# Des théorèmes mécaniques (trad. Reinach)/Notice
## NOTICE PRÉLIMINAIRE

Le Traité nouveau d’Archimède dont je publie ci-après la traduction a été rendu à la lumière dans des circonstances assez remarquables.
Un paléographe grec, Papadopoulos Kerameus, auteur d’un volumineux et savant catalogue des manuscrits du Patriarcat grec de Jérusalem, y signalait, en 1899, sous le n$^o$ 355 (t. IV, p. 329), un manuscrit sur parchemin, palimpseste, provenant du monastère de Saint-Savas (Palestine). L’écriture la plus récente, du xiiie siècle, est celle d’un recueil de prières byzantin sans intérêt ; l’écriture plus ancienne, disposée transversalement, apparaissait par endroits très distincte, ayant été non grattée par le nouveau scribe, mais simplement épongée ; elle accuse une main du xe siècle. M. Papadopoulos Kerameus reconnut qu’il s’agissait d’un ouvrage mathématique, accompagné de figures, et il en reproduisit quelques phrases à titre d’échantillon. Ces citations tombèrent sous les yeux d’un professeur allemand, H. Schœne, qui, à son tour, les fit voir à M. Heiberg, professeur à l’Université de Copenhague, éditeur d’Archimède et d’Apollonius et le savant d’Europe le plus compétent en ces matières. M. Heiberg identifia aussitôt les extraits cités par Papadopoulos avec autant de passages connus d’Archimède. Sa curiosité éveillée, il demanda communication du palimpseste, qui, entre temps, avait été transporté à Constantinople dans un prieuré du Phanar (le métochion du cloître du Saint-Sépulcre de Jérusalem) dépendant du Patriarcat œcuménique. Cette communication lui fut refusée. Le savant danois ne se découragea pas. Comme la montagne n’allait pas à Mahomet, Mahomet alla à la montagne.
Pendant l’été de 1906, M. Heiberg fit le voyage de Constantinople et put étudier à loisir le précieux document. Il y reconnut avec joie les restes d’un manuscrit d’Archimède, plus complet qu’aucun de ceux qu’on possédait jusqu’à présent. Quoique fort mutilé, ce manuscrit renferme encore, en effet : 1$^o$ des parties considérables de plusieurs Traités déjà connus du grand géomètre (De la sphère et du cylindre, Des hélices, Mesure du cercle, Les équilibres) ; 2$^o$ la plus grande partie du texte grec (inédit) du Traité des Corps flottants, dont on n’avait qu’une traduction latine refaite sur l’arabe, datant du Moyen-Âge ; 3$^o$ les premiers chapitres d’un Traité complètement inédit, le Stomachion, c’est-à-dire « le Taquin », sorte de jeu de patience géométrique ; 4$^o$ le texte, également inédit et aux trois quarts complet, du Traité de la méthode (Ἐφοδικόν ou Ἔφοδος), connu seulement par une Notice de Suidas et trois brèves citations dans les Métriques d’Héron, ouvrage qui, lui-même, n’a été publié qu’en 1903, précisément par H. Schœne.
M. Heiberg se propose d’utiliser complètement tous ces matériaux pour la nouvelle édition de son Archimède, qu’il a en préparation. En attendant, et pour satisfaire l’impatience des savants, il a publié dans l’Hermes, en partie d’après ses copies, en partie d’après des photographies, le texte grec de l’Ἔφοδος ou Traité de la méthode. Tous ceux qui, comme moi, ont eu le privilège de jeter les yeux sur ces photographies, apprécieront le mérite peu commun de la publication du savant danois. Non seulement il a fallu déchiffrer à la loupe, lettre par lettre, un texte souvent peu lisible, reconstituer des figures à demi-effacées, mais M. Heiberg a dû, tout d’abord, rétablir l’ordre profondément troublé des feuillets, qui, lors de la seconde utilisation du parchemin, ont été pliés en deux — pour les ramener de l’in-folio au format in-4$^o$ — et disposés dans une succession arbitraire. Ajoutons que M. Heiberg, dans des notes concises, a rectifié un grand nombre de bourdes manifestes du copiste et indiqué sommairement dans quel ordre d’idées on pouvait combler les lacunes fréquentes et considérables du texte. Enfin, dans une Introduction érudite, il a fait ressortir le haut intérêt historique et scientifique du nouveau Traité et marqué sa place chronologique dans l’œuvre et dans la pensée d’Archimède.
Il m’a semblé qu’une découverte de cette importance ne devait pas rester l’apanage exclusif des savants qui joignent la connaissance du grec à celle des Mathématiques. Après avoir, dans une communication à l’Académie des Inscriptions et Belles-Lettres, essayé à mon tour de dégager les enseignements qui découlent du nouveau Traité pour l’histoire de la Géométrie antique, j’en ai entrepris une traduction intégrale, que je place aujourd’hui sous les yeux du public français, grâce au libéral accueil du directeur de cette Revue. Cette traduction était presque terminée lorsqu’un géomètre danois bien connu, H. G. Zeuthen, — l’historien des sections coniques dans l’Antiquité, — a fait paraître, dans la Bibliotheca Mathematica de Teubner (27 juin 1907), une traduction allemande du même document, suivie d’un commentaire très intéressant. Quoique cette publication soit plus accessible aux mathématiciens que l’édition grecque originale, je n’ai pas cru devoir pour cela renoncer à mon entreprise. D’abord parce que tous les savants français qui s’intéressent à l’histoire des Mathématiques ne savent pas l’allemand ; ensuite parce que M. Zeuthen s’est contenté de traduire littéralement ce qui subsiste du texte original, tandis que je me suis efforcé d’en combler, au moins pour le sens, toutes les lacunes, grandes ou petites. J’ai profité, à cet effet, des publications mêmes de MM. Heiberg et Zeuthen, et des conseils de quelques amis mathématiciens, parmi lesquels je me plais à citer tout particulièrement M. Roger Prévost, capitaine d’artillerie.
Je laisse à de plus compétents le soin d’apprécier quel accroissement la découverte de M. Heiberg apporte à notre connaissance de l’histoire de la Géométrie antique et du génie d’Archimède. Je leur laisse aussi la tâche particulièrement délicate de caractériser la valeur de cette « méthode » dont Archimède est si fier, et qu’il n’a pas cru devoir garder pour lui. Il me suffira de faire remarquer, après MM. Zeuthen et Painlevé, que cette méthode consiste essentiellement : 1$^o$ à déterminer ce que nous appelons aujourd’hui le « moment » statique d’un corps (par rapport à un plan fixe ou une droite fixe) par la subdivision de ce corps au moyen d’un nombre infini de plans parallèles ; 2$^o$ à tirer ensuite de l’équation d’équilibre la connaissance du volume (ou de la surface) ou la détermination du centre de gravité. Sans doute, ni le nom ni la notion même du « moment » ne se rencontrent sous la plume d’Archimède ; mais il est facile de voir que le corps dont il s’agit de déterminer le volume est toujours le quotient du moment du corps auxiliaire par une constante. Remarquons encore que des plans parallèles divisent un corps en un nombre infini de volumes élémentaires de hauteur infiniment petite. Ces volumes élémentaires, Archimède les assimile crûment à des plans (comme ailleurs il assimile des surfaces élémentaires à des droites), et, d’une relation d’équilibre entre deux sections planes homologues de figures de même hauteur, placées d’une façon convenable, il conclut à l’équilibre des volumes de ces figures elles-mêmes, considérées comme la somme de ces sections.
Archimède a conscience du peu de rigueur de ce procédé, et c’est pourquoi, dès qu’il a découvert une relation par cette méthode, il s’attache à la démontrer par une méthode d’exhaustion rigoureuse, où les volumes élémentaires sont traités comme tels et le corps considéré comme la limite commune d’une série de solides élémentaires inscrits et circonscrits, dont la différence peut être réduite autant qu’on veut. Mais en réalité, comme le dit M. Heiberg, « la méthode d’Archimède est identique avec le calcul intégral » ou, plus exactement, constitue une méthode d’intégration. Cette proposition a été contestée, parce qu’on s’est attaché à la forme du raisonnement plutôt qu’au fond ; mais nous croyons que, plus on approfondira la question, plus on se convaincra que cette assimilation est exacte et qu’Archimède a été, sans le savoir et sans que ceux-ci s’en doutassent, le véritable précurseur de Leibniz et de Newton. En ce qui concerne le concept du « moment mécanique », le rapport est encore moins douteux. En effet, la « méthode mécanique », considérations infinitésimales à part, est déjà employée dans la Quadrature de la parabole, Traité connu et étudié dès la Renaissance : sur ce point, entre la théorie d’Archimède et la Mécanique moderne, il y a donc eu non pas rencontre fortuite, mais influence directe et filiation incontestable.
Nota. — La traduction ci-après serre le texte du plus près possible ; toutefois, je me suis permis de remplacer en général le raisonnement en langage ordinaire sur les proportions par la notation algébrique actuelle, qui parle plus vite aux yeux et à l’esprit des lecteurs mathématiciens. Les figures (sauf 1, 5, 11, 12, 16 et les dernières depuis 18) sont celles de Heiberg, c’est-à-dire d’Archimède. Les crochets [ ] signalent les parties perdues que j’ai restituées par conjecture ; les parenthèses ( ), les mots que j’ai ajoutés çà et là pour plus de clarté.
* ↑ Elle nous apprend que ce Traité avait été commenté par un certain Théodose.
* ↑ Le Traité de la méthode est sûrement postérieur à la Quadrature de la parabole. Je suis porté à croire qu’il est également postérieur aux traités Des Conoïdes et Sphère et Cylindre.
* ↑ Pour mieux préciser, Archimède coupe le volume considéré en tranches par des plans parallèles, et compare une section quelconque à la section faite par le même plan dans un autre corps déterminé, de volume connu. Il cherche ensuite à déterminer sur une droite deux segments contigus proportionnels à ces deux sections : alors, il considère cette relation comme l’équation d’équilibre, par rapport à un point, des deux volumes élémentaires (corps étudié et corps de comparaison) suspendus aux extrémités de la droite. Si le bras de levier correspondant au volume étudié est constant, cette équation d’équilibre donne le volume cherché. Si, au contraire, le volume étudié est connu, et que ce soit le bras de levier correspondant aux éléments du corps de comparaison qui soit constant, l’équation d’équilibre donne la détermination du centre de gravité du corps étudié.