# L’Encyclopédie/1re édition/ISOPÉRIMÈTRE

ISOPÉRIMÈTRE, adj. (Géom.) les figures isopérimètres, sont celles dont les circonférences sont égales. Voyez Circonférence.
Il est démontré en Géométrie qu’entre les figures isopérimètres, celles-là sont les plus grandes qui ont le plus de côtés ou d’angles. D’où il suit que le cercle est de toutes les figures, qui ont la même circonférence que lui, celle qui a le plus de capacité.
Cette proposition peut se démontrer aisément, si on compare le cercle aux seuls poligones réguliers. Il est facile de voir que de tous les poligones réguliers isopérimètres, le cercle est celui qui a la plus grande surface. En effet, supposons par exemple, un cercle & un octogone régulier, dont les contours soient égaux, le cercle sera au poligone comme le rayon du cercle est à l’apothème du poligone. Or l’apothème du poligone est nécessairement plus petit que le rayon du cercle : car s’il étoit égal ou plus grand, alors en plaçant le centre de l’octogone sur celui du cercle, l’octogone se trouveroit renfermer entierement le cercle, & le contour de l’octogone seroit plus grand que celui du cercle, ce qui est contre la supposition. Voyez Cercle, &c.
De deux triangles isopérimètres qui ont même base, & dont l’un a deux côtés égaux, & l’autre deux côtés inégaux ; le plus grand est celui dont les côtés sont égaux.
Entre les figures isopérimètres qui ont un même nombre de côtés, celle-là est la plus grande qui est équilatérale & équiangle.
De-là résulte la solution de ce problême faire que les haies qui renferment un arpent de terre, ou telle autre quantité déterminée d’arpens, servent à enfermer un nombre d’arpens de terre beaucoup plus grand. Chambers. (E)
Car si une portion de terre, par exemple, a la figure d’un parallélogramme, dont un des côtés soit de 20 toises & l’autre de 40, l’aire de ce parallélogramme sera de 800 toises quarrées ; mais si on change ce parallélogramme en un quarré de même circonférence, dont l’un des côtés soit 30, ce quarré aura 900 toises quarrées de superficie.
La théorie des figures isopérimètres curvilignes est beaucoup plus difficile & plus profonde que celle des figures isopérimètres rectilignes.
M. Jacques Bernoulli a été le premier qui l’ait traitée avec exactitude, il proposa le problème à son frere Jean Bernoulli, qui le résolut assez promptement ; son mémoire est imprimé parmi ceux de l’Académie des Sciences de 1706, mais il manquoit quelque chose à sa solution, comme ce grand géomètre en est convenu depuis la mort de son frere, dans un nouveau mémoire imprimé parmi ceux de l’Académie de 1718, & dans lequel le problème qui consiste à trouver les plus grandes des figures isopérimetres est résolu avec beaucoup de simplicité & de clarté.
M. Euler a aussi publié sur cette matiere plusieurs morceaux très-profonds dans les Mémoires de l’Académie de Pétersbourg, & on a imprimé à Lausanne en 1744 un ouvrage fort étendu du même auteur sur ce sujet. Il a pour titre : Methodus inveniendi lineas curvas, maximi minimive proprietate gaudentes. Sive solutio problematis isoperimetrici in latissimo sensu accepti. On peut lire dans les tomes I. & II. des œuvres de M. Jean Bernoulli, les différens écrits publiés par lui & par son frere sur ce problème. M. Jean Bernoulli dans son premier écrit n’avoit considéré que deux petits côtés consécutifs de la courbe ; au lieu que la vraie méthode de résoudre ce problème en général demande qu’on considere trois petits côtés, comme on peut s’en assurer en examinant les deux solutions. Voyez Maximum.
On trouve aussi dans les Mém. de Berlin de 1752, un mémoire de M. Cramer qui mérite d’être lu, & dans lequel il se propose de démontrer en général ce qu’on ne démontre dans les élémens de Géométrie que pour les seules figures régulieres, savoir que le cercle est la plus grande de toutes les figures isopérimètres rectilignes régulieres ou non. (O)