# Mécanique analytique/Notes du volume 2/Note 1
## NOTES.
### NOTE I. Sur la convergence des séries ordonnées suivant les puissances de l’excentricité qui se présentent dans la théorie du mouvement elliptique ; par M. V. Puiseux.

Nommons $\zeta$ l’anomalie moyenne d’une planète, $u$ l’anomalie excentrique, $e$ l’excentricité de l’orbite, de sorte qu’on ait l’équation
$u-e\sin u=\zeta \,;$
on peut désirer de savoir dans quel cas la variable $u$ et les fonctions finies et continues de cette variable peuvent être développées en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de $e.$
Pour répondre à cette question, observons d’abord que, $\zeta$ étant regardée comme une constante réelle et $e$ comme une variable réelle ou imaginaire, l’équation transcendante
$u-e\sin u=\zeta$
détermine pour chaque valeur de $e$ une infinité de valeurs de $u,$ dont l’une se réduit à zéro pour $e=0,$ tandis que les autres deviennent infinies. Généralement, les valeurs de $u$ correspondantes à une valeur de $e$ sont inégales ; mais, pour certaines valeurs de $e,$ deux valeurs de $u$ deviennent égales, et, par conséquent, vérifient à la fois les deux équations
$u-e\sin u=\zeta ,\qquad 1-e\cos u=0,$
dont la seconde est la dérivée de la première prise par rapport à $u.$ Parmi ces valeurs de $e,$ il y en a une dont le module est le plus petit ; nous nommerons $a$ ce plus petit module, lequel dépend d’ailleurs de la constante $\zeta .$
Cela posé, si l’on assujettit le module de $e$ à rester moindre que $a,$ et la variable $u$ à s’annuler pour $e=0,$ $u$ sera une fonction de $e$ complètement déterminée et qui, pour les valeurs réelles de $e,$ se confondra avec l’anomalie excentrique du mouvement des planètes ; de plus, cette fonction et les fonctions finies et continues de celle-là pourront être développées en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de $e.$
Ces propositions, qui résultent de théorèmes bien connus, étant admises, la question revient à déterminer le module $a,$ ou plutôt, comme ce module dépend de $\zeta ,$ à trouver le minimum des valeurs de $a$ qui répondent aux diverses valeurs de $\zeta \,:$ c’est ce que nous allons faire en suivant la marche tracée par M. Cauchy.
Nommons $\varepsilon$ la base des logarithmes népériens, et soit
$e=a\varepsilon ^{\alpha {\sqrt {-1}}}$
la valeur de $e$ qui a le module $a\,;$ cette valeur de $e,$ jointe à une valeur convenable de $u,$ vérifie à la fois les équations
$u-e\sin u=\zeta ,\qquad 1-e\cos u=0.$
On trouve, en différentiant la première par rapport à $\zeta ,$
$(1-e\cos u){\frac {du}{d\zeta }}-\sin u{\frac {de}{d\zeta }}=1,$
ou simplement, en ayant égard à la seconde,
$-\sin u{\frac {de}{d\zeta }}=1,\qquad {\frac {de}{d\zeta }}=-{\frac {1}{\sin u}}=-{\frac {e}{u-\zeta }}.$
Mais l’équation
$e=a\varepsilon ^{\alpha {\sqrt {-1}}}$
nous donne
${\frac {de}{d\zeta }}=e^{\alpha {\sqrt {-1}}}{\frac {da}{d\zeta }}+a\varepsilon ^{\alpha {\sqrt {-1}}}{\frac {da}{d\zeta }}{\sqrt {-1}},$
et, par suite,
${\frac {1}{e}}{\frac {de}{d\zeta }}={\frac {1}{a}}{\frac {da}{d\zeta }}+{\frac {d\alpha }{d\zeta }}{\sqrt {-1}}={\frac {d\log a}{d\zeta }}+{\frac {da}{d\zeta }}{\sqrt {-1}}.$
Mettant pour ${\frac {de}{d\zeta }}$ sa valeur $-{\frac {e}{u-\zeta }},$ il vient
$-{\frac {1}{u-\zeta }}={\frac {d\log a}{d\zeta }}+{\frac {da}{d\zeta }}{\sqrt {-1}}.$
Supposons maintenant la constante $\zeta$ telle que $a$ prenne sa valeur minimum ; on aura
${\frac {d\log a}{d\zeta }}=0,$
et l’équation précédente montre qu’alors la partie réelle de $-{\frac {1}{u-\zeta }}$ sera nulle ; il en sera de même, par conséquent, de la partie réelle de $u-\zeta ,$ et l’on pourra poser
$u-\zeta =\rho {\sqrt {-1}},$
$\rho$ étant une quantité réelle, ou bien
$u=\zeta +\rho {\sqrt {-1}}.$
Portons cette valeur de $u$ dans la relation
$(u-\zeta )\cos u=\sin u,$
qui résulte de l’élimination de $e$ entre les deux équations
$u-e\sin u=\zeta ,\qquad 1-e\cos u=0\,;$
il viendra
${\begin{aligned}&\rho {\sqrt {-1}}\left[\cos \zeta \cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)-\sin \zeta \sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\right]\\&\qquad =\sin \zeta \cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)+\cos \zeta \sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\end{aligned}}$
ou bien
${\begin{aligned}&\cos \zeta \left[\rho {\sqrt {-1}}\cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)-\sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\right]\\&\qquad =\sin \zeta \left[\cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)+\rho {\sqrt {-1}}\sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\right],\end{aligned}}$
ou encore
${\sqrt {-1}}\cos \zeta \left(\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right)=\sin \zeta \left({\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right).$
Chaque membre de cette dernière équation doit être nul séparément ; on peut donc poser, ou
$\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0,\qquad {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0,$
ou encore
$\cos \zeta =0,\quad {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0,$
ou enfin
$\sin \zeta =0,\qquad \rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0.$
La première solution doit être rejetée, car on en conclurait
$\left(\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right)^{2}=0,$
ou bien
$(1-\rho )^{2}\varepsilon ^{2\rho }+(1+\rho )^{2}\varepsilon ^{-2\rho }=0,$
équation impossible, $\rho$ étant réel. La seconde solution nous donne $\zeta ={\frac {\pi }{2}}$ et l’équation en $\rho$ peut s’écrire
$1+{\frac {\rho ^{2}}{1.2}}+{\frac {\rho ^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots -\left({\frac {\rho ^{2}}{1}}+{\frac {\rho ^{4}}{1.2.3}}+\ldots \right)=0$
ou
${\frac {\rho ^{2}}{1.2}}+{\frac {3\rho ^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {5\rho ^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots =1\,;$
on voit que la quantité réelle et positive $\rho ^{2}$ n’a qu’une seule valeur ; en la déterminant par des essais successifs et extrayant la racine carrée, on trouve
$\rho =\pm 1{,}1996785\ldots .$
On a ensuite
$e\sin u=u-\zeta =\rho {\sqrt {-1}},\qquad e\cos u=1,$
d’où, en ajoutant les carrés,
$e^{2}=1-\rho ^{2},$
et, par conséquent,
$e=\pm {\sqrt {1-\rho ^{2}}}=\pm {\sqrt {\rho ^{2}-1}}{\sqrt {-1}}=\pm 0{,}662\ 7432\ldots {\sqrt {-1}}.$
Pour savoir si le module $0{,}662\ 7432\ldots$ de $e$ est un maximum ou un minimum, il faut chercher si, en adoptant pour $a$ cette valeur, on obtient pour ${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}$ une quantité négative ou positive. Or l’équation
${\frac {d\log a}{d\zeta }}=-{\frac {1}{u-\zeta }}-{\frac {d\alpha }{d\zeta }}{\sqrt {-1}}$
nous donne
${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {1}{(u-\zeta )^{2}}}\left({\frac {du}{d\zeta }}-1\right)-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}.$
Mais de l’équation
$1-e\cos u=0$
nous tirons
$e\sin u{\frac {du}{d\zeta }}=\cos u{\frac {de}{d\zeta }}=-{\frac {\cos u}{\sin u}}=-{\frac {e\cos u}{e\sin u}}=-{\frac {1}{u-z}},$
${\frac {du}{d\zeta }}=-{\frac {1}{(u-\zeta )e\sin u}}=-{\frac {1}{(u-\zeta )^{2}}}.$
Il en résulte
${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}=-{\frac {(u-\zeta )^{2}+1}{(u-\zeta )^{4}}}-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}$
ou bien, en remplaçant $u-\zeta$ par $\rho {\sqrt {-1}},$
${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {\rho ^{2}-1}{\rho ^{4}}}-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}.$
Mais, le premier membre étant réel, le second doit l’être aussi ; on a donc
${\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}=0$
et, par suite,
${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {\rho ^{2}-1}{\rho ^{4}}}.$
Le nombre $\rho$ surpassant l’unité, on voit par là que ${\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}$ est une quantité positive, et qu’ainsi la valeur $0{,}662\ldots$ de $a,$ correspondante à $\zeta ={\frac {\pi }{2}},$ est bien un minimum.
La troisième solution nous donnerait
$\sin \zeta =0,\quad \zeta =0\ \ {\text{ou}}\ \ \pi \,;$
on aurait en même temps
$\rho {\frac {e^{\rho }+e^{-\rho }}{2}}-{\frac {e^{\rho }-e^{-\rho }}{2}}=0$
ou
${\frac {2\rho ^{2}}{1.2.3}}+{\frac {4\rho ^{4}}{1.2.3.4.5}}+\ldots =0\,;$
par suite
$\rho =0,\quad e=\pm 1.$
Il s’ensuivrait $a=1,$ mais cette valeur de $a$ ne peut être qu’un maximum, puisque, pour $\zeta ={\frac {\pi }{2}},$ $a$ est un minimum, et qu’entre $\zeta =0$ et $\zeta ={\frac {\pi }{2}}$ il n’y a pas de maximum, non plus qu’entre $\zeta ={\frac {\pi }{2}}$ et $\zeta =\pi .$
Le nombre trouvé ci-dessus $0{,}6627432\ldots$ est donc bien le seul minimum de $a,$ et ce minimum répond à $\zeta ={\frac {\pi }{2}}.$ Ainsi les développements en série dont on fait usage dans la théorie du mouvement elliptique sont toujours convergents, tant que l’excentricité $e$ est inférieure à $0{,}6627432\ldots \,;$ dès que l’excentricité dépasse cette limite, les séries cessent d’être convergentes, si l’anomalie moyenne est égale à $90^{\circ }.$ Mais, si l’anomalie moyenne est différente de $90^{\circ },$ ces mêmes séries resteront convergentes jusqu’à des valeurs de $e$ supérieures à $0{,}6627432\ldots ,$ et d’autant plus voisines de $1$ que l’anomalie moyenne est elle-même plus voisine de zéro ou de $180^{\circ }.$
* ↑ Voir divers Mémoires de Cauchy, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. X, et Exercices de Physique mahématique, t. I.
* ↑ En supposant, ce qui est permis, $\zeta$ compris entre $0$ et $\pi .$