# Sur la géométrie des sphères

1. Dans une importante Communication faite à l’Académie des Sciences (Comptes rendus, p. 71-73), M. Laguerre a introduit la notion ingénieuse des semi-plans, semi-sphères, etc., et fourni ainsi le point de départ pour la formation d’une Géométrie particulière, dans laquelle on considérerait comme élément de l’espace le semi-plan, ou plus généralement la semi-sphère.
En examinant quels seraient les matériaux de cette Géométrie, j’ai reconnu qu’elle devait être identique avec la géométrie des sphères de M. Lie, en ce sens qu’elle s’occuperait des propriétés des figures de l’espace, inaltérables par les transformations entre sphères étudiées par l’éminent géomètre de Christiania. Dans cette Note je vais indiquer, si l’Académie veut bien le permettre, comment on peut établir la communauté de fond entre ces deux théories.
2. Pour cela je commencerai par présenter, pour les notions introduites par M. Laguerre, des définitions qui conviennent à mon but. Un semi-plan est constitué par un plan auquel on a attaché l’un des points suivant lesquels il coupe le cercle $C_{\infty }$ à l’infini. Une semi-sphère est constituée par une sphère considérée comme lieu de l’un de ses systèmes de droites. Il est aisé de voir, d’après cela, que l’on ne peut détacher d’une surface deux semi-surfaces distinctes que si les lignes géodésiques de longueur nulle de cette surface se séparent en deux systèmes distincts, de manière que par tout point ordinaire de la surface ne passe qu’une seule courbe de chacun de ces systèmes ; les cônes de révolution sont dans ce cas.
3. Je passe aux transformations entre sphères de M. Lie. Ces transformations résultent des transformations linéaires de l’espace des droites lorsqu’on fait correspondre, d’après Lie, à ces droites des sphères, de sorte que, $S$ étant la correspondance entre droites et sphères et $T$ une transformation linéaire de l’espace des droites, $R=S^{-1}TS$ sera la correspondance entre sphères qui en résulte.
Maintenant, l’introduction de la notion des semi-sphères dans les correspondances $R=S^{-1}TS$ est autorisée, on peut dire imposée, par la nature de $S$. En effet, pour établir la correspondance $S$, M. Lie part de la représentation des droites $C_{\infty }$, qui rencontrent $C_{\infty }$ par les points $P$ de l’espace à trois dimensions. Les points $P$ d’une droite $p$ représentent alors des droites $C_{\infty }$, qui sont sur une sphère, qui engendrent par conséquent une semi-sphère.
$S$ constitue donc une correspondance entre droites et semi-sphères. Deux semi-sphères opposées, c’est-à-dire détachées d’une même sphère, correspondent à deux droites qui sont polaires réciproques par rapport à un complexe linéaire $L$. Aux droites de $L$ correspondent en particulier les points, c’est-à-dire les semi-sphères infiniment petites qui coïncident avec leurs opposées.
Parmi les droites de $L$, il y en a une ($l$) qui joue un rôle particulier ; aux droites $p$ qui la rencontrent, correspondent des semi-plans $\pi$. Si $p$ tourne autour d’un point de $l$, les semi-plans $\pi$ correspondants passent par un même point de $C_{\infty }$ ; c’est le point attaché à tous ces semi-plans (n° 2). Aux droites du complexe $L$ qui rencontrent la droite $l$ correspondent des semi-plans tangents de $C_{\infty }$, lesquels se confondent avec leurs opposés.
Puisque maintenant $S$ et $S^{-1}$ font correspondre à chaque droite une semi-sphère, ou vice versa, il résulte que $R=S^{-1}TS$, de même que $R^{-1}=S^{-1}T^{-1}S$, fait correspondre à chaque semi-sphère une semi-sphère, tout en échangeant, en général, les points et les semi-plans par des semi-sphères. L’introduction de la considération des semi-sphères dans les correspondances $R$ apporte donc ce précieux avantage de restituer le caractère de birationnalité à ces correspondances, et d’ôter ainsi toute ambiguïté au résultat de leur composition mutuelle.
Les transformations linéaires $T$ de l’espace des droites sont, d’après M. Klein, les unes homographiques, les autres corrélatives. Parmi ces dernières, on a à remarquer la corrélation focale $L$ déterminée par le complexe $L$ ; toute autre peut être composée de $L$ et d’une homographie. La correspondance $R=S^{-1}LS$ échange chaque semi-sphère en son opposée.
Le rôle des transformations $R$ dans la géométrie des semi-sphères est établi par ce fait connu, qu’il n’y a pas d’autre correspondance entre sphères pour lesquelles le contact soit une propriété invariante.
4. Dans le groupe des transformations $R$ est contenu, comme on sait, le groupe déterminé par les transformations par rayons vecteurs réciproques. Les transformations $U$ de ce sous-groupe correspondent aux transformations $T$ qui laissent le complexe $L$ invariable. Par contre, au groupe des transformations $T$ qui ne déplacent pas la droite $l$ correspond un groupe $V$ de transformations $R$ par lesquelles à chaque semi-plan correspond un semi-plan, de même qu’à chaque semi-cône de révolution un semi-cône pareil. Toute correspondance entre semi-plans par laquelle à des semi-plans passant par une droite $c_{\infty }$ correspondent des semi-plans passant encore par une droite $c_{\infty }$ est contenue dans ce groupe $V$. Les propriétés des figures de l’espace inaltérables par les transformations $V$ intéressent la géométrie des semi-plans. Cette géométrie a donc sa place marquée à côté de la géométrie des rayons vecteurs réciproques.
5. Parmi les correspondances $V$ entre semi-plans, il convient de remarquer particulièrement celles qui proviennent de transformations $T=SVS^{-1}$ dans lesquelles toutes les droites appuyées sur deux droites $p_{1}$, $p_{2}$ qui rencontrent $l$ correspondent à elles-mêmes.
Dans une pareille correspondance entre semi-plans, il y a deux semi-plans fondamentaux $\pi _{1}$, $\pi _{2}$, qui correspondent à eux-mêmes. Toute semi-sphère qui touche $\pi _{1}$ et $\pi _{2}$ correspond à elle-même. Deux semi-plans correspondants sont tangents à un même semi-cône de révolution touchant les deux plans fondamentaux ; ces deux couples de semi-plans déterminent sur le semi-cône un rapport anharmonique constant et qui est le même pour tout couple de semi-plans correspondants.
La correspondance par directions réciproques, étudiée par M. Laguerre, dans la Note citée, est un cas particulier de ces correspondances. On l’obtient, en effet, en supposant que les deux semi-plans fondamentaux viennent à devenir opposés, ce qui arrive dans le cas où les deux droites $p_{1}$ et $p_{2}$, auxquelles correspondent dans $S$ les plans $\pi _{1}$ et $\pi _{2}$, deviennent polaires l’une de l’autre par rapport au complexe $L$. Si les deux droites $p_{1}$ et $p_{2}$ s’approchent infiniment de la droite $l$, tout en appartenant au complexe $L$, la transformation par direction réciproque devient une dilatation.
* ↑ Lie, Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe (Math. Annalen, t. V, p. 164-188; 1872). — Voir aussi : Klein, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen ; Erlangen, 1872, § 7. — Il est juste de noter que la présente Note est conçue dans l’esprit des principes développés par M. Klein dans ce travail.
* ↑ Nous ne savons pas si ce sous-groupe $V$ a attiré jusqu’ici l’attention. Nous trouvons cependant que M. Lie a déjà remarqué que les transformations $R$ qui correspondent à des transformations $T$ laissant invariables le complexe $L$ et la droite $l$, et qui sont ainsi communes aux deux sous-groupes $U$ et $V$, constituent les homographies qui font glisser le cercle $C_{\infty }$ sur lui-même.