# Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 13
### CHAPITRE XIII.

78. Par une méthode analogue à celle du Chapitre VI, on peut aussi avoir le développement d’une fonction quelconque de $x$ et $y$ suivant les puissances de $x$ et $y$ et déterminer les restes de la série lorsqu’on veut l’arrêter à des termes quelconques. En changeant, dans la formule du ns$^o$ 73, $x$ et $y$ en $x-i,\ y-i,$ ensuite $i$ et $o$ en $xz,\ yz,$ on aura
$f(x,y)=f(x-xz,y-yz)+xzf'(x-xz,y-yz)+yzf_{_{'}}(x-xz,y-yz)$
$+{\frac {x^{2}z^{2}}{2}}f''(x-xz,y-yz)+xyz^{2}f'_{_{'}}(x-xz,y-yz)$
$+{\frac {y^{2}z^{2}}{2}}f_{_{''}}(x-xz,y-yz)+\ldots ,$
où $s$ sera une quantité quelconque indéterminée qui, étant supposée égale à zéro, rendra l’équation identique, et qui, étant faite égale à $1,$ donnera
$f(x,y)=f+xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''+xyf'_{_{'}}+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}+\ldots ,$
formule générale du développement de la fonction $f(x,y)$ suivant les puissances de $x$ et $y,$ dans laquelle les quantités désignées par $f,f',f_{_{'}},\ldots$ dénotent les valeurs des fonctions dérivées suivant $x$ et $y,$ en faisant $x=0$ et $y=0.$
Supposons maintenant qu’on ne veuille faire ce développementque par parties, et arrêtons-nous d’abord au premier terme ; nous ferons
$f(x,y)=f(x-xz,y-yz)+\mathrm {P} ,$
$\mathrm {P}$ étant une fonction de $z$ qui devra être évidemment nulle lorsque $z=0.$ Puisque la quantité $z$ peut être quelconque, nous pouvons prendre l’équation prime relativement à $z,$ et, par les principes et la notation établis, il est facile de voir que la fonction prime de $f(x-xz,y-yz),$ prise relativement à $z,$ sera
$-xf'(x-xz,y-yz)-yf_{_{'}}\left(x-xz,y-yz\right)\,;$
donc, désignant par $\mathrm {P} '$ la fonction prime de $\mathrm {P} ,$ prise aussi relativement à $z,$ on aura, pour la détermination de $\mathrm {P} ,$ l’équation du premier ordre
$\mathrm {P} '=xf'(x-xz,y-yz)+yf_{_{'}}(x-xz,y-yz).$
Considérons, en second lieu, les trois premiers termes du développement de $f(x,y),$ et faisons
$f(x,y)=f(x-xz,y-yz)+xzf'(x-xz,y-yz)+yzf_{_{'}}(x-xz,y-yz)+\mathrm {Q} \,;$
$\mathrm {Q}$ sera une fonction de $z$ qui devra, par la nature même de cette équation, devenir nulle lorsque $z=0.$ À cause de l’indétermination de $z,$ on pourra prendre l’équation prime relativement à $z,$ et, désignant par $\mathrm {Q} '$ la fonction prime de $\mathrm {Q} ,$ on trouvera, après avoir effacé les termes qui se détruisent dans l’équation prime, cette équation du premier ordre pour la détermination de $\mathrm {Q} ,$
$\mathrm {Q} '=x^{2}zf''(x-xz,y-yz)+2xyzf'_{_{'}}(x-xz,y-yz)+y^{2}zf_{_{''}}(x-xz,y-yz),$
et ainsi de suite.
Pour déduire de ces équations les valeurs de $\mathrm {P,Q} ,\ldots ,$ il faudrait chercher les fonctions primitives des quantités $\mathrm {P',Q'} ,\ldots$ relativement à $z,$ et les prendre telles qu’elles soient nulles lorsque $z=0.$ Mais, comme nous n’avons pas besoin des expressions générales de ces quantités, mais seulement de leurs valeurs relatives à $z=1,$ que même il suffit d’avoir des limites de ces valeurs, on pourra faire usage de la méthode employée dans le Chapitre cité pour parvenir à des conclusions semblables à celles du n$^o$ 39.
Ainsi, en désignant par $\lambda$ un nombre indéterminé, ou plutôt inconnu, toujours compris entre $0$ et $1,$ et qui devra être partout le même dans la même fonction, mais qui pourra être différent dans les différentes fonctions, on trouvera les expressions suivantes :
${\begin{aligned}\mathrm {P} =&xf'(\lambda x,\lambda y)+yf_{_{'}}(\lambda x,\lambda y),\\\mathrm {Q} =&{\frac {1}{2}}\left[x^{2}f''(\lambda x,\lambda y)+2xyf'_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)+y^{2}f_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)\right],\end{aligned}}$
et ainsi des autres.
Donc enfin, substituant ces valeurs de $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ dans les développements de $f(x,y)$ et faisant $z=1,$ on aura ces formules générales, qui renferment une extension du théorème du n$^o$ 40
${\begin{aligned}f(x,y)=f+&xf'(\lambda x,\lambda y)+yf_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)\\=f+&xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''(\lambda x,\lambda y)\\&+xyf'_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)\\\\=f+&xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''+xyf'_{_{'}}+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}\\+&{\frac {x^{3}}{2.3}}f'''(\lambda x,\lambda y)+{\frac {x^{2}y}{2.3}}f''_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)\\+&{\frac {xy^{2}}{2}}f'_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)+{\frac {y^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(\lambda x,\lambda y)\\=\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Donc, si l’on a la fonction $f(x+i,y+o)$ à développer suivant les puissances de $i$ et de $o,$ il n’y aura qu’à mettre $i$ et $o$ à la place de $x$ et $y$ dans les formules précédentes, et les quantités $f,f',f_{_{'}},\ldots$ deviendront $f(x,y),$ $f'(x,y),f_{_{'}}(x,y),\ldots ,$ où les fonctions dérivées peuvent être prises relativement à $x$ et $y,$ puisque la fonction $f(x+i,y+o)$ est telle, que ses dérivées relativement à $x$ et $y$ sont les mêmes que les dérivées relativement à $i$ et $0.$ Ainsi, on aura
${\begin{aligned}f(x+i,y+o)=f(x,y)\ +&if'(x+\lambda i,y+\lambda o)+of_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\=f(x,y)\ +&if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)\\+&{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+\lambda i,y+\lambda o)+iof'_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\+&{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\\\=f(x,y)\ +&if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)\\+&{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)\\+&{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)\\+&{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+\lambda i,y+\lambda o)+{\frac {i^{2}o}{2.3}}f''_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\+&{\frac {io^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\=\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
La quantité $\lambda i$ répond, comme l’on voit, à la quantité que nous avons désignée par $j$ dans le n$^o$ 40 ; nous préférons ici l’expression $\lambda i,$ parce que le même coefficient $\lambda$ se trouve dans la quantité $\lambda o.$ De ces formules, qu’il serait maintenant aisé d’étendre aux fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables, on peut déduire la conclusion suivante :
Lorsque, dans le développement d’une fonction suivant les puissances et les produits de certaines quantités, on veut s’arrêter aux termes d’un ordre donné, c’est-à-dire dans lesquels ces quantités forment des dimensions d’un degré égal à l’exposant de cet ordre, on peut supposer le reste du développement égal aux seuls termes de l’ordre suivant, mais en y conservant ces mêmes quantités sous les fonctions, et les multipliant toutes par un coefficient $\lambda$ dont la valeur sera entre les limites $0$ et $1,$ et qui sera là même dans la même fonction, mais qui pourra être différente dans les différentes fonctions.
79. Au reste, on pourrait aussi appliquer au développement de la fonction $f(x+i,y+o)$ la méthode du n$^o$ 37, en prenant les fonctions dérivées par rapport à $i$ et $o.$ En effet, soit
$f(x+i,y+o)=f(x,y)+i\mathrm {P} +o\mathrm {Q} .$
En prenant d’abord les fonctions dérivées par rapport à $x$ et $y,$ on aura
${\begin{aligned}f'(x+i,y+o)=&f'(x,y)+i\mathrm {P} '+o\mathrm {Q} ',\\f_{_{'}}(x+i,y+o)=&f_{_{'}}(x,y)+i\mathrm {P} _{_{'}}+o\mathrm {Q} _{_{'}}.\end{aligned}}$
Ensuite, si l’on prend les fonctions dérivées par rapport à $i$ et $o,$ et qu’on les désigne par des traits placés au haut et au bas, mais en arrière des lettres, on aura aussi
${\begin{aligned}f'(x+i,y+o)=&\mathrm {P} +i'\mathrm {P} +o'\mathrm {Q} ,\\f_{_{'}}(x+i,y+o)=&\mathrm {Q} +i_{_{'}}\mathrm {P} +o_{_{'}}\mathrm {Q} ,\end{aligned}}$
puisqu’il est évident que les fonctions dérivées de $f(x+i,y+o)$ sont les mêmes par rapport à $x$ et $i$ et par rapport à $y$ et $o.$ De là on aura
${\begin{aligned}\mathrm {P} =&f'(x,y)+i(\mathrm {P'-'\!P} )+o(\mathrm {Q'-'\!Q} ),\\\mathrm {Q} =&f_{_{'}}(x,y)+i(\mathrm {P_{_{'}}-_{_{'}}\!\!P} )+o(\mathrm {Q_{_{'}}-_{_{'}}\!\!Q} ).\end{aligned}}$
Donc, si l’on fait
$\mathrm {R=P'-'\!P,\quad S=Q'-'\!Q+P_{_{'}}-_{_{'}}\!\!P,\quad T=Q_{_{'}}-_{_{'}}\!\!Q} ,$
on aura, en substituant ces valeurs,
$f(x+i,y+o)=f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+i^{2}\mathrm {R} +io^{2}\mathrm {S} +o^{2}\mathrm {T} ,$
et l’on pourra de la même manière pousser le développement aussi loin qu’on voudra, de sorte qu’en connaissant les expressions analytiques des premiers restes $\mathrm {P,Q}$ on trouvera tous les suivants par les simples fonctions dérivées de ces restes.
80. Puisque les fonctions dérivées de deux variables se forment de la même manière et par les mêmes règles que celles d’une seule variable, en considérant chaque variable séparément et successivement, il s’ensuit que tout ce que nous avons démontré sur les fonctions d’une seule variable peut s’appliquer de même aux fonctions de deux variables.
Ainsi, il sera facile d’étendre aux fonctions de deux variables les remarques que nous avons faites dans le Chapitre V, sur le développement des fonctions lorsqu’on donne aux variables des valeurs déterminées, et d’en déduire des conséquences et des résultats semblables.
Enfin, il est visible qu’on pourra traiter aussi par les mêmes principes les fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables, puisqu’il ne s’agira que de répéter les mêmes opérations séparément pour chaque variable.