# Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section VI
### VI THÉORÈMES SUR LES LIMITES

22. Soit une suite de nombres
| (1) | $u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{n},\;\ldots .$ |
D’après les § 14 et 15, trois cas sont possibles :
1$^o$ Il y a une limite finie $\lambda$. Alors ${\mathrm {M} =m=\lambda }$. Soit ${\varepsilon >0}$. Nous pouvons, d’après le § 19, prendre $\alpha$ et $\beta$ rationnels tels que
$\alpha <\lambda <\beta$
$\beta -\alpha <\varepsilon$
Il y a un entier $p$ tel que, pour ${n>p}$, on a
$\alpha <u_{n}<\beta$
Si $\mu$ et $\nu$ sont deux entiers supérieurs à $p$, on a donc (§ 21)
$|u_{\mu }-u_{\nu }|\leqslant \beta -\alpha <\varepsilon$
2$^o$ Il y a une limite infinie ; $\mathrm {M}$ et $m$ sont égaux, soit à $+\infty$, soit à $-\infty$ ; soit, par exemple,
$\mathrm {M} =m=+\infty$
Quel que soit l’entier $p$, et quel que soit le nombre $\mathrm {A}$, il y a ${n>p}$ tel que ${u_{n}>\mathrm {A} }$.
Donnons-nous arbitrairement un nombre rationnel positif $\mathrm {A}$, prenons un terme quelconque de la suite (1), soit $u_{\mu }$. Prenons un nombre rationnel ${\mathrm {B} >u_{\mu }}$ ; $\mathrm {B+A}$ est un certain nombre rationnel ; nous pouvons trouver ${\nu >\mu }$ tel que ${u_{\nu }>\mathrm {B+A} }$. Des conditions
$u_{\mu }<\mathrm {B} <\mathrm {B+A} <u_{\nu }$
on déduit (§ 21)
$|u_{\mu }-u_{\nu }|\geqslant \mathrm {(B+A)-A} =\mathrm {A}$
On remarquera que $\mathrm {A}$ est arbitraire et que $\mu$ et $\nu$ peuvent être choisis supérieurs à tout entier $p$.
On aurait une conclusion identique dans le cas de
$\mathrm {M} =m=-\infty$
3$^o$ Il n’y a pas de limite. On a ${\mathrm {M} >m}$. Soient $\alpha ,\beta$ deux nombres tels que
$m<\alpha <\beta <\mathrm {M}$
Quel que soit $p$, il y a ${\mu >p}$ et ${\nu >p}$ tels que
$u_{\mu }<\alpha$
$u_{\nu }>\beta$
d’où résulte
$|u_{\mu }-u_{\nu }|\geqslant \beta -\alpha$
Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer les théorèmes suivants :
23. Théorème I. — La condition nécessaire et suffisante pour que la suite (1) ait une limite (finie) est que, à tout nombre positif $\varepsilon$ corresponde un entier $p$ tel que les conditions ${\mu >p}$, ${\nu >p}$ entraînent ${|u_{\mu }-u_{\nu }|<\varepsilon }$.
1$^o$ La condition est nécessaire, parce que, d’après l’étude du cas 1$^o$ (§ 22), elle est remplie si la suite a une limite finie.
2$^o$ La condition est suffisante, car elle n’est pas remplie dans les cas 2$^o$ et 3$^o$, puisqu’il y a alors un nombre positif ($\mathrm {A}$ dans le cas 2$^o$, ${\beta -\alpha }$ dans le cas 3$^o$) auquel certaines différences ${|u_{\mu }-u_{\nu }|}$ sont au moins égales, $\mu$ et $\nu$ pouvant être choisis supérieurs à tout entier $p$.
24. Théorème II. — Si l’on a deux suites
| (1) | $u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{n},\;\ldots ,$ |
| (2) | $v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n},\;\ldots ,$ |
dont la première a pour limite un nombre $\lambda$, la condition nécessaire et suffisante pour que la seconde ait aussi pour limite $\lambda$ est que ${|u_{n}-v_{n}|}$ ait pour limite 0.
1$^o$ La condition est nécessaire. Supposons que la suite (2) ait pour limite $\lambda$, comme la suite (1).
Soit $\varepsilon$ un nombre positif, prenons $\alpha$ et $\beta$ tels que
$\alpha <\lambda <\beta$
$\beta -\alpha <\varepsilon$
Quand $n$ surpasse un certain entier $p$, on a
$\alpha <u_{n}<\beta$
$\alpha <v_{n}<\beta$
d’où
$|u_{n}-v_{n}|\leqslant \beta -\alpha <\varepsilon$
$\varepsilon$ étant un nombre positif arbitraire, ceci exprime que ${|u_{n}-v_{n}|}$ a pour limite 0.
2$^o$ Pour montrer que la condition est suffisante, je vais montrer qu’elle n’est pas remplie si $v_{n}$ ne tend pas vers $\lambda$. Dans cette hypothèse, des deux nombres $\mathrm {M}$ et $m$ relatifs à la suite (2), l’un au moins n’est pas égal à $\lambda$ ; l’une au moins des deux hypothèses ${\lambda <\mathrm {M} }$, ${\lambda >m}$ est vérifiée, sans quoi on aurait ${m\geqslant \lambda \geqslant \mathrm {M} }$, et comme ${\mathrm {M} \geqslant m}$, on aurait ${\mathrm {M} =m=\lambda }$.
Soit, par exemple, ${\lambda <\mathrm {M} }$. Soient $\alpha ,\beta$ deux nombres tels que
$\lambda <\alpha <\beta <\mathrm {M}$
Quand $n$ dépasse une certaine valeur, on a
$u_{n}<\alpha$
et, quel que soit $p$, pour une certaine valeur de ${n>p}$, on a
$v_{n}>\beta$
De
$u_{n}<\alpha <\beta <v_{n}$
résulte
$|u_{n}-v_{n}|\geqslant \beta -\alpha$
Il est donc impossible que ${|u_{n}-v_{n}|}$ ait pour limite 0.
La conclusion est la même dans le cas de ${\lambda >m}$, ce qui démontre le Théorème II.
25. En considérant le cas particulier où les nombres $u_{n}$ sont tous égaux à un même nombre $\lambda$, auquel cas la suite (1) a évidemment pour limite $\lambda$, on arrive à la conclusion suivante :
Théorème III. — Pour qu’une suite $v_{1},$ $v_{2},$ $\ldots ,$ $v_{n},$ $\ldots$ ait pour limite un nombre $\lambda$, il faut et il suffit que ${|v_{n}-\lambda |}$ ait pour limite 0.
26. Théorème IV. — Si l’on a deux suites
$u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{n},\;\ldots ,$
$v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n},\;\ldots ,$
ayant respectivement pour limites $\lambda$ et $\mu$, ${u_{n}-v_{n}}$ a pour limite ${\lambda -\mu }$.
Dans le cas où ${\lambda =\mu }$, ce théorème se réduit à la partie 1$^o$ du Théorème II.
Considérons le cas où ${\lambda \neq \mu }$.
Supposons par exemple ${\lambda <\mu }$. Soit $\varepsilon$ un nombre rationnel positif. On peut déterminer quatre nombres rationnels $a,b,c,d$ tels que
| (1) | $a<\lambda <b<c<\mu <d$ |
avec
| (2) | $b-a<\varepsilon$,﻿$d-c<\varepsilon$. |
Quand $n$ dépasse un certain entier $p$, on a
| (3) | $a<u_{n}<b<c<v_{n}<d$. |
On déduit respectivement de (1) et (3)
${\begin{alignedat}{3}c-b&\leqslant \mu &-&\lambda &\leqslant d-a{\text{,}}\\c-b&\leqslant v_{n}&-&u_{n}&\leqslant d-a{\text{,}}\end{alignedat}}$
d’où
$|(v_{n}-u_{n})-(\mu -\lambda )|\leqslant d-a-(c-b)$
Comme, d’après (2) ($a,b,c,d,\varepsilon$ étant rationnels)
$d-a-(c-b)=d-c+b-a<2\varepsilon$
et que $\varepsilon$ est un nombre positif rationnel quelconque, on a
$\lim {|(v_{n}-u_{n})-(\mu -\lambda )|}=0$
c’est-à-dire, d’après le Théorème III,
$\lim {(v_{n}-u_{n})}=\mu -\lambda$
Comme les nombres opposés à ${v_{n}-u_{n}}$ et ${\mu -\lambda }$ sont ${u_{n}-v_{n}}$ et ${\lambda -\mu }$ (§ 20), on a aussi (§ 16)
$\lim {(u_{n}-v_{n})}=\lambda -\mu$
et
$\lim {|u_{n}-v_{n}|}=|\lambda -\mu |$