# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Trigonométrie, article 1
## TRIGONOMÉTRIE.
### Sur l’aire du triangle sphérique ;

Tout le monde connaît le beau théorème de Cavalleri, sur l’aire du triangle sphérique, et on le trouve démontré très-simplement dans la plupart des traités élémentaires ; mais les jeunes-gens qui étudient le calcul différentiel ne seront peut-être pas fâchés d’en trouver ici la démonstration suivante, fondue sur les principes de ce calcul.
Soient $a,b,c$ (fig. 2) les trois côtés d’un triangle sphérique $A,B,C$ les trois angles respectivement opposés, et $S$ son aire.
Si le côté $c$ et l’angle $B$ restant fixes, l’angle $A$ vient à croitre de la quantité arbitraire $i,$ de manière que le côté $b$ devienne $b',$ que $AC$ devienne $AC',$ et l’aire du triangle $S'\,;$ on aura, par la Série de Taylor,
$S'=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots ,$
$b'=b+{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}b}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots =b+Mi.$
Du sommet $A$ comme pôle, soient décrits, entre les côtés de l’angle $i,$ les arcs de parallèles $Cm,C'm',$ et des points $C$ et $m'$ soient abaissées sur le rayon $OA$ de la sphère les perpendiculaires $CD,m'D'\,;$ on pourra toujours prendre $i$ assez petit, sans être nul, pour avoir
$S'>S+C'Am'\qquad$
$\qquad S'<S+CAm\,;$
mais, en prenant le rayon de la sphère pour unité, et remarquant que $AD,AD'$ sont respectivement les flèches des calotes dont les portions de fuseaux $CAm$ et $C'Am'$ font partie, nous aurons
$CAm=i(1-\operatorname {Cos} .b),$
$C'Am'=i(1-\operatorname {Cos} .b')=i\left\{1-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .Mi+\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .Mi\right\}\,;$
mais, on a d’ailleurs
$\operatorname {Cos} .Mi=1-{\frac {M^{2}i^{2}}{1.2}}+\ldots \qquad \operatorname {Sin} .Mi={\frac {Mi}{1}}-{\frac {M^{3}i^{3}}{1.2.3}}\,;$
d’où, l’on voit qu’en substituant, $C'Am'$ prendra cette forme
$C'Am'=i(1-\operatorname {Cos} .b+Ni).$
Ainsi, en résumé, l’on aura
$S'<S+(1-\operatorname {Cos} .b){\frac {i}{1}},$
$S'=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots ,$
$S'>S+(1-\operatorname {Cos} .b){\frac {i}{1}}+2N{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots$
d’où on conclura, par le Théorème d’Arbogast,
${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}=1-\operatorname {Cos} .b.\qquad (1)$
Présentement on a, par les formules connues
$\operatorname {Cos} .c={\frac {\operatorname {Cos} .C+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B}{\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .B}},$
ce qui donne, à cause de $B$ et $c$ constans et de $C$ fonction de $A$
${\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}}\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .A+(\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C)=0.$
Mais, on a aussi
$\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b\,;$
donc, en substituant et divisant par $\operatorname {Sin} .C,$
${\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}}+\operatorname {Cos} .b=0\,;\qquad (2)$
éliminant donc $\operatorname {Cos} .b$ entre cette équation et l’équation (1), il viendra
$\operatorname {d} S=\operatorname {d} A+\operatorname {d} C,$
d’où, en intégrant,
$S=A+C+Const.$
Pour déterminer la constante, on remarquera que, si l’on a $A=\varpi ,$ on aura $C=B$ et $S=2B$ ; d’où
$Const.=B-\varpi ,$
et conséquemment
$S=A+B+C-\varpi ,$
On aurait pu parvenir plus brièvement au but en employant le langage des infiniment petits. On aurait d’abord substitué $\operatorname {d} A$ à $i$ ; on aurait remarqué que $\operatorname {d} S,$ c’est-à-dire, le triangle sphérique $CAC'$ étant infiniment petit, le triangle curviligne $CC'm$ était infiniment petit du second ordre ; qu’ainsi l’on pouvait poser simplement
$\operatorname {d} S=CAm=\operatorname {d} A(1-\operatorname {Cos} .b)\,;$
mais, dans le petit triangle sphérique $CAC'$ où l’angle $C$ est le supplément du même angle de $BAC,$ on a
$\operatorname {Cos} .b={\frac {\operatorname {Cos} .C'-\operatorname {Cos} .\operatorname {d} A\operatorname {Cos} .C}{\operatorname {Sin} .\operatorname {d} A\operatorname {Sin} .C}}.$
Or, on a $\operatorname {Sin} .\operatorname {d} A=\operatorname {d} A,\ \operatorname {Cos} .\operatorname {d} A=1,$ et $C'=C+\operatorname {d} C$ d’où $\operatorname {Cos} .C'$ $=\operatorname {Cos} .C\operatorname {Cos} .\operatorname {d} C-\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .\operatorname {d} C=\operatorname {Cos} .C-\operatorname {d} C\operatorname {Sin} .C\,;$ donc enfin
$\operatorname {Cos} .b=-{\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}},$
ou, en substituant,
$\operatorname {d} S=\operatorname {d} A+\operatorname {d} C,$
comme ci-dessus.