# Dictionnaire des sciences philosophiques/2e éd., 1875/Axiome

AXIOME. Ce terme, dont l’usage paraît trèsancien, n’a été employé d’abord que par les ma­thématiciens pour désigner les principes mêmes de leur science, ou un certain nombre de pro­positions d’une évidence immédiate et servant de base à toutes leurs démonstrations. C’est ce qui résulte d’un passage de la Métaphysique d’Aris­tote (liv. III, ch.m), où ce philosophe se demande si la science de l’être ou de l’absolu ne doit pas aussi s’occuper de ce qu’en mathématiques on appelle du nom d’axiomes. Pour lui, il donne à ce mot une signification plus étendue ; car il l’applique sans distinction à tous les principes qui n’ont pas besoin d’être démontres, et sur lesquels se fondent, au contraire, toutes les sciences ; à tous les jugements universels et évi­dents par eux-mêmes, sans lesquels, dit-il, le syllogisme ne serait pas possible (Analyt. Post., lib. I, c. 11). Mais ces divers principes sont sub­ordonnés à un seul, qui passe à ses yeux pour la condition suprême de toute démonstration et même de tout jugement : c’est le fameux prin­cipe d’identité et de contradiction ; à savoir, que le même ne saurait à la fois être et n’être pas dans le même sujet, sous le même rapport et dans le même temps (Mëtaph., lib. III, c. iii). Après Aristote, les stoïciens ont compris sous le nom d’axiome toute espèce de proposition géné­rale, qu’elle soit nécessaire ou d’une vérité con­tingente. Ce sens a été conservé par Bacon ; car, non content de soumettre ce qu’il appelle les axiomes à l’épreuve de l’expérience et des faits, ce philosophe distingue encore plusieurs sortes d’axiomes, les uns plus généraux que les autres [Νου. Organ., lib. I, aphor. xm, xvn, xix, et pass.). Le sens d’Aristote s’est maintenu dans l’école cartésienne, qui voulait, comme on sait, appliquer à la philosophie la méthode des géo­mètres. C’est ainsi que Spinoza et Wolf ont com­mencé leurs œuvres par des axiomes et des dé­finitions dont se déduisent ensuite toutes leurs théories. Kant, ayant distingué plusieurs sortes de principes, aussi différents les uns des autres par leur usage que par leur origine, a consacré le nom d’axiomes à ceux qui servent de base aux sciences mathématiques : ce sont, d’après lui, des jugements absolument indépendants de l’ex­périence, d’une évidence immediate, et qui ont pour origine commune l’intuition pure du temps et de l’espace. Par cette raison, il les appelle aussi les axiomes de Vintuition. A l’exemple d’Aristote, il néglige d’en fixer le nombre, et cherche à les subordonner à un principe su­prême qu’il formule en ces termes (Critique de la Raison pure, analyt. des principes) : « Tous les phénomènes peuvent être considérés comme des grandeurs étendues. Grâce à ce principe, les propriétés de l’espace ou de l’étendue, en dehors de laquelle nous ne pouvons rien " percevoir, c’est-à-dire les vérités et les définitions mathé­matiques, deviennent les conditions nécessaires, les formes a priori des choses elles-mêmes ou des phénomènes que nous découvrons par l’expé­rience. »
Si maintenant nous passons de l’histoire du mot à la nature même de la chose ; si nous vou­lons connaître le vrai caractère des principes mathématiques, et le comparer à celui des autres principes de l’intelligence humaine, nous serons forcés de choisir entre la proposition suprême d’Aristote et celle de Kant ; car, dans l’état actuel de la psychologie, c’est à ce choix seul que se réduit toute la question. Si, comme le prétend le philosophe grec, tous les axiomes peuvent se résoudre dans le principe de contradiction, ils ne sont plus que des jugements analytiques et même de simples formules abstraites, dont le seul résultat est de décomposer dans ses divers élé­ments une notion générale déjà présente à l’es­prit, sans enrichir notre intelligence d’aucune connaissance nouvelle. Si, au contraire, les axiomes sont de véritables principes, c’est-à-dire des connaissances intuitives, imméaiates. que ni l’expérience ni l’analyse n’ont pu nous fournir, il faut alors, avec le philosophe allemand, les regarder comme des jugements synthétiques a priori. Nous n’hésitons pas, uniquement en ce qui concerne les principes mathématiques, à nous prononcer pour l’opinion d’Aristote. En effet, quand je dis, par exemple, que la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre, il m’est impossible de ne pas voir qu’entre le sujet et l’attribut de cette proposition, il n’y a pas seulement, comme entre l’effet et sa cause, un rapport de dépendance ou un enchaînement nécessaire, mais une véritable identité, ou au moins la relation d’un tout à sa partie ; dans l’idée que je me fais d’une ligne droite, est cer­tainement déjà comprise celle du plus court chemin d’un point à un autre ; par conséquent, il n’y a que l’analyse qui ait pu les séparer. Kant, il est vrai, en choisissant précisément le même exemple, arrive à un résultat tout op­posé:« La ligne droite, dit-il, me représente seulement une qualité ; le plus court chemin d’un point à un autre me rappelle, au contraire, une quantité ; ce n’est donc que par une vérita­ble synthèse, mais par une synthèse nécessaire, que j’ai pu réunir dans un meme jugement deux notions aussi différentes l’une de l’autre. ·> Une telle subtilité, malgré le nom qui la recom­mande, mérite à peine d’être prise au sérieux. Il est evident qu’en pensant à une ligne droite, je suis forcé de tenir compte de la quantité aussi bien que de la qualité ; car, faites abstrac­tion de la quantité, et la ligne n’aura plus d’é­tendue ; elle ne représentera plus aucune dimen­sion de l’espace ; en un mot, elle aura cessé d’exister. De plus, l’étendue d’une ligne droite, la quantité d’espace qu’elle me représente, est nécessairement telle, qu’entre ses deux extré­mités je ne saurais en concevoir une plus petite, c’est-à-dire qu’elle est le plus court chemin d’un point à un autre. Nous ne parlerons pas des autres axiomes considérés par Kant lui-même comme des applications diverses du principe de contradiction, par conséquent comme des juge­ments analytiques ; nous ferons seulement re­marquer que ce caractère n’est pas le seul qui établisse une différence entre les axiomes pro­prement dits et les véritables principes ou les connaissances intuitives de la raison. Quand je dis que la partie est moindre que le tout, ou que deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles, je n’affirme rien des existences, je ne dis pas qu’il y ait quelque part un tout, des parties, une quantité et des quan­tités égales entre elles; je prétends seulement, comme il a été démontré tout à l’heure, que, dans l’un des deux termes dont se compose prin­cipalement chacun de ces axiomes, l’autre est nécessairement compris. En outre, ces deux termes, avec les idées qu’ils expriment, peuvent être l’un et l’autre empruntés à l’expérience C’est, en effet, à cette source de nos connaissan­ces, plutôt qu’à la raison, que nous devons les notions d’un tout et de ses parties. Il en est au­trement de ce principe qui est le fondement de toute morale:toutes nos actions libres sont sou­mises à une loi obligatoire, universelle et né­cessaire. Non-seulement la loi du devoir ne sau­rait être déduite par voie d’analyse de l’idée de liberté ; mais de plus, je crois à l’existence de ces deux termes, dont le premier dépasse entiè­rement les limites de l’expérience. Il ne faut donc pas confondre sous un même titre des ju­gements aussi différents les uns des autres que ceux qui servent de base aux démonstrations mathématiques, et ceux que la métaphysique et la morale sont obligées de chercher dans une analyse approfondie de la raison humaine. Les premiers sont purement analytiques, c’est-à-dire u’ils reposent sur un rapport d’identité ou celui’un tout à sa partie ; ils ont pour objet et pour attribut deux termes corrélatifs dont l’existence est hypothétique ; enfin, ces deux termes peu­vent être également empruntés à l’expérience. Les autres., au contraire sont des jugements synthétiques où deux termes complètement dis­tincts l’un de l’autre sont enchaînés par un lien nécessaire ; chacun de ces deux termes repré­sente une existence réelle; et l’un au moins est tout à fait étranger àl’experience. Il faut laisser aux premiers le nom d’axiomes, et consacrer aux autres celui de principes. Comme l’a dit avec un sens profond l’auteur de la Critique de la Raison pure (Introd.), les mathématiques n’ont pas d’autres principes que leurs définitions, car elles n’ont affaire qu’à un monde idéal:à l’aide des limites et des figures dans lesquelles elles circonscrivent librement l’espace et l’éten­due, elles· produisent elles-mêmes, elles créent en quelque sorte toutes les données qu’elles soumettent ensuite au procédé de la démonstra­tion. Voy. Principes et Mathématiques.