# Recherches arithmétiques/Additions de l’auteur

N$^o$ 28. La solution de l’équation indéterminée $ax+by=\pm 1$ n’a pas été trouvée pour la première fois par Euler, comme nous l’avons dit, mais par Bachet de Meziriac, géomètre du dix-septième siècle, célèbre par l’édition de Diophante qu’il a publiée avec des Commentaires. C’est Lagrange qui lui en a restitué l’honneur, dans ses Additions à l’Algèbre d’Euler, p. 525, où il indique en même temps le fond de la méthode. Bachet a publié sa découverte dans la seconde édition de son ouvrage intitulé : Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, 1624 ; elle n’existe pas dans la première édition (imprimée à Lyon en 1712), qui est la seule que j’aie vue, mais elle y est annoncée.
N$^{os}$ 151 296, 297. Legendre a nouvellement exposé sa démonstration dans un excellent ouvrage intitulé : Essai d’une théorie des nombres, p. 214 et suiv., mais cependant de manière à n’y rien changer d’essentiel, ensorte que cette méthode est encore sujette à toutes les objections que nous avons faites n$^o$ 297. Il est vrai que le théorème (qui sert de base à une supposition) que dans toute progression arithmétique $l,\ l+k,\ l+2k,\ etc.,$ on trouvera des nombres premiers, si $k$ et $l$ n’ont pas de diviseur commun, a été exposé avec plus de détail dans cet ouvrage, p. 12 et suiv. ; mais il ne paraît pas encore avoir satisfait à la rigueur géométrique. D’ailleurs, quand même ce théorème serait complètement démontré, il resterait encore l’autre supposition, qu’il existe des nombres premiers de la forme $4n+3,$ dont un nombre premier donné positif de la forme $4n+1$ est non-résidu quadratique, et j’ignore s’il est possible de démontrer cette proposition sans supposer le théorème fondamental lui-même. Au reste, nous devons faire remarquer que ce célèbre géomètre n’a pas fait tacitement cette supposition, et qu’il en convient lui-même, page 221.
N$^{os}$ 288 — 293. Ce sujet, qui est présenté ici comme une application particulière des formes ternaires, et qui, sous le rapport de la rigueur et de la généralité, semble ne rien laisser à désirer, a été traité bien plus amplement par Legendre, dans la troisième partie de son ouvrage, p. 321 — 400. Il s’est servi de principes tout-à-fait différens des nôtres ; mais par la route qu’il a suivie, il a rencontré plusieurs difficultés qui l’ont empêché de démontrer rigoureusement les théorèmes principaux. Il a lui-même indiqué avec franchise ces difficultés ; mais, si nous ne sommes dans l’erreur, elles pourraient être levées plus facilement que celle qu’il rappelle encore dans cette recherche (p. 371, en note à la fin), savoir que dans toute progression arithmétique, etc.
N$^o$ 306, VIII. Dans la troisième chiliade de déterminans négatifs, nous en avons trouvé trente-sept irréguliers, parmi lesquels dix-huit ont 2 pour indice d’irrégularité, et les dix-neuf autres l’indice 3.
Idem, X. Nous venons de parvenir à résoudre complètement la question que nous proposions ici, et nous publierons cette recherche, qui éclaire singulièrement plusieurs parties de l’arithmétique transcendante et de l’analyse, lorsque nous aurons occasion de mettre au jour la continuation de cet ouvrage. Nous avons trouvé en même temps, que le coefficient m (n$^o$ 304, p. 376) est
$m=\gamma \pi =2,3458847616,$
$\gamma$ étant le même qu’au n$^o$ 302, et $\pi$ toujours la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1.