# Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur la manière de rectifier les méthodes ordinaires d’approximation pour l’intégration des équations du mouvement des Planètes
### SUR LA MANIÈRE DE RECTIFIER LES MÉTHODES ORDINAIRES D’APPROXIMATION POUR L’INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES.

La détermination du mouvement des Planètes est non-seulement le Problème le plus grand par son objet, mais encore celui auquel le calcul s’applique avec le plus de succès ; parce que les Planètes sont si éloignées les unes des autres qu’on peut faire abstraction de leurs qualités physiques, et ne les regarder que comme des points qui s’attirent dans la simple raison du carré inverse de la distance.
Newton, auteur de ce Problème, l’a résolu complétement pour le cas où l’on ne considère que l’attraction de deux Planètes ; il a trouvé qu’elles décrivent alors l’une autour de l’autre une ellipse dont les aires sont proportionnelles au temps. La masse du Soleil est si grande relativement a celle des Planètes principales, que l’attraction mutuelle de celles-ci ne peut avoir qu’un effet très-petit en comparaison de celui de l’action du Soleil. Aussi le mouvement de ces Planètes autour du Soleil est-il sensiblement le même que si elles n’éprouvaient que l’attraction de cet astre. Mais la comparaison des observations anciennes avec les modernes, et surtout la précision qu’on a mise dans les dernières ont fait apercevoirdans ce mouvement des inégalités qu’il est naturel de rapporter aux attractions particulières des Planètes ; et la détermination de ces inégalités est devenue dans ces derniers temps l’objet principal des recherches des Géomètres.
Si le Problème de deux corps qui s’attirent en raison inverse du carré de la distance est susceptible d’une solution rigoureuse, celui de trois corps qui s’attirent de la même manière s’y refuse entièrement. Mais les orbites des Planètes sont non-seulement à très-peu près elliptiqpes, elles approchent encore beaucoup de la figure circulaire ; et cette circonstance fournit le moyen de les calculer par approximation ; car la supposition de l’orbite circulaire et du mouvement uniforme donne les premiers termes des séries, et les suivants se déduisent successivement les uns des autres, en employant à chaque correction les valeurs trouvées par les corrections précédentes.
Cependant il se rencontre, dans l’application de cette méthode aux Planètes, une difficulté qui peut en rendre l’usage inexact ; c’est qu’elle introduit dans l’expression du rayon vecteur de l’orbite des termes qui ne renferment pas seulement des sinus ou cosinus de l’angle parcouru, ou de l’angle proportionnel au temps, mais encore des puissances entières de ces angles. Or, si ces termes devaient entrer dans la valeur du rayon vecteur, il s’ensuivrait que ce rayon serait susceptible d’augmenter à l’infini, ce qui étant contraire aux observations jetterait des doutes sur la Théorie de la gravitation. D’ailleurs le même inconvénient a lieu dans des cas plus simples que celui de l’orbite des Planètes, et dans lesquels on peut démontrer rigoureusement que la valeur de la quantité cherchée est resserrée entre des limites. Cette expression du rayon vecteur est donc fautive en général, et ne pourrait servir tout au plus que pour un temps plus ou moins long, au bout duquel les termes qui renferment des arcs de cercle seraient encore assez petits pour que la série ne cessât pas d’être convergente.
La difficulté dont il s’agit se présente aussi dans la Théorie de la Lune ; mais les Géomètres, qui ont travaillé les premiers après Newton à cette Théorie, reconnurent d’abord qu’elle ne venait que du mouvement de l’apogée de cette Planète, et parvinrent facilement, d’après cette considération, à se débarrasser des arcs de cercle par le secours de la méthode des coefficients indéterminés.
Dans la Théorie des Planètes principales, les arcs de cercle du rayon vecteur dérivent encore de la même cause, c’est-à-dire des mouvements de leurs aphélies ; mais ces mouvements n’étant pas uniformes, comme celui de l’apogée de la Lune, sont bien plus difficiles à déterminer, surtout parce qu’ils se trouvent combinés avec la variation des excentricités, et qu’il y a entre tous ces éléments une dépendance mutuelle qui empêche qu’on ne puisse les calculer séparément pour chaque Planète. Feu M. Euler, dans la Pièce de 1748 sur la Théorie de Jupiter et de Saturne, a regardé les arcs de cercle qu’il avait trouvés dans le rayon de l’orbite de Saturne comme dus à une équation séculaire ; dans celle de 1752 sur le même sujet, mais qui n’a paru qu’en 1769, ayant eu égard à la fois aux mouvements des aphélies de Saturne et de Jupiter, il n’a plus rencontré d’arcs de cercle, mais l’analyse par laquelle il cherche à déterminer ces mouvements est néanmoins incomplète et insuffisante.
Lorsque je travaillais en 1765 à la Théorie des satellites de Jupiter, je fus arrêté par la même difficulté ; et j’imaginai, pour la résoudre, une méthode particulière d’intégrer par approximation les équations différentielles, laquelle me donna directement les rayons vecteurs des orbites sans arcs de cercle. Je découvris ainsi les vraies lois du mouvement des aphélies et des variations des excentricités, pour un nombre quelconque de Planètes qui agissent les unes sur les autres ; et je trouvai de la même manière celles du mouvement des nœuds et des variations des inclinaisons. J’en fis ensuite l’application à Jupiter et à Saturne. Enfin je cherchai à déterminer directement les variations de ces éléments ; et j’ai rempli cet objet dans toute son étendue dans la Théorie des variations séculaires des éléments des Planètes, que je viens de donner.
Cependant, comme la méthode ordinaire d’approximation a l’avantage de la simplicité et de la facilité du calcul dans la recherche des inégalités périodiques des Planètes, il était à désirer qu’on pût la délivrer de l’inconvénient de donner des arcs de cercle dans les intégrales qui ne doivent point en avoir, ou du moins qu’on trouvât moyen de chasser les termes qui contiendraient ces arcs, et de les faire servir à la détermination des variations séculaires des éléments de l’orbite.
M. de Laplace s’est occupé de cet objet, et il a donné dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris une méthode ingénieuse pour faire disparaître, par la variation des constantes arbitraires, les arcs de cercle qui paraissent dans les intégrales approchées des équations différentielles, et qui ne se trouvent point dans ces équations. Mais cette méthode est fondée sur une métaphysique qui ne me paraît pas porter dans l’esprit toute la satisfaction qu’on pourrait désirer ; et elle se trouve d’ailleurs en défaut lorsque dans l’intégrale une des constantes arbitraires multiplie l’arc sous les signes de sinus, de cosinus ou d’exponentielles ; ce qui est le cas des équations du mouvement des Planètes, considérées dans toute leur généralité.
J’ai reconnu néanmoins qu’on pouvait toujours éliminer rigoureusement les arcs de cercle des équations dont il s’agit, en faisant varier les constantes arbitraires suivant les principes que j’ai employés dans la Théorie des intégrales particulières ; et, comme la méthode que j’ai trouvée pour ce Problème peut s’étendre à d’autres questions du même genre et servir, en général, à l’avancement de l’Analyse, j’ai cru devoir la développer à part et indépendamment de son application aux orbites des Planètes. C’est à quoi est destiné ce Mémoire.
1. Soit proposée une équation différentielle d’un ordre quelconque $n$ entre deux variables $y$ et $x,$ dans laquelle la variable $x,$ dont la différence est constante, n’entre point sous une forme algébrique ; et supposons que son intégrale complète soit
$y=\mathrm {X} +\mathrm {Y} x+\mathrm {Z} x^{2}+\mathrm {V} x^{3}+\ldots ,$
$\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ étant des fonctions de $x$ en sinus, cosinus et exponentielles, et de $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots \,;$ en sorte que les différences de ces fonctions relativement à $x$ ne contiennent jamais cette variable sous
Différentiant successivement $n$ fois cette intégrale, on aura
${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}\ \,=&\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+\mathrm {Y} \right)\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} \right)x+\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+3\mathrm {V} \right)x^{2}+\ldots ,\\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=&\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}+2{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} \right)+\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}+4{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+6\mathrm {V} \right)x+\ldots .\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Et ces valeurs de $y,{\frac {dy}{dx}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$ satisferont à l’équation différentielle, quelles que soient d’ailleurs celles des constantes arbitraires $a,b,c,\ldots$
2. Or, comme cette équation ne contient point $x$ sous une forme algébrique, il faudra que dans la substitution des valeurs précédentes, les termes qui se trouveront multipliés par les différentes puissances de $x$ disparaissent d’eux-mêmes ; donc aussi les premiers termes de ces valeurs, lesquels ne sont point multipliés par $x$ et ne contiennent point $x$ sous une forme algébrique, devront satisfaire seuls à la même équation.
Donc elle sera satisfaite par ces valeurs
${\begin{aligned}y=&\mathrm {X} \\{\frac {dy}{dx}}=&{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+\mathrm {Y} ,\\{\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{d^{2}x}}+2{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Et comme les quantités $a,b,c,\ldots$ qui entrent dans ces valeurs demeurent indéterminées, elles pourront y être supposées constantes ou variables à volonté. En les supposant constantes, les valeurs dont il s’agit ne peuvent subsister ensemble, puisque celle de ${\frac {dy}{dx}}$ n’est point la différentielle de celle de $y$, et ainsi des autres ; mais en rendant les mêmes quantités $a,$
$b,c,\ldots$
$y$
${\frac {dy}{dx}}dx,$
${\frac {dy}{dx}},$
${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}dx,$
${\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}},$
${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}dx\,;$
$n$
$n$
$a,b,c,\ldots$
$y=\mathrm {X}$
3. Les équations de condition seront donc
${\begin{aligned}dy=&{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {X} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {X} }{db}}db+\ldots \\=&\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+\mathrm {Y} \right)dx,\\\\d{\frac {y}{x}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}dx+{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}dx+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}da+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdb}}db+\ldots +{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}db+\ldots \\=&\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}+2{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} \right)dx,\end{aligned}}$
et ainsi de suite.
Effaçant les termes qui se détruisent dans ces équations, elles deviennent
${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {X} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {X} }{db}}db+\ldots =\mathrm {Y} dx,\\&\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}\right)da+\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdb}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}\right)db+\ldots =\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} \right)dx,\end{aligned}}$
et ainsi de suite.
4. En considérant la forme des équations précédentes et leur dérivation de l’intégrale
$y=\mathrm {X} +\mathrm {Y} x+\mathrm {Z} x^{2}+\mathrm {V} x^{3}+\ldots ,$
$a,b,\ldots ,$
$x\,;$
$n-1$
$x$
$a,b,\ldots$
$x$
Ainsi l’on aura d’abord
${\begin{aligned}&\left({\frac {d\mathrm {X} }{da}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}x+{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}x^{2}+\ldots \right)da+\left({\frac {d\mathrm {X} }{db}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}x+{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}x^{2}+\ldots \right)db+\ldots \\&\quad =\left(\mathrm {X} +2\mathrm {Z} x+3\mathrm {V} x^{2}+\ldots \right)dx,\end{aligned}}$
ensuite
${\begin{aligned}&\left[{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}+\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxda}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}\right)x+\ldots \right]da\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left[{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdb}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}+\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxdb}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}\right)x+\ldots \right]db+\ldots \\&\qquad =\left[{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} +\left(2{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+6\mathrm {V} \right)x+\ldots \right]ds,\\\\&\left({\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}da}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxda}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}\right)da+\left({\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}db}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxdb}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}\right)db+\ldots \\&\qquad =\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}+4{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+6\mathrm {V} \right)dx,\end{aligned}}$
et ainsi de suite jusqu’à la $n-1$$^{ième}$ différentielle.
Effaçant donc partout les termes multipliés par $x,$ l’intégrale se réduira à $y=\mathrm {X} \,;$ et l’on aura, pour la détermination des $n$ quantités $a,b,c,\ldots ,$ les équations du premier ordre
${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {X} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {X} }{db}}db+\ldots =\mathrm {Y} dx,\\\\&\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}\right)da+\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdb}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}\right)db+\ldots =\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} \right)dx,\\\\&\left({\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}da}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxda}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}\right)da+\left({\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}db}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxdb}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}\right)db+\ldots \\&\qquad =\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}+4{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+6\mathrm {V} \right)dx,\end{aligned}}$
et ainsi de suite, le nombre de ces équations étant égal à l’exposant de l’ordre de l’équation différentielle.
Lorsque cette équation n’est que du premier ordre, il suffira donc de n’avoir égard dans l’intégrale qu’au terme qui contient la première puissance de l’arc $x,$ puisque la première équation de condition ne dépend que des quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$ lorsque l’équation différentielle sera du second ordre, il faudra avoir égard de plus dans l’intégrale au terme multiplié par $x^{2},$ puisque la seconde équation de condition dépend aussi de la quantité $\mathrm {Z}$ et ainsi de suite.
5. Selon M. de Laplace (Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, 1777, page 387), les équations de condition seraient simplement
${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {X} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {X} }{db}}db+\ldots =\mathrm {Y} dx,\\\\&{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}da+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdb}}db+\ldots ={\frac {d\mathrm {Y} }{dx}},\\\\&{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}da}}+{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}db}}db+\ldots ={\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}dx,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Donc sa méthode ne donne des résultats exacts que lorsque ces équations se trouvent avoir lieu en même temps que celles-ci
${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}db+\ldots =2\mathrm {Z} dx,\\\\&\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxda}}da+{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}\right)da+\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxdb}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}\right)db=\left(2{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+3\mathrm {V} \right)dx,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
6. La méthode que nous venons d’exposer peut s’appliquer également à plusieurs équations différentielles du même genre entre plusieurs variables $x,y,z,\ldots$ Les valeurs complètes de $y,z,\ldots$ fourniront alors chacune autant d’équations de condition entre les différentes constantes arbitraires $a,b,c,\ldots$ devenues variables, qu’il y aura d’unités dans l’exposant de la plus haute différence de chacune de ces variables dans les équations différentielles proposées. De sorte que le nombre des équations de condition égalera toujours celui des quantités $a,b,c,\ldots .$,
Il est visible aussi que ces équations seront toutes différentielles du premier ordre ; par conséquent leur intégration entraînera de nouveau un pareil nombre de constantes arbitraires, de manière que les intégrales trouvées seront toujours complètes après l’évanouissement des arcs de cercle et la substitution des nouvelles valeurs de $a,b,c,\ldots .$
Toute la difficulté consistera donc à déterminer ces valeurs par l’intégration des équations de condition ; mais dans plusieurs cas, et surtout lorsqu’on ne demande que des intégrales approchées, cette intégration dépendra des méthodes connues.
Au reste, quoique de cette manière les arcs de cercle disparaissent d’abord, ils pourront néanmoins reparaître dans les nouvelles valeurs de $a,b,c,\ldots \,;$ et cela arrivera même nécessairement toutes les fois que, par la nature des équations différentielles, ces arcs devront se trouver dans les intégrales.
7. Enfin, pour le succès de l’élimination des arcs de cercle, on doit éviter le cas où l’une des constantes arbitraires se trouverait jointe à la variable $x$ dans les fonctions algébriques de l’intégrale ; cette forme de l’intégrale est toujours possible puisque, la variable $x$ des fonctions algébriques disparaissant dans l’équation différentielle, la constante qui y serait jointe disparaîtrait aussi d’elle-même ; mais en y appliquant la méthode que nous venons de donner, on trouverait une intégrale de la même forme. En effet soit
$y=\mathrm {X} '+\mathrm {Y} '(x+a)+\mathrm {Z} '(x+a)^{2}+\ldots$
l’intégrale trouvée, $a$ étant une des constantes arbitraires, et les autres $b,c,\ldots$ étant renfermées dans les fonctions $\mathrm {X',Y'} ,\ldots .$
Par la règle du n$^o$ 4, on aura d’abord l’équation
$\left[\mathrm {Y} '+2\mathrm {Z} '(x+a)+\ldots \right]da+\left[{\frac {d\mathrm {X} '}{db}}+{\frac {d\mathrm {Y} '}{db}}(x+a)+{\frac {d\mathrm {Z} '}{db}}(x+a)^{2}+\ldots \right]db+\ldots$
$\qquad =\left[\mathrm {Y} '+2\mathrm {Z} '(x+a)+\ldots \right]dx,$
ensuite les différentielles de celles-ci en faisant varier $x$ seule, etc.
Or il est visible qu’on satisfera à toutes ces équations, en général, en faisant
$da=dx,\quad db=0,\quad dc=0,\ldots ,$
ce qui donnera
$a=\mathrm {A} +x,\quad {\text{et}}\quad b,c,\ldots$
et ces valeurs substituées dans
$y=\mathrm {X} '+\mathrm {Y} 'a+\mathrm {Z} 'a^{2}+\ldots$
reproduiront la même expression de $y$ trouvée d’abord.
8. Les équations différentielles des mouvements des Planètes, dans le système de la gravitation, sont du genre de celles dont nous venons de traiter ; ainsi, par la variation des constantes arbitraires de leurs intégrales, on pourra faire disparaître de ces intégrales les arcs de cercle que la méthode ordinaire d’approximation y introduira. Or ces constantes arbitraires ne sont, comme on sait, que les éléments des orbites elliptiques ; par conséquent on aura de cette manière la variation de ces éléments. Pour mettre dans ce calcul toute l’exactitude nécessaire, il faudra faire varier à la fois toutes les constantes arbitraires dont le nombre est double de celui des équations différentielles primitives, puisque celles-ci sont toutes du second ordre ; et comme dans les expressions des coordonnées par le temps, la variable qui exprime le temps se trouve multipliée sous les signes de sinus et cosinus par un coefficient qui dépend de la distance moyenne, il faudra par conséquent faire varier aussi ce coefficient en faisant varier la distance moyenne ; ce n’est que de cette manière qu’on pourra, par l’élimination des arcs de cercle, bien déterminer les variations séculaires de la distance moyenne, et s’assurer qu’elles doivent être nulles, comme nous l’avons trouvé par des principes directs et rigoureux. Nous nous bornerons ici à appliquer la méthode précédente à quelques autres équations.
9. Soit proposée l’équation différentielle
${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {1}{y}}{\frac {y^{2}}{x^{2}}}-{\frac {i}{(1+iy)}}{\frac {y^{2}}{x^{2}}}+2iy(1+iy)=0,$
dans laquelle $i$ est un coefficient fort petit.
En cherchant à l’intégrer par approximation suivant les méthodes ordinaires, on rejettera d’abord les termes affectés de $i,$ et l’on aura
${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {1}{y}}{\frac {y^{2}}{x^{2}}}=0,$
dont l’intégrale complète est
$y=ae^{bx},$
$a$ et $b$ étant deux constantes arbitraires.
On fera maintenant
$y=ae^{bx}+iy',$
et, substituant, on aura après la division par $i$ une équation du même ordre en $y',$ pour laquelle il suffira de trouver une valeur satisfaisante de cette variable, puisque l’expression de $y$ contient déjà les deux constantes arbitraires $a$ et $b.$
En négligeant de nouveau les termes affectés de $i$ on trouvera
$y'=a^{2}e^{2bx}-ae^{bx}x^{2}.$
Faisant ensuite
$y'=a^{2}e^{2bx}-ae^{bx}x^{2}+iy'',$
et opérant de la même manière, on trouvera
$y''=a^{3}e^{3bx}-2a^{2}e^{2bx}x^{2}+{\frac {ae^{bx}x^{4}}{2}},$
et ainsi de suite.
On aura donc pour la valeur de $y$ la série
$ae^{bx}+iy'+i^{2}y''+\ldots ,$
laquelle contient, comme on voit, l’arc de cercle $x$ qui ne se trouve point dans l’équation différentielle.
10. Pour le faire disparaître s’il est possible, on remarquera d’abord que, l’équation différentielle n’étant que du second ordre, il sufl’it d’avoir égard, dans l’intégrale, aux termes qui contiennent $x$ et $x^{2}.$ Et, comparant celle qu’on vient de trouver avec la formule générale du n$^o$ 1, on aura
$\mathrm {X} =ae^{bx}+ia^{2}e^{2bx}+i^{2}a^{3}e^{3bx}+\ldots ,\quad \mathrm {Y} =0,$
$\mathrm {Z} =-iae^{bx}-2i^{2}a^{2}e^{2bx}-\ldots .$
d’où l’on tire (3) ces deux équations de condition en $a$ et $b$
$\left(e^{bx}+2iae^{2bx}+3i^{2}a^{2}e^{3bx}+\ldots \right)da+\left(axe^{bx}+2ia^{2}xe^{2bx}+3i^{2}a^{3}xe^{3bx}+\ldots \right)db=0,$
$\left(e^{bx}+4iae^{2bx}+9i^{2}a^{2}e^{3bx}+\ldots \right)bda+\left(axe^{bx}+4ia^{2}xe^{2bx}+9i^{2}a^{3}xe^{3bx}+\ldots \right)bdb$
$+\left(ae^{bx}+2ia^{2}xe^{2bx}+3i^{2}a^{3}xe^{3bx}+\ldots \right)db=-2\left(iae^{bx}+2i^{2}a^{2}e^{2bx}+\ldots \right)dx.$
La première se réduit à
$da+axdb=0,$
et la seconde devient par là
$\left(ae^{bx}+2ia^{2}e^{2bx}+3i^{2}a^{3}e^{3bx}+\ldots \right)db=-2i\left(ae^{bx}+2ia^{2}e^{2bx}+\ldots \right)dx,$
laquelle donne évidemment
$db=-2idx,$
d’où l’on tire, en intégrant,
$b=\mathrm {B} -2ix,$
Substituant dans la première valeur de $db,$ on aura
${\frac {da}{a}}=2ixdx,$
et de là
$a=\mathrm {A} e^{ix^{3}},$
$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant les deux nouvelles constantes arbilraires.
L’intégrale sans arcs de cercle sera donc
$y=\mathrm {X} ,$
savoir, en mettant pour $a$ et $b$ les valeurs qu’on vient de trouver,
$y=\mathrm {A} e^{\mathrm {B} x-ix^{2}}+i\mathrm {A} ^{2}e^{2\mathrm {B} x-2ix^{2}}+i^{2}\mathrm {A} ^{3}e^{3\mathrm {B} x-3ix^{2}}+\ldots .$
En effet l’intégrale exacte de la proposée est
$y={\frac {\mathrm {A} e^{\mathrm {B} x-ix^{2}}}{1-i\mathrm {A} e^{\mathrm {B} x-ix^{2}}}}.$
On voit donc que, si $\mathrm {B}$ a une valeur négative et $i$ une valeur positive $<{\frac {1}{\mathrm {A} }},$ la valeur de $y$ sera toujours positive et $<{\frac {\mathrm {A} }{1-i\mathrm {A} }},$ tant que $x$ sera positive, quoique là première intégrale avec des arcs de cercle eût pu d’abord faire croire que cette valeur ne serait point renfermée dans des bornes.
11. Lorsque l’équation différentielle contient elle-même des arcs de cercle, il semble que l’intégrale devrait en contenir nécessairement ; il y a cependant des cas où cette conclusion serait fausse ; ainsi il est important d’avoir aussi un moyen pour les faire disparaître des intégrales de ces sortes d’équations différentielles.
Il est évident que, si l’on a une équation différentielle d’un ordre quelconque $n$ entre $y$ et $x,$ dans laquelle $x$ entre sous la forme algébrique, on pourra toujours en déduire une équation de l’ordre $n+1,$ qui ne contiendra aucune fonction algébrique de $x\,;$ car il n’y aura qu’a éliminer l’$x$ de ces fonctions, par le moyen de la proposée et de sa différentielle. Il n’y aura donc qu’à regarder cette équation de l’ordre $n+1$ comme l’équation donnée, et appliquer à son intégrale la méthode exposée.
Mais, sans chercher cette nouvelle équation, il suffira de considérer que, dans la différentielle de l’équation proposée, les fonctions algébriques de $x,$ne peuvent venir que des fonctions de la même espèce qui se trouvent dans la proposée ; car on suppose toujours que l’intégrale ne contient point de fonctions transcendantes de $x$ qui puissent en donner d’algébriques par la différentiation (1) ; or, si la proposée contenait de pareilles fonctions, elles devraient aussi se rencontrer dans l’intégrale. Ainsi, en éliminant l’$x$ des fonctions algébriques à l’aide de l’équation proposée et de sa différentielle, on aura le même résultat que si dans ces fonctions il y avait $x+h$ à la place de $x,$ $h$ étant une constante quelconque. D’où il s’ensuit que, si dans l’équation différentielle donnée de l’ordre $n$ on change l’$x$ des fonctions algébriques en $x+h,$ on aura une équation qui sera l’intégrale complète de celle de l’ordre $n+1$ sans fonctions algébriques, $h$ étant la constante arbitraire. La valeur complète de $y$, qui satisfera à la proposée après la substitution dont il s’agit, sera donc aussi l’intégrale finie et complète de celle qui n’aurait contenu aucune fonction algébrique de $x,$ les constantes arbitraires étant $h,a,$ $b,c,\ldots .$ Ainsi le Problème rentre dans celui que nous avons résolu.
Il est clair au reste qu’on aurait également l’intégrale complète dont il s’agit en substituant immédiatement $x+h$ à la place de $x$ dans les fonctions algébriques de l’intégrale de la proposée ; mais on tomberait alors dans le cas dont nous avons parlé dans le n$^o$ 7, et qu’il faut éviter.
12. Lors donc que l’arc $x$ entrera dans l’équation différentielle de $x$ et $y,$ et qu’on voudra éliminer cet arc de l’expression complète de $y,$ il faudra commencer par substituer dans les fonctions algébriques de $x$ de l’équation différentielle $x+h$ au lieu de $x,$ $h$ étant une constante arbitraire ensuite on en cherchera l’intégrale à l’ordinaire, ayant soin de faire en sorte que la constante $h$ entre aussi dans les fonctions transcendantes qui multiplient les puissances de $x\,;$ on opérera enfin sur cette intégrale par la règle du n$^o$ 4, en faisant varier toutes les constantes arbitraires $h,a,b,c,\ldots$ et supposant que l’équation différentielle qui y répond soit d’un ordre plus élevé d’une unité que la proposée.
Si l’on avait deux ou plusieurs équations différentielles en $x,y,z,\ldots ,$ lesquelles continssent aussi l’arc $x$ sous la forme algébrique, on substituerait pareillement $x+h$ à la place de $x$ dans les fonctions algébriques, et l’on traiterait les intégrales par la même méthode, en supposant seulement qu’une des équations différentielles soit d’un ordre plus élevé d’une unité qu’elle n’est sous la forme donnée. Car il est visible qu’on pourrait toujours éliminer des équations proposées les fonctions algébriques de $x$ par le moyen de la différentielle d’une quelconque de ces équations, et que l’élimination aura lieu également, en y changeant $x$ en $x+h.$
Cette méthode sera utile dans la Théorie des Planètes pour déterminer les variations de leurs éléments en ayant égard à l’action d’un milieu peu résistant.
13. Pour en montrer l’usage par un exemple très-simple, soient les deux équations
${\frac {dy}{dx}}=(1+2ix)z,\quad {\frac {dz}{dx}}=-(1+2ix)y,$
dont on sait que les intégrales exactes et complètes sont de la forme
$y=\mathrm {A} \sin \left(x+ix^{2}+\alpha \right),\quad z=\mathrm {A} \cos \left(x+ix^{2}+\alpha \right).$
Si on les intègre par approximation, en regardant $i$ comme un coefficient très-petit, et négligeant d’abord les termes affectés de $i,$ on trouvera que les intégrales contiendront des puissances de $x.$ Pour pourvoir donc faire disparaître ces fonctions algébriques, on commencera par substituer $x+h$ au lieu de $x,$ et faisant, pour abréger,
$1+2ih=m,$
on aura ces transformées
${\frac {dy}{dx}}=mz+2ixz,\quad {\frac {dz}{dx}}=-my+2ixy.$
En intégrant d’abord celles-ci
${\frac {dy}{dx}}=mz,\quad {\frac {dz}{dx}}=-my,$
on trouve
$y=a\sin mx+b\cos mx,\quad z=a\cos mx-b\sin mx.$
$y=a\sin mx+b\cos mx+iy',\quad z=a\cos mx-b\sin mx+iz',$
on trouvera, aux quantités de l’ordre de $i$ près,
$y'=x^{2}(a\cos mx-b\sin mx),\quad z'=-x^{2}(a\sin mx+b\cos mx),$
et ainsi de suite.
Pour éliminer de ces expressions de $y$ et $z$ les arcs $x,$ on fera varier les trois constantes $a,b,h,$ en regardant l’une des deux équations différentielles comme du second ordre. On aura donc d’abord pour l’expression de $y,$ comparée avec celle du n$^o$ 4,
$\mathrm {X} =a\sin mx+b\cos mx,\quad \mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {Z} =i(a\cos mx-b\sin mx),$
et, supposant l’équation en $y$ du second ordre, on aura, par les formules du même numéro, ces deux équations de condition, dans lesquelles $dm=2idh,$
$\sin mxda+\cos mxdb+2ix(a\cos mx-b\sin mx)dh=0,$
$m\cos mxda-m\sin mxdb-2imx(a\sin mx+b\cos mx)dh$
$+2i(a\cos mx-b\sin mx)dh=2i(a\cos mx-b\sin mx)dx.$
Ensuite l’expression de $z$ comparée avec la même formule du n$^o$ 4 donnera
$\mathrm {X} =a\cos mx-b\sin mx,\quad \mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {Z} =-i(asinmx+b\cos mx),$
d’où l’on tire l’équation de condition
$\cos mxda-\sin mxdb-2ix(a\sin mx+b\cos mx)dh=0.$
Cette équation comparée à la seconde des deux précédentes la réduit à
$2i(a\cos mx-b\sin mx)dh=2i(a\cos mx-b\sin mx)dx,$
savoir
$dh=dx.$
Et la même équation étant ajoutée à la première, ou retranchée après les avoir multipliées respectivement par $\sin mx,\cos mx,$ ou réciproquement, il viendra ces deux-ci
$da-2ixbdh=0,\quad db+2ixadh=0.$
Donc, en intégrant, on aura
$h=\mathrm {H} +x,\quad a=\mathrm {B} \sin \left(ix^{2}+\beta \right),\quad b=\mathrm {B} cos\left(ix^{2}+\beta \right),$
$\mathrm {H,B} ,\beta$ étant des constantes arbitraires.
Ces valeurs étant substituées dans les expressions de $y$ et $z$ sans arcs de cercle, savoir
${\begin{aligned}y=&a\sin \left[(1+2ih)x\right]+b\cos \left[(1+2ih)x\right],\\z=&a\cos \left[(1+2ih)x\right]-b\sin \left[(1+2ih)x\right],\end{aligned}}$
les transforment en celles-ci
$y=\mathrm {B} \cos \left[(1+2i\mathrm {H} )x+ix^{2}-\beta \right],\quad z=-\mathrm {B} \sin \left[(1+2i\mathrm {H} )x+ix^{2}-\beta \right].$
Il y a ici une constante arbitraire de plus qu’il ne faut ; pour la déterminer, il suffit de substituer ces valeurs de $y$ et $z$ dans une des deux équations différentielles. Cette substitution donnera
$1+2i\mathrm {H} +2ix=1+2ix\,;$
donc
$\mathrm {H} =0.$
Par conséquent les vraies valeurs seront
$y=\mathrm {B} \cos \left(x+ix^{2}-\beta \right),\quad z=-\mathrm {B} \sin \left(x+ix^{2}-\beta \right),$
lesquelles s’accordent avec les intégrales exactes données ci-dessus, en faisant
$\mathrm {B} =\mathrm {A} ,\quad \beta =90^{\circ }-\alpha .$
On pourrait être surpris que des intégrales simplement approchées aient donné des intégrales rigoureuses par l’élimination des arcs de cercle ; la raison en est qu’en continuant l’approximation, on n’aurait trouvé que
$x^{4},x^{6},\ldots ,$
14. Non-seulement on peut, par la variation des constantes arbitraires, faire disparaître l’arc dans les fonctions algébriques de l’intégrale, comme on vient de le voir ; on peut aussi par ce moyen substituer au même arc une quantité quelconque à volonté ; pour cela il n’y a qu’à donner aux principes de la méthode précédente toute l’étendue dont ils sont susceptibles.
Soit une équation différentielle entre les variables $y$ et $x,$ dont l’une $x$ ne s’y trouve point sous la forme algébrique ; et soit
$\mathrm {U} =0$
son intégrale complète et finie ou seulement d’un ordre inférieur de $n$ unités à celui de l’équation différentielle, en sorte que le nombre des constantes arbitraires $a,b,c,\ldots$ soit aussi $n\,;$ enfin supposons que cette intégrale ne contienne $x$ que sous la forme algébrique, et sous celle de sinus, cosinus et exponentielles, de manière que par rapport à ces fonctions transcendantes elle soit assujettie aux mêmes conditions que la formule du n$^o$ 1.
On sait que l’équation différentielle dont $\mathrm {U} =0$ est l’intégrale complète ne peut être autre chose que le résultat de l’élimination des $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots$ par le moyen des $n+1$ équations
$\mathrm {U} =0,\quad d\mathrm {U} =0,\quad d^{2}\mathrm {U} =0,\ldots ,d^{n}\mathrm {U} =0.$
Or, puisque les fonctions algébriques de $x$ qui entrent dans $\mathrm {U}$ et dans ses différences ne se trouvent plus dans l’équation différentielle, elles doivent disparaître d’elles-mêmes dans cette élimination. Par conséquent elles disparaîtront aussi si l’on y met $x+\xi$ à la place de $x,$ $\xi$ étant une quantité quelconque. Donc l’intégrale $\mathrm {U} =0$ satisfera également à l’équation différentielle proposée, en augmentant la variable $x$ des fonctions algébriques de cette intégrale d’une quantité indéterminée $\xi ,$ pourvu que les équations $d\mathrm {U} =0,$$d^{2}\mathrm {U} =0,\ldots d^{n}\mathrm {U} =0$ subsistent aussi en y faisant la même substitution. Or c’est ce qu’on peut obtenir par la variation des $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots .$
15. Dénotons, en général, par la caractéristique $\delta$ les différences prises en faisant varier seulement ces constantes ainsi que l’indéterminée $\xi ,$ tandis que la caractéristique ordinaire $d$ représentera les différences relatives aux variables $y$ et $x.$ Il est clair que l’équation
$\mathrm {U} =0,$
après la substitution de $x+\xi$ à la place de $x$ dans les fonctions algébriques, donnera par une différentiation complète
$d\mathrm {U} +\delta \mathrm {U} =0.$
Or, puisque par l’hypothèse les fonctions transcendantes de $x$ qui se trouvent dans $\mathrm {U}$ ne peuvent donner de fonctions algébriques dans la différentiation, il s’ensuit qu’on doit avoir le même résultat, soit qu’on substitue d’abord, dans les fonctions algébriques de $x$ qui entrent dans $\mathrm {U} ,$ $x+\xi$ à la place de $x,$ et qu’on différentie ensuite par rapport à $x$ et $y,$ soit qu’on différentie d’abord par rapport à ces variables, et qu’on substitue, dans la différence $d\mathrm {U} ,$ $x+\xi$ à la place des $x$ algébriques. Donc il faudra que l’équation précédente
$d\mathrm {U} +\delta \mathrm {U} =0.$
se réduise à celle-ci
$d\mathrm {U} =0,$
et par conséquent que l’on ait en même temps
$\delta \mathrm {U} =0.$
De même la différentiation complète de l’équation
$d\mathrm {U} =0$
donnera celle-ci
$d\,d\mathrm {U} +\delta d\mathrm {U} =0,$
$d^{2}\mathrm {U} =0\,;$
de sorte qu’il faudra que l’on ait en même temps
$\delta d\mathrm {U} =0.$
En continuant ce raisonnement pour les différences des ordres suivants jusqu’au $n$$^{ième}$, on trouvera de la même manière les équations
$\delta d^{2}\mathrm {U} =0,\quad \delta d^{3}\mathrm {U} =0,\ldots ,\quad \delta d^{n-1}\mathrm {U} =0.$
Or on sait par la Théorie des variations que $\delta d\mathrm {U}$ est la même chose que $d\delta \mathrm {U} ,$ que $\delta d^{2}\mathrm {U}$ est la même chose que $d^{2}\delta \mathrm {U} ,$ et ainsi de suite, puisque les caractéristiques $d$ et $\delta$ se rapportent à des variables indépendantes entre elles.
Donc les équations de condition pour que l’intégrale $\mathrm {U} =0$ satisfasse encore à l’équation différentielle proposée, après la substitution de $x+\xi$ à la place de $x$ dans les fonctions algébriques de cette intégrale, seront
$\delta \mathrm {U} =0,\quad d\delta \mathrm {U} =0,\quad d^{2}\delta \mathrm {U} =0,\ldots ,\quad d^{n-1}\delta \mathrm {U} =0\,;$
et comme le nombre de ces équations est $n,$ et par conséquent égal il celui des constantes arbitraires $a,b,c,\ldots$ devenues maintenant variables, on y pourra satisfaire par la détermination de ces variables ; et la quantité $\xi$ demeurera par conséquent indéterminée, et pourra être supposée tout ce qu’on voudra.
16. En supposant
$\mathrm {U=X+Y} x+\ldots -y$
comme dans le n$^o$ 4, et faisant après toutes les différentiations
$\xi =-x,$
on aura les mêmes résultats que dans ce numéro.
En général, si l’on fait
$\xi =-x+\psi ,$
et que $\psi$ ne contienne que des sinus et cosinus, l’arc de cercle $x$ disparaîtra toujours, quelle que soit la fonction $\psi \,;$ et l’introduction de cette indéterminée pourra quelquefois faciliter l’intégration des équations en $a,b,c,\ldots .$
17. Il est visible au reste que cette méthode s’applique, en général, à autant d’équations intégrales qu’on voudra ; chacune de ces équations telle que $\mathrm {U} =0$ donnera, après la substitution de $x+\xi$ à la place de $x$ dans les fonctions algébriques, les équations de condition $\delta \mathrm {U} =0,$ $d\delta \mathrm {U} =0,\ldots ,$ en continuant les différentiations de $\delta \mathrm {U}$ jusqu’à ce que les plus hautes différences des autres variables $y,z,\ldots$ y soient d’un ordre immédiatement inférieur à celui dont elles sont dans les équations différentielles. Le nombre de ces équations sera ainsi égal à celui de toutes les constantes arbitraires, et la quantité $\xi$ demeurera toujours indéterminée.
Enfin, si les équations différentielles contenaient aussi $x$ sous la forme algébrique, on prouverait également par les principes exposés dans le n$^o$ 11 qu’il n’y aurait qu’à substituer $x+h$ au lieu de $x$ dans les fonctions algébriques de ces équations, en regardant une des intégrales comme due à une équation différentielle d’un ordre plus élevé d’une unité que n’est celle qui répond directement à cette intégrale, et faire varier ensuite la constante $h$ en même temps que les autres constantes arbitraires introduites par les intégrations.
18. Nous avons supposé jusqu’ici que les fonctions transcendantes de $x$ dans les intégrales sont telles que leurs différentielles ne contiennent jamais cette variable sous la forme algébrique ; c’est ce qui a toujours lieu lorsque ces fonctions ne renferment que des sinus, des cosinus et des exponentielles d’arcs proportionnels à $x.$ Mais, si la variable $x$ se trouvait sous ces mêmes signes élevée à d’autres puissances que la première, ou si des logarithmes de cette variable entraient aussi dans les fonctions dont il s’agit, il est clair que la même variable se trouverait sous la forme algébrique dans les différentielles de ces fonctions ; par conséquent on ne pourrait plus supposer, en général, comme nous l’avons fait, que les valeurs des différentielles sont les mêmes, soit que la substitution de $x+\xi$ au lieu de $x$ dans les fonctions algébriques se fasse avant ou après la différentiation. Il faudrait donc alors avoir égard dans l’analyse du n$^o$ 15 à la différence de ces valeurs ; ce qui ne sera pas difficile d’après les principes que nous avons exposés.