# Mécanique analytique/Partie 2/Section 5
### SECTION CINQUIÈME. MÉTHODE GÉNÉRALE D’APPROXIMATION POUR LES PROBLÈMES DE DYNAMIQUE, FONDÉE SUR LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES.

Les équations générales que nous avons données dans la Section précédente, étant du second ordre, demandent encore des intégrations qui surpassent souvent les forces de l’analyse connue ; on est obligé alors d’avoir recours aux approximations, et nos formules fournissent aussi les moyens les plus propres à remplir cet objet.
1. Toute approximation suppose la solution exacte d’un cas de la question proposée dans lequel on a négligé des éléments ou des quantités qu’on regarde comme très petites. Cette solution forme le premier degré d’approximation, et on la corrige ensuite en tenant compte successivement des quantités négligées.
Dans les problèmes de Mécanique qu’on ne peut résoudre que par approximation, on trouve ordinairement la première solution en n’ayant égard qu’aux forces principales qui agissent sur les corps ; et, pour étendre cette solution aux autres forces qu’on peut appeler perturbatrices, ce qu’il y a de plus simple, c’est de conserver la forme de la première solution, mais en rendant variables les constantes arbitraires qu’elle renferme ; car, si les quantités qu’on avait négligées et dont on veut tenir compte sont très petites, les nouvelles variables seront à peu près constantes, et l’on pourra y appliquer les méthodes ordinaires d’approximation. Ainsi la difficulté se réduit à trouver les équations entre ces variables.
On connaît la méthode générale de faire varier les constantes arbitraires des intégrales des équations différentielles, pour que ces intégrales conviennent aussi aux mêmes équations augmentées de certains termes ; mais la forme que nous avons donnée, dans la Section précédente (art. 10), aux équations générales de la Dynamique a l’avantage de fournir une relation entre les variations des constantes arbitraires que l’intégration doit y introduire, laquelle simplifie singulièrement les formules de ces variations, dans les problèmes où elles expriment l’effet des forces perturbatrices. Nous allons d’abord démontrer cette relation ; nous donnerons ensuite les équations les plus simples pour déterminer les variations des constantes arbitraires dans les problèmes dont il s’agit.
2. Soit un système quelconque de corps $\mathrm {m} ,$ animés par des forces accélératrices $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\,\ldots$ qui tendent à des centres quelconques, fixes ou non, et qui soient proportionnelles à des fonctions quelconques de leurs distances $p,\,q,\,r,\,\ldots$ à ces centres.
Supposons que, en ayant égard aux équations de condition du système, on ait exprimé les coordonnées $x,\,y,\,z$ de chacun des corps en fonctions d’autres variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ qui soient tout à fait indépendantes entre elles et qui suffisent pour déterminer la position du système à chaque instant.
On aura, pour le mouvement de tout le système, les équations de l’article 10 de la Section précédente, et il est facile de voir que ces équations seront du second ordre par rapport aux variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ de sorte que les valeurs complètes de ces variables, qu’on trouvera par l’intégration et qui seront exprimées en fonctions du temps $t,$ contiendront deux fois autant de constantes arbitraires qu’il y a de variables. Comme ces constantes doivent demeurer arbitraires, on peut les faire varier à volonté ; ainsi l’on pourra différentier les équations dont il s’agit relativement à ces constantes, qui sont supposées contenues dans les expressions des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots .$
3. Faisons, pour plus de simplicité,
$d\xi =\xi 'dt,\qquad d\psi =\xi 'dt,\qquad d\varphi =\xi 'dt,\qquad \ldots \,;$
la quantité $\mathrm {T}$ deviendra une fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ et de $\xi ',\,\psi ',\,\varphi ',\,\ldots \,;$ et si les forces tendent à des centres fixes ou à des corps du même système, la quantité $\mathrm {V}$ sera une simple fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots .$ Dans ce cas, en faisant $\mathrm {Z=T-V} ,$ on aura
${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}={\frac {1}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}},\qquad {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}={\frac {1}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}},\qquad {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\varphi }}={\frac {1}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}},\qquad \ldots ,$
où l’on pourra changer la caractéristique $\delta$ en $\partial ,$ puisqu’elle ne sert qu’à représenter des différences partielles.
Ainsi les équations différentiellesdu mouvement du système (art. 10, sect. IV), étant multipliées par $dt,$ se réduiront à cette forme plus simple
${\begin{aligned}&d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}\,-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}dt=0,\\&d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}dt=0,\\&d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}dt=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
4. Différentions ces équations par rapport à la caractéristique $\delta$, que nous regarderons comme relative uniquement aux variations des constantes arbitraires qui sont censées contenues dans les expressions des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ dont $\mathrm {Z}$ est fonction ; et comme la caractéristique $d,$ qui affecte les termes $d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}},\,d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}},\ldots ,$ n’est relative qu’à la variable $t$ qui représente le temps, on pourra, par les principes du calcul des variations, changer la double caractéristique $\delta d$ en $d\delta \,;$ de sorte qu’on aura les équations
${\begin{aligned}&d\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}-\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}dt=0,\\&d\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}dt=0,\\&d\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}dt=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$
De même, si, pour représenter des variations différentes des mêmes constantes arbitraires, on emploie la caractéristique $\Delta ,$ on aura
${\begin{aligned}&d\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}\,-\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}dt=0,\\&d\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}dt=0,\\&d\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}dt=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
5. Multiplions maintenant les premières équations respectivement par $\Delta \xi ,\,\Delta \psi ,\,\Delta \varphi ,\,\ldots ,$ et retranchons de leur somme celle des dernières équations multipliées respectivement par $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\,\ldots \,;$ on aura
${\begin{aligned}&\Delta \xi \,d\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,d\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,d\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\-&\delta \xi \,d\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}-\delta \psi \,d\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-\delta \varphi \,d\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\-&\left(\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}+\Delta \psi \quad \delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}+\Delta \varphi \quad \delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}+\ldots \right)dt\\+&\left(\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}+\delta \psi \quad \Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}+\delta \varphi \quad \Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}+\ldots \right)dt=0.\end{aligned}}$
Or $\Delta \xi \,d\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}=d(\left(\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}\right)-d\,\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}\,;$ mais $d\,\Delta \xi =\Delta \,d\xi$ $=\Delta \xi 'dt,$ à cause de $d\xi =\xi 'dt\,;$ donc
$\Delta \xi \,d\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}=d\left(\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}\right)-\Delta \xi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}dt.$
$\delta \xi \,d\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}=d\left(\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}\right)-\delta \xi '\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}dt,$
et ainsi des autres formules semblables.
Par le moyen de ces transformations, l’équation précédente deviendra de cette forme
${\begin{aligned}d&\left\{{\begin{aligned}&\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\-&\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}-\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-\ldots \end{aligned}}\right\}\\\\-&\left\{{\begin{aligned}&\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}+\ldots \\+&\Delta \xi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \end{aligned}}\right\}dt\\\\+&\left\{{\begin{aligned}&\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}+\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}+\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}+\ldots \\+&\delta \xi '\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\delta \psi '\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\delta \varphi '\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \end{aligned}}\right\}dt=0.\end{aligned}}$
6. Or, si l’on développe les expressions $\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }},\,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}},\ldots ,$ ainsi que les expressions semblables $\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }},\,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}},\ldots ,$ en regardant $\mathrm {Z}$ comme fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ et de $\xi ',\,\psi ',\,\varphi ',\ldots ,$ il est facile de voir que les termes multipliés par $dt$ dans l’équation précédente se détruisent mutuellement. En effet, on a
${\begin{alignedat}{5}\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}&=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi ^{2}}}\delta \xi &+&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \,\partial \psi }}\delta \psi +\ldots &+&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \,\partial \xi '}}\delta \xi '&+&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \,\partial \psi '}}\delta \psi '+\ldots ,\\\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}&=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \,\partial \psi }}\delta \xi &+&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi ^{2}}}\delta \psi +\ldots &+&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi \,\partial \xi '}}\delta \xi '&+&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi \,\partial \psi '}}\delta \psi '+\ldots ,\\\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{6}&\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}&=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \partial \xi '}}\delta \xi &+&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi \,\partial \xi '}}\delta \psi +\ldots &+&\ \ {\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi '^{2}}}\ \ \delta \xi '&+&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi '\partial \psi '}}\delta \psi '&+&\ldots ,\\&\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}&=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \,\partial \psi '}}\delta \xi &+&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi \partial \psi '}}\delta \psi +\ldots &+&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi '\partial \psi '}}\delta \xi '&+&\ \ {\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi '^{2}}}\ \ \delta \psi '&+&\ldots ,\\\end{alignedat}}$
$\mathrm {Z} ,$
${\begin{aligned}\Delta \xi \,\delta &{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}+\ldots +\Delta \xi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\ldots \\=&+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi ^{2}}}\Delta \xi \,\delta \xi +{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \partial \psi }}(\Delta \xi \,\delta \psi +\Delta \psi \,\delta \xi )+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi ^{2}}}\Delta \psi \,\delta \psi +\ldots \\&+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \partial \xi '}}(\Delta \xi \,\delta \xi '+\Delta \xi '\,\delta \xi )+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \partial \psi '}}(\Delta \xi \,\delta \psi '+\Delta \psi '\,\delta \xi )+\ldots \\&+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi \partial \xi '}}(\Delta \psi \,\delta \xi '+\Delta \xi '\,\delta \psi )+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi \partial \psi '}}(\Delta \psi \,\delta \psi '+\Delta \psi '\,\delta \psi )+\ldots \\&+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi '^{2}}}\Delta \xi '\delta \xi '+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi '\partial \psi '}}(\Delta \xi '\delta \psi '+\Delta \psi '\delta \xi ')+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi '^{2}}}\Delta \psi '\delta \psi '+\ldots \end{aligned}}$
En changeant les caractéristiques $\delta ,\,\Delta$ l’une dans l’autre, on aura le développementde l’expression semblable
$\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}+\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}+\ldots +\delta \xi '\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\delta \psi '\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\ldots .$
Mais on voit que ce changement n’en produit aucun dans le développement précédent ; d’où il suit que les deux expressions sont identiques de sorte que, comme elles se trouvent dans l’équation ci-dessus avec des signes différents, elles doivent s’y détruire.
7. Ainsi l’on aura simplement l’équation
$d\left\{{\begin{aligned}&\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\-&\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}-\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-\ldots \end{aligned}}\right\}=0,$
dans laquelle on peut changer $\mathrm {Z}$ en $\mathrm {T} ,$ puisque $\mathrm {Z=T-V}$ et que $\mathrm {V}$ ne doit point contenir les variables $\xi ',\,\psi ',\,\varphi ',\,\ldots$ (art. 3).
On voit par cette équation que la quantité
${\begin{aligned}&\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\-&\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}-\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}-\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}-\ldots \end{aligned}}$
$t$
$d\,;$
$\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$
$t$
$t$
$\delta$
$\Delta \,;$
$\mathrm {T} ,$
8. Supposons maintenant qu’après avoir résolu le problème contenu dans les équations différentielles de l’article 3 par l’intégration complète de ces équations, il s’agisse de résoudre le même problème, mais avec l’addition de nouvelles forces appliquées au même système, tendantes à des centres fixes ou mobiles d’une manière quelconque, et proportionnelles à des fonctions des distances aux centres. Ces nouvelles forces, qu’on peut regarder comme des forces perturbatrices du mouvement du système, étant d’une nature semblable aux forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\,\ldots$ d’où dépend la fonction $\mathrm {V} ,$ ajouteront à cette fonction une fonction analogue que nous désignerons par $-\Omega .$ De sorte qu’il n’y a qu’à mettre $\mathrm {V} -\Omega$ à la place de $\mathrm {V} ,$ dans les équations de l’article 10 de la Section précédente, et, par conséquent, $\mathrm {Z} -\Omega$ à la place de $\mathrm {Z} ,$ dans les termes de celles de l’article 3 qui contiennent les différences partielles de $\mathrm {Z}$ relatives à $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ pour avoir les équations du nouveau problème, lesquelles seront ainsi
${\begin{aligned}&d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}\,-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}dt={\frac {\partial \Omega }{\partial \xi }}dt,\\&d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}dt={\frac {\partial \Omega }{\partial \psi }}dt,\\&d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}dt={\frac {\partial \Omega }{\partial \varphi }}dt,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$
9. Si l’on suppose connues les expressions des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ en $t$ et en constantes arbitraires dans le cas où les seconds membres de ces équations sont nuls, on peut, en conservant ces mêmes expressions mais en rendant variables leurs constantes arbitraires, faire en sorte qu’elles satisfassent aussi à la totalité de ces équations ; et l’objet de l’analyse que nous allons exposer est de donner les formules les plus simples pour la détermination de ces constantes devenues variables.
Nous remarquerons d’abord que, puisque ces constantes sont en nombre double de celui des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ comme nous l’avons déjà observé (art. 2), et, par conséquent, en nombre double de celui des équations auxquelles il faut satisfaire, on pourra encore les assujettir à un nombre de conditions arbitraires égal à celui de ces variables.
Les conditions les plus simples et en même temps les plus appropriées à la chose sont que le valeurs de ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\psi }{dt}},\,{\frac {d\varphi }{dt}},\,\ldots$ conservent aussi la même forme que si les constantes n’y variaient point. De cette manière, non seulement les espaces parcourus par les corps, mais encore leurs vitesses seront déterminés par des formules semblables, soit que les constantes arbitraires demeurent invariables, comme lorsqu’il n’y a point de forces perturbatrices, soit qu’elles deviennent variables par l’effet de ces forces.
Ces conditions auront de plus l’avantage de réduire au premier ordre les équations différentielles entre les nouvelles variables, de sorte qu’on aura un nombre double d’équations, mais du premier ordre seulement.
10. En employant, comme dans l’article 4, la caractéristique $\delta$ pour désigner les différentielles dues uniquement à la variation des constantes arbitraires, tandis que la caractéristique $d$ ne se rapporte qu’aux différentielles relatives au temps $t,$ les conditions dont nous venons de parler seront exprimées par les équations
$\delta \xi =0,\qquad \delta \psi =0,\qquad \delta \varphi =0,\qquad \ldots ,$
dans lesquelles il faut remarquer que toutes les constantes arbitraires doivent devenir variables à la fois, de sorte que la caractéristique indiquera dans la suite la variation simultanée de toutes les constantes arbitraires, au lieu que, dans les formules de l’article 4 et suivants, la même caractéristique dénotait en général les différentielles relatives à la variation de toutes les constantes, ou seulement de quelques-unes d’entre elles à volonté, ainsi que l’autre caractéristique $\Delta .$
Donc, en faisant tout varier, les différentielles de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ seront simplement $d\xi ,\,d\psi ,\,d\varphi ,\,\ldots ,$ ou bien $\xi 'dt,\,\psi 'dt,\,\varphi 'dt,\,\ldots ,$ comme si le temps seul variait.
Ainsi, dans les équations de l’article 8, la fonction $\mathrm {Z}$ sera la même, soit que les constantes arbitraires soient censées variables ou non mais, en regardant ces constantes comme variables, les différences $d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}},\,d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}},\,d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}},\,\ldots$ devront être augmentées des termes $\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}},\,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}},\,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}},\,\ldots ,$ dus à la variation des constantes.
D’un autre côté, comme, par l’hypothèse, les fonctions de $t$ et des constantes qui représentent les valeurs de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ satisfont identiquement aux mêmes équations, sans leurs seconds membres, dans le cas où ces constantes ne varient pas, quelles que soient d’ailleurs leurs valeurs, il est clair que les termes
$d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}dt,\quad d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}dt,\quad d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}dt,\quad \ldots$
se détruiront d’eux-mêmes et pourront, par conséquent, être effacés.
On aura donc simplement, pour la variation des constantes arbitraires, les équations
$\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}={\frac {\partial \Omega }{\partial \xi }}dt,\quad \delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}={\frac {\partial \Omega }{\partial \psi }}dt,\quad \delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}={\frac {\partial \Omega }{\partial \varphi }}dt,\quad \ldots ,$
qu’il faudra combiner avec les équations données ci-dessus
$\delta \xi =0,\qquad \delta \psi =0,\qquad \delta \varphi =0,\qquad \ldots .$
Ces équations, étant en nombre double de celui des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ et, par conséquent, en même nombre que les constantes arbitraires (art. 2), serviront à déterminer toutes ces constantes devenues variables.
11. Les équations qu’on vient de trouver, étant multipliées respectivement par $\Delta \xi ,\,\Delta \psi ,\,\Delta \varphi ,\,\ldots$ et ensuite ajoutées ensemble, donnent
${\begin{aligned}\Delta \xi &\,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\&=\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \xi }}\Delta \xi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \psi }}\Delta \psi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \varphi }}\Delta \varphi +\ldots \right)dt.\end{aligned}}$
Ici $\Delta \xi ,\,\Delta \psi ,\,\Delta \varphi ,\,\ldots$ indiquent, comme dans l’article 4, des différentielles des fonctions $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ prises en faisant varier seulement les constantes arbitraires d’une manière quelconque, soit qu’elles varient toutes en même temps, ou quelques-unes seulement à volonté.
Or, en regardant $\Omega$ comme une fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots ,$ on aura, en différentiant par rapport à $\Delta ,$
$\Delta \Omega ={\frac {\partial \Omega }{\partial \xi }}\Delta \xi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \psi }}\Delta \psi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \varphi }}\Delta \varphi +\ldots .$
Donc on aura
$\Delta \Omega \,dt=\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots .$
$\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots ,$
qui est nulle en vertu des équations de condition
$\delta \xi =0,\qquad \delta \psi =0,\qquad \delta \varphi =0,\qquad \ldots \,;$
on aura cette formule générale
${\begin{aligned}\Delta \Omega \,dt&=\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad -\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}-\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-\ldots \\&=\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad -\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}-\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}-\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}-\ldots \\\end{aligned}}$
en changeant $\mathrm {Z}$ en $\mathrm {T} ,$ comme dans l’article 7.
On voit que le second membre de l’équation précédente est la même fonction que nous avons vue devoir être indépendante du temps $t$ (art. 7) ; d’où il suit qu’après y avoir substitué les valeurs de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ en fonctions de $t$ et des constantes arbitraires, on pourra y faire $t$ nul ou égal à une valeur quelconque.
12. Donc, si l’on suppose, ce qui est toujours permis, que ces fonctions, ainsi que celles qui représentent les valeurs de ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}},\ \ldots ,$ soient développées en séries de puissances ascendantes de $t,$ de cette manière
${\begin{aligned}&\xi =\alpha \ +\alpha 't\,+\alpha ''t^{2}+\alpha '''t^{3}+\ldots ,\\&\psi =\beta \ +\beta 't\,+\beta ''t^{2}+\beta '''t^{3}+\ldots ,\\&\varphi =\gamma \ +\gamma 't\,+\gamma ''\,t^{2}+\gamma '''t^{3}+\ldots ,\\&..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}=\lambda \,+\lambda 't+\lambda ''t^{2}+\lambda '''t^{3}+\ldots ,\\&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}=\mu +\mu 't+\mu ''t^{2}+\mu '''t^{3}+\ldots ,\\&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}=\nu \,+\nu 't+\nu ''t^{2}\,+\nu '''t^{3}+\ldots ,\\&..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
$t=0,$
$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots ,\,\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots .$
Cette équation se réduira ainsi à la forme
$\Delta \Omega \,dt=\Delta \alpha \,\delta \lambda +\Delta \beta \,\delta \mu +\Delta \gamma \,\delta \nu +\ldots -\Delta \lambda \,\delta \alpha -\Delta \mu \,\delta \beta -\Delta \nu \,\delta \gamma -\ldots .$
13. Les quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots ,\,\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ ne peuvent être que fonctions des constantes arbitraires que la double intégration introduit dans les expressions finies des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ et l’on peut aussi les prendre pour ces mêmes constantes.
En effet, les constantes arbitraires qui donnent à la solution d’un problème de Mécanique toute l’étendue qu’elle peut avoir sont les valeurs initiales des variables, ainsi que celles de leurs différences premières, c’est-à-dire les valeurs de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ et de ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\psi }{dt}},\,{\frac {d\varphi }{dt}},\,\ldots ,$ lorsque $t=0\,;$ ces valeurs sont donc, dans les expressions de $\xi ,\psi ,\varphi ,\ldots$ que nous avons adoptées $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\ldots ,\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\ldots .$ Or, $\mathrm {T}$ étant une fonction donnée de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ et de $\xi '={\frac {d\xi }{dt}},\,\psi '={\frac {d\psi }{dt}},\,\varphi '={\frac {d\varphi }{dt}},\,\ldots ,$ il est clair qu’en faisant $t=0$ dans les fonctions ${\frac {d\mathrm {T} }{d\xi '}},\,{\frac {d\mathrm {T} }{d\psi '}},\,{\frac {d\mathrm {T} }{d\varphi '}},\,\ldots ,$ ce qui les réduit à $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ ces constantes $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ seront les mêmes fonctions des constantes $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\ldots ,\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\ldots$ que les fonctions ${\frac {d\mathrm {T} }{d\xi '}},\,{\frac {d\mathrm {T} }{d\psi '}},\,{\frac {d\mathrm {T} }{d\varphi '}},\,\ldots$ le sont des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots ,$ $\xi ',\,\psi ',\,\varphi ',\,\ldots ,$ Par conséquent, au lieu de prendre immédiatement $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\ldots$ pour constantes arbitraires, on peut prendre celles-ci $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ qui en dépendent. Ainsi l’on aura $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\ldots ,$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ pour les constantes arbitraires des expressions de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ et l’on voit que le nombre de ces constantes sera précisément double de celui des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots .$
De cette manière, la différentielle $\Delta \Omega ,$ dans laquelle la caractéristique $\Delta$ ne doit affecter que les constantes arbitraires contenues dans $\Omega ,$ à raison des valeurs de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ qui renferment ces constantes, deviendra
$\Delta \Omega ={\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }}\Delta \alpha +{\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}\Delta \beta +{\frac {\partial \Omega }{\partial \gamma }}\Delta \gamma +\ldots +{\frac {\partial \Omega }{\partial \lambda }}\Delta \lambda +{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\Delta \mu +{\frac {\partial \Omega }{\partial \nu }}\Delta \nu +\ldots .$
En la substituant dans le premier membre de l’équation de l’article précédent et ordonnant les termes par rapport aux différences marquées par $\Delta ,$ on aura
${\begin{aligned}&\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }}dt-\delta \lambda \right)\Delta \alpha +\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}dt-\delta \mu \right)\Delta \beta +\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \gamma }}dt-\delta \nu \right)\Delta \gamma +\ldots \\+&\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \lambda }}dt-\delta \alpha \right)\Delta \lambda +\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}dt-\delta \beta \right)\Delta \mu +\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \nu }}dt-\delta \gamma \right)\Delta \nu +\ldots =0.\end{aligned}}$
Comme on peut donner aux différences $\Delta \alpha ,\,\Delta \beta ,\,\ldots$ marquées par la caractéristique $\Delta$ une valeur quelconque, il faudra que l’équation soit vérifiée indépendamment de ces différences, ce qui donnera autant d’équations particulières, telles que
${\begin{alignedat}{4}{\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }}dt=&\delta \lambda ,&{\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}dt=&\delta \mu ,&{\frac {\partial \Omega }{\partial \gamma }}dt=&\delta \nu ,&\ldots ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial \lambda }}dt=&-\delta \alpha ,\qquad &{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}dt=&-\delta \beta ,\qquad &{\frac {\partial \Omega }{\partial \nu }}dt=&-\delta \gamma ,\qquad &\ldots .\end{alignedat}}$
14. Les différences marquées par la caractéristique $\delta$ sont proprement les différentielles des constantes arbitraires devenues variables (art. 10) ; ainsi, comme ces différentielles peuvent maintenant être rapportées également au temps $t,$ il est permis et même convenable de changer les $\delta$ en $d,$ et l’on aura, pour la détermination des nouvelles variables $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots ,\,\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ les équations
${\begin{alignedat}{4}{\frac {d\alpha }{dt}}=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \lambda }},\qquad &{\frac {d\beta }{dt}}=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }},\qquad &{\frac {d\gamma }{dt}}=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \nu }},\qquad &\ldots ,\\{\frac {d\lambda }{dt}}=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }},&{\frac {d\mu }{dt}}=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }},&{\frac {d\nu }{dt}}=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \gamma }},&\ldots ,\\\end{alignedat}}$
qui sont, comme l’on voit, sous une forme très simple, et qui fournissent ainsi la solution la plussimple du problème de la variation des constantes arbitraires.
15. Comme la fonction $\Omega$ renferme les quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots ,$ $\lambda ,\,\mu ,$ $\nu ,\,\ldots ,$ il faudra les regarder aussi comme variables dans les différences partielles de cette fonction ; mais, lorsque la valeur de $\Omega ,$ qui dépend des forces perturbatrices, est supposée fort petite, il est clair que les variations de ces quantités seront aussi fort petites, et qu’on pourra, dans la première approximation, les regarder comme constantes dans les différences partielles de $\Omega$ et n’avoir égard à leur variabilité que dans les approximations suivantes.
Dénotons par $a,\,b,\,c,\ldots \,;$ $l,\,m,\,n,\,\ldots$ les parties constantes de $\alpha ,\,\beta ,$ $\gamma ,\,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ et par $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\,\ldots \,;$ $\lambda ',\,\mu ',\,\nu ',\,\ldots$ leurs parties variables, qui étant de l’ordre de la quantité $\Omega ,$ seront nécessairement très petites, et soit $\mathrm {O}$ la valeur de $\Omega$ en y changeant $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ en $a,\,b,\,c,\,\ldots \,;$ $l,\,m,\,n,\,\ldots .$
On aura ainsi
${\begin{alignedat}{4}\alpha =&a+\alpha ',\qquad &\beta =&b\ \ +\beta ',\qquad &\gamma =&c\,+\gamma ',\qquad &\ldots ,\\\lambda =&l\ +\lambda ',\qquad &\mu =&m+\mu ',\qquad &\nu =&n+\nu ',\qquad &\ldots ,\end{alignedat}}$
et l’on aura, par le développement,
${\begin{aligned}\Omega =\mathrm {O} &+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial a}}\alpha '+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial b}}\beta '+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial c}}\gamma '+\ldots \\&+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial l}}\lambda '+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial m}}\mu '+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial n}}\nu '+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$
Les équations différentielles de l’article précédent donneront
${\begin{alignedat}{4}d\alpha '=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial l}}dt,\qquad &d\beta '=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial m}}dt,\qquad &d\gamma '=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial n}}dt,\qquad &\ldots ,\\d\lambda '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt,&d\mu '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt,&d\nu '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt,&\ldots \,;\end{alignedat}}$
car il est évident que les différences partielles relatives à $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ peuvent être rapportées aux quantités analogues $a,\,b,\,c,\,\ldots \,;$ $l,\,m,\,n,\,\ldots .$
Pour la première approximation, on aura
$\Omega =\mathrm {O} ,$
$\mathrm {O}$ étant une simple fonction de $t\,;$ donc on aura par l’intégration
${\begin{alignedat}{4}\alpha '=&-\int {\frac {\partial \Omega }{\partial l}}dt,\qquad &\beta '=&-\int {\frac {\partial \Omega }{\partial m}}dt,\qquad &\gamma '=&-\int {\frac {\partial \Omega }{\partial n}}dt,\qquad &\ldots ,\\\lambda '=&+\int {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt,&\mu '=&+\int {\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt,&\nu '=&+\int {\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt,&\ldots .\end{alignedat}}$
En substituant ces valeurs dans l’expression de $\Omega ,$ on aura, pour la seconde approximation,
${\begin{aligned}\Omega =\mathrm {O} &+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial l}}\int {\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial a}}dt-{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial a}}\int {\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial l}}dt\\&+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial m}}\int {\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial b}}dt-{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial b}}\int {\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial m}}dt\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et ainsi de suite.
16. Il y a ici une remarque importante à faire. Si la fonction $\mathrm {O}$ ne contient le temps que sous les signes de sinus et cosinus, il est clair que la valeur de $\Omega$ ne contiendra, dans la première approximation, que les mêmes sinus et cosinus. Mais on pourrait douter si, dans l’approximation suivante, elle ne contiendrait pas des termes où le temps $t$ serait hors des signes de sinus et de cosinus, et qui, croissant continuellement, augmenteraient à l’infini la valeur de $\Omega$ et rendraient, par conséquent, l’approximation fautive.
Pour lever ce doute, nous remarquerons que de pareils termes ne pourraient venir que d’une partie constante de $\Omega ,$ c’est-à-dire dégagée de tout sinus ou cosinus renfermant le temps $t.$
Soit donc $\mathrm {A}$ cette partie qui sera fonction des constantes arbitraires $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots .$ Ainsi $\mathrm {O}$ contiendra une pareille fonction de $a,\,b,\,c,\,\ldots \,;$ $l,\,m,\,n,\,\ldots ,$ que nous dénoterons encore par $\mathrm {A} .$
En substituant $\mathrm {A}$ au lieu de $\mathrm {O}$ dans l’expression de $\Omega$ de l’article précédent, on aura la partie de $\Omega$ due à la constante $\mathrm {A}$ dans la seconde approximation, et cette partie sera
${\begin{aligned}\mathrm {A} &+{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial l}}{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial a}}t-{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial l}}t+{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial m}}{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial b}}t-{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial m}}t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
où l’on voit que les termes affectés de $t$ se détruisent mutuellement.
Ainsi l’on est assuré que la seconde approximation ne donne dans $\Omega$ aucun terme qui croisse avec le temps $t\,;$ mais il resterait à voir s’il en pourrait naître dans les approximations suivantes.
Au reste, le même terme constant $\mathrm {A}$ pourrait donner encore dans $\Omega$ des termes multipliés par $t,$ étant combiné avec des termes non constants de la même fonction $\Omega \,;$ mais alors le $t$ qui se trouverait dégagé des sinus et cosinus serait en même temps multiplié par des sinus ou cosinus d’angles proportionnels au temps. La même chose aurait lieu si le coefficient de $t$ sous les signes de sinus et cosinus était fonction des constantes arbitraires $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\ldots ,$ parce qu’alors les différentiations partielles de $\Omega ,$ relatives à ces constantes, feront sortir $t$ hors des sinus ou cosinus. Mais on peut remarquer, en général, que, lorsque les approximations successives font paraître des termes de la forme dont il s’agit, dans lesquels des sinus ou cosinus se trouvent multipliés par l’angle qui est sous ces sinus ou cosinus, ces sortes de termes sont presque toujours le résultat du développement d’autres sinus ou cosinus, et l’on peut les éviter en intégrant directement les équations différentielles entre les constantes arbitraires devenues variables.
17. Quoique les constantes arbitraires que nous avons employées soient celles qui se présentent le plus naturellement et qui donnent les résultats les plus simples, il arrive souvent que les différentes intégrations introduisent à leur place d’autres constantes, mais qui ne peuvent être que des fonctions de celles-là.
Nous désignerons, en général, les constantes arbitraires qui sont censées entrer dans les expressions des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ par $a,\,b,\,c,\,\ldots ,$ dont le nombre doit être également double de celui des variables et, pour avoir les relations entre ces nouvelles constantes et les premières, il suffira de supposer $t=0$ dans les valeurs des fonctions $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}},\,\ldots$ et d’égaler les résultats aux quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\ldots .$ De cette manière on aura autant d’équations entre ces différentes constantes, par lesquelles on pourra déterminer les valeurs de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ en fonctions de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\ldots \,;$ $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots .$
Nous supposerons donc ces fonctions connues, et la différentiation nous donnera tout de suite
${\begin{aligned}da=&+{\frac {\partial a}{\partial \alpha }}d\alpha +{\frac {\partial a}{\partial \beta }}d\beta +{\frac {\partial a}{\partial \gamma }}d\gamma +\ldots \\&+{\frac {\partial a}{\partial \lambda }}d\lambda +{\frac {\partial a}{\partial \mu }}d\mu +{\frac {\partial a}{\partial \nu }}d\nu +\ldots .\end{aligned}}$
Donc, substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art. 14) de $d\alpha ,\,d\beta ,\,\ldots ,$ et divisant par $dt,$ on aura
${\begin{aligned}{\frac {da}{dt}}=&+{\frac {\partial a}{\partial \lambda }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }}+{\frac {\partial a}{\partial \mu }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}+{\frac {\partial a}{\partial \nu }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \gamma }}+\ldots \\&-{\frac {\partial a}{\partial \alpha }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \lambda }}-{\frac {\partial a}{\partial \beta }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}-{\frac {\partial a}{\partial \gamma }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \nu }}-\ldots .\end{aligned}}$
Il en est de même des valeurs de ${\frac {db}{dt}},\,{\frac {dc}{dt}},\,\ldots ,$ pour lesquelles il n’y aura qu’à changer dans l’équation précédente $a$ en $b,$ en $c,\,\ldots .$
18. Mais ces formules contiennent encore les différences partielles $\Omega$ relatives aux constantes $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots ,$ et il s’agit de les changer en différences partielles relatives à $a,\,b,\,c,\ldots ,$ ce qui est facile par les opérations connues.
En effet, comme $\Omega$ est censée maintenant fonction de $a,\,b,\,c,\ldots$ et que ces quantités sont elles-mêmes fonctions de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ on a tout de suite, par l’algorithme des différences partielles,
${\begin{aligned}&{\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }}={\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial \alpha }}+\ldots ,\\&{\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}={\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial \beta }}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial \beta }}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial \beta }}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
${\frac {da}{dt}},\,{\frac {db}{dt}},\ldots$ de l’article précédent.
En faisant ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux différences partielles de $\Omega ,$ on voit d’abord que le coefficient de ${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}$ est nul dans la valeur de ${\frac {da}{dt}},$ que celui de ${\frac {\partial \Omega }{\partial b}}$ est nul dans la valeur de ${\frac {db}{dt}},\ldots .$
Ensuite, si, pour représenter la valeur de ${\frac {da}{dt}},$ on emploie la formule
${\frac {da}{dt}}=(a,b){\frac {\partial \Omega }{\partial b}}+(a,c){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}+\ldots ,$
on aura
${\begin{aligned}(a,b)=&+{\frac {\partial a}{\partial \lambda }}{\frac {\partial b}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial a}{\partial \mu }}{\frac {\partial b}{\partial \beta }}+{\frac {\partial a}{\partial \nu }}{\frac {\partial b}{\partial \gamma }}+\ldots \\&-{\frac {\partial a}{\partial \alpha }}{\frac {\partial b}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial a}{\partial \beta }}{\frac {\partial b}{\partial \mu }}-{\frac {\partial a}{\partial \gamma }}{\frac {\partial b}{\partial \nu }}-\ldots ,\\(a,c)=&+{\frac {\partial a}{\partial \lambda }}{\frac {\partial c}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial a}{\partial \mu }}{\frac {\partial c}{\partial \beta }}+{\frac {\partial a}{\partial \nu }}{\frac {\partial c}{\partial \gamma }}+\ldots \\&-{\frac {\partial a}{\partial \alpha }}{\frac {\partial c}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial a}{\partial \beta }}{\frac {\partial c}{\partial \mu }}-{\frac {\partial a}{\partial \gamma }}{\frac {\partial c}{\partial \nu }}-\ldots ,\\\end{aligned}}$
Et, pour avoir la valeur de ${\frac {db}{dt}},$ il n’y aura qu’à changer dans ces formules $a$ en $b$ et $b$ en $a,$ en remarquant que l’on a
$(b,a)=-(a,b)\,;$
on aura ainsi
${\frac {db}{dt}}=-(a,b){\frac {\partial \Omega }{\partial a}}+(b,c){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}+\ldots ,$
${\begin{aligned}(b,c)=&+{\frac {\partial b}{\partial \lambda }}{\frac {\partial c}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial b}{\partial \mu }}{\frac {\partial c}{\partial \beta }}+{\frac {\partial b}{\partial \nu }}{\frac {\partial c}{\partial \gamma }}+\ldots \\&-{\frac {\partial b}{\partial \alpha }}{\frac {\partial c}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial b}{\partial \beta }}{\frac {\partial c}{\partial \mu }}-{\frac {\partial b}{\partial \gamma }}{\frac {\partial c}{\partial \nu }}-\ldots ,\end{aligned}}$
$k$
$a,\,b,\,c,\,\ldots ,$
${\begin{aligned}{\frac {dk}{dt}}=&(k,a){\frac {\partial \Omega }{\partial a}}+(k,b){\frac {\partial \Omega }{\partial b}}+(k,c){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}+\ldots ,\\(k,a)=&+{\frac {\partial k}{\partial \lambda }}{\frac {\partial a}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial k}{\partial \mu }}{\frac {\partial a}{\partial \beta }}+{\frac {\partial k}{\partial \nu }}{\frac {\partial a}{\partial \gamma }}+\ldots \\&-{\frac {\partial k}{\partial \alpha }}{\frac {\partial a}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial k}{\partial \beta }}{\frac {\partial a}{\partial \mu }}-{\frac {\partial k}{\partial \gamma }}{\frac {\partial a}{\partial \nu }}-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$
19. Le principal usage de ces formules est dans la théorie des planètes, pour calculer l’effet de leurs perturbations en le réduisant à la variation des constantes arbitraires qui sont les éléments du mouvement primitif. Elles sont surtout utiles pour déterminer les variations que les astronomes appellent séculaires, parce qu’elles ont des périodes très longues et indépendantes de celles qui ont lieu dans les variables primitives.
Comme les équations de l’article 18 ne contiennent d’autres fonctions du temps que les différences partielles de la fonction $\Omega ,$ si l’on cherche, par la résolution en séries ou autrement, la partie $\mathrm {A}$ de la fonction $\Omega$ qui est indépendante du temps $t$ et ne contient que les constantes arbitraires $a,\,b,\,c,\ldots ,$ il suffira de substituer dans ces équations $\mathrm {A}$ au lieu de $\Omega ,$ et l’on aura directement les équations entre les quantités $a,\,b,\,c,\ldots ,$ devenues variables, et le temps $t,$ lesquelles serviront à déterminer leurs variations séculaires, parce qu’elles sont débarrassées de tout sinus ou cosinus.
20. Les constantes arbitraires dont nous venons de donner les variations dépendent de la nature de chaque problème et ne peuvent être déterminées que dans les cas particuliers. Il y en a cependant une qui a lieu, en général, pour tous les problèmes où $\mathrm {V}$ n’est fonction que de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ c’est celle que l’intégration doit ajouter à $t\,;$ car, comme les équations différentielles ne renferment alors que l’élément $dt,$ il est clair que, dans les expressions finies des variables en fonction de $t,$ on peut toujours mettre $t$ plus une constante arbitraire à la place de $t.$
Désignons cette constante par $\mathrm {K}$ et rapportons-y les différences marquées par la caractéristique $\Delta$ dans la formule générale de l’article 11. On aura ainsi
$\Delta \Omega ={\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {K} }}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta \xi ={\frac {\partial \xi }{\partial \mathrm {K} }}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial \mathrm {K} }}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \ldots .$
Mais, puisque $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ sont fonctions de $t+\mathrm {K} ,$ il est clair qu’on aura
${\frac {\partial \xi }{\partial \mathrm {K} }}={\frac {d\xi }{dt}}=\xi '$
et, de même,
${\frac {\partial \psi }{\partial \mathrm {K} }}={\frac {d\psi }{dt}}=\psi ',\qquad {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathrm {K} }}={\frac {d\varphi }{dt}}=\varphi ',\qquad \ldots .$
Donc
$\Delta \xi =\xi '\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta \psi =\psi '\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta \varphi =\varphi '\Delta \mathrm {K} ,\qquad \ldots .$
Par la même raison, on aura
$\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}={\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}}{dt}}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}={\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}}{dt}}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \ldots .$
${\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }},\qquad {\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }},\qquad \ldots .$
Donc on aura
$\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}={\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}={\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \ldots .$
Ainsi la formule générale de l’article 11 deviendra par ces substitutions, et après la division par $\Delta \mathrm {K} ,$
${\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {K} }}dt=\xi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\psi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\varphi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots -{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}\delta \xi -{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}\delta \psi -{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}\delta \varphi -\ldots .$
Or, on a
${\begin{aligned}\xi '\delta &{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\psi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\varphi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\&=\delta \left(\xi '{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\psi '{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\varphi '{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \right)-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}\delta \xi '-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}\delta \psi '-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}\delta \varphi '-\ldots \,;\end{aligned}}$
et comme $\mathrm {Z}$ est censée fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ et de $\xi ',\,\psi ',\,\varphi ',\,\ldots ,$ on aura
${\begin{aligned}\delta \mathrm {Z} =&+{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}\ \delta \xi \ +{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}\ \delta \psi \ +{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}\ \delta \varphi \ +\ldots \\&+{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}\delta \xi '+{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}\delta \psi '+{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}\delta \varphi '+\ldots .\end{aligned}}$
Donc l’équation précédente deviendra
${\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {K} }}dt=\delta \left(\xi '{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\psi '{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\varphi '{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots -\mathrm {Z} \right),$
dont le second membre doit être une fonction des constantes arbitraires, indépendante de $t.$
21. En effet, si l’on change $\mathrm {Z}$ en $\mathrm {T-V}$ et $\xi ',\,\psi ',\,\varphi ',\,\ldots$ en ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\psi }{dt}},$ ${\frac {d\varphi }{dt}},\,\ldots$ (art. 3), il est facile de voir que la quantité
$\xi '{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\psi '{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\varphi '{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots -\mathrm {Z}$
${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \,d\xi }}d\xi +{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \,d\psi }}d\psi +{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \,d\varphi }}d\varphi +\ldots -\mathrm {T+V} ,$
que nous avons vue être toujours égale à une constante et qui se réduit, à $\mathrm {T+V}$ (sect. IV, art. 14), d’où résulte l’équation $\mathrm {T+V=H} ,$ laquelle exprime la conservation des forces vives du système.
Ainsi, en prenant $\mathrm {H}$ pour une des constantes arbitraires, on aura, pour sa variation due aux forces perturbatrices contenues dans la fonction $\Omega ,$ cette formule très simple
$d\mathrm {H} ={\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {K} }}dt.$
22. On pourrait aussi arriver à cette formule par un chemin plus court. En effet, si l’on reprend les équations de l’article 8, qu’on les ajoute ensemble après les avoir multipliées respectivement par $d\xi ,\,d\psi ,\,d\varphi ,\,\ldots ,$ et qu’on intègre en employant les mêmes réductions que nous avons pratiquées dans l’article 14 de la Section précédente, on parviendra directement à l’équation
$\mathrm {T+V=H} \int \left({\frac {\partial \Omega }{\partial \xi }}d\xi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \psi }}d\psi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \varphi }}d\varphi +\ldots \right),$
dans laquelle la quantité qui est sous le signe n’est pas intégrable en général, parce que la fonction $\Omega ,$ à cause de la mobilité qu’on peut supposer aux centres des forces perturbatrices, est censée contenir, outre les variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots ,$ encore d’autres variables indépendantes de celles-là.
Dans le cas où il n’y a point de forces perturbatrices, on a simplement
$\mathrm {T+V=H} .$
Or il est évident qu’on peut conserver cette forme à l’intégrale qu’on vient de trouver, en rendant variable la constante $\mathrm {H}$ et en faisant
$d\mathrm {H} ={\frac {\partial \Omega }{\partial \xi }}d\xi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \psi }}d\psi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \varphi }}d\varphi +\ldots \,;$
${\frac {\partial \Omega }{\partial \xi }}d\xi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \psi }}d\psi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \varphi }}d\varphi +\ldots$
n’est autre chose que la différentielle de $\Omega ,$ en ne faisant varier que les quantités $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots ,$ qui dépendent des équations différentielles primitives et qui sont supposées connues en fonctions de $t+\mathrm {K} ,$ en nommant $\mathrm {K} ,$ comme dans l’article 20, la constante qui peut toujours s’ajouter à la variable $t.$ Ainsi, comme les variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi$ ne varient qu’avec le temps $t,$ il est facile de voir que la quantité dont il s’agit sera la même chose que ${\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {K} }}dt\,;$ par conséquent, on aura, comme plus haut, l’équation
${\frac {d\mathrm {H} }{dt}}={\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {K} }}.$
23. Cette équation peut donc aussi se mettre sous la forme
${\frac {d\mathrm {H} }{dt}}={\frac {\partial \Omega }{\partial t}},$
pourvu que, dans la différence partielle de $\Omega ,$ on ne fasse varier le $t$ qu’autant qu’il est contenu dans les expressions des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots \,;$ et il résulte de cette formule que, si la fonction $\Omega$ ne contient le temps $t$ que sous les signes de sinus et cosinus, comme cela a lieu dans la théorie des planètes, l’expression de ${\frac {\partial \Omega }{\partial t}}$ ne pourra contenir que des termes périodiques, parce que tout terme constant de $\Omega$ s’en ira par la différentiation relative à $t.$ Ainsi, dans la première approximation, où l’on regarde comme absolument constantes les constantes arbitraires qui entrent dans la fonction $\Omega ,$ l’intégrale de ${\frac {\partial \Omega }{\partial t}}dt,$ c’est-à-dire la valeur de $\mathrm {H} ,$ ne pourra pas contenir des termes tels que $\mathrm {N} t$ qui croissent avec le temps $t.$ Nous avons vu plus haut (art. 16) que la seconde approximation ne peut donner à $\Omega$ aucun terme qui ne soit périodique ; donc la même conclusion relative à la valeur de $\mathrm {H}$ aura lieu encore dans le seconde approximation.
24. La quantité $\mathrm {T}$ exprime la force vive du système, et elle est égale à $\mathrm {H-V}$. Lorsque le système n’est troublé par aucune force perturbatrice, la quantité $\mathrm {H}$ est constante, et la force vive ne dépend que des forces accélératrices contenues dans l’expression de $\mathrm {V} ,$ comme on l’a vu (sect. III, art. 34). Cette quantité devient variable quand il y a des forces perturbatrices, par conséquent la force vive sera altérée par l’action de ces forces ; mais, par ce que nous venons de démontrer, on voit que ses altérations ne pourront être que périodiques si l’expression des forces perturbatrices est périodique, du moins dans les deux premières approximations. Ce résultat est d’une grande importance dans le calcul des perturbations.
* ↑ On suppose ici que, ces équations ayant été intégrées, on ait substitué aux variables $\xi ,\,\psi ,\,\ldots$ leurs expressions générales fournies par cette intégration. Les équations deviennent alors identiques et l’on peut les différentier par rapport aux diverses lettres qui y figurent. (J. Bertrand.)
* ↑ C’est-à-dire la variation des fonctions qui remplacent ces constantes et qui, dans chaque problème, sont parfaitement déterminées, de telle sorte que leur valeur soit une fonction du temps dont la variation n’a rien d’arbitraire. (J. Bertrand.)