# L’Encyclopédie/1re édition/SPHÉRIQUE

SPHÉRIQUE, adj. (Géom. & Astronomie.) se dit en général de tout ce qui a rapport à la sphere, ou qui lui appartient. Un angle sphérique est l’inclinaison mutuelle de deux plans qui coupent une sphere. Voyez Plan & Angle.
Ainsi l’inclinaison des deux plans CAF & CEF, Pl. de Trigonométrie, fig. 21. forme l’angle sphérique ACE. Voyez Sphere.
La mesure d’un angle sphérique ACE est un arc de grand cercle AE, décrit du sommet C, comme pole, & compris entre les côtés CA & CE.
D’où il s’ensuit que puisque l’inclinaison du plan CEF au plan CAF est par-tout la même, les angles qui sont aux intersections opposées C & F sont égaux.
Si un cercle de la sphere AEBF coupe un autre cercle C E D F, fig. 19. les angles adjacens AEC & AED sont égaux à deux droits ; & les angles opposés AEC & DEB sont égaux entr’eux. Ainsi tous les angles sphériques comme AEC, AED, DEB, BEC, &c. faits autour du même point E, sont égaux pris ensemble à quatre angles droits.
Un triangle sphérique est un triangle compris entre trois arcs de grands cercles d’une sphere qui se coupent l’un l’autre. Voyez Triangle.
Propriétés des triangles sphériques. 1°. Si dans deux triangles sphériques, Pl. de Trigonomét. fig. 10. & 11. A B C & abc, l’angle A = a, BA = ba, & CA = ca ; les angles Bb, & les côtés qui renferment les angles, seront respectivement égaux ; & par conséquent les triangles entiers seront égaux ; c’est-à-dire BC = bc, B = b, & C = c.
De plus, si dans deux triangles sphériques A = a ; C = c, & AC = ac, alors B = b, AB = ab, & bc = BC. Enfin si dans deux triangles sphériques AB = ab, AC = ac, & BC = bc ; donc A sera égal = a, B = b & C = c : les démonstrations de ces propriétés sont les mêmes que celles des propriétés semblables qui se rencontrent dans les triangles plans ; car les propositions sur l’égalité des triangles rectilignes s’étendent à tous les autres, &c. pourvu que leurs côtés soient semblables. Voyez Triangle sphérique isocele.
2$^o$. Dans un triangle ABC, fig. 11. les angles à la base B & C sont égaux ; & si dans un triangle spherique les angles B & C à la base BC sont égaux, le triangle est isoscele.
3$^o$. Dans tout triangle sphérique chaque côté est moindre qu’un demi-cercle ; deux côtés quelconques pris ensemble sont plus grands que le troisieme ; tous les trois côtés pris ensemble sont moindres que la circonférence d’un grand cercle, le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle, & le moindre côté au moindre angle.
4$^o$. Si dans un triangle sphérique B A C, fig. 13. deux côtés AB & BC pris ensemble sont égaux à un demi-cercle, la base AC étant continuée en D, l’angle externe BCD sera égal à l’angle interne opposé BAC.
Si deux côtés pris ensemble sont moindres ou plus grands qu’un demi-cercle, l’angle externe BCD sera moindre ou plus grand que l’angle interne opposé A, & la converse de toutes ces propositions est vraie ; savoir, si l’angle BCD est égal ou plus grand, ou moindre que A, les côtés AB & BC sont égaux, ou plus grands, ou moindres qu’un demi-cercle.
5$^o$. Si dans un triangle sphérique A B C, fig. 12. deux côtés AB & BC sont égaux à un demi-cercle, les angles à la base A & C sont égaux à deux angles droits ; si les côtés sont plus grands qu’un demi-cercle, les angles sont plus grands que deux droits ; & si les côtés sont moindres, les angles sont moindres, & réciproquement.
6$^o$. Dans tout triangle sphérique chaque angle est moindre que deux droits ; & les trois ensemble sont moindres que six angles droits, & plus grands que deux.
7$^o$. Si dans un triangle sphérique B A C, les côtés AB & BC sont des quarts de cercle, les angles à la base B & C seront des angles droits ; si l’angle A compris entre les côtés AB & AC est un angle droit, BC sera un quart de cercle ; si A est un angle obtus, BC sera plus grand qu’un quart de cercle ; & s’il est aigu, BC sera moindre, & réciproquement.
8$^o$. Si dans un triangle sphérique rectangle, le côté B C, fig 14. adjacent à l’angle droit B, est un quart de cercle, l’angle A sera un angle droit ; si BE est plus grand qu’un quart de cercle, l’angle A sera obtus ; & si BD est moindre qu’un quart de cercle, l’angle A sera aigu, & réciproquement.
9$^o$. Si dans un triangle spherique rectangle chaque côté est plus grand ou plus petit qu’un quart de cercle, l’hypothénuse sera moindre qu’un quart de cercle, & réciproquement.
10$^o$. Si dans un triangle sphérique ABC, fig. 15. rectangle seulement en B, un côté CB est plus grand qu’un quart de cercle, & l’autre côté AB moindre, l’hypothénuse AB sera plus grande qu’un quart de cercle, & réciproquement.
11$^o$. Si dans un triangle sphérique obliquangle A B C, fig. 16. les deux angles à la base A & B, sont obtus ou aigus, la perpendiculaire CD qu’on laissera tomber du troisieme angle C sur le côté opposé AB, tombera dans le triangle ; si l’un d’eux A est obtus, & l’autre B aigu, la perpendiculaire tombera hors du triangle.
12$^o$. Si dans un triangle sphérique ABC tous les angles A, B, & C sont aigus, les côtés sont chacun moindres qu’un quart de cercle. Ainsi, si dans un triangle sphérique obliquangle un côté est plus grand qu’un quart de cercle, il y a un angle obtus, savoir celui qui est opposé à ce côté.
13$^o$. Si dans un triangle sphérique ACB, deux angles A & B sont obtus, & le troisieme C aigu, les côtés AC & CB opposés aux côtés obtus sont plus grands qu’un quart de cercle ; ainsi si les deux côtés sont moindres qu’un quart de cercle, les deux angles sont aigus.
14$^o$. Si dans un triangle sphérique tous les côtés sont plus grands qu’un quart de cercle, ou-bien s’il y en a deux plus grands, & un qui soit égal à un quart de cercle, tous les angles sont obtus.
15$^o$. Si dans un triangle sphérique obliquangle deux côtés sont moindres qu’un quart de cercle, & le troisieme plus grand, l’angle opposé au plus grand sera obtus & les autres aigus. Wolf & Chambers.
Sur la résolution des triangles sphériques, voyez Triangle.
Les propriétés des triangles sphériques sont démontrées avec beaucoup d’élégance & de simplicité dans un petit traité qui est imprimé à la fin de l’introductio ad veram Astronomiam, de M. Keill. M. Deparcieux, de l’académie royale des Sciences de Paris & de celle de Berlin, a donné au public en 1741, un traité de Trigonométrie sphérique, in-4°. imprimé à Paris chez Guérin ; l’auteur démontre dans cet ouvrage les propriétés des triangles sphériques, en regardant leurs angles comme les angles formés par les plans qui se coupent au centre de la sphere, & les côtés des triangles sphériques comme les angles que forment entr’elles les lignes tirées du centre de la sphere aux extrémités du triangle ; c’est-à-dire qu’il substitue aux triangles sphériques des pyramides qui ont leur sommet au centre de la sphere. L’académie royale des Sciences ayant fait examiner cet ouvrage par des commissaires qu’elle nomma à cet effet, a jugé que quoique l’idée de M. Déparcieux ne soit pas absolument nouvelle, & qu’elle l’ait obligé de charger quelques-unes de ses démonstrations d’un assez grand détail, elle lui avoit donné moyen d’en éclaircir & d’en simplifier un plus grand nombre d’autres, & que cet ouvrage ne pouvoit manquer d’être fort utile. (O)
L’astronomie sphérique est la partie de l’Astronomie qui considere l’univers dans l’état où l’œil l’apperçoit. Voyez Astronomie.
L’astronomie sphérique comprend tous les phénomenes & les apparences des cieux & des corps célestes, telles que nous les appercevons, sans en chercher les raisons & la théorie. En quoi elle est distinguée d’avec l’astronomie théorique, qui considere la structure réelle de l’univers, & les causes de ses phénomenes.
Dans l’astronomie sphérique on conçoit le monde comme une surface sphérique concave, au centre de laquelle est la terre, autour de laquelle le monde visible tourne avec les étoiles & les planetes, qui sont regardées comme attachées à sa circonférence ; & c’est sur cette supposition qu’on détermine tous les autres phénomenes.
L’astronomie théorique nous apprend par les lois de l’optique, &c. à corriger ces apparences, & à réduire le tout à un système plus exact.
Compas sphérique, voyez Compas.
Géométrie sphérique est la doctrine de la sphere & particulierement des cercles qui sont décrits sur sa surface, avec la méthode de les tracer sur un plan, & d’en mesurer les arcs & les angles quand on les a tracés.
La Trigonométrie sphérique est l’art de résoudre les triangles sphériques, c’est-à-dire, trois choses étant données dans un triangle sphérique, trouver tout le reste : par exemple, deux côtés & un angle étant donnés, trouver les deux autres angles, & le troisieme côté. Voyez Triangle & Trigonométrie. Chambers.
Sphériques, (Géom.) c’est proprement la doctrine des propriétés de la sphere, considérée comme un corps géométrique, & particulierement des différens cercles qui sont décrits sur sa surface. Voyez Sphere.
C’est sur cette matiere que le mathématicien Théodose a écrit les livres qui nous restent encore de lui, & qu’on appelle les sphériques de Théodose.
Voici les principales propositions, ou les principaux théoremes des sphériques.
1°. Si on coupe une sphere de quelque maniere que ce soit, le plan de la section sera un cercle dont le centre est dans un diametre de la sphere.
D’où il suit, 1°. que le diametre HI (Planche de Trigonom. fig. 17.) d’un cercle qui passe par le centre C, est égal au diametre AB du cercle générateur de la sphere, & le diametre d’un cercle, comme FE, qui ne passe pas par le centre, est égal à quelque corde du cercle générateur.
2°. Que comme le diametre est la plus grande de toutes les cordes, un cercle qui passe par le centre est un grand cercle de la sphere, & tous les autres sont plus petits.
3°. Que tous les grands cercles de la sphere sont égaux les uns aux autres.
4°. Que si un grand cercle de la sphere passe par quelque point donné de la sphere, comme A ; il doit passer aussi par le point diamétralement opposé, comme B.
5°. Que si deux grands cercles se coupent mutuellement l’un l’autre, la ligne de section est un diametre de la sphere ; & que par conséquent deux grands cercles se coupent l’un l’autre dans des points diamétralement opposés.
6°. Qu’un grand cercle de la sphere la divise en deux parties, ou hémispheres égaux.
2°. Tous les grands cercles de la sphere se coupent l’un l’autre en deux parties égales & réciproquement tous les cercles qui se coupent en deux parties égales, sont de grands cercles de la sphere.
3°. Un arc d’un grand cercle de la sphere compris entre un autre arc, HIL (fig. 18.) & ses poles A & B, est un quart de cercle.
Celui qui est compris entre un moindre cercle DEF, & un de ses poles A, est plus grand qu’un quart de cercle ; & celui qui est compris entre le même, & l’autre pole B, est plus petit qu’un quart de cercle.
4°. Si un grand cercle d’une sphere passe par les poles d’un autre, cet autre passe par les poles de celui-ci ; & si un grand cercle passe par les poles d’un autre, ils se coupent l’un l’autre à angles droits, & réciproquement.
5°. Si un grand cercle AFBD passe par les poles A & B d’un plus petit cercle DEF, il le divise en parties égales, & le coupe à angles droits.
6°. Si deux grands cercles AEBF, & CEDF, (fig. 19.) se coupent l’un l’autre aux poles E & F, d’un autre grand cercle ACBD, cet autre passera par les poles H & h, I & i des cercles AEBF, & CEDF.
7°. Si deux grands cercles AEBF, & CEDF, en coupent chacun un autre mutuellement, l’angle d’obliquité AEE sera égal à la distance des poles HI.
8°. Tous cercles de la sphere, comme GE, & LK, (fig. 20.) également distans de son centre C, sont égaux : & plus ils sont éloignés du centre, plus ils sont petits ; ainsi, comme de toutes les cordes paralleles il n’y en a que deux qui soient également éloignées du centre, de tous les cercles paralleles au même grand cercle, il n’y en a que deux qui soient égaux.
9°. Si les arcs EH & KH, GI & IL, compris entre un grand cercle IHM, & les cercles plus petits GNE, & LOK sont égaux, les cercles sont égaux.
10°. Si les arcs EH & GI, du même grand cercle AIBH, compris entre deux cercles GNE, & IMH, sont égaux, les cercles sont paralleles.
11°. Un arc d’un cercle parallele IG, (fig. 21.) est semblable à un arc d’un grand cercle AE, si chacun d’eux est compris entre les mêmes grands cercles CAF, & CEF.
Ainsi, les arcs AE & IG, ont la même raison à leur circonférence ; & par conséquent contiennent le même nombre de degrés ; & l’arc IG, est plus petit que l’arc AE.
12°. L’arc d’un grand cercle est la ligne la plus courte qu’on puisse tirer d’un point de la surface d’une sphere à un autre point de la même surface.
De-là il s’ensuit que la vraie distance de deux lieux sur la surface de la terre, est un arc d’un grand cercle compris entre ces lieux. Voyez Navigation & Carte. Wolf & Chambers. (E)