# L’Encyclopédie/1re édition/HYDRODYNAMIQUE

HYDRODYNAMIQUE, s. f. (Ordr. encycl. Entendement. Raison. Philosophie ou Science. Science de la nature. Mathématique. Mathématiques mixtes. Méchaniques. Hydrodynamique.) est proprement la dynamique des fluides, c’est-à-dire, la science qui enseigne les loix de leur mouvement. Ainsi, on voit que l’Hydrodynamique ne differe point, quant à l’objet, de la science qu’on appelloit autrefois & qu’on appelle encore très-souvent Hydraulique. Voyez Hydraulique.
On appelle Dynamique, comme nous l’avons dit à ce mot, la partie de la méchanique qui enseigne à déterminer les mouvemens d’un système de corps qui agissent de quelque maniere que ce soit, les uns sur les autres. Or, tout fluide est un composé de particules faciles à se mouvoir, & qui sont liées entre elles de maniere qu’elles alterent & changent réciproquement leurs mouvemens. Ainsi l’hydraulique & l’hydrostatique, est la vraie dynamique des fluides.
Il paroît que le premier qui se soit servi de ce terme, est M. Daniel Bernoulli, qui a donné ce titre à son Traité du mouvement des fluides, imprimé a Strasbourg en 1738. Si le titre étoit nouveau, il faut avouer que l’ouvrage l’étoit aussi. M. Daniel Bernoulli paroît être le premier qui ait réduit les lois du mouvement des fluides à des principes surs & non arbitraires, ce qu’aucun des auteurs d’hydraulique n’avoit fait avant lui. Le même auteur avoit déjà donné en 1727, dans les Mémoires de l’académie de Petersbourg, un essai de sa nouvelle théorie. On n’attend pas de nous que nous en donnions ici un extrait ; nous nous contenterons de dire qu’il se sert principalement du principe de la conservation des forces vives, reconnu aujourd’hui pour vrai par tous les Méchaniciens, & dont on fait un usage si fréquent dans la Dynamique, depuis qu’il a été découvert par M. Huyghens sous un autre nom. M. Jean Bernoulli a donné une Hydraulique, dans laquelle il se propose le même objet que M. Daniel Bernoulli son fils ; mais il prétend y employer des principes plus directs & plus lumineux que celui de la conservation des forces vives ; & on voit à la tête de cet ouvrage, une lettre de M. Euler à l’auteur, par laquelle M. Euler le félicite d’avoir trouvé les vrais principes de la science qu’il traite. M. Maclaurin a aussi donné dans son Traité des fluxions un essai sur le mouvement des fluides qui coulent dans des vases, & cet essai n’est autre chose qu’une extension de la théorie de M. Newton, que cet auteur a perfectionnée. Enfin le dernier ouvrage qui ait paru sur cette matiere, est celui que j’ai donné en 1744, sous le titre de Traité de l’équilibre & du mouvement des fluides ; j’aurois pû donner à cet ouvrage le titre d’Hydrodynamique, puisque c’est une suite du Traité de Dynamique que j’avois publié en 1743. Mon objet, dans ce livre, a été de réduire les lois de l’équilibre & du mouvement des fluides au plus petit nombre possible, & de déterminer par un seul principe général, fort simple, tout ce qui concerne le mouvement des corps fluides. J’y examine les théories données par M. Bernoulli & par M. Maclaurin, & je crois y avoir montré des difficultés & de l’obscurité. Je crois aussi avoir prouvé que dans certaines occasions, M. Daniel Bernoulli a employé le principe des forces vives dans des cas où il n’auroit pas dû en faire usage. J’ajoûte que ce grand géometre a d’ailleurs employé ce principe sans le démontrer, ou plutôt que la démonstration qu’il en donne n’est point satisfaisante ; mais cela n’empêche pas que je ne rende avec tous les savans, la justice dûe au mérite de cet ouvrage. Je traite aussi dans ce même livre de la résistance des fluides au mouvement des corps, de la réfraction, ou du mouvement d’un corps qui s’enfonce dans un fluide, & enfin des lois du mouvement des fluides qui se meuvent en tourbillon.
Comme nous avons donné au mot Fluide les principales lois du mouvement des fluides, nous y renvoyerons ceux de nos lecteurs, qui voudront s’instruire des principales lois de l’Hydrodynamique. Nous ajoûterons seulement ici quelques reflexions qui n’ont point été données dans cet artic. Fluides, & qui lui serviront comme de complément.
La premiere de ces réflexions aura pour objet la contraction de la veine d’eau qui sort d’un vase. M. Newton a observé le premier que l’eau qui sortoit d’un vase, n’en sortoit pas sous une forme cylindrique, mais sous une forme de cône tronqué, qui va en se rétrecissant depuis la sortie du vase. M. Daniel Bernoulli ajoûte à cette observation (voyez son hydrodynamique, sect. 4), que quand les eaux sortent, non par un simple trou, mais par un tuyau, la veine se contracte, si les parois du tuyau sont convergens, & se dilate si ces parois sont divergens. La raison en est assez facile à appercevoir, c’est que l’eau dans sa direction, au sortir du tuyau, suit pendant quelque tems la direction des parois du tuyau, le long desquels elle a coulé. Cette contraction & dilatation de la veine d’eau se varie donc suivant les différens cas, ce qui fait qu’il est très difficile de déterminer exactement le tems qu’un vase met à se vuider, même quand on connoîtroit exactement la vîtesse de l’eau au sortir du vase. Car il est encore nécessaire de connoître la figure de la veine d’eau, qu’on ne peut pas supposer cylindrique, & dont on ne peut pas supposer par conséquent que les parties se meuvent avec une égale vîtesse, puisque la vîtesse est en raison inverse de la largeur de la veine.
A l’occasion de cette veine d’eau, nous dirons un mot de la cataracte de M. Newton. Ce grand géometre prétend dans le second livre de ses principes, que l’eau qui sort d’un vase cylindrique par un trou fait à la base de ce vase, en sort en formant depuis la partie supérieure du vase jusqu’au trou, une espece de cataracte ou de veine qui va en se retrécissant, & dont la largeur à chaque endroit est en raison inverse de la vîtesse de l’eau, c’est-à-dire en raison inverse de la racine quarrée de la distance de cet endroit à la surface supérieure de l’eau ; de maniere que cette cataracte est une espece d’hyperbole du second genre, dans laquelle les quarrés des ordonnées sont comme les abscisses. M. Jean Bernoulli dans son Hydraulique (voyez le tome IV. de ses œuvres) a très-bien prouvé l’impossibilité d’une pareille cataracte, parce que la partie du fluide qui seroit hors de cette cataracte seroit stagnante, & par conséquent agiroit par sa pesanteur pour détruire cette cataracte, dans laquelle le fluide n’auroit aucune pression. Voyez un plus grand détail dans l’ouvrage cité.
Ma seconde observation aura pour objet la pression des fluides en mouvement. J’ai donné dans mon Traité des fluides en 1744, une méthode directe pour déterminer cette pression, & j’ai expliqué au mot Fluide, en quoi consiste cette méthode. Or il y a des cas où la formule qui exprime cette pression devient négative, & j’ai prétendu que dans ces cas, la pression ne doit pas se changer en suction, comme le dit M. Daniel Bernoulli, c’est-à-dire que les parois du canal ne doivent pas être pressés de dehors en dedans, mais qu’ils le sont toujours de dedans en dehors. Voyez l’article cxlix de mon ouvrage. En vain m’objecteroit-on les expériences par lesquelles M. Bernoulli a prétendu confirmer sa théorie ; ces expériences prouvent seulement ce que je n’ai jamais nié, & ce qui est évident par soi-même, que quand la pression du fluide est négative, la pression totale de l’air & du fluide sur les parties intérieures du canal, est moins grande que celle qui est exercée par l’air seul sur les parties extérieures du même canal. Or, dans toute ma théorie du mouvement des fluides, j’ai fait abstraction de la pression de l’air, à l’exemple de tous les auteurs d’Hydraulique ; & j’avois jugé que M. Bernoulli en faisoit abstraction lui-même en cet endroit, ainsi que dans tout le cours de son ouvrage. Si M. Bernoulli en disant p. 264 de son Hydrodynamique, pressio in suctionem mutatur, id est, latera canalis introrsûm premuntur, eût ajoûté ces trois mots, ab aëre circumambiente, nous étions pleinement d’accord, & je ne lui aurois fait sur cet article aucune objection ; mais il semble qu’il ait cherché à éloigner cette idée par la maniere dont il explique immédiatement après cette pression changée en suction ; tunc autem, dit-il (c’est-à-dire, dans le cas où la pression est négative) res ità consideranda est, ac si loco columnæ aqueæ superincumbentis, & in equilibrio positæ cum aquâ præterfluente, sit columna aquæa appensa, cujus nisus descendendi impediatur ab attractione aquæ præterfluentis.
En effet, ce n’est point par l’attraction de l’eau qui coule dans le fluide que cette colonne est soûtenue, mais par la pression de l’air inférieur, laquelle, dans le cas dont il s’agit, se trouve égale à la pression que l’air supérieur exerce sur la surface du fluide qui coule. Il paroît donc que M. Bernoulli ne s’est pas suffisamment expliqué sur ce qu’il appelle la pression changée en suction : mais quoi qu’il en soit, il est certain que toute la théorie que j’ai établie est exactement vraie, en faisant abstraction, comme je l’ai supposé, de la pression de l’air environnant. C’est ce qui fait dire à M. Euler, dans une lettre du 29 Décembre 1746 : Je crois que vos raisons sont aussi-bien fondées que celles de M. Bernoulli, & que c’est une circonstance étrangere, à laquelle il faut attribuer l’effet de la suction… Si le tuyau étoit situé dans un espace vuide d’air, il n’y a aucun doute que l’eau ne perdît sa continuité (lorsque la pression est négative) comme vous prétendez. Votre théorie sera donc vraie dans le cas où le tuyau est placé dans un espace vuide d’air ; & celle de M. Bernoulli l’est également, quand le tuyau se trouve en plein air.
Au reste, quand on considere le tuyau en plein air, la théorie de M. Bernoulli demande encore, ce me semble, quelque modification. Car lorsque le fluide descend pour sortir du vase, l’air qui environne ce vase de toutes parts n’est pas en repos, puisque l’air descend dans le tuyau à mesure que le fluide s’abaisse ; ce qui ne peut se faire, sans qu’il y ait du mouvement dans tout l’air environnant ; ainsi la pression de l’air sur le tuyau, tant extérieurement qu’intérieurement, ne doit pas être la même que si l’air étoit en repos ; pour déterminer cette pression, il faudroit connoître le mouvement de l’air environnant ; & c’est ce qui paroît très-difficile. Ne pourra-t-il donc pas y avoir des cas où la pression de l’air sur la surface extérieure du tuyau ne soit pas plus grande, ou même soit plus petite que la pression sur la surface intérieure ; auquel cas, les parois du tuyau ne seroient pas pressées de-dehors en-dedans, par l’air qui environne le tuyau, quoique la pression du fluide qui coule dans le tuyau fût négative ? Il paroît donc que le meilleur parti à prendre dans la théorie de la pression des fluides qui sont en mouvement, est de faire abstraction de l’air qui environne le tuyau. C’est aussi le parti que j’ai pris.
Enfin, ma derniere observation aura pour objet l’application du calcul au mouvement des fluides. J’ai donné dans le chapitre VIII. de mon essai sur la résistance des fluides en 1752, une méthode générale pour appliquer le calcul à ce mouvement. Cette méthode a cet avantage qu’elle ne suppose absolument aucune hypothese, & qu’elle est en même tems assez simple ; mais je n’ai donné dans ce chapitre qu’un essai de cette méthode, très-analogue à celle que j’ai employée dans le même ouvrage à la détermination de la résistance des fluides. M. Euler, dans les Mémoires de l’acad. des Sciences de Prusse, pour l’année 1755, a donné une méthode fort semblable à celle-là, pour déterminer le mouvement des fluides, & paroît faire entendre que la mienne n’est pas générale. Je crois qu’il se trompe sur ce point, & je me flate d’avoir prouvé dans un écrit particulier, que je publierai à la premiere occasion, que ma méthode est aussi générale qu’on le peut desirer, à-moins qu’on ne suppose le fluide indéfini & sans limites ; ce qui n’a point lieu, & ne sauroit avoir lieu dans la nature. Il est vrai que je n’ai traité du mouvement du fluide que dans un plan ; mais il est si aisé d’étendre la théorie que j’ai donnée au mouvement d’un fluide dans un solide, que je n’attache absolument aucun mérite à cette généralisation ; & il me semble que M. Euler auroit dû rendre plus de justice à mon travail sur ce sujet, & convenir de l’utilité qu’il en avoit tirée. L’écrit que j’ai composé sur ce sujet n’étant pas de nature à pouvoir être inséré dans l’Encyclopédie, je me contenterai de donner une légere idée de ce qu’il contient. Je suppose pour fixes les idées, le vase plein & vertical, & je nomme x les abscisses verticales & z les ordonnées horisontales ; je démontre 1°. que la vîtesse verticale doit être exprimée par θq, & l’horisontale par θp, θ étant une fonction du seul tems t écoulé depuis le commencement du mouvement, & q, p, des fonctions de x & de z. Ces fonctions de x & de z doivent être telles, 1°. que pdz + qdx soit une différentielle complette ; 2°. que pdx − qdz en soit aussi une ; 3°. que lorsque z = y, c’est-à-dire, lorsque z devient égale à l’ordonnée de la courbe qui exprime la figure du vase, on ait pdx − qdy = 0 ; c’est-à-dire que pdx − qdy = 0 soit l’équation de la courbe qui exprime la figure du vase. M. Euler paroît avoir cru qu’il étoit toûjours possible que ces trois conditions eussent lieu à la fois ; je crois avoir démontré le contraire. Mais la démonstration n’est pas de nature à pouvoir être rapportée ici.
Je donne ensuite une méthode pour trouver la fonction θ du tems t, & une méthode pour déterminer la courbe que la surface supérieure du fluide forme à chaque instant. L’équation de cette courbe est aussi déterminée par différentes conditions qui doivent toutes s’accorder à donner la même courbe : si cet accord n’a pas lieu, le problème ne peut se résoudre analytiquement. D’où il est aisé de conclure qu’il y a bien peu de cas où l’on puisse trouver rigoureusement par une méthode analytique le mouvement d’un fluide dans un vase. On peut donc s’en tenir, ce me semble, dans le plus grand nombre des cas à la méthode que j’ai donnée en 1744, dans mon Traité des fluides, méthode qui donne des résultats assez conformes à l’expérience, quoiqu’elle ne soit pas dans la rigueur mathématique.
Lorsque le fluide a une masse finie & un mouvement progressif, alors le tems t doit nécessairement entrer dans l’expression de sa vîtesse, & les conditions précédentes doivent nécessairement avoir lieu. Il n’y a que le cas où le fluide se meut suivant une ligne qui rentre en elle-même, sans être animé par aucune force accélératrice, dans lequel on puisse supposer que le tems t n’affecte point l’expression de la vîtesse. Dans ce cas on a toûjours pdx − qdz = à une différencielle complette ; mais au lieu de l’autre condition pdz + qdx, égale à une différencielle complette, qui donneroit $\textstyle {\frac {dp}{dx}}={\frac {dq}{dz}}$, on a $\textstyle d\left({\frac {dp}{dx}}\right)=d\left({\frac {dq}{dz}}\right)$.
Voilà le précis des lois du mouvement des fluides, telles qu’elles sont exposées dans l’écrit dont j’ai fait mention, & qui contient différentes autres recherches sur le mouvement des fluides, dont il seroit trop long de parler ici.
A l’égard de la résistance des fluides au mouvement des corps, laquelle fait une partie essentielle de l’Hydrodynamique. Voyez les articles Fluide, Résistance. Voyez aussi le chap. j. du troisieme livre de mon Traité des fluides, & mon Essai sur la résistance des fluides, Paris, 1752. (O)