# Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (première édition)/Chapitre II
### CHAPITRE II. LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.
#### I. — Propriétés relatives aux fonctions.

Les fonctions auxquelles s’appliquent les définitions précédentes peuvent avoir une infinité de points de discontinuité ; mais ces points sont encore exceptionnels, en ce sens qu’ils forment un ensemble non dense. Dirichlet a rencontré incidemment la fonction
$\chi (x)=\lim _{m=\infty }\left[\lim _{n=\infty }(\cos {m!\pi x})^{2n}\right]$
dont tous les points sont des points de discontinuité, puisqu’elle est nulle pour $x$ irrationnel, égale à 1 pour $x$ rationnel. Les considérations de Cauchy et de Dirichlet ne s’appliquent donc pas à toutes les fonctions au sens de Cauchy. Riemann a montré, sur un exemple, comment l’emploi des séries permettait de construire des fonctions dont les points de discontinuité forment un ensemble partout dense, fonctions auxquelles les définitions précédentes ne peuvent donc s’appliquer.
Soit $(x)$ la différence entre $x$ et l’entier le plus voisin ; si $x$ est égal à un entier plus 1/2, on prend ${(x)=0}$. La fonction ainsi définie se nomme excès de $x$ ; c’est une fonction au sens de Cauchy, car elle admet un développement de Fourier, procédant suivant les lignes trigonométriques des multiples de ${2\pi x}$, qui est partout convergent. Considérons la fonction, au sens de Cauchy,
$f(x)={\frac {(x)}{1^{2}}}+{\frac {(2x)}{2^{2}}}+{\frac {(3x)}{3^{2}}}+\ldots$
on voit immédiatement que si $x$ n’est pas de la forme ${\frac {2p+1}{2n}}$ ($n$ et ${2p+1}$ étant premiers entre eux) $f(x)$ est continue. Au contraire, si $x$ est de la forme indiquée, quand $x$ tend en croissant vers ${\frac {2p+1}{2n}}$, $f(x)$ tend vers une limite que l’on note
$f\!\left({\frac {2p+1}{2n}}-0\right)$
et qui est
$f\!\left({\frac {2p+1}{2n}}-0\right)=f\!\left({\frac {2p+1}{2n}}\right)+{\frac {\pi ^{2}}{16n^{2}}}$
quand $x$ tend vers ${\frac {2p+1}{2n}}$ en décroissant, $f(x)$ tend vers
$f\!\left({\frac {2p+1}{2n}}+0\right)=f\!\left({\frac {2p+1}{2n}}\right)-{\frac {\pi ^{2}}{16n^{2}}}$
Dans tout intervalle, $f(x)$ a des points de discontinuité ; les considérations du Chapitre précédent ne sont pas applicables à $f(x)$.
En employant un procédé analogue à celui de Riemann, il était possible de former de nombreux exemples de fonctions très discontinues. En utilisant la notion maintenant classique de série uniformément convergente, il est facile de donner un énoncé général : une série uniformément convergente de fonctions discontinues $f_{n}$ définit une fonction $f$ qui admet pour points de discontinuité tous les points de discontinuité des fonctions $f_{n}$, pourvu que chacun de ces points ne soit point de discontinuité que pour une seule fonction $f_{n}$. Lorsqu’il n’en est pas ainsi, comme dans l’exemple de Riemann, il faut rechercher si les différentes discontinuités, que l’on rencontre pour la valeur considérée, ne se compensent pas de telle manière que $f$ soit continue.
On a souvent l’occasion d’appliquer un procédé analogue, quand, connaissant des fonctions $f_{n}$ qui présentent une certaine singularité en des points isolés $\mathrm {A} _{n}$, on veut construire une fonction présentant cette singularité dans tout intervalle. On essaie si l’on n’obtiendrait pas le résultat désiré en prenant une série uniformément convergente de fonctions $f_{n}$, telles que les $\mathrm {A} _{n}$ correspondants forment un ensemble partout dense. C’est cette méthode de construction qui a reçu le nom de principe de condensation des singularités.
Les exemples de Riemann montrent que les fonctions, auxquelles les procédés de définition examinés dans le Chapitre précédent ne peuvent s’appliquer, ne forment pas une classe très particulière dans l’ensemble des fonctions au sens de Cauchy. Et comme la restriction que nous avons imposée, avec Cauchy, aux fonctions $f(x)$, savoir que la relation entre $f(x)$ et $x$ soit exprimable analytiquement, n’est jamais intervenue dans nos raisonnements, elle n’a simplifié ni les énoncés, ni les solutions des problèmes que nous nous sommes proposés. Il n’y a donc aucun inconvénient à dire, avec Riemann : $y$ est fonction de $x$ si, à chaque valeur de $x$, correspond une valeur de $y$ bien déterminée, quel que soit le procédé qui a permis d’établir cette correspondance. C’est cette définition que nous adopterons maintenant ; seulement, au lieu de supposer toujours que $x$ puisse être pris quelconque dans un intervalle ${(a,b)}$, nous supposerons quelquefois que $x$ doive être pris dans un certain ensemble $\mathrm {E}$ pour les points duquel la fonction $y$ sera ainsi définie, sans l’être pour tous les points d’un intervalle. Par exemple, la fonction $\left[{\frac {1}{x}}\right]!$ est définie pour l’ensemble des inverses des entiers positifs.
Avant d’entreprendre l’étude de l’intégration des fonctions au sens de Riemann je vais donner celles de leurs propriétés qui nous seront utiles dans la suite.
Si l’on sait qu’une fonction reste toujours comprise entre deux nombres finis $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$, on dit qu’elle est bornée. C’est à l’étude des fonctions bornées que l’on s’est le plus souvent limité. Lorsqu’une fonction est bornée, elle admet une limite supérieure $\mathrm {L}$ et une limite inférieure $l$ ; ces nombres sont définis, on le sait, par la condition que ${(l,\mathrm {L} )}$ soit le plus petit intervalle contenant toutes les valeurs de $f(x)$. ${\omega =\mathrm {L} -l}$ est dit l’oscillation de $f(x)$.
Soit $\mathrm {A}$ un point limite de l’ensemble $\mathrm {E}$ dans lequel $f(x)$ est définie. Soit $\delta _{1}$ un intervalle contenant $\mathrm {A}$ ; dans cet intervalle il existe des points de $\mathrm {E}$ ; ils forment un ensemble $e_{1}$. La fonction $f(x)$ définie sur $e_{1}$ admet des limites supérieure et inférieure, $\mathrm {L} _{1}$, $l_{1}$, une oscillation $\omega _{1}$. Soit $\delta _{2}$ un intervalle contenant $\mathrm {A}$ et compris dans $\delta _{1}$, il lui correspond les nombres $\mathrm {L} _{2}$, $l_{2}$, $\omega _{2}$ ; et l’on a évidemment
$l_{1}\leqq l_{2}\leqq \mathrm {L} _{2}\leqq \mathrm {L} _{1}$
$\mathrm {L} _{2}-l_{2}=\omega _{2}\leqq \omega _{1}$
Si nous considérons des intervalles $\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3},\ldots$ contenant tous $\mathrm {A}$ et compris les uns dans les autres, nous avons une suite de limites supérieures et inférieures vérifiant les inégalités
$l_{1}\leqq l_{2}\leqq l_{3}\leqq \ldots \leqq \mathrm {L} _{3}\leqq \mathrm {L} _{2}\leqq \mathrm {L} _{1}$
Les $l_{i}$ d’une part, les $\mathrm {L} _{i}$ d’autre part, tendent donc vers deux limites $l$ et $\mathrm {L}$ (${l\leqq \mathrm {L} }$) et les $\omega _{i}$ tendent vers
$\omega =\mathrm {L} -l$
Nous allons voir que les nombres ainsi obtenus, $\mathrm {L}$, $l$, $\omega$, sont aussi les limites des nombres $\mathrm {L} '_{i}$, $l'_{i}$, $\omega '_{i}$ correspondant à des intervalles $\delta '_{i}$ contenant $\mathrm {A}$ et dont les deux extrémités tendent vers $\mathrm {A}$ quand $i$ augmente indéfiniment ; en d’autres termes, ils sont indépendants du choix des intervalles $\delta _{i}$ et l’on peut supposer que ces intervalles ne sont pas contenus nécessairement les uns dans les autres. En effet, $i$ étant choisi arbitrairement, si $j$ est assez grand, $\delta '_{j}$ est contenu dans $\delta _{i}$, si $k$ est assez grand, $\delta _{k}$ est contenu dans $\delta '_{j}$ ; donc on a
$l_{i}\leqq l'_{j}\leqq l_{k}\leqq \mathrm {L} _{k}\leqq \mathrm {L} '_{j}\leqq \mathrm {L} _{i}$
ce qui suffit à démontrer la propriété.
Les nombres $\mathrm {L}$, $l$, $\omega$ sont appelés le maximum ou limite supérieure, le minimum ou limite inférieure et l’oscillation de la fonction en $\mathrm {A}$. $\mathrm {A}$ est un point de continuité ou de discontinuité, suivant que $\omega$ est nul ou positif, c’est-à-dire suivant que $\mathrm {L}$ et $l$ sont égaux ou inégaux.
Si $x_{0}$ est l’abscisse de $\mathrm {A}$ et si l’on convient de ne considérer que les valeurs de $x$ supérieures à $x_{0}$ (${x>x_{0}}$), on obtient le maximum $\mathrm {M} _{d}$, le minimum $m_{d}$ et l’oscillation $\omega _{d}$ à droite en $\mathrm {A}$. Si ${\omega _{d}=0}$, c’est-à-dire si ${\mathrm {M} _{d}=m_{d}}$, ${f(x_{0}+0)}$ existe et est égale à $\mathrm {M} _{d}$. Si ${\mathrm {M} _{d}=m_{d}=f(x_{0})}$, la fonction $f(x)$ est dite continue à droite. On définit de même les nombres $\mathrm {M} _{g}$, $m_{g}$, $\omega _{g}$.
Si $\omega _{d}$ et $\omega _{g}$ sont nuls, c’est-à-dire si ${f(x_{0}+0)}$ et ${f(x_{0}-0)}$ existent, la discontinuité est dite de première espèce, sinon elle est dite de seconde espèce.
Toutes ces définitions pourraient être données pour des fonctions non bornées ; rien ne serait changé, sauf que les nombres définis ne seraient plus nécessairement finis.
Aux notions précédentes, on peut rattacher la notion de limite d’indétermination qui nous sera souvent utile ; cette notion est due à P. du Bois-Reymond.
Un procédé de calcul fournit, dans certaines conditions, un nombre déterminé $\varphi$ ; dans d’autres conditions, au contraire, il ne fournit plus un nombre déterminé, mais, suivant la manière dont on l’applique, il fournit différents nombres qui forment un ensemble $\mathrm {A}$. On peut alors, ou dire que le procédé ne fournit plus aucun nombre, ou dire que le procédé donne pour nombre $\varphi$ l’un quelconque des nombres de $\mathrm {A}$. Le nombre $\varphi$ est ainsi considéré comme indéterminé. Le plus petit intervalle qui contient tous les points de $\mathrm {A}$, soit à son intérieur, soit confondus avec ses extrémités, a pour origine et pour extrémité les limites inférieure et supérieure d’indétermination du nombre $\varphi$. Ces limites sont finies ou infinies, elles ne font pas nécessairement partie de $\mathrm {A}$.
Par exemple, on donne l’expression
$\varphi =\lim _{n=\infty }x^{n}$
où $n$ est entier. $\varphi$ est nul pour ${\left\vert x\right\vert <1}$ ; pour calculer $\varphi$ dans ce cas on peut choisir arbitrairement une suite d’entiers croissants $n_{1},n_{2},\ldots$ et prendre la limite de la suite $x^{n_{i}}$ correspondante. Si $x$ n’est plus compris entre −1 et +1, en opérant ainsi et en choisissant convenablement les $n_{i}$, on aura encore une limite, mais cette limite dépendra en général du choix des $n_{i}$. Pour ${x=-1}$, l’ensemble $\mathrm {A}$ de ces limites contient les deux seuls nombres −1 et +1 qui sont les limites d’indétermination. Pour ${x<-1}$, l’ensemble $\mathrm {A}$ ne contient que $+\infty$ et $-\infty$ qui sont les deux limites d’indétermination.
Pour ${x=1}$, $\varphi$ est égal à 1. Pour ${x>1}$, $\varphi$ est égal à $+\infty$.
La notion des limites d’indétermination peut souvent être remplacée par la notion plus simple de plus petite et de plus grande limite, notion que l’on doit à Cauchy.
Supposons que le nombre $\varphi$ soit défini comme la limite pour ${\lambda =\lambda _{0}}$ d’un nombre $\psi (\lambda )$ ; $\lambda$ prendra toutes les valeurs possibles ou seulement celles d’un certain ensemble dont $\lambda _{0}$ est un point limite (l’exemple précédent se ramène à ce cas si l’on prend ${\lambda ={\frac {1}{n}}}$, où $n$ est entier, et $\lambda _{0}=0$). La fonction $\psi (\lambda )$ n’est pas définie pour ${\lambda =\lambda _{0}}$, mais nous savons qu’elle a pour ${\lambda =\lambda _{0}}$ une limite inférieure $l$ et une limite supérieure $\mathrm {L}$ ; ces nombres, finis ou non, sont respectivement la plus petite et la plus grande des limites que l’on peut obtenir quand, dans $\psi (\lambda )$, on fait tendre $\lambda$ vers $\lambda _{0}$. $l$ et $\mathrm {L}$ sont les deux limites d’indétermination précédemment définies ; mais, dans le cas qui nous occupe, ces nombres sont compris dans l’ensemble $\mathrm {A}$ des valeurs limites, tandis que, dans le cas général, ils font seulement partie de $\mathrm {A}$ ou du dérivé $\mathrm {A} '$ de $\mathrm {A}$.
Mais il se peut aussi, et l’on en verra bientôt des exemples, que la fonction $\psi (\lambda )$ ne soit plus une fonction bien déterminée, mais soit une fonction à plusieurs déterminations.
On dit que l’on a une telle fonction si, à chaque valeur de $\lambda$, prise dans un certain ensemble où la fonction est définie, on fait correspondre un ensemble de nombres ; chacun de ces nombres est représenté par la notation $\psi (\lambda )$. Ce qui a été dit relativement aux limites supérieure et inférieure pour les fonctions à une seule détermination, s’applique sans aucun changement aux fonctions à déterminations multiples. $\psi (\lambda )$ a donc une limite inférieure $l$ et une limite supérieure $\mathrm {L}$ pour ${\lambda =\lambda _{0}}$, qui sont, respectivement, la plus petite et la plus grande des limites que l’on peut atteindre en choisissant une suite de nombres $\lambda _{i}$ tendant vers $\lambda _{0}$ et en choisissant convenablement les nombres $\psi (\lambda _{i})$ correspondants. Ces deux nombres sont les limites d’indétermination de la limite de $\psi (\lambda )$ quand $\lambda$ tend vers $\lambda _{0}$.
Revenons maintenant à l’étude des fonctions.
Il y a une relation très simple entre les oscillations relatives aux intervalles contenus dans ${(a,b)}$ et les oscillations aux divers points de ${(a,b)}$. On peut l’exprimer ainsi :
Si, en tous les points de ${(a,b)}$, l’oscillation est au plus égale à $\omega$, dans tout intervalle intérieur à ${(a,b)}$ et de longueur $\lambda$, l’oscillation est inférieure à $\omega +\varepsilon$ dès que $\lambda$ est assez petit ; $\varepsilon$ étant un nombre positif quelconque.
S’il en était autrement, on pourrait trouver des couples de points $a_{p}$, $b_{p}$, tels que ${b_{p}-a_{p}}$ tende vers zéro et que l’on ait
$\left\vert f(b_{p})-f(a_{p})\right\vert >\omega +\varepsilon$
L’ensemble des $a_{p}$ a, au moins, un point limite $\alpha$. Si l’on prend une suite de valeurs $a_{p}$ tendant vers $\alpha$, les $b_{p}$ tendent aussi vers $\alpha$, donc en $\alpha$ l’oscillation est au moins ${\omega +\varepsilon }$. Il y a là une contradiction avec l’hypothèse.
La propriété est démontrée. Dans le cas où ${\omega =0}$, elle se réduit à ce fait bien connu : une fonction continue en tous les points d’un intervalle est continue dans cet intervalle.
La réciproque de notre propriété n’est pas vraie. Soit une fonction égale à −1 pour $x$ négatif, à +1 pour $x$ positif, nulle pour $x$ nul. Son oscillation pour ${x=0}$ est 2 et, cependant, si l’on emploie le point de division ${x=0}$, la fonction a une oscillation seulement égale à 1 dans chacun des deux intervalles obtenus.
Nous allons maintenant définir l’oscillation moyenne d’une fonction bornée $f(x)$ définie dans un intervalle fini ${(a,b)}$. Partageons ${(a,b)}$ en intervalles partiels $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n}$. Soit $\omega _{i}$ l’oscillation de $f(x)$ dans l’intervalle $\delta _{i}$, les extrémités de $\delta _{i}$ étant ou non considérées comme faisant partie de l’intervalle. Et formons la quantité
$\mathrm {A} ={\frac {\delta _{1}\omega _{1}+\delta _{2}\omega _{2}+\ldots +\delta _{n}\omega _{n}}{b-a}}$
Si $\Omega$ est l’oscillation de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, $\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}$ étant au plus égaux à $\Omega$, $\mathrm {A}$ est au plus égal à $\Omega$. Si donc nous divisons $\delta _{i}$ en intervalles partiels $\delta _{i}^{1},\delta _{i}^{2},\ldots ,\delta _{i}^{p_{i}}$, auxquels correspondent les oscillations $\omega _{i}^{1},\omega _{i}^{2},\ldots ,\omega _{i}^{p_{i}}$, on a
$\delta _{i}\omega _{i}\geqq \sum _{j=1}^{j=p_{i}}\delta _{i}^{j}\omega _{i}^{j}$
En subdivisant les intervalles $\delta _{i}$ on remplace donc $\mathrm {A}$ par un nombre plus petit.
Considérons deux séries de divisions de ${(a,b)}$ en intervalles partiels ; aux divisions de la première série correspondent les nombres $\mathrm {A} _{1},\mathrm {A} _{2},\ldots$ ; à celles de la seconde les nombres $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$. Nous supposons que, pour chacune des deux séries, le maximum de la longueur des intervalles employés dans la $i$$^{ième}$ division tend vers zéro avec ${\frac {1}{i}}$ ; dans ces conditions nous allons voir que les $\mathrm {A} _{i}$ et $\alpha _{i}$ ont une même limite.
Comparons $\mathrm {A} _{i}$ et $\alpha _{j}$ ; les intervalles qui seront dans la division $\Delta _{j}$ qui donne $\alpha _{j}$ sont de deux espèces : les uns, les intervalles $d$, contiennent à leur intérieur des points de la division $\mathrm {D} _{i}$ qui donne $\mathrm {A} _{i}$ ; les autres, les intervalles $d'$, sont compris dans les intervalles de $\mathrm {D} _{i}$. La contribution des intervalles $d$ au numérateur de $\alpha _{j}$ est au plus $n\lambda _{j}\Omega$, si $n$ est le nombre des points de division de $\mathrm {D} _{i}$ et $\lambda _{j}$ le maximum de la longueur des intervalles de $\Delta _{j}$. Les intervalles $d'$ font partie de la division $\Delta '_{j}$ obtenue en réunissant les points de division de $\mathrm {D} _{i}$ et $\Delta _{j}$, donc ils fournissent au numérateur de $\alpha _{j}$ une contribution au plus égale à $(b-a)\mathrm {A} '_{j}$, où $\mathrm {A} '_{j}$ est le nombre analogue à $\mathrm {A}$ et relatif à $\Delta '_{j}$. Mais, puisque l’on sait que $\mathrm {A} '_{j}$ est au plus égal à $\mathrm {A} _{i}$, on en déduit
$\alpha _{j}\leqq \mathrm {A} _{i}+n\lambda _{j}\Omega$
Tous les $\alpha _{j}$, à partir d’un certain indice, sont inférieurs à ${\mathrm {A} _{i}+\varepsilon }$, ($\varepsilon >0$) ; donc leur plus grande limite est au plus ${\mathrm {A} _{i}+\varepsilon }$ et, puisque $i$ et $\varepsilon$ sont quelconques, la plus grande limite de $\alpha _{j}$ est au plus égale à la plus petite des $\mathrm {A} _{i}$. Rien n’empêche d’échanger dans le raisonnement $\mathrm {A} _{i}$ et $\alpha _{j}$ ; donc, toutes les limites des $\mathrm {A} _{i}$ et des $\alpha _{j}$ sont égales, $\mathrm {A} _{i}$ tend vers une limite déterminée. Cette limite $\omega$ est l’oscillation moyenne de la fonction dans ${(a,b)}$.
Il faut remarquer ce que nous avons démontré : $\mathrm {A} _{i}$ tend uniformément vers $\omega$ ; c’est-à-dire que, dès que tous les intervalles sont inférieurs à un certain nombre $\lambda$, le nombre $\mathrm {A}$ ne diffère de $\omega$ que d’une quantité inférieure à $\varepsilon$ choisi à l’avance.

#### II. — Conditions d’intégrabilité.

Ces définitions posées, arrivons à la définition de l’intégrale telle que l’a donnée Riemann.
Riemann porte son attention sur le procédé opératoire qui permet, dans le cas des fonctions continues, de calculer l’intégrale avec telle approximation que l’on veut, et il se demande dans quels cas ce procédé, appliqué à des fonctions discontinues, donne un nombre déterminé.
Soit une fonction bornée $f(x)$ définie dans un intervalle fini ${(a,b)}$. Divisons ${(a,b)}$ en intervalles partiels $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n}$ et choisissons arbitrairement, quel que soit $i$, un point $x_{i}$ dans $\delta _{i}$ ou confondu avec l’une des extrémités de $\delta _{i}$. Considérons la somme
$\mathrm {S} =\delta _{1}f(x_{1})+\delta _{2}f(x_{2})+\ldots +\delta _{n}f(x_{n})$
Augmentons constamment le nombre des intervalles $\delta$ et choisissons-les de telle manière que le maximum de leur longueur tende vers zéro. Alors, si $\mathrm {S}$ tend vers une limite déterminée, indépendante des intervalles et des points $x_{i}$ choisis, Riemann dit que la fonction $f(x)$ est intégrable et a pour intégrale, dans ${(a,b)}$, la limite de $\mathrm {S}$.
Lorsque $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n}$ sont choisis, le nombre $\mathrm {S}$ n’est pas entièrement déterminé ; ses limites inférieure et supérieure d’indétermination sont :
${\underline {\mathrm {S} }}=\sum l_{i}\delta _{i}$
${\overline {\mathrm {S} }}=\sum \mathrm {L} _{i}\delta _{i}$
où $l_{i}$ et $\mathrm {L} _{i}$ représentent les limites inférieure et supérieure de $f(x)$ dans $\delta _{i}$. Posons ${\mathrm {L} _{i}-l_{i}=\omega _{i}}$, alors
${\overline {\mathrm {S} }}-\mathrm {S} \leqq {\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}=\sum \delta _{i}\omega _{i}$
Pour que $\mathrm {S}$ tende vers une limite déterminée, il faut d’abord que ${{\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}}$ tende vers zéro ; mais $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$, tend vers ${(b-a)\omega }$, où $\omega$ est l’oscillation moyenne de $f(x)$ ; donc, pour que $f(x)$ soit intégrable, il faut qu’elle soit à oscillation moyenne nulle.
Cette condition est suffisante. Pour le démontrer, il suffit de prouver que ${\overline {\mathrm {S} }}$ a une limite bien déterminée, puisque ${{\overline {\mathrm {S} }}-\mathrm {S} }$ tend vers zéro. Supposons, pour faire cette étude, que l’on raisonne non sur la fonction $f$, mais sur ${f+k}$, $k$ étant une constante telle que ${f+k}$ ne soit jamais négative.
Soient les divisions $\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2},\ldots$ ; $\Delta _{1},\Delta _{2},\ldots$, telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zéro, ce maximum est $\lambda _{j}$ pour $\Delta _{j}$. Soient ${\overline {\mathrm {S} _{1}}},{\overline {\mathrm {S} _{2}}},\ldots$ ; ${\overline {\Sigma _{1}}},{\overline {\Sigma _{2}}},\ldots$, les nombres analogues à ${\overline {\mathrm {S} }}$ et correspondant à ces divisions.
Comparons ${\overline {\mathrm {S} _{i}}}$ et ${\overline {\Sigma _{j}}}$. Partageons les intervalles de $\Delta _{i}$ en deux espèces, comme il a été dit dans l’étude de l’oscillation moyenne (p. 23). Les intervalles $d$ fournissent, dans ${\overline {\Sigma _{j}}}$, une contribution au plus égale à $n\lambda _{j}\mathrm {L}$, où $\mathrm {L}$ est le maximum de $f(x)$ dans ${(a,b)}$. Les intervalles $d'$ figurent tous dans $\Delta '_{j}$, à laquelle correspond ${\overline {\Sigma '_{j}}}$ ; donc, la contribution des intervalles $d'$ dans ${\overline {\Sigma _{j}}}$ est au plus égale à ${\overline {\Sigma '_{j}}}$. Mais $\Delta '_{j}$ s’obtient en morcelant les intervalles de $\mathrm {D} _{i}$ ; il est évident, dans ces conditions, que ${\overline {\Sigma '_{j}}}$ est au plus égale à ${\overline {\mathrm {S} _{i}}}$. De tout cela on tire
${\overline {\Sigma _{j}}}\leqq {\overline {\mathrm {S} _{i}}}+n\mathrm {L} \lambda _{j}$
De cette inégalité on conclut, comme précédemment, que ${\overline {\mathrm {S} _{i}}}$ et ${\overline {\Sigma _{j}}}$ ont la même limite et même qu’ils tendent uniformément vers cette limite.
La propriété est démontrée pour ${f+k}$, donc elle est vraie pour $f$, car, en passant de $f$ à ${f+k}$, on augmente toutes les sommes ${\overline {\mathrm {S} }}$ de ${k(b-a)}$.
Il est important, pour la suite, de remarquer que nous avons démontré l’existence d’une limite pour ${\overline {\mathrm {S} }}$ sans faire aucune hypothèse sur la fonction bornée $f(x)$. La condition que $f(x)$ est à oscillation moyenne nulle est intervenue seulement lorsque, de l’existence d’une limite pour ${\overline {\mathrm {S} }}$, nous avons déduit l’existence d’une limite pour $\mathrm {S}$.
On peut transformer la condition d’intégrabilité obtenue : il faut et il suffit que la somme $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$ tende vers zéro. Cela revient à dire que les intervalles $\delta _{1}$, dans lesquels $\omega _{i}$ est supérieure à un nombre positif $\varepsilon$ arbitrairement choisi, ont pour $i$ assez grand une longueur totale $\lambda$ aussi petite que l’on veut, car on a :
$\lambda \varepsilon \leqq \textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}\leqq (b-a-\lambda )\,\varepsilon +\lambda \Omega$
$\Omega$ étant l’oscillation de $f(x)$ dans ${(a,b)}$. On a ainsi l’énoncé donné par Riemann :
Pour qu’une fonction bornée soit intégrable dans ${(a,b)}$, il faut et il suffit qu’on puisse diviser ${(a,b)}$ en intervalles partiels tels que la somme des longueurs de ceux de ces intervalles dans lesquels l’oscillation est plus grande que $\varepsilon$, quel que soit ${\varepsilon >0}$, soit aussi petite que l’on veut.
Si une telle division est possible, il s’en trouve une infinité dans toute suite de divisions telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zéro, puisque, quelle que soit cette suite, $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$ tend toujours vers le même nombre.
De cette propriété de $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$ résulte aussi que, si à une suite de divisions de la nature considérée correspondent des nombres ${\underline {\mathrm {S} }}$ et ${\overline {\mathrm {S} }}$ ayant la même limite, nous pouvons affirmer l’intégrabilité de la fonction considérée.
La forme donnée par Riemann à la condition d’intégrabilité montre bien que les fonctions continues sont intégrables, mais elle ne met pas en évidence le rôle des points de discontinuité de la fonction. Paul du Bois-Reymond a mis ce rôle en évidence par une transformation de la condition d’intégrabilité. L’énoncé de du Bois-Reymond suppose connue la définition des groupes intégrables.
Un ensemble de points d’une droite constitue un groupe intégrable, si les points de l’ensemble peuvent être enfermés dans un nombre fini de segments dont la somme des longueurs est aussi petite que l’on veut.
Un nombre fini de points constitue un groupe intégrable, mais la réciproque n’est pas vraie.
Considérons l’ensemble $\mathrm {Z}$ des points dont les abscisses sont données par la formule
$x={\frac {a_{1}}{3}}+{\frac {a_{2}}{3^{2}}}+{\frac {a_{3}}{3^{3}}}+\ldots$
dans laquelle tous les $a$ sont égaux à 0 ou 2. Cet ensemble s’obtient en retranchant de l’intervalle ${(0,1)}$ d’abord les points intérieurs à l’intervalle ${\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$, puis les points intérieurs aux intervalles ${\left({\frac {1}{3^{2}}},{\frac {2}{3^{2}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}},{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{2}}}\right)}$ puis les points intérieurs aux intervalles ${\left({\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, …. On divise donc toujours chaque intervalle restant en trois parties égales et l’on enlève la partie du milieu. Après $n$ de ces opérations, il reste $2^{n}$ intervalles ; ces $2^{n}$ intervalles peuvent servir à enfermer les points de $\mathrm {Z}$ ; or, ils ont une longueur totale ${\frac {2^{n}}{3^{n}}}$, $\mathrm {Z}$ est donc un groupe intégrable. Cette construction de $\mathrm {Z}$ montre de plus qu’il est parfait, donc il a la puissance du continu.
Il est évident que l’ensemble formé par la réunion des points de deux groupes intégrables est un groupe intégrable.
Voici maintenant l’énoncé de du Bois-Reymond :
Pour qu’une fonction bornée soit intégrable, il faut et il suffit que, quel que soit ${\varepsilon >0}$, les points où l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ forment un groupe intégrable.
Supposons $f$ intégrable, alors on peut diviser ${(a,b)}$ en intervalles partiels tels que ceux dans lesquels l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ aient une longueur totale inférieure à $\eta$. Un point où l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ ne peut être contenu dans un intervalle où l’oscillation n’est pas supérieure à $\varepsilon$, donc un tel point est nécessairement l’un des points qui ont servi à la division de ${(a,b)}$, ou bien il est dans les intervalles de longueur $\eta$. Les points de division étant en nombre fini, les points où l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ peuvent être enfermés dans un nombre fini d’intervalles de longueur totale $2\eta$, et, comme $\eta$ est quelconque, ils forment un groupe intégrable.
Réciproquement, nous supposons que les points d’oscillation plus grande que $\varepsilon$ forment un groupe intégrable. On peut donc les enfermer dans un nombre fini d’intervalles de longueur totale $\eta$. Employons ces intervalles $\mathrm {I}$ à la division de ${(a,b)}$ et soient $\mathrm {I} '$ les autres intervalles. Dans chaque $\mathrm {I} '$, il n’y a plus de points d’oscillation plus grande que $\varepsilon$, chacun de ces intervalles peut donc être divisé en intervalles partiels $\mathrm {I} ''$ dans chacun desquels l’oscillation est au plus $2\varepsilon$. Les seuls intervalles, à oscillation plus grande que $2\varepsilon$, sont donc certains des intervalles $\mathrm {I}$ ; leur longueur totale est au plus $\eta$ et cela suffit, d’après le criterium de Riemann, pour affirmer que $f$ est intégrable.
Dans l’énoncé précédent, on peut remplacer l’ensemble $\mathrm {G} (\varepsilon )$ des points où l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ par l’ensemble $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ des points où l’oscillation n’est pas inférieure à $\varepsilon$, car $\mathrm {G} \left({\frac {\varepsilon }{2}}\right)$ contient $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ qui contient lui-même $\mathrm {G} (\varepsilon )$.
L’ensemble $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ jouit d’une propriété qui va nous permettre une dernière transformation de la condition d’intégrabilité : $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ est fermé. En effet, si $\mathrm {A}$ est un point limite de $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$, tout intervalle contenant $\mathrm {A}$ contient des points de $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ et $f$ a une oscillation au moins égale à $\varepsilon$ dans cet intervalle.
Pour le nouvel énoncé de la condition d’intégrabilité, je vais faire appel à une notion qu’on retrouvera dans la suite : celle d’ensemble de mesure nulle. C’est un ensemble dont les points peuvent être enfermés dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d’intervalles dont la longueur totale est aussi petite que l’on veut.
Un point, un groupe intégrable sont des exemples d’ensembles de mesure nulle. L’ensemble $\mathrm {E}$ formé par la réunion d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles $\mathrm {E} _{n}$ de mesure nulle est évidemment aussi de mesure nulle ; tout ensemble dénombrable de points est de mesure nulle. Ceci suffit pour montrer la différence qu’il y a entre un ensemble de mesure nulle et un groupe intégrable : le premier peut être partout dense, le second est toujours non dense.
Soit $f(x)$ une fonction intégrable, ses points de discontinuité sont ceux de l’ensemble obtenu par la réunion des groupes intégrables $\mathrm {G} (1),\mathrm {G} \!\left({\frac {1}{2}}\right)\!,\mathrm {G} \!\left({\frac {1}{3}}\right)\!,\ldots$ ; ils forment donc un ensemble de mesure nulle.
Soit maintenant une fonction bornée $f(x)$ dont les points de discontinuité forment un ensemble de mesure nulle. $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ faisant partie de cet ensemble est de mesure nulle, et il est fermé ; nous démontrerons plus tard que cela suffit pour affirmer que $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ est un groupe intégrable. $f$ est intégrable.
Pour qu’une fonction bornée $f(x)$ soit intégrable, il faut et il suffit que l’ensemble de ses points de discontinuité soit de mesure nulle.
Comme exemple de fonction discontinue intégrable, Riemann cite la fonction
$f(x)={\frac {(x)}{1}}+{\frac {(2x)}{4}}+{\frac {(3x)}{9}}+\ldots$
Son intégrabilité résulte du fait que les seuls points de discontinuité, étant de la forme ${x={\frac {2p+1}{2n}}}$, forment un ensemble dénombrable, donc de mesure nulle ; ou encore, du fait que, l’oscillation étant ${\frac {\pi ^{2}}{8n^{2}}}$ pour ${x={\frac {2p+1}{2n}}}$, les points en lesquels l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ sont en nombre fini.
Pour avoir une fonction intégrable ayant une infinité non dénombrable de points de discontinuité, reprenons l’ensemble $\mathrm {Z}$ qui a été défini précédemment (p. 26). La fonction $f(x)$ admettant la période 1, qui entre 0 et 1 est nulle pour tous les points, sauf pour les points de $\mathrm {Z}$ où elle est égale à 1, est intégrable. Ses points de discontinuité forment en effet le groupe intégrable $\mathrm {Z}$ ; $\mathrm {Z}$ étant parfait a la puissance du continu.
Si l’on veut maintenant que, dans tout intervalle, il y ait un ensemble non dénombrable de points de discontinuité, il suffira d’appliquer le principe de condensation des singularités. On pourra considérer, par exemple, la fonction
$\varphi (x)={\frac {f(x)}{1}}+{\frac {f{\big{\frac {x}{2}}{\big )}}{2^{2}}}+{\frac {f{\big{\frac {x}{3}}{\big )}}{3^{2}}}+\ldots$
Ses seuls points de discontinuité sont, d’après les propriétés des séries uniformément convergentes, ceux ou certains de ceux des fonctions $f(x),f\!\left({\frac {x}{2}}\right)\!,\ldots$ ; donc ils forment un ensemble de mesure nulle et $\varphi$ est intégrable.

#### III. — Propriétés de l’intégrale.

Le raisonnement qui précède est général, il permet de démontrer que :
Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est une fonction intégrable.
En effet, les points de discontinuité de la fonction somme sont compris dans l’ensemble $\mathrm {E}$ formé des points de discontinuité des différents termes. Les points singuliers d’un terme forment un ensemble de mesure nulle, donc $\mathrm {E}$ est de mesure nulle et la série représente une fonction intégrable.
En particulier, la somme de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable. De même le produit de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable, car les points de discontinuité du produit sont points de discontinuité pour l’un au moins des facteurs.
De même aussi, si f est intégrable et que ${\frac {1}{f}}$ soit bornée, ${\frac {1}{f}}$, est intégrable ; si $f$ est intégrable, la racine $m$$^{ième}$ arithmétique de $f$, si elle existe, est intégrable ; si $f$ est positive et intégrable et $\varphi$ intégrable, $f^{\varphi }$ est intégrable ; etc.
L’opération $f(\varphi )$, appliquée à des fonctions intégrables, peut au contraire donner des fonctions non intégrables.
Prenons pour $f$ une fonction partout égale à 1, sauf pour ${x=0}$, où elle est nulle. $f$ n’ayant qu’un point de discontinuité est intégrable. $\varphi$ sera nulle pour $x$ irrationnel et égale à ${\frac {1}{q}}$ pour $x$ rationnel et égal à ${\frac {p}{q}}$ ($p$ et $q$ premiers entre eux). $\varphi$ est intégrable puisque ses points de discontinuité, étant ceux d’abscisses rationnelles, forment un ensemble dénombrable.
La fonction $f(\varphi )$ est ici la fonction $\chi (x)$ de Dirichlet (p. 15), fonction non intégrable puisque tous ses points sont des points de discontinuité.
On peut préciser les deux premiers théorèmes qui viennent d’être obtenus. Soient $f$ et $\varphi$ deux fonctions intégrables ; partageons l’intervalle où elles sont données en parties $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n}$ dans lesquelles nous choisissons des valeurs $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$. On a
$\sum \delta _{i}[f(x_{i})+\varphi (x_{i})]=\sum \delta _{i}f(x_{i})+\sum \delta _{i}\varphi (x_{i})$
or les trois sommes qui figurent dans cette égalité sont des valeurs approchées des intégrales de ${f+\varphi }$, $f$, $\varphi$ ; donc l’intégrale de ${f+\varphi }$ est la somme des intégrales de $f$ et de $\varphi$.
L’intégrale d’une somme est la somme des intégrales. On suppose, bien entendu, qu’il s’agisse d’une véritable somme, c’est-à-dire de la somme d’un nombre fini de termes et non pas d’une série.
Pour arriver au cas des séries uniformément convergentes, il nous sera commode de nous servir du théorème de la moyenne.
Soit $f(x)$ une fonction comprise entre $l$ et $\mathrm {L}$ dans ${(a,b)}$. L’intégrale de $f$ est, on le sait, la limite de la somme ${\mathrm {S} =\textstyle \sum \delta _{i}f(x_{i})}$, mais on a
$\textstyle (b-a)l=\sum \delta _{i}l\leqq \sum \delta _{i}f(x_{i})\leqq \sum \delta _{i}\mathrm {L} =(b-a)\mathrm {L}$
Donc $\mathrm {S}$, et par suite sa limite, l’intégrale, est comprise entre $(b-a)l$ et $(b-a)\mathrm {L}$ ; elle est donc de la forme $(b-a)\mu$, où $\mu$ est compris entre $l$ et $\mathrm {L}$ ; c’est le théorème de la moyenne.
Ce qui le distingue du théorème des accroissements finis, démontré pour les fonctions continues, c’est qu’il nous est impossible d’affirmer que $\mu$ est l’une des valeurs que prend $f$ dans ${(a,b)}$.
De ce théorème il résulte que, si le module de $f$ est inférieur à $\varepsilon$, l’intégrale de $f$ est en module inférieure à ${\left\vert b-a\right\vert \varepsilon }$.
Ceci posé, soit une fonction $f$ somme d’une série uniformément convergente de fonctions intégrables
$f=u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n}+\ldots$
Soient $s_{n}$ la somme des $n$ premiers termes, $r_{n}$ le reste correspondant, $\mathrm {F}$, $\mathrm {U} _{n}$, $\mathrm {S} _{n}$, $\mathrm {R} _{n}$ les intégrales de $f$, $u_{n}$, $s_{n}$, $r_{n}$. $\mathrm {S} _{n}$ est la somme des $n$ premiers termes de la série
$\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} _{2}+\ldots +\mathrm {U} _{n}$
d’après le théorème sur l’intégration d’une somme. Ce même théorème montre que
$\mathrm {F} =\mathrm {S} _{n}+\mathrm {R} _{n}$
Or, dès que $n$ est plus grand que $n_{1}$, $r_{n}$ est en module inférieur à $\varepsilon$, donc $\mathrm {R} _{n}$ est en module inférieur à ${\left\vert b-a\right\vert \varepsilon }$. Dès que $n$ est plus grand que $n_{1}$, ${\left\vert \mathrm {F} -\mathrm {S} _{n}\right\vert }$ est inférieur à ${\left\vert b-a\right\vert \varepsilon }$. La série $\textstyle \sum \mathrm {U} _{n}$ est donc convergente et de somme $\mathrm {F}$.
Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est intégrable terme à terme.
Les théorèmes précédents ne sont démontrés que dans le cas où l’intervalle ${(a,b)}$ est un intervalle positif ($b>a$), puisque l’intégrale n’a été définie que dans ce cas. On complète la définition comme précédemment.
L’intégrale dans ${(a,b)}$ se notant toujours $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$, la définition complémentaire s’exprime par l’égalité
$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0$
Il est évident que les théorèmes précédemment démontrés pour les intervalles positifs sont vrais aussi pour les intervalles négatifs.
J’ajoute qu’on vérifie immédiatement que
$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0$

#### IV. — Intégrales par défaut et par excès.

La définition qui vient de nous occuper a été obtenue en appliquant, à des fonctions discontinues, le procédé de calcul des intégrales de fonctions continues. Nous savons qu’il existe des fonctions bornées, les fonctions non intégrables, pour lesquelles ce procédé ne conduit pas à un nombre déterminé. Mais on peut cependant, à l’aide de ce procédé, attacher à chaque fonction bornée deux nombres parfaitement définis.
Nous avons vu (p. 25) que les sommes ${{\overline {\mathrm {S} }}=\textstyle \sum \delta _{i}\mathrm {L} _{i}}$, tendent vers une limite parfaitement déterminée quand les $\delta _{i}$ tendent vers zéro d’une manière quelconque, cette limite est l’un des deux nombres dont il s’agit ; on l’appelle l’intégrale par excès et on le représente par le symbole ${\overline {\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}}$, qui s’énonce : intégrale par excès de $a$ à $b$ de $f(x)$.
De la même manière, on peut démontrer l’existence d’une limite pour les sommes ${{\underline {\mathrm {S} }}=\textstyle \sum \delta _{i}l_{i}}$. D’ailleurs, en étudiant l’oscillation moyenne (p. 22), nous avons vu que $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$ tend vers une limite parfaitement déterminée ${(b-a)\omega }$ et comme l’on a
${\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}=\sum \delta _{i}\omega _{i}$
l’existence de la limite de ${\underline {\mathrm {S} }}$ est démontrée. C’est l’intégrale par défaut qu’on note ${\underline {\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}}$.
Ces deux nombres ont été définis pour la première fois, d’une façon précise, par Darboux.
Pour compléter leurs définitions, données seulement pour ${b>a}$, on pose
${\overline {\int _{a}^{b}}}+{\overline {\int _{b}^{a}}}=0$
${\underline {\int _{a}^{b}}}+{\underline {\int _{b}^{a}}}=0$
Il faut remarquer que, dans un intervalle négatif, l’intégrale par excès est plus petite que l’intégrale par défaut.
On a toujours
${\overline {\int _{a}^{b}}}+{\overline {\int _{b}^{c}}}+{\overline {\int _{c}^{a}}}=0$
${\underline {\int _{a}^{b}}}+{\underline {\int _{b}^{c}}}+{\underline {\int _{c}^{a}}}=0$
mais, l’intervalle d’intégration étant positif, on a
${\overline {\int (f+\varphi )}}\leqq {\overline {\int f}}+{\overline {\int \varphi }}=0$
${\underline {\int (f+\varphi )}}+{\underline {\int f}}+{\underline {\int \varphi }}=0$
comme on le voit par un raisonnement analogue à celui de la page 31, et non pas les mêmes relations où les signes d’inégalité sont remplacés par des signes d’égalité ; les signes d’inégalité sont indispensables ; par exemple, prenons ${f(x)=\chi (x)}$ (p. 15), et ${\varphi (x)=-\chi (x)}$ ; nous aurons, dans $(0,1)$,
${\overline {\int f}}=1$
${\overline {\int \varphi }}={\overline {\int f+\varphi }}=1$
${\underline {\int f}}={\underline {\int f+\varphi }}=0$
${\underline {\int \varphi }}=-1$
L’intégrale a été définie comme la limite du nombre
$\mathrm {S} =\textstyle \sum \delta _{i}f(x_{i})$
quand le maximum $\lambda$ des $\delta _{i}$ tend vers zéro. Posons ${\mathrm {S} =\psi (\lambda )}$, nous définissons ainsi une fonction à déterminations multiples (p. 21). Les limites d’indétermination de la limite de $\psi (\lambda )$ pour ${\lambda =0}$ sont les deux intégrales par excès et par défaut. Ceci fait prévoir que ces deux intégrales nous feront souvent connaître des limites inférieure et supérieure d’un nombre quand on saura que ce nombre est donné par l’intégrale $\int f\,\mathrm {d} x$ toutes les fois que $f$ est intégrable.
Pour mieux étudier l’indétermination de la limite de $\mathrm {S}$, il faudrait déterminer l’ensemble $\mathrm {A}$ de toutes les valeurs limites de $\mathrm {S}$. Pour le cas de l’intégrale, on a cette propriété que je me contenterai d’énoncer : Tout nombre compris entre les intégrales par excès et par défaut est l’une des limites des sommes $\mathrm {S}$, quand $\lambda$ tend vers zéro.
* ↑ Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique (Bulletin des Sciences mathématiques, 1873 et Œuvres de Riemann).
* ↑ On s’appuiera sur la convergence uniforme de la série $f(x)$.
* ↑ Cette notation est due à Dirichlet.
* ↑ Cette dénomination est due à Hankel. Hankel avait cru pouvoir faire des raisonnements généraux au sujet de cette méthode, mais ce qu’il y a d’exact dans ses raisonnements se réduit à des applications immédiates des propriétés connues des séries uniformément convergentes.
* ↑ J’ai déjà dit (note 2, p. 4) que cette restriction est peut-être illusoire.
* ↑ Il est bien entendu qu’une fonction non bornée peut être cependant toujours finie ; c’est le cas de la fonction $f(x)$ telle que $f(0)=0$,﻿$f(x)={\frac {1}{x}}$﻿pour﻿$x\neq 0$.
* ↑ On constate souvent que des questions très simples à traiter lorsqu’on se limite aux fonctions bornées sont, au contraire, très compliquées pour les fonctions les plus générales. Aussi j’ai indiqué soigneusement dans la suite si les théorèmes obtenus sont valables pour toutes les fonctions ou seulement pour des fonctions bornées ; tandis que, le plus souvent, on omet d’indiquer explicitement que les fonctions dont on s’occupe sont bornées.
* ↑ $\mathrm {A}$ ne fait pas nécessairement partie de $\mathrm {E}$.
* ↑ La définition précédente est celle des maximum, minimum, oscillation de $f(x)$ à droite de $x_{0}$, $x_{0}$ étant exclu. On considère aussi souvent les mêmes nombres, $x_{0}$ n’étant pas exclu ; il faut alors prendre les valeurs de $x$ égales ou supérieures à $x_{0}$ (${x\geqq x_{0}}$). Sauf avis contraire, je me servirai toujours de la définition du texte.
* ↑ Ces dénominations sont celles qu’adopte M. J. Hadamard.
* ↑ Du Bois-Reymond dit simplement « les limites d’indétermination de $\psi (\lambda )$ pour ${\lambda =\lambda _{0}}$ ». Cela tient à l’idée que se faisait Du Bois-Reymond de la valeur d’une fonction en un point de discontinuité (note 1, p. 9). Je crois qu’il vaut mieux adopter le langage du texte, plus conforme aux idées modernes sur la détermination des fonctions.
* ↑ C’est cette propriété que l’on énonce : la continuité est uniforme. On exprime par là que la quantité $\eta (\varepsilon )$ peut être choisie uniformément dans l’intervalle considéré, c’est-à-dire indépendamment de la variable $x$.
* ↑ Les points de division employés dans la $i$$^{ième}$ division ne sont pas employés dans la $(i+1)$$^{ième}$ ; en d’autres termes, pour passer d’une division à la suivante, on ne subdivise pas les intervalles de cette division, on marque de nouveaux intervalles sans s’occuper de ceux précédemment employés.
* ↑ Il est bien entendu que, pour passer d’une division à la suivante, on n’est pas obligé de se servir des points de division déjà employés.
* ↑ On peut, à volonté, considérer qu’un point est enfermé dans un intervalle, soit s’il est intérieur à cet intervalle ou confondu avec ses extrémités ; soit s’il est intérieur à l’intervalle, les extrémités exclues. Les deux définitions correspondantes des groupes intégrables sont évidemment identiques.
* ↑ Enfermer est pris ici au sens large.
* ↑ On peut dire aussi que $\mathrm {Z}$ a la puissance du continu parce qu’il dépend d’une infinité dénombrable de constantes entières $a_{1},a_{2},\ldots$.
* ↑ Car on peut enfermer $\mathrm {E} _{n}$ dans une infinité dénombrable d’intervalles $\alpha _{n}$ de longueur totale ${\frac {\varepsilon }{2^{n+1}}}$ et l’ensemble $\mathrm {E}$, somme des $\mathrm {E} _{n}$, peut être enfermé dans l’infinité dénombrable d’ensembles d’intervalles ${\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots }$ de longueur totale ${\sum {\frac {\varepsilon }{2^{n+1}}}=\varepsilon }$.
* ↑ Voir p. 109.
* ↑ Les deux fonctions qui précèdent ne sont pas intégrables par le procédé de Cauchy-Dirichlet, puisque l’ensemble de leurs points de discontinuité n’est pas réductible.
* ↑ Il suffit de modifier légèrement la rédaction pour démontrer en même temps l’intégrabilité de ${f+\varphi }$, laquelle est supposée antérieurement démontrée dans le texte.
* ↑ On pourrait aussi déduire l’existence de cette limite de l’existence de l’intégrale par excès pour $-f$.
* ↑ Si l’on remplace $\chi (x)$ par une fonction non intégrable quelconque, les signes d’inégalité sont indispensables.
* ↑ Dans certains cas, on a déterminé non seulement l’ensemble des limites d’une fonction $\psi (\lambda )$, mais encore la fréquence de chacune de ces limites. Cela a été fait notamment pour la sommation de certaines séries divergentes (Voir Borel, Leçons sur les séries divergentes, p. 5).
* ↑ À titre d’exercice concernant les intégrales par excès et par défaut, on pourra démontrer que, $f(x)$ étant une fonction bornée d’oscillation moyenne $\omega$ dans ${(a,b)}$ et dont les limites inférieure, supérieure et l’oscillation en $x$ sont $l(x)$, $\mathrm {L} (x)$ et $\omega (x)$, on a $(b-a)\omega ={\overline {\int f(x)\,\mathrm {d} x}}-{\underline {\int f(x)\,\mathrm {d} x}}={\overline {\int \mathrm {L} (x)\,\mathrm {d} x}}-{\underline {\int l(x)\,\mathrm {d} x}}={\overline {\int \omega (x)\,\mathrm {d} x}}$. Les mêmes relations sont vraies si, dans la définition de $\mathrm {L} (x)$, $l(x)$, $\omega (x)$, on exclut la valeur $x$ de la variable, ou si, par ces notations, on désigne les limites supérieure, inférieure et l’oscillation à droite ou à gauche, $x$ étant exclu ou non. (Voir la note 1, p. 19.)