# L’Encyclopédie/1re édition/CUBE

CUBE, sub. m. en terme de Géométrie, signifie un corps solide régulier, composé de six faces quarrées & égales, & dont tous les angles sont droits, & par conséquent égaux. Voyez Corps & Solide.
Ce mot vient du grec κύϐος, tessera, dé.
Le cube est aussi appellé hexaedre, à cause de ses six faces. Voyez Hexaedre.
On peut considérer le cube comme engendré par le mouvement d’une figure plane quarrée le long d’une ligne égale à un de ses côtés, à laquelle cette figure est toûjours perpendiculaire dans son mouvement. D’où il suit que toutes les sections du cube paralleles à sa base, sont égales en surface à cette base, & conséquemment sont égales entr’elles.
Pour construire le développement du cube, c’est-à-dire une figure plane dont les parties étant pliées forment la surface d’un cube ; il faut d’abord tirer une ligne droite AB (Pl. géométr. fig. 49.) sur laquelle on portera quatre fois le côté du cube qu’on veut construire. Du point A on élevera une perpendiculaire AC égale au côté du cube AI, & on achevera le parallélogramme ABCD : d’un intervalle égal au côté du cube, on déterminera dans la ligne CD les points K, M & O ; enfin on tirera les lignes droites IK, LM, NO, & BD ; on prolongera IK & LM de E vers F & de G vers H, de maniere que EI = IK = KF, & GH = LM = MH : enfin on tirera EG, FH. Voyez Développement.
Pour déterminer la surface & la solidité d’un cube, on prendra d’abord le produit d’un des côtés du cube par lui-même, ce qui donnera l’air d’une de ses faces quarrées ; & on multipliera cette aire par six, pour avoir la surface entiere du cube ; ensuite on multipliera l’aire d’une des faces par le côté pour avoir la solidité. Voyez Surface & Solidité.
Ainsi, le côté d’un cube étant dix piés, sa surface sera six cents piés quarrés, & sa solidité mille piés cubes ; si le côté est 12, la solidité sera 1728 : par exemple, la toise étant de six piés & le pié de 12 pouces, la toise cube sera de 216 piés cubes, & le pié cube de 1728 pouces.
Cube se dit aussi adjectivement. Un nombre cube ou cubique, en terme d’Arithmétique, signifie un nombre qui provient de la multiplication d’un nombre quarré par la racine. Voyez Racine.
Donc, puisque l’unité est à la racine comme la racine est au quarré, & que l’unité est à la racine comme le quarré est au cube, il s’ensuit que la racine est au quarré comme le quarré est au cube, c’est-à-dire que l’unité, la racine, le quarré & le cube, sont en proportion continue, & que la racine du cube est la premiere des deux moyennes proportionnelles entre l’unité & le cube. Voyez Puissance.
Théorie de la composition des nombres cubes. Tout nombre cube, dont la racine est un binome, est composé du cube des deux parties de cette racine ; de trois fois le produit de la seconde partie par le quarré de la premiere, & de trois fois le produit de la premiere par le quarré de la seconde.
Démonstration. Un nombre cube est le produit d’un quarré par sa racine. Or le quarré d’une racine binome contient le quarré de chacune des deux parties, & deux fois le produit de la premiere par la seconde. Voyez Quarré.
Par conséquent le nombre cube est composé du cube de la premiere partie, du cube de la seconde, du triple produit de la premiere par le quarré de la seconde, & du triple produit de la seconde par le quarré de la premiere. Voyez Racine.
L’exemple suivant donnera une démonstration à l’œil de cette regle. Supposons que la racine soit 24 ou 20 + 4, on aura
| | | $\scriptstyle {\overline {24}}^{2}={\overline {20}}^{2}+2\times 4\times 20+{\overline {4}}^{2}$ | $\scriptstyle {\overline {24}}^{2}={\overline {20}}^{2}+2\times 4\times 20+{\overline {4}}^{2}$ |
| | | $\scriptstyle 20+4$ | $\scriptstyle 20+4$ |
| $\scriptstyle {\overline {24}}^{3}~=$ | $\scriptstyle {\overline {20}}^{3}+$ | $\scriptstyle 2\times 4\times {\overline {20}}^{2}+20\times {\overline {4}}^{2}$ | $\scriptstyle 2\times 4\times {\overline {20}}^{2}+20\times {\overline {4}}^{2}$ |
| | $\scriptstyle +$ | 2x$\scriptstyle 4\times {\overline {20}}+2\times 20\times {\overline {4}}^{2}+{\overline {4}}^{3}$ | 2x$\scriptstyle 4\times {\overline {20}}+2\times 20\times {\overline {4}}^{2}+{\overline {4}}^{3}$ |
| $\scriptstyle {\overline {24}}^{3}~=$ | $\scriptstyle {\overline {20}}^{3}+$ | $\scriptstyle 3\times 4\times {\overline {20}}^{2}+3\times 20\times {\overline {4}}^{2}+{\overline {4}}^{3}$ | $\scriptstyle 3\times 4\times {\overline {20}}^{2}+3\times 20\times {\overline {4}}^{2}+{\overline {4}}^{3}$ |
| Or $\scriptstyle {\overline {20}}^{3}~=$ | $\scriptstyle 8000$ | | |
| $\scriptstyle 3\times 4\times {\overline {20}}^{2}~=$ | $\scriptstyle 4800$ | | |
| $\scriptstyle 3\times 20\times {\overline {4}}^{2}~=$ | $\scriptstyle 960$ | | |
| $\scriptstyle {\overline {4}}^{3}~=$ | $\scriptstyle 64$ | | |
| Donc $\scriptstyle {\overline {24}}^{3}~=$ | $\scriptstyle 13824$ | | |
Comme la partie qui est le plus à la droite désigne des unités, & que la partie qui suit vers la gauche désigne des dixaines, le cube de la partie qui est à droite doit se terminer au dernier chiffre vers la droite ; le produit de trois fois le quarré de la seconde partie par la premiere, doit se terminer au second chiffre vers la droite ; le produit de trois fois le quarré de la premiere par la seconde, au troisieme chiffre vers la droite ; enfin le cube de la premiere partie, au quatrieme chiffre vers la droite.
Si la racine est un multinome, en ce cas deux ou un plus grand nombre de caracteres vers la droite doivent être regardés comme n’en faisant qu’un seul, afin que cette racine puisse être considérée comme un binome. Il est évident que le cube est composé en ce cas des cubes des deux parties de la racine ; du produit du triple quarré de la premiere partie du binome par la seconde, & du produit du triple quarré de la seconde partie par la premiere. Supposons, par exemple, que la racine soit 243, si on prend 240 pour une partie de la racine, 3 sera l’autre partie ; & l’on aura
| $\scriptstyle {\overline {240+3}}^{3}=$ | $\scriptstyle {\overline {240}}^{3}+3\times {\overline {240}}^{2}\times 3+3\times {\overline {3}}^{2}\times 240+{\overline {3}}^{3}$ |
| Or $\scriptstyle {\overline {240}}^{3}=$ | $\scriptstyle 13824000$ |
| $\scriptstyle 3\times {\overline {240}}^{2}\times 3=$ | $\scriptstyle 518400$ |
| $\scriptstyle 3\times {\overline {3}}^{2}\times 240=$ | $\scriptstyle 6480$ |
| $\scriptstyle {\overline {3}}^{3}=$ | $\scriptstyle 27$ |
| Ainsi $\scriptstyle {\overline {243}}^{3}=$ | $\scriptstyle 14348907$ |
Les places des différens produits se déterminent par ce qui a été dit ci-dessus ; & on doit remarquer que si ces produits sont écrits seuls, il faudra laisser la place du nombre de zéros convenable, qui doit se trouver au bout de chaque produit.
La composition des nombres cubiques étant une fois bien conçue, l’extraction de la racine cubique est fort aisée. Voyez Extraction.
Racine cube ou racine cubique est un nombre qui étant multiplié par lui-même, & étant de nouveau multiplié par le produit, donne un nombre cube. V. Cubique.
Extraire la racine cubique, est donc la même chose que de trouver un nombre comme 2, lequel étant multiplié deux fois de suite par lui-même, donne le cube proposé, par exemple, 8. Voyez les articles Extraction & Racine. (O)
Cube-du-cube, cubus-cubi, nom que les écrivains Arabes, & ceux qui les ont suivis, ont donné à la 9e puissance d’un nombre, ou au produit d’un nombre multiplié neuf fois de suite par lui-même. Diophante, & après lui Viette, Oughtred, &c. appellent cette puissance cubo-cubo-cubus, cubo-cubo-cube. (O)