# Sur les axes principaux d’une surface du second degré
#### Géométrie Analitique. Des trois axes rectangulaires des surfaces du second degré, qui ont un centre ; par M. Binet.

Lorsque j’ai publié, en 1801, le Mémoire sur les surfaces du second degré, je m’étois propose de prouver qu’en rapportant la surface du second degré à trois plans rectangulaires, l’équation générale de cette surface pouvoit toujours être ramenée à la forme
$Lx^{2}+My^{2}+Nz^{2}-1=0.$
La note placée à la suite de ce Mémoire renferme une démonstration rigoureuse de cette proposition ; elle prouve qu’on peut toujours faire disparoître de l’équation générale des surfaces du second degré les trois rectangles $xy$, $yz$, $xz$. M. Binet (J.-P.-M.) a observé que lorsque les surface : du second degré avoient un centre, le calcul de la note qu’on vient de citer, pouvoit être simplifié par la considération suivante : « Ayant un systême de droites parallèles entr’elles, qui servent de cordes à la surface du second degré, il existe un plan perpendiculaire à ces cordes, qui les divise toutes en parties égales, et ce plan est évidemment un des plans rectangulaires de la surface. »
Prenons pour l’équation générale des surfaces du second degré :
$({1}){\begin{Bmatrix}ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+eyz+fxz\\+gx+dy+kz+1\\\end{Bmatrix}}=0$
et soient
$({2}){\begin{cases}x=az+\beta \\y=a'z+\beta '\\\end{cases}}$
les équations d’une droite qui coupe la surface du second degré en deux points ; on obtiendra les coordonnées de ce point, en combinant ces équations avec l’équation générale $(1)$, et faisant pour abréger
$a\alpha x^{2}+b\alpha ^{2}+d\alpha \alpha '+e\alpha '+f\alpha +c=A.$
${\begin{Bmatrix}za\alpha \beta +2b\alpha '\beta '+d(\alpha \beta '+\alpha '\beta )+\alpha \beta '+f\beta +g\alpha \\+h\alpha '+k\end{Bmatrix}}=B.$
$a\beta x^{2}+b\beta ^{2}+d\beta \beta '+g\beta +h\beta '+1=C.$
L’ordonnée $Z$ du point d’intersection sera donnée par l’équation $Az^{2}+Bz+C=0$ ; les deux valeurs de $z$, tirées de cette équation, sont :
$-{\frac {B}{2A}}+{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4A^{2}}}-C}}$ pour la première,
et $-{\frac {B}{2A}}-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4A^{2}}}-C}}$ pour la deuxième ;
Donc l’ordonnée $Z'$ du milieu de la droite qui joint les deux points d’intersection, est $-{\frac {B}{2A}}$.
Nommant $X'$, $Y'$, les deux autres coordonnées du même point, on aura par les équations $(2)$
$({3}){\begin{cases}X'=\alpha Z'+\beta \\Y'=\alpha 'Z'+\beta '\\Z'=-{\frac {B}{2A}}\end{cases}}$
regardant $X'$, $Y'$ $Z'$ comme des coordonnées variables, dont la valeur dépend des quantités $\beta$ et $\beta '$, si, entre ces trois équations, on élimine ces dernières quantités $\beta$ et $\beta '$, l’équation résultante en $X'$, $Y'$, $Z'$, qu’on peut désigner par les trois lettres $x$, $y$, $z$, appartiendra à la surface qui passe par les centres de toutes les cordes parallèles à la droite des équations $(2)$.
Les équations $(3)$ donnent :
$\beta =x-\alpha ax.$
$\beta '=y-\alpha 'ax.$
$-2Ax=\beta (2a\alpha +d\alpha '+f)+\beta '(2b\alpha '+d\alpha +e)+g\alpha +h\alpha '+k.$
substituant pour $\beta$, $\beta '$ et $A$ leurs valeurs, on a,
$(x-\alpha z)(2a\alpha +d\alpha '+f)+(y-\alpha 'z)(2b\alpha '+d\alpha +e)+z(2a\alpha ^{2}+2b\alpha ^{2}+2d\alpha \alpha '+2fa+2c)+g\alpha +h\alpha '+k=0.$
réduisant
$(4)x(2a\alpha +d\alpha '+f)+y(2b\beta '+d\alpha +e)+z(e\alpha '+fa+2c)+g\alpha +h\alpha '+k=0$
Cette équation linéaire est celle d’un plan diametral qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles à la droite des équations $(2)$.
Pour que ce plan soit perpendiculaire aux cordes, il faut qu’il soit parallèle au plan dont l’équation est :
$\alpha x+\alpha 'y+\alpha =0.$
Donc on aura les équations de condition.
$(5)\alpha ={\frac {2a\alpha +d\alpha '+f}{e\alpha '+f\alpha +2c}},$ $\alpha '={\frac {2b\alpha '+d\alpha +e}{e\alpha '+f\alpha +2c}}$
ces équations $(5)$ sont linéaires, l’une par rapport à $\alpha '$, et l’autre par rapport à $\alpha$ ; éliminant l’une ou l’autre, $\alpha '$ par exemple, on aura :
$\alpha '={\frac {f+2a(a-c)-f\alpha ^{2}}{e\alpha -d.}},$
$e\alpha '^{2}+\alpha '(f\alpha +2c-2b)-(d\alpha +c)=0.$
mettant dans cette dernière équation pour $\alpha '$, sa valeur, et observant que le terme du 4e degré $ef^{2}\alpha ^{4}$ se détruit, l’équation réduite en $\alpha$, est du 3e degré ; ce qui prouve que la surface du second degré ne peut avoir que trois axes rectangulaires ; on tire de cette équation, au moins une racine réelle de $\alpha$ ; à cette valeur réelle de a correspond une autre valeur réelle de $\alpha '$, donnée par la première des équations $(5)$. Substituant ces valeurs réelles de « et al dans l’équation $(4)$, on a l’équation d’un plan diamétral perpendiculaire à toutes les cordes parallèles à la droite des équations $(2)$ ; la surface du second de gré étant rapportée à ce plan diamétral, comme l’un des plans coordonnés, son équation sera évidemment de la forme :
$a'x^{2}+b'y^{2}+c'.z^{2}+d'xy+g'x+h'y+1=0.$
Changeant les coordonnées rectangulaires $x$, $y$ en d’autres coordonnées rectangulaires $x'$, $y'$, par les formules connues $x=x'\sin \phi -y'cos\varphi ,y=x\cos \varphi +y'\sin \phi$, on trouve $\tan(2\phi )={\frac {d'}{a'-b'}},$ valeur réelle d’après laquelle les axes des $(x')$ et des $(y')$ deviennent les axes rectangulaires de la surface du deuxième degré, conjugués à l’axe déterminé par la racine réelle de $\alpha$, qui est donnée nécessairement par l’équation du troisième degré en $\alpha$.
Enfin, on sait qu’en changeant l’origine des coordonnées, on peut faire disparoître les termes de première dimension par rapport aux variables ; donc l’équation générale des surfaces du second degré qui ont un centre, sera réduite à la forme
$Lx^{2}+My^{2}+Nz^{2}-1=0$
$x$, $y$, $z$ étant des coordonnées rectangulaires.