvons écrire
$ds^{2}=g_{\mu \sigma }g_{\nu }^{\sigma }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }=g_{\mu \sigma }g_{\nu \tau }g^{\sigma \tau }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }.$
D’après les règles de multiplication des tenseurs, les grandeurs
$d\xi _{\sigma }=g_{\mu \sigma }\,dx_{\mu }$
forment un quadrivecteur covariant, puisque $g_{\mu \sigma }$ est un tenseur covariant et $dx_{\mu }$ un quadrivecteur contrevariant, et comme les $dx_{\mu }$ peuvent être choisis arbitrairement, ce quadrivecteur $d\xi _{\sigma }$ est arbitraire.
Nous avons donc
$ds^{2}=g^{\sigma \tau }\,d\xi _{\sigma }\,d\xi _{\tau }.$
Puisque $ds^{2}$ est un invariant, que $d\xi _{\sigma }$ est arbitraire, et que $g^{\sigma \tau }$ est symétrique, il résulte d’une des règles données au n$^o$ 64 que $g^{\sigma \tau }$ est un tenseur contrevariant.
Le tenseur mixte fondamental. — $g_{\mu \sigma }$ et $g^{\nu \sigma }$ étant deux tenseurs, le premier covariant, le second contrevariant, (14-13) exprime que $g_{\mu }^{\nu }$ est un tenseur mixte. C’est un tenseur remarquable car ses composantes conservent les mêmes valeurs dans tous les systèmes de coordonnées.
Nous remarquerons que
| (15-13) | $g_{\mu }^{\mu }=g_{1}^{1}+g_{2}^{2}+g_{3}^{3}+g_{4}^{4}=4.$ |
Si $\mathrm {A} ^{\nu }$ est un groupe quelconque de quatre quantités, nous avons, puisque $g_{\nu }^{\sigma }=$ 1 ou 0 suivant que $\nu =\sigma$ ou que $\nu \neq \sigma ,$
| (16-13) | $g_{\nu }^{\sigma }\mathrm {A} ^{\nu }=\mathrm {A} ^{\sigma }+0+0+0\,;$ |
en d’autres termes, $g_{\nu }^{\sigma }$ est un opérateur de substitution. Ce résultat montre d’ailleurs directement que $g_{\nu }^{\sigma }$ est un tenseur, car si $\mathrm {A} ^{\nu }$ est un quadrivecteur, le produit intérieur $g_{\nu }^{\sigma }\mathrm {A} ^{\nu }$ donne toujours un quadrivecteur ; ce qui prouve, d’après la loi du quotient, que $g_{\nu }^{\sigma }$ a le caractère tensoriel.
Indiquons enfin une relation importante. Désignons par $|g_{\mu \nu }|,$ $|g^{\mu \nu }|,$ $|g_{\mu }^{\nu }|$ les déterminants ayant pour éléments respectifs les $g_{\mu \nu },$ $g^{\mu \nu },$ $g_{\mu }^{\nu }.$
D’après la multiplication des déterminants, on a
$|g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }|=|g_{\mu \alpha }|\;|g^{\alpha \nu }|.$
Comme on a aussi
$|g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }|=|g_{\mu }^{\nu }|=1,$
on voit que
| (17-13) | $|g_{\mu \nu }|\;|g^{\mu \nu }|=1.$ |

#### 66. Tenseurs associés.

Les trois tenseurs fondamentaux qui viennent d’être définis permettent de transformer les tenseurs, c’est-à-dire de construire de nouveaux tenseurs de types différents en faisant passer à volonté un indice de bas en haut ou inversement.
Par exemple, partons d’un quadrivecteur contrevariant $\mathrm {A} ^{\mu }$ ou d’un tenseur contrevariant $\mathrm {A} ^{\mu \nu },$ nous pouvons écrire
$\mathrm {A} ^{\mu }=g^{\mu \alpha }\mathrm {A} _{\alpha },\quad \mathrm {A} ^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }\mathrm {A} _{\alpha }^{\nu },\quad \mathrm {A} _{\alpha }^{\nu }=g^{\nu \beta }\mathrm {A} _{\alpha \beta },\quad \mathrm {A} ^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\mathrm {A} _{\alpha \beta }.$
Nous avons ainsi défini un nouveau vecteur $\mathrm {A} _{\alpha },$ covariant, ainsi que deux tenseurs, l’un mixte $\mathrm {A} _{\alpha }^{\nu },$ l’autre covariant $\mathrm {A} _{\alpha \beta }.$
Nous avons de même
$\mathrm {A} _{\mu }=g_{\mu \alpha }\mathrm {A} ^{\alpha },\qquad \mathrm {A} _{\mu }^{\nu }=g_{\mu \alpha }\mathrm {A} ^{\nu \alpha }.$
Les vecteurs $\mathrm {A} _{\mu }$ et $\mathrm {A} ^{\mu }$ sont dits associés l’un à l’autre ; de même les tenseurs $\mathrm {A} _{\mu \nu },$ $\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }$ $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ sont associés entre eux.
On doit remarquer qu’il n’y a aucune contradiction dans les définitions qui précèdent, car si l’on élève un indice, puis qu’on l’abaisse, on retrouve le tenseur primitif. En effet, on a par exemple
$\mathrm {A} _{\mu \beta }=g_{\nu \beta }\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }=g_{\nu \beta }g^{\nu \alpha }\mathrm {A} _{\mu \alpha }=g_{\beta }^{\alpha }\mathrm {A} _{\mu \alpha }=\mathrm {A} _{\mu \beta }.$
Un cas particulièrement remarquable est celui où les $g_{\mu \nu }$ ont les valeurs galiléennes (10-12). Dans le cas de l’espace à trois dimensions où l’élément de ligne est $dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$ les $g_{\mu \nu }$ galiléens ont pour valeurs 1 ou 0 suivant que $\mu =\nu$ ou que $\mu \neq \nu ,$ de sorte que les opérations précédentes ne modifient pas les composantes d’un tenseur d’espace tridimensionnel ; dans le cas de l’Espace-Temps,
$ds^{2}=-d\mathrm {X} _{1}^{2}-d\mathrm {X} _{2}^{2}-d\mathrm {X} _{3}^{2}+d\mathrm {X} _{4}^{2},$
les valeurs non nulles des $g_{\mu \nu }$ sont −1 pour les termes d’espace et +1 pour le terme de temps ; élever ou abaisser un indice change simplement le signe de certaines des composantes. On peut donc utiliser un quelconque des tenseurs associés pour représenter un ensemble de grandeurs physiques sans entrer en conflit avec les définitions des anciennes théories.
L’existence des tenseurs associés, qui représentent chacun une même entité physique, montre qu’une entité n’est pas, en elle-même, covariante, contrevariante ou mixte ; on peut, à volonté, lui attribuer des composantes ayant celui des trois caractères qu’on veut.
Invariant contracté. — Tout tenseur d’ordre pair permet de former un invariant : il suffit d’amener la moitié des indices en haut, la moitié en bas et de contracter complètement ; on obtient évidemment le même scalaire, appelé invariant contracté, quel que soit celui des tenseurs associés d’où l’on parte.
Soit, par exemple, $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma \rho }:$ on forme $\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\sigma \rho },$ puis $\mathrm {A} =\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\mu \nu }.$ On peut aussi former des invariants dérivés tels que $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\mu \nu \sigma \rho },$ $\mathrm {A} _{\mu \nu \alpha }^{\alpha }\mathrm {A} _{\beta }^{\mu \nu \beta }.$

#### 67. Longueur généralisée d’un vecteur. Condition d’orthogonalité de deux vecteurs.

Dans la théorie vectorielle ordinaire (espace seul), on appelle produit scalaire de deux vecteurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ le produit de leurs longueurs par le cosinus de l’angle que forment leurs directions ; ce produit a pour valeur
| (18-13) | $\mathrm {A} _{x}\mathrm {B} _{x}+\mathrm {A} _{y}\mathrm {B} _{y}+\mathrm {A} _{z}\mathrm {B} _{z}=\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} _{\mu }$﻿(en notation abrégée). |
Les coordonnées étant galiléennes, les trois $g_{\mu \nu }$ qui ne sont pas nuls sont égaux à 1 et il n’y a pas à faire la distinction de vecteurs covariants et vecteurs contrevariants.
Le carré de la longueur d’un vecteur peut être considéré comme le produit scalaire du vecteur par lui-même.
Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.
Ces notions se généralisent facilement, dans le cas de coordonnées quelconques, grâce à l’introduction des quadrivecteurs covariant et contrevariant associés. Le scalaire
$\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} ^{\mu }=\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} _{\mu }=g^{\mu \nu }\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} _{\nu }=g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }$
dont (18-13) est la forme dégénérée en coordonnées galiléennes et pour trois dimensions, est la généralisation du produit scalaire de la théorie ordinaire.
Le carré de la longueur généralisée d’un quadrivecteur $\mathrm {A} ^{\mu }$ (ou $\mathrm {A} _{\mu }$) est le scalaire.
| (19-13) | $l^{2}=\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {A} ^{\mu }=g_{\mu \nu }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {A} ^{\nu }=g^{\mu \nu }\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {A} _{\nu }.$ |
Enfin la condition d’orthogonalité de deux quadrivecteurs $\mathrm {A} _{\mu }$ et $\mathrm {B} _{\mu },$ ou $\mathrm {A} ^{\mu }$ et $\mathrm {B} ^{\mu }$ est
| (20-13) | $\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} ^{\mu }=0$﻿ ou ﻿$\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} _{\mu }=0.$ |
Si un vecteur $\mathrm {A} _{\mu }$ subit un accroissement orthogonal infiniment petit $d\mathrm {A} _{\mu }$ (ou si $\mathrm {A} ^{\mu }$ subit l’accroissement $d\mathrm {A} ^{\mu }$), sa longueur n’éprouve qu’une variation du second ordre ; on a, en effet, en n’écrivant pas les termes d’ordre supérieur au premier
${\begin{aligned}(l+dl)^{2}&=(\mathrm {A} _{\mu }+d\mathrm {A} _{\mu })(\mathrm {A} ^{\mu }+d\mathrm {A} ^{\mu })\\&=\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {A} ^{\mu }+\mathrm {A} ^{\mu }\,d\mathrm {A} _{\mu }+\mathrm {A} _{\mu }\,d\mathrm {A} ^{\mu }=l^{2}+0+0\end{aligned}}$
puisque, l’accroissement étant orthogonal, on a
$\mathrm {A} ^{\mu }\,d\mathrm {A} _{\mu }=\mathrm {A} _{\mu }\,d\mathrm {A} ^{\mu }=0.$

#### 68. Expression invariante de l’hypervolume. Densité tensorielle.

Cherchons d’abord la loi de transformation du déterminant $g=|g_{\mu \nu }|.$ D’après (7-13), on a
$g'=|g'_{\sigma \tau }|=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{\sigma }}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\tau }}}g_{\mu \nu }\right|$
ce qu’on peut écrire
| (21-13) | $g'=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{\sigma }}}\right|\;\left|{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x'_{\tau }}}\right|\;|g_{\mu \nu }|=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{\sigma }}}\right|^{2}g$ |
ou
| (22-13) | ${\sqrt {-g'}}=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x'_{\sigma }}}\right|{\sqrt {-g}}.$ |
Nous prenons ${\sqrt {-g}}$ parce que $g$ est toujours négatif, ainsi qu’on le voit aisément car d’après (21-13) $g$ ne change jamais de signe, et $g=-1$ pour les valeurs galiléennes (10-12).
D’autre part, la loi de transformation de l’élément de quadrivolume
$d\omega =dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}\,dx_{4}$
est, d’après un théorème connu de Jacobi,
| (23-13) | $d\omega '=\left|{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\mu }}}\right|d\omega .$ |
Multipliant (22-13) et (23-13), il vient
| (24-13) | ${\sqrt {-g'}}\,d\omega '={\sqrt {-g}}\,d\omega .$ |
Dans l’Univers euclidien tangent, et en coordonnées galiléennes $(\mathrm {X} _{1},$ $\mathrm {X} _{2},$ $\mathrm {X} _{3}$ coordonnées rectangulaires d’espace, $\mathrm {X} _{4}=ct),$ l’élément d’hypervolume est
$d\omega _{0}=d\mathrm {X} _{1}\,d\mathrm {X} _{2}\,d\mathrm {X} _{3}\,d\mathrm {X} _{4}\quad$
$\quad {\sqrt {-g}}=1.$
On a donc
| (25-13) | $d\omega _{0}={\sqrt {-g}}\,d\omega ={\sqrt {-g'}}\,d\omega '=$ invariant. |
Densité tensorielle. — Soit maintenant $\mathrm {T} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }$ un tenseur faisant partie d’un champ tensoriel, l’intégrale
$\iiiint \mathrm {T} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }{\sqrt {-g}}\,d\omega ,$
prise entre des limites définies d’une façon absolue, est elle-même un tenseur, puisque ${\sqrt {-g}}\,d\omega$ est un invariant.
Il est logique de considérer comme unité de quadrivolume la cellule quadridimensionnelle dont les arêtes ont des longueurs unités par rapport aux coordonnées utilisées ; c’est pourquoi l’on donne à l’expression $\mathrm {T} _{\mu \nu \ldots }^{\alpha \beta \ldots }{\sqrt {-g}}$ le nom de densité tensorielle. Lorsque nous verrons intervenir le facteur ${\sqrt {-g}},$ nous saurons que la signification physique se rapporte plutôt à la densité tensorielle qu’au tenseur.
Quelle que soit la nature de la portion d’Univers considérée (Univers euclidien ou non), il est toujours possible de choisir les coordonnées qu’en tout point-événement on ait ${\sqrt {-g}}=1.$ Si en effet trois des quatre familles d’espaces coordonnés tridimensionnels ont été prises arbitrairement, on peut toujours choisir la quatrième de façon à diviser l’Univers en cellules ayant toutes le même quadrivolume ; avec ce choix de coordonnées, il n’y a plus de distinction entre tenseurs et densités tensorielles et les calculs sont souvent très simplifiés.

#### 69. Différentiation covariante ou formation de tenseurs par dérivation.

Symboles de Christoffel. — Dans la suite, nous ferons un usage constant des deux symboles suivants :
| (26-13) | Premier genre. ${\begin{bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\mu \lambda }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \lambda }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\lambda }}}\right),$ (il n’y a pas de sommation),﻿ |
| (27-13) | Deuxième genre. ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{Bmatrix}}=g^{\lambda \alpha }{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{bmatrix}}$ (sommation par rapport à $\alpha .$)﻿ |
De ces définitions, on déduit
| (28-13) | ${\begin{bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{bmatrix}}=g_{\lambda \alpha }{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}.$ |
En effet, on a
$g_{\lambda \alpha }{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}=g_{\lambda \alpha }g^{\alpha \beta }{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\beta \end{bmatrix}}=g_{\lambda }^{\beta }{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\beta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{bmatrix}}$
Nous voyons encore que
| (29-13) | ${\begin{bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\lambda \nu \\\mu \end{bmatrix}}={\frac {\partial g_{\mu \lambda }}{\partial x_{\nu }}}\cdot$ |
Les expressions qui définissent les symboles sont symétriques en $\mu$ et $\nu .$ Il existe quarante symboles différents de chaque genre.
Nous verrons plus loin que, de même que les $g_{\mu \nu }$ sont les composantes du potentiel généralisé, les ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{Bmatrix}}$ sont les composantes de la force généralisée, mais alors que les composantes du potentiel forment le tenseur $g_{\mu \nu },$ les ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{Bmatrix}}$ ne constituent pas un tenseur.
Dérivée covariante d’un quadrivecteur. — Partons d’abord d’un tenseur d’ordre nul ou scalaire. Sa dérivée est un quadrivecteur covariant.
On a, en effet, $\varphi$ étant une fonction de point invariante dans toute transformation de coordonnées :
${\frac {\partial \varphi }{\partial x'_{\mu }}}={\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\alpha }}},$
ce qui prouve (4-13) que ${\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\alpha }}}$ est un vecteur covariant.
Mais on ne peut pas continuer dans cette voie ; la dérivée d’un quadrivecteur n’est pas un tenseur.
Nous pouvons cependant trouver une expression tensorielle qui remplacera la dérivée ordinaire.
Il nous faut d’abord établir une formule auxiliaire.
Partons du tenseur covariant $g_{\mu \nu }$ ; nous avons, par une transformation de coordonnées :
$g'_{\mu \nu }={\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}g_{\alpha \beta }\,;$
d’où, par dérivation,
| (30-13) | ${\begin{aligned}{\frac {\partial g'_{\mu \nu }}{\partial x'_{\lambda }}}=g_{\alpha \beta }\left({\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}\right.&+\left.{\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\nu }\,\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\mu }}}\right)\\&+{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x_{\gamma }}}\cdot \end{aligned}}$ |
Dans le second terme de la parenthèse nous avons permuté les indices $\alpha$ et $\beta ,$ ce qui est légitime puisque ce sont des indices muets ; de plus, dans le dernier terme, nous avons écrit
${\frac {\partial }{\partial x'_{\lambda }}}={\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial }{\partial x_{\gamma }}}\cdot$
Nous avons de même les formules.
| (31-13) | ${\begin{aligned}{\frac {\partial g'_{\nu \lambda }}{\partial x'_{\mu }}}=g_{\alpha \beta }\left({\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\nu }\,\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\lambda }}}\right.&+\left.{\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\lambda }\,\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}\right)\\&\quad \;\;\,+{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial g_{\beta \gamma }}{\partial x_{\alpha }}},\end{aligned}}$ |
| (32-13) | ${\begin{aligned}{\frac {\partial g'_{\mu \lambda }}{\partial x'_{\nu }}}=g_{\alpha \beta }\left({\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\lambda }}}\right.&+\left.{\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\lambda }\,\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\mu }}}\right)\\&\quad \;\;\,+{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial g_{\alpha \gamma }}{\partial x_{\beta }}}\cdot \end{aligned}}$ |
Nous avons interchangé dans les derniers termes les indices muets $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma .$
Ajoutons (31) et (32) et retranchons (30), nous obtenons
| (33-13) | ${\begin{bmatrix}\mu \nu \\\lambda \end{bmatrix}}'=g_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\lambda }}}+{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\lambda }}}{\begin{bmatrix}\alpha \beta \\\gamma \end{bmatrix}}$ |
et, en multipliant les deux membres par $g'^{\lambda \rho }{\frac {\partial x_{\varepsilon }}{\partial x'_{\rho }}},$
* $=\left(g'^{\lambda \rho }{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial x_{\varepsilon }}{\partial x'_{\rho }}}\right)g_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\nu }}}$
* $\quad +\left(g'^{\lambda \rho }{\frac {\partial x_{\gamma }}{\partial x'_{\lambda }}}{\frac {\partial x_{\varepsilon }}{\partial x'_{\rho }}}\right){\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\begin{bmatrix}\alpha \beta \\\gamma \end{bmatrix}}$
* $=g^{\beta \varepsilon }g_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\nu }}}+{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}g^{\gamma \varepsilon }{\begin{bmatrix}\alpha \beta \\\gamma \end{bmatrix}}$
* ﻿ [d’après (6-13)]
* $={\frac {\partial ^{2}x_{\varepsilon }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\nu }}}+{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\begin{Bmatrix}\!\alpha \beta \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}$
* ﻿ [d’après (14-13), (16-13) et (27-13)].
C’est la formule auxiliaire dont nous allons nous servir.
Soit maintenant $\mathrm {A} _{\mu }$ un quadrivecteur covariant : nous avons
$\mathrm {A} '_{\mu }={\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }}}\mathrm {A} _{\sigma }$
et, par dérivation,
${\frac {\partial \mathrm {A} '_{\mu }}{\partial x'_{\nu }}}={\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\tau }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\sigma }}{\partial x_{\tau }}}+{\frac {\partial ^{2}x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\nu }}}\mathrm {A} _{\sigma }.$
Remplaçant ${\frac {\partial ^{2}x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }\,\partial x'_{\nu }}}$ par sa valeur tirée de la formule auxiliaire (34), nous avons
| (35-13) | ${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {A} '_{\mu }}{\partial x'_{\nu }}}&-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\rho \end{Bmatrix}}'\mathrm {A} _{\sigma }{\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\rho }}}\\&\quad ={\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\tau }}{\partial x'_{\nu }}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\sigma }}{\partial x_{\tau }}}-{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial x'_{\nu }}}{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\sigma }.\end{aligned}}$ |
Or $\mathrm {A} _{\sigma }{\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\rho }}}=\mathrm {A} '_{\rho }$ et d’autre part nous pouvons remplacer dans le dernier terme les indices muets $\alpha ,$ $\beta ,$ $\sigma$ par $\sigma ,$ $\tau ,$ $\rho .$ En posant alors
| (36-13) | $\mathrm {A} _{\mu \nu }={\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho },$ |
l’équation (35) s’écrit
$\mathrm {A} '_{\mu \nu }={\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\tau }}{\partial x'_{\nu }}}\mathrm {A} _{\sigma \tau },$
ce qui prouve que $\mathrm {A} _{\mu \nu },$ défini par (36), est un tenseur covariant. Nous avons donc atteint le but que nous nous étions proposé. Ce tenseur se nomme dérivée covariante de $\mathrm {A} _{\mu }$.
Introduisons maintenant le quadrivecteur contrevariant $\mathrm {A} ^{\mu }$ associé à $\mathrm {A} _{\mu }.$ Nous avons
$\mathrm {A} _{\sigma }=g_{\sigma \rho }\mathrm {A} ^{\rho }.$
D’après (36), nous pouvons écrire
| $\mathrm {A} _{\sigma \nu }$ | $={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\left(g_{\sigma \rho }\mathrm {A} ^{\rho }\right)-{\begin{Bmatrix}\sigma \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}\left(g_{\sigma \alpha }\mathrm {A} ^{\rho }\right)$ |
| | $=g_{\sigma \rho }{\frac {\partial \mathrm {A} ^{\rho }}{\partial x_{\nu }}}+\mathrm {A} ^{\rho }\left({\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{bmatrix}\sigma \nu \\\rho \end{bmatrix}}\right)\qquad$ [d’après (28-13)] |
| | $=g_{\sigma \rho }{\frac {\partial \mathrm {A} ^{\rho }}{\partial x_{\nu }}}+\mathrm {A} ^{\rho }{\begin{bmatrix}\rho \nu \\\sigma \end{bmatrix}}\qquad$ [d’après (29-13)] |
Multiplions enfin les deux membres par $g^{\sigma \mu }$ pour faire indice en haut ; nous trouvons
| (37-13) | $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }={\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial r_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\rho \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\rho }.$ |
Le tenseur mixte $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }$ est la dérivée covariante du quadrivecteur contrevariant $\mathrm {A} ^{\mu }$ (elle est appelée covariante parce que la différentiation introduit un indice covariant $\nu$).
Dérivée covariante d’un tenseur. — On peut généraliser les opérations précédentes et former la dérivée covariante d’un tenseur quelconque. Prenons le cas d’un tenseur covariant du second ordre. Un tel tenseur peut être considéré comme la somme de tenseur du type $\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {C} _{\mu }$ ; d’après (36-13), les expressions
${\frac {\partial \mathrm {B} _{\lambda }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\lambda \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {B} _{\varepsilon }\,;\qquad {\frac {\partial \mathrm {C} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {C} _{\varepsilon }$
sont des tenseurs. Multiplions la première expression par $\mathrm {C} _{\mu },$ la seconde par $\mathrm {B} _{\lambda }:$ nous obtenons des tenseurs d’ordre 3, dont l’addition donne le tenseur
| (38-13) | $\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }={\frac {\partial \mathrm {A} _{\lambda \mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\lambda \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon \mu }-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \varepsilon }$ |
en posant $\mathrm {A} _{\lambda \mu }=\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {C} _{\mu }.$ Comme le second membre est linéaire et homogène relativement aux $\mathrm {A} _{\lambda \mu }$ et à leurs dérivées premières, cette formation reste la même pour une somme de tenseurs tels que $\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {C} _{\mu },$ c’est-à-dire pour un tenseur covariant quelconque d’ordre 2. Le tenseur $\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }$ est appelé « dérivée covariante du tenseur $\mathrm {A} _{\lambda \mu }.$ ».
Le résultat
| (39-13) | $\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }=\left(\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {C} _{\nu }\right)_{\nu }=\mathrm {B} _{\lambda \nu }\mathrm {C} _{\mu }+\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {C} _{\mu \nu }$ |
montre que la différentiation covariante est une opération distributive comme la différentiation ordinaire.
On obtient d’une façon analogue les dérivées covariantes des tenseurs contrevariants et mixtes du second ordre. On trouve
| (40-13) | $\mathrm {A} _{\nu }^{\lambda \mu }={\frac {\partial \mathrm {A} ^{\lambda \mu }}{\partial x_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\lambda \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\varepsilon \mu }+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\lambda \varepsilon },$ |
| (41-13) | $\mathrm {A} _{\lambda \nu }^{\mu }={\frac {\partial \mathrm {A} _{\lambda }^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\lambda \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon }^{\mu }\,+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda }^{\varepsilon }.$ |
Pour un tenseur d’ordre quelconque, par exemple $\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }^{\rho },$ on a
${\begin{aligned}\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu \sigma }^{\rho }={\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }^{\rho }-{\begin{Bmatrix}\lambda \sigma \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon \mu \nu }^{\rho }&-{\begin{Bmatrix}\mu \sigma \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \varepsilon \nu }^{\rho }\\&-{\begin{Bmatrix}\nu \sigma \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \mu \varepsilon }^{\rho }+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \sigma \\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }^{\varepsilon }.\end{aligned}}$
Nous pouvons comprendre dès maintenant l’utilité de la dérivée covariante.
Lorsque les $g_{\mu \nu }$ sont constants, ce qui est le cas en coordonnées galiléennes, les symboles de Christoffel sont nuls ; les dérivées covariantes des tenseurs se réduisent aux dérivées ordinaires. Donc, lorsqu’une loi physique est exprimée en coordonnées galiléennes par une relation où figurent des expressions qui sont visiblement des formes dégénérées de tenseurs et leurs dérivées ordinaires, nous pouvons, toujours en coordonnées galiléennes, remplacer les formes dégénérées par les tenseurs eux-mêmes et les dérivées ordinaires par les dérivées covariantes ; en coordonnées galiléennes, rien n’est changé et en même temps la loi est mise sous une forme tensorielle générale. Cette forme est celle exigée par le principe de relativité, car elle est indépendante du système de coordonnées : c’est certainement l’expression générale de la loi en coordonnées arbitraires dans un univers euclidien et c’est presque toujours l’expression de la loi dans un univers non euclidien, dans l’Univers réel où règne un champ de gravitation.
Voici un exemple (Eddington) : supposons que nous cherchions l’équation générale de la propagation d’un potentiel $\varphi$ avec la vitesse de la lumière. En coordonnées galiléennes
$\mathrm {X} _{1}=x,\quad \mathrm {X} _{2}=y,\quad \mathrm {X} _{3}=z,\quad \mathrm {X} _{4}=ct,$
cette équation est
| (42-13) | $\square \,\varphi =-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \mathrm {X} _{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \mathrm {X} _{2}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \mathrm {X} _{3}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \mathrm {X} _{4}^{2}}}=0.$ |
Les valeurs galiléennes non nulles des $g^{\mu \nu }$ sont
$g^{11}=g^{22}=g^{33}=-1\,;\quad g^{44}=+1\,;$
nous pouvons donc écrire (en coordonnées galiléennes) :
| (43-13) | $g^{\mu \nu }{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{\mu }\;\partial x_{\nu }}}=0.$ |
Le potentiel étant un scalaire, sa dérivée ordinaire est un vecteur covariant $\varphi _{\mu }$ (la dérivée ordinaire d’un scalaire est toujours identique à la dérivée covariante) ; en coordonnées galiléennes, nous pouvons remplacer la dérivée ordinaire de ce vecteur ${\frac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}$ par la dérivée covariante $\varphi _{\mu \nu }$ et écrire
| (44-13) | $g^{\mu \nu }\varphi _{\mu \nu }=0.$ |
Jusqu’ici les coordonnées galiléennes sont nécessaires.
Mais maintenant nous remarquons que l’équation (44) est sous une forme tensorielle, et il y a même cette particularité que le premier membre est un invariant pour tous les changements de coordonnées. Cet invariant étant nul pour des coordonnées galiléennes est nécessairement nul dans un univers euclidien avec des coordonnées arbitraires :
| (45-13) | $g^{\mu \nu }\varphi _{\mu \nu }\equiv g^{\mu \nu }\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\alpha }}}\right)=0.$ |
Telle est l’expression de l’équation (42-13) en coordonnées curvilignes, mais toujours dans un univers euclidien, car une transformation de coordonnées n’altère pas la nature de l’Espace-Temps.
Il est donc démontré que si le potentiel $\varphi$ se propage suivant la loi (42-13) en coordonnées galiléennes, il se propage suivant la loi (45-13) dans n’importe quel système de référence et quelles que soient les coordonnées choisies dans ce système, pourvu que l’univers soit euclidien.
Est-ce aussi l’expression générale dans l’Univers non euclidien, c’est-à-dire dans un champ de gravitation ? certainement, si le principe d’équivalence est applicable, c’est-à-dire si nous pouvons, pour le phénomène de la propagation, remplacer en chaque point d’Univers l’Univers réel par l’Univers euclidien tangent. D’après ce que nous verrons plus loin (n$^o$ 77), il en est bien ainsi parce que les dérivées des $g_{\mu \nu }$ d’ordre supérieur au premier ne figurent pas dans (45-13).

#### 70. Signification de la dérivée covariante. Déplacement parallèle.

Soit $\mathrm {A}$ un vecteur que nous supposerons d’abord, comme dans la théorie ordinaire, tridimensionnel dans un espace euclidien ; prenons des coordonnées galiléennes : si nous déplaçons ce vecteur sans le faire varier, parallèlement à lui-même, la dérivée ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}$ est nulle. C’est ainsi que dans un champ de vecteur uniforme, on a en tout point ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}=0.$ Mais si le champ n’est pas uniforme, la dérivée n’est pas nulle et ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}$ donne le taux de variation du vecteur suivant la direction $x_{\nu }.$ Ce résultat s’étend évidemment à un quadrivecteur pourvu que l’espace-temps soit euclidien et que les coordonnées soient galiléennes.
Si les coordonnées ne sont pas galiléennes (espace-temps euclidien ou non euclidien), la dérivée ordinaire ne peut plus représenter le taux de variation absolue, car il se produit une pseudo-variation due à la nature curviligne des coordonnées. Un tenseur seul peut donner le taux de variation absolue et ce tenseur est nécessairement la dérivée covariante puisqu’il doit se réduire à la dérivée ordinaire quand les coordonnées sont galiléennes (symboles de Christoffel nuls). Soit alors $\mathrm {A} ^{\mu }$ un quadrivecteur contrevariant (ou $\mathrm {A} _{\mu }$ un quadrivecteur covariant) ; la dérivée covariante $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }$ (ou $\mathrm {A} _{\mu \nu }$) est formée du terme ${\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}$ ${\bigg$ou ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}{\bigg )}$ qui mesure le taux de variation apparente, auquel il faut ajouter le terme ${\begin{Bmatrix}\alpha \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }$ ${\bigg$ou le terme $-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\alpha }{\bigg )}$ attribuable à la courbure des coordonnées et qui disparaît en coordonnées galiléennes. Ainsi la composante $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }$ (ou $\mathrm {A} _{\mu \nu }$) de la dérivée covariante doit être considérée comme représentant en chaque point le taux de la variation absolue, suivant la direction $x_{\nu },$ de la composante $\mathrm {A} ^{\mu }$ (ou $\mathrm {A} _{\mu }$) du vecteur ; ${\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}$ ${\bigg$ou ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}{\bigg )}$ est le taux de la variation apparente ; enfin $-{\begin{Bmatrix}\alpha \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }$ ${\bigg$ou ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\alpha }{\bigg )}$ est le taux de la pseudo-variation.
Supposons qu’on déplace un vecteur suivant un certain contour ; dans un espace euclidien et en coordonnées galiléennes, la condition nécessaire et suffisante pour que le vecteur reste de même longueur et parallèle à lui-même pendant le déplacement est ${\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}=0$ ${\bigg$ou ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}=0{\bigg )}.$ Cette condition étant la forme dégénérée de l’équation tensorielle $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }=0$ (ou $\mathrm {A} _{\mu \nu }=0$), nous dirons que l’annulation de la dérivée covariante d’un quadrivecteur en tout point d’un contour exprime un déplacement « sans variation absolue » (Eddington) ou encore un « déplacement parallèle » (Weyl) le long de ce contour, bien qu’il ne puisse être, dans le cas général, question de « parallélisme » au sens de la géométrie euclidienne.

#### 71. Quelques formules utiles.

1$^o$ Nous avons vu (13-13) que
$g_{\mu \nu }g^{\mu \alpha }=0\,$
$\,1\,$
$\,\nu \neq \alpha \,$
$\,\nu =\alpha \,;$
on a donc
| (46-13) | $g^{\mu \alpha }\,dg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\,dg^{\mu \alpha }=0\,;$ |
d’où l’on déduit
| (47-13) | $g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\,dg_{\mu \nu }=-g_{\mu \nu }g^{\nu \beta }\,dg^{\mu \alpha }=-g_{\mu }^{\beta }\,dg^{\mu \alpha }=-dg^{\alpha \beta }.$ |
On a de même
| (48-13) | $dg_{\alpha \beta }=-g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }\,dg^{\mu \nu }.$ |
2$^o$ Soient $\mathrm {A} ^{\alpha \beta },$ $\mathrm {A} _{\alpha \beta }$ deux tenseurs associés. Multiplions par $\mathrm {A} ^{\alpha \beta }$ les deux membres de l’équation précédente (48) ; nous obtenons
| (49-13) | $\mathrm {A} ^{\alpha \beta }\,dg_{\alpha \beta }=-\mathrm {A} _{\mu \nu }\,dg^{\mu \nu }=-\mathrm {A} _{\alpha \beta }\,dg^{\alpha \beta }.$ |
3$^o$ $g$ étant le déterminant $|g_{\mu \nu }|,$ $dg$ se forme en prenant la différentielle de chacun des $g_{\mu \nu }$ en la multipliant par le mineur correspondant à $g_{\mu \nu }$ et en faisant la somme algébrique de tous ces produits. Nous pouvons donc écrire
| (50-13) | $dg=g\,g^{\mu \nu }\,dg_{\mu \nu }.$ |
d’où nous tirons
| (51-13) | $d(\operatorname {Log} g)=g^{\mu \nu }\,dg_{\mu \nu }=-g_{\mu \nu }\,dg^{\mu \nu }.$ |
4$^o$ Contractons le symbole de Christoffel de deuxième genre (27-13) :
| (52-13) | ${\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\rho \end{Bmatrix}}={\frac {1}{2}}g^{\rho \varepsilon }\left({\frac {\partial g_{\mu \varepsilon }}{\partial x_{\rho }}}+{\frac {\partial g_{\rho \varepsilon }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \rho }}{\partial x_{\varepsilon }}}\right)={\frac {1}{2}}g^{\rho \varepsilon }{\frac {\partial g_{\rho \varepsilon }}{\partial x_{\mu }}},$ |
car on peut permuter les indices muets $\rho$ et $\varepsilon$ et l’on voit que les premiers et troisièmes termes des parenthèses disparaissent dans la sommation.
D’après (50-13), cette dernière formule s’écrit
| (53-13) | ${\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\rho \end{Bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{g}}{\frac {\partial g}{\partial x_{\mu }}}={\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }}}\cdot$ |

#### 72. Divergence d’un tenseur.

Dans la théorie habituelle des vecteurs d’espace, on appelle « divergence » le scalaire
${\frac {\partial \mathrm {A} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {A} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {A} _{z}}{\partial z}}\,;$
nous pouvons la représenter, dans notre notation, par
${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\mu }}}\cdot$
1$^o$ Quadrivecteur contrevariant. — La généralisation s’impose ; il faut considérer la dérivée covariante et prendre le scalaire $\mathrm {A} _{\mu }^{\mu }.$ Nous appellerons donc divergence la dérivée covariante contractée.
D’après (37-13), nous avons
| | $={\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}+{\begin{Bmatrix}\rho \mu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\rho }$ |
| | $={\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}+\mathrm {A} ^{\rho }{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\rho }}}$ | [d’après (53-13)] |
| | $={\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}+\mathrm {A} ^{\mu }{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }}}$ |
| (54-13) | $={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\!\left(\mathrm {A} ^{\mu }{\sqrt {-g}}\right).$ |
Désignant les densités tensorielles par des lettres de ronde nous pouvons écrire
| (55-13) | ${\mathcal {A}}_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {A}}^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}\cdot$ |
2$^o$ Tenseur mixte du second ordre. — Nous appelons, de même, divergence la dérivée covariante contractée.
D’après (41-13) nous avons
$\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\nu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\mu }^{\varepsilon }-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon }^{\nu }.$
Les deux premiers termes se réduisent, comme plus haut, à
${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}\right),$
de sorte que la divergence s’écrit
$\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}\right)-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon }^{\nu }.$
L’expression se simplifie lorsque $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ est un tenseur symétrique, car le dernier terme
$-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\right)g^{\varepsilon \alpha }\mathrm {A} _{\varepsilon }^{\nu }$
se réduit à
$-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{\nu \alpha }}{\partial x_{\nu }}}\mathrm {A} ^{\alpha \nu },$
et l’on obtient pour l’expression de la divergence
| (56-13) | $\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}\right)-{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{\sigma \rho }{\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}$ |
ou, ce qui revient au même, d’après (49-13),
| (57-13) | $\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{\sigma \rho }{\frac {\partial g^{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}\cdot$ |
3$^o$ Tenseur contrevariant du second ordre. — La divergence est
| (58-13) | $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu \nu }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {A} ^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\varepsilon \nu }.$ |
Le dernier terme disparaît lorsque le tenseur est symétrique gauche.
En résumé, en introduisant les densités tensorielles, nous avons
| (59-13) | ${\mathcal {A}}_{\mu \nu }^{\nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}{\mathcal {A}}_{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}{\mathcal {A}}^{\sigma \rho }{\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}\quad$ | (pour les tenseurs symétriques), |
| (60-13) | ${\mathcal {A}}_{\nu }^{\mu \nu }={\frac {\partial {\mathcal {A}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}\quad$ | (pour les tenseurs symétriques gauches). |

#### 73. Le tenseur de Riemann-Christoffel.

Nous nous proposons maintenant de chercher les tenseurs qu’on peut obtenir par différentiation à partir du tenseur fondamental des $g_{\mu \nu }$ seul. La solution paraît évidente : il semble qu’il suffise de former la dérivée covariante du tenseur $g_{\mu \nu },$ mais on constate, en remplaçant dans (38-13) $\mathrm {A} _{\lambda \mu }$ par $g_{\mu \nu }$ que le tenseur ainsi obtenu est identiquement nul.
On arrive cependant au but de la façon suivante :
Formons la dérivée seconde covariante d’un vecteur arbitraire $\mathrm {A} _{\mu }\,;$ d’après les formules (36-13) et (38-13) nous pouvons écrire
| $={\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!\left({\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }\right)$ | $-{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}\left({\frac {\partial \mathrm {A} _{\varepsilon }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }\right)$ |
| | $-{\begin{Bmatrix}\!\nu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}\left({\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\varepsilon }}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }\right)$ |
| $={\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\sigma }\,\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\rho }}{\partial x_{\sigma }}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\varepsilon }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\!\nu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\varepsilon }}}$ | $={\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\sigma }\,\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\rho }}{\partial x_{\sigma }}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\varepsilon }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\!\nu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\varepsilon }}}$ |
| $\qquad +{\begin{Bmatrix}\!\nu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\mu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }+{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }-\mathrm {A} _{\rho }{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\cdot$ | $\qquad +{\begin{Bmatrix}\!\nu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\mu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }+{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }-\mathrm {A} _{\rho }{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\cdot$ |
Formons le tenseur $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }-\mathrm {A} _{\mu \sigma \nu }\,;$ dans cette différence, les termes symétriques en $\sigma$ et $\nu$ disparaissent ; dans le second terme nous pouvons remplacer $\rho$ par $\varepsilon ,$ de sorte que le deuxième et le troisième terme disparaissent aussi dans la différence ; il vient finalement
| | $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }-\mathrm {A} _{\mu \sigma \nu }=\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }\mathrm {A} _{\rho },$ |
| (61-13) | $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }={\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}\!-\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \sigma \!\\\rho \end{Bmatrix}}\!+\!{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\rho \end{Bmatrix}}\!-\!{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}$ |
Puisque $\mathrm {A} _{\mu \nu \sigma }-\mathrm {A} _{\mu \sigma \nu }$ est un tenseur, et que $\mathrm {A} _{\rho }$ est un quadrivecteur covariant arbitraire, il résulte de la règle du quotient que $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }$ est un tenseur. C’est le tenseur de Riemann-Christoffel.
On peut lui associer un tenseur entièrement covariant, en faisant passer en bas l’indice $\rho :$
| (62-13) | $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }=g_{\rho \alpha }\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\alpha }={\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon \nu \\\rho \end{bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon \sigma \\\rho \end{bmatrix}}$ |
| | $+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!{\begin{bmatrix}\mu \sigma \\\rho \end{bmatrix}}-{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\rho \end{bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial g_{\rho \varepsilon }}{\partial x_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial g_{\rho \varepsilon }}{\partial x_{\sigma }}}$ |
| | $=-{\begin{Bmatrix}\!\mu \sigma \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho \nu \\\varepsilon \end{bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho \sigma \\\varepsilon \end{bmatrix}}+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!{\begin{bmatrix}\mu \sigma \\\rho \end{bmatrix}}-{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\!{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\rho \end{bmatrix}}\cdot$ |
En développant les deux premiers termes de la dernière expression, on constate que $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ est symétrique gauche en $\mu$ et $\rho$ ainsi qu’en $\nu$ et $\sigma .$
Il est essentiel de remarquer que ce tenseur appartient à la catégorie des tenseurs fondamentaux, puisqu’il n’est constitué que par les potentiels $g_{\mu \nu }$ du champ de gravitation (champ de force) et par leurs dérivées. En partant de ce tenseur nous pourrions former d’autres tenseurs d’ordres de plus en plus élevés, mais nous pouvons aussi obtenir par contraction de $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }$ un tenseur du second ordre ce dernier présente un intérêt considérable.
Le tenseur contracté, covariant, du second ordre, s’obtient en égalant $\rho$ et $\sigma ,$ il est symétrique et a pour expression
$\mathrm {R} _{\mu \nu }=-{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!\mu \rho \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\nu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}{\begin{Bmatrix}\!\mu \rho \!\\\rho \end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\varepsilon \rho \!\\\rho \end{Bmatrix}}\cdot$
Les deux derniers termes se simplifient, d’après (53-13) et l’on a
| (63-13) | ${\begin{aligned}\mathrm {R} _{\mu \nu }=-{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\!\mu \rho \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\nu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}&+{\frac {\partial ^{2}\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}\\&\quad -{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\dfrac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{dx_{\varepsilon }}}\end{aligned}}$ |
Si nous choisissons les coordonnées de manière que ${\sqrt {-g}}=1,$ $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ se simplifie beaucoup, par disparition des deux derniers termes.
Il est à remarquer que le tenseur (63-13) est le seul tenseur qu’on puisse obtenir par contraction du tenseur de Riemann-Christoffel. En effet, d’une part, en faisant $\rho =\nu ,$ on obtient le même tenseur contracté, $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }$ étant symétrique en $\nu$ et $\sigma \,;$ d’autre part, si l’on fait $\rho =\mu ,$ le résultat obtenu est identiquement nul car
$\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\mu }=g^{\mu \rho }\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }=0$
puisque $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }$ est symétrique gauche en $\mu$ et $\rho$.
Le tenseur de Riemann-Christoffel, le tenseur contracté $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ et l’invariant contracté $\mathrm {R} =g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }$ jouent un rôle capital dans la théorie de la gravitation.
* ↑ D’après Einstein (Ann. d. Physik, 1916, p. 19) et Eddington (Report on the relativity theory of gravitation, 1990 ; Espace, Temps et Gravitation, édition française, traduction par Jacques Rossignol, 1921).
* ↑ Bien entendu, dans une multiplicité à trois dimensions seulement, le nombre des composantes serait $3^{n}.$ Un tenseur du second ordre, à 9 composantes, est utilisé dans la théorie de l’élasticité ; il est fourni par les tensions internes d’un solide ou d’un fluide visqueux. On désigne par $p_{xy}$ une composante qui est une tension dans le sens de l’axe des $y$ et qui s’exerce sur une surface normale à l’axe des $x:$ chaque composante est ainsi associée à deux directions et le tenseur est du second ordre dans une multiplicité à trois dimensions $x,$ $y,$ $z.$
* ↑ Il est à remarquer que l’expression $\mathrm {\mathrm {A} } _{\mu \sigma \sigma }^{\tau }$ n’est pas un tenseur et ne présente aucun intérêt.
* ↑ Eddington, Espace, Temps, Gravitation ; traduction française par J. Rossignol, partie théorique, n$^o$ 18.
* ↑ Eddington, Report on the theory of gravitation, p. 36. Espace, Temps et Gravitation, partie théorique, n$^o$ 22.
* ↑ Von Laue donne la démonstration suivante (Die Relativitätstheorie, II Band, p. 49). Soit un tenseur du deuxième ordre, $\mathrm {A} _{\lambda \mu }$ désignant ses composantes pour un certain système de coordonnées. Donnons-nous d’une manière absolument arbitraire un groupe de quatre quadrivecteurs ayant dans le système considéré les composantes $\mathrm {B} _{\lambda },$ $\mathrm {C} _{\lambda },$ $\mathrm {D} _{\lambda },$ $\mathrm {E} _{\lambda }\,;$ nous supposerons toutefois que le déterminant formé par les $\mathrm {B} _{\lambda },$ $\mathrm {C} _{\lambda },$ $\mathrm {D} _{\lambda },$ $\mathrm {E} _{\lambda },$ est différent de zéro. Nous pouvons alors déterminer un second groupe de quatre quadrivecteurs de composantes $\mathrm {B} '_{\lambda },$ $\mathrm {C} '_{\lambda },$ $\mathrm {D} '_{\lambda },$ $\mathrm {E} '_{\lambda },$ tel que $\mathrm {A} _{\lambda \mu }=\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {B} '_{\mu }+\mathrm {C} _{\lambda }\mathrm {C} '_{\mu }+\mathrm {D} _{\lambda }\mathrm {D} '_{\mu }+\mathrm {E} _{\lambda }\mathrm {E} '_{\mu }.$ On aura en effet $\mathrm {B} '_{1},$ $\mathrm {C} '_{1},$ $\mathrm {D} '_{1},$ $\mathrm {E} '_{1}$ en considérant les quatre équations linéaires à déterminant non nul $\mathrm {A} _{\lambda 1}=\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {B} '_{1}+\mathrm {C} _{\lambda }\mathrm {C} '_{1}+\mathrm {D} _{\lambda }\mathrm {D} '_{1}+\mathrm {E} _{\lambda }\mathrm {E} '_{1}$ ﻿ ($\lambda =$1, 2, 3, 4). On obtiendra de même $\mathrm {B} '_{2},\,\mathrm {C} '_{2},$ etc. Les tenseurs du deuxième ordre $\mathrm {A} _{\lambda \mu }$ peuvent donc se décomposer en sommes de produits de quatre paires de vecteurs. Cette démonstration se généralise pour un tenseur d’ordre quelconque.
* ↑ C’est nécessairement l’expression générale quel que soit le genre d’Espace-Temps lorsque le principe d’équivalence (n$^o$ 55) est applicable. Nous préciserons plus loin (n$^o$ 77) les conditions de validité de ce principe.
* ↑ Par exemple, dans un champ de force uniforme, les composantes polaires de la force varient d’un point à l’autre.
* ↑ Désigné dans beaucoup d’ouvrages par $\mathrm {B} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }.$ Le tenseur contracté est souvent indiqué par $\mathrm {G} _{\mu \nu }.$
* ↑ Pour les lecteurs qui ne seraient pas encore familiarisés avec la notation abrégée, indiquons les sommations ; les indices muets sont $\varepsilon$ et $\rho ,$ de sorte que la composante correspondant aux indices $\mu$ et $\nu$ est ${\begin{aligned}\mathrm {R} _{\mu \nu }=\sum _{\rho }-{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}\!{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\rho \end{Bmatrix}}+\sum _{\rho }\sum _{\varepsilon }{\begin{Bmatrix}\!\mu \rho \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\!\nu \varepsilon \!\\\rho \end{Bmatrix}}&+{\frac {\partial ^{2}\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}\\-&\sum _{\varepsilon }{\begin{Bmatrix}\!\mu \nu \!\\\varepsilon \end{Bmatrix}}{\frac {\partial \operatorname {Log} {\sqrt {-g}}}{dx_{\varepsilon }}}\cdot \end{aligned}}$