# Grand dictionnaire universel du XIXe siècle/abélien, enne adj. (supplément 2)

ABÉLIEN, ENNE adj. (a-bé-li-in, è-ne — rad. Abel). Math. Se dit de certaines expressions algébriques et transcendantes qui ont été introduites dans l’analyse mathématique par le mathématicien Abel.
—Enoycl 1» Intégrales et fondions abélien- nes. Découvertes par Abel, qui en fit l’objet d’un très remarquable mémoire présenté à l’Académie des sciences de Paris en 1SS6, les intégrales et les fonctions abêliennes ont été ainsi dénommées par le mathématicien lacobi. Ce sont les fonctions et intégrales elliptiques généralisées. On sait qu’en désignant par X une fonction entière du troisième ou du quatrième degré de la variable x, on appelle intégrale elliptique l’intégrale ■x
Si l’on suppose l’équation (1) résolue par rapport à x, ce qui donne (2) * = ?(U),
la fonction o(U) est une fonction elliptique. Sa propriété fondamentale est d’être doublement périodique. En désignant encore par x une variable et en appelant y une racine d’une équation algébrique d’un degré quelconque en a ?, si l’on veut intégrer une différentielle de la forme f (x, y) dx, f étant une fonction rationnelle en x et jr, on est conduit à intégrer un système d’équations différentielles du premier ordre de la forme
A(*«yt)rf*i +fl(xn, yn)dxn=dui
ftixi, yi)dxt +f, [xn, yn)dxn = du1
fn{xl, yl}dxl....+fn(xn, yn)dzn = dun ;
fit' ft fn sont des fonctions rationnelles
différentes, le nombre n des équations et des variables dépend d’ailleurs uniquement de la forme de l’équation dont y est racine. On peut exprimer le résultat de l’intégration de deux manières :
in On peut développer les intégrales «„ u„ «, en une somme d’intégrales
Chacune de ces intégrales, qui a autant de
t
déterminations particulières que l’équation d’où dépend y admet de racines, est une intégrale abélienne. 20 On peut développer les quantités xt,
xt xn en fonction explicite des intégrales
"4, «i Un qu’on appelle les arguments des
quantités *„ * xn ; ce sont les racines
d’une équation de degré n qui, en ramenant le coefficient du premier terme à l’unité, prend la forme
P M, f-I M, P-2, a ~ Ha +N" ° +' où N, M„ M, Mn sont
des fonctions
i-.. ra ■ Mi M, Mn
rationnelles. Les coefficients r^f, ~....-^r
N ' N N sont des fonctions abêliennes. Plus généralement, toute fonction rationnelle et symétrique des variables a ;, a, xn est une l’onction abélienne des arguments «, u, un.
On voit qu’il y a entre les fonctions abêliennes et les intégrales abêliennes une relation de même genre, quoique beaucoup plus générale, qu’entre les intégrales elliptiques et les fonctions elliptiques.
La propriété fondamentale des fonctions abêliennes est qu’une fonction à n arguments a 2n périodes.
Les intégrales abêliennes peuvent se ramener à trois espèces :
IL
III.
/ f :
/^(y)dx (x-a)Z.'y(x, Vy
o, (x.y)dx, X’j, (*, ï) '
<çt(x, y)dx, fx*'y(x, y) '
la première peut être ramenée au degré n—3, l’autre au degré ; i—2 ; f(x) est une fonction à'x seulement, 4 (y) une fonction d’y seulement, enfin X’y[x, y) est la dérivée par rapport à y du premier membre de l’équation qui détermine y, le second membre étant ramené à zéro. Ces fonctions peuvent être exprimées par des quotients de certaines fonctions transcendantes comme les fonctions elliptiques s’expriment par des quotients des fonctions e de Jacobi.
On appelle encore fonctions abêliennes des fonctions plus générales de la forme
F(x.y)
*(x, y)' F et * étant des fonctions entières ; elles ont été étudiées dans le cas où F se réduit aune fonction à'x seulement et * à la racine carrée d’une fonction entière.
Ces intégrales
Cm
dx ont été appelées
hyperellipliques par Jacobi. Les fonctions qui en dérivent ont reçu le nom détonerions hyperellipliques.
— 2° Équations abêliennes. Groupe remarquable d’équations étudiées par Abel et susceptibles d’une résolution algébrique, bien qu’elles soient d’un degré supérieur au quatrième.
Le problème général de la division de la circonférence en un nombre quelconque de parties égales conduit toujours à une équation jouissant de la propriété suivante : une racine peut s’exprimer rationnellement en fonction d’une autre racine quelconque de l’équation. Or, Abel a démontré que, quand une racine peut s’exprimer rationnellement en fonction d’une autre, l’équation est susceptible d’abaissement. Dans le cas de la division de la circonférence en p parties, l’équation à laquelle on est conduit peut même se résoudre algébriquement lorsque p est premier. Ce sont ces équations qui ont été nommées parKrœnecker équations abêliennes.
— Bibliog. 1° Abel, Œuvres complètes, en français (Christiania, 1835 et 1881) ; Herrnice, « Mém. des savants étrangers « (1855) ; Rosenhaîn, iûid.(1856) ; Riemann, « Journ. de Crelle ■ (1857) ; Clebsch et Gordan, , Traité (1866) ; Jordan, • Ann. de mathématiques • (1869) et« Acad. des sciences • (1870). 2» Abel, Œuvres complètes ; Serret, Algèbre supérieure.