# Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 07
## LEÇON SEPTIÈME.

Nous avons vu comment les fonctions dérivées naissent des fonctions primitives par le simple développement, lorsqu’on attribue à une variable de la fonction un accroissement indéterminé.
Ainsi toute fonction dérivée est nécessairement relative à une variable, et une fonction qui contient plusieurs quantités peut avoir différentes fonctions dérivées, suivant les quantités qu’on y considère comme variables. Lorsque ces quantités dépendent les unes des autres, il y a aussi une relation entre les fonctions dérivées qui y sont relatives, par laquelle on peut déduire les fonctions les unes des autres ; cette relation étant un point important de la théorie des fonctions, nous allons nous en occuper dans cette Leçon.
En regardant $y$ comme une simple fonction de $x,$ on sait que $y$ devient $y+iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y''+\ldots ,$ $x$ devenant $x+i.$ Si l’on suppose que $x$ soit elle-même une fonction d’une autre variable quelconque $t,$ et qu’on veuille regarder y comme fonction de $t,$ alors $t$ devenant $t+i,$ ou bien (pour ne pas confondre les accroissements de $x$ et de $t$), $t$ devenant $t+o,$ $y$ deviendra aussi de la forme
$y+oy'+{\frac {o^{2}}{2}}y''+\ldots .$
Mais pour distinguer les fonctions dérivées $y',y'',\ldots ,$ qui dans la première formule se rapportent à $x,$ celles de la seconde, qui se rapportent à $t,$ nous désignerons pour un moment les premières par $(y'),$ $(y''),\ldots ,$ de manière que, $x$ devenant $x+i,$ $y$ deviendra
$y+i(y')+{\frac {i^{2}}{2}}(y'')+\ldots .$
Or $x$ étant regardé comme fonction de $t,$ lorsque $t$ devient $t+o,$ $x$ devient
$x+ox'+{\frac {o^{2}}{2}}x''+\ldots \,;$
donc, si dans la formule précédente l’on met à la place de $i$ l’accroiscroissement de $x,$ qui est $ox'+{\frac {o^{2}}{2}}x''+\ldots ,$ on aura également ce que $y$ devient lorsque $t$ devient $t+o.$ Ainsi on aura l’équation identique
$y+\left(ox'+{\frac {o^{2}}{2}}x''+\ldots \right)(y')+{\frac {1}{2}}\left(ox'+{\frac {o^{2}}{2}}x''+\ldots \right)^{2}(y'')+\ldots$
$=y+oy'+{\frac {o^{2}}{1.2}}y''+\ldots ,$
d’où l’on tire, par la comparaison des termes affectés des différentes puissances de $o,$
$x'(y')=y',\quad x''(y')+x'^{2}(y'')=y'',\quad \ldots .$
La première équation donne
$(y')={\frac {y'}{x'}},$
la seconde donnera
$(y'')={\frac {y''-x''(y')}{x'^{2}}},$
et, substituant la valeur précédente de $(y'),$ l’on aura
$(y'')={\frac {y''}{x'^{2}}}-{\frac {x''y'}{x'^{3}}}.$
La troisième équation donnerait la valeur de $(y'''),$ et ainsi de suite. $$ Mais j’observe que l’on peut déduire immédiatement la valeur de $(y'')$ de celle de $(y'),$ et successivement celle de $(y''')$ de celle de $(y'),$ par la loi uniforme qui doit régner entre ces fonctions dérivées successives.
En effet, puisque $(y')$ fonction dérivée de $y$ par rapport à $x$ est égale à ${\frac {y'}{x'}},$ c’est-à-dire à la fonction dérivée de $y$ par rapport à $t,$ divisée par celle de $x\,;$ de même $(y'')$ fonction dérivée de $(y')$ par rapport à $x$ sera égale à la fonction dérivée de ${\frac {y'}{x'}},$ par rapport à $t,$ divisée par $x,$ et ainsi de suite. Or la fonction dérivée de ${\frac {y'}{x'}},$ est ${\frac {y''}{x'}}-{\frac {y'x''}{x'^{2}}}\,;$ donc on aura
$(y'')={\frac {y''}{x'^{2}}}-{\frac {y'x''}{x'^{3}}},$
comme on l’a trouvé par la seconde équation. Et ainsi de suite.
Par ces substitutions on dépouille, pour ainsi dire, les fonctions dérivées de ce qui dépend de la variable à laquelle elles se rapportaient originairement, et on les généralise de manière qu’elles peuvent se rapporter également à toute autre variable.
Or ce qui déterminait les fonctions dérivées de $y$ à se rapporter à la variable $x,$ c’était qu’elles résultaient de l’accroissement $i$ attribué à cette variable ; au lieu qu’en rapportant ces fonctions à une autre variable dont $x$ est censée fonction, l’accroissement de $x$ devient alors $ox'+{\frac {o^{2}}{2}}x''+\ldots ,$ $o$ étant l’accroissement de la nouvelle variable. Ainsi, comme le cas particulier où l’accroissement de $x$ est simplement $i$ résulte de l’expression générale de l’accroissement de $x,$ en y faisant $x'=1,$ il s’ensuit que $x'=1$ est la condition, qui détermine les fonctions dérivées à se rapporter à la variable $x,$ et qu’en général pour les rapporter à toute autre variable il n’y aura qu’à supposer égale à l’unité la fonction prime de cette variable.
Il résulte de là cette conclusion générale que, si une formule contient les fonctions dérivées $y',y'',\ldots ,$ relatives à une variable $x,$ et qu’on veuille les rapporter à une autre variable quelconque, il faudra changer
${\begin{aligned}&y'{\text{ en }}{\frac {y'}{x'}},\\&y''{\text{ en }}{\frac {\left({\cfrac {y'}{x'}}\right)'}{x'}}={\frac {y''}{x'^{2}}}-{\frac {y'x''}{x'^{3}}},\\&y'''{\text{ en }}{\frac {\left[{\cfrac {\left({\cfrac {y'}{x'}}\right)'}{x'}}\right]'}{x'}}={\frac {\left({\cfrac {y''}{x'^{2}}}-{\cfrac {y'x''}{x'^{3}}}\right)'}{x'}}={\frac {y'''}{x'^{3}}}-{\frac {3y''x''}{x'^{4}}}-y'\left({\frac {x'''}{x'^{4}}}-{\frac {3x''^{2}}{x'^{5}}}\right),\end{aligned}}$
$t$
$x$
$y,$
$t'=1,$
$t''=0,$
$t'''=0,\ldots ,$
$x',x'',\ldots ,$
$y',y'',\ldots .$
Ce principe est général et doit s’appliquer à toutes les fonctions dérivées qui se rapportent à une même variable. Il est d’un grand usage dans le calcul des fonctions, et constitue un des principes fondamentaux de l’algorithme de ce calcul.
Le cas le plus simple est celui où, $y$ étant supposé fonction de $x,$ et ses fonctions dérivées $y',y'',\ldots$ étant rapportées à $x,$ on veut au contraire regarder $x$ comme fonction de $y,$ et rapporter à $y$ les fonctions dérivées $x',x'',\ldots .$ On fera dans ce cas les substitutions indiquées ci-dessus, et l’on supposera
$y'=1,\quad y''=0,\quad \ldots .$
On substituera donc ${\frac {1}{x'}}$ à la place de $y',$ $-{\frac {x''}{x'^{3}}}$ à la place de $y'',$ et ainsi des autres.
Ainsi, ayant trouvé dans la Leçon IV que $y=a^{x}$ donne, relativement à $x,$
$y'=a^{x}la=yla,$
on pourra avoir immédiatement la valeur de $x'.$ relativement à $y,$ en substituant simplement ${\frac {1}{x'}}$ à la place de $y',$ ce qui donnera
$x'={\frac {1}{yla}}.$
Comme $x$ est le logarithme de $y$ pour la base $a,$ on a par là la fonction dérivée du logarithme.
De même, en supposant
$y=\sin x,$
on a vu dans la Leçon V que l’on a, relativement à $x,$
$y'=\cos x\,;$
donc, pour avoir réciproquement la fonction dérivée $x'$ de l’angle par
$y,$
${\frac {1}{x'}}$
$y',$
$x'={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}.$
Si l’on fait
$y=\cos x,$
on a
$y'=-\sin x\,;$
donc, on obtiendra de la même manière
$x'=-{\frac {1}{\sin x}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}.$
Ces résultats s’accordent avec ceux qu’on a trouvés dans les endroits cités d’une manière directe, mais plus longue.
Enfin ayant vu, dans la Leçon VI, que
$y=\operatorname {tang} x\quad {\text{donne}}\quad y'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},$
si l’on veut avoir la fonction dérivée de l’arc par la tangente, on aura sur-le-champ
$x'=\cos ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {tang} ^{2}x}}={\frac {1}{1+y^{2}}}.$
En général, puisque
$y=\operatorname {tang} p\quad {\text{donne}}\quad y'={\frac {p'}{\cos ^{2}p}},$
on aura réciproquement
$p'=y'\cos ^{2}p,$
$p$ étant une fonction quelconque de $x.$
Si maintenant on veut regarder $p$ comme fonction de $y$ et rapporter la fonction dérivée $p'$ à la variable $y,$ on fera $y'=1,$ et l’on aura
$p'=\cos ^{2}p={\frac {1}{1+y^{2}}},$
comme ci-dessus.
La formule $x'=\cos ^{2}x$ est très propre pour trouver facilement les fonctions dérivées de $x$ des ordres supérieurs. En effet, on aura d’abord
$x''=-2x'\sin x\cos x=-x'\sin 2x=-\sin 2x\cos ^{2}x,$
$x'.$
${\begin{aligned}x'''=&-2x'\left(\cos 2x\cos ^{2}x-\sin 2x\sin x\cos x\right)\\=&-2x'\cos 3x\cos x\\=&-2\cos 3x\cos ^{3}x,\end{aligned}}$
et, continuant de la même manière, on aura
${\begin{aligned}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&2.3x'\left(\sin 3x\cos ^{3}x+\cos 3x\sin x\cos ^{2}x\right)\\=&2.3x'\sin 4x\cos ^{2}x\\=&2.3\sin 4x\cos ^{4}x,\\\\x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&2.3.4x'\left(\cos 4x\cos ^{4}x-\sin 4x\sin x\cos ^{3}x\right)\\=&2.3.4x'\cos 5x\cos ^{3}x\\=&2.3.4\cos 5x\cos ^{5}x\end{aligned}}$
et ainsi de suite.
Ayant ainsi toutes les fonctions dérivées de $x$ relativement à $y,$ c’est-à-dire, en supposant $x=f(y),$ si on les substitue dans la formule
$x+ix'+{\frac {i^{2}}{2}}x''+\ldots ,$
on aura la valeur de $x$ répondant à $y+i.$
Ainsi l’on aura la valeur de l’arc dont la tangente sera $\operatorname {tang} (x+i),$ exprimée par la série
$x+i\cos ^{2}x-{\frac {i^{2}\cos ^{2}x}{2}}\sin 2x-{\frac {i^{3}\cos ^{3}x}{3}}\cos 3x-{\frac {i^{4}\cos ^{4}x}{4}}\sin 4x$
$+{\frac {i^{5}\cos ^{5}x}{5}}\cos 5x-\ldots ,$
formule remarquable par sa simplicité et sa généralité.
Si l’on fait $x=0,$ on trouvera
$\operatorname {arc\,tang} i=i-{\frac {i^{3}}{3}}+{\frac {i^{5}}{5}}-\ldots .$
formule connue et due à Leibnitz ; mais il n’est permis de faire $x=0$ qu’autant qu’on est assuré d’avance de la forme de la série.