# Commentaires des Principes de Newton - Solution analytique, 2b

SECTION II.
SECONDE PARTIE.
De l’attraction des Corps de figure quelconque.
XXII
PROPOSITION X. PROBLÉME X. Trouver l’attraction d’un cercle fur un corps qui répond perpendi culairement à ſon centre. Soit le cercle MB O, il faut commencer à trouver l’attraction d’une particule quelconque M de ce cercle ſur le corps A. Suppoſant donc que la particule M attire le corps A ſuivant une puiſſance z de la diſtance, ſon attraction ſuivant la direc- tion A M fera proportionnelle à AM¹ ; mais l’attraction ſuivant. la direction AM-ſe décompoſe ſuivant les directions MP & AP, celle ſelon MP n’eſt pas à compter, parce qu’elle eſt détruite par l’attraction de la particule qui. tireroit dans la direction op- poſée O P. On ne compte donc que l’attraction ſuivant A.P. qui AP fera -X AM" : APX AM. BI A.M. Pour DE LA PHILOSOPHIE NATURELLE. 169 Pour mettre cette expreſſion en valeurs analytiques, ſoit fait AP = a, PM=x. AM=√ a² + x², Mm=dx, la valeur de la circonférence Mo dont le rayon eſt x fera donc l’attraction A P x AM" *-¹ de la particule M fera a (a a+xx) donc celle de la circonférence entiere Mo ſur le corpuf7— I cule A, ſuivant AP fera X (a a+*x) tes les particules qui compoſent cette circonférence agiſſent de la même maniere ſur le corpuſcule A, puiſqu’il répond perpendiculairement à ſon centre, & qu’elles font par conſéquent toutes placées de même par rapport à ce corpuſcule. Donc l’attraction de la petite couronne Amo D ſera ªcxd² × (a² + x ²) ² = = = ² ₂ & 2 r 72-+-1 I 뜸 a ² (a²) ²+² 2 2 Oll acx ca T acx (aa+xx) fera l’attraction du cercle entier MB O fur 2+1 2 le corpuſcule A, lorſqu’on aura ajouté la conſtante convenable, on trouvera ce qu’eſt cette conſtante en faiſant x=0, car alors comme le cercle fera nul, ſon attraction devra être nulle auſſi. CX > r(n+1)’> Or, lorſque x=o la quantité 4× (4ª+xx) devient n+1 donc 12I 2 ; car touXXIII. COROLLAIRE. D 7+1 2 a c I 1 (1+1) (ªa+xx) ²÷1 2 car +2 C T(2+1) 7(n+1) (APXAM***-AP*+²) feral’attraction du cercle BM Ofur le corpuſcule A dans la direction A P. C. Q.F.T. Si l’attraction ſe faifoit en raiſon renverſée de la diſtance, c’eſt-à-dire ſi on avoit n 1, l’intégration précédente ne Fig. 12 : 170 PRINCIPES MATHÉMATIQUES donneroit rien, & la valeur cherchée ou l’attraction du cercle dépendroit des logarithmes. On la trouveroit ainſi. acxdx La différentielle. x (aa+xx) feroit Oul ac ac dont l’intégrale eft L (aa+ xx), laquelle devient L (a²) · 27 L(aa+xx) — La, ou AP X AM 2 .ac La lorfque x=0 ; donc cette intégrale complette fera T C 1AM-AP T x 14P, qui eft par conſéquent l’attraction du cercle B MO dans cette hypothèſe. 2 a + x 2 XXIV. PROPOSITION XI PROBLEME XI. Trouver l’attraction du folide produit par la révolution de la courbe quelconque B M autour de fon axe BP, ſur le corpufcule A placé fur cet axe. 2 C Je commence par faire les lignes A B = a. BP =x. PM=y. AM= V(a+x)² +y².pp=dx. L’attraction du cercle dont PM eft le rayon, eft, felon la formule de l’Art. 22. r (2 + 1 (AP X AM** * — AP") ; donc dans les dénominations préſentes l’attraction du cercle dont le rayon eft P M fera (2+1 C 12— I ²) gəligaražnie, verapating acxdx r(aa+xx + y 2 ac a+x X C traction du petit cilindre Mm Pp fera (+1 a+x x dx dont l’intégrale
3 -27 atx (4x) d

## donc l’atx a+x +y

eft l’attraction du folide PB M, produit par la révolution de BM autour de l’axe PB. 171 DE LA PHILOSOPHIE NATURELLE. Ainfi lorſque y fera donnée en x par l’équation de la courbe propoſée, on la ſubſtituera dans cette valeur qui étant alors toute en x & en conſtantes s’intégrera par les méthodes ordinaires, ou ſe réduira aux quadratures. ra Dans le cas ou n —— 1, l’attraction du cercle B M O étant AP x 1AP, on au(Article 23.) AP X LAM. r en employant les dénominations de cette Propofition > XX V. COROLLAIRE. C ÷ (a+ xx dx L√ a+x² + yy—a+x× dx x L a+x.) celle du ſolide entier MBH dans la même hypothèſe fera S = (a + x x d T (a+x x dx × L√ a+x²+yy-a+xxdx x L a+x.) x a+x + bb 2 C F(π²+₁ ( (a + x ² +bb) 22 + 3 X X V I. PROPOSITION XII. PROBLÉME XII. Trouver l’attraction qu’un cylindre OK M N exerce ſur un corpuſcule placé en A dans ſon axe de révolution ABP. Je fais les lignes PM— b. AB= a. BP ==x. AM : √(a+x)² +bb. 40=√ aa+bb, & alors l’expreſſion de l’Article 24. c’eſt-à-dire, l’attraction du petit cylindre deviendra dans les dénominations préſentes (a+= a + x 2+3 2 с r(n+1) x x dx dx)., dont l’intégrale eſt x -a+* 22 + 3 12+ 3 ²+³). > pour comFig. 13. Fig. 13. 172 pletter cette intégrale je fais x " +3 2 L aa+bb n+ 3 PRINCIPES MATHÉMATIQUES & j’ai alors C aa+bb 72 +3 AP 22 +3 72 +3 2 12 +31 2 a n + 3. + AO tégrale eſt {1Ţ % donc n2+3 九十岁 a 72 +3 C r(n+1) ou + AB > 72-t T (2+1) 3 ³)) a + x cilindre O K M N ſur le corpuſcule 4 placé à la diſtance donnée de ce cilindre. C. Q. F. T. C 2 X X VII PROPOSITION XIII. PROBLÉME XIII Trouver l’attraction du cilindre O K M N ſur le corpuſcule A,.en. ſuppoſant — I. pour avoir dans ce cas l’attraction du cilindre il faut intégrer 2 XI và a+x) atx dx x L √ a + x +bb) a+x dx L a+x, devient l’expreſſion générale trouvée, (Art. 25.) qui eſt ce que lorſque 1 comme dans cette ſuppoſition, & que y=b par la naturę du cilindre. T 72 +3 I 2+3 r(n+1) 12 + +66) (AM"+ Pour intégrer la premiere partie je fais a + x +bb={, ce qui donne a÷x dx = zdz, & transforme par conſéquent fera l’attraction du 2 ie + x x dx x L √ a+x ‡ bb) en zd z x L ¿ dont l’inI { x ² x ou {{ — Se 2d L 20n 22 42 — : donc en remettant AM pour z.qu’il repréſente, l’intégrale de la 2 premiere partie de 2 + x x dx x L √ a+ x + bb, la : DE LA PHILOSOPHIE NATURELLE. 173 la quantité à intégrer fera AM³ XIAM— AM² à une 2 F conſtante près qu’on déterminera enſuite. → L’intégrale de la ſeconde partie a+x x dx x L a+x fera I — 2 ²= ₁+ x² La + x — √ = a +x dx, ou a+x 2 2 a tx LAPT 4 2 C ou en remettant les valeurs en lignes Donc l’intégrale totale fera C 2 F 2 AP XI AP + AP ² ou a + x B C In différentielle 7(n+1) с 47 2 r 1 47 AM¹ X AM C 27 I -AP² XL AP-BO³), & on la complettera en faix 2 fant enforte que tout ſe détruiſe forſque x eſt égal à zéro. C L’intégrale complette fera ainſi(AM²x1 AM-AP² — 2 I a+x La+* I 2. 2 2 AP LAP C 4 r (AM² × 1 AM 2 X LAP A02 X 140 + BA¹ x 1 AB —— BO¹) qui eſt l’expreſſion de l’attraction totale du cylindre O K M N ſur le corpuſcule 4 dans la ſuppoſition de n‒‒ 1. C. Q. F.T. XXVIII. PROPOSITION XIV. PROBLÉME XIV. Trouver l’attraction du cylindre OKMN ſur le corpuſcule A, en ſuppoſant n 3. Dans cette fuppoſition de la valeur de n, l’intégration faite dans l’Art. 26. ne fçauroit avoir lieu, & il faut reprendre alors (a+*²³ + 72. + I
2 a+x dx x A MY x dx) de l’attraction cherchée, qui devient Fig. 237 Eig. 13. 174 dans ce cas atx dx PRINCIPES MATHEMATIQUES 2 T C (² 2 r رانه 72 +3 B C complettée donne (1 AP I AM 2 r a + x dx 72-3 2 2 `a+ x + b dont l’intégrale eſt atx + C (x+x² +66)), ou ——-—— (1 AP — 1 AM) laquelle étant 2 r 1 AB + 1 A0) a + x dx Rebrand AOX AP ou (140×4) pour l’attraction cherchée dans la pré2.7 fente hypothèſe. ou XXIX. PROPOSITION XV. PROBLÉME XV. Suppofant que la particule M attire en raiſon inverſe du quarré de la diſtance, trouver l’attraction du cylindre O KMN ſur le corpuſcule A placé ſur le prolongement de ſon axe. C Dans cette ſuppofition de n=-2 la quantité (1+1) 12+ 3 72-+-3 AO C 27 dendada pa, pa Log. a+x— Log. ( qui AP 几十三 AM 72 +3 n+ 3 eſt l’expreſſion générale de l’attraction du cylindre BPM, deO L en décrivant vient (4M-AP. · AO+AB) ou — (B P¬AM+40) Jaquelle, en décrivant l’arc O H du centre 4 & du rayon 40, peut s’écrire ainſi, (OMHM) ou l’arc HL du centre M & du rayon M H ; donc OL eſt l’attraction du cylindre OK M N ſur le corpuſcule A, en ſuppoſant que ſes parties attirent en raiſon renverſée du quarré des diſtances à ce corpuſcule. C. Q. F. T. dx a + x AB C 7 72+3 DE LA PHILOSOPHIE NATURELLE. X X X. PROPOSITION XVI. PROBLÉME XVI. Suppofant que l’attraction agiſſe dans une proportion plus grande que la raiſon inverſe du cube des diſtances, & que cet excès ſoit marqué par l’indéterminée m, on demande quelle fera l’attraction du cylindre OKMN ſur le corpuſcule A placé ſur ſon axe. On aura dans ce cas n=12+3 r(2+1) (2+3) (AM² C 3 m, & l’expreſſion générale Fig. 13. 12+3 n2+3 ²+1B²+³) AP I I -10 + 1B). C I I I fera mr (²+m) (AM™ — AP 40 + 4B), valeur de l’attraction du cylindre O K M N dans le cas de la Propofition préſente. W X X X I. COROLLAIRE I. 40 Suppofant à préſent m=1 on aura 72> I par conféC I quent l’expreſſion générale ci-deſſus devient (AP 38 AM X X XII. COROLLAIRE II. En ſuppoſant A P = co on aura > 175 4, & C I 777 (105 3 T AO + B) ou 7 (B-), par laquelle on apprend que 3 T AB lorſque la diſtance AB eſt très-petite, l’attraction eſt très-grande, que ſi cette diſtance étoit infiniment petite, l’attraction feroit infiniment grande. CHANE 00 I 376 I LAB PRINCIPES MATHEMATIQUES COROLLAIRE III. Si le cylindre eſt infini dans le ſens BO & qu’on ait par conſéquent BO l’attraction fera alors exprimée par C 3r XXXII I. > C (-/--) = 72 3 T ſon inverſe de la diſtance. C 3 T I X AB, c’eſt-à-dire qu’elle fera en raiX X XIV. SCHOLIE I. On voit par ces deux cas, que lorſque le ſolide eſt infini— & la diſtance A B finie, non feulement ſon attraction n’eſt pas infinie ſur le corpuſcule hors de lui, mais qu’elle différe peu de ce qu’elle feroit dans la ſuppoſition des dimenſions finies, mais. beaucoup plus grandes que la diſtance A B.. —— Pour en donner un exemple, ſuppoſons le cylindre tel que la baſe AP 101 AB, & ſa hauteur BO = ƒ¤ AB ; l’expreſſion I I générale MAP -40+) deviendra alors > C 3 T I I (AB A B 101 AB premiers termes ſe réduiſent à 0, 02101 AB c’est-à-dire, que. dans ce cas Fattraction ne différe de ce qu’elle feroit ſi les dimenſions étoient infinies que d’une fraction qui eſt entre & I 47 W I SO B I AB + B) dont les trois. AB 1 I 48. X X X V, SCHOLIE I I Lorſque m eſt poſitif &. que par conſéquent n eſt négatif & plus 177 DE LA PHILOSOPHIE NATURELLE. plus grand que 3, on voit que dans le cas où le corps a des dimenſions très-grandes par rapport à la diſtance du corpuſcule, ſon attraction fera ſenſiblement la même que s’il étoit infini, & dans ce cas l’expreſſion de ſon attraction pourra toujours être réduite à € r (2+ m) (mAB=). XXX VI. SCHOLIE III. Si le corpuſcule A eſt placé ſur l’axe au dedans du cylindre en prenant Ab AB, & menant le plan O B K paralléle aux faces OBK, MPN du cylindre, il feroit aiſé de remarquer que la partie 0 B Ko K du cylindre ne fçauroit exercer aucune attraction ſur le corpuſcule A, parce que les forces de toutes ſes parties ſe détruiſent mutuellement ; ainſi le Problême eſt en ce cas le même que lorſque le corpuſcule eſt au dehors du cylindre, à la même diſtance de la ſurface extéricure O BK, toute la différence. c’eſt que le cylindre attractif qui eſt alors ob KM N eſt plus petit ; mais ſi les dimenſions du cylindre font infinies comme dans le cas qu’on vient de conſidérer, l’attraction d’un corpuſcule placé au dedans ou au dehors fera préciſément la même, pourvu que la diſtance du corpuſcule à la ſurface extérieure ſoit la mêmé. DEPU (plant) Fig. 14