# Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Chapitre 2
## CHAPITRE II. de la manière d’avoir les racines égales et les racines imaginaire des équations.

15. Nous n’avons considéré, dans le Chapitre précédent, que les racines réelles et inégales de l’équation proposée (B) ; supposons maintenant que cette équation ait des racines égales. Dans ce cas, il faudra (n$^o$ 11) que l’équation (D) soit divisible autant de fois par $\upsilon$ qu’il y aura de combinaisons de racines égales deux à deux ; par conséquent, il faudra qu’il y ait dans cette équation (D) autant des derniers termes qui manquent ; ainsi on connaîtra par ce moyen combien de racines égales il y aura dans la proposée.
Mais on peut s’assurer d’avance si l’équation proposée a des racines égales, et même trouver ces racines indépendamment de l’équation (D) ; car puisque, dans le cas des racines égales, on a nécessairement $u=0$ (n$^o$ 8), l’équation (C) du même numéro donnera pour ce cas $\mathrm {Y} =0\,;$ ainsi il faudra que les deux équations en $x,$ $\mathrm {X} =0$ et $\mathrm {Y} =0,$ aient lieu en même temps lorsque $x$ est égal à une quelconque des racines égales de l’équation (B).
On cherchera donc, par les méthodes connues, le plus grand commun diviseur des deux polynômes $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ et, faisant ensuite ce diviseur, égal à zéro, on aura une équation qui ne sera composée que de racines égales de là proposée, mais élevées à une puissance moindre de l’unité.
Soit $\mathrm {R}$ le plus grand commun diviseur de $\mathrm {X}$ et de $\mathrm {Y} ,$ et $\mathrm {X} '$ le quotient de $\mathrm {X}$ divisé par $\mathrm {R} \,;$ il est facile de voir que l’équation $\mathrm {X} '=0$ contiendra toutes les mêmes racines que l’équation proposéé $\mathrm {X} =0,$ avec cette différence que les racines multiples de cette équation seront simples dans l’équation $\mathrm {X} '=0.$ Ainsi l’équation $\mathrm {X} '=0$ sera dans le cas des méthodes précédentes.
On peut encore, si l’on veut, trouver deux équations séparées dont l’une contienne seulement les racines égales de l’équation $\mathrm {X} =0,$ et dont l’autre contienne les racines inégales de la même équation. Pour cela, il n’y aura qu’à chercher de nouveau le plus grand commun diviseur des polynômes $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {Y} \,;$ et nommant ce diviseur $\mathrm {R} ',$ on prendra le quotient de $\mathrm {X} '$ divisé par $\mathrm {R} ',$ lequel étant nommé $\mathrm {X} '',$ on fera ces deux équations $\mathrm {X} ''=0$ et $\mathrm {R} '=0.$
La première contiendra seulement les racines inégales de l’équation $\mathrm {X} =0,$ et la seconde contiendra seulement les racines égales de la même équation, mais chacune une seule fois ; de sorte que les deux équations $\mathrm {X} ''=0$ et $\mathrm {R} '=0$ n’auront que des racines inégales et par conséquent seront susceptibles des méthodes du Chapitre précédent.
16. Connaissant ainsi le nombre des racines réelles, tant inégales qu’égales de l’équation proposée, si ce nombre est moindre que le degré de l’équation, on en conclura que les autres racines sont nécessairement imaginaires.
En général, pour que l’équation (B) ait toutes ses racines réelles, il faut que les valeurs de $u$ soient réelles aussi ; donc il faudra que les valeurs de $u^{2}$ ou de $\upsilon$ soient toutes réelles et positives par conséquent, l’équation (D) du n$^o$ 8 doit avoir toutes ses racines réelles positives ; donc il faudra, par la règle connue, que les signes de cette équation soient alternativement positifs et négatifs ; de sorte que si cette condition n’a pas lieu, ce sera une marque sûre que l’équation (B) a nécessairement des racines imaginaires.
Or on sait que les racines imaginaires vont toujours en nombre pair, et qu’elles peuvent se mettre deux à deux sous cette forme
$\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\quad {\text{et}}\quad \alpha -\beta {\sqrt {-1}},$
$\alpha$ et $\beta$ étant des quantités réelles ; donc on aura
$u=\pm 2\beta {\sqrt {-1}},$
et par conséquent
$\upsilon =-4\beta ^{2}\,;$
d’où l’on voit que l’équation (D) aura nécessairement autant de racines réelles négatives qu’il y aura de couples de racines imaginaires dans l’équation (B).
Donc, si l’on fait $\upsilon =-\scriptstyle {\mathcal {W}},$ ce qui changera l’équation (D) en celle-ci
| (G) | $\scriptstyle {\mathcal {W}}^{n}+a\scriptstyle {\mathcal {W}}^{n-1}+b\scriptstyle {\mathcal {W}}^{n-2}+c\scriptstyle {\mathcal {W}}^{n-3}+\ldots =0,$ |
cette équation aura nécessairement autant de racines réelles positives qu’il y aura de couples de racines imaginaires dans l’équation (B).
17. Il suit de là que, pour avoir la valeur des racines imaginaires de l’équation (B), il n’y a qu’à chercher les racines réelles positives de l’équation (G). En effet, soient $\scriptstyle {\mathcal {W',W'',W'''}},\ldots$ ces racines, on aura d’abord ${\cfrac {\sqrt {\scriptstyle {\mathcal {W}}'}}{2}},{\cfrac {\sqrt {\scriptstyle {\mathcal {W}}''}}{2}},{\cfrac {\sqrt {\scriptstyle {\mathcal {W}}'''}}{2}},\ldots$ pour les valeurs de $\beta \,;$ ensuite, pour trouver les valeurs correspondantes de $\alpha ,$ on substituera, dans l’équation (B), $\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$ à la place de $x,$ et l’on fera deux équations séparées des termes tous réels et de ceux qui seront multipliés par ${\sqrt {-1}}\,;$ de cette manière, on aura deux équations en $\alpha$ de cette forme
| (H) | $\left\{{\begin{aligned}\alpha ^{m}+\mathrm {P} \alpha ^{m-1}+\mathrm {Q} \alpha ^{m-2}+\ldots &=0,\\m\alpha ^{m-1}+p\ \alpha ^{m-2}+q\ \alpha ^{m-3}+\ldots &=0,\end{aligned}}\right.$ |
dans lesquelles les coefficients $\mathrm {P,Q} ,\ldots ,p,q,\ldots$ seront donnés en $a,b,c,\ldots$ et en $\beta .$
Donc, si l’on donne à $\beta$ quelqu’une des valeurs précédentes, il faudra nécessairement que ces deux équations aient lieu en même temps, et, par conséquent, il faudra qu’elles aient un diviseur commun. On cherchera donc leur plus grand commun diviseur, et, le faisant égal à zéro, on aura une équation en $\alpha$ et $\beta ,$ par laquelle, $\beta$ étant connu, on trouvera $\alpha .$
Il est bon de remarquer que, si toutes les valeurs de $p$ tirées de l’équation (G) sont inégales entre elles, alors à chaque valeur de $\beta$ il ne pourra répondre qu’une seule valeur de $\alpha \,;$ donc, dans ce cas, les deux équations (H) ne pourront avoir qu’une seule racine commune, et, par conséquent, leur plus grand commun diviseur ne pourra être que du premier degré.
On poussera donc la division jusqu’à ce que l’on parvienne à un reste où $\alpha$ ne se trouve plus qu’à la première dimension, et l’on fera ensuite ce reste égal à zéro ; ce qui donnera la valeur cherchée de $\alpha .$
Mais si, parmi les valeurs de $\beta$ tirées de l’équation (G), il y en $a,$ par exemple, deux égales entre elles, alors, comme à chacune de ces valeurs égales de $\beta$ il peut répondre des valeurs différentes de $\alpha ,$ il faudra qu’en mettant cette valeur double de $\beta$ dans les équations (H), elles puissent avoir lieu par rapport à l’une et l’autre des valeurs de $\alpha$ qui y répondent ; ainsi ces deux équations auront nécessairement deux racines communes, et, par conséquent, leur plus grand commun diviseur sera du second degré. Il faudra donc, dans ce cas, ne pousser la division que jusqu’à ce qu’on arrive à un reste où $\alpha$ se trouve à la seconde dimension seulement ; et alors on fera ce reste égal à zéro, ce qui donnera une équation du second degré, par laquelle on déterminera les deux valeurs de $\alpha ,$ lesquelles seront nécessairement toutes deux réelles.
De même, s’il y avait trois valeurs égales de $\beta ,$ il faudrait, pour trouver les valeurs de $\alpha$ qui répondraient à cette valeur triple de $\beta ,$ ne pousser la division que jusqu’à ce que l’on parvînt à un reste où la plus haute puissance de $\alpha$ fût la troisième ; et alors, faisant ce reste égal à zéro, on aurait une équation en $\alpha$ du troisième degré, laquelle donnerait les trois valeurs réelles de $\alpha ,$ correspondantes à la même valeur de $\beta ,$ et ainsi de suite.
* ↑ Voir la Note IX.