# Mécanique analytique/Notes du volume 1/Note 8
### NOTE VIII. Sur les oscillations infiniment petites d’un système de corps ; par M. G. Darboux.

Au début de la Section sixième (p. 369), Lagrange étudie d’une manière approfondie les oscillations très petites qu’exécutent les différents corps d’un système lorsqu’on les écarte très peu de leur position d’équilibre. L’emploi des admirables résultats que lui doit la Mécanique analytique permettait seul d’aborder avec succès cette question, une des plus importantes et des plus générales qui se présentent dans la théorie du mouvement. Quelques-uns des résultats que Lagrange énonce ne sont pas suffisamment établis. La solution du problème dépend de la résolution d’une équation algébrique que Lagrange apprend à former ; cette équation n’a jamais de racines imaginaires, mais, contrairement aux affirmations de l’illustre géomètre, elle peut très bien avoir des racines égales. C’est ce que nous mettrons en évidence en suivant une méthode de réduction des formes quadratiques qui est due à M. Kronecker.
Considérons deux formes quadratiques homogènes
| (1) | $\left\{{\begin{aligned}f=&a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+\ldots =\sum \sum a_{ik}x_{i}x_{k},\\\varphi =&b_{11}\,x_{1}^{2}+2b_{12}\,x_{1}x_{2}+\ldots =\sum \sum b_{ik}x_{i}x_{k},\end{aligned}}\right.$ |
qui dépendent de $n$ variables $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}.$ La formule
$\lambda f-\varphi =\sum \sum (\lambda a_{ik}-b_{ik}x_{i}x_{k},$
où $\lambda$ désigne une constante qui peut prendre toutes les valeurs possibles, définira ce que nous appellerons, avec M. Kronecker, un faisceau de formes quadratiques. L’équation algébrique
| (2) | ${\begin{array}{|llll|}\ \ \lambda a_{11}-b_{11}&\lambda a_{12}-b_{12}&\ldots &\lambda a_{1n}-b_{1n}\ \ \\\ \ \lambda a_{21}-b_{21}&\lambda a_{22}-b_{22}&\ldots &\lambda a_{2n}-b_{2n}\\\ \ \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\ \ \lambda a_{n1}-b_{n1}&\lambda a_{n2}-b_{n2}&\ldots &\lambda a_{nn}-b_{nn}\end{array}}=0$ |
$\lambda$
$\lambda f-\varphi$
$n$
$f,$
Cela posé, nous commenceronspar établir le lemme suivant :
Appelons, suivant l’usage, forme définie toute fonction quadratique de $n$ variables qui est réductible à une somme de $n$ carrés tous de même signe, et qui, par suite, ne peut s’annuler que si l’on attribue des valeurs nulles à toutes les variables dont elle dépend. Nous allons montrer que, si l’équation $(2)$ a une seule racine imaginaire, il est impossible que la forme quadratique $f,$ ou toute autre forme du faisceau, soit une forme définie.
Soit, en effet, $\lambda _{0}=\alpha +\beta i$ cette racine imaginaire de l’équation (2) ; la forme quadratique
$(\alpha +\beta i)f-\varphi$
sera une somme composée de moins de $n$ carrés. On pourra donc écrire
| (3) | $(\alpha +\beta i)f-\varphi =(y_{1}+iz_{1})^{2}+(y_{2}+iz_{2})^{2}+\ldots +(y_{n-p}+iz_{n-p})^{2},$ |
$y_{i},\,z_{k}$ désignant des fonctions linéaires réelles des variables $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}.$ Si l’on égale les parties réelles et les parties imaginaires dans les deux membres, on aura
${\begin{aligned}\beta f=&2y_{1}z_{1}\ \ \ +2y_{2}z_{2}\ \ \ +\ldots +2y_{n-p}z_{n-p},\\\alpha f-\varphi =&y_{1}^{2}-z_{1}^{2}+y_{2}^{2}-z_{2}^{2}+\ldots +y_{n-p}^{2}-z_{n-p}^{2}\end{aligned}}$
et, par conséquent,
$\lambda f-\varphi =(\lambda -\alpha )f+\alpha f-\varphi =\sum \left(y_{i}^{2}-z_{i}^{2}+2{\frac {\lambda -\alpha }{\beta }}y_{i}z_{i}\right).$
On peut, évidemment, donner à cette équation la forme suivante
$\lambda f-\varphi =\sum (y_{i}-m_{i}z_{i})\left(y_{i}+{\frac {1}{m_{i}}}z_{i}\right),$
les, constantes $m_{i}$ étant toutes réelles. La fonction $\lambda f-\varphi$ s’annulera donc si l’on pose, pour toutes les valeurs de l’indice $i,$
| (4) | $y_{i}-m_{i}z_{i}=0.$ |
Les équations ainsi obtenues sont en nombre inférieur à $n\,;$ elles sont linéaires par rapport aux variables $x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,;$ et, de plus, tous leurs coefficients sont réels. Il sera donc possible d’y satisfaire par des valeurs réelles de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ qui ne soient pas toutes nulles. Par suite, la forme $\lambda f-\varphi ,$ s’annulant par des valeurs réelles des variables indépendantes qui ne sont pas toutes nulles, ne pourra être une forme définie, quelle que soit d’ailleurs la valeur attribuée à $\lambda .$
Si l’on veut démontrer ce résultat pour la forme $f$ seulement, on pourra répéter le raisonnement précédent en substituant au système (4) les équations suivantes :
$y_{i}=0.$
On conclut immédiatement de la proposition précédente que, si un faisceau de formes quadratiques contient une seule forme définie, l’équation en $\lambda$ relative à ce faisceau a nécessairement toutes ses racines réelles.
C’est ce qui aura lieu, en particulier, si, comme nous le supposerons dans la suite, $f$ est une forme définie.
D’après cela, soit $k$ une racine, nécessairement réelle, de l’équation (2). La fonction quadratique $kf-\varphi$ pourra être ramenée à la forme
| (5) | $kf-\varphi =a_{1}x_{1}^{_{'}2}+a_{2}x_{2}^{_{'}2}+\ldots +a_{p}x_{p}^{_{'}2},$ |
$x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{p}$ désignant des fonctions linéairement indépendantes de $x_{1},\,x_{2},$ $\ldots ,\,x_{n},$ et $p$ étant au plus égal à $n-1.$
On peut adopter comme nouvelles variables indépendantes $x'_{1},\,x'_{2},$ $\ldots ,\,x'_{p}$ et les substituer à un nombre égal des variables primitives. Si, par exemple, on peut déduire des formules qui expriment $x'_{1},\,\ldots ,\,x'_{p}$ les valeurs de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{p},$ on choisira comme nouvelles variables indépendantes
$x'_{1},\quad x'_{2},\quad \ldots ,\quad x'_{p},\quad x_{p+1},\quad \ldots ,\quad x_{n}.$
On aura alors
| (6) | $f=\operatorname {\mathrm {F} } (x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{p})+\mathrm {B} \left\{{\begin{aligned}&x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{p}\\&x_{p+1},\,\ldots ,\,x_{n}.\end{aligned}}\right\}+\Phi (x_{p+1},\,\ldots ,\,x_{n}),$ |
$\operatorname {F}$ désignant la partie qui contient les seules variables $x'_{i},$ $\mathrm {B}$ celle qui contient les produits des variables $x'_{i}$ par les variables $x_{k}$ et $\Phi$ celle qui ne renferme que les variables $x_{k}.$ Pour réduire encore l’expression de $f,$ nous nous appuierons sur la remarque suivante.
Étant donnée une forme définie de $n$ variables $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n},$ si l’on annule un certain nombre des variables, $x_{p+1},\,\ldots ,\,x_{n}$ par exemple, il reste une forme définie des variables $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{p}.$
En effet, si cette forme n’était pas définie, elle s’annulerait pour des valeurs des variables $x_{1},\,\ldots ,\,x_{p}$ qui ne seraient pas toutes nulles ; et l’un de ces systèmes de valeurs, combiné avec les valeurs nulles des variables suivantes $x_{p+1},\,\ldots ,\,x_{n},$ annulerait la forme primitive, qui, contrairement à l’hypothèse, ne serait pas définie.
Il résulte de la remarque précédente que, dans l’expression (6) de $f,$ les parties $\operatorname {F}$ et $\Phi$ sont des formes définies par rapport aux variables dont elles dépendent. On pourra donc réduire $\Phi$ à une somme de carrés
$x_{p+1}^{_{'}2}+x_{p+2}^{_{'}2}+\ldots +x_{n}^{_{'}2},$
tous de même signe, positifs par exemple si la forme $f$ est positive, où les $x'_{p+1},\,\ldots ,\,x'_{n}$ désignent des fonctions indépendantes de $x_{p+1},\,\ldots ,\,x_{n}$ que nous substituerons à ces dernières variables.
Alors la partie $\mathrm {B}$ prendra la forme
$2x'_{p+1}\mathrm {P} _{p+1}+2x'_{p+2}\mathrm {P} _{p+2}+\ldots +2x'_{n}\mathrm {P} ,$
$\mathrm {P} _{p+1},\ldots ,\mathrm {P} _{n}$ étant des fonctions linéaires de $x'_{1},\ldots ,x'_{p}\,;$ et $f$ pourra s’écrire
$f=\left(x'_{p+1}+\mathrm {P} _{p+1}\right)^{2}+\ldots +\left(x'_{n}+\mathrm {P} _{n}\right)^{2}+f_{1}\left(x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{p}\right).$
Si nous introduisons enfin les nouvelles variables
$x''_{p+1}=x'_{p+1}+\mathrm {P} _{p+1},\qquad \ldots ,\qquad x''_{n}=x'_{n}+\mathrm {P} ,$
nous obtiendrons cette expression définitive de $f$
| (7) | $f=x_{p+1}^{''2}+\ldots +x_{n}^{''2}+f_{1}\left(x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{p}\right)\,;$ |
et, d’après une remarque déjà faite, $f_{1}$ sera encore une forme définie des variables dont elle dépend.
L’équation (5) nous permet de calculer $\varphi$ et nous donne
| (8) | $\varphi =k\left(x_{p+1}^{''2}+\ldots +x_{n}^{''2}\right)+\varphi _{1}\left(x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{p}\right),$ |
$\varphi _{1}$ désignant, pour abréger, la fonction quadratique
$kf_{1}\left(x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{p}\right)-ax_{1}^{'2}-\ldots -ax_{p}^{'2},$
qui dépend exclusivement des variables $x'_{1},\,\ldots ,\,x'_{p}.$
Toutes les hypothèses faites au début s’appliquent maintenant aux deux formes $f_{1}$ et $\varphi _{1},$ qui sont analogues à $f$ et à $\varphi ,$ mais qui dépendent d’un moins grand nombre de variables. On pourra donc appliquer de nouveau à ces deux formes la méthode que nous avons suivie, et continuer de la même manière jusqu’à ce que l’on ait épuisé toutes les variables. Le résultat final est évidemment le suivant :
On peut toujours expriner les deux formes quadratiques $f$ et $\varphi$ de la manière suivante
${\begin{aligned}f=&\sum _{i=1}^{i=n}y_{i}^{2},\\\varphi =&\sum _{i=1}^{i=n}a_{i}y_{i}^{2},\end{aligned}}$
les quantités $y_{i}$ étant des fonctions linéaires, réelles et indépendantes des variables primitives, et les constantes $a_{i}$ étant les racines nécessairement réelles, mais égales ou inégales, de l’équation (2).
La proposition précédente joue un rôle capital dans un grand nombre d’applications. Considérons, en particulier, le problème des oscillations infiniment petites ; la méthode suivie par Lagrange revient à exprimer toutes les variables dont dépend la position du système en fonction de variables nouvelles
$\xi _{1},\quad \xi _{2},\quad \ldots ,\quad \xi _{n},$
qui seront indépendantes et qui seront toutes nulles dans la position d’équilibre. D’après cela, si l’on suppose que tous les corps soient très voisins de leur position d’équilibre et que les vitesses imprimées à ces corps soient aussi infiniment petites, toutes les variables précédentes seront très petites, et il en sera de même de leurs dérivées
$\xi '_{1}={\frac {d\xi _{1}}{dt}},\qquad \ldots ,\qquad \xi '_{n}={\frac {d\xi _{n}}{dt}}.$
Calculons la demi-force vive $\mathrm {T}$ et la fonction des forces $\mathrm {V} ,$ en les réduisant à leurs termes de moindre dimension. On aura
$\mathrm {T} =f\left(\xi '_{1},\,\xi '_{2},\,\ldots ,\,\xi '_{n}\right),$
$f$ désignant une forme quadratique des dérivées $\xi '_{1},\,\ldots ,\,\xi '_{n}$ qui, par sa nature, sera une forme définie.
Quant à la fonction des forces, si l’on désigne par $\mathrm {V} _{0}$ sa valeur dans la position d’équilibre, on aura
$\mathrm {V} =\mathrm {V} _{0}+\varphi \left(\xi _{1},\,\xi _{2},\,\ldots ,\,\xi _{n}\right),$
$\varphi$ désignant une forme quadratique des variables $\xi _{1},\,\ldots ,\,\xi _{n}.$
Appliquons la méthode de M. Kronecker aux deux fonctions
$f\left(\xi _{1},\,\ldots ,\,\xi _{n}\right),\qquad \varphi \left(\xi _{1},\,\ldots ,\,\xi _{n}\right)\,;$
nous pourrons, par une même substitution linéaire à coefficients constants, les réduire aux formes simples
${\begin{aligned}f=&\sum _{i=1}^{i=n}y_{i}^{2},\\\varphi =&\sum _{i=1}^{i=n}a_{i}y_{i}^{2}.\end{aligned}}$
Les quantités $a_{i}$ seront les racines de l’équation en $\lambda$ relatives au faisceau $\lambda f-\varphi \,;$ elles seront toutes positives si la fonction des forces est un minimum dans la position d’équilibre.
Les variables $\xi _{i}$ et $\xi '_{i}$ se transformant de la même manière quand on applique une substitution linéaire, on aura nécessairement
$\mathrm {T} =\sum _{i=1}^{i=n}y_{i}^{'2}\,;$
et, par suite, les équations de Lagrange (p. 374) deviendront ici
${\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}+a_{i}y_{i}=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$
Les quantités $a_{i},$ qui sont toujours réelles, pourront cependant devenir égales, comme nous l’avons établi plus haut. Néanmoins, le résultat essentiel indiqué par Lagrange subsistera encore si la fonction des forces est un minimum dans la position d’équilibre, les constantes ai seront toutes positives, et les intégrales des équations différentielles précédentes ne contiendront jamais le temps en dehors des signes sinus ou cosinus.