# Correspondance de Lagrange avec d’Alembert/Lettre 018
### 18. LAGRANGE À D’ALEMBERT.

Mon cher et illustre ami, cette Lettre vous sera remise par M. Dutens, ci-devant chargé des affaires de la cour de Londres à la nôtre et auteur de la belle collection des Ouvrages de Leibnitz qui s’imprime actuellement à Genève. Il souhaite fort de vous connaître ; aussi je vous prie de vouloir bien lui donner quelques moments de votre temps ; vous verrez un homme qui joint à une grande érudition beaucoup de lumière et d’esprit philosophique.
J’ai envoyé à M. de Fouchy, il y a environ un mois, une pièce pour le prix de l’année prochaine, dont la devise est : Multum adhuc restat operis. Quoiqu’elle n’ait guère d’autre mérite que de m’avoir coûté beaucoup de travail, je souhaiterais que vous voulussiez bien jeter un coup d’oeil sur les pages 2 et 3 du Chapitre IV. Ce que j’y dis touchant l’équation du centre et la latitude des satellites me paraît entièrement nouveau et d’une très-grande importance dans la théorie des planètes, et je suis maintenant après à en faire application à Saturne et à Jupiter.
J’ai trouvé, ces jours passés, une méthode de faire disparaître l’imaginaire ${\sqrt {-1}}$ des expressions
${\frac {\varphi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\varphi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}$
en les réduisant en série de la manière que voici,
${\begin{aligned}&{\frac {\varphi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}}\\&={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}\left[\varphi (x)-{\frac {1}{1+1}}{\frac {\varphi (x+t)+\varphi (x-t)}{2}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{1+4}}{\frac {\varphi (x+2t)+\varphi (x-2t)}{2}}-{\frac {1}{1+9}}{\frac {\varphi (x+3t)+\varphi (x-3t)}{2}}+\ldots \right]\\&{\text{et}}\\&{\frac {\varphi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\\&={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}\left[{\frac {1}{1+1}}{\frac {\varphi (x+t)-\varphi (x-t)}{2}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {2}{1+4}}{\frac {\varphi (x+2t)-\varphi (x-2t)}{2}}+{\frac {3}{1+9}}{\frac {\varphi (x+3t)-\varphi (x-3t)}{2}}-\ldots \right],\end{aligned}}$
moyennant quoi je suis en état de déterminer, par approximation, le mouvement d’un fluide qui se meut dans un canal horizontal et rectangulaire, en supposant que le fluide soit parvenu à un état permanent et qu’on connaisse le mouvement qu’il a dans une section quelconque du canal, mouvement qui peut être quelconque comme la figure initiale d’une corde vibrante. Il est vrai que, lorsque la fonction $\varphi$ est donnée soit algébriquement, soit transcendantement, on peut toujours faire disparaître l’imaginaire ${\sqrt {-1}}$ des expressions proposées ; mais la difficulté est de trouver la valeur de $c$es expressions lorsque la fonction dont il s’agit n’est donnée que par une courbe dont on ne connaît point l’équation.
Permettez-moi de vous rappeler les engagements que vous avez pris à l’égard de notre Volume ; vous avez encore pour cela tout le reste de cette année-ci de temps. En attendant, je vous prie de me donner de vos nouvelles et de celles de vos travaux ; je vous parlerai des miens une autre fois.
J’ai l’honneur de vous embrasser en vous demandant la continuation de votre précieuse amitié.
* ↑ Voir plus haut, p. 31, note 1.
* ↑ Voir plus haut, p. 31, note 1.
* ↑ Jean-Paul Grandchamp de Fouchy, astronome, membre (1731), puis (1743) Secréfaire perpétuel de l’Académie des Sciences, né le 17 mars 1707 à Paris, où il mourut le 15 avril 1788.