# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Trigonométrie, article 5

Les formules relatives à la transformation des coordonnées se déduisent de l’équation (13) de la manière la plus simple.
Soient, en effet dans l’espace, deux systèmes d’axes obliques ayant la même origine ; soient $x,y,z$ et $x',y',z'$ les coordonnées d’un même point quelconque, dans les deux systèmes, et soit $r$ la distance de ce point à l’origine. Si $p$ désigne une autre droite de direction arbitraire menée par cette origine, l’équation (13) donnera
${\begin{aligned}&r\operatorname {Cos} .(r,p)=x\operatorname {Cos} .(x,p)+y\operatorname {Cos} .(y,p)+z\operatorname {Cos} .(z,p),\\&r\operatorname {Cos} .(r,p)=x'\operatorname {Cos} .(x',p)+y'\operatorname {Cos} .(y',p)+z'\operatorname {Cos} .(z',p)\,;\end{aligned}}$
et conséquemment
$x\operatorname {Cos} .(x,p)+y\operatorname {Cos} .(y,p)+z\operatorname {Cos} .(z,p)$
$=x'\operatorname {Cos} .(x',p)+y'\operatorname {Cos} .(y',p)+z'\operatorname {Cos} .(z',p).$
Nous ferons disparaître deux termes de cette dernière équation, en posant
$\operatorname {Cos} .(y,p)=0,\ \operatorname {Cos} .(z,p)=0\,;$
alors la droite $p$ sera perpendiculaire au plan des $yz$. Désignant alors par $(x,yz),(x',yz),$ les angles que fait cette droite avec les axes des $x$ et des $x'$, et employant des notations analogues pour les autres angles du même genre, l’équation (19) deviendra
$x\operatorname {Cos} .(x,yz)=x'\operatorname {Cos} .(x',yz)+y'\operatorname {Cos} .(y',yz)+z'\operatorname {Cos} .(z',yz)\,;$
et, comme on pourrait appliquer le même raisonnement à chacun des autres axes, on aura, pour les formules générales de la transformation des coordonnées,
$\left.{\begin{aligned}&x\operatorname {Cos} .(x,yz)=x'\operatorname {Cos} .(x',yz)+y'\operatorname {Cos} .(y',yz)+z'\operatorname {Cos} .(z',yz),\\&y\operatorname {Cos} .(y,zx)=y'\operatorname {Cos} .(y',zx)+z'\operatorname {Cos} .(z',zx)+x'\operatorname {Cos} .(x',zx),\\&z\operatorname {Cos} .(z,xy)=z'\operatorname {Cos} .(z',xy)+x'\operatorname {Cos} .(x',xy)+y'\operatorname {Cos} .(y',xy).\end{aligned}}\right\$
On obtient par les mêmes moyens, les formules réciproques
$\left.{\begin{aligned}&x'\operatorname {Cos} .(x',y'z')=x\operatorname {Cos} .(x,y'z')+y\operatorname {Cos} .(y,y'z')+z\operatorname {Cos} .(z,y'z'),\\&y'\operatorname {Cos} .(y',z'x')=y\operatorname {Cos} .(y,z'x')+z\operatorname {Cos} .(z,z'x')+x\operatorname {Cos} .(x,z'x'),\\&z'\operatorname {Cos} .(z',x'y')=z\operatorname {Cos} .(z,x'y')+x\operatorname {Cos} .(x,x'y')+y\operatorname {Cos} .(y,x'y').\end{aligned}}\right\$
Ces équations sont celles qui résolvent le problème général de la transformation des coordonnées. Les neuf coefficiens qui entrent dans leurs seconds membres sont, en vertu de l’équation (15), liés par trois conditions, de manière que six seulement d’entre eux sont nécessaires et indépendans.
Lorsque les axes primitifs des $x,y,z$ sont rectangulaires, les équations (21) se simplifiant et deviennent
${\begin{aligned}&x=x'\operatorname {Cos} .(x',x)+y'\operatorname {Cos} .(y',x)+z'\operatorname {Cos} .(z',x),\\&y=y'\operatorname {Cos} .(y',y)+z'\operatorname {Cos} .(z',y)+x'\operatorname {Cos} .(x',y),\\&z=z'\operatorname {Cos} .(z',z)+x'\operatorname {Cos} .(x',z)+y'\operatorname {Cos} .(y',z).\end{aligned}}$
et les trois équations de relation dont il vient d’être question ci-dessus
${\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .^{2}(x',x)+\operatorname {Cos} .^{2}(x',y)+\operatorname {Cos} .^{2}(x',z)=1,\\&\operatorname {Cos} .^{2}(y',y)+\operatorname {Cos} .^{2}(y',z)+\operatorname {Cos} .^{2}(y',x)=1,\\&\operatorname {Cos} .^{2}(z',z)+\operatorname {Cos} .^{2}(z',x)+\operatorname {Cos} .^{2}(z',y)=1.\end{aligned}}$
Supposons de nouveau les deux systèmes de coordonnées obliques ; mais admettons que les axes des $x',y',z'$ soient respectivement perpendiculaires aux plans des $yz,zx,xy,$ alors les axes des $x,y,z$ seront, à l’inverse, respectivement perpendiculaires aux plans des $y'z',z'x',x'y',$ en introduisant ces conditions dans les équations (21) et (22), en posant, pour abréger,
${\begin{array}{lll}\operatorname {Cos} .(y,z)=a,&\operatorname {Cos} (zx,xy)=a',&\operatorname {Cos} (x,yz)=A,\\\operatorname {Cos} .(z,x)=b,&\operatorname {Cos} (xy,yz)=b',&\operatorname {Cos} (y,zx)=B,\\\operatorname {Cos} .(x,y)=c,&\operatorname {Cos} (yz,zx)=c',&\operatorname {Cos} (z,xy)=C.\end{array}}$
Ces équations deviendront
$\left.{\begin{aligned}&Ax=x'+c'y'+b'z',\\&By=y'+a'z'+c'x',\\&Cz=z'+b'x'+a'y'\,;\end{aligned}}\right\$
Si l’on résout les équations (24) par rapport à $x,y,z,$ en multipliant respectivement les résultats par $A,B,C,$ et posant, poux abréger,
$k^{2}=1-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2abc,$
on trouvera
${\begin{aligned}&Ax={\frac {1}{k^{2}}}\left\{A^{2}\left(1-a^{2}\right)x'+AB(ab-c)y'+CA(ca-b)z'\right\}\\\\&By={\frac {1}{k^{2}}}\left\{B^{2}\left(1-b^{2}\right)y'+BC(bc-a)z'+AB(ab-c)x'\right\}\\\\&Cz={\frac {1}{k^{2}}}\left\{C^{2}\left(1-c^{2}\right)z'+CA(ca-b)x'+BC(bc-a)y'\right\}\end{aligned}}$
comparant ces dernières équations aux équations (23), on aura, à cause de l’identité qui doit évidemment exister entre leurs seconds membres,
$\left.{\begin{array}{ll}A^{2}\left(1-a^{2}\right)=k^{2},&BC(bc-a)=a'k^{2},\\B^{2}\left(1-b^{2}\right)=k^{2},&CA(ca-b)=b'k^{2},\\C^{2}\left(1-c^{2}\right)=k^{2},&AB(ab-c)=c'k^{2}.\end{array}}\right\$
Il est manifeste que si l’on eût opéré d’abord sur les équations (23) pour comparer ensuite les résultats aux équations (24) ; en posant, pour abréger,
$k^{'2}=1-a^{'2}-b^{'2}-c^{'2}+2a'b'c',$
on aurait eu
$\left.{\begin{array}{ll}A^{2}\left(1-a'^{2}\right)=k'^{2},&\qquad BC(b'c'-a')=ak^{2},\\B^{2}\left(1-b'^{2}\right)=k'^{2},&\qquad CA(c'a'-b')=bk^{2},\\C^{2}\left(1-c'^{2}\right)=k'^{2},&\qquad AB(a'b'-c')=ck^{2}.\end{array}}\right\$
Équations dont le système équivaut évidemment à celui des premières.
Les axes des $x,y,z$ sont les arêtes d’un angle trièdre dont les angles plans sont $(x,y),(y,z),(z,x)\,;$ et dont nous désignerons les angles dièdres respectivement opposés par $\mathrm {X,Y,Z.}$ On peut supposer que les perpendiculaires élevées aux faces de cet angle trièdre, sont tellement dirigées que les angles qu’elles font avec les arêtes opposées n’excèdent pas l’angle droit ; alors les cosinus $A,B,C$ de ces angles sont positifs, et les équations de gauche (25) et (26) donnent
${\begin{array}{ll}A{\sqrt {1-a^{2}}}=k,&\qquad A{\sqrt {1-a'^{2}}}=k',\\B{\sqrt {1-b^{2}}}=k,&\qquad B{\sqrt {1-b'^{2}}}=k',\\C{\sqrt {1-c^{2}}}=k,&\qquad C{\sqrt {1-c'^{2}}}=k'\,;\end{array}}$
d’où, par division
${\frac {k}{k'}}={\frac {\sqrt {1-a^{2}}}{\sqrt {1-a'^{2}}}}={\frac {\sqrt {1-b^{2}}}{\sqrt {1-b'^{2}}}}={\frac {\sqrt {1-c^{2}}}{\sqrt {1-c'^{2}}}}.$
Si l’on compare les produits deux à deux des trois premières, puis des trois dernières, avec les équations de droite (25) et (26), on aura
${\begin{array}{ll}bc-a={\sqrt {1-b^{2}}}.{\sqrt {1-c^{2}}}.a',&\qquad b'c'-a'={\sqrt {1-b'^{2}}}.{\sqrt {1-c'^{2}}}.a,\\ca-b={\sqrt {1-c^{2}}}.{\sqrt {1-a^{2}}}.b',&\qquad c'a'-b'={\sqrt {1-c'^{2}}}.{\sqrt {1-a'^{2}}}.b,\\ab-c={\sqrt {1-a^{2}}}.{\sqrt {1-b^{2}}}.c',&\qquad a'b'-c'={\sqrt {1-a'^{2}}}.{\sqrt {1-b'^{2}}}.c.\end{array}}$
Maintenant, les angles que font entre elles les perpendiculaires aux plans des faces de l’angle trièdre, et dont les cosinus sont $a',b',c',$ peuvent être égaux aux angles dièdres $\mathrm {X,Y,Z}$ ou bien en être les supplémens. La question se décide par l’examen d’un cas particulier. Quand les angles plans $zx,xy$ sont droits, ce qui rend $b$ et $c$ nuls, l’angle $(y,z)$ ne diffère pas de l’angle dièdre $\mathrm {X,}$ et l’on a $a=\operatorname {Cos} .\mathrm {X} \,;$ mais nos formules donnent, en même temps $-a=a',$ donc $a'=-\operatorname {Cos} .\mathrm {X} \,;$ d’où l’on conclut qu’en général $a',b',c'$ sont les cosinus des supplémens des angles dièdres $\mathrm {X,Y,Z.}$ Quant à $\mathrm {A,B,C,}$ ce sont visiblement les sinus des angles que font les arêtes avec les faces opposées, angles que, pour abréger, nous dénoterons simplement par $\mathrm {X',Y',Z'} .$ Désignant en outre, pour abréger, $x,y,z,$ respectivement, les angles $(y,z),(z,x),(x,y)\,;$ les formules ci-dessus deviendront
${\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .\mathrm {X} '=\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} '=\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '=k,\\&\operatorname {Sin} .\mathrm {X} \operatorname {Sin} .\mathrm {X} '=\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} \operatorname {Sin} .\mathrm {Y} '=\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} \operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '=k'\,;\end{aligned}}$
${\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .\mathrm {X} }}={\frac {\operatorname {Sin} .y}{\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} }}={\frac {\operatorname {Sin} .z}{\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} }}={\frac {k}{k'}},$
$\operatorname {Sin} .y\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .\mathrm {X} =\operatorname {Cos} .x-\operatorname {Cos} .y\operatorname {Cos} .z,$
$\operatorname {Sin} .\mathrm {Y} \operatorname {Sin} .\mathrm {Z} \operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .\mathrm {X} +\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} \operatorname {Cos} .\mathrm {Z} ,$
$\operatorname {Sin} .z\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} =\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .z\operatorname {Cos} .x,$
$\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} \operatorname {Sin} .\mathrm {X} \operatorname {Cos} .y=\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} +\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} \operatorname {Cos} .\mathrm {X} ,$
$\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} =\operatorname {Cos} .z-\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y,$
$\operatorname {Sin} .\mathrm {X} \operatorname {Sin} .\mathrm {Y} \operatorname {Cos} .z=\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} +\operatorname {Cos} .\mathrm {X} \operatorname {Cos} .\mathrm {Y} .$
Nous retrouvons donc ainsi l’ensemble des formules de la trigonométrie sphérique.
Le volume $\mathrm {P}$ du parallélipipède construit sur les grandeurs et directions des coordonnées $x,y,z,$ est égal à l’aire de la face qui renferme les coordonnées $x$ et $y$ multipliée par la perpendiculaire abaissée sur le plan de cette face de l’extrémité de l’arête $z$ qui lui est opposée. Or, l’aire de cette face est $xy\operatorname {Sin} .(x,y),$ et la perpendiculaire a pour expression $z\operatorname {Cos} .(z,xy)$ ou $z\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '\,;$ donc
$\mathrm {P} =xyz\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '\,;$
mais nous avons trouvé
$\operatorname {Sin} .(y,z)\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '=k=$
${\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}(x,y)-\operatorname {Cos} .^{2}(y,z)-\operatorname {Cos} .^{2}(z,x)+2\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)}}\,;$
donc finalement
$\mathrm {P} =xyz\times$
${\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}(x,y)-\operatorname {Cos} .^{2}(y,z)-\operatorname {Cos} .^{2}(z,x)+2\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)}}.$