# Commentaires des Principes de Newton - Exposition abrégée, 6

95 Comment M. Newton explique les Phénoménes des planetes Secondaires, & principalement ceux de la Lune. I. LE premier phénoméne que les planetes ſecondaires préſentent aux Phyficiens, c’eſt la tendance qu’elles ont vers leur planete principale, en ſuivant la même loi que les planetes principales vers le Soleil. Nous avons fuffiſamment établi cette tendance dans le ſecond Chapitre, à l’occaſion des planetes principales, en négligeant, comme il le faut d’abord pour ſimplifier la queſtion, toutes les inégalités que les planetes produiſent entr’elles, ou qu’elles peuvent recevoir de la part du Soleil. Mais il eſt maintenant à propos d’exa miner ces inégalités, pour voir d’une maniere plus fatisfaiſante l’univerſalité du principe de l’attraction, & l’harmonie du fyftême dont il eſt la baſe. La Lune eſt de toutes ces planetes celle dont on connoît le mieux les variations, & celle dont la marche peut être le plus facilement ſoumiſe à la théorie, Il nous manque pour l’entier examen des autres planetes ſecondaires, un élément auquel il paroît comme impoſſible de ſuppléer, la connoiffance de leurs maſſes, laquelle eß néceſſaire pour meſurer leurs actions réciproques, & les dérangemens de leurs orbites qui en réſultent. Et quand même, abandonnant l’eſpérance de calculer ·la feule théorie les mouvemens de ces aſtres, l’on ſe propoferoit par feulement de faire voir à pofteriori que les phénoménes n’ont rien de contraire au principe de l’attraction, on n’en feroit pas maintenanţ plus avancé, parce que les phénoménes mêmes, conſidérés aſtronomiquement, ne font pas aſſez bien déterminés. Tout ſe réduit donc pour la théorie de ces planetes, à avoir vu que les forces avec leſquelles elles agiſſent les unes ſur les autres, ou celle avec laquelle le Soleil agit ſur elles pour déranger leurs orbites, font très petites 96
en comparaiſon de l’attraction qu’elles éprouvent vers leurs planetes principales, & que cette attraction eſt comme toutes les autres inverſement proportionnelle aux quarrés des diſtances. Les différentes fortes de mouvemens qu’on avoit remarqué depuis longtems dans la Lune, & les loix de ces mouvemens trouvées par de célébres Aftronomes, ent fourni à M. Newton des moyens d’appliquer avec ſuccès ſa théorie à cette planete. Ce grand homme qui avoit déja tant fait de découvertes dans les autres parties du Syſtême du Monde, a voulu encore perfectionner celle-là ; & quoique la méthode qu’il ait ſuivie en cette occaſion ſoit moins claire & moins fatisfaiſante que celle qu’il avoit employée dans les autres phénoménes, on ne peut pas s’empêcher de lui devoir beaucoup de reconnoiffance de s’y être appliqué. Nous allons donner une légere idée de la méthode qu’il a ſuivie dans cette recherche, Prop. 66, Liv. I. I I. On voit aiſément que ſi le Soleil étoit à une diſtance de la terre & de la Lune qui fut infinie par rapport à celle qui ſépare ces deux planetes, il ne troubleroit en aucune maniere les mouvemens de la Lune autour de la terre ; puiſque des forces égales & dont les directions font paralléles, qui agiſſent ſur deux corps quelne fauroient altérer leurs mouvemens relatifs. Mais comconques, me l’angle que font les lignes tirées de la Lune & de la terre au SoManiere d’avoir leil, quoique très petit, ne fauroit être regardé comme nul, il faut égard à l’inégalite de la force du donc y avoir égard, & en déduire l’inégalité de l’action du Soleil Soleil ſur la terre & ſur la Lune. fur les deux corps à conſidérer. Prenant donc, ainſi que M. Newton, ſur la ligne tirée de la Lune au Soleil une droite pour repréſenter la force avec laquelle le Soleil l’attire, ſoit regardé cette droite comme la diagonale d’un parallélograme dont un côté feroit ſur la ligne tirée de la Lune à terre, & l’autre une paralléle menée de la Lune à la droite la qui 9.7 leil ſe vant la ligne ti qui joint le Soleil & la terre. Il eſt clair que ces deux côtés du même La force du Soparallélograme, repréſenteront deux forces qu’on peut ſubſtituer à ſe en deux autres. la force du Soleil ſur la Lune, & que la premiere de ces deux forces, celle qui pouffe la Lune vers la terre, ne troublera en aucune maniere l’obſervation de la régle de Kepler des aires proportion-rc. nelles aux tems, mais qu’elle changera feulement la loi de la force avec laquelle la Lune tendra vers la terre, & altérera en conſéquence la forme de ſon orbite. Quant à la ſeconde force, celle qui L’autre agit fuiagit ſuivant la paralléle au rayon de l’orbite de la terre, fi elle étoit rée de la terre au égale à la force avec laquelle le Soleil agit ſur la terre, on voit aiſément qu’elle ne produiroit aucun dérangement à l’orbite de la Lune ; mais cette égalité ne peut arriver que dans les points où la Lune eſt à une diſtance du Soleil égale à celle où en eſt la terre dans le même tems, ce qui arrive vers les quadratures. Dans tout autre point, ces deux quantités étant inégales, c’eſt leur différence qui exprime la force perturbatrice du Soleil ſur la Lune, tant pour déranger la deſcription égale des aires en tems égaux, que pour, empêcher la Lune de ſe mouvoir toujours dans le même plan. Soleil. I I 1. On ne trouve dans la Propofition du premier Livre que je viens Prop. 25. Liv. 3. de citer, que l’expoſition générale de cette maniere d’eſtimer les forces perturbatrices du Soleil ſur la Lune : mais dans le troiſiéme L’une pouffe la Lune vers la ter on trouve le calcul qui meſure leur quantité ; on y apprend que la meſure des for partie de la force du Soleil qui pouffe la Lune vers la terre, eſt dans du Soleil. ces perturbatrices I fa médiocre quantité, la de celle par laquelle la terre agit 17800 fur elle dans les moyennes diſtances. On voit enſuite que l’autre partie de la même force du Soleil, celle qui agit parallélement au rayon de l’orbite de la terre, eſt à la premiere, comme eſt au ſinus total, le triple du coſinus de l’angle que font entr’elles les droites tirées de la Lune & de la terre au Soleil.
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I V.
employé cette détermination des forces perturbatrice
des inégalités de la Lune qu’on appelle ſa variation, Sc donc la découverte est due à TyeÂo.
M. Newton, pour déterminer cette inégalité, fait abftraétion de toutes les autres : il regarde même la Lune comme ſi elle devoit parcourir un cercle parfait autour de la terre sans Taâion du Soleil, Sc il cherche l’accélération que Taire doit recevoir par celle des deux forccs perturbatrices qui agit parallèlement au rayon tiré dc 1a terre au Soleil. Il trouve que Taire décrite dans chaque iuftant supposé égal, est toujours à peu prés proportionelle à la somme du nombre 219, 46, Sc du ſinus verſe du double dc la distance de la Lune à la prochaine quadrature (le rayon étantTunicé) 5 ensorte que la plus grande inégalité de la description des aires se trouve dans les oékns où ce ſinus verſe est dans son maximum. V.
Pour déterminer ensuite l’équation que doit donner au mouvement de la Lune cette accélération de Taire, il a égard au changement de figure que recevroit l’orbite par la force perturbatrice. L’aâfoaJiiSo— Il cherche la quantité dont la force perturbatrice doit rendre la Ae la ligne qui passe par les quadratures plus longue que celle qui travcrfc les fyfigies. Les données qu’il employé en rélbivant ce Protesuadiararcs, jçj vltcffcs qu’il a montré à déterminer pour ces deux points dans la proposition précédente. Scies forces centripètes aux mêmes points, lesqueles font composées Tune Sc l’autre de la force vers la terre, Sc des forces perturbatrices du Soleil qui agifiènt alors toutes deux daus le même sens que le rayon de l’orbite de la Lune. Or, les courbures devant être alors directement comme les attractions, Sc inversement comme les quarrés des viteflès, il a par ce moyen le rapport des courbures, Sc il en déduit les axes de l’orbite99
en prenant pour hypothèſe que cette courbe ſoit une ellipſe dont la terre eſt le centre, ſi le Soleil eſt ſuppoſé fixe pendant que la Lune va de la fyfigie à la quadrature, & qu’elle ſoit, lorſqu’on a égard au mouvement du Soleil, une courbe dont les rayons font les mêmes que ceux de l’ellipſe pendant que l’on augmente les angles qu’ils contiennent dans la raiſon du mouvement périodique de la Lune à ſon mouvement ſynodique. Le premier de ces mouvemens étant celui dans lequel on rapporte la Lune à un point fixe du Ciel ; l’autre étant celui où on la compare au Soleil. Par ces ſuppoſitions M. Newton parvient à trouver que l’axe qui paſſe par les quadratures, doit être plus grand que celui qui traverſe les fyſigies de VI. Il calcule enſuite dans la même hypothèſe l’équation ou correction, au mouvement moyen de la Lune, qui doit réſulter tant de ne, l’accélération trouvée dans le problême précédent, en ne regardant l’orbite que comme circulaire, que celle qui viendroit de la nouvelle figure de cette orbite, par le principe des aires proportionnelles aux tems. La combinaiſon de ces deux cauſes lui donne une équation qui ſe trouve la plus grande dans les octans, & qui monte alors à 35’10". Dans les autres cas, elle eſt proportionnelle au ſinus du double de la diſtance de la Lune à la prochaine quadrature. Cette quantité ſe trouve être celle qui convient avec les obſervations, & forme celle des équations du mouvement de la Lune que l’on appelle variation ou réflexion. Il eſt bon d’ajouter, avec M. Newton, que la variation des octans, n’eſt de cette quantité, que dans le cas où l’on ſuppoſe la terre dans ſa moyenne diſtance ; & que dans les autres cas, il faut prendre une quantité qui ſoit à cet angle de 35’10" en raiſon renverſée du cube de la diſtance au Soleil. La raiſon en eſt que l’expreſſion de la force perturbatrice du Soleil, laquelle eſt la cauſe de toutes les inégalités de la Lune, eſt diviſée par le cube de la diſtance au Soleil, Calcul de la vai riation de la Lu Prop. 30 & 31. Liv. 3. 100
VII. M. Newton pafle de l’examen de la variation de la Lune à celui Calcul du du mouvement de ſes nœuds. Dans cette recherche il néglige, ainſi des mouvement nœuds de la Lune, que dans la précédente, l’excentricité de l’orbite de la Lune. Il ſuppoſe qu’elle ſe mouvroit dans un cercle ſans la force perturbatrice du Soleil, & n’attribue à cette force d’autre effet que de changer l’orbite circulaire en une ellipſe dont la terre eſt le centre, ou plutôt dans la courbe dont nous venons de donner la conſtruction par le moyen d’une ellipſe. Des deux forces perturbatrices du Soleil, il n’a beſoin de confidu Soleil qu’il dérer que celle qui agit parallélement à la ligne tirée de la terre Quelle eſt celle des deux forces ſaur au Soleil : l’autre, c’eſt-à-dire, celle qui pouffe la Lune vers la terre agiſſant dans l’orbite même, ne peut être la cauſe du mouvement qu’a le plan de cette orbite. N’ayant donc que cette force à conſidérer, & ayant trouvé qu’elle étoit proportionnelle au coſinus de l’angle que font les lignes tirées de la Lune au Soleil & à la Lune, voici comme il employe cette force. A l’extrémité du petit arc que la Lune a décrit dans un inſtant quelconque, il en prend un égal, qui feroit celui la Lune parque coureroit ſans la force perturbatrice ; & par l’extrémité de ce nouvel arc, il méne une petite droite paralléle à la diſtance de la terre au Soleil, & il détermine la longueur de cette droite, par la meſure déja déterminée de la force qui agit dans le même ſens qu’elle. Cela fait, la diagonale du petit côté que la Lune auroit décrit ſans la force perturbatrice, & du côté que feroit décrire cette force ſi elle étoit feule, donne le vrai petit arc que doit décrire la Lune. Il ne s’agit donc plus que de voir combien le plan qui pafferoit par ce petit arc & par la terre, différe du plan qui paſſe par le premier côté, & de même par la terre. Les deux petits côtés dont nous venons de parler étant prolongés juſqu’à ce qu’ils rencontrent le plan de l’orbite de la terre, & ayant tiré de leur rencontre avec ce plan deux droites à la terre, l’angle IOI que font ces deux droites, eſt le mouvement du nœud pendant l’inſtant que la Lune met à parcourir ce nouveau petit arc que l’on vient de conſidérer. Mais comme nous ne pouvons pas ſuivre ici le calcul par lequel M. Newton détermine ce petit angle, nous nous contenterons de dire qu’il établit d’une maniere très claire, que fa meſure & partant la viteſſe ou le mouvement inſtantané du nœud Loix du mouveeft proportionnel au produit des ſinus des trois angles qui expriment les diſtances de la Lune à la quadrature, de la Lune au nœud, & du nœud au Soleil. ment des nœuds. VIII progreſſion des que révolution, Il fuit de-là une remarque finguliere ſur le mouvement des nœuds Régreffion & de la Lune : c’est que lorſque l’un de ces trois ſinus ſe trouve né— nœuds dans chagatif, le nœud, de rétrograde qu’il eſt auparavant, devient direct, Ainſi lorſque la Lune eſt entre la quadrature & le nœud voiſin, le nœud avance ſuivant l’ordre des ſignes. Dans les autres cas il rétrograde, & comme l’eſpace fait, en rétrogradant,. eſt plus conſidérable que celui qui eſt parcouru d’un mouvement direct, il arrive A la fin de chaque dans chaque révolution de la Lune, le nœud s’eſt mû réelle— les nocuds ſe font ment contre l’ordre des ſignes. que révolution mûs en arriere. Formule qui donne le ir quelconque, Lorſque la Lune eſt dans les fyfigies & le nœud dans les quadratures, c’eſt-à-dire à 90 dégrés du Soleil, le mouvement horaire eſt vement horaire de 33 « 10 » 37 12. Pour avoir donc ſon mouvement horaire dans toutes les autres ſituations, il faut prendre un angle qui ſoit à celuilà, comme le produit des trois ſinus dont je viens de parler eſt au cube du rayon, I X. Détermination Prenant le Soleil & le nœud pour fixe pendant que la Lune ſe trouve Prop. 32. Liv. 3. ſucceſſivement à toutes les diſtances du Soleil, M. Newton cherche du mouvement le mouvement horaire du nœud qui eſt le milieu entre tous les diffé— moyen des rens mouvemens que donneroit la formule précédente, & ce mouvement moyen, qu’il appelle le mouvement médiocre du nœud, eſt de 16 « 33 » 16i 36v, lorſque l’on ſuppoſe l’orbite circulaire, & que IG 102
l’on prend le cas où les nœuds font en quadrature avec le Soleil. Dans les autres poſitions il eſt à cette quantité comme le quarré du ſinus de la diſtance du Soleil au nœud eſt au quarré du ſinus total. Si on ſuppoſe que l’orbite ſoit l’ellipſe employée déja à l’article de la variation dont la terre eſt le centre, le mouvement médiocre dans les quadratures n’eſt plus que 16 « , 16 », 37 ³7, 42º. & dans les autres poſitions il dépend également du quarré du ſinus de la diſtance au Soleil. iv Afin de parvenir à déterminer pour un tems quelconque propoſé le lieu moyen du nœud, M. Newton prend un milieu entre tous les mouvemens médiocres conſidérés comme nous venons de le dire : & il ſe ſert pour cette recherche de la quadrarure des courbes & de la méthode des féries. Par ce moyen il trouve que le mouvement des nœuds dans une année fydérale doit être de 19° 18’1 « 23 » ce qui ne s’écarte que d’environ 3º des déterminations faites par les Aftronomes. X. Prop. 33. Liv. 3. La même courbe qui par la quadrature de ſon eſpace entier Détermination du lieu vrai du donne le milieu entre toutes les viteſſes médiocres du nœud, ſert auſſi par la quadrature de ſes parties quelconques à trouver le lieu vrai du nœud pour l’inſtant propoſé. Voici le réſultat de ſon calcul en négligeant ce qui peut être nëgligé. Ayant fait un angle égal au double de celui qui exprime la diſtance du Soleil, au lieu moyen du nœud, on rendra les deux côtés de cet angle tels que le plus grand ſoit au plus petit, comme le mouvement moyen annuel des nœuds qui eſt de 19° 490 31, 5508 eſt à la moitié de leur mouvement vrai médiocre, lorſqu’ils font dans les quadratures, laquelle eſt de 09 31⁰ 2 « 33 » c’eſt-à-dire comme 38, 3 à 1. Cela fait, & ayant achevé le triangle donné par cet angle & par ſes deux côtés, l’angle de ce triangle qui fera oppoſé à ce petit côté repréſentera aſſez exactement l’équation ou correction qu’il faut faire au mouvement moyen pour avoir le vrai. nœud pour un gems donné, XI. 103 Prop. 34. Du changement ſon de l’orbite. De la recherche du mouvement des nœuds, M. Newton paſſe à la détermination des changemens que ſubit l’inclinaiſon de l’orbite dans l’inclinai de la Lune. Cet examen eſt néceſſairement lié avec le premier, & eſt tout auſſi indiſpenſable, puiſque la connoiffance de la latitude de la Lune dépend également de ces deux élémens. En employant, comme nous l’avons vû tout-à-l’heure pour. le mouvement des nœuds, celle des deux parties de la force perturbatrice du Soleif qui n’agit pas dans le plan de l’orbite de la Lune, M. Newton parvient facilement à meſurer le changement horaire qu’éprouve l’inclinaiſon de l’orbite de la Lune, & ce changement, lorſque l’on ſuppoſe l’orbite circulaire, ſe trouve en diminuant premiérement le mouvement horaire des nœuds, lequel eſt de 33 « 10 » 33¹ 12 (les nœuds étant dans les quadratures & la Lune dans les fyfigies) naifon. dans la raiſon du ſinus de l’inclinaiſon de l’orbite de la Lune au rayon, & en prenant enſuite une quantité qui ſoit au nombre donné par cette opération comme le produit du ſinus de la diſtance de la Lune à la quadrature voiline, par le ſinus de la diſtance du Soleil au neud & par le ſinus de la diſtance de la Lune au nœud, eſt au cube du rayon. Ce changement horaire de l’obliquité de l’écliptique de la Lune n’eſt calculé que dans la ſuppoſition que ſon orbite ſoit circulaire, mais ſi l’on veut qu’il convienne à l’orbite elliptique que M. Newton a tiré de la force perturbatrice du Soleil fans égard à l’excentricité, il faut le diminuer de. Variation ho raire de l’ineliX I I. Prop. 35 Maniere d’pour un tems Après avoir déterminé ainſi le changement horaire de l’inclinaiſon de l’orbite de la Lune, M. Newton employant la même mé— voir l’inclinaiſon thode & les mêmes ſuppoſitions par laquelle il avoit trouvé le lieu donné. vrai du nœud dans un inſtant quelconque propoſé, parvient à dé terminer l’inclinaiſon de l’orbite pour un moment quelconque. Voici le réſultat de ſon calcul, 104 Soient priſes ſur une baſe à compter d’un même point trois parties en progreſſion géométrique, dont la premiére repréſente la plus petite inclinaiſfon & la troifiéme la plus grande. Soir menée enſuite par l’extrémité de la ſeconde une droite qui faffe avec la baſe un angle égal au double de la diſtance du Soleil au nœud pour le mouvement propoſé. Soit prolongée cette droite juſqu’à ce qu’elle rencontre le demi cercle décrit ſur la différence de la premiere & de la troiſiéme des lignes couchées ſur la baſe. Cela fait l’intervale compris entre la premiere extremité de la baſe & la perpendiculaire abbaiffée de la commune ſection du cercle & du côté de l’angle dont on vient de parler, exprimera l’inclinaiſon pour le tems propoſé. XIII. M. Newton, après avoir expoſé la méthode par laquelle il calcule Les autres inéga— celle des inégalités de la Lune appellée ſa variation, & la méthode Jités de la Lune. Ce que Mr. Newton dit fur qu’il fuit en déterminant le mouvement des nœuds & la variation de l’obliquité de l’écliptique, rend compte de ce qu’il dit avoir tiré de ſa théorie de la gravitation par rapport aux autres inégalités de la Lune. Mais il s’en faut bien que ce qu’il donne alors puiffè être auſſi utile aux géometres, que ce qu’il a dit auparavant par rapport aux inégalités dont je viens de parler. Dans l’examen des premieres inégalités, quoique le lecteur ne ſoit pas extrémement ſatisfait à cauſe de quelques ſuppoſitions & de quelques abſtractions faites pour rendre le problême plus facile, il a du moins cet avantage, qu’il voit la route de l’Auteur & qu’il acquiert de nouveaux principes avec leſquels il peut ſe flatter d’aller plus loin. Mais quant à ce qui regarde le mouvement de l’apogée & la variation de l’excentricité, & toutes les autres inégalités du mouvement de la Lune, M. Newton ſe contente des réſultats qui conviennent aux Aftronomes pour conſtruire des tables du mouvement de la Lune, & il affure que ſa théorie de la gravité l’a conduit à ces réſultats, XIV, X I V. IOS Mr. Horox avoit trouvé les & de l’excentri M. Horox, célébre aſtronome Anglois avoit prévenu M. Newton fur la partie la plus difficile des mouvemens de la Lune, ſur ce qui loix de l’apogée régarde l’apogée & l’excentricité. On eſt étonné que ce fçavant cité, dénué du ſecours que fourniſſent le calcul & le principe de l’attraction, ait pû parvenir à réduire des mouvemens ſi compoſés fous des loix preſque ſemblables à celles de M. Newton, & ce dernier fi reſpectable d’ailleurs paroît d’autant plus blamable en cette occaſion d’avoir caché ſa méthode, qu’il s’expofoit à faire croire que ſes théorémes étoient comme ceux des Aftronomes qui l’avoient précédé, le réſultat de l’examen des obſervations, au lieu d’être une conſéquence qu’il cut tirée de ſon principe général. C’eſt dans le fcholic de la propoſition 35 du 3. livre que M. Newton a donné ces théorémes qui font preſque tout le fondement des tables du mouvement de la Lune. Voici à peu-près en quoi ils conſiſtent. X V. du mouvement de la Lune de l’apogé Le mouvement moyen de la Lune doit être corrigé par une équa— Equations antion dépendante de la diſtance du Soleil à la terre. Cette équation appellée annuelle eſt la plus grande dans le périgée du Soleil & la & du nœud. plus petite dans ſon apogée. Son maximum eſt de 11’51" & dans les autres cas elle eſt proportionelle à l’équation du centre du Soleil. Elle eſt additive dans les ſix premiers ſignes à comter de l’apogée du Soleil, & ſouſtractive dans les ſix autres ſignes. Les lieux moyens de l’apogée & du nœud doivent être auſſi corrigés chacun par une équation de même efpece, c’eſt-à-dire, dépendante de la diſtance du Soleil à la terre & proportionelle à l’équation du centre du Soleil. Celle de l’apogée eſt 19’43" dans ſon maximum & eſt additive du périhélie à l’aphélie de la terre. L’équation eſt ſouſtractive de l’aphélie au périhélie pour le nœud, Elle n’eſt que de g’24" & eſt priſe dans un ſens contraire à la premiere. 106 econde équasion ſemeſtre,
X V I. Premiere équaLe mo vement moyen de la Lune doit enſuite ſouffrir une autre tion ſemeſtre du mouvement correction, dépendante à la fois de la diſtance du Soleil à la terre moyen de la Lune. & de la ſituation de l’apogéc de la Lune par rapport au Soleil. Cette équation qui eſt inverſement comme le cube de la diſtance du Soleil à la terre, & directement comme le ſinus du double de l’angle qui exprime la diſtance du Soleil, à l’apogée de la Lune, s’appelle équation femeſtre. Elle eſt de 3’45" lorſque l’apogée de la Lune eſt en octans avec le Soleil, pendant que la terre eſt dans ſa moyenne diſtance. Elle eſt additive quand l’apogée de la Lune va de ſa quadrature avec le Soleil à ſa fyfigie : & fouctractive, lorſque l’apogée va de la fyfigie à la quadrature. XVII. Le même mouvement moyen de la Lune demande une troifiéme correction, dépendante de la ſituation du Soleil par rapport au nœud, ainſi que de la diſtance du Soleil à la terre. Cette correction ou équation que M. Newton appelle la ſeconde équation ſemeſtre, eſt inverſement proportionelle au cube de la diſtance de la terre au Soleil, & directement proportionnelle au ſinus du double de la diſtance du nœud au Soleil, elle eſt de 47" lorſque le nœud eſt en octans avec le Soleil, & que la terre eſt dans ſes moyennes diſtances. On l’ajoute lorſque le Soleil s’écarte en antécédence du næud le plus proche, & au contraire, on la rétranche lorſqu’il s’en éloigne en conſéquence. XVIII Après ces trois premieres corrections du lieu de la Lune, fuit celle qu’on appelle ſon équation du centre. Mais cette équation ne fauroit être priſe comme celle des autres planetes dans une ſeule & même table, parceque ſon excentricité varie à tout moment, 107 & que le mouvement de ſon apogée eſt fort irrégulier. Afin donc de parvenir à l’équation du centre de la Lune, il faut commencer par déterminer l’excentricité & le vrai lieu de l’apogée de la Lune, ce que l’on fait par le moyen de tables fondées ſur la propoſition ſuivante. Détermination du vrai lieu de l’excentricité. Ayant pris une droite quelconque pour exprimer la moyenne excentricité de l’orbite de la Lune laquelle eſt de 5505 parties, dont l’apogée & de la moyenne diſtance de la Lune à la terre eſt environ 100000, on fait à l’extrémité de cette droite que l’on prend pour baſe un angle égal au double de l’argument annuel ou de la diſtance du Soleil au lieu moyen de la Lune corrigé une premiere fois comme on l’a déja enſeigné. On fixe enſuite la longueur du côté de cet angle en le faiſant égal à la moitié de la différence, entre la plus petice & la plus grande excentrité, laquelle eſt de 11722. Fermant alors le triangle, l’autre angle à la baſe exprime l’équation ou correction à faire au lieu de l’apogée déja corrigé une fois pour avoir ſon lieu vrai, &. l’autre côté du triangle, c’eſt-à-dire, celui qui eſt oppoſé à l’angle fait égal au double de l’argument annuel, exprimera l’excentricité pour le moment propoſé. Ajoutant alors l’équation de l’apogée à ſon lieu déja corrigé, ſi l’argument annuel eſt moindre de 90, ou entre 180 & 270, & la retranchant dans les autres cas on aura le vrai lieu de l’apogée que l’on retranchera du lieu de la Lune, cor— tre ou quatrième rigé par les trois équations déja rapportées, afin d’avoir l’anomalie lieu de la Lune, moyenne de la Lune. Enfuite avec cette anomalie & l’excentricité, on aura facilement par les méthodes ordinaires l’équation du centre, & partant le lieu de la Lune, corrigé pour la quatrième fois. Ufage de l’é quation du cen. correctoin du XIX. La cinquiéme équation de la Le lieu de la Lune, corrigé pour la cinquiéme fois, ſe trouve en appliquant au lieu de la Lune, corrigé pour la quatrième fois l’é— Lune eſt la vaquation appellée variation, dont nous avons déja parlé, laquelle riation, Sixiéme équation. Septiéme équation. rog
eſt toujours en raiſon directe du ſinus du double de l’angle, qui exprime la diſtance de la Lune au Soleil, & en raiſon inverſe du cube de la diſtance de la terre au Soleil. Cette équation qui eſt additive dans le premier, & le troifiéme quart de cercle, (en comtant du Soleil) & négative dans le deuxiéme & quatrième, eſt de 35’10" quand la Lune eſt en octans avec le Soleil & la terre dans, ſes moyennes diſtances.. X. X.. La fixiéme équation du mouvement de la Lune eſt proportionnelle au ſinus de l’angle que l’on a en ajoutant la diſtance de la Lune au Soleil à la diſtance de l’apogée de la Lune à celui du Soleil. Son maximum eſt de 2’20" & elle eſt poſitive lorſque la ſomme eſt moindre que 180° & négative, fi. la ſomme.eſt plus grande.. XXX La feptiéme & derniere équation qui donne le lieu vrai de la Lune dans ſon orbire, eſt proportionnelle à la diſtance de la Lune,. au Soleil ; elle eſt de 220" dans ſon maximum.. XX. LI On ne voit guéres pour retrouver le chemin qui peut avoir conduit M. Newton à toutes ces équations, que quelques corollaires de la propoſition 66 du premier livre, où il donne la maniere d’eſtimer les forces perturbatrices du Soleil, que j’ai expoſé dans ce Chapitre. On ſent bien à la vérité que celle des deux forces qui agit dans le ſens du rayon de l’orbite de la Lune, ſe joignant à la force de la terre, altére la proportion inverſe du quarré des diſtances, & doit changer tant la courbure de l’orbite, que le tems dans lequel la Lune le parcoure : mais comment M.Newton a-t’il employé ces altérations de la force centrale, & quels principes a-t’il ſuivi pour éviter. ou pour vaincre la complication extrême, & les.dif109 ficultés du calcul que préſente cette récherche : c’eſt ce qu’on n’a pas encore pú découvrir du moins d’une maniere fatisfaiſante. On trouve, je l’avoue, dans le premiere Livre des Principes, une propoſition ſur le mouvement des apſides en général, qui promer d’abord de grands uſages pour la théorie des apſides de la Lune, mais quand on vient à s’en ſervir, on voit bientôt qu’elle ne mene pas fort avant dans cette récherche.. La propoſition dont je parle apprend que ſi à une force qui agit inverſement comme le quarré des diſtances, on en ajoute une inverfément proportionnelle au cube, cette nouvelle force ne changera pas la nature de la courbe décrite par la premiere force, mais donnera un mouvement circulaire au plan ſur lequel elle eſt : décrite, je veux dire que l’addition de la nouvelle force qui fuit la raiſon renverſée du cube, fait que le corps au lieu de décrire autour du centre des forces une ellipſe ſur un plan immobile, comme il l’auroit décrite par la ſeule force inverſement proportionnelle au quarré, décrira la courbe que trace un point mû dans une ellipſe, pendant que le plan de cette ellipſe tourne lui-même autour du centre des forces. Dans des coroll. de cette propoſition, , M. Newton applique ſa concluſion au cas où la force ajoutée à celle qui fuit la loi du quarré de la diſtance, n’eſt pas : reftrainte à agir comme le cube, mais comme toute autre quantité dépendante de la diſtance. Si donc la force perturbatrice du Soleil ſe trouvoit dépendre de la feule diſtance de la Lune à la terre, on iroit tout de fuite à la théorie du mouvement des apſides de la Lune, par cette ſeule propoſition : mais comme il entre dans l’expreſſion de cette force l’élongation ou diſtance de la Lune au Soleil, & qu’outre cela il n’y à qu’une ſeule partie de la force perturbatrice du Soleil qui agiſſe ſuivant la diſtance de la Lune, on ne peut ſans des artifices nouveaux & peut-être auſſi difficiles à trouver que la détermination entiere de l’orbite de la Lune, employer la propoſition de M. Newton fur les apſides en général au cas de la Lune. Auffi ſur cet article : comme ſur tout le reſte de la théorie de la Lune, les plus grands Géometres de ce ſiécle ont abandonné la route battue juſqu’a préſent par les commentateurs de M. Newton, & ont crû qu’ils arriveroient plutôt au but en reprenant tout le travail dès ſa premiere origine. Ils ont cherché à déterminer directement les chemins & les viteſſes de trois corps quelconques qui s’attirent. On ſe flatte de voir dans peu le ſuccès de leur travail : la méthode analytique qu’ils ſuivent, paroit la ſeule qui puiſſe vraiment ſatisfaire dans une recherche de cette nature.
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