# Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Théorie géométrique du mouvement des aphélies des Planètes pour servir d’addition aux Principes de Newton
### THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DU MOUVEMENT DES APHÉLIES DES PLANÈTES POUR SERVIR D’ADDITION AUX PRINCIPES DE NEWTON.

La Théorie du mouvement des aphélies est une des parties les plus importantes du Système du monde. Si les Planètes n’étaient soumises qu’à l’action du Soleil, leurs aphélies seraient immobiles. Mais l’observation a montré que les aphélies changent de place et il est naturel de regarder ce déplacement comme un effet de l’attraction mutuelle des Planètes. La détermination précise de cet effet est un Problème dont les difficultés n’ont pu être vaincues que dans ces derniers temps par le moyen d’une analyse aussi délicate que pénible. Si cette analyse ne laisse rien à désirer pour la solution complète de la question, on peut néanmoins désirer encore une solution plus simple, plus à portée des Astronomes, une solution surtout du genre de celles des Principes mathématiques, et qui puisse servir de supplément à ce grand Ouvrage. Un siècle s’est bientôt écoulé depuis qu’il a vu le jour, et un grand nombre d’Auteurs ont travaillé pour l’éclaircir et pour le compléter ; mais il ne paraît pas que les parties, qui ont en effet besoin d’être perfectionnées, l’aient encore été d’une manière propre à former un véritable Commentaire. Ce sont surtout celles qui traitent du mouvement des fluides, et de l’effet de l’attraction mutuelle des Planètes, c’est-à-dire une partie du second Livre et presque tout le troisième, où l’on ne trouve plus cette rigueur et cette précision qui caractérisent le reste de l’Ouvrage.
Les Problèmes, que Newton n’avait pu résoudre avec les secours que son siècle et son génie lui avaient fournis, l’ont été ensuite en grande partie par les Géomètres de ce siècle ; mais leurs solutions, fondées sur des principes différents et sur des analyses plus ou moins longues et compliquées, sont peu propres à servir de suite à un Ouvrage qui brille surtout par l’élégance et la simplicité des démonstrations.
Ce serait donc un travail très-intéressant, de traduire, pour ainsi dire, ces mêmes solutions dans la langue des Principes mathématiques, d’y ajouter celles qui manquent encore et de donner ainsi à la plus grande production de l’esprit humain la perfection dont elle est susceptible.
Je n’aurai pas la témérité de me charger de ce travail ; mon objet est simplement de préparer les matériaux pour un Ouvrage dont l’exécution ferait peut-être autant d’honneur à notre siècle que l’Ouvrage même de Newton en a fait au siècle dernier.
1. Il n’y a dans les Principes mathématiques que deux endroits relatifs au mouvement des aphélies. L’un est la Proposition XLV du premier Livre, dans laquelle Newton donne une méthode générale de déterminer le mouvement des apsides dans les orbites décrites par une force tendante à un point fixe et proportionnelle à une fonction quelconque de la distance, lorsque ces orbites sont supposées presque circulaires ; mais cette méthode ne s’applique point aux Planètes, parce que leurs forces perturbatrices ne sont point dirigées vers le Soleil, et ne sont point exprimées par de simples fonctions de leurs distances à cet astre.
L’autre endroit est le Scolie de la Proposition XIV du troisième Livre, où Newton avance sans démonstration que l’action réciproque des Planètes doit donner à leurs aphélies un mouvement direct en raison sesquiplée des distances moyennes, c’est-à-dire proportionnel aux temps périodiques. Halley et d’autres Astronomes ont adopté cette loi dans les Tables des Planètes ; mais elle se trouve contredite par le calcul rigoureux des effets de l’attraction.
2. Si l’Ouvrage de Newton n’offre pas une Théorie exacte du mouvement des aphélies, il en contient néanmoins le germe ; mais la difficulté de le développer a peut-être empêché qu’on en ait encore profité. On le trouve dans la Proposition XVII du premier Livre, laquelle enseigne à déterminer les éléments de la section conique que doit décrire un corps lancé avec une certaine vitesse de projection suivant une direction donnée, et soumis à l’action continuelle d’une force centrale en raison réciproque du carré des distances. Dans le troisième Corollaire de cette Proposition, Newton remarque que, si le corps se meut dans une section conique et qu’il soit dérangé de son orbite par une impulsion quelconque, on pourra connaître la nouvelle orbite dans laquelle il circulera ensuite, en composant le mouvement que ce corps a déjà avec le mouvement que cette impulsion seule lui aurait imprimé ; car par ce moyen on aura le mouvement du corps, lorsqu’il part du lieu donné dans lequel il a reçu l’impulsion suivant une ligne droite donnée de position.
Or, comme les éléments de la section conique, c’est-à-dire ses dimensions et sa position, ne dépendent que du mouvement que le corps a dans un lieu quelconque, il s’ensuit que l’effet de l’impulsion qui dérange le corps de son orbite ne consistera qu’à changer les éléments de cette orbite, et qu’on pourra toujours déterminer ce changement par la Proposition dont il s’agit ; et, si les dérangements sont continuels, on aura les changements continuels des éléments par la même Proposition.
Mais on peut regarder les forces perturbatrices qui résultent de l’attraction mutuelle des Planètes comme des impulsions instantanées et continuelles, qui dérangent l’orbite que chaque Planète décrirait sans elles autour du Soleil ; par conséquent on peut déduire de la Proposition, que nous venons de citer, la méthode générale de déterminer les variations des éléments des Planètes et principalement celles des excentricités et des aphélies.
Ce n’est pas que Newton n’ait entrevu lui-même l’usage qu’on pouvait faire de cette Proposition pour déterminer les dérangements des Planètes car il ajoute dans le Corollaire quatrième que, si le corps est continuellement troublé dans sa révolution par quelque force qui lui soit imprimée extérieurement, on connaîtra à peu près la courbe qu’il décrira, en prenant les changements que cette force produit dans plusieurs points quelconques, et en estimant par l’ordre de la série les changements continuels dans les lieux intermédiaires. Mais cette manière d’envisager le Problème serait peu exacte, et s’appliquerait difficilement aux Planètes en tant qu’elles sont dérangées par l’action continuelle de leur attraction réciproque. Aussi personne, que je sache, n’a cherché à faire cette application, ni à déduire des Théorèmes de Newton une Théorie qui en découle naturellement.
3. Nous commencerons par rappeler la construction qu’il donne pour déterminer la section conique, lorsqu’on connaît la vitesse et la direction dans un point donné.
Que $\mathrm {P}$ soit ce point (fig. 1), et que le corps en parte suivant la direction
tion $\mathrm {PR}$ et avec une vitesse capable de lui faire décrire la petite ligne $\mathrm {PR}$ dans un espace de temps infiniment petit. Que dans le même temps la force centripète tendante au foyer $\mathrm {S}$ lui fasse décrire l’espace $\mathrm {QR} \,;$ ayant
$\mathrm {PT}$
$\mathrm {SR} ,$
$\mathrm {\frac {{\overline {PT}}^{2}}{QR}} ,$
$\mathrm {PT,QR}$
Or, si du foyer $\mathrm {S}$ on tire la perpendiculaire $\mathrm {SN}$ à la tangente $\mathrm {RPN} ,$ on a
$\mathrm {PS:SN=PR:PT} ,$
donc
$\mathrm {PT={\frac {PR\times SN}{PS}}} \,;$
par conséquent le paramètre sera exprimé, en général, par
$\mathrm {\frac {{\overline {SN}}^{2}\times {\overline {PR}}^{2}}{{\overline {PS}}^{2}\times QR}} .$
Ainsi l’on connaîtra d’abord le paramètre de la section conique que le corps $\mathrm {P}$ tend à décrire ; car dans un temps donné $\mathrm {PR}$ est comme la vitesse et $\mathrm {QR}$ comme la force centripète en $\mathrm {P} \,;$ de sorte que, puisque la force centripète est en raison de la masse attirante divisée par le carré de la distance, si l’on nomme $\mathrm {M}$ cette masse et $\mathrm {V}$ la vitesse en $\mathrm {P} ,$ le paramètre sera comme $\mathrm {\frac {{\overline {SN}}^{2}\times V^{2}}{M}} .$
Pour avoir la valeur absolue de ce paramètre, il suilira de le rapporter à celui d’une orbite connue. Par exemple, en considérant le mouvement moyen de la Terre autour du Soleil dans une orbite supposée circulaire, il n’y aura qu’à exprimer la perpendiculaire $\mathrm {SN}$ en parties de la distance moyenne du Soleil, la vitesse $\mathrm {V}$ en parties de sa vitesse moyenne et la masse $\mathrm {M}$ en parties de sa masse ; alors la formule
$\mathrm {\frac {{\overline {SN}}^{2}\times V^{2}}{M}}$
donnera le paramètre cherché en parties de la même distance moyenne.
Pour avoir les autres éléments de l’orbite, on fera, suivant la Proposition XVII du même Livre, l’angle $\mathrm {RPH}$ égal au complément à deux droits de l’angle $\mathrm {RPS} ,$ et l’on aura ainsi la position de la ligne $\mathrm {PH}$ qui passera par l’autre foyer $\mathrm {H} .$ Pour déterminer la longueur $\mathrm {PH,}$ on tirera $\mathrm {SK}$ perpendiculaire à $\mathrm {PH,}$ et, nommant $\mathrm {L}$ le paramètre déjà connu, on fera cette proportion
$\mathrm {SP+PH:PH=-2SP+2KP:L} .$
Ainsi $\mathrm {PH}$ sera donnée tant de longueur que de position, et la section conique sera par là entièrement déterminée.
4. Telle est la construction donnée par Newton ; on peut la simplifier un peu en considérant que l’angle $\mathrm {SPN}$ est égal à l’angle $\mathrm {RPH} ,$ puisqu’ils sont l’un et l’autre compléments de l’angle $\mathrm {SPR}$ à deux droits, que par conséquent, si l’on mène la perpendiculaire $\mathrm {VPF}$ à la droite $\mathrm {NPR} ,$ elle divisera en deux parties égales l’angle $\mathrm {SPH} ,$ ainsi que la droite $\mathrm {SG}$ tirée du point $\mathrm {S}$ parallèlement à la droite $\mathrm {NPR}$ et terminée à la ligne $\mathrm {PH} \,;$ d’où il est aisé de conclure que $\mathrm {SF}$ sera égale à $\mathrm {PN,}$ $\mathrm {SG}$ égale à $2\mathrm {PN} ,$ $\mathrm {PG}$ égale à $\mathrm {PS} \,;$ donc
${\begin{aligned}\mathrm {{\overline {SG}}^{2}\quad {\text{ou}}\quad 4{\overline {PN}}^{2}} =&\mathrm {{\overline {SK}}^{2}+{\overline {KG}}^{2}={\overline {SK}}^{2}+{\overline {PS-PK}}^{2}} \\=&\mathrm {{\overline {SK}}^{2}+{\overline {PK}}^{2}-2PS\times PK+{\overline {PS}}^{2}=2{\overline {PS}}^{2}-2PS\times PK} \,;\end{aligned}}$
donc
$\mathrm {PS\times PK={\overline {PS}}^{2}-2{\overline {PN}}^{2}} .$
et
$\mathrm {PS\times (PS+PK)=2{\overline {PS}}^{2}-2{\overline {PN}}^{2}=2{\overline {SN}}^{2}} .$
Substituant donc dans la proportion donnée par Newton pour $\mathrm {SP+KP}$ sa valeur $\mathrm {\frac {2{\overline {SN}}^{2}}{PS}} ,$ elle deviendra
$\mathrm {SP+PH:PH={\frac {4{\overline {SN}}^{2}}{PS}}:L} \,;$
d’où l’on tire
$\mathrm {L={\frac {4{\overline {SN}}^{2}\times PH}{(SP+PH)\times SP}}=4{\overline {SN}}^{2}\left({\frac {1}{SP}}-{\frac {1}{SP+PH}}\right)} \,;$
$\mathrm {{\frac {1}{SP+PH}}={\frac {1}{SP}}-{\frac {L}{4{\overline {SN}}^{2}}}} ,$
ce qui donne le grand axe $\mathrm {SP+PH,}$ ainsi que la longueur de $\mathrm {PH}$ en quantités connues.
5. On peut au reste déterminer la position de l’autre foyer $\mathrm {H}$ d’une manière plus directe, que nous donnerons ici, parce qu’elle nous sera utile pour notre objet. Elle consiste à trouver la valeur de la ligne $\mathrm {HI}$ (fig. 2), menée du foyer $\mathrm {H}$ perpendiculairement au rayon $\mathrm {SP} ,$ ainsi que la valeur de la partie $\mathrm {SI}$ de ce rayon.
Pour cela on considérera que, puisque $\mathrm {HI}$ est perpendiculaire sur $\mathrm {SP} ,$ comme $\mathrm {SK}$ est perpendiculaire sur $\mathrm {PH}$ dans la fig. 1, la proportion de Newton
$\mathrm {SP+PH:PH=2SP+2KP:L} ,$
étant transportée à la fig. 2, deviendra
$\mathrm {SP+PH:PS=2PH+2PI:L} \,;$
mais
$\mathrm {PI=PS-SI} \,;$
donc
$\mathrm {PS+PH:PS=2(PS+PH-SI):L} ,$
d’où l’on tire aisément
$\mathrm {{\frac {SI}{PS+PH}}=1-{\frac {L}{2PS}}} .$
Maintenant, si $\mathrm {E}$ est le point où la droite $\mathrm {PF}$ qui coupe l’angle $\mathrm {SPH}$ en deux parties égales rencontre la droite $\mathrm {IH} ,$ on aura par la propriété connue
$\mathrm {PL:IE=PH:EH-PI+PH:IH} \,;$
mais $\mathrm {PE}$ étant perpendiculaire à $\mathrm {PH,}$ le triangle $\mathrm {IPE}$ sera semblable au triangle $\mathrm {NSP} ,$ et l’on aura
$\mathrm {PI:IE=SN:NP} \,;$
d’ailleurs par la proportion donnée plus haut on a
$\mathrm {PI+PH={\frac {(SP+PH)\times L}{2PS}}} \,;$
donc, substituant ces valeurs, on aura
$\mathrm {SN:NP={\frac {(PS+PH)\times L}{2PS}}:IH} ,$
d’où l’on tire
$\mathrm {{\frac {IH}{PS+PH}}={\frac {NP\times L}{2PS\times SN}}} .$
Or la valeur du grand axe $\mathrm {PS+PH}$ est déjà connue par l’expression trouvée dans le n$^o$ 5 ; donc on aura aussi les lignes $\mathrm {SI,IH}$ en quantités toutes connues.
6. Considérons maintenant l’effet des forces perturbatrices.
D’abord, quelles que soient ces forces dans le lieu $\mathrm {P} ,$ on peut les réduire par la décomposition à trois, dont l’une agisse dans la direction de la tangente $\mathrm {PR,}$ l’autre agisse dans la direction $\mathrm {PV}$ perpendiculaire à la tangente dans le plan $\mathrm {SPR}$ qui passe par cette tangente et par le foyer $\mathrm {S} ,$ et la troisième agisse perpendiculairement à ce plan.
Il est clair que la première de ces forces n’aura d’effet que sur la vitesse du corps, que la seconde et la troisième n’en auront que sur sa direction, et en particulier la seconde y produira une déviation dans le plan de la tangente et du foyer, et la troisième y produira une déviation perpendiculaire au même plan. Or, ce plan étant celui de l’orbite que le corps décrirait sans les forces perturbatrices, il s’ensuit que la troisième des forces dont il s’agit ne fera que changer la position de l’orbite, tandis que les deux premières en changeront la figure même. D’où l’on peut conclure qu’il est permis de considérer séparément l’effet de ces deux forces réunies et celui de la troisième force ; l’un consistera à faire varier le paramètre, l’excentricité et la position de l’aphélie ; l’autre se réduira à faire varier l’inclinaison et la ligne des nœuds par rapport à un plan fixe. Newton a donné dans la Proposition XXXI du troisième Livre et dans les suivantes la méthode de déterminer ces dernières variations relativement à la Lune ; cette méthode est générale et s’applique facilement aux Planètes ; elle contient de plus les principes nécessaires pour la détermination des autres variations que Newton n’a point examinées et qui font l’objet de ces recherches. C’est ce que nous allons développer, pour remplir autant qu’il est possible le plan, que nous nous sommes proposé, de faire naître des Théories données par Newton celles qui manquent encore à son Ouvrage.
7. Supposons que la force perturbatrice suivant la tangente $\mathrm {PR}$ (fig. 1 page 568) soit à la force centripète en $\mathrm {P}$ comme $f$ à $1,$ et que la force perturbatrice suivant la perpendiculaire $\mathrm {PV}$ à la tangente soit à la même force centripète comme $g$ à $1$ comme ces forces sont toutes de la même nature et que $\mathrm {RQ}$ est l’espace que la force centripète fait décrire d’un mouvement accéléré dans le temps que le corps avec la vitesse qu’il a en $\mathrm {P}$ décrirait uniformément la ligne $\mathrm {PR,}$ il s’ensuit que $f\times \mathrm {RQ}$ et g\times\mathrm{RQ} seront aussi les espaces que les forces perturbatrices feront décrire dans le même temps d’un mouvement accéléré dans les directions $\mathrm {PR}$ et $\mathrm {PV} .$ Mais on peut supposer que les vitesses imprimées par ces forces durant ce temps soient imprimées dans le premier instant ; alors les espaces décrits en vertu de ces vitesses seront doubles, comme l’on sait par la Théorie de Galilée, et le corps, au lieu de décrire uniformément la ligne $\mathrm {PR,}$ décrira uniformément dans le même temps la ligne \mathrm Pt, telle que
$\mathrm {P} t=\mathrm {PR} +2f\times \mathrm {RQ} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {R} r=2g\times \mathrm {RQ} ,$
$\mathrm {R} r$
$\mathrm {PR} .$
$\mathrm {NPR}$
$n\mathrm {P} r,$
$\mathrm {SN} ,$
$\mathrm {S} n,$
$\mathrm {RP} r$
$\mathrm {NP} m.$
D’où il suit que, pour tenir compte des forces perturbatrices dont il s’agit, il n’y aura qu’à mettre, dans la construction donnée dans le n$^o$ 3,
$\mathrm {PR} +2f\times \mathrm {RQ}$
à la place de $\mathrm {PR} ,$ et
$\mathrm {SN} -{\frac {2g\times \mathrm {PN\times RQ} }{\mathrm {PR} }}$
à la place de $\mathrm {SN} .$
8. Donc, en premier lieu, le paramètre $\mathrm {L}$ de la section conique, qu’on a trouvé (3) égal à $\mathrm {\frac {{\overline {SN}}^{2}\times {\overline {PR}}^{2}}{{\overline {PS}}^{2}\times QR}} ,$ deviendra par l’effet des forces perturbatrices
${\frac {\left(\mathrm {SN} -{\dfrac {2g\times \mathrm {PN\times RQ} }{\mathrm {PR} }}\right)^{2}\left(\mathrm {PR} +2f\times \mathrm {RQ} \right)^{2}}{\mathrm {{\overline {PS}}^{2}\times QR} }}\,;$
par conséquent l’incrément du paramètre sera
${\frac {\left(\mathrm {SN} -{\dfrac {2g\times \mathrm {PN\times RQ} }{\mathrm {PR} }}\right)^{2}\left(\mathrm {PR} +2f\times \mathrm {RQ} \right)^{2}-\mathrm {{\overline {SN}}^{2}\times {\overline {PR}}^{2}} }{\mathrm {{\overline {PS}}^{2}\times QR} }}\,;$
c’est-à-dire, en développant les termes du numérateur et faisant attention que la flèche $\mathrm {QR}$ est infiniment plus petite que la tangente $\mathrm {PR,}$
${\frac {{\overline {\mathrm {SN} }}^{2}\times 4f\times \mathrm {PR\times RQ-PR} \times 4g\times \mathrm {SN\times PN\times RQ} }{\mathrm {{\overline {PS}}^{2}\times QR} }},$
ce qui se réduit à
${\frac {(4f\times \mathrm {SN} -4g\times \mathrm {PN} )\times \mathrm {SN\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}.$
$\mathrm {L} ,$
$\mathrm {L} +{\frac {4(f\times \mathrm {SN} -g\times \mathrm {PN} )\times \mathrm {SN\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}.$
9. On peut déterminer de même la variation du grand axe. Car, comme dans l’ellipse cet axe est toujours égal à la somme des distances aux foyers $\mathrm {SP+PH} ,$ si on le nomme $\mathrm {A} ,$ on aura, par la formule du n$^o$ 4,
$\mathrm {{\frac {1}{A}}={\frac {1}{SP}}-{\frac {L}{{\overline {4SN}}^{2}}}} .$
Or la distance $\mathrm {SP}$ étant donnée demeure la même ; mais les quantités $\mathrm {L}$ et $\mathrm {SN}$ deviennent par l’action des forces perturbatrices (5 et 6)
$\mathrm {L} +{\frac {4f\times \mathrm {SN} -g\times \mathrm {PN} )\times \mathrm {SN\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}},\quad \mathrm {SN} -{\frac {2g\times \mathrm {PN\times RQ} }{\mathrm {PR} }}\,;$
donc le terme $\mathrm {\frac {L}{4{\overline {SN}}^{2}}}$ de l’équation précédente deviendra
${\frac {\mathrm {L} +{\cfrac {4f\times \mathrm {SN} -g\times \mathrm {PN} )\times \mathrm {SN\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}}{4\left(\mathrm {SN} -{\cfrac {2g\times \mathrm {PN\times RQ} }{\mathrm {PR} }}\right)^{2}}},$
c’est-à-dire, en développant les termes et négligeant ce qu’on doit négliger à cause de la quantité $\mathrm {PR}$ infiniment petite et de la $\mathrm {RQ}$ infiniment plus petite que $\mathrm {PR} ,$
$\mathrm {\frac {L}{4{\overline {SN}}^{2}}} +{\frac {f\times \mathrm {PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}-{\frac {g\times \mathrm {PN\times PR} }{\mathrm {{\overline {PS}}^{2}\times SN} }}+{\frac {\mathrm {L} g\times \mathrm {PN\times RQ} }{\mathrm {{\overline {SN}}^{2}\times PR} }}.$
Mais (6)
$\mathrm {L={\frac {{\overline {SN}}^{2}\times {\overline {PR}}^{2}}{{\overline {PS}}^{2}\times RQ}}} \,;$
donc
$\mathrm {L\times RQ={\frac {{\overline {SN}}^{2}\times {\overline {PR}}^{2}}{{\overline {PS}}^{2}}}} \,;$
$\mathrm {\frac {L}{4{\overline {SN}}^{2}}} +{\frac {f\times \mathrm {PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}\,;$
${\frac {f\times \mathrm {PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}$
$\mathrm {\frac {L}{4{\overline {SN}}^{2}}} \,;$
${\frac {f\times \mathrm {PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}$
${\frac {1}{\mathrm {A} }},$
${\frac {1}{\mathrm {SP} }}$
Ainsi la quantité ${\frac {1}{\mathrm {A} }}$ deviendra ${\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {f\times \mathrm {PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}},$ et par conséquent la quantité $\mathrm {A}$ deviendra
${\frac {1}{{\cfrac {1}{\mathrm {A} }}-{\cfrac {f\times \mathrm {PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}}}\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {\mathrm {A} }{1-{\cfrac {f\times \mathrm {A\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}}},$
c’est-à-dire, à cause de $\mathrm {PR}$ infiniment petite,
$\mathrm {A} +{\frac {f\times \mathrm {A^{2}\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}.$
D’où il s’ensuit que le grand axe de l’orbite, qui sans les forces perturbatrices serait $\mathrm {A} ,$ sera augmenté par l’action de ces forces de la quantité $f\times {\frac {\mathrm {A^{2}\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}.$
10. Voyons maintenant les changements que cette même action doit produire dans l’excentricité de l’orbite et dans la position même du grand axe.
Il est clair que tout se réduit à déterminer ceux qui en résultent dans le lieu du second foyer $\mathrm {H} .$
D’abord, puisque le grand axe $\mathrm {A} ,$ dont nous venons de déterminer la variation, est égal à la somme des deux rayons $\mathrm {PS}$ et $\mathrm {PH,}$ et que le rayon $\mathrm {PS}$ est constant, les points $\mathrm {S}$ et $\mathrm {P}$ étant censés donnés, il s’ensuit que la variation de $\mathrm {A}$ sera aussi celle de la ligne $\mathrm {PH} \,;$ par conséquent cette ligne recevra par l’action des forces perturbatrices une augmentation exprimée par la quantité $f\times {\frac {\mathrm {A^{2}\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}.$
Ensuite, comme l’angle $\mathrm {SPH}$ est toujours le complément à deux droits du double de l’angle $\mathrm {NPS}$ fait par le rayon et la tangente, le premier de ces angles augmentera d’une quantité double de celle dont le second sera diminué.
Or, la tangente $\mathrm {NP}$ étant transportée par l’action des forces perturhatrices en $n\mathrm {P} ,$ en sorte que la perpendiculaire $\mathrm {SN}$ devient (7)
$\mathrm {S} n=\mathrm {SN} -2g\mathrm {\frac {PN\times RQ}{PR}} ,$
il est clair que l’angle $\mathrm {NPS}$ se trouvera diminué de l’angle
$\mathrm {NP} n={\frac {\mathrm {N} m}{\mathrm {PN} }}={\frac {\mathrm {NS} -n\mathrm {S} }{\mathrm {PN} }}=2g\mathrm {\frac {RQ}{PR}} \,;$
donc, puisque (3)
$\mathrm {{\frac {RQ}{PR}}={\frac {{\overline {SN}}^{2}\times PR}{L\times {\overline {PS}}^{2}}}} ,$
l’incrément de l’angle $\mathrm {SPH}$ sera exprimé par
$4g\times \mathrm {\frac {{\overline {SN}}^{2}\times PR,}{L\times {\overline {PS}}^{2}}} .$
11. Ainsi, dans le triangle $\mathrm {SPH} ,$ le côté $\mathrm {SP}$ étant constant, le côté $\mathrm {PH}$ augmentant de $f\times {\frac {\mathrm {A^{2}\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}},$ et l’angle $\mathrm {SPH}$ augmentant de $4g\times \mathrm {\frac {{\overline {SN}}^{2}\times PR,}{L\times {\overline {PS}}^{2}}} ,$ il s’agira de déterminer les variations du côté $\mathrm {SH}$ et de l’angle $\mathrm {PSH} \,;$ l’une sera la variation de l’excentricité et l’autre celle du lieu de l’aphélie.
Comme ces variations sont infiniment petites à cause de la $\mathrm {PR}$ supposée infiniment petite, on pourra les considérer chacune à part, et la somme des variations partielles sera la variation totale.
Ainsi :
1$^o$ Ayant (fig. 3) pris dans le prolongement de $\mathrm {PH}$ la partie infiniment petite $\mathrm {H} h=f\times {\frac {\mathrm {A^{2}\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}},$ et mené la $\mathrm {S} h,$ ainsi que la $\mathrm {H} l$ perpendiculaire sur $\mathrm {SH} ,$ on aura $lh$ pour l’incrément de $\mathrm {SH} ,$ et $h\mathrm {SH}$ pour celui de l’angle $\mathrm {PSH}$ en vertu de l’incrément $h\mathrm {H}$ du côté $\mathrm {PH} .$
Ayant abaissé la perpendiculaire $\mathrm {PL}$ sur le côté $\mathrm {SH} ,$ les triangles semblables $h\mathrm {H} l$ et $\mathrm {PHL}$ donneront
$lh={\frac {\mathrm {LH} \times h\mathrm {H} }{\mathrm {PH} }},\quad l\mathrm {H} ={\frac {\mathrm {PL} \times h\mathrm {H} }{\mathrm {PH} }}\,;$
et, comme ${\frac {l\mathrm {H} }{\mathrm {S} l}}$ ou ${\frac {l\mathrm {H} }{\mathrm {SH} }}$ est la mesure de l’angle infiniment petit $h\mathrm {SH} ,$ cet angle sera exprimé par
${\frac {\mathrm {PL} \times h\mathrm {H} }{\mathrm {SH\times PH} }}.$
Donc l’incrément de $\mathrm {SH}$ sera
$f\times \mathrm {\frac {A^{2}\times LH\times PR}{PH\times {\overline {PS}}^{2}}} .$
et celui de l’angle $\mathrm {PSH}$ sera
$f\times \mathrm {\frac {A^{2}\times PL\times PR}{SH\times PH\times {\overline {PS}}^{2}}} .$
2$^o$ Ayant tiré la ligne $\mathrm {P} h$ égale à la $\mathrm {PH}$ (fig. 4.), et faisant avec elle l’angle infiniment petit ligne $\mathrm {S} h$ sera ce que devient la $\mathrm {SH}$ par la variation de l’angle $\mathrm {SPH} .$ Si donc on abaisse la perpendiculaire $\mathrm {H} i$ sur $\mathrm {SH} ,$ on aura $ih$ pour l’incrément de $\mathrm {SH}$ et ${\frac {i\mathrm {H} }{\mathrm {SH} }}$ pour le décrément de l’angle $\mathrm {PSH} .$ Or, ayant joint la $\mathrm {H} h$ et abaissé la perpendiculaire
$\mathrm {PL}$ sur la base $\mathrm {SH} ,$ on a le triangle infiniment petit $h\mathrm {H} i$ semblable au triangle $\mathrm {PHL} \,;$ par conséquent
$ih={\frac {\mathrm {PL\times H} h}{\mathrm {PH} }},\quad i\mathrm {H} ={\frac {\mathrm {LH\times H} h}{\mathrm {PH} }}.$
Mais, ${\frac {\mathrm {H} h}{\mathrm {PH} }}$ étant la mesure de l’angle $\mathrm {HP} h,$ on aura
$\mathrm {H} h=4g\times \mathrm {\frac {{\overline {SN}}^{2}\times PH\times PR}{L\times {\overline {PS}}^{2}}} .$
Donc l’incrément de $\mathrm {SH}$ sera exprimé par
$4g\times \mathrm {\frac {{\overline {SN}}^{2}\times PL\times PR}{L\times {\overline {PS}}^{2}}} ,$
et le décrément de l’angle $\mathrm {PSH}$ le sera par
$4g\times \mathrm {\frac {{\overline {SN}}^{2}\times LH\times PR}{L\times {\overline {PS}}^{2}\times SH}} \,;$
ou bien, en mettant pour $\mathrm {\frac {4{\overline {SN}}^{2}}{L}}$ sa valeur $\mathrm {\frac {(SP+PH)\times SP}{PH}}$ tirée de l’équation du n$^o$ 4, c’est-à-dire (7) $\mathrm {\frac {A\times PS}{PH}} ,$ on aura
$g\times \mathrm {\frac {A\times PL\times PR}{PH\times PS}} ,$
$\mathrm {SH} ,$
$g\times \mathrm {\frac {A\times LH\times PR}{SH\times PH\times PS}}$
pour le décrément de l’angle $\mathrm {PSH} .$
De sorte que, réunissant les incréments et les décréments des mêmes quantités dus aux variations de $\mathrm {PH}$ et de l’angle $\mathrm {PSH} ,$ on aura entin pour l’incrément total de la ligne $\mathrm {SH}$
$f\times \mathrm {\frac {A^{2}\times LH\times PR}{PH\times {\overline {PS}}^{2}}} +g\times \mathrm {\frac {A\times PL\times PR}{PH\times PS}} ,$
et pour celui de l’angle $\mathrm {PSH}$
$f\times \mathrm {\frac {A^{2}\times PL\times PR}{SH\times PH\times {\overline {PS}}^{2}}} -g\times \mathrm {\frac {A\times LH\times PR}{SH\times PH\times PS}} .$
La première de ces deux quantités représentera la variation du double de l’excentricité $\mathrm {CS}$ (fig. I, page 568), et la seconde exprimera celle du lieu de l’aphélie $\mathrm {D} .$
12. La manière dont nous venons de déterminer ces variations est celle qui se présente naturellement d’après la construction donnée par Newton ; mais on y peut parvenir plus facilement par les formules que nous avons trouvées dans le n$^o$ 5.
Ces formules sont, en mettant $\mathrm {A}$ pour $\mathrm {PS+PH}$ (fig. 2, page 571),
$\mathrm {{\frac {SI}{A}}=1-{\frac {L}{2PS}},\quad {\frac {IH}{A}}={\frac {L}{2PS}}\times {\frac {NP}{SN}}} .$
Ainsi :
1$^o$ Comme $\mathrm {PS}$ est censée constante, l’incrément de $\mathrm {\frac {SI}{A}}$ sera égal à $-{\frac {l}{2\mathrm {PS} }},$ en représentant par $l$ l’incrément de $\mathrm {L} \,;$ mais cet incrément a été trouvé dans le n$^o$ 8 de
${\frac {4(f\times \mathrm {SN} -g\times \mathrm {PN} )\times \mathrm {SN\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{2}}}\,;$
$l,$
$\mathrm {\frac {SI}{A}}$
$-{\frac {2(f\times \mathrm {SN} -g\times \mathrm {PN} )\times \mathrm {SN\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{3}}}.$
2$^o$ L’incrément de $\mathrm {\frac {IH}{A}}$ sera exprimé par
$\mathrm {\frac {NP}{SN}} \times {\frac {l}{2\mathrm {PS} }}+\mathrm {\frac {L}{2PS}} \left[{\frac {nm}{\mathrm {SN} }}-{\frac {\mathrm {NP} \times (-\mathrm {N} m)}{{\overline {\mathrm {SN} }}^{2}}}\right],$
puisque $nm$ et $-\mathrm {N} m$ sont les incréments des lignes $\mathrm {NP,SN}$ (fig. 1, page 568) ; je donne à $\mathrm {N} m$ le signe $-$ parce que c’est la quantité dont $\mathrm {SN}$ diminue, au lieu d’augmenter, par le changement de position de la tangente $\mathrm {NR} .$ Or il est clair que les triangles semblables $\mathrm {NP} m$ et $n\mathrm {S} m$ donnent
$\mathrm {NP:NS=N} m:nm,$
et par conséquent
$nm={\frac {\mathrm {NS\times N} m}{\mathrm {NP} }}\,;$
de plus on a trouvé dans le n$^o$ 7
$\mathrm {N} m={\frac {\mathrm {PN\times R} r}{\mathrm {PR} }},\quad \mathrm {R} r=2g\times \mathrm {RQ} \,;$
d’ailleurs, puisque on aura
$\mathrm {L={\frac {{\overline {SN}}^{2}\times {\overline {PR}}^{2}}{{\overline {PS}}^{2}\times QR}}} ,$
on aura
$\mathrm {QR={\frac {{\overline {SN}}^{2}\times {\overline {PR}}^{2}}{L\times {\overline {PS}}^{2}}}} .$
Ainsi la seconde partie de la valeur de l’incrément dont il s’agit se réduira d’abord à
$\mathrm {{\frac {L}{2PS}}\left({\frac {1}{NP}}+{\frac {NP}{{\overline {SN}}^{2}}}\right)\times N} m,$
$\mathrm {{\overline {SN}}^{2}+{\overline {NP}}^{2}={\overline {SP}}^{2}}$
${\frac {\mathrm {L\times PS\times N} m}{\mathrm {2NP\times {\overline {SN}}^{2}} }},$
et, mettant pour $\mathrm {N} m$ sa valeur
${\frac {2g\times \mathrm {PN\times RQ} }{\mathrm {PR} }},\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {2g\times \mathrm {{\overline {SN}}^{2}\times PN\times PR} }{\mathrm {L\times {\overline {PS}}^{2}} }},$
elle deviendra
${\frac {g\times \mathrm {PR} }{\mathrm {PS} }}.$
À l’égard de la première partie de la même valeur, il n’y a qu’à y substituer la valeur de $l$ déjà trouvée, ce qui la change en
${\frac {2(f\times \mathrm {SN} -g\times \mathrm {NP} )\times \mathrm {NP\times PR} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{3}}}.$
Donc la valeur totale de l’incrément de $\mathrm {\frac {IH}{A}}$ sera
$\left[{\frac {2(f\times \mathrm {SN} -g\times \mathrm {PN} )\times \mathrm {PN} }{{\overline {\mathrm {PS} }}^{3}}}+\mathrm {\frac {Q}{PS}} \right]\times \mathrm {PR} \,;$
et cette expression, à cause de $\mathrm {{\overline {PS}}^{2}={\overline {SN}}^{2}+{\overline {NP}}^{2}}$, peut encore se changer en celle-ci
$\left[(f\times \mathrm {SN} -g\times \mathrm {PN} )\times \mathrm {PN} +(f\times \mathrm {PN} +g\times \mathrm {SN} )\times \mathrm {SN} \right]\mathrm {\frac {PR}{{\overline {PS}}^{3}}} .$
13. Si l’on voulait comparer ces formules avec celles qu’on a trouvées dans le numéro précédent, et en montrer l’accord, on y parviendrait facilement en employant le calcul algébrique.
Soit $r$ le rayon $\mathrm {SP} ,$ $\mathrm {E}$ la distance des foyers $\mathrm {SH} ,$ $\varphi$ l’angle $\mathrm {PSH} ,$ $\theta$ l’angle $\mathrm {PHS}$ et $ds$ le petit espace parcouru $\mathrm {PR} \,;$ il est aisé de traduire les formules du n$^o$ 11 en celles-ci, dans lesquelles j’emploie la caractéristique $\delta$ pour représenter les incréments relatifs aux variations des éléments de l’orbite,
$\delta \mathrm {E} =f{\frac {\mathrm {A} ^{2}\cos \theta ds}{r^{2}}}+g{\frac {\mathrm {A} \sin \theta ds}{r}},\quad \delta \varphi =f{\frac {\mathrm {A} ^{2}\sin \theta ds}{\mathrm {E} r^{2}}}-g{\frac {\mathrm {A} \cos \theta ds}{\mathrm {E} r}}.$
Ces formules donnent directement les transformées suivantes
${\begin{aligned}\delta (\mathrm {E} \sin \varphi )=&f{\frac {\mathrm {A} ^{2}\sin(\varphi +\theta )ds}{r^{2}}}-g{\frac {\mathrm {A} \cos(\varphi +\theta )ds}{r}},\\\delta (\mathrm {E} \cos \varphi )=&f{\frac {\mathrm {A} ^{2}\cos(\varphi +\theta )ds}{r^{2}}}+g{\frac {\mathrm {A} \sin(\varphi +\theta )ds}{r}}.\end{aligned}}$
Mais la somme des angles $\varphi$ et $\theta$ étant le complément à deux droits de l’angle $\mathrm {SPH} ,$ si l’on nomme ce dernier angle $\psi ,$ on a
$\sin(\varphi +\theta )=\sin \psi ,\quad \cos(\varphi +\theta )=-\cos \psi \,;$
par conséquent on aura
${\begin{aligned}\delta (\mathrm {E} \sin \varphi )=&f{\frac {\mathrm {A} ^{2}\sin \psi ds}{r^{2}}}+g{\frac {\mathrm {A} \cos \psi ds}{r}},\\\delta (\mathrm {E} \cos \varphi )=&-f{\frac {\mathrm {A} ^{2}\cos \psi ds}{r^{2}}}+g{\frac {\mathrm {A} \sin \psi ds}{r}}.\end{aligned}}$
Or on a trouvé dans le n$^o$ 9
$\delta \mathrm {A} =f{\frac {\mathrm {A} ^{2}ds}{r}}\,;$
ainsi l’on aura
${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&f{\frac {\mathrm {A} \sin \psi ds}{r^{2}}}+g{\frac {\cos \psi ds}{r}}-f{\frac {\mathrm {E} \sin \varphi ds}{r^{2}}},\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&-f{\frac {\mathrm {A} \cos \psi ds}{r^{2}}}+g{\frac {\sin \psi ds}{r}}-f{\frac {\mathrm {E} \cos \varphi ds}{r^{2}}}.\end{aligned}}$
Si maintenant on nomme $\mathrm {R}$ le rayon $\mathrm {PH} ,$ on aura, par la propriété connue,
$\mathrm {A} =r+\mathrm {R} ,$
${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&{\frac {f\sin \psi +g\cos \psi }{r}}ds-f{\frac {\mathrm {E} \sin \varphi -\mathrm {R} \sin \psi }{r^{2}}}ds,\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&-{\frac {f\cos \psi -g\sin \psi }{r}}ds-f{\frac {\mathrm {E} \cos \varphi +\mathrm {R} \cos \psi }{r^{2}}}ds.\end{aligned}}$
Or dans le triangle $\mathrm {PSH}$ on a évidemment
$\mathrm {E\sin \varphi -R\sin \psi =0,\quad E\cos \varphi +R} \cos \psi =r\,;$
donc
${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&{\frac {f\sin \psi +g\cos \psi }{r}}ds,\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&-{\frac {f(1+\cos \psi )-g\sin \psi }{r}}ds.\end{aligned}}$
Enfin on sait que l’angle $\psi$ ou $\mathrm {SPH}$ est le complément à deux droits du double de l’angle $\mathrm {NPS} \,;$ de sorte qu’en nommant $\omega$ ce dernier angle, on aura
$\sin \psi =\sin 2\omega =2\sin \omega \cos \omega ,\quad \cos \psi =-\cos 2\omega =\sin ^{2}\omega -\cos ^{2}\omega ,$
$1+\cos \psi =2\sin ^{2}\omega \,;$
par ces substitutions, les équations trouvées en dernier lieu deviendront
${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&{\frac {2f\sin \omega \cos \omega +g\left(\sin ^{2}\omega -\cos ^{2}\omega \right)}{r}}ds\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&-{\frac {2f\sin ^{2}\omega -2g\sin \omega \cos \omega }{r}}ds,\end{aligned}}$
ou bien
${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&{\frac {f\sin \omega -g\cos \omega }{r}}\cos \omega ds+{\frac {f\cos \omega +g\sin \omega }{r}}\sin \omega ds,\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&-2{\frac {f\sin \omega -g\cos \omega }{r}}\sin \omega ds.\end{aligned}}$
Il est visible qu’on a dans la fig. 2, page 571,
$\mathrm {IH=E\sin \varphi ,\quad SI=E\cos \varphi ,\quad {\frac {SN}{SP}}=\sin \omega ,\quad {\frac {PN}{SP}}} =\cos \omega \,;$
ainsi les formules précédentes sont identiques avec celles du n$^o$ 12.
14. On peut au reste mettre ces formules sous une forme plus simple, en réduisant les forces perturbatrices à la direction du rayon et à la perpendiculaire à ce rayon.
Supposons donc ces forces réduites à deux, l’une suivant $\mathrm {PX}$ et l’autre suivant $\mathrm {PT}$ (fig. 1, page 568) ; que la première soit à la force centripète en $\rho$ comme $\rho$ à $1,$ et que la seconde soit à la même force centripète comme $\varpi$ à $1,$ il est aisé de prouver par les Théorèmes connus sur la composition et la décomposition des forces, que les deux forces suivant $\mathrm {PR}$ et suivant $\mathrm {PV}$ (7), étant réduites aux directions $\mathrm {PX}$ et $\mathrm {PT,}$ donneront
$\rho =f\cos \omega +g\sin \omega ,\quad \varpi =f\sin \omega -g\cos \omega .$
De plus il est clair que
$\sin \omega ds=\mathrm {PT} ,\quad \cos \omega ds=\mathrm {TR} ,$
puisque $ds=\mathrm {PR} \,;$ mais $\mathrm {PS}$ étant égal à $r,$ $\mathrm {TR}$ sera $dr,$ et, si l’on nomme $dq$ le petit angle $\mathrm {PSQ}$ décrit autour du foyer $\mathrm {S} ,$ on aura $\mathrm {PT} =rdq.$ Par le moyen de ces substitutions, les formules ci-dessus deviendront
$\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)={\frac {\varpi dr}{r}}+\rho dq,\quad \delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=-2\varpi dq.$
15. Puisque $dq$ est l’angle élémentaire décrit par le rayon $r,$ $q$ sera l’angle que ce rayon fait avec une ligne fixe ; soit $\alpha$ l’angle que le grand axe $\mathrm {AD}$ fait avec la même ligne, on aura
$\varphi =\alpha -q,$
et, supposant
$\mathrm {\frac {E\sin \alpha }{A}} =m,\quad \mathrm {\frac {E\cos \alpha }{A}} =n,$
on aura
$\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} =m\cos q-n\sin q,\quad \mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} =n\cos q+m\sin q\,;$
et, comme la caractéristique $\delta$ ne se rapporte qu’à la variation des éléments de l’ellipse et nullement à celle de l’angle $q$ qui est censé con-
$\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=\cos q\delta m-\sin q\delta n,\quad \delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=\cos q\delta n+\sin q\delta m,$
${\begin{aligned}\delta m=&\cos q\times \delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)+\sin q\times \delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right),\\\delta n\ =&\cos q\times \delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)-\sin q\times \delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right).\end{aligned}}$
Donc, en substituant les valeurs du numéro précédenet, et changeant la caractéristique $\delta$ en $d,$ puisque, les quantités $m$ et $n$ étant maintenant regardées comme variables en même temps que $r$ et $q,$ leurs variations sont de la même nature que les différences de celles-ci, on aura ces formules
${\begin{aligned}dm=&{\frac {\varpi \cos qdr}{r}}+(\rho \cos q-2\varpi \sin q)dq,\\dn\ =&-{\frac {\varpi \sin qdr}{r}}-(\rho \sin q+2\varpi \cos q)dq,\end{aligned}}$
lesquelles s’accordent avec celles que nous avons trouvées dans la Théorie des variations séculaires, en observant que dans cette Théorie les quantités ${\frac {d\Omega }{dr}}$ et ${\frac {1}{r}}{\frac {d\Omega }{dq}}$ représentent tes forces perturbatrices suivant $\mathrm {PS}$ et suivant $\mathrm {TP}$ (fig. 1, page 568), et que la force centripète en $\rho$ y est supposée ${\frac {1}{r^{2}}}$ en sorte que $-r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}$ et $-r{\frac {d\Omega }{dq}}$ y sont ce que nous avons désigné par $\rho$ et $\varpi .$
16. Si l’on voulait introduire ces quantités $\rho$ et $\varpi$ à la place des quantités $f$ et $g$ dans les premières formules du n$^o$ 11, il n’y aurait qu’à tirer des équations
$\rho =f\cos \omega +g\sin \omega ,\quad \varpi =f\sin \omega -g\cos \omega ,$
les valeurs de $f$ et $g,$ lesquelles seront
$f=\rho \cos \omega +\varpi \sin \omega ,\quad g=\rho \sin \omega -\varpi \cos \omega ,$
et les substituer dans les formules dont il s’agit.
Puisque
$\sin \omega ds=rdq,\quad \cos \omega ds=dr,$
on aura
$fds=\rho dr+\varpi rdq,\quad gds=\rho rdq-\varpi dr,$
et l’on aura par le n$^o$ 13
${\begin{aligned}&\mathrm {\frac {\delta E}{A}} ={\frac {\mathrm {A} \cos \theta (\rho dr+\varpi rdq)}{r^{2}}}+{\frac {\sin \theta (\rho rdq-\varpi dr)}{r}},\\&\mathrm {\frac {E\delta \varphi }{A}} ={\frac {\mathrm {A} \sin \theta (\rho dr+\varpi rdq)}{r^{2}}}-{\frac {\cos \theta (\rho rdq-\varpi dr)}{r}}.\end{aligned}}$
Mais on pourra avoir des formules plus simples à quelques égards, en les déduisant immédiatement de celles du n$^o$ 14. Car, puisque
${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {\frac {E\sin \varphi }{A}} \right)=&\sin \varphi \ \delta \mathrm {\frac {E}{A}} +\mathrm {\frac {E}{A}} \cos \varphi \ \delta \varphi ,\\\delta \left(\mathrm {\frac {E\cos \varphi }{A}} \right)=&\cos \varphi \ \delta \mathrm {\frac {E}{A}} -\mathrm {\frac {E}{A}} \sin \varphi \ \delta \varphi ,\end{aligned}}$
on aura sur-le-champ
${\begin{aligned}\delta \mathrm {\frac {E}{A}} =&\sin \varphi \left({\frac {\varpi dr}{r}}+\rho dq\right)-2\cos \varphi \times \varpi dq,\\\mathrm {\frac {E\delta \varphi }{A}} =&\cos \varphi \left({\frac {\varpi dr}{r}}+\rho dq\right)+2\sin \varphi \times \varpi dq.\end{aligned}}$
Enfin, si l’on voulait aussi exprimer par des formules analytiques les variations du paramètre $\mathrm {L}$ et du grand axe $\mathrm {A} ,$ on aurait par les n$^{os}$ 8 et 9
$\delta \mathrm {L} =4\varpi \rho dq,\quad \delta \mathrm {A} ={\frac {\mathrm {A} ^{2}(\rho dr+\varpi rdq)}{r^{2}}}.$
* ↑ Voyez la Théorie des variations séculaires, page 125 de ce volume.