# Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Théorie des variations périodiques des mouvements des Planètes/1
### THÉORIE DES VARIATIONS PÉRIODIQUES DES MOUVEMENTS DES PLANÈTES.
#### PREMIÈRE PARTIE CONTENANT LES FORMULES GÉNÉRALES DE CES VARIATIONS.

Après avoir donné dans la Théorie des variations séculaires la partie la plus importante et la plus difficile du Calcul des perturbations des Planètes, j’ai cru devoir compléter ce Calcul, en donnant aussi l’autre partie qui concerne les variations périodiques.
Plusieurs Géomètres se sont déjà occupés de ce dernier objet ; mais leurs travaux se trouvent épars dans divers Ouvrages, et les résultats de ces travaux, dépendant de méthodes et de données différentes, présentent une variété embarrassante pour les Astronomes qui voudraient en faire usage. D’ailleurs ils n’ont point tenu compte de l’effet des variations séculaires, et, quoique cet effet ne puisse être que très-petit, la rigueur ne permet pas de le négliger, sans avoir auparavant démontré qu’il n’en saurait résulter que des altérations insensibles dans le mouvement des Planètes.
L’Analyse par laquelle nous avons déterminé les variations séculaires donne aussi directement les variations périodiques ; car nous avons commencé par réduire tout l’effet des perturbations à la variation des éléments des orbites ; nous avons ensuite séparé ce qui, dans ces variations, n’était que périodique de ce qui était indépendant des lieux des Planètes et cette dernière Partie nous a donné les variations séculaires qui affectent immédiatement et continuellement les dimensions et la position des orbites elliptiques. Il ne s’agit donc que d’avoir égard à la partie périodique des variations de ces mêmes éléments, et de tenir compte des termes négligés dans le premier calcul. On aura par là les variations totales des éléments des Planètes causées par leur attraction mutuelle ; et, en employant les éléments corrigés par ces variations, on pourra calculer pour chaque instant les lieux des Planètes par les règles ordinaires.
À la vérité, comme les variations périodiques demeurent toujours très-petites et n’ont, pour ainsi dire, qu’un effet passager et alternatif, il est peu important pour l’Astronomie de connaître en particulier les altérations qui en résultent dans chacun des éléments des orbites ; et il suffit d’avoir l’effet total de ces variations sur les lieux des Planètes. Aussi les Astronomes sont-ils dans l’usage de regarder les orbites comme constantes relativement aux variations périodiques, et de ne traiter ces variations que comme des corrections à faire aux lieux elliptiques calculés par les règles ordinaires. Mais après avoir déterminé par nos formules générales la partie périodique des variations des éléments, rien ne sera plus facile que d’en conclure les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude. Il est vrai qu’on peut calculer ces inégalités d’une manière plus simple, en les déduisant immédiatement des équations différentielles de l’orbite ; mais cette méthode a, d’un autre côté, l’inconvénient de ne donner les variations séculaires qu’indirectement et par des réductions particulières ; et ne doit-il pas être plus satisfaisant de trouver toutes les inégalités du mouvement des Planètes par une même analyse et par des procédés directs et uniformes ?
1. Nous nous proposons donc ici d’appliquer à la détermination des inégalités périodiques des Planètes les formules générales trouvées dans la première Partie de la Théorie des variations séculaires ; mais auparavant il est bon de faire à ces formules un changement qui servira à les rendre plus simples et plus exactes à quelques égards, sans influer d’ailleurs en rien sur les résultats trouvés pour les variations séculaires. Ce changement est relatif à la manière dont nous avons déterminé l’anomalie vraie par l’anomalie moyenne dans une ellipse dont les éléments sont variables ; voici en quoi il consiste.
Après être parvenus dans le n$^o$ 30 de la Partie citée à l’équation différentielle
$dq+\beta \sin qdq+\gamma \cos qdq+\delta \sin 2qdq+\varepsilon \cos 2qdq+\ldots =dp,$
dans laquelle $p$ est l’angle du mouvement moyen, $q$ celui du mouvement vrai, et $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ des coefficients dépendant des éléments de l’ellipse, nous avons intégré le premier membre par approximation, et nous avons obtenu la formule
$q-(\beta )\cos q+(\gamma )\sin q-{\frac {1}{2}}(\delta )\cos 2q+{\frac {1}{2}}(\varepsilon )\sin 2q-\ldots =p,$
d’où nous avons ensuite déduit la valeur de $q$ en $p.$
J’ai reconnu depuis qu’au lieu de cette approximation il vaut mieux laisser le premier membre de l’intégrale sous la forme qu’il aurait si les éléments étaient constants, et appliquer à la valeur de $p,$ qui constitue le second membre, les corrections résultantes de la variabilité des mêmes éléments.
Ainsi, en faisant
$d\Sigma =-\cos qd\beta +\sin qd\gamma -{\frac {1}{2}}\cos 2q\,d\delta +{\frac {1}{2}}\sin 2q\,d\varepsilon -\ldots ,$
et ajoutant cette équation à l’équation différentielle ci-dessus, on aura, après l’intégration, cette formule
$q-\beta \cos q+\gamma \sin q-{\frac {1}{2}}\delta \cos 2q+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sin 2q-\ldots =p+\Sigma ,$
qu’on voit être de la même forme que la précédente, les coefficients $(\beta ),(\gamma ),$$(\delta ),\ldots$ étant changés en $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots ,$ et la variable $p$ en $p+\Sigma .$
On fera donc ces mêmes changements dans les autres formules dépendantes de celle-ci ; et par conséquent les quantités $m$ et $n$ des n$^{os}$ 38 et suivants se réduiront d’abord à $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ réduction que nous avons faite aussi dans le n$^o$ 49, mais d’après la considération de la petitesse des forces perturbatrices dont nous avons négligé les carrés. Par cette considération, on pourra donc aussi négliger dans les formules des variations des éléments la quantité, ou du moins la partie périodique de cette quantité, l’autre partie proportionnelle à $p$ se confondant avec le mouvement moyen ; de sorte que les équations différentielles des n$^{os}$ 40 et 50 demeureront les mêmes ; et toute la Théorie des variations séculaires des éléments des orbites planétaires subsistera en son entier.
À l’égard de la quantité $\Sigma ,$ il est clair qu’elle représentera la variation du mouvement moyen due aux forces perturbatrices, variation indépendante du grand axe de l’ellipse, et qu’on pourra rapporter à l’époque du moyen mouvement, laquelle, dans les orbites invariables, contient la sixième constante arbitraire des intégrales, et par conséquent le sixième élément du mouvement elliptique.
2. Pour avoir donc la formule de cette variation, il faut d’abord connaître les valeurs des coefficients, $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ en $\mathrm {M,N,P,Q,R} \,;$ or, par le n$^o$ 30 de l’Ouvrage cité, on voit que la série
$\alpha \left(1+\beta \sin q+\gamma \cos q+\delta \sin 2q+\varepsilon \cos 2q+\zeta \sin 3q+\eta \cos 3q+\ldots \right)$
résulte du développement de la fraction
$\left[g{\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}}}+\mathrm {C} \sin q-\mathrm {B} \cos q\right]^{-2},$
dans laquelle (n$^{os}$ 8, 29)
$\mathrm {B=RN-PL,\quad C=-RM-QL}$
et
$\mathrm {L={\frac {MQ-NP}{R}}} ,$
l’on trouve par les méthodes ordinaires, en poussant l’approximation
$\mathrm {M,N,P,Q}$
$g=1$
${\begin{aligned}\beta =&2\mathrm {M-{\frac {NPQ}{2R^{2}}}+{\frac {M\left(3Q^{2}+P^{2}\right)}{4R^{2}}}} ,\\\gamma =&2\mathrm {N-{\frac {MQP}{2R^{2}}}+{\frac {N\left(3P^{2}+Q^{2}\right)}{4R^{2}}}} ,\\\delta =&3\mathrm {MN+{\frac {PQ}{2R^{2}}}} ,\\\varepsilon =&\mathrm {{\frac {3\left(N^{2}-M^{2}\right)}{2}}+{\frac {Q^{2}-P^{2}}{2R^{2}}}} ,\\\zeta =&\mathrm {3MN^{2}-M^{3}+{\frac {3M\left(Q^{2}-P^{2}\right)}{4R^{2}}}+{\frac {3NPQ}{2R^{2}}}} ,\\\eta =&\mathrm {N^{3}-3NM^{2}+{\frac {3N\left(Q^{2}-P^{2}\right)}{4R^{2}}}-{\frac {3MPQ}{2R^{2}}}} .\end{aligned}}$
Après avoir différentié ces valeurs, on y substituera pour $d\mathrm {M} ,d\mathrm {N} ,d\mathrm {P} ,$$d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ celles que nous avons données dans les n$^{os}$ 17 et 41 de l’Ouvrage cité ; on aura ainsi les expressions de $d\beta ,d\gamma ,d\delta ,\ldots ,$ qu’il faudra substituer dans celle de $d\Sigma$ du numéro précédent.
3. Si dans cette expression de $d\Sigma$ on veut se contenter d’avoir égard aux premières dimensions des quantités $\mathrm {M,N,P,Q} ,$ ainsi que nous l’avons fait dans les formules des variations des éléments de l’orbite, il suffira alors d’avoir égard aux secondes dimensions de ces quantités dans les valeurs de $\beta ,\gamma ,\ldots ,$ ce qui les réduira à celles-ci
$\beta =2\mathrm {M} ,\quad \gamma =2\mathrm {N} ,\quad \delta =\mathrm {3MN+{\frac {PQ}{R^{2}}}} ,$
$\varepsilon =\mathrm {{\frac {3\left(N^{2}-M^{2}\right)}{2}}+{\frac {Q^{2}-P^{2}}{2R^{2}}}} ,\quad \zeta =0,\ldots \,;$
et, comme les valeurs de $d\mathrm {P}$ et $d\mathrm {Q}$ contiennent déjà les premières dimensions de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ (ainsi qu’on le voit par les formules du n$^o$ 39), il est clair qu’on pourra négliger les différences des termes $\mathrm {\frac {PQ}{R^{2}}}$ et $\mathrm {\frac {Q^{2}-P^{2}}{2R^{2}}} .$ On aura
$d\mathrm {N}$
$d\mathrm {M}$
${\begin{aligned}d\Sigma =&2r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}dq+2{\frac {d\Omega }{dq}}dr+3r{\frac {d\Omega }{dq}}(\mathrm {N} \sin q-\mathrm {M} \cos q)dq\\&+{\frac {3r^{2}}{2}}{\frac {d\Omega }{dr}}(\mathrm {M} \sin q+\mathrm {N} \cos q)+{\frac {3}{2}}{\frac {d\Omega }{dq}}(\mathrm {M} \sin q+\mathrm {N} \cos q)dr\,;\end{aligned}}$
et il n’y aura plus qu’à faire les autres substitutions de ce dernier numéro, en se souvenant d’y changer $m,n$ en $\mathrm {M,N} ,$ et $p$ en $p+\Sigma .$
4. Dénotons par ${\overline {p}}$ la valeur moyenne de l’angle $p+\Sigma ,$ c’est-à-dire la partie indépendante des sinus et cosinus, et proportionnelle au temps ; et par ${\overline {r}}$ le demi-grand axe de l’ellipse invariable dans laquelle le mouvement moyen serait ${\overline {p}},$ en sorte que l’on ait $dp={\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}}\,;$ il est clair que, dans les termes dus aux forces perturbatrices, on pourra mettre partout ${\overline {p}}$ au lieu de $p+\Sigma ,$ et ${\overline {r}}$ au lieu de ${\frac {1}{\Delta }}$ demi-grand axe de l’ellipse variable (37), du moins en tant qu’on néglige les carrés de ces forces, comme on l’a toujours pratiqué dans la Théorie des perturbations des corps célestes.
Ainsi les substitutions dont il s’agit se réduiront à faire
${\begin{alignedat}{2}q=&{\overline {p}}+2\mathrm {M} \cos {\overline {p}}-2\mathrm {N} \sin {\overline {p}},\qquad &dq=&\left(1-2\mathrm {M} \sin {\overline {p}}-2\mathrm {N} \cos {\overline {p}}\right)d{\overline {p}},\\r=&{\overline {r}}\left(1+\mathrm {M} \sin {\overline {p}}+\mathrm {N} \cos {\overline {p}}\right),&dr=&{\overline {r}}\left(\mathrm {M} \cos {\overline {p}}-\mathrm {N} \sin {\overline {p}}\right)d{\overline {p}},\end{alignedat}}$
${\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dr}}=&{\frac {d\Omega }{d{\overline {r}}}}+{\overline {r}}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}^{2}}}\left(\mathrm {M} \sin {\overline {p}}+\mathrm {N} \cos {\overline {p}}\right)\\&+{\overline {r}}'{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {r}}'}}\left(\mathrm {M} '\sin {\overline {p}}'+\mathrm {N} '\cos {\overline {p}}'\right)+\ldots \\&+2{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}}}\left(\mathrm {M} \cos {\overline {p}}-\mathrm {N} \sin {\overline {p}}\right)\\&+2{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}'}}\left(\mathrm {M} '\cos {\overline {p}}'-\mathrm {N} '\sin {\overline {p}}'\right)+\ldots ,\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dq}}=&{\frac {d\Omega }{d{\overline {p}}}}+{\overline {r}}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}}}\left(\mathrm {M} \sin {\overline {p}}+\mathrm {N} \cos {\overline {p}}\right)\\&+{\overline {r}}'{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}'d{\overline {p}}}}\left(\mathrm {M} '\sin {\overline {p}}'+\mathrm {N} '\cos {\overline {p}}'\right)+\ldots \\&+2{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {p}}^{2}}}\left(\mathrm {M} \cos {\overline {p}}-\mathrm {N} \sin {\overline {p}}\right)\\&+2{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {p}}d{\overline {p}}'}}\left(\mathrm {M} '\cos {\overline {p}}'-\mathrm {N} '\sin {\overline {p}}'\right)+\ldots ,\\\Omega =&\mathrm {T} '\ \left[{\frac {{\overline {r}}\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)}{{\overline {r}}'^{2}\ }}-{\frac {1}{\sqrt {{\overline {r}}^{2}-2{\overline {r}}{\overline {r}}'\ \cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)+{\overline {r}}'^{2}}}}\right]\\+&\mathrm {T} ''\left[{\frac {{\overline {r}}\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)}{{\overline {r}}''^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {{\overline {r}}^{2}-2{\overline {r}}{\overline {r}}''\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)+{\overline {r}}''^{2}}}}\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Négligeant donc dans ces substitutions les secondes dimensions des quantités $\mathrm {M,N,M',N',\ldots } ,$ et changeant les lettres $\mathrm {M,N}$ en $x,y,$ ainsi que nous l’avons fait dans le n$^o$ 50 de l’Ouvrage cité, on aura pour la variation de $\Sigma$ cette formule
${\begin{aligned}d\Sigma =&2{\overline {r}}^{2}{\frac {d\Omega }{d{\overline {r}}}}d{\overline {p}}+\left(2{\overline {r}}^{3}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}^{2}}}+{\frac {3{\overline {r}}^{2}}{2}}{\frac {d\Omega }{d{\overline {r}}}}\right)\left(x\sin {\overline {p}}+y\cos {\overline {p}}\right)d{\overline {p}}\\&+2{\overline {r}}^{2}{\overline {r}}'{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {r}}'}}\left(x'\sin {\overline {p}}'+y'\cos {\overline {p}}'\right)d{\overline {p}}\\&+2{\overline {r}}^{2}{\overline {r}}''{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {r}}''}}\left(x''\sin {\overline {p}}''+y''\cos {\overline {p}}''\right)d{\overline {p}}=\ldots \\&+\left(4{\overline {r}}^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}}}-{\overline {r}}{\frac {d\Omega }{d{\overline {p}}}}\right)\left(x\cos {\overline {p}}+y\cos {\overline {p}}\right)d{\overline {p}}\\&+4{\overline {r}}^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}'}}\left(x'\cos {\overline {p}}'+y'\cos {\overline {p}}'\right)d{\overline {p}}\\&+4{\overline {r}}^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}''}}\left(x''\cos {\overline {p}}''+y''\cos {\overline {p}}''\right)d{\overline {p}}+\ldots ,\end{aligned}}$
dans laquelle il ne s’agira plus que de substituer la valeur précédente de $\Omega .$
5. Mais, pour avoir une formule intégrable, il est nécessaire de réduire en série les radicaux qui entrent dans l’expression de $\Omega \,;$ on supposera donc
$\left[{\overline {r}}^{2}-2{\overline {r}}{\overline {r}}'\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}')+{\overline {r}}'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)$
$+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}\cos 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}\cos 3\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)+\ldots ,$
et ainsi des autres radicaux semblables ; alors l’expression de $d\Sigma$ se trouvera composée de termes tous intégrables, dont les uns, simplement proportionnels à $d{\overline {p}},$ seront
$-2\mathrm {T} '{\overline {r}}^{2}{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}']}{d{\overline {r}}'}}d{\overline {p}}-2\mathrm {T} ''{\overline {r}}^{2}{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'']}{d{\overline {r}}''}}d{\overline {p}}-\ldots ,$
et dont les autres contiendront tous des sinus ou cosinus des angles ${\overline {p}},{\overline {p}}',$${\overline {p}}'',\ldots ,$ et donneront par conséquent la partié périodique de la valeur de $\Sigma .$
Quant aux premiers termes, nous verrons ci-après comment, étant joints à un terme semblable provenant de la valeur de $p,$ il en résulte le terme unique ${\overline {p}}$ que nous avons supposé représenter la partie uniforme du mouvement moyen $p+\Sigma$ dans l’ellipse variable.
Ainsi, tant qu’on n’a égard qu’aux premières dimensions des excentricités et des inclinaisons, auxquelles les quantités $\mathrm {M,N,{\frac {P}{R}},{\frac {Q}{R}}} ,$ ou $x,y,$$s,u$ sont proportionnelles, on ne trouve point de variation séculaire dans le mouvement moyen des Planètes ; mais, si l’on poussait l’approximation jusqu’aux, secondes dimensions de ces quantités dans l’expression de $d\Sigma ,$ on trouverait alors des termes proportionnels à $d{\overline {p}}$ et indépendants des sinus et cosinus de ${\overline {p}},{\overline {p}}',\ldots ,$ lesquels auraient pour coefficients les quantités
$x^{2}+y^{2},\ \ x'^{2}+y'^{2},\ \ xx'+yy',\ldots ,\ \ s^{2}+u^{2},\ \ s'^{2}+u'^{2},\ \ ss'+uu',\ldots \,;$
ces termes donneraient donc, par la substitution des valeurs de $x,y,x',y',$$\ldots ,$$s,u,s',u',\ldots$ relatives à chaque Planète, des variations séculaires dans leur mouvement moyen, variations qui n’affecteraient que le
6. Si dans l’expression de $d\Sigma$ du n$^o$ 4 on néglige les termes où se trouvent les quantités $x,y,x',y',\ldots$ dues aux excentricités des orbites, elle se réduit à celle-ci
${\begin{aligned}d\Sigma =&2{\overline {r}}^{2}{\frac {d\Omega }{d{\overline {r}}}}d{\overline {p}}\\=&-2{\overline {r}}^{2}\mathrm {T} '\ \left[{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ ]}{d{\overline {r}}}}+\left({\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ ]_{1}}{d{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}'^{2}\ }}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ ]_{2}}{d{\overline {r}}}}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )+\ldots \right]d{\overline {p}}\\=&-2{\overline {r}}^{2}\mathrm {T} ''\ \left[{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'']}{d{\overline {r}}}}+\left({\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'']_{1}}{d{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'')\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'']_{2}}{d{\overline {r}}}}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')+\ldots \right]d{\overline {p}}\\\end{aligned}}$
Soient
$d{\overline {p}}-d{\overline {p}}'=n'd{\overline {p}},\quad d{\overline {p}}-d{\overline {p}}''=n''d{\overline {p}},\ldots ,$
les coefficients $n',n'',\ldots$ étant constants et donnés par les rapports connus des mouvements moyens des Planètes ${\biggl{\biggr .}$ puisque $d{\overline {p}}={\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},d{\overline {p}}'={\frac {dt}{{\overline {r}}'^{\frac {3}{2}}}},$$\ldots ,$$\ n'$ sera ${\biggl .}=1-\left({\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}'}}\right)^{\frac {3}{2}},\ n''=1-\left({\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}''}}\right)^{\frac {3}{2}},\ldots {\biggr ]}\,;$ on aura, en substituant pour $d{\overline {p}},{\frac {d{\overline {p}}-d{\overline {p}}'}{n'}},$ ou ${\frac {d{\overline {p}}-d{\overline {p}}''}{n''}},$ ou $\ldots ,$ une équation intégrable, et dont l’intégrale sera
${\begin{aligned}\Sigma =&-2{\overline {r}}^{2}\left(\mathrm {T} '{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}']_{1}}{d{\overline {r}}}}+\mathrm {T} ''{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'']_{1}}{d{\overline {r}}}}+\ldots \right){\overline {p}}\\&-{\frac {2{\overline {r}}^{2}\mathrm {T} '\ }{n'}}\left[\left({\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ ]_{1}}{d{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}'^{2}}}\right)\sin({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{2}}{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ ]_{2}}{d{\overline {r}}}}\sin 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )+\ldots \right]\\&-{\frac {2{\overline {r}}^{2}\mathrm {T} ''\ }{n''}}\left[\left({\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}''\ ]_{1}}{d{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\sin({\overline {p}}-{\overline {p}}''\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{2}}{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}''\ ]_{2}}{d{\overline {r}}}}\sin 2({\overline {p}}-{\overline {p}}''\ )+\ldots \right]\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
7. Si l’on voulait aussi tenir compte des excentricités dans la valeur de $\Sigma ,$ il n’y aurait qu’à substituer dans l’expression de $d\Sigma$ les valeurs de $x,y,x',y',\ldots$ déterminées dans la Théorie des variations séculaires ; ce qui ne donnerait que des termes en sinus et cosinus d’angles proportionnels à $t$ ou $p,$ et par conséquent tous intégrables.
Mais pour simplifier ce calcul on remarquera :
1$^o$ Que l’on peut regarder les quantités $x,y,x',\ldots$ comme constantes, puisque leurs différentielles étant de l’ordre des forces perturbatrices doivent être négligées, par la raison que ces quantités se trouvent ici déjà multipliées par la quantité $\Omega ,$ qui est aussi du même ordre.
2$^o$ Qu’à cause de la petitesse des termes dont il s’agit, il suffira d’lavoir égard à ceux qui pourront augmenter beaucoup par l’intégration ; et il est clair que ce sont les termes qui contiendront des sinus ou cosinus d’angles dont la variation sera très-petite vis-à-vis de celle de l’angle ${\overline {p}}\,;$ car si, par exemple, $\Pi$ désigne un de ces angles, et que $d\Pi =\nu d{\overline {p}},$ $\nu$ étant un coefficients fort petit, la première intégration introduira au dénominateur le coefficient $\nu ,$ et la seconde y introduira le carré $\nu ^{2}.$ Comme l’angle $\Pi$ ne peut être composé que de multiples des angles ${\overline {p}},{\overline {p}}',{\overline {p}}'',\ldots$ joints ensemble par les signes $+$ ou $-$ ce n’est que par les rapports connus des mouvements moyens des Planètes qu’on pourra juger dans chaque cas de la valeur du coefficient $\nu \,;$ il faudra donc un examen particulier pour chaque Planète dont on voudra calculer les perturbations.
3$^o$ Que, s’il arrivait que le coefficient $\nu$ fût très-petit du même ordre que les coefficients de $t$ dans les sinus ou cosinus des valeurs de $x,y,x',y',\ldots ,$ il faudrait alors, dans les termes qui contiendraient les sinus ou cosinus de $\Pi ,$ substituer immédiatement ces valeurs, et intégrer ensuite, après avoir réduit les produits des sinus et cosinus en sinus et cosinus simples. Mais ce cas ne paraît pas pouvoir exister dans notre Système planétaire.
8. Considérons maintenant les variations du demi-grand axe de l’ellipse. Nous avons trouvé, dans le n$^o$ 35 de la Théorie citée, que ce grand axe est constant, relativement aux variations séculaires ; mais il ne l’est plus lorsqu’on a égard aux variations périodiques. Car la quantité $\Delta ,$ qui est en raison inverse du demi-grand axe, est telle que
$d\Delta =2(d\Omega ),$
en désignant par $(d\Omega )$ la différentielle partielle de la fonction $\Omega ,$ relativement aux seules-variables de la Planète troublée ; par conséquent cette quantité sera essentiellement variable, mais ses variations ne seront que périodiques, puisque l’expression de $(d\Omega )$ ne peut contenir que des termes affectés de sinus et cosinus.
Prenons pour un moment $r$ pour dénoter le demi-grand axe de l’ellipse variable dans laquelle $p$ est l’angle du mouvement moyen ; on aura par les n$^{os}$ 34 et 37 de la Théorie citée
$r={\frac {1}{\Delta }},\quad {\frac {dp}{dt}}=\Delta ^{\frac {3}{2}}.$
Donc : 1$^o$
$d{\frac {1}{r}}=2(d\Omega ),$
et, intégrant,
${\frac {1}{r}}={\frac {1}{\overline {r}}}+2\int (d\Omega ).$
La quantité ${\frac {1}{\overline {r}}}$ est une constante arbitraire qui serait égale à la valeur moyenne de ${\frac {1}{r}},$ si l’intégrale $\int (d\Omega )$ ne contenait aucun terme constant. Mais nous supposerons que cette intégrale contienne encore une petite constante arbitraire, que nous déterminerons en sorte que le mouvement moyen dans l’ellipse qui aurait ${\overline {r}}$ pour demi-grand axe soit le même que la partie uniforme ${\overline {p}}$ de l’angle $p+\Sigma ,$ conformément à ce que nous avons supposé dans le n$^o$ 4.
Si donc on fait $r={\overline {r}}+\rho ,$ la quantité $\rho$ exprimant ainsi les variations périodiques du demi-grand axe, et qu’on néglige les secondes puissances de cette quantité, on aura
$\rho =-2{\overline {r}}^{2}\int (d\Omega ).$
2$^o$ On aura par conséquent
$dp={\frac {dt}{r^{\frac {3}{2}}}}={\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {3\rho dt}{2r^{\frac {5}{2}}}}.$
${\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}}$
$dp$
${\overline {r}},$
$d\,{\overline {p}}$
$p={\overline {p}}-{\frac {3}{2{\overline {r}}^{\frac {5}{2}}}}\int \rho dt={\overline {p}}+3{\overline {r}}\int d\,{\overline {p}}\int (d\Omega ).$
Donc, si l’on fait $p+\Sigma ={\overline {p}}+\varpi ,$ la quantité $\varpi$ exprimant la partie périodique de l’angle $p+\Sigma ,$ on aura
$\varpi =\Sigma +3{\overline {r}}\int d\,{\overline {p}}\int (d\Omega )\,;$
et il faudra que dans cette expression il n’entre aucun terme proportionnel à ${\overline {p}}$.
9. Il ne s’agit maintenant que d’évaluer la quantité $(d\Omega ).$ Or on a vu dans le n$^o$ 41 de la Théorie citée que cette quantité est réductible à la forme
${\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{dq}}dq+{\frac {d\Omega }{dz}}dz,$
$r$ étant ici le rayon vecteur de l’orbite ; donc, négligeant le terme ${\frac {d\Omega }{dz}}dz$ parce qu’il contiendrait les secondes puissances des inclinaisons des orbites, et faisant dans les autres les mêmes substitutions et réductions que dans le n$^o$ 4 ci-dessus, on aura
${\begin{aligned}(d\Omega )=&{\frac {d\Omega }{d\,{\overline {p}}}}d\,{\overline {p}}+\left({\overline {r}}{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {r}}d\,{\overline {p}}}}-2{\frac {d\Omega }{d\,{\overline {p}}}}\right)\left(x\sin {\overline {p}}+y\cos {\overline {p}}\right)d\,{\overline {p}}\\&+{\overline {r}}'{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {r}}'d\,{\overline {p}}}}\left(x'\sin {\overline {p}}'+y'\cos {\overline {p}}'\right)d\,{\overline {p}}\\&+{\overline {r}}''{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {r}}''d\,{\overline {p}}}}\left(x''\sin {\overline {p}}''+y''\cos {\overline {p}}''\right)d\,{\overline {p}}+\ldots \\&+\left(2{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {p}}^{2}}}+{\overline {r}}'{\frac {d\Omega }{d{\overline {r}}}}\right)\left(x\cos {\overline {p}}-y\sin {\overline {p}}\right)d\,{\overline {p}}\\&+2{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {p}}d\,{\overline {p}}'}}\left(x'\cos {\overline {p}}'-y'\sin {\overline {p}}'\right)d\,{\overline {p}}\\&+2{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {p}}d\,{\overline {p}}''}}\left(x''\cos {\overline {p}}''-y''\sin {\overline {p}}''\right)d\,{\overline {p}}+\ldots .\end{aligned}}$
$d\Sigma .$
10. Si l’on néglige les excentricités et par conséquent les quantités $x,y,x',y',\ldots$ qui en dépendent, on aura simplement
$(d\Omega )={\frac {d\Omega }{d\,{\overline {p}}}}d\,{\overline {p}}.$
Cette différentielle est intégrable rigoureusement ; car en substituant la valeur de $\Omega$ du n$^o$ 4 ci-dessus, et faisant comme dans le n$^o$ 6
$d\,{\overline {p}}={\frac {d\,{\overline {p}}-d\,{\overline {p}}'}{n'}}={\frac {d\,{\overline {p}}-d\,{\overline {p}}''}{n''}}=\ldots ,$
on aura
${\begin{aligned}\int (d\Omega )&={\frac {\mathrm {T} '}{n'}}\left[{\frac {{\overline {r}}\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)}{{\overline {r}}'^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {{\overline {r}}^{2}-2{\overline {r}}{\overline {r}}'\ \cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)+{\overline {r}}'^{2}}}}\right]\\&+{\frac {\mathrm {T} ''}{n''}}\left[{\frac {{\overline {r}}\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)}{{\overline {r}}''^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {{\overline {r}}^{2}-2{\overline {r}}{\overline {r}}''\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)+{\overline {r}}''^{2}}}}\right]\\&+\ldots +\chi .\end{aligned}}$
$\chi$ étant une constante arbitraire.
Cette expression multipliée par $2{\overline {r}}^{2}$ et prise négativement donnera la valeur de $\rho ,$ c’est-à-dire les variations du demi-grand axe en tant qu’on néglige les excentricités des orbites. Mais pour en déduire ensuite celles du mouvement moyen qui en dépendent, il faudra une nouvelle intégration qui, n’étant pas possible en général, oblige d’avoir recours aux séries. On pourrait, à la vérité, construire l’intégrale par les méthodes connues pour la quadrature arithmétique des courbes, et l’on pourrait en faire de même pour la valeur de $d\Sigma$ dans ce même cas ; mais on n’aurait pas de cette manière des formules générales qui fassent connaître la marche des variations, et l’on n’aurait pas même une plus grande exactitude que par les séries. Employant donc les séries du n$^o$ 5 ci-dessus, on aura
${\begin{aligned}\int (d\Omega )=&-{\frac {\mathrm {T} '}{n'}}\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]+\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}'^{2}}}\right)\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}\cos 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)+\ldots {\Bigr ]}\\&-{\frac {\mathrm {T} ''}{n''}}\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]+\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\ \right)\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}\cos 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\ \right)+\ldots {\Bigr ]}\\&-\ldots +\chi .\end{aligned}}$
et de là
${\begin{aligned}\int d\,{\overline {p}}\int (d\Omega )=&-{\frac {\mathrm {T} '}{n'^{2}}}\left[\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}'^{2}\ }}\right)\sin \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \left.+{\frac {1}{2}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}\sin 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {T} ''}{n''^{2}}}\left[\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\sin \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\ \right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \left.+{\frac {1}{2}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}\sin 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\ \right)+\ldots \right]\\&-\ldots +\left(\chi -{\frac {\mathrm {T} '}{n'}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]-{\frac {\mathrm {T} ''}{n''}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]-\ldots \right){\overline {p}}.\end{aligned}}$
Or il faut (8) que la valeur de $\varpi ,$ c’est-à-dire
$\Sigma +3{\overline {r}}\int d\,{\overline {p}}\int (d\Omega ),$
ne contienne aucun terme proportionnel à ${\overline {p}}\,;$ égalant donc à zéro la somme des coefficients de ces sortes de termes dans $\Sigma$ et dans
$3{\overline {r}}\int d\,{\overline {p}}\int (d\Omega ),$
on aura l’équation
${\begin{aligned}&-2{\overline {r}}^{2}\left(\mathrm {T} '{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]}{d\,{\overline {r}}}}+\mathrm {T} ''{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]}{d\,{\overline {r}}}}+\ldots \right)\\&+3{\overline {r}}\left(\chi -{\frac {\mathrm {T} '}{n'}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]-{\frac {\mathrm {T} ''}{n''}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]-\ldots \right)=0,\end{aligned}}$
d’où l’on tire
$\chi =\mathrm {T} '\left({\frac {\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]}{n'}}+{\frac {2{\overline {r}}}{3}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]}{d\,{\overline {r}}}}\right)+\mathrm {T} ''\left({\frac {\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]}{n''}}+{\frac {2{\overline {r}}}{3}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]}{d\,{\overline {r}}}}\right)+\ldots .$
Par le moyen de ces substitutions, les expressions de $\rho$ et de $\varpi$ du n$^o$ 8 deviendront
${\begin{aligned}\rho =&-\mathrm {T} '{\frac {4{\overline {r}}^{2}}{3}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]}{d\,{\overline {r}}}}-\mathrm {T} ''{\frac {4{\overline {r}}^{2}}{3}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]}{d\,{\overline {r}}}}-\ldots \\&+2\mathrm {T} '{\frac {{\overline {r}}^{2}\ }{n'}}\left[\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}'^{2}}}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}')+\ldots {\Bigr ]}\\&+2\mathrm {T} ''{\frac {{\overline {r}}^{2}}{n''}}\left[\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'')\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')+\ldots {\Bigr ]}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\\varpi =&\mathrm {T} '\ {\Bigl\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\,\right]_{1}\right]\sin \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)+\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}\right]\sin 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)+\ldots {\Bigr ]}\\+&\mathrm {T} ''{\Bigl\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{1}\right]\sin \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)+\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}\right]\sin 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)+\ldots {\Bigr ]}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
en supposant, pour abréger,
${\begin{aligned}&\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}\right]={\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}'^{2}}}\left({\frac {3}{n'^{2}}}+{\frac {2}{n'}}\right)-{\frac {3{\overline {r}}}{n'^{2}}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}-{\frac {2{\overline {r}}^{2}}{n'}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}}{d\,{\overline {r}}}},\\&\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}\right]=-{\frac {3{\overline {r}}}{2n'^{2}}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}-{\frac {2{\overline {r}}^{2}}{2n'}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}}{d\,{\overline {r}}}},\\&\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}\right]=-{\frac {3{\overline {r}}}{3n'^{2}}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}-{\frac {2{\overline {r}}^{2}}{3n'}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}}{d\,{\overline {r}}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et ainsi des autres expressions semblables.
11. Après avoir vu comment on doit déterminer les variations périodiques de la distance moyenne et du mouvement moyen, passons à la recherche de celles des excentricités et des aphélies.
Celles-ci sont contenues dans les formules du n$^o$ 41 de la Théorie citée, lesquelles donnent les variations des quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ ou $x$ et $y\,;$ car en nommant $\lambda$ l’excentricité, $\varphi$ la longitude de l’aphélie sur le plan de projection et $\eta$ sa latitude, nous avons supposé
$x=\lambda \cos \eta \sin \varphi ,\quad \operatorname {y} =\lambda \cos \eta \cos \varphi .$
Or on a vu dans le n$^o$ 42 qu’en négligeant les carrés des excentricités et des inclinaisons, les formules dont il s’agit se réduisent à celles-ci
${\begin{aligned}d\mathrm {M} =&-r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}\cos qdq+{\frac {d\Omega }{dq}}(2r\sin qdq-\cos qdr),\\d\mathrm {N} =&r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}\sin qdq+{\frac {d\Omega }{dq}}(2r\cos qdq+\sin qdr).\end{aligned}}$
Faisant donc dans ces formules les substitutions du n$^o$ 4 ci-dessus, et changeant $\mathrm {M,N}$ en $x,y,$ on aura des équations de cette forme
$dx=\left(\mathrm {X} \sin {\overline {p}}-\mathrm {Y} \cos {\overline {p}}\right)d{\overline {p}},\quad dy=\left(\mathrm {X} \cos {\overline {p}}+\mathrm {Y} \sin {\overline {p}}\right)d{\overline {p}},$
dans lesquelles
${\begin{aligned}\mathrm {X} =&2{\overline {r}}{\frac {d\Omega }{d{\overline {p}}}}+\left(-2{\overline {r}}{\frac {d\Omega }{d{\overline {p}}}}+2{\overline {r}}^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {p}}d{\overline {r}}}}\right)\left(x\sin {\overline {p}}+y\cos {\overline {p}}\right)\\&+2{\overline {r}}{\overline {r}}'\ {\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {p}}d{\overline {r}}'}}\left(x'\ \sin {\overline {p}}'\ +y'\ \cos {\overline {p}}'\right)\\&+2{\overline {r}}{\overline {r}}''{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {p}}d{\overline {r}}''}}\left(x''\sin {\overline {p}}''+y''\cos {\overline {p}}''\right)+\ldots \\&+\left(2{\overline {r}}^{2}{\frac {d\Omega }{d{\overline {r}}}}+4{\overline {r}}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {p}}^{2}}}\right)\left(x\cos {\overline {p}}-y\sin {\overline {p}}\right)\\&+4{\overline {r}}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {p}}d{\overline {p}}'\,}}\left(x'\,\cos {\overline {p}}'\,-y'\ \sin {\overline {p}}'\ \right)\\&+4{\overline {r}}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {p}}d{\overline {p}}''}}\left(x''\cos {\overline {p}}''-y''\sin {\overline {p}}''\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {Y} =&{\overline {r}}^{2}{\frac {d\Omega }{d{\overline {r}}}}+{\overline {r}}^{3}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r^{2}}}}}\left(x\sin {\overline {p}}+y\cos {\overline {p}}\right)\\&+{\overline {r}}^{2}{\overline {r}}'\ {\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {r}}'}}\left(x'\ \sin {\overline {p}}'\ +y'\ \cos {\overline {p}}'\right)\\&+{\overline {r}}^{2}{\overline {r}}''{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {r}}''}}\left(x''\sin {\overline {p}}''+y''\cos {\overline {p}}''\right)+\ldots \\&+\left(-3{\overline {r}}{\frac {d\Omega }{d{\overline {p}}}}+2{\overline {r}}^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}}}\right)\left(x\cos {\overline {p}}-y\sin {\overline {p}}\right)\\&+2{\overline {r}}^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}'}}\left(x'\,\cos {\overline {p}}'\ -y'\ \sin {\overline {p}}'\ \right)\\&+2{\overline {r}}^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}''}}\left(x''\cos {\overline {p}}''-y''\sin {\overline {p}}''\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$
12. Si maintenant on substitue dans ces expressions de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ la valeur de $\Omega$ en série (4 et 5), qu’ensuite on développe les différents produits des sinus et cosinus en sinus et cosinus simples, on aura des termes proportionnels à $\sin {\overline {p}}$ et $\cos {\overline {p}}.$ lesquels étant ensuite multipliés par $\sin {\overline {p}}$ et $\cos {\overline {p}},$ donneront, dans les valeurs de $dx$ et $dy,$ des termes sans sinus ni cosinus ; ce sont ceux que nous avons déterminés à part dans les n$^{os}$ 43 et 49 de la Théorie citée, et auxquels nous avons eu uniquement égard dans les équations différentielles en $x$ et $y$ du n$^o$ 50, parce que nous faisions alors abstraction des inégalités périodiques. Les autres termes de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ne pourront donner dans $dx$ et $dy$ que des termes affectés de sinus ou cosinus d’angles composés de multiples de ${\overline {p}},{\overline {p}}',{\overline {p}}'',\ldots \,;$ et il faudra maintenant tenir compte aussi de ces termes, pour pouvoir déterminer la partie périodique des valeurs de $x$ et $y.$
Désignons, pour abréger, par $(\mathrm {X} )$ la totalité des termes affectés de sinus et cosinus dans la valeur de
$\mathrm {X} \sin {\overline {p}}-\mathrm {Y} \cos {\overline {p}},$
et par $(\mathrm {Y} )$ la totalité des termes pareils dans la valeur de
$\mathrm {X} \cos {\overline {p}}+\mathrm {Y} \sin {\overline {p}}\,;$
il faudra donc ajouter respectivement aux valeurs de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$ des équations différentielles citées les quantités $(\mathrm {X} ){\frac {d\,{\overline {p}}}{dt}},(\mathrm {Y} ){\frac {d\,{\overline {p}}}{dt}}\,;$ de sorte que ces quantités formeront maintenant les seconds membres des deux premières équations différentielles dont il s’agit.
Ainsi, puisque (4)
$d\,{\overline {p}}={\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},$
les équations complètes seront
${\begin{aligned}&{\frac {dx}{dt}}-\left((0,1)+(0,2)+\ldots \right)y+[0,1]y'+[0,2]y''+\ldots ={\frac {(\mathrm {X} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\\&{\frac {dy}{dt}}+\left((0,1)+(0,2)+\ldots \right)x-[0,1]x'-[0,2]x''+\ldots ={\frac {(\mathrm {Y} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}$
De même, en dénotant par $\mathrm {X',Y'}$ ce que deviennent les expressions de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ lorsqu’on y change ${\overline {r}},{\overline {p}},x,y$ en ${\overline {r}}',{\overline {p}}',x',y',$ et vice versâ, et par $\mathrm {(X'),(Y')}$ la totalité des termes affectés de sinus et cosinus dans les valeurs de
$\mathrm {X} '\sin {\overline {p}}'-\mathrm {Y} '\cos {\overline {p}}',\quad \mathrm {X} '\cos {\overline {p}}'+\mathrm {Y} '\sin {\overline {p}}',$
on aura les équations
${\begin{aligned}&{\frac {dx'}{dt}}-{\Bigl(1,0)+(1,2)+\ldots {\Bigr )}y'+[1,0]y+[1,2]y''+\ldots ={\frac {(\mathrm {X} ')}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\\&{\frac {dy'}{dt}}+{\Bigl(1,0)+(1,2)+\ldots {\Bigr )}x'-[1,0]x+[1,2]x''-\ldots ={\frac {(\mathrm {Y} ')}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\\\end{aligned}}$
et ainsi de suite.
13. Comme dans les premiers membres de ces équations les variations sont linéaires, et que les seconds membres peuvent être regardés comme des fonctions connues de la variable $t,$ l’intégration est toujours possible par les méthodes connues. Dans la Théorie précédente nous avons déjà donné les intégrales complètes pour le cas où les seconds membres seraient nuls ; et ces mêmes intégrales, en y faisant varier les constantes arbitraires, donneront celles des équations dont il s’agit par la méthode indiquée dans le n$^o$ 27 de la même Théorie.
Désignons, en général, par ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {x}}',{\overline {y}}',\ldots$ les expressions de $x,y,$$x',y',\ldots$ trouvées dans cette Théorie (51), et soient ${\overline {x}}+\xi ,{\overline {y}}+\psi ,$${\overline {x}}'+\xi ',{\overline {y}}'+\psi ',\ldots$ les valeurs de $x,y,x',y',\ldots$ dans les équations ci-dessus, en ayant égard à leurs seconds membres ; il est clair qu’en y substituant ces valeurs, les termes en ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {x}}',{\overline {y}}'$ s’en iront d’eux-mêmes, et que les transformées ne seront autre chose que les mêmes équations, en y changeant $x,y,x',y',\ldots$ en $\xi ,\psi ,\xi ',\psi ',\ldots \,;$ et comme les valeurs de ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {x}}',{\overline {y}}',\ldots$ contiennent déjà toutes les constantes arbitraires nécessaires pour l’intégration complète, il suffira que celles de $\xi ,\psi ,\xi ',\psi ',\ldots$ satisfassent aux équations d’une manière quelconque.
Or les quantités qui forment les seconds membres des équations dont il s’agit étant dues aux forces perturbatrices, on peut supposer que les valeurs des variables $\xi ,\psi ,,\xi ',\psi ',\ldots$ soient très-petites du même ordre, et, dans cette supposition, les termes qui renferment ces mêmes variables sous une forme finie deviendront très-petits de l’ordre des carrés de ces forces, puisque les coefficients $(0,1),[0,1],(1,0),[1,0],\ldots$ sont eux-mêmes très-petits de l’ordre des mêmes forces. Ainsi, comme nous négligeons dans les recherches présentes les carrés des forces perturbetrices, et toutes les quantités du même ordre, les équations en $\xi ,\psi ,$ se réduiront simplement à
${\frac {d\xi }{dt}}={\frac {(\mathrm {X} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\quad {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {(\mathrm {Y} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},$
d’où l’on tire, en remettant $d\,{\overline {p}}$ pour ${\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},$
$\xi =\int (\mathrm {X} )d\,{\overline {p}},\quad \psi =\int (\mathrm {Y} )d\,{\overline {p}}.$
Et il en sera de même pour $\xi ',\psi ',\ldots .$
14. Si dans les expressions de $\mathrm {X,Y}$ du n$^o$ 11 on fait d’abord abstraction des excentricités, et que par conséquent on y néglige les termes multipliés par $x,y,x',y',\ldots ,$ elles se réduisent aux quantités $2{\overline {r}}{\frac {d\Omega }{dp}},$ ${\overline {r}}^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}\,;$ et comme par la substitutions de la valeur de $\Omega$ en série il ne vient aucun terme proportionnel à $\sin {\overline {p}}$ et $\cos {\overline {p}},$ on aura simplement, dans ce cas,
$(\mathrm {X} )=\mathrm {X} \sin {\overline {p}}-\mathrm {Y} \cos {\overline {p}},\quad (\mathrm {Y} )=\mathrm {X} \cos {\overline {p}}+\mathrm {Y} \sin {\overline {p}}.$
L’intégration de $(\mathrm {X} )d\,{\overline {p}}$ et $(\mathrm {Y} )d\,{\overline {p}}$ ne présente aucune difficulté, puisqu’on a (6)
$d\,{\overline {p}}-d\,{\overline {p}}'=n'd\,{\overline {p}},\quad d\,{\overline {p}}-d\,{\overline {p}}''=n''d\,{\overline {p}},\ldots \,;$
mais on peut la simplilier beaucoup en remarquant, en général, que si $\mathrm {M} \sin \Pi$ est un terme quelconque de $\mathrm {X} ,$ et $\mathrm {N} \cos \Pi$ le terme correspondant de $\mathrm {Y} ,$ $\Pi$ étant un angle tel que
$d\Pi =\mu d\,{\overline {p}},$
$(\mathrm {X} )d\,{\overline {p}}$
$\mathrm {P} \cos \Pi \sin {\overline {p}}-\mathrm {Q} \sin \Pi \cos {\overline {p}},$
et dans l’intégrale de $(\mathrm {Y} )d\,{\overline {p}}$ les termes correspondants
$\mathrm {P} \cos \Pi \cos {\overline {p}}+\mathrm {Q} \sin \Pi \sin {\overline {p}},$
En effet, en différentiant et comparant les termes analogues, on parvient aux équations
$\mathrm {P-\mu Q=-N,\quad -\mu P+Q=M} ,$
Or dans le cas présent on a
${\begin{aligned}\mathrm {X} =&2{\overline {r}}{\frac {d\Omega }{d\,{\overline {p}}}}\\=&2\mathrm {T} '{\overline {r}}\left[\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}'^{2}}}\right)\sin({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+2\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}\sin 2({\overline {p}}-{\overline {p}}')+\ldots {\Bigr ]}\\=&2\mathrm {T} ''{\overline {r}}\left[\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\sin({\overline {p}}-{\overline {p}}'')\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+2\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}\sin 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')+\ldots {\Bigr ]}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {Y} =&{\overline {r}}^{2}{\frac {d\Omega }{d\,{\overline {r}}}}\\=&-\mathrm {T} '{\overline {r}}^{2}\left[{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]}{d\,{\overline {r}}}}+\left({\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{1}}{d\,{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}'^{2}}}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}}{d\,{\overline {r}}}}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}')+\ldots {\Bigr ]}\\=&-\mathrm {T} ''{\overline {r}}^{2}\left[{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]}{d\,{\overline {r}}}}+\left({\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{1}}{d\,{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'')\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}}{d\,{\overline {r}}}}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')+\ldots {\Bigr ]}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$
Si donc on fait successivement
$\mu =0,\ \ n',\ \ 2n',\ldots \ \ n'',\ \ 2n'',\ldots ,$
et qu’on prenne pour $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ les coefficients respectifs des sinus et cosinus dans les séries précédentes, on aura pour
$\int (X)d\,{\overline {p}}\quad {\text{et}}\quad \int (Y)d\,{\overline {p}},$
$\xi$
$\psi ,$
$\xi =\Xi \sin {\overline {p}}-\Psi \cos {\overline {p}},\quad \psi =\Xi \cos {\overline {p}}+\Psi \sin {\overline {p}},$
dans lesquelles
${\begin{aligned}\Xi =&\mathrm {T} '\ {\Bigl\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]\right.\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\,\ \right]\right._{1}\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)+\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}\right.\cos 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)+\ldots {\Bigr ]}\\+&\mathrm {T} ''{\Bigl\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\,\right]\right.\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\,\right]\right._{1}\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)+\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}\right.\cos 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)+\ldots {\Bigr ]}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\psi =&\mathrm {T} '\,\ {\Bigl\left.\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\,\ \right]\right]_{1}\sin \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \ \right)+\left.\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}\right]\sin 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)+\ldots {\Bigr ]}\\+&\mathrm {T} ''\ {\Bigl\left.\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\,\right]\right]_{1}\sin \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\ \right)+\left.\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\ \right]_{2}\right]\sin 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)+\ldots {\Bigr ]}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$
en supposant
${\begin{aligned}&\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}\right.={\overline {r}}^{2}{\frac {\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]}{dr}},\\&\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}\right.={\frac {{\overline {r}}^{2}{\cfrac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}}{d\,{\overline {r}}}}+2n'{\overline {r}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}-{\frac {{\overline {r}}^{2}}{{\overline {r}}'^{2}}}(1+2n')}{1-n'^{2}}},\\&\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}\right.={\frac {{\overline {r}}^{2}{\cfrac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}}{d\,{\overline {r}}}}+2.4n'{\overline {r}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}}{1-4n'^{2}}},\\&\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}\right.={\frac {{\overline {r}}^{2}{\cfrac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}}{d\,{\overline {r}}}}+2.9n'{\overline {r}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}}{1-9n'^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\left.\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}\right]={\frac {n'{\overline {r}}^{2}{\cfrac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}}{d\,{\overline {r}}}}+2{\overline {r}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}-{\frac {{\overline {r}}^{2}}{{\overline {r}}'^{2}}}(n'+2)}{1-n'^{2}}},\\&\left.\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}\right]=2{\frac {n'{\overline {r}}^{2}{\cfrac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}}{d\,{\overline {r}}}}+2{\overline {r}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}}{1-4n'^{2}}},\\&\left.\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}\right]=3{\frac {n'{\overline {r}}^{2}{\cfrac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}}{d\,{\overline {r}}}}+2{\overline {r}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}}{1-9n'^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
et ainsi des autres fonctions semblables.
On pourra avec la même facilité tenir compte des termes multipliés par les variables $x,y,x',y',\ldots$ dans les expressions de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$ pour cela on y changera d’abord ces variables en ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {x}}',{\overline {y}}',\ldots ,$ et l’on y substituera leurs valeurs trouvées dans la Théorie des variations séculaires on n’aura ainsi à intégrer que des termes en sinus et cosinus, et l’on pourra même simplifier beaucoup le calcul par des remarques semblables à celles que nous avons faites (7).
15. Il ne reste plus qu’à déterminer les inégalités des nœuds et des inclinaisons, lesquelles dépendent des équations différentielles du n$^o$ 39 de la Théorie citée ; mais nous réduirons auparavant ces mêmes équations à une forme plus simple et plus générale à quelques égards.
En supposant, comme nous l’avons fait,
$s=\mathrm {\frac {P}{R}} =\theta \sin \omega ,\quad u=\mathrm {\frac {Q}{R}} =\theta \cos \omega ,$
où $\theta$ représente la tangente de l’inclinaison et $\omega$ la longitude du nœud ascendant comptée depuis un point fixe, on a
$ds={\frac {d\mathrm {P} }{\mathrm {R} }}-{\frac {\mathrm {P} d\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{2}}},\quad du={\frac {dQ}{R}}-{\frac {\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{2}}}.$
Or
${\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\mathrm {T} '\left({\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}}\right)(y'z-yz')dt+\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)(y''z-yz'')dt+\ldots ,\\d\mathrm {Q} =&\mathrm {T} '\left({\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}}\right)(x'z-xz')dt+\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)(x''z-xz'')dt+\ldots ,\\d\mathrm {R} =&\mathrm {T} '\left({\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}}\right)(x'y-xy')dt+\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)(x''y-xy'')dt+\ldots \,;\end{aligned}}$
mais
$z={\frac {\mathrm {Q} y-\mathrm {P} x}{\mathrm {R} }},\quad z'={\frac {\mathrm {Q} 'y'-\mathrm {P} 'x'}{\mathrm {R} '}},\ldots ,$
donc
${\begin{aligned}y'z-yz'=&\mathrm {\left({\frac {Q}{R}}-\mathrm {\frac {Q'}{R'}} \right)} yy'-\mathrm {\frac {P}{R}} xy'+\mathrm {\frac {P'}{R'}} x'y,\\x'z-xz'=&-\mathrm {\left({\frac {P}{R}}-\mathrm {\frac {P'}{R'}} \right)} xx'+\mathrm {\frac {Q}{R}} x'y-\mathrm {\frac {Q'}{R'}} xy'\,;\end{aligned}}$
$ds$
$du,$
${\begin{aligned}\mathrm {Z} =&\mathrm {T} '\ \left({\frac {1}{\rho '^{3}\,}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}\,}}\right)\left[(u-u'\ )y'\,-(s-s'\ )x'\ \right]\\+&\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)\left[(u-u'')y''-(s-s'')x''\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
on aura
$ds=\mathrm {Z} y{\frac {dt}{\mathrm {R} }},\quad du=\mathrm {Z} x{\frac {dt}{\mathrm {R} }}\,;$
et il n’y aura plus qu’à mettre pour $x,y,x',y',\ldots$ leurs valeurs
$r\cos q,\quad r\sin q,\quad r'\cos q',\quad r'\sin q',\ldots ,$
et pour
${\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}},\quad {\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}},\ldots$
les expressions en séries données dans le numéro cité, ensuite substituer partout les valeurs de $r,q,r',q',\ldots$ en ${\overline {p}},{\overline {p}}',\ldots .$
En négligeant les quantités du second ordre ($s,u,s',u',\ldots$ étant regardées comme du premier, ainsi que $x,y,x',y',\ldots$) il suffira de changer $r$ en ${\overline {r}},$ $q$ en ${\overline {p}}$ et $\mathrm {R}$ en ${\sqrt {\overline {r}}}\,;$ ainsi, à cause de
$d{\overline {p}}={\frac {d\varepsilon }{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},$
on aura alors simplement
$ds={\overline {r}}^{2}\mathrm {Z} \sin {\overline {p}}d{\overline {p}},\quad du={\overline {r}}^{2}\mathrm {Z} \cos {\overline {p}}d{\overline {p}},$
et
${\begin{aligned}\mathrm {Z} &=\mathrm {T} '\ {\overline {r}}'\,\left[(u-u'\,)\sin {\overline {p}}'-(s-s'\ )\cos {\overline {p}}'\ \right]\\&\quad \times \left[{\frac {1}{{\overline {r}}'^{2}}}-({\overline {r}},{\overline {r}}'\ )-({\overline {r}},{\overline {r}}'\ )_{1}\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'\,)-({\overline {r}},{\overline {r}}'\ )_{2}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )-\ldots \right]\\&+\mathrm {T} ''{\overline {r}}''\left[(u-u'')\sin {\overline {p}}''-(s-s'')\cos {\overline {p}}''\right]\\&\quad \times \left[{\frac {1}{{\overline {r}}''^{2}}}-({\overline {r}},{\overline {r}}'')-({\overline {r}},{\overline {r}}'')_{1}\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'')-({\overline {r}},{\overline {r}}'')_{2}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')-\ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
les quantités $\left({\overline {r}},{\overline {r}}'\right),\left({\overline {r}},{\overline {r}}'\right)_{1},\left({\overline {r}},{\overline {r}}'\right)_{2},\ldots$ étant les coefficients de la série
$\left[{\overline {r}}^{2}-2{\overline {r}}{\overline {r}}'\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)+{\overline {r}}'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}},$
16. Si dans cette expression de $\mathrm {Z}$ on développe les produits des sinus et cosinus, il viendra des termes proportionnels à $\sin {\overline {p}}$ et $\cos {\overline {p}},$ lesquels donneront par conséquent, dans les valeurs de $ds$ et $du,$ des termes exempts de sinus et cosinus. Ce seront les mêmes que nous avons trouvés dans l’endroit cité de la Théorie des variations séculaires, et qui nous ont donné les équations pour les variations séculaires de $s$ et $u\,;$ et comme l’analyse précédente est indépendante de la condition $d\mathrm {R} =0,$ que nous avions employée dans le même endroit, il s’ensuit que les équations dont il s’agit auraient également lieu quand même le grand axe de l’orbite serait aussi sujet à des variations séculaires ; qu’ainsi notre Théorie des nœuds et des inclinaisons des orbites planétaires subsiste indépendamment de l’inaltérabilité des distances moyennes.
À l’égard des autres termes, ils ne pourront donner que des sinus et \inftysinus dans les valeurs de $ds$ et $du\,;$ nous les avons négligés dans les équations du n$^o$ 40 de la Théorie citée, parce qu’il n’était question alors que des variations séculaires ; mais, pour avoir maintenant les valeurs complètes de $ds$ et $du,$ il faudra ajouter ces termes aux équations dont il s’agit.
Désignons par $(\mathrm {S} )$ la totalité des termes en sinus et cosinus de la valeur de ${\overline {r}}^{2}\mathrm {Z} \sin {\overline {p}},$ et par $(\mathrm {U} )$ la totalité des termes pareils dans la valeur de ${\overline {r}}^{2}\mathrm {Z} \cos {\overline {p}}\,;$ il faudra donc ajouter respectivement aux valeurs de ${\frac {ds}{dt}},$${\frac {du}{dt}}$ les quantités $(\mathrm {S} ){\frac {d\,{\overline {p}}}{dt}},(\mathrm {U} ){\frac {d\,{\overline {p}}}{dt}}\,;$ de sorte que ces quantités formeront les seconds inembres des équations du numéro cité, lesquelles deviendront de cette manière
${\begin{aligned}&{\frac {ds}{dt}}+(0,1)(u-u')+(0,2)(u-u'')+\ldots ={\frac {(\mathrm {S} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\\&{\frac {du}{dt}}-(0,1)(s-s'\,)-(0,2)(s\,-s''\,)-\ldots ={\frac {(\mathrm {U} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\end{aligned}}$
et ainsi des autres équations semblables.
17. On appliquera à ces équations ce que nous avons dit (13) relativement aux équations en $x$ et $y,$ et l’on en conclura que si $s,u,s',u',\ldots$ désignent les valeurs de $s,u,s',u',\ldots$ déterminées dans la Théorie des variations séculaires, et qu’on suppose
$s={\overline {s}}+\sigma ,\quad u={\overline {u}}+\nu ,\quad s'={\overline {s}}'+\sigma ',\quad u'={\overline {u}}'+\nu ',\ldots ,$
on aura avec assez d’exactitude
$\sigma =\int (\mathrm {S} )d{\overline {p}},\quad \nu =\int (\mathrm {U} )d{\overline {p}},$
et ainsi de $\sigma ',\nu ',\ldots .$
Au reste, comme la quantité $\mathrm {Z}$ du n$^o$ 15 ne contient que des termes déjà multipliés par $s,u,s',u',\ldots ,$ il s’ensuit qu’en faisant abstraction, dans l’effet des forces perturbatrices, des inclinaisons des orbites, les quantités dont il s’agit seront nulles ; par conséquent on aura aussi dans cette hypothèse $(\mathrm {S} )$ et $(\mathrm {U} )$ nuls, et de là
$\sigma =0,\quad \nu =0,$
et de même
$\sigma '=0,\quad \nu '=0,\ldots .$
Lorsqu’on voudra pousser l’exactitude plus loin, ce qui cependant ne paraît guère nécessaire dans la Théorie du système planétaire, il n’y aura qu’à substituer dans $\mathrm {Z}$ pour $s,u,s',u',\ldots$ les valeurs déjà connues ${\overline {s}},{\overline {u}},{\overline {s}}',$${\overline {u}}',\ldots ,$ et intégrer les différents termes qui en proviendront, suivant les méthodes ordinaires. Sur quoi voyez ce que nous avons dit (7).
18. La pratique ordinaire des Astronomes dans le calcul des Planètes est de chercher d’abord le lieu dans l’orbite, et de le réduire ensuite à l’écliptique. Ce lieu dépend de la longitude moyenne $p+\Sigma$ et des éléments de l’orbite, c’est-à-dire du demi-grand axe $r,$ de l’excentricité $\lambda$ et de la longitude de l’aphélie ; or, quoique dans les orbites peu inclinées, comme celles des Planètes, la longitude de l’aphélie dans l’orbite soit presque la même que sa longitude dans l’écliptique, que nous avons désignée par $\varphi ,$ si l’on voulait néanmoins la déterminer rigoureusement par nos formules, il faudrait faire attention que, $\omega$ étant la longitude du nœud dans le plan de projection, sa longitude doit être exprimée par $\int \cos id\omega ,$ $i$ étant l’angle d’inclinaison ; car il est évident que, tandis que le nœud avance de l’angle $d\omega$ dans le plan de projection, il n’avance dans le plan de l’orbite que de l’angle $\cos id\omega ,$ qui est le côté adjacent à l’angle $i$ dans le triangle rectangle dont $d\omega$ est l’hypoténuse.
Ainsi, nommant $\Omega$ la longitude $\int \cos id\omega$ du nœud dans l’orbite, $\Phi$ la longitude de l’aphélie dans la même orbite, et $\eta$ la latitude de cet aphélie comme dans le n$^o$ 9 de la Théorie des variations séculaires, et considérant le triangle sphérique rectangle dont $\Phi -\Omega$ est l’hypoténuse, $\varphi -\omega ,\ \eta$ les deux côtés, et $i$ l’angle opposé au côté $\eta ,$ on aura par les formules connues
$\sin(\Phi -\Omega )={\frac {\sin \eta }{\sin i}},\quad \cos(\Phi -\Omega )=\cos(\varphi -\omega )\cos \eta \,;$
faisant les substitutions du numéro cité, on aura
$\lambda \sin(\Phi -\Omega )={\frac {\mathrm {L} }{\sin i}},\quad \lambda \cos(\Phi -\Omega )=\mathrm {M} \sin \omega +\mathrm {N} \cos \omega .$
Or
$\mathrm {L=(M\cos \omega -N\sin \omega )} \operatorname {tang} i\,;$
donc, puisque
${\frac {1}{\sin i}}={\frac {1}{\operatorname {tang} i}}+\operatorname {tang} {\frac {i}{2}},$
la première équation deviendra
$\lambda \sin(\Phi -\Omega )=\mathrm {M} \cos \omega -\mathrm {N} \sin \omega +\mathrm {L} \operatorname {tang} {\frac {i}{2}},$
laquelle, étant combinée avec la seconde, donnera
${\begin{aligned}\lambda \sin \Phi =&\mathrm {M} \cos(\omega -\Omega )-\mathrm {N} \sin(\omega -\Omega )+\mathrm {L} \operatorname {tang} {\frac {i}{2}}\cos \Omega ,\\\lambda \cos \Phi =&\mathrm {M} \sin(\omega -\Omega )+\mathrm {N} \cos(\omega -\Omega )-\mathrm {L} \operatorname {tang} {\frac {i}{2}}\sin \Omega .\end{aligned}}$
En ajoutant ensemble les carrés de ces équations, on aura
$\lambda ^{2}=\mathrm {M^{2}+N^{2}+L^{2}} ,$
comme cela doit être d’après nos formules primitives, et en les divisant l’une par l’autre on aura la valeur de $\operatorname {tang} \Phi$ en quantités toutes connues, puisque les angles $\omega$ et $i$ sont donnés par les formules
$s=\operatorname {tang} i\sin \omega ,\quad u=\operatorname {tang} i\cos \omega .$
Si l’on voulait au contraire déterminer les valeurs de $\mathrm {N,M,L}$ en $\lambda ,\Phi ,\Omega ,$$\omega ,i,$ ce qui pourrait être utile dans quelques occasions, on trouverait par les formules précédentes
${\begin{aligned}\mathrm {N} \ =&\lambda \left[\cos(\Phi -\Omega )\cos \omega -\sin(\Phi -\Omega )\sin \omega \cos i\right],\\\mathrm {M} =&\lambda \left[\cos(\Phi -\Omega )\sin \omega +\sin(\Phi -\Omega )\cos \omega \cos i\right],\\\mathrm {L} \ =&\lambda \sin(\Phi -\Omega )\sin i.\end{aligned}}$
19. Comme l’objet final des observations et des calculs astronomiques relativement aux Planètes se réduit toujours à la détermination de leurs lieux rapportés à l’écliptique, et que cette détermination ne dépend que de trois éléments, de la distance accourcie au rayon vecteur de l’orbite projetée, de la longitude vraie ou angle de ce rayon avec une ligne fixe, et de la latitude ou angle du rayon vecteur de l’orbite vraie avec celui de l’orbite projetée, il suffira de connaître les altérations que ces éléments doivent subir par l’effet des variations périodiques que nous avons déterminées.
Cet effet consiste à changer les éléments de l’orbite
${\overline {r}},\quad {\overline {x}},\quad {\overline {y}},\quad {\overline {s}},\quad {\overline {u}}$
en
${\overline {r}}+\rho ,\quad {\overline {x}}+\xi ,\quad {\overline {y}}+\psi ,\quad {\overline {s}}+\sigma ,\quad {\overline {u}}+\nu$
et la longitude moyenne ${\overline {p}}$ en ${\overline {p}}+\varpi \,;$ ainsi il n’y aura qu’à faire ces changements dans les expressions connues de la longitude vraie, du rayon vecteur et de la latitude, calculées pour une ellipse invariable. Par conséquent, si $q$ est la longitude vraie, $r$ le rayon vecteur, $l$ Ia tangente de
${\overline {p}}$
${\overline {r}},{\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {s}},{\overline {u}}$
$\rho ,\xi ,\ldots$
${\frac {dq}{d{\overline {p}}}}\varpi +{\frac {dq}{d{\overline {x}}}}\xi +{\frac {dq}{d{\overline {y}}}}\psi +{\frac {dq}{d{\overline {s}}}}\sigma +{\frac {dq}{d{\overline {u}}}}\nu ,$
${\frac {dr}{d{\overline {p}}}}\varpi +{\frac {dr}{d{\overline {x}}}}\xi +{\frac {dr}{d{\overline {y}}}}\psi +{\frac {dr}{d{\overline {s}}}}\sigma +{\frac {dr}{d{\overline {u}}}}\nu +{\frac {dr}{d{\overline {r}}}}\rho ,$
${\frac {dl}{d{\overline {p}}}}\varpi +{\frac {dl}{d{\overline {x}}}}\xi +{\frac {dl}{d{\overline {y}}}}\psi +{\frac {dl}{d{\overline {s}}}}\sigma +{\frac {dl}{d{\overline {u}}}}\nu .$
20. Les expressions de $q,r,l$ en ${\overline {p}},{\overline {r}},{\overline {x}},\ldots$ peuvent se déduire immédiatement des formules de la Théorie citée (29 et suivants). Car, en n’ayant égard qu’aux quantités très-petites du premier et du second ordre, ce qui suffit dans la recherche présente, on aura
$q=p+(\mathrm {B} )\cos {\overline {p}}-(\mathrm {C} )\sin {\overline {p}}+(\mathrm {D} )\cos 2{\overline {p}}-(\mathrm {E} )\sin 2{\overline {p}},$
où
${\begin{aligned}(\mathrm {B} )=&\beta -{\frac {1}{4}}\beta \varepsilon +{\frac {1}{4}}\gamma \delta ,\\(\mathrm {C} )=&\gamma +{\frac {1}{4}}\beta \delta +{\frac {1}{4}}\gamma \varepsilon ,\\(\mathrm {D} )=&{\frac {1}{2}}\delta -\beta \gamma ,\\(\mathrm {E} )=&{\frac {1}{2}}\varepsilon +{\frac {2}{1}}\beta ^{2}-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}\,;\end{aligned}}$
de sorte qu’en faisant les substitutions du n$^o$ 2, et changeant $\mathrm {M,N,{\frac {P}{R}},{\frac {Q}{R}}}$ en ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {s}},{\overline {u}},$ on aura
$q={\overline {p}}+2{\overline {x}}\cos {\overline {p}}-2{\overline {y}}\sin {\overline {p}}-{\frac {5{\overline {x}}{\overline {y}}-{\overline {s}}{\overline {u}}}{2}}\cos 2{\overline {p}}-{\frac {5\left({\overline {x}}^{2}-{\overline {y}}^{2}\right)+{\overline {u}}^{2}-{\overline {s}}^{2}}{4}}\sin 2{\overline {p}}.$
Pour le rayon vecteur $r$ de l’orbite projetée, on aura d’abord cette série en $q$
${\overline {r}}\left[1+{\overline {x}}\sin q+{\overline {y}}\cos q-\left({\frac {{\overline {x}}^{2}-{\overline {y}}^{2}}{2}}+{\frac {{\overline {s}}^{2}-{\overline {u}}^{2}}{4}}\right)\cos 2q\right.$
$\left.+\left({\overline {x}}{\overline {y}}+{\frac {{\overline {s}}{\overline {u}}}{2}}\right)\sin 2q-{\frac {{\overline {x}}^{2}+{\overline {y}}^{2}}{2}}-{\frac {{\overline {s}}^{2}+{\overline {u}}^{2}}{4}}\right],$
laquelle par la substitution de la valeur précédente de $q$ en ${\overline {p}}$ donnera
$r={\overline {r}}\left[1+{\overline {x}}\sin {\overline {p}}+{\overline {y}}\cos {\overline {p}}+\left({\frac {{\overline {x}}^{2}-{\overline {y}}^{2}}{2}}-{\frac {{\overline {s}}^{2}-{\overline {u}}^{2}}{4}}\right)\cos 2{\overline {p}}\right.$
$\left.-\left({\overline {x}}{\overline {y}}+{\frac {{\overline {s}}{\overline {u}}}{2}}\right)\sin 2{\overline {p}}+{\frac {{\overline {x}}^{2}+{\overline {y}}^{2}}{2}}-{\frac {{\overline {s}}^{2}+{\overline {u}}^{2}}{4}}\right].$
Enfin, pour la tangente de la latitude, on a l’expression
${\frac {z}{r}}={\overline {u}}\sin q-{\overline {s}}\cos q\,;$
de sorte qu’en substituant aussi la valeur de $q$ en ${\overline {p}},$ on aura
$l={\overline {u}}\sin {\overline {p}}-{\overline {s}}\cos {\overline {p}}+({\overline {x}}{\overline {u}}-{\overline {y}}{\overline {s}})\cos 2{\overline {p}}+({\overline {x}}{\overline {s}}-{\overline {y}}{\overline {u}})\sin 2{\overline {p}}+{\overline {x}}{\overline {u}}-{\overline {y}}{\overline {s}}.$
Ainsi l’on trouvera par des différentiations partielles les valeurs des quantités d’où dépendent les corrections cherchées.
21. Si dans ces corrections on néglige d’abord les excentricités et les inclinaisons des orbites, on aura simplement par les formules précédentes
${\begin{alignedat}{2}{\frac {dq}{d\,{\overline {p}}}}=&1,\qquad &{\frac {dq}{d\,{\overline {x}}}}=&2\cos {\overline {p}},&{\frac {dq}{d\,{\overline {y}}}}=&-2\sin {\overline {p}},\\{\frac {dr}{d\,{\overline {r}}}}=&1,&{\frac {dr}{d\,{\overline {x}}}}=&{\overline {r}}\sin {\overline {p}},&{\frac {dr}{d\,{\overline {y}}}}=&{\overline {r}}\cos {\overline {p}},\\{\frac {dl}{d\,{\overline {s}}}}=&-\cos {\overline {p}},&&{\frac {dl}{d\,{\overline {u}}}}=\sin {\overline {p}},\end{alignedat}}$
et toutes les autres différences partielles seront nulles.
Donc
1$^o$ La correction de la longitude deviendra
$\varpi +2\xi \cos {\overline {p}}-2\psi \sin {\overline {p}},$
et, mettant pour $\xi$ et $\psi$ les valeurs trouvées dans le n$^o$ 14, elle se réduira à $\varpi -2\Psi \,;$
2$^o$ La correction de la latitude sera nulle, puisque les quantités $\sigma$ et $\nu$ deviennent nulles dans le cas dont il s’agit (17) ;
3$^o$ La correction du rayon vecteur sera
$\rho +{\overline {r}}\left(\xi \sin {\overline {p}}+\psi \cos {\overline {p}}\right),$
laquelle par la substitution des valeurs de $\xi$ et $\psi$ se réduit à $\rho +{\overline {r}}\Xi .$
Les valeurs de $\rho ,\varpi ,\Psi ,\Xi$ ont été données dans les n$^{os}$ 10, 14 ; en les réunissant, on aura ces formules très-simples
${\begin{aligned}&-\mathrm {T} '\left[{\frac {2}{n'}}{\overline {r}}^{2}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}}{d{\overline {r}}}}+\left(1+{\frac {3}{n'^{2}}}\right){\overline {r}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}-\left(1+{\frac {2}{n'}}+{\frac {3}{n'^{2}}}\right){\frac {{\overline {r}}^{2}}{{\overline {r}}'^{2}}}\right]\\&\ \ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times {\frac {\sin \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)}{1-n'^{2}}}\\&-\mathrm {T} '\left[{\frac {2}{2n'}}{\overline {r}}^{2}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}}{d{\overline {r}}}}+\left(2+{\frac {3}{2n'^{2}}}\right){\overline {r}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}\right]{\frac {\sin 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)}{1-4n'^{2}}}\\&-\mathrm {T} '\left[{\frac {2}{3n'}}{\overline {r}}^{2}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}}{d{\overline {r}}}}+\left(3+{\frac {3}{3n'^{2}}}\right){\overline {r}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}\right]{\frac {\sin 3\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)}{1-9n'^{2}}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
${\begin{aligned}-\mathrm {T} '{\overline {r}}^{3}{\frac {1}{3}}{\frac {\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]}{\overline {r}}}&+\mathrm {T} '\left[{\overline {r}}^{3}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}}{d{\overline {r}}}}+{\frac {2}{n'}}{\overline {r}}^{2}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}-\left(1+{\frac {2}{n'}}\right){\frac {{\overline {r}}^{3}}{{\overline {r}}'^{2}}}\right]\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times {\frac {\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)}{1-n'^{2}}}\\&+\mathrm {T} '\left({\overline {r}}^{3}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}}{d{\overline {r}}}}+{\frac {2}{n'}}{\overline {r}}^{2}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}\right){\frac {\cos 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)}{1-4n'^{2}}}\\&+\mathrm {T} '\left({\overline {r}}^{3}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}}{d{\overline {r}}}}+{\frac {2}{n'}}{\overline {r}}^{2}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}\right){\frac {\cos 3\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)}{1-9n'^{2}}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Ces formules représentent les inégalités périodiques d’une Planète quelconque $\mathrm {T}$ troublée par une autre Planète $\mathrm {T} ',$ la masse du Soleil étant prise pour l’unité ; chaque Planète perturbatrice en donnera de pareilles, et leur somme exprimera l’effet total des perturbations, en tant qu’on fait abstraction des excentricités et des inclinaisons des orbites ; ce qui suffit dans la plupart des cas. Le calcul ne sera pas plus difficile, mais seulement un peu plus long, lorsqu’on voudra tenir cornpte aussi des termes dus aux excentricités et aux inclinaisons.
Quant à l’application de ces formules aux Planètes, elle n’aura d’autre difficulté que celle qui consiste dans l’évaluation des fonctions $\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right],$$\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}$ $\ldots$ et de leurs différences ; et nous avons aussi déjà donné tous les secours nécessaires pour ce calcul dans la Théorie des variations séculaires, à laquelle nous renvoyons.
* ↑ Voir le Mémoire Sur les variations séculaires des mouvements moyens des Planètes, page 381 de ce volume.$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)