# L’Encyclopédie/1re édition/DIMENSION

DIMENSION, s. f. (Physique & Géométrie.) c’est l’étendue d’un corps considéré en tant qu’il est mesurable, ou susceptible de mesure. Voyez Extension & Mesure.
Ainsi, comme nous concevons que les corps sont étendus en longueur, largeur, & profondeur ou épaisseur, nous concevons aussi ces trois dimensions dans la matiere ; la longueur toute seule s’appelle ligne ; la longueur combinée avec la largeur prend le nom de surface : enfin la longueur, la largeur, & la profondeur ou l’épaisseur, combinées ensemble, produisent ce que l’on nomme un solide. Voyez Ligne, Surface, Solide.
On se sert particulierement du mot dimension pour exprimer les puissances des racines ou valeurs des quantités inconnues des équations, que l’on appelle les dimensions de ces racines. Voyez Racine.
Ainsi dans une équation simple ou du premier degré, la quantité inconnue n’a qu’une dimension, comme $\scriptstyle x=a+b$. Dans une équation du second degré, l’inconnue est de deux dimensions, comme $\scriptstyle x^{2}=a^{2}+b^{2}$. Dans une équation cubique, telle que $\scriptstyle x^{3}=a^{3}-b^{3}$, elle a trois dimensions. Voyez Equation, Puissance, &c.
En général on dit, en Algebre, qu’une quantité comme a b c d, a b c, a b, & c. est d’autant de dimensions qu’il y a de lettres ou de facteurs dont elle est composée. Ainsi abcd est de quatre dimensions, a b c de trois, & c. On sent assez la raison de cette dénomination prise de la Géométrie. Si, par exemple, les produisans ou facteurs a, b, c, du produit abc, sont représentés par des lignes, le produit abc sera représenté par un solide ou parallelelipede, dont l’une des dimensions est a, l’autre b, l’autre c ; de même le produit ab est de deux dimensions, parce qu’il peut représenter une surface ou figure rectangle de deux dimensions a, b, &c. Au reste il ne peut y avoir proprement que des quantités de trois dimensions ; car passé le solide, on n’en peut concevoir d’autre. Qu’est-ce donc que les quantités comme $\scriptstyle a^{4}$, $\scriptstyle a^{5}$, qu’on employe dans l’application de l’Algebre à la Géométrie ? Ces quantités peuvent être considérées sous deux points de vûe. Ou la ligne a est représentée par un nombre arithmétique, & en ce cas $\scriptstyle a^{4}$ est la quatrieme puissance de ce nombre ; ou bien on doit supposer $\scriptstyle a^{4}$ divisé par une certaine ligne à volonté, qui réduise le nombre des dimensions à 3. Par exemple, soit $\scriptstyle x^{5}+ax^{4}+b^{5}=0$, je dis que cette équation est la même chose que $\scriptstyle {\frac {x^{5}+ax^{4}+b^{5}}{c^{2}}}=0$, ce qui réduit les dimensions à trois.
Remarquez qu’on peut toûjours faire cette division ; car dans la Géométrie tout se réduit toûjours à des équations. On ne considere $\scriptstyle a^{4}$ que pour le comparer à quelque autre quantité de même dimension ; & il est visible qu’une équation continue d’avoir lieu, lorsqu’on divise tous ses termes par une quantité constante quelconque. Ou bien on peut regarder a & b dans l’équation comme des nombres, qui soient entr’eux comme les lignes représentées par a & b, & alors x sera un nombre, & on n’aura que faire de division. Cette maniere de considérer les quantités de plus de trois dimensions, est aussi exacte que l’autre ; car les lettres algébriques peuvent toûjours être regardées comme représentant des nombres, rationels ou non. J’ai dit plus haut qu’il n’étoit pas possible de concevoir plus de trois dimensions. Un homme d’esprit de ma connoissance croit qu’on pourroit cependant regarder la durée comme une quatrieme dimension, & que le produit du tems par la solidité seroit en quelque maniere un produit de quatre dimensions ; cette idée peut être contestée, mais elle a, ce me semble, quelque mérite, quand ce ne seroit que celui de la nouveauté.
Dans les fractions algébriques la dimension est égale à celle du numérateur moins celle du dénominateur, ainsi $\scriptstyle {\frac {a^{3}}{a}}$ ou $\scriptstyle {\frac {a^{3}}{b}}$ est de deux dimensions. En effet on peut supposer $\scriptstyle {\frac {a^{3}}{b}}\,=\,cc$ Par la même raison $\scriptstyle {\frac {a^{3}}{a^{3}}}$ ou $\scriptstyle {\frac {a^{3}}{b^{3}}}$ est de dimension nulle ; & on appelle ainsi en général toute fraction où le numérateur a une dimension égale à celle du dénominateur. $\scriptstyle {\frac {a^{3}}{b^{4}}}$ seroit de la dimension −1 ; ce qui ne signifie autre chose, sinon que cette quantité étant multipliée par une quantité de dimension positive m, le produit seroit de la dimension m − 1 ; car voilà tout le mystere des dimensions négatives & des exposans négatifs. Voyez Exposant. (O)