# Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section VIII
### VIII FONCTIONS D’ARGUMENTS RATIONNELS

31. Considérons plus spécialement les fonctions définies pour des systèmes de valeurs rationnelles attribuées aux variables : nous les appellerons fonctions d’arguments rationnels.
Une fonction d’arguments rationnels ${f(x,y,\ldots )}$ supposée définie en tous les points rationnels d’un champ $\mathrm {C}$ est dite définie dans ce champ. Elfe est dite uniformément continue dans $\mathrm {C}$ si, à tout nombre positif $\varepsilon$, correspond un nombre positif $\alpha$ tel que, pour deux points rationnels $(x,y,\ldots )$, $(x',y',\ldots )$ du champ $\mathrm {C}$ satisfaisant aux conditions
| (1) | $|x-x'|<\alpha <\alpha$,﻿$|y-y'|<\alpha$,﻿$\ldots$, |
on a
| (2) | $|f(x,y,\ldots )-f(x',y',\ldots )|<\varepsilon$. |
Il est évident que cette condition est remplie pour toute valeur positive de $\varepsilon$ si elle est remplie pour toute valeur positive rationnelle attribuée à $\varepsilon$.
32. Les fonctions d’arguments rationnels ${x+y}$, ${x-y}$ sont uniformément continues dans le champ
$-\infty <x<+\infty$
$-\infty <y<+\infty$
En effet, pour satisfaire aux conditions (2) qui s’écrivent ici
$|(x+y)-(x'+y')|<\varepsilon$
$|(x-y)-(x'-y')|<\varepsilon$
$\varepsilon$ étant un nombre rationnel positif, il suffit de satisfaire aux suivantes :
$|x-x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$
$|y-y'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$
On prendra donc ${\alpha ={\frac {\varepsilon }{2}}}$.
33. La fonction d’arguments rationnels $xy$, qui est définie en tout point rationnel, est uniformément continue dans tout champ borné. Soit le champ borné $\mathrm {C}$
$a\leqslant x\leqslant a'$
$b\leqslant y\leqslant b'$
$a,a',b,b'$ étant des nombres finis. Prenons un nombre positif rationnel $\mathrm {A}$ supérieur à toutes les valeurs absolues des nombres $a,a',b,b'$ ; on aura, pour tout point du champ $\mathrm {C}$,
| (1) | $|x|<\mathrm {A}$,﻿$|y|<\mathrm {A}$. |
Il s’agit de satisfaire, $\varepsilon$ étant positif et rationnel, à la condition
| (2) | $|xy-x'y'|<\varepsilon$, |
qui peut s’écrire
$|(x-x')y+(y-y')x'|<\varepsilon$
Cette condition sera vérifiée si l’on vérifie les suivantes :
$|x-x'|\cdot |y|<{\frac {\varepsilon }{2}}$
$|y-y'|\cdot |x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$
que nous remplacerons, en tenant compte de (1), par
$|x-x'|\mathrm {A} <{\frac {\varepsilon }{2}}$
$|y-y'|\mathrm {A} <{\frac {\varepsilon }{2}}$
On satisfait donc à (2) en prenant ${\alpha ={\frac {\varepsilon }{2\mathrm {A} }}}$.
34. La fonction ${\frac {x}{y}}$ est définie en tout point rationnel pour lequel ${y\neq 0}$. Si donc on considère le champ borné $\mathrm {C}$
$a\leqslant x\leqslant a'$
$b\leqslant y\leqslant b'$
pour que ${\frac {x}{y}}$ soit définie dans ce champ, il faut et il suffit que $b$ et $b'$ soient deux nombres différents de 0 et de même signe.
Cette condition étant supposée remplie, je dis que ${\frac {x}{y}}$ est uniformément continue dans le champ $\mathrm {C}$.
Prenons un nombre positif rationnel $\mathrm {A}$ supérieur aux valeurs absolues de $a,a'$, $b,b'$, et un nombre positif rationnel $\mu$ inférieur aux valeurs absolues de $b$ et $b'$ ; on aura, pour tout point du champ $\mathrm {C}$,
$|x|<\mathrm {A}$
$\mu <|y|<\mathrm {A}$
Il s’agit de satisfaire à l’inégalité
$\left\vert {\frac {x}{y}}-{\frac {x'}{y'}}\right\vert <\varepsilon$
qui se transforme en
${\frac {|xy'-x'y|}{|y|\cdot |y'|}}<\varepsilon$
ou
${\frac {|(x-x')y-(y-y')x|}{|y|\cdot |y'|}}<\varepsilon$
Nous remplaçons cette inégalité par la suivante :
${\frac {|(x-x')y-(y-y')x|}{\mu ^{2}}}<\varepsilon$
et cette dernière par les deux suivantes :
${\frac {|x-x'|\mathrm {A} }{\mu ^{2}}}<{\frac {\varepsilon }{2}}$
${\frac {|y-y'|\mathrm {A} }{\mu ^{2}}}<{\frac {\varepsilon }{2}}$
La question sera donc résolue en prenant
$\alpha ={\frac {\varepsilon \mu ^{2}}{2\mathrm {A} }}$