# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Analise transcendante, article 5
## ANALISE TRANSCENDANTE.
### Nouvelle méthode pour l’intégration de l’équation linéaire du premier ordre à deux variables ;

On se tromperait étrangement si l’on croyait avoir tout fait dans l’analise, lorsqu’on a trouvé une méthode propre à résoudre chacune des questions qui dépendent de ses procédés. Outre qu’en effet les divers chemins qui conduisent au même but peuvent fort bien n’être pas tous également aisés à parcourir ; il arrive souvent que, tandis que certaines méthodes sont exclusivement propres à l’objet particulier pour lequel elles ont été imaginées, d’autre, au contraire, semblent ouvrir devant elles une voie nouvelle, et être de nature à s’étendre à un grand nombre de recherches analogues.
Ces réflexions nous serviront d’excuse, si nous revenons ici un moment sur un sujet qui semble épuisé depuis long-temps, en indiquant, pour parvenir à l’intégration de l’équation linéaire du premier ordre entre deux variables ; un procédé tout-à-fait nouveau, et qui nous paraît susceptible d’être étendu au-delà de cette application particulière.
Soit l’équation
${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=P_{1}y+Q_{1},\qquad$
dans laquelle $P_{1}$ et $Q_{1}$ sont supposés des fonctions quelconques de $x$ sans $y.$ En la différentiant, on trouve
${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=P_{1}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} x}}y+{\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} x}}\,;$
ou, en mettant pour ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ sa valeur donnée par la proposée,
${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=\left(P_{1}^{2}+{\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} x}}\right)y+\left(P_{1}Q_{1}+{\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} x}}\right)\,;$
de sorte qu’en posant
$P_{1}^{2}+{\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} x}}=P_{2},\qquad P_{1}Q_{1}+{\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} x}}=Q_{2},$
on aura
${\frac {\operatorname {d} y^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}=P_{2}y+Q_{2},$
où $P_{2}$ et $Q_{2}$ seront encore, comme dans (1), des fonctions de $x$ sans $y.$
Il est clair, d’après cela, que, si l’on pose
$P_{2}^{2}+{\frac {\operatorname {d} P_{2}}{\operatorname {d} x}}=P_{3},\qquad P_{2}Q_{2}+{\frac {\operatorname {d} Q_{2}}{\operatorname {d} x}}=Q_{3},$
on aura
${\frac {\operatorname {d} y^{3}}{\operatorname {d} x^{3}}}=P_{3}y+Q_{3},$
où $P_{3}$ et $Q_{3}$ seront toujours des fonctions de $x$ sans $y\,;$ de manière qu’en continuant ainsi, on aura, en général,
${\frac {\operatorname {d} y^{n}}{\operatorname {d} x^{n}}}=P_{n}y+Q_{n},\qquad$
où $P_{n}$ et $Q_{n}$ seront encore des fonctions de $x$ sans $y,$ et $n$ un nombre entier positif quelconque.
Si, dans cette dernière équation, on suppose $n=0,$ elle deviendra
${\frac {\operatorname {d} ^{0}y}{\operatorname {d} x^{0}}}\quad$
$\quad y=P_{0}y+Q_{0},$
d’où
$y={\frac {Q_{0}}{1-P_{0}}}\,;\qquad$
d’où l’on voit que l’intégration de la proposée se réduit finalement à déterminer les deux fonctions $P_{0}$ et $Q_{0}.$ Or, c’est là une chose très-facile, ainsi qu’on va le voir.
En différentiant l’équation (2), on a
${\frac {\operatorname {d} ^{n+1}y}{\operatorname {d} x^{n+1}}}=P_{n}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} P_{n}}{\operatorname {d} x}}y+{\frac {\operatorname {d} Q_{n}}{\operatorname {d} x}}\,;$
ou, en mettant dans le second membre pour ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ sa valeur donnée par l’équation (1),
${\frac {\operatorname {d} ^{n+1}y}{\operatorname {d} x^{n+1}}}=\left(P_{1}P_{n}+{\frac {\operatorname {d} P_{n}}{\operatorname {d} x}}\right)y+\left(Q_{1}P_{n}+{\frac {\operatorname {d} Q_{n}}{\operatorname {d} x}}\right).$
Faisant, dan, cette dernière, $n=0,$ elle deviendra
${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\left(P_{1}P_{0}+{\frac {\operatorname {d} P_{0}}{\operatorname {d} x}}\right)y+\left(Q_{1}P_{0}+{\frac {\operatorname {d} Q_{0}}{\operatorname {d} x}}\right).$
Celle-ci devant être identique avec l’équation (1), on aura
$P_{1}P_{0}+{\frac {\operatorname {d} P_{0}}{\operatorname {d} x}}=P_{1},\qquad$
$\quad \qquad Q_{1}P_{0}+{\frac {\operatorname {d} Q_{0}}{\operatorname {d} x}}=Q_{1}.\qquad$
La première de ces équations donne
${\frac {\operatorname {d} P_{0}}{1-P_{0}}}=P_{1}\operatorname {d} x,$
d’où en intégrant
$\operatorname {Log} .{\frac {1-P_{0}}{C}}=-\int P_{1}\operatorname {d} x,$
$C$ étant la constante ; c’est-à-dire,
$1-P_{0}=Ce^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}\qquad$
On tire ensuite de l’autre
$\operatorname {d} Q_{0}=Q_{1}\left(1-P_{0}\right)\operatorname {d} x=CQ_{1}\operatorname {d} x.e^{-\int P_{1}\operatorname {d} x},$
d’où, en intégrant,
$Q_{0}=C\int e.^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}Q_{1}\operatorname {d} x,$
substituant enfin les valeurs de $Q_{0}$ et de $1-P_{0}$ dans la formule (3), on aura
$y={\frac {\int e.^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}Q_{1}\operatorname {d} x}{e^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}}}=e.^{\int P_{1}\operatorname {d} x}\int e.^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}Q_{1}\operatorname {d} x,$
c’est la formule connue dans laquelle, comme l’on voit, il ne faut point ajouter de constante à l’intégrale $\int P_{1}\operatorname {d} x,$ mais seulement à l’intégrale $\int e.^{-\int P_{1}\operatorname {d} x}Q_{1}\operatorname {d} x.$