# L’Encyclopédie/1re édition/DIAGONALE

DIAGONALE, s. f. en Géométrie, c’est une ligne qui traverse un parallélogramme, ou toute autre figure quadrilatere, & qui va du sommet d’un angle au sommet de celui qui lui est opposé.
Telle est la ligne P N (Pl. géomét. fig. 24.), tirée de l’angle P à l’angle N. Voyez Figure. Quelques auteurs l’appellent diametre, d’autres le diamétral de la figure ; mais ces noms ne sont point d’usage.
Il est démontré 1°. que toute diagonale divise un parallélogramme en deux parties égales : 2°. que deux diagonales tirées dans un parallélogramme se coupent l’une l’autre en deux parties égales : 3°. que la diagonale d’un quarré est incommensurable avec l’un des côtés. Voy. Parallélogramme, Quarré, &c.
La somme des quarrés des deux diagonales de tout parallélogramme, est égal à la somme des quarrés des quatre côtés.
Il est évident que la fameuse quarante-septieme proposition d’Euclide (Voyez Hypothenuse), n’est qu’un cas particulier de cette proposition : car si le parallélogramme est rectangle, on voit tout de suite que les deux diagonales sont égales, & par conséquent que le quarré d’une diagonale, ou ce qui est la même chose, que le quarré de l’hypothenuse d’un angle droit est égal à la somme des quarrés des deux côtés. Si un parallélogramme est obliquangle, & qu’ainsi ses deux diagonales soient inégales, comme il arrive le plus souvent, la proposition devient d’un usage beaucoup plus étendu.
Voici la démonstration par rapport au parallélogramme obliquangle. Supposons le parallélogramme obliquangle ABCD (Pl. géom. fig. 25.), dont BD est la plus grande diagonale, & AC la plus petite : du point A de l’angle obtus DAB, abbaissez une perpendiculaire AE sur le côté CD ; & du point B, une autre perpendiculaire BF sur le côté DC : alors les triangles ADE, BCF, sont égaux & semblables, puisque AD est égal à BC, & que les angles ADE, BCF, aussi bien que AED, BFC, sont aussi égaux ; par conséquent DE est égal à CF. Maintenant (par la 12e proposition d’Euclide, liv. Il.) dans le triangle BDC obtus-angle, le quarré du côté BD est égal à la somme des quarrés de BC & CD, & en outre, au double du rectangle de CF par CD ; & par la treizieme du livre II. dans le triangle DAC, le quarré du côté AC est égal à la somme des quarrés de AD & CD, en ôtant le double du rectangle du même côté CD par DE=CF : ainsi ce défaut étant précisément compensé par le premier excès, la somme des quarrés des deux diagonales est égale à la somme des quarrés des quatre côtés, C Q F D.
Remarquez que cette démonstration suppose la fameuse quarante-septieme proposition d’Euclide, & qu’ainsi pour en déduire cette proposition, il faut se passer de cette quarante-septieme : autrement on donneroit dans un cercle vicieux. Ceux donc qui prétendroient, en conséquence de la démonstration ci-dessus, que la quarante-septieme n’est qu’un corollaire de celle-ci, se tromperoient ; elle en est un cas, mais non un corollaire.
Ainsi dans tout rhombe ou losange connoissant un côté & une diagonale, on connoîtra pareillement l’autre diagonale : car comme les quatre côtés sont égaux, en ôtant le quarré de la diagonale donnée du quadruple du quarré du côté donné, le reste est le quarré de la diagonale cherchée.
Cette proposition est aussi d’un grand usage dans la théorie des mouvemens composés : car dans un parallélogramme obliquangle, la plus grande diagonale étant la soûtendante d’un angle obtus, & la plus petite d’un angle aigu, qui est le complément du premier ; la plus grande diagonale sera d’autant plus grande, & la plus petite sera d’autant plus petite, que l’angle obtus sera plus grand : le sorte que si l’on conçoit que l’angle obtus croisse jusqu’à devenir infiniment grand par rapport à l’angle aigu, ou ce qui revient au même, si les deux côtés contigus du parallélogramme sont étendus directement bout à bout en ligne droite, la grande diagonale devient la somme des deux côtés, & la plus petite devient leur différence. Maintenant deux côtés contigus d’un parallélogramme étant connus avec l’angle qu’ils renferment, il est aisé de trouver en nombre la soûtendante de cet angle, c’est-à-dire une des diagonales du parallélogramme : quand cela est fait, la proposition donne l’autre. La seconde diagonale ainsi trouvée, est la ligne que décriroit un corps poussé en même tems par deux forces, qui auroient entre elles le même rapport que les côtés contigus, qui désignent les directions suivant lesquelles ces forces agissent : le corps décriroit cette diagonale en même tems qu’il parcourroit l’un ou l’autre des deux côtés contigus, s’il n’étoit poussé que par la force qui correspond à chaque côté : c’est-là un des grands usages de cette proposition ; car le rapport de deux forces, & l’angle qu’elles font, étant donnés, on a besoin quelquefois de déterminer en nombres la ligne qu’un corps poussé par ces deux forces décriroit dans un certain tems. Voyez Composition & Mouvement.
Les côtés d’une figure rectiligne, comme AB, AE, CD, DE (figure 26.), excepté BC ; & les angles A, E, D, o, y, excepté B, C, étant donnés, trouver les diagonales.
Dans le triangle ABE, les côtés AB & AE étant donnés, l’angle E se trouve aisément par la Trigonométrie, & ensuite la diagonale BE : on résout de la même maniere le triangle BCD, & l’on détermine la diagonale BD.
Comme les ichnographies ou les plans se font plus commodément lorsque l’on a les côtés & les diagonales, l’usage de ce problème est de quelque importance en planimétrie, particulierement à ceux qui veulent faire un ouvrage exact, quoiqu’il leur en coûte du calcul. Voyez Ichnographie, &c. (E)