# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Trigonométrie, article 2
## TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.
### Recherche de la relation entre les six arcs de grands cercles qui joignent, deux à deux, quatre points de la surface d’une sphère ;

M. Bret a donné, dans ce recueil, et MM. Français et Carnot avaient donné avant lui l’équation de relation entre les six arcs de grands cercles qui joignent, deux à deux, quatre points de la surface d’une sphère ou, ce qui revient au même, l’équation de relation entre les six angles que forment, deux à deux, quatre droites parlant d’un même point et non situées dans un même plan. Je suis parvenu, de mon côté, à cette équation, par les considérations suivantes qui m’ont paru assez simples pour mériter d’être rendues publiques.
Soient $\mathrm {OA,OB,OC,OD}$ quatre droites indéfinies, partant d’un même point $\mathrm {O} ,$ et ayant d’ailleurs des directions quelconques dans l’espace. Soient faits
${\begin{aligned}Ang.\mathrm {BOC} =a,&\quad Ang.\mathrm {DOA} =a',\\Ang.\mathrm {COA} =b,&\quad Ang.\mathrm {DOB} =b',\\Ang.\mathrm {AOB} =c,&\quad Ang.\mathrm {DOC} =c'.\\\end{aligned}}$
Par $\mathrm {OA,OB,OC}$ prises deux à deux soient conduits trois plans. Soit prise sur $\mathrm {OD}$ une partie $\mathrm {OR} =r,$ et par le point $\mathrm {R}$ soient conduits trois nouveaux plans respectivement parallèles aux premiers ; ils formeront avec eux un parallélipipède dont $r$ sera la diagonale ; désignons par $x,y,z$ respectivement, les arêtes de ce parallélipipède qui répondent à $\mathrm {OA,OB,OC}$ ; nous aurons ainsi
${\begin{aligned}\operatorname {Ang} .(y,z)=a,&\quad \operatorname {Ang} .(r,x)=a',\\\operatorname {Ang} .(z,x)=b,&\quad \operatorname {Ang} .(r,y)=b',\\\operatorname {Ang} .(x,y)=c,&\quad \operatorname {Ang} .(r,z)=c'.\\\end{aligned}}$
Or, il est connu que la projection d’une droite sur une autre est le produit de cette droite par le cosinus de son inclinaison sur l’autre ; en considérant donc les divers quadrilatères gauches que forment les arêtes consécutives $x,y,z$ avec la diagonale $r,$ il viendra
$r=x\operatorname {Cos} .a'+y\operatorname {Cos} .b'+z\operatorname {Cos} .c'\,;\qquad$
$\left.{\begin{aligned}&x=r\operatorname {Cos} .a'-y\operatorname {Cos} .c-z\operatorname {Cos} .b,\\&y=r\operatorname {Cos} .b'-z\operatorname {Cos} .a-x\operatorname {Cos} .c,\\&z=r\operatorname {Cos} .c'-x\operatorname {Cos} .b-y\operatorname {Cos} .a.\\\end{aligned}}\right\$
Des trois dernières on tire
$x=r.{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}a\operatorname {Cos} .a'-\operatorname {Cos} .b'(\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)-\operatorname {Cos} .c'(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)}{1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c}},$
$y=r.{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Cos} .b'-\operatorname {Cos} .c'(\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)-\operatorname {Cos} .a'(\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)}{1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c}},$
$x=r.{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}c\operatorname {Cos} .c'-\operatorname {Cos} .a'(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)-\operatorname {Cos} .b'(\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)}{1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c}},$
substituant donc ces valeurs dans l’équation (1), divisant par $r$ et chassant le dénominateur commun, on obtiendra
$1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c$
$=\left\{{\begin{aligned}&\quad \operatorname {Sin} .^{2}a\operatorname {Cos} .^{2}a'-2\operatorname {Cos} .b'\operatorname {Cos} .c'(\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)\\&+\operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Cos} .^{2}b'-2\operatorname {Cos} .c'\operatorname {Cos} .a'(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)\\&+\operatorname {Sin} .^{2}c\operatorname {Cos} .^{2}c'-2\operatorname {Cos} .a'\operatorname {Cos} .b'(\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)\\\end{aligned}}\right\}$
qui est précisément la relation donnée par MM. Bret, Carnot et Français.
* ↑ Tome V, page 334.
* ↑ Voyez la page 221 de ce volume.
* ↑ Mémoire sur la relation entre cinq points dans l’espace, page 35.