# Théorie mathématique de la lumière/2/Chap.03
### CHAPITRE III INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT CAS PARTICULIER DES ONDES PLANES

21. Nous avons trouvé (§ 6) pour représenter les ondes des équations renfermant des fonctions arbitraires du temps et des coordonnées.
Nous allons choisir pour ces fonctions une forme particulière et écrire
$\xi =\mathrm {A} _{1}\cos pt+\mathrm {A} _{2}\sin pt,\;$
Quand il est possible de mettre $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ sous cette forme, $\mathrm {A} _{1}$ et $\mathrm {A} _{2}$ étant fonction seulement de $x,\,y,\,z,$ on dit que la lumière est homogène.
Or, d’après le théorème de Fourier, on peut mettre toute fonction du temps sous la forme d’une somme de pareilles expressions, autrement dit une lumière quelconque est susceptible d’être considérée comme résultant de la superposition d’un très grand nombre de lumières homogènes. D’après ce théorème on a en effet :
$\xi =f(t)=\int _{0}^{\infty }\left[\varphi _{1}(z)\cos zt+\varphi _{2}(z)\sin zt\right]\,dz.$
Nous poserons donc :
$\xi =\mathrm {A} _{1}\cos pt+\mathrm {A} _{2}\sin pt,\;$
ce qui revient à considérer séparément une de ces lumières homogènes.
22. Les équations différentielles auxquelles doit satisfaire $\xi$ sont linéaires, à coefficients constants et réels.
D’après les propriétés bien connues de ces équations, en changeant $t$ en $t-{\frac {\pi }{2p}}$ dans la solution
$\xi =\mathrm {A} _{1}\cos pt+\mathrm {A} _{2}\sin pt,$
nous obtiendrons encore une solution :
${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} _{1}\cos \left(pt-{\frac {\pi }{2}}\right)+\mathrm {A} _{2}\sin \left(pt-{\frac {\pi }{2}}\right)\\[1.5ex]&=\mathrm {A} _{1}\sin pt-\mathrm {A} _{2}\cos pt\\\end{aligned}}$
De ces deux solutions nous en déduirons une autre, en ajoutant à la première la seconde multipliée par ${\sqrt {-1}}$
${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} _{1}\left(\cos pt+{\sqrt {-1}}\sin pt\right)-{\sqrt {-1}}\mathrm {A} _{2}\left(\cos pt+{\sqrt {-1}}\sin pt\right)\\[1.5ex]&=\left(\mathrm {A} _{1}-{\sqrt {-1}}\mathrm {A} _{2}\right)e^{{\sqrt {-1}}pt}\\\end{aligned}}$
23. Inversement, si nous trouvons une solution imaginaire de cette forme, nous en conclurons que la partie réelle et la partie imaginaire satisfont séparément aux équations.
Il nous sera donc permis de conduire le calcul en nous servant de ces expressions imaginaires, et de ne conserver à la fin que les parties réelles, seules susceptibles d’une interprétation physique.
24. Ondes planes. — Appliquons cette méthode à l’étude des ondes planes.
Dans l’équation générale
$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mu \left(\Delta \xi -{\frac {d\theta }{dx}}\right)$
nous devons faire $\theta =0$ puisque les vibrations lumineuses sont transversales, il reste :
$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mu \Delta \xi$
${\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=\mu \Delta \eta \\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\mu \Delta \zeta .\\\end{aligned}}$
Cherchons à satisfaire à ces équations en posant :
| (1) | ${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }\\\eta &=\mathrm {B} e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }\\\zeta &=\mathrm {C} e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }\\\end{aligned}}$ |
$\mathrm {P} =ax+by+cz+pt$
$a,\,b,\,c,\,\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,p$ étant des constantes. Nous obtiendrons de la sorte une solution imaginaire des équations et par conséquent une solution réelle, représentée par la partie réelle de l’expression imaginaire.
Dans ces conditions,
${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\xi }{dx}}&={\sqrt {-1}}a\xi \qquad &{\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}&=-a^{2}\xi \\[1.5ex]{\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}&=-b^{2}\xi \qquad &{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}&=-c^{2}\xi \\[1.5ex]\end{alignedat}}$
$\Delta \xi =-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\,\xi$
${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-p^{2}\xi .$
Substituons, il vient :
| (2) | $\rho \,p^{2}=\mu (a^{2}+b^{2}+c^{2}).$ |
Il faut en outre que :
| (3) | $\theta ={\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}=0,$ |
ce qui donne :
$0={\sqrt {-1}}(a\xi +b\eta +c\zeta )={\sqrt {-1}}e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }(a\mathrm {A} +b\mathrm {B} +c\mathrm {C} )$
$\mathrm {A} a+\mathrm {B} b+\mathrm {C} c=0$
équation exprimant que la vibration est dans le plan de l’onde.
Ceci reste vrai quelles que soient les valeurs, réelles ou imaginaires, de $\mathrm {A,\,B,\,C} ,$ $p,$ $a,\,b,\,c.$ En général nous regarderons $\mathrm {A,\,B,\,C}$ comme réels : $p$ sera toujours supposé réel.
Les plans ayant pour équation générale :
$ax+by+cz=\mathrm {C} ^{\mathrm {te} }$
s’appelleront les plans de l’onde.
25. Lorsque $a,\,b,\,c$ deviennent imaginaires, le plan devient aussi imaginaire ; mais il ne faut pas en conclure que l’onde correspondante n’existe plus ; le calcul montre le contraire.
En effet, prenons par exemple le système de valeurs suivant :
${\begin{alignedat}{5}a&=a_{0}\qquad &b&={\sqrt {-1}}b_{0}\qquad &c&=0\\[1ex]\mathrm {A} &=0\qquad &\mathrm {B} &=0\qquad &\mathrm {C} &=1.\\\end{alignedat}}$
Ce choix de valeurs entraîne
$\xi =\eta =0,$
$\mathrm {P} =a_{0}x+{\sqrt {-1}}b_{0}y.$
L’équation (2) devient :
$\rho \,p^{2}=\mu (a_{0}^{2}-b_{0}^{2})$
et détermine $p$ si $a_{0}>b_{0}.$
L’équation (3) est vérifiée identiquement, car $\zeta$ ne dépend plus de $z$ et $\xi$ et $\eta$ sont nuls. Enfin :
${\begin{aligned}\zeta &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \;\mathrm {C} e^{{\sqrt {-1}}(ax+{\sqrt {-1}}b_{0}y+pt)}\\[1ex]&=e^{-b_{0}y}\cos(ax+pt)\\\end{aligned}}$
ce qui représente une onde réelle.
26. Ce genre d’ondes se rencontre dans le phénomène de la réflexion totale.
Considérons deux milieux séparés par une surface plane, et supposons que le milieu supérieur ait le plus grand indice. Tant que l’angle d’incidence $i$ dans le milieu supérieur a une valeur inférieure à l’angle limite, la loi de Descartes donne une valeur réelle de l’angle de réfraction : le rayon et l’onde réfractée sont réels. Mais quand l’angle d’incidence devient supérieur à l’angle limite, la loi de Descartes donne une valeur imaginaire de l’angle de réfraction. L’onde réfractée serait imaginaire. Il est naturel d’admettre qu’il existe alors dans le milieu inférieur une onde analogue à celle que nous venons de trouver, et c’est ce que semblent confirmer les lois de la polarisation elliptique par réflexion totale. L’observation directe de cette onde est rendue très difficile par la présence du facteur $e^{-b_{0}y}$qui devient très petit dès que $y$ atteint une valeur notable, parce que $b_{0}$ est extrêmement grand. Mais son existence, comme nous le verrons plus loin, a été montrée indirectement. Nous parlerons d’ailleurs rarement de cette onde.
27. Si nous considérons une onde plane ordinaire se propageant parallèlement à $\mathrm {O} z$ et ayant ses vibrations dans le plan d’onde, elle sera représentée par les équations
| (4) | ${\begin{aligned}\zeta &=0\\[1ex]\xi &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \;\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}pt}\\[1ex]\eta &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \;\mathrm {B} e^{{\sqrt {-1}}pt}.\\\end{aligned}}$ |
$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions de $z$ et de $t,$ si nous considérons seulement un point particulier de l’espace, $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront des constantes.
Comme ce sont des imaginaires, nous écrirons :
${\begin{aligned}\mathrm {A} &=\mathrm {A} _{1}-{\sqrt {-1}}\mathrm {A} _{2}\\[1ex]\mathrm {B} &=\mathrm {B} _{1}-{\sqrt {-1}}\mathrm {B} _{2}\\[1ex]\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\mathrm {A} &=\left|\mathrm {A} \right|e^{{\sqrt {-1}}a}\\[1ex]\mathrm {B} &=\left|\mathrm {B} \right|e^{{\sqrt {-1}}b}\\\end{aligned}}$
en représentant selon l’usage les modules de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B}$ par la notation $|\mathrm {A} |$ et $|\mathrm {B} |,$ par conséquent :
| (5) | ${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} _{1}\cos pt+\mathrm {A} _{2}\sin pt\\[1ex]\eta &=\mathrm {B} _{1}\cos pt+\mathrm {B} _{2}\sin pt\\[1ex]\xi &=|\mathrm {A} |\cos(pt+a)\\[1ex]\eta &=|\mathrm {B} |\cos(pt+b)\\\end{aligned}}$ |
$a$ s’appellera la phase de la première composante, $b$ la phase de la seconde.
Pour trouver l’équation de la trajectoire de la molécule d’éther, il faudra éliminer le temps entre les deux expressions de $\xi$ et $\eta \,:$ il suffit de résoudre ces deux équations par rapport à $\cos pt$ et $\sin pt$ et de substituer les valeurs trouvées dans l’identité.
$\cos ^{2}pt+\sin ^{2}pt=1,$
$\cos pt$ et $\sin pt$ seront des fonctions linéaires homogènes de $\xi$ et $\eta \,:$ donc le premier membre de cette identité deviendra un polynôme homogène du second degré en $\xi$ et $\eta .$
La trajectoire cherchée sera donc une conique, et, comme $\xi$ et $\eta$ ne peuvent croître indéfiniment, cette conique est une ellipse. Dans le cas particulier où :
${\frac {\mathrm {B} _{1}}{\mathrm {A} _{1}}}={\frac {\mathrm {B} _{2}}{\mathrm {A} _{2}}},$
cette ellipse se réduit à la droite qui a pour équation
${\frac {\xi }{\eta }}={\frac {\mathrm {A} _{1}}{\mathrm {B} _{1}}}\cdot$
Dans ce cas, ${\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {A} }}$ est réel et égal à ${\frac {\mathrm {B} _{1}}{\mathrm {A} _{1}}}\cdot$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A}$ ont donc même argument $a=b,$ autrement dit les deux composantes ont même phase.
28. Intensité dans le cas d’une onde plane. — Nous avons montré que, tant qu’il s’agit d’ondes planes, toutes les définitions de l’intensité conduisent au même résultat. Pour la calculer, il nous est donc loisible de la regarder comme proportionnelle à la force vive moyenne de l’éther.
Le carré de la vitesse suivant $\mathrm {O} x$ a pour expression :
$\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}=p^{2}\left(\mathrm {A} _{1}^{2}\sin ^{2}pt+\mathrm {A} _{2}^{2}\cos ^{2}pt+2\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2}\cos pt\sin pt\right).$
La valeur moyenne de $\sin ^{2}pt$ et celle de $\cos ^{2}pt$ sont égales à ${\frac {1}{2}},$ celle de $\cos pt\sin pt$ est $0.$ Donc:
$\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{2}}\left(\mathrm {A} _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}^{2}\right)$
On trouverait de même
$\left({\frac {d\eta }{dt}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{2}}\left(\mathrm {B} _{1}^{2}+\mathrm {B} _{2}^{2}\right),$
et enfin
$\;\mathrm {V} ^{2}={\frac {p^{2}}{2}}\left(\mathrm {A} _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}^{2}+\mathrm {B} _{1}^{2}+\mathrm {B} _{2}^{2}\right).$
Abstraction faite du facteur constant ${\frac {p^{2}}{2}},$ l’intensité est donc proportionnelle à $\left(\mathrm {A} _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}^{2}+\mathrm {B} _{1}^{2}+\mathrm {B} _{2}^{2}\right).$
29. Nous avons regardé $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ comme des constantes ; mais en réalité ces coefficients dépendent de l’état de la source lumineuse, état qui ne demeure pas constant : ces coefficients éprouvent donc des variations. Ces variations, bien qu’elles soient extrêmement rapides d’une manière absolue, ne laissent pas d’être extrêmement lentes en regard des vibrations elles-mêmes. Mais, en raison de leur rapidité absolue, on peut admettre que pendant l’intervalle de $1/10$ de seconde, qui représente la durée de la persistance des impressions lumineuses sur la rétine, ces coefficients prennent toutes les valeurs comprises entre deux certaines limites, et que ces valeurs s’associent de toutes les façons possibles.
L’intensité observée est donc l’intensité moyenne pendant cette durée de $1/10$ de seconde, soit
${\frac {1}{n}}\sum \left(\mathrm {A} _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}^{2}+\mathrm {B} _{1}^{2}+\mathrm {B} _{2}^{2}\right)$
$n$ étant le nombre de vibrations effectuées pendant cet intervalle. Comme ${\frac {1}{n}}$ est une constante, l’intensité sera proportionnelle à la somme :
$\sum \left(\mathrm {A} _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}^{2}+\mathrm {B} _{1}^{2}+\mathrm {B} _{2}^{2}\right).$
Pour définir un rayon, il nous faudra prendre quatre expressions analogues, savoir :
${\begin{aligned}\delta _{1}&=\sum \left(\mathrm {A} _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}^{2}\right)\\[1.5ex]\delta _{2}&=\sum \left(\mathrm {B} _{1}^{2}+\mathrm {B} _{2}^{2}\right)\\[1.5ex]\delta _{3}&=\sum \left(\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1}+\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2}\right)\\[1.5ex]\delta _{4}&=\sum \left(\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{2}-\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{1}\right).\\\end{aligned}}$
L’intensité sera égale à $\delta _{1}+\delta _{2}.$
30. Dans la lumière naturelle, les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ prennent toutes les valeurs possibles pendant $1/10$ de seconde et s’associent de toutes les manières possibles. Toutes les directions de vibration dans le plan d’onde sont équivalentes. Donc
$\sum \left(\mathrm {A} _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}^{2}\right)=\sum \left(\mathrm {B} _{1}^{2}+\mathrm {B} _{2}^{2}\right)$
$\delta _{1}=\delta _{2}$
$\delta _{3}$ est égal à $0\,;$ en effet, si nous trouvons la combinaison de $\mathrm {A} _{1}-{\sqrt {-1}}\mathrm {A} _{2}$ avec $\mathrm {B} _{1}-{\sqrt {-1}}\mathrm {B} _{2}$ qui donne le terme $\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1}+\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2},$ nous trouverons aussi la combinaison de $\mathrm {A} _{1}-{\sqrt {-1}}\mathrm {A} _{2}$ avec $-\mathrm {B} _{1}+{\sqrt {-1}}\mathrm {B} _{2},$ qui donne le terme $-\left(\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1}+\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2}\right),$ annulant le précédent ; et ainsi de suite pour les autres combinaisons.
Pour la même raison $\delta _{4}=0.$
31. Supposons que la lumière traversera un analyseur, c’est-à-dire un appareil qui détruise toutes les composantes perpendiculaires à une certaine direction, et laisse passer les composantes Fig. 5. parallèles à cette direction $\mathrm {OA}$ (fig. 5).
Soit $\varphi$ l’angle que fait cette direction $\mathrm {OA}$ avec l’axe des $x.$ La composante du déplacement dirigée suivant $\mathrm {OA}$, qui seule subsiste, est égale à
$\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi$
et au temps $t,$ la molécule d’éther se trouve sur $\mathrm {OA}$, à une distance de $\mathrm {O}$ représentée par :
$\left(\mathrm {A} _{1}\cos \varphi +\mathrm {B} _{1}\sin \varphi \right)\cos pt+\left(\mathrm {A} _{2}\cos \varphi +\mathrm {B} _{2}\sin \varphi \right)\sin pt.$
L’intensité aura pour valeur, dans ce cas :
${\begin{array}{c}\sum \left(\mathrm {A} _{1}\cos \varphi +\mathrm {B} _{1}\sin \varphi \right)^{2}+\left(\mathrm {A} _{2}\cos \varphi +\mathrm {B} _{2}\sin \varphi \right)^{2}\\[1.5ex]=\delta _{1}\cos ^{2}\varphi +2\delta _{3}\cos \varphi \sin \varphi +\delta _{2}\sin ^{2}\varphi \\\end{array}}$
Cette expression ne peut être négative. Les racines du trinôme doivent donc être imaginaires, ce qui exige la condition
$\delta _{3}^{2}\leq \delta _{1}\delta _{2}.$
Si :
$\delta _{3}^{2}=\delta _{1}\delta _{2},$
l’expression s’annule pour une certaine valeur de $\varphi .$ On dit, dans ce cas, que la lumière est polarisée rectilignement ou polarisée dans un plan et que la polarisation est totale.
32. Supprimons l’analyseur et faisons passer la lumière à travers une lame cristallisée dont les sections principales soient dirigées suivant $\mathrm {O} x$ et $\mathrm {O} y.$ Dans ce passage, la lumière se décompose en deux rayons polarisés dans les sections principales, et se propageant avec des vitesses différentes, rayons qui se recombinent ensuite. Mais, en traversant le cristal, ils ont subi des retards différents : soient $a$ le retard pour la composante dirigée suivant $\mathrm {O} x,$ $b$ le retard pour la composante dirigée suivant $\mathrm {O} y\,:$
$\mathrm {A}$ devient $\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}a},\,$ $\mathrm {B}$ devient $\mathrm {B} e^{{\sqrt {-1}}b}.$
${\begin{aligned}\delta _{1}^{2}&=(\mathrm {mod} \,\mathrm {A} )^{2}\\\delta _{2}^{2}&=(\mathrm {mod} \,\mathrm {B} )^{2}\\\end{aligned}}$
D’autre part, nous avons :
$\delta _{3}+{\sqrt {-1}}\delta _{4}=\sum \left(\mathrm {A} _{1}-{\sqrt {-1}}\mathrm {A} _{2}\right)\left(\mathrm {B} _{1}+{\sqrt {-1}}\mathrm {B} _{2}\right)$
$\mathrm {A} _{1}-{\sqrt {-1}}\mathrm {A} _{2}$ est égal à $\mathrm {A} \,;$
$\mathrm {B} _{1}+{\sqrt {-1}}\mathrm {B} _{2}$ est l'imaginaire conjugué de $\mathrm {B} .$
Après le passage à travers la lame, $\delta _{3}$ se change en $\delta '_{3}$ et $\delta _{4}$ en $\delta _{4}',$ de manière que :
${\begin{aligned}\delta _{3}'+{\sqrt {-1}}\delta _{4}'&=\sum \mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}a}\mathrm {B} e^{-{\sqrt {-1}}b}\\[1.5ex]&=\sum \left(\mathrm {A} _{1}-{\sqrt {-1}}\mathrm {A} _{2}\right)\left(\mathrm {B} _{1}+{\sqrt {-1}}\mathrm {B} _{2}\right)e^{{\sqrt {-1}}(a-b)}\\[1.5ex]&=\left(\delta _{3}+{\sqrt {-1}}\delta _{4}\right)e^{{\sqrt {-1}}(a-b)}.\\\end{aligned}}$
D’où, en égalant les parties réelles :
$\delta _{3}'=\delta _{3}\cos(a-b)-\delta _{4}\sin(a-b).$
La condition trouvée :
$\delta _{3}^{2}<\delta _{1}\delta _{2}$
${\big\delta _{2}\cos(a-b)-\delta _{4}\sin(a-b){\big ]}^{2}<\delta _{1}\delta _{2}.$
La plus grande valeur que puisse prendre le premier membre est $\delta _{3}^{2}+\delta _{4}^{2}.$ Par conséquent, pour une lumière quelconque :
$\delta _{3}^{2}+\delta _{4}^{2}\leq \delta _{1}\delta _{2}.$
Si la lumière est totalement polarisée dans un plan, nous avons
$\delta _{3}^{2}=\delta _{1}\delta _{2}.$
Ces deux conditions sont incompatibles à moins que
$\delta _{4}=0.$
La valeur de la différence $a-b$ dépend de la lame que le rayon a traversée. En choisissant convenablement cette lame, on peut donner à l’expression entre crochets, c’est-à-dire à $\delta _{\,3}'^{2},$ sa valeur maximum : $\delta _{3}^{2}+\delta _{4}^{2}.$ Si donc on a
$\delta _{3}^{2}+\delta _{4}^{2}=\delta _{1}\delta _{2},$
on peut choisir l’épaisseur de la lame de telle sorte que
$\delta _{\,3}'^{2}=\delta _{1}\delta _{2}.$
Alors après son passage à travers la lame la lumière sera totalement polarisée dans un plan.
On dit qu’avant son passage à travers la lame la lumière était polarisée elliptiquement et que la polarisation était totale.
Si les conditions deviennent :
${\begin{aligned}\delta _{3}^{2}&<\delta _{1}\delta _{2}\\[1ex]\delta _{4}&=0,\\\end{aligned}}$
la lumière est polarisée rectiligne, mais partiellement. Elle ne s’éteint pas complètement dans un analyseur, même si avant de passer dans cet analyseur elle a traversé une lame cristalline de quelque épaisseur que ce soit.
$\delta _{3}^{2}+\delta _{4}^{2}<\delta _{1}\delta _{2},$
on dit encore que la lumière est polarisée elliptiquement, mais partiellement.
La polarisation circulaire est un cas particulier de la polarisation elliptique. Elle est caractérisée quant à la polarisation circulaire totale par les conditions
${\begin{array}{c}\delta _{1}=\delta _{2}\\[1ex]\delta _{3}=0\qquad \qquad \delta _{4}=\delta _{1}=\delta _{2}\\\end{array}}$
et quant à la polarisation circulaire partielle par :
${\begin{array}{c}\delta _{3}=0\\[1ex]\delta _{1}=\delta _{2}\qquad \qquad 0<\delta _{4}<\delta _{1}.\\\end{array}}$