# Commentaires des Principes de Newton - Solution analytique, 2a

K 900 CAULI SE CTIOΝ II DE L’ATTRACTION DES CORPS en ayant égard à leurs figures. PREMIERE PARTIE. De l’attraction des Corps ſphériques. I. PROPOSITION I. PROBLÉME.I. Rouver l’attraction de la ſurface ſphérique dont le diamétre T A B ſur un P placé ſur le prolongement de ce diamétre, en fuppoſant que toutes les parties de cette ſurface ſphérique attirent comme une puiſſance quelconque n de la distance. On imaginera la ſurface ſphérique ACB compoſée d’une infinité de petits cones tronqués produits par la révolution des élémens I HQ q autour de l’axe A B, & on commencera par chercher l’attraction de toutes les petites zones ou ſurfaces coniques HI. Ayant donc fait les lignes P I PS= 2. f. AS = SE=u. je commence par chercher la valeur du coſinus de l’angle IP Q pour le rayon 1. elle eſt F = ²² +f²=² ; & le ſinus PE PS 22 du même angle pour le rayon PI eſt P Q = ²+²=², 2 f donc d P Q = ! = 2 Fig. to Fig. 2, 156
La valeur de la petite zone ſphérique HI eſt HIX IQ, OÙ Qqx AS

## donc l’expreſſion de l’attraction de la

petite zone HI ſur le corpuſcule P, laquelle eſt en général gą d z f C ² (1 H × IQ × IP² x Cos. I P Q) T aura pour valeur 72 = ( x z dz x ²² x zz + ff — BR g z 2 zff = gr 12 + 2 12 3 qui ſe réduit à 72 dz g ² + x ( ƒ² — ²^³) ² ª ¹²) dont lintégrale eſt g ²² 2 jj 92 2 (12²+3) ƒƒ Ff 72+1 2 (12²+1) ƒƒ je fais enforte qu’elle s’évanouiſſe lorſque 2 ou PI devient I A
    ƒ· g. J’ai alors
( 1⁄² +5 (2²+³ —ƒ—g^+³) n f² g ² -f-g {{’)) qui eſt l’attraction de la zone AI. je fais enſuite PI ou z = f + g, & il vient par ce n + 1. +3 f²-g² 2 rf² cg ( ²₁² + ₂ G + B •ƒ-g²+³) + +3 7+I moyen (f+g ſphérique totale. 12-+ I g(ff-gg)z — :) cg zrfz.
    pour la completter
72 +1 —ƒ-g"+¹)) pour l’attraction de la ſurface ·f I I. PROPOSITION II. PROBLEME II. Trouver l’attraction de la fphere ſolide entiere ACBD ſur le corpuſcule P place dans le prolongement de ſon axe. Je fais comme dans la Propofition précédente les lignes PI={. PSf. AS : g. Puifqu’on vient de voir dans cette Propofition, que la ſurface ſphérique ACB-attire le corpuſcule P avec une 157 -f=g²+³) une force exprimée par⁄2+3 (ƒ+8 « + ³ −ƒ-8 » +¹) -ƒ—g²*¹)) il eſt clair qu’en f² — g² (f+8 九十三 multipliant cette expreſſion par la petite épaiſſeur Aa=dg, on aura l’expreſſion de l’attraction que le petit orbe abcd ABCD exerce ſur le même corpuſcule P, & en intégrant, on aura l’attraction cherchée de la ſphére ſolide. A B C D. C. Q. F. T. + I I I I. PROPOSITION III. PROBLÉME III. Trouver attraction de la ſurface ſphérique entiere ACB ſur le corpuſcule P, en ſuppoſant que toutes ſes parties l’attirent par une force qui agiſſe en raiſon inverſe du quarré de la diſtance. On aura dans ce cas n 2 ; reprenant donc l’expreſſion Fig. I. générale de l’attraction de cette ſurface ſphérique laquelle a été trouvée dans l’Article premier, & mettant pour n la valeur — 2 dans la préſente ſuppoſition, on aura 27ff (28-ff-88 g X 2 g F5-²6) ou en réduiſant g g cg X 48 ft 2 rf² exprime l’attraction de la ſurface ſphérique lorſque z — C. Q. F. T. cg² 2, qui rff > I V. COROLLAIRE I. Pour avoir l’attraction de l’orbe abcd A B C D dans cette Fig. hypothèſe, il ſuffira de multiplier cette expreſſion 2² par T dg= = Aa, & en intégrant cette expreſſion de l’attraction du 2 cg³ petit orbe, on aura pour l’expreſſion de l’attraction de la 3rff fphére ſolide entiere A B CD, dans cette même hypothèſe de Fig. 3.
2 cg3 3* n=-2 & comme eſt l’expreſſion de la ſolidité de la ſphére, on voit que dans cette hypothèſe l’attraction eſt comme la maſſe diviſée par le quarré de la diſtance de ſon centre au corpuſcule attiré. 158 V. COROLLAIRE II. Dans cette hypothèſe de l’attraction réciproquement proportionnelle au quarré de la diſtance, deux fphéres s’attirent de même que ſi leurs maſſes étoient réunies à leur centre. Pour le prouver, ſuppoſons d’abord qu’au centre A il y ait un corpuſcule de même maſſe que la ſphére A elle-même, on a vu ( Article précédent) que la fphére B exercera ſur ce corpuſcule A la même attraction que ſi elle étoit elle-même toute réunie à ſon centre B ; mais on doit voir auſſi, par la même raiſon, qu’elle fera attirée par le corpuſcule A de la même maniere, ſoit qu’elle ſoit toute réunie à ſon centre B, ſoit qu’elle ait conſervée fa forme réelle. De plus, (même Article) la ſphére entiere A attire toutes les particules M de la ſphére B de la même maniere, que ſi elle étoit toute réunie à ſon centre A ; donc il eſt indifférent pour l’attraction de deux ſphéres l’une vers l’autre dans l’hypothèſe de la raiſon inverſe des quarrés des diſtances, qu’elles gardent leur forme ou qu’elles ſoient fuppoſées réunies à leur centre, pourvû qu’elles conſervent la même maſſe. V I. SCHOLIE. On voit par l’expreſſion de l’attraction de la fphére ſolide totale, que dans l’hypothèſe en raiſon inverſe du quarré de la diſtance, il en eſt des fphéres entieres comme de leurs plus petites parties, & qu’elles attirent de même que ces parties en raiſon de la maſſe diviſée par le quarré de la diſtance. G 159 VII. PROPOSITION IV. PROBLÉME IV. Trouver l’attraction de la ſurface ſphérique entiere A B CD ſur le corpuſcule P, en ſuppoſant que toutes les parties de la Sphére attirent ce corpuſcule par une force qui agiſſe en raiſon de la ſimple distance. On aura dans ce cas n = 1, reprenant donc l’expreſſion trouvée (Art. 1.) & en y mettant pour n ſa valeur 1 dans l’hypothèſe préſente, on aura cg 27ƒfƒ ( ÷ (8f g+8fg³) +f^_gª 2 ₂×4f³ g = ²6², valeur de 2 cg²f (4fg)) qui ſe réduit à 2 rf2 l’attraction de la ſurface ſphérique ACB lorſque VIII COROLLAIRE I. Pour avoir l’attraction de l’orbe abcd A B CD dans cette hypothèſe, il faut multiplier comme dans l’Art. 4. l’expreſſion 2cfg² par dg, & l’expreſſion de l’attraction de cet orbe fera qui exprime l’attraction de la fphére ſolide entiere dans cette hypothèſe. T 2cfg¹dg, & en intégrant on aura 2 cg ³ f T 3 r 12 — I. I X. COROLLAIRE II. Et comme cette expreſſion n’eſt autre choſe que le produit de la maſſe par la diſtance, l’on voit que dans l’hypothèſe de la ſimple diſtance comme dans celle de la raiſon inverſe du quarré de la diſtance, la ſphére totale attire ſuivant la même loi que les particules qui la compoſent. Fig. 4. Fig. 1. 160
COROLLAIRE III. Dans cette même loi de l’attraction proportionnelle à la diſtance, les corps de figure quelconque ont les mêmes propriétés que les fphéres, d’attirer ſuivant leur force totale, ſuivant la même loi que leurs particules. Pour la démontrer, ſoit tiré par C où l’on ſuppoſe le corpuſcule attiré, une droite CBP qui paſſe par le centre de gravité du corps attirant X, & ſoit décompoſée l’attraction de chaque particule M dans le ſens de cette ligne CP, il eſt clair que l’attraction de la particule M étant comme CM, la partie, ſuivant CBP, fera CP ; donc le produit de toutes les particules.M. du ſolide propoſé par les diſtances CP font l’attraction totale : mais il eſt clair par les principes de la Statique, que la ſomme de ces produits eſt égale au produit de la maſſe totale par la diſtance au centre de gravité, & quant aux forces qui agiroient dans le ſens PM, on verroit aiſément qu’elles ſe détruiſent réciproquement ; donc l’attraction d’un corps de figure quelconque dans l’hypothèſe qu’on vient d’examiner eſt comme la diſtance du corpuſcule au centre de gravité. cg zrff (f+8 X I. PROPOSITION V. PROBLÉME V. Trouver l’attraction de la ſurface ſphérique ABC ſur le corpuſcule P, en ſuppoſant que toutes les parties de cette ſphére l’attirent par une force qui agiſſe en raiſon renversée de la quatrième puiſſance. Alors === 4. Reprenant donc l’expreſſion générale de l’Article 1. & ſubſtituant à n ſa valeur 4, elle deviendra [ƒ+ g I G X. ·ƒf I ·ƒ—8¹) + ff ! ! f-g 3. ¹)) qui ſe réduit à g c g 2 rff
D-E fcA-PHILOSOPHIE NATURELLE. i6i ï —f+g^ … C V ? —if—gg)-} TTT
^ qui exprime Tattradion de la petite fiirface infiniment mince AB CD lorsque nas •— 4.. XII.
COROLLAIRE.
Pour avoir Tattradion de Torbe ABCD ſi faut multiplier cette expression par la petite épaisseur A a ou dg, ainsi on aura x , dont l’intégrale
Texpreffion de Tattradion de la fphére entiere Iblidc ABDS fat le. corpuscule P dans cette hypothèse de n x — 4.
X. IIL
PROPOSITION VI. PROBLÈME VI.
Trouver PàaraSlon d’une Jùrface fpHérîque AI sur un corpuscule placé en P dans l’intérieur de cette surface, en supposant que toutes les parties de cette surface agiſſent comme une pmffanee quelconque n da la dijlance.
Je fais les lignes AP s=t g. PS =f. PI =s i. SE as v. Sc Fîg ; j.j’ai par conséquent PE as V/*— v’, Sc IF + PE = ^ 4. y ſi — V », d’un autre côté IF P £ ou IE doit avoir pour valeur I gg — w ; on a-donc l’équation î î + 2 /f’— v’f’—v’xg’— v’de laquelle on tire xZff—vv, Sc partant yy ou le coſinus de l’angle IPQ fera = —^ ■■■ 5 mais par l'Art. 1. l'attraction de la petite portion de ſurface ſphérique produite par la révolution de IH, a pour valeur (1HX IQ x IP¹ x Cos. de IPQ) ; donc à cauſe que gę dz IH X IQ AS X Q q 72 (8²—-^^—-²²) ou ²5 (( 8² —— ƒ² ) zªdx − x²** d²) cg - 2 fr 2 rf² - on aura -2 C — 2²2 × { ce qui fera l'expreſſion de l'attraction de la petite tranche IH de ſurface ſphérique laquelle attirera le corps vers B, tant que IP fera un angle aigu avec AP. gę dz .f'); eg 2 T 72 +1 En intégrant cette différentielle on aura 72-3 -), laquelle étant complettée par cette condition que 72 +3 tout ſe détruit quand zou PI=PA ou g-f, donne pour expreſ- fion de l'attraction de la zone 41, ²3 ((; −ƒ);" 2 rf2 n+i n+3 +3 8²₂-1²-x (8 + f² n+1
3 − (gª— ƒ'ª') × (g−ƒ')ª** + (8 —ƒ) ² - ²) 2 + 1 12+ 3 n2+3 Afin d'avoir enſuite l'attraction de toute la ſurface ſphérique A IBA, il faut faire dans la valeur précédente z=g+ƒ, & alors 2 elle deviendra cg 2 rf² 8-f²+1) +8f²³-8+f²+³), qui exprimera l'attraction de toute la ſurface ſphérique A I B A ſur le corpuſcule placé en P. C. Q.F.T. XIV. SCHOLIE. Dans les cas où cette valeur fera poſitive, l'attraction ſe fera vers A & au contraire. Bing PROPOSITION VII. PROBLEME VII. Trouver l’attraction de la même ſurface Sphérique, en ſuppoſant n= X V. Confervant les dénominations de la Propofition précédente, & ſubſtituant dans l’expreſſion qu’on y a trouvée à la place de n fa valeur on verra que tous les termes difparoiffent, & que par conſéquent dans cette loi d’attraction un corps placé dans l’intérieur d’une fphére creuſe n’éprouveroit aucune attraction. X V I. PROPOSITION VIII. PROBLÉME VIII Trouver l’attraction de la ſurface ſphérique AIBA, en ſuppoſant 11 — 1. Gardant les mêmes dénominations que ci-deſſus, on aura dans 4 (F-S² = 8 +f" g-f 4 cg 2 rf² XVII. COROLLAIRE. cette hypothèſe —f—g*)) qui ſe réduit à 5 x — 4 fº¹ g 0ll1 — cg 2 rf² X pour l’attraction de la ſurface AI, laquelle tirera le corps vers S puiſque l’expreſſion eſt négative. 2 2 Imm 2 f+B 2cfg² 2 cfg ²d g Multipliant cette quantité par dg, on aura pour l’attraction de l’orbe infiniment mince AIi fur le corpuſcule P vers S, & ſon intégrale exprimera l’attraction 3 2 cfg ³ 3 T T Fig. S. Fig. 6. Big. 5. 164
de l’orbe API ſur P, pourvu qu’on retranche le terme que devient cette quantité lorſque f= g. z cfg ³ — 2 cft 3 F Donc alors für P vers S ; mais l’attraction de la ſphére PS ſur le même 2 c ft corpuſcule P laquelle ſe feroit auſſi vers S, feroit (felon 3.7 zcfg³ PArt. 9.) lorſque ƒ=g, donc zeg exprime l’attraction de la 3 P fphére pleine entiere AI ſur le corpuſcule P placé au dedans d’elle, cette attraction ſe faiſant toujours vers S. & en— raiſon. directe de la diſtance. C. Q. F. T. XVIII. PROPOSITION IX. PROBLÉME. IX. Trouver l’attraction qu’exerce vers A la ſurface Sphérique Ala furle corpuſcule place dans l’intérieur de cette ſphére, en ſuppoſant n =. fera l’attraction de l’orbe. A.PI Confervant toujours-les-mêmes dénominations & reprenant la formule générale, (Art. 1.) & y ſubſtituant 4 pour n, on aura. cg T 3 (f-g)³ g²-fi +. ES = 8+5) qui. — 1 cg 4 c gf 8 f3 31 g —f²) ² ou ſe réduit à 7² X pour 3r (g²-f) : l’attraction cherchée de la ſurface ſphérique A IA, dont la direction fera vers A. 27 2 cf* 3* g² — fr • 3 (ƒ+g) ³ XIX. COROLLAIRE I. 2 Fig. 6.. Multipliant cette dernière quantité par dg, on aura 4cfgdg ´z r (g² —ƒ²) ³ pour : 165 pour l’attraction de l’orbe infiniment mince Alai ſur le corps -2. c.f P vers A, & en intégrant cette quantité, on aura 3r (g-f²) qui exprime l’attraction d’un orbe fini lorſqu’on aura ajouté à cette quantité la conſtante relative à l’épaiſſeur de cet orbe. Suppofant que cette conſtante ſoit A lorſque l’orbe au lieu d’être terminé à la ſurface AI dont le rayon eſt g, l’eſt à la — 2 cf ſurface BL dont le rayon eſt, on aura alors 3r(h²f² 2 c f + A’y 3r(8²f²) =f2) 2 = 4 : retranchant cette expreſſion de celle-ci 2 cf 2 2 2. cf on aura le reſte pour l’at3+ (g²-f²) 3 x (h²—f²) traction de l’orbe fini BLAI ſur le corpuſcule P vers B. X. X. COROLLAIRE II. bowh Si on faifoit g= — 2 cf ce qui apprend que dans une ſphére creuſe 3.7 (12² (2) le corpuſcule qui feroit adhérent à la ſurface intérieure de la croute ſolide de cette fphére éprouveroit une attraction infinie dans cette ſuppoſition de n = — que X X I. COROLLAIRE III. Pour avoir l’attraction qu’un’corpuſcule P placé au-dedans d’une fphére 1 éprouve de la part de cette fphére, il faut prendre la différence de l’attraction de l’orbe API vers A-fur le corpuſcule, & de la fphére. P Q vers & ſur le même corpuſcule. ; mais comme ces deux attractions font infinies, l’attraction cherchée ſe trouveroit dépendre de deux.infinis ; recherche qui 2 cf 37 (0) =ƒ alors l’intégrale deviendroit Fig. 3 ; 166
demande beaucoup de circonfpeétion pour ne s’y pas tromper. Je vais donner le moyen de la déterminer. On voit d’abord par le raifbnnement suivant que cette différence de deux quantités infinies ne peut dans ce cas être que finie.
fig— 9. Soit imaginée la fphére A F an. dedans de la fphére AI, Sc que cette fphére A F ait le corpuscule P placé à fbn centre, Sc A P pour rayon, il est clair que toute la matiere comptife dans cette Iphérc intérieure, n’exerce aucune attraction sur le corpuscule placé en P ; donc la matiere comprifè dans le solide concavo convexe AIB LO D est la fèule partie de la fphére proposee qui attire : mais toutes les parties de ce solide étant à des distances finies du corpuscule P, leur force totale sur lui ne peut être que finie.
Pour trouver ensuite l’expreflioa du solide concavo-convexe AI B LO D sur le corpuscule placé en P centre de AoD, on fuppolèra ce solide partagé en une infinité de tranches IFLlui par des fphéres qui ont toutes P pour centre, Sc on cherchera Tattradion qu’exercent tous ces orbes sur le corpuscule P. Dans cette recherche il faudra commencer par trouver Tattraction qu’unc calotte IFL exerce sur un corpuscule placé à son centre.
Fîg. 10. Pour cela, ayant fait le rayon ITP de cette calotte =, Taba d X
ciflè P Q qui répond au point Ixx, on aura /ç = —Sc le petit anneau produit par la révolution de 2 3 ;, lequel est l’élément de la calotte proposée, fera ~ /aa—xx’K — ■■ ~ —T /aa—xx
— multipliant ce petit anneau par ^ qui exprime Tattradion réciproquement proportionnelle à la quatrième puissance de la distance IP des particules i i au corpuscule placé en P, se décoropofànt ensuite cette force de 2P suivant P Q, c’est-à-dire PQ IP de l’anneau fur P, donc en intégrant on aura la multipliant par ou ², on aura a DE LA PHILOSOPHIE NATURELLE, cxdx rat (ªª**) c’eſt-à-dire (11) a 4 traction de l’anneau IF ; donc celle de la calotte HI fera c (Sin. QPI) ² P.I¹ 2 r la- 21 27 ou ( Granny 167 pour l’attraction quelle tireroit vers H. Celle de la calotte VI ſera la même & tirera de l’autre ſens, puiſque les deux attractions jointes enſemble doivent ſe détruire, une ſurface ſphérique entiere n’exerçant point d’attraction ſur le corpuſcule placé à ſon centre. Par ce moyen traction du ſolide cherché. Pour exécuter les opérations qu’indique cette expreſſion, faifons comme dans l’Article 1. PI= 2. AS : g. S Pf. on aura — 2 (Sin. QPI) ² Vu PI¹ CX 2 2 rat - 2 comme dans cet Article, Cos. IPQ=²-²-², & pour pour l’at- g € fera la valeur de l’at- 2 du ſinus du même angle (1— (5²——-^"’)') f le quarré qu’il faut ſubſtituer dans la formule précédente. cdz ( 2 gg + 2 ff) { ² — {*- ( Ainſi on aura à intégrer l 27 {{ 42²f² (g²_ƒ²) ²), c’eſt-à-dire. C
burting 4 艺 C 2gg+2ff (gg-ff)² l’intégration faite il vient 7 (-²86 +²0 + (86—ƒƒ) ² — ₁) rf² र 38 ³ à une conſtante près qu’il faut déterminer par cette condition devenant AP ou gf tout ſe détruiſe. (²66+²ff_dz_(66¬f)² dz-dz) ; que z C Par ce moyen l’intégrale complette cherchée fera 8 f²7 --— + ² //+-2, 86_(888— — /) 3 + 8 —f) 2 2gg+2ff f²) ² + 2 ff gg (gg--ff)² C 2 3 {³ 3 (g--f}³ Bekend Fig. 9. Fig. 11. 168
C qui ſe réduit à § ², (— ²F+266 + (E²-†¹²)²_-_{+SE+3f_S££) Sgg+8ff-8fg 8f²7 { 32° & c’eſt-là la valeur de l’attraction du ſolide AVI OD L. Faifant enſuite dans cette valeur {= of 37(g²-f¹) 2 PB=f+g, on aura pour l’attraction du ſolide propoſé concavo-convexe A BILO fur P, ou, ce qui revient au même, pour celle de la fphére entiere AIBA ſur le même corpuſcule.