# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 07/Géométrie élémentaire, article 3
## QUESTIONS RÉSOLUES.
### Démonstration des deux théorèmes de géométrie énoncés à la page 348 de ce recueil ;

Les théorèmes dont il s’agit ici reviennent, en dernière analise, aux deux suivans :
THÉORÈME I. Soient $\mathrm {AB,A'B',A''B''}$ trois droites parallèles quelconques, tracées sur un même plan. Soit $\mathrm {C}$ le point de concours de $\mathrm {A'A''}$ et $\mathrm {B'B''} \,;$ soit $\mathrm {C'}$ le point de concours de $\mathrm {A''A}$ et $\mathrm {B''B} \,;$ soit enfin $\mathrm {C''}$ le point de concours de $\mathrm {AA'}$ et $\mathrm {BB'} \,;$ les trois points $\mathrm {C,C',C''}$ seront en ligne droite.
THÉORÈME II. Soient $\mathrm {ASB,A'S'B',A''S''B''}$ trois angles ayant les côtés respectivement parallèles, tracés sur un même plan. Soient $\mathrm {M}$ le point de concours de $\mathrm {S'A'}$ et $\mathrm {S''B''} ,$ et $\mathrm {N}$ le point de concours de $\mathrm {S'B'}$ et $\mathrm {S''A''} \,;$ soient $\mathrm {M'}$ le point de concours de $\mathrm {S''A''}$ et $\mathrm {SB} ,$ et $\mathrm {N} '$ le point de concours de $\mathrm {S''B''}$ et $\mathrm {SA} \,;$ soient enfin $\mathrm {M''}$ le point de concours de $\mathrm {SA}$ et $\mathrm {S'B'} ,$ et $\mathrm {N''}$le point de concours de $\mathrm {SB}$ et $\mathrm {S'A'} \,;$ les trois droites $\mathrm {MN,M'N',M''N''}$ concourront en un même point.
C’est sous ce point de vue que nous allons envisager ces deux théorèmes.
I. Soit pris l’axe des $x$ parallèle aux trois droites $\mathrm {AB,A'B',A''B''} ,$ et soient l’origine et la direction de l’axe des $y$ supposés quelconques. Soient les équations des extrémités de nos trois droites ainsi qu’il suit :
${\text{Pour A}}\left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=b\,;\\\end{aligned}}\right.\quad \ \ {\text{Pour A'}}\left\{{\begin{aligned}&x=a',\\&y=b'\,;\\\end{aligned}}\right.\qquad {\text{Pour A''}}\left\{{\begin{aligned}&x=a'',\\&y=b''\,;\\\end{aligned}}\right.$
${\text{Pour B}}\left\{{\begin{aligned}&x=a+l,\\&y=b\,;\\\end{aligned}}\right.\ {\text{Pour B'}}\left\{{\begin{aligned}&x=a'+l',\\&y=b'\,;\\\end{aligned}}\right.\ {\text{Pour B''}}\left\{{\begin{aligned}&x=a''+l'',\\&y=b''\,;\\\end{aligned}}\right.$
On aura donc pour les équations
$\mathrm {AA} ',\qquad y-b={\frac {b-b'}{a-a'}}(x-a)\,;$
$\mathrm {BB} ',\qquad y-b={\frac {b-b'}{(a-a')+(l-l')}}(x-a-l)\,;$
d’où l’on conclura, pour le point $\mathrm {C''}$ de concours de ces deux droites,
$x={\frac {a'l-al'}{l-l'}},\qquad y={\frac {b'l-bl'}{l-l'}}.$
Par une simple permutation d’accens, on trouvera pour le point $\mathrm {C}$ de concours de $\mathrm {A'A''}$ et $\mathrm {B'B''}$
$x={\frac {a''l'-a'l''}{l'-l''}},\qquad y={\frac {b''l'-b'l''}{l'-l''}}\,;$
et pour le point $C'$ de concours de $\mathrm {A''A}$ et $\mathrm {B''B}$
$x={\frac {al''-a''l}{l''-l}},\qquad y={\frac {bl''-b''l}{l''-l}}.$
Or, puisque l’axe des $y$ est quelconque, on peut toujours poser qu’on la fait passer par $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C'} \,;$ on devra avoir alors
${\frac {a''l'-a'l''}{l'-l''}}=0,\qquad {\frac {al''-a''l}{l''-l}}=0\,;$
ou plus simplement
$a''l'=a'l'',\qquad al''=a''l\,;$
d’où encore
$a'l=al'\,;$
et par conséquent
${\frac {a'l-al'}{l-l'}}=0\,;$
le point $\mathrm {C''}$ sera donc aussi alors sur l’axe des $y$ ; ce point est donc en ligne droite avec les deux autres.
II. Soient pris les axes des coordonnées respectivement parallèles aux côtés des trois angles $\mathrm {ASB,A'S'B',A''S''B'',}$ l’origine étant d’ailleurs quelconque.
Soient alors les équations des sommets $S,S',S''$ ainsi qu’il suit :
${\text{Pour S}}\left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=b\,;\\\end{aligned}}\right.\quad {\text{Pour S'}}\left\{{\begin{aligned}&x=a',\\&y=b'\,;\\\end{aligned}}\right.\quad {\text{Pour S''}}\left\{{\begin{aligned}&x=a'',\\&y=b''\,;\\\end{aligned}}\right.$
En conséquence, les équations du point $\mathrm {M'',}$ intersection de $\mathrm {SA}$ et $\mathrm {S'B'}$ et du point $\mathrm {N'',}$ intersection de $\mathrm {SB}$ et $\mathrm {S'A',}$ seront
${\text{Pour M''}}\left\{{\begin{aligned}&x=a',\\&y=b\,;\\\end{aligned}}\right.\qquad {\text{Pour N''}}\left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=b'\,;\\\end{aligned}}\right.$
l’équation de $\mathrm {M''N''}$ sera conséquemment
$y-b={\frac {b-b'}{a'-a}}(x-a')\,;$
ou encore
$(b-b')x+(a-a')y+(a'b'-ab)=0.$
Par une simple transposition d’accens, on trouvera, pour les équations
$\mathrm {MN} \ ,\qquad (b'-b'')x+(a'-a'')y+(a''b''-a'b')=0,$
$\mathrm {M'N'} ,\qquad (b''-b)x+(a''-a\ )y+(a\ b\ -a''b'')=0.$
Puisque l’origine est quelconque, on peut supposer qu’on l’a placée à l’intersection de ces deux dernières droites, ce qui revient à supposer qu’elles passent toutes deux par cette origine ; on doit avoir alors
$a''b''=a'b',\qquad ab=a''b''\,;$
et par conséquent
$a'b'=ab\,;$
$\mathrm {M''N''}$
* ↑ Des droites comprises dans un même plan notant qu’un cas particulier d’un système de droites situées d’une manière quelconque dans l’espace, et des droites parallèles, soit sur un plan soit dans l’espace, n’étant également qu’un cas particulier d’un système de droites concourant en un point ; il s’ensuit que le premier de nos deux théorèmes n’est qu’un cas très-particulier du suivant : THÉORÈME. Soient $\mathrm {AB,A'B',A''B''} ,$ trois droites situées dans l’espaee d’une manière quelconque, en sorte néanmoins que leurs directions concourent en un même point. Si $\mathrm {C}$ est le point de concours de $\mathrm {A'A''}$ et $\mathrm {BB'} \,;$ que $\mathrm {C}$ soit le point de concours de $\mathrm {A''A}$ et $\mathrm {B''B} \,;$ et qu’enfin $\mathrm {C''}$ soit le point de concours de $\mathrm {AA'}$ et $\mathrm {BB'} \,;$ les trois points $\mathrm {C,C',C''}$ seront situés sur une même ligne droite. La vérité de ce théorème s’aperçoit immédiatement en remarquant que $\mathrm {AB,A'B',A''B''}$ peuvent être considérés comme les arêtes latérales d’un tronc de pyramide triangulaire, dont alors les deux bases sont $\mathrm {AA'A'',BB'B''} \,;$ et que, les points $\mathrm {C,C',C''}$ étant ceux où concourent les côtés correspondans de ces deux bases, ces points doivent se trouver sur la commune section de leurs plans, et par conséquent en ligne droite. Mais on peut aussi supposer que les deux bases $\mathrm {AA'A'',BB'B''}$ se coupent, entre les arêtes latérales donc, si $\mathrm {D}$ est le point de concours de $\mathrm {A'B''}$ et $\mathrm {A''B''} ,$ que $\mathrm {D'}$ soit celui de $\mathrm {A''B}$ et $\mathrm {AB''} ,$ et enfin $\mathrm {D''}$ celui de $\mathrm {AB'}$ et $\mathrm {A'B} \,;\ \mathrm {D'}$ et $\mathrm {D''}$ seront en ligne droite avec $\mathrm {C} ,\ \mathrm {D''}$ et $\mathrm {D}$ avec $\mathrm {C'} ,$ et $\mathrm {D,D'}$avec $\mathrm {C''} ,$ de sorte que les six points $\mathrm {C,C',C'',D,D',D''}$ seront sur quatre droites, et conséquemment dans un même plan. Soient présentement quatre droites $\mathrm {AB,A'B',A''B'',A'''B'''} ,$ concourant en un même point dans l’espace ; en combinant ces quatre droites deux à deux comme nous l’avons fait ci-dessus ; c’est-à-dire, en menant $\mathrm {AA'}$ et $\mathrm {BB',AA'',BB'',A'A''}$ et $\mathrm {B'B'',AA'''}$ et $\mathrm {BB''',A'A'''}$ et $\mathrm {B'B''',A''A'''}$ et $\mathrm {B''B'''} \,;$ on obtiendra six points de concours, lesquels, devant être situés sur quatre droites, seront conséquemment dans un même plan. En menant, au contraire, les droites $\mathrm {AB'}$ et $\mathrm {A'B,AB''}$ et $\mathrm {A''B,A'B''}$ et $\mathrm {A''B',AB'''}$ et $\mathrm {A'''B,A'B'''}$ et $\mathrm {A'''B',A''B'''}$ et $\mathrm {A'''B''}$, on obtiendra six nouveaux points qui seront deux à deux en ligne droite avec un des six premiers, ou trois à trois dans un même plan avec trois des six premiers ; de sorte que les douze points seront sur seize droites, lesquelles seront elles-mêmes situées sur quatre plans. De ces propriétés, il est facile de déduire celles des centres et des axes de similitude, tant interne qu’externe, des cercles et des sphères, qui ont été établies (tom. VI, pag. 326 et suiv.) ; il ne s’agit pour cela que de considérer les cordes de contact des cercles ou les plans des lignes de contact des sphères comme des côtés homologues ou comme des plans de faces homologues de polygones ou de polyèdres semblables, inscrits à ces cercles et à ces sphères. J. D. G.