# Euclide - Les quinze livres des éléments géométriques et le livre des Données - Traduction de Henrion, 1632/Element X

Grandevrs commensurables, sont celles là qui sont mesurees par une mesme mesvure..
Ainſi les deux lignes droictes A & B, eſtans meſurees par vne meſme ligne C, ſeront dictes commensurables. Ainſi außi une ligne de 6 pieds eſt commensurable auec vne autre ligne de 7 pieds, pource qu’elles ſont toutes deux meſures tant par la ligne d’un pied, quee par celle d’vn demy pied, d’un tiers de pied, & semblablement les ſuperficies, qui ſont meſurees par une meſme superficie, ſont dites commensurables : Item les corps, ou ſolides qui ſont meſurés par un meſme corps, ſont außi dits commensurables.
2. Mais les grandeurs incommenſurables, ſont celles là qui n’ont aucune commune meſure.
Telles grandeurs ſont le diametre & le coſté de quelconque quarré : car icelles grandeurs n'ont aucune commune meſure, comme il ſera demonſtré à la derniere prop. de ce liure. Il y a encores pluſieurs autres lignnes incommensurables, ſçauoir eſt auſquelles on ne peut donner aucune commune meſure, beaucoup deſquelles ſeront expliquees en ce 10. liure ; & enſeigné par quelles manieres elles peuuent eſtre trouuees : derechef, les ſuperficies ſont dites incommensurables, & les ſolides incommensurables, qui n'ont aucune commune meſure. 3 Les lignes droictes commenſurables en puiſſance, ſont celles là deſquelles les quarrez peuuent eſtre meeſurez par une meſme ſuperficie.
Les lignes droictes ſont conſiderees ou ſelon leur longueur, ou ſelon leur puiſſance ; & en l'une & l'autre Vorte elles ſont dites commenſuurables, & incommenſurables. Aux deux premieres definitions Euclide a expliqué quelles ſont les lignes commensurables, & incommensurables considerees ſelon leurs longitudes, mais en ceſte-cy, & en la ſuiuante, il declare ſont celles dites commensuarbles, & incommensurables en puiſſance. Il dit donc icy que les lignes droictes dont les quarrez peuuent eſtre meſurez par une meſme superficie ſont commenſurables en puiſſance, pource que leurs quarrez CH & BI peuuent eſtre meſurez par l'eſpace ou quarré AG. Semblablement, appliquant les nombres aux lignes ; une ligne de 3 pieds ſera dite commensurable en puiſſance à une autre ligne de 6 pieds, parce que leurs quarrez 9 & 36 peuuent eſtre meſurez par une meſme superficie : Ainſi außi une ligne ayant 2 pied en longueur, & une autre 8 ſeront dictes commenſurables en puiſſance, pource que leurs quarrez 4 & 8 ſont meſurez par un meſme eſpace ſuperficiel : derechef, une ligne eſtant 111/ 2. 0 , ey-' une Autre IlVris feront pareillement d9tcs commenfurables en put:if:ince, pource que leurs quar-rez..Y 10 C-1,12.5 fint neefurez. par vnernefine fieperficie Y 5 : car elle L.ji deux fois en z0. C.7-' 5 fois en 1/ 125.
Or eſt à noter que toutes lig.nes droitles conemenfierables enlongitude , le fluet aupi en pur (Panse ; car les quarrez,d' icelles lignes font inefisrez_par le 7,s erré de leur commune mefiere , aine qu'il appert aux trois premiers eleriples cy-defses.
4. Mais les lignes droictes incommenſurables en puiſſance, ſont celles-là, deſquelles les quarrez n'ont aucune commune ſuperficie qui les puiſſe meſurer.
Comme par exemple, vne ligne liant de 2, pieds, ey- vise autre r Y 6, icelles deux li¬gnes Pront dites incommenfierables enpuifance , /iourte qu'an:y-a aucune fisperficie qui inefiere leurs quarrez., 4 c2- V6 : de neefine VS (...2"VV12. feront aupi dites incommen-fierablestriptufance , car nul ernace fieperficiel ne mefure leurs quary ez,8 e..7•Yi 3 <, o
Or eſt icy it noter que toutes isg nes (eu nombres ) incommenfierables en puiesnce , le font aufei en longitude, mais non fies 4t4 contraire. „,f infi vne ligne de z pieds fera bien incommenfierable en longitude A vne atetre ligne de Y8: Mef non pied en putfance.:. e,- 2. qui eft inconemenfierable en pui Pige .11)18 e l'e fi Mei 0) longitude. 5 Cela gant ainfi, il el’: cuident qu’a toute ligne droit Inopofee, on trouvera infinies lignes droides commenfura-bics, & infiniesincommenfurables : lcs vnes en longitude ek puiffance, les autres en puiffance feulement. Cr celle ligne droié, Ie prop o te, eft appellee rarionelle. c’.e. fi ; i dire que quand on propofè quelque ligne elroiéle (grandeur cogneuc de ter. einee, icelle eft appollee rationelle pource que c’efi filon elle que noue ratiocinons : appliquantles nombres à telles lignes, noué les polirons toefiours cl’vil de-ces nombres.ab_ Tolus 7. ; 2, 3-4, 5, G, 7, 8, 9, e’c Et les lignes droides commenfurables à celle ligne ra-tionelle, Toit en longitude & puiffance, Toit en puiffance feu¬lement font aufli appellees ràtionelles. 7 Mais les lignes incommenliirables àcelte ligne rationell e „ font dites irratio nell es, si comparant quelque 1r ne droiffe, à la ligne prin, fè pour rationelle, fier i.e. quelle noué ratiocinons, elle ejitrouseee commenfitrable à icone rationelle, foot en longueur, puifance fuit en puence pulement, telle ligne el au4i rationelle i mais fi elle rf incoenmenfisrable à icelle ligne ratiOnelle propope, tant en louitude qu’en puiiance, cesle t’Ille ligne 61 appellee irrationelle. 8 Le quarré defctit fur vne ligne rationelle propofee eff 7-0,.t eirjî gut rifle bene-Pa : hiquelle efi-cogneué. determinee de certaine quantité efr, ditle rationelle aufi le quarre elferit fin— icelle ligne, eJ appellé rationel, peurce qu’leele eft certain for cegneu c5.— lesfiiperf cies comparees yuan-eV-int aufii di£lesrationellcs, ou bien irrationelles, filon qu’elles fi-ront trouteees cemmenfeera-îles ou incommenfisrables iccluy quarré rationel, ainfi qu’il eit dit isdessx cl£ : finirions fis : vantes. 9, Les figures cornmenfiirables à ce quarré rationel, feint • auffi rationclles. Io Mais celles qui-luyfontincommenfurablcs, font itratio-nelles & tourdes., n Et les lio-nes droites qui peuuent icelles fig tes irratio~ nelles, font irrationelles & lourdes. or vne ligne droiae efl ehéle pouvoir vie figure, quand le quarré tlefirit fur icelle et EEe ij ez-al à icelle tare, d' .itetànt que tout quaré (ft la putfanee de fis ruine ou de fin ffé. fCitifs il d efic" dit cÿ-deys vec deux lignes ront ronzmenfieraldes en peedrance , lors que nen pu les lIgnes , mais les qmdrrez. tre !les Lignes , peuesent dire meure~, par wie me fieperficie • Or ces detinirionr notes adi Neigerons (Ires dee ;le ) vne d nd emae , vbeipie.,; rentmeenes fête en:es , dent I'vf:t.ge troetue en reliure D E M Ar D E. LI On. pure multiplier quelconque p-randeur tant de fois quelle excede .quelconque grandeur propofee de ri-lel-nie genre. C 0 M 1b VVE s S Ez\rrE C E S • Vne grandeur mefiarant tant de grandeurs qu'on voudra:: mcfure ale la. compofee 2, Vue grandeur mefurant quelconque grandeur , rricrure pareillement toute grandeur .que celle-la mefiire. 3 Vue grandeur qui mefure toute vne grandeur, & vne re-rranche e d'icelle, mefare aulli le relie. THEOR. i. P RO P. L 'Elms propofees deux grandeurs înenles, fi de la -piusgrahl c de l'on retranche plus de la moitié„ & du relie encore plus de la moitié, & qu'en continuant cela fe fiffe toufiours ain-fi : Il demeurera en fin vne grandeur plus petite que la moindre des deux propofees. s Soient propoCces deux grandeurs inegales AB & C, dei- quelles AB d; la plus grande: le disque fi d'icelle AB on retranche plus de la moitié , & du mite encores plus de la G qu'on continue toufiours ainfi , il .reftera en fin quelque grandeur plus petite que C. ne Loir ainfi. Soit la grandeur C mulripliee tant de fois le produic excede la plus grande 11.13, & la pro-. duite d'icelle multiplication fuir D E, laquelle fera mufti plier de C,, & plus grande que AB: qu'elle colt donc diui fec en parties egales â C, comme en DF, F G, GE : Item Ac DA de AB loir retranché plus de la moitié, AH, & du reftc HB encore plus de la moitié Hl, & en continuant toufiours cecy iufqucs â ce que ABroit diuifee en autant de parties que DE, fçauoir Ail , Hi, & ID, D'au. tant que DE dl plus grande que AB , & que le retranché -DI: n'en pas plus grand que la moitié de DE : comme le retranché A H, ett plus grand que la moitié de: AB , le telle FE fera plus grand que le refle HB: lemblablernent Éi du plus grand 'celle FE., on aile FG, qui n'eft pas plus que la moitié, & dit plus petit refle HB on Gîte plus de la moitié HI; le telle I13 fera plus petit que le refle GE egal ;I C:- & par -confequent 113 derniere partie de AB, Ce., ra plus petite que C. Efcans donc propolecs deux grandeurs iregale.s,&c, Ce qu'il falloir dernonftret. demonftrera Cemblablement que le niefille aduiendra fi de A D, on aile Li moitié A FI,& du refle H 13 la moitié HI. AVTREM:ENT. Ayant fait la mefine conflruaion quedefFus (Oit prife KL autant'multiple de 1B que DE cfl mulciolecle C. Donc icelle-KL efiant diuifee en K M, M N, N L, parties egales .e. chacune 3. 1 13, il y aura autant de parties en-KL, qu'en DE. Mais d'autant que AH etl plus grande que HB, (ou egale fi on a 011é feulement la moitié de AB ) & icelle HB plus 1 111.1N ri grande que113:auffi AH fera plus grande que 113,c'effi dire que KM. Derechef, puis que HI dl plus grande que 1 B ( ou egale & que icelle IB,efl égale à MN; aufli HI fera:plus grande que M N:( ou egale) & partant la toute AI fera plus grande que la touteKN. Adiou fiant donc les ega- TFles 113, NL, la toute AB fera plus grande que la toute K-L. Mais DE efl encore plus grande que A 13.: Donc D E fera bien plus grande que KL. Et puisque comme DE eft â C, A C D .-tt, ainfi KL dl à I13; ( car K L eft prife autant multiple de I B, -que DE de C) aufli C fera plus grande que I B par la p, 5, & partant le .ree 113 dl moindre que C. Ce qu'il fa.loit demonilrer. THEOR, z. PROP. IL ‘Si de deux grandeurs inegales proporees on retranche rouf-iours alternatiuement la plus petite de la plus grande, fans que k refle mefure la grandeur precedente : telles gran-. leurs feront incommenfurables. Soient prapofees deux grandeurs inegales AB & C D', defquelles la moindre AB foit retranchee de la plus grande is ' CD: puis le relie CD Toit ollé de AB, & qu'ainfi continuelle ment & alternartuement la plus petite eftant oftee de la plus grande, le tette ne mefure iamais fa grandeur precedente, c'eft â. dire que le plus petit celle ne mefure jamais le plus grâd relie : le dis que AB & CD font incommenfurahles. Autrement, il faudra qu'elles (oient commenfurahles: & panant qu'elles ayent vne commune mcfurc , laquelle loit DIXIESM 4 ') E, eft poffible. Maintenant, de la plus grande CD foie retranches CF ega le à AB: Et s'il fe peut faire, foit continué ce retranchement iufques à ce-que le refte DF foit plus petit que AB. Donc E commune mefure , ineCurera la toute CD & la retrant..hee CF, egale à A B, ou multiplice d'icelle, par la com. Cent. & elledoit aufii me tirer le rate DF par la corn. fent. hem foit ren.anchee DF de AB tant de fois que faire fe pourta,itdques à cc que le re-fle GB (oit plus petit que E, qui mefure FD , & par confequent fa multiplier A G , parlai. comm. fent. donc auffi le refle G B , par la 3. COMM. fent. ce qui eft abfurde. Partant AB & CD n'auoient point de commune rnefure & par confequent font incommenfurables. Parquoy fi de deux grandeurs ince.. les pro2--ofe es, &c. Cc qu'il falloit demonflrer.
S C 1-1 0 L I .E.. Noue cenuert ;rom celle prop. Si de deux• grandeurs incommenfurables propofees l'on retranche tour:, !ours alccrnatiriement la plus petite de la plus grande, le refte ne mefurcre. jamais la grandeur prectdente.. soient prnpofies deux grandeurs intommenfUrailes vie, DE, dont la moindre ,./e. fit oflec de DE, le r efi FE: Item de ,./rB fit- ofice FE ,C7' le relie fit B C, ainfr B. continsielleincJe la plier petite de 14 plie grande le dis que le yr' :.ne refierera jamais la :erand,eur prec. car j7direfi, peur que C.B mefiere la prcted• FE. Donc puis que CB,inefisre FE, E mefure„ 1' C, dufli CB mefUrera „A" C. paria z. com. .fint. mais elle .mefiire afipi 13)--mefine. Donc c B melierera pareillement 14 toute ii R par la t. conne...fent. Mais „te Brnefiere D F Donc pay la 1.. tom. fi :nt. c.8, viejgertra Le rnefine .D qu'on a.pofé qu'elle ,nefiec atsjei FE, elle me (*tirera 14 toute DE par lal. corn. fent. ...71/1aÏ4 il a efi I olemonfiri qu icelle CB mefiere eu-fii „AS: elle ri; efisre cr- E: ce qui e abfiord e, puis qu'elles ont ollé pofies 1110E'emenfi?ra t ler , ce theor. clasiiie adlols fie cefiny-cy. Si de deux grandeurs cominenfurables propofees, on ollé roui-tours alter.,. nariliement la moindre de laplus grande, quelque grandeur reliante mefu-rera la precedente. Car fi le re0 emeliiroit agrand eur precedente, ler propofees liraient incorn cnfierables parcelle z.. prop. ce qui efi abfiede, puis qu'ellesfile Kees commenfisraller, .Parquoy il cil f;.ecile de cognai flre fi.deux quelconquergrandeurspropfèerfimt corn Menfur ailes, en non: Calr retranchant alternatiuement la. moindre de 14 pl»: S74'ide, ji quelque refit. mefiere le precedent , les grandeurs propolies feront tcmmenfUrables comme il aleptrt de la demonfiration du premier theor. de ce scholie Vais filereflene m tir:et ma is lagrandeur precederite,les grandeurs propofêts firent incommenfeerabler comme Eucli d: a dernonfiré en cale Z. prop. PROBL. 1, PROF. Eflans donuees deux grandeurs cornmenfurables, trouue la plus grande commune mefure d'icelles, Soient deniiëes deux grandeurs commenCurables AB, CD, & il faut trou, Lier leur plus grande commune indure. Or AB, qui eft moindre que:CD , nicrurera icelle, ou elle ne la mcfurera point : Si click me Cure , il eft euiclent qu'elle fera la plus grande commune niellure. Sicile ne la menue point, foit alternatiuetnent re ni tranchee la plus petite de la plus grande infnsUCS à ce citt*e le telle meure le refle : cc qui doit aduenit, d'autant quo ies grandeurs donnees font commenfurables ) donc que AB fo.it rotranchec de CD , & que le refkc E D me-rine AB. le dis qu'icelle ED féra la plus grande cornant ne mefute d'icelles grandeurs AB, CD. T Car puis qu'elle tn'efurc AB, elle mcfureta anfri CE fon egale : & te mefurant foy-tneftne , elle mefurera aufft la route C par la I. com. fent. Q2e fi on nie qu'elle foit la ,A plus grande commune mefure, qu'on en ri-aune vne autre plus grande, Cçauoir eft noilible) donc par les con. nt unes fenten ces G rnefurera AB, ÇD, St le 3caranché C E egal ta AB, & paz confequent le refte ED, qua eft plus petit; cequi eflimporrible donc vne plus grande magnitude que ED , n eft commune mefure d'icelles AB, CD : Par¬tant ED eftoit la plus grande commune mefure. Eftans donc donnees deux graudeurscommenfurables , nous autans trouué leur plus grande cortimu ne mefure. Cc qu'il falloir fa. ire, C 0 L L ,4* De cecy e manipjle lue fi vne grandeur mefure deux grandeurs, enfle rera auffi la plus srandecommune mefure d'ocelles. car il , ei ft: timon itré que fi G 111 efipy c D, qu'elle meporera dei leur plus grande commune meure E P. PROBL. 2.. PROF. Trois grandeurs commenfurables eftans donnees, trouuer la plus grande commune mefure d'icelles. Soient donnees trois grandeurs commet-durables A, B, C, def-quelles il faut trouuer la plus grande commune mefure. Soit prernierernent trounee D plus grande commune mefure de A Sc B par la 3. propofition to. Or fi D mefure autri C, il eft manifefte que D eft la plus grande commune rne-fure de toutes les trois grandeurs A, B, C. Car ,fi vne plus grande Inagni rude que D mefure les grandeurs A , B , C par le corollaire de la prcce., dente prop. elle rnefurera mat lapins gran de commune mettre d'icelles A & B, c eft A
dircD,qui cil moindre grandeur,ce qui eft im- D poffible. que fi D ne mefure pas C, au moins C r D, C, feront commenfurabics car yeti quo /es grandeurs A, l C (ont comisaervirabicse quelque çommunc mesure d`i celîcs mefurera, Q plus grande tnefuréd’tocHe^vA*j8B B ; pat le corôl.’dé" la 3, prop. to mais cefte mefme mefttradàmétutcrfàuin C Vd^cBdf Ç, feront commcnfurabîcs. Soie donc trouuee par U fumiste 3. prdpofûion io. Ê plus grande commune mefure d’iccîlesD, Cî dc icellc E fëïala plus grande mefure des grandeuradou^ees A^Ç. Çaïd’adteht que È* mefure D & C » Sc D mefure A & B, par îa r. ct>m. fcnri E mcfqrera auffi ic^Hcs A& B. Mais elle mefure auffi
on nie qu’efle. foit la plus grafide commune mefbreV qd’ptioft trouüe vne ; autre pmsgrande.fçauoir Vjs’ilcilpqffibic. Dottepuisôuc F mefure A & B,’ parle frtfdic coreH. IWj.>prqp ; — iov dleroefutera auili leur pîus g^ande commune méfujrjï D> çlle raefute aufliÇfdonc FmefurancD éc furçra pareillement E plW grande mefore.d’îeelîes : cequi èftabfufde. Donc vne plus graàdcgraiidéurqueEhcmelure pas lesgradeürsA, B, Ci Et parta nt Êc (11 apîds grâddeëqmin^ u^lfesv Barquoy eftansdotioeês : trois grandeurs commeo ftnablcs, nous ano « sirouaileurpluserandc commune mefure.Cequilfalloic faire.
Par cecy eſt euident que ſi une grandeur meſure trois grandeurs qu'elle meſure auſſi la plus grande commune meſure d'icelles. Car il a eſté demonſtré que ſi F meſure A, B, C, qu'elle meſurera pareillement E plus grande commune meſure d'icelles.
Par ſemblable maniere, eſtans donnees plus de trois grandeurs commensurables, nous trouuerons leur plus grande commune meſure : & ce meſme corollaire aura auſſi lieu.
Les’i —ra-ndeurs commenfurablcs, font entiches comme no m bre a. nombre.
Soient deux grandeurs commenfurables A.& B. le dis qu’elles font en-zr’el : cs comme nombre à nombre.
Car on qu’elles font coi Curables ; elles auront vne communeiric tiare, laquelle fuit C & autant de fois que C’tnefure A, que I’vnité F mefUre. le nombre. D ; & autant de fois que C me rare 13,.que l’vnité mefure aufri le nombre E. Or puisque la grandeur C & I’vnité F, À. ; 1). rnefurenr egallemcnt la grandeur A & le c . L. nombre D ; la grandeur A contiendra la £.3, grandeur C autant de fois que k nom bre D contient I’vnité F ; & partant comine-A à C, ainfik nombre D en r. I’vnité Mais puis que la grandeur C mefure la grandeur B, F le nombre E, egatement3 comme C dia B. ainfi F efl au ; nombre E. Donc en radon egale„A fera â B, comrnerle nombre D efl au nombre I ? par la zi p. 5. Donc les grandeurs cornmeniurables font cuti : elles comme nombre à norn, brs. Ce.Eiu fall-oit demonſtrer.
THEOR.
E t B M E N T.’ 405
THEOR. 4. PROP. VI.
Si deux grandeurs font l’vne à l’autre comme nombre à nombre «elles feront commenfurables.
Soient dcux gratideurs A&B, qui foientrvne à l’autre comme le nombre C eft ata nomkre I3, : Ic dis qu’elles feront commenfurables. x « Car lag^nileurA foit,entendue eftre diuilee en autant de parties égalés qu’il y a d’vnitez au nombte C, ôc l’vne d’icelles parties foit égalé d E : donc E eft à A,ainfi que 1 vnité F eft au nombre G. Mais par 1 hypothefe A eft àB,comme le nombre C eft au nombre D ; donc en raifon esale, E fera àB > comme l’vnité F’à D, par la ta.pr.op. j. Mais Fvnité F mefure te nombre D :donc auffi E mefure B : mais E mefure pareillement A. Donc E eft commune mefure de A Ôc B : ôc partant par la première deff. de ce liure A & B (ont commenfurables. Parquoy fi deux grandeurs font entr’elles comme nombte à-nombre, &C. Ce qu’il falloit deiqonftrer.
-, . COBj) ILAIS^S,
parceeyefi eut dent -qu efiant propofie deüx nombres comme C O’ JD9 vne ligne droiBe comme A, qu’il fira aifé de trouuer vne autre ligne droifle,èi laquelle fiit A eommt le nombre € efi au nombre Dl Car diuifant A en autant de parties égalés qudy-a d’vnite^au nombre €,49* on prend vne ligne droiBe B,contenant autant d’icelles parties • qnily a d’vnitez^an nombre Dealers A fera • a B, comme h nombre Cou nombre JD : ainfi qu’il efi manifeste, parce qui 4 efié demonfiré en cefie prop, JDe ceey appert derechef, par quelle maniéré on peut, eftans donnez ; deux nombres, &> vne ligne droiBe, trouuer vne autre ligne droiBe, le quarré de laquellefoit au quarré delà donnée comme nombre k nombre, Carjil faut trouuer vne ligne droiBe, au quarré de laquelle fiit le quarré de la ligne A> comme le nombre C efi au nombre V ; il faudra trouuer ainfi que dejfus la ligtie B, a laquelle fiit w<€ comme le mmbre Cefi au nombre D : puis fiit tromiee par lai$. prop, 6* la moyenne prop, entre icelles, A ç ?>B : O* le quarré* de A fira au quarré d’icelle moyenne prop, comme lenombré C au nombre V. Carie quarré de A fira (par le corel, de la 20. prop, 6» ) au quarré de ladite moyenne prop,’ comme A à B : cy partant comme le nombre C au nombre P. -THEOR. s- PROP. VIi ;
Les grandeurs incommenfùrables, neïont pas encr elles comme nombre à nombre.
Soient deux grandeurs incommenfùrables A & B : Iè A* —* • dis qu’elles ne font pas enu’elïes comme nombre à nom- B’ —1 ‘•’■n Ere. .
N
Ce qui eft manifeftescar fi elles eftoient emr’eHes comme nombre h nombre ;,
ayans cfté pofées incoramefifutablea. Parquoy les grandeurs ificom*snenfusables. , &e. ÇequiliàlloitdemoniUer..
. ™ ’ r»
AwMMtai
41© Dixï^siaE
THEOR c. PROP. vin :

## Si deux grandeurs ne font entrelles commeftombréà nojtnbrê

elles feront incommenfùrables. .
—s,
’ I *
Que les grandeurs A «Se B fie foient cntr’elles comme aom- A bre à nombre ; le dis qu’elles font incommenfùrables. B Ce qui eft cuidcnt s car fi elles eftoxent cominenfurablcs, i ! faûdroit qu’elles fufletit comme nombre à nombre par la5.prop. xo. Ce qui eft contre noftre hypochefe, puis qu’elles ont efté pofees n’eftrc entr elles comme nombre à nombre* Parquoy fi deux grandeurs ne (ont entr elles comme nombre à nornbrct&c. Ce qu’il falloit demonftrer. TfiEQR. 7. PROP. ÎX "
Les quarrez defcrits fiir lignes droites commenforables en longitude > (ont entr eux comme nombre quarré à nombre quarré- Bt les «quarrezxjui font ehtreux comme nombre quarré à nombre quarré» ont les coftez commenforables en longitude. Mais les quarrez defcrits de lignes droi&es . incommerliurables en longitude > ne font entreux comme nombre quarréà nombrequarréîEt les quarrez neftaris.en-

## ‘treux

tez>iuc^_ . .. v<7
* Soient les lignes droites A i& B commenfurabïes en longitude ;, le dk que leurs quarrez font entre eux comme nombre quarté à nombre quarte.
» .mcnfurablcs en longitude, elles feront enrr’elles comme nombre à nombre» par la jvprop. 10. Soit donc A à B» comme le nombreC aunombre D ; &îcs qu» :-
rez d’iceux C &.p foient E ôc ï. Or les j-quarrez de A & B font en fcaifon doublée de . leurs coftez^ par la ao* prop. 6. Item les nombres quarrez E ÔC F (bût auffi en raifon doublée de leurs coftez, par la i|. prop. S. Donc le qnanré de Â eft au quarré de A, comme te nombre quarré E eft au nombre quarré F : C’eft à viJauoir en raifon doublée des.côftez A&B, ou des nombres C Ôc P»qui fdm •enja mefme raifon que tes lignes A & B, Pour la fécondé partie. Soit ie quarré de ;Â au qtiaïfê de B, comme le Bon-

## j>ro quarré E au nombre quarré F

    le dis que les lignes A & B feront comen
Curables en longitude. Carpar la 2,0* pjr, ô,ôt tu pro p. B* lataifond®* Ex. i ;jr* m t. ...
quarreraux quarrez* eft la raifon/doubfee de leurs coftez : & partant comme le cofté A aù cofté B, ainfi le nombre C au nombre D, puis que leurs rai- ions doublées (batégalés. Donc parla é.prop.xo.À& Bfontcoinmenfurables en longitude. • - . ’ . .
Pour la t roificfmç par tie-, foient les lignes droi&es A&.B incommentera blés en longitude ; ledis que leurs quarrez ne font cnrr’cux * comme nombre quarré a nombre quarré. Çar fi les quarrez de A & B eftoient ainfique nombre quarré à nombre quatré > icelles A & B feroient cotnmenfurables en longitude contre l’hype^hclci - .
Finalement, les quarré de A & B n’eftans entre eux comme nombre quarréi nombre quatre. le dis quelles font incoramcnfurable$jen longitude. Car autrement leurs quarrez feraient (parla première partie ) comme nombre quarré à nombre quarré, contre rhypothete.Parquoy les quarrez deterit* de lignes draiâes commenfurables en longitude, &c«. Ce qu’il falloit de* monftrer.
* ’ &o^9’L£s€rj^m ■ ■ -
— jl’efi manifefieparles chofii ey-défias demonfirees^ que tes lignes commcnJmabUs t» longitude » le fint aufii en, puijfance : mais que telles qui fint commenfurabUs enpnifi fitnec ne le fint pastonfiours en longitude, Qmles incommenjnrables en longitude, ne le fint bas pourtant enpnifiance : e&z que ceües-incomménfisraUesen paifiance, le fintaufiten longitude» . ^ .
Car d’autant que ; tes quarrex’â'iceUis lignes cpmmenfi en longitude* fiat entr’m» tmme nombre quarrén nombre f narre* défi, a dtrefinalement comme wmlrék mm» ire : icettx quarré^firent cemmenfitfaUespar la 6, prop. m, fartant lesJigpes corn* • menfiraUes en longitude h fint <tufit tn puifiance, . Puis awesyveu qm les lignes dont les quarrez^ne font entdeuxeoitmenômlrequarrê’ a nombre qnarré*ainsfiulement comme nombre a nombre, fint consmesif, mpçfifinsa *■ pourtant m longitude,fimn que les qtsamzjfiictlUs lignesfiiententfaux, comme nombreJ quarriammbre quarré, ^
quarti a nombre quant* mais tonttsfok eçmnienomùn k nombre fine itmuimwfur**’ mes enlongifituâe, c^vommenfirables en puifiance : il appert que les lignes itMnmm* fmablesenlormtude ne lefintpas tonfietars en puifiance*. ains qu’ilnjt aque celles dent * tes quam^ttefinrentr’eux (omm enoptbre k nombre, quifiyent aufii’mmmnfîtu. puififi fance* veu que teürs quarttzjfint ineminenf.parlit6 ?prop. 10. ÿ finalement efi manifefie ’que les lignes ineommmf tnpHtfiance, lefint aufiimlm*’* gitudei carfi elles e fiaient eommenf^n longit. elles le fiment aufii en pnifiance* comme v appert par la première partie de ce moRaire- ; te qui cf contre flypothcfi, ; ’ &C*P2 q zi. fi, ;- -
île fia noter q»*is deux premières parties de refit propofition s’entend aufii destignei "* fmxptkMs parmmbw9pMMH mcksfitm commfiltablti en kmtuàéwà&~
— . * 1*■ A,* • en ,Uw-l.lw tu
411 - ____ ’ ’_ Di-x ï E^ïf / . :.
me fi les quartezfie &B efioient ta cr U ^tUYS fîroitnt Vit Vjj qui fini nexplicalles par nombresjoutes/oU commenfi Car parla zo.prop. <y. j*firoit $z enrai* fon doublée-de V u *V$. Maisiz efi quadruph dey. sAinfiteeoflè^tf redouble du cofté Bt par la def$.Car la double raifin doublée eft quadruple. THEOR. fc PROP. X.
Si quatre grandeurs font proportionnelles, Sc que la première loic commenfiirable à la féconde ,1a troifiefme, fera auffi ^ommenlurable à la quatriefme. Que fi la première eft ia. commenfurabfeà la féconde, la troifielmefera auffi incommenf à la quatriefme.
’Soient quatre grandeurs prop, AjB/CJX- & foie A j, con ; men. furabîçri B ae. le dis que C je. fera auiïïcommeftf.à D 4«. Car A eftant commeïifurable à B, elîes feront çntt’elîes comme nombre à nombre, parla /. p^o.Maiscomrne AdB,ainfi Ç d D}. Partant C eft à D,comme nqrabteâ nombre :& pat confequene commenfurable par 1*6. prop. 10,
jQge (i A eftoit incomfhenf.d B.le dis que C feroit.aufii incommenfurableà D ; Car A& B ne feroieut’pas comme nombre à .^5 nombre par l.a 7-»pr. 10. Mais comme A d B, ainfi C d D : donc C n’eftpasà D comme nombre â nombre :& par confequcne incommenfu-Vable par la 8. prop. 10. Sidonc^uatregrandeursfo’nt proportionnelles, &£• f,Q qu’UfaUdis.deraonftrcr. ‘ /*’
... • ZL E MM SV, • , ’ * . ’
Trouuer deux nombres filans diffemblabie$,c*eft d dire,qui ne foient en~. tf’eux éommenombre quarré d nombre quarré. Soit prtp quelconque nombre quarré JÎ> crm autre hon quarré B. s/€xG. BQ. fe dis qu ietux nombresA Cr B jontptans dijfemblables. Car s’ils efloient plans fimblables, tls feroient compte nombre quarré a nombre quatre, par ta pr. 8. &• partant eftant nombre quarré, auffi B firoit quarrépafla 24. pr. contre Vh)pothefi> Donc */£ iyB,m fint entr*eux comme nombre quarte a nombrequarré PROBL.J. PROP. XL
Tïoüuer deux lignes droi&esincommenlurableS â vns ligne rationello propofee, içauoir vne en longitude feulement, ^ l’autre en longitude & puiffance. r ‘
Soit la ligne rationdle propofee A, à laquelle ilfauc crouuef deuxfctr*rcslignes incommenfurables, i’vnc feulement cnlongicudt%& l’autre en longitudo ççpnitTance. ^ |
Soient trouucn rar le femme précédons deuxnSbres B.&Cmû ne foient . , * * - - -■ * ». _ _ .„ # „ * m _ * . - * h.
R
^ntr*eux conime nombre quarré 4 nombre quarré î Item par le cbtol, de la <j, prop. 10. foit trouuçela ligne D*de laquelle lequarréfoit au quarré de la ligne A, comme le nombreC eft au nombre B. Or d’autant qu’iceux quarrez de A & D font comme —— B- 2.0. nombre à nombre, ils feront commenforables b- — % * » *
entr’eux par la 6. prop»«to. Maisn eftans pas corn- p—r.. • C me nombre quarré àlnombré quarré,ils nauro’fc : / 11»’ pas les coftez A & D commcnf.en fongiuidç^pa ;la 9* 4 rop.io. Donc lesugnes droites A & D font commenfurables en puiflance feulement ; la ligne P eft donc la, première requife. > ‘Maintenant foit trouuêe la ligne E moyenne prop. entre A & D, par la ij. prop . 6. ôc icelle E fera la fecoade ligne demandée : car puis que par fo corol. delato, prop. i5.Ie quartéAeAeft’au quatre de Eeomme A eft àD» & , icelles’A ôc Dfont incoraiuchfurables en longitude, comme il a eft é démon*» ftré.le quarré de A fera auftî incomraenf.^u quatré de E» parla 10 prop» 1©, Païquoÿ les lignes A 8c E iont incommcnf. en puiflance, 8c ptft le rorot. delà ^.-prop, 10. etles font auffi iiicoraraenf. en longitude. Nous.auons donc trou* .nédeux lignes droites incommenfùrables» &c. Ce qu’il&iloit faite.. ■ * : -, * »
SCHOLIE. " ,
S 1 i -pL
£4 ligne A jîii’f : Aoncia ligne Dfèra"fio > laquelle il appert ejire imommenfurall en- longitude à A, mais eotmpenfkrable en puijfanee. Mats la ligne E efiant moyen ne prop. entre A S» eÿ* 2> Y ao, eUefèra Y Y joo ; qui efi incomwénptwtwUngit* q&s t puifiamç k A j»
x • . . . . ■
THEOR. 9« PRO P. XII.
X.cs grandete commenfiirafeles à vne autre > font auflpi com* meiifurables eptreiles. ’ ' ’
Soient les -deuxgraàdeurs A. fcB^ororaenf. chacune Uagrandeur <2 : le dis qu’elles font commenfurables cntr’elles. Car puis qucÀ& Cfonc commenfut. jcellcsfccom comme.nombre à nombre par la^. p.foit comme le,nombre © * au nombre E» Derechef puis que C & B 4ont I ’ comment C ferai B,comme nombre à nombre» ! y Bcfoit comme le nombre F au nombre 6. Soient pris par la 4. prop. 8» les trois nombres H» I, 5t,les plus petits continuellement proportion- « uanx,félon les raifons de DàE »&Fà G t. tellement que Hïoit à t comme D à E, c»eft à dire comme AàC,«cUK, comme F à G» c’eft édire comme C à B. Donc puis que A eft à O, comrap Â C B llâï.Sc CâB, comme A K en raifon égal*, . Bswmiac H à Kj»c*cïU4«e com ms nombre à nombre : Sç nattant A
Dio. F.S. .
Ft. G j.
H|, I+.KÆ.
%t4 D mtsMB
Sc B font commenf. par la 6, prop. to. Donc, les grandeurs comme nfura» bîcs à vncautre, &c. Ce qu il falloit demonftrer. THEOR. io. PROP, XIII. ’
Sidedeuxgrandeurs>l vne.eft commenfiirable àvnetroifieC. me, & lautre incommcnCicelles grandeursfeïcntmcommenfurables entr elles..
Soient deux grandeurs A & B>defqUelles A foiî coramcnf. A’-—-—. . i C ; Sc B incommenf.à la mefme C. le dis que A St B font C——— jncommenf. entr’elleSi Car fi B eftoit commenf. à A , lequel v B-»—« A eft poféauffi commenf, à C, par la u. pr.io. B & G feroient commenf. contre l’hypothcfe. Donc Adc B ne font commenf. Parquoy fi de deux grandeurs. Sec, Ce qu’il faüoit demonftrer» THEOR. II. PR0P. XIV :
Si dé deux grandeurs comment lvne eft incommenC à vne tierce grandeur , auffi fera 1 autre àla mefme. f< Soient deux grandeurscommenfurables A Sc B,& que À foir incommenfurabje à la-tierce.C : Iedis que B.&C font auffi incommenfurables
Autrement, frB.eft Commenfiirable à C» elle fera aufii comme»* furableâA>parlaia.prop.io.contrc noftte hypothefe : donc B eft incommenfurable â C : Parquoy fide deux grandeurs commeofii* sables, & :c, Ce qu’ilfalloit demonftrer. • s CH O US,
Les înterpntes d’Enclids ccdligentdecefieprot>. le thmrne J»i»anttviilc aux emfis Àemonjlréesen ce iïtire. v
tes grandeurs commenfurables à dès incommenfùrables> font auffi iucom* menfurables encrfelles*-.
Soient deux grandeurs %A ty8 ineomtnenJmaUes y aufi quelles C tyP fil eue commmfirahles^ fiautir efi Ca. sA % tyP * -5« iedè que. C ty P. fint incemwenfwa* « lies entr elles, car fuis qtte ACSt* Cfintpofees eotn*’ 6 menfurables, ty incmmenfurable k B» Vautre C : * fera aufii immmtnfi l far4a 14. prop. io. Pere* chef, Puisque D ty B fint fofiet antmenfiraUes* B dxfi demonfittjt incommenfurable k es D fira aufii • mcmmenfirable kUtnefine CfarU i+froP. 10. dr*. 8® fuiettoitfrojnfit
^ tBMMBi
Wtrfa. jua J .* a* *.,».* ** 5 ^ - -Tir .09 • j* •’ o»- ... V **.>.#. . w«#8* «Driimw ucrài iignw/oEBiftçj megaics. uetmcr cpnpttanfii» {fande j*ug plus quek jdusjictitfe ' ?E :t«t’. .. ’ ■ ’41J
Soient dontieeslesdeux lignes dreiftesjfB 0*C» defpelles JÎB efiU pim grande : & ilfautmunet combien la ligne <AB peut fm f» ** kg* C. Soit defcriffhrufB le demy cercle A D B> <9* dans ieeluy fiit accommodée *AD égale a C»par la it pr.+•&* fiit menee DB»fedk que <AB Peut plut
que C du quatre de BD, CarGantant quel angle D efi au demy cercle» il efi droidparla J*. p$»0*par U 47. p.i.le quand de AB :fer a égal aux quarrez.de D» BD :&> partant JCB pour* rd plus que ^tD » c’dft à dire que C» du quarré de B D* Cequi efioit pro pofé. SemblablemcM eftans doiuiécsdcuxlignesdroi&cs, en trouuer y tic autre pouuant icelles. # .
soient données les deux lignes droites j€ D,8D : 0* il f air ? tremer me ligm èreifte qui puijfe icelles» Sotcntpofies ieellesZ/CDtB D a angle droffâ Q » tiré *AB • ilefieup» dent qu*scelles J£B peut les deux JLD 0> BD, puis que parla 47. p, 1, le quarré â*îce$t
THEOR. î&. TROP, XV.
Si quatre lignes droides font proportionnelles » & la premere
    peut plus que la fécondé au quarré d vne ligne qui luy efi
commeniurable en longitude : aufsi la troifie&ne pourra plus que la quatriefine du quarré dvne lignequiluy fora, eommeidùra^e en longitude. Que fi la première peut plus que la fecondqdu quarré cfvne lignequi luy foie in* commenfurable en l^ngitude :aufsi la troifiefme pourra plus que la qÙ2mefine du quarré d vne ligne qui luy fera -iu* commenfurable en longitude.
Soient 4. lignes droite proportionnelles A, B, C> O, ÔC que A | | & 1 ‘ •puiffe pins que B du quarté de E1 ÔC C plus que D du quarré de, I 1 ] F. le dis. que comme A fera commenfurable ou incommenf. en 1 longitude à E,ainfi C fetb commenfurable ,ouincommetffura ? ble en longitude à P.
Car puis qu# A, B»G,T>, font proportionnclcs, comme le quarré de A fera au quarré de B » ainfi lé quarté de C fera au quarré de D»par la u< prop.é. Mais le quarré do Acltcgalaux «uasrca d^.Eüpar rhypothefe s fie le quarte C a#* quatre* ;’. ABECD’I < ? P * ”°*IC ft0® *es 3ttarïCZ de B,È, feront au quarré dr B, . comme les quaveaj de D, F,au quarré deDjfiftn diuifant, cfime Icquairé de E fera au,quarré de Bt ainfi le quarré de F au quarré defDific n&r laùt. cfime
r4ié DiXibsmb
comme B à E,ainfi D à P. Donc puis que comme A à B, ainfi C à Di& comme* B à E ainfi D à Fj en raifon égalé,côme A fera i E^ainfi C à F :Et pat ta io. p.io. fi À eft coramenf. eu incomroenfurable à E, auffi C fera commenf. ou incomsnenfurabie à F : Parquoy fi quatre lignes droiâesfont proportionnelles, &c, ’ Ce qu*il falloit deraonftrer.
THEOR. i* PROP ; XVI.
Sideux grandeurs commenforables font conioin&es > la com^pofee fora commenforable à chacune de fo^s parties : Et fi la compofoe eft commenfurable à vne defes parties, icelles feront comm enlurahj es entr’elles.
Soient iôintes deux grandeurs commenfur. AB & ’ BC : le dis que la compofee AC, eft auffi commenf. A »._ e.. 4 chacune d’icelles A B 8c BC. 1
t Car puis que AB & BC font eommenfurables,’ les auront vne commune mefure, laquelle foit Dw Donc puis que D mefure A B & BC, elle mefurera auffi la toute. A C, par la1 s.c. fent. Fartant la toute AC eft commenf. à fes parties. «> Pour la fécondé partie. Que la toute AC foit commenf. à vne de fes parties, fçauoir à A B ; le dis qu’icelles parties A B, B C feront eommenfurables " entr’elles. Carpuis que A*C& AB font eommenfurables, elles- auront vne commune raefuie.comme D,laquelle niefuram la toute AC 8c la retranchée AB,elle mefurera auffi le reftcBC par la j. communefent. Partant AB BC feront eommenfurables entr elles,puis quelles ont vne ‘.commune mefure D* Parquoy fi deux grandeurs eommenfurables,&c. Ce qu’il falloit proiuier* . COJ{.OlL^€i^£.
fitetey refaiteqtteJt vttegrandeur.compofeede deux, eficommenjhraliter VvnedHeeU les9 quelle U fera aufik l’autre.CommeJtACejtcommenfhraUe à AB,elle lejera . attfjt àB C : Car.par la féconde partie de cefie prop. AB,BCfottt eommenfurables : donc par lapremière partie ACfera comwenjurable a chajqm partit, AB^BC. v’ . SiCff QL f B>.
Soit AB V l8,eÿ- BC V8, lefqucllesfont commenf Za compofée A~€ jera V ’jo, la* quelle efi commenf. tant à V18 , que à VS, Car Vjo efi k Y. i8, comme S V* lit comment.
THEOR. 14. PROP. XVII.
Si on conioinCt deux grandeurs incommenuirabies,ia compo- • foe fora incommenfurable à chacune de fes parties : Et nia. compofee eft in c ommenfurabl e à lvnc de fes pai ties > icelles parties feront incommenfurables entr elles* . Soient
1
I
fi
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. - El1m£nt’ - ’ 417
Soient comointtes deux grandeurs incommenf. A B Bc B C î lodis que !» toute AC eftincommenf. à vne chacune defes parties A B & BC» Autrement » fi AC eftoic commenf. à AB, elle le feroitauffi à BC ;car la commune me- ‘ ïure qui mefureroie AC Sc le retranché AB» - A c mefuretoit auffi le refte BC, par la j.c.fent. -Et partant AB Sc BC feroient commenf.fcequi eft contre l’hypothefe.) Donc AC Sc AB font incommcnf. 11 s’enfuiura le mefme inconuenient fi on nie que AC Sc BC foient incoramcnfarablcs. s • *• ’ Pourla fécondé partie . le dis que fiAC & BC,font incommcnf. que AB Sc BC feront suffi incommenf Antrementit elles eftoient commenfwables ; La toute AC, fer oit auffi commenfurable à fa partie BC par la 16, p. 10. contre noftre hypdthefe. Donc AB Sc BC font incommenf. Par mefme argument nous demonftrcrons que fi AC Sc AB font incommenf ; que AB Sc BC font auffi incomménfutables, Parquoy fi on conioin&dcux grandeurs incommenfurables, £cc« Ce qu’il faUoirdcmonôrer. . . C9%OLLjClMJB. ’ *
a ’ * ’ v s. -
H refaitede ces chofès 9 que fi vne grandeur compofee de deux 9 efi imommenfarfille àCvnè£tceUes>qt* elle le fera aufii kl* autre» Comme fi AC cmpofèe’de A B Çr BCejl incommenfarable k A b > elle le fera auffi à BC» Car fi AC efloit commmf. a icelle BC » elle le Jèroit auffi 4 ABtpar le corott» delà pecedenteprop* eequi efi contre. Pkypdthefè, J)oncAC&* BCmfimcom^enfùraUes^maisimonmenfarahles, , . scâôziE» V. ;
Üoit AB 8, & B C ’if ^JefaueUes fint immmenfaraUfs» La eompofie A Ç fera incommenfarahle à ebacïmedjcellesAB 8iÇf* BCf 18. ’THEOR. 15- PROP ; XVIII •*-.
S *il y a deux lignes droi&es inégalés * & à là plus grande o» ap-, pHqijie vn reéfcangle égal au qüartdu quarré de la plus p etiiéy défaillant a vne figuré quarrée, & que le rectangle ’ diuife icelle plus grande ligne en parties commenferableS . JL 1 ’ * C7 4 2^
en longitude 1 laplus grandeligne pourra plus què la plus petite du quarré (fvne Ugne qui lüy fera comntenf.en longitude : Et fi la plus grande peut plus que la plus petite du quarré dVne ligne qui luy foit commeni.en longitude,eftant appliqué w ïecïàngîéiur îa piusgraiidë ligne^egàfau quart du quarré de la plus petite, ôc deffaillant dVrie figure quarree v le redtangle diuifera icelle plus grande ligne eh parties commenfutables en longitude.
GGg ;
F
A C
418 DïXÏBSMB
Soient deux lignes inégales ÀB&C, & parla 181 p. £. fur la plus grande AB foit appliqué vn rcétangle égal au quart du quarré de C s défaillant dW figure quarrée, c’eft à dire d’vue ligne égalé â fon autre cofté. Et foit iceluy reéfcangle contenu fous Al) & DB commenfurables en longitude, le disque AB peut plus que C du quarré d’vne ligne ? qui luy fera commenf, en longitude.
Qu’il ne foit ainfi. Soit la ligne AB^couppee en deux également en E,& foûfai&eEF égale à ED : U eft euident que AF fera égalé à ; DB » puis que les toutes AE,EB font égalés, & aufli les retranchées EF, ED. Maintenant, puis que AB eft couppee en deux également r en E, & en deux inégalement en D, par la 5. p. a. le re&angle de AD de DB auec le quatré deED, feront égaux au quarté de BË, lequel a’eftant par l’hypothefe que le quatt du quarré de AB, quatre fois le re&angïe de AD de DB, de quatre fois le quarré de E D, font égaux au quarré de AB. Mais quatré fois le re&angle de AD & DB valent le quarré de C, d’autant que par l’hypothefele re&angie de AD & DB eft le quart du quarré de C. Donc le quarré de AB eft pfus grand que ie quarré de C, de quatre fois le quarré de ED, ou du feul de FD égal à iceux par le Schol. de la 4. p. a. puifqueFD eft double deED. Daaantage, puis que AD & DB font pofees commenf. en longitude, la toute A B fera aufli commenf. en longitude à fa partie DB parla 16. p. 10. Et partant à fon égalé AF, & à toutes les deux toin&es en vne*.& par conlequent au refte de la ligne FD par la mefme 16. p.io. Donc la ligne droi&e AB peut plus que C, d» quatre de F D, qui luy eft commen Curable en longitude.
Four la ifeconde partie, que ABpuiflè plus que Ç du quatré d’vne ligne, qui luy foit commenf. en longitude, & qu’à ictlle AB foit appliqué , vn reâangle égal au quart du quarré de Ç, Sc défaillant d*vne figure qûarree, lequel reélan* gle diuifé AB és parties AD,DB ; le dis qu’icelles parties AD Sc D B feront aufli commenf. en longitude. Car demeurant la mefme conftruûion que defliis, il fora demonftré comme là que AB peut plus c[ue C au quatré de FD* Mais AB a eftêpofec pouupir plus q ue C du quarré d’vne ligne qui luy eft commenf. enîongitude : fie partant A B fera commenf. en longitude a icelle FD. Et puis queAB compofoc dcFD» AF, Sc DB comme d’vne, eft commenfurable en longitude à la partie FDila mefme AB fera aufli commenfurable en longitude à l’autre partie compofee de AF * DB par le coroll. delà 16, p, 10. Mafoicelle compofee de AF» DB, eft aufli commenf. en iongit.à DB, puis.qu’elle eft double d’içelle t donc puis que chacune d*icelles AB, DB eft commenfurable en long», à la compofee de AF, DB* aufli AB, DB feront commenfurables entr’ettes en longitnde par la tt. p. 10. Sc partant veu què la toutè AB compofee
de ÀD, DB eft commenfurable en lùiigii
feront commenfurables et
a deux lignes droites inei
L’àpf/lttetion mentionnée m commencement de U demonft^cy-dejhts Je fera bktv j>lw feront commenfurables en longitude entr çllespar la 16. p. io. Parquoy s il y gales, Sic. Ce qu’il falloir demonluer.
EtlHBHT. 4t9
lr !epi»iui>tf4rh6o..(lt*uftAlme,gemetn^HU,ftJ !mt ^îBfimmdu txtnmtsic trois proportionnelles» G* lamùtié deC f moyenne* Qua ntt a F application des mmlres fiit XB jo, G* Cz± : donc les figmens *4D G* DB, front 14 g» 6, defhuels le prodniB» c’eft k dire le re&àngle » tfi 144, qui efi égal au quart de /76» quatre de Ci4»&* défaillant du fnarréde DB 6 ,c efi a dire $6 : g* fint icelles parties D14» J> B 6» commenf en longitude : car Vvne eft quadruple de l’autre, ^€wfi V D, qui peut auecÇ le quarté de XBfera ifl ;car le quarré de XS efi 900, G* reluy de C)j6 G partant reftepour le quartéde WD» 324, dont la racine quarree efi 18, commenfùtableen longitude à Jl. L* antre partiefira aufii euidenteparFaaaption des nombres cy-de fins* * ’ :
lapiopofition fumante fira aufii facilement entendue» fi en paf XB12, G* CV 96 ; car lesfigmens XD» PB»feront 6 -f-ÿ iz.G fi*—Y u : cr FD y 4%,qui efl k ttincom• fnenfitrableettlo»gitnde>G’e*
THEOR. 16. PROP. XIX.
J
S’il y-a deux lignes droi&es inégalés,Ôc à la plus grande on applique vit re&angle égal au quart du quarré de la plus petite , ôc défaillant d vne figure quarree, & qu iceluy re&angle diuifè icelle plus grânde ligne en parties incommenf.en longitudeda plus grande ligne pourraplus que la plus petite du quarré d vne ligne qui luy fera incommenfi en longitude. Que fi la plus grande peut plus que la plus petite du quarré d vne ligne qui luy (bit incomenîurable endongitude, eftant appliqué vn re&angle fur la plus grande ligne, égal au quart du quarré de la plus petite, ^ défaillant d’vne figure quarree, le ré&angle diuifera la plus grande ligne eh parties incommenfurables en longitude.
Soient deux lignes inégalés A B & C, & fur la pins grande À B foit appliqu é rpar la z8. prop. 6. ) vn re&angle égal au quart du quarré de C, de* . faillant d’vne figure quarree : & foit iceluy re&angle contenu fous AD, DB incommenfùrables en longitude, le dis que AB peut plus que C du^quarré d’vne ligne qui luy cd incommenfurable en Ion- _ gitude. Car ayant conftruit comme en la preced. prop. nous de* snonftrerons fembîablemèm que A B peut plus que C du quarré de ’ ® FD. Il faut donc demonftrer que AB& FD (ont incommenl. en, ,,Ç longit. D autant que les lignes AD. DB font pofees incommenf en longitude* lia toute AB fera aufli incommenf. en Ipng. â i& partie ’ DB par la 17.p. 10. Mais DB eft comiiienfurable en longitude 4 la Â & compofee de AF,DB/vcu que cefte- c ? eft double de celle - U.’ donc
GGS I)
B
+B
4îo _ Dixiesmb’
pois quede ces deux lignes commenf. icelle PB eft incommenf, en longitude à ABjU compofee de AF, DB fera auffi incommenf. en long,à la mefme AB pat la 14. prop. io. Ec d autant que AB corapofee.de AF,DB comme vne,& de FD, cil incommenf. en long». I la compofee de AF, DBjla mefme AB fera auffi incommenf. en long. àFD, parlecorol. de la 17 p. to. Doue AB peut plus que C du quarré de F D,quiluy eft incommenfurable en longitude. Maintenant ,ÛAB peut plus que C du quarré d vne ligne qui luy eft incora. en longitude, & fur icelle AB eft applique vn re&angle égal au quart du quarré de C ,5c défaillant d’vne ügure quarrée,lequel reéfcmgle diuife AB és parties AD, DB. ledis qu’icelles A.D.DB font incommenf.en long. Carnous demott» ftrerons comme deuant ( les mefmes ebofes eftans conftruiâesj que ÀB peut plus que C du quatre de FD.Ôc qu’icelles AB & FD font incommenfurables en longitude : 5c puis que AB eft compofee de FD, 5c de A F, DB ioinâes en vne, iceUe AB fera auffi incommenf. en longitude à la compofee de AF, DB par le corol.de lai7. p. de ce liure. Mais la compofee de AF, DB eft comtnenf.en longit. à icelle DB, puis que celle - là eft double de cefte-cy. Donc puis que AB eft incommenfurable en longit. à la compofee deAF,DB>icelleAB fera auffi incommenf. en long, à DB,par la 14. p. 10. Et partant puis que AB compofee de AD,DB eft incommenf. en long, à DB, icelles AD, DB feront auffi incomm, en long, entr’elles par la 7.p. 10. Parquoy s’il y a deux lignes droites inégalés, 5c fur la plus grande, &c, Ce qu’il falloir demonftrér. L B M M E.
— JPuis quil a efié demenfire que les lignes commenfirailes en longitude, le fint aufii en pmffance .mais que celles commenf. en pmffance m ie fintpas toufiours en longitude : il eft mamfefte que s ily a melquehgne ccmm. <» longitude a vne propofie rationnelle : elle doit eftreappelleerattonnelle cr commenfùrable a icelle» non feulement en longitude, maie aufii en puifiance :car les lignes commenf.en long, lefint toujteurs auffi en pu fiance, s’il y a aufii quelque ligne droifie. commenf en puiffance ty* longitude-a l’expofee rationele» elle fera aufii dite rationele commenf en longitude O* puiffance. Qùefi derechef il y.a quelque ligne-commenf enpuijfance a icelle» mais incommenf en longitude, ellefira aufii diBe rationelle commenf a icelle en puijfdnce feulement. * S CH QUE.
il appert par ce que dejfus » qu’ily a de troisfirtes de lignes rationeles commenf ettir’eües en longitude. Çar de deux lignes ratietiéles éommenfUrabUs-entr*elles en l SWl /Tt f*ét jJ y* /I ii » /2 A t /)V^A f&Û A** •MA Cr
nefi égalé a t
« ai O M
e longitude»ou l’vne eft egalT à I’expo fie rationele ; cr partant l*vne 7* l*autre commenf en longitude k larationelet ou l’vne ny l’autre i, 1 ’eft égalé à l’expofie rationele» cr toutes fois commenf.en longit. à ^ icelle i ou finablement l’vne cr l outre efi commenf n l’expofie ra* * •I ’ » v ‘ , 1 ^
tioneleenpuiffance feulement. Qrnous tromerons ces troisgenres de lignes rattoneles en cefie maniéré, soit vne rationele propofie diuifie en quatre parties égalés : c*eft à fçauoir en autant qu iiyad’vntieTÇ au nombre S : puis après efiantpris quelque autre nombre C» la ligne J> fiit vm partie de qu’autant de fois que D mefùre A autant de fois elle mefùre quelque ligne’E : Item autant de fois que
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B
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Exe m bu t . . 421
_ —L-T-L ^ ^ —* ** *** ■» ^ ~ ^ Vt l~ ‘ ^ ® puis que *AxyB fint compofies Je parties égalés en nombre., qm font égalés kD t elles firent égalés. Derechef, pats que D mefure tomes tes trois lignes jt» E» F, elles firent commenfutab, en longitude yparquoy E (y F fini rat tondes cosnenenf en longitttde k la rationtle ^/€ : mais elles ont efi ê demonfirêesefire aufii commenf entr elle s-tn longitude* Nousauons donc trouué deux rationeles E (y F commenf* en longitude étant entre Iles qrikUràtioneleexpofieJE, eydefqttellesVvnefiauoir E, efi égalé 4 yp* Or maintenant, que D mefitrc deux li- . . gnes Cef* E par Jeux nombres F (y G
differens’ de S, tellement que Vvne <y
l’antre ligne C & E fiit inégalé a
Donc comme deffm les trois limes *A»
C» B» ayans D pour mefure commune,
feront eommenfurables en longitude : parquoyC cy E font rationeles commenf. en
longit, a la ratienelle yt’.mais elles le font aufii entr*elles, Nous auons donc trouué deux rationeles’C& E commenf, en longs» . ’ ‘ , t t tude, tant entrelles qftà la ratsosele propofie*si :l'i>ne ny t autre defqueiles nefi égalé à iceüe yfC.
Finalement par la u* prop* 10, à l’expofee rafhnele y£ fiit tronuee la ligne B j incommenfùrable en longitudefeulement, laquelle fit couppee en tant ’ . . . - . - ... ... II
ie dis qu’elles fint- aufii commenf en puijfanee feulement a l expefieratieneU %A. Car puû qm*j€ oy B font commenfurable en putffance y te quarré de x/E fera commenf au quand de B : Mais au mefme quarrl de B, eft aufii commenf. le quarré de C, pource que B, C efians commenf. en longitude} elles Â$C le firent aufii en puijfanee. Donc par la iz. prop. 10. les quarrezjle ytçy C > fint pareillement commenf entr eux. Parquoy C efi commenf en puijfanee a icelle Et pource que des deux lignes B ey G commenf .en longitude » B efi meemmenf. t V
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A C B
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en puijfanee a ?expofie ratmele jt, font rationeles, cmv j n«» *»«*»» rw»m»u »vw»Mm » en longit ; entrelles, mais en puijfaneefeulement a l’expofee raiionek *A : ellesfont donc (es deux lignes requifes a trouuer* •_
Que fi queîqu’vn defire trouuer tant qu on ’Voudra de tignis rationeles eommenfurables en longitude entrelles, cela f fera ainfi qtdUenfuit : Sut pris quelconque mefure D, (regar* de^la première figure de cefie page ) çy foientempofies autant qu on voudra de U» fnes jt,C, E» <T autant de parties égalés k içeUe D > qu’il y a d’vmtes^en autant de pom» res inégaux B, F,Gt car les lignes ^€»C, E, ayms la commune mefme D» feront cow ftttîifiirables en longitude ; , , ’ ' . Or H efi aufii emdent que toutes lignes rationeles » fint commenf non feulement k vne expôfeerationeh, mais aufii entr eÜes* car puisque parla 6* d. ïo. les lignes rationelesfonî eeues qui fint commenf* àCexpoJîerationele, foit en longitude ryputfiance,ou enpuijpwce feulement» Xy que par la iz. f* 10. les commenfwabîes k vne mefme, fint aufii corn* GGgiij "*
A , B’ --L-LXIJ—
- » 42.1 Dix ï b s m b menfuraUes et)tr*elles ; il efi manifefie ytte toutes lignes ratidnelesyfint cmméhfittttr elles. THEOR. 17. PROP. XX. Le reftangle compris de deux lignes rationeies comment en longitude felon quelqu vne des maniérés cy-deuant dites » eft rationel. Soit vne expofee rationele A, & le reftangle BD compris fousBC, CD rationeies commenf. en longitude, félon quelqu’vne des maniérés cy-dcfllis dites : ledisqu’iceluyreftangleeftra* tionel. Car fi fur lVne d’iccllesBC, CD, fçauoir BC, on faift le quatre BE, il fera commenfurable au E C o quarré de la rationele A par la ;.de£io. puis que BC eft rationele commenfurable à la rationele expofee A, ou en longitude 8c puifiànce, ou en puifiànce feulement. Et puis que BC» ou CE, CD font com* menf. en longitude ; (carBC, CDont efté pofees rationeies commenfurables en longitude entr’eîles) 6c par- la 1. p. 6. comme EC eft à CD, ainfi E B à BD, par la so. p. 10. EB, BD feront aufii commenf. tellement donc que le quarré de A, 6c le reftangle BD font commenfurables au quarré E B ; 6c partant com* menf entr’eux par la u. prop. 10. Mais le quarré de A eft rationel par JaS.d. io. Donc par laji.d. 10. le reftangle BD fera auffi rationel : Parquoy le reftangle compris de deux lignes rationeies, 6cc. Ce qu’il falloit demonftrer. v s C H o L1 Et ^ Soit BC$Cr CD 4 : donc le reftangle BD fera 12» Derechef fiit BCf CD V ft, ; le reth. BD fira y 36, c’efi à dire 6. Etderecheffi BCeji V8, o* CD V18 ; If reftangle BDfiray iq^c efi a dire 11. Par aittfi ieeluy reftangle efi ratimtL } . THEOR* PRO P. XXL Si vn reftangle rationel a IVndes coftez rationel» il aura auffi lautre colle rationel : & iceux coftez feront entreux commenfurables en longitude. -Soit le teftangle rationel DB ayant le cofté CD rationel : le dis qne BC fera aufii ratio* nel commenfurable en longitude à CD* Car fur DC, foit faift le quarré AD, lequel fera rationel parla 8.d. to. Et comme le reftangle eft su quatre, ainfi CB eftàCA par ia 1. prop. 6. Mais ie quarré 6c le redan* [le (ont rationnai* ?, 6c partant commenfura» des. Donc par lato. ptop. 10. CB 6c CÂ, ou CD fon égalé, feront rationeies 6c commenfurables en longitude. Parquoy fi E - f
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Ex» me nt. 4* ?
va ré&angle râtione ! al’ta âeico^sditioDel^c. Ccqu’ilfalioit demonftw. SCHOLIE.
xoitleregarnie J)B d.trlalhneCD Vî ; SC fc* donc Yil,quiefi commenf : m Un- • -, - ’ .LBM.MB. ( ;
Trouuer deux lignes droites rationelcs commenfurables en puiflfance leu lement.
pofie rationele, tt efi manifeste par la il. prop. 10. que toutes les trois Jbront cotnmenjù’ tables entr*elles en pnijfance feulement, çr partant ratiomles. ~ v THEOR. 19. PROP. XXII.
Le retftangle compris de deux lignes droites rationeles cp|tir menü en puiffance feulement, eft irrationel : & 3a ligne droite qui peut iceluy eft irrationelle. S oit icelle appellee 1- I J ’ <- *
Mediale. . ^ .
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Soit le reBangle AD, compris de deux lignes rationel- b ¥ les DC $c C A commenfurables en puiftance feulement, le dis que le rcébangle eft irrationeb & la lîgne qui peut iceluy, pareillement irrationelle, qui doit eftre appelle Mediale.
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feraràtionel, & fera aù reBangle AD, comme BCouCD fon égalé, eft à CA, par lai, prop.ff. Mais DC Ôc CA font incommenf. en longitude : donc parla tb.prop. 10.le quarré BD, ôc le re&angle AD feront incom» menf. Or le qùarré eftrationel : donc par la 1 o.def.io. fe reBangle fera irratio ? nel ; Sc par là n. la ligne qui peut iceluy fera auffi irrationelle : Sc foit icelle ligne appellee Mediale, pource que le quarré d’icelle eft égal au reBangle compris fous les rationelles DC, CA commenfurables entr’eilcs en puiftance feulement, & par confequent moyenne pro», entre icelles rationélles par la 17. p. (5. -Donc le re&angle compris de deux lignes droites ràîionciles commemu^a. bîes, &c» Ce qu’il falloir demonftrer. ’ ' » . fi C & o lis.
Pim donc facilement- définir lêügne ntediah ; mm dirons ieeUe efire vne lin» irratio* nettey moyenne proportionelle entre deux lignes rationelles, entr elles cemmènfùfables en putfTame feulement* ou bien telle qui peut vn reflangletentent* fins deux lignes rats»’ neues tmmmJmabUs ente elles en puijfante fiulmenù 414 D ï XIE S&B
jEffaut noter que lequanti d* »«ffe /ijptt mediale, ou leroûangle Irrationnel quelle peut, efi aufii nommé médial* pource quil efi moyen prop. entre les quart ez^ d1icelles lignes ratio* miles eommenfi entr elles en puifiancefinlmmt,non qu*U faille pourtant entendre que trement, comme fi verra cy-après
La ligne DCfiiti, Cr BCVB. LereB angle BJDfirai » quiefiirrationeh etvfira diB medtal, mais la lignepouuant iceluy efiVYji» laquelle on appelle mediale. THEOR. *o. PROP. XXIII.
Le quarré d vne ligne mediale appliqué for vne ligne ratiohelle, faid l’autre cofljé ratioilel commenf. en puiflance feulement à la ligne à laquelle fè faid 1 application. xAuparauant que venir à ce qui efi içypropofé > efi a mtter que pour appliquer fur vne ligne rationelevnreBangleégal au quatre d*vne ligne mediale, autrement plus facile» ment que parla 4$, prop, s. il faut enpremier lieu pofir quelconqueligne rationelle, èn fécond lien la mediale 9 chercher latierce proper&oneÜe, laquelle fira Vautre cofté du reBangle : carpar la 17 .pyopofitton 6» le quarré de lahtoyennèefiégalaureflangledes extremest~ ’
Venons maintenant à la demonfiration de la pre ùjitio», : ’ ' Soitîa>nieaiàle A» le quarré de laquelle foie appliqué Air la ligne rationelle BC, feifantle re&aogle BD : le dis queB.C Sc CD font rationelies comnaenl. en puiflànce feulement.
Car A eftant mediale, elle peut vn re&angfe compris de deux lignes.rationelles comtnenf. en pumanee feulement, autrement elle ne feroitdiéfemediale :
fous lés rationelles EF, FG comménfurâbles en puiflance feulement. Et pource que A, par l’hypothefe peut auffi le rc&angleBD ; Ièeu ?t rectangles B D » EG feront égaux, & par la 14. prop. 6, ils auront les coftez réciproques, fçauoir quecom me BÇà EF, ainfi FG à CD, & par la 11,prop. & les quarrez d’icellcs lignes feront proport. Mais ie quarré deBC ligne rationelle, eft comtnenf. an quatre jdeEF , auÜi ligne rationelle : donc parla 10. pr.ro. le quarré de FGferaaufli commenf.au quarré de CD partant lès lignes FG, CD feront com. au moins en puiflance, 8c le quarré de FG eftant rationcl, le quarré de CD fera auffi rat ion el ;& parconfequent les lignes CBdc CD feront rationelles. Or qu* ;icelles BC & CD (oient comtnenf.en puifiance feulement, il eft euident ■ ’ ■ n.
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mal, c eft à aire égal aq quarré <3e la mediate A. Donc les lignes BC de CD font incomœenfurables en longitude, Parquoy le quarré d’vne ligne-medialé appliquéfuî : vne ligue rationelfe, &c,.Ç e quil falloir detoonftrer,. A ***’■. ^** * , ** s<« —n» «p w tI^ i * # ® u *• *m m*» n .J **» Méii» * - «» * * *. ,
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SCHOLIS.
Soit le quarte de *>fV 40, pi ai s BC fiiti. Si donc aB Cm applique Ÿ4&> l’autre cofte CD fira y 10. <]ui eft incommenf. enlongituàe k BC, mais commenf. en pttijfmce. Qjte ]$BCeftV$, CD fira V8» aufii cmm. en puiffaneefiulementn Mais fila mediale eftoit y y 55 yt ?- icy$ : le quarré de Jtfiroity^ : O’ÇDVj, commenfienpmfiance feulement à £C.
THEOR. xi. PROP. XXiy.
Vne Kgne droide commenfurable à vne ligne mcdiale, eft auffi mediale.
Soit la mediale A, â laquelle foit cotnmenfutable la ligne dtoiâc B. le dis qu’icelîe Beft auffi mediale.
Car foit propofee la rationelle CD , & fur icelle appliqué le reâangle CE égal an quarré de A : Item fur la mefme rationelle C D foit ap- . pliqué le re&angle CF égal au quarré de B.D’autant que le quarré de h mediale A, eft appliqué fur la rationelle CD, l’autre Porté DE eft rationel commçnfûwblp en pniftànpe feulement à CD, par la’zj. prop. to. Mais Â& B eftans commenCurâblés, leurs quarrez (ou leurs égaux re&anglesCE, &GF) ferontauflî comtrîénf M ai’s par fai.prop. è. comfme CB eft â CF, ainfi la ligne droi&eEp eft à la ligne drotâtëDF vj&ô’bc par la 10# prop.io. ED, D F, fer ont commenfen longtt. Mais la ligne ED efttationtielie, • de incommenfurable en longitude à la ligne CD : donc auffi DF eft rationelle & incommenf. en longir. àla mefme CD, par la 14 ; prop.10.&partant puis qu’iceües CD, DF font rationelies, ellesfeïont commenlurablcs enpùiffance feulement>& parla 21.pr.10. le re&angle CF compris fou$i<elles’GD,DFfera medial,& la ligneB qui peut iceluy re&àngle, : fetaVatiffi mediate’ : cédu’iîfal» loit demonftrer. • ’ . « ■ • ■»
COSjDLL^ffJ^B.
Dececy refuiteque tout e figurecommenfurablea*vnefigure,mediale,eftaufiimeâistle : d* autant que tesquarrezjgaux k icellesfiguresferont aufiiC6mmenferalïesie^iparconfim qnent eommenfurables les limes qui les pourront, à tout le moins en puifiitncè^ Vvne d* iceüeseftant mediale » l autre qui luy fera commenf fera aufii mediale par cefte propofitson.
’SCHOLIS. .
Soitjtyywo, &yytiS, CD*. Donc DE fira y i f- t ? cMmenfientr ellesi car elles font comme 5 a 4.’ 0» DB eft commenf en pniïf.fôulemint a CD 0* par confiequeht le, reftanglefif, jui£/ ? V 148, eft medial>. Zr„ U ygnizyy tt8, quip’mt iceluy, aufii fHudiâUu * ,
’L II M M E I, ! “
eft dite mediale, 0* egmmJ salle’, ttin fimment on Ungii. tHai’s aufii enpmjfam. Car ’■ ’ "" H H II
4*6 Dixissme
vniutrfillement les ligna droifles commtnfl en Icngit, lefint aufti et ! puifiànce. Et s* il y a quelque ligntcomm. en puifiànce Cr longit. à vne mediate» elle/ira pareillement dite me* diale,O^à iceüetommenfien longit*&* puifiànce. Que fi derechef ily a quelque ligne com» menf en puifiànce àvne mediale , mais incomm. en longit. elleférus aufii dite mediale cens* menf* a tceHcen puifiànce feulement.
L E Ai M E U
Trouuer deux lignes mediales commenfurables en longitude : Itéra deux commenfurables en puifiànce feulement.
Soient, tromeesles deux lignes uAty Bcommenf.a la mediale e#’efi À fia» tietr i/itn Ungit..o* 3 en pmffance finit ment : cr chacune d’icelles */£ tr B firent aufii mediales par la 24. prop. 10. Peu dsnc que ^€0* C fontemmenfi en bnmt.gy B»Cen puifiànce feulement» efi manifefie ce qui efioit gropofi. Qriïe fi tL noter qn’enevt* que toute ligne droi&e commenf. à vne mediale» fiit . mediale» neantmoins toute ligno mediale nefi pas commenf* a quelque mediale ABC que ce fiit. Car deux medialesfi petment donner incomm .en longit* puifiànce» comme appawfira par. la $6. ptop.de ce liure». oknom enfiignemm aufii a trouuer deux telles lignes mediales» *
THEOR. XX. PROP. XXW
ILç re&angle çompris de deux lignes mediales commenfurables en jfcngitu.de> eft aufli mediaL
Soit le reétanglc DB-, cemprisdedeux media* g. . ^ 11» commenf. en longitude D.C & RCUe dis qu’il eft medial.
Car fi.furlaligne DC on dèfer it îè quarré DA,. illêra medial, cftantdcfcm fur vne ligne media* le ; & parla t* prop. 6* comme AC eft ? CB» ainfi AD eftà DB ; mais,CD*ouCA fon.égalé, eft
commenfurable en longitude à BC : Partant par d» h 10. prop. io* le quarré medial AD, fera com* menfurablc aureôanglc D3 % 6c par le corollaire de la 24. prop. 10 ; ieeluy rcûangle fera medial. D oncle rc&angfa compris de deux» lignes mediales, &c« Ce qu’il fàlioit.demonftrc£,.

## sc&ai/M.

S i lis mediales DC, CB comutenfièn longitude fint V : V2 W } t .* /f reftangle d’if elles t fiauoir 2>Bj fira e’eft 4 dire y 8, qui efi medial. THEOR, a* PROP. XXVI.
Je reftangle compris de deux lignes mediales commenfurables en puifTance feulemenr> eft rationel » ou medial. • Soient les deux mediales commenf. en puifiànce feulement AB 8e BÇ,..comnrcnantle reéhngîoAC :Ie dis qu’iceluy re&anglecft rationel ou medial. ’ ilü m&Mç Cwi SmAR &RC foient déficits les quart» AD 8c ’ • ^ ■>. ... ■* • - *. t » twi m w .1 ... wi. n* 1 ir i-| **- a. w> ufc.» O1* * «unbm.**+ •» - W» k> ■1 .» <* * EtB^BVT ? 447
quels eftans faitç Air lignes médiales fer Ont médiaux. Maintenant fbitpropofecla ligne rationelle F G > & fiit icelle foient defcrits les trois redangles F H, IK, LM, égaux
aux troisfigures AD, AC,CE,par la 4 f.pr. *•
Et d’autant que les quarrez AD & CE font
médiaux» leurs égaux rectangles F H, LM fe¬
ront médiaux : lefquels appliquez fur la rationelle FG, leurs autres coftez GH & KM, fe¬
ront rationnaux commenf.cn puiftancefeu* r _
letnentà FG par la a ;, prop.io. Mais d’autant A . G » Mu que les quarrez AD de CE font com meuf.
(eftans raids fur lignes comment en puiftànce) leurs égaux redangles FH 6c LM feront auffi commcnf. mais parlai^». 6. comme FH eft à LM, ainfi la ligue droide G H eft à ia ligne droide K M : donc par la 10. prop. jo. GH & KM ferontcommenC en iongirudeidr par Ia20.pr0p.10.le redangledc GH Sc KM fera rationel. Et pource que AB, BD font égalés, Sc BC,BE aufti égalés, comme DB eft a BC, ainfi AB à BE. Mais comme DB âBC, ainfi AD àAC parlai, prop. 6. Sc corotncAB eftà BE, ainfi AC dCE : donc comme ÂD à AC, ainfi AC à CE : & partant ÀD,ÀC» CE font proportionnaux.‘& par confeqnent leurs égaux. FH*HL, LM feront aùflï proportionnaux. Mais par la 1.prop.6,les l»gnesGH,HK,KM font cntr’©Hes,comme les redanglesFH)HL,LM*. elles feront donc proponioneltes ; Sc parla 17.pr.tf. le redangle de GH,KM» fera égal au quarré de HK. Or le redangle d’icelles GH, KM a eué deiUonftré rationel : donc auffi le quarré deHK fera mionèl*. 6ç par confequent la ligne HK fera auffi rationelle : ôc par la 6. def. 10. elle fera pareillement commenfurable à la rationelle propofèe F G, ou à fon égalé HI, fqit en longitude Sc puiftance» ou en puiftauce feulement ; Si en longitude, le redangle HL contenu fous icelles Hl,HK,ou le redangle AC qui luy eft égal, fera rationel par la zo. prop. 10. mais fi HK eft commenfurable en puifTance feulement à HI, iceluy redangleHLou AC fera mtdial par lait. prop. 10. Parquoy le redangle compris de deux lignes médiates commcnf. enpmtfancc, &c. Ce qu’il falloit domonftrer. S C HO II E» ,
frient le* medialet BC, vV 8, v Wz : ( dejhuellesles puiffances fint cenmenfih rabltSt car elles fint e» raifin doublé») leredangle £miles »/CCfira Wi<j,rV/ ?^ dire z, qui eft rationel» Mais fi ^ASefl Wiz,c^ JPCVVj» (dtfquelle s lespuijfanttsfint emmenfiefiant enratfondonble») Le redangle ^tc fira yÿ }<>, e eft a dire Y6> qm eft vn médial. THEOR. 44. PROP. XXVII.
x t . -
Vne figure mediale n’eft pas .plus grande qu vne figure nicdiale* d vne figure rationelle.
Soit la figure mediale AB qui excede le médial A C du redangle DB ; ie dis que DB n’eft pas figure rationelle.
Qui ! oc foit ainfi ; Sur vne propoféetàîionéîk EF foient faidslestedanglesEG & EH » égaux aux redangles Au ôc AC par la 4j. prop< j. tellement quc ;Hl fera égalÂDB ; partant iceux redangles EG,EH feront médiaux, lefquels eftans appli* H H ii ii
E »—fc—
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42.8 D I X I B S M B
quez fat là ranohèîîèËF» les autres collez FG & FH ùtdM lignes ràttoncllèï cbrri« menf. en puiftance feulement à ËF pat la aj.pro’b. 10. âMaintenant fi on dit que HI eft rationel i eftant appji • que fur la rationelle KH, l’autre cofté GH fera’ rarionel commenfurableenlongk. àKBpar làii. proj>. id. mais FH eft incom.en long. aKH, bu EF ; donc par la t^pî.iô. FH & GH feront inco.mm. en lôngit inaièobiiiqJe FHà. GH, ainfi le reét it ?gle de FH & GH ati quarré dé GH par ]*i. prop. 6. ( car il- ^ontÛG-meûàe haûteùr.) !ï%Hbf fiar la io. prop. io. le quarré de GH f’ft a’f.coiiitîi* au r‘e<$tan ’
I
V VT . &--V * ’ " — • JT z * r • * reide F|4 & G H, ehferpble feront c’oèàmehlùrables au feu ! quarté dé GH ; tnats iVelüy .quarté êft iricphpinepfurabîe. à açb^fois^e.Te’dfôngiç de FH & GH : ddnc par kn- prôp.rô. les deux quarrez de FH H Feront ènfeUildé idcoi^tnetifur. a deux fois le reélanglé de FH & GH. liîàisictuif deuxquarrfcz,- & deux fois le rè-ÆUngle de jfH& GHfont égaux au quarré de FG pair là.^.pV i.d’dnfc parlé I7.p.ib. lé ldnarre, de FG ferd incpmm. àtfxdetJx qdâmi d‘e FH & fe H éhfèmblé : îéfcpjèls elltâns ration aux, (car ils fd’ht faiéïs fiirlignes ràtiénélle^) leqiiârré dé FG féra irrationél, par la Voï ’<ÜÏ. 1Q. 4^pfecbrféqüeftt : la ligné f G frh^i’bbéîfé ; iCë qtii éft abiurde vcar nous auotis ^Vnftré quelle eMét’îbbeflér ddncié ré&Uî|le Hlou fbn.egâlt$Ln’ellaitpài ràrtbhel. Pérdbby vnV^^rè biédiitl ; ià’éft pasuius ’gràüde, $cc,XZe qulliaîîoit dênrbnftfer.• ’ ‘ ’... . •/... _ ; s çjiô-iiB.
fS/iit te vetîdngte. riwfUdl JlB V jby levêftahgf ’e ; le Ÿ£&dtfée fèfi«m*I>B/èr4 3K ?» ^uieîitneiÙL jpérec%èfJiBeflantjs$i»&"J#Cÿib’) le rejiaÏÏt P fi Jer*. V V i o, tjiiitiefl paf tdtimeU
< P R 6 B L. 4. P KO P. X X VIÏI.
Tfouuer deux mediares commenfurabfesen puiffance feulement, cbnl£reü3t ?t
Soient deu^Jignesration^lles cotnmènï/en puilfance féulchîënt A- 5c B, ( trooiiecs par le lemme qtïi précédé là ia.’pVop.de ce liure ) entre lefquelles (par laij, pfop.) foit trouüée lamoyenne prpponib> relie Çj puis (par fyu.prop. 6.) auxtrbis Â^Bi C, foit trouuée la qnatrlefme pibpQrtiQnelle D * fodis qfC| -C&.lp.lotit fês deUx’fene’dialei demandées. # . r : .
Car puis que Ç eft moyenne proport, entre 4 & B.» le rectangle de , A de B (lequel par la 11. p.io.éft médiat / ’(( ré“èg d I au cjjU a r r é’ çfe C pa r / cftlïgn
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ligne mediille p5th14.prbp.10. le dis en oulti quels ttôâtigle MÿtVnâ f icelles medialles C ôc D eft raùonel. Car d’autdnt que comtue A ef, ; B , ainfi C à D , ea pcrmuttant, comme A à C, ainfi B à D ; mais comme Aeftà C, ainfi C à B. Donc C fera auffi à B, comme B à D par la n. prop. j. parquoy B eft moyenne prop. entre C &i D, Ôc par la iy« prop. 6. le quatre d’iSelle B fera égal au re&anglc de C & D. Mais iceluy quarré de B, ligne ratiohelle* eftvationel .* dotick reôangle comprins de C & D eft aùffi rationél ; Nous auons donc trouué C & D mediales comm. en puiftance feületh&iït qui comprennent VU xe&angle rationel : Ce qu’il failloit fai ré.
S C ff Ù Z I B.
Soitj€iio ÈY-îi. hue la mjettiieprop. Cftrd V V140» & puis que comme .A* B% • aixficltVs DftràiY&6* ÔglespUijfatimdé V V2.40,est*VV86ffinttwimtnf.tarelles ■ lement efi rationel.
PRORL. f. PROF. XXIX.
’lïô’ütfét dèùxlighéS iftfcdiaks cohimeftfüïàbfes-en puiffanœ feulement, comprenant vn redàngle medial.
Soient trois lignes rationelles commenf. enpuiffànce feulement A, B, Cj trouuees comme ile fterrfeigné aulemme qui précédé laaa/pr. to. ôc par la 1$. prop.d.entfeÂBcBfoit trûuuee la moyenne ptoportionelle D : puis par lau, pr.^sfèitfait comme B â G» ainfiDà E ; le • dis que D&E font tes déuxmediates demandées. ; Car en premier liôü.ilefteuidènt que D eft mtdtaîe pat la n.prop. 10. d’autant que par la ly.pVopofit. C. ellepeUt kre&angle irrcutpnel de A & B :‘mais comme B à C, ainfi D à ’E, 6c B eft commenf. en puif- À D B C B fance feulement à C<aufîi par la to. pr.10. D fera commehf.en puiftance feulement à E : Et par la 24.prop. 10.p eftant mediale,E fera auffi mediale com-’ menf. en puiftance feulement àtX . ,
D’auantage, ie dis que le re&anglç d’icelîes deux medialesD & E eft auffi médial. Car puis que comme Bd C,ainfi D à E,enpermutant B fera à D comme C à E : mais B eftàD, ;çomme p à Ài partant comme D eft âA> ainfi C eft à E ; 6c par la 1^, prop.6. le.reBangle des exjtre^uesD ôc : Ë feraegafau reâatiglc. des rçipyennes Aôc C. .Mais le re&apgk de6c C» rfiuopneUes.commenftèu ptrftançe feolement, eft ^ediçi] par la aa/prop. 10. Donc par lecotoHairvdelai4.prop.10.lerefUhglede D, 6c E fera auffi medial. Parquoy nous auons trquùédeux lignes medialles commenf. eu puiftance feulement, comprenant vu fe&anglè medial. Ce quülfalloit faire. - . . * . V ■’ *
1
8
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4$Ô D IX t B S M e’
or Is chofis fiiuaùtts nous aurons befiin de ce problème ry* Trouuer deux nombres plans femblables.
Soient pris quatre nombres proportionnaux <*/€» B, C, D , c eft à dire que commet eft à B, ainfi C fista P. Mais Bp multiplions entr’eux fajfentB : Item C&*Dfi multiplions fajfent S. Donc EtyEfirent nm- 1res fimblabUs, puis quittent les cofle^proportionnaux* Or d’autant qu il a eftt demanftre es *8 *9. p. 9. que fi on multiplie vn nombre impair eu pair, param pair, eft produit vn nombre pair i mais vn impair»ft-on multiplie vn impair par vn impair : il appertpar quelle maniérépeuuent eftre tronnezjUuxplans femblables, tvn çr l’autre de/quelsfiitpair ou impair j ou vn fini pair, autre impair : f arfiles cofies pris fint nombres pairs » lesplanscFsceuxJbront aufiipairs % mais fi les nombres Cons impairs, les plans d’iceuxferont aufii impairs. Quefifes eoftezje tvn (ntt nombres impairs, mais de l’autre pairs, le plan de ceux-là fira impair,mais deceux-cftpair : semblablement lesplantfiront pairs,fi chacun avnroftémmbrepkir, tp* F autre impair, Crc-L E Ai M E l.
Trouuer deux nombres quarrez» tels que le compofé d’iceux foit aufli nombre quarté.
Soient trouuer^ par les chofes cy-dejfusdi&es deux plansfimblables ^€BO*C, chacun défi queis fist pair ou impair• Et £autant que par Us frop.qfi&vtmmkte pair on et» «fie vn pair, ou bien vn impair ctvn impair, U refie efi pair : eftant 0fié BP egaldcde%4B, U-refte w4Pfira pain (rtceluy I A.....E,., .J) ,••••’31 s/£D eflant diuife endeux également en £ : te dis que le nom- !" ******* I brefait de jîBen BD (quieft vn quarréparlai, prop. 9. ) auec ,*■***■**.* ■■ * le quarré dummhreE1 ?,fait vn quarré. Car puisque le nombre s/fP eft dittifien deux également en E, CP" à ieeluy eft adioufte DB j le nombre qui eft fait dejCBenBD, autclt quart i Junembre DE, fira égal au quarte du nombre EB,parle 6» theor» de ceux que nous auons demonftri à lat+.p.*). Sarqmy Us deux nombres quarrez^, finnoir celuy fait de en PB, cr celuy du nombre PB adttufttr^ enfemble feront vn quarré, fiauoir celuy qui fira produifl de SE, Se qui ejloitpropofé* •. COSjOlZJBt^B»
De ces chofes eft manifefte que quand AB ôc C font fembkblcj.eftrctrouuei en la mefme maniéré les deux nombres quarrez desnotnbres B£, ED, dcûqjîich icxccz, fçauoirie.nombrc fait de AB en BD» eft aufli quarré. . ’* Que fl les nombres AB &€ né font prias fcmbiables, l’vn 6c l’autre toutés fois pair» ou impair, feront trouuez enla tneunemaniere les deux quai rendes nombres BE, ED» defcjueisl’excez, fçauoirlc nombre fait de AB en DB n*eft quarré. Car s’il eftoit quarré, par la a.propoflr.9« tes nombres AB, BD» c ?eft 4dire AB 6c C, Ce• soient pknsfemblables.Ce qui eftabfiitde,puis qu’ilsont efté poféz diffemblablcs. S C H 011 E a.
Parquoy Fil faut trouuer deux nombres quartes, de/quels F*xeez,fijl aufii nombre quarte, mus prendrons comme cy.dejfus, deux plans JimblaÛesfvn ty l’autre de/quelsfiit pair, ou .impair, fiauoir */tB achèterons.comme il efi difl dis précédent lemmé, gne t-ilfaut trouuer deux quarrez*» defqutlsFexcezjnefist quatre, il faudra prendre deux mmres plans diJftmbUVes » <p- paraebmtr comme de fus» Ce qùm obtiendra plus futile* 4 H» ▼ ++*» > r - I ^ (Ri* * * M r ™ ^ ~ MW «* ( * ^ |A 6. CII.
B 4. D t.
U£ *4. F96.
PL ?
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Elément’ 5j !jï
tntnt» dmfaat vnnmlre quand endeuxmmbres, Fvn defqnthfoitquartés non : Comme itf m+o*n : ouq$en tû & (F*ainfides^autrts. ’
. z E M M B 2.
Trouuer deux nombres quarrez, telsque k compofé diccuv ne foie nombre quarré. #
Soient dieux nombres pUns jfitnblables M , Cfr’C- t ., H r ifV r r» n pairs, ou impairstesrfiitfait mefhtecetfirupionqu*au ’* * ’*'•* femme precedant’.teüement $ue ie quarté fait de ta muU
tiplscation des nombres femblables PB entr*eux, >
auee le quatre de DE» foit égal an quarré de BE : en après- de~ D&fiitçffeel viïité EF* D on c le quatre de D F fera moindre que le quarte’de BE » acaufide l’inégalité des cofie^ fe dis quele nombre compofé dtsnombtes qumei^âefqmlsl’vn eft fait de BenBDiÇrl’au* tre dé DP en-fiy, n’ejhpas quarré. Car fice compofee foit nombre quarré» ilfèvoitplusgrand,, eu égal,otent otndrtque le quatre deBF ? Soit premièrement plus grand* s il efi pofiible $ donc le eofie d’Ueluyfira plusgrand que leeefilBFi partant égal ,9» plusgrandque le nombreBÈ : (car il ne fira moindre , pourceau entre BE^BF ^nombres dsiferef» de tvnitê,ne tombe aucun milieUjiCylefkfilit cofi éjeroitmilieu entre iceux, s’il efioitpofeplusgrand aut B F,mais moindre que B B.) ’ si m dit qt(deffegal»tellement q»au.quarr.èdïBBtJeitqgalUnombye quarte cons• pofé dn quarré de^fB en BP» &* du quatre dtp F* puis q&auenefme quarte de *E,a eflé detnonflre au lemme precedent elIre égal le nombre fait de ^€BenBP » auec le quarré de DE%> aufii celuy fait de */CB en BP, autel e quarté dePF, fera égal auluylàfait de^ABen FD, auec.le quarré de DE. Oflantàonc le commun quarté fait àe^/ÎB mPB ,lerefhquarri de : DFjeta égal au refie quatre de DE’,impartant lecofié PF aufii égal au cofié PE’fiapkrtie ’ outoutïceqM efi.abfitrde. Donclecofiedu quarré compofé des-quavrea# dcfâims têm efi fait di ■ jtBen BP, &* t autre dePE en fiy, »V0 pas égal au nombre SSi Mais tin efi patplmgrand. fMs qnt le quatre de Bl fine grand c$jté^ejt pmgraiM aue uymrre ae^Jé mnmre eoswei p** utilement le compofédes quarrexjdefquels tvn efifaitde JÎBen Bp,&* tautre de DF’enfiy, (puis que ce compofé efipofiegal au quarré de tl) fer a plus grand quele quarré dé B E» Mais asopreeed. lemme le quarré de BEa efieylèmonfiré e&xl au nombre/ait Âe^CBenBD, auec le quatre de DE : oftantdencle commun nombre fait de ABen BP, refleralé quatre de DF, plût grand quele quarré de DE’, partant ie eofié DF plut grand quel* cofté DE, lapartieque ie>tout* Ce qui eft ah fur de. Donc le cefi êdu quarré compofé des qtsarrez^i. défi quoi s tvn efifaitde*éBe»BP, çr jautre de DE enfiy,n éffpas plus grand que lè cofté BF : mais ila tSiédemonttré quil néfipas aufii égal, ny moindre• Donc twluy quarté compofé ffofi pas pimgrand quels quarré de BBs. ; . < .
E P t .aufii fareflc H D fira doubit àu refie FDfar la 7-. prep/f^cp partant HP ; ofidiuifiéts* deux également en F* Parquoy parle 6. theor. deeeuxquemus auons dmonfirefut la 14. pop. p. le nombre fait de HB en.BP* arne le quarté de P F, fraegal au quarré de BF : * Mais a» mefme quarré de BF , efipofe’egal le nombre fait de jtB en BD-auec leqnarrê-r deDp. Donc le nombre faitde MBenBP, auee le quarré du nombre PF , eff égal acelqy» f*itt de ^ÎB.en. DB^am U.quam. de.DF, Qfiantfiw le cornmmquarrê de DF*.
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rttttrjU nttoln foittic HB <H (rlto fiit dt j{$ fü PS, pnh ÿlit les mut*
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qiufrréde BF<
Soitfinaltment,fifaireJe petite le nombre fait de jîB tït BP, auec le quarréde P F* moindre que* ‘ ^ -a .. — „ **-- -h
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Sort jrts^l double d’iceluy EG. Doncpuis que leUUt^fD efidoubïe du tout FPy^l’ofii jCl double de l’eftc EGj par lay. prop. 7. le refie Jfi fira*mfii double du refie G D ; £r par* tant ID eftdiuife’ tn deux également- en G. Parquoypar le G» thm. âewnfirjéfm laïq.pnq. ie nombre fait de ! Ben BP Huectequarré depG,efltgal4H quarréde BG» ’Mais auinefinc quarré de FG à efiépofiègal lenombre faitde.J€Bt»BP% mec le quarré de DP : .Peut 4e nombre’fait, de ’1B et* BPVânerie quatre de DGyCf&egalà cdt#fait de^AB’m BP, auecie’quarr’éde P F* Gfiant dope les fuarrezjde PGCf* P F, dtfqntls etluydt ;pG efi grand, nyigd.DonHt nombre produit -fie- b/ZB en -Bp, a^tciequarré de DF, quarré. Ce quiefioitpropofiéàdèmmfit’eY. ’ sàpoztp •* ;
» . * » «r.
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<v
fànt quelconque nombre quarré ed deux nombres non ’quarréxj Car ainfi le. quarré total ne fera çfynny a Tatttré d iceux nombres ejquèls il efi dhnje, en raifin de nombre quarré afiotn* 4reS»amê. ^ ’• ; ... ; :
ÎR©’6. PR.OP. XXX.
vneligtjequilu/lc
Soicpcopofecla rationele, AB, & foicnttrouuées(comme > tlca êfté enfeigné au ’i.Sch’olie de là ptfeeed. prop.^lrsdcûX .nombres quarrezCD, CE, Pexcez defquels DE ne foir quar-Ire : ’ puisjpàr le èorol. dé 1-a 6. prop. 10. foie crotiucc A F, au qùarré ae laquelle foit’ le qnartéde ,ABéottyme le dombre ’Çb eft ajtf nombïê Dj£ 5 ’8c après auôîr deîcVit Vn demy eeieie J fur AB , 6ft icéluy foit acbbmmodce îa’ligne droitcAF : ôc - — - • ■> ® ioinéfc BF. ’ledis cjue AB & AF font {es deux lignesrequifes. coftez
E t B M B H T.’ 4JJ
AB ée AF» rô moins en puifiànce :. mais AB eft rationneîe, de pât < !Enfeqùént aufii f ationelc AF qui luy eft commenfurable : mais les quarrez de AB& AF n’eftaus entr’eux comme nombre quarré à nombre quarté, parIa9*p ?. !0.teslignesAB& A F feront incommenfurabies en longitude ; eliesfcronc donc rationeies commenfurables en puifiànce feulement.
Maintenant veu que l’angle F au demy cercle eft droift par la ; i.pr.y. le quarré de AB fera égal aux deux quarrez de AF & FB, c’eftàdire que la ligne A B peut plus que la ligne A F dp quarré de FB, Et d’autant que comme CD eft à DE, ainfi le quarré de AB fera au quarré de AF, par conuerfion de raifon, comme le nombre quarré CD fera au nombre quarré CE, ainfi le quarré de AB fera au quant de FB ; ( car ; ainfi que CD excede DE du quarré de CE, ainfi auffi le quarré de AB furpafie lequarré de AF du quarré deFB.) Parquoy les lignes droifles AB, FBfont commenfurables en longitude par la 9.pr.io. Nous auons donc trouuédeux rationeies AB, AF commenfurables en puifiànce feulement, de ïaplus grande AB peut plus que AF du quarté de la ligne FB, qui luy eft commenfurable en longitude : Cq qu’il falloit taire.
s c H o L I E.
Z<t tathnele ^BfiitCt^pJbraifio ; O*fartant BFjèra 4, cetnmenfienlwgittide à prob. 7. PROP. XXXI.
Trouuer deux lignes rationeies commenf en puiflance feulements & que la pl us grande puifTe plus <pe la plus petite du quarré d Vne ligne qui luy foitmcommenfurable en longitude. Soit expofee la rationele AB, de fbicqj||rouuez ( comme il a efté enfeigné as lemme z. de la pr.19 .de ce )iure)deux nombres quarrez tels que ie compofé a iceux ne foit quarré^ oupluftoft foitdiuifè quelque nombre quarré CD, en deux non* ; bres non quarrez CE, ED, afin quële tout CD ne foit à Tvn ou à l’autre d’iceux CE, ED, comme nombre quarréà nombre quàtré puis fur AB foit deferit le demy cercle AFBy de par le corollaire de la 4. pr. 10. (bit trouuee la ligne droifle A F, au quarré de laquelle foit le quarré de AB » comme le nombre CD eft au nombre CE : & finalement icelle AF eftane accommodée au cercle foit menee B F. le disque AB de AF font les deux lignes demandées* ® • • * *
Car on prouuera tout ainfi qu’à la precedente, que AB & * AF font rationeies commenfurables en puifiànce feulement,(car leurs^uarres nd fo nt entr’eux comme nombre quarré à nombre quarré*,) & que AB peut plus que AF du quarréde BF. Et d’autant que comme CD eft à CE, ainfi 1e quarré de AB eft au quarréde AF ; par con uer fion de raifon comme CD fera à DFs»infi le quarréde AB fera au quarré de BF. Mais CD n’eft pas à DE comme nombre quarre a nombre quarré : donc auffi lequarré de AB ne fera pas au quarré de BF comme nombre quarré à nombre quarré. Parquoy les lignes droifles AB,BF, feront incommenfurabies en longitude, par la 9»prop. 10, Nous auons donc troua c deux Rationeies AB»AF commenfutables en puifiànce feulement» télks

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^54 D I X I B S M B ’
que la plus grande AB peut plus que’ AF, du quarré de ia ligne BF, qui luy eft lucommenfurable en longitude : Ce qu*il Faillit faire.. SCIfOZl£.
si I4 taùtntU */t£ eft }* sÆF fit* V& > €9* BF Ÿ3* PROB. 8. PROP. XXXIÏ ;
Trouuer deux mediales commenfurables en pullTance feule* ment , comprenant vn re&angle rationel j ôc que la plus grande puifTe plus que la plus petite du quarré a vue ligne qui luy foit commenfurable en longitude ;
Soient trouuées par la 30. prop* de ce liure deux lignes ratio» A’ -—• ii cies A & B commenfurables en puifiance feulement, fit que la C ——plus grande A puiflc plus que la plus petite B du quarré d’vnc lu B —
Ëne qui luy foit commenfurable en longitude : Item parla ij pr.é. D—— ^ >it trouuee C moyenne proportionnele entre A fie B » Ôc finalement parlau. prop. 6. aux crois lignes A» B, C, (bit trouueeIa.4. propoctionclèD." le dis que C fie D font les deux lignes demafidees.-Car puisque A & B font rationeles commenfurables en puiflance feulement, par la zi. pr.10. le reâangle «ficelles A ôc B fera irratione ! *, fie la ligne C pou* liant iceluy parla 17« prop. 6. (car elle eft moyenne prop. entre AfirBJ fera mediale
puifiance feulement à B * aufii C fera commenfurable en puifiance feulement à D, par la 10. proposition 10. Mais puis que C eftmediaîe, pat la a^propofition 10. D fera aufii mediale. Et d’autant que comme A eft àB, ainfi C à D : en perxnutapt comme A fera à C, ainfi B.fera à D : mais par la conftruâion comme A eftà C,ainfi C eft à B :pareillemcntdonc comme C fera à-B, ainfi B fera à Départant le rcdanglè de Côc D fera égal au quarré deB, par la 17. prop. 6, ôc puis que le. quarré de la-rationeie B eft rationel ,1e re&angle compris (ous C fie D, qui luy eft. égal,fera aufii tationel. Et veu que comme A eft àfi,ainfiC âDj fie peut plus que-B du quarré d’vne ligne qui luy eft commenfur. en longitude, aufii par la 1/. pr.io*. Gpourra plus que D du quarré d’vne lignequi luy fera commenfur. enlongitude. Nous auons donc trouuédeux mediales C fie D,commenf. en puifiance feulement, comprenant vnre&angle rationel, C pouuanr plus que D du quarré d vne ligne qoi luy eft commenf. en longitude : Ce quil falloit faire ;, Que fi on vouîoit que C pûft plus que D duquarré d’vnc ligne qui liiy fuft incom inenf. en longitude, il ne faudroit que ttoiiuer AficB».telles qu’elles font requifes^ -parla precedente prop. au lieu que. cydeflus elles ont .efté trouuées par la30.pr.10*. ÔC acheucr le tout commedeflus.
SC H OL I È :
Seitytâ, B lerettangle à’Utilesfia Y179i, C ?* A*ligne C VV179 * » quiefttnedU* le. Et puis fie comme ^/îZ , eft à B VzS, atnft C W *791 eftà D, tctUe fira W^^idonâ Co“ D fint dêttx mediales comm, enpwjjancefeulement, lefiueües contiennent vn rat terni pt Uplus grande C p etit pim fie Umtmdrep, dW ligne fit k*j/ eft wnmnfin lengUnde*.
3ËÏ.BMBHTÎ 5ÏÎ
carfi j# q«4rrjd*ieeUc C»m efie U quarré de D, refiera i$67, firent eommënfi en longit. les deux médiates ŸV179* €rVV5$7* Car elles fint comme 443. Derecheffiit A8» €st* B Vzo : lereflangle ficelles fiatf n$oterlaligneCŸŸ izïo* emportant D firaYi iz$% donc CcrDfint médiates cemprenantvn rationel.zo, o*C peut fins que j)dtt quatre à’vne ligne qui h*J eft momntcnf. en longitude»
PROB. 9. PROP. XXXIII.
Trouuer deux mecüales commenfurables en puif&nce feulement* comprenant vn re&angle médial > & que la plus grande puiflc plus que la plus petite du quarré d vne ligne qui luy foit commenfurable en longitude»
Soientt rouuées trois lignes rationneks commenf. en puif- A fance feulement, A , B,C» & que Apuifle plus que G du D 1 1 quarré d’vne ligne qui luy foit commenf» enlongitude ; ( cç B — qu’on obtiendra trouuant premièrement par la 30.1p. 10. ks Ç ———^ deux rationelles A Sc C commenfurables en puiftance feule- E—
ment, & que A puifte plus que C du quarré dVne ligne qui luy foit commcnfurable en longitude : puis à C & À (bit trouuée B commepf. en puiftance feulement» par ce qui eft enfeigné au lemmequiptecedc la zi. p.ib,) Item par la 13. p. 6. foit .trouti^e D moyenne prôp. entre A Sc B ; puis par la u. p. 6. foit fai&eomme D à B, ainfi C àE.le dis que D ée.E font les deux lignes demandées. Car puis que D eft moycne prop. entre A &B, par la’17. p fi. «Ile peut le re&angîe d’icellcs A le B, qui eft irrationel, & par confequent Dieu : mediale par la 21. p. 10. Mais d autant que comme Ûà B,ou AàD, ainfi C à E, en permutant comme A fera à C, ainfi D fera à E.Mais A ce C font commenf. en puiflàncefculcment :donc aufii D &E :&p.u la 24.p. 10.D eftant mediale,E le fera aufsi. Et derechef puis que conW me D à B ainfi C à E, parlait, p. é.le rcftangledes extrêmes DSc E‘t fera égal au reâangledesmoyennesB&C.Maisparla zz. p.ro.lereétangle deB& C ration* ueles commenf. en puiftance feulement eft medial.Donc parle corol.de ia 24. p. 10. kre&anglcde D& E fera aufii medial. Finalement, puis que comme A à C, ainfi D d E} & A peut plus que C du quarré d’vne ligne qui luy efteommenf. en longitude par la îj.p 10. D pourra aufsi ptusqueE du quarré d’vne ligne qui luy fera com* menfttrabic en longitude. Nous auons donc trouué fkûxwediales D Si E com* menfurablesen puiftance feulement, ,&c. Ce qu’il,fiftloit faire. Que fi on ttouue A,B, C,tationeles commenf.cn puiftance feulement, tellement que B puifte plus que C du quarré d’vne ligne qui luy foit -incotnm.cn longitude, de on acheuede conftruite comme deftiisjondemonftrer&femhlablementqoeD &£ font mediales commenfutablesen puiftance feulement, comprenantVnreftangle médial, &,que la plus grande D, peut plus que E du quarré d’vne lsgne qui luy eft incoinraenf, en longitude.
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SCffOlIB.
Bott ^€0, bV 4$,cr* CŸz8 : iereftangle mnfiris deA 0* B fia donc*/ 3072, <&*lu ligne dmiïe D YY 3071, mi eft mediaUftr^feflatftk C» comme V à B> icelle fia YV jS$. pw Et fininitdiaîes etmmenfiaUes p ? pùijfancefeulement,comprenant vnmedial,ey la h» */
4)6 D ix IBS ME
plus grande D peut plus que la moindre B duquarrê d !vne ligne] quiluy efteommbi/uralti’ en longitude. Car fi du quarréd‘icelle Dt on oSle le qttarré de E% le refie Jèrd V 9 7 *> qui eîl commenfuraik en longitude à icelle D W307A. Derechef Ji*4efi S, jjy 48, cr CV^CJ, D (ira encore VV307 z, mais B fera VV500. D &* Bfont deux mediales commenfitrables en puiffance paiement, qui contiennentvn médial, tr la plus grande Dt peut plus que ht moindre Ef du quarré dvne ligne quiluy efi incommenfùralle en longitude.. PROB. 10. PROP. XXXIV.
Trouuer deux lignes droides incommeniurables en puifiànce, qui ffteent le compoie de leurs quarrez rationel e mais le rectangle contenu d’icelles, mediaL
Soient deux lignes rationeles commenfura*»
bles en pui(Tance feulement AB & BC, &quc
la plus grande ABpuifieplusque la pluspe*
tire BO du quarré a vne ligne qui lôy foitin-
commenfurable en longitude, trouuée com*
me il à efié enfeigné en la 51, prop. to. &après
auoir couppé en deux également CBaupoinâD, foit appliqué vn rc&anglc fut-BA égal auquarté de BD défaillant d’vne figure quarrée par la28,p. 6. & foiticc» luyre&angie compris de AE&EB» Ôc après auoir fait vn demy cercle fur la ligne AB, & mené la perpendiculaire EF, foient menées BF & FA le dis qu’icelles» lignes font les requifes :
Carpuisque ÂBdeBC font inégalés,ôcquelapîüs grande AB peutpIiis quela moindre BC du quarré d’vne ligne qui luy eft incommenfurable en longitude,# ; que le re&angle de AE, EB appliqué fur AB, Si défaillant d’vrte figure quarrée, elf «gai au quart du quarré de BC,( cefi à dire au quarré de DB ; car nous auons de* monftré au icholiedela4. p. z. que lequarré de BC eft quadruple du quarré de BD) les deux lignes AE&EB feront incommenf. enlongitude par la 19. p. 10 Mais, par lefcholiedelaij.p.ô.EF eft moyenne proport. entre icelles A E, EB ; & partant comme il a efté demonftré à là 11. p« 10. elle fera incommenf : en puifiànce à EA.. Mais comme FE à E A,ainfi BF à FA parla 4, p. 6. (eut iceux triangles font equian* gles par la 8. p. 6. ) donc puisque FE.EA font incommenf. en pumance ,‘par la 10. p. 10. BF & F A feront auffi incômenf en puifiànce. Item le quarré de AB, eft égal auxdeuxdeBF&FA par la 47.p i.lequel quarré deBAeft ratione !» eftant la ligne AB rationele, partant le compofé des quarrez de BF Ôc FA» fera auffi rationel. Et d’autant que par l’hypothefe lere&angle de AE,EB, eft égal au quatre de BD, Ôc qu’ileftauffi égal au quarré de ia moyenne prop. EF, pariai7.prop. 6. lequarré de EF fera égal au quarré-deBD : partant laligneEEaftegal© à BD : de parla 16. p.d, le rciUngte de BF ôc F A fera égal au re&angledc BA de EFyou BD. fon égalé. "(car par la8.&4.prop :<6.ABeft àBF comme FAàEF.j Or par laupr. 6. le reûangleae AB ôc DCeft double dure&angle de AB& BD ; f cas la bafe BC eft double delà bafe BD. J Mais lereôangledeAB&BCeft medial par Jazz. prop. 10. donc auffi fa moitié reéfcangle deAB de BD : & par confequent médiat fon égal re&àtigie de BF de FA . Nous anons donc.trouuéles deux ligues AF» FB, incommenfu* • *
EiBMBVT. 437
éabïesen puiffant % quî font le compofé de leurs quarrez ffttionel, maisle reftangle compris d’iccllcs , medial ; ce qu’il falloir faire ; SCHOLIS.
compris d*icelles> fçauoir efi V io&, efi- medial, PROB. ir. PROP. XXXV.
Trouuer deux lignes droiâes incommensurables en puiffance* qui faeentle compofé de leurs quarrez medial : mais quelles* comprenait vn reâangle rationel-
Soient deux mediales commenf.en pniflance feulement (voyezjafgure précédente y - AB & ?BC, comprenant vn reftangle rationel,& queABpuiflè plus que BCdu quarté d’vne ligne qui luy foit incommvnrurable en longitude, trouuées comme il a* eftcenfetgnéenlàjt. p : 10. & foie acheuée là conftruftion comme en la precc* dente. le dis que BF & F A’ font les deux lignes demandée*. Car nous demonftrerons’ ainfi qu’en la precedenre prop. qu’icelle* BF Sc F À fontincommenf.cn puifiànce : & que le quarré deB A efi medial, eftant defcritfur vne ligne mediale,& égal aux deux de BF& FA par la 47. p. 1. Panant le compofé* des deuxquarrezde BF &FA eft medial. Et dautant que le reftangle dc^VB, BC (comme il a efié demonftré en la preced. prop. ) efi double du reftanglede AB, BD ; 8c qu’il efi rationnel parla Conftruftion, aufii ieeluy reftangle de AB, BD fera rationel. Mais il a efié demonftré en la precedente qu’il efi egalau reftangle de BF &FA : & par confequent ieeluy efi aufii rationel. Nous auons donc trouuédeux lignes A F & BF incommenfurabies en puifiànce, qui font le compofé de leurs quarrez, medial, mais le reftangle compris d’icelles rationel ; ce quil falloit faire.. SCHOLIS.
siABefii^.e^O^BCiV 4% :BDou£F ;/ ?»’4VVy,€^.ytfFV(Vi08“t-Vÿx)> matsBS efiV (Vio8-rV 71) : kt partanticelles A*» BFfontincommenfùraÙes en putfiance3çp~ le corn* f»ftde leursfnarrez.> fçauoir efi tntdial ; maille reliante compris e ?icelles, fça» Hoir eft ï/jôic’eft a dire 6, eJtratictyeL
PROB ; 1*. PROP, XXXVI-
Trouuer deux lignes droites incommenfurabies en puiflànce* qui fàcent le compofë de leurs quarrez medial,& auffi le rectangle d icelles medial, & incommenfurable au compofé de leurs quarrez ;. ,
Soient deux mediales commenfurables en puifiànce feulement AB & BC» com*.’ B*® ??** ! vn reftangle medial, 8c que laplus grande ABpuifte plus que la plus pe* ’ ïliiij,
Jjfjg PïXlE $ M 5
cite BC du quarré d’vne ligne qui luy Toit m
commenf. en longitude, trouuées comme nous
auons enfeigné.à la fin de la 33. prop. 10. &
après auoir acheuéla conftru&ion comme en la
34. p. 10* le dis que BF & FA font les lignes
demandées.
Car premièrement elles font incommenfùrables en puifiance * comme’en la demonftration de la 34.P.10. ôc le quarré de B A eftant medial,comme en la prccedente, le compofédes quarrez de BF & FA fera aufli medialt Item le re&angle de AB Ôc BC eftant medial par l’hypotfcefe, le re&angle de AB, Ôc BD (ou EF fon égalé) qui eft fa moitié,Tera aufli medial par le corollaire de la 24.p,io. Ôc par confequentmcdial le re&angle deJF &,FA qui luy eft égal, comme iia efté demonftri en la 34. prop. 10. Et d’autant que par l’hypothefc AB eft incommenfurable en -longitude à-BC.&qu-iicellc BC eft commenfurable en longitude fa moitié BD, par Fa ij.p. 10.BD fera aufli incommenfurable. eu longitude à AB,& par las. prop. 6. le. quarré de A® fera su re&angle de AB ôc BD (d’autant.qu’ils font tous deux de là Hauteur de AB) comme AS â Bp, c’eft à jdire incommenfurable, par la 10. prop 10. ôc par confequent le re&angle deBF ôc FA égal au re&angle de AB &ÉD, fera incqraenfurable au quarré de BA, c’eft à dire âucompofê des quarrez de BF BeFAiNous auons donc trouué deux lignes droites AF, BF incommenfùrables en puifiance, faifant le compofé de leurs quarrez medial, ôc le reâangle ; contenu Tous icelles, medial Ôc incommenfurable ati,çompofé d’iceux quarrez : ce qu’il fab |oit faire
s c B <ri ! e. ’
siotBefilf & BCŸ’V BD oufinegalsEpfira’Vf^O* ,/TF V(*/48-+^24)* çyBF’ÿ (^48—7/24) ; Parquoy icelles ^tF » BF fint incemmmfarables en puifiance» ç ?* fe compofe de leurs qnarre^>fiamir efi V lÿi» efi medial incommenf. h y 14* teBangle media} fompris d’icelles JÎF» BP.
Or de ce problème efimantfefte iefui Haut.
Trouuer deux mediales incommenfùrables en longitude Bc puifiance. Car puis que tant le eompofê des quarrez^ des lignes iAF>BF* que le reBangU compris d’tcelles , efi medial, CS* qu’iceluy reBangU efi incommenfi a cé compofe, aufii les lignes feu» isans iceluy compofe, qr eeftangle » firent pareillement mediales incommenf. tant en longitude que p uifiance. _Car fi elles etteienf commenf, en puifiance, aufii Us quarrég, d’icews# cefi a dire le compofédes quarrez^ des lignes, y ? F, BF,gr le refit anglefom icelles ^€F, PB* flroient commenf. ce qui n*efi pas. Parquoy fi on prend pognant (e compte des fignes AF» FBi es* vne autre ligne ponmntlt refUangù a’icelles AïF, PB» iefià dire me moyenne proportionnelle rntji JÏF » PB» fixons tiwmu deux mediales womimnfiitdhfa en Ungit^ qp* puifiance. ’ ~
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0m i n * ■’ » > M. ■■■—.■■■■ww^> n i .»■ i ■^■■■»—i /CT COMMENC ENT LES SIXAJNES
des lignes rationnelles par compoftion.
THEOR. m- PROP. XXXVII. Six. I.
Si deux lignes rationelles eommenfurables en puiffance feulement font comgofées, la toute fera irrationnelle : & foit icelle appellée Binôme.
Soient compofées deux lignes rationelles
commenf. en puiftànce feulement AB&BG,. A fi G‘ trouuées par le iemme qui précédé la tu-
prop. 10 le. dis que !$ toute A C eft irrationnelle ; Car par la i.ptop.6yle re&angle de AB & BC eftau quarré de BG, comme AB BC ;mais AB, BCiôm incommenf en longit ; parl’hypothefe. Donc parla to.pr. 10. le re&angle de AB ,BG feraincommenf : auquatré de BC : & partant par la* J4.prop. 10. deux fois le re&auglede AB & BC fcraincommenf au quarré de BC. Mais d’autant que les lignesAB & BC font rationnelles commenf. en’pu iflancc feulement» leurs quarrez feront eommenfurables entr’eux, & le compofé de tour deuxfera commenfurableau feuldeBC, par lai6> prop. 10. & partaant*par la 14. prop.io. les deux quarrez d’icelles AB & BG feront incommenf. à deux fdfslerex ôangle de AB /V BC, & par la 17. prop, 10. le compofé de deux fois lere&aàgle ôc «les deux quarrez, c’eft à dire le quarré de la toute AC (car par la 4. prop. a.ce quariécft égal aux quarre&de AB, BC, 6c deux fois le re&angle d’icelles AB, BC) eft incommenf. aux deux quarrez de AB &BC,lefquelseftans rationnaux » de la : çompolé d’iceux-rationnel, le quarré de AC qui Iny eftincomraenfurable fera irra* tionei,parlaio.de£io ;&pai>confequent la ligne ACirrationelle : or icelle fera appellee binôme, pour ce qu’elle eft compofée de deux noms, c’eft a dire de deux* lignesrationelles AB, BC, eommenfurables en puiflance feulement. Si donc deux ligues rationelles eommenfurables en puiftanccfeulement, 6ic» Ce qu’il faiHeiiu demonllter.
JT C H O L / F.
SokA’èl» PCV»j : Utsuttyj/fC fra a*+- V3 » O" fin qttar’é ejt 7■+-’^48". Or il appert dé et que dejfus , que de deiex lignes rat/«nettes commenf. en puijftnce Jetdement, fontpren-eées deux Urnes in admettes. Caria ligne moyenneprop ! entre scelles rationelles «Jt mationelleparla 11. prof, dé ce liure y laquelle efappellee mediate* • Et la compojèe <iV« telles, par la 37. prop. ï o. «JivnewMtienelle* qmeftditedsmmeo -THEOR. u. TROP. XXXVIII.
es mediales commen&rables est p feule ?
ment , comprenant, yn reâangle rationel tonccompofées ? . * ’ ‘ * j *■ ’■*’». * ,
. #.« ~ . vu-Tj»t(n -, m r *. çfr’.’tft- : “ïj Si deux lign
Î4® .. - DxxiE^I
la toute fera krationelle : & (bit icelle appellee bimedialfe première.
Soient compofées deux mediaies AB Se ^ .. B C
comprenant vn redangle rationel trou u ces, par la 28. prop. xo. le dis que la toute AC eftirraetonélle. Car puis que parlai, prop. 6. comme AB eftà BC, ainfi fe redangle compris fous AB, BC eft au quarré de BCs & que AB, BC (ont incommcnfurablcs en longitude ; par la 10. prop.de.ee liure,iceluy-rcdangle de AB,BC fera auffi incommenfu--rable au quarré de Â.B. Mais le redangle de AB, B C eft commenfurable àdeux fois iceluy :&au quarré de ftC eft commenfle compofé des quarrez d’ice lies A B, BC (car puifque AB,BC foatt&mmenfurabtes en puiftànce, leurs quarrez feront cotq* nrenfur. 8e par tau. le compofé dfaeux quarrez fera aufti commenfurable au quar~ ré de BC par la lé-prop.io. ) Donc Iç compofé des deux quarrez de AB, BCfeia incommenfurable à deux fois le re&ahgle.compris d’icelles lignes AB,3Cpatia 14. prop. 10..Parquoy leeompufé d’iceux deux quarrez de redangles, c’eft i dire le ièulquarré de AC,qui leur eftegal par la 4.prop.2. fera auffimcommenfurableà deux fois le redangle de AB, BC par la 17. prop. 10. Mats à de’ix fois iceluy redan* gle de AB, BC eft commenfurable vn feul redangle d’icefles Ab, BC : donc par la aj. prop. to. le quarré de AC fera incommenfurable au redangle compris fous AB, ,BC ;& iceluy redangle eftant rationel par Ihy pot hefe, iceluy quarréde AC fera Irrationel par la 10’def. 10. Se pource ia ligne AC fera aufti irrationélle par la ix. .def. 10. Et icelle ligne foit appellée bimediale première. Si donc deux lignes diailes^omm. en puiftance feulement, &c. Ce qu’il falloit demonftrer* s C H 0 L 1 E.
SüitytniiM » O* SCVVh : la tonte >/€CJera donc V^54 î Wt4i iwatiomUt vommee bimediale première.
THEOR. 17- PROP. XXXI3|.
Si deux mediaies commenlùrables en puiflànce feulement, comprenant vn re&angle médial font compofees, la route fera irrationelle :
Soient compofées les deux mediaies AB 8c BC com jnenf. en puiflànce feulement, comprenant vn redangle me dial, trouuces par la 2^ .prop. 10. le dis quela Æ. a a I ft
«4M
^ w _ w
soute AC eft trrationelle. f
Car foit vne ligne rationelle propofee DE» fur la* quelle foie appliqué le redangle DP egal.au quarré de AC, Se le re&angle DG égal au compofé. des quarrez dcAB 8e BC parla 4 j.tprOp. 1. £1 d autant que par la Ë ^ 4. prop, 2« le quarré dé AC.cVft à direle redangle ©F, eft égal aux deuxquar* rez dé AB, BC auec deux fois le redangle d’icel les AB, BC ; le redangle HE lira égal À deux fois le redangle de A# » BC 2 Si puis que par l’hyp offre fe lerc-
-r» I I >l *— »- r^* J
EtEMBNT. 441
Sangle dcAB, B C, eft medial, par le coroll. de la 24^ prop. io. le double reâangle de AB,BC, qui luy eft commenfurable, c’eft à dire le reftangle HF, fera aufti medial. Derechef,puis que les quarrez des mediales AB, B C font commenf. le conipofé d’iceux, c’eft : â fçauoir le reftangle DG, fera aufti commenfurable àvn chacun d’iceux par la 16. prop. 10. Mais chacun d’iceux quarrez des mediales AB, BC, eft medial ; Donc par le coroll. de la 24. prop. 10. le reftangle D G fera aulïï medial : Ainfi les deux reftangles DG 8c HF eftans médiaux,& appliquez fur la rationelle DE, (car GHeltegale à la rationelle DE,) leursautrescoftez EG 8c FÇ ferontrationaux commenfurables en puiftànc ? feulement à D H, par 1a 2 ;. pr.io. Maintenant le rectangle de AB& BC eft au quarré de BCcommeABefta BC, parla i. prop. <5. c’eft à dire incommenlurable par la io. prop. 10. ôc partant le double dis reftangle de A B ôc BC fera aufli incommenf.au quarré deBC ; ôc les deux quarrez de AB ôc BC eftans commenfurables entr’eux,les deux enfemble feront commenfurables au feul dc BC, par la 16. prop. 10. & par la 14. prop 10. les deux quarrez de AB ôc BC feront incommenfurabies à deux fois le reftangle de AB ôc BC ; ôc par confequent aufti leurs égaux reftaogles DG Ôc HF : ôc par la i.p.£.&io.p.io.EG &FG lignes rationelles feront incommenfurabies en longitude : elles feront donc commenfurables en puiffance feulement i ( car autrement elles ne feroient rationelles iî elles eftoient incommenfurabies,) ôc par la 37. p. 10. la toute compofee EF fera irrationelie : ôc le reftangle D r fera irratione ! ; car s’il eftoit rationel la ligne DE eftant rationelle, il faudroir par la 21. prop. 10. que, l’autre cofté EF fut aufli rationel, ce qui n’eft pas :DF eft donc irrationel ; & partant aufli irrationel fon égal quatré de AC} Ôc par confequent la ligne AC irratio* nel !c,qui fera appellee bimediale fécondé. Si donc deux mediales commenfurables en puiffauce feulement, &c. Ce qu’il falloit deraonftrer. ÇO^OL
il eft manifefie paf cecy y«e le re&angle compris d’vne ligne rationelle (y d’une irratio» nettet efi aufii irrationel. Car il a efiè aemonfre c[He le reftangle D F compris delà rationelle DEt&* irrationelie E F, ne petit efire rationel. S C H 0 L 1 E.
Soit W18, SC yVB : la tonte j£c fera VV18+yy8, qui efi irrationelie} appelles bimediale féconde.
THEOR. i8. PROP. XL.
’ -1
Si on adioufte enfemble deux lignes droites incommenfurabies en puifl&nce, comprenant vn re&angle medial, mais le compôle de leurs quarrez foie rationel > la toute lèra irrationelie : & foie icelle appellee ligne majeure.
Soient aflèmblees les deux lignes AB ôc BC incom- ’ ^ O menfur. en puiftance.comprenant vn reftangle medial, &le compofé de leurs quarrez rationel, trouuees par la 54. prop. xo. Ie disquo la toute AC eft irrationelie. • lilCk
i- r,-..-*
r442, DiXïESME
Car d*autant que le reéhngle compris fous AB Bc BC eft pofé media), deux fois le mefme re&angie fera auffi medial par le corollaire de la 24. prop. 10. & partant irrationel. Mais par Thypothefe le compofé des quarrez de AB 8c BC eft rationel : partanr incommenfurable à deux rois le re&angle de AB Bc BC par la îo.def 10. Et par la 17. propao.ie compofé des deux re&anglcs, & des deux quarrez (qui eft le quarré de AC par la .4. prop. 2 )fera incommenf.au compofé des deux quarrez de AB Bc BC, qui eftrarionel t partantle quarré de AC fera irrationel, & fon cofté AC auffi irrationel : lequel fera appellé ligne Majeure. Parquoy fi on adioufte deux lignes droites incommenfutables, &c. Ce qu’il falloit demonftrer.
S C H O L J S.
soit(tâ+l/n6)iCr BCŸ(i&—Vu6) ;U toute ^€C fera donc V(i8-*yn6) H-y (i$—V116 ) t Qui efi ’m attonde nommee ligné majeure’* THEOR. 2.9. PROP. XLL
Si deux lignes droites incommenlurables en puiffance* comprenant vn re&angle rationel > ôc le compofé de leurs quarrez medial, font affemblees» la toute fera irrationelle : ôc foit icelle appellee ligne pouuaftt vn rationel, ôc vn medial. Soient compofées les deuxjignes AB 8c BC, telles que demande la propof. Bcqu’enfeigne à trouuer Ia3r.pr0p.de ce liure. le dis A r que la toute AC eft irrationelle. . g
Car puis que le compofé des quarrez de AB & BC eft medial, & leur re&angle rationeli deux foisiceluy re&angle fera auffi rationel, Bc incommenfurable au compofé des quarrezde AB Bc B C, lequel eftant medial, par la 17. prop. 10. le compofé des deux quarrez, Bc des deux reâangles, fçauoir le quarré de AC par la 4. prop, 2. fera incommenf. à deux fois le teâangle de AB Bc BC, lequel eft rationel .* Ainfi par la 10. def. 10. le quarré de AC fera irrationel : Bc par confequent la ligne A C auffi irrationelle .* laquelle fera appellee ligne pouuantvn rationel Bc vn medial. Parquoy fi deux lignes droides incommenfurablesenpurffiince, &c. Ce quil falloit prouuer. SCHOLIS.
soit <AbY {V108 “*-^72), o* BCi fVio8—V72) ; L* toute *4 c fira donc V [V1 o 8 •+• V72) ■+• ^(yi 0 S—Vy 1) *
THEOR. p. PROP. XLIL
Si deux lignes droites incommenférables en puifiànce, comprenant vn redhtngle medial, incommenlurableau compofé de leurs quarrez auffi medial, font compofées j la toute fera irrationnelle : Soit icelle appellee üsme pouuant deux médiaux «0
J
EtSMEKT. 445
Soient compofécs les deux lignes AB & BC, telles que demande la prop» 6c qu’enfeigae à trouuer la $6*prop. 10. le dis que la à ^ toute AC eft irtationeile. A 1 0
Soit expofee la rationnelle DE» fur laquelle foit - n» — faite mefme conftru&ion qu’en la 59. prop. 10. fçauoirquele re&angle DF foit égal au quatré de AC : DG aux deux quarrez de AB &BC» lequel fera me* dial» comme le compofé d’iceux quarrez » & incommenf. au reéfcangle H F, égal à deux fois le re&angle w (j. — jp de A B 6c B C , aufii medial » ainfi qu’il a efté demonfiréen la 39.prop. 10. 6c parlai.prop. 6. 6c 10. prop. io.EG6c GF feront auffi incommenfuraoles en longitude. Mais les deux re&angles DG 6c H F eftans médiaux» & appliquez fur la rationelle DE, feront les deux autres coftez EG 6c FG rarionnaux par la 13. prop. 10. Ainfi EG&FG feront rationelles commenf* en puiftance feulement, 6c parla 37. prop. 10. la toute EF fera irrationelle. Mais DE efiant rationelle, le re&apgle DF fera irrationel par le coroli. de la 39. pr. 10. Partant la ligne qui peut iceluy re&angle, fçauoir A C fera irrationelle : laquelle on appellera ligne pouuant deux médiaux. Si doue deux lignesdroi&es incom*} menfurables en puiftance, &c. Ce qu ilfalloit demonfirer. s C H o L t E.
SoitABififi+y 14)0* ÆCV(V48—y 14).Donc la touteAC fercti -t-y (V48—7/44).
LE MM E U
Si vne ligne droite efi couppee en deux inégalement en vn poin&, 6c derechef en deux ihegalementen vn autre poinâ, 8c què les parties de l’vne. des diuifions foient inégalés aux parties de l’autre diuifion, chacune à la fienne t les quatrez des deux parties de la plus inégalé diuifion feront enfemble plus grands que les quar~ rez des parties de la moins inégale.
soit la ligpe draifie AC diuifee inégalement - i.— en B encores inégalement en E, 0 les premières A E D U C parties ABt B C foient plus inégalés que les pofie- * riettres CEAEi ( c’eft a dire que AE fott plus grande que BC») te dis que les quarrez.de AB 0* BC » font plus grands enfemble me ceux ae AE 0* E C enfemble, Carfi AC efi couppee en deux également en D damant que AB,0 BCfont plus inégalés que C E,AE,0 que AE efi plus grande que BC»il appert que ED fera plus petite que BD : or par la J. p, z. lereflangle deAB 0* BC»auec le quarre de B Dtefl égal an quarré de D C : ttem le refiangle de AE 0 EC,auec le quarré d ? D Eté fi aufii égal an qttairêâe DC : partant le refiangle de AE 0 EC anec le qnarre de b E, efi égal an r efi angle de AB 0 BC% auec le qnarri de BP. Et en oftant les quarrez. inégaux des lignes inégalés DE» BD> le refiangle de AE 0 E C demeurera plus grand que le reflangtede AB 0 BC : 0 partant fon double fira aufii plus grand que le double du refiangle de AB0 i3 C. Maintenant les deux quarrez, de AB0 BC,auec deuxfois le refiangle de AB 0 BC, font égaux au quarré de AC par la 4’ t1 Î ! auquelfhnt aufii égaux les deux quarrezje AE 0 Ec, & deux fois le refiangle Kk ij
r444 Dxxïesmb
’de j€E o* EC :&*pareonpquentles cmpofezjles quarré^ 49* r eft anglesput egatix entr eux : in 4) s les deux redangles Àe^/tE O* EC%*nt efîé demonjhréjç, plus grands qm les deux de Jt8 Cy BC : partant les deux qttarrez^de *AB €y BCjèront plus grands que les deux quarrexfte iSfB ÇyEC : Ce qui eft oit propofe,
LE M ME 2.
Vne figure rationelle excede vne figure rationelle, d’vne figure rationelle. Soient les deux ftgures rationelles E
49* J€ D y eftant ^ B plus grande que
de CE : Je dis que CE eft j/gare . ~
rationelle»
Car ji E (y iAD eftans rationelles,
eUes ftront aufti commenf. çy par la 16.
prop. io. ^j/£ D 49* C E firent comme no¬
tables entr’ellcs » <ÿ- par confèment ratio• pelles.
THEOR. 3i. PROP. XLIII.
La ligne binôme ne peut eftre diuifee en lès noms > qu en vn poind : feulement.
Soit le binôme AB diuifé en’ les noms au poind C : tellement que À C, CB foient rationelles commenfurables en puifiance feule* ment,comme veut îa 37.prop. le disqu’on ne peut diuifer AB en fcs noms en vn autre poind, fçauoir efi ; a” » « 5 que les lignes foient rationeles commenf. en puifiance feulement.
Car s’Hfè peut faire, foit diuifee derechef AB en lès noms au poind D. Or i ! appert queÂB n’eftcouppee endeux également és poinds C & D. Car A C & CB,ouAD & : DB, feroient commenf. en longitude contre l’hypothelè ; il faut donc queAB foit couppée inegaliemçnt efàits poind C 3e D i Ôc que les parties AD& DB foient inegaiies aux parties AÇ & CB,chacune à la fienne ;carfi elles eftoientégalés, icelle A B fer oit diuifee à la féconde diuifion au mefme poind qu’à la premier ?. Si donc AD &DB font parties moins inégalés que AC&CB, par le iemme qui fuit la 41. prop. 10. le compofé des quarrez de AC & CB fera plus grand que le compofé des quarrez de AD & DB : Et d’autant qu’iceux compo» fez font rationnaux (car ce font quarrez conftruids fur lignes rationelles^ leurs excez fera aufii rationel parle lemmepreced. Or eftil que le compofé des quarrez de AC& CD, auec deux fois le redangle de AC&CB.efiegaUu compofé desquarrezde AD & DB,auec deux fois le redangle de AD &DB ;(car iceux font chacun égaux au quarré de AB par la 4. prop. a.) 11 faudra donc que d’autant que les quarrez de AC ôc C B/ont plus grands que les quarrez de AD ôc DB,d’autant les redangles de A C, CB foient plus petits que les redangles de AD ôe DB ; mais ilacltcdernonftréquc l’cxcez des quarrez eft rationel ; donc i’excez des rectangles fera aussi rationel ; (puis que ces excez font égaux) qui eft contre la
les lignes AC & C B t ou AD 6c DB, font rationnelles cotnmenf. en puiflance feulement. Donc le binôme AB n’a pu eftre diuifé, en fes noms qu’en C : car en quel, que autre poin& qu’on le diuifé » il s’enfuiura toufiours la mefme abfurdité..Ce qu’il falloit demonftrer.
SCHOLIE. i
llefok natter qttis cinq fortes de limes irrotionelles qui foÿiumt,’samais les deux noms d’icelles nepettuent « fore égaux : car comme il a eftê dift cj-dejfus, Us firoient emmenfoen longitude, O" Usent efoe demotiflre^incommtnfoirablesenlong, faut aufot remarquer qüe quand en dift qu icelles lignes ne peuuent eftre diutfoes en leurs noms qu’au poinft proprofl faut entendre que le eontredifotnt apportant vne autre diuifoenfes parties d’icelle s doiuent eforet inégalés aux parties de la propofoè.
THEOR. 31. PROP. XLIV.
La bimediale première eft diuifee en fes noms en vn feulement.
Soit la biihediale première AB, diuifee en ( T fes noms au pofti&C, tellement que AC Se ^ ®. c & BC foient médiales comment. ’en puiflance
feulement, comprenant vn reÔangle rationel, comme veut la38. prop. xo. le dis qu’on ne la peut diuifer en fes noms en v neutre poirift. Car s’il lè peut faire, foit AB derechef diuifee en D, fçauoir que AD & DB foient médiates commenfurablcs en puiflance feulement, comprenant vn rectangle rationel. Nous demor. tirerons tout ainfi qu’en la precedente propofi. tion, que deux fois le te&angle de AD 6c DB feront autant plus grands que d eux fois le reftangie de AC & BC, que les quarrez de AP& DB font plus petits que les quarrez de AC 6c BC ; Or tous ces reôangles font rationnaux par l’hypothefe. Donc leurs excez fera rationel.par le lemme qui précédé la 43.prop.10. 6c par confequent l’excez deç quarrez fera auffi rationel, ce qui eft abfurde : car iceux quarrez, eft ans defçrits ior lignes mediaîes, font médiaux, ainfi qu’il appert par la 16. propofi tion 10.6c coroll. de la 1*4. propofition 10. partant l’exctz d’iteux ne fera rationel parla 17, prop. 10. Donc la ligne bimediale première AB ne pb ». « oit eftre diuifee en fes noms, finonau poind C. Ce qu’il falloit demonftrdr.’ Z E M M E. (
Si vne ligne droi&e eft couppee inegaliement, les quarrez des’deux partiesté* rontplus grands enfemble que deux fois le re Clan g le dicelles parties. seitla Itgne droiŒ couppee inegaliement en C :’“je dis que les quarrez de ^/tC> CB, font plus grands que deux fois le — ■ — r eft angle d’icelles ^4C, CB. A D C B
Car ayant pris CD égalé k la moindre partie Cb, par la 7, pr. a. les qtianezfoe ^tc, CD » c efo adiré de « /f C>C£ ?, font égaux a deuxfois lereftanglede
AC, CD, (c eiï k dire de AC, CB ) auec le quarré de AD : paVÜtil les deux qtiamZ. de AC, CBfint fins grands que deux fris le reÜangle à’scelles AC,CB :ceqni efiritmfofif* THEOR. 33- PROP. XLV.
La bîmcdiale féconde 3 eft diuifee en (es noms en vn poinâ (èulemenr.
Soit la bimediale féconde AB diuifee en Tes noms au poinét C» en forte que AC & BC foient rnediales commenfurables en puiflance feulement, comprenant vn reâanglc medial, comme veut la 37. prop.de ce liure ; le dis qu’elle ne peut .cftrc diuifee en fes noms en vn autre poinjâ que C*
Car fi faire fe peut qu’elle foit encore diuifee en AD & DB, en forte que aeftus ; «Bc foit vne ligné rationelle propofee EF, fur laquelle (par la4/. prop.i.J foit conftruit le re&angle EG, égal au quarré de AB. Item EH égal aux deux quarrez de AC, CB ; le refte 1G fera égal à deux fois le reftangle de AC, CB, puis que par la 4. prop. z. le quarré de AB eft égal aux deux quarrez deAC, CB, auec deux fois lereâangle d’icelles AC, CB. Eniameftne maniéré fi fur EF oh applique EK égal aux quarrez de AD, DB :’ le refte LG fera égal à deux fois le reétangle de AD,DB. Et pour autant que les quarrez deAC, CB, font inégaux aux quarrez de AD, DB ; leurs égaux reétangles EH, EK feront aufii inégaux ; & partant les lignes FH, FK, feront inégalés. Et derechef puis que les quarrez de AC, CBfpnc plus grands que deux foislereftangie deAC, CB par le lemme précédent ; EH fera aufii plus grand que IGv & partant EH plus grand que la moitié de EG : ôc confequemraent la ligne FH plus grande que la moitié de la ligne FG. Nous demonftretons par mefmes raifons que FK, eft aufli plus grande que 1a moitié de FG. Doncles parties FH& HG, (ont inégalés aux parties FK, KG» chacune à la Tienne. Etpource que AC, CB font rnediales, & commenfurables en puifc fance j les quarrez d’icelles feront auffi médiaux & commenfurables ; 8c par la s6.grop.io. le compofé d’iceux fera auffi commenfurable à vn chacun a’eux ; lefqoels eftans médiaux,leur compofé, c’éft à fçauoir le re&angle EH, fera auffi méfiai patle corol.de la 24.’prop. 10. Par mefme raifon EK ferademonftré medial 5 parquoy EH, EK appliquez fur la rationelle EF, auront les coftez FH,FK ratiôhaux commenfurables en puifiànce feulement à la rationele EF, par la 23, prop. 10. Pareillement, puis que le reâangle de AC, CB eft pofé medial ; 1© double d* iceluy, fçauoir eft IG, fera auffi medial parle corol. de la 14. prop. 10. •Sè eftant appliqué fur la rationele Hl» l’autre èoftë HG fera auffi rationel com- ‘menfurabie en puifiànce feulement à iccllcHî, par la *3. p. so. Et puis que AC» CB font incommenfurables en longitude» ôc par la ï. prop, 6, comme AC eft à CB, ainfi le quarré de AC eft au re&angle de AC » CB : ( car ils ont AC pour hauteur, ) par la 10. prop. 10. le quarré fera incommenfurable au reûangie. Mais au quarré deAC eft commenfurable le compofé des quarrez de A C> G B ; EÛfeMBHTi 447
(car d’autant queAC, CB font commenfurables en puifiance » 8c partant les quarrez d’icclles commenfurables, le compofé d’iceux quarrez fera aufii commenfurable au quarré de AC, parlait, prop. 10.) Sc le re&angle de AC, CB, eft commenfurable à fon double. Donc aufli le com pofé des quarrez de AC, CS,c eft à dire le reâangle EH, eft incommenfurable au double du re&angle de AC,CB, c’eft à dire à IG,par le fcholie de la 14. prop. 10. &d’autant que par la 1. prop. 6. comme EH eft à 1G, ainfi FH eft à HG, par la 10. prop. uo. icelles FH,HG feront incommenfùrables en longitude. Mais elles ont efté démonftrees rationeles : Donc les lignes FH, HGfont rationeles commenfurables en puifiance feulement. Et par la 37. prop. 10. la toute FG fera binôme, &diui~ fée en fes noms anpoin&H. En la mefme manière nous demonftrerons aufii FG binôme eftre diuifee en d’autres noms à vn autre poin&K» ce qui eft abfurde ; car par la 43. p. 10. elle ne peur eftre diuifee en fes noms qu’en vn feul poin&. Donc AB bimediale féconde ne peur eftre diuifee en fes noms qu’aupoin & C. Ce qu’il falloit demonftrer.
THEOR. j4 ; PROP. XLVI.
La ligne majeure, eft diuifee en fe noms en vn poind feulement.
H *
Soit b* ligne majeure AB, diuiféc en fes noms au poin& C, tellement que AC Si BC foient incommenfùrables en puifiance : Sc le compofé de leurs quarrez foit rationel : mais le re&angle compris d’icelles, medial, comme veut la 40. prop. de ce - • » t liure. te dis qu’on ne pourra diuifer icelleAB en ^ C 3> B fes noms en vn autre poin&que C.
Car fi faire fe peut,qu’elle foit diuifee en fes noms en vn autre poin& D. Donc en quelquelieu que foit le poind D,nous demonftrerons tout ainfi qu’en la 4 j.p. de ce liure, que les cornoofcz des quarrez de AC Sc BC ; & de AD 8c DB> ont vn mefme excez que les doubles re&angles de ÀC,BC :& de AD, DB. Mais.d’autant que les compofez quarrez font rationalise par l’hypotbefe, & par conleqnent leur excez rationel : il faudroit donc que l’exccz des doubles’ re&angles (lefquels (ont médiaux par le corol. de la *4. prop. 10. ) fut rationel i ce qui eft contraire à la *7. prop. 10. Donc la ligne majeure AB, ne lèra diuifee en fes noms en autre poind qu’en C. Ce qu’il falloit demonftrer. THEOR. 55. PROPrXLVlL
La ligne pouuant vn rationel Sc vn medial, eft diuifee en fes noms en vn poind feulement.
Soit la ligne popuant vn rationel Sc vn medial AB, diur. . fee en lès noms au poip& C, en fotte que AB & BC A C D B foietnr incommenfùrables en puifiance, comprenant vn re- &angîe rationel, Sc que 1e compofé de leurs quarrez foit medial : mais le re-
A
I
J
OC
L I
B
* v
"P
K H
G
448 Dxxiesmb -
ftangle d’icelles, rationel, comme veut la 4t.prop : io. le dis qu’on nè pôïûrï diuifer icelle AB en fes noms en vn autre poinâ que C. Car il s’enfuiuroit mefme abfurdité qu’en la precedente prop. fçauoir kjuefi on la diuifoic encores au poinâ : D, il s’enfuiuroit comme là, quel’exceztant des quarrez, que des reâangles fer oit rationel, & medial. Parquoy la ligne pouuanr vn rationel, 8c vn medial, &c. Ce qu’il falloit demonftrer. THEOR. 36. PROP. XLVIII.
La ligne pouuanc deux médiaux * eft diuifee en fes noms en vn poinâ : feulement.
Soir la ligne pouuanc deux médiaux AB, diuifêeen fes noms au poinâ : C» en forte que AC ôc BC foient incommenf en puifiànce, comprenant vn rcâan* gle medial incommenf au compofé dc leurs quarrez aufli medial, comme veut 1a 41. prop. 10. le dis qu’on ne peut diuifer icelle AB en fes noms en vn autre poinâque C.
Car fi faire fe peut, qu’icelle AB foi t encore dioifeeau poinâ : D : &fur la rationele propofee EF foit faire pareille conftruâion qu’en la 45. p.ro fçauoir eft le reâangle EG égal au quarré de AB, ôc EH égal aux deux quarrez de AC ôc CB : ôc partant IG, égal au double du reâangle de AC ôc BC > ( comme il a efté demonftré cn ladite 45. p» 20» ) Ôc les deux reâangles EH& IG, qui font médiaux par la fufdice démon Ara* tion, feront les lignes FH Ôc HG rationeies ; mais le compofé des quarrez de AC ôc BC eft incommenfurable au double de leur reâangle : (car par l’hypochcfc il eft incommenfurable à ieeluy reâangle de AC, CB,) partant aufli les reâangles EG & EH feront incommenfurabies. Ainfi les lignes rationeies FH ôc HG feront commenfurables en puifiànce feulement : ôc par la 37 .prop. 10 ; . AB fera binôme diuifé en fes noms au poinâ H. Que fi on veut dire que AB peut encore eftre diuifé en Ces noms au poinâ D : il s’enfuiura, comme en icelle 4f. prop. 10. que le binôme F G, diuife en fes noms au poinâ H, fe pourroie encore diuifer en fes noms au poinâ K, contre la 4a.pr.10. Ainfi ABnepou* qoit eftre diuifee en Ces noms qu’au feul poinâ C • Ce qu’il falloit demonftrer. SECONDES DEFINITIONS.
t (A %
Jpfcf ligne rationele eftant propofee, iyvn binôme diuife en fes noms > lors que le plue grand mm peut plus que le plus petit du quarré d’vne ligne qui luy eji commenfurable tnlosmtude :
i. Si le plus grand nom eft eommenitirable en longitude à la rationele propofee : toute la ligne {bit appellee Binôme premier. ’
~J 1. Mais
Elément. ^49
ï i Mais (î le plus petit nom eft commeniurable en longitude a la rationele propofée : toute la ligne foit appellée Bino me fécond.
3. Que fi ny lvn ny l’autre nom n’eft commeniurable en longitude à la rationele propofée : toute la ligne foit appellée Binôme troifiefme.
Et lors qutlepbssgrand nom peut plus que le plus petit du quitté civne ligne qui luy ejl incommenfitrable en longitude*
4. Si le plus grand nom eft commeniurable en longitude à la rationele propofee : toute la ligne foit appeltee Binôme quatriefme.
5. Mais file plus petit nom eft commeniurable en longitude à la rationele propofee : toute la ligne eft appellee Binôme cinquiefine ;
«L Que fi ny Fvnny l’autre nom rieft commeniurable en lon : gitude à la rationele propofee h la toute foit appellee Binôme fmelrae.
t
il n eft vint dit tçy des lignes > de/quelles les deux notas fient eommenfurables en iongitude k U rationele propofee : parce que telles lignes nefont binômes : car par lajj.p. 10. tout limme efi composé de deux lignes rationeles eommenfurables en puijfanee fadement,
PROB. 13. PROP. xqx. Six.» :
Trouuer vn Binôme premier.
Eftans trouuez deux nombres quarrezAb>C8 {comme nous auons enfeigné au 2. fcholie de la 15. prop. 10. )defqueis l’excez AC ne toit quarré ,àfin que AB,CB A C.... foient eutr*eux comme nombre quarré, à nombre quarré,&AB.AC ne foient ent’eux ® comme nombre quarré k nombre quarré *, à ï ’ M ■ ^ vne rationele propofée D > foit pris £ P . commenf. en longit. Ce icelles D & E ? . . a feront rationeles eommenfurables en longitude. En après, par le corol. de >1« | 6. prop. 10. foit fai# que comme le nombre AB eft au nombre AC, ainfi le quar» TTTTr
450 DIXIEME
ré de E F Foit a» quarré de F G. le dis que Ta toute EG eftbinonse pretftîer. Car puis que les quarrez de EF,FG, qui font entr’eux commelesïnombres AB, AC.font commenfuiablesparlatî.prop.io. auffi les lignes EF, FG feront com* menfurables, au moins en puiftance : Et dautant que EF eftrationele, auffi FG Fera rationefe. Maispourceque AB, AC ne font comme nombre quàrréà nombre quaire, les quarrez d icelles rationeles EF, FG ne îont comme nombre quarré à nombre quariê, & partant les lignes EF, FG font incommenfmabtes en longitude par la 9. pr. ;o.elles font donc rationeles commfenf. en puiftance feu-Jemer. t :& par la 57-pr 10. la route E G fera binôme. le dis auffi qu’il eft premier. Car puis que les quarrez de EF, FG font entr’eux comme les nombres’AB,AC : & ABeft plus grand queAC, aufti le quarré de EF fera plus grand que le quarré de FG • que ce foit donc du quarré de H : (iceluy quarré ièra trouué par le Jemme qui fuirlar^prop. 10.) Et puis que comme le nombre ABeft au nombre AC, ainfi le quarré de EFeft au quarré de FG : par conuerfion de raifon comme ABàCB, ainfi le quarré de E F Fera au quarré de H. Mais A B eft a CB comme nombre quarré à nombre quarré.-donc le quarré de EF fera au quarré de H, comme nombre quarré à nombre quarrë : & partant leslignes EF, H font commenf. en longitude par la 9. pr. 10. Veu donc que le plus grand nom EFeft commenf. en longit. à la rationcleD,& peut plus que le moindre nom FG du quarré deH ; qui luy eft commenf en longitude, EG fera binôme premier par la 1. des (ccon ;des def. Nous auons donc trouué vn binôme premier : Ce qu’il falloit faire. a *
SCHOLIS.
Soit lar ationele propofie 23$, O* EF 6", fai fint donc que comme ÿ ef à C c, ainfi . f narré de EF, fit an au an é de FG icelle’F G firayfi o : çr partant latente EG% Jtrfr tf-t-ÿzo, qui efi binôme premier : car le pins grand nom efi commenfurable a nombre abfi* /», fui tient icy lieu de rat tonde, çrpeut plus que le moindre nom d’vn quatre dont la racine efi commenfarable en long, à tcehty pine grand nom* Iceluy binôme premier fira trouué jtlus Iriefnemenrqne dejfns, pvf tnt quelconque nombre pour le plu s grand nom9 erpour k moindre la racine quavree des trois quarts de fa pu ijfance.. ^/tinfi pojant 8 pour le plue grand • nom y fin quant fira <$4, dont le quart fiufiraitrefie 48} zr partant 8*e $4$ fira binôme premier. *
PROB. r4. PROP. L.f
’Trouuer vn Binôme lecond.
Eftans rrouuez les deux nôbres quarrez AB, CB, comme en lsr prop. prece1dentc, & pris FG commenlurable en longitude à vne ’ rationele propoféc D ficelles D & FG feront ratio- A....C...B neies commenfurables : puis après par le corol.de la p* 6- pr. 10. foit fait que comme le nombre À C eft au E -» : nombre A B, airs fi le quarré de FG foir au quarré de tj .
KF. le dis que EG eft binorna fécond.
Car on detnonlhera premièrement tout ainfi qu’en la preccdeAte qpeEG
eft Vmome. Et puis que commc le nombre AC eft eu nombre AB,atnfilequarré de FG eft au quarré de EF, en changeant comme AB à AC, ainfi le quarré de EF eft au quarré de FG. Mais AB eft plus grand que AC : Donc aufii le quarré de EF fera plus grand que le quarté de FG) 9c foit du quarré de H. Nous demonftrerons maintenant comme en la ptecedente prop. que H 9c EF font commenfurables en longitude. Ec partant que le plus grand nom EF, peut plus que le moindre nom FG du quarré de B, qui luy eft commenf. en longitude, & le moindre nom FG commenfurable’en longitude à la rationele D*. 5c par les fcc. def.EG, fera binôme fécond. Nous auons donc trouué vn bihome fécond, ainfi qu il eftoit requis. s C si ou £.
la rationele prop o fie D-fiitq* o* F G | .* faifiint donc que comme ^/€Cy eft à^€BÿtdinJi i j quatre dè F G. fiit an quarré de EF y icclle EF fira V 4 j : cr partant la tonte E G fira V 4S^S» qui efl binôme fécond : pource que le plus grand jmm d’iceluy peut plus que le tnoin* dre d’vn quart étdont la racine eft commenfien longitude à iceluy pim grand mm, c ?” que U moindre nom eft aufii csmmenfiir. au nombre rationel propofe. Or pour trouuer plus briefue■* ment que dejfusjceluy binômefécond» il faut prendre peur le moindre nom quelconque nombre* O* au quarré £ iceluy adioufter le tiers y la racine quart ce de ce qui en viendra fira le plus grand nom. i/€tnft prenant pour le moindre nom 6ffin quarré eft 36, dont le tiers luj -eftant aàmfié fira 48 ; Cr partant V 48-^6 fira binômefécond. PROB. 15. PROP. LI.
Trouuer vn binôme troifiefme.
Eftans trouuez deux nombres AB, CB comme en la 49. prop , 10. foit pris va autre nombre I qui ne foit i l’vn ny à l’autre d’iceux AB, AC, comme nombre quarré à nombre quarré : (ce qui fe faitpre-
-nant I nombre non’quarté prochainement plus ^ C....B grand que AC. Car puis quil n eft quarré, il ne *•••— fera au quarré AB,comme nombre quarré à nom* *> s> bte quarté. Derechef, puis qu’il eft non quarré E « — F , ** prochainement plus grand que AC, il différé d’i* H >—■- ... ■ .■> celuy parrvnité,ou par le binaire : & partant il ne tombera pas entre l&t ACvnmoyen propottionel, comme nous auons démon* ftré àu fcholie de la 8 p.8.lls ne feront donc pas plans femblables : & partant ne feront entt’eux comme nombres quarrez. ) & après auoir expofé la rationele D, par le corof. de la .6. p. io. foit fait que comme 1 à AB, ainfi le quarré de D foie au quatre de EF t par ainfi les quarrez de D & E F, eftans entr’eux comme nombre à nombre, feront commenfurables par 1a 6. prop.i 0 .& partant les lignes D Se EF le feront auffi, au moins en puifiance. Farquoy D eftant rationele, EF ie fera, auffi. Mais parce que I neft pasàAB, c’eft à dire le quarré de D aii quarré de EF comme nombre quarré à nombre quarte ; p & EF feto.nt iucumUienfurafelesea longitude par la 9. prop. 10. Derechef foit fait pat le fufdid corol. que comme» AB eft à AC, ainfi le quatre de EF foit au quarré de FG : 9c par la <î. prob.ro. iceux ; , LLl ii ~
45* Dixi»s mb
quarrez de EF, FG, eftans comme nombre à nombre, feront commcnfurabîcr cntr’èux : Ôc partant les lignes EF, FG auffi commenfurablesjau moins en puififànce : & E F eftant rationele,FG le fera auffi. Et d’autant que AB n’eft pas â AG,c*eft à dire le quarré de EF au quarré dc FG, comme nombre quarré a-nombrequar* ré, les lignes EF, FG feront incommenfurabies en longitude par la 9, prop ; 10. & panant icelles E F, FG font rationeies commenfurables enpuilTance feulement : & par la 37. prop. 10. la toute EG fera binôme. le dis auffi qu’elle eft binôme troi* fiefme. .Car d’autan : que comme left à AB,ainfi lequarré de D eft au quarré de EF} ôc comme AB à A C, ainfi le quarré de EF au quarré de F G : par raifon égalé comme 1 fera à AC, ainfile quarré de D fera au quarré de FG. Mais- 1 n’eft pas à AC, comme nombre quarré à nombre quarré : donc les quarrez* de D & F G ne feronr auffi comme nombre quarré à nombre quarré : ôc partant leslignesO &FG, feront incomtnenfurablesen longitude par la 9. p. 10. Et puisque comme AB eft à AG,ainfi le quarré de EF eft au quarré de FGj & A B eft plus grand que AC , auffi le quarré de E F fera plus grand que le quarré de FG : foit donc plus grand du quarre’ de H. Maintenant nous demonftrerons comme en la 49.prop.de ce liure, queEF 8c H font commenfurables en longitude. Donc le pliis grand nom EF, peur plus que le moindre FG’dü quarré’ de H, qui luy-eft commenfurable en longitude , ôe l’vne ny l’autre d’icelleS’ JfcF, FG n’eft commenfurable en longitude à la propofee rationele D, comme-il a efté demonftré : partant EG fera binôme rroifiéme par les fécondes définitions. Nous auons donc rrouué vu binôme troifiefine. Ce qu’il falloit faire. s c H o L l Si-
Là rationele propof e Dfcit 6 :faiftnt donc quecomme l6tefà9>ainfqGquarré de J*1 * W ) f y*** y"* *J* wr’vtm ) 4 J V ^
en longitude ait nombre «raticnel jr-pife* O* qàele plus grand nom peut plus que le moindre d’vn ateairé) duquel la ra’etne ejl commenfmable en longitude au plus grand nom. Or peur trouuer ce binôme plus pnmpttment que diffus, an pofra là racine quarree de quelconque’ nombre non quarré pour le plu grand nom» & la racine quarree des trots quarts du mefine nombre pour le moindre nomt+Ainfpofant pour.le plus grand nom V=zo>/’autre nomfera fgr partant fra binôme troifcfme, .
PROB. ié. PROE LII..
Trouuer vn binôme quatriefine.
Eftans crouuezdeux nombres AG,CB,tels que lé cotri’ A..* -C. .B’ pofé d iceux AB,neft>ir à IVnnyà ! autre comme nombres D quarrtzr (fuiuant ce que nous auons enfeigné au 3. fcholie t- _ . . de Jaap.prop. dece liure) foircxpolé la rationele D>ÔC pris uj
E F comtnenf. en long, à îcellc rationele D *, Ôc par con* fèquent EF fera aufii rationele ; Et ayant conftruit le refte comme en la 49. pr .10« ElEMEKt 4SV
ÿîdus deMonftrerons comme là que la toute E G eft binôme. Item qûe le quarté de EF peut plus que le quarréde FG du quarréde H*, Sc que par conuerfion de raifon, comme AB eft à C B, ainfi le quarré de E F au quarté de H. Mais AB n’eft âCB comme nombre quarré à nombre quarté : Donc le quarré de EF ne fera au quarré de H, comme nombre quatre à nombre quarré : Sc par la 9. prop. 10. les lignes EF&H» font incommenf, en longinide : parquoy puis que le plus grandnom & F peut plus que le moindre nom FG du quarré de H,qui luy eft ineommenfurableen longitude, Sc qu’icelle EF eft commenfurable en longitude à la rationelepropofee D : EG ièra binôme quatriefme par les def. fécondés. Nous auonÿ donc trouué vn binôme quatriefme : Ce qu’il falloit faite. s c H 0‘Ll E.
ZarationeleexpofieVfoit#^ & EF C :f aifant donc que comme 9 eft y£C 6, ainfi le quarré de E F, fçauoir 3 6,fiit an quarré de FG yiceke FGfira trouueedeyipartant’ la toute EGfira 6-+-Vz<f, qui eft binôme quatriefme : pource que le plus grand nom eft comwenfitralle en longitude aunombrerationelpropofe, O* qu iceluy mm peut plus que le moindre nomd’vn quarré dont laracine eft incommenfùrable en longitude k iceluy plus grand nom, Qn trotmera ce binôme plus promptement que dejfus pofant pour U plus grand nom quelconque nombre : pour le moindre laracine quarree delà moitié du quarré d* iceluy, %Airfi pofant 6 pour le plm’grand nom, fin quarréfira $6, dont la moitié fira i8j emportant 6--hy 1Sfira binôme quatriefme,
PROS. 17 : PROP. Lllt
Trouuer vn binoms cinquiefme.
Eftans trouué* les deux nombres AC, CB comme en là precedente ptop. fait la conftruâion comme en la 50.p. on demonftrera comme en ladite 50. prop.que EG eftbinotne. Item que le quarté de EF eft plus grand que le quarré de FG* du quarré de H : Et comme en la precedente, qu’icelles EF & H font incommenfurables en longitude :& partant par les feco&des def. EG eft binôme cinquief* me. Nous auons donc trouué vn binôme cinquiefme. Ce qu’il falloit faire. s e MO l / B,*
La rationele propofie D fiit 7*, Cr F G 61 donc fafantqut cimmey€Cé eft a ainfi v le quarré de G F fçauoir eft $6,foit au quanêàe EF : icelle EF fira trounee de VJ4 : partant la toute E Gfira V 6,qui eft binôme cinquiefme : carie moindre nom eft commenf en longitude au nombre rationel ftropofi)& le plus grand nom peut plus que le moindre à*vft qiurré dont U racine eft incommenf en long. à iceluy plus grand nom. Pour autrement trouuer tel binôme, fiit pofé pour le moindre mm quelconque nombre> c ?" I* ptoitié du quarré d’iceltty eftant adiotijleean mefine quarree laracine dutoutfirale plus grandnom ; f/Cinfi poftnt 4 poitrle moindre nom,fon quarré fira 16, dont la moitié# iiiy eftant adiouftecfiront 24-, dont la racine•’ fira V partant "yxaf^jçfira binôme cinquiefme,
r. PROB. 18. PROP. LÎV-
T rouuer vn Binôme fixiefme.
Soient trouue^deux nombres AC»GB> tels que ie compofé d‘i ceux A B ne foi# «*• •
ÎJ4 Dixiüsme
à l’vn oÿ à l’autre comme nombre quarré h nombre quarré : ( ce qu’en fera adiouftant enfemble deux nombres premiers : Car pat 1a jo» p- 7. le total fera auffi premier à chacun d’eux.* & partant ne fera à l’vn ny à l’autre comme nombre quarré à Jk C..B nombre quarré par les chofes demonftrées à ia I..,».* fin du 8 .liure) puis foit pris quelque autre nom- J) ■, c bre non quarré i, afin qu’iceiuy ne foie à AB, ny n -L,.-. i $ AC, comme nombre quarré à nombre quar- jj ré. En après, foie vne rationele propofee D : Si par le corol.de la 6. pr. to. foit fait que.comme I eft à A B, ainfi le quarré de O loir au quarré de EF : &ayantachené comme en ia ji. pr.io.nous demonftrerons ..comme là que EG ç& binôme : Item que P Ôc FG font incommenf. en longitude» & que le quarré de EF eft plus grand que le quarré de F. G du quarté de H. Finalement nous deraonftrerons comme en la 49. pr. que par conuerfion de raifon» comme AB à CB, ainfi le quarré de EF au quarré de H. Mais AB n’eft pasàCB, comme nombre quarré à nombre quarré, ny par confequent le quarré deEFau quarré de.H ; donc par la pr. 10. Ici lignes droi&es EF & H, feront incommenf en longitude. Parquoy puis que le plus grand nomEF peut plus que le moindre FG, du quarré de la ligne H » quiluy eft incommenf. en longitude : & que l’vn ny l’autre d’iceux noms n’eft commer.fi en longitude à l’expofce rationele P, par les fécondés défi EG fera binôme fixiefine. Nous auons donc trouué va binôme fixiefme. Ce qu’il falloitfaire.
4 C H o L / Si
la rationelepropofie D fiit,6 : fat fiant que comme 16 efi à S8, ainfi le quarré de D, cefi pf^aHoir^ôt au quarré de EF’ : tceUe EF fer a trouuee de V48 ; fatfant que comme ,yîB% efi k >yt C/ > ainfi 48 quarré de EFfoit au quarré de’ F G : icelle F Gfiera trettuee de"/$o : par» tant la toute EG fiera V 4 8-t-yjo>qui<efl bine mefixiefme : car l’vn Cr l’autre nom efi incom• mcnfi&able en longitude au nombre rationel propofép O" le plus grand nom peut plus que lê moindre d’vn quarré » dont la racine efi incommenf, a iceluy plus grand nom. Or pour trou» iter plus promptement que flejfius tel binôme il ti’j aqték prendre les racines qttarrees de deux nombres non quart ez^, dont l’vnfoit double de l’autre : ^ytinfipofant Vil pour le plus grand powt l’autre fera y 61 partant y 1 }-*-y6 fira bimmefixiefme, L E MM E,
Les quarrez A B » BC eftans conioinéts à
Fangle-B, tellement que les coftez DB, B È
lacent vne feule ligne droiâe DE ; & pat
confequent les coftez FB,BG aufli vne feule
ligne droiéle FG : eftant acheué le parais
lelogramme HK : le dis qu’iceluy eft quar*
ré ; ôc iereéUngle FE moyen proportionnel
entre les quarrez AB. BC t Si DC moyen proportionnel entre les quarrez AC, BC*
Car d’autant que PB efi égal<
Mais parla $4 >pr, 1. la ligne “ kAKj HC : par eonfiquentchacune d’icelles A&> KÇ ffi égalé kl*vne 0* a l’autre AKj HC : donc le parallélogramme HIC efi équilatéral. Mais par la 29. prop A. il efi aufii rsttanrie 3 € ? " partant quarré » Derubtf, puis que DB, BE, font égalés kFBt BGt chacune à fit eorrefpondante % comme DBefik BE> ainfi FB h B G » Mais parlai, prop, 6. comme DB k BE » — ainfiABk ? £ : <&* comme FB a BG3 ainfi FE k BC : donc commeAB a f£ » ainfi FE kBCicr— partant FB efi mojenprop. entre AB3BC. Et finalement 3 veti que comme AD a D1Q ainfi KG à GCt icelles efians égalés chacune à la fienne : en compofitnt comme AK^ k D K, ainfi Kfi’aGC » Mais comme AKjk DJC, ainfi Acà DC : O* comme i{C k GC, ainfi DC k BC par lai.prop. 6. Donc comme AC k DCt ainfi DC k BC : £7— par confisquent DC eft moyen prop, entre Ac, BC.
Or voila comme Commandin propofi O* demonfirc ce lemmetmais Clauitts te propofi ainfi. Si vne ligne droi&e eft couppee comme on voudra, le re&angle contenu fous les parties, eft moyen proportionnel entre les quarrez d’icelles. Itemlere&angle contenu fous la toute, & vne des parties, eft moyen prop. entre le quarré de 1 » toute, & le quarré de iadire partie.
Ce qui efi la mejme chofi que dejfus » -
THEOR. 37. PR0P.LV. Six4.
Si vn fedangle eft compris dvne ligne rationelle, & d’vn bina » me premier » la ligne pouuant iceluy red angle eft binôme. Soitlere&angleAD, compris de la rationelle AB& du binôme premier A G : Jë dis que la ligne quijtfut iceluy re&angle eft lnrationelle appelles binôme. Car d’iceluy binôme AC, le plus grand nom foit AH : donepar la def. AE, HC font rationelles commenf.en puiflance feulement, & AH pourra plus que HC duquarré d’vne ligne qui luy eft commenf.enlongit. 6c auffi AE fera comtnenf. en longir. à la rationelle pt opofee AB. Soit couppee ECen deux également en F. Donc puis que AE peut plus que EC du quarte d’vhe ligne qui luy eft commenf. en long, fi fur icelle AE on applique vnre&angle égal au quart du quatiédeEC, c’eft à aire au quarré de EF, Sc défaillant d’vne figure quarree, il diuifera icelle A E en parties commenf. en long, pat9 la i8.prop.jo, foient donc icelles parties A G, GE : Se par les poin&s G, E, F foient menees GH, El, FK parallèles à i celles AB. CD : puis par la 14. p. 1. foient défaits les quarrez îlM, MN égaux aux deux re&angles AH, Gl, ôcdifpofez en forte que OM, MP facent vne ligne droi&e : puis foit 3 acheué le re&angle ST, lequel ftra quarté par le lemme precedem
Maintenant, d autant que par la conftru&ion le rcétangîede AG, GE eft égal au quarré de EF : les ligner AG » EF, GE feront proport.’par la 17. pr. 6. Donc par la 1. prop. f*. les rc&angles AH, EK, Gl feront aufli proportionnaux : parquoy EK fera moyen proport.entre AH, GI, ou leurs égaux quarrez LM, MN. Mais par le lemme prccedent OR « fôaufli moyen prop. entre iceux quarrez EM » MN ; doncOR, EK feronre^aux. M
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Mais parla 4^prôp.i" OR» QP font aufii égaux : & par la 36. pli.EK efi ; eg*U FD :doncQP fera aufli égal âFD :& par confequent tour le quarré LN égal à tout le reâangle AD : & par ainfi la ligne OP peutlere&anglcAD : le dis donc qu’icelle OP efi binôme.
Car puis que A G, GE ont efié detnonftrees commenf.en longitudefla toute AE fera aufli commenf en longitude à chacune d’icelles par la 16, prop, xo. Mais AE efi aufli commenf. en longitude àAB : donc par la u.prop io.icelie AB eft aufii ’ commenf. en long.à chacune d’icelles AG,GE :& partant AB eftant rationeile, AG,G R feront aufii ratione !les :& par la 40. prop. 10.. les reûangles AH, GI con» tenus fous icelles rationelles, feront rationaux : donc aufli rationaux leurs égaux quarrez LM, MN : & par confequent les lignes OM,MP feront aufli rationelles. Et d’autant que AE eft incomm. en long. âEC,maiscoromcnf.àAG, ôc EC à fa moitié EF, par le fcholie de la 14. prop. 10. AG, EF feront incommenf.en long, parquoy AH,EKquiont mefine laifonque AC, EF parlai.p. 6. font aufii incommenf.par la 10. p. 10. & par confequent leurs égaux LM, QP, :’doncpar la 10. pr. 10. les lignes OM, MP font aufli încommenf. en long, puis que parlai, p. 6. elles font en mefme raifon que LM» QP.MaisOM,MP, ont eftcdcmonftrees . rationelles : ôc partant elles font rationelles commenf. en puiflance feulement : donc la toute OPpouuant le re&anglc AD eft binôme par la 37. p. xo. Parquoy fi vn redtangle eft compris d’vne ligne rationeile, ôc d’vn binôme premier, Ôcc, Ce qu il falloit prouuejr.
s C ff o L I £.
la rationeile AB fiit y, e^r’AC^yfn, Done le reBangle AD fera ; Et puis que AE plus grand nom du binôme ejl 4, &*TZ F moitié duplus petit nom EC> efi y AGfira GE 1. Donc le reBangle À H fera 15, O* L ligne OM qui peut ieeluy reftanglefirayif : AinJtGl efi$,0* MPŸ$. Mais E F efiy%tiçr El tgaU a AB : donc EK feraVj*) 0*fin double EDy$ 00. Orji on multiplie OM,MP entr elles»’fera produiB MTŸ ?S> egalk EKj Mais k ieeluy MF efi égal MS : donc M.S » BAT enfemble firent aufii V300. < brlesquarrez^lM 15, MN$ > font enfimhle ao : Partant tout U quarré LN efi ao-t-Vjoo, Çr fin coflg OP ouLT ÿ qui efi binôme fixiefme, THEOR. 38. PROP. LVI.
Si vn re&anglc eft compris d* vne ligne rationeile & dVn binôme fécond, la ligne qui peut ieeluy re&angk> eftbimedialc
Soit le re&angte AD, comptis de la rationeile ÂB ôc du binôme fécond AC : le dis que ( après auoir fait pareille conftruâion Ôc dcmonftration qu’en la recedente) la ligne OP qui peut ieeluy te&angle AD, eft l’irraiionelle appellee imediale première.
Car puis que AC eft binôme fécond, AE fera incommenf. en longit. à la ratioildie AB î IcemÂGôc EG ( qu’on pïouueta eftre comitttnfusabïc tu lougltude « ude entrVIlcs, comme enlaprecedent*, &par lai6-ptop. to. àleur toute AE feront par la 14. pr.io. auffi incommenfùrables en longitude à icelle AB, laquelle eftant rationelle, icelles AG, GE feront auffi rationelles : Sc parconfequent commenf. en puiftan.ee feule* ment à icelle rationelle A B„Üonc par ^ la u.prop. 10. les rectangles AH, Gl feront médiaux ; & leurs égaux quarrez L M, M N auffi médiaux ; Et partant les lignes O M, M P mediales,
fi W —
lefquelles on prouuera eftre com¬
menf. en puifiance feulement, tour ainfi quVn la precedentc prop. Et d’autant que HC eft commenf. en longitude à la rationelle AB, le re&angle ED fera ra* tioncl par la 10. prop. 10. auffi fera fa moit ié l K : & pareonfequent fon égal QP compris des deux mediales OM, MP ; Sc parlajS.prop.10. OPeft. bimediale première. Si donc y n re&angle eft compris d’vnc ligne rationelle, &c. Ce qu’il îfalloit demonftrer..
S C H O 11 E*
la rationelle foit y, zy *AoI 48-+. 6 : donc le reflangte ^€D fira y liooü**jjo* Et pais que fj ? V48, ty EC6 : EPfierai, <y fin quarré^, auquel ^fiantpofe égal lereilangle de ^€G » GE, icelles firontyiy, <y V i : parquoy le r efl angle ytfffira V 6 ? y, ty par confèquent la ligne OM, qui peut iceluy Jera l/y67$ : ainfi <51 fira V75, eyMP Or E Cefi 6.’partant ED double de Ms V V)o6ij, cefi a dire I/, efiyO, ty par confiaient MS » MT, firent aufii t©, Parquoy tout le quarré LN compofe des quarrez, LM’j/67fiMNV’7$*GrdesdestxretianglesMS » Mr$Q, fira 1, zy fin cofieOP 0 » LTl/V67y*+*Vy7y » qui efi bimedialepremière* THEOR. 39. PROP.LV1I.
Si vn re&angle eft compris d vne ligne rationele, & dvn binôme troifiefme, la ligne qui peut iceluy re&angle eft Tirrationele nommee bimediale leconde.
Soit le re&angle AD.compris de la ranonelte AB & du binomet troifiefme AQ (après auoir conftrui& comme aux precedentes.) le dis que la ligne OP, qui peut iceluy re&angle AD, cft !’irrationeic appellée bimediale fécondé. Car on protium comme en laprecedente, qne lesdeux lignes OM, MP font mediales commenf. en puifiance feulement : Item, d’autant que AC efi binôme troifiefme, EC efi : commenfurable en puifiance feulement i la rationele AB*, Se par lazt.p.10. le re&angle II) fera medial, auffi fera fa moitié EK r Et par confe, quent medial fon égal Ç>P^ compris des deux mediales O M & MP J. Ainfi MMm
Lu rationele ^fB fiit f, &* *4C Yjz-t- Y14 : Donc le refiangle ytDfira V$00-»’V^oo’. Mais A*autant que ^E eft i$il, C~ EcYi4î EF ferait*, «tt quarré de laquelle ef pofé égal le refiangle de yCG, GEgr partantyCGfiraV%,gr GEix* Parquoy le reflangle ^AÏl fr.i V 450, gr <7/V50} gr par confiquentU ligne OM efi y V4J0 , o* MPyf)0. Ft puis que El efi S, gr ECfl 4» le refiangle ED fira Y600, lequel efi don• hlede MT V150. Donc tout le quarré LN, qui efi compofédes quarre^LM V 450, MN" Vjo, crdes r (fi angles MS, MTiôoo î fera y8oo •* YôOO : grpOS’tant fin cofié OP efi YV45OH-yyjo, qui efi btmediale féconde,
THEOR, 40. PROP. LVIIL
Si vn rectangle eft compris cï’vne ligne rationeley & dvn Binôme quatriefme > la ligne qui peut iceluy re&angle eft ligne Majeure.
Soit le reôanglc ADv compris cîu binôme quatriefme AC, 6c delarationelle’ AB : {"après auoirconftruié) : & deraonftré comme en la $j. prop.) Je disque la ligne OP, qui peut iceluy reâangle A D > eft i’irrationeile qn’on appelle ligne majeure.
Car puis que AC eft brnotne quatriefme. le plus grand nom AE «ft com’* tnenfur. en longitude à la rationele AB, ôc peut plus que EC du quarré d’vne ligne qui luy eft incommenf. en longitude, & par la ip. pr. 10. lereétangledcfaillant compris foubs AG, GE, (qui eft égal au quart du quarré de EC) diuifera AE en AG 6c EG incommenf. en longitude : ôcles re&angles AH& Gï feront incommenf. par la 1. prop. 6.6c 10. pr. 10. Donc auffi incommenf. leurs égaux quarrés LM 6c MN : A par confcquent les lignes OM, MP feront incom* menf. en puiftance. Mais le reûangle AI compris desrationeles AB, AE, (’qui eft égal aux qUarrez LM, MN) eft rationel parla to. prop. 10. Et le re&angle QP compris ficelles lignes OM, MP eft medial, car fon égal EK cftmedial, comme fon double EC par la a*, prop. 10. eftant ED rationelle commenf. en puiftance feulement à AB : & par la 40. prop. 10. OP eft ligne majeure. Si donc vn reûangle eft compris dVne ligne rationele, 3cc. Ce qu’il falloir demonftrer^ S C H o h / £.
La rationelle yTBfoit 5, {y 4~4-y8 .* Donc le refiangle,yiDfera t o-t-Vioo. Et puis que y£E efi 4, çyECi S : E F fira yi, au quarré de laque lit y fiauoir 2, ayant efiêpsfé égal le refiangle de G, GE-Uligne y£G fera i+i >. g»GP %—Ÿx : partant lerefian• gle ^/CHfera lO-t-YjO, grGJ 10—.* gr par confiquent OM efii( io-r-Vjo.) fy* MPi (10— Ÿ$o). or ECefioitY8 : donc ED double du refiangle MT légiféra Y*oo. La fintmè des quarrez, LM t MN, fira donc.-ia., à laquelle fion adioufie les plans TMS Vioo j ondura pour tout le quatre LN 20-** Yzoo .* Gr partant fin cofié OP fit«s . yfto+Yjôj+Y (iO^V/o), mi (io^-Yzooj qui efi ligne mayare, THEOR. 41. PROF. LÎX
Si vn re&angle eft compris dvne ligne rationele, & d’vn binôme cinquiefmei la ligne qui peut iceluy re&angle 3 elfc ligne irrationele pouuant vn rationel & vn medial. • Soit le redhngle AD, compris de la rationelle AB » de du binôme cinquiefme ÀC ; le dis, (apre : s auoir conftrui& de demonftre comme en la y y.p.) que OP qui peut iceluy re- ■&ang ! c AD, eft Ügne irrationeile, pouuant vn rationel de .vn medial. *
Car puis que AC eft binôme cinquiefmc. le plus grand itom AE peur plus que le moindre EC du quarré d’vne ligne qui luy eft incommenf. en longit. de comme en la prcedcnte, AG de CE feront incomm. en long. Et les lignes OM, MP feront incommenf.en puiffance, de légat au compofé de leurs quarrez, fçauoir le rc&angle A !, eft
commenf en puiffance feulement. Et d’autant que AB.de le plus petit nom EC, font comm. en longit.par la ap. p. 10. ED eft rationel : auffi ferafà moitié EK, de fon égal QJ ? compris des lignes OM » MP, dc par la41.prop. 10. OPcft ligue irrarionelc pouuant vn rationel, *de vn medial, Si done vn reétanglecft compris d’vne ligne rationele de d’vn binôme cinquiefmc, dec. Ce qu’il falloit dcmonftrcr. s c H 0 L I E.
La rationelle A"B fiit y, t^sAcyS-*-a. Donc le reftangle<AD fivaŸaoo-i-io. Et d*autant que AE ejl Y 8, ç ? * EC a} E F fera 1, au quarte de laquelle ef ont égal le reftangle de AGE, lecejlé AG fera Vi-*~is cp’GEVz—t : partant le reftangle A El fit* V yo —*-$ » Gr lu ligne OMy (Y jo-t-j) : MPf (yfp—5) y.puis q(te GI eft Vy°"—5 • Et pource que Et efi y, O* EC z j 1er eft angle EDfera 10 : par confequent fi moitié MT eft 5. Dmclafimme des quarrez„ LM, MN>efi Vzoo, a laquelle admtfiantlts reftangles SAÎT10 ttmt le quarré LN/cra f ioo-*-io : z ? fpar co » fiquentfin eefilOP » tfiY(VjQ+y) "*~y (Y yo—j), ou lien Y{Yloo+iq), qui efi ligne pouuant vnrationeU Cr vn medial. THEOR. 42. PRO ?. LX.
Si vn reftangle eft compris dvne ligne rationelle, & dvn binôme fixiefme la ligne pouuant iceluy reftangle., eft ligtic qui peut deux médiaux.
Soit le ré&angle AD., compris de la rationelle AB, dedu binôme fixiefme1 ÀC ? (après auoir çonftruit de clemonftré comme en la yy, prop. que OP peut iceluy i e&angle AD.) ïe<Jts qu’icelle O P eft ligne pouuant deux médiaux. —Car puis que AC cft binôme fîxiefmc, le plus grand nom AE peut plus < ;•. 60
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que le moir.du* H G du quarré dvue ligne qui luy eft incommenfurabîè ca longitude,& fi les deux noms font incotmnenfur. en longitude à la rationelle AB : ft comme il a effé demonftré £ la 58. prop. io. OM, MP feront incommenfurabies cb’ puifiànce ; aufti par la ir.prop. io. le reâangle AI, qui eft égal au compofé de leurs quarrez eft medial : ItemED qui eft compris de deux rationelles commenfurables en uuiflànce feulement, eft aufti medial par la mefme propof. anffi medial fa moitié EK. & fon egalQP compris d icelles lignés OM,MP. Et de plus*tceloy reâangle QP, ou fon* égal EK,eftiocoramenf. au compofé des quarrez LM, MN, fçauoir Al : car les lignes AE Si EG eftans incoromenf. en longitude, aufti AE.& EF le feront ; &pattantpar la i. prop. e. Si io. prop. io ; les reâangles A ! & EK feront iticommenf.&-parla4.2.prop. 10. OP fera ligne pouuanc deux médiaux. Parquoy, fi .vn reâangle eft compris ,&c. Ce qu’il falloit prouuer.-
r c h o l i e :
la rationelle foit 8. Donc le reftangle Jcr4lf,QQ-+-ÿïOQ. Et’ fotirce que ^AE eïl if 12, C ?- E C V ü : E F fera V £> a» qttarré de laquelle ejlant égal’ le reftangle de ^/ÜG E} le cofié *AG Jèrayi-*-*, € ?*ie cofieXiRlfy—Vi Parquoy le reftangle
V’ fV7j~ÿ). Mitis E C ejlant V8, le reftangle ED, qui eft double de M T ÿj O" ,Jir4 ifiQQ. Donc lesquarrez^LM» MN, feront enfemble V300", tgrles reftanglesSMT "f loü : Cr fartant tout le quarré LN fera Y3 oa*<-yiOO : O’ fa* confiquent fin cofié ÔP fer a il (V7$+S) +V (V7t~-5h ûii 1>ien y ( Vjoo-*-Vzoo), qui eft ligne f ornant det*»’ médiaux*
THEOR. 4b. PROP. LXI. Six. 5.
Le quatre d-vn binôme appliqué fur vne ligne rationelle, fait l’autre cofté binôme premier.
Soit le binôme A E, lé plus grand nom duquel eftACi & fur là rationelle DE foit apphqué-par la 45. prop. 1*. le reâangle DF égal au quarté- de AB : le ài& que Vautre cofté DG eft binôme ptemier. Car fiit la mefme DE foit conftruit le reâangle DR’ égal au quarré de AC : & for Hl vn autre reâangle IR egal au quarréde CB : Il eft donc euident parla 4.prop :.*. que le refte LP eft’égal à deux fois le reâangle de AC,CB : Si en diuifant LG également en M,& en menant M N parallele à DE , chafque reâangle LN, M F fera egaf au reâangle de A G,CB. Et d’autant que AB eft binôme» AC, CB font rationelles com menf. en puifiànce feulement : & leurs quarrez feront ratiomiaux, & leurs égaux reâangles DR & 1K auffi rationaux ; Sc ac la t . prop. 10, les coftez Si IL feront rationelles commenf.on longitude {a rationelle DE V â : entr’elles par la 12. grog. 10. Et par la 16. pr. to, la touto DL fera comtnenf. « n longitude à chacune DHL, & par la n, prop, 10. clic lira raiionclic Se comment en longitude à DE rationelle ; Et d’autant que par la n.pr. 10. le reétongîc de AC, CB eft media ! » Con double LF fera auffi médial ; & par Ia *3. prop. 10. iceluy tncdial LF eftant appliqué fut la rationelle LK, l’autre cofié LG fera aufli rationel incemmenf. en long », à iceb le LK, c’eft à dire à DE, à laquelle DL eftant commenf. en longir. par Ja 13 prop.io, DL, LG font incomrocnf. en longir. mais elles font rationelles : elles feront donc commenf. en puiflance feulement} Sc parla 37. prop. 10. DG eft binôme. 1 « dis en outt’e que c’eft binôme premier. Car il appert par le lemme de la 34 « prdp » de ce liure, que le re&anglc de AC, CB eft moyen proport.entre les quatre* d’icelles AC, CB : donc aufli LN moyen prop.entre DH, 1K : Sc par confequent la ligne LM moyenne prop. entre les lignes DI> IL parla 1. p. <k Sc par la 17. p. 6• te re&angle de Dl> IL fera egalâu quarré de LM : Et d’autant que les quarré* de AC, C B font commenf. ( car icelles AC, CB font pôfees comment, en puiflance) leurs égaux re&angles DH, ÎK feront auffi commenf. Donc aufli commenf, en longitude les lignes D1, 1L par les s, prop.6. Sc 10. pr. 10 ; Et d’autant que les deux quarte* de A C St CB font plusgrands que deux fois Icurreâangle, pat le lemme qui fuit la 44.. prop.de ce liure : DK fera plus grand que LF i 8c par confequent DL plus’grand nom que LG i— car icelles lignes font entr’ellescomme DK à LF, par lai. p 6. Et puifque le tc&angle de DI, IL appliqué fur DL, eft égal auîpiarré de LM, c’eft à dire au quart du quarré de L Gy & défaillant d’vne figure quarree, & que les parties DI, IL font commenf. en longitude ; icelle DL peut plus que LG du quarré d’vne ligne qui luy eft commenf. en longir. par h 18. prop. m. & partant icelle DL ayant cflédemonfhée commenf en longit. à la rationelle DE, par les fécondés def. DG fera binôme premier. Donc le quarré d’vn binôme appliqué fur vne ligno’ rationcle, &c. Ce qu’il falloir demonftrer. SCffOZIÉ.
Ltbineme fiitV 45 —**3> tria rationelle Dëû : d’autant vue le plus grand mm ^Cefi V4J, fin quatre efi applique’fitr DE 6, fattl*autreeofié DJ de 7 — : ■ Etle moindre mm C B eflant 3, finejuarré efiç* qui appliqué fur 1£ ? 6, fait IL de lij, €T partant la toute DL efi 9. Or le reflarigkdë ^ÎCB efi 3/405, zirfin double i f yi6io.Donel* ligne F G fera y4j ; pat confi^tm# la toute DG fira-ÿ+^fr <mp efi binôme premier.
THEOR. 44. PROF. IXîL
JLe quarré d vne bimediale première appliqué fur vne ligne1 rationelle* fait 1 autre cofté binôme fécond.
grand foie AC : (aptes auoic confteuic comme en la precedente). le dis que DG eft binôme fécond.
Car puis que AB eft bimediale première, par la 38. prop. 10. AC. CB » font mediaies commenf. en puiflànce feulement, comprenant vnrcéhnglç rationel, duquel le double LF fera aufti rationel, & par la ai. prop.io. LG ferarationclle commenf. en longitude â pE. Mais icelles deux lignes AC Sc CB eftans mediaies, leurs quarrez font médiaux : Sc partant leurs égaux reDtangles DU, IK feront aufti médiaux & commenf. Et d’autant que par la 16. p. 10. le total DK eft commenfi chacund’iccnx DH, IK. par le co* roll. de la *4. prop. 10. iceluy DK fera aufti medial : Et par la 13. prop. io. fon autre cofté DL fera rationel incommenf. en longitude à la rationelle DE : & par la 13. prop.io. DL, LG feront incommenf. en longic. & partanr rationelles commenf.en puiftance feulement : Sc par la 37.prop.10. DG fera binôme, le dis d auantage qu’il eft binôme premier.Car il fe prouuera comme en la precedente, que DL eil le plus grand nom, & qu’il peut plus que le mpindrg LG du quarré dvne ligne qui luy eft com-* menf. en longitude. Nous auons aufti monftré que LG pjus petit nom, eft commenf.cn longitude à larationelie DE : Sù partant par les fécondés def. D G eft binôme fécond. Parquoy le quarréd’vne bimediale premr>re, &ç. Çe qu’il falloit dcmonftrer.
9
S € H O L I R.
La Hmediale ^4 « B foit y » f 100-t-y V 1>, U rationelle DE 4. D’autant que le plut .„7.. a*> o n » » n t /— f1 • • ti A E
J J m ~
&*par confeqnent IL* efiy~, {y la toute D i V 1%. Or 1er eft angle de tÇBeft O* partant le reB angle KG double d’ictlty eflii, lecojlé LGj. Donc la tonte DG fira Vuh-3, qui ejfoimmc fécond »
THEOR. 4j. PROP. LXIII,
Le quarré dvne bimediale féconde appliqué fur vne ligne rationelle, &ic Taucre cofté binôme troifiefme. Soir la bimediale fécondé AB, diuifee cr « fesoomscûC, defque ! sÀC foit le plus grand. (Aptesauoirconftruit-corame en iaéi.pr.) le dis que DG eft binôme troifiefme. " y
Car puis que AB eft bimediale fécondé, par la jp. prop. to.AC, BC font mediaies commenf en puiftance feulement> comprenant vn reftangle ftiediafipârtantlesquatrcz d’icelles AC » CBr(èront comment., & médiaux s •& auffi leurs égaux reélangles DH, IK ; Bc par la i6.proo.io. le total DK eft commenf. à chacun d’iceux DH, IK : donc par le coroll.de la a*. pr. tq. DK fera auffi medial, Bc eftant appliqué fur la rationeile DE, par la a*, pr. 10. fon autre cofté DL fera rationnel incommenf. en longitude à icelle DE. Derechef, puis que le reéhngle de AC, CB eft medial, fon double LF le fera auffi : de ieeluy LF eftant appliqué Air la rationeile LK, fon autre cofté LG (era ratione ! incommenf.en longitude à LK : c’eft à dire à DE. Donc l’une Bc l’autre d’icelles lignes DL, LG, eft rationeile de incommenf. en longir. à la rationeile DE. Et d’autant que comme ACàCB, ainfi ie quarré de AC an rcftangle de AC Bc CB, par la t.prop. 6. Il eft cuident par 1a 10. pr. io. que lé quarré fera incomm. au re&angle ( cftansles deux lignes incQmmenf.enldngit.)Mais par la 16. prop. to. au quarré de A C eft commenf. le compofé des quarrez de.’AC, CB : Bc au rè&angte de A C, C B eft com menfur. fon double : Donc le compofé des quarrez de AC, CB, c’eft à dire le reétangle D K, eft incommenf au double du reâanglc dé AC, CB : c’eft Idire au reâangle LF.par le fcholiede la14.prop.10. parquoy les lignes A E DL, LG qui font en mefme raifon que D14, auantage. qu ilelt binômetroflielme. Garila efté demonftré que les deux noms font incommenfurables en longitude à la rationele DE ; Et feprçuuera comme à la ôV.prop. que DL peut plus que LG du quarré d’vne ligne qui luy eft commenfurable en longitude ; & par le » fécondés def. DG eu binôme trbifiefme. Donc le quarté d’vne’bimediale fécondé, Bc c. Ce qu’il falloit dlmonftrer,
S C Ü 0 1 I E.
sAo— PB4— Ponc DfS ferai71, JK^/8, LNmMFii^ qui afflique^fitr DE 5 Dt feta. V44, /IV LM m mg Vif ; ©* fartant U toute Dl feraVB, ey* LG*ÿ6. Parquoy U toute D G tfi ^B-±y6t qui efi binôme troifiefme,.
theor : 4*. PROP. LXIV.
Le quarré dvne ligne majeure appliqué fur vnè ligne ratio nele, feitlautre coflié, binôme quatriefinei
. S oit.la ligne majeure A B, 4imfcc en fes noms en C, dom le plus grandToit ÂC : ( après aqoir conftruies comme eniaéi.p. 4e cc îiurc } ùrdis uuè B G eft biiioüie ouRîfiéflic* • : * ?
M-M • # *
Car pnkqucABeftligncma)euie, parla 40.^. AC, Si CB font incommenf. en puiflance, comprenant vn reéUuglc medial, Bc le compofé de leursqaastez rationel ; le re&angle D K égal au compofé di’ceux quarrez eft aufli rationcl, lequel eftant appliqué fur la rationelle DE, fon autre cofté DL fera auffi rationel commenf. en longit à icelle DE par la ai. pr. 10. Item le rc&augîc LF, double du re&angle de AC, CBi fera medial, lequel appliqué fur L’K, c’eft i dire fui. rationele DE par h 2}. ptop.io. LGJera rationele incommenf enlongit.â DE. Et partant par la i*. pr. 10. les’rationeles DL Ôc LG feront incommenfùrables en long. Donc commenf. en puiflance feulement : & par la 57. p io. DG eft binôme.
le dis dauanrage qu’il eft binôme quatriefme. Car puis que les lignes AC Se CB font incommenf. en puiflance> leurs quarrez feront incommenf partant auffi leurs égaux re&ar*g1es DH, IK » & les lignes DL, IL incommenf. Et d’autant que fon demonftrera ccftjme en la 61. prop. que DL eft plus grande queLG, & que fur icelle DL eft appliqué le re&angle de Dl. IL égal au quatt du quarré de LG, Se défaillant dvnefigure quarrée, lequel diuiïé icelle DL k I en parties incomm. en long, par la i9.p*io. DL, qui eft commenf en loi), g » -à la rationele DE, peut plus que GL du quarté d’vne ligne qui luy eft incommenfurable en longit. Se par les fécondés, def. DG eft binôme quaitriefme, Donc le quarré d’y ne ligne majeure, &c. Ce qu’il falloir demonftrer* s c H o L J E.
La Vtgne maieurejtB foiti (io-i-y$7|) « *-yfio—V larationele DE foit 5. Donc lereilangle D Ff/èralQ-+-y$7b I K^Q-~yi>l><zr LNou MF*)/ 6i[qui appliquez ^ fitr DE) le cofté Dt fera 2-*-7’IL z—VlJ » LM ou MGVz|. Parquoy DL fera 4, (T’LGY io : CT par confèquent la toute DG ejt 4-+yio, qui eft binôme quatriefme*
THEOR. 47— PROP* LXY.
Le quarré dVne ligne pouuant vn rationel &vn medial applique’ fur vne ligne rationele, fait l’autre cofté binôme cinquiefme*
Soit la ligne pouuant vn rationel Sc vn medial AB, diuifee en fes noms au poia& C, dont le plus grand eft AC : ( après auoir conftcuit comme en U 61. ptop.) le dis que DG eft binôme.cinquiefme. Car puis que AB eft ligne pouuant vn rationel & Vn medial » AC, CB » pat la 41 pr.io. font incommenf. en puiffance, comprenant vn re&angle rationel, & le compofé de leurs quarrez medial : Partant le re&angle DJC égal au compofé d iceux quarrez eft auffi tnedial,’lequel eftant appliqué fur la rationele DE, fon autre cofté DL fera auffi rationel commenf. en puiflance feulement à icelle D E par la £$• prop. so. Item le re&angle de AC » CB eftant rationel, fon double LF fera auffi rationel » Sc par lazl. prop. to. iceluy— LF eftant appliqué fur IK, c’eft à’dire fur la rationele DE, fon autre cofté LG, fera ligne rationele coismenf. en : îcng ! t » i icelle DE11 &la— *j « ’prop.1 10 «  les rationeles DL » LG feront commenf. en puiflance feülémcOf » Se*patf fa 56, p. 10. DG fera binôme. le dis deplu5 » qttileft binôme citiquitfffnc. Car LG eft.coramçt)fuwble en longitude àia rationele DE>& ü on prou liera commo
commeaux piëëedentes, que DL peut ’plus que LG» du quatre d’vne ligne qui luy eft incommenfurable en longitude, Sc pat les fécondés définieions DG eft binôme cinquiefone. Donc le quarré d’vne ligne pouuantvn «rationel Sc vn medial» Sc c. Ce qu il falloit demonftrer. s CH 0 li E,
La ligne fiit V (Viî.j-1-5) **"V j—jj » ÇrlavativnéÜe DE $• Donc le w-BangleDHfijrrfVrif-t-j, j, Cr%LfiT0H MFlo>applique^fitvDE* UcefieDI fira IL Vj—i, tirL M m MG i. Parqmy DLfivalli0,0* LG+, cmfiqmnt U tonte DG efi Ÿ10+4,qui efi binôme citiquiefme THE(R. 4S. PROP. LXVI.
Le quarré d* vne ligne pouuant deux médiaux appliqué fîir vne iignerationefe* fait 1 autre cofté binôme fixiefme. «
Soit la ligne pouuant deux médiaux AB» diuifee en fes noms aupoinét C, dont le plus grand eft AC. ( Apres auoir conftruit comme aux preced.) ie dis que D G eft binôme fixiefme.
Car puis que A B eft ligne pouuant deux médiaux » par la 4a. prop. 10. AC» CB font incommenf. en puiflance, comprenant vn re&anglc medial, incommenf. au compofé de leurs quarrés aufli medial par ainfi il eft euident que DK Bt LF font me diaux Sc incommenf. & par la aj.p. io.iceux reâang. eftans ap-
coftez pL,LG feront rationaux commenf en puiflance feulement à la rationele DE.. Mais iceux coftez DL, LG eftans entr’eux comme les parallélogrammes^K» LF
lefquels font incommenf. feronraufli incommenf. en longitude, par la 10. pr. 10. Donc les tationelcs DL,LG feront commenf. en puiflance feulement,& pat la 57. prop. 10. D G eft binôme, duquel les deux noms (ont incommenf. etr longitude à la rationele DE : & comme ilaefté deraonftréaux précédentes, le plus grand d’iceuxDL peut plus que le moindre LG, du quarré d’vne ligne qui luy eft incommenf.en longitude, Sc parles fécondés def. DG eft binôme fixiefme. Parquoy le quarté d vne ligne poutiant deux mçdiaux, &c. Ceq u’il falloit demonftrer.
S C H O LI E.
1
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LG V *0 *, çypar çonfiqHmtld f <P® V i8+yto, qui efi binômefixiefim, THEOR.’49. PROP. LXV1L Si£ 6’
La ligne commenfurable en longitude au binôme, eftauiïi binôme de mefine ordre.
Soir quelconque binôme AB diuifé en Tes noms ait poind C, defquels ACeftle plus grand » & CB le moindre : foie la ligne droide DÊ com* menfurable en longitude au binôme AB. Ic dis que DE eft aufii bmome, & de mefme ordre que AB.
Car ayant fait par la u. prop. 6. que comme la toute AB eft à la toute ’DE, ainfi la retranchée AC foit à 1a retranchée DF » par la 19.p.5. le refte CB* fera au refte FE » comme latoute AB à la toute pE. Etpoutceque AB, DE, font commenf. en longit. parla io.pr.xo. AC, DF, &CB, FE, feront aufii commenf. en longitude. Mais par la57.pr.to. AC, CB, fontrationeles. Doncaufli DF, FE font ratio* A———p, —B neles. Et puis que comme AC 4 DF, ainfi CBàFE, ^ g en permutant, comme AC fera â CB, ainfi DF 4 FE. ~ f" Mais AC, CB font rationeles commenf.en puiflànce feulement ; donc aufii DF, FE feront rationeles commenf. en puiflànce feulement. Et partant par la 57. prop. 10. DE eft binôme. Maintenant ie dis qu’il eft aufli binôme de mefme ordre que AB. Car fi ACpeut plus que CBdu quatré dvne ligne qui luy foit commcnf en longitude, aufii parla 15. prop. 10.DF pourra de mefme plus que FE. Etfi* ACcft commenfurable en longitude à la rationele propofec, auffi fera DF Î » at la ix. prop. 10. veu que Fvne & l’autre eft commenfurable en longitude 4 a mefme AC j & partant chacune d’iceiles AB Sc DE fera binôme premier. Que fi CB eft commenfurable en longitude 4 la rationelle propolce, auflf fera FE ; ainfi AB ôc DE feront binôme fécond : mais fi AC&CB fontin* commenf. en longitude 4 la rationele, au fît feront DF ôc FE : & par les def. AB Sc DE feront binôme troifiefme. Que fi AC peut plus que C B dir quarré d vne ligne qui luy foit incommenf. en longit. aufii par la 1/. pr. 10 ; DF pourra de mefme plus que FE. Parquoy nous dcmonftrerons cemmer défias, que AB, DE feront binôme 4e. ou je. ou 6e. Partant AB, DE, fe* ront binômes de mefme ordre. Donc (a ligne commcnf. en longitude, 8cc. Ce qu’il falloit demonftrer.
THEOR. 50. PROP. LXVÏII,
La ligne commenfurable en longitude à vne bimediale > eft auffi bimediale de mefine ordre.
Soit quelconque bimediale AB, diuifee en fes noms au poind C, defquels AC eft le plus grand, Sc CBle plus petit ; & 4 icelle AB foit commenf. en longitude la ligne DE. le dis qu’icelle DE eftauffibime diale de mefme ordre qu’icelle AB.
Car (après auoir conſtruit comme en la precedente) le reſte CB sera au reſte FE, comme la toute AB à la toute DE ; & partant par la to. p. to. A C ſera commenſurable en longitude à DF ; & CB à FE. Mais AC, CB ſont mediales : doncpar la 14.pr.10.DF, FE commenfurables à icelles, font aufii mediales— Et puis que comme AC â DF, ainfi CB âFE : en permutant, comme ACàCB ainfi DFà FE. Mais AC, CB 4 g font commcnf. en puifiànce feulement, pat la j8.p.r 0. C Donc aufli DF, F E feront commenf. en puifiànce foule—. ment, par la lo.p, 10. mais elles font aufli mediales : & D F E partant par la 48 ou 39. prop. 10. DE fera bimedialc. Dauamagcie dis qu’elle cften mefme ordre que AB. Card’autant que comme AC efi à D F, ainfi BCàFE, par la ai.pr. 6. le quarré de AC fera an quarré de DF, comme le reâangle de AC, BC eft au reâangle de DF, FE : (eftans iceux rcâangles femblables, d’autant qu’ils ont les coftez proport.) Mais le quarré de AC eft commenfurable au quarré de DF, fpource que les lignes AC, DF ont cfté demonftrees comment, en long.) Doncparlaio.pr.io. les reâangles feront aufti commenf. Que fi Tvn eft rationel, l’autre le fera aufii : 8c par ainfi AB, 8c DE feroient biraediaiespremières, par la$8. prop. 10. Que fi Tvn des reâangles eft medial, l’autre fera aufii medial, 8c confoquemment AB 8c DE feront bimedialés fécondés, par la 3p.prop.10. Ainfi DE fera bimedialc, & en mefme ordre que AB. Parquoy la ligne commenfurable en longitude à vne bimedialc, &c. £c quilfalloit demonftrer.
THEOR. 51. FROP.LXIX.
La ligne commenfurable à vne ligne majeure eft auffi ligne majeure.
Soit la ligne majeure ÂB, diuifee en fes noms en C, 8c à icelle foit comment* DE. le dis qu’iceilc DE eft aufli ligne majeure* Car (après auoir conftruit comme aux precedentes) ACfcraàCB comme DF à FE, & AC commenfurable à DF, & CB à FE : mais parlait, prop. 10. AC & CB fonrincommenf. en puifiànce ; les fignes pF 8c FE le feront donc aufli. Item puis qu’icelles lignes AC, CB, DF, FE font prbpotc. parla 11. pr. 6. leurs quarrez feront porporcionnaux : 8c en compofant, les deux de AC 8c BG feront au feul de CB, comme les deux dc DF 8c FE font au feul de FE : 8c en permutant, les deux quarrez de AC& CB, feront aux deux de DF & FE, comme le feul do CB eft au feul de FE. Mais les fignes CB, FE eftans corhmenf. leurs quarrez feront aufti commenfurables ; & partant les deux de p P & F E, feront par lato.prop. 10. commenf. aux deux de AC &BC : 8c ferontrationauxcomme iceux. Item, on prouuera comme.en la precedente, que le reâangle de DE &FE eft commenfurable au reâangle de AC 8c BC » lequel eftant medial par la • 40. prop. ip^auffi fora celuy de DF 8c FE parle corol. de la 14. prop. 10. Par » quey DE fora ligne majeure. Donc la figue commenf, à vne ligne majeure, eft aufii majeure. Ce qu’il falloit demonftrer.
MNmj •4^8 Dl’X.lBSMS
THEOR. 51. PROP. LXX.
La ligne commenfurable à vne ligne pouuant vnt rationel Ôc vif medial, eft auffi ligne pouuant vn rationel Bc vn medial. Soit la ligne A B pouuant vn rationel 6c vn medial » diuifee en fes noms en C, 6c à icellefoit commenfurable la ligoo DE. le dis qu icelle DE eft auffi’ ligne pouuant vn rationel 6c vn medial.
Car ( aptes telle conftrnôioo qu’aux précédentes^ on prouuera que comme AC 6c BC font incommenfur. en puiflance, auffi le feront DF&FE. Item quele* compofé des quarrez de AC & BC fera com¬
menf au compofé des quarrez de DF ôc FE : A— S— B Ôc le reftangle deAC&8G auffi eommenfur. r Tj ET au reftangle de D F&FE. MaÎ9 par la 41p.ro. le compofé des quarrez de A C de BC eft medial » & leur reftangle rationel ? Pars, tant le compofé des quarrez de DF & FE fera auffi medial, 6c leur reftangle rationel ; &par ainfi la toute DE fera ligne pouuant vn rationel & vn medial, par la fufdite 41. prop. de ce liure. Parquoy la ligne comment à vne ligne pouuant vu rationel, &c. Ce qu’il falloit demonftre ?. THEOR. PRÔP. LXXI.
La ligne commenfurable à vne ligne pouuant deux médiaux ? £ eft auffi ligne pouuant deux médiaux.
Sort la ligne AB pouuant deux médiaux, diuifee en fes noms au poinft C, 6s à icelle (bit comm.DE.Ie dis qu’icelle DE eft auffi ligne pouuant deux médiaux. Car {après auoir conftruit comme aux precedentes) on prouuera tout de raefmtf que DF & FE font incommenf. en puiffancei que le conrpofé de leurs quarrez eft medial, 6c leur reftangle auffi medial : Mais on prouuera auffi comme en la.69.pr. que lé compofé des quarrez de AC & BC, eft au compofé desqoarrez de DF 6c FE, comme le quarré de CB au quarré de FE : 6c encore comme en’ la <î8. p. que le quarré de CB eft au quarré de EF » comme le reftangle de AG 6c BC.eftau reftangle deDF& FE ; donc par la u.prop^.le compofé fera au compofé, comme le reftangle au reftangle ; Et en permutant, comme le compofé des ? quarrez de AC 6c BC eft incommenf. à leur reftangle, auffi le compofé des quarrez de DF 6c FE eft incommenf à leur reftangle, & par la 4*. pr.ro. DE cil ligne pouuant deux médiaux. Parquoy la ligne commenf, à vne ligne pouuantc deux médiaux, 6cc. Ce quil falloit demonfirer. THEOR. 54. PROP. LXXIL Six. 7.
Si vne luperncie rationele, Ôc vne mediale font ioin&es > la ligne qui peut tout îe compofé eft binôme, ou bimediale première, ou ligne majeure, ou ligne pouuant vn rationel ôc vn medial » Soient iûinét es deux fuperficies A rationele, & B mediale i ie dis que la ligne qui peut toutes les deux eft binôme, ou bimediale première, ou ligne majeure, oU Ügne pouuant vn rationel &vnmediàl. Car premièrement les deux fuperficies ne fçauroient eftre égalés ( car ou elles feroient toutes deux rationeles, ou toutes deux mediales.) Soit donc premièrement A plus grande que E.* £t fur la rationele CD foit appliqué le reBangle CE égal i A.’ôc fur EF vn autre re&angle FI égal à B > afin que tout le rcétangle Cl foit égal aux deux fuperfîcies propofe es A ôc B. Et puis que A eft rationele, ôc B raedifîe, aufli le rectangle CE fera rationel, & Ft raedial, tefqucls eftans appliquez à la rationele CD j CF fera rationele commenCen longitude à icelle CD par la ii.prop.to. ôc FK auffi rationele, mais incommenf. en longitude à la mefme CD parla 23* pr.io. ôc par la 13. prop. to. les rationeles CF, FK ferontmcommenCen longitude : donc commenfurables en puiflance feulement.* ôs pat la 37. pr. to. CK fera binôme diuifé en lès-noms en F. Mais puis que* A a efté pofee plus grande que B, aufsi CE fera plus grand que FI} Ôc partant CF fera plus grande que FK par la 1 p.é. Parquoy CF fera 1er plus grand nom du binôme CK. Or iceluy plus grand nom Ç F, peut plus que le* moindre nomFG du quarré d’vne ligne qui luy eft commenfurable^ou incommenfurable en longitude. Si commenf. f eftant CF commenf. en longitude â la rationçle CD) CK fera binôme premier par la 1. des feçpndesdef. Et par la 55. p. to. la ligne qui peut le reftangle Cl eft binôme. Si incommenf. C K fera binôme quatriefme, par la 4. des fécondés def. &. par lay8. p. to^ la ligne qui peur iceluy reCtangle CI eft ligne maieure.
Que fi la figure À eftoit plus petite que E, auffi le reâangle CE feroir plua petit que le rectangle Fit & CF teroit le plusperit nom commenf à la rationele CD : ôc par ce mo£|§| CK feroit biq$mefecond, ou qinquiefme : fi binôme fécond, par U fd.p. ïo. la ligne quipeut le reétangle Cl eft bimediale première. Si binôme cinquietme, par la /9. p. 10. la ligne qui peut le reét&ngle Cl eft ligne pouuant vn rationel ôc vn médial. Si donc vne fuperficie rationele, & vne mediale, &c. Ce qu’il felloit demonftrer.
S Ç HO t F E.
si la ftperficie rationeÜe jÇeft 7, erta mediale B V48, fa ligne pouuant scelles adioufiees enfimble fera, qui efi binôme premiers fi *A B fint it O* V43& » la ligne pou » uant iceues fera Vu-**3, qui efl binôme ficond : mais elle fira Y8-+-V6, qui eft binôme troifiefine, fi A efii+zpBTfigz : maisfi A eft 6, 0-> JsVjt, eÜefèra a-*— Yz, qui efi Hm. me quatriefme : fi A efi jcÿ— elle fira Va-H qui efi btnome cmquiefbte : erfi Aefi 5, B y 24, la ligne pouuant le compoféI’icellesfira V3 —t-V 1, qui èfi binôme 6 : maisfi A efi 4-rO* i*Vt8, la ligne pouuant U fuperficiecompofee d’ùeüesftta WS+Wz, qui eft mediale première : mais fi A efi 6, <jr-Jiyu> la ligne pouuant lecompofé d’scellesfir* ’V(6’+-ii)ouy($*-’f6)-t-V t finalement fi A efi h o*Bjfô » la ligne pou* uant iceUesfiraV (YB+&)9 w Y (Yi^i^ s-V (y 1), qui efi lignepouuantv » ratie^ Ml&>vnmdial*
NNn iij
t 11.*, IL*. —r—* — M THEOR. 55— PROP. LXXIII.
Si deux fuperficies mediales incommenfîirables {ont iointes, la ligne qui peut le compofé d icelles eft bimediale féconde, ou ligne pouuanc deux médiaux.
Soient ioinftes enfemble deux fuperficies me* diales incommenf. A & B : le dis que la ligne C p ir droite qui peut le compofé d’icelles fuperfi* des A & £ eft bimediale fécondé » ou ligne pou* liant deux raediaux.
Ayant fait fur la rationele CD pareille conftru* dion qu’en la prec. prop. les re&angles C H & F1 feront médiaux & incomm. Ht par la 25. p. 10. CF, FK feront rationeles commenf. enpuiiüance feulement entr’ellcs, & â la rationele C D : ôc O £ — I par la 37. p. 10. CK fera binôme. Soit donc C F le plus grand nonv.Car CF 3c FK ne fçauroient eftre égalés, d’autant qu’elles font incommenf. en longit. Donc CF peut plus que CG du quarré d Vne ligne qui luy eft commenf. ou incommenf. en longit. Si commenf. C.K eft binôme troifiefme par la 3.d.fec. (eftansles deux noms CF, FJt incomm. en long.à la rationele CD) & par la 57. prop zo. la ligne qui peut le reûangle Cl eft bimediale féconde : Si Incommenf. parla é.désfec.uef. CK fera binôme fixiefme : & la ligne qui peut le nedangle Cl eft par la So> p.10.ligne pouuanr deux médiaux. Parquoy fi deux fu* » perfides mediales incommenf. (ont ioin&es, 8cc. vÇe quil falloit demonftrer. s c H 0 L1 £.
Si f/ ? V50, 0*By 48 > la ligne J…xant te compofé d’icelles fera ÿyi8-+• W8 » qui efi bimedialefecondeimaisfi efi y 1 BfddirelignepoHUànt icelles fera V(ÿ U-l-V 8)# o » bicnytf}^i)+V{ÿy^i)*juiefi lign^péufpptnt deuxmediauiïî • C O J{0 l £%£ I l^E, !
De tentes ces chofes enpeut’facilement colliger que le binôme, Cfi les autres lignes irratioüeles qui fhikenr tceUe font differentes entr elles Cr a la mediale ; Car le quarré d’vne ligne mediale, appliqué fur vnehgne rationele, faitV autre cofié rationtl cmmenfbrable en puijfaneefeulement à la rationele a la quelle il efi appliquépar la 23. p, 10. Mais le quarré d’vn binôme » faifttautre eofié binôme premier par la6i.fr. 10. Le quarré d’vne bimediale premieré, fai II l’antre eoftéJwfiome fécond, par la 62. p. 10/. le quarré d’vne bimediale féconde*faift Pautre, eofié’binôme troifiefme, par la 63.p. xo • le quarré d’vne ligne maieure, fam Pautre cofiébinothequatriefine, parla 64, p » 10. le quarré d’vne Vigne pouuant vn raeiouel o* vn medial fait l*autre cofiébinôme, cinquitfme, parl*6$, p, 10.
te quarréuvne ligne
66>p. to.
Mais il faut toufiours entendre oti ils foient appliqn&Lfur vne ligne rationele, Et puis que tous ces coficsi fîat dtjftrms entr eux* il efi mdnfftfie que todtef kWes lignei irratïeiltles font differentes entr’eües,
pouuant deux médiaux, faifil Poutre cofié binômefixiefme, parla » *’1 » ■ ICT COMMENCENT LES SIXAIN ES
des lignes irrationeles far le retranchement. THEOR. 56. PROP. LXXIV.
Si dvne ligne rationele, eft retranchée vne ligne rationele commenfiirable en puiflance feulement à la toute j le refte eft irrationel : & (oit appelé Refîdu.
Soit retranchée de la rationele AB la rationele AC, en forte que AB Sc AC> foient ratio— A’“T ■ ■ c b neles commenfurables en puiiTance feulement : le dis que le refte CB eft irrationel.
Car par la 1. p. 6. comme AB eft à AC, ainfi le quarté de AB eft au re&angle d® AB&AC ; mais AB eft incommenf.emlongitudeâ AC. Doncparlaïo. pr.io. le quarré de AB eft incommenf au re&angle de AB & BC : Partant auffi à fon double : mais les quarrez de AB & AC, font pofez commenf. Donc par la tô. prop. 10. les deux enfemble feront commenf. au feuî de AB : de partant puis que k* quarré de AB eft incommenf au double du re&angle de AB, AC, par la 14. prop. 10. les quarrez de AB & AC, feront auffi incommenf. d deux fois le re&angle de AB Sc AC, leiquels auec le quarré de CB, eftans égaux aux deux quarrez de AB Sc AC par la 7. pr. a. ils’enfuiura que le quarré de CB auec deux fois le re&angle de AB & AC feront incommenf à iceux deux re&angles ; Et par le coroll.de la 17. pr.10. deux fois le re&angle auec le quarré de CB, ( ou les deux quarrez de AB & AC) feront incommenf. au quarré de CB : Mais iceux quarrez de AB, AC, eftans rationaux, (car ils font dcifcrits fur lignes rarionelles} le quarré de CB fera irrationel ; Partant la ligne CB fera aüfsi irration elle : £e fcelîe foit appeilee Apotome ouRcfidu. Si— donc d’vne ligne rationelle eft retran^ ehee, Sc0. Ce qu’il falloit demonftrer.
s c HOUE.
la rationelle foiti, : Donc le refie BCfira 2.—yj. Or encefie trop, ésf fiiiuantes, m Euclide monffre t origine des %4potomes oh rejidus > il ne veut aire autre ehofitjîmn que fi des lignes dent il $agités prop, $7.38. $9.40.41. ey 42. on retranche le plus petit mm du plus grand, U refiefera irrationel) quon appellera ^tpotome9ourefid » i fyc* THEOR. 57. PROP ; LXXV.
Si dVne ligne mediales eft retranchée vne mediale eommen£ en puiflance feulement à la toute, comprenant auec icelle vn re&angle rationel > le refte efrimtionel : Soit appelle refidu medial premier.
Soit la bimediale A€ * de kquelïeeft retrancher » ! amt ? dîaSe AB, en forte qu© ÉS î ? f » ^C mediales commenfurables en puiffimec feulement, « oppfHs
nant vu redangle rationel e le dis que le refte B C eft iü’àtioheh Car puis que A B & AC font mediaies, leurs quart « feront médiaux,& partant incommenf. .
au double du redangle de AB&AC, lequel Al " c eft rationel, vn feul redangle ayant efté pofé rationel. Mais par la 7.prop.i.deux fois le redangle de AB Sc AC,aucc le quarré de BC font égaux aux quarrez de AB&AC : donc aufti deux fois le redangle d.e AB, AC, auec le quarré de BC feront incommenf. au double du redangle de AB&ACv &par !ai7.pr.io.le quarré de BC fera incommenf. au double du redangle de AB&AC ; mais iceluy double eft rationel : donc le quarré de BC fera irratione !, & patrant la ligne BC aufti itrationclle, qu’on appellera refidu médial premier. Parquoy dvne ligue mediale, &c. Ce qu’il falloit prouuer, s c HO L / æ.
La mediale >AÇ foit Vÿ/4, O* la retranchée ; donc le refit £C fira iVSA—VVH’
THEOR. j8. PROP. I.XXVÏ.
Si dvne ligne mediale eft retranchée vne ligne mediale commenfùrable en puiflànce feulement à la toute, comprenant auec icelle vn redangle mcdial) le refte eft irrationel : Soit appelle refidu médial fécond.
f
Soit la medialeAB, de laquelle eft retranchée . la mediale A C, en forte que A B & AC foient À t a commenf. en puiflànce feulement, comprenant vn redangle médial ; le dis que le refte CB eft irrationei. Car puis que les qugrrez de Afi & AC font commenf. par la i6. prop. 10. le compofé dïceux fera aufti commenf â vn .chacun d’eux :& chacun d iceux eftant médial, f pource que les lignes AB, AC fontpofees mediaies) aufti le compofé d iceux quarrez eft medialpàr ie coroll. de la24. prop.io. comme aufti le double du jfedangle de AB, AC, puis que le feul redangle de AB, AC eft pofé media !. Vcndonc que pat la 7. prop. 1. le compofé des quarrez de AB, AC, eft égal au double du redangle de AB, AC,auec le quarré de CB : le compofé desquariez de AB, AC » qui eft médial,excedçra le double du tedangle de AB»AC, qui eft aufti medial,du quarréde CB. Mais par la vj. p. 10. vn medialn excede pas vn tnediali d’vn rationel : donc le quarré de CB n’eftpas rationel j& partant H eft irrationei ; & confequemment la ligne BC aufti irratienclle, qù’oh appellera refidu mediat fécond. Parquoy fi d’vne ligne mediate on retranche ’vue ligne mediale, &vCe qu il fallo^prouuet.
/ S CB OHE»
* * m
la mediale tsisjoifl/l/iï, VB ; donc Ur(fie CSfira W18--VV8. THEOR ? THEOR. J9 ; PROP. LXXVÎI.
Si d’vne ligne droide eft retranchée vne ligne droide incommenfurable en puiflànce à la toute, fàiiànt auec icelle vn rcdangle medial, Scie compofé de leurs quarrez rationel > le refte fera irrationel : Soit appelle ligne mineure. Soit la ligne droiâe AC, de laquelle eft retranchée q AB incommenf. en puiflànce à la toute AC, compre— B nant auec icelle vn rçâangle medial, & que le compofé de leurs quarrez (oit rationel : le dis que le refte BC eftirrationel* Car puifque le compofé des quarrez de AB, & AC eft rationel, il eft incommenf. au reâangle de AC Sc A B, lequel eft medial ; partant auffi au double d ieeluy reâangle. Mais par la 7, prop. 2. le compofé des quarrez de AB, AC eft égal au double du reâangle de AB, ÀCî enfemble au quarré de C B r donc par le coroll. de la 17. prop. 10. le compofé d’iceux quarrez de ÀB, AC fera aufli incommenf. au quarré de CB. Et puis qu’iceluy compofé eft pofé rationel, parla 10. def. le quarré de BC eft irrationel, &la ligne BC irrationelie, qu’on appellera ligne mineure. Parquoy fi d’vne ligne droiâe eft retranchée vne ligne droiâe, &c. Ce qu’il falloit demonftrer.
s c H 0 L I E.
soitUîigMsAC’ÿ (i8-*-yio8), c*v^8V (18—.y 10S) ; le nfie B C fer a donc V (18-+-V108) —y (i8—Viol).’
THEOR. 60. PROP. LXXVIII.
Si d’vne ligne droiâre eft retranchée vne ligne droi&e incommeniurable en puiflànce à la toute, fàflànt auec icelle vn rectangle rationel, ôc le compofé de leurs quarrez medial j le refte fera irrationel : Soit appelle lignefàifanc juec vne lupeir ficie rationele vn tout medial.
Soit la ligne droiâe A C, de laquelle eft retranchée A B * _ incommenf. en puiflànce à la toute, comprenant. auec B icelle vn reâangle rationel, 8cque le compofé de leurs quarrez foit medial : le dis que le refte BC eft irrationel. Car puis que le reâangle de AB Sc AC éft rationel, aufli fera fon dquble, Sc partant par la 10. def. ilfera incommenf. au compofé des quarrez d’icéiles AB, AC, lequel eft medial, c’eft à dire irrationel. Mais le compofé d’iceux quarrez par la 7.pr.z. eft égal au double du reâangle de AB, AC, auec lcqûarréde BC. Donc aufli le double du reâangle de AB, ACgft incommenfur. au double d’iceluy rectangle auec le quairé de BC : Et parla i^.pr. to. ieeluy double reâangle fera aufli incommenf. au quarté de BC. Et puis qu’iceluy double reâangle eft rationel, par la 10. definit, le quarré de BC fera irrationel, Sc la ligne BC auffi irrationelie t la-’OOo quelle foie appelles ligne faifant auec vne fupetficie rationelle » vivtout fnedial : & ce d’autant que le quarré d’icelle ligne eftant adioufté auec vne fuperficie rationele faitvntouï medial, commeil apparoiftraàla 109.prop. 10. Parquoy ftd’vneligne dtoi&e eft retrancher, &c. Ce qu’il falloit demonftrer. S C H O LIE,
si^tCefi V (Vh6— « A BCfà* Y (Yaié+V ? *)
—y (lixc-yjt).
THEOR. 6b PROP. LXXIX.,
Si d vne ligne droi&e > eft retranchée vne ligne droide incommenlùrable en puiflance à la toute > comprenant auec icelle vn re<ftangle medial, ôc incommenfurable au compofé de leurs quarrez aufli medial ; le refte eft irrationel : foit appelle ligne faifant auec vne fuperficie mediale Soir la ligne doiâe AB » de laquelle eft retranefiée la Vn tout medial.
ligne AC incommenfurable en pu i (fan ce à là toute, Â~ g B comprenant auec icelle vn redangle medial inc-ommenf. aucompofé de leursquarrezauffi medial : le dis que lè refte BC eft irrationel. Car puisque par la 7. propofi t. a. le compofé des quarrez de AB, AC, eft égal au double du rc&angîe de AB » AC auec le quarré de BC : iceluy compofé des quarrez excédera le double du re&angledu quarré de BC. Maisparla 27. prop.io. vn medial n excede pas vn medial d’vn rationel : Donc le quarré doBC ja’eftpas ratioael ; 6e partant’eft itrationel*, & ; la ligne-BC aufli irruionelle ; laquelle on appellera ligne faifant auec vne fuperficie mediale vn tout medial ; parce que le quarré d’icelle ligne auec vne fuperficie mediale fait Vn tout medial. Parquoy u d’vne ligne droiûe eft retranchée vne ligne d roide, &c. Ce qu’il falloit demonftrer^ s C H o L j E.
si^€B efiŸ(ŸiSo+ÿ60), cr vÆG 1/(if60), 1er efi e Cb fira y(Pb8o ÿé o). (Y180—Yéo).
£ E M M Ë,
s’il j a quatre grandeurs uiB9 C, D E> F, <&• que GBexcè^d’entre *ABO* C fiit égala HE excez^aentre VEtsr Fi aufii en fernmttant l’exce^d’entrt */fB Or DE fixa égalai’ex-cezj. ’entre Cfy F. Car fuis que GB eft l’excezjtentre ytB Cr C » tAGferaegqlàC : En la mefine ma— Ar ■ Q* ■ g niere DH fira égal à F. Donc l’exeçz^d*entre yîG— (j— —. ■„ DH fera égal à l’excc^ d*entre C ç*r F, fuis que y —.. jcesgrandeurs ey fint égalés à celles-la, chacune à U ÿ— « n. fiemeyvr fartant ndmfirmt à ^€G $7* DH shsfis égalés GBCr HE y l’exce^ d’entre les toutes <ABO>DB firatoufiwrsegalà l’exees^d’enfre C0* F. Ce qui efioit frofofé.
COJ(Ol L sA IEJL.
, PcJes J% ! 4PPer* 1ue ^tre grandeurs ayantfmmitn Arithmétique > en ptmut Mb files firent aufii enfrofortm Arithmétique, * THEOR. 6Ù PROP. LXXX.
Au refidu ne peut conuenir quvne feule ligne droidte rationele commenfurable en puifiànce feulement a la toute. Soit le refidu AB, auquel conuienne 1a ligne droite BC, rationele comment, en puiffance feulement à la toute AC : le dis qu’à icelle AB ne peut conuenir autre ligne en la mefme forte.
Car s’il eft poffible * foie vne autre ligne B D, s’accordant auec icelle AB, en fort© que AD ôc BD foientrationeles commenf.en puiffance feulement. Maintenant par la 7.{>r.x, les deux quarrez de AC, BC font plus grands que deux fois le teftanglc de AC, BC du quarré de AB. Pareillement les deux quarrez de AD, ôc BD font plus grands que deux fois le reftangle de AD, BD, du mefme quarré de AB Ôc en petmucant, parle lemme precedent les
quarrez excéderont autant les quarrez, que £ *3 — les reftangles excedent les reftangles ï & d’autant que les quarrez fontrationaux, leur excez fera rationel, pat le lemme qui précédé la 4 ;.p.io.& partant les reftangles eftans médiaux, (poureeque parla ir.p.to. vn fèùl d’iceux reftangles eft medial, ôc par le corol. de la 14.. prop.io.fon double eft auffi media !) leur excez fera rationel contre la 17. prop. 10. Donc à AB ne peut conuenir autre ligne que B C, rationele commenf.en pui fiance feulement à la route. Parquoy au refidu ne peut cpnuenir, ôc c. Ce qu’il falloit demonfirer. "* : THEOR. 65, PROP. LXXXL
Au refidu medial premier> ne s’accorde quvne feule ligne me~ diale commenfurable en puiffance feulement à la toute, 6c comprenant auec icelle vn re&angle rationel.
Soit le refidu medial premier AB, auquel la mediale BC s’accorde en forte que AC ôc BC, foient fàedtaleS’commenf. en puifiànce feulement, comprenant va reftangle rationel.* le dis qu’à icelle AB ne peut conuenir — ? autre lignedroifte queBCen la mefme forte. X" g q Car fi faire fc peur, en foit vne autre B D. Maintenant par la7*prop 1. il fe prouuera comme en la preced. que l’excez d’entre le compofé des quarrez de AC, BC, & le compofé des quarrez de A D, BD, eft tel que l exçez d’entre deux fois le reftangle de AC, BC, ôc deux fois le reftangje de AD, BD. Mais l’excez d’entre ces reftangles eft rationel parlé lemme qui précédé la 43. prop. 10. pource que chacun d’ieeqx eft rationel : Ôc partant lexcez demie les quarrez qui font médiaux, ( eftans défaits fur lignes rnediales) fer oit auffi rationel, contre la a7.pt.10. Donc.à AB ne peut conuenir autre ligne mediale que BC, qui foit commenf. en puiffance feulement à la toute, ôc comprenant auec icelle vn reftangle tationel. Ce qu’il falloit prouuer.
THEOR. fi4. PROP. LXXXII.
Au refidu medial fécond, ne peut eftre conioin&e qu’vne feule OOo ij ligne ntediale commenfiirable en puiflance feulement à la toute > ôc comprenant auec icelle vn re&angle medial. Soit eonioin&e au refidu medial fécond AB la mecuale BC, commenfurable en puiflance feulement à la route A C, &faifantauec icelle vnreîlangle medial. le dis qu’â iceile A B ne peut pas conuenjr vne autre ligne que BC » en la mefme forte. Car G faire fe peut, en foit conioin&c vne autre BD en la forte requife. Et fur la rationeje propofee EF, foit appliqué le re&angle EG égal aux deux quarrez de AC, BC ; & à la mefme EF foit encore appliqué El égal au quarré de AB : parquoy par lay.pr.2. le refte KG fera égal à deux fois le re&angle de AC, BC. Item fur la mefme rationele foit encore appliqué le re&angle EL égal aux deux
quarrez de AD, BD : Et puifque le re&angle £1 efl égal au quarré de A B, aufli KL fera égal à deux fois le reâangle de AD, DB, parlafufdite 7, prop. z.
Maintenant les quarrez de AC Se BC font médiaux ( eftans faits de lignes mediales) Sc fi le double re&angle de AB & BD doit eftre medial : partant leurs égaux re&angles E G Se KG feront médiaux : lefquels appliquez fur la rationele EF, auront les autres coftez EH& KHrationaux ^omm.en puiff. feulement à EF parla2 ?.p.io. en aptes, le quarré deÂC.eftant au re&angle de AC &BC, par la i.p*6. comme ACeftà BC, qui font incommenf. en long, par laïo.p.io.le quarré de AC fera incommenf, au re&angle de AC Sc BC : &partanraufuà fon aouble KG » Item le quarré de BC eft commenf.au quarré de AC, Sc par la il.p.io. le re&angle EG égal â iceux quarrez » fera incomm. au feul quarré de AC, auquel KG eft incommenf. Et par la i4.p.io.EG&KG feront incommenf au fÉ feront les lignes EH Sc KH par la 1.p.6, &10 pr.io.lefquelles eftans rationeles feront incommenf.’en puik fance feulement : & par la 74.p.io. EK fera refidu & KH fa conuenabïe. Par mefme difeours (fi on maintient que DC foie aufli adiointeâ AB félon le requis’) BKfè trouuera refidu, & KM fa conuenabïe : ce qui feroit contre la 80. pr. 10. Donc au refidu medial AB ne peut s’adioindre autre conuenabïe que BC. Ce qu’il falloit demonftrer* •>.
THEOR. 65. PROP. LXXXIIÏ.
A la ligne mineure, conuiencvnc lèule ligne droi&c incorhmenC en puiflance à la toute, comprenant auec icelle vn re&angle medial, Ôc le compofe de leurs quarrez rationel. Soit la ligne mineure A B, â laquelle comiienneBCincom-C D
menf. en puiflance à la toute AC, Sc faifant le compofé de A B leurs quarrez rationel, Sc le re&angle cbmpris d’icelles AC, BC, medial. le dis qu’à icelle AB ne peut eftre adioime autre ligne que BC qui faflfe ie mefme. E IBM BUT.’477
Car fi faire fe peut en foie adiouftec vne autre B D » qui foit pareillement incommenf. en puiflànce à la toute AD, & faifant le compofé des quarrez de AD, BD rationel % de le reâangle compris fous icelles AD, BD, media ». U fe prouuera comme en la 80. prop. 10. qu’il y a mefme excez entre le compofé des quarrez de AC, BC, de le compofé des quarrez de AD, BD, qu’entre deux fois le reâangle de AC, BC, de deux fois le reâangle de AD, BD. Mais l’excez d’entre les quarrez eft rationel par le lemme qui fuit la 41.prop. 10. pource que l’vn de l’autre compofé eft rationel : donc aufli l’excez d’entre les reâangles fera rationel » contre la z7.pr.10. Car iceux reâangles eftans médiaux, f excez d’iceux ne peut eftre rationel. Doue à la ligne mineure AB on ne peut adiouftet autre ligne conuenable que BC. Parquoy à la ligne mineure s’accorde vne feule ligne, de c. Ce qu’iLfalloit prouuer.
THEOR. 66. PROP. LXXXIIII.
À la ligne faifant auec vne fuperficie rationele vn tout medial, s’accorde vne feule ligne incommenf en puiflànce à la toute* Ôc faifant auec icelle vn rc&angle rationel : mais le compofé . de leurs quarrez medial.
Soit la ligne AB faifant auec vnê fuperficie ra—. tionelle vn tout medial, à laquelle AB s’accorde la A B C ï> ligne BC, incommenf. en puiflànce à la toute AC » de comprenant auec icelle vn. reâangle rationel » mats que le compofé de leurs quarrez foit medial. le dis qu’à icelle AB ne peut s’accommoder autre ligne que BC, qui fafle la mefme chofe.
Car s’il eft poflible, en foit encore vne autre BD : il fe prouuera comme en la 80. pr. 10.que les quarrez de AC, & BÇ, excedent les quarrez de AB& BD d*vn mefme excez, que deux fois le reâangle de AC & BC, excédent deux fois 1èreâ &ngle de AB de BD, lequel excez comme en la precedente feroit rationel Sc irra. tionel, fi à la ligne AB on pouuoit encore Joindre BD incommenf. en puiffance à la toute AD, de c. Parquoy à vne ligne faifant au cc vne fupeificic rationelle vn tout hiedial, dec. Ce qu’il falloit demonftrer ? THEOR. 67. PROP. LXXXV.
A la ligne faifant auec vne lùperficie mediale vn tout medial, fe conioint vne feule ligne incommenfurable en puiflànce à la toute, comprenant auec icelle vn rc&angle medial, ôc incommenf. au compofé de leurs quarrez oui eft auffi medial. Soit la ligne AB faifant auec vne fuperficie mediale vn tout medial, à laquelle AB s’accorde BC incommenf. en puiflànce à la toute AC, Sc comprenant auec icelle vn reâangle medial, incommenfurable au compofé de leurs quarrez » qui eft’auffi medial. te dis qu’à icelle AB ne peut s’adtoindre autre ligne que BC, qui faffe le ptopofé.
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Vas. « M W ■ Car fi faire fe pëntj ën foie adiouftec vue autre BD. Puis (oit fait mefmë con ftruâion qu’en la 8x. prop. xo. Donc le compofé des quarrez de AC St BC eftant médial, 3c incommenf. à *—■ ■■■ » ■ ! ■ ■ P—£—& deux fois le redangle de AC & BC, auflî medial, leurs E ic h m égaux redangles EG & KG feront médiaux, & incom— I j | j menfurables ; Et par la zj. prop. 10. eftans appliquez I N î fiirla rationele EF* leurs autre ? coftez EH &KHfe— j I ront lignes rationeles, 3c par la i. prop. 6.3c io.pr. io. j commenf en puiflànce feulement-, (puis que leurs re— f dangles font incommenf.) 3c parla 74. prop. 10. EK J J fora refidu auquel KM fera conuenablement adiou* 1 { ftee : Par mefme difeours (fi on dit que BD foit aufii I J conuenable à A B, & faffo ce qui eft proppfé/EK fe I j I trouuera refidu, & KM fa conuenafcîe : ainfi le refidu il’I EK n’auroit pas vne feule conuenable, conrrc la 80. g j——<j—jf pxop. io..On ne pouuoit donc pas adjoindre à AB, au* ’tre ligne conuenable que BC, incopunenfurable en puiflànceàla£oure, Sec, Ce qu’il falloit de mon fixer.
DEFINITIONS TROISIESMES.
C)
Sfiantpropofee vne ligne rationele, tyvnrefidu : Lors que la toute compofee du refidu O* de fit conuenable ou adieufiée, peutplusque fa conuenable, du quarréd’vne ligne qui luy efi corn* menfUrable en longitude ?
i. Si la toute eft commenfurable en longitude à la rationele propolëej le refidu (oit appelle refidu premier, z. Mais fi la conuenable ou adiouftec eft commenfurable efi long, à la rationelle propofee s foit appelle refidu fécond. 3. Que fi fvne ny lautre rieft commenfurable en longitude à la rationele propofee > foit appelle refidu troifiefme. Derechef, lors que la toute peut plus que f adioufie e, du quarré d’vne ligne qui luy efi imommenjurable en longttudp,
4. Si la toute eft commenfurable en longitude à la rationele propofee > foit appelle refidu quatriefme. }. Mais fi 1 adiouftee eft commenfurable en longitude à la rationele 5 foit appelle refidu cinquiefme. 4’Que fi ny i vne ny lautre n eft commenfurable en longitude à la rationele > foit appelle refidu fixiefine. PROBL. i9. PROP. LXXXVI.
Trouuer vn Apotome ou refidu premier.
Eftans tsouùËZ deux nombres quarrez AB, CB, ( comme nous auons enfeigné $u fécond fcholie de la 19.prop. de ce liure) defquels l’excez AC ne foit quarté,foie pofèe la rationele D, i laquelle EF foit commenf* en
longit. & partant icelle E F fera auffi rationele : puis A....*C*...B après par le corol. delà é.prop.to. foit faiéfc que comme le nombre AB eft au nomore AC, ainfi le quarré de EF ^ o ~ « foit au quarré de GF. le dis que EG eft refidu premier. h — -—" ’ Car puis que les quarrez’de EF,GF> qui font comme
nombre â nombre» (ont coniraenf. par la to. pr • auffi les lignes EF» GF feront com» meuf, au moins en puifiànce : 8c EF eftant rationele» GF le fera auffi. Mais d’autant que les deux nombres AB, AC ne font entr eux comme nombres quarrez : auffi les quarrezde EF»GF ne feront entr’eux comme nombres quarrez : & partant par la 9. prop. 10. les lignes EF > GF font incommenf. en longit. elles font donc rationeles commenf.en puifiànce feulement ; 8c partant le refte EG fera refidu par ia 74.pr.10. le dis dauantage qu’il’eft refidu premier t car EF eftantplus grande que GF, elle poutra plus qu icelle CF : foit du quarré de H. Et puis que comme le nombre AB eft au nombreAC, ainfi le quarré de EF eft au quarrë de G F, par conuerfion de ration, comme AB feraà CB, ainfî-le quarré de-EF fera au quarré de H, Mais A B, CB font nombres quarrez : Donc les quarrez de EE 8c H .fontentt’eux comme nombres quarrez : & partant parla 9. p. 10, les lignes EF 8c H (ont commenf en longi- ! tude. Par ainfi la toute EF commenfurable en longitude à 1a rationelle D, peut plus que ia conuenabie GF » du quarré de la ligne H» quiiuy eft commenfurable enlongitude : & partant par la i* des troifiefines def. EG fera refidu premier*- Nous auons donc trouuévn refidu premier. Ce qu’il falloir faire.* s CM 0 il B,
la rationele D fiit 9, EE6 : CB4, &*par confequent ACefîf ; faifetmdonc que comme 9 eft a 5, ainfi le quarré d* EF, c’efi a dire 3 6 » foit au quarré de EG j icelle EG fera Vio : cr partant lerefteEGfera <5—y 10, qui efi refidu premier* Or ilappertpar lesdef preced. queApotome ou refidu n’efi autre chofe que ce qui reftera fi de deux nombres pofexjationaux commenjurables en puiffance feulement onfeuftraitble moindre du plus grand ce quife fait par V interpofitiondu figne~* par ainfi il ny-a aucune différence entre le binôme- gr le refidu, fimn qu en celuy 4a les deux noms fint conieiti&s pu* le figne o* en eefiuy cyfvn efifeufir ailé de l* autre par le figne • Parquoy pour promptement Prouuervnrefidude quelque efeece que ce fiit, il ny-a quàtçouuer le binomçde mefme ejbece, ainfi qu’ila efié dit cy -douant, puis au lieu du figne •+• appofer le figne—. Comme au feholir de la 49, prop, nous auons trouué ee binôme premier 8-t-y 48 ». mats en changeant feulement l& figne mus aurons 8—V48 , pour refidu premier : o* ninfi des autres. PROBL. 20. PROP. LXXXVII.
. iTrouuer vn refidu deuxiefine.-
Eftans trouuez deux nombres quarrez AB» CB » (comme- en là pitcsuciite propofition ) &l’expofee rationele D, foit prife GF commenf, en longitude à icelle D, J laquelle fera auffi rationele : puis foit fait que comme le nombre AC eft au nombre’ AB » ainfile quarré de GF (oit au quarré de-EF par le corol* de la6.pr.10. le dis» que EG eft refidu fécond, —— ’— Car puis que les quarrez de GF, EF, ayans la raifon des nombres AC, AB, fon j comment, par la é. prop. xo.les lignes GF, EF feront auffi commenf. au moins en puiflànce : Ôc GF eftant rationele, EF le fera aufli. Et d’autant que les nombres AC, AB, & partant aufli les quar* A…..C….B rez de GF, EF, ne font entr’eux comme nombres quarrez, par la 9.pr.io.GF, EF, feront incommenf. en longitude : ®^ donc les rationeies GF, EF, font commenf. en puiflànce rj 1 ™ feu ! emenr : & partancparIa74.p.io.lercfteEG eft refidu, le dis auffi qu’il eft refidu fécond. Car EF eftant plus grande que GF, elle pourra plus qu*ic^lle, 8c foit du quarré de H. Donc puis que comme AC eft à AB, ainfi le quarré de GF au quarré de EF} en changeant* comme AB fera à AC, ainfi le quarré de EF fera au quarré de GF. Maintenant nous demonftrerons comme en la preced. que la ligne H eft commenf. en longitude à icelle EF. Parquoy puis que la toute EF, peut plus que l’adiouftee GF, du quarré de H, qui luy eft commenf. en longitude, comme auffi à la rationele propolee D : par lestroifiefmesdef. EG fera refidu fécond. Nous auons donc trouué vn refidu fécond, ainfi qu’il falloit faire. s C H O Ll B.
Ia ratione le D foit y, FG jAB 9, CB 4 : ty* par confiquent A C faifant donc que comme AC$ eft A Bp 9 ainfi le quarré de G F foit an quarré de BF : icelle BF fira y4/ : O0 partant EGfera V 4f—-5, qui e$t refidufécond »
PROBL. m. PROP. tXXXVIII.
Trouuer vn re{idu troifiefine.
Ayant trouué les deux nombres quarrez AB, CB » ACB comme en la proposition $6, foit pris vn autre nom— • bre 1 « ( comme nous auons enfeignéen la 51. prop. ***’’* de ce liure) qui ne foit à l’vn ny à l’autre d’iceux AB, ® AC, comme nombre quarré à nombre quarré : puis’B — —-■■■ p » ■>} eftanr expofee la rationele D, foit fait que comme I H » —■■■< » ■ ■■■• eft â AB, le quarré de D foir au quarte de EG, ief quels quarrez par la 6, pr.io. feront commenfurables : 8c partant les lignes D Ôc EG auffi commenf au moins en puiflànce. Donc. D eftant rationele, auffi EG fera rationele. Et d’autant que les nombres 18c AB, 8c partant les quarrez de D & EG, ne font en raifon de nombres quarrez » par la p.prop. 10. les lignes D & EG feront incommenf. en longitude. Derechef, fort fait que comme AB eft i AC » ainfi ! &. quarré de E G foit au quarré de GF. le dis que EF eft refidu troifiefine. Car puis que les quarrez de EG, GF, eftans comme nombre d nombre, font com » menfurables paria 6.prop.10. les lignes EG, GF feront auffi commenf. au moins en puiflànce. Mais {EG eftant rationele, GF le fera auffi. Er puisque AB, AC>&partant auffi les quarrez de EG, GF* ne font entr’etix comme nombres quarrez ; par la 9. prop. 10. les lignes EC, GF feront incommenf en longitude. Donc EG » FG font rationeies commenfurables en puiflànce feulement ; Ôc. partant puis que de EG eft oftee G F commenf. en puiflànce i icelle, par la 74.pr.jto. le teft&EF fera relîdu. le dis qu’il eft auffi refidu troifiefine : Cal puisque comme 1 eft X AB, ainfi le quar* rb de D eft au quarré de EG, ôc comme AB à ÀC » ainfi ie quarré de EG au quarré de FG »
dcGF ; en raifon égalé, comme IleraiAC, ainfi le quarré de D auqnané de G F. Or les nombres ACne foncentr’eux comme nombres quarrez, ny par confequent aufli les quarrez de D ôc GF : parquoy par la 9. prop. 10. les lignes D & GF fonr incommenf. en longitude. Donc l’vne Sc l’autre d’icelles EG,GF eft incommenf. en longitude à la rationele propofee D. Et comme en la SG.pt. on prouliera que EG peur plus que GF du quarré de la ligne H, qui luy eft commenf.en longitude : Et par les tierces def. E F fera refidu troifiefme, qu’il falloit trouuer. SCffO LIE.
la rationele V fiit 6, & ? fiit fait pie comme le nombre l6> efi k ainfi le quarré de i fçauoir >fiit a» quarré de EF9t^icelujfira^ , çr par confie quent la ligne BFVjq. : Mais faifant qtte comme .A Bp ,efia ACq» ainfi le quarré de EF fiit au quarré de FG > icelle FG ? fera Ÿ $0* iÿ*Par confisquent EGfiera 4-—y$o, qui eff refidutroifiefime. PROBL. tz. PROP. LXXXIX.
Trouuer vn refidu quatriefme.
Eftans trouuez ( comme nous auonsenfifigné auj.firhofie.de Iàiy.prop.) deux nombres AC, CB, tels que Je compofé cTicéhx AB neioitàl’vnny â|autrc AC, C B, comme nombre quarré à nombre,quarré ; foit propofee la rationele D, à laquelle foie commenfurable en A.....C.* ..B longitude EF,laquelle fera par confequentauÜi rationele. Que fion acheue de conûruire comme en la 86.prep. ^ ■ ê-"" m on demonftrer* comme làquc EG eft refidu : ôc d’auan- £ V.1 r iunri1 * tage.ie dis qu’il eft refidu quatriefme.
Car EF eftant plus grande que GF, elle pourra plus qu’iccllç, foir du quarré de H. Et puis que comme AB eft â AC, ainfi le quarré de EF au quarré de GF^par conuerfion de raifop, comme AB-â CB, ainfi lequarré deEF au quarré de H. Mais les nombres AB, CB, ne font comme nombre quarré à nombre quarré : donc par la 9. prop.to. les lignes EF Ô< H feront incommenf. en longitude. Parquoy la [toute EF peut plus que l’adiouftee GF dii quarré de H, qui luy eft incommenf. en longitude, & la mefme EF eft commenfurable en longitude â la rationele D : partant par les 3. def. E G fera refidu quatriefme. Nous auôns donc irouué vn Apotome ou refidu quatriefme. Ce qu’il falloit faire. s cÀr o i j s.
la rationele £> fiit 9, EFG : fàifantdom que comme AB 9 efi a AC 6, ainfi j G quatre de EF fiit au qu an e deFG, icelle fera Va 4, er far confiquentle refile EG fera G—V14, qui e/ï refidu quatriefme.
PROBL. tj. PROP. XC.
T îouuer vn i*efidu cinquiefme.
Eftans trouuez les deux nombres AÇ,CB>commc en la prop.peee.feU fait mefmd conftruéUon qu’en la 87, puis foie demonftré comme en icelle que GE cfttefidu. le dis en outre qu’il eft refidu ;e. Car FE peut plus que GF du quarré de H : Et comme en la 86. prop. nous démon (li erons par conuerifipn de raifon, que comme AB eft à CB, ainfi le quarré de EF eft au quarré de H j & comme en la preceppp dente, les lignes E F ôc H feront incommenfurables en longitude : ôc la conuenable GF commenfurable en longitude d la rationele D. Parquoy par les 3. def. EG fera refidu cinquiefme. Nous auons donc trouué vn refidu cinquième. Ce qu’il falloic faire.
SCHOLIE.
La rationele D fiit 9, FG 6, faifint que comme Ac6, efi a Alt 9, ainfi le quatre de Gf fiit au quatre de E F, iceluy fira /4, C ? — par confiquent la ligne BFV54 » €9* le refit E « ? yj4—6, qui efi refidu ctnquiefme.
. PROBL. 14. PROP. XCI.
Trouuer vn refidu fixiefme.
Eftans trouuez les trois nombres AC, CB, Sc I, comme en la 34. prop. tels que AB ne foie d l’vn ny i l’autre d’iceux AC, CB : &Iàl’vn ny à l’autre d’iceux AB > AC, comme nombre quarré à nombre quarré : foie expofee la rationele D, Ôc acheuec lacoaftruâion comme en la 88. prop. Nous demonftrerons donc comme là, que D Ôc EG font incommenf. en longi¬
tude, Sc que’EF eft refidu ; en après, que A….<..C…„B D & FG feront auffi incommenf.cn longt— 1
tude ; Ôc partant l’vne & l’autre d’icelies EG,
FG eft incommenfurable en longitude à la
rationele propofee D. Maintenant, que EG
puiiTc plus que FG du quarré de la ligne H,
laquelle nous demonftrerons comme en la S^.prop.cftre incommenfurable en longitude d icelle EG. Donc puis que la toute EG peut plus que laconuenable FG, du quarré de H qui luy eft incommenfurable en longitude, &quc EG ny FjSneft commenf. en long, à la rationele propofee D, par la derniere des 3. def. ÉF fera refidu fixiefme. Nous auons donc trouué vn refidu fixiefme. Ce qu*ii falloic faire. S C HO LIE,
Za rationele D fist ÿ’, o-fiit fait que comme /9 eSikABti, ainfi Si quarré de D fiit au quant de EF ; lequelfira trouué de 108, o*par confiquent icelle EF fira V108} çy faifint que comme A Befi à AC y t ainfi 108 fiit au quarré de PG icelle F G fira V03, grpar confiquent le refit EG fera ÿioS—Vtfj, qui efi refidu fixiefme. Or nous tmuterons encore s (comme enfiignefheon) Itsfixrefidus fifdits, ainfi quil enfùit* S*il fint trouuer pour exempte le refidu premier : foit trouuépair la 49.pr.10. le binôme premier AD, duquel le plus grand nom efi AC, o* le moindre CD puisfiit couppédeAC la ligne Ç B égalé k CD. te du que AB en refidu premier. Car d’autant que AC, CD, fint rationeles commenfurables enpuijfance feulement A* ’ g— ^ ^ aufii A C » BC firont rationeles commenf. en puijfanee feulement : Donc parla7i.pr.io. A B efi refidu. Et pource que AC peut plus que CD, ou CBdu quarré A*vne ligne qui luy eft commenf en longitude, AC efi commenfurable en longitude k la rationele propofie par la def du binôme premier^ AB fera refidu premier par la 1 : des tierces def. Par la mefme maniéré feront immeo^tous les attires rtfidus $ fiatmr efi le Ie, fi du ficond binôme nous 0fions le moindre nom Au plus grand, grc. Ainfi ayant trouué le binôme premier. ADp+Yi f, fi du plus grand mm *4Cÿ, on « fie le moindre noms refiera le refidu %4B de 9—Y45. tr ainfi des autres’. THEOR. 68. PROP. XCII. Six. 4.
Si vu fedtanglc eft compris d vne ligne rationele & dvn refidu premier, la ligne qui peut ieeluy re&angle eft refidu. Soit le rcftangle AC compris de la rationele AB/& du tefida premier AD : le dis quelalisncquipeuticcluy re&anglceft refidu, , ,., Au refido AD foit fa conuenable DE, laquelle foit couppee en deux égalément au poinGF, Puis fur la ligne AE foie applique yntc^angle défaillant d vne figure quirree, Ôc égal au quart du quarré de DE, qui eft le quarré de FES Sc (oit ieeluy refcangle compris fous AG, GE : en après, foient menees les lignes I K, GH, El parallèles à AB, qui rencontrent la ligne BC prolongée en K* H& I : puis foit fait le quarré LM égal au re&angle AH, Ôc le quatre NO égal au re&angle EH, ayant auec LM l’angle LPM corn— a t> itiun. Do ne les quarrez LM* NO * par la zé* prop. feront au long d’vn mefme diamecre.-lequel foie PQi, foient continuées les lignes NS, OS, afin dacheuer le gnomon VX. Maintenant, FE eft moyenne proport, entre AG & GE, pat la 17. pr. S. car par l’hypothefe le quarré de s EF eft égal au rêâangle de AG Ôc GE » ôc pat la i.pr.é. le rtâioslt KE fera milieu porport. entte les deux rectangles AH & HE : il le fei aufli entre leurs égaux quarrez LM Ôc NO. Mais par le lemme de la 54.pt* 10. le re&angle f LO, èft aufli milieu propott.entre iceux quarrez : Donc KE, ou DK fon égal, fera « gai au reftangle LO-, ôepar confequent KG à LS, (eftant HE égal à N O.) Ieeluy G K sfera aufli égal U SM 1 par ainfi le re&angle DH fera égal • » gnomon VX. Mais tout le quarré LM eft égal au re&angle AH. Donc le reétonglo AC fera égal au quarré TE. Maintenant, ie dis que la ligne TS, qui peut le reftang Ca^uffque AD eft refido premier, ôc DE fa conuenable : les deux lignes AE Ôc DE fomrationeleseommenf.enpiMflâncefeulement, eftantlatouteAEcommenf. en longitude à la rationele AB, ôc pouuant plus que 1 adiouftec DE, du quarré dyne ligne qui luy eft commenf. en longitude : Et par la 18.pr.10. le rectangle défaillant auralcs deux coftez AG & GE commenf. en longit.& par la i6.pr.io. ils feront commenf. en longit. à la totale AE, laquelle eftant commenfurableenlongn. à la rationele AB, par lin. prop. 10. AE, AG, GE, AB, feront toutes rationeles commenf en longitude*. Ôc par la ao. pr. 10. les reôangles AH 8c HE feront ratj°* naux, Ôc par confequent leurs égaux quarrez LM & NO auffi rauonaux > Ôc les lignes TO 8c SO rationeles. Pareillement » fes deutf lignes DF &FE frtans egales 6c commenf. elles le feront aufli à leur toute DE, par Iat6.pt. to. laquelle DE eftant rationele, DF& F E feront aufsi rationeles commenf en puiiunce feulement à AB, comme leur toutcPE : ôc parla zt.pr.io. eursre&anglcsCF Ôc ktfcnme médiaux. Mais lcreékangle LO eft égal au. medial It E, partant aul « medial & ir. comiqenft au quarré rattonel N O, donc par la t.p.fi. 8c 10 ppüÿ kurs cü’ r
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M. & SO feront incommcnf. en longit. & pour autant qu’ils font fafionaux, ils feront commenf. en puiflànce feulement, & par la74.pr.10.TS eft refidu. Si donc vn re* dangle eft compris d’vne ligne rationele, ôce. Ce qu’il falioit demonftrer. s C H o L r S.
La rationele ^/tB foit 8, cr JCD 9—V4S : DE 9fi ^° » c ^45 » moitié DfVlli.* mais ’t/TGferajztCrGE.ïl’Donc le reftangle.BE efi yi, <sfH60i HE il, CF^yiO O" ^AC72> crlereftangledetAGtGE efi 11%. Parquoy le quarré LM fera NOm partant la ligne LPefi YGo ? NPYn : par confeqnent LN, on T s fera yéo—Yiiy qui efi refidu i ey*fon quatre TI{efl 7£-*“V1880, égal au reflangle „/£ C* THEOR. S ?. PROP. XCIII.
Si vn re&angîe eft compris q vne ligne rationele ôc cfvn refidu : fécond, la ligne qui peut iceluy re&angle, eft refidu medial premier.
Soit le redangle A C, compris de la rationele AB » & dqrefidu fécond AD. le dis (après auoir conftruir comme en la precedente, ôc demonftré comme là que le rectangle AC eft égal nu quarré TR Jque la ligne TS. qui’ peut iceluy redangle AC, eft refidu medial premier. Car puis que AD eft refidu fécond, & DE fa conuenable^ lesdeux lignes AE& DE font rationeles coratnenfiirablesen puiflànce feulement, la conuenable DE eftant comsnenfurable en longitude à la rationele AB ? & AE peut plus que DE du quarré d’vne ligne qui luy eft commen. durable en longitude, 6c par la 18. p.<to, le redangle défaillant aura les deux coftez A G 6s GE commenfurables en longitude, & par la prop. 10. ifo feront aufsi commen » .fltrablesà la totale AE, 6c par lau. prop. 10. icelle totale eftant commenfurable en longitude à la rationele AB, aufsile feront. ÀG& GEy qui font ratfcmeJes (car elles font commenfurables à leur totale AG » qui eft ra* tioncle) commcnf. en puiflànce feulement à fa rationele AB, 6s par la 21. pr. 10. les redangles AH 6c HE feront médiaux ; partant modiaux leurs eçaux quartes LM 6i NO, 8c leurs coftez TO ôc SO feront dignes mediaies. Pareillement DE eftant commenfurable en longitude à la rationele AB, aufti le fera fa moitié FE, &.par la 20. prop. 10. le redangle KE fera rationel*. partant aufti rationel Ion égal redangle LO, compris des deus mediaies TO 6c SO, lefquelles font incow menfnrublesen longitudes (autrement leur redangle feroit medial par laij.pr.xo.l & par la yç.pr io. TS eftrefidti medial premier. Si doftavn redangle compris d’vne ligne rationele, 6cc. Ce qu’il falloir dentQsftrer. s C H Gif E,
La rationele s foit ^yîl) 1^4$**—y, * DE efi donc y, fa moitié DF z|, & par confè1 eut le quarré ficelle DF onFE efi 6~t auquel eïîant égal lere&anjde dcSïGt G E) icelles v y
S *
S j
qtlent le quarréd’tcelle DFonFE efi 6E9 auquel eftant égal le rtflangle front Y14* parquoy le reftangle HEfoH le qnarréftO fera V to ; partant Jèntofte SO etiiilQ* Mais puis que la ligne JtE efi y 4$, 0 » jfG Vji J : lereftangle BEfera V720 > O* ou le yaarré LM V joo ; ey par confequent la ligne TO efi iy$00 : de laquelle eftant ofiee SO, refiera rj VV500—vViO, qui efi refidu medial premier, Zyfin quarré Tl^efi Iqto—yto. Mais le reftangle ^ÎC efi autant : car multiplianty/FB 4 par jîV V45—$, viendra aufii 7/720—1/20. Donc s T refidtt medial premier peut le w ilangle jîCt,
THEOR. 70, PROP. XCIV.
Si vn reârangle eft compris d’vne ligne rationele, 8c d’vn refidu troifiefme j la ligne pouuant iceluy redangle> eftrcfidu medial fécond.
Soit (e re&angle AC, compris de la rationele AB, & du refidu troifiefme AD ? (après auoir conftruiéfc comme en la pz. prop. 10.) ie dis que la ligne TS qui peut iceluy re&angleAC » (comme nou » auons demonftréen la fufdite prop.) eft refidu medial fécond ;
Car puis que AB eft refidu troifiefme, Sc DE fa connenaBle, les lignes AE 6s DE fonr rationeles commenf. en puifTance feulement, tant cntr’elles, qu’à la rationele A B ; mais AE peut pluaque DE du quarré d’vne ligne qui luy eft commenf. en long. &pâtlai8.prop.io.AG&GE feront commenf. en longit. Sc à leur totale A Epar la 16 pr. 10. Et feront rationeles comme icelle : mais AE eft comment en puifTance feulement à la rationele AB, Sc par la 14. pr. 10. AG & GE feront commenfurables en puiflance feulement à AB : Et parla zt. propof. 10. les reéfcangles AH & H E feront médiaux : donc auffi médiaux leurs égaux quarrez LM& NO, & leurs coftez TO & SO feront lignes mediales. Pareillement DE eftant incommenf. en longit.à la rationele AB, auffi le fera fà moitié FE, par la 14. p. 10. Sc par la *1. p. 10. E F eftant rationele comme fa double DE, le reâanglfe KE fera medial, partant auffi medial fon égal LO, compris des deux mediale » commmenf. en puifïànce feulement TO Sc 50 : car leurs quarrez LM, NO font commenf. l’eftans leurs égaux re&angles AH Sc HE. Or ils ne fçauroieot eftre commenf. en longit. car il fau droit par la t.pr.6, Sc t o. pr.io. que LO 8 ? NO fuflent aufli commenfurab. Sc par confequent leurs égaux re&angles KE&HE : ccquin’eft pas. Doncparla 76. p. to.TS eft refidu medial fécond. Parquoy fi vn rc&angleeft compris d’vne ligne rationele, &e, Ce qu’il falloit demonftrer. J’C0OLIE.
1
lamionele *AB fiit 4, ey </€Di $ 4—V30 1 donc X)£efiV}0’9 fa moitié DF V7Î, ey finquarréyl » lequel eftant appliqué fur U ligne ^€EŸ}4t ey défaillant d’vnefigure quanéet les sofic^ du nll a rifle appliqué, featisir jiC, GB » feront V 571. fy y iy. Parquov le retlanglç %ACfera V86*— y480, BE VU4 » CE Ÿ4S0 » jîay oOO, PKji la.0, ey HE V44., Mais h quarré LM eflant égal kjtfl » il fera aufii /1*00, NO égal à HUyz 4 ; ey partant les eofiez, d’icenx quarrez, » fçauoir TO » so fint VV^oo, W24 : ey par confequent TJf efi yy$00—Vy*4, eyfin quarré TM1/864—1/480, égal an relUngle, THEOR. 71. PROP. XCV.
Si vn reâangle eft compas d vne ligne rationele & d vn refidu quatriefme, la ligne qui peut dceluy reftangle eft ligne mineure. Soit le reftangle AC compris dc la rationefe AB, &du refidu quatriefine AD : (après auoir conftruift comme en la « u.p.io. 6c demonftré comme là que la iigneTS peut lereftangJe AC). le dis qu’icellc ligne TS eft ligne mineure. Car puis que AD eft refidu quatriefine. Sc DE faconue* nable, les lignes AE 6c DE font rationelcscommenf. en puiflànce feulement, & A E qui eft commenf. en longit.. à la rationele AB, peut plus que p E du quarré d’vne ligna qui luy eftincomm. en long. 6c par la 19. p.to. A G 6c GE feront incommenf, en longitude : partant par la 1. pr. 6. 6c 10. prop. 10. les reftangles AH Sc HE feront incom- • menfurables, aufli feront donc leurs égaux quarrez LM & NO : partant les lignes TO Sc S O feront incommenf. en puiflànce : Mais AE eftant commenf. en long.â la ratio* nele AB, par la zo.p. 10. le reftangle AI fera rationel : par* tant aufli rationel fera lè compofé de leurs égaux quarrez LM &NO. Pareillement DE eftant commenfurable en puiflànce feulement à AB, Ie reftangle CE fera medial par la 22. prop. 10. aufli fera fa moitié KE : Sc par coaequent fon égal LM fera aufli medial : partant les deux lignes TO & S O, qui comprennent ieeluy reftangle, mediales, (car elles font incemmenfur. en puiflànce)8c le compofé de leurs quarrez eftant rationel, par la 77. p. 10. TS eft ligne mineure. Parquoy fi vn reftangle eft compris d’vne ligne rationele, &c. Ce qu’il falloit premier,
SCHOLIS.
larationelle ABfiit ^y.àme DE */ ? Vf 4> &*fa Moitié DFŸ15 —, fin au^rri 13>lequelappliquéfitrAE9>&*défaillantd’vnefigure quarree, les cofte^ A G, GEfcront Farquojle reâangle hcfera 54—Vj944>*£ 27-+ V 243, DKJ 486, ^ he 27 —y 14$,.Mais U quarré LM efi ata égal a AH fira aufii 27 **^243, o* HO égal à HE 27—V243 : <Jr* partant leurs cofïe% : T O, s O fint y (17^-^243,), Ct* V (17—V *4J) * Cr par confiquent TS efii (27-t-y 243)^ V ( 27—V rfinquméTI^ 54—Vi^44, égal a » reâangle AC. I
THEOR. 7if PROP.XCVI.
Si vn reftangle eft compris d*vne ligne rationele & dVn refidu cinquiefme, la ligne qui peut ieeluy, eft ligne fài&ntaucc vne (uperficie rationele vn tout medial.
Soit le reftangle AC, compris de la rationele AB, &durfefidacinquiefme AD : ( après auoir conftruift comme èn la^i. pr. 10. Sc demonftré comme là que la ligne TS peuticeiuy reftangle AC). le dis qu’icelle TS eft ligne faifant auec vne fuper* ficie rationele, vn tout medial. Car puis que AD eft refidu cinquiefine, & DE fa conuensble, Us lignes A E ôc DE font rationeles commenf. en puifiànce feulement, 8c DË eft commenfurable en longitude à U rationele A B, & A £ peut plus que DE dn quatré d’vne ligne qni luy efi incommenf. en longit. 8c par la 19. p. 10. les lignes AG 8c GE ibnt incoram. en longit. 8c comme en la precedenteTO 6e S O feront incommenf. en puifiànce. Mais AE eftant incommenf. en longitude à la rationele AB, le reâangle Al fera me. dial par la iz. prop.to.partant auffi medial le compofé de leurs égaux quarrez LM 8c NO. Pareillement » DE eftant commenfur. en longitude à la rationele AB, par ! a ao.prop.to. Icieftangle CE fera rationel, auffi le fera fa moitié KÈ> & fon égal LO, compris de deux lignes incommenf.en puifiànceTO 8c SO, defquel ! es ! e compofé de leurs quarrez fait vn tout medial, & par la 78. prop. 10. TS fera ligne faifanc auec vne fuperficie rationele vntout medial. Parquoy fivnrc&angle eft compris d’vne ligne rationele, 8cc. Cequil falloit demonftrer. S C HO LIE.
fit moitié DF^ftm quarré % auquel tfiànttgdlereBanglede^€GE : ^£G fira V >5r’4’V4ï> O* CE i ijj—Vtertftangle ^£C yerrfV864—x*BE V864, <AHizl6~*-i7ly DKjxtO*IIBV 116—^71 : ainfi % quarré LM fira yf 116-t-l/71, N0V116—/’ji, &’Uwscofiei^TOi$Oi’)l (VTuS-t-yi), ©-Y {i né—Y 7z) confequent TS efi y(YiKSH-Yyt)—Y(Y li6—îhî*)** ? * fin quarré TtjèraiUér-H.
THEOR. 73. PROP. XCV1I.
Si vn reâangle eft compris d*vne-ligne rationele, 6c dvn refidu fixiefme, la ligne qui peut iceluy, eft ligne faifant auec vne fiiperficie mediale vn tout medial.
Soit le reftangle AC compris de la rationele AB, 6c du refidu fixiefme AD : (après auoir conftruift comme en lapz.p.iojle dis que TS qui peut iceluy reftangle AC, (comme il a eftd demonftré en la fufdite prop.) eft ligne faifant auec vne fuperficie mediale vn tout medial.
Car puis que ÀD eft refidu fixieftnc, &Dfe fa conuenable, AE 8c DE font ratione* les commenfur. en puifiànce feulement cntr’ellcs, & à la rationele AB > 8c AE peur plus que DE du quarré d’vne ligne qui luy eft incommenf. en long. Et par la i^.p 10/ AG 6c GE feront incommenf. en longit. Etcomme en la 9/. pr.to. TO& SO feront incommenf. en puifiànce, 8c tout ainfi qu’en la precedente, le reftangle Al eftant medial, le compofé de leurs égaux quarrez LM 8c N O, fera auffi medial ; Item DE eftant commenf. en puiffance feulement àla rationele AB, par la n.p.10. le reftangle CE fera medial : auffi le fera donc fa moitié KE, 8c fon égal LO. Ec AE, DË eftans incomm.cnlongit. par la ï.p.6.8c lO.p.so.les reftangles Al. CE » feront incommenf. 8c puis que CE eft commenf à fa moitié K.E » par lau.p.io. KE fera incommenf. à Al : 8c partant le medial LO (égal à KE) compris des lignes TO 6c Soincomm cn puifiànce, eft incommenf. au compofé des quarrez d icelles TO 8c SO ( égal à Al) medial : Parquoy par la 7 9. prop. to. le refte T S fera ligne faifant auec vne fuperficie mediale vn tout medial. Parquoy fi va rcftaagle eft compris d’vnc ligne rationele, &c. Ce qu’il falloit prouucr, j. ; S C H O L 1 E,
’la rationele ^£B fiit 6, V108—V6|.* donc DEfiié$> cr/à moitié D E i ij£, fia quarré ij|, <AG y 17-^11*, GE Vi7 « —Vu* : mais le re&angle ^£C fira V}888—* itx6%t SE Y$8S8, DKy&7> CrHE V97i—V405 : amfilequarrè IM ferai 97i-*-y *t0$iN0Y97i—Vq.Q^&’letmcoftez^TOySOifiront’é 4Q$)% Cri (V97*—•VwJ : Crpar confiaientTS efi i (7971 —t-V405^ —V (V97i—^40^ CT/0 » quarré TR^ Y5888—i 1168. *
THEOR. 74% PROP. XCVIII. Six. ;.
Le quarré d vn refidu appliqué fur vne rationelle > fait l’autre cofté refidu premier.
Soit ie refidu A3, 8c BC fa conuenabïe, tellement que AC » BC foient rationeles commenf.en puifiance A… F c feulement : 8c fur la rationele DE foit appliqué le re— ^ G mi i* &angle D F égal au quarré de A B. le dis que l’autre co* * “ fié DG eft refidu premier.
Car à la mefme rationele DE foit appliqué le re&an* gle D H égal au quarré de AC : ôc fur IH vn autre re- &ang ! eIK égal au quarré de BC » tellement que le total DK eft égal au compofé des quarrez de AC, BC : le*￼quçl eftant égal par la 7. prop. 2. à deux fois Je re&angle ^ de AC, CB, enfemble auec le quarré de AB.fi on ofte EH’w H K. Je quarré de A B, ôc le re&angle DF i reftera G K égal à deux fois le reâ angle de AC, CB : partant GL eftant couppee en deux également enM, & tiré MN parallele à DE : MK fera égal au re&angle de AC, CB. Et pource que AC, CB font rationeles, leurs quarrez feront aum raùonaux > ôc partant commenf. ôc parlait », prop. 10. le compofé d’iceux quarrez eft commenf à vn chacun d’eux ; ÔC partant iceluy compofé, ou DK fon égal, eft rationel, lequel eftant appliqué â la rationele DE, par laai.propj.io. DL fera rationele commenf. calongit. à icelle DE. Derechef, pnis que AC, CB font rationeles commenf. en puiflance feulement, le re&angle d’icelles, Ôc partant aùfli ion double G K, fera medial : Ôc iceluy eftant appliqué à la rationele GF, par la 1$. pr.io. GL fera ratio* nele incommenf.en longitude à GF, ouDE : Et puis que DK rationel, 8c GK medial, c’eft à dire irrationel, font incommenf par la f. prop. 6. ôc 10. prop. 10. les lignes DL » GL, feront aufii incommenf. en longitude. Parquoy puis qu’elles ont efté demonftrees rationeles, elles feront commenf. en puiflance feulement : Ôc parcantpar’la 74. prop. jo. le refte DG fera aufli refidu. Iedisdauantage qu’ileft refidu premier.
Car puis que par le lemmc de la p. 74. ! c re&anglc de AC, CB, ou Con égal MK, efi inoyen prop, entre les quarrez de AC, CB, c’eft à dire entre DH » 1K : DH, MK, IK feront continuellement proportionaux ; ôc par confequent aufli les lignesDI, ML, IL » ôc par la 17.p.6.1e re&angle de DI, IL eft égal au quarré de ML, c’eft d dire au quart du quarré de GL, par le icholie de la 4. p. 2. Et puis que les quarrez de AC, CB, ou Jeuts égaux re&angles DH, 1K » font commenf. parla 1. prop. 6. ôc 10. prop. 10. Mil »
JV H K. les lignes.DI, IL » feront commenf. en longit. Parquoy’puis que leslignes DL, LG font inégalés, & â la plus grande DL eft appliqué le reétangle de DI.1L > égal’a la quarte partie du quarré de L G, Sc défaillant d’vne figure quarrec, par h 18. pr. 10. DL pourra plus que GL du quarré d’vne ligne qui luy eft commenf.en longitude : & parla 1des3.def.DG fera refidu premier. Parquoy le quarré dvn refidu appliqué fur vne rationele » &c. Ce qu’il falloir prouuer* scholie.
lerefidu fiit y60—V ji, &*BCV ti t donc la toute ^€C efi Yfio.* mais la rationele DE fiit-S^Jm laquelle estant appliqué le quarré de *ABt qui efi 71—V iSSo, l’antre cofié DG fira 9—V4$ : aufii DI fira7b /lli » GLV*S > CrGMii ; jLitftle teftangl&DK^firayx, DH 60, iKjb G H 7/710, 71—V1880. THEOR, 7j. PROP. XCIX.
. A
Le quarré dvn refidu medial premier, appliqué fin* vne ligne rationele, fait l’autre cofté refidu fécond. Soir le refidu medial premier AB, duquel’laconuenable (oit BC, tellement que AC, BC, (oient médiales cornurenf. en puiftance feulement, & contiennent vn rc&angle rationel : Sc fur la rationele DE (oit appliqué le re&angle DF égal au quarré de AB. le dis que Tautre cofté DG eft refidu fécond. Car foit conftruit ainfi. qu’en la precedente, tellement que derechef DH, IK, foient égaux aux quarrez de AC, BC, Sc GK double du rc élan gle compris dicelles lignes AC.BC, Sc partant MK égal à vne fois le.reélangle de AC, BC. Vcu donc que les lignes A C, CB, font médiates commenf.en puiflance femement : les quarrez d’icelles, ou leurs égaux reéfcangles DH, IK, feront aufii médiaux ôc.commenf. Sc partant parla ifi.prop. 10.le toutDK(craaufficommenf. â chacun d’iceux : Donc aufli medial, par lecoroll. de la 24. prop.io. Et pat la 13.prop.10. D Lfera rationele v ^ # JC commenf. en puiftance feulement à D E : ôc d’autant que le rcûangle de AC, BC eft rationel, fon donbic GK fera auffi rationel ; & parla zi. pr.10. GL fera rationele commenf. enjongitude à DE rationele, Ôc les deux redangles DK, ôc G K eftans incommenfur. (car l’vn eft rationel, ôc l’autre medial) les rationeles DL &GL feront commenf. en puiftance feulement, &par la 74.prop. 10. DG fera refidu t lequel ie diseftre aufii fécond. Car onproducra de mefme qu’en la precedente, que la toutéDL, peutpiusquelaconucnableGL, du quarré d’v.ne ligne qui luy eft commenf. en longitude ; & partant par les tierces définitions, , D G eft refidu fécond, Parquoy le quarré d’vn refidu medial premier, Scc. Ce qu’il^falloicderaonftrer.
SCHOLIE.
 ; Le refidu medial fretnier fiit Vy $Qipz~yi ! &Q > V Yi o.V* toute j€C fira dme VVjOo • & efiant appliquéfir lardtiomle DE 4, le quarré de Ky£C9 qui eft y joo, itutrc cofié Dlfira mefine D E éfi applique iKcgal au quarré de BC> qui ejl V QAa
M t "JL Jl fera Ytï : anft U toute Dtferd y*$. Derechef appliquant d DE le reft. GN égalait reft. de j€CB% f*i eft i o, l’autre cofté GM fira iy, Qrfin double Gl$ : parquoy DG fira Y45—j> qui eft refidu fécond,
THEOR. 7*— PROP. C
Le quarré dvn refîdu medial fécond, appliqué fur vne ligne rationele, fait l’autre cofté refidu troifiefme. Soit le refidu medial fécond AB, auquel conuienne BC, tellement que A C » CB » foient mediales commenf. eo puiflance feulement » & contiennent vn reBangle medial : Et fur la rationele DE, foit appliqué lecreâangle DF. le dis quei’autre cofté DG eft refidu troifiefme.
Car ayant conftruit comme en la 98. prop. dn detnonftrera comme en la prec. que le reft&nglc DK eft medial, & partant par la 13. prop. 20. fon autre cofte DL fera tationeî commenf. en puiflance feulement â la rationele DE. Item le reâangle de AC, BC, eftant média ^ aufii le fera fon double’GK, 8ç parla 13. pr. 10. GL fera aufii rationele commenf. en puiflance feulement à la rationele, DE : Et puis que A C » BC font incommenf en longitude, le quarré de AC fera incommenf. au reâangle de ~
partant aufii
eft aufii commenf. au quarré de BC : ( pource qu’iccux. j[ g —N ~ÏTK quarrez font deferits fur lignes commenf en puiflance ;) & partantpar la t6.prop.io. le compofé d’iceux quarrez, c’cft àdireDK, feraauflï commenf. au quarré de AC, auquel eft incommenf. GK* donc par la 1}. prop. 10. DK fera incommenf à GK : 6c par la 10. prop. 10. les ligues DL, GL, ayant mefme raifon que DK, GK feront incommenf en longitude. Mais eft ans rationeles, elles feront commenf. en puiflance feulement,. & par la 74.pr.10.BG fera refidu. Mais ny DL, ny GL ne font commenf. en longitude à la rationele DE, & fi on prouuera comme en la 98. propi que D L peut plus que GL du quarré d’vne ligne qui loy eft commenf. en longitude : Et parlés tiercesdef.-DG eft refidu troifiefme. Parquoy le quarré d’vn refidu medial fécond, &c. Ce quM falloit deoionftrer. s c H o L i B.
le refidu ntedtdl fécond fat Vj/<Soo—*y V*4, CrÏÏCyV 14.’U toute JÎC fira donc tieft
la »
hef
<>a applique fur la mefine D E le r eft. GN égal au re&angle de sjtCJS* qui eftÿtiot Vautre cofté GMfirayfitZrfindvubleGLTfio ; parquoy DG eft y 54—V} O, qui eft rifidu tmfitjme,’ THEOR. 77. PROP/CL
Le quarré d Vne ligne mineure 3 appliqué for Vnè ligue rationele* fait l’autre cofte refidu quatrième. ~’™T …………… quatriefine.
Car après auoir conftruit comme eu ia 98. p. le reâangle DK fera rationel » 8c GK medial » par le difcours des précédentes : 8c par la 2i.prop.10. DL fera rationele commenf. en longitude d la rationele DE : & GL » par ! a 2j. prop. 10. fera rationele commenf. en puiflànce feule— 4 £ lÇ ment à icelle rationele DE : de puisque DK eft rationel » 8c GK medial » ils font incommenf.& par la 10. prop. 10. les lignes DL, GL » qui font en mefine raifon que D K, GK » feront incommenf. en longitude.. Mais elles font rationeies : elles feront donc commenf. en puiflànce feu-, lement : 8c par la74.pr.10.DG ferarefidu.
le dis dauantage qu*il eft refidu qudtriefme. Car puis que les lignes AC » BC » font incomtn.en puiflànce, leurs quarrez feront incommenf. Aufli inGommenf.leurs égaux reâangles DH » 1K » Ôc par confequent incommenf.les lignes DI » IL » coftez du reâangle défaillant d’vnefigure quarree égalé au quarré de ML » c’eft à dire à la quarte partie dn quarré de GL » comme il a efté demonftré cnia 98. prop. de par la 19..prop. 10. DL (qui eft commenf. en longitude àla ratio* nelc DE) peut plus quelaconuenable GLr du quarré d’vne ligne qui luy eft incora* menf.en longitude : de par les tierces définitions D G eft refidu quatriefme* Donc le quarré d’vne ligne mineure » dec. Ce qu’il falloit demonftrer. s c H o L i F*
la ligne mineure fiitV ( 27-^245) —Y (27—V245) » CrBCŸ (27—* ba
— ^ |’tit-— ">applique’furiarAtimiU DE<>, efint DB, le reftangle Inégalau
Hwairïw « v<)yw>ç/i */—y * tiinreivjic t * G* partant la toute DL fira 9. Que fi k ta mefme DE on applique le reftangle Gif égal au reftangle de^/CCBs qui efi V 48 6 » tautre cofté GMfera Vf$>&*fin double < ? z V 5 4 : G*partant DG eft 9— VJ4> efi refidu quatriefine.
’THEOR. 78* PROP. Cil.
Le quarré d’vne ligne faifant auec vne luperficie rationelle > vii tout medial, appliqué for vne ligne rationelle > fait l’autre cofté reficîu cinquielme.
Soit la ligne faifant auec vne fuperftcie rationelle vn tout medial A B » de laquelle le quarré foie appliqué fur la rationele DE : le dis que l’autre cofté DG eft refidu cinquiefme.
Car f après auoir conftruit comme en la 98. prop.10.) A B eftant ligne faifant auec vne fuperficie rationelle vn tout medial » & BC fa conuenable, lc$ deux lignes AC » BC font incommenf. en puiflànce* » comprenant vn reâangle rationel » de le com* pofé de leurs quarrez medial : partant le reâangle DK fera medial, & GK rationel »