# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/Analise indéterminée, article 2
### Démonstration du théorème d’analise indéterminée énoncé à la page 228 de ce volume ;

THÉORÈME. Toute puissance paire d’un nombre impair, diminué d’une unité, est toujours divisible par une puissance de deux supérieure de deux unités à celle qui divise son exposant.
Démonstration. Tout se réduit évidemment à démontrer que, quels que soient d’ailleurs les trois nombres entiers positifs $a,k,n,$ l’expression
${\frac {(1+2a)^{2^{n}.k}-1}{2^{n+2}}}$
est toujours un nombre entier.
D’abord, comme on a
$(1+2a)^{2^{n}.k}=\left\{(1+2a)^{k}\right\}^{2^{n}},$
et comme d’ailleurs $(1+2a)^{k},$ est nécessairement un nombre impair, que l’on peut représenter par $1+2A\,;$ tout se réduit à démontrer que l’expression
${\frac {(1+2A)^{2^{n}}-1}{2^{n+2}}}$
est un nombre entier.
$(1+2A)^{2^{n}}=\left\{(1+2A)^{2}\right\}^{2^{n-1}}\,;$
mais
$(1+2A)^{2}=1+4A+4A^{2}=1+4A(1+A)\,;$
et comme, quel que soit $A,\ A(1+A)$ est nécessairement un nombre pair, que l’on peut représenter par $2B,$ on aura
$(1+2A)^{2}=1+8B,$
et, par suite
$(1+2A)^{2^{n}}=(1+8B)^{2^{n-1}}\,;$
tout se réduit donc à démontrer que la formule
${\frac {(1+8B)^{2^{n-1}}-1}{2^{n+2}}}$
est un nombre entier.
Cela est d’abord évident, pour le cas où $n=1$ ; puisqu’alors elle se réduit à $B.$ On trouve de plus
$(1+8B)^{2}=1+16B+64B^{2}=1+16B(1+4B),$
que l’on peut représenter par $1+16B'$
$(1+8B)^{4}=(1+16B')^{2}=1+32B'+256B'^{2}=1+32B'(1+8B'),$
que l’on peut représenter par $1+32B'',$ et ainsi de suite, ce qui est déjà conforme à l’énoncé du théorème. Or, si, en général, suivant cet énoncé, on a
$(1+8B)^{2^{k-1}}=1+2^{k+2}G,$
on aura
$(1+8B)^{2^{k}}=\left(1+2^{k+2}G\right)^{2},$
ou
$(1+8B)^{2^{k}}=1+2^{k+3}G+2^{2k+4}G^{2}$
ou encore
$(1+8B)^{2^{k}}=1+2^{k+3}G\left(1+2^{k+1}G\right)$
quantité de la forme $1+2^{k+3}G'.$ Il demeure donc établi que, si la puissance $2^{k-1}$ de $1+8B,$ diminuée d’une unité, est divisible par $2^{k+2},$ sa puissance $2^{k},$ diminuée également d’une unité, le sera par $2^{k+3},$ puis donc que ces puissances $2^{0},2^{1},2^{2},$ diminuées d’une unité, le sont respectivement par $2^{3},2^{4},2^{5},$ il s’ensuit que sa puissance du degré $2^{n-1},$ diminuée d’une unité, le sera par $2^{n+2}\,;$ l’expression
${\frac {(1+8B)^{2^{n-1}}-1}{2^{n+2}}}$
est donc un nombre entier ; l’expression
${\frac {(1+2A)^{2^{n}}-1}{2^{n+2}}}$
en sera donc un aussi, et, conséquemment, il en sera de même de
${\frac {(1+2a)^{2^{n}.k}-1}{2^{n+2}}}$
le théorème est donc démontré en toute rigueur.
Soient les deux formules
${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-1}{2^{p+2}}},\qquad {\frac {(1+2b)^{2^{q}.h}-1}{2^{q+2}}},$
elles seront l’une et l’autre des nombres entiers, par ce qui précède. Si $p$ n’est pas moindre que $q,$ à plus forte raison la formule
${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-1}{2^{q+2}}}$
sera aussi un nombre entier, d’où il suit que sa différence avec la seconde des deux ci-dessus sera également un nombre entier. Ainsi, la formule
${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-(1+2b)^{2^{q}.h}}{2^{q+2}}},$
dans laquelle on suppose $p>q-1$ est nécessairement un nombre entier ; et l’on prouverait évidemment la même chose de la formule
${\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-(1+2b)^{2^{q}.h}}{2^{p+2}}},$
dans laquelle on aurait $q>p-1.$
Si l’on suppose $p=q=1,$ on aura la formule
${\frac {\left[(1+2a)^{g}\right]^{2}-\left[(1+2b)^{h}\right]^{2}}{8}},$
ou, plus simplement, la formule
${\frac {(1+2A)^{2}-(1+2B)^{2}}{8}},$
qui devra être un nombre entier ; c’est-à-dire, que la différence de deux quarrés impairs est toujours divisible par huit.
Donc, la somme de deux nombres impairs multipliés par leur différence donne un produit divisible par huit ; d’où il suit encore que la somme ou la différence de deux nombres impairs doit nécessairement être divisible par quatre.
* ↑ Cette vérité s’aperçoit immédiatement en observant que tout nombre impair est compris dans la double formule $4n\pm 1\,;$ ou, ce qui revient au même, que tout nombre impair, augmenté ou diminué d’une unité, devient divisible par quatre. J. D. G.