# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Géométrie élémentaire, article 6
### Démonstration du théorème de géométrie énoncé à la page 248 du présent volume ;

THÉORÈME. Le point d’un plan indéfini dont la somme des distances à trois autres points, situés hors de ce plan, est un minimum, est tel que si, par la droite qui va de ce point à l’un quelconque des trois autres, on conduit un plan perpendiculaire à celui dont il s’agit, ce plan divisera en deux parties égales l’angle formé par les droites qui vont du même point aux deux points restans.
Démonstration. Soit représentée la figure en relief (fig. 5), en représentant par des lignes ponctuées tout ce qui est hors du plan indéfini. Soient $\mathrm {O}$ le point cherché sur ce plan, et $\mathrm {A,B,C}$ les trois points donnés hors du même plan ; de manière que $\mathrm {OA+OB+OC}$ doive être un minimum.
1.$^o$ Supposons, en premier lieu, que l’une des distances, $\mathrm {OA}$ par exemple, soit donnée, de telle sorte qu’il ne soit question que de rendre minimum la somme $\mathrm {OB+OC}$ des deux autres ; $a,b,c$ étant respectivement les projections de $\mathrm {A,B,C}$ sur le plan indéfini. Alors le point $\mathrm {O}$ sera l’un de ceux d’une circonférence ayant son centre en $a,$ et, en menant une tangente $\mathrm {TU}$ à cette circonférence par ce point, il faudra, pour que $\mathrm {OB+OG}$ soit un minimum, que les angles $\mathrm {BOT}$ et $\mathrm {COU}$ soient égaux ; car, soit substitué à $\mathrm {O}$ un autre point $\mathrm {O'}$ du cercle ou de sa tangente, infiniment voisin du premier, du côté de $\mathrm {T} ,$ il est clair que $\mathrm {BO}$ se trouvera diminuée d’une quantité $\mathrm {OO'.\operatorname {Cos} .BOT} ,$ tandis que $\mathrm {CO}$ se trouvera augmentée d’une quantité $\mathrm {OO'.\operatorname {Cos} .BOU} .$ Or le caractère du minimum est que la diminution d’une part se trouve exactement composée par l’augmentation de l’autre, ce qui exige que les angles $\mathrm {BOT}$ et $\mathrm {COU}$ soient égaux.
2.$^o$ La tangente $\mathrm {TU}$ étant perpendiculaire au plan du triangle $\mathrm {A} a\mathrm {O} ,$ de l’égalité des angles que font $\mathrm {OB}$ et $\mathrm {OC}$ avec cette tangente on peut conclure l’égalité des angles que font les mêmes droites avec ce plan.
3.$^o$ Il suit de là que les distances des points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ à ce plan, lesquelles ne sont autre chose que les perpendiculaires $b\beta ,c\gamma$ abaissées des projections de ces points sur le prolongement du rayon $a\mathrm {O} ,$ doivent être dans le rapport de $\mathrm {OB}$ à $\mathrm {OC.}$ Mais si $\mathrm {P}$ est le point où le plan $\mathrm {A} a\mathrm {O}$ rencontre $\mathrm {BC}$ et que $p$ soit la projection de ce point, évidemment située sur le prolongement de $a\mathrm {O} ,$ on aura
$b\beta :c\gamma ::bp:cp::\mathrm {BP:CP} \,;$
donc on doit avoir aussi
$\mathrm {OB:OC::PB:PC} \,;$
ce qui prouve que la droite $\mathrm {OB}$ suivant laquelle le prolongement du plan $\mathrm {A} a\mathrm {O}$ coupe le triangle $\mathrm {BOC}$ divise l’angle $\mathrm {BOC}$ en deux parties égales.

### Autre démonstration du même théorème ;

Observons d’abord que, lorsqu’un cercle et une ellipse, situés à un même plan, n’ont qu’un seul point commun, ils ont nécessairement la même tangente en ce point. Car, si la tangente à l’ellipse n’était pas en même temps tangente au cercle, le centre de celui-ci serait hors de la normale, du point de contact ; de sorte qu’en menant de ce centre une autre normale, elle serait plus courte que le rayon, d’où il suit que l’ellipse aurait un point intérieur au cercle qui, conséquemment, devrait la couper en deux points au moins.
Observons encore que si un cercle et une ellipsoïde engendrée par la résolution d’une ellipse autour de son grand axe n’ont qu’un seul point commun, la tangente au cercle en ce point sera située dans le plan tangent à l’ellipsoïde au même point. En effet, le plan du cercle détermine dans l’ellipsoïde une section elliptique qui n’a qu’un point commun avec ce cercle et qui a pour tangente en ce point l’intersection de ce plan avec le plan tangent à l’ellipsoïde, intersection qui doit être tangente au cercle par ce qui précède.
Cela posé, soient $\mathrm {A,B,C}$ (fig. 6) les trois points dont il s’agit, et $\mathrm {O}$ le point du plan donné dont la somme des distances à ces trois-là est un minimum. Conduisons par $\mathrm {OA}$ et par la perpendiculaire $\mathrm {A} a$ le plan $\mathrm {AO} a$ perpendiculaire à ce plan ; et du pied $a$ de la perpendiculaire $\mathrm {A} a,$ comme centre et avec $a\mathrm {O}$ pour rayon, décrivons un cercle dans le même plan. Il est clair que ce cercle aura pour tangente en $\mathrm {O}$ la perpendiculaire $\mathrm {TU}$ au plan $\mathrm {AO} a.$ Maintenant si l’on décrit, dans le plan $\mathrm {BOC}$ une ellipse ayant ses foyers aux points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ et dont le grand axe soit $=\mathrm {BO+OC} ,$ et qu’on fasse tourner cette ellipse autour de $\mathrm {BC} \,;$ elle engendrera une ellipsoïde dont la surface ne devra rencontrer notre cercle qu’au seul point $\mathrm {O} \,;$ car si elle le coupait en un autre point $\mathrm {S} ,$ on aurait $\mathrm {BS+CS=BO+CO} ,$ d’où, à cause de $\mathrm {AS=AO} ,$ on conclurait $\mathrm {AS+BS+CS=AO+BO+CO} ,$ ce qui serait contre l’hypothèse. Donc, d’après la dernière des deux observations faites ci-dessus, la tangente $\mathrm {TU}$ au cercle au point $\mathrm {O}$ est dans le plan tangent en ce point à la surface de l’ellipsoïde ; et, comme cette tangente est perpendiculaire au plan $\mathrm {AO} a,$ il en résulte que le plan tangente à l’ellipsoïde est aussi perpendiculaire au plan $\mathrm {AO} a\,;$ donc réciproquement ce plan lui est perpendiculaire, et par conséquent il passe par la normale à l’ellipsoïde au point $\mathrm {O} \,;$ mais la normale à l’ellipsoïde de révolution en chacun de ses points se confond avec celle de l’ellipse génératrice, lorsqu’elle passe par ce point ; donc enfin le plan $\mathrm {AO} a$ passe par la normale à l’ellipse dont les foyers sont en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ et dont $\mathrm {BO}$ et $\mathrm {CO}$ sont deux rayons vecteurs ; donc cette normale n’est autre que la droite $\mathrm {OP}$ suivant laquelle le plan $\mathrm {AO} a$ rencontre le plan $\mathrm {BOC} ,$ laquelle doit ainsi diviser en deux parties égales l’angle $\mathrm {BOC}$ des rayons vecteurs. Le plan mené perpendiculairement au plan donné, par l’une quelconque des trois droites $\mathrm {OA,OB,OC}$ divise donc l’angle des deux autres en deux parties égales ; le plan mené par chacune d’elles perpendiculairement au plan donné divise donc l’angle des deux autres en deux parties égales.
* ↑ M. W. H. T. observe qu’en supposant nulles les trois hauteurs $\mathrm {A} a,\mathrm {B} b,\mathrm {C} c,$ le problème reviendrait à trouver, sur le plan d’un triangle donné, un point dont la somme des distances à ses trois sommets soit la moindre possible ; problème qui a éte traité, ainsi qu’un grand nombre d’autres problèmes analogues, à la page 377 du 1.er volume du présent recueil ; mais que la situation des trois points donnés peut ne pas donner de minimum proprement dit ; circonstance qui doit également se reproduire dans quelques cas particuliers du problème énoncé à la page 380 du XII.e volume du présent recueil. Nous observerons, à notre tour que, si le théorème qui vient d’être démontré est propre à jeter du jour sur la solution de ce dernier problème, cette solution, toutefois, n’en résulte pas immédiatement et reste encore à trouver. J. D. G.