# Une nouvelle figure du monde. Les Théories d’Einstein/4
## CHAPITRE IV LE PRINCIPE DE LA RELATIVITÉ RESTREINTE

J’ai tracé dans le chapitre II l’historique des théories de la relativité. Ainsi que cela a lieu en général, c’est, on l’a vu, la découverte de certains faits étonnants qui a conduit à l’élaboration de théories susceptibles de les englober. Pour satisfaire aux principes de la logique, il faudra donc faire découler de ces théories des faits qui, dans la réalité, ont précédé leur élaboration. Nous aurons ainsi à déduire du principe de la relativité restreinte l’expérience de Michelson et Morlay, par exemple, qui a été la promotrice de ce principe.
Les mêmes exigences de l’esprit refoulent au second plan la discussion de ces hypothèses de l’éther, qui préoccupèrent si grandement les savants : nous avons simplement à indiquer, comment et pourquoi l’affirmation de l’inexistence de l’éther qui résulte du principe de la relativité restreinte est, en l’état actuel de la science, la seule admissible.
Ainsi considérés, les divers faits auxquels je faisais allusion plus haut prennent la figure de conséquences, et peuvent, avec bien d’autres également antérieurs au principe en question, se placer modestement à côté des vraies conséquences, c’est-à-dire des conséquences non seulement logiques, mais réellement postérieures. Celles-ci, quoique énoncées brièvement, paraîtront beaucoup plus intéressantes au lecteur que les premières, puisqu’elles invitent le savant à une infinité d’expériences et de recherches dans des directions nouvelles, tandis que les autres sont désormais stériles : elles ont rempli leur rôle, elles nous ont donné le principe de relativité et cela suffit.
Nous allons donc étudier successivement quelques conséquences immédiates et générales du principe de la relativité. Nous choisirons ensuite quelques exemples importants dans les divers domaines : géométrique, cinématique, dynamique, physique, qui entraînent les nouvelles notions de temps et d’espace scientifiques que ce principe substitue arbitrairement, par le fait même de l’introduction d’un nouveau groupe mathématique invariant, aux notions arbitraires correspondantes de Newton. Enfin, à titre d’application, de document et de thèse vérificative, nous exposerons la question de l’existence de l’éther.
Rappelons d’abord le groupe des formules de transformation de Lorentz qui, avec la condition de constance de la vitesse de la lumière, définit au point de vue mathématique le principe de la relativité restreinte.
${\begin{array}{l}x^{\prime }={\frac {1}{\beta }}(x-vt),\\y^{\prime }=y,\\z^{\prime }=z,\\t^{\prime }={\frac {1}{\beta }}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right),\\\beta ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.\end{array}}$
Par les formules précédentes nous voyons tout de suite :
1$^o$ que les lois de Newton ne sont qu’une approximation de lois plus générales. En effet le groupe de transformation de Lorentz se réduit à celui de Newton quand on y pose $\scriptstyle {\rm {B=1}}$, c’est-à-dire quand on considère une valeurs négligeable devant $\scriptstyle c$.
La mécanique de Newton correspondrait donc aux vitesses très faibles vis-à-vis de la vitesse de la lumière. Comme celle-ci est de 300 000 kilomètres par seconde, on se rend compte que les lois newtoniennes sont amplement suffisantes pour les besoins de la pratique. Il se pourrait cependant que la mécanique einsteinienne nous mît à même d’utiliser des rayonnements à vitesse considérable très voisine de celle de la lumière et dont la mécanique classique ne pouvait, on voit pourquoi, nous donner une connaissance suffisante.
2$^o$ que nous avons fondé une relativité réciproque, c’est-à-dire que les deux systèmes de comparaison définis par les formules de transformation sont tels que le premier est par rapport au second ce que le second est par rapport au premier. La seule différence, d’ailleurs nécessaire, est le changement de signe de la vitesse. On voit en effet qu’en résolvant les formules de Lorentz par rapport à $\scriptstyle x,y,z,t$, il vient :
${\begin{array}{l}x={\frac {1}{\beta }}(x^{\prime }+vt^{\prime }),\\y=y^{\prime },\\z=z^{\prime },\\t={\frac {1}{\beta }}\left(t^{\prime }+{\frac {vx^{\prime }}{c^{\prime 2}}}\right).\end{array}}$
Il ne saurait donc, dans la théorie de la relativité, exister d’axes privilégiés, c’est-à-dire non plus de système de référence absolu ni par conséquent de repos ni de mouvement absolus.
3$^o$ que l’espace est une chose entièrement relative ; cela résulte bien de la formule
$x^{\prime }={\frac {1}{\beta }}(x-vt).$
On peut en effet la traduire de la façon suivante :
Faisons coïncider les axes des $\scriptstyle x$. Les deux systèmes glissent sur ces axes relativement l’un à l’autre et d’un mouvement uniforme. Prenons un point matériel et rapportons-le au même instant aux deux systèmes de référence ; ce point est nommé ${\rm {M}}$ par l’observateur du premier système et ${\rm {M^{\prime }}}$ par celui du second.
Pour le premier, la distance ${\rm {OM}}$ est
${\rm {OM=OO^{\prime }+O^{\prime }M}}$
et il l’appelle $\scriptstyle x$.
Mais ${\rm {M}}$ et ${\rm {M^{\prime }}}$ sont confondus puisqu’il n’y a qu’un point matériel ; par conséquent pour le premier observateur ${\rm {O^{\prime }M=O^{\prime }M^{\prime }}}=x^{\prime }$.
D’autre part ${\rm {OO^{\prime }}}=vt$.
Donc pour lui
$x^{\prime }={\rm {O^{\prime }M^{\prime }=OM-OO^{\prime }}}=x-vt.$
Mais pour le second il n’en est pas ainsi ; son expression de ${\rm {O^{\prime }M^{\prime }}}$ n’est pas $\scriptstyle x-vt$ mais $\scriptstyle {\frac {1}{\beta }}(x-vt)$ c’est-à-dire un nombre plus grand puisque $\scriptstyle \beta$ est plus petit que l’unité.
L’espace est donc en fait, dans la théorie de la relativité, entièrement relatif à l’observateur.
4$^o$ Que le temps est également une chose entièrement relative ; cela résulte bien de la formule
$t^{\prime }={\frac {1}{\beta }}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$
Si un observateur du premier système tire son chronomètre et note l’heure $\scriptstyle t$ où le point matériel passe à l’origine, c’est-à-dire (pour lui) où $\scriptstyle x=0$, il ne saurait en conclure que cette heure soit la même pour l’observateur du second système. En effet pour $\scriptstyle x=0$ celui-ci lit $\scriptstyle t^{\prime }={\frac {t}{\beta }}$. La simultanéité n’existe donc pas ; il y a un temps propre à chaque système. Essayons d’en déterminer la signification physique.
Supposons deux systèmes d’axes confondus à l’instant zéro. À cet instant zéro deux signaux lumineux simultanés sont envoyés des 2 points confondus ${\rm {OO^{\prime }}}$ ; et simultanément le système ${\rm {S^{\prime }}}$ se met en mouvement parallèlement à lui-même en sorte que ${\rm {O^{\prime }}}x^{\prime }$ glisse sur ${\rm {O}}x$ avec une vitesse constante $\scriptstyle v$. Les deux signaux lumineux arrivent (à l’instant quelconque $\scriptstyle t$ et simultanément puisqu’ils sont partis simultanément et ont cheminé tous deux avec leur commune vitesse qui est celle de la lumière), à une parallèle aux axes des ${\rm {Z}}$ et ${\rm {Z^{\prime }}}$. Leur passage est noté par les observateurs des deux systèmes qui coïncident sur cette parallèle à cet instant. Noteront-ils la même heure ? Non. Car pour l’observateur ${\rm {M}}$ de ${\rm {S}}$ le chemin parcouru par le rayon est ${\rm {OO^{\prime }+O^{\prime }M}}$.
Et pour l’observateur ${\rm {M^{\prime }}}$ (qui coïncide avec ${\rm {M}}$ comme position) le chemin parcouru par le rayon est ${\rm {O^{\prime }M^{\prime }}}$ qui est égal à ${\rm {O^{\prime }M}}$.
Pour le premier, le temps est
$t={\frac {x}{c}}+{\frac {vx}{c^{2}}},$
et pour le second
$t^{\prime }={\frac {x}{c}}.$
C’est la différence $\scriptstyle {\frac {vx}{c^{2}}},$ qui intervient dans l’exemple des lueurs de canons-signaux que j’ai donné au chapitre Ier. De l’équation
$\mathrm {T} ={\frac {vx}{c^{2}}}$
La planète se déplaçant à une vitesse constante $\scriptstyle v$ donnée, à quel intervalle de temps faut-il effectuer les signaux sur la terre pour qu’ils paraissent simultanés aux observateurs de la planète ? Ou pour que, des deux signaux supposés exécutés successivement, le second sur la terre paraisse être le premier aux observateurs de la planète ? etc.
Considérons une longueur quelconque définie par les coordonnées dans les deux systèmes ${\rm {S}}$ et ${\rm {S^{\prime }}}$ de ses extrémités, $\scriptstyle x_{1}^{\prime }$, $\scriptstyle x_{2}^{\prime }$ et $\scriptstyle x_{1}$, $\scriptstyle x_{2}$.
Supposons qu’elle appartienne à ${\rm {S^{\prime }}}$ en mouvement par rapport à ${\rm {S}}$. La première des formules de transformation nous donnera
$x_{2}^{\prime }-x_{2}^{\prime }={\frac {1}{\beta }}(x_{2}-x_{1}),$
$l^{\prime }={\frac {1}{\beta }}l,$
$l=\beta l^{\prime }.$
Mais si au lieu de considérer ${\rm {S^{\prime }}}$ comme se mouvant par rapport à ${\rm {S}}$ nous considérons au contraire ${\rm {S}}$ comme se mouvant par rapport à ${\rm {S^{\prime }}}$ nous aurons
$l={\frac {1}{\beta }}l^{\prime },$
$l^{\prime }=\beta l.$
C’est-à-dire qu’une même longueur paraît à un observateur se raccourcir quand elle se met en mouvement par rapport à lui ; autrement dit :
La longueur cinématique est plus petite que la longueur géométrique.
On tirera de là naturellement toutes les conséquences qu’amène, dans une surface ou un volume, la présence d’une longueur parallèle à la direction du mouvement, c’est-à-dire rendue variable, les autres dimensions demeurant inaltérées. Une sphère peut ainsi devenir un ellipsoïde, un carré se transformer en rectangle, etc.
1$^o$ Composition des vitesses. — Soit dans les deux systèmes, à l’instant $\scriptstyle t$, $\scriptstyle t^{\prime }$ un point matériel $\scriptstyle x,y,z$, $\scriptstyle x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, animé d’une vitesse $\scriptstyle v^{\prime }$ dans ${\rm {S^{\prime }}}$, ${\rm {S^{\prime }}}$ ayant lui-même sa vitesse $\scriptstyle v$ rectiligne et uniforme par rapport à ${\rm {S}}$. Appelons $\scriptstyle u$ la vitesse résultante dans ${\rm {S}}$.
Nous aurons
${\begin{array}{llll}&x^{\prime }=v_{x}^{\prime }t^{\prime },&y^{\prime }=v_{y}^{\prime }t^{\prime },&z^{\prime }=v_{z}^{\prime }t^{\prime }\\{\text{et}}&x=u_{x}t,&y=u_{y}t,&z=u_{z}t.\end{array}}$
D’où, par l’intervention des formules de transformation de Lorentz
${\begin{array}{l}x={\frac {v+v_{x^{\prime }}^{\prime }}{1+{\frac {vv_{x^{\prime }}^{\prime }}{c^{2}}}}}t,\\\\y={\frac {\beta v_{y^{\prime }}^{\prime }}{1+{\frac {vv_{x^{\prime }}^{\prime }}{c^{2}}}}}t,\\\\z={\frac {\beta v_{x^{\prime }}^{\prime }}{1+{\frac {vv_{x^{\prime }}^{\prime }}{c^{2}}}}}t.\end{array}}$
On en tire facilement, par comparaison avec les équations précédentes, les composantes de la vitesse résultante $\scriptstyle u$
${\begin{array}{l}u_{x}={\frac {v+v_{x}^{\prime }}{1+{\frac {vv_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\\\\u_{y}={\frac {\beta v_{y}^{\prime }}{1+{\frac {vv_{y}^{\prime }}{c^{2}}}}},\\\\u_{z}={\frac {\beta v_{z}^{\prime }}{1+{\frac {vv_{z}^{\prime }}{c^{2}}}}}.\end{array}}$
Ces formules montrent bien que les vitesses ne se composent plus suivant la règle du parallélogramme.
Prenons le cas particulier où $\scriptstyle v^{\prime }$ est parallèle à l’axe des $\scriptstyle x$. D’après le théorème de Coriolis on doit avoir dans la cinématique classique
$u=v+v^{\prime }$
Dans la cinématique relativiste, nous aurons
$u={\frac {v+v^{\prime }}{1+{\frac {vv^{\prime }}{c^{2}}}}}$
Ainsi, par rapport au quai, la vitesse d’un voyageur qui se déplace dans son wagon-couloir dans la direction du train est inférieure à la somme de sa vitesse propre par rapport au train et de la vitesse du train par rapport au quai.
2$^o$ Existence d’une vitesse limite.
Si nous examinons la formule que nous venons d’établir nous constatons que quelque valeur que nous donnions à $\scriptstyle v$ et $\scriptstyle v^{\prime }$ nous ne pouvons avoir une résultante supérieure à $\scriptstyle c$. Même par $\scriptstyle v=v^{\prime }=c$ par exemple nous trouvons $\scriptstyle u=c$.
Ainsi d’ailleurs qu’on peut le vérifier facilement, si un point se meut avec une certaine vitesse dans le système S’, ce dernier se déplaçant lui-même à la vitesse $\scriptstyle c$ le long de l’axe des $\scriptstyle x$, le point nous paraîtra immobile sur l’axe des $\scriptstyle x$.
Il ne saurait donc y avoir de vitesse supérieure à la vitesse de la lumière.
1$^o$ Champ électromagnétique. — Les formules de transformation de Lorentz ne changent pas les équations du champ. Le lecteur ne s’en étonnera pas : il a vu au chapitre II que Lorentz les avait établies dans ce but.
2$^o$ Force et masse.
a) Électron au repos. — Soit un électron au repos à l’instant $\scriptstyle t_{0}t_{0}^{\prime }$ dans le système ${\rm {S^{\prime }}}$ ; une force électrique commençant d’agir, il prend une accélération. Ses équations sont :
$m{\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{2}}}=e{\rm {X^{\prime }}},\qquad m{\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{2}}}=e{\rm {Y^{\prime }}},\qquad m{\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{2}}}=e{\rm {Z^{\prime }}}.$
Passons au système ${\rm {S}}$ par rapport auquel la vitesse de ${\rm {S^{\prime }}}$ c’est-à-dire de l’électron est $\scriptstyle v$. Les formules de transformation nous donneront
${\begin{array}{l}{\frac {m}{\beta ^{2}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=e{\rm {X}},\\{\frac {m}{\beta ^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=e\left({\rm {Y}}-{\frac {v}{c}}{\rm {N}}\right),\\{\frac {m}{\beta ^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=e\left({\rm {Z}}-{\frac {v}{c}}{\rm {M}}\right).\end{array}}$
Nous en déduisons pour la masse longitudinale la valeur $\scriptstyle {\frac {m}{\beta }}$ et pour la masse transversale la valeur $\scriptstyle {\frac {m}{\beta ^{2}}}.$ On voit que ces valeurs sont identiques à celles que donne la théorie de l’électron déformable présentée par Lorentz ; à cette théorie s’opposait celle de Max Abraham qui arrive aux valeurs
| masse longitudinale | $=$ | ${\frac {2e^{2}}{3ac^{2}}}\left[1+\quad {\frac {6}{5}}\beta ^{2}\,+\quad {\frac {9}{7}}\beta ^{4}\;+\cdots \right],$ |
| masse transversale | $=$ | ${\frac {2e^{2}}{3ac^{2}}}\left[1+{\frac {6}{3\cdot 5}}\beta ^{2}+{\frac {9}{5\cdot 7}}\beta ^{4}+\cdots \right].$ |
Ainsi que nous l’avons indiqué dans le chapitre II, les expériences les plus récentes (celles de Bücherer) concluent en faveur des valeurs données par les théories de Lorentz, valeurs qui se confondent ici avec celles que donnent les théories d’Einstein.
b) Électron en mouvement. — Soit, dans le système au repos ${\rm {S}}$, un électron animé d’une vitesse $\scriptstyle v$
$v={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}},$
on aura
${\frac {d}{dt}}\left({\frac {m}{\beta }}{\frac {dx}{dt}}\right)={\rm {F}}_{x},{\frac {d}{dt}}\left({\frac {m}{\beta }}{\frac {dy}{dt}}\right)={\rm {F}}_{y},{\frac {d}{dt}}\left({\frac {m}{\beta }}{\frac {dz}{dt}}\right)={\rm {F}}_{z}.$
avec
$\beta ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},$
et
${\begin{array}{l}{\rm {F}}_{x}=e\left({\rm {X}}+{\frac {\rm {N}}{c}}{\frac {dy}{dt}}-{\frac {\rm {M}}{c}}{\frac {dz}{dt}}\right),\\{\rm {F}}_{y}=\cdots ,\\{\rm {F}}_{z}=\cdots ,\end{array}}$
c) Généralisation. — Nous savons que les équations de l’électromagnétisme sont invariantes dans nos transformations einsteiniennes ; mais pour que les équations de la mécanique newtonienne soient également invariantes il faut admettre, par généralisation, que les formules que nous venons d’établir pour l’électron s’appliquent aussi au point matériel, c’est-à-dire que la mécanique de la matière est fondée sur l’électromagnétisme. Cette généralisation se fait d’ailleurs très naturellement et sans apporter de bouleversement dans la pratique ; on voit en effet que pour $\scriptstyle {\frac {v}{c}}$ très petit on a $\scriptstyle \beta =1$ ; donc, pour les vitesses petites vis-à-vis de celle de la lumière, les nouvelles équations du mouvement du point matériel se réduisent aux équations de la mécanique newtonienne.
3$^o$ Énergie.
a) En comparant les équations données aux divisions a et b du paragraphe précédent, nous voyons que la masse d’un corps qui passe du mouvement au repos s’accroît de
$\mu ={\frac {m_{0}}{\beta }}-m_{0}=m_{0}\left({\frac {1}{\beta }}-1\right)\qquad (1)$
b) Si, sur la masse $\scriptstyle m$, agit la force $\scriptstyle f$ pendant l’instant $\scriptstyle dt$, l’énergie $\scriptstyle w$ s’accroît de $\scriptstyle dw=f\cdot v\cdot dt$ ; or $\scriptstyle fdt=d(mv)=mvdv-vdm$ ; donc $\scriptstyle dw=mvdv-v^{2}dm$
ou $dw=m_{0}\left({\frac {vdv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+v^{2}d{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),$ d’où, en intégrant,
$w=m_{0}c^{2}\left({\frac {1}{\beta }}-1\right),\qquad (2)$
$\scriptstyle \beta$
$\scriptstyle {\frac {v}{c}}$
$w={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}\left(1+{\frac {3}{4}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+\cdots \right),$
$w={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}.$
Ici également la différence n’est pas sensible dans la pratique ; mais on voit que quand les vitesses croissent l’énergie s’accroît aussi très rapidement ; en particulier il faudrait un travail infiniment grand pour atteindre la vitesse de la lumière.
c) Des deux équations (1) et (2) nous tirons
$\mu ={\frac {w}{c^{2}}},$
ce qui peut s’énoncer :
L’énergie cinétique $\scriptstyle w$ possède un coefficient d’inertie
$\mu ={\frac {w}{c^{2}}}.$
4$^o$ Quelques résultats thermodynamiques.
J’ai donné dans le chapitre II les résultats les plus importants que l’on peut tirer de la théorie. Je veux simplement préciser par des formules.
a) L’énergie et la masse apparaissant équivalentes, on voit par la formule (3) que toute masse $\scriptstyle m_{0}$ au repos, possède une provision d’énergie
${\rm {W_{0}}}=m_{0}c^{2}.$
b) On sait que, quand le corps passe du repos au mouvement, sa masse devient
$m={\frac {m_{0}}{\beta }}.$
Sa provision d’énergie devient alors
${\rm {W}}=mc^{2}={\frac {m_{c}^{2}}{\beta }}=m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}m_{0}{\frac {v^{4}}{c^{2}}}+\cdots ,$
dont nous ne savons utiliser que l’infime partie $\scriptstyle {\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}$.
Ainsi que je l’ai dit au début de ce chapitre, je ne traite cette question, d’ailleurs rapidement, que comme exemple. J’estime en effet qu’il est temps de se placer au point de vue logique et qu’un exposé classique des principes de la relativité ne devra faire à l’étude des perturbations apportées par le mouvement dans les phénomènes électromagnétiques tels que l’aberration, l’effet Döppler, etc., qu’une place minime, celle des applications qui illustrent la théorie. Parmi ces questions j’ai choisi celle de l’éther (dont le chapitre II a montré l’intérêt historique) comme susceptible de rendre manifeste l’ingéniosité et l’élégance mathématiques du génie qui apporta, après tous les essais qu’on croyait possibles, la plus invraisemblable et inattendue des solutions.
Essayons de poser logiquement la question.
Si l’éther existe, trois hypothèses sont seulement à retenir :
1$^o$ L’éther est entièrement entraîné par les corps en mouvement (Hertz).
Nous l’avons vu, l’expérience de Fizeau détruit cette hypothèse.
2$^o$ L’éther est partiellement entraîné (Fizeau).
Cette hypothèse est déduite par Fizeau du fait que la vitesse $\scriptstyle c^{\prime }$ de la lumière mesurée dans l’eau en mouvement est différente de la vitesse de la lumière mesurée dans l’eau au repos $\scriptstyle c$. La formule est la suivante :
$c^{\prime }={\frac {e}{c}}\pm {\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}v,$
où $\scriptstyle n$ est l’indice de réfraction.
L’hypothèse de Fizeau, sinon les résultats de son expérience, conduisent à des conséquences incompatibles avec ce que nous avons appris par la théorie des électrons.
3$^o$ L’éther est complètement immobile (Lorentz).
Cette hypothèse est entièrement compatible avec les résultats acquis par la théorie électronique ; Lorentz a montré en outre que la formule de Fizeau, indiscutable au point de vue expérimental, peut très bien s’interpréter dans son hypothèse.
Mais celle-ci a été détruite par une série d’expériences, dont la plus célèbre est celle de Michelson et Morlay, expériences qui démontrent l’impossibilité de manifester le mouvement absolu de la terre.
Les difficultés sont donc les suivantes :
a) Trouver une quatrième alternative ;
b) Rester en accord avec la formule de Fizeau ;
c) Rester en accord avec les lois de l’électromagnétisme ;
d) Rester en accord avec les résultats de l’expérience de Michelson et Morlay.
Toutes ces difficultés se résolvent avec infiniment d’aisance et, pour ainsi dire, d’elles-mêmes, par la théorie de la relativité. En effet :
a) La quatrième alternative est immédiatement trouvée. Une des conséquences générales du principe de la relativité étant, ainsi que nous l’avons vu, qu’il ne saurait y avoir de mouvement absolu, l’hypothèse d’Einstein relative à l’éther sera obligatoirement : L’éther n’existe pas.
b) La formule de Fizeau peut se déduire facilement de la formule relativiste de composition des vitesses établie précédemment :
$u={\frac {v+v^{\prime }}{1+{\frac {vv^{\prime }}{c^{2}}}}}$
$\scriptstyle v^{\prime }={\frac {c}{n}}$
$u={\frac {v+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {c}{n}}}}={\frac {c}{n}}+{\frac {n^{2}-1}{n^{2}}}v,$
c) L’accord avec les lois de l’électromagnétisme a déjà été signalé dans le paragraphe consacré aux conséquences dynamiques.
d) L’accord est évident entre l’hypothèse d’Einstein et l’expérience de Michelson et Morlay. Toutes deux aboutissent en effet à l’impossibilité de rendre manifeste le mouvement absolu de la terre.
Nous avons déjà parlé de l’expérience de Michelson et Morlay dans le chapitre II. Donnons-en une description et une discussion sommaires afin de bien montrer les ressources et le sens réel de la théorie relativiste.
L’appareil dont on se sert est un interféromètre, c’est-à-dire un appareil constitué pour pouvoir imposer à des rayons issus d’un rayon unique (donc indiscutablement identiques) un certain changement de marche qui produise des franges d’interférences.
Le rayon initial vient d’une source S, rencontre une lame O mi-argentée, c’est-à-dire mi-transparente, mi-réfléchissante, laquelle sous l’incidence de 45° donne deux rayons à angle droit. Ceux-ci se réfléchissent respectivement sur les deux miroirs M et N et sont finalement reçus pour y être observés dans la lunette L.
La lame T, de même épaisseur que la lame O, est simplement destinée à la compensation. Les miroirs M et N sont portés par des chariots de manière à faire varier les distances OM, ON.
Si on prend OR = ON on voit que la différence de marche est $\scriptstyle 2{\rm {RN}}+{\frac {\lambda }{2}}$, la demi-longueur d’onde intervenant du fait que l’une des réflexions est sur le verre ; l’autre se produit du verre sur l’air.
On voit que l’appareil peut être réglé de manière à présenter des chemins optiquement égaux pour les deux rayons, ce qu’on vérifiera à l’aspect des interférences observées dans la lunette. L’appareil en entier étant installé sur une dalle qui flotte dans un bassin rempli de mercure peut tourner lentement autour de l’axe imaginaire passant par O. Si, en faisant tourner l’appareil, nous ne constatons aucun changement dans l’aspect des franges d’interférence observées, nous en conclurons que les chemins optiquement égaux dans une position sont demeurés égaux dans toutes les positions, et égaux aussi les temps employés pour les parcourir.
Reprenons la même expérience six mois plus tard quand la vitesse de translation de la terre s’est accrue de soixante kilomètres par seconde. Par rapport au premier observateur, si nous orientons la direction OM parallèlement à la vitesse de la terre, la source se déplaçant, la durée d’aller et de retour du rayon sera
$t={\frac {\rm {OM}}{c-v}}+{\frac {\rm {OM}}{c+v}}={\rm {OM}}{\frac {2c}{c^{2}-v^{2}}}.$
Pendant le même temps le rayon ON n’est plus normal à cause du mouvement et trace un triangle isocèle, en sorte que sa durée de propagation s’écrit :
$t={\frac {\rm {OO_{1}}}{v}}={\frac {2{\rm {ON_{1}}}}{c}}={\frac {2{\rm {ON}}}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}.$
De ces deux expressions de t nous déduisons :
${\frac {\rm {OM}}{\rm {ON}}}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$
Si nous faisons tourner l’appareil de 90°, nous permutons les deux directions ON, OM et
nous avons de manière analogue pour les durées de propagation :
$t_{1}={\rm {ON}}{\frac {2c}{c^{2}-v^{2}}},$
$t_{2}={\frac {2{\rm {OM}}}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}.$
${\frac {t_{2}}{t_{1}}}=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}.$
Les durées de propagation doivent par conséquent différer de $\scriptstyle {\frac {(60)^{2}}{(300\,000)^{2}}}$ soit 40 milliardièmes, ce qu’on peut apprécier par le changement d’aspect des franges.
Or on ne constate aucun changement d’aspect dans les franges. La durée de propagation est donc restée rigoureusement identique.
Comme conclusion à cette étonnante expérience, Lorentz et FitzGérald ont fait remarquer simultanément que, d’après le calcul que nous venons de faire, tout se passe au point de vue mathématique, comme si les longueurs des deux branches ON, OM étaient inégales et dans le rapport $\scriptstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$. En effet on a $\scriptstyle {\frac {\rm {ON}}{\rm {OM}}}={\frac {t_{1}}{t_{2}}}$. Puisque $\scriptstyle t_{1}=t_{2}$ il faut donc que ${\rm {OM=ON}}$. Et comme on sait que
${\rm {OM}}={\rm {ON}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},$
${\rm {ON}}$
$\scriptstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
$\scriptstyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$