# Théorie des fonctions analytiques/Partie II/Chapitre 06
### CHAPITRE VI.

27. Je viens maintenant à la détermination des aires des courbes, qu’on appelle communément quadrature des courbes. Considérons, en général, la courbe représentée par l’équation
$y=f(x),$
$y$ étant l’ordonnée rectangulaire correspondante à l’abscisse $x,$ dont elle est une fonction donnée. L’espace terminé par cette courbe, par l’axe des abscisses et par une ordonnée quelconque $y$ sera donc aussi déterminé par une fonction de la même abscisse $x,$ que nous désignerons par $\operatorname {F} (x).$ Supposons que $x$ devienne $x+i$ cette fonction deviendra $\operatorname {F} (x+i),$ et il est clair que $\operatorname {F} (x+i)-\operatorname {F} (x)$ sera alors la portion de l’espace correspondante à la partie $i$ de l’axe et terminée par les deux ordonnées $f(x)$ et $f(x+i)$ répondantes aux abscisses $x$ et $x+i.$ Or, quelle que soit la courbe proposée, il est aisé de se convaincre, même sans figure, que, si les ordonnées vont en augmentant ou en diminuant depuis $f(x)$ jusqu’à $f(x+i),$ l’espace dont il s’agit sera, dans le premier cas, plus grand que l’espace rectangulaire $if(x)$ et moindre que l’espace rectangulaire $if(x+i),$ et, dans le second cas, plus grand que ce dernier et moindre que le premier. Donc il sera toujours nécessairement renfermé entre ces limites $if(x)$ et $if(x+i),$ lesquelles seront, par conséquent, les limites de la quantité $\operatorname {F} (x+i)-\operatorname {F} (x)$ qui doit représenter ce même espace.
Développons les fonctions $f(x+i)$ et $\operatorname {F} (x+i)$ suivant notre formule (n$^o$ 40, 1re Partie), et arrêtons-nous au premier terme pour la première et aux deux premiers pour la seconde ; on aura
$f(x+i)=f(x)+if'(x+j)$
et
$\operatorname {F} (x+i)=\operatorname {F} (x)+i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j),$
où $j$ est une quantité indéterminée qui peut n’être pas la même pour les deux fonctions, mais qui doit toujours être renfermée entre les limites $o$ et $i.$ Il faudra donc que la fonction $\operatorname {F} (x)$ soit telle que la quantité $i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j)$ soit renfermée entre les limites $if(x)$ et $if(x)+i^{2}f'(x+j),$ quelle que soit la valeur de $i,$ et par conséquent en prenant $i$ aussi petit qu’on voudra. Or, l’intervalle entre les deux limites étant $i^{2}f'(x+j),$ la différence de la quantité dont il s’agit et de l’une des limites, savoir
$i\left[\operatorname {F} '(x)-f(x)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j),$
devra être moindre que $i^{2}f'(x+j),$ abstraction faite des signes de ces quantités. Mais il est aisé de prouver que cette condition ne peut avoir lieu pour une valeur de $i$ aussi petite qu’on voudra, à moins que le terme affecté de $i$ ne disparaisse ; car autrement on pourra toujours prendre $i$ tel que la première quantité soit plus grande que la seconde, puisqu’il suffira que $i$ soit plus petit que ${\frac {\operatorname {F} '(x)-f(x)}{f'(x+j)-{\frac {1}{2}}\operatorname {F} ''(x+j)}}.$ On aura donc nécessairement
$\operatorname {F} '(x)=f(x),$
et cette condition suffira pour la détermination de la fonction $\operatorname {F} (x),$ puisque l’on voit qu’elle ne sera autre chose que la fonction primitive de $f(x).$
Donc, en général, la fonction prime de la fonction qui exprime l’aire d’une courbe par l’abscisse est la fonction qui représente l’ordonnée de cette courbe, et, réciproquement, la fonction qui exprime l’aire ne peut être que la fonction primitive de celle qui exprime l’ordonnée. Ainsi, l’équation d’une courbe étant donnée, pour avoir l’expression de l’aire, c’est-à-dire la quadrature de la courbe, il n’y aura qu’à chercher la fonction primitive de celle qui représente l’ordonnée, et l’on pourra ajouter à cette fonction primitive une constante arbitraire. (n$^o$ 49, Ire Partie), qu’on déterminera par la condition que l’expression de l’aire devienne nulle au point où l’on voudra la faire commencer.
Nous avons supposé, dans l’analyse précédente, que les ordonnées allaient en augmentant ou en diminuant depuis $f(x)$ jusqu’à $f(x+i)\,:$ cette condition n’aurait pas lieu s’il y avait entre ces deux ordonnées un maximum ou un minimum mais, comme on peut prendre l’intervalle $i$ aussi petit que l’on veut, il est clair qu’on pourra toujours faire tomber la seconde ordonnée $f(x+i)$ en deçà du maximum ou du minimum, et que, par conséquent, la conclusion que nous en avons tirée demeurera toujours la même.
Si la fonction $f(x)$ exprimait l’aire de la section d’un solide faite perpendiculairement à l’abscisse $x,$ on prouverait de la même manière que la solidité serait exprimée par la fonction primitive de $f(x).$ Car, désignant par $\operatorname {F} (x)$ la solidité, la différence $\operatorname {F} (x+i)-\operatorname {F} (x)$ exprimerait la portion du solide comprise entre les deux sections $f(x+i)$ et $f(x),$ et cette portion serait nécessairement intermédiaire entre les deux solides prismatiques $if(x)$ et $if(x+i),$ en prenant la quantité $i$ aussi petite qu’on voudrait ; d’où l’on conclurait, comme ci-dessus,
$\operatorname {F} '(x)=f(x).$
Ainsi, en faisant tourner une courbe autour de l’axe des $x,$ on aun conoïde dont la section perpendiculaire à l’axe et répondante à l’abscisse $x$ est un cercle du rayon $y$ et dont l’aire est ${\frac {\pi y^{2}}{2}},$ où $\pi$ est la circonférence du cercle dont le rayon $=1.$ Or, par la nature de la courbe, on a $y=f(x)\,;$ donc l’aire de la section sera ${\frac {1}{2}}\pi \left[f(x)\right]^{2},$ et la solidité $\operatorname {F} (x)$ du conoïde sera donnée par la fonction prime
$\operatorname {F} '(x)={\frac {1}{2}}\pi \left[f(x)\right]^{2},$
28. Le problème de la quadrature des courbes est, comme l’on voit, le problème le plus simple de l’analyse inverse des fonctions, puisqu’il ne consiste qu’à trouver la fonction primitive d’une fonction donnée. Nous avons indiqué dans la première Partie (chap. VIII) les moyens par lesquels on peut faciliter cette recherche ; nous ajouterons ici une observation essentielle.
Comme il est souvent avantageux de substituer d’autres variables à la place de celle qui entre dans la fonction, pour simplifier ou décomposer cette fonction en d’autres plus simples, il ne faudra pas oublier alors de multiplier la fonction dont il s’agit par la fonction prime de sa variable. En effet, nommant $u$ l’aire de la courbe dont $y$ est l’ordonnée, et regardant $y$ et $u$ comme fonctions de $x,$ nous venons de voir que l’on a $u'=y\,;$ mais, si l’on suppose $x$ fonction d’une autre variable, et qu’on désigne par $x'$ et $u'$ les fonctions primes de $x$ et $u$ prises relativement à cette nouvelle variable, il faudra substituer ${\frac {u'}{x'}}$ à la place de $u'$ (n$^o$ 50, Ire Partie), ce qui donnera $u'=yx'\,;$ et ainsi des autres formules semblables.
Au reste, comme, suivant le Calcul différentiel, $u'$ est équivalent à ${\frac {du}{dx}},$ l’équation $u'=y$ donne
$du=ydx,$
et, intégrant,
$u=\int ydx,$
formule connue pour la quadrature des courbes.
29. Après le problème de la quadrature des courbes, se présente naturellement celui de leur rectification, c’est-à-dire de la détermination de la longueur même de la courbe.
Nous partirons, pour la solution de ce problème, du principe d’Archimède, adopté par tous les géomètres anciens et modernes, suivant lequel, deux lignes courbes ou composées de droites ayant leurs concavités tournées du même côté et les mêmes extrémités, celle qui renferme l’autre est la plus longue, d’où il suit qu’un arc de courbe tout concave du même côté est plus grand que sa corde et en même temps moindre que la somme des deux tangentes menées aux deux extrémités de l’arc et comprises entre ces extrémités et leur point d’intersection.
De là on peut tirer cette autre conséquence que la longueur du même arc se trouvera comprise entre celles des deux tangentes menées à ses deux extrémités et terminées aux deux ordonnées qui répondent à ses extrémités, prolongées, s’il le faut, au delà de la courbe.
En effet, ayant mené la corde qui joindra les deux extrémités de l’arc, il est aisé de voir que l’une des deux tangentes rencontrera les ordonnées parallèles sous un angle plus aigu que la corde et que l’autre les rencontrera sous un angle moins aigu, et que, par conséquent, la corde sera moindre que la première de ces tangentes et plus longue que la seconde ; donc celle-ci sera, à plus forte raison, moindre que l’arc de la courbe : De plus, si l’on considère les deux triangles opposés au sommet et formés par l’intersection des deux tangentes, il est visible que les deux parties de la première tangente seront respectivement plus longues que celles de la seconde, parce que les côtés formés par ces parties-là se trouvent opposés à des angles plus grands que les côtés formés par celles-ci. Donc la première tangente entière sera plus longue que la somme des deux portions de tangentes comprises entre leur point d’intersection et les extrémités de l’arc. Donc elle sera aussi plus longue que l’arc.
Cela posé, $f(x)$ étant l’ordonnée qui répond à l’abscisse $x,$ $f'(x)$ sera (n$^o$ 7) la tangente de l’angle sous lequel la tangente de la courbe à l’extrémité de cette ordonnée est inclinée à l’axe des abscisses ; par conséquent, $if'(x)$ era la partie de l’ordonnée $f(x+i),$ prolongée s’il est nécessaire, comprise entre la tangente et une parallèle à l’axe menée par l’extrémité de l’ordonnée $f(x)\,;$ donc
${\sqrt {i^{2}+\left[if'(x)\right]^{2}}}=i{\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}$
$i.$
$f'(x+i)$
$f(x+i)$
$i{\sqrt {1+\left[f'(x+i)\right]^{2}}}$
pour la partie de cette tangente comprise entre les mêmes ordonnées $f(x)$ et $f(x+i).$
Soit, pour plus de simplicité,
$\varphi (x)={\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\,;$
on aura $i\varphi (x)$ et $i\varphi (x+i)$ pour les deux tangentes menées aux deux extrémités de l’arc de la courbe compris entre les ordonnées $f(x)$ et $f(x+i)$ et terminées, à ces mêmes ordonnées ; donc la longueur de cet arc devra être renfermée entre les deux quantités $i\varphi (x)$ et $i\varphi (x+i),$ en donnant à $i$ une valeur aussi petite qu’on voudra. Donc, si $\Phi (x)$ est la fonction de $x$ qui exprime l’arc de la courbe, il faudra que la quantité $\Phi (x+i)-\Phi (x),$ expression de l’arc compris entre les ordonnées $f(x)$ et $f(x+i),$ soit comprise entre ces deux-ci, $i\varphi (x)$ et $i\varphi (x+i),$ quelque petit que soit $i,$ d’où, par un raisonnement semblable à celui du n$^o$ 27, on conclura
$\Phi '(x)=\varphi (x).$
Donc, pour avoir la longueur indéfinie de la courbe, il faudra chercher la fonction primitive de la fonction $\varphi (x),$ ou ${\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}},$ et, comme on peut ajouter une constante arbitraire à la fonction primitive, il faudra déterminer cette constante de manière que l’expression de l’arc s’évanouisse au point où l’on voudra le faire commencer.
Donc, si l’on nomme $s$ l’arc de la courbe dont les coordonnées sont $x$ et $y,$ on aura, en regardant $y$ et $s$ comme fonctions de $x,$ à cause de $f(x)=y,$ $f'(x)=y',$ l’équation
$s'={\sqrt {1+y'^{2}}},$
$x$
$y$
$t,$
$x',y',s'$
${\frac {y'}{x'}}$
${\frac {s'}{x'}}$
$y'$
$s'$
$s'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$
entre les coordonnées et l’arc.
Suivant le Calcul différentiel, les fonctions dérivées $s'$ et $y'$ seraient exprimées par ${\frac {ds}{dx}}$ et ${\frac {dy}{dx}},$ et l’équation
$s'={\sqrt {1+y'^{2}}}$
deviendrait
$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$
formule connue des rectifications.
30. Si l’on imagine que la courbe proposée, tournant autour de l’axe des abscisses, engendre un conoïde, il est visible que les deux ordonnées $f(x)$ et $f(x+i)$ décriront en même temps deux cercles dont ces coordonnées seront les rayons, que l’arc de la courbe compris entre ces deux coordonnées décrira une zone conoïdique, et que les deux tangentes menées aux extrémités de cet arc décriront des zones coniques.
Mais, quoique l’une de ces deux tangentes soit toujours plus grande et l’autre plus petite que la longueur de l’arc, comme nous venons de le démontrer, néanmoins, comme elles tombent toutes les deux du même côté de l’arc, il est possible que les zones coniques qu’elles décrivent soient à la fois plus grandes ou plus petites que la zone conoïdique décrite par l’arc. Pour éviter cet inconvénient, il n’y a qu’à transporter parallèlement à elle-même la seconde tangente, qui répond à l’extrémité de l’ordonnée $f(x+i),$ de manière que le point où cette tangente est terminée par la première ordonnée $f(x)$ tombe à l’extrémité de cette ordonnée et devienne sécante de la courbe. Alors cette sécante et la tangente au même point tomberont l’une d’un côté et l’autre de l’autre côté de l’arc, et même la plus longue tombera toujours en dehors et la plus courte en dedans de l’arc, comme il est facile de s’en convaincre par la construction, de sorte que la zone conoïdique décrite par l’arc se trouvera nécessairement renfermée entre les zones coniques décrites par la tangente $i\varphi (x)$ et par la sécante $i\varphi (x+i).$
Or on sait, par la Géométrie, que la surface convexe d’un cône tronqué est égale à son côté multiplié par la demi-somme des circonférences des deux bases. Donc, si l’on désigne par $\pi$ la circonférence du cercle dont le rayon $=1,$ la surface de la zone conique décrite par la tangente $i\varphi (x)$ sera
$i\varphi (x)\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x)\right]\pi ,$
puisque les rayons des deux bases sont l’un $f(x)$ et l’autre $f(x)+if'(x),$ et la surface de l’autre zone décrite par la tangente ou sécante $i\varphi (x+i)$ sera
$i\varphi (x+i)\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x+i)\right]\pi ,$
car il est facile de voir que les rayons des bases de ce tronc de cône seront $f(x)$ et $f(x)+if'(x+i).$
Si donc on désigne par $\Phi (x)$ la fonction de l’abscisse $x$ qui exprime la surface du conoïde, il est clair que la zone conoïde sera exprimée par la difference $\Phi (x+i)-\Phi (x)$ et que cette différence devra être renfermée entre les deux quantités
$i\pi \varphi (x)\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x)\right]\quad {\text{et}}\quad i\pi \varphi (x+i)\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x+i)\right],$
en donnant à $i$ une valeur quelconque aussi petite qu’on voudra, d’où l’on pourra conclure, par un raisonnement analogue à celui du n$^o$ 27, que cette condition ne pourra avoir lieu, à moins que l’on n’ait
$\Phi '(x)=\pi \varphi (x)f(x)=\pi f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}.$
Donc on aura la surface du conoïde proposé en prenant la fonction pri-
$\pi f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\quad {\text{ou}}\quad \pi y{\sqrt {1+y'^{2}}}.$
31. En général, supposons que l’on cherche la fonction $\operatorname {F} (x)$ par cette condition que la différence $\operatorname {F} (x+i)-\operatorname {F} (x)$ doive être renfermée entre les deux quantités $if(x,i)$ et $i\varphi (x,i),$ $f$ et $\varphi$ dénotant des fonctions données de $x$ et $i$ telles qu’en faisant $i=0$ on ait $f(x)=\varphi (x),$ et que cette condition doive avoir lieu en donnant à $i$ une valeur quelconque aussi petite qu’on voudra.
En employant notre théorème, on réduira la fonction $\operatorname {F} (x+i)$ à
$\operatorname {F} (x)+i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j),$
et les fonctions $f(x,i),\ \varphi (x,i)$ à
$f(x)+if'(x,j),\quad \varphi (x)+i\varphi '(x,j),$
la quantité $j$ étant indéterminée, mais comprise entre les limites $o$ et $i,$ et pouvant être différente dans les différentes fonctions ; les fonctions dérivées marquées par $\operatorname {F} ',\operatorname {F} ''$ se rapportent à la variable $x,$ et les fonctions dérivées marquées par $f',\varphi '$ se rapportent à la variable $i.$ Donc, puisqu’on suppose $f(x)=\varphi (x),$ la condition dont il s’agit se réduira à faire en sorte que la quantité $i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j)$ soit comprise entre les deux quantités $if(x)+i^{2}f'(x,j)$ et $if(x)+i^{2}\varphi '(x,j),$ quelque petite que puisse être la valeur de $i.$ Donc il faudra que la différence
$i\left[\operatorname {F} '(x)-f(x)\right]+i^{2}\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {F} ''(x+j)-f'(x,j)\right]$
ne soit jamais plus grande que la différence
$i^{2}\left[\varphi '(x,j)-f'(x,j)\right]\,;$
mais, tant que le terme multiplié par la première puissance de $i$ ne sera pas nul, on pourra toujours prendre $i$ assez petit pour que la première quantité devienne plus grande que la seconde, car il suffira pour cela de prendre $i$ moindre que la quantité ${\frac {\operatorname {F} '(x)-f(x)}{\varphi '(x,j)-{\frac {1}{2}}\operatorname {F} ''(x+j)}}$ abstraction
$\operatorname {F} '(x)-f(x)=0,\quad$
$\quad \operatorname {F} '(x)=f(x),$
c’est-à-dire que la fonction cherchée $\operatorname {F} (x)$ devra être la fonction primitive de $f(x),$ et, pour avoir la valeur complète de $\operatorname {F} (x),$ il faudra y ajouter une constante arbitraire, que l’on déterminera par les conditions de la question.