# Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Mémoire sur l’expression du terme général des séries récurrentes, lorsque l’équation génératrice a des racines égales
### MÉMOIRE SUR L’EXPRESSION DU TERME GÉNÉRAL DES SÉRIES RÉCURRENTES, LORSQUE L’ÉQUATION GÉNÉRATRICE A DES RACINES ÉGALES.

J’ai donné, dans les Mémoires de 1775, une méthode et des formules très-simples pour avoir le terme général d’une suite récurrente, dont on connaît les premiers termes. Mais ces formules ont, comme toutes celles qui sont des fonctions des différentes racines d’une même équation, l’inconvénient de ne pouvoir servir que lorsque toutes les racines sont inégales. Le cas de l’égalité de deux ou plusieurs racines demande des réductions et des transformations fondées sur ce principe du Calcul différentiel que des quantités égales peuvent être supposées différer entre elles de quantités infiniment petites ; mais l’application de ce principe aux formules dont il s’agit exige des attentions particulières, et donne lieu à des résultats nouveaux et remarquables pour leur simplicité c’est ce qui m’a engagé à en faire la matière de ce Mémoire.
1. Je commencerai par rappeler les principales formules de l’endroit cité.
Soit la série
$y_{0},\ \ y_{1},\ \ y_{2},\ \ y_{3},\ldots ,\ \ y_{x},\ \ y_{x+1},\ \ y_{x+2},\ldots ,$
dans laquelle on ait constamment cette équation, entre $n+1$ termes consécutifs,
| (A) | $\mathrm {A} y_{x}+\mathrm {B} y_{x+1}+\mathrm {C} y_{x+2}+\ldots +\mathrm {N} y_{x+u}=0,$ |
$\mathrm {A,B,C} ,$ étant des coefficients constants quelconques. L’expression du terme général $y_{x}$ sera de cette forme
$y_{x}=a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}+\ldots ,$
les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ étant les différentes racines de l’équation
| (B) | $\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\ldots +\mathrm {N} y^{n}=0,$ |
que j’appelle équation génératrice, et les coefficients $a,b,c,\ldots$ étant de cette forme
${\begin{aligned}a=&{\frac {y_{n-1}-(\beta +\gamma +\delta +\ldots )y_{n-2}+(\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta +\ldots )y_{n-3}-\ldots }{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )(\alpha -\delta )\ldots }}\\b=&{\frac {y_{n-1}-(\alpha +\gamma +\delta +\ldots )y_{n-2}+(\alpha \gamma +\alpha \delta +\gamma \delta +\ldots )y_{n-3}-\ldots }{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )(\beta -\delta )\ldots }}\,;\end{aligned}}$
et ainsi de suite.
Je remarque d’abord qu’on peut donner à ces expressions une forme plus simple et plus commode pour le calcul, en observant que, si dans le produit
$(y-\beta )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$
on change après le développement les puissances
$y^{0},\ \ y^{1},\ \ y^{2},\ \ y^{3},\ldots ,\ \ y^{n-1},\ldots$
en
$y_{0},\ \ y_{1},\ \ y_{2},\ \ y_{3},\ldots ,\ \ y_{n-1},\ldots ,$
$a\,;$
$b$
$(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots \,;$
et ainsi des autres. De sorte qu’avec cette condition on pourra supposer d’abord
${\begin{aligned}a=&{\frac {(y-\beta )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots }{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )(\alpha -\delta )\ldots }},\\b=&{\frac {(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots }{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )(\beta -\delta )\ldots }},\\c=&{\frac {(y-\alpha )(y-\beta )(y-\delta )\ldots }{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )(\gamma -\delta )\ldots }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
2. Cela posé, soit $\beta =\alpha ,$ les deux premiers termes $a\alpha ^{x},b\beta ^{x}$ de l’expression de $y_{x}$ deviendront infinis.
Faisons, pour abréger,
${\frac {\alpha ^{x}}{(\alpha -\gamma )(\alpha -\delta )\ldots }}=f(\alpha ),$
on aura
${\frac {\beta ^{x}}{(\beta -\gamma )(\beta -\delta )\ldots }}=f(\beta ),$
et les deux termes
$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}$
deviendront
${\frac {(y-\beta )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots }{(\alpha -\beta )}}f(\alpha )+{\frac {(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots }{(\beta -\alpha )}}f(\beta ).$
Faisons maintenant
$\beta =\alpha +\omega ,$
$\omega$ étant une quantité infiniment petite, on aura
$\alpha -\beta =-\omega ,\quad \beta -\alpha =\omega ,$
$(y-\beta )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots =(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots -\omega (y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$
$f(\beta )=f(\alpha +\omega )=f(\alpha )+{\frac {df(\alpha )}{d\alpha }}\omega +\ldots .$
$\omega =0,$
$(y-\gamma )(y-\delta )\ldots f(\alpha )+(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots {\frac {df(\alpha )}{d\alpha }}.$
C’est la valeur des deux premiers termes de l’expression de $y_{x}.$ Et le troisième terme $c\gamma ^{x}$ de la même expression deviendra alors, à cause de $\beta =\alpha ,$
${\frac {(y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots }{(\gamma -\alpha )^{2}(\gamma -\delta )\ldots }}\gamma ^{x}.$
La valeur des autres ne sera sujette à aucune difficulté.
Si outre $\beta =\alpha$ on avait encore $\gamma =\alpha ,$ ce qui est le cas de trois racines égales, alors $f(\alpha )$ deviendrait infini, ainsi que la valeur du troisième terme ; les trois premiers termes seraient donc infinis, et il faudrait faire de nouveau $\gamma =\alpha +\omega .$
Soit
${\frac {\alpha ^{x}}{(\alpha -\delta )(\alpha -\varepsilon )\ldots }}=f'(\alpha ),$
on aura
$f(\alpha )={\frac {f'(\alpha )}{\alpha -\gamma }},$
et, différentiant suivant $\alpha ,$
${\frac {df(\alpha )}{d\alpha }}={\frac {1}{\alpha -\gamma }}{\frac {df'(a)}{d\alpha }}-{\frac {f'(\alpha )}{(\alpha -\gamma )^{2}}}.$
Donc, faisant
$\gamma =\alpha +\omega ,$
on aura
$f(\alpha )=-{\frac {f'(\alpha )}{\omega }},\quad {\frac {df(\alpha )}{d\alpha }}=-{\frac {1}{\omega }}{\frac {df'(\alpha )}{\alpha }}-{\frac {f'(\alpha )}{\omega ^{2}}}.$
De plus
$(y-\gamma )(y-\delta )\ldots$
deviendra
$(y-\alpha )(y-\delta )\ldots -\omega (y-\delta )\ldots ,$
et
$(y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots$
deviendra
$(y-\alpha )^{2}(y-\gamma )\ldots -\omega (y-\alpha )(y-\delta )\ldots .$
${\frac {(y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots }{(\gamma -\alpha )^{2}}}f'(\gamma )$
deviendra, en mettant $\alpha +\omega$ pour $\gamma ,$
${\frac {(y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots }{\omega ^{2}}}f'(\alpha +\omega ),$
savoir
${\frac {(y-\alpha )^{2}(y-\delta )}{\omega ^{2}}}\left[f'(\alpha )+\omega {\frac {df'(\alpha )}{d\alpha }}+{\frac {\omega ^{2}}{2}}{\frac {d^{2}f'(\alpha )}{d\alpha ^{2}}}+\ldots \right].$
Faisant toutes ces substitutions, effaçant ce qui se détruit et faisant ensuite $\omega =0,$ on trouvera pour la valeur des trois premiers termes de $y_{x}$ la quantité
$(y-\delta )\ldots f'(\alpha )+(y-\alpha )(y-\delta )\ldots {\frac {df'(\alpha )}{d\alpha }}+(y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}f'(\alpha )}{d\alpha ^{2}}}.$
Si l’on avait encore $\delta =\alpha ,$ en sorte que les quatre racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ fussent égales entre elles, on trouverait, en suivant la même marche, que les quatre premiers termes de l’expression de $y_{x},$ savoir
$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}+d\delta ^{x},$
dont chacun serait infini, pris ensemble se réduiraient à la quantité suivante
$(y-\varepsilon )\ldots f''(\alpha )+(y-\alpha )(y-\varepsilon )\ldots {\frac {df''(\alpha )}{d\alpha }}+(y-\alpha )^{2}(y-\varepsilon )\ldots {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}f''(\alpha )}{d\alpha ^{2}}}$
$+(y-\alpha )^{3}(y-\varepsilon )\ldots {\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}f''(\alpha )}{d\alpha ^{3}}},$
en faisant
$f''(\alpha )={\frac {\alpha ^{x}}{(\alpha -\varepsilon )(\alpha -\zeta )\ldots }}\,;$
et ainsi de suite, la loi de la progression étant visible d’elle-même.
Pour pouvoir employer ces expressions, il faudra développer les différents produits
$(y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,\quad (y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$
$(y-\delta )\ldots ,\quad (y-\alpha )(y-\delta )\ldots ,\quad (y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots ,$
et ainsi de suite en puissances, de $y,$ et changer ensuite dans ces puissances les exposants en indices, c’est-à-dire changer
$y^{0},\ \ y^{1},\ \ y^{2},\ldots$
en
$y_{0},\ \ y_{1},\ \ y_{2},\ldots ,$
en conservant les coefficients de ces puissances.
3. La difficulté qui résulte des racines égales est donc résolue d’une manière générale ; mais les expressions qu’on vient de trouver étant données en fonction de toutes les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on peut désirer de les avoir en fonction de la seule racine $\alpha ,$ ce qui donnera même à nos formules plus de simplicité.
Pour cela, nous remarquerons que, puisque $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont les racines de l’équation (B), on aura
$\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\ldots +\mathrm {N} y^{n}=\mathrm {N} (y-\alpha )(y-\beta )(y-\gamma )\ldots .$
En faisant $y=\alpha ,$ on aura
$\mathrm {A} +\mathrm {B} \alpha +\mathrm {C} \alpha ^{2}+\ldots +\mathrm {N} \alpha ^{n}=0\,;$
retranchant cette quantité du premier membre de l’équation précédente et divisant ensuite par $y-\alpha ,$ on aura
$\mathrm {Q} +\mathrm {R} y+\mathrm {S} y^{2}+\mathrm {T} y^{3}+\ldots +\mathrm {N} y^{n-1}=\mathrm {N} (y-\beta )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$
en faisant, comme dans le n$^o$ 2 du Mémoire cité,
${\begin{aligned}\mathrm {Q} =&\mathrm {B+C\alpha +D} \alpha ^{2}+\ldots ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {C+D} \alpha +\ldots ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {D} +\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
$y=\beta ,$
$\mathrm {Q} +\mathrm {R} \beta +\mathrm {S} \beta ^{2}+\mathrm {T} \beta ^{3}+\ldots =0\,;$
retranchant cette quantité du premier membre de la même équation et divisant le tout par $y-\beta ,$ on aura
$\mathrm {Q} '+\mathrm {R} 'y+\mathrm {S} 'y^{2}+\mathrm {T} 'y^{3}+\ldots =\mathrm {N} (y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$
en faisant
${\begin{aligned}\mathrm {Q} '&=\mathrm {R+S\beta +T} \beta ^{2}+\ldots ,\\\mathrm {R} '&=\mathrm {S+T} \beta +\ldots ,\\\mathrm {S} '&=\mathrm {T} +\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Pareillement on trouvera
$\mathrm {Q} ''+\mathrm {R} ''y+\mathrm {S} ''y^{2}+\mathrm {T} ''y^{3}+\ldots =\mathrm {N} (y-\delta )\ldots$
en faisant
${\begin{aligned}\mathrm {Q} ''&=\mathrm {R'+S'\gamma +T'} \gamma ^{2}+\ldots ,\\\mathrm {R} ''&=\mathrm {S'+T'} \gamma +\ldots ,\\\mathrm {S} ''&=\mathrm {T} '+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
et ainsi de suite.
4. 1$^o$ Soit maintenant $\beta =\alpha ,$ on aura
${\begin{aligned}&\mathrm {N} (y-\alpha )(y-\gamma )(y-\delta )\ldots =\mathrm {Q} +\mathrm {R} y+\mathrm {S} y^{2}+\ldots ,\\&\mathrm {N} (y-\gamma )(y-\delta )\ldots =\mathrm {Q} '+\mathrm {R} 'y+\mathrm {S} 'y^{2}+\ldots .\end{aligned}}$
Faisant dans $\mathrm {Q',R',S'} ,\ldots \beta =\alpha ,$ et substituant les valeurs de $\mathrm {Q,R} ,\ldots$ en $\alpha ,$ on trouve
${\begin{aligned}\mathrm {Q} '&=\mathrm {C+2D\alpha +3E} \alpha ^{2}+\ldots ={\frac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }},\\\mathrm {R} '&=\mathrm {D+2E} \alpha +\ldots ={\frac {d\mathrm {R} }{d\alpha }},\\\mathrm {S} '&=\mathrm {E} +\ldots ={\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
$\mathrm {N} (y-\gamma )(y-\delta )={\frac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {R} }{d\alpha }}y+{\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha }}y^{2}+\ldots \,;$
2$^o$ Soit $\gamma =\beta =\alpha ,$ on aura d’abord
${\begin{aligned}&\mathrm {N} (y-\alpha )\ \,(y-\delta )\ldots =\mathrm {Q} +\mathrm {R} y+\mathrm {S} y^{2}+\ldots ,\\&\mathrm {N} (y-\alpha )^{2}(y-\delta )\ldots ={\frac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {R} }{d\alpha }}y+{\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha }}y^{2}+\ldots ,\\&\mathrm {N} (y-\delta )\ldots =\mathrm {Q} ''+\mathrm {R} ''y+\mathrm {S} ''y^{2}+\ldots .\end{aligned}}$
Faisant dans $\mathrm {Q'',R'',S'',\ldots \gamma =\alpha } ,$ et substituant les valeurs ci-dessus de $\mathrm {Q',R',S'} ,\ldots ,$ on trouve
${\begin{aligned}\mathrm {Q} ''&=\mathrm {D+3E} \alpha +\ldots ={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{d\alpha ^{2}}},\\\mathrm {R} ''&={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\alpha ^{2}}},\\\mathrm {S} ''&={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{d\alpha ^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
De sorte qu’on aura
$N(y-\delta )\ldots ={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{d\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\alpha ^{2}}}y+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{d\alpha ^{2}}}y^{2}+\ldots \,;$
et ainsi de suite.
Faisons ces substitutions dans les formules trouvées plus haut pour le cas des racines égales, et changeons, comme nous l’avons prescrit, les puissances $y^{0},\ \ y^{1},\ \ y^{2},\ldots$ en $y_{0},\ \ y_{1},\ \ y_{2},\ldots ,$ on trouvera ces résultats fort simples :
1$^o$ Dans le cas où $\beta =\alpha ,$ la quantité
${\frac {1}{\mathrm {N} }}{\frac {d\left[(\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots )f(\alpha )\right]}{d\alpha }}$
pour la valeur des deux termes
$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}\,;$
2$^o$ Dans le cas de $\gamma =\beta =\alpha ,$ la quantité
${\frac {1}{2\mathrm {N} }}{\frac {d^{2}\left[(\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots )f'(\alpha )\right]}{d\alpha ^{2}}}$
pour la valeur des trois termes
$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}\,;$
et ainsi de suite.
5. En considérant ces résultats, il est clair qu’on eût pu les trouver plus simplement, en substituant dans l’expression du coefficient $a,$ à la place de
$y_{n-1}-(\beta +\gamma +\delta +\ldots )y_{n-2}+(\beta \gamma +\beta \delta +\ldots )y_{n-3}-\ldots ,$
sa valeur
${\frac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{\mathrm {N} }},$
et considérant cette quantité comme une fonction de $\alpha \,;$ car, en la désignant par $\operatorname {F} (\alpha ),$ on eût eu, de même, pour le coefficient $b,$ la quantité
$y_{n-1}-(\alpha +\gamma +\delta +\ldots )y_{n-2}+(\alpha \gamma +\alpha \delta +\ldots )y_{n-3}-\ldots =\operatorname {F} (\beta )\,;$
de sorte que l’on eût eu pour les deux termes $a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}$ l’expression
${\frac {\operatorname {F} (\alpha )f(\alpha )}{\alpha -\beta }}+{\frac {\operatorname {F} (\beta )f(\beta )}{\beta -\alpha }},$
laquelle eût donné sur-le-champ, en faisant $\beta =\alpha +\omega ,$
${\frac {d\left[\operatorname {F} (\alpha )f(\alpha )\right]}{d\alpha }}.$
On eût trouvé de la même manière, pour le cas de trois racines égales, en faisant
$f(\alpha )={\frac {f'(\alpha )}{\alpha -\gamma }},$
que les trois premiers termes
$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}$
${\frac {\cfrac {d\left[\operatorname {F} (\alpha )f'(\alpha )\right]}{d\alpha }}{\alpha -\gamma }}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha )f'(\alpha )}{(\alpha -\gamma )^{2}}}+{\frac {\operatorname {F} (\gamma )f'(\gamma )}{(\gamma -\alpha )^{2}}}\,;$
ce qui, en faisant $\gamma =\alpha +\omega ,$ se réduit à
${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left[\operatorname {F} (\alpha )f'(\alpha )\right]}{d\alpha ^{2}}}.$
C’est aussi de cette manière que je m’y étais pris d’abord pour résoudre le cas des racines égales ; mais, quoiqu’elle conduise à des résultats exacts, il me semble qu’on ne peut pas l’adopter sans précaution ; car il est remarquable que la quantité qu’on y prend pour une simple fonction de contient toutes les autres racines $\beta ,\gamma ,\ldots$ sans $\alpha \,;$ que, de même, celle qu’on y prendrait pour une fonction de $\beta$ contiendrait les autres racines sans $\beta ,$ et ainsi de suite ; ce qui doit au moins laisser quelque doute sur la bonté de cette méthode ; mais d’après celle que nous avons suivie, il n’en doit rester aucun sur l’exactitude de nos résultats.
6. Mais ces résultats n’ont pas encore toute la simplicité dont ils sont susceptibles ; car les quantités que nous avons désignées par $f(\alpha ),f'(\alpha ),\ldots$ dépendent à la fois des différentes racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et il faut les réduire à n’être que des fonctions de la seule racine $\alpha .$
Pour cela je fais, comme dans le n$^o$ 2 du Mémoire déjà cité,
$\mathrm {P=A+B\alpha +C\alpha ^{2}+D\alpha ^{3}+\ldots +N\alpha ^{n}} \,;$
je change pour un moment $\alpha$ en $y\,;$ j’aurai
$\mathrm {P} =0$
pour l’équation (A) du n$^o$ 1 ci-dessus, dont les racines sont $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$ De sorte que, par la nature des équations, j’aurai
$\mathrm {P=N} (y-\alpha )(y-\beta )(y-\gamma )\ldots$
équation identique.
Donc : 1$^o$ En différentiant et faisant ensuite $y=\alpha ,$ on aura
$\mathrm {{\frac {dP}{d\alpha }}=N} (\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )(\alpha -\delta )\ldots \,;$
2$^o$ Si $\alpha =\beta ,$ on a
$\mathrm {P} =\mathrm {N} (y-\alpha )^{2}(y-\gamma )(y-\delta )\ldots .$
Soit
$\mathrm {P} '=\mathrm {N} (y-\gamma )(y-\delta )\ldots ,$
on aura
$\mathrm {P} =(y-\alpha )^{2}\mathrm {P} '\,;$
donc, différentiant et faisant ensuite $y=\alpha ,$ on aura
$\mathrm {{\frac {dP}{d\alpha }}=0,\quad {\frac {d^{2}P}{d\alpha ^{2}}}=2P',\quad {\frac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}}=2.3{\frac {dP'}{d\alpha }},\quad {\frac {d^{4}P}{d\alpha ^{4}}}=3.4{\frac {d^{2}P'}{d\alpha ^{2}}}} \,;$
et ainsi de suite. D’où l’on tire
$\mathrm {P'={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}P}{d\alpha ^{2}}},\quad {\frac {dP'}{d\alpha }}={\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}},\quad {\frac {d^{2}P'}{d\alpha ^{2}}}={\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{4}P}{d\alpha ^{4}}}} ,\ldots \,;$
3$^o$ Si $\alpha =\beta =\gamma ,$ on a
$\mathrm {P=N} (y-\alpha )^{3}(y-\delta )(y-\varepsilon )\ldots .$
Soit
$\mathrm {P''=N} (y-\delta )(y-\varepsilon )\ldots ,$
on aura
$\mathrm {P} =(y-\alpha )^{3}\mathrm {P} ''.$
Différentiant et faisant ensuite $y=\alpha ,$ on aura
$\mathrm {{\frac {dP}{d\alpha }}=0,\ \ {\frac {d^{2}P}{d\alpha ^{2}}}=0,\ \ {\frac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}}=2.3P'',\ \ {\frac {d^{4}P}{d\alpha ^{4}}}=2.3.4{\frac {dP''}{d\alpha }}} ,$
$\mathrm {{\frac {d^{5}P}{d\alpha ^{5}}}=3.4.5{\frac {d^{2}P''}{d\alpha ^{2}}},\ldots ,} \,;$
d’où l’on tire
$\mathrm {P''={\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}},\quad {\frac {dP''}{d\alpha }}={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}P}{d\alpha ^{4}}},\quad {\frac {d^{2}P''}{d\alpha ^{2}}}={\frac {1}{3.4.5}}{\frac {d^{5}P}{d\alpha ^{5}}}} ,$
$\mathrm {{\frac {d^{3}P''}{d\alpha ^{3}}}={\frac {1}{4.5.6}}{\frac {d^{6}P}{d\alpha ^{6}}}} ,\ldots \,;$
et ainsi de suite.
On aura donc par ces substitutions, en supposant qu’on ait mis $\alpha$ à la place de $y$ dans $\mathrm {P',P''} ,\ldots ,$
$f(\alpha )={\frac {\mathrm {N} \alpha ^{x}}{\mathrm {P} '}},\quad f'(\alpha )={\frac {\mathrm {N} \alpha ^{x}}{\mathrm {P} ''}},$
et ainsi de suite (2). Donc enfin, substituant ces valeurs dans les formules du n$^o$ 3, on trouvera :
1$^o$ Que, lorsque $\alpha =\beta ,$ les deux termes
$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}$
de l’expression du terme général $y_{x}$ se réduiront à cette expressiom
${\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{\mathrm {P} '}}\alpha ^{x}\right)}{d\alpha }},$
en faisant
$\mathrm {P'={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}P}{d\alpha ^{2}}},\quad {\frac {dP'}{d\alpha }}={\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}}} ,\ldots \,;$
2$^o$ Que, lorsque $\alpha =\beta =\gamma ,$ les trois termes
$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}$
se réduiront à
${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left({\cfrac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{\mathrm {P} ''}}\alpha ^{x}\right)}{d\alpha ^{2}}},$
en faisant
$\mathrm {P''={\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}},\quad {\frac {dP''}{d\alpha }}={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}P}{d\alpha ^{4}}},\quad {\frac {d^{2}P''}{d\alpha ^{2}}}={\frac {1}{3.4.5}}{\frac {d^{5}P}{d\alpha ^{5}}}} \,;$
3$^o$ Que, lorsque $\alpha =\beta =\gamma =\delta ,$ les quatre termes
$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}+d\delta ^{x}$
se réduiront à
${\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\left({\cfrac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{\mathrm {P} '''}}\alpha ^{x}\right)}{d\alpha ^{3}}},$
$\mathrm {P'''={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}P}{d\alpha ^{4}}},\quad {\frac {dP'''}{d\alpha }}={\frac {1}{2.3.4.5}}{\frac {d^{5}P}{d\alpha ^{5}}},\quad {\frac {d^{2}P'''}{d\alpha ^{2}}}={\frac {1}{3.4.5.6}}{\frac {d^{6}P}{d\alpha ^{6}}}} ,$
${\frac {d^{3}\mathrm {P} '''}{d\alpha ^{3}}}={\frac {1}{4.5.6.7}}{\frac {d^{7}\mathrm {P} }{d\alpha ^{7}}}\,;$
et ainsi de suite.
7. Ces formules sont un peu différentes de celles que j’avais données sans démonstration dans le Mémoire cité pour le cas de l’égalité des racines.
Je m’étais aperçu de leur inexactitude après l’impression du Mémoire ; mais entraîné par d’autres objets, j’avais toujours différé à revenir sur celui-ci que je regardais comme moins important ; et j’ai été prévenu à cet égard par un Membre de la Société Italienne, Jean François Malfatti, qui a donné sur ce sujet un savant Mémoire dans le tome III du Recueil de cette Société. Comme l’analyse de cet Auteur est fort longue et conduit à des résultats un peu compliqués, j’ai cru devoir chercher à résoudre cette question d’une manière plus directe et plus conforme à la simplicité de la méthode générale exposée dans mon Mémoire de 1775 ; c’est ce qui a occasionné les recherches précédentes ; mais, quoique les formules auxquelles je suis parvenu ne paraissent rien laisser à désirer pour la simplicité et la généralité, néanmoins, comme ces formules sont différentes pour les différents cas de l’égalité de deux racines, de trois, de quatre, on pourrait désirer encore une formule qui renfermât tous ces cas ; et voici celle que j’ai trouvée, et que je présente aux Géomètres en les invitant à la démontrer directement.
En conservant les valeurs de $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ des n$^{os}$ 3 et 6, savoir, en faisant
${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A+B\alpha +C\alpha ^{2}+D\alpha ^{3}+E\alpha ^{4}} +\ldots ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {B+C\alpha +D\alpha ^{2}+E\alpha ^{3}} +\ldots ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {C+D\alpha +E\alpha ^{2}} +\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
$(\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\mathrm {T} y_{3}+\ldots )\alpha ^{x}=\operatorname {F} (\alpha ),$
$\operatorname {F} (a)$ dénotant, comme l’on voit, une fonction donnée de $\alpha .$
Je considère ensuite la formule
${\frac {\operatorname {F} (\alpha )+\omega {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2}}{\cfrac {d^{2}\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}+\ldots }{{\cfrac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}+{\cfrac {\omega }{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}+\ldots }},$
et, après l’avoir développée en série suivant les puissances ascendantes de $\omega ,$ je ne retiens que les termes où la quantité $\omega$ ne se trouve point, en rejetant ceux qui se trouveront divisés ou multipliés par des puissances de $\omega \,;$ je dis que ces termes seront ceux de l’expression du terme général $y_{x},$ qui proviendront de la racine $\alpha ,$ soit que cette racine soit une racine simple, ou double, ou triple, $\ldots .$
Ainsi, si $\alpha$ est une racine simple, on aura tout de suite
${\frac {\operatorname {F} (\alpha )}{\cfrac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}}$
pour le terme dû à cette racine.
Si $\alpha$ est une racine double, alors ${\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}=0,$ et la formule se réduira à
${\frac {\operatorname {F} (\alpha )+\omega {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}+\ldots }{{\cfrac {\omega }{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}+\ldots }}=$
${\frac {\operatorname {F} (\alpha )}{{\cfrac {\omega }{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}{{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha ){\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}}}{\left({\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}\right)^{2}}}+\omega \times \ldots .$
Donc les termes dus à la racine double $\alpha$ seront
${\frac {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}{{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha ){\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}P}{d\alpha ^{3}}}}{\left({\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}\right)^{2}}},$
ou bien (6)
${\frac {1}{\mathrm {P} '}}{\frac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}-{\frac {\operatorname {F} (\alpha )}{\mathrm {P} '^{2}}}{\frac {d\mathrm {P} '}{d\alpha }},$
${\frac {d{\cfrac {\operatorname {F} (\alpha )}{\mathrm {P} '}}}{d\alpha }},$
comme on l’a trouve dans le numéro cité.
Si $\alpha$ est une racine triple, alors on aura
${\frac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}=0,$
ce qui réduira la formule à celle-ci
${\frac {\operatorname {F} (\alpha )+\omega {\cfrac {d\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha }}+{\cfrac {\omega ^{2}}{2}}{\cfrac {d^{2}\operatorname {F} (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}+\ldots }{{\cfrac {\omega ^{2}}{2.3}}\left({\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}+{\cfrac {\omega }{4}}{\cfrac {d^{4}\mathrm {P} }{d\alpha ^{4}}}+{\cfrac {\omega ^{2}}{4.5}}{\cfrac {d^{5}\mathrm {P} }{d\alpha ^{5}}}+\ldots \right)}}.$
Faisant le développement suivant les méthodes ordinaires, on trouvera que les termes indépendants de $\omega$ seront les mêmes que ceux qui résultent des formules données ci-dessus pour le cas de trois racines égaies ; et ainsi de suite.
* ↑ Ce Mémoire et les quatre suivants, les derniers que Lagrange ait publiés dans le Recueil de l’Académie de Berlin, sont compris sous le titre commun Recherches sur plusieurs points d’Analyse relatifs à différents endroit des Mémoires précédents. (Note de l’Éditeur.)
* ↑ Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 151.