# Principes mathématiques de la philosophie naturelle/Axiomes

LEs projectiles par eux-mêmes perſévérent dans leurs mouvemens, mais la réſiſtance de l’air les retarde, & la force de la gravité les porte vers la terre. Une toupie, dont les parties ſe détournent continuellement les unes des autres de la ligne droite par leur cohérence réciproque, ne ceſſe de tourner, que parce que la réſiſtance de l’air la retarde peu à peu. Les planettes & les cométes qui ſont de plus grandes maſſes, & qui ſe meuvent dans des eſpaces moins réſiſtans, conſervent plus long-temps leurs mouvemens progreſſifs & circulaires.
Si une force produit un mouvement quelconque, une force double de cette premiere produira un mouvement double, & une force triple un mouvement triple, ſoit qu’elle ait été imprimée en un ſeul coup, ſoit qu’elle l’ai été peu à peu & ſucceſſivement, & ce mouvement, étant toujours déterminé du même côté que la force génératrice, ſera ajoûté au mouvement que le corps eſt ſuppoſé avoir déja, s’il conſpire avec lui ; ou en ſera retranché, s’il lui eſt contraire, ou bien ſera retranché ou ajoûté en partie, s’il lui eſt oblique ; & de ces deux mouvemens il s’en formera un ſeul, dont la détermination ſera compoſée des deux premieres.
Tout corps qui preſſe ou tire un autre corps eſt en même-temps tiré ou preſſé lui-même par cet autre corps. Si on preſſe une pierre avec le doigt, le doigt eſt preſſé en même-temps par la pierre. Si un cheval tire une pierre par le moyen d’une corde, il eſt également tiré par la pierre : car la corde qui les joint & qui eſt tendue des deux côtés, fait un effort égal pour tirer la pierre vers le cheval, & le cheval vers la pierre ; & cet effort s’oppoſe autant au mouvement de l’un, qu’il excite le mouvement de l’autre.
Si un corps en frappe un autre, & qu’il change ſon mouvement, de quelque façon que ce ſoit, le mouvement du corps choquant ſera aussi changé de la même quantité & dans une direction contraire par la force du corps choqué, à cauſe de l’égalité de leur preſſion mutuelle.
Par ces actions mutuelles, il ſe fait des changemens égaux, non pas de vîteſſe, mais de mouvement, pourvû qu’il ne s’y mêle aucune cauſe étrangere ; car les changemens de vîteſſe qui ſe font de la même maniére dans des directions contraires doivent être réciproquement proportionnels aux maſſes, à cauſe que les changemens de mouvement ſont égaux. Cette loi a lieu auſſi dans les attractions, comme je le prouverai dans le ſcholie ſuivant.
Fig. 1.Si le corps, pendant un temps donné, eut été tranſporté de A en B, d’un mouvement uniforme par la ſeule force M imprimée en A ; & que par la ſeule force N, imprimée dans le même lieu A, il eut été tranſporté de A en C, le corps par ces deux forces réunies ſera tranſporté dans le même temps dans la diagonale AD du parallélogramme ABCD ; car puiſque la force N agit ſelon la ligne AC parallele à BD, cette force, ſelon la ſeconde loi du mouvement, ne changera rien à la vîteſſe avec laquelle ce corps s’approche de cette ligne BD, par l’autre force M. Le corps s’approche donc de la ligne BD dans le même temps, ſoit que la force N lui ſoit imprimée, ſoit qu’elle ne le ſoit pas ; ainſi à la fin de ce temps il ſera dans quelque point de cette ligne BD. On prouvera de la même maniére qu’à la fin de ce même temps le corps ſera dans un point quelconque de la ligne CD. Donc il ſera néceſſairement dans le point d’interſection D de ces deux lignes, & par la premiere loi il ira d’un mouvement rectiligne de A en D.
Suppoſons que du centre O d’une rouë partent des rayons inégaux OM, ON, qui ſoutiennent par des fils MA, NP des poids Fig. 2. A & P, & qu’on cherche les forces de ces poids pour faire tourner cette rouë.
On menera d’abord par le centre O la droite KOL perpendiculaire en K & en L aux fils MA, NP, & du centre O & de l’intervalle OL, le plus grand des intervalles OK, OL on décrira un cercle. On tirera enſuite par le centre O, & par l’interſection D de ce cercle avec le fil MA la droite OD à laquelle on Fig. 2.menera par A la parallele AC, terminée en C par la droite DC, qui lui eſt perpendiculaire. Cela poſé, comme il eſt indifférent que les points K, L, D, des fils ſoient attachés ou non au plan de la rouë, les poids feront le même effet, ſoit qu’ils ſoient attachés aux points K & L, ſoit qu’ils ſoient attachés aux points D & L.
Soit donc exprimée la force totale du corps A par la ligne AD, & ſoit cette force décompoſée dans les deux forces AC, & CD, la premiere AC tirant le rayon OD dans ſa direction, ne contribue point au mouvement de la rouë ; mais la ſeconde DC tirant le rayon OD perpendiculairement, fait le même effet que ſi elle tiroit perpendiculairement le rayon OL égal à OD, c’eſt-à-dire qu’elle ſera équivalente au poids P, pourvû que ce poids ſoit au poids A, comme la force DC eſt à la force DA, ou, ce qui revient au même (à cauſe des triangles ſemblables ADC, DOK) comme OK à OD ou OL : Donc ſi les poids A & P ſont pris dans la raiſon renverſée des rayons OK, OL, auſquels ils ſont appliqués, ils ſeront en équilibre, ce qui eſt la propriété ſi connue du levier, de la balance, & du treüil. Si l’un des poids eſt à l’autre dans une plus grande raiſon, ſa force en ſera d’autant plus grande pour mouvoir la rouë.
Suppoſons préſentement que le poids p égal au poids P, ſoit en partie ſoutenu par le fil Np, & en partie par le plan pG, on menera pH & NH, la premiere perpendiculaire à l’horiſon, & l’autre au plan pG, & en prenant pH pour exprimer la force avec laquelle le corps p tend en en bas, on décompoſera cette force dans les deux pH & NH. Imaginant enſuite que le poids p, au lieu d’être attaché au fil Np, fut arrêté par un plan pQ perpendiculaire à la direction Np, & coupant le plan pG, dans une ligne parallele à l’horiſon, il eſt clair que les forces avec leſquelles le corps preſſeroit les plans pQ, pG, qui le retiendroient dans cette ſuppoſition, ſeroient exprimées, la premiere par pN, & la ſeconde par HN. Donc en ſupprimant le plan pQ, & laiſſant le fil Np qui fait abſolument le même effet, la tenſion de ce fil ſera la même force pN avec laquelle le plan pQ étoit preſſé.
Fig. 2.Ainſi la tenſion du fil, lorſqu’il eſt dans la ſituation oblique pN, eſt à la tenſion du même fil, lorſqu’il a, comme dans le cas précédent, la ſituation perpendiculaire PN, comme pN à pH. C’eſt pourquoi ſi le poids p eſt au poids A dans la raiſon compoſée de la raiſon réciproque des moindres diſtances du centre de la rouë aux fils pN & AM, & de la raiſon directe de pH à pN ; ces poids auront une égale force pour faire mouvoir la rouë, & ſeront par conſéquent en équilibre, ce dont tout le monde peut reconnoître la vérité.
Le poids p, en s’appuyant ſur ces deux plans obliques, eſt dans le même cas qu’un coin entre les deux ſurfaces internes du corps qu’il fend : & on peut connoître par-là les forces du coin & du marteau puiſqu’en effet la force avec laquelle le corps p, preſſe le plan pQ, eſt à la force avec laquelle ce même corps eſt pouſſé vers ces plans, ſuivant la ligne perpendiculaire pH, par la force de ſa gravité ou par les coups du marteau, comme pN à pH ; & à la force par laquelle il preſſe l’autre plan pG, comme pN à HN.
On peut par une ſemblable décompoſition des forces trouver la force de la vis ; car la vis n’eſt autre choſe qu’un coin mû par un levier, ce qui fait voir la fécondité de ce Corollaire, & fournit de nouvelles preuves de la vérité ; il peut ſervir de baſe à toute la méchanique dans laquelle on a employé juſqu’à préſent tant de différens principes.
On en tire aiſément, par éxemple, les forces de toutes les machines compoſées de rouës, de tambours, de poulies, de leviers, de cordes tendues, de poids montans directement ou obliquement, & enfin de toutes les puiſſances dont les machines ſont ordinairement compoſées ; on en tireroit auſſi les forces néceſſaires aux tendons pour mouvoir les membres des animaux.
L’action & la réaction ſont égales, ſuivant la troiſiéme loi ; donc par la ſeconde elles produiſent dans les mouvemens des changemens égaux dans des directions oppoſées. Donc ſi les mouvemens ſe font du même côté ; ce qui ſera ajoûté au mouvement du corps chaſſé, doit être ôté du mouvement de celui qui le ſuit, enſorte que la ſomme des mouvemens demeure la même qu’auparavant. Si les corps viennent de deux côtés oppoſés, il faudra retrancher également du mouvement de ces deux corps, & par conſéquent la différence des mouvemens vers des côtés oppoſés demeurera toujours la même.
Suppoſons, par éxemple, que la boule A ſoit triple de la boule B, & qu’elle ait deux parties de vîteſſe, & que B la ſuive dans la même ligne droite avec 10 parties de vîteſſe, le mouvement du corps A ſera à celui du corps B, comme 6 à 10 : Prenant donc 6 & 10 pour exprimer les quantités de mouvement de ces corps, 16 ſera la ſomme de leurs mouvemens.
Lorſque ces corps viendront à ſe rencontrer, ſi le corps A gagne 3, 4 ou 5 parties de mouvement, le corps B en perdra autant, enſorte que le corps A, après la réfléxion continuant ſon chemin avec 9, 10 ou 11 parties de mouvement, le corps B, ira avec 7, 6 ou 5, & la ſomme ſera toujours de 16 parties comme auparavant. Si le corps A gagne 9, 10, 11 ou 12 parties, & qu’il pourſuive par conſéquent ſon chemin après le choc avec 15, 16, 17 on 18 parties de mouvement ; le corps B perdant tout ce que le corps A gagne, continuera de ſe mouvoir vers le même côté avec une partie de mouvement, après en avoir perdu 9, ou il reſtera en repos, ayant perdu les 10 parties de mouvement progreſſif qu’il avoit, ou il retournera vers le côté oppoſé avec un degré de mouvement, après avoir perdu tout ce qu’il avoit & même une partie de plus (ſi je puis m’exprimer ainſi), ou bien il retournera vers le côté oppoſé avec deux parties de mouvement, après avoir perdu 12 parties de ſon mouvement progreſſif. Ainſi les ſommes des mouvemens conſpirans 15+1 ou 16+0, & les différences des mouvemens oppoſés 17-1 & 18-2, ſeront toujours 16 parties comme avant le choc & la réfléxion : Connoiſſant donc la quantité de mouvement avec laquelle les corps ſe meuvent après la réfléxion, on trouvera la vîteſſe de chacun, en ſuppoſant que cette vîteſſe ſoit à la vîteſſe avant la réfléxion, comme le mouvement après la réfléxion eſt au mouvement avant la réfléxion. Ainſi dans le dernier cas, où le corps A avoit 6 parties de mouvement avant la réfléxion, & 18 après, & 2 de vîteſſe avant la réflexion ; on trouveroit que la vîteſſe après la réfléxion ſeroit 6, en diſant, comme 6 parties de mouvement avant la réfléxion, ſont à 18 partie après la réfléxion ; ainſi 2 de vîteſſe avant la réfléxion ſont à 6 de vîteſſe après la réfléxion.
Si les corps n’étoient pas ſphériques, ou que ſe mouvant ſuivant diverſes lignes droites, ils vinſſent à ſe choquer obliquement, pour trouver leur mouvement après la réfléxion, il faudra commencer par connoître la ſituation du plan qui touche tous les corps choquans au point de concours : Enſuite (par le Cor. 2.) on décompoſera le mouvement de chaque corps en deux mouvemens, l’un perpendiculaire & l’autre parallele à ce plan tangent : & comme les corps n’agiſſent les uns ſur les autres que ſelon la ligne perpendiculaire au plan tangent, les mouvemens paralleles ſeront les mêmes après & avant la réfléxion ; & les mouvemens perpendiculaires éprouveront des changemens égaux vers les côtés oppoſés ; enſorte que le ſomme des mouvemens conſpirans & de la différence des mouvemens oppoſés, reſteront toujours les mêmes qu’auparavant. C’eſt de ces ſortes de réfléxions que viennent ordinairement les mouvemens circulaires des corps autour de leurs centres ; mais je ne conſidérerai point ces cas dans la ſuite, parce qu’il ſeroit trop long de démontrer tout ce qui y a rapport.
Car, ſi deux points ſe meuvent uniformément en ligne droite, & que leur diſtance ſoit diviſée en raiſon donnée, le point de diviſion ſera en repos, ou il ſe mouvera uniformément en ligne droite. C’eſt ce qu’on trouvera démontré ci-après dans le Lemme 23 & dans ſon Corollaire, pour le cas où les deux points ſe meuvent dans le même plan ; & ce qui ſe démontre facilement par la même méthode pour le cas où les deux points ſeroient dans des plans différens. Donc, ſi des corps quelconques ſe meuvent uniformément en ligne droite, le commun centre de gravité de deux de ces corps, ou ſera en repos, ou ſe mouvera uniformément en ligne droite ; parce que la ligne, qui joint les centres de ces corps, ſera diviſée par leur centre commun de gravité dans une raiſon donnée. De même le commun centre de gravité de ces deux corps & d’un troiſième, ſera en repos ou ſe mouvera uniformément en ligne droite ; à cauſe que la ligne qui joint le centre commun de gravité de ces deux corps, & le centre du troiſiéme ſera encore diviſée par le commun centre de gravité de ces trois corps en raiſon donnée. Enfin le commun centre de gravité de ces trois corps & d’un quatriéme quelconque ſera en repos ou ſera mû uniformément en ligne droite ; parce que la ligne qui joint le centre commun de gravité de ces trois corps, & le centre du quatrième ſera diviſée par le centre commun de gravité de ces quatre corps en raiſon donnée & ainſi à l’infini. Donc dans un ſyſtême de corps, dont les actions réciproques les uns ſur les autres ne ſont point troublées par aucune aſtion ou empêchement externe, & dont par conſéquent chacun ſe meut uniformément en ligne droite, le commun centre de gravité de tous ces corps ſera en repos ou ſera mû uniformément en ligne droite.
De plus, dans un ſyſtême compoſé de deux corps qui agiſſent l’un ſur l’autre, les diſtances des centres de chacun de ces corps à leur commun centre de gravité étant en raiſon réciproque de la maſſe de ces corps ; les mouvements relatifs de ces corps, pour s’éloigner ou s’approcher de ce centre commun de gravité, ſeront égaux entr’eux. Donc, ni les chagemens égaux qui ſe font dans le mouvement de ces corps en sens contraire, ni par conſéquent leur action mutuelle l’un ſur l’autre, ne changeront rien à l’état de leur centre commun de gravité qui ne ſera ni accéléré ni retardé, & qui ne recevra enfin aucune altération dans ſon état de mouvement ou de repos.
Puiſque dans un ſyſtême de plusſieurs corps, le centre de gravité de deux quelconques de ces corps qui agiſſent l’un ſur l’autre, ne change point d’état par cette action ; & que le commun centre de gravité des autres, avec leſquels cette action n’a aucun rapport, n’en ſouffre aucune altération ; la diſtance de ces deux centres ſera diviſée par le centre commun de tous ces corps dans des parties réciproquement proportionnelles aux ſommes totales des corps dont ils ſont les centres ; & par conſéquent ces deux centres conſervant leur état de repos ou de mouvement, le centre commun de tous ces corps conſervera auſſi le ſien ; car il eſt clair que le centre commun de tous ces corps ne changera point ſon état de repos ou de mouvement par les actions de deux quelconques de ces corps entr’eux.
Or, dans un tel ſyſtême, toutes les actions des corps les uns ſur les autres, ou ſont éxercées entre deux corps, ou ſont compoſées d’actions entre deux corps ; & par conſéquent elles ne produiſent aucun changement dans l’état de repos ou de mouvement du centre commun de tous ces corps. C’eſt pourquoi comme ce centre eſt en repos, ou qu’il ſe meut uniformément en ligne droite, lorſque les corps n’agiſſent point les uns ſur les autres ; il continuera de même, malgré l’action réciproque de ces corps, à être en repos, ou à ſe mouvoir uniformément en ligne droite, pourvû qu’il ne ſoit point tiré de ſon état par des forces étrangeres.
La loi d’un ſyſtême de plusieurs corps eſt donc la même que celle d’un corps ſeul, quant à la permanence de l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite où ils ſe trouvent. Et le mouvement progreſſif d’un corps ou d’un ſyſtême de corps, doit toujours s’eſtimer par le mouvement de leur centre de gravité.
Car les différences des mouvemens qui tendent vers le même côté, & les ſommes de ceux qui tendent vers des côtés oppoſés, ſont les mêmes au commencement du mouvement dans l’un & l’autre cas (par l’hypothèſe,) mais c’eſt de ces ſommes ou de ces différences qu’on tire l’effort avec lequel les corps ſe choquent mutuellement : Donc par la ſeconde loi les effets du choc ſeront les mêmes dans ces deux cas ; & par conſéquent les mouvemens de ces corps entr’eux, dans un de ces cas demeureront égaux à leurs mouvemens entr’eux dans l’autre cas ce que l’expérience confirme tous les jours. Car les mouvemens qui ſe font dans un vaiſſeau ſont les mêmes entr’eux, ſoit que le vaiſſeau marche uniformément en ligne droite, ſoit qu’il ſoit en repos.
Car ces forces agiſſant également (par rapport à la quantité de matiére des corps à mouvoir) & ſuivant des lignes paralleles, elles feront mouvoir tous ces corps avec des vîteſſes égales par la ſeconde loi. Ainſi elles ne changeront point les poſitions & les mouvemens de ces corps entr’eux.
Les principes que j’ai expliqué jusqu’à préſent ſont reçus de tous les Mathématiciens, & confirmés par une infinité d’expériences. Les deux premieres loix du mouvement & les deux premiers Corollaires ont fait découvrir à Gallilée que la deſcente des graves eſt en raiſon doublée du temps, & que les Projectiles décrivent une Parabole, ce qui eſt conforme à l’expérience, ſi on fait abſstraction de la réſiſtance de l’air qui retard un peu tous ces mouvemens.
La gravité étant uniforme, elle agit également à chaque particule égale de temps, aiſi elle imprime au corps qui tombe des vîteſſes & des forces égales : & dans le temps total elle lui imprime une force totale & une vîteſſe totale proportionnelle au temps. Mais les eſpaces décrits dans des temps proportionnels, ſont comme les vîteſſes & les temps conjointement ; c’eſt-à-dire, en raiſon doublée des temps. Donc, lorſque les corps ſont jettés enhaut, la gravité leur imprime des forces & leur ôte des vîteſſes proportionnelles au temps. Ainſi les temps que ces corps mettent à monter à la plus grande hauteur, ſont comme les vîteſſes que la gravité leur fait perdre, & ces hauteurs ſont comme les temps multipliés par les vîteſſes, ou en raiſon doublée des vîteſſes. Le mouvement d’un corps jetté ſuivant une ligne droite quelconque, eſt donc compoſé du mouvement de projection & du mouvement que la gravité lui imprime. Enſorte que ſi le corps A, par le ſeul mouvement de projection peut décrire dans un temps donné la droite AB, & que par le ſeul mouvement qui le porte vers la terre, il puiſſe décrire la ligne AC dans le même Fig. 3. temps : en achevant le Parallélogramme ABCD, ce corps, par un mouvement compoſé, ſera à la fin de ce temps au lieu D ; & la courbe AED qu’il décrire ſera une Parabole que la droite AB touchera au point A, & dont l’ordonnée BD ſera proportionnelle à AB$^2$.
C’eſt ſur ces mêmes loix & ſur leurs corollaires qu’eſt fondée la théorie des oſcillations des Pendules, vérifiée tous les jours par l’expérience. Par ces mêmes loix le Chevalier Chriſtophe Wrenn, W. Wallis S. T. D & Chétien Hugens, qui ſont ſans contredit les premiers Géométres des derniers, temps ont découvert, chacun de leur côté, les loix du choc et de la réfléxion des corps durs ; ils communiquerent preſqu’en même temps leur découvertes à la Société Royale ; ces découvertes s’accordent parfaitement ſur ce qui concerne ces loix : Wallis fut le premier qui en fit part à la Société Royale ; enſuite Wrenn, & enfin Hugens ; mais ce fut Wrenn qui les confirma par des Expériences faites avec des Pendules devant la Société Royale : leſquelles le célébre Mariotte a rapportées depuis dans un Traité qu’il a compoſé exprès ſur cette matiere.
Pour que cette théorie s’accorde parfaitement avec l’expérience ; il faut faire attention, tant à la réſistance de l’air, qu’à la force élaſtique des corps qui ſe choquent. Soient A & B des corps ſphériques ſuſpendus paralleles & égaux, AC, BD, attachés aux centres C & D, & ſoient décrits autour de ces points comme centre, & des intervalles AC, BD, les demi-cercles EAF, GBH ſéparés chacun en deux parties égales par les rayons AC,Fig. 4. BD. Si on éleve le corps A juſqu’au point quelconque R de l’arc EAF, & qu’ayant ôté le corps B, on laiſſe tomber le corps A, & que ce corps, après une oſcillation, revienne au point V, RV, ſera le retardement cauſé par la réſiſtance de l’air. Si on prend alors ST égale à la quatriéme partie de RV, & placée en telle ſorte que RS = VT, ST exprimera à peu près le retardement que le corps A éprouve en deſcendant de S vers A.
Qu’on remette préſentement le corps B à ſa place, & qu’on laiſſe tomber le corps A, du point S, ſa vîteſſe au point A où il doit ſe réfléchir, ſera la même, ſans erreur ſenſibre, que s’il tomboit tu point T dans le vuide. Cette vîteſſe ſera donc exprimée par la corde de l'arc TA ; car c’eſt une proposition connue de tous les Géométres, que la vîteſſe d’un corps ſuſpendu par un fil eſt au point le plus bas de la chute, comme la corde de l’arc qu’il a parcouru en tombant.
Suppoſons que le corps A parvienne après la réfléxion en s, & le corps B, en k, qu’on ôte encore le corps B, & qu’on trouve le lieu v duquel laiſvant tomber le corps A, ils reviennent après une oſcillation au lieu r, de plus que st ſoit la quatriéme partie de rv placée en telle ſorte que rs = tv, tA exprimera la vîteſve que le corps A doit avoir en A l'’inſtant d’après la réfélexion. Car t ſera le lieu vrai & corrigé auquel le corps A devroit remonter, ſi l’on faiſoit abstraction de la réſiſtance de l’air. On corrigera par la même méthode le lieu k, auquel le corps B remonte ; & on trouvera le lieu l auquel il auroit dût remonter dans le vuide, & par ce moyen on fera ces expériences auſſi éxactement dans l’air que dans le vuide. Enfin pour avoir le mouvement du corps A, au lieu A, immédiatement avant la réfléxion, il faudra multiplier le corps A, ſi je puis m’exprimer ainvi, par la corde de l’arc TA, qui exprime ſa vîteſſe ; enſuite il faut le multiplier par la corde de l’arc tA, pour avoir ſon mouvement au lieu A, immédiatement après la réfléxion. De même, il faudra multiplier le corps B, par la corde de l’arc Bl, pour avoir ſon mouvement immédiatement après la réfléxion.
Par la même méthode, lorſque les deux corps tomberont en même temps de deux hauteurs différentes, on trouvera le mouvement de l’un & de l’autre, tant avant qu’après la réfléxion ; & l’on pourra toujours, par ce moyen, comparer ces mouvemens entr’eux, & en conclure les effets de la réfléxion.
Suivant cette méthode, dans les expériences que j’ai fait avec des Pendules de 10 pieds de long auſquels j’avois ſuſpendu tantôt des corps égaux, tantôt des corps inégaux, & que j’avois fait ſe choquer en tombant de très haut, comme de 8, 12 & 16 pieds, j’ai toujours trouvé, à des différences près, leſquelles étoient moindres que trois pouces dans les meſures, que lorſque les corps ſe rencontroient directement, les changemens de mouvement vers les points oppoſés étoient toujours égaux, & que par conſéquent la réaction étoit toujours égale à l’action. Lorſque le corps A, par exemple, ayant 9 parties de mouvement venoit à choquer le corps B en repos, & qu’après avoir perdu 7 parties de mouvement, il continoit après la réfléxion à ſe mouvoir avec deux parties, le corps B rejailliſſoit avec ces 7 parties.
Si les deux corps alloient l’un vers l’autre, A avec 12 parties de mouvement & B avec 6, & qu’après le choc A s’en retournât avec 2 parties, B s’en retournoit avec 8, & il y avoit 14 parties de détruites de chaque côté. Car ſi du mouvement de A on en ôte d’abord 12 parties, il ne lui reſte rien : ſi on ôte enſuite 2 autres parties, il en naît deux parties de mouvement en ſens contraire : de même en ôtant 14 parties du mouvement du corps B, il en naît 8 parties vers le côté oppoſé.
Lorſque les deux corps alloient vers le même côté, A plus vîte avec 14 parties de mouvement & B plus lentement avec 5 parties, & qu’après la réfléxion le corps A continoit de ſe mouvoir avec 5 parties, enſorte qu’il avoit acquis les neuf parties que le corps A avoit perdu ; il en étoit de même dans tous les autres cas. La quantité de mouvement n’étoit jamais changée par le choc, elle ſe retrouvoit toujours ou dans la ſomme des mouvemens conſpirans ou dans la différence des mouvemens oppovés ; & j’ai attribué les erreurs d’un ou deux pouces que j’ai trouvé dans les meſures à la difficulté de prendre ces meſure avec aſſez d’éxactitude , car il étoit difficile de faire tomber les Pendules dans le même inſtant, enſorte que les corps ſe rencontraſſent dans le lieu le plus bas AB ; & de marquer éxactement les lieux s & k auſquels les corps remontoient après le choc ; & il pouvoit encore s’y mêler d’autres cauſes d’erreur, comme l’inégale denſité des parties des corps ſuſpendus, leur différente texture, &c.
Et afin qu’on ne m’objecte pas que la loi que j’ai voulu prouver par ces Expériences vuppoſe les corps ou parfaitement durs, ou parfaitement élaſtiques, & que nous ne connoiſſons point de tels corps, j’ajouterai que ces Expériences réuſſiſſent auſſi-bien ſur les corps mols que ſur les corps durs, & que par conſéquent la vérité de ce principe ne dépend point de la dureté des corps ; car ſi on veut l’appliquer aux cas où les corps ne ſont pas parfaitement durs, il faudra ſeulement diminuer la réfléxion dans une certaine proportion relative à la quantité de la force élaſtique.
Dans la théorie de Wrenn et d’Hugens, les corps abſolument durs, après s’être choqués, s’éloigent l’un de l’autre avec la même vîteſſe qu’ils avoient dans le choc. On peut l’aſſurer avec encore plus de certitude des corps parfaitement élaſtiques. Dans les corps qui ne ſont pas parfaitement élaſtiques, la vîteſſe avec laquelle ils s’en retournent après le choc, doit être diminuée relativement à la force élaſtique ; & parrce que cette force (pourvû que les parties des corps ne ſoient pas altérées par la colliſion, ou qu’elles ne ſouffrent point d’extenſion comme celle que cauſe le marteau) eſt conſtance & déterminée, ainſi que je l’ai remarqué ; elle fait que les corps rejailliſſent avec une vîteſſe relative qui eſt à la vîteſſe qu’ils avoient avant le choc dans une raison donnée.
Je fis auſſi cette expérience avec des pelottes de laine très ſerrées. Je commençai par déterminer la quantité de la force élaſtique, en faiſant tomber les Pendules & en meſurant la réfléxion : & enſuite connoiſſant cette force, j’en conclus les réfléxions pour d’autres cas, & je trouvai que les expériences y répondoient. Les pelottes s’éloigoient toujours l’une de l’autre après le choc avec une vîteſſe relative, qui étoit à leur vîteſve relative dans le choc, comme 5 à 9 environ. Les boules d’acier rejailliſſoient à peu près avec leur même vîteſſe : les boules de liége rejailliſſoient avec une vîteſſe un peu moindre ; & dans les boules de verre ces vîteſſes étoient à peu près comme 15 à 16. ainſi la troiſieme loi ſe trouve confirmée dans le choc & dans la réfléxion des corps par la théorie, & la théorie, l’eſt par l’expérience. Je vais faire voir qu’elle l’eſt auſſi dans les attractions.
Imaginez entre les deux corps A & B un obſtacle quelconque qui les empéche de ſe joindre. Si un de ces corps comme A eſt plus attiré vers B, que B vers A, l’obſtacle ſera plus preſſé par le corps A que pra le corps B, ainſi il ne ſera point en équilibre. La plus forte preſſion prévaudra, & il arrivera que le ſyſtême, compové de ces deux corps & de l’obſtacle qui eſt entre deux, ſe mouvera en ligne droite vers B, & qu’il s’en ira à l’infini dans le vuide avec un mouvement continuellement accéléré, ce qui eſt abſurde & contraire à la premiere loi du mouvement ; car par cette premierer loi, ce ſyſtême doit perſévérer dans ſon état de repos ou de mouvement en ligne droite ; ainſi ces deux corps doivent preſſer également cet obſtacle, & être par conſéquent tirés également l’un vers l’autre.
J’en ai fait l’expérience ſur le fer & ſur l’aiment. Si on poſe l’aimant & le fer chacun ſéparément dans de petits vaiſſeaux ſur une eau dormante, & que ces petits vaiſſeaux ſe touchent, ni l’un ni l’autre ne ſera mû ; mais lis ſoutiendront par l’égalité de leur attraction les efforts mutuels qu’ils font l’un ſur l’autre, & étant en équilibre, ils reſteront en repos.
Fig. 5.De même, la gravité entre la terre & ſes parties eſt mutuelle ; car ſuppoſé que la terre FI fût coupée par un plan EG en deux parties EGF, EGI : les poids mutuels de ces parties l’une ſur l’autre, ſeront égaux ; car ſi la plus grande partie EGI eſt coupée par un autre plan HK parallele au premier, en deux parties EGHK & HIK, deſquelles HIK = EFG : il eſt clair que la partie du mulieu EGHK ne vera portée par ſon propre poids ni vers l’une, ni vers l’autre de ces parties, mais qu’elle reſtera en équilibre entr’elles.
Quant à la partie HIK, elle preſſera de tout ſon poids la partie du milieu ver l’autre partie EFG ; donc la force avec laquelle la partie EGI, compoſée des parties HKI et EGHK, tend vers la troiſiéme partie EFG, eſt égale au poids de la partie HIK c’eſt-à-dire au poids de la troiſiéme partie EFG. Ainſi le poids de deux parties EGI, EFG, l’une ſur l’autre eſt égale, ce que je voulois prouver. Et vi ces poids n’étoient pas égaux, toute la terre qui nage librement dans l’éther céderoit au plus grand d ces poids, & s’en iroit à l’infini.
De même que les corps qui ſe choquent ſe font équilibre, quand leurs vîteſſes ſont réciproquement comme leurs forces d’inertie (ut vires infitœ : ) les puiſſances qui agiſſent dans la méchanique ſe contrebalancent & détruiſent leurs efforts mutuels, quand leurs vîteſſes dans la direction des forkces ſont réciproquement comme ces forces. Ainſi des poids attachés aux bras d’une balance font des efforts égaux pour la mouvoir, lorſque ces poids ſont réciproquement comme les vîteſſes qu’auroient les bras de la balance en haut & en bas, ſi elle venoit à oſciller ; c’eſt-à-dire, que ces poids ſont en équilibre, lorſque les bras de la balance montent & deſcendent perpendiculairement, s’ils ſont entr’eux réciproquement comme la diſtance du point de ſuſpenſion au fléeau de la balance ; & ſi les bras de la balance montent & deſcendent obliquement, ſoit qu’ils ſoient ſoutenus par des plans obliques, ou que quelqu’autre obſtacle les empêche de monter & de deſcendre perpendiculairement, les poids ſeront en équilibre, lorſqu’ils ſeront entr’eux réciproquement, comme l’aſcenſion & la deſcenſion perpendiculaire des bras de la balance ; parce-que la force de la gravité eſt toujours dirigée perpendiculairement vers la terre.
De même, dans la poulie ou dans le mouffle, ſi la force de la main qui tire la corde directement, eſt au poids qui monte directement ou obliquement, comme la vîteſſe de ſon aſcenſion perpendiculaire à la vîteſſe de la main qui tire la corde, il y aura équilibre.
Dans les Horloges & les autres machines dont la construction dépend du jeu de pluſieurs rouës, les forces contraires qui font des efforts pour les mouvoir & les retenir, ſe contrebalanceront mutuellement, ſi elles ſont etr’elles réciproquement comme les vîteſſes des parties des rouës auſquelles elles ſont imprimées.
La force de la vis pour preſſer un corps eſt à la force de la main qui tourne la manivelle, comme la vîteſſe circulaire de la manivelle dans la partie où la main la fait tourner, eſt à la vîteſſe progreſſive de la vis vers le corps qu’elle preſſe.
Les forces avec leſquelles le coin preſſe les deux côtés du bois qu’il fend, ſont à la force avec laquelle le marteau frappe le coin, comme le chemin que fait le coin dans la direction de la force que lui impriment les coups du marteau, eſt à la vîteſſe avec laquelle les parties du bois cedent au coin ſelon les lignes perpendiculaires aux faces du coin. Il en eſt de même dans toutes les machines dont l’efficacité conſiſte en cela ſeulement, qu’en diminuant la vîteſſe on augmente la force et réciproquement ; & c’eſt par-là qu’on réſout ce Problême dans toutes les eſpeces de machines, que le poids étant donné, la force néceſſaire pour le mouvoir eſt donnée, ou ce qui eſt la même choſe, que la réſiſtance étant donnée, la force néceſſaire pour la ſurmonter eſt donnée aussi. Car lorſque les machines ſeront conſtruites de façon que la viteſſe de la puiſſance ſoit à celle de la réſiſtance en raiſon renverſée des forces ; la puiſſance égalera la réſiſtance : & ſi on augmente la vîteſſe de la puiſſance, elle vaincra aussitôt la réſiſtance.
Si la diſparité des vîteſſes eſt aſſez grande pour vaincre toute eſpéce de réſiſtance, tant celle qu’oppoſe la peſanteur des corps qu’on veut élever, que celle qui vient de la cohésion des corps qu’on veut ſéparer, & que celle qui eſt produite parle frottement des corps qui gliſſent les uns ſur les autres, la force reſtante produira une accélération de mouvement qui lui ſera proportionnelle, & qui ſera partagée entre les parties de la machine, & le corps réſiſtant ; mais je ne me ſuis pas propoſé ici de donner un Traité de Méchanique, j’ai voulu montrer ſeulement combien la troiſiéme loi du eſt vraie, & combien ſon uſage eſt étendu ; car ſi on eſtime l’action de l’agent par ſa force multipliée par ſa vîtesse, & qu’on eſtime de même la réaction du corps réſiſtant par la vîteſſe de chacune de ſes parties multipliées par les forces qu’elles ont pour réſiſter en vertu de leur cohésion, de leur attraction, de leur poids, & de leur accélération ; l’action & la réaction ſe trouveront égales entr’elles, dans les effets de toutes les machines. Et toutes les fois qu’une action s’éxécute par le moyen d’une machine, & qu’elle parvient à être imprimée dans un corps réſiſtant, ſa derniere détermination eſt toujours contraire à la détermination de la réaction de ce corps.