# Théorie mathématique de la lumière/1/Chap.02
### CHAPITRE II PROPAGATION D’UNE ONDE PLANE. — INTERFÉRENCES

40. Cas particulier du mouvement par ondes planes. — Supposons que les composantes $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ des déplacements qui en général sont des fonctions de $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ ne dépendent que de $z$ et de $t.$ Si on considère un plan perpendiculaire à l’axe des $z,$ les déplacements de toutes les molécules de ce plan auront, au même instant $t,$ la même valeur, puisque le $z$ de tous les points du plan est le même. Ce plan est le plan de l’onde.
Dans le cas des mouvements transversaux, la fonction isotrope $\Theta$ est identiquement nulle ; or puisque, dans le mouvement que nous considérons, $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ ne dépendent ni de $x,$ ni de $y,$ on a
${\frac {d\xi }{dx}}=0,\qquad \qquad {\frac {d\eta }{dy}}=0\,;$
$\Theta =0$
${\frac {d\zeta }{dz}}=0.$
La composante $\zeta$ du déplacement est donc une constante ; si nous la supposons nulle, le déplacement des molécules du milieu élastique a lieu dans le plan de l’onde, ce qui justifie la dénomination de mouvements transversaux donnée aux mouvements pour lesquels on a $\Theta =0.$
Les mouvements que nous avons appelés mouvements longitudinaux sont caractérisés par les identités suivantes (35) :
$u={\frac {d\eta }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dy}}=0,\quad v={\frac {d\zeta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dz}}=0,\quad w={\frac {d\xi }{dy}}-{\frac {d\eta }{dx}}=0.$
Dans le cas des ondes planes ces conditions se réduisent à
${\frac {d\eta }{dz}}=0,\qquad \qquad {\frac {d\xi }{dz}}=0.$
Au même instant $t,$ les composantes $\xi$ et $\eta$ des déplacements de toutes les molécules sont donc les mêmes ; si nous les supposons nulles, le déplacement des molécules a lieu suivant une perpendiculaire au plan de l’onde ; c’est pourquoi nous avons appelé mouvements longitudinaux les mouvements qui satisfont aux conditions précédentes.
41. Les équations (39) des mouvements transversaux dans les corps isotropes se simplifient dans le cas de la propagation par ondes planes ; les quantités $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ ne dépendant ni de $x,$ ni de $y,$ on a, pour le mouvement de la molécule dans le plan de l’onde,
${\begin{aligned}-\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=2\mu {\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}},\\[1.5ex]-\rho {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=2\mu {\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}\cdot \\\end{aligned}}$
$\mathrm {V} ={\sqrt {-{\frac {2\mu }{\rho }}}},$
${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}\cdot \\\end{aligned}}$
$\xi =\mathrm {F} (z-\mathrm {V} t)+\mathrm {F} '(z+\mathrm {V} t).$
$\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} '$ étant des fonctions arbitraires. Le déplacement $\xi$ d’une molécule du plan de l’onde peut donc être considéré comme la somme de deux déplacements, l’un donné par la fonction $\mathrm {F} (z-\mathrm {V} t),$ l’autre par la fonction $\mathrm {F} '(z+\mathrm {V} t).$
42. La quantité $\mathrm {V}$ a une signification géométrique très simple. Considérons deux molécules $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} ',$ et désignons par $h$ la distance qui sépare les plans menés par $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ perpendiculairement à l’axe des $z\,;$ en appelant $z_{0}$ le $z$ du point le plus bas $\mathrm {A} ,$ nous aurons, pour la valeur de $z-\mathrm {V} t$ au point $\mathrm {A}$ et à l’instant $t_{0},$
$z_{0}-\mathrm {V} t_{0}.$
Pour le point $\mathrm {A} '$ la valeur de cette expression, à l’instant $t_{0}+{\frac {h}{\mathrm {V} }},$ est
$z_{0}+h-\mathrm {V} \left(t_{0}+{\frac {h}{\mathrm {V} }}\right)=z_{0}-\mathrm {V} t_{0}.$
Elle a donc la même valeur qu’au point $\mathrm {A}$ au temps $t_{0}\,;$ par conséquent la fonction $\mathrm {F} (z-\mathrm {V} t)$ prend au point $\mathrm {A} '$ la valeur qu’elle avait au point $\mathrm {A}$ à un instant antérieur de ${\frac {h}{\mathrm {V} }}.$ Pour un observateur se déplaçant suivant $\mathrm {OZ}$ avec une vitesse $\mathrm {V} ,$ la fonction $\mathrm {F}$ sera une constante ; si cette fonction représente le déplacement d’une molécule, les différentes molécules rencontrées par l’observateur lui paraîtront dans la même position. Par conséquent le mouvement des molécules du milieu élastique est le même que celui qui résulterait de la propagation avec une vitesse $\mathrm {V}$ suivant $\mathrm {OZ}$ d’un déplacement de toutes les molécules d’un plan perpendiculaire à $\mathrm {OZ} \,;$ c’est pourquoi on dit que $\mathrm {F}$ représente un mouvement qui se propage avec une vitesse $\mathrm {V} .$ Pour les mêmes raisons on dit que $\mathrm {F} '$ représente un mouvement se propageant avec une vitesse $-\mathrm {V} .$ Les mouvements transversaux peuvent donc être considérés comme résultant de la superposition de deux mouvements se propageant, en sens contraires et avec la même vitesse, en valeur absolue.
43. En posant
$\mathrm {V} _{1}={\sqrt {-{\frac {2(\mu +\nu )}{\rho }}}},$
les équations (40) des mouvements longitudinaux donnent, pour le mouvement suivant la normale au plan de l’onde,
${\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\mathrm {V} _{1}^{2}{\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}\cdot$
$\zeta =\mathrm {F} _{1}(z-\mathrm {V} _{1}t)+\mathrm {F} '_{1}(z+\mathrm {V} _{1}t).$
On peut donc considérer un mouvement longitudinal comme résultant de la superposition de deux mouvements se propageant avec les vitesses $+\mathrm {V} _{1}$ et $-\mathrm {V} _{1}.$
44. Quand la pression extérieure est nulle dans l’état d’équilibre et que les forces qui s’exercent entre les molécules sont centrales, les vitesses $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} _{1}$ dépendent l’une de l’autre. On a vu en effet (27) que, dans ces conditions, $\lambda ,$ $\mu$ et $\nu$ sont liées par les relations
$\mu =-{\frac {\lambda }{2}},\qquad \qquad \lambda +\nu =0.$
$\lambda ,$
$\nu =2\mu \,;$
et en portant cette valeur de $\nu$ dans les expressions de $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} _{1},$ on arrive à la relation
$\mathrm {V} _{1}^{2}=3\mathrm {V} ^{2}.$
Dans tous les autres cas les vitesses $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} _{1}$ sont indépendantes.
45. Hypothèses sur les propriétés de l’éther. — L’expérience montre que les vibrations de l’éther sont toujours transversales. Pour tenir compte de ce fait expérimental on peut faire plusieurs hypothèses.
Première hypothèse. On peut admettre que l’éther est susceptible de propager les vibrations transversales et les vibrations longitudinales, mais que ces dernières n’impressionnent ni la rétine, ni les papiers photographiques, ni les instruments employés dans la chaleur rayonnante. Cette hypothèse est contredite par les expériences de Fresnel sur la réflexion et la réfraction de la lumière ; ces expériences montrent en effet que la force vive du rayon incident se retrouve tout entière dans les rayons réfléchi et réfracté transversaux.
46. Seconde hypothèse. On peut supposer que l’on a $\mathrm {V} _{1}=0,$ c’est-à-dire, d’après la valeur de cette quantité, que l’on a
$\mu =-\nu .$
En nous reportant (34) à l’équation différentielle
$-\rho {\frac {d^{2}\Theta }{dt^{2}}}=2(\mu +\nu )\Delta \Theta ,$
nous voyons que cette hypothèse exige que l’on ait ${\frac {d^{2}\Theta }{dt^{2}}}=0.$ Si, à l’origine des temps, la fonction $\Theta$ et sa dérivée ${\frac {d\Theta }{dt}}$ sont nulles, la fonction $\Theta$ est identiquement nulle comme nous l’avons déjà montré (34) ; dans le cas contraire, la condition ${\frac {d^{2}\Theta }{dt^{2}}}=0$ donne, pour la forme de $\Theta ,$
$\Theta =at+b.$
Si $a$ est différent de zéro, la fonction $\Theta$ croîtra au-delà de toute limite avec le temps. Or $\Theta$ représente l’accroissement de l’unité de volume du milieu (31) ; par conséquent un volume d’éther, aussi petit qu’on voudra, à l’origine des temps, pourra, au bout d’un temps suffisamment long, devenir plus grand que toute quantité donnée. C’est là une conséquence singulière de l’hypothèse ; cependant, il ne faut pas y attacher trop d’importance car si l’augmentation de volume du milieu élastique devenait trop grande, les quantités $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ ne pourraient plus être considérées comme très petites et nous sortirions des conditions dans lesquelles nous nous sommes placés au commencement de cette étude (2). Cette hypothèse permet d’expliquer tous les phénomènes connus en Optique ; de plus elle conduit aux mêmes équations que celles qui résultent de la théorie électro-magnétique de la lumière ; c’est cette hypothèse que nous adopterons de préférence.
47. Troisième hypothèse. Elle consiste à admettre que la vitesse de propagation $\mathrm {V} _{1}$ des mouvements longitudinaux est imaginaire, c’est-à-dire que l’on a
$\mu +\nu >0.$
Cette hypothèse rend mieux compte que la première de la réflexion et de la réfraction de la lumière ; mais elle conduit à admettre que la position d’équilibre du milieu élastique n’est pas toujours stable. Si l’équilibre est stable, le second terme $\mathrm {U} _{2}$ du développement de la fonction $\mathrm {U}$ par rapport aux $\xi$ doit être négatif ou nul. Or, nous avons trouvé (13) :
$\mathrm {U} _{2}=\mathrm {U} ''_{2}+\int \mathrm {W} _{2}\,d\tau$
et, dans le cas des corps isotropes, on a (24) :
$\mathrm {W} _{2}=\lambda \mathrm {K} +\mu \mathrm {H} +\nu \Theta ^{2}.$
Si nous considérons le cas particulier où toutes les dérivées partielles $\xi '_{x},$ $\eta '_{x}$ $\dots$ sont nulles à l’exception de $\zeta '_{z},$ que nous supposerons égale à l’unité, les fonctions isotropes $\mathrm {H} ,$ $\mathrm {K} ,$ $\Theta ^{2},$ dont nous avons trouvé les valeurs, deviennent :
$\mathrm {K} =0\qquad \qquad \mathrm {H} =1\qquad \qquad \Theta ^{2}=1.$
$\mathrm {W} _{2}=\mu +\nu \,;$
c’est-à-dire que $\mathrm {W} _{2}$ est une quantité positive. L’intégrale qui entre dans l’expression de $\mathrm {U} _{2}$ est positive, et par conséquent l’équilibre est instable ; mais, dans l’ignorance où nous sommes de la véritable nature de l’éther, nous ne devons attacher qu’une importance secondaire aux objections tirées de la théorie de l’élasticité.
48. Quatrième hypothèse. On peut admettre que les molécules de l’éther ne sont pas libres, qu’elles sont soumises à des liaisons telles que l’on ait $\Theta =0.$ Cette condition revient à supposer que l’éther est incompressible. Cette hypothèse de l’incompressibilité de l’éther est, pour ainsi dire, inverse de la seconde hypothèse, qui conduit à admettre que $\Theta$ peut devenir aussi grand qu’on le veut, en d’autres termes que la résistance de l’éther à la compression est nulle. Fresnel a adopté tantôt l’une, tantôt l’autre de ces hypothèses ; dans ses calculs il suppose, souvent implicitement, tantôt que cette résistance à la compression est nulle, tantôt qu’elle est infinie.
49. Équations du mouvement dans l’éther. — Admettons que l’on a $\mu +\nu =0,$ et posons
$\mathrm {V} ={\sqrt {-{\frac {2\mu }{\rho }}}}.$
$\mathrm {V}$ étant la vitesse de propagation de la lumière. Nous aurons
$2\mu =-\rho \mathrm {V} ^{2},\qquad \qquad \qquad 2\nu =\rho \mathrm {V} ^{2}\,;$
en portant ces valeurs de $\mu$ et de $\nu$ dans les équations (38) du mouvement dans les corps isotropes, nous obtiendrons
| (1) | ${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mathrm {V} ^{2}\left(\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}\right)\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mathrm {V} ^{2}\left(\Delta \eta -{\frac {d\Theta }{dy}}\right)\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mathrm {V} ^{2}\left(\Delta \zeta -{\frac {d\Theta }{dz}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$ |
Ces équations peuvent se mettre sous une autre forme en posant
$u={\frac {d\eta }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dy}},\quad \qquad v={\frac {d\zeta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dz}},\quad \qquad w={\frac {d\xi }{dy}}-{\frac {d\eta }{dx}}\cdot$
${\begin{aligned}\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}&={\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}-{\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}-{\frac {d^{2}\eta }{dx\,dy}}-{\frac {d^{2}\zeta }{dx\,dz}}\\[1.5ex]&={\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}-{\frac {d^{2}\eta }{dx\,dy}}+{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}-{\frac {d^{2}\zeta }{dx\,dz}},\\\end{aligned}}$
| ou | $\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}={\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}\cdot$ |
En transformant de la même manière les quantités
$\Delta \eta -{\frac {d\Theta }{dy}},\qquad \qquad \Delta \zeta -{\frac {d\Theta }{dz}}$
qui entrent dans les deux dernières équations du mouvement, on obtient :
${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}\right),\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {du}{dz}}-{\frac {dw}{dx}}\right),\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$
50. Résolution des équations des mouvements transversaux. — Les équations des mouvements transversaux s’obtiennent en faisant $\Theta =0$ dans les équations (1) ; elles sont
| (2) | ${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi ,\qquad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \eta ,\qquad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \zeta .$ |
Nous allons chercher à satisfaire à ces équations en posant
$\xi =\mathrm {A} e^{\mathrm {P} },\qquad \qquad \eta =\mathrm {B} e^{\mathrm {P} },\qquad \qquad \zeta =\mathrm {C} e^{\mathrm {P} },$
$\mathrm {A,\,B,\,C,}$ étant des constantes et $\mathrm {P}$ un polynôme du premier degré et homogène par rapport aux variables $x,$ $y,$ $z,$ $t,$
$\mathrm {P} =\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta t.$
Nous aurons, en différentiant $\xi ,\eta ,\zeta ,$
${\begin{alignedat}{6}{\frac {d\xi }{dx}}&=\mathrm {A} \alpha e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}&=\mathrm {A} \alpha ^{2}e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mathrm {A} \delta ^{2}e^{\mathrm {P} },\\[1.5ex]{\frac {d\eta }{dy}}&=\mathrm {B} \beta e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\eta }{dy^{2}}}&=\mathrm {B} \beta ^{2}e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mathrm {B} \delta ^{2}e^{\mathrm {P} },\\[1.5ex]{\frac {d\zeta }{dz}}&=\mathrm {C} \gamma e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}&=\mathrm {C} \gamma ^{2}e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mathrm {C} \delta ^{2}e^{\mathrm {P} }.\\\end{alignedat}}$
$\Theta ={\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}=\left(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma \right)e^{\mathrm {P} }$
$\Delta \xi ={\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}=\mathrm {A} e^{\mathrm {P} }\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right).$
En remplaçant, dans les équations (2), $\Delta \xi ,\,\Delta \eta ,\,\Delta \zeta$ et les dérivées secondes de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ par rapport au temps, par leurs valeurs, on obtient :
$\delta ^{2}=\mathrm {V} ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right).$
Puisque les mouvements sont transversaux, $\Theta =0,$ c’est-à-dire
$\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma =0.$
Telles sont les deux conditions que doivent remplir les coefficients $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ pour que les expressions de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ satisfassent aux équations du mouvement.
51. Si les quantités $\mathrm {A,\,B,\,C} ,\,\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\delta$ sont réelles, il en sera de même de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta \,;$ mais si une de ces quantités est imaginaire, $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ le seront aussi. Comme les équations du mouvement sont linéaires par rapport aux dérivées du second ordre de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ la partie réelle et la partie imaginaire d’une solution imaginaire devront séparément satisfaire aux équations du mouvement ; on aura donc deux solutions.
Dans l’étude de la lumière on ne rencontre que des solutions imaginaires ; en effet les mouvements lumineux sont toujours des mouvements vibratoires, c’est-à-dire périodiques par rapport au temps. Par suite, les quantités $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ doivent être périodiques par rapport au temps ; si on les met sous la forme d’exponentielles, comme nous venons de le faire, $e^{\mathrm {P} }$ doit prendre la même valeur pour des valeurs de $t$ différant d’une même quantité, $\tau \,;$ il faut donc que l’on ait
$\delta \tau =2i\pi ,$
| d’où | $\delta ={\frac {2i\pi }{\tau }}\cdot$ |
$\delta$ donc imaginaire ; son carré sera négatif, et la relation
$\delta ^{2}=\mathrm {V} ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)$
montre que la somme $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}$ doit être négative, ce qui exige que l’une au moins des quantités $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ soit imaginaire.
Lorsque nous aurons obtenu la solution imaginaire d’une équation, nous en prendrons la partie réelle qui doit répondre aux faits expérimentaux. La partie réelle d’une exponentielle pouvant s’exprimer à l’aide d’un cosinus, nous pourrions trouver directement les solutions réelles des équations différentielles que nous rencontrerons en cherchant à y satisfaire par des valeurs de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ contenant un cosinus en facteur. Dans certaines questions, nous adopterons cette dernière marche, dans d’autres, au contraire, nous nous servirons d’exponentielles imaginaires dont nous prendrons la partie réelle pour solution de la question.
52. Considérons maintenant un plan parallèle au plan
$\alpha x+\beta y+\gamma z=0.$
Pour tous les points de ce plan le polynôme $\mathrm {P}$ a la même valeur à chaque instant ; par conséquent, les déplacements de tous ces points seront les mêmes au même instant. Conformément à la définition donnée (40), ce plan est le plan de l’onde.
Examinons d’abord le cas où le plan
$\alpha x+\beta y+\gamma z=0.$
est réel. Nous pouvons le prendre pour plan des $xy$ et son équation se réduit à
$z=0.$
Nous devons donc avoir $\alpha =\beta =0$ et $\delta ^{2}=\mathrm {V} ^{2}\gamma ^{2}\,;$ d’où
$\gamma ={\frac {\delta }{\mathrm {V} }}={\frac {2i\pi }{\mathrm {V} \tau }}\cdot$
Le produit $\mathrm {V} \tau$ qui se trouve au dénominateur de l’expression de $\gamma$ se représente par $\lambda$ et s’appelle la longueur d’onde : c’est le chemin parcouru par la lumière pendant une période du mouvement vibratoire.
En remplaçant, dans $\mathrm {P} ,$ les quantités $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ par leurs valeurs, on obtient :
$\mathrm {P} ={\frac {2i\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right).$
$\mathrm {P}$ est donc une fonction périodique par rapport à $z$ et à $t\,;$ pour $z$ la période est $\lambda .$ La valeur de $\xi$ qui satisfait à la première des équations du mouvement devient alors
$\xi =\mathrm {A} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right)}.$
Le coefficient $\mathrm {A}$ peut être imaginaire ; si $\mathrm {A} _{0}$ est son module et $\varphi$ son argument, on peut l’écrire
$\mathrm {A} =\mathrm {A} _{0}e^{i\varphi }.$
et la valeur de $\xi$ devient :
$\xi =\mathrm {A} _{0}e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right)+i\varphi }.$
La partie réelle de cette expression donne le déplacement suivant l’axe des $x\,;$ elle a pour valeur
$\xi =\mathrm {A} _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right)+\varphi \right).$
On aura, pour le déplacement suivant l’axe des $y,$
$\eta =\mathrm {B} _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right)+\varphi _{1}\right).$
Supposons maintenant le plan $\alpha x+\beta y+\gamma z=0$ imaginaire. L’équation de ce plan pourra se mettre sous la forme $\mathrm {P} +i\mathrm {Q} =0,$ les plans $P=0$ et $Q=0$ étant les plans bissecteurs du plan imaginaire et de son conjugué. Prenons $\mathrm {P} =0$ pour plan des $yz,$ $Q=0$ pour plan des $xy\,:$ l’équation du plan de l’onde devient
$\alpha x+i\varepsilon z=0.$
La condition $\Theta =0$ donne, dans ce cas,
$\mathrm {A} \alpha +\mathrm {C} i\varepsilon =0.$
relation qui montre que le rapport ${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {C} }}$ est imaginaire. À cause de la périodicité du mouvement lumineux on a
$\delta ^{2}=-{\frac {4\pi ^{2}}{\tau ^{2}}}.$
et la condition $\delta ^{2}=\mathrm {V} ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)$ donne
$-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}=\alpha ^{2}-\varepsilon ^{2}.$
Il en résulte que $\varepsilon$ doit être plus grand que $\alpha .$ La solution de la première équation du mouvement est
$\xi =\mathrm {A} _{0}e^{\alpha x+i\varepsilon z+{\frac {2i\pi t}{\tau }}+i\varphi }.$
En en prenant la partie réelle, on obtient, pour le déplacement $\xi$ suivant l’axe des $x,$
$\xi =\mathrm {A} _{0}e^{\alpha x}\cos \left(\varepsilon z+\varphi +{\frac {2\pi t}{\tau }}\right).$
On aurait deux expressions analogues pour les composantes $\eta$ et $\zeta$ du déplacement suivant les deux autres axes.
53. Rayons évanescents. — La forme que nous venons de trouver pour $\xi$ ne diffère de celle que nous avons précédemment trouvée dans le cas de l’onde réelle que par un facteur $e^{\alpha x}.$ Si $\alpha$ est négatif, ce facteur décroît très rapidement quand $x$ croît ; dans le voisinage du plan $x=0$ le mouvement sera sensible, mais dès qu’on s’écarte un peu de ce plan, l’amplitude est très petite. Comme $\alpha$ est à peu près de l’ordre de ${\frac {1}{\lambda }},$ le mouvement deviendra insensible dès qu’on sera à une distance comparable à une longueur d’onde. Un pareil mouvement peut se rencontrer dans la réflexion totale. Quand l’angle du rayon incident avec la normale à la surface de séparation est plus grand que l’angle limite, la valeur du sinus de l’angle de réfraction, donnée par la formule
${\frac {\sin i}{\sin r}}=n,$
est imaginaire ; la direction du rayon réfracté est imaginaire, et le plan de l’onde réfractée, perpendiculaire au rayon, est aussi imaginaire. Dans le milieu le moins réfringent, nous aurons donc un mouvement devenant rapidement insensible. Une expérience, due à Fresnel, tend à prouver l’existence des rayons évanescents. En mettant une lame de verre à une très petite distance d’une surface sur laquelle s’opérait une réflexion totale, il a obtenu des franges obscures et lumineuses.
Dans l’étude des mouvements longitudinaux, Cauchy a trouvé des mouvements évanescents, mais leur existence n’a pu être confirmée par l’expérience. Supposons que les déplacements $\xi$ et $\eta ,$ qui sont les mêmes pour tous les points d’une onde plane, soient nuls, et cherchons à satisfaire à l’équation qui donne $\zeta ,$
${\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\mathrm {V} _{1}^{2}\Delta \zeta ,$
| en posant | $\zeta =\mathrm {C} e^{(\gamma z+\delta t)}.$ |
En calculant les dérivées secondes de cette expression par rapport à $z$ et à $t,$ et en portant leurs valeurs dans l’équation du mouvement, on obtient la condition
$\delta ^{2}=\mathrm {V} _{1}^{2}\gamma ^{2}.$
La quantité $\delta$ étant purement imaginaire par suite de la périodicité du mouvement vibratoire, son carré est négatif. Cauchy s’étant placé dans l’hypothèse $\mu +\nu >0,$ on a $\mathrm {V} _{1}^{2}<0\,;$ par conséquent $\gamma$ est réel et l’exponentielle qui satisfait à l’équation du mouvement est
$\zeta =\mathrm {C} e^{\gamma z+{\frac {2i\pi t}{\tau }}}.$
Sa partie réelle est
$\zeta =\mathrm {C} _{0}e^{\gamma z}\cos {\frac {2\pi t}{\tau }}.$
Si nous supposons $\gamma <0$ l’amplitude du mouvement vibratoire décroîtra très rapidement quand on s’éloignera du plan $z=0$ dans le sens des $z$ positifs ; nous aurons donc un rayon évanescent.
54. Trajectoire des molécules d’éther dans les mouvements transversaux. — Si nous posons
${\frac {2\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right)+\varphi =\omega ,\qquad \qquad \varphi _{1}-\varphi =\theta ,$
${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(z+\mathrm {V} t)+\varphi \right)\\[1.5ex]\eta &=\mathrm {B} _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(z+\mathrm {V} t)+\varphi _{1}\right)\\\end{aligned}}$
trouvées (52) pour les déplacements suivant le plan de l’onde d’une molécule animée d’un mouvement transversal deviennent :
${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} _{0}\cos \omega \\[1.5ex]\eta &=\mathrm {B} _{0}\cos \left(\omega +\theta \right).\\\end{aligned}}$
L’équation de la courbe décrite par la molécule s’obtiendra en éliminant $\omega$ entre ces deux équations. On tire de ces équations
$\cos \omega ={\frac {\xi }{\mathrm {A} _{0}}},\qquad \qquad \sin \omega =-{\frac {\eta }{\mathrm {B} _{0}}}{\frac {1}{\sin \theta }}+{\frac {\xi }{\mathrm {A} _{0}}}\operatorname {cotg} \theta .$
En élevant au carré et additionnant, on a
${\frac {\xi ^{2}}{\mathrm {A} _{0}^{2}}}+\left({\frac {\xi }{\mathrm {A} _{0}}}\operatorname {cotg} \theta -{\frac {\eta }{\mathrm {B} _{0}\sin \theta }}\right)^{2}=1.$
C’est l’équation d’une ellipse ; cette ellipse se réduit à une droite quand $\theta$ est égal à zéro ou à $\pi ,$ comme on peut le voir facilement en éliminant $\cos \omega$ entre les valeurs de $\xi$ et de $\eta$ qui ne contiennent plus $\theta .$ Lorsque la trajectoire de la molécule vibrante est une ellipse, la lumière est dite polarisée elliptiquement ; si la trajectoire est une droite, la polarisation est dite rectiligne.
Dans l’étude expérimentale de l’optique, il n’est pas possible de déterminer directement la direction des vibrations de l’éther qui propage de la lumière polarisée rectilignement ; ce qu’on peut observer c’est que les phénomènes dépendent de la position d’un certain plan appelé plan de polarisation. Par raison de symétrie, la direction des vibrations doit être, soit dans le plan de polarisation, soit perpendiculaire à ce plan. Fresnel admet qu’elle lui est perpendiculaire, d’autres savants ont préféré l’hypothèse contraire ; nous y reviendrons longuement dans la suite du cours.
55. Remarque sur les constantes introduites dans les valeurs du déplacement. — Dans la résolution des équations d’un mouvement transversal (50) les quantités $\mathrm {A} _{0},$ $\mathrm {B} _{0},$ $\mathrm {C} _{0},$ $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\varphi ,$ $\mathrm {V} ,$ $\lambda ,$ ont été considérées comme des constantes. En réalité, les sept premières de ces neuf quantités prennent une infinité de valeurs dans une seconde ; mais comme elles varient beaucoup plus lentement que $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ on peut les considérer comme constantes pendant la durée d’un certain nombre de vibrations (50 000 environ, dont la durée est à peu près un dix-milliardième de seconde). $\mathrm {V} ,$ vitesse de propagation de la lumière, est une constante absolue dans un milieu homogène ; il en est de même de $\lambda$ dans une lumière monochromatique. On pourrait considérer $\lambda$ comme variant d’une manière quelconque dans la lumière blanche, ou bien admettre que la lumière blanche est formée par la superposition d’un grand nombre de lumières monochromatiques. Mais, comme dans la suite du cours nous n’envisagerons jamais, que la lumière homogène, nous pourrons, dans nos calculs, regarder $\lambda$ comme une constante. Si l’on voulait ensuite avoir la valeur des déplacements d’une molécule dans le cas de la lumière blanche, on n’aurait qu’à faire la somme d’un grand nombre de déplacements pour chacun desquels $\lambda$ serait une constante.
56. Intensité lumineuse. — On définit l’intensité d’une vibration lumineuse comme une quantité proportionnelle à la force vive de la molécule en mouvement. Cette force vive étant une fonction du temps qui varie très rapidement, il est naturel d’admettre que l’intensité mesurable, celle qui impressionne nos sens, est proportionnelle à la valeur moyenne de cette fonction.
La force vive de la molécule en mouvement est à un certain moment
$\rho \left[\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\eta }{dt}}\right)^{2}\right].$
Nous avons vu (54) que, dans le cas de la propagation de la lumière par ondes réelles, le seul cas qu’il y ait lieu de considérer dans l’étude expérimentale, on avait, pour les composantes du déplacement de la molécule,
$\xi =\mathrm {A} _{0}\cos \omega \qquad \qquad \eta =\mathrm {B} _{0}\cos \left(\omega +\theta \right)$
| où | $\omega ={\frac {2\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right)+\varphi .$ |
En différentiant $\xi$ et $\eta$ nous aurons, en regardant $\mathrm {A} _{0},\mathrm {B} _{0}$ et $\varphi$ comme constantes,
${\frac {d\xi }{dt}}=-\mathrm {A} _{0}{\frac {2\pi \mathrm {V} }{\lambda }}\sin \omega ,\qquad \qquad {\frac {d\eta }{dt}}=-\mathrm {B} _{0}{\frac {2\pi \mathrm {V} }{\lambda }}\sin \left(\omega +\theta \right).$
Comme $\sin x=-\cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right),$ nous voyons que ${\frac {d\xi }{dt}}$ et ${\frac {d\eta }{dt}}$ sont égaux, au facteur près ${\frac {2\pi \mathrm {V} }{\lambda }},$ à $\xi$ et $\eta$ où l’on augmente $\omega$ de ${\frac {\pi }{2}}.$ Or, d’après l’expression de $\omega ,$ augmenter cette quantité de ${\frac {\pi }{2}}$ revient à augmenter le temps de ${\frac {\lambda }{4\mathrm {V} }}$ ou ${\frac {\tau }{4}}\,;$ par conséquent les valeurs de ${\frac {d\xi }{dt}}$ et de ${\frac {d\eta }{dt}}$ au temps $t$ sont proportionnelles aux valeurs de $\xi$ et de $\eta$ au temps $t+{\frac {\tau }{4}}.$ La force vive d’une molécule au temps $t$ sera, par suite, proportionnelle à la somme des carrés des valeurs de $\xi$ et de $\eta$ au temps $t+{\frac {\tau }{4}}.$ Si on change $t$ en $t+{\frac {\tau }{4}}$ la valeur moyenne de la force vive ne change pas ; elle sera donc proportionnelle à la valeur moyenne de $\xi ^{2}+\eta ^{2}.$ Il en résulte que nous pouvons prendre pour valeur de l’intensité lumineuse une quantité proportionnelle à la valeur moyenne de $\xi ^{2}+\eta ^{2}.$
57. Interférence de la lumière non polarisée. — Soit $\mathrm {P}$ un point de l’espace où arrive la lumière provenant d’une source située à une distance $z\,;$ nous aurons (52), pour les composantes du déplacement de la molécule d’éther placée en $\mathrm {P} ,$
$\xi =\mathrm {A} _{0}\cos \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right)+\varphi \right],\qquad \eta =\mathrm {B} _{0}\cos \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right)+\varphi _{1}\right].$
| (1) | $\xi =\mathrm {A} _{0}\cos \omega ,\qquad \qquad \eta =\mathrm {B} _{0}\cos \left(\omega +\theta \right),$ |
$\omega ={\frac {2\pi }{\lambda }}\left(z+\mathrm {V} t\right)+\varphi ,\qquad \theta =\varphi _{1}-\varphi .$
Supposons maintenant que le point $\mathrm {P}$ reçoive en même temps de la lumière de même longueur d’onde provenant soit d’une seconde source, soit de la première source par un chemin différent, et que cette lumière ait parcouru une distance $z',$ nous aurons pour les composantes du déplacement suivant les mêmes axes
| (2) | $\xi =\mathrm {A} '_{0}\cos \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}(z'+\mathrm {V} t)+\varphi '\right],\quad \eta =\mathrm {B} '_{0}\cos \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}(z'+\mathrm {V} t)+\varphi '_{1}\right].$ |
Introduisons une nouvelle quantité $\psi$ qu’on appelle différence de marche des rayons lumineux au point $\mathrm {P}$ et qui est définie par la relation
${\frac {2\pi }{\lambda }}\left(z'-z\right)=\psi .$
${\begin{aligned}\psi &+\varphi '-\varphi =\varepsilon ,\\[1.25ex]\psi &+\varphi '_{1}-\varphi _{1}=\varepsilon _{1}\,:\\\end{aligned}}$
$\xi =\mathrm {A} '_{0}\cos \left(\omega +\varepsilon \right),\qquad \qquad \eta =\mathrm {B} '_{0}\cos \left(\omega +\theta +\varepsilon _{1}\right).$
Le déplacement de la molécule $\mathrm {P} ,$ résultant des deux mouvements auxquels elle est soumise, aura pour composantes
| (3) | ${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} _{0}\cos \omega +\mathrm {A} '_{0}\cos \left(\omega +\varepsilon \right).\\\eta &=\mathrm {B} _{0}\cos \left(\omega +\theta \right)+\mathrm {B} '_{0}\cos \left(\omega +\theta +\varepsilon _{1}\right).\end{aligned}}$ |
58. Pour avoir l’intensité lumineuse au point $\mathrm {P} ,$ nous allons chercher la valeur moyenne de $\xi ^{2}+\eta ^{2}.$ On a
${\begin{aligned}\xi ^{2}&=\mathrm {A} _{0}^{2}\cos ^{2}\omega +{\mathrm {A} _{0}'}^{2}\cos ^{2}(\omega +\varepsilon )+2\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{0}'\cos \omega \cos(\omega +\varepsilon ),\\[1.5ex]\eta ^{2}&=\mathrm {B} _{0}^{2}\cos ^{2}(\omega +\theta )+{\mathrm {B} _{0}'}^{2}\cos ^{2}(\omega +\theta +\varepsilon _{1})\\&\quad +2\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{0}'\cos(\omega +\theta )\cos(\omega +\theta +\varepsilon _{1}).\end{aligned}}$
Pendant la durée d’une vibration $\mathrm {A} _{0},$ $\varphi$ et $\varphi '$ et, par suite $\varepsilon ,$ peuvent être considérés comme des constantes ; $\omega$ prend toutes les valeurs comprises entre $0$ et $2\pi .$ On aura donc, pour la valeur moyenne de $\xi ^{2}$ pendant la durée d’une vibration, une quantité proportionnelle à l’intégrale de $\xi ^{2}$ prise entre $0$ et $2\pi .$ Convenons de représenter la valeur moyenne d’une quantité par cette quantité placée entre crochets ; nous aurons
$\left[\mathrm {A} _{0}^{2}\cos ^{2}\omega \right]={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {A} _{0}^{2}\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}\omega \,d\omega ={\frac {\mathrm {A} _{0}^{2}}{2}}$
$\left[{\mathrm {A} '_{0}}^{2}\cos ^{2}\left(\omega +\varepsilon \right)\right]={\frac {1}{2\pi }}{\mathrm {A} '_{0}}^{2}\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}(\omega +\varepsilon )d\omega ={\frac {{\mathrm {A} '_{0}}^{2}}{2}}$
${\begin{aligned}\left[2\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\cos \omega \cos(\omega +\varepsilon )\right]&={\frac {1}{2\pi }}2\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\int _{0}^{2\pi }\cos \omega \cos(\omega +\varepsilon )d\omega \\[1.5ex]&={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\int _{0}^{2\pi }[\cos(2\omega +\varepsilon )+\cos \varepsilon ]d\omega \\[1.5ex]&=\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\cos \varepsilon .\\\end{aligned}}$
$\left[\xi ^{2}\right]={\frac {\mathrm {A} _{0}^{2}}{2}}+{\frac {{\mathrm {A} '_{0}}^{2}}{2}}+\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\cos \varepsilon .$
Nous aurions, pour la valeur moyenne de $\eta ^{2}$ pendant la durée d’une vibration,
$\left[\eta ^{2}\right]={\frac {\mathrm {B} _{0}^{2}}{2}}+{\frac {{\mathrm {B} '_{0}}^{2}}{2}}+\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} '_{0}\cos \varepsilon _{1}.$
Cherchons maintenant la valeur moyenne de ces quantités pendant l’unité de temps, une seconde. $\mathrm {A} _{0},\mathrm {A} '_{0},\mathrm {B} _{0},\mathrm {B} '_{0},$ doivent alors être considérés comme des variables ; il en est de même de $\varphi$ et de $\varphi '$ et comme ces quantités prennent une infinité de valeurs pendant l’unité de temps, la quantité $\varepsilon$ prendra aussi, en général, une infinité de valeurs pendant le même intervalle. Par conséquent, $\cos \varepsilon$ passera par toutes les valeurs comprises entre $-1$ et $+1\,;$ sa valeur moyenne pendant l’unité de temps sera nulle, et, par suite, la valeur moyenne de $\xi ^{2}$ pendant cet intervalle se réduira à $\left[{\frac {\mathrm {A} _{0}^{2}}{2}}+{\frac {{\mathrm {A} '_{0}}^{2}}{2}}\right].$ Pour les mêmes raisons, la valeur moyenne de $\eta ^{2}$ pendant une seconde $\left[{\frac {\mathrm {B} _{0}^{2}}{2}}+{\frac {{\mathrm {B} '_{0}}^{2}}{2}}\right].$ Donc, sauf dans certains cas exceptionnels, l’intensité au point $\mathrm {P}$ ne dépendra pas de la position de ce point et se réduira à la somme arithmétique des intensités dues à chacun des deux rayons composants.
59. Appelons $\varphi _{0}$ et $\varphi '_{0}$ les valeurs de $\varphi$ et de $\varphi '$ dans le voisinage des sources, pendant que nous continuerons à désigner par les lettres $\varphi$ et $\varphi '$ les valeurs de ces mêmes angles au point $\mathrm {P} .$ Ces quatre quantités $\varphi ,$ $\varphi ',$ $\varphi _{0},$ $\varphi '_{0}$ seront fonctions du temps, et on aura
$\varphi \left(t\right)=\varphi _{0}\left(t-{\frac {z}{\mathrm {V} }}\right),\qquad \qquad \varphi '\left(t\right)=\varphi '_{0}\left(t-{\frac {z'}{\mathrm {V} }}\right).$
Si les deux rayons ne proviennent pas de la même source, il n’y a aucune raison pour que $\varphi _{0}$ soit égal à $\varphi '_{0}$ et $\varphi$ à $\varphi '.$ Les deux angles $\varphi$ et $\varphi '$ varieront indépendamment l’un de l’autre. Leur différence $\varphi -\varphi ',$ et par conséquent $\varepsilon$ pourront prendre toutes les valeurs possibles, de telle façon que la valeur moyenne de $\cos \varepsilon$ sera nulle. Les deux rayons n’interféreront pas.
Si les deux rayons proviennent de la même source, on aura
$\varphi '\left(t\right)=\varphi _{0}\left(t-{\frac {z'}{\mathrm {V} }}\right)=\varphi \left(t+{\frac {z-z'}{\mathrm {V} }}\right).$
Si $\psi$ n’est pas assez petit pour que ${\frac {z-z'}{\mathrm {V} }}$ soit inférieur à un dix-milliardième de seconde, il n’y a pas de raison pour que $\varphi '$ soit égal à $\varphi$ et, par conséquent, pour les raisons qui viennent d’être développées dans le cas précédent, les rayons n’interféreront pas.
Si enfin les deux rayons proviennent de la même source et que leur différence de marche $\psi$ soit assez petite pour que ${\frac {z-z'}{\mathrm {V} }}$ soit inférieur à un dix-milliardième de seconde, on aura
$\varphi =\varphi ';$
$\varepsilon =\psi +\varphi '-\varphi =\psi .$
Quant à $\varphi _{1}$ et $\varphi '_{1}$ ils pourront aussi être considérés comme égaux, et nous aurons $\varepsilon _{1}=\psi .$ La valeur moyenne de $\xi ^{2}+\eta ^{2}$ contiendra, en y remplaçant $\varepsilon$ et $\varepsilon _{1}$ par leur valeur $\psi ,$ la valeur moyenne de
$\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} '_{0}\cos \psi +\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} '_{0}\cos \psi .$
La différence de marche $\psi$ est une constante pour le point considéré $\mathrm {P} ,$ mais la valeur de cette quantité varie quand on s’éloigne du point $\mathrm {P} \,;$ l’intensité lumineuse ne sera donc pas la même au point $\mathrm {P}$ et en un point voisin, et nous aurons des franges d’interférence.
60. Interférence de la lumière polarisée. — Recevons les deux rayons lumineux sur deux polarisateurs $\Pi$ et $\Pi '.$ Si leurs plans de polarisation sont parallèles, en prenant pour plan des $yz$ un plan parallèle aux plans de polarisation et admettant que les vibrations sont normales à ces plans, les composantes $\eta$ des deux rayons lumineux seront détruites. L’intensité lumineuse, en un point $\mathrm {P}$ où arrivent les deux rayons après leur passage dans les polarisateurs, sera proportionnelle à la valeur moyenne du carré de la somme des élongations $\xi$ suivant l’axe des $x.$ L’interférence des rayons polarisés se produira alors dans les mêmes conditions que celle des rayons naturels.
Supposons maintenant les polarisateurs $\Pi$ et $\Pi '$ orientés à angle droit. Les plans de polarisation des rayons qui ont traversé les polariseurs étant rectangulaires, prenons-les pour plans des $xz$ et des $yz.$ L’une des deux composantes, $\eta$ par exemple, du premier rayon sera détruite par le passage de la lumière à travers le polariseur $\Pi \,;$ nous avons donc $\mathrm {B} _{0}=0.$ La composante $\xi$ du second rayon sera détruite par le polariseur $\Pi '\,;$ par suite $\mathrm {A} '_{0}=0.$ Dans la valeur moyenne de l’expression qui donne l’intensité lumineuse au point $\mathrm {P} ,$ on n’aura pas de termes en $\cos \varepsilon$ puisque les coefficients de ces termes sont nuls ; il n’y aura pas interférence.
60′. Faisons maintenant passer à travers un polariseur $\Pi ''$ les deux rayons lumineux qui ont déjà traversé séparément les polariseurs $\Pi$ et $\Pi '.$ À son entrée dans le polariseur $\Pi '',$ le premier rayon a un déplacement suivant $\mathrm {OX}$
$\xi =\mathrm {A} _{0}\cos \omega \,;$
le second a un déplacement suivant $\mathrm {OY} ,$
$\eta =\mathrm {B} '_{0}\cos \left(\omega +\theta +\varepsilon _{1}\right),$
ou, si on admet que la différence de marche des deux rayons est très petite,
$\eta =\mathrm {B} '_{0}\cos \left(\omega +\theta +\psi \right).$
Fig. 3.
Sous l’influence de ces deux mouvements, la molécule d’éther placée en $\mathrm {O}$ vient au point $\mathrm {M}$ (fig. 3) de coordonnées $\xi$ et $\eta .$ Soit $\mathrm {OG}$ la nouvelle direction des vibrations à la sortie du polariseur $\Pi ''\,;$ la vibration $\mathrm {OM}$ peut se décomposer en deux, l’une $\mathrm {OQ}$ suivant $\mathrm {OG} ,$ l’autre $\mathrm {MQ}$ perpendiculaire à $\mathrm {OG} ,$ qui sera détruite par le passage dans $\Pi ''.$ On a
$\mathrm {OQ} =\mathrm {OM} '\cos g+\mathrm {MM} '\sin g$
| ou | $\mathrm {\mathrm {OQ} } =\xi \cos g+\eta \cos g.$ |
En remplaçant $\xi$ et $\eta ,$ par leurs valeurs, on obtient
$\mathrm {OQ} =\mathrm {A} _{0}\cos g\cos \omega +\mathrm {B} '_{0}\sin g\cos \left(\omega +\theta +\psi \right).$
Pour avoir l’intensité lumineuse en un point $\mathrm {P} ,$ nous allons chercher la valeur moyenne de ${\overline {\mathrm {OQ} }}^{2}$ pour un très grand nombre de vibrations. La valeur moyenne de cette quantité pendant une vibration est
${\frac {1}{2}}\left[\mathrm {A} _{0}^{2}\cos ^{2}g+{\mathrm {B} '_{0}}^{2}\sin ^{2}g+2\mathrm {A} _{0}\mathrm {B} '_{0}\sin g\cos g\cos \left(\theta +\psi \right)\right]$
Si, avant son passage dans les polariseurs $\Pi$ et $\Pi ',$ la lumière était naturelle, $\theta$ peut prendre une infinité de valeurs, et dans la valeur moyenne de l’expression précédente le terme rectangle qui contient $\cos \left(\theta +\psi \right)$ disparaît. Dans ce cas il n’y a pas interférence.
Quand, au contraire, la lumière est polarisée rectilignement avant son passage dans les polariseurs $\Pi$ et $\Pi ',$ la quantité $\theta$ est égale à $0$ ou à $\pi .$ La valeur du terme rectangle est, au signe près,
$2\mathrm {A} _{0}\mathrm {B} '_{0}\cos g\sin g\cos \psi \,;$
sa valeur moyenne pendant un grand nombre de vibrations contiendra $\cos \psi ,$ et les rayons interféreront.