# L’Encyclopédie/1re édition/CIRCONSCRIRE

CIRCONSCRIRE, en Géometrie élémentaire, c’est décrire une figure réguliere autour d’un cercle, de maniere que tous ses côtés deviennent autant de tangences de la circonférence du cercle. Voyez Cercle, &c.
Ce terme se prend aussi pour la description d’un cercle autour d’un polygone, de façon que chaque côté du polygone soit corde du cercle ; mais dans ce cas, on dit que le polygone est inscrit, plûtôt que de dire que le cercle est circonscrit.
Une figure réguliere quelconque ABCDE (Pl. de Géomet. fig. 29.) inscrite dans un cercle, se résout en des triangles semblables & égaux, en tirant des rayons du centre F du cercle, auquel le polygone est inscrit, aux différens angles de ce polygone, & son aire est égale à un triangle rectangle, dont la base seroit la circonférence totale du polygone, & la hauteur une perpendiculaire F H tirée du centre du polygone, sur un de ses côtés, comme A B.
On peut dire la même chose du polygone circonscrit abcde (fig. 28.), excepté que la hauteur doit être ici le rayon FR.
L’aire de tout polygone, qui peut être inscrit dans un cercle, est moindre que celle du cercle ; & celle de tout polygone, qui y peut être circonscrit, est plus grande. Le périmetre du premier des deux polygones dont nous parlons, est plus petit que celui du cercle, & celui du second est plus grand. V. Périmetre, &c.
C’est de ce principe qu’Archimede est parti pour chercher la quadrature du cercle, qui ne consiste effectivement qu’à déterminer l’aire ou la surface du cercle. Voyez Quadrature.
Le côté de l’exagone régulier est égal au rayon du cercle circonscrit. Voyez Exagone.
Circonscrire un cercle à un polygone régulier, donné ABCDE (fig. 28.), & réciproquement. Coupez pour cela en deux parties égales deux des angles du polygone, par exemple A & B ; & du point F, où les deux lignes de section se rencontrent, pris pour centre, décrivez avec le rayon FA un cercle.
Circonscrire un quarré autour d’un cercle. Tirez deux diametres AB, DE (fig. 31.), qui se coupent à angles droits au centre C, & par les quatre points où ces deux diametres rencontreront le cercle, tirez quatre tangentes à ce cercle, elles formeront par leur rencontre le quarré demandé.
Circonscrire un polygone régulier quelconque, par exemple un pentagone autour d’un cercle. Coupez en deux parties égales la corde AE de l’arc ou de l’angle qui convient à ce polygone (fig. 28.), par la perpendiculaire FO partant du centre ; & vous la continuerez jusqu’à ce qu’elle coupe l’arc en g. Par les points A, T, tirez des rayons AE, EF ; & par le point g, une parallele à AE, qui rencontre ces rayons prolongés en a, e ; alors ae sera le côté du polygone circonscrit. Prenez la corde AB = AE ; tirez le rayon FB, & prolongez-le en b, jusqu’à ce que Fb soit égal à Fe ; tirez ensuite ab, ce sera un autre côté du polygone, & vous tracerez tous les autres de la même maniere.
Inscrire un polygone régulier quelconque dans un cercle. Divisez 360$^d$ par le nombre des côtés, pour trouver la quantité de l’angle EFD ; faites un angle au centre égal à celui-là, & appliquez la corde de cet angle à la circonférence, autant de fois qu’elle pourra y être appliquée ; ce sera la figure qu’il falloit inscrire dans le cercle. Chambers. (E)