# Deuxième lettre de M. Kramp aux rédacteurs, sur le même sujet

N. B. Pendant que ceci s’imprimait, les rédacteurs ont reçu de M. Kramp la lettre suivante :
Mes recherches sur la solution complette, en nombres entiers, de l’équation $ay^{2}+b=x^{2},$ m’ont conduit à quelques remarques que je m’empresse d’autant plus de vous communiquer qu’elles doivent servir à rectifier ce que j’ai eu l’honneur de vous écrire dans ma dernière lettre.
On sait que, si l’on connaît un cas qui remplisse la condition de cette équation, tel que $aq^{2}+h=p^{2}~;$ et que, de plus, on connaisse deux nombres entiers $m,n,$ tels que $an^{2}+1=m^{2}~;$ on peut de cette seule solution en déduire une infinité d’autres. Les $x$, aussi bien que les $y$, formeront deux séries récurrentes soumises à l’échelle de relation plus $2m$ et moins 1 ; et, en désignant par $p',p'',p''',\ldots$ les termes de la première des deux séries, et par $q',q'',q''',\ldots$ les termes correspondants de l’autre, on aura
$p'=mp+anq,\quad p''=2mp'-p,\quad p'''=2mp''-p',\ldots$
$q'=np+mq,\quad q''=2mq'-q,\quad q'''=2mq''-q',\ldots$
Par les lettres $p,q,$ nous désignons toujours les termes initiaux des deux séries, qui en même temps sont moindres que tous les suivants ; et il y aura autant de ces séries que l’on pourra trouver de valeurs de $p$ et $q$, différentes, et indépendantes entre elles.
Je remarque maintenant que les termes initiaux $p$ et $q$ existent toujours par couples, tellement qu’il leur répondra toujours deux autres termes initiaux $P$ et $Q,$ liés avec les premiers par les deux équations qui suivent.
$-p^{2}+2mpP-P^{2}=an^{2}b,$
$-q^{2}+2mqQ+Q^{2}=n^{2}b,$
et autant que ces deux équations admettent de solutions en nombres entiers et positifs, autant aussi il y aura de séries, indépendantes entre elles, dont les termes peuvent résoudre en nombres entiers l’équation $ay^{2}+b=x^{2}.$ Ces équations, elles-mêmes, à cause de $m^{2}-1=an^{2},$ admettent une solution parfaitement rationnelle ; il en résultera
$P=mp-anq,\quad Q=np-mq.$
Faisant $q=0,$ on aura $Q=n{\sqrt {b}}~;$ ainsi $b$ doit être un nombre quarré. Si on fait $b=r^{2},$ ce qui donne l’équation $aq^{2}+r^{2}=p^{2},$ on voit d’abord que $p=r$ et $q=0$ est toujours une des valeurs de $y$ ; on aura ensuite $P=mr,\quad Q=nr,$ et ces valeurs, qui se déduisent immédiatement de la solution de l’équation $an^{2}+1=m^{2},$ sont les seules que le procédé employé dans mon dernier mémoire peut faire découvrir, tant qu’on se bornera à prendre des nombres entiers pour les valeurs de la quantité que dans ce mémoire j’ai désignée par $q$. La suite de l’ouvrage apprendra à trouver la liste complette des autres ; et je me bornerai pour le moment à en donner quelques exemples.
${\begin{array}{rrllrrrrrrrr}{\text{Pour }}11y^{2}+&5^{2}=&x^{2},&{\text{ on a }}&q=&8,&Q=&8,&p=&6,&P=&27,\\11y^{2}+&7^{2}=&x^{2},&&q=&4,&Q=&5,&p=&15,&P=&18,\\11y^{2}+&19^{2}=&x^{2},&&q=&7,&Q=&20,&p=&30,&P=&69,\\11y^{2}+&37^{2}=&x^{2},&&q=&15,&Q=&36,&p=&62,&P=&125,\\11y^{2}+&43^{2}=&x^{2},&&q=&4,&Q=&95,&p=&45,&P=&125,\\11y^{2}+&53^{2}=&x^{2},&&q=&16,&Q=&65,&p=&75,&P=&222.\\\end{array}}$
Le coefficient $11$ donne d’ailleurs
$m=10,\quad n=3.$
Le nombre des termes initiaux, indépendans entre eux et des séries qui en dérivent, est encore beaucoup plus grand, lorsque $b$ n’est pas un nombre quarré. Dans l’équation $5y^{2}+6061=x^{2},$ je trouve les termes initiaux qui suivent ;
${\begin{array}{rrrrr}&p\ldots &q\ldots &P\ldots &Q.\\\hline {\text{I}}\ldots &79\ldots &6\ldots &591\ldots &262.\\{\text{II}}\ldots &81\ldots &10\ldots &529\ldots &234.\\{\text{III}}\ldots &129\ldots &46\ldots &241\ldots &102.\\{\text{IV}}\ldots &159\ldots &62\ldots &191\ldots &78.\\{\text{V}}\ldots &831\ldots &370\ldots &79\ldots &6.\\{\text{VI}}\ldots &929\ldots &414\ldots &81\ldots &10.\\\end{array}}$
on a d’ailleurs ici $m=9.\quad n=4.$
Agréez ; Messieurs, etc.