# Exposé élémentaire de la théorie d’Einstein et de sa généralisation/relativité restreinte
### APPENDICE
#### Note 1 (p. 21).

Soient $x_{1}y_{1}z_{1}$, $x_{2}y_{2}z_{2}$ les coordonnées d’espace de deux événements simultanés dans un premier système $\mathrm {S}$, et soient $x_{1}^{\prime }y_{1}^{\prime }z_{1}^{\prime }$, $x_{2}^{\prime }y_{2}^{\prime }z_{2}^{\prime }$ les coordonnées des deux mêmes événements dans un second système $\mathrm {S} ^{\prime }$. La distance spatiale est donnée par les équations :
$l^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}$
$\mathrm {S} \;$
$l^{\prime 2}=(x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime })^{2}+(y_{2}^{\prime }-y_{1}^{\prime })^{2}+(z_{2}^{\prime }-z_{1}^{\prime })^{2}$
$\mathrm {S} ^{\prime }$
L’application des formules du groupe de Galilée donne $l=l^{\prime }$ ; le temps s’élimine parce que, la simultanéité étant supposée absolue, les événements se produisent à la même époque $t$ dans les deux systèmes.

#### Note 2 (p. 24).

$m$ étant la masse d’un point matériel ; $\mathrm {X}$, $\mathrm {Y}$, $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {X} ^{\prime }$, $\mathrm {Y} ^{\prime }$, $\mathrm {Z} ^{\prime }$ désignant les composantes de la force $\mathrm {F}$ dans les systèmes $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} ^{\prime }$ non accélérés, les équations du mouvement s’écrivent
${\begin{aligned}m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\mathrm {X} ,&m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\mathrm {Y} ,&m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\mathrm {Z} &&({\text{syst}}\mathrm {\grave {e}} {\text{me}}\;\mathrm {S} )\\m{\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{2}}}&=\mathrm {X^{\prime }} ,&m{\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{2}}}&=\mathrm {Y^{\prime }} ,&m{\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{2}}}&=\mathrm {Z^{\prime }} &&({\text{syst}}\mathrm {\grave {e}} {\text{me}}\;\mathrm {S} ^{\prime })\end{aligned}}$
avec la relation
$\mathrm {F={\sqrt {X^{\,^{2}}+Y^{\,^{2}}+Z^{\,^{2}}}}={\sqrt {X^{\prime ^{\,2}}+Y^{\prime ^{\,2}}+Z^{\prime ^{\,2}}}}}$
Les équations fondamentales ont la même forme dans les deux systèmes ; on peut les résumer par la relation vectorielle
$m{\vec {\gamma }}={\vec {\mathrm {F} }}\qquad$
${\vec {\gamma }}$
où tout système de coordonnées a disparu.

#### Note 3 (p. 31).

Soient $l^{\prime }$ le trajet optique $\mathrm {OM_{1}}$ de la lumière entre la face semi-argentée de la lame $\mathrm {A}$ et le miroir $\mathrm {M} _{1}$ ; $l$ le trajet $\mathrm {OM_{2}}$ entre la lame et le miroir $\mathrm {M} _{2}$ ; si le bras $\mathrm {OM_{1}}$ est parallèle au mouvement absolu de la terre, le temps que met la lumière à aller de $\mathrm {O}$ au miroir $\mathrm {M} _{1}$ et à revenir en $\mathrm {O}$ est
$t_{1}={\frac {l^{\prime }}{c-v}}+{\frac {l^{\prime }}{c+v}}$
Le temps employé pour parcourir le bras $\mathrm {OM_{2}}$, aller et retour, est
$t_{2}={\frac {2l}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$
Pour que $t_{1}=t_{2}$, il faut et il suffit que
${\frac {l^{\prime }}{l}}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\cdot$

#### Note 4 (p. 37).

En disant que les observateurs ont des horloges étalons identiques, nous supposons qu’ils mesurent le temps en prenant comme étalon de temps la période d’un même phénomène, en choisissant un phénomène qui ne soit pas déterminé par des conditions spéciales à un système particulier : par exemple, un pendule ne pourra pas servir d’étalon universel, parce que sa période d’oscillation est déterminé par la pesanteur ; mais on pourra adopter la période d’une radiation émise par un corps et prendre pour unité de temps, dans tous les systèmes, un même multiple de cette période.

#### Note 5 (p. 39).

Soit un même événement noté $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$, $t_{0}$ par les observateurs du système $\mathrm {S}$ et noté $x_{0}^{\prime }$, y$_{0}^{\prime }$, $z_{0}^{\prime }$, $t_{0}^{\prime }$ par les observateurs du système $\mathrm {S^{\prime }}$ en translation uniforme avec la vitesse $v$ par rapport à $\mathrm {S}$.
Cherchons les fonctions $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$, $f_{4}$ satisfaisant aux relations
${\begin{aligned}x^{\prime }-x_{0}^{\prime }&=f_{1}(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0},t-t_{0})\\.\dots \dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\t^{\prime }-t_{0}^{\prime }&=f_{4}(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0},t-t_{0}).\end{aligned}}$
Si l’on suppose la combinaison de l’espace et du temps homogène, ces formules doivent s’appliquer quel que soit l’événement de référence $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0},\;t_{0})$ ou $(x_{0}^{\prime },\;y_{0}^{\prime },\;z_{0}^{\prime },\;t_{0}^{\prime }),$ et l’on trouve aisément la forme des fonctions : considérons trois événements (indices 0, 1, 2), nous aurons
$x_{1}^{\prime }-x_{0}^{\prime }=f_{1}(x_{1}-x_{0},\;y_{1}-y_{0},\;z_{1}-z_{0},\;t_{1}-t_{0}),$
$x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }=f_{1}(x_{2}-x_{1},\;y_{2}-y_{1},\;z_{2}-z_{1},\;t_{2}-t_{1}),$
$x_{2}^{\prime }-x_{0}^{\prime }=f_{1}(x_{2}-x_{0},\;y_{2}-y_{0},\;z_{2}-z_{0},\;t_{2}-t_{0}),$
D’où
$f_{1}(x_{2}-x_{0},\;{\text{etc.}})=f_{1}(x_{2}-x_{1},\;{\text{etc.}})+f_{1}(x_{1}-x_{0},\;{\text{etc.}}).$
équation fonctionnelle qui montre que $f_{1}$ est une fonction linéaire et homogène de ses arguments ; il en est de même de $f_{2},\;f_{3},\;f_{4}.$
Prenons maintenant comme premier événement l’émission d’un signal lumineux en $\mathrm {O}$ et $\mathrm {O} ^{\prime }$ à l’origine des temps ; au bout du temps $t,$ pour l’observateur du système $\mathrm {S} ,$ le signal lumineux est sur la surface de la sphère du système $\mathrm {S} .$
$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=0.$
la vitesse de la lumière étant une constante universelle, pour l’observateur du système $\mathrm {S} ^{\prime },$ le signal est au bout du temps $t$ sur la sphère du système $\mathrm {S} ^{\prime }$
$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}=0.$
Si $x,\;y,\;z,\;t,\;x^{\prime },\;y^{\prime },\;z^{\prime },\;t^{\prime }$ sont les coordonnées d’un même appareil qui reçoit le signal (second événement), on a
$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=\lambda (x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2})=0.$
Les lois des phénomènes ne devant pas changer quand on passe de $\mathrm {S}$ à $\mathrm {S} ^{\prime }$ et réciproquement, on a nécessairement $\lambda =1$ et
| (5-1) | $x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}\equiv x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}.$ |
La disposition d’axes choisie exige que :
| (5-2) | $\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$ quels que soient $y$ et $z$ on ait à la fois $x^{\prime }=0$ et $x=vt$ — $x$, $z$ et $t$ — $y^{\prime }=0$ et $y=0$ — $x$, $y$ et $t$ — $z^{\prime }=0$ et $z=0$. |
Les relations linéaires et homogènes qui donnent $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$, $t^{\prime }$ en fonction des $x$, $y$, $z$, $t$ contiennent dans le cas général 16 coefficients fonctions de $v$ ; avec la disposition envisagée, en vertu des conditions (5-2) il ne reste que 7 coefficients ; on les calcule aisément d’après l’identité (5-1) et l’on trouve les formules de Lorentz.

#### Note 6 (p. 44).

Différencions les équations de Lorentz.
$dx={\frac {1}{\alpha }}(dx^{\prime }+vdt^{\prime }),\qquad dy=dy^{\prime },\qquad dz=dz^{\prime },$
$dt={\frac {1}{\alpha }}\left(dt^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}dx^{\prime }\right).$
Divisant les trois premières de ces équations par la dernière, nous obtenons
| (6.1) | $\left\{{\begin{aligned}v_{x}^{\prime \prime }&={\frac {dx}{dt}}={\frac {v+v_{x}^{\prime }}{1+{\dfrac {vv_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\\v_{y}^{\prime \prime }&={\frac {dy}{dt}}=\alpha {\frac {v+v_{y}^{\prime }}{1+{\dfrac {vv_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\\v_{z}^{\prime \prime }&={\frac {dz}{dt}}=\alpha {\frac {v+v_{z}^{\prime }}{1+{\dfrac {vv_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}}.\end{aligned}}\right.$ |
En particulier si, comme nous l’avons supposé dans le texte, $v^{\prime }$ est parallèle à $v$, on a
| (6-2) | $v^{\prime \prime }={\frac {v+v^{\prime }}{1+{\dfrac {vv^{\prime }}{c^{2}}}}}\cdot$ |

#### Note 7 (p. 52).

Soient $x_{1}$, $x_{2}$ et $x_{1}^{\prime }$, $x_{2}^{\prime }$ les abscisses des deux extrémités de la tige dans les systèmes $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S^{\prime }}$ ; la première des formules de Lorentz
$x^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}(x-vt)$
appliquée aux deux points extrémités de la tige, à un même instant $t$ du système $\mathrm {S}$, donne
| (7-1) | $x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}(x_{2}-x_{1})\quad$ ou $\quad l=\alpha l^{\prime }$ |
D’autre part, considérons une horloge du système $\mathrm {S^{\prime }}$ et deux événements infiniment voisins se produisant sur cette horloge ; nous avons : invariant $ds^{2}=c^{2}dt^{\prime 2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}$ avec $dx=v\,dt$.
D’où
| (7-2) | $dt={\frac {1}{\alpha }}dt^{\prime }.$ |
Soit maintenant une tige infiniment courte dirigée parallèlement à la vitesse, immobile dans le système $\mathrm {S^{\prime }}$ et de longueur $dx^{\prime }$ dans ce système : considérons deux événements infiniment voisins concernant cette tige ; d’après (7-1) et (7-2), l’observateur du système $\mathrm {S}$ mesure :
$dx=\alpha \,dx^{\prime }\quad$
$\quad dt={\frac {1}{\alpha }}\,dt^{\prime }.$
On a donc
| (7-3) | $dx\,dt=dx^{\prime }dt^{\prime }.$ |
Invariance de l’hypervolume d’univers. — Avec des tiges de longueurs au repos $dx^{\prime }$, $dy^{\prime }$, $dz^{\prime }$ dirigées parallèlement aux axes, formons un parallélipipède rectangle, immobile dans $\mathrm {S^{\prime }}$ : soit $dt^{\prime }$ un intervalle de temps infiniment court marqué par une horloge au centre de parallélipipède ; comme, avec notre choix d’axes, $dy=dy^{\prime }$ et $dz=dz^{\prime }$, nous obtenons
| (7-4) | $dx\,dy\,dz\,dt=dx^{\prime }dy^{\prime }dz^{\prime }dt^{\prime }$ |
ou encore en prenant comme coordonnée de temps la longueur $u=ct$
| (7-5) | $dx\,dy\,dz\,du=dx^{\prime }dy^{\prime }dz^{\prime }du^{\prime }.$ |

#### Note 8 (p. 57).

Considérons deux mobiles $\mathrm {M_{1}}$ et $\mathrm {M_{2}}$ en coïncidence absolue aux événements $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$, et ayant, entre ces événements, des lignes d’Univers différentes. Supposons que $\mathrm {M_{1}}$ soit en translation uniforme ; $\mathrm {M_{2}}$ a alors nécessairement subi une accélération entre les deux événements considérés. Repérons les événements dans un système $\mathrm {S}$ (en translation uniforme) lié à $\mathrm {M_{1}}$.
Prenons deux époques $t$ et $t+dt$ du temps du système $\mathrm {S}$, comprises entre les époques $t_{\mathrm {A} }$ et $t_{\mathrm {B} }$, auxquelles se produisent, toujours dans le système $\mathrm {S}$ lié à $\mathrm {M_{1}}$, les événements $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$. Aux époques $t$ et $t+dt$, le second mobile $\mathrm {M_{2}}$ est repéré $x$, $y$, $z$, $t$ ; $x+dx$, $y+dy$, $z+dz$, $t+dt$ dans le système $\mathrm {S}$ ; ces coordonnées déterminent, sur la ligne d’Univers de $\mathrm {M_{2}}$, deux événements infiniment voisins dont l’intervalle est $ds$ ; on a
$ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+c^{2}dt^{2}$
mais on a aussi
$ds=c\,dt,$
par conséquent
| (8-1) | $ds=\alpha c\,dt,\quad$ ou $\quad dt=\alpha \,dt\quad \left(\alpha ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right).$ |
Les mobiles $\mathrm {M_{1}}$ et $\mathrm {M_{2}}$ étant en coïncidence absolue aux événements $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$, nous obtenons, par intégration,
| (8-2) | $\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{dt}=\int _{t_{\mathrm {A} }}^{t_{\mathrm {B} }}{\alpha \,dt}.$ |
Plus le mouvement de $\mathrm {M_{2}}$ aura été accéléré, plus, par conséquent, les vitesses par rapport à $\mathrm {M_{1}}$ seront grandes puisque la durée totale $t_{\mathrm {B} }-t_{\mathrm {A} }$ est fixe, et plus le temps propre total sera court.
En d’autres termes, entre deux événements déterminés, la plus longue ligne d’Univers est celle qui correspond au mouvement rectiligne et uniforme.

#### Note 9 (p. 59).

Une fonction a une variation nulle lorsqu’elle passe par un minimum ou par un maximum. Donc, pour la ligne géométrique la plus courte on a $\delta \int {dl}=0$, et pour la ligne d’Univers la plus longue on a
| (9-1) | $\delta \int {ds}=0.$ |
Dans un cas comme dans l’autre, l’énoncé sous forme de loi d’action stationnaire est le même. La formule (9-1) est l’expression intrinsèque, indépendante de tout système de coordonnées, de la loi d’inertie.

#### Note 10.

Dans un système de référence $\mathrm {S}$, soient au point $x$, $y$, $z$ et à l’instant $t$ : $\mathrm {X}$, $\mathrm {Y}$, $\mathrm {Z}$ les composantes de la force électrique. $\mathrm {L}$, $\mathrm {M}$, $\mathrm {N}$ les composantes de l’induction magnétique, $\mathrm {P}$ la densité de charge multipliée par $4\pi$, $w_{x}$, $w_{y}$, $w_{z}$ les composantes de la vitesse de la charge supposée en mouvement (courant de convection). Les équations de Maxwell-Lorentz s’écrivent
| (10-1) | $\left\{{\begin{aligned}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}&={\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}}\\[0.75ex]-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}&={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial z}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}\\[0.75ex]-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}&={\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}\\[0.75ex]\mathrm {{\text{Div.}}(L,M,N)} &={\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial z}}=0.\end{aligned}}\right.$ |
| (10-2) | $\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\left({\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}+\rho w_{x}\right)&={\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}\\[0.75ex]{\frac {1}{c}}\left({\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}+\rho w_{y}\right)&={\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}-{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}\\[0.75ex]{\frac {1}{c}}\left({\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}+\rho w_{z}\right)&={\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}\\[0.75ex]\mathrm {{\text{Div.}}(X,Y,Z)} &={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial z}}=\mathrm {P} .\end{aligned}}\right.$ |
Dans un système de référence $\mathrm {S^{\prime }}$ animé de la vitesse $v$ par rapport à $\mathrm {S}$, ces équations doivent être remplacées par des équations de même forme. Adoptons la disposition d’axes précédemment considérée ; le calcul montre que ces équations restent les mêmes si les nouvelles grandeurs (lettres accentuées) sont liées aux anciennes par les relations suivantes :
1$^o$ Les formules de Lorentz pour les transformations d’espace et de temps ;
2$^o$ Les formules (6-1) de composition des vitesses pour les $w$ ;
3$^o$ Les formules suivantes, pour la transformation des grandeurs électriques et magnétiques.
| (10-3) | $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {X^{\prime }} &=\mathrm {X} \\\mathrm {Y^{\prime }} &={\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Y} -{\frac {v}{c}}\mathrm {N} \right)\\\mathrm {Z^{\prime }} &={\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Z} +{\frac {v}{c}}\mathrm {M} \right).\end{aligned}}\right.$ |
| (10-4) | $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {L^{\prime }} &=\mathrm {L} \\\mathrm {M^{\prime }} &={\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {M} +{\frac {v}{c}}\mathrm {Z} \right)\\\mathrm {N^{\prime }} &={\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {N} -{\frac {v}{c}}\mathrm {Y} \right)\end{aligned}}\right.$ |
| 4$^o$ (10-5) | $\mathrm {P} ^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}\left(1-{\frac {vw_{x}}{c^{2}}}\right)\mathrm {P} .$ |
a) Cette dernière formule donne immédiatement un résultat fondamental.
Soit $e$ la charge de l’élément de volume d’espace, on a
$\mathrm {P} ={\frac {4\pi e}{dx\,dy\,dz}},\qquad \mathrm {P} ^{\prime }={\frac {4\pi e^{\prime }}{dx^{\prime }dy^{\prime }dz^{\prime }}}$
de (10-5) on déduit
$e^{\prime }dx\,dy\,dz\,dt=e\,dx^{\prime }dy^{\prime }dz^{\prime }dt^{\prime }\quad$
$\quad e=e^{\prime }\quad$
La charge électrique est un invariant.
b) Les formules (10-3), (10-4) montrent qu’un champ électrique et un champ magnétique n’ont pas d’existence absolue. Par exemple, ce qui est un pur champ magnétique dans un système est un champ mixte (électrique et magnétique) dans un autre système : ceci fait comprendre l’action d’un champ magnétique sur une charge en mouvement, car, alors que dans le système de l’observateur, il existe un pur champ magnétique, dans le système de la charge, il règne un champ électrique qui agit sur elle. On retrouve facilement, d’après ces formules, la loi de Biot et Savart et la loi de l’induction, qui ne subissent aucune correction dans la théorie nouvelle.
c) Appliquées aux ondes lumineuses, les formules de transformation permettent d’établir la théorie exacte de l’effet Doppler et de l’aberration de la lumière. Les anciennes formules ne constituent que des approximations ; les formules exactes sont :
| (10-6) | $\nu ^{\prime }=\nu {\frac {1-{\dfrac {v}{c}}\cos \varphi }{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\cdot$ |
| (10-7) | $\cos \varphi ^{\prime }={\frac {\cos \varphi -{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}\cos \varphi }}\cdot$ |
$\nu$ est la fréquence propre de la source et $\nu ^{\prime }$ la fréquence apparente pour l’observateur, $\varphi$ est l’angle de la vitesse $v$ et du rayon lumineux dans le système $\mathrm {S}$ de la source, $\varphi ^{\prime }$ est l’angle de la vitesse $v$ et du rayon reçu par l’observateur.
L’énergie lumineuse se transforme suivant la même loi que la fréquence,
| (10-8) | $\mathrm {W} ^{\prime }=\mathrm {W} {\frac {1-{\dfrac {v}{c}}\cos \varphi }{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\cdot$ |
On trouve enfin l’expression de la pression de la lumière sur un réflecteur intégral, animé de la vitesse $v$ par rapport à l’observateur.
| (10-9) | $p=2{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{8\pi }}{\frac {\left(\cos \varphi -{\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}{1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}\cdot$ |
$\mathrm {A}$ étant l’amplitude des ondes, pour l’observateur.
1$^o$ LA MASSE EST FONCTION DE LA VITESSE. — Dans un système $\mathrm {S} ,$ un point matériel est supposé en mouvement avec la vitesse $v$ à l’instant $t.$
Introduisons un second système $\mathrm {S^{\prime }}$ animé de la vitesse $v$ par rapport à $\mathrm {S} .$ Dans $\mathrm {S^{\prime }} ,$ à l’instant considéré, le mobile a une vitesse nulle ; pendant le temps infiniment court qui suit, nous pouvons dans le système $\mathrm {S^{\prime }}$ appliquer les équations de la dynamique classique puisque le mobile part du repos dans ce système.
Soient $m_{0}$ la masse initiale ou masse au repos du point matériel ; $\mathrm {F_{x^{\prime }}^{\prime }} ,$ $\mathrm {F_{y^{\prime }}^{\prime }} ,$ $\mathrm {F_{z^{\prime }}^{\prime }} ,$ les composantes, mesurées par un observateur du système $\mathrm {S^{\prime }} ,$ de la force que subit ce point ; nous avons
| (10-10) | $\quad m_{0}{\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}=\mathrm {F_{x^{\prime }}^{\prime }} ,\quad m_{0}{\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}=\mathrm {F_{y^{\prime }}^{\prime }} ,\quad m_{0}{\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}=\mathrm {F_{z^{\prime }}^{\prime }} .$ |
Pour avoir les équations de la dynamique dans le système $\mathrm {S}$, il faut chercher comment se transforment ${\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}},$ ${\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{\prime 2}}},$ ${\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}$ et $\mathrm {F_{x^{\prime }}^{\prime }} ,$ $\mathrm {F_{y^{\prime }}^{\prime }} ,$ $\mathrm {F_{z^{\prime }}^{\prime }}$ en fonction des mesures faites dans le système $\mathrm {S} .$
Adoptons la disposition d’axes habituelle, en prenant $\mathrm {O} x$ et $\mathrm {O} x^{\prime }$ parallèles à $v.$ Les formules de Lorentz permettent de calculer ${\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}\ldots$ en fonction de $v$ et de ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\ldots ,$ en tenant compte de ce que ${\frac {dx}{dt}}=v$ à l’instant $t$ considéré. On trouve
| (10-11) | $\quad {\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}={\frac {1}{\alpha ^{2}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}={\frac {1}{\alpha ^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}={\frac {1}{\alpha ^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\cdot$ |
Pour obtenir la transformation des $\mathrm {F} _{x^{\prime }}^{\prime }$, $\mathrm {F} _{y^{\prime }}^{\prime }$, $\mathrm {F} _{z^{\prime }}^{\prime }$ nous considérons le cas d’une force électrique ; supposons que dans $\mathrm {S}$ règne un champ électrique $\mathrm {X}$, $\mathrm {Y}$, $\mathrm {Z}$ ; pour les observateurs de ce système, il s’exerce sur une particule de charge $e$ une force
$\mathrm {F} _{x}=e\mathrm {X} ,\qquad \mathrm {F} _{y}=e\mathrm {Y}$
$\qquad \mathrm {F} _{z}=e\mathrm {Z} .$
Appliquons (10-3), en y faisant $\mathrm {M=N=0} ,$ et remarquons que $e$ est un invariant : nous obtenons
| (10-12) | $\mathrm {F} _{x^{\prime }}^{\prime }=\mathrm {F} _{x}$, $\quad \mathrm {F} _{y^{\prime }}^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {F} _{y}$, $\quad \mathrm {F} _{z^{\prime }}^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {F} _{z}.$ |
substituant dans (10-10) les valeurs de l’accélération (10-11) et de la force (10-12) il vient
| (10-13) | $\quad {\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {m_{0}}{\alpha ^{3}}}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\mathrm {F} _{x},\quad {\dfrac {m_{0}}{\alpha }}{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\mathrm {F} _{y},\quad {\dfrac {m_{0}}{\alpha }}{\dfrac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\mathrm {F} _{z}.\\\hline \end{array}}$ |
Bien qu’établies dans le cas particulier de la force électrique ces équations s’appliquent à une force quelconque, car si une force mécanique (par exemple la tension d’un ressort) fait équilibre à l’action exercée par un champ électrique, c’est un fait sur lequel tous les observateurs doivent se trouver d’accord. Il est donc nécessaire que les composantes de la force mécanique se transforment comme celles de la force électrique.
On trouve ainsi une masse longitudinale ${\frac {m_{0}}{\alpha ^{3}}}$ et une masse transversale ${\frac {m_{0}}{\alpha }},$ la masse étant définie comme coefficient d’inertie.
Mais les équations (10-13) peuvent s’écrire :
* ﻿(10-14)
* ${\begin{array}{|c|}\hline {\dfrac {d}{dt}}\!\left({\dfrac {m_{0}}{\alpha }}{\dfrac {dx}{dt}}\right)=\mathrm {F} _{x},\;\;{\dfrac {d}{dt}}\!\left({\dfrac {m_{0}}{\alpha }}{\dfrac {dy}{dt}}\right)=\mathrm {F} _{y},\;\;{\dfrac {d}{dt}}\!\left({\dfrac {m_{0}}{\alpha }}{\dfrac {dz}{dt}}\right)=\mathrm {F} _{z}\\\hline \end{array}}$
sous cette forme symétrique, la restriction due au choix particulier des axes est levée ; les équations sont absolument générales. $\mathrm {F} _{x}\,dt,$ $\mathrm {F} _{y}\,dt,$ $\mathrm {F} _{z}\,dt$ sont les composantes de l’impulsion $d\mathrm {G} \;;$ on a donc, en intégrant et prenant la quantité de mouvement nulle au repos
| (10-15) | ${\frac {m_{0}}{\alpha }}{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {\mathrm {G} }}$ |
la masse définie comme capacité d’impulsion est ${\frac {m_{0}}{\alpha }}\cdot$
2$^o$ L’INERTIE DE L’ÉNERGIE. — Multipliant les équations (10-14) par $dx,$ $dy,$ $dz$ et ajoutant, on obtient
$d\left({\frac {m_{0}}{\alpha }}c^{2}\right)=d(mc^{2})=\mathrm {F} _{x}\,dx+\mathrm {F} _{y}\,dy+\mathrm {F} _{z}\,dz=d\mathrm {W}$
$d\mathrm {W}$ étant l’énergie fournie au point matériel.
On a donc
| (10-16) | $mc^{2}=\mathrm {W} +{\text{C}}^{\mathrm {te} }.$ |
La variation de masse est proportionnelle à la variation d’énergie cinétique.
a) Masse de l’énergie rayonnante. — Considérons un train d’ondes planes tombant normalement sur une surface noire $\mathrm {S} .$ L’énergie $\delta \mathrm {W}$ absorbée pendant le temps $\delta t$ exerce une pression $p={\frac {\delta \mathrm {W} }{\mathrm {S} c\,\delta t}}$ (égale à la densité de l’énergie) ; elle communique au corps absorbant une impulsion
$\delta \mathrm {G} =p\mathrm {S} \,\delta t={\frac {\delta \mathrm {W} }{c}}\cdot$
L’énergie rayonnante $\mathrm {W}$ possède donc une quantité de mouvement $\mathrm {G} ={\frac {\mathrm {W} }{c}}$ c’est-à-dire une masse (capacité d’impulsion) ${\frac {\mathrm {W} }{c^{2}}}$. On a la relation (10-16) avec une constante nulle.
b) Un corps qui rayonne éprouve une perte de masse égale à la masse ${\frac {\mathrm {W} }{c^{2}}}$ de l’énergie rayonnée $\mathrm {W} .$ — Prenons un cas simple : une lame plane normale à $\mathrm {O} x$ rayonne par ses deux faces, avec la même intensité, des ondes planes se propageant de part et d’autre normalement à son plan.
Dans un système de référence $\mathrm {S}$ par rapport auquel elle était immobile avant de rayonner, la source envoie, de part et d’autre, des quantités de mouvement électromagnétiques égales et opposées ; elle reste donc immobile. Soit $\mathrm {W}$ une certaine quantité d’énergie rayonnée $\left({\frac {\mathrm {W} }{2}}\right.$ de chaque côté${\big )}$, mesurée par un observateur du système $\mathrm {S} .$
Pour un second observateur $\mathrm {S} ^{\prime }$ animé, par rapport à la source, d’une vitesse $v$ parallèlement à $\mathrm {O} x$, l’énergie se transforme d’après (10-8) (où $\varphi =0$ et $\varphi =\pi$).
Cet observateur mesure
$\mathrm {W} ^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\mathrm {W} }{2}}\left(1-{\frac {v}{c}}\right)$
pour l’énergie envoyée dans la direction et le sens de $v$ et
$\mathrm {W} ^{\prime \prime }={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\mathrm {W} }{2}}\left(1+{\frac {v}{c}}\right)$
dans le sens opposé.
La quantité de mouvement qui s’est propagée, pour $\mathrm {S} ^{\prime }$, dans le sens de $v$ est
| (10-17) | ${\frac {\mathrm {W} ^{\prime }}{c}}-{\frac {\mathrm {W} ^{\prime \prime }}{c}}={\frac {1}{\alpha }}{\frac {\mathrm {W} }{c^{2}}}(-v)$ |
$(-v)$ est la vitesse de la source pour $\mathrm {S} ^{\prime }$. D’après la conservation de la quantité de mouvement, ${\frac {1}{\alpha }}{\frac {\mathrm {W} }{c^{2}}}(-v)$ est la quantité de mouvement perdue par la lame. Comme la vitesse n’a pas changé, cette variation provient d’une variation de masse de la lame
${\frac {1}{\alpha }}{\frac {\mathrm {W} }{c^{2}}}$
$\mathrm {S} ^{\prime }$
et ${\frac {\mathrm {W} }{c^{2}}}$ pour l’observateur $\mathrm {S}$ immobile par rapport à la source.
La lame a donc éprouvé une perte de masse au repos ${\frac {\mathrm {W} }{c^{2}}}$ précisément égale à la masse de l’énergie rayonnée.
c) L’énergie potentielle totale d’un électron est égale à sa masse au repos multipliée par $c^{2}.$ (M. Langevin). — Assimilons l’électron à une sphère de rayon $a$ possédant une charge superficielle $e.$
L’énergie potentielle du champ électrostatique $h$ est :
${\begin{aligned}\mathrm {W} _{1}={\frac {1}{8\pi }}\iiint h^{2}d\mathrm {V} ={\frac {e^{2}}{8\pi }}\iiint {\frac {1}{r^{4}}}\,d\mathrm {V} &\\={\frac {e^{2}}{8\pi }}\int _{a}^{\infty }\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}\,dr\,d\theta \,d\varphi &={\frac {e^{2}}{2a}}\cdot \end{aligned}}$
Soient $\sigma ={\frac {e}{4\pi a^{2}}}$ la densité superficielle de charge, $p$ la pression de Poincaré, nécessaire à admettre pour expliquer que la charge ne se dissipe pas. La pression $p$ fait équilibre à la tension $2\pi \sigma ^{2}$ résultant de la répulsion mutuelle des éléments qui composent la charge.
On a donc
$p=2\pi \sigma ^{2}={\frac {e^{2}}{8\pi a^{4}}}\cdot$
Il en résulte une énergie potentielle $\mathrm {W} _{2}$ égale au produit de $p$ par le volume de l’électron.
$\mathrm {W} _{2}={\frac {4}{3}}\pi a^{3}p={\frac {1}{6}}{\frac {e^{2}}{a}}\cdot$
L’énergie potentielle totale de l’électron au repos est ainsi
| (10-18) | $\mathrm {W} =\mathrm {W} _{1}+\mathrm {W} _{2}={\frac {2}{3}}{\frac {e^{2}}{a}}\cdot$ |
Or la masse de l’électron est ${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {2}{3}}{\frac {e^{2}}{a}}\;;$ on a par suite $mc^{2}=\mathrm {W} .$
Généralisation. — Dans tous les cas où l’on peut calculer l’énergie totale $$ d’un système, on la trouve égale à $mc^{2}.$ On est donc conduit à généraliser et à donner les lois énoncées page 66.
3$^o$ L’IMPULSION D’UNIVERS. — Soit $d\tau$ l’élément de temps propre d’un point matériel $\left(d\tau ={\frac {1}{c}}ds\right).$ Les dérivées
${\frac {dx}{d\tau }},\quad {\frac {dy}{d\tau }},\quad {\frac {dz}{d\tau }},\quad {\frac {c\,dt}{d\tau }}$
$dx,$
$dy,$
$dz,$
$c\,dt$
$d{\tau }$
Multiplions par l’invariant $m_{0}$ (masse au repos) les composantes de ce quadrivecteur ; nous avons les composantes de l’impulsion d’Univers,
$m_{0}{\frac {dx}{d\tau }},\quad m_{0}{\frac {dy}{d\tau }},\quad m_{0}{\frac {dz}{d\tau }},\quad m_{0}c{\frac {dt}{d\tau }}$
qui s’écrivent, puisque $d\tau =\alpha dt$ et $m={\frac {m_{0}}{\alpha }}$
| (10-19) | $m{\frac {dx}{dt}},\quad m{\frac {dy}{dt}},\quad m{\frac {dz}{dt}},\quad mc.$ |
Les trois premières composantes (composantes d’espace) sont les composantes de la quantité de mouvement ; la quatrième (composante de temps) est l’énergie divisée par $c.$
La conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l’énergie qui, pour un système de points matériels isolé, s’écrivent :
| (10-20) | $\quad \sum \mathrm {G} _{x}=\mathrm {C^{te}} ,\;$ $\;\sum \mathrm {G} _{y}=\mathrm {C^{te}} ,\;$ $\;\sum \mathrm {G} _{z}=\mathrm {C^{te}} ,\;$ $\;\sum \mathrm {W} =\mathrm {C^{te}}$ |
se résument maintenant dans l’affirmation que la somme des vecteurs impulsions d’Univers, somme entendue au sens géométrique, reste constante dans un système matériel isolé. Elle est indépendante du système de référence, alors que la quantité de mouvement et l’énergie varient d’un système de référence à un autre. Le principe de la conservation de l’impulsion d’Univers a seul un sens absolu.
* ↑ Un exposé d’ensemble beaucoup plus complet se trouve dans les ouvrages suivants : H. Weyl Raum, Zeit, Materie ; Eddington, Espace-Temps-Gravitation, trad. par J. Rossignol (Hermann, éditeur) ; Max von Laue, Die Relativitätstheorie ; Jean Becquerel, Le principe de relativité et la théorie de la gravitation (Gauthier-Villars, éditeur).