# Mécanique analytique/Notes du volume 2/Note 3
### NOTE III. Sur le même sujet ; par M. Gaston Darboux.

On peut résoudre la difficulté signalée par M. Serret, en se plaçant à un point de vue différent, que nous allons rapidement indiquer.
Considérons d’une manière générale des mouvements s’effectuant sur une surface quelconque, que nous supposerons rapportée à un système de coordonnées isothermes. Soient
| (1) | $ds^{2}=\lambda \left(d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}\right)$ |
l’expression de l’élément linéaire, $\mathrm {U}$ la fonction des forces exprimée en fonction de $\alpha ,$ et de $\beta .$ L’équation des forces vives sera
| (2) | $\lambda \left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}\right)=2\mathrm {U} +2h,$ |
$\alpha '$ et $\beta '$ désignant les dérivées de $\alpha$ et $\beta$ par rapport au temps.
Les équations différentielles du mouvement, obtenues par la méthode de Lagrange, seront
| (3) | $\left\{{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}(\lambda \alpha ')=&{\frac {\partial \lambda }{\partial \alpha }}{\frac {\alpha '^{2}+\beta '^{2}}{2}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \alpha }},\\{\frac {d}{dt}}(\lambda \beta ')=&{\frac {\partial \lambda }{\partial \beta }}{\frac {\alpha '^{2}+\beta '^{2}}{2}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial \beta }}.\end{aligned}}\right.$ |
Si l’on y remplace $\alpha '^{2}+\beta '^{2}$ par sa valeur déduite de l’équation des forces vives, elles prennent la forme
| (4) | $\left\{{\begin{aligned}\lambda {\frac {d}{dt}}(\lambda \alpha ')=&{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left[\lambda (\mathrm {U} +h)\right],\\\lambda {\frac {d}{dt}}(\lambda \beta ')=&{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left[\lambda (\mathrm {U} +h)\right].\end{aligned}}\right.$ |
Supposons, comme il arrive dans tous les cas où l’on sait intégrer, que le produit
$\lambda (\mathrm {U} +h)$
soit de la forme
| (5) | $\lambda (\mathrm {U} +h)=\operatorname {F} (\alpha )-\operatorname {F} _{1}(\beta ).$ |
Les équations (4) pourront s’écrire comme il suit
| (6) | $\left\{{\begin{aligned}\lambda {\frac {d}{dt}}(\lambda \alpha ')=&+\operatorname {F} '(\alpha ),\\\lambda {\frac {d}{dt}}(\lambda \beta ')=&-\operatorname {F} '_{1}(\beta ).\end{aligned}}\right.$ |
Si l’on multiplie la première équations par $\alpha '$ et la seconde par $\beta ',$ les deux membres deviennent des différentielles exactes dans les deux équations, et l’on trouve, en intégrant,
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}{\frac {\lambda ^{2}\alpha '^{2}}{2}}=&\operatorname {F} (\alpha )-\mathrm {C} ,\\{\frac {\lambda ^{2}\beta '^{2}}{2}}=&\mathrm {C} -\operatorname {F} _{1}(\beta ),\end{aligned}}\right.$ |
$\mathrm {C}$ étant une constante qui doit être la même dans les deux cas, en vertu de l’équation des forces vives. On déduit de là les relations
| (8) | $\left\{{\begin{aligned}&\qquad {\frac {d\alpha }{\sqrt {\operatorname {F} (\alpha )-\mathrm {C} }}}={\frac {d\beta }{\sqrt {\mathrm {C} -\operatorname {F} _{1}(\beta )}}},\\&{\sqrt {2}}dt={\frac {\lambda d\alpha }{\sqrt {\operatorname {F} (\alpha )-\mathrm {C} }}}={\frac {\lambda d\beta }{\sqrt {\mathrm {C} -\operatorname {F} _{1}(\beta )}}},\end{aligned}}\right.$ |
qui font connaître à la fois la trajectoire et la manière dont elle est parcourue.
Ici, dans ce cas général, se présente encore la difficulté examinée par M. Serret. Les équations précédentes admettent incontestablement la solution définie par les deux équations
| (9) | $d\alpha =0,\qquad \operatorname {F} (\alpha )=\mathrm {C} ,\qquad {\sqrt {2}}dt={\frac {\lambda d\beta }{\sqrt {\mathrm {C} -\operatorname {F} _{1}(\beta )}}},$ |
et il y a lieu de se demander si cette solution convient au problème de Mécanique proposé. La réponse la plus nette nous paraît être la suivante :
Pour connaître si une solution quelconque convient à un problème de Mécanique, il suffit évidemment de rechercher si cette solution vérifie les équations différentielles du mouvement, qui sont ici les équations (6). La solution définie par le système (9) satisfait, sans aucun doute possible, aux équations (7). Si donc les systèmes (6) et (7) étaient complètement équivalents, on pourrait affirmer que les formules (9) donnerontune solution du problème proposé.
Mais le système des équations différentielles du mouvement et le système des intégrales premières (7) ne sont pas absolument équivalents. Pour obtenir les intégrales (7), il a fallu multiplier les équations (6) respectivement par $\alpha '$ et par $\beta '.$ On a donc pu introduire des solutions étrangères vérifiant l’une des équations
$\alpha '=0,\quad \beta '=0.$
Toute solution de la première équation (7) pour laquelle n’est pas une constante satisfera certainement a la première équation (6), qui s’en déduit en différentiant et en supprimant le facteur $d\alpha \,;$ mais la solution de cette équation (7) pour laquelle $\alpha$ est une constante, déterminée nécessairement par la condition
$\operatorname {F} (\alpha )=\mathrm {C} ,$
est précisémentla seule pour laquelle on ne puisse rien affirmer.
Et, en effet, si l’on suppose $\alpha$ constant dans la première équation (6), on trouve l’équation de condition
$\operatorname {F} '(\alpha )=0,$
qui n’est pas, en général, compatible avec la seconde des équations (9). Ainsi, il ne pourra y avoir de solution du problème de Mécanique proposé correspondante à une valeur constante de $\alpha ,$ que si cette valeur satisfait à l’équation
$\operatorname {F} '(\alpha )=0.$
La valeur correspondante de la constante $\mathrm {C}$ sera alors $\operatorname {F} (\alpha ).$
Supposons que l’on ait, en même temps,
${\begin{aligned}\lambda =&f(\alpha )-f_{1}(\beta ),\\\lambda \mathrm {U} =&\varphi (\alpha )-\varphi _{1}(\beta ).\end{aligned}}$
Alors on pourra prendre
${\begin{aligned}\operatorname {F} \ (\alpha )=&\varphi \ \,(\alpha )+hf\ (\alpha ),\\\operatorname {F} _{1}(\beta )=&\varphi _{1}(\beta )+hf_{1}(\beta ).\end{aligned}}$
Il y aura donc toujours une valeur de $h$ telle que l’équation
$\operatorname {F} '(\alpha )=\varphi '(\alpha )+hf'(\alpha )=0$
admette pour racine telle valeur de $\alpha$ que l’on voudra [en exceptant, bien entendu, les racines de $f'(\varphi )$]. Il y aura donc une solution du problème proposé dans laquelle la trajectoire sera l’une quelconque des courbes coordonnées [à l’exception de celles dont le paramètre annule soit $f'(\alpha ),$ soit $f_{1}'(\beta )$].
En appliquant ces propositions générales au problème de Lagrange, on reconnaîtra que toutes nos hypothèses sont vérifiées. Il suffira de rapporter le plan au système isotherme formé des ellipses et des hyperboles dont les foyers sont les deux points qui attirent en raison inverse du carré de la distance. Si $r$ et $r'$ désignent les distances d’un point à ces deux foyers, on posera
$r+r'=2\mu ,\qquad r-r'=2\nu .$
La force vive aura pour expression
$\left(\mu ^{2}-\nu ^{2}\right)\left({\frac {\mu '^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}+{\frac {\nu '^{2}}{c^{2}-\nu ^{2}}}\right).$
La fonction des forces est ici
$\mathrm {U={\frac {A}{\mu +\nu }}+{\frac {C}{\mu -\nu }}+B\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)} .$
Il faut, pour appliquer les formules générales, prendre
${\begin{alignedat}{2}d\alpha =&{\frac {d\mu }{\sqrt {\mu ^{2}-c^{2}}}},&d\beta =&{\frac {d\nu }{\sqrt {c^{2}-\mu ^{2}}}},\\f(\alpha )=&\mu ^{2},&f_{1}(\beta )=&\nu ^{2},\\\varphi (\alpha )=&\mathrm {(A+C)\mu +B\mu ^{4}} ,\qquad &\varphi _{1}(\beta )=&\mathrm {(A-C)\nu +B\nu ^{4}} .\end{alignedat}}$
Par suite, les ellipses et les hyperboles homofocales pourront être des trajectoires du mobile, à l’exception de celles qui satisfont à l’une des équations
$\mu =0,\quad \nu =0,$
obtenues en différentiant $f(\alpha )$ et $f_{1}(\beta ).$
La première de ces équations ne peut avoir lieu, $\mu$ étant supérieur à $c.$ La seconde nous donne celle des hyperboles qui se réduit à l’axe non focal. Il est clair, en effet, que cet axe ne peut pas être décrit par le point matériel lorsque les attractions qui émanent des deux foyers sont inégales.