# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Arithmétique, article 1
## ARITHMÉTIQUE.
### Sur la formation des puissances et l’extraction des racines des nombres ;

Soient posés successivement les équations
${\frac {m}{1}}a+b=A_{1},$
${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{2}+bA_{1}=A_{2},$
${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}a^{3}+bA_{2}=A_{3},$
${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}a^{m-3}+bA_{m-4}=A_{m-3},$
${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{m-2}+bA_{m-3}=A_{m-2},$
${\frac {m}{1}}a^{m-1}+bA_{m-2}=A_{m-1},$
$a^{m}+bA_{m-1}=A_{m}.$
En prenant la somme de leurs produits respectifs par $b^{m-1},b^{m-2},b^{m-3},$$\ldots b^{3},b^{2},b,1,$ il vient, en réduisant,
$A_{m}=a^{m}+{\frac {m}{1}}a^{m-1}b+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{m-2}b+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{2}b^{m-2}+{\frac {m}{1}}.ab^{m-1}+b^{m}$
c’est-à-dire,
$A_{m}=(a+b)^{m}.$
Si, par exemple, on avait $m=5,$ en posant successivement
${\begin{aligned}5a\ +b\,\quad &=A_{1},\\5a^{2}+bA_{1}&=A_{2},\\10a^{3}+bA_{2}&=A_{3},\\5a^{4}+bA_{3}&=A_{4},\\a^{5}+bA_{4}&=A_{5},\\\end{aligned}}$
on aurait
$A_{5}=(a+b)^{5}.$
Voilà donc un moyen assez commode de former une puissance d’un nombre composé de dizaines et d’unités. Soit, par exemple, le nombre $47$ dont il soit question de former la cinquième puissance ; en le considérant comme $40+7,$ prenant $40$ pour $a$ et $7$ pour $b,$ on écrira d’abord les cinq premières puissances de $40$ en cette manière
$40,1600,64000,2560000,102400000,$
et au-dessous les coefficiens de la cinquième puissance d’un binôme, à partir du second terme, en cette manière,
$5,10,10,5,1.$
En prenant les produits des termes correspondans des deux suites, on en formera une troisième qui sera
$200,16000,640000,12800000,102400000.$
On formera enfin une quatrième suite dont le premier terme soit le premier terme de la troisième, augmenté de $7$ et dont chacun des autres termes soit le produit du précédent par $7,$ augmenté du terme qui correspond à ce précédent dans la troisième, en cette manière
$207,17449,762143,18135001,229345007,$
et le dernier terme de cette suite sera la puissance cherchée.
Si l’on voulait former une puissance d’un nombre de trois chiffres, tel, par exemple, que $473,$ on prendrait $470$ pour $a$ et $3$ pour $b\,;$ on formerait donc, comme ci-dessus, la première suite des puissances successives de $470,$ ce qui se réduirait, sauf les zéros à écrire à droite, à faire les puissances successives de $47,$ à la formation desquelles on pourrait procéder comme nous l’avons fait, dans l’exemple précédent, pour la cinquième. Cette première suite ainsi formée, on en déduirait les autres comme ci-dessus, en employant le chiffre $3$ comme nous avions employé le chiffre $7.$ On se conduirait d’une manière analogue pour la formation d’une puissance d’un nombre de plus de trois chiffres.
Supposons présentement qu’on ait à extraire une racine d’un nombre, la racine cinquième de $229345007,$ par exemple. Après avoir déterminé la racine cinquième $4$ de sa dernière tranche à gauche $2293,$ et en avoir retranché sa cinquième puissance $1024,$ on aura pour reste $1269$ à côté duquel abaissant la tranche suivante et séparant par une virgule les quatre derniers chiffres à droite, ce qui donnera $12694,5007,$ il faudra, pour avoir le second chiffre de la racine, diviser la partie $12694$ à gauche de la virgule par cinq fois la quatrième puissance de $4,$ c’est-à-dire, par $1280.$ Cela donnerait immédiatement $9$ pour quotient ; et, pour le vérifier, il faudrait former la cinquième puissance de $49$ et essayer de la retrancher du nombre proposé ; or, nous en avons déjà retranché la cinquième puissance de $40,$ ce qui nous a donné pour reste $126945007\,;$ d’un autre côté, notre équation $a^{5}+bA_{4}=A_{5},$ qui revient à $a^{5}+bA_{4}=(a+b)^{5}$ donne $(a+b)^{5}-a^{5}=bA_{4}\,;$ il nous suffira donc de faire pour $49$ les quatre suites que nous avons formées tout-à-l’heure pour $47,$ en les bornant aux quatre premiers termes seulement ; alors, pour que le $9$ puisse être admis, il faudra que $9$ fois le quatrième terme de la dernière puisse être retranché de $126945007\,;$ et, comme il ne pourra l’être, on passera au $8$ qui ne pourra l’être davantage, et enfin au $7$ qu’on trouvera être le véritable.
En particulier, ce procédé, appliqué à l’extraction de la racine cubique, simplifie singulièrement l’opération.