# L’Encyclopédie/1re édition/LIEU

LIEU, locus, s. m. (en Philosophie) c’est cette partie de l’espace immobile qui est occupée par un corps. Voyez Corps & Espace.
Aristote & ses sectateurs divisent le lieu en interne & en externe.
Le lieu interne est cet espace ou cette place qu’un corps contient.
Le lieu externe est celui qui renferme le corps : Aristote l’appelle encore la premiere surface concave & immobile du corps environnant.
On dispute fort dans les écoles sur la question du lieu interne. On demande, si c’est un être réel qui existe indépendamment des corps, ou seulement un être imaginaire ; c’est-à-dire, si c’est seulement une aptitude & une capacité de recevoir des corps ?
Il y en a qui soutiennent que c’est un être positif, incorporel, éternel, indépendant & infini ; & ils poussent leur assertion jusqu’à prétendre que le lieu interne constitue l’immensité de Dieu.
Les Cartésiens, au contraire, soutiennent que le lieu interne, considéré par abstraction, n’est pas différent de l’étendue des corps qui y sont contenus, & qu’ainsi il ne differe en rien des corps eux-mêmes. Voyez Matiere.
Les Scholastiques mettent pareillement en question, si le lieu externe est mobile ou immobile. On déduit son immobilité de cette considération, que tout ce qui se meut doit nécessairement quitter sa place ; ce qui ne pourroit arriver, si le lieu s’en alloit avec le mobile ; car si le lieu se mouvoit avec le mobile, le mobile ne changeroit pas de place. D’autres traitent d’absurde cette opinion d’Aristote ; ils prétendent que si un corps en mouvement change de lieu en ce sens qu’il répond continuellement par la surface extérieure à différens corps ou à différentes parties de l’espace, on devroit dire par la même raison qu’un corps réellement en repos change continuellement de place.
Par exemple, qu’une tour dans une plaine, ou un rocher au milieu de la mer, sont continuellement en mouvement, ou changent de place, à cause que l’un & l’autre sont perpétuellement enveloppés de nouvel air ou de nouvelle eau.
Pour résoudre cette difficulté, on a eu recours à une infinité d’expédiens. Les Scotistes tiennent que le lieu n’est immobile qu’équivalemment. Ainsi, disent-ils, quand le vent souffle, il est vrai que l’air qui environne la surface de la tour s’en éloigne ; mais tout de suite un autre air semblable & équivalent en prend la place. Les Thomistes aiment mieux déduire l’immobilité du lieu externe, de ce qu’il garde toujours la même distance au centre & aux points cardinaux du monde. Les Nominaux prétendent que l’immobilité du lieu externe consiste dans une correspondance avec certaine partie virtuelle de l’immensité divine. Nous passons légerement sur toutes ces rêveries qui doivent nécessairement trouver leur place dans un ouvrage destiné à l’histoire de l’esprit humain, mais qui ne doivent aussi y occuper que très-peu d’espace.
Les Cartésiens nient absolument que le lieu externe soit une surface environnante ou un corps environné : ils prétendent que c’est seulement la situation d’un corps parmi d’autres corps voisins, considéré comme en repos. Ainsi la tour, disent-ils, sera réputée rester dans le même lieu, quoique l’air environnant soit changé, puisqu’elle conserve toujours la même situation par rapport aux montagnes, aux arbres & aux autres parties de la terre qui sont en repos. Voyez Mouvement.
Il est visible que la question du lieu tient à celle de l’espace. Voyez Espace & Étendue.
Les Cartésiens ont raison, si l’espace & l’étendue ne sont rien de réel & de distingué de la matiere ; mais si l’étendue ou l’espace & la matiere sont deux choses différentes, il faut alors regarder le lieu comme une chose distinguée des corps, & comme une partie immobile & pénétrable de l’espace indéfini : on peut voir aux articles cités la discussion de cette opinion ; il est certain que suivant notre maniere ordinaire de concevoir, & indépendamment de toute subtilité philosophique, il a un espace indéfini que nous regardons comme le lieu général de tous les corps, & que les différentes parties de cet espace, lesquelles sont immobiles, sont le lieu particulier des différens corps qui y répondent. Au reste, comme on l’a remarqué au mot Élémens des Sciences, cette question du lieu est absolument inutile à la théorie du mouvement tel que tous les hommes le conçoivent. Quoi qu’il en soit, c’est de cette idée vulgaire & simple de l’espace & du lieu qu’on doit partir quand on voudra donner une notion simple & claire du mouvement.
C’est aussi d’après cette idée que M. Newton distingue le lieu en lieu absolu & en lieu relatif.
Le lieu absolu est cette partie de l’espace infini & immobile qui est occupée par un corps.
Le lieu relatif est l’espace qu’occupe un corps considéré par rapport aux autres objets qui l’environnent.
M. Locke observe que le lieu se prend aussi pour cette portion de l’espace infini que le monde matériel occupe ; il ajoute cependant que cet espace seroit plus proprement appellé étendue.
La véritable idée du lieu, selon lui, est la position relative d’une chose par rapport à sa distance de certains points fixes ; ainsi nous disons qu’une chose a ou n’a pas changé de place ou de lieu, quand sa distance n’a point changé par rapport à ces points. Quant à la vision du lieu des corps, Voyez Vision & Visible.
Lieu dans l’optique ou lieu optique, c’est le point auquel l’œil rapporte un objet.
Ainsi les points D, E, (Pl. opt. fig. 68.) auxquels deux spectateurs en d & en e rapportent l’objet C, sont appellés lieux optiques. Voyez Vision.
Si une ligne droite joignant les lieux optiques D, E, est parallele à une ligne droite qui passe par les yeux des spectateurs d, e, la distance des lieux optiques D, E sera à la distance des spectateurs d, e, comme la distance EC est à la distance Ce.
Le lieu optique ou simplement le lieu d’une étoile on d’une planete, est un point dans la surface de la sphere du monde, comme C ou B (Pl. ast. fig. 27.) auquel un spectateur placé en E ou en I, rapporte le centre de l’étoile ou de la planete S. Voyez Étoile, Planete, &c.
Ce lieu se divise en vrai & en apparent. Le lieu vrai est ce point B de la surface de la sphere où un spectateur, placé au centre de la terre, voit le centre de l’étoile ; ce point se détermine par une ligne droite, tirée du centre de la terre par le centre de l’étoile, & terminée à la sphere du monde. Voyez Sphere.
Le lieu apparent, est ce point de la surface de la sphere, où un spectateur placé sur la surface de la terre en E, voit le centre de l’étoile S. Ce point C se trouve par le moyen d’une ligne qui va de l’œil du spectateur à l’étoile, & se termine dans la sphere des étoiles. Voyez Apparent.
La distance entre ces deux lieux optiques, savoir le vrai & l’apparent, fait ce qu’on appelle la parallaxe. Voyez Parallaxe.
Le lieu astronomique du soleil, d’une étoile ou d’une planete, signifie simplement le signe & degré du zodiaque, où se trouve un de ces astres. Voyez Soleil, Étoiles, &c.
Ou bien c’est le degré de l’écliptique, à compter du commencement d’Aries, qui est rencontré par le cercle de longitude de la planete ou de l’étoile, & qui par conséquent indique la longitude du soleil, de la planete ou de l’étoile. Voyez Longitude.
Le sinus de la plus grande déclinaison du soleil, qui est environ 23°. 30′. est au sinus d’une déclinaison quelconque actuelle, donné ou observé, par exemple, 23°. 15′, comme le rayon est au sinus de la longitude ; ce qui donneroit, si la déclinaison étoit septentrionale, le 20°. 52′. des gémeaux ; & si elle étoit méridionale, 20°. 52′. du capricorne pour le lieu du soleil.
Le lieu de la lune est le point de son orbite où elle se trouve en un tems quelconque. Voyez Lune & Orbite.
Le lieu est assez long à calculer à cause des grandes inégalités qui se rencontrent dans les mouvemens de la lune, ce qui exige un grand nombre d’équations & de réductions avant que l’on trouve le lieu vrai. Voyez Équation & Lune.
Le lieu excentrique d’une planete dans son orbite, est le lieu de l’orbite où paroîtroit cette planete, si on la voyoit du soleil. Voyez Excentrique.
Ainsi supposons que NEOR (Pl. ast. fig. 26.) soit le plan de l’écliptique, NPOQ, l’orbite de la planete, le soleil en S, la terre en T, & la planete en P ; la ligne droite SP donne le lieu excentrique dans l’orbite.
Le lieu héliocentrique d’une planete ou son lieu réduit à l’écliptique, ou bien le lieu excentrique dans l’écliptique, est ce point de l’écliptique, auquel on rapporte une planete vue du soleil. Voyez Héliocentrique.
Si on tire la perpendiculaire PS à l’écliptique, la ligne droite RS, indique le lieu héliocentrique ou le lieu réduit à l’écliptique.
Le lieu geocentrique est ce point de l’écliptique, auquel on rapporte une planete vue de la terre. Voyez Géocentrique.
Ainsi NEOR représentant l’écliptique, &c. T, R donnera le lieu géocentrique. Sur le calcul du lieu d’une planete, voyez Planete, Équation, &c. Chambers. (O)
Lieu géometrique, signifie une ligne par laquelle se résout un problème géométrique. Voyez Problème & Geometrique.
Un lieu est une ligne dont chaque point peut également résoudre un problème indéterminé. S’il ne faut qu’une droite pour construire l’équation du probleme, le lieu s’appelle alors lieu à la ligne droite ; s’il ne faut qu’un cercle, lieu au cercle ; s’il ne faut qu’une parabole, lieu à la parabole ; s’il ne faut qu’une ellipse, lieu à l’ellipse, & ainsi des autres, &c.
Les anciens nommoient lieux plans, les lieux des équations qui se réduisent à des droites ou à des cercles ; & lieux solides ceux qui sont ou des paraboles, ou des hyperboles, ou des ellipses.
M. Wolf donne une autre définition des lieux, & il les range en différens ordres, selon le nombre de dimensions auxquelles la quantité indéterminée s’éleve dans l’équation. Ainsi ce sera un lieu du premier ordre, si l’équation est $\scriptstyle x={\frac {ay}{c}}$ ; un lieu du second ordre, si c’est $\scriptstyle y^{2}=ax$, ou $\scriptstyle y^{2}=a^{2}-x^{2}$, &c. un lieu du troisieme, si on a pour équation $\scriptstyle y^{3}=a^{2}x$, ou $\scriptstyle y^{3}=ax^{2}-x^{3}$… &c.
Pour mieux concevoir la nature des lieux géométriques, supposons deux droites inconnues & variables AP, PM (Pl. d’analyse, fig. 29, 30), qui fassent entre elles un angle donné quelconque. APM, dont nous nommerons l’une, par exemple AP, qui a son origine fixe en A, & qui s’etend indéfiniment dans une direction donnée, x, & l’autre PM, qui change continuellement de position & de grandeur, mais qui reste toujours parallele à elle-même, y. Supposons de plus une équation qui ne contienne d’inconnues que ces deux quantités x, y, mêlées avec des quantités connues, & qui exprime le rapport de la variable AP, x, à la valeur de PM, ou de l’y correspondante ; enfin imaginons qu’a l’extrémité de chaque valeur possible de x, on ait tracé en effet l’y correspondante que cette équation détermine ; la ligne droite ou courbe qui passera par les extrémités de toutes les y ainsi tracées, ou par tous les points M, sera nommée en général lieu géométrique, & lieu de l’équation proposée en particulier.
Toutes les équations dont les lieux sont du premier ordre peuvent se réduire à quelqu’une des quatre formules suivantes : 1$^o$. $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}$ : 2$^o$. $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}+c$ : 3$^o$. $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}-c$ : 4$^o$. $\scriptstyle y=c-{\frac {bx}{a}}$, dans lesquelles la quantité inconnue y est supposée toûjours avoir été délivrée de fractions, la traction qui multiplie l’autre inconnue x est supposée réduite à cette expression $\scriptstyle {\frac {b}{a}}$ ; & tous les autres termes sont comme censés réduits à celui $\scriptstyle +c$. Le lieu de la premiere formule est d’abord déterminé, puisqu’il est évident que c’est une droite qui coupe l’axe dans son origine A, & qui fait avec lui un angle tel que les deux inconnues x, y soient toûjours entre elles comme a est à b. Or supposant ce premier lieu connu, il faudra pour trouver celui de la seconde formule $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}+c$, prendre d’abord sur la ligne AP (fig. 31.), une partie AB = a, & tirer BE = b & AD = c paralleles à PM. Vous tirerez ensuite du même côté que AP & vers E la ligne AE d’une longueur indéfinie, & la ligne droite & indéfinie DM parallele à AE ; je dis que la ligne DM est le lieu de l’équation, ou la formule que nous voulions construire. Car si par un point quelconque M de cette ligne, on tire MP parallele à AQ, les triangles ABE, APF, seront semblables ; ce qui donnera $\scriptstyle AB,a,BE,b{\text{ :: }}AP$, $\scriptstyle x.PF={\frac {bx}{a}}$, & par conséquent $\scriptstyle Pm(y)=PF({\frac {bc}{a}})+FM(c)$. Si on fait $\scriptstyle c=0$, c’est à-dire si les points DA tombent l’un sur l’autre, & DM sur AF, la ligne AF sera alors le lieu de l’équation $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}$. Pour trouver le lieu de la troisieme formule, il faudra s’y prendre de cette sorte : vous ferez $\scriptstyle AB=a$ (fig. 32.) & vous tirerez les droites $\scriptstyle BE=b$, $\scriptstyle AD=c$ paralleles à PM, l’une de l’un des côtés de AP, & l’autre de l’autre côté : par les points A, E, vous tirerez la droite AE, que vous prolongerez indéfiniment vers E, & par le point D la ligne DM, parallele à AE, je dis que la droite indéfinie GM sera le lieu cherché. Car nous aurons toûjours $\scriptstyle PM(y)=PF$, $\scriptstyle ({\frac {bx}{a}})-FM(c)$. Enfin pour trouver le lieu de la quatrieme formule, sur AP (fig. 33.), vous prendrez AB = a, & vous tirerez BE = b, & AD = c, l’une d’un des côtés de AP, & l’autre de l’autre côté. De plus, par les points A, E, vous tirerez AE, que vous prolongerez indéfiniment vers E, & par le point D la ligne DM parallele à AE, je dis que DG sera le lieu cherché. Car si par un de ses points quelconques M on tire la ligne MP parallele à AQ, on aura toûjours $\scriptstyle PM(y)=FM(c)-PF({\frac {bc}{a}})$.
Il s’ensuit de là qu’il n’y a de lieu du premier degré que les seules lignes droites ; ce qui peut se voir facilement, puisque toutes les équations possibles du premier degré se réduisent à l’une des formules précédentes.
Tous les lieux du second degré ne peuvent être que des sections coniques, savoir la parabole, l’ellipse ou le cercle, qui est une espece d’ellipse, & l’hyperbole, qui dans certains cas devient équilatere : si on suppose donc donnée une équation indéterminée, dont le lieu soit du second degré, & qu’on demande de décrire la section conique qui en est le lieu ; il faudra commencer par considérer une parabole, une ellipse & une hyperbole quelconque, en la rapportant à des droites ou des coordonnées, telles que l’équation qui en exprimera la nature, se trouve être par là la plus composée & la plus générale qu’il soit possible. Ces équations les plus générales, ou ces formules des trois sections coniques & de leurs subdivisions étant découvertes, & en ayant examiné les caracteres, il sera aisé de conclure à laquelle d’entr’elles se rapportera l’équation proposée, c’est-à dire quelle section conique cette même équation aura pour lieu. Il ne s’agira plus après cela que de comparer tous les termes de l’équation proposée avec ceux de l’équation générale du lieu, auquel on aura trouvé que cette équation se rapporte, cela déterminera les coefficiens de cette équation générale, ou ce qui est la même chose, les droites qui doivent être données de proportion & de grandeur pour décrire le lieu ; & ces coefficiens ou ces droites étant une fois déterminées, on décrira facilement le lieu, par les moyens que les traités des sections coniques fournissent.
Par exemple que AP, x, PM, y soient deux droites inconnues & variables (fig. 34) ; & que m, p, r, s, soient des droites données ; sur la ligne AP, prenez la portion AB = m, & tirez BE = n, AD = r ; & par le point A, tirez AE = e, & par le point D, la ligne indéfinie DG parallelle à AE ; sur DG, prenez DC = s, & prenant CG pour diametre, les ordonnées paralleles a PM, & la ligne CH = p pour parametre, décrivez la parabole CM, & elle sera le lieu de la formule générale suivante.
$\scriptstyle yy-{\frac {2n}{m}}xy+{\frac {nn}{mm}}=0$
$\scriptstyle yy$$\scriptstyle -2ry+{\frac {2nr}{m}}x$
$\scriptstyle yy-2ry\$$\scriptstyle -{\frac {ep}{m}}x$
$\scriptstyle yy-2ry\$$\scriptstyle +rr$
$\scriptstyle yy-2ry\$$\scriptstyle +ps$
car si d’un de ses points quelconques M on tire l’ordonnée PM, les triangles ABE, APF, seront semblables, & par conséquent
$\scriptstyle AB(m){\text{ : }}AE(e){\text{ :: }}AP(x){\text{ : }}AF$ ou $\scriptstyle DG={\frac {cx}{m}}$ & $\scriptstyle AB(m){\text{ : }}BE(n){\text{ :: }}AP(x){\text{ : }}PF={\frac {nx}{m}}$, & par conséquent $\scriptstyle GM$ ou $\scriptstyle PM-PF-FG=y-{\frac {nx}{r}}-r$, & $\scriptstyle CG$ ou $\scriptstyle DG-DC={\frac {cx}{m}}-s$. Mais par la nature de la parabole $\scriptstyle {\overline {GM}}^{2}=CG\times CH$ ; & cette derniere équation deviendra la formule générale elle-même, si on y substitue à la place des droites qui sont employées, leurs valeurs marquées ci-dessus.
Cette équation est la plus générale qui puisse appartenir à la parabole, puisqu’elle renferme 1°. le quarré de chacune des inconnues x, y ; 2°. le produit xy de l’une par l’autre ; 3°. les inconnues linéaires x, y, & un terme tout constant. Une équation du second degré, ou les indéterminées x, y, se trouvent mêlées, ne sauroit contenir un plus grand nombre de termes.
Par le point fixe A, tirez la droite indéfinie AQ, (fig. 35) parallele à PM ; prenez AB = m, tirez BE = n parallele à AP, & par les points déterminés AE, la droite AE = e ; sur AP, prenez AD = r, tirez la droite indéfinie DG, parallele à AE, & prenez la portion DC = s. Enfin prenant pour diametre CG, & supposant les ordonnées paralleles à AP, & pour parametre la ligne CH = p, décrivez une parabole CM ; cette parabole seroit le lieu de cette seconde équation ou formule.
$\scriptstyle xx-{\frac {2n}{m}}yx+{\frac {nn}{mm}}yy=0$
xx$\scriptstyle -2rx-{\frac {cp}{m}}y$
xx - 2rx$\scriptstyle +rr$
xx - 2rx$\scriptstyle +ps$
car si d’un point quelconque M on tire la droite MQ parallele à AP, on aura $\scriptstyle AB(m){\text{ : }}AE(e){\text{ : }}{\text{ : }}AQ$ ou $\scriptstyle PM(y){\text{ : }}AF$ ou $\scriptstyle DG={\frac {cy}{m}}$ & $\scriptstyle AB(m){\text{ : }}BE(n){\text{ : }}{\text{ : }}AQ(y){\text{ : }}QF={\frac {ny}{m}}$, & par conséquent $\scriptstyle GM$ ou $\scriptstyle QM-QF-FG=x-{\frac {ny}{m}}-r$ & $\scriptstyle CG$ ou $\scriptstyle DG-FC={\frac {cy}{m}}-s$ & ainsi par la propriété de la parabole, vous trouverez encore la seconde des équations générales ou des formules précédentes ; & vous vous y prendrez de la même sorte, pour trouver les équations générales ou les formules des autres sections coniques.
Si on demande maintenant de décrire la parabole qui doit être le lieu de l’équation suivante, que nous supposerons donnée $\scriptstyle yy-2ay-bx+cc=0$, comme $\scriptstyle yy$ se trouve ici sans fraction, de même que dans notre premiere formule, il vaudra mieux comparer la proposée avec cette premiere formule qu’avec l’autre ; & d’abord puisque le rectangle xy ne se trouve point dans la proposée, ou qu’il peut y être censé multiplié par 0, nous en conclurons que la fraction $\scriptstyle {\frac {2n}{m}}$ doit être = 0, & par conséquent aussi qu’on doit avoir n, ou BE = 0 ; de sorte que les points B, E, doivent être co-incidens, ou que la droite AE doit tomber sur AB & lui être égale, c’est-à-dire que m = e : détruisant donc dans la formule tous les termes affectés de $\scriptstyle {\frac {n}{m}}$ ou de n, & substituant par-tout m à la place de e, elle se changera en '$\scriptstyle 'yy-2ry-px+rr+ps=0$, & comparant encore les termes correspondans$\scriptstyle -2ry$, & $\scriptstyle -2ay$, $\scriptstyle -px$ & $\scriptstyle -bx$, enfin $\scriptstyle rr+ps$, & $\scriptstyle cc$, nous aurons $\scriptstyle r=a$, $\scriptstyle p=b$, & en substituant ces valeurs dans la derniere équation de comparaison, $\scriptstyle aa+bs=cc$, ou bien $\scriptstyle s={\frac {cc-aa}{b}}$, qui par conséquent sera une quantité négative, si a est plus grand que c, comme nous le supposons ici. Il ne serviroit de rien de comparer les deux premiers termes, parce qu’étant les mêmes des deux côtés, savoir $\scriptstyle yy$, cette comparaison ne pourroit rien faire découvrir.
Or les valeurs de m, n, r, p, s, ayant été ainsi trouvées, on construira facilement le lieu cherché par les moyens qui nous ont servi à la construction de la formule & de la maniere suivante, comme BE (n) est = 0 (fig. 36.) & que les points B, E, coincident, ou que AE tombe sur AP, il faudra par cette raison tirer du point A la droite AD (r) parallele à PM & = a, & la droite DG parallele à AP, dans laquelle vous marquerez la droite DC $\scriptstyle (S)={\frac {aa-cc}{b}}$, laquelle doit être prise au-delà de l’origine, dans un sens opposé à DG ou AP, parce que la fraction $\scriptstyle {\frac {aa-cc}{b}}$ est négative par la supposition. Ensuite regardant DC comme diametre, prenant des ordonnées paralleles à PM, & la droite CH $\scriptstyle (p)=b$ pour parametre ; vous décrirez une parabole, je dis qu’elle sera le lieu de l’équation donnée, & il est en effet aisé de le prouver. Si c’eût été le quarré $\scriptstyle xx$ qui se fût trouvé tout-d’un-coup sans fraction dans la proposée, il auroit été alors plus naturel de se servir de la seconde formule. On voit au reste qu’au moyen d’une division fort facile, on peut délivrer des fractions tel des deux quarrés qu’on voudra ; & il faudroit commencer par cette division, si l’on voyoit que la comparaison des termes en dût devenir plus simple.
Voilà une idée de la méthode de construire les lieux des équations lorsqu’ils doivent être des sections coniques, ou ce qui est la même chose, lorsque les équations ne passent pas le second degré : car on doit sentir que les lieux à l’ellipse & à l’hyperbole, doivent se déterminer par une méthode semblable.
Mais une pareille équation étant donnée, au lieu de demander comme tout-à-l’heure, d’en construire le lieu, si on se contente de demander quelle doit être l’espece de la section conique qui en est le lieu, si c’est une parabole, une ellipse ou même un cercle, un hyperbole équilatere, ou non équilatere, il faudroit pour en juger commencer par faire passer d’un même côté tous les termes de l’équation, de façon qu’il restât zero de l’autre côté ; & cela étant fait, il pourroit se présenter deux cas différens.
Premier cas ; supposons que le rectangle xy, ne se trouve point dans l’équation ; alors 1°. s’il n’y a qu’un des deux quarrés $\scriptstyle yy$, ou $\scriptstyle xx$, le lieu sera une parabole. 2°. Si les deux quarrés s’y trouvent tout-à-la-fois & avec le même signe, le lieu sera une ellipse, & en particulier un cercle, lorsque ni l’un ni l’autre des deux quarrés n’aura de coefficient, ou (si on n’avoit point réduit l’un d’eux à n’en point avoir), lorsqu’ils auront les mêmes coefficiens, & que de plus l’angle des coordonnées sera droit. 3°. si les deux quarrés xx, & yy se trouvent dans l’équation, & avec des signes différens, le lieu sera une hyperbole laquelle deviendra équilatere dans les mêmes suppositions, qui font de l’ellipse un cercle.
Second cas ; quand le rectangle xy se trouve dans l’équation, alors 1°. si il ne s’y trouve aucun des deux quarrés, qu’il ne s’y en trouve qu’un, ou encore qu’ils s’y trouvent tous deux avec différens signes, ou enfin que s’y trouvant tous deux avec les mêmes signes, le quarré du coefficient qui multiplie xy, soit plus grand que le quadruple du rectangle des coefficiens de xx & yy, dans toutes ces suppositions le lieu sera une hyperbole. 2°. Si ces deux quarrés s’y trouvant toujours, & étant de même signe ; si le quarré du coefficient xy, est plus petit que le quadruple du rectangle des coefficiens de xx & yy, le lieu sera alors une ellipse. 3°. Enfin, si dans la même supposition ce quarré & le quadruple du rectangle dont nous venons de parler, sont égaux entre eux, le lieu sera alors une parabole.
Cette méthode de construire les lieux géometriques, en les rapportant aux équations les plus composées qu’il soit possible, est dûe à M. Craig, auteur anglois, qui l’a publiée le premier dans son traité de la quadrature des courbes, en 1693. Elle est expliquée fort au long dans le septieme & le huitieme livre des sections coniques de M. le Marquis de l’Hôpital, qui sans doute en auroit fait honneur au géometre anglois, s’il eût eu le tems de mettre la derniere main à son ouvrage.
M. Guisnée, dans son application de l’Algebre à la Géométrie, donne une autre méthode pour construire les lieux géométriques. Elle est plus commode à certains égards que la précédente, en ce qu’elle apprend à construire tout d’un coup & immédiatement une équation donnée, sans la rapporter à une équation plus générale ; mais d’un autre côté elle demande aussi dans la pratique plus de précaution pour ne se point tromper.
Nous ne devons pas oublier de dire que M. l’abbé de Gua, dans les usages de l’analyse de Descartes, pag. 342, remarque une espece de faute qu’on pourroit reprocher aux auteurs qui ont écrit jusqu’ici sur la construction des lieux géométriques, & fait voir cependant que cette faute n’a point dû tirer à conséquence dans les regles ou les méthodes que ces auteurs ont données.
Cette faute, qu’il seroit trop long de détailler ici, consiste en général en ce que ces auteurs n’ont enseigné à réduire à l’hyperbole entre ses asymptotes, que les lieux où il manque un des quarrés x, y. On peut réduire à l’hyperbole entre ses asymptotes une équation même qui contiendroit ces deux quarrés, mais alors aucune des deux asymptotes ne seroit parallele à la ligne des x, ni à celle des y. Voyez Transformation des Axes ; voyez aussi sur les lieux en général, & sur ceux aux sections coniques en particulier ; les articles Courbe, Equation, Conique, Ellipse, Construction, &c. (O)
Lieux-communs, (Rhétor.) ce sont dans l’art oratoire, des recueils de pensées, de réflexions, de sentences, dont on a rempli sa mémoire, & qu’on applique à propos aux sujets qu’on traite, pour les embellir ou leur donner de la force. Démosthène n’en condamne pas l’emploi judicieux ; il conseille même aux orateurs qui doivent souvent monter sur la tribune pour y traiter différens sujets, de faire une provision d’exordes & de péroraisons. Cicéron, (& nous n’avons rien au dessus de ses préceptes, ni peut-être de ses exemples) vouloit, de plus que Démosthène, qu’on eût des sujets entiers traités d’avance & des discours préparés dans l’occasion, aux noms & aux circonstances près ; mais ces beaux génies n’avoient-ils pas un fond assez riche dans leur propre enthousiasme, & dans la fécondité de leurs talens, sans recourir à ces sortes de ressources ? Il semble que leur méthode ne pouvoit guere être d’usage que pour les esprits médiocres qui faisoient à Athènes & à Rome une espece de trafic de l’éloquence. Cette même méthode serviroit encore moins dans notre barreau, où l’on ne traite que de petits objets de droit écrit & de droit coutumier, dans lesquels il ne s’agit que d’exposer ses demandes ou ses moyens d’appel, selon les regles de la jurisprudence des lieux. (D. J.)
Lieux, les, s. m. pl. (Archit. mod.) terme synonyme à aisance, commodités, privés. Voyez ces trois mots.
On pratique ordinairement les lieux à rez-de-chaussée, au haut d’un escalier ou dans les angles. Dans les grands hôtels & dans les maisons commodes, on les place dans de petits escaliers, jamais dans les grands ; dans les maisons religieuses & de communauté, les aisances sont partagées entre plusieurs cabinets de suite, avec une cuillier de pierre, percée pour la décharge des urines.
Elles doivent être carrelées, pavées de pierre ou revêtues de plomb, & en pente du côté du siege, avec un petit ruisseau pour l’écoulement des eaux dans la chaussée, percée au bas de la devanture.
On place présentement les aisances dans les garderobes, où elles tiennent lieux de chaises percées : on les fait de la derniere propreté, & en forme de baguette, dont le lambris se leve & cache la lunette. La chaussée d’aisance est fort large & fort profonde, pour empêcher la mauvaise odeur : on y pratique aussi de larges ventouses ; le boisseau qui tient à la lunette est en forme d’entonnoir renversé, & soutenu par un cercle de cuivre à feuillure, dans lequel s’ajuste une soupape de cuivre, qui s’ouvre & se ferme en levant & fermant le lambris du dessus, ce qui empêche la communication de la mauvaise odeur. On pratique dans quelque coin de ces lieux, ou dans les entresolles au-dessus, un petit réservoir d’eau, d’où l’on amene une conduite, à l’extrémité de laquelle est un robinet qui sert à laver les urines qui pourroient s’être attachées au boisseau & à la soupape. On pratique aussi une autre conduite qui vient s’ajuster dans le boisseau, & à l’extrémité de laquelle est un robinet. Ce robinet se tire au moyen d’un registre vers le milieu du boisseau, ce qui sert à se laver à l’eau chaude & à l’eau froide, suivant les saisons. Ces robinets s’appellent flageolets, & ces aisances lieux à l’angloise, parce que c’est aux Anglois qu’on en doit l’invention. (D. J.)
Lieu, (Maréch.) ce terme se dit de la posture & de la situation de la tête du cheval ; ainsi un cheval qui porte en beau lieu, ou simplement qui porte beau, est celui qui soutient bien son encolure, qui l’a élevée & tournée en arc comme le cou d’un cygne, & qui tient la tête haute sans contrainte, ferme & bien placée. Voyez Encolure.
Lieu hilegiaux, en terme d’Astrologie, sont ceux qui donnent à la planete qui s’y trouve le pouvoir de dominer sur la vie qu’on lui attribue. Voyez Hilegiau.
Lieu, terme de Pêche, sorte de poisson du genre des morues, & semblable aux éperlans, excepté qu’il est plus gros & plus ventru, & que sa peau est beaucoup plus noire. Cette pêche commence à Pâques, & finit à la fin de Juin, parce qu’alors les Pêcheurs s’équipent pour la pêche du congre ; ce sont les grands bateaux qui y sont employés ; la manœuvre de cette pêche est particuliere ; il faut du vent pour y réussir, & que le bateau soit à la voile ; on amorce les ains ou hameçons d’un morceau de peau d’anguille, en forme de petite sardine ; le lieu qui est fort vorace & goulu, n’a pas le tems par la dérive du bateau d’examiner l’appât & de le dévorer ; ainsi il sert à faire la pêche de plusieurs lieux.
On sale ce poisson pendant deux jours, après l’avoir dépouillé de sa tête & ouvert par le ventre. Deux fois vingt-quatre heures après on le retire du sel, on le lave dans l’eau de mer, & on l’expose à terre au soleil pendant plusieurs jours jusqu’à ce qu’il soit sec ; quand son apprêt est fini, on le met en grenier, & les Pêcheurs le viennent vendre à la saint Michel aux marchands d’Audierne qui l’achetent depuis sept jusqu’à dix livres le cent pesant ; ces derniers le mettent en paquets de deux quintaux pesant, & l’envoient ensuite à leur risque à Bordeaux en tems de foire.
Ce poisson au contraire du congre sec qui déperit continuellement par les mittes qui le consomment, ne déperit point par la garde ; quand il est une fois bien sec, il augmente de poids par l’humidité ; la consommation s’en fait en France ; on prépare le lieu sec comme on fait la morue de même qualité.
Les Pêcheurs sont tous à la part ; le bateau, le maître & chaque matelot n’ont chacun également qu’un lot.
Ils ont de cinq principales especes d’ains ; les plus gros semblables à ceux des Pêcheurs de Terre-neuve sur le Banc, servent à la pêche des congres & des posteaux ; les deuxiemes à prendre les lieux ; les troisiemes pour la pêche des vieilles ; les quatriemes hameçons ou claveaux servent à prendre des dorées, des plombs, & autres semblables poissons, dont les chairs servent de boîte & d’appât aux claveaux, & les plus petits pour les moindres dorées qui servent aussi à boiter ; cette derniere sorte d’hameçons & plusieurs autres moindres servent pour le même usage.