# Œuvres de Lagrange/Pièces diverses/Nouveau moyen de déterminer les longitudes de Jupiter et de Saturne au moyen d’une Table à simple entrée
### NOUVEAU MOYEN DE DÉTERMINER LES LONGITUDES DE JUPITER ET DE SATURNE AU MOYEN D’UNE TABLE À SIMPLE ENTRÉE.

Les diverses Tables dont on se sert si fréquemment en Astronomie ne sont pas autre chose qu’une suite de solutions de Problèmes indéterminés ou d’équations entre plusieurs variables. Chaque Table donne une suite de valeurs d’une de ces variables, valeurs qui répondent aux valeurs d’une autre variable, dont la première dépend, dont elle est une fonction ; cette autre variable est dite l’argument de la fonction ; ses valeurs sont supposées croître suivant une progression arithmétique dont la raison est d’autant plus faible que la Table est plus resserrée.
Si la variable cherchée est une fonction d’une seule autre variable, la Table ne contient qu’un seul argument, elle est dite à simple entrée : dans ce cas la Table fournit les valeurs d’une série d’ordonnées équidistantes d’une courbe qui représenterait l’équation qui relierait les deux variables, en regardant l’argument comme l’abscisse, la fonction cherchée comme l’ordonnée.
Si, au contraire, la quantité variable dont on veut construire une Table est une fonction de deux autres variables, la Table doit contenir comme arguments ces deux dernières variables elle est dite à double entrée. Dans ce cas elle donne les valeurs d’une suite d’ordonnées équidistantes d’une surface qui représenterait géométriquement l’équation qui relierait les trois variables, en regardant les deux variables qui servent d’arguments comme les abscisses et les ordonnées, et les valeurs de la variable cherchée comme les distances des points de la surface au plan de ces deux coordonnées.
On peut imaginer de même des Tables à trois, quatre entrées ou davantage mais on ne pourrait plus leur donner une représentation géométrique d’ailleurs il n’y a pas lieu de s’occuper de pareilles Tables, à cause des difficultés que présenterait leur usage.
Lorsque sur une courbe on a déterminé différents points, on peut trouver les points intermédiaires en regardant comme rectilignes les portions de la courbe qu’ils comprennent ; on substitue ainsi un polygone à la courbe, et il est clair que cette supposition est d’autant moins inexacte que les points déterminés sont plus voisins. Mais on s’approchera encore plus de la vérité en regardant chaque portion de la courbe comme l’arc d’une courbe parabolique qui passerait par les points déterminés, et l’approximation sera d’autant plus grande qu’il y aura un plus grand nombre de points sur l’arc parabolique. Tel est le fondement des méthodes ordinaires d’interpolation, méthodes dont on se sert pour trouver, dans les Tables à simple entrée, les valeurs intermédiaires, au moyen des différences entre les termes consécutifs.
On peut diriger l’interpolation de la même façon pour les Tables à double entrée, en supposant les points de la surface donnés par la Table reliés entre eux, trois par trois, par des surfaces planes, en substituant à la surface véritable une surface polyédrale limitée par des faces triangulaires, ou bien en regardant les portions de surface qui relient les points consécutifs comme des portions de surfaces paraboliques. Mais, pour ces Tables, l’interpolation est toujours pénible, surtout si l’on ne veut pas s’en tenir aux premières différences c’est pourquoi les Astronomes évitent les Tables de cette nature autant que possible, et, autant que possible, cherchent à n’employer que des Tables à simple entrée.
Cela se fait tout naturellement quand la fonction dont on veut construire une Table s’exprime par le produit, ou par une somme de produits des sinus ou des cosinus des variables qui servent d’arguments ; car, dans ce cas, on peut, au moyen des formules ordinaires, résoudre ces produits en simples sinus ou cosinus chaque série de ces sinus ou cosinus est donnée par une Table à simple entrée ; l’ensemble des deux Tables rend le même service que la Table à double entrée que l’on aurait pu construire. C’est ainsi qu’ont été calculées toutes les Tables des mouvements des planètes dont on s’est servi jusqu’ici.
La même chose aura lieu si c’est une fonction quelconque de la grandeur dont on veut avoir une Table, et non cette grandeur, qui est mise sous la forme de produits de sinus ou de cosinus ; mais il faudra, dans ce cas, une Table de plus que précédemment, Table qui donnera les valeurs cherchées de la variable, qui correspondent aux diverses valeurs de la fonction donnée.
En dehors de ces cas, il paraît difficile de ramener les Tables qui, en elles-mêmes, paraissent nécessiter deux entrées, à des Tables à simple entrée. Toutefois, dans la solution des problèmes d’Astronomie, on n’exige pas une précision absolue, on cherche une approximation plus ou moins grande ; aussi peut-on, dans beaucoup de cas, substituer des Tables à simple entrée aux Tables à double entrée, les premières, moins précises que les secondes, suffisant à donner des valeurs approchées. Ce sujet paraît de la plus grande importance pour les calculs d’Astronomie ; je me propose de le traiter au point de vue de la détermination des longitudes géocentriques des planètes.
Si l’on veut représenter par une Table la formule $\operatorname {tang} \varphi =a\operatorname {tang} \theta ,$ on aura, pour chaque valeur du coefficient $a,$ une Table à simple entrée, dont l’argument sera l’angle $\theta$ et la fonction cherchée l’angle $\varphi .$ Cette Table est pareille à celle que les Astronomes connaissent sous le nom de réduction à l’équateur ; car, en appelant $\theta$ la longitude d’un point de l’écliptique, et $\varphi$ l’ascension droite cherchée de ce point, on a, en désignant par $\omega$ l’obliquité de l’écliptique,
$\operatorname {tang} \varphi =\cos \omega \operatorname {tang} \theta .$
Si l’on veut au contraire réduire en Table la formule
$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +a\sin \psi }{\cos \theta +a\cos \psi }},$
on peut croire, au premier abord, qu’il n’est pas possible d’employer une autre Table qu’une Table à double entrée ; toutefois il suffit d’une Table à simple entrée, comme nous allons le démontrer géométriquement et analytiquement.
Soit (fig. 1) la ligne $\mathrm {AB} =p,$ faisant avec la ligne $\mathrm {AE}$ l’angle $\mathrm {BAE} =\theta \,;$ menons par l’extrémité $\mathrm {B}$ de $\mathrm {AB}$ une ligne $\mathrm {BC} =q$ telle, que, en la prolongeant suffisamment, elle coupe la ligne $\mathrm {AE}$ sous un angle $\mathrm {BDE} =\psi \,;$ enfin menons la ligne $\mathrm {AC} ,$ et désignons par $\varphi$ l’angle $\mathrm {CAE} ,$ qu’il nous faut exprimer au moyen de $p,q,\theta$ et $\psi .$ Ayant mené $\mathrm {BE}$ et $\mathrm {CF}$ perpendiculairement, $\mathrm {BG}$ parallèlement à $\mathrm {AEF} ,$
on a évidemment
$\mathrm {BE} =p\sin \theta ,\ \ \mathrm {AE} =p\cos \theta ,\ \ \mathrm {CG} =q\sin \psi ,\ \ \mathrm {BG} =q\cos \psi ,\ \ \mathrm {\frac {CF}{AF}} =\operatorname {tang} \varphi \,;$
or
$\mathrm {CF=CG+BE,\quad AF=BG+AE} ,$
donc on a
$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {p\sin \theta +q\sin \psi }{p\cos \theta +q\cos \psi }}\,;$
si l’on fait maintenant ${\frac {q}{p}}=a,$ on aura
$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +a\sin \psi }{\cos \theta +a\cos \psi }},$
ce qui est la formule posée au commencement.
Si maintenant on désigne par $\zeta$ l’angle $\mathrm {BAC} ,$ on aura
$\varphi =\theta -\zeta$
et, dans le triangle $\mathrm {ABC} ,$
$\mathrm {AB} =p,\quad \mathrm {BC} =q,\quad \mathrm {ABC} =180^{\circ }-\mathrm {DBA} \,;$
mais
$\mathrm {DBA=BAE-BDE} =\theta -\psi \,;$
donc
$\mathrm {ABC} =180^{\circ }-\theta +\psi .$
On connaît donc dans ce triangle deux côtés $p$ et $q$ et l’angle compris $180^{\circ }-\theta +\psi \,;$ on peut donc trouver l’angle $\zeta ,$ qui ainsi ne dépend que de l’angle $\theta -\psi \,;$ et, par suite, une Table à simple entrée suffira pour le calcul de $\zeta ,$ tant que $p$ et $q$ resteront constants ; ayant $\zeta ,$ on aura aisément l’inconnue $\varphi$ par la formule $\varphi =\theta -\zeta .$
On a, dans le triangle $\mathrm {ABC} ,$
$p\sin \zeta =q\sin \mathrm {BCA} \,;$
mais
$\mathrm {BCA=180-ABC-BAC} =\theta -\psi -\zeta ,$
donc
$p\sin \zeta =q\sin(\theta -\psi -\zeta )=q\sin(\theta -\psi )\cos \zeta -q\cos(\theta -\psi )\sin \zeta \,;$
donc
$\operatorname {tang} \zeta ={\frac {q\sin(\theta -\psi )}{p+q\cos(\theta -\psi )}}.$
Si l’on fait maintenant $\zeta ={\frac {\theta -\psi }{2}}-y,$ un calcul simple donnera immédiatement
$\operatorname {tang} y={\frac {p-q}{p+q}}\operatorname {tang} {\frac {\theta -\psi }{2}}.$
Cette dernière équation est, comme on voit, de la forme traitée dans le n$^o$ I ; elle n’exige qu’une Table à simple entrée, dont l’argument est ${\frac {\theta -\psi }{2}},$ $y$ étant l’angle cherché. Ayant trouvé cet angle, on aura $\zeta$ par la formule
$\zeta ={\frac {\theta -\psi }{2}}-y$
et finalement
$\varphi ={\frac {\theta +\psi }{2}}+y.$
L’artifice que je viens d’employer pour décomposer la formule donnée est fondé sur la construction géométrique de cette formule, et s’appliquerait peut-être difficilement à des cas plus compliqués. Nous allons examiner comment on peut procéder directement.
Dans ce but, j’emploierai un moyen que j’ai déjà utilisé avec avantage, et qui repose sur l’analogie qu’il y a entre passer d’une tangente à l’angle correspondant et prendre le logarithme d’un nombre.
En désignant par $e$ la base des logarithmes hyperboliques, on a, comme on sait,
$e^{\varphi {\sqrt {-1}}}=\cos \varphi +{\sqrt {-1}}\sin \varphi ,\quad {\text{et}}\quad e^{-\varphi {\sqrt {-1}}}=\cos \varphi -{\sqrt {-1}}\sin \varphi \,;$
donc
$e^{2\varphi {\sqrt {-1}}}={\frac {\cos \varphi +{\sqrt {-1}}\sin \varphi }{\cos \varphi -{\sqrt {-1}}\sin \varphi }}={\frac {1+{\sqrt {-1}}\operatorname {tang} \varphi }{1-{\sqrt {-1}}\operatorname {tang} \varphi }}.$
Si maintenant à la place de $\operatorname {tang} \varphi$ on substitue la valeur du n$^o$ II, en introduisant partout, au lieu des lignes trigonométriques, les expressions exponentielles, on aura
$e^{2\varphi {\sqrt {-1}}}=e^{2\theta {\sqrt {-1}}}{\frac {1+ae^{(\psi -\theta ){\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-(\psi -\theta ){\sqrt {-1}}}}}\,;$
si donc on fait
${\frac {1+ae^{(\psi -\theta ){\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-(\psi -\theta ){\sqrt {-1}}}}}=e^{2\varkappa {\sqrt {-1}}},$
on aura
$\varphi =\theta +\varkappa \,;$
l’angle $\varkappa$ dépend seulement, comme on voit, des angles $\varphi$ et $\theta .$
Pour abréger la solution, je prends $\psi -\theta =\zeta ,$ et je trouve, en réduisant,
$\operatorname {tang} \left(\varkappa -{\frac {\zeta }{2}}\right)={\frac {a-1}{a+1}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}},\quad {\text{ou}}\quad \operatorname {tang} \left({\frac {\zeta }{2}}-\varkappa \right)={\frac {1-a}{1+a}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}.$
On voit aisément que ce résultat revient absolument à celui du n$^o$ V. Si nous remettons en effet, à la place de $a,$ le rapport ${\frac {q}{p}}$ employé dans le n$^o$ III, et si nous prenons $\varkappa ={\frac {\zeta }{2}}+y,$ nous aurons
$\operatorname {tang} y={\frac {p-q}{p+q}}\operatorname {tang} {\frac {\theta -\psi }{2}},\quad {\text{puis}}\quad \varphi =\theta +\varkappa =\theta +{\frac {\zeta }{2}}+y={\frac {\theta +\psi }{2}}+y.$
Soit la formule $\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +a\sin \varphi +b\sin \chi }{\cos \theta +a\cos \varphi +b\cos \chi }}\,;$ on trouvera, comme précédemment et par la même méthode,
$e^{2\varkappa {\sqrt {-1}}}={\frac {1+ae^{(\psi -\theta ){\sqrt {-1}}}+be^{(\chi -\theta ){\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-(\psi -\theta ){\sqrt {-1}}}+be^{-(\chi -\theta ){\sqrt {-1}}}}},$
en faisant $\varphi =\theta +\varkappa .$
Soient, pour abréger, $\psi -\theta =\zeta ,\ \chi -\theta =\eta \,;$ on aura
$e^{2\varkappa {\sqrt {-1}}}={\frac {1+ae^{\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{\eta {\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{-\eta {\sqrt {-1}}}}},$
d’où
$\operatorname {tang} \left(\varkappa -{\frac {\zeta }{2}}\right)={\frac {(a-1)\sin {\frac {\zeta }{2}}+b\sin \left(\eta -{\frac {\zeta }{2}}\right)}{(a+1)\cos {\frac {\zeta }{2}}+b\cos \left(\eta -{\frac {\zeta }{2}}\right)}}.$
Si maintenant on prend l’angle $y$ de façon que
$\operatorname {tang} y={\frac {\sin \left(\chi -{\cfrac {\theta +\psi }{2}}\right)+{\cfrac {1-a}{b}}\sin {\cfrac {\theta -\psi }{2}}}{\cos \left(\chi -{\cfrac {\theta +\psi }{2}}\right)+{\cfrac {1+a}{b}}\cos {\cfrac {\theta -\psi }{2}}}},$
on trouvera comme précédemment
$\varkappa =y-{\frac {\theta -\psi }{2}},\quad {\text{d’où}}\quad \varphi ={\frac {\theta +\psi }{2}}+y\,;$
d’où l’on voit que l’angle $y$ et par suite aussi l’angle $\varphi$ n’exigent qu’une Table à double entrée, les arguments étant ${\frac {\theta -\psi }{2}}$ et $\chi -{\frac {\theta +\psi }{2}}\,;$ mais il ne paraît pas possible de substituer à cette Table une Table à simple entrée lorsque l’un des arguments n’est pas nul ou égal à un multiple de l’autre.
Le plus simple des cas où l’on peut substituer une Table à simple entrée à la Table à double entrée est celui où $\chi ={\frac {\theta +\psi }{2}}\,;$ on tirerait alors des formules du n$^o$ IX
$\varphi ={\frac {\theta +\psi }{2}}+y,\quad {\text{et}}\quad \operatorname {tang} y={\frac {{\cfrac {1-a}{b}}\sin {\cfrac {\theta -\psi }{2}}}{1+{\cfrac {1+a}{b}}\cos {\cfrac {\theta -\psi }{2}}}}\,;$
ainsi $y$ s’obtiendra par une Table à simple entrée, dont l’argument sera l’angle ${\frac {\theta -\psi }{2}}.$
En général, il ne me paraît pas possible de réduire la formule du n$^o$ IX en une ou plusieurs Tables à simple entrée ; toutefois, si les coefficients sont des fractions proprement dites, on peut y arriver en se bornant à des valeurs approchées. Dans ce but, je remarque que, si l’on pouvait décomposer la formule du n$^o$ X
${\frac {1+ae^{\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{\eta {\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{-\eta {\sqrt {-1}}}}}$
en facteurs de la forme
${\frac {1+\mathrm {A} e^{\alpha {\sqrt {-1}}}}{1+\mathrm {A} e^{-\alpha {\sqrt {-1}}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {1+\mathrm {B} e^{\beta {\sqrt {-1}}}}{1+\mathrm {B} e^{-\beta {\sqrt {-1}}}}},\quad \ldots ,$
on pourrait employer la méthode du n$^o$ VIII ; on représenterait ces facteurs par $e^{2\lambda {\sqrt {-1}}},\ e^{2\mu {\sqrt {-1}}},$ et l’on obtiendrait les équations
${\begin{aligned}\operatorname {tang} \left({\frac {\alpha }{2}}-\lambda \right)=&\mathrm {\frac {1-A}{1+A}} \operatorname {tang} {\frac {\alpha }{2}},\\\operatorname {tang} \left({\frac {\beta }{2}}-\mu \right)=&\mathrm {\frac {1-B}{1+B}} \operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}},\quad {\text{etc}}.,\end{aligned}}$
puis
$e^{2\varkappa {\sqrt {-1}}}=e^{2\lambda {\sqrt {-1}}}\times e^{2\mu {\sqrt {-1}}}=e^{2(\lambda +\mu +\ldots ){\sqrt {-1}}},$
d’où
$\varkappa =\lambda +\mu +\ldots ,$
et enfin
$\varphi =\theta +\lambda +\mu +\ldots .$
La plus grande valeur de l’angle $\lambda$ ne peut pas surpasser l’angle dont $\mathrm {A}$ est le sinus ; ce que l’on voit aisément par la théorie des maxima et des minima, en différentiant la formule qui détermine $\lambda ,$ ou encore au moyen de la construction du n$^o$ III. En effet, l’équation
$\operatorname {tang} \left({\frac {\alpha }{2}}-\lambda \right)=\mathrm {\frac {1-A}{1+A}} \operatorname {tang} {\frac {\alpha }{2}}$
est semblable à la formule du n$^o$ V, si l’on fait $\alpha =\theta -\psi ,\ \lambda =\zeta ,$ $\mathrm {A} ={\frac {q}{p}}\,;$ d’où il suit que si, dans notre figure, on fait $\mathrm {{\frac {BC}{AB}}=A,\ DBA} =\alpha ,$
$\mathrm {BAC} =\lambda \,;$
$\mathrm {BAC} ,$
$\mathrm {AB,AC}$
$\mathrm {ABC}$
$\mathrm {AC}$
$\mathrm {B}$
$\mathrm {BC} ,$
$\mathrm {BCA}$
$\mathrm {\frac {BC}{AB}} =\sin \mathrm {BAC} ,$
$\sin \lambda =\mathrm {A}$
$\lambda .$
Pareillement, la valeur maximum de $\mu$ est donnée par la formule $\sin \mu =\mathrm {B} ,$ et de même pour les autres.
D’où il suit que, si les coefficients $\mathrm {A,B} ,\ldots$ deviennent de plus en plus petits, les angles $\lambda ,\mu ,\ldots$ deviendront aussi très-petits ; par conséquent il suffira d’introduire dans le calcul un certain nombre convenable de ces angles pour parvenir au degré d’approximation que l’on veut.
Tout revient donc à décomposer la formule proposée en formules simples de la forme que nous venons de dire. Toutefois il est clair que cette décompositionne peut pas se faire exactement, mais seulement en négligeant les produits des coefficients $a,b,\ldots$ à partir d’un certain degré.
Si l’on veut décomposer le trinôme $1+p+q$ en un produit de facteurs, on pourra prendre $(1+p)(1+q),$ en négligeant le produit $pq.$ Si l’on ne veut négliger que les termes qui dépassent la deuxième dimension, on prendra
$1+p+q=(1+p)(1+q)(1-pq).$
Si l’on ne veut négliger que les termes qui dépassent la troisième dimension, on prendra
$1+p+q=(1+p)(1+q)(1-pq)\left(1+p^{2}q\right)\left(1+pq^{2}\right),$
et ainsi de suite, comme on le voit par un calcul facile.
De même, si l’on voulait décomposer l’expression $1+p+q+r$ en produits de facteurs, on trouvera, en négligeant successivement les produits de la deuxième, de la troisième, de la quatrième dimension,
${\begin{aligned}1+p+q+r=&(1+p)(1+q)(1+r)\\=&(1+p)(1+q)(1+r)(1-pq)(1-pr)(1-qr)\\=&(1+p)(1+q)(1+r)(1-pq)(1-pr)(1-qr)\\&\times \left(1+p^{2}r\right)\left(1+p^{2}q\right)\left(1+pq^{2}\right)\left(1+pr^{2}\right)\left(1+q^{2}r\right)\\&\times \left(1+qr^{2}\right)(1+2pqr),\end{aligned}}$
et ainsi de suite.
Si donc on néglige la troisième dimension des produits des coefficients $a,b,$ on pourra décomposer la formules
${\frac {1+ae^{\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{\eta {\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{-\eta {\sqrt {-1}}}}}$
dans les facteurs suivants
${\frac {1+ae^{\zeta {\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-\zeta {\sqrt {-1}}}}},\quad {\frac {1+be^{\eta {\sqrt {-1}}}}{1+be^{-\eta {\sqrt {-1}}}}},$
${\frac {1-abe^{(\zeta +\eta ){\sqrt {-1}}}}{1-abe^{-(\zeta +\eta ){\sqrt {-1}}}}},\quad {\frac {1+a^{2}be^{(2\zeta +\eta ){\sqrt {-1}}}}{1+a^{2}be^{-(2\zeta +\eta ){\sqrt {-1}}}}},\quad {\frac {1+ab^{2}e^{(\zeta +2\eta ){\sqrt {-1}}}}{1+ab^{2}e^{-(\zeta +2\eta ){\sqrt {-1}}}}}\,;$
il suit de là, d’après le n$^o$ XIII, que l’on aura à employer les formules
${\begin{aligned}&\operatorname {tang} \left({\frac {\zeta }{2}}-\lambda \right)={\frac {1-a}{1+a}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {\eta }{2}}\ -\mu \right)={\frac {1-b}{1+b}}\operatorname {tang} {\frac {\eta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {\zeta +\eta }{2}}-\tau \right)={\frac {1+ab}{1-ab}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta +\eta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {2\zeta +\eta }{2}}-\varpi \right)={\frac {1-a^{2}b}{1+a^{2}b}}\operatorname {tang} {\frac {2\zeta +\eta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {\zeta +2\eta }{2}}-\rho \ \right)={\frac {1-ab^{2}}{1+ab^{2}}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta +2\eta }{2}}.\end{aligned}}$
$\lambda ,\mu ,\tau ,\ldots$
$\varphi =\theta +\lambda +\mu +\tau +\varpi +\rho .$
L’erreur commise sera d’un ordre moindre que les angles dont les sinus sont $a^{2}b$ et $ab^{2}.$
En résumé, si l’on donne l’équation
$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +a\sin \psi +b\sin \zeta }{\cos \theta +a\cos \psi +b\cos \zeta }},$
dans laquelle $a$ et $b$ sont des fractions proprement dites, et si l’on veut déterminer l’angle $\varphi$ avec une erreur d’un ordre moindre que les angles dont les sinus sont plus petits que les produits $a^{2}b$ et $ab^{2},$ on prendra
$\varphi =\theta +\theta '+\theta ''+\theta '''+\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$
en déterminant les angles $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ par les équations
${\begin{aligned}&\operatorname {tang} \left({\frac {\psi -\theta }{2}}-\theta '\right)={\frac {1-a}{1+a}}\operatorname {tang} {\frac {\psi -\theta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {\zeta -\theta }{2}}-\theta ''\right)={\frac {1-b}{1+b}}\operatorname {tang} {\frac {\zeta -\theta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {\psi +\zeta -2\theta }{2}}-\theta '''\right)={\frac {1+ab}{1-ab}}\operatorname {tang} {\frac {\psi +\zeta -2\theta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {2\psi +\zeta -3\theta }{2}}-\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)={\frac {1-a^{2}b}{1+a^{2}b}}\operatorname {tang} {\frac {2\psi +\zeta -3\theta }{2}},\\&\operatorname {tang} \left({\frac {\psi +2\zeta -3\theta }{2}}\,-\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \right)={\frac {1-ab^{2}}{1+ab^{2}}}\operatorname {tang} {\frac {\psi +2\zeta -3\theta }{2}},\end{aligned}}$
dont chacune exige une Table à simple entrée.
Ces équations étant toutes semblables, je désignerai en général par $(m)(\varkappa )$ la valeur de l’angle $\zeta$ déterminée par l’équation
$\operatorname {tang} \left({\frac {\varkappa }{2}}-\zeta \right)={\frac {1-m}{1+m}}\operatorname {tang} {\frac {\varkappa }{2}}.$
Ainsi $(m)(x)$ exprimera une équation astronomique dont l’argument est $\varkappa ,$ et dont la valeur maximum est égale à l’arc dont le sinus est $m.$
Si l’on pose
${\sqrt {m}}=\operatorname {tang} {\frac {\mu }{2}},$
on aura
${\frac {1-m}{1+m}}=\cos \mu ,$
et l’équation précédente devient
$\operatorname {tang} \left({\frac {\varkappa }{2}}-\zeta \right)=\cos \mu \operatorname {tang} {\frac {\varkappa }{2}}.$
Cette équation est pareille à celle par laquelle on opère la réduction des planètes à l’écliptique, ou de l’écliptique à l’équateur. En outre, on peut remarquer que l’on a
${\begin{array}{lll}(m)(-\varkappa )=-(m)(\varkappa ),&(-m)(\varkappa )=-(m)(180^{\circ }-\varkappa ),\\\left({\cfrac {1}{m}}\right)(\varkappa )=-(m)(\varkappa ),&\left(-{\cfrac {1}{m}}\right)(\varkappa )=(m)(180^{\circ }-\varkappa ).\end{array}}$
Il suit de là que l’on a
$\theta '=(a)(\psi -\theta ),\quad \theta ''=(b)(\zeta -\theta ),\quad \ldots ,$
et que
${\begin{aligned}\varphi =\theta &+(a)(\psi -\theta )+(b)(\zeta -\theta )+(-ab)(\psi +\zeta -2\theta )\\&+(a^{2}b)(2\psi +\zeta -3\theta )+(ab^{2})(\psi +2\zeta -3\theta ).\end{aligned}}$
On décomposera de même la formule
$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +a\sin \psi +b\sin \zeta +c\sin \xi }{\cos \theta +a\cos \psi +b\cos \zeta +c\cos \xi }}.$
En négligeant les angles dont les sinus sont plus petits que les produits de la troisième dimension, on aura à résoudre treize équations, dont chacune exigera une Table à simple entrée.
Cela suffira pour mettre en lumière la théorie de ces transformations ; nous allons maintenant appliquer les propositions qui précèdent à la détermination des longitudes géocentriques des planètes.
Soient (fig. 2), à une époque quelconque,
$\mathrm {T}$
$\mathrm {S}$
$\mathrm {P}$
$\mathrm {SR}$
Par $\mathrm {T}$ menons la ligne $\mathrm {TMN}$ parallèle à $\mathrm {SR} \,;$ abaissons de $\mathrm {P}$ la perpendiculaire $\mathrm {PQ}$ sur le plan de l’écliptique, et traçons les lignes $\mathrm {QS}$ et $\mathrm {QT}$ qui joignent le lieu réduit de la planète aux points $\mathrm {S,T} ,$ la ligne $\mathrm {QRN}$ perpendiculaire à $\mathrm {TN} \,;$ enfin joignons les points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ par la droite $\mathrm {PR} .$
Appelons maintenant
$\rho \quad$
$\theta \quad$
$\omega \quad$
$r\quad$
$\psi \quad$
On aura dans notre figure $\mathrm {SP} =\rho ,$ $\mathrm {RSP} =\theta \,;$ $\mathrm {PRQ} =\omega$ (l’angle $\mathrm {SRP}$ dans le plan de l’orbite de la planète et l’angle $\mathrm {SRQ}$ dans le plan de l’écliptique sont droits) ; puis $\mathrm {TS} =r$ et $\mathrm {NTS} =\psi .$ Enfin soit $\varphi$ la longitude géocentrique de la planète comptée à partir de son nœud ascendant, ou l’excès de sa longitude géocentrique sur la longitude de son nœud ; on aura, dans la figure, $\mathrm {QTS} =\varphi ,$ puisque nous avons supposé que $\mathrm {Q}$ était le lieu de la planète réduit à l’écliptique.
Cela posé, on a
$\mathrm {PR=\rho \sin \theta ,\quad SR=\rho \cos \theta ,\quad QR=PR\cos \omega =\rho \sin \theta \cos \omega } ,$
$\mathrm {SM} =r\sin \psi ,\quad \mathrm {TM} =r\cos \psi ,\quad {\text{et}}\quad \operatorname {tang} \varphi =\mathrm {\frac {QN}{TN}} \,;$
mais
$\mathrm {QN=QR+SM,\quad TN=SR+TM} \,;$
donc
$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\rho \sin \theta \cos \omega +r\sin \psi }{\rho \cos \theta +r\cos \psi }}.$
Cette formule n’est pas tout à fait de la même forme que celles que nous avons traitées, mais on l’y ramènera-aisément en remarquant que
$\cos \omega \sin \theta ={\frac {1+\cos \omega }{2}}\sin \theta +{\frac {1-\cos \omega }{2}}\sin(-\theta ),$
et que
$\cos \theta ={\frac {1+\cos \omega }{2}}\cos \theta +{\frac {1-\cos \omega }{2}}\cos(-\theta )\,;$
d’ailleurs
${\frac {1+\cos \omega }{2}}=\cos ^{2}{\frac {\omega }{2}},\quad {\frac {1-\cos \omega }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\omega }{2}}\,;$
on aura donc, en remplaçant,
$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\rho \cos ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}\sin \theta +\rho \sin ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}\sin(-\theta )+r\sin \psi }{\rho \cos ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}\cos \theta +\rho \sin ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}\cos(-\theta )+r\cos \psi }},$
formule semblable à celle du n$^o$ IX, et qui serait tout à fait de la même nature si les grandeurs $r,p,\omega$ étaient constantes.
L’angle $\omega ,$ qui mesure l’inclinaison de l’orbite de la planète sur l’écliptique, peut être regardé comme une constante. Au contraire, le rayon de l’orbite, ou la distance de la planète au Soleil dépend de l’anomalie du Soleil et de la planète.
Soient donc
$\mathrm {A} \quad$
$\alpha \quad$
$s\quad$
on aura, comme on sait,
$r={\frac {\mathrm {A} \left(1-\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha \cos s}}.$
Soient maintenant
$\mathrm {B}$
$\beta \quad$
$t\quad$
on aura de même
$\rho ={\frac {\mathrm {B} \left(1-\beta ^{2}\right)}{1-\beta \cos t}}\,;$
il faudra substituer ces valeurs dans la formule du numéro précédent.
Le numérateur et le dénominateur seront alors multipliés par $(1-\alpha \cos s)(1-\beta \cos t)\,;$ en transformant les produits de sinus et de cosinus en simples sinus et cosinus, on trouvera, après réduction, une expression pour $\operatorname {tang} \varphi$ dont le numérateur sera une somme de différents sinus multipliés par certains coefficients, et dont le dénominateur sera tout semblable, sauf que les sinus devront être remplacés par des cosinus. Si, parmi ces coefficients, il s’en trouve un qui soit beaucoup plus grand que les autres, on divisera tous les termes du numérateur et du dénominateur par ce coefficient, et l’on parviendra, pour tang, à une expression pareille à celle des n$^{os}$ XVII et XIX ; on la traitera de la même façon.
C’est ce qui a lieu pour Jupiter et pour Saturne, leurs distances au Soleil étant, pour le premier, cinq fois au moins, pour le second, dix fois plus grandes que la distance de la Terre au Soleil. Aussi vais-je maintenant appliquer mes formules à la détermination des longitudes géocentriques de Jupiter et de Saturne, en poussant l’approximation jusqu’à $1$ minute de degré, ce qui suffit pour le calcul des Éphémérides. Cela nous permettra, d’après le n$^o$ XIV, de négliger, dans l’expression de $\operatorname {tang} \varphi ,$ tous les termes qui sont beaucoup plus petits que $\sin 1'$ ou que $0{,}0002909,$ ou, en nombre rond, que ${\frac {1}{3500}}.$
D’après cette supposition, je divise haut et bas l’expression de $\operatorname {tang} \varphi$ par $\rho \cos ^{2}{\frac {\omega }{2}},$ et j’obtiens
$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +{\cfrac {r\sin \psi }{\rho \cos ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}}}+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}\sin(-\theta )}{\cos \theta +{\cfrac {r\cos \psi }{\rho \cos ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}}}+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}\cos(-\theta )}}\,;$
mais
${\frac {r}{\rho }}=\mathrm {\frac {A\left(1-\alpha ^{2}\right)}{B\left(1-\beta ^{2}\right)}} \times {\frac {1-\beta \cos t}{1-\alpha \cos s}}\,;$
or on a
$\alpha <{\frac {1}{50}},$
et, pour Jupiter,
$\mathrm {\frac {A}{B}} <{\frac {1}{5}},\quad \beta <{\frac {1}{20}}\,;$
pour Saturne,
$\mathrm {\frac {A}{B}} <{\frac {1}{9}},\quad \mathrm {B} <{\frac {1}{17}}\,;$
donc $\mathrm {\frac {A}{B}} \alpha \beta$ est plus petit que ${\frac {1}{5000}}$ pour Jupiter, et que ${\frac {1}{7050}}$ pour Saturne ; on pourra, par suite, négliger les termes plus petits que $\mathrm {\frac {A}{B}} \alpha ^{2},$ $\mathrm {\frac {A}{B}} \alpha ^{2}\beta ,\ldots .$
On peut donc mettre la valeur de ${\frac {r}{\rho }}$ sous la forme
$\mathrm {\frac {A}{B}} {\frac {1-\alpha ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(1+\alpha \cos s-\beta \cos t).$
Si l’on pose, pour abréger,
$a=\mathrm {\frac {A\left(1-\alpha ^{2}\right)}{B\left(1-\beta ^{2}\right)\cos ^{2}{\frac {\omega }{2}}}} ,\quad b=\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}},$
$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +a\sin \psi (1+\alpha \cos s-\beta \cos t)+b\sin(-\theta )}{\cos \theta +a\cos \psi (1+\alpha \cos s-\beta \cos t)+b\cos(-\theta )}}\,;$
en transformant les produits de sinus et de cosinus, on obtiendra, pour le numérateur,
${\begin{aligned}\sin \theta +a\sin \psi +b\sin(-\theta )&+{\frac {a\alpha }{2}}\left[\sin(\psi +s)+\sin(\psi -s)\right]\\&-{\frac {a\beta }{2}}\left[\sin(\psi +t\,)+\sin(\psi -t)\right],\end{aligned}}$
et, pour le dénominateur,
${\begin{aligned}\cos \theta +a\cos \psi +b\cos(-\theta )&+{\frac {a\alpha }{2}}\left[\cos(\psi +s)+\cos(\psi -s)\right]\\&-{\frac {a\beta }{2}}\left[\cos(\psi +t\,)+\cos(\psi -t)\right].\end{aligned}}$
On aura donc pour $\varphi$ une expression semblâble à celle du n$^o$ XIX.
Maintenant, pour Jupiter,
$\omega =1^{\circ }19'10'',$
et, pour Saturne,
$\omega =2^{\circ }30'10''\,;$
par suite, $\cos ^{2}{\frac {\omega }{2}}$ est voisin de $1\,;$ la différence est, pour Saturne, plus petite que ${\frac {1}{2000}},$ et encore moindre pour Jupiter ; par conséquent, $a$ est voisin de $\mathrm {\frac {A}{B}} .$ On trouve ensuite, pour Jupiter, $b<{\frac {1}{7380}},$ et, pour Saturne, $b<{\frac {1}{2040}}\,:$ d’où l’on voit que l’on peut négliger les puissances
$b$
$b$
$a.$
$a\alpha$
$a\beta ,$
$a\beta$
$<{\frac {1}{100}},$
$a^{2}\beta ^{2},$
${\frac {1}{10000}}.$
$a^{4}\alpha$
$a^{4}\beta \,;$
$<{\frac {1}{12500}}\,;$
$a^{3}\alpha$
$a^{3}\beta \,;$
${\frac {1}{12390}}.$
Par suite de ces remarques, on aura, pour Saturne,
${\begin{aligned}\varphi =\theta &+(a)(\psi -\theta )-(b)(2\theta )\\&+\left({\frac {a\alpha }{2}}\right)(\psi +s-\theta )+\left({\frac {a\alpha }{2}}\right)(\psi -s-\theta )\\&+\left(-{\frac {a\beta }{2}}\right)(\ \psi +t-\ \ \theta )+\left(-{\frac {a\beta }{2}}\right)(\psi -t-\theta )\\&+\left({\frac {a^{2}\alpha }{2}}\right)(2\psi +s-2\theta )+\left({\frac {a^{2}\alpha }{2}}\right)(2\psi -s-2\theta )\\&+\left({\frac {a^{2}\beta }{2}}\right)(2\psi +t\ -2\theta )+\left(-{\frac {a^{2}\beta }{2}}\right)(2\psi -t-2\theta ).\end{aligned}}$
$\varphi$ représente ici la longitude géocentrique de la planète, comptée à partir du nœud ; $\theta$ est la longitude héliocentrique dans l’orbite, comptée à partir du même nœud on a donc, en ajoutant aux deux membres de l’équation la longitude du nœud ascendant,
${\begin{aligned}\mathrm {long.\ g{\acute {e}}oc} .{\text{Ϧ}}=&\mathrm {long.\ h{\acute {e}}lioc.\ dans\ l'orbite} \\&+(a)(\psi -\theta )-(b)(2\theta )+\ldots .\end{aligned}}$
Si l’on fait la distance du Soleil à la Terre $=0,$ la longitude géocentrique deviendra la longitude héliocentrique comptée dans l’écliptique ; tous les termes de l’équation précédente, sauf $-(b)(2\theta ),$ s’annulent à cause de $a=0.$ Par suite, notre équation devient
$\mathrm {long.\ h{\acute {e}}lioc.=long.\ dans\ l'orbite} -(b)(2\theta )\,;$
donc $(-b)(2\theta )$ n’est pas autre chose que la réduction de la planète à l’écliptique ; cela se vérifie d’ailleurs immédiatement.
Si donc on substitue à la longitude de la planète dans l’orbite la longitude dans l’écliptique, que l’on déduit aisément des Tables, on pourra négliger dans notre équation le terme $-(b)(2\theta ),$ et les termes restants exprimeront la différence entre les longitudes géocentrique et héliocentrique de la planète, ou ce que l’on appelle la parallaxe annuelle.
On peut en outre remarquer que, $\psi$ étant la longitude du Soleil, $\theta$ au contraire la longitude de la planète, comptées toutes deux à partir du nœud ascendant, $\psi -\theta$ sera l’angle de commutation de la planète, ou l’excès de sa longitude sur la longitude du Soleil. Si l’on désigne par $u$ cet angle de commutation, on aura, pour la longitude géocentrique de Saturne, l’équation suivante
${\begin{aligned}\mathrm {long.\ g{\acute {e}}oc} .{\text{Ϧ}}=&\mathrm {long.\ h{\acute {e}}lioc.} {\text{Ϧ}}+(a)(u)\\&+\left({\frac {a\alpha }{2}}\right)(u+s)+\left({\frac {a\alpha }{2}}\right)(u-s)\\&+\left(-{\frac {a\beta }{2}}\right)(u+t)+\left(-{\frac {a\beta }{2}}\right)(u-t)\\&+\left(-{\frac {a^{2}\alpha }{2}}\right)(2u+s)+\left(-{\frac {a^{2}\alpha }{2}}\right)(2u-s)\\&+\left({\frac {a^{2}\beta }{2}}\right)(2u+t)+\left({\frac {a^{2}\beta }{2}}\right)(2u-t),\end{aligned}}$
où $s=\operatorname {anom} .{\text{☉}},\ t=\operatorname {anom} .{\text{Ϧ}},\ u=\operatorname {long} .{\text{☉}}-\operatorname {long} .{\text{Ϧ}}.$
Pour Jupiter on trouve des formules semblables, sauf qu’on ne doit pas négliger les termes de l’ordre $a^{3}\alpha ,$ $a^{3}\beta \,:$ on a
${\begin{aligned}\mathrm {long.\ g{\acute {e}}oc} .\mathbb {Z} \!^{\upsilon }=&\mathrm {long.\ h{\acute {e}}lioc.} \mathbb {Z} \!^{\upsilon }+(a)(u)\\&+\left({\frac {a\alpha }{2}}\right)(u+s)+\left({\frac {a\alpha }{2}}\right)(u-s)\\&+\left(-{\frac {a\beta }{2}}\right)(u+t)+\left(-{\frac {a\beta }{2}}\right)(u-t)\\&+\left(-{\frac {a^{2}\alpha }{2}}\right)(2u+s)+\left(-{\frac {a^{2}\alpha }{2}}\right)(2u-s)\\&+\left({\frac {a^{2}\beta }{2}}\right)(2u+t)+\left({\frac {a^{2}\beta }{2}}\right)(2u-t),\\&+\left({\frac {a^{3}\alpha }{2}}\right)(3u+s)+\left({\frac {a^{3}\alpha }{2}}\right)(3u-s)\\&+\left(-{\frac {a^{3}\beta }{2}}\right)(3u+t)+\left(-{\frac {a^{3}\beta }{2}}\right)(3u-t),\end{aligned}}$
où $s=\operatorname {anom} .{\text{☉}},\ t=\operatorname {anom} .\mathbb {Z} \!^{\upsilon },\ u=\operatorname {long} .{\text{☉}}-\operatorname {long} .\mathbb {Z} \!^{\upsilon }.$
D’ailleurs, pour Jupiter, on a
${\frac {a^{3}\beta }{2}}<{\frac {1}{5000}},\quad {\text{et}}\quad {\frac {a^{3}\alpha }{2}}<{\frac {a^{3}\beta }{2}},$
car $\alpha$ est $<\beta \,;$ on peut donc supprimer sans scrupule les quatre derniers termes, si l’on ne tient pas à pousser la précision très-loin et s’il suffit d’avoir un nombre rond de minutes.
Il suffit donc de cinq Tables à simple entrée pour trouver commodément les longitudes géocentriques de Jupiter et de Saturne. Ces Tables se calculent aisément, car elles sont de la même forme que celles qui donnent la réduction de l’écliptique à l’équateur, ainsi que cela a été montré dans le n$^o$ XVIII.
Si, au resté, on ne veut pas faire directement le calcul par la formule (n$^o$ XVIII)
$\operatorname {tang} \left({\frac {\varkappa }{2}}-\zeta \right)={\frac {1-m}{1+m}}\operatorname {tang} {\frac {\varkappa }{2}},$
mais se servir d’une série infinie pour calculer $\zeta ,$ et il est aisé de déduire une telle série des formules précédentes.
En effet, la formule trouvée pour la longitude géocentrique de la planète étant semblable à la formule du n$^o$ XVIII, on la ramènera aisément à la suivante
$e^{2\zeta {\sqrt {-1}}}={\frac {1+me^{\varkappa {\sqrt {-1}}}}{1+me^{-\varkappa {\sqrt {-1}}}}},$
et, en prenant les logarithmes, on aura
$\zeta ={\frac {\log \left(1+me^{\varkappa {\sqrt {-1}}}\right)-\log \left(1+me^{-\varkappa {\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\,;$
développant les logarithmes en série et substituant les expressions trigonométriques aux expressions exponentielles, il vient
$\zeta =m\sin \varkappa -{\frac {m^{2}}{2}}\sin 2\varkappa +{\frac {m^{3}}{3}}\sin 3\varkappa -\ldots .$
On peut consulter sur ce sujet les Gedenkschriften der Königl. Akademie pour l’année 1776.
* ↑ Ce Mémoire a été traduit en allemand par Schulze, et inséré dans les Éphémérides de Berlin pour l’année 1781. Ne possédant pas le Mémoire original en français, nous donnons la traduction du texte allemand. (Note de l’Éditeur.)