# L’Encyclopédie/1re édition/BATAILLON

BATAILLON, s. m. dans l’Art militaire, est un nombre d’hommes à pié, assemblés pour agir & combattre ensemble, comme s’ils ne faisoient qu’un seul & même corps.
« La premiere chose qui se présente à examiner dans le bataillon, c’est le nombre d’hommes dont il doit être composé.
On a d’abord observé qu’une troupe formée d’un grand nombre d’hommes, ne pourroit se mouvoir avec facilité ; mais aussi, si elle en a un trop petit nombre, elle ne sera capable d’aucun effet considérable : il faut donc que le nombre des hommes du bataillon permette de le faire mouvoir avec facilité ; que ces hommes soient aussi en assez grande quantité pour faire une espece de corps solide, qui puisse attaquer avec fermeté & soûtenir les différens chocs auxquels il est exposé.
Il n’est pas aisé de fixer ce nombre d’une maniere précise & géométrique ; il dépend des coûtumes des peuples qui font la guerre, de leurs armes, de la maniere de s’en servir, & de leur façon de combattre : aussi les usages ont-ils été fort différens sur ce point. Mais à présent toutes les nations de l’Europe, hors les Turcs, suivent à-peu-près le même ordre à cet égard ; les termes mêmes de bataillons & d’escadrons sont employés dans toutes les langues.
Depuis long-tems il paroît que parmi nous le nombre des hommes du bataillon est à-peu-près fixé à sept cens : mais chez les différentes nations de l’Europe, les uns ont leurs bataillons plus forts, & les autres moins. En France, dans les deux dernieres guerres qui ont precédé la mort de Louis XIV. les bataillons étoient composés de treize compagnies de cinquante hommes chacune, ce qui faisoit six cents cinquante hommes ; ils avoient plus de quarante officiers.
Dans la guerre de 1733 ils étoient composés de seize compagnies de quarante hommes chacune, & d’une dix-septieme de quarante-cinq, ce qui faisoit six cens quatre-vingt-cinq hommes, non compris cinquante-deux officiers.
Dans la guerre de 1741 ils étoient composés de même, excepté qu’ils n’avoient que trente-quatre officiers. Le fonds des bataillons François a été autrefois plus considérable.
Il faut observer que pendant la guerre, les bataillons étant formés au commencement de la campagne sur le pié prescrit par le prince, & que ces bataillons n’étant point ordinairement recrutés pendant le cours de la campagne, il arrive par la perte que leur causent les actions de la guerre, les maladies, &c. qu’ils ne sont presque jamais complets.
Dans le nombre des hommes fixé pour le bataillon, il y a une compagnie de grenadiers attachée, laquelle est souvent employée à des usages particuliers, & qui n’agit pas toûjours avec le bataillon.
On appelle grenadiers, des soldats choisis sur tout un régiment par rapport à la valeur & à la force du corps. Ils sont destinés aux fatigues & aux emplois périlleux de la guerre. Le nom de grenadiers leur vient des grenades dont ils se servoient autrefois. Voyez Grenadier.
Les soldats sont assemblés & arrangés dans le bataillon par rang & par file. Ainsi leur nombre & leur distance constituent sa forme & l’espace qu’il occupe sur le terrein.
Du tems de Louis XIII. les bataillons étoient sur huit rangs : ils ont été ensuite réduits à six. Les dernieres ordonnances de Louis XIV. les fixent à cinq : mais l’usage, même de son tems, les a fixés à quatre. A l’égard de leur distance, les ordonnances militaires en distinguent de deux sortes ; savoir, pour paroître & pour combattre.
Les distances pour paroître sont fixées pour l’intervalle d’un rang à un autre, à la longueur de deux hallebardes, ce qui se prend pour douze piés en y comprenant la profondeur ou l’épaisseur des hommes du devant de la poitrine au dos. Les mêmes ordonnances ne prescrivent rien par rapport aux files ; & en effet leur distance est assez difficile à évaluer exactement : mais il paroît que l’usage le plus ordinaire a toûjours été de compter trois piés pour l’intervalle d’une file à une autre, en comprenant dans cette distance l’espace occupé par un homme, c’est-à-dire du milieu d’un homme au milieu de celui de la file suivante.
Lorsqu’il s’agit de combattre, les officiers s’approchent autant qu’il est possible du bataillon, & les rangs se serrent jusqu’à la pointe de l’épée, c’est-à-dire, que le second rang doit toucher le bout des épées du premier, ce qui ne donne guere que trois piés pour l’épaisseur du rang & pour son intervalle. Les files s’approchent autant qu’il est possible, en conservant la liberté du coude ; ce qui veut dire, comme on l’entend ordinairement, que la file & son intervalle doivent occuper environ deux piés. On voit par là que le bataillon occupe alors beaucoup moins d’espace qu’auparavant.
Les officiers chargés du soin de former les bataillons, ne paroissent pas s’embarrasser beaucoup à présent de la distance des rangs, parce qu’elle peut être changée fort aisément dans un instant, & surtout diminuée ; c’est pourquoi ils laissent prendre douze piés pour cette distance : mais à l’égard de celle des files, comme il faut plus de tems pour la changer, ils la fixent à deux piés pour l’épaisseur de la file & pour son intervalle, ce qui est un espace suffisant pour combattre.
Il suit de là que pour savoir l’espace que le bataillon occupe sur le terrein, il faut compter deux piés pour chaque homme dans le rang, & douze piés pour l’épaisseur du rang, jointe à son intervalle.
Ainsi supposant un bataillon de six cents cinquante hommes sans compter les officiers, & que ce bataillon soit composé de cinq rangs, on trouvera les hommes de chaque rang, en divisant six cens cinquante par cinq, ce qui donnera cent trente hommes par rang ; multipliant ensuite ce nombre par deux, on aura deux cens soixante piés, ou quarante-trois toises deux piés pour l’étendue de chaque rang.
A l’égard de la profondeur des cinq rangs, comme ils ne forment que quatre intervalles, elle est de quarante-huit piés ou de huit toises, non compris l’espace occupé par les officiers.
« Si le bataillon n’est que sur quatre rangs, il n’aura que trente-six piés de profondeur, attendu que ses rangs ne donneront que trois intervalles : mais alors son front augmentera ; car six cents cinquante divisés par quatre, donnent cent soixante-deux hommes par chaque rang : multipliant ces hommes par les deux piés qu’ils occupent sur le terrein, on aura trois cents vingt-quatre piés, ou cinquante-quatre toises pour le front du même bataillon.
Ce modele de calcul ou de supputation peut servir pour toutes sortes de bataillons dont le nombre d’hommes sera connu, de même que celui des rangs : dans tous les cas il formera toûjours un rectangle beaucoup plus étendu sur une dimension que sur l’autre ». Essai sur la Castramétation, par M. le Blond.
Bataillon quarré, est un bataillon dont les soldats sont arrangés de maniere que les rangs sont égaux aux files, en sorte que les quatre côtés qui le terminent contiennent le même nombre d’hommes. Voyez File.
Il y a deux sortes de bataillons quarrés ; savoir, à centre plein, & à centre vuide.
Le bataillon quarré à centre plein, est celui dont les hommes sont placés tout de suite, ne laissant que l’intervalle ordinaire des rangs & des files.
Le bataillon quarré à centre vuide, est celui qui laisse dans son centre un espace vuide de soldats, & qui est assez considérable eu égard au terrein occupé par le bataillon.
Le bataillon quarré à centre plein est très-aisé à former. Ceux qui ont quelque connoissance de l’extraction de la racine quarrée, n’y peuvent pas être embarrassés ; car extrayant la racine quarrée du nombre d’hommes dont le bataillon doit être composé, on trouve d’abord la quantité dont chaque côté doit être composé.
Ce bataillon est assez peu d’usage dans la Tactique moderne.
1.$^o$ Parce que le feu des ennemis, & principalement celui du canon, y peut faire un très-grand desordre.
2.$^o$ Parce que les soldats du centre ne peuvent presque pas se servir de leur feu contre l’ennemi. M. le chevalier de Folard est presque le seul qui en prescrive l’usage : sa colonne n’est autre chose que deux ou trois bataillons à centre plein placés sans intervalle les uns derriere les autres. V. Colonne.
Le bataillon à centre vuide présente, comme celui qui est à centre plein, des hommes de tous côtés. On prétend que le fameux Maurice de Nassau a été le premier qui ait trouvé l’usage de vuider le centre des bataillons.
Le bataillon à centre vuide n’a pas plus de difficulté dans sa formation que celui à centre plein : un exemple suffira pour en donner une idée.
Soit un nombre d’hommes quelconque, comme 1200, dont on veut faire un bataillon quarré à centre vuide, de maniere que le côté du quarré vuide, par exemple, ait douze hommes.
Il faut retrancher deux unités du nombre 12, parce que le côté du quarré vuide, s’il étoit rempli d’hommes, en contiendroit deux de moins que le dernier rang intérieur de la partie du quarré qui est remplie : ôtant donc 2 de 12, il reste 10 qu’il faut quarrer, & l’on aura 100, que l’on ajoûtera au nombre donné 1200. Ces deux nombres ajoûtés ensemble donneront 1300, dont on extraira la racine quarrée qu’on trouvera être 36 ; il restera quatre hommes qu’on pourra placer dans le centre du bataillon.
| | | | | | $\left.{\begin{matrix}\ \ \end{matrix}}\right\$ | Racine. |
| | 1 | 3 | 0 | 0 | $\left.{\begin{matrix}\ \ \end{matrix}}\right\$ | 36. |
| | | 9. | | |
| | | 4 | 0 | 0. |
| | | | 6 | 6 |
| Reste | | | | 4. |
Voyez Racine quarrée.
Présentement pour former le bataillon, je considere que s’il étoit plein, & qu’il fût de 1300, toutes les files & tous les rangs seroient de 36 hommes : mais il doit y avoir un vuide dans le milieu du bataillon de dix hommes ; donc dans cet endroit les files n’auront que 26 hommes ; c’est-à-dire, 36 moins 10 : mais ces dix hommes doivent diminuer également les demi-files du milieu ; elles n’auront donc chacune que 13 hommes ; d’où il suit qu’il n’y aura dans cet exemple que 13 rangs de 36 hommes dans le bataillon, à commencer de la tête & de la queue du bataillon, & de la droite à la gauche. Arrangeant ainsi le bataillon, il restera le vuide demandé ; & alors chaque côté du quarré intérieur sera de 12 hommes, c’est-à-dire, de deux hommes de plus à chaque côté que le côté 10 n’en a.
Pour la preuve il suffit de considérer qu’ayant ajoûté au nombre proposé, le nombre d’hommes qu’occuperoit l’espace qu’on veut laisser vuide dans le bataillon, on peut alors regarder le nombre proposé augmenté de ce dernier, comme le nombre d’hommes dont il faut extraire la racine quarrée ; laquelle racine donnera le nombre des hommes, des rangs & des files d’un tel quarré. Or retranchant vers le milieu le nombre qu’on a ajoûté à chaque file, il restera, pour le bataillon disposé en quarré, le nombre d’hommes qui avoit d’abord été proposé : cela est évident.
On peut par cette même méthode, lorsqu’un nombre d’hommes est donné, en former un bataillon quarré qui paroisse d’un bien plus grand nombre d’hommes : car si l’on a, par exemple, 1200 hommes, dont on veuille former un bataillon quarré qui paroisse 3000, on extraira la racine quarrée de ce dernier nombre, laquelle sera trouvée de 54, avec un reste 84 qu’on peut négliger ; ce nombre seroit celui des hommes de chaque rang, de chaque file d’un bataillon quarré à centre plein de 3000 : mais comme on a ajoûté 1800 hommes au nombre donné 1200, il faut retrancher du dedans de l’intérieur du bataillon l’espace qu’occuperoient ces 1800 hommes. Pour cela il faut extraire la racine quarrée de 1800, laquelle est 42 ; c’est le nombre d’hommes qu’il faut retrancher des files du milieu du bataillon plein. Ces files sont de 54, desquelles ôtant 42, il reste 12, dont la moitié 6 est le nombre des rangs de la tête & de la queue du bataillon, de même que de ceux de la droite & de la gauche. Ainsi par cette formation les 1200 hommes donnés occuperont l’espace d’un bataillon à centre plein de 3000 ; & ils seront rangés sur six de hauteur ou de file sur chaque côté du bataillon. Traité de l’Arithmétique & de la Géométrie de l’officier par M. Leblond.
Bataillon rond, est celui dont les soldats sont rangés circulairement, en formant plusieurs circonférences concentriques.
Ce bataillon a été fort en usage parmi les Romains ; c’est ce qu’ils appelloient in orbem : on en voit plusieurs exemples dans les commentaires de César. Feu M. le maréchal de Puysegur faisoit cas de ce bataillon.
Bataillon triangulaire, est un corps de troupes disposé en triangle, & dont les rangs augmentant également, forment une progression arithmétique.
Si le premier rang est un, & que les autres augmentent chacun d’une unité, le bataillon formera un triangle qui aura les trois côtés égaux ; c’est-à-dire, qu’il sera équilatéral ; autrement il formera un triangle quelconque.
Problème pour la formation du bataillon triangulaire équilatéral : un nombre d’hommes quelconque, par exemple, 400, étant donné pour en former un bataillon équilatéral, trouver le nombre des rangs dont il sera composé.
Comme dans ce bataillon le premier rang est 1, le second 2, le troisieme 3, &c. il s’ensuit que ce problème se réduit à trouver le nombre des termes d’une progression arithmétique dont le premier terme est 1, la différence aussi 1, & la somme 400. Voyez Progression arithmétique.
Solution. Soit le nombre des termes de la progression représenté par n, le dernier sera aussi n ; car il sera l’unité prise autant de fois qu’il y a de termes.
Cela posé, la somme des extrèmes de la progression sera 1 + n, laquelle multipliée par le nombre des termes n, donnera n + nn, ou nn + n, pour le double de la somme de la progression ; c’est-à-dire, que cette expression nn + n, sera égale à deux fois 400, ou à 800. Or nn est le quarré du nombre des termes de la progression, n en est la racine : donc 800 contient le quarré du nombre des termes de la progression, plus la racine de ce quarré.
Il suit delà que pour avoir la valeur de n, ou le nombre des termes de la progression, il faut extraire la racine quarrée de 800, de maniere qu’il y ait un reste égal à la racine, ou qui la contienne.
| Extrayant donc la racine quarrée de 800, on trouve 28 avec le reste 16 : mais, comme ce reste est plus petit que la racine 28, on met 7 à la place de 8. Et achevant l’opération, on a le reste 71, qui contient la racine 27 ; ainsi 27 est le nombre des termes ou des rangs du bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 8100 | $\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\$ | 28. |
| Extrayant donc la racine quarrée de 800, on trouve 28 avec le reste 16 : mais, comme ce reste est plus petit que la racine 28, on met 7 à la place de 8. Et achevant l’opération, on a le reste 71, qui contient la racine 27 ; ainsi 27 est le nombre des termes ou des rangs du bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 400 | $\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\$ | 28. |
| Extrayant donc la racine quarrée de 800, on trouve 28 avec le reste 16 : mais, comme ce reste est plus petit que la racine 28, on met 7 à la place de 8. Et achevant l’opération, on a le reste 71, qui contient la racine 27 ; ainsi 27 est le nombre des termes ou des rangs du bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 48 | | |
| Extrayant donc la racine quarrée de 800, on trouve 28 avec le reste 16 : mais, comme ce reste est plus petit que la racine 28, on met 7 à la place de 8. Et achevant l’opération, on a le reste 71, qui contient la racine 27 ; ainsi 27 est le nombre des termes ou des rangs du bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | Reste | 16. | | |
| Extrayant donc la racine quarrée de 800, on trouve 28 avec le reste 16 : mais, comme ce reste est plus petit que la racine 28, on met 7 à la place de 8. Et achevant l’opération, on a le reste 71, qui contient la racine 27 ; ainsi 27 est le nombre des termes ou des rangs du bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 8100 | $\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\$ | 27. |
| Extrayant donc la racine quarrée de 800, on trouve 28 avec le reste 16 : mais, comme ce reste est plus petit que la racine 28, on met 7 à la place de 8. Et achevant l’opération, on a le reste 71, qui contient la racine 27 ; ainsi 27 est le nombre des termes ou des rangs du bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 400 | $\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\$ | 27. |
| Extrayant donc la racine quarrée de 800, on trouve 28 avec le reste 16 : mais, comme ce reste est plus petit que la racine 28, on met 7 à la place de 8. Et achevant l’opération, on a le reste 71, qui contient la racine 27 ; ainsi 27 est le nombre des termes ou des rangs du bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 47. | | |
| Extrayant donc la racine quarrée de 800, on trouve 28 avec le reste 16 : mais, comme ce reste est plus petit que la racine 28, on met 7 à la place de 8. Et achevant l’opération, on a le reste 71, qui contient la racine 27 ; ainsi 27 est le nombre des termes ou des rangs du bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | Reste | 71. | | |
Pour le prouver, il faut chercher quelle est la somme de la progression dont le premier terme est 1, le second 2, & le nombre des termes 27.
| Puisque le nombre des termes est 27 ; donc lui ajoûtant le premier 1, la somme des extrèmes sera 1 + 27 = 28, dont la moitié 14 étant multipliée par 27, nombre des termes, donnera 378 pour le nombre des hommes du bataillon proposé. Comme le nombre donné étoit 400, on voit qu’il reste 22 hommes qui ne peuvent entrer dans le bataillon, & qu’on peut employer ailleurs, & en former un peloton séparé. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | |
| Puisque le nombre des termes est 27 ; donc lui ajoûtant le premier 1, la somme des extrèmes sera 1 + 27 = 28, dont la moitié 14 étant multipliée par 27, nombre des termes, donnera 378 pour le nombre des hommes du bataillon proposé. Comme le nombre donné étoit 400, on voit qu’il reste 22 hommes qui ne peuvent entrer dans le bataillon, & qu’on peut employer ailleurs, & en former un peloton séparé. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | 14. |
| Puisque le nombre des termes est 27 ; donc lui ajoûtant le premier 1, la somme des extrèmes sera 1 + 27 = 28, dont la moitié 14 étant multipliée par 27, nombre des termes, donnera 378 pour le nombre des hommes du bataillon proposé. Comme le nombre donné étoit 400, on voit qu’il reste 22 hommes qui ne peuvent entrer dans le bataillon, & qu’on peut employer ailleurs, & en former un peloton séparé. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | 27. |
| Puisque le nombre des termes est 27 ; donc lui ajoûtant le premier 1, la somme des extrèmes sera 1 + 27 = 28, dont la moitié 14 étant multipliée par 27, nombre des termes, donnera 378 pour le nombre des hommes du bataillon proposé. Comme le nombre donné étoit 400, on voit qu’il reste 22 hommes qui ne peuvent entrer dans le bataillon, & qu’on peut employer ailleurs, & en former un peloton séparé. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | 98. |
| Puisque le nombre des termes est 27 ; donc lui ajoûtant le premier 1, la somme des extrèmes sera 1 + 27 = 28, dont la moitié 14 étant multipliée par 27, nombre des termes, donnera 378 pour le nombre des hommes du bataillon proposé. Comme le nombre donné étoit 400, on voit qu’il reste 22 hommes qui ne peuvent entrer dans le bataillon, & qu’on peut employer ailleurs, & en former un peloton séparé. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | 28. |
| Puisque le nombre des termes est 27 ; donc lui ajoûtant le premier 1, la somme des extrèmes sera 1 + 27 = 28, dont la moitié 14 étant multipliée par 27, nombre des termes, donnera 378 pour le nombre des hommes du bataillon proposé. Comme le nombre donné étoit 400, on voit qu’il reste 22 hommes qui ne peuvent entrer dans le bataillon, & qu’on peut employer ailleurs, & en former un peloton séparé. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | 378. |
Il suit de la résolution du problème précédent, que pour former des bataillons triangulaires équilatéraux, il faut quelque nombre de soldats, que l’on ait pour cet effet, le doubler, & ensuite en extraire la racine quarrée : mais de maniere qu’il y ait un reste égal à la racine, ou qui la contienne, & qu’alors cette racine sera le nombre des rangs du bataillon, dont tous les côtés seront égaux.
| Si l’on a, par exemple, 785 hommes à disposer ainsi en bataillon triangulaire équilatéral, on commencera par les doubler, ce qui donnera 1570. On extraira la racine quarrée de ce nombre, on la trouvera de 39 avec 49 qui la contient : donc 39 est le nombre des rangs de ce bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 1570 | $\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\$ | 39. |
| Si l’on a, par exemple, 785 hommes à disposer ainsi en bataillon triangulaire équilatéral, on commencera par les doubler, ce qui donnera 1570. On extraira la racine quarrée de ce nombre, on la trouvera de 39 avec 49 qui la contient : donc 39 est le nombre des rangs de ce bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 970 | $\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\$ | 39. |
| Si l’on a, par exemple, 785 hommes à disposer ainsi en bataillon triangulaire équilatéral, on commencera par les doubler, ce qui donnera 1570. On extraira la racine quarrée de ce nombre, on la trouvera de 39 avec 49 qui la contient : donc 39 est le nombre des rangs de ce bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 670. | | |
| Si l’on a, par exemple, 785 hommes à disposer ainsi en bataillon triangulaire équilatéral, on commencera par les doubler, ce qui donnera 1570. On extraira la racine quarrée de ce nombre, on la trouvera de 39 avec 49 qui la contient : donc 39 est le nombre des rangs de ce bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 69. | | |
| Si l’on a, par exemple, 785 hommes à disposer ainsi en bataillon triangulaire équilatéral, on commencera par les doubler, ce qui donnera 1570. On extraira la racine quarrée de ce nombre, on la trouvera de 39 avec 49 qui la contient : donc 39 est le nombre des rangs de ce bataillon. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | Reste | 49. | | |
On déterminera de la même maniere celui de tous les autres de la même espece que l’on pourra proposer.
Remarque. Si on suppose que la différence qui regne dans la progression est 2, c’est-à-dire, que le premier terme étant toûjours 1, le second est 3, le quatrieme est 5, &c. le dernier terme sera (n étant toûjours le nombre des termes) n-1 multiplié par 2, plus 1, ou 2 n - 2 + 1 ; & ajoûtant à ce terme le premier 1, la somme des extremes sera 2 n - 2 + 1 + 1 ; expression qui se réduit à 2 n, dont la moitié étant multipliée par le nombre des termes, donnera le nombre de la progression nn. Ainsi nommant S la somme de la progression, on a nn = S, c’est-à-dire, le quarré du nombre des termes égal à la somme de la progression ; & par conséquent n qui est la racine quarrée de nn, est égal à celle de S ; en sorte que $\scriptstyle n={\sqrt {S}}$.
D’où il suit que dans une progression arithmétique dont le premier terme est 1, & le second 3, le nombre des termes est égal à la racine quarrée de la somme des termes.
| Ainsi, si l’on donne 400 hommes pour former un bataillon triangulaire, dont le premier rang est 1, & le second 3, ce qui est la seconde espece des bataillons triangulaires, on trouvera le nombre des rangs de ce bataillon, en extrayant la racine quarrée de 400. Or cette racine est 20, donc ce bataillon aura vingt rangs. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | | | |
| Ainsi, si l’on donne 400 hommes pour former un bataillon triangulaire, dont le premier rang est 1, & le second 3, ce qui est la seconde espece des bataillons triangulaires, on trouvera le nombre des rangs de ce bataillon, en extrayant la racine quarrée de 400. Or cette racine est 20, donc ce bataillon aura vingt rangs. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | 41 | 00 | $\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\$ | 20. |
| Ainsi, si l’on donne 400 hommes pour former un bataillon triangulaire, dont le premier rang est 1, & le second 3, ce qui est la seconde espece des bataillons triangulaires, on trouvera le nombre des rangs de ce bataillon, en extrayant la racine quarrée de 400. Or cette racine est 20, donc ce bataillon aura vingt rangs. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | 4 | | $\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\$ | 20. |
| Ainsi, si l’on donne 400 hommes pour former un bataillon triangulaire, dont le premier rang est 1, & le second 3, ce qui est la seconde espece des bataillons triangulaires, on trouvera le nombre des rangs de ce bataillon, en extrayant la racine quarrée de 400. Or cette racine est 20, donc ce bataillon aura vingt rangs. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | 0 | 00. | | |
Pour le prouver, considérez que ce dernier rang sera 1 + 19 ✕ 2 ou 39, & qu’en y ajoûtant 1, on aura 40 pour la somme des extrèmes, laquelle étant multipliée par 10, moitié du nombre des termes, donnera 400 pour la somme de la progression, c’est-à-dire, le nombre proposé.
| Si l’on a de même 542 pour former un bataillon triangulaire de même espece, on extraira la racine quarrée de ce nombre, laquelle sera trouvée de 23. C’est donc le nombre des termes de cette progression. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 542 | $\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\$ | 23. |
| Si l’on a de même 542 pour former un bataillon triangulaire de même espece, on extraira la racine quarrée de ce nombre, laquelle sera trouvée de 23. C’est donc le nombre des termes de cette progression. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 4 | $\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\$ | 23. |
| Si l’on a de même 542 pour former un bataillon triangulaire de même espece, on extraira la racine quarrée de ce nombre, laquelle sera trouvée de 23. C’est donc le nombre des termes de cette progression. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 142 | | |
| Si l’on a de même 542 pour former un bataillon triangulaire de même espece, on extraira la racine quarrée de ce nombre, laquelle sera trouvée de 23. C’est donc le nombre des termes de cette progression. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 43 | | |
| Si l’on a de même 542 pour former un bataillon triangulaire de même espece, on extraira la racine quarrée de ce nombre, laquelle sera trouvée de 23. C’est donc le nombre des termes de cette progression. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | Reste | 13 | | |
| On le prouvera comme dans l’exemple precédent, en considérant que le dernier terme sera 1 + 2 ✕ 22 = 45 : ajoûtant à ce terme le premier 1, on aura 46, qui sera la somme des extrèmes, dont la moitié 23 multipliée par le nombre des termes, donnera 529, auquel ajoûtant le reste 13, on aura le nombre proposé 542. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 23 |
| On le prouvera comme dans l’exemple precédent, en considérant que le dernier terme sera 1 + 2 ✕ 22 = 45 : ajoûtant à ce terme le premier 1, on aura 46, qui sera la somme des extrèmes, dont la moitié 23 multipliée par le nombre des termes, donnera 529, auquel ajoûtant le reste 13, on aura le nombre proposé 542. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 23 |
| On le prouvera comme dans l’exemple precédent, en considérant que le dernier terme sera 1 + 2 ✕ 22 = 45 : ajoûtant à ce terme le premier 1, on aura 46, qui sera la somme des extrèmes, dont la moitié 23 multipliée par le nombre des termes, donnera 529, auquel ajoûtant le reste 13, on aura le nombre proposé 542. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 69 |
| On le prouvera comme dans l’exemple precédent, en considérant que le dernier terme sera 1 + 2 ✕ 22 = 45 : ajoûtant à ce terme le premier 1, on aura 46, qui sera la somme des extrèmes, dont la moitié 23 multipliée par le nombre des termes, donnera 529, auquel ajoûtant le reste 13, on aura le nombre proposé 542. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 46 |
| On le prouvera comme dans l’exemple precédent, en considérant que le dernier terme sera 1 + 2 ✕ 22 = 45 : ajoûtant à ce terme le premier 1, on aura 46, qui sera la somme des extrèmes, dont la moitié 23 multipliée par le nombre des termes, donnera 529, auquel ajoûtant le reste 13, on aura le nombre proposé 542. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 529 |
| On le prouvera comme dans l’exemple precédent, en considérant que le dernier terme sera 1 + 2 ✕ 22 = 45 : ajoûtant à ce terme le premier 1, on aura 46, qui sera la somme des extrèmes, dont la moitié 23 multipliée par le nombre des termes, donnera 529, auquel ajoûtant le reste 13, on aura le nombre proposé 542. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | Reste | 13 |
| On le prouvera comme dans l’exemple precédent, en considérant que le dernier terme sera 1 + 2 ✕ 22 = 45 : ajoûtant à ce terme le premier 1, on aura 46, qui sera la somme des extrèmes, dont la moitié 23 multipliée par le nombre des termes, donnera 529, auquel ajoûtant le reste 13, on aura le nombre proposé 542. | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\\\\\ \end{matrix}}\right\$ | | 542 |
On opérera de même pour tous les autres bataillons de même espece, quel que soit le nombre dont on voudra les former.
On voit par ce qui vient d’être enseigné sur les bataillons triangulaires, qu’ils ne sont pas plus difficiles à calculer que les bataillons quarrés. Plusieurs officiers leur donnent la préférence sur ces bataillons, parce qu’ils présentent un plus grand front, & qu’ils font également face de tous côtés. Mais comme il est difficile de faire marcher des soldats dans cet ordre, M. Bottée les croit préférables aux bataillons quarrés, seulement dans les cas où il faut combattre de pié ferme, & se donner un grand front ; ou lorsque la situation du terrein exige cette disposition. On pourra voir dans cet auteur la maniere de les former par des mouvemens réguliers. Arithmétique & Géom. de l’officier par M. Le Blond. (Q)