# Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 03
### CHAPITRE III.

10. Puisque tout se réduit à trouver la première fonction dérivée d’une fonction donnée, nous allons donner des règles générales pour la formation des fonctions dérivées des principales quantités qu’on emploie dans l’Analyse.
Par ce que nous venons de démontrer, on voit que la fonction dérivée $f'(x)$ d’une fonction donnée $f(x)$ de la variable $x$ n’est autre chose que le coefficient de $i$ dans le premier terme du développement de cette fonction, après la substitution de $x+i$ à la place de $i.$ Ainsi il ne s’agit que de-trouver ce premier coefficient.
Soit donc d’abord $f(x)=x^{m}\,;$ on aura
$f(x+i)=(x+i)^{m}\,;$
or il est facile de démontrer, soit par les simples règles de l’Arithmétique, soit par les premières opérations de l’Algèbre, que les deux premiers termes de la puissance $m$ du binôme $x+i$ sont $x^{m}+mx^{m-1}i,$ soit que $m$ soit un nombre entier ou fractionnaire, positif ou négatif ; ainsi on aura
$f'(x)=mx^{m-1}.$
De là on tirera de la même manière
$f''(x)=m(m-1)x^{m-2},\quad f'''(x)=m(m-1)(m-2)x^{m-3},\quad \ldots ,$
$(x+i)^{m}=x^{m}+mx^{m-1}i+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}i^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}i^{3}+\ldots ,$
ce qui est la formule connue du binôme, laquelle se trouve ainsi démontrée pour toutes les valeurs de $m$.
11. Soit en second lieu $f(x)=ax\,;$ on aura
$f(x+i)=a^{x+i}=a^{x}a^{i}.$
Ainsi tout se réduit à trouver les deux premiers termes de la série de $a^{i},$ développée suivant les puissances de $i$.
Soit, pour cela, $a=1+b\,;$ alors
$a^{i}=(1+b)^{i}=1+ib+{\frac {i(i-1)}{2}}b^{2}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{2.3}}b^{3}+\ldots ,$
par la formule que nous venons de démontrer. Développant les produits de $i,\ i-1,\ i-2,\ldots$ et ordonnant les termes suivant les puissances de $i,$ on trouvera que les termes multipliés par $i$ forment cette série $i\left(b-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {b^{3}}{3}}-\ldots \right).$
Donc, faisant pour abréger
$\mathrm {A} =b-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {b^{3}}{3}}-\ldots =(a-1)-{\frac {(a-1)^{2}}{2}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3}}-\ldots ,$
les deux premiers termes de la valeur de $a^{i}$ en série seront $1+\mathrm {A} i\,;$ on aura par conséquent
$f'(x)=\mathrm {A} a^{x}.$
On tirera de là, par la même opération répétée,
$f''(x)=\mathrm {A.A} a^{x}=\mathrm {A} ^{2}a^{x},\quad f'''(x)=\mathrm {A} ^{3}a^{x},\quad \ldots \,;$
on aura ainsi
$f(x+i)=a^{x+i}=a^{x}\left(1+\mathrm {A} i+{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}+\ldots \right).$
$a^{x}$
$i$
$x,$
$a^{x}=1+\mathrm {A} x+{\frac {\mathrm {A} ^{2}x^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}x^{3}}{2.3}}+\ldots .$
12. Si dans cette formule on fait $x=1,$ on aura
$a=1+\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}+\ldots ,$
et, si l’on fait $x={\frac {1}{\mathrm {A} }},$ on aura
$a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.3}}+{\frac {1}{2.3.4}}+\ldots .$
Ainsi la quantité $a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}$ est égale à un nombre constant, qui est la valeur de $a,$ lorsque $\mathrm {A} =1,$ et par la série précédente on trouve
$a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=2{,}71828\ 18284\ 59045\ldots .$
C’est le nombre qu’on désigne ordinairement par $e,$ de sorte que la relation entre $a$ et $\mathrm {A}$ se trouve exprimée d’une manière finie par l’équation $a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=e,$ laquelle donne $a=e^{\mathrm {A} }.$
Donc, si $f(x)=e^{mx},$ on aura $a=e^{m},\ \mathrm {A} =m,$ et par conséquent
$f'(x)=me^{mx},\quad f''(x)=m^{2}e^{mx},\quad f'''(x)=m^{3}e^{mx},\quad \ldots ,$
d’où l’on tirera, comme ci-dessus,
$e^{mx}=1+mx+{\frac {m^{2}x^{2}}{2}}+{\frac {m^{3}x^{3}}{2.3}}+\ldots .$
Or, dans l’équation $y=a^{x},$ $x$ est ce qu’on appelle le logarithme de $y,$ $a$ étant la base du système logarithmique, c’est-à-dire le nombre dont le logarithme est l’unité, de sorte que cette équation donne $x=\log y$ pour la base $a.$ Par la même raison, l’équation $a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=e$ donnera ${\frac {1}{\mathrm {A} }}=\log e$ pour la base $a$ et $\mathrm {A} =\log a$ pour la base $e$.
Dans le système des logarithmes ordinaires, la base a a été prise égale à $10,$ parce que ces logarithmes sont plus commodes pour le calcul arithmétique ; mais dans l’Analyse on préfère, comme plus simple, le système dont la base est le nombre $e\,;$ c’est le système des logarithmes de Neper, qu’on nomme communément logarithmes hyperboliques, parce qu’ils sont représentés par l’aire de l’hyperbole équilatère entre ses asymptotes, et on les désigne par la simple caractéristique $\operatorname {l} .$ Ainsi on a $\mathrm {A} =\operatorname {l} a\,;$ par conséquent, la fonction prime de la fonction $a^{x}$ est exprimée par $a^{x}\operatorname {l} a$ (numéro précédent).
Au reste, comme $a=e^{\mathrm {A} },$ on aura $a=e^{\operatorname {l} a},$ et par conséquent $a^{x}=e^{x\operatorname {l} a},$ moyennant quoi on peut réduire toutes les exponentielles à la même base $e$.
13. Soit donc, en troisième lieu, $f(x)=\log x\,;$ on aura, par la nature des logarithmes, $x=a^{f(x)}.$ Or, $x$ devenant $x+i,$ $f(x)$ devient
$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots .$
Faisant, pour abréger, $o=if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots ,$ l’équation $x=a^{f(x)}$ deviendra, en y mettant $x+i$ pour $x$ et $f(x)+o$ pour $f(x),$
$x+i=a^{f(x)+o}=a^{f(x)}.a^{o},$
et, divisant cette équation par la précédente, on aura
$1+{\frac {i}{x}}=a^{o}=1+\mathrm {A} o+{\frac {\mathrm {A} ^{2}o^{2}}{2}}+\ldots \quad$
Effaçant l’unité de part et d’autre, et divisant par $i,$ après avoir substitué la valeur de $o,$ on aura, en ordonnant suivant les puissances de $i,$
${\frac {1}{x}}=\mathrm {A} f'(x)+{\frac {i}{2}}\left[\mathrm {A} f''(x)+\mathrm {A} ^{2}f'^{2}(x)\right]+\ldots .$
La quantité $i$ étant et devant demeurer indéterminée, il faudra que cette équation se vérifie indépendamment de cette quantité ; par conséquent, tous les termes affectés d’une même puissance de $i$ devront
${\frac {1}{x}}=\mathrm {A} f'(x),\quad \mathrm {A} f''(x)+\mathrm {A} ^{2}f'^{2}(x)=0,$
et ainsi de suite.
Donc, $f(x)$ étant égal à $\log x,$ on aura, en général,
$f(x)={\frac {1}{\mathrm {A} x}}={\frac {1}{x\operatorname {l} a}},$
et de là, par la formule générale du n$^o$ 10, on tirera
$f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}\operatorname {l} a}},\quad f'''(x)={\frac {2}{x^{3}\operatorname {l} a}},\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=-{\frac {2.3}{x^{4}\operatorname {l} a}},\quad \ldots ,$
valeurs qui satisfont, comme l’on voit, aux différentes équations trouvées ci-dessus. Ainsi, par la substitution de ces valeurs dans la série $f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots ,$ on aura sur-le-champ
$\log(x+i)=\log x+{\frac {i}{x\operatorname {l} a}}-{\frac {i^{2}}{2x^{2}\operatorname {l} a}}+{\frac {i^{3}}{3x^{3}\operatorname {l} a}}-\ldots .$
Faisant $x=1$ et changeant $i$ en $x,$ on aura la formule connue
$\log(1+x)={\cfrac {x-{\cfrac {x^{2}}{2}}+{\cfrac {x^{3}}{3}}-\ldots }{\operatorname {l} a}}.$
Pour les logarithmes hyperboliques où $\operatorname {l} e=1,$ on aura simplement
$f(x)=\operatorname {l} x,\quad f'(x)={\frac {1}{x}},\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}},\quad \ldots .$
14. Lés sinus et cosinus d’angles considérés analytiquementne sont que des expressions composées d’exponentielles imaginaires ; ainsi, on peut déduire leurs fonctions dérivées de celles de ces exponentielles.
Soit donc, en quatrième lieu, $f(x)=\sin x\,;$ comme on a
$\sin x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \cos x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}},$
$f(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},$
et l’on aura (n$^o$ 12), en mettant $\pm {\sqrt {-1}}$ au lieu de $m$ dans $e^{mx},$
$f'(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}=\cos x.$
De même, en faisant
$f(x)=\cos x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}},$
on trouvera
$f'(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}{\sqrt {-1}}=-\sin x.$
Connaissant ainsi les fonctions primes des fonctions $\sin x,\ \cos x,$ on en déduira facilement toutes les autres fonctions dérivées.
En effet, puisque $f(x)=\sin x$ a donné $f'(x)=cosx$ et que $f(x)=cosx$ a donné $f'(x)=-\sin x,$ on aura, pour $f(x)=\sin x,$
$f'(x)=\cos x,\quad f''(x)=-\sin x,\quad f'''(x)=-\cos x,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=\sin x,\quad \ldots ,$
et, pour $f(x)=cosx,$ on aura
$f'(x')=-\sin x,\quad f''(x)=-\cos x,\quad f'''(x)=\sin x,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=\cos x,\quad \ldots .$
D’après ces formules, on aura sur-le-champ les séries
${\begin{aligned}\sin(x+i)=&\sin x+i\cos x-{\frac {i^{2}}{2}}\sin x-{\frac {i^{3}}{2.3}}\cos x+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}\sin x+\ldots ,\\\cos(x+i)=&\cos x-i\sin x-{\frac {i^{2}}{2}}\cos x+{\frac {i^{3}}{2.3}}\sin x+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}\cos x-\ldots ,\end{aligned}}$
d’où, en faisant $x=0$ et changeant $i$ en $x,$ on tire les séries connues
$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{2.3}}+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,\quad \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}-\ldots .$
15. Les fonctions $x^{m},\ a^{x},\ \operatorname {l} x,\ \sin x,\ \cos x$ que nous venons de considérer doivent être regardées comme les fonctions simples analytiques d’une seule variable. Toutes les autres fonctions de la même variable se composent de celles-là par addition, soustraction, multiplication ou division, ou sont données en général par des équations dans lesquelles entrent des fonctions de ces mêmes formes. Ainsi, connaissant les fonctions primes des fonctions simples que nous venons d’examiner, on trouvera aisément les fonctions primes des fonctions composées, et, par les mêmes opérations répétées, on aura successivement les fonctions secondes, tierces, etc.
Soient $p,q,r,\ldots$ des fonctions simples de $x,$ dont $p',q',r',\ldots$ soient les fonctions primes connues par les règles précédentes, et qu’on demande la fonction prime $y'$ d’une fonction $y$ composée de $p,q,r,\ldots \,;$ on considérera que, $x$ devenant $x+i,$ $y$ devient en général $y+y'i+{\frac {y''i^{2}}{2}}+\ldots$ (n$^o$ 9). Or $p,q,r,\ldots$ deviennent en même temps $p+p'i+\ldots ,$ $q+q'i+\ldots ,$ $r+r'i+\ldots ,$ et ainsi des autres. Il n’y aura donc qu’à substituer ces valeurs dans l’expression de $y,$ développer les termes suivant les puissances de $i,$ et le coefficient de $i$ sera la valeur cherchée de $y'.$
Ainsi, si $y=ap+bq+\ldots ,$ $a,b,\ldots$ étant des coefficients constants quelconques, on aura sur-le-champ
$y'=ap'+bq'+\ldots .$
Si $y=apq,$ la quantité $pq$ deviendra
$(p+ip'+\ldots )(q+iq'+\ldots )=pq+i(p'q+q'p)+\ldots \,;$
donc
$y'=ap'q+aq'p.$
Si $y=apqr,$ on trouvera de la même manière
$y'=ap'qr+aq'pr+ar'pq,$
et ainsi de suite.
Si $y={\frac {ap}{q}},$ la quantité ${\frac {p}{q}}$ deviendra
${\frac {p+ip'+\ldots }{q+iq'+\ldots }}.$
$(p+ip'+\ldots )\left({\frac {1}{q}}-{\frac {iq'}{q^{2}}}+\ldots \right)={\frac {p}{q}}+i\left({\frac {p'}{q}}-{\frac {q'p}{q^{2}}}\right)+\ldots \,;$
16. Soit, en général, $y=f(p)\,;$ en regardant $f(p)$ comme une fonction primitive de $p,$ sa fonction prime sera $f'(p),$ en sorte que, $p$ devenant $p+o$ (j’emploie ici la quantité indéterminée $o$ à la place de la quantité indéterminée $i,$ qui désignera toujours l’augmentation indéterminée de $x$), $f(p)$ deviendra (n$^o$ 8)
$f(p)+of'(p)+o^{2}{\frac {2}{f''(p)}}+\ldots .$
Or, $p$ étant une fonction de $x,$ lorsque $x$ devient $x+i,$ $p$ devient (n$^o$ 8)
$p+ip'+{\frac {i^{2}p''}{2}}+\ldots \,;$
donc, faisant $o=ip'+{\frac {i^{2}}{2}}p''+\ldots ,$ $f(p)$ deviendra, par la substitution de $x+i$ à la place de $x,$
$f(p)+ip'f'(p)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[p'^{2}f''(p)+p''f'(p)\right]+\ldots \,;$
par conséquent, on aura
$y'=p'f'(p),$
d’où résulte ce principe, que la fonction prime d’une fonction d’une quantité qui est elle-même une fonction d’une autre quantité est égale au produit des fonctions primes des deux fonctions.
Supposons maintenant que $y$ soit une fonction de $p$ et de $q,$ que nous désignerons par $f(p,q)\,;$ il s’agit donc de substituer $x+i$ à la place de $x$ dans les deux fonctions $p$ et $q.$ Or il est visible que l’on doit avoir le même résultat, soit qu’on fasse ces deux substitutions à la fois ou successivement, puisque les quantités $p$ et $q$ sont regardées comme indépendantes.
En substituant d’abord $x+i$ à la place de $x$ dans la fonction $p,$ la fonction $f(p,q),$ regardée seulement comme fonction de $p,$ devient
$f(p,q)+ip'f'(p)+\ldots \,;$
j’écris simplement $f'(p)$ pour désigner la fonction prime de $f(p,q),$ prise relativement à $p$ seul, $q$ étant regardée comme constante. Substituons maintenant $x+i$ pour $x$ dans $q\,;$ la fonction $f(p,q)$ deviendra pareillement
$f(p,q)+iq'f'(q)+\ldots ,$
où $f'(q)$ représente la fonction prime de $f(p,q),$ prise relativement à $q$ seul, $p$ étant regardée comme constante. Quant au terme $ip'f'(p),$ il est visible que, par cette nouvelle substitution, il se trouverait augmenté de termes multipliés par $i^{2},\ i^{3},\ldots .$ Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement de $f(p,q),$ après la substitution de $x+i$ pour $x,$ seront simplement
$f(p,q)+i\left[p'f'(p)+q'f'(q)\right],$
de sorte qu’on aura
$y'=p'f'(p)+q'f'(q).$
Si $y$ était une fonction de $p,q,r,$ représentée par $f(p,q,r),$ on trouverait de la même manière
$y'=p'f'(p)+q'f'(q)+r'f'(r),$
et ainsi de suite.
D’où il est aisé de tirer cette conclusion générale, que la fonction prime d’une fonction composée de différentes fonctions particulières sera la somme des fonctions primes relatives à chacune de ces mêmes fonctions, considérées séparément et indépendamment l’une de l’autre.
Ce principe, combiné avec le précédent, suffira pour trouver les fonctions primes de toutes sortes de fonctions, ainsi que les autres fonctions dérivées des ordres supérieurs.
Ainsi, en supposant $\mathrm {X}$ une fonction quelconque de $x,$ les fonctions primes de
$\mathrm {X} ^{m},\quad \operatorname {l} \mathrm {X} ,\quad a^{\mathrm {X} },\quad \sin \mathrm {X} ,\quad \cos \mathrm {X} ,\quad \ldots$
seront
$m\mathrm {X} ^{m-1}\mathrm {X} ',\quad \mathrm {\frac {X'}{X}} ,\quad a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '\operatorname {l} a,\quad \mathrm {X} '\cos \mathrm {X} ,\quad -\mathrm {X} '\sin \mathrm {X} ,\quad \ldots ,$
et leurs fonctions secondes
$m\mathrm {X} ^{m-1}\mathrm {X} ''+m(m-1)\mathrm {X} ^{m-2}\mathrm {X} '^{2},\quad \mathrm {\frac {X''}{X}} -\mathrm {\frac {X'^{2}}{X^{2}}} ,\quad a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '^{2}\operatorname {l} a+a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '^{2}(\operatorname {l} a)^{2},$
$\mathrm {X''\cos X-X'^{2}\sin X,\quad -X''\sin X-X'^{2}\cos X,\quad \ldots } ,\quad$
et ainsi de suite.
17. Mais la fonction $y$ pourrait n’être donnée que par une équation quelconque entre $x$ et $y.$
Représentons cette équation, en général, par $\operatorname {F} (x,y)=0\,;$ on aura, par la résolution, $y$ égal à une certaine fonction de $x,$ qu’on pourra désigner par $f(x),$ de sorte que, en substituant $f(x)$ pour $y$ dans la fonction $\operatorname {F} (x,y),$ elle deviendra $\operatorname {F} \left[x,f(x)\right],$ fonction de $x$ seul que nous désignerons par $\varphi (x).$ Cette fonction $\varphi (x)$ devra donc être nulle quelle que soit la valeur de $x$. Donc elle le sera aussi en mettant $x+i$ pour $x,$ quelle que soit la valeur de $i$. Mais, par cette substitution, $\varphi (x)$ devient
$\varphi (x)+i\varphi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\varphi ''(x)+\ldots \,;$
donc, pour que $i$ puisse être une quantité quelconque, il faudra que l’on ait séparément les équations
$\varphi (x)=0,\quad \varphi '(x)=0,\quad \varphi ''(x)=0,\quad \ldots ,$
dont la première est l’équation donnée, la seconde est sa fonction prime, la troisième sa fonction seconde, etc.
Or, puisque $y(x)=\operatorname {F} \left[x,f(x)\right]=\operatorname {F} (x,y),$ $\varphi '(x)$ sera la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y),$ $y$ étant regardée comme fonction de $x,$ et, par le principe établi dans le numéro précédent, cette fonction prime sera exprimée par $\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y),$ en désignant par $\operatorname {F} '(x)$ et $\operatorname {F} '(y)$ les fonctions primes de la fonction $\operatorname {F} (x,y),$ prises relativement à $x$ seul et à $y$ seul.
Donc l’équation $\operatorname {F} (x,y)=0$ donnera
$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0,$
d’où l’on tire
$y'=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(y)}}.$
Ayant ainsi la valeur de la fonction prime $y'$ en fonction de $x$ et $y,$ on aura celle de $y''$ en prenant la fonction prime de cette fonction, et ainsi de suite.
Il résulte de l’analyse précédente ce principe :
Lorsqu’on a une équation quelconque entre deux variables $x,y,$ l’équation subsistera encore entre les fonctions primes de tous ses termes, ainsi qu’entre leurs fonctions secondes, etc. Nous appellerons ces nouvelles équations équations dérivées, et en particulier équations primes, équations secondes, etc., celles qu’on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc.
Si l’équation ne contenait qu’une seule variable qui dût demeurer indéterminée, ce qui a lieu dans les équations identiques, le même principe subsisterait, et l’on aurait également une équation prime, une équation seconde, etc., qui seraient aussi identiques.
Les Leçons III, IV, V, VI et VII sur le Calcul des fonctions renferment un commentaire sur les principaux points que nous venons de traiter dans ce Chapitre ; on y trouvera des développements utiles et importants et des applications nouvelles.