# L’Encyclopédie/1re édition/SINUS

SINUS ou Sinus droit, en Trigonometrie, est une ligne droite tirée d’une extremité d’un arc perpendiculairement sur le rayon qui passe par l’autre extrémité.
Le sinus d’un arc est la moitié de la corde du double de cet arc. Voyez Arc.
Ainsi la ligne AD, Pl. Trigonom. fig. 1. qui est moitié de la corde AB du double de l’arc AEB, est le sinus droit, ou simplement le sinus de l’arc AE.
Le sinus total est le sinus du quart de cercle HE ou de 90 degrés, c’est-à-dire le sinus total est la même chose que le rayon HC. Voyez Rayon.
Sinus verse est une partie ED du sinus total ou rayon, comprise entre le sinus droit AD & l’arc AE.
1°. Le sinus droit AD étant perpendiculaire au rayon EC ; tous les sinus tirés sur le même rayon, sont paralleles les uns aux autres.
2°. Puisque l’arc AE est la même mesure de l’angle ACE & AI la mesure de l’angle contigu ACI, & le quart de cercle HE la mesure de l’angle droit ; AD est aussi le sinus droit & ED le sinus verse des angles ACE & ACI, & le sinus total est le sinus de l’angle droit.
3°. Deux angles contigus, comme ACE & ACT, ont le même sinus.
4°. Les sinus des angles obtus sont les mêmes que ceux de leur complément à deux angles droits.
5°. Tous les sinus d’arcs semblables ont le même rapport à leurs rayons.
Le sinus du complément ou le co-sinus de l’arc AE est le sinus de l’arc AH, qui est son complément à un quart de cercle. Voyez Co-sinus.
Pareillement le co-sinus de l’arc AH est le sinus de l’arc AE.
Pour avoir en nombre la valeur des sinus, &c. on prend le rayon pour l’unité, & on détermine la valeur des sinus, des tangentes & des sécantes en parties du rayon. Si nous apprenons par l’almagest de Ptolomée, que les anciens divisoient le rayon en soixante parties, qu’ils appelloient degrés, & par là ils déterminoient les cordes en minutes, secondes & tierces, c’est-à-dire en fractions sexagésimales du rayon, dont ils se servoient pareillement dans la résolution des triangles (Voyez Sexagésimal, Degré. &c.) les Arabes sont, à ce qu’il paroît, les premiers qui ont fait usage des sinus ou demi-cordes. Voyez Cordes.
Regiomontanus divisa d’abord, comme les anciens, le rayon en 60 degrés, & détermina les sinus des différens degrés par leurs fractions décimales ; mais dans la suite il trouva qu’il étoit bien plus commode de prendre le rayon pour l’unité, & ainsi il introduisit dans la Trigonométrie la méthode dont on se sert à-présent.
Dans les tables communes des sinus & des tangentes, on conçoit le rayon comme divisé en 10000000 parties : on ne va jamais plus loin pour déterminer la quantité de ces sinus & de ces tangentes. Ainsi comme le côté d’un hexagone soutient la sixieme partie d’un cercle & est égal au rayon, de même aussi le sinus de 30°. est 5000000.
1°. Le sinus AD étant donné, trouver le sinus du complément : ôtez le quarré du sinus AD du quarré du rayon AC ; le reste sera le quarré du sinus AG du complément : d’où tirant la racine quarrée, l’on a le sinus du complément ; par exemple, supposons AC, 10000000, & AD 5000000, on trouvera que AG sinus de 60°. est 8660254.
2°. Le sinus AD de l’arc AE étant donné, trouver le sinus de la moitié de l’arc ou la moitié de AE ; trouvez la corde de l’arc AE, voyez Corde, car la moitié de cette corde est son sinus. Ainsi supposons DC & AD connues, comme dans le problème précédent, nous trouverons que le sinus de la moitié de la corde AE ou le sinus de 15°. = 2588190.
3°. Le sinus DG de l’arc DF étant donné, trouver le sinus DE de l’arc double DB, fig. 6. Puisque les angles en E & en G sont des angles droits, & que l’angle B est commun à chaque triangle BCG & DEB, nous aurons BC : CG ∷ BD : DE ; donc CG étant trouvé par le second problème, & BD étant double de DG, on peut trouver DE par la regle de proportion.
4°. Les sinus FG & DE, fig. 7. des arcs FA & DA, dont la différence DF est plus grande que 45 minutes, étant donnés, trouver un sinus intermédiaire quelconque, comme IL. Trouvez une quatrieme proportionnelle à la différence FD des arcs dont les sinus sont donnés, à la différence de l’arc IF dont on cherche le sinus, & à la différence DH des sinus donnés : ajoutez-la au plus petit sinus donné FG, la somme sera le sinus demandé.
5°. Trouver le sinus de 45 degrés ; soit HI, fig. 1. un quart de cercle, HCI sera un angle droit ; par conséquent le triangle sera rectangle, donc $\scriptstyle HI^{2}=HC^{2}+CI^{2}=2HC^{2}$. C’est pourquoi puisque H C sinus total est 10000000 ; si du quarré de $\scriptstyle 2HC^{2}$, qui est 200000000000000, on extrait la racine quarrée 14142136 ; on aura la corde HI, dont la moitié 7071068 est le sinus demandé 45 degrés.
6°. Le sinus d’une minute ou de 60″. FG, fig. 7. étant donné, trouver le sinus d’une ou plusieurs secondes MN. Puisque les arcs AM & AF sont bien petits. AMF pourra être prise pour une ligne droite, sans qu’il y ait d’erreur sensible dans les fractions décimales du rayon dans lesquelles le sinus est exprimé, c’est-à-dire que les arcs AM & AF seront regardés comme proportionnels à leurs cordes ; c’est pourquoi puisque MN est parallele à FG, on aura AF : FG ∷ AM : MN ; donc AF, FG & AM étant donné, on trouve aisément MN.
Construire un canon des sinus. Les sinus de 30°. 15°. 45°. & 36°. étant trouvés, (nous avons montré ci-dessus la maniere de trouver les trois premiers, &, à l’égard du quatrieme, c’est la moitié du côté du pentagone, voyez Pentagone), on peut de-là construire un canon de tous les sinus à chaque minute & à chaque seconde ; car avec le sinus de 36°. on trouve ceux de 18°. 9°. 4°. 30′. & 2°. 15′. par le second problème : ceux de 54°. 72°. 81°. 85°. 30′. & 87°. 45′. &c. par le premier problème ; d’ailleurs avec les sinus de 45°. on trouve le sinus de 22°. 30′ 11°. 15′. &c. Avec les sinus de 30°. & de 54°. on trouve le sinus de 12°. Avec le sinus de 12°. on trouve ceux de 6°. de 3°. de 1°. 30′. 35′. 78°. &c. Avec le sinus de 15°. on trouve le sinus de 7°. 30′. &c. jusqu’à ce qu’on ait 120 sinus, qui se suivent régulierement à 45′. près les uns des autres. On peut trouver les autres sinus intermédiaires par le cinquieme problème, & ainsi le canon sera complet.
Le sinus d’un arc étant donné, trouver la tangente & la sécante. Voyez Tangente & Sécante.
Pour trouver le logarithme d’un sinus donné, voyez Logarithme.
Dans tous triangles, les côtés sont comme les sinus des angles opposés. Voyez Triangle.
Le sinus BC, fig. 9. & le sinus verse AB étant donnés, trouver l’arc FC en degrés. Trouvez le demi-diametre AD, alors dans le triangle DBC, outre l’angle droit B, vous trouverez par les côtés BC & DC l’angle ADC, qui fait voir combien l’arc a de degrés ; le double de cet arc est l’arc FC. Ce problème est d’usage pour trouver le segment d’un cercle. Voyez Segment.
Sinus artificiel signifie logarithme d’un sinus. Voyez Logarithme.
Ligne des sinus est une ligne sur le compas de proportion. Voyez Compas de proportion, &c. Chambers. (E)
Formules des sinus. x étant le sinus d’un angle, & 1 le sinus total, $\scriptstyle {\sqrt {1-xx}}$ est son co-sinus ; $\scriptstyle {\frac {1}{x}}$, sa sécante ; $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {1-xx}}}$, sa co-sécante ; $\scriptstyle {\frac {x}{\sqrt {1-xx}}}$, sa tangente.
De plus, si on nomme z un angle quelconque, on aura son sinus = $\scriptstyle c{\frac {\overset {z{\sqrt {-1}}\ \ \ \ \ -z{\sqrt {-1}}}{-c}}{2{\sqrt {-1}}}}$, & son co-sinus $\scriptstyle c{\frac {\overset {z{\sqrt {-1}}\ \ \ \ \ -z{\sqrt {-1}}}{+c}}{2}}$. Voyez le calcul intégral de M. de Bougainville.
En général, $\scriptstyle \sin .d\cos .b=\sin .{\frac {d+b}{2}}+\sin .{\frac {d-b}{2}}$.
$\scriptstyle Sin.d.\sin .b={\frac {1}{2}}\cos .{d+b}+{\frac {1}{2}}\cos .{d-b}$.
$\scriptstyle Co-sin.d\cos .b=cos{\frac {d+b}{2}}+cos{\frac {d-b}{2}}$.
$\scriptstyle Sin.{d+b}=\sin .d\cos .b-\sin .b\sin .b$.
$\scriptstyle Co-sin{d+b}=\cos .d\cos .b-\sin .b.\sin .b$.
Courbe des sinus, est une courbe dans laquelle les abscisses représentent les arcs de cercle ; les ordonnées représentent les sinus de ces angles.
Donc si z représente les abscisses, on aura l’ordonnée $\scriptstyle y=\sin .z=c{\frac {\overset {z{\sqrt {-1}}\ \ \ \ \ -z{\sqrt {-1}}}{-c}}{2{\sqrt {-1}}}}$, ou bien $\scriptstyle dz={\frac {dy}{\sqrt {1-yy}}}$. Par ces formules, on trouvera aisément les propriétés de cette courbe, ses tangentes, sa quadrature, &c. (O)
Sinus, s. m. (Osteolog.) espece de cavité d’un os qui a plus d’étendue dans son fond que dans son entrée, c’est ce qu’on remarque à l’égard des sinus frontaux, des maxillaires, &c. (D. J.)
Sinus du cerveau, (Anatom.) Les sinus du cerveau sont des canaux veineux, plus amples & moins comques, par rapport à leurs arteres correspondantes, que les anciens ne le sont ordinairement, par rapport aux leurs. Dans ces sinus, se rassemble comme dans une espece d’entrepôt, le sang de différentes veines, pour être de-là distribué dans les véritables veines, qui doivent le rapporter au cœur.
Il y a quatre sinus principaux, le longitudinal supérieur, qui reçoit le sang de quelques parties externes de la tête & de la dure-mere, de la pie mere, & même de l’extérieur du cerveau ; deux sinus latéraux par rapport à lui, l’un droit & l’autre gauche, qui en reçoivent le sang ; & un quatrieme nommé torcular par les anciens, où se ramasse le sang qui revient du lacis choroïde, & par conséquent des ventricules du cerveau.
Tous les Anatomistes, excepté le célebre Morgagni, ont cru que le sinus longitudinal supérieur étant parvenu au derriere de la tête, sur la tente du cervelet, se partage & se fourche en deux autres canaux, qui sont les deux sinus latéraux, dont chacun reçoit une égale quantité de sang, & qu’à l’endroit de cette bifurcation, le torcular verse son sang dans le confluent de ces trois sinus.
Mais M. Garengeot, chirurgien, a communiqué à l’académie ses observations, sur ce sujet, fort différentes de l’opinion commune. Eclairé par Morgagni, il a trouvé que comme le dit cet habile homme, la bifurcation prétendue du sinus longitudinal supérieur, n’est proprement continu, qu’avec le latéral droit, qui reçoit la plus grande partie de sa liqueur ; & que la gauche reçoit principalement celle du torcular, qui ne se décharge que dans ce sinus gauche, un peu après qu’il s’est séparé du longitudinal ; & en effet, à l’égard de ce point, M. Garengeot remarque qu’il ne seroit pas possible que le torcular se déchargeât dans le confluent du longitudinal, & de ses latéraux, parce qu’il y trouveroit une liqueur, dont le cours seroit contraire au cours de la sienne. Hist. de l’académie, année 1727. (D. J.)
Sinus en Chirurgie & en Anatomie, est une petite cavité ou poche oblongue, qui se forme pour l’ordinaire à côté d’une blessure ou d’un ulcere, dans lequel le pus s’amasse.
Un sinus est proprement une cavité dans le milieu d’une partie charnue, qui se forme par le croupissement ou la putréfaction du sang ou des humeurs, & qui se fait à elle-même un passage.
Le sinus fistuleux est une ulcération étroite & longue. Scutel observe que les sinus profonds qui vont en bas, sont difficiles à guérir ; cependant ce chirurgien entreprend de guérir toutes sortes de sinus en une semaine, par les médicamens dont il sait la description, p. 338, & avec un bandage bien collant. Il ajoute qu’il n’en vient jamais aux incisions, que quand il s’apperçoit que tous les remedes de la pharmacie sont impuissans ; & que pour ouvrir le sinus, il ne fait point usage du bistouri ou scalpel trompeur, parce qu’il est bien plus sujet à tromper l’opérateur que le malade.
La méthode de Scutel pour la guérison des sinus sans opération, dépend plus de la compression & du bandage expulsif que des médicamens. Voyez les mots Compression, Compresse, Expulsif & Fistule. (Y)