# Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section XIII
### XIII DÉFINITION DES FONCTIONS ${\sqrt[{m}]{x}},\,a^{x},\,x^{y},\,\log {x}$.

50. La fonction ${\mathrm {X} =x^{m}}$, $m$ étant un entier positif, considérée dans l’intervalle ${(0,+\infty )}$, est continue et croissante (d’après le calcul des inégalités étendu) ; elle est égale à $0$ pour ${x=0}$, et tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$. On désigne la fonction inverse de ${\mathrm {X} =x^{m}}$ par la notation
$x={\sqrt[{m}]{\mathrm {X} }}$
c’est la racine $m$e arithmétique du nombre positif $\mathrm {X}$. On voit que c’est une fonction continue et croissante de $\mathrm {X}$ dans l’intervalle ${(0,+\infty )}$ ; elle est égale à $0$ pour ${\mathrm {X} =0}$, et tend vers $+\infty$ en même temps que $\mathrm {X}$.
Si $u$ est une fonction des variables $x,y,\ldots$, continue et non négative dans un champ, ${\sqrt[{m}]{u}}$ est définie dans ce champ et est continue, d’après le principe du § 38.
51. D’après la théorie des radicaux arithmétiques et des exposants fractionnaires, nul et négatifs, on sait, en supposant défini ${\sqrt[{m}]{a}}$ (${a>0}$), comment on définit $a^{x}$, $x$ étant un nombre rationnel quelconque ; $a^{x}$ est ainsi une fonction d’argument rationnel, définie dans l’intervalle ${(-\infty ,+\infty )}$ ; on démontre qu’elle a les propriétés suivantes :
| 1$^o$ | $a^{x}\times a^{x'}=a^{x+x'}$ ; |
| 2$^o$ | $\;\,\left(a^{x}\right)^{x'}=a^{xx'}$ ; |
3$^o$ $a^{x}$ tend vers 1 si $x$ prend une suite de valeurs rationnelles tendant vers 0 ;
4$^o$ Si ${a>1}$, $a^{x}$ est croissante ; si ${a<1}$, est décroissante.
Je dis que la fonction d’argument rationnel $a^{x}$ est uniformément continue dans tout intervalle borné ${(\alpha ,\beta )}$. Il s’agit de satisfaire à l’inégalité
$\left\vert a^{x}-a^{x'}\right\vert <\varepsilon$
qui peut s’écrire
$a^{x'}\left\vert a^{x-x'}-1\right\vert <\varepsilon$
Or, si $\mathrm {A}$ est un nombre positif supérieur à $a^{\alpha }$ et $a^{\beta }$, comme $a^{x'}$ est compris entre ces deux valeurs, tout revient à résoudre l’inégalité
$\mathrm {A} \left\vert a^{x-x'}-1\right\vert <\varepsilon$
ou
$\left\vert a^{x-x'}-1\right\vert <{\frac {\varepsilon }{\mathrm {A} }}$
Or, cette inégalité est vérifiée quand on a
$|x-x'|<\alpha$
$\alpha$ étant un certain nombre positif, d’après la propriété 3$^o$.
Ainsi le principe d’extension s’applique à la fonction d’argument rationnel $a^{x}$ et donne naissance à une fonction que nous continuons à appeler $a^{x}$, définie pour toutes les valeurs réelles de $x$, continue, croissante si ${a>1}$, décroissante si ${a<1}$, égale à $1$ si ${a=1}$. C’est la fonction exponentielle.
Si ${a>1}$, comme $a^{m}$ tend vers $+\infty$ en même temps que $m$ si $m$ est entier, $a^{x}$ tend vers $+\infty$ si $x$ tend vers $+\infty$. De même, $a^{x}$ tend vers 0 si $x$ tend vers $-\infty$. Le cas de ${a<1}$ s’étudie de même.
52. Les fonctions suivantes des deux variables $x$ et $y$ : ${a^{x}\times a^{y}}$ et $a^{x+y}$ sont toutes deux continues, car si on a deux suites : $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, $\ldots$ tendant vers $x_{0}$, et $y_{1}$, $y_{2}$, $\ldots$, $y_{n}$, $\ldots$ tendant vers $y_{0}$, on a, d’une part
$\lim {a^{x_{n}}}=a^{x_{0}}$
$\lim {a^{y_{n}}}=a^{y_{0}}$
d’où
$\lim {a^{x_{n}}\cdot a^{y_{n}}}=a^{x_{0}}\cdot a^{y_{0}}$
d’autre part
$\lim {(x_{n}+y_{n})}=x_{0}+y_{0}$
d’où
$\lim {a^{x_{n}+y_{n}}}=a^{x_{0}+y_{0}}$
Les fonctions continues ${a^{x}\cdot a^{y}}$ et $a^{x+y}$, étant égales quand $x$ et $y$ sont rationnels, sont aussi égales quand $x$ et $y$ sont quelconques, d’après le § 39. Donc on a toujours
$a^{x}\times a^{y}=a^{x+y}$
53. La fonction de $x$, $x^{a}$, où $a$ est un nombre rationnel, est continue ; car si $a$ est positif, soit ${a={\frac {p}{q}}}$, ${x^{a}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}}$ est fonction continue (§ 50) de $x^{p}$, qui est elle-même fonction continue de $x$ ; si a est négatif, soit ${a=-a'}$, on a ${x^{a}={\frac {1}{x^{a'}}}}$, $x^{a'}$ est fonction continue, donc $x^{a}$ aussi.
54. Quand $x$ et $y$ sont rationnels, on a
| (1) | $(a^{x})^{y}=a^{xy}$. |
Étendons ce résultat au cas où $x$ et $y$ sont quelconques.
1$^o$ Supposons $y$ rationnel, $x$ étant quelconque ; formons une suite de nombres rationnels $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, $\ldots$ tendant vers $x$. On a
$\lim {a^{x_{n}}}=a^{x}$
et par suite, d’après le § 53 ($y$ étant rationnel),
$\lim {(a^{x_{n}})^{y}}=(a^{x})^{y}$
D’autre part, on a, $x_{n}$ et $y$ étant rationnels,
${(a^{x_{n}})}^{y}=a^{x_{n}y}$
donc
$(a^{x})^{y}=\lim {(a^{x_{n}})^{y}}=\lim {a^{x_{n}y}}=a^{\lim {x_{n}y}}=a^{xy}$
2$^o$ Supposons $x$ et $y$ quelconques ; soit une suite de nombres rationnels $y_{1}$, $y_{2}$, $\ldots$, $y_{n}$, $\ldots$ tendant vers $y$.
On a, d’après la continuité de la fonction exponentielle,
$\lim {(a^{x})^{y_{n}}}=(a^{x})^{y}$
D’après le cas 1$^o$, on a
$(a^{x})^{y_{n}}=a^{xy_{n}}$
Donc
$(a^{x})^{y}=\lim {(a^{x})^{y_{n}}}=\lim {a^{xy_{n}}}=a^{\lim {xy_{n}}}=a^{xy}$
L’égalité (1) est donc vraie dans tous les cas.
55. La fonction $a^{x}$ (${a>0}$ et ${\neq 1}$) étant définie dans l’intervalle ${(-\infty ,+\infty )}$, et étant, soit croissante, soit décroissante, a une fonction inverse bien définie. On la désigne par $\log _{a}{x}$ (logarithme de $x$ dans le système de base $a$). Ainsi, il y a équivalence entre
$a^{x}=\mathrm {X}$
$x=\log _{a}{\mathrm {X} }.$
Des propriétés fondamentales de l’exponentielle
$a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$
${(a^{x})}^{y}=a^{xy}$
résultent les propriétés fondamentales des logarithmes :
$\log _{a}{\mathrm {XY} }=\log _{a}{\mathrm {X} }+\log _{a}{\mathrm {Y} }$
$\log _{a}{\mathrm {X} ^{y}}=y\log _{a}{\mathrm {X} }$
La fonction logarithmique $\log _{a}{\mathrm {X} }$ est définie pour les valeurs positives de $\mathrm {X}$, continue dans tout intervalle qui ne contient pas 0. Si ${a>1}$, elle est croissante, tend vers $-\infty$ quand $\mathrm {X}$ tend vers 0, vers $+\infty$ en même temps que $\mathrm {X}$. Si ${a<1}$, elle est décroissante, tend vers $+\infty$ quand $\mathrm {X}$ tend vers 0, vers $-\infty$ quand $\mathrm {X}$ tend vers $+\infty$.
56. La fonction $x^{y}$ des variables $x$ et $y$ est définie lorsqu’on a ${x>0}$, $y$ étant quelconque.
Je dis que c’est une fonction continue ; en effet, soit $a$ un nombre quelconque ${>0}$ et ${\neq 1}$ ; soit ${x'=\log _{a}{x}}$.
On a
$x^{y}=(a^{x'})^{y}=a^{x'y}$
Si deux suites $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, $\ldots$ et $y_{1}$, $y_{2}$, $\ldots$, $y_{n}$ tendent respectivement vers $x$ et $y$ (les $x_{n}$ et $x$ étant positifs), on a, en posant ${x'_{n}=\log _{a}{x_{n}}}$,
$\lim {x'_{n}}=x'$
$\lim {x'_{n}y_{n}}=x'y$
$x^{y}=a^{x'y}=a^{\lim {x'_{n}y_{n}}}=\lim {a^{x'_{n}y_{n}}}=\lim {(a^{x'_{n}})^{y_{n}}}=\lim {x_{n}^{y_{n}}}$
L’égalité ${x^{y}=\lim {x_{n}^{y_{n}}}}$ montre la continuité de la fonction $x^{y}$.
En particulier, si $y$, supposé fixe, est égal à un nombre irrationnel $a$, on reconnaît la continuité de la fonction de $x$ : $x^{a}$ ($x$ étant positif).
La fonction $u^{v}$, si $u$ et $v$ sont des fonctions de variables $x,y,\ldots$, est, dans un champ où $u$ est positif, une fonction de ${(x,y,\ldots )}$ ; si $u$ et $v$ sont fonctions continues de ${(x,y,\ldots )}$, il en est de même de $u^{v}$.