# Des théorèmes mécaniques (trad. Reinach)/Théorème VIII-IX
### (Théorème VIII).

[Tout segment sphérique plus grand qu’un hémisphère (?) a son centre de gravité situé sur son axe en un point tel que sa distance au sommet est à sa distance à la base comme la hauteur du segment plus quatre fois la hauteur du segment supplémentaire est à la hauteur plus deux fois la hauteur du segment supplémentaire :
[Soit ΒΑΔ (fig. 10) un segment sphérique, plus grand que l’hémisphère. Je prends sur sa hauteur ΑΗ le point Χ tel que ΧΑ/ΧΗ = ΗΑ + 4 ΗΓ/ΗΑ + 2 ΗΓ : je dis que Χ est le centre de gravité du segment.]
Prolongeons ΑΓ de ΑΘ = ΑΓ, et, dans l’autre sens, de ΓΞ égal au rayon de la sphère, et considérons ΓΘ comme un levier ayant pour milieu fixe Α. Dans le plan de base du segment, de Η comme centre, traçons un cercle avec un rayon égal à ΑΗ. Imaginons le cône qui a ce cercle pour base, Α pour sommet, ΑΕ, ΑΖ pour génératrices. Enfin, menons une parallèle quelconque ΚΛ à ΕΖ qui coupe la circonférence en Κ, Λ, les génératrices du cône en Ρ, Ο, la hauteur en Π.
Fig. 10.
On a d’abord :
| (1) | ΑΓ/ΑΠ = ΑΚ²/ΑΠ². |
Mais ΑΚ² = ΑΠ² + ΠΚ², ΑΠ² = ΠΟ² — puisque ΑΗ² = ΕΗ² — ; donc :
| (2) | ΓΑ/ΑΠ = ΚΠ² + ΠΟ²/ΠΟ² = cercle ΚΛ + cercle ΡΟ/cercle ΡΟ, |
et, comme ΑΓ = ΑΘ :
| (3) | ΑΘ/ΑΠ = cercle ΚΛ + cercle ΡΟ/cercle ΡΟ. |
Si donc on suppose le cercle ΡΟ déterminé dans le cône par le plan parallèle à la base du segment, transporté en Θ comme centre de gravité, puisque ΚΛ, ΡΟ ont pour centre de gravité Π, le cercle transporté fera équilibre par rapport au point Α à la somme des deux cercles ΚΛ, ΡΟ — déterminés dans le segment et dans le cône — laissés en place.
Il en sera de même pour tous les cercles de même genre déterminés par les plans parallèles à la base du segment : toujours le cercle déterminé dans le cône ΑΕΖ, transporté en Θ, équilibrera par rapport à Α ce même cercle et le cercle déterminé dans le segment sphérique, laissés en place. Au total donc, le segment et le cône, laissés en place, équilibreront par rapport à Α le cône transporté en Θ comme centre de gravité.
Considérons maintenant un cylindre ΜΝ équivalent au cône ΑΕΖ et prenons sur ΑΗ le point Φ tel que ΑΗ = 4 ΦΗ : Φ sera, comme on l’a vu (lemme VIII), le centre de gravité du cône ΑΕΖ. Coupons le cylindre par un plan perpendiculaire à ses génératrices, qui le divise en deux cylindres tels que l’un d’eux Μ fasse équilibre au cône ΑΕΖ. Puisque le cylindre total équivaut au cône ΑΕΖ, qui, en Θ, équilibre le cône et le segment en place, si le cylindre partiel Μ équilibre le cône ΑΕΖ, le reste, c’est-à-dire le cylindre partiel Ν, équilibrera le segment. On a vu (Théorème VII) que :
| (4) | segm. ΒΑΔ/cône ΒΑΔ = ΞΗ/ΗΓ. |
D’autre part :
| (5) | cône ΒΑΔ/cône ΑΕΖ = cercle ΒΔ/cercle ΕΖ = ΒΗ²/ΗΕ² = ΓΗ.ΗΑ/ΗΑ² = ΓΗ/ΗΑ. |
(Comparant (4) et (5) il vient :)
| (6) | segm. ΒΑΔ/cône ΑΕΖ = ΞΗ/ΗΑ. |
Nous avons par construction :
Si l’on combine ces deux expressions (en additionnant aux numérateurs de la seconde ceux de la première), il vient :
c’est-à-dire :
| (7) | ΑΗ/ΑΧ = 6 ΗΓ + 2 ΗΑ/ΗΑ + 4 ΗΓ. |
Mais on a évidemment :
Par conséquent :
| (8) | ΑΗ/ΑΧ = ΗΞ/ΓΦ, ou encore ΗΞ/ΗΑ = ΓΦ/ΑΧ. |
En portant cette valeur de ΗΞ/ΑΗ dans l’équation (6), on a :
| (9) | segm. ΒΑΔ/cône ΑΕΖ = ΓΦ/ΧΑ. |
Le cylindre Μ équilibre par rapport à Α le cône ΕΑΖ. Ce cylindre a pour centre de gravité Θ, le cône a pour centre Φ. On doit donc avoir :
| (10) | cône ΕΑΖ/cyl. Μ = ΘΑ/ΦΑ = ΓΑ/ΑΦ, ou cyl. Μ/cyl. ΜΝ = ΑΦ/ΓΑ, |
(d’où en soustrayant les numérateurs des dénominateurs) :
| (11) | cyl. Μ/cyl. Ν = ΑΦ/ΓΦ |
(ou en ajoutant les dénominateurs aux numérateurs) :
ou encore, puisque le cylindre ΜΝ équivaut au cône ΕΑΖ :
| (12) | cône ΕΑΖ/cyl. Ν = ΓΑ/ΓΦ = ΘΑ/ΓΦ. |
Combinant (12) et (9), il vient :
| (13) | segm. ΒΑΔ/cyl. Ν = ΓΦ.ΑΘ/ΧΑ.ΓΦ = ΑΘ/ΧΑ. |
Mais on a vu que le segment équilibre par rapport à Α le cylindre Ν : le cylindre ayant pour centre de gravité Θ, cette égalité ne peut être vraie que si Χ est le centre de gravité du segment. C. q. f. d..

### (Théorème IX).

Tout segment sphérique a son centre de gravité sur son axe en un point tel que sa distance au sommet soit à sa distance à la base, comme la hauteur du segment plus quatre fois la hauteur du segment supplémentaire est à la hauteur du segment plus deux fois la hauteur du segment supplémentaire.
Ce théorème se démontre de la même manière que le précédent.
* ↑ Énoncé et figure restitués d’après Heiberg. Il résulte de l’énoncé de IX que, dans le théorème VIII, il ne s’agissait que d’une variété particulière de segments. Cette précision paraissait nécessaire à Archimède pour établir sa figure, mais la démonstration est la même, quelle que soit la dimension du segment. Il va sans dire que l’énoncé pourrait aussi être restitué ainsi : tout segment « plus petit qu’un hémisphère ». Cf. Sphère et Cylindre, I, 42 et 43.
* ↑ Car, dans le triangle rectangle ΑΚΓ, on a ΑΚ² = ΑΠ.ΑΓ. Divisant les deux membres par ΑΠ², il vient bien (1).
* ↑ En effet, si l’on emploie les notations abrégées R (rayon de la sphère) et h (hauteur du segment), on a d’abord : 6 ΗΓ + 2 ΑΗ = 6(2 R − h) + 2 h = 12 R − 4 h ; or, ΗΞ = ΗΓ + ΓΞ = (2 R − h) + R = 3 R − h, c’est-à-dire le quart de l’expression ci-dessus. De même : 4 ΗΓ +  ΗΑ = 4(2 R − h) + 4 h = 8 R − 3 h ; or, ΓΦ = ΓΗ + ΦΗ = 2 R − h + h/4 = 2 R − 3 h/4, c’est-à-dire encore le quart de l’expression ci-dessus.
* ↑ La démonstration d’Archimède est assez pénible et offre, de plus, l’inconvénient de supposer la relation ΧΑ/ΧΗ = ΗΑ + 4 ΗΓ/ΗΑ + 2 ΗΓ découverte on ne sait comment et d’en fournir simplement la vérification. Il semble qu’Archimède aurait pu établir directement cette relation de la manière suivante (j’emploie, pour abréger, les notations ΑΣ = R, ΑΗ = h, ΗΓ = h′ et je note tout de suite que, puisque h′ = 2 R − h, on a R = h + h′/2.) On a vu, dans la première partie de la démonstration, que : (segm. ΑΒΔ + cône ΑΕΖ) restant en place équilibrent (par rapport à Α) le cône ΑΕΖ au c.g. Θ. Appelons Ω le c.g. du système (segm. ΑΒΔ + cône ΑΕΖ). Cette relation d’équilibre implique l’égalité : ﻿(1) ΩΑ/ΘΑ = cône ΑΕΖ/cône ΑΕΖ + segm. ΑΒΔ. Calculons segm. ΑΒΔ en fonction du cône ΑΕΖ. On a vu (Th. VII) que : ﻿(2) segm. ΑΒΔ/cône ΑΒΔ = R + h′/h′. Mais : ﻿(3) cône ΑΒΔ/cône ΑΕΖ = ΗΔ²/ΗΖ² = hh′/h² = h′/h, d’où : ﻿(4) segm. ΑΒΔ/cône ΑΕΖ = R + h′/h. Remplaçant segm. ΑΒΔ par cette valeur dans (1), il vient : ﻿(5) ΩΑ/2 R = cône/cône (1 + R + h′/h) = h/h + R + h′ = h/3 R ; d’où : ﻿(6) ΩΑ = 2 h/3. Ainsi le c.g. Ω du système (segm. ΑΒΔ + cône ΑΕΖ) est situé aux 2/3 de ΑΗ à partir de Α. Le cône seul (lemme VIII) a son c.g. en Φ aux 3/4 de ΑΗ à partir de Α. Si donc on appelle Χ le c.g. cherché du segment seul, on a (d’après lemme I) : ﻿(7) ΧΩ/ΩΦ = cône ΑΕΖ/segm. ΑΒΔ = h/R + h′ = 2 h/h + 3 h′. Comme ΩΦ = ΑΦ − ΑΩ = 3/4 h − 2/2 h = h/12 il vient donc : ﻿(8) ΧΩ = h²/12 (R + h′) ; ΑΧ = ΑΩ − ΧΩ = 2 h/3 − h²/12 (R + h′) = h/3 [2 − h/4 (R + h′) ] ; ΧΗ = ΩΗ + ΧΩ =  h/3 + h²/12 (R + h′) = h/3 [1 + h/4 (R + h′) ], et par conséquent : ΑΧ/ΧΗ = 8 R + 8 h′ − h/4 R + 4 h′ + h = 12 h′ + 3 h/6 h′ + 3 h = 4 h′ + h/2 h′ + h, ce qui est l’expression cherchée.
* ↑ Dont il n’est que la généralisation. Dans les traités de Mécanique modernes, la position du centre de gravité du segment sphérique est ordinairement déterminée par sa distance au centre de la sphère, à l’aide de l’intégration. On trouve l’expression D = 3/4 (2 R − h)²/(3 R − h). Il est facile de voir l’équivalence des deux expressions. Le théorème d’Archimède peut s’écrire : ΑΧ/h − ΑΧ = h + 4 (2 R − h)/h + 2 (2 R − h) = 8 R − 3 h/4 R − h , d’où, en additionnant chaque dénominateur au numérateur : h/h − ΑΧ = 12 R − 4 h/4 R − h ; h (4 R − h) = (12 R − 4 h) h − ΑΧ (12 R − 4 h) et ΑΧ = h (12 R − 4 h) − h (4 R − h)/12 R − 4 h = h (8 R − 3 h)/12 R − 4 h ; donc la distance ΧΣ (c’est-à-dire D) = R − h (8 R − 3 h)/12 R − 4 h = 12 R² − 4 hR − 8 hR + 3 h²/12 R − 4 h = 12 R² − 12 hR + 3 h²/12 R − 4 h = 3 (4 R² − 4 hR + h²)/4 (3 R − h) = 3 (2 R − h)²/4 (3 R − h). C. q. f. d.