# Mécanique analytique/Notes du volume 2/Note 4
### NOTE IV. Sur un théorème de Mécanique ; par M. Ossian Bonnet.

Lagrange a montré, à la page 110 de ce Volume, que la même section conique qui peut être décrite en vertu d’une force tendante à l’un des foyers en raison inverse du carré-de la distance, ou tendante au centre en raison directe de la distance, peut l’être encore, sous certaines conditions, en vertu de trois forces pareilles tendantes aux deux foyers et au centre ; ce qui, dit-il, est très remarquable.
Legendre a été conduit plus tard à une conséquence analogue, mais plus explicite, dans le Traité des fonctions elliptiques ; on lit, en effet, à la page 426 du Tome Ier de cet Ouvrage :
« Soit $\mathrm {A}$ le sommet d’une ellipse dont $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G}$ sont les deux foyers ; soit $\mathrm {V} '$ la vitesse en $\mathrm {A}$ nécessaire pour que cette ellipse soit décrite en vertu de la force $\mathrm {A}$ appliquée au foyer $\mathrm {F} \,;$ soit pareillement $\mathrm {V} ''$ la vitesse en $\mathrm {A}$ nécessaire pour que l’ellipse soit décrite en vertu de la force $\mathrm {B}$ appliquée à l’autre foyer $\mathrm {G} \,;$ si ces deux forces agissent à la fois sur le mobile et que la vitesse initiale $\mathrm {V}$ soit telle que $\mathrm {V^{2}=V'^{2}+V''^{2}} ,$ il décrira encore la même courbe. »
Ces résultats ne sont que des corollaires d’un théorème général que l’on peut énoncer comme il suit :
Théorème. — Si plusieurs masses $m,\,m',\,m'',\ldots ,$ respectivement soumises à l’action des forces $\mathrm {F,\,F',\,F} '',\ldots ,$ et partant toutes d’un point $\mathrm {A}$ avec des vitesses $v_{0},\,v'_{0},\,v''_{0},\ldots$ de grandeur différente mais de même direction, décrivent la même courbe $\mathrm {ACB} ,$ la masse quelconque $\mathrm {M} ,$ soumise à l’action de la résultante des forces $\mathrm {F,\,F',\,F} '',\ldots$ et partant du point $\mathrm {A}$ avec une vitesse $\mathrm {V} _{0}$ ayant la même direction que les vitesses $v_{0},\,v'_{0},\,v''_{0},\ldots ,$ décrira encore la courbe $\mathrm {ACB} ,$ pourvu que les forces $\mathrm {F,\,F',\,F} '',\ldots$ soient indépendantes du temps et que la force vive initiale $\mathrm {MV} _{0}^{2}$ de la masse $\mathrm {M}$ soit égale à la somme
$mv_{0}^{2}+mv_{0}^{'2}+mv_{0}^{''2}+\ldots$
des forees vives initiales des masses $m,\,m',\,m'',\ldots .$
Démonstration. — Afin d’abréger le discours, appelons mouvements partiels ceux qui sont produits par les forces $\mathrm {F,\,F',\,F} '',\ldots$ agissant séparément, et mouvement composé celui qui produit la résultante de ces forces.
Si le mobile $\mathrm {M}$ ne décrit pas la courbe $\mathrm {ACB}$ dans le mouvement composé, on pourra lui faire décrire cette courbe en adjoignant à la résultante des forces $\mathrm {F,\,F',\,F} '',\ldots$ une force normale convenablement choisie, et l’on aura alors les équations connues
${\begin{aligned}\mathrm {M} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&\mathrm {X+X'+X''+\ldots +N\cos \alpha =\sum X+N} \cos \alpha ,\\\mathrm {M} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\mathrm {Y+Y'+Y''+\ldots +N\cos \beta =\sum Y+N} \cos \beta ,\\\mathrm {M} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&\mathrm {Z\,+Z'\,+Z''\,+\ldots +N\cos \gamma =\sum Z+N} \cos \gamma ,\end{aligned}}$
$x,\,y,\,z$ représentant les coordonnées du mobile au bout du temps $t,$ $\mathrm {(X,\,Y,\,Z)} ,$ $\mathrm {(X',\,Y',\,Z')} ,\,\mathrm {(X'',\,Y'',\,Z'')} ,\ldots$ les composantes respectives prises parallèlement aux axes des forces $\mathrm {F,\,F',\,F''} ,\ldots ,$ $\mathrm {N}$ l’intensité de la force normale, et $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ les angles que la direction de cette force fait avec les parties positives des axes des coordonnées.
Multipliant la première équation par $2dx,$ la deuxième par $2dy,$ la troisième par $2dz,$ et ajoutant, il viendra
$d\mathrm {MV} ^{2}=2dx\sum \mathrm {X} +2dy\sum \mathrm {Y} +2dz\sum \mathrm {Z} ,$
$\mathrm {V}$ étant la vitesse du mobile au point $x,\,y,\,z\,;$ mais, remarquons que $v,\,v',\,v'',\ldots$ étant les vitesses des masses $m,\,m',\,m'',\ldots$ lorsqu’elles passent par le même point dans les mouvements partiels, on a
${\begin{aligned}d\,mv^{2}\quad =&2(\mathrm {X} \ \,dx+\mathrm {Y} \ \,dy+\mathrm {Z} \ \ dz),\\d\,m'v'^{2}\,\ =&2(\mathrm {X} '\,dx+\mathrm {Y} '\,dy+\mathrm {Z} '\ dz),\\d\,m''v''^{2}=&2(\mathrm {X} ''dx+\mathrm {Y} ''dy+\mathrm {Z} ''dz),\\\end{aligned}}$
On a donc aussi
$d\mathrm {MV} ^{2}=d\,mv^{2}+d\,m'v'^{2}+d\,m''v''^{2}+\ldots =\sum d\,mv^{2}=d\sum mv^{2}\,;$
d’où, intégrant,
$\mathrm {MV^{2}=C} +\sum mv^{2}$
ou simplement
$\mathrm {MV} ^{2}=\sum mv^{2},$
en remarquant que, d’après l’hypothèse, cette égalité a lieu au point de départ.
Cela nous montre déjà que, pour toutes les positions comme pour la position initiale, la force vive de la masse $\mathrm {M} ,$ dans le mouvement que nous considérons, est égale à la somme des forces vives des masses $m,\,m',\,m'',\ldots ,$ dans les mouvements partiels.
Il est maintenant bien facile de prouver que la force $\mathrm {N}$ est nulle et, par conséquent, que le mobile $\mathrm {M}$ parcourt la courbe $\mathrm {ACB}$ dans le mouvement composé. En effet, cette force est égale et contraire à la résultante de la force centrifuge et des composantes normales des forces $\mathrm {F,\,F',\,F''} ,\ldots \,;$ or la force centrifuge dirigée en sens inverse du rayon de courbure de la courbe est, en appelant $\rho$ ce rayon de courbure,
${\frac {\mathrm {MV} ^{2}}{\rho }}$
ou, d’après ce que nous avons démontré,
${\frac {mv^{2}}{\rho }}+{\frac {m'v'^{2}}{\rho }}+{\frac {m''v''^{2}}{\rho }}+\ldots \,;$
d’ailleurs les composantes normales des forces $\mathrm {F,\,F',\,F''} ,\ldots$ sont respectivement égales et contraires à ${\frac {mv^{2}}{\rho }},\,{\frac {m'v'^{2}}{\rho }},\,{\frac {m''v''^{2}}{\rho }},\ldots ,$ puisque les masses $m,\,m',\,m'',\ldots$ décrivent la courbe $\mathrm {ACB}$ dans les mouvements partiels ; il y a donc équilibre entre la force centrifuge et les composantes normales des forces extérieures par conséquent, la force $\mathrm {N}$ est nulle.
Nous avons supposé, dans ce qui précède, le point complètement libre ; s’il était assujetti à rester sur une surface, le théorème serait encore vrai, car ce dernier cas se ramène à celui d’un point libre par l’introduction d’une force normale à la surface.