# L’Encyclopédie/1re édition/NEUF

NEUF, adj. ce qui n’a point ou peu servi. Une étoffe neuve, une toile neuve, un habit neuf.
Dans le commerce de bois de chauffage, on appelle bois neuf celui qui vient par bateau & qui n’a pas flotté. Voyez Bois. Dictionnaire de Comm. (G)
Neuf, (Maréchall.) On appelle cheval neuf celui qui n’a été ni monté ni attelé. Pié & quartier neuf, Voyez Pied & Quartier.
1. Neuf, (Arithmétique.) c’est le dernier ou le plus grand des nombres exprimés par un seul chisfre. On peut le concevoir ou comme le produit de 3 multiplié par lui-même, ou comme la somme des trois premiers termes $\scriptstyle {\overline {1+3+5}}$ de la suite des impairs : d’où il résulte également (Voyez Impair) qu’il est un quarré dont 3 est la racine.
Deux propriétés l’ont rendu célebre, & font encore l’admiration de ceux qui n’en pénetrent pas le mystere.
2. Premiere propriété. La somme des chiffres qui expriment un multiple quelconque de 9, est elle-même un multiple de 9.... Comme réciproquement tout nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 9, exprime lui-même un multiple de 9. 63, par exemple (multiple de 9) donne pour la somme de ses chiffres 6+3=9...378 (autre multiple de 9) donne 3+7+8=18=9×2.. &c.
Pareillement si on écrit au hasard une suite de chiffres en nombre quelconque, pourvu seulement que leur somme soit 9 ou l’un de ses multiples, comme 1107, 882, 11115, &c. on est assuré que le nombre résultant se divise exactement par 9.
3. Seconde propriété. Si l’on renverse l’ordre des chiffres qui expriment un nombre quelconque, la différence du nombre direct au nombre renversé, est toujours un multiple de 9.
Par exemple, 73−37=36=9×4....826−628=198=9×22.., &c.
4. Comme le nombre 9 ne tire ses propriétés que du rang qu’il occupe dans notre système de numération, où il précede immédiatement la racine 10 de notre échelle arithmétique, pour rendre la démonstration générale & applicable à tout autre nombre qui tienne respectivement le même rang dans son échelle particuliere, nommant r la racine d’une échelle quelconque, nous démontrerons les deux propriétés pour un nombre r−1 pris indéterminément ; mais avant que d’y procéder, il est bon de rappeller à l’esprit quelques propositions ou claires par elles-mêmes, ou prouvées ailleurs, desquelles dépend la démonstration.
Lemme I. 5. Soient deux nombres avec leur différence, ce qui en fait trois ; de ces 3 nombres si deux pris comme on voudra sont multiples d’un quatrieme nombre quelconque, le troisieme l’est aussi..... qu’on nomme les deux nombres par des lettres, conformément à l’hypothèse, & l’on sentira l’évidence de la proposition.
Lemme II. 6. La différence de deux puissances quelconques de la même racine, est un multiple de cette racine diminuée de l’unité ; c’est-à-dire que $\scriptstyle r^{m}-r^{n}$, & par une suite (faisant l’exposant $\scriptstyle n=0$) $\scriptstyle r^{m}-1$ sont multiples de $\scriptstyle r-1$...pour la preuve, voyez Exposant.
Corollaire. 7. La différence d’un chiffre a pris suivant une valeur relative quelconque au même chiffre pris, suivant toute autre valeur relative, ou suivant sa valeur absolue, est un multiple de $\scriptstyle r-1$.
Cette différence (voy. Échelle arithmétique) peut être représentée généralement par . . $\scriptstyle a.r^{m}-a.r^{n}=axr^{m}-r^{n}$ ; mais la quantité qui multiplie a est (lemme II.) un multiple de $\scriptstyle r-1$ : donc le produit même, ou la différence qu’il représente, l’est aussi.
Et ce qu’on dit d’un chiffre pris solitairement s’applique de soi-même à un nombre composé de tant de chiffres qu’on voudra ; il est clair que la différence totale aura la même propriété qu’affectent toutes & chacune des différences partiales dont elle est la somme.
8. Cela posé, revenons aux propriétés citées du nombre $\scriptstyle r-1$.
Premiere propriété. (Voyez-la n°. 2.) On peut l’énoncer ainsi : si plusieurs chiffres en nombre quelconque, pris suivant leur valeur relative, donnent un multiple de $\scriptstyle r-I$, ces mêmes chiffres pris suivant leur valeur absolue, donneront aussi un multiple de $\scriptstyle r-I$.
Démonstration. La différence des deux résultats est (coroll.) un multiple de $\scriptstyle r-I$ ; mais (par supposition) le premier l’est aussi : donc (lemme I.) le second l’est pareillement.
Au reste cette démonstration est telle que sans y rien changer elle prouve également l’inverse de la proposition.
Seconde propriété. Voyez-le n°. 3.
Démonstration. En renversant l’ordre des chiffres on ne fait qu’échanger leur valeur relative ; mais (coroll.) la différence qui résulte de cet échange est un multiple de $\scriptstyle r-1$ : donc, &c.
Observez que l’objet de cette seconde démonstration n’est qu’un cas très-particulier de ce qui résulte du corollaire ci-dessus ; il établit la propriété non seulement pour le cas du simple renversement des chiffres, mais généralement pour toute perturbation d’ordre quelconque, entiere ou partiale, qu’on peut supposer entr’eux.
9 Il est clair que tout sous-multiple de $\scriptstyle r-1$participera aux mêmes propriétés qu’on vient de démontrer pour $\scriptstyle r-1$ même . . . . aussi 3 en notre échelle en jouit-il aussi pleinement que 9 ; 2 & 3 aussi pleinement que 6 dans l’échelle septenaire, & 1 dans toutes les échelles, parce que 1 est sous-multiple de tous les nombres.
10. Mais le nombre 9 (& ceci doit s’entendre de tout autre $\scriptstyle r-1$) a encore une autre propriété qui jusqu’ici n’avoit point été remarquée . . . c’est que la division par 9 de tout multiple de 9 peut se réduire à une simple soustraction : en voici la pratique.
Soit 3852 (multiple de 9) proposé à diviser par 9.
Ecrivez 0 au-dessus du chiffre qui exprime les unités, & dites, qui de 0 ou (en empruntant sur tel chiffre qu’il appartiendra) qui de 10 paye $\scriptstyle 2{\begin{cases}\scriptstyle {\overset {.}{4}}2{\overset {.}{8}}0\\\scriptstyle 3852\\\end{cases}}$ reste 8 ; écrivez 8 à la gauche du 0 avec un point au-dessus, pour marquer qu’il en a été emprunté une unité, & qu’il ne doit plus être pris que pour 7.
Puis dites, qui de 7 paie 5, reste 2 ; écrivez 2 à la gauche du 8.
Enfin dites, qui de 2 ou (en empruntant) qui de 12 paie 8, reste 4, écrivez 4 à la gauche du 2 avec un point au-dessus....& tout est fait : car $\scriptstyle 3-3=0$, montre que l’opération est consommée ; ensorte que négligeant le 0 final, le reste 428 est le quotient cherché.
On voit que cette soustraction est plus simple même que l’ordinaire, qui exige trois rangs de chiffres, tandis que celle-ci n’en a que deux : au reste elle porte aussi sa preuve avec elle ; car si l’on ajoute (en biaisant un peu) le dernier chiffre du nombre inférieur avec le pénultieme du supérieur, le pénultieme de celui-là avec l’antépénultieme de celui-ci, & ainsi de suite, la somme vous rendra le nombre supérieur même, s’il ne s’est point glissé d’erreur dans l’opération.
11. La raison de cette pratique deviendra sensible, si l’on fait attention que tout multiple de 9 peut lui-même être conçu comme le résultat d’une soustraction. En effet, $\scriptstyle 428x9=428\times {\overline {10-1}}=4280-428$, ce qu’on peut disposer ainsi :
| $\scriptstyle {\overset {.}{4}}2{\overset {.}{8}}0$ | s |
| $\scriptstyle -428$ | m |
| $\scriptstyle {\overline {3852}}$ | j |
nommant s le nombre supérieur, m celui du milieu, j l’inférieur. Il suit de la disposition des chiffres que le dernier de m est le même que le pénultieme de s, le pénultieme de m le même que l’antépénultieme de s, &c.
Maintenant le nombre j étant proposé à diviser par 9, il est clair (construction) que le quotient cherché est le nombre m, mais (encore par constr.) $\scriptstyle j=s-m$ ; d’où $\scriptstyle m=s-j$, & voilà la soustraction qu’il est question de faire ; mais comment y procéder, puisque s, élément nécessaire, n’est point connu ?
Au-moins en connoît-on le dernier chiffre, qui est toujours o : on peut donc commencer la soustraction. Cette premiere opération donnera le dernier chiffre de m=(suprà) au pénultieme de s ; celui-ci fera trouver le pénultieme de m=à l’antépénultieme de s, & ainsi de l’un en l’autre, le chiffre dernier trouvé de m étant celui dont on a besoin dans s pour continuer l’opération.
Dans l’addition qui sert de preuve à la regle, c’est le nombre j qu’on ajoute au nombre m, ce qui évidemment doit donner le nombre s ; car puisque $\scriptstyle j=s-m$, il suit que $\scriptstyle j+m=s$.
12. Observez (derniere figure) que dans la soustraction employée pour multiplier 428 par 9, il se fait deux emprunts, l’un sur le 8, l’autre sur le 4, & que d’un autre côté la somme des chiffres du multiple 3852 est 18, ou 9 pris deux fois, ce qui n’est point un hasard, mais l’effet d’une loi générale. La somme des chiffres du multiple contient 9 autant de fois qu’il y a eu d’emprunts dans la soustraction qui a servi à le former. On en verra plus bas la raison.
13. Il suit que si la soustraction s’exécutoit sans faire d’emprunt, la somme des chiffres du multiple seroit = 0, conséquence révoltante par l’imagination, mais qui, entendue comme il faut, malgré la contradiction qu’elle semble renfermer, ne laisse pas d’être exactement vraie.
Pour s’en convaincre, que dans le même exemple aux chiffres on substitue des lettres, ou simplement que laissant subsister les chiffres, on procede à la soustraction par la méthode algébrique, on aura
| | 4 | 2 | 8 | 0 |
| - | | 4 | 2 | 8 |
| | 4. | 2-4. | 8-2. | -8. |
Le résultat qui représente le multiple contient quatre termes, distingués entr’eux par des points, nommant (relativement au rang) pairs les second & quatrieme, & impairs les premier & troisieme ; si l’on fait séparément la somme des termes pairs & celle des impairs, la premiere sera $\scriptstyle +2-4.-8$, & la seconde $\scriptstyle +4.+8-2$ : où l’on voit que les mêmes chiffres sont contenus dans l’une & dans l’autre somme, mais avec des signes contraires ; ensorte que si l’on vient à ajouter les deux sommes ensemble, tous ces chiffres se détruisant mutuellement, le résultat sera 0.
Et c’est en effet ce qui devroit toujours arriver, sans que pour cela il y eût contradiction, ni que le multiple qu’on devoit trouver fût réellement anéanti ; car il faut bien prendre garde que ses chiffres ne se détruisent mutuellement, que parce qu’en faisant leur somme on ne les prend que suivant leur valeur absolue, & qu’on ne les doit prendre que sur ce pié là. Si l’on avoit égard à leur valeur relative, dès-lors −8, par exemple, ne seroit plus propre à faire évanouir +8, parce que celui ci seroit 80, tandis que l’autre ne seroit encore que 8, & ainsi des autres chiffres.
14. Mais, demandera-t-on, pourquoi ce qui devroit toûjours arriver n’arrive-t-il jamais ? c’est que suivant notre méthode particuliere de faire les opérations de l’Arithmétique dans la soustraction proposée (où la quantité excédante est terminée par un 0) il y a nécessairement & dès le premier pas un emprunt à faire ; car quel est l’effet de cet emprunt ? c’est, de deux termes consécutifs, de diminuer l’un d’une unité, & d’augmenter l’autre de 10. Voilà donc deux nouveaux termes (10 & −1) à introduire dans la somme de ceux du multiple, & qui resteront après que les autres se seront détruits par la contrariété de leurs signes. Cette somme ne sera donc plus 0, comme auparavant, mais 10−1 ou 9, répété autant de-fois qu’il se sera fait d’emprunts ; car ces nouveaux chiffres ayant par-tout le même signe, ne se détruiront pas (comme font les autres) par l’addition de deux sommes.
15. Cela même fournit une nouvelle démonstration de la premiere propriété, & qui semble mieux entrer dans la nature de la chose. On voit non-seulement que la somme des chiffres qui expriment un multiple de 9, doit elle-même être un multiple de 9 ; on est même en état de déterminer ce multiple, qui se regle sur le nombre des emprunts faits dans la soustraction qui a servi à le former ; nombre aisé lui-même à déterminer par l’inspection seule de celui qu’il s’agit de multiplier par 9. En effet, si tous les chiffres du nombre proposé sont croissans de droite à gauche, il y aura autant d’emprunts que le nombre même contient de chiffres, & autant de moins que cet ordre se trouvera de fois troublé. Ainsi pour 842 il y en aura trois, au lieu que pour 428 (formé des mêmes chiffres) il n’y en a que deux, parce que la loi d’accroissement n’a pas lieu du 8 au 2… Si deux chiffres consécutifs sont semblables, quand il y a eu emprunt sur le premier, il y en a aussi sur le second, parce que la diminution causée par le premier emprunt les range sous la loi d’accroissement ; mais s’il n’y en a point sur le premier, il n’y en aura point non plus sur le second. Par exemple, pour 33 il y en aura deux ; mais pour 338 il n’y en aura qu’un, qui tombera sur le 8. La somme des chiffres qui expriment 33×9, sera donc 18, tandis que celle des chiffres qui expriment 338×9 (nombre cependant beaucoup plus grand que le premier) ne sera que 9.
Cet article est de M. Rallier des Ourmes, conseiller d’honneur au présidial de Rennes, à qui l’Encyclopédie est redevable de beaucoup d’autres morceaux.