# Théorie du mouvement des corps célestes/L2S2

Nous avons déjà établi, au commencement du second livre (art. 115), que l’usage du problème longuement traité dans la section précédente, est limité aux orbites dont l’inclinaison n’est ni nulle, ni très-petite, et que la détermination des orbites peu inclinées doit nécessairement être basée sur quatre observations. Mais quatre observations, puisqu’elles équivalent à huit équations, et que le nombre d’inconnues monte seulement à six, rendraient le problème indéterminé ; c’est pourquoi il faudra mettre de côté, dans deux observations, les latitudes (ou les déclinaisons), pour qu’on puisse satisfaire exactement aux autres données. Ainsi se présente le problème auquel cette section sera consacrée ; mais la solution que nous donnerons ici ne s’étendra pas seulement aux orbites peu inclinées, mais pourra aussi être appliquée avec succès aux orbites d’une inclinaison de grandeur quelconque. Ici aussi, de même que dans le problème de la section précédente, il convient de séparer le cas dans lequel on possède déjà les dimensions approchées de l’orbite, de celui relatif à une première détermination d’une orbite encore entièrement inconnue : nous commencerons par le premier cas.
La méthode la plus simple pour ajuster une orbite, déjà approximativement connue, à quatre observations, paraît être celle-ci. Soient $x$ et $y$ les distances approchées de l’astre à la Terre dans deux observations complètes ; au moyen de ces distances on calculera les lieux héliocentriques correspondants, et de là les éléments ; après cela, on calculera, d’après ces éléments, les longitudes géocentriques ou les ascensions droites pour les deux autres observations. Si ces quantités s’accordent par hasard avec les observations, les éléments n’auront besoin d’aucune correction ; s’il n’en est pas ainsi, les différences $\mathrm {X,\,Y}$ seront notées, et l’on refera le même calcul une seconde fois en faisant varier un peu les valeurs de $x$ et $y.$ On déterminera ainsi trois systèmes de valeurs des quantités $x,\,y$ et des différences $\mathrm {X,\,Y}$ d’où l’on obtiendra, d’après les principes de l’art. 120, les valeurs corrigées des quantités $x,\,y$ auxquelles correspondront les valeurs $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0.$ Par un calcul semblable établi sur ce quatrième système, on déterminera les éléments d’après lesquels les quatre observations seront toutes exactement représentées.
Enfin, si l’on a le pouvoir de choisir, il sera plus convenable de prendre pour observations complètes, celles qui permettent d’obtenir la position de l’orbite avec la plus grande précision, et par conséquent les deux observations extrêmes, toutes les fois qu’elles embrassent un mouvement héliocentrique de 90° ou moins. Mais si elles ne jouissent pas d’une égale précision, on mettra de côté les latitudes ou les déclinaisons de celles que l’on soupçonnera être les moins exactes.
Pour la première détermination d’une orbite entièrement inconnue, d’après quatre observations, on emploiera nécessairement des positions n’embrassant pas un mouvement héliocentrique trop grand ; sans cela, en effet, nos moyens seraient insuffisants pour obtenir facilement la première approximation. Cependant la méthode que nous allons immédiatement donner, jouit d’une si grande extension, que l’on pourra, sans hésitation, faire usage d’observations embrassant un mouvement héliocentrique de 30 ou 40°, pourvu que les distances au Soleil ne soient pas trop inégales : lorsque l’on pourra choisir, il sera plus avantageux de prendre, à peu près égaux, les intervalles de temps compris entre la première et la seconde observation, entre la seconde et la troisième, entre la troisième et la quatrième. Mais il n’y aura pas besoin de trop s’en préoccuper, ainsi que le montrera l’exemple ci-joint, dans lequel les intervalles de temps sont 48, 55 et 59 jours, et le mouvement héliocentrique plus grand que 50°.
Notre solution demande, en outre, que la seconde et la troisième observation soient complètes, et par suite, que les latitudes ou déclinaisons soient négligées dans les observations extrêmes. Nous avons, en vérité, averti ci-dessus, que eu égard à la précision, il sera le plus souvent préférable que les éléments soient adaptés aux deux observations complètes extrêmes, et aux longitudes ou ascensions droites intermédiaires ; cependant, dans une première détermination de l’orbite, on ne regrettera pas d’avoir renoncé à cet avantage, puisqu’une prompte approximation est de beaucoup le plus important, et qu’on peut facilement après cela réparer ce dommage qui, principalement, tombe seulement sur la longitude du nœud et l’inclinaison de l’orbite, et affecte à peine sensiblement les autres éléments.
Pour être plus bref, nous établirons l’exposition de la méthode, de manière à rapporter tous les lieux à l’écliptique, et par suite, nous supposerons que quatre longitudes et deux latitudes sont données ; cependant puisque nous tenons compte, dans nos formules, de la latitude de la Terre, elles pourront facilement se rapporter au cas où l’équateur est pris comme plan fondamental, pourvu que les ascensions droites et les déclinaisons soient substituées aux longitudes et aux latitudes.
Enfin, tout ce que nous avons exposé dans la section précédente, concernant la nutation, la précession et la parallaxe, et aussi l’aberration, s’applique aussi bien ici ; à moins donc, que les distances approchées à la Terre ne soient déjà connues d’autre part, de manière qu’on puisse employer, relativement à l’aberration, la méthode I de l’art. 118, les lieux observés seront d’abord seulement délivrés de l’aberration des étoiles, et les époques seront corrigées, aussitôt que l’on aura obtenu, dans le cours du calcul, une détermination approchée des distances, ainsi qu’on le verra plus clairement dans ce qui suit.
Nous faisons précéder l’exposition de la méthode de la liste des principaux signes qui y sont employés. Nous aurons :
    $t,\,t',\,t'',\,t'''$,﻿ époques des quatre observations ;
    $\alpha ,\,\alpha ',\,\alpha '',\,\alpha '''$,﻿ longitudes géocentriques de l’astre ;
    $\beta ,\,\beta ',\,\beta '',\beta '''$,﻿ leurs latitudes ;
    $r,\,r',\,r'',\,r'''$,﻿ distances au Soleil ;
    $\rho ,\,\rho ',\,\rho '',\,\rho '''$,﻿ distances à la Terre ;
    $l,\,l',\,l'',\,l'''$,﻿ longitudes héliocentriques de la Terre ;
    $\mathrm {B,\,B',\,B'',\,B'''} ,$﻿ latitudes héliocentriques de la Terre ;
    $\mathrm {R,\,R',\,R'',\,R'''} ,$﻿ distances de la Terre au Soleil ;
    $(n01),\,(n12),\,(n23),\,(n02),\,(n13),$﻿ le double des aires des triangles qui sont respectivement compris entre le Soleil, la première et la seconde position de l’astre, la seconde et la troisième, la troisième et la quatrième, la première et la troisième, la seconde et la quatrième ;
    $(\eta 01),(\eta 12),(\eta 23)$ les quotients obtenus par la division des aires ${\frac {1}{2}}(n01),\,{\frac {1}{2}}(n12),\,{\frac {1}{2}}(n23),$ par les aires des secteurs correspondants ;
    ${\begin{alignedat}{2}\mathrm {P} '&={\frac {(n12)}{(n01)}},&\mathrm {P} ''&={\frac {(n12)}{(n23)}},\\\mathrm {Q} '&=\left[{\frac {(n01)\!+\!(n12)}{(n02)}}-1\right]r'^{3},\quad &\mathrm {Q} ''&=\left[{\frac {(n12)\!+\!(n23)}{(n13)}}-1\right]r''^{3},&\end{alignedat}}$
    $v,\,v',\,v'',\,v''',$﻿ les longitudes de la planète, dans l’orbite, comptées d’un point arbitraire.
Désignons enfin par $\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} '',$ les positions héliocentriques de la Terre sur la sphère céleste dans la seconde et la troisième observation, par $\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} '',$ les lieux géocentriques de l’astre et par $\mathrm {C} ',\,\mathrm {C} '',$ ses positions héliocentriques.
Ceci étant compris, le premier travail consistera, de même que dans le problème de la section précédente (art. 136), dans la détermination de la position des grands cercles $\mathrm {A'C'B'} ,$ $\mathrm {A''C''B''}$ dont nous désignons les inclinaisons sur l’écliptique par $\gamma ',\,\gamma ''\,;$ nous joindrons en même temps à ce calcul la détermination des arcs $\mathrm {A'B'} =\delta ',$ $\mathrm {A''B''} =\delta ''.$
De là, nous aurons évidemment,
${\begin{aligned}r'&={\sqrt {\rho '^{2}+2\,\rho '\,\mathrm {R} '\cos \delta '+\mathrm {R} '^{2}}}\\r''&={\sqrt {\rho ''^{2}\!+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos \delta ''\!+\mathrm {R} ''^{2}}},\end{aligned}}$
ou, en posant
${\begin{aligned}\rho '+\mathrm {R} '\cos \delta '&=x',&\rho ''+\mathrm {R} ''\cos \delta ''&=x'',\\\mathrm {R} '\sin \delta '&=a',&\mathrm {R} ''\sin \delta ''&=a'',\end{aligned}}$
${\begin{aligned}r'&={\sqrt {x'^{2}\,+a'^{2}}},\\r''&={\sqrt {x''^{2}+a''^{2}}}.\end{aligned}}$
En combinant les équations 1 et 2, art. 112, on obtient les équations suivantes, exprimées d’après les symboles relatifs à la présente recherche :
${\begin{aligned}0&=(n12)\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \sin(l-\alpha )\\&-(n02)\left[\rho '\cos \beta '\sin(\alpha '-\alpha )+\mathrm {R} '\cos \mathrm {B} '\sin(l'-\alpha )\right]\\&+(n01)\left[\rho ''\cos \beta ''\sin(\alpha ''-\alpha )+\mathrm {R} ''\cos \mathrm {B} ''\sin(l''-\alpha )\right],\\[0.75ex]0&=(n23)\left[\rho '\cos \beta '\sin(\alpha '''-\alpha ')+\mathrm {R} '\cos \mathrm {B} '\sin(\alpha '''-l')\right]\\&-(n13)\left[\rho ''\cos \beta ''\sin(\alpha '''-\alpha '')+\mathrm {R} ''\cos \mathrm {B} ''\sin(\alpha '''-l'')\right]\\&+(n12)\mathrm {R} '''\cos \mathrm {B} '''\sin(\alpha '''-l''').\end{aligned}}$
    Ces équations, en posant,
| ${\frac {\mathrm {R} '\cos \mathrm {B} '\sin(l'-\alpha )}{\cos \beta '\sin(\alpha '-\alpha )}}-\;\mathrm {R} '\cos \delta '=$ | $b',$ |
| ${\frac {\mathrm {R} ''\cos \mathrm {B} ''\sin(\alpha '''-l'')}{\cos \beta ''\sin(\alpha '''-\alpha '')}}-\mathrm {R} ''\cos \delta ''=$ | $b'',$ |
| ${\frac {\mathrm {R} '\cos \mathrm {B} '\sin(\alpha '''-l')}{\cos \beta '\sin(\alpha '''-\alpha ')}}-\;\mathrm {R} '\cos \delta '=$ | $\varkappa ',$ |
| ${\frac {\mathrm {R} ''\cos \mathrm {B} ''\sin(l''-\alpha )}{\cos \beta ''\sin(\alpha ''-\alpha )}}-\mathrm {R} ''\cos \delta ''=$ | $\varkappa '',$ |
| ${\frac {\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \sin(l-\alpha )}{\cos \beta ''\sin(\alpha ''-\alpha )}}=$ | $\lambda ,$ |
| ${\frac {\mathrm {R} '''\cos \mathrm {B} '''\sin(\alpha '''-l''')}{\cos \beta '\sin(\alpha '''-\alpha ')}}=$ | $\lambda ''',$ |
| ${\frac {\cos \beta '\sin(\alpha '-\alpha )}{\cos \beta ''\sin(\alpha ''-\alpha )}}=$ | $\mu ',$ |
| ${\frac {\cos \beta ''\sin(\alpha '''-\alpha '')}{\cos \beta '\sin(\alpha '''-\alpha ')}}=$ | $\mu '',$ |
et toutes les réductions étant convenablement faites, se changent en les équations suivantes :
${\begin{aligned}{\frac {\mu '(1+\mathrm {P} ')(x'+b')}{1+{\dfrac {\mathrm {Q} '}{\left(x'^{2}+a'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}}&=x''+\varkappa ''+\lambda \mathrm {P} ',\\[1ex]{\frac {\mu ''(1+\mathrm {P} '')(x''+b'')}{1+{\dfrac {\mathrm {Q} ''}{\left(x''^{2}+a''^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}}&=x'+\varkappa '+\lambda '''\mathrm {P} ''\,;\end{aligned}}$
ou, en posant en outre,
${\begin{aligned}-\varkappa ''-\;\lambda \;\mathrm {P} '&=c',&\mu '(1+\mathrm {P} ')&=d'\\-\varkappa '-\lambda '''\mathrm {P} ''&=c'',&\mu ''(1+\mathrm {P} '')&=d'',\end{aligned}}$
en celles-ci,
| I. | $x''=c'+{\frac {d'\left(x'+b'\right)}{1+{\dfrac {\mathrm {Q} '}{(x'^{2}+a'^{2})^{\frac {3}{2}}}}}},$ |
| II. | $x'=c''+{\frac {d''\left(x''+b''\right)}{1+{\dfrac {\mathrm {Q} ''}{(x''^{2}+a''^{2})^{\frac {3}{2}}}}}}.$ |
Au moyen de ces deux équations $x'$ et $x''$ pourront être déterminées d’après $a',$ $b',$ $c',$ $d',$ $\mathrm {Q} ',$ $a'',$ $b'',$ $c'',$ $d'',$ $\mathrm {Q} ''.$ Si, en vérité, on devait éliminer de ces équations, $x'$ ou $x'',$ nous tomberions sur une équation d’un ordre très-élevé ; mais par des méthodes indirectes, les valeurs des inconnues $x',\,x''$ seront obtenues assez promptement au moyen de ces équations, sans changer leur forme. Le plus souvent les valeurs approchées des inconnues sont déjà obtenues si l’on néglige d’abord $\mathrm {Q} '$ et $\mathrm {Q} ''\,;$ à savoir :
${\begin{aligned}x'&={\frac {c''+d''(b''+c')+d'd''b'}{1-d'd''}},\\[0.75ex]x''&={\frac {c'+d'(b'+c'')+d'd''b''}{1-d'd''}}.\end{aligned}}$
Mais dès que la valeur approchée de l’une ou l’autre des inconnues est obtenue, les valeurs satisfaisant exactement aux équations s’obtiennent facilement. Soit, en effet, $\xi '$ la valeur approchée de $x'$ qui, substituée dans l’équation I, donne $x''=\xi ''\,;$ de même en substituant $x''=\xi ''$ dans l’équation II, on en déduit $x'=\mathrm {X} '\,;$ les mêmes opérations sont répétées en substituant pour $x'$ dans I une autre valeur $\xi '+\nu ',$ d’où l’on obtient $x''=\xi ''+\nu ''\,;$ cette valeur étant substituée dans II, donne $x'=\mathrm {X} '+\mathrm {N} '.$ Alors, la valeur corrigée de $x'$ sera
$\xi '+{\frac {(\xi '-\mathrm {X} ')\nu '}{\mathrm {N} '-\nu '}}={\frac {\xi '\mathrm {N} '-\mathrm {X} '\nu '}{\mathrm {N} '-\nu '}}$
et la valeur corrigée de $x'',$
$\xi ''+{\frac {(\xi '-\mathrm {X} ')\nu ''}{\mathrm {N} '-\nu '}}.$
Si on le juge nécessaire, le même calcul sera recommencé avec la valeur corrigée de $x$ et une autre légèrement différente, jusqu’à ce que l’on trouve des valeurs de $x',\,x''$ satisfaisant exactement aux équations I, II. Au reste, les moyens ne manqueront pas, même à l’analyste médiocrement exercé, pour abréger le calcul.
Dans ces opérations les quantités irrationnelles $\left(x'^{2}+a'^{2}\right)^{\frac {3}{2}},$ $\left(x''^{2}+a''^{2}\right)^{\frac {3}{2}}$ sont facilement calculées, en introduisant les arcs $z',\,z''$ dont les tangentes sont respectivement ${\frac {a'}{x'}},\,{\frac {a''}{x''}}\,;$ de là, il vient
${\begin{alignedat}{4}{\sqrt {x'^{2}+a'^{2}}}&=r'&=&{\frac {a'}{\sin z'}}&=&{\frac {x'}{\cos z'}},\\[0.75ex]{\sqrt {x''^{2}+a''^{2}}}&=r''&=&{\frac {a''}{\sin z''}}&=&{\frac {x''}{\cos z''}},\end{alignedat}}$
Ces arcs auxiliaires, qui doivent être pris entre 0 et 180° pour que $r'$ et $r''$ deviennent positifs, seront évidemment identiques avec les arcs $\mathrm {C'F} ,$ $\mathrm {C''B} '',$ d’où il est clair que de cette manière on connaîtra non-seulement $r'$’ et $r'',$ mais aussi la position des points $\mathrm {C} '$ et $\mathrm {C} ''.$
Cette détermination des quantités $x',\,x''$ exige que $a',\,a'',$ $b',\,b'',$ $c',\,c'',$ $d',\,d'',$ $\mathrm {Q',\,Q} ''$ soient connues ; les quatre premières de ces quantités s’obtiennent, par le fait, des données du problème, mais les quatre suivantes dépendent de $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {P} ''.$ Les quantités $\mathrm {P',\,P} '',$ $\mathrm {Q',\,Q} ''$ ne pourront pas encore être exactement déterminées ; cependant puisque l’on a
| III. | $\mathrm {P} '={\frac {t''-t'}{t'-\;t\;}}.{\frac {(\eta 01)}{(\eta 12)}},$ |
| IV. | $\mathrm {P} ''={\frac {t''-t'}{t'''-t''}}.{\frac {(\eta 23)}{(\eta 12)}},$ |
| V. | $\mathrm {Q} '={\frac {{\dfrac {1}{2}}k^{2}(t'-t)(t''-t'){\dfrac {r'^{2}}{rr''}}}{(\eta 01)(\eta 12)\cos {\dfrac {1}{2}}(v'\!-\!v)\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-\!v)\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-\!v')}},$ |
| VI. | $\mathrm {Q} ''={\frac {{\dfrac {1}{2}}k^{2}(t''-t')(t'''-t''){\dfrac {r''^{2}}{r'r'''}}}{(\eta 12)(\eta 23)\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-\!v')\cos {\dfrac {1}{2}}(v'''\!-\!v')\cos {\dfrac {1}{2}}(v'''\!-\!v'')}},$ |
aussitôt se présentent les valeurs approchées,
${\begin{aligned}\mathrm {P} '&={\frac {t''-t'}{t'-t}},&\mathrm {P} ''&={\frac {t''-t'}{t'''-t''}},\\\mathrm {Q} '&={\frac {1}{2}}k^{2}(t'-t)(t''-t'),&\mathrm {Q} ''&={\frac {1}{2}}k^{2}(t''-t')(t'''-t''),\end{aligned}}$
sur lesquelles sera basé le premier calcul.
Le calcul de l’article précédent étant achevé, il faudra avant tout déterminer l’arc $\mathrm {C'C} ''.$ Ceci se fera de la manière la plus commode, si auparavant, de même que dans l’art. 137, on a obtenu l’intersection $\mathrm {D}$ des grands cercles $\mathrm {A'C'B} ',$ $\mathrm {A''C''B} '',$ et leur inclinaison mutuelle $\varepsilon \,:$ après cela, on trouvera, au moyen de $\varepsilon ,$ de $\mathrm {C'D} =z'+\mathrm {B'D} ,$ et de $\mathrm {C''D} =z''+\mathrm {B''D} ,$ par les mêmes formules que nous avons données dans l’art. 144, non-seulement $\mathrm {C'C} ''=v''\!-v',$ mais aussi les angles $(u',u''),$ suivant lesquels les grands cercles $\mathrm {A'B} ',$ $\mathrm {A''B} ''$ coupent le grand cercle $\mathrm {C'C} ''.$ Après que l’arc $v''\!-v'$ aura été trouvé, $v'\!-v$ et $r$ s’obtiendront par la combinaison des équations
${\begin{aligned}r\sin(v'-v)&={\frac {r''\sin(v''-v')}{\mathrm {P} '}}\\[0.75ex]r\sin(v'-v+v''-v')&={\frac {1+\mathrm {P} '}{\mathrm {P} '}}.{\frac {r'\sin(v''-v')}{1+{\dfrac {\mathrm {Q} '}{r'^{3}}}}}\end{aligned}}$
et de la même manière, $r''$ et $v'''\!-v'',$ par la combinaison des équations
${\begin{aligned}r'''\sin(v'''-v'')&={\frac {r'\sin(v''-v')}{\mathrm {P} ''}},\\[0.75ex]r'''\sin(v'''-v''+v''-v')&={\frac {1+\mathrm {P} ''}{\mathrm {P} ''}}.{\frac {r''\sin(v''-v')}{1+{\dfrac {\mathrm {Q} ''}{r''^{3}}}}}.\end{aligned}}$
Tous les nombres trouvés de cette manière seraient exacts si dès le commencement on eût pu partir des valeurs vraies de $\mathrm {P',\,P} '',$ $\mathrm {Q',\,Q} ''\,;$ et alors, on pourrait déterminer la position du plan de l’orbite, de la même manière que dans l’art. 149, soit d’après $\mathrm {A'C} ',$ $u'$ et $\gamma ',$ soit d’après $\mathrm {A''C} '',$ $u''$ et $\gamma ''\,;$ et les dimensions de l’orbite au moyen de $r',\,r'',$ $t',\,t''$ et $v''\!-v,$ ou, ce qui est plus exact, au moyen de $r,\,r''',$ $t,\,t''',$ et $v'''\!-v.$ Mais dans le premier calcul, nous négligerons toutes ces quantités, et nous nous attacherons principalement à obtenir les valeurs le plus approchées des quantités $\mathrm {P',\,P} '',$ $\mathrm {Q',\,Q} ''.$ Nous atteindrons ce but, si d’après la méthode exposée art. 88 et suivants,
| de | ﻿ | $r,$ | $r',$ | $v'-v,$ | $t'-t$ | nous obtenons | $(\eta 01)\,;$ |
| » | ﻿ | $r',$ | $r'',$ | $\,v''-v',$ | $t''-t'$ | » | $(\eta 12)\,;$ |
| » | ﻿ | $\,r'',$ | $\,r''',$ | $\,v'''-v'',$ | $\,t'''-t''$ | » | $(\eta 23).$ |
Nous substituerons ces quantités et aussi les valeurs de $r,\,r',$ $r'',\,r''',$ $\cos {\frac {1}{2}}(v'-v),\ldots$ etc., dans les formules III-VI, d’où les valeurs de $\mathrm {P',\,Q} ',$ $\mathrm {P'',\,Q} ''$ résulteront beaucoup plus exactes que celles sur laquelle la première hypothèse a été établie. Avec ces valeurs, on formera alors la seconde hypothèse, qui, si elle est conduite jusqu’au bout exactement de la même manière que la première, fournira des valeurs beaucoup plus exactes de $\mathrm {P',\,Q} ',$ $\mathrm {P'',\,Q} '',$ et on obtiendra ainsi la troisième hypothèse. Ces opérations seront répétées jusqu’à ce que les valeurs de $\mathrm {P',\,Q} ',$ $\mathrm {P'',\,Q} ''$ paraissent ne plus exiger de correction, ce qu’une pratique fréquente apprendra bientôt à juger sainement. Lorsque le mouvement héliocentrique est petit, la première hypothèse fournit généralement ces valeurs déjà assez exactement ; mais si le mouvement embrasse un arc assez considérable, si de plus les intervalles de temps sont notablement inégaux, il faudra avoir recours à plusieurs hypothèses ; mais, dans ce cas, les premières hypothèses n’exigent pas une grande précision de calcul. Enfin, dans la dernière hypothèse, les éléments eux-mêmes seront déterminés de la manière que nous venons de l’indiquer.
Dans la première hypothèse, il faudra évidemment se servir des temps non corrigés $t,\,t',\,t'',\,t''',$ puisque les distances à la Terre ne peuvent pas encore être calculées ; mais aussitôt que nous aurons obtenu les valeurs approchées des quantités $x',\,x'',$ nous pourrons aussi déterminer approximativement les distances. Cependant, puisque les formules relatives à $\rho$ et $\rho '''$ se présentent ici un peu plus compliquées, il sera convenable de retarder le calcul de la correction des temps jusqu’au moment où les valeurs des distances s’obtiendront assez exactement pour qu’il soit inutile de recommencer le calcul. C’est pourquoi il sera avantageux d’établir cette opération sur ces valeurs de $x',\,x''$ auxquelles conduit l’avant-dernière hypothèse, de manière à procéder enfin à la dernière hypothèse avec les valeurs corrigées des temps et des quantités $\mathrm {P',\,P} '',$ $\mathrm {Q',\,Q} ''.$ Voici les formules que l’on devra employer à cet effet :
| VII. | $\rho '=x'-\mathrm {R} '\cos \delta ',$ |
| VIII. | $\rho ''=x''-\mathrm {R} ''\cos \delta '',$ |
| IX. | $\left[{\begin{aligned}\rho \cos \beta &=-\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\alpha -l)\\+&{\frac {1+\mathrm {P} '}{\mathrm {P} '\!\left(\!1+{\dfrac {\mathrm {Q} '}{r'^{3}}}\!\right)}}\left[\rho '\cos \beta '\cos(\alpha '\!\!-\!\alpha )+\mathrm {R} '\cos \mathrm {B} '\cos(l'\!\!-\!\alpha )\right]\\-&{\frac {1}{\mathrm {P} '}}\left[\rho ''\cos \beta ''\cos(\alpha ''\!\!-\!\alpha )+\mathrm {R} ''\cos \mathrm {B} ''\cos(l''\!\!-\!\alpha )\right],\end{aligned}}\right.$ |
| X. | $\left[{\begin{aligned}\rho \sin \beta =-\mathrm {R} \sin \mathrm {B} &+{\frac {1+\mathrm {P} '}{\mathrm {P} '\left(1+{\dfrac {\mathrm {Q} '}{r'^{3}}}\right)}}\left(\rho '\sin \beta '\!+\mathrm {R} '\sin \mathrm {B} '\right)\\&-{\frac {1}{\mathrm {P} '}}\left(\rho ''\sin \beta ''\!+\mathrm {R} ''\sin \mathrm {B} ''\right),\end{aligned}}\right.$ |
| XI. | $\left[{\begin{aligned}&\rho '''\cos \beta '''=-\mathrm {R} '''\cos \mathrm {B} '''\cos(\alpha '''\!\!-\!l''')\\&\!+{\frac {1+\mathrm {P} ''}{\mathrm {P} ''\!\left(\!1\!+\!{\dfrac {\mathrm {Q} ''}{r''^{3}}}\!\right)}}\left[\rho ''\cos \beta ''\cos(\alpha '''\!\!-\!\alpha '')+\mathrm {R} ''\cos \mathrm {B} ''\cos(\alpha '''\!\!-\!l'')\right]\\&\!-{\frac {1}{\mathrm {P} ''}}\left[\rho '\cos \beta '\cos(\alpha '''\!\!-\!\alpha ')+\mathrm {R} '\cos \mathrm {B} '\cos(\alpha '''\!\!-\!l')\right],\end{aligned}}\right.$ |
| XII. | $\left[{\begin{aligned}\rho '''\sin \beta '''=-\mathrm {R} '''\sin \mathrm {B} '''&+{\frac {1+\mathrm {P} ''}{\mathrm {P} ''\!\left(\!1\!+\!{\dfrac {\mathrm {Q} ''}{r''^{3}}}\!\right)}}\left(\rho ''\sin \beta ''\!+\mathrm {R} ''\sin \mathrm {B} ''\right)\\&-{\frac {1}{\mathrm {P} ''}}\left(\rho '\sin \beta '\!+\mathrm {R} '\sin \mathrm {B} '\right).\end{aligned}}\right.$ |
Les formules IX-XII se déduisent sans difficulté des équations 1, 2, 3, art. 112, pourvu que les symboles employés dans ces équations soient convenablement remplacés par ceux dont nous nous servons ici. Il est évident que les formules deviendront beaucoup plus simples, si $\mathrm {B,\,B',\,B} ''$ s’évanouissent. Par la combinaison des formules IX et X, on obtiendra non-seulement $\rho$ mais aussi $\beta ,$ et de la même manière, non-seulement $\rho '''$ mais aussi$\beta ''',$ au moyen des équations XI et XII : les valeurs de ces latitudes comparées à celles fournies par l’observation (qui n’entrent pas dans le calcul), si elles sont données, montreront avec quel degré de précision les latitudes extrêmes peuvent être représentées au moyen des éléments qui s’adaptent aux six autres données.
Un exemple convenable pour éclaircir cette recherche s’obtient d’après Vesta, qui, parmi toutes les planètes récemment découvertes, jouit de la plus petite inclinaison sur l’écliptique. Nous choisissons les observations suivantes obtenues à Brême, Paris, Lilienthal et Milan, par les célèbres astronomes Olbers, Bouvard, Bessel et Oriani :
| TEMPS MOYEN du lieu de l’observation. | TEMPS MOYEN du lieu de l’observation. | TEMPS MOYEN du lieu de l’observation. | ASCENSION DROITE. | DÉCLINAISON. | DÉCLINAISON. |
| 1807, | Mars | 30$^j$ 12$^h$ 33$^m$ 17$^s$ | 183° 52′ 40,8″ | 11° 54′ 27,0″ | Nord. |
| | Mai | 17$^j$ 18$^h$ 16$^m$ 15$^s$ | 178° 36′ 42,3″ | 11° 39′ 46,8″ | — |
| | Juillet | 11$^j$ 10$^h$ 30$^m$ 19$^s$ | 189° 49′ 47,7″ | 3° 39′ 10,1″ | — |
| | Septembre. | 18$^j$ 17$^h$ 22$^m$ 16$^s$ | 212° 50′ 43,4″ | 8° 38′ 17,0″ | Sud. |
Nous trouvons pour les mêmes époques, d’après les tables du Soleil,
| | | LONGITUDE du Soleil de l’équinoxe apparent. | NUTA- TION. | DISTANCE à la Terre. | LATITUDE du Soleil. | OBLIQUITÉ apparente de l’écliptique. |
| Mars | 30 | 9° 21′ 59,5″ | + 16″,8 | 0,9996448 | + 0″,23 | 23° 27′ 50,82″ |
| Mai | 17 | 55° 56′ 20,0″ | + 16″,2 | 1,0119789 | − 0″,63 | 49,83″ |
| Juillet | 11 | 108° 34′ 53,3″ | + 17″,3 | 1,0165795 | − 0″,46 | 49,19″ |
| Sept. | 8 | 165°  8′ 57,1″ | + 16″,7 | 1,0067421 | + 0″,29 | 49,26″ |
Maintenant, les lieux observés de la planète, en employant l’obliquité apparente de l’écliptique, ont été convertis en longitudes et latitudes, purgés de la nutation et de l’aberration des fixes, et enfin, en retranchant la précession, réduits au commencement de l’année 1807 ; les positions fictives de la Terre ont alors été déduites des lieux du Soleil, d’après les principes de l’art. 72 (afin d’avoir égard à la parallaxe), et les longitudes transportées à la même époque en retranchant la nutation et la précession ; enfin, les époques ont été comptées du commencement de l’année et réduites au méridien de Paris. De cette manière ont été obtenus les nombres suivants :
| $t,\,t',\,t'',\,t'''$ | 89,505162 | 137,344502 | 192,419502 | 251,288102 |
| $\alpha ,\,\alpha ',\,\alpha '',\,\alpha '''$ | 178° 43′ 38,87″ | 174°  1′ 30,08″ | 187° 45′ 42,23″ | 213° 34′ 15,63″ |
| $\beta ,\,\beta ',\,\beta '',\,\beta '''$ | 12° 27′  6,16″ | 10°  8′  7,80″ | 6° 47′ 25,51″ | 4° 20′ 21,63″ |
| $l,\,l',\,l'',\,l'''$ | 189° 21′ 33,71″ | 235° 56′  0,63″ | 288° 35′ 20,32″ | 345°  9′ 18,69″ |
| $\log \mathrm {R,\,R',\,R'',\,R} '''$ | 9,9997990 | 0,0051376 | 0,0071739 | 0,0030625 |
De là nous déduisons
| $\gamma '\,=$ | 168° 32′ 41,34″, | $\quad \delta '\,=$ | 62° 23′  4,88″, | $\quad \log a'\,=$ | 9,9526104, |
| $\gamma ''=$ | 173°  5′ 15,68″, | $\quad \delta ''=$ | 100° 45′  1,40″, | $\quad \log a''=$ | 9,9994839, |
| $b'\!\!=$ | −11,009449, | $\;\varkappa '\!=$ | −1,083306, | $\;\log \lambda \;=$ | 0,0728800,﻿ | $\;\log \mu '\!=$ | 9,7139702$n$ |
| $b''\!\!=$ | − 2,082036, | $\;\varkappa ''\!\!=$ | +6,322006, | $\;\log \lambda '''\!\!=$ | 0,0798512$n,$ | $\;\log \mu ''\!\!=$ | 9,8387061﻿ |
| $\mathrm {A'D} =$ | 37° 17′ 51,50″ | ﻿ | $\mathrm {A''D} =$ | 89° 24′ 11,84″ | $\varepsilon =$9° 5′ 5,48″ |
| $\mathrm {B'D} =$ | −25°  5′ 13,38″ | ﻿ | $\mathrm {B''D} =$ | −11° 20′ 49,56″ |
Ces calculs préliminaires étant résolus, nous abordons la première hypothèse. D’après les intervalles de temps nous avons
| $\log k\,(t'-\,t\,)=$ | 9,9153666 |
| $\log k(t''\!-t'\,)=$ | 9,9765359 |
| $\log k(t'''\!\!-t'')=$ | 0,0054651, |
et de là, les premières valeurs approchées
| $\log \mathrm {P} '\,=$ | 0,06117, | $\log(1+\mathrm {P} '\,)=$ | 0,33269, | $\log \mathrm {Q} '\,=$ | 9,59087, |
| $\log \mathrm {P} ''=$ | 9,97107, | $\log(1+\mathrm {P} '')=$ | 0,28681, | $\log \mathrm {Q} ''=$ | 9,68097, |
de là ensuite,
| $c'=$ | −7,68361 | ﻿ | $\log d'=$ | 0,04666$n$ |
| $c''=$ | +2,20771 | ﻿ | $\log d''=$ | 0,12552. |
Au moyen de ces valeurs, on obtient, après quelques essais, la solution suivante des équations I, II :
| $x'\,=$ | 2,04856, | $z'\,=$ | 23° 38′ 17″, | $\log r'\,=$ | 0,34951 |
| $x''=$ | 1,95745, | $z''=$ | 27°  2′  0″, | $\log r''=$ | 0,34194. |
De $z',\,z''$ et $\varepsilon ,$ nous obtenons
$\mathrm {C'C} ''=v''-v'=$
de là, $v'\!-v,$ $r,$ $v'''\!-v'',$ $r'''$ pourront être déterminées par les équations suivantes :
| $\log r\;\sin(v'-\,v\,)=$ | 9,74942, | ﻿ | $\log r\;\sin(v'\!-v+17^{\circ }\,7'\,5'')=$ | 0,07500 |
| $\log r'''\sin(v'''\!\!-\!v'')=$ | 9,84729, | | $\log r'''\sin(v'''\!\!-\!v''\!+17^{\circ }\,7'\,5'')=$ | 0,10733 ; |
d’où nous obtenons
| $v'-v\,=$ | 14° 14′ 32″, | $\log \,r\;=$ | 0,35865, |
| $v'''\!\!-\!v''\!=$ | 18° 48′ 33″, | $\log r'''\!=$ | 0,33887. |
Enfin, on trouve
$\log(n01)=$
$\log(n12)=$
$\log(n23)=$
et de là les valeurs corrigées de $\mathrm {P',\,P'',\,Q',\,Q} '',$
| $\log \mathrm {P} '=$ | 0,05944, | ﻿ | $\log \mathrm {Q} '=$ | 9,60374, |
| $\log \mathrm {P} ''=$ | 9,97219, | ﻿ | $\log \mathrm {Q} ''\!=$ | 9,69581, |
sur lesquelles la seconde hypothèse sera établie. Ses principaux résultats sont les suivants :
| $c'=$ | − 7,67820, | $\log d'=$ | $\log d'=$ | 0,045736$n$, | 0,045736$n$, | 0,045736$n$, |
| $c''=$ | + 2,21061, | $\log d''\!=$ | $\log d''\!=$ | 0,126054, | 0,126054, | 0,126054, |
| $x'=$ | 2,03308, | $z'=$ | 23° 47′ 54″, | 23° 47′ 54″, | $\log r'=$ | 0,346747, |
| $x''=$ | 1,94290, | $z''=$ | 27° 12′ 25″, | 27° 12′ 25″, | $\log r''\!=$ | 0,339373, |
| $\mathrm {C'C} ''=$ | $v''\!-v'=$ 17° 8′ 0″, | $v''\!-v'=$ 17° 8′ 0″, | $v''\!-v'=$ 17° 8′ 0″, | $v''\!-v'=$ 17° 8′ 0″, |
| $v'-v\,=$ | 14° 21′ 36″, | $\log r\;=$ | $\log r\;=$ | 0,354687, | 0,354687, |
| $v'''\!\!-\!v''\!=$ | 18° 50′ 43″, | $\log r'''\!=$ | $\log r'''\!=$ | 0,334564, | 0,334564, |
| $\log(n01)=$ | 0,004359, | $\log(n12)=$0,006102, ﻿$\log(n23)=$0,007280. | $\log(n12)=$0,006102, ﻿$\log(n23)=$0,007280. | $\log(n12)=$0,006102, ﻿$\log(n23)=$0,007280. | $\log(n12)=$0,006102, ﻿$\log(n23)=$0,007280. | $\log(n12)=$0,006102, ﻿$\log(n23)=$0,007280. |
De là se déduisent de nouveau les valeurs corrigées de $\mathrm {P',\,P'',\,Q',\,Q} ''$
| $\log \mathrm {P} '=$ | 0,059426, | ﻿ | $\log \mathrm {Q} '=$ | 9,604749, |
| $\log \mathrm {P} ''\!=$ | 9,972249, | ﻿ | $\log \mathrm {Q} ''\!=$ | 9,697564, |
au moyen desquelles, si nous procédons à la troisième hypothèse, résultent les nombres suivants :
| $c'=$ | − 7,67815, | $\log d'=$ | $\log d'=$ | 0,045729$n$, | 0,045729$n$, | 0,045729$n$, |
| $c''=$ | + 2,21076, | $\log d''\!=$ | $\log d''\!=$ | 0,126082, | 0,126082, | 0,126082, |
| $x'=$ | 2,03255, | $z'=$ | 23° 48′ 14″, | 23° 48′ 14″, | $\log r'=$ | 0,346653, |
| $x''=$ | 1,94235, | $z''=$ | 27° 12′ 49″, | 27° 12′ 49″, | $\log r''\!=$ | 0,339276, |
| $\mathrm {C'C} ''=$ | $v''\!-v'=$ 17° 8′ 4″, | $v''\!-v'=$ 17° 8′ 4″, | $v''\!-v'=$ 17° 8′ 4″, | $v''\!-v'=$ 17° 8′ 4″, |
| $v'-v\,=$ | 14° 21′ 49″, | $\log \,r\;=$ | $\log \,r\;=$ | 0,354522, | 0,354522, |
| $v'''\!\!-\!v''\!=$ | 18° 51′ 47″, | $\log r'''\!=$ | $\log r'''\!=$ | 0,334290, | 0,334290, |
| $\log(n01)=$ | 0,004363, | $\log(n12)=$0,006106, ﻿$\log(n23)=$0,007290. | $\log(n12)=$0,006106, ﻿$\log(n23)=$0,007290. | $\log(n12)=$0,006106, ﻿$\log(n23)=$0,007290. | $\log(n12)=$0,006106, ﻿$\log(n23)=$0,007290. | $\log(n12)=$0,006106, ﻿$\log(n23)=$0,007290. |
Si maintenant les distances à la Terre sont calculées d’après les principes de l’article précédent, on obtient
| $\rho '=$ | 1,5635, | $\rho ''\!=$ | 2,1319 |
| $\log \rho \cos \beta =$ | 0,09876 | $\log \rho '''\cos \beta '''\!=$ | 0,42842 |
| $\log \rho \sin \beta =$ | 9,44252 | $\log \rho '''\sin \beta '''\!=$ | 9,30905 |
| $\beta =$ | 12° 26′ 40″ | $\beta '''\!=$ | 4° 20′ 39″ |
| $\log \rho =$ | 0,10909 | $\log \rho '''\!=$ | 0,42967. |
De là sont obtenus
| | Corrections des temps. | Époques corrigées. |
| I. | 0,007335 | 89,497827 |
| II. | 0,008921 | 135,335581 |
| III. | 0,012165 | 192,407337 |
| IV. | 0,015346 | 251,272756 |
d’où se déduisent les valeurs des quantités $\mathrm {P',\,P} '',$ $\mathrm {Q',\,Q} '',$ corrigées de nouveau,
| $\log \mathrm {P} '=$ | 0,059415, | ﻿ | $\log \mathrm {Q} '=$ | 9,604782, |
| $\log \mathrm {P} ''\!=$ | 9,972253, | | $\log \mathrm {Q} ''\!=$ | 9,697687. |
Enfin, si à l’aide de ces nouvelles valeurs la quatrième hypothèse est formée, les nombres suivants s’en déduisent :
| $c'=$ | − 7,678116, | $\log d'=$ | $\log d'=$ | 0,045723$n$ | 0,045723$n$ | 0,045723$n$ |
| $c''=$ | + 2,210773, | $\log d''\!=$ | $\log d''\!=$ | 0,126084 | 0,126084 | 0,126084 |
| $x'=$ | 2,032473, | $z'=$ | 23° 48′ 16,7″, | 23° 48′ 16,7″, | $\log r'=$ | 0,346638 |
| $x''=$ | 1,942281, | $z''=$ | 27° 12′ 51,7″, | 27° 12′ 51,7″, | $\log r''\!=$ | 0,339263 |
| $v''\!\!-\!v'=$ | 17° 28′ 45.1″, | ${\tfrac {1}{2}}(u''\!\!+\!u')=$ | 176° 7′ 50,5″, | ${\tfrac {1}{2}}(u''\!\!-\!u')=$ | 4° 33′ 23,6″ |
| $v'\!-v=$ | 14° 21′ 51.9″, | $\log r\;=$ | 0,354503 |
| $v'''\!\!-\!v''\!=$ | 18° 51′ 59.5″ | $\log r'''\!=$ | 0,334263. |
Ces nombres diffèrent si peu de ceux fournis par la troisième hypothèse, que nous pouvons maintenant procéder en toute sûreté à la détermination des éléments. Nous déterminerons d’abord la position du plan de l’orbite. D’après les règles de l’art. 149, on trouve, au moyen de $\gamma ',\,u',$ et $\mathrm {A'C'} =\delta '-z',$ l’inclinaison de l’orbite = 7° 8′ 14,8″, la longitude du nœud ascendant 103° 16′ 37,2″, l’argument de la latitude dans la seconde observation 94° 36′ 4,9″, et par suite, la longitude dans l’orbite 197° 52′ 42,1″ ; de la même manière, au moyen de $\gamma '',$ $u''$ et $\mathrm {A''C} ''\!=\delta ''\!-z'',$ on déduit pour l’inclinaison de l’orbite $=$7° 8′ 14,8″ la longitude du nœud ascendant 103° 16′ 37,5″, l’argument de la latitude dans la troisième observation 111° 44′ 9.7″, et par suite, la longitude dans l’orbite 215° 0′ 47,2″. D’après cela, la longitude dans l’orbite pour la première observation sera 183° 30′ 50,2″, pour la quatrième 233° 51′ 56,7″, Si maintenant les dimensions de l’orbite sont déterminées d’après $t'''\!\!-\!t,$ $r,$ $r''',$ et $v'''\!\!-\!v=$50° 21′ 6,5″, on trouve
| Anomalie vraie pour le premier lieu | 293° 33′ 43,7″ |
| Anomalie vraie pour le quatrième lieu | 343° 54′ 50,2″ |
| De là, la longitude du périhélie | 219° 57′ 56,5″ |
| Anomalie moyenne pour le premier lieu | 302° 33′ 32,6″ |
| Anomalie moyenne pour le quatrième lieu | 346° 32′ 25,2″ |
| Mouvement moyen diurne sidéral | 978",7216 |
| Anomalie moyenne pour le commencement de ﻿l’année 1807 | 278° 13′ 39,1″ |
| Longitude moyenne pour la même époque | 168° 10′ 45,6″ |
| Angle φ | 5° 12′ 58,1″ |
| Logarithme du demi grand axe | 0,372898 |
Si les positions géocentriques de la planète sont calculées d’après ces éléments, pour les temps corrigés $t,\,t',\,t'',\,t''',$ les quatre longitudes s’accordent avec $\alpha ,\,\alpha ',\,\alpha '',\,\alpha ''',$ et les deux latitudes intermédiaires avec $\beta ',\,\beta '',$ à un dixième de seconde, mais les latitudes extrêmes sont 12° 26′ 43,7″ et 4° 20′ 40,1″ ; la première en défaut de 22″,4, et la seconde en excès de 18″,5. Cependant si, sans changer les autres éléments, on augmente seulement l’inclinaison de l’orbite de 6″, et si l’on diminue de 4′ 40″ la longitude du nœud, les erreurs distribuées entre toutes les latitudes s’abaissent à quelques secondes, et les longitudes sont seulement affectées d’erreurs très-légères, qui se trouvent même réduites à presque rien si, en outre, on diminue de 2″ la longitude de l’époque.