# Mémoire sur le quadrilatère sphérique bi-rectangle
## ASTRONOMIE.

1. Le théorème de trigonométrie sphérique, dont les applications nombreuses à l’astronomie seront enseignées dans ce mémoire, peut être énoncé ainsi qu’il suit : Tout quadrilatère sphérique bi-rectangle est immédiatement réductible au triangle sphérique obliquangle.
2. Le quadrilatère sphérique peut être bi-rectangle de deux manières. Dans la première, les deux angles droits $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ (fig. 1), du quadrilatère $\mathrm {ABDE}$, sont adjacens au même côté $\mathrm {AB}$. Alors, prolongeant les côtés $\mathrm {AD}$ et $\mathrm {BE}$ jusqu’au point $\mathrm {C}$, qui sera le pôle de l’arc $\mathrm {AB}$, on aura :
Le côté $\mathrm {AB}$, égal à l’angle $\mathrm {C}$ ;
Le côté $\mathrm {AD}$, égal au complément du côté $\mathrm {CD}$ ;
Le côté $\mathrm {BE}$, égal au complément du côté $\mathrm {CE}$ ;
Le côté $\mathrm {DE}$, commun au quadrilatère $\mathrm {ABDE}$ et au triangle $\mathrm {CDE}$ ;
L’angle $\mathrm {ADE}$, supplément de l’angle $\mathrm {CDE}$ ;
L’angle $\mathrm {BED}$, supplément de l’angle $\mathrm {CED}$.
Ainsi, le quadrilatère $\mathrm {ABDE}$ sera entièrement réduit au triangle sphérique $\mathrm {CDE}$, et toutes les formules démontrées pour le triangle seront immédiatement applicables à ce quadrilatère.
3. Dans la seconde, les deux angles droits $\mathrm {A}$ et $\mathrm {L}$ (fig. 2), du quadrilatère sphérique $\mathrm {EASL}$, sont diagonalement opposés l’un à l’autre. Ce quadrilatère se rencontre fréquemment en astronomie. Un des cas les plus communs est celui où le côté $\mathrm {EA}$ désigne l’équateur, le côté $\mathrm {EL}$ l’écliptique, et $\mathrm {S}$ une étoile quelconque, On aura alors,
L’angle $\quad \mathrm {E} =$ à l’obliquité de l’écliptique ;
L’angle $\mathrm {PSL} =$ à l’angle de position ;
Le côté $\ \mathrm {AE} =$ à l’ascension droite ;
Le côté $\ \mathrm {AS} =$ à la déclinaison ;
Le côté $\ \mathrm {EL} =$ à la longitude ;
Le côté $\ \mathrm {SL} =$ à la latitude.
4. Pour fixer les idées, nous allons considérer le quadrilatère sphérique bi-rectangle sous ce dernier point de vue. Mais, pour abréger, nous désignerons :
Par $\mathrm {E} \ldots$ l’obliquité de l’écliptique, ou l’angle $\mathrm {AEL}$ ;
Par $\mathrm {S} \ldots$ l’angle de position, ou l’angle $\mathrm {PSL}$ ;
Par $\mathrm {A} \ldots$ l’ascension droite de l’astre, ou l’arc $\mathrm {AE}$ ;
Par $\mathrm {A'} \ldots$ la déclinaison de l’astre, ou l’arc $\mathrm {AS}$ ;
Par $\mathrm {L} \ldots$ la longitude de l’astre, ou l’arc $\mathrm {EL}$ ;
Par $\mathrm {L'} \ldots$ la latitude de l’astre, ou l’arc $\mathrm {SL}$.
5. Prolongeons le côté $\mathrm {AS}$ jusqu’en $\mathrm {P}$, pôle de l’arc $\mathrm {AE}$ ; prolongeons de même l’arc $\mathrm {SL}$ jusqu’en $\mathrm {Q}$, pôle de l’arc $\mathrm {EL}$ ; et menons les arcs de grands cercles $\mathrm {EP,EQ,PQ}$ : les quatre arcs $\mathrm {AP,EP,LQ,EQ,}$ seront ainsi des quarts de circonférence ; et l’arc $\mathrm {PQ}$ sera
la mesure de l’angle $\mathrm {PEQ}$, égal à l’angle $\mathrm {AEL}$. On aura, par conséquent, dans le triangle $\mathrm {SPQ}$,
Le côté $\mathrm {SP=90^{\circ }-A'}$ ;
Le côté $\mathrm {SQ=90^{\circ }+L'}$ ;
Le côté $\mathrm {PQ=E}$ ;
L’angle $\mathrm {PSQ=S}$ ;
L’angle $\mathrm {SPQ=90^{\circ }+A}$ ;
L’angle $\mathrm {SQP=90^{\circ }-L}$.
Ainsi, le triangle $\mathrm {SPQ}$ sera entièrement représentatif du quadrilatère bi-rectangle $\mathrm {AESL}$ ; tous les angles et côtés de l’un se retrouveront dans les angles et côtés de l’autre.
6. Appliquant d’abord au triangle $\mathrm {SPQ}$ le théorème par lequel, dans tout triangle sphérique, les sinus des angles sont proportionnels à ceux des côtés opposés, on aura les trois proportions qui suivent :
${\begin{aligned}(1).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {A'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {L} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {E} :\operatorname {Sin} .\mathrm {S} ;\\(2).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {A} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {E} :\operatorname {Sin} .\mathrm {S} ;\\(3).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {A} \,:\operatorname {Cos} .\mathrm {L} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {L'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {A'} .\end{aligned}}$
La dernière proportion se tire immédiatement des deux triangles $\mathrm {EAS}$ et $\mathrm {ELS}$, rectangles en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {L}$ ; ils fournissent :
${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .\mathrm {ES} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {EA} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {AS} ;\\\operatorname {Cos} .\mathrm {ES} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {EL} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {LS} .\end{aligned}}$
d’où l’on tire :
$\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {A'} =\operatorname {Cos} .\mathrm {L} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'}$
7. Appliquant à ce même triangle $\mathrm {SPQ}$ le théorème en vertu duquel on passe des trois côtés, supposés donnés, aux trois angles du triangle ; on aura les trois équations qui suivent :
${\begin{aligned}(4).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {S} &={\frac {\operatorname {Cos} .\mathrm {E} +\operatorname {Sin} .\mathrm {A'} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {L'} }{\operatorname {Cos} .\mathrm {A'} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} }}\,;\\(5).\quad \operatorname {Sin} .\mathrm {L} &={\frac {\operatorname {Sin} .\mathrm {A'} +\operatorname {Cos} .\mathrm {E} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {L'} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {E} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} }}\,;\end{aligned}}$
$\quad \mathrm {\operatorname {Sin} .A={\frac {\operatorname {Sin} .L'+\operatorname {Cos} .E\cdot \operatorname {Sin} .A'}{\operatorname {Sin} .E\cdot \operatorname {Cos} .A'}}} .$
Ces trois formules renferment la solution du problème qui suit : Connaissant la déclinaison et la latitude d’un astre, trouver sa longitude, son ascension droite et son angle de position ?
8. De ces trois formules, on tire de plus :
${\begin{array}{rrl}(7).&\operatorname {Cos} .\mathrm {E} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {S} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {A'} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} -\operatorname {Sin} .\mathrm {A'} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {L'} ;\\(8).&\operatorname {Sin} .\mathrm {A'} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {E} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {L} \ \ \ \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} -\operatorname {Cos} .\mathrm {E} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {L'} ;\\(9).&\operatorname {Sin} .\mathrm {L'} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {E} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {A} \,\ \ \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {A'} -\operatorname {Cos} .\mathrm {E} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {A'} .\end{array}}$
Au moyen de la seconde, on déduit la déclinaison de la longitude et de la latitude ; et la troisième fait connaître la latitude, lorsque l’ascension droite et la déclinaison sont données.
9. On connaît de même les formules moyennant lesquelles on trouve les côtés d’un triangle sphérique dont on connaît les angles. En les appliquant de même au triangle $\mathrm {SPQ}$ ? on rencontre les expressions littérales qui suivent :
${\begin{array}{rrl}(10).&\mathrm {\operatorname {Cos} .E} &=\mathrm {\frac {\operatorname {Cos} .S-\operatorname {Sin} .A\cdot \operatorname {Sin} .L}{\operatorname {Cos} .A\cdot \operatorname {Cos} .L}} ;\\(11).&\mathrm {\operatorname {Sin} .A'} &=\mathrm {\frac {\operatorname {Sin} .L-\operatorname {Sin} .A\cdot \operatorname {Cos} .S}{\operatorname {Cos} .A\cdot \operatorname {Sin} .S}} ;\\(12).&\mathrm {\operatorname {Sin} .L'} &=\mathrm {\frac {\operatorname {Sin} .A-\operatorname {Cos} .S\cdot \operatorname {Sin} .L}{\operatorname {Sin} .S\cdot \operatorname {Cos} .L}} .\\\end{array}}$
Elles renferment la solution du problème : Connaissant la longitude, l’ascension droite d’un astre, et son angle de position, trouver sa latitude et sa déclinaison.
10. De ces trois formules, on tire encore celles qui suivent :
$\quad \mathrm {\operatorname {Cos} .S=\operatorname {Cos} .E\cdot \operatorname {Cos} .A\cdot \operatorname {Cos} .L+\operatorname {Sin} .A\cdot \operatorname {Sin} .L}$
${\begin{aligned}(14).\mathrm {\operatorname {Sin} .L} &=\mathrm {\operatorname {Sin} .A'\cdot \operatorname {Cos} .A\cdot \operatorname {Sin} .S+\operatorname {Sin} .A\cdot \operatorname {Cos} .S} ;\\(15).\mathrm {\operatorname {Sin} .A} &=\mathrm {\operatorname {Sin} .L'\cdot \operatorname {Sin} .S\cdot \operatorname {Cos} .L+\operatorname {Cos} .S\cdot \operatorname {Sin} .L} .\\\end{aligned}}$
La première est remarquable : elle apprend à trouver l’angle de position, lorsqu’on connaît la longitude et l’ascension droite.
11. Appliquons de même au triangle $\mathrm {SPQ}$ les formules qui font trouver deux angles d’un triangle sphérique dont on connaît le troisième et les deux côtes qui le comprennent ; on parvient à la solution des problèmes qui suivent.
En regardant comme donnés les deux côtés $\mathrm {SP}$ et $\mathrm {PQ}$, et l’angle compris $\mathrm {SPQ}$, on aura :
${\begin{aligned}(16).\mathrm {Tan.L} &=\mathrm {\frac {Tan.A'\cdot \operatorname {Sin} .E+\operatorname {Sin} .A\cdot \operatorname {Cos} .E}{\operatorname {Cos} .A}} ;\\(17).\mathrm {\operatorname {Cot} .S} &=\mathrm {\frac {\operatorname {Cos} .A'\cdot \operatorname {Cot} .E+\operatorname {Sin} .A\cdot \operatorname {Sin} .A'}{\operatorname {Cos} .A}} .\\\end{aligned}}$
Ainsi, connaissant, outre l’obliquité de l’écliptique, l’ascension droite et la déclinaison d’un astre, on trouvera, par ces formules, sa longitude et son angle de position.
En supposant donnés les deux côtés $\mathrm {PQ}$ et $\mathrm {SQ}$, et l’angle compris $\mathrm {PQS}$, on aura ;
${\begin{aligned}(18).\ \mathrm {\operatorname {Cot} .S} &=\mathrm {\frac {\operatorname {Cot} .E\cdot \operatorname {Cos} .L'+\operatorname {Sin} .L\cdot \operatorname {Sin} .L'}{\operatorname {Cos} .L}} ;\\(19).\mathrm {Tan.A} &=\mathrm {\frac {\operatorname {Sin} .E\cdot \operatorname {Tang} .L'+\operatorname {Sin} .L\cdot \operatorname {Cos} .E}{\operatorname {Cos} .L}} .\\\end{aligned}}$
Ainsi, connaissant, outre l’obliquité, la longitude et la latitude d’un astre, on trouvera, par ces formules, son ascension droite et son angle de position.
Considérant enfin comme donnés les deux côtés $\mathrm {PS}$ et $\mathrm {QS}$, et l’angle
$\mathrm {PSQ}$
${\begin{aligned}(20).\mathrm {Tan.L} &=\mathrm {\frac {Tan.A'\cdot \operatorname {Cos} .L'+\operatorname {Cos} .S\cdot \operatorname {Sin} .L'}{\operatorname {Sin} .S}} ;\\(21).\mathrm {Tan.A} &=\mathrm {\frac {Tan.L'\cdot \operatorname {Cos} .A'+\operatorname {Cos} .S\cdot \operatorname {Sin} .A'}{\operatorname {Sin} .S}} .\\\end{aligned}}$
12. Appliquant aussi au triangle $\mathrm {SPQ}$ les formules qui apprennent à trouver deux côtés d’un triangle sphérique, dont on connait le troisième côté et les deux angles adjacens ; on parviendra à la solution des problèmes qui suivent.
En regardant comme donnés le côté $\mathrm {SQ}$ avec les angles adjacens $\mathrm {PSQ}$ et $\mathrm {PQS}$, on aura :
${\begin{aligned}(22).\quad \mathrm {\operatorname {Cot} .E} &=\mathrm {\frac {\operatorname {Cot} .S\cdot \operatorname {Cos} .L-\operatorname {Sin} .L\cdot \operatorname {Sin} .L'}{\operatorname {Cos} .L'}} ;\\(23).\mathrm {\operatorname {Tang} .A'} &=\mathrm {\frac {\operatorname {Tang} .L\cdot \operatorname {Sin} .S-\operatorname {Cos} .S\cdot \operatorname {Sin} .L'}{\operatorname {Cos} .L'}} .\\\end{aligned}}$
En supposant donnés à côté $\mathrm {PS}$ avec les angles adjacens $\mathrm {PSQ}$ et $\mathrm {SPQ}$, on aura :
${\begin{aligned}(24).\quad \mathrm {\operatorname {Cot} .E} &=\mathrm {\frac {\operatorname {Cot} .S\cdot \operatorname {Cos} .A-\operatorname {Sin} .A\cdot \operatorname {Sin} .A'}{\operatorname {Cos} .A'}} ;\\(25).\mathrm {\operatorname {Tang} .L'} &=\mathrm {\frac {\operatorname {Tang} .A\cdot \operatorname {Sin} .S-\operatorname {Cos} .S\cdot \operatorname {Sin} .A'}{\operatorname {Cos} .A'}} .\\\end{aligned}}$
Considérant enfin comme donnés le côté $\mathrm {PQ}$ avec les deux angles adjacens $\mathrm {PQS}$ et $\mathrm {QPS}$, on trouvera :
${\begin{aligned}(26).\mathrm {Tan.A'} &=\mathrm {\frac {Tan.L\cdot \operatorname {Cos} .A-\operatorname {Sin} .A\cdot \operatorname {Cos} .E}{\operatorname {Sin} .E}} ;\\(27).\mathrm {Tan.L'} &=\mathrm {\frac {Tan.A\cdot \operatorname {Cos} .L-\operatorname {Sin} .L\cdot \operatorname {Cos} .E}{\operatorname {Sin} .E}} .\\\end{aligned}}$
Elles nous apprennent à trouver la latitude et la déclinaison d’un astre dont on connaît la longitude et l’ascension droite,
13. Les problèmes dont nous venons de donner la solution sont au nombre de trente-six. Nous allons en donner l’aperçu dans la table qui suit. Nous rappellerons encore que nous désignons
Par $\mathrm {E} \ ,\ldots$ l’obliquité de l’écliptique ;
Par $\mathrm {A} \ ,\ldots$ l’ascension droite ;
Par $\mathrm {A'} ,\ldots$ la déclinaison ;
Par $\mathrm {L} \ ,\ldots$ la longitude ;
Par $\mathrm {L'} ,\ldots$ la latitude ;
Par $\mathrm {S} \ ,\ldots$ l’angle de position.
Dans les quatorze premiers de ces problèmes, l’obliquité de l’écliptique est au nombre des quantités données, et l’angle de position n’en est point ; savoir :
$\quad \ \ \qquad \qquad$
${\begin{array}{rll}\mathrm {E,A,A'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {L} \ .(16).\\\mathrm {E,A,A'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {L} '.\ \ (9).\\\mathrm {E,A,A'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {S} \ \,.(17).\\\hline \mathrm {E,L,L} '\ ,&\cdots \cdots &\mathrm {A} \ .(19).\\\mathrm {E,L,L} '\ ,&\cdots \cdots &\mathrm {A} '.\ \ (8).\\\mathrm {E,L,L} '\ ,&\cdots \cdots &\mathrm {S} \,\ .(18).\\\hline \mathrm {E,A,L\ \ } ,&\cdots \cdots &\mathrm {A} '.(26).\\\mathrm {E,A,L\ \ } ,&\cdots \cdots &\mathrm {L} '\,.(27).\\\mathrm {E,A,L\ \ } ,&\cdots \cdots &\mathrm {S} \ \ .(13).\\\end{array}}$
$\quad \ \ \qquad \qquad$
${\begin{array}{rll}\mathrm {E,A',L'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {A} .(6).\\\mathrm {E,A',L'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {L} \,.(5).\\\mathrm {E,A',\ L} ,&\cdots \cdots &\mathrm {S} \ .(4).\\\hline \mathrm {E,A\ ,L'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {S} .(2).\\\mathrm {E,A',L\ } ,&\cdots \cdots &\mathrm {S} .(1).\\\end{array}}$
Quatre autres problèmes sont compris dans la proportion (3), en vertu de laquelle le produit des cosinus de l’ascension droite et de la déclinaison est égal à celui des cosinus de la longitude et de la latitude ; il en résulte que, connaissant trois de ces quatre quantités, on peut toujours trouver la quatrième par une simple règle de trois. Dans les quatre problèmes qui suivent, on suppose qu’outre l’obliquité de l’écliptique et l’angle de position, on connaît l’une des quatre quantités $\mathrm {A,A',L,L'.}$ On en trouve la solution par l’une ou l’autre
des proportions (1) et (2).
Enfin, dans les quatorze derniers, l’angle de position est au nombre des quantités données, tandis que l’obliquité de l’écliptique n’en est pas, savoir :
$\quad \ \ \qquad \qquad$
${\begin{array}{rll}\mathrm {S,A,A'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {L} \ .(14).\\\mathrm {S,A,A'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {L'} .(25).\\\mathrm {S,A,A'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {E} \ .(24).\\\hline \mathrm {S,L\,,L'\,} ,&\cdots \cdots &\mathrm {A} \ .(15).\\\mathrm {S,L\,,L'\,} ,&\cdots \cdots &\mathrm {A'} .(23).\\\mathrm {S,L\,,L'\,} ,&\cdots \cdots &\mathrm {E} \,\ .(22).\\\end{array}}$
$\quad \ \ \qquad \qquad$
${\begin{array}{rll}\mathrm {S,A\ ,L\ } ,&\cdots \cdots &\mathrm {A} '.(11).\\\mathrm {S,A\ ,L\ } ,&\cdots \cdots &\mathrm {L} '.(12).\\\mathrm {S,A\ ,L\ } ,&\cdots \cdots &\mathrm {E} \ .(10).\\\hline \mathrm {S,A',L'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {A} .(21).\\\mathrm {S,A',L'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {L} .(20).\\\mathrm {S,A',L'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {E} .\ \ (7).\\\hline \mathrm {S,A\ ,L'} ,&\cdots \cdots &\mathrm {E} .\ \ (2).\\\mathrm {S,A',L\ } ,&\cdots \cdots &\mathrm {E} .\ \ (1).\\\end{array}}$
14. Le but de ce mémoire est de faire voir comment, par des formules faciles et simples, on peut toujours déterminer trois des six quantités $\mathrm {E,A,A'} ,$$\mathrm {L,L',S,}$ lorsqu’on connaît les trois autres ;
et que la solution de toutes les questions qui s’y rapportent, ne suppose, dans tous les cas, que la simple connaissance du triangle sphérique.
* ↑ Outre les deux quadrilatères qui viennent d’être considérés par l’auteur, on peut encore, comme l’a fait M. Carnot, relativement aux figures planes rectilignes, considérer les quadrilatères des figures 3 et 4, dans lesquels deux côtés opposés se coupent, et où, pour mieux faire saisir, leur analogie avec les premiers, nous avons désigné les points correspondant à ceux des figures 1 et 2 par les mêmes lettres. La théorie de ces quadrilatères ne différant pas essentiellement de celle des quadrilatères dont s’occupe M. Kramp dans son mémoire, nous croyons suffisant de les faire remarquer. Nous observerons seulement, 1.$^o$ que le quadrilatère de la figure 4 est celui qu’il faut employer, toutes les fois que l’étoile n’est point comprise entre l’écliptique et l’équateur ; 2.$^o$ que les quadrilatères des figures 1 et 3 peuvent, entre autres usages, servir à résoudre ces deux questions générales, dont chacune en contient quatre particulières : 1.$^o$ De ces quatre choses : les déclinaisons, la différence des ascensions droites, et la distance angulaire de deux, étoiles, trois quelconques étant connues, déterminer la quatrième ? 2.$^o$ De ces quatre choses : les latitudes, la différence des longitudes de deux étoiles, et leur distance angulaire ; trois quelconques étant connues, déterminer la quatrième ? On peut, au surplus, à ces deux questions, substituer la suivante, plus générale, qui en comprend vingt et une particulières, et peut fournir quarante-deux formules : De ces sept choses : les déclinaisons, les latitudes, la différence des ascensions droites, celle des longitudes, et la distance angulaire de deux étoiles, cinq quelconques étant connues, déterminer les deux autres ? (Note des éditeurs.)