# Sur la mobilité et la diffusion des ions

Soient ${\text{I}}$ le courant périodiquement variable représenté par des ions tous identiques, de mobilité $k$, introduits dans un condensateur plan au niveau d’un des plateaux ; $i$ le courant recueilli par l’autre plateau lorsqu’une différence de potentiel constante ${\text{V}}=ha$ est maintenue entre les armatures distantes de $a$. D’après des résultats établis antérieurement les amplitudes des harmoniques correspondants des courants $i$ et ${\text{I}}$ développés en série de Fourier sont reliés par l’expression simple
${\frac {i_{m}}{{\text{I}}_{m}}}={\frac {\sin {\alpha _{m}}}{\alpha _{m}}}$
$\alpha _{m}={\frac {m\pi \alpha }{kh{\text{T}}}},$
${\text{T}}$ étant la période du courant d’introduction.
Si on néglige la diffusion, et en supposant la densité spatiale des charges $\rho$ assez petite pour qu’il n’y ait pas de déformation du champ, on obtient pour $i$ un minimum nul chaque fois que la longueur d’onde $kh{\text{T}}/m$ de l’harmonique d’ordre $m$ est contenue un nombre entier de fois dans la distance $a$.
Voyons ce que devient ce résultat si l’on tient compte de la diffusion. Les lois bien connues de mobilité et de diffusion, et le principe de conservation de l’électricité permettent d’obtenir les équations suivantes :
| (1) | $\gamma =\rho v=kh\rho -{\text{D}}{\frac {\partial {\rho }}{\partial {x}}},$ |
$\gamma$, densité du courant de convection à travers le plan d’abscisse $x$. Cette équation appliquée au plan $x=0$ donne la densité du courant d’introduction ${\text{I}}$
| (2) | ${\frac {\text{I}}{\text{S}}}=\left(kh\rho -{\text{D}}{\frac {\partial {\rho }}{\partial {x}}}\right)_{\!x=0},$ |
${\text{S}}$, surface utile des plateaux.
La densité $\rho$ doit satisfaire à l’équation différentielle
| (3) | ${\frac {\partial {\rho }}{\partial {t}}}+kh{\frac {\partial {\rho }}{\partial {x}}}-{\text{D}}{\frac {\partial ^{2}\!\rho }{\partial {x}^{2}}}=0.$ |
En utilisant la notation des imaginaires et en remarquant que, en raison du caractère linéaire de cette équation, chaque terme harmonique du courant $i$ dépend uniquement du terme correspondant du courant $\mathrm {I}$, on obtient, comme conséquence de (2) et (3),
| (2′) | ${\frac {{\text{I}}_{1}}{\text{S}}}=\left(kh\rho _{1}-\mathrm {D} {\frac {d^{2}\!\rho _{1}}{dx^{2}}}\right)_{\!x=0},$ |
| (3′) | $i\omega \rho _{1}+kh{\frac {d\rho _{1}}{dx}}-\mathrm {D} {\frac {d^{2}\!\rho _{1}}{dx^{2}}}=0,$ |
${\text{I}}_{1}$, $\gamma _{1}$, $\rho _{1}$, amplitudes imaginaires des termes harmoniques qui se correspondent dans ${\text{I}}$, $\gamma$ et $\rho$ ; $\rho _{1}$ est fonction de la seule variable $x$.
Introduisons les variables réduites définies par
| (4) | ${\begin{aligned}\xi &={\frac {x}{a}},&\theta &={\frac {\omega a}{kh}}={\frac {2\pi a}{kh\mathrm {T} }},&\varepsilon &={\frac {\mathrm {D} }{kha}}={\frac {\mathrm {D} }{k\mathrm {V} }}\end{aligned}}$ |
et remarquons que, pour des ions monovalents, on a $\mathrm {D} /k\sim 8,3.10^{-5}$ ; en admettant $\mathrm {V} \sim \,100$ volts/cm et $a\sim \,$ quelques centimètres, ce qui correspond aux conditions expérimentales prévues, on voit que $\varepsilon \sim 10^{-4}\ll 1.$
Avec les notations indiquées, (2′) et (3′) deviennent
| (2″) | ${\frac {{\text{I}}_{1}}{\text{S}}}=kh\left(\rho _{1}-\varepsilon {\frac {d\rho _{1}}{d\xi }}\right)_{\!\xi =0},$ |
| (3″) | $\varepsilon {\frac {d^{2}\!\rho _{1}}{dx^{2}}}-{\frac {d\rho _{1}}{d\xi }}-i\theta \rho _{1}=0.$ |
En tenant compte des conditions aux limites et de l’expression du courant $i$ établie antérieurement$^{[1]}$, on obtient, pour le rapport des amplitudes imaginaires, des termes correspondants des courants $i$ et $\mathrm {I}$,
| (5) | ${\frac {i_{1}}{\mathrm {I} _{1}}}={\frac {\left({\dfrac {1}{\overset{r}}}-\varepsilon \right)\left(1-e^{-r}\right)-\left({\dfrac {1}{r'}}-\varepsilon \right)\left(1-e^{-r'}\right)}{(1-\varepsilon r)e^{-r}-(1-\varepsilon r')e^{-r'}}}\cdot$ |
En tenant compte du fait que $\varepsilon$ est toujours très petit et en développant les racines de l’équation caractéristique suivant les puissances croissantes de $\varepsilon$, on obtient, après tous calculs effectués, l’expression du carré du module de (5)
| (6) | $\quad \left|{\frac {i_{1}}{\mathrm {I} _{1}}}\right|^{2}\!=2\left({\frac {1}{\theta ^{2}}}-\varepsilon +4\varepsilon ^{2}\!+{\frac {\theta ^{2}\varepsilon ^{2}}{2}}\!\right)\left(1-\cos \theta \right)-4\theta \varepsilon ^{2}\!\sin \theta +\theta ^{2}\varepsilon ^{2}.$ |
Quand on ne tient pas compte de la diffusion, c’est-à-dire quand on suppose $\varepsilon =0$, cette expression prend la valeur très simple
$\left|{\frac {i_{1}}{\mathrm {I} _{1}}}\right|=\left|{\frac {2}{\theta }}\sin {\frac {\theta }{2}}\right|,$
qui s’annule pour $\theta =2\pi .n\;(n=1,\,2,\,3,\,\ldots ).$
Lorsqu’on tient compte de la diffusion, et si l’on suppose que l’on fasse varier $\theta$ par l’intermédiaire du champ, c’est-à-dire que l’on ait, d’après les définitions (4), $\varepsilon$ proportionnel à $\theta$, l’expression (6) montre que $\left|i_{1}/\mathrm {I} _{1}\right|$ passe par une série de maxima et de minima quand $\theta$ augmente à partir de 0, les minima ayant lieu encore chaque fois que $\theta$ est un multiple entier de $2\pi$, c’est-à-dire que $a$ contient un nombre entier de longueurs d’onde.
L’influence de la diffusion sur la position des minima est donc nulle au second ordre d’approximation en $\varepsilon$, c’est-à-dire complètement négligeable. Et c’est de cette position que se déduit la mesure de la mobilité $k$.