# Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Sur une nouvelle méthode de Calcul intégral pour les différentielles affectées d’un radical carré
### SUR UNE NOUVELLE MÉTHODE DE CALCUL INTÉGRAL POUR LES DIFFÉRENTIELLES AFFECTÉES D’UN RADICAL CARRÉ SOUS LEQUEL LA VARIABLE NE PASSE PAS LE QUATRIÈME DEGRÉ.

On sait que toute formule différentielle qui contient un radical carré, où la variable n’a pas plus de deux dimensions, est intégrable par les logarithmes ou par les arcs circulaires ; car il est toujours possible de la réduire à une forme rationnelle, en faisant disparaître le radical par une substitution convenable. Mais cette réduction ne réussit plus en général, lorsque le radical contient des puissances de la variable plus hautes que la seconde, et l’intégration échappe alors aux méthodes connues. Si la plus haute de ces puissances ne monte pas au delà du quatrième degré, on peut dans plusieurs cas construire l’intégrale par les arcs des sections coniques. La recherche de ces cas a beaucoup occupé les Géomètres ; leur travail est avantageux aux progrès du Calcul intégral, parce qu’il sert à ramener à des classes déterminées un grand nombre de différentielles de formes différentes ; mais il n’est d’aucune utilité pour l’intégration effective de ces différentielles, car la rectification des sections coniques n’est encore connue que très-imparfaitement, attendu le peu de convergence des séries qu’on a trouvé jusqu’ici pour cet objet. Les séries sont à la vérité le seul moven de résoudre ce Problème, et en général de rappeler à l’intégration toutes les formules différentielles d’une forme essentiellement irrationnelle ; mais ce moyen n’est vraiment utile qu’autant qu’on peut rendre les séries toujours convergentes, et diminuer même à volonté l’erreur qui doit résulter des termes qu’on y néglige.
La méthode que je donne dans ce Mémoire joint à cet avantage celui d’être générale pour toutes les formules différentielles qui contiennent un radical carré, dans lequel la variable ne forme pas plus de quatre dimensions. Je commence par exposer la méthode dans toute son étendue ; j’en fais ensuite l’application à la rectification de l’ellipse et de l’hyperbole.
1. Soit proposée la formule différentielle $\mathrm {P} dx,$ dans laquelle $\mathrm {P}$ soit une fonction quelconque rationnelle de $x$ et d’un radical de la forme
${\sqrt {a+bx+cx^{2}+ex^{3}+fx^{4}}},$
que nous dénoterons, pour abréger, par $\mathrm {R} .$ Puisque $\mathrm {R} ^{2}$ est une fonction rationnelle de $x,$ il est clair que $\mathrm {P}$ ne peut être que de la forme
$\mathrm {\frac {A+BR}{C+DR}} ,$
où $\mathrm {A,B,C,D}$ sont des fonctions rationnelles de $x.$ Multipliant le haut et le bas par $\mathrm {C-DR} ,$ et faisant
$\mathrm {M={\frac {AC-BDR^{2}}{C^{2}-DR^{2}}},\quad N={\frac {(BC-AD)R^{2}}{C^{2}-DR^{2}}}} ,$
on aura donc
$\mathrm {P=M+{\frac {N}{R}}} ,$
où $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont des fonctions rationnelles de $x.$ De sorte que la différentielle proposée $\mathrm {P} dx$ se trouvera partagée en deux parties, l’une toute rationnelle $\mathrm {M} dx,$ et qui s’intégrera par les logarithmes ou les arcs de cercle ; l’autre irrationnelle ${\frac {\mathrm {N} dx}{\mathrm {R} }},$ dans laquelle il n’y aura d’autre irra-
$\mathrm {R} \,;$
2. Notre méthode demande que la formule différentielle ${\frac {\mathrm {N} dx}{\mathrm {R} }}$ ne contienne aucune puissance impaire de $x\,;$ ainsi il faut commencer par les faire disparaître, s’il y en a.
Supposons d’abord que les termes $bx$ et $ex^{3}$ ne se trouvent point dans le radical $\mathrm {R} \,;$ il ne s’agira que de faire disparaître les puissances impaires de $x$ de la fonction rationnelle $\mathrm {N} .$ Or il est clair qu’elle peut se mettre sous la forme
${\frac {\mathrm {F+G} x}{\mathrm {H+L} x}},$
où $\mathrm {F,G,H,L}$ sont des fonctions rationnelles et entières de $x^{2},$ c’est-à-dire des polynômes en $x,$ sans puissances impaires. Multipliant donc le haut et le bas par $\mathrm {H-L} x,$ et faisant, pour abréger,
${\frac {\mathrm {HF-LG} x^{2}}{\mathrm {H^{2}-L^{2}} x^{2}}}=\mathrm {T} ,\quad {\frac {\mathrm {HG-FL} }{\mathrm {H^{2}-L^{2}} x^{2}}}=\mathrm {V} ,$
on aura
$\mathrm {N=T+V} x,$
où $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ seront des fonctions rationnelles de $x^{2}.$ De sorte que la différentielle ${\frac {\mathrm {N} dx}{\mathrm {R} }}$ se trouvera de nouveau partagée en deux, l’une ${\frac {\mathrm {T} dx}{\mathrm {R} }}$ qui a la condition demandée, l’autre ${\frac {\mathrm {V} xdx}{\mathrm {R} }}$ qui est intégrable par les logarithmes ou les arcs de cercle, puisqu’en faisant $x^{2}=y$ elle devient
${\frac {\mathrm {V} dy}{2{\sqrt {a+cy+fy^{2}}}}},$
$\mathrm {V}$ étant une fonction rationnelle de $y$.
3. Supposons à présent que le radical $\mathrm {R}$ contienne tous ses termes. Je remarque que le quinôme
$a+bx+cx^{2}+ex^{3}+fx^{4}$
$f\left(m+nx+x^{2}\right)\left(m'+n'x+x^{2}\right),$
les deux trinômes $m+nx+x^{2}$ et $m'+n'x+x^{2}$ étant réels ; c’est ce qui est connu par la théorie des équations ; et l’on a pour la détermination des coefficients, en supposant $f=1,$
$n={\frac {e+{\sqrt {t}}}{2}},\quad n'={\frac {e-{\sqrt {t}}}{2}},$
$m={\frac {b-cn+en^{2}-n^{3}}{e-2n}},\quad m'={\frac {b-cn'+en'^{2}-n'^{3}}{e-2n'}},$
$t^{3}-\left(3e^{2}-8c\right)t^{2}+\left(3e^{4}-16ce^{2}+16c^{2}+16be-64a\right)t-\left(8b-4ce+e^{3}\right)^{2}=0.$
L’équation en $t,$ étant du troisième degré avec le dernier terme négatif, a nécessairement une racine réelle positive qu’on prendra pour $t$ dans le radical ${\sqrt {t}}\,;$ il n’y a de difficulté que dans le cas de
$8b-4ce+e^{3}=0,$
où cette racine devient nulle ; alors on a
${\text{ou}}\quad t=0,\quad {\text{ou}}\quad t^{2}-\left(3e^{2}-8c\right)t+\left(4c-e^{2}\right)^{2}-64a=0.$
Si $64a>\left(4c-e^{2}\right)^{2},$ l’équation ayant son dernier terme négatif a nécessairement une racine réelle positive qu’on pourra prendre pour $t\,;$ mais si $\left(4c-e^{2}\right)^{2}-64a=h^{2},$ alors on prendra la racine $t=0,$ et l’on aura
$n={\frac {e}{2}},\quad n'={\frac {e}{2}},$
$m=-{\frac {e^{2}}{8}}+{\frac {c}{2}}+{\frac {h}{8}},\quad m'=-{\frac {e^{2}}{8}}+{\frac {c}{2}}-{\frac {h}{8}}$
Si $f$ n’était pas égal à $1,$ on diviserait par $f$ les coefficients $a,b,c,e.$ Cela posé, je fais
${\frac {f(m'+n'x+x^{2})}{m+nx+x^{2}}}=y^{2},$
$\mathrm {R} =\left(m+nx+x^{2}\right)y,$
et la différentielle à intégrer sera
${\frac {\mathrm {N} dx}{\left(m+nx+x^{2}\right)y}},$
$\mathrm {N}$ étant une fonction rationnelle de $x.$ Or l’équation entre $x$ et $y,$ étant multipliée en croix et ensuite différentiée, donne
$2(m+nx+x^{2})ydy=\left[f(2x+n')-y^{2}(2x+n)\right]dx,$
d’où l’on tire
${\frac {dx}{\left(m+nx+x^{2}\right)y}}={\frac {2dy}{2x\left(f-y^{2}\right)+n'f-ny^{2}}}.$
Mais la même équation, ordonnée par rapport à $x,$ donne par la résolution
${\begin{aligned}2x\left(f-y^{2}\right)+n'f-ny^{2}=&{\sqrt {\left(n'f-ny^{2}\right)^{2}-4\left(m'f-my^{2}\right)\left(f-y^{2}\right)}}\\=&{\sqrt {\alpha +\beta y^{2}+\gamma y^{4}}},\end{aligned}}$
en faisant
${\begin{aligned}\alpha =&f^{2}\left(n'^{2}-4m'\right),\\\beta =&-2f\left(nn'-2m-2m'\right),\\\gamma =&n^{2}-4m.\end{aligned}}$
Ainsi la proposée ${\frac {\mathrm {N} dx}{\mathrm {R} }}$ se trouvera d’abord transformée en
${\frac {2\mathrm {N} dy}{\sqrt {\alpha +\beta y^{2}+\gamma y^{4}}}}\,;$
ensuite, substituant dans $\mathrm {N} ,$ pour $x,$ sa valeur
${\frac {ny^{2}-n'f+{\sqrt {\alpha +\beta y^{2}+\gamma y^{4}}}}{2\left(f-y^{2}\right)}},$
et employant la réduction du n$^o$ 1 pour faire disparaître le radical dans le dénominateur de $\mathrm {N} ,$ il est visible que la différentielle dont il s’agit se décomposera naturellement en deux parties : l’une toute rationnelle, et
${\frac {\mathrm {Q} dy}{\sqrt {\alpha +\beta y^{2}+\gamma y^{4}}}},$
dans laquelle $\mathrm {Q}$ sera une fonction rationnelle de $y^{2},$ et qui sera par conséquent dans l’état demandé.
Il est bon de remarquer que, puisque la substitution employée donne
$y={\frac {\mathrm {R} }{m+nx+x^{2}}},$
on est assuré que la nouvelle variable $y$ sera nécessairement réelle, tant que $x$ et $\mathrm {R}$ seront réels. Cette condition de la réalité des variables introduites par des substitutions n’est pas nécessaire lorsqu’il s’agit d’intégrales exactes et absolues, parce qu’on a des moyens de faire disparaître ensuite les imaginaires ; mais elle devient indispensable dans les intégrations approchées, car on ne peut bien juger de la convergence d’une série, à moins que tous ses termes ne soient réels et évalués en nombres. Sans cette considération j’aurais pu résoudre le Problème précédent d’une manière plus simple, en substituant immédiatement ${\frac {p+qy}{1+y}}$ à la place de $x,$ et égalant ensuite à zéro les coefficients de $y$ et de $y^{3}$ dans le quinôme sous le signe radical ; on trouve de cette manière que $p$ et $q$ sont les racines d’une équation du second degré dont les deux coefficients dépendent eux-mêmes d’une équation du troisième ; mais, quoique celle-ci ait toujours une racine réelle, on n’est pas assuré que celle-là ait les siennes réelles aussi, ce qui est néanmoins nécessaire pour que la nouvelle variable y ne soit point imaginaire.
4. La différentielle à intégrer ne sera donc que de la forme
${\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {a+bx^{2}+cx^{4}}}},$
$\mathrm {N}$ étant une fonction rationnelle de $x^{2}.$ Or, notre méthode demande de plus que le trinôme
$a+bx^{2}+cx^{4}$
$\alpha +\beta x^{2},\quad \gamma +\delta x^{2},$
ce qui exige que l’équation
$a+by+cy^{2}=0$
ait ses deux racines réelles, et que par conséquent
$b^{2}=\quad {\text{ou}}\quad >4ac.$
Il faut donc résoudre encore le cas où
$b^{2}<4ac.$
Pour cet effet j’emploie la substitution
$y={\frac {x}{\sqrt {a+bx^{2}+cx^{4}}}},$
laquelle donne
$\left(a+bx^{2}+cx^{4}\right)y^{2}=x^{2},$
et, différentiant,
$\left(a+bx^{2}+cx^{4}\right)ydy=\left(1-by^{2}-2cx^{2}y^{2}\right)xdx,$
d’où l’on tire
${\frac {dy}{1-by^{2}-2cx^{2}y^{2}}}={\frac {xdx}{y\left(a+bx^{2}+cx^{4}\right)}}={\frac {dx}{\sqrt {a+bx^{2}+cx^{4}}}}\,;$
mais la même équation étant ordonnée par rapport à $x,$ et résolue à la manière des équations du second degré, donne
$zcx^{2}y^{2}+by^{2}-1={\sqrt {\left(by^{2}-1\right)^{2}-4acy^{4}}}={\sqrt {1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}}\,;$
de sorte que la différentielle proposée se changera d’abord en
${\frac {-\mathrm {N} dy}{\sqrt {1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}}}\,;$
ensuite, substituant dans $\mathrm {N}$ à la place de $x^{2}$ sa valeur
${\frac {1-by^{2}+{\sqrt {1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}}}{2cy^{2}}},$
$\mathrm {N} ,$
${\frac {\mathrm {L} dy}{\sqrt {1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}}},$
où $\mathrm {L}$ sera une fonction rationnelle de $y^{2}.$
Or, puisque $b^{2}<4ac,$ il est clair que le trinôme
$1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}$
est toujours résoluble en deux binômes réels, qui seront
$1-\left(b+2{\sqrt {ac}}\right)y^{2}\quad {\text{et}}\quad 1-\left(b-2{\sqrt {ac}}\right)y^{2},$
le radical ${\sqrt {ac}}$ étant nécessairement réel à cause de $ac>o.$ Ainsi la différentielle
${\frac {\mathrm {L} dy}{\sqrt {1-2by^{2}+\left(b^{2}-4ac\right)y^{4}}}},$
à laquelle nous avons réduit la proposée, aura la condition demandée qui manquait à celle-ci.
Il est clair aussi que la substitution employée ne rendra jamais la variable $y$ imaginaire tant que $x$ et le radical ${\sqrt {a+bx^{2}+cx^{4}}}$ seront réels.
Au reste, la condition à laquelle nous venons de satisfaire se trouvera remplie d’elle-même par la transformation du n$^o$ 3, toutes les fois que le quinôme sous le radical sera résoluble en deux facteurs simples réels et en deux imaginaires ; car si les deux équations
$x^{2}+nx+m=0,\quad x^{2}+n'x+m'=0$
ont l’une des racines réelles et l’autre des racines imaginaires, les deux quantités $n^{2}-4m,\ n'^{2}-4m',$ seront de signes différents, et par conséquent les coefficients $\alpha$ et $\gamma$ du trinôme $\alpha +\beta y^{2}+\gamma y^{4}$ seront aussi de différents signes, en sorte que ce trinôme sera nécessairement résoluble en deux binômes réels.
5. De ce que nous venons de démontrer jusqu’ici, il s’ensuit que l’intégration de la différentielle proposée \mathrm Pdx se réduit toujours à celle d’une différentielle de la forme
${\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}},$
où $\mathrm {N}$ est une fonction rationnelle de $x^{2},$ et où $a,b,m,n$ sont des coefficients quelconques réels. Ainsi, toute la difficulté ne consiste qu’a trouver l’intégrale de cette dernière différentielle. Quant à l’intégrale exacte, elle paraît impossible en général ; du moins l’analyse connue ne fournit aucun moyen pour l’obtenir. Mais il y a deux cas où elle se présente d’elle-même : le premier est celui où l’un des coefficients $b,n$ est nul, l’autre est celui où ${\frac {b}{a}}={\frac {n}{m}}\,;$ dans ce dernier l’irrationnalité disparaît, et dans le premier il ne reste que l’irrationnalité relative à la quadrature du cercle ou de l’hyperbole, et qu’on peut toujours faire disparaître par les méthodes connues. Si donc la proposée n’est pas exactement dans l’un de ces deux cas, mais seulement dans un cas très-voisin de l’un d’eux, c’est-à-dire si l’une des quantitées ${\frac {b}{a}},\ {\frac {n}{m}}$ est très-petite, ou si elles sont à très-peu près égales, on pourra alors, au défaut d’une intégrale exacte, en avoir une très-approchée par le moyen des séries, et d’autant plus approchée que la quantité supposée très-petite le sera davantage, en disposant la série relativement aux puissances ascendantes de cette quantité. La méthode que je vais exposer a pour objet de ramener à cet état toute différentielle de la forme proposée, quels que soient les coefficients $a,b,m,n.$
6. Soit en général ${\frac {b^{2}}{a^{2}}}=$ ou $>{\frac {n^{2}}{m^{2}}},$ ce qu’on peut toujours supposer, puisque, si ${\frac {n^{2}}{m^{2}}}>{\frac {b^{2}}{a^{2}}},$ il n’y aurait qu’à échanger $a$ en $m$ et $b$ en $n.$
Je fais
${\frac {x}{a}}{\sqrt {\frac {a+bx^{2}}{m+nx^{2}}}}=y,$
${\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}={\frac {ay\left(m+nx^{2}\right)}{x}},$
par où l’on voit d’abord que la nouvelle variable $y$ sera réelle tant que ce radical et la variable $x$ le seront.
La différentielle
${\frac {dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}}$
se changera donc en
${\frac {xdx}{ay\left(m+nx^{2}\right)}}\,;$
mais l’équation
$x^{2}\left(a+bx^{2}\right)=a^{2}y^{2}\left(m+nx^{2}\right)$
étant différentiée donne
$\left(a+2bx^{2}-na^{2}y^{2}\right)xdx=a^{2}\left(m+nx^{2}\right)ydy,$
par conséquent
${\frac {xdx}{ay\left(m+nx^{2}\right)}}={\frac {ady}{a+2bx^{2}-na^{2}y^{2}}}\,;$
de plus, la même équation, ordonnée par rapport à $x$ et résolue à la manière des équations du second degré, donne
${\begin{aligned}2bx^{2}+a-na^{2}y^{2}=&{\sqrt {a^{2}\left(1-any^{2}\right)^{2}+4a^{2}bmy^{2}}}\\=&a{\sqrt {1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}}}\,;\end{aligned}}$
donc
${\frac {ady}{a+2bx^{2}-na^{2}y^{2}}}={\frac {dy}{\sqrt {1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}}}}.$
Si donc on substitue cette quantité à la place de
${\frac {dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}},$
et qu’on mette aussi dans l’expression de $\mathrm {N} ,$ au lieu de $x^{2},$ sa valeur
${\frac {na^{2}y^{2}-a+a{\sqrt {1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}}}}{2b}},$
${\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}}$
à la forme
$\mathrm {L} dy+{\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}}}},$
où $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M}$ seront des fonctions toutes rationnelles de $y^{2}.$
Or le trinôme sous le signe
$1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}$
se résout dans les deux binômes
${\begin{aligned}&1+\left(2bm-an+2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}}\right)y^{2},\\&1+\left(2bm-an-2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}}\right)y^{2},\end{aligned}}$
qui sont toujours réels à cause de ${\frac {b^{2}}{a^{2}}}=$ ou $>{\frac {n^{2}}{m^{2}}}\,;$ car puisque
$b^{2}m^{2}-a^{2}n^{2}=\quad {\text{ou}}\quad >0,$
les facteurs $bm+an$ et $bm-an$ seront nécessairement de même signe ; donc aussi leur somme $2bm$ sera du même signe ; ainsi, $bm$ et $bm-an$ étant de même signe, leur produit $b^{2}m^{2}-abmn$ sera toujours une quantité positive. On voit aussi que les deux quantités
${\begin{aligned}&2bm-an+2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}},\\&2bm-an-2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}},\end{aligned}}$
sont de même signe, puisque leur produit $a^{2}n^{2}$ est nécessairement positif ; et comme la demi-somme des mêmes quantités est
$2bm-an=bm+bm-an,$
et que nous venons de voir que $bm$ et $bm-an$ sont de même signe, il s’ensuit que les deux quantités dont il s’agit seront toujours de même signe que $bm.$
Si donc on fait
${\begin{aligned}2bm-an+2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}}=&\pm p^{2},\\2bm-an-2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}}=&\pm q^{2},\end{aligned}}$
les signes supérieurs étant pour le cas de $bm$ positif, et les inférieurs pour celui de $bm$ négatif, les quantités $p$ et $q$ seront toujours réelles, et l’on aura, en tirant la racine carrée,
${\begin{aligned}p=&{\sqrt {\pm bm}}+{\sqrt {\pm (bm-an)}},\\q=&{\sqrt {\pm bm}}-{\sqrt {\pm (bm-an)}}\quad {\text{ou}}\quad ={\sqrt {\pm (bm-an)}}-{\sqrt {\pm bm}}\,;\end{aligned}}$
de sorte qu’on pourra toujours prendre $p$ et $q$ positives, et alors $p$ sera toujours plus grande que $q.$
Ainsi, la transformée de la proposée
${\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}}$
sera
$\mathrm {L} dy+{\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}},$
où $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M}$ seront des fonctions rationnelles de $y^{2},p$ et $g$ des quantités réelles et positives dont l’une $p>q,$ et le radical ${\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}$ nécessairement réel, puisque $y$ est réelle tant que $x$ et la proposée sont réelles, comme on l’a vu ci-dessus.
De sorte que la difficulté ne consistera plus que dans l’intégration de la nouvelle différentielle
${\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}.$
7. Dès qu’on est une fois parvenu à une différentielle de cette dernière forme, il n’y a plus qu’a continuer et répéter les substitutions et les transformations que nous venons d’enseigner ; et pour cela on pourra se servir des formules précédentes en y faisant
$a=1,\quad m=1,\quad b=\pm p^{2},\quad n=\pm q^{2},$
et ainsi de suite. Voici le tableau de ces opérations.
${\begin{alignedat}{2}p'\ \ =&p\,\ +{\sqrt {p^{2}-q^{2}}},&q'\ \ =&p\ \ -{\sqrt {p^{2}-q^{2}}},\\p''\ =&p'\ +{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}},&q''\ =&p'\ -{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}},\\p'''=&p''+{\sqrt {p''^{2}-q''^{2}}},\qquad &q'''=&p''-{\sqrt {p''^{2}-q''^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{alignedat}}$
on fera successivement
${\begin{aligned}y'\ \ &={\frac {y\mathrm {R} }{1\pm q^{2}y^{2}}},\\y''\ &={\frac {y'\mathrm {R} '}{1\pm q'^{2}y'^{2}}},\\y'''&={\frac {y''\mathrm {R} ''}{1\pm q''^{2}y''^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
en supposant, pour abréger,
${\begin{aligned}\mathrm {R} \ \ &={\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}},\\\mathrm {R} '\ &={\sqrt {\left(1\pm p'^{2}y'^{2}\right)\left(1\pm q'^{2}y'^{2}\right)}},\\\mathrm {R} ''&={\sqrt {\left(1\pm p''^{2}y''^{2}\right)\left(1\pm q''^{2}y''^{2}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
on aura par là
${\begin{aligned}y^{2}\ \ &={\frac {\pm q^{2}y'^{2}-1+\mathrm {R} '}{\pm 2p^{2}}},\\y'^{2}\ &={\frac {\pm q'^{2}y''^{2}-1+\mathrm {R} ''}{\pm 2p'^{2}}},\\y''^{2}&={\frac {\pm q''^{2}y'''^{2}-1+\mathrm {R} '''}{\pm 2p''^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et
${\frac {dy}{\mathrm {R} }}={\frac {dy'}{\mathrm {R} '}}={\frac {dy''}{\mathrm {R} ''}}=\ldots .$
Donc la différentielle ${\frac {\mathrm {M} dy}{\mathrm {R} }}$ se changera d’abord en $\mathrm {L} 'dy'+{\frac {\mathrm {M} 'dy'}{\mathrm {R} '}},$ où $\mathrm {L} '$ et $\mathrm {M} '$ seront des fonctions rationnelles de $y'^{2}\,;$ ensuite la différentielle ${\frac {\mathrm {M} 'dy'}{\mathrm {R} '}}$ se changera pareillement en $\mathrm {L} ''dy''+{\frac {\mathrm {M} ''dy''}{\mathrm {R} ''}},$ $\mathrm {L} ''$ et $\mathrm {M} ''$ étant aussi des fonctions rationnelles de $y''^{2},$ et ainsi de suite. Et il est clair, d’après ce que nous avons démontré dans le numéro précédent, que $y',y'',\ldots$ et $\mathrm {R',R''} ,\ldots$ seront toujours réelles.
Il est bon de remarquer au reste que si la fonction $\mathrm {M}$ est sans dénominateur, les fonctions dérivées $\mathrm {L} '$ et $\mathrm {M} '$ seront aussi entières et du même ordre, ou d’un ordre inférieur, car on aura, par les substitutions prescrites,
${\begin{aligned}&{\frac {dy}{\mathrm {R} }}={\frac {dy'}{\mathrm {R} '}},\\&{\frac {y^{2}dy}{\mathrm {R} }}={\frac {dy'}{\pm 2p^{2}}}+{\frac {\left(\pm q^{2}y'^{2}-1\right)dy'}{\mathrm {R} '}},\\&{\frac {y^{4}dy}{\mathrm {R} }}={\frac {2\left(\pm q^{2}y'^{2}-1\right)dy'}{4p^{4}}}+{\frac {\left(\pm q^{2}y'^{2}-1\right)^{2}+(\pm p'^{2}y')\left(1\pm q'^{2}y'^{2}\right)dy'}{4p^{4}\mathrm {R} '}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Il en sera de même des fonctions $\mathrm {L'',M''} ,$ et ainsi des autres dérivées de celles-ci à l’infini.
Il est clair aussi que la même chose aura lieu pour les fonctions $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M} ,$ relativement à la fonction d’où elles sont dérivées (6) ; de sorte que si celle-ci est elle-même sans dénominateur, toutes les fonctions $\mathrm {L,L',L''} ,\ldots ,$$\mathrm {M,M',M''} ,$$\ldots$ seront aussi sans dénominateur, et d’un ordre égal ou inférieur, mais jamais supérieur à celui de la fonction primitive $\mathrm {N} .$
8. De cette manière donc la différentielle à intégrer
${\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}}$
se trouvera transformée en celle-ci
$\mathrm {L} dy+\mathrm {L} 'dy'+\mathrm {L} ''dy''+\ldots +{\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},$
en désignant par $\mathrm {Z} ,z,r,s$ les derniers termes des séries $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$$y,y',y'',\ldots ,p,p',p',\ldots ,q,q',q'',\ldots ,$ qu’on pourra continuer aussi loin qu’on voudra. Et comme les membres $\mathrm {L} dy,\mathrm {L} 'dy',\mathrm {L} ''dy'',\ldots ,$ sont chacun intégrables en particulier, puisque $\mathrm {L}$ est une fonction rationnelle de $y^{2},$ $\mathrm {L} '$ de $y'^{2},\ldots ,$ il s’ensuit que l’intégration de la proposée sera
${\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},$
dans laquelle $\mathrm {Z}$ est une fonction rationnelle de $z^{2},$ et de plus entière si la fonction primitive $\mathrm {N}$ est sans dénominateur.
Voici maintenant l’avantage de cette réduction. On a vu (6) que $p$ et $q$ sont des quantités positives telles $p>q\,;$ donc, puisque
$p'=p+{\sqrt {p^{2}-q^{2}}},\quad q'=p-{\sqrt {p^{2}-q^{2}}}{\frac {q^{2}}{p'}},$
il est clair que $p'$ et $q'$ seront aussi positives, et $p'>p,\ q'<q,$ et à plus forte raison $<p'.$ De même, ayant
$p''=p'+{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}},\quad q''=p'-{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}}{\frac {q'^{2}}{p''}},$
il s’ensuit que $p''>p',$ $q''>0$$<q'<p'',$ et ainsi de suite. D’où l’on conclura en général que les quantités $p,p',p'',\ldots$ forment une série croissante à l’infini, et que les quantités $q,q',q'',\ldots$ forment une série correspondante, mais décroissante jusqu’à zéro.
Et il est bon d’observer que si l’on prend les sommes et les différences des termes correspondants dans ces deux séries, en faisant
$p+q=m,\quad p-q=n,\quad p'+q'=m',\quad p'-q'=n',\ldots ,$
ce qui donne
$p={\frac {m+n}{2}},\quad q={\frac {m-n}{2}},\quad p'={\frac {m'+n'}{2}},\quad q'={\frac {m'-n'}{2}},\ldots ,$
on aura
${\begin{alignedat}{2}m'\ &=m+n,&n'\ &=2{\sqrt {mn}},\\m''&=m'+n',\qquad &n''&=2{\sqrt {m'n'}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
de sorte que dans les séries $m,m',m'',\ldots ,n,n',n'',\ldots ,$ les termes correspondants seront toujours moyens proportionnels, arithmétiques et géométriques, entre les doubles des termes qui les précèdent.
On peut donc continuer ces séries jusqu’à ce qu’on arrive à des termes $p''',\ldots ,q''',\ldots ,$ dont le second soit aussi petit qu’on voudra ; alors, prenant ces termes pour $r$ et $s,$ on pourra, dans la différentielle correspondante
${\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},$
supposer $s$ nul, ce qui la réduira à
${\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)}}},$
intégrable par les logarithmes ou par les arcs de cercle, selon que le signe supérieur ou l’inférieur aura lieu.
9. Mais comme la petitesse du terme $s^{2}z^{2}$ ne dépend pas seulement du coefficient $s^{2},$ mais aussi de la valeur qu’on donne à la variable $z,$ pour avoir dans tous les cas une approximation sûre, on fera $z={\frac {t}{\sqrt {rs}}}$ et ${\frac {s}{r}}=\alpha ,$ ce qui changera la différentielle
${\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}}\quad {\text{en}}\quad {\frac {\mathrm {T} dt}{\sqrt {\left(\alpha \pm t^{2}\right)\left(1\pm \alpha t^{2}\right)}}},$
en nommant $\mathrm {T}$ ce que devient ${\frac {\mathrm {Z} }{r}}$ par la substitution de ${\frac {t}{\sqrt {rs}}}$ à la place de $z.$
Or, depuis $t=0$ jusqu’à $t=1$ et $t=-1,$ il est clair que le terme $\alpha t^{2}$ sera moindre que $\alpha \,;$ par conséquent, en négligeant ce terme, on sera assuré de ne négliger que des quantités de l’ordre de $\alpha .$
D’ailleurs il est visible que la valeur du radical ${\sqrt {1\pm \alpha t^{2}}}$ sera nécessairement renfermée entre ces deux-ci, $1$ et ${\sqrt {1\pm \alpha }}\,;$ par conséquent, l’intégrale de la différentielle
${\frac {\mathrm {T} dt}{\sqrt {\left(\alpha \pm t^{2}\right)\left(1\pm \alpha t^{2}\right)}}}$
aura pour limites celle de la différentielle ${\frac {\mathrm {T} dt}{\sqrt {\left(\alpha \pm t^{2}\right)}}}$ et cette même inté-
${\sqrt {1\pm \alpha }}.$
$\alpha$
Si cependant on voulait s’arrêter à une valeur de $\alpha$ qui ne fût pas assez petite pour fournir des limites données, il n’y aurait qu’à résoudre en série le radical
${\frac {1}{\sqrt {1\pm \alpha t^{2}}}}$
et prendre autant de termes qu’on le jugerait à propos.
Cette série est, comme on sait,
$1\mp {\frac {1}{2}}\alpha t^{2}+{\frac {1.3}{2.4}}\alpha ^{2}t^{4}\mp {\frac {1.3.5}{2.4.6}}\alpha ^{3}t^{6}+\ldots .$
Soit \varpi le nombre des termes qu’on en veut prendre et $\Pi$ le dernier de ces termes ; pour embrasser tous les termes suivants, il faudrait multiplier $\Pi$ par la série
$1\mp {\frac {2\varpi -1}{2\varpi }}\alpha t^{2}+{\frac {(2\varpi -1)(2\varpi +1)}{2\varpi (2\varpi +2)}}\alpha ^{2}t^{4}\mp {\frac {(2\varpi -1)(2\varpi +1)(2\varpi +3)}{2\varpi (2\varpi +2)(2\varpi +4)}}\alpha ^{3}t^{6}+\ldots \,;$
or cette série est évidemment toujours renfermée entre ces limites $1$ et $1\mp \alpha +\alpha ^{2}\mp \alpha ^{3}+\ldots ,$ c’est-à-dire entre $1$ et ${\frac {1}{1\pm \alpha }}.$ Donc, en général, la somme exacte de tous les termes de la série continuée à l’infini sera toujours renfermée entre la valeur de la somme d’un certain nombre de termes pris depuis le commencement, et la valeur de la somme des mêmes termes, mais en divisant le dernier par $1\pm \alpha .$
Par conséquent, l’erreur résultant des termes qu’on aura négligés sera toujours moindre que la valeur du dernier terme multiplié par ${\frac {\alpha }{1\pm \alpha }}\,;$ ainsi l’on peut l’apprécier facilement et la diminuer à volonté.
Il serait facile au reste de trouver des limites plus exactes et plus resserrées, mais cela n’est pas nécessaire ici, où l’on suppose que $\alpha$ est une quantité fort petite et même aussi petite que l’on veut.
Mais depuis $t=\pm 1$ jusqu’à $t=\pm \infty ,$ le terme $\alpha t^{2}$ étant toujours $>\alpha ,$ l’approximation précédente ne saurait plus avoir lieu. On fera donc alors $t={\frac {1}{u}},$ et la différentielle
${\frac {\mathrm {T} dt}{\sqrt {\left(\alpha \pm t^{2}\right)\left(1\pm \alpha t^{2}\right)}}}$
se changera en
${\frac {\mathrm {U} du}{\sqrt {\left(\alpha \pm u^{2}\right)\left(1\pm \alpha u^{2}\right)}}},$
$\mathrm {U}$ étant ce que devient $-\mathrm {T}$ par la substitution de ${\frac {1}{u}}$ à la place de $t.$ Cette transformée est, comme on voit, semblable à la différentielle en $t,$ du moins pour la partie irrationnelle, et la variable $u$ est ici renfermée entre les limites $0$ et $\pm 1,$ comme la variable $t$ l’était ci-dessus ; ainsi l’on pourra traiter cette différentielle en $u$ de la même manière que l’autre en $t.$
Donc, en général, si l’intégration doit s’étendre depuis $t=f$ jusqu’à $t=g,$ on distinguera trois cas : 1$^o$ lorsque $f$ et $g$ sont renfermées entre $1$ et $-1\,;$ on aura alors le cas de $t^{2}<1\,;$ 2$^o$ lorsque $f$ et $g$ sont renfermées entre $1$ et $\infty$ ou $-1$ et $-\infty \,;$ ce sera le cas de $t^{2}>1,$ et l’on emploiera la substitution $t={\frac {1}{u}},$ laquelle rendra $u^{2}<1\,;$ 3$^o$ lorsque $f$ sera entre les premières limites et $g$ entre les secondes, ou réciproquement ; dans ce cas il faudra partager l’intégrale en deux parties, la première qui s’étende depuis $t=f$ jusqu’à $t=\pm 1,$ et la seconde depuis $t=\pm 1$ jusqu’à $t=g\,;$ et chacune de ces parties rentrera, comme on voit, dans l’un des cas précédents.
10. Au reste il est à propos d’observer que quand on a à intégrer une différentielle en série de la forme
$\mathrm {\left(A+A'\xi +A''\xi ^{2}+A'''\xi ^{3}+\ldots \right)} \mathrm {X} dx,$
$\mathrm {X}$ et $\xi$ étant des fonctions de $x,$ et $\mathrm {A,A',A''} ,\ldots$ des coefficients constants, au lieu d’intégrer chaque terme à part, ce qui demande souvent
a étant une constante indéterminée) d’intégrer tout d’un coup la différentielle
${\frac {\mathrm {X} dx}{1-a\xi }},$
dont l’intégration n’est guère plus difficile que celle de $\mathrm {X} \xi dx,$ surtout si $\xi$ est une fonction rationnelle. Alors, nommant $\mathrm {V}$ l’intégrale complétée d’après les conditions du Problème, il n’y aura qu’à dégager la quantité $a$ en développant par les méthodes connues la fonction $\mathrm {V}$ dans une série de la forme
$u+au'+a^{2}u''+a^{3}u'''+\ldots ,$
et l’on aura pour l’intégrale de la proposée la série
$\mathrm {A} u+\mathrm {A} 'u'+\mathrm {A} ''u''+\mathrm {A} '''u'''+\ldots \ldots .$
On sait que l’on a, en faisant $a=0$ après les différentiations,
$u=\mathrm {V} ,\quad u'={\frac {d\mathrm {V} }{da}},\quad u''={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{da^{2}}},\quad u'''={\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {V} }{da^{3}}},\ldots .$
Donc l’intégrale cherchée sera aussi représentée par
$\mathrm {AV} +\mathrm {A} '{\frac {d\mathrm {V} }{da}}+{\frac {\mathrm {A} ''}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{da^{2}}}+{\frac {\mathrm {A} '''}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {V} }{da^{3}}},\ldots ,$
en faisant varier $a$ seul dans $\mathrm {V}$ et supposant ensuite $a=0.$
11. Reprenons les transformations du n$^o$ 7, et remarquons que, puisque les deux séries $p,p',p'',\ldots ,q,q',q'',\ldots$ sont divergentes l’une par rapport à l’autre (8), si on les continue en arrière ainsi : $\ldots ,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}p,p,\ldots ,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q,{\text{ʽ}}q,q,$ elles deviendront convergentes, en sorte qu’on parviendra à des termes $r$ et $s$ égaux, ou presque égaux entre eux ; ce qui fera rentrer la différentielle correspondante
${\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}}$
dans le second cas d’intégration dont on a parlé dans le n$^o$ 5. Voici pour cela le procédé du calcul.
${\begin{alignedat}{2}p&={\text{ʽ}}p\ +{\sqrt {{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}q^{2}}},&q&={\text{ʽ}}p\ -{\sqrt {{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}q^{2}}},\\{\text{ʽ}}p&={\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p+{\sqrt {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\qquad &{\text{ʽ}}q&={\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p-{\sqrt {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ce qui donne
${\begin{alignedat}{2}{\text{ʽ}}p=&{\frac {p+q}{2}},&{\text{ʽ}}q=&{\sqrt {pq}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p=&{\frac {{\text{ʽ}}p+{\text{ʽ}}q}{2}},&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q=&{\sqrt {{\text{ʽ}}p{\text{ʽ}}q}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
De sorte qu’il est très-facile de continuer les séries $p,{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,\ldots ,$$q,{\text{ʽ}}q,$${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q,\ldots$ aussi loin que l’on veut, puisque les termes correspondants sont toujours moyens arithmétiques et géométriques entre les deux précédents. Et l’on voit en même temps que, quelle que soit la différence des deux premiers termes $p,q,$ elle doit aller toujours en diminuant dans les termes suivants, jusqu’à devenir nulle ; car $p$ étant $>q,$ on a évidemment ${\text{ʽ}}p<p,$ ${\text{ʽ}}q>{\text{ʽ}}q,$ et en même temps ${\text{ʽ}}q<{\text{ʽ}}p,$ puisque
${\text{ʽ}}p-{\text{ʽ}}q={\frac {p+q}{2}}-{\sqrt {pq}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {p}}-{\sqrt {q}}\right)^{2}\,;$
donc aussi ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p<{\text{ʽ}}p,$ ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q>{\text{ʽ}}q$ et $<{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,$ et ainsi de suite ; en sorte que la série $p,{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,\ldots$ est décroissante, et la série $q,{\text{ʽ}}q,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q,\ldots$ est au contraire croissante, mais toujours séparée de l’autre par un intervalle qui diminue à l’infini.
12. Cela posé, on fera successivement
${\begin{aligned}y&={\frac {{\text{ʽ}}y{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1\pm {\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}y^{2}}},\\{\text{ʽ}}y&={\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y&={\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\text{ʽ}}\mathrm {R} &={\sqrt {\left(1\pm {\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}\right)\left(1\pm {\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}y^{2}\right)}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} &={\sqrt {\left(1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}\right)\left(1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}\right)}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} &={\sqrt {\left(1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}\right)\left(1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
ce qui donnera (7)
${\begin{aligned}{\text{ʽ}}y^{2}&={\frac {\pm {\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}y^{2}-1+\mathrm {R} }{\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}&={\frac {\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}-1+{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{\pm 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}&={\frac {\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}-1+{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{\pm 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et
${\frac {dy}{\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}=\ldots .$
Et l’on observera que les nouvelles variables ${\text{ʽ}}y,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y,\ldots$ seront nécessairement réelles, ainsi que les radicaux ${\text{ʽ}}\mathrm {R} ,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} ,\ldots .$
Car d’abord il est clair que, $y$ et $\mathrm {R}$ étant réels, ${\text{ʽ}}y^{2}$ sera réelle : et l’on voit en même temps que lorsque les signes supérieurs ont lieu, la valeur de ${\text{ʽ}}y^{2}$ sera positive, puisque dans ce cas $\mathrm {R}$ est évidemment $>1\,;$ lorsque les signes inférieurs ont lieu, on aura $\mathrm {R} <{\text{ʽ}}q^{2}y^{2}+1,$ car en mettant pour ${\text{ʽ}}q^{2}$ sa valeur $pq$ et prenant les carrés, on aura d’un côté
$\left(1-p^{2}y^{2}\right)\left(1-q^{2}y^{2}\right),$
savoir
$1-\left(p^{2}+q^{2}\right)y^{2}+p^{2}q^{2}y^{4},$
et de l’autre
$1+2pqy^{2}+p^{2}q^{2}y^{4},$
en sorte que l’excès de $\left({\text{ʽ}}q^{2}y^{2}+1\right)^{2}$ sur $\mathrm {R} ^{2}$ sera $(p+q)^{2}y^{2},$ quantité toujours positive ; donc, comme dans ce cas
${\text{ʽ}}y^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}y^{2}+1-\mathrm {R} }{2{\text{ʽ}}p^{2}}},$
${\text{ʽ}}y^{2}$
${\text{ʽ}}y$
${\text{ʽ}}\mathrm {R}$
${\frac {dy}{\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}.$
Et de là on démontrera pareillement la réalité de ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y$ et de ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} ,$ et ainsi des autres.
Par les substitutions précédentes, la différentielle ${\frac {\mathrm {M} dy}{\mathrm {R} }}$ se changera donc d’abord en ${\text{ʽ}}\mathrm {L} d{\text{ʽ}}y+{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {M} d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }},$ ${\text{ʽ}}\mathrm {L}$ et ${\text{ʽ}}\mathrm {M}$ étant des fonctions rationnelles de ${\text{ʽ}}y^{2}\,;$ ensuite la différentielle ${\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {M} d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}$ se changera de même en
${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {L} d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y+{\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {M} d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }},$
${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {L}$ et ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {M}$ étant aussi des fonctions rationnelles de ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2},$ et ainsi de suite.
Donc la différentielle
$\mathrm {\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}}$
du n$^o$ 5 se trouvera transformée en celle-ci
$\mathrm {L} dy+{\text{ʽ}}\mathrm {L} d{\text{ʽ}}y+{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {L} d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y+\ldots +{\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},$
en nommant $\mathrm {Z} ,z,r,s$ les derniers termes des séries
$\mathrm {M} ,{\text{ʽ}}\mathrm {M} ,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {M} ,\ldots ,y,{\text{ʽ}}y,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y,\ldots ,p,{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,\ldots ,q,{\text{ʽ}}q,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q,\ldots \,;$
et comme les membres $\mathrm {L} dy,{\text{ʽ}}\mathrm {L} d{\text{ʽ}}y,\ldots$ sont chacun intégrables en particulier, l’intégration de la proposée sera ainsi réduite à celle de la nouvelle différentielle
${\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},$
où $\mathrm {Z}$ est une fonction rationnelle de $z^{2},$ et où $r$ et $s$ sont des constantes aussi peu différentes entre elles qu’on voudra.
13. Il faut remarquer encore que lorsque $\mathrm {M}$ est une fonction sans dénominateur, on peut toujours réduire ${\text{ʽ}}\mathrm {M}$ à n’être qu’une pareille fonction, et du même ordre ; car on a d’abord
${\frac {dy}{\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}.$
Ensuite, avant
$y^{2}={\frac {-\mathrm {R} +1\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}}{\pm {\text{ʽ}}q^{2}}},$
on aura
${\frac {y^{2}dy}{\mathrm {R} }}=-{\frac {dy}{\pm {\text{ʽ}}q^{2}}}+{\frac {\left(1\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}\right)d{\text{ʽ}}y}{\pm {\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}.$
Maintenant, l’équation
$\pm {\text{ʽ}}q^{2}y^{2}+\mathrm {R} =1\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}$
étant carrée, si l’on y substitue à la place de $\mathrm {R} ^{2}$ sa valeur en $y,$ et qu’ensuite on substitue aussi pour $y^{2},$ dans les termes qui ne contiennent point $\mathrm {R} ,$ la valeur ci-dessus, on en tirera
$y^{4}=\mathrm {YR} +{\text{ʽ}}\mathrm {Y} ,$
en supposant
${\begin{aligned}\mathrm {Y} =&{\frac {p^{2}+q^{2}\mp 2{\text{ʽ}}q^{4}y^{2}}{\left(p^{2}q^{2}+{\text{ʽ}}q^{4}\right){\text{ʽ}}q^{2}}},\\{\text{ʽ}}\mathrm {Y} =&{\frac {-q^{2}+\left(p^{2}+q^{2}\right)\left(1\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}\right)+{\text{ʽ}}q^{2}\left(1\pm 2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}y^{2}\right)^{2}}{\left(p^{2}q^{2}+{\text{ʽ}}q^{4}\right){\text{ʽ}}q^{2}}}.\end{aligned}}$
Ainsi l’on aura
${\frac {y^{4}dy}{\mathrm {R} }}=\mathrm {Y} dy+{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {Y} d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}.$
On réduira de la même manière, par des substitutions successives, $y^{6},y^{8},\ldots$ à la forme $\mathrm {YR} +{\text{ʽ}}\mathrm {Y} ,$ où $\mathrm {Y}$ sera une fonction rationnelle et entière de $y^{2}$ de l’ordre quatrième, sixième, …, et ${\text{ʽ}}\mathrm {Y}$ sera une pareille fonction de ${\text{ʽ}}y^{2}$ de l’ordre sixième, huitième, … ; et l’on aura par conséquent aussi
${\frac {y^{6}dy}{\mathrm {R} }}=\mathrm {Y} dy+{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {Y} d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}.$
et ainsi de suite.
D’où l’on voit qu’en général la différentielle
${\frac {\left(a+by^{2}+cy^{4}+\ldots \right)dy}{\mathrm {R} }}$
se réduira toujours à la différentielle
$\mathrm {Y} dy+{\frac {\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} {\text{ʽ}}y^{2}+\mathrm {C} {\text{ʽ}}y^{4}+\ldots \right)d{\text{ʽ}}y}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }},$
où $\mathrm {Y}$ sera une fonction rationnelle et entière de $y^{2}.$
On fera les mêmes opérations sur les autres transformées en ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y,$${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y,\ldots ,$ et l’on en conclura en général que si dans la différentielle primitive
${\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}},$
$\mathrm {N}$ est une fonction sans dénominateur, auquel cas nous avons déjà démontré plus haut que $\mathrm {M}$ sera aussi une fonction de même forme et de même ordre, cette fonction sera réductible à celle-ci
$d\mathrm {V} +{\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},$
dans laquelle $\mathrm {V}$ sera une fonction rationnelle et entière de $y,{\text{ʽ}}y,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y,\ldots ,$ et $\mathrm {Z}$ une fonction rationnelle et entière de $z^{2}$ du même ordre que la fonction $\mathrm {N} .$
14. Il ne s’agira donc plus que d’intégrer la différentielle
${\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},$
dans laquelle $r$ et $s$ seront des quantités aussi peu différentes entre elles qu’on voudra ; et il est d’abord clair qu’en les supposant égales l’irrationnalité disparaîtra, et l’intégration n’aura plus de difficulté. En même temps il est visible que puisque $r>s,$ le radical ${\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}$ sera nécessairement renfermé entre les deux quantités $1\pm r^{2}s^{2}$ et $1\pm s^{2}z^{2}\,;$ par conséquent, l’intégrale de la proposée aura pour limites
${\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm r^{2}z^{2}\right)}}}$
${\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(1\pm s^{2}z^{2}\right)}}},$
$r$
$s.$
Mais si l’on voulait tenir compte de l’effet de cette différence, il n’y aurait qu’à y employer la méthode ordinaire des séries ; et, pour en rendre l’emploi plus exact relativement à la différentielle proposée, on la mettra d’abord sous la forme
${\frac {\mathrm {Z} dz}{rs{\sqrt {\left({\frac {1}{r^{2}}}\pm z^{2}\right)\left({\frac {1}{s^{2}}}\pm z^{2}\right)}}}},$
ensuite on supposera
${\frac {1}{s^{2}}}=b^{2}+\beta ,\quad {\frac {1}{r^{2}}}=b^{2}-\beta ,$
c’est-à-dire
$b^{2}={\frac {r^{2}+s^{2}}{2r^{2}s^{2}}},\quad \beta ={\frac {r^{2}-s^{2}}{2r^{2}s^{2}}},$
en sorte que $\beta$ sera une quantité fort petite de l’ordre de $r-s,$ et la différentielle en question se changera en celle-ci
${\frac {\mathrm {Z} dz}{rs{\sqrt {\left(b^{2}\pm z^{2}\right)^{2}-\beta ^{2}}}}},$
laquelle, par le développement du radical, deviendra
${\frac {\mathrm {Z} }{rs}}\left[{\frac {1}{b^{2}\pm z^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\beta ^{2}}{\left(b^{2}\pm z^{2}\right)^{3}}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\beta ^{4}}{\left(b^{2}\pm z^{2}\right)^{5}}}+\ldots \right]dz,$
série dont chaque terme est rationnel et par conséquent intégrable par les arcs de cercle ou par les logarithmes selon que le signe supérieur ou l’inférieur aura lieu.
Mais, pour n’avoir pas à intégrer à part chaque terme de cette série, on intégrera la différentielle
${\frac {\mathrm {Z} dz}{rs\left(b^{2}+a\pm z^{2}\right)}},$
$a$
$\mathrm {V}$
$a,$
$\mathrm {V}$
$u+au'+a^{2}u''+a^{3}u'''+a^{4}u^{\text{ıv}}+\ldots \,;$
on aura alors, pour l’intégrale de la série dont il s’agit, celle-ci
$u+{\frac {\beta ^{2}}{2}}u''+{\frac {1.3\times \beta ^{4}}{2.4}}u^{\text{ıv}}+\ldots .$
Cette série sera, comme on voit, fort convergente lorsque $\beta$ sera une très-petite quantité ; en sorte qu’il suffira le plus souvent de n’en prendre qu’un ou deux termes. Il y a cependant un cas où l’approximation serait toujours inexacte, quelque petite que fût la quantité $\beta \,;$ c’est celui où, en prenant dans la formule le signe inférieur, on aurait dans l’un des termes de l’intégrale $z=\pm b+\alpha ,$ $\alpha$ étant une quantité du même ordre que $\beta \,;$ alors $\left(b^{2}-z^{2}\right)^{2}$ serait une quantité du même ordre que $\beta ^{2},$ et par conséquent la série cesserait d’être convergente.
15. Pour résoudre ce cas d’une manière générale, je considère la formule
${\frac {\mathrm {Z} dz}{\sqrt {\left(m^{2}-z^{2}\right)\left(n^{2}-z^{2}\right)}}},$
dans laquelle la différence entre $m$ et $n$ est supposée très-petite, et qui doit être intégrée depuis $z=f$ jusqu’à $z=g,$ les quantités $f,g$ étant l’une ou l’autre, ou toutes deux, peu différentes de $\pm m.$
Supposons d’abord l’une de ces quantités peu différente de $m,$ et par conséquent aussi de $n,$ tandis que l’autre est assez différente de $-m\,;$ comme la quantité sous le signe est
$(m-z)(n-z)(m+z)(n+z),$
et que
$(m+z)(n+z)=\left(z+{\frac {m+n}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{2},$
${\frac {\mathrm {Z} dz}{{\sqrt {(m-z)(n-z)}}{\sqrt {\left(z+{\cfrac {m+n}{2}}\right)^{2}-\left({\cfrac {m-n}{2}}\right)^{2}}}}},$
et il est clair que $\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{2}$ sera toujours très-petite vis-à-vis de $\left(z+{\frac {m+n}{2}}\right)^{2},$ en sorte que la résolution du radical
${\sqrt {\left(z+{\cfrac {m+n}{2}}\right)^{2}-\left({\cfrac {m-n}{2}}\right)^{2}}}$
ne sera sujette à aucun inconvénient. On aura donc à intégrer la formule
${\frac {\mathrm {Z} }{\sqrt {(m-z)(n-z)}}}\left[{\frac {1}{z+{\frac {m+n}{2}}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{2}}{\left(z+{\frac {m+n}{2}}\right)^{3}}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{4}}{\left(z+{\frac {m+n}{2}}\right)^{5}}}+\ldots \right]dz,$
dont chaque terme est intégrable par les logarithmes ou les arcs de cercle.
Si l’une des quantité $f,g$ était peu différente de $-m,$ on donnerait alors au radical ${\sqrt {\left(m^{2}-s^{2}\right)\left(n^{2}-s^{2}\right)}}$ la forme
${\sqrt {(m+z)(n+z)}}{\sqrt {\left(z-{\cfrac {m+n}{2}}\right)^{2}-\left({\cfrac {m-n}{2}}\right)^{2}}}\,;$
et l’on aurait à intégrer cette autre série
${\frac {\mathrm {Z} }{\sqrt {(m+z)(n+z)}}}\left[{\frac {1}{z-{\frac {m+n}{2}}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{2}}{\left(z-{\frac {m+n}{2}}\right)^{3}}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\left({\frac {m-n}{2}}\right)^{4}}{\left(z-{\frac {m+n}{2}}\right)^{5}}}+\ldots \right]dz,$
qu’on voit être nécessairement convergente, et dont l’intégration est toujours facile.
Enfin, si l’une des quantités $f,g$ était très-proche de $m,$ et que l’autre fût en même temps peu différente de $-m,$ on partagerait alors l’intégrale en deux parties, dont l’une se prendrait depuis $m$ jusqu’à zéro et l’autre depuis zéro jusqu’à $-m,$ et pour la première on emploierait la première série, et pour la seconde la seconde série.
16. Nous finirons par présenter encore un moyen de simplification relativement à la manière de compléter l’intégrale cherchée. Nous remonterons pour cela à la différentielle en y du n$^o$ 6, et nous remarquerons que si l’intégration de cette différentielle doit commencer au point où $y=0,$ alors, comme $y=0$ donne aussi $y'=0,\ y''=0,\ldots ,$ ainsi que ${\text{ʽ}}y=0,\ {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y=0,\ldots ,$ toutes les autres différentielles transformées devront aussi commencer au point où leur variable sera nulle ; de sorte qu’il n’y aura dans ce cas aucune constante à ajouter. Mais si l’intégration doit commencer dans un autre point quelconque, il faudra alors, pour compléter l’intégrale, en retrancher la valeur correspondant à ce point, ce qui rendra l’intégrale moins simple et même quelquefois sujette à des difficultés, si la valeur de $y$ devait être infinie au commencement de l’intégration.
On obviera en général à ces inconvénients en ramenant tous les cas au premier, c’est-à-dire à celui où l’intégrale commence à $y=0.$ Pour cet effet, soit $f$ la valeur de $y$ au point où l’on veut faire commencer l’intégration de la différentielle
${\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}\,;$
on substituera au lieu de $y$ une autre variable $u$ déterminée par l’équation
$f^{2}-u^{2}-y^{2}+2uy{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}+p^{2}q^{2}f^{2}u^{2}y^{2}=0,$
laquelle donne
$u={\frac {y{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}-f{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}{1-p^{2}q^{2}f^{2}y^{2}}},$
$u={\frac {u{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}+f{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}}{1-p^{2}q^{2}f^{2}u^{2}}},$
où l’on voit que $y=f$ donne $u=0$ et que $y=\infty$ donne $u={\frac {1}{pqf}}.$
Or l’équation précédente, étant différentiée et divisée en croix, donne
${\begin{aligned}&{\frac {dy}{u\left(p^{2}q^{2}f^{2}y^{2}-1\right)+y{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}}}\\&\qquad +{\frac {du}{y\left(p^{2}q^{2}f^{2}u^{2}-1\right)+u{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}}}=0.\end{aligned}}$
et, mettant dans le dénominateur de $dy$ la valeur précédente de $u$ en $y,$ ainsi que dans le dénominateur de $du$ la valeur de $y$ en $u,$ on aura
${\frac {dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}={\frac {du}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}}.$
Soit maintenant
$u^{2}+y^{2}=s,\quad uy=t,$
on aura par la même équation
$s=f^{2}+2\mathrm {F} t+p^{2}q^{2}f^{2}t^{2},$
en faisant
$\mathrm {F} ={\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}.$
De là on aura
$y^{2}-u^{2}={\sqrt {s^{2}-4t}},$
par conséquent
${\begin{aligned}y^{2}=&{\frac {s+{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}},\\u^{2}=&{\frac {s-{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}.\end{aligned}}$
Qu’on substitue cette valeur de $y^{2}$ dans la quantité $\mathrm {M}$ qui est supposée une fonction rationnelle de $y^{2},$ et faisant disparaître le radical du dénominateur s’il y en a un, il viendra
$\mathrm {M=P+Q} {\sqrt {s^{2}-4}},$
$\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des fonctions rationnelles de $s$ et $t.$
Et, comme la valeur de $u^{2}$ ne diffère de celle de $y^{2}$ que par le signe du radical, il est visible que $\mathrm {P-Q} {\sqrt {s^{2}-4t}}$ sera pareillement la valeur d’une fonction $\mathrm {L}$ de $u^{2}$ semblable à la fonction $\mathrm {M}$ de $y^{2}\,;$ de sorte qu’on aura
$\mathrm {P=L+Q} {\sqrt {s^{2}-4t}},$
et, par conséquent,
$\mathrm {M=L+2Q} {\sqrt {s^{2}-4t}}.$
Or $\mathrm {Q}$ est, comme nous venons de le voir, une fonction rationnelle de $s$ et de $t\,;$ donc, en y substituant pour $s$ sa valeur en $t$ trouvée ci-dessus, on aura pour $\mathrm {Q}$ une fonction rationnelle de $t.$ De plus, ${\sqrt {s^{2}-4t}}=y^{2}-u^{2},$ et les valeurs de $u$ et de $y$ données plus haut étant multipliées l’une par $u\left(1-p^{2}q^{2}f^{2}y^{2}\right),$ l’autre par $y\left(1-p^{2}q^{2}f^{2}u^{2}\right),$ et ensuite retranchées l’une de l’autre, on a
$y^{2}-u^{2}=fy{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}+fu{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}},$
donc
$\mathrm {M=L} +2f\mathrm {Q} \left[y{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}+u{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}\right]\,;$
cette équation étant combinée avec l’équation différentielle
${\frac {dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}={\frac {du}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}},$
on aura (à cause de $udy+ydu=dt$)
${\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}={\frac {\mathrm {L} du}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}u^{2}\right)\left(1\pm q^{2}u^{2}\right)}}}+2f\mathrm {Q} dt,$
où la partie $2f\mathrm {Q} dt$ est intégrable, puisque $\mathrm {Q}$ est une fonction rationnelle de $t.$
De cette manière, la substitution de $u$ à la place de $y$ réduit l’intégration de la différentielle proposée à celle d’une autre différentielle semblable, puisque $\mathrm {L}$ est une fonction de $u^{2}$ semblable à la fonction $\mathrm {M}$ de $y^{2}\,;$ et elle a en même temps cet avantage que l’intégration relative à $u$ commencera toujours à $u=0,$ quelle que soit la valeur initiale $f$ de $y.$
17. Par la méthode générale que nous venons d’exposer, on est donc assuré de pouvoir intégrer aussi exactement qu’on voudra toute différen tielle affectée d’un radical carré, où la variable sous le signe monte jusqu’à la quatrième puissance) ; ce qui est le cas d’un grand nombre de Problèmes géométriques et mécaniques qu’on ne pouvait résoudre jusqu’ici que d’une manière incomplète et limitée.
Comme cette méthode est d’un genre assez nouveau, et qu’on pourrait rencontrer encore quelques difficultés dans son usage, nous allons appliquer en détail à la rectification des arcs elliptiques et hyperboliques.
18. Soit, dans une ellipse dont le demi-grand axe est pris pour l’unité et le demi-petit axe est $b,$ $x$ l’abscisse prise du centre sur le grand axe, on aura l’ordonnée rectangle
$y=b{\sqrt {1-x^{2}}},$
et l’élément de l’arc elliptique sera
${\sqrt {dx^{2}+y^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {b^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}}dx={\frac {\sqrt {1-e^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.$
en faisant ${\sqrt {1-b^{2}}}=e,$ l’excentricité de l’ellipse.
Cette expression trouvée pour l’ellipse a lieu également pour l’hyperbole ; tant que $e<1$ elle se rapporte à l’ellipse, et si $e>1$ elle appartient alors à l’hyperbole, dans laquelle, le demi-petit axe $b$ devenant imaginaire, $b^{2}$ est une quantité négative, et par conséquent ${\sqrt {1-b^{2}}}>1.$
19. Lorsque $e$ est une quantité fort petite ou très-peu différente de l’unité, on peut, dans l’expression de l’élément de l’arc, réduire le radical du numérateur en une série convergente, et-ensuite intégrer chaque terme en particulier par les méthodes connues ; mais à mesure qu’on s’éloigne de ces deux cas, la convergence des séries diminue, et il faudrait souvent pousser les séries très-loin pour avoir des déterminations de l’arc suffisamment exactes. Feu M. Euler a donné pour ces deux cas, dans ses Opuscules, des séries qui représentent le quart de l’ellipse.
Le premier n’a point de difficulté, parce que la série est toujours convergente lorsque $e$ est une petite quantité, la variable $x$ ne pouvant jamais excéder l’unité. Il n’en est pas de même du second ; car en supposant $e^{2}$ peu différent de l’unité et mettant en conséquence le radical ${\sqrt {1-e^{2}x^{2}}}$ sous la forme ${\sqrt {\left(1-x^{2}\right)+\left(1-e^{2}\right)x^{2}}},$ il est clair que la série dans laquelle on développerait ce radical en prenant $1-x^{2}$ pour premier terme, et $\left(1-e^{2}\right)x^{2}$ pour second terme, cessera d’être convergente près du sommet de l’ellipse où $1-x^{2}$ est une quantité très-petite ou nulle, et qu’ainsi elle ne pourra servir pour déterminer la longueur du quart entier de l’ellipse, mais seulement pour une partie de cette longueur. M. Euler n’a résolu ce cas que par des méthodes indirectes ; mais, comme il est analogue à celui dont nous avons traité dans le n$^o$ 15, il peut l’être par des principes semblables.
Pour ne rien laisser à désirer ici sur l’objet présent, nous allons donner succinctement la solution des deux cas dont il s’agit, en présentant les formules les plus simples et les plus générales pour la rectification des ellipses peu excentriques ou très-aplaties.
20. Et d’abord, lorsque l’excentricité $e$ de l’ellipse proposée est fort petite, il n’y aura qu’à résoudre le radical ${\sqrt {1-e^{2}x^{2}}}$ en série à la manière ordinaire, et la différentielle de l’arc elliptique deviendra
${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{2}}e^{2}x^{2}-{\frac {1.1}{2.4}}e^{4}x^{4}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}e^{6}x^{6}-\ldots \right)dx,$
dont chaque terme est intégrable.
En effet, on a, par les réductions connues,
${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=&\operatorname {arc} \sin x,\\\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=&-{\frac {1}{2}}x{\sqrt {1-x^{2}}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arc} \sin x,\\\int {\frac {x^{4}dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=&-\left({\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1.3}{2.4}}x\right){\sqrt {1-x^{2}}}+{\frac {1.3}{2.4}}\operatorname {arc} \sin x,\end{aligned}}$
et ainsi de suite.
Mais on peut avoir directement l’intégrale de toute la série par la méthode du n$^o$ 10, en intégrant simplement la différentielle
${\frac {dx}{\left(1-ax^{2}\right){\sqrt {1-x^{2}}}}},$
laquelle, en supposant ${\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1-ax^{2}}}}=y,$ se change en celle-ci
$-{\frac {dy}{{\sqrt {1-a}}{\sqrt {1-y^{2}}}}},$
dont l’intégrale est ${\frac {\operatorname {arc} \cos y}{\sqrt {1-a}}}\,;$ de sorte que l’intégrale de la proposée sera
${\frac {1}{\sqrt {1-a}}}\operatorname {arc} \cos {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1-ax^{2}}}},$
et comme cette intégrale s’évanouit d’elle-même lorsque $x=0,$ elle ne demande point de constante.
Dénotant donc en général cette quantité par $\mathrm {V} ,$ il n’y aura qu’a regarder $\mathrm {V}$ comme une fonction de $a$ et à la résoudre en une série ascendante de la forme,
$u+au'+a^{2}u''+a^{3}u'''+\ldots ,$
soit par la méthode des séries, soit par des différentiations relatives à $a\,;$ on aura alors, pour l’arc elliptique répondant à l’abscisse $x$ prise du centre sur le grand axe, la formule
$u-{\frac {1}{2}}e^{2}u'-{\frac {1.1}{2.4}}e^{4}u''-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}e^{6}u'''-\ldots .$
Pour avoir le quart entier de l’ellipse, on fera $x=1,$ ce qui donne
$\mathrm {V} ={\frac {90^{\circ }}{\sqrt {1-a}}},$
en désignant par $90^{\circ }$ l’angle droit ou le quart d’un cercle dont le rayon est l’unité. On aura donc dans ce cas, en résolvant ${\frac {1}{\sqrt {1-a}}}$ en série,
$u=90^{\circ },\quad u'={\frac {1}{2}}90^{\circ },\quad u''={\frac {1.3}{2.4}}90^{\circ },\ldots \,;$
par conséquent, le quart d’ellipse sera exprimé par la série
$90^{\circ }\left(1-{\frac {1.1}{2.2}}e^{2}-{\frac {1.1.1.3}{2.2.4.4}}e^{4}-{\frac {1.1.1.3.3.5}{2.2.4.4.6.6}}e^{6}-\ldots \right),$
qu’on voit être toujours convergente lorsque $e$ est une fraction assez petite.
21. Supposons maintenant $e$ peu différente de l’unité, ce qui est le cas d’une ellipse ou d’une hyperbole très-aplatie suivant que $e$ sera $<$ ou $>1\,;$ on mettra alors la différentielle ${\sqrt {\frac {1-e^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}dx$ sous la forme
${\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\sqrt {\frac {1+ex}{1+x}}}dx,$
et l’on représentera le radical ${\sqrt {\frac {1+ex}{1+x}}}$ ainsi ${\sqrt {1-{\frac {(1-e)x}{1+x}}}}\,;$ où l’on voit qu’à cause de $1-e$ très-petite, le terme ${\frac {(1-e)x}{1+x}}$ sera toujours fort petit du même ordre dans tout le quart d’ellipse où $x$ croît depuis $0$ jusqu’à $1\,;$ de sorte que la réduction de ce radical en série ne sera sujette à aucune difficulté.
Mais, pour rendre le calcul plus simple, on donnera au même radical la forme ${\sqrt {e+{\frac {1-e}{1+x}}}},$ et faisant ${\frac {1-e}{e}}=n,$ on aura à intégrer la différentielle en série
${\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\sqrt {e}}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {n}{1+x}}-{\frac {1.1}{2.4}}{\frac {n^{2}}{(1+x)^{2}}}+{\frac {1.1.3}{2.4.6}}{\frac {n^{3}}{(1+x)^{3}}}-\ldots \right)dx,$
dont chaque terme est intégrable en partie algébriquement et en partie par logarithmes.
Suivant la méthode du n$^o$ 10, il n’y aura donc qu’à intégrer la différentielle
${\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\frac {\sqrt {e}}{1-{\cfrac {a}{1+x}}dx}},$
qu’on nommera $d\mathrm {V}$ et à résoudre ensuite la quantité $\mathrm {V} ,$ regardée comme une fonction de $a,$ en une série ascendante de la forme
$u+au'+a^{2}u''+a^{3}u'''+\ldots \,;$
alors on aura sur-le-champ la série
$u+{\frac {1}{2}}nu'-{\frac {1.1}{2.4}}n^{2}u''+{\frac {1.1.3}{2.4.6}}n^{3}u'''-\ldots$
pour l’intégrale de la différentielle proposée, c’est-à-dire pour la longueur de l’arc elliptique ou hyperbolique.
Or, comme
${\frac {1}{1-{\cfrac {a}{1+x}}}}={\frac {1+x}{1-a+x}}=1+{\frac {a}{1-a+x}},$
on aura
$d\mathrm {V} ={\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\sqrt {e}}dx+a{\sqrt {e}}{\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}d\left[\log(1-a+x)\right]\,;$
et faisant ${\frac {1-x}{1-ex}}=y^{2},$ ce qui donne
$x={\frac {1-y^{2}}{1-ey^{2}}},\quad dx=-{\frac {2(1-e)y}{\left(1-ey^{2}\right)^{2}}}dy,$
$d\mathrm {V} =-{\frac {2(1-e){\sqrt {e}}}{\left(1-ey^{2}\right)^{2}}}dy+2ae{\sqrt {e}}{\frac {1}{1-ey^{2}}}dy-{\frac {2a{\sqrt {e}}(1+e-ae)}{2-a-(1+e-ae)y^{2}}}dy\,;$
donc, en intégrant par les méthodes connues,
${\begin{aligned}\mathrm {V} =&-{\frac {(1-e)y{\sqrt {e}}}{1-ey^{2}}}+\left({\frac {1-e}{2}}-ea\right)\log \left({\frac {1-y{\sqrt {e}}}{1+y{\sqrt {e}}}}\right)\\&+a{\sqrt {\frac {e(1+e-ea)}{2-a}}}\log \left({\frac {1-y{\sqrt {\cfrac {1+e-ea}{2-a}}}}{1+y{\sqrt {\cfrac {1+e-ea}{2-a}}}}}\right).\end{aligned}}$
Cette intégrale est nulle lorsque $y=0,$ auquel cas $x=1\,;$ ainsi elle répond aux arcs elliptiques ou hyperboliques pris depuis le sommet ou l’extrémité du grand axe ; mais, dans le cas de l’ellipse, il faudra prendre l’expression de l’arc négativement puisqu’il diminue tandis que l’abscisse $x$ augmente. On aura donc en général, pour l’arc d’ellipse ou d’hyperbole pris depuis le sommet et terminé au point qui répond à l’abscisse $x$ prise du centre, la valeur en série
$\mp u\mp {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{e}}\right)u'\pm {\frac {1.1}{2.4}}\left(1-{\frac {1}{e}}\right)^{2}u''\mp {\frac {1.1.3}{2.4.6}}\left(1-{\frac {1}{e}}\right)^{3}u'''\ldots ,$
les signes supérieurs étant pour l’ellipse où $e<1,$ et les inférieurs pour l’hyperbole où $e>1.$ Et pour avoir le quart entier de l’ellipse il faudra faire $x=0$ et par conséquent $y=1.$
Au reste, puisque $u+au'+a^{2}u''+\ldots$ est le développement de la fonction $\mathrm {V} ,$ on voit d’abord qu’on aura
${\begin{aligned}u=&-(1-e)\left[{\frac {y{\sqrt {e}}}{1-ey^{2}}}-{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-y{\sqrt {e}}}{1+y{\sqrt {e}}}}\right)\right],\\u'=&-e\log \left({\frac {1-y{\sqrt {e}}}{1+y{\sqrt {e}}}}\right)+{\sqrt {\frac {e(1+e)}{2}}}\log \left({\frac {1-y{\sqrt {\cfrac {1+e}{2}}}}{1+y{\sqrt {\cfrac {1+e}{2}}}}}\right)\,;\end{aligned}}$
$u'',u''',\ldots$
$a,a^{2},\ldots$
${\sqrt {e\left[{\frac {1+e}{2}}+{\frac {(1-e)a}{2(2-a)}}\right]}}\times \log \left({\frac {1-y{\sqrt {{\cfrac {1+e}{2}}+{\cfrac {(1-e)a}{2(2-a)}}}}}{1+y{\sqrt {{\cfrac {1+e}{2}}+{\cfrac {(1-e)a}{2(2-a)}}}}}}\right),$
coefficients qu’on trouvera aisément par la méthode des séries, ou par des différentiations successives.
22. Après avoir ainsi résolu d’une manière nouvelle et plus simple qu’on ne l’avait Fait, les deux cas extrêmes de la rectification des arcs elliptiques et hyperboliques, nous allons appliquer notre méthode générale à la rectification d’une ellipse ou d’une hyperbole quelconque.
Et d’abord il est clair que la différentielle à intégrer étant (18)
${\frac {{\sqrt {1-e^{2}x^{2}}}dx}{\sqrt {1-x^{2}}}},$
il n’y aura qu’à multiplier le haut et le bas de la fraction par ${\sqrt {1-e^{2}x^{2}}},$ pour la ramener à la forme de celle du n$^o$ 6, laquelle sera dans notre cas
${\frac {\left(1-e^{2}x^{2}\right)dx}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-e^{2}x^{2}\right)}}}.$
Mais, pour rendre le calcul plus général, nous nous proposerons la différentielle
${\frac {\left(\mathrm {A+B} x^{2}\right)dx}{\sqrt {\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)}}},$
dans laquelle on suppose $p>q\,;$ ainsi pour l’ellipse on prendra $p=1,\ q=e,$ et pour l’hyperbole $p=e,\ q=1.$
On fera donc, conformément aux transformations du n$^o$ 7,
${\begin{alignedat}{2}p'\ &=p\ +{\sqrt {p^{2}-q^{2}}},&q'\ &=p\ -{\sqrt {p^{2}-q^{2}}},\\p''&=p'+{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}},\qquad &q''&=p'-{\sqrt {p'^{2}-q'^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\frac {x\mathrm {R} }{1-q^{2}x^{2}}}=x',\qquad {\frac {x'\mathrm {R} '}{1-q'^{2}x'^{2}}}=x'',\ldots .$
${\begin{aligned}\mathrm {R} \ &={\sqrt {\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)}},\\\mathrm {R} '&={\sqrt {\left(1-p'^{2}x'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et l’on aura par là
${\begin{aligned}x^{2}\ &={\frac {1+q^{2}x'^{2}-\mathrm {R} '}{2p^{2}}},\\x'^{2}&={\frac {1+q'^{2}x''^{2}-\mathrm {R} ''}{2p'^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
${\frac {dx}{\mathrm {R} }}={\frac {dx'}{\mathrm {R} '}}={\frac {dx''}{\mathrm {R} ''}}=\ldots ,$
où $x',x'',\ldots ,\mathrm {R',R''} ,\ldots$ seront nécessairement réels, puisque $x$ et $\mathrm {R}$ le sont.
Par ces substitutions la différentielle ${\frac {\left(\mathrm {A+B} x^{2}\right)dx}{\mathrm {R} }}$ deviendra successivement
${\begin{aligned}{\frac {\left(\mathrm {A'\ \ +B'\,\ } x'^{2}\ \ \right)dx'\ \ }{\mathrm {R} '}}&-{\frac {\mathrm {B} dx'}{2p^{2}}},\\{\frac {\left(\mathrm {A''\ +B''\ } x''^{2}\ \right)dx''\ }{\mathrm {R} ''}}&-{\frac {\mathrm {B} dx'}{2p^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} 'dx''}{2p'^{2}}},\\{\frac {\left(\mathrm {A'''+B'''} x'''^{2}\right)dx'''}{\mathrm {R} '''}}&-{\frac {\mathrm {B} dx'}{2p^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} 'dx''}{2p'^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} ''dx'''}{2p''^{2}}},\end{aligned}}$
et ainsi de suite, en faisant, pour abréger,
$\mathrm {A'=A} +{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}},\quad \mathrm {A''=A'} +{\frac {\mathrm {B} '}{2p'^{2}}},\quad \mathrm {A'''=A''} +{\frac {\mathrm {B} ''}{2p''^{2}}},\ldots ,$
$\mathrm {B} '={\frac {\mathrm {B} q^{2}}{2p^{2}}},\quad \mathrm {B} ''={\frac {\mathrm {B} 'q'^{2}}{2p'^{2}}},\quad \mathrm {B} '''={\frac {\mathrm {B} ''q''^{2}}{2p''^{2}}},\ldots .$
Donc, en général, si $\xi$ est un terme quelconque de la série $x,x',x'',\ldots ,$ $r$ et $s$ les deux termes correspondants dans les séries $p,p',p'',\ldots$ et $q,q',$$q'',\ldots$ et ${\text{ʽ}}r,{\text{ʽ}}s$ les deux termes qui les précèdent dans les mêmes séries, la différentielle proposée sera transformée en celle-ci
${\begin{aligned}-&{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}}\left(dx'+{\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}dx''+{\frac {q^{2}q'^{2}}{2p'^{2}\times 2p''^{2}}}dx'''+\ldots \right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {q^{2}q'^{2}\ldots }{2p'^{2}\times 2p''^{2}\times \ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}d\xi \right)\\&+{\frac {\mathrm {\left(C+D\xi ^{2}\right)} d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}},\end{aligned}}$
dans laquelle on aura
${\begin{aligned}\mathrm {C} =&\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}}\left(1+{\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}+{\frac {q^{2}q'^{2}}{2p'^{2}\times 2p''^{2}}}+\ldots +{\frac {q^{2}q'^{2}\ldots }{2p'^{2}\times 2p''^{2}\times \ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}\right)\\\mathrm {D} =&\mathrm {B} \times {\frac {q^{2}q'^{2}q''^{2}\ldots {\text{ʽ}}s^{2}}{2p^{2}\times 2p'^{2}\times 2p''^{2}\times \ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}.\end{aligned}}$
23. Maintenant pour l’ellipse on a
$\mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} =-e^{2},\quad p=1,\quad q=e<1\,;$
ainsi les nombres $p,p',p'',\ldots$ forment une série croissante depuis l’unité, et les nombres correspondants $q,q',q'',\ldots$ forment une série décroissante depuis la valeur de l’excentricité (8). Or, par la nature de l’ellipse, la variable $x^{2}$ est renfermée entre $0$ et $1\,;$ donc on aura
$\mathrm {R} ^{2}=\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)<\left(1-q^{2}x^{2}\right)^{2},$
par conséquent
$x'^{2}={\frac {x^{2}\mathrm {R} ^{2}}{\left(1-q^{2}x^{2}\right)^{2}}}<x^{2}<1\,;$
donc aussi
$\mathrm {R} '^{2}<\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)^{2},$
car
$\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)^{2}-\left(1-p'^{2}x'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)=\left(p'^{2}-q'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)x'^{2}>0\,;$
et de là
$x''^{2}<x'^{2}<1,$
et ainsi de suite.
Donc $1-q'^{2}x'^{2},\ 1-q''^{2}x''^{2},\ldots$ étant des quantités positives, la réalité déjà démontrée des radicaux $\mathrm {R',R''} ,\ldots$ demande que les facteurs corrélatifs $1-p'^{2}x'^{2},\ 1-p''^{2}x''^{2},\ldots$ soient positifs ; par conséquent on aura $x'^{2}<{\frac {1}{p'^{2}}},\ x''^{2}<{\frac {1}{p''^{2}}},\ldots ,$ donc aussi $\xi ^{2}<{\frac {1}{r^{2}}}.$
Puis donc que $r^{2}\xi ^{2}<1,$ on pourra faire $r\xi =\sin \varphi ,$ et la différentielle ${\frac {\mathrm {\left(C+D\xi ^{2}\right)} d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}$ deviendra
${\frac {\left({\cfrac {\mathrm {C} }{r}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varphi \right)d\varphi }{\sqrt {1-{\cfrac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}},$
où l’on voit que le radical ${\sqrt {1-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}$ ne sera jamais ni $>1$ ni $<{\sqrt {1-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}}}\,;$ de sorte que l’intégrale de la différentielle dont il s’agit aura pour limites celle de
$\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varphi \right)d\varphi ,$
laquelle est
$\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{2r^{3}}}\right)\varphi -{\frac {\mathrm {D} \sin 2\varphi }{4r^{3}}},$
et cette même intégrale divisée par ${\sqrt {1-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}}}\,;$ limites qu’on pourra resserrer autant qu’on voudra, en diminuant de plus en plus la valeur de ${\frac {s}{r}}$ par la continuation des séries $p,p',p'',\ldots ,r$ et $q,q',q'',\ldots ,s.$
Mais, pour approcher davantage de la vraie valeur de l’intégrale en question, il n’y aura qu’à développer le radical par la méthode ordinaire, et la différentielle proposée deviendra
${\frac {\mathrm {C} }{r}}d\varphi +{\frac {1}{r^{3}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {1}{2}}s^{2}\mathrm {C} \right)\sin ^{2}\varphi d\varphi$
$+{\frac {1}{2}}{\frac {s^{2}}{r^{5}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {3}{4}}s^{2}\mathrm {C} \right)\sin ^{4}\varphi d\varphi +{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {s^{4}}{r^{7}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {5}{6}}s^{2}\mathrm {C} \right)\sin ^{6}\varphi d\varphi +\ldots ,$
dont l’intégrale sera
$\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+\mathrm {F} \right)\varphi -\mathrm {\left(F\sin \varphi +G\sin ^{3}\varphi +H\sin ^{5}\varphi +I\sin ^{7}\varphi +\ldots \right)} \cos \varphi ,$
${\begin{aligned}\mathrm {F} &={\frac {1}{2}}{\frac {1}{r^{3}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {1}{2}}s^{2}\mathrm {C} \right)+{\frac {3}{2^{2}.4}}{\frac {s^{2}}{r^{5}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {3}{4}}s^{2}\mathrm {C} \right)\\&\quad +{\frac {3^{2}5}{2^{2}.4^{2}.6}}{\frac {s^{4}}{r^{7}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {5}{6}}s^{2}\mathrm {C} \right)+{\frac {3^{2}.5^{2}.7}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8}}{\frac {s^{6}}{r^{9}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {7}{8}}s^{2}\mathrm {C} \right)+\ldots ,\\\mathrm {G} &={\frac {1}{2.4.6}}{\frac {s^{4}}{r^{5}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {3}{4}}s^{2}\mathrm {C} \right)+{\frac {3.5}{2.4^{2}.6}}{\frac {s^{4}}{r^{7}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {5}{6}}s^{2}\mathrm {C} \right)+\ldots ,\\\mathrm {H} &={\frac {3}{2.4.6}}{\frac {s^{4}}{r^{7}}}\left(\mathrm {D} +{\frac {5}{6}}s^{2}\mathrm {C} \right)+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Donc, puisque $x=0$ rend $x',x'',\ldots ,\xi =0,$ par conséquent aussi $\varphi =0,$ on aura pour la valeur de l’arc elliptique qui répond à l’abscisse $x.$ prise depuis le centre sur le grand axe,
${\begin{aligned}-&{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}}\left(x'+{\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}x''+{\frac {q^{2}q'^{2}}{2p'^{2}\times 2p''^{2}}}x'''+\ldots +{\frac {q^{2}q'^{2}\ldots }{2p'^{2}\times 2p''^{2}\times \ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}\xi \right)\\&+\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+\mathrm {F} \right)\varphi -\mathrm {\left(F\sin \varphi +G\sin ^{3}\varphi +H\sin ^{5}\varphi +\ldots \right)} \cos \varphi ,\end{aligned}}$
en faisant, dans les formules du numéro précédent,
$p=1,\quad q=e,\quad \mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} =-e^{2}.$
24. Il y a cependant une remarque importante à faire sur l’emploi de cette valeur : comme l’angle $\varphi$ n’est déterminé que par son sinus $r\xi ,$ il est clair qu’il peut avoir une infinité de valeurs différentes, et l’on voit aussi que les valeurs de $x',x'',\ldots ,\xi$ peuvent être également positives et négatives à cause de l’ambiguïté des radicaux $\mathrm {R,R',R''} ,\ldots ,$ qui entrent dans leurs expressions, de sorte que le signe de $\varphi$ est aussi indéterminé.
Nous remarquerons donc que, puisque
${\frac {dx}{\mathrm {R} }}={\frac {d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}={\frac {d\varphi }{r{\sqrt {1-{\cfrac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}}},$
et que $\mathrm {R}$ est toujours positif depuis $x=0$ jusqu’à $x=1\,;$ que, de plus,
${\sqrt {1-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}$
$d\varphi$
$dx\,;$
$\varphi ,$
$x=0,$
$x=0$
$x=1\,;$
$\varphi ,$
$x,$
$x.$
$\mathrm {R',R''} ,\ldots ,$
$x^{2}$
$x'^{2},$
$x'^{2}$
$x''^{2},\ldots ,$
$x^{2}$
$x'^{2}$
$x^{2}$
$x''^{2}$
$x^{2}$
$\xi ^{2}$
$2^{\mu tuple},$
$\mu$
$\xi$
$x',x'',\ldots ,\xi .$
$x^{2}$
$\xi ^{2},$
$\varphi \,;$
$\pm r\xi$
$\omega \,;$
$\pm r\xi .$
$180^{\circ }-\omega ,$
$180^{\circ }+\omega ,$
$2.180^{\circ }-\omega$
$\nu$
${\frac {\nu -1}{2}}180^{\circ }+\omega$
${\frac {\nu }{2}}180^{\circ }-\omega ,$
$\nu$
Il s’ensuit de là qu’après avoir déduit de la valeur donnée de $x^{2}$ celle de $\xi ^{2}=\left[x^{\left(\mu ^{2}\right)}\right]^{2}$ par les formules
$x^{2}\left({\frac {1-p^{2}x^{2}}{1-q^{2}x^{2}}}\right)=x'^{2},\quad x'^{2}\left({\frac {1-p'^{2}x'^{2}}{1-q'^{2}x'^{2}}}\right)=x''^{2},\ldots ,$
lesquelles ne donnent chacune qu’une valeur simple, il faudra remonter de celle-ci à celle-là par les formules
$x^{2}={\frac {1+q^{2}x'^{2}-\mathrm {R} '}{2p^{2}}},\quad x'^{2}={\frac {1+q'^{2}x''^{2}-\mathrm {R} ''}{2p'^{2}}},\ldots ,$
$\mathrm {R} '={\sqrt {\left(1-p'^{2}x'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)}},\quad \mathrm {R} ''={\sqrt {\left(1-p''^{2}x''^{2}\right)\left(1-q''^{2}x''^{2}\right)}},\ldots ,$
les signes $+$ et $-,$ ce qui donnera toujours des valeurs doubles, en sorte qu’il en résultera $2^{\mu }$ valeurs différentes de $x,$ toutes positives (12) et renfermées entre les mêmes limites $0$ et $1,$ parmi lesquelles se trouvera donc nécessairement la valeur donnée de $x^{2}.$
Soit $\nu$ l’exposant du rang que celle-ci tiendra parmi toutes ces valeurs rangées selon leur grandeur, à commencer par la plus petite, on fera donc
$\varphi ={\frac {\nu -1}{2}}180^{\circ }+\omega ,\quad {\text{ou}}\quad ={\frac {\nu }{2}}180^{\circ }-\omega ,$
selon que $\nu$ sera impair ou pair, en prenant pour $\omega$ l’angle qui dans les tables, répond à $r\xi .$
À l’égard des signes qu’il faudra donner ensuite aux valeurs même de $x',x'',\ldots ,$ on les déterminera toujours par les expressions
$x'={\frac {x\mathrm {R} }{1-q^{2}x^{2}}},\quad x''={\frac {x'\mathrm {R} '}{1-q'^{2}x'^{2}}},\ldots ,$
en prenant les radicaux $\mathrm {R,R',R''} ,\ldots ,$ avec les signes qui répondent à la valeur donnée de $x^{2}\,;$ et il est clair que puisque l’on a ici $q^{2}x^{2},\ q'^{2}x'^{2},\ldots <1,$ les signes de $x',x'',\ldots$ seront les mêmes que ceux de $x\mathrm {R} ,x\mathrm {RR} ',$$x\mathrm {RR'R'''} ,\ldots ,$ ou (puisque $x\mathrm {R}$ est positif) de $+1,\mathrm {R',R'R'',R'R''R'''} ,\ldots .$
25. Pour avoir le quart entier de l’ellipse, on fera $x=1=p,$ ce qui donne $x'=0,\ x''=0,\ldots ,\xi =0,$ par conséquent aussi $\omega =0\,;$ et, comme cette valeur est la plus grande que $x$ puisse avoir, on aura nécessairement dans ce cas $\nu =2^{\mu }\,;$ donc, $\varphi =2^{\mu -1}.180^{\circ }$ et $\sin \varphi =0.$ Donc la longueur du quart de l’ellipse sera exprimée simplement par
$\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+\mathrm {F} \right).2^{\mu -1}.180^{\circ }.$
Si l’ellipse devenait circulaire, on aurait alors $e=\,;$ donc $q=0,$ et, de là, $q'=0,\ q''=0,\ldots ,s=0,\ p=1,\ p'=2,\ p'''=4,\ldots ,r=p^{(\mu )}=2^{\mu }\,;$ et comme, dans ce cas, $\mathrm {A=1,B} =0,$ on aurait aussi $\mathrm {C=1,\ D} =0\,;$ donc $\mathrm {F} =0\,;$ ce qui réduirait l’équation précédente à ${\frac {180^{\circ }}{2}}=90^{\circ },$ comme elle doit être.
26. Au reste, cette multiplicité des valeurs de $x^{2}$ qui répondent à une même valeur de $\xi ^{2}$ fait qu’on a tout d’un coup, et par une même formule, non-seulement la longueur de l’arc elliptique qui répond à l’abscisse donnée, mais encore celle des arcs qui répondent à différentes autres abscisses ; et si c’est un inconvénient dans le cas où l’on ne demande que l’arc d’une abscisse donnée, ce sera au contraire un avantage lorsqu’on voudra construire une table de la longueur des arcs pour toutes les abscisses. Nous verrons d’ailleurs que cette multiplicité de valeurs cesse d’avoir lieu lorsqu’on emploie les transformations du n$^o$ 2, lesquelles conduisent à des différentielles intégrables par les logarithmes.
27. Pour l’hyperbole où $e>1$ et $x^{2}$ aussi $>1,$ on mettra d’abord, pour éviter les imaginaires, l’élément de l’arc sous cette forme
${\frac {{\sqrt {e^{2}x^{2}-1}}dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,;$
multipliant ensuite le haut et le bas par, on aura la différentielle
${\frac {\left(e^{2}x^{2}-1\right)dx}{\sqrt {\left(e^{2}x^{2}-1\right)\left(x^{2}-1\right)}}}\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {\left(e^{2}x^{2}-1\right)dx}{\sqrt {\left(1-e^{2}x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right)}}},$
qui se rapporte à la formule
${\frac {\left(\mathrm {A+B} x^{2}\right)dx}{\mathrm {R} }}$
du n$^o$ 22, en y faisant $\mathrm {A=-1,\ B} =e^{2},\ p=e,\ q=1.$ Ainsi, les nombres $p,p',p'',\ldots$ augmenteront depuis la valeur de $e,$ et les nombres $q,q',q'',\ldots$ iront en diminuant depuis l’unité.
Or, puisque $x^{2}>1,$ par la nature de l’hyperbole, on aura
$\mathrm {R} ^{2}>\left(1-q^{2}x^{2}\right)^{2}\,;$
par conséquent,
$x'^{2}>x^{2}>1,$
et de là on trouvera aussi
$x''^{2}>x'^{2}>1,$
et ainsi de suite.
Donc, $1-p'^{2}x'^{2},\ 1-p''^{2}x''^{2},\ldots$ étant des quantités négatives, la réalité déjà prouvée des radicaux $\mathrm {R',R''} ,\ldots$ demande que les facteurs corrélatifs $1-q'^{2}x'^{2},\ 1-q''^{2}x''^{2},\ldots$ soient aussi négatifs ; donc on aura
$q'^{2}x'^{2}>1,\quad q''^{2}x''^{2}>1,\ldots \,;$
par conséquent,
$x'^{2}>{\frac {1}{q'^{2}}},\quad x''^{2}>{\frac {1}{q''^{2}}},\ldots ,\quad \xi '^{2}>{\frac {1}{s^{2}}},$
et de là
${\frac {1}{s^{2}\xi ^{2}}}<1.$
On pourra donc supposer ${\frac {1}{s\xi }}=\sin \varphi ,$ c’est-à-dire $\xi ={\frac {1}{s\sin \varphi }},$ et cette substitution changera la différentielle
${\frac {\left(\mathrm {C+D} \xi ^{2}\right)d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}$
en celle-ci
$-{\frac {\left({\cfrac {\mathrm {C} }{r}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{rs^{2}\sin ^{2}\varphi }}\right)d\varphi }{\sqrt {1-{\cfrac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}},$
dont l’intégrale aura évidemment pour limites celle de
$-\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{rs^{2}\sin ^{2}\varphi }}\right)d\varphi ,$
et cette même intégrale divisée par ${\sqrt {1-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}}}.$
Mais, pour avoir une valeur plus approchée, on réduira en série le radical ${\sqrt {1-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }},$ et la différentielle deviendra
${\begin{aligned}-&{\frac {\mathrm {D} }{rs^{2}}}{\frac {d\varphi }{\sin ^{2}\varphi }}-{\frac {1}{r}}\left(\mathrm {C} +{\frac {\mathrm {D} }{2r^{2}}}\right)d\varphi -{\frac {1}{2}}{\frac {s^{2}}{r^{3}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {3}{4}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi d\varphi \\&-{\frac {3}{2.4}}{\frac {s^{4}}{r^{5}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {5}{6}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)\sin ^{4}d\varphi -\ldots ,\end{aligned}}$
dont l’intégrale est
${\frac {\mathrm {D} }{rs^{2}}}\cot \varphi -\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{2r^{3}}}+f\right)\varphi +\left(f\sin \varphi +g\sin ^{3}\varphi +h\sin ^{5}\varphi +\ldots \right)\cos \varphi ,$
en supposant
${\begin{aligned}f&={\frac {1}{2^{2}}}{\frac {s^{2}}{r^{3}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {3}{4}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+{\frac {3^{2}}{2^{2}.4^{2}}}{\frac {s^{4}}{r^{5}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {5}{6}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+{\frac {3^{2}.5^{2}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}{\frac {s^{6}}{r^{7}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {7}{8}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+\ldots ,\\g&={\frac {3}{2.4^{2}}}{\frac {s^{4}}{r^{5}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {5}{6}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+{\frac {3.5^{2}}{2.4^{2}.6^{2}}}{\frac {s^{6}}{r^{7}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {7}{8}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+\ldots ,\\h&={\frac {3.5}{2.4.6^{2}}}{\frac {s^{6}}{r^{7}}}\left(\mathrm {C} +{\frac {7}{8}}{\frac {\mathrm {D} }{r^{2}}}\right)+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Ainsi, il n’y aura qu’a ajouter à cette intégrale la partie algébrique
$-{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}}\left(x'+{\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}x''\ldots \right),$
conformément aux formules du n$^o$ 22, et en y faisant
$p=e,\quad q=1,\quad \mathrm {A} =-1,\quad \mathrm {B} =e^{2},$
pour avoir l’expression complète de l’arc hyperbolique.
28. Mais il faut faire ici des remarques semblables à celles du n$^o$ 24. On remarquera donc que, puisque la différentielle est transformée en
${\frac {d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}={\frac {d\varphi }{r{\sqrt {1-{\cfrac {s^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\varphi }}}},$
l’angle $\varphi$ diminuera continuellement tandis que $x$ augmente, de sorte que, comme (22) $x=1$ donne $x'=\infty ,x''=\infty ,\ldots ,\xi =\infty ,$ et par conséquent $\varphi =0,$ l’angle $\varphi$ sera toujours négatif depuis le point où
$x=1,$
$\varphi$
$\varphi$
Ainsi, nommant $\omega$ l’angle tabulaire qui aura pour sinus $\pm {\frac {1}{s\xi }}$ (en supposant ce sinus positif) et $\nu$ l’exposant du rang que la valeur donnée de $x^{2}$ tiendra parmi toutes celles qui répondent à la valeur trouvée de $\xi ^{2},$ après les avoir rangées suivant l’ordre de leur grandeur, à commencer par la plus petite, on fera
$\varphi ={\frac {\nu -1}{2}}180^{\circ }+\omega \quad {\text{ou}}\quad \varphi ={\frac {\nu }{2}}180^{\circ }-\omega ,$
suivant que $\nu$ sera impair ou pair.
Et, pour les signes de $x',x'',\ldots$ on les déterminera, d’après ceux des radicaux $\mathrm {R,R',R''} ,\ldots ,$ par les formules
$x'={\frac {x\mathrm {R} }{1-q^{2}x^{2}}},\quad x''={\frac {x'\mathrm {R} '}{1-q'^{2}x'^{2}}},\ldots ,$
de sorte que, comme $1-q^{2}x^{2},\ 1-q'^{2}x'^{2},\ldots$ sont des quantités toujours négatives, ainsi qu’on l’a démontré dans le numéro précédent, il est clair que les signes de $x',x'',x''',\ldots$ seront les mêmes que ceux de $-x\mathrm {R} ,x\mathrm {RR} ',$$-x\mathrm {RR'R''} ,\ldots ,$ ou (puisque $x\mathrm {R}$ est positif) de $-1,\mathrm {R',-R'R'',R'R''R'''} ,$$\ldots .$
D’après ces déterminations, on aura donc, pour la valeur de l’arc hyperbolique (en changeant le signe de $\varphi$),
${\begin{aligned}-&{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}}\left(x'+{\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}x''+{\frac {q^{2}q'^{2}}{2p'^{2}\times 2p''^{2}}}x'''+\ldots +{\frac {q^{2}q'^{2}\ldots }{2p'^{2}\times 2p''^{2}\times \ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}\xi \right)\\&-{\frac {\mathrm {D} }{rs^{2}}}\cot \varphi +\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{2r^{3}}}+f\right)\varphi -\left(f\sin \varphi +g\sin ^{3}\varphi +\ldots \right)\cos \varphi \,;\end{aligned}}$
et, comme cette formule devient nulle lorsque $x=1$ (ce que nous allons démontrer), il s’ensuit qu’elle représentera exactement l’arc hyperbolique pris depuis le sommet de l’hyperbole, et qui répondra à l’abscisse $x$ comptée depuis le centre sur le grand axe.
29. Pour voir ce que cette formule donne lorsque $x=1,$ auquel cas on a $x'=\infty ,$ il faut chercher les expressions de $x'',x''',\ldots \xi$ en $x',$ et, pour cela, il faut commencer par chercher celles des radicaux $\mathrm {R',R''} ,\ldots .$ Or, puisque à $x=1$ répond $x'=\infty ,$ il est d’abord clair que dans l’expression de $x^{2}$ en $x'^{2}$ il faut donner au radical $\mathrm {R} '$ une valéur positive ; ayant
$x^{2}={\frac {1+q^{2}x'^{2}-\mathrm {R} '}{2p^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {R} '={\sqrt {\left(1-p'^{2}x'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)}},$
on aura, lorsque $x'=\infty ,$
$\mathrm {R} '=p'q'x'^{2}-{\frac {p'^{2}+q'^{2}}{2p'q'}}\,;$
de sorte qu’à cause de $p'q'=q^{2},$ la valeur de $x^{2}$ sera
${\frac {2q^{2}+p'^{2}+q'^{2}}{4p^{2}q^{2}}}\,;$
mais $p'^{2}+q'^{2}=4p^{2}-2q^{2}\,;$ donc
$x^{2}={\frac {1}{q^{2}}}=1.$
Au contraire, puisque à $x'=\infty$ il répond aussi $x''=\infty ,$ il faudra, dans l’expression de $x''^{2}$ en $x'^{2},$ donner au radical $\mathrm {R} ''$ une valeur négative ; car, en prenant sa valeur positive, on trouverait aussi $x'^{2}={\frac {1}{q'^{2}}},$ et, par la même raison, il faudra prendre négativement les valeurs de tous les radicaux suivants $\mathrm {R''',R} ^{\text{ıv}},\ldots .$
On aura done, lorsque $x=1,$ et $x',x'',\ldots$ infinis,
${\begin{aligned}\mathrm {R} '\ \ &=p'q'x'^{2}-{\frac {p'^{2}+q'^{2}}{2p'q'}},\\\mathrm {R} ''\ &=-p''q''x''^{2}+{\frac {p''^{2}+q''^{2}}{2p''q''}},\\\mathrm {R} '''&=-p'''q'''x'''^{2}+{\frac {p'''^{2}+q'''^{2}}{2p'''q'''}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
$x''={\frac {x'\mathrm {R} '}{1-q'^{2}x'^{2}}},\quad x'''={\frac {x''\mathrm {R} ''}{1-q''^{2}x''^{2}}},\ldots ,$
on aura (en rejetant les termes que la supposition $x',x'',\ldots$ infinis rend nuls)
${\begin{aligned}x''\ &=-{\frac {p'}{q'}}x',\\x'''&={\frac {p''}{q''}}x''=-{\frac {p'p''}{q'q''}}x',\\x^{\text{ıv}}&={\frac {p'''}{q'''}}x'''=-{\frac {p'p''p'''}{q'q''q'''}}x',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
donc aussi $\xi =-{\frac {p'p''p'''\ldots {\text{ʽ}}r}{q'q''q'''\ldots {\text{ʽ}}s}}x'.$
Par conséquent, à cause de $p'q'=q^{2},\ p''q''=q'^{2},\ p'''q'''=q''^{2},\ldots ,$ les termes ${\frac {q^{2}}{2p'^{2}}}x'',\ {\frac {q^{2}q'^{2}}{2p'^{2}\times 2p''^{2}}}x''',\ldots$ deviendront $-{\frac {x'}{2}},\ -{\frac {x'}{4}},\ldots ,$ et le terme ${\frac {q^{2}q'^{2}\ldots }{2p'^{2}\times 2p''^{2}\ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}\xi$ deviendra $-{\frac {x'}{2^{\mu -1}}},$ en supposant $\xi =x^{(\mu )}.$
D’un autre côté, puisque $\sin \varphi ={\frac {1}{s\xi }},$ on a, lorsque $\xi =\infty ,\ \varphi =0\,:$ donc
$\cot \varphi ={\frac {\cos \varphi }{\sin \varphi }}={\frac {1}{\sin \varphi }}=s\xi =-s{\frac {p'p''\ldots {\text{ʽ}}r}{q'q''\ldots {\text{ʽ}}s}}\,;$
donc, comme
$\mathrm {D=B} \times {\frac {q^{2}q'^{2}\ldots {\text{ʽ}}s^{2}}{2p^{2}\times 2p'^{2}\ldots \times 2{\text{ʽ}}r^{2}}}\quad {\text{et}}\quad sr={\text{ʽ}}s^{2},$
on aura
${\frac {\mathrm {D} }{rs^{2}}}\cot \varphi =-{\frac {\mathrm {B} x'}{2p^{2}\times 2^{\mu -1}}}.$
La formule du numéro précédent deviendra done, par ces substitutions,
$-{\frac {\mathrm {B} x'}{2p^{2}}}\left(1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-\ldots -{\frac {1}{2^{\mu -1}}}\right)+{\frac {\mathrm {B} x'}{2p^{2}}}{\frac {1}{2^{\mu -1}}},$
$1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-\ldots -{\frac {1}{2^{\mu -1}}}={\frac {1}{2^{\mu -1}}}.$
30. Au reste, pour éviter l’embarras que peuvent causer, dans le calcul de la longueur des arcs hyperboliques, les valeurs fort grandes des quantités $x',x'',\ldots$ près du sommet de l’hyperbole où $x$ diffère peu de $1,$ on peut employer la transformation indiquée dans le n$^o$ 16, par le moyen de laquelle la différentielle à intégrer se trouve réduite à une autre de la même forme, mais dont la variable sera renfermée, pour toute l’étendue de l’hyperbole, entre $0$ et $1.$
Pour cet effet on fera, dans les formules du numéro que nous venons de citer, $y=x,\ f=1,\ p=e,\ q=1\,;$ et prenant les signes inférieurs, on aura, pour la nouvelle variable $u,$ l’expression
$u={\frac {\sqrt {\left(1-e^{2}x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right)}}{e^{2}x^{2}-1}}={\frac {\sqrt {\left(e^{2}x^{2}-1\right)\left(x^{2}-1\right)}}{e^{2}x^{2}-1}}={\sqrt {\frac {x^{2}-1}{e^{2}x^{2}-1}}},$
qu’on voit être égale à zéro lorsque $x=1,$ et égale à ${\frac {1}{e}}$ lorsque $x=\infty \,;$ de sorte que la valeur de $u$ commencera avec l’arc hyperbolique et ira ensuite en augmentant avec lui jusqu’au maximum $u={\frac {1}{e}},$ qui répondra à la branche infinie de l’hyperbole.
Par cette substitution, la différentielle
${\frac {(e^{2}x^{2}-1)dx}{\sqrt {\left(1-e^{2}x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right)}}}$
sera transformée en
${\frac {(e^{2}u^{2}-1)du}{\sqrt {\left(1-e^{2}u^{2}\right)\left(1-u^{2}\right)}}}+2\mathrm {Q} dt,$
en supposant que la fonction $e^{2}x^{2}-1$ devienne $\mathrm {P+Q} {\sqrt {s^{2}-4t}},$ par la substitution de ${\frac {s+{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}$ à la place de $x^{2},$ et faisant $t=xu,$$s=1+e^{2}t,$ à cause de $f=1$ et $\mathrm {F} =0\,;$ ce qui donnera $\mathrm {Q} ={\frac {e^{2}}{2}},$ et par conséquent $2\mathrm {Q} dt=e^{2}d(xu).$
Ainsi, l’arc hyperbolique répondant à l’abscisse $x$ sera égal à la quantité algébrique
$e^{2}xu={\frac {e^{2}x{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {e^{2}x^{2}-1}}},$
moins l’intégrale de
${\frac {\left(1-e^{2}u^{2}\right)du}{\sqrt {\left(1-e^{2}u^{2}\right)\left(1-u^{2}\right)}}}$
prise depuis $u=0.$ Et il est évident que cette différentielle rentre dans le cas de celle de l’arc elliptique, dont nous avons donné l’intégrale dans le n$^o$ 23 : car si l’on fait $u={\frac {y}{e}},$ elle devient
${\frac {\left(1-y^{2}\right)dy}{e{\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-{\cfrac {y^{2}}{e^{2}}}\right)}}}},$
en sorte qu’il n’y aura qu’a supposer dans les formules de ce numéro
$\mathrm {A} ={\frac {1}{e}},\quad \mathrm {B} =-{\frac {1}{e}},\quad p=1,\quad q={\frac {1}{e}},\quad x=y=eu,$
et prendre l’intégrale depuis $y=0$ jusqu’à $y=1$ pour toute la longueur de l’arc hyperbolique.
À l’égard de la partie algébrique ${\frac {e^{2}x{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {e^{2}x^{2}-1}}},$ il n’est pas difficile de voir qu’elle représente la tangente à l’hyperbole prise entre le point de contact et la rencontre de la perpendiculaire menée du centre de l’hyperbole sur la même tangente ; car la partie de la tangente prise entre la courbe et l’axe est ${\frac {{\sqrt {e^{2}x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}-1}}}{x}},$ et la partie entre l’axe et la perpendiculaire est ${\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x{\sqrt {e^{2}x^{2}-1}}}},$ dont la somme est ${\frac {e^{2}x{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {e^{2}x^{2}-1}}}.$ Ainsi, l’intégrale de
${\frac {\left(1-y^{2}\right)dy}{e{\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-{\cfrac {y^{2}}{e^{2}}}\right)}}}}$
31. Nous avons employé jusqu’ici, pour la rectification de l’ellipse et de l’hyperbole, les transformations qui servent à augmenter l’inégalité des facteurs sous le signe ; nous allons maintenant faire usage de celles qui diminuent cette inégalité, et que nous avons exposées dans le n$^o$ 11 et les suivants, et nous les appliquerons d’abord en général à la formule
${\frac {\left(\mathrm {A+B} x^{2}\right)dx}{\sqrt {\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)}}}.$
On fera donc
${\begin{alignedat}{2}{\text{ʽ}}p&={\frac {p+q}{2}},\qquad &{\text{ʽ}}q&={\sqrt {pq}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p&={\frac {{\text{ʽ}}p+{\text{ʽ}}q}{2}},&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q&={\sqrt {{\text{ʽ}}p{\text{ʽ}}q}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}+1-\mathrm {R} }{2{\text{ʽ}}p^{2}}},\quad {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}+1-{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}},\ldots ,$
en supposant
$\mathrm {R} ={\sqrt {\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)}},\quad {\text{ʽ}}\mathrm {R} ={\sqrt {\left(1-{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}\right)\left(1-{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}\right)}},\ldots ,$
ce qui donnera
$x={\frac {{\text{ʽ}}x{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1-{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}}},\quad {\text{ʽ}}x={\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1-{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}}},\ldots ,$
${\frac {dx}{\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}={\frac {d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}=\ldots ,$
et, par le n$^o$ 13,
${\frac {x^{2}dx}{\mathrm {R} }}={\frac {dx}{{\text{ʽ}}q^{2}}}-{\frac {\left(1-2{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}\right)d{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\mathrm {R} }},\ldots \,;$
où les nouvelles variables ${\text{ʽ}}x,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x,\ldots$ seront nécessairement réelles, ainsi que les quantités radicales ${\text{ʽ}}\mathrm {R} ,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} ,\ldots$ (n$^o$ 12).
Ainsi, la différentielle ${\frac {\left(\mathrm {A+B} x^{2}\right)dx}{\mathrm {R} }}$ deviendra successivement
${\begin{aligned}{\frac {\left({\text{ʽ}}\mathrm {A} \ \ +{\text{ʽ}}\mathrm {B} \ \ {\text{ʽ}}x^{2}\quad \right)d{\text{ʽ}}x\ \ }{{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}&+{\frac {\mathrm {B} dx}{{\text{ʽ}}q^{2}}},\\{\frac {\left({\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {A} \ +{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} \ {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}\ \ \right)d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x\ }{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}&+{\frac {\mathrm {B} dx}{{\text{ʽ}}q^{2}}}+{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {B} d{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\\{\frac {\left({\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {A} +{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}\right)d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }}&+{\frac {\mathrm {B} dx}{{\text{ʽ}}q^{2}}}+{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {B} d{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}+{\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\end{aligned}}$
et ainsi de suite, en faisant, pour abréger,
${\begin{alignedat}{3}{\text{ʽ}}\mathrm {A} =&\mathrm {A} -{\frac {\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}q^{2}}},&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {A} =&{\text{ʽ}}\mathrm {A} -{\frac {{\text{ʽ}}\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {A} =&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {A} -{\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\ldots ,\\{\text{ʽ}}\mathrm {B} =&\mathrm {B} {\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}q^{2}}},\qquad &{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} =&{\text{ʽ}}\mathrm {B} {\frac {2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\qquad &{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} =&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {B} {\frac {2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\ldots .\end{alignedat}}$
De sorte que si $\xi$ est un terme quelconque de la série $x,{\text{ʽ}}x,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x,\ldots ,$ $\xi '$ le terme qui le précède dans la même série, et $r,s$ les deux termes correspondants des séries $p,{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,\ldots ,q,{\text{ʽ}}q,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q,\ldots ,r',s'$ les termes qui les précèdent, la différentielle proposée sera transformée en celle-ci
${\frac {\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}q^{2}}}\left(dx+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}d{\text{ʽ}}x+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x+\ldots +{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\times \ldots \times 2r'^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}\ldots s^{2}}}d\xi '\right)$
$+{\frac {\left(\mathrm {C+D} \xi ^{2}\right)d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}$
dans laquelle on aura
${\begin{aligned}&\mathrm {C=A} +{\frac {\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}q^{2}}}\left(1+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}+\ldots +{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\times \ldots \times 2r'^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}\ldots s^{2}}}\right),\\&\mathrm {D=B} \times {\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\times \ldots \times 2r^{2}}{{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}\ldots s^{2}}},\end{aligned}}$
32. Pour l’ellipse, on fera, comme dans le n$^o$ 23, $\mathrm {A=1,\ B} =-e^{2},$ $p=1,\ q=e<1,$ et les nombres $p,{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,\ldots r\,;\ q,{\text{ʽ}}q,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q,\ldots s$ formeront donc deux séries, la première descendante depuis l’unité, et la seconde ascendante depuis la valeur de l’excentricité, lesquelles se trouveront toujours séparées par un intervalle qui ira en diminuant de plus en plus, en sorte que les termes retsseront renfermés entre $1$ et $e$ et approcheront d’autant plus de l’égalité que le nombre des termes qui les précèdent sera plus grand.
Et il est facile de se convaincre par le calcul que, quelque petite que soit la valeur de $e,$ peu de termes suffiront pour rendre les valeurs de $r$ et $s$ presque égales.
Or, dans l’ellipse, on a $x^{2}=$ ou $<1\,;$ donc ${\text{ʽ}}q^{2}x^{2}$ sera $<1\,;$ en sorte que $1-{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}$ sera $>0\,;$ mais $\left(1-{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}\right)^{2}=\mathrm {R} ^{2}+(p-q)^{2}x^{2},$ comme on peut s’en convaincre par le calcul, à cause de ${\text{ʽ}}q^{2}=pq\,;$ donc $1-{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}>\mathrm {R} ,$ et ${\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+\mathrm {R} <1\,;$ ainsi, comme $x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1-\mathrm {R} }{2{\text{ʽ}}p^{2}}},$ on aura
${\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1-\mathrm {R} }{2}}<{\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1+\mathrm {R} }{2}}<1.$
D’où l’on voit que ${\text{ʽ}}q^{2}x^{2}$ étant $<1,$ on aura nécessairement ${\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}<1,$ et cela, soit qu’on prenne dans la valeur de ${\text{ʽ}}x^{2}$ le radical $\mathrm {R}$ positif ou négatif.
Or, ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}$ étant $<{\text{ʽ}}p^{2},$ on aura donc aussi ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}<1,$ et de là on trouvera, par un raisonnement semblable, ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}<1,$ et ainsi de suite. Donc $r^{2}\xi ^{2}<1,$ et à plus forte raison $s^{2}\xi ^{2}<1.$
On pourra donc-supposer $r\xi =\sin \varphi ,$ ce qui changera la différentielle en celle-ci
${\frac {\left(\mathrm {C+D} \xi ^{2}\right)d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}$
en celle-ci
${\frac {\left({\cfrac {\mathrm {C} }{r}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varphi \right)d\varphi }{\sqrt {1-{\cfrac {s^{2}\sin ^{2}\varphi }{r^{2}}}}}}={\cfrac {\left({\cfrac {\mathrm {C} }{r}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\right){\cfrac {d\varphi }{\cos \varphi }}-{\cfrac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\cos \varphi d\varphi }{\sqrt {1+{\cfrac {r^{2}-s^{2}}{r^{2}}}\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}},$
qui sera, comme on voit, toujours plus petite que
$\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\right){\frac {d\varphi }{\cos \varphi }}-{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\cos \varphi d\varphi ,$
dont l’intégrale est
$\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\right)\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\varphi \right)-{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\sin \varphi .$
De même, en faisant $s\xi =\psi ,$ on aura la transformée
${\frac {\left({\cfrac {\mathrm {C} }{s}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\right){\cfrac {d\psi }{\cos \psi }}-{\cfrac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\sin \psi d\psi }{\sqrt {1-{\cfrac {r^{2}-s^{2}}{s^{2}}}\operatorname {tang} ^{2}\psi }}},$
qui sera par conséquent plus grande que
$\left({\cfrac {\mathrm {C} }{s}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\right){\cfrac {d\psi }{\cos \psi }}-{\cfrac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\cos \psi d\psi ,$
dont l’intégrale est pareillement
$\left({\cfrac {\mathrm {C} }{s}}+{\cfrac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\right)\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\psi \right)-{\frac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\sin \psi .$
De sorte qu’on aura parce moyen deux limites entre lesquelles la valeur de l’intégrale de la différentielle en question sera nécessairement renfermée, et qui seront d’autant plus resserrées que les coefficients $r$ et $s$ seront moins inégaux.
Mais, pour avoir une intégrale plus approchée, on emploiera les séries, et pour cet effet il sera à propos de faire $\xi {\sqrt {\frac {r^{2}+s^{2}}{2}}}=\sin \varphi ,$ ce qui réduira la différentielle
${\frac {\mathrm {\left(C+D\xi ^{2}\right)} d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}$
à cette forme
${\frac {\left({\cfrac {\beta }{\cos \varphi }}+\gamma \cos \varphi \right)d\varphi }{\sqrt {\left(1-\alpha ^{2}\operatorname {tang} ^{4}\varphi \right)}}},$
en supposant
$\alpha ={\frac {r^{2}-s^{2}}{r^{2}+s^{2}}},\ \ \beta =\mathrm {C} {\sqrt {\frac {2}{r^{2}+s^{2}}}}+\mathrm {D} \left({\frac {2}{r^{2}+s^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}},\ \ \gamma =-\mathrm {D} \left({\frac {2}{r^{2}+s^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}.$
Or, le coefficient $\alpha ^{2}$ étant fort petit, on pourra réduire en série le radical ${\sqrt {1-\alpha ^{2}\operatorname {tang} ^{4}\varphi }}\,;$ de sorte que la différentielle deviendra
$\left({\cfrac {\beta }{\cos \varphi }}+\gamma \cos \varphi \right)\left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\operatorname {tang} ^{4}\varphi +{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}\operatorname {tang} ^{8}\varphi +{\frac {3,5\alpha ^{6}}{2.4.6}}\operatorname {tang} ^{12}\varphi +\ldots \right)d\varphi ,$
${\frac {\operatorname {tang} ^{m}\varphi }{cos\psi }}=\left(\operatorname {tang} ^{m}\varphi +\operatorname {tang} ^{m+2}\varphi \right)\cos \varphi ,$
est réductible à cette forme plus simple
${\frac {\beta d\varphi }{\cos \varphi }}\left[\gamma +{\frac {\alpha ^{2}}{2}}(\beta +\gamma )\operatorname {tang} ^{4}\varphi +{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\beta \operatorname {tang} ^{6}\varphi +{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}(\beta +\gamma )\operatorname {tang} ^{8}\varphi \right.$
$\left.+{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}\beta \operatorname {tang} ^{1}0\varphi +{\frac {3.5\alpha ^{6}}{2.4.6}}(\beta +\gamma )\operatorname {tang} ^{1}2\varphi +\ldots \right]\cos \varphi d\varphi ,$
et aura pour intégrale
$a\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {\varphi }{2}}\right)$
$+\left(\beta +\gamma -a+f\operatorname {tang} ^{2}\varphi +g\operatorname {tang} ^{4}\varphi +h\operatorname {tang} ^{6}\varphi +i\operatorname {tang} ^{8}\varphi +\ldots \right)\sin \varphi$
en faisant
${\begin{aligned}a&=\beta -{\frac {3}{2}}{\frac {\alpha ^{2}}{2}}(\beta +\gamma )+{\frac {3.5}{2.4}}{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\beta -{\frac {3.5.7}{2.4.6}}{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}(\beta +\gamma )\\&\quad +{\frac {3.5.7.9}{2.4.6.8}}{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}\beta -{\frac {3.5.7.9.11}{2.4.6.8.10}}{\frac {3.5\alpha ^{6}}{2.4.6}}(\beta +\gamma )+\ldots ,\\f&={\frac {1}{2}}{\frac {\alpha ^{2}}{2}}(\beta +\gamma )-{\frac {5}{2.4}}{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\beta +{\frac {5.7}{2.4.6}}{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}(\beta +\gamma )-\ldots ,\\g&={\frac {1}{4}}{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\beta -{\frac {7}{4.6}}{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}(\beta +\gamma )+\ldots ,\\h&={\frac {1}{6}}{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}(\beta +\gamma )-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
33. Cette expression n’est sujette à aucune ambiguïté de la part de la valeur de $\varphi ,$ car on voit qu’elle demeure la même en augmentant ou diminuant $\varphi$ d’un multiple quelconque de la circonférence, et si l’on voulait mettre $180^{\circ }\pm \varphi$ à la place de $\varphi ,$ alors $\operatorname {tang} (45^{\circ }+{\frac {\varphi }{2}})$ deviendrait négative, et son logarithme imaginaire ; c’est pourquoi il faudra toujours prendre pour $\varphi$ l’angle tabulaire qui répond au sinus $r\xi .$
À l’égard des radicaux ${\text{ʽ}}\mathrm {R} ,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} ,\ldots ,$ on pourra les prendre à volonté positifs ou négatifs ; seulement, il faudra avoir soin de donner ensuite aux quantités ${\text{ʽ}}x,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x,\ldots$ les signes convenables d’après les formules du n$^o$ 31. En prenant ces radicaux positivement, toutes les quantités ${\text{ʽ}}x,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x,\ldots ,\xi$ seront positives et deviendront nulles lorsque $x=0,$ comme on le voit par les formules du numéro cité ; on aura donc aussi $\varphi =0$ lorsque $x=0\,;$ et comme l’intégrale précédente devient aussi nulle dans ce cas, on aura donc, pour l’arc elliptique répondant à l’abscisse $x$ prise depuis le centre de l’ellipse sur le grand axe, cette expression complète
${\frac {\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}q^{2}}}\left(x+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}d{\text{ʽ}}x+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}d{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x+\ldots +{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times 2{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\ldots 2r'^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}\ldots s^{2}}}\xi '\right)$
$+a\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {\varphi }{2}}\right)\left(\beta +\gamma -a+f\operatorname {tang} ^{2}\varphi +g\operatorname {tang} ^{4}\varphi +\ldots \right)\sin \varphi .$
Pour avoir le quart entier de l’ellipse, on fera $x=1,$ ce qui donne $\mathrm {R} =0$ et ${\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}+1}{2{\text{ʽ}}p^{2}}}\,;$ donc ${\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}+1}{2}}<1\,;$ et de même les autres quantités ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2},\ldots$ seront de plus en plus au-dessous de l’unité, ce qu’on peut démontrer généralement ainsi.
Puisque ${\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1-\mathrm {R} }{2}}$ et ${\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}<1-\mathrm {R} ,$ on aura (32) ${\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}<1-\mathrm {R} \,;$ mais $\mathrm {R} >1-p^{2}x^{2},$ à cause de $p^{2}>q^{2}\,;$ donc ${\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}<p^{2}x^{2}\,;$ et de la même manière on prouvera que ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}<{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2},\ldots \,;$ de sorte que les quantités $px,{\text{ʽ}}p{\text{ʽ}}x,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x,$$\ldots r\xi$ formeront une série décroissante. Ainsi, lors même que $px=1,$ la valeur de $r\xi$ sera toujours moindre que $1,$ par conséquent l’angle $\varphi$ sera moindre que $90$ degrés, et d’autant moindre que le terme $r\xi$ sera plus éloigné de $px\,;$ ainsi, on n’aura jamais à craindre que l’expression précédente contienne des termes infinis et devienne par conséquent fautive.
34. Pour l’hyperbole, on fera, comme dans le n$^o$ 27,
$\mathrm {A} =-1,\quad \mathrm {B} =e^{2},\quad p=e^{2}>1,\quad q=1.$
Ainsi, les nombres $p,{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,\ldots ,r$ iront en diminuant depuis la valeur de $e,$ et les nombres $q,{\text{ʽ}}q,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q,\ldots ,s$ iront en augmentant depuis l’unité, en sorte que ceux-là s’approcheront de plus en plus de ceux-ci, mais en demeurant toujours plus grands ; cependant la différence sera bientôt si petite, qu’on pourra regarder $r$ et $s$ comme presque égales.
Maintenant, on a dans l’hyperbole $x^{2}=$ ou $>1,$ donc ${\text{ʽ}}q^{2}x^{2}-1>0\,;$ par conséquent, puisque $\left({\text{ʽ}}q^{2}x^{2}-1\right)^{2}=\mathrm {R} ^{2}+(p-q)^{2}x^{2},$ on aura ${\text{ʽ}}q^{2}x^{2}-1>\mathrm {R}$ et $1+\mathrm {R} <{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}.$
Or
${\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1-\mathrm {R} }{2{\text{ʽ}}p^{2}}}={\frac {\left({\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1\right)^{2}-\mathrm {R} ^{2}}{2{\text{ʽ}}p^{2}\left({\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1+\mathrm {R} \right)}}={\frac {2x^{2}}{{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1+\mathrm {R} }},$
à cause de $\left({\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1\right)^{2}-\mathrm {R} ^{2}=(p+q)^{2}x^{2}=4{\text{ʽ}}p^{2}x^{2}\,;$ donc ${\text{ʽ}}x^{2}>{\frac {1}{{\text{ʽ}}q^{2}}},$ et par conséquent ${\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}>1.$ Et cette même conclusion aurait lieu à plus forte raison en donnant au radical $\mathrm {R}$ une valeur négative, puisque alors la valeur de ${\text{ʽ}}x^{2}$ en deviendrait plus grande. Ayant donc ${\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}>1,$ on aura aussi ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}>1,$ et de là on prouvera par un raisonnement semblable que ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}>1,$ et ainsi de suite.
Donc en général $s^{2}\xi ^{2}>1,$ et à plus forte raison $r^{2}\xi ^{2}>1.$
On pourra donc supposer $r\xi ={\frac {1}{\sin \varphi }}$ ou $s\xi ={\frac {1}{\sin \psi }},$ et l’on trouvera, comme dans le n$^o$ 32, que la différentielle
${\frac {\left(\mathrm {C+D} \xi ^{2}\right)d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}$
sera renfermée entre ces deux-ci
$-\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}\sin ^{2}\varphi }}\right){\frac {d\varphi }{\cos \varphi }}\quad {\text{et}}\quad -\left({\frac {\mathrm {C} }{s}}+{\frac {\mathrm {D} }{s^{3}\sin ^{2}\varphi }}\right){\frac {d\psi }{\cos \psi }},$
dont les intégrales sont
$\left({\frac {\mathrm {C} }{r}}+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}}}\right)\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\varphi }{2}}\right)+{\frac {\mathrm {D} }{r^{3}\sin \varphi }},$
et
$\left({\frac {\mathrm {C} }{s}}+{\frac {\mathrm {D} }{s^{3}}}\right)\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\psi }{2}}\right)+{\frac {\mathrm {D} }{s^{3}\sin \psi }},$
Mais, pour avoir une intégrale plus approchée, on fera
$\xi {\sqrt {\frac {r^{2}+s^{2}}{2}}}={\frac {1}{\sin \varphi }},$
et la différentielle
${\frac {\left(\mathrm {C+D} \xi ^{2}\right)d\xi }{\sqrt {\left(1-r^{2}\xi ^{2}\right)\left(1-s^{2}\xi ^{2}\right)}}}$
deviendra par cette substitution
${\frac {\left(-{\cfrac {\beta }{\cos \varphi }}+{\cfrac {\gamma \cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }}\right)d\varphi }{\sqrt {\left(1-{\cfrac {\alpha ^{2}}{\cos ^{4}\varphi }}\right)}}},$
en conservant les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma$ du n$^o$ 32. Ainsi, puisque $\alpha ^{2}$ est une quantité fort petite, on pourra réduire en série le radical, ce qui donnera cette transformée
$\left(-{\cfrac {\beta }{\cos \varphi }}+{\frac {\gamma \cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{4}\varphi }}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\alpha ^{4}}{\cos ^{8}\varphi }}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {\alpha ^{6}}{\cos ^{12}\varphi }}+\ldots \right)d\varphi ,$
laquelle peut être changée en celle-ci
$-{\frac {\beta d\varphi }{\cos \varphi }}+\left(\gamma \cos \varphi +{\frac {\alpha ^{2}}{2}}{\frac {\beta +\gamma }{\cos ^{3}\varphi }}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}{\frac {\beta }{\cos ^{5}\varphi }}+{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}{\frac {\beta +\gamma }{\cos ^{7}\varphi }}\right.$
$\left.-{\frac {3\alpha ^{4}}{2.4}}{\frac {\beta }{\cos ^{9}\varphi }}+{\frac {3.5\alpha ^{6}}{2.4.6}}{\frac {\beta +\gamma }{\cos ^{11}\varphi }}-\ldots \right){\frac {d\varphi }{\sin ^{2}\varphi }}$
dont l’intégrale sera de la forme
$a\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\varphi }{2}}\right)$
$-\left(\beta +\gamma -a-{\frac {f}{\cos ^{2}\varphi }}+{\frac {g}{\cos ^{4}\varphi }}-{\frac {h}{\cos ^{6}\varphi }}+{\frac {i}{\cos ^{8}\varphi }}-\ldots \right){\frac {1}{\sin \varphi }},$
en conservant les expressions des quantités $a,f,g,h,\ldots$ données dans le n$^o$ 32.
35. Comme l’arc hyperbolique ne commence qu’au point où $x=1,$ il faudra, pour avoir la valeur exacte de l’arc qui répond à une abscisse quelconque $x,$ retrancher de l’intégrale la valeur qui répond à $x=1.$ Ainsi, en supposant
$\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {B} }{{\text{ʽ}}q^{2}}}\left(x+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}{\text{ʽ}}x+{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times ^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x+\ldots +{\frac {2{\text{ʽ}}p^{2}\times ^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}\ldots 2r'^{2}}{{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}\ldots s^{2}}}\xi '\right)$
$+a\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\varphi }{2}}\right)$
$-\left(\beta +\gamma -a-{\frac {f}{\cos ^{2}\varphi }}+{\frac {g}{\cos ^{4}\varphi }}-{\frac {h}{\cos ^{6}\varphi }}+\ldots \right){\frac {1}{\sin \varphi }},$
et nommant $\mathrm {K}$ la valeur de $\mathrm {X}$ lorsque $x$ y devient égal à $1,$ on aura $\mathrm {X-K}$ pour l’expression complète de l’arc hyperbolique qui répond à l’abscisse $x$ prise depuis le centre sur le grand axe.
Quant à l’angle $\varphi ,$ on prendra celui qui dans les tables répond au sinus ${\frac {1}{\xi {\sqrt {\frac {r^{2}+s^{2}}{2}}}}},$ et comme nous avons vu que $r^{2}\xi ^{2}$ et $s^{2}\xi ^{2}$ sont toujours $>1,$ il s’ensuit que cet angle sera, dans tous les cas, moindre que $90$ degrés, en sorte que $\operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\varphi }{2}}\right)$ et $\cos \varphi$ ne seront jamais nuls.
Pour les radicaux ${\text{ʽ}}\mathrm {R} ,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} ,\ldots ,$ il sera libre de les prendre positivement ou négativement, pourvu qu’on ait soin de donner les signes convenables aux quantités ${\text{ʽ}}x,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x,\ldots ,$ d’après les formules du n$^o$ 31. Mais, en les prenant tous négativement, on aura l’avantage que les valeurs de ${\text{ʽ}}x^{2},{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2},\ldots$ seront plus grandes, et qu’ainsi l’angle $\varphi$ sera moindre ; de plus, les valeurs de ${\text{ʽ}}x,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x,\ldots ,\xi$ seront alors toutes positives, puisque $1-{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2},$$1-{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2},\ldots$ sont nécessairement négatives.
On pourrait enfin faire servir aussi pour l’hyperbole les résultats trouvés précédemment pour l’ellipse, en employant la transformation indiquée dans le n$^o$ 30 ; il n’y aurait pour cela qu’à faire dans la formule générale du n$^o$ 33
$\mathrm {A} ={\frac {1}{e}},\quad \mathrm {B} =-{\frac {1}{e}},\quad p=1,\quad q={\frac {1}{e}},$
et mettre au lieu de $x$
$e{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{e^{2}x^{2}-1}}}.$
Cette formule donnerait alors, pour une abscisse quelconques, l’excès de la tangente prise entre la courbe et la perpendiculaire menée du centre sur l’arc hyperbolique qui répond à cette tangente.
* ↑ Voyez les Mémoires de Berlin pour 1772, page 247. On trouvera, dans le tome III des Œuvres de Lagrange le Mémoire auquel se rapporte ce renvoi. $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)