# Sur le mouvement de la lumière dans les milieux diaphanes
### Sur le mouvement de la lumière dans les milieux diaphanes.

La lumière, en passant de l’air dans un milieu transparent non cristallisé, se réfracte de manière que les sinus de réfraction et d’incidence sont constamment dans le même rapport ; mais lorsqu’elle traverse la plupart des cristaux diaphanes, elle présente un singulier phénomène qui fut d’abord observé dans le cristal d’Islande, où il est très-sensible.
Un rayon qui tombe perpendiculairement sur une face d’un rhomboïde naturel de ce cristal, se divise en deux faisceaux : l’un traverse le cristal sans changer de direction ; l’autre s’en écarte dans un plan parallèle au plan mené perpendiculairement à la face, par l’axe du cristal, c’est-à-dire, par la ligne qui joint les deux angles solides obtus de ce rhomboïde, et qui, par conséquent, est également inclinée aux côtés de ces angles : le faisceau réfracté s’éloigne de l’axe, en formant avec lui un plus grand angle que le rayon incident. Nous nommerons section principale d’une face naturelle ou artificielle, tout plan mené par cet axe, perpendiculairement à la face. La division du rayon lumineux a généralement lieu relativement à une face quelconque, et quel que soit l’angle d’incidence : une partie suit la loi de la réfraction ordinaire ; l’autre partie suit une loi de réfraction extraordinaire, reconnue par Huyghens, et qui, considérée comme un résultat de l’expérience, peut être mise au rang des plus belles découvertes de ce rare génie. Il y fut conduit par l’ingénieuse manière dont il envisageoit la propagation de la lumière qu’il concevoit formée des ondulations d’un fluide éthéré. Il supposoit dans les milieux diaphanes ordinaires, la vîtesse de ces ondulations plus petites que dans le vide, et la même dans tous les sens ; mais dans le cristal d’Islande, il imaginoit deux espèces d’ondulations : dans l’une, la vîtesse étoit représentée, comme dans les milieux ordinaires, par les rayons d’une sphère dont le centre seroit au point d’incidence du rayon lumineux sur la face du cristal ; dans l’autre, la vîtesse étoit variable et représentée par les rayons d’un ellipsoïde de révolution, applati à ses pôles, ayant le même centre que la sphère précédente, et dont l’axe de révolution seroit parallèle à l’axe du cristal. Huyghens n’assignoit point la cause de cette variété d’ondulations ; et les phénomènes singuliers qu’offre la lumière, en passant d’un cristal dans un autre, et dont nous parlerons ci-après, sont inexplicables dans son hypothèse. Cela joint aux grandes difficultés que présente la théorie des ondes de lumière, est la cause pour laquelle Newton et la plupart des géomètres qui l’ont suivi, n’ont pas justement apprécié la loi d’Huyghens y avoit attachée. Ainsi cette loi a éprouvé le même sort que les belles lois de Képler, qui furent longtems méconnues, pour avoir été associées à des idées systématiques dont malheureusement ce grand homme a rempli tous ses ouvrages. Cependant Huyghens avoit vérifié sa loi par un grand nombre d’expériences. L’excellent physicien M. Wollaston ayant fait, par un moyen fort ingénieux, diverses expériences sur la double réfraction du cristal d’Islande, il les a trouvées conformes à cette loi remarquable. Enfin M. Malus vient de faire à cet égard, une suite nombreuse d’expériences très-précises sur les faces naturelles et artificielles de ce cristal, et il a constamment observé entre elles et la loi d’Huyghens, le plus parfait accord : on ne doit donc pas balancer à la mettre au nombre des plus certains comme des plus beaux résultats de la physique. L’analogie et des expériences directes ont fait voir à M. Malus, qu’elle s’étend encore au cristal de roche, et il est extrêmement vraisemblable qu’elle a lieu pour tous les cristaux qui réfractent doublement la lumière. L’axe de l’ellipsoïde qui leur est relatif, doit être déterminé par l’expérience ; et sa position par rapport aux faces naturelles du cristal, peut répandre un grand jour sur la nature des molécules intégrantes des substances cristallisées ; car ces molécules doivent, chacune, avoir les mêmes propriétés que le cristal entier.
Voici maintenant un phénomène que la lumière présente, après avoir subi une double réfraction. Si l’on place à une distance quelconque au-dessous d’un cristal, un second cristal de la même matière ou d’une matière différente, et disposé de manière que les sections principales des faces opposées, des deux cristaux soient parallèles ; le rayon réfracté, soit ordinairement, soit extraordinairement, par le premier, le sera de la même manière par le second : mais si l’on fait tourner l’un des cristaux, en sorte que les sections principales soient perpendiculaires entre elles, alors le rayon réfracté ordinairement par le premier cristal, le sera extraordinairement par le second, et réciproquement. Dans les positions intermédiaires, chaque rayon émergent du premier cristal se divisera à son entrée dans le second cristal, en deux faisceaux dont l’intensité respective, dépendante de l’angle que les sections principales font entre elles, varie suivant une loi qui n’est pas moins intéressante à connoître que celle de la double réfraction. Lorsqu’on eut fait remarquer à Huyghens ce phénomène dans le cristal d’Islande, il convint avec la candeur qui caractérise un ami sincère de la vérité, qu’il étoit inexplicable dans ses hypothèses ; ce qui montre combien il est essentiel de les séparer de la loi de réfraction, qu’il en avoit déduite. Ce phénomène indique avec évidence, que la lumière, en traversant les cristaux à double réfraction, reçoit deux modifications diverses en vertu desquelles une partie est rompue ordinairement, et l’autre partie est rompue extraordinairement ; mais ces modifications ne sont point absolues ; elles sont relatives à la position du rayon par rapport à l’axe du cristal, puisqu’un rayon rompu ordinairement par un cristal, est rompu extraordinairement par un autre, si les sections principales de leurs faces opposées sont perpendiculaires entre elles.
Il seroit bien intéressant de rapporter la loi d’Huyghens à des forces attractives et répulsives, ainsi que Newton l’a fait à l’égard de la loi de réfraction ordinaire : il est en effet, très-vraisemblable qu’elle dépend de semblables forces, et je m’en suis assuré par les considérations suivantes qui conduisent à une théorie nouvelle de ce genre de phénomènes.
On sait que le principe de la moindre action a généralement lieu dans le mouvement d’un point qui leur est soumis. En appliquant ce principe à la lumière, on peut faire abstraction de la courbe insensible qu’elle décrit dans son passage du vide dans un milieu diaphane, et supposer son mouvement uniforme, lorsqu’elle y a pénétré d’une quantité sensible. Le principe de la moindre action se réduit donc alors à ce que la lumière parvient d’un point pris au-dehors, à un point pris dans l’intérieur du cristal, de manière que si l’on ajoute le produit de la droite qu’elle décrit au-dehors, par sa vîtesse primitive, au produit de la droite qu’elle décrit au-dedans, par la vîtesse correspondante, la somme soit un minimum. Ce principe donne toujours la vîtesse de la lumière dans un milieu diaphane, lorsque la loi de la réfraction est connue ; et réciproquement il donne cette loi, quand on connoît la vîtesse. Mais une condition à remplir dans le cas de la réfraction extraordinaire, est que la vîtesse du rayon lumineux dans le cristal, soit indépendante de la manière dont il y est entré, et ne dépende que de sa position par rapport à l’axe du cristal, c’est-à-dire, de l’angle que ce rayon forme avec une ligne parallèle à l’axe. En effet, si l’on imagine une face artificielle perpendiculaire à l’axe, tous les rayons intérieurs également inclinés à cet axe, le seront également à la face, et seront évidemment soumis aux mêmes forces au sortir du cristal. Tous reprendront leur vîtesse primitive dans le vide ; la vîtesse dans l’intérieur est donc pour tous, la même.
En partant de ces données, je parviens aux deux équations différentielles que donne le principe de la moindre action, et dans lesquelles la vîtesse intérieure est une fonction indéterminée de l’angle que le rayon réfracté forme avec l’axe du cristal. J’examine ensuite les deux cas les plus simples auxquels je me borne, parce qu’ils renferment les lois de réfraction, jusqu’à présent observées. Dans le premier cas, le carré de la vîtesse de la lumière est augmenté dans l’intérieur du milieu, d’une quantité constante. On sait que ce cas est celui des milieux diaphanes ordinaires, et que cette constante exprime l’action du milieu sur la lumière. Les deux équations précédentes montrent qu’alors les rayons incident et réfracté sont dans un même plan perpendiculaire à la surface du milieu, et que les sinus des angles qu’ils forment avec la verticale, sont constamment dans le même rapport.
Après ce premier cas, le plus simple est celui dans lequel l’action du milieu sur la lumière, est égale à une constante, plus un terme proportionnel au carré du cosinus de l’angle que le rayon réfracté forme avec l’axe ; car cette action devant être la même de tous les côtés de l’axe, elle ne peut dépendre que des puissances paires du sinus et du cosinus de cet angle. L’expression du carré de la vîtesse intérieure, est alors de la même forme que celle de l’action du milieu. En la substituant dans les équations différentielles du principe de la moindre action, je détermine les formules de réfraction, relatives à ce cas, et je trouve qu’elles sont identiquement celles que donne la loi d’Huyghens ; d’où il suit que cette loi satisfait à la fois au principe de la moindre action, et à la condition que la vîtesse intérieure ne dépende que de l’angle formé par l’axe et par le rayon réfracté ; ce qui ne laisse aucun lieu de douter qu’elle est due à des forces attractives et répulsives dont l’action n’est sensible qu’à des distances insensibles. Jusqu’ici cette loi n’étoit qu’un résultat de l’observation, approchant de la vérité, dans les limites des erreurs dont les expériences les plus précises sont encore susceptibles ; maintenant on peut la considérer comme une loi rigoureuse, puisqu’elle en remplit toutes les conditions.
Une donnée précieuse pour déterminer la nature des forces dont elle dépend, est l’expression de la vîtesse, qui est égale à une fraction dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le rayon de l’ellipsoïde précédent, suivant lequel la lumière se dirige, la vîtesse dans le vide étant prise pour unité. La vîtesse du rayon ordinaire dans le cristal est, comme l’on sait, constante et égale à l’unité divisée par le rapport du sinus de réfraction au sinus d’incidence. Huyghens a reconnu par l’expérience, que ce rapport est à fort peu près représenté par le demi-axe de révolution de l’ellipsoïde ; ce qui lie entre elles les deux réfractions ordinaire et extraordinaire. Mais on peut démontrer de la manière suivante, que cette liaison remarquable est un résultat nécessaire de l’action du cristal sur la lumière, et qu’il ne dépend que de la considération qu’un rayon ordinaire se change en rayon extraordinaire, lorsque l’on change convenablement sa position par rapport à l’axe d’un nouveau cristal. Si ce rayon est perpendiculaire à la face artificielle du cristal coupé perpendiculairement à son axe, il est claire qu’une inclinaison infiniment petite de l’axe sur la face, produite par une section infiniment voisine de la première, suffit pour en faire un rayon extraordinaire. Cette inclinaison ne peut qu’altérer infiniment peu l’action du cristal, et la vîtesse du rayon dans son intérieur ; cette vîtesse est don alors celle du rayon extraordinaire, et par conséquent elle est égale à l’unité divisée par le demi-axe de révolution de l’ellipsoïde. Elle surpasse ainsi généralement celle du rayon extraordinaire, la différence des carrés de ces deux vîtesses étant proportionnelle au carré du sinus de l’angle que l’axe forme avec ce dernier rayon : cette différence représente celle de l’action du cristal sur ces deux espèces de rayons. Elle est la plus grande, lorsque le rayon incident sur une face artificielle menée par l’axe du cristal, est dans un plan perpendiculaire à cet axe : alors la réfraction extraordinaire suit la même loi que la réfraction ordinaire ; seulement, le rapport des sinus de réfraction et d’incidence, qui dans le cas de la réfraction ordinaire, est le demi-petit axe de l’ellipsoïde, est égal au demi-grand axe dans la réfraction extraordinaire.
Suivant Huyghens, la vîtesse du rayon extraordinaire dans le cristal, est exprimée par le rayon même de l’ellipsoïde ; son hypothèse ne satisfait donc point au principe de la moindre action ; mais il est remarquable qu’elle satisfasse au principe de Fermat, qui consiste en ce que la lumière parvient d’un point pris au-dehors du cristal, à un point pris dans son intérieur, dans le moins de tems possible ; car il est visible que ce principe revient à celui de la moindre action, en y renversant l’expression de la vîtesse. Ainsi l’un et l’autre de ces principes conduisent à la loi de la réfraction, découverte par Huyghens, pourvu que dans le principe de Fermat, on prenne avec Huyghens, le rayon de l’ellipsoïde pour représenter la vîtesse, et que, dans le principe de la moindre action, ce rayon représente le tems employé par la lumière à parcourir un espace déterminé pris pour unité. Si les axes de l’ellipsoïde sont égaux entre eux, il devient une sphère, et la réfraction se change en réfraction ordinaire. Ainsi dans ces phénomènes, la nature, en allant du simple au composé, fait succéder les formes elliptiques à la forme circulaire, comme dans les mouvemens et la figure des corps célestes.
L’identité de la loi d’Huyghens avec le principe de Fermat a lieu généralement, quel que soit le sphéroïde qui, dans son hypothèse, représente la vîtesse intérieure. Je fais voir très-simplement que cette identité résulte de la manière ingénieuse dont Huyghens envisage la propagation des ondes de lumière ; en sorte que cette manière, quoique très-hypothétique, représente encore toutes les lois de réfraction, qui peuvent être dues à des forces attractives et répulsives ; puisque le principe de Fermat donne les mêmes lois que celui de la moindre action, en y renversant l’expression de la vîtesse.
Pour compléter la théorie précédente, je déduis des formules de réfraction, données par le principe de la moindre action, la réflexion de la lumière par les surfaces intérieures des cristaux diaphanes. À leurs surfaces extérieures, elle se réfléchit en faisant l’angle de réflexion égal à l’angle d’incidence ; mais aux surfaces intérieures, un rayon, soit ordinaire, soit extraordinaire, se réfléchit en partie, et se divise par cette réflexion, en deux faisceaux dont je détermine les directions respectives. M. Malus a, le premier, rattaché ces réflexions à la loi de réfraction d’Huyghens, et il a fait à cet égard un grand nombre d’expériences. Leur accord remarquable avec les résultats du principe de la moindre action, achève de démontrer que tous les phénomènes de la réfraction et de la réflexion de la lumière dans les cristaux, sont le résultat de forces attractives et répulsives.
Descartes est le premier qui ait publié la vraie loi de la réfraction ordinaire, que Képler et d’autres physiciens avoient inutilement cherchée. Huyghens affirme dans sa Dioptrique, qu’il l’a vue présentée sous une autre forme, dans un manuscrit de Snellius, qu’on lui a dit avoir été communiqué à Descartes, et d’où peut-être, ajoute-t-il, ce dernier a tiré le rapport constant des sinus de réfraction et d’incidence. Mais cette réclamation tardive d’Huyghens, en faveur de son compatriote, ne me paroît pas suffisante pour enlever à Descartes, le mérite d’une découverte que personne ne lui a contestée de son vivant. Ce grand géomètre l’a déduite des deux propositions suivantes : l’une, que la vîtesse de la lumière parallèle à la surface d’incidence n’est altérée ni par la réflexion ni par la réfraction ; l’autre, que la vîtesse est différente dans les milieux divers, et plus grande dans ceux qui réfractent plus la lumière. Descartes en a conclu que si, dans le passage d’un milieu dans un autre moins réfringent, l’inclinaison du rayon lumineux est telle que l’expression du sinus de réfraction soit égale ou plus grande que l’unité, alors la réfraction se change en réflexion, les deux angles de réflexion et d’incidence étant égaux. Tous ces résultats sont conformes à la nature, comme Newton l’a fait voir pour la théorie des forces attractives ; mais les preuves que Descartes en a données sont inexactes, et il est assez remarquable qu’Huyghens et lui soient parvenus, au moyen de théories incertaines ou fausses, aux véritables lois de la réfraction de la lumière. Descartes eut à ce sujet, avec Fermat une longue querelle que les cartésiens prolongèrent après sa mort, et qui fournit à Fermat l’occasion heureuse d’appliquer sa belle méthode de maximis et minimis, aux expressions radicales. En considérant cette matière sous un point de vue métaphysique, il chercha la loi de la réfraction, par le principe que nous avons exposé précédemment, et il fut très-surpris d’arriver à celle de Descartes. Mais ayant trouvé que, pour satisfaire à son principe, la vitesse de la lumière devoit être plus petite dans les milieux diaphanes que dans le vide, tandis que Descartes la supposoit plus grande ; il se confirma dans la pensée que les démonstrations de ce grand géomètre étoient fautives. Maupertuis convaincu par les raisonnemens de Newton, de la vérité des suppositions de Descartes, reconnut que la fonction qui dans le mouvement de la lumière est un minimum, n’est pas, comme Fermat le suppose, la somme des quotiens, mais celle des produits des espaces décrits, par les vîtesses correspondantes. Ce résultat étendu à l’intégrale du produit de l’élément de l’espace, par la vîtesse dans les mouvemens variables, a conduit Euler au principe de la moindre action, que M. de la Grange ensuite a dérivé des lois primordiales du mouvement. L’usage que je fais de ce principe, soit pour reconnoître si la loi de réfraction extraordinaire donnée par Huyghens dépende de forces attractives ou répulsives, et pour l’élever ainsi au rang des lois rigoureuses, soit pour déduire réciproquement l’une de l’autre, les lois de la réfraction et de la vîtesse de la lumière dans les milieux diaphanes, m’a paru mériter l’attention des physiciens et des géomètres.
Voici présentement mon analyse. Abaissons d’un point quelconque de la direction du rayon lumineux dans le vide, une perpendiculaire sur la face du cristal ; nommons p cette perpendiculaire, θ l’angle d’incidence du rayon, et ω l’angle que sa projection forme avec une droite invariable située dans le plan de la face, et passant par le point d’incidence du rayon : nommons pareillement p’, θ’ et ω’ les mêmes quantités relatives au rayon réfracté : p + p’ sera la distance des deux plans parallèles à la face, et passant respectivement par les deux points pris sur les directions des deux rayons incident et réfracté. La distance des deux plans passant respectivement par les mêmes points, perpendiculairement à la face, et parallèlement à la droite invariable, sera
$p\operatorname {tang} \theta .\sin \omega +p'\operatorname {tang} \theta '.\sin \omega '$
Enfin la distance des deux plans passant respectivement par les mêmes points, perpendiculairement à la face, et à la droite invariable, sera
$p\operatorname {tang} \theta .\cos \omega +p'\operatorname {tang} \theta '.\cos \omega '$
Si l’on fait varier les angles θ, ω, θ’ et ω’, de manière que les deux points pris sur les directions des rayons, soient fixes ; ces trois distances resteront les mêmes, et l’on aura les deux équations différentielles
$\scriptstyle {0\ =\ {\frac {p\ d\theta .\sin \omega }{\cos ^{2}\theta }}\ +\ p\ d\omega .\operatorname {tang} \theta .\cos \omega \ +\ {\frac {p'\ d\theta '.\sin \omega '}{\cos ^{2}\theta '}}\ +\ p'\ d\omega '.\operatorname {tang} \theta '.\cos \omega '}$
$\scriptstyle {0\ =\ {\frac {p\ d\theta .\cos \omega }{\cos ^{2}\theta }}\ -\ p\ d\omega .\operatorname {tang} \theta .\sin \omega \ +\ {\frac {p'\ d\theta '.\cos \omega '}{\cos ^{2}\theta '}}\ -\ p'\ d\omega '.\operatorname {tang} \theta '.\sin \omega '}$
fonction $\textstyle {\frac {p}{\cos \theta }}+\textstyle {\frac {p'v}{\cos \theta '}}$, doit être un minimum, v étant la vîtesse du rayon dans l’intérieur du cristal, lorsqu’il y a pénétré d’une quantité sensible, sa vîtesse dans le vide étant prise pour unité ; car on peut négliger la partie de l’intégrale $\textstyle \int {vds}$, relative à la courbe imperceptible que décrit le rayon à son passage dans le cristal, et dont nous exprimons l’élément par ds. On a donc
$\scriptstyle {0\ =\ {\frac {p\ d\theta .\sin \theta }{\cos ^{2}\theta }}\ +\ {\frac {p'\ vd\theta '.\sin \theta '}{\cos ^{2}\theta '}}\ +\ {\frac {p'}{\cos \theta '}}.\left\{\left({\frac {dv}{d\theta '}}\right).d\theta '\ +\ \left({\frac {dv}{d\omega '}}\right).d\omega '\right\}}$
La première des trois équations différentielles précédentes, multipliée par sin ω, et ajoutée à la seconde multipliée par cos ω, donne
Cette valeur de $$, substituée dans la troisième équation différentielle, donne