# Astronomie populaire (Arago)/XXI/09
### CHAPITRE IX distance de la lune a la terre

Nous n’avons obtenu par les mesures micrométriques du diamètre apparent de la Lune (chap. i) que les rapports des distances de cet astre à la Terre, pendant tous les jours d’un mois lunaire ; essayons maintenant de déterminer les valeurs de ces distances en unités connues, en lieues, par exemple, de 4 000 mètres chacune.
Soient A et B (fig. 292) deux points, que pour plus de simplicité nous supposerons situés sur le même méridien et distants l’un de l’autre en ligne droite d’une quantité égale au rayon équatorial du globe terrestre.
Des points A et B menons à l’étoile polaire P des lignes visuelles AP et BP′, lesquelles seront à très-peu près parallèles. Un jour donné, au moment du passage de la Lune L au méridien, supposons que l’observateur en A détermine la valeur de l’angle PAL, pendant qu’au même moment l’observateur en B détermine l’amplitude de l’angle P′BL. Il est facile de voir que si l’on prend la différence de ces deux angles, le résultat de la soustraction sera la valeur de l’angle à la Lune, formé par les lignes LA et LB. En effet, concevons pour la facilité de la démonstration seulement, car cette ligne n’a nullement besoin d’être tracée sur l’instrument dont se sert l’observateur en B, qu’on mène par le point B une ligne BG parallèle à AL. L’angle PAL sera égal à l’angle P′BC, puisque leurs côtés sont parallèles par hypothèse. L’angle LBC est la différence des angles P′BC et P′BL, ou ce qui revient au même, la différence des angles PAL, P′BL ; mais l’angle LBC est égal à l’angle ALB comme angles alternes-internes (liv. i, chap. ix) ; donc l’angle en L est égal à la différence des angles observés aux deux stations A et B.
Ainsi, tous les jours de la lunaison, on obtiendra par la comparaison des deux observations, la valeur de l’angle formé par deux rayons, partant de la Lune et aboutissant aux deux extrémités de la base AB.
Si la distance de la Lune à la Terre était constante, l’angle en L aurait toujours la même valeur ; la distance de la Lune à la Terre étant variable, l’angle en L augmente lorsque la distance diminue, et il diminue quand la distance de la Lune augmente. En moyenne, la valeur de l’angle en L, ramené par une partie proportionnelle, au cas où la ligne AB serait vue perpendiculairement, c’est à-dire, au cas où l’une des lignes LA ou LB serait perpendiculaire à AB, a été trouvée égale à 57′. Il ne reste plus maintenant qu’à chercher, dans des tables calculées d’avance, à quelle distance il faut se placer d’une base AB, pour qu’elle sous-tende un angle dé 57 minutes. On trouve ainsi pour résultat 60. Le rayon AB étant de 1 594 lieues, on voit que la distance moyenne de la Lune à la Terre est de 95 040 lieues, ou en nombre rond 96 000 lieues.
Les changements comparatifs des distances LA correspondantes à tous les jours d’une lunaison, sont exactement les mêmes que ceux qui se déduisent de la mesure micrométrique des diamètres apparents de l’astre.
L’angle en L déterminé comme nous venons de le dire, est ce qu’on appelle la parallaxe de la Lune.
On pourrait croire, au premier coup d’œil, qu’on fait une objection sérieuse contre la méthode que nous venons de décrire, en disant que l’étoile polaire à laquelle nous avons supposé que la Lune était comparée tous les jours de la lunaison, n’est généralement pas visible des deux stations A et B. Mais, en supposant que l’étoile de comparaison ne s’aperçoive pas en B, on doit remarquer que l’observateur en B peut rapporter dans ce cas les observations de notre satellite, à une autre étoile dont la position par rapport à la polaire est donnée dans les catalogues ; les observations en B, par une simple addition, pourront être comparées à la polaire, tout aussi exactement que si cette étoile avait été directement observée de cette station. Remarquons, en outre, que si les deux stations A et B n’étaient pas exactement situées dans le même méridien, on rendrait les angles PAL et P′BL comparables en appliquant à la position de la Lune une partie proportionnelle additive ou négative, dépendante du nombre de minutes de temps dont il s’en faudrait pour que les observations fussent simultanées. Remarquons encore que si la base A B, ou la ligne droite joignant les stations, était plus grande ou plus petite que le rayon de la Terre, on pourrait, par une simple règle de proportion, ramener les résultats à cet état idéal.
La méthode indiquée pour trouver la valeur de l’angle en L n’est pas seulement un moyen de démonstration, c’est la méthode même à laquelle on a eu recours pour déterminer la parallaxe de notre satellite ; c’est en opérant ainsi en 1752 que Lalande et Lacaille, l’un placé à Berlin, l’autre au cap de Bonne-Espérance, obtinrent, par des mesures simultanées, la Valeur de l’angle en L.
Lorsque, en nous servant du même moyen d’observation, nous avons cherché la parallaxe du Soleil (liv. xx, ch. xxviii), nous n’avons trouvé pour cette parallaxe que 8″,6 ; une seule seconde d’erreur sur le résultat amenait sur la distance du Soleil à la Terre une différence d’environ $\scriptscriptstyle {\frac {1}{8^{e}}}$, c’est-à-dire de près de 5 millions de lieues. L’incertitude d’une seconde sur 57′ ne sera que $\scriptscriptstyle {\frac {1}{3420^{e}}}$ ou 28 lieues environ.
Puisque le rayon de la Terre vu de la Lune, lorsqu’elle est à sa distance moyenne, est de 57′, le diamètre sera le double de ce nombre ou de 1° 54′ ; telle serait la grandeur apparente de notre globe s’il était transporté à la distance de la Lune ; mais à cette même distance le diamètre de notre satellite, comme nous l’apprennent les mesures micrométriques, sous-tend un angle de 32′.
À la même distance les diamètres réels sont comme les angles sous-tendus, du moins lorsque ces angles n’ont pas une valeur exagérée ; ainsi, le diamètre réel de la Terre est au diamètre réel de la Lune comme 114 est à 32, ou, ce qui revient au même en nombres ronds, comme 4 est à 1. Ceci nous apprend que le diamètre de la Terre est environ quatre fois plus grand que celui de la Lune, égal seulement à 797 lieues.
Les surfaces des sphères étant comme les carrés des rayons ou des diamètres et les volumes comme les cubes de ces mêmes rayons ou diamètres, il s’ensuit que la surface de la Terre est 16 fois plus grande que celle de notre satellite. Quant au rapport des volumes, il est celui de 64 à 1. Ces résultats ont été obtenus en faisant usage des rapports linéaires des diamètres exprimés en nombres ronds ; en prenant les valeurs exactes, on trouverait pour le rapport des surfaces celui de 13 à 1, le rapport des volumes serait celui de 49 à 1.
Examinons quel doit être l’effet de la parallaxe de la Lune lorsqu’on observe cet astre à diverses époques comprises entre le lever et le passage au méridien.
La Lune, par suite du mouvement de rotation du ciel, est parvenue sur l’horizon oriental au point de son lever. Voyons quelles seront les positions apparentes d’un point quelconque de cet astre, de son centre, par exemple, vu du centre de la Terre et d’un point de la surface.
Lorsque la Lune se lève, lorsqu’elle est parvenue sur l’horizon du point O (fig. 293), le centre se projette pour cet observateur sur l’étoile placée dans la direction de la tangente OL. Pour un observateur situé en C, le centre de notre satellite, rapporté au ciel étoilé, sera vu sur une étoile placée dans la direction CL, l’angle CLO, ou la parallaxe de la Lune, étant comme on l’a vu de 57’.
L’étoile que cacherait le centre de la Lune pour l’observateur en O, serait plus basse que l’étoile sur laquelle l’observateur en C projetterait ce même centre d’une quantité égale à l’angle CLO, dont la valeur est de 57′. Cet angle est ce qu’on appelle la parallaxe horizontale, c’est-à-dire l’angle sous-tendu par le rayon de la Terre lorsqu’il est vu perpendiculairement.
Ainsi, l’effet de la parallaxe c’est d’abaisser la Lune dans le plan vertical qui passe par le lieu que l’observateur occupe, par l’astre et par le centre de la Terre.
À mesure que la Lune s’élève au-dessus de l’horizon, le rayon de la Terre allant de C en O est vu plus obliquement ; l’angle OLC va donc toujours en diminuant, sans cesser de rester contenu dans le plan déterminé par les lignes LO et LC.
Si la région de la Terre dans laquelle l’astronome est placé permettait d’observer le passage de l’astre par le zénith, on voit qu’au moment de ce passage l’effet de la parallaxe lunaire serait complétement nulle, puisque le rayon OC ne sous-tend évidemment aucun angle quand il est vu d’un point de la ligne OC prolongée.
Nous n’aurons besoin dans tout ce qui va suivre de nous rappeler que ces trois résultats :
1° Par l’effet de sa parallaxe, la Lune paraît moins élevée que si on l’observait du centre de la Terre ;
2° Ce déplacement apparent se fait toujours dans un plan vertical contenant la Lune et le lieu de l’observateur ;
3° Ce déplacement est d’autant plus petit que la Lune est plus élevée au-dessus de l’horizon.