# Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 05
## LEÇON CINQUIÈME.

Les angles n’entrent dans l’Analyse que par le moyen de leurs sinus et cosinus, qu’on dénote par les mots $\sin$ et $\cos ,$ placés comme caractéristiques avant les angles. On a ainsi les fonctions angulaires $\sin x$ et $\cos x,$ dont la propriété générale, tirée de la nature du cercle, est qu’en prenant deux angles quelconques $x$ et $y,$ on a
${\begin{aligned}\sin(x+y)=&\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\\cos(x+y)=&\cos x\cos y-\sin x\sin y.\end{aligned}}$
Cela posé, pour avoir les fonctions dérivées de $\sin x$ et $\cos x,$ il n’y aura qu’à mettre $x+i$ à la place de $x,$ et développer ensuite les fonctions
$\sin(x+i)\quad {\text{et}}\quad \cos(x+i)$
suivant les puissances de $i\,;$ les coefficients de $i$ dans ces développements seront les dérivées cherchées. Or, par les formules précédentes, on a
${\begin{aligned}\sin(x+i)=&\sin x\cos i+\cos x\sin i,\\\cos(x+i)=&\cos x\cos i-\sin x\sin i.\end{aligned}}$
Ainsi tout se réduit à développer en séries les quantités $\sin i$ et $\cos i.$
J’observe d’abord que, quelle que puisse être la série du développement de $\sin i,$ elle ne saurait être que de la forme
$\mathrm {A} i^{m}+\mathrm {B} i^{n}+\ldots ,$
$m,n,\ldots$ étant des nombres positifs et qui vont en augmentant ; car le sinus devant être nul lorsque l’angle est nul, il est évident que son expression en série par les puissances de l’angle ne peut contenir aucune puissance négative.
J’observe ensuite que, par les formules générales, en faisant $x$ et $y$ égaux à $i,$ on a
$\sin 2i=2\sin i\cos i=2\sin i{\sqrt {1-\sin ^{2}i}}\,;$
donc, $\sin i$ étant $=\mathrm {A} i^{m}+\mathrm {B} i^{n}+\ldots ,$ on aura
$\sin 2i=2^{m}\mathrm {A} i^{m}+2^{n}\mathrm {B} i^{n}+\ldots .$
D’un autre côté, on a
$\sin ^{2}i=\mathrm {A} ^{2}i^{2m}+2\mathrm {AB} i^{m+n}+\ldots ,$
et
${\sqrt {1-\sin ^{2}i}}=\left(1-\sin ^{2}i\right)^{\frac {1}{2}}=1-{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{2}i^{2m}-\mathrm {AB} i^{m+n}-\ldots \,;$
donc on aura
$2\sin i{\sqrt {1-\sin ^{2}i}}=2\mathrm {A} i^{m}+2\mathrm {B} i^{n}+\ldots -\mathrm {A} ^{3}i^{3m}-\ldots \,;$
cette série devant être identique avec la suivante,
$2^{m}\mathrm {A} i^{m}+2^{n}\mathrm {B} i^{n}+\ldots ,$
qui exprime la valeur de $\sin 2i,$ la comparaison des premiers termes qui renferment la même puissance $i^{m}$ donnera
$2\mathrm {A} =2^{m}\mathrm {A} \,;$
donc $m=1.$
Ainsi on est assuré que le premier terme de la série de $\sin i$ est $\mathrm {A} i\,;$ par conséquent, les deux premiers termes de la série de $\cos i$ seront $1-{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}\,;$ faisant ces substitutions dans les expressions ci-dessus de $\sin(x+i)$ et $\cos(x+i),$ et n’ayant égard qu’à la première puissance de $i,$ on aura
${\begin{aligned}\sin(x+i)=&\sin x+i\mathrm {A} \cos x+\ldots ,\\cos(x+i)=&\cos x-i\mathrm {A} \sin x+\ldots \,;\end{aligned}}$
$\sin x$
$\mathrm {A} \cos x,$
$\cos x$
$-\mathrm {A} \sin x.$
Le coefficient $\mathrm {A}$ est une constante encore inconnue, mais que nous déterminerons ci-après par la nature du cercle.
Connaissant ces premières fonctions dérivées, on pourra de la même manière trouver toutes les suivantes. Ainsi, la première dérivée de $\sin x$ étant $\mathrm {A} \cos x,$ la dérivée de celle-ci sera $-\mathrm {A} ^{2}\sin x,$ et la troisième dérivée sera $-\mathrm {A} ^{3}\cos x,$ et ainsi de suite.
Donc, en général, si $f(x)=\sin x,$ on aura
$f'(x)=\mathrm {A} \cos x,\quad f''(x)=-\mathrm {A} ^{2}\sin x,\quad f'''(x)=-\mathrm {A} ^{3}\cos x,\quad \ldots \,;$
et, faisant ces substitutions dans la série du développement de $f(x+i),$ on aura
$\sin(x+i)=\sin x+\mathrm {A} i\cos x-{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}\sin x-{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}\cos x+{\frac {\mathrm {A} ^{4}i^{4}}{2.3.4}}\sin x+\ldots .$
On aura de même
$f(x)=\cos x,\ \ f'(x)=-\mathrm {A} \sin x,\ \ f''(x)=-\mathrm {A} ^{2}\cos x,\ \ f'''(x)=\mathrm {A} ^{3}\sin x,\ \ \ldots \,;$
et ces substitutions donneront
$\cos(x+i)=\cos x-\mathrm {A} i\sin x-{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}\cos x+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}\sin x+{\frac {\mathrm {A} ^{4}i^{4}}{2.3.4}}\cos x-\ldots .$
Faisons pour abréger
$\mathrm {P} =\mathrm {A} i-{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}+{\frac {\mathrm {A} ^{5}i^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,$
$\mathrm {Q} =1-{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{4}i^{4}}{2.3.4}}-{\frac {\mathrm {A} ^{6}i^{6}}{2.3.4.5.6}}+\ldots \,;$
on aura
${\begin{aligned}\sin(x+i)=&\mathrm {Q} \sin x+\mathrm {P} \cos x,\\\cos(x+i)=&\mathrm {Q} \cos x-\mathrm {P} \sin x,\end{aligned}}$
d’où l’on tire, par les théorèmes connus,
$\sin i=\mathrm {P} \quad {\text{et}}\quad \cos i=\mathrm {Q} .$
Ainsi on aura, quel que soit l’angle $i,$ les séries
$\sin i=i\mathrm {A} -{\frac {i^{3}\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}+{\frac {i^{5}\mathrm {A} ^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,$
$\cos i=1-{\frac {i^{2}\mathrm {A} ^{2}}{2}}+{\frac {i^{4}\mathrm {A} ^{4}}{2.3.4}}-{\frac {i^{6}\mathrm {A} ^{6}}{2.3.4.5.6}}+\ldots .$
Il semble qu’on aurait pu déduire immédiatement ces séries de celles qu’on a trouvées ci-dessus pour $\sin(x+i)$ et $\cos(x+i),$ en y faisant $x=0\,;$ mais nous avons voulu éviter ici, comme nous l’avons déjà fait plus haut, les difficultés qui pourraient naître de ce que le développement de $f(x+i)$ n’est généralement vrai que tant qu’on ne donne pas à $x$ des valeurs particulières.
Maintenant il est visible que ces séries sont nécessairement convergentes, en prenant l’angle $i$ tel que $\mathrm {A} i$ soit égal ou moindre que l’unité, et il est visible en même temps qu’on aura alors
$\sin i<\mathrm {A} i\quad {\text{et}}\quad >\mathrm {A} i-{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}\,;$
car les termes ayant les signes alternatifs, et allant en diminuant, les sommes du second et du troisième, du quatrième et du cinquième, etc., seront toutes négatives ; et au contraire les sommes du troisième et du quatrième, du cinquième et du sixième, etc., seront toutes positives.
D’un autre côté, il est démontré rigoureusement par les théorèmes d’Archimède que le sinus est toujours moindre que l’arc, et que la tangente est plus grande que l’arc, du moins dans le premier quart de cercle ; ainsi on aura
$\sin i<i\quad {\text{et}}\quad {\frac {\sin i}{\cos i}}>i\,;$
mais
$\cos i={\sqrt {1-\sin ^{2}i}},$
donc
${\frac {\sin i}{\sqrt {1-\sin ^{2}i}}}>i,\quad \sin ^{2}i>i^{2}\left(1-\sin ^{2}i\right),$
$\sin i>{\frac {i}{\sqrt {1+i^{2}}}}\,;$
ainsi l’on aura, par la nature du cercle,
$\sin i<i\quad {\text{et}}\quad >{\frac {i}{\sqrt {1+i^{2}}}}.$
Si donc on prend l’angle $i$ moindre qu’un droit et assez petit pour que $\mathrm {A} i$ soit moindre que l’unité, on aura nécessairement
| 1$^o$ | $\sin i<\mathrm {A} i\quad {\text{et}}\quad >{\frac {i}{\sqrt {1+i^{2}}}},$ |
par conséquent,
$\mathrm {A} i>{\frac {i}{\sqrt {1+i^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} >{\frac {1}{\sqrt {1+i^{2}}}}\,;$
| 2$^o$ | $\sin i>\mathrm {A} i-{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}\quad {\text{et}}\quad <i,$ |
par conséquent,
$\mathrm {A} i-{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}<i,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} -{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{2}}{2.3}}<1,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {A} <1+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{2}}{2.3}}.$
Comme ces conditions doivent avoir lieu, quelque petit que soit $i,$ il résulte de la première que $\mathrm {A}$ ne peut pas être moindre que $1\,;$ car, si $\mathrm {A} <1,$ on aura ${\frac {1}{\mathrm {A} }}>1\,;$ or la condition
$\mathrm {A} >{\frac {1}{\sqrt {1+i^{2}}}}\quad {\text{donne}}\quad {\frac {1}{\mathrm {A} }}<{\sqrt {1+i^{2}}}\,;$
donc, quelque peu que ${\frac {1}{\mathrm {A} }}$ surpassât l’unité, il serait toujours possible de prendre $i$ tel que
${\sqrt {1+i^{2}}}\quad {\text{fût}}\quad <{\frac {1}{\mathrm {A} }},$
tandis que cette quantité doit toujours être $>{\frac {1}{\mathrm {A} }}.$
Il résulte ensuite de la seconde condition que $\mathrm {A}$ ne peut pas être plus grand que l’unité ; car, quelque peu que $\mathrm {A}$ surpassât l’unité, il serait toujours possible de prendre $i$ assez petit pour que l’on eût
$1+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{2}}{2.3}}<\mathrm {A} ,$
tandis qu’on doit avoir toujours
$1+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{2}}{2.3}}>\mathrm {A} .$
Donc, puisque la valeur de $\mathrm {A}$ ne peut être ni moindre ni plus grande que l’unité, il s’ensuit qu’on aura nécessairement $\mathrm {A} =1.$
Donc la fonction dérivée de $\sin x$ est simplement $\cos x,$ et la fonction dérivée de $\cos x$ est $-\sin x,$ $x$ désignant un angle quelconque, c’est-à-dire un arc dans le cercle dont le rayon est l’unité.
Ainsi l’on aura en général, pour un angle quelconque $i,$
$\sin i=i-{\frac {i^{3}}{2.3}}-{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,$
$\cos i=1-{\frac {i^{2}}{2}}+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}-{\frac {i^{6}}{2.3.4.5.6}}+\ldots ,$
formules connues, et dont la découverte est due à Newton.
Nous venons de considérer les sinus et les cosinus comme fonctions des angles. On peut réciproquement considérer les angles comme fonctions de leurs sinus ou cosinus, et en cherchant les fonctions dérivées. On désigne communément cette fonction par les mots $\operatorname {angle\,sin}$ ou $\operatorname {angle\,cos} ,$ placés avant le sinus ou le cosinus, comme caractéristiques.
Soit
$f(x)=\operatorname {angle\,sin} x,\quad {\text{on aura}}\quad \sin f(x)=x\,;$
mettant $x+i$ pour $x,$ et supposant
$if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots =\omega ,$
on aura
$\sin \left[f(x)+\omega \right]=x+i=\sin f(x)\cos \omega +\cos f(x)\sin \omega \,;$
or
$\sin f(x)=x,\quad \cos f(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}f(x)}}={\sqrt {1-x^{2}}}\,;$
$\sin \omega =\omega -{\frac {\omega ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\quad {\text{et}}\quad \cos \omega =1-{\frac {\omega ^{2}}{2}}+\ldots ,$
par les formules trouvées plus haut ; donc, faisant ces substitutions et restituant la valeur de $\omega ,$ on aura, en ordonnant les termes par rapport à $i,$ l’équation identique
$x+i=x+i{\sqrt {1-x^{2}}}f'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[{\sqrt {1-x^{2}}}f''(x)-x\left[f'(x)\right]^{2}\right]+\ldots ,$
laquelle donne, par la comparaison des premiers termes affectés de $i,$
$1={\sqrt {1-x^{2}}}f'(x),\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}\ r{\acute {e}}sulte} \quad f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$
La comparaison des autres termes donnera les valeurs de $f''(x),$ $f'''(x),\ldots \,;$ mais il est plus simple de les déduire immédiatement de celle de $f'(x).$
Soit maintenant
$f(x)=\operatorname {angle\,cos} x,\quad {\text{on aura}}\quad x=\cos f(x)\,;$
mettant $x+i$ pour $x,$ et $f(x)+\omega$ pour $f(x),$ on aura
$x+i=\cos \left[f(x)+\omega \right]=\cos f(x)\cos \omega -\sin f(x)\sin \omega \,;$
or
$\cos f(x)=x,\quad {\text{et}}\quad \sin f(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}f(x)}}={\sqrt {1-x^{2}}}\,;$
faisant ces substitutions, et mettant pour $\sin \omega$ et $\cos \omega$ leurs valeurs en séries, $\omega -{\frac {\omega ^{3}}{2.3}}+\ldots$ et $1-{\frac {\omega ^{2}}{2}}+\ldots ,$ on aura, après avoir restitué la valeur de $\omega$ et ordonné les termes suivant les puissances de $i,$ cette équation identique
$x+i=x-i{\sqrt {1-x^{2}}}f'(x)-{\frac {i^{2}}{2}}\left[{\sqrt {1-x^{2}}}f''(x)-x\left[f'(x)\right]^{2}\right]+\ldots \,;$
et la comparaison des deux premiers termes affectés de $i$ donnera
$1=-{\sqrt {1-x^{2}}}f'(x),$
$f'(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$
Donc, puisque $x$ étant le sinus d’un angle, ${\sqrt {1-x^{2}}}$ en est le cosinus et $x$ étant le cosinus, ${\sqrt {1-x^{2}}}$ en est le sinus, il résulte de ce que nous venons de trouver que la fonction dérivée d’un angle, exprimé par son sinus, est égale à l’unité divisée par le cosinus, et que la fonction dérivée d’un angle, exprimé par son cosinus, est égale à l’unité divisée par le sinus, et prise avec le signe $-.$