# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/Astronomie, article 2
### Calcul de l’éclipse de soleil du 7 de septembre 1820, pour Strasbourg et Montpellier ;

Conformément à la promesse que je vous en avais faite et qu’une petite absence m’a empêché de réaliser plutôt, j’ai l’honneur de vous adresser mon calcul de l’éclipse de soleil du 7 de septembre 1820. Permettez-moi d’y joindre les courtes observations que voici sur le calcul de la même éclipse pour les mêmes lieux, donné par M. le professeur Kramp, à la page 331 de votre VIII.e volume.
1.$^o$ La parallaxe solaire (pag. 331), cotée avec cinq décimales doit être purement fictive. L’on s’accorde à peine sur la première décimale ; et, très-certainement, il n’y a pas deux astronomes d’accord sur la seconde.
2.$^o$ La quantité $B$ (pag. 332) a été obtenue en employant la tangente de la parallaxe, tandis que c’était de son sinus qu’il fallait faire usage ; cela donne
$B=63{,}7827,\qquad \operatorname {Log} .B=1.8047029.$
3.$^o$ Il y a $6''$ d’erreur (même page) sur la longitude du soleil le 7 à midi ; suivant la connaissance des temps elle doit être $164^{\circ }.42'.47''.$ Cette erreur, introduite dans les déterminations subséquentes les a rendues fautives.
4.$^o$ Il y a, je croîs, sur les longitudes lunaires (pag. 334), des erreurs en plus, savoir : de $6''$ à deux heures ; de $2''$ à trois heures ; de $1''$ à quatre heures. Il y a aussi sur la latitude lunaire à trois heures une erreur de $1''$ également en plus.
5.$^o$ Il n’a point été tenu compte (pag. 338) de l’aplatissement de la terre, dans la détermination de $X,Y,Z.$ On a d’ailleurs employé simplement la parallaxe équatoriale de la lune, qui pourtant aurait du être diminuée de $5$ à $6'',$ pour les deux villes dont il s’agit.
6.$^o$ Pour trouver $p,q$ (même page), on a considéré $x$ comme infiniment petit par rapport à $A\,;$ et il est très-vrai, en effet, que l’erreur de cette supposition affecte à peine les dixièmes des secondes. Mais, pour compléter l’exposition théorique de la méthode, il aurait fallu justifier cette supposition.
7.$^o$ Enfin, on a tout-à-fait oublié l’augmentation du diamètre de la lune qui, dans ce cas, s’élève toutefois à $20''.$
J’espère que toutes ces remarques expliqueront suffisamment les différences suivantes, peu considérables d’ailleurs, que j’ai trouvées entre les résultats de mes calculs et ceux des calculs de M. Kramp.
1.$^o$ Les valeurs de $q$ (pag. 340) seraient fautives de $11$ à $14'',$ et celles de $r$ de $7$ à $10''.$
2.$^o$ Les distances des centres (page 341) seraient fautives de $15$ à $17''.$ Celles de une heure est côtée $1750''\,;$ mais la marche des différences indique que ce doit être $1695''.$ Cette erreur de plume paraît provenir d’une autre, commise sur $q,$ noté $1570''$ au lieu de $1510''.$ Malheureusement c’est cette première quantité qui a servi à calculer le commencement de l’éclipse qui, par cela même se trouve en erreur de $1^{m}.40^{s},$ à peu près.
3.$^o$ En ayant égard à cette correction, et ajoutant la différence des méridiens en temps, afin de réduire les temps au méridien du lieu ; les déterminations que j’ai obtenues seraient plus fortes de $6^{s}$ sur le commencement, de $37^{s}$ sur le milieu et de $45^{s}$ sur la fin de l’éclipse, ainsi que vous le verrez dans le tableau ci-joint.
4.$^o$ Les résultats précédens sont relatifs à Montpellier ; ceux de Strasbourg présentent à peu prés les mêmes différences, en corrigeant toutefois l’heure du commencement, qui paraît devoir être $0^{h}.47^{m}.55^{s}.$ Mais ce pourrait être une faute d’impression.
5.$^o$ L’heure de la plus grande phase différerait bien de $3^{m}$ de mes déterminations, mais l’erreur se découvre à la simple inspection du tableau (pag. 345) ; car la marche des différences indique visiblement que cette plus grande phase doit avoir lieu après $2^{h}.15^{m}$ et non avant, comme le donne l’interpolation, où il faut, au reste, dans la valeur de $B,$ remplacer $202$ par $702.$
$14'',8$
$\ldots {\underline {8'',4}}$
$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 6'',4$
est absorbé par l’aplatissement et les autres erreurs que j’ai signalées.
Je borne là, Monsieur, ces observations, que vous trouverez peut-être assez minutieuses. Quelques secondes de plus ou de moins semblent en effet une vétille ; mais vous voyez cependant qu’en résultat on finit par atteindre jusqu’aux minutes. Au surplus, le désir de remonter à la source de mon défaut d’accord avec l’estimable doyen de Strasbourg, en me poussant plus avant dans ses calculs que je n’en avais le dessein, m’a procuré en même temps sur les miens une nouvelle sécurité qui pourtant, je l’avoue, pourrait bien n’être que simplement relative.
Agréez etc.
${\begin{array}{|l|r|r|r|r|}\hline {\text{Temps vrai de Paris.}}&1^{h}.\ 0^{m}.\,\ 0^{s}.\quad &2^{h}.\ 0^{m}.\,\ 0^{s}.\quad \\\hline {\text{Long. ☉}}&164^{\circ }.\,45'.\,12''{,}8&164^{\circ }.\,47'.\,38''{,}6\\{\text{Long. ☾}}&164\,\ .\,17\ .\ 44\,\ {,}1&164\,\ .\,47\ .\ 11\,\ {,}3\\{\text{Latit. ☾}}=\lambda &0\,\ .\,47\ .\ 24\,\ {,}2&0\,\ .\,44\ .\ 42\,\ {,}4\\{\text{Parall. horisont. (☾-☉)}}=\varpi &0\,\ .\,53\ .\ 39\,\ {,}7&0\,\ .\,53\ .\ 39\,\ {,}6\\{\text{Ascension dro. ☉}}&165\ .\,57\ .\ 45\,\ \quad &166\ .\ \ \ 0\,.\,\ \ 0\,\ \quad \\\hline \end{array}}$
${\begin{array}{|l|r|r|}\hline {\text{Temps vrai de Paris.}}&3^{h}.\ 0^{m}.\,\ 0^{s}.\quad &4^{h}.\ 0^{m}.\,\ 0^{s}.\quad \\\hline {\text{Long. ☉}}&164^{\circ }.\,50'.\ \,\,4''{,}4&164^{\circ }.\,52'.\,30''{,}2\\{\text{Long. ☾}}&165\,\ .\ 16\,.\,38\,\ {,}4&165\,\ .\ 46\,.\,\ \ 5\,\ {,}5\\{\text{Latit. ☾}}=\lambda &0\,\ .\ 44\,.\,42\,\ {,}4&0\,\ .\ 39\,.\,18\,\ {,}7\\{\text{Parall. horisont. (☾-☉)}}=\varpi &0\,\ .\ 53\,,\,39\,\ {,}6&0\,\ .\ 53\,.\,39\,\ {,}4\\{\text{Ascension dro. ☉}}&166\ .\,\ \ 2\,.\,15\,\ \quad &166\ .\,\ \ 4\,.\,30\,\ \quad \\\hline \end{array}}$
Aplatissement de la terre $={\frac {1}{320}}.$
Demi-diamètre du soleil $=0^{\circ }.15'.54''{,}8.$
Parall. de long.
$=\Pi =a+a^{2}\operatorname {Cot} .({\text{☾}}-\mathrm {N} )\operatorname {Sin} .1''+a^{3}\left[\operatorname {Cot} .^{3}({\text{☾}}-\mathrm {N} )-{\tfrac {1}{3}}\right]\operatorname {Sin} .^{2}1''+\ldots$
$a={\frac {\operatorname {Sin} .\varpi \operatorname {Sin} .h\operatorname {Sin} .({\text{☾}}-\mathrm {N} )}{\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .1''}}.$
Parall. de latit.
$=\pi =a'+a'^{2}\operatorname {Tang} .(x+\lambda )\operatorname {Sin} .1''+a'^{3}\left[\operatorname {Tang} .^{2}(x+\lambda )-{\tfrac {1}{3}}\right]\operatorname {Sin} .^{2}1''+\ldots$
$=a''+a''(a''-\lambda )\operatorname {Tang} .x\operatorname {Sin} .1''+a''\lambda \left(a''-{\tfrac {3}{2}}\lambda -a''\operatorname {Tang} .^{2}x\right)\operatorname {Sin} .^{2}1''$
$+a''^{3}\left(\operatorname {Tang} .^{2}x-{\tfrac {1}{3}}\right)\operatorname {Sin} .^{2}1''$
$a'={\frac {\operatorname {Sin} .\varpi \operatorname {Cos} .h\operatorname {Cos} .(x+\lambda )}{\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .1''}}\,;\qquad a''=\operatorname {Sin} .\varpi \operatorname {Cos} .h\operatorname {Cot} .1''\,;$
$\operatorname {Tang} .x=\operatorname {Tang} .h\operatorname {Cos} .\left({\text{☾}}-\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\Pi \right){\rm {{S{\acute {e}}c}.{\frac {1}{2}}\Pi .}}$
Latitude corrigée $=43^{\circ }.25'.46''.$
Longitude en degrés $=1^{\circ }.32'.30''\,;$ Longit. en temps $=6^{m}.10^{s}.$
${\begin{array}{|l|r|r|r|r|}\hline \quad {\text{Temps vrai.}}&1^{h}.\ 6^{m}.\,10^{s}.&2^{h}.\ 6^{m}.\,10^{s}.&3^{h}.\ 6^{m}.\,10^{s}.&4^{h}.\ 6^{m}.\,10^{s}.\\\hline {\text{Asc. dr.mil.du ciel}}&182^{\circ }.30'.15''&197^{\circ }.32'.30''&212^{\circ }.34'.45''&227^{\circ }.37'.6''\,\ \\{\text{Long. du nonag.}}&161\ .21\,.59\,\ \ \ &173\ .59.\,\ 6\,\ \ \ &187\ .54.12\,\ \ \ &204\ .\ \ 2.\ 6\,\ \ \ \\{\text{Haut. du nonag.}}&49\ .57\,.30\,\ \ \ &44\ .\,\ 7.50\,\ \ \ &38\ .\,\ 9.25\,\ \ \ &32\ .24.47\,\ \ \ \\{\text{Parall. de long.}}&0\ .\,\ 2\,.\,\ 7{,}5&-0\ .\,\ 6.\,\ 2{,}4&-0\ .12.52{,}5&-0\ .17.56{,}4\\{\text{Parall. de lat.}}&0\ .34\,.22{,}6&0\ .38.27{,}7&0\ .42.12{,}8&0\ .45.21{,}6\\{\text{Long. app. ☾}}&164\ .19\,.51{,}6&164\ .41.\,\ 8{,}8&165\ .\,\ 3.45{,}8&165\ .28.\,\ 9{,}0\\{\text{Latit. app. ☾}}&0\ .13\,.\,\ 1{,}6&0\ .\,\ 6.11{,}7&-0\ .\,\ 0.12{,}3&-0\ .\,\ 6.\,\ 2{,}9\\{\text{Long (☾-☉)}}&-0\ .25\,.21{,}2&-0\ .\,\ 6.29{,}8&0\ .13.41{,}4&0\ .35.38{,}8\\{\text{Dist. des centres}}&0\ .28\,.30{,}2&0\ .\,\ 9.\,\ 0{,}7&0\ .13.41{,}5&0\ .36.\,\ 9{,}4\\{\text{Demi-diam. ☾}}&0\ .14\,.51{,}9&0\ .14.50{,}8&0\ .14.49{,}1&0\ .14.47{,}1\\\hline \end{array}}$
${\begin{array}{|r|r|r|r|r|}\hline {\text{Temps vrai.}}\quad &{\text{Long. (☾-☉)}}&{\text{Latit. ☾}}\ \ &{\text{Dist. des cent.}}&{\text{Demi-diam.}}\\\hline {\text{Com.}}^{t}\ \ 0^{h}.59^{m}.8^{s}&\ldots &\ldots &30'.46''{,}8&30'.46''{,}8\\0\ .59\,\ .10\ &-27'.29''{,}2&13'.49''{,}6&30\,.46\,\ {,}1&\ldots \\1\ .\,\ 0\,\ .10\ &-27\,.10\,\ {,}9&13\,.42\,\ {,}7&30\,.26\,\ {,}7&\ldots \\2\ .29\,\ .10\ &1\,.\,\ 3\,\ {,}8&3\,.43\,\ {,}2&\ldots &\ldots \\{\text{Pl.g.ph.}}2\ .29\,\ .34\ &1\,.11\,\ {,}8&3\,.40\,\ {,}6&3\,.52\,\ {,}0&30\,.44\ {,}9\\2\ .30\,\ .10\ &1\,.23\,\ {,}8&3\,.36\,\ {,}7&\ldots &\ldots \\3\ .51\,\ .10\ &29\,.58\,\ {,}4&-4\,.38\,\ {,}5&30\,.19\,\ {,}9&\ldots \\{\text{Fin.}}\quad 3\ .52\,\ .\,\ 8\ &\ldots &\ldots &30\,.42\,\ {,}4&30\,.42\ {,}4\\3\ .52\,\ .10\ &30\,.21\,\ {,}1&-4\,.44\,\ {,}1&30\,.43\,\ {,}2&\ldots \\\hline \end{array}}$
Plus grande phase de $10^{d}{,}136,$ dans la partie boréale du soleil. La première impression du disque lunaire aura lieu vers $60^{\circ }$ à droite de l’extrémité supérieure du diamètre vertical du soleil.
${\begin{array}{|l|r|r|r|r|}\hline \quad {\text{Temps vrai.}}&1^{h}.21^{m}.\,38^{s}.&2^{h}.21^{m}.\,38^{s}.&3^{h}.21^{m}.\,38^{s}.&4^{h}.21^{m}.\,38^{s}.\\\hline {\text{Asc. dr.mil.du ciel}}&186^{\circ }.22'.21''&201^{\circ }.24'.36''&216^{\circ }.26'.51''&231^{\circ }.29'.6''\,\ \\{\text{Long. du nonag.}}&160\ .45\,.57\,\ \ \ &173\ .\,\ 2.49\,\ \ \ &186\ .49.57\,\ \ \ &203\ .22.38\,\ \ \ \\{\text{Haut. du nonag.}}&44\ .20\,.\,\ 0\,\ \ \ &38\ .30.30\,\ \ \ &32\ .32.\,\ 0\,\ \ \ &26\ .46.\,\ 0\,\ \ \ \\{\text{Parall. de long.}}&0\ .\,\ 2\,.20{,}0&-0\ .\,\ 4.\,50{,}8&-0\ .10.41{,}3&-0\ .14.50,0\\{\text{Parall. de lat.}}&0\ .38\,.17{,}3&0\ .41.58{,}1&0\ .45.16{,}1&0\ .47.58,0\\{\text{Long. app. ☾}}&164\ .20\,.\,\ 4{,}1&164\ .42.20{,}5&165\ .\,\ 5.57{,}1&165\ .31.15,5\\{\text{Latit. app. ☾}}&0\ .\,\ 9\,.\,\ 6{,}9&0\ .\,\ 2.44{,}3&-0\ .\,\ 3.15{,}6&-0\ .\,\ 8.39,3\\{\text{Long (☾-☉)}}&-0\ .25\,.\,\ 8{,}7&-0\ .\,\ 5.18{,}1&0\ .15.52{,}7&0\ .38.45,3\\{\text{Dist. des centres}}&0\ .26\,.44{,}8&0\ .\,\ 5.58{,}1&0\ .16.12{,}5&0\ .39.42,5\\{\text{Demi-diam. ☾}}&0\ .14\,.50{,}9&0\ .14.49{,}8&0\ .14.48{,}2&0\ .14.46,2\\\hline \end{array}}$
${\begin{array}{|r|r|r|r|r|}\hline {\text{Temps vrai.}}\quad &{\text{Long. (☾-☉)}}&{\text{Latit. ☾}}\ \ &{\text{Dist. des cent.}}&{\text{Demi-diam.}}\\\hline 1^{h}.9^{m}.38^{s}&-28'.59''{,}0&10'.25''{,}0&30'.48''{,}0&\ldots \\{\text{Com.}}^{t}\ 1\ .\,\ 9\,\ .44\ &\ldots &\ldots &30'.46''{,}0&30'.46'',0\\1\ .11\,\ .38\ &-28\,.20\,\ {,}8&10\,.11\,\ {,}9&30\,.\,\ 7\,\ {,}5&\ldots \\2\ .36\,\ .38\ &-0\,.\,\ 8\,\ {,}9&1\,.11\,\ {,}6&\ldots &\ldots \\{\text{Pl.g.ph.}}2\ .37\,\ .57\ &0\,.19\,\ {,}1&1\,.\,\ 3\,\ {,}4&1\,.\,\ 6\,\ {,}2&30\,.44\ ,2\\2\ .39\,\ .30\ &0\,.53\,\ {,}7&0\,.53\,\ {,}2&\ldots &\ldots \\3\ .57\,\ .38\ &29\,.22\,\ {,}8&-6\,.34\,\ {,}8&30\,.\,\ 6\,\ {,}5&\ldots \\{\text{Fin.}}\quad 3\ .59\,\ .\,\ 7\ &\ldots &\ldots &30\,.41\,\ {,}7&30\,.41\ ,7\\3\ .59\,\ .38\ &30\,.\,\ 9\,\ {,}1&-6\,.45\,\ {,}7&30\,.54\,\ {,}0&\ldots \\\hline \end{array}}$
Grandeur de l’éclipse $11^{d}.173,$ dans la partie boréale du soleil. La première impression du disque lunaire aura lieu vers $67^{\circ }$ à droite de l’extrémité supérieure du diamètre vertical du soleil.