# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie élémentaire, article 8
## GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
### Sur la division de la ligne droite en parties égales ;

En voyant que vous n’aviez pas dédaigné de mentionner, dans les Annales, les procédés de MM. Voruz et Sarrus pour la division d’une droite en parties égales, j’ai pensé que vous ne dédaigneriez pas d’accorder la même faveur au suivant, qui n’en diffère, au surplus, que par des nuances très-légères, mais dont la démonstration générale résulte très-simplement d’une proposition fort connue.
Comme on sait, par les premiers élémens, partager une droite en deux parties égales, toute la difficulté du problème se réduit à savoir diviser une droite donnée en un nombre impair quelconque de parties égales ; et il est même aisé de voir que toute la difficulté de ce dernier problème se réduit elle-même à savoir construire un des deux points de division du milieu de la droite à partager.
Soit donc $\mathrm {AB}$ (fig. 12) une droite qu’il faille diviser en $2n+1$ parties égales. Pour y parvenir, sur $\mathrm {AB,}$ comme base, soit érigé, à volonté, un triangle $\mathrm {ASB.}$ Soit prolongée $\mathrm {AB}$ au-delà de $\mathrm {B}$ d’une quantité $\mathrm {BQ}$ égale à $n$ fois $\mathrm {AB.}$ Par le point $\mathrm {Q}$ soit menée une droite arbitraire, coupant respectivement $\mathrm {SA}$ et $\mathrm {SB}$ en $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N,}$ Soient encore menées $\mathrm {AN}$ et $\mathrm {BM,}$ se coupant en $\mathrm {C.}$ Alors la droite $\mathrm {SG}$ coupera $\mathrm {AB}$ en un point $\mathrm {P}$ tel que $\mathrm {PA}$ et $\mathrm {PB}$ contiendront respectivement $n+1$ et $n$ des $2n+1$ divisions de $\mathrm {AB.}$
En effet, les quatre droites $\mathrm {SA,SB,AN}$ et $\mathrm {BM}$ forment un quadrilatère complet, dont les trois diagonales sont $\mathrm {SC,MN}$ et $\mathrm {AB} \,;$ et l’on a, par construction,
$\mathrm {QA:QB} ::n+1:n\,;$
mais, dans un quadrilatère complet, chaque diagonale est harmoniquement coupée par les deux autres ; d’où il suit qu’on doit avoir
$\mathrm {PA:PB::QA:QB} \,;$
on aura donc aussi
$\mathrm {PA:PB} ::n+1:n,$
comme nous l’avions annoncé.
* ↑ M. du Chayla, capitaine du génie, nous a indiqué, pour éviter la multiplicité des parallèles qu’exige la méthode ordinaire, ou plutôt pour pouvoir les mener facilement, un tour d’adresse fort simple, qui pourrait d’autant mieux trouver place dans les élémens, qu’il ne repose que sur les notions qu’on est dans l’usage d’y développer. Voici en quoi il consiste : Soit $\mathrm {AB}$ (fig. 13) la droite à diviser ; soit menée, à l’ordinaire, par le point $\mathrm {A,}$ une autre droite sur laquelle soient portées, à partir du même point, autant d’ouvertures de compas égales et arbitraires qu’on veut de divisions dans $\mathrm {AB} \,;$ et supposons que la dernière se termine en $\mathrm {M.}$ Soit menée $\mathrm {MB,}$ et du point $\mathrm {A}$ comme centre, et avec $\mathrm {AM}$ pour rayon, soit décrit un arc de cercle coupant $\mathrm {MB}$ en $\mathrm {M'.}$ En portant les divisions de $\mathrm {AM}$ sur son égale $\mathrm {AM',}$ et menant ensuite des droites par les points de division correspondans de ces deux-là, ces droites seront les parallèles à construire, lesquelles couperont $\mathrm {AB}$ aux points de division demandés. M. Voruz nous observe que c’est à tort que nous avons dit (page 94) que le procédé dont nous recommandions l’usage et le théorème qui lui sert de démonstration n’étaient point présentés dans les traités élémentaires, attendu que l’on rencontre l’un et l’autre dans les élémens de M. Develey, professeur à Lausanne. Bezout a aussi donné quelque chose d’analogue, mais toujours est-il vrai de dire que le procédé, dans toute sa simplicité, n’est point généralement enseigné. J. D. G.