# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 07/Gnomonique, article 1
## GNOMONIQUE.
### Construction nouvelle d’un cadran solaire quelconque ;

Je viens de lire la Gnomonique graphique de M. Mollet, professeur à Lyon ; et sa lecture m’a autorisé à croire que c’est à l’auteur que l’on doit la construction du cadran cylindrique que l’on trouve à la page 372 du 3.e volume des Annales. Ce problème n’est pas nouveau, non plus que celui du cadran sphérique, comme je l’avais d’abord pensé ; on les trouve traités, l’un et l’autre, dans les Récréation mathématiques d’Ozanam, où l’on rencontre une colonne cylindrique surmontée d’une sphère, qui est relative à ces deux problèmes.
En examinant les problèmes de gnomonique plane de M. Mollet, j’ai remarqué que sa méthode de construction des lignes horaires n’est commodément applicable, dans la pratique, que pour trouver, dans le cadran horizontal, par exemple, les lignes de $8$ heures du matin à $4$ heures du soir, celles de $7$ heures du matin et de $5$ heures du soir font des angles trop aigus avec l’équinoxiale pour pouvoir être déterminées d’une manière exacte ; celles de $4$ heures et $8$ heures font même déjà avec l’équinoxiale des angles au-dessous de $45^{\circ },$ ce qui exige beaucoup d’espace.
Pour remédier à cet inconvénient, je propose la construction suivante, que j’appliquerai, pour plus de généralité, à un cadran incliné et déclinant.
Soient $C$ (fig. 11) le centre du cadran, $\mathrm {CB}$ l’axe, $\mathrm {CM}$ la soustylaire, $\mathrm {BM}$ la perpendiculaire à l’extrémité de l’axe, $\mathrm {C} _{12}$ la méridienne.
La latitude du lieu, la longueur de l’axe, l’inclinaison et la déclinaison du plan étant données, les trois côtés du triangle rectangle $\mathrm {CBM}$ et l’angle $\mathrm {MC} _{12}$ sont aussi données. Cela posé :
Je construis un rectangle $\mathrm {AGHF}$, ayant pour hauteur la soustylaire $\mathrm {CM}$ et pour base $\mathrm {GH}$, double de la perpendiculaire $\mathrm {BM}$ ; cette base, partagée en deux parties égales par la soustylaire, coupe la méridienne au point $12$.
Je prolonge $\mathrm {CA}$ d’une quantité $\mathrm {AP=AG}$, longueur de la soustylaire ; je tire $\mathrm {PG}$, qui fait ainsi avec $\mathrm {AP}$ un angle de $45^{\circ }.$ Sur $\mathrm {PA}$ prolongée je porte $\mathrm {PG}$ de $\mathrm {P}$ en $\mathrm {G'}$ ; sur $\mathrm {PA}$ et $\mathrm {PG}$ je porte $\mathrm {GM}$ de $\mathrm {P}$ en $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q'}$. Du point $\mathrm {P}$ comme centre, avec le rayon $\mathrm {PA}$, je décris l’arc de $45^{\circ }\ \mathrm {AA'}$ ; je tire la ligne $\mathrm {A'G'}$ ; et, par les points $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q'}$, je mène les droites $\mathrm {QR,Q'R'}$, respectivement parallèles aux lignes $\mathrm {AG,A'G'}$.
Je porte $\mathrm {M} _{12}$ de $\mathrm {Q'}$ en $12$ sur $\mathrm {Q'R'}$ ; et, par les points $P$ et 12, je mène le rayon $\mathrm {P} 6$. À compter du point où ce rayon rencontre l’arc $\mathrm {AA'}$, je prends sur cet arc, de part et d’autre de ce point, des divisions de $15^{\circ }$ (On les prendrait de $7^{\circ }.30'$ ou de $3^{\circ }.45',$ si l’on voulait marquer sur le cadran les demi-heures ou les quarts-d’heures). Par les points de division, je mène les rayons $\mathrm {P5,P6,P7}$ ; le rayon $\mathrm {P5}$ rencontre respectivement les lignes $\mathrm {QR,Q'R',AG,A'G'}$aux points $2,11,8,5$ ; le rayon $\mathrm {P} 6$ rencontre les mêmes lignes aux points $3,12,9,6$ ; et le rayon $\mathrm {P} 7$ les rencontre aux points $1,4,10,7.$
Je porte $\mathrm {QR}$, avec ses divisions $2,3,4,$ de $\mathrm {M}$ en $\mathrm {H}$ ; je porte $\mathrm {Q'R'}$, avec ses divisions $1,12,11,$ de $\mathrm {M}$ en $\mathrm {G}$ ; je porte enfin $\mathrm {A'G'}$, avec ses divisions $7,6,5,$ de $\mathrm {F}$ en $\mathrm {H}$, et je laisse en place la ligne $\mathrm {AG}$, avec ses divisions $8,9,10\,;$ menant enfin des droites du point $\mathrm {C}$ aux points de division $8,9,10,11,12,$ $1,2,3,4,5,6,7$ des trois côtés $\mathrm {AG,GH,HF}$ du rectangle, le cadran se trouve construit.
Si la méridienne, avant de rencontrer l’équinoxiale $\mathrm {GH}$, rencontrait d’abord la parallèle $\mathrm {AG}$ à la soustylaire, ainsi qu’il arrive dans la figure à la ligne $\mathrm {C} _{10}$ ; ce serait à son point de rencontre avec cette droite $\mathrm {AG}$ qu’il faudrait marquer $12,$ en faisant rétrograder en conséquence tout le reste du numérotage.
L’on voit, par cette construction, dont je ne donne point la démonstration, parce qu’elle est facile à trouver, que toutes le lignes horaires sont déterminées par des intersections de droites qui ne forment jamais entre elles des angles inférieurs à $45^{\circ }.$
Agréez, etc.