# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/QUESTIONS PROPOSÉES/Si des droites
## QUESTIONS PROPOSÉES.

Si des droites, au nombre de plus de trois, sont tracées sur un même plan, elles se couperont en divers points, et, en prenant deux à deux, de toutes les manières possibles, ceux de ces points qui n’appartiendront pas à une même droite, on pourra y faire passer de nouvelles droites qui se couperont et couperont les premières en de nouveaux points : opérant sur ces droites, considérées conjointement avec les premiers, comme on avait fait sur celles-ci, on formera une troisième série de droites et de points, et cette troisième série pourra, par un semblable procédé, donner naissance à une quatrième, puis à une cinquième, et ainsi de suite ; de manière qu’en général le nombre, tant des points que des droites du système, pourra être augmenté indéfiniment.
Ces choses ainsi entendues, soit tracé sur un même plan deux systèmes $\mathrm {(S)}$ et $(\Sigma )$ composés l’un et l’autre de $m$ droites, $m$ étant au moins égal à trois ; soit ensuite déduit des $m$ droites de chaque système,
de la manière qui vient d’être expliquée, tant de séries de droites et de points qu’on voudra ; soit alors désigné par $d,d',d''$, …toutes les droites du premier système, et par $\delta ,\delta ',\delta ''$, … leurs correspondantes dans le second ; soit en outre désigné par $p,p',p''$, … les points du premier système et par $\varpi ,\varpi ',\varpi ''$, … leurs correspondans dans le second ; soit enfin désigné par $\mathrm {D,D',D''}$, … de nouvelles droites indéfinies qui passent par les points correspondant des deux systèmes.
Cela posé, on propose de démontrer 1.$^o$ que, le système $\mathrm {(S)}$ étant construit arbitrairement, il est toujours possible de construire le système $\mathrm {(\Sigma )}$ de telle manière que, dans la série des droites $\mathrm {D,D',D''}$, … il s’en trouve $2m-3$ qui soient parallèles ou qui concourent en un même point ; 2.$^o$ que, s’il en est ainsi, toutes les autres droites de la série $\mathrm {D,D',D''}$, … lesquelles pourront se trouver en nombre infini, seront d’elles-mêmes parallèles aux premières, ou concourront au même point qu’elles ; 3.$^o$ enfin que, dans la même hypothèse, les points de concours des droites correspondantes des deux systèmes, telles que $d{\text{ et }}\delta ,d'{\text{ et }}\delta ',d''{\text{ et }}\delta ''$, … lesquels points pourront être aussi en nombre infini, seront tous situés sur une même droite.
* ↑ Pour se former une idée nette de ces notations et de ce qu’on entend ici par points correspondans et droites correspondantes dans les deux systèmes, on peut supposer qu’on a d’abord désigné arbitrairement par les $m$ premières lettres $d,d',d''$, … les $m$ droites primitives du système $\mathrm {(S)}$, et par les $m$ premières lettres $\delta ,\delta ',\delta ''$, … les $m$ droites primitives du système $\mathrm {(\Sigma )}$ ; regardant alors comme droites correspondantes, dans les deux systèmes, celles qui se trouveront désignées par $d{\text{ et }}\delta$ affectés des mêmes accens, on considérera comme points correspondans ceux qui seront déterminés par l’intersection des droites correspondantes, et on les désignera par $p{\text{ et }}\varpi$ affectés d’un pareil nombre d’accens : on considérera également comme de nouvelles droites correspondantes, celles qui seront assujetties à passer par des points correspondans, et on continuera à les designer par les lettres $d{\text{ et }}\delta$ affectées des mêmes accens ; joignant enfin, par des droites indéfinies, les points correspondans des deux systèmes, on désignera par $\mathrm {D}$ celle qui joindra $p{\text{ et }}\varpi$, par $\mathrm {D'}$ celle qui joindra $p'{\text{ et }}\varpi '$, et ainsi de suite.