# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Géométrie des courbes, article 5
## QUESTIONS RÉSOLUES.

Théorème. Les rectangles qui ont respectivement pour diagonales deux diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une hyperbole, et dont les côtés sont parallèles aux deux axes de la courbe, sont équivalens.
Démonstrations Les démonstrations données par MM. Bérard et Gobert reviennent, en substance, à ce qui suit.
Soient $2a$ et $2b$ les deux axes de la courbe. Si $x'$ et $y'$ sont
les deux coordonnées, par rapport à ces axes, de l’une des extrémités d’un diamètre, ce diamètre fera avec l’axe $2a$ un angle dont la tangente tabulaire sera ${\frac {y'}{x'}}\,;$ désignant donc par $x'',y''$ les coordonnées de l’une des extrémités du conjugué de ce diamètre, ce qui donnera ${\frac {y''}{x''}}$ pour la tangente tabulaire de l’angle que formera sa direction avec le même axe, on aura les trois équations
$b^{2}x'^{2}\pm a^{2}y'^{2}=a^{2}b^{2},\qquad \quad$
$b^{2}x''^{2}\pm a^{2}y''^{2}=a^{2}b^{2},\qquad \ \$
$b^{2}x'x''\pm a^{2}y'y''=0\,;$
$\qquad \,$
les signes supérieurs répondant à l’ellipse, et les inférieurs à l’hyperbole.
Si, entre ces trois équations, on élimine $a^{2}$ et $b^{2},$ comme deux inconnues au premier degré, l’équation résultante pourra être mise sous cette forme
$\left({\frac {y'}{x'}}-{\frac {y''}{x''}}\right)(x'y'+x''y'')=0.$
Or, il est aisé de voir que, ni pour l’ellipse ni pour l’hyperbole, le premier des deux facteurs du premier membre de cette équation ne saurait être nul ; d’où il résulte qu’on doit avoir, pour l’une et pour l’autre courbes,
$x'y'+x''y''=0,\qquad$
$\qquad {\text{ou}}\qquad 2x''.2y''=-2x'.2y'\,;$
ce qui fait voir que les deux rectangles dont il s’agit ne diffèrent que par le signe et sont conséquemment équivalens.
M. Bérard a remarqué qu’en transposant, dans les équations (3) et (4), et en les multipliant et les divisant ensuite l’une par l’autre, on en conclut les deux suivantes
$\pm a^{2}y'^{2}=b^{2}x''^{2},\qquad$
$\qquad \pm a^{2}y''^{2}=b^{2}x'^{2}\,;\qquad$
équations en vertu desquelles les équations (1) et (2) deviennent
$x'^{2}+x''^{2}=a^{2},\qquad$
$\qquad y'^{2}+y''^{2}=\pm b^{2}.\qquad$
Or, en ajoutant ensemble les équations (7) et (8), il vient
$\left(x'^{2}+y'^{2}\right)+\left(x''^{2}+y''^{2}\right)=a^{2}\pm b^{2}\,;$
équation qui exprime la relation connue entre les longueurs des axes d’une ellipse ou d’une hyperbole et celles de deux diamètres conjugués.
Si, ensuite, du produit des deux mêmes équations (7) et (8), on retranche le quarré de l’équation (4) on aura
$(xy'-x'y)^{2}=\pm a^{2}b^{2}\,;$
autre équation qui exprime la propriété connue des parallélogrammes construits sur les diamètres conjugués.
Remarquant aussi que les équations (1), (2), (3), desquelles résulte l’équation (4), ont lieu également lorsque $2a$ et $2b,$ au lieu d’être les deux axes de la courbe, sont deux diamètres conjugués auxquels on la rapporte ; M. Bérard en conclut cet autre théorème, plus général que le premier :
THÉORÈME. Les parallélogrammes qui ont respectivement pour diagonales deux diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une hyperbole, et dont les côtés sont parallèles à deux autres diamètres conjugués, sont équivalens.
Nous observerons, à notre tour, que la vérité de ce théorème s’aperçoit sur-le-champ, pour l’ellipse, en considérant sa projection circulaire, dans laquelle les projections des deux parallélogrammes, dont les aires sont proportionnelles à celles de ces deux figures elles-mêmes, sont des rectangles, non seulement équivalens, mais même superposables. Et, comme on passe de l’ellipse à l’hyperbole en changeant respectivement $y'$ et $y''$ en $y'{\sqrt {-1}}$ et $y''{\sqrt {-1}},$ ce qui ne change rien au théorème, il s’ensuit qu’il a également lieu pour cette dernière courbe.
* ↑ L’énoncé de ce théorème a été indiqué par M. Bérard. J. D. G.
* ↑ La tangente à l’extrémité du premier des deux diamètres ayant pour équation $y-y'=\mp {\frac {b^{2}x'}{a^{2}y'}}(x-x'),$ et l’équation du second diamètre étant $y={\frac {y''}{x''}}x$, pour que ces diamètres soient conjugués l’un à l’autre, il faut que les deux droites soient parallèles ; ce qui donne, en effet, $\mp {\frac {b^{2}x'}{a^{2}y'}}={\frac {y''}{x''}},\qquad$ou$\qquad b^{2}x'x''\pm a^{2}y'y''=0.$ J. D. G.
* ↑ C’est là, bien certainement, le moyen le plus simple d’arriver à ces deux relations auxquelles la plupart des auteurs d’élémens ne parviennent qu’à travers des calculs assez compliqués. J. D. G.