# Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section IV
### IV VALEURS APPROCHÉES D’UN NOMBRE

17. Soit $\lambda$ un nombre, soit $\alpha$ un nombre rationnel positif. Cherchons à comparer $\lambda$ à tous les nombres $n\alpha$, ($n$ étant un entier positif, nul ou négatif), soient
| (1) | $\ldots ,\quad -2\alpha ,\quad -\alpha ,\quad 0,\quad \alpha ,\quad 2\alpha ,\quad 3\alpha ,\quad \ldots .$ |
Prenons d’abord deux nombres rationnels $a,$ $b$, tels que ${a<\lambda <b}$ ; prenons un entier $p$ inférieur au nombre rationnel ${\frac {a}{\alpha }}$, un entier $q$ supérieur au nombre rationnel ${\frac {b}{\alpha }}$ ; on a
$p\alpha <a<\lambda <b<q\alpha$
Bornons-nous à considérer les nombres $n\alpha$ de la suite (1) pour lesquels ${p\leqslant n\leqslant q}$ ; ils sont en nombre fini, le premier est inférieur à $\lambda$, le dernier est supérieur à $\lambda$ ; parmi ceux qui sont inférieurs ou égaux à $\lambda$, prenons le plus grand, soit $n\alpha$ ; le nombre suivant ${(n+1)\alpha }$, est supérieur à $\lambda$. Ainsi, on a
| (2) | $n\alpha \leqslant \lambda <(n+1)\alpha$, |
et il y a une seule valeur entière qui, mise à la place de $n$, vérifie les conditions (2). Les nombres $n\alpha ,(n+1)\alpha$, ainsi définis, sont les valeurs approchées à $\alpha$ près, par défaut et par excès, de $\lambda$.
18. Si on remplace $\alpha$ par un nombre $\alpha '$ tel que ${\alpha '={\frac {\alpha }{k}}}$, $k$ étant entier et ${>1}$, on reconnaît que dans la suite qui remplace (1), soit
$\ldots ,\quad -2\alpha ',\quad -\alpha ',\quad 0,\quad \alpha ',\quad 2\alpha ',\quad \ldots ,$
figurent les termes de (1), en particulier $n\alpha$ et $(n+1)\alpha$, de sorte que la valeur approchée par défaut à $\alpha '$ près de $\lambda$, $n'\alpha '$, est au moins égale à $n\alpha$ ; de même, $(n'+1)\alpha '$ est au plus égal à $(n+1)\alpha$.
Prenons une suite de nombres rationnels positifs $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots ,$ $\alpha _{n},$ $\ldots$ tels que les quotients ${\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}}},$ ${\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{3}}},$ $\ldots ,$ ${\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{n+1}}}$ soient des entiers supérieurs à $1$ : $k_{1},$ $k_{2},$ $\ldots ,$ $k_{n},$ $\ldots .$ ${\bigg$On peut prendre par exemple ${\alpha _{n}={\frac {1}{10^{n}}}}{\bigg )}$. Dans ces conditions, $\alpha$ tend vers 0 quand $n$ croît indéfiniment, car
$\alpha _{n}={\frac {\alpha _{1}}{k_{1}k_{2}\ldots k_{n-1}}}<{\frac {\alpha _{1}}{2^{n-1}}}$
finit par être inférieur à tout nombre positif donné.
En désignant par $u_{n}$ et $v_{n}$ les valeurs approchées de $\lambda$ à $\alpha _{n}$ près, par défaut et par excès, on a
| (1) | $u_{1}\leqslant u_{2}\leqslant \ldots \leqslant u_{n}\leqslant \ldots ,$ |
| (2) | $v_{1}\geqslant v_{2}\geqslant \ldots \geqslant v_{n}\geqslant \ldots ,$ |
| (3) | $u_{n}\leqslant \lambda \leqslant v_{n}$, |
| (4) | $v_{n}-u_{n}=\alpha _{n}$. |
Si on désigne par $\mu$ la borne supérieure des $u_{n}$, par $\nu$ la borne inférieure des $v_{n}$, on déduit de (3) :
| (5) | $\mu \leqslant \lambda \leqslant \nu$. |
Je dis qu’on ne peut avoir ${\mu <\nu }$, car alors soient deux nombres rationnels $a$, $b$, tels que
$\mu <a<b<\nu$
prenons $n$ assez grand pour que
$\alpha _{n}<b-a$
On a
$u_{n}<a<b<v_{n}$
d’où
$v_{n}-u_{n}>b-a>\alpha _{n}$
ce qui contredit (4).
Ainsi on a
$\mu =\nu$
d’où
$\lambda =\mu =\nu$
Ainsi $\lambda$ est la borne supérieure des nombres $u_{n}$, et la borne inférieure des nombres $v_{n}$ ; c’est aussi, par conséquent, la limite commune des deux suites (1) et (2). Donc :
Tout nombre peut être considéré comme la limite d’une suite de nombres rationnels non décroissante ou non croissante.
Si $\lambda$ est irrationnel, aucun nombre $u_{n}$ n’est égal à $\lambda$.
19. Si $\lambda$ est un nombre, et si $\varepsilon$ est un nombre positif, on peut trouver deux nombres rationnels $a$ et $b$ tels que
$a<\lambda <b$
$b-a<\varepsilon$
En effet, prenons d’abord un nombre positif rationnel ${\eta <\varepsilon }$.
Si $\lambda$ est rationnel, on prendra ${a=\lambda -{\frac {\eta }{2}}}$, ${b=\lambda +{\frac {\eta }{2}}}$.
Si $\lambda$ est irrationnel, on prendra pour $a$ et $b$ les valeurs approchées de $\lambda$ à $\eta$ près, par défaut et par excès.