# Correspondance de Lagrange avec d’Alembert/Lettre 022
### 22. LAGRANGE À D’ALEMBERT.

Mon cher et illustre ami, je viens de recevoir le Mémoire que vous avez eu la bonté de composer pour le troisième Volume de nos Mélanges, et je me hâte de vous en témoigner ma reconnaissance. Vous ne devez pas craindre qu’il soit arrivé trop tard, car l’Ouvrage n’est encore qu’à moitié imprimé, et je doute qu’il soit en état de paraître avant le mois d’avril. À l’égard de votre écriture, je vous assure que je la trouve très-lisible, et vous devez être persuadé que j’apporterai tous mes soins à ce que cette pièce soit imprimée le plus correctement et le plus nettement qu’il sera possible. Je l’ai lue avec la plus grande satisfaction tout ce qui vient de vous m’est toujours infiniment précieux, et je ne manque jamais d’en faire mon profit. Je conviens que votre manière de réduire en une série de termes tout réels la quantité $\varphi \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(x-y{\sqrt {-1}}\right)$ est préférable à la mienne, en ce qu’elle donne une suite finie lorsque $\varphi (x)$ est $=\mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{n}+\ldots \,;$ j’ai même fait à cette occasion une remarque assez curieuse c’est que les coefficients $\mathrm {A,\,B,\,C} ,\,\ldots$ de la formule
$\varphi (x+my)-m\varphi \left[x+(m-1)y)\right]+{\frac {m(m-1)}{2}}\varphi \left[x+(m-2)y)\right]-\ldots$
$=\mathrm {A} y^{m}{\frac {d^{m}\varphi (x)}{dx^{m}}}+\mathrm {B} y^{m+1}{\frac {d^{m+1}\varphi (x)}{dx^{m+1}}}+\mathrm {C} y^{m+2}{\frac {d^{m+2}\varphi (x)}{dx^{m+2}}}+\ldots$
${\Bigg{\Bigg .}$vous avez écrit par inadvertance $d^{m}\varphi (x),\,d^{m+1}\varphi (x)$ au lieu de $\left.{\frac {d^{m}\varphi (x)}{dx^{m}}},{\frac {d^{m+1}\varphi (x)}{dx^{m+1}}},\ldots \right)$ sont les mêmes que ceux de la formule
$\left(x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{2.3}}+\ldots \right)=\mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{m+1}+\mathrm {C} x^{m+2}+\ldots ,$
$\alpha$
${\frac {1}{2}},$
$\beta$
${\frac {1}{2.3}},\ldots ,$
$m=n-1,$
$\mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} ={\frac {n-1}{1}}\alpha ,\quad \mathrm {C} ={\frac {n-2}{2}}\alpha \mathrm {B} +{\frac {2n-2}{2}}\beta ,$
$\mathrm {D} ={\frac {n-3}{3}}\alpha \mathrm {C} +{\frac {2n-3}{3}}\beta \mathrm {B} +{\frac {3n-3}{3}}\gamma ,$
et ainsi de suite.
J’ai trouvé, de plus, que les coefficients de cette formule
${\begin{aligned}y^{m}{\frac {d^{m}\varphi (x)}{dx^{m}}}&=\mathrm {P} {\bigg \\varphi (x+my)-m\varphi \left[x+(m-1)y\right]{\bigg .}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {m(m-1)}{2}}\varphi \left[x+(m-2)y\right]+\ldots \right\}\\&+\mathrm {Q} {\bigg \\varphi \left[x+(m+1)y\right]-(m+1)\varphi (x+my){\bigg .}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {(m+1)m}{2}}\varphi \left[x+(m-1)y\right]+\ldots \right\}\\&+\mathrm {R} \left\{\varphi \left[x+(m+2)y\right]-(m+2)\varphi \left[x+(m+1)y\right]+\ldots \right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
sont les mêmes que ceux de la formule
$\left(x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\ldots \right)^{m}=\mathrm {P} x^{m}+\mathrm {Q} x^{m+1}+\mathrm {R} x^{m+2}+\ldots .$
Si l’on fait $m$ négatif, ces formules auront lieu également, et l’on aura
${\frac {d^{-m}\varphi (x)}{dx^{-m}}}=\int ^{m}\varphi (x)dx^{m}.$
Je suis charmé de vous savoir presque entièrement remis de votre dernière maladie et qu’on vous ait enfin rendu la justice qui vous est due. On n’a encore rien fait pour moi jusqu’ici, et je crois même qu’on n’y pense plus ; je sais seulement qu’un de nos ministres a dit à quelqu’un qui s’intéressait pour moi qu’il me connaissait à peine et qu’il ne me voyait jamais, mais je ne me sens pas le courage de sacrifier mon temps et ma tranquillité à l’espérance d’une misérable pension. Adieu, mon cher et illustre ami ; je compte que vous aurez reçu une Lettre que je vous ai écrite au commencement de ce mois et que je vous ai adressée à l’ordinaire, ne sachant pas votre nouvelle demeure. Je vous embrasse de tout mon cœur et je vous prie de me donner de vos nouvelles le plus souvent que vous pourrez.
* ↑ Au sujet de la pension dont il a été parlé plus haut, p. 38. — Cf p. 48.