# Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Note 12
### NOTE XII. SUR LA MANIÈRE DE TRANSFORMER TOUTE ÉQUATION, EN SORTE QUE LES TERMES QUI CONTIENNENT L’INCONNUE AIENT LE MÊME SIGNE ET QUE LE TERME TOUT CONNU AIT UN SIGNE DIFFÉRENT.

J’ai observé, dans l’Introduction, que les méthodes de Viète et de Harriot pour la résolution des équations numériques ne peuvent s’appliquer d’une manière certaine qu’aux équations dont tous les termes qui contiennent l’inconnue ont le même signe et le terme tout connu a un signe différent, et j’ai dit qu’on peut toujours ramener à cette forme toute équation, pourvu qu’on ait deux limites d’une de ses racines, lesquelles soient assez rapprochées, pour que toutes les autres racines réelles, ainsi que les parties réelles des racines imaginaires, s’il y en a, tombent hors de ces limites. Comme j’ignore si cette transformation est connue, je crois devoir l’exposer ici, afin que ceux qui désireraient se servir des anciennes méthodes puissent toujours les employer avec succès.
1. Soient $a,b$ les deux limites données ou connues d’une manière quelconque, $a$ la limite en moins, $b$ la limite en plus. En supposant que $x$ soit l’inconnue de l’équation proposée, on fera $x={\frac {a+by}{1+y}},$ et, après les substitutions et les réductions, on aura une équation transformée en $y,$ du même degré que l’équation en $x,$ qui aura la forme demandée si la limite a est assez près de la valeur de la racine.
Car soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les racines de l’équation proposée en $x,$ et $\alpha$ la racine dont $a$ et $b$ sont les limites. Puisque $x={\frac {a+by}{1+y}},$ on aura
$y={\frac {x-a}{b-x}}\,;$
donc les racines de l’équation en $y$ seront
${\frac {\alpha -a}{b-\alpha }},\quad {\frac {\beta -a}{b-\beta }},\quad {\frac {\gamma -a}{b-\gamma }},\quad \ldots .$
Or on a, par l’hypothèse, $a<\alpha <b\,;$ donc $\alpha -a>0,\ b-\alpha >0\,;$ donc la racine ${\frac {\alpha -a}{b-\alpha }}$ sera positive et d’autant plus petite que la différence entre la limite $a$ et la racine $\alpha$ sera moindre. Ensuite, comme les autres racines $\beta ,\gamma ,\ldots$ sont supposées tomber hors des limites $a$ et $b,$ si $\beta <a,$ on aura aussi nécessairement $\beta <b\,;$ donc $\beta -a<0$ et $b-\beta >0\,;$ donc la racine ${\frac {\beta -a}{b-\beta }}$ sera nécessairement négative. Si, au contraire, $\beta >b,$ on aura aussi $\beta >a\,;$ donc $\beta -a>0$ et $b-\beta <0\,;$ donc ${\frac {\beta -a}{b-\beta }}$ sera encore une quantité négative. Donc la racine ${\frac {\beta -a}{b-\beta }}$ sera dans tous les cas négative. Il en sera de même de toute autre racine, comme ${\frac {\gamma -a}{b-\gamma }},$ qui correspond à une racine réelle $\gamma$ de l’équation en $x.$
Mais supposons que $\beta$ et $\gamma$ soient imaginaires ; elles seront nécessairement de la forme
$\rho +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \rho -\sigma {\sqrt {-1}},$
$\rho$ et $\sigma$ étant des quantités réelles (Note IX) ; donc, faisant $\beta =\rho +\sigma {\sqrt {-1}},$ la racine ${\frac {\beta -a}{b-\beta }}$ deviendra
${\frac {\rho -a+\sigma {\sqrt {-1}}}{b-\rho -\sigma {\sqrt {-1}}}}\,;$
multiplions le haut et le bas par $b-\rho +\sigma {\sqrt {-1}},$ on aura
${\frac {(\rho -a)(b-\rho )-\sigma ^{2}+(b-a)\sigma {\sqrt {-1}}}{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}}.$
$\rho$
$a$
$b\,;$
$\rho <a,$
$\rho <b,$
$\rho -a<0,$
$b-\rho >0,$
$(\rho -a)(b-\rho )<0\,;$
$\rho >b,$
$\rho >a,$
$\rho -a>0,\ b-\rho <0,$
$(\rho -a)(b-\rho )<0.$
$(\rho -a)(b-\rho )$
Donc, puisque $\sigma ^{2}$ et $(b-\rho )^{2}$ sont essentiellement des quantités positives, la racine ${\frac {\beta -a}{b-\beta }}$ deviendra, dans ce cas, de la forme
$-\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},$
$\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des quantités réelles, et $\mathrm {P}$ étant essentiellement positive. De même, en faisant $\gamma =\rho -\sigma {\sqrt {-1}},$ la racine ${\frac {\gamma -a}{b-\gamma }}$ deviendra
$-\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},$
et ainsi des autres racines imaginaires.
Donc, en prenant des quantités positives $p,q,r,\ldots ,$ $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ les racines réelles de l’équation en $x$ donneront dans la transformée en $y$ les racines réelles
$p,\ \ -q,\ \ -r,\ \ \ldots ,$
et les racines imaginaires de la même équation donneront dans la transformée les racines
$-\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\quad \ldots .$
Donc la transformée en $y$ sera formée des facteurs
$y-p,\quad y+q,\quad y+r,\quad \ldots ,$
$y+\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\quad \ldots .$
Or les deux facteurs imaginaires $y+\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}}$ et $y+\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}}$ donnent le facteur double réel
$y^{2}+2\mathrm {P} y+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} ,$
et ainsi des autres. Donc l’équation en $y$ sera
$(y-p)(y+q)(y+r)\ldots \left(y^{2}+2\mathrm {P} y+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} \right)\left(y^{2}+2\mathrm {R} y+\mathrm {R^{2}+S^{2}} \right)\ldots =0.$
2. Considérons le produit de tous ces facteurs, excepté le premier $y-p\,;$ comme tous les termes de ces facteurs sont positifs, il est visible que leur produit, ordonné par rapport à $y,$ ne pourra contenir que des termes positifs. Le produit sera donc de la forme
$y^{m-1}+\mathrm {A} y^{m-2}+\mathrm {B} y^{m-3}+\ldots +\mathrm {K} ,$
où les coefficients $\mathrm {A,B,C,\ldots ,K}$ seront tous positifs, sans qu’aucun puisse être nul. Multiplions maintenant ce polynôme par le facteur $y-p,$ on aura
$y^{m}+(\mathrm {A} -p)y^{m-1}+(\mathrm {B-A} p)y^{m-2}+(\mathrm {C-B} p)y^{m-3}+\ldots -\mathrm {K} p=0,$
pour l’équation en $y.$
On voit ici que le dernier terme $-\mathrm {K} p$ est essentiellement négatif et que les termes précédents seront tous positifs si l’on a $\mathrm {A} >p,\ \mathrm {B>A} p,$ $\mathrm {C>B} p,\ldots .$ Comme en rapprochant la limite $a$ de la racine $\alpha$ la valeur de $p,$ qui est ${\frac {\alpha -a}{b-\alpha }},$ peut devenir aussi petite qu’on voudra, il est clair qu’on pourra toujours prendre $a$ telle que l’on ait $p<\mathrm {A} ,\ <\mathrm {\frac {B}{A}} ,\ <\mathrm {\frac {C}{B}} ,\ldots ,$ ce qui rendra tous les termes positifs, excepté le dernier.
On ne doit pas craindre qu’en diminuant ainsi la valeur de $p$ les valeurs de $q,r,\ldots ,$ $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ diminuent en même temps, de manière à devenir nulles avec $p,$ car, en faisant $a=\alpha ,$ ce qui donne $p=0,$ la valeur de $q,$ qui est $-{\frac {\beta -a}{b-\beta }},$ deviendra
$-{\frac {\beta -\alpha }{b-\beta }},$
et les valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ qui sont $-{\frac {(\rho -a)(b-\rho )-\sigma ^{2}}{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}}$ et ${\frac {(b-a)\sigma }{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}},$ deviendront
$-{\frac {(\rho -\alpha )(b-\rho )-\sigma ^{2}}{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {(b-\alpha )\sigma }{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}},$
et ainsi des autres.
Donc on est assuré que la substitution de ${\frac {a+by}{1+y}}$ au lieu de $x$ donnera une transformée en $y$ qui aura la condition demandée, pourvu que la limite $a$ en moins soit assez près de la racine dont elle est limite, ce qu’on pourra toujours obtenir en essayant successivement pour $a$ des valeurs de plus en plus grandes.
3. On a trouvé dans le Chapitre IV (n$^o$ 27) que l’équation
$x^{3}-7x+7=0$
a trois racines, deux positives et une négative, et que les deux racines positives sont exprimées par des fractions continues, dont les termes sont $1,\ 1,\ 2,\ 4,\ldots$ et $1,\ 2,\ 1,\ 4,\ldots \,;$ de là on peut former ces fractions convergentes vers les deux racines
${\begin{array}{llllll}{\frac {1}{0}},&{\frac {1}{1}},&{\frac {2}{1}},&{\frac {5}{3}},&{\frac {22}{13}},&\ldots ,\\{\frac {1}{0}},&{\frac {1}{1}},&{\frac {3}{2}},&{\frac {4}{3}},&{\frac {19}{14}},&\ldots .\end{array}}$
On voit d’abord que $1$ et $2$ sont deux limites de la première racine mais, comme la seconde racine est renfermée entre les nombres $1$ et ${\frac {3}{2}},$ elle se trouve aussi nécessairement renfermée entre les mêmes limites ; on prendra donc les limites suivantes $2$ et ${\frac {5}{3}},$ et l’on fera $a={\frac {5}{3}},\ b=2,$ et par conséquent
$x={\frac {{\cfrac {5}{3}}+2y}{1+y}}={\frac {5+6y}{3(1+y)}}.$
Mais, puisque les multiples de $y$ ne changent pas les signes de l’équation en $y,$ on pourra faire simplement
$x={\frac {5+2y}{3+y}},$
en mettant $y$ pour $3y.$ On trouvera ainsi la transformée
$y^{3}+4y^{2}+3y-1=0,$
qui est, comme l’on voit, à l’état demandé.
De même, si l’on prend pour l’autre racine les limites ${\frac {3}{2}}$ et ${\frac {4}{3}},$ en faisant $a={\frac {4}{3}}$ et $b={\frac {3}{2}},$ et on aura la substitution
$x={\frac {{\cfrac {4}{3}}+{\cfrac {3}{2}}y}{1+y}}={\frac {8+9y}{6(1+y)}},$
ou bien, en mettant simplement $y$ au lieu de $3y,$
$x={\frac {8+3y}{6+2y}},$
et l’on trouvera la transformée
$y^{3}+8y^{2}+4y-8=0,$
qui a aussi la forme demandée.
Les limites que nous avons employées ont conduit directement aux transformées que l’on cherchait ; mais, si l’on avait pris, par exemple, pour la première racine les limites $2$ et ${\frac {3}{2}},$ qui ont également la propriété qu’aucune autre racine ne s’y trouve comprise, puisque l’autre racine positive est moindre que ${\frac {3}{2}},$ on aurait eu $a={\frac {3}{2}},\ b=2,$ ce qui aurait donné la substitution
$x={\frac {{\cfrac {3}{2}}+2y}{1+y}}={\frac {3+4y}{2(1+y)}},$
ou bien, en mettant $y$ pour $2y,$
$x={\frac {3+2y}{2+y}},$
et l’on aurait trouvé la transformée
$y^{3}+y^{2}-2y-1=0,$
qui n’a pas encore la forme demandée, parce que la racine positive se trouve trop grande.
Mais, sans recourir à une nouvelle substitution en augmentant la valeur de $a,$ il suffira de diminuer toutes les racines d’une même quantité $i,$ en faisant $y=z+i,$ et chercher ensuite par des essais une valeur de $i$ qui satisfasse aux conditions qu’on demande. On aura ainsi cette transformée
$z^{3}+(3i+1)z^{2}+\left(3i^{2}+2i-2\right)z+i^{3}+i^{2}-2i-1=0,$
et il s’agira de prendre $i$ positif et tel que $3i^{2}+2i>2$ et $i^{3}+i^{2}<2i+1.$ On voit tout de suite que $i=1$ satisfait, et l’on a la transformée
$z^{3}+4z^{2}+3z-1=0,$
qui est la même que la transformée en $y$ trouvée d’abord.
4. Nous avons vu dans l’Article III du Chapitre V (n$^o$ 72) que, si ${\frac {\varpi }{\varpi '}}$ et ${\frac {\rho }{\rho '}}$ sont deux fractions convergentes vers une des racines de l’équation en $x,$ la transformée en $t,$ qui doit servir à trouver la fraction suivante, résulte directement de la substitution de ${\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}$ au lieu de $x$ dans l’équation proposée. Faisons $t={\frac {\varpi 'y}{\rho '}},$ on aura
$x={\cfrac {{\cfrac {\rho \varpi 'y}{\rho '}}+\varpi }{\varpi '(y+1)}}={\cfrac {{\cfrac {\rho }{\rho '}}y+{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}}{y+1}}.$
Cette substitution est, comme l’on voit, analogue à celle que nous avons employée ci-dessus, en prenant ${\frac {\varpi }{\varpi '}}$ et ${\frac {\rho }{\rho '}}$ pour les deux limites que nous avons nommées $a$ et $b.$
Or, comme deux fractions consécutives sont elles-mêmes des limites alternativement plus grandes et plus petites que la racine cherchée, et qui se resserrent continuellement, il s’ensuit que les transformées qui répondent aux fractions plus petites que la racine approcheront de plus en plus d’avoir les conditions nécessaires pour pouvoir être de la forme proposée ; et les transformées intermédiaires auront la même propriété, en y substituant ${\frac {1}{y}}$ au lieu de $y,$ car, si ${\frac {\varpi }{\varpi '}}>{\frac {\rho }{\rho '}},$ l’expression de $x$ devient par cette substitution
${\cfrac {{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}y+{\cfrac {\rho }{\rho '}}}{y+1}}.$
La différence entre les deux fractions ${\frac {\varpi }{\varpi '}}$ et ${\cfrac {\rho }{\rho '}}$ étant ${\frac {1}{\varpi '\rho '}},$ lorsque cette différence sera devenue moindre que la plus petite différence entre les racines de l’équation proposée, c’est-à-dire moindre que la limite ${\frac {1}{\mathrm {L} }}$ (Note IV), on sera assuré qu’il ne pourra tomber entre ces fractions qu’une seule racine ; mais, à l’égard des parties réelles des racines imaginaires, il ne sera pas facile de s’assurer a priori qu’elles tombent hors de ces fractions, à moins de former l’équation dont les racines seraient $\alpha -{\frac {\beta +y}{2}}$ et de chercher ensuite une limite plus petite que chacune de ces racines, pour la comparer avec la même différence ${\frac {1}{\varpi '\rho '}}.$
Au reste, quoique les fractions consécutives fournissent des limites qui se resserrent de plus en plus autour de la même racine, il est possible que les transformées n’acquièrent jamais la forme dont il s’agit, par la raison que, les deux limites se resserrant à la fois, la racine positive peut aller en augmentant au lieu de diminuer. Mais, lorsqu’on sera parvenu à des fractions entre lesquelles il n’y aura qu’une seule racine réelle et aucune des parties réelles des racines imaginaires, il suffira de diminuer toutes les racines de la transformée correspondante d’une même quantité qu’on pourra trouver par quelques essais, comme on l’a vu plus haut.
Lorsqu’une équation est réduite à la forme dont nous parlons, c’est-à-dire que tous ses termes ont le même signe, à l’exception du dernieir terme tout connu, on fera passer ce dernier terme dans le second membre, et l’on pourra en extraire la racine à peu près comme dans les équations à deux termes où il n’y a qu’une seule puissance de l’inconnue seulement on aura besoin de plus d’essais et d’épreuves, à raison des différentes puissances de l’inconnue qu’elle contiendra.
Ainsi, par exemple, si l’on a l’équation du troisième degré
$y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y-\mathrm {N} =0,$
dans laquelle $\mathrm {A,B,N}$ sont supposés des nombres positifs, en la mettant sous la forme
$y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y=\mathrm {N} ,$
on voit que, au lieu d’extraire simplement du nombre $\mathrm {N}$ la racine de la puissance $y^{3},$ il s’agit d’en extraire celle de la somme des puissance : $y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y\,;$ et, si $a$ est la partie de cette racine déjà trouvée et $p$ le reste, on aura
$\left(3a^{2}+2\mathrm {A} a+\mathrm {B} \right)p+(3a+\mathrm {A} )p^{2}+p^{3}=\mathrm {N} -a^{3}-\mathrm {A} a^{2}-\mathrm {B} a,$
et par conséquent
$p<{\frac {\mathrm {N} -a\left(a^{2}+\mathrm {A} a+\mathrm {B} \right)}{3a^{2}+2\mathrm {A} a+\mathrm {B} }},$
formule qui répond à celle-ci
$p<{\frac {\mathrm {N} -a^{3}}{3a^{2}}},$
sur laquelle est fondé le procédé de l’extraction de la racine cubique.
Prenons l’équation trouvée plus haut
$y^{3}+4y^{2}+3y-1=0\,;$
la formule sera ici
$p<{\frac {1-a\left(a^{2}+4a+3\right)}{3a^{2}+8a+3}}.$
Il est d’abord facile de voir que le premier chiffre de la valeur de $a$ ne peut être que $0{,}2\,;$ faisant donc $a=0{,}2,$ on trouvera $p<{\frac {0{,}232}{4{,}72}}<0{,}05.$ En prenant $p=0{,}04,$ la nouvelle valeur de $a$ sera $0{,}24,$ et l’on trouvera
$p<{\frac {0{,}035776}{5{,}0728}}<0{,}008,\ldots .$