# L’Encyclopédie/1re édition/EXCLUSION

EXCLUSION, s. f. en Mathématique. La méthode des exclusions est une maniere de résoudre les problèmes en nombres, en rejettant d’abord & excluant certains nombres comme n’étant pas propres à la solution de la question. Par cette méthode le problème est souvent résolu avec plus de promptitude & de facilité. M. Frenicle mathématicien fort habile, qui vivoit du tems de Descartes, est un de ceux qui s’est le plus servi de cette méthode d’exclusion. « M. Frenicle étoit le plus habile homme de son tems dans la science des nombres ; & alors vivoient MM. Descartes, de Fermat, de Roberval, Wallis, & d’autres, qui égaloient ou peut-être surpassoient tous ceux qui les avoient précédés. La conjoncture du tems avoit beaucoup aidé ces grands génies à se perfectionner dans cette science. Car la plûpart des savans s’en piquoient alors ; & elle devint tellement à la mode, que non-seulement les particuliers, mais même les nations différentes se faisoient des défis sur la solution des problèmes numériques : ce qui a donné occasion à M. Wallis de faire imprimer en l’année 1658 le livre intitulé Commercium epistolicum, où l’on voit les défis que les Mathématiciens de France faisoient à ceux d’Angleterre ; les réponses des uns, les répliques des autres, & tout le procédé de leur dispute. Dans ces combats d’esprit, M. de Frenicle étoit toûjours le principal tenant, & c’étoit lui qui faisoit le plus d’honneur à la nation françoise.
» Ce qui le faisoit le plus admirer, c’étoit la facilité qu’il avoit à résoudre les problèmes les plus difficiles, sans néanmoins y employer l’Algebre, qui donne un très-grand avantage à ceux qui savent s’en servir. MM. Descartes, de Fermat, Wallis, & les autres, avoient bien de la peine avec tout leur algebre, à trouver la solution de plusieurs propositions numériques, dont M. de Frenicle, sans l’aide de cette science, venoit aisément à bout par la seule force de son génie, qui lui avoit fait inventer une méthode particuliere pour cette sorte de problèmes. Je vous déclare ingénûment, dit M. de Fermat dans une de ses lettres imprimées dans le recueil de ses ouvrages, que j’admire le génie de M. de Frenicle, qui sans l’Algebre pousse si avant dans la connoissance des nombres ; & ce que j’y trouve de plus excellent, consiste dans la vîtesse de ses opérations. M. Descartes ne l’admiroit pas moins : son arithmétique, dit-il au pere Mersenne, en parlant de M. de Frenicle, doit être excellente, puisqu’elle le conduit à une chose où l’analyse a bien de la peine à parvenir. Et comme le remarque l’auteur de la vie de M. Descartes, ce jugement est d’un poids d’autant plus grand, que M. Descartes étoit moins prodigue d’éloges, particulierement en écrivant au P. Mersenne, à qui il avoit coûtume de confier librement ses pensées. Enfin l’on ne peut rien dire de plus avantageux que ce que le célebre M. de Fermat, qui connoissoit aussi bien que personne la force de tous ceux qui se mêloient alors de la science des nombres, dit dans une de ses lettres, où parlant de quelque chose qu’il avoit trouvée : Il n’y a, dit-il, rien de plus difficile dans toutes les Mathématiques ; & hors M. de Frenicle, & peut-être M. Descartes, je doute que personne en connoisse le secret. De M. Descartes, il n’en est pas bien assûré ; mais il répond de M. de Frenicle.
» Cette méthode si admirable qui va, dit M. Descartes, où l’analyse ne peut aller qu’avec bien de la peine, est celle que M. de Frenicle, qui l’avoit inventée, appelloit la méthode des exclusions. Quand il avoit un problème numérique à résoudre, au lieu de chercher à quel nombre les conditions du problème proposé conviennent, il examinoit au contraire à quels nombres elles ne peuvent convenir ; & procédant toûjours par exclusion, il trouvoit enfin le nombre qu’il cherchoit. Tous les mathématiciens de son tems avoient une envie extrème de savoir cette méthode ; & entre autres M. de Fermat prie instamment le pere Mersenne, dans une de ses lettres, d’en obtenir de M. de Frenicle la communication. Je lui en aurois, dit-il, une très-grande obligation, & je ne ferois jamais difficulté de l’avoüer. Il ajoûte qu’il voudroit avoir mérité par ses services, cette faveur ; & qu’il ne désespere pas de la payer par quelques inventions qui peut-être lui seront nouvelles.
» Quelqu’instance que l’on en ait faite à M. de Frenicle, il n’a jamais voulu pendant sa vie donner communication de cette méthode : mais après sa mort elle se trouva dans ses papiers ; & c’est un des traités que l’on a donnés dans le recueil intitulé divers ouvrages de Mathématique & de Physique, par MM. de l’Académie royale des Sciences, à Paris 1693. Comme c’est une méthode de pratique, & qu’en fait de pratique on a bien plûtôt fait d’instruire par des exemples que par des préceptes ; M. de Frenicle ne s’arrête pas à donner de longs préceptes pour tous les cas différens qui peuvent se rencontrer ; mais après avoir établi en peu de mots dix regles générales, il en montre l’application par dix exemples choisis & assez étendus ». Mém. de l’Acad. des Sciences 1693. p. 50, 51, 52. On ne dit ici rien davantage de cette méthode, parce qu’il seroit difficile de donner en peu de paroles une idée assez claire de cette suite de dénombremens & d’exclusions, en quoi elle consiste : il la faut voir dans le livre même : d’ailleurs depuis que les méthodes de l’Algebre sont devenues familieres & ont été perfectionnées, elle n’est plus d’usage, & ne peut être que de simple curiosité. (O)