# Thermodynamique (Poincaré)/Préface

Le rôle des deux principes fondamentaux de la Thermodynamique dans toutes les branches de la philosophie naturelle devient de jour en jour plus important. Abandonnant les théories ambitieuses d’il y a quarante ans, encombrées d’hypothèses moléculaires, nous cherchons aujourd’hui à élever sur la Thermodynamique seule l’édifice tout entier de la Physique mathématique. Les deux principes de Mayer et de Clausius lui assureront-ils des fondations assez solides pour qu’il dure quelque temps ? Personne n’en doute ; mais d’où nous vient cette confiance ?
Un physicien éminent me disait un jour à propos de la loi des erreurs : « Tout le monde y croit fermement parce que les mathématiciens s’imaginent que c’est un fait d’observation, et les observateurs que c’est un théorème de mathématiques. » Il en a été longtemps ainsi pour le principe de conservation de l’énergie. Il n’en est plus de même aujourd’hui ; personne n’ignore que c’est un fait expérimental.
Mais alors, qui nous donne le droit d’attribuer au principe lui-même plus de généralité et plus de précision qu’aux expériences qui ont servi à le démontrer ? C’est là demander s’il est légitime, comme on le fait tous les jours, de généraliser les données empiriques, et je n’aurais pas l’outrecuidance de discuter cette question, après que tant de philosophes se sont vainement efforcés de la trancher. Une seule chose est certaine : si cette faculté nous était refusée, la Science ne pourrait exister ou, du moins, réduite à une sorte d’inventaire, à la constatation de faits isolés, elle n’aurait pour nous aucun prix, puisqu’elle ne pourrait donner satisfaction à notre besoin d’ordre et d’harmonie et qu’elle serait en même temps incapable de prévoir. Comme les circonstances qui ont précédé un fait quelconque ne se reproduiront vraisemblablement jamais toutes à la fois, il faut déjà une première généralisation pour prévoir si ce fait se renouvellera encore dès que la moindre de ces circonstances sera changée.
Mais toute proposition peut être généralisée d’une infinité de manières. Parmi toutes les généralisations possibles, il faut bien que nous choisissions, et nous ne pouvons choisir que la plus simple. Nous sommes donc conduits à agir comme si une loi simple était, toutes choses égales d’ailleurs, plus probable qu’une loi compliquée.
Il y a un demi-siècle, on le confessait franchement et l’on proclamait que la nature aime la simplicité ; elle nous a donné depuis trop de démentis. Aujourd’hui on n’avoue plus cette tendance et l’on n’en conserve que ce qui est indispensable pour que la Science ne devienne pas impossible.
En formulant une loi générale, simple et précise après des expériences relativement peu nombreuses et qui présentent certaines divergences, nous n’avons fait qu’obéir à une nécessité à laquelle l’esprit humain ne peut se soustraire.
Mais il y a quelque chose de plus et c’est pourquoi j’insiste.
Personne ne doute que le principe de Mayer ne soit appelé à survivre à toutes les lois particulières d’où on l’a tiré, de même que la loi de Newton a survécu aux lois de Képler, d’où elle est sortie, et qui ne sont plus qu’approximatives, si l’on tient compte des perturbations.
Pourquoi ce principe occupe-t-il ainsi une sorte de place privilégiée parmi toutes les lois physiques ? Il y a à cela beaucoup de petites raisons.
Tout d’abord on croit que nous ne pourrions le rejeter ou même douter de sa valeur absolue sans admettre la possibilité du mouvement perpétuel ; nous nous défions, bien entendu, d’une telle perspective, et nous nous croyons moins téméraires en affirmant qu’en niant.
Cela n’est peut-être pas tout à fait exact ; l’impossibilité du mouvement perpétuel n’entraîne la conservation de l’énergie que pour les phénomènes réversibles.
L’imposante simplicité du principe de Mayer contribue également à affirmer notre foi. Dans une loi déduite immédiatement de l’expérience, comme celle de Mariotte, cette simplicité nous paraîtrait plutôt une raison de méfiance ; mais, ici, il n’en est plus de même ; nous voyons des éléments, disparates au premier coup d’œil, se ranger dans un ordre inattendu et former un tout harmonieux ; et nous nous refusons à croire qu’une harmonie imprévue soit un simple effet du hasard. Il semble que notre conquête nous soit d’autant plus chère qu’elle nous a coûté plus d’efforts ou que nous soyons d’autant plus sûrs d’avoir arraché à la nature son vrai secret qu’elle a paru plus jalouse de nous le dérober.
Mais ce ne sont là que de petites raisons ; pour ériger la loi de Mayer en principe absolu, il faudrait une discussion plus approfondie. Mais, si l’on essaye de la faire, on voit que ce principe absolu n’est même pas facile à énoncer.
Dans chaque cas particulier on voit bien ce que c’est que l’énergie et l’on en peut donner une définition au moins provisoire ; mais il est impossible d’en trouver une définition générale.
Si l’on veut énoncer le principe dans toute sa généralité et en l’appliquant à l’Univers, on le voit pour ainsi dire s’évanouir et il ne reste plus que ceci : Il y a quelque chose qui demeure constant.
Mais cela même a-t-il un sens ? Dans l’hypothèse déterministe, l’état de l’Univers est déterminé par un nombre excessivement grand $n$ de paramètres que j’appellerai $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$. Dès que l’on connaît à un instant quelconque les valeurs de ces $n$ paramètres, on connaît également leurs dérivées par rapport au temps et l’on peut calculer par conséquent les valeurs de ces mêmes paramètres à un instant antérieur ou ultérieur. En d’autres termes, ces $n$ paramètres satisfont à $n$ équations différentielles de la forme
${\frac {dx_{i}}{dt}}=\varphi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\quad (i=1,2,\ldots ,n).$
Ces équations admettent $n-1$ intégrales et il y a par conséquent $n-1$ fonctions de $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{n}$ qui demeurent constantes. Si nous disons alors qu’il y a quelque chose qui demeure constant, nous ne faisons qu’énoncer une tautologie. On serait même embarrassé de dire quelle est parmi toutes nos intégrales, celle qui doit conserver le nom d’énergie.
Ce n’est d’ailleurs pas en ce sens que l’on entend le principe de Mayer quand on l’applique à un système limité.
On admet alors que $p$ de nos $n$ paramètres varient d’une manière indépendante, de sorte que nous avons seulement $n-p$ relations, généralement linéaires, entre nos $n$ paramètres et leurs dérivées. Je les écrirai
| (1) | ${\rm {{Y}_{i}={\rm {{X}_{i,1}dx_{1}+{\rm {{X}_{i,2}dx_{2}+\ldots +{\rm {{X}_{i,n}dx_{n}=0\,}}}}}}}}$ $(i=1,2,\ldots ,n-p),\,$ |
les ${\rm {{X}_{i,k}}}$ étant des fonctions de $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{n}$.
Supposons, pour simplifier l’énoncé, que la somme des travaux des forces extérieures soit nulle ainsi que celle des quantités de chaleur cédées au dehors. Voici alors quelle sera la signification de notre principe :
Il y a une combinaison des ${\rm {{Y}_{i}}}$ qui est une différentielle exacte ; c’est-à-dire que l’on peut trouver $n-p$ fonctions
${\rm {{Z}_{1},{\rm {{Z}_{2},\ldots ,{\rm {{Z}_{n-p}\,}}}}}}$
de $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{n}$ telles que
${\rm {{Z}_{1}{\rm {{Y}_{1}+{\rm {{Z}_{2}{\rm {{Y}_{2}+\ldots +{\rm {{Z}_{n-p}{\rm {{Y}_{n-p}\,}}}}}}}}}}}}$
soit une différentielle exacte.
Mais comment peut-il se faire qu’il y ait plusieurs paramètres dont les variations soient indépendantes ? Cela ne peut avoir lieu que sous l’influence des forces extérieures (bien que nous ayons supposé, pour simplifier, que la somme algébrique des travaux de ces forces soit nulle). Si en effet le système était totalement soustrait à toute action extérieure, les valeurs de nos $n$ paramètres à un instant donné suffiraient pour déterminer l’état du système à un instant ultérieur quelconque, pourvu toutefois que nous restions dans l’hypothèse déterministe ; nous retomberions donc sur la même difficulté que plus haut.
Si l’état futur du système n’est pas entièrement déterminé par son état actuel, c’est qu’il dépend en outre de l’état des corps extérieurs au système. Mais alors est-il vraisemblable qu’il existe des équations comme les relations (1) indépendantes de cet état des corps extérieurs ? Et si dans certains cas nous croyons en trouver, n’est-ce pas uniquement par suite de notre ignorance et que l’influence de ces corps est trop faible pour que notre expérience puisse la déceler ?
Si le système n’est pas regardé comme complètement isolé, il est probable que l’expression rigoureusement exacte de son énergie interne devra dépendre de l’état des corps extérieurs. Encore ai-je supposé plus haut que la somme des travaux extérieurs était nulle, et, si l’on veut s’affranchir de cette restriction un peu artificielle, l’énoncé devient encore plus difficile.
Pour formuler le principe de Mayer en lui donnant un sens absolu, il faut donc l’étendre à tout l’Univers, et alors on se retrouve en face de cette même difficulté que l’on cherchait à éviter.
En résumé, et pour employer le langage ordinaire, la loi de conservation de l’énergie ne peut avoir qu’une signification, c’est qu’il y a une propriété commune à tous les possibles ; mais, dans l’hypothèse déterministe, il n’y a qu’un seul possible, et alors la loi n’a plus de sens.
Dans l’hypothèse indéterministe, au contraire, elle en prendrait un, même si l’on voulait l’entendre dans un sens absolu ; elle apparaîtrait comme une limite imposée à la liberté.
Mais ce mot m’avertit que je m’égare et que je vais sortir du domaine des Mathématiques et de la Physique. Je m’arrête donc et je ne veux retenir de toute cette discussion qu’une impression : c’est que la loi de Mayer est une forme assez souple pour qu’on y puisse faire rentrer presque tout ce que l’on veut. Je ne veux pas dire par là qu’elle ne correspond à aucune réalité objective, ni qu’elle se réduise à une simple tautologie, puisque, dans chaque cas particulier, et pourvu qu’on ne veuille pas pousser jusqu’à l’absolu, elle a un sens parfaitement clair.
Cette souplesse est une raison de croire à sa longue durée, et comme, d’autre part, elle ne disparaîtra que pour se fondre dans une harmonie supérieure, nous pouvons travailler avec confiance en nous appuyant sur elle, certains d’avance que notre travail ne sera pas perdu.
Presque tout ce que je viens de dire s’applique au principe de Clausius. Ce qui le distingue, c’est qu’il s’énonce par une inégalité. On dira peut-être qu’il en est de même de toutes les lois physiques, puisque leur précision est toujours limitée par les erreurs d’observation. Mais elles affichent du moins la prétention d’être de premières approximations et l’on a l’espoir de les remplacer peu à peu par des lois de plus en plus précises. Si, au contraire, le principe de Clausius se réduit à une inégalité, ce n’est pas l’imperfection de nos moyens d’observation qui en est la cause, mais la nature même de la question.
Pour expliquer par quelles raisons tous les physiciens ont été amenés à adopter ces deux principes, je n’ai rien trouvé de mieux que de suivre dans mon exposition la marche historique. Le spectacle des longs tâtonnements par lesquels l’homme arrive à la vérité est d’ailleurs très instructif par lui-même. On remarquera le rôle joué par diverses idées théoriques ou même métaphysiques, aujourd’hui abandonnées ou regardées comme douteuses. Service singulier que nous a ainsi rendu ce qui est peut-être l’erreur ! Les deux principes, appuyés maintenant sur de solides expériences, ont survécu à ces fragiles hypothèses, sans lesquelles ils n’auraient peut-être pas encore été découverts. C’est ainsi que l’on débarrasse la voûte de ses cintres lorsqu’elle est complètement bâtie.
Ce mode d’exposition avait cependant un inconvénient, c’était de m’obliger à bien des longueurs. Voulant, par exemple, conserver les raisonnements de Carnot et de Clausius, j’ai donné deux démonstrations du théorème de Clausius : la première, applicable seulement à certains systèmes ; la seconde, absolument générale mais s’appuyant sur la première.
Il en est résulté que je n’ai pu éviter une distinction très artificielle entre deux classes de corps, selon que leur état est défini par deux variables seulement, ou par un plus grand nombre. Cette distinction, qui ne correspond à rien de réel, se retrouvera à chaque instant dans cet Ouvrage. J’ai l’air d’y attacher une importance énorme, tandis que rien n’est plus loin de ma pensée.
J’ai dû insister sur l’équation de Clausius
| (2) | $\int {\frac {dQ}{T}}>0$ |
appliquée aux phénomènes irréversibles, parce qu’elle a donné lieu à de longues polémiques.
Mon point de départ est l’axiome de Clausius :
« On ne peut pas faire passer de chaleur d’un corps froid sur un corps chaud. »
Je n’avais pas à rechercher quelle en est la généralité et, par exemple, s’il est encore vrai quand il se produit des phénomènes chimiques irréversibles. C’est à l’expérimentateur seul qu’il appartient de trancher ces questions. Le rôle du mathématicien est plus modeste.
Fixer la signification précise de l’inégalité (2), chercher quelles hypothèses il faut associer à l’axiome de Clausius pour que cette inégalité s’en déduise nécessairement, voilà la tâche qu’il m’était permis d’aborder et que je me suis efforcé d’accomplir.
En relisant mes épreuves, je suis un peu effrayé de la longueur du Chapitre où je traite des machines à vapeur. Je crains que le lecteur, en voyant le nombre des pages que j’y consacre, ne s’attende à trouver une théorie complète et satisfaisante et qu’il ne me sache ensuite mauvais gré de sa déception.
Une pareille théorie n’est pas près d’être faite et je n’ai même pas la compétence nécessaire pour exposer l’état actuel de la question. J’ai voulu seulement montrer par un exemple quel usage doit être fait du théorème de Clausius ; j’ai voulu faire voir également quelle est la complexité de ces sortes de problèmes et à quelles erreurs on s’expose lorsqu’on veut la méconnaître.
Dans une de ses spirituelles préfaces, M. Bertrand raille très finement les auteurs qui entassent dans leurs Ouvrages des intégrales rébarbatives, et qui ne sauraient les calculer, parce qu’ils sont obligés de faire figurer sous le signe somme des fonctions inconnues que l’expérience n’a pas encore déterminées. Dans ce Chapitre, j’ai mérité cette critique plus que personne et je serais inexcusable si j’avais eu d’autre but que de faire mieux comprendre la signification de l’inégalité (2).
L’objet des deux Chapitres suivants est l’application des théorèmes de Mayer et de Clausius aux phénomènes chimiques et électriques. On a quelquefois exposé cette théorie comme si l’on voulait la déduire de ces deux principes seuls. On conçoit qu’effrayés de cette prodigieuse fécondité tant de savants éminents soient allés jusqu’à regarder l’inégalité de Clausius comme douteuse. Mais il n’y a là qu’un trompe-l’œil ; la fécondité de nos deux principes reste grande sans doute ; de toute loi démontrée par l’expérience, ils permettent d’en déduire une autre qui est pour ainsi dire la réciproque. L’air se dilate quand on le chauffe, donc il s’échauffe quand on le comprime, etc. Par là, la Thermodynamique double en quelle que sorte nos connaissances ; c’est beaucoup, mais c’est là tout. D’une majeure quelconque, on ne peut tirer aucune conclusion si l’on ne lui adjoint une mineure, et, s’il semble quelquefois en être autrement, c’est que la mineure est sous-entendue.
Je crois qu’il convient de la rétablir, parce que c’est souvent une hypothèse et que toute hypothèse se doit être énoncée explicitement. Certainement il est permis d’en faire ; sans cela, il n’y aurait pas de Physique mathématique, puisque l’objet de cette discipline est précisément de vérifier les hypothèses en tirant des conséquences susceptibles d’être contrôlées par l’expérience. Le danger serait d’en faire sans s’en apercevoir. C’est ce que j’ai essayé d’éviter.
Il ne faut pas même faire d’exception pour les hypothèses les plus simples. Si elles nous paraissent telles, c’est le plus souvent parce que le hasard nous a fait adopter certaines variables. Nous ne penserions plus de même s’il nous en avait fait choisir d’autres. C’est même des hypothèses simples qu’il faut le plus se défier, parce que ce sont celles qui ont le plus de chances de passer inaperçues.
C’est de ces idées que je me suis inspiré dans l’étude de la dissociation et du phénomène Peltier ; j’ai cherché à faire voir qu’il est impossible de construire a priori la loi de la dissociation des mélanges homogènes ou celle de la dissociation des mélanges hétérogènes, mais qu’on peut essayer de les déduire l’une de l’autre.
Je termine par la théorie des systèmes monocycliques. Je ne citerai ici que ma conclusion :
Le mécanisme est incompatible avec le théorème de Clausius.
Il y a deux sortes de mécanismes.
On peut se représenter l’Univers comme formé d’atomes incapables d’agir à distance les uns des autres et se mouvant en ligne droite dans des directions diverses, jusqu’à ce que ces directions soient modifiées par des chocs. Les lois du choc sont les mêmes que pour les corps élastiques. Ou bien on peut supposer que ces atomes peuvent agir à distance et que l’action mutuelle de deux atomes se réduit à une attraction ou à une répulsion dépendant seulement de leur distance.
La première conception n’est évidemment qu’un cas particulier de la seconde ; je montre que toutes deux sont incompatibles avec les principes de la Thermodynamique.
J’ai eu deux fois l’occasion d’être en désaccord avec M. Duhem ; il pourrait s’étonner que je ne le cite que pour le combattre, et je serais désolé qu’il crût à quelque intention malveillante. Il ne supposera pas, je l’espère, que je méconnais les services qu’il a rendu à la Science. J’ai seulement cru plus utile d’insister sur les points où ses résultats me paraissaient mériter d’être complétés, plutôt que sur ceux où je n’aurais pu que le répéter.