# L’Encyclopédie/1re édition/TAUTOCHRONE

TAUTOCHRONE, s. m. se dit en Méchanique & en Physique, des effets qui se font dans le même tems, c’est-à-dire, qui commencent & qui finissent en tems égaux.
Ce mot vient des mots grecs ταὐτὸς, idem, le même, & χρόνος, tems.
Les vibrations d’un pendule, lorsqu’elles n’ont pas beaucoup d’étendue, sont sensiblement tautochrones, c’est-à-dire, se font en tems égaux. Voyez Vibration.
Tautochrone, courbe, en Méchanique, est une courbe QAB, (fig. Méch.) dont la propriété est telle, que si on laisse tomber un corps pesant le long de la concavité de cette courbe, il arrivera toujours dans le même tems au point le plus bas A, de quelque point qu’il commence à partir, de sorte que s’il met par exemple, une seconde à venir de B en A, il mettra pareillement une seconde à venir de C en A, s’il ne commence à tomber que du point C, & de même une seconde à venir de M en A, s’il ne commence à tomber que du point M, & ainsi de tous les autres points.
On appelle encore courbe tautochrone une courbe telle que si un corps pesant part de A avec une vîtesse quelconque, il emploie toujours le même tems à remonter le long de l’arc AM, ou AC, ou AB, lequel arc sera d’autant plus grand, que la vîtesse avec laquelle il est parti de A est plus grande.
On nomme la premiere espece tautochrones, tautochrones en descendant, & la seconde espece, tautochrones en montant.
M. Huyghens a trouvé le premier que la cycloïde étoit la tautochrone dans le vuide, soit en montant, soit en descendant, en supposant la pesanteur uniforme. Voyez son horologium oscillatorium.
MM. Newton & Herman ont aussi trouvé les tautochrones dans le vuide, en supposant que la gravité tendît vers un point, & fût reglée suivant une loi quelconque.
Pour ce qui regarde les tautochrones dans les milieux résistans, M. Newton a aussi fait voir que la cycloïde étoit encore la tautochrone, soit en montant, soit en descendant, lorsque le milieu résiste en raison de la simple vîtesse. Voyez le II. liv. des principes mathématiques, prop. xxvj. & on pourroit démontrer ce que personne que je sache, n’a encore fait, que la cycloïde seroit aussi la tautochrone dans un milieu dont la résistance seroit constante. Il est vrai que le point où les chutes tautochrones se terminent, ne seroit pas alors le point plus bas, ou le sommet de la cycloïde, mais un point placé entre le sommet de la cycloïde & son origine.
M. Euler est le premier qui ait déterminé la tautochrone dans un milieu résistant, comme le quarré de la vîtesse. Voyez les mém. de l’acad. de Pétersbourg, t. IV. son mémoire est du mois d’Octobre 1729, & dans les mém. de l’acad. des Sciences de Paris, pour l’année 1730. On trouve un mémoire de M. Jean Bernoully, où il résout le même problème. On n’attend pas de nous que nous entrions sur ce sujet dans un détail qui ne pourroit être à portée que des seuls géometres. M. Euler a continué cette matiere dans le II. vol. de sa méchanique, imprimée à Pétersbourg 1736, & on y trouve un grand nombre de très beaux problèmes sur ce sujet.
Enfin M. Fontaine a donné dans les mém. de l’acad. de 1734, un écrit sur cette matiere, dans lequel il résout ce problème par une méthode toute nouvelle, & au moyen de laquelle il découvre la tautochrone dans des hypotheses de résistance, où on ne peut la trouver par d’autres méthodes. Nous croyons devoir saisir cette occasion de faire connoître aux géometres un si excellent ouvrage, qu’on peut regarder comme un des plus beaux qui se trouvent parmi les mémoires de l’académie des Sciences de Paris. C’est ce que nous ne craignons point d’assurer après avoir lu ce mémoire avec attention, & nous pourrions nous appuyer ici du témoignage que lui a rendu un géometre célebre, qui a travaillé sur cette matiere fort long-tems, & avec beaucoup de succès.
Lorsque le milieu ne résiste point, ou que la résistance est constante, la tautochrone est assez facile à trouver, parce qu’il ne s’agit alors que de trouver une courbe AM, telle que la force accélératrice qui meut le corps en chaque point M soit proportionnelle à l’arc AM ; c’est ce qu’on trouve démontré dans plusieurs ouvrages. Quelques géometres ont voulu appliquer cette méthode à la recherche des tautochrones dans des milieux résistans, & se sont imaginés les avoir trouvées. Mais il faut prendre garde que quand le milieu est résistant comme une puissance ou une fonction quelconque de la vîtesse, la force accélératrice se combine alors avec la résistance, qui est plus ou moins grande, selon que la vîtesse l’est plus ou moins. Ainsi, pour un même point M la force accélératrice est différente, selon que le corps a plus ou moins de vîtesse en ce point, c’est-à-dire, selon qu’il est tombé d’un point plus ou moins élevé. On ne sauroit donc supposer alors qu’en général la force accélératrice M soit proportionnelle à l’arc AM. Nous avons cru devoir avertir de cette erreur, où pourroient tomber des géometres peu attentifs en voulant résoudre ce problème. (O)