# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Trigonométrie, article 1
## TRIGONOMÉTRIE.

Soient $m$ et $n$ deux nombres entiers positifs quelconques, et soient $p$ et $P$ respectivement les périmètres des polygones réguliers de $2^{m}n$ côtés inscrit et circonscrit au cercle dont le rayon est l’unité, et dont conséquemment la circonférence est $2\varpi$ ; on aura évidemment.
$p=2.^{m+1}n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}},\ P=2.^{m+1}n\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}}=2.^{m+1}n{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}}}}\,;$
$P-p=2.^{m+1}n{\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}}-\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2.^{m}n}}}.$
Mais on sait que, $x$ étant un arc quelconque ; on a
${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .x=&2\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{2}}\\=&4\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{4}}\\=&8\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{8}}\\=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\=&2^{m}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {x}{2^{m}}}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{2^{m}}}\,;\\\end{aligned}}$
D’où
$2^{m}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{2^{m}}}={\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {x}{2^{m}}}}}\,;$
En faisant dans cette formule $x={\frac {\varpi }{n}}$, elle deviendra
$2^{m}\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2^{m}n}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2^{m}n}}}}\,;$
valeur qui, substituée dans celles de $p$ et $P$, les change en celles-ci
$p={\frac {2n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2^{m}.n}}}},\qquad$
$P={\frac {2n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\varpi }{2^{m}.n}}}},\qquad$
Et tels sont les périmètres des deux polygones dont il s’agit ; on voit que leurs expressions ne diffèrent que par le facteur $\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2^{m}.n}}$ qui n’est qu’à la première puissance dans le dénominateur de la première, tandis qu’il se trouve au quarré dans le dénominateur de la seconde.
On a évidemment $2\varpi >p$ et $2\varpi <P$ ; on aura donc aussi
$\varpi >{\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}}},\qquad$
$\varpi <{\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{8n}}\ldots \operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\pi }{2^{m}.n}}}},\qquad$
Voila donc deux limites de la valeur du nombre $\varpi$ ; limites d’autant plus resserrées, toutes choses égales d’ailleurs, que $m$ sera plus grand. En prenant l’une ou l’autre pour valeur approchée de $\varpi ,$ la limite de l’erreur sera
$2^{m}.n\left\{\operatorname {Tang} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}-\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{2^{m}.n}}\right\}.$
Si donc on suppose $m=\infty ,$ on aura exactement, quel que soit $n$
$\varpi ={\frac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{2n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{4n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{8n}}\operatorname {Cos} .{\frac {\pi }{16n}}\ldots 1}},\qquad$
le nombre des facteurs du dénominateur devant être infini, et conséquemment le dernier étant l’unité.
On sait que, $x$ étant un arc quelconque, on a
${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}x=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .x}},\\\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}x=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .x}}}},\\\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{8}}x=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .x}}}}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$
d’où il résulte, pour l’équation (5), cette autre forme
$\varpi ={\tfrac {n\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}}{{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}}}}}}}\ldots 1}}\,;\qquad$
Ainsi, toutes les fois que $n$ sera l’un des nombres dans lesquels la circonférence peut être géométriquement divisée, c’est-à-dire, quelqu’un des nombres de la suite 2, 3, 5, 17, 257,…, l’expression de $\varpi$ sera entièrement algébrique.
$n=2,$
$\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{n}}=\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2}}=1,$
$\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}=\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2}}=0,$
$\varpi ={\frac {2}{{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\ldots 1}}$
Si, par exemple, on suppose $n=3,$ d’où $\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{n}}=\operatorname {Sin} .{\frac {\pi }{3}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}},$ et $\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{n}}=\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{3}}={\tfrac {1}{2}},$ il viendra
$\varpi ={\frac {{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}{{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}.{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}\ldots 1}}$
et ainsi de suite.
Ces diverses expressions semblent propres à mettre en évidence l’incommensurabilité du nombre $\varpi$ et de toutes les puissances de ce nombre.