# Mémoire sur la théorie des ondes
### MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES ONDES ;

Lorsqu’on agite l’eau en un endroit de sa surface, on voit aussitôt se former des ondes qui se propagent circulairement autour d’un centre commun, et qui sont dues aux élévations et aux abaissemens successifs du fluide, au-dessus et au-dessous de son niveau naturel. Ce phénomène est un des cas les plus simples du mouvement des fluides, et l’un des premiers qui se présente aux recherches des géomètres ; cependant on n’est point encore parvenu à déterminer d’une manière satisfaisante, les lois de ces oscillations qu’on a si souvent l’occasion d’observer.
Newton, dans le livre des Principes, les compare aux oscillations de l’eau dans un syphon renversé ; de cette comparaison, il conclut que la vîtesse de la propagation des ondes doit être proportionnelle à la racine quarrée de leur largeur, et que chaque onde doit parcourir sa largeur entière dans un temps égal à celui des oscillations d’un pendule simple qui aurait, pour longueur, le double de cette même largeur. On entend ici par largeur des ondes, l’intervalle compris entre les sommets de deux ondes consécutives, l’une saillante et l’autre tracée en creux à la surface du fluide ; il resterait donc à déterminer cet intervalle, pour un ébranlement donné de la masse fluide, et à reconnaître s’il demeure constant ou s’il varie pendant la durée du mouvement ; mais en y réfléchissant avec toute l’attention que le nom de Newton commande, on ne trouve pas une analogie suffisante entre ces deux mouvemens, dont ce grand physicien supposait l’identité ; et son hypothèse ne paraît pas assez fondée, pour servir de base à une détermination exacte de la vîtesse des ondes.
M. Laplace est le premier qui ait cherché à soumettre cette question à une analyse régulière. Cet essai est imprimé à la suite des recherches sur les oscillations de la mer et de l’atmosphère, qui se trouvent dans le volume de l’Académie des sciences, pour l’année 1776. On y forme les équations différentielles du mouvement des fluides incompressibles et pesans, modifiées par la seule hypothèse que les vîtesses et les oscillations des molécules restent toujours assez petites pour qu’on puisse négliger leurs produits et leurs puissances supérieures à la première ; supposition permise, et sans laquelle ce problême deviendroit si compliqué qu’on n’en pourrait espérer aucune solution. Celle que M. Laplace donne de ces équations différentielles, convient au cas où le fluide n’a reçu primitivement aucune vîtesse, et où il a été dérangé de son état d’équilibre, en faisant prendre à sa surface, dans toute son étendue, la forme d’une throchoïde, c’est-à-dire d’une courbe serpentante ; dont l’ordonnée verticale est exprimée par le cosinus d’un arc proportionnel à l’abscisse horizontale ; mais dans la théorie des ondes, le cas qu’on doit avoir en vue, est, au contraire, celui où la surface n’a été déformée que dans une petite étendue ; et la solution dont nous parlons, ne saurait s’y appliquer, lors même que, dans cette étendue, la surface aurait reçu la figure d’une portion de trochoïde.
Environ dix ans après, Lagrange, dans les Mémoires de Berlin, et ensuite dans la mécanique analytique, traita directement le cas où la profondeur du fluide est supposée très-petite et constante. Il démontre qu’alors la propagation des ondes a lieu suivant les mêmes lois que celle du son ; en sorte que leur vîtesse est constante et indépendante de l’ébranlement primitif ; et de plus, il la trouve proportionnelle à la racine quarrée de la profondeur du fluide, lors qu’il est contenu dans un canal qui a la même largeur dans toute son étendue. Il suppose ensuite que le mouvement excité à la surface d’un fluide incompressible, d’une profondeur quelconque, ne se transmet qu’à de très-petites distances au-dessous de cette surface ; d’où il conclut que son analyse donne encore la solution du problême, quelque grande que soit la profondeur du fluide que l’on considère ; de manière que si l’observation faisait connaître la distance à laquelle le mouvement est insensible, la vîtesse de la propagation des ondes à la surface, serait proportionnelle à la racine quarrée de cette distance ; et réciproquement, si cette vîtesse est mesurée directement, on en pourra déduire la petite profondeur à laquelle le mouvement parvient. Mais qu’il nous soit permis d’exposer ici quelques observations fort simples, qui prouvent que cette extension donnée à la solution de Lagrange, ne peut pas être légitime, et que les choses ne se passent pas ainsi, lorsque l’on a égard à la transmission du mouvement dans le sens vertical.
En effet le mouvement dans ce sens n’est pas brusquement interrompu ; les vîtesses et les oscillations des molécules diminuent à mesure que l’on s’enfonce au-dessous de la surface ; et la distance à laquelle on peut les regarder comme insensibles, en admettant même, pour un moment, qu’elle soit très-petite, n’est pas une quantité déterminée qui puisse entrer, comme on le suppose, dans l’expression de la vîtesse à la surface. Pour fixer les idées, supposons la profondeur et les autres dimensions du fluide, infinies ou assez grandes pour qu’elles ne puissent avoir aucune influence sur les lois de son mouvement ; supposons aussi la masse que entière n’a reçu primitivement aucune vîtesse, et que l’ébranlement a été produit de la manière suivante, qui est la plus facile à se représenter. On plonge dans l’eau, en l’enfonçant très-peu, un corps solide d’une forme connue ; on donne au fluide le temps de revenir au repos, puis on retire subitement le corps plongé : il se produit, autour de l’endroit qu’il occupait, des ondes dont il s’agit de déterminer la propagation. Or, il est évident que la profondeur du fluide ayant disparu, les seules lignes qui soient comprises parmi les données de la question, sont les dimensions du corps plongé, et l’espace que parcoure un corps pesant dans un temps déterminé ; par conséquent l’espace parcouru par chaque onde à la surface de l’eau ne peut être qu’une fonction de ces deux sortes de lignes. Si donc la vîtesse des ondes est indépendante de l’ébranlement primitif, c’est-à-dire de la forme et des dimensions du corps plongé, il faudra, d’après le principe de l’homogénéité des quantités, que l’espace qu’elles parcourent dans.un temps quelconque, soit égal à l’espace parcouru dans le même temps par un corps pesant, multiplié par une quantité abstraite, indépendante de toute unité de ligne ou de temps ; donc alors le mouvement des ondes sera semblable à celui des corps graves, avec une accélération qui sera un certain multiple, ou une certaine fraction de l’accélération de la pesanteur. Si, au contraire, le mouvement des ondes est uniforme, il faut, d’après le même principe de l’homogénéité, que leur vîtesse dépende de l’ébranlement primitif ; de manière que l’espace parcouru dans un temps donné, soit une moyenne proportionnelle entre deux lignes, savoir : la ligne décrite dans le même temps par un corps grave, et l’une des dimensions, ou plus généralement, une fonction linéaire des dimensions du corps plongé. Il pourrait encore arriver que le mouvement des ondes füt accéléré, et que l’accélération dépendit du rapport numérique qui existe entre ces dimensions : c’est au calcul à décider lequel de ces mouvemens doit avoir effectivement lieu ; mais on voit, à priori, qu’ils sont l’un et l’autre également contraires au résultat de la mécanique analytique.
Telles étaient, à ma connaissance, les seules recherches théoriques, publiées sur le problême des ondes, lorsque l’Institut le proposa pour sujet du prix de 1816. Long-temps auparavant, je m’étais occupé de cette importante question ; mais ce n’est que dans ces derniers temps que j’en ai obtenu une solution qui m’a complettement satisfait, sous le rapport de la rigueur, et sous celui de la simplicité. La première partie de mon Mémoire a été déposée au bureau de l’Institut avant qu’aucune pièce destinée au concours, y fut parvenue ; j’en ai fait lecture le à octobre 1815, époque de l’expiration du concours ; elle contenait les formules générales en intégrales définies qui renferment implicitement la solution du problême, et, comme conséquence de ces formules, la théorie des ondes qui se propagent d’un mouvement uniformément accéléré. Au mois de décembre suivant, j’ai lu la deuxième partie, ou plutôt un second Mémoire sur le même sujet ; celui-ci renfermait la théorie des ondes qui se propagent avec une vîtesse constante : elles sont, comme on le verra, beaucoup plus sensibles que les ondes accélérées, et, pour cette raison, beaucoup plus importantes à considérer.
Enfin, depuis cette époque, j’ai tâché de perfectionner ces recherches, sur-tout sous le rapport de la propagation du mouvement dans le sens vertical. M. Biot a fait autrefois des expériences sur le mouvement des ondes produites par l’immersion de différens solides de révolution, et même par des cônes et des cylindres. Il a reconnu que leur vîtesse ne dépend ni de la figure de ces corps, ni de la quantité dont ils sont enfoncés dans le fluide, mais qu’elle varie avec le rayon de leur section à fleur d’eau ; ce qui est conforme à la théorie qu’on trouvera dans mon Mémoire, et suivant laquelle la vîtesse des ondes est proportionnelle à la racine quarrée de ce rayon. On y trouvera aussi l’application de cette théorie à quatre expériences dont M. Biot avait conservé la note : l’accord satisfaisant que l’on remarquera entre le calcul et l’observation, fournirait, s’il en était besoin, une vérification de l’analyse dont j’ai fait usage, et du résultat principal auquel j’ai été conduit.
Les oscillations verticales des molécules, qui produisent l’apparence des ondes qui se propagent à la surface du fluide, diminuent de grandeur à mesure que l’on s’éloigne du lieu de l’ébranlement primitif : leur amplitude suit la raison inverse de la racine quarrée des distances à ce point, quand le fluide est contenu dans un canal d’une largeur constante ; elle suit la raison inverse de ces distances, lorsque le fluide est libre de toutes parts, et que les ondes se propagent circulairement autour d’un centre commun. Les espaces que parcourent les molécules de l’intérieur du fluide, situées au-dessous de l’ébranlement primitif, décroissent suivant une loi plus rapide : suivant la raison inverse de la profondeur ou de son quarré, selon que le fluide est contenu ou non dans un canal ; en sorte qu’à de très-grandes distances du lieu de l’ébranlement, le mouvement doit être plus sensible à la surface que dans l’intérieur de la masse fluide. Néanmoins cette loi de décroissement dans le sens de la profondeur, que j’ai conclue de mon analyse, n’est pas tellement rapide que le mouvement ne puisse encore se faire sentir à d’assez grandes profondeurs ; résultat qui suffirait pour détruire l’hypothèse de Lagrange, dont il a été question plus haut, lors même que nous n’aurions pas prouvé, à priori, que la solution qu’il a donnée du problême des ondes, ne saurait s’étendre au cas d’un fluide d’une profondeur quelconque.
Cette transmission du mouvement à de grandes profondeurs, a été remarquée, ce me semble pour la première fois, par l’ingénieur Brémontier, dans un ouvrage sur le mouvement des ondes, publié en 1809. À la vérité les raisonnemens qu’il emploie pour établir son opinion, sont loin d’être satisfaisans ; mais les faits qu’il cite ne permettent pas de douter que le mouvement produit à la surface de l’eau, ne soit encore sensible à de grandes distances au-dessous de cette surface ; et l’on peut regarder ce résultat de l’analyse comme étant aussi confirmé par l’observation. Il serait à desirer que quelque habile observateur entreprit de vérifier, par de nouvelles expériences, tous les points de la théorie que je vais exposer dans ce Mémoire : l’accord que présenteraient, sans doute, le calcul et l’observation, ne serait pas sans intérêt pour les physiciens ; et les géomètres ne verraient pas non plus sans plaisir réaliser, pour ainsi dire, les diverses circonstances du mouvement des fluides qui sont contenues dans leurs formules.
Les intégrales relatives au problême des ondes, que l’on trouvera dans ce Mémoire, conviennent au cas où le fluide a une profondeur quelconque ; mais on s’est spécialement attaché à traiter le cas le plus ordinaire, celui où cette profondeur devient très-grande et comme infinie par rapport à l’étendue des oscillations des molécules, Dans un autre Mémoire, je me propose de considérer l’influence que peut avoir le plus ou moins de profondeur du fluide, sur les mouvemens de ses molécules, c’est-à-dire la réflexion du mouvement dans le sens vertical, due au fond sur lequel le fluide repose ; en même temps, j’essaierai de déterminer les lois de la réflexion des ondes à sa surface, produite par les parois latérales et fixes qui le contiennent.
(1) La théorie des oscillations d’un fluide incompressible et homogène, soumis à l’action de la pesanteur et un tant soit peu écarté de son état d’équilibre, est comprise dans ces deux équations :
${\begin{array}{lr}{\frac {p}{\rho }}-gz+{\frac {d\varphi }{dt}}=0,&(1)\\{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0.\qquad \qquad &(2)\end{array}}$
La variable $t$ représente le temps ; $g$ la pesanteur, et $\rho$ la densité du fluide ; $x,\,y,\,z,$ sont les trois coordonnées rectangulaires d’un point quelconque du fluide ; $x$ et $y$ sont horizontales ; $z$ est verticale et comptée dans le sens de la pesanteur ; enfin $p$ et $\varphi$ sont deux fonctions inconnues de $x,\,y,\,z$ et $t\,:$ la première représente la pression qui a lieu, au bout du temps $t,$ au point dont les coordonnées sont $x,\,y,\,z\,;$ les différences partielles de la seconde, relatives à $x,\,y,\,z,$ expriment, pour le même instant et pour le même point, les vîtesses du fluide suivant ces coordonnées, c’est-à-dire que l’on a
${\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {dx}{dt}},\qquad {\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {dy}{dt}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {dz}{dt}}.$
Ces vîtesses, et les distances des molécules à leurs positions initiales, sont regardées comme très-petites pendant toute la durée du mouvement ; on en néglige, dans le calcul, les produits et les puissances supérieures à la première ; d’où il résulte que dans les quantités ${\frac {d\varphi }{dx}},\,{\frac {d\varphi }{dy}},\,{\frac {d\varphi }{dz}},$ on devra considérer $x,\,y,\,z,$ comme constantes et se rapportant à la position initiale de chaque molécule.
À la surface, la pression $p$ est indépendante de $x,\,y,\,z\,;$ pour plus de généralité, on peut supposer qu’elle soit une fonction quelconque de $t,$ que nous représenterons par $\mathrm {P} \,;$ or, en remplaçant, dans les équations précédentes, $p$ par $p+\mathrm {P} ,$ et $\varphi$ par $\varphi -{\frac {1}{\rho }}\int \mathrm {P} dt,$ la fonction $\mathrm {P}$ disparaît, et ces équations conservent identiquement la même forme ; ce qui prouve que la pression à la surface n’a aucune influence sur le mouvement du fluide. De cette manière, $p$ ne représentera plus que l’excès de la pression intérieure, sur la pression extérieure $\mathrm {P} \,;$ si donc on désigne par $z',$ l’ordonnée verticale d’un point quelconque de la surface, on aura, à-la-fois, $z=z'$ et $p=0\,;$ et l’équation de la surface fluide à un instant quelconque, déduite de l’équation (1), sera
$gz'-{\frac {d\varphi }{dt}}=0.\qquad$
(2) Pour fixer les idées, nous prendrons pour le plan des x,\,y, celui du niveau du fluide dans l’état d’équilibre, auquel cas $z'$ sera une très-petite quantité, et par conséquent aussi la valeur de ${\frac {d\varphi }{dt}}$ qui se rapporte à la surface. On devra donc faire $z=0,$ dans cette valeur, et regarder, dans l’équation (3), $x$ et $y$ comme constantes ; de sorte qu’en la différenciant par rapport à $t,$ on aura simplement
$g{\frac {dz'}{dt}}-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=0.\qquad$
Dans cette équation, $dz'$ représente l’abaissement vertical de la surface pendant l’instant $dt,$ à l’endroit qui répond aux coordonnées $x$ et $y\,;$ en supposant donc que, pendant la durée de cet instant, la même molécule fluide demeure à la surface, ${\frac {dz'}{dt}}$ sera la vîtesse verticale de cette molécule, ou la valeur de ${\frac {d\varphi }{dz}}$ qui répond à $z=0\,;$ par conséquent l’équation précédente se changera en celle-ci :
$g{\frac {d\varphi }{dz}}-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=0,\qquad$
qui n’aura lieu que pour la valeur particulière $z=0.$
Afin de ne pas compliquer la question, nous regarderons la profondeur du fluide comme constante : nous la représenterons par $h,$ en sorte que le fluide soit terminé dans le sens vertical par un plan fixe et horizontal, correspondant à $z=h.$ Si l’on suppose, comme pour les molécules situées à la surface extérieure, que celles qui touchent ce plan fixe y restent adjacentes pendant toute la durée du mouvement, il faudra que leur vîtesse verticale soit constamment nulle ; on aura donc, quelque soit $t,$
${\frac {d\varphi }{dz}}=0,\qquad$
pour la valeur particulière $z=h.$
(3) Telles sont les diverses équations différentielles, relatives au problême que nous nous proposons de résoudre. On voit que celles du numéro précédent, qui se rapportent à la surface et au fond du fluide, résultent de conditions que l’on a coutume de regarder comme nécessaires à la continuité de la masse fluide ; continuité sans laquelle il serait impossible de soumettre son mouvement au calcul. Nous les admettrons, avec celles du n$^o$ ier, comme bases de notre analyse ; et la question qui va nous occuper consistera d’abord à satisfaire simultanément et de la manière la plus générale, aux équations (2), (4) et (5), et ensuite à remplir les conditions relatives à l’état initial du fluide.
Nous distinguerons deux cas que nous examinerons successivement : celui où l’on fait abstraction d’une dimension horizontale du fluide, et le cas où l’on a égard à ses trois dimensions. Dans le premier cas, le fluide est censé réduit à un plan ; mais on peut aussi le supposer contenu dans un canal vertical d’une largeur quelconque, pourvu qu’elle soit constante dans toute la longueur du canal, et que les molécules fluides n’aient aucun mouvement dans le sens de cette largeur.
(4) En prenant le plan des $x,\,z,$ parallèle au fluide, ou aux parois verticales du canal qui le renferme, la fonction $\varphi$ sera indépendante de $y,$ et l’équation (2) se réduira à
${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0.\qquad$
Comme elle est linéaire et à coefficiens constans, on y peut satisfaire par une valeur de o composée d’exponentielles, de sinus et cosinus, et, sous cette forme, la solution la plus générale est celle-ci :
$\varphi =\sum \left(\mathrm {A} e^{-az}+\mathrm {A} 'e^{az}\right)cos.(ax+a')\,;$
$e$ représentant la base des logarithmes dont le module est l’unité ; $\mathrm {A,\,A'} ,\,a,\,a',$ étant des quantités indépendantes de $x$ et $z\,;$ et la caractéristique $\sum$ indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de ces quatre quantités.
Différenciant cette valeur de $\varphi$ par rapport à $z,$ et faisant ensuite $z=h,$ on aura, en vertu de l’équation (5),
$\sum \left(\mathrm {A} e^{-ah}-\mathrm {A} 'e^{ah}\right)a.cos.(ax+a')=0\,;$
or, cette équation ayant lieu pour toutes les valeurs de $x,$ elle doit subsister séparément pour chaque terme de la somme $\sum \,;$ on aura donc généralement
$\mathrm {A} e^{-ah}-\mathrm {A} 'e^{ah}=0\,;$
d’où l’on tire
$\mathrm {A=T} e^{ah},\qquad \mathrm {A'=T} e^{-ah}\,;$
$\mathrm {T}$ étant une nouvelle indéterminée.
La valeur de $\varphi$ devient alors
$\varphi =\sum \mathrm {T} \left(e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}\right)cos.(ax+a')\,;$
les trois indéterminées $\mathrm {T} ,a$ et $a'$ qu’elle renferme, pourraient être regardées comme des fonctions de $t\,;$ mais pour satisfaire à l’équation (4), quelle que soit la valeur de $x,$ il est aisé de voir qu’il faut supposer $a$ et $a'$ constante, et $\mathrm {T}$ seule dépendante de $t.$ Prenant, dans cette hypothèse, les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dz}}$ et ${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}},$ et y faisant $z=0,$ on aura, en vertu de cette équation (4),
$\sum \left[g\mathrm {T} a\left(e^{-ah}-e^{ah}\right)-{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}\left(e^{-ah}+e^{ah}\right)\right].cos.(ax+a')=0\,;$
et à cause qu’elle doit subsister pour toutes les valeurs de $x,$ on en conclura
${\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}+c^{2}\mathrm {T} =0,$
en faisant, pour abréger,
$ga\left(e^{ah}-e^{-ah}\right)=c^{2}\left(e^{ah}+e^{-ah}\right).\qquad$
On tire de-là, en intégrant
$\mathrm {T} =\mathrm {B} .sin.c\,t+\mathrm {B} '.cos.c\,t\,;$
$\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$ étant les deux constantes arbitraires. Substituant cette valeur de $\mathrm {T} ,$ dans celle de $\varphi ,$ il vient
$\left.{\begin{aligned}\varphi &=\sum \mathrm {B} \left(e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}\right)cos.(ax+a').sin.c\,t,\\&+\sum \mathrm {B} '\left(e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}\right)cos.(ax+a').cos.c\,t\,;\end{aligned}}\right\$
expression dans laquelle les sommes $\sum$ s’étendent à toutes les valeurs possibles des constantes $\mathrm {B,\,B'} ,\,a$ et $a'.$
Nous pouvons regarder cette valeur de $\varphi$ en série d’exponentielles, comme la solution la plus générale des équations simultanées (4), (5) et (6) ; mais pour en pouvoir faire usage, lorsque la masse fluide n’a été primitivement ébranlée que dans une petite étendue, ainsi qu’il arrive dans la production des ondes, il est nécessaire d’y introduire des fonctions arbitraire sque l’on puisse supposer discontinues ; or, c’est à quoi nous allons parvenir au moyen d’un théorême général sur la transformation des fonctions, qui pourra encore être utile dans beaucoup d’autres occasions.
(5) Quelle que soit la fonction $fx,$ continue ou discontinue, pourvu qu’elle ne devienne infinie pour aucune valeur réelle de $x,$ on aura, pour toutes les valeurs réelles de cette variable,
$fx={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha .cos.(ax-a\alpha ).e^{-ak}da\,d\alpha \,;\qquad$
cette intégrale double étant prise depuis $\alpha =-{\frac {1}{0}}$ jusqu’à $\alpha =+{\frac {1}{0}},$ et depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}\,;$ $\pi$ représentant le rapport de la circonférence au diamètre, et $k,$ une quantité positive qu’on devra supposer infiniment petite ou nulle après l’intégration.
En effet, entre les limites $a=0$ et $a={\frac {1}{0}},$ on a
$\int cos.(ax-a\alpha ).e^{-ak}da={\frac {k}{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}\,;$
d’où il suit
$\iint f\alpha .cos.(ax-a\alpha x).e^{-ak}da\,d\alpha =\int {\frac {kf\alpha .d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.$
Or, $f\alpha$ ne devenant jamais infinie, il est évident que cette intégrale simple, sera infiniment petite en même temps que $k,$ excepté dans l’étendue des valeurs de $\alpha$ qui different infiniment peu de $x\,;$ il suffira donc d’intégrer depuis $\alpha =x-u,$ jusqu’à $\alpha =x+u,$ $u$ étant une quantité positive et infiniment petite entre ces limites, $f\alpha$ sera censée constante et égale à $fx\,;$ par conséquent on aura
$\int {\frac {kf\alpha .d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}=fx.\int {\frac {k.d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}=fx.arc\left(tang.={\frac {\alpha -x}{k}}\right)\,;$
intégrale qui devient, entre les limites qu’on vient d’assigner,
$2fx.arc\left(tang.={\frac {u}{k}}\right),$
et qui est égale à $\pi \,fx,$ lorsqu’on y fait $k=0.$ Donc enfin, comme nous l’avons annoncé, l’intégrale double ci-dessus représente la valeur de $fx,$ pour chaque valeur donnée de la variable $x.$
Si la fonction $fx$ était discontinue, qu’elle n’ait de valeurs que pour celles de $x$ qui sont comprises entre $x=-l$ et $x=+l,$ et qu’elle fût nulle pour toute valeur de $x,$ prise hors de ces limites, l’équation (9) subsisterait toujours ; mais alors l’intégrale relative à $\alpha$ ne devrait être prise que depuis $\alpha =-l,$ jusqu’à $\alpha =+l.$ Il faut aussi observer que, dans ce cas, l’intégrale double ne représenterait que la moitié des valeurs de $fx$ qui répondent aux termes extrêmes $x=-l$ et $x=+l.$ C’est ce qu’il est aisé de voir en observant que si l’on suppose, par exemple, $x=+l,$ l’intégrale relative à $\alpha ,$ que nous venons d’évaluer, n’aura de valeurs que depuis $\alpha =l-u,$ jusqu’à $\alpha =l,$ et qu’elle sera égale à ${\frac {\pi }{2}}fl,$ au lieu de $\pi \,fl,$ lorsqu’on y fera $k=0.$
On voit sans peine que notre théorême s’étend aux fonetions de deux ou d’un plus grand nombre de variables ; par exemple, pour deux variables $x$ et $y,$ on démontrera, par les considérations précédentes, que l’on a
$f(x,y)={\frac {1}{\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta ).cos.(ax-a\alpha ).cos.(by-b\beta ).e^{-ka-k'b}da\,db\,d\alpha \,d\beta \,;$
l’intégrale quadruple étant prise entre les limites $\alpha =-{\frac {1}{0}},\alpha =+{\frac {1}{0}},$ $\beta =-{\frac {1}{0}},\beta =+{\frac {1}{0}}\,;$ $a=0,a={\frac {1}{0}}\,;$ $b=0,b={\frac {1}{0}}\,;$ la fonction $f(x,y)$ ne devenant infinie pour aucune valeur réelle de $x$ ou de $y\,;$ et $k,\,k'$ étant des quantités positives qu’on devra faire égales à zéro après les intégrations.
(6) Maintenant, pour appliquer ce théorême à la valeur de o donnée par l’équation (8), supposons que les valeurs de cette fonction et de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ qui répondent à $z=0$ et $t=0,$ soient connues, et représentons-les par
$\varphi =\operatorname {F} x,\qquad {\frac {d\varphi }{dt}}=fx.$
Il s’agira de faire coïncider ces expressions avec celles qu’on déduit de l’équation (8) et de sa différentielle par rapport à $t,$ en y faisant aussi $z=0$ et $t=0\,:$ on a, de cette manière,
${\begin{aligned}\varphi =&\operatorname {F} x=\sum \mathrm {B} '\ \left(e^{ah}+e^{-ah}\right).cos.(ax+a'),\\{\frac {d\varphi }{dt}}=&\ fx\ =\sum \mathrm {B} c\left(e^{ah}+e^{-ah}\right).cos.(ax+a')\,;\end{aligned}}$
or, en comparant ces formules à l’équation (9), on voit qu’il faut prendre
${\begin{aligned}a'&=-a\,\alpha ,\\\mathrm {B} '&={\frac {\operatorname {F} \alpha .e^{-ak}da\,d\alpha }{\pi \left(e^{ah}+e^{-ah}\right)}},\\\mathrm {B} \;&={\frac {f\alpha .e^{-ak}da\,d\alpha }{\pi \,c\left(e^{ah}+e^{-ah}\right)}},\end{aligned}}$
et changer le signe $\sum$ en une intégrale double relative à $a$ et $\alpha .$ Au moyen de ces valeurs l’équation (8) deviendra
${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.c\,t}{c}}.da\,d\alpha \,;\\&+{\frac {1}{\pi }}.\iint \operatorname {F} \alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).cos.c\,t.da\,d\alpha \,;\end{aligned}}$
en supprimant, ce qui est permis, l’exposant infiniment petit $-ka,$ qui devrait s’ajouter aux exposans $a(h-z)$ et $-a(h-z).$
La valeur de $\varphi$ étant ainsi exprimée sous forme finie, on pourra faire telles suppositions qu’on voudra sur les fonctions $f\alpha$ et $\operatorname {F} \alpha$ qui se rapportent à l’état initial du fluide. Cette formule renferme la solution complète du problême qui nous occupe ; car les différences partielles de $\varphi$ par rapport à $x,\,z$ et $t$ feront connaître, au bout du temps $t,$ les vîtesses et la pression qui ont lieu en un point quelconque du fluide (n$^o$ 1) ; et au moyen de l’équation (3), on déterminera, au même instant, la figure de sa surface.
(7) Lorsque la profondeur $h$ est très-petite et qu’on néglige les puissances de $h$ supérieures à la première, les intégrales disparaissent dans la valeur de $\varphi ,$ qui devient alors beaucoup plus simple. En effet l’équation (7) se réduit alors à $c^{2}=ga^{2}h\,;$ d’où l’on tire $c=a{\sqrt {gh}}\,;$ substituant cette valeur dans celle de $\varphi ,$ il vient
${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.a\,t{\sqrt {gh}}}{a{\sqrt {gh}}}}.da\,d\alpha \\&+{\frac {1}{\pi }}.\iint \operatorname {F} \alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).cos.a\,t{\sqrt {gh}}.da\,d\alpha .\end{aligned}}$
En réduisant en série suivant les puissances de $e^{-ah},$ aura une expression de cette forme :
${\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}=\sum \mathrm {A} e^{-ak}\,;$
$k$ étant une quantité positive du même ordre de petitesse que $z$ et $h\,;$ $\mathrm {A}$ désignant un coëfficient indépendant de $\alpha$ et $\sum ,$ la somme d’une série infinie de termes semblables à $\mathrm {A} e^{-ak}.$ La seconde partie de la valeur de $\varphi$ deviendra donc
${\begin{aligned}\varphi ={\frac {1}{2\pi }}.\sum \mathrm {A} \iint &\operatorname {F} \alpha {\Bigcos.\left(ax+at{\sqrt {gh}}-a\alpha \right){\Big .}\\&{\Big .}+cos.\left(ax-at{\sqrt {gh}}-a\alpha \right){\Big )}e^{-ak}da\,d\alpha \,;\end{aligned}}$
$k$
$\varphi ={\frac {1}{2}}{\Big\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {gh}}\right)+\operatorname {F} \left(x-t{\sqrt {gh}}\right){\Big )}\sum \mathrm {A} \,;$
mais en faisant $a=0$ dans la valeur de $\sum \mathrm {A} e^{-ak},$ on a $\sum \mathrm {A} =1\,;$ on aura donc enfin
$\varphi ={\frac {1}{2}}{\Big\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {gh}}\right)+\operatorname {F} \left(x-t{\sqrt {gh}}\right){\Big )}.$
Quant à la première partie de la valeur de $\varphi ,$ elle se déduit évidemment de la seconde en la multipliant par $dt,$ intégrant par rapport à $t,$ et remplaçant la fonction $\operatorname {F}$ par $f\,;$ si donc on fait, pour abréger, $\int fx\,dx=f_{1}x,$ cette seconde partie transformée sera
$\varphi ={\frac {1}{2{\sqrt {gh}}}}{\Bigf_{1}\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)-f_{1}\left(x-t{\sqrt {gh}}\right){\Big )}.$
En l’ajoutant à la précédente et observant que $f$ et $\operatorname {F}$ désignent des fonctions arbitraires, on aura, pour la valeur complète de $\varphi ,$ dans le cas d’une profondeur considérée comme infiniment petite,
$\varphi =fonct.(x+t{\sqrt {gh}})+Fonct.(x-t{\sqrt {gh}}).$
Ce résultat coïncide avec la solution du problême des ondes que M. Lagrange a donnée à la fin de la mécanique analytique, et suivant laquelle les ondes se propagent dans un filet d’eau d’une largeur verticale constante, avec une vîtesse indépendante de l’ébranlement primitif et proportionnelle à la racine quarrée de cette largeur. Mais ce cas n’est pas celui qu’il importe de considérer, et pour nous rapprocher des observations les plus communes, nous allons, au contraire, supposer la profondeur du fluide trèsgrande et comme infinie par rapport à l’étendue des oscillations de ses molécules.
(8) En faisant $h$ infinie, l’équation (7) donne $c={\sqrt {ag}},$ et la valeur générale de $\varphi$ devient
${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha .e^{-az)}.cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.t{\sqrt {ga}}}{\sqrt {ga}}}.da\,d\alpha \\&+{\frac {1}{\pi }}.\iint \operatorname {F} \alpha .e^{-az}.cos.(ax-a\alpha ).cos.t{\sqrt {ga}}.da\,d\alpha .\end{aligned}}$
Avant d’aller plus loin, on peut remarquer que cette formule satisfait à l’équation (4), non-seulement pour la valeur particulière $z=0,$ mais même pour une valeur quelconque de $z,$ ainsi qu’il est facile de le vérifier. Or, en différenciant la valeur de $p$ du n$^o$ 1, par rapport à $t,$ on a
${\frac {1}{\rho }}.{\frac {dp}{dt}}=g{\frac {dz}{dt}}-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=g{\frac {d\varphi }{dz}}-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,;$
quantité nulle en vertu de l’équation (4) ; il s’ensuit donc que quand la profondeur est infinie, la pression $p$ est indépendante du temps ; c’est-à-dire que la même molécule éprouve la même pression pendant toute la durée du mouvement ; propriété qui n’aurait pas lieu dans le cas d’une profondeur finie quelconque.
(9) Pour pouvoir faire usage de cette valeur de $\varphi ,$ il faut connaître les deux fonctions désignées par $f$ et $\operatorname {F}$ qu’elle renferme. On a supposé ${\frac {d\varphi }{dt}}=fx,$ quand $z=0$ et $t=0\,;$ si donc on compte le temps $t$ à partir de l’origine du mouvement, l’équation de la surface à cette origine sera, d’après l’équation (3), $gz'-fx=0\,;$ et comme elle doit être donnée dans chaque cas particulier, il s’ensuit que $fx$ sera aussi connue. Quant à $\operatorname {F} x,$ elle représente la valeur de $\varphi$ qui répond à $t=0\,;$ il serait aisé de prouver que cette quantité exprime la percussion qui a lieu à la surface du fluide, et qui imprime à ses molécules leurs vîtesses initiales : on pourrait donc aussi la supposer donnée en fonction de $x\,;$ mais pour éviter quelques difficultés que présente le cas des vîtesses initiales, nous nous bornerons à considérer celui où le fluide part du repos, et où par conséquent ces vîtesses sont nulles dans toute l’étendue de la masse fluide.
Dans ce cas, la fonction désignée par $\operatorname {F}$ sera nulle, ce qui fera disparaître la seconde partie de la valeur de $\varphi \,;$ de plus, nous mettrons $gfx$ à la place de $fx,$ afin que l’équation de la surface initiale soit $z'=fx,$ et que $fx$ représente l’ordonnée verticale d’un point quelconque de cette surface. Nous aurons alors
$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi }}.\iint f\alpha .e^{-az}cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.t.{\sqrt {ga}}}{\sqrt {a}}}.da\,d\alpha .\qquad$
Ainsi que nous l’avons expliqué au commencement de ce Mémoire, les ondes dont nous aurons à examiner la propagation seront censées produites par l’immersion d’un corps d’une forme donnée. Le fluide étant contenu dans un canal vertical, et les molécules ne devant pas avoir de vîtesse dans le sens de sa largeur, il faudra que ce corps soit un cylindre horizontal perpendiculaire aux parois du canal, et qui en occupe la largeur entière : on l’enfonce dans le fluide jusqu’à une certaine profondeur, et après avoir donné au fluide le temps de revenir à l’état de repos,. on retire subitement le cylindre et l’on abandonne le fluide à l’action de la pesanteur. L’immersion du cylindre détermine la figure initiale du fluide, en sorte que $fx,$ dans la partie où elle n’est pas nulle, est égale à l’ordonnée du contour de la partie plongée de la base, l’axe des $x$ étant la section à fleur d’eau de cette même base. Nous fixerons l’origine de ces abscisses, au milieu de cette section dont nous représenterons la largeur totale par $2l\,;.$ de cette manière $fx$ sera nulle pour toutes les valeurs positives ou négatives de $x,$ qui tomberont hors des limites $x=\pm l,$ et l’intégrale relative à $\alpha ,$ ne devra être prise que depuis $\alpha =-l$ jusqu’à $\alpha =+l$ (n$^o$ 5).
Avant de développer les lois de la propagation de cet ébranlement, soit à la surface, soit dans l’intérieur du fluide, nous allons donner diverses transformations de l’équation (10), qui nous seront utiles dans cette discussion.
(10) Si nous mettons pour le cosinus compris sous l’intégrale double, son expression en exponentielles imaginaires, et que nous fassions
$a=u^{2},\qquad z+(x-\alpha ){\sqrt {-1}}=k,\qquad z-(x-\alpha ){\sqrt {-1}}=k',$
nous aurons
$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi }}.\iint f\alpha \left(e^{-ku^{2}}+e^{-k'u^{2}}\right).sin.ut{\sqrt {g}}.du\,d\alpha ,$
et les limites relatives à $u$ seront encore zéro et l’infini ;
$\int e^{-ku^{2}}.sin.ut{\sqrt {g}}.du=y,\qquad \int e^{-k'u^{2}}.sin.ut{\sqrt {g}}.du=y'\,;$
il en résultera
$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi }}.\int f\alpha .(y+y')d\alpha \,;$
et il suffira de transformer l’expression de $y\,;$ celle de $y'$ s’en déduira en y changeant $k$ en $k'.$
Or, en différenciant par rapport à $t,$ on a
${\frac {dy}{dt}}={\sqrt {g}}.\int e^{-ku^{2}}.cos.ut{\sqrt {g}}.du\,;$
intégrant par parties, et ayant égard aux limites $u=0$ et $u={\frac {1}{0}},$ il vient
${\frac {dy}{dt}}={\frac {\sqrt {g}}{2k}}-{\frac {gt}{2k}}.\int e^{-ku^{2}}.sin.tu{\sqrt {g}}.du\,:$
pour déterminer $y,$ on aura donc
${\frac {dy}{dt}}+{\frac {gt}{2k}}.y={\frac {\sqrt {g}}{2k}}.$
J’intègre cette équation, ce qui donne
$y={\frac {\sqrt {g}}{2k}}.e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}.\int e^{\frac {gt^{2}}{4k}}dt\,;$
et l’intégrale devra être prise de manière qu’elle s’évanouisse quand $t=0,$ puisqu’alors on doit avoir $y=0.$ En mettant $tv$ à la place de $t,$ cette valeur de $y$ devient
$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}.\int e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4k}}}dv\,;$
l’intégrale étant prise depuis $v=0$ jusqu’à $v=1.$ On aura semblablement
$y'={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k'}}.\int e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4k'}}}dv\,;$
substituant ces expressions dans celle de $\varphi ,$ remettant pour $k$ et $k'$ leurs valeurs, et faisant disparaître les imaginaires, il nous vient, toutes réductions faites,
${\begin{aligned}\varphi ={\frac {gt}{\pi }}.\iint &{\frac {f\alpha }{z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.e^{-{\frac {gt^{2}z\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}}\left(z.cos.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}\right.\\&\left.+(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}\right)dv\,d\alpha .\qquad \quad (11)\end{aligned}}$
(11) Les valeurs de $y$ et $y'$ se réduisent facilement en séries ordonnées suivant les puissances de $t^{2}.$ Si l’on fait généralement
$\int (1-v^{2})^{n}dv=\mathrm {A} _{n},$
on aura
$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}\left(\mathrm {A} _{0}-{\frac {gt^{2}}{4k}}.\mathrm {A} _{1}+\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{2}.{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}}-\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{3}.{\frac {\mathrm {A} _{3}}{2.3}}\right.$
$\left.+\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{4}.{\frac {\mathrm {A} _{4}}{2.3.4}}-{\text{etc}}.\right)\,;$
en intégrant par parties, et ayant égard aux limites $v=0$ et $v=1,$ on trouve
$\mathrm {A} _{n}={\frac {2n}{2n+1}}.A_{n-1}\,;$
$\mathrm {A} _{0}=1,$
$\mathrm {A} _{n}={\frac {2^{n}.(1.2.3\ldots n)}{1.3.5.7\ldots 2n+1}}\,;$
d’où il résulte
$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}\left(1-{\frac {1}{1.3}}.{\frac {gt^{2}}{2k}}+{\frac {1}{1.3.5}}.\left({\frac {gt^{2}}{2k}}\right)^{2}-{\frac {1}{1.3.5.7}}.\left({\frac {gt^{2}}{2k}}\right)^{3}\right.$
$\left.+{\frac {1}{1.3.5.7.9}}.\left({\frac {gt^{2}}{2k}}\right)^{4}-{\text{etc}}.\right).$
En changeant $k$ en $k',$ on aura de même le développement de $y',$ et par suite celui de la fonction $\varphi .$ Cette série sera d’autant plus convergente, que la variable $t$ sera plus petite ; mais quelque petit que soit le temps, il est important d’observer que ce développement de $\varphi$ suivant les puissances de $t,$ sera en défaut relativement aux points de la surface fluide, compris dans l’étendue de l’ébranlement primitif. En effet on aura, par rapport à ces points, $z=0,$ $k=(x-\alpha ){\sqrt {-1}},$ $k'=-(x-\alpha ){\sqrt {-1}}\,;$ de plus, l’abscisse $x$ sera comprise entre les limites $\pm l$ de l’intégrale relative à $\alpha \,;$ par conséquent, les puissances de $x-\alpha ,$ qui seront aux dénominateurs dans les valeurs de $y$ et $y'$ en séries, deviendront nulles entre ces limites, et en même temps les intégrales des termes de ces séries substituées dans la valeur de $\varphi ,$ deviendront infinies. Relativement à ces points particuliers, la fonction $\varphi$ n’est pas susceptible de se développer suivant les puissances de $t,$ non plus que les différences partielles ${\frac {d\varphi }{dt}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}}\,;$ et si l’on veut connaître, à un instant quelconque, la vîtesse horizontale ou verticale d’un de ces points, on ne pourra en déterminer la valeur numérique que par la méthode des quadratures, au moyen de l’équation (10) différenciée par rapport à $x$ ou à $z.$
Si, au contraire, on suppose qu’il s’agisse d’un point très-éloigné de l’ébranlement primitif, et si l’on néglige en conséquence $\alpha$ par rapport à $x$ et $z,$ dans les valeurs de $k$ et $k',$ elles se réduiront à $k=z+x{\sqrt {-1}},$ $k'=z-x{\sqrt {-1}},$ et en faisant la somme des valeurs de $y$ et $y'$ en séries, on aura
$y+y'={\frac {t{\sqrt {g}}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\left(k+k'-{\frac {k^{2}+k_{'2}}{1.3}}.{\frac {gt^{2}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\right.$
$\left.+{\frac {k^{3}+k_{'3}}{1.3.5}}.\left({\frac {gt^{2}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\right)^{2}-{\frac {k^{4}+k_{'4}}{1.3.5.7}}.\left({\frac {gt^{2}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\right)^{3}+{\text{etc}}.\right).$
Donc, en faisant $\int f\alpha \,d\alpha =\mathrm {A} ,$ de manière que $\mathrm {A}$ soit l’aire du segment plongé qui a produit l’ébranlement, nous aurons
$\varphi ={\frac {gt\mathrm {A} }{\pi }}.\left({\frac {z}{z^{2}+x^{2}}}-{\frac {\left(z^{2}-x^{2}\right)gt^{2}}{6\left(z^{2}+x^{2}\right)^{2}}}+{\frac {\left(z^{3}-3zx^{2}\right)g^{2}t^{4}}{60\left(z^{2}+x^{2}\right)^{3}}}-{\text{etc}}.\right).$
De-là on tirera des séries semblables et qu’il est inutile d’écrire, pour les valeurs des vîtesses ${\frac {d\varphi }{dx}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}}.$ On aurait obtenu la même valeur de $\varphi ,$ au moyen de l’équation (10), en remplaçant, sous le signe intégral, $x-\alpha$ par $x,$ et développant $sin.t{\sqrt {gu}}$ suivant les puissances de $t.$
(12) Ces résultats montrent que dans un fluide incompressible, comme celui que nous considérons, l’ébranlement produit en un point quelconque se transmet instantanément dans toute l’étendue de la masse ; car quelque petit que soit $t,$ et, au contraire, quelque grandes que soient les coordonnées $x$ et $z,$ les vîtesses ${\frac {d\varphi }{dx}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}}$ auront toujours des valeurs finies et assignables. Si l’on veut savoir suivant quelles lois le mouvement commence, ou quelles sont les valeurs de ces vîtesses dans le premier moment, il suffira de conserver les premiers termes des séries qui les représentent, et l’on aura simplement
${\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {2gt\mathrm {A} }{\pi }}.{\frac {2x}{\left(z^{2}+x^{2}\right)^{2}}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {gt\mathrm {A} }{\pi }}.{\frac {x^{2}-z^{2}}{\left(z^{2}+x^{2}\right)^{2}}}.$
Appelant $r$ la distance d’une molécule au centre de l’ébranlement, et $\theta$ l’angle que ce rayon $r$ fait avec la verticale menée par ce centre, c’est-à-dire supposant
$z=r.cos.\theta ,\qquad x=r.sin.\theta \,;$
ces vîtesses deviendront
${\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {gt\mathrm {A} .sin.2\theta }{\pi \,r^{2}}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {gt\mathrm {A} .cos.2\theta }{\pi \,r^{2}}}\,;$
et si nous désignons par $\mathrm {V} ,$ leur résultante, nous aurons
$\mathrm {V} ={\frac {gt\mathrm {A} }{\pi \,r^{2}}}.$
Ainsi les premières vîtesses des molécules sont les mêmes, à distances égales du lieu de l’ébranlement ; elles suivent la raison inverse du quarré de cette distance, et sont proportionnelles au temps et à l’aire $\mathrm {A} .$ On voit aussi, d’après le rapport de la vîțesse verticale à la vîtesse horizontale, que chaque molécule commence à se mouvoir suivant une direction qui fait avec la verticale un angle $2\theta ,$ double de celui qui répond à la direction du rayon $r.$
(13) est bon de connaître, aussi les lois suivant lesquelles le mouvement finit dans la masse fluide, ou les valeurs des vîtesses qui ont lieu au bout d'un temps très-considérable ; pour cela nous allons chercher à développer la fonction suivant les puissances négatives de $t.$
En faisant $1-v^{2}=u,$ la valeur de $y$ du n$^o$ 10 devient
$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{4k}}.\int {\frac {e^{-{\frac {gt^{2}x}{4k}}}du}{\sqrt {1-u}}}\,;$
l'intégrale doit encore être prise depuis $u=0$ jusqu'à $u=1\,;$ mais nous la partagerons en deux portions : la première depuis $u=0$ jusqu'à $u=1-a,$ et la seconde depuis $u=1-a$ jusqu'à $u=1\,;$ la quantité $a$ étant une indéterminée dont nous nous réservons de disposer convenablement.
Par le procédé de l'intégration par parties, on réduit la première portion en cette double série :
${\begin{aligned}&{\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}+1.3.5.7.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right)\\-&{\frac {1}{t{\sqrt {ga}}}}e^{-{\frac {gt^{2}(x-a)}{4k}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}a}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}a}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}a}}\right)^{3}+{\text{etc}}.\right).\end{aligned}}$
La secondę portion sera exprimée par l'intégrale
${\frac {t{\sqrt {g}}}{4k}}e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}\int e^{-{\frac {gt^{2}a}{4k}}}{\frac {da}{\sqrt {a}}},$
$a=0$ jusqu’à la valeur indéterminée de $a.$ Or, en faisant
$arc\left(cos.={\frac {z}{\sqrt {z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}}\right)=\psi ,$
la valeur de $k$ prend la forme :
$k={\sqrt {z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.e^{\psi {\sqrt {-1}}}\,;$
et si l’on fait en même temps
$a={\frac {2{\sqrt {z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}}{gt^{2}}}.b^{2},$
on aura, pour la valeur complète de $y,$
$y={\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}\right.$
$\left.+1.3.5.7.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right)+{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt[{4}]{4x^{2}+4(x-\alpha )^{2}}}}.e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}},$
en posant, pour abréger,
$\mathrm {B} =e^{-\psi {\sqrt {-1}}}\int db\,e^{{\frac {b^{2}}{2}}\left(cos.\psi -sin.\psi .{\sqrt {-1}}\right)}$
$+{\frac {1}{b}}e^{{\frac {b^{2}}{2}}\left(cos.\psi -sin.\psi .{\sqrt {-1}}\right)}\left(1+{\frac {e^{-\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{2}}}\right.$
$\left.+{\frac {1.3.e^{-2\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{4}}}+{\frac {1.3.5.e^{-3\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{6}}}+{\frac {1.3.5.7.e^{-4\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{8}}}+etc.\right)\,;$
l’intégrale relative à $b$ devant s’évanouir quand $b=0,$ et s’étendre à une valeur indéterminée de cette quantité.
Maintenant on peut prendre $b$ de manière que la série contenue dans $\mathrm {B}$ soit aussi convergente que l’on voudra dans ses premiers termes, ce qui suffit pour en pouvoir calculer la valeur approchée : par la méthode des quadratures, on obtiendra la valeur de l’intégrale relative à $b,$ contenue également dans $\mathrm {B} \,;$ on pourrait donc calculer par approximation la valeur complète de cette quantité ; mais ici, il nous suffira d’observer qu’elle est indépendante de $t\,;$ d’où il résulte que quand $t$ est supposé très-grand, il est permis, en général, de supprimer le terme qui renferme $\mathrm {B}$ dans la valeur de $y,$ à cause du facteur exponentiel $e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}$ qui devient alors extrêmement petit. Je dis en général, parce qu’en remettant pour $k$ sa valeur $z+(x-\alpha ){\sqrt {-1}},$ on a
$e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}=e^{-{\frac {gt^{2}z}{4z^{2}+4(x-\alpha )^{2}}}}\left(cos.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )}{4z^{2}+4(x-\alpha )^{2}}}-sin.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )}{4z^{2}+4(x-\alpha )^{2}}}{\sqrt {-1}}\right).$
Or, en même temps que $gt^{2}$ est très-grand par rapport à $x,$ si cette abscisse est aussi très-grande par rapport à l’ordonnée $z,$ de telle sorte que ${\frac {x}{z}}$ soit du même ordre de grandeur que ${\frac {gt^{2}}{x}},$ il arrivera, que l’exposant négatif du facteur exponentiel cessera d’être très-grand, et le facteur d’être très-petit ; par conséquent il ne sera plus permis de supprimer le terme multiplié par ce facteur. Cette exception aura lieu pour les points de la surface, et généralement pour les points qui sont tels que la droite qui les joint au centre de l’ébranlement primitif fait un très-petit angle avec le niveau du fluide ; en convenant donc de ne pas les considérer, nous pouvons supprimer le terme qui renferme $\mathrm {B} .$ dans la valeur de $y,$ et nous aurons simplement
$y={\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}\right.$
$\left.+1.3.5.7.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right).$
Changeant $k$ en $k'$ pour avoir $y',$ l’ajoutant ensuite à $y,$ et remettant pour $k$ et $k',$ leurs valeurs, il vient
$y+y'={\frac {2}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2z}{gt^{2}}}+{\frac {12\left(z^{2}-(x-\alpha )^{2}\right)}{g^{2}t^{4}}}+{\frac {120\left(z^{3}-3z(x-\alpha )^{2}\right)}{g^{3}t^{6}}}+{\text{etc}}.\right).$
Si donc on fait
$\int f\alpha .d\alpha =\mathrm {A} ,\qquad \int f\alpha .\alpha d\alpha =\mathrm {A} ',\qquad \int f\alpha .\alpha ^{2}d\alpha =\mathrm {A} '',{\text{ etc}}.,$
la valeur de $\varphi$ du n$^o$ 10 deviendra
$\varphi ={\frac {2}{\pi \,t}}\left(\mathrm {A} +{\frac {2z\mathrm {A} }{gt^{2}}}+{\frac {12\left(\mathrm {A} z^{2}-\mathrm {A} x^{2}+2\mathrm {A} 'x-\mathrm {A} ''\right)}{g^{2}t^{4}}}\right.$
$\left.+{\frac {120\left(\mathrm {A} z^{3}-3\mathrm {A} zx^{2}+6\mathrm {A} 'zx-3\mathrm {A} ''z\right)}{g^{3}t^{6}}}+{\text{etc}}\right).$
On déduira de-là pour ${\frac {d\varphi }{dx}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}},$ des valeurs en séries qui seront d’autant plus exactes que le temps sera plus considérable.
En s’en tenant au premier terme de chacune de ces valeurs, afin de connaître les dernières vîtesses des molécules, on aura
${\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {48(\mathrm {A} x-\mathrm {A} ')}{\pi \,g^{2}t^{5}}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {4\mathrm {A} }{\pi \,gt^{3}}}.$
On voit donc que, vers la fin du mouvement, les vîtesses horizontales sont insensibles par rapport aux vîtesses verticales, puisque celles-ci sont en raison inverse du cube du temps, et les autres en raison inverse de sa cinquième puissance. La valeur de ${\frac {d\varphi }{dz}}$ étant positive et indépendante des cordonnées $x$ et $z,$ il s’ensuit que le mouvement final est le même pour toutes les molécules que nous considérons, et qu’il se fait dans le sens de la pesanteur.
(14) Il est important d’observer, pour l’exactitude de notre analyse, que le corps dont l’immersion produit l’ébranlement du fluide ne doit jamais être très-enfoncé, c’est-à-dire, que la flèche du segment plongé doit toujours être assez petite par rapport à sa section à fleur d’eau ; car si le contraire avait lieu il est évident que, dans le premier moment, les mêmes molécules ne pourraient plus rester à la surface du fluide ; ce qui détruirait l’hypothèse du n$^o$ 2 sur laquelle est fondée l’une des équations différentielles dont nous sommes partis. Or, quelle que soit la forme du corps, si on le suppose très-peu enfoncé, la courbe qui termine le segment plongé se confondra sensiblement avec sa parabole osculatrice au point le plus bas ; dans ce cas,, on pourra donc prendre pour $fx,$ qui représente l’ordonnée verticale de cette courbe, une valeur de cette forme :
$fx={\frac {h\left(l^{2}-x^{2}\right)}{l^{2}}}\,;$
$h$ étant la flèche du segment plongé, et $l$ représentant, comme dans le n$^o$ 9, la demi-largeur de sa base. Au moyen de cette valeur, l’équation (10) du même numéro devient
$\varphi ={\frac {h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\iint \left(l^{2}-\alpha ^{2}\right)e^{-az}.cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.t{\sqrt {g\alpha }}}{\sqrt {a}}}da\,d\alpha \,;\quad$
$\alpha$
$\alpha =-l$
$\alpha =+l.$
Cette intégration peut s’effectuer par les règles ordinaires : en ayant égard à ses limites, on trouve
$\varphi ={\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(sin.al-al.cos.al)}{a^{3}}}.e^{-az}.cos.ax.{\frac {sin.t{\sqrt {ga}}}{\sqrt {a}}}.da.$
On déduit de-là, pour l’ordonnée $z'$ de la surface, en vertu de l’équation (3) du n$^o$ 1,
$z'={\frac {4h}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(sin.al-al.cos.al)}{a^{3}}}.e^{-az}.cos.ax.cos.t{\sqrt {ga}}.da\,;$
et pour l’expression des vîtesses horizontale et verticale d’une molécule quelconque
${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dx}}&=-{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(sin.al-al.cos.al)}{a^{2}}}.e^{-az}.sin.ax.{\frac {sin.t{\sqrt {ga}}}{\sqrt {a}}}.da,\\{\frac {d\varphi }{dz}}&=-{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(sin.al-al.cos.al)}{a^{2}}}.e^{-az}.cos.ax.{\frac {sin.t{\sqrt {ga}}}{\sqrt {a}}}.da.\end{aligned}}$
Ces diverses intégrales relatives, à $a$ ne peuvent pas s’obtenir sous forme finie ; mais on peut assigner des limites à leurs valeurs qui auront l’avantage de prouver que cette ordonnée et ces vîtesses demeurent toujours très-petites et de l’ordre de la quantité $h\,;$ ce qui est aussi très-important pour l’exactitude de notre analyse ; car si les vîtesses des molécules pouvaient cesser d’être très-petites pour certaines valeurs de $x,\,z$ et $t,$ les équations différentielles des n$^{os}$1 et 2 ne seraient plus exactes, et l’on serait fondé à douter des résultats qui s’en déduisent, même pour d’autres valeurs de ees variables.
(15) Pour obtenir les limites dont nous parlons, j’observe que chaque intégrale devant être prise depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}},$ on peut la partager en deux portions : l’une depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{l}},$ et l’autre depuis $a={\frac {1}{l}}$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}.$ Dans la première partie, on a
$sin.al-al.cos.al<{\frac {a^{3}l^{3}}{3}},$
comme on peut s’en assurer par le développement en série ; dans la seconde, on pourra supposer
$sin.al-al.cos.al<1+al\,;$
d’ailleurs l’exponentielle $e^{-az}$ et les sinus et cosinus de $ax$ et de $t{\sqrt {ag}},$ sont toujours moindres que l’unité ; mettant donc l’unité à la place de chacune de ces quantités, et remplaçant le facteur $sin.al-al.cos.al,$ par les limites de sa valeur, on en conclura, abstraction faite du signe,
${\begin{aligned}z'<&{\frac {4h}{\pi \,l^{2}}}.\int '{\frac {l^{3}da}{3}}+{\frac {4h}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(1+al)da}{a^{3}}},\\{\frac {d\varphi }{dx}}{\text{ et }}&{\frac {d\varphi }{dz}}<{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int '{\frac {l^{3}{\sqrt {a}}da}{3}}+{\frac {4h{\sqrt {g}}}{\pi \,l^{2}}}.\int {\frac {(1+al)da}{a^{3}{\sqrt {a}}}}\,;\end{aligned}}$
les intégrales indiquées par $\int '$ devant être prises depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{l}},$ et les autres, depuis $a={\frac {1}{l}}$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}.$ En effectuant le calcul, on trouve
$z'<{\frac {22h}{3\pi }},\qquad {\frac {d\varphi }{dx}}{\text{ et }}{\frac {d\varphi }{dz}}<{\frac {104h}{9\pi \,l}}.{\sqrt {gl}},$
pour les limites demandées.
(16) Il est encore bon de vérifier que la valeur de $z'$ qui répond à $t=0,$ coïncide avec la valeur initiale de cette ordonnée, savoir :
$z'={\frac {h\left(l^{2}-x^{2}\right)}{l^{2}}},\qquad {\text{ou}}\qquad z'=0,$
selon que la variable $x$ est comprise entre $-l$ et $+l,$ ou qu’elle tombe hors de ces limites.
Pour cela, après avoir fait $t=0$ dans l’expression générale de $z',$ j’observe qu’on peut l’écrire sous cette forme :
${\begin{aligned}z'&={\frac {2h}{\pi \,l^{2}}}\left[\int {\frac {sin.a(l+x)-a(l+x).cos.a(l+x)}{a.^{3}}}da\right.\\&-x\int {\frac {1-cos.a(l+x)}{a^{2}}}.da+\int {\frac {sin.a(l-x)-a(l-x).cos.a(l-x)}{a.^{3}}}.da\\&+\left.x.\int {\frac {1-cos.a(l-x)}{a^{2}}}.da\right]\,;\end{aligned}}$
ces quatre intégrales étant toujours prises depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}.$ Or, d’après une formule connue, on a, entre ces limites,
$\int {\frac {sin.ay}{a}}.da=\pm {\frac {\pi }{2}},$
en prenant le signe $+$ ou le signe $-,$ suivant que la quantité $y$ est positive ou négative ; si donc, pour fixer les idées, on suppose $x$ positive ; que l’on multiplie cette équation par $dy,$ et qu’on intègre ensuite par rapport à $y,$ depuis $y=0$ jusqu’à $y=l+x,$ on en conclura
$\int {\frac {1-cos.a(1+x)}{a^{2}}}.da={\frac {\pi }{2}}(l+x).$
De même, si l’on change la formule citée, en celle-ci :
$\int {\frac {a^{2}y.sin.ay}{a^{3}}}.da={\frac {\pi \,y}{2}}\,;$
qu’on la multiplie encore par $dy,$ et qu’on intègre depuis $y=0$ jusqu’à $y=l+x,$ on aura
$\int {\frac {sin.a(l+x)-a(l+x).cos.a(l+x)}{a^{3}}}.da={\frac {\pi }{4}}(x+l)^{2}.$
On trouvera de même, en intégrant ces formules depuis $y=0$ jusqu’à $y=l-x,$
$\int {\frac {1-cos.a(l-x)}{a^{2}}}.da=\pm {\frac {\pi }{2}}(l-x),$
$\int {\frac {sin.a(l-x)-a(l-x).cos.a(l-x)}{a^{3}}}.da=\pm {\frac {\pi }{4}}(l-x)^{2}\,;$
pourvu que l’on prenne les signes supérieurs, quand $l-x$ est positive, et les inférieurs, dans le cas contraire.
Je substitue les valeurs de ces quatre intégrales, dans $z'\,;$ en faisant les réductions, il vient
$z'={\frac {h}{2l^{2}}}\left[l^{2}-x^{2}\pm \left(l^{2}-x^{2}\right)\right]\,;$
le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu, suivant qu’on a $x<l$ ou $x>l\,:$ on aura donc, dans le premier cas, $z'={\frac {h\left(l^{2}-x^{2}\right)}{l^{2}}},$ et dans le second, $z'=0\,;$ ce qu’on se proposait effectivement de vérifier.
(17) En supposant le corps qui a produit les ondes, très-peu enfoncé dans le fluide, les lois de leur propagation apparente à sa surface, dépendent, dans le cas que nous considérons, de la valeur de $z',$ déduite immédiatement de l’équation (12). Nous aurons de cette manière
$z'={\frac {h}{\pi \,l^{2}}}\iint \left(l^{2}-x^{2}\right).cos.(ax-a\alpha ).cos.t{\sqrt {ga}}.da\,d\alpha \,;$
l’intégrale double étant prise depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}},$ et depuis $\alpha =-l$ jusqu’à $\alpha =+l.$
Il est aisé de voir, d’après cette expression, que les valeurs de $z'$ seront égales et de mêmes signes, pour des valeurs de x égales et de signes contraires ; la propagation des ondes est donc semblable de part et d’autre de l’ébranlement primitif, et il nous suffira, par exemple, d’examiner ce qui a lieu dans le sens des $x$ positives. Relativement aux points voisins de cet ébranlement, les valeurs de $z'$ ne présentent rien de remarquable ; ce n’est que dans la partie qui en est éloignée, que la propagation se fait suivant des lois régulières qui méritent d’être déterminées : nous supposerons donc, dans ce qui va suivre, la variable $x$ positive et très-grande par rapport à la demi-largeur $l$ de l’ébranlement primitif, et, par conséquent aussi, très-grande par rapport à la variable $\alpha .$
(18) Cela posé, voici comment on peut transformer l’intégrale relative à $a,$ dont les limites sont zéro et l’infini, en une autre plus simple dont les limites seront zéro et l’unité.
En faisant $a=v^{2},$ les limites relatives à $v$ restent les mêmes que part rapport à $a,$ et l’on a
${\begin{aligned}\int cos.(ax-a\alpha ).cos.t{\sqrt {ga}}.da&=\int cos.\left(v^{2}(x-\alpha )+vt{\sqrt {g}}\right)dv\\&+\int cos.\left(v^{2}(x-\alpha )-vt{\sqrt {g}}\right).dv.\end{aligned}}$
Dans la première de ces deux intégrales relatives à $v,$ faisons
$v{\sqrt {x-\alpha }}+{\frac {t{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}}={\frac {v't{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}},$
et dans la seconde
$v{\sqrt {x-\alpha }}-{\frac {t{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}}={\frac {v''t{\sqrt {g}}}{2{\sqrt {x-\alpha }}}}\,;$
nous aurons
${\begin{aligned}\int cos.(ax-a\alpha )&.cos.t.{\sqrt {ga}}.da=\\&\quad {\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(v^{'2}-1\right)}{4(x-\alpha )}}\right).(v'-1)dv'\\&+{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(v^{''2}-1\right)}{4(x-\alpha )}}\right).(v''-1)dv''\,;\end{aligned}}$
et comme à $v=0$ répondent $v'=1$ et $v''=-1,$ et que pour $v={\frac {1}{0}},$ on a $v'={\frac {1}{0}},$ $v''={\frac {1}{0}},$ il s’ensuit que la première de ces deux nouvelles intégrales sera prise depuis $v'=1$ jusqu’à $v'={\frac {1}{0}},$ et la seconde, depuis $v''=-1$ jusqu’à $v''={\frac {1}{0}}.$ Or, en considérant ces limites avec un peu d’attention, il est facile de voir que la somme de ces deux intégrales définies est équivalente à celle-ci :
${\begin{aligned}\int cos.(ax-a\alpha ).cos.t&{\sqrt {ga}}.da={\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(u^{'2}-1\right)}{4(x-\alpha )}}\right).u'du'\\&+{\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right).(1-u)du\end{aligned}}$
l’intégrale relative à $u'$ étant prise depuis $u'=0$ jusqu’à $u'={\frac {1}{0}},$ et l’autre, depuis $u=0$ jusqu’à $u=1.$ Mais par rapport à ces limites, on a
${\begin{aligned}&\int cos.\left({\frac {gt^{2}u^{'2}}{4(x-\alpha )}}\right).u'du'=0,\quad \int sin.{\frac {gt^{2}u^{'2}}{4(x-\alpha )}}.u'du'={\frac {2(x-\alpha )}{gt^{2}}},\\&\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right).u\,du={\frac {2(x-\alpha )}{gt^{2}}}.sin.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}\,;\end{aligned}}$
et, en substituant ces valeurs dans la formule précédente, on obtient ce résultat remarquable :
$\int cos.(ax-a\alpha ).sin.t{\sqrt {ga}}.da={\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du,\quad (13)$
au moyen duquel la valeur de $z'$ devient
$z'={\frac {hgt^{2}}{2\pi \,l^{2}}}.\iint {\frac {l^{2}-\alpha ^{2}}{(x-\alpha )^{2}}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du\,da.\qquad (14)$
Pour qu’il ne puisse rester aucun doute sur cette transformation, il est bon d’observer que cette valeur de $z'$ résulte immédiatement de l’équation (11) du n$^o$ 10, еn y faisant
$f\alpha ={\frac {h\left(l^{2}-\alpha ^{2}\right)}{l^{2}}}.$
En effet, en vertu de l’équation (3) du n$^o$ 1, on en déduit
$z'={\frac {h}{\pi \,l^{2}}}\iint {\frac {l^{2}-\alpha ^{2}}{(x-\alpha )^{2}}}\left[(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right.$
$\left.+{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{2}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right].dv\,d\alpha \,;$
mais on a identiquement
$\int \left[(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}-{\frac {gt^{2}v^{2}}{2}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right].dv$
$=(x-\alpha )v.\sin .{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\,;$
et comme cette quantité est nulle aux deux limites $v=0$ et $v=1,$ la nouvelle valeur de $z'$ devient la même que la précédente, en y mettant $u$ à la place de $v.$
(19) Lorsque $x$ est très-grande par rapport à $\alpha ,$ nous venons de le supposer, on peut remplacer, hors du cosinus, $x-a$ par $x\,;$ et si, en même temps, la quantité $gt^{2}$ n’est pas très-grande par rapport à $x,$ on peut aussi mettre $x$ à la place de $x-\alpha ,$ sous le cosinus. De cette manière, l’intégration relative à $\alpha$ s’effectue immédiatement : entre les limites $\alpha =-l$ et $\alpha =+l,$ on a $\int \left(l^{2}-\alpha ^{2}\right)dl={\frac {4l^{3}}{3}}\,;$ et il en résulte pour $z',$ cette valeur approchée :
$z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4x}}.du.\qquad$
Elle se réduit sans difficulté en série suivant les puissances de $gt^{2}\,:$ si l’on fait généralement
$\int \left(1-u^{2}\right)^{n}du=\mathrm {A} _{2},$
on aura d’abord
$z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}.\left(\mathrm {A} _{0}-{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{2}+{\frac {\mathrm {A} _{4}}{2.3.4}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{4}\right.$
$\left.-{\frac {\mathrm {A} _{6}}{2.3.4.5.6}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{6}+{\text{etc}}.\right)\,;$
on trouvera, comme dans le n$^o$ 11,
$\mathrm {A} _{2n}={\frac {4^{n}(1.2.3\ldots 2n)}{1.3.5.7\ldots 4n+1}}\,;$
par conséquent on aura
$z'={\frac {4hl}{3\pi \,x}}\left({\frac {gt^{2}}{2x}}-{\frac {1}{1.3.5.7}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{3}+{\frac {1}{1.3.5.7.9.11}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{5}\right.$
$\left.-{\frac {1}{1.3.5.7.9.11.13}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{7}+{\text{etc}}.\right)\,;$
série que l’on déduirait aussi très-aisément des séries trouvées dans ce même numéro.
En s’en tenant à son premier terme, on aurait
$z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}\,;$
valeur positive, qui montre qu’à une distance sensible du lieu de l’ébranlement, le fluide commence par s’abaisser au-dessous de son niveau primitif, et que cet abaissement est d’abord proportionnel au quarré du temps, et en raison inverse du quarré de cette distance.
Si l’on égale à zéro la différentielle de $z',$ prise par rapport à $x,$ on déterminera, pour un instant donné, les points les plus élevés et les plus abaissés de la surface fluide, lesquels seront les sommets des ondes apparentes qui se propageront à cette surface. En faisant, pour abréger,
$\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{2}=p,$
cette équation ${\frac {dz'}{dx}}=0,$ sera
$1-{\frac {2p}{1.3.5}}+{\frac {3p^{2}}{1.3.5.7.9}}-{\frac {4p^{3}}{1.3.5.7.9.11.13}}$
$+{\frac {5p^{4}}{1.3.5.7.9.11.13.15.17}}-{\text{etc}}.=0.\qquad$
Ses racines réelles et positives feront connaître les points dont nous parlons ; elles seront en nombre infini, et formeront une suite continuellement croissante ; mais on devra rejeter toutes les valeurs très-grandes de $p,$ parce que l’équation (15) dont nous sommes partis, suppose que le rapport de $gt^{2}$ à $x,$ et par conséquent $p,$ n’est pas devenu une très-grande quantité.
Relativement à une racine quelconque de cette équation, on aura
$x={\frac {gt^{2}}{2{\sqrt {p}}}},$
où l’on voit que le mouvement apparent de chaque ordonnée maxima ou minima, est analogue à celui des corps pesans dans le vide, avec une vîtesse indépendante de l’ébranlement primitif, et qui sera à celle de ces corps, comme l’unité est à ${\sqrt {p}}.$ Chacune de ces ordonnées ayant ainsi sa vîtesse particulière, les sommets des ondes s’écarteront les uns des autres, à mesure qu’ils s’éloigneront du lieu de l’ébranlement ; et les intervalles entre deux sommets, successifs, qu’on peut prendre pour largeurs des ondes, croîtront en raison directe du quarré du temps. Au contraire, leurs hauteurs, ou les ordonnées de leurs sommets, suivront la
$z'$
${\frac {gt^{2}}{2x}},$ que donne l’équation précédente, on aura évidemment un résultat de cette forme :
${\overline {z}}'={\frac {hl}{gt^{2}}}.\mathrm {P} \quad {\text{ou}}\quad z'={\frac {hl}{x}}.\mathrm {P} '\,;$
$\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ désignant des quantités numériques, indépendantes de $x$ et de $t.$
(20) Parmi ces ondes successives, la plus importante à considérer, est celle dont le mouvement est le plus rapide, ou qui précède toutes les autres, parce qu’encore bien que le mouvement se transmette instantanément dans toute la masse fluide, cependant c’est à cette onde qu’on peut rapporter le premier ébranlement sensible de la surface aux points où elle parvient. Elle répond à la plus petite racine de l’équation (16) ; or, après un très-petit nombre d’essais, on trouve que cette racine est comprise, entre $9{,}4$ et $9{,}5\,;$ et, par la méthode ordinaire, on obtient, pour sa valeur approchée, $p=9{,}4482.$ On aura donc, pour le mouvement du sommet de la première onde,
$x={\frac {gt^{2}}{2}}(0{,}3253)\,;$
ce qui montre que ce point se propage avec une vîtesse qui est un peu moindre que le tiers de celle des corps pesans. On trouve pour son ordonnée, calculée au moyen de la série précédente et correspondante à cette racine de l’équation (16),
$z'={\frac {hl}{gt^{2}}}(3{,}6777),\quad {\text{ou}}\quad z'={\frac {hl}{x}}(0{,}5982).$
La seconde racine de cette équation est comprise entre $71$ et $72\,;$ en prenant $p=71{,}5,$ on a, pour le mouvement de la deuxième onde, rapporté à son sommet,
$x={\frac {gt^{2}}{2}}(0{,}1183),$
et pour l’ordonnée verticale de ce point,
$z'=-{\frac {hl}{gt^{2}}}.(25{,}114),\quad {\text{ou}}\quad z'=-{\frac {hl}{x}}(1{,}4512).$
(21) La variable $x$ étant toujours très-grande par rapport à $\alpha ,$ lorsque ${\frac {gt^{2}}{4}}$ est aussi devenue très-grande relativement à $x,$ de manière que le rapport ${\frac {gt^{2}}{4x}}$ soit du même ordre que ${\frac {x}{\alpha }},$ il n’est plus permis de remplacer, dans l’équation (14), $x-\alpha$ par $x$ sous le cosinus qu’elle renferme ; car on a, à très-peu près,
${\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}={\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4x}}+{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)u}{4x^{2}}}\,;$
et quelque grand que soit le premier terme, si l’on en retranche la somme des circonférences entières qu’il contient, il devient du même ordre que le second ; par conséquent, celui-ci ne peut plus être négligé par rapport au premier. Pour effectuer, dans ce cas, l’intégration relative à $u,$ nous allons d’abord intégrer depuis $u=0$ jusqu’à $u={\frac {1}{0}}\,;$ ensuite depuis $u=1$ jusqu’à $u={\frac {1}{0}}\,;$ puis nous retrancherons le second
$u=0$
$u=1,$
Or, relativement aux limites $u=0$ et $u={\frac {1}{0}},$ on a, par les formules connues,
${\frac {gt^{2}}{(x-a)^{2}}}\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du=$
${\frac {t{\sqrt {2g\pi }}}{2(x-\alpha )^{\frac {3}{2}}}}\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}+sin.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}\right).$
En intégrant par parties, on aura
${\frac {gt^{2}}{(x-a)^{2}}}\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.{\frac {u\,du}{u}}=-{\frac {2}{(x-\alpha )u}}.sin.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}$
$-{\frac {2}{x-\alpha }}.\int sin.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.{\frac {du}{u^{2}}},$
Si l’on continue de même et qu’on passe ensuite aux limites, $u=1$ et $u={\frac {1}{0}},$ on obtiendra une série ordonnée suivant les puissances négatives de $gt^{2}\,;$ en la retranchant de la première portion de notre intégrale, il vient, pour sa valeur complète,
$\left.{\begin{aligned}{\frac {gt^{2}}{(x-a)^{2}}}&\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du=\\&\quad {\frac {t{\sqrt {2g\pi }}}{2(x-\alpha )^{\frac {3}{2}}}}\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}+sin.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}\right)\\&-{\frac {4}{gt^{2}}}-{\frac {3.5.16(x-\alpha )^{2}}{g^{3}t^{6}}}-{\frac {3.5.7.9.64(x-\alpha )^{4}}{g^{5}t^{1}0}}-{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\$
On vérifie, par ce résultat, la nécessité de conserver $x-\alpha$ sous les cosinus et sinus ; car si l’on y mettait $x$ à la place de $x-\alpha ,$ la valeur de $z',$ donnée par l’équation (14), deviendrait infinie pour $t$ infini, ee qui serait une absurdité.
Après qu’on aura substitué cette valeur de l’intégrale relative à $u,$ dans l’équation (14), il restera à effectuer l’intégration relative à $\alpha ,$ dont les limites seront $\pm l.$ Pour cela, je fais
$\alpha =lv,\qquad {\frac {gt^{2}l}{4x^{2}}}=k\,:$
dans le cas que nous examinons, $k$ sera une quantité qui pourra avoir une valeur quelconque, puisque ${\frac {gt^{2}}{4x}}$ est supposée très-grande et du même ordre que ${\frac {x}{l}}.$ Nous aurons
${\begin{aligned}{\frac {t{\sqrt {g}}}{2(x-\alpha )^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {\sqrt {k}}{\sqrt {l}}}\left({\frac {1}{\sqrt {x}}}+{\frac {3}{2}}.{\frac {lv}{x{\sqrt {x}}}}+{\text{etc}}.\right),\\{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}&={\frac {gt^{2}}{4x}}+kv+{\frac {klv^{2}}{x}}+{\text{etc}}.,\\{\frac {4}{gt^{2}}}&={\frac {l}{kx^{2}}}\,;\end{aligned}}$
et si nous supposons la fraction ${\frac {l}{x}}$ assez petite pour qu’on puisse négliger tous les termes dont elle est facteur, l’équation précédente se réduira à
$z'={\frac {h{\sqrt {kl}}}{\sqrt {2\pi \,x1}}}.\left[\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4x}}+sin.{\frac {gt^{2}}{4x}}\right).\int \left(1-v^{2}\right).cos.kv.dv\right.$
$\left.\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4x}}-sin.{\frac {gt^{2}}{4x}}\right).\int \left(1-v^{2}\right).sin.kv.dv\right]\,;$
les intégrales étant prises depuis $v=-1$ jusqu’à $v=1.$ Mais entre ces limites, l’intégrale $\int \left(1-v^{2}\right).sin.kv.dv$ est nulle, parce qu’elle est la somme d’élémens deux à deux égaux et de signes contraires ; d’ailleurs, par les méthodes connues, on trouve
$\int \left(1-v^{2}\right).cos.kv.dv.={\frac {4}{k^{3}}}(sin.k-k.cos.k)\,;$
on aura donc enfin
$z'={\frac {4h{\sqrt {kl}}}{k^{3}{\sqrt {2\pi \,x}}}}.(sin.k-k.cos.k)\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4x}}+sin.{\frac {gt^{2}}{4x}}\right)\,;$
expression qui devient nulle, comme cela doit être, lorsque $t$ et par suite $k$ deviennent infinies.
Pour une valeur donnée de cette quantité $k,$ l’ordonnée $z'$ diminue à mesure que $x$ augmente, mais seulement dans le rapport de ${\sqrt {l}}$ à ${\sqrt {x}}\,;$ au contraire, la valeur de $z'$ du n$^o$ 19 suivait la raison inverse de la distance : il en résulte donc qu’à de grandes distances du lieu de l’ébranlement primitif, les ondes dont les lois sont comprises dans la nouvelle formule, seront beaucoup plus sensibles que celles que nous avons précédemment examinées. Ces nouvelles ondes sont, pour cette raison, celles qu’il importe le plus de considérer, et nous allons déterminer, dans le plus grand détail, les lois de leur propagation.
(22) Faisons, pour abréger,
${\frac {4h{\sqrt {kl}}}{k^{3}{\sqrt {2\pi \,x}}}}.(sin.k-k.cos.k)=\mathrm {K} ,\qquad cos.{\frac {gt^{2}}{4x}}+sin.{\frac {gt^{2}}{4x}}=\mathrm {T} \,;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad z'=\mathrm {K\,T} .$
$\mathrm {T}$ est une fonction périodique, dont le maximum est égal à $\pm {\sqrt {2}}$ et a lieu quand ${\frac {gt^{2}}{4x}}$ est un multiple quelconque de $\pi ,$ augmenté de ${\frac {\pi }{4}}.$ À cause que ${\frac {gt^{2}}{4}}$ est très grande par rapport à $x,$ cette fonction varie très-rapidement, et passe dans un temps très-court de son maximum positif à son maximum négatif : si l’on désigne ce temps par $t',$ en négligeant $t^{'2},$ on aura
${\frac {g(t+t')^{2}}{4x}}-{\frac {gt^{2}}{4x}}={\frac {gtt'}{2x}}=\pi \,;$
$k$
$t'={\frac {\pi {\sqrt {l}}}{\pi {\sqrt {gk}}}}.$
Pendant cet intervalle de temps, $k$ et $\mathrm {K} ,$ ne varient pas sensiblement ; on peut donc se représenter chaque point de la surface fluide, comme faisant, dans le sens vertical, des oscillations dont la durée $t'$ et l’amplitude varient très-lentement par rapport à cette durée elle-même. Cette amplitude, c’est-à-dire la distance du point le plus élevé au point le plus bas de chaque oscillation, sera égale à $2{\sqrt {2}}\mathrm {K} \,;$ d’où il résulte, d’après la valeur de $\mathrm {K} ,$ que les amplitudes des oscillations d’égales durées, seront réciproques aux racines quarrées des distances des points où elles se font, au lieu de l’ébranlement primitif.
La fonction $\mathrm {T}$ varie aussi très-rapidement par rapport à $x\,;$ ses maxima positifs et négatifs se succèdent alternativement à de très-petits intervalles, dans toute l’étendue de la surface fluide : les uns répondent aux ondes tracées en relief, et les autres aux ondes tracées en creux sur cette surface : et la petite distance entre deux sommets consécutifs, peut être prise pour largeur de ces ondes. En la désignant par $\lambda ,$ et négligeant son quarré, on aura, pour la déterminer,
${\frac {gt^{2}}{4x}}-{\frac {gt^{2}}{4(x+\lambda )}}={\frac {gt^{2}\lambda }{4x^{2}}}=\pi \,;$
d’où l’on tire, à cause de ce que $k$ représente,
$\lambda ={\frac {\pi \,l}{k}}.$
La largeur des ondes varie donc avec le temps dans le même point, et d’un point à un autre dans le même insant ; mais elle reste la même toutes les fois que la durée des oscillations l’est aussi ; car $t'$ et $\lambda$ dépendent l’une et l’autre de la seule variable $k.$ Si l’on veut comparer entre eux, ces deux élémens, on aura, en éliminant $k$ entre les valeurs de $\lambda$ et de $t',$
$t'={\sqrt {\frac {\pi \,l}{g}}}\,;$
ce qui montre que la durée des oscillations, en un point quelconque, est proportionnelle à la racine quarrée de la largeur des ondes au même point et au même instant.
Suivant Newton, cette durée devrait être la même que celle des oscillations d’un pendule simple, d’une longueur égale à la demi-largeur des ondes, ou, autrement dit, elle devrait être égale à $\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{2g}}}\,;$ ce qui surpasse la vraie valeur de $t,$ dans le rapport de ${\sqrt {\pi }}$ à ${\sqrt {2}},$ ou de $1{,}2248$ à l’unité.
(22) Lorsqu’on a $\mathrm {K} =0,$ l’amplitude des oscillations verticales est nulle ; par conséquent les racines de cette équation détermineront, à chaque instant, sur la surface fluide, des points qui n’auront aucun mouvement vertical, et qu’on pourra regarder comme des espèces de nœuds, mobiles à cette surface : l’éspace compris entre deux nœuds consécutifs forme un groupe d’ondes, que l’on peut anssi considérer comme une seule onde, dentelée dans toute son étendue, laquelle paraît se mouvoir à la surface, en s’élargissant à raison de la différence de vîtesse des deux nœuds qui la terminent.
Pour chaque valeur réelle et positive de $k,$ tirée de cette équation $\mathrm {K} =0\,;$ nous aurons
$x={\frac {t{\sqrt {gl}}}{2{\sqrt {k}}}}\,;$
d’où l’on voit que le mouvement de chaque nœud est uniforme, avec une vîtesse proportionnelle à la racine quarrée de $l,$ ou à la racine quarrée de la largeur de l’ébranlement primitif.
L’équation $\mathrm {K} =0$ peut s’écrire ainsi :
$tang.k-k=0\,;$
la détermination de $k$ revient donc à trouver un arc égal à sa tangente ; problême qu’Euler a résolu dans l’introduction à l’analyse des infiniment petits. Il existe un pareil arc dans chacun des quarts de cercle de rangs impairs ; en rejetant l’arc zéro, qui appartient au premier quart, et se bornant à quatre décimales, on aura, d’après Euler,
$k={\frac {(2n+1)\pi }{2}}-{\frac {0{,}6366}{2n+1}}-{\frac {0{,}1720}{(2n+1)^{3}}}-{\frac {0{,}0906}{(2n+1)^{5}}}-{\frac {0{,}0589}{(2n+1)^{7}}}\,;$
$n$ désignant un nombre entier et positif. Si l’on fait successivement $n=1,$ $=2,$ $=3,$ on aura, pour les trois plus petites racines de notre équation,
$k=4{,}4934,\qquad k=7{,}7248,\qquad k=11{,}0014\,;$
et pour le mouvement des trois nœuds qui vont le plus vite
${\begin{aligned}x&=(0{,}2359)t{\sqrt {gl}},\\x&=(0{,}1799)t{\sqrt {gl}},\\x&=(0{,}1507)t{\sqrt {gl}}.\end{aligned}}$
(23) Si l’on veut connaître, à un instant donné, les points de la surface qui font les plus grandes oscillations verticales, on aura, pour les déterminer, l’équation ${\frac {d\mathrm {K} }{dx}}=0\,;$ en y mettant pour $\mathrm {K} ,$ sa valeur ; observant que ${\frac {dk}{dx}}=-{\frac {2k}{x}},$ et divisant tous ses termes par $cos.k,$ elle devient
$\left(4k^{2}-9\right)tang,k+9k=0.\qquad$
À la simple inspection de cette équation, on voit 1$^o$ que quand $k$ surpasse ${\frac {3}{2}},$ elle ne peut avoir de racines réelles et positives, que dans les quarts de cercle de rangs pairs, pour lesquels les tangentes sont négatives ; 2$^o$ qu’il y a effectivement une racine, et qu’il n’y en a qu’une, comprise dans chacun de ces quarts de cercle. Quant aux valeurs de $k,$ comprise entre zéro et ${\frac {3}{2}},$ on s’assurera, par des substitutions, qu’elles ne peuvent fournir aucune racine de cette équation.
Relativement à chacune de ses racines, on aura
$x={\frac {t{\sqrt {gl}}}{2{\sqrt {k}}}}\,;$
ce qui montre que les points de la surface, qui répondent aux maxima des oscillations, se meuvent, comme les nœuds qu’on vient de considérer, uniformément et avec une vîtesse proportionnelle à ${\sqrt {l}}.$ La plus petite de ces racines étant moindre que la plus petite valeur de $k$ du numéro précédent, il s’en suit que le premier maximum précède le premier nœud ; ensuite il a y un maximum compris entre le
Il est aisé de comparer entre elles les amplitudes de ces oscillations maxima ; car on peut tirer de l’équation (18), les valeurs de $sin.k$ et $cos.k,$ en fonctions de $k,$ et les substituant, ainsi que la valeur de $x,$ dans celle de l’amplitude $2{\sqrt {2}}\mathrm {K} ,$ que nous représenterons par $\mathrm {K} ',$ on trouve
$\mathrm {K} '={\frac {324}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt[{4}]{\frac {4l}{gt^{2}}}}.{\frac {k^{\frac {3}{4}}}{\sqrt {\left(4k^{2}-9\right)^{2}+81k^{2}}}}.$
Or, cette fonction de $k$ croît depuis $k=0$ jusqu’à une certaine valeur de $k,$ comprise entre les deux plus petites racines de l’équation (18); puis elle décroît indéfiniment à mesure que $k$ augmente ; il s’en suit donc que les deux premiers maxima sont plus grands que tous les autres, et que ceux-ci forment à la surface fluide, une suite décroissante dans le sens où ils se rapprochent de l’origine des ondes.
(24) Déterminons maintenant les racines réelles et positives de l’équation (18). Pour avoir la plus petite de toutes, qui appartient au second quart de cercle, je fais $k={\frac {\pi }{2}}+s\,;$ l’équation devient
$\left((\pi +2s)^{2}-9\right)cot.s-{\frac {9}{2}}(\pi +2s)=0.$
Par des substitutions successives, on reconnaît que de $s,$ qu’il s’agit de trouver, est comprise entre $15$ et $16$ degrés sexagésimaux ; si l’on fait conséquemment $s={\frac {\pi }{12}}+y,$ et qu’on néglige le quarré de $y,$ on trouve $y=0{,}002589\,;$ donc, à cause de $\pi =3{,}14159,$ on aura, en ne conservant que quatre décimales,
$k=1{,}8353\,;$
et pour le mouvement de la première onde, correspondant à cette racine,
$x=(0{,}3691)t{\sqrt {gl}}.$
On aura aussi pour la valeur de $\mathrm {K} ',$ relative à la même racine,
$\mathrm {K} '=(2{,}3527)h{\sqrt {\frac {l}{gt^{2}}}},$
ou bien, en l’exprimant en fonction de $x,$
$\mathrm {K} '=(1{,}4293)h{\sqrt {\frac {x}{l}}}.$
Si l’on veut aussi connaître la largeur de la dent de l’onde, et la durée de l’oscillation qui répondent à cette amplitude maxima, c’est-à-dire, les valeurs des quantités que nous avons désignées précédemment par $\lambda$ et $t',$ on aura
$\lambda =(1{,}7118)l,\qquad t'=(2{,}3191){\sqrt {\frac {l}{g}}}.$
La seconde racine de l’équation (18) tombant dans le quatrième quart de cercle, je fais, pour l’obtenir, $k=2\pi -s,$ ce qui change cette équation en
$\left(4(2\pi -s)-9\right).tang.s-9(2\pi -s)=0.$
$s$
$22^{\circ }$
$23^{\circ }\,;$
$s=22^{\circ }+y,$
$y$
$y=0{,}003448\,;$
$k=5{,}8958\,;$
et, pour le mouvement de la deuxième onde,
$x=(0{,}2059)t{\sqrt {gl}}.$
La valeur correspondante de $\mathrm {K} '$ sera
$\mathrm {K} '=(0{,}6878)h{\sqrt[{4}]{\frac {l}{gt^{2}}}},\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {K} '=(0{,}3121)h{\sqrt {\frac {l}{x}}}\,;$
en sorte qu’à un instant donné, l’amplitude $\mathrm {K} ',$ qui se rapporte à la deuxième onde, n’est pas le tiers de celle qui appartient à la première, et, pour une même valeur de $x,$ elle en est à peine le cinquième. Les valeurs de $\lambda$ et $t',$ relatives à cette seconde racine, sont
$\lambda =(0{,}5331)l,\qquad t'=(1{,}2938){\sqrt {gl}}.$
On déterminera d’une manière très-simple, et avec une approximation très-suffisante, les racines de l’équation (18), à partir de la troisième, en faisant $k=i\pi -s,$ et négligeant le quarré de $s\,:$ cette équation donne alors $s={\frac {9}{4i\pi }}\,;$ de sorte qu’on a
$k=i\pi -{\frac {9}{4i\pi }}\,;$
où l’on devra prendre successivement pour $i,$ tous les nombres entiers plus grands que $2.$ Pour $i=3,$ on a $k=9{,}1861\,;$ valeur qui ne diffère pas d’un dix millième de la troisième racine. Les valeurs correspondantes de $x,\mathrm {K} ',\lambda$ et $t',$ sont
${\begin{alignedat}{2}x=&(0{,}1649)t{\sqrt {gl}},\qquad &\mathrm {K} '=&(0{,}4032)h{\sqrt[{4}]{\frac {l}{gt^{2}}}},\\\lambda =&(0{,}3420)l,&t'=&(1{,}0364){\sqrt {\frac {l}{g}}}.\end{alignedat}}$
En prenant $i=4,$ il vient $k=12{,}3872,$ et par suite
${\begin{alignedat}{2}x=&(0{,}1421)t{\sqrt {gl}},\qquad &\mathrm {K} '=&(0{,}2741){\sqrt[{4}]{\frac {l}{gt^{2}}}},\\\lambda =&(0{,}2536)l,&t'=&(0{,}8926){\sqrt {\frac {l}{g}}}.\end{alignedat}}$
Nous ne continuerons pas plus loin ces calculs ; mais pour donner un exemple de leur application, nous supposerons que la largeur de l’ébranlement primitif ait été d’un décimètre, ensorte qu’on ait $l=0^{\mathrm {m} }{,}05.$ En prenant pour unité de temps la seconde sexagésimale, on aura $g=9^{\mathrm {m} }{,}8088\,;$ au moyen de quoi l’on trouve, en rangeant sur une même ligne ce qui se rapporte à une même onde :
${\begin{alignedat}{4}x=&({\overset {\;\mathrm {m} }{0,}}2587)t,\qquad &\mathrm {K} '=&(0,6286){\frac {h}{\sqrt {t}}},\qquad &\lambda =&{\overset {\;\mathrm {m} }{0,}}0856,\qquad &t'=&0'',1658\,;\\x=&({\overset {\;\mathrm {m} }{0,}}1442)t,&\mathrm {K} '=&(0,1839){\frac {h}{\sqrt {t}}},&\lambda =&{\overset {\;\mathrm {m} }{0,}}0268,&t'=&0'',0924\,;\\x=&({\overset {\;\mathrm {m} }{0,}}1155)t,&\mathrm {K} '=&(0,1077){\frac {h}{\sqrt {t}}},&\lambda =&{\overset {\;\mathrm {m} }{0,}}0172,&t'=&0'',0740\,;\\x=&({\overset {\;\mathrm {m} }{0,}}0995)t,&\mathrm {K} '=&(0,0733){\frac {h}{\sqrt {t}}},&\lambda =&{\overset {\;\mathrm {m} }{0,}}9126,&t'=&0'',0638.\end{alignedat}}$
(25) Pour simplifier la question, nous nous bornerons à considérer les molécules situées au-dessous de l’ébranlement primitif, à une profondeur très - grande par rapport à la largeur de cet ébranlement. Quelle que soit la forme du corps dont l’immersion a produit les ondes, s’il est symétrique par rapport à un axe vertical, et qu’on prenne cette droite pour axe des $z,$ les molécules situées sur cet axe n’auront aucune vîtesse horizontale ; ainsi, en supposant la symétrie du segment plongé, nous aurons seulement à examiner les lois des vîtesses dans le sens vertical, ou les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dz}}.$ Or, en faisant $x=0$ dans l’équation (11) du n$^o$ 10, et négligeant $\alpha$ relativement à $z,$ on a
$\varphi ={\frac {gt}{\pi \,z}}.\iint f\alpha .e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4z}}}cos.{\frac {gt^{2}\alpha \left(1-v^{2}\right)}{4z^{2}}}dv\,d\alpha \,;$
remplaçant de plus le cosinus compris sous cette double intégrale par l’unité, et faisant $\int f\alpha \,d\alpha =\mathrm {A} ,$ de manière que $\mathrm {A}$ représente l’aire du segment plongé, il vient
$\varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}\int e^{\frac {gt^{2}v^{2}}{4z}}dv\,;$
l’intégrale étant prise depuis $v=0$ jusqu’à $v=1.$ dant il faut observer que cette réduction du cosinus à l’unité, ne serait plus permise si le rapport ${\frac {gt^{2}}{4z}}$ était devenu très-grand et du même ordre que ${\frac {z}{\alpha }},$ en sorte que le produit ${\frac {gt^{2}}{4z}}.{\frac {\alpha }{z}}$ fût une quantité finie qui pût avoir une valeur quelconque ; mais alors on tomberait dans le cas des vîtesses finales que nous avons considérées dans le n$^o$ 13, et sur lesquelles il ne nous reste rien à dire : ce cas étant donc exclu, on pourra, sans crainte d’erreur, employer cette dernière valeur de $\varphi$ à la détermination des vîtesses que nous voulons examiner.
(26) En faisant, pour abréger,
${\frac {gt^{2}}{4z}}=q,$
cette expression devient
$\varphi ={\frac {2\mathrm {A} {\sqrt {gq}}}{\pi {\sqrt {z}}}}e^{-q}.\int e^{qv^{2}}dv\,;$
et si l’on observe que ${\frac {q}{z}}=-{\frac {q}{z}},$ on en déduit
${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {2\mathrm {A} {\sqrt {gq}}}{\pi \,z{\sqrt {z}}}}e^{-q}\left(\int e^{qv^{2}}qv^{2}dv+(1-q)\int e^{qv^{2}}dv\right)\,;$
mais en ayant égard aux limites $v=0$ et $v=1,$ l’intégration par parties donne
$\int e^{qv^{2}}qv^{2}dv={\frac {1}{2}}e^{q}-{\frac {1}{2}}\int e^{qv^{2}}dv\,;$
d’où il résulte
${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} {\sqrt {gq}}}{\pi \,z{\sqrt {z}}}}\left(1+(1-2q)e^{-q}\int e^{qv^{2}}dv\right).$
Si l’on veut connaître, pour un point donné, l’instant où cette vîtesse atteint son maximum, il faut égaler à zéro la différentielle de sa valeur prise par rapport à $t\,;$ et comme on a ${\frac {dq}{dt}}={\frac {2q}{t}},$ on aura
$1+\left(1-8q+4q^{2}\right)e^{-q}\int e^{qv^{2}}dv+2(1-2q)e^{-q}\int e^{qv^{2}}qv^{2}dv=0,$
ou bien, en intégrant par parties,
$1-q-\left(3q-2q^{2}\right)e^{-q}\int e^{qv^{2}}dv=0.$
Je tire de-là la valeur de $e^{-q}\int e^{qv^{2}}dv\,;$ je la substitue dans celle de ${\frac {d\varphi }{dz}},$ et désignant par $\mathrm {V} ,$ la vîtesse maxima, il vient
$\mathrm {V} =-{\frac {\mathrm {A} {\sqrt {g}}}{\pi \,z{\sqrt {z}}(3-2q){\sqrt {q}}}}\,;$
où l’on voit que cette vîtesse sera proportionnelle à l’aire du segment plongé, et décroîtra suivant la puissance de la profondeur $z.$ Comme on a d’ailleurs $z={\frac {gt^{2}}{4q}},$ on voit aussi que la vîtesse maxima se propagera d’un mouvement uniformément accéléré, avec une accélération qui sera, à celle des corps pesans, comme l’unité est au double de la quantité $q.$ Il ne reste donc plus qu’à déterminer numériquement cette quantité, au moyen de l’équation précédente ; mais on y parviendra plus simplement en partant d’une valeur en série de la fonction $\varphi .$
(27) En réduisant en série, et intégrant depuis $v=0,$ jnsqu’à $v=1,$ il vient
$\int e^{qv^{2}}dv=1+{\frac {q}{3}}+{\frac {q^{2}}{2.5}}+{\frac {q^{3}}{2.3.7}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.9}}+\ldots$
$+{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n+1}}+{\text{etc}}.$
par conséquent
$\varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}e^{-q}\left(1+{\frac {q}{3}}+{\frac {q^{2}}{2.5}}+{\frac {q^{3}}{2.3.7}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.9}}+\ldots \right.$
$\left.+{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n+1}}+{\text{etc}}.\right)\,;$
d’où l’on déduira facilement
${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z^{2}}}e^{-q}\left(1-{\frac {q}{3}}-{\frac {q^{2}}{2.3.5}}-{\frac {q^{3}}{2.3.5.7}}-{\frac {q^{4}}{2.3.4.7.9}}-\ldots \right.$
$\left.-{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n-1.2n+1}}-{\text{etc}}.\right)\,;$
égalant à zéro la différentielle de cette quantité, prise par rapport à $t,$ et supprimant les facteurs ${\frac {3\mathrm {A} g}{\pi \,z^{2}}},$ et $e^{-q},$ communs à tous les termes, on trouve
${\begin{aligned}{\frac {1}{3}}-q+{\frac {q^{2}}{2.3}}&+{\frac {q^{3}}{2.3.3.5}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.5.7}}+\ldots \\&+{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.2n-3.2n-1}}+{\text{etc}}.=0.\end{aligned}}$
Or, le second terme de cette équation étant seul négatif, il est évident qu’elle ne peut avoir que deux racines réelles et positives. La plus petite est comprise entre zéro et l’unité ; et par la méthode ordinaire, on trouve, pour sa valeur approchée, $q=0{,}3551\,;$ d’où il résulte, pour le premier maximum de vîtesse,
$\mathrm {V} =-(0{,}2328){\frac {\mathrm {A} {\sqrt {g}}}{z{\sqrt {z}}}}.$
$q=3{,}8247,$
$\mathrm {V} =(0{,}0441){\frac {\mathrm {A} {\sqrt {g}}}{z{\sqrt {z}}}}.$
Entre ces deux vîtesses, qui sont de signes contraires, il existe une vîtesse nulle ; elle répond à la valeur de $q$ donnée par l’équation ${\frac {d\varphi }{dz}}=0,$ ou
$1-{\frac {q}{3}}-{\frac {q^{2}}{2.3.5}}-{\frac {q^{3}}{2.3.5.7}}-{\frac {q^{4}}{2.3.4.7.9}}-{\text{etc}}.=0,$
qui n’a qu’une seule racine réelle et positive, pour laquelle on trouve $q=2{,}3926.$ Comme on a généralement $t=2{\sqrt {\frac {qz}{g}}},$ il s’ensuit que les temps correspondans à ces vîtesses négative, nulle et positive, seront
$t=(1{,}1918){\sqrt {\frac {z}{g}}},\qquad t=(3{,}0936){\sqrt {\frac {z}{g}}},\qquad t=(3{,}8114){\sqrt {\frac {z}{g}}}.$
Ainsi, depuis l’origine du mouvement jusqu’à l’instant de la vîtesse nulle, les molécules situées dans l’axe des $z,$ ont des vîtesses négatives, ce qui signifie qu’elles s’élèvent ; leurs vîtesses deviennent ensuite positives ; ces molécules abaissent jusqu’à la fin du mouvement ; et leurs vîtesses finales doivent être aussi positives, ainsi que nous l’avons trouvé dans le n$^o$ 13.
(28) On peut déterminer l’excursion verticale de chaque molécule, pendant tout le temps de son élévation en la désignant par $s,$ et observant que $dt={\sqrt {\frac {z}{gq}}}.dq,$ on aura
$s=-\int {\frac {d\varphi }{dz}}dt=-\int {\frac {d\varphi }{dz}}.{\sqrt {\frac {z}{gq}}}.dq\,;$
l’intégrale étant prise depuis $q=0,$ jusqu’à $q=2{,}3926.$ Mais pour obtenir commodément la valeur numérique de $s,$ il faut employer un développement de ${\frac {d\varphi }{dz}}$ qui ne renferme pas l’exponentielle $e^{-q},$ contenu dans le précédent.
Reprenons donc la valeur de $\varphi ,$ sous forme finie, que nous pouvons écrire ainsi :
$\varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}\int e^{-q\left(1-v^{2}\right)}dv\,;$
développant l’exponentielle, et intégrant ensuite depuis $v=0$ jusqu’à $v=1,$ comme dans le n$^o$ 11, il vient
$\varphi ={\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z}}\left(1-{\frac {2q}{1.3}}+{\frac {(2q)^{2}}{1.3.5}}-{\frac {(2q)^{3}}{1.3.5.7}}+{\frac {(2q)^{4}}{1.3.5.7.9}}-{\text{etc}}.\right)\,;$
donc, à cause de ${\frac {dq}{dz}}=-{\frac {q}{z}},$ on aura
${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} gt}{\pi \,z^{2}}}\left(1-{\frac {2(2q)}{1.3}}+{\frac {3(2q)^{2}}{1.3.5}}-{\frac {4(2q)^{3}}{1.3.5.7}}+{\frac {5(2q)^{4}}{1.3.5.7.9}}-{\text{etc}}.\right)\,;$
et à cause de $t=2{\sqrt {\frac {qz}{g}}},$ on en conclura
$s={\frac {\mathrm {A} }{\pi \,z}}\left(2q-{\frac {(2q)^{2}}{1.3}}+{\frac {(2q)^{3}}{1.3.5}}-{\frac {(2q)^{4}}{1.3.5.7}}+{\frac {(2q)^{5}}{1.3.5.7.9}}-{\text{etc}}.\right)+const.$
La constante arbitraire est nulle, puisque l’intégrale doit s’évanouir quand $q=0\,;$ faisant de plus $q=2{,}3926,$ on trouve
$s=(0{,}4382){\frac {\mathrm {A} }{z}}.$
(29) Les excursions verticales des molécules situées au-dessous de l’ébranlement primitif, suivent comme on voit la raison inverse de la profondeur $z\,;$ et leurs vîtesses, à l’instant du maximum, diminuent suivant la puissance ${\frac {3}{2}}$ de cette quantité. Ces décroissemens sont assez peu rapides pour que le mouvement du fluide, soit encore très-sensible à de très-grandes profondeurs ; et c’est un résultat d’autant plus remarquable, qu’il n’en serait plus de même si l’ébranlement primitif avait eu lieu dans toute l’étendue de la surface, au lieu d’avoir été circonscrit dans un endroit déterminé.
En effet supposons, par exemple, qu’on ait donné primitivement à la surface, dans toute sa longueur, la forme d’une courbe serpentante comprise dans cette équation :
$z'=k\,cos.{\frac {\pi \,x}{2l}},$
$k$ et $l$ étant des constantes données. Supposons aussi, pour simplifier, qu’on n’ait imprimé au fluide aucune vîtesse initiale. Pour appliquer à ce cas l’équation (8) du n$^o$ 4, il suffira de prendre un seul terme de la première des deux séries que renferme la valeur de $\varphi \,;$ on aura donc
$\varphi =\mathrm {B} \left(e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}\right)cos.(ax+a').sin.c\,t\,;$
différenciant par rapport à $t,$ et faisant $z=0,$ $t=0,$ afin d’avoir l’équation de la surface (n$^o$ 1), il vient
$z'={\frac {\mathrm {B} c}{g}}\left(e^{ah}+e^{-ah}\right).cos.(ax+a')\,;$
et, pour la faire coïncider avec l’équation donnée, on fera
$a'=0,\qquad a={\frac {\pi }{2l}},\qquad \mathrm {B} ={\frac {gk}{\left(e^{ah}+e^{-ah}\right)c}}\,;$
par conséquent on aura
$\varphi ={\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}.{\frac {gk}{c}}.cos.{\frac {\pi \,x}{2l}}.sin.c\,t.$
Maintenant, si l’on suppose infinie la profondeur $h$ du fluide, la valeur de $c$ se réduit à $c={\sqrt {ag}}={\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}},$ comme dans le n$^o$ 8, et celle de $\varphi$ devient
$\varphi =k{\sqrt {\frac {2lg}{\pi }}}.e^{-{\frac {\pi \,z}{2l}}}cos.{\frac {\pi \,x}{2l}}.sin.t{\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}}.$
On en déduit, pour les vîtesses verticale et horizontale du fluide, en un point et en un instant quelconques,
${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dz}}&=-k{\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}}.e^{-{\frac {\pi \,z}{2l}}}cos.{\frac {\pi \,x}{2l}}.sin.t{\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}},\\{\frac {d\varphi }{dx}}&=-k{\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}}.e^{-{\frac {\pi \,z}{2l}}}sin.{\frac {\pi \,x}{2l}}.sin.t{\sqrt {\frac {\pi \,g}{2l}}},\end{aligned}}$
où l’on voit que, par rapport à la profondeur $z,$ la loi de ces vîtesses est exprimée par une exponentielle ; en sorte qu’elles décroissent en progression géométrique, quand $z$ croît en progression arithmétique. Or, il résulțe d’un tel décroissement qu’à de grandes profondeurs, relativement
$2l,$
Au reste, cet ébranlement de la surface dans toute son étendue, peut être regardé comme une suite d’ébranlemens partiels dont la largeur commune serait $2l,$ et dont les uns résulteraient d’une élévation de la surface, et les autres d’un abaissement ces ébranlemens partiels produisent dans la masse fluide, des vîtesses de signes contraires ; et le calcul montre qu’elles se détruisent à très-peu-près quand la profondeur $z$ est un multiple de $2l,$ qui n’a pas même besoin d’être très-élevé. C’est de cette manière qu’on peut concevoir la différence essentielle que nous remarquons entre le cas d’un ébranlement partiel, et celui d’un ébranlement qui s’étend à la surface entière.
(30) Les équations différentielles du problême se résolvent, dans ce cas, en suivant la même marche que dans celui où le fluide était réduit à deux dimensions. Ainsi, nous satisferons d’abord à l’équation (2) du n$^o$ 1, par une série de cette forme :
$\varphi =\sum \left(\mathrm {A} e^{-z{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\mathrm {A} 'e^{z{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)cos.(ax+a').cos.(by+b')\,;$
$\mathrm {A,\,A'} ,\,a,\,a,\,b,\,b',$ étant des quantités indépendantes de $x,\,y,\,z,$ et le signe $\sum$ désignant une somme qui s’étend à toutes les valeurs possibles de ces six quantités. D’après l’équation ${\frac {d\varphi }{dz}}=0$ du n$^o$ 2, qui a lieu pour $z=h,$ cette valeur de $\varphi$ se changera en
$\varphi =\sum \mathrm {T} \left(e^{(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)cos.(ax+a').cos.(by+b')\,;$
et pour satisfaire en outre à l’équation (4) du même numéro, qui se rapporte à la surface, ou à $z=0,$ il faudra déterminer $\mathrm {T}$ par l’équation
${\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}+c^{2}\mathrm {T} =0,$
de dans laquelle on fait, pour abréger,
${\frac {\left(e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}-e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)g{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}=c^{2}.$
On en tire, en intégrant,
$\mathrm {T} =\mathrm {B} .sin.c\,t+\mathrm {B} '.cos.c\,t\,;$
$\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$ étant les deux constantes arbitraires. Je substitue cette valeur de $\mathrm {T} ,$ dans celle de $\varphi \,;$ il vient
$\varphi =\sum \mathrm {B} \left(e^{(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right).cos.(ax+a').cos.(by+b')sin.c\,t\,:$
pour simplifier, j’ai supprimé le terme renfermant $cos.c\,t,$ parce qu’il se rapporterait aux vîtesses initiales du fluide ; vîtesses que nous continuerons de supposer nulles, comme nous l’avons fait dans le cas précédent (n$^o$ 9).
Maintenant soit
$z'=f(x,y),$
l’équation de la surface du fluide à l’origine du mouvement ; d’après l’équation (3) du n$^o$ 1, l’ordonnée $z'$ de cette surface, déduite de notre valeur de $\varphi ,$ et correspondante à $t=0,$ sera
$z'=\sum {\frac {\mathrm {B} c}{g}}\left(e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)cos.(ax+a').cos.(by+b')\,;$
et pour la faire coïncider avec la valeur donnée, il faut, suivant le théorême général du n$^o$ 5, prendre
$a'=-a\alpha ,\qquad b'=-b\beta ,$
$\mathrm {B} ={\frac {f(\alpha ,\beta )e^{-ka}e^{-k'b}gda\,db\,d\alpha \,d\beta }{\left(e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)\pi ^{2}c}},$
et changer le signe $\sum$ en celui d’une intégrale quadruple, relative à $a,\,b,\,\alpha ,\,\beta .$ Substituant ces valeurs, dans celle de $\varphi ,$ supprimant les exposans infiniment petits $ka$ et $k'b,$ par rapport aux exposans $(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$ et $(z-h){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$ auxquels ils devraient être ajoutés, nous aurons enfin
$\varphi ={\frac {g}{\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta )Pcos.(ax-a\alpha ).cos.(by-b\beta ).{\frac {sin.c\,t}{c}}da\,db\,d\alpha \,d\beta \,;$
en faisant pour abréger
$\left[{\frac {e^{(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}{e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}\right]=\mathrm {P} \,;$
$\alpha =-{\frac {1}{0}}$
$\beta =-{\frac {1}{0}},$
$\alpha =+{\frac {1}{0}}$
$\beta =+{\frac {1}{0}},$
$a=0$
$b=0,$
$a={\frac {1}{0}}$
$b={\frac {1}{0}}.$
(31) Cette valeur de \varphi, qui ne contient plus rien d’inconnu, renferme la solution complète du problême qui nous occupe ; car au moyen de ses différences partielles relatives à $t,\,x,\,y,\,z,$ on déterminera, pour un instant quelconque, la figure de la surface et les vîtesses horizontale et verticale de tel point qu’on voudra de la masse fluide. On y pourrait donner à la profondeur $h,$ de cette masse, une grandeur quelconque ; mais nous nous bornerons à considérer le cas où $h$ est regardée comme infinie ; cas dans lequel les valeurs de $\mathrm {P}$ et de $c$ se réduisent à
$\mathrm {P} =e^{-z{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\qquad c={\sqrt {g}}{\sqrt[{4}]{a^{2}+b^{2}}}.$
Aux variables $a$ et $b,$ nous allons substituer des variables $u$ et $\omega ,$ qui nous seront plus commodes, et que nous supposerons telles qu’on ait
$a=u.cos.\omega ,\qquad b=u.sin.\omega \,;$
ce qui donne
$\mathrm {P} =e^{-zu},\qquad c={\sqrt {gu}}.$
Par les règles connues de la transformation des intégrales multiples, on aura en même temps,
$da\,db=u\,du\,d\omega \,;$
et il est aisé de voir que l’intégration qui devait se faire
. depuis $a=0$ et $b=0,$ jusqu’à $u={\frac {1}{0}}$ et $b={\frac {1}{0}},$ devra avoir lieu maintenant depuis $u=0,$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}},$ et depuis $\omega =0,$ jusqu’à $\omega ={\frac {\pi }{2}}.$ Soit de plus
$x-\alpha =\rho .cos.\theta ,\qquad y-\beta =\rho .sin.\theta \,;$
nous aurons
$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{2\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta )e^{-zu}\left[cos.\left(u\rho .cos.(\omega -\theta )\right)+cos.\left(u\rho .cos.(\omega +\theta )\right)\right]$
$.sin.\left(t{\sqrt {gu}}\right).{\sqrt {u}}du\,d\omega \,d\alpha \,d\beta .$
Or, il est aisé de prouver que cette expression est indépendante de l’angle $\theta$ que l’intégration relative a fait disparaître.
En effet soit, pour un moment,
$\int \left[cos.\left(u\rho .cos.(\omega -\theta )\right)+cos.\left(u\rho .cos.(\omega +\theta )\right)\right]d\omega =\mathrm {U} \,;$
en différenciant d’abord par rapport à $\theta ,$ et effectuant ensuite l’intégration relative à $\omega ,$ on aura
${\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}=-cos.\left(u\rho .cos.(\omega -\theta )\right)+cos.\left(u\rho .cos.(\omega +\theta )\right)\,;$
quantité qui devient nulle aux deux limites $\omega =0,$ et $\omega ={\frac {\pi }{2}}\,:$ par conséquent l’intégrale $\mathrm {U} ,$ prise entre ces limites, et par suite la valeur de $\varphi ,$ sont indépendantes de $\theta .$
Il sera donc permis de faire $\theta =0$ dans la valeur de $\varphi \,;$ ce qui la réduit à
$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta )e^{-zu}.cos.(u\rho .cos.\omega ).sin.\left(t{\sqrt {gu}}\right).{\sqrt {u}}du\,d\omega \,d\alpha \,d\beta .\quad$
(32) On peut effectivement vérifier que cette expression satisfait encore à l’équation (1) ; car si l’on fait
$\int e^{-zu}cos.(\rho .cos.\omega )d\omega =\mathrm {R} ,$
il est évident que cette vérification reviendra à faire voir que
${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dx^{2}}}=0.$
Or, on a
${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dz^{2}}}=&u^{2}\int e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega )d\omega ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy^{2}}}=&-u^{2}{\frac {d\rho ^{2}}{dy^{2}}}.\int e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega )cos.^{2}\omega \,d\omega \\&-u\ \ {\frac {d^{2}\rho }{dy^{2}}}.\int e^{-zu}sin.(u\rho .cos.\omega )cos.\omega \,d\omega ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dx^{2}}}=&-u^{2}{\frac {d\rho ^{2}}{dx^{2}}}.\int e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega )cos.^{2}\omega \,d\omega \\&-u\ \ {\frac {d^{2}\rho }{dx^{2}}}.\int e^{-zu}sin.(u\rho .cos.\omega )cos.\omega \,d\omega \,;\end{aligned}}$
de plus la valeur de $\rho$ est
$\rho ={\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}\,;$
d’où l’on tire
${\frac {d\rho ^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {d\rho ^{2}}{dx^{2}}}=1,\qquad {\frac {d^{2}\rho }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\rho }{dx^{2}}}={\frac {1}{\rho }}\,;$
on aura donc, en faisant la somme des trois équations précédentes, et réduisant
${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dx^{2}}}&=u^{2}\int e^{-zu}.cos.(u\rho .cos.\omega ).sin.^{2}\omega .d\omega \\&-{\frac {u}{\rho }}.\int e^{-zu}.sin.(u\rho .cos.\omega ).cos.\omega .d\omega \,;\end{aligned}}$
et comme on a identiquement
${\begin{aligned}u^{2}.cos.(u\rho .cos.\omega ).sin.^{2}\omega .d\omega &-{\frac {u}{\rho }}.sin.(u\rho .cos.\omega ).cos.\omega .d\omega \\=&-{\frac {u}{\rho }}.d\left(sin.(u\rho .cos.\omega ).sin.\omega \right),\end{aligned}}$
il s’ensuit que le second membre de la dernière équation peut s’intégrer ; ce qui donne
${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dx^{2}}}=-{\frac {u}{\rho }}.sin.(u\rho .cos.\omega ).sin.\omega \,;$
quantité qui est, en effet, nulle aux deux limites $\omega =0$ et $\omega ={\frac {\pi }{2}}.$
(33) Avant de s’engager plus avant dans une analyse assez épineuse, il n’est pas non plus inutile de vérifier que l’équation (a) redonne pour l’ordonnée $z'$ qui répond à $t=0,$ la valeur $z'=f(x,y)$ d’où l’on est parti.
On en déduit, pour cette ordonnée,
$z'={\frac {1}{\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta )e^{-zu}.cos.(u\rho .cos.\omega ).u\,du\,d\omega \,d\alpha \,d\beta \,;$
expression dans laquelle il faudra faire $z=0,$ après l’ințégration effectuée. Soit
$\iint e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega ).du\,dw=\mathrm {Z} \,;$
$u,$
$u=0$
$u={\frac {1}{0}},$
$\int {\frac {zd\omega }{z^{2}+\rho ^{2}.cos.^{2}\omega }}=\mathrm {Z} \,;$
ou bien, en faisant $tang.\omega =v,$ et intégrant par rapport à $v$
$\int {\frac {zdv}{z^{2}+\rho ^{2}+z^{2}v^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}.arc\left(tang.={\frac {zv}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}\right)=\mathrm {Z} \,;$
donc, à cause que les limites relatives à $v,$ qui répondent aux limites $\omega =0$ et $\omega ={\frac {\pi }{2}},$ sont $v=0$ et $v={\frac {1}{0}},$ on aura simplement
$\mathrm {Z} ={\frac {\pi }{2{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}}.$
Remettant pour $\mathrm {Z} ,$ l’intégrale double que cette lettre représente, et différenciant ensuite par rapport à $z,$ on en conclut
$\iint e^{-zu}.cos.(u\rho .cos.\omega ).u\,du\,d\omega ={\frac {\pi \,z}{2\left(z^{2}+\rho ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$
et par conséquent
$z'={\frac {1}{2\pi }}\iint f(a,\beta ){\frac {zd\alpha d\beta }{\left(z^{2}+\rho ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$
Or, si l’on conçoit que la variable $z$ devienne infiniment petite, il est évident que la quantité comprise sous le double signe intégral, sera aussi infiniment petite ou nulle, à moins que $\rho$ ne soit une quantité du même ordre que $z\,;$ ce qui exige, d’après la valeur de $\rho ,$ que les variables $\alpha$ et $\beta$ different infiniment peu de $x$ et $y\,;$ faisant donc
$\alpha =x+\alpha ',\qquad \beta =y+\beta ',\qquad \rho ^{2}=\alpha ^{'2}+\beta ^{'2},$
$z'={\frac {1}{2\pi }}\iint f(x+\alpha ',y+\beta '){\frac {zd\alpha 'd\beta '}{\left(z^{2}+\alpha ^{'2}+\beta ^{'2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$
et il suffira d’étendre cette double intégrale à des valeurs positives ou négatives, mais infiniment petites, de $\alpha '$ et $\beta '.$ Entre ces limites, la fonction désignée par $f$ pourra être regardée comme constante et égale à $f(x,y)\,;$ en la faisant passer hors du signe intégral, on aura donc
$z'={\frac {1}{2\pi }}f(x,y)\iint {\frac {zd\alpha 'd\beta '}{\left(z^{2}+\alpha ^{'2}+\beta ^{'2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$
mais comme la quantité qui reste à intégrer devient infiniment petite ou nulle, en même temps quez, pour toutes les valeurs possibles de $\alpha '$ et $\beta ',$ qui ne sont pas elles-mêmes infiniment petites, il s’ensuit que rien ne peut empêcher de donner de nouveau, pour limites à l’intégrale, $\alpha '=-{\frac {1}{0}}$ et $\beta '=-{\frac {1}{0}},$ $\alpha '=+{\frac {1}{0}}$ et $\beta '=+{\frac {1}{0}}.$
Pour intégrer entre ces limites, je fais
$\beta '=\gamma {\sqrt {z^{2}+\alpha ^{'2}}}\,;$
$\gamma$ étant une nouvelle variable dont les valeurs extrêmes seront $\pm {\frac {1}{0}}.$ Nous aurons $d\beta '=d\gamma {\sqrt {z^{2}+\alpha ^{'2}}},$ et
$z'={\frac {1}{2\pi }}f(x,y)\int {\frac {zd\alpha '}{z^{2}+\alpha ^{'2}}}.\int {\frac {d\gamma }{\left(1+\gamma ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$
intégrant depuis $\alpha '=-{\frac {1}{0}}$ jusqu’à $\alpha '=+{\frac {1}{0}},$ et de même depuis $\gamma =-{\frac {1}{0}}$ jusqu’à $\gamma =+{\frac {1}{0}},$ il vient
${\begin{aligned}\int {\frac {zd\alpha '}{z^{2}+\alpha ^{'2}}}&=arc\left(tang.={\frac {\alpha '}{z}}\right)=\pi ,\\\int {\frac {d\gamma }{\left(1+\gamma ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {\gamma }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}=2\,;\end{aligned}}$
on aura donc finalement
$z'=f(x,y)\,;$
ce qu’il s’agissait en effet de vérifier.
(34) Reprenons maintenant l’équation (a), et développons son second membre suivant les puissances de $t.$
Nous avons
${\sqrt {u}}.sin.t{\sqrt {gu}}=ut{\sqrt {g}}-{\frac {u^{2}\left(t{\sqrt {g}}\right)^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{3}\left(t{\sqrt {g}}\right)^{5}}{2.3.4.5}}-{\text{etc}}.;$
en convenant donc de représenter par $\mathrm {Z} ,$ la même intégrale double que dans le numéro précédent, on aura généralement
$\iint e^{-uz}cos.(u\rho .cos.\omega ).u^{n}\,du\,d\omega =(-1)^{n}{\frac {d^{n}\mathrm {Z} }{dz^{n}}}\,;$
et l’équation (a) deviendra
${\begin{aligned}\varphi =-{\frac {gt}{\pi ^{2}}}\iint &\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+{\frac {gt^{2}}{2.3}}.{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}}+{\frac {g^{2}t^{4}}{2.3.4.5}}.{\frac {d^{3}\mathrm {Z} }{dz^{3}}}\right.\\&\qquad \quad +\left.{\frac {g^{3}t^{6}}{2.3.4.5.6.7}}.{\frac {d^{4}\mathrm {Z} }{dz^{4}}}+{\text{etc}}.\right)f(\alpha ,\beta )d\alpha \,d\beta .\end{aligned}}$
On y devra substituer pour $\mathrm {Z} ,$ sa valeur, savoir :
$\mathrm {Z} ={\frac {\pi }{2{\sqrt {z^{2}+r^{2}}}}}\,;$
d’après laquelle on voit que la série comprise entre les parenthèses sera d’autant plus convergente que le rapport ${\frac {gt^{2}}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$ sera plus petit. Mais quelque petit que soit le temps $t,$ si l’on considère un point de la surface fluide, pris dans l’étendue de l’ébranlement primitif, cette série sera toujours en défaut ; ce qu’on verra sans peine en observant que $\rho$ exprime la distance du point que l’on considère, au point de l’ébranlement primitif, qui répond aux coordonnées $\alpha$ et $\beta \,;$ en sorte que cette quantité devient nulle entre les limites de l’intégration relative à ces deux variables ; et comme on a aussi $z=0,$ il s’ensuit que les termes de la série, qui ont tous pour diviseurs des puissances de ${\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}},$ deviendront infinis entre ces limites ; d’où il résulte que, dans le cas dont nous parlons, la fonction ne peut pas se développer suivant les puissances de $t.$
S’il s’agit, au contraire, d’un point situé à une distance du centre de l’ébranlement primitif, très-grande par rapport à l’étendue de cet ébranlement, et si l’on convient de placer à ce centre l’origine des coordonnées $x$ et $y,$ il arrivera alors les variables $\alpha$ et $\beta$ seront très-petites par rapport à ces coordonnées, et qu’on pourra les négliger dans la valeur de $\rho ,$ pourvu toutefois que $gt^{2}$ ne soit pas, en même temps, une très-grande quantité relativement ${\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}.$ De cette manière si l’on fait ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=r,$ on aura
$\rho =r\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {Z} ={\frac {\pi }{2{\sqrt {z^{2}+r^{2}}}}}\,;$
la série comprise entre les parenthèses, deviendra indépendante de $\alpha$ et $\beta \,;$ et si l’on fait de plus
$\iint f(\alpha ,\beta )d\alpha \,d\beta =\mathrm {A} ,$
$\varphi =-{\frac {\mathrm {A} gt}{\pi ^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+{\frac {gt^{2}}{2.3}}.{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}}+{\frac {g^{2}t^{4}}{2.3.4.5}}.{\frac {d^{3}\mathrm {Z} }{dz^{3}}}\right.$
$\left.+{\frac {g^{3}t^{6}}{2.3.4.5.6.7}}.{\frac {d^{4}\mathrm {Z} }{dz^{4}}}+{\text{etc}}.\right).\qquad$
(35) Cette valeur de $\varphi$ n’étant fonction que de $r$ et $z,$ il s’ensuit que les vîtesses qu’on en déduira seront les mêmes pour tous les points situés dans un même plan horizontal et à une même distance de l’ébranlement primitif. Les vîtesses horizontales ${\frac {d\varphi }{dx}}$ et ${\frac {d\varphi }{dy}},$ se composeront en une seule vîtesse, dirigée suivant le rayon $r,$ et exprimée par ${\frac {d\varphi }{dr}}.$ Celle-ci, et la vîtesse verticale ${\frac {d\varphi }{dz}},$ seront proportionnelles à $\mathrm {A} ,$ qui représente le volume du segment plongé dans le fluide, du corps solide dont l’immersion est censée avoir produit le mouvement. Pour connaître les lois des premières vîtesses des molécules, nous conserverons seulement le premier terme de cette série ; et en y mettant pour $\mathrm {Z}$ sa valeur, nous aurons
$\varphi ={\frac {\mathrm {A} gtz}{2\pi \left(z^{2}+r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$
d’ou l’on déduit, pour ces vîtesses,
${\frac {d\varphi }{dr}}=-{\frac {3\mathrm {A} \,g\,t\,z\,r}{2\pi \left(r^{2}+r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {\mathrm {A} \,g\,t\left(r^{2}-2z^{2}\right)}{2\pi \left(r^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$
La première est négative pour toutes les molécules, ce qui signifie qu’elles commencent toutes à se mouvoir, en se rapprochant, dans le sens horizontal du lieu de l’ébranlement. L’autre est négative pour les unes, et positive pour les autres : par exemple, elle est négative, pour les molécules situées au- dessous de l’ébranlement primitif, et positive, pour celles de la surface ; de sorte qu’à l’origine du mouvement, les premières s’élèvent, et les dernières s’abaissent verticalement. Si l’on appelle $\mathrm {V} ,$ la résultante de ces deux vîtesses ; que l’on désigne par $r',$ la distance d’une molécule quelconque au centre de l’ébranlement primitif, et par \theta, l’angle que ce rayon $r'$ fait avec la verticale, on trouvera
$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {A} gt{\sqrt {1+3.cos^{2}.\theta }}}{\pi \,r^{'3}}}\,;$
ce qui montre que sur un même rayon, ou pour une même valeur de $\theta ,$ les premières vîtesses des molécules suivent la raison inyerse du cube des distances. On voit aussi qu’à distance égale et pour des directions différentes, les molécules reçoivent des vîtesses différentes ; ce qui n’avait pas lieu dans le cas d’une fluide contenu dans un canal (n$^o$ 12).
(36) Pour suivre toujours la même marche que dans le IIIe §, nous allons présentement chercher à développer la fonction $\varphi ,$ suivant les puissances négatives de $t,$ ce qui nous fera connaître les lois des dernières vîtesses des molécules fluides.
En mettant $u^{2}$ à la place de $u,$ dans l’équation (a) ; faisant
${\begin{alignedat}{2}z+\rho .cos.\omega .{\sqrt {-1}}=&k,\qquad &z-\rho .cos.\omega .{\sqrt {-1}}=&k',\\\int e^{-u^{2}k}.sin.u\,t{\sqrt {g}}.du=&\mathrm {Y} ,&\int e^{-u^{2}k'}.sin.u\,t{\sqrt {g}}.du=&\mathrm {Y} ',\end{alignedat}}$
et observant qu’il s’ensuit
${\begin{aligned}\int e^{-u^{2}k}.sin.u\,t{\sqrt {g}}.u^{2}du=&-{\frac {1}{g}}.{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}},\\\int e^{-u^{2}k'}.sin.u\,t{\sqrt {g}}.u^{2}du=&-{\frac {1}{g}}.{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{dt^{2}}},\end{aligned}}$
cette équation (a) prendra la forme
$\varphi =-{\frac {1}{\pi ^{2}{\sqrt {g}}}}.\iiint \left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{dt^{2}}}\right)f(\alpha ,\beta ).d\omega \,d\alpha \,d\beta .\qquad$
$\mathrm {Y} '$ se déduira de $\mathrm {Y} ,$ en changeant $k$ en $k',$ et la valeur de $\mathrm {Y} ,$ sous forme finie, sera (n$^o$ 10)
$\mathrm {Y} ={\frac {\sqrt {g}}{2\pi }}.e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}\int e^{\frac {gt^{2}}{4k}}dt\,;$
l’intégrale étant prise de manière qu’elle s’évanouisse quand $t=0.$ De plus si l’on exclut les points de la surface, et ceux qui en sont très-voisins, et si l’on suppose le temps $t$ devenu très-grand, on aura (n$^o$ 13)
$\mathrm {Y} ={\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}\right.$
$\left.+1.3.5.7\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right)\,;$
d’où l’on conclut, en remettant pour $k$ et $k'$ leurs valeurs,
$\mathrm {Y+Y'} ={\frac {2}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2z}{gt^{2}}}+{\frac {12\left(z^{2}-\rho ^{2}.cos.^{2}\omega \right)}{g^{2}t^{4}}}+{\frac {120\left(z^{3}-3r\rho .cos.\omega \right)}{g^{3}t^{6}}}+{\text{etc}}.\right).$
Multipliant par $d\omega ,$ intégrant depuis $\omega =0$ jusqu’à $\omega ={\frac {\pi }{2}},$ et différenciant deux fois de suite par rapport à $t,$ il vient
$\int \left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{dt^{2}}}\right)d\omega ={\frac {2\pi }{t^{3}{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {12z}{gt^{2}}}+{\frac {180\left(z^{2}-{\frac {1}{2}}\rho ^{2}\right)}{g^{2}t^{4}}}\right.$
$\left.+{\frac {3360z^{3}}{g^{4}t^{6}}}+{\text{etc}}.\right)$
D’ailleurs on a $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}-2x\alpha -2y\beta +\alpha ^{2}+\beta ^{2}\,;$ si donc on fait
$\iint f(\alpha ,\beta )d\alpha \,d\beta =\mathrm {A} ,\qquad \iint f(\alpha ,\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2})d\alpha \,d\beta =\mathrm {B} ,$
et si l’on suppose nulles les deux intégrales $\iint f(\alpha ,\beta )\alpha \,d\alpha \,d\beta ,$ $\iint f(\alpha ,\beta )\beta \,d\alpha \,d\beta ,$ condition qu’on peut toujours remplir en disposant de l’origine des coordonnées, l’équation (c) deviendra
$\varphi =-{\frac {2\mathrm {A} }{\pi \,g\,t^{3}}}-{\frac {24\mathrm {A} z}{\pi \,g^{2}\,t^{5}}}-{\frac {180\left[\left(2z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)\mathrm {A-B} \right]}{\pi \,g^{3}\,t^{7}}}-{\frac {6720\mathrm {A} z^{3}}{\pi \,g^{4}\,t^{9}}}-{\text{etc}}.;$
d’où l’on tire
${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dz}}&=-{\frac {24\mathrm {A} }{\pi \,g^{2}\,t^{5}}}-{\frac {720\mathrm {A} z}{\pi \,g^{3}\,t^{7}}}-{\text{etc}}.,\\{\frac {d\varphi }{dy}}&=\quad {\frac {360\mathrm {A} y}{\pi \,g^{3}\,t^{7}}}+{\text{etc}}.,\\{\frac {d\varphi }{dx}}&=\quad {\frac {360\mathrm {A} x}{\pi \,g^{3}\,t^{7}}}+{\text{etc}}.\end{aligned}}$
On voit, par ces résultats, qu’après un temps un temps très-considérable, le mouvement horizontal des molécules fluides est insensible par rapport à leur mouvement vertical. La vîtesse finale, dans le sens vertical, est indépendante de leur coordonnées, et suit la raison inverse de la cinquième puissance du temps. Comme elle est négative, cela signifie que chaque molécule achève de se mouvoir en s’élevant verticalement ; le contraire à lieu, comme on l’a vu (n$^o$ 13), pour un fluide contenu dans un canal d’une largeur constante.
(37) Jusqu’ici nous n’avons attribué aucune forme particulière au corps solide dont l’immersion produit l’ébranlement du fluide ; nous le supposerons maintenant très-peu enfoncé, ce qui est nécessaire pour qu’à l’origine du mouvement les mêmes molécules demeurent à la surface, et parconséquent, pour que nos formules puissent convenir à la question (n$^o$ 2). Dans cette hypothèse, la surface du corps, dans toute l’étendue du segment plongé, se confond sensiblement avec son paraboloïde osculateur au point le plus bas ; prenant donc la projection de ce point sur le niveau du fluide, pour origine des coordonnées $x$ et $y,$ et les axes de ces coordonnées dans les plans de la plus petite et de la plus grande courbure de la surface au même point, l’équation de ce paraboloïde, et parconséquent l’équation de la partie plongée de la surface, sera
$z'=h\left(1-{\frac {x^{2}}{l^{2}}}-{\frac {y^{2}}{l^{'2}}}\right).$
La section à fleur d’eau est une ellipse qui a pour équation
$1-{\frac {x^{2}}{l^{2}}}-{\frac {y^{2}}{l^{'2}}}=0\,;$
$l$ et $l'$ sont donc les deux demi-axes de cette ellipse ; et si l’on suppose $l>l',$ $2l$ sera la plus grande largeur de l’ébranlement primitif, et $2l',$ sa plus petite largeur. Le coëfficient $h$ est l’ordonnée verticale du point le plus bas, ou la flèche du segment plongé le corps ayant été très-peu, enfoncé, cette quantité $h$ doit être assez petite, relativement à $2l$ et à $2l'.$
Cette valeur de $z'$ est celle de la fonction $f(x,y)$ (n$^o$ 30) dans les limites de l’ébranlement primitif ; hors de ces limites, cette fonction sera égale à zéro. Mettant $\alpha$ et $\beta ,$ à la place de $x$ et $y,$ nous aurons de même
$f(\alpha ,\beta )=h\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{l^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{l^{'2}}}\right)\,;$
au moyen de quoi l’équation (a) deviendra
$\varphi ={\frac {h{\sqrt {g}}}{\pi ^{2}}}\iiiint \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{l^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{l^{'2}}}\right)e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega )$
$.sin.\left(t{\sqrt {gu}}\right).{\sqrt {u}}\,du\,d\omega \,d\alpha \,d\beta \,;$
et maintenant la double intégration, relative à $\alpha$ et $\beta ,$ ne devra plus s’étendre qu’aux valeurs de ces coordonnées qui répondent à des points compris dans l’aire de l’ellipse dont l’équation est
$1-{\frac {\alpha ^{2}}{l^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{l^{'2}}}=0.$
Pour avoir égard à ces limites, nous remplacerons $\alpha$ et $\beta ,$ par deux autres variables $s$ et $\psi ,$ telles que l’on ait
$\alpha =ls.cos.\psi ,\qquad \beta =l's.sin.\psi ,$
et nous étendrons les valeurs de $s,$ depuis $s=0$ jusqu’à $s=1,$ et celles de $\psi ,$ depuis $\psi =0$ jusqu’à $\psi =2\pi .$ Par les règles connues de la transformation des intégrales doubles, on trouve
$d\alpha \,d\beta =ll's\,dsd\psi \,;$
par conséquent on aura
$\varphi ={\frac {hll'{\sqrt {g}}}{\pi ^{2}}}\iiiint \left(1-s^{2}\right)e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega )$
$.sin.(t{\sqrt {gu}}).s{\sqrt {u}}.du\,ds\,d\omega \,d\psi \,;\quad$
$u=0,$
$s=0,$
$\omega =0,$
$\psi =0,$
$u={\frac {1}{0}},$
$s=1,$
$\omega ={\frac {\pi }{2}},$
$\psi =2\pi .$
En désignant par $r,$ le rayon vecteur horizontal d’une molécule quelconque, et par l’angle que ce rayon fait avec l’axe des $x,$ en sorte qu’on ait
$x=r.cos.\theta ,\qquad y=r.sin.\theta ,$
la quantité $\rho$ , qui entre dans cette formule, sera déterminée par cette équation :
$\rho ^{2}=r^{2}-2rs(l.cos.\theta .cos.\psi +l'.sin.\theta .sin.\psi )+s^{2}(l^{2}.cos^{2}.\psi +l^{'2}.sin^{2}.\psi ).$
(38) Nous ne considérerons les valeurs de l’ordonnée $z',$ dont cette propagation dépend, que pour des points très-éloignés de l’ébranlement primitif ; en sorte que le rayon $r$ sera supposé très-grand par rapport à $l$ et $l'.$ De plus nous distinguerons, comme dans le IVe §, deux époques différentes : celle où le temps n’est pas encore très-considérable, et celle, au contraire, où la quantité $gt^{2}$ est devenue très-grande par rapport à $r,$ de manière que ${\frac {gt^{2}}{r}}$ soit du même ordre de grandeur que ${\frac {r}{l}}$ et ${\frac {r}{l'}}.$ À ces deux époques, on a des très-distinctes que nous allons ondes qui suivent des lois successivement examiner.
Dans le premier cas, nous pouvons employer l’équation (b) du n$^o$ 34, à la détermination de l’ordonnée $z'.$ En développant la valeur $\mathrm {Z} ,$ qui doit y être substituée, suivant les puissances de $z,$ on a
$\mathrm {Z} ={\frac {\pi }{2r}}\left(1-{\frac {1}{2}}.{\frac {z^{2}}{r^{2}}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {z^{4}}{r^{4}}}-{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {z^{6}}{r^{6}}}+{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8}}.{\frac {z^{8}}{r^{8}}}-{\text{etc}}.\right)\,;$
tirant de-là les valeurs des différentielles successives de $\mathrm {Z}$ par rapport à $z,$ faisant ensuite $z=0\,;$ et les substituant dans l’équation (b), il vient
$\varphi ={\frac {\mathrm {A} }{2\pi }}\left({\frac {1}{2.3}}.{\frac {g^{2}t^{3}}{r^{3}}}-{\frac {(1.3)^{2}}{2.3.4.5.6.7}}.{\frac {g^{4}t^{5}}{r^{5}}}+{\frac {(1.3.5)^{2}}{2.3.4.5.6.7.8.9}}.{\frac {g^{6}t^{7}}{r^{7}}}-{\text{etc.}}\right)\,;$
d’où l’on conclut
$z'={\frac {\mathrm {A} {\sqrt {p}}}{2\pi \,r^{3}}}\left(1-{\frac {p}{2.1.5}}+{\frac {p^{2}}{4.1.2.7.9}}-{\frac {p^{3}}{8.1.2.3.9.11.13}}\right.$
$+{\frac {p^{4}}{16.1.2.3.4.11.13.15.17}}\ldots$
$\left.\ldots \pm {\frac {p^{n}}{2^{n}(1.2.3\ldots n)(2n+3.\,2n+5\ldots 4n+1)}}\mp {\text{etc.}}\right),$
en observant que $z'={\frac {\varphi }{gdt}},$ et faisant, pour abréger,
$\left({\frac {gt^{2}}{2r}}\right)^{2}=p.$
Cette ordonnée sera la même pour tous les points de la surface, également éloignés du centre de l’ébranlement ; pour une valeur donnée de $p,$ il est évident qu’elle suivra la raison inverse du quarré de la distance $r,$ ou, ce qui est la même chose, la raison inverse de la quatrième puissance de $t.$ Or, son maximum, par rapport à $r,$ sera déterminé par l’équation \frac{dz'}{dr}=0\,; savoir, en supprimant le facteur commun à tous les termes :
$\left.{\begin{aligned}3&-{\frac {p}{2.1}}+{\frac {p^{2}}{4.1.2.9}}+{\frac {p^{3}}{8.1.2.3.11.13}}+{\frac {p^{4}}{16.1.2.3.4.13.15.17}}\\&\ldots \pm {\frac {p^{n}}{2^{n}(1.2.3\ldots n)(2n+5.\,2n+7\ldots 4n+1)}}\mp {\text{etc.}}=0\,;\end{aligned}}\right\$
chaque ordonnée maxima répondra donc à une valeur déterminée de $p\,;$ par conséquent, en s’éloignant du centre de l’ébranlement, elle décroîtra suivant la loi que nous venons d’énoncer. Elle se propagera d’un mouvement uniformément accéléré, et son mouvement apparent sera compris dans l’équation
$r={\frac {gt^{2}}{2{\sqrt {p}}}}.$
L’onde formée par l’intervalle compris entre deux maxima consécutifs, s’élargira proportionnellement au quarré du temps ; pour cette raison, et à cause de l’abaissement rapide de leurs sommets, les ondes de cette espèce ne seront pas, en général, très-apparentes à la surface de l’eau. Néanmoins nous allons déterminer la vîtesse des deux sommets qui précèdent tous les autres et qui répondent aux deux plus petites racines positives de l’équation (e). Le nombre des racines de cetté équation est infini, et leurs grandeurs n’ont pas de limites ; mais il ne faut pas oublier qu’on doit rejeter toutes les valeurs très-grandes de la quantité $p,$ puisque nous considérons maintenant le cas où $gt^{2}$ n’est pas devenu très-grand par rapport à $r,$ et où $p,$ par conséquent, ne peut pas être très-considérable.
(39) La plus petite racine de l’équation (e) est comprise entre $7$ et $8\,;$ par la méthode ordinaire on trouve, pour sa valeur approchée,
$p=7{,}4152\,;$
d’où il résulte, pour le mouvement de la première ordonnée maxima,
$r={\frac {gt^{2}}{2}}(0{,}3672)\,;$
en sorte que l’accélération de son mouvement est, à celle de la pesanteur, comme $0{,}3672$ est à l’unité ; où l’on peut remarquer qu’elle est un peu plus rapide que pour un fluide contenu dans un canal d’une largeur constante (n$^o$ 20). On trouve, pour la grandeur de cette ordonnée, calculée au moyen de la série du numéro précédent et de cette valeur de $p,$
$z'={\frac {\mathrm {A} }{r^{2}}}(0{,}1567),\quad {\text{ou}}\quad z'={\frac {\mathrm {A} }{g^{2}t^{4}}}(4{,}6472).$
Après quelques essais, on reconnaît que la seconde racine de l’équation (e) est comprise entre $60$ et $61\,;$ sa valeur approchée est $p=60{,}19\,;$ l’on a pour le mouvement de la seconde ordonnée maxima qui lui correspond,
$r={\frac {gt^{2}}{2}}(0{,}1289),$
et pour la grandeur de cette ordonnée
$z'=-{\frac {\mathrm {A} }{r^{2}}}(2{,}1766),\quad {\text{ou}}\quad z'=-{\frac {\mathrm {A} }{g^{2}t^{4}}}(524{,}04).$
(40) Supposons maintenant que le rapport ${\frac {gt^{2}}{r}}$ soit devenu très-grand, et du même ordre que \frac{r}{l} et \frac{r}{l'}. On ne peut plus alors faire usage de l’équation (b) pour déterminer z'\,; mais la valeur exacte de cette ordonnée, déduite de l’équation (d), est
$z'={\frac {hll'}{\pi ^{2}}}\iiiint \left(1-s^{2}\right)cos.(u\rho .cos.\omega ).cos.(t{\sqrt {gu}}).su\,du\,ds\,d\omega \,d\psi \,;$
et il s’agit d’effectuer, s’il est possible, ces quatre intégrations relatives aux variables $u,\,s,\,\omega$ et $\psi .$
En remplaçant dans l’équation (13) du n$^o$ 18, $x-\alpha$ par $\rho .cos.\omega ,$ on a
$\int cos.(u\rho .cos.\omega ).sin.(t{\sqrt {gu}}).du={\frac {gt^{2}}{2\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.dv\,;$
l’intégrale relative à $v$ étant prise depuis $v=0$ jusqu’à $v=1.$ On conclut de-là
$\int cos.(u\rho .cos.\omega ).cos.(t{\sqrt {gu}}).u\,du$
$=-{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left({\frac {t^{2}}{2\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.dv\right),$
et par conséquent
$z'=-{\frac {hll}{2\pi ^{2}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iiiint \left(1-s^{2}\right).cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.{\frac {st^{2}dv\,ds\,d\omega \,d\psi }{\theta ^{2}.cos^{2}.\omega }}.$
Mettant de même $\rho .cos.\omega$ à la place de $x-\alpha ,$ dans l’équation (17) du n$^o$ 21, il vient
${\frac {gt^{2}}{\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.dv=$
${\frac {t{\sqrt {2g\pi }}}{2\rho ^{\frac {3}{2}}.cos.^{\frac {3}{2}}\omega }}\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .cos.\omega }}+sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho .cos.\omega }}\right)$
$-{\frac {4}{gt^{2}}}\left(1+3.5\left({\frac {4\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }{g^{2}t^{4}}}\right)+3.5.7.9\left({\frac {4\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }{g^{2}t^{4}}}\right)^{2}+{\text{etc.}}\right)\,;$
$gt^{2}$
$\rho ,$
$\iiint \left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\omega \,d\psi ={\frac {\pi ^{2}}{4}}\,;$
la valeur de $z'$ deviendra donc
$z'=-{\frac {hll'}{2\pi {\sqrt {2g\pi }}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iiint \left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .\cos .\omega }}+sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho .\cos .\omega }}\right)$
${\frac {\left(1-s^{2}\right)t\,s\,ds\,d\omega \,d\psi }{\rho ^{\frac {3}{2}}.cos.^{\frac {3}{2}}\omega }}+{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.$
On effectuera l’intégration relative à $\omega ,$ dont les limites sont $\omega =0,$ et $\omega ={\frac {\pi }{2}},$ en faisant
${\frac {1}{cos.\omega }}=1+x^{2}\,;$
l’intégrale relative à $x$ devra être prise depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {1}{0}},$ et l’on aura
${\frac {d\omega }{(cos.\omega )^{\frac {3}{2}}}}=2dx{\sqrt {\frac {1+x^{2}}{2+x^{2}}}}={\sqrt {2}}dx+x\mathrm {X} dx\,;$
où l'on a fait, pour abréger,
${\frac {2x}{\left(2{\sqrt {1+x^{2}}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {2+x^{2}}}\right){\sqrt {2+x^{2}}}}}=\mathrm {X} \,;$
il en résultera donc
$\int cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .\cos .\omega }}.{\frac {d\omega }{\cos ^{\frac {3}{2}}.\omega }}={\sqrt {2}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.dx$
$+\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.x\mathrm {X} \,dx.$
Par les formules connues, on a
$\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.dx=\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}-sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}\right).{\sqrt {\frac {\pi \,\rho }{2gt^{2}}}}\,;$
en intégrant par parties, il vient
${\begin{aligned}\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.x\mathrm {X} dx&={\frac {2\rho \mathrm {X} }{gt^{2}}}.sin.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}\\&-{\frac {2\rho }{gt^{2}}}.\int sin.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}dx\,;\end{aligned}}$
mais aux deux limites $x=0$ et $x={\frac {1}{0}},$ on a $\mathrm {X} =0,$ ce qui fait disparaître le terme en dehors du signe intégral ; d’ailleurs la valeur ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ est aussi de cette forme :
${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}+x\mathrm {X} '\,;$
$\mathrm {X} '$ étant, ainsi que $\mathrm {X} ,$ une quantité qui devient nulle quand $x=0,$ et quand $x={\frac {1}{0}}\,:$ on aura donc aussi
${\begin{aligned}\int sin.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}dx=&{\frac {1}{4}}\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}+sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}\right){\sqrt {\frac {\pi \,\rho }{gt^{2}}}}\\&+{\frac {2\rho }{gt^{2}}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1+x^{2}\right)}{4\rho }}.{\frac {d\mathrm {X} '}{dx}}dx\,;\end{aligned}}$
et l’on pourra continuer de la même manière indéfiniment. Il est évident que l’intégrale relative à $\omega$ se trouvera, par cette suite d’opérations, développée suivant les puissances impaires du rapport ${\sqrt {\frac {\rho }{gt^{2}}}},$ qu’on suppose très-petit ; nous ne conserverons que le premier terme de cette série, et nous aurons simplement
$\int cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .cos.\omega }}.{\frac {d\omega }{cos.^{\frac {3}{2}}\omega }}=\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}-sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}\right){\sqrt {\frac {\pi \,\rho }{gt^{2}}}}.$
On trouvera de même
$\int sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho .cos.\omega }}.{\frac {d\omega }{cos.^{\frac {3}{2}}\omega }}=\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}+sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}\right){\sqrt {\frac {\pi \,\rho }{gt^{2}}}}\,;$
d’où l’on conclut
$z'=-{\frac {[[?]]hll'}{\pi \,g{\sqrt {2}}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iint cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.{\frac {\left(1-s^{2}\right)s}{\rho }}ds\,d\psi +{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}$
de sorte qu’il ne reste plus à effectuer que les intégrations relatives $s$ et à $\psi .$
(41) Pour cela, il est nécessaire de substituer pour p sa valeur, qui est fonction de ces deux variables (n$^o$ 37). Or, en développant, suivant les puissances de $l$ et $l',$ on a
${\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{r}}+{\frac {sl.cos.\theta .cos.\psi +sl'.sin.\theta .sin.\psi }{r^{2}}}+{\text{etc.}}\,;$
en dehors du cosinus, nous pouvons négliger $l$ et $l',$ et remplacer $\rho$ par $r\,;$ mais, sous le cosinus, nous conserverons leurs premières puissances ; de plus, nous ferons
${\begin{aligned}l\;.cos.\theta &={\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\psi +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}.cos.\theta ',\\l'.cos.\theta &={\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}.sin.\theta '\,;\end{aligned}}$
par conséquent nous aurons
${\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{r}}+{\frac {s{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}{r^{2}}}.cos.(\psi -\theta ')\,;$
${\frac {gt^{2}{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}{4r^{2}}}=k,$
la valeur de $z'$ deviendra
$z'=-{\frac {hll'}{\pi \,gr{\sqrt {2}}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iint cos.\left({\frac {gt^{2}}{4\rho }}+kscos.(\psi -\theta ')\right).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi +{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.$
On s’assurera, comme dans le n$^o$ 31, que cette quantité est indépendante de l’angle $\theta '$ qui disparaît par l’intégration relative à $\psi \,;$ faisant donc $\theta '=0,$ on aura
${\begin{aligned}z'=-&{\frac {hll'}{\pi \,gr{\sqrt {2}}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left[cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi \right.\\&\left.-sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.\iint sin.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi \right]+{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.\end{aligned}}$
La seconde intégrale comprise, entre les parenthèses, est nulle pour les limites $\psi =0$ et $\psi =2\pi ,$ parce qu’elle se compose d’éléments égaux deux à deux et de signes contraires ; on peut ne prendre la première, que depuis $\psi =0$ jusqu’à $\psi ={\frac {\pi }{2}},$ pourvu que l’on quadruple le résultat ; on aura donc
$z'={\frac {2{\sqrt {2}}hll'}{\pi \,gr}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left[cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho }}.\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi \right]+{\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}.$
Observons maintenant que $r$ étant très-grand par rapport à $l$ et à $l',$ et $gt^{2}$ très-grand par rapport à $r,$ la quantité désignée par $k$ peut avoir telle valeur qu’on voudra ; si donc on effectue la double différentiation indiquée par rapport à $t,$ et qu’on mette pour $gt^{2},$ hors des sinus et cosinus, sa valeur en fonction de $k,$ savoir :
$gt^{2}={\frac {4kr^{2}}{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}},$
on obtiendra un terme divisé par $r,$ et d’autres termes divisés par $r^{2},$ ou même par $r^{3},$ qui seront très-petits et que nous pourrons négliger relativement au premier. Nous pourrons aussi supprimer le terme ${\frac {3hll'}{g^{2}t^{4}}}$ qui se trouvera divisé par $r^{4}\,;$ et au moyen de ces réductions nous aurons
$z'={\frac {2{\sqrt {2}}hll'k}{\pi \,r{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}}.cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}$
$.\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi .\quad (f)$
L’intégrale relative à $s$ pourrait s’obtenir immédiatement ; mais il sera plus simple de faire
$s.cos.\psi =a,\qquad s.sin.\psi =b,\qquad s\,ds\,d\psi =da\,db\,;$
l’intégrale relative aux nouvelles variables $a$ et $b,$ devra s’étendre à tous les points de l’aire d’un quart-de-cercle dont le rayon est l’unité ; il faudra donc intégrer depuis $b=0,$ jusqu’à $b={\sqrt {1-a^{2}}},$ et depuis $a=0$ jusqu’à $a=1\,;$ on aura donc
${\begin{aligned}\iint cos.(ks.cos.\psi ).\left(1-s^{2}\right)s\,ds\,d\psi &=\iint \left(1-a^{2}-b^{2}\right)cos.ka.da\,db\\&={\frac {2}{3}}.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da\,;\end{aligned}}$
d’où il resulte enfin
$z'={\frac {4{\sqrt {2}}hll'k}{3\pi \,r{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}}.cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da.$
(42) L’intégrale qui reste à prendre, et dont les limites sont $a=0$ et $a=1,$ ne peut pas s’obtenir exactement ; mais on en peut assigner une limite qui prouvera que la valeur de $z'$ ne croît pas indéfiniment avec le temps, et qu’au-contraire elle devient nulle, comme cela doit être, lorsque $t$ devient infini.
En effet, en intégrant deux fois de suite par parties, et ayant égard aux limites $a=0$ et $a=1,$ on trouve
$k\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da={\frac {3}{k}}\int {\frac {\left(1-2a^{2}\right).cos.ka}{\sqrt {1-a^{2}}}}.da\,;$
or, entre ces limites, la quantité $(1-2a^{2}).cos.ka$ n’est jamais plus grande que l’unité ; on aura donc, abstraction faite du signe,
$k\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da<{\frac {3}{k}}\int {\frac {da}{\sqrt {1-a^{2}}}}<{\frac {3\pi }{2k}}\,;$
et comme $cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}$ ne peut pas non plus surpasser l’unité, il en résulte
$z'<{\frac {2{\sqrt {2}}hll'}{kr{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}},$
ou bien, en remettant pour $k$ sa valeur,
$z'<{\frac {8{\sqrt {2}}hll'r}{gt^{2}\left(l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta \right)}}\,;$
limite qui devient nulle, comme on voit, lorsque $t$ devient infini.
(43) Si nous faisons, pour abréger,
${\frac {4{\sqrt {2}}.hll'k.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da}{3\pi \,r{\sqrt {l^{2}.cos^{2}.\theta +l^{'2}.sin^{2}.\theta }}}}=\mathrm {K} ,$
$z'$
$z'=\mathrm {K} .\cos .{\frac {gt^{2}}{4r}}.$
Cette valeur renferme donc deux facteurs $\mathrm {K}$ et $\cos .{\frac {gt^{2}}{4r}},$ varient l’un et l’autre avec le temps ; mais ${\frac {gt^{2}}{4}}$ étant supposé très-grand par rapport à $r,$ et $\mathrm {K}$ n’étant fonction que de $k,$ il en résulte que le premier facteur varie bien plus lentement le dernier, de telle manière que celui-ci passe de son maximum positif à son maximum négatif, dans un intervalle de temps pendant lequel l’autre demeure à très-peu-près constant. De cette considération résultent des conséquences relatives aux oscillations verticales des molécules superficielles du fluide, que nous allons successivement énoncer et qui sont anàlogues aux lois précédemment trouvées pour le cas d’un canal d’ane largeur constante.
1$^o$ À raison du facteur $\cos .{\frac {gt^{2}}{4r}},$ chaque molécule fait des oscillations verticales dont l’amplitude, c’est-à-dire la hauteur dù point le plus haut au-dessus du point le plus bas, est double de l’autre facteur $\mathrm {K} .$ Cette amplitude varie avec le temps pour le même point, et au même instant, d’un point à un autre.
2$^o$ Si l’on appelle $t'$ le temps d’une oscillation, on aura, pour le déterminer,
${\frac {g(t+t')^{2}}{4r}}-{\frac {gt^{2}}{4r}}=\pi \,;$
d’où l’on tire, à très-peu-près,
$t'={\frac {2\pi \,r}{g\,t}}\,;$
3$^o$ Tous les points situés à la même distancer du centre de l’ébranlement, font au même instant leurs oscillations dans le même temps ; mais toutes ces oscillations n’ont pas la même amplitude, à cause que la valeur de $\mathrm {K}$ renferme l’angle $\theta .$ Si de ce centre on décrit deux cercles très-rapprochés, l’un du rayon $r,$ et l’autre d’un rayon $r+\lambda \,;$ déterminé par cette équation :
${\frac {gt^{2}}{4r}}-{\frac {gt^{2}}{4(r+\lambda )}}=\pi ,$
les points de la seconde circonférence feront leurs oscillations en sens inverse de ceux de la première, c’est-à-dire que quand l’un de ceux-ci atteindra sa plus grande élévation, celui qui répond au même angle $\theta$ sur l’autre circonférence, atteindra au contraire son plus grand abaissement, et vice versà. La surface du fluide peut être partagée en une suite de zones semblables qui formeront une suite d’ondes circulaires, mobiles en apparence à cette surface ; la largeur de l’onde, qui répond au rayon $r,$ sera la quantité $\lambda ,$ et l’on aura, à très-peu-près,
$\lambda ={\frac {4\pi \,r^{2}}{gt^{2}}}\,;$
où l’on voit qu’en un même endroit de la surface, les ondes se rétrécissent à mesure que le temps augmente.
4$^o$ Si l’on veut comparer la largeur des ondes à la durée des oscillations, ou $\lambda$ à $t',$ on aura
$t'=\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{\pi \,g}}}\,;$
${\frac {\lambda }{\pi }}\,;$
5$^o$ En regardant l’angle comme donnée, et comme déterminant la direction d’un plan vertical mené par le centre de l’ébranlement primitif, on peut suivre dans ce plan, comme nous l’avons fait pour le cas d’un canal d’une largeur constante, le mouvement apparent des points dont les oscillations sont nulles, et de ceux pour lesquels l’amplitude $2\mathrm {K}$ est un maximum par rapport à $r,$ abstraction faite du signe. Par rapport aux premiers points, l’équation $2\mathrm {K} =0$ se réduit à
$\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.\cos .ka.da=0\,;$
et relativement aux seconds, si l’on observe que ${\frac {dk}{dr}}=-{\frac {2k}{r}},$ on trouve que l’équation ${\frac {d\mathrm {K} }{dr}}=0$ devient
$3\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.\cos .ka.da-2k\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.\sin .ka.ada=0.\qquad (g)$
Pour chaque valeur réelle et positive de $k,$ tirée de l’une ou de l’autre de ces équations, on aura
$r={\frac {t{\sqrt {g}}{\sqrt[{4}]{l^{2}.\cos ^{2}.\theta +l^{'2}.\sin ^{2}.\theta }}}{2{\sqrt {k}}}}\,;$
d’où il résulte que les points de cette espèce se propagent d’un mouvement uniforme, avec une vîtesse proportionnelle à ${\sqrt[{4}]{l^{2}.\cos ^{2}.\theta +l^{'2}.\sin ^{2}.\theta }}$ L’amplitude maxima, qui répond à
$k,$
$r,$
$t\,;$
6$^o$ Comme la vîtesse apparente des points dont nous parlons dépend de l’angle 0, excepté dans le cas particulier où l’on a $l=l',$ il s’ensuit qu’à un instant donné, ils ne doivent pas être rangés sur des cercles concentriques autour du centre de l’ébranlement primitif. Ainsi, les points dont les oscillations sont nulles, forment à la surface des suites de courbes qui se propagent uniformément, en restant semblables à ellesmêmes ; et si l’on fait
$r.cos.\theta =x,\qquad r.\sin .\theta =y,$
l’équation générale de ces courbes, à un instant quelconque, sera
$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}={\frac {g^{2}t^{4}}{16k}}\left(l^{2}x^{2}+l^{'2}y^{2}\right)\,;$
en sorte qu’elles formeront des ovales, allongés dans le sens du plus grand diamètre de l’ébranlement primitif.
7$^o$ C’est dans cette direction que les oscillations maxima se propageront avec la plus grande vîtesse, et dans le sens du plus petit diamètre, qu’elles se propageront le plus lentement ; car si l’on fait successivement $\theta =0$ et $\theta ={\frac {\pi }{2}},$ dans la valeur précédente de $r,$ on aura
$r={\frac {t{\sqrt {gl}}}{2{\sqrt {k}}}},\qquad r={\frac {t{\sqrt {gl'}}}{2{\sqrt {k}}}}\,;$
d’où il résulte, en supposant $l>l',$ que la vîtesse dans la première direction est à la vîtesse dans la seconde, comme ${\sqrt {l}}$ est à ${\sqrt {l'}}.$ Au contraire, à distance égale de l’ébranlement primitif, l’amplitude de ces oscillations est plus grande dans la seconde direction que suivant la première ; car en faisant d’abord $\theta =0,$ la valeur précédente de $\mathrm {K}$ devient
$\mathrm {K} ={\frac {4{\sqrt {2}}hl'k}{3\pi \,r}}.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.cos.ka.da,$
et en faisant ensuite $\theta ={\frac {\pi }{2}},$ on a
$\mathrm {K} ={\frac {4{\sqrt {2}}hlk}{3\pi \,r}}.\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.\cos .ka.da\,;$
où l’on voit que la seconde valeur est à la première comme $l$ est à $l'.$
(44) Lorsque le corps dont l’immersion a produit l’ébranlement du fluide, est un solide de révolution, on a $l=l',$ et tout est semblable autour de cet ébranlement. Dans ce cas particulier, que nous allons spécialement examiner, les points dont les oscillations sont nulles, sont rangés sur des cercles concentriques et mobiles, et il en est de même de ceux qui répondent aux oscillations maxima. Les premiers cercles partagent les ondes en groupes dont chacun peut être pris, comme dans le cas d’un canal vertical, pour une seule onde dentelée ; les ondes dentelées s’élargissent proportionnellement au temps à mesure qu’elles se propagent ; les mouvemens des cercles qui les terminent sont uniformes et compris dans l’équation
$r={\frac {t{\sqrt {gl}}}{2{\sqrt {k}}}}\,;$
la valeur de $k$ étant tirée de l’équation $\mathrm {P} =0,$ en faisant, pour abréger,
$\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.\cos .ka.da=\mathrm {P} .$
Les cercles correspondans aux oscillations maxima se propagent suivant la même loi, c’est-à-dire avec une vîtesse constante, que l’on peut prendre pour celle des ondes dentelées auxquelles ils appartiennent, et qui est proportionnelle à la racine quarrée du rayon $l$ de la section à fleur d’eau du corps solide dont l’immersion a produit le mouvement. La valeur de $k,$ ralative à ces courbes, est donnée par l’équation $(g)$ que l’on peut écrire sous cette autre forme :
$3\mathrm {P} +2k{\frac {d\mathrm {P} }{dk}}=0.\qquad (h)$
Enfin, en appelant $\mathrm {K} '$ l’amplitude de ces oscillations, qui est double de la quantité $\mathrm {K} ,$ on aura
$\mathrm {K} '={\frac {8{\sqrt {2}}\,hlk}{3\pi \,r}}.\mathrm {P} \,;$
et l’on devra mettre dans $\mathrm {P} ,$ pour $k,$ sa valeur tirée de l’équation précedente.
Nous allons maintenant déterminer, par approximation, les plus petites racines positives de cette équation, lesquelles répondent aux ondes dentelées qui se propagent avec les plus grandes vîtesses.
(45) En développant $\cos .ka$ suivant les puissances de $k,$ $\mathrm {P}$ se trouve développée de même ; et si l’on fait généralement
$\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}a^{2n}da=A_{n},$
on aura
$\mathrm {P} =\mathrm {A} _{0}-\mathrm {A} _{1}{\frac {k^{2}}{2}}+\mathrm {A} _{2}{\frac {k^{4}}{2.34}}-\mathrm {A} _{3}{\frac {k^{6}}{2.3.4.5.6}}+{\text{etc.}}$
Au moyen de l’intégration par parties, on peut réduire $\mathrm {A} _{n}$ à $\mathrm {A} _{n-1}\,;$ et si l’on a égard aux limites $a=0$ et $a=1,$ on trouve
$\mathrm {A} _{n}={\frac {2n-1}{2(n+2)}}.\mathrm {A} _{n-1}\,;$
on a d’ailleurs
$\mathrm {A} _{0}=\int \left(1-a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}.da={\frac {3\pi }{16}}\,;$
d’où l’on conclut A,
$\mathrm {A} _{n}={\frac {1.3.5.7\ldots 2n-1}{1.2.3.4\ldots n+2}}.{\frac {3\pi }{2^{n+3}}},$
et par conséquent
$\mathrm {P} ={\frac {3\pi }{8}}({\frac {1}{1.2}}-{\frac {1}{2.3}}.{\frac {k^{2}}{4}}+{\frac {1}{(1.2)^{2}.3.4}}.\left({\frac {k^{2}}{4}}\right)^{2}-{\frac {1}{(1.2.3)^{2}.4.5}}.\left({\frac {k^{2}}{4}}\right)^{3}+\ldots$
$\ldots \pm {\frac {1}{(1.2.3\ldots n)^{2}.(n+1).(n+2)}}\left({\frac {k^{2}}{4}}\right)^{n}\mp {\text{etc}}.).$
D’après cette valeur de $\mathrm {P} ,$ et en faisant ${\frac {k^{2}}{4}}=p,$ l’équation $(h)$ devient
${\frac {3}{2}}-{\frac {7p}{2.3}}+{\frac {11p^{2}}{(1.2)^{2}.3.4}}-{\frac {15p^{3}}{(1.2.3)^{2}.4.5}}+\ldots$
$\ldots \pm {\frac {(3+4n)p^{n}}{(1.2.3\ldots n)^{2}(n+1)(n+2)}}\mp {\text{etc.}}=0\,;\quad (i)$
(46) Sa plus petite racine est comprise entre $1$ et $2\,;$ par la méthode ordinaire on trouve, pour sa valeur approchée,
$p={\frac {k^{2}}{4}}1{,}8628\,;$
d’où l’on conclut, pour le mouvement de la première onde, rapporté au cercle des plus grandes oscillations verticales,
$r=(0{,}3027)t{\sqrt {gl}}\,;$
en sorte que sa vîtesse est moindre d’environ un sixième, que celle de l’onde qui se propage la première dans un canal d’une largeur contante (n$^o$ 24).
En calculant, au moyen de la série précédente, la valeur de $\mathrm {P}$ qui répond à cette première racine, et la substituant dans celle de $\mathrm {K} ',$ on trouve, pour l’amplitude des plus grandes oscillations,
$\mathrm {K} '=(0{,}9788){\frac {hl}{r}},\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {K} '=(3{,}2344)h{\sqrt {\frac {l}{gt^{2}}}}.$
On trouve aussi pour leur durée $t',$ et pour la largeur $\lambda$ de l’onde partielle qui répond à ces oscillations (n$^o$ 43),
$t'=(1{,}9015){\sqrt {\frac {l}{g}}},\qquad \lambda =(1{,}1509)l.$
Après quelques essais, on trouve que la seconde racine de l’équation $(i)$ est comprise entre $11$ et $12\,;$ et si l’on prend $p=11{,}5,$ il en résulte, pour le mouvement de la deuxième onde,
$r=(0{,}1920)\,t{\sqrt {gl}}\,;$
$\mathrm {K} '$
$\mathrm {K} '=(0{,}2609){\frac {hl}{r}},\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {K} '=(1{,}3588)k{\sqrt {\frac {l}{gt^{2}}}}\,;$
en sorte qu’à un instant donné, elle n’est pas la moitié de celle qui répond à la première, et pour la même distance du lieu de l’ébranlement, elle n’en est pas le tiers. On trouve aussi pour les valeurs de $t'$ et $\lambda ,$ relatives à cette deuxième racine,
$t'=(1{,}2069){\sqrt {\frac {l}{g}}},\qquad \lambda =(0{,}4632)l.$
Supposons, par exemple, que le diamètre de l’ébranlement primitif ait été d’un décimètre ; nous aurons $l=0^{\mathrm {m} }{,}05\,;$ on a d’ailleurs $g=9^{\mathrm {m} }{,}8088,$ en prenant la seconde sexagésimale pour unité de temps ; il résulte de ces valeurs, pour la première onde,
$r=(0{,}2121)t,\quad \mathrm {K} '=(0{,}2309){\frac {h}{t}},\quad t=0''{,}1358,\quad \lambda =0^{\mathrm {m} }{,}0575,$
et pour la deuxième,
$r=(0{,}1345)t,\quad \mathrm {K} '=(0{,}0971){\frac {h}{t}},\quad t'=0''{,}0862,\quad \lambda =0^{\mathrm {m} }{,}0132.$
Le cercle des oscillations nulles qui sépare ces deux ondes l’une de l’autre, répond à la plus petite racine de l’équation $\mathrm {P} =0,$ ou de
${\frac {1}{2}}-{\frac {p}{2.3}}+{\frac {p^{2}}{(1.2)^{2}.3.4}}-{\frac {p^{3}}{(1.2.3)^{2}.4.5}}+{\frac {p^{4}}{(1.2.3.4)^{2}.5.6}}-{\text{etc.}}=0$
Cette racine est comprise entre $6$ et $7,$ et si l’on prend $p=6{,}5,$ on a, pour le mouvement de ce cercle,
$r=(0{,}2214)t{\sqrt {gl}}\,;$
et dans le cas de $l=0^{\mathrm {m} }{,}05,$ il vient $r=(0{,}1404)t.$
(47) Pour confirmer ces résultats de la théorie, nous allons en faire l’application à quelques expériences sur la vîtesse des ondes, que M. Biot a faites autrefois, et dont il a conservé nne note qu’il a bien voulu nous communiquer. Cette note renferme les résultats de quatre expériences dans lesquelles on a observé le temps que la première onde, produite par l’immersion d’un corps solide d’une figure connue, emploie à parcourir un espace égal à un mètre ; or, en faisant $r=1,$ dans la formule $r=(0{,}3027)t{\sqrt {gl}}$ que nous venons de trouver pour le mouvement de cette onde, on en déduit
$t={\frac {3{,}3036}{\sqrt {gl}}}\,;$
il s’agit donc de comparer le temps observé par M. Biot à celui qui est déterminé par cette formule, dans laquelle on fera $g=9^{\mathrm {m} }{,}8088,$ et l’on exprimera le rayon $l$ en mètres : le temps se trouvera alors exprimé en secondes sexagésimales. Le tableau suivant contient, dans la première colonne, l’indication de la figure du corps plongé ; dans la seconde, la valeur du rayon de sa section à fleur d’eau ; dans la troisième, le temps observé ; et dans la quatrième, le temps calculé.
* $\scriptstyle {\begin{array}{c|c|c|c}{\text{CORPS PLONGÉS}}.&{\text{VALEURS DE }}l.&{\text{TEMPS OBSERVÉS}}.&{\text{TEMPS CALCULÉS}}.\\\hline \\{\text{Sphère d’un rayon}}&l=0^{\mathrm {m} }{,}03&5''&6''{,}09\\{\text{égal à }}0{,}05.\\\\{\text{Sphère d’un rayon}}&l=0^{\mathrm {m} }{,}0436&4''&5''{,}05\\{\text{égal à }}0{,}1.\\\\{\text{Paraboloïde}}.&l=0^{\mathrm {m} }{,}02&7''&7''{,}46\\\\{\text{Ellipsoïde dont}}&l=0^{\mathrm {m} }{,}015&8''&8''{,}61\\{\text{l’axe vertical est}}\\{\text{double de l’horizontal}}.\end{array}}$
Si l’on fait attention que M. Biot n’a pas donné les fractions de secondes, on verra que la différence entre le temps calculé et le temps observé, qui s’élève à une seconde dans les deux premières expériences, et seulement à une demiseconde dans les deux dernières, est comprise dans les limites des erreurs que ce genre d’observations peut comporter. On peut aussi remarquer que les temps observés sont tous quatre moindres que les temps calculés, ce qui vient sans doute de ce que M. Biot aura suivi le mouvement apparent d’un des cercles qui précèdent celui des plus grandes oscillations auquel se rapportent les temps calculés.
La formule qui nous a servi à calculer le temps de la propagation des ondes, suppose qu’elles ont été produites par l’immersion d’un paraboloïde, ce qui n’est vrai rigoureusement que dans la troisième expérience, et ne pourrait être admis pour les trois autres qu’autant que la flèche du segment plongé serait assez petite par rapport au diamètre de la section à fleur d’eau (n$^o$ 37); or, dans ces quatre expériences, cette flèche était égale à un centimètre, de manière qu’elle s’élevait dans l’une d’entre elles au tiers du diamètrė; on pourrait donc craindre, malgré l’accord que nous remarquons entre ces expériences et les résultats de l’analyse, que l’hypothèse de notre calcul ne leur fût point applicable ; c’est pourquoi il ne sera pas inutile de chercher la correction de la vîtesse des ondes, due à ce que le segment plongé s’écarte Bensiblement de la figure d’un paraboloïde. On verra que cette correction est très-petite en général, et que dans les expériences que nous citons, elle ne peut être d’aucune considération ; en sorte qu’il est permis de les regarder comme une confirmation satisfaisante de la théorie.
(48) Supposons donc que le corps dont l’immersion produit les ondes, soit un ellipsoïde de révolution, au lieu d’un paraboloïde ; soient $a$ et $b$ ses demi-axes vertical et horizontal ; son équation, rapportée à son centre et à ses axes, sera
$a^{2}z^{2}+b^{2}u^{2}=a^{2}b^{2}\,;$
$z$ étant une ordonnée verticale, et $u$ une abscisse horizontale. Appelons $h$ la flèche du segment plongé, et transportons l’origine des coordonnées au centre de sa base ; l’ordonnée verticale, comptée de cette nouvelle origine, exprimera la valeur de la fonction $f(\alpha ,\beta )$ (n$^o$ 30), et l’abscisse $u$ sera égale à ${\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\,;$ on aura d’ailleurs
$z=b-h+f(\alpha ,\beta )\,;$
substituant donc pour $z$ sa valeur tirée de l’équation precédente, il vient
$f(\alpha ,\beta )=h-b+b{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{a^{2}}}}}.$
Or, ${\frac {u}{a}}$ doit être une fraction d’autant plus petite que le corps est moins enfoncé dans le fluide ; on aura donc une série convergente, en développant ${\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{a^{2}}}}}$ suivant les puissances de cette fraction ; et si l’on néglige les puissances supérieures à la cinquième, on aura
$f(\alpha ,\beta )=h-{\frac {bu^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {bu^{4}}{8a^{4}}}.$
En égalant cette quantité à zéro, $u$ deviendra le rayon de la section à fleur d’eau que nous avons précédemment désigné par $l\,;$ on a donc
$h={\frac {bl^{2}}{2a^{2}}}\left(1+{\frac {l^{2}}{4a^{2}}}\right).$
Tirant de-là la valeur de $b,$ la substituant dans l’équation précédente, et négligeant les quarrés et les produits des fractions ${\frac {u^{2}}{a^{2}}}$ et ${\frac {l^{2}}{a^{2}}},$ il vient
$f(\alpha ,\beta )=h\left(1-{\frac {u^{2}}{l^{2}}}\right)\left(1+{\frac {u^{2}}{4a^{2}}}\right)\,;$
ou bien en faisant, comme plus haut (n$^o$ 37),
$u={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}=ls,$
cette valeur de $f(\alpha ,\beta )$ prend la forme :
$f(\alpha ,\beta )=h\left(1-s^{2}\right)\left(1+ms^{2}\right)\,;$
en faisant, pour abréger, ${\frac {l^{2}}{4a^{2}}}=m.$
Maintenant on s’assurera aisément qu’en partant de cette expression de la fonction $f(\alpha ,\beta ),$ et par une suite de réductions semblables à celles qui nous ont conduits à l’équation $(f)$ du n$^o$ 41, on obtiendra, au lieu de cette équation, cette autre expression de l’ordonnée $z'$ de la surface à un instant quelconque :
$z'={\frac {2{\sqrt {2}}hlk}{\pi \,r}}.cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}.\iint cos.(ks.cos.\psi )\left(1-s^{2}\right)\left(1+ms^{2}\right)s\,ds\,d\psi \,;$
l’intégrale étant prise depuis $s=0,$ jusqu’à $s=1,$ et depuis $\psi =0,$ jusqu’à $\psi ={\frac {\pi }{2}}\,;$ et en faisant toujours
${\frac {gt^{2}l}{4r^{2}}}=k.$
On en déduira les mêmes conséquences que plus haut relativement aux oscillations verticales des molécules superficielles ; et si l’on fait
$\iint cos.(ks.cos.\psi )\left(1-s^{2}\right)\left(1+ms^{2}\right)s\,ds\,d\psi =\mathrm {P} ',$
les valeurs de $k$ qui répondent aux maxima, par rapport à $r,$ des amplitudes des oscillations, seront données par l’équation
$3\mathrm {P} '+2k{\frac {d\mathrm {P} '}{dk}}=0,\qquad (k)$
qui remplacera l’équation $(h)$ du n$^o$ 44.
Il serait facile de ramener $\mathrm {P} '$ à une intégrale simple ; mais on peut aussi-bien, sans cela, réduire cette quantité en série ordonnée suivant les puissances de $k\,;$ ce qui suffit pour déterminer par approximation les racines de l’équation $(k).$
(49) Pour effectuer cette réduction, je développe d’abord $cos.(ks.cos.\psi )$ suivant les puissances de $k\,;$ je fais ensuite généralement
$\int cos^{2n}\psi .d\psi =\mathrm {A} _{n},\qquad \int \left(1-s^{2}\right)s^{2n+1}ds=\mathrm {B} _{n},$
j’ai, de cette manière,
$\mathrm {P} '=(\mathrm {B} _{0}+m\mathrm {B} _{1})\mathrm {A} _{0}-(\mathrm {B} _{1}+m\mathrm {B} _{3})\mathrm {A} _{1}.{\frac {k^{2}}{1.2}}$
$+(\mathrm {B} _{2}+m\mathrm {B} _{3})\mathrm {A} _{2}.{\frac {k^{4}}{1.2.3.4}}-{\text{etc.}}$
Or, en intégrant par parties, et ayant égard aux limites relatives à $\psi$ et à $s,$ on trouve
$\mathrm {A} _{n}={\frac {2n-1}{2n}}.\mathrm {A} _{n-1},\qquad \mathrm {B} _{n}={\frac {n}{n+2}}.\mathrm {B} _{n-1}\,;$
on a d’ailleurs
$\mathrm {A} _{0}={\frac {\pi }{2}},\qquad \mathrm {B} _{0}=\int \left(1-s^{2}\right)s\,ds={\frac {1}{4}}\,;$
d’où l’on conclut pour $\mathrm {P} ',$ une série dont le terme général est
$\pm {\frac {\pi }{4}}\left({\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {m}{(n+2)(n+3)}}\right){\frac {k^{2n}}{(2.4.6\ldots 2v)^{2}}}.$
En la substituant dans l’équation $(k)$ et faisant ${\frac {k^{2}}{4}}=p,$ cette équation devient
${\frac {3}{2}}-{\frac {7p}{2.3}}+{\frac {11p^{2}}{(1.2)^{2}.3.4}}-{\frac {15p^{3}}{(1.2.3)^{2}.4.5}}+{\frac {19p^{4}}{(1.2.3.4)^{2}.5.6}}-{\text{etc.}}$
$+m\left(+{\frac {3}{2.3}}-{\frac {7p}{3.4}}+{\frac {11p^{2}}{(1.2)^{2}.4.5}}-{\frac {15p^{3}}{(1.2.3)^{2}.5.6}}+{\frac {19p^{4}}{(1.2.3.4)^{2}.6.7}}-{\text{etc.}}\right)=0.$
$(i),$
$m.$
$p=1{,}8628\,;$
$m,$
$p=1{,}8628+mx,$
$mx$
$m,$
$-(1{,}0071)x-0{,}3809=0\,;$
d’où l’on tire $x=-0{,}3782,$ et par conséquent
$p={\frac {k^{2}}{4}}=0{,}8628-(0{,}3782)m.$
Au moyen de cette valeur on aura, pour le mouvement de la première onde, en ne conservant toujours que la première puissance de $m,$
$r=(0{,}3027)\left(1+(0{,}0504)m\right)t{\sqrt {gl}}.$
Cette quantité $m$ représente le quarré du rapport du rayon $l$ de la section à fleur d’eau, au diamètre horizontal $2a$ de l’ellipsoide plongé ; si le corps dont l’immersion a produit les ondes était un autre solide de révolution, il faudrait prendre pour $2a$ le diamètre horizontal de son ellipsoïde osculateur au point le plus bas du segment plongé ; mais à raison de la petitesse du coefficient $0{,}0504$ qui multiplie $m,$ on voit que la correction relative à la figure du corps plongé, sera généralement peu considérable ; néanmoins it sera facile d’y avoir égard, et de cette manière on pourra appliquer nos formules à des cas où ce corps aura été très sensiblement enfoncé dans le fluide.
Dans les expériences de M. Biot, cette correction diminue les temps calculés, et les rapproche par conséquent des temps observés, mais d’une quantité qui ne mérite pas qu’on y ait égard ; car elle ne s’élève qu’à $0'',04$ dans la quatrième expérience où elle est la plus considérable.
(50) Nous nous bornerons, comme dans le § IV, à considérer les points situés dans l’axe des $z,$ à une profondeur très-considérable par rapport au diamètre de l’ébranlement primitif. De plus nous exclurons le cas où $gt^{2}$ est devenu très-grand par rapport à $z\,;$ cas qui se rapporte aux vîtesses finales des molécules, et que nous avons examiné pour toute l’étendue de la masse fluide, dans le n$^o$ 36. De cette manière il sera permis de négliger $\rho$ dans les quantités $k$ et $k'$ de ce numéro, et de les réduire l’une et l’autre à $z\,;$ en même temps les quantités $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Y} '$ deviendront aussi égales entre elles, et l’on aura
$\mathrm {Y} ={\frac {\sqrt {g}}{2z}}e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}\int e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}dt.$
Comme cette valeur est indépendante de $\alpha ,\beta$ et $\omega ,$ les intégrations relatives à ces variables, qui sont indiquées dans l’équation $(c)$ du même numéro, s’effectueront immédiatement ; je fais donc
$\iint f(\alpha ,\beta )d\alpha \,d\beta =\mathrm {A} \,;$
de sorte que $\mathrm {A}$ exprime la valeur du segment dont l’ immersion a produit l’ébranlement primitif ; j’intégre depuis $\omega =0$ jusqu’à $\omega ={\frac {\pi }{2}}\,:$ l’équation $(c)$ devient
$\varphi =-{\frac {\mathrm {A} }{\pi {\sqrt {g}}}}.{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}.$
En observant que par la nature de l’intégrale définie que $\mathrm {Y}$ représente (n$^o$ 36), on a identiquement
$g{\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}={\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}},$
il en résulte que la vîtesse verticale, déduite de cette valeur de $\varphi ,$ pourra s’écrire ainsi :
${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} }{\pi \,g{\sqrt {g}}}}.{\frac {d^{4}\mathrm {Y} }{dt^{4}}}\,;$
ou bien, en mettant pour $\mathrm {Y}$ sa valeur,
${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} g}{8\pi \,z^{3}}}\left(5t-{\frac {gt^{3}}{2z}}+\left(3-{\frac {3gt^{2}}{z}}+{\frac {g^{2}t^{4}}{4z^{2}}}\right)e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}\int e^{\frac {gt^{2}}{4z}}dt\right).\quad (l)$
L’instant du maximum de cette vîtesse par rapport au temps sera déterminé par l’équation ${\frac {d^{5}\mathrm {Y} }{dt^{5}}}=0,$ qui devient, après la substitution de $\mathrm {Y} ,$
$8-{\frac {9gt^{2}}{2z}}+{\frac {g^{2}t^{4}}{4z^{2}}}-\left({\frac {15gt}{2z}}-{\frac {5g^{2}t^{3}}{2z^{2}}}+{\frac {g^{4}t^{5}}{8z^{3}}}\right)e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}\int e^{\frac {gt^{2}}{4z}}dt=0.$
Tirant de là la valeur de $e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}\int e^{\frac {gt^{2}}{4z}}dt,$ la substituant dans l’équation précédente, et désignant par $\mathrm {V}$ la grandeur de la vîtesse maxima, on trouve
$\mathrm {V} =-{\frac {3\mathrm {A} {\sqrt {g}}}{\pi \,z^{2}{\sqrt {z}}}}.{\frac {1}{\left(15-20q+4q^{2}\right).{\sqrt {q}}}},\qquad (m)$
en faisant, pour abréger,
${\frac {gt^{2}}{4z}}=q.$
Lorsque cette quantité $q$ sera déterminée numériquement au moyen de l’équation du maximum, on la substituera dans la valeur de $\mathrm {V} \,;$ et l’on voit que cette vîtesse sera proportionnelle au volume $\mathrm {A}$ du segment plongé, et en raison inverse de la puissance ${\frac {5}{2}}$ de la profondeur $z.$
Si, à un instant quelconque, on désigne par $u,$ la distance d’une des molécules que nous considérons, à sa position initiale, laquelle distance sera positive ou négative, selon que la molécule se sera abaissée ou élevée, on aura
$u=\int {\frac {d\varphi }{dz}}dt=-{\frac {\mathrm {A} }{\pi g{\sqrt {g}}}}.{\frac {d^{3}\mathrm {Y} }{dt^{3}}}+\mathrm {C} \,;$
$\mathrm {C}$ étant une constante qu’on déterminera de manière qu’on ait $u=0$ quand $t=0.$ Substituant la valeur de $\mathrm {Y} ,$ on a
$u=-{\frac {\mathrm {A} gt}{8\pi \,z^{3}}}\left(t+\left(3-{\frac {gt^{2}}{2z}}\right)e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}\int e^{\frac {gt^{2}}{4z}}dt\right).$
Si la distance $u$ répond à un position extrême de la molecule, où elle est un moment stationnaire, et où sa vîtesse est nulle, le temps $t$ devra être déterminé par l’équation
$5t-{\frac {gt^{3}}{2z}}+\left(3-{\frac {3gt^{2}}{z}}+{\frac {g^{2}t^{4}}{4z^{2}}}\right)e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}\int e^{\frac {gt^{2}}{4z}}dt=0\,;$
$e^{-{\frac {gt^{2}}{4z}}}\int e^{\frac {gt^{2}}{4z}}dt,$
$u,$
$u=-{\frac {2\mathrm {A} }{\pi \,z^{2}}}.{\frac {q^{2}-3q}{3-12q+4q^{2}}}\,;$
$q$ représentant toujours la quantité ${\frac {gt^{2}}{4z}}$ dont la valeur numérique sera donnée par l’équation précédente. Cette valeur de $u$ représente les plus grandes excursions de la molécule située à la profondeur $z,$ soit en s’élevant, soit en s’abaissant ; et l’on voit qu’elles sont proportionnelles à $\mathrm {A} ,$ et qu’elles suivent la raison inverse du quarré de cette profondeur.
Il ne reste plus maintenant qu’à déterminer les valeurs approchées de la quantité $q\,;$ mais pour cela il est nécessaire de réduire en séries les équations dont elles dépendent.
(51) Je mets dans la valeur de $\mathrm {Y} ,$ sous le signe intégral, $tv$ à la place de $t\,;$ et faisant toujours ${\frac {gt^{2}}{4z}}=q,$ il vient
$\mathrm {Y} ={\sqrt {\frac {q}{z}}}.e^{-q}\int e^{qv^{2}}dv\,;$
l’intégrale étant prise depuis $v=0$ jusqu’à $v=1.$ Je développe l’exponentielle $e^{qv^{2}}\,;$ j’intégre ensuite entre ces limites, ce qui donne
$\mathrm {Y} ={\sqrt {\frac {q}{z}}}.e^{-q}\left(1+{\frac {q}{3}}+{\frac {q^{2}}{2.5}}+{\frac {q^{3}}{2.3.7}}+\ldots +{\frac {q^{n}}{2.3\ldots n.\,2n+1}}+{\text{etc.}}\right).$
Substituant cette série dans l’équation $(l),$ et observant qu’au lieu de différencier $\mathrm {Y}$ quatre fois de suite par rapport à $t,$ il est plus simple de le différencier deux fois de suite par rapport à $z,$ et de multiplier le résultat par $g^{2},$ on trouve
${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {2\mathrm {A} {\sqrt {gq}}}{\pi \,z^{2}{\sqrt {z}}}}.e^{-q}\left(1-q+{\frac {q^{2}}{10}}+{\frac {q^{3}}{210}}+{\frac {q^{4}}{2528}}+\ldots \right.$
$\left.\ldots +{\frac {3q^{n}}{2.3.4\ldots n.\,2n-3.\,2n-1.\,2n+1}}+{\text{etc.}}\right).$
L’instant de la vîtesse nulle sera donc déterminée par l’équation
$1-q+{\frac {q^{2}}{10}}+{\frac {q^{3}}{210}}+{\frac {q^{4}}{2528}}+{\frac {q^{5}}{27720}}+{\text{etc.}}=0\,;$
or, il est évident qu’elle ne peut avoir deux racines positives ; d’où il résulte qu’il n’y a que deux époques où la molécule fluide soit un moment stationnaire.
La plus petite de ces deux racines est comprise entre $1$ et $2\,;$ on trouve, pour sa valeur approchée,
$q={\frac {gt^{2}}{4z}}=1{,}1369\,;$
d’où l’on conclut pour la première époque où la molécule est stationnaire, et pour sa distance à sa position initiale,
$t=(2{,}1326){\sqrt {\frac {z}{g}}},\qquad u=-(0{,}2464){\frac {\mathrm {A} }{z^{2}}}.$
La seconde racine de cette équation est comprise entre $5$ et $6\,;$ sa valeur est à-peu-près $q=5{,}72\,;$ et l’on a pour l’instant de la seconde station, et pour la position de la molécule à cet instant,
$t=(4{,}7834){\sqrt {\frac {z}{g}}},\qquad u=+(0{,}2174){\frac {\mathrm {A} }{z^{2}}}.$
Le première valeur de $u$ exprime la plus grande élévation de la molécule qui répond à la profondeur $z\,;$ la seconde marque son plus grand abaissement ; la somme de ces quantités, prises en faisant abstraction du signe, c’est-à-dire $(0{,}4638){\frac {\mathrm {A} }{z^{2}}},$ exprime le trajet de cette molécule d’une position à l’autre. Après qu’elle a atteint sa position inférieure elle remonte jusqu’à ce que son mouvement soit achevé ; en sorte que sa dernière vîtesse doit être ascensionnelle, ainsi que nous l’avons trouvé effectivement dans le n$^o$ 36. Il est à remarquer que lorsqu’il s’agit d’un canal d’une largeur constante, les molécules situées au-dessous de l’ébranlement primitif, montent d’abord, descendent ensuite, mais ne remontent plus comme dans le cas que nous examinons maintenant (n$^o$ 27).
Il résulte de ce mouvement que la vîtesse verticale doit avoir trois maxima : l’un négatif, avant que la molécule-fluide n’ait atteint sa plus grande élévation ; le second positif, après qu’elle a passé ce point et pendant qu’elle descend ; le troisième, négatif, lorsqu’elle remonte au-dessus du point le plus bas de sa course. C’est en effet ce que nous allons vérifier.
(52) En différentiant, par rapport à $t,$ la valeur en série de ${\frac {d\varphi }{dz}}\,;$ égalant le résultat à zéro, et supprimant ensuite l’exponentielle $e^{-q}$ qui se trouve facteur à tous les termes, on a, pour déterminer l’instant du maximum de cette vîtesse, par rapport au temps,
$1-5q+{\frac {5q^{2}}{2}}-{\frac {q^{3}}{6}}-{\frac {q^{4}}{168}}-{\frac {q^{5}}{2520}}-{\frac {q^{6}}{33264}}-\ldots$
$\ldots -{\frac {15q^{n}}{2.3\ldots n.\,2n-5.\,2n-3.\,2n-1}}-{\text{etc.}}=0.$
On trouve, pour la plus petite,
$q={\frac {gt^{2}}{4z}}=0{,}2247.$
La valeur de $t$ qu’on en déduit est moindre que celle qui répond à la première station que nous venons de déterminer ; et l’on a pour la profondeur à laquelle a lieu le premier maximum de vîtesse, à un instant donné,
$z=(2{,}2252){\frac {gt^{2}}{2}}\,;$
en sorte que ce maximum se propage d’un mouvement uniformément accéléré, sous une vîtesse qui surpasse le double de celle des corps pesans. La grandeur de ce même maximum, déduite de l’équation $(m),$ est
$\mathrm {V} =-(0{,}1899){\frac {\mathrm {A} {\sqrt {g}}}{z^{2}{\sqrt {z}}}}.$
La seconde racine de notre équation est comprise entre $2$ et $3\,;$ sa valeur approchée est $q=2{,}1529\,;$ d’où l’on conclut
$t=(2{,}9346){\sqrt {\frac {g}{z}}},\qquad z=(0{,}2322){\frac {gt^{2}}{2}}\,;$
ce qui montre que le second maximum de vîtesse a lieu entre les deux stations de la molécule fluide, et qu’il se propage avec une accélération qui n’est pas le quart de celle des corps pesans. Ce second maximum doit être une quantité positive ; et, en effet, on a d’après l’équation $(m),$
$\mathrm {V} =+(0{,}0684){\frac {\mathrm {A} {\sqrt {g}}}{z^{2}{\sqrt {z}}}},$
Enfin, après quelques essais, on trouve que la troisième racine est comprise entre $7$ et $8\,;$ et si l’on prend $q=7{,}5,$ on en conclut pour l’instant du troisième maximum, et pour la profondeur à laquelle il a lieu,
$t=(5{,}4773){\sqrt {\frac {z}{g}}},\quad z={\frac {gt^{2}}{30}}.$
Il a donc lieu, en effet, après la seconde station dont nous avons déterminé l’époque dans le numéro précédent ; il se propage sous une vîtesse qui n’est que le 15e de celle de la pesanteur ; et quant à sa grandeur, qui doit être négative, l’équation (m) donne
$\mathrm {V} =-(0{,}0022){\frac {\mathrm {A} {\sqrt {g}}}{z^{2}{\sqrt {z}}}}.$
Si l’on y met pour $z$ sa valeur en fonction $t,$ on a
$\mathrm {V} =-(10{,}8105){\frac {\mathrm {A} }{g^{2}t^{5}}},$
où l’on voit que cette vitesse surpasse, comme cela doit être, la vitesse finale trouvée dans le n$^o$ 36, laquelle est, en la réduisant à son premier terme,
${\frac {d\varphi }{dz}}=-(7{,}6394){\frac {\mathrm {A} }{g^{2}t^{5}}}.$
* ↑ Livre second, propositions 44, 45 et 46.
* ↑ Voyez mon Traité de Mécanique, tome II, page 493.
* ↑ On peut voir, sur la généralité de ces sortes d’expressions, une note imprimée dans le bulletin de la Société Phylomatique, année 1817, Page 180.