# L’Encyclopédie/1re édition/ATTOUCHEMENT

ATTOUCHEMENT, s. m. (Géom.) point d’attouchement, qu’on appelle aussi point de contact ou de contingence, est le point dans lequel une ligne droite touche une ligne courbe, ou dans lequel deux courbes se touchent. Voyez Contingence.
On dit ordinairement en Géométrie, que le point d’attouchement vaut deux points d’intersection, parce que la tangente peut être regardée comme une sécante qui coupe la courbe en deux points infiniment proches. En effet, disent les géometres, concevons par exemple une ligne droite indéfinie qui coupe un cercle en deux points ; imaginons ensuite que cette ligne droite se meuve parallélement à elle-même vers le sommet du cercle ; les deux points d’intersection se rapprocheront insensiblement, & enfin se confondront, ou ne feront plus qu’un point, lorsque par ce mouvement la sécante sera devenue tangente, c’est-à-dire, ne fera plus que toucher ou raser le cercle.
Comme il n’y a point réellement de quantités infiniment petites, & que par conséquent l’on ne sauroit concevoir deux points infiniment proches (Voy. Infini & Infiniment petit), il est très-important de se former une idée nette de cette façon de parler, que le point d’attouchement vaut deux points d’intersection infiniment proches. Elle signifie seulement que le point d’attouchement est la limite ou le terme de tous les doubles points d’intersection des sécantes paralleles à la tangente ; c’est-à-dire, que si on mene parallelement à la tangente une ligne qui coupe en deux points la courbe, par exemple, le cercle, on peut toûjours imaginer cette ligne à une telle distance de la tangente, que la distance des deux points d’intersection soit aussi petite qu’on voudra : mais que cette distance ne deviendra pourtant jamais absolument nulle, à moins que la sécante ne se confonde absolument avec la tangente. Cette idée des limites est très-nette, & très-utile pour réduire la géométrie des infiniment petits à des notions claires. Voyez Limite, &c.
Au reste, il n’est question jusqu’ici que du point d’attouchement simple ; car il y a des points d’attouchement qui équivalent à trois points d’intersection, comme dans l’attouchement au point d’inflexion ; d’autres équivalent à quatre points d’intersection, comme dans l’attouchement au point de serpentement infiniment petit ; & ainsi à l’infini ; voyez Inflexion, Serpentement : ce qui, en réduisant la chose à des notions claires, signifie simplement que la valeur de la secante devenue touchante, a dans ce cas trois ou quatre, &c. racines égales dans l’équation de la courbe ; je dis, de la sécante devenue touchante, car il y a des cas où une sécante a plusieurs racines égales, sans être touchante, comme dans les points doubles, & dans les points conjugués. Ce qui distingue ces points des points d’attouchement, c’est que si vous donnez une autre direction à la ligne qui étoit tangente, en la faisant toûjours passer par le point d’attouchement, alors elle ne coupe plus la courbe qu’en un point, & l’équation qui représente son intersection cesse d’avoir des racines égales ; au lieu que dans les points multiples & conjugués, la sécante a toûjours plusieurs racines égales, quelque position qu’on lui donne, pourvû qu’elle passe toûjours par le point multiple ou conjugué. Voyez Racine, Intersection, Point multiple, Point conjugué, &c.