# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Algèbre élémentaire, article 4
## ANALISE.

Je réunis ici, dans un même article, diverses théories qui, à raison de la liaison étroite qui existe entre elles, ne peuvent que se simplifier beaucoup par leur rapprochement.
Soit $m$ le degré d’une équation complète entre $n$ inconnues ; le nombre des termes de cette équation sera une fonction de $m$ et de $n$ qu’il s’agit de déterminer, et que nous représenterons par $A_{m,n}.$
Pour plus de simplicité, concevons que les coefficiens de tous les termes de cette équation soient positifs et égaux à l’unité : ce qui ne changera rien à la nature du problème. L’équation proposée devant renfermer tous les termes de l’équation complète du $(m-1)^{me}$ degré, entre $n$ inconnues, plus la totalité des termes du $m^{me}$ ordre, entre les mêmes inconnues ; en désignant par $\nu$ le nombre de ces derniers, on devra avoir l’équation
$A_{m,n}=A_{m-1,n}+\nu .\qquad$
Il s’agit présentement de déterminer $\nu .$
Pour cela, concevons que l’on multiplie chacun des termes d’ordres inférieurs à $m$ par une somme de puissances semblables des $n$ inconnues, dont les exposans soient tels que ces multiplications donnent toutes des produits de l’ordre $m$ : ce qui exigera que l’on multiplie le terme tout connu $1$ par $x^{m}+y^{m}+z^{m}+\ldots ,$ l’ensemble des termes du premier ordre par $x^{m-1}+y^{m-1}+z^{m-1}+\ldots$, et ainsi de suite ; il est clair que le nombre total des termes de ces produits, abstraction faite de toute réduction, sera $nA_{m-1,n}$.
Or, je dis que ces mêmes termes ne seront autre chose que les termes du $m.^{me}$ ordre de la proposée, écrits chacun $m$ fois. En effet, en représentant généralement l’un de ces derniers par $x^{\alpha }y^{\beta }z^{\gamma }\ldots ,$ avec la condition $\alpha +\beta +\gamma +\ldots ,$ on voit qu’il aura été formé autant de fois qu’il y a de manières de diminuer successivement chacun de ses exposans de toutes les unités qu’il renferme ; c’est-à-dire, de $m$ manières différentes.
On a donc, d’après cela
$nA_{m-1,n}=m\nu ,\qquad {\text{d’où}}\qquad \nu ={\frac {n}{m}}A_{m-1,n}\,;\qquad$
et par conséquent (1)
$A_{m,n}=A_{m-1,n}+{\frac {n}{m}}A_{m-1,n}={\frac {m+n}{m}}A_{m-1,n}\,;$
ou enfin
$mA_{m,n}=(m+n)A_{m-1,n}.\qquad$
En changeant successivement, dans cette équation, $m$ en $m-1,$ $m-2,m-3,\ldots$ 2,1, et remarquant que $A_{1,n}=n+1,$ il viendra
${\begin{aligned}mA_{m,n}&=(m+n)A_{m-1,n},\\(m-1)A_{m-1,n}&=(m+n-2)A_{m-2,n},\\(m-2)A_{m-2,n}&=(m+n-1)A_{m-3,n},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\2A_{2,n}&=(n+2)A_{1,n},\\A_{1,n}&=(n+1)\,;\\\end{aligned}}$
ce qui donnera, en multipliant, supprimant les facteurs communs aux deux membres de l’équation produit, et tirant la valeur de $A_{m,n}$,
$A_{m,n}={\frac {n+1}{1}}.{\frac {n+2}{2}}.{\frac {n+3}{3}}\ldots {\frac {n+m}{m}}\,;\qquad$
formule qui résout le problème.
Cette solution, la plus simple que je connaisse, m’a été communiquée par M. G. Fornier, élève très-distingué du lycée de Nismes.
Si l’on multiplie, haut et bas, la valeur de $A_{m,n}$ par $1.2.3\ldots n,$ elle devient
$A_{m,n}={\frac {1.2.3\ldots (m+n)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n}}\,;$
ou, en adoptant les notations de M. Kramp
$A_{m,n}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}.$
On voit alors que $A_{m,n}$ est une fonction symétrique de $m$ et $n$, et qu’ainsi on doit avoir
$A_{m,n}=A_{n,m}\,;\qquad$
ce qui revient à dire qu’il y a autant de termes dans une équation complète du n.me degré entre $m$ inconnues qu’il y en a dans une équation complète du m.me degré entre $n$ inconnues.
* ↑ Voyez la note de la page 200 du second volume de ce recueil.
* ↑ Voyez la note de la page 1.re du 3.e volume de ce recueil.