# La Géométrie des sensations de mouvement
## LA GÉOMÉTRIE DES SENSATIONS DE MOUVEMENT

L’univers présente à chacun de nous des ensembles simultanés de sensations externes : appelons ces ensembles des perspectives. Au cours de notre vie, les perspectives se succèdent, pareilles aux grains d’un collier. Les sensations de mouvement ou de repos forment un fil qui les unit et les traverse.
Pour qu’une géométrie pût s’appliquer à l’expérience, Poincaré pensait que l’observateur devait voir des perspectives se succéder sans qu’il éprouvât de sensations de mouvement, pour pouvoir ensuite, en se donnant des sensations de mouvement, ramener les perspectives disparues. Poincaré voyait le fondement de la géométrie dans une sorte de jeu du chat et de la souris qui se passerait entre l’observateur et l’univers. L’univers s’enfuit, l’observateur le rattrape : cette « compensation des changements externes par les changements internes » fonderait l’application de la géométrie à l’expérience.
L’analyse esquissée par Poincaré n’est pas définitive, et elle peut être poursuivie dans deux directions : on peut éliminer tout mouvement de l’observateur ou tout mouvement de l’univers, tout changement interne ou tout changement externe. Si le spectacle du monde se déroulait devant un observateur immobile ou inconscient de ses mouvements, comme la représentation cinématographique d’un voyage, une géométrie s’appliquerait à ce spectacle. C’est la « géométrie des perspectives », dont on trouvera les principes dans un chapitre de l’ouvrage capital de M. Russell : Our Knowledge of the External World. Et si, au contraire, un observateur explorait par des mouvements conscients un univers immobile, une géométrie s’appliquerait encore à cette exploration. C’est la « géométrie des sensations de mouvement » que nous allons maintenant essayer de nous représenter.
Imaginons un être pouvant se mouvoir librement dans un milieu homogène et immobile, par exemple un poisson au sein d’un océan tranquille. Faisons correspondre à chacun de ses mouvements, compliqué ou simple, prolongé ou bref, rapide ou lent, une sensation totale distinctive. Douons-le de mémoire et de raison, et demandons-nous s’il pourrait appliquer une géométrie à son expérience.
Si l’océan est vide, si notre poisson ne fait jamais aucune rencontre, n’arrive jamais nulle part, il est clair que ses pérégrinations ne pourront pas lui apprendre la géométrie. Mais plaçons quelque chose de discernable quelque part : supposons qu’une sensation distinctive E, un picotement d’électrisation par exemple, se fasse sentir lorsque le poisson occupe une certaine position, que nous appellerons la position zéro. Par une position il faut comprendre non seulement un lieu, mais aussi une forme prise par le corps du poisson et une orientation unique de cette forme. L’univers exploré reste encore presque entièrement vide ; l’expérience que nous imaginons ne contient qu’une seule sensation externe E, et pour une seule position dans l’océan. Cette pauvre expérience suffit-elle pour fonder une géométrie ? Je réponds que oui ; je vais tâcher de justifier mon affirmation.
Mettons-nous à la place du poisson et voyons ce qu’il pourrait observer.
Certaines sensations, toujours les mêmes, mettent fin à la sensation E ; d’autres la laissent persister, toujours les mêmes aussi. Nommons les premières des mouvements, les secondes des repos (définitions 1 et 2).
Soit une suite AB d’un repos, d’un mouvement A, d’un repos, d’un mouvement B et d’un repos. Si la sensation E s’est trouvée présente à la fois dans le repos initial et dans le repos final, sa présence dans l’un de ces repos entraine toujours sa présence dans l’autre (loi 1), quels que soient les trois repos (loi 2), et la suite BA possède la même propriété (loi 3). On dit que les deux mouvements A et B sont inverses (définition 3).
Un mouvement qui est son propre inverse est appelé demi-rotation (définition 4).
Deux mouvements qui possèdent un inverse commun sont appelés équivalents (définition 4).
Si les deux suites AB et BA sont équivalentes, on dit que les mouvements A et B sont commutables (définition 6).
Deux demi-rotations ayant parmi leurs commutables communs deux demi-rotations non équivalentes l’une à l’autre, et non équivalentes à l’une ou l’autre des deux premières, sont dites d’axes parallèles (définition 7).
Un mouvement équivalent à la suite de deux demi-rotations d’axes parallèles est appelé translation (définition 8).
La classe des translations équivalentes aux suites de toutes les paires de demi-rotations commutables de deux demi-rotations non équivalentes données AB, est appelée la direction AB (définition 9).
La classe des translations équivalentes à une translation donnée est appelée point (définition 10).
La suite de deux translations se trouve toujours être une translation.
Les suites d’une translation A et d’un membre quelconque d’une direction d forment, avec les mouvements équivalents à ces suites, une classe de points appelée droite Ad (définition 11).
Notre poisson parviendrait ainsi, en appliquant les critères expérimentaux fournis par les définitions qui précèdent, à discerner les translations des autres mouvements, à classer ces translations en points, et ces points en droites : or ces points et ces droites vérifieront toutes les propositions non métriques de la géométrie.
Les distances elles-mêmes s’introduiraient dans l’expérience de l’être que nous imaginons par les concepts expérimentaux suivants.
Deux translations A, B, sont de même rayon s’il existe un mouvement M tel que les suites MA, BM soient équivalentes (définition 12).
La classe des translations ayant même rayon qu’une translation donnée est appelée distance (définition 13).
Si la suite d’un membre d’un point A et d’un membre d’une distance d équivaut à un membre d’un point B, on dit que d est la distance des points A, B (définition 14).
Soit deux translations A, B. S’il existe trois translations non équivalentes C, D, D, C étant de même rayon que A, et D étant inverse de D, telles que B soit équivalent à la fois à la suite AD et à la suite CD, on dit que le rayon de A est supérieur au rayon de B (définition 15).
Une distance est plus grande qu’une autre quand le rayon des membres de la première est supérieur au rayon des membres de la seconde (définition 16).
Nous possédons maintenant tous les éléments irréductibles de la géométrie : le point, la droite et la distance. Ces éléments, tels qu’on vient de les définir par des critères pratiques, vérifieront tous les théorèmes de la géométrie dans l’expérience de l’être que nous avons imaginé. Tout l’art d’un Pythagore ou d’un Euclide ne serait pas de trop pour lui permettre d’exprimer les lois empiriques de sa perception.
Mais il est temps d’éclairer notre lanterne et d’indiquer, en reprenant le point de vue d’un géomètre humain, les caractères des mouvements « réels » du poisson qui se traduisent dans son expérience de la façon que nous venons d’exposer.
Les lois 1, 2 et 3 expriment, il est facile de s’en rendre compte, que ces mouvements sont parfaitement précis, c’est-à-dire qu’à une différence, si légère soit-elle, entre deux mouvements répond une différence perçue dans les sensations internes ; que le milieu est immobile, et que la position zéro indiquée par la sensation E est unique : à une même sensation de mouvement correspond ainsi toujours et partout un même mouvement « réel ».
Les mouvements équivalents (définition 5) sont ceux qui mènent de la position zéro à une même position.
Un mouvement qui peut se produire deux fois de suite est un mouvement à la fin duquel le corps du poisson a la même forme que dans la position zéro initiale ; un tel mouvement équivaut à un transport de cette position zéro dans l’espace.
Un mouvement qui, exécuté deux fois à partir de la position zéro, ramène à cette position équivaut à une demi-rotation de la position zéro autour d’un axe convenablement choisi (Voir définition 4).
Un mouvement commutable (définition 6) d’une demi-rotation est un mouvement qui, soit qu’il précède cette demi-rotation, soit qu’il la suive, fait aboutir à la même position. Si un tel mouvement est, lui aussi, une demi-rotation (non équivalente à la première), son axe coupe perpendiculairement l’axe de la première.
Si deux demi-rotations sont commutables d’une certaine demi-rotation, leurs axes coupent ainsi perpendiculairement une même droite ; si de plus elles sont commutables d’une seconde demi-rotation distincte de la première, c’est-à-dire d’axe différent, leurs axes coupent alors perpendiculairement deux droites distinctes ; ces axes sont donc parallèles (Voir définition 7).
La suite de deux demi-rotations autour de deux axes parallèles équivaut à une translation dans la direction de la perpendiculaire commune aux deux axes (définitions 8 et 9).
On conçoit enfin que les positions obtenues par des translations de la position zéro correspondent d’une manière univoque et réciproque aux points de l’espace, et que les classes de translations équivalentes correspondent de la même manière à ces positions : ces classes ont donc les mêmes propriétés formelles que les points de l’espace et peuvent ainsi servir de points dans la géométrie de notre poisson (définition 10).
Si les positions obtenues par des translations de la position zéro, et par suite les classes de translations menant à une même position, jouent le rôle de points, l’ensemble des positions obtenues par des translations de la position zéro dans une même direction, et par suite la classe de ces translations groupées en sous-classes de translations équivalentes, jouera évidemment le rôle d’une droite par le point zéro. L’ensemble des classes de translations équivalentes menant aux positions atteintes en exécutant, d’abord une translation membre d’un point P, puis l’une quelconque des translations appartenant à une direction donnée, remplira l’office d’une droite quelconque (définition 14).
La définition de l’égalité de distance exprime le fait suivant. Soit deux translations A et B ; on peut toujours faire précéder A d’un mouvement M tel que la direction de A, exécutée après M, soit parallèle à la direction de B. Si A et B sont de même longueur, il est clair que ce même mouvement M conduira de la position d’arrivée de B à la position d’arrivée de MA, ou bien que les deux suites BM, MA seront équivalentes, et réciproquement.
La définition d’une longueur plus grande qu’une autre, rendue nécessaire par l’existence de longueurs incommensurables, exprime le fait que les côtés égaux d’un triangle isocèle sont plus longs que la médiane abaissée sur le troisième côté.
Terminons par quelques remarques.
Nous avons parlé du corps du poisson ; il est à peine nécessaire de remarquer qu’il en ignore l’existence, et que son expérience est trop pauvre pour lui permettre de former la moindre notion de corps.
Pour l’être que nous venons d’imaginer, la géométrie serait une physique. Chacune de ses lois affirmerait quelque chose d’immédiatement vérifiable. Ces affirmations, sans doute, seraient fort compliquées. Par exemple la proposition que deux droites possédant deux points communs ont tous leurs points en commun, exprimée en termes des points et des droites définis plus haut, occuperait près d’une page de la Revue de Métaphysique et de Morale. Mais si cette proposition est déjà bien complexe, du moins s’applique-t-elle simplement et exactement à l’expérience de notre poisson : si ses mouvements, au lieu d’être précis, étaient approximatifs comme les nôtres, si son milieu était comme le nôtre hétérogène et en mouvement, ce n’est plus une page qu’il faudrait, mais dix ou vingt, pour exprimer le sens expérimental de la plus simple proposition de géométrie.
Il faut encore noter que nous n’avons supposé aucune décomposition des mouvements, distingués seulement par leurs sensations totales. La notion de trajectoire n’a pas été introduite ; nous ignorons entièrement si deux mouvements suivent la même trajectoire, en tout ou en partie, et nous ne savons même pas ce que cela peut pouvoir dire. C’est bien le mouvement total et indivisé, non pas la trajectoire suivie, qui fournit la matière de la géométrie que nous venons de voir.
Il était clair que l’exploration d’un monde entièrement vide ne pouvait donner lieu à aucune géométrie. Nous savons maintenant qu’un monde qui ne présente qu’une seule position distincte, c’est-à-dire bien moins que la complexité d’impressions appelée chose, et le minimum irréductible que puisse contenir un monde non entièrement vide, — nous savons qu’un tel monde est suffisant pour que son exploration déploie expérimentalement toute la géométrie.
* ↑ L’expression « un mouvement » est naturellement prise ici de façon abstraite, dans le sens où deux mouvements partant de la même forme du corps et passant par les mêmes déformations avec la même vitesse sont « le même mouvement ». De même « une sensation » désigne ici bien entendu une qualité de sensation.
* ↑ L’expression « la sensation R laisse persister la sensation E » veut dire que lorsque R commence en présence de E, alors E reste présente pendant toute la durée de R, et non pas que R ne se produit qu’accompagnée de E.
* ↑ Cela revient à dire que si, à l’issue d’un mouvement parti de la forme et du lieu dans lesquels la sensation de repère E se fait sentir, le corps du poisson a repris la forme initiale, ce mouvement équivaut géométriquement à un déplacement du corps du poisson solidifié au moment où la sensation E est présente.