# Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Nouvelle solution du Problème du mouvement de rotation d’un corps de figure quelconque qui n’est animé par aucune force accélératrice
### NOUVELLE SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMENT DE ROTATION D’UN CORPS DE FIGURE QUELCONQUE QUI N’EST ANIMÉ PAR AUCUNE FORCE ACCÉLÉRATRICE.

Ce Problème, l’un des plus curieux et des plus difficiles de la Mécanique, a déjà été résolu par M. Euler dans les Mémoires de cette Académie pour l’année 1758, et dans le tome III de sa Mécanique. M. d’Alembert l’a résolu aussi dans ses Opuscules. Les solutions de ces deux grands Géomètres sont fort différentes quant à la méthode, mais elles sont fondées l’une et l’autre sur la considération mécanique de la rotation du corps autour d’un axe mobile, et elles supposent qu’on connaisse la position de ses trois axes de rotation uniforme ; ce qui exige la résolution d’une équation cubique. Cependant, à considérer le Problème en lui-même, il semble qu’on devrait pouvoir le résoudre directement et indépendamment des propriétés des axes de rotation, propriétés dont la démonstration est assez difficile, et qui devraient d’ailleurs être plutôt des conséquences de la solution même que les fondements de cette solution. En effet, si l’on imagine un système d’un nombre indéfini de corps considérés comme des points et liés ensemble de manière que leurs distances mutuelles restent toujours les mêmes, et qu’on cherche le mouvement de ce système après qu’il aura reçu une impulsion quelconque, c’est une question qui ne dépend que des principes ordinaires de la Dynamique, et qui ne demande d’autres secours que ceux que l’Analyse elle-même peut fournir.
J’ai donc cru que ce serait un travail avantageux aux progrès de l’une et de l’autre de ces deux sciences que de chercher une solution tout à fait directe et purement analytique de $\alpha$, la question dont il s’agit ; c’est l’objet que je me suis proposé de remplir dans ce Mémoire ; les difficultés qu’il présente m’ont arrêté longtemps, mais entin j’ai trouvé moyen de les surmonter par une méthode assez singulière et entièrement nouvelle, qui me paraît digne de l’attention des Géomètres.
Le mérite de ma solution, si elle en a quelqu’un, consiste donc uniquement dans l’Analyse que j’y emploie, et qui renferme différents artifices de calcul assez remarquables, ainsi que plusieurs formules nouvelles et utiles dans bien des cas ; c’est par cette raison surtout que j’espère qu’on me pardonnera d’avoir entrepris de traiter un sujet qui a déjà été si savamment discuté par deux des premiers Géomètres de ce siècle. D’ailleurs mes recherches n’ont rien de commun avec les leurs que le Problème qui en fait l’objet ; et c’est toujours contribuer à l’avancement des Mathématiques que de montrer comment on peut résoudre les mêmes questions et parvenir aux mêmes résultats par des voies très-différentes ; les méthodes se prêtent par ce moyen un jour mutuel et en acquièrent souvent un plus grand degré d’évidence et de généralité.
1. Soient neuf quantités quelconques $x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'',$ je dis qu’on aura cette équation identique
$\left(xy'z''+yz'x''+zx'y''-xz'y''-yx'z''-zy'x''\right)^{2}$
${\begin{aligned}=&\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)\left(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}\right)\\&+2(xx'+yy'+zz')(xx''+yy''+zz'')(x'x''+y'y''+z'z'')\\&-\left(x^{2}\,\ +y^{2}\ \ +z^{2}\ \right)(x'x''+y'y''+z'z'')^{2}\\&-\left(x'^{2}\ +y'^{2}\ +z'^{2}\,\right)(xx''\ +yy''\ +zz''\ )^{2}\\&-\left(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}\right)(xx'\ \ +yy'\ \ +zz'\ \ )^{2}.\end{aligned}}$
2. Corollaire I. — Donc, si l’on a entre les neuf quantités précédentes ces six équations
${\begin{alignedat}{2}x^{2}\,\ +y^{2}\ \ +z^{2}\ =&a,&x'x''+y'y''+z'z''=&b\\x'^{2}\,+y'^{2}\ +z'^{2}\,=&a',&x\,x''\ +yy''\ +zz''\ =&b',\\x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}=&a'',\qquad &xx'\ \ +yy'\ \ +zz'\ \ =&b'',\end{alignedat}}$
et qu’on fasse, pour abréger,
$\xi =y'z''-z'y'',\quad \eta =z'x''-x'z'',\quad \zeta =x'y''-y'x'',$
$\beta ={\sqrt {aa'a''+2bb'b''-ab^{2}-a'b'^{2}-a''b''^{2}}},$
on aura
$x\xi +y\eta +z\zeta =\beta .$
On aura de plus les équations identiques suivantes
$x'\xi +y'\eta +z'\zeta =0,\quad x''\xi +y''\eta +z''\zeta =0,\quad \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=a'a''-b^{2},$
${\begin{alignedat}{2}y'\zeta -z'\eta =&bx'-a'x'',\qquad &y''\zeta -z''\eta =&a''x'-bx'',\\z'\xi -x'\zeta =&by'-a'y'',&z''\xi -x''\zeta =&a''y'-by'',\\x'\eta -y'\xi =&bz'-a'z'',&x''\eta -y''\xi =&a''z'-bz'',\end{alignedat}}$
qui sont très-faciles à vérifier par le calcul.
3. Corollaire II. Si l’on prend les trois équations
${\begin{aligned}x\xi \,\ \ +y\eta \ \ +z\zeta \ \ =&\beta ,\\xx'\,+yy'\ +zz'\ =&b'',\\xx''+yy''+zz''=&b',\end{aligned}}$
et qu’on en tire les valeurs des quantités $x,y,z,$ on aura par les formules connues
${\begin{aligned}x=&{\frac {\beta (y'z''-z'y'')+b'(\eta z'-\zeta y')+b''(\zeta y''-\eta z'')}{\xi (y'z''-z'y'')+\eta (z'x''-x'z'')+\zeta (x'y''-y'x'')}},\\\\y=&{\frac {\beta (z'x''-x'z'')+b'(\zeta x'-\xi z')+b''(\xi z''-\zeta x'')}{\xi (y'z''-z'y'')+\eta (z'x''-x'z'')+\zeta (x'y''-y'x'')}},\\\\z=&{\frac {\beta (x'y''-y'x'')+b'(\xi y'-\eta x')+b''(\eta x''-\xi y'')}{\xi (y'z''-z'y'')+\eta (z'x''-x'z'')+\zeta (x'y''-y'x'')}}\,;\end{aligned}}$
$\alpha =a'a''-b^{2},$
on aura
${\begin{aligned}x=&{\frac {\beta \xi +(a''b''-bb')x'+(a'b'-bb'')x''}{\alpha }},\\y=&{\frac {\beta \eta +(a''b''-bb')y'+(a'b'-bb'')y''}{\alpha }},\\z=&{\frac {\beta \zeta +(a''b''-bb')z'+(a'b'-bb'')z''}{\alpha }}.\end{aligned}}$
4. Corollaire III. Si l’on fait varier les quantités$x',y',z',x'',y'',z'',$ en regardant comme constantes les quantités $a',a''$ et $b,$ et qu’on suppose
${\begin{aligned}x''dx'+y''dy'+z''dz'=&d\varpi ,\\\xi dx'\,\ \ +\eta dy'\,\ +\zeta dz'\ \ =&d\varpi ,\\\xi dx''\ \ +\eta dy''\ +\zeta dz''\ =&d\varpi ,\\\end{aligned}}$
on aura, en vertu des équations du Corollaire I, ces six autres-ci
${\begin{alignedat}{4}&x'dx'&+&y'dy'&+&z'dz'&=&0,\\&x''dx''&+&y''dy''&+&z''dz''&=&0,\\&\xi d\xi &+&\eta d\eta &+&\zeta d\zeta &=&0,\\&x'dx''&+&y'dy''&+&z'dz''&=&-d\varpi ,\\&x'd\xi &+&y'd\eta &+&z'd\zeta &=&-d\psi ,\\&x''d\xi &+&y''d\eta &+&z''d\zeta &=&-d\varphi ,\end{alignedat}}$
et à l’aide de ces neuf équations on pourra déterminer les neuf différentielles $d\xi ,d\eta ,d\zeta ,dx',dy',dz',dx'',dy'',dz''$ par des opérations et des réductions semblables à celles du numéro précédent.
Il n’y aura pour cet effet qu’à changer, dans les expressions de $x,y,z$, les quantités $\beta ,b',b'',$ d’abord en $0,-d\varphi ,-d\psi ,$ ensuite en $d\psi ,d\varpi ,0,$ et enfin en $d\varphi ,0,-d\varpi ,$ et l’on aura
${\begin{aligned}d\xi =&{\frac {x'(bd\varphi -a''d\psi )+x''(bd\psi -a'd\varphi )}{\alpha }},\\d\eta =&{\frac {y'(bd\varphi -a''d\psi )+xy'(bd\psi -a'd\varphi )}{\alpha }},\end{aligned}}$
${\begin{aligned}d\zeta \ \ \,=&{\frac {z'(bd\varphi -a''d\psi )+z''(bd\psi -a'd\varphi )}{\alpha }},\\dx'\ =&{\frac {\xi d\psi -(bx'-a'x'')d\varpi }{\alpha }},\\dy'\ =&{\frac {\eta d\psi -(by'-a'y'')d\varpi }{\alpha }},\\dz'\ =&{\frac {\zeta d\psi -(bz'-a'z'')d\varpi }{\alpha }},\\dx''=&{\frac {\xi d\varphi -(a''x'-bx'')d\varpi }{\alpha }},\\dy''=&{\frac {\eta d\varphi -(a''y'-by'')d\varpi }{\alpha }},\\dz''=&{\frac {\zeta d\varphi -(a''z'-bz'')d\varpi }{\alpha }}.\end{aligned}}$
Si l’on différentie maintenant les valeurs de $x,y,z$ du Corollaire précédent, en supposant aussi constantes les quantités, $\beta ,b',b'',$ qu’on y substitue ensuite les valeurs de $d\xi ,d\eta ,d\zeta ,dx',dy',dz',\ldots$ qu’on vient de trouver, et qu’on fasse, pour abréger,
$d\Phi =bd\varphi -a''d\psi ,\quad d\Psi =bd\psi -a'd\varphi ,$
on aura
${\begin{aligned}dx=&{\frac {-\xi (b'd\Psi +b''d\Phi )+x'(\beta d\Phi -\alpha b'd\varpi )+x''(\beta d\Psi +\alpha b''d\varpi )}{\alpha ^{2}}},\\dy=&{\frac {-\eta (b'd\Psi +b''d\Phi )+y'(\beta d\Phi -\alpha b'd\varpi )+y''(\beta d\Psi +\alpha b''d\varpi )}{\alpha ^{2}}},\\dz=&{\frac {-\zeta (b'd\Psi +b''d\Phi )+z'(\beta d\Phi -\alpha b'd\varpi )+z''(\beta d\Psi +\alpha b''d\varpi )}{\alpha ^{2}}}.\end{aligned}}$
Et, si l’on substitue ces valeurs ainsi que celles de $x,y,z$ dans ces expressions $xdy-ydx,\ zdx-xdz,\ ydz-zdy,$ on aura, en employant les réductions du n$^o$ 2,
${\begin{aligned}&xdy-ydx\\&=\zeta {\frac {\beta (a''b''-bb')d\Psi -\beta (a'b'-bb'')d\Phi +\alpha \left(a'b'^{2}+a''b''^{2}-2bb'b''\right)d\varpi }{\alpha ^{3}}}\\&\quad -z'{\frac {\left(b\beta ^{2}+\alpha b'b''\right)d\Phi +\left(a''\beta ^{2}+\alpha b'^{2}\right)d\Psi +\alpha \beta (a''b''-bb')d\varpi }{\alpha ^{3}}}\\&\quad +z''{\frac {\left(b\beta ^{2}+\alpha b'b''\right)d\Psi +\left(a'\beta ^{2}+\alpha b''^{2}\right)d\Phi -\alpha \beta (a'b'-bb'')d\varpi }{\alpha ^{3}}},\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&zdx-xdz\\&=\eta {\frac {\beta (a''b''-bb')d\Psi -\beta (a'b'-bb'')d\Phi +\alpha \left(a'b'^{2}+a''b''^{2}-2bb'b''\right)d\varpi }{\alpha ^{3}}}\\&\quad -y'{\frac {\left(b\beta ^{2}+\alpha b'b''\right)d\Phi +\left(a''\beta ^{2}+\alpha b'^{2}\right)d\Psi +\alpha \beta (a''b''-bb')d\varpi }{\alpha ^{3}}}\\&\quad +y''{\frac {\left(b\beta ^{2}+\alpha b'b''\right)d\Psi +\left(a'\beta ^{2}+\alpha b''^{2}\right)d\Phi -\alpha \beta (a'b'-bb'')d\varpi }{\alpha ^{3}}},\\\\&ydz-zdy\\&=\xi {\frac {\beta (a''b''-bb')d\Psi -\beta (a'b'-bb'')d\Phi +\alpha \left(a'b'^{2}+a''b''^{2}-2bb'b''\right)d\varpi }{\alpha ^{3}}}\\&\quad -x'{\frac {\left(b\beta ^{2}+\alpha b'b''\right)d\Phi +\left(a''\beta ^{2}+\alpha b'^{2}\right)d\Psi +\alpha \beta (a''b''-bb')d\varpi }{\alpha ^{3}}}\\&\quad +x''{\frac {\left(b\beta ^{2}+\alpha b'b''\right)d\Psi +\left(a'\beta ^{2}+\alpha b''^{2}\right)d\Phi -\alpha \beta (a'b'-bb'')d\varpi }{\alpha ^{3}}},\end{aligned}}$
5. Remarque I. — Si l’on regarde les trois quantités $x,y,z$ comme les coordonnées rectangles d’un point $\mathrm {M}$ rapporté à trois axes fixes et perpendiculaires entre eux, et pareillementles quantités $x',y',z'$ comme les coordonnées rectangles d’un autre point $\mathrm {M} '$ rapporté aux mêmes axes, et enfin les quantités $x'',y'',z''$ comme les coordonnées rectangles d’un troisième point $\mathrm {M} ''$ rapporté aussi à ces trois axes, il est visible que les quantités $a,a',a'',$ que nous avons supposées égales à
$x^{2}+y^{2}+z^{2},\quad x'^{2}+y'^{2}+z'^{2},\quad x''^{2}+y''^{2}+z''^{2},$
seront les carrés des distances des points $\mathrm {M,M',M''}$ au point commun d’intersection des trois axes, lequel nous nommerons simplement le centre des coordonnées ; et il est facile de voir de plus que les trois quantités
$a+a'-2b'',\quad a+a''-2b',\quad a'+a''-2b,$
lesquelles, suivant nos hypothèses, sont égales à
${\begin{aligned}&(x\ -x'\ )^{2}+(y\ -y'\ )^{2}+(z\ -z'\ )^{2},\\&(x\ -x'')^{2}+(y\ \,-y'')^{2}+(z\ -z'')^{2},\\&(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}+(z'-z'')^{2},\end{aligned}}$
$\mathrm {M,M'} ,$
$\mathrm {M,M''}$
$\mathrm {M',M''} \,;$
$h'',h',h$
$b={\frac {a'+a''-h}{2}},\quad b'={\frac {a+a''-h'}{2}},\quad b''={\frac {a+a'-h''}{2}}.$
Or si l’on nomme $\varepsilon ,\varepsilon ',\varepsilon ''$ les angles formés au centre des coordonnées par les rayons ${\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}},$ par les rayons ${\sqrt {a}},{\sqrt {a'}}$ et par les rayons ${\sqrt {a}},{\sqrt {a''}},$ on aura, par la considération des triangles dont les côtés sont ${\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}},{\sqrt {h}},$ ou ${\sqrt {a}},{\sqrt {a''}},{\sqrt {h'}},$ ou ${\sqrt {a}},{\sqrt {a'}},{\sqrt {h''}},$ on aura, dis-je, ces valeurs de $h,h',h''$
${\begin{aligned}h\ \ =&a'+a''-2{\sqrt {a'a''}}\cos \varepsilon ,\\h'\ =&a+a''-2{\sqrt {aa''}}\cos \varepsilon ',\\h''=&a+a'-2{\sqrt {aa'}}\cos \varepsilon ''\,;\end{aligned}}$
donc
$b={\sqrt {a'a''}}\cos \varepsilon ,\quad b'={\sqrt {aa''}}\cos \varepsilon ',\quad b''={\sqrt {aa'}}\cos \varepsilon ''.$
D’où il s’ensuit que si l’on a $b=0,\ b'=0,\ b''=0,$ les trois rayons ${\sqrt {a}},{\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}}$ feront nécessairement entre eux des angles droits.
Imaginons maintenant une pyramide triangulaire qui ait ses quatre angles, l’un au centre des coordonnées, les autres aux points $\mathrm {M,M',M''} ,$ il n’est pas difficile de prouver que la solidité de cette pyramide sera exprimée par les coordonnées $x,y,z,x',y',z',\ldots$ de cette manière
${\frac {z(x'y''-y'x'')+z'(yx''-xy'')+z''(xy'-yx')}{6}},$
c’est-à-dire par la formule
${\frac {x\xi +y\eta +z\zeta }{6}}\,;$
par conséquent (2) cette solidité sera égale à ${\frac {\beta }{6}}\,;$ d’où l’on voit que la quantité $\beta$ n’est autre chose que la pyramide dont il s’agit prise six fois. Ainsi cette quantité sera nulle toutes les fois que la pyramide en ques-
$\mathrm {M,M',M''}$
Comme toute pyramide est égale au tiers du produit de la base par la hauteur, si l’on divise la quantité ${\frac {\beta }{6}}$ par l’aire du triangle qui a ses trois angles, l’un au centre des coordonnées, les deux autres aux points $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} '',$ on aura la perpendiculaire menée de l’autre point $\mathrm {M}$ sur le plan de ce triangle ; or puisque ce même triangle est formé par les deux lignes ${\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}},$ qui forment entre elles l’angle $\varepsilon ,$ on aura
${\frac {{\sqrt {a'a''}}\sin \varepsilon }{2}}$
pour son aire ; on a
$b={\sqrt {a'a''}}\cos \varepsilon \,;$
donc cette aire sera (3)
${\frac {\sqrt {a'a''-b^{2}}}{2}}={\frac {\sqrt {\alpha }}{2}}\,;$
donc ${\frac {\beta }{\sqrt {\alpha }}}$ sera la valeur de la perpendiculaire menée du point $\mathrm {M}$ sur le plan passant par le centre des coordonnées et par les deux autres points $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} ''.$
De plus, si l’on imagine par le même centre des coordonnées deux autres plans, l’un perpendiculaire au rayon ${\sqrt {a'}}$ du point $\mathrm {M} ',$ l’autre perpendiculaire au rayon ${\sqrt {a''}}$ du point $\mathrm {M} '',$ on verra aisément que la distance perpendiculaire du point $\mathrm {M}$ sur le premier de ces plans sera représentée par
${\sqrt {a}}\sin \left(90^{\circ }-\varepsilon ''\right)={\sqrt {a}}\cos \varepsilon ''\,;$
et que la distance perpendiculaire du même point $\mathrm {M}$ sur l’autre plan le sera par
${\sqrt {a}}\sin \left(90^{\circ }-\varepsilon '\right)={\sqrt {a}}\cos \varepsilon '\,;$
donc, puisqu’on a trouvé plus haut
$b'={\sqrt {aa''}}\cos \varepsilon '\quad {\text{et}}\quad b''={\sqrt {aa'}}\cos \varepsilon '',$
${\frac {b''}{\sqrt {a'}}}$
$\mathrm {M}$
${\frac {b'}{\sqrt {a''}}}$
6. Remarque II. — Si l’on imagine qu’aux points $\mathrm {M,M',M''}$ il y ait des corps de masses données, et qui soient unis ensemble par des verges inflexibles ou autrement, de manière qu’ils soient obligés de garder toujours entre eux les mêmes distances ${\sqrt {h}},{\sqrt {h'}},{\sqrt {h''}},$ et qu’on suppose de plus que ces corps puissent tourner dans tous les sens autour du centre des coordonnées, sans néanmoins que leurs distances à ce centre ${\sqrt {a}},{\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}}$ varient, il est clair qu’on aura le cas du Lemme et de ses Corollaires, et qu’on pourra appliquer au mouvement de ce système les formules que nous y avons données. Ainsi l’on pourra ramener le mouvement du corps $\mathrm {M} ,$ dont les coordonnées sont $x,y,z,$ aux mouvements des corps $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} '',$ dont les coordonnées sont $x',y',z',$$x'',y'',z''.$
En général, si l’on a un système d’autant de corps qu’on voudra, disposés de manière qu’ils soient forcés de conserver toujours les mêmes distances tant entre eux qu’à l’égard d’un point donné, les formules ci-dessus serviront à rapporter le mouvement de chacun de ces corps aux mouvements de deux quelconques d’entre eux pris à volonté ; car prenant $x',y',z'$ et $x'',y'',z''$ pour les coordonnées rectangles de ces deux corps, que je désignerai par $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} '',$ et nommant, en général, $x,y,z$ les coordonnées d’un autre corps quelconque $\mathrm {M}$ du système, on pourra exprimer tant les variables $x,y,z$ que leurs différentielles $dx,dy,dz$ par les seules variables $x',y',z',x'',y'',z''$ et $d\varpi ,d\psi ,d\varphi ,$ lesquelles se rapportent uniquement aux corps $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} ''.$ Et l’on remarquera que les constantes $a',a'',h,$ et par conséquent aussi $b$ et $\alpha ,$ seront les mêmes pour tous les corps $\mathrm {M} ,$ puisqu’elles ne dépendent que de la position des corps $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} ''\,;$ mais que les constantes $a,h',h'',$ et par conséquent aussi $\beta ,b',b'',$ seront différentes pour chaque corps $\mathrm {M} ,$ puisqu’elles dépendent de sa situation à l’égard des corps $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} ''.$
Au reste, sidans les formules du Corollaire III nous avons supposé les quantités $a,a',a'',b,b',b''$ constantes, ce n’a été que pour plus de simplicité et parce que cette supposition était suffisante pour notre objet ; car d’ailleurs, si l’on voulait regarder ces quantités comme variables, il n’y aurait qu’à employer, au lieu des équations
${\begin{alignedat}{5}&x'dx'&+&y'dy'&+&z'dz'&=&0,\\&x''dx''&+&y''dy''&+&z''dz''&=&0,\\&\xi d\xi '&+&\eta d\eta &+&\zeta d\zeta &=&0,\\&x'dx''&+&y'dy''&+&z'dz''&=&-d\varpi ,\end{alignedat}}$
celles-ci
${\begin{alignedat}{4}&x'dx'&+&y'dy'&+&z'dz'&=&{\frac {da'}{2}},\\&x''dx''&+&y''dy''&+&z''dz''&=&{\frac {da''}{2}},\\&\xi d\xi '&+&\eta d\eta &+&\zeta d\zeta &=&{\frac {d\alpha }{2}},\\&x'dx''&+&y'dy''&+&z'dz''&=&db-d\varpi ,\end{alignedat}}$
et ensuite avoir égard à la variabilité des coefficients
${\frac {\beta }{\alpha }},\quad {\frac {a''b''-bb'}{\alpha }},\quad {\frac {a'b'-bb''}{\alpha }}$
dans la différentiation des valeurs de $x,y,z\,;$ on trouverait ainsi des formules analogues à celles du Corollaire cité, et qui pourraient être utiles dans quelques occasions.
7. Remarque III. — Si dans les équations du n$^o$ 2 on suppose
$a=a'=a''=1$
et
$b=b'=b''=0,$
on aura
$\beta =1\quad {\text{et}}\quad \alpha =1\,;$
de là on aura (3)
$x=\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,$
savoir
$x=y'z''-z'y'',\quad y=z'x''-x'z'',\quad z=x'y''-y'x''\,;$
${\begin{alignedat}{2}x'\ =&y''z-z''y,\qquad &y'\ =&z''x-x''z,\qquad &z'\ =&x''y-y''x,\\x''=&yz'\ -zy',&y''=&zx'\ -xz',&z''=&xy'\ -yx'.\end{alignedat}}$
Et si l’on multiplie ces équations respectivementpar $x,y,z,x',y',z',\ldots ,$ et qu’on les ajoute ensemble trois à trois, on aura, en vertu du Lemme, ces nouvelles formules
${\begin{alignedat}{2}x^{2}+x'^{2}+x''^{2}=&1,\qquad &xy+x'y'+x''y''=0,\\y^{2}+y'^{2}\,+y''^{2}=&1,&xz+x'z'+x''z''=0,\\z^{2}\,+z'^{2}\,+z''^{2}=&1,&yz+y'z'\,+y''z''=0,\end{alignedat}}$
qui pourront aussi nous être utiles dans la suite.
Au reste, si l’on voulait dans cette hypothèse résoudre les six équations du n$^o$ 2, c’est-à-dire déterminer six des neuf quantités $x,y,z,x',y',z',\ldots$ par les trois autres, on y parviendrait aisément à l’aide des formules précédentes ; car supposons que les trois données soient $x,y,x',$ on aura d’abord par la première équation du n$^o$ 2
$z={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}},$
ensuite la première des équations trouvées en dernier lieu donnera
$x''={\sqrt {1-x^{2}-x'^{2}}}.$
Connaissant ainsi les cinq quantités $x,y,z,x',x'',$ on trouvera les quatre autres à l’aide des équations
$z=x'y''-y'x'',\quad y=z'x''-x'z'',$
${\begin{aligned}xy+x'y'+x''y''=&0,\\xz+x'z'+x''z''=&0,\end{aligned}}$
lesquelles donnent
${\begin{alignedat}{2}y'\ =&-{\frac {x''z+xx''y}{x'^{2}+x''^{2}}},\qquad &z'\ =&{\frac {x''y-xx'z}{x'^{2}+x''^{2}}},\\y''=&{\frac {x'z-xx''y}{x'^{2}+x''^{2}}},\qquad &z''=&-{\frac {x'y+xx''z}{x'^{2}+x''^{2}}}.\end{alignedat}}$
8. Déterminer le mouvement d’un corps de figure quelconque qui n’est animé par aucune force accélératrice, et qui est seulement retenu par un de ses points, autour duquel il peut d’ailleurs tourner dans tous les sens.
Solution. — Je considère le corps proposé comme l’assemblage d’une intinité de corpuscules ou points massifs unis ensemble de manière qu’ils gardent toujours nécessairement entre eux les mêmes distances ; et pour connaitre le mouvement de ce système, j’imagine trois axes fixes et perpendiculaires entre eux, qui passent par le point du corps qu’on suppose demeurer immobile, et auxquels je rapporte la position de chaque particule $\delta m$ du corps par le moyen de trois coordonnées $x,y,z$ parallèles à ces mêmes axes. J’aurai par les principes de mécanique, à cause que le système est supposé libre autour d’un point fixe, et qu’il n’est d’ailleurs sollicité par aucune force étrangère, j’aurai, dis-je, sur-le-champ ces trois équations
| (1) | $\sum \left({\frac {xdy-ydx}{dt}}\right)\delta m=\mathrm {A} ,$ |
| (2) | $\sum \left({\frac {zdx-xdz}{dt}}\right)\delta m=\mathrm {B} ,$ |
| (3) | $\sum \left({\frac {ydz-zdy}{dt}}\right)\delta m=\mathrm {C} ,$ |
auxquelles on peut joindre cette quatrième
| (4) | $\sum \left({\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\right)\delta m=\mathrm {D} ^{2}.$ |
Dans ces équations les quantités $\mathrm {A,B,C,D}$ sont des constantes arbitraires dépendantes de l’état initial du corps, $dt$ est l’élément du temps, et $\sum$ est le signe d’intégration relativement aux différentes particules $\delta m$ du corps.
Les trois premières équations résultent de ce principe connu que : dans tout système de corps qui agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque, et qui sont de plus, si l’on veut, animés par des forces tendantes à un point fixe, ou assujettis de quelque manière que ce soit à se mouvoir autour d’un tel point, la somme des différentes aires ou secteurs que chaque corps décrit relativement à un plan fixe quelconque, multipliés chacun par la masse du corps qui le décrit, est toujours proportionnelle au temps ; de sorte que la somme des produits des aires élémentaires par leurs masses respectives, divisée par l’élément du temps, est nécessairement une quantité constante. Ce principe est facile à démontrer dans tous les cas, mais surtout dans le cas présent, où il suffit de considérer que la somme des moments de toutes les forces
${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta m,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta m,\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta m$
par rapport à un axe quelconque doit être nulle, ce qui donne immédiatement les trois équations
${\begin{aligned}&\sum \left({\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{dt^{2}}}\right)\delta m=0,\\&\sum \left({\frac {zd^{2}x-xd^{2}z}{dt^{2}}}\,\right)\delta m=0,\\&\sum \left({\frac {yd^{2}z-zd^{2}y}{dt^{2}}}\ \,\right)\delta m=0,\end{aligned}}$
dont les trois premières équations ci-dessus ne sont que les intégrale.
À l’égard de la quatrième équation, elle renferme le principe très-connu de la conservation des forces vives ; on pourrait la déduire, dans le cas présent, des trois précédentes à l’aide des différentiations et d’une nouvelle intégration, comme nous le ferons voir plus bas ; mais puisqu’elle présente une intégrale toute trouvée, nous nous en servirons pour simplifier notre solution. Toute la difficulté se réduit donc à déterminer le mouvement du corps par le moyen de ces équations, et c’est dans cette détermination que consiste uniquement le mérite de ma solution, si elle en a quelqu’un.
Il est clair, par la dernière Remarque, que les formules trouvées dans les n$^{os}$ 2 et suivants s’appliquent naturellement au Problème dont il s’agit. Pour cela il n’y a qu’à prendre dans l’intérieur du corps deux points quelconques $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} '',$ pour lesquels les coordonnées soient $x',y',z',x'',y'',z''\,;$ et comme la position de ces points est à volonté, il sera bon de les prendre tels que leurs distances au point fixe, qui est en même temps le centre des coordonnées, soient toutes deux égales à $1,$ et que de plus les rayons menés de ce centre aux mêmes points fassent entre eux un angle droit ; on aura de cette manière (5)
$a'=1,\quad a''=1,\quad \varepsilon =90^{\circ },$
donc
$b=0,\quad \alpha =1.$
De plus, si l’on nomme $r$ la distance de la particule $\delta m$ au plan qui passe par le point fixe et par les deux points donnés $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} '',$ $q$ la distance de cette même particule à un plan passant par le point fixe et perpendiculaire au rayon du point $\mathrm {M} ',$ et enfin $p$ la distance de la même particule à un plan passant aussi par le point fixe, mais perpendiculaire au rayon du point $\mathrm {M} '',$ on aura (5)
$\beta =r,\quad b''=q,\quad b'=p.$
Et il est clair que les trois quantités $p,q,r$ ne seront autre chose que les coordonnées rectangles qui donnent la position de chaque particule $\delta m$ par rapport à trois axes perpendiculaires entre eux, passant par le point fixe du corps et demeurant toujours fixes au dedans du corps ; en sorte que ces quantités ne seront variables que pour les différentes particules, mais seront toujours constantes pour une même particule pendant le mouvement du corps.
Faisant donc ces substitutions dans les formules des n$^{os}$ 3 et 4, on aura d’abord
${\begin{aligned}x=&\xi r+x'q+x''p,\\y=&\eta r+y'q+y''p,\\z=&\zeta r\,+z'q+z''p\,;\end{aligned}}$
$d\Phi =-d\psi$
$d\Psi =-d\varphi ,$
${\begin{aligned}dx=&\xi (pd\varphi +qd\psi )-x'(rd\psi +pd\varpi )+x''(qd\varpi -rd\varphi ),\\dy=&\eta (pd\varphi +qd\psi )-y'(rd\psi +pd\varpi )+y''(qd\varpi -rd\varphi ),\\dz=&\zeta (pd\varphi +qd\psi )-z'(rd\psi +pd\varpi )\,+z''(qd\varpi -rd\varphi )\,;\end{aligned}}$
et enfin
${\begin{aligned}xdy-ydx=&-\zeta \ \,\left[qrd\varphi -prd\psi -\left(p^{2}+q^{2}\right)d\varpi \right]\\&+z'\ \left[pqd\psi +\left(p^{2}+r^{2}\right)d\varphi -qrd\varpi \right]\\&-z''\left[pqd\varphi +\left(q^{2}+r^{2}\right)d\psi +prd\varpi \right],\\\\zdx-xdz=&-\eta \ \,\left[qrd\varphi -prd\psi -\left(p^{2}+q^{2}\right)d\varpi \right]\\&+y'\ \left[pqd\psi +\left(p^{2}+r^{2}\right)d\varphi -qrd\varpi \right]\\&-y''\left[pqd\varphi +\left(q^{2}+r^{2}\right)d\psi +prd\varpi \right],\\\\ydz-zdy=&-\xi \,\ \ \left[qrd\varphi -prd\psi -\left(p^{2}+q^{2}\right)d\varpi \right]\\&+x'\ \left[pqd\psi +\left(p^{2}+r^{2}\right)d\varphi -qrd\varpi \right]\\&-x''\left[pqd\varphi +\left(q^{2}+r^{2}\right)d\psi +prd\varpi \right].\end{aligned}}$
Donc, si l’on multiplie ces trois dernières équations par $\delta m,$ qu’ensuite on les intègre par rapport à la caractéristique $\sum ,$ en ne faisant varier que les quantités $p,q,r,$ et regardant les autres comme constantes, et qu’on fasse, pour abréger,
${\begin{array}{lll}\sum qr\delta m=\mathrm {F} ,&\sum pr\delta m=\mathrm {G} ,&\sum pq\delta m=\mathrm {H} ,\\\sum \left(q^{2}+r^{2}\right)\delta m=\mathrm {L} ,&\sum \left(p^{2}+r^{2}\right)\delta m=\mathrm {M} ,&\sum \left(p^{2}+q^{2}\right)\delta m=\mathrm {N} ,\end{array}}$
on aura, en vertu des équations (1), (2), (3) ci-dessus, ces trois-ci
| (5) | $\left\{{\begin{aligned}&-\zeta \ \,\left(\mathrm {F} {\frac {d\varphi }{dt}}\,-\mathrm {G} {\frac {d\psi }{dt}}\,-\mathrm {N} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)\\&+z'\ \left(\mathrm {H} {\frac {d\psi }{dt}}+\mathrm {M} {\frac {d\varphi }{dt}}-\mathrm {F} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)\\&-z''\left(\mathrm {H} {\frac {d\varphi }{dt}}\,+\mathrm {L} {\frac {d\psi }{dt}}\ +\mathrm {G} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)=\mathrm {A} ,\\\end{aligned}}\right.$ |
| (6) | $\left\{{\begin{aligned}&-\eta \ \,\left(\mathrm {F} {\frac {d\varphi }{dt}}\,-\mathrm {G} {\frac {d\psi }{dt}}\,-\mathrm {N} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)\\&+y'\ \left(\mathrm {H} {\frac {d\psi }{dt}}+\mathrm {M} {\frac {d\varphi }{dt}}-\mathrm {F} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)\\&-y''\left(\mathrm {H} {\frac {d\varphi }{dt}}\,+\mathrm {L} {\frac {d\psi }{dt}}\ +\mathrm {G} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)=\mathrm {B} ,\\\end{aligned}}\right.$ |
| (7) | $\left\{{\begin{aligned}&-\xi \ \,\left(\mathrm {F} {\frac {d\varphi }{dt}}\,-\mathrm {G} {\frac {d\psi }{dt}}\,-\mathrm {N} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)\\&+x'\ \left(\mathrm {H} {\frac {d\psi }{dt}}+\mathrm {M} {\frac {d\varphi }{dt}}-\mathrm {F} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)\\&-x''\left(\mathrm {H} {\frac {d\varphi }{dt}}\,+\mathrm {L} {\frac {d\psi }{dt}}\ +\mathrm {G} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)=\mathrm {C} .\end{aligned}}\right.$ |
Ces équations étant élevées chacune au carré, et ensuite ajoutées ensemble, donnent d’abord (en vertu des formules du n$^o$ 2, et à cause de $a'=1,\ a''=1,$$b=0$) celle-ci, où les quantités $x',y',z',x'',\ldots$ ne se trouvent plus,
| (8) | $\left\{{\begin{aligned}&\left(\mathrm {F} {\frac {d\varphi }{dt}}\,-\mathrm {G} {\frac {d\psi }{dt}}\,-\mathrm {N} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)^{2}\\+&\left(\mathrm {H} {\frac {d\psi }{dt}}+\mathrm {M} {\frac {d\varphi }{dt}}-\mathrm {F} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)^{2}\\+&\left(\mathrm {H} {\frac {d\varphi }{dt}}\,+\mathrm {L} {\frac {d\psi }{dt}}\ +\mathrm {G} {\frac {d\varpi }{dt}}\right)^{2}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} .\end{aligned}}\right.$ |
De plus, si l’on ajoute ensemble les carrés des valeurs de $dx,dy,dz$ trouvées ci-dessus, on aura, en ayant égard aux mêmes formules du n$^o$ 2,
${\begin{aligned}dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=&(pd\varphi +qd\psi )^{2}+(rd\psi +pd\varpi )^{2}+(qd\varpi -rdf)^{2}\\=&\left(p^{2}+r^{2}\right)d\varphi ^{2}+\left(q^{2}+r^{2}\right)d\psi ^{2}+\left(p^{2}+q^{2}\right)d\varpi ^{2}\\&+2pqd\varphi d\psi +2prd\psi d\varpi -2qrd\varphi d\varpi \,;\end{aligned}}$
donc multipliant par $\delta m,$ intégrant par rapport à la caractéristique $\sum ,$ et faisant les substitutions ci-dessus, on aura, en vertu de l’équation (4), celle-ci
| (9) | $\mathrm {M} {\frac {\varphi ^{2}}{t^{2}}}+\mathrm {L} {\frac {\psi ^{2}}{t^{2}}}+\mathrm {N} {\frac {\varpi ^{2}}{t^{2}}}+2\mathrm {H} {\frac {d\varphi }{dt}}{\frac {d\psi }{dt}}+2\mathrm {G} {\frac {d\psi }{dt}}{\frac {d\varpi }{dt}}-2\mathrm {F} {\frac {d\varphi }{dt}}{\frac {d\varpi }{dt}}=\mathrm {D} ^{2}.$ |
Ainsi voilà déjà deux équations (8) et (9) qui ne renferment que les
${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\varpi }{dt}},$
Faisons pour plus de simplicité
| (10) | $\left\{{\begin{aligned}\lambda =&-\mathrm {F} {\frac {d\varphi }{dt}}\,+\mathrm {G} {\frac {d\psi }{dt}}\,+\mathrm {N} {\frac {d\varpi }{dt}},\\\mu =&\ \ \,\mathrm {M} \ \ {\frac {d\varphi }{dt}}+\mathrm {H} {\frac {d\psi }{dt}}\,-\mathrm {F} {\frac {d\varpi }{dt}},\\\nu =&\ \ \,\mathrm {H} \ \ {\frac {d\varphi }{dt}}\,+\mathrm {L} {\frac {d\psi }{dt}}\ +\mathrm {G} {\frac {d\varpi }{dt}},\end{aligned}}\right.$ |
et les deux équations dont nous venons de parler pourront se mettre sous cette forme assez simple
| (11) | $\left\{{\begin{aligned}&\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} ,\\&\lambda {\frac {d\varpi }{dt}}+\mu {\frac {d\varphi }{dt}}+\nu {\frac {d\psi }{dt}}=\mathrm {D} ^{2}.\end{aligned}}\right.$ |
Tirant donc des trois équations ci-dessus les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\varpi }{dt}}$ en $\lambda ,\mu ,\nu ,$ et les substituant dans la seconde des deux équations (11), on aura deux équations en $\lambda ,\mu ,\nu$ à l’aide desquelles on pourra déterminer, par exemple, les valeurs de $\mu$ et $\nu$ en $\lambda \,;$ de sorte qu’il ne restera plus qu’à connaître $\lambda .$
Pour cela je reprends les trois équations (5), (6), (7), lesquelles par l’introduction des quantités $\lambda ,\mu ,\nu$ se réduisent à cette forme
| (12) | $\left\{{\begin{aligned}\zeta \lambda +z'\mu -z''\nu \ =&\mathrm {A} ,\\\eta \lambda +y'\mu -y''\nu \,=&\mathrm {B} ,\\\xi \lambda +x'\mu -x''\nu =&\mathrm {C} \,;\end{aligned}}\right.$ |
et ajoutant ensemble ces équations après les avoir multipliées, la première par $\zeta ,$ la seconde par $\eta ,$ et la troisième par $\xi ,$ j’ai par les formules du n$^o$ 2
$\lambda =\mathrm {A\zeta +B\eta +C} \xi .$
J’aurai de même en multipliant ces équations respectivement par $d\zeta ,d\eta ,d\xi ,$ et les ajoutant ensuite ensemble, en ayant égard aux formules du n$^o$ 4,
$-\mu d\psi +\nu d\varphi =\mathrm {A} d\zeta +\mathrm {B} d\eta +\mathrm {C} d\xi .$
$d\lambda =\mathrm {A} d\zeta +\mathrm {B} d\eta +\mathrm {C} d\xi \,;$
donc on aura
$d\lambda =-\mu d\psi +\nu d\varphi ,$
et par conséquent
| (13) | ${\frac {d\lambda }{-\mu {\dfrac {d\psi }{dt}}+\nu {\dfrac {d\varphi }{dt}}}}=dt.$ |
Ainsi, comme ${\frac {d\psi }{dt}}$ et ${\frac {d\varphi }{dt}}$ sont donnés en $\lambda ,\mu ,\nu ,$ et que $\mu ,\nu$ sont déjà connus en $\lambda ,$ cette équation ne contiendra que les deux variables $t$ et $\lambda ,$ déjà séparées, et donnera par conséquent par l’intégration la valeur de $t$ en $\lambda ,$ et vice versâ celle de $\lambda$ en $t\,;$ ainsi l’on connaîtra les quantités $\lambda ,\mu ,\nu$ par des fonctions du temps $t.$
Pour pouvoir connaître maintenant le mouvement de chaque point du corps, nommons, comme ci-dessus, $x,y,z$ les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position instantanée d’un point quelconque donné du corps, dans l’espace, et soient de même $p,q,r$ les coordonnées rectangles qui déterminent la position du même point dans le corps même ; on aura donc comme ci-devant
${\begin{aligned}x=&\xi r+x'q+x''p,\\y=&\eta r+y'q+y''p,\\z=&\zeta r+z'q+z''p,\end{aligned}}$
d’où l’on tire d’abord l’équation
| (14) | $x^{2}+y^{2}+z^{2}=p^{2}+q^{2}+r^{2}.$ |
Ensuite, faisant, pour abréger,
${\begin{aligned}\mathrm {P} =&pq{\frac {d\varphi }{dt}}+pr{\frac {d\varpi }{dt}}+\left(q^{2}+r^{2}\right){\frac {d\psi }{dt}},\\\mathrm {Q} =&qr{\frac {d\varpi }{dt}}-pq{\frac {d\psi }{dt}}\,-\left(p^{2}+r^{2}\right){\frac {d\varphi }{dt}},\\\mathrm {R} =&qr{\frac {d\varphi }{dt}}\ -pr{\frac {d\psi }{dt}}\,-\left(p^{2}+q^{2}\right){\frac {d\varpi }{dt}},\end{aligned}}$
${\begin{aligned}ydx-xdy=&(\zeta \mathrm {R} +z'\mathrm {Q} +z''\mathrm {P} )dt,\\xdz-zdx=&(\eta \mathrm {R} +y'\mathrm {Q} +y''\mathrm {P} )dt,\\zdy-ydz=&(\xi \mathrm {R} +x'\mathrm {Q} +x''\mathrm {P} )dt.\end{aligned}}$
Ces trois équations, ainsi que les trois précédentes, étant multipliées respectivement par les équations (12), et les produits étant ajoutés ensemble, il viendra, en vertu des formules du n$^o$ 2, ces deux équations-ci
| (15) | $\mathrm {A} z+\mathrm {B} y+\mathrm {C} x=r\lambda +q\mu -p\nu ,$ |
| (16) | $\mathrm {A} (ydx-xdy)+\mathrm {B} (xdz-zdx)+\mathrm {C} (zdy-ydz\mathrm {A} )=(\mathrm {R} \lambda +\mathrm {Q} \mu -\mathrm {P} \nu )dt,$ |
lesquelles, étant combinées avec l’équation (14) ci-dessus, serviront à déterminer les trois inconnues $x,y,z$.
Je remarque d’abord que si les deux constantes arbitraires $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ étaient nulles, la détermination dont il s’agit n’aurait aucune difficulté ; car faisant, pour abréger,
${\begin{aligned}\theta \ \ =&r\ \lambda +q\ \mu -p\nu ,\\\Theta \ =&\mathrm {R} \lambda +\mathrm {Q} \mu -\mathrm {P} \nu ,\\n^{2}=&p^{2}\ \,+q^{2}\ \,+r^{2}\end{aligned}}$
($\theta$ et $\Theta$ étant des fonctions connues de $t,$ et $n$ une constante qui exprime la distance du point donné du corps au centre autour duquel il se meut), l’équation (15) donnera d’abord
$z={\frac {\theta }{\mathrm {A} }},$
et l’équation (14) donnera
$x^{2}+y^{2}=n^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}}.$
Ensuite l’équation (16) donnera
$ydx-xdy={\frac {\Theta dt}{\mathrm {A} }},$
laquelle étant divisée par la précédente, on aura cette équation intégrable
${\frac {ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\mathrm {A} \Theta dt}{\mathrm {A} ^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}.$
$\mathrm {T} =\int {\frac {\mathrm {A} \Theta dt}{\mathrm {A} ^{2}n^{2}-\theta ^{2}}},$
et l’on aura
${\frac {y}{x}}=\operatorname {tang} \mathrm {T} ,$
d’où, à cause de
$x^{2}+y^{2}={\frac {\mathrm {A} ^{2}n^{2}-\theta ^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}},$
on tire
$x={\frac {\sqrt {\mathrm {A} ^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}{\mathrm {A} }}\cos \mathrm {T} ,\quad y={\frac {\sqrt {\mathrm {A} ^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}{\mathrm {A} }}\sin \mathrm {T} .$
Mais, pour ne pas borner notre solution au cas de $\mathrm {B} =0$ et $\mathrm {C} =0,$ je vais résoudre les trois équations (14), (15) et (16) dans toute leur généralité.
Je fais pour cela
$k^{2}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}}$
et
$f=\mathrm {\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\quad g=\mathrm {\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\quad h=\mathrm {\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} .$
d’où
$\mathrm {A} =kf,\quad \mathrm {B} =kg,\quad \mathrm {C} =kh\,;$
en sorte qu’on ait
$f^{2}+g^{2}+h^{2}=1,$
et je prends six autres quantités $f',g',h',f'',g'',h'',$ entre lesquelles et les trois quantités $f,g,h$ j’établis les mêmes rapports qu’entre les quantités $x,y,z,$$x',y',z',x'',y'',z''$ du n$^o$ 2, en y supposant
$a=a'=a''=1\quad {\text{et}}\quad b=b'=b''=0\,;$
j’aurai donc aussi entre ces mêmes quantités $f,g,h,f',g',\ldots$ des relations analogues à celles qu’on a trouvées dans le n$^o$ 7 entre $x,y,z,x',y',\ldots ,$ en sorte que prenant à volonté les trois quantités $f,g,f',$ on pourra par leur moyen déterminer les six autres.
Cela posé, je suppose encore
${\begin{aligned}f\ \ z+g\ \ y+h\ \ x=&\mathrm {Z} ,\\f'\ z+g'\,y+h'\ x=&\mathrm {Y} ,\\f''z+g''y+h''x=&\mathrm {X} ,\\\end{aligned}}$
j’aurai d’abord, en ajoutant ensemble les carrés de ces trois équations,
$z^{2}+y^{2}+x^{2}=\mathrm {Z^{2}+Y^{2}+X^{2}} ,$
à cause des relations établies entre les quantités $f,g,h,f',g',h',\ldots$ (2) ; ainsi l’on aura par l’équation (14)
$\mathrm {Z^{2}+Y^{2}+X^{2}} =n^{2}.$
Ensuite l’équation (15) deviendra
$k\mathrm {Z} =\theta .$
Or si l’on cherche la valeur de $\mathrm {Y} d\mathrm {X} -\mathrm {X} d\mathrm {Y} ,$ on la trouvera égale à
${\begin{aligned}&(g'h''-h'g'')(ydx-xdy)+(h'f''-f'h'')(xdz-zdx)\\&\quad +(f'g''-g'f'')(zdy-ydz)\,;\end{aligned}}$
mais, par les formules du n$^o$ 7, on aura
$g'h''-h'g''=f,\quad h'f''-f'h''=g,\quad f'g''-g'f''=h,$
donc l’équation (16) deviendra
$k(\mathrm {Y} d\mathrm {X} -\mathrm {X} d\mathrm {Y} )=\Theta dt.$
Ainsi l’on a maintenant entre $\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {Z}$ les mêmes équations qu’on a eues ci-dessus entre $x,y,z$ dans le cas de $\mathrm {B} =0$ et $\mathrm {C} =0,$ avec cette seule différence qu’il y a ici $k$ à la place de $\mathrm {A} .$ On aura donc sur-le-champ
$\mathrm {X} ={\frac {\sqrt {k^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}{k}}\cos \mathrm {T} ,\quad \mathrm {Y} ={\frac {\sqrt {h^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}{k}}\sin \mathrm {T} ,\quad \mathrm {Z} ={\frac {\theta }{k}}.$
Ayant les valeurs de $\mathrm {X,Y,Z} ,$ on tirera des formules précédentes celles de $x,y,z,$ et l’on aura (7) par les relations qui doivent avoir lieu entre
$f,g,h,f',g',h',\ldots$
${\begin{aligned}x=&h\mathrm {Z} +h'\mathrm {Y} +h''\mathrm {X} ,\\y=&g\mathrm {Z} \,+g'\mathrm {Y} +g''\mathrm {X} ,\\z=&h\mathrm {Z} +f'\mathrm {Y} +f''\mathrm {X} .\end{aligned}}$
Il faut remarquer que la quantité $f'$ demeure indéterminée ; de sorte qu’on pourra lui donner telle valeur qu’on voudra, sans déroger en rien à la généralité de la solution.
9. Remarque I. — Si l’on tire des trois équations (10) du numéro précédent les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\varpi }{dt}},$ on aura, en faisant, pour abréger,
$\Delta =\mathrm {LMN-2FGH-F^{2}L-G^{2}M-H^{2}N} ,$
ces expressions
${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&\mathrm {\frac {(GH+FL)\lambda +\left(LN-G^{2}\right)\mu -(FG+HN)\nu }{\Delta }} ,\\{\frac {d\psi }{dt}}=&\mathrm {\frac {-(FH+GM)\lambda -(FG+HN)\mu +\left(MN-F^{2}\right)\nu }{\Delta }} ,\\{\frac {d\varpi }{dt}}=&\mathrm {\frac {\left(LM-H^{2}\right)\lambda +(GH+FL)\mu -(FH+GM)\nu }{\Delta }} ,\\\end{aligned}}$
qui, étant substituées dans la seconde des équations (11), la réduiront à cette forme
${\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {LM-H^{2}}{\Delta }}\lambda ^{2}+{\frac {LN-G^{2}}{\Delta }}\mu ^{2}+{\frac {MN-F^{2}}{\Delta }}} \nu ^{2}\\&\quad +\mathrm {2{\frac {GH+FL}{\Delta }}\lambda \mu -2{\frac {FH+GM}{\Delta }}\lambda \nu -2{\frac {FG+HN}{\Delta }}\mu \nu =E^{2}} \,;\end{aligned}}$
et cette équation, étant combinée avec cette autre
$\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=k^{2},$
servira, comme nous l’avons déjà dit, à déterminer $\mu$ et $\nu$ en $\lambda ,$ ou, en général, à déterminer $\lambda ,\mu$ et $\nu$ par une même indéterminée quelconque.
En effet, si l’on fait
$\mu =s\lambda ,\quad \nu =u\lambda ,$
et qu’on divise les deux équations l’une par l’autre, la quantité $\lambda$ s’en ira, et l’on aura une équation du second degré entre $s$ et $u,$ par laquelle on pourra déterminer $u$ en $s\,;$ ensuite on aura par la dernière équation
$\lambda ={\frac {k}{\sqrt {1+s^{2}+u^{2}}}},$
et de là on connaîtra les trois quantités $\lambda ,\mu ,\nu$ en $s,$ dont les valeurs étant substituées dans le premier membre de l’équation (13), on aura une équation séparée entre $s$ et $t,$ par laquelle on déterminera $s$ en $t$ et vice versâ.
Mais, comme de cette manière on tombe dans une équation un peu compliquée à cause des doubles signes radicaux que les expressions de $\lambda ,\mu ,\nu$ doivent renfermer, il est bon de voir comment on peut parvenir à des résultats plus simples, à l’aide de quelques substitutions convenables d’autant plus que la méthode que nous allons exposer pourra aussi être utile dans d’autres occasions.
Il est visible que, si l’on prend de nouveau neuf quantités
$f,g,h,f',g',h',f'',g'',h'',$
qui soient assujetties aux mêmes conditions que les quantités
$x,y,z,x',y',z',x'',y'',z''$
du n$^o$ 2, en supposant
$a=a'=a''=1\quad {\text{et}}\quad b=b'=b''=0,$
on aura
$(f\lambda +f'\mu +f''\nu )^{2}+(g\lambda +g'\mu +g''\nu )^{2}+(h\lambda +h'\mu +h''\nu )^{2}$
$=\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=k^{2}\,;$
et comme parmi ces neuf quantités il en reste trois d’indéterminées, à cause qu’il n’y a que six conditions à remplir (numéro cité), on pourra encore, en introduisant trois nouvelles indéterminées $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ faire en
$\alpha (f\lambda +f'\mu +f''\nu )^{2}+\beta (g\lambda +g'\mu +g''\nu )^{2}+\gamma (h\lambda +h'\mu +h''\nu )^{2}$
${\begin{aligned}=&\mathrm {{\frac {LM-H^{2}}{\Delta }}\lambda ^{2}+{\frac {LN-G^{2}}{\Delta }}\mu ^{2}+{\frac {MN-F^{2}}{\Delta }}} \nu ^{2}\\&+\mathrm {2{\frac {GH+FL}{\Delta }}\lambda \mu -2{\frac {FH+GM}{\Delta }}\lambda \nu -2{\frac {FG+HN}{\Delta }}\mu \nu =E^{2}} \,;\end{aligned}}$
car pour cela il n’y aura qu’à supposer
${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {\frac {LM-H^{2}}{\Delta }} &=&\alpha f^{2}&+&\beta g^{2}&+&\gamma h^{2},\\&\mathrm {\frac {LN-G^{2}}{\Delta }} &=&\alpha f'^{2}&+&\beta g'^{2}&+&\gamma h'^{2},\\&\mathrm {\frac {MN-F^{2}}{\Delta }} &=&\alpha f''^{2}&+&\beta g''^{2}&+&\gamma h''^{2},\\&\mathrm {\frac {GH+FL}{\Delta }} &=&\alpha ff'&+&\beta gg'&+&\gamma hh',\\-&\mathrm {\frac {FH+GM}{\Delta }} &=&\alpha ff''&+&\beta gg''&+&\gamma hh'',\\-&\mathrm {\frac {FG+HN}{\Delta }} &=&\alpha f'f''&+&\beta g'g''&+&\gamma h'h''.\end{alignedat}}$
Pour pouvoir maintenant résoudre ces équations, je remarque que les neuf quantités $f,g,h,f',g',h',\ldots$ auront nécessairement entre elles des relations analogues à celles qu’on a trouvées dans le n$^o$ 7 entre $x,y,z,x',y',z',\ldots \,;$ d’où il s’ensuit que, si l’on fait, pour abréger,
${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} =&\mathrm {\frac {LM-H^{2}}{\Delta }} ,&\mathrm {B} =&\mathrm {\frac {LN-G^{2}}{\Delta }} ,&\mathrm {C} =&\mathrm {\frac {MN-F^{2}}{\Delta }} ,\\a=&\mathrm {\frac {GH+FL}{\Delta }} ,\qquad &b=&-\mathrm {\frac {FH+GM}{\Delta }} ,\qquad &c=&-\mathrm {\frac {FG+HN}{\Delta }} \end{alignedat}}$
(il ne faut pas confondre ces quantités $\mathrm {A,B,C} ,a,b,c$ ovec celles que nous avons dénotées ailleurs par les mêmes lettres), on trouvera les combinaisons suivantes
${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} f+af'+bf''=&\alpha f,\quad &\mathrm {B} f'+af+cf''=&\alpha f',\quad &\mathrm {C} f''+bf+cf'=&\alpha f'',\\\mathrm {A} g+ag'\,+bg''\,=&\beta g,&\mathrm {B} g'+ag\,+cg''\,=&\beta g',&\mathrm {C} g''+bg+cg'\,=&\beta g'',\\\mathrm {A} h+ah'+bh''=&\gamma h,&\mathrm {B} h'+ah+ch''=&\gamma h',&\mathrm {C} h''+bh+ch'=&\gamma h''.\end{alignedat}}$
$f'={\frac {(\mathrm {A} -\alpha )c-ab}{(\mathrm {B} -\alpha )b-ac}}f,\quad f''={\frac {(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )-a^{2}}{(\mathrm {B} -\alpha )b-ac}}f,$
et ces valeurs étant substituées dans la troisième on aura, après avoir divisé par $f$ et fait disparaître les fractions, cette équation en $\alpha$
$(\alpha -\mathrm {A} )(\alpha -\mathrm {B} )(\alpha -\mathrm {C} )-c^{2}(\alpha -\mathrm {A} )-b^{2}(\alpha -\mathrm {B} )-a^{2}(\alpha -\mathrm {C} )-2abc=0.$
Si l’on traite de même les équations suivantes, on en tire cette autre équation en $\beta$
$(\beta -\mathrm {A} )(\beta -\mathrm {B} )(\beta -\mathrm {C} )-c^{2}(\beta -\mathrm {A} )-b^{2}(\beta -\mathrm {B} )-a^{2}(\beta -\mathrm {C} )-2abc=0.$
Et les trois dernières équations donneront pareillement cette équation en $\gamma$
$(\gamma -\mathrm {A} )(\gamma -\mathrm {B} )(\gamma -\mathrm {C} )-c^{2}(\gamma -\mathrm {A} )-b^{2}(\gamma -\mathrm {B} )-a^{2}(\gamma -\mathrm {C} )-2abc=0.$
D’où il est facile de conclure que les trois quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ seront les racines de cette équation du troisième degré
$(\rho -\mathrm {A} )(\rho -\mathrm {B} )(\rho -\mathrm {C} )-c^{2}(\rho -\mathrm {A} )-b^{2}(\rho -\mathrm {B} )-a^{2}(\rho -\mathrm {C} )-2abc=0,$
savoir
${\begin{aligned}\rho ^{3}-(\mathrm {A+B+C} )\rho ^{2}+&\left(\mathrm {AB+AC+BC} -a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)\rho \\&-\mathrm {ABC} +c^{2}\mathrm {A} +b^{2}\mathrm {B} +a^{2}\mathrm {C} -2abc=0.\end{aligned}}$
Or cette équation, étant d’un degré impair, aura nécessairement une racine réelle ; mais je vais démontrer qu’elle les aura par cela même toutes trois réelles.
Pour cet effet je remarque que si l’on prend la racine réelle de l’équation dont il s’agit pour $\alpha ,$ les deux quantités ${\frac {f'}{f}}$ et ${\frac {f''}{f}}$ seront nécessairement réelles, ce qui est évident par les valeurs ci-dessus de ces quantités ; et je vais prouver qu’alors les quantités ${\frac {g'}{g}}$ et ${\frac {g''}{g}},$ ainsi que ${\frac {h'}{h}}$ et ${\frac {h''}{h}}$ seront réelles aussi ; après quoi notre proposition sera démontrée, parce qu’on a, par Ia quatrième des équations ci-dessus,
$\beta =\mathrm {A} +a{\frac {g'}{g}}+b{\frac {g''}{g}},$
et par la septième
$\gamma =\mathrm {A} +a{\frac {h'}{h}}+b{\frac {h''}{h}}.$
Qu’on mültiplie, la première des mêmes équations par la quatrième, la deuxième par la cinquième, la troisième par la sixième, et qu’on ajoute ces trois produits ensemble, on aura (à cause de $fg+f'g'+f''g''=0$ par les formules du n$^o$ 7) cette équation
${\begin{aligned}&(\mathrm {A} f\ \ +af'+bf'')(\mathrm {A} g\ \,+ag'+bg'')\\+&(\mathrm {B} f'\ +af\ +cf'')(\mathrm {B} g'\ +ag\ +cg'')\\+&(\mathrm {C} f''+bf\ \,+cf'\ )(\mathrm {C} g''+bg\ +cg'\ )=0,\end{aligned}}$
c’est-à-dire en divisant par $fg,$
${\begin{aligned}&\left(\mathrm {A} \ +a{\frac {f'}{f}}\ +b{\frac {f''}{f}}\right)\left(\mathrm {A} \ +a{\frac {g'}{g}}\ +b{\frac {g''}{g}}\right)\\+&\left(\mathrm {B} {\frac {f'}{f}}\,+a\ \ +c{\frac {f''}{f}}\right)\left(\mathrm {B} {\frac {g'}{g}}+ag+c{\frac {g''}{g}}\right)\\+&\left(\mathrm {C} {\frac {f''}{f}}+bf+c{\frac {f'}{f}}\right)\left(\mathrm {C} {\frac {g''}{g}}+b\ \ \,+c{\frac {g'}{g}}\right)=0,\end{aligned}}$
On trouvera de même, en ajoutant ensemble les produits de la première par la septième, de la deuxième par la huitième et de la troisième par la neuvième, et ayant attention que $fh+f'h'+f''h''=0,$ on trouvera, dis-je, celle-ci
${\begin{aligned}&(\mathrm {A} f\ \,+af'+bf'')(\mathrm {A} h\ \,+ah'+bh'')\\+&(\mathrm {B} f'\ +af\ +cf'')(\mathrm {B} h'\ +ah\ +ch'')\\+&(\mathrm {C} f''+bf\,\ +cf'\ )(\mathrm {C} h''+bh\ +ch'\ )=0,\end{aligned}}$
mais on aura par les formules du n$^o$ 7 appliquées au cas présent
$h=f'g''-g'f'',\quad h'=f''g-g''f,\quad h''=fg'-gf'\,;$
donc si l’on substitue ces valeurs dans l’équation précédente, et qu’on la
$f^{2}g,s$
${\begin{aligned}&\left(\mathrm {A} \ +a{\frac {f'}{f}}\ +b{\frac {f''}{f}}\right)\\&\qquad \times \left[\mathrm {A} \left({\frac {f'g''}{fg}}-{\frac {f''g'}{fg}}\right)+a\left({\frac {f''}{f}}-{\frac {g''}{g}}\right)+b\left({\frac {g'}{g}}-{\frac {f'}{f}}\right)\right]\\+&\left(\mathrm {B} {\frac {f'}{f}}\,+a\ \ +c{\frac {f''}{f}}\right)\\&\qquad \times \left[\mathrm {B} \left({\frac {f''}{f}}-{\frac {g''}{g}}\right)+a\left({\frac {f'g''}{fg}}-{\frac {f''g'}{fg}}\right)+c\left({\frac {g'}{g}}-{\frac {f'}{f}}\right)\right]\\+&\left(\mathrm {C} {\frac {f''}{f}}+bf+c{\frac {f'}{f}}\right)\\&\qquad \times \left[\mathrm {C} \left({\frac {g'}{g}}-{\frac {f'}{f}}\right)+b\left({\frac {f'g''}{fg}}-{\frac {f''g'}{fg}}\right)+c\left({\frac {f''}{f}}-{\frac {g''}{g}}\right)\right]=0,\end{aligned}}$
On a donc ainsi deux équations linéaires entre les deux inconnues ${\frac {g'}{g}},{\frac {g''}{g}},$ de sorte que les valeurs qu’on trouvera pour ces inconnues seront nécessairement réelles.
Enfin on aura
${\frac {h'}{h}}={\frac {{\dfrac {f''}{f}}-{\dfrac {g''}{g}}}{{\dfrac {f'g''}{fg}}-{\dfrac {f''g'}{fg}}}},\quad {\frac {h''}{h}}={\frac {{\dfrac {g'}{g}}-{\dfrac {f'}{f}}}{{\dfrac {f'g''}{fg}}-{\dfrac {f''g'}{fg}}}}\,;$
par conséquent les valeurs de ${\frac {h'}{h}}$ et de ${\frac {h''}{h}}$ seront aussi réelles.
Il s’ensuit de la démonstration précédente que :
Toute équation du troisième degré réductible à la forme
${\begin{aligned}x^{3}-(\mathrm {A+B+C} )x^{2}+&\left(\mathrm {AB+AC+BC} -a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)x\\&-\mathrm {ABC} +c^{2}\mathrm {A} +b^{2}\mathrm {B} +a^{2}\mathrm {C} -2abc=0.\end{aligned}}$
a nécessairement trois racines réelles, quelles que soient les quantités $\mathrm {A,B,C} ,$$a,b,c,$ pourvu seulement qu’elles soient réelles.
Comme ce Théorème est assez remarquable, il serait utile d’en chercher une démonstration directe ; mais ce n’est pas ici le lieu de nous occuper de cet objet.
Quant aux valeurs de $f,f',f'',$ comme on doit avoir par les formules du n$^o$ 7
$f^{2}+f'^{2}+f''^{2}=1,$
il n’y aura qu’à substituer dans cette équation les valeurs de $f'$ et de $f''$
$f,$
$f={\frac {(\mathrm {B} -\alpha )b-ac}{\sqrt {\left[(\mathrm {B} -\alpha )b-ac\right]^{2}+\left[(\mathrm {A} -\alpha )c-ab\right]^{2}+\left[(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )-a^{2}\right]^{2}}}},$
ensuite on aura
${\begin{aligned}f'\ =&{\frac {(\mathrm {A} -\alpha )c-ab}{\sqrt {\left[(\mathrm {B} -\alpha )b-ac\right]^{2}+\left[(\mathrm {A} -\alpha )c-ab\right]^{2}+\left[(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )-a^{2}\right]^{2}}}},\\f''=&{\frac {a^{2}-(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )}{\sqrt {\left[(\mathrm {B} -\alpha )b-ac\right]^{2}+\left[(\mathrm {A} -\alpha )c-ab\right]^{2}+\left[(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )-a^{2}\right]^{2}}}}.\end{aligned}}$
On trouvera de même les valeurs de $g,g',g''$ et de $h,h',h''\,;$ et pour cela il n’y aura qu’à changer dans les expressions précédentes $\alpha$ en $\beta$ pour celles de $g,g',g'',$ et $\alpha$ en $\gamma$ pour celles de $h,h',h''.$
Ainsi les douze quantités indéterminées $f,g,h,f',g',h',f'',g'',h'',$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ seront connues moyennant la résolution d’une seule équation du troisième degré, et elles seront nécessairement toutes réelles.
Maintenant, si l’on fait, pour abréger,
${\begin{aligned}\Pi =&f\lambda +f'\mu +f''\nu ,\\\Psi =&g\lambda +g'\mu \,+g''\nu ,\\\Phi =&h\lambda +h'\mu +h''\nu ,\end{aligned}}$
nos deux équations à résoudre seront réduites à cette forme
${\begin{aligned}&\Pi ^{2}+\Psi ^{2}+\Phi ^{2}=k^{2},\\\alpha &\Pi ^{2}+\beta \Psi ^{2}+\gamma \Phi ^{2}=\mathrm {E} ^{2},\end{aligned}}$
d’où l’on tire facilement
${\begin{aligned}\Psi =&{\sqrt {\frac {\gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}}{\gamma -\beta }}},\\\Phi =&{\sqrt {\frac {\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}}{\beta -\gamma }}}.\end{aligned}}$
Or les trois équations ci-dessus étant ajoutées ensemble, après avoir été multipliées respectivement par $f,g,h,$ par $f',g',h'$ et par $f'',g'',h'',$ donnent sur-le-champ, en vertu des formules du n$^o$ 2 ($a,a',a''$ étant ici supposées égales à $1,$ et $b,b',b''$ supposées égales à zéro, comme on l’a
$\lambda =f\Pi +g\Psi +h\Phi ,\quad \lambda =f'\Pi +g'\Psi +h'\Phi ,\quad \nu =f''\Pi +g''\Psi +h''\Phi .$
De plus, si dans les expressions de ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\varpi }{dt}}$ trouvées au commencement de cette Remarque, on substitue pour
$\mathrm {\frac {GH+FL}{\Delta }} ,\quad \mathrm {\frac {LN-G^{2}}{\Delta }} ,\ldots$
leurs valeurs
$\alpha ff'+\beta gg'+\gamma hh',\quad \alpha f'^{2}+\beta g'^{2}+\gamma h'^{2},\ldots ,$
et qu’on y introduise les quantités $\Pi ,\Psi ,\Phi ,$ on trouvera
${\begin{aligned}{\frac {d\varpi }{dt}}=&\alpha f\ \ \Pi +\beta g\ \ \Psi +\gamma h\ \,\Phi ,\\{\frac {d\varphi }{dt}}=&\alpha f'\ \Pi +\beta g'\ \Psi +\gamma h'\ \Phi ,\\{\frac {d\psi }{dt}}=&\alpha f''\Pi +\beta g''\Psi +\gamma h''\Phi .\end{aligned}}$
De là on aura, après les substitutions,
${\begin{aligned}\nu {\frac {d\varphi }{dt}}-\mu {\frac {d\psi }{dt}}=&(\alpha -\beta )(g''f'-g'f'')\Pi \Psi \\+&(\gamma -\alpha )(f''h'-f'h'')\Pi \Phi \\+&(\beta -\gamma )(h''g'\ -h'g'')\Psi \Phi \,;\end{aligned}}$
c’est-à-dire par les formules du n$^o$ 7
$\nu {\frac {d\varphi }{dt}}-\mu {\frac {d\psi }{dt}}=(\alpha -\beta )h\Pi \Psi +(\gamma -\alpha )g\Pi \Phi +(\beta -\gamma )f\Psi \Phi \,;$
de sorte que l’équation (13) de la solution ci-dessus deviendra
${\frac {fd\Pi +gd\Psi +hd\Phi }{(\beta -\gamma )f\Psi \Phi +(\gamma -\alpha )g\Pi \Phi +(\alpha -\beta )h\Pi \Psi }}=dt.$
Substituons au lieu de $d\Psi$ et $d\Phi$ leurs valeurs tirées des équations
$\mathrm {\Pi ^{2}+\Psi ^{2}+\Phi ^{2}=k^{2},\quad \alpha \Pi ^{2}+\beta \Psi ^{2}+\gamma \Phi ^{2}=E^{2}} ,$
lesquelles donnent
$d\Psi ={\frac {(\gamma -\alpha )\Pi d\Pi }{(\beta -\gamma )\Psi }},\quad d\Phi ={\frac {(\alpha -\beta )\Pi d\Pi }{(\beta -\gamma )\Phi }},$
${\frac {d\Pi }{(\beta -\gamma )\Psi \Phi }}=dt,$
c’est-à-dire en mettant pour $\Psi$ et $\Phi$ leurs valeurs en $\Pi$ trouvées plus haut,
${\frac {d\Pi }{\sqrt {\left[\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}\right]\left[-\gamma k^{2}+\mathrm {E} ^{2}+(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}\right]}}}=dt,$
équation dont le premier membre n’est intégrable, en général, que par la rectification des sections coniques.
10. Remarque II. — Nous avons trouvé dans la solution du Problème précédent que la valeur de
$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$
c’est-à-dire le carré du petit espace qu’une particule quelconque du corps parcourt dans l’instant $dt,$ est exprimée par la formule
$(pd\varphi +qd\psi )^{2}+(rd\psi +pd\varpi )^{2}+(qd\varpi -rd\varphi )^{2},$
$p,q,r$ étant les coordonnées rectangles qui déterminent la position de cette particule dans l’intérieur du corps ; donc toute particule ou point du corps dont les coordonnées seront telles, qu’on ait à la fois
$pd\varphi +qd\psi =0,\quad rd\psi +pd\varpi =0,\quad qd\varpi -rd\varphi =0,$
sera en repos pendant un instant ; or ces trois équations donnent
${\frac {q}{p}}=-{\frac {d\varphi }{d\psi }},\quad {\frac {r}{p}}=-{\frac {d\varpi }{d\psi }}\,;$
d’où il est aisé de conclure qu’il y aura nécessairement dans le corps, non pas un seul point immobile à chaque instant, mais une suite de points formant une ligne droite, qui sera par conséquent l’axe de rotation instantanée du corps ; et il est clair que cet axe fera avec les trois
$p,q,r$
$\rho ,\sigma ,\omega$
${\begin{aligned}\cos \rho =&{\frac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}={\frac {d\psi }{\sqrt {\psi ^{2}+\varphi ^{2}+\varpi ^{2}}}},\\\cos \sigma =&{\frac {q}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}={\frac {d\varphi }{\sqrt {\varphi ^{2}+\varphi ^{2}+\varpi ^{2}}}},\\\cos \omega =&{\frac {r}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}={\frac {d\psi }{\sqrt {\varpi ^{2}+\varphi ^{2}+\varpi ^{2}}}},\end{aligned}}$
ou bien, en mettant pour $d\psi ,d\varphi ,d\varpi$ leurs valeurs en $\Pi ,\Psi ,\Phi ,$ trouvée dans la solution ci-dessus,
${\begin{aligned}\cos \rho =&{\frac {f''\alpha \Pi +g''\beta \Psi +h''\gamma \Phi }{\sqrt {\alpha ^{2}\Pi ^{2}+\beta ^{2}\Psi ^{2}+\gamma ^{2}\Phi ^{2}}}},\\\cos \sigma =&{\frac {f'\alpha \Pi +g'\beta \Psi +h'\gamma \Phi }{\sqrt {\alpha ^{2}\Pi ^{2}+\beta ^{2}\Psi ^{2}+\gamma ^{2}\Phi ^{2}}}},\\\cos \omega =&{\frac {f\alpha \Pi +g\beta \Psi +h\gamma \Phi }{\sqrt {\alpha ^{2}\Pi ^{2}+\beta ^{2}\Psi ^{2}+\gamma ^{2}\Phi ^{2}}}}.\end{aligned}}$
Maintenant il est clair que, comme les quantités $\Pi ,\Psi$ et $\Phi$ sont, en général, des fonctions du temps $t,$ la position de l’axe de rotation dont il s’agit variera continuellement, à moins que ces trois quantités ne gardent entre elles des rapports constants ; or comme on a (par la Remarque précédente)
${\frac {\Psi }{\Pi }}={\sqrt {\frac {{\dfrac {\gamma h^{2}-\mathrm {E} ^{2}}{\Pi ^{2}}}-\gamma +\alpha }{\gamma -\beta }}},$
il est clair que cette quantité ne peut être constante à moins que la quantité $\Pi$ ne soit elle-même constante ; et dans ce cas les deux autres quantités $\Psi$ et $\Phi$ seront aussi nécessairement constantes. Voyons donc les conditions qui peuvent rendre $\Pi$ égale à une constante.
Si l’on considère l’équation entre $\Pi$ et $t,$ trouvée à la fin de la Remarque précédente, on verra aisément que la quantité $\Pi$ sera constante, c’est-à-dire que la différentielle $d\Pi$ sera nulle si le dénominateur est nul en même temps ; mais pour que le temps $t$ puisse être quelconque, il faudra de plus, par les règles connues, que la différentielle de la quantité qui est sous le signe radical dans le dénominateur soit nulle aussi : c’est pourqoi on aura ces deux équations de condition
$\left[\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}\right]\left[-\gamma k^{2}+\mathrm {E} ^{2}+(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}\right]=0,$
$\left[\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}\right](\gamma -\alpha )\Pi -\left[-\gamma k^{2}+\mathrm {E} ^{2}+(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}\right](\beta -\alpha )\Pi =0.$
La première donne : ou
$\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}=0,$
auquel cas la seconde donnera
${\text{ou}}\quad \Pi =0\quad {\text{ou}}\quad \gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}=0\,;$
ou bien
$\gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}=0,$
auquel cas la seconde donnera
${\text{ou}}\quad \Pi =0\quad {\text{ou}}\quad \beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}=0\,;$
d’où l’on voit qu’il faut nécessairement que de ces trois quantités
$\Pi ,\quad \beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2},\quad \gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2},$
deux soient nulles à la fois ; ce qui donne trois combinaisons, et par conséquent trois cas différents où l’axe de rotation instantanée pourra être fixe dans le corps ; et comme on a
$\Psi ^{2}={\frac {\gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}}{\gamma -\beta }},\quad \Phi ^{2}={\frac {\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}}{\beta -\gamma }},$
il est clair que ces trois cas seront ceux où l’on aura en même temps $\Psi =0$ et $\Phi =0,$ ou $\Pi =0$ et $\Phi =0,$ ou $\Pi =0$ et $\Psi =0\,;$ dans le premier cas on aura par les formules ci-dessus
$\cos \rho =f'',\quad \cos \sigma =f',\quad \cos \omega =f,$
dans le second on aura
$\cos \rho =g'',\quad \cos \sigma =g',\quad \cos \omega =g,$
et enfin dans le troisième
$\cos \rho =h'',\quad \cos \sigma =h',\quad \cos \omega =h.$
$\varepsilon ,\varepsilon ',\varepsilon ''$
${\begin{aligned}gh+\ g'h'+g''h''=&\cos \varepsilon ,\\fh+f'h'+f''h''=&\cos \varepsilon ',\\fg+f'g'+\,f''g''=&\cos \varepsilon '',\end{aligned}}$
de sorte que (7) à cause de
${\begin{aligned}fg+f'g'\ +f''g''=&0,\\fh+f'h'+f''h''=&0,\\gh+g'h'\,+g''h''=&0,\end{aligned}}$
on aura
$\cos \varepsilon =0,\quad \cos \varepsilon '=0,\quad \cos \varepsilon ''=0,$
et par conséquent
$\varepsilon =90^{\circ },\quad \varepsilon '=90^{\circ },\quad \varepsilon ''=90^{\circ }\,;$
d’où il s’ensuit que les trois axes dont il s’agit seront nécessairement perpendiculaires entre eux.
Enfin, comme
${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}$
exprime le carré de la vitesse de chaque particule du corps, et que cette quantité est représentée, en général, par la formule
$\left({\frac {pd\varphi +qd\psi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {rd\psi +pd\varpi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {qd\varpi -rd\varphi }{dt}}\right)^{2},$
si l’on y substitue les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\varpi }{dt}}$ en $\Pi ,\Psi ,\Phi$ (Remarque précédente) on trouvera que la vitesse d’une particule quelconque, pour laquelle les coordonnéessont $p,q,r,$ sera, dans le cas de $\Psi =0$ et $\Phi =0,$
$\alpha \Pi {\sqrt {(pf'+qf'')^{2}+(rf''+pf)^{2}+(qf-rf')^{2}}}\,;$
dans le cas de $\Pi =0$ et $\Phi =0,$
$\beta \Psi {\sqrt {(pg'+qg'')^{2}+(rg''+pg)^{2}+(qg-rg')^{2}}}\,;$
$\Pi =0$
$\Psi =0,$
$\gamma \Phi {\sqrt {(ph'+qh'')^{2}+(rh''+ph)^{2}+(qh-rh')^{2}}}.$
Ainsi ces vitesses seront constantes ; par conséquent he mouvement de rotâtion du corps autour de chacun des trois axes dont il s’agit sera uniforme.
11. Remarque III. — Nous avons dit dans la Solution ci-dessus que l’équation (4), qui renferme le principe de la conservation des forces vives, pouvait se déduire des équations (1), (2), (3). Pour le démontrer, nous considérerons ces trois équations sous la forme (12) à laquelle nous les avons réduites dans le n$^o$ 8, et prenant les différentielles pour en faire disparaître les constantes $\mathrm {A,B,C} ,$ nous aurons
${\begin{alignedat}{3}\zeta d\lambda +&z'd\mu -z''d\nu +&\lambda d\zeta +&\mu dz'-\nu dz''=&0,\\\eta d\lambda +&y'd\mu -y''d\nu +&\lambda d\eta +&\mu dy'-\nu dy''=&0,\\\xi d\lambda +&x'd\mu -x''d\nu +&\lambda d\xi +&\mu dx'-\nu dx''=&0,\end{alignedat}}$
mais par les formules du n$^o$ 4 on a, en faisant $a=1,a'=1,a''=1,b=0,$
${\begin{alignedat}{3}d\xi =&-x'd\psi -x''d\varphi ,\qquad &dx'=&\xi d\psi +x''d\varpi ,\qquad &dx''=&\xi d\varphi -x'd\varpi ,\\d\eta =&-y'd\psi -y''d\varphi ,&dy'=&\eta d\psi +y''d\varpi ,&dy''=&\eta d\varphi -y'd\varpi ,\\d\zeta =&-z'd\psi -z''d\varphi ,&dz'=&\zeta d\psi +z''d\varpi ,&dz''=&\zeta d\varphi -z'd\varpi ,\end{alignedat}}$
donc substituant ces valeurs, nos trois équations deviendront
${\begin{aligned}&\zeta (d\lambda +\mu d\psi -\nu d\varphi )+z'(d\mu -\lambda d\psi +\nu d\varpi )-z''(d\nu +\lambda d\varphi -\mu d\varpi )=0,\\&\eta (d\lambda +\mu d\psi -\nu d\varphi )+y'(d\mu -\lambda d\psi +\nu d\varpi )-y''(d\nu +\lambda d\varphi -\mu d\varpi )=0,\\&\xi (d\lambda +\mu d\psi -\nu d\varphi )+x'(d\mu -\lambda d\psi +\nu d\varpi )-x''(d\nu +\lambda d\varphi -\mu d\varpi )=0,\\\end{aligned}}$
lesquelles étant ajoutées ensemble après avoir été multipliées respectivement par $\zeta ,\eta ,\xi ,$ par $z',y',x'$ et par $z'',y'',x'',$ donneront, en vertu des formules du n$^o$ 2, ces trois-ci
${\begin{alignedat}{2}d\lambda +&\mu d\psi -&\nu d\varphi =&&0,\\d\mu -&\lambda d\psi +&\nu d\varpi =&&0,\\d\nu +&\lambda d\varphi -&\mu d\varpi =&&0.\end{alignedat}}$
${\begin{aligned}&f\ \ \left[{\frac {d\Pi }{dt}}-(\beta -\gamma )\Psi \Phi \right]+g\ \ \left[{\frac {d\Psi }{dt}}-(\gamma -\alpha )\Pi \Phi \right]+h\ \ \left[{\frac {d\Phi }{dt}}-(\alpha -\beta )\Pi \Psi \right]=0,\\&f'\ \left[{\frac {d\Pi }{dt}}-(\beta -\gamma )\Psi \Phi \right]+g'\,\left[{\frac {d\Psi }{dt}}-(\gamma -\alpha )\Pi \Phi \right]+h'\ \left[{\frac {d\Phi }{dt}}-(\alpha -\beta )\Pi \Psi \right]=0,\\&f''\left[{\frac {d\Pi }{dt}}-(\beta -\gamma )\Psi \Phi \right]+g''\left[{\frac {d\Psi }{dt}}-(\gamma -\alpha )\Pi \Phi \right]+h''\left[{\frac {d\Phi }{dt}}-(\alpha -\beta )\Pi \Psi \right]=0,\\\end{aligned}}$
lesquelles étant encore ajoutées ensemble après avoir été multipliées respectivement par $f,f',f'',$ par $g,g',g''$ et par $h,h',h'',$ donneront enfin ces trois-ci
${\begin{aligned}{\frac {d\Pi }{dt}}-(\beta -\gamma )\Psi \Phi =&0,\\{\frac {d\Psi }{dt}}-(\gamma -\alpha )\Pi \Phi =&0,\\{\frac {d\Phi }{dt}}-(\alpha -\beta )\Pi \Psi =&0,\end{aligned}}$
qui serviront à déterminer les trois variables $\Pi ,\Psi ,\Phi .$
Or il est visible qu’en multipliant la première par $\Pi dt,$ la seconde par $\Psi dt$ et la troisième par $\Phi dt,$ et les ajoutant ensemble, on aura une équation intégrale dont l’intégrale sera
$\Pi ^{2}+\Psi ^{2}+\Phi ^{2}=\mathrm {const} .\,;$
et multipliant de même la première par $\alpha \Pi dt,$ la seconde par $\beta \Psi dt,$ et la troisième par $\gamma \Phi dt,$ on aura, après les avoir ajoutées ensemble, une nouvelle équation intégrable, et dont l’intégrale sera
$\alpha \Pi ^{2}+\beta \Psi ^{2}+\gamma \Phi ^{2}=\mathrm {const} .$
Ces deux équations sont les mêmes qu’on a trouvées dans la Remarque 1, et les mêmes que les équations (11) de la Solution précédente, dont la seconde renferme le principe de la conservation des forces vives.
12. Remarque IV. — Si l’on supposait que chaque particule du corps $\delta m$ fût sollicitée par des forces quelconques, il n’y aurait qu’à réduire ces forces à trois, dirigées suivant les coordonnées $x,y,z,$ et, les représentant par les quantités $\mathrm {X,Y,Z} ,$ on aurait par les principes connus de la Mécanique, au lieu des équations (1), (2), (3) du n$^o$ 8, ces trois-ci
${\begin{aligned}\sum \left({\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{dt^{2}}}\right)\delta m=&\sum (x\mathrm {Y} -y\mathrm {X} )\delta m,\\\sum \left({\frac {zd^{2}x-xd^{2}z}{dt^{2}}}\right)\delta m=&\sum (z\mathrm {X} -x\mathrm {Z} )\delta m,\\\sum \left({\frac {yd^{2}z-zd^{2}y}{dt^{2}}}\right)\delta m=&\sum (y\mathrm {Z} -z\mathrm {Y} )\delta m.\end{aligned}}$
Or, comme
${\begin{aligned}xd^{2}y-yd^{2}x=&d(xdy-ydx),\\zd^{2}x-xd^{2}z=&d(zdx-xdz),\\yd^{2}z-zd^{2}y=&d(ydz-zdy),\end{aligned}}$
il est clair qu’on aura des équations de la même forme que celles dont nous venons de parler, avec cette différence que les quantités $\mathrm {A,B,C}$ ne seront plus constantes, mais auroront ces valeurs
${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}=\sum (x\mathrm {Y} -y\mathrm {X} )\delta m,\\{\frac {d\mathrm {B} }{dt}}=\sum (z\mathrm {X} -x\mathrm {Z} )\delta m,\\{\frac {d\mathrm {C} }{dt}}=\sum (y\mathrm {Z} -z\mathrm {Y} )\delta m.\end{aligned}}$
De plus, le principe de la conservation des forces vives donnera aussi une équation semblable à l’équation (4) avec cette différence que la quantité $\mathrm {D} ^{2}$ devra être telle, que l’on ait
$d\left(\mathrm {D} ^{2}\right)=\sum (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)\delta m.$
Ainsi, quand les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ seront données en $x,y,z,$ on pourra employer les substitutions et les transformations dont nous avons fait usage dans le Problème précédent.
En général, il est clair qu’il n’entrera dans les équations du Problème que les variables $x',y',z',x'',y'',z'',\xi ,\eta ,\zeta$ et $d\psi ,d\varpi ,d\varphi \,;$ mais les six dernières sont des fonctions données des six premières (2 et 4), et l’on a de plus entre celles-ci trois équations (2) par lesquelles on peut en déterminer trois par les trois autres. En effet, l’équation
$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=a$
donne d’abord
$z'={\sqrt {a-x'^{2}-y'^{2}}}\,;$
ensuite l’équation
$x'x''+y'y''+z'z''=b$
donne
$y'y''+z'z''=b-x'x'',$
dont le carré, étant retranché de l’équation
$y''^{2}+z''^{2}=a-x''^{2}$
multipliée par $y'^{2}+z'^{2},$ donne celle-ci
$(y'z''-z'y'')^{2}=(a-x''^{2})\left(y'^{2}+z'^{2}\right)-(b-x'x'')^{2}\,;$
ainsi, combinant ces deux équations
${\begin{aligned}y'y''-z'z''=&b-x'x'',\\y'z''-z'y''=&{\sqrt {(a-x''^{2})\left(y'^{2}+z'^{2}\right)-(b-x'x'')^{2}}},\end{aligned}}$
on trouvera $y''$ et $z''\,:$ en sorte que les trois quantités $z',y''$ et $z''$ seront données par ces trois autres $x',y'$ et $x''.$ Moyennant quoi il n’y aura, à proprement parler, que trois variables ; et la difficulté se réduira à déterminer ces variables par le temps $t.$
13. Remarque V. — Puisqu’on a, en général, dans la Solution précédente
$x=\xi r+x'q+x''p,\quad y=\eta r+y'q+y''p,\quad z=\zeta r+z'q+z''p.$
il est clair qu’en faisant
$p=0,\quad q=0,\quad r=1,$
on aura
$x=\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta \,;$
que de même on aura
$x=x',\quad y=y',\quad z=z',$
en faisant
$r=0,\quad p=0,\quad q=1\,;$
$x=x'',\quad y=y'',\quad z=z'',$
en faisant
$r=0,\quad q=0,\quad p=1\,;$
donc, si l’on fait ces suppositions dans les valeurs de $\theta ,\Theta$ et $n$ (ce qui donnera
$n=1,\quad \theta =\lambda ,\quad \Theta =-\mu {\frac {d\varphi }{dt}}-\nu {\frac {d\psi }{dt}},$
dans le premier cas,
$\theta =\mu ,\quad \Theta =-\lambda {\frac {d\varpi }{dt}}-\nu {\frac {d\psi }{dt}},$
dans le second cas,
$\theta =-\nu ,\quad \Theta =-\mu {\frac {d\varphi }{dt}}+\nu {\frac {d\varpi }{dt}},$
dans le troisième cas), on aura les valeurs des quantités, $\xi ,\eta ,\zeta ,x',y',z',$$x'',y'',z'',$ lesquelles seront les mêmes pour tous les points du corps ; et ces quantités étant connues en $t,$ on aura par les expressions ci-dessus les coordonnées $x,y,z$ pour chaque point du corps dont la position dans le corps même dépendra des coordonnées $p,q,r.$
14. Remarque VI. — Si le corps qu’on a supposé jusqu’ici fixement arrêté par un de ses points, était entièrement libre, alors il n’y aurait qu’à prendre, à la place de ce point supposé fixe, le centre de gravité de tout le corps, car on sait que les mouvements de rotation se font autour de ce centre comme s’il était fixe ; et à l’égard du mouvement de ce centre, on le déterminera par la considération qu’il doit être le même que si toutes les forces qui agissent sur les différentes parties du corps y étaient appliquées : tout cela est trop connu pour que nous devions nous arrêter à en donner la démonstration.