# L’Encyclopédie/1re édition/POLYGONE

POLYGONE, s. m.en terme de Géométrie ; se dit d’une figure de plusieurs côtés, ou d’une figure dont le contour ou le périmetre a plus que quatre côtés & quatre angles. Ce mot est formé du grec πολὺ, plusieurs, & γωνία, angle.
Si les côtés & les angles en sont égaux, la figure est appellée polygone régulier. Voyez Régulier. Sur les polygones semblables, voyez Semblable.
On distingue les polygones suivant le nombre de leurs côtés ; ceux qui en ont cinq s’appellent pentagones ; les hexagones en ont six, les heptagones sept, les octogones huit, &c. Sur les propriétés particulieres de chaque polygone, consultes les articles Pentagone, Hexagone, &c.
Propriétés générales des polygones. Euclide démontre les propriétés suivantes : 1°. que tout polygone peut être divisé en autant de triangles qu’il a de côtés. Voyez Triangle.
Ce qui se fait en prenant un point comme F (Pl. Géomet. fig. 28.), en quelqu’en droit que ce soit au-dedans du polygone, d’où l’on tire des lignes à chaque angle Fa, Fb, Fc, Fd, &c.
2°. Que les angles d’un polygone quelconque, pris ensemble, font deux fois autant d’angles droits, moins quatre, que la figure a de côtés ; ce qui est aisé à démontrer ; car tous les triangles font deux fois autant d’angles droits que la figure a de côtés ; & il faut retrancher de cette somme les angles au-tour du point F, qui valent quatre angles droits.
Par conséquent si le polygone a cinq côtés, en doublant on a dix, d’où ôtant quatre, il reste six angles droits.
3°. Tout polygone circonscrit à un cercle, est égal à un triangle rectangle, dont un des côtés est le rayon du cercle, & l’autre est le périmetre ou la somme de tous les côtés du polygone.
D’où il suit que tout polygone régulier est égal à un triangle rectangle, dont un des côtés est le périmetre du polygone, & l’autre côté une perpendiculaire tirée du centre sur l’un des côtés du polygone. Voyez Triangle.
Tout polygone circonscrit à un cercle est plus grand que le cercle, & tout polygone inscrit est plus petit que le cercle, par la raison que ce qui contient est toujours plus grand que ce qui est contenu.
Il suit encore que le périmetre de tout polygone circonscrit à un cercle est plus grand que la circonférence de ce cercle, & que le périmetre de tout polygone inscrit à un cercle est plus petit que la circonférence de ce cercle ; d’où il suit qu’un cercle est égal à un triangle rectangle, dont la base est la circonférence du cercle, & la hauteur est le rayon, puisque ce triangle est plus petit qu’un polygone quelconque circonscrit, & plus grand qu’un inscrit.
C’est pourquoi il n’est besoin pour la quadrature du cercle que de trouver une ligne égale à la circonférence d’un cercle. Voyez Cercle, Quadrature,
Pour trouver l’aire d’un polygone régulier, multipliez un côté du polygone comme AB, par la moitié du nombre des côtés, par exemple le côté d’un hexagone par 3, multipliez encore le produit par une perpendiculaire abaissée du centre du cercle circonscrit sur le côté AB, le produit est l’aire que l’on demande. Voyez Aire.
Ainsi supposons AB = 54, & la moitié du nombre des côtés $\scriptstyle =2{\frac {1}{2}}$, le produit ou le demi-périmetre = 135 ; supposant alors que la perpendiculaire soit 29, le produit 3915 de ces deux nombres est l’aire du pentagone cherché.
Pour trouver l’aire d’un polygone irrégulier ou d’un trapèse, résolvez-le en triangle ; déterminez les différentes aires de ces différens triangles (voyez Triangle), la somme de ces aires est l’aire du polygone proposé. Voyez Trapese.
Pour trouver la somme de tous les angles d’un polygone quelconque, multipliez le nombre des côtés par 180$^d$ ; ôtez de ce produit le nombre 360, le reste est la somme cherchée.
Ainsi dans un pentagone, 180 multipliés par 5, donne 900 ; d’où soustrayant 360, il reste 540, qui est la somme des angles d’un pentagone ; d’où il suit que si l’on divise la somme trouvée par le nombre des côtés, le quotient sera l’angle d’un polygone régulier.
On trouve la somme des angles d’une maniere plus expéditive, comme il suit : multipliez 180 par un nombre plus petit de deux que le nombre des côtés du polygone, le produit est la quantité des angles cherchés : ainsi 180 multipliés par 3, qui est un nombre plus petit de deux que le nombre des côtés, donne le produit 540 pour la quantité des angles, ainsi que ci-dessus.
La table suivante représente la somme des angles de toutes les figures rectilignes, depuis le triangle jusqu’au dodécagone ; & elle est utile tant pour la description des figures régulieres que pour vérifier si l’on a trouvé exactement ou non la quantité des angles que l’on a pris avec un instrument.
| Nombre des côtés. | Somme des angles. | Angle des fig. rég. | Nombre des côtés. | Somme des angles. | Angle des fig. rég. |
| III. | 180°. | 60. | VIII. | 1080°. | 135. |
| IV. | 360. | 90. | IX. | 1260. | 140. |
| V. | 540. | 108. | X. | 1440. | 144. |
| VI. | 720. | 120. | XI. | 1620. | 147 $\scriptstyle {\frac {3}{11}}$. |
| VII. | 900. | 128 $\scriptstyle {\frac {4}{7}}$. | XII. | 1800. | 150. |
Pour inscrire un polygone régulier dans un cercle, divisez 360 par le nombre des côtés du polygone proposé, afin d’avoir la quantité de l’angle EFD, prenez cet angle EFD au centre, & portez-en la corde ED sur la circonférence autant de fois qu’elle pourra y aller ; de cette maniere on aura le polygone inscrit au cercle.
Quoique la résolution de ce problème soit méchanique, on ne doit pas la mépriser à cause qu’elle est aisée & générale. Euclide à la vérité nous donne la construction du pentagone, du décagone, & du pentadécagone ; & d’autres auteurs donnent celles de l’eptagone, de l’ennéagone, de l’endécagone ; mais ces dernieres constructions s’éloignent trop de la rigueur géométrique ; & celles d’Euclide, qui sont fondées sur la description du pentagone, sont moins commodes qu’une description méchanique faite avec un bon rapporteur. Voyez Rapporteur.
Pour circonscrire un cercle à un polygone régulier, ou pour circonscrire un polygone régulier à un cercle, coupez deux des angles du polygone donné, comme A & E, en deux également, par les lignes droites AF & EF, qui concourent en F ; & du point de concours avec le rayon EF, décrivez un cercle.
Pour circonscrire un polygone à un cercle, divisez 360 par le nombre des côtés requis, afin d’avoir l’angle CF ; formez cet angle au centre F, & tirez la ligne eg qui se divise en deux également, tirez ensuite la tangente ega, & sur cette ligne construisez un polygone, ainsi qu’on l’enseigne dans le problème suivant.
Sur une ligne donnée ED construire un polygone régulier quelconque donné. Cherchez dans la table l’angle de ce polygone, & construisez-en un angle qui lui soit égal, en traçant EA = ED. Par les trois points A, E, D, décrivez un cercle (voyez Cercle), appliquez-y la ligne droite donnée autant de fois qu’elle pourra y aller ; par ce moyen on aura décrit la figure requise.
Pour inscrire ou circonscrire trigonométriquement un polygone régulier, trouvez le sinus de l’arc, qui vient en divisant la demi-circonférence 180 par le nombre des côtés du polygone ; le double de ce sinus est la corde de l’arc double, & par conséquent le côté AE qui doit être inscrit au cercle : donc si le rayon d’un cercle, dans lequel on doit inscrire un pentagone, par exemple, est donné en une certaine mesure, comme 345, on trouvera le côté du pentagone en même mesure par la regle de trois, en faisant, comme le rayon 1000 est à 1176, ainsi 3450 est à 4057, qui est le côté du pentagone ; c’est pourquoi avec le rayon donné, décrivez un cercle, & portez sur la circonférence de ce cercle le côté du polygone autant de fois que vous le pourrez ; vous aurez de cette maniere un polygone inscrit au cercle.
Afin d’éviter l’embarras de trouver par les tables des sinus le rapport d’un côté du polygone à son rayon, nous ajouterons une table qui exprime les côtés des polygones en parties, dont le rayon en contient 100000000. Dans la pratique on retranche autant de figures de la droite que l’on en juge de superflues par les circonstances du cas proposé.
| Nombre des côtés. | Quantité du côté. | Nombre des côtés. | Quantité du côté. |
| III. | 17320508. | VIII. | 7653668. |
| IV. | 14142135. | IX. | 6840402. |
| V. | 11755705. | X. | 6180339. |
| VI. | 10000000. | XI. | 5634651. |
| VII. | 8677674. | XII. | 5176380. |
Pour décrire trigonométriquement un polygone régulier sur une ligne droite donnée, & pour circonscrire un cercle autour d’un polygone donné, en prenant dans la table le rapport du côté au rayon, déterminez le rayon sur la même échelle que le côté donné ; or ayant un côté & le rayon, on peut décrire un polygone par le dernier problème ; donc si avec l’intervalle du rayon & des extrémités de la ligne donnée, on trace deux arcs qui se coupent, le point d’intersection sera le centre du cercle circonscrit.
Ligne des polygones ; c’est une ligne sur le compas de proportion, qui contient les côtés des neuf premiers polygones réguliers inscrits au même cercle, c’est-à-dire depuis le triangle équilatéral jusqu’au dodécagone. Voyez Compas de proportion.
Nombre polygone en Algebre, c’est la somme d’une rangée de nombres en proportion arithmétique, qui commencent depuis l’unité. On les appelle ainsi, à cause que les unités dont ils sont composés, peuvent être disposées de maniere à former une figure de plusieurs côtés & de plusieurs angles égaux. Voyez l’article Figuré où cela est expliqué.
On divise les nombres polygones eu égard au nombre de leurs termes, en triangulaires, dont la différence des termes est 1 ; en quadrangulaires ou quarrés, dont la différence est 2 ; en pentagone, où la différence est 3 ; en hexagone, où elle est 4 ; en heptagone, où elle est 5 ; en octogone, où elle est 6, &c.
Les exemples suivans peuvent faire concevoir la génération de plusieurs especes de nombres polygones formés par plusieurs progressions arithmétiques.
| Progress. arithmét. | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7, | 8. |
| Nombres triangul. | 1, | 3, | 6, | 10, | 15, | 21, | 28, | 36. |
| Progress. arithmét. | 1, | 3, | 5, | 7, | 9, | 11, | 13, | 15. |
| Nombres quarrés, | 1, | 4, | 9, | 16, | 25, | 36, | 49, | 64. |
| Progress. arithmét. | 1, | 4, | 7, | 10, | 13, | 16, | 19, | 22. |
| Nombres pentagon. | 1, | 5, | 12, | 22, | 35, | 51, | 70, | 92. |
| Progress. arithmét. | 1, | 5, | 9, | 13, | 17, | 21, | 25, | 29. |
| Nombres exagon. | 1, | 6, | 15, | 28, | 45, | 66, | 91, | 120. |
Le côté d’un nombre polygone est le nombre de termes de la progression arithmétique qui le compose ; & le nombre des angles est ce qui fait connoître combien cette figure a d’angles, & c’est de-là que le nombre polygone a pris son nom.
C’est pour quoi il y a trois angles dans les nombres triangulaires, quatre dans les tétragones ou les quadrangulaires, cinq dans les pentagonaux, &c. par conséquent le nombre des angles surpasse de deux la différence commune des termes.
Pour trouver un nombre polygone, le côté & le nombre de ses angles étant donné, voici la regle. Le nombre polygone est la demi-différence des produits du quarré du côté par le nombre des angles, moins deux unités ; & du même côté par le nombre des angles, moins quatre unités.
En effet un terme quelconque d’une des progressions arithmétiques ci-dessus, est évidemment $\scriptstyle 1+(n-1)(m-2)$ en nommant n le nombre des termes, & m l’exposant du nombre polygone (voyez Progression) ; de plus la somme de tant de termes qu’on voudroit de cette progression est égale à la somme des deux termes extrèmes multipliés par la moitié du nombre des termes, c’est-à-dire à $\scriptstyle {\frac {n}{2}}$ ; donc la somme cherchée, ou le nombre polygone est $\scriptstyle ={\frac {n}{2}}(2+{\overline {n-1}}\cdot {\overline {m-2}})={\frac {nn(m-2)-n(m-4)}{2}}$ ; ce qui revient à l’énoncé de la regle.
Les sommes des nombres polygones rassemblées de la même maniere que les nombres polygones eux-mêmes, pris des progressions arithmétiques, sont appellées nombres pyramidaux. Voyez Pyramidal & Figuré. (O)
Polygone extérieur, se dit dans la fortification du polygone, dans lequel la fortification est enfermée, & dont le sommet des angles de la circonférence du polygone est aussi celui des angles flanqués des bastions, ou c’est celui qui est formé par les côtés intérieurs. Voyez Côté extérieur.
Polygone intérieur, c’est aussi dans la fortification le polygone formé par les côtés intérieurs, ou celui sur les côtés duquel sont formées les courtines. (Q)