# L’Encyclopédie/1re édition/JOUER

* JOUER, (Gramm.) il se dit de toutes les occupations frivoles auxquelles on s’amuse ou l’on se délasse, mais qui entraînent quelquefois aussi la perte de la fortune & de l’honneur.
Les hommes ont inventé une infinité de jeux qui tous marquent beaucoup de sagacité. Voyez Jeu.
Le verbe jouer se prend en une infinité de sens différens. On se joue de son travail ; on se joue de la vertu ; on joue l’innocence ; on joue la comédie ; on joue d’un instrument ; on joue un mauvais rôle.
On joue beaucoup aujourd’hui dans le monde ; il n’est pas inutile de savoir jouer, ne fut-ce que pour amuser les autres ; & il est bon de savoir bien jouer si l’on ne veut pas être dupe.
* Jouer, (Gram. Mathémat. pures.) c’est risquer de perdre ou de gagner une somme d’argent, ou quelque chose qu’on peut rapporter à cette commune mesure, sur un évenement dépendant de l’industrie ou du hasard.
D’où l’on voit qu’il y a deux sortes de jeux ; des jeux d’adresse & des jeux de hasard. On appelle jeux d’adresse ceux où l’évenement heureux est amené par l’intelligence, l’expérience, l’exercice, la pénétration, en un mot quelques qualités acquises ou naturelles, de corps ou d’esprit, de celui qui joue. On appelle jeux de hasard, ceux où l’évenement paroît ne dépendre en aucune maniere des qualités du joueur. Quelquefois d’un jeu d’adresse l’ignorance de deux joueurs en fait un jeu de hasard ; & quelquefois aussi d’un jeu de hasard, la subtilité d’un des joueurs en fait un jeu d’adresse.
Il y a des contrées où les jeux publics, de quelque nature qu’ils soient, sont défendus, & où on peut se faire restituer par l’autorité des lois l’argent qu’on a perdu.
A la Chine, le jeu est défendu également aux grands & aux petits ; ce qui n’empêche point les habitans de cette contrée de jouer, & même de perdre leurs terres, leurs maisons, leurs biens, & de mettre leurs femmes & leurs enfans sur une carte.
Il n’y a point de jeu d’adresse où il n’entre un peu de hasard. Un des joueurs a la tête plus saine & plus libre ce jour-là que son adversaire ; il se possede davantage, & gagne, par cette seule supériorité accidentelle, celui contre lequel il auroit perdu en tout autre tems. A la fin d’une partie d’échecs ou de dames polonoises, qui a duré un grand nombre de coups entre des joueurs qui sont à-peu-près d’égale force, le gain ou la perte dépend quelquefois d’une disposition qu’aucun des deux n’a prévue & ne s’est proposée.
Entre deux joueurs dont l’un ne risque qu’un argent qu’il peut perdre sans s’incommoder, & l’autre un argent dont il ne sçauroit manquer sans être privé des besoins essentiels de la vie, à proprement parler, le jeu n’est pas égal.
Une conséquence naturelle de ce principe, c’est qu’il n’est pas permis à un souverain de jouer un jeu ruineux contre un de ses sujets. Quel que soit l’évenement, il n’est rien pour l’un ; il précipite l’autre dans la misere.
On a demandé pourquoi les dettes contractées au jeu se payoient si rigoureusement dans le monde, où l’on ne se fait pas un scrupule de négliger des créances beaucoup plus sacrées. On peut répondre, c’est qu’au jeu on a compté sur la parole d’un homme, dans un cas où l’on ne pouvoit employer les lois contre lui. On lui a donné une marque de confiance à laquelle il faut qu’il réponde. Au lieu que dans les autres circonstances où il a pris des engagemens, on le force par l’autorité des tribunaux à y satisfaire.
Les jeux de hasard sont soumis à une analyse qui est tout à fait du ressort des Mathématiques. Ou la probabilité de l’évenement est égale entre les joueurs ; ou si elle est inégale, elle peut toujours se compenser par l’inégalité des mises ou enjeux. On peut à chaque instant demander quelle est la prétention d’un joueur ; & comme sa prétention à la somme des mises est en raison des coups qu’il a pour lui, le calcul déterminera toujours, ou rigoureusement, ou par approximation, quelle seroit la partie de cette somme qui lui reviendroit, si le jeu ne s’instituoit pas, ou si le jeu étant une fois institué, on vouloit l’interrompre.
Plusieurs Auteurs se sont exercés sur l’analyse des jeux ; on en a un traité élémentaire de Huygens ; on en a un plus profond de Moivre ; on a des morceaux très-sçavans de Bernoulli sur cette matiere. Il y a une analyse des jeux de hasard par Montmaur, qui n’est pas sans mérite.
Voici les principes fondamentaux de cette science. Soit p le nombre des cas où une chose arrive ; soit q le nombre des cas où elle n’arrive pas. Si la probabilité de l’évenement est égale dans chaque cas, l’apparence que la chose sera est à l’apparence qu’elle ne sera pas, comme p est à q.
Si deux joueurs A & B jouent à condition que si les cas p arrivent, A gagnera ; que ce sera B au contraire qui gagnera, si ce sont les cas q qui arrivent, & que la mise des deux joueurs soit a ; l’espérance de A sera $\scriptstyle {\frac {pa}{p+q}}$, & l’espérance de B sera $\scriptstyle {\frac {qa}{p+q}}$. Ainsi, si A & B vendent leurs espérances, ils en peuvent exiger l’un la valeur $\scriptstyle {\frac {pa}{p+q}}$, l’autre la valeur $\scriptstyle {\frac {qa}{p+q}}$.
S’il y a deux évenemens indépendans, & que p soit le nombre des cas où l’un de ces évenemens peut avoir lieu ; q le nombre des cas où le même évenement peut ne pas arriver ; r le nombre des cas où le second évenement peut avoir lieu ; s le nombre des cas où le second évenement peut ne pas arriver ; multipliez p + q par r + s ; le produit pr + qr + ps + qs sera le nombre de tous les cas possibles de la chose, ou la somme des évenemens pour & contre.
Donc si A gage contre B que l’un & l’autre évenemens auront lieu, le rapport des hasards sera comme pr à qr + ps + qs.
S’il gage que le premier évenement aura lieu & que le second n’aura pas lieu, le rapport des chances ou hasards sera comme ps à pr + qr + qs. Et s’il y a trois ou un plus grand nombre d’évenemens, la raison des chances ou hasards se trouvera toujours par la multiplication.
Si tous les évenemens ont un nombre donné de cas où ils peuvent arriver, & un nombre donné de cas où ils peuvent ne pas arriver ; & que a soit le nombre des cas où ils peuvent arriver ; b le nombre des cas où ils peuvent ne pas arriver ; & n le nombre de tous les cas : élevez $\scriptstyle {\overline {a+b}}$ à la puissance n.
Maintenant si A & B conviennent que si un de ces évenemens indépendans, ou un plus grand nombre de ces évenemens a lieu, A gagnera ; & que si aucun de ces évenemens n’a lieu, le gagnant sera B : la raison ou le rapport des hasards qu’ils courent, ou celui de leurs chances relatives, sera comme $\scriptstyle {\overline {a+b}}^{n}-b^{n}$ à $\scriptstyle b^{n}$; car $\scriptstyle b^{n}$ est le seul terme où a ne se trouve point.
Si A & B jouent avec un seul dé, à la condition que si A amene deux fois ou plus de deux fois As, en huit coups, il gagnera ; & qu’en toute autre supposition ou cas, il perdra. On demande le rapport de leurs chances ou hasards.
Puisqu’il n’y a qu’un cas à chaque coup pour amener un As, & cinq cas pour ne le pas amener ; soit a = 1 & b = 5 ; d’ailleurs puisqu’il y a huit coups à jouer, soit n = 8. On aura donc $\scriptstyle {\overline {a+b}}^{n}-b^{n}-nab^{n}-1$, pour la chance d’un des joueurs, & $\scriptstyle b^{n}+nab^{n}-1$ pour la chance de l’autre ; ou l’espérance de A à l’espérance de B comme 663991 à 1015625 ; ou à peu près comme 2 à 3.
A & B sont engagés au jeu de palets ; il ne manque à A que quatre coups pour avoir gagné ; il en manque six à B ; mais à chaque coup l’adresse de B est à l’adresse de A comme 3 est à 2. On demande le rapport de leurs chances, hasards ou espérances. Puisqu’il ne manque à A que quatre coups, & qu’il n’en manque à B que six, le jeu sera fini dans neuf coups au plus. Ainsi élevez a + b à la neuvieme puissance, & vous aurez $\scriptstyle a^{9}+9a^{8}b+36a^{7}bb+84a^{6}b^{3}+126a^{5}b^{4}+$ $\scriptstyle 126a^{4}b^{5}+84a^{3}b^{6}+36a^{2}b^{7}+9ab^{8}+b^{9}$ ; & prenez pour A tous les termes où a a quatre ou un plus grand nombre de dimensions ; & pour B tous ceux où b en a six ou davantage ; & tout le rapport de leurs hasards, comme $\scriptstyle a^{9}+9a^{8}b+36a^{7}bb+84a^{6}b^{3}+126a^{5}b^{4}+126a^{4}b^{5}$ est à $\scriptstyle 84a^{3}b^{6}+36a^{2}b^{7}+9ab^{8}+b^{9}$ ; & soit a = 3 & b = 2 ; & vous aurez en nombre les espérances des joueurs, comme 1759077 à 194048.
A & B jouent au palet ; mais A est le plus fort, ensorte qu’il peut faire à B l’avantage de deux coups sur trois. On demande le rapport de leurs chances dans un seul coup. Supposons que ce rapport soit comme z à 1, élevez z + 1 à la troisieme puissance, & vous aurez $\scriptstyle z^{3}+3z^{2}+3z+1$. Maintenant A pouvant faire à B l’avantage de deux coups sur trois, A se propose de gagner trois coups de suite, & conséquemment à cette condition sa chance sera comme $\scriptstyle z^{3}$ à $\scriptstyle 3zz+3z+1$, & $\scriptstyle z^{3}=3zz+1$. Ou $\scriptstyle 2z^{3}=z^{3}+3zz+3z+1$. Et $\scriptstyle z{\sqrt[{3}]{2}}=z+1$ & $\textstyle z={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}$ : donc les chances sont comme $\textstyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}$ à 1.
Trouver en combien de coups il est probable qu’un évenement quelconque aura lieu ; ensorte que A & B puissent gager pour ou contre à jeu égal. Soit le nombre des cas où la chose peut arriver du premier coup = a ; soit le nombre des cas où la chose peut ne pas arriver du premier coup = b ; & x le nombre des coups à jouer, tel que l’apparence que la chose arrivera soit égale à l’apparence qu’elle n’arrivera pas. Par ce qu’on a dit plus haut, $\scriptstyle {\overline {a+b}}^{x}-b^{x}=b^{x}$ ou $\scriptstyle {\overline {a+b}}^{x}=2b^{x}$. Ainsi $\scriptstyle x={\frac {\log 2}{\log a+b\log b}}$. Et reprenant l’équation $\scriptstyle {\overline {a+b}}^{x}=2b^{x}$, & faisant $\scriptstyle a~\cdot ~b~::~1~\cdot ~q$ on aura $\scriptstyle {\overline {1+{\frac {1}{q}}}}^{x}=2$. $\scriptstyle 1+{\frac {1}{q}}$ à la puissance x, par le théorême de Newton, & vous aurez $\scriptstyle 1+{\frac {x}{q}}+{\frac {x}{1}}\times {\frac {x-1}{2qq}}+{\frac {x}{1}}\times {\frac {x-1}{2}}+{\frac {x-2}{3q^{3}}}$, &c. = 2. Or dans cette équation, si q = 1 & x = 1, q étant infinie, x le sera aussi. Faisant donc x infinie, on aura $\scriptstyle 1+{\frac {x}{q}}+{\frac {xx}{2qq}}+{\frac {x^{3}}{6qq}}$, &c. = 2. Soit $\scriptstyle {\frac {x}{q}}=z$, & l’on aura $\scriptstyle 1+z+{\frac {1}{2}}zz+{\frac {1}{6}}z^{3}$, &c. = 2. Mais $\scriptstyle 1+z+{\frac {1}{2}}zz+{\frac {1}{6}}z^{3}$, &c. est un nombre dont le logarithme hyperbolique est z. Donc z = log. 2. Mais le logarithme hyperbolique de 2 est à peu près 7 : donc z = 7 à peu près. Mais où q est 1, x est 1 ; & où q est infinie x = à peu près 7. Voilà donc les limites du rapport de x à q fixées. C’est d’abord un rapport d’égalité, qui dans la supposition de l’infini, devient celui de 7 à 10, ou à peu près.
Trouver en combien de coups A peut gager d’amener deux As avec deux dés. Puisqu’A n’a qu’un cas où il puisse amener deux As avec deux dés ; & trente-cinq où il peut ne les pas amener, q = 35 ; multipliez donc 35 par 7 ; le produit 24.5 montre que le nombre de coups cherché est entre 24 & 25.
Trouver le nombre des cas dans lesquels un nombre quelconque donné de points peut être amené avec un nombre donné de dès. Soit p + 1 le nombre donné de points ; n le nombre de dés ; & f le nombre des faces de chaque dé : soit $\scriptstyle p-f=q$, $\scriptstyle q-f=r$, $\scriptstyle r-f=s$, $\scriptstyle s-f=t$, &c. le nombre cherché de coups sera
$\scriptstyle +{\frac {p}{1}}\times {\frac {p-1}{2}}\times {\frac {p-1}{3}}$, &c.
$\scriptstyle -{\frac {q}{1}}\times {\frac {q-1}{2}}\times {\frac {q-2}{3}}$ &c. $\scriptstyle \times {\frac {n}{2}}$
$\scriptstyle +{\frac {r}{1}}\times {\frac {r-1}{2}}\times {\frac {r-2}{3}}$ &c. $\scriptstyle \times {\frac {n}{1}}\times {\frac {n-1}{2}}$
$\scriptstyle -{\frac {r}{1}}\times {\frac {s-1}{2}}\times {\frac {s-2}{3}}$ &c. $\scriptstyle \times {\frac {n}{1}}\times {\frac {n-1}{2}}\times {\frac {n2}{3}}$.
Série qu’il faut continuer jusqu’à ce que quelques-uns des facteurs soit égal à 0, ou négatif ; & remarquez qu’il faut prendre autant de facteurs des différens produits $\scriptstyle {\frac {q}{1}}\times {\frac {q-1}{2}}\times {\frac {q-1}{3}}$ &c. $\scriptstyle {\frac {r}{1}}\times {\frac {r-1}{2}}\times {\frac {r-2}{3}}$ &c. $\scriptstyle {\frac {s}{1}}\times {\frac {s-1}{2}}\times {\frac {s-2}{3}}$ &c. qu’il y a d’unités dans $\scriptstyle n-1$.
Soit donc le nombre de cas cherché, celui où l’on peut amener seize points avec quatre dés.
$\scriptstyle +15-1\times {\frac {14}{2}}\times {\frac {13}{3}}=+455$
$\scriptstyle -{\frac {9}{1}}\times {\frac {8}{2}}\times {\frac {7}{3}}\times 4=-336$
$\scriptstyle +{\frac {3}{1}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{3}}\times {\frac {4}{1}}\times {\frac {3}{2}}=+6$
Or $\scriptstyle 455-336+6=125$. Donc 125 est le nombre cherché.
Trouver en combien de coups A peut gager d’amener quinze points avec six dés. A ayant 1666 cas pour lui, & 44990 contre ; divisez 44990 par 1666, & le quotient 27 sera = q. Multipliez donc 27 par 7 ; le produit 18. 9 montrera que le nombre de coups est environ 19.
Trouver le nombre de coups dans lequel il y a à parier qu’une chose arrivera deux fois ; de sorte que A & B risquent autant l’un que l’autre. Soit le nombre des cas où la chose peut arriver du premier coup = a ; & le nombre de ceux où elle peut ne pas arriver = b. Soit x le nombre de coups cherché. Il paroît par ce qui a été dit que $\scriptstyle {\overline {a+b}}^{x}=2bx+2axbx=1$. Et faisant $\scriptstyle a.b::1.q$ ; $\scriptstyle {\overline {1+{\frac {1}{q}}}}^{x}=2{\frac {+2x}{q}}$. 1°. Soit $\scriptstyle q=1$, & partant $\scriptstyle x=3$. 2°. Soit q infinie, & par conséquent x aussi infinie. Soit x infinie, & $\scriptstyle {\frac {x}{q}}=z$. Donc $\scriptstyle 1+z+{\frac {1}{2}}z^{2}+{\frac {1}{3}}z^{3}$ &c. $\scriptstyle =2+2z$, & $\scriptstyle z=log.2+log.1+z$. Soit $\scriptstyle log.2=y$. L’équation se transformera dans l’equation différentielle suivante.
$\scriptstyle {\frac {zz}{1+z}}=y$, & cherchant la valeur de z par les puissances de y, on aura $\scriptstyle z=1.678$, ou à-peu-près. Ainsi la valeur de x sera toujours entre les limites de 3 q & de 1. 678 q. Mais x convergera bientôt à 1. 678 q ; c’est pourquoi, si le rapport de q à 1 n’est pas très-petit, nous ferons $\scriptstyle x=1.678q$. Ou si on soupçonne x d’être trop petite, on substituera sa valeur dans l’équation $\scriptstyle {\overline {1+{\frac {1}{q}}}}^{x}=2{\frac {+2x}{q}}$ & l’on notera l’erreur si elle en vaut la peine ; x prendra ainsi un peu d’accroissement. Substituez la valeur accrûe de x dans l’équation susdite, & notez la nouvelle erreur. Par le moyen de ces deux erreurs, on peut corriger celle de x avec assez d’exactitude. Voici une table des limites qui conduiront assez vîte au but qu’on se propose dans ce problême. Si l’on parie seulement que la chose arrivera une fois, le nombre sera entre
| | 1 q & 0. 693 q |
| si deux fois ; entre | 3 q & 1. 678 q |
| si trois fois ; entre | 5 q & 2. 675 q |
| si quatre fois ; entre | 7 q & 3. 671 q |
| si cinq fois ; entre | 9 q & 4. 673 q |
| si six fois ; entre | 11 q & 3. 668 q. |
Trouver en combien de coups on peut se proposer d’amener trois As, deux fois, avec trois dés. Puisqu’il n’y a qu’un cas où l’on puisse amener trois as, & 215 où l’on ne les amene pas, $\scriptstyle q=215$ ; multipliez donc 215 par 1. 678 : le produit 360.7 montrera que le nombre de coups est entre 360 & 361.
A & B mettent sur table chacun douze pieces d’argent ; ils jouent avec trois dés, à cette condition qu’à chaque fois qu’il viendra onze points, A donnera une piece à B, & qu’à chaque fois qu’il viendra quatorze points B donnera une piece à A ; ensorte que celui qui aura le premier toutes les pieces en sa possession les regardera comme gagnées par lui. On demande le rapport de la chance de A à la chance de B. Soit le nombre de pieces que chaque joueur dépose = p. a & b le nombre des cas où A & B peuvent chacun gagner une piece. Le rapport de leurs chances sera donc comme ap à bp. ici $\scriptstyle p=12$, $\scriptstyle a=27$, $\scriptstyle b=15$. Or si 27 étant à 15 comme 9 à 5, vous faites a = 9 & b = 5 ; le rapport des chances ou des espérances sera comme $\scriptstyle 9^{12}$ à $\scriptstyle 5^{12}$, ou comme $\scriptstyle 244140625$ à $\scriptstyle 282429536481$.
Une attention qu’il faut avoir, c’est de n’être pas trompé par la ressemblance des conditions, & de ne pas confondre les problêmes entr’eux. Il seroit aisé de croire que le suivant ne differe en rien de celui qui précede. C a vingt-quatre pieces, & trois dés ; à chaque fois qu’il amene 27 points, il donne une piece à A, & à chaque fois qu’il amene 14, il en donne une à B ; & A & B conviennent que celui des deux qui aura le premier douze pieces, gagnera la mise. On demande le rapport des chances de A & de B. Ce second problême a ceci de propre qu’il faut que le jeu finisse en vingt-trois coups ; au lieu que le jeu peut durer éternellement dans le premier, les pertes & les gains se détruisant alternativement ; élevez $\scriptstyle {\overline {a+b}}$ à la 23e puissance, & les douze premiers termes seront aux douze derniers, comme la chance de A à celle de B.
Trois joueurs A, B & C ont chacun douze balles ; quatre blanches & huit noires, & les yeux bandés, ils jouent à condition que le premier qui tirera une balle blanche gagnera la mise ; mais A doit tirer le premier, B le second, C le troisieme, & ainsi de suite, dans cet ordre. On demande le rapport de leurs chances. Soit n le nombre des balles ; a le nombre des blanches ; b le nombre des noires, & l’enjeu = 1.
1°. A a pour amener une balle blanche les cas a ; & les cas b pour en amener une noire ; donc sa chance en commençant est $\scriptstyle {\frac {a}{a+b}}={\frac {a}{n}}$. Soustrayant $\scriptstyle {\frac {a}{n}}$ de 1 ; la valeur des chances restantes sera $\scriptstyle 1-{\frac {a}{n}}={\frac {n-a}{n}}={\frac {b}{n}}$.
2°. B a pour amener une balle blanche les cas a ; & les cas $\scriptstyle b-1$ pour en amener une noire ; mais c’est à A à commencer de jouer, & il est incertain s’il gagnera ou ne gagnera pas l’enjeu ; ainsi l’enjeu relativement à B n’est pas 1, mais seulement $\scriptstyle {\frac {b}{n}}$; ainsi donc sa chance, en qualité de second joueur est $\scriptstyle {\frac {a}{a+b-1}}\times {\frac {b}{n}}={\frac {ab}{n\times {n-1}}}$. Soustrayez $\scriptstyle {\frac {ab}{n\times {n-1}}}$ de $\scriptstyle {\frac {b}{n}}$, & la valeur du reste des chances sera $\scriptstyle {\frac {nb-b-ab}{n\times -1}}={\frac {b\times {\overline {b-1}}}{n\times n-1}}$.
3°. C a pour amener une balle blanche les cas a ; & les cas $\scriptstyle b-2$ pour en amener une noire ; ainsi sa chance en qualité de troisieme joueur, est $\scriptstyle {\frac {a\times b\times {\overline {b-1}}}{a\times {n-1}\times {\overline {n-2}}}}$.
4°. En raisonnant de la même maniere, A a pour amener une balle blanche les cas a, & pour en amener une noire les cas $\scriptstyle b-3$ ; ainsi comme jouant un quatrieme coup, après les trois premiers coups joués, sa chance sera $\scriptstyle {\frac {a\times b\times {\overline {b-1}}\times {\overline {b-2}}}{a\times {n-1}\times {\overline {n-2}}\times {\overline {n-3}}}}$ ; & ainsi de suite pour les autres joueurs.
Ecrivez donc la série $\scriptstyle {\frac {a}{n}}+{\frac {b}{n-1}}P+{\frac {b-1}{n-2}}Q+{\frac {b-2}{n-3}}R+{\frac {b-3}{n-4}}S$, où les quantités P, Q, R, S dénotent les termes ou quantités précédentes, avec leurs caracteres. Prenez autant de termes de la série qu’il y a d’unités dans $\scriptstyle b+1$ ; car il ne peut pas y avoir plus de tours au jeu qu’il y a d’unités dans b + 1 ; & la somme de tous les troisiemes termes, sautant les deux termes intermédiaires, en commençant par $\scriptstyle {\frac {a}{n}}$, sera toute la chance de A ; pareillement la somme de tous les troisiemes termes, en commençant par $\scriptstyle {\frac {b}{n-1}}P$, sera toute la chance de B, & tous les troisiemes termes en commençant par $\scriptstyle {\frac {k-1}{n-2}}Q$, sera la chance de C.
En faisant a = 4, b = 8, n = 12 ; la série générale se transformera dans la suivante $\scriptstyle {\frac {1}{12}}+{\frac {8}{11}}P+{\frac {7}{10}}Q+{\frac {6}{9}}R+5{\frac {5}{8}}S+{\frac {1}{7}}T$, $\scriptstyle +{\frac {3}{6}}V+{\frac {2}{5}}X+{\frac {1}{4}}Y$. Ou dans cette autre, en multipliant tous les termes par quelque nombre propre à ôter les fractions, comme ici par $\scriptstyle 495$, $\scriptstyle 165+120+84+56+35+20+10+4+1$.
| Donc | la chance de A sera 165 + 56 + 10 = 231, |
| | la chance de B sera 120 + 35 + 4 = 159, |
| | la chance de C sera 84 + 20 + 1 = 105. |
Ainsi les chances de ces joueurs A, B, C seront dans le rapport des nombres 231, 159, 105 ou 77, 53, 35.
A & B ont douze jettons, quatre blancs & huit noirs ; A parie contre B qu’en en prenant sept les yeux fermés, il y en aura trois blancs. Quel est le rapport de leurs chances ?
1°. Cherchez combien de fois on peut prendre diversement sept jettons dans douze ; & par le calcul des combinaisons vous trouverez 792. $\scriptstyle {\frac {12}{1}}\times {\frac {11}{2}}\times {\frac {10}{3}}\times {\frac {9}{4}}\times {\frac {8}{5}}\times {\frac {7}{6}}\times {\frac {6}{7}}=792$.
2°. Séparez trois jettons blancs, & cherchez toutes les manieres dont quatre des huit noirs peuvent se combiner avec eux ; vous en trouverez 70. $\scriptstyle {\frac {8}{1}}\times {\frac {7}{2}}\times {\frac {6}{3}}\times {\frac {5}{4}}=70$.
Et puisqu’il y a là quatre cas où trois jettons peuvent être tirés de quatre, multipliez 70 par 4 ; & vous trouverez 280 pour les cas où trois blancs peuvent venir avec quatre noirs.
3°. Par la loi générale des jeux, celui-là est le gagnant qui amene le plutôt l’évenement convenu ; à moins que la condition contraire n’ait été formellement exprimée. Ainsi donc si A tire quatre jettons blancs avec trois noirs, il a gagné. Séparez quatre jettons blancs, & cherchez toutes les manieres dont trois noirs de huit peuvent se combiner avec quatre blancs, & vous trouverez 56. $\scriptstyle {\frac {8}{1}}\times {\frac {7}{2}}\times {\frac {6}{3}}=56$. Ainsi il y a 280 + 56 cas = 336 qui sont gagner A ; ce qui ôté du nombre de tous les cas 792, il en reste 456 qui le font perdre. Ainsi le rapport de la chance de A à la chance de B, est comme 336 à 456, ou 14 à 19.
Dans les problèmes suivans, pour éviter la prolixité, nous ne donnerons point l’analyse, mais seulement son résultat. Cela suffira pour faire présumer les avantages & les desavantages dans les jeux, gageures, hasards de la même nature. Un bon esprit fera de lui-même ces sortes d’estimation approchée, dont on peut se contenter dans presque toutes les circonstances de la vie où elles sont de quelqu’importance.
A & B jouent avec deux dés, à condition que si A amene six, il aura gagné, & B s’il amene sept. A jouera le premier ; mais pour compenser ce desavantage, B jouera deux coups de suite ; & cela jusqu’à ce que l’un ou l’autre ait amené le nombre qui finit la partie. Si l’on cherche le rapport de la chance de A à la chance de B, on le trouvera de 10355 à 12276.
Si un nombre de joueurs A, B, C, D, E, &c. tous d’égale force, déposent chacun une piece, & jouent à condition que deux d’entre eux A & B commençant à jouer, celui des deux qui perdra cédera la place au joueur C ; celui des deux qui perdra cédera la place au joueur D, jusqu’à ce qu’un de ces joueurs vainqueur de tous les autres, tire les enjeux ou la mise. On demande le rapport des chances de tous ces joueurs. Selon la solution de M. Bernoulli, le nombre des joueurs étant $\scriptstyle n+1$, les chances des deux joueurs qui se suivent l’un l’autre, sont comme $\scriptstyle 1+2^{n}$ à $\scriptstyle 2^{n}$, & partant les chances de tous les joueurs A, B, C, D, E, &c. selon la proportion géométrique $\scriptstyle 1+2^{n}:2^{n}::A.c::c.d::d.e$, &c. Cela posé, il n’est pas difficile de déterminer les chances de deux joueurs quelconques, ou avant que de commencer, ou quand le jeu est engagé.
Par exemple, sont trois joueurs A, B, C ; alors $\scriptstyle n=2$, & $\scriptstyle 1=2^{n}:2^{n}::5.4::a.c$. c’est-à-dire que leurs chances ou espérances de gagner avant que A ait gagné B, ou B, C, sont comme 5, 5, 4, ou sont $\scriptstyle {\frac {5}{14}}$, $\scriptstyle {\frac {5}{14}}$, $\scriptstyle {\frac {4}{14}}$ ; car toutes ensemble doivent faire 1. Lorsque A aura gagné B, les chances seront comme $\scriptstyle {\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}},{\frac {4}{7}}=1$.
S’il y a quatre joueurs A, B, C, D, leurs chances ou attentes seront en commençant comme 81, 81, 72, 64 ; & lorsque A a gagné B, les chances ou attentes de B, D, C, A, comme 25, 32, 36, 56 ; & lorsque A a gagné B & C, les chances ou attentes de C, D, B, A, comme 16, 18, 28, 87.
A, B, C, trois joueurs d’égale force, mettent une piece, & jouent à condition que deux commenceront, & que celui qui perdra sortira, mais en sortant ajoutera une somme convenue à la mise totale ; & ainsi de suite de tous ceux qui sortiront, jusqu’à ce qu’il y en ait un qui batte les deux autres, & qui tire tout. On demande si la chance de A & de B est meilleure ou plus mauvaise que celle de C.
Si la somme que chaque joueur qui sort ajoûte à la masse, est à la premiere mise de chacun, comme de 7 à 6, les chances des trois joueurs sont égales. Si le rapport de la somme ajoûtée par le sortant à la masse, est à la premiere mise en moindre rapport que de 7 à 6, le sort de A & B vaut mieux que celui de C ; si ce rapport est plus grand, le sort de C est le meilleur ; & lorsque A a gagné B une fois, les chances des joueurs sont comme les nombres $\scriptstyle {\frac {12}{7}},~{\frac {6}{7}},~{\frac {3}{7}}$ ou 4, 2, 1. Celle de A la plus avantageuse, & celle de B la moindre.
M. Bernoulli a généralisé la solution de ce problème, en l’étendant à un nombre de joueurs quelconque.
A & B deux joueurs d’égale force jouent avec un nombre donné de balles ; après quelque tems il en manque une à A pour avoir gagné, & trois à B ; on trouve que la chance de A vaut $\scriptstyle {\frac {7}{8}}$ de la mise totale, & celle de B $\scriptstyle {\frac {1}{8}}.$
Deux joueurs A & B d’égale force, jouent, à condition qu’autant de fois que A l’emportera sur B, B lui donnera une piece d’argent, & qu’autant de fois que B l’emportera sur A, A lui en donnera tout autant ; de plus qu’ils joueront jusqu’à ce que l’un des joueurs ait gagné tout l’argent de l’autre. Ils ont maintenant chacun quatre pieces ; deux spectateurs font une gageure sur le nombre de tours qu’ils ont encore à faire, avant que l’un des deux soit épuisé d’argent, & le jeu fini. R gage que le jeu finira en dix tours, & l’on demande la chance de S qui gage le contraire. On trouve la chance de S à celle de R comme 560 à 464.
Si chaque joueur avoit cinq pieces, & que la force de A fût double de celle de B, le rapport de la chance de celui qui parie que le jeu finira en dix tours, à celle de son adversaire, sera comme 3800 à 6561.
Si chaque joueur a quatre pieces, & qu’on demande quelle doit être la force des joueurs, pour qu’on puisse parier avec égal avantage ou desavantage, que le jeu finira en quatre coups, on trouve que la force de l’un doit être à la force de l’autre, comme 5.274 à 1.
Si chaque joueur avoit quatre pieces, & qu’on demandât le rapport de leurs forces, pour que le pari que le jeu finira en six coups, fût égal pour & contre, on le trouvera comme celui de 2.576 à 1.
Deux joueurs A & B d’égale force, sont convenus de ne pas quitter le jeu, qu’il n’y ait dix coups de joués. Un spectateur R gage contre un autre S, que quand la partie ne finira pas, ou avant qu’elle finisse, le joueur A aura trois coups d’avantage sur le joueur B, on demande le rapport des chances des gageurs R & S ; & on le trouve comme les nombres 352 à 672.
On voit par la solution compliquée de ces problèmes, que l’esprit du jeu n’est pas si méprisable qu’on croiroit bien ; il consiste à faire sur-le-champ des évaluations approchées d’avantages & de desavantages très-difficiles à discerner ; les joueurs exécutent en un clin d’œil, & les cartes à la main, ce que le mathématicien le plus subtil a bien de la peine à découvrir dans son cabinet. J’entens dire que, quelque affinité qu’il y ait entre les fonctions du géometre & celles du joueur, il est également rare de voir de bons géometres grands joueurs, & de grands joueurs bons géometres. Si cela est, cela ne viendroit-il pas de ce que les uns sont accoutumés à des solutions rigoureuses, & ne peuvent se contenter d’à-peu-près, & qu’au contraire les autres habitués à s’en tenir à des à-peu-près, ne peuvent s’assujettir à la précision géométrique.
Quoi qu’il en soit, la passion du jeu est une des plus funestes dont on puisse être possédé. L’homme est si violemment agité par le jeu, qu’il ne peut plus supporter aucune autre occupation. Après avoir perdu sa fortune, il est condamné à s’ennuyer le reste de sa vie.
Jouer, (Jurisp.) se jouer de son fief, signifie vendre une partie de son fief sans démission de foi. Voyez Fief, Démembrement, & Jeu de fief.
Se jouer de ses qualités, c’est en changer selon l’occurrence. Un mineur peut se jouer de ses qualités, c’est-à-dire, que quoiqu’il se soit d’abord porté héritier, il peut ensuite se porter douairier ou donataire. (A)
Jouer, (Marine.) on dit d’un vaisseau qu’il joue sur son ancre, quand il est agité par les vents, & en même tems arrêté par son ancre. Le gouvernail joue lorsqu’il est en mouvement.
Jouer avec son mord, (Maréch.) se dit d’un cheval qui mâche & secoue son mors dans sa bouche. Jouer de la queue, se dit du cheval qui remue souvent la queue comme un chien, sur-tout lorsqu’on lui approche les jambes. Les chevaux qui aiment à ruer & à se défendre sont sujets à ce mouvement de queue qui désigne souvent leur mauvaise volonté.