# Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section XI
### XI THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES

43. Transformons la définition de la continuité donnée au § 29. Soit ${f(x,y,\ldots )}$ une fonction des variables ${x,y,\ldots }$, définie dans un champ $\mathrm {C}$, et qu’on suppose continue au point ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Soit $\alpha$ un nombre positif ; considérons le champ $\Gamma$ :
| (1) | $x_{0}-\alpha \leqslant x\leqslant x_{0}+\alpha$,﻿$y_{0}-\alpha \leqslant y\leqslant y_{0}+\alpha$,﻿$\ldots .$ |
On reconnaît que si ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est intérieur au champ $\mathrm {C}$, le champ $\Gamma$, quand $\alpha$ est suffisamment petit, est entièrement contenu dans $\mathrm {C}$ ; cela n’a pas lieu quand ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ n’est pas intérieur à $\mathrm {C}$, mais les champs $\mathrm {C}$ et $\Gamma$ ont toujours un certain champ commun. Il sera entendu, dans la suite, que l’on désigne par champ $\Gamma$ l’ensemble des points contenus dans $\mathrm {C}$ et satisfaisant à (1).
Les valeurs de $f$ aux points du champ $\Gamma$ forment un ensemble de nombres qui a des bornes supérieure et inférieure $\mathrm {M} _{\alpha }$ et $m_{\alpha }$ ; si on remplace $\alpha$ par un nombre inférieur $\alpha '$, le nouveau champ $\Gamma '$ obtenu est contenu dans $\Gamma$ ; donc on a, pour les nombres $\mathrm {M} _{\alpha '},m_{\alpha '}$, qui remplacent $\mathrm {M} _{\alpha }$ et $m_{\alpha }$,
$\mathrm {M} _{\alpha }\geqslant \mathrm {M} _{\alpha '}$
${m_{\alpha }\leqslant m_{\alpha '}}$
Soit maintenant une suite décroissante de nombres positifs tendant vers 0 : $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\ldots$, $\alpha _{n}$, $\ldots$ Appelons $\mathrm {M} _{n}$ et $m_{n}$ les bornes supérieure et inférieure de $f$ dans le champ $\Gamma _{n}$ défini par les conditions (1), où l’on remplace $\alpha$ par $\alpha _{n}$. On a
| (2) | $\mathrm {M} _{1}\geqslant \mathrm {M} _{2}\geqslant \ldots \geqslant \mathrm {M} _{n}\geqslant \ldots ,$ |
| | $m_{1}\leqslant m_{2}\leqslant \ldots \leqslant m_{n}\leqslant \ldots .$ |
Ces deux suites ont des limites que je désigne respectivement par $\mathrm {M}$ et $m$.
Comme chacun des nombres $\mathrm {M} _{n}$ est au moins égal à ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$, on a ${\mathrm {M} \geqslant f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Je dis qu’on ne peut avoir ${\mathrm {M} >f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Si cela était, en prenant $\lambda$ tel que ${\mathrm {M} >\lambda >f(x_{0},y_{0},\ldots )}$, on aurait ${\mathrm {M} _{n}>\lambda }$ ; on pourrait trouver dans le champ $\Gamma _{1}$ un point ${(x_{1},y_{1},\ldots )}$ tel que ${f(x_{1},y_{1},\ldots )>\lambda }$ ; dans $\Gamma _{2}$, un point ${(x_{2},y_{2},\ldots )}$ tel que ${f(x_{2},y_{2},\ldots )>\lambda }$, … ; et généralement, dans le champ $\Gamma _{n}$, un point ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$ tel que ${f(x_{n},y_{n},\ldots )>\lambda }$. La suite des points $(x_{1},y_{1},\ldots )$, $(x_{2},y_{2},\ldots )$, $\ldots$, $(x_{n},y_{n},\ldots )$, $\ldots$ tend vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$, puisque $\alpha _{n}$ tend vers 0 et que ${|x_{n}-x_{0}|\leqslant \alpha _{n}}$, ${|y_{n}-y_{0}|\leqslant \alpha _{n}}$, …. Donc ${f(x_{n},y_{n},\ldots )}$ doit tendre vers ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$, ce qui est contradictoire avec le fait que tous les nombres ${f(x_{n},y_{n},\ldots )}$ surpassent ${\lambda >f(x_{0},y_{0},\ldots )}$.
Donc ${f(x_{0},y_{0},\ldots )=\mathrm {M} }$ ; de même ${f(x_{0},y_{0},\ldots )=m}$.
Les suites (2) ont pour limite commune ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Il en résulte que, étant donné ${\varepsilon >0}$, on peut déterminer $n$ de manière que $\mathrm {M} _{n}$ et $m_{n}$ diffèrent de ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$ de moins de $\varepsilon$, et par suite $\alpha$ de manière que, en tout point ${(x,y,\ldots )}$ du champ (1), on ait
| (3) | $f(x_{0},y_{0},\ldots )-\varepsilon <f(x,y,\ldots )<f(x_{0},y_{0},\ldots )+\varepsilon .$ |
Réciproquement, si on suppose qu’à tout nombre positif $\varepsilon$ correspond ${\alpha >0}$ tel que, dans le champ (1), on a la condition (3), ${f(x,y,\ldots )}$ est continue au point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Car, soit une suite de points
${(x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,\,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots }$
tendant vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ ; quand $n$ dépasse une certaine valeur $p$, le point ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$ est contenu dans le champ (1), donc la condition (3) est vérifiée en remplaçant ${(x,y,\ldots )}$ par ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$ ; ceci montre que ${f(x_{n},y_{n},\ldots )}$ a pour limite ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Ainsi, la définition de la continuité au point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ peut être remplacée par la suivante :
La fonction ${f(x,y,\ldots )}$ est continue au point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ si, à tout nombre positif $\varepsilon$ correspond un nombre positif $\alpha$ tel que les conditions
$|x-x_{0}|\leqslant \alpha _{0}$
$|y-y_{0}|\leqslant \alpha$
$\ldots$
entraînent
$|f(x,y,\ldots )-f(x_{0},y_{0},\ldots )|<\varepsilon$
44. Si une fonction d’une seule variable ${f(x)}$, continue dans l’intervalle borné ${(a,b)}$, prend pour $a$ et $b$ deux valeurs différentes, et si $\lambda$ est un nombre compris entre ces valeurs, il y a au moins un nombre $x_{0}$ de l’intervalle pour lequel ${f(x_{0})=\lambda }$.
On a ${a<b}$ soit, par exemple, ${f(a)<f(b)}$, et soit $\lambda$ tel que
$f(a)<\lambda <f(b)$
D’après la continuité de ${f(x)}$, il y a certainement un nombre ${a'>a}$ tel que, dans ${(a,a')}$, ${f(x)}$ est toujours ${<\lambda }$, et un nombre ${b'<b}$ tel que, dans ${(b',b)}$, ${f(x)}$ est toujours ${>\lambda }$. Considérons les nombres $c$ compris entre $a$ et $b$ et tels que, dans l’intervalle
$a\leqslant x\leqslant c$
${f(x)}$ est constamment ${<\lambda }$. L’ensemble de ces nombres comprend $a'$, ne comprend pas les nombres supérieurs à $b'$ ; la borne supérieure $x_{0}$ de cet ensemble est donc, telle qu’on a
$a<x_{0}<b$
D’après la définition de $x_{0}$, pour tout nombre $x$ intérieur à ${(a,x_{0})}$, on a ${f(x)<\lambda }$, tandis que, quel que soit ${\alpha >0}$, l’intervalle ${(a,\,x_{0}+\alpha )}$ contient des points où ${f(x)\geqslant \lambda }$. Donc l’intervalle ${(x_{0}-\alpha ,\,x_{0}+\alpha )}$ contient des points où ${f(x)<\lambda }$ et d’autres où ${f(x)\geqslant \lambda }$ ; donc les bornes supérieure et inférieure de $f$ dans cet intervalle comprennent entre elles $\lambda$, et comme elles tendent toutes deux vers ${f(x_{0})}$ quand $\alpha$ prend une suite de valeurs tendant vers 0, il en résulte que ${f(x_{0})=\lambda }$.
On exprime ce fait en disant qu’une fonction continue d’une variable ne peut passer d’une valeur à une autre qu’en passant par toutes les valeurs intermédiaires.
45. Une fonction d’une ou plusieurs variables, continue dans un champ borné, est bornée et atteint, en certains points du champ, chacune de ses bornes supérieure et inférieure.
Je démontrerai d’abord la proposition préliminaire suivante :
Soit ${f(x,y,\ldots )}$ une fonction quelconque définie en tous les points d’un champ borné $\mathrm {C}$ ; soit $\mathrm {M}$ la borne supérieure (finie ou non) des valeurs de $f$ aux points de $\mathrm {C}$. Je dis qu’il y a un point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ de $\mathrm {C}$ tel que, quel que soit ${\varepsilon >0}$, dans le champ
$x_{0}-\varepsilon \leqslant x\leqslant x_{0}+\varepsilon$
$y_{0}-\varepsilon \leqslant y\leqslant y_{0}+\varepsilon$
$\ldots$
la borne supérieure de $f$ est $\mathrm {M}$.
Soit $\mathrm {C}$ le champ borné à $p$ variables
| (1) | $a\leqslant x\leqslant a'$,﻿$b\leqslant y\leqslant b'$,﻿$\ldots$. |
Partageons $\mathrm {C}$ en $2^{p}$ champs partiels, chacun d’eux s’obtenant en remplaçant dans (1) l’intervalle de variation ${(a,a')}$, soit par ${\left(a,\,{\frac {a+a'}{2}}\right)}$, soit par ${\left({\frac {a+a'}{2}},\,a'\right)}$, et opérant de même pour chacune des variables $y,\ldots$ La borne supérieure de $f$ est égale à $\mathrm {M}$ dans l’un au moins de ces champs, car la borne dans $\mathrm {C}$ est égale à la plus grande des bornes dans les divers champs partiels. Soit $\mathrm {C} _{1}$ un champ partiel dans lequel $f$ a pour borne supérieure $\mathrm {M}$ ; désignons $\mathrm {C} _{1}$ comme il suit :
| (2) | $a_{1}\leqslant x\leqslant a'_{1}$,﻿$b_{1}\leqslant y\leqslant b'_{1}$,﻿$\ldots$. |
On a
$a\leqslant a_{1}\leqslant a'_{1}\leqslant a'$
$b\leqslant b_{1}\leqslant b_{1}'\leqslant b'$
$\ldots$
$a'_{1}-a_{1}={\frac {a'-a}{2}}$
$b'_{1}-b_{1}={\frac {b'-b}{2}}$
$\ldots .$
En opérant sur $\mathrm {C} _{1}$ comme on a opéré sur $\mathrm {C}$, et répétant indéfiniment l’opération, on obtient des champs $\mathrm {C} _{1}$, $\mathrm {C} _{2}$, $\ldots$, $\mathrm {C} _{n},\ldots$ en chacun desquels $f$ a $\mathrm {M}$ pour borne supérieure. Si $a_{n},a'_{n}$, $b_{n},b'_{n}$, $\ldots$ correspondent à $\mathrm {C} _{n}$ comme $a,a'$, $b,b'$, $\ldots$ à $\mathrm {C}$, on a
$\left\lbrace {\begin{aligned}a&\leqslant a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \ldots \leqslant a_{n}\leqslant \ldots \\a'&\geqslant a'_{1}\geqslant a'_{2}\geqslant \ldots \geqslant a'_{n}\geqslant \ldots \end{aligned}}\right.$
$\left\lbrace {\begin{aligned}b&\leqslant b_{1}\leqslant b_{2}\leqslant \ldots \leqslant b_{n}\leqslant \ldots \\b'&\geqslant b'_{1}\geqslant b'_{2}\geqslant \ldots \geqslant b'_{n}\geqslant \ldots \end{aligned}}\right.$
avec
$a'_{n}-a_{n}={\frac {a'-a}{2^{n}}}$
$b'_{n}-b_{n}={\frac {b'-b}{2^{n}}}$
$\ldots .$
Les nombres $a_{n},a'_{n}$ ont donc une limite commune $x_{0}$, les nombres $b_{n},b'_{n}$ une limite commune $y_{0}$, etc.
Le point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est tel que, quel que soit ${\varepsilon >0}$, le champ
| (3) | $x_{0}-\varepsilon \leqslant x\leqslant x_{0}+\varepsilon$,﻿$y_{0}-\varepsilon \leqslant y\leqslant y_{0}+\varepsilon$,﻿$\ldots$ |
contient, quand $n$ est assez grand, le champ $\mathrm {C} _{n}$
$a_{n}\leqslant x\leqslant a'_{n}$
$b_{n}\leqslant y\leqslant b'_{n}$
$\ldots$
dans lequel la borne supérieure de $f$ est $\mathrm {M}$. Donc $f$ a pour borne supérieure $\mathrm {M}$ dans (3), quel que soit ${\varepsilon >0}$.
Appliquons cette proposition au cas où ${f(x,y,\ldots )}$ est continue dans le champ $\mathrm {C}$.
Comme, dans le champ
$|x-x_{0}|\leqslant \varepsilon$
$|y-y_{0}|\leqslant \varepsilon$
$\ldots$
la borne supérieure de $f$ est $\mathrm {M}$, quel que soit $\varepsilon$, il en résulte, d’après la continuité de $f$ (§ 43), que
$\mathrm {M} =f(x_{0},y_{0},\ldots )$
Cela montre en premier lieu que $\mathrm {M}$ est un nombre fini, c’est-à-dire que $f$ est bornée supérieurement, et en second lieu que $f$ atteint la valeur $\mathrm {M}$ en un point au moins. De même, on montrera que $f$ est bornée inférieurement et atteint sa borne inférieure en un point au moins.
46. Étant donné un ensemble $\mathrm {E}$ de nombres, ayant pour bornes supérieure et inférieure $\mathrm {M}$ et $m$, le nombre positif ou nul ${\omega =\mathrm {M} -m}$ est dit l’oscillation de $\mathrm {E}$. En particulier, l’oscillation de l’ensemble des valeurs que prend une fonction $f$ aux points d’un champ $\mathrm {C}$ où elle est définie est dite l’oscillation de $f$ dans ce champ ; si $\mathrm {C'}$ est contenu dans $\mathrm {C}$, l’oscillation de $f$ dans $\mathrm {C'}$ est $\leqslant$ à l’oscillation dans $\mathrm {C}$.
Soit ${f(x,y,\ldots )}$ une fonction continue dans un champ borné $\mathrm {C}$. En écartant le cas où $f$ aurait la même valeur en tous les points de $\mathrm {C}$ (fonction constante), l’oscillation de $f$ dans $\mathrm {C}$ est un nombre positif $\omega$. Considérons un nombre positif $\varepsilon$ inférieur à $\omega$. Soit ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ un point du champ. Si on considère, $\alpha$ étant positif, le champ $\Gamma$
$|x-x_{0}|\leqslant \alpha$
$|y-y_{0}|\leqslant \alpha$
$\ldots$
en vertu de la continuité, l’oscillation de $f$ dans $\Gamma$ tend vers 0 quand $\alpha$ tend vers 0 ; donc elle est ${<\varepsilon }$ pour des valeurs assez petites de $\alpha$ ; d’autre part, quand $\alpha$ est assez grand, $\Gamma$ contient $\mathrm {C}$, par suite l’oscillation dans $\Gamma$ surpasse $\varepsilon$. Soit $\beta$ la borne supérieure des nombres $\alpha$ tels que l’oscillation de $f$ dans $\Gamma$ est ${\leqslant \varepsilon }$ : $\beta$ est un nombre fini et positif, bien déterminé pour chaque point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ du champ. Donc $\beta$ est une fonction ${\varphi (x,y,\ldots )}$ définie dans le champ $\mathrm {C}$ ; je dis que c’est une fonction continue de ${(x,y,\ldots )}$.
En effet, soit $\beta _{0}$ la valeur de $\beta$ au point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ ; prenons ${\eta >0}$ tel que ${\beta _{0}-2\eta >0}$ ; soit ${(x_{1},y_{1},\ldots )}$ un point de $\mathrm {C}$ tel que
| (1) | $|x_{1}-x_{0}|\leqslant \eta$,﻿$|y_{1}-y_{0}|\leqslant \eta$,﻿$\ldots .$ |
Considérons les quatre champs
| (2)﻿$\mathrm {C}$ | $|x-x_{0}|\leqslant \beta _{0}-\eta$,$2$﻿$|y-y_{0}|\leqslant \beta _{0}-\eta$,$2$﻿$\ldots$, |
| (3)﻿$\mathrm {C'}$ | $|x-x_{0}|\leqslant \beta _{0}+\eta$,$2$﻿$|y-y_{0}|\leqslant \beta _{0}+\eta$,$2$﻿$\ldots$, |
| (4)﻿$\mathrm {C_{1}}$ | $|x-x_{1}|\leqslant \beta _{0}-2\eta$,﻿$|y-y_{1}|\leqslant \beta _{0}-2\eta$,﻿$\ldots$, |
| (5)﻿$\mathrm {C_{1}'}$ | $|x-x_{1}|\leqslant \beta _{0}+2\eta$,﻿$|y-y_{1}|\leqslant \beta _{0}+2\eta$,﻿$\ldots .$ |
On voit que (1) et (4) entraînent (2), que (1) et (3) entraînent (5) ; donc $\mathrm {C_{1}}$ est contenu dans $\mathrm {C}$, $\mathrm {C'_{1}}$ contient $\mathrm {C'}$ ; donc l’oscillation dans $\mathrm {C_{1}}$ est ${\leqslant \varepsilon }$ comme dans $\mathrm {C}$, et l’oscillation dans $\mathrm {C'_{1}}$ est ${>\varepsilon }$ comme dans $\mathrm {C'}$. Cela montre que la valeur $\beta _{1}$ de $\beta$ au point ${(x_{1},y_{1},\ldots )}$ est comprise entre ${\beta _{0}-2\eta }$ et ${\beta _{0}+2\eta }$, sous les conditions (1) ; $\eta$ étant arbitraire, $\beta$ est continue ; donc $\beta$ a une borne inférieure $\gamma$ qui, étant atteinte en un certain point, est positive. Pour tout point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ du champ $\mathrm {C}$, les conditions
| (6) | $|x-x_{0}|\leqslant \gamma$,﻿$|y-y_{0}|\leqslant \gamma$,﻿$\ldots$ |
entraînent
| (7) | $|f(x,y,\ldots )-f(x_{0},y_{0},\ldots )|\leqslant \varepsilon$. |
En résumé, étant donné ${\varepsilon >0}$, il y a un nombre positif $\gamma$ tel que, ${(x,y,\ldots )}$ et ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ étant deux points quelconques de $\mathrm {C}$ vérifiant les conditions (6), il en résulte (7). Ce fait, démontré pour le cas de ${\varepsilon <\omega }$, a lieu a fortiori pour toute valeur positive de $\varepsilon$ ; il a lieu évidemment pour le cas, écarté précédemment, d’une fonction constante. On exprime la propriété obtenue en disant que toute fonction ${f(x,y,\ldots )}$ continue dans un champ borné est uniformément continue dans ce champ.