# Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis/Deuxième article
## 2me ARTICLE
### § 12.

Parmi les ensembles simplement ordonnés, il convient de donner une place toute particulière aux ensembles bien ordonnés (wohlgeordnete Menge) ; leurs types ordinaux, que nous nommerons nombres ordinaux (Ordnungszahl), donnent l’élément naturel d’une définition précise des puissances ou nombres cardinaux transfinis supérieurs. Cette définition est tout à fait conforme à celle que le système de tous les nombres entiers ν nous donna pour le plus petit nombre cardinal transfini alef-zéro.
Nous disons qu’un ensemble simplement ordonné F (§ 7) est bien ordonné lorsque ses éléments f s’échelonnent à partir d’un élément f$_1$, dans une succession déterminée, de telle sorte que les deux conditions suivantes soient remplies :
I. Il y a dans F un élément initial ou de rang le plus bas, f$_1$.
II. Si F′ est une partie de F, et si F possède un ou plusieurs éléments de rang plus élevé que tous les éléments de F′, il existe un élément f′ de F qui suit immédiatement l’ensemble F′, de sorte qu’il n’y ait dans F aucun élément que son rang place entre F′ et f′.
En particulier, tout élément f de F qui n’est pas l’élément d’ordre le plus élevé, est suivi d’un autre élément déterminé f′ de rang immédiatement supérieur ; ceci résulte de la condition II lorsqu’on choisit pour F′ l’élément unique f. De plus, s’il existe dans F une suite infinie d’éléments échelonnés
telle qu’il y ait dans F des éléments de rang supérieur à celui de tous les e$^{(ν)}$ et si l’on prend pour F′ l’ensemble {e$^{(ν)}$}, la condition II affirme l’existence d’un élément f′ possédant les deux propriétés suivantes : 1$^o$ f′ ≻ e$^{(ν)}$ pour toutes les valeurs de ν ; 2$^o$ il n’y a dans F aucun élément g tel que l’on ait à la fois
pour toutes les valeurs de ν.
Par exemple, les trois ensembles
où
sont bien ordonnés. Les deux premiers n’ont pas d’élément supérieur, le troisième a l’élément supérieur c$_3$ ; dans le deuxième et le troisième, l’élément b$_1$ vient immédiatement après tous les a$_ν$ ; dans le troisième, l’élément c$_1$ vient immédiatement après tous les a$_ν$ et b$_μ$.
Dans la suite, nous étendrons à des groupes d’éléments la signification des signes ≺ et ≻, introduits au § 7 pour marquer la position relative de deux éléments ; ainsi les formules
exprimeront respectivement que, dans un ordre de succession donné, tous les éléments de l’ensemble M ont des rangs inférieurs ou supérieurs à ceux des éléments de l’ensemble N.
A. Toute partie F$_1$ d’un ensemble bien ordonné F a un élément initial.
Démonstration. — Si l’élément initial f$_1$ de F appartient à F$_1$, il en est en même temps l’élément initial. S’il n’en est pas ainsi, soit F′ l’ensemble de tous les éléments de F qui ont un rang inférieur à celui de tous les éléments de F$_1$ ; il n’y a aucun élément de F entre F′ et F$_1$.
L’élément f′ qui, d’après II, suit immédiatement F′, appartient donc nécessairement à F$_1$ et en est l’élément initial.
B. Si un ensemble simplement ordonné F est tel que F et toutes ses parties ont un élément initial, F est un ensemble bien ordonné.
Démonstration. — La condition I est remplie puisque F a un élément initial.
Soit F′ une partie de F telle qu’il y ait dans F un ou plusieurs éléments ≻ F′ ; l’ensemble F$_1$ de tous ces éléments a un élément initial f′ qui suit immédiatement l’ensemble F′. La condition II est donc remplie et par suite F est un ensemble bien ordonné.
C. Toute partie F′ d’un ensemble bien ordonné est aussi un ensemble bien ordonné.
Démonstration. — D’après le théorème A, F′ et toute partie F″ de F′ (qui est également partie de F) a un élément initial ; F′ est donc, d’après le théorème B, un ensemble bien ordonné.
D. Tout ensemble G semblable à un ensemble bien ordonné F est aussi un ensemble bien ordonné.
Démonstration. — Il résulte immédiatement de la définition de la similitude (§ 7) que tout ensemble N, semblable à un ensemble M ayant un élément initial, possède aussi un élément initial.
Puisque G est semblable à F et que F, comme ensemble bien ordonné, a un élément initial, il en est de même de G.
De même, chaque partie G′ de G a un élément initial ; car une application de G sur F fait correspondre à l’ensemble G′ une partie F′ de F.
Mais F′ a, d’après le théorème A, un élément initial ; il en est de même pour G′. Ainsi G et toutes ses parties G′ ont un élément initial ; d’après le théorème B, c’est donc un ensemble bien ordonné.
E. Si dans un ensemble bien ordonné G on substitue, à la place de tous ses éléments g, des ensembles bien ordonnés F$_g$ de sorte que si g ≺ g′, on ait aussi F$_g$ ≺ F$_{g′}$, l’ensemble H obtenu de cette manière par la réunion de tous les ensembles F$_g$ est un ensemble bien ordonné.
Démonstration. — H, ainsi que toute partie H$_1$ de H, a un élément initial, ce qui, d’après le théorème B, caractérise H comme ensemble bien ordonné. En effet, si g$_1$ est l’élément initial de G, l’élément initial de F$_{g1}$ sera aussi l’élément initial de H.
De plus, les éléments d’une partie H$_1$ de H appartiennent à des ensembles F$_g$ déterminés qui, pris ensemble, forment une partie de l’ensemble bien ordonné {F$_g$}, composé de tous les éléments F$_g$, et semblable à l’ensemble G ; si F$_{g0}$ est l’élément initial de cette partie, l’élément initial de la partie H$_1$ contenue dans F$_{g0}$ est aussi élément initial de H$_1$.

### § 13. — Les segments des ensembles bien ordonnés.

Soit f un élément différent de l’élément initial f$_1$ de l’ensemble bien ordonné F ; l’ensemble A de tous les éléments de F qui sont ≺ f sera nommé un segment de F (Abschnitt von F) et, d’une façon plus précise, le segment de F déterminé par l’élément f. Au contraire, l’ensemble R de tous les autres éléments de F, y compris f, sera appelé le reste de F, ou mieux le reste de F déterminé par l’élément f. Le théorème C, § 12, prouve que les ensembles A et R sont bien ordonnés, et nous pouvons écrire, en vertu des § 8 et 12,
| (1) | F = (A, R) |
| (2) | R = (f, R′) |
| (3) | A ≺ R. |
R′ est la partie de R qui suit l’élément initial f et se réduit à zéro, dans le cas où R n’a pas d’autre élément que f.
Si nous prenons, par exemple, l’ensemble bien ordonné
l’élément a$_3$ détermine le segment
et le reste
l’élément b$_1$ détermine le segment
et le reste
enfin l’élément c$_2$ détermine le segment
et le reste
Si A et A′ sont deux segments de F déterminés respectivement par les deux éléments f et f′, tels que
| (4) | f′ ≺ f |
A′ est un segment de A.
Nous nommerons alors A′ le plus petit et A le plus grand segment de F
| (5) | A′ < A. |
Dans le même sens nous pouvons dire aussi de A qu’il est plus petit que F.
| (6) | A < F. |
A. Si deux ensembles bien ordonnes semblables F et G, sont appliqués l’un sur l’autre, à chaque segment A de F correspond un segment semblable B de G, et à chaque segment B de G un segment semblable A de F, et les éléments f et g, qui déterminent les segments A et B ainsi appliqués, se correspondent toujours l’un à l’autre dans l’application.
Démonstration. — Supposons que l’on ait appliqué l’un sur l’autre deux ensembles simplement ordonnés semblables M et N ; soient m et n deux éléments correspondants, M′ l’ensemble de tous les éléments de M qui sont ≺ m, N′ l’ensemble de tous les éléments de N qui sont ≺ n ; dans ces conditions, l’application fait correspondre M′ et N′. Car, à chaque élément m′ de M, qui est ≺ m, doit correspondre (§ 7) un élément n′ de N qui est ≺ n, et réciproquement.
Si l’on applique ce théorème général aux ensembles bien ordonnés F et G, on obtient la proposition à démontrer.
B. Un ensemble bien ordonné F n’est semblable à aucun de ses segments A.
Supposons que F ≃ A, et considérons une application de F sur A. D’après le théorème A, le segment A de F aura pour image un segment A′ de A, tel que A′ ≃ A. On aurait donc ainsi A′ ≃ F et A′ < A. Par le même procédé on déduirait de A′ un segment plus petit A″ ≃ F et A″ < A′ et ainsi de suite.
Nous obtiendrions ainsi une série nécessairement infinie
de segments de F devenant de plus en plus petits, mais toujours semblables à l’ensemble F.
En désignant par f, f′, f″, …, f$^{(ν)}$…, les éléments qui déterminent ces segments, nous aurions
et par suite la série infinie
Mais, d’après le théorème A, § 12, de telles parties de F ne peuvent exister. L’hypothèse d’une application de F sur l’un de ses segments conduit donc à une contradiction, et par suite l’ensemble F n’est semblable à aucun de ses segments.
Mais si, d’après le théorème B, un ensemble bien ordonné n’est semblable à aucun de ses segments, il y a toujours, si F est infini, d’autres parties de F qui lui sont semblables. Par exemple, l’ensemble
est semblable à l’un quelconque de ses restes
Il est d’ailleurs remarquable que nous puissions adjoindre à la proposition B la suivante :
C. Un ensemble bien ordonné F n’est semblable à aucune partie de l’un quelconque de ses segments A.
Démonstration. — Supposons que F′ soit une partie d’un segment A de F, et que F′ ≃ F. Considérons une application de F sur F′ ; d’après le théorème A, le segment A de F aura pour image un segment F″ de l’ensemble bien ordonné F′ ; ce segment serait déterminé par l’élément f′ de F′. Mais f′ est aussi élément de A et détermine un segment A′ de A, dont F″ est une partie.
L’hypothèse de l’existence d’une partie F′ d’un segment A de F, telle que F′ ≃ F, nous permet donc de construire une partie F″ d’un segment A′ de A, telle que F″ ≃ A.
Ce procédé de déduction nous donne ensuite une partie F‴ d’un segment A″ de A′, telle que F‴ ≃ A′. Nous obtenons ainsi, en poursuivant, comme dans la démonstration du théorème B, une série nécessairement infinie de segments de F devenant de plus en plus petits
Dans la suite infinie des éléments qui déterminent ces segments
aucun élément n’aurait le rang le plus bas, ce qui est impossible d’après le théorème A, § 12. Il n’y a donc aucune partie F′ d’un segment A de F, telle que F′ ≃ F.
D. Deux segments différents A et A′ d’un ensemble bien ordonné F ne sont jamais semblables.
Démonstration. — Si A′ < A, A′ est un segment de l’ensemble bien ordonné A, et par suite ne peut lui être semblable (théorème B).
E. Deux ensembles bien ordonnés semblables F et G ne sont applicables l’un sur l’autre que d’une seule manière.
Démonstration. — Supposons qu’il y ait deux applications différentes de F sur G, et soit f un élément de F, à qui correspondraient, par les deux applications, des images g et g′ différentes dans G. Soient A le segment de F déterminé par f, B et B′ les segments de G déterminés par g et g′. Le théorème A prouve que
donc on aurait aussi B ≃ B′, ce qui est contraire au théorème D.
F. Si F et G sont deux ensembles bien ordonnés, un segment A de F ne peut avoir plus d’un segment B à lui semblable dans G.
Démonstration. — S’il y avait dans G deux segments B et B′ semblables au segment A de F, les segments B et B′ seraient aussi semblables, ce qui est contraire au théorème D.
G. Si A et B sont deux segments semblables de deux ensembles bien ordonnés F et G, tout segment A′ de F plus petit que A (A′ < A) est semblable à un segment B′ de G plus petit que B (B′ < B), et inversement.
La démonstration résulte du théorème A appliqué aux deux ensembles semblables A et B.
H. Si A et A′ sont deux segments d’un ensemble bien ordonné F, et B et B′ les segments à eux semblables d’un ensemble bien ordonné G, la condition A′ < A entraîne B′ < B.
La démonstration résulte des théorèmes F et G.
L. Si un segment B d’un ensemble bien ordonné G n’est semblable à aucun segment d’un ensemble bien ordonné F, il en est de même pour tout segment B′ > B de G et pour G lui-même.
La démonstration résulte du théorème G.
K. Si chaque segment A d’un ensemble bien ordonné F est semblable à un segment déterminé B de l’ensemble bien ordonné G, et si chaque segment B de G est semblable à un segment A de F, les deux ensembles F et G sont semblables (F ≃ G).
Démonstration. — Nous pouvons appliquer F et G l’un sur l’autre d’après la loi suivante :
L’élément initial f$_1$ de F correspondra à l’élément initial g$_1$ de G. Un autre élément f ≻ f$_1$ détermine un segment A de F, auquel correspond par hypothèse un segment semblable unique B de G ; l’élément g de G qui détermine le segment B sera l’image de f. De même un élément g ≻ g$_1$ détermine dans G un segment B, auquel correspond par hypothèse un segment semblable unique A de F ; l’élément f de F, qui détermine le segment A sera l’image de g.
Il est facile de voir que la correspondance biuniforme de F et G, définie de cette manière, est une application au sens du § 7.
Si f et f′ sont deux éléments arbitraires de F, g et g′ les éléments qui leur correspondent dans G, A, A′, B et B′ les segments déterminés respectivement par f, f′, g, g′, la condition
entraîne, d’après le théorème H,
et par suite
L. Si chaque segment A d’un ensemble bien ordonné F est semblable à un segment déterminé B d’un ensemble bien ordonné G, et si, au contraire, il y a au moins un segment de G qui ne soit semblable à aucun segment de F, il existe un segment déterminé B$_1$ de G, tel que B$_1$ ≃ F.
Démonstration. — Considérons l’ensemble de tous les segments de G qui ne sont semblables à aucun segment de F ; parmi eux il doit y en avoir un plus petit que tous les autres que nous nommons B$_1$. Ceci résulte de ce que, d’après le théorème A, § 12, l’ensemble des éléments qui déterminent tous ces segments, possède un élément de rang le plus bas ; le segment B$_1$ de G qu’il détermine, est plus petit que tous les autres. D’après le théorème I, chaque segment de G qui est > B$_1$, n’admet dans F aucun segment semblable ; par suite, tous les segments B de G, qui ont dans F des segments semblables, sont tous plus petits que B$_1$ et de même à tout segment B < B$_1$ correspond un segment semblable A de F, puisque B$_1$ est le plus petit segment de G qui n’est semblable à aucun segment de F.
Ainsi tout segment A de F est semblable à un segment B de B$_1$ et tout segment B de B$_1$ à un segment A de F ; d’après le théorème K, on a donc
M. Si l’un au moins des segments de l’ensemble bien ordonné G, n’est semblable à aucun segment de l’ensemble bien ordonné F, tout segment A de F est semblable à un segment B de G.
Démonstration. — Soit B$_1$ le plus petit segment de G auquel ne correspond aucun segment semblable dans F. (Voir la démonstration de L.) S’il y avait dans F des segments n’admettant dans G aucun segment semblable, l’un d’eux serait plus petit que tous les autres, nous le nommons A$_1$. À chaque segment de A$_1$ correspondrait alors un segment semblable de B$_1$ et à chaque segment de B$_1$ un segment semblable de A$_1$. Donc, d’après le théorème K,
Mais ceci est contraire à l’hypothèse qu’aucun segment de F n’est semblable à B$_1$. Il ne peut donc y avoir dans F aucun segment qui ne corresponde à un segment semblable de B.
N. Si F et G sont deux ensembles bien ordonnés, il peut se présenter trois cas : 1$^o$ F et G sont semblables ; 2$^o$ un segment déterminé B$_1$ de G est semblable à F ; 3$^o$ un segment déterminé A$_1$ de F est semblable à G. Chacun de ces cas exclut les deux autres.
Démonstration. — F peut se comporter de trois façons différentes relativement à G :
1$^o$ Tout segment A de F est semblable à un segment B de G et inversement ;
2$^o$ Tout segment A de F est semblable à un segment B de G ; par contre, un segment de G au moins, n’est semblable à aucun segment de F ;
3$^o$ Tout segment B de G est semblable à un segment A de F ; par contre, un segment de F au moins, n’est semblable à aucun segment de G.
Le cas où un segment de F n’est semblable à aucun segment de G, et aussi un segment de G n’est semblable à aucun segment de F, est exclu par le théorème M.
Dans le premier cas, le théorème K montre que
Dans le deuxième cas, le théorème L affirme qu’il y a un segment  B$_1$ de G tel que
et dans le troisième cas, qu’il y a un segment A$_1$ de F tel que
Mais on ne peut avoir en même temps F ≃ G et F ≃ B$_1$, car il en résulterait G ≃ B$_1$, ce qui est contraire au théorème B ; de même, on ne peut avoir à la fois F ≃ G et G ≃ A$_1$.
De même aussi, l’existence simultanée de F ≃ B$_1$ et G ≃ A$_1$ est impossible ; car, d’après le théorème A, la condition F ≃ B$_1$ entraîne l’existence d’un segment B′$_1$ de B$_1$ tel que A$_1$ ≃ B′$_1$. Nous aurions donc aussi G ≃ B′$_1$, ce qui est contraire au théorème B.
O. Si une partie F′ d’un ensemble bien ordonné F n’est semblable à aucun segment de F, elle est semblable à F lui-même.
Démonstration. — D’après le théorème G, § 12, F′ est un ensemble bien ordonné. Si F′ n’était semblable ni à F, ni à une partie de F, il y aurait, d’après le théorème N, un segment F′$_1$ de F′ qui serait semblable à F. Mais F′$_1$ est une partie de ce segment A de F qui est déterminé par l’élément qui détermine le segment F′$_1$ de F. Par suite, l’ensemble F devrait être semblable à une partie d’un de ses segments, ce qui est contraire au théorème C.

### § 14. — Les nombres ordinaux des ensembles bien ordonnés.

D’après le § 7, chaque ensemble simplement ordonné M a un type ordinal déterminé M ; c’est le concept général qui résulte de M lorsque, en tenant compte de l’ordre de succession des éléments, on fait abstraction de leur nature, de sorte qu’ils deviennent de simples unités ayant des positions relatives déterminées. Tous les ensembles semblables entre eux, et seulement ceux-ci, possèdent le même type ordinal.
Le type ordinal d’un ensemble bien ordonné F sera nommé un nombre ordinal (Ordnungszahl).
Si α et β sont deux nombres ordinaux arbitraires, ils peuvent se comporter, l’un par rapport à l’autre, de trois façons différentes. Soient, en effet, deux ensembles bien ordonnés F et G, tels que
d’après le théorème N, § 13, trois cas, s’excluant l’un l’autre, peuvent se présenter :
| 1$^o$ | F ≃ G. |
2$^o$ Il y a un segment déterminé B$_1$ de G, tel que
3$^o$ Il y a un segment déterminé A$_1$ de F, tel que
Comme on le voit facilement, ces relations sont encore conservées lorsque F et G sont remplacés par des ensembles respectivement semblables F′ et G′ ; il en résulte que les types α et β ont, l’un relativement à l’autre, trois positions qui s’excluent mutuellement.
Dans le premier cas, α = β ; dans le deuxième, nous dirons que α est < β ; dans le troisième que α est > β.
Nous obtenons ainsi le théorème :
A. Si α et β sont deux nombres ordinaux quelconques, l’on a : ou α = β, ou α < β, ou α > β.
De la définition de ces relations de grandeur, il résulte facilement :
B. Si l’on a trois nombres ordinaux, α, β, γ, tels que α < β, β < γ, on a aussi α < γ.
Les nombres ordinaux forment ainsi, rangés par ordre de grandeur, un ensemble simplement ordonné ; nous montrerons plus tard que c’est un ensemble bien ordonné.
Les opérations de l’addition et de la multiplication des types ordinaux des ensembles simplement ordonnés, que nous avons définis au § 8, sont évidemment applicables aux nombres ordinaux.
Si α = F et β = G, où F et 6 sont deux ensembles bien ordonnés, on a :
| (1) | α + β = (F, G) |
L’ensemble-somme (F, G) est évidemment un ensemble bien ordonné ; nous avons ainsi le théorème :
C. La somme de deux nombres ordinaux est toujours un nombre ordinal.
Dans la somme α + β, α s’appelle l’augendus et β l’addendus.
Puisque F est un segment de (F, G), on a toujours :
| (2) | α < α + β. |
Par contre, G n’est pas un segment, mais un reste de (F, G) ; il peut donc, comme nous l’avons vu au § 13, être semblable à l’ensemble (F, G) ; si cela n’est pas, G est semblable à un segment de (F, G), d’après le théorème O, § 13. Donc
| (3) | β ≤ α + β. |
Nous avons ainsi :
D. La somme de deux nombres ordinaux est toujours supérieure à l’augendus et supérieure ou égale à l’addendus. L’égalité α + β = α + γ entraîne toujours β = γ.
En général, α + β et β + α ne sont pas égaux. Au contraire, si γ est un troisième nombre ordinal, on a :
| (4) | (α + β) + γ = α + (β + γ), |
c’est-à-dire :
E. La loi associative gouverne l’addition des nombres ordinaux.
Si dans l’ensemble G de type β, on remplace chaque élément g par un ensemble F$_g$ de type α, on obtient un ensemble bien ordonné H (th. E, § 12) dont le type est complètement déterminé par les types α et β et est appelé le produit α.β.
| (5) | F$_g$ = α ; |
| (6) | α.β = H. |
F. Le produit de deux nombres ordinaux est toujours un nombre ordinal.
Dans le produit α.β, α s’appelle le multiplicande, β le multiplicateur.
En général, α.β et β.α ne sont pas égaux. Mais on a (§ 8) :
| (7) | (α.β).γ = α.(β.γ), |
c’est-à-dire :
G. La loi associative gouverne la multiplication des nombres ordinaux.
La loi distributive n’est applicable, en général, que sous la forme suivante :
| (8) | α.(β + γ) = αβ + αγ. |
Quant à la-grandeur du produit, on voit facilement que :
H. Si le multiplicateur est plus grand que 1, le produit de deux nombres ordinaux est toujours supérieur au multiplicande et supérieur ou égal au multiplicateur. L’égalité αβ = αγ entraîne toujours β = γ.
D’ailleurs, on a évidemment :
| (9) | α.1 = 1.α = α. |
Parlons maintenant de l’opération de la soustraction. Si α et β sont deux nombres ordinaux tels que α < β, il existe toujours un nombre ordinal déterminé, que nous nommons β − α et qui vérifie l’équation
| (10) | α + (β − α) = β. |
Car si G = β, il y a dans G un segment B tel que B = α ; en nommant S le reste correspondant, nous avons :
et ainsi
| (11) | β − α = S. |
La détermination de β − α résulte de ce que le segment B de G, et par suite le reste S, sont parfaitement déterminés (th. D, § 13).
Nous déduisons encore des formules (4), (8), (10) les suivantes :
| (12) | (γ + β) − (γ + α) = β − α ; |
| (13) | γ(β − α) = γβ − γα. |
Il est à remarquer que l’on peut toujours faire la somme d’un nombre infini de nombres ordinaux ; cette somme est un nombre ordinal déterminé, dépendant de l’ordre de succession des ensembles sommés.
Soit par exemple
une suite simplement infinie quelconque de nombres ordinaux :
| (14) | β$_ν$ = G$_ν$ |
l’ensemble
| (15) | G = (G$_1$, G$_2$, …, G$_ν$, …) |
est un ensemble bien ordonné (th. E, § 12) dont le nombre ordinal β représente la somme des β. Nous avons ainsi :
| (16) | β$_1$ + β$_2$ + … + β$_ν$ + … = G = β, |
et l’on a toujours, comme il résulte facilement de la définition du produit :
| (17) | γ(β$_1$ + β$_2$ + … + β$_ν$ + …) = γβ$_1$ + γβ$_2$ + … + γβ$_ν$ + … |
En posant
| (18) | α$_ν$ = β$_1$ + β$_2$ + … + β$_ν$, |
il vient
| (19) | α$_ν$ = (G$_1$, G$_2$, …, G$_ν$). |
De plus
| (20) | α$_{ν+1}$ > α$_ν$, |
et les nombres β$_ν$ s’expriment d’après (10), à l’aide des nombres α comme il suit :
| (21) | β$_1$ = α$_1$, ﻿ β$_{ν+1}$ = α$_{ν+1}$ − α$_ν$. |
La série
est une série infinie quelconque de nombres ordinaux qui remplissent la condition (20) ; nous l’appellerons une série fondamentale de nombres ordinaux ; la relation qui l’unit à β peut s’exprimer de la manière suivante :
1$^o$ β est > α$_ν$, pour toutes valeurs de ν, car l’ensemble (G$_1$, G$_2$, …, G$_ν$), dont le nombre ordinal est α$_ν$, est un segment de l’ensemble G qui a le nombre ordinal β.
2$^o$ Si β′ est un nombre ordinal quelconque < β, on a toujours, à partir d’une certaine valeur de ν,
car si β′ est < β, il y a dans l’ensemble G un segment B′ de type β′. L’élément qui détermine ce segment doit appartenir à l’une des parties G$_ν$, soit G$_{ν0}$. Mais alors B′ est aussi segment de (G$_1$, G$_2$, …, G$_{ν0}$) et par suite
Donc α$_ν$ > β′ pour ν ≥ ν$_0$.
Ainsi β est le nombre immédiatement supérieur à tous les α$_ν$ ; nous le nommerons la limite de α$_ν$ pour ν croissant indéfiniment et le désignerons par lim. α$_ν$, de sorte que, d’après (16) et (21) :
| (22) | lim. α$_ν$ = α$_1$ + (α$_2$ − α$_1$) + (α$_3$ − α$_2$) + … + (α$_{ν+1}$ − α$_ν$) + … |
Nous pouvons rassembler tout ce qui précède dans l’énoncé suivant :
I. À chaque série fondamentale {α$_ν$} de nombres ordinaux correspond un nombre ordinal lim. α$_ν$, qui est immédiatement supérieur à tous les α$_ν$ ; il est représenté par la formule (22).
Si γ désigne un nombre ordinal fixe, on démontre facilement, avec l’aide des formules (12), (13) et (17), les théorèmes contenus dans les formules suivantes :
| (23) | lim. (γ + α$_ν$) = γ + lim. α$_ν$ ; |
| (24) | lim. γα$_ν$ = γ . lim. α$_ν$. |
Nous avons déjà mentionné au § 7 que tous les ensembles simplement ordonnés de nombre cardinal fini ν ont le même type d’ordre ν. La démonstration est la suivante. Tout ensemble simplement ordonné de nombre cardinal fini est un ensemble bien ordonné ; car il doit, ainsi que toutes ses parties, avoir un élément initial, ce qui (th. B, § 12) caractérise un ensemble bien ordonné.
Les types des ensembles simplement ordonnés finis ne sont donc pas autre chose que les nombres ordinaux finis. Un même nombre cardinal ν ne peut correspondre à deux nombres ordinaux différents α et β. Si, en effet, α est < β et G = β, il existe, comme nous le savons, un segment B de G tel que B = α.
L’ensemble G et sa partie B auraient donc le même nombre cardinal, ce qui est impossible (th. C, § 6).
Les nombres ordinaux finis coïncident donc dans leurs propriétés avec les nombres cardinaux finis. Il en est tout autrement pour les nombres ordinaux transfinis ; à un même nombre cardinal a correspond un nombre infini de nombres ordinaux formant un système que nous nommons la classe numérique Z(a). C’est une partie de la classe de types [a] (§ 7).
La classe numérique Z(ℵ$_0$), que nous nommerons la deuxième classe numérique, sera l’objet immédiat de notre étude.
La première classe numérique est formée par l’ensemble {ν} de tous les nombres ordinaux finis.

### § 15. — Les nombres de la deuxième classe numérique Z(ℵ$_0$).

La deuxième classe numérique Z(ℵ$_0$) est l’ensemble {α} de tous les types ordinaux des ensembles bien ordonnés de nombre cardinal ℵ$_0$.
A. La deuxième classe numérique a un nombre plus petit que tous les autres ω = lim. ν.
Démonstration. — ω est le type de l’ensemble bien ordonné
| (1) | F$_0$ = (f$_1$, f$_2$, …, f$_ν$, …) |
où ν parcourt tous les nombres ordinaux finis, et
| (2) | f$_ν$ ≺ f$_{ν+1}$. |
On a ainsi (§ 7)
| (3) | ω = F$_0$ |
et (§ 6)
| (4) | ω = ℵ$_0$. |
ω est donc un nombre de la deuxième classe et c’est précisément le plus petit. Car si γ est un nombre ordinal quelconque < ω, il doit être le type d’un segment de F$_0$ (§ 14). Mais les segments de F$_0$
ont un nombre ordinal fini ν. Donc γ = ν.
Il n’y a donc aucun nombre ordinal transfini qui soit plus petit que ω ; ω est ainsi le plus petit nombre ordinal transfini.
D’après les explications données au § 14, on a évidemment ω = lim. ν.
B. Si α est un nombre de la deuxième classe, le nombre immédiatement supérieur de la même classe est α + 1.
Démonstration. — Soit F un ensemble bien ordonné de type α et de nombre cardinal ℵ$_0$.
| (5) | F = α ; |
| (6) | α = ℵ$_0$. |
En désignant par g un nouvel élément, nous avons
| (7) | α + 1 = (F, g). |
Comme F est un segment de (F, g), nous avons
| (8) | α + 1 > α. |
De plus
Le nombre α + 1 appartient donc à la deuxième classé. Mais entre α et α + 1 il n’y a aucun nombre ordinal ; car tout nombre γ qui est < α + 1, est le type d’un segment de (F, g) qui ne peut être que F ou un segment de F ; γ est donc ≤ α.
C. Si α$_1$, α$_2$, …, α$_ν$, …, est une série fondamentale de nombres de la première ou de la deuxième classe, le nombre immédiatement supérieur lim. α$_ν$ (§ 14) appartient à la deuxième classe.
Démonstration. — D’après le § 14, le nombre lim. α$_ν$ se déduit de la série fondamentale {α$_ν$} de la façon suivante : on forme la série β$_1$, β$_2$, …, β$_ν$, …, telle que
et l’on considère les ensembles bien ordonnés G$_1$, G$_2$, …, G$_ν$, tels que
et enfin l’ensemble
qui est aussi bien ordonné. Alors
Il s’agit de démontrer que
Mais comme les nombres β$_1$, β$_2$, …, β$_ν$, …, appartiennent à la première ou à la deuxième classe, on a
donc
et puisque G est toujours un ensemble transfini, le cas G < ℵ$_0$ est exclu.
Deux séries fondamentales {α$_ν$} et {α′$_ν$} de nombre de la première et de la deuxième classe numérique sont dites liées (§ 10) (zusammengehörig) et nous écrivons
| (9) | {a$_ν$} ǁ {a′$_ν$} |
lorsqu’à chaque nombre fini ν, on peut faire correspondre deux nombres λ$_0$, μ$_0$, tels que
| (10) | α′$_λ$ > α$_ν$ ﻿ si ﻿ λ ≥ λ$_0$, |
| (11) | α$_μ$ > α′$_ν$ ﻿ si ﻿ μ ≥ μ$_0$. |
D. Les nombres lim. α$_ν$ et lim. α′$_ν$, correspondant à deux séries fondamentales {α$_ν$} et {α′$_ν$}, sont alors et seulement alors égaux, lorsque {a$_ν$} ǁ {a′$_ν$}.
Démonstration. — Posons pour abréger lim. α$_ν$ = β, lim. α′$_ν$ = γ.
Supposons d’abord {a$_ν$} ǁ {a′$_ν$} ; nous affirmons que β = γ. Si en effet β n’était pas égal à γ, on aurait par exemple β < γ. À partir d’un certain nombre ν, α′$_ν$ serait donc plus grand que β (§ 14) et par suite, à partir d’un certain nombre μ, α$_μ$ serait plus grand que β (11). Mais ceci est impossible, puisque β = lim. a$_ν$ et que l’on a, pour toutes les valeurs de μ, α$_μ$ < β.
Réciproquement, si l’on suppose que β = γ, α$_ν$ est constamment plus petit que γ et, par suite, à partir d’un certain nombre λ, α′$_λ$ > α$_ν$ ; de même, puisque α′$_ν$ < β, à partir d’un certain nombre μ, α$_μ$ sera plus grand que α′$_ν$ ; donc {a$_ν$} ǁ {a′$_ν$}.
E. Si α est un nombre quelconque de la deuxième classe numérique, ν$_0$ un nombre ordinal fini quelconque, on a : ν$_0$ + α = α et par suite α − ν$_0$ = α.
Démonstration. — Examinons d’abord le cas où α = ω. Soit.
Mais si α > ω, nous avons
F. Si ν$_0$ est un nombre ordinal fini quelconque, ν$_0$.ω = ω.
Démonstration. — Pour obtenir un ensemble de type ν$_0$ω, il faut remplacer les éléments f$_ν$ de l’ensemble (f$_1$, f$_2$, …, f$_ν$, …) par des ensembles (g$_{ν1}$, g$_{ν2}$, …, g$_{νν0}$) de type ν$_0$. On obtient ainsi l’ensemble
qui est évidemment semblable à l’ensemble {f$_ν$}, donc
On peut aussi le démontrer brièvement comme il suit : on a ω = lim. ν et par suite, d’après (24), § 14,
D’ailleurs
Donc
G. Si α est un nombre de la deuxième classe, ν$_0$ nombre de la première y on a toujours
Démonstration. — Nous avons
Donc, d’après (24), § 14,
Mais on a
Il est maintenant facile de voir que
et par suite que
H. Si α est un nombre quelconque de la deuxième classe, l’ensemble {α′} de tous les nombres α′ des première et deuxième classes qui sont plus petits que α, rangés par ordre de grandeur croissante, est un ensemble bien ordonné de type α.
Démonstration. — Soit F un ensemble bien ordonné tel que F = α, et f$_1$ l’élément initial de F. Si α′ est un nombre ordinal plus petit que α, il y a (§ 14) un segment déterminé A′ de F, tel que
et réciproquement chaque segment A′ a comme type un nombre α′ < α de la première ou de la deuxième classe ; car puisque F = ℵ$_0$, A′ ne peut être qu’un nombre cardinal fini ou ℵ$_0$.
Le segment A′ est déterminé par un élément f′ ≻ f$_1$ de F et réciproquement chaque élément f′ ≻ f$_1$ de F détermine un segment A′ de F. Si les deux éléments f′ et f″ ≻ f$_1$ déterminent dans F les segments A′ et A″ dont les types ordinaux sont α′ et α″, la condition f′ ≺ f″ entraîne (§ 13) A′ < A″ et par suite α′ < α″.
Si donc nous posons F = (f$_1$, F′) et si nous faisons correspondre à l’élément f′ de F′ l’élément α′ de {α′}, nous obtenons une application de ces deux ensembles. Donc
Mais maintenant F′ = α − 1, et d’après le théorème E, α − 1 = α. Donc
Comme α = ℵ$_0$, il en résulte {α′} = ℵ$_0$, ce qui s’énonce :
I. L’ensemble {α′} de tous les nombres α′ de la première et de la deuxième classe qui sont plus petits qu’un nombre α de la deuxième classe a le nombre cardinal ℵ$_0$.
K. Tout nombre α de la deuxième classe numérique peut s’obtenir ou en ajoutant 1 à un nombre immédiatement inférieur α$_1$
ou en cherchant la limite d’une série fondamentale {α$_ν$} de nombres de la première ou de la deuxième classe
Démonstration. — Soit α = F. Si F a un élément g de rang plus élevé que tous les autres, on a F = (A, g) où A est le segment déterminé par g dans F. C’est alors le premier cas, on a
Il existe alors un nombre immédiatement inférieur à α qui est nommé α$_1$.
Si F ne possède aucun élément supérieur, considérons l’ensemble {α′} de tous les nombres de la première et de la deuxième classe qui sont plus petits que α. Cet ensemble où les éléments sont rangés par ordre de grandeur croissante est semblable à l’ensemble F (th. H) ; parmi les nombres α′, aucun donc n’est supérieur à tous les autres. D’après le théorème I, l’ensemble {α′} peut se mettre sous la forme d’une série simplement infinie {α′$_ν$}. Dans cette suite, après le terme α′$_1$ peuvent se présenter d’abord des termes plus petits α′$_2$, α′$_3$, …, mais il y aura certainement des termes plus grands ; car α′$_1$ ne peut être plus grand que tous les autres termes puisqu’un tel terme n’existe pas parmi les nombres {α′$_ν$}. Soit α′$_{ρ2}$ le terme de plus petit indice supérieur à α′$_1$. Soit de même α′$_{ρ3}$ le terme de plus petit indice supérieur à α′$_{ρ2}$. En poursuivant ainsi, nous obtenons une série infinie de nombres croissants, c’est-à-dire une série fondamentale
Nous avons
et comme évidemment ν ≤ ρ$_ν$ nous avons
Il en résulte que tout nombre α′$_ν$ et par suite tout nombre α′ < α est surpassé par les nombres α′$_{ρν}$ pour des valeurs suffisamment grandes de ν.
Mais α est le nombre immédiatement supérieur à tous les α′ ; par suite il est aussi le nombre immédiatement supérieur à tous les α′$_{ρν}$. Donc, si nous posons α′$_1$ = α$_1$, α′$_{ρν+1}$ = α$_{ν+1}$, il vient
Il résulte des théorèmes B, C, …, K, que les nombres de la deuxième classe s’engendrent de deux manières à partir des nombres plus petits. Les uns que nous nommerons nombres de première espèce, sont obtenus en ajoutant 1 à un nombre immédiatement inférieur
les autres que nous nommerons nombres de deuxième espèce, sont tels qu’il n’y a pas pour eux de nombre immédiatement inférieur α$_1$ ; ils sont définis comme limites de séries fondamentales par la formule
α est ici le nombre immédiatement supérieur à tous les nombres α$_ν$.
Ces deux façons d’engendrer de grands nombres à partir de plus petits, seront nommés le premier et le deuxième principe de formation des nombres de la deuxième classe.

### § 16. — La puissance de la deuxième classe numérique est égale au deuxième nombre cardinal transfini alef-un.

Avant de commencer, aux paragraphes suivants, l’étude détaillée des nombres de la deuxième classe et des principes qui les dominent, nous voulons rechercher quel nombre cardinal correspond à la classe Z(ℵ$_0$) = {α} de tous ces nombres.
A. L’ensemble {α} de tous les nombres de la deuxième classe, rangés par ordre de grandeur croissante, est un ensemble bien ordonné.
Démonstration. — Désignons par A$_α$ la réunion de tous les nombres de la deuxième classe, qui sont plus petits qu’un nombre donné α, ces nombres étant rangés par ordre de grandeur croissante ; A$_α$ est un ensemble bien ordonné de type α − ω. Ceci résulte du théorème H, § 14. L’ensemble désigné là par {α′}, de tous les nombres α′ de la première et de la deuxième classe est composé de {ν} et de A$_α$, de sorte que
et comme
on a
Soit J une partie quelconque de {α}, telles qu’il y ait dans {α} des nombres plus grands que tous les nombres de J. Soit par exemple α$_0$ un de ces nombres. J est aussi une partie de A$_{α0+1}$ telle qu’au moins le nombre α$_0$ de A$_{α0+1}$ est plus grand que tous les nombres de J. Comme A$_{α0+1}$ est un ensemble bien ordonné, il doit exister (§ 12) un nombre α′ de A$_{α0+1}$, appartenant donc aussi à {α}, qui va immédiatement après tous les nombres de J. La condition II, § 12, est donc remplie pour {α}, et la condition I aussi, puisque {α} a le nombre initial ω. —
Si l’on applique à l’ensemble bien ordonné {α} les théorèmes A et C, § 12, on obtient les théorèmes suivants :
B. Tout ensemble de nombres différents des première et deuxième classes a un nombre plus petit, un minimum.
C. Tout ensemble de nombres différents des première et deuxième classes, rangés par ordre de grandeur, forme un ensemble bien ordonné.
Nous allons maintenant montrer que la puissance de la deuxième classe est différente de celle de la première, qui est ℵ$_0$.
D. La puissance de l’ensemble {α} de tous les nombres α de la deuxième classe n’est pas égale à ℵ$_0$.
Démonstration. — Si {α} était égal à ℵ$_0$, on pourrait mettre l’ensemble {α} sous la forme d’une série simplement infinie
de sorte que {γ$_ν$} représenterait la réunion de tous les nombres de la deuxième classe rangés dans un ordre différent de l’ordre de grandeur croissante ; de plus, {γ$_ν$} comme {α} ne contient pas de nombre supérieur à tous les autres.
Partons de γ$_1$ et soit γ$_{ρ2}$ le terme de plus petit indice de la série qui soit plus grand que γ$_1$, γ$_{ρ3}$ le terme de plus petit indice plus grand que γ$_{ρ2}$, et ainsi de suite. Nous obtenons une suite infinie de nombres croissants
telle que
D’après le théorème C, § 15 il y aurait un nombre déterminé δ de la deuxième classe, savoir
qui serait plus grand que tous les γ$_{ρν}$ ; par suite δ serait plus grand que γ$_ν$ pour toute valeur de ν.
Mais puisque {γ$_ν$} contient tous les nombres de la deuxième classe, il contient aussi δ et l’on aurait
équation qui est incompatible avec δ > γ$_{ν0}$.
L’hypothèse {α} = ℵ$_0$, conduit ainsi à une contradiction.
E. Un ensemble arbitraire {β} de nombres différents de la deuxième classe a, s’il est infini, ou le nombre cardinal ℵ$_0$, ou le nombre cardinal {α} de la deuxième classe.
Démonstration. — L’ensemble {β}, où les éléments sont rangés par ordre de grandeur croissante, est une partie de l’ensemble bien ordonné {α} et comme tel (th. O, § 13), il est ou semblable à un segment A$_{α0}$ de ce dernier (c’est-à-dire à l’ensemble de tous les nombres de la deuxième classe < α$_0$, rangés par ordre de grandeur croissante) ou semblable à l’ensemble {α} lui-même.
Nous avons montré dans la démonstration du théorème A que A$_{α0}$ = α$_0$ − ω. Nous avons donc ou {β} = α$_0$ − ω ou {β} = {α} et, par suite, ou {β} = α$_0$ − ω ou {β} = {α}. Mais α$_0$ − ω est égal à un nombre cardinal fini ou à ℵ$_0$ (th. I, § 15) ; le premier cas est exclu ici puisque {β} est un ensemble infini. Par suite, le nombre cardinal {β} est égal à ℵ$_0$ ou à {α}.
F. La puissance de la deuxième classe numérique {α} est le deuxième nombre cardinal transfini alef-un.
Démonstration. — Il n’y a aucun nombre cardinal a qui soit > ℵ$_0$ et < {α}, car il devrait y avoir une partie infinie {β} de {α} telle que {β} = a.
Mais par suite du théorème précédemment démontré E, la partie {β} a le nombre cardinal ℵ$_0$ ou le nombre cardinal {α}. Ce dernier nombre est donc nécessairement le nombre cardinal immédiatement supérieur à ℵ$_0$ ; nous le nommerons ℵ$_1$.
Nous avons donc, dans la deuxième classe numérique, le représentant naturel du deuxième nombre cardinal transfini alef-un.

### § 17. — Les nombres de la forme ω$^μ$ν$_0$ + ω$^{μ−1}$ν$_1$ + … + ν$_μ$.

Il est utile de se familiariser avec les nombres de Z(ℵ$_0$), qui sont des fonctions algébriques de degré fini de ω. Tout nombre de cette espèce peut se ramener à la forme suivante, et cela d’une seule manière
| (1) | φ = ω$^μ$ν$_0$ + ω$^{μ−1}$ν$_1$ + … + ν$_μ$, |
où μ, ν$_0$ sont finis et différents de zéro, ν$_1$, ν$_2$, …, ν$_μ$ pouvant être nuls.
Ceci repose sur ce fait que
| (2) | ω$^{μ′}$ν′ + ω$^μ$ν = ω$^μ$ν |
si
car, d’après (8), § 14,
et
Donc, dans un agrégat de la forme
on peut négliger tous les termes qui sont suivis, en allant vers la droite, de termes de degrés supérieurs en ω. Ce procédé peut être suivi jusqu’à ce qu’on arrive à la forme donnée en (1). Remarquons encore que
| (3) | ω$^μ$ν + ω$^μ$ν′ = ω$^μ$(ν + ν′). |
Comparons maintenant le nombre φ avec un nombre ψ de la même espèce
| (4) | ψ = ω$^λ$ρ$_0$ + ω$^{λ−1}$ρ$_1$ + … + ρ$_λ$. |
Si μ et λ sont différents et par exemple μ < λ, nous avons, d’après (2),
et par suite
Si μ et λ sont égaux, ν$_0$ et ρ$_0$ différents et, par exemple, ν$_0$ < ρ$_0$, nous avons, d’après (2),
donc aussi
Si enfin
et, par contre, ν$_σ$ et ρ$_σ$ différents, et par exemple ν$_σ$ < ρ$_σ$, on a, d’après (2),
donc de nouveau
Nous voyons ainsi que les nombres représentés par φ et ψ ne peuvent être égaux que dans le cas de l’identité complète des expressions φ et ψ.
L’addition de φ et ψ conduit aux résultats suivants :
1$^o$ Si μ < λ, on a vu plus haut que
2$^o$ Si μ = λ, on a :
3$^o$ Si μ > λ, on a :
Pour effectuer le produit de φ et de ψ, nous remarquons que si ρ est un nombre fini différent de 0, on a la formule :
| (5) | φ.ρ = ω$^μ$ν$_0$ρ + ω$^{μ−1}$ν$_1$ + … + ν$_μ$, |
qui s’obtient facilement en effectuant la somme des ρ termes
Par application répétée du théorème G, § 15, on obtient de plus, en tenant compte de F, § 15 :
| (6) | φω = ω$^{μ+1}$ |
et par suite
| (7) | φω$^λ$ = ω$^{μ+λ}$. |
La loi distributive [(8), § 14] nous donne :
et les formules (4), (5) et (7) nous conduisent aux résultats suivants :
1$^o$ Si ρ$_λ$ = 0, on a :
2$^o$ Si ρ$_λ$ ≠ 0, on a :
Nous arrivons de la manière suivante à une décomposition remarquable du nombre φ ; soit
| (8) | φ = ω$^μ$κ$_0$ + ω$^{μ1}$κ$_1$ + … + ω$^{μτ}$κ$_τ$ |
où
et κ$_0$, κ$_1$, …, κ$_τ$ des nombres finis différents de 0. Nous avons alors
et, par application répétée de cette formule, nous obtenons
Mais on a :
dans le cas où κ est un nombre fini différent de 0 ; donc
| (9) | φ = ω$^{μτ}$κ$_τ$(ω$^{μτ−1−μτ}$ + 1)κ$_{τ−1}$(ω$^{μτ−2−μτ−1}$ + 1)κ$_{τ−2}$…(ω$^{μ−μ1}$ + 1)κ$_0$. |
Les facteurs ω$^λ$ + 1 intervenant ici sont tous indécomposables et le nombre φ ne peut être représenté que d’une seule manière sous cette forme de produit. Si μ$_τ$ = 0, φ est de la première espèce, sinon il est de la deuxième espèce.
La différence apparente qu’il y a entre les formules de ce paragraphe et celles déjà données au volume XXI des Mathem. Annalen (Grundlagen, p. 41) tient à la manière différente d’écrire le produit de deux nombres ; nous plaçons maintenant le multiplicande à gauche et le multiplicateur à droite ; nous faisions autrefois le contraire.

### § 18. — L’exponentielle γ$^α$ dans le domaine de la deuxième classe numérique.

Soit ξ une variable dont le domaine de variation comprend tous les nombres de la première et de la deuxième classe, y compris 0 ; soient γ et δ deux constantes appartenant au même domaine
Nous pouvons alors établir le théorème suivant :
A. Il existe une seule fonction bien déterminée uniforme f(ξ) de la variable ξ, qui remplisse les conditions suivantes :
| 1$^o$ | f(0) = δ. |
2$^o$ ξ′ et ξ″ étant deux valeurs quelconques de ξ telles que ξ′ < ξ″, on a :
3$^o$ Pour toute valeur de ξ, on a :
4$^o$ Si {ξ$_ν$} est une série fondamentale quelconque, {f(ξ$_ν$)} en est une autre, et la condition
entraîne
Démonstration. — D’après 1$^o$ et 2$^o$ nous avons
et par suite, puisque δ > 0, γ > 1
Supposons le théorème établi pour toutes les valeurs de ξ qui sont < α, α étant un nombre quelconque de la deuxième classe. Je dis qu’il est encore vrai pour ξ ≤ α. Car si α est de la première espèce, il résulte de 3$^o$
et les conditions 2$^o$, 3$^o$ et 4$^o$ sont vérifiées par ξ ≤ α.
Mais si α est de la deuxième espèce et défini par la série fondamentale {α$_ν$}
il résulte de 2$^o$ que {f(α$_ν$)} est une série fondamentale, et de 4$^o$ que f(α) = lim. f(α$_ν$). Si l’on considère une autre série fondamentale {α′$_ν$}, telle que α = lim. α′$_ν$, les deux séries fondamentales {f(α$_ν$)} et {f(α′$_ν$)} sont liées, en vertu de 2$^o$, et par suite
La valeur f(α) est donc unique.
Si α′ est un nombre quelconque < α, on voit facilement que f(α′) < f(α). Les conditions 2$^o$, 3$^o$ et 4$^o$ sont donc aussi remplies pour ξ ≤ α. Le théorème est donc établi pour toutes les valeurs de ξ.
Car s’il y avait des valeurs exceptionnelles de ξ pour lesquelles il n’aurait pas lieu, une de ces valeurs, que nous appelons α, devrait être la plus petite. Le théorème serait donc valable pour ξ < α et non pour ξ ≤ α, ce qui est en contradiction avec ce qui vient d’être démontré.
Il y a donc, pour tout le domaine de ξ, une et une seule fonction f(ξ) qui vérifie les conditions 1$^o$, 2$^o$, 3$^o$ et 4$^o$.
Si l’on donne à la constante δ la valeur 1 et si l’on désigne la fonction f(ξ) par
on peut énoncer le théorème suivant :
B. Si γ est une constante arbitraire > 1, appartenant à la première ou à la deuxième classe, il y a une fonction bien déterminée γ$^ξ$ de ξ telle que :
1$^o$ γ$^0$ = 1.
2$^o$ Si ξ′ < ξ″, on a γ$^{ξ′}$ < γ$^{ξ″}$.
3$^o$ Pour chaque valeur de ξ, γ$^{ξ+1}$ = γ$^ξ$γ.
4$^o$ Si {ξ$_ν$} est une série fondamentale quelconque, {γ$^{ξν}$} en est une autre et la condition ξ = lim. ξ$_ν$ entraîne :
Mais nous pouvons énoncer le théorème suivant :
C. f(ξ) étant la fonction caractérisée au théorème A, on a
Démonstration. — La formule (24), § 14, montre que la fonction δγ$^ξ$ vérifie non seulement les conditions 1$^o$, 2$^o$, 3$^o$ du théorème A, mais aussi la condition 4$^o$. Puisque la fonction f(ξ) est unique, elle doit être identique à δγ$^ξ$.
D. Si α et β sont deux nombres arbitraires de la première et de la deuxième classe, y compris 0, on a :
Démonstration. — Considérons la fonction φ(ξ) = γ$^{α+ξ}$.
La formule (23), § 14, nous montre que
et nous reconnaissons que φ(ξ) vérifie les quatre conditions suivantes :
1$^o$ φ(0) = γ$^α$ ;
2$^o$ Si ξ′ < ξ″, on a φ(ξ′) < φ(ξ″) ;
3$^o$ Pour chaque valeur de ξ, φ(ξ + 1) = φ(ξ)γ ;
4$^o$ Si {ξ$_ν$} est une série fondamentale telle que lim. ξ$_ν$ = ξ, on a :
Le théorème C, où l’on fait δ = γ$^α$, nous donne alors :
et en posant ξ = β
E. Si α et β sont deux nombres arbitraires de la première et de la deuxième classe, y compris 0, on a :
Démonstration. — Considérons la fonction ψ(ξ) = γ$^{αξ}$ et remarquons que, d’après (24), § 14, on a toujours lim. αξ$_ν$ = α lim. ξ$_ν$ ; nous pouvons alors, en vertu du théorème D, affirmer ce qui suit :
1$^o$ ψ(0) = 1 ;
2$^o$ Si ξ′ < ξ″, on a ψ(ξ′) < ψ(ξ″) ;
3$^o$ Pour chaque valeur de ξ, ψ(ξ + 1) = ψ(ξ)γ ;
4$^o$ Si {ξ$_ν$} est une série fondamentale définissant lim. ξ$_ν$ = ξ, {ψ(ξ$_ν$)} en est une aussi et
On a donc, d’après le théorème C, où l’on remplace δ par 1 et γ par γ$^α$ :
La comparaison de γ$^ξ$ et de ξ nous donne le théorème suivant :
F. Si γ est > 1, on a, pour toutes les valeurs de ξ,
Démonstration. — Dans les cas ξ = 0, ξ = 1, le théorème est évident. Nous allons montrer que s’il est vrai pour toutes les valeurs de ξ plus petites que α > 1, il est aussi vrai pour α.
Si α est de la première espèce, on a par hypothèse :
et par suite :
ou
Puisque α$_1$ et γ − 1 sont au moins égaux à 1 et que α$_1$ + 1 = α, on a :
Si, au contraire, α est de la deuxième espèce, et si
α$_ν$ est plus petit que α et l’on a, en vertu de l’hypothèse faite,
et par suite
c’est-à-dire :
S’il y avait des valeurs de ξ pour lesquelles ξ > γ$^ξ$, l’une d’elles devrait être la plus petite ; désignons-la par α. Pour toutes les valeurs de ξ < α, on aurait
et au contraire
ce qui est en contradiction avec ce qui vient d’être démontré. Nous avons ainsi pour toutes les valeurs de ξ

### § 19. — La forme normale des nombres de la deuxième classe.

Soit α un nombre quelconque de la deuxième classe. L’exponentielle ω$^ξ$ deviendra, pour une valeur suffisamment grande de ξ, plus grande que α. D’après le théorème F, § 18, cela sera toujours pour ξ > α ; mais, en général, cela arrivera aussi pour des valeurs plus petites.
Le théorème B, § 16, nous apprend que parmi toutes les valeurs de ξ pour lesquelles
l’une est la plus petite, nous la nommons β et nous voyons facilement que ce n’est pas un nombre de la deuxième espèce. Car si
on aurait, puisque β$_ν$ < β,
et par suite
c’est-à-dire
ce qui est contraire à l’hypothèse.
Ainsi β est de la première espèce. Nous désignerons β$_1$ par α$_0$, de sorte que β = α$_0$ + 1 ; nous pouvons ainsi affirmer qu’il y a un nombre bien déterminé α$_0$ de la première ou de la deuxième classe de nombres qui vérifie les deux conditions
| (1) | ω$^{α0}$ ≤ α, ﻿ ω$^{α0}$ω > α. |
De la deuxième condition, nous concluons que la relation
n’est pas vérifiée pour toutes les valeurs finies de ν ; car, sans cela, l’on aurait : lim. ω$^{α0}$ν = ω$^{α0}$ω ≤ α.
Nous désignons par κ$_0$ + 1 le plus petit nombre fini ν pour lequel
(1) montre que κ$_0$ est plus grand que 0.
Il y a donc aussi un nombre bien déterminé κ$_0$ de la première classe des nombres, tel que
| (2) | ω$^{α0}$κ$_0$ ≤ α, ﻿ ω$^{α0}$(κ$_0$ + 1) > α. |
Si nous posons α − ω$^{α0}$κ$_0$ = α′, nous avons
| (3) | α = ω$^{α0}$κ$_0$ + α′ |
et
| (4) | 0 < α′ < ω$^{α0}$, ﻿ 0 < κ$_0$ < ω. |
Le nombre α ne peut être représenté que d’une seule façon sous la forme (3), si l’on suppose vérifier les conditions (4). Car de (3) et (4) résultent les relations (2) et enfin les relations (1).
Mais le seul nombre vérifiant les relations (1) est α$_0$ = β − 1, et le nombre κ$_0$ est défini d’une façon unique par les relations (2). De (1) et (4) résultent encore, eu égard au théorème F, § 18,
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
A. Tout nombre α de la deuxième classe peut être mis d’une seule manière sous la forme
où
α′ est toujours plus petit que α, et α$_0$ est inférieur ou égal à α.
Si α′ est un nombre de la deuxième classe, on peut lui appliquer le théorème A, et nous avons
| (5) | α′ = ω$^{α1}$κ$_1$ + α″ |
et l’on a
En poursuivant, nous obtenons une suite de relations
| (6) | α″ = ω$^{α2}$κ$_2$ + α‴ ; |
| (7) | α‴ = ω$^{α3}$κ$_3$ + α$^{IV}$. |
Mais cette suite ne peut être infinie et doit nécessairement s’arrêter.
Car les nombres α, α′, α″, … vont en décroissant.
Si une telle série de nombres transfinis était illimitée, aucun terme ne serait le plus petit, ce qui est impossible (théorème B, § 16). Il existe donc un certain nombre fini τ, tel que
Si nous réunissons les équations (3), (5), (6), (7), …, nous obtenons :
B. Tout nombre α de la deuxième classe peut être mis d’une seule façon sous la forme
où α$_0$, α$_1$, …, α$_τ$ sont des nombres de la première ou de la deuxième classe, qui vérifient les conditions
tandis que κ$_0$, κ$_1$, …, κ$_τ$ sont des nombres différents de 0 de la première classe.
La forme donnée ici aux nombres de la deuxième classe est dite leur forme normale : α$_0$ s’appelle le degré, α$_τ$ l’exposant de α ; pour τ = 0, le degré et l’exposant sont égaux.
Un nombre α est de la première ou de la deuxième espèce suivant que l’exposant α$_τ$ est égal ou supérieur à 0.
Considérons un autre nombre β écrit sous la forme normale
| (8) | β = ω$^{β0}$λ$_0$ + ω$^{β1}$λ$_1$ + … + ω$^{βσ}$λ$_σ$. |
Pour comparer α et β, et calculer leur somme et leur différence, nous emploierons les formules.
| (9) | ω$^{α′}$κ′ + ω$^{α′}$κ = ω$^{α′}$(κ′ + κ) |
| (10) | ω$^{α′}$κ′ + ω$^{α″}$κ″ = ω$^{α″}$κ″ ﻿ α′ < α″ |
où κ, κ′, κ″ sont des nombres finis.
Ce sont des généralisations des formules (2) et (3), § 17.
Pour le calcul du produit αβ interviennent les formules
| (11) | αλ = ω$^{α0}$κ$_0$λ + ω$^{α1}$κ$_1$ + … + ω$^{ατ}$κ$_τ$ ﻿ 0 < λ < ω ; |
| (12) | αω = ω$^{α0+1}$ ; |
| (13) | αω$^{β′}$ = ω$^{α0+β′}$, β′ > 0. |
L’exponentiation est facile à effectuer grâce à la formule suivante :
| (14) | α$^λ$ = ω$^{α0λ}$κ$_0$ + …, ﻿ 0 < λ < ω. |
Les termes venant à la droite ont un degré moindre que celui du premier. Il en résulte que les séries fondamentales {α$^λ$} et {ω$^{α0λ}$} sont équivalentes, de sorte que
| (15) | α$^ω$ = ω$^{α0ω}$, ﻿ α$_0$ > 0, |
et par suite, en vertu du théorème E, § 18,
À l’aide de ces formules, on démontre facilement les théorèmes suivants :
C. Si les premiers termes ω$^{α0}$κ$_0$ et ω$^{β0}$λ$_0$ des formes normales de deux nombres α et β ne sont pas égaux, α est plus petit ou plus grand que β, suivant que ω$^{α0}$κ$_0$ est plus petit ou plus grand que ω$^{β0}$λ$_0$.
Si on a
α est plus petit ou plus grand que β, suivant que ω$^{αρ+1}$κ$_{ρ+1}$ est plus petit ou plus grand que ω$^{βρ+1}$λ$_{ρ+1}$.
D. Si le degré α$_0$ de α est plus petit que le degré β$_0$ de β, on a
Si α$_0$ = β$_0$, on a
Mais si
on a
E. Si β est de la deuxième espèce (β$_σ$ > 0), on a
mais si β est de la première espèce (β$_σ$ = 0), on a
F. Si β est de la deuxième espèce (β$_σ$ > 0), on a
mais si β est de la première espèce (β$_σ$ = 0), et de la forme (β = β′ + λ$_σ$) où β′ est de la deuxième espèce, on a
G. Tout nombre α de la deuxième classe peut être mis d’une seule manière, sous la forme du produit
et l’on a
tandis que κ$_0$, κ$_1$, …, κ$_τ$ ont la même signification que dans la forme normale. Les facteurs ω$^γ$ + 1 sont tous indécomposables.
H. Tout nombre α de la deuxième classe et de deuxième espèce, peut être mis, d’une seule manière, sous la forme
où γ$_0$ est > 0 et α′ est un nombre de première espèce, appartenant à la première ou à la deuxième classe.
I. Pour que deux nombres α et β de la deuxième classe vérifient la relation
il est nécessaire et suffisant qu’ils aient la forme
où μ et ν sont deux nombres de la première classe.
K. Pour que deux nombres α et β de la deuxième classe vérifient la relation
il est nécessaire et suffisant qu’ils aient la forme
où μ et ν sont deux nombres de la première classe.
Pour montrer la portée de la forme normale des nombres de la dernière classe, et du développement en produit qui lui est intimement lié, nous donnerons ici les démonstrations des théorèmes I et K qui s’en déduisent.
De l’hypothèse
nous concluons tout d’abord que les degrés α$_0$ et β$_0$ de α et β sont égaux. Car, si par exemple α$_0$ était < β$_0$, on aurait, d’après le théorème D,
donc aussi
ce qui est impossible, puisque [(2), § 14]
Nous pouvons donc poser
où les nombres α′ et β′ sont de degré plus petit que α$_0$, et μ et ν des nombres finis différents de 0.
D’après le théorème D, on a
donc
et par suite (théorème D, § 14)
Nous avons ainsi
et si l’on pose
on a, d’après (11),
Supposons maintenant que les nombres α et β de la deuxième classe et de première espèce vérifient la relation
et supposons que
Mettons les nombres α et β sous forme de produit (théorème G) et soit
où les premiers facteurs de gauche de α′ et β′ (sauf 1) sont différents. On a alors
et
Tous les nombres intervenant ici et dans la suite sont de première espèce, d’après la supposition faite sur α et β.
La dernière équation fait immédiatement reconnaître (eu égard au théorème G) que les nombres α′ et β′ ne peuvent, tous les deux, être transfinis, car, dans ce cas, leurs premiers facteurs communs de gauche seraient égaux. Ils ne peuvent non plus être finis tous deux ; car δ serait alors transfini et, en désignant par κ son premier facteur fini de gauche, on aurait
et par suite
On a donc nécessairement
Mais le nombre fini β′ doit être égal à 1,
car autrement ce serait un diviseur du facteur de gauche de α′.
Nous arrivons à ce résultat que β = δ, et par suite
où α′ est un nombre de première espèce appartenant à la deuxième classe et qui doit être plus petit que α :
Entre α′ et β existe la relation
Si α′ est aussi plus grand que β, on démontre de la même manière l’existence d’un nombre transfini de première espèce α″ < α′, tel que
Dans le cas où α″ est encore plus grand que β, il existe un nombre α‴ < α″, tel que
et ainsi de suite.
La série des nombres décroissants α′, α″, α‴, …, doit être finie (th. B, § 16).
Donc, pour un indice fini déterminé ρ$_0$, on a
Si
il vient
le théorème K est démontré, et l’on a
Mais si
nous posons
et nous obtenons
Par conséquent, il y a aussi un nombre fini ρ$_1$, tel que
On a d’une façon analogue
et ainsi de suite.
La série des nombres décroissants β$_1$, β$_2$, β$_3$, … doit être limitée d’après le théorème B, § 16.
Il existe donc un nombre fini κ, tel que
Si nous posons maintenant
nous aurons
où μ et ν sont le numérateur et le dénominateur de la fraction continue

### § 20. — Les nombres ε de la deuxième classe numérique.

La forme normale du nombre α,
| (1) | α = ω$^{α0}$κ$_0$ + ω$^{α1}$κ$_1$ + …, α$_0$ > α$_1$ > …, 0 < κ < ω, |
nous montre immédiatement, eu égard au théorème F, § 18, que le degré α$_0$ de α n’est jamais supérieur à α. On peut se demander s’il n’y a pas des nombres α, pour lesquels α$_0$ = α.
Dans ce cas, la forme normale devrait évidemment se réduire au premier terme et même à ω$^α$ ; α devrait donc être racine de l’équation
| (2) | ω$^ε$ = ε. |
D’ailleurs toute racine de cette équation aurait la forme normale ω$^α$ et par suite serait égale à son degré.
Les nombres de la deuxième classe, qui sont égaux à leur degré, coïncident donc avec les racines de l’équation (2). Nous nous proposons de déterminer l’ensemble de ces racines ; pour les séparer de tous les autres nombres, nous les nommerons les nombres ε de la deuxième classe.
L’existence de tels nombres ε résulte du théorème suivant :
A. Si γ est un nombre quelconque de la première ou de la deuxième classe, ne vérifiant pas l’équation (2), les équations
déterminent une série fondamentale {γ$_ν$}. La limite E(γ) de cette série fondamentale est toujours un nombre ε.
Démonstration. — Puisque γ n’est pas un nombre ε, on a ω$^γ$ > γ, c’est-à-dire γ$_1$ > γ. D’après le théorème B, § 18, on a aussi ω$^{γ1}$ > ω$^γ$, c’est-à-dire γ$_2$ > γ$_1$, et de la même manière γ$_3$ > γ$_2$, et ainsi de suite. La suite {γ$_ν$} est donc une série fondamentale. Désignons par E(γ) sa limite, on a
E(γ) est donc un nombre ε. —
B. Le nombre ε$_0$ = E(1) = lim. ω$_ν$, où
est le plus petit de tous les nombres ε.
Soit ε′ un nombre α tel que
Comme ε′ est plus grand que ω, ω$^{ε′}$ est plus grand que ω$^ω$, c’est-à-dire ε′ > ω$_1$. Il en résulte de même ω$^{ε′}$ > ω$^{ω1}$ ou ε′ > ω$_2$, et ainsi de suite.
D’une façon générale on a
et il en résulte
c’est-à-dire
ε$_0$ = E(1) est donc le plus petit de tous les nombres ε.
C. Si ε′ est un nombre ε quelconque, ε″ le nombre ε immédiatement supérieur et γ un nombre quelconque intermédiaire,
E(γ) est égal à ε″.
Démonstration. — De
il résulte
c’est-à-dire
Nous en déduisons par la même procédé
et ainsi de suite. Nous avons en général
d’où il résulte
Mais E(γ) est un nombre ε (th. A) et ne peut être inférieur au nombre ε″ qui est le nombre ε venant immédiatement après ε′. Donc
ε′ + 1 n’est pas un nombre ε, car il résulte de l’équation de définition ε = ω$^ε$, que tous les nombres ε sont de deuxième espèce ; donc ε′ + 1 est sûrement plus petit que ε″ et par suite :
D. Si ε′ est un nombre ε quelconque, E(ε + 1) est le nombre ε immédiatement supérieur.
Après le nombre ε initial ε$_0$, vient le nombre ε immédiatement supérieur que nous nommerons ε$_1$
puis le nombre ε immédiatement supérieur ε$_2$
et ainsi de suite.
En général, le (ν + 1)ème nombre ε est donné par la formule de récurrence
| (3) | ε$_ν$ = E(ε$_{ν−1}$ + 1). |
Mais la série infinie
ne contient pas tous les nombres ε, comme il résulte du théorème suivant :
E. Si ε, ε′, ε″, … est une série infinie de nombres ε tels que
le nombre lim. ε$^{(ν)}$ est un nombre ε et c’est précisément le nombre immédiatement supérieur à tous les ε$^{(ν)}$.
Démonstration. — Elle résulte de la formule
et de ce fait que le nombre lim. ε$^{(ν)}$ est le nombre de la deuxième classe immédiatement supérieur à tous les ε$^{(ν)}$.
F. La réunion de tous les nombres ε de la deuxième classe, rangés par ordre de grandeur croissante, forme un ensemble bien ordonné, qui a le type Ω de la deuxième classe numérique, où les éléments sont rangés par ordre de grandeur croissante ; cet ensemble a donc la puissance alef-un.
Démonstration. — La réunion de tous les nombres ε de la deuxième classe, rangés par ordre de grandeur, forme un ensemble bien ordonné (th. C, § 16) :
| (4) | ε$_0$, ε$_1$, ε$_2$, …, ε$_ν$, …, ε$_ω$, ε$_{ω+1}$, …, ε$_{α′}$, … |
dont la loi de formation est exprimée par les théorèmes D et E.
Si l’indice α′ ne parcourait pas tous les nombres de la deuxième classe, il y aurait un nombre α qui serait le plus petit de tous les nombres qu’il n’atteint pas. Mais ceci contredit le théorème D, si α est de la première espèce et le théorème E, si α est de la deuxième espèce ; α′ prend donc toutes les valeurs du nombre de la deuxième classe.
Si nous désignons par Ω le type de la deuxième classe, le type de (4) est
puis comme ω + ω$^2$ = ω$^2$
L’on en déduit
G. Si ε est un nombre ε quelconque, et α un nombre arbitraire de la première ou de la deuxième classe, qui est plus petit que ε
ε vérifie les trois équations
Démonstration. — Si α$_0$ est le degré de α, on a α$_0$ ≤ α < ε. Mais le degré de ε = ω$^ε$ est ε ; le degré de α est donc plus petit que le degré de ε. Il en résulte donc, d’après le théorème D, § 19,
et par suite aussi
Nous avons d’ailleurs, d’après la formule (13), § 19,
et par suite aussi
Enfin nous avons, d’après la formule (16), § 19,
H. Si α est un nombre quelconque de la deuxième classe, l’équation
n’a pas d’autres racines que les nombres ε plus grands que α.
Démonstration. — Soit β une racine de l’équation
on a
et il en résulte immédiatement
D’ailleurs β doit être de deuxième espèce, sinon
Nous avons donc, d’après le théorème F, § 19,
et par suite
D’après le théorème F, § 19,
donc
et comme β ne peut être plus grand que α$_0$β, on a
Donc
et β est un nombre ε, qui est plus grand que α.
* ↑ Publié dans les Mathematische Annalen, Bd. 49, p. 207-246.
* ↑ Sauf les termes employés, cette définition coïncide tout à fait avec celle qui fut donnée dans le volume XXI des Math. Annalen, p. 548 (Grundlagen e. allgem. Mannigfaltigkeitslehre, p. 4).