# Théorie des fonctions analytiques/Partie II/Chapitre 08
### CHAPITRE VIII.

38. Les surfaces courbes se déterminent aussi par trois coordonnées rectangulaires, comme les lignes à double courbure, mais avec cette différence que, pour les surfaces, deux des coordonnées sont indépendantes entre elles et la troisième est fonction de ces deux, de sorte qu’une surface n’est représentée que par une seule équation entre les trois coordonnées. Ainsi, les deux équations qui déterminent une courbe à double courbure représentent chacune en particulier une surface courbe, et la courbe représentée par le système de ces deux équations est formée par l’intersection des deux surfaces. La théorie des surfaces dépend donc de l’analyse des fonctions de deux variables, et peut être traitée comme la théorie des courbes et par les mêmes principes. Ainsi, de même qu’une ligne droite peut être tangente d’une courbe, un plan peut être tangent d’une surface, et l’on déterminera le plan tangent par la condition qu’aucun autre plan ne puisse être mené par le point de contact entre celui-là et la surface.
Soient $x,y,z$ les trois coordonnées de la surface donnée et $p,q,r$ les coordonnées du plan tangent rapportées aux mêmes axes rectangulaires on aura, par la nature de la surface,
$z=f(x,y),$
et, par la nature du plan,
$r=a+bp+cq,$
$a,b,c$ étant les trois constantes qui déterminent la position du plan.
D’abord, pour que le plan ait avec la surface un point commun, il faut que son équation subsiste, en supposant que les coordonnées $p,$ $q,r$ deviennent $x,y,z,$ ce qui donnera cette première équation :
$z=a+bx+cy.$
Considérons maintenant un autre point de la surface répondant aux coordonnées $x+i,\ y+o\,;$ l’ordonnée perpendiculaire $z$ deviendra $f(x+i,y+o).$ Faisons aussi, dans l’équation du plan,
$p=x+i,\quad q=y+o\,;$
l’ordonnée perpendiculaire $r$ deviendra
$a+b(x+i)+c(y+o),$
et la distance entre les points correspondants de la surface et du plan sera exprimée par
$f(x+i,y+o)-a-b(x+i)-c(y+o).$
La fonction $f(x+i,y+o)$ peut se développer dans cette série (n$^o$ 73, Ire Partie)
$f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+\ldots .$
Donc, à cause de
$f(x,y)=z=a+bx+cy,$
la distance dont il s’agit, que nous désignerons par $\mathrm {D} ,$ sera exprimée ainsi :
$\mathrm {D} =i\left[f'(x,y)-b\right]+o\left[f_{_{'}}(x,y)-c\right]+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+\ldots ,$
où l’on voit d’abord que, les quantités $i$ et $o$ demeurant indéterminées, la valeur de $\mathrm {D}$ deviendra la plus petite si l’on détermine les quantités $b$ et $c$ de manière que les termes multipliés par $i$ et $o$ disparaissent, ce
$b=f'(x,y)=z'\,;\quad c=f_{_{'}}(x,y)=z_{_{'}},$
et, comme on a déjà trouvé
$a+bx+cy=z,$
on aura les valeurs des trois constantes $a,b,c$ de l’équation du plan en fonction de $x,y,z.$ Ces valeurs seront donc
$a=z-xz'-yz_{_{'}},\quad b=z',\quad c=z_{_{'}},$
et la position du plan sera entièrement déterminée.
Par l’évanouissementdes termes multipliés par les quantités $i$ et $o,$ l’expression de la distance $\mathrm {D}$ ne contiendra plus que des termes multipliés par des puissances ou des produits de ces mêmes quantités. Si l’on faisait passer un autre plan par le même point quï répond aux coordonnées $x$ et $y,$ on trouverait, pour la distance, que je nommerai $\Delta ,$ entre les points de la surface et du nouveau plan correspondants aux coordonnées $x+i$ et $y+o,$ une expression semblable à celle de $\mathrm {D} ,$ mais où les termes multipliés par $i$ et par $o$ ne se détruiraient plus. Or il est facile de voir qu’on peut prendre les quantités $i$ et $o$ assez petites pour que les termes multipliés par les premières puissances de $i$ ou de $o$ deviennent plus grands que les autres termes multipliés par des puissances ou des produits de plusieurs dimensions, ce qui porterait d’abord à conclure que l’on peut toujours donner à $i$ et $o$ des valeurs assez petites pour que la distance $\Delta$ surpasse la distance $\mathrm {D} ,$ en sorte qu’il soit impossible que le dernier plan passe entre le premier et la surface.
39. Mais cette conséquence, qui serait légitime si les expressions de $\mathrm {D}$ et $\Delta$ n’étaient composées que d’un nombre déterminé de termes, pourrait souffrir des difficultés à raison des suites infinies qui entrent dans ces expressions. On peut néanmoins les éviter en employant le développement que nous avons donné dans le Chapitre XIII de la première Partie et en s’arrêtant aux termes du premier ordre. On aura ainsi
${\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+\lambda i,y+\lambda o)+iof'_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\&+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o),\end{aligned}}$
et la valeur de la distance $\mathrm {D}$ se réduira à
$\mathrm {D} ={\frac {i^{2}}{2}}f''(x+\lambda i,y+\lambda o)+iof'_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o).$
Pour tout autre plan représenté par l’équation
$r=\alpha +\beta p+\gamma q$
et ayant le même point commun avec le premier plan et la surface, cette distance, que j’appellerai $\Delta ,$ contiendrait, outre les termes précédents, encore ceux-ci du premier ordre
$i\left[f'(x,y)-\beta \right]+o\left[f_{_{'}}(x,y)-\gamma \right],$
d’où il est facile de conclure qu’on pourra toujours prendre $i$ et $o$ assez petits pour que cette distance $\Delta$ surpasse la distance $\mathrm {D} .$ Donc il sera impossible que ce dernier plan puisse passer entre la surface et le plan représenté par l’équation
$r=a+bp+cq\,;$
par conséquent, celui-ci sera tangent de la surface donnée, en faisant, comme ci-dessus,
$a=z-xz'-yz_{_{'}},\quad b=z',\quad c=z_{_{'}},$
d’où l’on voit que la position du plan tangent dépend des deux fonctions primes $z'$ et $z_{_{'}}.$
En effet, il est facile de trouver, d’après l’équation
$r=a+bp+cq,$
$\alpha$
$p$
$q,$
$\beta$
$p,$
$b=\sin \beta \operatorname {tang} \alpha ,\quad c=\cos \beta \operatorname {tang} \alpha ,$
d’où l’on tire
$\operatorname {tang} \alpha ={\sqrt {b^{2}+c^{2}}},\quad \operatorname {tang} \beta ={\frac {b}{c}}.$
Donc, puisque les axes des coordonnées $x,y,z$ sont les mêmes que ceux des coordonnées $p,q,r,$ les angles $\alpha$ et $\beta ,$ relativement au plan tangent, seront pareillement déterminés par ces formules :
$\operatorname {tang} \alpha ={\sqrt {z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}},\quad \operatorname {tang} \beta ={\frac {z'}{z_{_{'}}}}.$
40. En général,
$z=f(x,y)$
étant l’équation de la surface proposée et
$r=\operatorname {F} (p,q)$
celle d’une surface donnée, si l’on veut que ces deux surfaces aient un point commun qui réponde aux coordonnées $x,y,z,$ il faudra que l’équation
$r=\operatorname {F} (p,q)$
ait lieu aussi en faisant $p=x,$ $q=y,$ $r=z,$ ce qui donnera
$z=\operatorname {F} (x,y).$
Ensuite, si l’on considère-les points des deux surfaces qui répondent aux mêmes coordonnées $x+i$ et $y+o,$ et qu’on nomme $\mathrm {D}$ la distance entre l’un et l’autre, c’est-à-dire la partie de l’ordonnée qui se trouvera comprise entre les deux surfaces, il est visible qu’on aura
$\mathrm {D} =f(x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y+o).$
Développons ces deux fonctions par les formules du n$^o$ 78 (Ire Partie), en nous arrêtant d’abord aux termes du premier ordre ; nous aurons, en mettant $z,z'$ et $z_{_{'}}$ à la place de $f(x,y),$ $f'(x,y),$ $f_{_{'}}(x,y),$
${\begin{aligned}\mathrm {D} =&i\left[z'-\operatorname {F} '(x,y)\right]+o\left[z_{_{'}}-\operatorname {F} _{_{'}}(x,y)\right]\\&+{\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} ''(x+\lambda i,y+\lambda o)\right]\\&+io\left[f'_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} '_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\right]\\&+{\frac {o^{2}}{2}}\left[f_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} _{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\right].\end{aligned}}$
Supposons que les termes multipliés par $i$ et par $o$ disparaissent, ce qui a lieu en faisant $z'=\operatorname {F} '(x,y)$ et $z_{_{'}}=\operatorname {F} _{_{'}}(x,y)\,;$ l’expression de $\mathrm {D}$ ne contiendra plus que des termes d’un ordre supérieur, et il est facile de prouver qu’on pourra toujours prendre $i$ et $o$ assez petits pour que cette valeur de $\mathrm {D}$ devienne moindre que la valeur d’une pareille quantité pour une autre surface donnée, dans laquelle les termes multipliés par $i$ et par $o$ ne se détruiraient pas. Donc, si l’équation
$r=\operatorname {F} (p,q)$
de la surface donnée contient trois constantes arbitraires $a,b,c$ et qu’on les détermine de manière à satisfaire aux trois équations
$z=\operatorname {F} (x,y),\quad z'=\operatorname {F} '(x,y),\quad z_{_{'}}=\operatorname {F} _{_{'}}(x,y),$
il sera impossible qu’aucune autre surface qui ne satisferait pas aux mêmes conditions puisse passer entre cette même surface et la surface proposée dont les coordonnées sont $x,y,z.$
Il est visible que les trois équations précédentes ne sont autre chose que l’équation même de la surface donnée, en y changeant les coordonnées $p,q,r$ en $x,y,z$ et les deux équations primes de celle-ci, prises suivant $x$ et suivant $y,$ d’où l’on peut conclure, en général, que, si
$\operatorname {F} (p,q,r)=0$
est l’équation de la surface donnée, les trois équations dont il s’agit seront renfermées dans celles-ci,
$\operatorname {F} (x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} '(x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} _{_{'}}(x,y,z)=0,$
$z$
$x$
$y\,;$
$\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} '(z)$
$\operatorname {F} (x,y,z)$
$x,y,z$
$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0.$
Donc, si la surface proposée est représentée par l’équation
$f(x,y,z)=0,$
et que la surface donnée, qui doit avoir un point de contact avec celle-là, soit représentée par l’équation
$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$
la première donnera, en prenant les fonctions primes relatives à $x$ et $y,$ ces deux-ci :
$f'(x)+z'f'(z)=0,\quad f'(y)+z_{_{'}}f'(z)=0.$
Ces deux équations combinées avec les deux précédentes, de manière à en chasser les dérivées $z'$ et $z_{_{'}},$ on aura ces deux-ci :
${\frac {f'(x)}{\operatorname {F} '(x)}}={\frac {f'(z)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad {\frac {f'(y)}{\operatorname {F} '(y)}}={\frac {f'(z)}{\operatorname {F} '(z)}},$
d’où il s’ensuit que les trois fonctions dérivées $f'(x),f'(y),f'(z)$ doivent être respectivement proportionnelles aux fonctions dérivées $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} '(z).$
41. Si, dans l’expression générale de la distance $\mathrm {D} ,$ on développe les deux fonctions qu’elle contient, en poussant le développement jusqu’aux secondes dimensions de $i$ et $o,$ et qu’on suppose que les trois équations ci-dessus aient déjà lieu, on aura simplement
${\begin{aligned}\mathrm {D} =&{\frac {i^{2}}{2}}\left[z''-\operatorname {F} ''(x,y)\right]+io\left[z'_{_{'}}-\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)\right]+{\frac {o^{2}}{2}}\left[z_{_{''}}-\operatorname {F} _{_{''}}(x,y)\right]\\&+{\frac {i^{3}}{2.3}}\mathrm {A} '''+{\frac {i^{2}o}{2}}\mathrm {A} ''_{_{'}}+{\frac {io^{2}}{2}}\mathrm {A} '_{_{''}}+{\frac {o^{3}}{2.3}}\mathrm {A} '_{_{'''}},\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&\mathrm {A} '''=f'''(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} '''(x+\lambda i,y+\lambda o),\\&\mathrm {A} ''_{_{'}}\ =f''_{_{'}}\ (x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} ''_{_{'}}\,(x+\lambda i,y+\lambda o),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Donc, si l’équation
$r=\operatorname {F} (p,q)$
de la surface donnée est telle qu’on puisse encore satisfaire aux trois équations
$z''=\operatorname {F} ''(x,y),\quad z'_{_{'}}=\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y),\quad z_{_{''}}=\operatorname {F} _{_{''}}(x,y),$
les termes du second ordre disparaîtront aussi dans l’expression de $\mathrm {D} ,$ et l’on prouvera aisément qu’il sera toujours possible de prendre les quantités $i$ et $o$ assez petites pour que la distance $\mathrm {D}$ soit plus petite que la distance $\Delta$ pour toute autre surface donnée qui ne satisferait pas aux mêmes conditions, d’où il suit qu’il sera impossible que cette surface passe entre la surface donnée, dont l’équation est
$r=\operatorname {F} (p,q),$
et la proposée, dont l’équation est
$z=f(x,y)\,;$
et ainsi de suite.
Si l’on représente en général par
$\operatorname {F} (p,q,r)=0$
l’équation de la surface donnée, qui doit avoir un point de contact avec une autre surface dont les coordonnées sont $x,y,z,$ les trois dernières équations seront renfermées dans celles-ci,
$\operatorname {F} ''(x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} '_{_{'}}(x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} _{_{''}}(x,y,z)=0,$
en regardant $z$ comme fonction de $x$ et $y\,;$ et ainsi des autres.
On pourra donc étendre aux surfaces la théorie des contacts de différents ordres que nous avons exposée relativement aux lignes courbes et en déduire des résultats semblables. Ainsi, pour le contact du premier ordre, on aura l’équation
$\operatorname {F} (x,y,z)=0$
avec ses deux équations primes suivant $x$ et $y\,;$ pour le contact du second ordre, on aura, outre les trois équations précédentes, les trois équations secondes de
$\operatorname {F} (x,y,z)=0$
suivant $x,$ suivant $y,$ et suivant $x$ et $y\,;$ et ainsi de suite.
42. Prenons, pour la surface donnée, la sphère dont l’équation la plus générale est
$(p-a)^{2}+(q-b)^{2}+(r-c)^{2}=d^{2},$
$p,q,r$ étant les trois coordonnées d’un point quelconque de sa surface, $a,b,c$ les trois coordonnées qui déterminent la position du centre, et $d$ le demi-diamètre ou le rayon.
En changeant dans cette équation $p,q,r$ en $x,y,z,$ et prenant ensuite les deux équations primes suivant $x$ et $y,$ on aura ces trois équations,
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}-d^{2}=0,$
${\begin{aligned}x-a+z'(z-c)=&0,\\y-b+z_{_{'}}(z-c)=&0,\end{aligned}}$
par lesquelles on pourra déterminer d’abord les trois constantes $a,b,c\,;$ on trouvera ainsi
${\begin{aligned}a=&x+{\frac {dz'}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\\b=&y+{\frac {dz_{_{'}}}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\\c=&z-{\frac {d}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\end{aligned}}$
et le rayon $d$ sera encore arbitraire.
La sphère déterminée par ces éléments sera donc tangente de la surface, et, par conséquent, son rayon sera perpendiculaire à la même surface. Ainsi, en regardant la valeur de $c$e rayon comme indéterminée, les trois quantités $a,b,c$ seront les coordonnées de la perpendiculaire à la surface, $d$ étant variable et $x,y,z$ constantes.
Si l’on veut avoir ces éléments $a,b,c$ ainsi que les angles $\alpha$ et $\beta$ du n$^o$ 39, exprimés en différentielles, il n’y aura qu’à représenter les fonctions dérivées $z',$ $z_{_{'}}$ par les différences partielles ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}.$
43. Pour que la sphère devienne osculatrice de la surface, on aura encore trois autres équations, qui seront les trois équations secondes de la première équation ci-dessus ; mais, comme il ne reste plus qu’une arbitraire $d,$ il est clair qu’on ne pourra pas satisfaire à toutes ces équations ; d’où il suit qu’il est impossible de trouver en général une sphère osculatrice d’une surface comme on trouve le cercle osculateur d’une courbe.
Si, au lieu d’une sphère, on voulait employer la surface formée par la rotation d’un arc de cercle autour de sa corde, comme on aurait dans l’équation de cette surface six constantes arbitraires, on pourrait alors déterminer ces éléments de manière que le contact du second ordre eût lieu en général avec une surface quelconque. Il en serait de même pour toute autre surface dont l’équation renfermerait au moins six constantes arbitraires.