# Mécanique analytique/Partie 1/Section 8
### SECTION HUITIÈME. DE L’ÉQUILIBRE DES FLUIDES COMPRESSIBLES ET ÉLASTIQUES.

1. Soient, comme dans l’article 10 de la Section précédente, $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ les forces qui agissent sur chaque point de la masse fluide, réduites aux directions des coordonnées $x,\,y,\,z$ et tendantes à diminuer ces coordonnées ; on aura d’abord
$(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)dm$
pour la somme de leurs moments.
Dans les fluides élastiques il y a, de plus, une force intérieure qu’on nomme élasticité ou ressort et qui tend à les dilater ou à augmenter leur volume. Soit donc $\varepsilon$ l’élasticité d’une particule quelconque $dm\,;$ cette force, tendant à augmenter le volume $dxdydz$ de la même particule, aura ou pourra être censée avoir pour moment la quantité $-\varepsilon (dxdydz)$ par l’article 9 de la Section II. Je donne ici le signe $-$ au moment de cette force, parce que celle-ci tend à augmenter la variable $dxdydz,$ tandis que les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ tendent à diminuer les variables $x,\,y,\,z.$ Ainsi la somme des moments provenant de l’élasticité de toute la masse fluide sera exprimée par $-$$_S$$\varepsilon \delta (dxdydz).$
Donc la somme totale des moments des forces qui agissent sur le fluide sera
$(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)dm\,-$
$\varepsilon \delta (dxdydz)\,;$
et comme il n’y a ici aucune condition particulière à remplir, on aura l’équation générale de l’équilibre en égalant simplement cette somme à zéro.
2. On aura donc pour l’équilibre des fluides élastiques une équation de la même forme que celle que l’on a trouvée dans la Section précédente (art. 10) pour l’équilibre des fluides incompressibles, puisque l’on a, dans celle-ci (art. 11),
$\delta \mathrm {L} =\delta (dx\,dy\,dz),$
ce qui rend le terme $_S$$\lambda \,\delta \mathrm {L} ,$ provenant de la condition de l’incompressibilité, entièrement semblable au terme $_S$$\varepsilon \,\delta (dx\,dy\,dz)$ dû au moment des forces élastiques.
Il s’ensuit de là que les formules trouvées pour l’équilibre des fluides incompressibles s’appliquent immédiatement et sans aucune restriction à l’équilibre des fluides élastiques, en y changeant simplement le coefficient $\lambda$ en $-\varepsilon ,$ c’est-à-dire en supposant que la quantité $\lambda$ qui exprimait la pression dans les fluides incompressibles, étant prise négativement, exprime la force d’élasticité de chaque élément d’un fluide élastique.
3. L’élasticité $\varepsilon$ dépend de la densité et de la température de chaque particule du fluide, et l’on doit la regarder comme une fonction connue de ces deux quantités ; mais la densité de chaque particule est inconnue, parce qu’elle dépend du rapport de la masse $d\mathrm {m}$ de la particule son volume $dx\,dy\,dz\,;$ et le Calcul différentiel ne peut déterminer ce rapport, qui dépend du nombre de particules élémentaires contenues dans l’élément différentiel $dx\,dy\,dz$ de la masse fluide.
On ne peut donc connaître la valeur de l’élasticité qu’à posteriori, par le moyen des forces qui tiennent le fluide en équilibre. Ainsi il faudra déterminer la valeur de $\varepsilon$ comme on a déterminé celle de $\lambda$ dans l’article 19 de la Section précédente.
4. En changeant $\lambda$ en $-\varepsilon ,$ on aura par cet article les équations
${\frac {\partial \varepsilon }{\partial x}}+\Gamma \mathrm {X} =0,\quad {\frac {\partial \varepsilon }{\partial y}}+\Gamma \mathrm {Y} =0,\quad {\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}+\Gamma \mathrm {Z} =0,$
$d\varepsilon +\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)=0$
et, par conséquent,
$\varepsilon =-$
$\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)+\mathrm {const} .$
Ainsi la quantité $\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)$ doit être une différentielle complète pour l’équilibre des fluides élastiques, comme pour celui des fluides incompressibles.
De là on conclura aussi, comme dans l’article 20 de la Section précédente, que, lorsque la quantité $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz$ est elle-même une différentielle complète, la densité $\Gamma$ devra être uniforme dans chaque surface de niveau.
5. En désignant par $\theta$ la chaleur qui a lieu dans chaque endroit de la masse fluide, on suppose ordinairement, pour l’air, $\varepsilon$ proportionnelle à $\Gamma \theta ,$ en faisant abstraction des autres causes, telles que les vapeurs, l’électricité, qui peuvent influer sur son élasticité.
Substituons dans l’équation
$d\varepsilon +\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)=0$
pour $\Gamma$ sa valeur ${\frac {\varepsilon }{m\theta }},$ elle deviendra
$m{\frac {d\varepsilon }{\varepsilon }}+{\frac {\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz}{\theta }}=0.$
La chaleur étant produite par des causes locales, la quantité $\theta$ sera une fonction donnée de $x,y,z,$ et il faudra, pour que l’équation précédente puisse subsister, que la quantité
${\frac {\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz}{\theta }}$
soit une différentielle exacte.
6. Donc, dans le cas de la nature où
$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=d\Pi$
$\theta$
$\Pi \,;$
$d\theta =0$
$d\Pi =0\,;$
7. À l’égard de l’équation aux limites pour la surface du fluide, en employant la réduction de l’article 32 de la Section précédente, elle devient
$\varepsilon \,\delta p\,ds^{2}=0,$
et, sous cette forme, elle est évidente par elle-même, car à la surface il n’y a à considérer que la force d’élasticité $\varepsilon$ qui agit suivant la ligne $p$ perpendiculaire à la même surface ; et si le fluide est contenu dans un vase, les variations $\delta p$ sont nulles, et l’équation a lieu d’elle-même mais, si une partie de la surface était libre, il faudrait que l’élasticité $\varepsilon$ y fût nulle ; autrement le fluide, n’étant pas contenu, se dissiperait.
8. L’élasticité $\varepsilon ,$ dans l’atmosphère, est proportionnelle à la hauteur du baromètre, que nous désignerons par $h.$ Soit $\mathrm {Z}$ la force de la pesanteur prenons l’ordonnée $z$ perpendiculaire à la surface de la Terre et dirigée de bas en haut ; l’équation de l’article 5 deviendra
$m{\frac {dh}{h}}+{\frac {\mathrm {Z} dz}{\theta }}=0,$
laquelle donne par l’intégration, en prenant $\mathrm {H}$ pour la hauteur du baromètre lorsque $z=0,$
$m\log {\frac {\mathrm {H} }{h}}=\int {\frac {\mathrm {Z} dz}{\theta }},$
l’intégrale étant supposée commencer au point où $z=0.$
On voit par là que le logarithme du rapport des hauteurs du baromètre ne donne rigoureusement qu’une quantité proportionnelle à la valeur de l’intégrale $\int {\frac {\mathrm {Z} dz}{\theta }}$ comprise entre les hauteurs des deux stations, et que, pour en déduire la différence de hauteur des stations, il faut supposer connue la loi de la chaleur $\theta$ en fonction de $z.$
9. On sait que la pesanteur décroît en raison inverse du carré de la distance au centre de la Terre. Donc, prenant $r$ pour le rayon de la Terre et supposant que $z$ soient les hauteurs verticales au-dessus de la surface de la Terre, on a
$\mathrm {Z} ={\frac {g}{\left(1+{\dfrac {z}{r}}\right)^{2}}},$
$g$ étant la gravité à la surface de la Terre ; et, de là,
$\mathrm {Z} dz=g{\frac {dz}{\left(1+{\dfrac {z}{r}}\right)^{2}}}=g\,dx,$
en faisant $x={\frac {z}{1+{\dfrac {z}{r}}}},$ de sorte qu’on aura
$m\log {\frac {\mathrm {H} }{h}}=g\int {\frac {dx}{\theta }}\,;$
et la difficulté se réduit à avoir $\theta$ en fonction de $x.$
10. En supposant $\theta$ constante et faisant, pour abréger, ${\frac {m\theta }{g}}=\mathrm {K} ,$ on trouvera
$x=\mathrm {K} \log {\frac {\mathrm {H} }{h}}=\mathrm {K} (\log \mathrm {H} -\log h),$
et l’on aura la valeur de $z$ par la formule $z={\frac {x}{1-{\dfrac {x}{r}}}}.$
Si l’on néglige le terme ${\frac {x}{r}},$ qui est toujours insensible pour les hauteurs $z$ qui ne sont pas très grandes, on a simplement $z=x,$ ce qui donne la règle ordinaire pour la mesure des hauteurs par le baromètre.
Le coefficient $\mathrm {K}$ doit être déterminé par l’observation. M. Deluc avait trouvé, pour la température uniforme de $16^{\circ }{,}75$ du thermomètre de Réaumur, ce coefficient égal à $10\,000,$ en prenant les logarithmes des Tables et les hauteurs en toises. Pour les autres températures, il l’augmentait ou le diminuait de sa $215^{\mathrm {e} }$ partie, pour chaque degré au-dessus ou au-dessous de $16^{\circ }{,}75,$ et, pour les températures variables d’une station à l’autre, il se contentait de prendre la moyenne arithmétique entre les températures des deux stations. Depuis, on a perfectionné cette règle par des données plus exactes et par de nouvelles corrections appliquées au coefficient $\mathrm {K} .$
11. Au reste, en prenant, pour la température uniforme, la moyenne arithmétique entre les températures extrêmes de la colonne d’air, on suppose que la chaleur diminue en progression arithmétique. Pour voir ce que cette hypothèse donne, on fera $\theta =\Theta (1-nz),$ ou plutôt $\theta =\Theta (1-nx),$ pour simplifier les calculs, $\Theta$ étant la température lorsque $x=0.$ Substituant cette valeur dans la formule ${\frac {dx}{\theta }},$ intégrant et remettant ensuite pour $n$ sa valeur tirée de l’équation précédente, on aura
$\int {\frac {dx}{\theta }}=x\times {\frac {\log \Theta -\log \theta }{\Theta -\theta }}={\frac {x}{k}}\left(1-{\frac {\mathrm {T} +t}{2k}}+{\frac {\mathrm {T+T} t+t^{2}}{3k^{2}}}-\ldots \right),$
en faisant $\Theta =k+\mathrm {T} ,$ $\theta =k+t,$ et prenant $k$ pour une température fixe et $\mathrm {T} ,t$ pour les degrés du thermomètre au-dessus de cette température.
La formule de l’article 9 donnera ainsi, en faisant ${\frac {mk}{g}}=\mathrm {K}$ et ne poussant l’approximation que jusqu’aux secondes dimensions de $\mathrm {T}$ et $t,$
$x=\mathrm {K} \left[1+{\frac {\mathrm {T} +t}{2k}}-{\frac {(\mathrm {T} -t)^{2}}{12k^{2}}}\right]\log {\frac {\mathrm {H} }{h}}.$
Les deux premiers termes répondent à la règle de Deluc et le troisième sera presque toujours insensible.