# L’Encyclopédie/1re édition/PARALLÉLOGRAMME

PARALLÉLOGRAMME, s. m. en Géométrie, c’est une figure rectiligne de quatre côtés, dont les côtés opposés sont paralleles & égaux. Voyez Quadrilatere.
Le parallélogramme est formé, ou peut être supposé formé par le mouvement uniforme d’une ligne droite toujours parallele à elle-même.
Quand le parallélogramme a tous ses angles droits, & seulement ses côtés opposés égaux, on le nomme rectangle ou quarré long. Voyez Rectangle.
Quand les angles sont tous droits, & les côtés egaux, il s’appelle quarré. Voyez Quarré.
Si tous les côtés sont égaux, & les angles inégaux, on l’appelle rhombe ou losange. Voyez Rhombe & Losange.
S’il n’y a que les côtés opposés qui soient égaux, & les angles opposés aussi égaux, mais non droits, c’est un rhomboïde. Voyez Rhomboïde.
Tout autre quadrilatere, dont les côtés opposés ne sont ni paralleles ni égaux, s’appelle un trapeze. Voyez Trapeze.
Propriétés du parallélogramme. Dans tout parallélogramme, de quelque espece qu’il soit, par exemple, dans celui-ci ABCD (Planches géomet. fig. 41.), la diagonale DA le divise en deux parties égales ; les angles diagonalement opposés BC & AD sont égaux ; les angles opposés au même côté CD & AB sont ensemble égaux à deux angles droits ; & deux côtés pris ensemble sont plus grands que la diagonale.
Deux parallélogrammes, ABCD & ECDF, sur la même ou sur une égale base, & de la même hauteur AC, ou entre les mêmes paralleles AFCD, sont égaux ; d’où il suit que deux triangles CDA & CDF, sur la même base & de la même hauteur, sont aussi égaux.
Il s’ensuit aussi que tout triangle CFD est moitié du parallélogramme ACDB, sur la même ou sur une égale base CD, & de la même hauteur, ou entre les mêmes paralleles ; & qu’un triangle est égal à un parallélogramme qui a la même base & la moitié de la hauteur, ou moitié de la base & la même hauteur. Voyez Triangle.
Les parallélogrammes sont en raison composée de leur base & de leur hauteur. Si donc les hauteurs sont égales, ils sont comme les bases, & réciproquement.
Dans les parallélogrammes & les triangles semblables, les hauteurs sont proportionnelles aux côtés homologues. De-là les parallélogrammes & les triangles semblables sont en raison doublée de leurs côtés homologues, aussi-bien que de leurs hauteurs & de leurs bases ; ils sont donc comme les quarrés des côtés, des hauteurs & des bases.
Dans tout parallélogramme, la somme des quarrés des deux diagonales est égale à la somme des quarrés des quatre côtés.
M. de Lagny regarde cette proposition comme une des plus importantes de toute la Géométrie : il la met au même rang que la fameuse XLVIIe. d’Euclide, & que celle de la similitude des triangles ; & il ajoute que le premier livre entier d’Euclide n’est qu’un cas particulier de celle-ci. Car si ce parallélogramme est rectangle, il s’ensuit que les deux diagonales sont égales, & par conséquent que le quarré de la diagonale, ou, ce qui revient au même, le quarré de l’hypothenuse de l’angle droit, est égal aux quarrés des côtés.
Si le parallélogramme n’est pas rectangle, & par conséquent si les deux diagonales ne sont pas égales, ce qui est le cas le plus général, la proposition devient d’une vaste étendue ; elle peut servir, par exemple, dans toute la théorie des mouvemens composés, &c.
Il y a trois manieres de démontrer ce théorème : la premiere, par la Trigonométrie, ce qui demande vingt-une opérations ; la seconde, géométrique & analytique, en demande quinze : M. de Lagny en donne une plus courte dans les mémoires de l’académie ; elle n’en exige que sept. Voyez Diagonale.
Mais en supposant la fameuse XLVIIe. dont la démonstration est d’un assez petit détail, celle-ci se démontre avec une extreme facilité : car soit AC = D (Pl. de Géom. fig. 25.), DB = d, AB = CD = B, BC = AD = C, BF = AE = y, CF = DE = x, alors DF sera = B + x, & CE = B − x ; on voit bien que AE & BF sont des perpendiculaires. Ceci supposé, il faut démontrer que DD + dd = 2BB + 2CC.
Démonst. par la XLVIIe. DD = YY + BB − 2Bx + xx & CC = yy + xx. Mettant donc CC en la place de YY + xx, dans l’équation précédente, on aura DD = BB + CC − 2Bx.
Pareillement dd = YY + BB + 2BX + XX = BB + CC + 2BX ; par conséquent DD + dd = BB + CC + 2BX + BB + CC − 2BX, & réduisant ce dernier membre à sa plus simple expression, on a DD + dd = 2BB + 2CC. (C. Q. F. D.)
Trouvez l’aire du parallélogramme rectangle ABCD (fig. 41.) ; trouvez la longueur des côtés AB & AC ; multipliez AB par AC : le produit sera l’aire du parallélogramme. Supposez par exemple AB, 345 ; AC, 333 : l’aire sera 11385.
On trouve l’aire des autres parallélogrammes qui ne sont pas rectangles, en multipliant la base DC (fig. 25.) par la hauteur BF.
Complément du parallélogramme. Voyez Complément.
Centre de gravité du parallélogramme. Voyez Centre de gravité & Méthode centrobarique. (E)
Quand les Géometres disent qu’un parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur, ils ne veulent pas dire par-là, comme quelques-uns se l’imaginent, qu’une surface est le produit de deux lignes droites ; car on ne multiplie point une ligne droite par une ligne droite, parce qu’on ne multiplie jamais deux concrets l’un par l’autre (voyez Concret) ; ce langage des Géometres est une façon de parler abregée, que j’ai expliquée à la fin de l’art. Équation, tom. V. p. 854. col. 2. (O)
Regle du parallélogramme. On appelle ainsi une regle imaginée par M. Newton, & dont voici l’usage : supposons qu’on ait une équation algébrique ordonnée en x & en y, on demande la valeur de y en x lorsque x = 0, & lorsque x = ∞. Pour cela on dispose en cette sorte dans un parallélogramme tous les termes de l’équation, &c. on remplit par des * les
| $\scriptstyle hx^{5}$ | | | | |
| $\scriptstyle gx^{4}$ | | | | |
| $\scriptstyle fx^{3}$ | | | | |
| $\scriptstyle ex^{2}$ | * | * | | |
| $\scriptstyle bx$ | $\scriptstyle nxy$ | * | | |
| $\scriptstyle a$ | $\scriptstyle cy$ | $\scriptstyle ly^{2}$ | $\scriptstyle my^{3}$ | &c. |
termes qui devroient se trouver dans l’équation & qui ne s’y trouvent pas ; & par le moyen d’une regle qu’on applique à ce parallélogramme, ensorte qu’elle passe par deux ou plusieurs termes qui sont en ligne droite, & qu’elle laisse tous les autres termes au-dessus ou au-dessous, ou à gauche ou à droite, on trouve la solution du problème. Par exemple, dans le cas présent, si x= 0, les termes de dessous a, cy, ly$^2$, &c. tous couverts par la regle, donnent la valeur de y, en faisant a + cy + ly$^2$ + &c. = 0. Si le terme a manquoit, on auroit à la fois bx + cy = 0, & cy + ly$^2$ + my$^3$ = 0. Si x = ∞, les termes supérieurs hx$^5$ + my$^3$ = 0, couverts par la regle, & au-dessous desquels tombent tous les autres, donnent $\scriptstyle y^{3}={\frac {hx^{5}}{m}}$ On peut voir dans les usages de l’analyse de Descartes de M. l’abbé de Gua, & dans l’introduction à l’analyse des lignes courbes de M. Crammer, la démonstration, les différens usages, & les applications de cette regle, suivant les cas qui peuvent se présenter ; il suffit ici d’en donner l’esprit. Il est bon d’observer que MM. de Gua & Crammer transforment le parallélogamme en un triangle qu’ils appellent analytique, ce qui ne change rien au fond.
En général, la regle appliquée dans les parties supérieures donne les valeurs de y qui répondent à x infinie ; & la regle appliquée aux parties inférieures donne les valeurs de y qui répondent à x = 0. Cela est fondé 1°. sur ce que tous les termes inférieurs à la regle sont en général d’un ordre moins élevé que ceux par où la regle passe ; & qu’au contraire tous les termes supérieurs à la regle sont en général d’un ordre moins élevé. 2°. Sur ce que dans tous les termes par où passe la regle, les exposans de x & ceux de y sont en progression arithmétique.
Pour se servir commodément de cette regle, il faut 1°. supposer toutes les cases semblables & d’une égale surface, soit quarrées, soit rectangles. 2°. Imaginer que chaque terme de l’équation soit au centre de la case, & remplir ces centres par des étoiles, ou par quelque autre marque, & les termes vuides par des points. C’est ainsi qu’en a usé M. Crammer, ch. vij. de son ouvrage, auquel nous renvoyons.
Si on vouloit savoir les valeurs de x qui répondent à y = 0, ou à y = ∞, il faudroit coucher le triangle sur la bande sans y, c’est-à-dire, supposer la bande a + bx + cx$^2$, &c. horisontale, & suivre la même méthode.
Ainsi on n’a qu’à faire passer autant de regles qu’il sera possible par deux ou plusieurs termes qui soient en ligne droite, & supposer que tous les termes soient renfermés au-dedans de ces regles, tous les termes enfilés par chaque regle donneront une équation séparée ; & si le triangle est supposé couché sur la bande des y, les regles superieures donneront les valeurs de y répondantes à x = , & les inférieures les valeurs de y répondantes à x = 0 : mais si le triangle est couché sur la bande des x, alors les regles supérieures donneront les valeurs de x qui répondent à y = ∞, & les regles inférieures donneront les valeurs de x qui répondent à y = 0. Voyez les articles Serie & Suite. (O)