# L’Encyclopédie/1re édition/DIOPHANTE

DIOPHANTE, (Problèmes ou questions de) On appelle ainsi certaines questions sur les nombres quarrés, cubes, les triangles rectangles, &c. du genre de celles qui ont été examinées & résolues autrefois par Diophante, mathématicien d’Alexandrie, qu’on croit avoir vêcu vers le troisieme siecle. Nous avons son ouvrage qui a été commenté & publié à Paris en 1621, par Bachet de Meziriac ; il y a une autre édition faite en 1670, avec des observations de M. Fermat sur quelques-unes des questions de Diophante. Dans ces questions il s’agit de trouver des nombres commensurables qui satisfassent à des problèmes indéterminés, auxquels satisferoient une infinité de nombres incommensurables. Par exemple, on propose de trouver un triangle rectangle dont les côtés x, y, z, soient exprimés par des nombres commensurables. Il est certain qu’on aura en général xx + yy = zz, z étant supposée l’hypothenuse. Voy. Hypothenuse. Mais on voit aussi que l’on peut prendre x & y, tels que z soit un incommensurable ; car si, par exemple, x = 1 & y = 2, on aura $\scriptstyle z={\sqrt {5}}$. Or il s’agit de déterminer x & y à être tels, que non seulement x & y, mais encore z soient des nombres commensurables. De même soit proposé de partager un nombre quarré a$^2$ en deux autres nombres qui soient aussi quarrés, & ainsi des autres. Voilà ce qu’on appelle les questions de Diophante.
L’art de résoudre ces sortes de questions consiste à employer & à manier tellement les inconnues ou l’inconnue, que le quarré & les plus hautes puissances de cette inconnue disparoissent de l’équation, & qu’il ne reste que l’inconnue élevée au premier degré, au moyen de quoi on résout cette équation sans avoir recours aux incommensurables. Donnons-en un exemple sur les triangles rectangles en nombres. On propose de trouver x, y, z, telles que xx + yy = zz : soit supposé z = x + u, on aura xx + yy = xx + 2xu + uu ; d’où l’on voit qu’on peut faire disparoître xx, & qu’on aura $\scriptstyle {\frac {yy-uu}{2u}}=x$ ; donc prenant y & u pour tout ce qu’on voudra, on trouvera que les côtés du triangle sont y, $\scriptstyle {\frac {yy-uu}{2u}}$, & l’hypothenuse $\scriptstyle x+u={\frac {yy-uu}{2u}}$ : par exemple, soit y = 3, u = 1, on aura $\scriptstyle {\frac {yy-uu}{2u}}={\frac {8}{4}}$, & $\scriptstyle x+u={\frac {10}{2}}=5$. Ainsi 3, 4, sont les deux côtés du triangle, & 5 l’hypothenuse. On voit aisément que ce problème a une infinité de solutions.
Autre problème. Soit proposé de trouver une quantité x, telle que a + bx + xx soit un quarré, on fera de même a + bx + xx égale au quarré de x + z, & on aura a + bx = 2xz + zz ; donc $\scriptstyle x={\frac {a-zz}{2z-b}}$. Ainsi prenant z pour tout ce qu’on voudra, on aura x.
Autre. Soit proposé de partager un nombre $\scriptstyle a^{2}+b^{2}$, composé de deux quarrés en deux autres quarrés ; soit $\scriptstyle sx-a$, l’un des nombres cherchés, & $\scriptstyle rx-b$ l’autre, s & r étant des coefficiens indéterminés, on aura $\scriptstyle a^{2}+b^{2}=s^{2}x^{2}-2sxa+a^{2}+r^{2}x^{2}-2rxb+bb$ ; donc $\scriptstyle s^{2}x-2sa+r^{2}x-2rb=0$ ; donc $\scriptstyle x={\frac {2sa+2rb}{r^{2}+s^{2}}}$. Ainsi prenant pour r & s tel nombre qu’on voudra, on aura x.
Autre. Soit proposé de trouver x, telle que $\scriptstyle aa-xx$ soit un quarré. Je fais $\scriptstyle {\sqrt {aa-xx}}=(a-x)z$, & j’ai $\scriptstyle aa-xx=(a-x)^{2}zz$, & divisant par $\scriptstyle a-x$, j’ai $\scriptstyle a+x=az-xz$ ; donc $\scriptstyle {\frac {az-a}{z+1}}=x$. Ainsi prenant pour z tout ce qu’on voudra, on aura x.
Voilà, ce me semble, un nombre suffisant d’exemples pour donner dans un ouvrage tel que l’Encyclopédie, l’idée des problèmes de Diophante. Ceux qui voudront étudier plus à fond cette matiere, la trouveront très-bien traitée dans les élémens d’Algebre de Saunderson, in-4°. Cambridge 1740, liv. VI. t. II. M. Euler dans différens volumes des mémoires de Petersbourg, a donné aussi d’une maniere très savante la solution de plusieurs problèmes du genre de ceux de Diophante.
Remarquons en passant que cette méthode de réduire à des quantités rationnelles les quantités irrationnelles, est fort utile dans le calcul intégral, pour réduire une différentielle donnée en fraction rationnelle. Voyez Calcul intégral, Fraction rationnelle.
En effet soit donné $\textstyle {\frac {dx}{\sqrt {a+bx+xx}}}$, on transformera cette quantité en fraction rationnelle en supposant comme ci-dessus $\scriptstyle x+z={\sqrt {a+bx+xx}}$ : on transformeroit de même $\textstyle {\frac {dx}{\sqrt {a+bx-xx}}}$, en supposant que $\scriptstyle p-x$ est un facteur de $\scriptstyle a+bx-xx$, & faisant $\scriptstyle {\sqrt {a+bx-xx}}=(p-x)z$. Voyez le mémoire que j’ai donné sur ce sujet dans le volume de l’académie de Berlin, pour l’année 1746. Voyez aussi le traité du calcul intégral de M. de Bougainville le jeune, I. part. chap. des transformations des différentielles.
« L’ouvrage de Diophante est, dit M. Saunderson, le premier ouvrage d’Algebre que nous trouvions dans l’antiquité. Ce n’est pas qu’il soit l’inventeur de cet art ; car outre qu’on trouve quelques traces dans des auteurs plus anciens, Diophante ne donne point dans son ouvrage les regles de l’Algebre : il traite cette science comme déjà connue ».
M. Saunderson fait ensuite un grand éloge de la sagacité que Diophante a montrée dans la solution des problèmes qui ont retenu son nom. Il ajoûte que du tems de Diophante, on ne connoissoit point encore la méthode de nommer par des lettres les nombres connus, comme on fait les nombres inconnus, ni la méthode d’introduire plusieurs lettres pour désigner plusieurs quantités inconnues différentes ; il reconnoît que faute de cet avantage, on trouve quelquefois dans les solutions de Diophante un peu de confusion. Nous n’examinerons point ici si ce qu’on trouve dans l’ouvrage de Diophante peut être regardé comme de l’Algebre ; & supposé que c’en soit en effet, jusqu’où les anciens paroissent avoir poussé cette science. C’est une question qui nous conduiroit trop loin, qui n’appartient qu’indirectement à cet article, & que nous pourrons avoir occasion de traiter ailleurs. Voyez Algebre & Mathématiques. (O)