# L’Encyclopédie/1re édition/PARABOLE

PARABOLE, s. f. en Géométrie ; est une figure qui naît de la section du cône, quand il est coupé par un plan parallele à un de ses côtés. Voyez Section & Conique, voyez aussi la fig. 10 des coniques.
M. Wolf définit la parabole, une courbe dans laquelle ax = y$^2$, c’est-à-dire, dans laquelle le quarré de l’ordonnée est égal au rectangle de l’abscisse & d’une ligne droite donnée, qu’on appelle parametre de l’axe, ou latus rectum. Voyez Parametre.
Donc une parabole est une courbe du premier ordre, dans laquelle les abscisses croissant, les ordonnées croissent pareillement, cela est évident par l’équation ax = y$_2$ ; conséquemment cette courbe ne revient jamais sur elle-même.
Décrire une parabole. Le parametre AB, (Pl. con. fig. 8.) étant donné, continuez-le jusqu’en C, & de B laissez tomber une perpendiculaire BN ; décrivez ensuite sur les diametres A$_1$, A$_2$, A$_3$, &c. pris à volonté, les arcs de cercle I$_1$, II$_2$, III$_3$, &c. qui coupent la ligne droite BC en 1, 2, 3, 4, 5, &c. B$_1$, B$_2$, B$_3$, B$_4$, B$_5$, &c. représenteront les abscisses de la parabole, & BI, BII, BIII, BIV, BV, &c. les ordonnées. C’est pourquoi si les lignes B$_1$, B$_2$, B$_3$, &c. sont transférées de la ligne BC, à la ligne BN, & que sur les points 1, 2, 3, 4, &c. on éleve les perpendiculaires 1I = BI, 2II = BII, 3III = BIII, &c. la courbe passant par les points I, II, III, &c. sera une parabole, & BN son axe.
On peut aussi déterminer géométriquement chaque point de la parabole : par exemple, qu’on demande si le point M est dans le parabole ou non ; tirez une perpendiculaire de M sur BN, & décrivez un demi-cercle, dont le diametre BN, soit tel que PN soit égale au parametre : si ce demi-cercle passe par M, le point M est dans la parabole.
Dans une parabole, la distance du foyer au sommet est égale au quart du parametre ; & le quarré de la demi-ordonnée est quadruple du rectangle de la distance du foyer au sommet par l’abscisse. Voyez Foyer & Conique.
Décrire une parabole par un mouvement continu. Prenant une ligne droite pour un axe, soit fA, fig. 9 $\scriptstyle =AF={\frac {1}{4}}a$. Fixez au point f une regle DB qui coupe l’axe fD à angles droits. A l’extrémité C d’une autre regle EC attachez un fil fixé par son autre extrémité au foyer ; ensuite faites mouvoir la regle CEB le long de DE, en tenant toujours le fil FMC tendu par le moyen d’un stilet M ; ce stilet décrira une parabole.
Propriétés de la parabole. Les quarrés des ordonnées sont entr’eux comme les abscisses ; & les ordonnées sont en raison sous-doublées des abscisses.
Dans une parabole, le rectangle de la demi-ordonnée par l’abscisse est au quarré de l’abscisse, comme le parametre à la demi-ordonnée. Ces deux propositions sont une suite de l’équation ax = y$^2$.
Dans une parabole, la soutangente est double de l’abscisse, & la sous-perpendiculaire est sous-double du parametre. Voyez Soutangente & Sous-perpendiculaire.
Quadrature de la parabole. Voyez Quadrature.
Les paraboles d’un genre plus élevé sont des courbes algebriques déterminées par l’équation $\scriptstyle a^{m-1}x=y^{m}$ par exemple, par $\scriptstyle a^{2}x=y^{3}$, $\scriptstyle a^{3}x=y^{4}$, $\scriptstyle a^{4}x=y^{5}$, $\scriptstyle a^{5}x=y^{6}$, &c. Voyez Courbe.
Quelques-uns les nomment paraboloïdes : si $\scriptstyle a^{2}x=y^{3}$ ; ils appellent la parabole, paraboloïde cubique. Si $\scriptstyle a^{3}x=y^{4}$, ils la nomment paraboloïde biquadratique, ou paraboloïde sursolide. Voyez Cubique ; & ils appellent la parabole de la premiere espece, que nous avons déterminée ci-dessus, parabole apollonienne. Voyez Apollonien.
On doit pareillement rapporter aux paraboles les courbes dans lesquelles $\scriptstyle ax^{m-1}=y^{m}$, comme par exemple $\scriptstyle ax^{3}=y^{4}$ ; $\scriptstyle ax^{3}=y^{4}$, que quelques-uns appellent des demi-paraboles. On les comprend toutes sous la commune équation $\scriptstyle a^{m}x^{h}=y^{t}$, qui s’étend aux autres paraboles, par exemple, à celles dans lesquelles $\scriptstyle a^{2}x^{3}=y^{5}$ $\scriptstyle a^{3}x^{4}=y^{7}$.
Dans les paraboles dont l’équation est $\scriptstyle y^{m}=a^{m-1}x$ ; si toute autre ordonnée est appellée v, & les abscisses qui y correspondent z, nous aurons $\scriptstyle v^{m}=a^{m-1}z$, & par conséquent $\scriptstyle y^{m}:v^{m}$ ∷ $\scriptstyle az^{m-1}:ax^{m-1}$ ; c’est-à-dire, ∷ x : z ; donc c’est une propriété commune de ces paraboles, que les puissances des ordonnées sont en raison des abscisses. Dans les demi-paraboles $\scriptstyle y^{m}:v^{m}$ ∷ $\scriptstyle ax^{m-1}:az^{m-1}=a^{m-1}$, c’est-à-dire, les puissances des ordonnées sont comme les puissances des abscisses d’un degré plus bas ; par exemple, dans les demi-paraboles cubiques les cubes des ordonnées $\scriptstyle y^{3}$ & $\scriptstyle v^{3}$, sont comme les quarrés des abscisses $\scriptstyle x^{2}$, & $\scriptstyle z^{2}$.
La parabole qui a pour équation $\scriptstyle a^{2}x=y^{3}$, s’appelle ordinairement premiere parabole cubique ; & celle qui a pour équation $\scriptstyle ax^{2}=y^{3}$, seconde parabole cubique ; & en général toute parabole qui a pour équation $\scriptstyle y^{2}=a^{m}x^{n}$, s’appelle une parabole du degré t. Par exemple, la parabole dont l’équation est $\scriptstyle y^{t}=a^{2}x$, s’appelle parabole du 5e degré, &c. Toutes ces paraboles ne peuvent avoir que trois figures différentes, qu’il est bon d’indiquer ici. Car 1°. soit t un nombre pair, & n un nombre impair ; il est certain qu’à une même x positive, il répondra deux valeurs égales & réelles de y ; & qu’à une même x négative, il ne répondra que des valeurs imaginaires de y. Ainsi la parabole aura la même figure BAM, fig. 10, n. 2, sect. con. que la parabole ordinaire ou apollonienne. Voyez Apollonien. 2°. t étant un nombre impair, si n est aussi un nombre impair ; il ne répondra qu’une valeur réelle & positive de y à chaque valeur positive de x, & une valeur réelle & négative de y à chaque valeur négative de x, & la parabole aura la figure BAM, fig. 10, n. 3, 3°. t étant un nombre impair, & n un nombre pair, il ne répondra qu’une valeur réelle & positive de y à chaque valeur tant positive que négative de x, & la parabole aura la figure BAM, figure 10, n. 4. 4°. Enfin, si n & t sont tous deux des nombres pairs, en ce cas m en sera un aussi, & on pourra abaisser l’équation en cette sorte $\scriptstyle a^{\frac {m}{2}}X^{\frac {n}{2}}=y^{\frac {t}{2}}$ ou à $\scriptstyle a^{\frac {m}{4}}X^{\frac {n}{4}}=y^{\frac {t}{4}}$, &c. jusqu’à ce qu’elle retombe dans un des trois cas précédens.
C’est une erreur que de regarder (comme l’ont fait quelques géometres) l’équation $\scriptstyle a^{m}x^{n}=y^{t}$, comme l’équation d’une seule & unique parabole, lorsque n & t sont tous deux pairs. Car, par exemple, soit $\scriptstyle y^{4}=a^{2}x^{2}$, cette équation se décompose en ces deux-ci $\scriptstyle y^{2}=ax$ & $\scriptstyle y^{2}=-ax$ ; ce qui donne le système de deux paraboles apolloniennes, qui ont des directions opposées, & qui se touchent par leur sommet, en tournant leur convexités l’une vers l’autre. En général l’équation d’une courbe n’appartient proprement à une seule & même courbe que quand on ne peut pas la décomposer en deux ou plusieurs autres équations, sur quoi voyez l’article Courbe ; voyez aussi Conjugué.
La parabole ordinaire ou apollonienne n’est qu’une ellipse infiniment alongée ; car dans l’ellipse $\scriptstyle yy=a\times -{\frac {axx}{r}}$ ; a étant le parametre, & r l’axe ; si l’on suppose que l’ellipse s’alonge infiniment, a sera infiniment petit par rapport à r, & le terme $\scriptstyle {\frac {axx}{r}}$ peut être regardé comme nul. Donc alors $\scriptstyle yy=ax$, qui est l’équation de la parabole. Cette courbe a été appellée parabole d’un mot grec qui signifie égaliser, parce que dans cette courbe le quarré de l’ordonnée est égal au rectangle du parametre par l’abscisse, au-lieu que dans l’ellipse il est moindre, & plus grand dans l’hyperbole. Voyez Ellipse, &c. (O)
Parabole, s. f. (Critiq. sacrée.) παραβολὴ, ce terme grec que nous avons reçu, signifie communément dans l’Ecriture un discours qui présente un sens, & qui en a un autre que comprennent fort bien les personnes intelligentes. Les paraboles de l’Ecriture sont des instructions détournées, des sentences où il entre des comparaisons, des emblèmes.
Cette maniere d’enseigner par des paraboles, des énigmes, des discours figurés, étoit fort du goût des Orientaux. Les prophetes s’en servoient pour rendre plus sensibles aux princes les menaces & les promesses qu’ils leur faisoient ; ils reprennent aussi souvent les infideles de leur nation sous la parabole d’une épouse adultere. Ils décrivent les violences des peuples ennemis des Juifs, sous l’idée de quelque animal féroce. Nathan reproche à David son crime, sous la parabole d’un homme qui a enlevé la brebis d’un pauvre.
Jesus-Christ adopta l’usage des paraboles, des similitudes, & des discours figurés, dans la plûpart de ses instructions, soit aux Juifs, soit à ses disciples, comme il paroît par la lecture des Evangélistes, sur quoi Clément d’Alexandrie fait une excellente remarque, c’est qu’en ce genre il ne convient pas de presser les termes, ni de demander que l’allégorie soit par-tout soutenue ; mais il s’agit de considérer seulement le sujet principal, & ne faire attention qu’au but & à l’esprit de la parabole.
Selon cette regle, il faut glisser sur les termes lorsqu’ils pechent à certains égards ; par exemple, dans la parabole des talens, Matt. xxv. 24. le serviteur dit à son seigneur, « je sais que vous êtes un homme rude, qui moissonnez où vous n’avez point semé, & qui recueillez où vous n’avez rien fourni » πρέπον n’est pas certainement trop bien observé dans ce propos ; car ce n’est pas le langage qu’un serviteur tient à son maître, ou un affranchi à son patron ; mais il doit suffire que le but de la parabole soit de peindre par de telles expressions, quoiqu’outrées, la vaine excuse d’un mauvais serviteur.
Le mot parabole désigne quelquefois une simple comparaison qui montre le rapport de deux choses ; par exemple, « comme il arriva au jour de Noé, autant en sera-t-il au jour de la venue du fils de l’homme », Matt. xxiv. 37. 2°. il signifie toute similitude obscure, Matt. xv. 15. expliquez-nous votre similitude τὴν παραβολὴν, dit Pierre à Jesus-Christ ; 3°. une simple allégorie à ce qui se passe pour les convives d’un festin ; 4°. une maxime, une sentence, comme au III. des Rois, iv. 32. où l’auteur dit que Salomon composa trois mille paraboles ; 5°. ce mot se prend dans un sens de méprise ; Dieu menace son peuple de le rendre la risée des autres, tradere in parabolam, ij. Paralip. vij. 20. enfin il signifie un discours frivole, nonne per parabolas loquitur iste ? Ezéch. xx. 49. n’est-ce point des fadaises qu’il nous conte ?