# L’Encyclopédie/1re édition/CONIQUE

CONIQUE, adj. (Géom.) se dit en général de tout ce qui a rapport au cone, ou qui lui appartient, ou qui en a la figure. On dit quelquefois les coniques, pour exprimer cette partie de la Géometrie des lignes courbes, où l’on traite des sections coniques.
Conique, (Géom.) section conique, ligne courbe que donne la section d’un cone par un plan. Voyez Cone & Section.
Les sections coniques sont, l’ellipse, la parabole & l’hyperbole, sans compter le cercle & le triangle, qu’on peut mettre au nombre des sections coniques : en effet le cercle est la section d’un cone par un plan parallele à la base du cone ; & le triangle en est la section par un plan qui passe par le sommet. On peut en conséquence regarder le triangle comme une hyperbole dont l’axe transverse ou premier axe est égal à zéro.
Quoique les principales propriétés des sections coniques soient expliquées en particulier à chaque article de l’ellipse, de la parabole & de l’hyperbole ; nous allons cependant les exposer toutes en général, & comme sous un même point de vue ; afin qu’en les voyant plus rapprochées, on puisse plus aisément se les rendre familieres. ce qui est nécessaire pour la haute Géometrie, l’Astronomie, la Mécanique, &c.
1. Si le plan coupant est parallele à quelque plan qui passe par le sommet, & qui coupe le cone ; ou ce qui revient au même, si le plan coupant étant prolongé rencontre à la fois les deux cones opposés, la section de chaque cone s’appelle hyperbole. Pour représenter sous un même nom les deux courbes que donne chaque cone, lesquelles ne font réellement ensemble qu’une seule & même courbe ; on les appelle hyperboles opposées.
2. Si le plan coupant est parallele à quelque plan qui passe par le sommet du cone, mais sans couper le cone ni le toucher, la figure que donne alors cette section est une ellipse.
3. Si le plan passant par le sommet, & auquel on suppose parallele, le plan de la section, ne fait simplement que toucher le cone, le plan coupant donnera alors une parabole.
Mais au lieu de considérer les sections coniques par leur génération dans le cone : nous allons à la maniere de Descartes & des autres auteurs modernes, les examiner par leur description sur un plan.
Description de l’ellipse. H, I, (fig. 13. conique.) étant deux points fixes sur un plan ; si l’on fait passer autour de ces deux points un fil IHB, que l’on tende par le moyen d’un crayon ou stylet en B, en faisant mouvoir ce stylet autour des points H & I jusqu’à ce qu’on revienne au même point B, la courbe qu’il décrira dans ce mouvement sera une ellipse.
On peut regarder cette courbe comme ne différant du cercle qu’autant qu’elle a deux centres au lieu d’un. Aussi si on imagine que les points H, I se rapprochent, l’ellipse sera moins éloignée d’un cercle, & en deviendra un exactement, lorsque ces points H & I se confondront.
Suivant les différentes longueurs que l’on donnera au fil BHI, par rapport à la distance ou longueur HI, on formera différentes especes d’ellipses ; & toutes les fois qu’on augmentera l’intervalle HI, & la longueur du fil HBI, en même raison, l’ellipse restera de la même espece ; les limites des différentes ellipses sont le cercle, & la ligne droite dans laquelle cette courbe se change lorsque les points H & I sont éloignés à leur plus grande distance ; c’est-à-dire, jusqu’à la longueur entiere du fil. La différence frappante qui est entre le cercle, qui est la premiere de toutes les ellipses, & la ligne droite ou ellipse infiniment allongée qui est la derniere, indique assez que toutes les ellipses intermédiaires doivent être autant d’especes d’ellipses différentes les unes des autres ; & il seroit aisé de le démontrer rigoureusement.
Dans une ellipse quelconque DFKR, (fig. 14.) le point C est appellé le centre ; les points H & I, les foyers ; DK, le grand axe, ou l’axe transverse, ou bien encore le principal diametre ou le principal diamettre tranverse ; FR le petit axe. Toutes les lignes passant par C sont nommées diametres : les lignes terminées à deux points de la circonférence, & menées parallelement à la tangente Mμ, au sommet d’un diametre, sont les ordonnées à ce diametre. Les parties comme Mν, terminées entre le sommet M du diametre, & les ordonnées, sont les abscisses. Le diametre mené parallelement aux ordonnées d’un diametre, est son diametre conjugué ; enfin la troisieme proportionnelle à un diametre quelconque, & à son diametre conjugué, est le parametre de ce diametre quelconque. Voyez Centre, Foyer, Axe, Diametre, &c.
Propriétés de l’ellipse. 1°. Les ordonnées d’un diametre quelconque sont toutes coupées en deux parties égales par ce diametre.
2°. Les ordonnées des axes ou diametres principaux sont perpendiculaires à ces axes. Mais les ordonnées aux autres diametres leur sont obliques. Dans les ellipses de différentes especes, plus les ordonnées sont obliques sur leur diametre à égale distance de l’axe, plus les axes different l’un de l’autre. Dans la même ellipse plus les ordonnées seront obliques sur leurs diametres, plus ces diametres seront êcartés des axes.
3°. Il n’y a que deux diametres conjugués qui soient égaux entr’eux ; & ces diametres MG, VT, sont tels que l’angle FCM = FCV.
4°. L’angle obtus VCM, des deux diametres conjugués égaux, est le plus grand de tous les angles obtus que forment entr’eux les diametres conjugués de la même ellipse ; c’est le contraire pour l’angle aigu VCB.
5°. Les lignes μP & νB étant des demi-ordonnées à un diametre quelconque MG, le quarré de μP est au quarré de νB, comme le rectangle Mμ ✕ μG est au rectangle Mν ✕ νG. Cette propriété est démontrée par MM. de l’Hopital, Guisnée, &c.
6°. Le parametre du grand axe, qui suivant la définition précédente doit être la troisieme proportionnelle aux deux axes, est aussi égal à l’ordonnée MI (fig. 13.), qui passe par le foyer I.
7°. Le quarré d’une demi-ordonnée quelconque Pμ à un diametre MG (fig. 14.), est moindre que le produit de l’abscisse Mμ par le parametre de ce diametre, C’est ce qui a donné le nom à l’ellipse, ἔλλειψις, signifiant défaut.
8°. Si d’un point quelconque B (fig. 13.) on tire les droites BH & BI aux foyers, leur somme sera égale au grand axe ; & si l’on divise par la ligne Ba l’angle IBH que font ces deux lignes, en deux parties égales, cette ligne Ba sera perpendiculaire à l’ellipse dans le point B.
9°. Un corps décrivant l’ellipse DFK autour du foyer H, est dans sa plus grande distance à ce foyer H, lorsqu’il est en K ; dans sa plus petite, lorsqu’il est en D ; & dans ses moyennes distances, lorsqu’il est on F & en E.
10°. De plus, cette moyenne distance FH & EH est égale à la moitié du grand axe.
11°. L’aire d’une ellipse est à celle du cercle circonscrit DmK, comme le petit axe est au grand axe. Il en est de même de toutes les parties correspondantes MIK, miK de ces mêmes aires. Cette propriété suit de celle-ci, que chaque demi-ordonnée MI de l’ellipse, est à la demi-ordonnée mI du cercle dans la raison du petit axe au grand. Ce seroit le contraire, si on comparoit un cercle à une ellipse circonscrite, c’est-à-dire qui auroit pour petit axe le diametre de ce cercle.
12°. Tous les parallélogrammes décrits autour des diametres conjugués des ellipses, sont égaux entr’eux. Le parallélogramme αβγδ (fig. 14.) par exemple, est égal au parallélogramme εζηθ. M. Euler a étendu cette propriété à d’autres courbes. Voyez le premier volume de l’histoire Françoise de l’académie de Berlin, 1745.
13°. Si la ligne droite BI passant par l’un des foyers, se meut en telle sorte que l’aire qu’elle décrit soit proportionnelle au tems, le mouvement angulaire de BH autour de l’autre foyer, lorsque l’ellipse ne differe pas beaucoup du cercle, est fort approchant d’être uniforme ou égal. Car dans une ellipse qui differe peu d’un cercle, les secteurs quelconques BID, FID, &c. sont entr’eux à très-peu près comme les angles correspondans BHD. Voyez Inst. astron. de M. le Monnier, pag. 506. & suiv.
Description de la parabole. YLK (figure 15. sect. coniq.) est une équerre dont on fait mouvoir la branche YL le long d’une regle fixe YI ; PF est un fil dont une extrémité est attachée en X à cette équerre, & l’autre en F à un point fixe F. Si pendant le mouvement de cette équerre on tend continuellement le fil par le moyen d’un stylet P, qui suive toûjours l’équerre, le stylet décrira la courbe appellée parabole.
La ligne LI est nommée la directrice ; F le foyer ; le point T qui divise en deux parties égales la perpendiculaire FI à la directrice, est le sommet de la parabole. La droite TF, prolongée indéfiniment, l’axe.
Toute ligne comme ni parallele à l’axe, est appellée un diametre. Les lignes comme Hl terminées à deux points H, l de l’ellipse, & menées parallelement à la tangente au sommet d’un diametre, sont les ordonnées à ce diametre. Les parties iq sont les abscisses. Le quadruple de la distance du point i au point F, est le parametre du diametre in : d’où il suit que le quadruple de FT est le parametre de l’axe, qu’on appelle aussi le parametre de la parabole.
Propriétés de la parabole. 1°. Les ordonnées à un diametre quelconque, sont toûjours coupées en deux parties égales par ce diametre.
2°. Les ordonnées à l’axe lui sont perpendiculaires, & sont les seules qui soient perpendiculaires à leur diametre ; les autres sont d’autant plus obliques, que le diametre dont elles sont les ordonnées, est plus éloigné de l’axe.
3°. Le quarré d’une demi-ordonnée quelconque ql, est égal au rectangle de l’abscisse correspondante iq, par le parametre du diametre in de ces ordonnées : c’est de cette égalité qu’est tiré le nom de la parabole, παραβολὴ, signifiant égalité ou comparaison.
4°. Le parametre de la parabole, c’est-à-dire le parametre de l’axe, est égal à l’ordonnée à l’axe, laquelle passe par le foyer F, & se termine de part & d’autre à la parabole.
5°. La distance PF d’un point quelconque P de la parabole au foyer F, est égale à la distance PL du même point à la directrice LI : cette propriété suit évidemment de la description de la courbe.
6°. Lorsque l’abscisse est égale au parametre, la demi-ordonnée est aussi de la même longueur.
7°. Les quarrés de deux ordonnées au même diametre, qui répondent à deux différens points de la parabole, sont entre eux dans la même proportion que les deux abscisses de ces ordonnées.
8°. L’angle hin entre la tangente ht au point quelconque i, & le diametre in au même point, est toûjours égal à l’angle tiF, que cette tangente fait avec la ligne iF tirée au foyer. Ainsi, si Hil représente la surface d’un miroir, exposée aux rayons de lumiere de maniere qu’ils viennent parallelement à l’axe, ils seront tous refléchis au point F, où ils brûleront par leur réunion : c’est ce qui fait qu’on a nommé ce point le foyer. Voyez Miroir ardent.
9°. La parabole est une courbe qui s’étend à l’infini à droite & à gauche de son axe.
10°. La parabole à mesure qu’elle s’éloigne du sommet, a une direction plus approchante du parallelisme à l’axe, & n’y arrive jamais qu’après un cours infini.
11°. Si deux paraboles ont le même axe & le même sommet, leurs ordonnées à l’axe répondant aux mêmes abscisses, seront toûjours entr’elles en raison sous-doublée de leurs parametres, ainsi que les aires terminées par ces ordonnées.
12°. La valeur d’un espace quelconque iqH, renfermé entre un arc de parabole, le diametre iq au point i, & l’ordonnée Hq au point H, est toûjours le double de l’espace ihH renfermé entre le même arc iH, la tangente ih, & le parallele hH à iq ; ou ce qui revient au même, l’espace iHq est toûjours les deux tiers du parallélogramme circonscrit.
13°. Si d’un point quelconque H de la parabole, on mene une tangente Hm à cette courbe, la partie im comprise entre le point où cette tangente rencontre un diametre quelconque & le point i sommet de ce diametre, est toûjours égale à l’abscisse iq, qui répond à l’ordonnée qH de ce diametre pour le point H.
14°. Toutes les paraboles sont semblables entre elles & de la même espece, ainsi que les cercles.
15°. Si on fait passer un diametre par le concours de deux tangentes quelconques, ce diametre divisera en deux parties égales la ligne qui joint les deux points de contact : cette propriété est commune à toutes les sections coniques.
Description de l’hyperbole. La regle IBT (fig. 16.) est attachée au point fixe I, autour duquel elle a la liberté de tourner. A l’extrémité T de cette regle est attaché un fil HBT, dont la longueur est moindre que IT ; l’autre bout de ce fil est attaché à un autre point fixe H, dont la distance au premier I est plus grande que la différence qui est entre le fil & la regle IT, & plus petite que la longueur de cette regle. Cela posé, si pendant que la regle IT tourne autour du point I on tend continuellement le fil par le moyen d’un stylet qui suive toûjours cette regle, ce stylet décrira la courbe appellée hyperbole.
Les points H & I sont appellés les foyers. Le point C qui divise en deux parties égales l’intervalle IH est le centre. Le point D qui est celui où tombe le point B, lorsque la regle IT tombe sur la ligne IH, est le sommet de l’hyperbole. La droite DK double de DC, est l’axe transverse, la figure SKL égale & semblable à BDT, que l’on décriroit de la même maniere en attachant la regle en H, au lieu de l’attacher en I, seroit l’hyperbole opposée à la premiere.
Le rapport qui est entre la distance des points H & I, & la différence du fil à la regle, est ce qui caractérise l’espece de l’hyperbole.
Il y a une autre maniere de décrire l’hyperbole, qui rend plus facile la démonstration de la plûpart de ses propriétés. Voici cette méthode.
LL & MM (fig. 17.) étant deux droites quelconques données de position qui se coupent en un point C, & cDdC un parallélogramme donné, si on trace une courbe eDh qui ait cette propriété qu’en menant de chacun de ses points e les paralleles ed, & ec à LL & MM, le parallélograme cedC soit égal au parallélogramme DcCd, cette courbe sera une hyperbole.
La courbe égale & semblable à cette courbe que l’on décriroit de la même maniere dans l’angle opposé des lignes MM, LL, seroit l’hyperbole opposée.
Les deux hyperboles que l’on décriroit avec le même parallélogramme entre les deux autres angles qui sont les complémens à deux droits des deux premiers, seroient les deux courbes appellées les hyperboles conjuguées aux premieres. Voyez Conjugué.
Le point où les deux droites MM, LL, se rencontrent, est le centre de toutes ces hyperboles.
Toute ligne passant par le centre, & terminée aux deux hyperboles opposées, est un diametre de ces hyperboles. Toutes les droites menées parallelement à la tangente au sommet de ce diametre & terminées par l’hyperbole, sont des ordonnées à ce diametre ; & les parties correspondantes du prolongement de ce diametre, lesquelles sont terminées par le sommet de ce diametre & par les ordonnées, sont les abscisses.
Un diametre quelconque de deux hyperboles opposées, a pour diametre conjugué celui des hyperboles conjuguées, qui a été mené parallelement aux ordonnées du premier.
Le parametre d’un diametre quelconque, est la troisieme proportionnelle à ce diametre & à son conjugué.
Les lignes LL, MM sont appellées les asymptotes, tant des hyperboles opposées que des conjuguées. Voyez Asymptote.
Propriétés de l’hyperbole. 1°. Les ordonnées à un diametre quelconque sont toûjours coupées en deux parties égales par ce diametre.
2°. Les ordonnées à l’axe sont les seules qui soient perpendiculaires à leur diametre ; les autres sont d’autant plus obliques, que le diametre est plus écarté de l’axe ; & en comparant deux hyperboles de différentes especes, les diametres qui seront à même distance de l’axe, auront des ordonnées d’autant plus obliques, que la différence de l’angle LCM à son complément sera plus grande.
3°. Le quarré d’une ordonnée à un diametre quelconque est au quarré d’une autre ordonnée quelconque au même diametre, comme le produit de l’abscisse correspondante à cette premiere ordonnée par la somme de cette abscisse & du diametre, est au produit de l’abscisse correspondante à la seconde ordonnée, par la somme de cette abscisse & du diametre.
4°. Le parametre de l’axe transverse est égal à l’ordonnée qui passe par le foyer.
5°. Le quarré d’une demi-ordonnée à un diametre est plus grand que le rectangle de l’abscisse correspondante par le parametre de ce diametre. C’est de cet excès, appellé en Grec ὑπερβολὴ, qu’est venu le nom de l’hyperbole.
6°. Si d’un point quelconque B (fig. 16.) on tire deux lignes BH, BI aux foyers, leur différence sera égale au grand axe ; ce qui suit évidemment de la premiere description de l’hyperbole.
7°. Si on divise en deux parties égales l’angle HBI, compris les deux lignes qui vont d’un point quelconque aux foyers, la ligne de bissection sera tangente à l’hyperbole en B.
8°. Les lignes droites LL, MM (fig. 17.) dans lesquelles sont renfermées les deux hyperboles op-Rosées & leurs conjuguées, sont asymptotes de ces quatre hyperboles, c’est-à-dire qu’elles en approchent continuellement sans jamais les rencontrer, mais qu’elles peuvent en approcher de plus près que d’une distance donnée, si petite qu’on la suppose.
9°. L’ouverture de l’angle que font les asymptotes de deux hyperboles opposées, caractérise l’espece de cette hyperbole. Lorsque cet angle est droit, l’hyperbole s’appelle équilatere, à cause que son axe (latus transversum) & son parametre (latus rectum) sont égaux entre eux. Cette hyperbole est à l’égard des autres, ce que le cercle est à l’égard des ellipses. Si par exemple sur le même axe, en variant l’axe conjugué, on construit différentes hyperboles, les ordonnées de ces différentes hyperboles qui auront les mêmes abscisses, seront à l’ordonnée correspondante de l’hyperbole équitatere, comme l’axe conjugué est à l’axe transverse.
10°. Si par le sommet d’un diametre quelconque on tire une tangente à l’hyperbole, l’intervalle retranché sur cette tangente par les asymptotes, est toûjours égal au diametre conjugué.
11°. Si par un point quelconque m de l’hyperbole (fig. 29.) on tire à volonté des lignes KmH, rmR qui rencontrent les deux asymptotes, on aura MR = mr, HE = mK : ce qui fournit une maniere bien simple de décrire une hyperbole, dont les asymptotes CQ, CT soient données, & qui passe par un point donné m : car menant par m une ligne quelconque KmH, & prenant HE = mK, le point E sera à l’hyperbole. On trouvera de même un autre point M de l’hyperbole, en menant une autre ligne rmR, & prenant MR = mr ; & ainsi des autres.
12°. Si sur l’une des asymptotes OM (fig. 17.) l’on prend les parties CI, CII, CIII, CIV, CV, &c. qui soient en progression géométrique, & qu’on mene par les points CI, CII, CIII, CIV, les paralleles Ii, II2, III3, IV4, V5, &c. à l’autre asymptote, les espaces I2, II3, III4, IV5, V6, &c. seront tous égaux. D’où il suit que si l’on prend les parties CI, CII, CIII, &c. suivant l’ordre des nombres naturels, les espaces I2, II3, III4, &c. représenteront les logarithmes de ces nombres.
De toutes les propriétés des sections coniques on peut conclure : 1°. que ces courbes font toutes ensemble un système de figures régulieres, tellement liées les unes aux autres, que chacune peut dans le passage à l’infini, changer d’espece & devenir successivement de toutes les autres. Le cercle, par exemple, en changeant infiniment peu le plan coupant, devient une ellipse ; & l’ellipse en reculant son centre à l’infini, devient une parabole, dont la position étant ensuite un peu changée, elle devient la premiere hyperbole : toutes ces hyperboles vont ensuite en s’élevant, jusqu’à se confondre avec la ligne droite, qui est le côté du cone.
On voit, 2°. que dans le cercle le parametre est double de la distance du sommet au foyer ou centre ; dans l’ellipse, le parametre de tout diametre est à l’égard de cette distance dans une raison qui est entre la double & la quadruple ; dans la parabole cette raison est précisément le quadruple, & dans l’hyperbole la raison passe le quadruple.
3°. Que tous les diametres des cercles & des ellipses se coupent au centre & en-dedans de la courbe ; que ceux de la parabole sont tous paralleles entr’eux & à l’axe ; que ceux de l’hyperbole se coupent au centre, aussi bien que ceux de l’ellipse, mais avec cette différence que c’est en-dehors de la courbe.
On peut s’instruire des principales propriétés des sections coniques, dans l’application de l’Algebre à la Géométrie, par M. Guisnée : ceux qui voudront les apprendre plus en détail, auront recours à l’ouvrage de M. le marquis de l’Hopital, qui a pour titre, traité analytique des sections coniques : enfin on trouvera les propriétés des sections coniques traitées fort au long dans l’ouvrage in-folio de M. de la Hire, qui a pour titre, sectiones conicæ in novem libros distributæ ; mais les démonstrations en sont pour la plûpart très-longues, & pleines d’une synthese difficile & embarrassée. Enfin M. de la Chapelle, de la société royale de Londres, vient de publier sur cette matiere un traité instructif & assez court, approuvé par l’académie royale des Sciences.
Les sections coniques, en y comprenant le cercle, composent tout le système des lignes du second ordre ou courbes du premier genre, la ligne droite étant appellée ligne du premier ordre. Ces lignes du second ordre ou courbes du premier genre, sont celles dans l’équation desquelles les indéterminées x, y, montent au second degré. Ainsi pour représenter en général toutes les sections coniques, il faut prendre une équation dans laquelle x, y, montent au second degré, & qui soit la plus composée qui se puisse ; c’est-à-dire qui contienne, outre les quarrés x x & y y, 1° le plan xy, 2° un terme qui renferme x lineaire, 3° un terme qui contienne y lineaire, & enfin un terme tout constant. Ainsi l’équation générale des sections coniques sera
* $\scriptstyle yy+pxy+bxx+cx+a=0$.
* $\scriptstyle yy+$$\scriptstyle +qy$
Cela posé, voici comment on peut réduire cette équation à représenter quelqu’une des sections coniques en particulier.
Soit $\scriptstyle y+{\frac {px}{2}}+{\frac {q}{2}}=z$, on aura $\scriptstyle zz-{\frac {p^{2}x^{2}}{4}}-{\frac {2pqx}{4}}+bxx-{\frac {qq}{4}}+cx+a=0$. Equation qu’on peut changer en celle-ci
$\scriptstyle zz+Axx+Bx+C=0$. On verra facilement que les nouvelles coordonnés de la courbe sont z, & une autre ligne u qui est en rapport donné avec x, desorte qu’on peut supposer $\scriptstyle x=mu$ ; ainsi l’équation pour les coordonnées z, u, sera
$\scriptstyle zz-Duu+Fu+G=0$.
Or, 1° si $\scriptstyle D=0$, la courbe est une parabole : 2° si D est négatif, la courbe est une ellipse ; & elle sera un cercle, si $\scriptstyle D=-1$, & que l’angle des coordonnées z & u soit droit : 3° si D est positif, la courbe sera une hyperbole. Au reste il arrivera quelquefois que la courbe sera imaginaire, lorsque la valeur de z en u sera imaginaire.
C’est ainsi qu’on pourroit parvenir à donner un traité vraiment analytique des sections coniques ; c’est-à-dire où les propriétés de ces courbes seroient déduites immédiatement de leur équation générale, & non pas comme dans l’ouvrage de M. le marquis de l’Hopital, de leur description sur un plan. M. l’abbé de Gua a fait sur ce sujet de fort bonnes réflexions dans son ouvrage intitulé, usages de l’analyse de Descartes, & il y trace le plan d’un pareil traité.
M. le marquis de l’Hopital, après avoir donné dans les trois premiers livres de son ouvrage les propriétés de chacune des sections coniques en particulier, a consacré le quatrieme livre à exposer les propriétés qui leur sont communes à toutes : par exemple, que toutes les ordonnées à un même diametre soient coupées en deux également par ce diametre, que les tangentes aux deux extrémités d’une même ordonnée aboutissent au même point du diametre, &c.
Les anciens avoient considéré d’abord les sections coniques dans le cone où elles sont nées ; & la meilleure maniere de traiter ces courbes seroit peut-être de les envisager d’abord dans le cone, d’y chercher leur équation, & de les transporter ensuite sur le plan pour trouver plus facilement par le moyen de cette équation leurs autres propriétés ; c’est ce que M. de la Chapelle s’est proposé de faire dans l’ouvrage dont nous avons parlé.
Quelques auteurs, non contens de démontrer les propriétés des sections coniques sur le plan, ont encore cherché le moyen de démontrer ces propriétés, en considérant les sections coniques dans le cone même. Ainsi M. le marquis de l’Hopital a consacré le sixieme livre de son ouvrage à faire voir comment on retrouve dans le solide les mêmes propriétés des sections coniques démontrées sur le plan : il a rempli cet objet avec beaucoup de clarté & de simplicité. Dans cet article nous avons envisagé les sections coniques de la maniere qui demande le moins d’apprêt, mais qui n’est peut-être pas la plus naturelle : la méthode que nous avons suivie convenoit mieux à un ouvrage tel que celui-ci ; & celle que nous proposons conviendroit mieux à un ouvrage en forme sur les sections coniques. Voyez les articles Courbe, Lieu, Construction &c.
Pour démontrer les propriétés des sections coniques dans le cone, il est bon de prouver d’abord que toute section conique est une courbe du second ordre, c’est-à-dire où les inconnues ne forment pas une équation plus haute que le second degré. Cela se peut prouver très-aisément par l’Algebre, en imaginant un cercle qui serve de base à ce cone, en faisant les ordonnées de la section conique paralleles à celles du cercle, & en formant des triangles semblables qui ayent pour sommet commun celui du cone, & pour bases les ordonnées paralleles, &c. Nous ne faisons qu’indiquer la méthode : les lecteurs intelligens la trouveront sans peine ; & les autres peuvent avoir recours à la théorie des ombres dans l’ouvrage de M. l’abbé de Gua, qui a pour titre usages de l’analyse de Descartes, &c.
Cela bien démontré, il est visible que la section d’un cone par un plan qui le traverse entierement, ne peut être qu’une ellipse ou un cercle ; car cette section rentre en elle-même, & ne sauroit être par conséquent ni hyperbole ni parabole : de plus, son équation ne monte qu’au second degré, ainsi elle ne peut être que cercle ou ellipse. Mais on n’a pas trop bien démontré dans quel cas la section est un cercle ou une ellipse.
1°. Elle est un cercle, lorsqu’elle est parallele à la base du cone.
2°. Elle est encore un cercle, lorsqu’elle forme une section sous-contraire, & lorsqu’elle est de plus perpendiculaire au triangle passant par l’axe du cone, & perpendiculaire lui-même à la base ; cela est démontré dans plusieurs livres. Voyez Sous-contraire.
3°. Il est aisé de conclure de la démonstration qu’on donne d’ordinaire de cette proposition, & qu’on peut voir, si l’on veut, dans le traité des sections coniques de M. de la Chapelle, que toute section perpendiculaire au triangle par l’axe, & qui ne fait pas une section sous-contraire, est une ellipse. Mais si la section n’est pas perpendiculaire à ce triangle, il devient un peu plus difficile de le démontrer. Voici comment il faut s’y prendre.
En premier lieu, si dans cette hypothese la section conique passe par une autre ligne que celle que forme la section sous-contraire avec le triangle par l’axe, il est aisé de voir que le produit des segmens de deux lignes tirées dans le plan de la courbe ne sera pas égal de part & d’autre ; & qu’ainsi la courbe n’est pas un cercle, puisque dans le cercle les produits des segmens sont égaux.
En second lieu, si dans cette même hypothese le plan de la courbe passe par la ligne que forme la section sous-contraire avec le triangle par l’axe, il n’y a qu’à imaginer un autre triangle perpendiculaire à celui-ci, & passant par l’axe ; on verra aisément 1°. que ce triangle sera isocele ; 2°. que la section de ce triangle avec la section sous-contraire, sera parallele à la base ; 3°. que par conséquent le plan dont il s’agit étant différent de la section sous-contraire (hyp.), coupera ce nouveau triangle suivant une ligne oblique à la base ; & il est très-aisé de voir que les segmens de cette ligne font un produit plus grand que celui des segmens de la ligne parallele à la base. Or ce second produit est égal au produit des segmens de la section sous-contraire, puisque cette section est un cercle ; donc le premier produit est plus grand ; donc la section est une ellipse. Je ne sache pas que cette proposition ait été démontrée dans aucun livre. Ceux qui travailleront dans la suite sur les coniques, pourront faire usage des vûes qu’on leur donne ici. (O)
Conique, en Artillerie, se dit d’une piece d’artillerie dont l’ame est plus large vers la bouche que vers la culasse.
Les premiers canons étoient coniques, selon Diego Ufano ; c’est-à-dire que l’intérieur de l’ame de la piece finissoit en pointe, & que l’ame de la piece alloit en augmentant jusqu’à sa bouche. Cette figure n’étoit guere convenable à faire agir la poudre sur le boulet avec tout l’effort dont elle est capable. D’aileurs, les pieces se trouvoient par cette construction avoir moins de métal à la partie où elles en ont le plus de besoin, c’est-à-dire à la culasse. Aussi cette forme n’a-t-elle pas duré long-tems ; on trouva qu’il étoit plus avantageux de faire l’ame également large dans toute son étendue : C’est ce qu’on observe encore aujourd’hui. Voyez Canon (Q)