# Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Note 11
### NOTE XI. SUR LES FORMULES D’APPROXIMATION POUR LES RACINES DES ÉQUATIONS.

Nous avons vu dans la Note V que la méthode de Newton consiste à substituer successivement dans une même fonction les résultats des substitutions précédentes ; ainsi l’on peut réduire en formule le résultat général de ces substitutions.
1. Soient
$\operatorname {F} (x)=0$
l’équation proposée, et $a$ la première valeur approchée d’une des racines de cette équation. Suivant la méthode dont il s’agit, on substitue $a+p$ à la place de $x,$ et l’on rejette dans le développement tous les termes où $p$ monte au-dessus de la première dimension.
Par le développement connu des fonctions, l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ devient
$\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots =0,$
et se réduit d’abord à
$\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)=0,$
d’où l’on tire
$p=-{\frac {\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} '(a)}}.$
Ainsi, $a$ étant une première approximation, si l’on fait $b=-{\frac {\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} '(a)}},$ on aura $a+b$ pour seconde approximation, et celle-ci donnera de la même manière, en faisant $c=-{\frac {\operatorname {F} (a+b)}{\operatorname {F} '(a+b)}},$ la troisième approximation
a+b+c, et ainsi de suite ; de sorte que la valeur de $x$ sera exprimée la série
$a+b+c+d+\ldots .$
Or je remarque que, si $b$ est une quantité très-petite, la valeur de $\operatorname {F} (a+b)$ sera très-petite de l’ordre de $b^{2}\,;$ car le développement de $\operatorname {F} (a+b)$ donne
$\operatorname {F} (a)+b\operatorname {F} '(a)+{\frac {b^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots \,;$
mais $b=-{\frac {\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} '(a)}}\,;$ donc
$\operatorname {F} (a+b)={\frac {b^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots ,$
donc, puisque $c=-{\frac {\operatorname {F} (a+b)}{\operatorname {F} '(a+b)}},$ la valeur de $c$ sera aussi du même ordre $b^{2}.$ De même, la valeur de $\operatorname {F} (a+b+c)$ sera de l’ordre de $c^{2},$ et par conséquent de l’ordre de $b^{4}\,;$ car
$\operatorname {F} (a+b+c)=\operatorname {F} (a+b)+c\operatorname {F} '(a+b)+{\frac {c^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a+b)+\ldots \,;$
mais $c=-{\frac {\operatorname {F} (a+b)}{\operatorname {F} '(a+b)}}\,:$ donc
$\operatorname {F} (a+b+c)={\frac {c^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a+b)+\ldots \,;$
donc, puisque $d=-{\frac {\operatorname {F} (a+b+c)}{\operatorname {F} '(a+b+c)}},$ la valeur de $d$ sera aussi de l’ordre de $b^{4},$ et ainsi de suite. D’où il s’ensuit que, si $\operatorname {F} (a)$ est une quantité très-petite, les erreurs des approximations
$a+b,\quad a+b+c,\quad a+b+c+d,\quad \ldots$
seront respectivement de l’ordre des puissances $2,4,8,\ldots$ de $\operatorname {F} (a)$.
Ce procédé est assez commode pour le calcul arithmétique ; mais, si l’on voulait avoir une formule ordonnée suivant les puissances de $\operatorname {F} (a),$ il faudrait développer successivement toutes les fonctions, et l’on trouverait la série
$a-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}}\operatorname {F} (a)-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2\operatorname {F} '^{3}(a)}}\operatorname {F} ^{2}(a)+{\frac {\operatorname {F} '(a)\operatorname {F} '''(a)-3\operatorname {F} ''^{2}(a)}{2.3\operatorname {F} '^{5}(a)}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots .$
2. On pourrait parvenir plus simplement à cette formule, en tirant la valeur de $p$ de l’équation
$\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots \,;$
on aurait d’abord
$p=-{\frac {\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} '(a)}}-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}}\left[{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots \right],$
et l’on substituerait successivement les premières valeurs de $p$ dans les termes qui contiennent $p^{2},p^{3},\ldots \,;$ ou bien on supposerait tout de suite
$p=\mathrm {A} \operatorname {F} (a)+\mathrm {B} \operatorname {F} ^{2}(a)+\mathrm {C} \operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots \,;$
et, égalant à zéro les termes affectés des mêmes puissances de $\operatorname {F} (a),$ ce qui donnera les équations nécessaires pour la détermination des coefficients indéterminés $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ on aurait
${\begin{aligned}&\mathrm {A} \operatorname {F} '(a)+1=0,\\&\mathrm {B} \operatorname {F} '(a)+{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)=0,\\&\mathrm {C} \operatorname {F} '(a)+\mathrm {AB} \operatorname {F} ''(a)+{\frac {\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
d’où l’on tire
${\begin{aligned}\mathrm {A} =&-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}},\\\mathrm {B} =&-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2\operatorname {F} '^{3}(a)}},\\\mathrm {C} =&-{\frac {\operatorname {F} ''^{2}(a)}{2\operatorname {F} '^{5}(a)}}+{\frac {\operatorname {F} '''(a)}{2.3\operatorname {F} '^{4}(a)}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et la série
$a+\mathrm {A} \operatorname {F} (a)+\mathrm {B} \operatorname {F} ^{2}(a)+\mathrm {C} \operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots$
sera la même que celle qu’on a trouvée ci-dessus ; ce qui prouve la correspondance des deux méthodes.
3. Mais on peut arriver à ce même résultat par\nue autre méthode plus directe et plus analytique.
La question consiste à tirer de l’équation
$\operatorname {F} (a+p)=0$
la valeur de $p$ en série. Je puis regarder la quantité $a$ comme une fonction d’une autre quantité $\alpha$ et supposer que $a$ devienne $a+p$ lorsque $\alpha$ deviendra $\alpha +i.$ Ainsi, comme $a$ devient en général
$a+ia'+{\frac {i^{2}}{2}}a''+{\frac {i^{3}}{2.3}}a'''+\ldots$
lorsque $\alpha$ deviendra $\alpha +i,$ on aura
$p=ia'+{\frac {i^{2}}{2}}a''+{\frac {i^{3}}{2.3}}a'''+\ldots \,;$
comme la quantité $\alpha$ est indétermipée, je puis la supposer telle que l’on ait $\operatorname {F} (a)=\alpha \,;$ alors $\operatorname {F} (a+p)$ deviendra $\alpha +i,$ et l’équation $\operatorname {F} (a+p)=0$ sera $\alpha +i=0,$ laquelle donne sur-le-champ
$i=-\alpha =-\operatorname {F} (a)\,;$
de sorte qu’on aura
$p=-a'\operatorname {F} (a)+{\frac {a''}{2}}\operatorname {F} ^{2}(a)-{\frac {a'''}{2.3}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,$
et il n’y aura plus qu’à trouver les valeurs de $a',a'',a''',\ldots .$
Ces valeurs sont les fonctions dérivées de $a,$ considérée comme fonction de $\alpha \,;$ or on a pour la détermination de $\alpha$ en $a$ l’équation $\operatorname {F} (a)=\alpha \,;$ donc, si l’on prend les fonctions dérivées relativement à $\alpha ,$ en regardant $a$ comme la fonction de $\alpha ,$ et qu’on désigne, comme on l’a fait plus haut, par $\operatorname {F} '(a),\ \operatorname {F} ''(a),$$\operatorname {F} '''(a),\ldots$ les fonctions dérivées de $\operatorname {F} (a)$ par rapport à $a,$ les fonctions dérivées de $\operatorname {F} (a),\operatorname {F} '(a),\ldots$ relativement à $\alpha$ seront $a'\operatorname {F} '(a),\ a'\operatorname {F} ''(a),\ldots ,$ et l’équation $\operatorname {F} (a)=\alpha$ donnera d’abord $a'\operatorname {F} '(a)=1,$ d’où l’on tire
$a'={\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}},$
$a',$
${\begin{aligned}a''\ =&-{\frac {a'\operatorname {F} ''(a)}{\operatorname {F} '^{2}(a)}}=-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{\operatorname {F} '^{3}(a)}},\\a'''=&-{\frac {a'\operatorname {F} '''(a)}{\operatorname {F} '^{3}(a)}}+{\frac {3a'\operatorname {F} ''^{2}(a)}{\operatorname {F} '^{4}(a)}}=-{\frac {\operatorname {F} '''(a)}{\operatorname {F} '^{4}(a)}}+{\frac {3\operatorname {F} ''^{2}(a)}{\operatorname {F} '^{5}(a)}},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
On peut trouver ainsi successivement les valeurs de $a',a'',a''',\ldots$ par lesquelles on pourra continuer aussi loin qu’on voudra la série
$a-a'\operatorname {F} (a)+{\frac {a''}{2}}\operatorname {F} ^{2}(a)-{\frac {a'''}{2.3}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,$
qui exprime la valeur de $x$ dans l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ et l’on aura la même série qu’on a trouvée ci-dessus.
Cette formule revient à celle qu’Euler a donnée dans la seconde Partie du Calcul différentiel (Chap. IX, art. 234). On voit par un Mémoire de Courtivron imprimé dans le Volume de l’Académie des Sciences pour l’année 1744, qu’Euler l’avait déjà trouvée à cette époque, et on peut la compter au nombre des découvertes dont il a enrichi l’Analyse. Par la manière dont nous venons de la présenter, elle est une suite naturelle de la théorie du développement des fonctions.
4. Nous allons maintenant rapprocher les résultats précédents de ceux qu’on peut tirer des séries récurrentes. Suivant la méthode exposée dans la Note VI, pour avoir la valeur de la racine $p$ de l’équation
$\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots =0,$
il faudrait développer la fraction
${\frac {\operatorname {F} '(a)+p\operatorname {F} ''(a)+{\cfrac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots }{\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\cfrac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots }}$
$p\,;$
$\mathrm {T} p^{\mu }$
$\mathrm {V} p^{\mu +1}$
$\mathrm {\frac {T}{V}}$
$p,$
Dans la méthode ordinaire, les termes d’une série récurrente se forment les uns d’après les autres ; mais cette manière, qui est très-commode pour le calcul-arithmétique, n’est pas propre à donner le terme général en fonction des coefficients de l’équation, et il faut pour cela employer d’autres moyens.
5. Pour donner à cette recherche toute la généralité dont elle est susceptible, je vais considérer la fonction fractionnaire
${\frac {\varphi (x)}{u-x+f(x)}},$
dans laquelle je suppose que $f(x)$ et $\varphi (x)$ sont des fonctions de $x$ telles que
${\begin{aligned}f(x)=&\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,\\\varphi (x)=&\mathrm {P} +\mathrm {Q} x+\mathrm {R} x^{2}+\mathrm {S} x^{3}+\ldots .\end{aligned}}$
Je représente par
$(0)+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots$
la série résultante du développement de cette fonction suivant les puissances de $x,$ et je me propose de trouver l’expression du coefficient (n) de la puissance $x^{n}.$
Je commence par développer la fonction suivant les puissances de $f(x)\,;$ j’ai la série
${\frac {\varphi (x)}{u-x}}-{\frac {\varphi (x)f(x)}{(u-x)^{2}}}+{\frac {\varphi (x)f^{2}(x)}{(u-x)^{3}}}+\ldots .$
Je considère chacune de ces fractions en particulier, et je cherche les termes multipliés par $x^{n}$ qui peuvent résulter de leur développement.
La fraction ${\frac {1}{u-x}}$ donne la série connue
${\frac {1}{u}}+{\frac {x}{u^{2}}}+{\frac {x^{2}}{u^{3}}}+{\frac {x^{3}}{u^{4}}}+\ldots ,$
$\varphi (x),$
$x^{n}$
$\left({\frac {\mathrm {P} }{u^{n+1}}}+{\frac {\mathrm {Q} }{u^{n}}}+{\frac {\mathrm {R} }{u^{n-1}}}+{\frac {\mathrm {S} }{u^{n-2}}}+\ldots \right)x^{n},$
où il faut remarquer, que, comme les puissances de $u$ dans les dénominateurs vont en diminuant, il faudra s’arrêter au terme divisé par $u$.
6. Or, si l’on considère la fonction $\varphi (x),$ qu’on la divise par $x^{n+1},$ qu’ensuite on y change $x$ en $u,$ et qu’on ne retienne que les termes divisés par $u$ ou par des puissances de $u,$ il est aisé de voir qu’on aura de cette manière la série qui multiplie $x^{n}.$ Donc la partie multipliée par $x^{n}$ provenant de la fonction ${\frac {\varphi (x)}{u-x}}$ pourra être représentée par ${\frac {\varphi (u)}{u^{n+1}}}x^{n},$ en ayant soin de ne retenir que les termes de ${\frac {\varphi (u)}{u^{n+1}}}$ qui auront $u$ au dénominateur.
De la même manière, si l’on cherchait la partie multipliée par $x^{n}$ provenant du développementde la fraction ${\frac {\varphi (x)f(x)}{u-x}}$ suivant les puissances de $x,$ on trouverait ${\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}x^{n},$ en ne retenant dans ${\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}$ que les termes qui auraient une puissance de $u$ au dénominateur. La quantité ${\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}$ est donc identique avec le coefficient de $x^{n}$ dans le développement de ${\frac {\varphi (x)f(x)}{u-x}}\,;$ donc l’identité subsistera encore entre les fonctions dérivées relativement à $u\,;$ d’où il suit que la fonction dérivée de ${\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}},$ que nous dénoterons par $\left[{\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]',$ sera égale au coefficient de $x^{n}$ dans le développement de la fonction dérivée de ${\frac {\varphi (x)f(x)}{u-x}}$ relativement à $u$.
Or, comme $u$ ne se trouve ici que dans le dénominateur, et que la fonction dérivée de ${\frac {1}{u-x}}$ est $-{\frac {1}{(u-x)^{2}}}$ on en conclura tout de suite que $\left[{\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]'x^{n}$ sera la partie du développement de $-{\frac {\varphi (x)f(x)}{(u-x)^{2}}}$ qui sera multipliée par $x^{n},$ en ayant toujours soin de ne retenir, dans la fonction ${\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}$ et par conséquent aussi dans sa fonction dérivée $\left[{\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]',$ les termes qui auront $u$ au dénominateur.
On trouvera pareillement que la partie multipliée par $x^{n}$ dans le développement de ${\frac {\varphi (x)f^{2}(x)}{u-x}}$ suivant les puissances de $x$ sera exprimée par ${\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{u^{n+1}}},$ en ne retenant que les termes divisés par des puissances de $u\,;$ donc l’identité subsistera encore à l’égard des fonctions dérivées relativement à $u\,;$ par conséquent, la seconde fonction dérivée de ${\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{u^{n+1}}}$ relativement à $u$ que nous dénoterons par $\left[{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{u^{n+1}}}\right]'',$ sera encore égale à la partie affectée de $x^{n}$ dans le développement de la seconde fonction dérivée de ${\frac {\varphi (x)f^{2}(x)}{u-x}}.$ Mais la première fonction dérivée de ${\frac {1}{u-x}}$ étant $-{\frac {1}{(u-x)^{2}}},$ la seconde sera ${\frac {2}{(u-x)^{3}}}\,;$ donc, divisant par $2,$ on en conclura que $\left[{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''x^{n}$ sera la partie du développement de ${\frac {\varphi (x)f^{2}(x)}{(u-x)^{3}}}$ qui sera multipliée par $x^{n},$ en ayant soin de ne retenir dans la valeur de $\left[{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{u^{n+1}}}\right]''$ que les termes divisés par des puissances de $u$.
On prouvera, par une analyse semblable, qu’en dénotant par $\left[{\frac {\varphi (u)f^{3}(u)}{2.3u^{n+1}}}\right]'''$ la troisième fonction dérivée, relativement à $u,$ de la fonction ${\frac {\varphi (u)f^{3}(u)}{2.3u^{n+1}}},$ et supposant qu’on ne retienne dans cette fonction que les termes divisés par des puissances de $u,$ la partie multipliée par $x^{n}$ dans le développement de $-{\frac {\varphi (x)f^{3}(x)}{(u-x)^{4}}}$ suivant les puissances de $x$ sera exprimée par $\left[{\frac {\varphi (u)f^{3}(u)}{2.3u^{n+1}}}\right]'''x^{n},$ et ainsi de suite.
Donc, en rassemblant toutes ces parties, on aura l’expression complète du terme $(n)x^{n}$ du développement de la quantité ${\frac {\varphi (x)}{u-x+f(x)}}$ suivant les puissances positives de $x,$ et l’on trouvera
$(n)={\frac {\varphi (u)}{u^{n+1}}}+\left[{\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]'+\left[{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''+\left[{\frac {\varphi (u)f^{3}(u)}{2.3u^{n+1}}}\right]'''+\ldots .$
en ayant soin de ne retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de $u$.
7. Nous remarquerons ici que, en prenant encore successivement les fonctions dérivées suivant $u,$ on pourra avoir les expressions des termes multipliés par $x^{n}$ dans les développements de ${\frac {\varphi (x)}{\left[u-x+f(x)\right]^{2}}},$ de ${\frac {\varphi (x)}{\left[u-x+f(x)\right]^{3}}},$ de ${\frac {\varphi (x)}{\left[u-x+f(x)\right]^{4}}},\ldots .$ Ainsi en désignant par $(n)',(n)'',(n)''',\ldots$ les fonctions dérivées, première, seconde, … de la fonction de $u$ désignée par $(n),$ on aura
$-(n)'x^{n},\quad -(n)''{\frac {x^{n}}{2}},\quad -(n)'''{\frac {x^{n}}{2.3}},\quad \ldots$
pour les expressions des termes dont il s’agit. Et, pour avoir les valeurs de $(n)',(n)'',\ldots ,$ il n’y aura qu’à ajouter un trait, deux traits, … aux fonctions ${\frac {\varphi (u)}{u^{n+1}}},\ \left[{\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]',\ldots$ de l’expression de $(n).$
8. Supposons qu’on demande le terme général $(n)x^{n}$ de la série provenant du développement de la fraction rationnelle
${\frac {\mathrm {P+Q} x}{1-2x\cos \omega +x^{2}}}.$
On divisera d’abord le numérateur et le dénominateur par $2\cos \omega$ pour le réduire à la forme ${\frac {\varphi (x)}{u-x+f(x)}},$ et l’on aura, par la comparaison avec cette formule,
${\begin{aligned}\varphi (x)=&{\frac {\mathrm {P} }{2\cos \omega }}+{\frac {\mathrm {Q} }{2\cos \omega }}x,\\f(x)=&{\frac {x^{2}}{2\cos \omega }},\\u=&{\frac {1}{2\cos \omega }}.\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\varphi (u)\ \,=&{\frac {\mathrm {P} }{2\cos \omega }}+{\frac {\mathrm {Q} }{2\cos \omega }}u,\\f(u)\ \,=&{\frac {u^{2}}{2\cos \omega }},\\f^{2}(u)=&{\frac {u^{4}}{(2\cos \omega )^{2}}},\\f^{3}(u)=&{\frac {u^{6}}{(2\cos \omega )^{3}}},\\..\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Donc
${\begin{aligned}{\frac {\varphi (u)}{u^{n+1}}}\quad =&{\frac {\mathrm {P} u^{-n-1}}{2\cos \omega }}\,\ \ +\ \ {\frac {\mathrm {Q} u^{-n}}{2\cos \omega }},\\{\frac {\varphi (u)f(u)\ \,}{u^{n+1}}}=&{\frac {\mathrm {P} u^{-n+1}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {\mathrm {Q} u^{-n+2}}{(2\cos \omega )^{2}}},\\{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{u^{n+1}}}=&{\frac {\mathrm {P} u^{-n+3}}{(2\cos \omega )^{3}}}+{\frac {\mathrm {Q} u^{-n+4}}{(2\cos \omega )^{3}}},\\.\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
En prenant les fonctions dérivées par rapport à $u,$ on aura donc
${\begin{aligned}\left[{\frac {\varphi (u)f(u)\ \,}{u^{n+1}}}\right]'\ =&-{\frac {(n-1)\mathrm {P} u^{-n}}{(2\cos \omega )^{2}}}-{\frac {(n-2)\mathrm {Q} u^{-n+1}}{(2\cos \omega )^{2}}},\\\left[{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''=&{\frac {(n-3)(n-2)\mathrm {P} u^{-n+1}}{2(2\cos \omega )^{3}}}+{\frac {(n-4)(n-3)\mathrm {Q} u^{-n+2}}{2(2\cos \omega )^{3}}},\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et, par conséquent,
${\begin{aligned}(n)&=\mathrm {P} \left[{\frac {u^{-n-1}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-1)u^{-n}}{(2\cos \omega )^{2}}}\ \ \ +{\frac {(n-3)(n-2)u^{-n+1}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[{\frac {u^{-n}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-2)u^{-n+1}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {(n-4)(n-3)u^{-n+2}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right],\end{aligned}}$
où il n’y aura plus qu’a substituer au lieu de $u$ sa valeur ${\frac {1}{2\cos \omega }}.$
${\begin{aligned}(n)&=\mathrm {P} \left[(2\cos \omega )^{n}-(n-1)(2\cos \omega )^{n-2}+{\frac {(n-3)(n-2)}{2}}(2\cos \omega )^{n-4}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {(n-5)(n-4)(n-3)}{2.3}}(2\cos \omega )^{n-6}+\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[(2\cos \omega )^{n-1}-(n-2)(2\cos \omega )^{n-3}+{\frac {(n-4)(n-3)}{2}}(2\cos \omega )^{n-5}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {(n-6)(n-5)(n-4)}{2.3}}(2\cos \omega )^{n-3}+\ldots \right],\\\end{aligned}}$
où il suffira de ne point admettre de puissances négatives de $\cos \omega .$
Cette expression peut se réduire à une forme plus simple en employant les formules connues des sinus des angles multiples ; on aura par ce moyen
$(n)=\mathrm {P} {\frac {\sin(n+1)\omega }{\sin \omega }}+\mathrm {Q} {\frac {\sin n\omega }{\sin \omega }},$
comme Euler l’a trouvé dans l’Introduction à l’Analyse ; mais la formule précédente a l’avantage de pouvoir s’appliquer facilement aux fractions dont le dénominateur est une puissance quelconque.
En effet, pour la fraction ${\frac {\mathrm {P+Q} x}{\left(1-2x\cos \omega +x^{2}\right)^{2}}},$ on aura le terme général $-(n)'x^{n},$ et, en prenant la fonction dérivée de l’expression de $(n)$ en $u,$ on aura
${\begin{aligned}-(n)'&=\mathrm {P} \left[{\frac {(n+1)u^{-n-2}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-1)nu^{-n-1}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)u^{-n}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[{\frac {nu^{-n-1}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-2)(n-1)u^{-n}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {(n-4)(n-3)(n-2)u^{-n+1}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right]\,;\end{aligned}}$
et, substituant pour $u$ sa valeur ${\frac {1}{2\cos \omega }},$ il viendra
${\begin{aligned}-(n)'&=\mathrm {P} {\biggl(n+1)(2\cos \omega )^{n+1}-(n-1)n(2\cos \omega )^{n-1}{\biggr .}\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)}{2}}(2\cos \omega )^{n-3}-\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} {\biggln(2\cos \omega )^{n}-(n-2)(n-1)(2\cos \omega )^{n-2}{\biggr .}\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {(n-4)(n-3)(n-2)}{2}}(2\cos \omega )^{n-4}-\ldots \right],\end{aligned}}$
$\cos \omega$
9. Reprenons maintenant l’expression générale en $u$ du coefficient $(n)$ de la puissance $x^{n}$ dans le développement de la fraction ${\frac {\varphi (x)}{u-x+f(x)}},$ et supposons que le numérateur $\varphi (x)$ soit $1-f'(x),$ ou plus généralement de la forme $\psi (x)\left[1-f'(x)\right],$ c’est-à-dire qu’il soit le produit de la fonction dérivée du dénominateur prise négativement par une fonction $\psi (x),$ qu’on suppose entière et rationnelle. Faisant la substitution de $\psi (u)\left[1-f'(u)\right]$ au lieu de $\varphi (u),$ on aura
${\begin{aligned}(n)={\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}-{\frac {\psi (u)f'(u)}{u^{n+1}}}&+\left[{\frac {\psi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]'\ \ \,-\left[{\frac {\psi (u)f(u)f'(u)}{u^{n+1}}}\right]'\\&+\left[{\frac {\psi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''-\left[{\frac {\psi (u)f'(u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''+\ldots .\\\end{aligned}}$
Or
${\begin{aligned}\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)\right]'=&{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f'(u)+\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'f(u),\\\left[{\frac {\psi (u)}{2u^{n+1}}}f^{2}(u)\right]'=&{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)f'(u)+\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'{\frac {f^{2}(u)}{2}},\end{aligned}}$
et, par conséquent,
$\left[{\frac {\psi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''=\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)f'(u)\right]'+\left\{\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'{\frac {f^{2}(u)}{2}}\right\}'.$
Donc, faisant ces réductions et supposant, pour abréger,
$\Psi (u)={\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}},$
on aura
$(u)=\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots .$
Cette formule servira à trouver l’expression du terme général $(n)x^{n}$ dans le développenent de la fraction
${\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}$
$x,$
$u$
10. Supposons $\psi (x)=1,$ et par conséquent $\psi (u)=1,\ \Psi (u)=u^{-n-1}\,;$ on aura le terme général $(n)x^{n}$ du développement de la fraction ${\frac {1-f'(x)}{u-x+f(x)}}.$ Or, si $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont les racines de l’équation
$u-x+f(x)=0,$
ce terme sera exprimé par
$\left({\frac {1}{\alpha ^{n+1}}}+{\frac {1}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {1}{\gamma ^{n+1}}}+\ldots \right)x^{n},$
par ce qu’ona démontré dans la Note VI (n$^o$ 6). On aura donc, en mettant $n$ à la place de $n+1,$
${\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}+{\frac {1}{\gamma ^{n}}}+\ldots =$
$u^{-n}+\left(u^{-n}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,$
en ne conservant que les puissances négatives de $u$.
11. Soit proposée, par exemple, l’équation
$a-bx+cx^{2}=0,$
dont les racines soient $\alpha$ et $\beta .$
On la divisera par $b$ pour la réduire à la forme $u-x+f(x),$ on aura $f(x)={\frac {cx^{2}}{b}},$ et la valeur de $u$ sera ${\frac {a}{b}}.$ Donc, changeant $x$ en $u$ dans $f(x)$, on aura $f(u)={\frac {cu^{2}}{b}},$ et de là
${\begin{aligned}\left(u^{-n}\right)'f(u)\ \,=&-{\frac {ncu^{-n+1}}{b}},\\\left(u^{-n}\right)'f^{2}(u)=&-{\frac {nc^{2}u^{-n+3}}{b^{2}}},\\\left(u^{-n}\right)'f^{3}(u)=&-{\frac {nc^{3}u^{-n+5}}{b^{3}}},\\..\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
${\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=$
$u^{-n}-{\frac {nc}{b}}u^{-n+1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}u^{-n+2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}u^{-n+3}+\ldots ,$
où il n’y aura plus qu’à faire $u={\frac {a}{b}}.$ On aura ainsi
${\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=$
$\left({\frac {b}{a}}\right)^{n}-{\frac {nc}{b}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-3}+\ldots ,$
en continuant cette série tant qu’il y aura de puissances positives de ${\frac {b}{a}}.$
Si l’on voulait avoir la somme des puissances positives $\alpha ^{n}+\beta ^{n},$ il n’y aurait qu’à considérer l’équation
$ax^{2}-bx+c=0,$
qui résulte de l’équation précédente, en changeant $x$ en ${\frac {1}{x}},$ et dont les racines sont par conséquent ${\frac {1}{\alpha }}$ et ${\frac {1}{\beta }},$ ce qui ne demande que de changer $a$ en $c$ et $c$ en $a.$ On aura donc ainsi
$\alpha ^{n}+\beta ^{n}=$
$\left({\frac {b}{c}}\right)^{n}-{\frac {na}{b}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)a^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)a^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-3}+\ldots .$
12. En général, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ étant les racines de l’équation
$u-x+f(x)=0,$
on aura
$u-x+f(x)=k(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots ,$
$k$ étant le coefficient de la plus haute puissance de $x,$ et prenant les fonctions dérivées de part et d’autre,
$-1+f'(x)=$
$k(x-\beta )(x-\gamma )\ldots +k(x-\alpha )(x-\gamma )\ldots +k(x-\alpha )(x-\beta )\ldots +\ldots \,;$
donc, divisant et changeant les signes,
${\frac {1-f'(x)}{u-x+f(x)}}={\frac {1}{(\alpha -x)}}+{\frac {1}{(\beta -x)}}+{\frac {1}{(\gamma -x)}}+\ldots ,$
$\psi (x),$
${\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}={\frac {\psi (x)}{\alpha -x}}+{\frac {\psi (x)}{\beta -x}}+{\frac {\psi (x)}{\gamma -x}}+\ldots .$
Or, $\psi (x)$ étant supposé une fonction entière de $x,$ on pourra la diviser par $\alpha -x$ jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste sans $x,$ et, pour trouver tout de suite ce reste, il n’y a qu’à considérer que $\psi (\alpha )-\psi (x)$ est divisible par $\alpha -x,$ le quotient étant une fonction entière de $x$ et $\alpha ,$ que nous désignerons par $\operatorname {F} (x,\alpha )\,;$ et, si $\psi (x)$ est une fonction du degré $m,$ il est clair que $\operatorname {F} (x,\alpha )$ sera du degré $m-1.$ Donc, puisque
$\psi (\alpha )-\psi (x)=\operatorname {F} (x,\alpha ).(\alpha -x),$
on aura
$\psi (x)=\psi (\alpha )-\operatorname {F} (x,\alpha ).(\alpha -x)\,;$
donc
${\frac {\psi (x)}{\alpha -x}}=-\operatorname {F} (x,\alpha )+{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha -x}}.$
On trouvera de même
${\frac {\psi (x)}{\beta -x}}=-\operatorname {F} (x,\beta )+{\frac {\psi (\beta )}{\beta -x}},$
et ainsi des autres. Donc, en faisant ees substitutions, on aura
${\begin{aligned}{\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}=&-\operatorname {F} (x,\alpha )-\operatorname {F} (x,\beta )-\operatorname {F} (x,\gamma )-\ldots \\&+{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha -x}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta -x}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma -x}}+\ldots .\end{aligned}}$
En résolvant ces fractions en séries, on aura, après les $m$ premiers termes, dans lesquels se fondent les parties entières $-\operatorname {F} (x,\alpha ),-\operatorname {F} (x,\beta ),\ldots ,$ une suite régulière dont le terme général sera
$\left[{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n+1}}}+\ldots \right]x^{n},$
de sorte qu’on aura, $n$ étant $>m,$
$(n)={\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n+1}}}+\ldots .$
${\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}},$
exprimé par les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ de l’équation
$u-x+f(x)=0.$
En comparant cette expression avec l’expression générale de $(n)$ en $u$ trouvée ci-dessus et mettant, pour plus de simplicité, $n$ à la place de $n+1,$ on aura
${\begin{aligned}{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n}}}+\ldots =&\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'\\&+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\end{aligned}}$
où $\Psi (u)={\frac {\psi (u)}{u^{n}}},$ et où l’on ne doit retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de $u$.
13. Supposons maintenant que l’exposant $n$ soit infiniment grand, en sorte que le terme $(n)x^{n-1},$ auquel il répond dans la série récurrente, soit pris à une très-grande distance de l’origine ; on pourra alors regarder la fonction $\Psi (u)={\frac {\psi (u)}{u^{n}}}$ comme ne contenant que des puissances négatives de $u,$ et même toutes les fonctions $\Psi '(u)f(u),\ \Psi '(u)f^{2}(u),\ldots$ comme ne contenant aussi que des puissances négatives de $u\,;$ du moins, cette supposition sera d’autant plus exacte que le nombre $n$ sera plus grand. Dans cette hypothèse, il n’y aura aucun terme à rejeter dans l’expression de $(n),$ et l’on pourra regarder la série
$\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots$
comme allant à l’infini sans aucune interruption.
14. Or j’observe que toute série de cette forme, dans laquelle $\Psi (u)$ et $f(u)$ sont des fonctions quelconques de $u,$ a cette propriété remarquable que, si on la multiplie par une autre série semblable, dans laquelle, à la place de la fonction $\Psi (u),$ il y ait une autre fonction quelconque $\Pi (u),$ le produit sera encore une série semblable, mais dans laquelle il y aura $\Psi (u)\Pi (u)$ à la place de $\Psi (u).$ En effet, si l’on multiplie ensemble les deux séries
${\begin{aligned}\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\\\Pi (u)+\Pi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Pi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\end{aligned}}$
on a
${\begin{aligned}\Psi &(u)\Pi (u)\\&+\left[\Psi (u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi '(u)\right]f(u)\\&+\Psi (u)\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\Psi '(u)\Pi '(u)f^{2}(u)\\&+\Pi (u)\left[{\frac {\psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Or
$\Psi (u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi '(u)=\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]',$
${\begin{aligned}\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'=&{\frac {1}{2}}\Pi ''(u)f^{2}(u)+\Pi '(u)f(u)f'(u),\\\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'=&{\frac {1}{2}}\Psi ''(u)f^{2}(u)+\Psi '(u)f(u)f'(u)\,;\end{aligned}}$
donc la série devient
${\begin{aligned}\Psi &(u)\Pi (u)+[\Psi (u)\Pi (u)]'f(u)\\&+{\frac {1}{2}}\left[\Psi (u)\Pi ''(u)+2\Psi '(u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi ''(u)\right]f^{2}(u)\\&+\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f(u)f'(u)+\ldots ,\end{aligned}}$
savoir
$\Psi (u)\Pi (u)+\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f(u)+\left\{{\frac {\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f^{2}(u)}{2}}\right\}'+\ldots .$
$f(u)$
Donc, en général, si l’on dénote par $\left[\Psi (u)\right]$ la série qui contient la fonction $\Psi (u),$ et de même par $\left[\Pi (u)\right]$ la série qui contient $\Pi (u),$ la fonction $f(u)$ demeurant la même dans les deux séries, il résulte de ce que nous venons de trouver que l’on aura
$\left[\Psi (u)\right]\left[\Pi (u)\right]=\left[\Psi (u)\Pi (u)\right],$
et, comme cette propriété a lieu quelles que soient les fonctions $\Psi (u)$ et $\Pi (u),$ si l’on fait $\Psi (u)\Pi (u)=\Phi (u),$ on aura
$\left[\Psi (u)\right]\left[\Pi (u)\right]=\left[\Phi (u)\right]\,;$
donc
$\left[\Pi (u)\right]={\frac {\left[\Phi (u)\right]}{\left[\Psi (u)\right]}}.$
Mais $\Pi (u)={\frac {\Phi (u)}{\Psi (u)}}\,;$ donc
${\frac {\left[\Phi (u)\right]}{\left[\Psi (u)\right]}}=\left[{\frac {\Phi (u)}{\Psi (u)}}\right],$
c’est-à-dire que le quotient de deux séries semblables, lesquelles contiennent deux fonctions différentes $\Phi (u)$ et $\Psi (u),$ sera aussi une semblable fonction qui contiendra le quotient de ces mêmes, fonctions.
15. Donc, si l’on prend deux nombres très-grands $n$ et $n+r,$ dont la différence $r$ soit un nombre quelconque positif ou négatif, le quotient de la quantité
${\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n}}}+\ldots$
divisée par la quantité
${\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+r}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n+r}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n+r}}}+\ldots$
$\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\ldots ,$
en faisant $\Psi (u)={\frac {\psi (u)}{u^{n}}}$ divisé par ${\frac {\psi (u)}{u^{n+r}}},$ c’est-à-dire $\Psi (u)=u^{r}.$
D’un autre côté, $n$ étant un nombre infiniment grand, il est visible que les deux quantités ci-dessus se réduisent à leurs premiers termes ${\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n}}}$ et ${\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+r}}},$ $\alpha$ étant la plus petite des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$ Donc le quotient de la première des quantités divisée par la seconde se réduira à $\alpha ^{r},$ d’où résulte ce théorème très-remarquable :
Si $\alpha$ est la plus petite des racines de l’équation
$u-x+f(x)=0,$
on aura
$\alpha ^{r}=u^{r}+\left(u^{r}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,$
$r$ étant un nombre quelconque positif ou négatif.
Ainsi l’on a, par cette formule, non-seulement la racine $\alpha ,$ mais encore une puissance quelconque de la même racine.
16. Si l’on fait maintenant $r=n,$ $n$ étant un nombre fini quelconque, et que l’on compare cette formule avec celle qu’on a donnée plus haut pour la valeur de ${\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}+{\frac {1}{\gamma ^{n}}}+\ldots ,$ on en tirera la conclusion suivante très-singulière :
Si, dans la formule
$u^{-n}+\left(u^{-n}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,$
on ne retient que les termes qui ont des puissances négatives de $u,$ elle donne la valeur de la somme des puissances $-n$ de toutes les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et, si l’on y conserve tous les termes, elle ne donnera que la même puissance de la plus petite racine $\alpha .$
17. Ainsi, comme nous avons déjà trouvé plus haut, pour les racines $\alpha$ et $\beta$ de l’équation $cx^{2}-bx+a=0,$ on a la formule
${\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=$
$\left({\frac {b}{a}}\right)^{n}-{\frac {nc}{b}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-3}+\ldots ,$
en ne continuant la série que tant qu’il y a de puissances positives de ${\frac {b}{a}}\,;$ si l’on continue cette même série à l’infini sans aucune interruption, on aura alors la valeur du seul terme ${\frac {1}{\alpha ^{n}}},r$ en prenant pour $\alpha$ la plus petite des deux racines $\alpha$ et $\beta ,$ et même on pourra y faire $n$ positif ou négatif à volonté.
Les deux racines de l’équation $cx^{2}-bx+a=0$ étant $\alpha$ et $\beta ,$ celles de l’équation $ax^{2}-bx+c=0$ seront ${\frac {1}{\alpha }}$ et ${\frac {1}{\beta }},$ et l’on aura
${\frac {1}{\alpha }}={\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}},\quad {\frac {1}{\beta }}={\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}},$
$\alpha$ étant supposée la plus petite des deux racines. Ainsi la série
$\left({\frac {b}{a}}\right)^{n}-{\frac {nc}{b}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+\ldots ,$
en ne retenant que les puissances positives de ${\frac {b}{a}},$ c’est-à-dire les puissances négatives de $a,$ sera égale à
${\frac {\left(b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)^{n}+\left(b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)^{n}}{(2a)^{n}}},$
$n$ étant un nombre entier quelconque, et, si l’on continue la série à l’infini, elle deviendra égale à
$\left({\frac {b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)^{n},$
$n$ étant un nombre quelconque positif ou négatif.
La première partie de cette proposition est facile à vérifier par le simple développement des puissances $n$$^{ièmes}$, puisque le radical ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$ disparaît de lui-même, et d’ailleurs elle est déjà connue par le théorème de Moivre.
Pour vérifier l’autre partie, il faut réduire en série le radical lui-même. Ainsi, en faisant, par exemple, $n=1,$ la série devient
${\frac {b}{a}}-{\frac {c}{b}}-{\frac {2ac^{2}}{2b^{3}}}-{\frac {3.4a^{2}c^{4}}{2.3b^{5}}}-\ldots ,$
laquelle peut se mettre sous cette forme
${\frac {b}{2a}}+{\frac {b}{2a}}-{\frac {1}{2}}.{\frac {2c}{b}}+{\frac {1.1}{2.4}}.{\frac {8ac^{2}}{b^{3}}}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}.{\frac {32a^{2}c^{3}}{b^{5}}}-\ldots .$
Or cette série est évidemment égale à
${\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.$
18. Soit l’équation indéfinie
$a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots =0\,;$
on fera, dans la formule générale du théorème ci-dessus,
$f(u)={\frac {cu^{2}-du^{3}+eu^{4}-fu^{5}+\ldots }{b}},$
d’où l’on tire
${\begin{aligned}f^{2}(u)=&{\frac {c^{2}u^{4}-2cdu^{5}+(d^{2}+2ce)u^{6}+\ldots }{b^{2}}},\\f^{3}(u)=&{\frac {c^{3}u^{6}-3cdu^{7}+\ldots }{b^{3}}},\\f^{4}(u)=&{\frac {c^{4}u^{8}-\ldots }{b^{4}}},\\..\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
$\left(u^{r}\right)'=ru^{r-1}\,;$
${\begin{aligned}\left(u^{r}\right)'f(u)\ \,=&r{\frac {cu^{r+1}-du^{r+2}+eu^{r+3}-fu^{r+4}+\ldots }{b}},\\\left(u^{r}\right)'f^{2}(u)=&r{\frac {c^{2}u^{r+3}-2cdu^{r+4}+\left(d^{2}+2ce\right)u^{r+5}+\ldots }{b^{2}}},\\\left(u^{r}\right)'f^{3}(u)=&r{\frac {c^{3}u^{r+5}-3cdu^{r+6}+\ldots }{b^{3}}},\\\left(u^{r}\right)'f^{4}(u)=&r{\frac {c^{4}u^{r+7}+\ldots }{b^{4}}}.\end{aligned}}$
Prenant les fonctions dérivées et substituant dans la formule dont il s’agit, on aura, après avoir fait $u={\frac {a}{b}}$ et changé $\alpha$ en $x,$
${\begin{aligned}x^{r}=&{\frac {a^{r}}{br^{2}}}+r\left({\frac {a^{r+1}c}{b^{r+2}}}-{\frac {a^{r+2}d}{b^{r+3}}}+{\frac {a^{r+3}e}{b^{r+4}}}-{\frac {a^{r+4}f}{b^{r+5}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {r}{2}}\left[{\frac {(r+3)a^{r+2}c^{2}}{b^{r+4}}}-{\frac {(r+4)a^{r+3}.2cd}{b^{r+5}}}+{\frac {(r+5)a^{r+4}\left(d^{2}+2ce\right)}{b^{r+5}}}+\ldots \right]\\&+{\frac {r}{2.3}}\left[{\frac {(r+5)(r+4)a^{r+3}c^{3}}{b^{r+6}}}-{\frac {(r+6)(r+5)a^{r+4}.3cd}{b^{r+7}}}+\ldots \right]\\&+{\frac {r}{2.3.4}}\left[{\frac {(r+7)(r+6)(r+5)a^{r+4}c^{4}}{b^{r+8}}}+\ldots \right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
19 Si $r=1,$ on aura
${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}-{\frac {a^{3}d}{b^{4}}}+{\frac {a^{4}e}{b^{5}}}-{\frac {a^{5}f}{b^{6}}}+\ldots \\&+{\frac {2a^{3}c^{2}}{b^{5}}}-{\frac {5a^{4}cd}{b^{6}}}+{\frac {3a^{5}\left(d^{2}+2ce\right)}{b^{7}}}+\ldots \\&+{\frac {5a^{4}c^{3}}{b^{7}}}-{\frac {21a^{5}cd}{b^{8}}}+\ldots \\&+{\frac {14a^{5}c^{4}}{b^{9}}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
C’est-la formule connue de Newton, pour le retour des suites, qu’on
$x$
20. Si l’on veut appliquer la formule précédente à la détermination de la valeur de $p$ dans l’équation
$\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots =0,$
que nous avons considérée au commencement de cette Note, il n’y aura plus qu’à substituer $\operatorname {F} (a),\ -\operatorname {F} '(a),\ {\frac {1}{2}}\operatorname {F} ''(a),\ -{\frac {1}{2.3}}\operatorname {F} '''(a),\ldots$ au lieu de $a,b,c,d,\ldots ,$ et $p$ au lieu de $x\,;$ on aura ainsi
$p=-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}}\operatorname {F} (a)-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2\operatorname {F} '^{3}(a)}}\operatorname {F} ^{2}(a)+{\frac {\operatorname {F} '(a)\operatorname {F} '''(a)-3\operatorname {F} ''^{2}(a)}{2.3\operatorname {F} '^{5}(a)}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,$
ce qui donne la même série que nous avons trouvée par deux méthodes différentes.
Nous pouvons généraliser encore la formule du théorème donnée plus haut. En effet, puisque $\alpha$ est une des valeurs de $x,$ ce théorème peut se présenter ainsi.
21. L’équation
$x=u+f(x)$
donne, en général
$x^{r}=u^{r}+\left(u^{r}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots .$
Or, soit $\operatorname {F} (x)$ une fonction quelconque donnée de $x\,;$ on peut la supposer réduite à la forme
$\mathrm {M} x^{r}+\mathrm {N} x^{s}+\mathrm {P} x^{t}+\ldots \,;$
ainsi, pour la valeur de $\operatorname {F} (x),$ il n’y aura qu’à ajouter ensemble les
$x^{r},x^{s},x^{t},\ldots$
$\mathrm {M,N,P} ,\ldots \,;$
$u^{r},$
$\mathrm {M} u^{r}+\mathrm {N} u^{s}+\mathrm {P} u^{t}+\ldots ,$
c’est-à-dire $\operatorname {F} (u)$, et par conséquent $\operatorname {F} '(u)$ à la place de $\left(u^{r}\right)'.$
De là résulte enfin ce nouveau théorème, remarquable autant par sa généralité que par sa simplicité :
L’équation
$x=u+f(x)$
donne
$\operatorname {F} (x)=\operatorname {F} (u)+\operatorname {F} '(u)f(u)+{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{2}(u)\right]'+{\frac {1}{2.3}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{3}(u)\right]''+\ldots ,$
où les fonctions désignées par les caractéristiques $f$ et $\operatorname {F}$ peuvent être quelconques.
En effet ce théorème, présenté de cette manière, est indépendant de la considération des racines et n’est plus qu’un résultat de la transformation des fonctions, qu’on peut vérifier par l’élimination successive de $x$ ou de $u.$ J’ai donné le premier ce théorème dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1768 ; j’y étais parvenu par une analyse à peu près semblable à la précédente, mais moins rigoureuse. Plusieurs géomètres se sont occupés depuis à le démontrer a posteriori par le développement des fonctions ; mais Laplace en a donné, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1777, une démonstration directe et élégante, tirée du Calcul différentiel ; c’est cette démonstration que j’ai transportée dans la Théorie des fonctions (n$^o$ 99).
Il est bon de remarquer qu’en faisant $u=0$ l’équation $x=u+f(x)$ devient $x=f(x),$ laquelle peut représenter une équation quelconque en $x,$ et l’on aura la valeur d’une fonction quelconque $\operatorname {F} (x)$ en faisant $u=0$ dans la série
$\operatorname {F} (u)+\operatorname {F} '(u)f(u)+{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{2}(u)\right]'+{\frac {1}{2.3}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{3}(u)\right]''+\ldots ,$
après le développement des fonctions, ce qui est beaucoup plus simple.
22. Avant de terminer cette Note, je vais faire voir comment la méthode du n$^o$ 13 pour résoudre par approximation l’équation $\operatorname {F} (a+p)=0,$ peut être appliquée à la résolution simultanée de plusieurs équations à plusieurs inconnues.
Supposons que l’on ait deux équations entre les deux inconnues $x$ et $y,$ que nous désignerons en général par
$\operatorname {F} (x,y)=0\quad {\text{et}}\quad f(x,y)=0.$
Supposons en même temps que l’on connaisse déjà deux valeurs approchées $a$ et $b$ de $x$ et $y$, en sorte qu’en faisant $x=a+p,\ y=b+q$ les quantités $p$ et $q$ aient des valeurs fort petites. Il s’agira de tirer ces valeurs des deux équations
$\operatorname {F} (a+p,b+q)=0\quad f(a+p,b+q)=0.$
Suivant l’esprit de la méthode de Newton, on développerait les deux fonctions en séries ; les deux équations deviendraient ainsi
${\begin{aligned}\operatorname {F} (a,b)+\mathrm {M} p+\mathrm {N} q+\ldots =&0,\\f\,(a,b)+mp+n\,q+\ldots =&0,\end{aligned}}$
d’où l’on tire pour première approximation
${\begin{aligned}p=&{\frac {\quad \mathrm {N} f(a,b)-n\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\\p=&{\frac {-\mathrm {M} f(a,b)+m\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}.\end{aligned}}$
Ainsi, $a$ et $b$ étant les premières valeurs approchées de $x$ et $y,$ $a+p,\ b+q$ seront des valeurs plus approchées, qu’on pourra substituer à la place de $a$ et $b$ dans les fonctions $p$ et $q\,;$ et, désignant par $p_{1},q_{1}$ ces nouvelles valeurs de $p$ et $q,$ on aura $a+p+p_{1}$ et $b+q+q_{1}$ pour les valeurs de $x$ et $y$ encore plus approchées, et ainsi de suite.
Ce procédé a été donné par Thomas Simpson dans ses Essais sur plusieurs sujets mathématiques, et il est assez commode pour le Calcul arithmétique ; mais il serait difficile d’en tirer des expressions de $x$ et $y$ en séries ordonnées suivant les puissances des quantités $\operatorname {F} (a,b)$ et $f(a,b),$ qui expriment les erreurs provenantes des premières suppositions, et surtout d’avoir la loi de ces séries ; voici comment on peut y parvenir.
On regardera les quantités $a$ et $b$ comme des fonctions quelconques de deux autres quantités $\alpha$ et $\beta ,$ de manière que, ces quantités devenant $\alpha +i$ et $\beta +o,$ les quantités $a$ et $b$ deviennent $a+p$ et $b+q\,;$ et l’on supposera que ces fonctions soient telles que $\operatorname {F} (a,b)=\alpha$ et $f(a,b)=\beta ,$ ce qui donnera en mettant $\alpha +i$ et $\beta +o$ au lieu de $\alpha$ et $\beta ,$
$\operatorname {F} (a+p,b+q)=\alpha +i\quad f(a+p,b+q)=\beta +o\,;$
de sorte que les équations proposées deviendront alors
$\alpha +i=0,\quad \beta +o=0,$
d’où l’on tire
$i=-\alpha =-\operatorname {F} (a,b),\quad o=-\beta =-f(a,b).$
Or, en adoptant la notation des fonctions dérivées, indiquée dans la Note précédente (n$^o$ 9), les fonctions $a$ et $b$ des quantités $\alpha$ et $\beta ,$ lorsque ces quantités deviennent $\alpha +i$ et $\beta +o,$ se développent dans les séries
${\begin{aligned}&a+\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)i+\left({\frac {a'}{\beta '}}\right)o+\left({\frac {a''}{\alpha '^{2}}}\right){\frac {i^{2}}{2}}+\left({\frac {a''}{\alpha '\beta '}}\right)io+\left({\frac {a''}{\beta '^{2}}}\right){\frac {o^{2}}{2}}+\ldots ,\\&b\,+\left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)i+\left({\frac {b'}{\beta '}}\right)o+\left({\frac {b''}{\alpha '^{2}}}\right){\frac {i^{2}}{2}}+\left({\frac {b''}{\alpha '\beta '}}\right)io+\left({\frac {b''}{\beta '^{2}}}\right){\frac {o^{2}}{2}}+\ldots .\end{aligned}}$
Donc, substituant $-\operatorname {F} (a,b)$ pour $i$ et $-f(a,b)$ pour $o,$ on aura
${\begin{aligned}p=&-\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)\operatorname {F} (a,b)-\left({\frac {a'}{\beta '}}\right)f(a,b)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {a''}{\alpha '^{2}}}\right)\operatorname {F} ^{2}(a,b)+\left({\frac {a''}{\alpha '\beta '}}\right)\operatorname {F} (a,b)f(a,b)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {a''}{\beta '^{2}}}\right)f^{2}(a,b)+\ldots ,\end{aligned}}$
${\begin{aligned}q=&-\left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)\operatorname {F} (a,b)-\left({\frac {b'}{\beta '}}\right)f(a,b)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b''}{\beta '^{2}}}\right)\operatorname {F} ^{2}(a,b)+\left({\frac {b''}{\alpha '\beta '}}\right)\operatorname {F} (a,b)f(a,b)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b''}{\beta ''^{2}}}\right)f^{2}(a,b)+\ldots ,\end{aligned}}$
où il n’y aura plus qu’à substituer les valeurs des fonctions partielles $\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right),\ \left({\frac {a'}{\beta '}}\right),\ \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right),\ldots$ qu’on tirera des équations
$\operatorname {F} (a,b)=\alpha \quad {\text{et}}\quad f(a,b)=\beta ,$
en prenant successivement les fonctions dérivées relativement à $\alpha$ et $\beta ,$ et substituant à mesure les valeurs déjà trouvées dans les suivantes.
Ainsi l’on aura d’abord
${\begin{alignedat}{2}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\alpha '}}\right)=&1,\qquad &\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\beta '}}\right)=&0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\alpha '}}\right)=&0,&\left({\frac {f'(a,b)}{\beta '}}\right)=&1.\end{alignedat}}$
Mais on a en général, relativement à $a$ et $b,$
${\begin{aligned}\operatorname {F} '(a,b)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)a'+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)b',\\f'(a,b)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)a'+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)b'\,;\end{aligned}}$
donc, en regardant $a$ et $b$ comme fonctions de $\alpha$ et $\beta ,$ on aura, relativement à chacune de ces quantités en particulier,
${\begin{aligned}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\alpha '}}\right)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=1,\\\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\beta '}}\right)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\beta '}}\right)+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\alpha '}}\right)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\beta '}}\right)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\beta '}}\right)+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=1,\end{aligned}}$
$\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right),\quad \left({\frac {a'}{\beta '}}\right),\quad \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right),\quad \left({\frac {b'}{\beta '}}\right),$
exprimées par les fonctions partielles
$\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right),\ \ \left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right),\ \ \left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right),\ \ \left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right),$
qui sont faciles à déduire des fonctions données $\operatorname {F} (a,b),f(a,b),$ en prenant leurs fonctions dérivées, relativement à $a$ et $b$ en particulier.
Ensuite, en prenant de nouveau les fonctions dérivées des valeurs $\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right),\left({\frac {a'}{\beta '}}\right),\ldots$ relativement à $\alpha$ et $\beta ,$ on aura les valeurs de $\left({\frac {a''}{\alpha '^{2}}}\right),$$\left({\frac {a''}{\alpha '\beta '}}\right),\ldots ,$ et ainsi de suite.
Si l’on fait, pour abréger,
${\begin{alignedat}{2}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)=&\mathrm {M} ,\qquad &\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)=&\mathrm {N} ,\\\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)=&m,&\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)=&n,\end{alignedat}}$
on aura
${\begin{alignedat}{2}\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)=&\quad \ {\frac {n}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\qquad &\left({\frac {a'}{\beta '}}\right)=&-{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\\\left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=&-{\frac {m}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},&\left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=&\quad \ {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\end{alignedat}}$
et les premières valeurs de $p$ et $q$ seront
${\begin{aligned}p=&-{\frac {n\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}+{\frac {\mathrm {N} f(a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\\q=&\ \quad {\frac {m\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}-{\frac {\mathrm {M} f(a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}.\end{aligned}}$
Ces premières valeurs de $p$ et $q$ coïncident avec celles que nous avons trouvées ci-dessus ; mais les formules que nous venons de donner pour les expressions générales de $p$ et $q$ ont l’avantage de présenter des séries toutes développées et faciles à continuer aussi loin que l’on veut.