# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Géométrie des courbes, article 1
## GÉOMÉTRIE DES COURBES.

Dans le X.e cahier du Journal de l’école polytechnique (page 49), M. de Prony a déduit de la théorie des Solutions particulières, un mode de description des sections coniques, par les intersections continuelles de leurs tangentes, qui est fort simple et fort commode, et très-propre conséquemment à faciliter le tracé des épures des voûtes. Je suis parvenu au même résultat, par des considérations tout à fait élémentaires, en cherchant à résoudre le problème suivant.
PROBLÈME. Étant donnés les élémens qui déterminent une section conique, lui mener une tangente parallèle à une droite donnée ?
Solution commune à l’ellipse et à l’hyperbole. Soient $\mathrm {C}$ le centre, $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ les sommets, et $\mathrm {F,G}$ les foyers d’une ellipse (fig. 1) ou d’une hyperbole (fig. 2). De l’un quelconque $\mathrm {F}$ des foyers $\mathrm {P}$ soit menée une perpendiculaire $\mathrm {FP}$ à la droite à laquelle on veut que la tangente cherchée soit parallèle ; de l’autre foyer $\mathrm {G}$ pris pour centre, et avec un rayon égal au premier axe $\mathrm {AB} ,$ soit décrit un arc coupant $\mathrm {FP}$ en $\mathrm {P} ,$ et soit menée $\mathrm {GP} \,;$ enfin soit menée à $\mathrm {FP}$ par son milieu $\mathrm {N}$ une perpendiculaire $\mathrm {NM} ,$ rencontrant $\mathrm {GP}$ en $\mathrm {M} \,;$ cette droite $\mathrm {NM}$ sera la tangente cherchée, et le point $\mathrm {M}$ sera celui où elle touche la courbe.
Pour le démontrer, soit menée $\mathrm {MF} ,$ on aura, par construction, $\mathrm {MF=MP} \,;$ on aura donc $\mathrm {MG+MF}$ (fig. 1) et $\mathrm {MG-MF}$ (fig. 2) $=\mathrm {MG+MP}$ (fig. 1) et $=\mathrm {MG-MP}$ (fig.2) $=\mathrm {GP=AB} \,;$ ce qui prouve déjà que le point $\mathrm {M}$ appartient à la courbe. En second lieu, la droite $\mathrm {MN} ,$ faisant des angles égaux avec les droites $\mathrm {GP}$ et $\mathrm {MF} ,$ est tangente au point $\mathrm {M} .$ Enfin, $\mathrm {NM}$ étant perpendiculaire à $\mathrm {FP} ,$ qui est elle-même perpendiculaire à la droite donnée, sera conséquemment parallèle à cette droite.
Solution pour la parabole. Soient $\mathrm {FH}$ (fig. 3) la direction de l’axe, $\mathrm {F}$ le foyer et $\mathrm {HP}$ la directrice de la courbe. Par le foyer $\mathrm {F}$ soit menée à la droite donnée à laquelle on demande que la tangente soit parallèle une perpendiculaire $\mathrm {FP} ,$ coupant la directrice en $\mathrm {P} \,;$ soit menée à cette droite $\mathrm {FP} ,$ par son milieu $\mathrm {N} ,$ une perpendiculaire $\mathrm {NM}$ coupant en $\mathrm {M}$ la parallèle $\mathrm {PM}$ menée à l’axe par le point $\mathrm {P} ;$ alors $\mathrm {NM}$ sera la tangente cherchée, et le point $\mathrm {M}$ sera celui où elle sera touchée par la courbe.
Si en effet on mène $\mathrm {MF} ,$ on aura, par construction, $\mathrm {MF=MP} \,;$ ce qui prouve déjà que le point $\mathrm {M}$ appartient à la courbe. En second lieu, l’égalité des angles $\mathrm {NMP,NMF}$ prouve que la droite $\mathrm {NM}$ est une tangente en $\mathrm {M} .$ Enfin $\mathrm {NM}$ étant perpendiculaire à $\mathrm {FP} ,$ qui est elle-même perpendiculaire à la droite donnée, sera conséquemment parallèle à cette droite.
Si l’on conçoit présentement que la droite donnée, à laquelle la tangente demandée doit être parallèle, varie de direction, par degrés insensibles, à cause que $\mathrm {GP}$ (fig. 1, 2) doit être constamment égal à $\mathrm {AB} ,$ le point $\mathrm {P}$ ne sortira point d’une circonférence $\mathrm {KPH}$ ayant $\mathrm {G}$ pour centre et un rayon égal à $\mathrm {AB} \,;$ en conséquence, le milieu $\mathrm {N}$ de $\mathrm {FP}$ ne sortira point d’une autre circonférence ayant $\mathrm {AB}$ pour diamètre ; ainsi en menant de tous les points $\mathrm {P}$ de la circonférence $\mathrm {HPK}$ des droites $\mathrm {PF,PG}$ aux deux foyers $\mathrm {F,G} ,$ et en élevant aux droites $\mathrm {PF} ,$ par les points $\mathrm {N}$ où elles sont coupées par la circonférence $\mathrm {ANB} ,$ des perpendiculaires $\mathrm {NP}$ terminées en $\mathrm {M}$ aux droites $\mathrm {PG} ,$ ces perpendiculaires seront des tangentes à la courbe, et les points $\mathrm {M}$ seront ceux où elles la toucheront.
Quant à la parabole, on voit que si, par le foyer $\mathrm {F} ,$ (fig.3) on mène une suite de droites $\mathrm {FP} ,$ terminées en $\mathrm {P}$ à la directrice ; et que, par les points $\mathrm {N}$ où ces droites coupent la tangente $\mathrm {AN}$ au sommet $\mathrm {A} ,$ on leur élève des perpendiculaires $\mathrm {NM} ,$ terminées en $\mathrm {M}$ par leur rencontre avec les parallèles à l’axe menées par les points $\mathrm {P} \,;$ ces perpendiculaires seront des tangentes à la courbe, et les points $\mathrm {M}$ seront ceux où elles la toucheront.
Donc, Si l’un des côtés d’un équerre passe constamment par l’un des foyers d’une section conique, et que son sommet parcourt la circonférence décrite sur le premier axe comme diamètre, s’il s’agit de l’ellipse ou de l’hyperbole, ou une tangente au sommet, s’il s’agit de la parabole, l’autre côté de l’équerre sera constamment tangent à la courbe. C’est en cela que consiste le théorème de M. de Prony.