# L’Espace et ses trois dimensions (Henri Poincaré)/01

Dans les articles que j’ai précédemment consacrés à l’espace, j’ai surtout insisté sur les problèmes soulevés par la géométrie non-euclidienne, en laissant presque complètement de côté d’autres questions plus difficiles à aborder, telles que celles qui se rapportent au nombre des dimensions. Toutes les géométries que j’envisageais avaient ainsi un fond commun, ce continuum à trois dimensions qui était le même pour toutes et qui ne se différenciait que par les figures qu’on y traçait ou quand on prétendait le mesurer.
Dans ce continuum, primitivement amorphe, on peut imaginer un réseau de lignes et de surfaces, on peut convenir ensuite de regarder les mailles de ce réseau comme égales entre elles, et c’est seulement après cette convention que ce continuum, devenu mesurable, devient l’espace euclidien ou l’espace non-euclidien. De ce continuum amorphe peut donc sortir indifféremment l’un ou l’autre des deux espaces, de même que sur une feuille de papier blanc on peut tracer indifféremment une droite ou un cercle.
Dans l’espace nous connaissons des triangles rectilignes dont la somme des angles est égale à deux droits ; mais nous connaissons également des triangles curvilignes dont la somme des angles est plus petite que deux droits. L’existence des uns n’est pas plus douteuse que celle des autres. Donner aux côtés des premiers le nom de droites, c’est adopter la géométrie euclidienne ; donner aux côtés des derniers le nom de droites, c’est adopter la géométrie non-euclidienne. De sorte que, demander quelle géométrie convient-il d’adopter, c’est demander : à quelle ligne convient-il de donner le nom de droite ?
Il est évident que l’expérience ne peut résoudre une pareille question ; on ne demanderait pas, par exemple, à l’expérience de décider si je dois appeler une droite $\mathrm {AB}$ ou bien $\mathrm {CD}$. D’un autre côté, je ne puis dire non plus que je n’ai pas le droit de donner le nom de droites aux cotés des triangles non-euclidiens, parce qu’ils ne sont pas conformes à l’idée éternelle de droite que je possède par intuition. Je veux bien que j’aie l’idée intuitive du côté du triangle euclidien, mais j’ai également l’idée intuitive du côté du triangle non-euclidien. Pourquoi aurai-je le droit d’appliquer le nom de droite à la première de ces idées et pas à la seconde ? En quoi ces deux syllabes feraient-elles partie intégrante de cette idée intuitive ? Évidemment quand nous disons que la droite euclidienne est une vraie droite et que la droite non-euclidienne n’est pas une vraie droite, nous voulons dire tout simplement que la première idée intuitive correspond à un objet plus remarquable que la seconde. Mais comment jugeons-nous que cet objet est plus remarquable ? C’est ce que j’ai recherché dans les articles précédents.
C’est là que nous avons vu intervenir l’expérience ; si la droite euclidienne est plus remarquable que la droite non-euclidienne, c’est avant tout qu’elle diffère peu de certains objets naturels remarquables dont la droite non-euclidienne diffère beaucoup. Mais, dira-t-on, la définition de la droite non-euclidienne est artificielle ; essayons un instant de l’adopter, nous verrons que deux cercles de rayon différent recevront tous deux le nom de droites non-euclidiennes, tandis que de deux cercles de même rayon, l’un pourra satisfaire à la définition sans que l’autre y satisfasse, et alors si nous transportons une de ces soi-disant droites sans la déformer elle cessera d’être une droite. Mais de quel droit considérons-nous comme égales ces deux figures que les géomètres euclidiens appellent deux cercles de même rayon ? C’est parce qu’en transportant l’une d’elles sans la déformer on peut la faire coïncider avec l’autre. Et pourquoi disons-nous que ce transport s’est effectué sans déformation ? Il est impossible d’en donner une bonne raison. Parmi tous les mouvements concevables, il y en a dont les géomètres euclidiens disent qu’ils ne sont pas accompagnés de déformation ; mais il y en a d’autres dont les géomètres non-euclidiens diraient qu’ils ne sont pas accompagnés de déformation. Dans les premiers, dits mouvements euclidiens, les droites euclidiennes restent des droites euclidiennes, et les droites non-euclidiennes ne restent pas des droites non-euclidiennes ; dans les mouvements de la seconde sorte, ou mouvements non-euclidiens, les droites non-euclidiennes restent des droites non-euclidiennes et les droites euclidiennes ne restent pas des droites euclidiennes. On n’a donc pas démontré qu’il était déraisonnable d’appeler droites les côtés des triangles non-euclidiens ; on a démontré seulement que cela serait déraisonnable si on continuait d’appeler mouvements sans déformation les mouvements euclidiens ; mais on aurait montré tout aussi bien qu’il serait déraisonnable d’appeler droites les côtés des triangles euclidiens si l’on appelait mouvements sans déformation les mouvements non-euclidiens.
Maintenant quand nous disons que les mouvements euclidiens sont les vrais mouvements sans déformation, que voulons-nous dire ? Nous voulons dire simplement qu’ils sont plus remarquables que les autres ; et pourquoi sont-ils plus remarquables ? c’est parce que certains corps naturels remarquables, les corps solides, subissent des mouvements à peu près pareils.
Et alors quand nous demandons : peut-on imaginer l’espace non-euclidien ? cela veut dire : pouvons-nous imaginer un monde où il y aurait des objets naturels remarquables affectant à peu près la forme des droites non-euclidiennes, et des corps naturels remarquables subissant fréquemment des mouvements à peu près pareils aux mouvements non-euclidiens ? J’ai discuté la question dans mes articles antérieurs.
On a souvent observé que si tous les corps de l’Univers venaient à se dilater simultanément et dans la même proportion, nous n’aurions aucun moyen de nous en apercevoir, puisque tous nos instruments de mesure grandiraient en même temps que les objets mêmes qu’ils servent à mesurer. Le monde, après cette dilatation, continuerait son train sans que rien vienne nous avertir d’un événement aussi considérable.
En d’autres termes, deux mondes qui seraient semblables l’un à l’autre (en entendant le mot similitude au sens du 3e livre de géométrie) seraient absolument indiscernables. Mais il y a plus, non seulement deux mondes seront indiscernables s’ils sont égaux ou semblables, c’est-à-dire si l’on peut passer de l’un à l’autre en changeant les axes de coordonnées, ou en changeant l’échelle à laquelle sont rapportées les longueurs ; mais ils seront encore indiscernables si l’on peut passer de l’un à l’autre par une « transformation ponctuelle » quelconque. Je m’explique. Je suppose qu’à chaque point de l’un corresponde un point de l’autre et un seul, et inversement ; et de plus que les coordonnées d’un point soient des fonctions continues, d’ailleurs tout à fait quelconques, des coordonnées du point correspondant. Je suppose d’autre part qu’à chaque objet du premier monde, corresponde dans le second un objet de même nature placé précisément au point correspondant. Je suppose enfin que cette correspondance réalisée à l’instant initial, se conserve indéfiniment. Nous n’aurions aucun moyen de discerner ces deux mondes l’un de l’autre. Quand on parle de la relativité de l’espace, on ne l’entend pas d’ordinaire dans un sens aussi large ; c’est ainsi cependant qu’il conviendrait de l’entendre.
Si l’un de ces univers est notre monde-euclidien, ce que ses habitants appelleront droite, ce sera notre droite euclidienne ; mais ce que les habitants du second monde appelleront droite, ce sera une courbe qui jouira des mêmes propriétés par rapport au monde qu’ils habitent et par rapport aux mouvements qu’ils appelleront mouvements sans déformation ; leur géométrie sera donc la géométrie euclidienne, mais leur droite ne sera pas notre droite euclidienne, ce sera sa transformée par la transformation ponctuelle qui fait passer de notre monde au leur ; les droites de ces hommes ne seront pas nos droites, mais elles auront entre elles les mêmes rapports que nos droites entre elles, c’est dans ce sens que je dis que leur géométrie sera la nôtre. Si alors nous voulons à toute force proclamer qu’ils se trompent, que leur droite n’est pas la vraie droite, si nous ne voulons pas confesser qu’une pareille affirmation n’a aucun sens, du moins devrons-nous avouer que ces gens n’ont aucune espèce de moyen de s’apercevoir de leur erreur.
Tout cela est relativement facile à comprendre et je l’ai déjà si souvent répété que je crois inutile de m’étendre davantage sur ce sujet. L’espace euclidien n’est pas une forme imposée à notre sensibilité, puisque nous pouvons imaginer l’espace non-euclidien ; mais les deux espaces euclidien et non-euclidien ont un fond commun, c’est ce continuum amorphe dont je parlais au début ; de ce continuum nous pouvons tirer soit l’espace euclidien, soit l’espace lobatchewskien, de même que nous pouvons, en y traçant une graduation convenable, transformer un thermomètre non gradué soit en thermomètre Fahrenheit, soit en thermomètre Réaumur.
Et alors une question se pose : ce continuum amorphe, que notre analyse a laissé subsister, n’est-il pas une forme imposée à notre sensibilité ? Nous aurions élargi la prison dans laquelle cette sensibilité est enfermée, mais ce serait toujours une prison.
Ce continu possède un certain nombre de propriétés, exemptes de toute idée de mesure. L’étude de ces propriétés est l’objet d’une science qui a été cultivée par plusieurs grands géomètres et en particulier par Riemann et Betti et qui a reçu le nom d’Analysis Sitûs. Dans cette science, on fait abstraction de toute idée quantitative et par exemple, si on constate que sur une ligne le point $\mathrm {B}$ est entre les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$, on se contentera de cette constatation et on ne s’inquiétera pas de savoir si la ligne $\mathrm {ABC}$ est droite ou courbe, ni si la longueur $\mathrm {AB}$ est égale à la longueur $\mathrm {BC}$, ou si elle est deux fois plus grande.
Les théorèmes de l’Analysis Sitûs ont donc ceci de particulier qu’ils resteraient vrais si les figures étaient copiées par un dessinateur malhabile qui altérerait grossièrement toutes les proportions et remplacerait les droites par des lignes plus ou moins sinueuses. En termes mathématiques, ils ne sont pas altérés par une « transformation ponctuelle » quelconque. On a dit souvent que la géométrie métrique était quantitative, tandis que la géométrie projective était purement qualitative ; cela n’est pas tout à fait vrai : ce qui distingue la droite des autres lignes, ce sont encore des propriétés qui restent quantitatives à certains égards. La véritable géométrie qualitative c’est donc l’Analysis Sitûs.
Les mêmes questions qui se posaient à propos des vérités de la géométrie euclidienne, se posent de nouveau à propos des théorèmes de l’Analysis Sitûs. Peuvent-ils être obtenus par un raisonnement déductif ? Sont-ce des conventions déguisées ? Sont-ce des vérités expérimentales ? Sont-ils les caractères d’une forme imposée soit à notre sensibilité, soit à notre entendement ?
Je veux simplement observer que les deux dernières solutions s’excluent, ce dont tout le monde ne s’est pas toujours bien rendu compte. Nous ne pouvons pas admettre à la fois qu’il est impossible d’imaginer l’espace à quatre dimensions et que l’expérience nous démontre que l’espace a trois dimensions. L’expérimentateur pose à la nature une interrogation : est-ce ceci ou cela ? et il ne peut la poser sans imaginer les deux termes de l’alternative. S’il était impossible de s’imaginer l’un de ces termes, il serait inutile et d’ailleurs impossible de consulter l’expérience. Nous n’avons pas besoin d’observation pour savoir que l’aiguille d’une horloge n’est pas sur la division 15 du cadran, puisque nons savons d’avance qu’il n’y en a que 12, et nous ne pourrions pas regarder à la division 15 pour voir si l’aiguille s’y trouve, puisque cette division n’existe pas.
Remarquons également qu’ici les empiristes sont débarrassés de l’une des objections les plus graves qu’on peut diriger contre eux, de celle qui rend absolument vains d’avance tous leurs efforts pour appliquer leur thèse aux vérités de la géométrie euclidienne. Ces vérités sont rigoureuses et toute expérience ne peut être qu’approchée. En Analysis Sitûs les expériences approchées peuvent suffire pour donner un théorème rigoureux et, par exemple, si l’on voit que l’espace ne peut avoir ni deux ou moins de deux dimensions, ni quatre ou plus de quatre, on est certain qu’il en a exactement 3, car il ne saurait en avoir 2 et demi ou 3 et demi.
De tous les théorèmes de l’Analysis Sitûs, le plus important est celui que l’on exprime en disant que l’espace a trois dimensions. C’est de celui-là que nous allons nous occuper, et nous poserons la question en ces termes : Quand nous disons que l’espace a trois dimensions, qu’est-ce que nous voulons dire ?
J’ai expliqué dans un article antérieur d’où nous vient la notion de la continuité physique et comment a pu en sortir celle de la continuité mathématique. Il arrive que nous sommes capables de distinguer deux impressions l’une de l’autre, tandis que nous ne saurions distinguer chacune d’elles d’une même troisième. C’est ainsi que nous pouvons discerner facilement un poids de 12 grammes d’un poids de 10 grammes, tandis qu’un poids de 11 grammes ne saurait se distinguer ni de l’un, ni de l’autre.
Une pareille constatation, traduite en symboles, s’écrirait :
$\mathrm {A} =\mathrm {B} ,\mathrm {B} =\mathrm {C} ,\mathrm {A} <\mathrm {C} .$
Ce serait là la formule du continu physique, tel que nous le donne l’expérience brute, d’où une contradiction intolérable que l’on a levée par l’introduction du continu mathématique. Celui-ci est une échelle dont les échelons (nombres commensurables ou incommensurables ) sont en nombre infini, mais sont extérieurs les uns aux autres, au lieu d’empiéter les uns sur les autres comme le font, conformément à la formule précédente, les éléments du continu physique.
Le continu physique est pour ainsi dire une nébuleuse non résolue, les instruments les plus perfectionnés ne pourraient parvenir à la résoudre ; sans doute si on évaluait les poids avec une bonne balance, au lieu de les apprécier à la main, on distinguerait le poids de 11 grammes de ceux de 10 et de 12 grammes et notre formule deviendrait :
$\mathrm {A} <\mathrm {B} ,\mathrm {B} <\mathrm {C} ,\mathrm {A} <\mathrm {C} .$
Mais on trouverait toujours entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ et entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ de nouveaux éléments $\mathrm {D}$ et $\mathrm {E}$ tels que :
$\mathrm {A} =\mathrm {D} ,\mathrm {D} =\mathrm {B} ,\mathrm {A} <\mathrm {B} ;\mathrm {B} =\mathrm {E} ,\mathrm {E} =\mathrm {C} ,\mathrm {B} <\mathrm {C}$
et la difficulté n’aurait fait que reculer et la nébuleuse ne serait toujours pas résolue ; c’est l’esprit seul qui peut la résoudre et c’est le continu mathématique qui est la nébuleuse résolue en étoiles.
Jusqu’à présent toutefois nous n’avons pas introduit la notion du nombre des dimensions. Que voulons-nous dire quand nous disons qu’un continu mathématique ou qu’un continu physique a deux ou trois dimensions ?
Il faut d’abord que nous introduisions la notion de coupure, en nous attachant d’abord à l’étude des continus physiques. Nous avons vu ce qui caractérise le continu physique, chacun des éléments de ce continu consiste en un ensemble d’impressions ; et il peut arriver ou bien qu’un élément ne peut pas être discerné d’un autre élément du même continu, si ce nouvel élément correspond à un ensemble d’impressions trop peu différentes, ou bien au contraire que la distinction est possible ; enfin il peut se faire que deux éléments, indiscernables d’un même troisième, peuvent néanmoins être discernés l’un de l’autre.
Cela posé, si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont deux éléments discernables d’un continu $\mathrm {C}$, on pourra trouver une série d’éléments
$\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, ……, $\mathrm {E} _{n}$
$\mathrm {C}$
$\mathrm {E} _{1}$
$\mathrm {A}$
$\mathrm {E} _{n}$
$\mathrm {B}$
$\mathrm {A}$
$\mathrm {B}$
$\mathrm {C}$
$\mathrm {A}$
$\mathrm {B}$
$\mathrm {C}$
$\mathrm {C}$
Distinguons maintenant quelques-uns des éléments de $\mathrm {C}$ qui pourront ou bien être tous discernables les uns des autres, ou former eux-mêmes un ou plusieurs continus. L’ensemble des éléments ainsi choisis arbitrairement parmi tous ceux de $\mathrm {C}$ formera ce que j’appellerai la ou les coupures.
Reprenons sur $\mathrm {C}$ deux éléments quelconques $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$. Ou bien nous pourrons encore trouver une série d’éléments
$\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, ……, $\mathrm {E} _{n}$
tels : 1$^o$ qu’ils appartiennent tous à $\mathrm {C}$ ; 2$^o$ que chacun d’eux soit indiscernable du suivant ; $\mathrm {E} _{1}$, indiscernable de $\mathrm {A}$ et $E_{n}$ de $\mathrm {B}$ ; 3$^o$ et en outre qu’aucun des éléments $E$ ne soit indiscernable d’aucun des éléments de la coupure. Ou bien au contraire dans toutes les séries $\mathrm {E_{1}}$, $\mathrm {E_{2}}$, ……,$\mathrm {E_{n}}$ satisfaisant aux deux premières conditions, il y aura un élément $\mathrm {E}$ indiscernable de l’un des éléments de la coupure.
Dans le 1er cas, nous pouvons aller de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B}$ par un chemin continu sans quitter $\mathrm {C}$ et sans rencontrer les coupures ; dans le second cas cela est impossible.
Si alors pour deux éléments quelconques $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ du continu $\mathrm {C}$, c’est toujours le premier cas qui se présente, nous dirons que $\mathrm {C}$ reste d’un seul tenant malgré les coupures.
Ainsi si nous choisissons les coupures d’une certaine manière, d’ailleurs arbitraire, il pourra se faire ou bien que le continu reste d’un seul tenant ou qu’il ne reste pas d’un seul tenant ; dans cette dernière hypothèse nous dirons alors qu’il est divisé par les coupures.
On remarquera que toutes ces définitions sont construites en partant uniquement de ce fait très simple, que deux ensembles d’impressions, tantôt peuvent être discernés, tantôt ne peuvent pas l’être.
Cela posé, si pour diviser un continu, il suffit de considérer comme coupures un certain nombre d’éléments tous discernables les uns des autres, on dit que ce continu est à une dimension ; si au contraire pour diviser un continu, il est nécessaire de considérer comme coupures un système d’éléments formant eux-mêmes un ou plusieurs continus, nous dirons que ce continu est à plusieurs dimensions.
Si pour diviser un continu $\mathrm {C}$, il suffit de coupures formant un ou plusieurs continus à une dimension, nous dirons que $\mathrm {C}$ est un continu à deux dimensions ; s’il suffit de coupures, formant un ou plusieurs continus à deux dimensions au plus, nous dirons que $\mathrm {C}$ est un continu à trois dimensions ; et ainsi de suite.
Pour justifier cette définition, il faut voir si c’est bien ainsi que les géomètres introduisent la notion des trois dimensions au début de leurs ouvrages. Or que voyons-nous ? Le plus souvent ils commencent par définir les surfaces comme les limites des volumes, ou parties de l’espace, les lignes comme les limites des surfaces, les points comme limites des lignes, et ils affirment que le même processus ne peut être poussé plus loin.
C’est bien la même idée ; pour diviser l’espace, il faut des coupures que l’on appelle surfaces ; pour diviser les surfaces il faut des coupures que l’on appelle lignes ; pour diviser les lignes, il faut des coupures que l’on appelle points ; on ne peut aller plus loin et le point ne peut être divisé, le point n’est pas un continu ; alors les lignes, qu’on peut diviser par des coupures qui ne sont pas des continus, seront des continus à une dimension ; les surfaces que l’on peut diviser par des coupures continues à une dimension, seront des continus à deux dimensions, enfin l’espace que l’on peut diviser par des coupures continues à deux dimensions sera un continu à trois dimensions.
Ainsi la définition que je viens de donner ne diffère pas essentiellement des définitions habituelles ; j’ai tenu seulement à lui donner une forme applicable non au continu mathématique, mais au continu physique, qui est seul susceptible de représentation et cependant à lui conserver toute sa précision.
On voit, d’ailleurs, que cette définition ne s’applique pas seulement à l’espace, que dans tout ce qui tombe sous nos sens, nous retrouvons les caractères du continu physique, ce qui permettrait la même classification ; il serait aisé d’y trouver des exemples de continus de quatre, de cinq dimensions, au sens de la définition précédente ; ces exemples se présentent d’eux-mêmes à l’esprit.
J’expliquerais enfin, si j’en avais le temps, que cette science dont je parlais plus haut et à laquelle Riemann a donné le nom d’Analysis Sitûs, nous apprend à faire des distinctions parmi les continus d’un même nombre de dimensions et que la classification de ces continus repose encore sur la considération des coupures
De cette notion est sortie celle du continu mathématique à plusieurs dimensions de la même façon que le continu physique à une dimension avait engendré le continu mathématique à une dimension. La formule
qui résumait les données brutes de l’expérience impliquait une contradiction intolérable. Pour s’en affranchir, il a fallu introduire une notion nouvelle en respectant d’ailleurs les caractères essentiels du continu physique à plusieurs dimensions. Le continu mathématique à une dimension comportait une échelle unique dont les échelons en nombre infini correspondaient aux diverses valeurs commensurables ou non d’une même grandeur. Pour avoir le continu mathématique à $n$ dimensions, il suffira de prendre $n$ pareilles échelles dont les échelons correspondront aux diverses valeurs de $n$ grandeurs indépendantes appelées coordonnées. On aura ainsi une image du continu physique à $n$ dimensions, et cette image sera aussi fidèle qu’elle peut l’être du moment qu’on ne veut pas laisser subsister la contradiction dont je parlais plus haut.
Il semble maintenant que la question que nous nous posions au début est résolue. Quand nous disons que l’espace a trois dimensions, dira-t-on, nous voulons dire que l’ensemble des points de l’espace satisfait à la définition que nous venons de donner du continu physique à trois dimensions. Se contenter de cela, ce serait supposer que nous savons ce que c’est que l’ensemble des points de l’espace, ou même qu’un point de l’espace.
Or cela n’est pas aussi simple qu’on pourrait le croire. Tout le monde croit savoir ce que c’est qu’un point, et c’est même parce que nous le savons trop bien que nous croyons n’avoir pas besoin de le définir. Certes on ne peut pas exiger de nous que nous sachions le définir, car en remontant de définition en définition il faut bien qu’il arrive un moment où l’on s’arrête. Mais à quel moment doit-on s’arrêter ?
On s’arrêtera d’abord quand on arrivera à un objet qui tombe sous nos sens ou que nous pouvons nous représenter ; la définition deviendra alors inutile, on ne définit pas le mouton à un enfant, on lui dit : voici un mouton.
Et alors nous devons nous demander s’il est possible de se représenter un point de l’espace. Ceux qui répondent oui ne réfléchissent pas qu’ils se représentent en réalité un point blanc fait avec la craie sur un tableau noir ou un point noir fait avec la plume sur un papier blanc, et qu’ils ne peuvent se représenter qu’un objet ou mieux les impressions que cet objet ferait sur leurs sens.
Quand ils cherchent à se représenter un point, ils se représentent les impressions que leur feraient éprouver des objets très petits. Il est inutile d’ajouter que deux objets différents, quoique l’un et l’autre très petits, pourront produire des impressions extrêmement différentes, mais je n’insiste pas sur cette difficulté qui exigerait pourtant quelque discussion.
Mais ce n’est pas de cela qu’il s’agit ; il ne suffit pas de se représenter un point, il faut se représenter tel point et avoir le moyen de le distinguer d’un autre point. Et en effet, pour que nous puissions appliquer à un continu la règle que j’ai exposée plus haut et par laquelle on peut reconnaître le nombre de ses dimensions, et nous devons nous appuyer sur ce fait que deux éléments de ce continu tantôt peuvent et tantôt ne peuvent pas être discernés. Il faut donc que nous sachions dans certains cas nous représenter tel élément et le distinguer d’un autre élément.
La question est de savoir si le point que je me représentais il y a une heure, est le même que celui que je me représente maintenant ou si c’est un point différent. En d’autres termes, comment savons-nous si le point occupé par l’objet $\mathrm {A}$ à l’instant α est le même que le point occupé par l’objet $\mathrm {B}$ à l’instant β, ou mieux encore, qu’est-ce que cela veut dire ?
Je suis assis dans ma chambre, un objet est posé sur ma table ; je ne bouge pas pendant une seconde, personne ne touche à l’objet ; je suis tenté de dire que le point $\mathrm {A}$ qu’occupait cet objet au début de cette seconde est identique au point $\mathrm {B}$ qu’il occupe à la fin ; pas du tout : du point $\mathrm {A}$ au point $\mathrm {B}$ il y a 30 kilomètres, car l’objet a été entraîné dans le mouvement de la Terre. Nous ne pourrons savoir si un objet, très petit ou non, n’a pas changé de position absolue dans l’espace, et non seulement nous ne pouvons l’affirmer, mais cette affirmation n’a aucun sens et en tout cas ne peut correspondre à aucune représentation.
Mais alors nous pouvons nous demander si la position relative d’un objet par rapport à d’autres objets a varié ou non, et d’abord si la position relative de cet objet par rapport à notre corps a varié ; si les impressions que nous cause cet objet n’ont pas changé, nous serons enclins à juger que cette position relative n’a pas changé non plus ; si elles ont changé, nous jugerons que cet objet a changé soit d’état, soit de position relative. Il reste à décider lequel des deux. J’ai expliqué dans un article antérieur comment nous avons été amenés à distinguer les changements de position. J’y reviendrai d’ailleurs plus loin. Nous arrivons donc à savoir si la position relative d’un objet par rapport à notre corps est ou non restée la même.
Si maintenant nous voyons que deux objets ont conservé leur position relative par rapport à notre corps, nous concluons que la position relative de ces deux objets l’un par rapporta l’autre n’a pas changé ; mais nous n’arrivons à cette conclusion que par un raisonnement indirect. La seule chose que nous connaissions directement c’est la position relative des objets par rapport à notre corps.
A fortiori ce n’est que par un raisonnement indirect que nous croyons savoir (et encore cette croyance est-elle trompeuse) si la position absolue de l’objet a changé.
En somme, le système d’axes de coordonnées auxquels nous rapportons naturellement tous les objets extérieurs, c’est un système d’axes invariablement lié à notre corps ; et que nous transportons partout avec nous.
Il est impossible de se représenter l’espace absolu ; quand je veux me représenter simultanément des objets et moi-même en mouvement dans l’espace absolu, en réalité je me représente moi-même immobile et regardant se mouvoir autour de moi divers objets et un homme qui est extérieur à moi, mais que je conviens d’appeler moi.
La difficulté sera-t-elle résolue quand on consentira à tout rapporter à ces axes liés à notre corps ? Savons-nous cette fois ce que c’est qu’un point défini ainsi par sa position relative par rapport à nous. Bien des gens répondront oui et diront qu’ils « localisent » les objets extérieurs.
Qu’est-ce à dire ? Localiser un objet, cela veut dire simplement se représenter les mouvements qu’il faudrait faire pour l’atteindre ; je m’explique ; il ne s’agit pas de se représenter les mouvements eux-mêmes dans l’espace, mais uniquement de se représenter les sensations musculaires qui accompagnent ces mouvements et qui ne supposent pas la préexistence de la notion d’espace.
Si nous supposons deux objets différents qui viennent successivement occuper la même position relative par rapport à nous, les impressions que nous causeront ces deux objets seront très différentes ; si nous les localisons au même point, c’est simplement parce qu’il faut faire les mêmes mouvements pour les atteindre ; à part cela, on ne voit pas bien ce qu’ils pourraient avoir de commun.
Mais, étant donné un objet, on peut concevoir plusieurs séries différentes de mouvements qui permettraient également de l’atteindre. Si alors nous nous représentons un point, en nous représentant la série des sensations musculaires qui accompagneraient les mouvements qui permettraient d’atteindre ce point, on aura plusieurs manières entièrement différentes de se représenter un même point. Si l’on ne veut pas se contenter de cette solution, si on veut faire intervenir par exemple les sensations visuelles à côté des sensations musculaires on aura une ou deux manières de plus de se représenter ce même point et la difficulté n’aura fait qu’augmenter. De toutes façons, la question suivante se pose : pourquoi jugeons-nous que toutes ces représentations si différentes les unes des autres représentent pourtant un même point ?
Autre remarque : je viens de dire que c’est à notre propre corps que nous rapportons naturellement les objets extérieurs ; que nous transportons pour ainsi dire partout avec nous un système d’axes auxquels nous rapportons tous les points de l’espace, et que ce système d’axes est comme invariablement lié à notre corps. On doit observer que rigoureusement l’on ne pourrait parler d’axes invariablement liés au corps que si les diverses parties de ce corps étaient elles-mêmes invariablement liées l’une à l’autre. Comme il n’en est pas ainsi, nous devons, avant de rapporter les objets extérieurs à ces axes fictifs, supposer notre corps ramené à la même attitude.
J’ai montré dans un article antérieur le rôle prépondérant joué par les mouvements de notre corps dans la genèse de la notion d’ espace. Pour un être complètement immobile, il n’y aurait ni espace, ni géométrie ; c’est en vain qu’autour de lui les objets extérieurs se déplaceraient, les variations que ces déplacements feraient subir à ses impressions, ne seraient pas attribuées par cet être à des changements de position, mais à de simples changements d’état, cet être n’aurait aucun moyen de distinguer ces deux sortes de changements et cette distinction, capitale pour nous, n’aurait aucun sens pour lui.
Les mouvements que nous imprimons à nos membres ont pour effet de faire varier les impressions produites sur nos sens par les objets extérieurs ; d’autres causes peuvent également les faire varier ; mais nous sommes amenés à distinguer les changements produits par nos propres mouvements et nous les discernons facilement pour deux raisons : 1$^o$ parce qu’ils sont volontaires ; 2$^o$ parce qu’ils sont accompagnés de sensations musculaires.
Ainsi nous répartissons naturellement les changements que peuvent subir nos impressions en deux catégories que j’ai appelées d’un nom peut-être impropre : 1$^o$ les changements internes, qui sont volontaires et accompagnés de sensations musculaires ; 2$^o$ les changements externes, dont les caractères sont opposés.
Nous observons ensuite que parmi les changements externes, il y en a qui peuvent être corrigés grâce à un changement interne qui ramène tout à l’état primitif ; d’autres ne peuvent pas être corrigés de la sorte (c’est ainsi que quand un objet extérieur s’est déplacé, nous pouvons en nous déplaçant nous-mêmes nous replacer par rapport à cet objet dans la même situation relative de façon à rétablir l’ensemble des impressions primitives ; si cet objet ne s’est pas déplacé, mais a changé d’état, cela est impossible). De là une nouvelle distinction, parmi les changements externes : ceux qui peuvent être ainsi corrigés, nous les appelons changements de position, et les autres nous les appelons changements d’états.
Supposons, par exemple, une sphère dont un hémisphère soit bleu et l’autre rouge ; elle nous présente d’abord l’hémisphère bleu ; puis elle tourne sur elle-même de façon à nous présenter l’hémisphère rouge. Soit maintenant un vase sphérique contenant un liquide bleu qui devient rouge par suite d’une réaction chimique. Dans les deux cas la sensation du rouge a remplacé celle du bleu ; nos sens ont éprouvé les mêmes impressions qui se sont succédé dans le même ordre, et pourtant ces deux changements sont regardés par nous comme très différents ; le premier est un déplacement, le second un changement d’état. Pourquoi ?
Parce que, dans le premier cas, il me suffit de tourner autour de la sphère pour me placer vis-à-vis de l’hémisphère rouge et rétablir la sensation rouge primitive.
Bien plus, si les deux hémisphères, au lieu d’être rouge et bleu, avaient été jaune et vert, comment se serait traduite pour moi la rotation de la sphère. Tout à l’heure le rouge succédait au bleu, maintenant le vert succède au jaune ; et cependant je dis que les deux sphères ont éprouvé la même rotation, que l’une comme l’autre ont tourné autour de leur axe ; je ne puis pourtant pas dire que le vert soit au jaune comme le rouge est au bleu ; comment alors suis-je conduit à juger que les deux sphères ont subi le même déplacement ? Évidemment, parce que, dans un cas comme dans l’autre, je puis rétablir la sensation primitive en tournant autour de la sphère, en faisant les mêmes mouvements, et je sais que j’ai fait les mêmes mouvements parce que j’ai éprouvé les mêmes sensations musculaires ; pour le savoir je n’ai donc pas besoin de savoir la géométrie d’avance et de me représenter les mouvements de mon corps dans l’espace géométrique.
Autre exemple. Un objet s’est déplacé devant mon œil ; son image se formait d’abord au centre de la rétine ; elle se forme ensuite au bord ; la sensation ancienne m’était apportée par une fibre nerveuse aboutissant au centre de la rétine ; la sensation nouvelle m’est apportée par une autre fibre nerveuse partant du bord de la rétine ; ces deux sensations sont qualitativement différentes ; et sans cela, comment pourrais-je les distinguer ?
Pourquoi alors suis-je conduit à juger que ces deux sensations, qualitativement différentes, représentent une même image qui s’est déplacée ? C’est parce que je puis suivre l’objet de l’œil et, par un déplacement de l’œil volontaire et accompagné de sensations musculaires, ramener l’image au centre de la rétine et rétablir la sensation primitive.
Je suppose que l’image d’un objet rouge soit allée du centre $A$ au bord $B$ de la rétine, puis que l’image d’un objet bleu aille à son tour du centre $A$ au bord $B$ de la rétine ; je jugerai que ces deux objets ont subi le même déplacement. Pourquoi ? parce que, dans un cas comme dans l’autre, j’aurai pu rétablir la sensation primitive, et que pour cela j’aurai dû exécuter le même mouvement de l’œil, et je saurai que mon œil a exécuté le même mouvement parce que j’ai éprouvé les mêmes sensations musculaires.
Si je ne pouvais mouvoir mon œil, aurais-je quelque raison d’admettre que la sensation du rouge au centre de la rétine est à la sensation du rouge au bord de la rétine, comme celle du bleu au centre est à celle du bleu au bord. Je n’aurais que quatre sensations qualitativement différentes, et si l’on me demandait si elles sont liées par la proportion que je viens d’énoncer, la question me semblerait ridicule ; tout comme si l’on me demandait s’il y a une proportion analogue entre une sensation visuelle, une sensation auditive, une sensation tactile et une sensation olfactive.
Envisageons maintenant les changements internes, c’est-à-dire ceux qui sont produits par les mouvements volontaires de notre corps et qui sont accompagnés de changements musculaires ; ils donneront lieu aux deux observations suivantes, analogues à celles que nous venons de faire au sujet des changements externes.
1$^o$ Je puis supposer que mon corps se soit transporté d’un point à un autre, mais en conservant la même attitude ; toutes les parties de ce corps ont donc conservé ou repris la même situation relative, bien que leur situation absolue dans l’espace ait varié ; je puis supposer également que non seulement la position de mon corps a changé, mais que son attitude n’est plus la même, que par exemple mes bras qui tout à l’heure étaient repliés soient maintenant allongés.
Je dois donc distinguer les simples changements de position sans changement d’attitude, et les changements d’attitude. Les uns et les autres réapparaissent sous forme de sensations musculaires. Comment alors suis-je amené à les distinguer ? C’est que les premiers peuvent servir à corriger un changement externe, et que les autres ne le peuvent pas ou du moins ne peuvent donner qu’une correction imparfaite.
C’est là un fait que je vais expliquer, comme je l’expliquerais à quelqu’un qui saurait déjà la géométrie, mais il ne faut pas en conclure qu’il faut déjà savoir la géométrie pour faire cette distinction ; avant de la savoir, je constate le fait (expérimentalement pour ainsi dire) sans pouvoir l’expliquer. Mais pour faire la distinction entre les deux sortes de changement, je n’ai pas besoin d’expliquer le fait, il me suffît de le constater.
Quoi qu’il en soit, l’explication est aisée. Supposons qu’un objet extérieur se soit déplacé ; si nous voulons que les diverses parties de notre corps reprennent par rapport à cet objet leur position relative initiale, il faut que ces diverses parties aient repris également leur position relative initiale les unes par rapport aux autres. Seuls les changements internes qui satisferont à cette dernière condition, seront susceptibles de corriger le changement externe produit parle déplacement de cet objet. Si donc la position relative de mon œil par rapport à mon doigt a changé, je pourrai bien ramener l’œil dans sa situation relative initiale par rapport à l’objet et rétablir ainsi les sensations visuelles primitives, mais alors la position relative du doigt par rapport à l’objet aura changé et les sensations tactiles ne seront pas rétablies.
2$^o$ Nous constatons également qu’un même changement externe peut être corrigé par deux changements internes correspondant à des sensations musculaires différentes. Ici encore je puis faire cette constatation sans savoir la géométrie ; et je n’ai pas besoin d’autre chose, mais je vais donner l’explication du fait en employant le langage géométrique. Pour passer de la position $\mathrm {A}$ à la position $\mathrm {B}$ je puis prendre plusieurs chemins. Au premier de ces chemins correspondra une série $\mathrm {S}$ de sensations musculaires ; à un second chemin, correspondra une autre série $\mathrm {S} ''$ de sensations musculaires qui généralement seront complètement différentes, puisque ce seront d’autres muscles qui seront entrés en jeu.
Comment suis-je amené à regarder ces deux séries $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} ''$ comme correspondant à un même déplacement $\mathrm {AB}$ ? C’est parce que ces deux séries sont susceptibles de corriger un même changement externe. À part cela, elle n’ont rien de commun.
Considérons maintenant deux changements externes : α et β qui seront par exemple la rotation d’une sphère mi-partie bleue et rouge, et celle d’une sphère mi-partie jaune et verte ; ces deux changements n’ont rien de commun puisque l’un se traduit pour nous par le passage du bleu au rouge et l’autre par le passage du jaune au vert. Envisageons d’autre part deux séries de changements internes, $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} ''$ ; ils n’auront non plus rien de commun. Et cependant je dis que α et β correspondent au même déplacement, et que $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} ''$ correspondent aussi au même déplacement. Pourquoi ? Tout simplement parce que $\mathrm {S}$ peut corriger β aussi bien que α et parce que α peut être corrigé par $\mathrm {S} ''$ aussi bien que par $\mathrm {S}$. Et alors une question se pose : si j’ai constaté que $\mathrm {S}$ corrige α et β et que $\mathrm {S} ''$ corrige α, suis-je certain que $\mathrm {S} ''$ corrige également β ? L’expérience peut seule nous apprendre si cette loi se vérifie. Si elle ne se vérifiait pas, au moins approximativement, il n’y aurait pas de géométrie, il n’y aurait pas d’espace, parce que nous n’aurions plus intérêt à classer les changements externes et internes comme je viens de le faire, et, par exemple à distinguer les changements d’état des changements de position.
Il est intéressant de voir quel a été dans tout cela le rôle de l’expérience. Elle m’a montré qu’une certaine loi se vérifie approximativement. Elle ne m’a pas appris pourtant comment est l’espace et qu’il satisfait à la condition dont il s’agit. Je savais en effet avant toute expérience, que l’espace satisfera à cette condition ou qu’il ne sera pas. Je ne puis pas dire non plus que l’expérience m’a appris que la géométrie est possible ; je vois bien que la géométrie est possible puisqu’elle n’implique pas contradiction ; l’expérience m’a appris seulement que la géométrie est utile.
Bien que les impressions motrices aient, comme je viens de l’expliquer, eu une influence tout à fait prépondérante dans la genèse de la notion d’espace qui n’aurait jamais pris naissance sans elles, il ne sera pas sans intérêt d’examiner aussi le rôle des impressions visuelles et de rechercher combien « l’espace visuel » a de dimensions, et d’appliquer pour cela à ces impressions la définition du §3.
Une première difficulté se présente ; considérons une sensation colorée rouge affectant un certain point de la rétine ; et d’autre part une sensation colorée bleue affectant le même point de la rétine. Il faut bien que nous ayons quelque moyen de reconnaître que ces deux sensations, qualitativement différentes, ont quelque chose de commun. Or, d’après les considérations exposées dans le paragraphe précédent, nous n’avons pu le reconnaître que par les mouvements de l’œil et les observations auxquelles ils ont donné lieu. Si l’œil était immobile, ou si nous n’avions pas conscience de ses mouvements, nous n’aurions pu reconnaître que ces deux sensations de qualité différente avaient quelque chose de commun ; nous n’aurions pu en dégager ce qui leur donne un caractère géométrique. Les sensations visuelles, sans les sensations musculaires, n’auraient donc rien de géométrique, de sorte qu’on peut dire qu’il n’y a pas d’espace visuel pur.
Pour lever cette difficulté, n’envisageons que des sensations de même nature, des sensations rouges, par exemple, ne différant les unes des autres que par le point de la rétine qu’elles affectent. Il est clair que je n’ai aucune raison pour faire un choix aussi arbitraire parmi toutes les sensations visuelles possibles, pour réunir dans une même classe toutes les sensations de même couleur, quel que soit le point de la rétine affecté. Je n’y aurais jamais songé, si je n’avais pas appris d’avance, par le moyen que nous venons de voir, à distinguer les changements d’état des changements de position, c’est-à-dire si mon œil était immobile. Deux sensations de même couleur affectant deux parties différentes de la rétine m’apparaîtraient comme qualitativement distinctes, au même titre que deux sensations de couleur différente.
En me restreignant aux sensations rouges, je m’impose donc une limitation artificielle et je néglige systématiquement tout un côté de la question ; mais ce n’est que par cet artifice que je puis analyser l’espace visuel sans y mêler de sensation motrice. Imaginons une ligne tracée sur la rétine, et divisant en deux sa surface ; et mettons à part les sensations rouges affectant un point de cette ligne, ou celles qui en diffèrent trop peu pour en pouvoir être discernées. L’ensemble de ces sensations formera une sorte de coupure que j’appellerai $\mathrm {C}$, et il est clair que cette coupure suffit pour diviser l’ensemble des sensations rouges possibles, et que si je prends deux sensations rouges affectant deux points situés de part et d’autre de la ligne, je ne pourrai passer de l’une de ces sensations à l’autre d’une manière continue sans passer à un certain moment par une sensation appartenant à la coupure.
Si donc la coupure a $n$ dimensions, l’ensemble total de mes sensations rouges ou, si l’on veut, l’espace visuel total en aura $n+1$.
Maintenant, je distingue les sensations rouges affectant un point de la coupure $\mathrm {C}$. L’ensemble de ces sensations formera une nouvelle coupure $\mathrm {C} '$. Il est clair que celle-ci divisera la coupure C, en donnant toujours au mot diviser le même sens.
Si donc la coupure $\mathrm {C} '$ a $n$ dimensions, la coupure $\mathrm {C}$ en aura $n+1$ et l’espace visuel total $n+2$.
Si toutes les sensations rouges affectant un même point de la rétine étaient regardées comme identiques, la coupure $\mathrm {C} '$ se réduisant à un élément unique aurait dimension $0$, et l’espace visuel en $2$.
Et pourtant le plus souvent on dit que l’œil nous donne le sentiment d’une troisième dimension, et nous permet dans une certaine mesure de reconnaître la distance des objets. Quand on cherche à analyser ce sentiment, on constate qu’il se réduit soit à la conscience de la convergence des yeux, soit à celle de l’effort d’accommodation que fait le muscle ciliaire pour mettre l’image au point.
Deux sensations rouges affectant le même point de la rétine ne seront donc regardées comme identiques que si elles sont accompagnées d’une même sensation de convergence et aussi d’une même sensation d’effort d’accommodation ou du moins de sensation de convergence et d’accommodation assez peu différentes pour ne pouvoir être discernées.
À ce compte, la coupure $\mathrm {C} '$ est elle-même un continu et la coupure $\mathrm {C}$ a plus d’une dimension.
Mais il arrive justement que l’expérience nous apprend que, quand deux sensations visuelles sont accompagnées d’une même sensation de convergence, elles sont également accompagnées d’une même sensation d’accommodation.
Si alors nous formons une nouvelle coupure $\mathrm {C} '$ avec toutes celles des sensations de la coupure $\mathrm {C}$ qui sont accompagnées d’une certaine sensation de convergence, d’après la loi précédente, elles seront toutes indiscernables et pourront être regardées comme identiques ; donc $\mathrm {C} ''$ ne sera pas un continu et aura dimension $0$ ; et comme $\mathrm {C} ''$ divise $\mathrm {C} '$ il en résultera que $\mathrm {C} '$ en a une, $\mathrm {C}$ deux et que l’espace visuel total en a trois.
Mais en serait-il de même si l’expérience nous avait appris le contraire et si une certaine sensation de convergence n’était pas toujours accompagnée d’une même sensation d’accommodation ? Dans ce cas deux sensations affectant le même point de la rétine et accompagnées d’un même sentiment de convergence, deux sensations qui par conséquent appartiendraient l’une et l’autre à la coupure $\mathrm {C} ''$ pourraient néanmoins être discernées parce qu’elles seraient accompagnées de deux sensations d’accommodation différentes. Donc $\mathrm {C} ''$ serait à son tour continu, et aurait une dimension (pour le moins) ; alors $\mathrm {C} '$ en aurait deux, $\mathrm {C}$ trois et l’espace visuel total en aurait quatre.
Va-t-on dire alors que c’est l’expérience qui nous apprend que l’espace a trois dimensions, puisque c’est en partant d’une loi expérimentale que nous sommes arrivés à lui en attribuer trois ? Mais nous n’avons fait là pour ainsi dire qu’une expérience de physiologie ; et même comme il suffirait d’adapter sur les yeux des verres de construction convenable pour faire cesser l’accord entre les sentiments de convergence et d’accommodation, allons-nous dire qu’il suffit de mettre des besicles pour que l’espace ait quatre dimensions et que l’opticien qui les a construites a donné une dimension de plus à l’espace. Évidemment non, tout ce que nous pouvons dire c’est que l’expérience nous a appris qu’il est commode d’attribuer à l’espace trois dimensions.
Mais l’espace visuel n’est qu’une partie de l’espace, et dans la notion même de cet espace il y a quelque chose d’artificiel, comme je l’ai expliqué au début. Le véritable espace est l’espace moteur et c’est celui que nous examinerons dans la suite de ces articles.