# L’Encyclopédie/1re édition/ARRÉRAGES

ARRÉRAGES, s. m. pl. terme de Pratique, se dit des payemens d’une rente ou redevance annuelle pour raison desquels le débiteur est en retard. On ne peut pas demander au-delà de 29 années d’arrérages d’une rente fonciere, ni plus de 5 d’une rente constituée. Tous les arrérages échûs antérieurement aux 29 années ou aux cinq, sont prescrits par le laps de tems ; à moins que la prescription n’en ait été interrompue par des commandemens ou demandes judiciaires. V. Rente, Intérêt, &c. (H)
Toute rente peut être regardée comme le denier d’une certaine somme prêtée ; soit donc a la somme prêtée, & m le denier, c’est-à-dire, la fraction qui désigne la partie de la somme qu’on doit payer pour la rente : si l’intérêt est simple, la somme dûe au bout d’un nombre d’années q pour les arrérages, sera amq ; c’est-à-dire, l’intérêt dû à la fin de chaque année, multiplié par le nombre des années : & si l’intérêt est composé, la somme dûe au bout de ce tems, sera a(1+m)$^q$-a, c’est-à-dire la somme totale dûe à la fin du nombre d’années exprimé par q ; de laquelle somme il faut retrancher le principal.
Pour avoir l’expression arithmétique de a(1+m)$^q$ -a, supposons que la somme prêtée ou le principal soit 1000000 liv. que le nombre des années soit 10, & que le denier soit 20 ; il faudra chercher une fraction qui soit égale à 21/20 multiplié par lui même 10 fois moins une, c’est-à-dire 9 fois ; ce qu’on peut trouver aisément par le secours des logarithmes (Voyez Logarithme) ; & cette fraction étant diminuée de l’unité & multipliée par 1000000, donnera la somme cherchée.
Ceux de nos lecteurs qui sont un peu algébristes, verront aisément surquoi ces deux formules sont fondées. Les autres en trouveront la raison à l’article Intérêt, avec beaucoup d’autres remarques importantes sur cette matiere.
On pourroit au reste se proposer ici une difficulté. Dans le cas où l’intérêt est simple, ce qui dépend de la convention entre le débiteur & le créancier, le débiteur ne doit en tout à la fin d’un nombre d’années q, que la somme totale a+amq, composée du principal a, & du denier am répété autant de fois qu’il y a d’années : ainsi retranchant de la somme totale qui est dûe, le principal a, il ne reste que amq d’arrérages à payer en argent comptant. Mais dans le cas où l’intérêt est composé, l’intérêt joint au principal devient chaque année un nouveau principal ; ainsi à la fin de la q-1e année, ou ce qui revient au même, au commencement de la qe année, le débiteur est dans le même cas que s’il recevoit du créancier la somme a(1+m)$^{q-1}$ de principal. Cette somme travaillant pendant l’année, le debiteur doit à la fin de cette année la somme totale a(1+m)$^q$, d’où retranchant le principal a(1+m)$^{q-1}$ qui est censé prêté à la fin de l’année précédente, il s’ensuit, ou il paroît s’ensuivre, que le débiteur à la fin de la qe année doit payer au créancier en argent comptant la somme a(1+m)$^q$-a(1+m)$^{q-1}$ & non pas a(1+m)$^q$-a. Pour rendre cette difficulté plus sensible, examinons en quoi consiste proprement le payement d’une rente. Un particulier prête une somme à un autre ; au bout de l’année le débiteur doit la somme totale a+am, tant pour le principal que pour l’intérêt ; de cette somme totale il ne paye que la partie am ; ainsi il reste débiteur de la partie a comme au commencement de la premiere année : donc le débiteur qui paye exactement sa rente est dans le même cas que si chaque année il rendoit au créancier la somme a+am, & qu’en même temps le créancier lui reprêtât la somme a : donc tout ce que le débiteur ne rend point au créancier est censé au commencement de chaque année former un nouveau principal dont il doit à la fin de l’année les intérêts en argent comptant. Ainsi à la fin de la q-1e année le débiteur est censé recevoir a(1+m)$^{q-1}$ de principal : donc à la fin de l’année suivante il doit payer a(1+m)$^q$-a(1+m)$^{q-1}$ d’argent comptant, par la même raison que s’il recevoit b en argent comptant, il devroit payer à la fin de l’année b(1+m)-b.
La réponse à cette difficulté est que la quantité d’argent que le débiteur doit payer, dépend absolument de la convention qu’il fera avec le créancier, & que d’une maniere ou d’une autre le créancier n’est nullement lésé ; car si le débiteur paye à la fin de la qe année la somme a(1+m)$^q$-a, il ne devra donc plus au créancier au commencement de l’année suivante que la somme a ; il se retrouvera dans le même cas où il étoit avant le temps où il a cessé de payer, & à la fin de l’année q+1e il ne devra au créancier que la somme am. Mais si le débiteur ne paye que la somme a(1+m)$^q$-a(1+m)$^{q-1}$, laquelle est moindre que a(m+1)$^q$-a, toutes les fois que q est plus grand que 1, comme on le suppose ici ; alors le débiteur au commencement de la q+1e année se trouvera redevable d’une somme plus grande que a ; & s’il veut en faire la rente annuelle, il devra payer a(1+m)$^q$xm d’intérêt chaque année en argent comptant. Ainsi le créancier recevra une somme moindre ou plus grande dans les années qui suivront celle du payement des arrérages, selon que le débiteur aura donné pour le payement de ces arrérages une somme plus ou moins grande. Il n’est donc lésé ni dans l’un ni dans l’autre cas, & tout dépend de la convention qu’il voudra faire avec le débiteur.
Autre question qu’on peut faire sur les arrérages dans le cas d’intérêt composé. Nous avons vû que le débiteur au commencement de la qe. année doit la somme totale a(1+m)$^{q-1}$ ; supposons qu’il veuille s’acquiter au milieu de l’année suivante, & non pas à la fin, que doit-il payer pour les arrérages ? Il est visible que pour résoudre cette question il faut dabord savoir ce que le débiteur doit au milieu de la qe année. En premier lieu le principal ou somme totale a(1+m)$^{q-1}$ étant multiplié par 1+m doit donner la somme qui sera dûe à la fin de la qe. année, savoir a(1+m)$^q$, ou ce qui revient au même, le débiteur devra à la fin de cette année a(1+m)$^{q-1}$ plus l’intérêt de cette somme, c’est-à-dire, a(1+m)$^{q-1}$xm. Dans le cours de l’année il doit d’abord a(1+m)$^{q-1}$ qui est le principal ; il doit de plus une portion de ce principal pour l’intérêt qui court depuis le commencement de l’année : cette portion doit certainement être moindre que a(1+m)$^{q-1}$xm, qui est l’intérêt dû à la fin de l’année : mais quelle doit-elle être ? bien des gens s’imaginent que pour l’intérêt de la demi-année il faut prendre la moitié de l’intérêt de l’année, c’est-à-dire a(1+m)$^{q-1}$xm/2, le tiers de l’intérêt pour le tiers de l’année, & ainsi du reste : mais ils sont dans l’erreur. En effet, qu’arrive-t-il dans le cas de l’intérêt composé ? c’est que les sommes dûes au bout de chaque année sont en progression géométrique, comme il est aisé de le voir. Or, pourquoi cette loi n’auroit-elle pas lieu aussi pour les portions d’années, comme pour les années entieres ? J’avoue que je ne vois point quelle en pourroit être la raison. La somme dûe à la fin de la q-1e année est a(1+m)$^{q-1}$, celle qui est dûe à la fin de la qe année est a(1+m)$^q$, celle qui seroit dûe à la fin de la q+1e seroit a(1+m)$^{q+1}$ ; & ces trois sommes sont dans une proportion géométrique continue. Donc la somme dûe au milieu de la qe année doit être moyenne proportionnelle géométrique entre les deux sommes dûes au commencement & à la fin de cette année, c’est-à-dire entre a(1+m)$^{q-1}$ & a(1+m)$^q$ ; donc cette somme sera a(1+m)$^{q-1/2}$=a(1+m)$^{q-1}$x(1+m)1/2. Or cette somme est moindre que a(1+m)$^{q-1}$+a(1+m)$^{q-1}$xm/2 qui seroit dûe suivant l’hypothese que nous combattons.
De même s’il est question de ce qui est dû au bout du tiers de la qe année, on trouvera que la somme cherchée est la premiere de deux moyennes proportionnelles géométriques entre a(1+m)$^{q-1}$ & a(1+m)$^q$, c’est-à-dire a(1+m)$^{q-2/3}$ ; & en géneral k étant un nombre quelconque d’années entier, rompu, ou en partie entier, & en partie fractionnaire, on aura a(1+m)$^k$ pour la somme dûe à la fin de ce nombre d’années.
Dans l’hypothese que nous combattons, on suppose que l’intérêt est regardé comme composé d’une année à l’autre, mais que dans le cours d’une seule & unique année il est traité comme intérêt simple ; supposition bisarre, qui ne peut être admise que dans le cas d’une convention formelle entre le créancier & le débiteur. En effet, dans cette supposition le débiteur payeroit plus qu’il ne doit réellement payer, comme nous l’avons vû tout-à-l’heure. Nous traiterons cette matiere plus à fond à l’article Intérêt, & nous espérons la mettre dans tout son jour, & y joindre plusieurs autres remarques curieuses. Mais comme l’observation précédente peut être utile, & est assez peu connue, nous avons cru devoir la placer d’avance dans cet article.
Soit donc 1/r la portion d’année écoulée ; il est visible, par ce que nous venons de dire, que le créancier doit au bout de cette portion la somme totale a(1+m)$^{q-1+1/r}$ ; & pour avoir les arrérages, il faudra retrancher de cette somme ou le principal a, ou le principal a(1+m)$^{q-1}$ ; ce qui dépend, comme nous l’avons observé, de la convention mutuelle du débiteur & du créancier.
On peut proposer une autre question dans le cas de l’intérêt simple. Dans ce cas il y a cette convention, du moins tacite, entre le créancier & le débiteur, que le principal seul, touché par le débiteur, & prêté par le créancier, produit chaque année am d’intérêt, & que l’intérêt (non payé chaque année) est un argent mort, ou un principal qui ne produit point d’intérêt ; ainsi dans le cas où cette convention tacite seroit sans restriction, la somme totale dûe à la fin de la qe année seroit a+amq, & les arrérages seroient amq. Mais si la convention entre le débiteur & le créancier étoit, par exemple, que le débiteur payât tous les cinq ans l’intérêt simple 5 am, & que le débiteur fût quinze ans sans payer, alors la somme a+5am dûe à la fin de la cinquieme année, est regardée comme un nouveau principal sur le payement & les intérêts duquel le créancier peut faire au débiteur telles conditions qu’il lui plaît. Supposons, par exemple, que par leur convention il doive porter intérêt simple durant cinq ans, en ce cas, au bout des cinq années qui suivent les cinq premieres, la somme totale dûe par le débiteur sera a+5am+5am+25amm ; & à la fin des cinq années suivantes, c’est-à-dire au bout des quinze années révolues, la somme dûe sera a+5am+5am+25amm+5am+25amm+25amm+125am$^3$=a+15am+75amm+125am$^3$. Voyez Interêt, Annuité, Rente, Tontine, &c. (O).