# Annales de mathématiques pures et appliquées/Dynamique, article 3

PROBLÈME II. Donner la théorie du mouvement du pendule simple d’une longueur variable et fonction de l’angle que fait sa direction avec la verticale, en supposant d’ailleurs le point de suspension fixe ?
Solution. Soit $u$ la longueur que se trouve avoir le pendule, lorsque sa direction fait un angle $t$ avec la verticale ; on devra avoir $u=\phi (t),\ \varphi$ désignant une fonction donnée quelconque. Cette équation sera évidemment l’équation polaire de la courbe que le mobile fixé à l’extrémité inférieure du pendule sera contraint de décrire, et les variations que ce pendule éprouvera dans sa longueur n’auront d’autre effet que de lui faire parcourir cette courbe qui pourra le remplacer, par rapport au mobile, sans que les circonstances de son mouvement en soient aucunement altérées. Le problème se trouve donc ramené à la recherche des circonstances du mouvement d’un point matériel pesant le long d’une courbe plane dont le plan est vertical, c’est-à-dire, à un problème complètement traité dans tous les ouvrages élémentaires.
PROBLÈME III. On a fait des sections dans un polyèdre régulier, par des plans indéfinis, perpendiculaires sur les milieux de toutes ses arêtes. On a opéré de la même manière sur tous les corps résultant de cette première décomposition, et ainsi de suite indéfiniment. On demande, pour chacun des cinq polyèdres réguliers, quels seront, après un nombre quelconque de semblables opérations, le nombre et la nature de parties résultantes ?
Réflexions. La solution de ce problème se présente pour ainsi dire d’elle-même pour l’hexaèdre, attendu qu’on obtient constamment des hexaèdres, et qu’à chaque opération on en obtient un nombre huit fois plus grand ; de sorte qu’après un nombre $x$ d’opérations le nombre des hexaèdres obtenus est $8^{x}.$
Mais le problème semble tout-à-fait inabordable pour tous les autres polyèdres réguliers, attendu que, dès la première opération, on cesse d’obtenir des polyèdres réguliers. Pour le tétraèdre, par exemple, une première opération donne vingt-quatre tétraèdres partiels, égaux entre eux ; mais ces tétraèdres ne sont plus réguliers et une seconde opération les décompose en portions si peu régulières qu’il devient déjà très-difficile d’en assigner le nombre et la nature ; et l’on conçoit qu’il en serait de même, à plus forte raison, pour les opérations subséquentes. Ce serait bien pire encore s’il s’agissait des autres polyèdres différens du cube.
Ce serait vainement qu’on tenterait de rendre le problème plus traitable en assujettissant les plans coupant à des conditions différentes. Si, par exemple, on exigeait que ces plans passassent par les milieux des arêtes des divers sommets du polyèdre, on tirerait du tétraèdre quatre autres tétraèdres réguliers comme lui, plus un octaèdre également régulier ; mais, en opérant de la même manière sur cet octaèdre, on en obtiendrait six pyramides quadrangulaires, plus un corps terminé par six carrés et par huit triangles équiltéraux ; la même opération faite sur le cube conduirait de prime abord à ce même corps et à huit tétraèdres non réguliers.
Si l’on voulait assujettir les plans coupans à être parallèles aux faces opposées et à passer en outre par le centre du polyèdre, ce qui rentrerait pour le cube dans le cas proposé ; on exclurait d’abord le tétraèdre, où il n’y a point de faces opposées. Or, en opérant sur l’octaèdre, une première opération donnerait six octaèdres et huit tétraèdres, tous réguliers ; et, à raison de ces tétraèdres, l’opération ne pourrait plus se poursuivre.
On concevra facilement toute la difficulté du problème en considérant qu’il a son analogue pour les polygones réguliers, où il semblerait devoir être incomparablement plus facile ; et que pourtant, le carré excepté qui donne pour résultat $4^{x}$, on ne voit pas trop comment on pourrait le résoudre généralement pour tout autre polygone. Agréez, etc.