# Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 12
### CHAPITRE XII.

73. Nous n’avons encore traité que des fonctions d’une seule variable il n’est pas difficile d’étendre la théorie de ces fonctions aux fonctions de deux ou de plusieurs variables.
Soit $f(x,y)$ une fonction quelconque de deux variables $x$ et $y,$ qu’on regarde comme indépendantes l’une de l’autre. Si, dans cette fonction, on met à la fois $x+i$ à la place de $x$ et $y+o$ à la place de $y,$ $i$ et $o$ étant deux quantités indéterminées, qu’ensuite on développe la nouvelle fonction $f(x+i,y+o)$ suivant les puissances ascendantes de $i$ et $o,$ il est clair que le premier terme, sans $i$ ni $o,$ sera $f(x,y),$ et que les autres seront de nouvelles fonctions de $x$ et de $y,$ multipliées successivement par $i,o,i^{2},io,i^{3},\ldots \,;$ ces fonctions dérivent de la fonction primitive $f(x,y),$ et c’est la loi de cette dérivation qu’il s’agit de déterminer.
Pour y parvenir de la manière la plus simple, on commencera par supposer qu’il n’y ait que la variable $x$ qui devienne $x+i,$ la variable $y$ demeurant la même. Dans ce cas, désignant, comme on l’a fait jusqu’ici, par $f',f'',f''',\ldots$ les fonctions primes, secondes, tierces, etc. relativement à $x$ seul, on aura
$f(x+i,y)=f(x,y)+if'(x,y)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y)+\ldots .$
$y+o$
$y\,;$
$f(x+i,y+o)=f(x,y+o)+if'(x,y+o)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y+o)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y+o)+\ldots .$
Or, si l’on désigne par $f_{_{'}},f_{_{''}},f_{_{'''}},\ldots$ les fonctions primes, secondes, tierces, etc. relativement à $y,$ il est clair que la fonction $f(x,y+o),$ considérée comme fonction de $y+o$ et indépendamment de $x,$ deviendra
$f(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x,y)+\ldots .$
De même, en supposant toujours que les traits appliqués au bas de la lettre $f$ indiquent les fonctions primes, secondes, etc. relativement à y des fonctions déjà désignées par $f',f'',\ldots$ on aura
${\begin{aligned}f'\ (x,y+o)=&f'\ (x,y)+of'_{_{'}}\,(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x,y)+\ldots ,\\f''(x,y+o)=&f''(x,y)+of''_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f''_{_{''}}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}$
et ainsi de suite.
Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de $i$ et $o,$ on aura
${\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x,y)\\&+{\frac {i^{2}o}{2}}f''_{_{'}}(x,y)+{\frac {io^{2}}{2}}f'_{_{''}}(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}$
où la forme générale des termes est
${\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}f_{n}^{m}(x,y).$
74. Dans le procédé que nous venons de suivre pour avoir le développement de $f(x+i,y+o),$ nous avons commencé par substituer, dans $f(x,y),$ $x+i$ pour $x,$ et nous avons développé suivant $i\,;$ nous avons ensuite substitué, dans tous les termes de ce développement, $y+o$ pour $y,$ et nous avons développé suivant $o.$ Or il est visible qu’on aurait identiquement le même résultat si l’on commençait par la substitution de $y+o$ pour y et par le développement suivant $o,$ et qu’on fit ensuite la substitution de $x+i$ pour $x$ et le développemen $t$ suivant $i.$ De cette manière, on aurait d’abord les fonctions primes, secondes, etc. relativement à $y,$ savoir $f'_{_{'}}(x,y),f''_{_{'}}(x,y),\ldots \,;$ ensuite on aurait les fonctions primes, secondes, etc. de celles-ci relativement à $x,$ qui, suivant la notation que nous venons d’établir, seraient représentées par $f'_{_{'}}(x,y),f''_{_{'}}(x,y),\ldots ,$ $f'_{_{''}}(x,y),f''_{_{''}}(x,y),\ldots ,$ et l’on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus, comme cela doit être. Or, dans le premier procédé, la fonction $f'_{_{'}}(x,y)$ s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $x,$ ce qui donne $f'(x,y),$ et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $y\,;$ et, dans le second procédé, la même fonction s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $y,$ ce qui donne $f_{_{'}}(x,y),$ et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $x.$
D’où il suit qu’il est indifférent dans quel ordre se fasse la double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive $f(x,y)$ à la fonction dérivée $f'_{_{'}}(x,y)$ et, eomme on doit dire la même chose des autres fonctions marquées par des traits placés au haut ou au bas de la caractéristique $f,$ on en peut conclure en général que les opérations indiquées par ces traits sont absolument indépendantes entre elles et qu’elles conduisent aux mêmes résultats, quelque ordre qu’on suive en prenant les fonctions primes relativement à $x$ et à $y,$ indiquées par chacun des traits supérieurs ou inférieurs. Ainsi, par exemple, on aura également la valeur de $f''_{_{'}}(x,y)$ en prenant la fonction seconde de $f(x,y)$ relativement à $x$ et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $y,$ ou en prenant d’abord la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $y$ et ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à $x,$ ou bien en prenant la fonction prime de $f(x,y)$ relativement à $x,$ ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à $y,$ et enfin la fonction prime de cette dernière relativement à $x\,;$ et ainsi des autres.
Il est évident que cette conclusion a lieu en général quelles que soient les variables $x,y,$ indépendantes ou non.
75. Soit, par exemple,
$f(x,y)=x{\sqrt {2xy+y^{2}}}\,;$
on aura la fonction prime relativement à $x,$
$f'(x,y)={\sqrt {2xy+y^{2}}}+{\frac {xy}{\sqrt {2xy+y^{2}}}},$
et sa fonction prime relativement à $y$ sera
$f_{_{'}}(x,y)={\frac {x^{2}+xy}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}\,;$
ensuite, la fonction prime de $f'(x,y)$ relativement à $y$ sera
$f'_{_{'}}(x,y)={\frac {x+y}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}+{\frac {x^{2}y}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$
et la fonction prime de $f_{_{'}}(x,y)$ relativement à $x$ sera
$f'_{_{'}}(x,y)={\frac {2x+y}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}-{\frac {\left(x^{2}+xy\right)y}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$
Quoique ces deux expressions de $f'_{_{'}}(x,y)$ paraissent différentes, elles sont cependant identiques, car elles se réduisent l’une et l’autre à
${\frac {3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$
Ensuite, en prenant la fonction prime de $f'(x,y)$ relativement à $x,$ c’est-à-dire la fonction seconde de $f(x,y)$ relativement à $x,$ on aura
$f''(x,y)={\frac {2y}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}-{\frac {xy^{2}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {3xy^{2}+2y^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$
$y,$
$f''_{_{'}}(x,y)={\frac {3x^{2}y^{2}+3xy^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}.$
De même, en prenant la fonction prime de $f''_{_{'}}(x,y)$ relativement à $x,$ on trouvera
$f''_{_{'}}(x,y)={\frac {3x^{2}y^{2}+3xy^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}},$
et ainsi de suite.
Il résulte de là que, afin que des fonctions données de $x$ et $y$puissent être prises pour des fonctions dérivées d’une même fonction primitive, il faut qu’elles satisfassent à certaines conditions.
Ainsi, si $\operatorname {F} (x,y)$ et $\varphi (x,y)$ représentent des fonctions données de $x,y,$ pour qu’on puisse supposer
$\operatorname {F} (x,y)=f'(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{_{'}}(x,y),$
il faudra que l’on ait
$f'_{_{'}}(x,y)=\operatorname {F} _{_{'}}(x,y)=\varphi '(x,y).$
Et, en général, pour qu’on puisse supposer
$\operatorname {F} (x,y)=f_{n}^{m}(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{q}^{p}(x,y),$
il faudra que l’on ait
$f_{n+q}^{m+p}(x,y)=\operatorname {F} _{q}^{p}(x,y)=\varphi _{n}^{m}(x,y).$
Par exemple, si
$\operatorname {F} (x,y)={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\quad \varphi (x,y)=-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},$
on pourra supposer
$\operatorname {F} (x,y)=f'(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{_{'}}(x,y),$
car on trouve
$\operatorname {F} _{_{'}}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}=\varphi '(x,y)\,;$
$\operatorname {F} (x,y)=f'_{_{'}}(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f''(x,y),$
car alors il faudrait que
$\operatorname {F} '(x,y)=\varphi _{_{'}}(x,y),$
ce qui n’est pas.
76. En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent dans une fonction, si l’on donne un accroissement à chacune de ces variables, et qu’on développe la fonction suivant les dimensions formées par ces différents accroissements, qu’on développe ensuite de la même manière les fonctions produites par le premier développement, et ainsi de suite, il règne entre ces différents développements une loi que nous allons exposer d’une manière générale, parce qu’elle peut être utile dans quelques occasions.
Soit $f(x,y,z,\ldots )$ une fonction de plusieurs variables indépendantes $x,y,z,\ldots \,;$ supposons que, par la substitution de $x+\alpha ,$ $y+\beta ,\ z+\gamma ,\ldots$ à la place de $x,y,z,\ldots$ et par le développement suivant les puissances et les produits de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ cette fonction devienne
$f(x,y,z,\ldots )+f(1)+f(2)+f(3)+\ldots .$
Je dénote par $f(1)$ la somme de tous les termes où les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ seront à la première dimension, par $f(2)$ la somme de tous les termes où ces mêmes quantités formeront deux dimensions, et ainsi de suite.
Supposons, de plus, qu’en faisant la même substitution et le même développement dans les fonctions $f(1),f(2),f(3),\ldots$ elles deviennent
${\begin{aligned}&f(1)+f(1,1)+f(1,2)+f(1,3)+\ldots ,\\&f(2)+f(2,1)+f(2,2)+f(2,3)+\ldots ,\\&f(3)+f(3,1)+f(3,2)+f(3,3)+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
$f(1,1),f(1,2),\ldots$
$f(1),$
$\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$
$f(1),$
$f(1,1),$
$f(1,2),$
$f(m,n)$
$f(m),$
$\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$
$m+n$
Cela posé, si l’on substitue d’abord $x+\alpha ,\ y+\beta ,\ z+y,\ldots$ dans la fonction $f(x,y,z,\ldots ),$ elle deviendra
$f(x,y,z,\ldots )+f(1)+f(2)+f(3)+\ldots ,$
et, si l’on substitue ensuite, dans cette quantité, $x+m\alpha ,\ y+m\beta ,$ $z+m\gamma ,\ldots$ à la place de $x,y,z,$ il est clair qu’elle deviendra
${\begin{aligned}f(x,y,z,\ldots )&+\quad f(1)\ \ \,+\quad \ \ f(2)\ \ \ +\quad \ \ f(3)\ \ \ +\ldots ,\\&+mf(1)\,\ \ \ +m^{2}f(2)\,\ \ \ +m^{3}f(3)\,\ \ \ +\ldots ,\\&+mf(1,1)+m^{2}f(1,2)+m^{3}f(1,3)+\ldots ,\\&+mf(2,1)+m^{2}f(2,2)+m^{3}f(2,3)+\ldots ,\\&+mf(3,1)+m^{2}f(3,2)+m^{3}f(3,3)+\ldots ,\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
D’un autre côté, il est visible que ces deux substitutions successives équivalent à une substitution unique qu’on ferait dans la fonction $f(x,y,z,\ldots ),$ en mettant
$x+(1+m)\alpha ,\quad y+(1+m)\beta ,\quad z+(1+m)\gamma ,\quad \ldots$
à la place de $x,y,z,\ldots ,$ et qui donnerait, par le développement,
$f(x,y,z,\ldots )+(1+m)f(1)+(1+m)^{2}f(2)+(1+m)^{3}f(3)+\ldots .$
Ainsi, il faudra que ces deux développements soient identiques et que, par conséquent, les termes qui renferment les mêmes dimensions $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ soient égaux de part et d’autre, quelle que soit d’ailleurs la quantité $m.$ On aura donc les comparaisons suivantes :
${\begin{aligned}&f(1)+m\ \ f(1)=(1+m)f(1),\\&f(2)+m^{2}f(2)+m\ \ f(1,1)=(1+m)^{2}f(2),\\&f(3)+m^{3}f(3)+m^{2}f(1,2)+m\ \ f(2,1)=(1+m)^{3}f(3),\\&f(4)+m^{4}f(4)+m^{3}f(1,3)+m^{2}f(2,2)+mf(3,1)=(1+m)^{4}f(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Et, comparant encore les termes affectés des mêmes puissances de $m,$ on tirera ces valeurs :
${\begin{aligned}&f(1,1)=2f(2),\\&f(1,2)=3f(3),\quad f(2,1)=3f(3),\\&f(1,3)=4f(4),\quad f(2,2)=6f(4),\quad f(3,1)=4f(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Donc, par les termes du premier développement général, on pourra avoir immédiatement ceux de tous les développements partiels suivants.
77. À l’imitation de ce que nous avons pratiqué pour les fonctions d’une seule variable, si l’on regarde $z$ comme une fonction de $x$ et $y,$ on pourra dénoter par $z',z_{_{'}},z'',z'_{_{'}},z_{_{''}},\ldots$ ces différentes fonctions dérivées, en appliquant à la lettre $z$ les mêmes traits qu’on appliquerait à la caractéristique $f$ de la fonction $f(x,y)$ qu’on suppose représenter la valeur de $z,$ et l’on nommera ces fonctions de la même manière.
Ainsi, $x$ devenant $x+i$ et $y$ devenant $y+o,$ la quantité $z,$ fonction de $x,y,$ deviendra (n$^o$ 73)
$z+iz'+oz_{_{'}}+{\frac {i^{2}}{2}}z''+ioz'_{_{'}}+{\frac {o^{2}}{2}}z_{_{''}}+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''+{\frac {i^{2}o}{2}}z''_{_{'}}+{\frac {io^{2}}{2}}z'_{_{''}}+{\frac {o^{3}}{2.3}}z_{_{'''}}+\ldots ,$
le terme général, de cette série étant, comme dans l’endroit cité,
${\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}z_{n}^{m}.$
À l’égard de la manière de trouver ces différentes fonctions, il est clair qu’il n’y a qu’à suivre les mêmes règles que pour les fonctions d’une seule variable, les traits supérieurs de la caractéristique indiquant l’ordre de la fonction dérivée relativement à $x$ seul et les traits inférieurs indiquant l’ordre de la fonction dérivée relativement à $y$ seul.
Ainsi, en prenant les fonctions primes de $z$ selon $x$ et $y,$ on aura les valeurs de $z'$ et $z_{_{'}},$ et de là, en prenant encore les fonctions primes relativement à $x$ et à $y,$ on aura les fonctions dérivées du second ordre $z'',z'_{_{'}},z_{_{''}},$ et ainsi de suite.
Il est bon de remarquer ici que, pour les fonctions de deux variable, il y a deux fonctions dérivées du premier ordre $z'$ et $z_{_{'}},$ trois du second ordre $z'',z'_{_{'}},z_{_{''}},\ldots ,$ de sorte que, pour l’ordre $m$$^{ième}$, il y aura un nombre $m+1$ de fonctions dérivées.
Comme nous distinguons ces fonctions dérivées par des traits supérieurs qui se rapportent à l’une des variables $x$ et par des traits inférieurs qui se rapportent à l’autre variable $y,$ nous nommerons fonctions primes, secondes, etc., selon $x$ ou $y,$ les fonctions marquées par de seuls traits supérieurs ou inférieurs, et nous nommerons simplement fonctions primo-primes, secundo-primes, primo-secondes les fonctions marquées à la fois par des traits supérieurs et inférieurs, en énonçant le trait supérieur le premier et l’inférieur le second.
On trouvera plus de détails sur ce sujet dans la Leçon XIX du Calcul des fonctions.
* ↑ Œuvres de Lagrange, t. X.