# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Algèbre élémentaire, Article 1
## ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
### Démonstration de quelques théorèmes d’algèbre ;

Soient les deux expressions
$a+b+{\sqrt {ab}},\qquad a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\,;$
si l’on a ${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}},$ on aura
$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)$
$=(a+a')+(b+b')+{\sqrt {(a+a')(b+b')}}\,;\quad$
car, soit ${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}}=m,$ il viendra $b=ma,\ b'=ma',$ et de là
${\begin{array}{ll}a\ +b\ +{\sqrt {ab}}&=a\ (1+m+{\sqrt {m}}),\\a'+b'+{\sqrt {a'b'}}&=a'(1+m+{\sqrt {m}}),\end{array}}$
d’où, en ajoutant
$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)$
$=(a+a')+(ma+ma')+{\sqrt {(a+a')(ma+ma')}},$
qui, en mettant dans le second membre $b$ et $b'$ pour $ma$ et $ma'$ revient au théorème (I). On prouvera d’une manière tout-à-fait semblable que
$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)-\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)$
$=(a-a')+(b-b')+{\sqrt {(a-a')(b-b')}}.\quad$
Si, dans l’équation (I), on suppose que $a',b'$ se changent respectivement en $a'+a'',\ b'+b'',$ elle deviendra
$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left\{(a'+a'')+(b'+b'')+{\sqrt {(a'+a'')(b'+b'')}}\right\}$
$=(a+a'+a'')+(b+b'+b'')+{\sqrt {(a+a'+a'')(b+b'+b'')}}\,;$
mais, si l’on a ${\frac {b''}{a''}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b}{a}},$ on aura, par ce qui précède,
$(a'+a'')+(b'+b'')+{\sqrt {(a'+a'')(b'+b'')}}$
$=\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)+\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right)\,;$
donc, en substituant,
$\left.{\begin{aligned}&\left(a\ \ +b\ \ +{\sqrt {a\ b\ }}\ \right)\\+&\left(a'\,+b'\,+{\sqrt {a'\,b'\,}}\right)\\+&\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right)\end{aligned}}\right\$
On pourrait présentement supposer que $a''$ et $b''$ se changent respectivement en $a''+a'''$ et $b''+b''',$ et continuer ainsi indéfiniment, en supposant toujours ${\frac {b'''}{a'''}}={\frac {b''}{a''}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b}{a}},$ et ainsi de suite ; d’où l’on voit qu’en posant, pour abréger,
$\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)=\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)+\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right)+\ldots$
$\Sigma (a)=a+a'+a''+\ldots ,\qquad \Sigma (b)=b+b'+b''+\ldots \,;$
et supposant d’ailleurs
${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b''}{a''}}=\ldots ,$
on doit avoir
$\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)=\Sigma (a)+\Sigma (b)+{\sqrt {\Sigma (a)\Sigma (b)}}.\qquad$
On démontrerait pareillement que, si l’on fait
$\Sigma \left(a+b+c+{\sqrt {bc}}+{\sqrt {ca}}+{\sqrt {ab}}\right)=$
$\left\{{\begin{aligned}&(a\ \,+b\ \ +c\ \ +{\sqrt {b\ \ c\ \ }}+{\sqrt {c\ \ a\ \ }}+{\sqrt {a\ \ b\ \ }}\\+&(a'\,+b'\,+c'\,+{\sqrt {b'\,c'\,}}+{\sqrt {c'\,a'\,}}+{\sqrt {a'\,b'\,}}\\+&(a''+b''+c''+{\sqrt {b''c''}}+{\sqrt {c''a''}}+{\sqrt {a''b''}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$
$\Sigma (a)=a+a'+a''+\ldots ,\ \ \Sigma (b)=b+b'+b''+\ldots ,\ \ \Sigma (c)=c+c'+c''+\ldots ,$
et qu’on ait à la fois
${\frac {a}{c}}={\frac {a'}{c'}}={\frac {a''}{c''}}=\ldots ,\qquad {\frac {b}{c}}={\frac {b'}{c'}}={\frac {b''}{c''}}=\ldots ,$
on aura
$\Sigma \left(a+b+c+{\sqrt {bc}}+{\sqrt {ca}}+{\sqrt {ab}}\right)$
$=\Sigma (a)+\Sigma (b)+\Sigma (c)+{\sqrt {\Sigma (b)\Sigma (c)}}+{\sqrt {\Sigma (c)\Sigma (a)}}+{\sqrt {\Sigma (a)\Sigma (b)}}.$
Le théorème (III) trouve son application en géométrie. Si, en effet, $a,a',a'',\ldots$ sont les bases inférieures et $b,b',b'',\ldots$ les bases supérieures respectives des troncs de pyramides triangulaires résultant de la décomposition d’un tronc de pyramide quelconque à bases parallèles, en représentant par $v,v',v'',\ldots$ les volumes des premiers et par $V$ le volume du dernier ; et si, en outre, on représente par $A,B$ ses deux bases, on aura
$A=\Sigma (a),\qquad B=\Sigma (b),\qquad C=\Sigma (c)\,;$
mais on démontre, par les élémens que $h$ étant la hauteur du tronc
${\begin{aligned}&v\ \ =\left(a\ \ +b\ \ +{\sqrt {\ a\ \ b\ \ }}\right){\frac {h}{3}},\\&v'\,=\left(a'\,+b'\,+{\sqrt {a'\,b'\ }}\right){\frac {h}{3}},\\&v''=\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right){\frac {h}{3}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
donc
$V=\left\{\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)\right\}{\frac {h}{3}}\,;$
mais on a de plus
${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b''}{a''}}=\ldots \,;$
donc
$\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)=\Sigma (a)+\Sigma (b)+{\sqrt {\Sigma (a)\Sigma (b)}}=A+B+{\sqrt {AB}}\,;$
donc enfin
$V=\left(A+B+{\sqrt {AB}}\right){\frac {h}{3}}.$