# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Géométrie élémentaire, article 7
## PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE.
### Considérations philosophiques sur les élémens de la science de l’étendue.

Les diverses théories dont se compose le domaine de la science de l’étendue peuvent être rangées en deux classes très-distinctes, Il est, en effet, certaines de ces théories qui dépendent essentiellement des relations métriques qui se trouvent exister entre les diverses portions d’étendue que l’on compare, et qui conséquemment ne sauraient être établies qu’à l’aide des principes du calcul. D’autres, au contraire, sont tout-à-fait indépendantes de ces mêmes relations, et résultent uniquement de la situation que se trouvent avoir les uns par rapport aux autres, les êtres géométriques sur lesquels on raisonne ; et, bien que très-souvent on les déduise des proportions et du calcul, on peut toujours, en s’y prenant d’une manière convenable, les en dégager complètement. Mais il peut quelquefois devenir nécessaire pour cela de passer tour à tour de la géométrie plane à celle de l’espace et de celle-ci à la première, comme Monge et les géomètres de son école l’ont si souvent pratiqué, et avec tant de succès.
Il est donc raisonnablement permis de se demander, d’après cela, si notre manière de diviser la géométrie en géométrie plane et géométrie de l’espace est aussi naturelle et aussi exactement conforme à l’essence des choses que vingt siècles d’habitude ont pu nous le persuader. Toujours du moins demeure-t-il vrai qu’en y renonçant on parviendrait, en ne recourant, pour ainsi dire, qu’à la simple intuition, à pousser assez avant dans la géométrie des commençans que l’étude du calcul, présentée des l’entrée, ne rebute que trop souvent, et qui peut-être s’y livreraient plus tard avec beaucoup moins de répugnance, lorsque leur intelligence se serait agrandie et fortifiée, par l’étude d’une série plus ou moins prolongée de propriétés de l’étendue.
Mais un caractère extrêmement frappant de cette partie de la géométrie qui ne dépend aucunement des relations métriques entre les parties des figures ; c’est qu’à l’exception de quelques théorèmes symétriques d’eux-mêmes, tels, par exemple, que le théorème d’Euler sur les polyèdres, et son analogue sur les polygones, tous les théorèmes y sont doubles ; c’est-à-dire que, dans la géométrie plane, à chaque théorème il en répond toujours nécessairement un autre qui s’en déduit en y échangeant simplement entre eux les deux mots points et droites tandis que, dans la géométrie de l’espace, ce sont les mots points et plans qu’il faut échanger entre eux pour passer d’un théorème à son corrélatif.
Parmi un grand nombre d’exemples que nous pourrions puiser, dans le présent recueil, de cette sorte de dualité des théorèmes qui constituent la géométrie de situation, nous nous bornerons à indiquer, comme les plus remarquables, les deux élégans théorèmes de M. Coriolis, démontrés d’abord à la page 326 du XI.e volume, puis à la page 69 du XII.e, et l’article que nous avons nous-même publié à la page 107 du précédent volume, sur les lois générales qui régissent les polyèdres. C’est, au surplus, une suite inévitable des propriétés des pôles, polaires, plans polaires et polaires conjuguées des lignes et surfaces du second ordre, qui jouent ici un rôle assez analogue à celui que joue le triangle supplémentaire, dans la trigonométrie sphérique où, comme il a été montré, dans tout le cours de l’intéressant mémoire de M. Sorlin (tom. XV, pag. 273), les théorèmes peuvent également être répartis en en deux séries parallèles, de manière à se correspondre deux à deux, avec la plus grande exactitude.
Toutefois, quelque digne de remarque que puisse être un fait géométrique de cette importance, et quelque ressource qu’il puisse offrir, dans un grand nombre de cas, pour faire deviner, en quelque sorte, de nouveaux théorèmes, à peine a-t-il été entrevu, même par les géomètres qui, dans ces derniers temps, se sont le plus spécialement occupés de la recherche des propriétés de l’étendue ; tant est peu philosophique encore, même de nos jours, la manière d’étudier les sciences.
Voilà ce qui nous détermine à faire de cette sorte de géométrie en parties doubles, s’il est permis de s’exprimer ainsi, le sujet d’un écrit spécial dans lequel, après avoir rendu manifeste le fait philosophique dont il s’agit, dans l’exposé même des premières notions, nous nous en appuyerons, soit pour démontrer quelque théorèmes nouveaux, soit pour donner de quelques théorèmes déjà connus des démonstrations nouvelles, qui les rendent à l’avenir tout à fait indépendans des relations métriques desquelles on a été jusqu’ici dans l’usage de les déduire.
Nous pourrions fort bien nous borner à démontrer seulement une moitié de nos théorèmes, et à en déduire l’autre moitié, à l’aide de la théorie des pôles. Mais nous préférons les démontrer directement les uns et les autres, tant pour ne pas sortir des premiers élémens et rendre ce qu’on va livre accessible à ceux là-même qui ne connaissent pas les Élémens d’Euclide, que pour avoir l’occasion de faire remarquer qu’il existe entre les démonstrations de deux théorèmes d’une même couple la même correspondance qu’entre leurs énoncés. Nous aurons même soin, afin de rendre cette correspondance plus apparente, de présenter les théorèmes analogues dans deux colonnes, en regard l’une de l’autre, comme nous en avons déjà usé, dans l’article sur les polyèdres rappelé plus haut ; de telle sorte que les démonstrations puissent se servir réciproquement de contrôle.
Nous croyons superflu d’accompagner ce mémoire de figures, souvent plus embarrassantes qu’utiles, dans la géométrie de l’espace ; figures que nous ne pourrions d’ailleurs offrir que sous un aspect unique et individuel au lecteur qui pourra, au contraire, les construire et façonner à son gré, si toutefois il en juge le secours nécessaire. Il ne s’agit ici, en effet, que de déductions logiques, toujours faciles à suivre, lorsque les notations sont choisies d’une manière convenable.
Remarque. Dans ce qui précède, nous avons disposé les propositions, en regard les unes des autres, comme elles doivent l’être dans la géométrie à trois dimensions, et nous en userons de même dans tout ce qui va suivre. Dans la géométrie plane, leur correspondance serait un peu différente. Alors, par exemple, la proposition 8 de la série de droite devrait correspondre à la proposition 7 de la série de gauche.
Les géomètres ayant remarqué que les droites que déterminent deux sommets non consécutifs d’un polygone ou d’un polyèdre, ainsi que les plans que déterminent deux arêtes non consécutives d’un angle polyèdre, jouaient un rôle assez important en géométrie, ont cru utile de leur donner des dénominations particulières, et ils les ont appelés diagonales et plans diagonaux. Mais les points que déterminent deux côtés non consécutifs d’un polygone ; mais les droites que déterminent les plans de deux faces non consécutives, soit d’un polyèdre soit d’un angle polyèdre, ne sont pas d’une moindre importance, et pourtant on ne leur a assigné aucune dénomination spéciale. On n’aurait sans doute pas manqué de le faire, si les relations que nous nous efforçons ici de faire ressortir avaient été aperçues par les créateurs de la science, ce qui prouve, pour le dire en passant, que ce n’est seulement que lorsqu’une science est déjà parvenue en un assez haut degré de maturité qu’on peut espérer d’en bien faire la langue. Quoi qu’il en soit, plutôt que de créer des dénominations nouvelles ; qui pourraient fort bien ne pas plaire également à tous les lecteurs, nous préférons nous interdire ici l’usage des mots diagonales et plans diagonaux, qui manqueraient d’analogues, et les remplacer constamment par la périphrase équivalente.
Souvent à l’avenir, de ce que deux droites seront situées dans un même plan, il nous arrivera de conclure qu’elles concourent en un même point ; mais il faudra alors sous-entendre que ce point peut fort bien être infiniment éloigné.
Remarques. La correspondance entre ces divers théorèmes est ici telle que l’exige la géométrie de l’espace. Dans la géométrie plane, au contraire, le numéro 18 (série de droite) répondrait au numéro 17 (série de gauche).
Les théorèmes compris sous ces deux numéros, susceptibles de revêtir une multitude de formes différentes, et desquels on en peut déduire un grand nombre d’autres, sont fondamentaux, dans la géométrie de la règle. Ils offrent, en particulier, les méthodes les plus simples qu’on puisse employer, pour la résolution des deux problèmes suivans, se correspondant l’un à l’autre, dans la géométrie plane : I. Deux points déterminent une droite inconnue, qu’un obstacle empêche de tracer, trouver sur une droite donnée, en ne faisant usage que de la règle, un troisième point de cette droite ? II. Un point inconnu devant être déterminé par deux droites, qu’un obstacle empêche de prolonger, mener, par un point donné, en ne faisant usage que de la règle, une troisième droite qui passe par ce point ?
Si l’on suppose (17, série de droite et 18, série de gauche) que le sommet commun des deux angles trièdres devient le centre d’une sphère de rayon quelconque, on obtiendra, sur la sphère, des théorèmes analogues aux théorèmes 17 (série de gauche) et 18 (série de droite), dans lesquels les droites se trouveront remplacées par des arcs de grands cercles. On en conclura la possibilité de résoudre, sur la sphère, des problèmes analogues aux deux que nous venons d’énoncer, en ne faisant usage que du compas règle, c’est-à-dire, du compas à ouverture fixe, servant à décrire des grands cercles, et dans lequel, conséquemment, la distance entre les points est l’hypothénuse d’un triangle isocèle rectangle, dont les deux côtés de l’angle droit sont égaux au rayon de la sphère.
Parmi les nombreuses conséquences qui résultent des théorèmes (17 et 18), nous nous bornerons à signaler les suivantes :
Remarques. Il est plus que superflu d’observer qu’en géométrie plane ce serait le n.$^o$ 20 (série de droite) qui correspondrait au n.$^o$ 19 (série de gauche).
Il est facile de voir que les théorèmes compris sous ces deux numéros ont leurs analogues sur la sphère, lesquels se déduiront des numéros 19 (série de droite) et 20 (série de gauche), en supposant que le sommet commun des deux angles tétraèdres devient le centre d’une sphère.
Ce sera ici le lieu très-naturel des deux théorèmes de M. Coriolis déjà cités, démontrés, comme ils l’ont été, tom. XII, pag. 70. Ils auront leurs correspondans dans l’espace, desquels on en déduira d’analogues sur la sphère.
En Géométrie plane, ce serait le n.$^o$ 26 (série de droite) qui correspondrait au n.$^o$ 27 (série de gauche).
Remarques. On pourrait traiter ici de l’icosaèdre dodécagone et du dodécaèdre icosagone dans lesquels les droites que déterminent les sommets opposés passent par le même point, ou dans lesquels les droites déterminées par les plans des faces opposées appartiennent à un même plan. On pourrait traiter ensuite de l’inscription et de la circonscription du tétraèdre à lui-même, de celle de l’octaèdre hexagone à l’hexaèdre hexagone, et de celle de l’icosaèdre dodécagone au dodécaèdre icosagone. On pourrait enfin placer ici l’article sur les lois générales qui régissent les polyèdres, rappelé au commencement du présent mémoire, ainsi qu’une grande partie de l’article de la page 321 du tome IX.e.
Quelques personnes trouveront peut-être que ce qui précède manque de développement ; mais nous les prierons de remarquer que nous n’écrivons pas pour les commençans, et qu’il nous a dû sembler préférable de multiplier les points de comparaison que d’entrer sur quelques-uns d’entre eux dans de minutieux détails que tout lecteur tant soit peu versé dans la géométrie pourra facilement suppléer. Nous croyons en avoir dit suffisamment pour mettre hors de toute contestation ces deux points de philosophie mathématique, savoir 1.$^o$ qu’il est une partie assez notable de la géométrie dans laquelle les théorèmes se correspondent exactement deux à deux, ainsi que les raisonnemens qu’il faut faire pour les établir, et cela en vertu de la nature même de l’étendue ; 2.$^o$ que cette partie de la géométrie, qui prendrait une très-grande étendue, si l’on voulait y comprendre les lignes et les surfaces courbes, peut être complètement développée indépendamment du calcul et de la connaissance d’aucune des propriétés métriques des grandeurs que l’on considère.
Il nous a paru qu’un point de doctrine d’une importance aussi majeure, dont nous avons été frappés pour la première fois il y a plus de dix ans, et que l’esprit de détail avait dérobé jusqu’ici à la vue des géomètres, ne devait pas demeurer plus long-temps sans être mis en pleine évidence. Nous craignons bien toutefois que ce que nous venons d’écrire passe sans être aperçu ou que du moins d’après un examen superficiel, beaucoup n’y voient qu’un de ces rapprochemens forcés qui n’ont de consistance que dans l’esprit de ceux qui les imaginent.
* ↑ Note Wikisource. — Les deux paragraphes numérotés 8 sont tirés des errata.
* ↑ On obtient ainsi le théorème dont la démonstration a été demandée à la page 396 du XV.e volume du présent recueil.
* ↑ On reconnaît ici les deux théorèmes dont M. Dandelin a tiré un si heureux parti. (Tom. XV, pag. 323).
* ↑ Voici de quelle manière on pourrait débuter dans la partie de cette géométrie relative aux lignes et surfaces courbes. Définition. Soient, dans l’espace, un plan fixe et trois droites, non situées deux à deux dans un même plan ; et concevons une droite mobile posant constamment sur les trois droites fixes. Cette droite mobile et le plan fixe détermineront une série de points ; et la courbe plane qui les comprendra tous sera ce qu’on appelle une ligne du second ordre. ﻿ Définition. Soient, dans l’espace, un point fixe et trois droites fixes, non concourant deux à deux en un même point ; et concevons une droite mobile posant constamment sur les trois droites fixes. Cette droite mobile et le point fixe détermineront une série de plans, et la surface conique à laquelle ils seront tous tangens sera ce qu’on appelle une surface conique du second ordre. THÉORÈME. Toute surface conique qui passe par une ligne du second ordre est une surface conique du second ordre. ﻿ THÉORÈME. Toute section plane faite à une surface conique du second ordre est une ligne du second ordre. Démonstration. Etc., etc. ﻿ Démonstration. Etc., etc.