# Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section II
### II BORNES SUPÉRIEURE ET INFÉRIEURE D’UN ENSEMBLE

9. Soit $\mathrm {E}$ un ensemble quelconque de nombres réels. Un nombre rationnel $a$ peut se comporter, par rapport à $\mathrm {E}$, de deux manières :
1$^o$ $a$ est inférieur ou égal à un nombre de $\mathrm {E}$ ;
2$^o$ $a$ est supérieur à tous les nombres de $\mathrm {E}$.
Il y a certainement des nombres rationnels vérifiant la condition 1$^o$. Si aucun nombre rationnel ne vérifie la condition 2$^o$, c’est qu’il existe dans $\mathrm {E}$ des nombres supérieurs à tout nombre rationnel (et par suite à tout nombre réel) ; nous dirons alors que $\mathrm {E}$ est illimité supérieurement.
Dans le cas contraire, l’ensemble $\mathrm {E}$ est dit borné supérieurement ; les nombres rationnels se partagent alors en deux classes, la première composée des nombres vérifiant 1$^o$, la seconde composée des nombres vérifiant 2$^o$ ; ce partage constitue une coupure, car tout nombre de la première classe est inférieur ou égal à un certain nombre de $\mathrm {E}$, lequel est inférieur à tout nombre de la seconde classe. Le nombre réel $\mathrm {M}$, défini par cette coupure (§ 4), est dit la borne supérieure de l’ensemble $\mathrm {E}$. Il possède les deux propriétés suivantes :
1$^o$ Tout nombre de $\mathrm {E}$ est inférieur ou égal à $\mathrm {M}$.
2$^o$ Si $\lambda$ est un nombre inférieur à $\mathrm {E}$, il y a dans $\mathrm {E}$ un nombre supérieur à $\lambda$.
La propriété 1$^o$ résulte de ce qu’il est impossible qu’un nombre $\alpha$ de $\mathrm {E}$ surpasse $\mathrm {M}$, car alors un nombre rationnel $a$ tel que ${\alpha >a>\mathrm {M} }$ appartiendrait à la seconde classe relative à $\mathrm {M}$, tout en étant inférieur à un nombre de $\mathrm {E}$, ce qui est impossible. La propriété 2$^o$ résulte de ce que, si ${\lambda <\mathrm {M} }$, un nombre rationnel $b$ tel que ${\lambda <b<\mathrm {M} }$ appartient à la première classe, donc il y a dans $\mathrm {E}$ un nombre supérieur ou égal à $b$, par suite supérieur à $\lambda$.
Ces deux propriétés ne peuvent appartenir qu’au seul nombre $\mathrm {M}$, car un nombre inférieur à $\mathrm {M}$ ne vérifie pas 1$^o$, un nombre supérieur à $\mathrm {M}$ ne vérifie pas 2$^o$.
De la double propriété caractéristique du nombre $\mathrm {M}$ résultent les conséquences suivantes :
Dans le cas où l’ensemble $\mathrm {E}$ contient un nombre plus grand que tous les autres, $\mathrm {M}$ est égal à ce nombre.
Si $\mathrm {E} _{1}$ est un ensemble contenu dans $\mathrm {E}$, la borne supérieure de $\mathrm {E} _{1}$ est inférieure ou égale à la borne supérieure de $\mathrm {E}$.
Si tous les nombres d’un ensemble $\mathrm {E}$ sont inférieurs ou égaux à un nombre $\mathrm {A}$, il en est de même de la borne supérieure de $\mathrm {E}$.
Un nombre quelconque $\lambda$ est la borne supérieure de l’ensemble des nombres inférieurs à $\lambda$.
10. On établit de même les propositions suivantes :
Étant donné un ensemble de nombres $\mathrm {E}$, ou bien il y a dans $\mathrm {E}$ des nombres inférieurs à tout nombre réel, l’ensemble est dit alors illimité inférieurement ; ou bien il y a des nombres inférieurs à tous les nombres de $\mathrm {E}$, qui est alors dit borné inférieurement. Dans ce second cas, il existe un nombre $m$ qui est dit la borne inférieure de $\mathrm {E}$, et qui est caractérisé par la double propriété suivante :
1$^o$ Tout nombre de $\mathrm {E}$ est supérieur ou égal à $m$ ;
2$^o$ Si $\lambda$ est un nombre supérieur à $m$, il y a dans $\mathrm {E}$ un nombre inférieur à $\lambda$.
Si $\mathrm {E}$ contient un nombre plus petit que tous les autres, $m$ est égal à ce nombre.
Si $\mathrm {E} _{1}$ est un ensemble contenu dans $\mathrm {E}$, la borne inférieure de $\mathrm {E} _{1}$ est au moins égale à la borne inférieure de $\mathrm {E}$.
Si tous les nombres de $\mathrm {E}$ sont supérieurs ou égaux à un nombre $\mathrm {A}$, il en est de même de la borne inférieure de $\mathrm {E}$.
Quand un ensemble est borné à la fois supérieurement et inférieurement, on dit qu’il est borné.
11. Au lieu de dire qu’un ensemble est illimité supérieurement, nous conviendrons de dire qu’il a pour borne supérieure $+\infty$ ; et de même nous dirons qu’un ensemble a pour borne inférieure $-\infty$, s’il est illimité inférieurement. Tout se passe alors comme si, à l’ensemble $\mathrm {R}$ des nombres réels (que nous appellerons nombres finis), on adjoignait deux éléments : l’un, $+\infty$, supérieur par définition à tout nombre réel ; l’autre, $-\infty$, inférieur à tout nombre réel. Nous désignerons par $\mathrm {R'}$ l’ensemble $\mathrm {R}$ augmenté des éléments $+\infty$, $-\infty$, qui seront dits nombres infinis et seront considérés comme opposés l’un à l’autre ; d’après les conventions faites, $\mathrm {R'}$ est ordonné. Nous considérerons quelquefois des ensembles pouvant comprendre des éléments quelconques de $\mathrm {R'}$. On peut dire à ce sujet qu’un ensemble d’éléments appartenant à $\mathrm {R'}$ a toujours une borne supérieure et une borne inférieure, qui sont des éléments de $\mathrm {R'}$. Le mot nombre, employé seul, signifiera un nombre fini.
* ↑ Ou encore limite supérieure.