# Œuvres de Lagrange/Pièces diverses/Équations pour la détermination des éléments de l’orbite d’une planète ou d’une comète au moyen de trois observations peu éloignées
### ÉQUATIONS POUR LA DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DE L’ORBITE D’UNE PLANÈTE OU D’UNE COMÈTE AU MOYEN DE TROIS OBSERVATIONS PEU ÉLOIGNÉES.

Soient $\mathrm {C,D,E}$ les positions apparentes, sur une sphère de rayon égal à l’unité, d’une comète observée à trois époques peu éloignées. Supposons, en outre, qu’au moment de la première observation, la comète soit au point $\mathrm {C}$ et le Soleil au point $\mathrm {S} \,;$ qu’au moment de la deuxième, la comète soit en $\mathrm {D}$ et le Soleil en $\mathrm {T} \,;$ au moment de la troisième, la comète en $\mathrm {E}$ et le Soleil en $\mathrm {V} .$ Si l’on joint ces six points par des arcs de grand cercle, on obtient des triangles sphériques $\mathrm {CDS,CDT} ,$ dont les côtés et les angles peuvent être calculés ou mesurés sur un globe céleste suffisamment précis.
Soit $\theta$ le temps écoulé entre la première et la troisième observation, et représentons ce temps par le moyen mouvement du Soleil, c’est-à-dire par la différence de longitude moyenne du Soleil en $\mathrm {V}$ et en $\mathrm {S}$ réduite en parties du rayon, c’est-à-dire divisée par l’arc de $57^{\circ }17'45''.$ Dans ces conditions, si l’intervalle de temps est de $i$ jours, $\theta ={\frac {i}{58{,}1324}}.$
Supposons, en outre, que l’intervalle écoulé entre les deux premières observations soit à l’intervalle de temps écoulé entre les deux dernières comme $1$ est à $n,$ de telle façon que ${\frac {\theta }{n+1}}$ représente le premier, et ${\frac {n\theta }{n+1}}$ le dernier de ces intervalles.
Enfin, prenons comme unité la moyenne distance de la Terre au Soleil, et désignons par $\beta ,\delta ,\lambda$ les vraies distances du Soleil aux époques des trois observations, c’est-à-dire quand le Soleil occupe les positions $\mathrm {S,T,V} .$ Ces distances sont données dans les Éphémérides, et, à cause de la faible excentricité de l’orbite solaire, on pourra souvent supposer $\beta =\delta =\lambda =1.$
Cela posé, soient
${\begin{aligned}t=&1-{\frac {\theta ^{2}}{6r^{3}}}+{\frac {(n-1)\theta ^{3}}{4(n+1)r^{3}}}p+{\frac {\left(3n^{2}-4n+3\right)\theta ^{4}}{8(n+1)^{2}r^{3}}}\left({\frac {q}{5}}-p^{2}\right)+{\frac {\theta ^{5}}{3.5.8r^{6}}}+\ldots ,\\s=&1-{\frac {n^{2}\theta ^{2}}{6(n+1)^{2}r^{3}}}+{\frac {n^{3}\theta ^{3}}{4(n+1)^{3}r^{3}}}p+{\frac {n^{4}\theta ^{4}}{8(n+1)^{4}r^{3}}}\left({\frac {3q}{5}}-3p^{2}+{\frac {1}{15r^{3}}}\right)-\ldots ,\\u=&1-{\frac {\theta ^{2}}{6(n+1)^{2}r^{3}}}-{\frac {\theta ^{3}}{4(n+1)^{3}r^{3}}}p+{\frac {\theta ^{4}}{8(n+1)^{4}r^{3}}}\left({\frac {3q}{5}}-3p^{2}+{\frac {1}{15r^{3}}}\right)-\ldots .\end{aligned}}$
${\begin{aligned}x=&n\beta s\mathrm {{\frac {\sin CS}{\sin CD}}{\frac {\sin ECS}{\sin ECD}}} -(n+1)\delta t\mathrm {{\frac {\sin CT}{\sin CD}}{\frac {\sin ECT}{\sin ECD}}} +\lambda u\mathrm {{\frac {\sin CV}{\sin DC}}{\frac {\sin ECV}{\sin ECD}}} ,\\\\y=&n\beta s\mathrm {{\frac {\sin DS}{\sin DC}}{\frac {\sin EDS}{\sin EDC}}} -(n+1)\delta t\mathrm {{\frac {\sin DT}{\sin DC}}{\frac {\sin EDT}{\sin EDC}}} +\lambda u\mathrm {{\frac {\sin DV}{\sin DC}}{\frac {\sin EDV}{\sin EDC}}} ,\\\\z=&n\beta s\mathrm {{\frac {\sin DS}{\sin DE}}{\frac {\sin CDS}{\sin CDE}}} -(n+1)\delta t\mathrm {{\frac {\sin DT}{\sin DE}}{\frac {\sin CDT}{\sin CDE}}} +\lambda u\mathrm {{\frac {\sin DV}{\sin DE}}{\frac {\sin CDV}{\sin CDE}}} .\end{aligned}}$
Soient enfin
${\begin{aligned}\sigma ^{2}=r^{2}&-{\frac {2r^{2}\theta }{n+1}}p+{\frac {r^{2}\theta ^{2}}{(n+1)^{2}}}q+{\frac {\theta ^{3}}{3(n+1)^{3}r}}p-{\frac {\theta ^{4}}{4(n+1)^{4}r}}\left({\frac {q}{3}}-p^{2}\right)\\&-{\frac {\theta ^{5}}{4(n+1)^{5}r}}\left({\frac {3pq}{5}}+{\frac {p}{15r^{3}}}-p^{3}\right)+\ldots ,\\\upsilon ^{2}=r^{2}&+{\frac {2nr^{2}\theta }{n+1}}p+{\frac {n^{2}r^{2}\theta ^{2}}{(n+1)^{2}}}q-{\frac {n^{3}\theta ^{3}}{3(n+1)^{3}r}}p-{\frac {n^{4}\theta ^{4}}{4(n+1)^{4}r}}\left({\frac {q}{3}}-p^{2}\right)\\&+{\frac {n^{5}\theta ^{5}}{4(n+1)^{5}r}}\left({\frac {3pq}{5}}+{\frac {p}{15r^{3}}}-p^{3}\right)+\ldots .\end{aligned}}$
On a alors les trois équations
${\begin{aligned}&x^{2}+2(n+1)\delta tx\mathrm {DT} +(n+1)^{2}\left(\delta ^{2}-r^{2}\right)t^{2}=0,\\&y^{2}-2n\beta sy\cos \mathrm {CS} +n^{2}\left(\beta ^{2}-\sigma ^{2}\right)s^{2}=0,\\&z^{2}-2\lambda uz\cos \mathrm {EV} +\left(\lambda ^{2}-\upsilon ^{2}\right)u^{2}=0,\end{aligned}}$
au moyen desquelles les trois quantités inconnues $r,p,q$ pourront être déterminées ; $r$ représente le rayon vecteur de la comète, ou sa distance au Soleil au moment de la seconde observation ; $p$ et $q$ servent à déterminer le grand axe de l’orbite de la comète et le paramètre de cette orbite au moyen des formules
${\frac {1}{a}}={\frac {1}{r}}-r^{2}q,\quad b=r+r^{4}(q-p^{2}).$
$\cos \varphi ={\frac {r^{3}\left(q-p^{2}\right)}{\sqrt {1-{\cfrac {b}{a}}}}},$
où $\varphi$ désigne l’angle que le rayon vecteur $r$ fait avec la direction du périhélie.
Les quantités $s,t,u,x,y,z,\sigma ,\upsilon$ servent aussi à déterminer les distances de la comète à la Terre et au Soleil ; on a, abstraction faite des signe, ${\frac {x}{(n+1)r}}$ pour la distance de la comète à la Terre dans la deuxième observation, ${\frac {y}{ns}}$ dans la première, et ${\frac {z}{u}}$ dans la troisième. Enfin $\sigma$ est la distance de la comète au Soleil dans la première observation, et $\upsilon$ la même distance dans la troisième observation. Au moyen de ces distances, il est aisé de trouver les autres éléments de l’orbite.
La résolution des trois équations données plus haut ne présente aucune difficulté quand $\theta$ est moindre que $1$ ou peu supérieur à $1,$ ce qui suppose que l’intervalle entre les observations extrêmes ne dépasse pas deux mois. Dans ce cas, les séries qui représentent les quantités $s,u,\sigma ^{2},\upsilon ^{2}$ sont convergentes, et le sont d’autant plus que $\theta$ est plus petit. Si l’on néglige les termes en $\theta ^{4}$ et ceux qui renferment de plus hautes puissances de $\theta ,$ les trois équations dont nous nous occupons contiennent les inconnues $p$ et $q$ sous forme linéaire, ce qui permet de les éliminer très-facilement et d’obtenir une équation en $r$ qui, en réalité, est d’un degré assez élevé, mais qui, dans une première approximation, peut être abaissée au huitième, en supprimant dès le début les termes en $\theta ^{2}.$
Enfin je remarque, sur les expressions des quantités $x,y,z,$ que les rapports des sinus des angles $\mathrm {ECS,ECT,ECV}$ à celui de l’angle $\mathrm {ECD}$ ont le signe $-,$ puisque, dans la figure, les trois premiers angles sont d’un côté, et le quatrième de l’autre côté de l’arc commun $\mathrm {CE} \,;$ au contraire, les rapports des sinus des angles $\mathrm {EDS,EDT,EDV}$ au sinus de $\mathrm {EDC} ,$ et ceux des sinus de $\mathrm {CDS,CDT,CDV}$ au sinus de $\mathrm {CDE}$ sont positifs, puisque les quatre premiers angles sont d’un même côté de l’arc $\mathrm {ED} ,$ et les quatre derniers d’un même côté de $\mathrm {CD} .$ La cause de cela est que ces rapports doivent tendre vers l’unité quand les points $\mathrm {D,C,E}$ tendent vers $\mathrm {S,T,V} .$ En tenant compte de ces remarques, on n’aura pas à craindre de se tromper au sujet des signes.
* ↑ Ce Mémoire a été traduit en allemand par Schulze, et inséré dans les Éphémérides de Berlin pour l’année 1789. Ne possédant pas le Mémoire original en français, nous donnons la traduction du texte allemand. (Note de l’Éditeur.)