# Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section X
### X EXTENSION DU CALCUL ALGÉBRIQUE

40. Montrons que les règles de calcul algébrique qui sont établies en Algèbre élémentaire dans le cas où les variables reçoivent des valeurs rationnelles s’appliquent au cas où ces variables sont quelconques.
Toutes celles de ces règles qui sont relatives à la transformation des égalités au moyen des quatre opérations élémentaires résultent d’un certain nombre de principes qu’on peut exprimer par les formules suivantes, où $x,y,z$ désignent des nombres rationnels :
| (1) | $\qquad \quad \;x+y=y+x$, |
| (2) | $\qquad \quad \;(x+y)+z=x+(y+z)$, |
| (3) | $\quad \;\;x+0=x$, |
| (4) | $\quad \;\;x-x=0$, |
| (5) | $\qquad \;0-x=-x$, |
| (6) | $\quad \;\;\,x+(-y)=x-y$, |
| (7) | $\qquad \quad \,\,x\times (-y)=-(y\times x)$, |
| (8) | $\,(-x)\times (-y)=x\times y$, |
| (9) | $\quad \;\;x\times 0=0$, |
| (10) | $\quad \;\;x\times 1=x$, |
| (11) | $\qquad \quad \;x\times y=y\times x$, |
| (12) | $\qquad \quad \;(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$, |
| (13) | $\quad \qquad \qquad \;\;\;(x+y)\times z=(x\times z)+(y\times z)$, |
| (14) | $\qquad \qquad \qquad \;\;\;{\frac {x}{x}}=1$,﻿($x\neq 0$), |
| (15) | $\qquad \qquad \quad \;\;x\times {\frac {1}{y}}={\frac {x}{y}}$,﻿($y\neq 0$). |
Toutes les fonctions qui figurent dans l’un ou l’autre membre de l’une de ces égalités sont des fonctions continues de $x,y,z$ [en vertu, pour ce qui concerne les égalités (2), (6), (7), (8), (12), (13), (15), du § 38] ; donc, d’après le § 39, ces équations sont valables pour toutes les valeurs, rationnelles ou non, des variables. Ainsi se trouve étendu tout le calcul algébrique relatif aux transformations d’égalités par addition, soustraction, multiplication et division.
41. Pour étendre aux nombres quelconques les deux règles fondamentales du calcul des inégalités (addition d’un même nombre aux deux membres, multiplication par un même nombre positif), rappelons que, d’après la définition des nombres opposés, il y a équivalence entre les conditions ${x>0}$ et ${-x<0}$, et que, d’après la définition de la différence, il y a équivalence entre les conditions ${x>y}$ et ${x-y>0}$.
Cela étant, quels que soient $x$, $y$, $z$, de ${x>y}$ on déduit ${x-y>0}$, ce qui, d’après le calcul des égalités étendu, peut s’écrire ${(x+z)-(y+z)>0}$, d’où ${x+z>y+z}$ ; donc cette dernière inégalité résulte de ${x>y}$.
On a vu (§ 37) que, de ${x>0}$, ${y>0}$, résulte ${xy>0}$.
Cela posé, si l’on a ${x>y}$, et ${z>0}$, on peut écrire successivement ${x-y>0}$, ${z(x-y)>0}$, ${zx-zy>0}$, ${zx>zy}$ ; on peut donc déduire cette dernière de ${x>y}$.
En résumé, tout le calcul algébrique relatif aux transformations d’égalités et d’inégalités par addition, soustraction, multiplication et division s’applique aux nombres quelconques.
42. Par combinaison des quatre opérations fondamentales effectuées sur des variables $x,y,\ldots$, on obtient des fonctions qui sont les fonctions rationnelles de ${(x,y,\ldots )}$ ; elles comprennent comme cas particulier les polynômes, obtenus en n’effectuant que les trois premières opérations.
D’après le principe du § 38, une fonction rationnelle des variables ${(x,y,\ldots )}$ est continue ; si $u,v,\ldots$ sont des fonctions continues de ${(x,y,\ldots )}$, une fonction rationnelle de $u,v,\ldots$ est fonction continue de $x,y,\ldots$, dans tout champ où elle se trouve définie ; comme cas particuliers de cette proposition, la somme, le produit de plusieurs fonctions continues, le quotient de deux fonctions continues sont des fonctions continues.