# Grand dictionnaire universel du XIXe siècle/abaissement s. m. (supplément)

* ABAISSEMENT s. m. — Encycl. Mathém. Abaissement des équations. Abaisser une équation, c’est ramener la détermination de ses racines à la détermination des racines d’une ou de plusieurs autres équations d’un degré moindre. Lorsque le premier membre d’une équation peut se décomposer en deux facteurs commensurables, elle se trouve par là même abaissée, puisqu’il suffit alors de résoudre les équations formées en égalant ces facteurs à 0. Une équation peut encore être abaissée lorsqu’il existe entre ses racines une relation quelconque pouvant être exprimée par une équation. Supposons qu’on ait l’équation
$\scriptstyle x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+s=0,$
dont les racines soient représentées par a, b c et d, et supposons de plus qu’on sache qu’entre les deux premières racines il existe une relation indiquée par l’équation
$\scriptstyle ma+nb=k;$
on pourra trouver a et b d’une manière fort simple, car a et b étant les racines de l’équation proposée, on aura
$\scriptstyle a^{4}+pa^{3}+qa^{2}+ra+s=0,$
$\scriptstyle b^{4}+pb^{3}+qb^{2}+rb+s=0,$
Mais si de cette dernière équation on élimine b au moyen de l’équation $\scriptstyle ma+nb=k$, l’équation résultante devra nécessairement s’accorder avec l’équation
$\scriptstyle a^{4}+pa^{3}+qa^{2}+ra+s=0,$
et puisque l’une et l’autre seront satisfaites par la même valeur de a, elles auront un facteur commun qu’on obtiendra en cherchant leur plus grand commun diviseur, et ce commun diviseur, nécessairement d’un degré inférieur au degré de l’équation, pourra servir à trouver a. On trouverait b de la même manière. Prenons encore pour exemple une équation réciproque. On appelle réciproques les équations dans lesquelles les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux entre eux. Soit donc l’équation
$\scriptstyle x^{6}+px^{5}+qx^{4}+rx^{3}+qx^{2}+px+1=0.$
Si l’on y satisfait en posant $\scriptstyle x=a$, on y satisfera encore en posant $\scriptstyle x={\frac {1}{a}}$, et plus généralement si l’on représente les trois premières racines par a, b, c, les trois autres seront
$\scriptstyle {\frac {1}{a}}\,,\,{\frac {1}{b}}\,,\,{\frac {1}{c}}$
Divisons l’équation proposée par $\scriptstyle x^{3}$ (3 étant la moitié du degré de l’équation) ; elle prendra la forme
$\scriptstyle x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}+p\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+q\left(x+{\frac {1}{x}}\right)+r+1=0.$
Posons maintenant $\scriptstyle x+{\frac {1}{x}}=z$ ; il en résulte
$\scriptstyle x^{2}-zx+1=0,$
équation qui donnera deux valeurs de x correspondantes à une même valeur de z ; ainsi l’on pourra obtenir les valeurs de x dès que z sera connu.
Or, on déduit successivement de l’équation
$\scriptstyle x+{\frac {1}{x}}=z$
1° en élevant au carré et transposant,
$\scriptstyle x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=z^{2}-2$
2° en multipliant ces deux nouvelles équations entre elles,
$\scriptstyle x^{3}+x+{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}=z^{3}-2z$
d’où
$\scriptstyle x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}=z^{3}-3z$
Substituons ces expressions de
$\scriptstyle x+{\frac {1}{x}},x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}},x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}$
dans l’équation ci-dessus ; il vient
$\scriptstyle z^{3}-3z+p\left(z^{2}-2\right)+qz+r=0,$
ou, réduisant,
$\scriptstyle z^{3}+pz^{2}+\left(q-3\right)z+r-2p=0,$
équation du troisième degré, tandis que la proposée est du sixième.
La marche qui vient d’être indiquée a besoin d’être un peu modifiée quand l’équation sur laquelle on opère est de degré impair. Soit, par exemple, l’équation
$\scriptstyle x^{5}+px^{4}+qx^{3}+qx^{2}+px+1=0.$
Il est évident que — 1 est racine de cette équation ; car si l’on y remplace x par — 1, on obtient
$\scriptstyle -1+p-q+q-p+1$
expression qui est nécessairement égale à 0, puisque tous les termes s’entre-détruisent. Le premier membre de l’équation est donc divisible par $\scriptstyle x+1$, et, en effectuant cette division, on obtient
$\scriptstyle x^{4}+\left(-1+p\right)x^{3}+\left(1-p+q\right)x^{2}+\left(-1+p\right)x+1=0,$
équation réciproque de degré pair, sur laquelle on peut opérer comme il a été dit ci-dessus.