# Commentaires des Principes de Newton - Exposition abrégée, 3

rotatoire, il faut, afin que la matiere qui la compoſe conferve ſon équilibre dans cette rotation, & que la forme de la terre ſoit conf tante, que la colonne dont la peſanteur eſt diminuée par la force centrifuge, ſoit plus longue que celle dont la force centrifuge n’a point altéré la peſanteur : ainſi l’axe de la terre, qui paſſe par ſon équateur, doit être plus grand que celui qui paſſe par ſes pôles. I I. Méthode de M. Newton pour trouver la figure M. Newton, dans la Prop. 19. de ſon troifiéme Livre, a déterminé la quantité dont la colonne de l’équateur doit être plus longue que dete celle de l’axe, en ſuppoſant comme dans tout le reſte de ſon Ouvrage, que la gravité qu’éprouvent les corps d’ici-bas n’eſt autre choſe que le réſultat des attractions de toutes les particules dont eſt compoſée la terre qu’il regarde comme homogéne. Il employe pour données dans ce Problême, 1°. la grandeur du rayon de la terre priſe d’abord pour ſphérique, & déterminé par M. Picard de 19615800. 29. la longueur du pendule qui bat les ſecondes à la latitude de Paris, laquelle eſt de 3 pieds 8 lignes. Il eſt prouvé par la théorie des oſcillations, & par cette meſure du pendule à ſecondes, qu’un corps à la latitude de Paris parcourt dans une ſeconde 2174 lignes, en faiſant la correction néceſſaire pour la réſiſtance de l’air. Un corps qui fait ſa révolution dans un cercle à la diſtance de 19615800 pieds du centre, qui eſt le demi diamétre de la terre, enr 23¹ 564", qui eſt le tems exact de ſa révolution diurne, parcourt en une ſeconde, en ſuppoſant ſon mouvement uniforme, un arc de 1433, 46 pieds, dont le ſinus verſe eſt, 0, 0 523656 pieds, ou 7, 54064 lignes ; donc la force qui fait deſcendre les graves à la latitude de Paris, eſt à la force centrifuge que les corps acquiérent à l’équateur par la rotation de la terre, comme 2174 à 7, 540G4• Ajoutant donc à la force de la gravité qui fait deſcendre les graves à la latitude de Paris, ce que la force centrifuge diminue de cette force à cette latitude, afin d’avoir la force entiere qui porte les 58
graves vers le centre de la terre à la latitude de Paris, M. Newton prouve que cette force totale eſt à la force centrifuge fous l’équateur, comme 289 à 1, enforte que fous l’équateur la force centrifuge diminue la force centripéte de 19. M. Newton a donné dans la Prop. 91. Cor. 2. la proportion qui eſt entre l’attraction exercée par un ſphéroïde ſur un corpuſcule placé fur le prolongement de ſon axe, & celle qui feroit exercée ſur le même corpuſcule par une ſphére dont le diamétre ſeroit le petit axe du ſphéroïde. Employant donc cette proportion, & ſuppoſant la terre homogéne & privée de tout mouvement, il trouve (Prop. 19. Liv. 3.) que ſi ſa forme eſt celle d’un ſphéroïde dont le petit axe ſoit au grand comme 100 à 101, la gravité au pôle de ce ſphéroïde doit être à la gravité au pôle d’une fphére décrite ſur le petit axe du ſphéroïde, comme 126 à 125. > Par la même raiſon, imaginant un ſphéroïde dont le rayon de l’équateur feroit l’axe de révolution, la gravité à l’équateur, qui feroit alors le pôle de ce nouveau ſphéroïde, feroit à la gravité de la ſphére à ce même point, cette ſphére étant ſuppoſée avoir le même axe de révolution, comme 125 à 126. M. Newton ſuppoſe enſuite que la moyenne proportionnelle entre ces deux gravités, exprime la gravité des parties de la terre au même lieu, c’eſt-à-dire, à l’équateur, & qu’ainſi la gravité des parties de la terre à l’équateur eſt au même lieu à la gravité des parties de la ſphère qui auroit le même axe de révolution, comme 125 à 126 ; & en employant ce qu’il a démontré prop. 72. que les fphéres homogénes attirent à leur ſurface en raiſon directe de leurs rayons, il conclut que les attractions qu’exerce la terre au pôle & à l’équateur dans la ſuppoſition du ſphéroïde précédent, font en raiſon compoſée de 126 à 125, 126 à 125 £, & 100 à 101, ceftà-dire, comme sor à soo. Mais il avoit démontré, Cor. 3. Prop. 91. que ſi on ſuppoſe le corpuſcule placé dans l’intérieur du ſphéroïde, il fera alors attiré en raiſon de la ſimple diſtance au centre ; donc les gravités, dans 59 les deux colonnes répondantes à l’équateur & au pôle, feront comme les diſtances au centre des corps qui y font placés ; donc, en ſuppoſant ces colonnes ou canaux communiquans partagés par des plans tranſverſaux qui paſſent à des diſtances proportionnelles à ces canaux, les poids de chacune des parties dans l’un de ces canaux feront aux poids de chacune des parties dans l’autre canal, comme les grandeurs de ces canaux ; & par conſéquent, ces poids feront entr’eux comme chacune de ces parties, & comme leurs gravités accélératrices conjointement, c’eſt-à-dire, comme 101 à 100, & comme 500 à SOI, c’eſt dire comme 5os à sor ; donc ſi la force centrifuge d’une partie quelconque dans le canal qui paſſe par l’équateur, eſt au poids abſolu de la même partie comme 4’à 505, c’eſt-à-dire, ſi la force centrifuge ôte du poids d’une partie quelconque dans la colonne qui paſſe par l’équateur parties, les poids de chacune des parties de l’un & de l’autre canal deviendront égaux, & le fluide fera en équilibre. Mais on vient de voir que la force centrifuge d’une partie quelconque ſous l’équateur de la terre eſt à ſon poids comme 1 à 289, & non pas comme 4 à sos ; il faut donc prendre pour les axes un autre rapport que celui de 100 à 101, & en prendre un tel, qu’il en réſulte que la force centrifuge fous l’équateur ne ſoit que la 289ª partie de la gravité. sos Or, c’est ce qu’une ſimple régle de trois donne tout de ſuite : car fi le rapport de 100 à 101 dans les axes a donné celui de 4 à pour la proportion de la force centrifuge à la gravité, il eſt clair qu’il faudra celui de 229 à 230 pour donner le rapport 1 à 289 de la force centrifuge à la gravité. D’où il a conclu le rapport des axes de la terre de 229 à 230. III. L’aplatiſſement de la terie fulter de la théoCette concluſion de M. Newton, c’eſt-à-dire, la quantité de l’applatiffement qu’il a déterminé, eſt fondée ſur ſon principe de doit toujours réla gravité mutuelle des parties de la matiere : mais l’aplatiſſement rie des forces réfulteroit toujours de la théorie des fluides & de celle des forces centrifuges, quand même on n’admettroit pas les découvertes de centrifuges & de celle des fluides, hypothèſe de pefantcur qu’on prenne. 60
M. Newton ſur la peſanteur, à moins qu’on ne fît des hypothéfes bien peu vraiſemblables ſur la gravité primitive. I V. Malgré l’autorité de M. Newton, & quoique M. Hughens fut arrivé à la même concluſion de l’aplatiſſement en prenant une autre hypothéfe de peſanteur que celle de M. Newton ; quoique d’ailleurs les expériences faites ſur les pendules dans les différentes régions de la terre euſſent toutes donné la diminution de la peſanteur vers l’équateur, & favoriſé par conſéquent l’aplatiſſement des pôles ; Cependant les on fçait aſſez que les meſures priſes en France, & qui donnoient les meſures priſes en France avoient dégrés plus petits en allant vers le nord, avoient jetté du doute fur jetré du doute fur la figure de la la figure de la terre. On faifoit des hypothéfes ſur la peſanteur priterte, mitive qui donnoient à la terre, ſuppoſée en repos, une forme dont l’altération s’accordoit avec la théorie des forces centrifuges, & avec la figure allongée vers les pôles qui réfultoit des meſures ac-tuelles. Car cette grande queſtion de la figure de la terre dépend de la loi ſelon laquelle la peſanteur primitive agit, & il eſt certain, par exemple, que ſi cette force dépendoit d’une cauſe qui la fit tirer tantôt d’un côté & tantôt d’un autre, qui augmentât & diminuât fans régle, la théorie ni la pratique ne pourroient jamais déterminer cette figure. V. Les meſures Enfin on a été obligé d’aller meſurer un dégré fous l’équateur, priſes par lesA.caçais au cercle polaire & au Pérou, démiciens Fran— & un autre fous le cercle polaire, pour décider cette queſtion ; nous avions jetté dans l’erreur, mais nous avons réparé notre faute, & forme applatie. les meſures des Académiciens Français ont juſtifié la théorie de ont confirmé la M. Newton ſur la figure de la terre, dont l’aplatiſſement vers les pôles eſt à préſent généralement reconnu. Les meſures priſes en Laponie & au Pérou donnent un plus grand aplatiſſement que celui qu’on vient de voir qui réſulte de 61 la théorie de M. Newton, car ces meſures donnent le rapport des axes de 173 à 174. V I. Deux fuppofi tions faites par déterminant l’apEn déterminant le rapport des axes de la terre, M. Newton outre la gravité mutuelle des parties de la matiere, a encore ſuppoſé que M. Newton en la terre étoit un ſphéroïde éliptique, & de plus que ſa matiere étoit platiffement de la homogéne. M. Clairaut, dans ſon Livre de la figure de la terre, a fait voir que la premiere ſuppoſition étoit légitime, ce que M. re de ces fuppofiNewton avoit négligé de faire, quoique cela ſoit fort important Newton avoit né. pour s’affurer qu’on a le vrai rapport des axes de la terre. terre. M. Clairaut a vérifié la premictions, ce que M. gligé. Il eſt très-poſſible que l’autre faufle, Il n’en eſt pas de même de la ſeconde ſuppoſition ſur l’homogénéïté de la matiere de la terre, car il eſt très-poſſible (& M. ſuppoſition ſoit Newton l’a lui-même ſoupçonné Prop. 20. Liv. 3.) que la matiere qui compoſe la terre ſoit d’autant plus denſe qu’on approche plus du centre ; or, les différentes denſités des couches de matiere qui compoſent la terre, doivent changer la loi ſuivant laquelle les corps qui la compoſent gravitent, & altérer par conſéquent le rapport de ſes axes. VII. M. Clairaut a prouvé que le rapport des axes meſure que la pedoit diminuer à fanteur au M. Clairaut a fait voir, dans ſa théorie de la figure de la terre dont je viens de parler, que dans toutes les hypothéfes les plus vraiſemblables qu’on puiſſe faire ſur la denſité des parties intérieures de la terre, il Y a toujours, en ſuppoſant l’attraction, une telle liai— eſt plus grande. ſon entre la fraction qui exprime la différence des axes, & celle qui exprime la diminution de la peſanteur du pôle à l’équateur, que fi l’une des deux fractions ſurpaſſe. l’autre doit être moindre préciſément de la même quantité ; enforte qu’en ſuppoſant par exemple, que l’excès de l’équateur ſur l’axe ſoit de 7, ce qui eſt aſſez conforme aux meſures actuelles, on aura > pour la quantité dont il faut diminuer ou afin d’avoir le raccourciſſement total du pendule en allant du pôle à l’équateur, c’est-à-dire, 62
que ce raccourciſſement ou, ce qui eſt la même choſe, la diminution totale de la peſanteur, fera de 0-6, c’eſt-à-dire, d’environ 343 Or comme toutes les expériences ſur le pendule font voir que la diminution de la peſanteur du pôle à l’équateur, loin d’être plus petite que comme il le faudroit pour s’accorder avec cette théorie, eſt au contraire plus grande, il fuit que les meſures actuelles ne s’accordent pas en ce point avec la théorie. VIII, M. Newton Il ne faut pas diſſimuler que M. Newton avoit tiré une concluſion avoit tiré une concluſion toute toute différente de la ſuppoſition, que les parties de la terre étoient différente. d’autant plus denſes, qu’on approche plus du centre ; il croyoit qu’en ce cas, le rapport des axes devoit augmenter. Paroles de M. à Voici comme il s’exprime pag. 386. de la deuxiéme édition des jet, dans la deu-Principes : Ce retardement du pendule à l’équateur prouve la diminution siéme édition des de la gravité dans ce lieu, & plus la matiere y fera légere, plus elle devra principes. être haute afin de faire équilibre avec celle du pôle. En quoi il s’eſt trompé, M. Newton croyoit que la denſité augmentant vers le centre, la peſanteur augmentoit de l’équateur au pôle dans une plus grande raiſon que dans le cas de l’homogénéïté, ce qui elt vrai. Mais il penfoit que la peſanteur à chaque point du ſphéroïde étoit en raiſon renverſée des diſtances au centre du ſphéroïde, ſoit que le ſphéroïde fût homogéne, ou que ſa denſité variât d’une maniere quelconque ; d’où il avoit conclu, que dans le cas de la denſité augmentée de la circonférence au centre, la peſanteur augmentant dans une plus grande raiſon que dans l’homogénéité, l’aplatiſſement feroit plus grand, ce qui eſt faux ; n’étant fondé que ſur une ſuppoſition qui n’a lieu que dans le ſphéroïde homogéne. I X. Il fuit de la théorie de M. Clairaut, qu’en admettant les ſuppoſitions qu’il fait ſur l’intérieur de la terre les plus naturelles de celles 63 qui ſe préſentent à l’eſprit, que l’aplatiſſement ne peut jamais être plus grand que de 229 à 230, puiſque ce rapport eſt celui qu’on trouve dans la ſuppoſition de l’homogénéité de la terre, & qu’il réſulte de cette théorie, que dans tous les autres cas la peſanteur augmentant, l’aplatiſſement doit être moindre. X. Quel eſt le poids des corps tes régions de la Après avoir déterminé le rapport des axes de la terre dans la ſuppoſition de l’homogénéïté, M. Newton cherche de la maniere dans les différenfuivante dans la Prop. 20. du Liv. 3. quel doit être le poids des ce.. corps dans les différentes régions de la terre. Puiſqu’on a vû que les colonnes de matiere qui répondent au pôle & à l’équateur étoient en équilibre lorſque leurs longueurs étoient entr’elles comme 229 à 230, & que les poids des parties égales & placées de même dans ces deux colonnes, doivent être en raiſon réciproque de ces colonnes, ou comme 230 à 229 ; on voit, par un raiſonnement ſemblable, que dans toutes les colonnes de matiere qui compoſent le ſphéroïde, les poids des corps doivent être en raiſon renverſée de ces colonnes, c’eſt-à-dire, de leurs diſtances au centre : donc en ſuppoſant qu’on connoiffe la diſtance d’un lieu quelconque de la ſurface de la terre au centre, on aura la peſanteur en ce lieu, & par conſéquent la quantité dont la gravité augmente ou diminue en allant vers le pôle ou vers l’équateur : or comme la diſtance d’un lieu quelconque au centre décroît à peu près comme le quarré du ſinus droit de la latitude, ainsi que l’on peut s’en convaincre par le calcul, on voit comment M. Newton a formé la table de la Prop. 20. du Liv. 3. où il a donné la diminution de la peſanteur depuis le pôle juſqu’à l’équateur. > X I. La gravité étant la ſeule cauſe des oſcillations des pendules, le ralentiſſement de ces oſcillations prouve la diminution de la peſanteur, & leur accélération prouve que la gravité agit plus fortement ; 64
ſon des longueurs des pendules. Ils font en rai— or on fçait que la vîteffe des oſcillations des pendules eſt en raiſon inverſe de la longueur du fil auquel ils font ſuſpendus ; donc lorſque pour rendre les vibrations d’un pendule dans une région, yfochrones à ſes vibrations dans une autre, il faut le raccourcir ou l’allonger, on doit conclure que la peſanteur eſt moindre ou plus grande dans cette région que dans l’autre : on connoît depuis M. Hughens le rapport qui eſt entre la quantité dont on allonge ou raccourcit le pendule, & la diminution ou l’augmentation de la gravité ; ainſi cette quantité étant proportionnelle aux augmentations ou aux diminutions des poids, M. Newton a donné dans ſa table les longueurs des pendules au lieu des poids. Les dégrés de Jatitude font dans Les dégrés de latitude diminuant dans le ſphéroïde de M. Newton la même propor— en même proportion que les poids, la même table donne la grantion, X II. Par les expéLa table de M. Newton donne une diminution un peu moins grande de la peſanteur vers l’équateur, que celle qui réſulte des meſures actuelles, mais cette table n’eſt formée que pour le cas de l’homogénéïté ; & il avertit à la fin de la Propofition où il la donne, teur eſt un peu que dans le cas où la denſité des parties de la terre croît de la cirmoindre vers l’équateur que la ta— conférence au centre, il faut augmenter auſſi le décrement de la ble de M. Newton ne la donne, peſanteur du pôle à l’équateur. riences la deur des dégrés de latitude en commençant à l’équateur où la latitude eſt oº. juſqu’au pôle où elle eſt de 90°. XIII XIV. It attribue cetQuoique M. Newton paroiſſe porté à croire, par les obſervations. te différence à la chaleur des ré— qu’il rapporte dans cette même Prop. 20. ſur l’allongement du pengions de teur qui allonge dule cauſé par les chaleurs dans les régions de l’équateur, que ces le pendule dans ces régions. différences viennent de la différente température des lieux où l’on sieres expérien— a fait les obſervations, l’attention qu’on a eu à conſerver le même Mais les derdégré ces ont fait voir que l’allongela chaleur de ces G5 dégré de chaleur par le moyen du thermométre dans les expériences qu’on a fait depuis M. Newton ſur la longueur des pendules dans ment produit par les différentes régions de la terre, prouve que ces différences ne régions, ne peut doivent point être attribuées à cette cauſe, & qu’il y a réellement rences, un décroiſſement de peſanteur du pôle à l’équateur plus grand que celui que M. Newton a donné dans ſa table. cauſer ces diffé X V. née par M. Newles axes d’une que. M. Newton apprend à la fin de la Prop. 19. Liv. 3. à trouver le Méthode don rapport des axes d’une plancte quelconque dont on connoît la den— ton pour trouver fité & le tems de la révolution diurne, en ſe ſervant du rapport planete quelcontrouvé entre les axes de la terre pour terme de comparaiſon ; car ſoit qu’une planete fut plus grande ou moindre que la terre, ſi fa denſité étoit la même & que le tems de ſa révolution diurne fut égal à celui de la terre, il y auroit la même proportion entre la force centrifuge & ſa gravité, & par conſéquent entre ſes diamétres, que celle qu’on a trouvé pour ceux de la terre : mais ſi ſon mouvement diurne eſt plus ou moins prompt que celui de la terre dans une raiſon quelconque, la force centrifuge, & par conſéquent la différence des diamétres, fera plus ou moins grande dans la raiſon doublée de cette viteſſe, ce qui ſuit de la théorie des forces centrifuges ; & ſi la denſité de cette planete eſt plus grande ou moindre que celle de la terre dans une raiſon quelconque, la gravité ſur cette planete augmentera ou diminuera dans la même railon, & la différence des diamétres augmentera en raiſon de la gravité diminuée, & diminuera en raiſon de la gravité augmentée, ce qui fuit de la théorie de l’attraction telle que M. Newton l’admet dans la matiere. X V I. Donc la différence des diamétres de Jupiter, par exemple, dont Détermination on connoît la révolution diurne & la denſité ſera, à ſon petit diamétre en raiſon compoſée des quarrés des tems de la révolution des axes de Jupiter par cette méthode, 66 I 29 400 5
diurne de la Terre & de Jupiter, des denſités de Jupiter & de la Terre, & de la différence des diamètres de la terre comparée au petit axe de la terre, c’eſt-à-dire, comme ²x —X à r. 94 € 229 c’eſt-à-dire, comme 1 à 9 à peu près : donc le diamètre de Jupiter de l’Orient à l’Occident eſt à ſon diamètre entre ſes pôles comme 10 à 9 à peu près. M. Newton ajoute qu’il a ſuppoſé dans cette détermination que la matière qui compoſe Jupiter étoit d’une denſité uniforme, mais que comme il eſt très-poſſible que par la chaleur du Soleil il ſoit plus denſe vers les régions de l’équateur que vers les régions du pôle, ſes diamétres peuvent être entr’eux comme 12 à II, 13 à ou même 14 à 13, & qu’ainſi ſa théorie s’accorde avec les obſervations, puiſque les obſervations apprennent que Jupiter eſt aplati, & que cet aplatiſſement eſt moindre que de 10 à 9, & qu’il eſt entre 11 à 12, & 13 à 14. 12 ; XVII. Raifon bien Ce moyen que M. Newton prend pour expliquer un aplatiffepeu vraiſemblable donnée par ment moindre que celui que donne l’homogénéïté, paroît bien peu M. Newton, de ce que l’applatif vraiſemblable, & l’on doit être étonné qu’en expliquant l’aplatiffefement de Jupiter eſt moindre ment de Jupiter, il ait eu recours à une cauſe dont l’effet feroit que celui qui réſulte de la théo— bien plus ſenſible ſur la Terre que ſur Jupiter, puiſque la Terre ric. eſt beaucoup plus près du Soleil que Jupiter. S’il avoit connu la Propofition de M. Clairaut, je veux dire, que la denſité augmentant au centre l’aplatiſſement diminue, il auroit trouvé une cauſe toute naturelle du Phénoméne qu’il vouloit expliquer, en ſuppoſant Jupiter plus denſe au centre qu’à ſa ſuperficie, ce qui eſt une hypothéfe qui s’accorde avec toutes les loix de la méchanique. XVIII Dans la preDans la premiere édition des Principes, M. Newton n’avoit pas miere édition des principes, M. fait entrer la denſité dans la proportion des diamétres de Jupiter, Newton aycit donné à Jupiter & il avoit conclu le rapport de ſes axes de 40 à 39. en n’y faiſant entrer que la révolution diurne, & le rapport des axes de la un aplatiſſement beaucoup moindre, & pourquoi ? terre. XIX. peut connoître la Comme ce n’eſt que dans la Terre, Jupiter, & le Soleil qu’on Pourquoi on ne connoît à la fois les deux élémens néceſſaires pour déterminer les proportion_des axes, c’eſt-à-dire la révolution diurne, & la denſité, on ne peut con— ter, de la terre axes que de Jupi& du Soleil. La proportion des axes du Soleil noître le rapport des axes que de ces trois corps céleſtes. On vient de voir celui des axes de la Terre & de Jupiter ; le rapport des axes du Soleil ſe trouveroit en prenant la raiſon compoſée du quarré de efttrop médiocre 27 à 1, de la denſité de la Terre à celle du Soleil, & de 229 à ſenſible. 230 : ce qui donneroit, pour le rapport des axes du Soleil, une quantité beaucoup trop petite pour pouvoir être obſervée. pour pouvoir être