# Astronomie populaire (Arago)/IX/32
### CHAPITRE XXXII parallaxe annuelle des étoiles ou moyen de déterminer la distance de ces astres à la terre

Si la demeure de l’homme était immobile dans l’espace, il n’aurait pour déterminer la distance des corps célestes que les bases comparativement très-petites qu’il serait possible de mesurer entre divers points du globe terrestre. Au contraire, si, comme nous le démontrerons dans un livre spécial, la Terre est une planète, si elle circule tous les ans autour du Soleil dans une orbite à peu près circulaire, et dont le rayon moyen est de 38 millions de lieues, l’astronome pourra appuyer ses opérations sur des bases d’une longueur double du rayon de l’orbite ou de 76 millions de lieues.
Remarquons d’abord qu’un observateur peut toujours mesurer avec les instruments dont il dispose actuellement la valeur d’un angle au sommet duquel il est situé, et la méthode dont on fait usage pour la détermination de la distance des étoiles sera très-facile à expliquer. Ajoutons d’ailleurs que quand on connaît une base et deux angles dans un triangle, la trigonométrie donne les moyens de connaître tous les éléments de ce triangle et par conséquent la distance du sommet à la base.
Admettons, et la supposition n’entraînera aucune erreur sensible, que l’orbite terrestre est circulaire, et que l’étoile E (fig. 107) que nous allons observer soit située au pôle du plan de l’écliptique, c’est-à-dire sur une ligne droite SE perpendiculaire à ce plan et passant par le soleil S. Soit AB le diamètre de l’orbite de la Terre ; menons les droites EA et EB.
Imaginons que l’observateur en A mesure l’angle EAB ; que, parvenu en B à l’extrémité du diamètre ASB, il mesure EBA, la somme de ces deux angles, plus l’angle E, doit être égale, comme on sait (liv. i, chap. ix) à 180°. En retranchant de 180° la somme des deux angles EAB et EBA, on aura donc la valeur de l’angle en E comme si on avait pu le mesurer directement.
La moitié de cet angle, ou l’angle SEA ou SEB, je veux dire l’angle sous-tendu à l’étoile par le rayon de l’orbite terrestre vu perpendiculairement, est ce qu’on appelle la parallaxe annuelle de l’étoile E.
En prenant toujours les observations correspondantes à deux points diamétralement opposés de l’orbite terrestre, on pourra obtenir dans le cours de l’année un nombre considérable de mesures de la parallaxe annuelle d’une étoile située au pôle de l’écliptique, ou dans le voisinage de ce pôle.
Passons au cas où l’étoile est dans une position E (fig. 108) intermédiaire entre l’écliptique et son pôle.
Du point E, abaissons la perpendiculaire EP sur le plan de l’écliptique, soit S, le soleil, dont le centre est situé dans le même plan. Par EP et par S faisons passer un plan, lequel sera perpendiculaire au plan de l’écliptique. La trace de ce plan coupera la courbe annuelle décrite par la Terre autour du Soleil en deux points A et B, situés aux deux extrémités d’un même diamètre. Supposons que l’observateur, lorsqu’il est en A, mesure l’angle EAB formé par le rayon visuel AE aboutissant à l’étoile avec le diamètre AB. Lorsque six mois se seront écoulés, l’observateur se trouvera transporté en B. Admettons que dans cette nouvelle station et avec le même instrument il mesure l’angle EBA ; les deux angles ainsi obtenus font partie d’un même triangle dans lequel le troisième angle est l’angle en E formé par les rayons visuels partant de l’étoile et aboutissant aux deux extrémités de la base AB.
L’observateur n’a aucun moyen de déterminer directement l’angle en E, puisqu’il ne peut pas se transporter dans l’étoile au sommet de cet angle, mais le même théorème de géométrie dont nous venons de faire usage en fera connaître la valeur tout comme s’il avait pu mesurer par ses instruments.
Répétons que la somme de trois angles d’un triangle, grands ou petits, est toujours 180°. Examinez de combien la somme des angles EBA et EAB, directement déterminés diffèrent de 180°, et cette différence sera l’angle en E.
Cette fois la base AB est vue obliquement de l’étoile E ; cet angle devra donc être augmenté d’une certaine quantité pour le ramener à ce qu’il aurait été si la distance EB, restant invariable, la base AB avait été vue perpendiculairement. Le calcul de cette correction est toujours facile.
En prenant la moitié de l’angle ainsi rectifié, on obtient la parallaxe annuelle de l’étoile E.
Faisons une troisième supposition, et tous les cas possibles auront été ainsi parcourus ; imaginons le cas où l’étoile E serait située dans le plan de l’écliptique (fig. 109).
Du point E, menons une ligne ES au Soleil et un diamètre ASB perpendiculairement à la ligne ES ; supposons que, lorsque l’observateur est en A, il mesure l’angle EAB et que, parvenu en B après six mois d’intervalle, il mesure l’angle EBA ; la somme de ces deux angles mesurés, retranchée de 180°, fera connaître l’angle en E : la moitié de cet angle sera la parallaxe annuelle.
Lorsque les étoiles n’étaient pas situées dans le plan de l’écliptique, nous avons déduit leur parallaxe annuelle de la mesure des deux angles formés par les rayons visuels aboutissant aux étoiles avec le plan de l’écliptique, c’est-à-dire de leurs latitudes (liv. viii, chap. ii). Mais pour la commodité des observations ou plutôt pour rendre les vérifications des instruments faciles, on ne mesure pas directement les latitudes. On les déduit des ascensions droites et des déclinaisons par le calcul. Ce calcul peut se faire avec toute la précision désirable, en sorte qu’il n’y a guère dans le résultat définitif que les erreurs des observations directes qui ont servi à l’obtenir.
Il y a cependant une circonstance grave, il faut l’avouer ; elle tient à ce que l’angle E est généralement très-petit ; on est obligé, pour obtenir cet angle, de comparer des observations faites à six mois de distance, de sorte que si l’une correspond à l’été, l’autre aura été faite en hiver. Or, il n’est pas bien certain que l’instrument soit resté parfaitement invariable pendant un si long espace de temps, que les déformations, les erreurs de division, etc., aient été les mêmes par des températures très-dissemblables, que les réfractions à travers l’atmosphère terrestre dont il est absolument nécessaire de tenir compte aient pu être très exactement calculées.
Les étoiles sont sujettes à des déplacements annuels variables, connus sous les noms d’aberration de la lumière et de nutation. La moindre incertitude sur la valeur de ces inégalités amènerait dans les positions des étoiles rapportées à l’écliptique de petites différences qu’on pourrait être tenté à tort d’attribuer à la parallaxe. C’est pour cela qu’on a essayé d’obtenir aussi les parallaxes par une autre méthode dont je vais donner une idée.
Prenons de nouveau une étoile placée en E (fig. 110) obliquement par rapport à l’orbite terrestre, et supposons qu’on l’observe des deux points A et B situés dans le plan EAB perpendiculaire au plan de l’écliptique ; imaginons que le point P est le pied de la perpendiculaire abaissée de l’étoile E sur le plan de l’écliptique ; l’angle PBE surpassera l’angle PAE d’une quantité égale à l’angle AEB. En effet, menons par le point B une parallèle BL à AE, l’angle LBE sera égal à l’angle AEB, comme alternes-internes (liv. i, chap. ix). L’angle LBP sera égal à l’angle EAB, puisqu’ils ont leurs côtés parallèles. L’angle LBE ou, ce qui revient au même, l’angle AEB est la différence des angles EBP, LBP, ou bien des angles PBE, PAE observés aux deux extrémités B et A du diamètre AB.
La quantité dont une étoile paraît s’élever au-dessus du plan de l’écliptique, ou bien la quantité dont la latitude de cette même étoile augmente en allant de A en B, est donc la valeur de l’angle AEB, c’est-à-dire de l’angle sous-tendu par le diamètre AB vu de l’étoile E.
Si l’on prenait une seconde E′ située à peu près sur le prolongement du rayon BE, on pourrait appliquer à ce second astre le raisonnement que nous avons fait sur l’étoile E. La quantité dont l’étoile E′ se soulèverait au dessus du plan de l’écliptique quand l’observateur passerait de A en B, serait égale à l’angle sous-tendu par la base AB vue de cette seconde étoile E′.
Si l’étoile E′ est beaucoup plus éloignée de AB que l’étoile E, l’angle en E′ sera beaucoup plus petit que l’angle en E, et la distance des deux étoiles E, E′ paraîtra varier quand l’observateur passera de A en B d’une quantité égale à la différence des deux angles en E et en E′.
Si l’angle en E′ est inappréciable, la distance des deux étoiles variera lorsque l’observateur passera de A en B de la valeur totale de l’angle en E, formé par les lignes menées de cette étoile aux deux extrémités d’un même diamètre AB de l’orbite terrestre.
Pour déterminer la parallaxe de l’étoile E, on n’aura donc pas besoin de la rapporter dans les deux stations A et B au plan de l’écliptique. Un instrument gradué de grande dimension ne sera plus nécessaire : l’étoile E et l’étoile de comparaison E′ étant toutes les deux dans la même région du ciel, seront soumises à la même réfraction, à la même aberration de la lumière, à la même nutation, les erreurs qu’on pouvait commettre sur la valeur de ces trois éléments n’altéreraient pas la distance angulaire des deux étoiles, puisqu’elles affecteraient également les positions de E et E′.
Remarquons d’ailleurs que les étoiles E et E′ se voyant simultanément dans le champ d’une même lunette, leur distance peut être mesurée en A et en B avec un micromètre ordinaire.
Lorsqu’on a le bonheur dans ce genre de recherches de tomber sur deux étoiles E, E′, très-inégalement éloignées, on détermine la distance de la plus voisine des deux par une méthode qui n’exige pas les soins minutieux, et d’une délicatesse extrême, auxquels il faut avoir recours quand on se sert de la méthode des latitudes absolues.
Lorsqu’une étoile a une parallaxe sensible, on ne la voit jamais dans sa position réelle ; si l’étoile laissait une trace lumineuse de son passage dans les positions apparentes qu’elle va occuper pendant toute l’année, on trouverait qu’un de ces astres, situé au pôle de l’écliptique, décrit un cercle ou plutôt une ellipse semblable à l’ellipse terrestre pendant les 365 jours de l’année. Dans toutes les positions comprises entre le pôle de l’écliptique et l’écliptique lui-même, les courbes décrites sont invariablement des ellipses. Quant aux étoiles situées dans le plan de l’écliptique elles paraîtront tous les ans décrire des lignes droites.
Supposez que l’orbite de la terre et les ellipses apparentes décrites par les étoiles soient divisées en 360° qui se correspondent ; l’étoile occupera toujours sur son orbite apparente un point éloigné de 180° de celui où la terre est parvenue. On voit donc que le phénomène de la parallaxe annuelle doit altérer un tant soit peu et périodiquement les distances respectives des étoiles fixes.
Donnons maintenant les résultats les plus certains que l’on ait obtenus pour la parallaxe annuelle de diverses étoiles en se servant des deux méthodes citées.
| α du Centaure, observée en 1832 et 1839 au cap de Bonne-Espérance, par Henderson et Maclear | 0″,91 |
| Sirius, 1832 à 1837, au cap de Bonne-Espérance, par Henderson et Maclear | 0″,15 |
| α de la Lyre, M. Struve, de 1835 à 1838, à Dorpat | 0″,26 |
| 61e du Cygne, M. Bessel, de 1837 à 1840, à Kœnigsberg. | 0″,35 |
M. Peters, à Poulkova, 1842 et 1843 :
| La Chèvre | 0″,046 |
| ι de la Grande Ourse | 0″,133 |
| α du Bouvier | 0″,127 |
| α de la Lyre | 0″,207 |
| La Polaire | 0″,106 |
Nous transformerons aisément ces diverses parallaxes angulaires en lieues, en nous rappelant d’abord que la base à laquelle toutes les parallaxes se rapportent est toujours de 38 millions de lieues. D’un autre côté, un objet grand ou petit sous-tend un angle d’une seconde lorsqu’on en est éloigné de 206 265 fois ses dimensions, car nous avons vu que le rapport de la circonférence au diamètre (liv. i, chap. iv) étant de 3,14159 et le nombre de secondes contenues dans une circonférence de 1 296 000, on a le rayon égal à $\scriptscriptstyle {\frac {1\ 296\ 000}{3,14159\times 2}}\ =\ 206\ 265$ fois la longueur d’une seconde. On se rappellera de plus que la distance devient double, triple,… dix fois plus grande quand l’angle sous-tendu est la moitié, le tiers ou le dixième d’une seconde. Rien ne sera plus facile alors que de calculer le tableau suivant :
| | Parallaxe | Distance à la terre. | Distance à la terre. |
| | | Rayons de l’orbite terrestre. | Millions de lieues. |
| α du Centaure | 0″,91 | 226 400 | 8 603 200 |
| 61e du Cygne | 0″,35 | 589 300 | 22 735 400 |
| α de la Lyre | 0″,26 | 785 600 | 29 852 800 |
| Sirius | 0″,15 | 1 373 000 | 52 174 000 |
| ι de la Grande Ourse | 0″,133 | 1 550 900 | 58 934 200 |
| Arcturus | 0″,127 | 1 624 000 | 61 712 000 |
| La Polaire | 0″,106 | 1 946 000 | 73 948 000 |
| La Chêvre | 0″,046 | 4 484 000 | 170 392 000 |
Pour rapporter ces mêmes distances à la vitesse de la lumière il faut savoir, ce que nous démontrerons plus tard, que les rayons du Soleil emploient 8$^m$ 17$^s$, 8 à parcourir les 38 millions de lieues représentant la distance moyenne de l’astre a la terre ; on trouve ainsi que la lumière émanée des diverses étoiles dont les parallaxes sont le mieux connues, arrivent à la terre dans les intervalles de temps qui suivent :
| | Ans. |
| α du Centaure | 3,622 |
| 61e du Cygne | 9,429 |
| α de la Lyre | 12,570 |
| Sirius | 21,968 |
| ι de la Grande Ourse | 24,800 |
| Arcturus | 25,984 |
| La Polaire | 31,136 |
| La Chèvre | 71,744 |