# L’Encyclopédie/1re édition/DÉTERMINÉ

DÉTERMINÉ, adj. (Métaph.) est ce dont on peut affirmer quelque chose : par ex. si vous définissez un triangle en disant qu’il est déterminé par trois côtés égaux entr’eux, il est évident que vous affirmez par-là de ce triangle, 1°. que c’est une figure plane, 2°. qu’il est terminé par trois lignes, 3°. que ces lignes sont droites, 4°. qu’elles sont égales. Voilà donc le triangle en question déterminé par le genre de la figure, par le nombre des côtés, par l’espece des lignes, & par leur raison.
Les qualités qui servent à en déterminer d’autres, s’appellent déterminantes ; & celles qui résultent d’autres qualités, se nomment déterminées. Dès que les déterminantes sont posées, les déterminées suivent nécessairement ; car elles ont leur principe dans ces premieres. Quand vous dites que le parallelogramme a les côtés opposés paralleles, il en résulte que ces mêmes côtés opposés sont égaux, & que les angles diagonalement opposés le sont aussi.
Ce qui est déterminé dans un sujet, s’appelle sa détermination ; elle va en augmentant, à mesure qu’on étend l’énumération des qualités du sujet. La détermination la plus vague est l’idée générique : de nouvelles déterminations forment les especes supérieures & subalternes, & les plus précises de toutes caractérisent les individus. On n’a des idées distinctes & déterminées des choses, qu’en observant cette gradation de leurs déterminations.
Une même chose peut être appellée déterminante ou déterminée, suivant les égards sous lesquels on l’envisage. L’égalité des côtés dans un triangle, est un déterminant par rapport à l’égalité des angles, & c’est en même tems une détermination de l’espece du triangle. Article de M. Formey.
Déterminé, (Géométrie.) On dit qu’un problème est déterminé, quand il n’a qu’une seule solution, ou au moins qu’un certain nombre de solutions, par opposition au problème indéterminé qui a une infinité de solutions. Voyez Indéterminé.
Ainsi le problème qui suit : Sur une ligne donnée décrire un triangle isoscele, dont les angles à la base soient doubles de l’angle au sommet, est un problème déterminé, parce qu’il n’a évidemment qu’une seule solution. Mais en voici un qui en a deux : Trouver un triangle dont on connoît deux côtés, & l’angle opposé au plus petit côté ; car ayant tracé la ligne sur laquelle doit être la base de ce triangle, & mené une ligne qui fasse avec celle-là un angle égal à l’angle donné, & qui soit égale au plus grand côté donné, il est visible que de l’extrémité supérieure de cette derniere ligne comme centre, & du plus petit côté comme rayon, on peut décrire un arc de cercle qui coupera en deux points la ligne de la base ; & ces deux points donneront les deux triangles cherchés. Il n’y a qu’un cas où le problème n’ait qu’une solution, c’est celui où le petit côté seroit perpendiculaire à la base ; car alors le cercle décrit touchera la base sans la couper.
Un problème peut être déterminé, même lorsque la solution est impossible : par exemple, si dans le problème précédent le petit côté donné étoit tel que le cercle décrit ne pût atteindre la base, le problème seroit impossible, mais toûjours déterminé ; car c’est resoudre un problème, que de montrer qu’il ne se peut resoudre.
En général un problème est déterminé, lorsqu’on arrive, en le resolvant, à une équation qui ne contient qu’une inconnue ; on regarde aussi un problème comme déterminé, lorsqu’on a autant d’équations que d’inconnues, parce qu’on peut faire disparoître toutes ces inconnues l’une après l’autre jusqu’à ce qu’on arrive à une équation qui n’ait plus qu’une seule inconnue. Voyez Evanouissement des inconnues & Equation. Mais cette regle n’est pas toûjours sans exception ; car, 1°. il faut que les différentes équations que l’on a ne puissent pas revenir à la même. Par exemple, si on avoit x + 5y = a, & 2 x + 10 y = 2 a, il semble qu’on a ici deux inconnues & deux équations ; & cependant le problème seroit indéterminé, parce que l’équation 2 x + 10 y = 2 a n’est autre chose que la premiere, dont tous les termes ont été multipliés par 2. Dans ces sortes de cas, lorsqu’on a fait évanoüir une des inconnues, par exemple x, on trouve 0 = 0, ce qui ne fait rien connoître, où $\scriptstyle y={\frac {0}{0}}$, ce qui marque que le problème est indéterminé ; car $\scriptstyle {\frac {0}{0}}$ exprime en général une quantité indéterminée, puisque $\scriptstyle {\frac {0}{0}}$ peut être égal à un nombre quelconque p fini, ou infini, ou zéro ; en effet le dividende 0 est = au diviseur 0 multiplié par p. 2°. Si en dégageant les inconnues, on tombe dans des absurdités, cela prouve que le problème est impossible. Par exemple, soit x + 5y = 1 & 2 x + 10 y = − 2, on trouvera 4 = 0, ce qui est absurde. 3°. Si on trouve pour l’expression d’une ou de plusieurs des inconnues, des fractions dont le numérateur ne soit pas zéro, & dont le dénominateur soit zéro, ces valeurs sont infinies, & le probleme est en quelque maniere déterminé & indéterminé tout à la fois. Par exemple, si on avoit 2 = 3 z − 2 y & 5 = 6 z − 4 y, on auroit $\scriptstyle z={\frac {1}{0}}$ & $\scriptstyle y={\frac {1}{0}}$ Je dis qu’en ces occasions le problème est indéterminé & déterminé : le premier, parce que la valeur infinie des inconnues est indéterminée en elle-même ; le second, parce qu’il est prouvé qu’aucune valeur finie ne peut les représenter. 4°. Enfin il y a des problèmes qui paroissent indéterminés, & qui ne le sont pas. Par exemple, si j’avois 100 liv. à partager entre cent personnes, hommes, femmes, & enfans, en donnant 2 liv. aux hommes, 1 liv. aux femmes, & 10 sous aux enfans, on demande combien il y a d’hommes, de femmes, & d’enfans. Soit x le nombre des hommes, y celui des femmes, z celui des enfans, on aura $\scriptstyle x+y+z=100$ & $\scriptstyle 2x+{\frac {y}{1}}+{\frac {z}{2}}=100$. Le problème paroît indéterminé, parce que l’on a trois inconnues & deux équations seulement ; mais il est déterminé, parce que x, y, z, doivent être des nombres positifs & des nombres entiers ; car il ne peut y avoir des fractions d’hommes, &c. ni des nombres négatifs d’hommes, &c. On aura donc 1°. $\scriptstyle 2x+{\frac {z}{2}}-x-z=0$, ce qui donne $\scriptstyle x-{\frac {z}{2}}=0$, ou $\scriptstyle z=2x$ 2°. $\scriptstyle 3x+y=100$ ; donc $\scriptstyle y=100-3x$ : donc x = 1, ou 2, ou 3, jusqu’à 33 ; car x = 34 rendroit y négative. Ainsi le problème a trente-trois solutions ; & on a pour chaque valeur de x, 2 = 2 x & y = 100 − 3x. Voyez Problème. (O)