# L’Encyclopédie/1re édition/SERIE ou SUITE

SERIE ou SUITE, s. f. en Algebre, se dit d’un ordre ou d’une progression de quantité, qui croissent, ou décroissent suivant quelque loi : lorsque la suite ou la serie va toujours en approchant de plus en plus de quelque quantité finie, & que par conséquent les termes de cette serie, ou les quantités dont elle est composée, vont toujours en diminuant, on l’appelle une suite convergente, & si on la continue à l’infini, elle devient enfin égale à cette quantité. Voyez Convergente, &c.
Ainsi $\scriptstyle {\frac {1}{2}},~{\frac {1}{4}},~{\frac {1}{8}},~{\frac {1}{16}},~{\frac {1}{32}},~{\frac {1}{64}}$, &c. forment une suite qui s’approche toujours de la quantité 1, & qui lui devient enfin égale, quand cette suite est continuée à l’infini. Voyez Approximation, &c.
La théorie & l’usage des suites infinies, a été cultivée de nos jours avec beaucoup de succès ; on croit communément que l’invention en est due à Nicolas Mercator de Holstein, qui paroît néanmoins en avoir pris la premiere idée de l’arithmétique des infinis de Wallis ; on fait usage des suites principalement pour la quadrature des courbes, parce que cette quadrature dépend souvent de l’expression de certaines quantités qui ne peuvent être représentées par aucun nombre précis & déterminé ; tel est le rapport du diametre d’un cercle à sa circonférence, & c’est un très-grand avantage de pouvoir exprimer ces quantités par une suite, laquelle, étant continuée à l’infini, exprime la valeur de la quantité requise. Voyez Quadrature, &c.
Nature, origine & usage des suites infinies Quoique l’arithmétique nous donne des expressions très-complettes & très-intelligibles pour tous les nombres rationnels, elle est néanmoins très défectueuse, quant aux nombres irrationnels, qui sont en quantité infiniment plus grande que les rationnels ; il y a, par exemple, une infinité de termes irrationnels, entre 1 & 2 : or que l’on propose de trouver un nombre moyen proportionnel entre 1 & 2, exprimé en termes rationnels, qui sont les seuls que l’on conçoit clairement, la racine de 2 ne présentant certainement qu’une idée très-obscure, il est certain qu’on pourra toujours approcher de plus en plus de la juste valeur de la quantité cherchée, mais sans jamais y arriver ; ainsi, pour le nombre moyen proportionnel entre 1 & 2, ou pour la racine quarrée de 2, si l’on met d’abord 1, il est évident que l’on n’a pas mis assez ; que l’on y ajoute $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$, on a mis trop : car le quarré de 1 + $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$, est plus grand que 2 ; si de 1 + $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$, l’on ôte $\scriptstyle {\frac {1}{8}}$, on trouvera que l’on a retranché trop, & si l’on y remet $\scriptstyle {\frac {1}{16}}$, le tout sera trop grand : ainsi, sans jamais arriver à la juste valeur de la quantité cherchée, on en approchera cependant toujours de plus en plus. Les nombres que l’on vient de trouver ainsi, & ceux que l’on peut trouver de la même maniere à l’infini, étant disposés dans leur ordre naturel, font ce que l’on appelle une serie, ou une suite infinie : ainsi la serie $\scriptstyle 1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}$ &c. continuée à l’infini, exprime la valeur de la racine quarrée de 2 ; quelquefois les suites ne procedent pas par des additions & des soustractions alternatives, mais par de simples additions ou par une infinité de soustractions ; dans toutes les suites infinies dont tous les termes pris ensemble ne doivent être égaux qu’à une grandeur finie, il est visible que leurs termes doivent aller toujours en décroissant ; il est bon même, autant qu’il est possible, qu’elles soient telles que l’on en puisse prendre seulement un certain nombre des premiers termes, pour la grandeur cherchée, & négliger tout le reste.
Mais ce ne sont pas seulement les nombres irrationnels que l’on peut exprimer en termes rationnels, par des suites infinies ; les nombres rationnels eux-mêmes, sont susceptibles d’une semblable expression ; 1, par exemple, est égal à la suite $\scriptstyle {\frac {1}{2}},~{\frac {1}{4}},~{\frac {1}{8}}$, &c ; mais il y a cette différence, qu’au lieu que les nombres irrationnels ne peuvent être exprimés en nombre rationnels que par ces suites, les nombres rationnels n’ont pas besoin de cette expression.
Parmi les suites infinies, il y en a quelques-unes dont les termes ne font qu’une somme finie ; telle est la progression géométrique $\scriptstyle {\frac {1}{2}},~{\frac {1}{4}},~{\frac {1}{8}}$, &c. & en général toutes les progressions géométriques décroissantes : dans d’autres suites, les termes font une somme infinie ; telle est la progression harmonique $\scriptstyle {\frac {1}{2}},~{\frac {1}{3}},~{\frac {1}{4}},~{\frac {1}{5}}$, &c. Voyez Harmonique. Ce n’est pas qu’il y ait plus de termes dans la progression harmonique, que dans la géométrique, quoique cette derniere n’ait point de terme qui ne soit dans la premiere, & qu’il lui en manque plusieurs que cette premiere contient ; une pareille différence rendroit seulement les deux sommes infinies, inégales ; & celle de la progression harmonique, seroit la plus grande : la raison en est plus profonde ; de la divisibilité de l’étendue à l’infini, il suit que toute quantité finie, par exemple un pié, est composée pour ainsi dire, de fini & d’infini : de fini, entant que c’est un pié ; d’infini, entant qu’il contient une infinité de parties, dans lesquelles il peut être divisé : si ces parties infinies sont conçues comme séparées l’une de l’autre, elles formeront une suite infinie, & néanmoins leur somme ne sera qu’un pié : or c’est ce qui arrive dans la suite géométrique $\scriptstyle {\frac {1}{2}},~{\frac {1}{4}},~{\frac {1}{8}}$, &c. décroissante : car il est évident que si vous prenez d’abord $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ pié, ensuite $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ ou la moitié de ce qui reste, c’est-à-dire $\scriptstyle {\frac {1}{4}}$ de pié ; & puis $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$, ou la moitié du reste, c’est-à-dire, $\scriptstyle {\frac {1}{8}}$ de pié, vous pouvez opérer sans fin, en prenant toujours de nouvelles moitiés décroissantes, qui, toutes ensemble ne font qu’un pié. Quand on dit même que toutes ces parties prises ensemble font un pié, il ne faut pas prendre cette expression à la rigueur, car elles ne feroient un pié que dans la supposition que l’on eût pris tous les termes de la suite, & cela ne se peut, puisque la suite est infinie ; mais on peut prendre tant de termes de la suite qu’on veut, plus on en prendra, plus on approchera de la valeur d’un pié, & quoiqu’on n’ait jamais le pié exactement, on pourra en approcher aussi près qu’on voudra : ainsi cette suite n’a pas proprement un pié pour la somme, car une suite infinie n’a point de somme proprement dite, puisque sa somme varie selon qu’on en prend plus ou moins de termes, & qu’on ne peut jamais les prendre tous ; mais ce qu’on appelle la somme d’une suite, c’est la limite de la somme de ses différens termes, c’est-à-dire une quantité dont on approche aussi près qu’on veut, en prenant toujours dans la suite un nombre de termes de plus en plus grand. Nous croyons devoir faire cette remarque en passant, pour fixer l’idée nette du mot de somme d’une suite. Revenons à présent à notre suite $\scriptstyle {\frac {1}{2}},~{\frac {1}{4}},~{\frac {1}{8}}$.
Dans cet exemple nous ne prenons pas seulement les parties qui étoient dans le tout, distinguées l’une de l’autre, mais nous prenons tout ce qui y étoit ; c’est pourquoi il arrive que leur somme redonne précisément le tout ou la quantité entiere ; mais si nous prenons la progression géométrique $\scriptstyle {\frac {1}{3}},~{\frac {1}{9}},~{\frac {1}{27}}$, &c. c’est-à-dire, que nous prenions d’abord $\scriptstyle {\frac {1}{3}}$ de pié, & que du reste l’on en prenne $\scriptstyle {\frac {1}{9}}$, & que de ce dernier reste l’on prenne encore $\scriptstyle {\frac {1}{27}}$ de pié, &c. il est vrai que nous ne prendrions que les parties qui sont distinctes l’une de l’autre dans le pié ; mais nous ne prendrions pas toutes les parties qui y sont contenues, puisque nous n’y prenons que tous les tiers, qui sont plus petits que les moitiés ; par conséquent, tous ces tiers qui décroissent, quoiqu’en nombre infini, ne pourroient faire le tout ; & il est même démontré qu’ils ne feroient que la moitié d’un pié ; pareillement tous les quarts, qui décroissent à l’infini, ne donneroient qu’un tiers pour somme totale, & tous les centiemes ne feroient qu’un quatre-vingt dix-neuvieme ; ainsi, non-seulement la somme des termes d’une suite géométrique, dont les termes décroissent à l’infini, n’est pas toujours une quantité finie ; elle peut même être plus petite qu’une quantité finie quelconque : car nous venons de voir comment on peut former une suite de quantités qui ne soient égales qu’à $\scriptstyle {\frac {1}{2}},~{\frac {1}{3}},~{\frac {1}{4}}$, & on peut de même en former qui ne soient égales qu’à $\scriptstyle {\frac {1}{5}},~{\frac {1}{6}}$, &c. $\scriptstyle {\frac {1}{10}},~{\frac {1}{100}},~{\frac {1}{1000}}$, &c. & ainsi à l’infini.
Si une suite infinie décroissante exprime des parties qui ne puissent pas subsister dans un tout séparément les unes des autres, mais qui soient telles que pour exprimer leur valeur, il soit nécessaire de supposer la même quantité prise plusieurs fois dans le même tout ; alors la somme de ces parties sera plus grande que le tout supposé, & même pourra être infiniment plus grande, c’est-à-dire, que la somme sera infinie, si la même quantité est prise une infinité de fois. Ainsi dans la progression harmonique $\scriptstyle {\frac {1}{2}},~{\frac {1}{3}},~{\frac {1}{4}}$, &c. si nous prenons $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ pié ou 6 pouces, ensuite $\scriptstyle {\frac {1}{3}}$ de pié ou 4 pouces, il est évident que nous ne pouvons plus prendre $\scriptstyle {\frac {1}{4}}$ de pié ou trois pouces, sans prendre 1 pouce au-dessus de ce qui reste dans le pié. Puis donc que le tout est déja épuisé par la somme des trois premiers termes, l’on ne sauroit plus ajouter à ces trois termes les termes suivans, sans prendre quelque chose qui a déjà été pris ; & puisque ces termes sont infinis en nombre, il est très-possible que la même quantité finie puisse être répétée un nombre infini de fois : ce qui rendra infinie la somme de la suite.
Nous disons possible ; car, quoique de deux suites infinies, l’une puisse faire une somme finie, & l’autre une somme infinie, il peut se trouver une suite où les termes finis ayant épuisé le tout, les termes suivans, quoiqu’infinis en nombre, ne feront qu’une somme finie.
De plus il est nécessaire de faire deux remarques sur les séries en général. 1°. Il y a quelques suites dans lesquelles, après un certain nombre de termes, tous les autres termes, quoiqu’infinis en nombre, deviennent chacun égaux à zéro. Il est évident que la somme de ces suites est une somme finie, & qu’on peut aisément la trouver. Soit, par exemple, la suite a + ma$^2$ + m. m − 1a$^3$ + m. m − 1. m − 2a$^4$ + m. m − 1. m − 2. m − 3. a$^5$, &c. il est évident que si on fait, par exemple, m = 3, cette suite se terminera au 4e. terme. Car tous les autres devant être multipliés par m − 3 qui est = 0 à cause de m = 3, ces termes seront nécessairement chacun égaux à zéro, ces suites n’ayant qu’une apparence d’infinité.
2°. Que la même grandeur peut être exprimée par différentes suites, qu’elle peut l’être par une suite dont la somme est déterminable, & par une autre, dont on ne sauroit trouver la somme.
La géométrie n’est pas sujette, dans l’expression des grandeurs, à autant de difficultés que l’arithmétique : on y exprime exactement en lignes les nombres irrationnels, & l’on n’a point besoin d’y recourir aux suites infinies. Ainsi l’on sait que la diagonale d’un quarré, dont le côté est 1, exprime la racine quarrée de 2. Mais en quelques autres cas, la géométrie elle-même n’est pas exempte de ces inconvéniens, parce qu’il y a quelques lignes droites que l’on ne peut exprimer autrement que par une suite infinie de lignes plus petites, dont la somme ne peut être déterminée : de cette espece sont les lignes droites égales à des courbes non rectifiables ; en cherchant, par exemple, une ligne droite égale à la circonférence d’un cercle, on trouve que le diametre étant supposé 1, la ligne cherchée sera $\scriptstyle {\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}$, &c. Voyez Rectification.
Quant à l’invention d’une suite infinie, qui exprime des quantités cherchées, Mercator, le premier inventeur de cette méthode, se sert pour cet effet de la division. Mais M. Newton & M. Léibnitz ont porté cette théorie plus loin ; le premier, en trouvant ses suites par l’extraction des racines ; & le second, par une autre suite présupposée.
Pour trouver, par le moyen de la division, une suite qui soit l’expression d’une quantité cherchée. Supposons qu’on demande une suite qui exprime le quotient de b divisé par a + c, divisez le dividende par le diviseur, comme dans l’algebre ordinaire, en continuant la division, jusqu’à ce que le quotient fasse voir l’ordre de la progression, ou la loi suivant laquelle les termes vont à l’infini ; observant toujours les regles de la soustraction, de la multiplication, de la division, par rapport au changement des signes. Quand vous aurez poussé cette opération jusqu’à un certain point, vous trouverez que le quotient est $\scriptstyle {\frac {b}{a}}+{\frac {bc}{a^{2}}}+{\frac {bc^{2}}{a^{3}}}-{\frac {bc^{3}}{a^{4}}}$, &c. à l’infini. Ces quatre ou cinq termes étant ainsi trouvés, vous reconnoîtrez facilement que le quotient consiste en une suite infinie de fractions. Les numérateurs de ces fractions sont les puissances de c, dont les exposans sont moindres d’une unité que le nombre qui marque la place que ces termes occupent, & les dénominateurs sont les puissances de a, dont les exposans sont égaux au nombre qui marque la place de ces termes : par exemple, dans le troisieme terme, la puissance de c est du second degré dans le numérateur ; & la puissance de a est du troisieme degré dans le dénominateur.
Par conséquent 1°. si b = 1 & a = 1, en substituant ces valeurs, nous aurons le quotient ci-dessus $\scriptstyle =1-c+c^{2}-c^{3}$, &c. à l’infini : c’est pourquoi $\scriptstyle {\frac {1}{1+c}}=1-c+c^{2}-c^{3}$, &c. à l’infini.
2°. Donc si les termes qui sont au quotient décroissent continuellement, la suite donnera un quotient aussi près du vrai qu’il est possible. Par exemple, si b = 1, c = 1, a = 2, ces valeurs étant substituées dans la suite générale, & la division étant faite comme dans l’exemple général ci-dessus, on trouvera $\scriptstyle {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2+1}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{128}}$, &c. Supposons maintenant que la série ou la suite s’arrête au quatrieme terme, la somme de cette suite sera au-dessous de la véritable ; mais il ne s’en faudra pas $\scriptstyle {\frac {1}{32}}$. Si elle s’arrête au sixieme terme, elle sera encore en-dessous, mais moins que de $\scriptstyle {\frac {1}{128}}$ : c’est pourquoi plus on poussera la série ou la suite, plus aussi on approchera de la véritable somme, sans pourtant jamais y arriver.
De la même maniere, on trouve que $\scriptstyle {\frac {1}{4}}={\frac {1}{3+1}}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}-{\frac {1}{81}}+{\frac {1}{243}}$, &c. à l’infini… $\scriptstyle {\frac {1}{5}}={\frac {1}{4+1}}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}-{\frac {1}{256}}$, &c. à l’infini… $\scriptstyle {\frac {1}{6}}={\frac {1}{5+1}}={\frac {1}{5}}-{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{125}}+{\frac {1}{625}}$, &c. à l’infini. Ce qui donne une loi constante, suivant laquelle toutes les fractions, dont le numérateur est l’unité, peuvent être exprimées par des suites infinies ; ces suites étant toutes des progressions géométriques, qui décroissent en telle maniere que le numérateur est toujours l’unité, & que le dénominateur du premier terme, qui est aussi l’exposant du rapport, est moindre d’une unité que le dénominateur de la fraction que l’on a proposé de réduire en suite.
Si les termes du quotient croissent continuellement, la série s’éloigne d’autant plus du quotient, qu’elle est poussée plus loin ; & elle ne peut jamais devenir égale au quotient, à moins qu’on ne limite ce quotient, & qu’on ne lui ajoute le dernier reste avec son propre signe. Par exemple, supposons $\scriptstyle {\frac {1}{3}}={\frac {1}{1+2}}$ ; on trouvera que le quotient $\scriptstyle =1-2+4-8+16-64+128$, &c. prenons le premier terme 1, il excede $\scriptstyle -{\frac {1}{3}}$ de $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$ ; deux terrnes, c’est-à-dire $\scriptstyle 1-2$, seront plus petits de $\scriptstyle {\frac {4}{3}}$ ; trois termes seront trop grands de $\scriptstyle {\frac {9}{3}}$ ; quatre termes seront trop petits que $\scriptstyle {\frac {1}{3}}$ de $\scriptstyle {\frac {15}{3}}$, &c. Si l’on suppose que la série ou la suite se termine au terme -8 ; alors on aura $\scriptstyle 1-2+4-8+{\frac {16}{3}}$ ; mais $\scriptstyle 1-2-4-8=-5={\frac {-15}{3}}$ : ainsi $\scriptstyle {\frac {1}{1+2}}={\frac {16}{3}}-{\frac {15}{3}}={\frac {1}{3}}$.
Mais, dira-t-on, qu’exprime donc alors une pareille suite ? car par la nature de l’opération, elle doit être égale à la quantité ou fraction proposée ; & cependant elle s’en éloigne continuellement. Un auteur nommé Guido Ubaldus, dans son traité de quadratura circuli & hyperbolæ, a poussé ce raisonnement plus loin, & en a tiré une conséquence fort singuliere. Ayant pris la suite $\scriptstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{1+1}}$, & ayant fait la division il a trouvé au quotient $\scriptstyle 1-1+1-1+1-1$, &c. qui à l’infini ne peut jamais donner que 1 ou 0 ; sçavoir 1, si on prend un nombre impair de termes ; & 0, si on prend un nombre pair. D’où cet auteur a conclu que la fraction $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ pouvoit devenir 1 par une certaine opération, & que 0 pouvoit être aussi égal à $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$, & que par conséquent la création étoit possible, puisqu’avec moins on pouvoit faire plus.
L’erreur de cet auteur venoit de n’avoir pas remarqué que la suite 1-1 + 1-1, &c. & en général $\scriptstyle 1-c+c^{2}-c^{3}$ &c. n’exprimoit point exactement la valeur de la fraction $\scriptstyle {\frac {1}{1+1}}$. Car supposons qu’on ait poussé le quotient de la division jusqu’à cinq termes ; comme la division ne se fait jamais exactement, il y a toujours un reste ; soit ce reste r ; & pour avoir le quotient exact, il faut, comme dans la division ordinaire, ajoûter ce reste r divisé par le diviseur $\scriptstyle 1+c$, à la partie déjà trouvée du quotient.
Ainsi supposons que la série générale soit terminée à $\scriptstyle -c^{3}$, on aura $\scriptstyle {\frac {1}{1+c}}=1-c+c^{2}-c^{3}+{\frac {c^{4}}{1+c}}=1+c-c^{2}+c^{2}-c^{3}-c^{4}+c^{4}={\frac {1}{1+c}}$. Par conséquent la valeur exacte de $\scriptstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{1+1}}$ est $\scriptstyle 1-1+1-1+{\frac {1}{1+1}}$ ; & cette valeur se trouve toujours égale à $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$, & non pas zéro à 1. Voyez dans les Mémoires de l’académ. de 1715. un écrit de M. Varignon, où cette difficulté est éclaircie avec beaucoup de soin.
Pour s’instruire à fond de la matiere des suites, on peut consulter le traité de M. Jacques Bernoulli, intitulé Tractatus de seriebus infinitis, earumque summâ finitâ, imprimé à Basle en 1714, à la suite de l’Ars conjectandi du même auteur ; le septieme livre de l’Analyse démontrée du P. Reyneau ; l’ouvrage de M. Newton, intitulé Analysis per æquationes numero terminorum infinitas ; enfin le traité de M. Stirling, de summatione serierum ; & celui de M. Moivre, qui a pour titre Miscellanea analytica de seriebus & quadraturis. On joindra à ces ouvrages la lecture d’un grand nombre de mémoires sur cette matiere, composés par MM. Euler, Bernoulli, &c. &c. imprimés dans les volumes des académies de Pétersbourg & de Berlin.
Pour extraire les racines d’une suite infinie, voyez Extraction des Racines.
Retour des séries ou des suites. Voyez l’article Retour.
Dans la doctrine des séries, on appelle fraction continue, une fraction de cette espece à l’infini
| | a | | | | |
| b | + | c | | | |
| | d | + | e | | |
| | | f | + | g | |
| | | | h | + | &c |
M. Euler a donné, dans les Mémoires de l’académie de Pétersbourg, des recherches sur ces sortes de fractions.
Interpolation des séries ou suites. Elle consiste à insérer dans une suite de grandeurs qui suivent une certaine loi, un ou plusieurs termes qui s’y conforment autant qu’il est possible. Cette méthode est à-peu-près la même que celle de faire passer une courbe du genre parabolique, partant des points qu’on voudra. Par exemple, si on a quatre points d’une courbe assez près les uns des autres, & qu’on veuille connoître à-peu-près les autres points intermédiaires ; on prendra un axe à volonté, & on menera des 4 points donnés les ordonnées a, b, c, d, qui ont pour abscisses e, f, g, h. On supposera ensuite que l’ordonnée de la courbe soit en général A+Bx+Cx$^2$+Ex$^3$ ; & on fera
       A+Be+Ce$^2$+Ee$^3$=a,
       A+Bf+Cf$^2$+Ef$^3$=b,
       A+Bg+Cg$^2$+Eg$^3$=c,
       A+Bh+Ch$^2$+Eh$^3$=d.
ce qui fera connoître les quantités A, B, C, D ; & par ce moyen on aura les ordonnées de la courbe parabolique, pour une abscisse quelconque x. Or ces ordonnées ne différeront pas beaucoup de celles qu’on cherche. Voyez les Mémoires de l’académie de Pétersbourg, tome II. page 180. (O)