# Œuvres de Lagrange/Pièces diverses/Essai d’Analyse numérique sur la transformation des fractions
### ESSAI D’ANALYSE NUMÉRIQUE SUR LA TRANSFORMATION DES FRACTIONS.

1. Considérons la fraction $\mathrm {\frac {A}{B}} ,$ qu’on suppose moindre que l’unité, et réduite à sa plus simple expression, en sorte que les nombres $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ soient premiers entre eux. Si l’on demandait de transformer cette fraction en une autre dont le numérateur ou le dénominateur fût donné, il est clair que cela ne serait possible, à la rigueur, qu’autant que le nouveau numérateur ou dénominateur serait un multiple du numérateur ou dénominateur donné. Mais, si l’on veut se contenter d’une approximation, le Problème est toujours résoluble, et il s’agira de déterminer la nouvelle fraction, de manière qu’elle approche le plus qu’il est possible de la fraction donnée.
2. Ainsi, en désignant par ${\frac {m}{a}}$ cette nouvelle fraction, dans laquelle $m$ ou $a$ est supposé donné, le Problème consistera à déterminer $a$ ou $m,$ en sorte que la différence entre les deux fractions $\mathrm {\frac {B}{A}}$ et ${\frac {m}{a}}$ soit la plus petite qu’il est possible. Or cette différence est ${\frac {\mathrm {B} a-\mathrm {A} m}{\mathrm {A} a}}.$ Il s’agira donc de déterminer $a$ ou $m,$ de manière que le nombre $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m$ devienne le plus petit ; et, pour cela, il est visible qu’il n’y aura qu’à prendre pour $a$ le quotient de $\mathrm {A} m$ divisé par $\mathrm {B} ,$ ou pour $m$ le quotient de $\mathrm {B} a$ par $\mathrm {A} \,:$ alors la valeur de $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m$ sera égale au reste de ces divisions, et sera par conséquent moindre que le diviseur.
3. Mais on doit observer ici que le reste d’une division peut être positif ou négatif, suivant qu’on prendra pour quotient le nombre qui, étant multiplié par le diviseur, sera immédiatement moindre ou plus grand que le dividende. Dans l’Arithmétique ordinaire, on fait toujours la division de manière que les restes soient positifs ; mais, dans la théorie générale des nombres, on peut employer également des restes positifs ou négatifs, et l’on peut même, par ce moyen, faire en sorte que le reste soit toujours moindre que la moitié du diviseur ; car il est évident que, si le reste positif est plus grand que cette moitié, en augmentant le quotient d’une unité, il faudra retrancher le diviseur du reste, ce qui donnera un reste négatif et moindre que la moitié du diviseur.
On peut, pour plus de simplicité, appeler division en dedans celle où le reste est positif, et division en dehors celle qui donne un reste négatif, parce qu’en effet, dans la première, le produit du quotient par le diviseur tombe en dedans du dividende, et que, dans la seconde, il tombe en dehors.
4. Soit donc $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm \mathrm {C} ,$ en sorte que $\pm \mathrm {C}$ soit le reste de la division de $\mathrm {B} a$ par $\mathrm {A} ,$ et $m$ le quotient, ou $\mp \mathrm {C}$ le reste de la division de $\mathrm {A} m$ par $\mathrm {B} ,$ et $a$ le quotient, on aura
$\mathrm {\frac {B}{A}} -{\frac {m}{a}}=\pm {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {A} a}},$
et par conséquent
$\mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {A} a}}.$
On pourra donc traiter de la même manière la fraction $\mathrm {\frac {C}{A}} ,$ dans laquelle $\mathrm {C}$ est toujours nécessairement moindre que $\mathrm {A} ,$ et la réduire à une autre fraction connue ${\frac {n}{b}},$ dont le numérateur ou le dénominateur soit donné, et qui approche le plus qu’il est possible de la même fraction.
On fera ainsi $\mathrm {C} b-\mathrm {A} n=\pm \mathrm {D} ,$ où $\pm \mathrm {D}$ sera le reste de la division de $\mathrm {C} b$ par $\mathrm {A} ,$ et $n$ le quotient, si le dénominateur $b$ est donné ; et, si c’est le numérateur $n$ qui est donné, $\mp \mathrm {C}$ sera le reste de la division de $\mathrm {A} n$ par $\mathrm {C} ,$ et $b$ le quotient.
On aura de cette manière
$\mathrm {\frac {C}{A}} ={\frac {n}{b}}\pm {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {A} b}}.$
On pourra, si l’on veut, continuer de même, en faisant
$\mathrm {D} c-\mathrm {A} p=\pm \mathrm {E} ,$
et l’on aura
$\mathrm {\frac {D}{A}} ={\frac {p}{c}}\pm {\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {A} c}},$
et ainsi de suite.
5. Nous remarquerons ici que, le nombre $\mathrm {B}$ étant moindre que $\mathrm {A}$ par l’hypothèse, les nombres suivants $\mathrm {C,D} ,\ldots$ seront aussi moindres que $\mathrm {A} ,$ puisque ce sont les restes de la division $\mathrm {B} a,\mathrm {C} b,\ldots$ par $\mathrm {A} .$ D’où il est facile de conclure que les numérateurs $m,n,p,\ldots$ ne pourront jamais être plus grands que leurs dénominateurs respectifs $a,b,c,\ldots .$
Car, en considérant l’équation $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm \mathrm {C} ,$ si $\mathrm {B} a>\mathrm {A} m,$ on aura
$\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\mathrm {C} \,;$
donc $\mathrm {A} m=\mathrm {B} a-\mathrm {C} <\mathrm {B} a\,;$ mais $\mathrm {A}$ étant $>\mathrm {B} ,$ il s’ensuit que $m$ sera nécessairement $<a.$ Si, au contraire, $\mathrm {A} m>\mathrm {B} a,$ on aura
$\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=-\mathrm {C} \,;$
donc $\mathrm {A} m=\mathrm {B} a+\mathrm {C} ,$ et de là $\mathrm {A} (m-1)=\mathrm {B} a+\mathrm {C} -\mathrm {A} \,;$ mais, $\mathrm {A}$ étant $>\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C-A}$ sera un nombre négatif ; donc on aura
$\mathrm {A} (m-1)<\mathrm {B} a\,;$
donc $\mathrm {B}$ étant $<\mathrm {A} ,$ $m-1$ sera nécessairement $<a,$ et par conséquent $m<a+1.$
$\mathrm {C} b-\mathrm {A} n=\pm \mathrm {D} ,$
$n<b+1,$
Lorsque les dénominateurs $a,b,\ldots$ sont donnés, et qu’on détermine les numérateurs $m,n,\ldots$ de manière que les restes des divisions de $\mathrm {B} a,\mathrm {C} b,\ldots$ par $\mathrm {A}$ soient positifs, alors il résulte de la démonstration précédente qu’on aura nécessairement $m<a,\ n<b,\ p<c,\ldots .$
6. En substituant successivement les valeurs de $\mathrm {{\frac {C}{A}},{\frac {D}{A}}} ,\ldots ,$ on aura cette suite de transformées
${\begin{aligned}\mathrm {\frac {B}{A}} &={\frac {m}{a}}\pm {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {A} a}}\\&={\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {A} ab}}\\&={\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {p}{abc}}\pm {\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {A} abc}}\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
où il faut remarquer, à l’égard des signes ambigus, que le premier est le même que celui du premier reste ; que le second doit être le produit de ceux des deux premiers restes ; que le troisième doit être le produit de ceux des trois premiers restes, et ainsi de suite.
Ces transformations ont l’avantage de réduire la fraction donnée à une suite de fractions décroissantes dont les numérateurs ou les dénominateurs soient donnés, et qui approchent le plus qu’il est possible de la fraction donnée.
7. Si les dénominateurs $a,b,c,\ldots$ sont supposés donnés et tous égaux entre eux, alors la série prend cette forme plus simple
$\mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{a^{2}}}\pm {\frac {p}{a^{3}}}\pm \ldots ,$
et il est facile de voir que si l’on fait $a=10,$ et qu’on prenne tous restes positifs, c’est-à-dire, qu’on fasse toutes les divisions en dedans comme
$\mathrm {\frac {B}{A}}$
$m,n,p,\ldots$
$m$
$\mathrm {B} a$
$10\mathrm {B}$
$\mathrm {A} ,$
$\mathrm {C}$
$n$
$a\mathrm {C}$
$10\mathrm {C}$
$\mathrm {A} ,$
$\mathrm {D}$
Si l’on prenait pour $a$ les nombres $2,3,12,\ldots ,$ on aurait la réduction de la fraction $\mathrm {\frac {B}{A}}$ en fractions binaires, ternaires, duodécimales, etc.
8. Je remarque maintenant que, lorsque tous les dénominateurs sont donnés et égaux, les numérateurs $m,n,p,\ldots$ doivent nécessairement revenir les mêmes et former une série périodique ; car, les restes $\mathrm {C,D,E} ,\ldots$ étant tous moindres que le diviseur $\mathrm {A} ,$ il arrivera nécessairement que, dans la suite des opérations, un des restes sera répété. Supposons, par exemple, que le reste $\mathrm {E}$ soit égal au reste $\mathrm {C} \,;$ comme $n$ est le quotient et $\mathrm {D}$ le reste de la division de $\mathrm {C} b$ par $\mathrm {A} ,$ que de même $q$ est le quotient et $\mathrm {F}$ le reste de la division de $\mathrm {E} d$ par $\mathrm {A} ,$ il s’ensuit, à cause de $b$ et $d$ égaux à $a,$ que l’on aura $q=n$ et $\mathrm {F=D} \,;$ et, par la même raison, $r=p,$ $\mathrm {G=E} ,$ et ainsi de suite ; de sorte que les quotients $n,p,\ldots$ reviendront toujours à l’infini et formeront une suite périodique de deux termes. C’est ce qui a lieu, comme l’on sait, dans l’Arithmétique ordinaire, lorsqu’on réduit en décimales une fraction quelconque. La même chose aura lieu, par conséquent, dans tout autre système d’Arithmétique.
De là on peut conclure réciproquement que, si l’on a une série numérique quelconque de la forme
${\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{a^{2}}}\pm {\frac {p}{a^{3}}}\pm \ldots ,$
laquelle aille à l’infini, sans que les numérateurs $m,n,p,\ldots ,$ qui doivent être tous $<a+1,$ forment une suite périodique, cette série ne pourra jamais représenter une fraction rationnelle.
9. Lorsque ce sont les numérateurs $m,n,p,\ldots$ qui sont donnés, et qu’on cherche les dénominateurs $a,b,\ldots$ par les conditions supposées, les nombres $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots$ formeront nécessairement une suite décroissante. Car d’abord $\mathrm {B}$ est $<\mathrm {A}$ par l’hypothèse ; ensuite $\mathrm {C}$ étant le reste de la division de $\mathrm {A} m$ par $\mathrm {B}$ sera moindre que $\mathrm {B} \,;$ de même, $\mathrm {D}$ étant le reste de la division de $\mathrm {B} n$ par $\mathrm {C}$ sera moindre que $\mathrm {C} ,$ et ainsi de suite. D’où il suit que la suite des restes $\mathrm {C,D,E} ,\ldots$ devra nécessairement se terminer par zéro ; et alors la série ${\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {p}{abc}}\pm \ldots$ se terminera aussi, ce qui est évident par les formules du n$^o$ 6.
Donc, réciproquement, si l’on a une série de la forme
${\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {p}{abc}}\pm \ldots ,$
où les numérateurs $m,n,p,\ldots$ soient respectivement moindres que $a+1,$$b+1,\ c+1,\ldots ,$ cette série, si elle va à l’infini, ne pourra jamais représenter une fraction rationnelle ; par conséquent elle représentera nécessairement une quantité numérique irrationnelle.
10. On sait qu’en nommant $e$ le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on a généralement
$e^{u}=1+u+{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{2.3}}+\ldots \,;$
donc, si $u=1$ ou $={\frac {1}{i}},$ $i$ étant un nombre quelconque entier, la série qui représente la valeur de $e^{\frac {1}{i}}$ sera de la forme dont il s’agit ; par conséquent le nombre $e^{\frac {1}{i}}$ sera nécessairement irrationnel.
On a aussi, comme l’on sait,
${\begin{aligned}\sin u=&u-{\frac {u^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,\\\cos u=&1\ -{\frac {u^{2}}{2}}\,+\ {\frac {u^{4}}{2.3.4}}\ \ -{\frac {u^{6}}{2.3.4.5}}+\ldots .\end{aligned}}$
$u=1$
$={\frac {1}{i}},$
$u$
11. Considérons maintenant plus particulièrement le cas où les numérateurs $m,n,\ldots$ sont donnés, et supposons que ces numérateurs soient tous égaux à l’unité, ce qui rend la forme de la série la plus simple et la plus convergente.
On fera donc, dans ce cas,
$\mathrm {B} a-\mathrm {A=\pm C} ,\quad \mathrm {C} b-\mathrm {A=\pm D} ,\quad \mathrm {D} c-\mathrm {A=\pm E} ,\quad \ldots ,$
et l’on aura
$\mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {1}{a}}\pm {\frac {1}{ab}}\pm {\frac {1}{abc}}+\ldots ,$
où l’on observera, à l’égard des signes ambigus de la série, la règle du n$^o$ 6.
Ainsi l’on prendra pour $\mathrm {A}$ le quotient de la divisions de $\mathrm {A}$ par $\mathrm {B} \,;$ pour $b,$ le quotient de la division de $\mathrm {A}$ par le reste $\mathrm {C}$ de la division précédente pour $c,$ le quotient de la division de $\mathrm {A}$ par le reste $\mathrm {D}$ de la division précédente, et ainsi de suite ; de sorte que dans ces opérations on comparera successivement tous les restes au même dividende $\mathrm {A} ,$ ce qui rendra la suite des restes décroissante, et celle des quotients $a,b,c,\ldots$ croissante, jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste nul, ce qui terminera l’opération et la série.
Si l’on fait toutes les divisions en dedans comme à l’ordinaire (3), les restes $\mathrm {C,D} ,\ldots$ auront tous le signe négatif, et par conséquent les signes de la série seront alternativement positifs et négatifs (6). Pour que la série n’ait que des termes positifs, il faudra que les divisions successives soient toutes en dehors, pour que les restes $\mathrm {C,D} ,\ldots ,$ dans les formules ci-dessus, soient tous affectés du signe $+.$
Au reste, si l’on voulait avoir la série la plus convergente qu’il est possible, il faudrait faire chaque division en dedans ou en dehors, suitvant qu’elle donnera le reste le plus petit (3).
12. Comme cette manière de convertir une fraction en série est peu connue, et peut être utile dans beaucoup de cas, nous allons l’éclaircir par quelques exemples.
Soit la fraction ${\frac {887}{1103}}\,;$ voici l’opération entière, dans laquelle je ferai toutes les divisions en dedans
${\begin{aligned}&887\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 1\quad \ \\887&\\\hline \end{array}}$
${\begin{aligned}&216\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 5\quad \ \\1080&\\\hline \end{array}}$
${\begin{aligned}&23\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 47\quad \\1081&\\\hline \end{array}}$
${\begin{aligned}&22\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 50\quad \\1100&\\\hline \end{array}}$
${\begin{aligned}&3\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}103&\ 367\ \\\,1101&\\\hline \end{array}}$
${\begin{aligned}&2\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 551\,\ \ \\1102&\\\hline \end{array}}$
${\begin{aligned}&1\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|rc|}1103&\\1103&\\\hline \end{array}}{\begin{aligned}&\ 1103\\\\\end{aligned}}$
$0$
On voit que les restes sont $-216,-23,-22,-3,-2,-1,$ et les quotients $1,5,47,50,367,551,1103\,;$ de sorte que l’on aura cette série alternative,
${\begin{aligned}{\frac {887}{1103}}=1&-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5.47}}-{\frac {1}{5.47.50}}+{\frac {1}{5.47.50.367}}\\&-{\frac {1}{5.47.50.367.551}}+{\frac {1}{5.47.50.367.551.1103}}.\end{aligned}}$
Prenons la fraction qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre, et qui est, en décimales,
$3{,}141592\ 653589\ 793238\ 462643\ 38\ldots .$
En faisant la même opération sur la fraction
${\frac {141592\ 653589\ 793238\ 462643\ldots }{1\ 000000\ 000000\ 000000000000\ldots }},$
et faisant les divisions en dedans ou en dehors, suivant qu’il sera nécessaire pour que chaque reste soit moindre que la moitié du précédent, on trouvera les quotients $7,113,4739,47051,499762,\ldots ,$ et l’on aura pour le rapport dont il s’agit la série très-convergente
$3+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{7.113}}-{\frac {1}{7.113.4739}}+{\frac {1}{7.113.4739.47051}}$
$+{\frac {1}{7.113.4739.47051.499762}}-\ldots .$
Les deux premiers termes réunis donnent la proportion connue d’Archimède ${\frac {22}{7}}\,;$ et, en y ajoutant le troisième, on a la proportion de Metius ${\frac {355}{113}}.$
13. Dans les problèmes précédents, il a été question de réduire une fraction donnée à d’autres fractions dont les numérateurs ou les dénominateurs étaient donnés ; mais on peut chercher simplement à réduire une fraction à d’autres fractions exprimées en moindres termes, et qui soient les plus approchantes qu’il est possible de la fraction donnée. Comme ce Problème est un des plus intéressants de l’Arithmétique, soit par les artifices qu’il demande, soit par les usages dont il est susceptible, nous allons en donner ici une solution déduite des mêmes principes.
14. Suivant les formules du n$^o$ 4, nous avons cette transformation
$\mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {A} a}},$
où $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm \mathrm {C} .$ Or, lorsque $m$ et $a$ sont indéterminées, et qu’on
${\frac {m}{a}}$
$\mathrm {\frac {B}{A}} ,$
$m$
$a$
$\mathrm {B}$
$\mathrm {A} ,$
$\mathrm {C}$
$\mathrm {C}$
$\mathrm {C} =0$
$m=\mathrm {B} ,$
$a=\mathrm {A} .$
Il s’agira donc de prendre $m$ et $a$ de manière que l’on ait
$\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1\,;$
on aura alors cette transformation
$\mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}},$
où il faudra prendre le signe supérieur ou l’inférieur, suivant qu’on voudra que la fraction donnée soit plus grande ou moindre que la nouvelle faction ${\frac {m}{a}}.$
15. Mais il faut s’assurer d’abord qu’il peut toujours exister deux nombres $a<\mathrm {A} ,\ m<\mathrm {B} ,$ tels que l’on ait $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1.$ Mettons cette équation sous la forme $a={\frac {\mathrm {A} m\pm 1}{\mathrm {B} }}\,;$ il est visible que la question se réduira à trouver un nombre $m$ moindre que $\mathrm {B} ,$ lequel rende le nombre $m\mathrm {A} \pm 1$ divisible par $\mathrm {B} .$ Or, si l’on substitue dans $m\mathrm {A} \pm 1$ successivement pour $m$ tous les nombres $0,1,2,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {B} -1,$ et qu’on divise chaque résultat par $\mathrm {B} ,$ on aura des restes tous moindres que $\mathrm {B}$ et tous différents entre eux ; car, s’il pouvait y avoir deux restes égaux, soient $m$ et $m'$ les deux nombres qui donneront le même reste ; alors la différence $(m-m')\mathrm {A}$ sera nécessairement divisible par $\mathrm {B} \,;$ mais $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont premiers entre eux, et $m-m'$ est un nombre moindre que $\mathrm {B} ,$ puisque $m$ et $m'$ sont moindres que $\mathrm {B}$ donc, cette différence ne pouvant être divisible par $\mathrm {B} ,$ il s’ensuit que les deux restes ne sauraient être égaux ; donc le zéro se trouvera nécessairement parmi les restes ; par conséquent il y aura toujours un nombre moindre que $\mathrm {B} ,$ qui, substitué pour $m$ dans $m\mathrm {A} \pm 1,$ rendra ce dernier nombre divisible par $\mathrm {B} .$ Ce même nombre pourra donc être pris pour $m,$ et le quotient de la division de $\mathrm {A} m\pm 1$ par $\mathrm {B}$ sera la valeur correspondante de $a,$ laquelle sera par conséquent moindre que $\mathrm {A} .$
On voit aussi, par cette démonstration, qu’il ne peut y avoir qu’une seule valeur de $m$ et une de $a,$ moindres que $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A} ,$ qui satisfassent à l’équation $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1.$ Car soient $a$ et $a'$ deux valeurs de $a,$ et $m,m'$ deux valeurs de $m\,;$ on aura donc
$\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1,\quad \mathrm {B} a'-\mathrm {A} m'=\pm 1\,;$
donc, retranchantl’une de ces équations de l’autre, on aura
$\mathrm {B} (a-a')=\mathrm {A} (m-m'),$
équation qui ne saurait subsister en nombres entiers, puisque $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont premiers entre eux, et que $a-a'$ et $m-m'$ sont des nombres moindres que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$
On pourra donc toujours trouver les nombres $m$ et $a$ qui doivent satisfaire à l’équation proposée, en essayant successivement les nombres moindres que $\mathrm {B}$ ou $\mathrm {A}$ pour $m$ ou $a\,;$ mais nous donnerons ci-après des méthodes directes pour cet objet.
16. Au reste, lorsqu’on aura trouvé deux valeurs de $m$ et de $a$ qui satisferont à l’équation $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1,$ il n’y aura qu’à prendre $a'=\mathrm {A} -a,$$m'=\mathrm {B} -m,$ et l’on aura $\mathrm {B} a'-\mathrm {A} m'=\mp 1\,:$ ainsi il suffira toujours de trouver des valeurs de $m$ et $a$ qui satisfassent à l’équation proposée, en prenant le signe ambigu positivement ou négativement à volonté.
On voit aussi par là qu’il est toujours possible de donner à $a$ ou $m$ des valeurs plus grandes ou plus petites que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ ou ${\frac {\mathrm {B} }{2}}\,;$ car il est visible que, si $a$ est $>{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A} -a$ sera $<{\frac {1}{2}}\mathrm {A} .$ Or la fraction ${\frac {m}{a}}$ approche d’autant plus de la fraction $\mathrm {\frac {B}{A}} ,$ soit en plus, soit en moins, que le dénominateur $a$ est plus grand, puisque leur différence est ${\frac {1}{\mathrm {A} a}},$ abstraction faite du signe ; donc, si l’on prend $a>{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ cette différence sera la plus petite et $<{\frac {2}{\mathrm {A} ^{2}}}.$
17. L’équation $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1,$ à laquelle doivent satisfaire les nombres $m$ et $a,$ fait voir de plus :
1$^o$ Que ces nombres seront nécessairement premiers entre eux, en sorte que la fraction ${\frac {m}{a}}$ sera déjà réduite à ses moindres termes ; car s’ils avaient un diviseur autre que l’unité, il faudrait qu’il divisât aussi le second membre de l’équation, ce qui ne se peut ;
2$^o$ Qu’il est impossible qu’entre les deux fractions $\mathrm {\frac {B}{A}}$ et ${\frac {m}{a}}$ il tombe aucune autre fraction, à moins qu’elle n’ait un dénominateur plus grand que $\mathrm {A} \,;$ car supposons qu’il existe une fraction comme ${\frac {\mu }{\alpha }},$ dont la valeur puisse tomber entre celles de ces deux fractions, et dont le dénominateur $\alpha$ soit $<\mathrm {A} ,$ il faudra donc que la différence entre les deux fractions ${\frac {\mu }{\alpha }}$ et ${\frac {m}{a}}$ soit moindre que la différence entre les fractions $\mathrm {\frac {B}{A}}$ et ${\frac {m}{a}}\,;$ mais la première de ces différences est ${\frac {\mu a-\alpha m}{\alpha a}},$ et la seconde est $\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}}.$ Or il est clair que le nombre $\mu a-\alpha m$ ne peut pas être moindre que l’unité ; et, comme $\alpha <\mathrm {A}$ par l’hypothèse, il s’ensuit, au contraire, que la première différence sera toujours nécessairement plus grande que la seconde.
18. Si la fraction ${\frac {m}{a}}$ est encore exprimée en termes trop grands, on pourra la rabaisser de la même manière, puisque les nombres $m$ et a sont aussi premiers entre eux.
On cherchera donc deux autres nombres $n$ et $b,$ moindres respectivement que $m$ et $a,$ qui satisfassent à l’équation $mb-an=\pm 1,$ et l’on aura
${\frac {m}{a}}={\frac {n}{b}}\pm {\frac {1}{ab}}.$
De la même manière, si l’on cherche encore d’autres nombres $p$ et $c,$ moindres que $n$ et $b,$ et qui soient tels que l’on ait $nc-bp=\pm 1,$ on aura aussi
${\frac {n}{b}}={\frac {p}{c}}\pm {\frac {1}{bc}},$
et ainsi de suite.
Ces nouvelles fractions ${\frac {n}{b}},{\frac {p}{c}},\ldots ,$ seront aussi réduites à leurs moindres termes, et seront exprimées en termes toujours plus petits ; de manière qu’entre deux fractions consécutives de la série $\mathrm {\frac {B}{A}} ,{\frac {m}{a}},{\frac {n}{b}},{\frac {p}{c}},\ldots$ il ne pourra tomber aucune fraction dont le dénominateur serait entre les dénominateurs de ces deux fractions (17). D’où il s’ensuit que cette série de fractions contiendra toutes les fractions qui, étant successivement exprimées en termes moindres que la fraction $\mathrm {\frac {B}{A}} ,$ approcheront plus de celle-ci que ne pourrait faire toute autre fraction qui ne serait pas exprimée en plus grands termes.
19. Supposons que les nombres $a,b,c,d,\ldots ,$ $m,n,p,q,\ldots$ soient pris de manière que les signes supérieurs ou les signes inférieurs aient constamment lieu dans les équations
${\begin{alignedat}{3}\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=&\pm 1,\qquad &mb-an=&\mp 1,\qquad &nc-bp=&\pm 1,\\pd\,-\ cq\ \ =&\mp 1,&qe\ -\,dr=&\pm 1,&{\text{etc}}.\,;\qquad &\end{alignedat}}$
on aura, en conservant la même loi des signes, les approximations
${\begin{alignedat}{3}\mathrm {\frac {B}{A}} =&{\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}},\qquad &{\frac {m}{a}}=&{\frac {n}{b}}\mp {\frac {1}{ab}},\qquad &{\frac {n}{b}}=&{\frac {p}{c}}\pm {\frac {1}{bc}},\\{\frac {p}{c}}=&\,{\frac {q}{d}}\ \mp {\frac {1}{cd}},&{\frac {q}{d}}=&\,{\frac {r}{e}}\pm {\frac {1}{de}},&{\text{etc}}.&\,;\end{alignedat}}$
qui sont, comme l’on voit, alternativement en plus et en moins.
Si l’on substitue successivement les valeurs de ${\frac {m}{a}},{\frac {n}{b}},\ldots ,$ on aura
${\begin{aligned}\mathrm {\frac {B}{A}} &={\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}}\\&={\frac {n}{b}}\pm \left({\frac {1}{\mathrm {A} a}}-{\frac {1}{ab}}\right)\\&={\frac {p}{c}}\pm \left({\frac {1}{\mathrm {A} a}}-{\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{bc}}\right)\\&={\frac {q}{d}}\pm \left({\frac {1}{\mathrm {A} a}}-{\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{bc}}-{\frac {1}{cd}}\right)\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Or, comme les nombres $a,b,c,\ldots$ sont supposés aller en diminuant, il est clair qu’on aura ${\frac {1}{ab}}>{\frac {1}{\mathrm {A} a}},\ {\frac {1}{bc}}>{\frac {1}{ab}},\ {\frac {1}{cd}}>{\frac {1}{bc}},\ldots .$ Donc on aura, en vertu des formules précédentes,
$\mathrm {\frac {B}{A}} \gtrless {\frac {m}{a}}\gtrless {\frac {p}{c}}\gtrless {\frac {r}{e}}\gtrless \ldots ,\quad \mathrm {\frac {B}{A}} \lessgtr {\frac {n}{b}}\lessgtr {\frac {q}{d}}\lessgtr {\frac {s}{f}}\lessgtr \ldots ,$
les signes supérieurs répondant aux signes supérieurs de ces formules, et les inférieurs aux inférieurs.
D’où je conclus que, si l’on suppose
${\begin{alignedat}{3}\mathrm {B} b-\mathrm {A} n=&\mp \mathrm {N} ,\qquad &\mathrm {B} c-\mathrm {A} p=&\pm \mathrm {P} ,\qquad &\mathrm {B} d-\mathrm {A} q=&\mp \mathrm {Q} ,\\\mathrm {B} e-\mathrm {A} r=&\pm \mathrm {R} ,&\mathrm {B} f-\mathrm {A} s=&\mp \mathrm {S} ,&{\text{etc.}},\ \ \qquad &\end{alignedat}}$
en conservant toujours les signes supérieurs ou les inférieurs, les nombres entiers $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ seront nécessairement tous positifs, et il est clair qu’on aura
${\begin{aligned}\mathrm {\frac {B}{A}} &={\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}}\\&=\,{\frac {n}{b}}\,\mp {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {A} b}}\\&=\,{\frac {p}{c}}\ \pm {\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {A} c}}\\&=\,{\frac {q}{d}}\ \mp {\frac {\mathrm {Q} }{\mathrm {A} d}}\\&=\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
20. Cela posé, si l’on ajoute ensemble les deux équations
$\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad mb-an=\mp 1,$
on aura
$(\mathrm {B} -n)a-(\mathrm {A} -b)m=0,\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {\mathrm {B} -n}{\mathrm {A} -b}}={\frac {m}{a}}.$
Or, la fraction ${\frac {m}{a}}$ étant réduite a ses moindres termes, la fraction ${\frac {\mathrm {B} -n}{\mathrm {A} -b}}$ ne peut lui être égale, à moins que le numérateur $\mathrm {B} -n$ et le dénominateur $\mathrm {A} -b$ ne soient équimultiples de $m$ et $a.$ On aura donc nécessairement, en prenant pour $\lambda$ un nombre entier indéterminé,
$\mathrm {B} -n=\lambda m,\quad \mathrm {A} -b=\lambda a\,;\quad {\text{donc}}\quad n=\mathrm {B} -\lambda m,\quad b=\mathrm {A} -\lambda a.$
Or, $n$ devant être $<m$ et $b<a,$ il est clair qu’on ne pourra prendre pour $n$ et $b$ que les restes des divisions de $\mathrm {B}$ par $m$ et de $\mathrm {A}$ par $a,$ et $\lambda$ sera alors le quotient commun de ces divisions. Ainsi, connaissant les deux premières fractions $\mathrm {\frac {B}{A}} ,{\frac {m}{a}},$ on pourra trouver de cette manière la troisième ${\frac {n}{b}}.$ De même, les équations
$mb+an=\mp 1\quad {\text{et}}\quad nc-bp=\pm 1,$
étant ajoutées ensemble, donnent
$(m-p)b-(a-c)n=0,\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {m-p}{a-c}}={\frac {n}{b}},$
d’où l’on tirera, de la même manière,
$m-p=\mu n,\quad a-c=\mu b,$
$\mu$ étant un nombre quelconque entier.
On aura ainsi $p=m-\mu n,\ c=a-\mu b\,;$ et, comme $p$ doit être $<n$ et $c<b,$ il s’ensuit que $p$ et $c$ ne pourront être que les restes des divisions de $m$ par $n$ et de $a$ par $b,$ et que $\mu$ sera leur quotient commun.
On tirera pareillement des deux équations
$nc-pb=\pm 1,\quad pd-cq=\mp 1$
ces deux formules
$q=n-\nu p,\quad d=b-\nu c,$
$\nu$
$q$
$d$
$p$
$c,$
$n$
$p$
$b$
$c,$
$\nu$
Et ainsi de suite.
21. Nous venons de trouver les formules
${\begin{alignedat}{4}n=&\mathrm {B} -\lambda m,\qquad &p=&m-\mu n,\qquad &q=&n-\nu p,\qquad &\ldots ,\\b=&\mathrm {A} -\lambda a,&c=&\ a\,-\mu b,&d=&b\ -\nu c,&\ldots ,\\\end{alignedat}}$
Si l’on substitue ces valeurs dans les expressions des nombres $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ du n$^o$ 19, il viendra, à cause de $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1,$ en ôtant l’ambiguïté des signes qui affectent tous les termes,
$\mathrm {N=\lambda ,\quad P=1+\mu N,\quad Q=N+\nu P} ,$
$\mathrm {R=P+\varpi Q,\quad S=Q+\rho R} ,\quad \ldots ,$
formules qui font voir que les nombres $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ vont nécessairement en augmentant, tandis que les nombres $a,b,c,d,\ldots$ et $m,n,p,q,\ldots$ vont en diminuant.
Ces formules peuvent aussi servir à déterminer directement la valeur de ces nombres lorsque les coefficients $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ seront connus ; et ces mêmes nombres $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ serviront à exprimer d’une manière simple les différences des fractions ${\frac {m}{a}},{\frac {n}{b}},\ldots$ et de la fraction $\mathrm {\frac {B}{A}}$ (19).
22. Maintenant, comme les nombres $m,n,p,\ldots ,$ ainsi que les nombres $a,b,c,\ldots ,$, doivent aller en diminuant, il est évident que par la continuation des mêmes opérations on parviendra à des termes nuls.
Supposons donc, par exemple, qu’on ait $f=0\,;$ alors l’équation $rf-es=\mp 1$ (19) deviendra $-es=\mp 1\,;$ donc il faudra prendre le signe supérieur et faire $e=1,$ $s=1.$
Donc l’équation $\mathrm {B} f-\mathrm {A} s=\mp \mathrm {S}$ du même numéro deviendra, en prenant le signe supérieur, $-\mathrm {A=-S} ,$ savoir, $\mathrm {S=A} .$
Ensuite l’équation qui là précède, $\mathrm {B} e-\mathrm {A} r=\pm \mathrm {R} ,$ donnera $\mathrm {B-A} r=\mathrm {R} \,;$ donc, puisque $\mathrm {B}$ est $<\mathrm {A} ,$ pour que $\mathrm {R}$ soit positif, il faudra faire $r=0,$ et l’on aura $\mathrm {R=B} .$
23. Ayant ainsi les valeurs des deux derniers termes de la série $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots ,$ on pourra trouver les valeurs de tous les précédents, ainsi que celles des nombres $\lambda ,\mu ,\ldots ,$ par les formules du n$^o$ 21,
$\mathrm {\lambda =N,\quad 1=P-\mu N,\quad N=Q-\nu P} ,$
$\mathrm {P=R-\varpi Q,\quad Q=S-\rho R} ,\quad \ldots .$
En effet, ayant trouvé $\mathrm {S=A}$ et $\mathrm {R=B} ,$ on aura $\mathrm {Q=A-\rho B} \,;$ mais $\mathrm {Q}$ doit être $<\mathrm {R} ,$ par l’équation $\mathrm {P=R-\varpi Q} \,;$ donc, $\mathrm {Q}$ devant être $<\mathrm {B} ,$ il est visible que $\mathrm {Q}$ ne pourra être que le reste de la division de $\mathrm {A}$ par $\mathrm {B} ,$ et $\rho$ en sera le quotient ; ainsi l’on aura $\mathrm {Q} .$
Ensuite l’équation $\mathrm {P=R-\varpi Q=B-\varpi Q}$ fait voir de même (à cause que $\mathrm {P}$ doit être $<\mathrm {Q}$ par l’équation qui précède, $\mathrm {N=Q-\nu P}$) que $\mathrm {P}$ ne peut être que le reste de la division de $\mathrm {R}$ par $\mathrm {Q} ,$ et que $\varpi$ en sera le quotient.
Pareillement l’équation $\mathrm {N=Q-\nu P} ,$ dans laquelle $\mathrm {N}$ doit être $<\mathrm {P}$ en vertu de l’équation $1=\mathrm {P-\mu N}$ qui précède, fait voir que $\mathrm {N}$ ne peut être que le reste de la division de $\mathrm {Q}$ par $\mathrm {P} ,$ et que $\nu$ en sera le quotient.
Enfin l’équation $1=\mathrm {P-\mu N}$ donnera $\mu =\mathrm {\frac {P-1}{N}} ,$ et l’équation $\lambda =\mathrm {N}$ donnera la valeur de $\lambda .$
24. Les nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots$ étant ainsi connus, on pourra trouver directement les nombres $m,n,p,\ldots$ et $a,b,c,d,\ldots ,$ par le moyen des formules du n$^o$ 21.
En effet ces formules donnent
${\begin{alignedat}{5}m=&\mu n+p,\qquad &n=&\nu p+q,\qquad &p=&\varpi q+r,\qquad &q=&\rho r+s,\qquad &\ldots ,\\a\ =&\mu b\,+c,\qquad &b=&\nu c+d,\qquad &c=&\varpi d+e,\qquad &d=&\rho e+f,\qquad &\ldots \,;\end{alignedat}}$
et, comme on a trouvé (22) $f=0,\ e=1,\ s=1,\ r=0,$ on aura, en remontant successivement, les valeurs de $d,c,b,a$ et $q,p,n,m.$
Mais on peut faire toutes ces opérations à la fois, comme on le voit par l’Exemple suivant.
25. Soit proposée la fraction ${\frac {887}{1103}},$ en sorte que l’on ait $\mathrm {A} =1103$ et $\mathrm {B} =887\,;$ on disposera le calcul ainsi
${\begin{alignedat}{3}1\mathrm {A} &-&0\mathrm {B} =&\quad 1103\\0\mathrm {A} &-&1\mathrm {B} =&-887&\ \ 1\\1\mathrm {A} &-&1\mathrm {B} =&\quad \ 216&4\\4\mathrm {A} &-&5\mathrm {B} =&-23&9\\37\mathrm {A} &-&46\mathrm {B} =&\quad \ 9&2\\78\mathrm {A} &-&97\mathrm {B} =&-5&1\\115\mathrm {A} &-&143\mathrm {B} =&\quad \ 4&1\\193\mathrm {A} &-&240\mathrm {B} =&-1&4\\887\mathrm {A} &-&1103\mathrm {B} =&\quad \ 0\end{alignedat}}$
Les deux premières équations sont toujours $1\mathrm {A-0B=A}$ et $0\mathrm {A-1B=-B} .$ Pour en déduire la troisième, on cherche combien $\mathrm {B}$ est contenu en $\mathrm {A} \,;$ ici c’est une fois, et l’on met $1$ à côté de la seconde équation ; ensuite on ajoute cette équation, multipliée par le même nombre $1,$ à la précédente, et l’on aura la troisième équation $1\mathrm {A-1B} =216.$ On cherche de nouveau combien le nombre $216$ est contenu dans le précédent $887,$ c’est $4$ fois ; ainsi l’on met $4$ à côté de cette équation, et le produit de cette équation par $4,$ ajouté à la précédente, donnera la suivante $\mathrm {4A-5B} =-23,$ et ainsi de suite.
On voit d’abord, par ce procédé, que les nombres de la troisième colonne sont les restes, et ceux de la quatrième les quotients des différentes divisions qui ont lieu dans l’opération connue pour chercher le plus grand commun diviseur des deux premiers nombres de la troisième colonne ; de sorte que, ces nombres étant supposés premiers entre eux, il s’ensuit qu’on doit nécessairement parvenir à un reste égal à l’unité, ce qui donnera sur-le-champ une équation de la forme $m\mathrm {A} -a\mathrm {B} =\pm 1\,;$ ainsi, on aura nécessairement de cette manière une solution de cette équation, et par conséquent des valeurs convenables de $m$ et $a,$ d’où l’on pourrait tirer successivement celles de $n,p,q,\ldots$ et de $b,c,d,\ldots ,$ par la méthode du n$^o$ 20.
26. Mais, en rapprochant ces opérations de celles auxquelles notre analyse nous a conduits ci-dessus (23), il est facile de voir que les coefficients de $\mathrm {A}$ dans la première colonne sont tous les nombres $m,n,p,\ldots ,$ et les coefficients de $\mathrm {B}$ dans la seconde colonne sont les nombres correspondants $a,b,c,\ldots ,$ ces nombres étant disposés à rebours ; en sorte que les premiers $m$ et $a$ soient les avant-derniers, savoir, $193$ et $248.$
On doit voir en même temps que les nombres qui forment la troisième colonne sont les nombres $1,\mathrm {N,P,Q} ,\ldots ,$ disposés aussi à rebours et pris alternativement en plus et en moins, de manière qu’on aura $\mathrm {N} =4,$ $\mathrm {P} =5,$ $\mathrm {Q} =9,$
Enfin les nombres de la quatrième colonne seront les nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots ,$ pris également à rebours ; en sorte que l’on aura $\lambda =4,\ \mu =1,\ \nu =1,\ldots .$
Ainsi l’on aura tout de suite les fractions les plus approchantes de la fraction donnée, et conçues en termes toujours plus petits, en supposant la troisième colonne nulle et prenant successivement pour $\mathrm {\frac {B}{A}}$ les valeurs qui résultent de cette supposition.
Dans le cas de l’Exemple précédent, où la fraction donnée est ${\frac {887}{1103}},$ les fractions convergentes seront donc
${\frac {193}{240}},\quad {\frac {115}{143}},\quad {\frac {78}{97}},\quad {\frac {37}{46}},\quad {\frac {4}{5}},\quad {\frac {1}{1}},\quad {\frac {0}{1}}\,;$
et les équations $193\mathrm {A-240B=-1,\ 115A-143B} =4,\ldots$ font voir que l’erreur de la première de ces fractions est en excès, celle de la seconde en défaut, et ainsi de suite.
Si l’on voulait avoir une première fraction en défaut, on prendrait (16) la fraction ${\frac {887-193}{1103-240}},$ savoir ${\frac {694}{863}},$ et, si l’on voulait de même avoir une seconde fraction en excès, on prendrait la fraction ${\frac {193-115}{240-143}},$ savoir ${\frac {78}{97}},$ et ainsi des autres.
27. Au reste, si l’on met les formules du n$^o$ 21 sous la forme
$\mathrm {{\frac {P}{N}}=\mu +{\frac {1}{\lambda }},\quad {\frac {Q}{P}}=\nu +{\frac {N}{P}},\quad {\frac {R}{Q}}=\varpi +{\frac {P}{Q}},\quad {\frac {S}{R}}=\rho +{\frac {Q}{R}}} ,\quad \ldots ,$
on aura, par la substitution successive,
${\begin{aligned}\mathrm {\frac {P}{N}} &=\mu +{\frac {1}{\lambda }},\\\\\mathrm {\frac {Q}{P}} &=\nu +{\frac {1}{\mu +{\cfrac {1}{\lambda }}}},\\\\\mathrm {\frac {R}{Q}} &=\varpi +{\frac {1}{\nu +{\cfrac {1}{\mu +{\cfrac {1}{\lambda }}}}}},\\\\\mathrm {\frac {S}{R}} &=\rho +{\frac {1}{\varpi +{\cfrac {1}{\nu +{\cfrac {1}{\mu +{\cfrac {1}{\lambda }}}}}}}},\\\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
de sorte que, comme les deux derniers termes de la série $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ sont égaux à $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A}$ (22), il s’ensuit que la fraction $\mathrm {\frac {B}{A}}$ se trouvera ainsi réduite à une fraction continue, dont les dénominateurs successifs seront les nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ pris à rebours, et par conséquent les nombres mêmes de la cinquième colonne dans la Table du n$^o$ 25.
Ainsi la fraction ${\frac {887}{1103}}$ de l’Exemple de ce numéro se réduit à cette fraction continue
${\frac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4}}}}}}}}}}}}}},$
et cette fraction, étant coupée successivement au premier dénominateur, au second, au troisième, etc., donne les mêmes fractions convergentes ${\frac {1}{1}},{\frac {4}{5}},$${\frac {37}{46}},\ldots .$
28. C’est par le moyen des fractions continues qu’on a coutume de résoudre le Problème des fractions les plus convergentes vers une fraction donnée. On commence par réduire cette fraction en fraction continue, en faisant sur le numérateur et le dénominateur l’opération connue pour trouver le plus grand commun diviseur, et prenant les quotients de ces divisions successives pour les dénominateurs de la fraction continue ensuite on en déduit les fractions convergentes par des formules semblables à celles du n$^o$ 24. La fraction ${\frac {887}{1103}},$ traitée de cette manière, donne les quotients $1,4,9,2,1,1,4,$ et l’on en forme immédiatement cette suite de fractions,
${\begin{array}{ccccccccc}&1,&4,&9,&2,&1,&1,&4\\{\frac {1}{0}},&{\frac {0}{1}},&{\frac {1}{1}},&{\frac {4}{5}},&{\frac {37}{46}},&{\frac {78}{97}},&{\frac {115}{143}},&{\frac {193}{240}},&{\frac {887}{1103}}\end{array}}$
dont chacune est composée des deux précédentes, en prenant pour numérateur la somme du numérateur précédent, multiplié par le nombre de la série des quotients qui est placé au-dessus, et du numérateur qui précède celui-ci ; et de même, pour dénominateur, la somme du dénominateur précédent, multiplié par le même nombre, et du dénominateur qui précède ce dernier.
29. Mais on peut déduire de nos formules un autre procédé pour parvenir directement à une quelconque des fractions convergentes par le moyen d’une seule série. Pour cela, je considère les équations du n$^o$ 21 sous cette forme,
${\begin{alignedat}{4}\mathrm {B} =&\lambda m+n,\qquad &m=&\mu n+p,\qquad &n=&\nu p+q,\qquad &\ldots ,&\\\mathrm {A} =&\lambda a\ \,+b,&a=&\mu b\ +c,&b=&\nu c\,+d,&\ldots ,&\end{alignedat}}$
et j’observe que les valeurs de $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A}$ dépendent des quantités $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots ,$ comme celles de $m$ et $a$ dépendent des quantités $\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ et celles de $n$ et $b$ dépendent de $\nu ,\varpi ,\ldots ,$ ce qui est évident par la forme même de ces équations. D’un autre côté, si l’on considère la série des nombres $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots ,$ et qu’on y ajoute au commencement les deux nombres $\mathrm {L} =0$ et $\mathrm {M} =1,$ on a, par les formules du n$^o$ 21,
$\mathrm {N=\lambda M+L,\quad P=\mu N+M,\quad Q=\nu P+N,\quad R=\varpi Q+P} ,\quad \ldots \,;$
or on a vu (22) que les deux derniers termes de cette série sont nécessairement les nombres $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A} \,;$ donc, si dans ces formules on change les nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ en $\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ les deux derniers termes de la série seront $m$ et $a\,;$ de sorte que l’on aura immédiatement la première fraction convergente ${\frac {m}{a}},$ par les deux derniers termes de la série
$\mathrm {L=0,\quad M=1,\quad N=\mu M+L,\quad P=\nu N+M,\quad R=\varpi P+N} ,\quad \ldots ,$
et, par la même raison, on aura la seconde fraction convergente ${\frac {n}{b}},$ en prenant pour $n$ et $b$ les deux derniers termes de la série
$\mathrm {L=0,\quad M=1,\quad N=\nu M+L,\quad P=\varpi N+M} ,\quad \ldots ,$
et ainsi de suite ; les nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ étant les dénominateurs de la fraction continue, pris à rebours, c’est-à-dire à commencer par le dernier.
30. Ainsi, ayant trouvé pour la fraction ${\frac {883}{1103}}$ cette suite de quotients ou de dénominateurs $1,4,9,2,1,1,4,$ on pourra former les séries suivantes :
${\begin{array}{ccccccccc}&4&1&1&2&9&4&1\\0,&1,&4,&5,&9,&23,&216,&887,&1103,\\\\&1&1&2&9&4&1\\0,&1,&1,&2,&5,&47,&193,&240,\\\\&1&2&9&4&1\\0,&1,&1,&3,&28,&115,&143,&{\text{etc.}},\end{array}}$
où chaque terme est composé du terme précédent multiplié par le nombre qui est au-dessus, et de celui qui le précède ; et l’on voit que la première série redonne les deux termes de la fraction proposée, que la seconde donne les deux termes de la première fraction convergente ${\frac {193}{240}}$ que la troisième série donne les termes de la seconde fraction convergente ${\frac {115}{143}},$ et ainsi de suite. Les nombres placés au-dessus des termes de ces séries sont, comme l’on voit, les dénominateurs de la fraction continue, écrits par ordre à commencer du dernier, ou de l’avant-dernier, ou du second avant le dernier, etc.
31. Nous avons considéré le Problème de la réduction des fractions à d’autres plus simples, d’une manière générale, et nous avons dérivé d’un même principe la théorie des fractions décimales, considérée dans un système quelconque de numération ; la théorie d’une autre espèce de fractions peu connues, que feu Lambert a, je crois, proposées le premier, et qui ont l’avantage singulier de former des suites plus convergentes qu’aucune série géométrique ; enfin la théorie des fractions continues, qui avait toujours été traitée jusqu’ici d’une manière isolée. Le seul objet de cet écrit a été de montrer comment ces différentes théories pouvaient être rapprochées et présentées sous un même point de vue.