# Théorie des fonctions analytiques/Addition au Chapitre II de la première Partie
### ADDITION AU CHAPITRE II DE LA PREMIÈRE PARTIE, PAGE 33.

On peut démontrer de différentes manières la correspondance des fonctions dérivées avec les différentielles. Si l’on désigne par $dx$ la différence constante des valeurs successives $x,\ x+dx,\ x+2dx,$ $x+3dx,\ldots$ de la variable $x,$ les valeurs correspondantes de la variable $y,$ regardée comme fonction de $x,$ seront, par la formule précédente, en y faisant successivement $i=dx,\ 2dx,\ 3dx,\ldots ,$
${\begin{alignedat}{3}y&,\\y&+&y'dx&+&{\frac {y''dx^{2}}{2}}\ \ &+&\ \ {\frac {y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ \ {\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&2y'dx&+&{\frac {4y''dx^{2}}{2}}\ &+&\ {\frac {8y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ {\frac {16y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&3y'dx&+&{\frac {9y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {27y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ {\frac {81y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&4y'dx&+&{\frac {16y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {64y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {256y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\end{alignedat}}$
$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$
Si l’on prend, par des soustractions successives, les différences premières, secondes, troisièmes, etc., de ces valeurs, et qu’on les dénote par $dy,d^{2}y,d^{3}y,\ldots ,$ on aura
${\begin{alignedat}{3}dy\ &=&\ \ y'dx\ \ &+&{\frac {y''dx^{2}}{2}}&+&\quad {\frac {y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{2}y&=&{\frac {2y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {6y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {14y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{3}y&=&{\frac {6y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {36y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{3}y&=&{\frac {24y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\qquad \\\end{alignedat}}$
$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$
Supposons que la différence $dx$ devienne infiniment petite.: les puissances $dx^{2},dx^{3},\ldots$ deviendront infiniment petites, chacune par rapport à celle qui précède, et les séries qui expriment les valeurs des différences $dy,d^{2}y,$ $d^{3}y,\ldots$ se trouveront composées de termes infiniment petits, chacun relativement au précédent, de sorte qu’en négligeant les infiniment petits d’un ordre supérieur relativement à ceux, d’un ordre inférieur, on aura simplement
$dy=y'dx,\quad d^{2}y=y''dx^{2},\quad d^{3}y=y'''dx^{3},\quad \ldots ,$
et par conséquent
$y'={\frac {dy}{dx}},\quad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\quad y'''={\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad \ldots .$
On voit par là comment la supposition des infiniment petits peut servir à trouver les fonctions dérivées, et l’on peut en conclure que les expressions différentielles ${\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ldots ,$ au lieu d’exprimer ce qu’elles paraissent représenter, ne sont à la rigueur que des symboles qui dénotent des fonctions différentes de la fonction primitive $y,$ mais dérivées de celle-ci suivant certaines lois. [Voir, dans la nouvelle édition des Leçons sur le Calcul des fonctions, la Leçon XVIII, qui contient des remarques importantes sur le passage du fini à l’infiniment petit.]
* ↑ Œuvres de Lagrange, t. X.