# L’Encyclopédie/1re édition/CAS

CAS, s. m. (terme de Grammaire) ce mot vient du latin casus, chûte, rac. cadere, tomber. Les cas d’un nom sont les différentes inflexions ou terminaisons de ce nom ; l’on a regardé ces terminaisons comme autant de différentes chûtes d’un même mot. L’imagination & les idées accessoires ont beaucoup de part aux dénominations, & à bien d’autres sortes de pensées ; ainsi ce mot cas est dit ici dans un sens figuré & métaphorique. Le nominatif, c’est-à-dire, la premiere dénomination tombant, pour ainsi dire, en d’autres terminaisons, fait les autres cas qu’on appelle obliques. Nominativus sive rectus, cadens à suâ terminatione in alias, facit obliques casus. Prisc. liv. v. de casu.
Ces terminaisons sont aussi appellées désinances ; mais ces mots terminaison, desinance, sont le genre. Cas est l’espece, qui ne se dit que des noms ; car les verbes ont aussi des terminaisons différentes, j’aime, j’aimois, j’aimerai, &c. Cependant on ne donne le nom de cas, qu’aux terminaisons des noms, soit au singulier, soit au pluriel. Pater, patris, patri, patrem, patre ; voilà toutes les terminaisons de ce mot au singulier, en voilà tous les cas, en observant seulement que la premiere terminaison pater, sert également pour nommer & pour appeller.
Les noms Hébreux n’ont point de cas, ils sont souvent précédés de certaines prépositions qui en font connoître les rapports : souvent aussi c’est le sens, c’est l’ensemble des mots de la phrase qui, par le méchanisme des idées accessoires & par la considération des circonstances, donne l’intelligence des rapports des mots ; ce qui arrive aussi en latin à l’égard des noms indéclinables, tels que fas & nefas, cornu, &c. Voyez la Grammaire Hébraïque de Masclef, tom. I. c. 2. n. 6.
Les Grecs n’ont que cinq cas, nominatif, genitif, datif, accusatif, vocatif : mais la force de l’ablatif est souvent rendue par le genitif, & quelquefois par le datif. Ablativi formâ Græci carent, non vi, quæ genitivo & aliquando dativo refertur. Caninii Hellenismi, Part. orat. p. 87.
Les latins ont six cas, tant au singulier qu’au pluriel, nominatif, genitif, datif, accusatif, vocatif, ablatif. Nous avons déjà parlé de l’ablatif & de l’accusatif ; il seroit inutile de repéter ici ce que nous disons en particulier de chacun des autres cas : on peut le voir en leur rang.
Il suffira de dire ici un mot du nom de chaque cas.
Le premier, c’est le nominatif ; il est appellé cas par extension, & parce qu’il doit se trouver dans la liste des autres terminaisons du nom ; il nomme, il énonce l’objet dans toute l’étendue de l’idée qu’on en a sans aucune modification ; & c’est pour cela qu’on l’appelle aussi le cas direct, rectus : quand un nom est au nominatif, les Grammairiens disent qu’il est in recto.
Le genitif est ainsi appellé, parce qu’il est pour ainsi dire le fils-aîné du nominatif, & qu’il sert ensuite plus particulierement à former les cas qui le suivent ; ils en gardent toûjours la lettre caractéristique ou figurative, c’est-à-dire celle qui précéde la terminaison propre qui fait la différence des déclinaisons : par ex. is, i, em ou im, e ou i, sont les terminaisons des noms de la troisieme déclinaison des latins au singulier. Si vous avez à décliner quelqu’un de ces noms, gardez la lettre qui précédera is au genitif : par ex. nominatif rex, c’est-à-dire regs, genitif reg-is, ensuite reg-i, reg-em, reg-e, & de même au pluriel reg-es, reg-um, reg-ibus. Genitivus naturale vinculum generis possidet ; nascitur quidem à nominativo, generat autem omnes obliquos sequentes. (Prisc. liv. V. de Casu.)
Le datif sert à marquer principalement le rapport d’attribution, le profit, le dommage, par rapport à quoi, le pourquoi, finis cui.
L’accusatif accuse, c’est-à-dire déclare l’objet, ou le terme de l’action que le verbe signifie : on le construit aussi avec certaines prépositions & avec l’infinitif. Voyez Accusatif.
Le vocatif sert à appeller ; Priscien l’appelle aussi salutatorius, vale domine ; bon jour monsieur, adieu monsieur.
L’ablatif sert à ôter avec le secours d’une préposition. Nous en avons parlé fort au long. Voyez Ablatif.
Il ne faut pas oublier la remarque judicieuse de Priscien : « Chaque cas, dit-il, a plusieurs usages ; mais les dénominations se tirent de l’usage le plus connu & le plus fréquent. » Multas alias quoque & diversas unusquisque casus habet significationes, sed à notioribus & frequentioribus acceperunt nominationem, sicut in aliis quoque multis hoc invernimus. Prisc. l. V. de Casu.
Quand on dit de suite & dans un certain ordre toutes les terminaisons d’un nom, c’est ce qu’on appelle décliner : c’est encore une métaphore ; on commence par la premiere terminaison d’un nom, ensuite on descend, on décline, on va jusqu’à la derniere.
Les anciens Grammairiens se servoient également du mot décliner, tant à l’égard des noms qu’à l’égard des verbes : mais il y a long-tems que l’on a consacré le mot de décliner aux noms ; & que lorsqu’il s’agit de verbes, on dit conjuguer, c’est-à-dire ranger toutes les terminaisons d’un verbe dans une même liste, & tous de suite, comme sous un même joug ; c’est encore une métaphore.
Il y a en Latin quelques mots qui gardent toûjours la terminaison de leur premiere dénomination : on dit alors que ces mots sont indéclinables ; tels sont fas, nefas, cornu, au singulier, &c. Ainsi ces mots n’ont point de cas.
Cependant quand ces mots se trouvent dans une phrase ; comme lorsqu’Horace a dit, fas atque nefas exiguo fine libidinum discernunt avidi. L. I. od. xviij. v. 10. Et ailleurs : & peccare nefas, aut pretium est mori. L. III. od. iv. v. 24. Et Virgile : jam cornu petat. Ecl. ix. v. 57. Cornu ferit ille, caveto. Ecl. ix. v. 25. alors le sens, c’est-à-dire l’ensemble des mots de la phrase fait connoître la relation que ces mots indéclinables ont avec les autres mots de la même proposition, & sous quel rapport ils y doivent être considérés.
Ainsi dans le premier passage d’Horace je vois bien que la construction est, illi avidi discernunt fas & nefas. Je dirai donc que fas & nefas sont le terme de l’action ou l’objet de discernunt, &c. Si je dis qu’ils sont à l’accusatif, ce ne sera que par extension & par analogie avec les autres mots latins qui ont des cas, & qui en une pareille position auroient la terminaison de l’accusatif. J’en dis autant de cornu ferit ; ce ne sera non plus que par analogie qu’on pourra dire que cornu est là à l’ablatif ; & l’on ne diroit ni l’un ni l’autre, si les autres mots de la langue Latine étoient également indéclinables.
Je fais ces observations pour faire voir, 1°. que ce sont les terminaisons, seules, qui par leur variété constituent les cas, & doivent être appellées cas : ensorte qu’il n’y a point de cas, ni par conséquent de déclinaison dans les langues où les noms gardent toûjours la terminaison de leur premiere dénomination ; & que lorsque nous disons un temple de marbre, ces deux mots de marbre, ne sont pas plus un génitif que les mots Latins de marmore, quand Virgile a dit, templum de marmore, Georg. L. III. v. 13. & ailleurs : ainsi à & de ne marquent pas plus des cas en François que par, pour, en, sur, &c. Voyez Article.
2°. Le second point qui est à considérer dans les cas, c’est l’usage qu’on en fait dans les langues qui ont des cas.
Ainsi il faut bien observer la destination de chaque terminaison particuliere : tel rapport, telle vûe de l’esprit est marquée par tel cas, c’est-à-dire par telle terminaison.
Or ces terminaisons supposent un ordre dans les mots de la phrase, c’est l’ordre successif des vûes de l’esprit de celui qui a parlé ; c’est cet ordre qui est le fondement des relations immédiates des mots de leurs enchaînemens & de leurs terminaisons. Pierre bat Paul ; moi aimer toi, &c. On va entendre ce que je veux dire.
Les cas ne sont en usage que dans les langues où les mots sont transposés, soit par la raison de l’harmonie, soit par le feu de l’imagination, ou par quelqu’autre cause.
Or quand les mots sont transposés, comment puis-je connoître leurs relations ?
Ce sont les différentes terminaisons, ce sont les cas qui m’indiquent ces relations ; & qui lorsque la phrase est finie, me donnent le moyen de rétablir l’ordre des mots, tel qu’il a été nécessairement dans l’esprit de celui qui a parlé lorsqu’il a voulu énoncer sa pensée par des mots : par exemple ;
Frigidus agricolam si quando continet imber.
Je ne puis pas douter que lorsque Virgile a fait ce vers, il n’ait joint dans son esprit l’idée de frigidus à celle d’imber ; puisque l’un est le substantif, & l’autre l’adjectif. Or le substantif & l’adjectif sont la chose même ; c’est l’objet considéré comme tel : ainsi l’esprit ne les a point séparés.
Cependant voyez combien ici ces deux mots sont éloignés l’un de l’autre : frigidus commence le vers, & imber le finit.
Les terminaisons font que mon esprit rapproche ces deux mots, & les remet dans l’ordre des vûes de l’esprit, relatives à l’élocution ; car l’esprit ne divise ainsi ses pensées que par la nécessité de l’énonciation.
Comme la terminaison de frigidus me fait rapporter cet adjectif à imber, de même voyant qu’agricolam est à l’accusatif, j’apperçois qu’il ne peut avoir de rapport qu’avec continet : ainsi je range ces mots selon leur ordre successif, par lequel seul ils font un sens, si quando imber frigidus continet domi agricolam. Ce que nous disons ici est encore plus sensible dans ce vers.
Aret ager, vitio, moriens, sitit, aeris, herba.
Ces mots ainsi séparés de leurs corrélatifs, ne font aucun sens.
Est sec, le champ, vice, mourant, a soif, de l’air, l’herbe : mais les terminaisons m’indiquent les corrélatifs, & dès-lors je trouve le sens. Voilà le vrai usage des cas.
Ager aret, herba moriens sitit præ vitio aeris. Ainsi les cas sont les signes des rapports, & indiquent l’ordre successif, par lequel seul les mots font un sens. Les cas n’indiquent donc le sens que relativement à cet ordre ; & voilà pourquoi les langues, dont la syntaxe suit cet ordre, & ne s’en écarte que par des inversions légeres aisées à appercevoir, & que l’esprit rétablit aisément ; ces langues, dis-je, n’ont point de cas ; ils y seroient inutiles, puisqu’ils ne servent qu’à indiquer un ordre que ces langues suivent ; ce seroit un double emploi. Ainsi si je veux rendre raison d’une phrase Françoise ; par exemple de celle-ci, le Roi aime le peuple, je ne dirai pas que le Roi est au nominatif, ni que le peuple est à l’accusatif ; je ne vois en l’un ni en l’autre mot qu’une simple dénomination, le Roi, le peuple : mais comme je sai par l’usage l’analogie & la syntaxe de ma langue, la simple position de ces mots me fait connoître leurs rapports & les différentes vûes de l’esprit de celui qui a parlé.
Ainsi je dis 1°. que le Roi paroissant le premier est le sujet de la proposition, qu’il est l’agent, que c’est la personne qui a le sentiment d’aimer.
2°. Que le peuple étant énoncé après le verbe, le peuple est le complément d’aime : je veux dire que aime tout seul ne feroit pas un sens suffisant, l’esprit ne seroit pas satisfait. Il aime : hé quoi ? le peuple. Ces deux mots aime le peuple, font un sens partiel dans la proposition. Ainsi le peuple est le terme du sentiment d’aimer ; c’est l’objet, c’est le patient. C’est l’objet du sentiment que j’attribue au Roi. Or ces rapports sont indiqués en François par la place ou position des mots, & ce même ordre est montré en Latin par les terminaisons.
Qu’il me soit permis d’emprunter ici pour un moment le style figuré. Je dirai donc qu’en Latin l’harmonie ou le caprice accordent aux mots la liberté de s’écarter de la place que l’intelligence leur avoit d’abord marquée. Mais ils n’ont cette permission qu’à condition qu’après que toute la proposition sera finie, l’esprit de celui qui lit ou qui écoute les remettra par un simple point de vûe dans le même ordre où ils auront été d’abord, dans l’esprit de celui qui aura parlé.
Amusons-nous un moment à une fiction. S’il plaisoit à Dieu de faire revivre Cicéron, de nous en donner la connoissance, & que Dieu ne donnât à Cicéron que l’intelligence des mots François, & nullement celle de notre syntaxe, c’est-à-dire de ce qui fait que nos mots assemblés & rangés dans un certain ordre font un sens : je dis que si quelqu’un disoit à Cicéron : illustre Romain, après votre mort Auguste vainquit Antoine. Cicéron entendroit chacune de ces paroles en particulier, mais il ne connoîtroit pas quel est celui qui a été le vainqueur, ni celui qui a été vaincu ; il auroit besoin de quelques jours d’usage, pour apprendre parmi nous que c’est l’ordre des mots, leur position, & leur place, qui est le signe principal de leurs rapports.
Or, comme en Latin il faut que le mot ait la terminaison destinée à sa position, & que sans cette condition la place n’influe en rien pour faire entendre le sens, Augustus vicit Antonius, ne veut rien dire en Latin. Ainsi Auguste vainquit Antoine, ne formeroit d’abord aucun sens dans l’esprit de Cicéron ; parce que l’ordre successif ou significatif des vûes de l’esprit n’est indiqué en Latin que par les cas ou terminaisons des mots : ainsi il est indifférent pour le sens de dire Antonium vicit Augustus, ou Augustus vicit Antonium. Cicéron ne concevroit donc point le sens d’une phrase, dont la syntaxe lui seroit entierement inconnue. Ainsi il n’entendroit rien à Auguste vainquit Antoine ; ce seroit-là pour lui trois mots qui n’auroient aucun signe de rapport. Mais reprenons la suite de nos réflexions sur les cas.
Il y a des langues qui ont plus de six cas, & d’autres qui en ont moins. Le P. Galanus, Théatin, qui avoit demeuré plusieurs années chez les Arméniens, dit qu’il y a dix cas dans la langue Arménienne. Les Arabes n’en ont que trois.
Nous avons dit qu’il y a dans une langue & en chaque déclinaison autant de cas, que de terminaisons différentes dans les noms ; cependant le génitif & le datif de la premiere déclinaison des Latins, sont semblables au singulier. Le datif de la seconde est aussi terminé comme l’ablatif : il semble donc qu’il ne devroit y avoir que cinq cas en ces déclinaisons. Mais 1°. il est certain que la prononciation de l’a au nominatif de la premiere déclinaison, étoit différente de celle de l’a à l’ablatif : le premier est bref, l’autre est long.
2°. Le génitif fut d’abord terminé en ai, d’où l’on forma æ pour le datif. In primâ declinatione dictum olim mensai, & hinc deinde formatum in dativo mensæ. Perizonius in Sanctii Minervâ, L. I. c. vj. n. 4.
3°. Enfin l’analogie demande cette uniformité de six cas dans les cinq déclinaisons, & alors ceux qui ont une terminaison semblable, sont des cas par imitation avec les cas des autres terminaisons, ce qui rend uniforme la raison des constructions : casus sunt non vocis, sed significationis, nec non etiam structuræ rationem servamus. Prise. L. V. de Casu.
Les rapports qui ne sont pas indiqués par des cas en Grec, en Latin, & dans les autres langues qui ont des cas, ces rapports, dis-je, sont suppléés par des prépositions, clam patrem. Teren. Hecy. Act. III. sc. iij. v. 36
Ces prépositions qui précedent les noms équivalent à des cas pour le sens, puisqu’elles marquent des vûes particulieres de l’esprit ; mais elles ne font point des cas proprement dits, car l’essence du cas ne consiste que dans la terminaison du nom, destinée à indiquer une telle relation particuliere d’un mot à quelqu’autre mot de la proposition. (F)
Cas irréductible du troisiéme degré, ou simplement Cas irréductible (en Analyse) c’est celui où une équation du troisieme degré a ses trois racines réelles, inégales & incommensurables. Dans ce cas, si on résout l’équation par la méthode ordinaire, la racine quoique réelle, se présente sous une forme qui renferme des quantités imaginaires, & l’on n’a pû jusqu’à présent réduire cette expression à une forme réelle, en chassant les imaginaires qu’elle contient. Voyez Réel, Imaginaire, &c. Entrons sur ce sujet dans quelque détail.
Soit $\scriptstyle x^{3}+qx+r=0$ une équation du troisieme degré, dans laquelle le second terme est évanoüi. Voyez Evanouissement, Equation & Transformation, &c. Pour la résoudre, je fais $\scriptstyle x=y+z$, & j’ai $\scriptstyle x^{3}=y^{3}+3yyz+3zyy+z^{3}=y^{3}+3yzx+z^{3}$ ;
| donc $\scriptstyle x^{3}-3yzx$ | $\scriptstyle -y^{3}=0$ |
| | $\scriptstyle -z^{3}=0$ |
Cette équation étant comparée terme à terme avec $\scriptstyle x^{3}+qx+r=0$, on aura, 1°. $\scriptstyle -3yz=q$, ou $\scriptstyle z=-{\frac {q}{3y}}$ ; 2°. $\scriptstyle y^{3}+z^{3}=-r$, ou $\scriptstyle y^{3}+r=-{\frac {q^{3}}{27y^{2}}}$ ; ou $\scriptstyle y^{6}+ry^{3}=-{\frac {q^{3}}{27}}$.
Cette équation, qu’on peut regarder comme du second degré, (Voyez Abaissement) étant résolue à la maniere ordinaire, (Voyez Equation) donne $\scriptstyle y^{3}=-{\frac {r}{2}}\pm \textstyle {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}$. Donc à cause de $\scriptstyle z^{3}=-r-y^{3}$, on aura $\scriptstyle z^{3}=-{\frac {r}{2}}\mp \textstyle {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}$ ; donc x ou $\scriptstyle y+z=\textstyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}$. Telle est la forme de la valeur de x. Cela posé,
1°. Il est évident que si q est positif, r étant positif ou négatif, cette forme est réelle, puisqu’elle ne contient que des quantités réelles. Or dans ce cas, comme on le verra à l’article Equation, deux des racines sont imaginaires. Ainsi la seule racine réelle se trouve exprimée par une formule qui ne contient que des quantités réelles. Ce cas ne tombe donc point dans le cas irréductible, & n’a aucune difficulté.
2°. Si q est négatif, & que $\scriptstyle {\frac {r^{2}}{4}}={\frac {q^{3}}{27}}$, alors l’équation a deux racines égales, & il n’y a encore aucune difficulté.
3°. Si q est négatif & $\scriptstyle {\frac {r^{2}}{4}}>{\frac {q^{3}}{27}}$, il y a deux racines imaginaires, & la racine réelle se trouve représentée par une formule toute réelle ; ce qui n’a point de difficulté non plus.
4°. Mais si q est négatif & que $\scriptstyle {\frac {r^{2}}{4}}<{\frac {q^{3}}{27}}$, alors $\scriptstyle -{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}$ est une quantité négative, & par conséquent $\textstyle {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}$ est imaginaire. Ainsi l’expression de x renferme alors des imaginaires.
Cependant on démontre en Algebre, que dans ce cas les trois racines sont réelles & inégales. On peut en voir la preuve à la fin de cet article. Comment donc peut-il se faire que la racine x se présente sous une forme qui contienne des imaginaires ?
M. Nicole a le premier résolu cette difficulté (Mém. acad. 1738.) Il a fait voir que l’expression de x, quoiqu’elle contienne des imaginaires, est en effet réelle. Pour le prouver, soit $\textstyle {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}\scriptstyle =b{\sqrt {-1}}$, & $\scriptstyle {\frac {r}{2}}=a$ on aura $\scriptstyle x={\sqrt[{3}]{a+b{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{3}]{a-b{\sqrt {-1}}}}$. Il s’agit de montrer que cette expression, quoiqu’elle renferme des imaginaires, représente une quantité réelle. Pour cela, soit formée suivant les regles données à l’article Binome, une série qui exprime la valeur de $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{a+b{\sqrt {-1}}}}$ ou $\scriptstyle {\overline {a+b{\sqrt {-1}}}}^{\frac {1}{3}}$ & celle de $\scriptstyle {\overline {a-b{\sqrt {-1}}}}^{\frac {1}{3}}$, on trouvera après avoir ajoûté ensemble ces deux séries, que tous les termes imaginaires se détruiront, & qu’il ne restera qu’une suîte infinie de termes composés de quantités toutes réelles. Ainsi la valeur de x est en effet réelle. La difficulté est de sommer cette série ; c’est à quoi on n’a pû parvenir jusqu’à présent. Cependant M. Nicole l’a sommée dans quelques cas particuliers, qu’il a par conséquent soustraits, pour ainsi dire, au cas irréductible. Voyez les Mem. acad. 1738, & suiv.
Lorsque l’une des trois équations réelles & inégales est commensurable, alors l’équation n’est plus dans le cas irréductible, parce que l’un des diviseurs du dernier terme donne la racine commensurable. Voyez Diviseur & Racine.
Mais quand l’équation est incommensurable, il faut, pour trouver l’expression réelle de la racine, ou sommer la série susdite, ou dégager de quelqu’autre maniere l’expression trouvée, de la forme imaginaire qui la défigure pour ainsi dire. C’est à quoi on travaille inutilement depuis deux cents ans.
Cette racine du cas irréductible, si difficile à trouver par l’Algebre, se trouve aisément par la Géométrie. Voyez Construction. Mais quoiqu’on ait sa valeur linéaire, on n’en est pas plus avancé pour son expression algébrique. V. Incommensurable.
Cet inconvénient du cas irréductible vient de la méthode qu’on a employée jusqu’ici pour résoudre les équations du troisieme degré ; méthode imparfaite, mais la seule qu’on ait pû trouver jusqu’à présent. Voici en quoi consiste l’imperfection de cette méthode. On suppose x = y + z, y & z étant deux quantités indéterminées ; ensuite on a tout à la fois
| $\scriptstyle x^{3}-3yzx$ | $\scriptstyle -y^{3}=0$, & $\scriptstyle x^{3}+qx+r=0$ |
| | $\scriptstyle -z^{3}=0$ |
On compare ces équations terme à terme, & cette comparaison terme à terme enferme une supposition tacite, qui amene la forme irréductible sous laquelle x est exprimée ; à la rigueur on a $\scriptstyle qx+r=-3yzx-y^{3}-z^{3}$ ; voilà la seule conséquence rigoureuse qu’on puisse tirer de la comparaison des deux équations : mais outre cela on veut encore supposer que la premiere partie de qx + r, c’est-à-dire qx soit égale à -3yzx, premiere partie du second membre. Cette supposition n’est point absolue ni rigoureusement nécessaire, on ne la fait que pour parvenir plus aisément à trouver la valeur de y & de z, qu’on ne pourroit pas trouver sans cela ; d’ailleurs comme y & z sont l’une & l’autre indéterminées, on peut supposer $\scriptstyle -3yzx=qx$ & $\scriptstyle -y^{3}-z^{3}=r$. Mais cette supposition même fait que les deux quantités y & z, au lieu d’être réelles comme elles devroient, se trouvent chacune imaginaires. Il est vrai qu’en les ajoûtant ensemble, leur somme est réelle : mais l’imaginaire qui s’y trouve toûjours, & qu’on ne peut en chasser, rend inutile l’expression de x qui s’en tire.
En un mot, l’équation x = y + z ne donne à la rigueur que cette équation $\scriptstyle qx+r=-3yzx-y^{3}-z^{3}$ ou $\scriptstyle qy+qz+r=-3yyz-3yzz-y^{3}-z^{3}$ ; & toutes les fois que l’on voudra de cette équation en faire deux autres particulieres, on fera une supposition tacite qui pourra entrainer des inconvéniens impossibles à éviter, comme il arrive ici, où y & z se trouvent forcément imaginaires.
Il faudroit voir si par quelque moyen on ne pourroit pas couper l’équation susdite en deux autres, qui donnassent à y & à z une forme réelle & facile à trouver : mais cette opération paroît devoir être fort difficile, si elle n’est pas impossible.
J’ai fait voir dans les Mémoires de l’Academie des Sciences de Prusse de 1746, que l’on pouvoit toûjours trouver par la trisection d’un arc de cercle, une quantité $\scriptstyle c+c{\sqrt {-1}}$, égale à la racine cube de $\scriptstyle a+b{\sqrt {-1}}$ ; & que si $\scriptstyle c+c{\sqrt {-1}}={\sqrt[{3}]{a+b{\sqrt {-1}}}}$, on a $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{a-b{\sqrt {-1}}}}=c-c{\sqrt {-1}}$. V. Imaginaire. D’où il s’ensuit que dans les cas où un arc de cercle peut être divisé géométriquement, c’est-à-dire, par la regle & le compas, en trois parties égales, on peut assigner la valeur algébrique de c & de e : ce qui pourroit fournir des vûes pour résoudre en quelques occasions des équations du troisieme degré qui tomberoient dans le cas irréductible. Voyez le Mémoire que j’ai cité.
Quoi qu’il en soit, la racine étant incommensurable dans le cas irréductible, l’expression réelle de cette racine, quand on la trouveroit, n’empêcheroit pas de recourir aux approximations. Nous avons donné à l’article Approximation la méthode générale pour approcher de la racine d’une équation, & nous y avons indiqué les auteurs qui ont donné des méthodes particulieres d’approximation pour le cas irréductible. Voyez aussi Cascade.
Puisque nous en sommes sur cette matiere des équations du troisieme degré, nous croyons qu’on ne nous saura pas mauvais gré de faire ici quelques remarques nouvelles qui y ont rapport, & dont nos lecteurs pourront tirer de l’utilité.
On sait que toute équation du troisieme degré a trois racines. Il faudroit donc, pour résoudre d’une maniere complette une équation du troisieme degré, trouver une méthode qui fît trouver à la fois les trois racines, comme on trouve à la fois les deux racines d’une équation du second degré. Jusqu’à ce qu’on ait trouvé cette méthode, il y a bien de l’apparence que la théorie des équations du troisieme degré restera imparfaite : mais la trouvera-t-on, cette méthode ? c’est ce que nous n’osons ni nier ni prédire.
Examinons présentement de plus près la méthode dont on se sert pour trouver les racines d’une équation du troisieme degré. On a d’abord une équation du sixieme degré y$^6$, &c. telle qu’on l’a vûe ci-dessus, & qui a par conséquent six racines, qu’on peut aisément prouver être toutes inégales : on a ensuite une équation du troisieme degré $\scriptstyle z^{3}=-y^{3}-r$ ; & comme y$^3$ a deux valeurs différentes à cause de l’équation $\scriptstyle y^{6}+ry^{3}$, &c. = 0, & que z est élevé au troisieme degré, il s’ensuit que cette équation doit donner aussi six valeurs différentes de z, trois pour chaque valeur de y$^3$ ; or chacune des six valeurs de z étant combinée avec chacune des six valeurs de y, on aura trente-six valeurs différentes pour z + y ; donc x paroît avoir trente-six valeurs différentes. Cependant l’équation étant du troisieme degré, x ne doit avoir que trois valeurs : comment accorder tout cela ?
Je réponds d’abord que les trente-six valeurs prétendues de y + z doivent se réduire à dix-huit ; en effet, il ne faut pas combiner indifféremment chaque valeur de z avec toutes les valeurs de y, mais seulement avec les valeurs de y qui correspondent à la valeur qu’on a supposée à y$^3$. Par exemple, on a $\scriptstyle y^{3}=-{\frac {r}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}$, d’où l’on tire $\scriptstyle z^{3}=-{\frac {r}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}$ ; le signe + qui précede le signe radical dans la valeur de y$^3$, répond au signe − qui précede le signe radical dans la valeur de z$^3$, & le signe − au signe + ; ce qui est évident, puisque $\scriptstyle z^{3}=-r-y^{3}$ : donc pour chacune des trois valeurs de y qui répondent au signe + placé devant le signe radical, il y a trois valeurs de z qui répondent au signe − placé devant le signe radical, ce qui fait neuf valeurs de y + z ; & en y ajoûtant les neuf autres valeurs pour le cas du signe − placé avant le signe radical dans l’expression de y$^3$, cela fait dix-huit au lieu de 36 qu’on auroit eu en combinant indifféremment les signes. Mais ce n’est pas tout.
Quoique chacune des valeurs de y & de z, employées & combinées comme on vient de le prescrire, paroisse donner une valeur de y + z, il faut encore rejetter celles dans lesquelles le produit zy ne sera pas égal à $\scriptstyle {\frac {-q}{3}}$ ; car c’est une des conditions de la solution, comme on l’a vû plus haut, que $\scriptstyle -3zy=q$ ; il est vrai que les dix-huit valeurs de y & z satisfont à la condition que $\scriptstyle -27y^{3}z^{3}=q^{3}$. Mais cette condition $\scriptstyle -27y^{3}z^{3}=q^{3}$ est beaucoup plus étendue que la condition $\scriptstyle -3zy=q$, quoique d’abord elle paroisse la même. Par exemple, $\scriptstyle u=b$ ne donne qu’une valeur de u : mais $\scriptstyle u^{3}=b^{3}$ donne trois valeurs de u. Pour le prouver, soit $\scriptstyle u^{3}-b^{3}=0$, & divisons par $\scriptstyle u-b$, il viendra $\scriptstyle uu+bu+bb=0$, ce qui donne $\scriptstyle u=-{\frac {b}{2}}\pm \textstyle {\sqrt {\left({\frac {3bb}{4}}\right)}}$, ainsi $\scriptstyle u^{3}=b^{3}$ donne $\scriptstyle u=b$, $\scriptstyle u=b\times \left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)$ & $\scriptstyle u=b\times \left(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)$. Donc quoique dans les dix-huit valeurs de $\scriptstyle y+z$ on ait $\scriptstyle 27y^{3}z^{3}=-q^{3}$, il ne faut prendre que celles où $\scriptstyle 3yz=-q$. Cela posé.
Soient ces quatre équations :
| I. | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle y^{3}=-{\frac {r}{2}}+\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$ |
| II. | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle z^{3}=-{\frac {r}{2}}-\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}-{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$ |
| III. | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle y^{3}=-{\frac {r}{2}}-\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$ |
| IV. | $\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\end{matrix}}\right.$ | $\scriptstyle z^{3}=-{\frac {r}{2}}+\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$ |
Et soit $\scriptstyle a+b{\sqrt {-1}}=$ à la racine cubique de $\scriptstyle -{\frac {r}{2}}+\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$, on aura $\scriptstyle a-b{\sqrt {-1}}=$ à la racine de $\scriptstyle -{\frac {r}{2}}+\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$, ce qui donnera :
1. $\scriptstyle y=a+b{\sqrt {-1}}$
2. $\scriptstyle y=(a+b{\sqrt {-1}})\left(-{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}\right)$
3. $\scriptstyle y=(a+b{\sqrt {-1}})\left(-{\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}\right)$
4. $\scriptstyle z=a-b{\sqrt {-1}}$
5. $\scriptstyle z=(a-b{\sqrt {-1}})\left(-{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}\right)$
6. $\scriptstyle z=(a-b{\sqrt {-1}})\left(-{\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}\right)$
Sont les mêmes que de la seconde.
Sont les mêmes que de la premiere.
Donc, 1°. la combinaison des racines de la troisieme équation avec celles de la quatrieme, donnera le même résultat que celle des racines des deux premieres.
2°. Il ne faudra combiner ensemble que les valeurs de y & de z, & dont le produit sera $\scriptstyle {\frac {q}{3}}$, c’est-à-dire aa + bb ; car $\scriptstyle a+b{\sqrt {-1}}$ étant = à $\textstyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}-{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}$ & $\scriptstyle a-b{\sqrt {-1}}=$ $\textstyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}-{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}$ on aura $\scriptstyle aa+bb={\sqrt[{3}]{-{\frac {q^{3}}{27}}}}=-{\frac {q}{3}}$, D’où il s’ensuit,
3°. Qu’il faudra combiner la racine marquée (1) avec la racine marquée (4), ce qui donnera y=2a.
4°. Qu’il faudra combiner la racine marquée (2) avec la racine marquée (6), ce qui donnera $\scriptstyle -a+b{\sqrt {3}}$.
5°. Qu’il faudra combiner la racine marquée (3) avec la racine marquée (5), ce qui donnera $\scriptstyle -a-b{\sqrt {3}}$.
Voilà les trois racines de l’équation, & il est visible, par les regles que nous avons établies, que toutes les autres valeurs de y + z donneroient des expressions fausses de la racine x ; & que toutes les trois racines sont ici réelles.
On peut trouver aisément par la même méthode les trois valeurs de x dans tout autre cas que le cas irréductible. Par exemple, si q est positif, ou si q est négatif & < ou = $\scriptstyle {\frac {r^{2}}{4}}$, alors il faudra supposer $\textstyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}\scriptstyle =a+b$, & $\textstyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}\scriptstyle =a-b$ ; & l’on trouvera en ce cas une racine réelle & deux imaginaires, ou une racine réelle & deux autres réelles, égales entr’elles. C’est ce qu’il est inutile d’expliquer plus en détail : il ne faut pour s’en convaincre, que faire un calcul semblable à celui que nous avons fait pour trouver les trois racines dans le cas irréductible. (O)
Cas, en terme de Palais, se dit de certaines natures d’affaires, de délits ou de crimes. Ainsi les cas royaux sont ceux dont les seuls juges royaux connoissent : tels sont en matiere criminelle la fausse monnoie, le rapt, le port d’armes, la sédition, l’infraction de sauve-garde, & quelques autres. Pour le crime de lese-majesté, qui est aussi un des cas royaux, la connoissance en appartient exclusivement au parlement, du moins au premier chef. En matiere civile, le possessoire des bénéfices, les causes du domaine du Roi, les procès concernant les églises de fondation royale, & en général tous les délits où le Roi a quelqu’intérêt en sa qualité de Roi, voyez Royal ; voyez aussi la Conférence des nouvelles ordonnances au titre premier des matieres criminelles, où plusieurs autres cas royaux sont rapportés.
Il y a aussi des cas qu’on appelle prevôtaux, d’autres qu’on appelle cas privilégiés. Voyez Prevotal & Privilégié.
Il y en a enfin qu’on appelle ecclésiastiques, parce que les seuls juges d’église en peuvent connoître. (H)
* Cas de conscience, (Morale.) Qu’est-ce qu’un cas de conscience ? c’est une question relative aux devoirs de l’homme & du chrétien, dont il appartient au théologien, appellé casuiste, de peser la nature & les circonstances, & de décider selon la lumiere de la raison, les lois de la société, les canons de l’Eglise, & les maximes de l’Evangile ; quatre grandes autorités qui ne peuvent jamais être en contradiction. Voyez Casuiste.
Nous sommes chrétiens par la croyance des vérités révélées, & par la pratique des maximes évangéliques. Nous faisons à Dieu le sacrifice de notre raison par la foi, & nous lui faisons le sacrifice de nos penchans par la mortification : ces deux branches de l’abnégation de soi-même sont également essentielles au Salut : mais l’infraction n’en est peut-être pas également funeste à la société ; & c’est une chose encore à savoir, si ceux qui attaquent les dogmes d’une religion, sont aussi mauvais citoyens que ceux qui en corrompent la Morale.
Il semble au premier coup d’œil que le poison des Corrupteurs de la morale, soit fait pour plus de monde que celui des impies. La dépravation des mœurs est un effet direct de celle des principes moraux ; au lieu qu’elle n’est qu’une suite moins prochaine de l’irreligion ; mais suite toutefois presqu’infaillible, ainsi qu’un de nos plus grands orateurs, le P. Bourdaloue, l’a bien démontré. L’incrédule est d’ailleurs quelquefois un homme, qui las de chercher inutilement dans les sources communes & les conversations ordinaires, le rayon de lumiere qui devoit rompre l’écaille de ses yeux, s’est adressé au public, en a reçû les éclaircissemens dont il avoit besoin, a abjuré son erreur, & a évité le plus grand de tous les malheurs, la mort dans l’impénitence : c’est un homme qui s’est exposé à nuire à beaucoup d’autres, pour guérir du mal dont il étoit attaqué. Voyez l’article Certitude. Mais celui qui défigure la morale tend à rendre les autres méchans, sans l’espérance d’en devenir lui-même meilleur.
Au reste, quel que soit le parti qu’on prenne dans cette question, l’équité veut qu’on distingue bien la personne de l’opinion, & l’auteur de l’ouvrage : car c’est bien ici qu’on a la preuve complete que les mœurs & les écrits sont deux choses différentes. La foule des casuistes que Pascal a convaincus de relâchement dans les principes, en offre à peine un seul qu’on puisse accuser de relâchement dans la conduite : tous ne semblent avoir été indulgens que pour les autres : c’est au pié du crucifix, où l’on dit qu’il restoit prosterné des jours entiers, qu’un des plus fameux d’entr’eux résolvoit en Latin ces combinaisons de débauches si singulieres, qu’il n’est guere possible d’en parler honnêtement en François. Un autre passe pour l’avoir disputé aux peres du desert par l’austérité de sa vie. Mais nous ne nous étendrons pas davantage sur les mœurs des Casuistes : c’est bien assez d’avoir montré qu’elles n’avoient rien de commun avec leurs maximes.
Cas reservés, dans la Discipline ecclésiastique, sont certains péchés atroces dont les supérieurs ecclésiastiques se réservent l’absolution à eux-mêmes, ou à leurs vicaires généraux. Il y a quelques cas réservés au pape, suivant un ancien usage ou consentement des Eglises : autrefois il falloit aller à Rome pour en être absous ; à présent le pape en donne le pouvoir par des facultés particulieres, aux évêques & à quelques prêtres.
Les cas réservés au pape, suivant le rituel de Paris, sont 1°. l’incendie des églises & celle des lieux profanes, si l’incendiaire est dénoncé publiquement ; 2°. la simonie réelle dans les ordres & les bénéfices, & la confidence publique ; 3°. le meurtre ou la mutilation de celui qui a les ordres sacrés ; 4°. frapper un évêque ou un autre prélat ; 5°. fournir des armes aux infideles ; 6°. falsifier les bulles ou lettres du pape ; 7°. envahir ou piller les terres de l’Eglise Romaine ; 8°. violer l’interdit du saint-siége.
Les cas réservés à l’évêque sont 1°. frapper notablement un religieux ou un clerc in sacris ; 2°. l’incendie volontaire ; 3°. le vol dans un lieu sacré avec effraction ; 4°. l’homicide volontaire ; 5°. le duel ; 6°. machiner la mort de son mari ou de sa femme ; 7°. procurer l’avortement ; 8°. frapper son pere ou sa mere ; 9°. le sortilege ou empoisonnement, & la divination ; 10°. la profanation de l’eucharistie ou des saintes huiles ; 11°. l’effusion violente de sang dans l’église ; 12°. la fornication dans l’église ; 13°. abuser d’une religieuse ; 14°. le crime du confesseur avec sa pénitente ; 15°. le rapt ; 16°. l’inceste au deuxieme degré ; 17°. la sodomie, & autres péchés semblables ; 18°. le larcin sacrilege ; 19°. le crime de faux, faux témoignage, fausse monnoie, falsification de lettres ecclesiastiques ; 20°. simonie & confidence cachée ; 21°. supposition de titre ou de personne à l’examen pour la promotion aux ordres.
Les réservations sont différentes suivant l’usage des dioceses, & elles sont fort utiles pour donner plus d’horreur des grands crimes, par la difficulté d’en recevoir l’absolution. Le prêtre pénitencier est établi principalement pour absoudre de ces cas : mais à l’article de la mort il n’y a ni réservation de cas, ni distinction de confesseur ; tout prêtre peut absoudre celui qui se trouve en cet état, pourvû qu’il ait donné quelque signe de pénitence. Fleury, Instit. au Droit ecclés. tome I. part. 2. chap. iv. page 288. & suiv.
Il y a aussi dans les couvens des cas réservés par les chapitres, dont il n’y a que les supérieurs qui ayent droit d’absoudre. (G)