# Théorie des fonctions analytiques/Partie II/Chapitre 04
### CHAPITRE IV.

20. Considérons maintenant les contacts du second ordre, et, prenant
$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$
pour l’équation de la courbe du contact, supposons qu’il y ait entre les trois éléments $a,b,c,$ la relation donnée par l’équation
$\varphi (a,b,c)=0.$
Comme les valeurs de ces éléments doivent se tirer des trois équations (n$^o$ 10)
$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0,$
si l’on désigne ces valeurs par $\mathrm {P,Q,R} ,$ l’équation du problème sera
$\varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0,$
qu’on voit être du second ordre. Les trois équations
$a=\mathrm {P} ,\quad b=\mathrm {Q} ,\quad c=\mathrm {R}$
donneront, en prenant les fonctions primes dans la supposition de $a,b,c$ constantes, la même équation
$\mathrm {V} =0$
$a,b,c$
$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)'''=0\,;$
par conséquent, on aura nécessairement
$\mathrm {P'=MV,\quad Q'=NV,\quad R'=LV} ,$
$\mathrm {M,N,L}$ étant des fonctions de $x,y,y'$ et $y''$ sans $y''',$ de sorte qu’en prenant les fonctions primes de l’équation
$\varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0,$
on aura
$\mathrm {P'\varphi '(P)+Q'\varphi '(Q)+R'\varphi '(R)=0} ,$
savoir
$\mathrm {V\left[M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)+L\varphi '(R)\right]} =0,$
équation qui se partage naturellement dans ces deux-ci,
$\mathrm {V} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)+L\varphi '(R)} =0,$
dont la première est du troisième ordre et dont la seconde n’est que du second.
L’équation $\mathrm {V} =0$ a, comme nous l’avons déjà vu, pour équation primitive complète l’équation même
$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$
de la courbe du contact, dans laquelle $a,b,c$ sont les trois constantes arbitraires ; mais, comme l’équation du problème
$\varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0$
n’est que du second ordre, il doit y avoir une relation entre ces trois constantes qui les réduise à deux arbitraires, et cette relation est donnée par l’équation
$\varphi (a,b,c)=0,$
qui résulte de la précédente, en substituant les valeurs de $\mathrm {P,Q,R}$ tirées des équations $a=\mathrm {P} ,$ $b=\mathrm {Q} ,$ $c=\mathrm {R} .$
L’autre équation étant du second ordre, on pourra, par son moyen, éliminer la fonction $y''$ de l’équation
$\varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0,$
et la résultante sera une équation primitive de celle-ci du premier ordre, mais qui ne contiendra point de constante arbitraire. Cette équation sera donc le résultat de l’élimination des quantités $a,b,c,\ldots ,$ et $y'',$ au moyen des équations
$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0,$
$\varphi (a,b,c)=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)+\mathrm {L} \varphi '(c)=0.$
Or, en regardant $a,b,c$ comme des fonctions de $x,y,$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,a,b,c)$ sera
$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)'+a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\operatorname {F} '(c),$
en dénotant simplement par $\operatorname {F} '(a),\operatorname {F} '(b),\operatorname {F} '(c)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,a,b,c)$ prises relativement à $a,b,c,$ regardées comme seules variables ; donc les deux équations
$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0$
emporteront celle-ci :
$a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\operatorname {F} '(c)=0.$
De plus, la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,a,b,c)'$ sera, par la même raison,
$\operatorname {F} (x,a,b,c)''+a'\operatorname {F} '(a)'+b'\operatorname {F} '(b)'+c'\operatorname {F} '(c)',$
en dénotant de même par $\operatorname {F} '(a)',\operatorname {F} '(b)',\operatorname {F} '(c)'$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,a,b,c)'$ prises relativement à $a,b,c,$ regardées comme seules variables ; et, comme dans la formation de ces fonctions dérivées on regarde les quantités $a,b,c$ comme indépendantes de $x$ et $y,$ il est aisé de prouver, par les principes établis dans la Ire Partie (n$^o$ 74), que les fonctions $\operatorname {F} '(a)',\operatorname {F} '(b)',$$\operatorname {F} '(c)'$ seront la même chose que les fonctions
$\operatorname {F} '(a),\operatorname {F} '(b),\operatorname {F} '(c),$
$x$
$y.$
$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0$
emporteront encore nécessairement cette autre-ci :
$a'\operatorname {F} '(a)'+b'\operatorname {F} '(b)'+c'\operatorname {F} '(c)'=0.$
Si donc on combine les deux équations
${\begin{aligned}&\operatorname {F} '(a)\ +{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)\ +{\frac {c'}{a'}}\operatorname {F} '(c)\ =0,\\&\operatorname {F} '(a)'+{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)'+{\frac {c'}{a'}}\operatorname {F} '(c)'=0\end{aligned}}$
avec l’équation
$\varphi '(a)+{\frac {b'}{a'}}\varphi '(b)+{\frac {c'}{a'}}\varphi '(c)=0,$
qui résulte de $\varphi (a,b,c)=0,$ en prenant les fonctions primes, on aura, par l’élimination des quantités ${\frac {b'}{a'}}$ et ${\frac {c'}{a'}},$ une équation en $a,b,c$ et $x,y,y',$ sans $y'',$ laquelle sera équivalente à celle qu’on aurait déduite des deux équations
$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)+\mathrm {L} \varphi '(c')=0$
par l’élimination de $y''.$ Ainsi, il n’y aura plus qu’à éliminer $a,b,c$ au moyen des équations
$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0\quad {\text{et}}\quad \varphi (a,b,c)=0,$
et le résultat final sera la même équation primitive du premier ordre de l’équation
$\varphi (\mathrm {P,Q,H} )=0,$
laquelle, ne contenant point, par sa nature, de constantes arbitraires, ne pourra être qu’une équation primitive singulière.
En effet, si, pour simplifier la solution, on commence par tirer la valeur $c$ de l’équation
$\varphi (a,b,c)=0,$
$\psi (a,b),$
$a,b$
${\frac {b'}{a'}}$
$\operatorname {F} \left[x,y,a,b,\psi (a,b)\right]=0,\quad \operatorname {F} [x,y,a,b,\psi (a,b)]'=0$
et les deux équations primes de celles-ci, prises relativement à $a$ et $b$ seuls, et divisées par $a',$ procédé analogue à celui du n$^o$ 18.
21. En général, si l’on a une équation en $x,y$ et deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ que nous représenterons par
$f(x,y,a,b)=0,$
en éliminant ces deux constantes par le moyen des deux équations dérivées
$f(x,y,a,b)'=0\quad {\text{et}}\quad f(x,y,a,b)''=0,$
on aura une équation du second ordre
$\mathrm {V} =0,$
qui appartiendra à toutes les courbes représentées par l’équation
$f(x,y,a,b)=0,$
en donnant à $a$ et $b$ des valeurs quelconques, et dont, par conséquent, celle-ci sera l’équation primitive complète.
Donc elle appartiendra aussi à la courbe ou aux courbes formées par toutes ces courbes, et qui les envelopperont de manière qu’elles aient avec chacune d’elles un contact du second ordre, c’est-à-dire dans lequel les $y,y'$ et $y''$ soient les mêmes. Mais, les quantités $a$ et $b$ étant constantes dans chaque courbe enveloppée et variables dans les courbes enveloppantes, pour que les $y,y'$ et $y''$ soient les mêmes dans les deux hypothèses, il faudra que les équations d’où elles dépendent soient aussi les mêmes. Or, dans la supposition de $a$ et $b$ variables, l’équation
$f(x,y,a,b)=0$
$f(x,y,a,b)'+a'f'(a)+b'f'(b)=0\,;$
donc, pour que cette équation se réduise à
$f(x,y,a,b)'=0,$
comme dans le cas de $a$ et $b$ constantes, il faudra que l’on ait
$a'f'(a)+b'f'(b)=0.$
De la même manière, l’équation
$f(x,y,a,b)'=0$
donne, dans le cas de $a$ et $b$ variables, cette équation dérivée
$f(x,y,a,b)''+a'f'(a)'+b'f'(b)'=0,$
laquelle ne peut se réduire à
$f(x,y,a,b)''=0,$
comme dans le cas de $a$ et $b$ constantes, qu’en supposant
$a'f'(a)'+b'f'(b)'=0.$
Ayant ainsi les quatre équations
$f(x,y,a,b)=0,\quad f(x,y,a,b)'=0,$
$f'(a)\ +{\frac {b'}{a'}}f'(b)\ =0\quad {\text{et}}\quad f'(a)'+{\frac {b'}{a'}}f'(b)'=0,$
il n’y aura qu’à éliminer $a,b$ et ${\frac {b'}{a'}},$ et l’on aura une équation du premier ordre entre $x,y$ et $y',$ qui sera celle des courbes enveloppantes et qui sera en même temps l’équation primitive singulière de la même équation $\mathrm {V} =0.$
On voit par là comment la théorie des équations primitives singulières peut s’étendre au second ordre et aux ordres supérieurs. On voit en même temps que ces équations représentent toujours des courbes enveloppantes et qui ont des contacts d’un ordre donné avec les courbes enveloppées, représentées par les équations primitives complètes, dans lesquelles les constantes arbitraires varient d’une courbe à l’autre. Ceci peut servir de supplément et de complément à la théorie des équations primitives exposée dans la première Partie (n$^o$ 60).
Au reste, de même que les quatre équations ci-dessus
$f(x,y,a,b)=0,\quad f(x,y,a,b)'=0,$
$f'(a)+{\frac {b'}{a'}}f'(b)=0\quad {\text{et}}\quad f'(a)'+{\frac {b'}{a'}}f'(b)'=0,$
donnent, par l’élimination de $a,b$ et ${\frac {b'}{a'}},$ une équation du premier ordre en $x,y$ et $y',$ ces équations donneront également, par l’élimination de ces trois dernières quantités, une équation en $a,b$ et ${\frac {b'}{a'}}$ qui renfermera les relations que doivent avoir entre elles les deux variables $a$ et $b,$ d’où l’on voit que ces quantités, qui sont indépendantes entre elles dans chacune des courbes enveloppées, ne le sont plus lorsqu’elles se rapportent à la courbe enveloppante. On trouvera des résultats semblables pour les équations et les courbes des ordres supérieurs.
22. Supposons qu’on demande la courbe qui aura dans chacune de ses points un contact du second ordre avec un cercle représenté par l’équation
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$
et dont les éléments du contact $a,b,c$ aient entre eux la relation déterminée par l’équation
$\varphi (a,b,c)=0.$
La marche naturelle pour résoudre ce problème serait de substituer dans cette équation les valeurs des éléments $a,b,c$ trouvées plus haut (n$^o$ 11), ce qui donnerait une équation du second ordre, d’où il faudrait remonter à l’équation primitive.
Mais, sans chercher cette équation du second ordre, on peut d’abord conclure, de ce que nous venons de démontrer, que l’on aura son équation primitive complète en-supposant les quantités $a,b,c$ constantes, ce qui redonnera la même équation au cercle. On en conclura ensuite que la même équation admettra aussi une équation primitive singulière du premier ordre, qu’on obtiendra en faisant varier les quantités $a,b,c$ de manière que les équations primes et secondes de l’équation au cercle soient les mêmes que si ces quantités étaient regardées comme constantes, et que cette équation primitive représentera alors la courbe ou les courbes formées par la réunion de tous les cercles représentés par la même équation, c’est-à-dire qui envelopperont ou embrasseront tous ces cercles.
Cette équation sera donc, par les principes établis ci-dessus, le résultat de l’élimination des quantités $a,b,c$ et ${\frac {b'}{a'}},{\frac {c'}{a'}}$ entre les trois équations
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},\quad x-a+y'(y-b)=0,\quad \varphi (a,b,c)=0,$
et les équations primes de celles-ci, prises relativement aux seules variables $a,b,c,$ savoir
$(x-a)+{\frac {b'}{a'}}(y-b)={\frac {cc'}{a'}},\quad 1+{\frac {b'}{a'}}y'=0,\quad \varphi '(a)+{\frac {b'}{a'}}\varphi '(b)+{\frac {c'}{a'}}\varphi '(c)=0$
Mais, comme cette équation en $x$ et $y$ pourrait se présenter sous une forme assez compliquée, il sera plus simple de chercher à déterminer les valeurs mêmes de $x$ et $y$ par une troisième variable.
Pour cela, on éliminera d’abord $y'$ au moyen des deux équations
$(x-a)+y'(y-b)=0\quad {\text{et}}\quad 1+{\frac {b'}{a'}}y'=0\,;$
on aura celle-ci,
$x-a-{\frac {a'(y-b)}{b'}}=0,$
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$
donnera sur-le-champ
$x=a+{\frac {ca'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}},\quad y=b+{\frac {cb'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}}.$
De plus, si l’on substitue ces mêmes valeurs de $x$ et $y$ dans l’équation
$x-a+{\frac {b'}{a'}}(y-b)={\frac {cc'}{a'}},$
on aura celle-ci,
$c'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}},$
laquelle, étant combinée avec l’équation
$\varphi (a,b,c)=0$
donnée par le problème, servira à déterminer deux des trois variables $a,b,c$ par la troisième, moyennant quoi les valeurs de $x$ et $y$ seront aussi exprimées par cette seule variable.
23. Comme les quantités $a$ et $b$ sont les coordonnées de la courbe qui est le lieu de tous les centres des cercles osculateurs (n$^o$ 9), si l’on suppose cette courbe donnée, on aura une équation entre $a$ et $b$ par laquelle on pourra déterminer $b$ en $a.$ Soit donc
$b=\varphi (a)\,;$
on aura
$b'=a'\varphi '(a),\quad {\text{et de là}}\quad c'=a'{\sqrt {1+\left[\varphi '(a)\right]^{2}}}.$
Ainsi, en désignant par $\mathrm {A}$ la fonction primitive de $a'{\sqrt {1+\left[\varphi '(a)\right]^{2}}},$ on aura
$c=\mathrm {A} +h,$
$h$ étant une constante arbitraire ; ces valeurs de $b$ et $c$ étant substituées dans les expressions de $x,y,$ on aura la courbe cherchée.
Nous remarquerons maintenant que, quelle que soit la courbe des centres, l’équation
$c'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}$
fait voir que le rayon $c$ est égal à l’arc de cette courbe (voir ci-après le n$^o$ 29), de sorte que, si l’on nomme $s$ cet arc, on aura
$c=s+h.$
Nous remarquerons, de plus, que le rayon $c$ sera nécessairement tangent à la même courbe, car l’angle que la tangente de cette courbe fait avec l’axe a pour tangente la quantité ${\frac {b'}{a'}}$ (n$^o$ 7), et, comme le rayon du cercle osculateur est perpendiculaire à la courbe dont les coordonnées sont $x$ et $y$ (n$^o$ 8), la tangente de l’angle qu’il fait avec l’axe sera (n$^o$ 7) $-{\frac {1}{y'}}={\frac {b'}{a'}},$ en vertu de l’équation $1+{\frac {b'y'}{a'}}=0,$ et par conséquent la même que celle de la tangente à la courbe.
Mais, quoique cette propriété soit démontrée de cette manière, il est bon de faire voir qu’elle est une conséquence nécessaire de l’analyse employée dans la solution de la question. Pour cela, nous reprendrons les deux premières équations
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}\quad {\text{et}}\quad x-a+y'(y-b)=0,$
lesquelles donnent
$a=x-{\frac {cy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad b=y+{\frac {c}{\sqrt {1+y'^{2}}}},$
et nous observerons que ces expressions de $a$ et $b$ peuvent représenter à la fois les coordonnées de la perpendiculaire à la courbe dont $x$ et $y$ sont les coordonnées, en regardant $x$ et $y$ comme constantes et $c$ comme une variable, ainsi qu’on l’a vu dans le n$^o$ 8, et les coordonnées de la courbe des centres, en regardant $x$ et $y$ comme variables et $c$ comme donnée en $x$ et $y$ (n$^o$ 9).
Donc la perpendiculaire dont il s’agit sera tangente de cette dernière courbe si la fonction prime de $b,$ regardée comme fonction de $a,$ est la même pour la droite et pour la courbe (n$^o$ 10), ou, en général, si les valeurs de $a'$ et de $b',$ regardées comme fonctions d’une troisième variable, sont les mêmes, et par conséquent aussi, si les valeurs de ${\frac {a'}{c'}}$ et ${\frac {b'}{c'}}$ sont les mêmes, soit que les quantités $x$ et $y$ soient traitées comme variables ou non, c’est-à-dire si dans ces valeurs les parties dépendantes des variations de $x,$ et $y$ sont nulles ; or c’est ce qui a lieu en effet, comme on le voit par les équations de l’article précédent,
$a'(x-a)+b'(y-b)=cc'\quad {\text{et}}\quad a'+b'y'=0,$
qui servent à la détermination de ${\frac {a'}{c'}}$ et de ${\frac {b'}{c'}},$ et qui sont les équations primes de
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}\quad {\text{et}}\quad x+a-y'(y-b)=0,$
en y traitant $x$ et $y$ comme constantes, et $a,b$ comme seules variables.
Donc, puisque le rayon osculateur d’une courbe est partout tangent à la courbe des centres et est en même temps égal à l’arc de cette courbe, il s’ensuit qu’il peut être pris pour ce même arc étendu en ligne droite, et qu’ainsi toute courbe peut être regardée comme formée par le développement de celle qui est le lieu des centres des cercles osculateurs. C’est en quoi consiste la théorie des développées d’Huygens, qui n’avait été démontrée que par des considérations géométriques. L’analyse précédente fournit en même temps l’explication d’un paradoxe qui se présente lorsqu’on cherche, par les formules connues, la courbe formée par le développement d’une courbe donnée.
Si l’on substitue dans l’équation de cette courbe les expressions de ses coordonnées $a$ et $b$ en $x,y,y'$ et $y'',$ on a évidemment une équation du second ordre, d’où il paraît s’ensuivre que l’équation en $x$ et $y$ de la courbe cherchée devrait contenir deux constantes arbitraires, tandis que la génération de cette courbe par le développement de la courbe donnée n’admet qu’une seule constante arbitraire dépendant du point où commence le développement.
La raison de cette différence consiste, comme nous venons de le démontrer, en ce que l’équation de la courbe engendrée par le développement est proprement l’équation primitive complète d’une équation du premier ordre qui n’est elle-même que l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre, donnée par les conditions du problème et qui, par sa nature, ne peut point avoir de constante arbitraire, de sorte qu’il ne peut y avoir qu’une constante arbitraire, à raison de la première équation primitive.