# Dictionnaire philosophique/Garnier (1878)/Infini

| ◄ Incubes | Infini | Influence  ► |
Qui me donnera une idée nette de l’infini ? je n’en ai jamais eu qu’une idée très-confuse. N’est-ce pas parce que je suis excessivement fini ?
Qu’est-ce que marcher toujours, sans avancer jamais ? compter toujours, sans faire son compte ? diviser toujours, pour ne jamais trouver la dernière partie ?
Il semble que la notion de l’infini soit dans le fond du tonneau des Danaïdes.
Cependant il est impossible qu’il n’y ait pas un infini. Il est démontré qu’une durée infinie est écoulée.
Commencement de l’être est absurde, car le rien ne peut commencer une chose. Dès qu’un atome existe, il faut conclure qu’il y a quelque être de toute éternité. Voilà donc un infini en durée rigoureusement démontré. Mais qu’est-ce qu’un infini qui est passé, un infini que j’arrête dans mon esprit au moment que je veux ? Je dis : Voilà une éternité écoulée ; allons à une autre. Je distingue deux éternités, l’une ci-devant, et l’autre ci-après.
Quand j’y réfléchis, cela me paraît ridicule. Je m’aperçois que j’ai dit une sottise en prononçant ces mots : « Une éternité est passée, j’entre dans une éternité nouvelle. »
Car au moment que je parlais ainsi, l’éternité durait, la fluence du temps courait. Je ne pouvais la croire arrêtée. La durée ne peut se séparer. Puisque quelque chose a été toujours, quelque chose est et sera toujours.
L’infini en durée est donc lié d’une chaîne non interrompue. Cet infini se perpétue dans l’instant même où je dis qu’il est passé. Le temps a commencé et finira pour moi ; mais la durée est infinie.
Voilà déjà un infini de trouvé, sans pouvoir pourtant nous en former une notion claire :
On nous présente un infini en espace. Qu’entendez-vous par espace ? est-ce un être ? est-ce rien ?
Si c’est un être, de quelle espèce est-il ? vous ne pouvez me le dire. Si c’est rien, ce rien n’a aucune propriété : et vous dites qu’il est pénétrable, immense ! Je suis si embarrassé que je ne puis ni l’appeler néant, ni l’appeler quelque chose.
Je ne sais cependant aucune chose qui ait plus de propriétés que le rien, le néant. Car en partant des bornes du monde, s’il y en a, vous pouvez vous promener dans le rien, y penser, y bâtir si vous avez des matériaux ; et ce rien, ce néant ne pourra s’opposer à rien de ce que vous voudrez faire : car, n’ayant aucune propriété, il ne peut vous apporter aucun empêchement. Mais aussi, puisqu’il ne peut vous nuire en rien, il ne peut vous servir.
On prétend que c’est ainsi que Dieu créa le monde, dans le rien et de rien : cela est abstrus ; il vaut mieux sans doute penser à sa santé qu’à l’espace infini.
Mais nous sommes curieux, et il y a un espace. Notre esprit ne peut trouver ni la nature de cet espace ni sa fin. Nous l’appelons immense, parce que nous ne pouvons le mesurer. Que résulte-t-il de tout cela ? que nous avons prononcé des mots.
Étranges questions, qui confondent souvent Le profond S’Gravesande et le subtil Mairan.
Nous avons beau désigner l’infini arithmétique par un lacs d’amour en cette façon ∞, nous n’aurons pas une idée plus claire de cet infini numéraire. Cet infini n’est, comme les autres, que l’impuissance de trouver le bout. Nous appelons l’infini en grand un nombre quelconque qui surpassera quelque nombre que nous puissions supposer.
Quand nous cherchons l’infiniment petit, nous divisons ; et nous appelons infini une quantité moindre qu’aucune quantité assignable. C’est encore un autre nom donné à notre impuissance.
Cette question revient précisément à notre incapacité de trouver le dernier nombre. Nous pourrons toujours diviser par la pensée un grain de sable, mais par la pensée seulement ; et l’incapacité de diviser toujours ce grain est appelée infini.
On ne peut nier que la matière ne soit toujours divisible par le mouvement, qui peut la broyer toujours. Mais s’il divisait le dernier atome, ce ne serait plus le dernier, puisqu’on le diviserait en deux. Et s’il était le dernier, il ne serait plus divisible. Et s’il était divisible, où seraient les germes, où seraient les éléments des choses ? Cela est encore fort abstrus.
L’univers est-il borné ? Son étendue est-elle immense ? Les soleils et les planètes sont-ils sans nombre ? Quel privilége aurait l’espace qui contient une quantité de soleils et de globes, sur une autre partie de l’espace qui n’en contiendrait pas ? Que l’espace soit un être ou qu’il soit rien, quelle dignité a eue l’espace où nous sommes pour être préféré à d’autres ?
Si notre univers matériel n’est pas infini, il n’est qu’un point dans l’étendue. S’il est infini, qu’est-ce qu’un infini actuel auquel je puis toujours ajouter par la pensée ?
On admet en géométrie, comme nous l’avons indiqué, non-seulement des grandeurs infinies, c’est-à-dire plus grandes qu’aucune assignable, mais encore des infinis infiniment plus grands les uns que les autres. Cela étonne d’abord notre cerveau, qui n’a qu’environ six pouces de long sur cinq de large, et trois de hauteur dans les plus grosses têtes. Mais cela ne veut dire autre chose sinon qu’un carré plus grand qu’aucun carré assignable l’emporte sur une ligne conçue plus longue qu’aucune ligne assignable, et n’a point de proportion avec elle.
C’est une manière d’opérer, c’est la manipulation de la géométrie, et le mot d’infini est l’enseigne.
De même que nous ne pouvons nous former aucune idée positive d’un infini en durée, en nombre, en étendue, nous ne pouvons nous en former une en puissance physique ni même en morale.
Nous concevons aisément qu’un être puissant arrangea la matière, fit circuler des mondes dans l’espace, forma les animaux, les végétaux, les métaux. Nous sommes menés à cette conclusion par l’impuissance où nous voyons tous ces êtres de s’être arrangés eux-mêmes. Nous sommes forcés de convenir que ce grand Être existe éternellement par lui-même, puisqu’il ne peut être sorti du néant ; mais nous ne découvrons pas si bien son infini en étendue, en pouvoir, en attributs moraux.
Comment concevoir une étendue infinie dans un être qu’on dit simple ? Et s’il est simple, quelle notion pouvons-nous avoir d’une nature simple ? Nous connaissons Dieu par ses effets, nous ne pouvons le connaître par sa nature.
S’il est évident que nous ne pouvons avoir d’idée de sa nature, n’est-il pas évident que nous ne pouvons connaître ses attributs ?
Quand nous disons qu’il est infini en puissance, avons-nous d’autre idée sinon que sa puissance est très-grande ? Mais de ce qu’il y a des pyramides de six cents pieds de haut, s’ensuit-il qu’on ait pu en construire de la hauteur de six cents milliards de pieds ?
Rien ne peut borner la puissance de l’Être éternel existant nécessairement par lui-même. D’accord, il ne peut avoir d’antagoniste qui l’arrête ; mais comment me prouverez-vous qu’il n’est pas circonscrit par sa propre nature ?
Tout ce qu’on a dit sur ce grand objet est-il bien prouvé ?
Nous parlons de ses attributs moraux, mais nous ne les avons jamais imaginés que sur le modèle des nôtres, et il nous est impossible de faire autrement. Nous ne lui avons attribué la justice, la bonté, etc., que d’après les idées du peu de justice et de bonté que nous apercevons autour de nous.
Mais au fond, quel rapport de quelques-unes de nos qualités, si incertaines et si variables, avec les qualités de l’Être suprême éternel ?
Notre idée de justice n’est autre chose que l’intérêt d’autrui respecté par notre intérêt. Le pain qu’une femme a pétri de la farine dont son mari a semé le froment lui appartient. Un sauvage affamé lui prend son pain et l’emporte ; la femme crie que c’est une injustice énorme ; le sauvage dit tranquillement qu’il n’est rien de plus juste, et qu’il n’a pas dû se laisser mourir de faim, lui et sa famille, pour l’amour d’une vieille.
Au moins il semble que nous ne pouvons guère attribuer à Dieu une justice infinie, semblable à la justice contradictoire de cette femme et de ce sauvage. Et cependant quand nous disons : Dieu est juste, nous ne pouvons prononcer ces mots que d’après nos idées de justice.
Nous ne connaissons point de vertu plus agréable que la franchise, la cordialité. Mais si nous allions admettre dans Dieu une franchise, une cordialité infinie, nous risquerions de dire une grande sottise.
Nous avons des notions si confuses des attributs de l’Être suprême que des écoles admettent en lui une prescience, une prévision inflnie qui exclut tout événement contingent ; et d’autres écoles admettent une prévision qui n’exclut pas la contingence.
Enfln, depuis que la Sorbonne a déclaré que Dieu peut faire qu’un bâton n’ait pas deux bouts, qu’une chose peut être à la fois et n’être pas, on ne sait plus que dire. On craint toujours d’avancer une hérésie.
Ce qu’on peut affirmer sans crainte, c’est que Dieu est infini, et que l’esprit de l’homme est bien borné.
L’esprit de l’homme est si peu de chose que Pascal a dit : « Croyez-vous qu’il soit impossible que Dieu soit infini et sans parties ? Je veux vous faire voir une chose infinie et indivisible : c’est un point mathématique se mouvant partout d’une vitesse infinie, car il est en tous lieux et tout entier dans chaque endroit. »
On n’a jamais rien avancé de plus complètement absurde ; et cependant c’est l’auteur des Lettres provinciales qui a dit cette énorme sottise. Cela doit faire trembler tout homme de bon sens.
Les premiers géomètres se sont aperçus, sans doute, dès l’onzième ou douzième proposition, que s’ils marchaient sans s’égarer, ils étaient sur le bord d’un abîme, et que les petites vérités incontestables qu’ils trouvaient étaient entourées de l’infini. On l’entrevoyait, dès qu’on songeait qu’un côté d’un carré ne peut jamais mesurer la diagonale, ou que des circonférences de cercles différents passeront toujours entre un cercle et sa tangente, etc. Quiconque cherchait seulement la racine du nombre six voyait bien que c’était un nombre entre deux et trois ; mais quelque division qu’il pût faire, cette racine dont il approchait toujours ne se trouvait jamais. Si l’on considérait une ligne droite coupant une autre ligne droite perpendiculairement, on les voyait se couper en un point indivisible ; mais si elles se coupaient obliquement, on était forcé, ou d’admettre un point plus grand qu’un autre, ou de ne rien comprendre dans la nature des points et dans le commencement de toute grandeur.
La seule inspection d’un cône étonnait l’esprit : car sa base, qui est un cercle, contient un nombre infini de lignes. Son sommet est quelque chose qui diffère infiniment de la ligne. Si on coupait ce cône parallèlement à son axe, on trouvait une figure qui s’approchait toujours de plus en plus des côtés du triangle formé par le cône sans jamais le rencontrer. L’infini était partout : comment connaître l’aire d’un cercle ? comment celle d’une courbe quelconque ?
Avant Apollonius, le cercle n’avait été étudié que comme mesure des angles, et comme pouvant donner certaines moyennes proportionnelles : ce qui prouve que les Égyptiens, qui avaient enseigné la géométrie aux Grecs, avaient été de très-médiocres géomètres, quoique assez bons astronomes. Apollonius entra dans le détail des sections coniques. Archimède considéra le cercle comme une figure d’une infinité de côtés, et donna le rapport du diamètre à la circonférence tel que l’esprit humain peut le donner. Il carra la parabole ; Hippocrate de Chio carra les lunules du cercle.
La duplication du cube, la trisection de l’angle, inabordables à la géométrie ordinaire, et la quadrature du cercle impossible à toute géométrie, furent l’inutile objet des recherches des anciens. Ils trouvèrent quelques secrets sur leur route, comme les chercheurs de la pierre philosophale. On connaît la cissoïde de Dioclès, qui approche de sa directrice sans jamais l’atteindre ; la conchoïde de Nicomède, qui est dans le même cas ; la spirale d’Archimède. Tout cela fut trouvé sans algèbre, sans ce calcul qui aide si fort l’esprit humain, et qui semble le conduire sans l’éclairer. Je dis sans l’éclairer : car que deux arithméticiens, par exemple, aient un compte à faire ; que le premier le fasse de tête, voyant toujours ses nombres présents à son esprit, et que l’autre opère sur le papier par une règle de routine, mais sûre, dans laquelle il ne voit jamais la vérité qu’il cherche qu’après le résultat, et comme un homme qui y est arrivé les yeux fermés ; voilà à peu près la différence qui est entre un géomètre sans calcul, qui considère des figures et voit leurs rapports, et un algébriste qui cherche ces rapports par des opérations qui ne parlent point à l’esprit. Mais on ne peut aller loin avec la première méthode : elle est peut-être réservée pour des êtres supérieurs à nous. Il nous faut des secours qui aident et qui prouvent notre faiblesse. À mesure que la géométrie s’est étendue, il a fallu plus de ces secours.
Harriot, anglais, Viette, poitevin, et surtout le fameux Descartes, employèrent les signes, les lettres. Descartes soumit les courbes à l’algèbre, et réduisit tout en équations algébriques.
Du temps de Descartes, Cavallero, religieux d’un ordre des Jésuates qui ne subsiste plus, donna au public, en 1635, la Géométrie des indivisibles : géométrie toute nouvelle, dans laquelle les plans sont composés d’une infinité de lignes, et les solides d’une infinité de plans. Il est vrai qu’il n’osait pas plus prononcer le mot d’infini en mathématiques que Descartes en physique ; ils se servaient l’un et l’autre du terme adouci d’indéfini. Cependant Roberval, en France, avait les mêmes idées, et il y avait alors à Bruges un jésuite qui marchait à pas de géant dans cette carrière par un chemin différent. C’était Grégoire de Saint-Vincent, qui, en prenant pour but une erreur, et croyant avoir trouvé la quadrature du cercle, trouva en effet des choses admirables. Il réduisit l’infini même à des rapports finis ; il connut l’infini en petit et en grand. Mais ces recherches étaient noyées dans trois in-folio : elles manquaient de méthode ; et, qui pis est, une erreur palpable qui terminait le livre nuisait à toutes les vérités qu’il contenait.
On cherchait toujours à carrer des courbes. Descartes se servait des tangentes ; Fermat, conseiller de Toulouse, employait sa règle de maximis et minimis, règle qui méritait plus de justice que Descartes ne lui en rendit. Wallis, anglais, en 1655, donna hardiment l’Arithmétique des infinis, et des suites infinies en nombre.
Milord Brounker se servit de cette suite pour carrer une hyperbole. Mercator de Holstein eut grande part à cette invention ; mais il s’agissait de faire sur toutes les courbes ce que le lord Brounker avait si heureusement tenté. On cherchait une méthode générale d’assujettir l’infini à l’algèbre, comme Descartes y avait assujetti le fini : c’est cette méthode que trouva Newton à l’âge de vingt-trois ans, aussi admirable en cela que notre jeune M. Clairaut, qui, à l’âge de treize ans, vient de faire imprimer un Traité de la mesure des courbes à double courbure.
La méthode de Newton a deux parties : le calcul différentiel, et le calcul intégral.
Le différentiel consiste à trouver une quantité plus petite qu’aucune assignable, laquelle, prise une infinité de fois, égale la quantité donnée ; et c’est ce qu’en Angleterre on appelle la méthode des fluentes ou des fluxions. L’intégral consiste à prendre la somme totale des quantités différentielles.
Le célèbre philosophe Leibnitz et le profond mathématicien Bernouilli ont tous deux revendiqué, l’un le calcul différentiel, l’autre le calcul intégral ; il faut être capable d’inventer des choses si sublimes pour oser s’en attribuer l’honneur. Pourquoi trois grands mathématiciens, cherchant tous la vérité, ne l’auraient-ils pas trouvée ? Torricelli, La Loubère, Descartes, Roberval, Pascal, n’ont-ils pas tous démontré, chacun de leur côté, les propriétés de la cycloïde, nommée alors la roulette ? N’a-t-on pas vu souvent des orateurs, traitant le même sujet, employer les mêmes pensées sous des termes différents ? Les signes dont Newton et Leibnitz se servaient étaient différents, et les pensées étaient les mêmes.
Quoi qu’il en soit, l’infini commença alors à être traité par le calcul. On s’accoutuma insensiblement à recevoir des infinis plus grands les uns que les autres. Cet édifice si hardi effraya un des architectes. Leibnitz n’osa appeler ces infinis que des incomparables ; mais M. de Fontenelle vient enfin d’établir ces différents ordres d’infinis sans aucun ménagement et il faut qu’il ait été bien sûr de son fait pour l’avoir osé.
* ↑ Formait tout l’article dans les Questions sur l’Encyclopédie, septième partie, 1771. (B.)
* ↑ Vers de Voltaire dans le deuxième de ses Discours sur l’homme.
* ↑ Histoire de l’Université, par Duboullay. (Note de Voltaire.)
* ↑ Cet article, qui n’était pas dans les éditions de Kehl, formait, en 1738-39, le chapitre xix des Mélanges de littérature. (B.)
* ↑ Géométrie de l’infini, publiée en 1727.
* ↑ Cette version est encore dans l’édition de 1746 ; mais celle de 1748 porte :« .... que des incomparables. Ceux qui ne savent pas de quoi il est question pensent qu’on connaît l’infini comme on connaît que dix et dix font vingt ; mais cet infini n’est au fond que l’impuissance de compter jusqu’au bout, et la hardiesse de mettre en ligne de compte ce qu’on ne saurait comprendre. » (B.)