# L’Encyclopédie/1re édition/DIVISEUR

DIVISEUR, s. m. (Arithm.) est dans la division le nombre qui divise, ou celui qui fait voir en combien de parties le dividende doit être divisé. Voyez Dividende & Division.
On appelle commun diviseur une quantité ou un nombre, qui divise exactement deux ou plusieurs quantités ou nombres, sans aucun reste.
Ainsi 3 est commun diviseur de 12 & 18 ; le nombre 2 est aussi commun diviseur des mêmes nombres. Les mêmes nombres peuvent donc avoir plusieurs communs diviseurs : or celui de ces communs diviseurs, qui est le plus grand, s’appelle le plus grand commun diviseur.
Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux quantités quelconques a, b ; on divisera le plus grand nombre a par le plus petit b ; & s’il y a un reste c, on divisera le plus petit b par ce reste c (en négligeant toûjours les quotients) ; & s’il y a encore un reste d, on divisera le premier reste c par le second d, & ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait trouvé un reste m qui divise au juste celui qui le précede immédiatement ; ce dernier reste m sera le plus grand commun diviseur des deux quantités a, b.
Ainsi, pour trouver le plus grand commun diviseur des deux nombres 54 & 18, je divise 54 par 18 ; & comme cette division se fait sans reste, je connois que 18 est le plus grand commun diviseur de 54 & 18.
Pour trouver le plus grand commun diviseur de 387 & de 54, je divise 387 par 54, & trouvant un reste 9, je divise 54 par 9 ; & comme la division se fait exactement, je connois que 9 est le plus grand commun diviseur de 387 & 54.
Pour trouver le plus grand commun diviseur de 438 & de 102, je divise 438 par 102, & trouvant le reste 30, je divise 102 par 30, & trouvant le reste 12, je divise 30 par 12, & trouvant le reste 6, je divise 12 par 6 ; & comme 6 divise 12 sans reste, je connois que 6 est le plus grand commun diviseur de 438 & 102, &c.
Pour trouver le plus grand commun diviseur de trois nombres quelconques A, B, C, je cherche d’abord, comme auparavant, le plus grand commun diviseur m des deux premiers A, B ; & je cherche ensuite le plus grand commun diviseur n de C & de m, & n sera le plus grand commun diviseur des trois nombres A, B, C.
S’il falloit trouver le plus grand commun diviseur de quatre nombres, on chercheroit d’abord le plus grand commun diviseur n des trois premiers ; & ensuite le plus grand commun diviseur p du quatrieme & de n ; & ainsi de suite à l’infini.
Il est quelquefois utile de connoître tous les diviseurs d’un nombre, sur-tout dans l’analyse, où il s’agit fort souvent de décomposer une quantité, ou d’en déterminer les facteurs, c’est-à-dire de savoir les quantités qui ont concouru à sa production.
Ainsi, pour trouver tous les diviseurs d’un nombre 2310, on prendra la suite 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, &c. des nombres premiers (voyez Nombre premier), & l’on trouvera par son moyen tous les diviseurs simples ou premiers 2, 3, 5, 7, 11 de 2310, & posant l’unité 1, on multipliera 1 par 2, & l’on aura pour diviseurs 1, 2, qu’on multipliera chacun par 3, pour avoir 3, 6, lesquels joints à 1, 2, donneront pour diviseurs 1, 2, 3, 6 que l’on multipliera chacun par 5 ; ce qui produira 5, 10, 15, 30, lesquels joints aux quatre diviseurs 1, 2, 3, 6, produiront les huit diviseurs 1, 2, 3, 6, 5, 10, 15, 30, que l’on multipliera chacun par 7 pour avoir 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210, que l’on joindra aux huit premiers pour avoir les 16 diviseurs 1, 2, 3, 6, 5, 10, 15, 30, 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210, que l’on multipliera chacun par 11 pour avoir 11, 22, 33, 66, 55, 110, 165, 330, 77, 154, 231, 462, 385, 770, 1155, 2310, lesquels joints aux 16 précédens donneront les 32 diviseurs 1, 2, 3, 6, 5, 10, 15, 30, 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210, 11, 22, 33, 66, 55, 110, 165, 330, 77, 154, 231, 462, 385, 770, 1155, 2310 du nombre 2310, & il n’en aura pas davantage. Voyez la science du calcul par Charles Reyneau, ou les leçons de Mathématiques par M. l’abbé de Molieres. (E)
La regle pour trouver les communs diviseurs se trouve démontrée dans plusieurs ouvrages par différentes méthodes. En voici la raison en peu de mots. Qu’est-ce que trouver le plus grand commun diviseur, par exemple de 387 & 54 ? c’est trouver la plus petite expression de $\scriptstyle {\frac {387}{54}}$. Il faut donc d’abord diviser 387 par 54, je trouve que le quotient est un nombre entier $\scriptstyle +{\frac {9}{54}}$ ; il faut donc trouver le plus grand commun diviseur de 9 & de 54, ou réduire cette fraction à sa plus simple expression ; donc ce plus grand diviseur est 9. On fera le même raisonnement sur les exemples plus composés ; & l’on verra toûjours que trouver le plus grand commun diviseur, se réduit à trouver la plus petite expression d’une fraction ; c’est-à-dire une fraction dont le numérateur & le dénominateur soient les plus petits qu’il est possible.
On peut aussi employer souvent une méthode abrégée pour trouver le plus grand commun diviseur.
Je suppose qu’on ait, par exemple, à trouver le plus grand commun diviseur de 176 & de 77, je remarque en prenant tous les diviseurs de 176, que $\scriptstyle 176=2\times 88=2\times 2\times 2\times 2\times 11$, & que $\scriptstyle 77=7\times 11$ ; donc 11 est le plus grand commun diviseur, & ainsi des autres. En général soient a, b, c, tous les diviseurs simples ou premiers d’un nombre a$^3$ b$^2$ c, & c, b, f, tous ceux d’un nombre b$^4$ c$^2$ f$^3$, on aura pour diviseur commun b$^2$ c.
Deux nombres premiers (voyez Nombre premier) ou deux nombres, dont l’un est premier, ne sauroient avoir de commun diviseur plus grand que l’unité : cela est évident par la définition des nombres premiers, & par la regle des communs diviseurs. Donc une fraction composée de deux nombres premiers $\scriptstyle {\frac {a}{b}}$, est réduite à sa plus simple expression. Donc le produit ac de deux nombres premiers différens de b ne peut se diviser exactement par b ; car si on avoit $\scriptstyle {\frac {ac}{b}}=m$, on auroit $\scriptstyle {\frac {a}{b}}={\frac {m}{c}}$ ; ce qui ne se peut. En effet il faudroit pour cela que b & c eussent un commun diviseur, ce qui est contre l’hypothèse. On prouvera de même que $\scriptstyle {\frac {ac}{b}}$ ne sauroit se réduire ; car on auroit $\scriptstyle {\frac {ac}{b}}={\frac {m}{g}}$, g ayant un diviseur commun avec b ; on prouvera de même encore que $\scriptstyle {\frac {ac}{bd}}$, d étant un nombre premier, ne sauroit se réduire ; car on auroit $\scriptstyle {\frac {ac}{bd}}={\frac {mh}{gh}}$ : donc bd produit de deux nombres premiers, seroit égal au produit de deux autres nombres g, h, & par conséquent on auroit $\scriptstyle {\frac {b}{g}}={\frac {h}{d}}$, quoique b d’une part & d de l’autre, soient des nombres premiers : ce qui ne se peut ; car on vient de voir que toute fraction, dont un des termes est un nombre premier, est réduite à la plus simple expression. On prouvera de même que $\scriptstyle {\frac {abc}{hd}}$, c étant nombre premier, ne peut se réduire ; & en général qu’un produit de nombres premiers quelconques, divisé par un produit d’autres nombres premiers quelconques, ne peut se réduire à une expression plus simple. Voyez les conséquences de cette proposition aux mots Fraction & Incommensurable.
Il y a des fractions telles que $\scriptstyle {\frac {5}{15}}$, $\scriptstyle {\frac {3}{12}}$, &c. dont le numérateur est un nombre premier, & se divise exactement par le dénominateur ; mais comme elles se réduisent à une fraction dont le numérateur est l’unité, il est aisé de voir qu’il ne s’agit point ici de ces fractions, & que la démonstration précédente n’en subsiste pas moins. Voyez Fraction.
A l’égard de la méthode par laquelle on trouve le plus grand diviseur commun de deux quantités algébriques, elle est la même pour le fond que celle par laquelle on trouve le plus grand diviseur commun de deux nombres. On la trouvera expliquée dans l’analyse démontrée & dans la science du calcul du P. Reyneau. Elle est utile sur-tout pour réduire différentes équations à une seule inconnue. Voyez Evanouissement des inconnues. (O)
* Diviseur, (Hist. anc.) gens qui se chargeoient dans les élections de corrompre les tribus & d’acheter les suffrages. Le mépris public étoit la seule punition qu’ils eussent à supporter.