# L’Encyclopédie/1re édition/HAUTEUR

HAUTEUR, s. f. (Géom.) se dit en général de l’élévation d’un corps au-dessus de la surface de la terre, ou au-dessus d’un plan quelconque.
C’est dans ce sens qu’on dit qu’un oiseau vole à une grande hauteur, que les nuées sont à une grande hauteur.
Hauteur, se dit aussi de la dimension d’un corps estimée dans un sens perpendiculaire à la surface de la terre. C’est dans ce sens, qu’on dit qu’un mur a beaucoup de hauteur.
Hauteur, en Astronomie, est la même chose qu’élévation. Ainsi on dit la hauteur du pole, la hauteur de l’équateur. Voyez Élévation.
Prendre hauteur, terme dont se servent les Marins, & qui signifie mesurer la hauteur du Soleil sur l’horison ; c’est principalement à midi que l’on prend hauteur en mer. Les Marins se servent pour cela de différens instrumens ; l’arbalestrille, le quartier anglois, l’octant, &c. Voyez Arbalestrille, Quartier anglois, Octant. Voyez aussi le Traité de Navigation de M. Bouguer. (E)
Hauteur d’une figure, en Géométrie, est la distance de son sommet à sa base, ou la longueur d’une perpendiculaire abaissée du sommet sur la base. Voyez Figure, Base & Sommet.
Ainsi KL (Planche I. Géom. fig. 19.) étant prise pour la base d’un triangle rectangle KLM, la perpendiculaire KM sera la hauteur de ce triangle.
Des triangles qui ont des bases & des hauteurs égales, sont égaux en surface ; & les parallélogrammes sont doubles des triangles de même base & de même hauteur. Voyez Triangle, Parallélogramme, &c.
Hauteur, en Optique, se dit ordinairement de l’angle compris entre une ligne tirée par le centre de l’œil parallélement à l’horison, & un rayon visuel qui vient de l’objet à l’œil.
Si par les deux extrémités ST, d’un objet, (Pl. d’Opt. fig. 13.) on tire deux paralleles TV, & SQ, l’angle TVS, intercepté entre un rayon qui passe par le sommet S, & qui en termine l’ombre en V, est appellé par quelques auteurs la hauteur du lumineux.
Il y a trois moyens de mesurer les hauteurs ; on peut le faire géométriquement, trigonométriquement, & par l’optique. Le premier moyen est un peu indirect, & demande peu d’apprêt ; le second se fait avec le secours d’instrumens destinés à cet usage, & le troisieme par les ombres.
Les instrumens dont on fait principalement usage pour mesurer les hauteurs, sont le quart de cercle, le graphometre, &c. Voyez-en les descriptions ou les applications à leurs articles respectifs, Quart de cercle, Graphometre, &c.
Prendre des hauteurs accessibles. Pour mesurer géométriquement une hauteur accessible, supposons qu’il s’agisse de trouver la hauteur A B, (Pl. Géom. fig. 88.) plantez un piquet DE perpendiculairement à la surface de la terre, assez long pour monter à la hauteur de l’œil ; étendez-vous ensuite par terre, les piés contre le piquet ; si les points EB, se trouvent dans la même ligne droite avec l’œil C ; la longueur CA est égale à la hauteur A B ; si quelqu’autre point plus bas, comme F, se trouve dans la même ligne que le point E, & l’œil, approchez le piquet de l’objet : au contraire, si la ligne menée de l’œil par le point E, rencontre quelque point au-dessus de la hauteur cherchée, il faut éloigner le piquet jusqu’à ce que la ligne CE rase le vrai point que l’on demande. Alors mesurant la distance de l’œil C au pié de l’objet A, on a la véritable hauteur cherchée, puisque CA = AB
Ou bien opérez de la maniere suivante. A la distance de trente ou quarante piés, ou même plus, plantez un piquet DE (fig. 89.) & à la distance de ce piquet au point C, plantez-en un autre plus court, de maniere que l’œil étant en F, les points EB, puissent être dans la même ligne droite avec F ; mesurez la distance entre les deux piquets. GF, & la distance entre le plus court piquet & l’objet HF, de même que la différence des hauteurs des piquets GE ; aux lignes G F, G E, H F ; cherchez une quatrieme proportionnelle BH, ajoûtez-y la hauteur du plus court piquet FC, la somme est la hauteur cherchée AB.
Mesurer une hauteur accessible trigonométriquement. Supposons qu’il s’agisse de trouver la hauteur A B, (Pl. Trigon. fig. 23.) choisissez une station en E, & avec un quart de cercle, un graphometre, ou un autre instrument gradué & disposé d’une maniere convenable, déterminez la quantité de l’angle de hauteur ADC. Voyez Angle.
Mesurer la plus petite distance du point de station à l’objet, savoir DC, qui est par conséquent perpendiculaire à AC. Voyez Distance.
Maintenant C étant un angle droit, il est aisé de trouver la ligne AC, puisque dans le triangle ACD, nous avons les deux angles CD, & un côté CD opposé à l’un de ces angles ; pour trouver le côté opposé à l’autre angle, l’on fera cette proportion : le sinus de l’angle A est au côté donné DC, opposé à cet angle, comme le sinus de l’autre angle D est au côté cherché CA. Voyez Triangle.
A ce côté ainsi déterminé, ajoûtez BC, la somme est la hauteur perpendiculaire demandée.
L’opération se fait plus commodément par les logarithmes. Voyez Logarithme.
Si l’on commet quelqu’erreur, en prenant la quantité de l’angle A, (fig. 24.) la véritable hauteur BD sera à la fausse BC, comme la tangente de l’angle véritable DAB, est à la tangente de l’angle erroné CAB.
Ainsi les erreurs de cette nature seront plus considérables dans une grande hauteur que dans une moindre.
Il suit aussi que l’erreur est plus grande, quand l’angle est plus petit que lorsqu’il est plus grand. Pour éviter ces inconvéniens, il faut choisir une station à une distance moyenne, de maniere que l’angle de hauteur DEB, soit à-peu-près la moitié d’un angle droit.
Pour mesurer une hauteur accessible avec le secours de l’optique, & par l’ombre du corps. Voyez Ombre.
Mesurer une hauteur accessible par le quarré géométrique. Supposons que l’on demande de trouver la hauteur A B, (Pl. géom. fig. 90.) choisissant une station à volonté en D, & mesurant sa distance à l’objet DB, faites tourner le quarré çà & là, jusqu’à ce que vous apperceviez par les pinules le haut de la tour A ; alors si le fil coupe l’ombre droite, dites : la partie de l’ombre droite coupée est au côté du quarré, comme la distance de la station DB, est à la partie de la hauteur AE. Si le fil coupe l’ombre verse, dites : le côté du quarré est à la partie de l’ombre verse coupée, comme la distance de la station DB, est à la partie de la hauteur AE.
Ainsi ayant trouvé AE, dans l’un & l’autre cas, par la regle de trois, si l’on y ajoûte la partie de la hauteur BE, cette somme est la hauteur que l’on demande.
Mesurer géométriquement une hauteur inaccessible. Supposons qu’AB, (fig. 89.) soit une hauteur inaccessible, telle qu’on ne puisse pas appliquer une mesure jusqu’à son pié ; trouvez la distance CA, ou FH, ainsi qu’on l’a enseigné à l’article Distance, & procédez dans tout le reste, comme l’on a fait par rapport aux distances accessibles.
Mesurer trigonométriquement une hauteur inaccessible. Choisissez deux stations G, E, (Pl. trigon. fig. 25.) qui soient dans la même ligne droite que la hauteur A B, cherchée ; & à une distance DF, l’une de l’autre, telle que l’angle FAD ne soit point trop petit, ni l’autre station G trop près de l’objet AB, prenez avec un instrument convenable la quantité des angles ADC, AFC, & CFB. Voyez Angle ; mesurez aussi l’intervalle FD.
Alors dans le triangle AFD, on a l’angle D donné par l’observation, & l’angle AFD, en soustrayant l’angle observé AFC, de la somme de deux angles droits ; & par conséquent le troisieme angle DAF, en soustrayant les deux autres de la valeur de deux angles droits : on a aussi le côté FD, d’où l’on détermine le côté AF, par la regle exposée ci-dessus, lorsqu’il étoit question du problème des hauteurs accessibles. De plus, dans le triangle ACF, ayant un angle droit C, un angle F observé, & un côté AF, on trouvera par la même regle le côté AC, & l’autre côté CF. Enfin, dans le triangle FCB, ayant un angle droit C, l’angle observé CFB, & un côté CF ; la même regle fera découvrir l’autre côté CB.
C’est pourquoi ajoûtant AC, & CB, la somme est la hauteur cherchée AB.
Trouver une hauteur inaccessible par le moyen de l’ombre ou du quarré géométrique. Choisissez deux stations en DH, (Pl. géom. fig. 90.) & trouvez la distance DH ou CG, observez quelle partie de l’ombre droite ou verse est coupée par le fil.
Si les ombres droites sont coupées dans les deux stations, dites : la différence des ombres droites dans les deux stations est au côté du quarré, comme la distance des stations GC est à la hauteur EA. Si le fil coupe l’ombre verse aux deux stations, dites : la différence des ombres verses marquées aux deux stations est à la plus petite ombre verse, comme la distance des stations CG est à l’intervalle GE ; cela étant connu, on trouve aussi la hauteur EB, par le moyen de l’ombre verse en G, comme dans le problème pour les hauteurs accessibles. Enfin, si le fil dans la premiere station G, coupe les ombres droites, & que dans la derniere, il coupe les ombres verses, dites : comme la différence du produit de l’ombre droite par l’ombre verse soustraite du quarré du côté du quarré géométrique, est au produit du côté de ce quarré par l’ombre verse ; ainsi la distance des stations GC, est à la hauteur cherchée AE.
Etant donnée la plus grande distance à laquelle un objet peut être vû, trouver sa hauteur. Supposons la distance DB, (Pl. géograp. fig. 9.) réduisez-la en degrés ; par ce moyen vous aurez la quantité de l’angle C : de la sécante de cet angle ôtez le sinus total BC, le reste sera AB en parties, dont BC, en contient 10000000. dites ensuite : 10000000. est à la valeur d’AB, en mêmes parties, comme le demi-diametre de la terre B C 19695539. est à la valeur de la hauteur A B, en piés de Paris.
Supposons, par exemple, que l’on demande la hauteur d’une tour AB, dont le sommet est visible à la distance de cinq milles ; alors DCB, sera de 20′. Si l’on soustrait le sinus total 10000000. de la secante 10000168. de cet angle, le reste AB est 168. que l’on trouvera de 331. piés de Paris.
La hauteur de l’œil dans la perspective, est une ligne droite qui tombe de l’œil perpendiculairement au plan géométral.
La hauteur d’une étoile ou d’un autre point, est proprement un arc d’un cercle vertical, intercepté entre ce point & l’horison. Voyez Vertical. Delà vient :
Hauteur méridienne ; le méridien étant au cercle vertical, une hauteur méridienne, c’est-à-dire la hauteur d’un point dans le méridien, est un arc du méridien intercepté entre ce point & l’horison. Voyez Méridien.
Pour observer la hauteur méridienne du Soleil, d’une étoile, ou de tout autre phénomene, par le moyen du quart de cercle. Voyez Méridien.
Pour observer une hauteur méridienne avec un gnomon. Voyez Gnomon.
Vous pourrez aussi trouver la hauteur du Soleil sans le secours du quart de cercle ou de tout autre instrument semblable, en élevant perpendiculairement au point C, par exemple un stile ou un fil d’archal (Pl. astron. fig. 62.) & en décrivant du centre C l’arc AF, quatrieme partie d’une circonférence, faites CE égale à la hauteur du style, & par E tirez ED, parallele à CA, que vous ferez égale à la longueur de l’ombre ; si vous mettez ensuite une regle de C en D, elle coupera le quart de cercle en B ; & BA est l’arc de la hauteur du Soleil.
Hauteur des eaux, (Hydraul.) voyez Élévation. (K)
Hauteur, (Gramm. Morale.) Si hautain est toûjours pris en mal, hauteur est tantôt une bonne, tantôt une mauvaise qualité, selon la place qu’on tient, l’occasion où l’on se trouve, & ceux avec qui l’on traite. Le plus bel exemple d’une hauteur noble & bien placée est celui de Popilius qui trace un cercle autour d’un puissant roi de Syrie, & lui dit : vous ne sortirez pas de ce cercle sans satisfaire à la république, ou sans attirer sa vengeance. Un particulier qui en useroit ainsi seroit un impudent ; Popilius qui représentoit Rome, mettoit toute la grandeur de Rome dans son procédé, & pouvoit être un homme modeste.
Il y a des hauteurs généreuses ; & le lecteur dira que ce sont les plus estimables. Le duc d’Orléans régent du royaume, pressé par M. Sum, envoyé de Pologne, de ne point recevoir le roi Stanislas, lui répondit : dites à votre maître que la France a toûjours été l’asyle des rois.
La hauteur avec laquelle Louis XIV. traita quelquefois ses ennemis, est d’un autre genre, & moins sublime. On ne peut s’empêcher de remarquer ici, que le pere Bouhours dit du ministre d’Etat Pompone ; il avoit une hauteur, une fermeté d’ame, que rien ne faisoit ployer. Louis XIV. dans un mémoire de sa main, (qu’on trouve dans le siecle de Louis XIV.) dit de ce même ministre, qu’il n’avoit ni fermeté ni dignité. On a souvent employé au pluriel le mot hauteur dans le style relevé ; les hauteurs de l’esprit humain ; & on dit dans le style simple, il a eu des hauteurs, il s’est fait des ennemis par ses hauteurs.
Ceux qui ont approfondi le cœur humain en diront davantage sur ce petit article.
Hauteur, terme d’Architecture. On dit qu’un bâtiment est arrivé à hauteur, lorsque les dernieres assises sont posées pour recevoir la charpente. On dit aussi hauteur d’appui, pour signifier trois piés de haut : & hauteur de marche, six pouces, parce que l’usage a déterminé ces hauteurs.
Hauteur, se dit dans l’Art militaire, du nombre de rangs sur lesquels une troupe est formée, ou ce qui est la même chose, du nombre d’hommes dont les files sont composées. Voyez File.
Ainsi, dire qu’une troupe est formée à deux ou trois de hauteur, &c. c’est dire qu’elle a deux ou trois rangs, ou deux ou trois hommes, &c. dans chaque file. Voyez Évolutions.
Hauteur, se dit aussi dans la marche des troupes de la ligne qui termine la tête du côté de l’ennemi. Lorsque l’armée est en marche pour combattre, toutes les colonnes doivent marcher à la même hauteur, c’est-à-dire que la tête de chaque colonne doit être également avancée vers l’ennemi. Voyez Marche. (Q)
Hauteurs, en termes de guerre, signifient les éminences qui se trouvent autour d’une place fortifiée, & où les ennemis ont coûtume de prendre poste. Dans ce sens, on dit que l’ennemi s’est emparé des hauteurs, qu’il paroît sur les hauteurs, &c. Chambers.
Hauteur, (Géog.) ce mot qui signifie élévation, a plusieurs usages dans la Géographie.
On dit qu’un château est sur la hauteur, sur une hauteur, lorsqu’il est élevé sur une colline, & commande une ville ou un bourg, qui est au pié, ou sur le penchant.
On dit en termes de navigation : quand nous fûmes à la hauteur d’un tel port, pour dire vis-à-vis.
On dit en termes de Géographie astronomique, la hauteur ou l’élévation du pole, pour désigner la latitude ; car quoique la hauteur du pole & la latitude soient des espaces du ciel dans des parties différentes, ces espaces sont pourtant tellement égaux, que la détermination de l’un ou de l’autre produit le même effet & la même connoissance, parce que la hauteur du pole est l’arc du méridien compris entre le pole & l’horizon ; & la latitude du lieu est l’arc de ce même méridien, compris entre le zénith du lieu & l’équateur. Or à mesure que le pole dont on examine la hauteur s’éleve de l’horison, autant l’équateur s’éloigne du zénith du lieu, puisqu’il y a toûjours 90 degrés de l’un à l’autre. Ainsi l’observatoire de Paris où la hauteur du pole est de 48$^d$. 50′. 10″. a son zénith à pareille distance de l’équateur. On dit prendre hauteur, pour dire mesurer la distance d’un astre à l’horison.
La hauteur de l’équateur est l’arc du méridien compris entre l’horison & l’équateur ; elle est toûjours égale au complément de la hauteur du pole, c’est-à-dire à ce qui manque à la hauteur du pole, pour être de 90 degrés ; la raison en est facile, par le principe que nous avons établi, que du pole à l’équateur, la distance est invariablement de 90 degrés ; si le pole s’éleve, l’équateur s’abaisse : si le pole s’abaisse, l’équateur s’éleve à son tour. Plus le pole est élevé, plus sa distance au zénith est diminuée, & de même l’horison s’est abaissé, & sa distance à l’horison est plus petite dans la même proportion.
La hauteur de l’équateur se peut connoître de jour, par le moyen de la hauteur du Soleil ; on la trouve facilement avec un quart de cercle bien divisé, ou avec quelqu’autre instrument astronomique, ainsi que par le moyen de la déclinaison, que l’on peut connoître par la trigonométrie sphérique, après que l’on a supputé par les tables astronomiques, le véritable lieu dans le zodiaque. Voyez Équateur. (D. J.)
Hauteur des caracteres d’Imprimerie, (Fonderie en Caracteres.) on entend par la hauteur dite en papier, la distance du corps sur lequel ils sont fondus, depuis le pié qui sert d’appui à la lettre, jusqu’à l’autre extrémité où est l’œil. Cette hauteur est fixée sagement par les édits du roi & reglemens de la Librairie, à dix lignes & demie géométriques pour éviter la confusion que des différentes hauteurs causeroient dans l’Imprimerie ; cette hauteur n’est pas de même par-tout : on distingue la hauteur d’Hollande qui a près d’une ligne de plus qu’à Paris ; celles de Francfort, de Flandres, & même de Lyon, ont plus de dix lignes. Voyez Œil.
Hauteur, (mettre à) en terme de Rafineur ; c’est l’action de verser la cuite dans les formes à-peu-près à la même hauteur ; savoir de deux pouces loin du bord dans les petites, & dans les autres à proportion de leur grandeur. On met à hauteur, afin qu’en achevant d’emplir les formes, le fond de la chaudiere où le grain est tombé, soit également partagé dans toutes.