# Copie de Henri Bergson au concours général de mathématiques

Si, dans la même formule, on fait l’hypothèse G'I=AI, on trouve G'C'=0. Le lieu se réduit donc à un point. C’est ce qui est évident sur la figure ; car le point A est dans le plan P, il n’existe, comme nous l’avons dit, qu’une seule sphère passant par le point A et tangente aux plans P et P'. D’ailleurs il est clair que cette sphère touche P' en un point G' symétrique de A par rapport au plan S.
Conséquence de ces deux théorèmes.
Considérons la figure (2) et transformons cette figure par rayons valeurs réciproques, en prenant pour origine un point quelconque de l’espace, et pour puissance un carré quelconque. Les deux plans P et P' deviennent deux sphères P., P.' qui se coupent. La sphère O devient une certaine sphère O' tangente aux deux premières.
Le point A état un point fixe de la sphère O, son réciproque A’sera un point fixe de la sphère O’. De même, les réciproques de C et de C’seront les points C et C’de la sphère O’avec les sphères P, et P’.
On peut donc énoncer le théorème suivant.
Étant données deux sphères qui se coupent et un point A’en dehors de ce sphères, si par le point A’on fait passer une infinité de sphères tangentes aux deux premières, le lieu des points de contact de chacune des sphères données avec la sphère variable est une circonférence. Remarque. Si l’on prend comme origine un point situé dans l’un des plans P et P’; l’une des sphères fixes du théorème précédent est remplacé par un plan. On voit donc que le théorème énoncé subsiste dans ce cas.
II. Considérons maintenant la figure (I). Le point O est situé dans le plan S. D’ailleurs, les droites AO et OC étant constamment égales, 1$^o$ Soient P et P' les deux plans et A le point donnés, Q le plan passant par le point A et l’intersection MN des plans P et P' ; O le centre d’une sphère passant par le point A et tangente à P et P', C le point de contact de cette sphère avec le plan P. (figure I) Remarquons d’abord que le point O, équidistant des deux plans P et P' est situé dans le plan bissecteur S du dièdre PMNP'. Cela posé, abaissons du point O sur le plan Q et la droite MN les perpendiculaires OE, BE, CE étant perpendiculaires sur MN, les angles OEC, OEB mesurent respectivement les dièdres SP, SQ, et, par suite, sont déterminées. De là résulte que les triangles rectangles OCE, OBE sont déterminés d’espèce, et, par suite, que les rapports OB/OE, OC/OE, sont constants. Par suite, le quotient OB/OC de ces deux rapports est constant. Mais OC étant égale à OA, le rapport OB/OA est constant et par conséquent l’angle OAB du triangle rectangle OAB est constant aussi. Or si on enlève au point A sur le plan Q la perpendiculaire AH, l’angle OAH est complémentaires de l’angle OAB. Donc, cet angle est constant ; et comme la droite AH est fixe, il en résulte que le lieu de la droite AO est la surface convexe d’un cône de révolution. II. Proposons nous de déterminer le demi angle OAH de ce cône on a évidemment
cos OAH = OB/OA = OB/OC
Cela posé, désignons respectivement par α et β les angles que font entre eux les plans S et P, S et Q ; on a OC/OE=sin α OB/OE=sin β
et par suite OB/OC=sin β/sin α
d’où cos OAH = sin β/sin α
Discussion. Cette formule montre que, pour que la droite OA puisse être construite α doit être supérieur à β : condition que l’on pouvait prévoir, car si α était inférieur à β, le point A serait extérieur au dièdre PMP', et il faudrait considérer, non pas la sphère O, mais la sphère tangente à l’un des plans et aux prolongements de l’autre, ou aux prolongements de tous deux.