# L’Encyclopédie/1re édition/EXTRACTION

EXTRACTION, s. f. (Arithm. & Algeb.) L’extraction des racines est la méthode de trouver les racines des nombres ou quantités données. Voyez Racine.
Le quarré, le cube, & les autres puissances d’une racine ou d’un nombre, se forment de la multiplication de ce nombre par lui-même plus ou moins de fois, selon que la puissance est d’un degré plus ou moins élevé. Voyez Puissance.
La multiplication forme les puissances, l’extraction des racines les abaisse, & les réduit à leurs premiers principes ou à leurs racines ; desorte qu’on peut dire que l’extraction des racines est à la formation des puissances par la multiplication, ce que l’analyse est à la synthèse.
Ainsi 4 multiplié par 4, donne 16, quarré de 4, ou produit de 4 par lui-même. 16 multiplié par 4, donne 64, cube de 4, ou produit de 4 par son quarré. C’est ainsi que se forment les puissances.
Aussi la racine quarrée de 16 est-elle 4 ; car 4 est le quotient de 16 divisé par 4 : la racine cubique de 64 est pareillement 4 ; car 4 est le quotient de 64 divisé par 16, quarré de 4. C’est-là ce qu’on entend par l’extraction des racines.
Par conséquent extraire la racine quarrée, cubique, &c. d’un nombre donné, par exemple, 16 ou 64, c’est la même chose que trouver un nombre, par exemple 4, qui multiplié une ou deux fois, &c. par lui-même, forme la puissance donnée. Voy. Puissance. Harris & Chambers.
De la racine quarrée. Extraire la racine quarrée d’un nombre, c’est décomposer un nombre quelconque, de façon que l’on trouve un nombre moindre, lequel multiplié par lui-même, produise exactement le premier, ou du moins en approche le plus qu’il est possible. Cette regle est d’usage en plusieurs cas ; je me contente d’en rapporter un exemple, pour faire juger des autres. Un officier commande un détachement de 625 hommes, dont il veut faire un bataillon quarré : pour cela il n’a qu’à extraire la racine quarrée de 625 ; il trouvera, s’il a le tems & le talent, qu’il faut mettre 25 hommes de front & autant sur les côtés, c’est-à-dire qu’il faut mettre 25 rangs de 25 hommes chacun.
Sur quoi j’observe que l’extraction des racines étant proprement la décomposition d’un produit formé par une ou plusieurs multiplications, il faut considérer d’abord la génération de ce produit, & c’est ce que nous allons faire.
Si je multiplie 25 par 25, j’ai le quarré 625. Que fais-je pour avoir ce produit ? je multiplie 2 dixaines & 5 unités par 2 dixaines & 5 unités ; & pour cela je prends d’abord le quarré des unités, en disant 5 fois 5 ou 5×5 font 25.
* 25
* 25
* 125
* 505
* 625
je pose 5 & retiens 2 ; puis je multiplie une fois les dixaines 2 par les unités 5, lorsque je dis 5×2 font 12, que je pose à gauche de mon 5.
Je multiplie une seconde fois les dixaines 2 par les unités 5, lorsque je dis 2×5 font 10, je pose 0 & retiens 1. Enfin je multiplie les dixaines 2 par elles-mêmes, ce qui me donne le quarré de ces dixaines, en disant, 2×2 font 4, & 1 de retenue font 5, que je pose à gauche du 0. J’ajoûte ces sommes, & j’ai le produit 625 dont on propose de tirer la racine quarrée ; c’est-à-dire qu’il s’agit de trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, a formé le quarré 625. Mais avant que de commencer cette opération, on doit avoir la table suivante sous ses yeux, ou plûtôt dans sa mémoire.
| Racines. | Quarrés. | Cubes. |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 729 |
| 10 | 100 | 1000 |
| 6 - 25 | 25 |
Cela posé, je partage mon nombre total 625 en deux tranches, comme l’on voit ci-à-côté. La premiere tranche à gauche qui pourroit avoir deux chiffres, peut aussi n’en avoir qu’un ; mais toutes les autres tranches à droite sont nécessairement de deux chiffres ; & pour le démontrer, prenons les plus petits chiffres possibles, par exemple 100. Si on multiplie 100 par 100, on aura le quarré 1, 00, 00 en trois tranches, dont la premiere à gauche n’a qu’un chiffre, tandis que les autres en ont deux. Prenons à-présent les plus grands chiffres possibles, 999. Si on les multiplie par eux-mêmes, on aura le quarré 99, 80, 01, qui fait trois tranches chacune de deux chiffres, & non davantage. Au surplus les différentes tranches, suivant le système de la progression décuple, expriment les unités, dixaines, centaines, &c. de la racine totale.
| 6 - 25 | 25 |
| 2 - 2 | |
| 2 - 4 | |
Ces premieres notions une fois établies, je dis : la racine quarrée de 6 est 2 pour 4 ; voilà déjà nos dixaines trouvées ; je les pose en forme de quotient à côté de 625, comme l’on voit dans l’exemple : puis je les quarre en disant, 2×2 font 4, & je tire ce quarré 4 de la premiere tranche 6, disant, 4 de 6 reste 2.
Il faut observer que ces deux dixaines dont j’ai formé le quarré font 20 ; & qu’ainsi en disant 2×2 font 4, 4 de 6 reste 2, c’est comme si je disois 20×20 font 400, 400 de 600 reste 200.
Je baisse à-présent le 2 de la seconde tranche 25 ; ce qui fait avec mon premier 2, résidu de mon 6, 22. Je m’attache ensuite à chercher le second chiffre de la racine totale ; & comme dans le produit de la multiplication ci-dessus exposée, j’ai employé deux fois les dixaines 2, autrement une fois 4 dixaines multipliées par les unités 5, j’y dois trouver la même somme ou quantité, en décomposant, pour l’extraction de la racine.
Je prends donc deux fois les dixaines 2, ce qui fait 4 dixaines : j’écris ce 4 sous le 2 de ma seconde tranche, & je dis : en 22 combien de fois 4 ? il y est 5 & reste 2, qui avec le 5 de la seconde tranche, que je n’ai point baissé, pour éviter l’embarras, fait 25, c’est-à-dire le quarré juste des unités 5 que je cherchois, & que je viens de trouver pour second chiffre de la racine totale 25 : je pose donc 5 en forme de quotient à côté du 2 déjà trouvé auparavant.
Je forme le quarré 25 de ces unités 5, puis je multiplie les mêmes unités 5 par le double 4 des dixaines 2, & je tire ces deux produits de ma derniere tranche & du résidu de la premiere,
| c’est-à-dire de 225, ci | 225 |
| en disant 5×5 font 25, 25 de 25 reste 0 & retiens 2 ; 5×4 font 20 & 2 de retenus font 22, 22 de 22 reste 0. | 000 |
Ces deux produits se tirant exactement sans aucun reste, je conclus que la racine quarrée de 625 est tout juste 25. Pour derniere preuve je multiplie 25 par 25 ; & retrouvant le produit 625, je demeure pleinement convaincu que mon opération est exacte.
Mais voici une autre méthode que je préfere, à plusieurs égards. On commence l’opération à l’ordinaire pour la premiere tranche ; la différence ne paroît qu’à la seconde, & elle est la même dans toutes les suivantes. Au lieu donc de tirer deux fois nos dixaines 2, c’est-à-dire 4 dixaines, & de dire, comme on fait communément, pour trouver le second chiffre d’une racine, en 22 combien de fois 4, il y est 5 ; ne prenons que la moitié 11 du nombre 22 ; ne prenons aussi que la moitié de nos 4 dixaines, c’est-à-dire, ne tirons qu’une fois nos dixaines 2 de notre moitié 11.
| Ecrivons 2 sous 11 en cette sorte, | 11 |
| & disons, en 11 combien de fois 2, il s’y trouve 5 fois, comme 4 s’est trouvé 5 fois en 22, 2 étant à 11 comme 4 à 22. | 2 |
Je pose donc 5 pour second chiffre de la racine totale du quarré 625 ; mais comme ce 5 pourroit quelquefois être trop fort, je le pose séparément, comme chiffre que je dois éprouver : & alors, pour vérifier s’il est bon, & sans examiner si je pourrai tirer du dernier résidu le quarré 25 des unités 5, quarré qui doit encore se trouver en 625, puisqu’il y est entré par la multiplication ; je procede tout de suite à la preuve : pour cela je multiplie 25 par 25 ; & trouvant au produit 625, je m’assûre que la racine quarrée de 625 est tout juste 25.
Si la somme à décomposer, ou dont on cherche la racine, au lieu de 625 n’étoit, par exemple, que 620, pour lors le procédé donneroit encore 25 pour racine totale ; mais venant à la preuve, & multipliant 25 par 25, on auroit le produit 625 plus fort que 620 : on verroit par-là que le chiffre à éprouver 5, qu’on auroit mis pour second chiffre de la racine totale, seroit un peu trop fort. On mettroit donc 4, & l’on en feroit l’épreuve en multipliant 24 par 24,
* 620
* 576
* 44
on tireroit le quarré 576 de 620, en cette sorte, & l’on verroit pour lors avec certitude que la racine quarrée de 620 est 24, outre le résidu 44, qui fait une espece de fraction dont il ne s’agit pas ici.
Si après avoir mis 4 pour second, troisieme, quatrieme chiffre d’une racine, ce 4 se trouvoit encore trop fort par l’épreuve qu’on en feroit, alors au lieu de 4 on ne mettroit que 3, & l’on viendroit à la preuve, comme on a vû ci-dessus.
Cette maniere d’extraire est préférable, en ce qu’elle diminue les nombres sur lesquels on opere, & qu’il y a toûjours moins à tâtonner. C’est-là proprement l’avantage de cette méthode, laquelle est sur-tout bien commode pour l’extraction de la racine cubique, où elle abrege beaucoup l’opération ; c’est pourquoi il est bon de s’y accoûtumer dès la racine quarrée, il est plus facile de l’employer ensuite dans l’extraction de la racine cubique.
Au reste la démonstration qu’on vient de voir de l’extraction de la racine quarrée, & que je n’applique ici qu’à un quarré de deux tranches dont la racine ne contient que des dixaines & des unités ; cette démonstration, dis-je, convient également à un nombre plus grand, dont la racine contiendroit des centaines, des mille, &c. en y appliquant les décompositions & les raisonnemens qu’on a vûs ci-dessus. Il suffit, en Arithmétique, de convaincre & d’éclairer l’esprit sur les propriétés & les rapports des petits nombres que l’on découvre par-là plus facilement, & qui sont absolument les mêmes dans les plus grands nombres, quoique plus difficiles à débrouiller.
D’ailleurs je n’ai prétendu travailler ici que pour les commençans, qui ne trouvent pas toûjours dans les livres ni dans les explications d’un maître de quoi se satisfaire, & je suis persuadé que plusieurs verront avec fruit ce que je viens d’exposer ci-dessus. Si quelques-uns n’en ont pas besoin, je les en félicite, & les en estime davantage.
Le plus grand résidu possible d’une racine quarrée, est toûjours le double de la racine même ; ainsi la racine quarrée de 8 étant 2 pour 4, le plus grand résidu possible de la racine 2 est 4, double de 2.
La racine quarrée de 15 étant 3 pour 9, le plus grand résidu possible de la racine 3 est 6, double de 3.
La racine quarrée de 24 étant 4 pour 16, le plus grand résidu possible de la racine 4 est 8, double de 4, & ainsi de tous les autres cas.
De la racine cubique. On peut dire à-peu-près de la racine cubique ce que nous avons dit de la racine quarrée ; extraire la racine cubique, c’est décomposer un nombre quelconque, de façon que l’on trouve un nombre moindre, lequel étant multiplié d’abord par lui-même, & ensuite par son quarré, ou par le produit de la premiere multiplication, donne exactement le premier nombre proposé, ou du moins en approche le plus qu’il est possible. Ainsi extraire la racine cubique de 15625, c’est trouver par une décomposition méthodique la racine cubique 25, laquelle étant multipliée d’abord par elle-même, produit le quarré 625, & multipliée une seconde fois par son quarré 625, forme le cube 15625.
On a trouvé, en examinant les rapports & la progression des nombres, que cette multiplication double de 25 par 25, & de 25 par son quarré 625, produit premierement le cube des dixaines 2 du nombre proposé 25 ; cube qui fait 8000, parce que le 2 dont il s’agit est 20. Or 20×20 font le quarré 400, 20×400 font le cube 8000.
Secondement, cette cubification produit le triple du quarré des dixaines 2, multiplié par les unités 5, ce qui fait 6000 ; & cela, parce que le 2 dont il s’agit est véritablement 2 dixaines 20. Or en le quarrant, & disant 20×20, on a 400, en triplant ce quarré 400, on a 1200, en multipliant ce produit 1200 par les unités 5, on a 6000.
Troisiemement, cette cubification de 25, & ainsi à proportion de toute autre, produit le triple 60 des dixaines 2 ; triple 60 multiplié par le quarré 25 des unités 5, ce qui fait 1500.
Enfin cette cubification produit le cube 125 des unités 5. Ces quatre produits partiels, savoir :
| | 1°. Le cube des dixaines | 8000 |
| | 2°. Le triple du quarré des dixaines 2 multiplié par les unités 5 | 6000 |
| | 3°. Le triple des dixaines 2 multiplié par le quarré 25 des unités 5 | 1500 |
| | 4°. Le cube des unités 5 | 125 |
| Ces produits forment, dis-je, le cube total | Ces produits forment, dis-je, le cube total | 15625 |
Au reste la génération de ces divers produits est plus difficile à démontrer dans les deux multiplications que l’on employe pour former un nombre cube, que dans la seule multiplication que l’on employe pour former un nombre quarré. La raison en est, que dans ces deux multiplications les produits partiels se confondant entr’eux, & rentrant les uns dans les autres, on ne les découvre guere que par la décomposition, au moins tant qu’on employe l’arithmétique vulgaire.
On sait par la pratique & par l’examen, que ces divers produits résultent nécessairement de ces deux multiplications par une propriété qui leur est essentielle, & qui suffit, lorsqu’elle est connue, pour convaincre & pour éclairer. Il ne s’agit donc que de savoir procéder à la décomposition d’un nombre quelconque, & d’en tirer ces différens produits d’une maniere facile & abrégée, ce qui a son utilité dans l’occasion.
Par exemple, on dit qu’un bloc de marbre quarré de tous sens a 15625 pouces cubes ; & sur cela on demande quelle est sa longueur, largeur, & profondeur. Je le trouve, en tirant la racine cubique de 15625. Pour cela je partage ce nombre en deux tranches, dont la premiere à gauche n’a que deux chiffres, la seconde en a trois. La premiere tranche à gauche peut avoir trois, ou deux, ou même un seul chiffre ; mais les suivantes doivent toûjours être completes, & toûjours de trois chiffres, ni plus, ni moins : c’est ce que l’on peut vérifier aisément par le produit cubique des nombres 100 & 999 ; produit qui donne d’un côté 1, 000, 000, & de l’autre 997, 002, 999.
| 15 | - | 625 | 2 |
| 7 | | 6 | |
Je dis donc, la racine cubique de 15 est 2 pour 8 ; j’écris 2 en forme de quotient, comme l’on voit ci-à-côté ; puis je tire de la premiere tranche 15 le cube de ce 2, en disant 2×2 font 4, 2×4 font 8, c’est-à-dire 8 mille : or 8 mille tirés de 15 mille, reste 7 mille que j’écris au-dessous de 15, comme l’on voit dans l’exemple.
| 15 | - | 625 | 2 |
| 7 | | 6 | |
| 1 | | 2 | |
Ensuite, pour trouver le second chiffre de la racine totale, & ainsi du troisieme, quatrieme, &c. en supposant le nombre à décomposer beaucoup plus grand, je baisse le 6 de la seconde tranche, lequel avec le 7 résidu de la premiere à gauche fait 76 ; puis je prens 12 triple du quarré du premier chiffre trouvé 2, j’écris ce nombre 12 sous 76 ; & je dis, en 76 combien de fois 12, il y est 6 pour 72, & reste 4, lequel avec les 25 qui restent de la seconde tranche, fait 425, sur lesquels je dois tirer le triple du premier chiffre 2 dixaines, c’est-à-dire 60 multiplié par le quarré 36 du second chiffre trouvé, ou chiffre éprouvable 6, dont le produit 2160 ne se peut tirer du reste 425, sans parler du cube 216 du même chiffre 6 ; cube qui devroit encore être contenu dans le reste 425.
| 15 | 625 |
| 7 | 6 |
| 6 | 0 |
| 1 | 6 |
Je vois donc que le chiffre à éprouver 6 que j’ai trouvé pour second chiffre de la racine totale, & que j’avois mis à part, ne convient en aucune sorte. J’éprouve donc le chiffre 5 ; & pour cela je dis 5×12 font 60, 60 tirés de 76, reste 16, lesquels avec le reste 25 de la second tranche font 1625
| 15 | 625 | 25 |
| 7 | 6 | |
| 6 | 0 | |
| 1 | 6 - | 25 |
| 1 | 5 | 00 |
| | 1 | 25 |
Je forme à présent le triple du premier chiffre 2 dixaines, c’est-à-dire 60 multiplié par le quarré 25 du second chiffre 5, je tire le produit 1500 de 1625, après quoi reste 125 ; ce qui fait justement le cube des unités 5, que je dois encore tirer.
Je vois par-là que la racine cubique du nombre 15625 est 25 sans reste, & qu’ainsi je puis poser 5 en forme de quotient pour second chiffre de la racine totale.
Pour derniere preuve je prends le cube de 25 ; & retrouvant 15625, je ne puis plus douter que mon opération ne soit exacte.
| 15 | 625 |
| 7 | 6 |
| 2 | 5 |
| | 4 |
Mais sans tirer tous ces produits partiels ensemble ou séparément, on peut prendre un chemin plus court, comme on l’a marqué en parlant de la racine quarrée ; on dira donc, en se servant du nombre proposé, la racine cubique de 15 est 2 pour 8 ; j’écris 2 en forme de quotient, j’en forme le cube 8 que je tire de la premiere tranche 15, en disant 2×2 font 4, 2×4 font 8 ; 8 de 15, reste 7. Voilà l’opération faite pour la premiere tranche, & le cube du premier chiffre 2 tiré.
| 15 | 625 |
| 7 | 6 |
| 2 | 5 |
| | 4 |
Pour trouver maintenant le second chiffre de la racine totale, & ainsi du troisieme, quatrieme, &c. en supposant le nombre proposé plus grand ; je ne triple point, comme ci-devant, le quarré 4 du premier chiffre 2, ce qui feroit 12. Je ne prens que le tiers de cette somme, c’est-à-dire que je prens simplement le quarré 4 du chiffre 2, sans le tripler. En récompense, & pour conserver la proportion, après avoir baissé le premier chiffre 6 de la seconde tranche, lequel avec le 7 résidu de la premiere fait 76 : je n’en prens que le tiers 25 ; de même qu’au lieu de 12, je ne prens que 4 ; j’écris ce 4 sous 25, comme on voit ci-dessus ; & pour lors je dis, en 25 combien de fois 4, il 6 est 6, comme 12 est six fois en 76. Je pose donc 6 pour second chiffre de ma racine ; mais comme 6 n’est proprement qu’un chiffre à éprouver, dont je ne suis pas sûr ; je le pose à l’écart pour m’en souvenir, & je fais mon épreuve.
Ayant donc trouvé 26 pour racine totale, je vois bien qu’il y a un résidu dans le nombre proposé ; résidu qui doit satisfaire aux deux autres produits que je néglige de tirer : savoir le triple du premier chiffre 2 dixaines, ou 60 multiplié par le quarré 36 du chiffre à éprouver 6 ; plus le cube 216 du même 6. Mais encore un coup je néglige la formation & la soustraction de ces derniers produits qui sont les moins considérables ; & dès que j’ai trouvé un nombre pour le second, troisieme, ou quatrieme chiffre d’une racine, je procede à la cubification de tous les chiffres que j’ai trouvés pour racines ; & je tire le produit, s’il est possible, de toutes les tranches dont j’ai fait l’extraction.
| 15 | 625 |
| 7 | 6 |
| 2 | 5 |
| | 4 |
Ainsi, dans l’exemple proposé ayant trouvé 26, je cubifie 26, c’est-à-dire que je multiplie 26 par lui-même, & que je multiplie ensuite le quarré 676 par le même 26 ; & trouvant alors 17576 pour cube de 26, je vois que je ne le saurois tirer de mes deux tranches 15625, ce qui m’est une preuve que le chiffre à éprouver 6 de la racine trouvée 26 est trop fort. Je prens alors le chiffre inférieur 5 pour l’éprouver, ce qui fait la racine totale 25. Je cubifie ce dernier nombre 25 ; & trouvant le produit ou le cube 15625, qui se peut tirer sans reste des deux tranches 15-625, je vois avec évidence que la racine cubique de 15625 est tout juste 25.
* 15620
* 13824
* 1796
Si le nombre proposé au lieu de 15625, n’étoit que 15620, le procédé donneroit encore 25 pour racine ; mais alors le cube 15625 de la racine 25, ne se pouvant tirer de 15620, je verrois évidemment que 25 n’est pas au juste la racine cubique de 15620 ; je mettrois donc pour second chiffre 4 au lieu de 5, ce qui feroit 24 pour racine totale ; je l’éleverois au cube, & je tirerois le cube 13824 de 15620 ; & pour lors je verrois, à n’en pouvoir douter, que la racine cubique de 15620 est 24, outre le reste 1796, lequel fait une espece de fraction dont on peut tirer la ratine cubique par des procédés connus ; mais dont je ne parlerai point ici, pour ne pas alonger davantage ce morceau qui paroîtra peut-être déjà trop étendu.
Au reste, ce qu’on vient d’exposer ici sur de petits nombres, peut s’appliquer à tous les autres cas, & pourra même répandre quelque lumiere sur ces opérations difficiles que je n’ai point encore vûes traitées d’une maniere satisfaisante, & que j’ai fait comprendre à des enfans de dix ans par le seul moyen de l’arithmétique employée ci-dessus.
Le plus grand résidu possible d’une racine cubique est la racine elle-même multipliée par 6, & outre cela le plus grand résidu possible de la racine immédiatement inférieure. Par exemple, la racine cubique de 26 étant 2 pour 8, le résidu 18 est le plus grand résidu possible de la racine 2. Or ce résidu est formé du sextuple 12 de la racine 2, & du plus grand résidu possible 6 de la racine inférieure.
La racine cubique de 63 étant 3 pour 27, le résidu 36 est le plus grand résidu possible de la racine 3 ; or ce résidu est formé du sextuple 18 de la racine 3, & du plus grand résidu possible 18 de la racine inférieure
La racine cubique de 124 étant 4 pour 64, le résidu 60 est le plus grand résidu possible de la racine 4, or ce résidu est forme du sextuple 24 de la racine 4, & du plus grand résidu possible 36 de la racine inférieure 3 ; & ainsi des autres. Cet article est de M. Faiguet, maître de pension à Paris.
Lorsqu’un nombre n’a pas de racine exacte, il est facile d’approcher aussi près qu’on veut de la racine par le moyen du calcul décimal, sur quoi voyez les articles Approximation & Décimal. Il ne s’agit que d’ajoûter au nombre proposé un certain nombre de zéros, & d’extraire ensuite la racine à l’ordinaire.
Il y a des cas, tels que ceux où la racine n’est pas exacte, où il est plus commode d’indiquer l’extraction. Alors on se sert de ce signe ${\sqrt}$, auquel on ajoûte l’exposant de la puissance, s’il ne s’agit pas de la puissance seconde, car dans ce cas on le sousentend quelquefois. Ainsi ${\sqrt}$ ou ${\sqrt[{2}]}$ signifient racine quarrée ; ${\sqrt[{3}]}$, racine cubique, &c. Voyez Racine.
Au lieu d’extraire la racine quarrée-quarrée, on peut extraire deux fois la quarrée, parce que ${\sqrt[{4}]}={\sqrt[{2\times 2}]}$. Au lieu d’extraire la racine cubo-cubique, on peut extraire la racine cubique, & ensuite la racine quarrée, car ${\sqrt[{6}]}={\sqrt[{2\times 3}]}$. Il y en a qui n’appellent point ces racines cubo-cubiques, mais quadrato-cubiques. Il faut observer la même regle dans les autres cas, où les exposans des puissances ne sont pas des nombres premiers entr’eux.
Preuve de l’extraction des racines. 1°. Preuve de la racine quarrée. Multipliez la racine trouvée par elle-même ; ajoûtez au produit le reste, s’il y en a un ; & dites que l’opération a été bien faite, si vous avez une somme égale à celle dont on vous avoit proposé d’extraire la racine quarrée.
2°. Preuve de la racine cubique. Multipliez la racine trouvée par elle-même, & le produit par là racine. Ajoûtez à ce dernier produit le reste, s’il y en a un ; & concluez que l’extraction a été bien faite, s’il vous vient une somme égale à celle dont vous aviez à extraire la racine cubique.
Il n’y a point d’extractions de racines, dont la preuve ne se fasse de cette maniere.
Extraire les racines des quantités algébriques. Le signe radical annonce seul d’une maniere évidente l’extraction des racines des quantités algébriques simples. Ainsi $\scriptstyle {\sqrt {a}}$ est a, $\scriptstyle {\sqrt {aacc}}$ est ac, $\scriptstyle {\sqrt {9aacc}}$ est 3ac, $\scriptstyle {\sqrt {49a^{4}xx}}$ est 7aax. Pareillement $\scriptstyle {\sqrt {\frac {a^{4}}{cc}}}$ est $\scriptstyle {\frac {aa}{cc}}$, $\scriptstyle {\sqrt {\frac {a^{4}bb}{cc}}}$ est $\scriptstyle {\frac {aab}{c}}$, $\scriptstyle {\sqrt {\frac {9aazz}{25^{bb}}}}$ est $\scriptstyle {\frac {3az}{5^{b}}}$, $\scriptstyle {\sqrt {\frac {4}{9}}}$ est $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$, $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{\frac {8b^{6}}{27a^{3}}}}$ est $\scriptstyle {\frac {2b^{2}}{3^{a}}}$, & $\scriptstyle {\sqrt[{4}]{aabb}}$ est $\scriptstyle {\sqrt {ab}}$. On a aussi $\scriptstyle b{\sqrt {aacc}}$ ou $\scriptstyle b\times {\sqrt {aacc}}=b\times ac=abc$ & $\scriptstyle 3c\times {\frac {3az}{5^{b}}}={\frac {9acz}{5^{b}}}$, & $\scriptstyle {\frac {\overline {a+3x}}{c}}{\sqrt {\frac {4bbx^{4}}{81aa}}}={\frac {\overline {a+3x}}{c}}\times {\frac {2bxx}{9a}}$ ou $\scriptstyle {\frac {2abxx+6bx^{3}}{9ac}}$. Je dis que dans ces cas l’extraction est évidente ; parce qu’on voit du premier coup-d’œil que les quantités proposées ont été engendrées par la multiplication des racines qu’on leur attribue, & que $\scriptstyle aa=a\times a$, $\scriptstyle aacc=ac\times ac$, $\scriptstyle 9aacc=3ac\times 3ac$, &c. Mais lorsque les quantités algébriques sont complexes ou sont composées de plusieurs termes, alors l’extraction s’en fait comme celle des nombres.
* −aa + aab + bb
* −aa
* −a0 + 2ab + bb
* −aa − 2ab − bb
* −aa + 0ab + 0
Soit proposé d’extraire la racine quarrée de aa+ 2ab+bb. Ecrivez d’abord à la racine la racine quarrée du premier terme aa, savoir a. Soustrayez le quarré de a, il restera 2ab + bb. Pour trouver le reste de la racine, divisez le second terme 2ab, par le double de a ou par 2a ; & dites en 2ab, combien de fois 2a, vous trouverez b de fois ; b sera donc le second terme de la racine cherchée. Multipliez b par 2a + b, & soustrayez le produit. La soustraction faite, il ne reste rien : d’où il s’ensuit que a + b est la même racine exacte de aa + 2ab + bb.
Soit proposé d’extraire la racine quarrée de $\scriptstyle a^{4}+6a^{3}b+5aabb-12ab^{3}+4b^{4}$. Mettez d’abord au quotient la racine quarrée aa du premier terme a$^4$. Soustrayez le quarré de aa, il restera $\scriptstyle 6a^{3}b+5aabb-12ab^{3}+4b^{4}$. Dites en $\scriptstyle 6a^{3}b$, combien de fois 2aa, vous trouverez 3ab ; écrivez donc 3ab à la racine. Multipliez 3ab par 2aa + 3ab, & soustrayez le produit $\scriptstyle 6a^{3}b+9aabb$. La soustraction faite, il restera $\scriptstyle -4aabb-12ab^{5}+4b^{4}$. Continuez l’opération, & dites derechef en $\scriptstyle -4aabb-12^{3}$, combien de fois 2aa+6ab, ou le double des deux premiers termes, vous trouverez −2bb. Ecrivez donc à la racine −2bb ; multipliez −2bb par 2aa+6ab−2bb, & soustrayez ce produit. La soustraction faite, il ne restera plus rien.
D’où il s’ensuit que la racine cherchée est $\scriptstyle aa+3ab-2bb$. Voici l’opération tout au long.
| - $\scriptstyle a^{4}+6a^{3}b$ | $\scriptstyle +5aabb-12ab^{3}+4b^{4}$ |
| $\scriptstyle -a^{4}$ | |
| - $\scriptstyle 0-6a^{3}b$ | $\scriptstyle +5aabb-12ab^{3}+4b^{4}$ |
| - 0 $\scriptstyle +6a^{3}b$ | $\scriptstyle -9aabb$ |
| $\scriptstyle 0$ | $\scriptstyle -4aabb-12ab^{3}+4b^{4}$ |
| | $\scriptstyle +4aabb+12ab^{3}-4b^{4}$ |
| | +0 aabb 0 aaa -0 |
Pareillement la racine quarrée de $\scriptstyle xx-ax+{\frac {1}{4}}=x-{\frac {1}{4}}$ ; celle de $\scriptstyle y^{4}+4y^{3}-8y+4=2y+2y-2$ ; celle de $\scriptstyle 16a^{4}-24aaxx+9x^{4}+12bbxx-16aabb+4b^{4}=3xx-4aa+2bb$ : comme il paroît par ce qui suit.
| -9x | $\scriptstyle xx-ax$ | $\scriptstyle +{\frac {1}{4}}aa$ |
| − | $\scriptstyle xx$ | |
| | x $\scriptstyle 0-ax$ | $\scriptstyle +{\frac {1}{4}}aa$ |
| | 0 | 0 |
| | | $\scriptstyle +12b^{2}x^{2}$ | $\scriptstyle -16aabb$ | $\scriptstyle 3x^{2}-4aa+2bb$ |
| | | | $\scriptstyle +~4b^{4}$ | |
| − | $\scriptstyle 9x^{4}$ | | | |
| | 0 | $\scriptstyle -24a^{2}a^{2}$ | $\scriptstyle +16a^{4}$ | |
| | | $\scriptstyle +12b^{2}x^{2}$ | $\scriptstyle -16a^{2}bb$ | |
| | | | $\scriptstyle +~4b^{4}$ | |
| | | 0 | 0 | |
| | $\scriptstyle y^{4}+4y^{3}$ | $\scriptstyle -8y+4$ | | $\scriptstyle yy+2y-2$ |
| − | $\scriptstyle y^{4}$ | | | |
| | $\scriptstyle 0+4y^{3}$ | $\scriptstyle +4yy$ | | |
| | 0+ 0 | $\scriptstyle -4yy$ | | |
| | | $\scriptstyle -4yy$ | $\scriptstyle -8y+4$ | |
| | | 0 | -80 0 | |
Soit proposé d’extraire la racine cubique de $\scriptstyle a^{3}+3aab+3abb+b^{3}$. Voici comment cette opération se fait.
* $\scriptstyle a^{3}+3aab+3abb+b^{3}$
* $\scriptstyle a^{3}$
* $\scriptstyle 3aa$ | $\scriptstyle +3aab$ | $\scriptstyle b$
* $\scriptstyle a^{3}+3aab+3abb+b^{3}$
* a3 0 aab 0 abb + 0
Extrayez la racine cubique du premier terme a$^3$, & vous aurez a ; mettez donc a à la racine. Soustrayez le cube de a ou a$^3$, il restera $\scriptstyle 3aab+3abb+b^{3}$. Dites : combien de fois le quarré de a multiplié par 3, est-il dans 3aab ? Il vous viendra b de fois ; écrivez donc b à la racine. Soustrayez de $\scriptstyle a^{3}+3aab+3abb+b^{3}$, le cube de $\scriptstyle a+b$. La soustraction faite, il ne vous restera plus rien ; donc $\scriptstyle a+b$ est la racine que vous cherchiez. Pareillement $\scriptstyle z+2z-4$ sera la racine cubique de $\scriptstyle z^{6}+6z^{5}-40z^{3}+96z-64$ ; & ainsi des racines des puissances plus élevées. (E)
Sur l’extraction des racines des équations, voyez Cas irréductible, Equation, Racine, &c.
On peut extraire facilement par logarithmes les racines des quantités numériques ; c’est la méthode de tous les calculateurs. Voyez Logarithme.
Extraire la racine d’une quantité irrationnelle. Soit, par exemple, $\scriptstyle 3-2{\sqrt {2}}$, dont on veut extraire la racine quarrée, on supposera que $\scriptstyle x-{\sqrt {y}}$ soit la racine cherchée, & on aura $\scriptstyle xx+y-2x{\sqrt {y}}=3-2{\sqrt {2}}$ ; & faisant les parties rationnelles égales aux rationnelles, & les irrationnelles aux irrationnelles, on aura $\scriptstyle xx+y=3$, $\scriptstyle x{\sqrt {y}}={\sqrt {2}}$ ; d’où l’on tire $\scriptstyle x^{2}={\frac {2}{y}}$, & $\scriptstyle {\frac {2}{y}}=3$ ; donc $\scriptstyle yy-3y=-2$, & $\scriptstyle y={\frac {3}{2}}\pm {\frac {1}{2}}=1$ ou 2 ; donc $\scriptstyle x^{2}=1$ ou 2 ; donc $\scriptstyle 1-{\sqrt {2}}$, ou $\scriptstyle {\sqrt {2}}-1$, est la quantité cherchée. On peut appliquer cette méthode aux cas plus composés. Voyez la science du calcul du P. Reyneau, l’Analyse démontrée du même auteur, l’Algebre de M. Clairaut, & d’autres ouvrages.
C’est par cette méthode d’extraire les racines des quantités irrationnelles, qu’on trouve souvent la racine commensurable d’une équation du troisieme degré ; car $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{a+{\sqrt {b}}}}+{\sqrt[{3}]{a-{\sqrt {b}}}}$ exprimant la racine d’une telle équation, si on trouve $\scriptstyle x+{\sqrt {y}}$ pour la racine cubique de $\scriptstyle a+{\sqrt {b}}$, $\scriptstyle x-{\sqrt {y}}$ sera la racine cubique de $\scriptstyle a-{\sqrt {b}}$ ; ainsi la racine cherchée de l’équation sera 2x ; mais lorsque la racine est commensurable, il est plus court de la chercher par le moyen des diviseurs du dernier terme.
En général l’artifice de la méthode pour extraire les racines des quantités irrationnelles, c’est de les supposer égales à un polynome composé de radicaux & de quantités rationnelles inconnues, selon qu’on le jugera le plus convenable. On formera ensuite autant d’équations qu’on aura pris d’inconnues ; & chacune de ces équations doit avoir des racines commensurables, si le polynome qui représente la racine a été bien choisi. Ainsi la résolution de ces équations n’aura aucune difficulté.
Au reste le mot extraction se dit plus proprement & plus ordinairement de l’opération par laquelle on trouve les racines des quantités algébriques ou numériques, que de celle par laquelle on trouve les racines des équations, le mot racine ayant deux sens très-différens dans ces deux cas. Voyez Racine. (O)
Extraction ou Descendance, en Généalogie, signifie la souche ou la famille dont une personne est descendue. Voyez Descendance & Généalogie. Il faut qu’un candidat prouve la noblesse de son extraction, pour être admis dans quelqu’ordre de chevalerie ou dans certains chapitres, &c. Voyez Chevalier, Ordre, &c.
Extraction, Naissance ou Généalogie, Voyez Naissance & Généalogie.
Extraction, en Chirurgie, est une opération par laquelle, à l’aide de quelqu’instrument ou de l’application de la main, on tire du corps quelque matiere étrangere qui s’y est formée, ou qui s’y est introduite contre l’ordre de la nature.
Telle est l’extraction de la pierre, qui se forme dans la vessie ou dans les reins, &c. Voyez Pierre. Voyez aussi Lythotomie.
L’extraction appartient à l’exérèse, comme l’espece à son genre. Voy. Exérèse & Corps étrangers.
Extraction, (Chimie.) L’extraction est une opération chimique par laquelle on sépare d’un mixte, d’un composé ou d’un sur-composé, un de leurs principaux constituans, en appliquant à ces corps un menstrue convenable. Cette opération a été appellée par plusieurs chimistes, solution partiale. L’extraction est le moyen général par lequel s’exécute cette analyse si utile à la découverte de la constitution intérieure des corps, que nous avons célébrée dans plusieurs articles de ce Dictionnaire, sous le nom d’analyse menstruelle. Voyez Analyse menstruelle, au mot Menstruel. (b)