# Œuvres de Lagrange/Pièces diverses/Compas de réduction pour la distance de la Lune aux étoiles
### COMPAS DE RÉDUCTION POUR LA DISTANCE DE LA LUNE AUX ÉTOILES.

Dans l’Abrégé de Navigation de Lalande, on trouve, page 63, l’explication de l’instrument exécuté par Richer ; mais on y a omis les démonstrations ; c’est à quoi nous allons suppléer.
Supposons la lettre $\mathrm {Z}$ au sommet du triangle, pour représenter le zénith ; $\mathrm {ZC}$ et $\mathrm {ZE}$ pour les deux autres côtés qui sont composés chacun d’une partie fixe et d’une partie mobile ; la partie fixe contient les demi-cordes des suppléments pour les sommes des hauteurs ; la partie mobile contient les demi-cordes pour les différences de hauteurs, en partant de l’extrémité inférieure dans l’une, et de l’extrémité supérieure dans l’autre ; ainsi, quand on a tiré les deux coulisses, la plus grande règle contient la somme de la demi-corde du supplément de la somme des hauteurs et de la demi-corde de la différence des hauteurs, et l’autre règle contient la différence des mêmes-demi-cordes. Le côté opposé à l’angle $\mathrm {Z}$ contient les cordes des distances des deux astres ; il y a encore une règle transversale divisée suivant la ligne des cordes ; elle sert à fixer deux règles principales, et montre l’angle $\mathrm {A}$ de ces deux règles, ou la différence d’azimut des deux astres. Nous allons prouver que dans le triangle $\mathrm {CZE}$ l’angle $\mathrm {Z}$ est égal à l’angle au zénith, ou à la différence d’azimut des deux astres, si les deux côtés adjacents son composés comme on vient de le dire, et que le côté opposé soit la corde de la distance des mêmes astres.
Si l’on appelle $a$ la somme des hauteurs, et $b$ leur différence, les parties fixes des branches principales sont $=\sin {\frac {180^{\circ }-a}{2}}=\cos {\frac {a}{2}}=\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}\,;$ les parties mobiles des deux branches à coulisses, qui glissent sur les branches principales, sont $=\sin {\frac {b}{2}}=\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\,;$ enfin le troisième côté ou la branche transversale est $2\sin {\frac {d}{2}}\,;$ donc, dans le triangle $\mathrm {ZCE} ,$ on aura une des branches
$\mathrm {ZC} =\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}+\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\,;$
l’autre branche
$\mathrm {ZE} =\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}-\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}},$
et le côté $\mathrm {CE}$ destiné à représenter la distance $=2\sin {\frac {d}{2}}.$
Dans un triangle rectiligne $\mathrm {CEZ} ,$ on a (Astronomie, Art. 3849)
$\mathrm {CE^{2}=CZ^{2}+EZ^{2}-2CZ.EZ\cos Z} \,;$
donc
${\begin{aligned}4\left(\sin {\frac {d}{2}}\right)^{2}=&\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}+\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}-\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)^{2}\\&-2\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}+\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}-\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)\cos \mathrm {Z} \\=&2\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}\right)^{2}+2\left(\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)^{2}\\&-2\left[\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}\right)^{2}-\left(\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)^{2}\right]\cos \mathrm {Z} \,;\end{aligned}}$
ce qui se réduit à
$2-2\cos d=2+\cos(\mathrm {H} +h)-\cos(\mathrm {H} -h)-\left[\cos(\mathrm {H} +h)+\cos(\mathrm {H} -h)\right]\cos \mathrm {Z} ,$
ou
$\cos d=\sin \mathrm {H} \sin h+\cos \mathrm {H} \cos h\cos \mathrm {Z} \,;$
ce qui revient à la formule connue (Astronomie, Art. 3947).