# La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume

D. Mirimanoff. — La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume.
Dans une série de communications et d’articles, M. Ed.Guillaume a cherché à introduire dans la théorie de la relativité une représentation monoparamétrique du temps. Il a réussi à donner de ce problème une solution intéressante dans le cas où le nombre des systèmes de référence est égal à deux. Cette solution comporte, comme on sait, une interprétation géométrique simple.
Je me propose d’en donner une interprétation nouvelle. Je ferai voir que le paramètre $t$ de M. Guillaume ne diffère que par un facteur constant du temps $\tau$ d’un système particulier d’Einstein que j’appelle système médian. À chaque couple de systèmes de référence correspond un système médian et un paramètre $t$ de M. Guillaume. On se rend mieux compte alors pourquoi le procédé de M. Guillaume n’aboutit plus lorsque le nombre $n$ des systèmes de référence est supérieur à deux. En effet, pour $n>2$ le nombre des systèmes médians et par conséquent celui des paramètres $t$ est supérieur à un et ces paramètres sont en général distincts.
1. Système médian. Soient $S_{1}$ et $S_{2}$ deux systèmes de référence d’Einstein animés l’un par rapport à l’autre d’un mouvement de translation uniforme le long des axes $o_{1}x_{1},o_{2}x_{2}$. Je suppose que la transformation de Lorentz-Einstein soit applicable à ces systèmes et que par conséquent les coordonnées $x_{1},x_{2}$ et les temps $\tau _{1},\tau _{2}$ soient liés par les relations
${\begin{alignedat}{2}x_{1}&=\beta (x_{2}\ +\alpha c\tau _{2}),\qquad &x_{2}&=\beta (x_{1}\ -\alpha c\tau _{1}),\\c\tau _{1}&=\beta (c\tau _{2}+\alpha x_{2}),&c\tau _{2}&=\beta (c\tau _{1}-\alpha x_{1}).\end{alignedat}}\qquad \qquad$
où $\alpha ={\tfrac {v}{c}}$, $\beta ^{2}={\tfrac {1}{1-\alpha ^{2}}}$, $v$ étant la vitesse de $S_{2}$ par rapport à $S_{1}$.
Envisageons maintenant un 3me système S parallèle à $S_{1}$ et $S_{2}$ et animé également d’un mouvement de translation le long de $o_{1}x_{1}$. Soit $v_{0}$ sa vitesse par rapport à $S_{1}$. La transformation de Lorentz s’applique encore et l’on a
${\begin{alignedat}{2}x_{1}&=\beta _{0}(x\ +\alpha _{0}c\tau ),\qquad &x&=\beta _{0}(x_{1}\ -\alpha _{0}c\tau _{1}),\\c\tau _{1}&=\beta _{0}(c\tau +\alpha _{0}x),&c\tau &=\beta _{0}(c\tau _{1}-\alpha _{0}x_{1}).\end{alignedat}}\qquad \qquad$
où $x$ et $\tau$ sont l’abscisse et le temps correspondants dans $S$, $\alpha _{0}={\tfrac {v_{0}}{c}}$, etc.
Supposons que la vitesse de $S_{2}$ par rapport à $S$ soit aussi égale à $v_{0}$. Je dirai que le système $S$ est le système médian correspondant. Comment s’expriment $v_{0},\alpha _{0},\beta _{0}$ en fonction de $v,\alpha ,\beta$? Pour le trouver il suffit d’exprimer $x_{1},\tau _{1}$ en fonctions des paramètres $x,\tau$ (form. (2)) et ces derniers en fonction de $x_{2},\tau _{2}$ et identifier les formules finales avec (1), ce qui donne
${\frac {2\alpha _{0}}{1+\alpha _{0}^{2}}}=\alpha ,\quad \alpha _{0}={\frac {\beta -1}{\alpha \beta }},\quad \beta _{0}^{2}={\frac {\beta +1}{2}},\quad \left(1-\alpha \alpha _{0}\right)\beta =1.\quad$
2. Contraction. Envisageons deux points $P'$ et $P''$. Soient $x'_{1},x'_{2},x'$; $x''_{1},x''_{2},x''$ leurs coordonnées dans $S_{1}$, $S_{2}$ et $S$ au même moment $\tau$ (temps d’Einstein du système médian). En vertu de (2)
$x'_{1}=\beta _{0}\left(x'+\alpha _{0}c\tau \right),\quad x''_{1}=\beta _{0}\left(x''+\alpha _{0}c\tau \right).$
Donc
$x''_{1}-x'_{1}=x''_{2}-x'_{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$
Il n’y a donc pas de contraction, pourvu que $P'$ et $P''$ soient envisagés au même moment $\tau$.
La réciproque est vraie, en d’autres termes : Si la contraction n’a pas lieu en adoptant le temps $\tau$ d’un système d’Einstein, ce système est le système médian.
$P$
$x_{1}$
$x_{2}$
$S_{1}$
$S_{2}$
$\tau _{2}$
$x_{2}$
$\tau$
$x_{1}=\beta \left\{\left(1-\alpha \alpha _{0}\right)x_{2}+{\frac {\alpha }{\beta _{0}}}c\tau \right\}=x_{2}+{\frac {\beta }{\beta _{0}}}v\tau ,\qquad \qquad$
en vertu de (3).
4. L’heure universelle de M. Guillaume. Soit $k$ une fonction quelconque de $v$. Comme $v$ est const., $k$ est constant. Supposons $k>0$ et posons $t=k\tau$. Si au lieu du temps d’Einstein $\tau$, on adopte le temps $t$, la simultanéité n’est pas troublée. L’égalité (4) reste vraie, donc pas de contraction, l’égalité (5) s’écrit $x_{1}=x_{2}+{\tfrac {1}{k}}{\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}vt$. Supposons en particulier que $k={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}$, d’où $t={\frac {\beta }{\beta _{0}}}\tau$. L’équation (5) s’écrit
$x_{1}=x_{2}+vt\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$
Multiplions la 2me équation du second groupe (2) par $k={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}$, il vient, en vertu de (3),
$c\tau _{1}={\frac {c}{\beta }}t+{\frac {\beta -1}{\alpha \beta }}x_{1}.$
On tombe, comme on voit, sur l’équation qui définit le temps universel $t$ de M. Guillaume. Par conséquent le temps $t$ défini par $t={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}\tau$ est bien le paramètre de M. Guillaume. Il ne diffère du temps $\tau$ du système médian que par le facteur constant $k={\tfrac {\beta }{\beta _{0}}}$.
5. Cas de trois systèmes. Envisageons trois systèmes $S_{1},S_{2},S_{3}$ parallèles animés d’un mouvement de translation uniforme parallèlement aux axes des $x$. Soient $v_{12},v_{13},v_{23}$ les vitesse relatives de $S_{2}$ par rapport à $S_{1}$, de $S_{3}$ par rapport à $S_{1}$, de $S_{3}$ par rapport à $S_{2}$ et $t_{12},t_{13},t_{23}$ les paramètres de M. Guillaume. On aura alors en vertu de (6).
$x_{1}=x_{2}+v_{12}t_{12}\,;\quad x_{1}=x_{3}+v_{13}t_{13}\,;\quad x_{2}=x_{3}+v_{23}t_{23}\,;$
par exemple l’abscisse $x_{1}$ de $O_{2}$ est donnée par $x_{1}=v_{12}t_{12}$, celle de $O_{3}$ par $x_{1}=v_{13}t_{13}$. Les paramètres $t_{12},t_{13},t_{23}$ ne doivent pas être confondus entre eux.
* ↑ Ce terme m’a été suggéré par M. Plancherel.
* ↑ Guillaume, Ed. La théorie de la relativité en fonction du temps universel, Arch. Sc. phys. et nat. (4), 46, p. 309.