# Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 07
### CHAPITRE VII.

41. Jusqu’à présent, nous n’avons considéré les fonctions dérivées que comme pouvant servir à la formation des séries ; mais ces fonctions, considérées en elles-mêmes, offrent un nouveau système d’opérations algébriques et fournissent des transformations qui sont d’un usage immense dans toute l’Analyse.
Nous avons déjà vu (n$^o$ 17) que, si l’on a une équation quelconque en $x$ et $y$ ou simplement en $x,$ laquelle doive avoir lieu quelle que soit la valeur de $x,$ les équations dérivées qu’on obtiendra en prenant les fonctions dérivées de chaque terme de la proposée auront lieu aussi. Chacune de ces équations, et même une combinaison quelconque de ces équations, pourra donc tenir lieu de l’équation primitive, et l’on obtiendra souvent par ce moyen des équations subsidiaires plus simples ou plus faciles à résoudre que les équations principales.
Nous avons nommé équations primes, secondes, etc. les équations dérivées qu’on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc. de tous les termes de l’équation primitive donnée ; mais nous nommerons en général équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc. les équations qu’on pourra former par une combinaison quelconque de l’équation primitive et de son équation prime, ou de celles-ci et de l’équation seconde, et ainsi de suite.
Ainsi, l’équation primitive contenant $x$ et $y,$ l’équation dérivée du premier ordre contiendra $x,y$ et $y',$ l’équation dérivée du second contiendra $x,y,y'$ et $y'',$ et ainsi du reste.
42. Nous allons montrer, par quelques exemples, l’usage des équations dérivées pour la transformation des fonctions, et d’abord nous remarquerons que, par la combinaison d’une fonction avec sa fonction prime, on peut faire disparaître un exposant quelconque.
Soit l’équation
$y=\mathrm {X} ^{m},$
$\mathrm {X}$ étant une fonction quelconque de $x\,;$ en prenant les fonctions primes, on aura (n$^o$ 16)
$y'=m\mathrm {X} ^{m-1}\mathrm {X} '\,;$
donc, divisant cette équation par la précédente, on aura
${\frac {y'}{y}}={\frac {m\mathrm {X} '}{\mathrm {X} }},\quad {\text{savoir,}}\quad \mathrm {X} y'-m\mathrm {X} 'y=0,$
équation dérivée du premier ordre où la puissance $\mathrm {X} ^{m}$ ne se trouve plus, et qui, dans cet état, est bien plus commode pour développer la valeur de $y$ en série par la méthode usitée des coefficients indéterminés.
En effet, si l’on a, par exemple,
$\mathrm {X} =a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\ldots ,$
et qu’on suppose
$y=\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,$
on aura, en prenant les fonctions primes,
${\begin{aligned}\mathrm {X} '=&b\ +2cx\ +3dx^{2}\ +\ldots ,\\y'\ =&\mathrm {B} +2\mathrm {C} x+3\mathrm {D} x^{2}+\ldots \,;\end{aligned}}$
donc, substituant et réunissant les termes affectés de la même puissance de $x,$ on aura
${\begin{aligned}a\mathrm {B} -mb\mathrm {A} &+\left[2a\mathrm {C} +\ \ b\mathrm {B} -m(2c\mathrm {A} +b\mathrm {B} )\right]x\\&+\left[3a\mathrm {D} +2b\mathrm {C} +c\mathrm {B} -m(3d\mathrm {A} +2c\mathrm {B} +b\mathrm {C} )\right]x^{2}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0,\end{aligned}}$
$x,$
$y$
$x,$
${\begin{aligned}\mathrm {B} =&{\frac {mb\mathrm {A} }{a}},\\\mathrm {C} =&{\frac {2mc\mathrm {A} +(m-1)b\mathrm {B} }{2a}},\\\mathrm {D} =&{\frac {3md\mathrm {A} +(2m-1)c\mathrm {B} +(m-2)b\mathrm {C} }{3a}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
On aura ainsi successivement tous les coefficients $\mathrm {B,C,D} ,\ldots$ par des formules dont la loi est visible, et qu’on pourra, par conséquent, continuer aussi loin qu’on voudra.
Mais le premier coefficient $\mathrm {A}$ demeure indéterminé ; il faut, pour le déterminer, recourir à l’équation primitive $y=\mathrm {X} ^{m}\,;$ faisant $x=0,$ on a d’un côté $\mathrm {X} =a$ et de l’autre $y=\mathrm {A} \,;$ donc $\mathrm {A} =a^{m}.$
43. On peut de même, par les fonctions dérivées, faire disparaître les logarithmes, les exponentielles et les sinus et cosinus.
En effet, si $y=\operatorname {l} \mathrm {X} ,$ on aura l’équation du premier ordre
$y'\mathrm {X-X'} =0\,;$
si $y=e^{x},$ on aura celle-ci
$y'-\mathrm {X'} y=0\,;$
mais, pour faire disparaître les sinus ou cosinus, il faudra aller à une équation du second ordre.
Soit donc $y=\sin \mathrm {X} ,$ $\mathrm {X}$ étant toujours une fonction quelconque de $x\,;$ en prenant les fonctions primes, on aura (n$^o$ 14)
$y'=\mathrm {X} '\cos \mathrm {X} ,$
et, prenant de nouveau les fonctions primes,
$y''=\mathrm {X''\cos X-X'^{2}\sin X} \,;$
$\sin \mathrm {X}$
$\cos \mathrm {X} ,$
$\mathrm {X} 'y''-\mathrm {X} ''y'+\mathrm {X} '^{3}y=0,$
où il n’y a plus de transcendantes ; on trouvera la même équation en faisant $y=\cos \mathrm {X} .$
Si l’on fait ici pour $\mathrm {X}$ et $y$ les mêmes substitutions que ci-dessus (n$^o$ 42), et qu’après avoir ordonné les termes suivant les puissances de $x$ on égale à zéro la somme de tous ceux qui se trouveront multipliés par la même puissance de $x,$ on aura autant d’équations particulières qui serviront à déterminer les coefficients indéterminés de l’expression supposée de $y$ par les deux qui précèdent. À l’égard des deux premiers, ils demeureront indéterminés ; mais il faudra les déterminer de manière que l’équation primitive et l’équation prime aient lieu en faisant $x=0.$ Or l’équation $y=\sin \mathrm {X}$ devient alors $\mathrm {A} =\sin a,$ et l’équation $y'=\mathrm {X'\cos X}$ devient $\mathrm {B} =b\cos a.$
44. Non-seulement l’équation dérivée du second ordre que nous venons de trouver peut servir à développer en série la valeur de $\sin \mathrm {X}$ ou $\cos \mathrm {X} \,;$ elle peut servir aussi à trouver une autre transformation de cette valeur au moyen des exponentielles.
Supposons, en effet, $y=e^{\mathrm {V} },$ $e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité (n$^o$ 12) et $\mathrm {V}$ une fonction indéterminée de $x.$ En prenant les fonctions primes et secondes, on aura
$y'=\mathrm {V} 'e^{\mathrm {V} },\quad y''=\mathrm {\left(V'^{2}+V''\right)} e^{\mathrm {V} },$
et, ces valeurs étant substituées dans l’équation dont il s’agit, on aura, après la division par la quantité $e^{\mathrm {V} }$ qui en multiplie tous les termes,
$\mathrm {X'\left(V''+V'^{2}\right)-X''V'+X'^{3}} =0.$
J’observe qu’on peut satisfaire à cette équation en faisant
$\mathrm {V} '=m\mathrm {X} ',$
$m$
$\mathrm {V} ''=m\mathrm {X} ''\,;$
$\left(1+m^{2}\right)\mathrm {X} '^{3}=0\,;$
donc
$1+m^{2}=0\quad {\text{et}}\quad m={\sqrt {-1}}.$
Ainsi l’on aura
$\mathrm {V'=X'} {\sqrt {-1}},$
et de là, en remontant à l’équation primitive,
$\mathrm {V=X} {\sqrt {-1}}+a,$
$a$ étant une constante arbitraire ; donc
$e^{\mathrm {V} }=e^{a+\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}=e^{a}e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}=\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},$
en faisant $e^{a}=\mathrm {A}$ pour plus de simplicité.
On aura donc
$y=\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},$
et, comme le radical ${\sqrt {-1}}$ peut être pris également en plus et en moins, on aura également
$y=\mathrm {B} e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},$
$\mathrm {B}$ étant une autre constante arbitraire ; en effet, il est aisé de voir que chacune de ces deux valeurs satisfait à l’équation
$\mathrm {X} 'y''-\mathrm {X} ''y'+\mathrm {X} '^{3}y=0,$
et l’on voit aussi facilement que leur somme y satisfait encore, parce que les quantités $y,y',y''$ n’y sont que sous la forme linéaire, de sorte qu’on aura, en général,
$y=\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},$
$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant de nouveau deux coefficients indéterminés comme ci-dessus.
Cette expression de $y$ convient également à $\sin \mathrm {X}$ et à $\cos \mathrm {X} \,;$ la différence consiste dans les constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ qui doivent se déterminer par la comparaison des valeurs de $y$ et de $y'$ pour une valeur quelconque de $\mathrm {X} .$ Ainsi, puisque $\sin \mathrm {X}$ doit devenir nul lorsque $\mathrm {X} =0$ par la nature des sinus, il faudra que l’on ait
$\mathrm {A+B} =0\,;$
de plus, $y'$ étant égal à $\mathrm {X'\cos X}$ et l’expression précédente de $y$ donnant
$y'=\mathrm {X} '\left(\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}-\mathrm {B} e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}\right){\sqrt {-1}},$
on aura
$\cos \mathrm {X} =\left(\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}-\mathrm {B} e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}\right){\sqrt {-1}}.$
Faisant $\mathrm {X} =0,$ on sait que $\cos \mathrm {X} =1\,;$ donc
$(\mathrm {A-B} ){\sqrt {-1}}=1.$
Ces deux équations donnent
$\mathrm {A} ={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} =-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\,;$
donc enfin
$\sin \mathrm {X} ={\frac {e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}-e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\,;$
on trouvera de la même manière
$\cos \mathrm {X} ={\frac {e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}+e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}}{2}},$
expressions connues et que nous avions déjà trouvées par une autre voie (n$^o$ 22).
45. Dans les exemples précédents, nous avons cherché l’équation dérivée et nous avons ensuite déterminé par cette équation la valeur de la fonction primitive $y.$ Cette dernière opération est, comme l’on voit, l’inverse de celle par laquelle on descend de la fonction primitive aux fonctions dérivées ; elle peut toujours s’exécuter par le moyen des séries, en employant, comme nous l’avons fait, une série avec des coefficient indéterminés, et faisant des équations séparées des termes affectés de chaque puissance de $x.$ De cette manière, on détermine les coefficients les uns par les autres, et l’on a souvent l’avantage d’apercevoir la loi générale qui règne entre ces coefficients.
Mais on peut aussi trouver immédiatement chaque coefficient par la méthode des n$^{os}$ 33 et suivants, car il n’y a qu’à chercher successivement les valeurs des fonctions dérivées, et, si l’on désigne par $(y),(y'),(y''),\ldots$ les valeurs de $y,y',y'',\ldots$ lorsque $x=0,$ on a, en général,
$y=(y)+x(y')+{\frac {x^{2}}{2}}(y'')+\ldots .$
Cette formule, a l’avantage de faire voir pourquoi il reste des coefficients indéterminés, comme nous l’avons trouvé ci-dessus. En effet, si l’on veut déterminer la valeur de $y$ par une équation dérivée du premier ordre, cette équation donnèra la valeur de $y'$ en $x$ et $y,$ et de là on trouvera une équation du second ordre en $y'',y',y,x,$ une équation du troisième en $y''',y'',y',y,x,$ et ainsi de suite, de sorte que, en substituant successivement dans ces équations les valeurs de $y',y'',\ldots$ données par les équations précédentes, on aura en dernière analyse $y',y'',y''',\ldots$ exprimés en $x$ et $y.$ Donc, faisant $x=0,$ on aura $(y'),(y''),(y'''),\ldots$ exprimés en $(y),$ qui demeurera indéterminé.
De même, si l’on ne fait dépendre la détermination de $y$ que d’une équation dérivée du second ordre en $x,y,y'$ et $y'',$ on en tirera successivement une équation tierce entre $x,y,y',y'',y''',$ et ainsi de suite, et, par des substitutions successives, on aura en dernière analyse $y'',y''',\ldots$ donnés en $x,y,y',$ de sorte que, en faisant $x=0,$ on aura les valeurs de $(y''),(y'''),\left(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),\ldots$ exprimées en $(y)$ et $(y'),$ ces deux quantités demeurant indéterminées, et ainsi de suite.
Ainsi, lorsqu’on part d’une équation dérivée du premier ordre il reste une indéterminée $(y),$ lorsqu’on part d’une équation du second ordre il reste deux indéterminées $(y)$ et $(y'),$ et ainsi de suite, et l’on voit que ces indéterminées sont constantes, puisque ce sont les valeurs de $y,y',y'',\ldots$ lorsque $x=0.$
46. Quoique la conclusion précédente soit fondée sur la-théorie des séries, il n’est pas difficile de se convaincre qu’elle doit avoir lieu généralement quelle que soit l’expression de $y,$ puisqu’on peut toujours regarder une expression en série comme le développement d’une expression finie. Mais, comme c’est là une propriété caractéristique des équations dérivées entre deux variables, il est important de l’établir sur la nature même de ces équations.
Considérons donc, en général, l’équation à deux variables $\operatorname {F} (x,y)=0,$ et désignons simplement par $\operatorname {F} (x,y)'=0$ son équation prime, par $\operatorname {F} (x,y)''=0$ l’équation seconde, et ainsi de suite, en regardant $x$ et $y$ comme variables à la fois. Soient $a,b,c,\ldots$ des constantes quelconques contenues dans la fonction $\operatorname {F} (x,y)$ ces constantes seront les mêmes dans les fonctions dérivées. Ainsi, puisque les équations $\operatorname {F} (x,y)=0$ et $\operatorname {F} (x,y)'=0$ ont lieu en même temps, on pourra en éliminer une constante $a,$ et l’équation résultante sera une équations du premier ordre entre $x,y$ et $y',$ qui renfermera une constante de moins que l’équation primitive et qui aura par conséquent lieu en même temps que celle-ci. De même, les trois équations $\operatorname {F} (x,y)=0,$ $\operatorname {F} (x,y)'=0,$ $\operatorname {F} (x,y)''=0$ ayant lieu à la fois, on pourra en éliminer deux constantes $a,b,$ et l’équation résultante sera une équation du second ordre entre $x,y,y'$ et $y'',$ qui renfermera deux constantes de moins que l’équation primitive et qui aura lieu en même temps qu’elle ; et ainsi de suite.
Donc, puisque dans les équations à deux variables une équation du premier ordre peut renfermer une constante de moins que l’équation primitive, une équation du second ordre peut renfermer deux constantes de moins que l’équation primitive, et ainsi de suite, il s’ensuit réciproquement que l’équation primitive doit contenir une constante de plus que l’équation dérivée du premier ordre, deux constantes de plus que l’équation dérivée du second ordre, et ainsi de suite, constantes qui seront par conséquent arbitraires, et il est visible en même temps qu’elles ne sauraient en contenir davantage, puisqu’on ne pourrait pas les faire disparaître toutes par le moyen des équations dérivées.
Donc, si l’on n’a pour la détermination d’une fonction qu’une équation du premier ordre, ou du second, ou etc., l’équation primitive, prise dans toute sa généralité, devra contenir une constante arbitraire, ou deux, etc., suivant l’ordre de l’équation donnée, et l’on déterminera ces constantes par des valeurs particulières données de la fonction ou de ses dérivées.
Si donc on trouve d’une manière quelconque une équation en $x$ et $y$ qui satisfasse à une équation donnée d’un ordre quelconque et qui renferme autant de constantes arbitraires qu’il y a d’unités dans l’indice de cet ordre, on en conclura que cette équation sera l’équation primitive de l’équation donnée et pourra, dans tous les cas, être employée à la place de celle-ci.
47. Au lieu d’éliminer à la fois les deux constantes $a$ et $b$ des trois équations $\operatorname {F} (x,y)=0,$ $\operatorname {F} (x,y)'=0,$ $\operatorname {F} (x,y)''=0,$ on peut n’éliminer d’abord que la constante $b$ ou $a$ des deux premières ; on aura ainsi deux équations du premier ordre, dont l’une ne renfermera que la constante $a$ et l’autre la constante $b.$ Si maintenant on élimine de chacune de ces équations la constante $a$ ou $b$ par le moyen de son équation prime, on aura deux équations du second ordre sans $a$ ni $b,$ qui devront coïncider avec l’équation résultante de l’élimination simultanée de ces constantes par le moyen des trois équations $\operatorname {F} (x_{1},y)=0,$ $\operatorname {F} (x,y)'=0,$ $\operatorname {F} (x,y)''=0,$ parce que la valeur de $y''$ que ces équations du second ordre donneront, et qui sera exprimée en $x,y$ et $y',$ sans $a$ ni $b,$ ne peut qu’être la même, de quelque manière qu’elle soit déduite de l’équation primitive.
D’où l’on peut conclure qu’une équation du second ordre peut être dérivée de deux équations différentes du premier ordre renfermant chacune une constante arbitraire de plus.
Et l’on prouvera de la même manière qu’une équation du troisième ordre pourra être dérivée de trois équations différentes du second ordre renfermant chacune une constante arbitraire, et ainsi de suite.
En même temps on voit que, si pour une équation donnée du second ordre on en trouve deux du premier ordre qui satisfassent, chacune à cette équation et qui renferment chacune une constante arbitraire $a$ ou $b,$ on en pourra déduire immédiatement l’équation primitive, car il sutlira de chasser de ces équations la quantité $y',$ et l’on aura une équation en $x$ et $y,$ avec deux constantes arbitraires $a$ et $b.$
Il en sera de même pour les équations du troisième ordre, car, si l’on trouve trois équations du second ordre qui satisfassent chacune à une équation du troisième ordre et qui aient en même temps les constantes arbitraires $a,b,c,$ on aura, en éliminant $y'$ et $y'',$ une équation en $x,y$ et $a,b,c,$ qui sera par conséquent l’équation primitive de l’équation donnée, et ainsi de suite.
48. Mais, si pour une équation du second ordre on en trouve deux du premier ordre qui y satisfassent et dont une seule renferme une constante arbitraire, alors, en éliminant $y',$ on aura une équation en $x$ et $y$ qui ne renfermera qu’une constante arbitraire et qui ne sera pas l’équation primitive complète de la proposée du second ordre : Mais cette équation satisfera également aux deux du premier ordre, puisqu’elle satisfait à celle du second ordre, qui est également dérivée de ces deux-ci ; donc elle pourra être regardée comme l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre qui ne renferme point de constante arbitraire. D’où je conclus qu’étant proposée une équation du premier ordre en $x,y$ et $y',$ si l’on en déduit d’une manière quelconque une équation du second, soit en éliminant une constante ou non et qu’ensuite on trouve une autre équation primitive du premier ordre, avec une constante arbitraire $a,$ on aura, par l’élimination de $y'$ entre celle-ci et la proposée, une équation en $x$ et $y$ qui contiendra la constante arbitraire $a$ et qui sera par conséquent l’équation primitive complète de la proposée.
On prouvera de la même manière que, si de la proposée du premier ordre on déduit une équation du troisième ordre, et qu’ensuite on trouve pour celle-ci une équation primitive du second avec une constante arbitraire dans laquelle la proposée ne soit pas renfermée, il n’y aura qu’à éliminer les $y''$ et $y'$ au moyen de la proposée, et l’on aura une équation en $x$ et $y$ qui renfermera une constante arbitraire et qui sera par conséquent l’équation primitive complète de la proposée et ainsi de suite.
On peut appliquer le même raisonnement aux équations des ordres supérieurs au premier et en tirer des conclusions semblables.
Le sujet de ce Chapitre est traité avec plus de détail dans les Leçons X, XI et XII du Calcul des fonctions, où le lecteur trouvera une analyse complète des sections angulaires.
* ↑ Œuvres de Lagrange, t. X.