# Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 08
### CHAPITRE VIII.

49. Une équation du premier ordre en $x,y$ et $y'$ étant donnée, si l’on peut, par des opérations quelconques, la ramener à la forme
$f(x,y)'=0,$
où $f(x,y)'$ désigne la fonction prime d’une fonction de $x,y$ marquée par $f(x,y),$ on aura sur-le-champ l’équation primitive
$f(x,y)=a,$
dans laquelle $a$ sera la constante arbitraire.
Par exemple, l’équation $y'=0$ donne sur-le-champ $y=a\,;$ l’équation $xy'-y=0,$ étant divisée par $x^{2},$ se réduit à $\left({\frac {y}{x}}\right)'=0\,;$ j’entends par $\left({\frac {y}{x}}\right)'$ la fonction prime de la quantité ${\frac {y}{x}}$ renfermée entre les deux parenthèses d’où l’on tire ${\frac {y}{x}}=a,$ ou bien, en divisant la même équation par $xy,$ elle devient
${\frac {y'}{y}}-{\frac {1}{x}}=0,$
dans laquelle les variables $x,y$ ne sont plus mêlées. Prenant donc la fonction primitive de chaque terme, on aura
$\operatorname {l} y-\operatorname {l} x=\operatorname {l} a,$
$\operatorname {l}$
${\frac {y}{x}}=a,$
En général, si l’on peut réduire l’équation à la forme
$f(x)+y'\operatorname {F} (y)=0,$
où les variables sont séparées, il n’y aura qu’à prendre les fonctions primitives de $f(x)$ et de $y'\operatorname {F} (y),$ et faire la somme égale à une constante arbitraire $a,$ et la même chose aura lieu si l’on peut ramener la proposée à cette forme par une substitution quelconque.
Soit, par exemple, une équation de la forme
$y'=f\left({\frac {y}{x}}\right).$
Je fais ${\frac {y}{x}}=u\,;$ donc $y=xu,$ $y'=xu'+u,$ et l’éguation devient, par ces substitutions,
$xu'+u=f(u),$
laquelle peut se mettre sous la forme
${\frac {1}{x}}+{\frac {u'}{u-f(u)}}=0,$
qui est comprise dans la précédente.
Si l’on avait l’équation
$y=xf(y'),$
au lieu de la réduire à la forme précédente, j’en prendrais les fonctions primes, ce qui me donnerait
$y'=xy''f'(y')+f(y'),$
équation réductible à la forme
${\frac {1}{x}}+{\frac {y''f'(y')}{f(y')-y'}}=0,$
et qui, en faisant $y'=u,$ rentre encore dans le cas précédent. Ayant trouvé ainsi une équation primitive entre $x$ et $u$ avec une constante arbitraire, c’est-à-dire entre $x$ et $y',$ on chassera $y'$ par le moyen de la
$x$
$y$
50. De cette manière, on ramène, comme l’on voit, la recherche des fonctions primitives de deux variables à celle des fonctions primitives d’une seule variable ; mais, comme on n’y parvient ordinairement qu’en employant pour $x$ et $y$ d’autres variables, comme $t$ et $u,$ c’est-à-dire en substituant pour $x$ et $y$ des fonctions données de $t$ et $u,$ il faut observer, à l’égard de ces substitutions, que, $u$ devenant fonction de $t$ en vertu de l’équation qui a lieu entre $x$ et $y,$ ces deux variables devront être aussi regardées comme fonctions de $t.$ Donc, ayant supposé $y=f(x),$ on aura, en regardant maintenant $x$ et $y$ comme fonctions de $t,$ $y'=xf'(x)$ (n$^o$ 16) ; mais, lorsqu’on regarde $y$ simplement comme fonction de $x,$ on a $y'=f'(x),$ comme nous l’avons fait jusqu’ici donc, pour passer de cette hypothèse à celle où $x$ et $y$ sont fonctions de $t,$ il faut mettre à la place de $y'$ la quantité ${\frac {y'}{x'}}.$
Ainsi, ayant à transformer l’équation
$y'=\operatorname {F} (x,y),$
on commencera par la changer en
$y'=x'\operatorname {F} (x,y)\,;$
ensuite on y substituera pour $x,y,x',y'$ leurs valeurs en $t,u$ et $u',$ où $u'$ sera la fonction prime de $u,$ regardé comme fonction de $t.$
De même, puisque $y''$ est la fonction prime de $y',$ regardé comme fonction de $x,$ il faudra substituer pour $y''$ la quantité ${\cfrac {\left({\cfrac {y'}{x'}}\right)'}{x'}},$ c’est-à-dire ${\frac {y''}{x'^{2}}}-{\frac {y'x''}{x'^{3}}},$ et ainsi de suite.
Donc, si dans une équation, au lieu de regarder $y$ comme fonction de $x,$ on voulait réciproquement regarder $x$ comme fonction de $y,$ alors la fonction prime de $y$ deviendrait l’unité, et l’on y substituerait simplement ${\frac {1}{x'}}$ pour $y',$ $-{\frac {x''}{x'^{3}}}$ pour $y'',$ et ainsi de suite.
51. Il y a, au reste, une manière générale de trouver l’équation primitive d’une équation dérivée d’un ordre quelconque elle consiste à rendre le premier membre de l’équation, dont le second est zéro, une fonction dérivée exacte par le moyen d’un multiplicateur. On trouvera dans la Leçon XIII du Calcul des fonctions une démonstration de l’existence de ce multiplicateur dans toutes les équations dérivées ; mais la recherche en est le plus souvent très-difficile, ce qui rend cette méthode plus curieuse qu’utile.
52. Quant à la manière de trouver les fonctions primitives des fonctions d’une seule variable, comme de $\operatorname {F} (x)$ ou de $y'\operatorname {F} (y),$ on sait que, si $\operatorname {F} (x)$ est une fonction rationnelle de $x,$ on peut toujours la décomposer en différents termes de la forme $x^{m}$ ou ${\frac {1}{(a+bx)^{m}}},$ $m$ étant un nombre entier positif et $a+bx$ un facteur du dénominateur de la fonction, s’il en a un. Ainsi la fonction primitive de $\operatorname {F} (x)$ sera composée d’autant de termes de la forme ${\frac {x^{m+1}}{m+1}}$ et ${\frac {(a+bx)^{1-m}}{b(1-m)}},$ ou $\operatorname {l} x$ si $m=-1,$ et ${\frac {\operatorname {l} (a+bx)}{b}}$ si $m=1,$ et il en sera de même de la fonction primitive de $y'\operatorname {F} (y)$ (n$^o$ 32).
Si $\operatorname {F} (x)$ contient des quantités irrationnelles, on les fera disparaître par des substitutions, ce qui n’est possible en général, par les méthodes connues, que pour les radicaux de la forme ${\sqrt {a+bx+cx^{2}}}.$ Quand il y a dans $\operatorname {F} (x)$ des radicaux plus compliqués, ou même quand il y a plus d’un radical de cette forme, la recherche de la fonction primitive devient impossible en général par les méthodes connues, et l’on ne peut l’obtenir que par le moyen des séries, soit en faisant disparaître les radicaux par leur résolution en série, soit en employant la méthode générale pour le développement en série de toute fonction de $x$ (n$^o$ 33). Pour cela, on supposera $f'(x)=\operatorname {F} (x)\,;$ de là on aura
$f''(x)=\operatorname {F} '(x),\quad f'''(x)=\operatorname {F} ''(x),\quad \ldots .$
Donc la valeur de $f(x),$ fonction primitive de $\operatorname {F} (x),$ sera représentée ainsi,
$f(x)=f+x\operatorname {F} +{\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {F} '+{\frac {x^{3}}{2.3}}\operatorname {F} ''+\ldots ,$
les quantités $f,\mathrm {F} ,\mathrm {F} ',\ldots$ étant les valeurs de $f(x),\operatorname {F} (x),\operatorname {F} '(x),\ldots$ lorsque $x=0,$ où l’on voit que $f$ sera une constante indéterminée.
53. Si, pour une équation proposée d’un ordre quelconque, on parvient à trouver une équation d’un ordre inférieur qui ne renferme point de constantes arbitraires ou qui n’en renferme pas autant qu’il peut y en avoir, alors cette équation ne pourra pas être regardée comme une équation primitive complète, mais elle ne sera qu’un cas particulier de cette équation, dans lequel on aurait donné aux constantes arbitraires des valeurs particulières.
Mais il y a un cas très-étendu, dans lequel il suffit d’avoir plusieurs valeurs particulières de $y$ en $x$ pour pouvoir en obtenir la valeur complète c’est celui où l’équation d’un ordre quelconque ne renferme les $y,y',y'',\ldots$ que sous la forme linéaire.
Soit, en effet, proposée l’équation
$\mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+\mathrm {D} y'''+\ldots =0,$
dans laquelle $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ soient des fonctions données de $x$ seul. Soient $p,q,r,\ldots$ des fonctions différentes de $x$ qui, étant substituées pour $y,$ satisfassent chacune en particulier à cette équation. Je dis que l’on aura, en général,
$y=ap+bq+cr+\ldots ,$
$a,b,c,\ldots$ étant des constantes arbitraires, ce qui est évident, car cette expression de $y,$ étant substituée dans la même équation, $y$ satisfera indépendamment des constantes. D’où il suit que, si le nombre des valeurs particulières $p,q,r,\ldots$ est égal à celui de l’ordre de l’équa-
$y^{'''\ldots }$
$y.$
Mais il y a plus on peut alors trouver aussi la valeur complète de $y,$ qui satisfera à l’équation
$\mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+\ldots =\mathrm {X} ,$
$\mathrm {X}$ étant aussi une fonction quelconque de $x.$
Comme cette méthode est une des plus utiles dans ce genre d’analyse, je crois devoir l’exposer ici en peu de mots.
54. Supposons que l’équation proposée soit du troisième ordre ; on verra aisément que la méthode est générale pour un ordre quelconque. Soit donc l’équation
$\mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+y'''=\mathrm {X} ,$
et soient $p,q,r$ trois valeurs différentes et particulières de $y$ et $x$ qui satisfassent à l’équation
$\mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+y'''=0,$
en sorte que l’on ait
${\begin{aligned}&\mathrm {A} p+\mathrm {B} p'+\mathrm {C} p''+p'''=0,\\&\mathrm {A} q+\mathrm {B} q'+\mathrm {C} q''\,+q'''=0,\\&\mathrm {A} r+\mathrm {B} r'\,+\mathrm {C} r''\,+r'''=0.\end{aligned}}$
Supposons $y=ap+bq+cr,$ et regardons $a,b,c,\ldots ,$ comme trois fonctions inconnues de $x$ qu’il s’agira de déterminer ; en prenant les fonctions primes, secondes et tierces de $y,$ on aura d’abord
$y'=ap'+bq'+cr'+pa'+qb'+rc'.$
Je suppose $pa'+qb'+rc'=0\,;$ j’aurai simplement
$y'=ap'+bq'+cr'.$
De là, en prenant de nouveau les fonctions primes, j’aurai
$y''=ap''+bq''+cr''+a'p'+b'q'+c'r'.$
$a'p'+b'q'+c'r'=0\,;$
$y''=ap''+bq''+cr'',$
d’où je tire, en prenant encore les fonctions primes,
$y'''=ap'''+bq'''+cr'''+a'p''+b'q''+c'r''.$
Je substitue maintenant les valeurs de $y,y',y''$ et $y'''$ dans l’équation proposée ; il est visible que, par la nature des quantités $p,q,r,$ les termes qui contiendront $a,b,c$ se détruiront, et il ne restera que l’équation
$a'p''+b'q''+c'r''=\mathrm {X} ,$
qui, étant combinée avec les deux équations supposées
${\begin{aligned}&a'p\ +b'q\ +c'r\ =0,\\&a'p'+b'q'+c'r'=0,\end{aligned}}$
servira à déterminer les trois quantités $a',b',c',$ les quantités $p,q,r$ et leurs fonctions primes et secondes étant connues, ainsi que la quantité $\mathrm {X} .$
Supposons donc qu’on ait trouvé $a'=\mathrm {P} ,$ $b'=\mathrm {Q} ,$ $c'=\mathrm {R} \,;$ ces quantités $\mathrm {P,Q,R}$ étant des fonctions connues de $x,$ il n’y aura qu’à les regarder comme des fonctions primes et en chercher les fonctions primitives, qui contiendront chacune une constante arbitraire qui pourra lui être ajoutée. On aura ainsi les valeurs des inconnues $a,b,c$ qu’on substituera ensuite dans l’expression de $y.$
55. Lorsque l’équation n’est que du premier ordre, on n’a besoin que d’une valeur $p,$ et l’on peut toujours la trouver, car on a alors l’équation
$\mathrm {A} p+p'=0,$
à laquelle satisfait cette valeur $p=e^{-\mathrm {M} },$ $\mathrm {M}$ étant la fonction primitive de $\mathrm {A} ,$ de manière que $\mathrm {M'=A} ,$ et $e$ dénotant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; en effet, on aura, en prenant les fonctions primes,
$p'=-\mathrm {M} 'e^{-\mathrm {M} }=-\mathrm {A} p.$
Pour les équations d’un ordre supérieur au premier, il n’y a pas de méthode générale pour trouver les valeurs de $p,q,\ldots ,$ à moins que les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ ne soient constants. Mais, dans ce cas, il est aisé de les trouver, car il n’y a qu’à supposer $p=e^{mx},$ $m$ étant une constante indéterminée ; on aura
$p'=me^{mx},\quad p''=m^{2}e^{mx},\quad \ldots \,;$
donc l’équation
$\mathrm {A} p+\mathrm {B} p'+\mathrm {C} p''+\mathrm {D} p'''+\ldots =0$
deviendra
$\mathrm {A} +\mathrm {B} m+\mathrm {C} m^{2}+\mathrm {D} m^{3}+\ldots =0,$
laquelle sera, généralement parlant, d’un degré égal à l’ordre de l’équation proposée. Elle aura donc autant de racines qu’il y a d’unités dans ce degré, et, si l’on désigne ces racines par $m,n,\ldots ,$ on aura
$p=e^{mx},\quad q=e^{nx},\quad \ldots ,$
de sorte que, dans ce cas, la difficulté est réduite à la résolution des équations.
56. On peut souvent rendre linéaires des équations qui ne le sont pas, par le moyen des substitutions, et, comme cette transformation est toujours avantageuse, voici deux cas très-étendus où elle réussit.
Le premier est celui de l’équation
$y=xf(y')+\operatorname {F} (y'),$
qui est plus générale que celle que nous avons traitée ci-dessus (n$^o$ 54). J’en prends d’abord les fonctions primes ; j’ai
$y'=xy''f'(y')+f(y')+y''\operatorname {F'} (y')\,;$
je fais $y'=z,$ et par conséquent $y''=z'\,;$ j’ai
$z=xz'f'(z)+f(z)+z'\operatorname {F} '(z),$
équation du premier ordre en $x$ et $z,$ où $z$ est censé fonction de $x.$
Maintenant je regarde $x$ comme une fonction de $z\,;$ il faudra mettre ${\frac {1}{x'}}$ à la place de $z'$ (n$^o$ 50), et il viendra l’équation
$xf'(z)+\left[f(z)-z\right]x'+\operatorname {F} '(z)=0,$
qui est, comme l’on voit, du premier ordre et linéaire en $x.$ On pourra donc, par la méthode précédente, en trouver l’équation primitive en $x$ et $z\,;$ mais la proposée, par la substitution de $z$ au lieu de $y',$ devient
$y=xf(z)+\operatorname {F} (z)\,;$
éliminant donc $z$ de ces deux équations, on aura une équation en $x$ et $y,$ qui sera l’équation primitive de l’équation proposée.
Le second cas est celui de l’équation
$y'+\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {N} =0,$
$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des fonctions $x.$ Ici je fais $y={\frac {z'}{\mathrm {M} z}},$ ce qui donne
$y'={\frac {z''}{\mathrm {M} z}}-{\frac {z'^{2}}{\mathrm {M} z^{2}}}-{\frac {z'\mathrm {M} '}{\mathrm {M} ^{2}z}}\,;$
substituant ces valeurs et multipliant par $\mathrm {M} z,$ l’équation devient
$z''-{\frac {\mathrm {M} 'z'}{\mathrm {M} }}+\mathrm {MN} z=0,$
qui est, comme l’on voit, du second ordre, mais linéaire par rapport à $z.$
Supposons qu’on ait trouvé d’une manière quelconque deux valeurs particulières de $y$ en $x,$ c’est-à-dire sans constante arbitraire, que nous dénoterons par $p$ et $q.$ Pour la valeur $p,$ on aura ${\frac {z'}{\mathrm {M} z}}=p,$ d’où l’on tire $z=e^{\mathrm {P} },$ en dénotant par $\mathrm {P}$ la fonction primitive de $p\mathrm {M} \,;$ on aura de même, pour la valeur $q,$ $z=e^{\mathrm {Q} },$ $\mathrm {Q}$ étant la fonction primitive de $q\mathrm {M} .$ Ayant ainsi deux valeurs particulières de $z,$ on aura la valeur complète (n$^o$ 53)
$z=ae^{\mathrm {P} }+be^{\mathrm {Q} },$
$a$
$b$
$y={\frac {z'}{\mathrm {M} z}}$
$\mathrm {P} '=p\mathrm {M} ,\ \mathrm {Q} '=q\mathrm {M} ,$
$y,$
$y={\frac {ape^{\mathrm {P} }+bqe^{\mathrm {Q} }}{ae^{\mathrm {P} }+be^{\mathrm {Q} }}},$
c’est-à-dire, en faisant ${\frac {b}{a}}=c,$
$y={\frac {p+cqe^{\mathrm {Q-P} }}{1+ce^{\mathrm {Q-P} }}},$
où $c$ est la constante arbitraire.
Par exemple, si $\mathrm {N} =-m\mathrm {M} ,$ $m$ étant une constante, il est aisé de voir que l’on satisfera à la proposée en $y$ en faisant $y={\sqrt {m}},$ et, à cause de l’ambiguïté du radical, on aura
$p={\sqrt {m}},\quad q=-{\sqrt {m}}\,;$
donc, nommant $\mathrm {L}$ la fonction primitive de $\mathrm {M} ,$ on aura
$\mathrm {P=L} {\sqrt {m}},\quad \mathrm {Q=-L} {\sqrt {m}},$
et la valeur complète de $y$ sera
${\frac {\left(1-ce^{-2\mathrm {L} {\sqrt {m}}}\right){\sqrt {m}}}{1+ce^{-2\mathrm {L} {\sqrt {m}}}}}.$
Au reste, dans ce cas, l’équation proposée peut se mettre sous la forme
${\frac {y'}{y^{2}-m}}+\mathrm {M} =0,$
où les variables $x$ et $y$ sont séparées, et dont on peut trouver l’équation primitive, comme nous l’avons montré plus haut.
57. Lorsque l’équation proposée n’est pas linéaire en $y,y',y'',\ldots$ ou qu’elle n’est pas comprise sous la forme précédente, je ne connais aucune méthode générale pour compléter les valeurs particulières de $y$ qu’on aurait trouvées ; mais on y peut toujours parvenir par le moyen des séries.
Supposons, en effet, que, pour une équation du premier ordre en $x,y$ et $y',$ la valeur complète de $y$ soit $f(x,a),$ $a$ étant la constante arbitraire. En donnant à $a$ une valeur particulière $h,$ la quantité $f(x,a)$ deviendra une valeur particulière de $y,$ que nous nommerons $p$ et que nous supposerons connue d’une manière quelconque. Faisons maintenant $a=h+i,$ et développons la fonction $f(x,h+i)$ en série ascendante suivant les puissances de $i\,;$ le premier terme sera $f(x,h)=p,$ et les autres termes seront de la forme $qi+ri^{2}+\ldots ,$ $q,r,\ldots$ étant des fonctions de $x.$ Si l’on substitue cette expression de $y$ dans l’équation donnée du premier ordre, il faudra qu’elle se vérifie indépendamment de la constante $i,$ qui doit demeurer arbitraire.
Soit donc
$y'=\operatorname {F} (x,y)$
l’équation du premier ordre à laquelle satisfait la valeur particulière $y=p\,;$ on aura, d’après cette condition,
$p'=\operatorname {F} (x,p).$
Substituons pour $y$ la série $p+iq+i^{2}r+\ldots ,$ et développons aussi la fonction $\operatorname {F} (x,y)$ en série suivant les puissances de $i\,;$ si l’on dénote simplement par $\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} ''(y),\ldots$ les fonctions primes, secondes, etc. de $\operatorname {F} (x,y)$ prises relativement à $y$ seul, et qu’on fasse, pour abréger, $0=iq+i^{2}r+\ldots ,$ on aura, par la théorie exposée plus haut sur le développement des fonctions,
$\operatorname {F} (x,y)=\operatorname {F} (x,p)+o\operatorname {F} '(p)+{\frac {o^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p)+\ldots .$
D’un autre côté, on aura, en prenant les fonctions primes,
$y'=p'+q'i+r'i^{2}-\ldots \,;$
donc, substituant ces valeurs dans l’équation $y'=\operatorname {F} (x,y)$ et ordonnant les termes suivant les puissances de $i,$ on aura, à cause de $p'=\operatorname {F} (x,p),$
$iq'+i^{2}r'+\ldots =iq\operatorname {F} '(p)+i^{2}\left[r\operatorname {F} '(p)+{\frac {q^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p)\right]+\ldots ,$
$i,$
$q'=q\operatorname {F} '(p),\quad r'=r\operatorname {F} '(p)+{\frac {q^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p),\quad \ldots ,$
qui serviront à déterminer successivement toutes les inconnues $q,r,\ldots .$
Comme les quantités $\operatorname {F} '(p),\operatorname {F} ''(p),\ldots$ sont des fonctions données de $x,$ il est visible qu’on n’aura pour ces inconnues que des équations linéaires du premier ordre, susceptibles de la méthode du n$^o$ 55 ; il ne sera pas même nécessaire d’avoir les valeurs complètes de $q,r,\ldots ,$ il suffira d’avoir des valeurs quelconques qui satisfassent à ces équations de condition.
Ayant ainsi déterminé les valeurs des quantités $q,r,s,\ldots ,$ on aura cette valeur complète de $y,$
$y=p+iq+i^{2}r+\ldots ,$
dans laquelle $i$ sera la constante arbitraire qui manquait à la valeur particulière $y=p.$ Cette valeur sera à la vérité exprimée par une série, mais la convergence de cette série ne dépendra que de la valeur de la constante $i.$
Cette méthode est aussi applicable, avec l’extension convenable, aux équations des ordres supérieurs au premier ; mais les équations qu’on trouvera pour la détermination des fonctions inconnues seront du même ordre, et par conséquent on ne pourra trouver, en général, les valeurs de ces fonctions que dans le cas où les coefficients seront constants.
Au reste, cette méthode est le fondement des solutions des principaux problèmes de la théorie des planètes. Comme les excentricités et les inclinaisons qu’on doit regarder comme des constantes arbitraires sont fort petites, et que l’effet des attractions est aussi très-petit, le cercle fournit d’abord des valeurs particulières, et l’on complète ensuite ces valeurs par des séries qui procèdent suivant les puissances de ces constantes très-petites.
* ↑ Œuvres de Lagrange, t. X.