# Représentation graphique de l’univers espace-temps à quatre dimensions

Gruner, P. (Berne). — a) Représentation graphique de l’univers espace-temps à quatre dimensions.
L’auteur développe les idées qu’il avait présentées l’an dernier à la Société de physique (Arch. Sc. Phys. Nat. (5) 3, 295, 1921). Le mouvement d’un point peut être donné par les quatre équations suivantes :
$\Phi (xy)=0,\quad \operatorname {X} (yz)=0,\quad \Psi (zx)=0\quad$
$\quad x=f(t)$
qui représentent les projections d’une courbe à quatre dimensions sur quatre plans de coordonnées dans l’univers espace-temps. En rabattant ces projections dans un même plan, il devient facile de représenter les phénomènes de l’univers à quatre dimensions par les méthodes simples de la géométrie descriptive.
Ainsi le mouvement rectiligne et uniforme d’un point sera représenté dans le plan des ${\rm {XOY}}$ par une droite, à laquelle correspond dans le plan des ${\rm {XOT}}$, que l’on nommera le « sous-espace », une droite $x=v\cdot t$, la ligne d’univers du mouvement. Pour développer les phénomènes de la théorie de la relativité restreinte, il est utile de mesurer le temps par le chemin parcouru par la lumière $u=c\cdot t,\ c$ étant la vitesse de la lumière égalée à l’unité. En outre il est préférable de choisir pour le « sous-espace » un système de coordonnées ${\rm {XOU}}$ qui n’est pas orthogonal ; avec ce choix il est possible de rapporter les deux systèmes ${\rm {XOY}}$ et ${\rm {X'O'Y'}}$ qui se meuvent parallèlement à l’axe des ${\rm {OX}}$ avec une vitesse relative $\alpha$, à deux « sous-espaces » dont les axes ${\rm {OX\perp O'U'}}$ et ${\rm {OU\perp O'X'}}$ sont réciproquement orthogonaux et pour lesquels l’angle ${\rm {XOX'=UOU'=\varphi }}$ détermine la vitesse relative : $\alpha =\sin \varphi$.
En projetant maintenant la ligne d’univers $x=v\cdot t$, construite pour le sous-espace ${\rm {XOU}}$ dans le sous-espace ${\rm {X'O'U'}}$ et de là dans l’espace ${\rm {X'O'Y'}}$, on obtient le mouvement du point tel qu’il apparaît dans le système ${\rm {X'O'Y'}}$. Les figures donnent immédiatement les formules de transformation de Lorentz-Einstein, les vitesses du point, le théorème d’addition, l’aberration, etc.
Les mêmes constructions peuvent être appliquées aux phénomènes de propagation d’ondes, soit planes, soit sphériques. Dans ces constructions quelque peu compliquées il s’agit de ne jamais confondre les phénomènes qui sont synchrones dans l’un des systèmes de coordonnées avec ceux qui sont synchrones dans l’autre : dans les sous-espaces des phénomènes synchrones devront toujours être sur une ligne d’univers parallèle à l’axe des ${\rm {OX}}$, respectivement des ${\rm {O'X'}}$. En tenant compte de ces remarques il est facile de construire directement les longueurs d’ondes et les fréquences du mouvement ondulatoire dans ces deux systèmes ; on obtient exactement les expressions données par Einstein dont les déductions reçoivent par là une nouvelle confirmation géométrique.
b) Représentation graphique du temps universel dans la théorie de la relativité.
Dans les constructions, indiquées dans l’article précédent, les bissectrices de l’angle $\varphi$ jouent un rôle spécial. Elles forment un système orthogonal de coordonnées pour la longueur $x$ et le temps $u$ qui est symétrique par rapport aux deux systèmes ${\rm {XOU}}$ et ${\rm {X'O'U'}}$ du sous-espace. Il est donc très naturel de rapporter les phénomènes du sous-espace à ce système unique et orthogonal, et d’introduire pour les deux systèmes une coordonnée commune pour le temps, le « temps universel » $t$, et de même pour la longueur, la « longueur universelle » $r.$ Une simple considération géométrique permet d’entrevoir que les coordonnées $xx'$ $uu'$ peuvent être projetées d’une manière convenable sur l’axe des $r,$ respectivement des $t,$ en changeant la valeur des unités.
On retrouve alors entre $x$, $x'$ et $t$ l’ancienne formule de relativité de Galilée-Newton : $x=x'+2\operatorname {tang} {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot t.$ C’est le mérite de M. Ed. Guillaume d’avoir trouvé et développé ces résultats il y a déjà plusieurs années.
Mais il ressort de cette construction d’une manière frappante ce que M. Mirimanoff a déjà fait remarquer (Arch. Soc. Phys. nat. (5) 3, 46, 1921). Les indications $u$ et $u'$ des horloges de chaque système peuvent naturellement être corrigées de sorte qu’elles donnent ce temps universel $t$ ; mais cette correction dépend de $\varphi ,$ c’est-à-dire de la vitesse relative $\alpha$ des deux systèmes comparés. Ainsi les corrections à donner à l’horloge réglée sur le temps local, dépendraient du système avec lequel on a l’intention de se comparer ; la notion de temps universel devient alors illusoire.