# L’Encyclopédie/1re édition/ESCOMPTE

ESCOMPTE, s. m. (Arithmét. & Comm.) C’est en général la remise que fait le créancier, ou la perte à laquelle il se soûmet en faveur du payement anticipé qu’on lui fait d’une somme avant l’échéance du terme.
1. Plus particulierement escompter sur une somme, c’est en séparer les intérêts qu’on y suppose noyés & confondus avec leur capital.
2. Il y a deux manieres d’énoncer l’escompte ; on dit qu’il se fait à tant pour $\scriptstyle {\frac {0}{0}}$ par an (ou tel autre terme), ou qu’il se fait à tel denier. Nous nous en tiendrons à la premiere expression qui s’entend mieux, & qui est la plus usitée. Quant au moyen de ramener l’une à l’autre, voyez Intérêt. Nous aurons souvent occasion de renvoyer à cet article, à cause de l’intime liaison qu’il y a entre les deux calculs ; & surtout parce que l’article Intérêt (dont l’autre se déduit) devant naturellement précéder, si l’ordre alphabétique de cet ouvrage ne s’y opposoit, la matiere s’y trouve traitée plus à fond ; on y aura donc recours, même sans en être averti, s’il se trouve quelque point qui ne paroisse pas ici suffisamment expliqué.
3. Quand on dit que l’escompte se fait à tant pour $\scriptstyle {\frac {0}{0}}$ par an, par mois, par &c. un an, un mois, &c. est ce que nous nommerons terme d’escompte.
4. Dans toutes les questions de ce genre il entre nécessairement cinq élémens.
| La somme dûe qui sera désignée par | a |
| Le nombre (arbitraire, mais communément 100) sur lequel on suppose en général que se fait l’escompte | d |
| Ce qu’on escompte sur ce nombre | i |
| Le tems que le payement est anticipé | t |
| Ce qui reste après l’escompte fait | r |
5. Comme c’est à exprimer t qu’on se trouve ordinairement le plus embarrassé, ce point demande quelque éclaircissement. t est proprement l’exposant du rapport du terme d’escompte au tems que le payement a été anticipé, c’est-à-dire celui-ci divisé par celui-là. La fraction subsiste, lorsque le diviseur n’est pas soûmultiple du dividende ; elle disparoît dans l’autre cas, qui est le plus ordinaire. C’est ce que les exemples feront mieux entendre.
6. Pour avoir r, faites $\scriptstyle d+it:d::a:{\frac {ad}{d+it}}=a\times {\frac {d}{d+it}}$
| Ainsi | | $\scriptstyle r=a\times {\frac {d}{d+it}}$ |
| D’où l’on tire | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle a=r\times {\frac {d+it}{d}}$ |
| D’où l’on tire | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle i=d\times {\frac {-ar}{rt}}$ |
| D’où l’on tire | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle t=d\times {\frac {a-r}{ir}}$ |
7. Premier exemple. Un homme doit 1344 liv. payables dans quatre ans ; son créancier offre de lui escompter à raison de 3 pour % par an, s’il paye actuellement ; acceptant l’offre, que doit-il payer ?
| Faisant | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle a=1344$ liv. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\$ | & substituant : |
| Faisant | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle d=100$ | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\$ | & substituant : |
| Faisant | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle i=3$ | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\$ | & substituant : |
| Faisant | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle t={\frac {4}{1}}=4$ | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\$ | & substituant : |
$\scriptstyle r=1344\times {\frac {100}{212}}=1344\times {\frac {25}{28}}={\frac {33600}{28}}=1200$
Le même exemple retourné. Un homme qui devoit 1344 liv. exigibles dans un certain tems, s’acquitte en payant actuellement 1200 liv. l’escompte étant à 3 pour % par an ; de combien d’années a-t-il anticipé le payement ?
Substituant dans la quatrieme formule, on trouve $\scriptstyle t={\frac {100x144}{3600}}={\frac {144}{36}}=4$.
8. Second exemple. Un homme doit 2000 liv. payables dans deux ans ; on offre de lui escompter à raison de 5 pour % par an, du jour qu’il pourra anticiper le payement ; il paye au bout de sept mois : quelle somme doit-il compter ?
Le payement est anticipé de deux ans-sept mois, ou réduisant les années en mois de 24-7=17. Prenant donc 17 pour numérateur de la fraction qui (n°. 5.) représente t, & lui donnant pour dénominateur le terme d’escompte un an aussi réduit en mois, on a $\scriptstyle t={\frac {17}{12}}$.
| Faisant donc | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle a=2000$ liv. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\$ | & substituant : |
| Faisant donc | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle d=100$ | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\$ | & substituant : |
| Faisant donc | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle i=5$ | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\$ | & substituant : |
| Faisant donc | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle t={\frac {17}{12}}$ | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\$ | & substituant : |
$\scriptstyle r=200\times {\frac {100}{100+{\frac {85}{12}}}}={\frac {2400000}{1285}}={\frac {48000}{2577}}=1867$ liv.
Le même exemple retourné. Un homme qui devoit 2000 liv. payables dans deux ans, s’est acquitté en payant au bout de sept mois. $\scriptstyle 1867\ liv{\frac {181}{257}}$ ou $\scriptstyle {\frac {480000}{257}}$ liv. à combien pour % par an s’est fait l’escompte ?
Substituant dans la troisieme formule, on trouve (sous une expression que les fractions rendent nécessairement un peu compliquée)
$\scriptstyle 100\times {\frac {20000-{\frac {48000}{257}}}{{\frac {48000}{257}}\times {\frac {17}{12}}}}=100\times {\frac {\frac {34000}{257}}{\frac {8160000}{3084}}}={\frac {1048560}{209712}}=5$
9. La regle de change n’est souvent qu’une regle d’escompte ; & cela arrive lorsque le change se prend en-dedans de la somme principale. Un homme, par exemple, comptant à un banquier, sous cette condition, une somme de 3000 livres, de combien (le change supposé à 3 pour %) sera la lettre qu’il en recevra ? . . . appliquant la formule (& négligeant l qui n’est ici de nulle considération), on trouve qu’elle sera de $\scriptstyle {\frac {3000x100}{103}}={\frac {300000}{103}}=2912$ liv. $\scriptstyle {\frac {64}{10}}$3, le banquier retenant pour son droit 87 liv. $\scriptstyle {\frac {39}{103}}$.
Le même homme, s’il eût voulu que la lettre fût de 3000 liv en plein, eût dû compter 3090 liv. le change montant alors à 90 liv.
Mais demandera-t-on, pourquoi cette différence ? pourquoi l’intérêt étant le même, ajoûte-t-on dans un cas 90 liv. & que dans l’autre on n’ôte que 87 liv. $\scriptstyle {\frac {39}{103}}$ ? la réponse est bien simple, c’est que dans les deux cas on opere sur deux sommes différentes. Là, ce sont les intérêts de la somme même de 3000 liv. qu’on lui ajoûte ; ici, les intérêts qu’on ôte ne sont pas ceux de 3000 liv. mais d’une somme moindre qui y est renfermée & confondue avec eux. Cette somme même est 2912 liv. $\scriptstyle {\frac {64}{103}}$, dont les intérêts à 3 pour % produisent en effet 87 liv. $\scriptstyle {\frac {39}{103}}$ ; en sorte que la somme & ses intérêts font ensemble 3000 liv.
Tout ceci, comme on voit, n’est que la regle de trois dirigée par le jugement, & maniée avec un peu de dextérité.
On ne connoît dans le Commerce qu’une espece d’escompte ; c’est celle qu’on vient de voir, & qui correspond à l’intérêt simple ; néanmoins comme escompter n’est proprement, ainsi qu’on l’a déjà observé, que séparer d’un capital un intérêt qui y est, ou du moins qu’on y suppose confondu, & que l’intérêt est de deux sortes, il semble qu’il doit y avoir aussi deux especes d’escompte, relatives chacune à l’espece d’intérêt qu’il est question de démêler d’avec le capital. En adoptant, il l’on veut, cette idée, nous avertissons que le supplément qu’elle semble exiger (& qui n’est guere que de pure curiosité) se trouve à l’article Intérêt redoublé, la seconde des formules qu’on y voit n’ayant pour objet que de retrouver une somme primitive confondue avec les intérêts & les intérêts d’intérêts. Nous y renvoyons donc pour éviter les redites. Cet article est de M. Rallier des Ourmes, Conseiller d’honneur au présidial de Rennes.
En général soit $\scriptstyle {\frac {1}{m}}$ l’intérêt d’une somme $\scriptstyle S$ dû au bout d’un an, il est évident qu’on devra au bout de l’année $\scriptstyle S{\frac {(1+1}{m)}}$ ; soit maintenant $\scriptstyle t$ le rapport d’un tems quelconque à une année, il est évident que dans le cas de l’intérêt simple (voyez Intérêt), on devra au bout du tems t la somme $\scriptstyle S{\frac {(1+t}{m)}}$, & que dans le cas de l’intérêt composé on devra la somme S $\scriptstyle {\frac {(1+1}{m)^{t}}}$. Or si $\scriptstyle t=1$, ces deux quantités sont égales ; si $\scriptstyle t>1$, la seconde est plus grande que la premiere, comme il est aisé de le voir ; si $\scriptstyle t<1$, la premiere est plus grande que la seconde. Soit à présent $\scriptstyle S$ ce qu’on doit, en escomptant pour le tems $\scriptstyle t$ la somme $\scriptstyle q$, on aura $\scriptstyle S{\frac {(1+t}{m)}}=q$ dans le premier cas, & $\scriptstyle S{\frac {(1+1}{m)^{t}}}=q$ dans le second. Donc, 1°. si $\scriptstyle t=1$, l’escompte est le même dans le cas des deux intérêts. 2°. Si $\scriptstyle t>1$, la remise est plus grande dans le second cas que dans le premier ; c’est le contraire, si $\scriptstyle t<1$. Ainsi quand on escompte pour moins d’un an, il est avantageux à celui pour qui on escompte de supposer qu’il prête à intérêt composé ; c’est le contraire, si on escompte pour plus d’un an. C’est qu’en général l’intérêt composé est favorable au créancier pour les termes au-delà de l’année, & au débiteur pour les termes en-deçà. Voyez Intérêt.
On voit aussi que pour trouver l’escompte de 100 liv. payables au bout d’un an, au denier 20, il faut prendre $\scriptstyle {\frac {100}{1+{\frac {1}{20}}}}={\frac {100\cdot 20}{21}}=$ 95 l. 4. s. 9 d. & non pas 95 l. comme l’on paye ordinairement. En effet il saute aux yeux que 95 liv. au bout d’un an doivent produire seulement 99 liv. 15 s. au den. 10, & non pas 100 liv. M. Deparcieux a déjà fait cette remarque, pag. 10 & 11 de son essai sur les probabilités de la durée de la vie humaine. La raison arithmétique de cette fausse opération, c’est que les banquiers prennent $\scriptstyle {\frac {100}{1+{\frac {1}{20}}}}$ pour la même chose que $\scriptstyle 100(1-{\frac {1}{20}})$ : or $\scriptstyle {\frac {1}{1+{\frac {1}{20}}}}$ est un peu plus grand que $\scriptstyle 1-{\frac {1}{20}}$, puisque 1 est un peu plus grand que $\scriptstyle 1-{\frac {1}{400}}$. (O)