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# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie transcendante, article 6
## ANALISE TRANSCENDANTE.
### Note à l’appui d’une réflexion de M. Plana, dans l’article inséré à la page 145 de ce volume ;

En parlant des résultats qu’on obtient en prenant l’intégrale qui exprime l’aire d’une courbe au-delà de ses limites physiques et réelles, M. Plana s’exprime ainsi (pag. 148) : « Plusieurs exemples démontrent que, en pareil cas, il suffit de supprimer la partie imaginaire du résultat ainsi trouvé, pour obtenir l’intégrale arithmétique ; mais je n’ose croire qu’un tel moyen puisse, dans tous les cas, être employé avec sûreté ».
Il est aisé de justifier, par un exemple, le scrupule que manifeste M. Plana en cet endroit. Soit considérée, en effet, une lemniscate dont l’équation polaire soit
$r^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .2\theta ,$
laquelle ne donne des valeurs réelles pour le rayon vecteur, qu’autant que l’angle $\theta$ n’excède pas $45^{\circ }.$ Puisqu’en général l’aire d’une courbe rapportée à des coordonnées polaires est $\int {\frac {r^{2}\operatorname {d} \theta }{2}},$ on aura celle du quart de la lemmscate dont il s’agit, en prenant l’intégrale $\int {\frac {a^{2}}{2}}\operatorname {Cos} .2\theta .\operatorname {d} \theta$ depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =45^{\circ }\,;$ ce qui donne exactement ${\frac {a^{2}}{4}}.$ Mais si, ne faisant pas attention à ce que la courbe ne s’étend pas au-delà de $\theta =45^{\circ },$ on cherche l’aire entre l’axe et sa perpendiculaire par le centre de la courbe, c’est-à-dire depuis $\theta =0^{\circ }$ jusqu’à $\theta =90^{\circ }\,;$ on pourrait présumer que l’analise avertirait de cette méprise, en donnant un résultat, partie réel et partie imaginaire, dont la partie réelle serait l’aire cherchée du quart de la courbe, tandis, que la partie imaginaire répondrait à l’aire comprise dans l’angle demi-droit où la courbe n’existe plus. Mais il n’en est pas ainsi ; car la valeur de l’intégrale, prise depuis $\theta =0^{\circ }$ jusqu’à $\theta =90^{\circ }\,;$ est égale à zéro. Cela montre qu’on doit toujours s’assurer qu’une intégrale est réelle dans toute l’étendue de l’intégration, avant de se fier au résultat que donne l’application des règles ordinaires.
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie transcendante, article 5
### Addition à la solution insérée à la page 285 de ce volume ;

Le problème qu’il s’agissait de résoudre en cet endroit était le suivant : Quelle est l’équation la plus générale des courbes qui jouissent de cette propriété que si, par chacun de leurs points, on leur mène une normale, terminée à l’axe des abscisses, cette normale a même longueur que l’ordonnée qui a son pied au même point de cet axe ?
Nous avons prouvé, en l’endroit cité, que l’équation générale de ces courbes avait pour équation
$y^{2}=2\phi (x)\,;\qquad$
pourvu que la fonction $\phi$ fût de nature à satisfaire à l’équation
$2\phi (x)+\left[\phi '(x)\right]^{2}=2\phi \left[x+\phi '(x)\right],\qquad$
où $\phi '$ désigne, comme à l’ordinaire, la fonction dérivée de $\phi .$
En différentiant cette dernière, il vient
$2\phi '(x)+2\phi '(x)\phi ''(x)=2\left[1+\phi ''(x)\right]\phi '\left[x+\phi '(x)\right],$
ou, en transposant et décomposant,
$\left[1+\phi ''(x)\right]\left\{\phi '(x)-\phi '\left[x+\phi '(x)\right]\right\}=0\,;$
équation qui se décompose en ces deux-ci :
${\begin{array}{lr}\phi ''(x)=-1,&(3)\\\phi '(x)=\phi '\left[x+\phi '(x)\right],&(4)\\\end{array}}$
L’équation (3) donne, en intégrant,
$\phi (x)=A+Bx-{\frac {1}{2}}x^{2}\,;$
ce qui donne, pour l’équation de la courbe cherchée,
$y^{2}=2A+2Bx-x^{2},$
équation d’un cercle d’un rayon quelconque, ayant son centre en l’un quelconque des points de l’axe des $x.$
Quant à l’équation (4), elle donne évidemment $\phi '(x)=0,$ d’où
$\phi (x)=A,$
ce qui donne, pour l’équation de la courbe cherchée,
$y^{2}=2A,$
équation de deux parallèles à l’axe des $x,$ également distantes de part et d’autre de cet axe.
Nous avions déjà prouvé, à posteriori, que ce cercle et ces parallèles, qui d’ailleurs résolvent évidemment le problème, satisfaisaient aux équations (1, 2) ; mais nous n’avions pas su alors en déduire directement les équations de ces deux lignes.
La question serait présentement de savoir si une équation de la forme
$\psi (x)=\psi \left[x+\psi (x)\right]$
peut admettre d’autres solutions que la solution $\psi (x)=0\,;$ et, au cas qu’elle en admît d’autres, quelles pourraient être ces solutions ? mais c’est une question que nous livrons à la sagacité du lecteur.
# Annales de pomologie belge et étrangère/Summer Golden pippin
### Summer Golden Pippin.

Cette gracieuse petite pomme, plus jolie, plus régulière, mais moins parfumée que l’ancien Pépin d’Or, avec lequel elle a plus d’un trait de ressemblance, est encore peu connue en dehors de son pays natal (l’Angleterre), et mérite cependant une place dans tous nos jardins.
Sa forme est oblongue, arrondie, déprimée et comme tronquée aux extrémités.
L’épicarpe (peau), lisse, luisant, parsemé de petits points blanchâtres, se teint, au soleil, d’un beau jaune orangé, qui, à l’ombre, devient d’un jaune citron de plus en plus clair.
Qu’on juge de l’effet ornemental de ce pommier chargé de ses nombreux fruits dorés ! (Il revêt ce riche coloris environ quinze jours avant l’époque de maturité.) Sa rare et constante fertilité le distingue de ces variétés dites alternantes, qui donnent peu ou point de fruits dans l’année qui succède à une année féconde.
C’est de plus, à notre avis, l’une des meilleures pommes de cette saison encore chaude (20 au 25 août), où elle mûrit et où l’on se délecte de fruits rafraîchissants.
Sa chair, fine, assez tendre, d’un blanc lacté, ni trop douce ni trop acide, n’est pas, comme on l’a dit, dépourvue de parfum, du moins dans les bons sols et dans les années favorables. On peut conserver le fruit durant près de deux mois, mais il perd graduellement le goût un peu acidulé qui le rend si agréable.
Le bois est brun tirant sur le jaune clair, et rougeâtre au soleil. Sur les bourgeons de l’année, il est tiqueté de lenticelles jaunâtres fort en relief. Les feuilles sont oblongues, cotonneuses en dessous, coniques au sommet, légèrement cordées à la base, à serrature double assez grossière : les pétioles courts et forts, les stipules subulées.
Le mode de culture le mieux approprié à cette variété est celui sur paradis.
# Annales de pomologie belge et étrangère/Tokay des jardins

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### Tokay des jardins.

Le vin de Tokay est si renommé auprès des gourmets, que partout on désire posséder le cépage qui le produit. On désigne généralement, hors de Hongrie, sous le nom de vin de Tokay, tous les précieux vins de liqueur des crus les plus estimés de l’Hegyallya, qui se récoltent non-seulement dans cette contrée, mais plus spécialement sur le coteau de Mézès-Mali, à Tokay. Bien que récoltés entre les 48° et 49° degrés de latitude septentrionale, ces vins passent pour les meilleurs de l’Europe. Toutefois, cette opinion n’est pas admise en France, où l’on oppose aux vins muscats de l’Hegyallya les produits les plus fins de la Côte-d’Or et les délicieux muscats des départements méridionaux. La pomologie n’a pas à intervenir dans ce débat, que nous devons nous borner à mentionner.
Rien n’indique que le raisin qui nous occupe soit originaire de Hongrie. Il existe beaucoup de cépages dans les vignobles de ce territoire ; et aucun n’y est connu sous le nom de Tokay ; selon M. le comte Odart, il n’y est pas même cultivé. Cette variété, dont on ignore l’origine, a reçu dans la Collection des raisins d’Angers, la dénomination de Tokay des jardins. Lelieur, dans sa Pomone, cite un Tokay dans le département des Hautes-Pyrénées, mais c’est un raisin noir. Celui qui fait l’objet de cet article, ne proviendrait-il pas du département du Haut-Rhin, où il existe depuis longtemps ? Il est à présumer qu’il y aura été importé de la Suisse, où l’on estime le vin qu’il produit. Il est connu, dans ce pays, sous le nom de Fondant roux.
L’arbre est vigoureux et productif. Les sarments sont gros, de couleur cannelle verdâtre, à mérithalles espacés de 10 centimètres. Les feuilles sont grandes, à cinq lobes légèrement dentés, d’un vert ordinaire. Le pédoncule est rouge, cylindrique, long de 12 centimètres. Les grappes sont grosses ou moyennes. Les grains sont moyens, ronds, peu serrés ; leur couleur est rose clair, un peu jaunissant ; ils sont demi-cassants et d’une saveur fort analogue à celle du chasselas de Fontainebleau.
Cette variété, qui est exposée chez nous en plein midi, a mûri l’année passée (1852) vers le 15 septembre. C’est un raisin de table très-estimé, et, dans les contrées où l’on peut cultiver la vigne en vue de la vinification, les produits qu’il donne, ne sont pas à dédaigner.
* ↑ Bourg de Hongrie, au pied du massif de collines appelé montagne de Tokay, à 60 kilomètres à l’est de Presbourg.
* ↑ Petite chaîne de collines de la Transylvanie, formant l’extrémité d’un contre-fort des Karpathes, qui va s’abaissant jusqu’à la Theiss, le long de la rive droite du Bodrogh.
# Annales de pomologie belge et étrangère/Trusband-mann

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### Trusband-mann.

Buisson épineux à rameaux jaune-cannelle. Aiguillons courts, renflés à la base, pointus, bruns. Feuilles alternes à cinq lobes irréguliers, à laciniures variées, d’un vert foncé et à pétioles vert-jaunâtre hérissés. Fruit oblong, atténué vers le pédoncule, de 5 ½ centimètres de hauteur sur 10 à 11 de circonférence ; lisse, de couleur vert-clair, juteux, sucré. Pédoncule long, gros, vert. Ombilic moyen, brunâtre.
# Annales de pomologie belge et étrangère/Standard of England
### Standard of England.

Cette variété faisait partie d’un envoi de greffes qui nous fut adressé par ordre de M. John Lindley, directeur de la Société royale d’horticulture de Londres. Le nom fort prétentieux donné à ce fruit semble indiquer que son obtenteur en eut une haute idée dès sa première apparition, qui doit être assez récente, car nous ne le voyons mentionné dans aucune pomologie anglaise, à l’exception du The Fruit-Manual de Robert Hogg, édition de 1859 ; mais cet écrivain ne mentionne ni la date de l’introduction, ni le nom de l’obtenteur. Quoi qu’il en soit, introduite dans nos cultures cette variété s’y trouve en production depuis trois ans. Présentée à la Commission royale de pomologie le 23 septembre 1861, elle a été jugée à l’unanimité excellente et digne d’être décrite dans ses annales.
Cette prune, d’un volume au-dessus de la moyenne, est de forme ovale allongée, renflée vers le milieu, arrondie à son sommet et finissant en pointe vers le pédoncule ; celui-ci, long de 24 millimètres, est implanté à fleur du fruit sur un bourrelet. Le point pistillaire est très-petit, rond, pointu et apparent, la rainure très-marquée divise le fruit en deux parties inégales ; la hauteur moyenne du fruit est d’environ 5 centimètres, sur une largeur de 3 centimètres et demi. Le pédoncule est gros, recourbé, long de 1 centimètre. La peau, d’un beau rouge, finement ponctuée de gris, est en partie maculée de rouge violacé ; elle s’enlève avec la plus grande facilité, et laisse apercevoir une chair jaune d’or ferme, rayonnée, juteuse, d’une saveur aromatique et sucrée sans être fade.
Le noyau se sépare avec facilité, il est très-petit, ovale aplati, mesurant 25 millimètres de long sur 12 à 14 millimètres dans sa plus grande largeur ; pointu au sommet, se terminant en pointe allongée et tronquée à la base. Ses joues sont presque lisses ; les arêtes du ventre obtuses ; le sillon étroit et profond, les arêtes dorsales sont également obtuses, excepté celle du milieu qui est très-acérée.
L’arbre est d’une vigueur moyenne, le bois brun foncé, les rameaux grêles, d’une teinte uniforme brune, finement ponctués de jaune.
Les feuilles sont petites, ovales, dentelées grossièrement, leurs nervures fortement marquées. La pagination supérieure est lisse, vert foncé, l’inférieure cotonneuse blanchâtre.
Le pétiole, canaliculé, a 20 millimètres de long.
L’époque de maturité de cette prune varie du 10 au 15 septembre. Elle est d’autant plus recommandable que la nature de sa chair la désigne aussi pour la dessication et les usages culinaires.
# Annales de pomologie belge et étrangère/The Isabella Plum
### The Isabella Plum.

Nous avons reçu cette belle variété anglaise de notre collègue de Braunau. Nous l’avions vainement demandée en Angleterre, mais dans l’immense collection de M. Liegel, on est certain de trouver toutes les bonnes variétés du Prunier.
L’Isabella se trouve décrite dans la Pomologia Britannica de M. John Lindley, d’après des specimens qui lui ont été présentés par M. Miller de Bristol, qui en est probablement l’obtenteur. M. Lindley la recommande dans les termes suivants : « Cette prune est d’une grande beauté, et n’a pas besoin d’être au mur pour atteindre à sa perfection. Elle surpasse les autres variétés qui sont mises en comparaison avec le Green Gage (ancienne Reine Claude), la Washington et la Coes Golden drop, on prétend qu’elle porte deux récoltes en un an. »
Nous croyons cette dernière assertion fort hazardée, du moins depuis que l’Isabella est en production à Namur, jamais elle n’a donné une seconde floraison, même après les gelées printanières qui faisaient couler ses fleurs.
L’auteur américain Downing la recommande aussi comme un fruit attrayant, digne de trouver sa place dans les collections d’amateurs ; il indique l’époque de sa maturité dans la seconde moitié du mois d’août, ce qui a lieu également chez nous.
L’Isabella est une prune de forme ovalaire, d’un beau volume, mesurant en moyenne 6 à 7 centimètres de long sur 5 de large au milieu, plus étroite vers le pédoncule, celui-ci, un peu velu, long de 2 centimètres est inséré dans une cavité étroite et peu profonde. La rainure est peu apparente.
La peau est épaisse, rouge-brun à sa maturité, plus claire du côté de l’ombre et ponctuée de jaune, elle se sépare facilement de la chair, celle-ci est blanche jaunâtre, juteuse, d’une saveur riche, sucrée, très-agréable.
Le noyau, peu adhérent, est petit, ovale, rugueux sur les deux faces, un peu obtus aux extrémités, ventru au milieu ; les arrêtes dorsales sont aigues, séparées par deux rainures, l’arrête ventrale plus obtuse.
L’arbre, d’une vigueur moyenne, a son bois et ses rameaux de l’année, uniformément bruns et duveteux, les gemmes sont très-apparents.
Les feuilles, moyennes, ovales, serretées, sont légèrement pubescentes, leur pétiole est assez court.
Jusqu’à présent, nous ne possédons l’Isabella qu’en pyramide, il est probable qu’elle réussirait également sous toute autre forme.
# Annales de pomologie belge et étrangère/Triomphe de Hollande
### Triomphe de Hollande

Voici à peu près en quels termes cette fraise était annoncée et décrite par M. J. Copyn, pépiniériste à Groenekan (Pays-Bas), dans son prospectus de 1862 :
« Parmi la foule de variétés gagnées pendant ces dernières années, dans le genre fraisier, et qui excellent soit par leur grosseur, soit par leur fertilité, soit par d’autres qualités supérieures, on cherche en vain une fraise perpétuelle, qui puisse dignement remplacer les anciennes variétés, de la Fraise des quatre saisons : cette lacune vient d’être comblée.
» Après vingt ans de semis continués avec persévérance, dans ce genre, M. J. Verkroost, cultivateur à Blauwcapel près d’Utrecht, vient enfin de trouver une variété qui, par sa grosseur, sa saveur exquise et sa grande fertilité, dépasse tout ce que nous connaissions auparavant.
» Le fruit d’une couleur rouge vif, pourpre, foncé du côté du soleil, a la chair ferme, d’un parfum des plus agréables ; il est figuré avec une exactitude scrupuleuse sur la planche ci-jointe. La plante est vigoureuse, les feuilles sont grandes, luisantes, d’un vert clair.
» Tous les amateurs qui ont vu cette fraise chez moi, pendant cet été, l’ont déclarée la plus méritante de toutes celles qui ont été gagnées en ce genre, pendant ces dernières années. »
Sans nous associer complétement à cet enthousiasme, nous dirons que : soit à cause du sol de notre jardin, soit à cause de la sécheresse de ces deux dernières années, nous n’avons pu obtenir des spécimens de cette fraise, aussi beaux que ceux de la planche que nous avons reçue avec l’annonce ci-dessus.
Après sa première production, nous étions même disposé à la rejeter, malgré la recommandation de M. Copyn ; lorsque nous avons vu apparaître la seconde année, sur les jeunes coulants, des fruits, non pas tout à fait aussi gros que ceux figurés, mais cependant très-supérieurs à ceux des anciennes remontantes connues.
Le fraisier Triomphe de Hollande, a un facies très-reconnaissable entre tous ses congénères remontants ; il est trapu, pousse en touffes serrées, donne peu de coulants ; ceux-ci sont courts et ne s’éloignent guère de la plante-mère. Sous le rapport de la fertilité et de la saveur du fruit, il ne laisse rien à désirer, et sera difficilement surpassé.
# Annales de pomologie belge et étrangère/Surprise
### Fraises.

La fraise est le premier fruit que nous offre le printemps, le premier bienfait de Pomone ; à peine les frimas nous ont-ils quittés, que la végétation de cette Rosacée se met en mouvement ; bientôt, les fleurs paraissent ; les fruits ne tardent pas à leur succéder et à embellir nos desserts jusqu’aux premières gelées de l’automne. Ce n’est peut-être pas pour tous le meilleur des fruits, mais en est-il un seul qui nous donne d’aussi longues jouissances, qui les fasse moins attendre et qui nous demande aussi peu de soins ?
Depuis quelques années, la culture du fraisier a pris une grande extension. La beauté et la bonté des variétés nouvelles mises dans le commerce par d’infatigables semeurs, ne nous laissent que l’embarras du choix. Aussi trouve-t-on maintenant dans les plus petits jardins, où naguère encore on ne cultivait que la fraise des bois, bon nombre de variétés récentes de premier mérite.
Plusieurs variétés ont été soumises cette année à la Commission royale de pomologie : elle en a choisi huit d’une qualité réellement supérieure et une (la Surprise de Myatt), plutôt à cause de sa grosseur et de sa beauté, que de sa bonté.
Les variétés admises et qui ne sont pas décrites dans cet article, paraîtront dans la prochaine livraison.

### Surprise (Myatt).

Fruit très-gros, creux à l’intérieur, variable dans sa forme, qui est tantôt allongée ou conique et très-souvent carrée, angulaire et aplatie. Sa couleur rouge clair ou très-pâle s’avive du côté du soleil d’une nuance rouge vif très-brillante. Ses graines, assez nombreuses, en partie jaunes, en partie rouges, sont implantées dans des alvéoles peu profondes. Sa chair est blanc-rosé, d’une contexture peu
délicate, mais sucrée et d’un goût agréable. Il est à regretter que la qualité de cette variété ne soit pas en harmonie avec un facies aussi heureux : elle est cependant recommandable et de premier rang pour la grosseur.
Le fraisier est vigoureux et assez touffu ; son feuillage est moyen, vert clair ; les pétioles sont longs, très-velus ; il est assez fertile et tardif.
# Augusta Holmès et la femme compositeur/16
### XVI « Pologne » — « Irlande »

Ne pouvant classer chaque ouvrage d’après l’époque où il fut composé — l’absence d’indication à ce sujet est déjà mentionnée — j’ai, en dehors des mélodies, divisé en deux parts les compositions d’Holmès : les bonnes, dont je m’occuperai tout à l’heure, et les… médiocres, par lesquelles je commence.
Dans le domaine purement symphonique, Augusta Holmes a donné « Andante Pastoral » — son œuvre de début, chez Pasdeloup, en 1877, que je n’ai pu retrouver – Pologne et Irlande. Ces deux dernières rentrent dans la catégorie des morceaux à programme et, par conséquent, s’efforcent de caractériser des sentiments définis et de s’adapter à des situations déterminées. Elles feraient supposer que la privation des voix et des paroles gênait l’auteur. Il y a des personnes qui ne pensent qu’en parlant ; évidemment Holmès poète inspirait Holmès musicienne. À défaut d’un libretto, elle s’appuya sur un canevas en prose, mais les broderies sonores ne le recouvrent que bien imparfaitement et pauvrement.
Comme Irlande, Pologne ne dépasse pas les proportions d’un premier temps de symphonie, mais se divise en divers mouvements : Introduction pompeuse, Allegro, Adagio et Allegro final, le tout s’enchaînant sans interruption ; ce morceau accuse durement la plus mauvaise manière d’Holmès : indigence harmonique, négligence de goût, banalité dans la construction, abus du gros effet.
Irlande ne vaut guère mieux : ce poème symphonique dénote également une âme plus sensible aux malheurs des nations opprimées qu’aux délicatesses musicales, aussi indignée envers l’oppresseur qu’indulgente pour la façon d’exprimer son indignation, et soucieuse d’orienter l’auditeur vers ces louables sentiments, plus que de le satisfaire par une audition conforme aux lois de l’esthétique. Un cor évoque la méditation d’un pâtre ; ses souvenirs, d’abord mélancoliques, s’animent bientôt et le rapportent à un passé d’allégresse et d’insouciance, symbolisé par une gigue si vulgaire, qu’on se réjouit de voir succéder à cette gaîté de mauvaise compagnie une marche funèbre. Cette marche, appropriée au deuil de la cousine pauvre de l’Angleterre, est intéressante comme rythme et développement ; c’est la seule page de valeur, car l’allegro, annonçant ensuite la révolte du peuple asservi, et, pour conclure, la marche chargée de nous faire assister à la résurrection des héros vengeurs, nous déconcertent à force de négligences et de trivialités. Pour comble, une instrumentation déplorable et un déchaînement de trompettes qui ne redresserait peut-être pas les morts mais grâce auquel les moribonds trouveraient la force de fuir.
* ↑ La musique d’Holmès fut éditée un peu partout, chez Grus, Durand, Enoch, Heugol, Gregh, Maquet, Leduc, Girod, Ricordi, d’autres peut-être. De là, grandes difficultés pour réunir au complet des compositions d’autant plus dispersées, que certains des éditeurs cités ont cédé leur maison à des successeurs ignorant parfois où gisent les œuvres d’Holmès, et celles qui furent éditées chez eux.