# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Analise transcendante, article 4
## ANALISE TRANSCENDANTE.
### Recherches sur les conditions d’intégrabilité des fonctions différentielles ;

La recherche des conditions d’intégrabilité des fonctions différentielles ; recherche qui a principalement occupé Euler et Condorcet, constitue une des branches les plus importantes de la haute analise. La méthode des variations conduit très-simplement à ces conditions ; mais, outre que l’emploi de cette méthode, dans des recherches de calcul intégral proprement dit, peut sembler indirecte, elle n’offre aucune ressource pour remonter de la différentielle à son intégrale, lorsque les conditions d’intégrabilité se trouvent remplies.
Euler et Condorcet ont bien prouvé, par leur analise, que les conditions qu’ils avaient obtenues sont nécessaires ; mais Lexell paraît être le premier qui ait tenté de démontrer, sans rien emprunter d’étranger au calcul intégral, que ces conditions sont aussi suffisantes ; c’est-à-dire qu’elles entraînent d’elles-mêmes la possibilité d’intégrer ; ce qui est le point important dans cette théorie. Malheureusement, comme l’observe Lagrange (Leçons sur les fonctions, leçon XXI), la démonstration de Lexell est si compliquée, qu’il est difficile de juger de sa justesse et de sa généralité.
En réfléchissant sur ce sujet, il nous a paru que les procédés du calcul différentiel, proprement dit, pouvaient, à eux seuls, conduire d’une manière assez simple aux conditions d’intégrabilité et à la démonstration de l’importante proposition de Lexell ; et c’est à le faire voir que nous destinons ce petit essai.
Dans tout ce qui va suivre, $x$ et $y$ seront des fonctions quelconques d’une troisième variable dont nous prenons la différentielle pour unité, et de tant de constantes qu’on voudra. Nous représenterons respectivement, pour abréger,
$\operatorname {d} x,\operatorname {d} ^{2}x,\operatorname {d} ^{3}x,\ldots \quad$
$\quad x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$
$\operatorname {d} y,\operatorname {d} ^{2}y,\operatorname {d} ^{3}y,\ldots \quad \$
$\quad y_{1},y_{2},y_{3},\ldots$
$P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,$ seront des fonctions quelconques de
$x,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{m-1},$
$y\,,y_{1}\,,y_{2}\,,y_{3}\,,\ldots ,y_{n-1},$
dont les différentielles seront respectivement $p,p_{1},p_{2},\ldots$
Cela posé, on a identiquement
$p={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}x_{1}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{1}}}x_{2}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{2}}}x_{3}+\ldots +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-1}}}$
$+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}y_{1}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{1}}}y_{2}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{2}}}y_{3}+\ldots +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{n-1}}}y_{n},$
et, par suite,
$\left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}&=\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}},\\\\{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{1}}}&=\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{1}}}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}},\\\\{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{2}}}&=\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{2}}}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m-1}}}&=\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-1}}}+{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-2}}},\\\\{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m}}}&={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-1}}}.\end{aligned}}\right\$
Du premier de ces deux systèmes d’équations on déduit, par l’élination successive des différentielles de ${\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-1}}},{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-2}}},\ldots {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{1}}},{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}},$
$\left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-1}}}&={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m}}},\\\\{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-2}}}&={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m-1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m}}},\\\\{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{m-3}}}&={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m-2}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m-1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}&={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{2}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{3}}}+\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-1}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m}}},\\\\0&={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{1}}}-\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{2}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-1}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m-1}}}\pm \operatorname {d} ^{m}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m}}}\end{aligned}}\right\$
La dernière de ces équations est une équation de condition à laquelle doit satisfaire la différentielle $p$ de la fonction $P.$
Les équations (2), traitées exactement de la même manière donnent
$\left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{n-1}}}&={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{m}}},\\\\{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{n-2}}}&={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{n-1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{m}}},\\\\{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y_{n-3}}}&={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{n-2}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{n-1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{m}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}&={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{2}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{3}}}+\ldots \mp \operatorname {d} ^{n-1}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{m}}},\\\\0&={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{1}}}-\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{2}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{n-1}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{n-1}}}\pm \operatorname {d} ^{m}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y_{m}}}\end{aligned}}\right\$
Équations dont la dernière est une nouvelle équation de condition à laquelle doit encore satisfaire la différentielle $p$ de la fonction $P.$
Avant d’aller plus loin, remarquons que, si $P$ est une fonction de
$x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{m-1},$
$y,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{i},y_{i+1},y_{i+2},\ldots ,y_{n-1},$
seulement, c’est-à-dire, si cette fonction ne contient aucune des quantités
$x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1},$
auquel cas on aura
${\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{1}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{2}}}=0,\ldots {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{i-1}}}=0,$
${\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{1}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{2}}}=0,\ldots {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{i-1}}}=0\,;$
l’application du même procédé nous conduira aux résultats
$\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x_{i}}}=\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{i}}},\qquad$
$0={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{i}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{i+1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{i+2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{m-i}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x_{m}}}.\qquad$
Cette remarque nous sera utile dans la suite de ces recherches.
Lorsqu’on se sera assuré que $p$ est une différentielle exacte, les équations (3) et (4) offriront le moyen le plus simple pour remonter à son intégrale $P,$ par les quadratures seulement. Mais il nous reste à démontrer présentement que toute fonction différentielle qui satisfait identiquement aux dernières équations (3) et (4) est nécessairement par là même une différentielle exacte.
Premièrement, soit $u_{i},$ une fonction quelconque de
$x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{m},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},$
assujettie à la seule condition de satisfaire à l’équation
$A_{i}={\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}-\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{m-i}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{m}}}.\qquad$
dans laquelle $A_{i}$ est une quantité constante quelconque.
Cette équation peut se mettre sous la forme
${\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}=A_{i}+\operatorname {d} \left\{{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+3}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-i-1}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{m}}}\right\}\,;$
d’où l’on conclura que, comme le premier membre ne renferme pas de différentielles de $x$ et $y$ d’un ordre plus élevé que $x_{m},y_{n},$ la partie du second membre comprise entre les crochets ne saurait renfermer de différentielles des mêmes variables d’un ordre supérieur à $x_{m-1}$ et $y_{n-1}\,;$ et que, par conséquent, il est possible de trouver une fonction $P_{i}$ de $x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{m-1},y,y_{1},y_{2},$$y_{3},\ldots ,y_{n-1}$ qui satisfasse à l’équation
${\frac {\operatorname {d} P_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}={\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+3}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-i-1}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{m}}},$
au moyen de laquelle nous aurons, en ayant égard à l’équation (5),
${\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}=A_{i}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} P_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}=A_{i}+{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}},$
et par suite
$u_{i}=A_{i}x_{i}+p_{i}+u_{i+1},\qquad$
en désignant par $u_{i+1},$ une fonction de $x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{m},y,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}$ qu’il faudra déterminer d’une manière convenable.
Substituant cette valeur de $u_{i}$ dans l’équation (7) et observant, équation (6), que, puisque $p_{i}$ est une différentielle exacte, on doit avoir identiquement,
$0={\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}-\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{m-i}{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{m}}},$
nous trouverons, réductions faites,
$0=\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}-\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}+\operatorname {d} ^{3}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+3}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-i}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{m}}},$
ou, en intégrant
$A_{i+1}={\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+3}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-i-1}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{m}}}\,;$
ce qui fait voir que $u_{i+1}$ est entièrement de même nature que $u_{i}.$
Cela posé, si $u$ est une fonction de $x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m},y,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},$ qui satisfasse à la condition
$0={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{m}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x_{m}}},$
nous en tirerons, par des opérations analogues à celles qui viennent de nous conduire à l’équation (8)
${\begin{aligned}u&=p+u_{1},\\\\u_{1}&=A_{1}x_{1}+p_{1}+u_{2},\\\\u_{2}&=A_{2}x_{2}+p_{2}+u_{3},\\\\u_{3}&=A_{3}x_{3}+p_{3}+u_{4},\\\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\u_{m-1}&=A_{m-1}x_{m-1}+p_{m-1}+u_{m},\\\\u_{m}&=A_{m}x_{m}+p_{m}+Y\,;\end{aligned}}$
$Y$ étant, dans la dernière, une fonction de $y,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}$ seulement.
Ajoutant ces diverses équations, et faisant, pour abréger,
$q=A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+A_{3}x_{3}+\ldots +A_{m}x_{m}$
$+p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots +p_{m},$
nous trouverons enfin
$u=q+Y,\qquad$
dans laquelle $q$ est évidemment une différentielle exacte, puisque chacun des termes dont cette fonction se compose est une semblable différentielle.
Si $u$ ne renfermait ni $y$ ni ses dérivées $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{n},$ la fonction que nous avons représentée par $Y$ serait constante et par conséquent nulle, sans quoi $u$ serait composée de termes hétérogènes, ce qui ne peut jamais avoir lieu, ainsi $u$ serait alors une différentielle exacte.
Si, au contraire, $u$ renfermait $y$ et ses dérivées $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{n},$ mais qu’elle rendît identique l’équation
$0={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y_{n}}},$
la fonction $Y$ pourrait ne pas être nulle ; mais, en substituant dans cette équation la valeur de $u$ que nous venons de donner, et observant que, puisque $q$ est une différentielle exacte, l’on a
$0={\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{n}{\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y_{n}}},$
nous trouverions, réductions faites,
$0={\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{n}{\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y_{n}}}\,;$
et de là on conclut, comme ci-dessus, que, puisque $Y$ ne renferme que $y$ et ses dérivées $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{n},$ cette fonction $Y$ est nécessairement une différentielle exacte, de sorte que, dans ce cas comme dans le précédent, $u$ est encore une différentielle exacte.
Pour simplifier la question, nous avons supposé que toutes ces fonctions ne renfermaient que deux variables $x$ et $y$ et leurs dérivées ; mais il est facile de voir qu’elle ne se compliquerait pas beaucoup, si l’on voulait considérer une fonction d’un plus grand nombre de variables, et que de plus, les conclusions seraient absolument les mêmes.
* ↑ Voyez le tome XV des Novi Commentarii de Pétersbourg.