# Communiquée aux rédacteurs des Annales, sur la lettre de M. Kramp
## NOTE

Toute équation du second degré à deux indéterminées peut toujours, par des transformations, se réduire à la forme suivante :
$y^{2}-Ax^{2}=B.$
La résolution de cette équation, en nombres entiers, lorsqu’elle est possible, peut se ramener à l’intégration d’une équation aux différences finies de cette forme :
$y''-2my'+y=0~;$
son intégration donne
$\ y={\frac {Y+X{\sqrt {A}}}{2}}\left\{m+n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}+{\frac {Y-X{\sqrt {A}}}{2}}\left\{m-n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1},$
$\ x={\frac {Y+X{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}\left\{m+n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}-{\frac {Y-X{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}\left\{m-n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}.$
Dans ces formules $Y,X,$ sont les plus petites valeurs entières de $y,x$ ; qui satisfassent à l’équation $y^{2}-Ax^{2}=B.$
$m,n,$ sont deux nombres entiers satisfaisant à l’équation $m^{2}-An^{2}=1.$
Je me propose, dans une autre circonstance, de démontrer toutes ces propositions, ainsi que beaucoup d’autres sur les fractions-continues.
L’équation que M. Kramp se propose de résoudre (pag. 283) est celle-ci
$y^{2}-11x^{2}=49.$
Les plus petites valeurs entières de $m,n,$ qui satisfassent à l’équation $m^{2}-11n^{2}=1$ sont $m=10,n=3~;$ celles de $Y,X,$ sont $Y=7,X=0.$
En substituant ces valeurs dans les formules générales données ci-dessus, et y faisant ensuite $z=1,2,3,4,\ldots ,$ on trouve
${\begin{array}{lrrr}y=&7,&70,&1393,&27790,\ldots \\x=&0,&21,&420,&8379,\ldots \\\end{array}}$
comme on le voit dans le mémoire de M. Kramp (pag. 285).
Si l’on met l’équation $y^{2}-11x^{2}=49$ sous cette forme
${\tfrac {y^{2}}{49}}-11{\tfrac {x^{2}}{49}}=1,$
en posant
${\tfrac {y}{7}}=y',\quad {\tfrac {x}{7}}=x',$
on aura à résoudre l’équation
$y'^{2}-11x'^{2}=1.$
Si l’on en cherchait les solutions en nombres entiers, on trouverait, comme ci-dessus, $y'=10,x'=3.$
Mais, si l’on cherche les valeurs fractionnaires qui peuvent y satisfaire, on en trouvera plusieurs parmi celles-ci qui auront l’avantage de donner, pour $y$ et $x$, des nombres entiers essentiellement différens de ceux qui ont déjà été déterminés. De ce nombre sont les valeurs
$\left.{\begin{aligned}y'&={\tfrac {15}{7}},\\x'&={\tfrac {4}{7}}~;\\\end{aligned}}\right\$
$\left\{{\begin{aligned}y&=15,\\x&=4~;\\\end{aligned}}\right.$
$\left.{\begin{aligned}y'&={\tfrac {18}{7}},\\x'&={\tfrac {5}{7}}~;\\\end{aligned}}\right\$
$\left\{{\begin{aligned}y&=18,\\x&=5~;\\\end{aligned}}\right.$
Prenant successivement ces deux systèmes de valeurs pour $Y$ et $X,$ on formera les deux nouvelles séries de valeurs correspondantes que voici
${\begin{array}{lrrr}y=&15,&282,&5625,\ldots \\x=&4,&85,&1696,\ldots \\\hline y=&18,&345,&6882,\ldots \\x=&5,&104,&2075,\ldots \\\end{array}}$
comme l’indique M. Kramp dans sa lettre insérée à la page 319.
On voit donc que l’existence des deux dernières séries de valeurs dont parle M. Kramp, et qui comme les premières, résolvent l’équation, tient 1.$^o$ à ce que le terme 49 est un quarré, ce qui permet de mettre l’équation proposée sous la forme
$y'^{2}-11x'^{2}=1~;$
2.$^o$ à ce que, parmi les systèmes de valeurs fractionnaires de $y',x',$ qui satisfont à cette dernière, il s’en trouve deux qui, à cause de leur dénominateur, donnent pour $y$ et $x$ des nombres entiers. On voit en effet que
$\left.{\begin{aligned}\left({\tfrac {15}{7}}\right)^{2}-11\left({\tfrac {4}{7}}\right)^{2}&=1,\\\left({\tfrac {18}{7}}\right)^{2}-11\left({\tfrac {5}{7}}\right)^{2}&=1,\\\end{aligned}}\right\$
$\left\{{\begin{aligned}15^{2}-11\cdot 4^{2}&=49,\\18^{2}-11\cdot 5^{2}&=49.\\\end{aligned}}\right.$
Si, au contraire, on posait
$y'={\tfrac {6}{5}},\quad x'={\tfrac {1}{5}},$
on satisferait bien à l’équation
$y'^{2}-11x'^{2}=1~;$
mais il en résulterait pour $y$ et $x$ les valeurs fractionnaires
$y={\tfrac {42}{5}},\quad x={\tfrac {7}{5}},$
Les formules (1), (2), sont donc très-générales ; elles contiennent toutes les séries de valeurs qui peuvent satisfaire à l’équation $y^{2}-Ax^{2}=B,$ tant en nombres entiers qu’en nombres fractionnaires.