# L’Encyclopédie/1re édition/DÉCIMAL

DÉCIMAL, adj. (Arithm.) L’arithmétique décimale est l’art de calculer par les fractions décimales. Cette arithmétique a été inventée par Regiomontanus, qui s’en est servi dans la construction des tables des sinus. Voyez Arithmétique & Fraction.
Les fractions décimales sont celles dont le dénominateur est 1, suivi d’un ou plusieurs zéros, comme 10, 100, 1000, 10000 ; ainsi $\scriptstyle {\frac {5}{10}}$, $\scriptstyle {\frac {6}{100}}$, $\scriptstyle {\frac {7}{1000}}$, &c. sont des fractions décimales.
Quand on écrit des fractions décimales, on supprime ordinairement le dénominateur, & en sa place on met un point au-devant du numérateur ; ainsi $\scriptstyle {\frac {5}{10}}=.5$ ; $\scriptstyle {\frac {46}{100}}=.46$ ; de même .125 exprime cent vingt-cinq parties d’une chose quelconque divisée en mille parties.
Comme les zéros, que l’on écrit à la droite des nombres entiers, les font croître en raison décuple (puisque 2 devient 10 fois plus grand, ou 20, en lui mettant un zéro vers la droite) ; les fractions décimales décroissent pareillement en raison décuple, ou croissent en raison sous-décuple, c’est-à-dire deviennent dix fois plus petites, en leur mettant des zéros sur la gauche. Si vous voulez donc rendre la fraction décimale .5 dix fois plus petite, c’est-à-dire, si vous voulez qu’elle n’exprime que des centiemes, écrivez .05.
Les zéros que l’on met à la droite des décimales ne signifient rien ; ils ne servent qu’à remplir des places : ainsi .5000 ne vaut pas plus que .5 : c’est la même chose, dans un sens opposé, par rapport aux nombres entiers : 0005 ne vaut que 5.
Pour réduire une fraction ordinaire quelconque, telle que $\scriptstyle {\frac {5}{8}}$, à une fraction décimale dont le dénominateur soit 1000, sans changer sa valeur, faites cette regle de trois.
Le dénominateur 8 de la fraction proposée est à son numérateur 5, comme le dénominateur donné 1000 est à un quatrieme terme, qui sera le numérateur de la nouvelle fraction, dont le dénominateur est 1000. Après avoir fait le calcul, on trouvera que ce quatrieme terme est $\scriptstyle {\frac {625}{1000}}$, ou, suivant l’expression décimale, .625 : ainsi la fraction décimale $\scriptstyle .625={\frac {5}{8}}$.
On opere sur les fractions décimales de la même maniere que sur les entiers. L’attention particuliere qu’elles demandent, a rapport uniquement au point qui doit séparer les décimales des entiers. Nous allons faire voir comment cela s’exécute.
1°. Pour ajoûter deux ou plusieurs fractions décimales, il n’y a qu’à les poser l’une sous l’autre, les entiers sous les entiers, les dixiemes sous les dixiemes, les centiemes sous les centiemes, &c. & faire l’addition à l’ordinaire.
| 1357 | . | 7802 | |
| 1 | . | 053 | |
| | . | 42687 | |
| 15 | . | 86 | |
| 53 | . | 12007 | somme. |
Où vous voyez qu’il y a autant de décimales dans la somme qu’en contient le plus grand nombre. 42687 des fractions décimales dont on a proposé l’addition : ce qui forme une regle pour cette opération.
2°. Il faut suivre la même regle pour la soustraction ; c’est-à-dire que pour soustraire une fraction décimale d’une autre, il faut les poser de même que ci-dessus ; la petite sous la grande, & faire la soustraction à l’ordinaire, ainsi qu’on l’a exécuté dans l’opération suivante.
| 578 | . | 3020 | |
| 49 | . | 5732 | |
| 528 | . | 7288 | reste. |
3°. Pour multiplier une fraction décimale 34.632 par une autre. 5234, on multipliera d’abord les nombres qui les expriment, comme s’ils étoient des nombres entiers ; & pour savoir après quel chiffre il faut mettre le point, il faut que la fraction du produit, c’est à-dire que les décimales du produit contiennent autant de chiffres qu’il y en a dans la fraction des deux produisans, c’est-à-dire sept dans cet exemple ; ainsi on placera le point après le septieme chiffre, en commençant à compter de la droite vers la gauche.
| 34.6320 | |
| 1.5234 | |
| 138528 | |
| 1038960 | |
| 6926400 | |
| 173160000 | |
| 18.1263888 | produit. |
4°. Pour diviser une fraction décimale par une autre, on divisera les nombres qui les expriment, l’un par l’autre, comme s’ils étoient des nombres entiers. Et pour savoir après quels chiffres du quotient il faut mettre le point, on ôtera du nombre des chiffres de la fraction du dividende, celui de la fraction du diviseur. Ainsi le quotient de 18.1263888, dont la fraction contient sept chiffres, par 1.5234, dont la fraction en contient quatre, est 34.632, dont la fraction en doit contenir 3. (E)
Lorsqu’il n’y a pas de nombre entier dans une fraction décimale, on met ordinairement un zéro avant le point ; ainsi au lieu de. 5 on écrit 0.5 : ce zéro au fond est inutile ; mais on s’en sert apparemment afin que le point qui le suit soit plus remarquable, & ne forme point d’équivoque dans le discours ; souvent au lieu de point on se sert d’une virgule, ce qui revient au même.
Tout le calcul des fractions décimales est fondé sur ce principe très-simple, qu’une quantité décimale, soit fractionnaire, soit qu’elle contienne des entiers en partie, équivaut à une fraction dont le dénominateur est égal à l’unité suivie d’autant de zéros, qu’il y a de chiffres après le point ; ainsi 0.563 est = $\scriptstyle {\frac {563}{1000}}$ ; 0.0005 = $\scriptstyle {\frac {5}{10000}}$ ; $\scriptstyle 36.52={\frac {3652}{100}}=36+{\frac {52}{100}}$ ; & ainsi des autres.
Par conséquent si on veut ajoûter ensemble les quatre fractions ci-dessus, il faut supposer que ces quatre fractions sont réduites au même dénominateur commun 100000, c’est-à-dire supposer 1.053 = 1.05300, 15.86 = 15.86000, & 35.7802 = 35.78020 ; c’est ce que l’on fait du moins tacitement en écrivant les nombres comme on le voit plus haut, & la somme est censée avoir 100000 pour dénominateur. Il en est de même de la soustraction. A l’égard de la multiplication, on n’a point cette préparation à faire de réduire toutes les fractions au même dénominateur, en ajoûtant des zéros à la droite de celles qui en ont besoin. On multiphe simplement à l’ordinaire ; & il est visible que si $\scriptstyle 10^{n}$ est censé le dénominateur d’une des fractions, & $\scriptstyle 10^{m}$ l’autre ; le dénominateur du produit sera $\scriptstyle 10^{m+n}$. Donc supprimant ce dénominateur, il faudra que le produit ait autant de parties décimales, c’est-à-dire de chiffres après le point, qu’il y a d’unités dans m + n. Il en sera de même de la division, avec cette différence que le dénominateur au lieu d’être $\scriptstyle 10^{m+n}$ sera $\scriptstyle 10^{m-n}$, & que par conséquent m − n sera le nombre des chiffres qui doivent se trouver après le point dans le quotient. Voyez Fraction & Division.
Nous avons expliqué à l’article Approximation comment par le moyen des fractions décimales on approche aussi près qu’on veut de la racine d’un nombre quelconque.
Il ne nous reste plus qu’à observer qu’on ne réduit pas toûjours exactement & rigoureusement une fraction quelconque en fraction décimale, par la regle que nous avons donnée plus haut. Soit, par exemple $\scriptstyle {\frac {p}{q}}$ une fraction à réduire en fraction décimale $\scriptstyle {\frac {r}{10^{n}}}$ ; on aura donc $\scriptstyle r={\frac {p\times 10^{n}}{q}}$. Or $\scriptstyle 10^{n}=2^{n}\times 5^{n}$, & on verra à l’article Diviseur que $\scriptstyle {\frac {p\times 2^{n}\times 5^{n}}{q}}$ ne sauroit être égal à un nombre entier r, à moins que q ne soit égal à quelque puissance de 2 ou de 5, ou de $\scriptstyle 2\times 5$, ou au produit de quelque puissance de 2 par quelque puissance de 5, puissances moindres que n ; car on suppose que $\scriptstyle {\frac {p}{q}}$ est une fraction réduite à la plus simple expression, c’est-à-dire que p & q n’ont aucun diviseur commun. Voyez Diviseur. Dans tout autre cas $\scriptstyle {\frac {p\times 10^{n}}{q}}$ ne pourra jamais être exactement & rigoureusement égal à un nombre entier r. Mais il est visible que plus n sera grand, c’est-à-dire plus le dénominateur de la fraction aura de zéros, plus $\scriptstyle {\frac {r}{10^{n}}}$ sera près d’être égal à $\scriptstyle {\frac {p}{q}}$ ; car l’erreur, s’il y en a, sera toûjours moindre que $\scriptstyle {\frac {1}{10^{n}}}$, puisqu’en faisant la division de $\scriptstyle p\times 10^{n}$ par q le quotient r qu’on trouvera, & qui sera trop petit, sera au contraire trop grand, si on l’augmente d’une unité. Donc $\scriptstyle {\frac {r}{10^{n}}}<{\frac {p}{q}}$ & $\scriptstyle {\frac {r+1}{10^{n}}}>{\frac {p}{q}}$. Donc, &c.
Ainsi la réduction des fractions en décimales est toûjours utile ; puisqu’on peut du moins approcher de leur valeur aussi près qu’on voudra, quand on ne les a pas exactement.
On appelle aussi arithmétique décimale, l’arithmétique telle que nous la pratiquons, & dans laquelle on se sert de dix chiffres : surquoi voyez Binaire & Échelles arithmétiques, au mot Arithmétique, & Dactylonomie. Il seroit très à souhaiter que toutes les divisions, par exemple de la livre, du sou, de la toise, du jour, de l’heure, &c. fussent de 10 en 10 ; cette division rendroit le calcul beaucoup plus aisé & plus commode, & seroit bien préférable à la division arbitraire de la livre en 20 sous, du sou en 12 deniers, du jour en 24 heures, de l’heure en 60 minutes, &c. (O)
Décimal, adj. (Jurisp.) se dit de ce qui a rapport à la dixme. Par exemple, le droit d’un décimateur s’appelle son droit décimal, comme le droit d’un curé s’appelle son droit curial. On dit une matiere décimale. L’article 3. de la coûtume de Normandie, porte que le bailli connoît des matieres bénéficiales, décimales, &c. Voyez Décimateur & Dixme. (A)