# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Trigonométrie, article 4
## QUESTIONS RÉSOLUES.
### Solution des trois problèmes d’analise transcendante énoncés à la page 247 du présent volume ;

PROBLÈME. Assigner la somme finie de chacune des trois suites infinies que voici :
${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}-{\frac {a^{7}\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$
$\operatorname {Cos} .x+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$
${\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4x\operatorname {Cos} .4y}{4}}+\ldots$
Solution. Nous allons déduire la sommation de chacune de ces trois suites du théorème que nous avons établi à la page 107 de ce volume, et que nous rappelons en ces termes :
Si l’on représente par $\operatorname {f} (a)$ la somme de la suite infinie
$A_{0}+A_{1}a+A_{2}a^{2}+A_{3}a^{3}+A_{4}a^{4}+\ldots ,$
dans laquelle $A_{0},A_{1},A_{2},\ldots ,$ sont supposés représenter des coefficiens numériques ; les sommes des deux séries
$A_{0}+A_{1}a\operatorname {Cos} .x+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2x+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3x+A_{4}a^{4}\operatorname {Cos} .4x+\ldots$
$A_{0}+A_{1}a\operatorname {Sin} .x\ +A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2x\ +A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3x\ +A_{4}a^{4}\operatorname {Sin} .4x\ +\ldots$
seront respectivement
${\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]+\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2}},$
et
${\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]-\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2{\sqrt {-1}}}}.$
Cela posé, on a
${\frac {a}{1}}-{\frac {a^{3}}{3}}+{\frac {a^{5}}{5}}-{\frac {a^{7}}{7}}+{\frac {a^{9}}{9}}-\ldots =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=a),$
donc 1.$^o$ la somme de la série
${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}-{\frac {a^{7}\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$
sera
${\frac {\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .=a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]+\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Tang} .=a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2}}$
Soient $M$ le premier de ces arcs et $N$ le second, on aura pour la somme de la série ${\frac {M+N}{2}},$ et de plus
$\operatorname {Tang} .M=a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right),$
$\operatorname {Tang} .N=a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\,;$
d’où
$\operatorname {Tang} .M+\operatorname {Tang} .N=2a\operatorname {Cos} .x,$
d’où encore
$1-\operatorname {Tang} .M\operatorname {Tang} .N=1-a^{2}\,;$
donc
$\operatorname {Tang} .(M+N)={\frac {\operatorname {Tang} .M+\operatorname {Tang} .N}{1-\operatorname {Tang} .M\operatorname {Tang} .N}}={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\,;$
donc
$M+N=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right)\,;$
donc enfin
${\frac {M+N}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right)$
qui sera conséquemment la somme finie demandée de la première des trois séries infinies proposées.
Si l’on suppose $a=1,$ on a
${\frac {M+N}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .=\infty \right)={\frac {1}{4}}\varpi \,;$
donc, comme on le savait déjà,
${\frac {\varpi }{4}}=\operatorname {Cos} .x-{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}-{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$
quel que soit $x.$
En second lieu
$a+{\frac {1}{2}}.{\frac {a^{3}}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {a^{5}}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {a^{7}}{7}}+\ldots =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=a)\,;$
ainsi qu’il est aisé de s’en assurer, en intégrant par les séries la fonction différentielle
${\frac {\operatorname {d} a}{\sqrt {1-a^{2}}}}=\operatorname {d} .\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=a)\,;$
donc, la, somme de la série
$\operatorname {Cos} .x+{\frac {1}{2}}.{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$
sera
${\frac {\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}{2}}.$
Soient $P$ le premier de ces arcs et $Q$ le second ; la somme cherchée sera donc
${\frac {P+Q}{2}},$
et l’on aura
$\operatorname {Sin} .P=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x,$
$\operatorname {Sin} .Q=\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x,$
d’où
$\operatorname {Cos} .P={\sqrt {-2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x}},$
$\operatorname {Cos} .Q={\sqrt {+2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x}},$
donc
$\operatorname {Cos} .P\operatorname {Cos} .Q=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x\,;$
on a d’ailleurs
$\operatorname {Sin} .P\operatorname {Sin} .Q=1\,;$
donc
$\operatorname {Cos} .(P+Q)=\operatorname {Cos} .P\operatorname {Cos} .Q-\operatorname {Sin} .P\operatorname {Sin} .Q=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1\,;$
donc aussi
$P+Q=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1),$
et par suite
${\frac {P+Q}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1)\,;$
qui est conséquemment la somme finie demandée de la seconde des trois séries infinies proposées.
Si l’on suppose $x=0,$ on a
${\frac {P+Q}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=-1)={\frac {1}{2}}\varpi \,;$
donc, comme on le savait déjà,
${\frac {1}{2}}\varpi =1+{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {1}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {1}{7}}+{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8}}.{\frac {1}{9}}+\ldots$
Quant à la troisième série, on peut la mettre sous cette forme
${\frac {1}{2}}\left\{{\begin{array}{l}&{\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2(x+y)}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3(x+y)}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4(x+y)}{4}}+\ldots \\\\+&{\frac {\operatorname {Cos} .(x-y)}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2(x-y)}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3(x-y)}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4(x-y)}{4}}+\ldots \end{array}}\right\}.$
Or on a, (pag. 114 du présent volume)
${\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots =\operatorname {Log} .2+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x,$
c’est-à-dire
${\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots =\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x\,;$
en changeant donc, tour à tour $x$ en $x+y$ et $x-y,$ il viendra
${\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2(x+y)}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3(x+y)}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4(x+y)}{4}}+\ldots$
$=\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)$
${\frac {\operatorname {Cos} .(x-y)}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2(x-y)}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3(x-y)}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4(x-y)}{4}}+\ldots$
$=\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)$
donc, en prenant la demi-somme,
${\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}$
$-\ldots ={\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)+\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\right\}$
ou encore
${\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}-\ldots$
$={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)$
mais
$2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)=\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y$
d’où
$4\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)=2\left(\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y\right)$
donc enfin, la somme finie de la troisième des suites infinies proposées est
${\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .\left(2\operatorname {Cos} .x+2\operatorname {Cos} .y\right).$
Si, au lieu de prendre la demi-somme des deux séries ci-dessus, on prend leur demi-différence, on aura
${\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .2x\operatorname {Sin} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .3x\operatorname {Sin} .3y}{3}}-\ldots$
$={\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)-\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\right\}\,;$
ou encore
${\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .2x\operatorname {Sin} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .3x\operatorname {Sin} .3y}{3}}-\ldots$
$={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)}}.$
Or,
${\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)}}={\frac {2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)}{2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}(x+y)}}={\frac {\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y}{1+\operatorname {Cos} .(x+y)}}\,;$
donc enfin
${\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .2x\operatorname {Sin} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .3x\operatorname {Sin} .3y}{3}}-\ldots$
$={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y}{1+\operatorname {Cos} .(x+y)}}.$
Si, dans ce résultat et dans le précédent, on fait $y=x,$ ils deviendront
${\frac {\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}4x}{4}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .x,$
${\frac {\operatorname {Sin} .^{2}x}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}4x}{4}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {2\operatorname {Cos} .x}{1+\operatorname {Cos} .2x}}.$
En résumé, si nous faisons abstraction des divers résultats particuliers auxquels nous sommes parvenus, et qui n’avalent pas été demandés, nous aurons
${\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right)={\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}-\ldots$
${\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1\right)=\operatorname {Cos} .x+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots$
${\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .2\left(\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y\right)={\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}-\ldots$
résultats qu’au surplus on peut présentement vérifier d’un grand nombre de manières diverses.