# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Géométrie des courbes, article 7
## QUESTIONS RÉSOLUES.

Théorème. Deux hexagones étant tracés arbitrairement sur le plan d’une section conique ;
1.$^o$ Si les sommets de l’un sont respectivement les pôles des côtés de l’autre, les sommets de ce dernier seront réciproquement les pôles des côtés du premier.
2.$^o$ Si, en outre, les points de concours des prolongemens des côtés opposés de l’un des deux sont tous trois situés sur une même ligne droite, les diagonales joignant les sommets opposés de l’autre se couperont toutes trois au même point, qui sera le pôle de cette droite et réciproquement.
Démonstration. Soient $\mathrm {ABCDEF} ,abcdef$ les deux hexagones proposés.
1.$^o$ Supposons que $a$ soit le pôle de $\mathrm {AB}$ et $b$ le pôle de $\mathrm {BC} ,$ il s’ensuivra que tous les angles circonscrits à la courbe dans lesquels la corde de contact passera par $a,$ auront le sommet sur $\mathrm {AB} ,$ et que tous les angles circonscrits à la même courbe, dont la corde de contact passera par $b,$ auront leur sommet sur $\mathrm {BC}$ ; donc l’angle circonscrit dont la corde de contact passera à la fois par $a$ et $b,$ aura à la fois son sommet sur $\mathrm {AB}$ et sur $\mathrm {BC}$ ; ce sommet sera donc en $\mathrm {B}$ ; le sommet $\mathrm {B}$ sera donc le pôle du côté $ab.$
On démontrera de la même manière que, si les sommets $c,d,e,f,$ sont respectivement les pôles de $\mathrm {CD,DE,EF,FA,}$ les sommets $\mathrm {C,D,E,F,A}$ seront respectivement les pôles de $bc,cd,de,ef,fa,$ ce qui établit la vérité de la première partie du théorème.
2.$^o$ Soient $\mathrm {G}$ le point de concours de $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {DE,\ H}$ le point de concours de $\mathrm {BC}$ et $\mathrm {EF,\ K}$ le point de concours de $\mathrm {CD}$ et $\mathrm {FA}$ ; supposons que les trois points $\mathrm {G,H,K}$ soient situés sur une méme ligne droite, et soit $o$ le pôle de cette droite.
$\mathrm {G}$ étant le point de concours de $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {DE} ,$ dont les pôles respectifs sont $a$ et $d,$ on prouvera, comme ci-dessus, que $\mathrm {G}$ est le pôle de la diagonale $ad$ ; puis donc que $\mathrm {G}$ est sur $\mathrm {GHK} ,$ dont le pôle est $o,$ il s’ensuit que la diagonale $ad$ passe par le point $o.$ On prouvera de la même manière que les deux autres diagonales $be,cf$ doivent passer par ce point $o.$
Réciproquement si les diagonales $ad,be,cf$ se coupent en un même point $o,$ et que leurs pôles respectifs soient $\mathrm {G,H,K,}$ ces trois points devront être situés sur la droite dont $o$ est le pôle ; mais $\mathrm {G} ,$ comme pôle de $ad,$ dont les extrémités $a$ et $d$ sont les pôles respectifs de $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {DE} ,$ devra être le point de concours de ces deux dernières droites. Par une raison semblable, $\mathrm {H}$ et $\mathrm {K}$ doivent être les points de concours respectifs de $\mathrm {BC}$ et $\mathrm {EF,CD}$ et $\mathrm {FA}$ ; ainsi ces trois points de concours sont sur la droite dont le pôle est $o.$
Corollaire. Si le polygone $\mathrm {ABCDEF}$ est inscrit à la section conique, il est aisé de voir que le polygone $abcdef$ lui serait circonscrit et la toucherait aux sommets du premier, et que, réciproquement, si le polygone $abcdef$ est circonscrit à la section conique, le polygone $\mathrm {ABCDEF}$ lui sera inscrit et aura ses sommets aux points de contact des côtés du premier avec la courbe.
Si donc il était seulement démontré que, dans tout hexagone inscrit à une section conique, les points de concours des prolongemens des côtés opposés sont tous trois sur une même ligne droite, il se trouverait établi, par ce qui précède, que, dans tout hexagone circonscrit à une section conique, les diagonales qui joignent les sommets opposés, se coupent toutes trois en un même point.
Et réciproquement, s’il était seulement démontré que, dans tout hexagone circonscrit à une section conique, les diagonales qui joignent les sommets opposés se coupent toutes trois au même point, il se trouverait établi, par ce qui précède, que, dans tout hexagone inscrit à une section conique, les points de concours des prolongemens des côtés opposés sont tous trois sur une même ligne droite.