# L’Encyclopédie/1re édition/COMBINAISON

COMBINAISON, s. f (Mathémat.) ne devroit se dire proprement que de l’assemblage de plusieurs choses deux à deux ; mais on l’applique dans les Mathématiques à toutes les manieres possibles de prendre un nombre de quantités données.
Le P. Mersenne a donné les combinaisons de toutes les notes & sons de la Musique au nombre de 64 ; la somme qui en vient ne peut s’exprimer, selon lui, qu’avec 60 chiffres ou figures.
Le P. Sébastien a montré dans les mémoires de l’académie 1704, que deux carreaux partagés chacun par leurs diagonales en deux triangles de différentes couleurs, fournissoient 64 arrangemens différens d’échiquier : ce qui doit étonner, lorsqu’on considere que deux figures ne sauroient se combiner que de deux manieres. Voyez Carreau.
On peut faire usage de cette remarque du P. Sébastien, pour carreler des appartemens.
Doctrine des combinaisons. Un nombre de quantités étant donné avec celui des quantités qui doit entrer dans chaque combinaison, trouver le nombre des combinaisons.
Une seule quantité, comme il est évident, n’admet point de combinaison ; deux quantités a & b donnent une combinaison ; trois quantités a, b, c, combinées deux à deux, donnent trois combinaisons a b, a c, b c ; quatre en donneroient six ab, ac, bc, ad, bd, cd ; cinq en donneroient dix ab, ac, bc, ad, bd, cd, ae, be, ce, de.
En général la suite des nombres des combinaisons est 1, 3, 6, 10, &c. c’est-à-dire la suite des nombres triangulaires ; ainsi q représentant le nombre des quantités à combiner, $\scriptstyle {\frac {q-1}{1}}\times {\frac {q+0}{2}}$ sera le nombre de leurs combinaisons deux à deux. Voyez Nombres triangulaires.
Si on a trois quantités a, b, c, à combiner à trois à trois, elles ne fourniront qu’une seule combinaison abc ; qu’on prenne une quatrieme quantité d, les combinaisons que ces quatre quantités peuvent avoir trois à trois, seront les quatre abc, abd, bcd, acd ; qu’on en prenne une cinquieme, on aura les dix combinaisons abc, abd, bcd, acd, abe, bde, bce, ace, ade ; qu’on en mette une sixieme, on aura vingt combinaisons, &c. Ensorte que la suite des combinaisons trois à trois est celle des nombres pyramidaux ; & que q exprimant toûjours le nombre des quantités données, $\scriptstyle {\frac {q-2}{1}}\times {\frac {q-1}{2}}\times {\frac {q-0}{3}}$, est celui de leurs combinaisons trois à trois.
Le nombre des combinaisons quatre à quatre des mêmes quantités se trouveroit de la même maniere $\scriptstyle {\frac {q-3}{1}}\times {\frac {q-2}{2}}\times {\frac {q-1}{3}}\times {\frac {q-0}{4}}$ ; & en général n exprimant le nombre de lettres qu’on veut faire entrer dans chaque terme de la combinaison, la quantité $\scriptstyle {\frac {q-n+1}{1}}\times {\frac {q-n+2}{2}}\times {\frac {q-n+3}{3}}\times {\frac {q-n+4}{4}}\times$ . . . . . . $\scriptstyle {\frac {q}{n}}$ exprimera le nombre demandé des combinaisons.
Que l’on demande, par exemple, en combien de manieres six quantités peuvent se prendre quatre à quatre, on fera q = 6 & n = 4, & l’on substituera ces nombres dans la formule précédente, ce qui donnera $\scriptstyle {\frac {6-4+1}{1}}\times {\frac {6-4+2}{2}}\times {\frac {6-4+3}{3}}\times {\frac {6-4+4}{4}}=15$.
Corollaire. Si on veut avoir toutes les combinaisons possibles d’un nombre de lettres quelconque, prises tant deux à deux que trois à trois, que 4 à 4, &c. il faudra ajoûter toutes les formules précédentes $\scriptstyle {\frac {q-1}{1}}\times {\frac {q-0}{2}}$; $\scriptstyle {\frac {q-2}{1}}\times {\frac {q-1}{2}}\times {\frac {q-0}{3}}$; $\scriptstyle {\frac {q-3}{1}}\times {\frac {q-2}{2}}\times {\frac {q-1}{3}}\times {\frac {q-0}{4}}$, &c. c’est-à-dire que le nombre de toutes ces combinaisons sera exprimé par
$\scriptstyle {\frac {q\cdot q-1}{1\cdot 2}}+{\frac {q\cdot q-1\cdot q-2}{2\cdot 3}}+{\frac {q\cdot q-1\cdot q-2\cdot q-3}{2\cdot 3\cdot 4}}+\&c.$
Si on compare présentement cette suite avec celle qui représente l’élévation d’un binome quelconque à la puissance q, on verra qu’en faisant égal à l’unité chacun des termes de ce binome, les deux suites sont les mêmes aux deux premiers termes près 1, & q, qui manquent à la suite précédente. De-là il suit qu’aulieu de cette suite, on peut écrire $\scriptstyle 2^{q}-1-q$, ce qui donne une maniere bien simple d’avoir toutes les combinaisons possibles d’un nombre q de lettres. Que ce nombre soit, par exemple 5, on aura donc pour le nombre total de ses combinaisons $\scriptstyle 2^{5}-5-1=32-6=26$. Voyez Binome.
Un nombre quelconque de quantités étant donné, trouver le nombre des combinaisons & d’alternations qu’elles peuvent recevoir, en les prenant de toutes les manieres possibles.
Supposons d’abord qu’il n’y ait que deux quantités a, b, on aura d’abord ab & ba, c’est-à-dire le nombre 2 ; & comme chacune de ces quantités peut aussi se combiner avec elle-même, on aura encore aa & bb, c’est-à-dire que le nombre des combinaisons & alternations est en ce cas 2 + 2 = 4. S’il y a trois quantités a, b, c, & que l’exposant de leur variation soit deux, on aura trois termes pour leurs combinaisons, lesquels seront ab, bc, ac : à ces trois termes on en ajoûtera encore trois autres ba, cb, ca, pour les alternations ; & enfin trois autres pour les combinaisons aa, bb, cc, des lettres a, b, c, prise chacune avec elle-même, ce qui donnera 3 + 3 + 3 = 9. En général il sera aisé de voir que si le nombre des quantités est n, & que l’exposant de la variation soit 2, n$^2$ sera celui de toutes leurs combinaisons & de leurs alternations.
Si l’exposant de la variation est 3, & qu’on ne suppose d’abord que trois lettres a, b, c, on aura pour toutes les combinaisons & alternations aaa, aab, aba, baa, abb, aac, aca, caa, abc, bac, bca, acb, cab, cba, acc, cac, cca, bba, bab, bbb, bbc, cbb, bcb, bcc, cbc, ccb, ccc, c’est-à-dire le nombre 27 ou 3$^3$.
De la même maniere, si le nombre des lettres étoit 4, l’exposant de la variation 3, 4$^3$ ou 64, seroit le nombre des combinaisons & alternations. Et en général si le nombre des lettres étoit n, n$^3$ seroit celui des combinaisons & alternations pour l’exposant 3. Enfin si l’exposant est un nombre quelconque, m, n$^m$ exprimera toutes les combinaisons & alternations pour cet exposant.
Si on veut donc avoir toutes les combinaisons & alternations d’un nombre n de lettres dans toutes les variétés possibles, il faudra prendre la somme de la série $\scriptstyle n^{n}+n^{n-1}+n^{n-2}+n^{n-3}+n^{n-4}+n^{n-5}+n^{n-6}+$ &c. jusqu’à ce que le dernier terme soit n.
Or comme tous les termes de cette suite sont en progression géométrique, & qu’on a le premier terme $\scriptstyle n^{n}$, le second $\scriptstyle n^{n-1}$, & le dernier n, il s’ensuit qu’on aura aussi la somme de cette progression, laquelle sera $\textstyle {\frac {n^{n+1}}{n-1}}-1$.
Que n, par exemple, soit égal à 4, le nombre de toutes les combinaisons & alternations possibles sera $\textstyle {\frac {4^{5}}{4-1}}-1$. Que n soit 24, on aura alors pour toutes les combinaisons & alternations possibles $\scriptstyle {\frac {24^{2}5}{24-1}}-1={\frac {32009658644406818986777955348172600}{23}}=139172428888725999425128493402200$ ; & c’est cet énorme nombre qui exprime les combinaisons de toutes les lettres de l’alphabet entr’elles.
Voyez l’ars conjectandi de Jacques Bernoulli, & l’analyse des jeux de hasard de Montmort. Ces deux auteurs, sur-tout le premier, ont traité avec beaucoup de soin la matiere des combinaisons. Cette théorie est en effet très-utile dans le calcul des jeux de hasard ; & c’est sur elle que roule toute la science des probabilités. Voyez Jeu, Pari, Avantage, Probabilité, &c.
Il est visible que la science des anagrammes (voy. Anagramme) dépend de celle des combinaisons. Par exemple, dans Roma qui est composé de quatre lettres, il y a vingt-quatre combinaisons (voy. Alternation) ; & de ces vingt-quatre combinaisons on en trouvera plusieurs qui forment des noms Latins, armo, ramo, mora, amor, maro ; on y trouve aussi omar ; de même dans Rome, on trouve more, omer, &c. (O)
Combinaison, (Chimie.) mot générique exprimant l’union chimique de deux ou de plusieurs principes de nature différente. Les Chimistes prennent souvent le mot mixtion dans le même sens. Voyez Mixtion & Principes. (b)