# Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur une méthode particulière d’approximation et d’interpolation
### SUR UNE MÉTHODE PARTICULIÈRE D’APPROXIMATION ET D’INTERPOLATION.

Lorsque l’inconnue qu’on cherche est donnée par une équation d’une forme déterminée, on peut toujours la trouver, soit rigoureusement, soit par différentes méthodes d’approximation. Mais il peut arriver que la forme de l’équation soit elle-même indéterminée ; en ce cas aucune des méthodes connues ne peut servir ; c’est pourquoi je me flatte que les Géomètres me sauront quelque gré de leur en communiquer une qui a l’avantage de pouvoir être pratiquée, non-seulement en employant des opérations analytiques, mais aussi à l’aide de simples opérations mécaniques, et qui renferme d’ailleurs une méthode d’interpolation applicable à un grand nombre de questions.
1. Soit $\varphi (x)$ une fonction inconnue de $x,$ pour la détermination de laquelle on ait une équation quelconque entre $\varphi (x)$ et $\varphi (\mathrm {X} ),$ en supposant $\mathrm {X}$ donnée en $x$ d’une manière quelconque. On suppose que pour une valeur donnée de $x$ on connaisse celle de $\varphi (x),$ et l’on demande la valeur de $\varphi (x)$ correspondante à une autre valeur donnée de $x$.
2. Soit
$\varphi (x)=y,\quad \varphi (\mathrm {X} )=\mathrm {Y} \,;$
on aura donc une équation entre $x$ et $\mathrm {X} ,$ et une autre entre $y$ et $\mathrm {Y} \,;$ et l’on pourra représenter ces équations par deux courbes, dans l’une desquelles $x$ sera l’abscisse, $\mathrm {X}$ l’ordonpée, et dans l’autre $y$ sera l’abscisse et $\mathrm {Y}$ l’ordonnée.
3. Si l’on fait $\mathrm {X} =x,$ il est clair qu’on aura aussi $\mathrm {Y} =y\,;$ alors l’équation entre $x$ et $\mathrm {X}$ se changera en une équation en $x$ seul, par laquelle on déterminera $x\,;$ et de même l’équation entre $y$ et $\mathrm {Y}$ se réduira en une équation en $y$ seul, laquelle servira à déterminer $y.$ Nous dénoterons par $\alpha$ et $\beta$ les valeurs de $x$ et $y$ trouvées par ces deux équations.
4. Si la relation entre $x$ et $\mathrm {X} ,$ au lieu d’être donnée par une équation algébrique, était simplement représentée par une courbe dont $x$ et $\mathrm {X}$ fussent les deux coordonnées, alors, pour avoir la valeur de $\alpha ,$ il faudra chercher mécaniquement le point de la courbe dont l’abscisse et l’ordonnée seront égales. On trouvera de même la valeur de $\beta$ dans la courbe dont $y$ et $\mathrm {Y}$ seront les coordonnées.
5. Donc, puisque $x=\alpha$ donne $y=\beta ,$ il s’ensuit que $x=\alpha +\xi$ (en supposant $\xi$ une quantité assez petite) donnera
$y=\beta +\gamma \xi +\delta \xi ^{2}+\ldots \,;$
et, prenant $\xi$ assez petite pour que $\xi ^{2},\xi ^{3},\ldots$ puissent être négligées, on aura simplement
$y=\beta +\gamma \xi .$
Ainsi, pour
$x=\alpha +\xi ,$
on aura
$y=\beta +\gamma \xi ,$
en supposant $\xi$ si petite que les puissances $\xi ^{2},\xi ^{3},\ldots$ puissent être censées nulles, eu égard au degré de précision auquel on veut porter le calcul. Mais il faudra déterminer le coefficient $\gamma \,;$ et pour cela il est nécessaire
$y$
$x.$
6. Soient $a$ et $b$ les valeurs connues et données de $x$ et $y,$ en sorte que
$x=a$
donne
$y=b.$
Qu’on cherche la valeur de $\mathrm {X}$ répondante à $x=a,$ et qu’on la désigne par $\mathrm {A} \,;$ qu’on fasse ensuite
$x=\mathrm {A}$
et qu’on cherche la valeur correspondante de $\mathrm {X} ,$ laquelle soit $\mathrm {A} '\,;$ qu’on fasse de nouveau
$x=\mathrm {A} '$
et qu’on désigne par $\mathrm {A} ''$ la valeur correspondante de $\mathrm {X} \,;$ qu’on continue à faire
$x=\mathrm {A} '',$
et ainsi de suite.
Qu’on fasse les mêmes opérations par rapport à $y$ et $\mathrm {Y} \,;$ c’est-à-dire que $y=b$ donne
$\mathrm {Y=B} ,$
qu’ensuite $y=\mathrm {B}$ donne
$\mathrm {Y=B'} ,$
que de plus $y=\mathrm {B} '$ donne et ainsi de suite.
$\mathrm {Y=B''} ,$
et ainsi de suite.
On aura de cette manière deux suites correspondantes
${\begin{aligned}&a,\mathrm {A,A',A'',A'''} ,\ldots ,\\&b,\mathrm {B,B',B'',B'''} ,\ldots ,\end{aligned}}$
telles que, si $x$ est supposé égal à un terme quelconque de la première, le terme correspondant de la seconde sera la valeur correspondante de $y$.
7. Or je remarque que, si les termes de la série
$a,\mathrm {A,A',A'',A'''} ,\ldots$
approchent peu à peu de l’égalité, ils doivent approcher en même temps de la quantité $\alpha$ trouvée ci-dessus (3) ; car, puisque $\alpha$ est la valeur de $x,$ qui rend $\mathrm {X} =x,$ il s’ensuit que si par exemple $\mathrm {A} '=\alpha$ on aura aussi $\mathrm {A} ''=\alpha ,$ par conséquent $\mathrm {A'=A''}$ et vice versâ.
Et comme, lorsque $x=\mathrm {X} =\alpha ,$ on a aussi $y=\mathrm {Y} =\beta ,$ il s’ensuit encore que les termes de la série
$b,\mathrm {B,B',B''} ,\ldots$
approcheront aussi en même temps de l’égalité et de la quantité $\beta .$
En poussant donc les deux séries assez loin pour qu’on parvienne à des termes $\mathrm {A} '''^{\ldots },\mathrm {B} '''^{\ldots }$ peu différents de $\alpha$ et de $\beta ,$ on pourra supposer (5)
$\mathrm {A} '''^{\ldots }=\alpha +\xi ,\quad \mathrm {B} '''^{\ldots }=\beta +\gamma \xi .$
De là on aura
$\xi =\mathrm {A} '''^{\ldots }-\alpha ,\quad \mathrm {B} '''^{\ldots }=\beta +\gamma \left(\mathrm {A} '''^{\ldots }-\alpha \right)\,;$
d’où l’on tire
$\gamma ={\frac {\mathrm {B} '''^{\ldots }-\beta }{\mathrm {A} '''^{\ldots }-\alpha }}.$
Ainsi l’on connaîtra la valeur du coefficient $\gamma .$
8. Si la série
$a,\mathrm {A,A',A''} ,\ldots$
était divergente, alors elle serait convergente de l’autre côté ; il faudrait donc continuer cette série en sens contraire suivant la même loi, c’est-àdire en sorte que chaque terme soit une fonction de celui qui le précédera à gauche, telle que $\mathrm {X}$ l’est de $x$.
Ainsi l’on fera dans ce cas
$\mathrm {X} =a,$
et l’on cherchera la valeur de $x$ qui en résulte et qu’on nommera $a'\,;$ on fera ensuite
$\mathrm {X} =a',$
$x,$
$a'',$
$\mathrm {Y} =b,\quad y=b',$
ensuite
$\mathrm {Y} =b',\quad y=b'',$
et ainsi du reste.
On aura ainsi les deux séries
${\begin{array}{llll}&a,&a',&a'',&a''',\ldots \\&b,&b',&b'',&b''',\end{array}}$
qui seront convergentes vers les quantités $\alpha$ et $\beta ,$ et serviront par conséquent à déterminer la valeur de $\gamma ,$ en faisant
$a'''^{\ldots }=\alpha +\xi \quad {\text{et}}\quad b'''^{\ldots }=\beta +\gamma \xi \,;$
d’où
$\gamma ={\frac {b'''^{\ldots }-\beta }{a'''^{\ldots }-\alpha }}.$
9. Au reste, lorsque les relations entre $x$ et $\mathrm {X} ,$ et entre $y$ et $\mathrm {Y} ,$ sont données algébriquement, on pourra trouver les valeurs arithmétiques des termes des séries proposées aussi exactement qu’on voudra par les règles connues. Mais, si ces relations ne sont représentées que par des courbes, il faudra alors chercher mécaniquement les termes dont il s’agit, en prenant les ordonnées correspondantes aux abscisses données, ou les abscisses correspondantes aux ordonnées données ; opération qui n’a aucune difficulté lorsque les courbes sont tracées avec exactitude.
10. Cela posé, qu’on cherche maintenant la valeur de $y$ correspondante à une valeur quelconque donnée de $x$.
Soit $m$ la valeur donnée de $x\,;$ qu’on fasse
$x=m,$
et qu’on cherche la valeur correspondante de $\mathrm {X}$ qu’on nommera $\mathrm {M} \,;$ qu’on fasse ensuite
$x=\mathrm {M} ,$
$\mathrm {M} '$
$\mathrm {X} \,;$
$x=\mathrm {M} ',$
et que $\mathrm {M} ''$ soit la valeur de $\mathrm {X} ,$ et ainsi de suite.
On aura de cette manière la série
$m,\ \ \mathrm {M,\ \ M',\ \ M''} ,\ldots ,$
laquelle, si elle tend vers l’égalité, sera nécessairement convergente vers la quantité $\alpha$ par la même raison que nous avons vue plus haut (7). On parviendra donc dans ce cas à un terme tel que $\mathrm {M} '''^{\ldots },$ lequel sera peu différent de $\alpha \,;$ en sorte qu’on pourra faire
$\mathrm {M} '''^{\ldots }=\alpha +\xi \,;$
et alors, ce terme étant pris pour $x,$ la valeur correspondante de $y$ sera $\beta +\gamma \xi$ (5). Ainsi lorsque $\mathrm {M} '''^{\ldots }$ sera presque égal à $\alpha ,$ on aura, pour $x=\mathrm {M} '''^{\ldots },$
$y=\beta +\gamma \left(\mathrm {M} '''^{\ldots }-\alpha \right).$
Supposons que $n$ soit la valeur cherchée de $y$ correspondante à $x=m,$ que de même $\mathrm {N}$ soit la valeur qui en résulte pour $\mathrm {Y} ,$ et que
$y=\mathrm {N}$
donne
$\mathrm {Y=N} ',$
qu’ensuite
$y=\mathrm {N} '$
donne
$\mathrm {Y=N} '',$
et ainsi de suite. Il est clair que les termes de la série
$n,\ \ \mathrm {N,\ \ N',\ \ N''} ,\ldots$
seront les valeurs de $y$ répondantes aux valeurs
$m,\ \ \mathrm {M,\ \ M',\ \ M''} ,\ldots$
$x.$
$\mathrm {N} '''^{\ldots }$
$y$
$x=\mathrm {M} '''^{\ldots }\,;$
$\mathrm {N} '''^{\ldots }=\beta +\gamma \left(\mathrm {M} '''^{\ldots }-\alpha \right).$
Cette valeur de $\mathrm {N} '''^{\ldots }$ sera donc connue, et de là, en remontant par des opérations contraires, on trouvera tous les termes précédents de la série
$n,\ \ \mathrm {N,\ \ N',\ \ N'',\ldots ,\mathrm {N} '''^{\ldots }} \,;$
et l’on parviendra ainsi à la valeur cherchée $n$.
11. Si la série
$m,\ \ \mathrm {M,\ \ M',\ \ M''} ,\ldots$
ne tend pas vers l’égalité, et par conséquent ne converge pas vers la valeur de $\alpha ,$ il faudra alors la continuer en sens contraire, c’est-à-dire former la série
$m,\ \ m',\ \ m'',\ldots$
en faisant, comme dans le n$^o$ 8 ci-dessus,
$\mathrm {X} =m,$
et de là
$x=m',$
ensuite
$\mathrm {X} =m',$
et de là
$x=m'',$
et ainsi de suite. La série
$m,\ \ m',\ \ m'',\ldots$
étant convergente vers $\alpha ,$ on la poussera jusqu’à un terme $m'''^{\ldots }$ peu différent de $\alpha ,$ et, faisant
$x=m'''^{\ldots }=\alpha +\xi ,$
on aura
$y=\beta +\gamma \xi =\beta +\gamma \left(m'''^{\ldots }-\alpha \right)\,;$
c’est le terme correspondant dans la série
$n,\ \ n',\ \ n'',\ldots ,n'''^{\ldots }$
$\mathrm {Y} =n$
donne
$y=n',$
ensuite
$\mathrm {Y} =n'$
donne
$y=n'',$
et ainsi de suite. Ainsi, en remontant de ce terme connu vers le précédent, on trouvera la valeur cherchée de $m$.
12. Nous avons supposé que l’équation donnée entre $\varphi (x)$ et $\varphi (\mathrm {X} ),$ c’est-à-dire entre $y$ et $\mathrm {Y}$ (2), était indépendante de $x\,;$ mais il n’est pas difficile de voir que la même méthode peut servir également lorsque cette équation contiendra aussi $x$ d’une manière quelconque seulement on ne pourra pas dans ce cas représenter la relation entre $y$ et $\mathrm {Y}$ par une courbe ; mais il faudra nécessairement que cette relation soit exprimée algébriquement. Il ne s’agira alors que de substituer, à chaque opération, dans l’équation entre $x,y$ et $\mathrm {Y} ,$ la valeur de $x$ déjà trouvée dans l’opération correspondante et relative à $x\,;$ ainsi, après avoir trouvé la valeur $\alpha$ de $x,$ laquelle rend $x$=X, on mettra cette valeur pour $x$ dans l’équation en $y$ et $\mathrm {Y} ,$ et, faisant $y=\mathrm {Y} ,r$ on en tirera la valeur $\beta$ de $y\,;$ et ainsi du reste.
Enfin il pourrait arriver que $\gamma$ se trouvât $=0\,;$ alors pour
$x=\alpha +\xi$
on aurait (5)
$y=\beta +\delta \xi ^{2},$
et le Problème serait toujours résoluble par les mêmes principes.
13. La méthode que nous venons d’exposer n’est autre chose dans le fond qu’une généralisation de celle qui a été employée par Briggs dans la construction de sa Table des logarithmes. (Voyez son Ouvrage intitulé : Arithmetica logarithmica.) Cette méthode de Briggs est peu connue, et dans la foule des Auteurs qui, dans ce siècle-ci, ont traité des logarithmes, il n’y en a peut-être pas un qui en ait fait usage, ou même mention ils ont presque tous suivi la méthode indirecte et de tâtonnement, qui est à la vérité préférable lorsqu’il s’agit de construire des Tables ; mais celle de Briggs a l’avantage d’être tout à fait directe et de donner immédiatement le logarithme de chaque nombre sans le faire dépendre d’aucun autre logarithme. Comme elle est applicable à plusieurs questions qui pourraient échapper aux méthodes connues, j’ai cru devoir en enrichir l’Analyse, en la généralisant et la présentant, ainsi que je viens de le faire, avec toute l’étendue dont elle est susceptible.
14. Pour donner un exemple de cette méthode, nous choisirons la question même des logarithmes, comme renfermant l’application la plus simple qu’on en puisse faire ; et nous partirons aussi de la propriété la plus simple des logarithmes, celle que le logarithme d’un carré est égal au double du logarithme de sa racine.
On aura donc dans ce cas (1)
$\varphi (x)=\log x$
et, comme la propriété donnée consiste en ce que
$\log x^{2}=2\log x,$
l’équation entre $\varphi (x)$ et $\varphi (\mathrm {X} )$ sera
$\varphi (x^{2})=2\varphi (x),$
donc
$\mathrm {X} =x^{2}\,;$
et, faisant (2)
$\varphi (x)=y\quad \varphi (\mathrm {X} )=\mathrm {Y} ,$
on aura
$\mathrm {Y} =2y.$
Ainsi le lieu de l’équation entre $x$ et $\mathrm {X}$ est une parabole, et celui de l’équation entre $y$ et $\mathrm {Y}$ est une simple ligne droite.
$\mathrm {X} =x\,;$
$x=x^{2},\quad {\text{donc}}\quad x=1=\alpha \,;$
et, faisant $\mathrm {Y} =y,$ on a (3)
$y=2y,\quad {\text{donc}}\quad y=0=\beta .$
15. À l’égard des valeurs de $x$ et $y$ qu’on doit supposer connues et que nous avons désignées par $a$ et $b$ (6), elles dépendent du système de logarithmes qu’on veut adopter. Dans celui de Briggs, qui est le système reçu généralement, on fait $\log 10=1$ donc $x=10$ donne $y=1\,;$ par
$a=10,\quad b=1.$
Ainsi la série
$a,\ \ \mathrm {A,\ \ A',\ \ A''} ,\ldots$
deviendra
$10,\ \ 10^{2},\ \ 10^{4},\ \ 10^{8},\ldots ,$
et la série correspondante
$b,\ \ \mathrm {B,\ \ B',\ \ B''} ,\ldots$
sera
$1,\ \ 2,\ \ 4,\ \ 8\ldots .$
Et réciproquement la série
$a,\ \ a',\ \ a'',\ \ a''',\ldots$
sera
$10,\ \ {\sqrt {10}},\ \ {\sqrt[{4}]{10}},\ \ {\sqrt[{8}]{10}},\ldots ,$
et la correspondante
$b,\ \ b',\ \ b'',\ \ b''',\ldots$
sera
$1,\ \ {\frac {1}{2}},\ \ {\frac {1}{4}},\ \ {\frac {1}{8}},\ldots .$
On voit ici que la série
$a,\ \ \mathrm {A,\ \ A',\ \ A''} ,\ldots$
$a,\ \ a',\ \ a'',\ \ a''',\ldots$
est convergente et approche de plus en plus de la valeur de $\alpha =1.$ Ainsi il faudra employer cette dernière série pour trouver la valeur de $\gamma$ (8).
16. On extraira donc la racine carrée de $10,$ ensuite la racine carrée de cette racine, et puis la racine carrée de celle-ci, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on parvienne à une racine très-peu différente de l’unité. On formera ensuite les termes correspondants de la série
${\frac {1}{2}},\ \ {\frac {1}{4}},\ \ {\frac {1}{8}},\ldots$
par une continuelle bissection de l’unité. On poussera ces séries jusqu’aux termes $a'''^{\ldots }$ et $b'''^{\ldots }$ tels que $a'''^{\ldots }-1$ et $b'''^{\ldots }-1$ soient des fractions assez petites pour que leurs carrés soient comme nuls. Ainsi, en employant le calcul décimal, si l’on a fixé le nombre des décimales auquel on veut porter la précision, il faudra que les quantités dont il s’agit se trouvent exprimées par des nombres qui aient avant les chiffres ou notes significatives autant de zéros qu’il y aura de ces chiffres, afin que les carrés de ces nombres tombent hors des limites, fixées.
Briggs, ayant employé $32$ décimales, a poussé le nombre des extractions successives jusqu’à $54,$ et il a eu pour dernière racine le nombre
$1{,}00000\ 00000\ 00000\ 12781\ 91493\ 20032\ 35,$
c’est le terme $a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}$ de notre série $a',a'',a''',\ldots .$
Il a trouvé ensuite par $54$ bissections continuelles de l’unité le nombre
$0{,}00000\ 00000\ 00000\ 05551\ 11512\ 31257\ 827,$
qui est par conséquent le terme $b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}$ de la série $b',b'',b''',\ldots .$
Ainsi, puisque
$\alpha =1,\quad \beta =0,$
on aura
$\gamma ={\frac {b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}}{a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1}},$
$\gamma ={\frac {0{,}5551\ 11512\ 31257\ 827}{1{,}2781\ 91493\ 20032\ 35}},$
ce qui se réduit à
$\gamma =0{,}4342\ 94481\ 90325\ 18.$
17. Cette valeur de $\gamma$ étant ainsi trouvée servira pour déterminer les logarithmes de tous les nombres. Car, si le nombre donné dont on cherche le logarithme est $m,$ il n’y aura qu’à former la série $m,m',m'',\ldots$ par de semblables extractions de la racine carrée, en sorte que
$m'={\sqrt {m}},\quad m''={\sqrt {\sqrt {m}}},\ldots ,$
et, dès qu’on sera parvenu ainsi a une racine ou terme $m'''^{\ldots }$ qui aura avant les notes décimales significatives autant de zéros qu’on veut avoir de ces notes significatives, on aura sur-le-champ le terme correspondant $n'''^{\ldots }$ de la série
$n,\ \ n',\ \ n'',\ldots$
des logarithmes par la formule (11)
$n'''^{\ldots }=\beta +\gamma \left(m'''^{\ldots }-\alpha \right).$
Or les termes de cette dernière série sont formés comme ceux de la série
$b,\ \ b',\ \ b'',\ldots$
par une bissection continuelle du premier terme $n\,;$ en sorte que, nommant l’exposant du terme $n'''^{\ldots },$ on aura
$n'''^{\ldots }={\frac {n}{2^{\lambda }}},$
et par conséquent
$n=2^{\lambda }\times n'''^{\ldots }.$
Donc, puisque
$\beta =0,\quad \alpha =1,$
on aura
$n=2^{\lambda }\times \gamma \left(m'''^{\ldots }-1\right).$
Ce sera le logarithme du nombre $m$.
18. Briggs a déterminé ainsi les logarithmes de $2,$ de $3$ et de plusieurs nombres premiers ; mais, pour faciliter le calcul des extractions des racines carrées, au lieu d’opérer sur le nombre $2,$ il opère sur la $10^{\text{e}}$ puissance de $2$ qui est $1024,$ et qui étant divisée par $1000$ donne le nombre $1{,}024,$ dont l’extraction des racines carrées est beaucoup plus facile. Prenant donc $1{,}024$ pour le nombre proposé, il trouve par $47$ extractions successives le nombre
$1{,}00000\ 00000\ 00000\ 16851\ 60570\ 53949\ 77,$
qui a les conditions demandées ; ainsi, mettant ce nombre la place de $m'''^{\ldots }$ dans la formule précédente et faisant $\lambda =47,$ on a, pour le logarithme $n$ du nombre $m=1{,}024,$
$n=2^{47}\times 0,00000\ 00000\ 00000\ 16861\ 60570\ 53949\ 77\gamma ,$
c’est-à-dire en substituant la valeur de $\gamma$ trouvée ci-dessus (16)
$n=2^{47}\times 0,00000\ 00000\ 00000\ 07318\ 55936\ 90623\ 9368\ ;$
et de là on aura enfin
$n=0,01029\ 99566\ 39811\ 95265=\log 1{,}024.$
Ajoutant maintenant à ce logarithme celui de $1000$ qui est $3,$ on aura
$35{,}01029\ 99566\ 39811\ 95265=\log 1024=\log 2^{10}=10\log 2\,;$
donc, divisant par $10,$ on aura
$\log 2=0{,}30102\ 99956\ 63981\ 19526.$
19. Nous avons vu que la valeur du coefficient constant y dépend du système de logarithmes qu’on veut employer, c’est-à-dire du logarithme qu’on veut assigner à un nombre donné (15) ; il peut donc y avoir tel système de logarithmes dans lequel la valeur de $\gamma$ sera l’unité ; et il est clair que ce système sera le plus simple, du moins par rapport à la recherche des logarithmes par la méthode présente. Dans ce système donc le logarithme $n'''^{\ldots }$ d’un nombre $m'''^{\ldots },$ très-peu différent de l’unité, sera simplement $m'''^{\ldots },-1$ (17), c’est-à-dire qu’on aura
$\log(1+\xi )=\xi ,$
lorsque $\xi$ est une quantité infiniment petite. C’est la propriété connue des logarithmes hyperboliques. Et de là on voit en même temps comment ces sortes de logarithmes, qu’on appelle aussi naturels, ont pu se présenter les premiers à leur inventeur Neper, quoique d’ailleurs notre système décimal paraisse indiquer naturellement les logarithmes tabulaires ou de Briggs, dans lesquels l’unité est le logarithme de $10.$
Ainsi, dans les formules du n$^o$ 16, $a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1$ sera le logarithme hyperbolique de $a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}},$ et si l’on nomme $h$ le logarithme hyperbolique de $a$ ou de $10,$ le terme $h^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}$ de la série
$h,h',h'',\ldots$
des logarithmes correspondants aux nombres
$a,a',a'',\ldots$
sera évidemment $b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}h,$ puisque ces termes procèdent par une bissection continuelle. On aura donc
$b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}h=a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1,$
et de là
$h={\frac {a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1}{b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}}}={\frac {1}{\gamma }}\,;$
de sorte que le nombre réciproque du nombre $\gamma$ du système tabulaire sera le logarithme hyperbolique de $10\,;$ et l’on aura par ce moyen
$\operatorname {log\,hyp} 10=2{,}30258\ 50929\ 94045.$
20. Au reste cette méthode de trouver les logarithmes peut être facilement traduite en formule au moyen du Théorème de Newton pour la formation des puissances des binômes. Car, suivant le n$^o$ 17, on a
$n=\log m=2^{\lambda }\times \gamma ({\sqrt[{2\lambda }]{m}}-1),$
$2^{\lambda }$
${\frac {1}{2^{\lambda }}}=i,$
en sorte que $i$ soit une fraction fort petite, on aura
$\log m={\frac {\gamma \left(m^{i}-1\right)}{i}}.$
Soit
$m=1+z\,;$
on aura par le Théorème cité
$m^{i}=1+iz+{\frac {i(i-1)}{2}}z^{2}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{2.3}}z^{3}+\ldots ,$
et lorsque $i$ est un nombre très-petit, on a, en rejetant les termes affectés de $i^{2},i^{3},\ldots ,$
$m^{i}=1+i\left(z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots \right)\,;$
donc
$\log(1+z)=\gamma \left(z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots \right)\,;$
et si l’on fait $\gamma =1,$ on a
$\operatorname {log\,hyp} (1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots ,$
comme on le trouve par le Calcul intégral.
21. Réciproquement donc, puisque
$\log m={\frac {\gamma (m^{i}-1)}{i}},$
on aura
$m^{i}=1+{\frac {i\log m}{\gamma }},$
et de là
$m=\left(1+{\frac {i\log m}{\gamma }}\right)^{\frac {1}{i}}\,;$
$i$
$m=1+{\frac {\log m}{\gamma }}+{\frac {(\log m)^{2}}{2\gamma ^{2}}}+{\frac {(\log m)^{3}}{2.3\gamma ^{3}}}+\ldots ,$
ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs.
Halley est, je crois, le premier qui ait donné cette manière également simple et ingénieuse de parvenir aux expressions analytiques des logarithmes par les nombres, et des nombres par les logarithmes. (Voyez les Transactions philosophiques, n$^o$ 216.)
22. Je finirai par faire remarquer que si l’on élève la quantité $1+z$ à une puissance quelconque $t,$ et qu’on veuille avoir la série qui exprime cette puissance, ordonnée par rapport aux puissances mêmes de l’exposant $t,$ on aura
$(1+z)^{t}=1+t\zeta +{\frac {t^{2}\zeta ^{2}}{2}}++{\frac {t^{3}\zeta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,$
$\zeta$ étant le logarithme hyperbolique de $1+z.$
Car, faisant dans la série du numéro précédent
$m=(1+z)^{t},\quad \gamma =1,$
on aura
$\log m=\operatorname {log\,hyp} (1+z)^{t}=t\operatorname {log\,hyp} (1+z)=t\zeta \,;$
donc, etc.