# Les Dilemmes de la métaphysique pure/Chapitre III
## CHAPITRE III L’INFINI. — LE FINI
### XXXV

L’infini du temps. Les antésocratiques ; Aristote. — L’idée qui régna dans la philosophie de l’antiquité, dans toutes les écoles, et qui reçut sa formule définitive avec la sentence : De nihilo nihil, était le produit naturel de l’expérience, et de la logique appliquée aux faits, l’origine de ceux qu’on observe, ne pouvant jamais être définie qu’à l’aide d’antécédents dont la connaissance ou l’idée sont fournies par les conséquents. Les auteurs de cosmogonies, dont la tâche était d’imaginer un commencement des choses n’avaient pu que présenter comme initiales certaines existences, ou matérielles ou symboliques, qui leur semblaient être des conditions de toutes les autres, mais qui n’étaient pas pour cela mieux expliquées. Les philosophes ioniens appliquaient la même méthode à des idées d’ordre purement physique. Les éléates qui, les premiers, voulurent prendre pour principe un véritable inconditionné attribuèrent ce caractère à l’idée de l’être universel, qui est toujours et n’admet pas le changement, en sorte qu’en effet aucune chose ne vient de rien. L’idée de l’éternité invariable se posa ainsi en opposition absolue de celle de l’instabilité universelle sans aucun pur commencement, dans laquelle la philosophie ionienne trouvait, de son côté, chez Héraclite, sa forme la plus achevée.
La polémique s’institua avec une logique très nette, qui devait s’affaiblir plus tard, entre la thèse du fini et la thèse de l’infini appliquées, à la composition de la quantité dans le mouvement, afin d’examiner si le mouvement (condition de tout changement matériel) est possible. On supposait la réalité de la matière, sans distinction de l’objectif et du subjectif, de la puissance et de l’acte, et Zénon l’éléate démontrait que l’infinité des parties d’un composé dans l’étendue, supposé que ces parties existassent réellement, seraient impossibles à franchir pour un mobile : d’où l’absurdité du mouvement, dans l’hypothèse. La démonstration ne portait pas moins sur la division et l’écoulement du temps que sur la division et le parcours de l’espace ; car l’éléatisme niait toutes les sortes de divisions. La critique a souvent oublié ce point. Dans tout ce qui n’a pas de fin, la fin est impossible à atteindre, voilà la majeure de tout le raisonnement. Elle ne manque pas de clarté (XXXIX).
On peut s’étonner que deux idées non pas seulement différentes, mais dont la contradiction ressort de leurs simples énoncés, aient pu être et soient encore matière à confusion. Une quantité de grandeur indéfinie est celle à laquelle on pense comme toujours susceptible d’augmentation : l’espace, par exemple, ou le nombre, parce qu’une étendue imaginée ne peut être si grande qu’on n’en puisse imaginer une plus grande, ou un nombre déterminé être tel qu’il ne puisse être augmenté d’une unité. Au contraire on appelle actuellement infinie une quantité qu’on suppose donnée et dont le compte des parties, inépuisable selon la conception qu’on s’en forme, se trouverait l’être en fait également ; si, par impossible, il était entrepris, et cela quelque loin qu’il fût poussé, en sorte qu’elle ne pourrait jamais devenir une donnée. Que la première idée ait pu conduire à la seconde, qui en est formellement la contradictoire, on se l’explique par le réalisme instinctif de l’esprit qui, en pensant à l’accumulation indéfinie des éléments composants de certains objets, se sent sollicité à en former idéalement la synthèse intégrale, et à les assembler dans le concept nominal d’un sujet.
Le mot grec ἄπειρος, dont le français, illimité, est l’exact équivalent, se prêtait à rendre l’idée de la chose inépuisable, sans qu’on fût obligé de répondre catégoriquement à la question de l’état actuel de cette chose, relativement à la numération. C’est ainsi qu’Anaximandre a pu imaginer, en regard des mondes qui se forment et se détruisent, l’existence en tout temps de qualités sans bornes, dont la substance unique compose ces mondes innombrables ; et peut-être Anaxagore, plus tard, n’a-t-il pas eu des idées plus arrêtées sur la multiplicité infinie ou indéfinie des homéoméries (XXII).
Les anciens pythagoriciens donnaient, eux aussi, à l’illimité un sens bien différent de l’infini des modernes. Ce terme de leur table des oppositions ne s’appliquait à la matière que comme un multiple confus de tous les genres que le Nombre ne soumet pas à la mesure. Il servait à désigner l’état d’indétermination qui précède l’harmonie du Cosmos, obtenue progressivement par l’introduction de la limite (πέρας). Dans cette conception cosmo-mathématique, l’Infini prenait, sous l’aspect rationnel, un rôle analogue, à celui qu’il avait sous l’aspect matériel dans la doctrine d’Anaximandre, avec cette différence en plus, qu’il représentait le principe passif, imparfait, désordonné, obscur, sur lequel opère le principe opposé de la Lumière et du Bien, au lieu de la Substance d’Anaximandre, puissance directrice de ses propres évolutions pour la production des mondes. L’application de l’illimité à l’idée du temps était, dans ces deux doctrines, étrangère à l’idée systématique d’éternité, qui ne s’était même pas formulée dans l’éléatisme, où elle n’entrait que sous la forme indirecte et obscure d’un présent toujours présent, sans origine et sans changement.
Le système atomistique est probablement le premier dans lequel l’infinité actuelle, accomplie, du temps écoulé, — éternité a parte ante des phénomènes, — ait été envisagée positivement. Démocrite ne crut pas seulement à l’existence sans commencement d’une matière indéterminée ; il crut expressément ceci : que des phénomènes semblables, sujets aux mêmes lois, s’étaient toujours produits. Il fallait donc que, à un moment quelconque, le nombre des phénomènes distincts antérieurement apparus fût un nombre actuellement donné, qui néanmoins ne pût être conçu comme numérable, puisque par hypothèse il n’y avait pas eu de terme initial de la série des unités, et que la même série n’aurait pas de terme final si on la retournait.
Démocrite ne s’avisa peut-être pas de cette condition dans le concept. Les évolutionnistes, Héraclite, Empédocle s’en sauvaient en apparence, et donnaient satisfaction à l’idée du commencement de l’ordre des choses actuel. Mais, si chaque évolution avait son origine, la suite des évolutions n’en avait aucune et s’enfonçait dans l’illimité. On esquivait seulement l’application du tout et du nombre à des actes passés sans nombre, à la multitude indéfinie des causes, numériquement distinctes, de l’évolution renouvelée dans les temps antérieurs ; mais il fallait qu’au fond on la supposât.
La théorie du monde d’Aristote offre, en cette question, un trait singulier de l’histoire des idées métaphysiques. Aristote admit la nécessité d’un point d’arrêt dans la chaîne des phénomènes (ἀνάγκη στῆναι). L’existence d’un moteur immobile, cause des mouvements inférieurs subordonnés, devait, selon lui, répondre à ce besoin d’unité du système du monde, parce qu’un mouvement éternel ne pouvait s’expliquer que par l’action sur son tout d’un moteur dont l’éternité embrassait la sienne. Ce moteur n’étant pas une cause efficiente, mais finale seulement, donnait le point d’arrêt demandé pour la cause ultime des mouvements, mais non pour les mouvements eux-mêmes, dont Aristote regardait la succession dans le passé comme n’ayant pas eu de commencement. L’éternité du monde impliquait donc, en son système comme dans le système de Démocrite, une suite de phénomènes écoulés dont l’ensemble, parcouru et terminé à chaque moment, est tel pourtant qu’il ne peut pas être conçu comme pouvant se terminer et se reconstituer, s’il était parcouru en sens inverse : point de vue incompatible avec l’existence réelle des unités phénoménales distinctes, séparées dans le temps.
Aristote lui-même, ayant affaire aux arguments de Zénon contre la division infinie d’une quantité réelle donnée, distinguait l’infini en acte de l’infini en puissance, qui seul est logiquement admissible. Il ne songea pas que la puissance, dans l’ordre du temps, ne saurait regarder le passé, mais seulement l’avenir et que, en conséquence, l’éternité des phénomènes écoulés ne pourrait être que leur infinité donnée en acte.

### XXXVI

L’éternité chez les théologiens. — Ni Aristote, ni les successeurs de Platon dans l’Académie ne semblent avoir prêté une attention sérieuse à la théologie démiurgique de leur maître, et à la création du temps par l’œuvre du Démiurge, dans le Timée. Cette doctrine qui supposait l’existence d’une matière et celle d’un dieu doué de personnalité, avant la création du monde, et qui représentait les premiers éléments et l’œuvre de leurs combinaisons par des symboles, dût paraître à la fois fictive et subtile, imaginée dans un dessein exotérique. Les néopythagoriciens embrassèrent en général l’opinion de l’éternité du monde. Les stoïciens évolutionnistes se croyaient dispensés d’éclaircir la question des évolutions antérieures à celle qui a constitué l’ordre présent. L’idée de Dieu, Feu artiste, auteur du monde, et Monde lui-même, en sa Providence immanente et ses semences rationnelles, ne justifiait point par un caractère de personnalité active les expressions morales et religieuses dont on usait dans la secte en l’invoquant. Le syncrétisme néoplatonicien, dernière phase de la philosophie de l’antiquité, ne changea pas l’esprit général des doctrines, ne donna pas un sens moins symbolique à la création ; loin de là, grâce à l’établissement, en qualité de première hypostase divine, du principe inconditionné que posaient de deux différentes manières le Père des Idées de Platon et la Pensée de la Pensée d’Aristote, le néoplatonisme produisit une théorie de l’être éternel et nécessaire, qui s’imposa, avec les infinis, à la philosophie. Un dogme semblable s’introduisit en même temps dans la théologie catholique, où il dût s’allier à la croyance en un dieu personnel et créateur, avec un sens de la création qui était nouveau pour l’hellénisme.
La théorie de l’infini de Plotin réunit déjà les caractères d’un infinitisme théologique dont la scolastique devait faire son bien. Il y manque seulement la création, au lieu de l’émanation, parce que les hypostases s’engendrent successivement en descendant jusqu’au monde et dans la matière, sans s’abaisser à la connaissance de leurs produits. L’infini a deux emplois chez Plotin : il signifie l’illimité, sens négatif, comme dans la table pythagoricienne des oppositions, et aussi la perfection, sens positif attaché à la possession de qualités sans nombre. D’une part, c’est la matière qui est essentiellement l’infini. — Platon l’avait considérée sous cet aspect ; — mais, d’une autre part, l’infini existe dans le monde comme l’idée et comme l’archétype dont l’infini matériel est l’image et dont il reçoit l’ordre et les déterminations. Il procède de l’infinité et de la puissance éternelle de l’Un, n’étant de lui-même que non être, fantôme d’étendue, puissance des contraires.
L’Un, première hypostase, est au-dessus de l’être. Ce n’est pas à l’Un que l’éternité se rapporte, mais à l’Être intelligible qui vit perpétuellement, et, là même, elle est encore sans multiplicité et sans changement : vie universelle et actuellement infinie, toujours dans le présent, identique, immuable, contenant toutes choses à la fois en un point unique. Au sein de cette nature éternelle, qui est la seconde hypostase, il n’y a ni antériorité ni postériorité, le temps y repose dans l’Être. C’est l’âme du monde, troisième hypostase, qui désirant prendre possession d’elle-même, amplifie le présent et entre en mouvement, menant le temps avec elle.
Telles sont les idées qui, acceptées et reproduites par saint Augustin, sauf en ce qui touche l’émanation de la troisième hypostase, et résumées quant à l’éternité, par la formule célèbre de Boëce en sa Consolation philosophique : Interminabilis vitæ tota simul et perfecta possessio, s’imposèrent aux docteurs scolastiques, à peu d’exceptions près, et à la théologie du christianisme la plus autorisée jusqu’à ce jour.
Le rapprochement des mots interminabilis et tota simul met en évidence, dans cette formule, le trait caractéristique de la doctrine de l’infini du temps, réduit à l’actualité. C’est le choix donné, si l’on tient à comprendre ce qu’on dit, entre deux opinions : ou que l’idée de l’éternité, ainsi définie, est faite de l’assemblage de deux idées contradictoires, — puisque interminabilis est l’attribut d’une vie qui s’écoule, et tota simul la négation de cet écoulement, — ou que la succession est une illusion.
La doctrine néoplatonicienne et la théologie du christianisme diffèrent en deux points, essentiellement : 1$^o$ ni le dieu premier sans attributs, ni les trois hypostases réunies ne répondent au dieu du christianisme, qui, absolument parlant, la question de la trinité mise à part, est une personne selon le sens psychologique du mot, une conscience ; 2$^o$ l’émanation et la création ex nihilo, la descente de l’être dans la matière et la Providence cause universelle donnent deux vues entièrement opposées du monde.
Apportée par une religion strictement monothéiste, la doctrine de la création s’opposait à l’hellénisme, qui n’avait pu s’affranchir de l’imagination irréfléchie de l’éternité, de la matière et du mouvement. L’infini, sous cette forme, semblait donc banni de la spéculation ; il ne l’était pas. La pensée, s’arrêtant au Créateur comme à une personne immuable, supprimait, il est vrai, le procès à l’infini des phénomènes du monde. Mais l’hypothèse d’un Dieu éternellement vivant, encore bien que spirituel, ne changeait que la nature des phénomènes à considérer dans le recul indéfini du temps ; elle les faisait passer dans les modifications internes, dans les pensées de cet être divin, et ne les niait pas comme distincts avant la création et régis par la loi de nombre ; ou, si elle les niait, la question métaphysique de l’infini et du temps subsistait toujours, car le recours à l’absolu ne résout pas la difficulté que soulève l’identité de l’être absolu et du Créateur en une même personne.

### XXXVII

L’infini en extension. — L’intuition ne s’étend pas moins à l’indéfini dans l’espace que dans le temps. Cependant, il a toujours paru plus facile de faire abstraction d’une étendue inoccupée au-delà, pour se représenter le monde fini, que du temps avant les phénomènes pour se les représenter commençant à être. La question de lieu est plus facile à écarter que la question d’origine, et l’idée d’ubiquité a pris dans la spéculation beaucoup moins d’importance que l’idée de l’éternité, qui lui est parallèle. Cependant Parménide, en sa doctrine de l’unité, posait l’Être comme fini, en qualité de parfait, tandis que Mélissos, son disciple, opina pour l’absence de bornes en toutes choses comme à l’égard du temps. La question du vide et du plein fut très disputée après Démocrite et les Éléates ; Platon et Aristote se prononcèrent pour le plein ; les atomistes et les partisans de l’infinité des mondes étaient forcés d’admettre le vide dans les espaces inoccupés et l’évolutionnisme en laissait un au delà de la matière de l’évolution. Quoique tous ces philosophes regardassent sans hésiter, soit le vide, quand ils l’admettaient, soit le plein, comme des sujets réels et infinis, ils ne se faisaient pas une difficulté de l’existence actuelle des parties de ces multiples sans bornes.
Pour le néoplatonisme, l’infinité de l’être en extension s’applique à l’univers renfermé dans l’unité de son principe. Ce n’est pas que Plotin comprenne cet enveloppement comme celui d’un espace où les objets sont localisés et limités les uns par les autres. Ce ne sont là, dit-il, que des images. L’Être qui possède l’ubiquité est partout à la fois, présent tout entier, dans tout ce qu’il est ; il n’a cependant pas de lieu, il n’est dans rien, hormis dans l’Un. L’étendue sensible n’étant que l’image de l’intelligible, on ne peut pas dire que l’idée de l’ubiquité, dans ces mots : partout à la fois, implique matériellement contradiction ; c’est dans le concept lui-même que la contradiction réside, parce que l’image prétendue ne représente pas l’Un, mais les rapports de distance et de position inhérents à tout ce qui est représenté dans l’espace. L’unique sens de la formule est que la réalité appartient toute à l’ordre émanant, et que ce qu’on appelle image dans l’ordre émané, est l’illusion du phénomène.
Cette signification panthéistique de l’ubiquité ressort plus fortement dans la théologie scolastique, si on consent à oublier pour un moment les autres dogmes qui s’opposent à celui-là dans la doctrine chrétienne. En effet, la théologie ajoute à la toute-présence de Dieu sa toute-puissance créatrice, exercée partout où quelque chose de réel se produit en acte. Dieu est dans tous les lieux sans se localiser, partout tout entier, non pas comme partie ou attribut de la chose qui se fait, mais de la manière dont l’agent est présent à ce dans quoi il agit. C’est la doctrine thomiste. Or l’idée de l’infini est la source des imaginations contradictoires de ce genre, parce qu’elle a le don de présenter en images des rapports irréalisables. La supposition d’un accroissement de puissance locomotrice passant du fini à l’infini permet de penser à quelque chose qui siégerait à la fois en plusieurs lieux différents ; autrement ce serait penser que cette chose est dans chacun de ces lieux, et qu’en même temps elle n’y est pas ; et cela, c’est ce qui ne se peut penser. Mais, a dit Pascal : « Je vous veux faire voir une chose infinie et indivisible ; c’est un point se mouvant partout d’une vitesse infinie. » Et en effet, l’infini ôterait la contradiction, si lui-même n’était pas contradictoire.
Le trait le plus saillant de l’atteinte portée par la thèse de l’ubiquité à l’ordre rationnel des rapports spatiaux, et à la loi même de l’étendue, se rencontre dans le dogme catholique de la présence réelle, parce que c’est d’un corps qu’il s’agit, quoique du corps d’un dieu, et que ce corps est supposé localisé tout entier dans une multitude de lieux à la fois. Mais l’alliance de l’éternité simultanée et de l’ubiquité avec la providence absolue éclaire bien plus profondément la métaphysique de l’infini dans ses conséquences, en ce qu’elle conduit à regarder l’existence du monde, et non pas seulement l’essence divine, comme ne constituant qu’un acte unique et instantané hors du temps et de l’espace.

### XXXVIII

L’espace infini chez les savants modernes. — La doctrine de la spiritualité de Dieu et la croyance générale à la limitation du monde matériel s’opposaient, pendant le règne de la scolastique, à ce que l’infini actuel devînt un point de vue commun dans la cosmologie. Mais la disposition des esprits changea par suite des découvertes astronomiques, à la fin du xvie siècle, et de l’adhésion des savants au système du monde de Copernic. L’induction de ce fait : que les bornes jusque-là imaginées du monde observable reculent à mesure qu’on obtient les moyens de constater de plus grands éloignements des corps, à cette hypothèse : qu’il n’y a pas de fin, dans l’espace, pour les mondes réellement donnés, est illégitime. Elle doit l’être aux yeux mêmes de ceux qui croient un infini actuel logiquement admissible ; mais elle est trop facile pour n’être pas commune. Les contemporains des premières observations qui agrandirent démesurément l’idée ancienne des proportions des sphères tombèrent en admiration devant l’étendue insondable de l’univers, sans songer que le beau et le parfait ne consistent pas dans la grandeur des dimensions. Le changement imaginaire de l’échelle géométrique du cosmos, cet écrasement matériel de l’homme, — quoique assez manifeste déjà sur l’ancienne échelle supposée, — passa pour un abaissement moral de sa situation, une preuve de son peu de valeur devant l’immensité. On crut que les anciens, en donnant à la révolution des sphères la terre pour centre, avaient entendu se placer eux-mêmes au centre d’excellence du monde, ce qui est le contraire de la vérité ; tandis que les modernes, se reconnaissant logés dans « un petit coin de l’univers », seraient fondés à attribuer au système matériel de la création, une incomparable supériorité sur la Terre et les terricoles. Mais rien de tout cela ne répond aux faits. Ce qu’on obtenait par les découvertes modernes, c’était l’information plus exacte des lois de phénomènes à grande envergure, d’impulsion, de pesanteur et de chaleur, et d’un système de révolutions très vaste dont le centre ne se découvre pas encore : le tout parfaitement étranger, qu’on sache, à la valeur morale des existences.
L’idée de l’infini, dans l’abstrait, suivit une marche correspondante à l’extension que l’imagination donnait à l’univers, en franchissant toutes bornes. L’illusion née de l’imagination des possibles, ainsi que de l’expérience de l’indéfini de la quantité sensible, favorisa le passage de l’idée de l’indéfini à celle de l’infini actuel, et de celle-ci aux spéculations qui naissent de la synthèse de l’infini et de la mesure, idées mutuellement contradictoires. Giordano Bruno déploya le même enthousiasme à célébrer les mondes infinis qu’à reproduire les élucubrations de Nicolas de Kuss sur l’unité de l’immensité et du point, de l’éternité et de l’instant : il parut ainsi faire une hérésie monstrueuse de ce qui avait été chez le cardinal un comble de piété mystique. Descartes, pour éviter l’hérésie, s’astreignit à ne point dépasser la notion de l’indéfini, dans son système des tourbillons, mais il apparaît clairement que c’est à l’infini qu’il pensait, à l’infini, qui, d’ailleurs, est la même chose que la continuité du plein dans l’étendue matérialisée telle qu’il la concevait.
La doctrine de Spinoza s’éloigne beaucoup dans la forme, mais peu dans le fond, de celle de Bruno en ce qui touche l’infini. Spinoza ne spécule pas en cosmologie, mais le rapport du phénoménal et de l’éternel, des parties et du tout, dans l’infini divin, l’indivisibilité réelle des phénomènes distincts en apparence dans le temps et l’espace, et dont la manifestation n’a pas eu de commencement et n’aura pas de fin, sont des points de théorie qui, envisagés dans l’ordre physique, supposent un monde sans bornes, et à la fois enfermé dans l’unité de l’inétendu réel. Leibniz, en sa polémique avec Clarke, soutient l’infinité de l’univers matériel, comme il le nomme lui-même à cet endroit, quoique sa monadologie exclue la réalité subjective de l’étendue. C’est enfin l’opinion actuelle de la grande majorité des savants, des philosophes et des gens du monde qui pensent d’après eux, que le monde est infini, sans faire de métaphysique. Kant peut paraître au fond l’avoir adoptée, tout en s’en désintéressant dialectiquement par cet argument que l’espace avec tout ce qu’il contient de phénomènes n’étant que représentation en nous, on ne saurait dire du monde en soi qu’il est infini, non plus que fini.

### XXXIX

L’infini de composition. Le rapport du fini à l’infini. — Il est remarquable que, la première fois qu’un philosophe s’est avisé de vouloir se rendre compte de ce qui paraît si simple en n’y réfléchissant pas, nous voulons dire de la manière dont une étendue se compose d’autres étendues, et dont le parcours d’un mobile se compose d’autres parcours moindres, ce fut pour confirmer la doctrine éléatique et démontrer l’impossibilité du mouvement. En reconnaissant que la recherche de la plus petite partie d’une distance entre deux points, ou celle du plus petit changement de lieu d’un mobile, était pour l’esprit un problème insoluble, fallait-il donc que Zénon conclut que le mouvement est une apparence illusoire ? Ne pouvait-il se dire que la nature de la conception, dans ce qui regarde ces phénomènes, consiste dans la pensée d’une suite interminable de divisions de l’objet (ou de multiplications, à les prendre en sens inverse), tandis que le sujet a sa propre manière d’être, qui correspond à notre perception, à nos sensations, mais non pas à l’indéfinité de nos idées de l’étendue et des nombres. Il restait après cela un problème, mais qui dans tous les cas se pose : celui de la nature de la matière.
Plutôt que d’abandonner le point de vue de la croyance irréfléchie commune en l’existence d’une matière des corps possédant subjectivement les qualités sensibles dont l’imagination prolonge l’application possible à travers leurs parties indéfiniment diminuées, le grand dialecticien d’Élée nia la réalité des rapports perçus de l’ordre mécanique, c’est-à-dire la perception elle-même, ou sa loi selon l’ordre de la nature, et soutint que le phénomène est illusoire. Nul philosophe n’ayant songé, pendant plus de deux mille ans après cette époque, à résoudre la difficulté de la première de ces deux manières ; mais tous ayant été même en peine d’apercevoir le vrai sens et la portée des arguments de l’Éléate, qu’ils prirent le parti de traiter de sophismes, on peut juger par là des progrès accomplis dans la science de l’esprit, entre l’âge de Zénon et celui de Berkeley, de Leibniz et de Malebranche.
Les arguments de Zénon ont gardé toute leur valeur, pourvu qu’on les comprenne comme démontrant l’impossibilité logique d’admettre l’existence d’un sujet matériel en soi, ayant des parties en soi, qui seraient franchies par un mobile dans l’intervalle linéaire de deux points entre lesquels ces parties seraient multipliées sans fin. La définition de la quantité géométrique abstraite, dont une partie, quelque petite qu’elle soit, est conçue comme divisible en d’autres parties qui sont divisibles de même, et cela sans fin, pose une loi des possibles pour l’entendement, non un jugement pour la détermination d’un sujet. L’impossibilité ressort immédiatement du principal argument de Zénon, car il consiste, au fond, à remarquer que la bissection d’une ligne, et de sa moitié, et de la moitié de sa moitié, etc., est une opération qui, ne pouvant se terminer en son concept, ne peut fournir le concept d’une ligne dans laquelle elle serait d’avance réalisée par l’existence intrinsèque de toutes les parties d’une telle division. Il y a contradiction. Traduisons la suite des parties en une suite de mouvements partiels pour le parcours de la ligne, on dira par la même raison, avec Zénon : le mouvement ne peut se terminer, le mobile n’aura jamais fini de traverser des parties sans fin. Ce jamais, nous l’avons remarqué plus haut, s’applique au temps comme à l’espace, parce qu’il s’applique au nombre qui les embrasse tous deux dans la division du continu. Les préventions de la critique, en premier lieu, peut-être, les fautes des éditeurs des Leçons de physique d’Aristote où les arguments sont rapportés, ont empêché qu’on les saisît dans leur généralité logique.
À l’Achille de Zénon, la Flèche qui vole ajoute un trait de polémique qui semble s’écarter de la question de l’impossibilité du mouvement, mais qui y tient, au contraire étroitement, en montrant l’irréductible opposition des idées de continuité et de détermination locale dans le parcours d’un mobile. C’est une sorte de défi, que Zénon adresse à l’adversaire, d’expliquer comment il faut se représenter la position du mobile, qui doit être à tout instant situé dans une étendue dont les dimensions coïncident avec les siennes, et qui pourtant n’est ni dans un lieu d’où il part, ni dans le suivant, le plus prochain, puisqu’il se meut de l’un à l’autre. On a objecté à Zénon qu’il supposait de la sorte la ligne à parcourir composée de points, et le temps composé d’instants. C’est refuser de comprendre. Zénon ne fait point de suppositions ; libre à son contradicteur d’en faire et d’imaginer, s’il le peut, un intervalle minimum entre deux positions du mobile, et une manière d’être situé quand il n’occupe ni l’une ni l’autre. Si, comme le porte l’objection, la ligne à parcourir est composée de points, ou ils se touchent, ou des intervalles les séparent : dans le premier cas, la contiguïté est l’identité, car le point n’a pas de parties, et alors il n’y a pas mouvement ; dans le second, le problème demeure. Il faut alors revenir à la ligne toujours composée de lignes moindres, indéfiniment divisibles : nous nous voyons dans l’impossibilité de comprendre le passage d’un lieu à un lieu suivant, quand nous ne savons comment la suite et l’enchaînement des lieux peut se définir, faute de la donnée d’un minimum de grandeur. L’impossibilité de la continuité de l’étendue et du mouvement ressort fortement de l’argument de la flèche qui vole.
Zénon est aussi l’auteur d’un argument très connu contre la subjectivité de l’espace. Il consiste à observer que ce sujet contenant, s’il en faut un, aurait besoin d’être contenu lui-même dans un autre. L’objection semble puérile, elle fait cependant ressortir cette forme de la pensée par laquelle nous plaçons dans l’espace toute chose située hors de nous. Si elle ne s’applique pas à l’espace lui-même, c’est qu’il n’est pas situé, mais qu’il est l’expression universelle du rapport intuitif de contenance. L’étendue, condition des images, n’est point une image ; autrement, il est hors de doute qu’il faudrait chercher dans quoi elle est contenue, et c’est l’idée vraie de l’étendue qui viendrait. Mais parce qu’elle est la forme intuitive commune à tous les rapports de position et de figure, l’étendue n’est pas sujette elle-même à l’un de ces rapports, celui de la contenance.
Les questions soulevées par la critique éléatique de la composition matérielle ne retinrent pas assez l’attention d’Aristote, qui ne vit qu’imparfaitement l’application à l’infini de son admirable distinction de l’acte et de la puissance. Les écoles postérieures négligèrent ces sortes d’analyses. C’est seulement quand le néoplatonisme eut à appliquer la notion de nombre, non plus à la matière, pour laquelle il conserva à l’infini sa signification pythagoricienne d’indétermination, mais aux idées et aux âmes, que la doctrine infinitiste mystique s’introduisit dans le concept de composition comme dans celui de la perfection divine (XXXVI). L’unité de l’Intelligence divine, selon Plotin, se forme de la multitude des intelligibles en vertu de leur nature infinie. L’Âme universelle contient toutes les âmes, est à la fois une et infinie ; elle est divisée seulement dans ce qui la reçoit : c’est un nombre plus grand que tout nombre, « un nombre universel, un et multiple, qui constitue un tout infini par soi, sans limites. L’infinité trouve ses limites dans les animaux, auxquels la beauté est donnée par la mesure ». Cette dernière pensée est pythagoricienne. La première est volontairement contradictoire, et nous montre dans le néoplatonisme la source de la théologie mathématique identifiant le maximum et le minimum dans le tout, et faisant descendre le monde matériel infini de la pure unité suprême : forme de panthéisme qu’on peut interpréter comme la réduction mystique du monde à son principe divin, mais, plus naturellement, au point de vue inverse, comme la constitution de la nature de Dieu formée du tout des éléments infinis du monde.

### XL

L’infini de composition dans la philosophie moderne. — Les idées infinitistes étaient répandues à l’époque de la jeunesse de Descartes, autant qu’en permettait l’aveu le caractère hérétique de la doctrine de Bruno, supplicié peu d’années auparavant, dont elles étaient l’enseigne éclatante. Descartes, en sa théorie de l’étendue substantielle et du plein, avait toutes les raisons possibles et même l’obligation philosophique de s’expliquer sur les difficultés relatives à l’infini de composition, qui n’est autre que la quantité continue. Il aima mieux traiter par le mépris ces prétendues subtilités. Le sujet était cependant si important pour la philosophie dont il posait le point de départ, que c’est en en imaginant des solutions que Leibniz et Spinoza composèrent leurs systèmes, à la suite du sien. Leibniz substitua aux parties indéfiniment divisibles de la matière cartésienne une infinité de substances simples, points géométriques à l’égard de l’étendue, et Spinoza une infinité de modes de cette même étendue regardée comme un attribut de la substance unique. C’était, des deux côtés un infini de composition. On voit par là que Descartes n’avait pas suffisamment défini la matière ; et Malebranche pouvait bien la supprimer ; on sait qu’il en était tenté fortement.
Pour Spinoza, l’infinité de la composition s’absorbe dans l’indivisibilité fondamentale de l’étendue ; elle est donc une imagination seulement ; pour Leibniz, elle est formellement réelle : la distinction réelle des monades, quoique infinies en nombre, est affirmée. Le philosophe sait et déclare d’ailleurs, en tant que mathématicien, que l’idée d’un nombre actuellement infini est contradictoire in terminis ; la quantité différentielle du calcul appelé infinitésimal, dont il est l’inventeur, il ne la donne que pour une quantité indéfiniment diminuée, dont la détermination reste arbitraire ; mais, en tant que métaphysicien, il se croit permis d’assurer que la moindre étendue finie est peuplée d’une infinité actuelle de monades. La raison que Leibniz donne de cette différence de traitement de deux questions qui semblent si bien n’en faire qu’une seule, arithmétique, c’est qu’un amas, une multitude est autre chose qu’un tout. Un tout forme toujours un nombre, une multitude pourrait n’en être pas un. Cette distinction a été souvent renouvelée depuis Leibniz. Cependant, si une multitude est déterminée, et que ses parties soient distinctes, et c’est ici ce que l’on suppose, on ne peut pas nier que leur ensemble forme un tout, qui est un nombre, à moins qu’on ne veuille se soustraire à la loi du rapport du multiple à l’un, ce qui est sortir de la logique. Quels motifs peut-on se croire pour la violer qui n’ait besoin d’elle pour se faire valoir ? L’infinitisme ne les donne pas ; ils semblent même de nature à n’être pas facilement éclaircis pour le penseur qu’ils animent secrètement. La solution de la difficulté nous paraît donnée, en ce qui concerne Leibniz, par la supposition, qu’au fond, il regardait, aussi bien que Spinoza, la division et l’individuation comme imaginaires.
Le calcul infinitésimal, quoique interprété correctement par son inventeur, qui fut en cela mal compris, et le calcul des fluxions de Newton, le même que l’autre avec d’autres notations, devinrent, pour les mathématiciens désireux d’en fixer la logique, un sujet scabreux, grâce à l’obsession de l’idée de l’infini, à laquelle on ne se résignait pas à substituer celle de l’indéfini. La plupart furent séduits par un expédient qui consiste à envisager les limites d’accroissement ou de décroissement de grandeur des quantités variables, en évitant de considérer la grandeur, à la limite, comme composée des différences en nombre indéfini que la variable doit traverser pour l’atteindre. Mais on déguise ce dernier point de vue, plutôt qu’on ne l’évite. L’assimilation vicieuse de l’indéfini à l’infini actuel demeure au fond de cette méthode.
En regard de ces mathématiciens, qui affichent une prétention mal justifiée à la rigueur et à la clarté, d’autres ont embrassé le réalisme infinitiste, et défini nettement l’étendue et la durée comme composés des infinitésimaux de leurs natures respectives, pris en nombres infinis. Ces minima concrets, s’ils sont des points et des instants sans dimensions, comme quelques philosophes le voudraient, ne répondent pas aux concepts de la géométrie et de la mécanique qui ne veulent point d’arrêt à la division des éléments de composition de la quantité ; et s’ils donnent satisfaction à cette exigence en restant toujours indéterminés, leurs symboles ne peuvent être réalisés sans que la réalisation s’étende aux infinis d’ordres supérieurs, c’est-à-dire à l’infiniment plus qu’infini ; et cette conséquence, avec des redoublements de contradiction dans le concept, atteint le comble de l’inintelligible.
Les géomètres du xixe siècle ont été conduits par l’usage toujours croissant de l’analyse algébrique à réaliser les signes. Les symboles des valeurs infinies, et ceux des imaginaires aussi, se prennent volontiers pour des espèces d’une expression mathématique dont les rapports proprement numériques ne seraient que des cas particuliers. Cette généralisation du nombre, comme on la nomme, est une fâcheuse déformation de la catégorie de quantité, dont la notion fondamentale est altérée, et dont les applications deviennent illogiques, au moins au point de vue d’une méthode positive. La réalisation des infinis amène le géomètre à voir dans une quantité linéaire quelconque un infini qui renferme d’autres infinis, indéfiniment, à mesure qu’on le conçoit divisé, puisque chaque partie est divisible à l’infini comme le tout lui-même. Toute quantité continue peut se présenter à l’infinitiste sous cet aspect. De là une définition générale de l’infini qu’on a pu formuler en termes forts et précis : La quantité infinie est une quantité dont les parties, considérées séparément, égalent chacune le tout.
Le caractère radicalement illogique d’une telle définition consiste en ce que les concepts de tout et de partie, et d’égalité, y sont introduits et nécessairement supposés, pour qu’elle soit intelligible, et qu’en même temps ils sont violés par la proposition elle-même. Toutes les difficultés que, depuis l’origine de la géométrie, les notions de fini, d’indéfini, et les rapports incommensurables suscitaient dans les théories, naissaient du besoin d’éviter la contradiction en cherchant des méthodes pour la mesure des grandeurs idéalement continues. La méthode que l’infinitisme découvre après tant de tâtonnements se résumerait donc à faire entrer la contradiction dans le propre concept de la quantité ! On voudrait savoir si les philosophes qui admettent les proportions infinies dans le monde matériel sont prêts à suivre les géomètres égarés dans cette illogique logication de l’infini en acte. Pour les mathématiciens, il est juste de reconnaître que les concepts peuvent rester abstraits et idéaux (bien que toujours contradictoires en eux-mêmes) et bornés à leur emploi mathématique. Mais les philosophes sont-ils prêts à regarder comme un concept rationnel, celui par lequel, se transportant dans une partie du monde séparée de celle où nous sommes par une série d’astres échelonnés dépassant tout nombre assignable, on aurait devant soi, dans la même direction, une autre série égale, et puis une autre, etc., et cela de telle sorte que chacune fût numériquement égale, étant infinie, à la somme de toutes celles qui la comprennent elle-même en arrière et en avant ? On objectera que l’infini ne se peut atteindre, et que si loin qu’on se porte, suivant le concept, on ne sera jamais parvenu qu’à des nombres déterminés d’astres, dans une série unique. Sans doute, mais ce sera avouer que le concept de l’infini actuel n’est pas réalisable, et que là où il y a des parties réelles données elles ne peuvent jamais être que finies en acte. Le monde infini concret n’est donc pas plus possiblement réel que le nombre infini abstrait n’est intelligible.

### XLI

Le dilemme de l’infinitisme. — Ce n’est point par rapport à l’espace ou au temps, en particulier, et à leur composition, que doit être réclamée du logicien l’option entre l’affirmation ou la négation de la thèse de l’infini actuel ; c’est par rapport à ce concept de l’infini et à sa forme. Quand nous avons étudié la question du conditionnement des phénomènes en général, ensuite celle du conditionnement de qualité (catégorie de la substance), nous avons vu le dilemme se poser entre l’acceptation ou le refus de la loi de relativité comme seule applicable aux fonctions intellectuelles pour la définition de nos connaissances en tout sujet. Et l’application de cette loi était celle du principe de contradiction lui-même, car l’usage des catégories ne s’impose pas moins à la spéculation qu’à l’expérience, et nous n’en saurions contester aucune qui ne persiste alors même à s’affirmer dans nos jugements. Il en est maintenant du conditionnement quantitatif comme du qualitatif : Tout ce que nous distinguons comme ayant ou ayant eu une existence distincte, définissable, nous le pensons en un rapport d’unité à nombre et de partie à tout, de même que, tout sujet posé, nous le qualifions de quelque manière déterminée. Si nous pouvons nier, en théorie, les affirmations implicites de notre pensée à cet égard, c’est que des motifs, avoués ou secrets, nous engagent souvent à chercher les moyens de nier cela même que supposent les jugements dont l’exercice de l’intelligence est inséparable. Aussi est-ce d’examen et d’option qu’il s’agit, non de dogmatisme, dans ces problèmes de philosophie première.
Il serait juste cependant de mettre une différence de valeur entre une proposition qui s’appuie immédiatement sur le principe de contradiction, et toutes celles qui, pour la combattre, usent d’autres arguments. On a le droit de penser que le philosophe qui ne fait pas cette distinction ne regarde pas la logique comme hors de question dans le débat, ne croit pas que la logique oblige. Nous entendons appliquer à Kant cette remarque. Kant, en la première et la plus nette de ses antinomies, prouve la thèse des limites du monde dans le temps et l’espace par cette raison, que « l’infinité d’une série consiste en ce qu’elle ne peut jamais être complétée au moyen de la synthèse successive de ses termes », et que, par conséquent, la synthèse qu’on suppose effectuée, d’un côté, et l’analyse, impossible de l’autre, par hypothèse, sont deux concepts qui se contredisent. De même, dans la deuxième antinomie, où il envisage l’idée de composition matérielle (logiquement la même), Kant prouve la thèse de l’impossibilité d’existence de composés de composés sans fin, en observant que l’idée de composition implique l’idée du composant, au même titre qu’elle implique l’idée du composé, et que, en faisant abstraction de la composition, il devrait rester des composants, au lieu qu’il ne doit rien rester, s’il est vrai qu’il n’existe que des composés. Plus simplement, quoique moins ingénieusement, c’est dire que l’hypothèse d’une composition à la fois donnée et indéfinie, se détruit elle-même, comme celle de l’illimitation dans la première antinomie. L’idée de la composition sans terme contredit l’idée de composition. Voilà ce qui regarde les thèses dans ces deux antinomies.
Quand on examine les arguments que Kant apporte pour prouver les antithèses, auxquelles il accorde une valeur démonstrative (rationnelle) équivalente à celle des thèses, on s’aperçoit qu’ils n’opposent rien aux arguments invoqués à l’appui de celles-ci, et ne se fondent pas comme eux sur la logique, en dévoilant la contradiction dans le concept à combattre. Ils ne leur sont donc pas logiquement comparables. Le philosophe qui prétend, comme Kant, neutraliser les preuves en les opposant, quoique si diverses, pour ne pas conclure, ou, comme Hamilton, pour choisir entre elles, mais en se guidant sur des motifs qui ne relèvent pas de la logique, devrait déclarer sincèrement que, dans son opinion, le principe de contradiction ne doit pas obtenir la primauté dans les motifs de nos jugements.
Le dilemme de l’infini porte sur l’application de la logique de la quantité à l’ordre universel des phénomènes dans l’espace et dans le temps. Les rapports de l’unité au nombre, et des parties au tout, sont-ils applicables partout oh l’on peut regarder une existence réelle comme constituée, en extension ou en composition ? Telle est la question, et la formule des thèses contradictoires entre lesquelles l’option est forcée se pose en ces termes :
Ou des phénomènes peuvent, dans l’espace (actuellement), et dans le temps (passé), être donnés, réels et distincts et cependant ne pas former des touts déterminés et des nombres, quand ils sont considérés ensemble ; et des composés d’éléments réels et distincts peuvent être constitués sans que leur somme donnée soit un nombre déterminé ;
Ou toute multitude donnée de phénomènes donnés et distincts forme un tout qui est un nombre déterminé.
Les trois dilemmes que nous avons formulés jusqu’ici regardent le principe de relativité en général, et l’un d’eux, la loi de qualité, un autre, la loi de quantité, qui sont des rapports statiques applicables à l’ordre entier des objets de l’entendement. Ils n’impliquent rien du devenir, quoiqu’ils portent sur les phénomènes répartis dans le temps, comme sur ceux qui sont représentés dans l’espace. Le dilemme qui va suivre concerne les rapports dynamiques, le devenir, la cause et la fin. Il intéresse donc plus directement la vie et la conscience. Il ne laisse pas de tenir aux dilemmes abstraits par le lien métaphysique le plus profond, et particulièrement à celui de l’infini par la plus stricte logique.