# Doutes sur la mesure des forces motrices/Édition Garnier

1° Une pression quelconque en un temps peut-elle donner autre chose qu’une vitesse et ce qu’on appelle une force ?
2° Si une pression en un temps ne peut donner qu’une force, deux pressions dans le même temps ne donneront-elles pas simplement deux vitesses et deux forces ?
3° Donc, en deux temps, une pression produit ce que deux pressions égales font en un temps. Elle donne 2 vitesses et 2 forces : car 2 ${x}\times {t}=$ 2 ${t}\times {x}$.
4° Donc, si de deux corps égaux le premier fait le double d’effet de l’autre dans un temps égal, c’est qu’il aura double vitesse ; et, s’il fait le quadruple d’effet avec 2 de vitesse, c’est en deux temps.
5° Donc, si on veut que la force soit le produit du carré de la vitesse par la masse, il faudrait qu’un corps, avec double vitesse, opérât dans le même temps une action quadruple de celle d’un corps égal qui n’aurait qu’une vitesse simple.
Il faudrait donc que le ressort A, égal à B, tendu comme 2, poussât une boule à 4 de distance, dans le même temps que le ressort B, tendu comme 1, ne la pousse qu’à 1 de distance ; mais c’est ce qui ne peut arriver jamais.
6° Donc tous les cas où cette contradiction d’une vitesse double qui agit comme 4 paraît se trouver doivent être décomposés et ramenés à la simplicité de cette loi inviolable, par laquelle 2 de vitesse ne donne qu’un effet double d’un de vitesse en temps égal.
7° Or tous ces cas contradictoires, dans lesquels une vitesse double fait un effet quadruple, rentrent dans la loi ordinaire, quand on voit que cet effet quadruple n’arrive qu’en deux temps, en réduisant le mouvement accéléré et retardé en mouvement uniforme.
8° Si cette méthode de réduire le mouvement retardé en uniforme n’était pas juste, cela n’empêcherait pas que les principes ci-dessus ne fussent vrais : ce serait seulement une fausse explication d’un principe incontestable ; et, si elle est juste, c’est un nouveau degré de clarté qu’elle donne à ces principes. Voyons donc si elle est juste.
9° Le mobile A, égal à B, reçoit 2 de vitesse, et B, 1 degré. Ils trouvent, en montant, les impulsions de la pesanteur, ou, en marchant sur un plan poli, des obstacles égaux quelconques.
A surmonte 4 de ces obstacles égaux, ou de ces impulsions, et arrive en T, où il perd toute sa force ; B ne résiste qu’à une de ces impulsions, et ne fait que le quart du chemin de A.
Or, il est démontré que A n’arrive qu’en 2 temps en T : et B, en 1 temps en V.
Donc jusque-là cette méthode est d’une justesse parfaite.
10° Maintenant, si dans cet espace A T le corps A n’est parvenu à l’espace 3, à la fin du premier temps, que par la même raison que le corps C n’est parvenu qu’au numéro 1, la démonstration devient de plus en plus aisée à saisir.
On démontre facilement en effet que le corps A doit aller à 3 : car la pesanteur ou la résistance quelconque qui agit également sur les deux mobiles ôte 1 à B, quand elle ôte 1 au mobile A.
Donc le mobile A doit aller à 3 quand le mobile C n’est allé qu’à 1, etc.
Donc le corps A ne fait qu’en deux temps le quadruple de B ; donc l’effet n’est que double, proportionnel en temps égal à la cause qui est double, etc.
11° Si on poursuit cette démonstration, on voit que par un mouvement uniforme B irait de 1 à 2 au second temps ; et A, qui a la force double, irait d’un mouvement uniforme de 3 à 5.
Or l’espace de 3 à 4, que le corps A ne parcourt pas dans le premier moment, joint à l’espace de 4 à 5 qu’il ne parcourt pas dans le second moment, représente la force contraire qui lui ôte la sienne ; de même l’espace de 1 à 2, que B ne parcourt pas, représente la force contraire qui a éteint la force de B.
Or ces forces contraires sont proportionnelles à celles qu’elles détruisent. L’espace 5, 3 est double de l’espace B, 1 : donc la force détruite dans le corps A n’est que double de celle détruite dans le mobile B ; donc la démonstration est en tout d’une entière exactitude.
12° Si l’esprit, convaincu que le mobile A n’a fait qu’en 2 temps l’effet quadruple du mobile B, conserve quelque scrupule sur ce qu’au premier temps le mobile A surmonte trois obstacles, ou remonte à 3, malgré la résistance de la pesanteur, tandis que le mobile B ne surmonte que 1, ou ne s’élève qu’à l’espace 1 ; si, dis-je, on ne trouve pas dans ce premier temps le rapport de 2 à 1, mais le rapport de 3 à 1, cette difficulté a été levée, comme on va le voir.
13° Les deux temps dans lesquels le mobile A agit, et les espaces qu’il franchit, sont réellement divisés en autant d’instants que l’esprit veut en assigner ; ainsi, au lieu de 4 espaces que A doit parcourir en 2 temps, concevons 100 parties d’espace en 1 temps pour A, et 25 parties d’espace en 5 temps pour B. Rangeons cette progression sous deux colonnes.
| A 2 vitesses. | B 1 vitesse. |
| espac. parc. | espac. parc. |
| Premier temps 19 | Premier temps 9 |
| Second temps 17 | Second temps 7 |
| Troisième temps 17 | |
| Dixième 1 | Cinquième temps 1 |
| En 10 temps, 100 d’espace. | En 5 temps, 25 d’espace. |
| Les obstacles agissent en la même raison que la gravité. |||
| 17.................................... 20 3 | 7.................................... 10 3 |
| Troisième temps. | |
| 15.................................... 20 5 | 3.................................... 10 5 |
Il est aisé de voir, en poursuivant cette progression, que les espaces parcourus sont d’abord doubles l’un de l’autre moins l’espace non parcouru, qui est 1, indiqué pour l’un et pour l’autre mobile ; en sorte que plus on suppose ces instants petits, tout le reste étant le même, plus le rapport des espaces parcourus dans un premier instant approche de celui de 2 à 1, c’est-à-dire de celui des vitesses initiales. Le rapport serait à cet instant de 20 à 10, c’est-à-dire de 2 à 4. En suivant toujours cette progression, on voit que le mobile A aura parcouru en 5 temps 75 d’espace, et que B en aura parcouru 25, ce qui devient en 5 temps le même rapport qu’on trouvait au premier instant de 3 à 4, quand on ne compte que 2 instants.
Ainsi, dans la moitié du temps total, A parcourra 3 ; et B, 1 seulement ; mais uniquement parce que les pertes de vitesse sont égales en temps égaux pour les deux corps, quelles que soient leurs vitesses initiales.
Je suppose qu’il reste encore quelque doute sur les vérités précédentes, l’expérience ne décide-t-elle pas sans retour la question ? Et l’ancienne manière de calculer n’est-elle pas seule recevabie, si par elle on rend une raison pleine de tous les cas auxquels la force semble être le produit du carré de la vitesse par la masse ? tandis que la nouvelle manière ne peut, en aucun sens, rendre raison des effets proportionnels à la simple vitesse.
14° Or il est constant qu’en distinguant les temps on ne trouve jamais qu’une force proportionnelle à la vitesse en temps égaux, quoique en des temps inégaux l’effet soit comme le carré de la vitesse ; mais lorsqu’une simple vitesse fait effet comme 1, et que deux vitesses dans le même temps agissent précisément comme 2, il n’y a plus alors de carré qui puisse expliquer cet effet simple ; il ne reste donc qu’à voir des exemples.
15° S’il y a un cas où la force paraisse être comme le carré de la vitesse, c’est dans le choc des fluides, qui agissent en effet en raison doublée de leur vitesse ; mais, s’il est démontré que les fluides n’agissent ainsi que parce qu’en un temps donné chaque particule n’agit qu’avec sa masse multipliée par sa simple vitesse, restera-t-il quelque doute sur l’évaluation des forces motrices ?
La somme totale des impressions d’un corps quelconque est égale à l’impression de chaque partie, répétée autant de fois qu’il y a de parties dans ce corps.
Soit conçu un fluide qui choque un plan uni, avec une vitesse 10, et un fluide semblable choquant un plan semblable avec une vitesse 1 ; dans l’instant 1, 10 parties du premier fluide choqueront le plan avec la vitesse 10. La force exercée par le fluide pendant ce temps sera donc 10 $\times$ 10 ; mais dans le même temps une seule particule du second fluide choquera le plan avec la vitesse 1 ; la force exercée par le fluide ne sera donc que 1 $\times$ 1.
Les forces sont donc comme les carrés des vitesses, quoique celle de chaque particule ne soit que comme la vitesse ; et si on disait que chaque partie agit comme le carré de sa vitesse, chacune de ses parties agirait alors comme 100, et le fluide aurait une action totale comme 1000 : ce qui ne serait plus alors le carré de la vitesse, mais le cube ; donc on ne trouve ici, comme partout ailleurs, que le produit de la vitesse par la masse.
16° Est-il permis de redire encore ce qui a été dit, que les corps qui se choquent en raison réciproque des vitesses et des masses agissent toujours en cette proportion, et non en celle du carré ; et le corps 1, choquant avec 10 de vitesse le corps 10, qui n’a que la vitesse 1, la pression est égale de part et d’autre, et qu’ainsi les forces sont évidemment égales ?
17° L’expérience proposée par M. Jurin n’est-elle pas une preuve sans réplique que deux vitesses en un temps ne donnent que 2 forces ? On sait que c’est un plan mobile à qui on donne la vitesse 1, sur lequel on fait rouler, selon la même direction, une boule avec la même vitesse. Ces 2 vitesses en un même temps ne feront jamais d’effet que comme 2, et non comme 4.
18° Les défenseurs des forces vives ont-ils bien réfuté cette expérience, en disant que le ressort qui donne la vitesse 1 à la boule, étant appuyé lui-même sur ce plan mobile, fait reculer ce plan et dérange l’expérience ? N’est-il pas aisé de remédier à ce petit déchet de mouvement que le plan mobile doit éprouver ? On n’a qu’à fixer le ressort à un appui inébranlable, et jeter avec ce ressort la boule sur le plan mobile. L’expérience peut se faire, l’effet ne peut s’en contester ; la question n’est-elle pas décidée de fait ?
19° N’est-il pas encore évident que ces cas, tels que M. Herman les rapporte, et tous les cas possibles où un mobile semble communiquer plus de force qu’il n’en a, sont tous soumis à la distinction du temps et à l’examen des forces du ressort ? Par exemple on dit qu’une boule sous-double, ayant la vitesse deux, communique en un temps une force comme quatre aux deux boules doubles, qu’elle frappe à la fois sous un angle de 60 degrés, puisque chacune des boules doubles recevra 1 de vitesse ; mais il faut observer que dans ce cas les boules B et E n’auront parcouru que la moitié du rayon dans le sens de A B, tandis que le corps A, allant de A en D, aura parcouru le double de ce rayon ; et quant à la vitesse latérale qu’elles acquièrent, elle est produite également dans le cas du choc des corps durs, où tout le monde convient de mesurer la force par le produit de la masse par la vitesse.
20° Ne paraît-il pas encore que, dans le choc des corps à ressort, ce serait se faire illusion de croire que la force motrice soit le produit du carré de la vitesse, sur ce que les carrés de cette vitesse, multipliés par les masses, sont toujours, après le choc, égaux à la masse du corps choquant, multipliée par le carré de sa vitesse ? Cette augmentation de force qu’on trouve après le choc ne vient-elle pas évidemment de la propriété des corps à ressort ? Et n’est-ce pas cette propriété qui fait qu’une boule choquée par le moyen de 20 boules intermédiaires, toutes en raison sous-double, peut acquérir ${\tfrac {2^{20}(1+{2^{20}})}{3^{21}}}$ fois plus de force que si elle était choquée par la première boule seulement ? Or il est démontré que dans ce cas ce n’est pas cette première boule qui possédait ce grand excédant de forces ; n’est-il donc pas de la dernière évidence que c’est au ressort qu’il faut attribuer cette prodigieuse augmentation ?
Donc, de quelque côté qu’on se tourne, soit que l’on consulte l’expérience, soit qu’on calcule, on trouve toujours que la valeur des forces motrices est la masse multipliée par la vitesse.
1° Maintenant, s’il est bien prouvé que ce qu’on appelle force motrice est le produit de la simple vitesse par la masse, sera-t-il moins aisé de parvenir à connaître ce que c’est que cette force ?
2° D’abord, si elle est la même dans un corps qui n’est pas eu mouvement, comme dans le bras d’une balance en repos, et dans un corps qui est en mouvement, n’est-il pas clair qu’elle est toujours de même nature, et qu’il n’y a point deux espèces de force, l’une morte et l’autre vive, dont l’une diffère infiniment de l’autre ? à moins qu’on ne dise aussi qu’un liquide est infiniment plus liquide quand il coule que quand il ne coule pas.
3° Si la force n’est autre chose que le produit d’une masse par sa vitesse, ce n’est donc précisément que le corps lui-même, agissant ou prêt à agir avec cette vitesse, La force n’est donc pas un être à part, un principe interne, une substance qui anime les corps, et distinguée des corps, comme quelques philosophes l’ont prétendu.
4° Cette force, qui n’est rien, sinon l’action des corps en mouvement, n’est donc pas primitivement dans des êtres simples qu’on nomme monades, lesquelles ces philosophes disent être sans étendue, et constituer cependant la matière étendue ; et, quand même ces êtres existeraient, il ne paraît pas plus qu’ils puissent avoir une force motrice qu’il ne semble que des zéros puissent former un nombre.
5° Si cette force n’est qu’une propriété, elle est sujette à variations, comme tous les modes de la matière ; et si elle est en même raison que la quantité du mouvement, n’est-il pas clair que sa quantité s’altère si le mouvement augmente ou diminue ?
6° Or il est de fait que la quantité de mouvement augmente toutes les fois qu’un petit corps à ressort en choque un plus grand en repos. Par exemple, le mobile élastique A, qui a 20 de masse et 11 de vitesse, choque B en repos, dont la masse est 200 ; A rejaillit avec une quantité de mouvement de 180, et B marche avec 400.
Ainsi A, qui n’avait que 20 de masse et 11 de vitesse, ou 220 de force, a produit 580. D’un autre côté, il se perd, comme on en convient, beaucoup de mouvement dans le choc des corps inélastiques : donc la force augmente et diminue.
7$^o$ Les philosophes qui ont dit que la permanence de la quantité des forces est une beauté nécessaire dans la nature ont-ils plus de raison que s’ils disaient que la même quantité d’espèces, d’individus, de figures, etc., est une beauté nécessaire ?
8$^o$ S’il est incontestable que le choc d’un petit corps contre un plus grand produise une force beaucoup plus grande que celle que ce petit corps possédait, ne suit-il pas évidemment que les corps ne communiquent point de force proprement dite ? Car dans l’exemple ci-dessus, où 20 de masse avec 11 de vitesse ont produit 580 de force, le corps B, qui a 200 de masse, acquiert une force de 400, qui n’est que le résultat de la masse 200 par la vitesse 2. Or certainement il n’a pas reçu de lui sa masse, il n’a reçu que sa vitesse, laquelle n’est qu’un des composants, un des instruments de la force : donc les corps ne communiquent point la force.
9$^o$ Mais la masse et le mouvement suffisent-ils pour opérer cette force ? ne faut-il pas évidemment l’inertie, sans laquelle la matière ne résisterait pas, et sans laquelle il n’y aurait nulle action ? L’inertie, le mouvement, et la masse, suffisent-ils ? ne faut-il pas un principe qui tienne tous les corps de la nature en mouvement, et leur communique ainsi incessamment une force agissante ou prête d’agir ? et ce principe n’est-il pas la gravitation, soit que la gravitation ait elle-même une cause physique, soit qu’elle n’en ait point ?
10$^o$ La gravitation, qui imprime le mouvement à tous les corps vers un centre, n’est-elle pas encore très-loin de suffire pour rendre raison de la force active des corps organisés ? Et ne leur faut-il pas un principe interne de mouvement, tel que celui de ressort ?
11$^o$ La force active causée par ce ressort, agissant suivant ces mêmes lois, et opérant les mêmes effets que toute force quelconque, ne doit-on pas en conclure que la nature, qui va souvent à différents buts par la même voie, va aussi au même but par différents chemins, et qu’ainsi la véritable physique consiste à tenir registre des opérations de la nature, avant de vouloir tout asservir à une loi générale ?
* ↑ Ces Doutes ont été imprimés dans le tome IX de la Nouvelle Bibliothèque, ou Histoire littéraire (juin 1741, pages 219-33). On mit à la suite un Extrait du rapport fait à l’Académie des sciences, le 26 avril, par Pitot et Clairaut, rapport qu’on trouvera en entier parmi les Pièces justificatives, à la suite de la Vie de Voltaire (tome Ier de la présente édition). Les éditeurs de Kehl sont les premiers qui ont admis ces Doutes dans les Œuvres de Voltaire. Mairan avait donné, en 1728, dans les Mémoires de l’Académie des sciences, une Dissertation sur l’estimation et la mesure des forces motrices des corps, qui fut réimprimée, en 1741, in-12, par les soins de l’abbé Deidier. (B.)
* ↑ Voyez la première figure de la page 142.
* ↑ Dans cet article sur la mesure des forces motrices, Voltaire prend parti pour la quantité de mouvement contre la force vive, comme expression des forces. C’était alors le moment d’une discussion mémorable entre les partisans des deux opinions. D’Alembert y mit fin, après trente ans, en faisant voir dans la préface de sa Dynamique que ce n’était qu’une question de mots. (D.)