# L’Encyclopédie/1re édition/INTÉGRAL

INTÉGRAL, adj. (Math. trans.) le calcul intégral est l’inverse du calcul différentiel. Voyez Différentiel.
Il consiste à trouver la quantité finie dont une quantité infiniment petite proposée est la différentielle ; ainsi supposons qu’on ait trouvé la différentielle de $\scriptstyle x^{m}$ qui est $\scriptstyle mx^{m-1}dx$. Si on proposoit de trouver la quantité dont $\scriptstyle mx^{m-1}dx$ est la différentielle ; ce seroit un probleme de calcul intégral.
Les Géometres n’ont rien laissé à desirer sur le calcul différentiel ; mais le ealcul intégral est encore très-imparfait. Voyez Différentiel.
Le calcul intégral répond à ce que les Anglois appellent méthode inverse des fluxions. Voyez Fluxions.
Le calcul intégral a deux parties, l’intégration des quantités différentielles qui n’ont qu’une variable, & l’intégration des différentielles qui renferment plusieurs variables. On n’attend point de nous que nous entrions ici dans aucun détail sur ce sujet : puisque ce ne sera jamais dans un ouvrage tel que celui-ci que ceux qui voudront s’instruire du calcul intégral en iront chercher les regles. Nous nous contenterons d’indiquer les livres que nous jugeons les meilleurs sur cette matiere, dans l’ordre à-peu-près dans lequel il faut les lire.
On commencera par les leçons de M. Jean Bernouilli sur le calcul intégral, imprimées en 1744, à Lausanne, dans le Tom. II. du recueil de ses œuvres. On continuera ensuite par la seconde partie du Tom. II. du traité anglois des fluxions de M. Maclaurin. Après quoi on pourra lire la quadrature des courbes de M. Newton, & ensuite le traité de M. Cottes, intitulé Harmonia mensurarum, imprimé à Londres en 1716. On trouvera dans les actes de Leipsic de 1718, 1719, &c. & dans le Tom. VI. des mem. de l’acad. de Pétersbourg, des memoires de M$^{rs}$ Bernoulli & Herman, qui faciliteront beaucoup l’intelligence de ce dernier traité. On peut aussi avoir recours à l’ouvrage de Dom Walmessey, qui a pour titre analyse des rapports, &c. & qui est comme un commentaire de l’ouvrage de M. Cottes. Dans ces ouvrages on ne pourra guere s’instruire que de la partie du calcul intégral, qui enseigne à intégrer ou a réduire à des quadratures les quantités qui ne renferment qu’une seule variable. Tout ce que nous avons sur la seconde partie, c’est-à-dire, sur l’intégration des différentielles à plusieurs variables, ne consiste qu’en des morceaux séparés, dont les principaux se trouvent épars dans le recueil des œuvres de M. Bernoulli, & dans les memoires des académies des Sciences de Paris, de Berlin & de Pétersbourg. M. Fontaine de l’académie royale des Sciences, a composé sur cette matiere un excellent ouvrage qui n’est encore que manuscrit, & qui est rempli des recherches les plus belles, les plus neuves & les plus profondes. C’est le témoignage qu’en a porté l’académie dont il est membre. Voyez l’histoire de cette académie 1742.
Au reste sans avoir recours aux différens écrits dont nous avons fait mention plus haut, on peut s’instruire à fond du calcul intégral dans l’ouvrage que M. de Bougainville le jeune a publié sur cette matiere en deux volumes in-4°. Il y a recueilli avec soin tout ce qui étoit épars dans les différens ouvrages dont avons parlé ; il a expliqué ce qui avoit besoin de l’être, & a réuni le tout en un seul corps d’ouvrage qui doit faciliter beaucoup l’étude de cette partie importante des Mathématiques. Mademoiselle Agnesi, savante mathématicienne de Milan, avoit aussi déjà recueilli les regles de calcul intégral dans un ouvrage italien, intitulé institutioni analitiche, &c. mais l’ouvrage de M. de Bougainville est encore plus compler. (O).
Intégrale, s. f. (Géom. trans.) on appelle ainsi la quantité finie & variable, dont une quantité différentielle proposée est la différence. Ainsi l’intégrale de dx est x, celle de $\scriptstyle mx^{m-1}dx$ est $\scriptstyle x^{m}$. Voyez Différentiel & Intégral. (O).