# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Astronomie, article 5
### Solution du problème de combinaisons proposé à la page 328 du V.e volume de ce recueil ;

Problème. Avec $m$ choses, toutes différentes les unes des autres, de combien de manières peut-on faire $n$ parts, avec la faculté de faire des parts nulles ?
Solution 1. Désignons, en général, par $(m,n)$ l’ensemble de toutes les manières de faire, avec $m$ choses, $n$ parts dont aucune ne soit nulle ; et par $Z_{(m,n)}$ le nombre de ces manières.
Soient $c$ le nombre des choses, $p$ celui des parts, $k$ l’une de ces choses à volonté, $R$ l’ensemble des $c-1$ autres choses. On pourra, dans l’ensemble $(c,p),$ distinguer deux espèces de répartitions ; savoir : des répartitions (I) dans lesquelles la chose $k$ formera à elle seule une part, et des répartitions (II) où la chose $k$ se trouvera réunie, dans une même part, avec une ou plusieurs des choses $R.$
2. Considérons d’abord les répartitions $r,r',r'',\ldots$ appartenant à l’espèce (I). Si de chacune de ses répartitions on retranche la part formée par $k,$ il restera des répartitions $\rho ,\rho '\rho '',\ldots$ de $c-1$ choses distribuées en $p-1$ parts, ou, suivant notre notation, des répartitions appartenante l’ensemble $(c-1,p-1).$ Réciproquement si, à des répartitions $\rho ,\rho '\rho '',\ldots$ contenues dans ce dernier ensemble, on ajoute une part formée d’une nouvelle chose $k,$ on obtiendra $r,r',r'',\ldots$ de l’espèce (I). Il est de plus évident que si $r,r',r'',\ldots$ ne sont pas identiques, $\rho ,\rho '\rho '',\ldots$ ne le seront pas non plus, et réciproquement ; d’où il suit que le nombre des répartitions (I) est égal à celui des répartitions $(c-1,p-1),$ lequel est exprimé, suivant notre notation, par $Z_{(c-1,p-1)}.$
3. Retranchons la chose $k$ de chacune des répartitions de l’espèce (II) ; nous aurons diminué d’une unité le nombre des choses, sans changer celui des parts ; ainsi, les répartitions résultant de ce retranchement appartiendront à l’ensemble $(c-1,p).$ Réciproquement, ayant une répartition appartenant à ce dernier ensemble, si l’on ajoute la chose $k$ à l’un quelconque des parts de cette répartition, on obtiendra une répartition de l’espèce (II) ; et, comme il y a $p$ parts, et par conséquent $p$ manières de faire cette adjonction, chaque répartition de L’ensemble $(c-1,p)$ produira $p$ répartitions de l’espèce (II), lesquelles, seront évidemment différentes entre elles. De plus, il est facile de voir que deux répartitions différentes de l’ensemble $(c-1,p)$ le seront encore lorsqu’on y aura ajouté $k$ d’une manière quelconque. Donc le nombre des répartitions (II) est $p$ fois celui des répartitions $(c-1,p)\,;$ c’est-à-dire, qu’il est $=pZ_{(c-1,p)}.$
Ainsi, $(c,p)$ étant composé de (I) et de (II), on aura
$Z_{(c,p)}=p.Z_{(c-1,p)}+Z_{(c-1,p-1)}.\qquad$
4. Au moyen de cette équation, nous pourrons former une table à double entrée des valeurs de $Z_{(c,p)}$ pourvu que nous en connaissions les valeurs initiales. Or, si $p=1,$ on a $Z_{(c,p)}=1\,;$ car, quel que soit le nombre des choses, il n’y a qu’une manière d’en faire une seule part. Cette formule donne donc la première ligne horizontale de la table. Ensuite, si $p=c,$ on a encore $Z_{(c,p)}=1\,;$ car il n’y a de même qu’une manière de faire $n$ part avec $n$ choses. Cette formule fournit la diagonale qui part de la case qui répond à $c=1,p=1.$ Quant au cas où on aurait $p>c,$ il est clair qu’il n’y répond aucune répartition possible, de sorte que toutes les cases situées de l’un des côtés de notre diagonale doivent demeurer vides.
$=c.$
| Nombre de parts = p. | ${\begin{array}{||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}\hline \hline A&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline \hline 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\hline 2&&1&3&7&15&31&63&127&255&511\\\hline 3&&&1&6&25&90&301&966&3025&9330\\\hline 4&&&&1&10&65&350&1701&7770&34105\\\hline 5&&&&&1&15&140&1050&6951&42525\\\hline 6&&&&&&1&21&266&2646&22827\\\hline 7&&&&&&&1&28&462&5880\\\hline 8&&&&&&&&1&36&750\\\hline 9&&&&&&&&&1&45\\\hline 10&&&&&&&&&&1\\\hline \hline \end{array}}$ |
5. Or, à l’inspection de cette table, on trouve, par une induction assez facile,
$Z_{(c,p)}={\frac {1}{1.2.3\ldots p}}\left\{p^{c}-{\frac {p}{1}}(p-1)^{c}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}(p-2)^{c}-\ldots \right\}\,;$
et on s’assure ensuite, par le calcul, que cette expression de $Z_{(c,p)}$ satisfait réellement à l’équation (A) ; mais il faut de plus que les valeurs initiales soient vérifiées. Or, si $p=1,$ la formule se réduit, en effet, à l’unité, il en est de même, dans le cas de $c=p,$ en vertu du théorème connu :
$1.2.3\ldots p=p^{p}-{\frac {p}{1}}(p-1)^{p}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}(p-2)^{p}-\ldots \,;$
ainsi, cette formule est démontrée.
6. Nous avons supposé jusqu'ici qu’aucune part ne devait être nulle. Admettons maintenant qu’un nombre quelconque de parts puissent l’être ; et nommons $Y_{(c,p)}$ le nombre des répartitions possibles dans cette nouvelle hypothèse. L’ensemble de toutes ces répartitions pourra être distribué en $p$ espèces, suivant que le nombre des parts non nulles, qui ne saurait être zéro, sera $1.2.3\ldots p.$ Soit $q$ un quelconque de ces nombres. Le nombre des répartitions dans lesquelles $q$ parts ne sont pas nulles est, par ce qui précède, $Z_{(c,q)}\,;$ donnant donc successivement à $q$ toutes les valeurs, depuis $1$ jusqu’à $p$ inclusivement, on aura
$Y_{(c,p)}=Z_{(c,1)}+Z_{(c,2)}+Z_{(c,3)}\ldots +Z_{(c,p)}\,;$
on aurait de même
$Y_{(c,p-1)}=Z_{(c,1)}+Z_{(c,2)}+Z_{(c,3)}\ldots +Z_{(c,p-1)}\,;$
d’où, en retranchant et transposant
$Y_{(c,p)}=Y_{(c,p-1)}+Z_{(c,p)}\qquad$
Ainsi, au moyen de la table précédente, et des valeurs initiales de $Y,$ savoir $Y_{(c,1)},$ pour toutes les valeurs de $c,$ on construira facilement la table relative à la seconde hypothèse, par de simples additions.
$=c.$
| Nombre de parts = p. | ${\begin{array}{||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}\hline \hline A&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\hline 2&1&2&4&8&16&32&64&128&256&512\\\hline 3&1&2&5&14&41&122&365&1094&3281&9842\\\hline 4&1&2&5&15&51&187&715&2795&11051&43947\\\hline 5&1&2&5&15&52&202&855&3845&18002&86472\\\hline 6&1&2&5&15&52&203&876&4111&20648&109299\\\hline 7&1&2&5&15&52&203&877&4139&21110&115179\\\hline 8&1&2&5&15&52&203&877&4140&21146&115929\\\hline 9&1&2&5&15&52&203&877&4140&21147&115974\\\hline 10&1&2&5&15&52&203&877&4140&21147&115975\\\hline \hline \end{array}}$ |
7. La loi des valeurs de $Y,$ dans cette dernière table, ne se présente pas si facilement que dans la première. Cependant, avec de l’attention, on parvient à trouver que ces valeurs peuvent être exprimées par la formule
$Y_{(c,p)}={\frac {1}{1.2.\ldots p}}\left\{p^{c}+0.{\frac {p}{1}}(p-1)^{c}+1.{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{1.2}}(p-2)^{c}\right.$
$\left.+2.{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}{\frac {p-2}{3}}(p-3)^{c}+\ldots \right\$
dans laquelle les coefficiens $0,1,2,9,44,265,\ldots$ sont liés entre eux par les équations.
${\begin{aligned}0&=1.1-1,\\1&=2.0+1,\\2&=3.1-1,\\9&=4.2+1,\\44&=5.p-1,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$
ou, en général,
$a_{n}=n.a_{n-1}+(-1)^{n}\,;\qquad$
le quantième $n$ du premier terme de la formule étant $0.$
On s’assure ensuite, par un calcul effectif, qu’elle satisfait à l’équation (C). De plus, en faisant $p=1,$ elle se réduit à l’unité, ce qui vérifie les valeurs initiales ; d’où il suit que cette formule résout le problème proposé. L’expression générale des coefficiens $0,1,2,9,44,\ldots$ est au surplus
$a_{n}=(-1)^{n}\left\{1-n+n(n-1)-n(n-1)(n-2)+\ldots \right\}\,;$
car, outre que cette expression satisfait à l’équation (E), elle donne la valeur initiale $a_{0}=1$.
8. En éliminant $Z$ entre les deux équations (A), (C), on parvient facilement à la suivante
$Y_{(c,p})=pY_{(c-1,p})+Y_{(c,p-1})-(p-1)Y_{(c-1,p-1})-Y_{(c-2,p-1})\,;$
qui a conséquemment pour intégrale la formule (D), tout comme (A) a pour intégrale la formule (B) ; mais ces intégrales, pour être complètes doivent admettre un complément arbitraire.
* ↑ Ces coefficiens peuvent encore être considérés comme liés entre eux par l’équation aux différences $a_{n}=n\left(a_{n-1}+a_{-1}\right).$ J. D. G.