# L’Encyclopédie/1re édition/CONTINGENCE

CONTINGENCE, s. f. (Géometrie.) On appelle angle de contingence un angle tel que l’angle LAB (fig. 23 n°. 1. Géomet.) qu’un arc de cercle AL fait avec la tangente BA, au point A, où la ligne BA touche le cercle. Voyez Angle.
Euclide a démontré que la droite BA élevée perpendiculairement sur le rayon CA, touche le cercle en un seul point, & qu’on ne peut tirer aucune ligne droite entre le cercle & cette tangente.
De-là il s’ensuit que l’angle de contingence est moindre qu’aucun angle rectiligne, & que l’angle que le cercle fait avec son rayon, est plus grand qu’aucun angle aigu. La nature de l’angle de contingence a fait autrefois le sujet de beaucoup de disputes. Un auteur, par exemple, a soutenu contre Clavius, que l’angle de contingence étoit aussi hétérogene aux angles rectilignes, que la ligne l’est à la surface. Wallis qui a fait un traité particulier. de l’angle de contingence, & de celui que le cercle fait avec son rayon, soutient le même sentiment. Chambers. Voy. Tangente.
Depuis que les Géometres se sont appliqués à examiner une infinité d’autres courbes que le cercle, ils ont nommé en général angle de contingence, l’angle compris entre l’arc d’une courbe quelconque, & la ligne qui touche cet arc à son extrémité.
Quant à la dispute sur l’angle de contingence, elle pourroit bien n’être qu’une question de nom ; tout dépend de l’idée qu’on attache au mot angle. Si on entend par ce mot une portion finie de l’espace compris entre la courbe & sa tangente, il n’est pas douteux que cet espace ne soit comparable à une portion finie de celui qui est renfermé par deux lignes droites qui se coupent. Si on veut y attacher l’idée ordinaire de l’angle formé par deux lignes droites, on trouvera, pour peu qu’on y réfléchisse, que cette idée prise absolument & sans modification, ne peut convenir à l’angle de contingence, parce que dans l’angle de contingence une des lignes qui le forme est courbe. Il faudra donc donner pour cet angle une définition particuliere ; & cette définition, qui est arbitraire, étant une fois bien exposée & bien établie, il ne pourra plus y avoir de difficulté. Une bonne preuve que cette question est purement de nom, c’est que les Géometres sont d’ailleurs entierement d’accord sur toutes les propriétés qu’ils démontrent de l’angle de contingence ; par exemple, qu’entre un cercle & sa tangente on ne peut faire passer de lignes droites ; qu’on y peut faire passer une infinité de lignes circulaires, &c.
M. Newton remarque dans le scholie du lem. xj du premier livre de ses Principes, qu’il y a des courbes telles, qu’entre elles & leur tangente on ne peut faire passer aucun cercle, & qu’ainsi on peut dire qu’à cet égard l’angle de contingence de ces courbes est infiniment moindre que l’angle de contingence du cercle. Ce grand géometre mesure l’angle de contingence d’une courbe en un point quelconque, par la courbure de cette courbe en ce point, c’est-à-dire par le rayon de sa développée. Voyez Courbure & Osculation. D’après ce principe il fait voir que l’angle de contingence d’une courbe peut en ce sens être infiniment moindre ou infiniment plus grand que l’angle de contingence d’une autre courbe. Les courbes dans lesquelles le rayon de la développée est = à l’infini en certains points, ont à ces points l’angle de contingence = 0, & infiniment plus petit que l’angle de contingence du cercle. Les courbes au contraire qui ont en quelque point le rayon de la dévelopée = 0, ont en ce point l’angle de contingence infiniment plus grand, pour ainsi dire, que l’angle de contingence du cercle, parce que tout cercle d’un rayon fini, quelque petit qu’il soit, peut passer entre la courbe & la tangente.
Soit y = x$^m$, m étant une fraction positive, on trouvera que si m est < $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$, le rayon de la développée est infini à l’origine, & qu’il est 0 si $\scriptstyle m>{\frac {1}{2}}$. Voy. Développée.
Ligne de contingence, dans la Gnomonique, est une ligne qui coupe la soustylaire a angles droits. Dans les cadrans horisontaux, équinoctiaux, polaires, &c. la ligne de contingence est perpendiculaire à la méridienne, ainsi que dans tous les cadrans où la soustylaire & la méridienne se confondent. Cette ligne, dans les cadrans horisontaux, est la ligne de section ou de rencontre du plan du cadran, avec un plan parallele à l’Equateur, qu’on imagine passer par le bout du style. Voyez Soustylaire & Gnomonique. (O)