# L’Encyclopédie/1re édition/BRACHYSTOCHRONE

BRACHYSTOCHRONE, s. f. (Méchanique.) est le nom que feu M. Bernoulli, professeur de Mathématique à Bâle, a donné à une courbe ACB (fig. 68. Méchan.) dont la propriété est telle qu’un corps qui tombe du point A, en vertu de sa pesanteur, le long de la concavité de cette courbe, arrive de A en B en moins de tems qu’il n’y arriveroit, s’il descendoit le long de tout autre courbe ADB, passant par les
de la ligne droite AB.
Ce mot vient de deux mots Grecs, savoir, βραχύστος, superlatif de βραχὺς, qui signifie vîte, prompt, & χρόνος, tems. La courbe brachystochrone s’appelle aussi courbe ou ligne de la plus vîte descente.
Feu M. Bernoulli proposa aux Géometres en 1697, de déterminer quelle étoit cette courbe. Le problème fut résolu par M. Jacques Bernoulli son frere, alors professeur de Mathématique à Bâle, par M. Leibnitz, par M. le Marquis de l’Hôpital, & par M. Newton. M. Bernoulli avoit averti les Géometres dans son programme, que la ligne droite AB, passant par les deux points A, B, quoiqu’elle fût la plus courte de toutes celles qu’on pouvoit faire passer par ces points, n’étoit pas néanmoins celle qu’un corps pesant, tombant de A, devoit parcourir en moins de tems ; & en effet, on trouva que c’étoit une cycloïde, ou plûtôt un arc de cycloïde passant par les points A, B, & dont le point A étoit l’origine. V. Cycloïde.
Il n’est pas impossible de faire sentir à ceux même qui sont peu versés dans la Méchanique transcendante, comment il peut se faire que la ligne droite AB ne soit pas la ligne de la plus courte descente. Car, imaginons la ligne horisontale EC qui partage la courbe ACB en deux parties AC, CB, telles que la partie AC soit plus courte que AE, & la partie CB plus longue que EB ; il est certain que le corps A arrivera en C plûtôt qu’il n’arriveroit en E, puisqu’il aura moins de chemin à faire. Il est vrai qu’il employera ensuite plus de tems à parcourir CB, qu’il n’en mettra à parcourir EB ; mais il faut remarquer que les tems employés à parcourir les lignes AE, AC, CB, EB, ne sont point entr’eux comme ces lignes, parce que le corps ne les décrit pas d’un mouvement uniforme ; ainsi il ne doit pas paroître impossible que l’excès du tems par AE sur le tems par AC, soit plus grand que l’excès du tems par CB sur le tems par EB. Ainsi de ce que la ligne droite AB est plus courte que la ligne courbe ACB, il ne s’ensuit nullement que la ligne droite AB doive être descendue en moins de tems que la ligne courbe ACB. L’espece de raisonnement métaphysique que nous venons de faire, peut bien servir à faire soupçonner que la ligne de la plus vîte descente peut être une courbe : mais ce raisonnement ne sauroit jamais être une démonstration. C’est par le calcul seul qu’on peut s’assûrer si ce qu’on a soupçonné est vrai, & le calcul démontre en effet qu’on a soupçonné juste. Voici à peu près comment on s’y prend pour déterminer la courbe de la plus vîte descente. Soit ACB cette courbe, & ayant pris un arc infiniment petit Cc, soit imaginé un arc quelconque infiniment petit COc, terminé aux points C, c ; il est évident que le corps pesant arrivé en C, doit parcourir l’arc Cc, en moins de tems que l’arc COc. Car s’il étoit moins de tems à parcourir l’arc COc, alors ce seroit ACOcB, & non ACB qui seroit la courbe de la plus vîte descente, ce qui est contre l’hypothese. Ainsi la propriété de la courbe dont il s’agit, est telle, qu’un de ses arcs quelconques infiniment petits Cc, est parcouru en moins de tems que tout autre arc infiniment petit COc, passant par les mêmes points C, c.
Maintenant soient imaginés les points infiniment proches C, c, & soit cherchée sur la ligne horisontale QL, la position du point K, tel, que CKc soit parcouru en moins de tems que tout autre chemin Ckc, passant par C & c, on trouvera (Voyez Réfraction) en menant les lignes KR, cr, perpendiculaires à QL, que le sinus de l’angle CKR doit être au sinus de Kcr, comme la vîtesse le long de CK à la vîtesse le long de Kc : d’où il s’ensuit que la courbe cherchée doit être telle que le sinus de l’angle qu’un de ses côtés quelconque infiniment petit CK fait avec la verticale KR, soit proportionnel à la vîtesse en K ; laquelle vîtesse est comme la racine quarrée de la hauteur d’où le corps est parti. Or en achevant le calcul, ou trouve que cette propriété convient à la cycloïde. Voyez Cycloïde.
Si l’on supposoit qu’un corpuscule de lumiere traversât l’atmosphere, de maniere qu’il arrivât d’un point à un autre dans le plus court tems possible, la courbe qu’il décriroit seroit une brachystochrone, pourvû que l’on fit certaines hypotheses sur la densité du milieu. Voyez Réfraction, Action, Causes finales.
Voyez dans les Mémoires de l’Academ. de 1718. deux solutions du problème de la brachystochrone, données par M. Bernoulli, & toutes deux fort simples. Galilée a cru faussement que la brachystochrone étoit un arc de cercle. La Géométrie de son tems n’étoit pas encore assez avancée pour résoudre ce problème. On trouve dans le second volume de la Méchanique de M. Euler, imprimé à Petersbourg 1736. une solution très-élegante de ces problèmes & des theorèmes fort simples & fort généraux sur les propriétés de la brachystochrone ; la solution du probleme devient beaucoup plus difficile lorsqu’on suppose que le corps se meut dans un milieu résistant, parce qu’alors la vitesse ne dépend pas de la hauteur seule. M. Euler a donné aussi la brachystochrone pour ce cas-là, ce que personne n’avoit encore fait avant lui. (O)