# Théorie des fonctions analytiques/Partie II/Chapitre 09
### CHAPITRE IX.

44. Nous venons de voir que, parmi toutes les sphères touchantes, il ne peut y en avoir aucune qui devienne proprement osculatrice de la surface ; mais on peut toujours déterminer celle qui sera osculatrice d’une courbe quelconque tracée sur la même surface. Pour cela, il n’y aura qu’à supposer $y$ fonction de $x,$ comme dans les courbes à double courbure, et prendre, dans cette hypothèse, les équations primes et secondes de l’équation de la sphère
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}-d^{2}=0.$
L’équation prime sera
$x-a+y'(y-b)+(z'+y'z_{_{'}})(z-c)=0,$
en regardant toujours $z$ comme fonction de $x$ et $y,$ dont les deux fonctions primes sont $z'$ et $z_{_{'}},$ et ensuite $y$ comme fonction de $x,$ dont $y'$ est la fonction prime. On trouvera, de la même manière, cette équation seconde :
$1+y'^{2}+y''(y-b)+(z'+y'z_{_{'}})^{2}+\left(z''+2y'z'_{_{'}}+y'^{2}z_{_{''}}+y''z_{_{'}}\right)(z-c)=0.$
L’équation prime est déjà remplie par les deux équations primes du n$^o$ 42 :
$x-a+z'(z-c)=0,\quad y-b+z_{_{'}}(z-c)=0.$
Ainsi, il ne reste qu’à satisfaire à l’équation précédente, laquelle, à cause de $y-b+z_{_{'}}(z-c)=0,$ se réduit à celle-ci
$1+y'^{2}+(z'+y'z_{_{'}})^{2}+\left(z''+2y'z'_{_{'}}+y'^{2}z_{_{''}}\right)(z-c)=0.$
Si donc on substitue dans cette équation la valeur de $c$ trouvée ci-dessus (numéro cité), on en pourra tirer la valeur de $d,$ et l’on aura
$d=-{\frac {\left[1+y'^{2}+(z'+y'z_{_{'}})^{2}\right]{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}}{z''+2y'z'_{_{'}}+y'^{2}z_{_{''}}}}.$
Connaissant ainsi le rayon $d$ de la sphère osculatrice, on aura, par les formules du même numéro, les valeurs des coordonnées $a,b,c$ du centre.
45. La quantité $y'$ qui entre dans les expressions précédentes dépend de la courbe qui est la projection de celle qu’on suppose tracée sur la surface. Cette courbe étant arbitraire, on peut chercher celle dans laquelle le rayon de courbure $d$ sera un maximum ou un minimum, et, pour cela, il n’y aura qu’à égaler à zéro la fonction prime de l’expression de $d,$ regardée comme fonction de $y'$ (n$^o$ 26). Mais, pour simplifier le calcul, nous observerons que, puisque
$d=(z-c){\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}},$
le maximum ou minimum de $d$ relativement à $y'$ répondra au maximum ou minimum de $c\,;$ ainsi, il n’y aura qu’à prendre l’équation prime de la dernière équation ci-dessus entre $c$ et $y',$ en supposant nulle la fonction prime de $c,$ c’est-à-dire en ne regardant que $y'$ comme variable. On aura de cette manière l’équation
$y'+z_{_{'}}(z'+y'z_{_{'}})+(z'_{_{'}}+y'z_{_{''}})(z-c)=0,$
qui, étant combinée avec la même équation, servira à déterminer $y'$ et $c.$
Si l’on multiplie cette équation par $y',$ et qu’on la retranche de l’équation dont il s’agit, on aura celle-ci, plus simple,
$1+z'^{2}+y'z'z_{_{'}}+(z''+y'z'_{_{'}})(z-c)=0,$
que l’on combinera avec la précédente.
Par l’élimination de $z-c,$ on aura une équation en $y'$ de cette forme,
$\mathrm {A} y'^{2}-\mathrm {B} y'-\mathrm {C} =0,$
en faisant, pour abréger,
${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\left(1+z_{_{'}}^{2}\,\right)z'_{_{'}}\ -z'z_{_{'}}z_{_{''}},\\\mathrm {B} =&\left(1+z'^{2}\right)z_{_{''}}-\left(1+z_{_{'}}^{2}\right)z'',\\\mathrm {C} =&\left(1+z'^{2}\right)z'_{_{'}}\ -z'z_{_{'}}z'',\end{aligned}}$
et la résolution de cette équation donnera
$y'=\mathrm {\frac {B\pm {\sqrt {B^{2}+4AC}}}{2A}} ,$
équation du premier ordre en $x,y$ et $y',$ puisque $z$ étant, par la nature de la surface, une fonction donnée de $x$ et $y,$ les quantités $\mathrm {A,B,C}$ seront aussi des fonctions données de $x$ et $y.$ Donc l’équation primitive en $x$ et $y$ renfermera une constante arbitraire et représentera une infinité de courbes qui seront les projections des lignes de plus grande et de moindre courbure de la surface proposée.
Si l’on combine les deux équations ci-dessus de manière à faire disparaître les termes où $y'$ et $z-c$ se trouvent ensemble, on en tirera
$z-c={\frac {\left(1+z'^{2}\right)z_{_{''}}-z'z_{_{'}}z'_{_{'}}-\mathrm {A} y'}{z_{_{'}}^{'2}-z''z_{_{''}}}}.$
Donc, substituant la valeur de $y'$ et faisant de plus
$\mathrm {E} =2z'z_{_{'}}z'_{_{'}}-\left(1+z'^{2}\right)z_{_{''}}-\left(1+z_{_{'}}^{2}\right)z'',$
on aura
$z-c={\frac {\mathrm {E\pm {\sqrt {B^{2}+4AC}}} }{2\left(z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}\right)}},$
et de là
$d={\frac {\left(\mathrm {E\pm {\sqrt {B^{2}+4AC}}} \right){\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}}{2\left(z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}\right)}},$
d’où l’on voit que les deux valeurs du radical donnent l’une le maximum et l’autre le minimum du rayon $d.$
Il y a donc, à chaque point de la surface, deux branches qui se coupent et qui répondent l’une à une ligne de plus grande et l’autre à une ligne de moindre courbure, et l’angle sous lequel elles se coupent dépend de la double valeur de la quantité $y',$ qui est égale à la tangente de l’angle formé par la tangente de la courbe de projection sur le plan des $x$ et $y$ avec l’axe fixe des $x.$ Or, comme la position de ce plan est arbitraire, on peut la prendre de manière qu’il coïncide avec le plan tangent de la surface ; alors la projection de la courbe se confondra avec la courbe même, et les deux valeurs de $y'$ deviendront les tangentes des angles que les tangentes des deux branches de plus grande et de moindre courbure feront avec une même ligne ; par conséquent, la différence de ces angles sera l’angle cherché sous lequel ces branches se coupent ; donc, nommant $\alpha$ et $\beta$ les deux valeurs de $y',$ la tangente de cet angle sera, par les formules connues,
${\frac {\alpha -\beta }{1+\alpha \beta }}=\mathrm {\frac {\sqrt {B^{2}+4AC}}{A-C}} .$
Mais il est facile de voir, par les formules du n$^o$ 38, que, pour que le plan tangent d’une surface coïncide avec le plan des $x$ et $y,$ il faut que les valeurs de $z'$ et $z_{_{'}}$ soient nulles. Faisant donc, dans les expressions de $\mathrm {A,B,C} ,$
$z'=0,\quad z_{_{'}}=0,$
on aura
$\mathrm {A} =z'_{_{'}},\quad \mathrm {B} =z_{_{''}}-z'',\quad \mathrm {C} =z'_{_{'}},$
ce qui donne
$\mathrm {A-C} =0.$
Ainsi la tangente de l’angle dont il s’agit sera infinie, et, par conséquent, l’angle sera droit, d’où l’on doit conclure, en général, que les lignes de plus grande et de moindre courbure d’une surface quelconque se coupent toujours à angle droit.
46. La propriété du maximum et du minimum n’est pas la seule qui caractérise ces lignes : elles sont encore distinguées par rapport à leurs développées. En effet, si l’on cherche les conditions nécessaires pour que le rayon de courbure soit partout tangent à la courbe des centres, on trouvera, par des considérations semblables à celles du n$^o$ 35, appliquées aux expressions des coordonnées $a,b,c$ de cette courbe (n$^o$ 42), que ces conditions se réduisent à ce que les valeurs des fonctions primes $a',b',c'$ soient les mêmes, soit que la quantité $d$ soit seule variable ou que les quantités $x,y,z$ varient en même temps que $d.$ Ainsi, si l’on prend les équations primes des trois équations (n$^o$ 42)
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=d^{2},$
${\begin{aligned}x-a+z'(z-c)=&0,\\y-b+z_{_{'}}(z-c)=&0,\end{aligned}}$
d’où résultent les valeurs de $a,b,c$ il faudra que la partie due à la seule variation de $x,y,z$ soit nulle. Or il est visible que la seconde et la troisième équation rendent nulle cette partie dans l’équation prime de la première équation ; donc il suffira de prendre les équations primes des équations
$x-a+z'(z-c)=0,\quad y-b+z_{_{'}}(z-c)=0,$
en regardant $a,b$ et $c$ comme constantes. Ces équations seront donc, en regardant, comme ci-dessus (n$^o$ 44), $y$ comme fonction de $x,$ et $z$ comme fonction de $x$ et $y,$
${\begin{aligned}1+z'^{2}\ \ +y'z'z_{_{'}}&+(z''+y'z'_{_{'}})(z-c)=0,\\y'+z_{_{'}}z'+y'z_{_{'}}^{2}\ \ \,&+(z'_{_{'}}+y'z_{_{''}})(z-c)=0,\end{aligned}}$
et, si on les compare aux deux équations du numéro précédent, qui déterminent le maximum et le minimum de $d,$ on voit qu’elles sont identiquement les mêmes, d’où il suit que les lignes suivant lesquelles le rayon de courbure sera tangent de la courbé des centres sont les mêmes que celles de la plus grande ou de la moindre courbure.
Mais les expressions de $a,b,c$ du n$^o$ 42 donnent, en ne faisant varier que $d,$
${\begin{aligned}a'=&\quad \ {\frac {d'z'}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\\b'=&\quad \ {\frac {d'.z_{_{'}}}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\\c'=&-{\frac {d'}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\end{aligned}}$
d’où l’on tire
$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=d'^{2},$
et par conséquent
$d'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}},$
d’où l’on conclura (n$^o$ 37) que la quantité $d$ sera égale à l’arc de la courbe dont $a,b,c$ sont les coordonnées. Ainsi cette courbe sera la véritable développée des lignes de plus grande et de moindre courbure, et réciproquement il n’y aura, sur une surface quelconque, que ces lignes qui puissent avoir une développée formée par les rayons de courbure.
Ces propriétés des surfaces sont très-curieuses et méritent toute l’attention des géomètres ; elles donnent lieu surtout à des applications importantes pour les arts. Voir les Mémoires de Berlin pour l’année 1760, les Tomes IX et X des Mémoires présentés à l’Académie des Sciences, et l’Application de l’Analyse à la Géométrie, par M. Monge.
Au reste, pour traduire ces formules en Calcul différentiel, il n’y aura qu’à changer $y',y''$ en ${\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ et $z',z_{_{'}},z'',z'_{_{'}},z_{_{''}}$ en ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}},{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$ ${\frac {d^{2}z}{dxdy}},{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}.$