# Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section IX
### IX PRINCIPE D’EXTENSION

35. Soit ${f(x,y,\ldots )}$ une fonction d’un ou plusieurs arguments rationnels, supposée uniformément continue dans tout champ borné où elle se trouve définie. (C’est le cas, d’après les § 32, 33, 34, pour ${x+y}$, ${x-y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}{\Big )}$. Un point ${(x,y,\ldots )}$, rationnel ou non, peut avoir la propriété d’être intérieur à un champ dans lequel $f$ est définie. [Cette condition est remplie par tout point ${(x,y)}$ dans le cas des fonctions ${x+y}$, ${x-y}$, $xy$ ; par tout point ${(x,y)}$ pour lequel ${y\neq 0}$, dans le cas de ${\frac {x}{y}}{\Big ]}$. Nous allons définir une fonction ${\mathrm {F} (x,y,\ldots )}$ qui sera définie en tous les points possédant la propriété précédente, qui sera égale à ${f(x,y,\ldots )}$ en tout point rationnel où $f$ est définie, et qui sera continue (§ 29) dans tout champ où elle se trouvera définie.
Soit ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ un point possédant la propriété indiquée : il y a donc un champ borné $\mathrm {C}$ auquel ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est intérieur, et tel que $f$ est définie et uniformément continue dans $\mathrm {C}$.
On peut trouver une suite de points rationnels tendant vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$, soit,
| (1) | $(x_{1},y_{1},\ldots ),\quad (x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,\quad (x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots$ |
Du fait que ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est intérieur au champ $\mathrm {C}$ résulte que, quand $n$ dépasse une certaine valeur, le point ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$ appartient au champ $\mathrm {C}$ ; nous supposerons que cette condition est remplie pour tous les points de la suite (1).
1$^o$ Je dis que la suite de nombres
| (2) | $f(x_{1},y_{1},\ldots ),\quad f(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,\quad f(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots$ |
a une limite. Pour le prouver, rappelons que, à ${\varepsilon >0}$ correspond ${\alpha >0}$ tel que, pour deux points rationnels du champ $\mathrm {C}$ : $(x,y,\ldots )$, $(x',y',\ldots )$, les conditions
| (3) | $|x-x'|<\alpha$,﻿$|y-y'|<\alpha$,﻿$\ldots$ |
entraînent
| (4) | $|f(x,y,\ldots )-f(x',y',\ldots )|<\varepsilon$. |
On a
$\lim {x_{n}}=x_{0}$
$\lim {y_{n}}=y_{0}$
$\ldots$
Appliquant le Théorème I (1$^o$) (§ 23) aux suites (en nombre fini) $x_{n},y_{n},\ldots$, on voit qu’à $\alpha$ correspond un entier $p$, tel que, pour ${\mu >p}$, ${\nu >p}$, on a
$|x_{\mu }-x_{\nu }|<\alpha$
$|y_{\mu }-y_{\nu }|<\alpha$
$\ldots$
et par suite, d’après (4),
$|f(x_{\mu },y_{\mu },\ldots )-f(x_{\nu },y_{\nu },\ldots )|<\varepsilon$
D’après le Théorème I (2$^o$), comme $\varepsilon$ est arbitraire, cela signifie que ${f(x_{n},y_{n},\ldots )}$ a une limite $\lambda$.
2$^o$ Je dis que la limite $\lambda$ n’est pas changée si on remplace la suite de points (1) par une autre suite de points rationnels du champ $\mathrm {C}$ tendant aussi vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$, soit
$(x'_{1},y'_{1},\ldots ),\quad (x'_{2},y'_{2},\ldots ),\quad \ldots ,\quad (x'_{n},y'_{n},\ldots ),\quad \ldots .$
En effet, d’après le Théorème II (1$^o$) (§ 24), des conditions
$\left\lbrace {\begin{aligned}\lim {x_{n}}&=x_{0}{\text{,}}\\\lim {x'_{n}}&=x_{0}{\text{,}}\end{aligned}}\right.\qquad \left\lbrace {\begin{aligned}\lim {y_{n}}&=y_{0}{\text{,}}\\\lim {y'_{n}}&=y_{0}{\text{,}}\end{aligned}}\right.\qquad \left\lbrace {\begin{aligned}\ldots {\text{,}}\\\ldots {\text{,}}\end{aligned}}\right.$
on déduit que, quand $n$ dépasse une certaine valeur $p$, on a
$|x_{n}-x'_{n}|<\alpha$
$|y_{n}-y'_{n}|<\alpha$
$\ldots$
et par suite
$|f(x_{n},y_{n},\ldots )-f(x'_{n},y'_{n},\ldots )|<\varepsilon$
D’après le Théorème II (2$^o$), cela signifie que ${f(x'_{n},y'_{n},\ldots )}$ tend vers la même limite que ${f(x_{n},y_{n},\ldots )}$, c’est-à-dire vers $\lambda$.
Ainsi $\lambda$ ne dépend que de ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$.
3$^o$ Quand ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est un point rationnel, on a ${\lambda =f(x_{0},y_{0},\ldots )}$. Il suffit, pour vérifier ce fait, de supposer que tous les points de (1) sont identiques à ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ ; la limite de (2) est alors ${f(x_{0},y_{0},\ldots )}$.
On reconnaît ainsi qu’une fonction devant remplir les conditions imposées à $\mathrm {F}$ doit nécessairement, au point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$, avoir pour valeur $\lambda$. Nous poserons donc ${\mathrm {F} (x_{0},y_{0},\ldots )=\lambda }$.
Je dis que $\mathrm {F}$ a la propriété suivante :
4$^o$ $\varepsilon$ et $\alpha$ ayant la même signification que plus haut, pour deux points $(x,y,\ldots )$, $(x',y',\ldots )$ quelconques du champ $\mathrm {C}$, les conditions
| (5) | $|x-x'|<\alpha$,﻿$|y-y'|<\alpha$,﻿$\ldots$ |
entraînent
| (6) | $|\mathrm {F} (x,y,\ldots )-\mathrm {F} (x',y',\ldots )|\leqslant \varepsilon$. |
Si ${x\neq x'}$, prenons une suite de nombres rationnels $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, $\ldots$ compris entre $x$ et $x'$ et tendant vers $x$ ; prenons de même une suite de nombres rationnels $x'_{1}$, $x'_{2}$, $\ldots ,x'_{n}$, $\ldots$ compris entre $x$ et $x'$ et tendant vers $x'$. Si ${x=x'}$, prenons une suite de nombres rationnels $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, $\ldots$ tendant vers $x$ et tous contenus dans l’intervalle de variation de $x$ relatif au champ $\mathrm {C}$ ; prenons ${x'_{n}=x_{n}}$. On a ainsi dans tous les cas
$|x_{n}-x'_{n}|<\alpha$
En opérant de même pour chacune des autres variables $y,\ldots$, on obtient deux suites de points rationnels appartenant au champ $\mathrm {C}$ :
$(x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots$
$(x'_{1},y'_{1},\ldots ),\,(x'_{2},y'_{2},\ldots ),\,\ldots ,(x'_{n},y'_{n},\ldots ),\,\ldots$
ayant respectivement pour limites les points $(x,y,\ldots )$ et $(x',y',\ldots )$, et tels que
$|x_{n}-x'_{n}|<\alpha$
$|y_{n}-y'_{n}|<\alpha$
$\ldots$
On a donc, quel que soit $n$,
$|f(x_{n},y_{n},\ldots )-f(x'_{n},y'_{n},\ldots )|<\varepsilon$
D’après le Théorème IV (§ 26), le premier membre a pour limite le nombre ${|\lim {f(x_{n},y_{n},\ldots )}-\lim {f(x'_{n},y'_{n},\ldots )}|}$, c’est-à-dire ${|\mathrm {F} (x_{n},y_{n},\ldots )-\mathrm {F} (x'_{n},y'_{n},\ldots )|}$. Donc
| (6) | $|\mathrm {F} (x,y,\ldots )-\mathrm {F} (x',y',\ldots )|\leqslant \varepsilon$. |
Cela étant, la fonction ${\mathrm {F} (x,y,\ldots )}$ est continue dans tout champ où elle se trouve définie ; car, soit une suite de points quelconques
$(x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots$
ayant pour limite le point ${(x,y,\ldots )}$. Supposons $\mathrm {F}$ définie en tous ces points. Prenons un champ $\mathrm {C}$ auquel ${(x,y,\ldots )}$ soit intérieur. Soit ${\varepsilon >0}$ ; déterminons $\alpha$ de manière que les conditions (5) entraînent (6). Quand $n$ dépasse une certaine valeur $p$, le point ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$ est intérieur à $\mathrm {C}$, et d’autre part on a
$|x-x_{n}|<\alpha$
$|y-y_{n}|<\alpha$
$\ldots$
d’où, par suite,
$|\mathrm {F} (x,y,\ldots )-\mathrm {F} (x_{n},y_{n},\ldots )|\leqslant \varepsilon$
ce qui montre que ${\mathrm {F} (x_{n},y_{n},\ldots )}$ a pour limite ${\mathrm {F} (x,y,\ldots )}$.
On voit en résumé que le problème proposé est résolu et conduit à une fonction bien déterminée. On dira que cette fonction $\mathrm {F}$ est la fonction $f$ étendue, et le procédé qui permet, en partant de $f$, de définir $\mathrm {F}$, sera appelé principe d’extension.
36. Puisque chacune des fonctions d’arguments rationnels : ${x+y}$, ${x-y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ est uniformément continue dans tout champ borné où elle se trouve définie, le principe d’extension est applicable à ces fonctions, et donne naissance à des fonctions d’arguments quelconques, que nous désignerons encore par ${x+y}$, ${x-y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ et que nous appellerons somme, différence, produit, quotient ; les trois premières sont définies en tout point ${(x,y)}$, la dernière en tout point pour lequel ${y\neq 0}$ ; chacune d’elles est continue dans tout champ où elle se trouve définie. Cette définition est nouvelle pour ${x+y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ ; en ce qui concerne ${x-y}$, nous avons déjà défini sous ce nom (Section V) une certaine fonction qui se réduit, quand $x$ et $y$ sont rationnels, à la différence ${x-y}$ définie en arithmétique et algèbre élémentaire, et qui est continue (§ 30) : cette double propriété montre l’identité de la définition de ${x-y}$ de la Section V avec la définition actuelle.
Le nombre ${\frac {1}{x}}$ (qui est défini si ${x\neq 0}$) est dit l’inverse de $x$.
37. De la définition de $\mathrm {F}$ résulte la propriété suivante : Si un point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ est intérieur à un champ $\mathrm {C}$, et si les valeurs de ${f(x,y,\ldots )}$ aux points rationnels de $\mathrm {C}$ sont comprises entre des nombres $\mathrm {M}$, $m$, le nombre ${\mathrm {F} (x_{0},y_{0},\ldots )}$ est aussi compris entre $\mathrm {M}$ et $m$.
En particulier, on déduit de là que, si $x$ et $y$ sont positifs, ${x+y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ sont aussi positifs, car, en prenant des nombres rationnels $a$, $a'$, $b$, $b'$, tels que
$0<a<x<a'$
$0<b<y<b'$
les fonctions d’arguments rationnels ${x+y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ dans le champ $\mathrm {C}$ :
$a\leqslant x\leqslant a'$
$b\leqslant y\leqslant b'$
ont des valeurs au moins égales respectivement aux nombres positifs
$a+b$
$a\times b$
${\frac {a}{b'}}$
il en est donc de même des fonctions de variables quelconques ${x+y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ considérées dans le même champ ; elles ont donc des valeurs positives. On voit aussi que, $x$ étant positif, ${\frac {1}{x}}$ est positif.
38. Si une fonction est continue dans tout champ où elle se trouve définie, nous dirons simplement, pour abréger, qu’elle est continue.
Soient $x,y,\ldots$ des variables, $f,\varphi ,\ldots$ des fonctions de ces variables, chacune des fonctions $f,\varphi ,\ldots$ pouvant être fonction, soit de toutes les variables $x,y,\ldots$, soit seulement de certaines d’entre elles. Les variables $f,\varphi ,\ldots$ peuvent être les arguments d’une nouvelle fonction ${\mathrm {F} (f,\varphi ,\ldots )}$, qu’on peut alors considérer comme une fonction ${\Phi (x,y,\ldots )}$ des premières variables ${x,y,\ldots }$, par l’intermédiaire des fonctions $f,\varphi ,\ldots$ ; on dit que c’est une fonction composée de $x,y,\ldots$ ou, dans le cas d’une seule variable $x$ et d’une seule fonction intermédiaire $f$, une fonction de fonction. C’est ainsi que, $x,y,z$ étant trois variables prenant toutes les valeurs réelles, ${x+(y+z)}$, ${x\times (y+z)}$ sont des fonctions de $x,y,z$, par l’intermédiaire de $x$ et ${y+z}$. On a, à ce sujet, le théorème suivant :
Si $f,\varphi ,\ldots$ sont fonctions continues de $x,y,\ldots$ et si $\mathrm {F}$ est fonction continue des variables $f,\varphi ,\ldots$, la fonction ${\Phi (x,y,\ldots )=\mathrm {F} (f,\varphi ,\ldots )}$ est fonction continue de $x,y,\ldots$
Soit, en effet, une suite de points
$(x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,\,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots$
tendant vers un point ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$. On suppose que $\mathrm {F}$ se trouve définie en chacun de ces points, ce qui suppose que $f,\varphi ,\ldots$ sont définies en tous ces points, et que, en posant, pour ${n=1,2,\ldots }$ et ${n=0}$
$f(x_{n},y_{n},\ldots )=f_{n}$
$\varphi (x_{n},y_{n},\ldots )=\varphi _{n}$
$\ldots$
$\mathrm {F}$ est définie pour tous les points ${(f_{n},\varphi _{n},\ldots )}$.
Puisque $f,\varphi ,\ldots$ sont continues, on a
$\lim {f_{n}}=f_{0}$
$\lim {\varphi _{n}}=\varphi _{0}$
$\ldots$
et $\mathrm {F}$ étant continue en tant que fonction de $f,\varphi ,\ldots$ on a
$\lim {\mathrm {F} (f_{n},\varphi _{n},\ldots )}=\mathrm {F} (f_{0},\varphi _{0},\ldots )$
ce qui s’écrit,
$\lim {\Phi (x_{n},y_{n},\ldots )}=\Phi (x_{0},y_{0},\ldots )$
La proposition est donc démontrée.
39. Si une égalité de la forme
$f(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )$
où $f$ et $\varphi$ sont des fonctions continues des variables $x,y,\ldots$, est démontrée quand le point ${(x,y,\ldots )}$ est rationnel, elle a lieu également pour tout point appartenant à un champ dans lequel $f$ et $\varphi$ sont définies. En effet, soit ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ un tel point ; il y a une suite de points rationnels ${(x_{1},y_{1},\ldots )}$, ${(x_{2},y_{2},\ldots )}$, $\ldots$, ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$, $\ldots$ tendant vers ${(x_{0},y_{0},\ldots )}$ et en chacun desquels $f$ et $\varphi$ sont définies. On a, pour ${n=1,2,\ldots }$,
$f(x_{n},y_{n},\ldots )=\varphi (x_{n},y_{n},\ldots )$
d’où
$\lim {f(x_{n},y_{n},\ldots )}=\lim {\varphi (x_{n},y_{n},\ldots )}$
c’est-à-dire, à cause de la continuité de $f$ et $\varphi$,
$f(x_{0},y_{0},\ldots )=\varphi (x_{0},y_{0},\ldots )$