# Recherches arithmétiques/Notes du traducteur

Nous hasardons de placer ici une solution différente du même problème, solution qui nous paraît à quelques égards plus simple que celle de l’auteur. Le principe dont nous nous servons se présentait naturellement, mais nous devons observer qu’il est employé dans l’ouvrage pour un problème analogue (n$^o$ 285, 3$^o$).
Supposons d’abord que la forme $F$ et la forme $f$ soient équivalentes.
Si l’on connaissait toutes les transformations propres de la forme $F$ en elle-même, et une transformation de $f$ en $F,$ en combinant chacune des premières avec la seconde (n$^o$ 159), on obtiendrait évidemment des transformations semblables à cette dernière. Or il est extrêmement facile de démontrer, 1$^o$ que chaque combinaison donnera une transformation différente des autres ; 2$^o$ que toute transformation pourra naître de la combinaison d’une transformation de $F$ en elle-même avec la transformation donnée de $F$ en $f.$
Cherchons donc d’abord quels doivent être les nombres $p,$ $q,$ $r,$ $s,$ pour que la forme $F$ se change proprement en elle-même par la substitution
$x=px'+qy',\quad y=rx'+sy',$
on aura les équations
| $Ap^{2}+2Bpr+Cr^{2}$ | $=A$ | . . . . . . . . (a), |
| $Apq+B(ps+qr)+Crs$ | $=B$ | . . . . . . . . (b), |
| $Aq^{2}+2Bqs+Cs^{2}$ | $=C$ | . . . . . . . . (c), |
| $ps-qr$ | $=1$ | . . . . . . . . (d), |
Les équations (a) et (c) peuvent se mettre sous la forme
$(Ap+Br)^{2}-Dr^{2}=A^{2},\quad (Cs+Bq)^{2}-Dq^{2}=C^{2},$
ou bien, $m$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $A,$ $2B,$ $C,$ et en divisant la première par ${\frac {A^{2}}{m^{2}}},$ la seconde par ${\frac {C^{2}}{m^{2}}},$
| $\left({\frac {m(Ap+Br)}{A}}\right)^{2}-D\left({\frac {mr}{A}}\right)^{2}$ | $=m^{2}$ |
| $\left({\frac {m(Cs+Bq)}{C}}\right)^{2}-D\left({\frac {mq}{C}}\right)^{2}$ | $=m^{2}$ |
${\frac {m(Ap+Br)}{A}}=t$
${\frac {mr}{A}}=u$
${\frac {m(Cs+Bq)}{C}}=t'$
${\frac {mq}{C}}=u'$
ces équations deviennent
$t^{2}-Du^{2}$
$t'^{2}-Du'^{2}=m'^{2},$
or on a
$p={\frac {t-Bu}{m}}$
$r={\frac {Au}{m}}$
$q={\frac {Cu'}{m}}$
$s={\frac {t'-Bu'}{m}}\,;$
substituant ces valeurs dans les équations (b) et (d), il en résulte
| $Btt'$ | $-D(ut'+u't)+$ | $BDuu'=$ | $Bm^{2}$ |
| $tt'$ | $-B(ut'+u't)+$ | $Duu'=$ | $m^{2}$ |
qui donnent $ut'+u't=0$ ; donc $u'=-{\frac {ut'}{t}}$. Cette valeur, substituée dans l’équation $tt'-Duu'=m^{2}$, donne $t=t'$, et partant $u=-u'$.
Il en résulte donc
$p={\frac {t-Bu}{m}}$
$q=-{\frac {Cu}{m}}$
$r={\frac {Au}{m}}$
$s={\frac {t+Bu'}{m}},$
or il est aisé de démontrer que $t$, $u$ doivent être entiers, si $p$, $q$, $r$, $s$ le sont, et réciproquement.
1$^o$. Si $p$, $q,\,r,\,s$ sont entiers, comme il est nécessaire pour notre question, comme on tire des valeurs précédentes
$u={\frac {mr}{A}}={\frac {r}{\frac {A}{m}}}$
$u=-{\frac {q}{\frac {C}{m}}}$
$u={\frac {s-p}{\frac {2B}{m}}},$
on peut en conclure
${\frac {r}{q}}={\frac {\frac {A}{m}}{\frac {C}{m}}}$
${\frac {r}{s-p}}={\frac {\frac {A}{m}}{\frac {2B}{m}}}\,;$
mais l’une des deux fractions qui servent de second membre est nécessairement irréductible, donc $r$ est divisible par ${\frac {A}{m}}$, où ${\frac {rm}{A}}=u$ sera un nombre entier, ${\frac {mq}{C}}$ en sera un aussi ; de là il est aisé de voir que $t$ est également un nombre entier.
2$^o$. On démontrera, comme l’auteur le fait au même numéro (4$^o$.), que toutes les valeurs entières de $t,$ $u$ donneront des valeurs entières pour $p,$ $q,$ $r,$ $s.$
Il suit donc de tout ce qui précède, que la solution de notre question dépend de la résolution de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ en nombres entiers, et que réciproquement une transformation d’une forme quelconque de déterminant $D$ en elle-même, fournira une solution en nombres entiers de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, pourvu que $m$ soit le plus grand commun diviseur des trois coefficiens de cette forme.
Si maintenant $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ sont des nombres pour lesquels $F$ se change en $f,$ on trouvera par le n$^o$ 159, pour les nombres $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta ',$ qui donnent une transformation quelconque semblable,
| $m\alpha '=\alpha t-(B\alpha +C\gamma )u$, | $m\beta '=\alpha t-(B\beta +C\delta )u$, |
| $m\gamma '=\gamma t+(A\alpha +B\gamma )u$, | $m\delta '=\alpha t-(A\beta +B\delta )u$ ; |
or il faut observer qu’ici les valeurs de $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ sont nécessairement entières puisque $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ et $p$, $q$, $r$, $s$ le sont.
Si l’on compare les valeurs de $T$ et de $U$, que l’auteur déduit (n$^o$ 199) avec celles auxquelles nous parvenons directement, on verra qu’elles sont identiques mutatis mutandis.
Mais si $F$ et $f$ n’étaient pas équivalentes, on se convaincra aisément que ces formules ne donneraient plus toutes les transformations, à moins que l’on n’admette des valeurs fractionnaires de $t$ et $u$ dans lesquelles le dénominateur serait le quotient du plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, divisé par le plus grand commun diviseur des nombres $A$, $2B$, $C$. Si nous nommons $m'$ le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, et que nous fassions ${\frac {m'}{m}}=\mu$, on trouvera pour ce cas, en substituant dans les formules ${\frac {t}{\mu }}$ et ${\frac {u}{\mu }}$, à la place de $t$ et $u$, des formules semblables dans lesquelles, à la place de $m$, on doit mettre $m'$, et où $t$ et $u$ seront des nombres qui satisfassent à l’équation $t^{2}-Du^{2}=m'^{2}$, comme il résulte de l’analyse de l’auteur. Nous insistons peu sur ce second cas qui est d’une moins grande utilité.
On peut encore faire cette recherche d’une manière qui nous paraît en quelque sorte plus directe.
Nous supposerons qu’on ait démontré, comme l’auteur, les relations qui existent entre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, et qui sont, en faisant usage de sa notation,
$a+d=0$
$e+e'=0$
$bc-ad=e^{2}$
$a^{2}+bc=e^{2}.$
Cela posé, soit $(F,G,H)$, la forme ambiguë cherchée, que nous désignerons par $\varphi$ ; faisons ${\frac {2G}{F}}=k$, $k$ sera un nombre entier. Or puisque $F$ doit se changer en $\varphi$, $F$ renfermera $\varphi$ proprement et improprement, et si la transformation propre est
$x=mt+nu$
$y=pt+qu,$
on obtiendra une transformation impropre, en combinant la transformation propre avec une transformation impropre de $\varphi$ en elle-même. Alors si $\varphi$ se change en $F'$ par la transformation propre
$t=m'x'+n'y'$
$u=p'x'+q'y'\,;$
en passant d’abord de $F$ à $\varphi ,$ et ensuite de $\varphi$ à $F'$, on obtiendra deux transformations de $F$ en $F',$ une propre et l’autre impropre (n$^o$ 159), et qui devront coïncider avec les transformations données.
La forme $\varphi$ se change en elle-même par la transformation impropre $t=t'+ku'$, $u=-u'$ ; ainsi : 1$^o$. $F$ se change en $F'$ par la transformation propre
| $x$ | $=(mm'+np')x'$ | $+(mn'+nq')y',$ |
| $y$ | $=(pm'+qp')x'$ | $+(pn'+qq')y',$ |
et partant, on aura
| $mm'+np'$ | $=\alpha ,$ | —— | $mn'+nq'$ | $=\beta ,$ |
| $pm'+qp'$ | $=\gamma ,$ | | $pn'+qq'$ | $=\delta$……(1) |
2$^o$. $F$ se change en $F'$ par la transformation impropre
| $x$ | $=\left\{mm'+(mk-n)p'\right\}x'$ | $+\left\{mn'+(mk-n)q'\right\}y',$ |
| $y$ | $=\left\{pm'+(pk-q)p'\right\}x'$ | $+\left\{pn'+(pk-q)q'\right\}y',$ |
et l’on a parconséquent
| $mm'+(mk-n)p'$ | $=\alpha ',$ | —— | $mn'+(mk-n)q'$ | $=\beta ',$ |
| $pm'+(pk-q)p'$ | $=\gamma ',$ | | $pn'+(pk-q)q'$ | $=\delta ',$……(2) |
Les équations (1) donnent par l’élimination, en faisant $mq-np=h$,
| $m'$ | $={\frac {\alpha q-\gamma n}{h}},$ |
| $n'$ | $={\frac {\beta q-\delta n}{h}},$ |
| $p'$ | $={\frac {\gamma m-\alpha p}{h}},$ |
| $q'$ | $={\frac {\delta m-\beta p}{h}}$. |
Les équations (2) donnent
| $m'$ | $={\frac {\alpha 'q'-\gamma 'n'+k(\gamma 'm-\alpha 'p)}{h}},$ |
| $n'$ | $={\frac {\beta 'q-\delta 'n+k(\delta 'm-\beta 'p)}{h}},$ |
| $p'$ | $={\frac {\alpha 'p-\gamma 'n}{h}},$ |
| $q'$ | $={\frac {\beta 'p-\delta 'm}{h}}.$ |
De ces doubles valeurs de $m'$, $n'$, $p'$, $q'$, on tire les équations
| $(\gamma +\gamma ')m$ | $=(\alpha +\alpha ')p$, |
| $(\delta +\delta ')m$ | $=(\beta +\beta ')p$…………(3) |
| $(\alpha -\alpha ')q-(\gamma -\gamma ')n$ | $=k(\gamma 'm-\alpha 'p),$ |
| $(\beta -\beta ')q-(\delta -\delta ')n$ | $=k(\delta 'm-\beta 'p)$……(4) |
Les équations (3) donnent ${\frac {m}{p}}={\frac {\alpha +\alpha '}{\gamma +\gamma '}}$ ; ${\frac {m}{p}}={\frac {\beta +\beta '}{\delta +\delta '}}$. Or il est aisé de voir que l’équation de condition qui résulte de ces deux valeurs est toujours satisfaite, car elle revient à
$(\alpha +\alpha ')(\delta +\delta ')-(\beta +\beta ')(\gamma +\gamma ')=0,$
$e+e'+a+d=0,$
en essayant d’éliminer $q$ ou $n$ entre les équations (4) ; on voit facilement qu’elles rentrent l’une dans l’autre ; car il en résulterait dans l’un ou l’autre cas des équations qui s’anéantissent d’elles-mêmes, leur premier membre étant multiplié par $(\alpha -\alpha ')(\delta -\delta ')-(\beta -\beta ')(\gamma -\gamma ')$ qui est égal à $e+e'-a-d$, quantité nulle, et leur second membre étant multiplié, pour l’une, par $cm+(d+e)p$, pour l’autre, par $(a+e)m+bp$, quantités également nulles, comme on peut s’en assurer facilement. Il suffirait pour cela de multiplier par $\delta$ la première des équations (3), et d’en retrancher la seconde multipliée par $\gamma$ ; de multiplier encore la première par $\beta$, et d’en retrancher la seconde multipliée par $\alpha$. On trouverait
$cm+(d+e)p=0,$
$(a+e)m+bp=0$
Il suit de là qu’entre les cinq inconnues $m$, $n$, $p$, $q$, $k$, il n’y a réellement que deux équations. Ainsi le problème est indéterminé ; mais il faut que les valeurs de ces inconnues soient telles que $m'$, $n'$, $p'$, $q'$ soient entiers.
Disposons des nombres $m$ et $p$ dont le rapport seul est connu et égal à ${\frac {\alpha +\alpha '}{\gamma +\gamma '}}$ ou ${\frac {\beta +\beta '}{\delta +\delta '}}$, et prenons pour $m$ et $p$ les termes de ce rapport réduit à sa plus simple expression.
On aura évidemment dans tous les cas des nombres entiers pour $m'$ et $p'$, si l’on fait $q=\mu h$ ; $n=\pi h$, où $h$ est indéterminé jusqu’à présent. Cette supposition change l’équation $mq-np=h$ en $m\mu -p\pi =1$ qui servira à trouver $\mu$ et $\pi$.
Quant à $p'$ et $q'$ au moyen des valeurs de $a$, $b$, $c$, $d$ ou $-a$, on tire facilement par l’élimination
$\alpha 'e=-(\gamma b+\alpha a),\;\beta 'e=-(\delta b+\beta a),\;\gamma 'e=\gamma a-\alpha c,\;\delta 'e=\delta a-\beta c\,;$
or à l’aide des équations (5), on a
| $=\gamma m-\alpha p$ | $=\gamma m-{\frac {\alpha (a+e)m}{b}}$ |
| $={\frac {1}{b}}(\gamma b+\alpha a+\alpha e)m$ | $={\frac {(\alpha -\alpha ')me}{b}}$ |
| $={\frac {\gamma (a-e)p}{b}}-\alpha p$ | $={\frac {1}{c}}(\gamma a-\alpha e-\gamma e)p$ |
| $=-{\frac {(\gamma -\gamma ')pe}{c}}$ ; |
On trouverait de même
$q'h={\frac {(\beta -\beta ')me}{b}}$
$q'h={\frac {(\delta -\delta ')pe}{c}}.$
Si $r$ est le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $c$, et partant des nombres $b$, $c$, $e$, comme il est aisé de le prouver par l’équation $a^{2}+bc=e^{2}$ un des nombres ${\frac {b}{r}}$, ${\frac {e}{r}}$ sera premier avec ${\frac {e}{r}}$. Supposons que ce soit ${\frac {b}{r}}$ ; comme on a
$p'h={\frac {(\alpha -\alpha ')m{\frac {e}{r}}}{\frac {b}{r}}}$
$q'h={\frac {(\beta -\beta ')m{\frac {e}{r}}}{\frac {b}{r}}},$
il s’ensuit que $(\alpha -\alpha ')m$ est divisible par ${\frac {b}{r}}$, ainsi que $(\beta -\beta ')m$, puisque $p'h$ et $q'h$ sont essentiellement entiers. Donc en prenant $h={\frac {e}{r}}$, $p'$ et $q'$ seront entiers.
D’ailleurs des valeurs précédentes de $p'h$, on tire $\alpha '-\alpha '={\frac {b}{me}}p'h$, $\gamma '-\gamma '=-{\frac {c}{pe}}p'h$, et comme $\gamma 'm-\alpha 'p=-p'h$, la première des équations (4) devient ${\frac {b}{me}}q+{\frac {c}{pe}}=-k$, ou, puisque $q=\mu h=\mu {\frac {e}{r}}$, $n=\pi h=\pi {\frac {e}{r}}$, ${\frac {b}{mr}}\mu +{\frac {c}{pr}}\pi =-k.$ Mais on a ${\frac {m}{p}}=-{\frac {d+e}{c}}=-{\frac {b}{a+e}}=-{\frac {{\frac {d}{r}}+{\frac {e}{r}}}{\frac {c}{r}}}=-{\frac {\frac {b}{r}}{{\frac {a}{r}}+{\frac {e}{r}}}}$, et partant ${\frac {c}{r}}$ est divisible par $p>$, et ${\frac {b}{r}}$ par $m$, ou bien et ${\frac {c}{pr}}$ et ${\frac {b}{mr}}$ sont entiers. Donc cette équation donne une valeur entière pour $k$, qui varie suivant les valeurs que l’on attribue à $\mu$ et $\pi$.