# L’Encyclopédie/1re édition/CHAINETTE

* CHAINETTE, s. f. diminutif de chaîne, voyez Chaîne. Voyez aussi dans les articles suivans les différentes acceptions que ce terme a dans les Sciences & dans les Arts.
Chaînette, s. f. dans la Géométrie transcendante, ligne courbe, dont une chaîne ou une corde prend la figure par son propre poids lorsqu’elle est suspendue librement par ses deux extrémités, soit que ces deux extrémités soient de niveau dans une même ligne horisontale, ou qu’elles soient placées dans une ligne oblique à l’horison.
Pour concevoir la nature de cette courbe, supposons une ligne pesante & flexible (Voyez Pl. de Géom. fig. 25. n.°2.) dont les deux extrémités soient fixées aux points G, H, elle se fléchira par son propre poids en une courbe GAH, qu’on nomme la chaînette, ou catenaria.
Voici comment le pere Reyneau, dans son Analyse démontrée, trouve l’équation de cette courbe : soit A le sommet de la courbe ou son point le plus bas ; que BD & bd soient paralleles à l’horison, fD perpendiculaire à BD, BD perpendiculaire à AB ; & soient les points B, b, & les lignes BD, bd, infiniment près l’un de l’autre ; les lois de la méchanique nous apprennent que trois puissances qui se font mutuellement équilibre sont entre elles comme des paralleles aux lignes de leurs directions, terminées par leur concours mutuel ; par conséquent les lignes Df & df, seront entre elles comme les forces verticales & horisontales qui tendent à mettre la particule Dd dans la situation Dd : or la premiere de ces forces est le poids de la portion AD de la chaîne, & elle est représentée par AD : l’autre force est une force constante, n’étant autre chose que la résistance du point A : nommant donc AB, x, BD, y, l’arc AD ou son poids c, & la force constante a, on aura dx . dy ∷ c . a, & $dy={\tfrac {adx}{c}}$. Donc ${\tfrac {dy}{dx}}={\tfrac {a}{f{\sqrt {(dx^{2}+dy^{2})}}}}$, & ${\sqrt {(dx^{2}+dy^{2})}}=ad({\tfrac {dx}{dy}})$.
Il semble que cette solution, quoiqu’assez simple, laisse encore de l’obscurité dans l’esprit ; mais ce même problême a été résolu de différentes manieres : les plus élégantes sont celles que l’on trouve dans l’essai de M. Bernoulli sur la manœuvre des vaisseaux, imprimé à Bâle 1714 ; & dans un écrit de M. Daniel Bernoulli le fils, tom. III. des Mém. de l’Académ. de Petersbourg.
Pour parvenir à l’équation de la chaînette, il faut d’abord décomposer toutes les puissances qui agissent sur un point quelconque en deux autres, tout au plus, dont l’une soit parallele à l’axe, & l’autre perpendiculaire à cet axe, ce qui est toûjours possible, puisqu’il n’y a point de puissance qui ne puisse se réduire en deux autres de position donnée : ensuite on regardera la chaînette comme un polygone d’une infinité de côtés ; & supposant chaque puissance appliquée au point de concours de deux côtés, on décomposera, ce qui est toûjours possible, chaque puissance en deux autres, qui soient dans la direction de deux côtés contigus : de cette maniere on trouvera que chaque côté de la courbe est tiré à chacune de ses extrémités en sens contraires, par deux puissances qui agissent suivant la direction de ce côté. Or pour qu’il y ait équilibre, il faut que les deux puissances soient égales : égalant donc ces deux puissances ensemble, on aura l’équation de la chaînette. Voyez un plus long détail dans les ouvrages cités. Il nous suffit ici d’avoir exposé le principe. Si une courbe est pressée en chaque point par une puissance qui soit perpendiculaire à la courbe, on trouvera par ce principe que pour qu’il y ait équilibre, il faut que chaque puissance soit en raison inverse du rayon de la développée de la courbe au point où la puissance agit.
Plusieurs auteurs ont trouvé qu’une voûte pour être en équilibre, devoit avoir la même figure que la chaînette. En effet, imaginons cette voûte en équilibre, comme composée de petites spheres solides qui se touchent, & joignons les centres de ces spheres par des lignes droites ; imaginons ensuite que la direction de la pesanteur de ces spheres change tout-à-coup, & se fasse en sens contraire, & que les spheres soient liées ensemble par des fils ou autrement, de maniere qu’elles ne puissent pas obéir à l’impulsion verticale de la pesanteur ; il est visible que l’équilibre ne sera point troublé, puisque des puissances qui sont en équilibre continuent d’y être, lorsque sans changer ces puissances, on ne fait que leur donner à toutes des directions contraires. Il est visible de plus que dans ce cas la voûte deviendra une chaînette, dont les piés droits de la voûte seront les points fixes, & qu’il n’y aura d’autre différence que dans le renversement de la figure. Donc la courbe de la chaînette est la même que celle de la voûte. Voyez Voute. (O)
* Chaînette, se dit, chez les Bourreliers, d’une partie du harnois des chevaux de carrosse, qui consiste en une bande de cuir double assez étroite, dont on joint les deux extrémités ensemble par une boucle. La chaînette se passe dans le poitrail, & est assujettie au timon. Elle a trois usages : le premier est de servir à reculer le carrosse ; le second, est d’empêcher les chevaux de s’écarter du timon ; & le troisieme, est de soûtenir le timon. Voyez A, figure premiere du Bourrelier. Voyez Harnois, Poitrail, Timon.
* Chaînette, (point de) en terme de Brodeur, soit à l’aiguille soit au métier, est une espece d’ornement courant, qui forme une sorte de lac continu, & s’exécute de la maniere suivante : 1°. au métier. (Voyez Pl.du Chaîn.) Fichez votre aiguille de la main droite de dessous en-dessus en a ; arrêtez en-dessus avec les doigts de la main gauche une longueur quelconque ab du fil ; refichez votre aiguille dans le même point a de dessus en-dessous, & ramenez-la de dessous en-dessus au point c, entre les deux côtés & en-dedans de la boucle bab, & vous aurez fait un premier point de chaînette au métier. Vous ferez le second précisément de la même maniere. Arrêtez en-dessus avec les doigts de la main gauche une portion bd du fil égale à la portion ab ; fichez votre aiguille de dessus en-dessous au point c ; ramenez-la de dessous en-dessus au point e, de maniere que la distance ce soit égale à la distance ac, & que le point e soit entre les deux côtés & en-dedans de la boucle dcd, & vous aurez un second point de chaînette. Arrêtez avec les doigts de la main gauche une portion df du fil égale à la portion bd ; fichez votre aiguille de dessus en-dessous au point e ; ramenez-la de dessous en-dessus au point g, de maniere que la distance eg soit égale à la distance ce, & que le point g soit entre les deux côtés & en-dedans de la boucle fef, & vous aurez un troisieme point de chaînette ; & ainsi de suite.
2°. A l’aiguille. Le point de chaînette ne se fait guere autrement à l’aiguille. Tenez votre étoffe ou toile de la main gauche ; fichez de la droite votre aiguille en a, de dessous en-dessus ; arrêtez avec le pouce de la main gauche une portion ab du fil, & la tenez serrée contre l’étoffe ; fichez votre aiguille de dessus en-dessous au même point a ; ramenez-la de dessous en-dessus au point c, entre les côtés & en-dedans de la boucle abcde, & vous aurez un premier point. Arrêtez avec le pouce contre votre étoffe une portion ce du fil ; fichez votre aiguille de dessus en-dessous, soit au point c, soit au point d, un peu au-dessus du point c, mais pareillement entre les côtés & en-dedans de la boucle abcda, & ramenez-la de dessous en-dessus au point f, de maniere que c f soit égal à ca, entre les côtés & en-dedans de la boucle cafd, & ainsi de suite : vous aurez un second point, un troisieme, &c.
Nous avons fait nos points très-grands dans la figure, afin qu’on conçût distinctement la maniere dont ils s’exécutent : mais en broderie ils sont très petits. La beauté du point de chaînette, le seul presque qui se pratique dans la broderie en laine, consiste à faire ses boucles a b c b, c d e d, e f g f, &c. bien égales, & ni trop lâches ou grandes, ni trop serrées ou petites. Il faut proportionner son travail au dessein qu’on exécute, & à la matiere qu’on emploie. Ce point se fait en laine, en soie, en fil, en fils d’argent & d’or, & on en conduit la suite à discrétion.
* Chaînette, en terme d’Eperonnier, se dit des petites chaînes qu’on place au nombre de deux dans le bas d’un mords, pour en contenir les branches, & les empêcher de s’écarter l’une de l’autre. Voyez I, fig. 22. Pl. de l’Eperonnier.
Chaînette, terme de Rubanier, c’est une espece de petit tissu de soie qu’on fait courir sur toute la tête de la frange. Voyez les dictionn. du Comm. & de Trévoux.