# L’Encyclopédie/1re édition/HUIT

HUIT, s. m. (Arithm.) est le huitieme terme de la suite des nombres naturels, le quatrieme de celle des pairs, & le second de celle des cubes : on n’en fait un article que pour faire connoître une propriété qui lui est particuliere, & qui semble avoir jusqu’ici échappé aux observateurs : la voici avec sa démonstration.
8 étant multiplié successivement par chacun des nombres triangulaires, le produit augmenté de l’unité donne par ordre tous les quarrés impairs, à commencer à celui dont 3 est la racine.
* $\scriptstyle {\overline {8\cdot 1}}+1=9.$
* $\scriptstyle {\overline {8\cdot 3}}+1=25.$
* $\scriptstyle {\overline {8\cdot 6}}+1=49.$
* $\scriptstyle {\overline {8\cdot 10}}+1=81.$ &c.
Il suit que tout quarré impair (le premier excepté) étant diminué de l’unité, le reste se divise exactement par 8.
Soit un quarré impair quelconque représenté par $\scriptstyle {\overline {aa+2a+2}}$ (a étant un nombre pair) ; il faut prouver 1°. que 8 est diviseur exact ou facteur de $\scriptstyle {\overline {aa+2a}}$ ; 2°. que son co-facteur est un nombre triangulaire.
Les valeurs de a sont tous les termes de la suite des pairs 2, 4, 6, 8, &c. laquelle n’est elle-même que 2 multiplié successivement par chacun des nombres naturels 1, 2, 3, &c. La premiere partie de la propriété étant démontrée pour le premier terme 2, le sera donc par le même moyen pour tous les autres qui n’en sont que des multiples. Or
| le quarré de 2 est 4 = | $\scriptstyle {\frac {8}{2}}$ | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\end{matrix}}\right\$ | on a donc $\scriptstyle {\overline {aa+2a=2\cdot {\frac {8}{2}}=8\cdot 1}}$. |
| D’ailleurs 2 pris deux fois ne differe point de son quarré, & est aussi | $\scriptstyle {\frac {8}{2}}$ | $\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\\\end{matrix}}\right\$ | on a donc $\scriptstyle {\overline {aa+2a=2\cdot {\frac {8}{2}}=8\cdot 1}}$. |
| Quant à la seconde partie de la propriété, la suite des aa relative aux différentes valeurs de a, est le premier aa ou $\scriptstyle {\frac {8}{2}}$ multiplié successivement par les quarrés des nombres naturels, | 1. 4. 9. &c. |
| celle des 2 a n’est pareillement que le premier 2 a (aussi $\scriptstyle {\frac {8}{2}}$) multiplié par les racines de ces mêmes quarrés, | 1. 2. 3. &c. |
En ajoûtant ensemble terme à terme ces deux suites correspondantes, il résulte que le co-facteur de 8 est toûjours la somme d’un quarré & de sa racine, divisée par le dénominateur 2 (qu’on peut transporter du premier facteur au second). Mais la moitié de la somme d’un quarré & de sa racine, ou si l’on veut $\scriptstyle \left({\frac {nn+n}{2}}\right)$ est l’expression caractéristique d’un nombre triangulaire. Donc, &c. Il suit que si n représente le quantieme d’un terme dans la suite des impairs, le quarré du terme même est $\scriptstyle {\overline {8\cdot {\overline {nn-n}}}}+1$ On emploie ici $\scriptstyle {\frac {nn-n}{2}}$ au lieu de $\scriptstyle {\frac {nn+n}{2}}$ ; parce qu’à cause de l’exclusion du premier quarré impair (1), au quantieme n du terme dans la suite des impairs, répond dans celle des nombres triangulaires le quantieme, non n, mais $\scriptstyle {\overline {n-1}}$ : ce qui n’empêche pas que la formule ne donne l’expression juste du quarré, lors même que la racine est 1. Car alors le quantieme se confondant avec le terme même, $\scriptstyle nn-n$ est $\scriptstyle 1-1=0$ ; ce qui rend nul le premier terme de la formule, ensorte qu’il ne reste que le second (+1).
On pourroit au reste faire entrer 8 dans l’expression de tout quarré pair, comme on vient de le faire dans celle de tout quarré impair. Si n désigne le quantieme de la racine dans la suite des pairs, le quarré pair sera généralement $\scriptstyle {\frac {8\cdot nn}{2}}$ La démonstration en est si aisée à déduire de celle qu’on vient de voir pour les quarrés impairs, qu’il paroît inutile de s’y arrêter.
Comme nn est alternativement un nombre impair & un nombre pair, $\scriptstyle {\frac {nn}{2}}$ est, dans le même ordre alternatif, tantôt une fraction tantôt un entier. Il suit que les quarrés pairs ne sont divisibles par 8 que de deux en deux, mais c’est sans subir aucun changement : au lieu que les impairs le sont tous, mais sous la condition de perdre une unité ; compensation qui partage assez également entre les deux especes la propriété. Article de M. Rallier des Ourmes.