# Note sur la géométrie non euclidienne et la relativité de l’espace
## NOTE SUR LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE ET LA RELATIVITÉ DE L’ESPACE

Je remercie M. Georges Lechalas des bienveillantes critiques dont il a honoré mon article, et de l’occasion qu’il me fournit de l’éclaircir et de le compléter. Je connaissais déjà la théorie de cet auteur sur la relativité des grandeurs dans la géométrie générale ; mais comme sur ce point je partage l’avis de M. Renouvier, tel que je l’ai résumé dans mon travail (I, § xiii), et que d’ailleurs je n’avais à exposer et à discuter que la théorie criticiste, j’ai dû passer cette question sous silence, et je n’ai pu tenir compte de la thèse de M. Lechalas. Les objections courtoises de ce savant m’obligent maintenant à me prononcer sur cette question, et à exposer les raisons pour lesquelles je n’ai pas cru pouvoir adopter son opinion, si spécieuse qu’elle soit. Je ne voudrais pas « laisser subsister quelque équivoque sur ce point » très délicat, mais aussi très important ; on m’excusera donc d’insister sur une difficulté à laquelle M. Lechalas reconnaît « une si grande portée philosophique », car, comme l’a dit M. Renouvier, « il s’agit d’une grande loi de l’univers dans ce point de géométrie ».
Je m’empresse d’ajouter qu’il n’y a pas, qu’il ne saurait y avoir entre nous le moindre désaccord touchant les faits mathématiques sur lesquels nous nous appuyons ; toute la divergence consiste dans l’interprétation philosophique que nous croyons devoir donner de ces faits. Encore les deux conceptions que nous opposons l’une à l’autre ne sont-elles contraires qu’en apparence, comme nous espérons le montrer ; elles ne sont séparées que par un malentendu que nous allons nous efforcer de dissiper. Rappelons d’abord brièvement les faits qui nous serviront de matière et d’argument, pour la commodité du lecteur et la clarté de la discussion.
Dans l’espace euclidien, c’est-à-dire dans la géométrie ordinaire, deux triangles qui ont leurs angles égaux chacun à chacun sont semblables, c’est-à-dire ont leurs trois côtés respectivement proportionnels.
Dans un espace non euclidien quelconque, c’est-à-dire dans la géométrie de Bolyaï et de Lobatschewsky, deux triangles qui ont leurs angles égaux sont égaux, c’est-à-dire ont leurs côtés égaux chacun à chacun.
C’est ce fait qu’on énonce en disant que dans tout autre espace que l’espace euclidien il n’y a pas de similitude possible sans égalité, ou qu’il n’y a pas de figures semblables : car ce qui est vrai de la similitude des triangles est vrai de la similitude de figures quelconques.
En d’autres termes, donner les angles d’un triangle euclidien, c’est déterminer seulement les rapports de grandeur de ses côtés ; donner les angles d’un triangle non euclidien, c’est déterminer la grandeur absolue de ce triangle et de ses côtés.
Inversement, dans l’espace euclidien, les angles d’un triangle ne dépendent que des longueurs relatives de ses côtés ; dans l’espace non euclidien, ils dépendent des longueurs absolues des côtés.
Il en résulte que la forme d’une figure non euclidienne dépend de sa grandeur, ou que sa grandeur dépend de sa forme. Ainsi ce qui caractérise l’espace euclidien par opposition aux autres, c’est, selon la formule lumineuse de M. Delbœuf, l’indépendance réciproque de la grandeur et de la forme. Un tel espace est dit homogène.
Définissons encore d’autres expressions excellentes empruntées au même auteur : Majorer ou minorer une figure, c’est en agrandir ou diminuer toutes les longueurs dans un rapport donné, sans que les angles varient ; c’est, en un mot, en changer la grandeur sans en changer la forme. Cette opération, par laquelle on obtient des figures semblables de grandeurs différentes, n’est possible que dans un espace homogène, où, par définition, la forme des figures est indépendante de leur grandeur absolue.
Or, quand on affirme la relativité de l’espace, on entend par là que la même figure peut y être indifféremment grande ou petite, c’est-à-dire que les propriétés des figures dépendent uniquement des relations entre les grandeurs de leurs éléments constituants. On affirme, en d’autres termes, la possibilité de majorer et de minorer une figure quelconque. Donc, dire que l’espace est relatif, c’est dire qu’il est pour ainsi dire semblable à lui-même, c’est-à-dire homogène ; et réciproquement « dire que l’espace est homogène, revient au fond à dire que rien n’a une grandeur absolue ».
À quoi M. Lechalas objecte que les grandeurs sont tout aussi relatives dans un espace non euclidien que dans l’espace euclidien, attendu qu’elles dépendent du paramètre spatial auquel elles sont toutes rapportées.
Nous répondrons à M. Lechalas qu’il joue sur les mots, ou du moins qu’il prend le mot relatif dans un sens tout différent et presque opposé au nôtre. C’est justement, dirons-nous, parce que les grandeurs non euclidiennes sont relatives à un paramètre fixe, qu’elles sont absolues ; et c’est parce que les grandeurs euclidiennes ne dépendent d’aucun paramètre qu’elles sont relatives, tandis que, si M. Lechalas suivait jusqu’au bout son raisonnement, il devrait logiquement leur attribuer une valeur absolue.
Expliquons d’abord par une analogie ce qu’est ce paramètre spatial. Parmi les espaces à trois dimensions, l’espace euclidien est analogue au plan, qui est la surface homogène ; les espaces non euclidiens sont analogues aux sphères, qui ne sont pas homogènes, mais seulement isogènes. Dans le plan comme dans l’espace euclidien, quand on donne les angles d’un triangle, on ne détermine que les rapports de ses côtés ; sur la sphère comme dans l’espace non euclidien, un triangle est complètement défini par ses angles, et ses côtés ont des longueurs déterminées. Cela vient de ce que, dans ce dernier cas, il y a une longueur donnée, à savoir celle du rayon de la sphère, à laquelle sont proportionnelles les longueurs de toutes les lignes tracées sur cette sphère. De même, toutes les longueurs de l’espace non euclidien sont proportionnelles à la racine carrée du paramètre spatial, qui représente le rayon de courbure de cet espace, de sorte qu’à chaque valeur attribuée à ce paramètre correspond un espace différent des autres. Ce fait est d’ailleurs évident, car les côtés d’un triangle sphérique déterminé par ses angles sont nécessairement exprimés en degrés de grand cercle, et l’on ne connaît leur longueur que lorsqu’on donne le rayon du grand cercle, c’est-à-dire le rayon de la sphère elle-même. Seulement, comme on suppose toujours ce rayon égal à 1, autrement dit, comme on le prend pour unité de longueur, les longueurs des arcs de grands cercles se trouvent par là même déterminées en apparence dans les formules de la trigonométrie sphérique. M. Lechalas nous rappelle que Lobatschewsky avait, de même, pris le paramètre spatial pour unité de longueur, ce qui le faisait disparaître des formules ; mais que Bolyaï l’a mis en évidence, ce qui montre bien que toutes les grandeurs sont relatives à ce paramètre.
Il n’en est pas moins vrai que dans un espace non euclidien donné, comme sur une sphère donnée, un triangle est entièrement déterminé par ses angles, et plus généralement que la grandeur d’une figure est déterminée par sa forme, parce que le rayon de courbure de la sphère ou de l’espace est une grandeur fixe, imposée d’avance. Sans doute les côtés du triangle ne sont déterminés que par leur rapport à ce paramètre qui figure dans leur formule ; mais dès que la grandeur absolue de ce paramètre est donnée, toutes les longueurs calculées sont fixées et prennent une valeur absolue. Prenons un exemple pour rendre notre raisonnement palpable. Supposons-nous situés dans un espace non euclidien et donnons-nous trois angles invariables dont la somme soit inférieure à deux droits. Nous pouvons nous imaginer ces angles réalisés matériellement dans des corps solides. On ne pourra former avec ces trois angles qu’un seul triangle, ou plutôt deux triangles symétriques, correspondant à deux ordres inverses dans la disposition des angles. La grandeur des côtés de ce triangle sera absolument déterminée, ainsi que son aire, qui sera mesurée par l’excès de deux droits sur la somme des trois angles. Nous n’avons pas besoin de dire que ce phénomène ne saurait avoir lieu dans notre espace euclidien, où l’on peut construire une infinité de triangles de toutes grandeurs avec trois angles donnés ayant une somme égale à deux droits. On voit par cet exemple ce que nous entendons en disant que dans un espace non euclidien les grandeurs ont une valeur absolue.
Le fait essentiel qui se dégage de ces raisonnements, et qui justifie notre thèse, c’est que si l’on majore une figure de l’espace euclidien, elle reste dans l’espace euclidien ; tandis que si l’on majore une figure d’un espace non euclidien, elle cesse d’appartenir à cet espace, et devient au contraire apte à figurer dans l’espace non euclidien obtenu en majorant le premier dans le même rapport. C’est ainsi qu’un plan que l’on majore reste identique à lui-même, tandis que si l’on majore une sphère, on obtient une autre sphère. Nous sommes parfaitement d’accord sur ce point avec M. Lechalas, qui dit en propres termes :
« De même que si, sur une sphère donnée, il n’existe point de figures semblables, il suffit, pour en obtenir, de prendre une seconde sphère dont le rayon soit à celui de la première dans le rapport de similitude demandé ; de même, si dans chaque espace à trois dimensions, sauf l’espace euclidien, les figures ne peuvent pas être majorées avec conservation des angles, elles peuvent l’être moyennant un changement de paramètre, c’est-à-dire en les transportant dans un autre espace. »
Ce passage si clair, et surtout les derniers mots, que nous avons soulignés, nous donnent raison : c’est précisément parce que les figures ne peuvent pas être majorées dans un espace non euclidien que cet espace viole, selon nous, la loi de relativité des grandeurs.
On se demande comment, en partant des mêmes faits, nous pouvons, M. Lechalas et moi, aboutir à des conclusions aussi opposées : M. Lechalas soutient que « l’absence de figures semblables ne contredit aucunement le principe de la relativité des grandeurs » ; nous croyons au contraire que le principe de relativité exige la possibilité de la similitude dans un même espace. Nous allons montrer que, loin de se contredire, ces deux thèses s’accordent parfaitement. C’est dans ces mots : dans un même espace, que M. Lechalas lui-même a soulignés, que se trouve la clef de la conciliation. Les deux thèses sont vraies, chacune à un point de vue différent ; c’est ce double point de vue qu’il s’agit de définir.
La géométrie générale, telle que la conçoit M. Lechalas, comprend tous les espaces possibles à trois dimensions, et à courbure constante, négative ou nulle ; chacun d’eux est caractérisé par son paramètre propre, ou par son rayon de courbure, et ils se distinguent les uns des autres par la longueur de ce rayon. Mais pour pouvoir considérer ainsi l’ensemble des espaces euclidien et non euclidiens comme coexistants et les comparer entre eux, il faut les penser dans un espace à quatre dimensions où ils puissent se distinguer les uns des autres, comme les sphères de divers rayons dans notre espace euclidien. « L’analogie conduit » ainsi M. Lechalas « à concevoir les espaces à trois dimensions comme inclus… dans un espace à quatre dimensions. »
Or cet espace sera nécessairement homogène, puisqu’il contient des figures semblables, à savoir les espaces non euclidiens eux-mêmes. Lors même qu’on ne considérerait qu’un seul espace non euclidien dont on ferait varier le paramètre, on serait obligé pour cela de l’enfermer dans un espace homogène à quatre dimensions, car la « majoration proportionnelle » d’un espace n’est possible, nous le savons, que dans un espace homogène. M. Lechalas a donc parfaitement raison de conclure que le principe de relativité est satisfait « par la doctrine d’ensemble de la géométrie générale », car cette doctrine est en somme une géométrie euclidienne à quatre dimensions.
Il n’en est pas de même de la géométrie non euclidienne, qu’il faut bien distinguer, d’après M. Lechalas lui-même, de la géométrie générale, dont elle n’est qu’un chapitre ou un « cas particulier ». Au lieu de considérer l’espace non euclidien comme du dehors, et de le comparer à ses « semblables » dans un espace homogène qui les contient tous, la géométrie non euclidienne l’étudie en lui-même et isolément ; et de même qu’il n’y a qu’une géométrie sphérique pour toutes les sphères de l’espace euclidien, il n’y a qu’une géométrie non euclidienne pour tous les espaces à courbure constante négative qu’embrasse la géométrie générale. Or, dans chacun de ces espaces, la majoration des figures est impossible, il n’y a pas de similitude sans égalité : la géométrie non euclidienne viole donc le principe de relativité. En résumé, ou bien on ne considère qu’un seul espace non homogène, et alors la loi de la relativité des grandeurs n’est pas satisfaite ; ou bien on considère plusieurs espaces non homogènes au sein d’un espace homogène d’ordre supérieur, et alors c’est celui-ci seulement qui vérifie le principe de relativité. De toute manière, l’homogénéité d’un espace est inséparable de la relativité des grandeurs dans cet espace.
M. Lechalas mêle à la question de la relativité de l’espace celle de l’indiscernabilité des mondes semblables, qui en est distincte. Il ne s’agit pas, pour nous, de savoir si deux mondes semblables sont ou non discernables, mais si deux figures semblables (inégales) peuvent coexister au sein d’un même monde. D’ailleurs, dès que l’on conçoit plusieurs mondes semblables, on est obligé, avons-nous dit, de les considérer comme des figures appartenant à un même monde, et de les faire ainsi rentrer dans un espace homogène d’ordre supérieur. La véritable question est celle-ci : Un espace non euclidien vérifie-t-il le principe de relativité ? Nous répondons : Oui et non. Oui, si l’on enveloppe l’espace en question dans l’espace homogène de la géométrie générale ; non, si on le considère comme l’espace absolu de la géométrie non euclidienne.
Reste à savoir laquelle de ces deux géométries est applicable à notre monde, et auquel de ces deux points de vue doit se placer le philosophe qui veut se rendre compte des propriétés de notre espace. La réponse ne saurait être douteuse. Nous vivons dans un espace à trois dimensions, réel ou non, dont il nous est impossible de sortir ; il est pour nous l’espace total et unique, hors duquel nous ne pouvons en imaginer d’autres. Or cet espace a une courbure donnée, nulle ou non : si elle n’est pas nulle, la majoration des figures y est impossible. Peu importe que cette courbure varie avec le temps, comme l’a supposé M. Calinon : à chaque instant, le rayon de courbure de l’espace a une valeur unique, finie et déterminée, qui détermine la grandeur absolue de toutes les figures : il ne peut donc y coexister de figures semblables. Sans doute, comme l’objecte M. Lechalas, on pourrait majorer une figure de notre espace en la transportant dans un autre espace, ou en majorant le rayon de courbure de l’espace dans le rapport de similitude demandé ; mais cela est, par hypothèse, impossible et même contradictoire. Nous n’avons pas la ressource de changer d’espace et d’émigrer dans un autre monde ; nous ne pouvons pas non plus habiter en même temps plusieurs espaces de courbure différente, car, comme l’a bien montré M. Lechalas, ces espaces ne peuvent contenir à la fois un même corps solide fini. Si au contraire la courbure de l’espace est nulle, ou son paramètre infini, nous pourrons majorer toutes les figures sans sortir de notre espace : et c’est ce qu’on exprime en disant que l’espace est relatif. Nous en concluons que de tous les espaces à trois dimensions (et notre espace en est nécessairement un) l’espace euclidien (homogène) est le seul qui satisfasse le principe rationnel de relativité. Or M. Lechalas se croit obligé d’affirmer la relativité des grandeurs, et estime, avec raison, qu’il est difficile de renoncer à cet axiome métaphysique. Il conviendra donc aisément, je pense, que si les espaces non euclidiens sont logiquement possibles, c’est-à-dire non contradictoires, l’espace euclidien seul répond aux exigences de la raison. Cela tend à prouver que l’homogénéité de l’espace, comme l’a si bien vu M. Delbœuf, est moins une loi de la nature qu’une loi de l’esprit, et que la nécessité des postulats, en particulier du postulatum d’Euclide, n’est pas empirique, mais rationnelle.
Nous sommes ainsi amené à répondre brièvement à la seconde critique de M. Lechalas, qui trouve notre apriorisme exagéré. Nous tenons d’abord à en assumer l’entière responsabilité : si flatté que nous soyons de voir notre nom associé à celui de M. Poincaré, nous devons reconnaître qu’en empruntant à notre savant collaborateur son ingénieuse fiction d’un monde non euclidien, qui était dans sa pensée une concession à l’empirisme, nous en avons tiré un argument contre l’empirisme lui-même. Nous avions d’ailleurs pris soin d’en avertir le lecteur (p. 82, dernière ligne).
M. Lechalas essaie de pousser la thèse aprioriste à l’absurde en montrant que, si l’on appliquait notre manière de raisonner à la physique, on devrait dire : « La loi de Mariotte ne dépend aucunement de l’expérience, attendu qu’il nous est impossible de mesurer » exactement « le volume et la pression d’une masse gazeuse ». L’analogie ne nous semble pas juste, et l’objection ne porte tout au plus que sur la première partie de notre argumentation. Nous avons d’abord montré (p. 73) que l’expérience ne peut pas justifier entièrement la géométrie euclidienne, parce que, toute mesure n’étant qu’approchée, les postulats n’auraient qu’une vérité approximative, comme la loi de Mariotte, et seraient comme elle soumis à une perpétuelle revision. Ainsi l’expérience ne nous ferait jamais connaître qu’un espace approximativement euclidien ; elle n’explique donc pas l’idée que nous avons d’un espace rigoureusement euclidien. Mais plus loin (p. 82) nous avons établi qu’on n’a pas besoin de supposer que l’espace réel soit sensiblement uniforme pour expliquer l’idée d’un espace absolument uniforme, et que cette idée résulte au contraire nécessairement des définitions a priori de l’égalité et de la mesure géométriques. C’est à quoi nous a servi la fiction de M. Poincaré. Ainsi, dans le premier passage, nous avons prouvé que l’hypothèse d’un espace réel plus ou moins uniforme n’était pas suffisante ; dans le second passage, qu’elle n’est même pas nécessaire. D’où nous avons conclu qu’elle n’a aucune raison d’être, et qu’elle est « à la fois inutile et absurde » (p. 83). En résumé, si nous soutenons que notre espace est nécessairement euclidien (d’une nécessité, non pas logique, mais rationnelle), ce n’est pas, comme le croit M. Lechalas, parce qu’il est impossible de mesurer exactement les côtés et les angles d’un triangle, mais parce que l’homogénéité de l’espace est impliquée d’ores et déjà dans les opérations de mesure, de sorte qu’on ne peut la vérifier… qu’en la présupposant.
Aussi la loi de compressibilité des gaz peut-elle dépendre de l’expérience sans que les postulats de la géométrie en dépendent, car ceux-ci sont les conditions de toute expérience et de toute mesure, même des mesures et des expériences par lesquelles on essaierait de les contrôler ; tandis que les expériences de Regnault ne supposaient nullement l’exactitude de la loi de Mariotte, et ont pu dès lors la convaincre d’erreur. Bien plus, les lois physiques en général reposent sur les postulats ou principes a priori de la géométrie, car si les lois physiques dépendent de l’expérience, celle-ci est à son tour fondée sur les lois de l’étendue, qui sont au fond des principes rationnels.
Au reste, le langage de M. Lechalas confirme implicitement les considérations qui précèdent ; il écrit par exemple : « Il n’en reste pas moins vrai que la géométrie euclidienne répond aux figures dont nous mesurons toutes les dimensions, et c’est assez pour que l’expérience ait pu et dû nous la faire choisir ». Mais le fait seul de mesurer des grandeurs géométriques suppose un mètre invariable et identique dans toutes ses positions, c’est-à-dire l’uniformité, qui est un des caractères essentiels de l’espace euclidien.
Plus haut, M. Lechalas s’exprime ainsi : « Les figures planes présentent pour nos sens le phénomène de la similitude, et la somme des angles d’un triangle est, toujours pour nos sens, égale à deux droits ». Croit-il sérieusement que l’égalité et la similitude sont des phénomènes qui tombent sous les sens ? Et ne voit-il pas que ces prétendus « faits de perception » sont au fond des idées rationnelles qui s’ajoutent à la perception ?
Enfin M. Lechalas laisse échapper cette assertion étrange, qu’il pose au début de son raisonnement comme un axiome incontestable : « Comme nos sensations, objet propre de notre expérience, ne changent pas, l’espace idéal que nous construisons d’après elles doit être uniforme ». Comment peut-on espérer fonder l’uniformité de l’espace sur la permanence apparente de nos sensations, qui sont choses essentiellement fugitives et muables ? Et n’est-ce pas plutôt parce que la raison postule l’uniformité de l’espace et l’immutabilité (au moins relative) des corps, que nos sensations prennent sous nos yeux une consistance fictive et une identité illusoire ?
On pense bien que si nous nous sommes permis de relever dans la note de M. Lechalas des expressions qui nous ont paru incorrectes, c’est parce qu’elles caractérisent à merveille l’esprit dont procède son objection, et qu’elles nous semblent la réfuter, mieux peut-être que de longs raisonnements. Nous avons voulu montrer par là que notre savant contradicteur est encore plus asservi qu’il ne le croit aux préjugés empiristes, et l’inviter à s’en affranchir tout à fait. Il n’a d’ailleurs qu’un pas à faire pour reconnaître avec nous l’ « impuissance radicale de l’expérience » à justifier les postulats. S’il veut bien réfléchir que l’expérience, telle qu’il la conçoit en bloc, est tout imprégnée de principes a priori, et se rendre compte de tout ce qui se mêle à la sensation brute d’éléments rationnels pour constituer ce qu’on appelle une perception, il avouera que le paramètre spatial de notre monde ne saurait être déterminé expérimentalement comme le rayon de la terre ou l’ « excentricité de l’orbite d’une planète », et que le postulatum d’Euclide, qui correspond à une valeur si exceptionnelle de ce paramètre, n’est pas le résultat d’une longue expérience, mais le corollaire du principe rationnel de la relativité de l’espace.
* ↑ Revue philosophique, t. XXX (août 1890).
* ↑ Année philosophique, 1891, p. 45.
* ↑ Prolégomènes philosophiques de la géométrie, p. 129. Liège, Desoer, 1860. — Dans cet ouvrage, antérieur a la publication du mémoire de Riemann et aux travaux de Helmholtz et de Beltrami, M. Delbœuf, n’ayant qu’une connaissance incomplète de la géométrie de Lobatschewsky (op. cit., p. 71), a défini l’espace euclidien, ainsi que la droite et le plan, par l’idée d’homogénéité, et réduit les postulats fondamentaux de la géométrie à des principes rationnels. Les recherches ultérieures des mathématiciens n’ont fait que confirmer cette théorie ingénieuse et profonde, qui était, pour l’époque où elle a paru, une véritable divination.
* ↑ M. Delbœuf appelle isogène tout lieu géométrique qui admet le déplacement d’une figure invariable, autrement dit, où les figures peuvent se mouvoir sans déformation ; ce terme nous parait préférable à ceux d’uniforme et d’identique, que nous avons employés dans le même sens. L’isogénéité de l’espace constitue ce que Riemann appelle l’indépendance des grandeurs par rapport au lieu. On remarquera l’analogie de cette formule avec celle par laquelle M. Delbœuf définit l’homogénéité de l’espace ; l’une et l’autre font bien ressortir le sens philosophique des deux caractères essentiels de l’espace euclidien.
* ↑ J. Delbœuf, op. cit., p. 129.
* ↑ Annales de philosophie chrétienne, oct. 1890.
* ↑ Critique philosophique, septembre 1889.