# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Géométrie, article 1

Énoncé. La base et la montée d’une anse de panier, dont le nombre des centres est $2n+1,$ étant données ; construire la demi-anse, dont par conséquent le nombre des centres sera $n+1,$ avec la condition que tous les arcs de cette demi-anse soient semblables, et que leurs rayons forment une progression géométrique ?
Faire une application de la solution générale au cas particulier où $n=2,$ et où, par conséquent, chacun des arcs de la demi-anse serait de 30.° ?
Soient $M$ la montée $Ue$ de l’anse de panier (fig. 3), $B$ la demi-base $eP,\ n$ le nombre des centres, $x$ le premier rayon $\mathrm {AP} ,\ z$ le
quotient ${\frac {\mathrm {BQ} }{\mathrm {AP} }}={\frac {\mathrm {CR} }{\mathrm {BQ} }}=\ldots ={\frac {\mathrm {EU} }{\mathrm {DT} }},\ \alpha$ l’angle $\mathrm {PAQ=QBR} =\ldots$ $=\mathrm {TEU} ={\frac {\varpi }{2n}}.$ On aura d’abord les équations
${\begin{array}{rrr}\mathrm {AP=AQ} =x,&\qquad \mathrm {AB} =x(z-1),&\qquad b\mathrm {C} =b\mathrm {B+BC} ,\\\mathrm {BQ=BR} =xz,&\qquad \mathrm {BC} =xz(z-1),&\qquad c\mathrm {D} =c\mathrm {C+CD} ,\\\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {ET=EU} =xz^{n-1};&\qquad \mathrm {DE} =xz^{n-1}(z-1);&\qquad d\mathrm {E} =d\mathrm {D+DE} .\\\end{array}}$
Tous les angles des triangles $\mathrm {AB} b,b\mathrm {C} c,\ldots d\mathrm {E} e$ sont connus ; ainsi, en partant du côté $\mathrm {AB} ,$ on déterminera successivement les côtés $\mathrm {A} b,bc,\ldots de,$ et $e\mathrm {E} ,$ au moyen des équations précédentes et de la proportionnalité entre les sinus et les côtés.
On aura ensuite
$\mathrm {M} =xz^{n-1}-e\mathrm {E} ,\qquad \mathrm {B} =x+\mathrm {A} b+bc+\ldots +de.$
En faisant, pour abréger,
$\operatorname {Sin} .n\alpha -\operatorname {Sin} .(n-1)\alpha =P_{n},$
$\operatorname {Sin} .(n-1)\alpha -\operatorname {Sin} .(n-2)\alpha =P_{n-1},$
$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$
$\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Sin} .0=P_{1},$
on trouvera, réductions faites,
$\left.{\begin{aligned}M&=x\left(P_{n}z^{n-1}+P_{n-1}z^{n-2}+\ldots +P_{2}z+P_{1}\right),\\B&=x\left(P_{1}z^{n-1}+P_{2}z^{n-2}+\ldots +P_{n-1}z+P_{n}\right).\\\end{aligned}}\right.\qquad (1)$
En éliminant $x$, entre ces deux équations, on a, pour la détermination de $z,$ l’équation du $(n-1)^{me}$ degré
$\left(BP_{n}-MP_{1}\right)z^{n-1}+\left(BP_{n-1}-MP_{2}\right)z^{n-2}+\ldots$
$+\left(BP_{2}-MP_{n-1}\right)z+\left(BP_{1}-MP_{n}\right)=0.$
Les équations (1) peuvent se mettre sous la forme définie
$M={\frac {2x\left[z^{n}(z+1)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha -(z-1)\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\alpha \right]\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha }{z^{2}-2z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\alpha +1}},$
$N={\frac {2x\left[z^{n}(z-1)\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\alpha +(z+1)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha \right]\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha }{z^{2}-2z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\alpha +1}}.$
Lorsque $n$ est un grand nombre, ces dernières formules sont plus commodes que les précédentes, pour appliquer la règle de fausse position à la détermination des inconnues.
Pour le cas de $n=3,$ en posant, pour abréger
$B+M=S,\qquad B-M=D,$
on trouve d’abord
$z={\frac {D\pm {\sqrt {S^{2}-2D^{2}}}}{S-D{\sqrt {3}}}},$
et ensuite
$x={\frac {2M}{\left(2-{\sqrt {3}}\right)z^{2}+\left({\sqrt {3}}-1\right)z+1}}.$
Soient, par exemple, $B=3,\ M=2$ ; d’où $S=5,\ D=1$ ; il viendra
$z={\frac {1\pm {\sqrt {23}}}{5-{\sqrt {3}}}}.$
L’adoption des signes supérieur et inférieur donne respectivement
$z=+1,78,\qquad z=-1,16,$
d’où on conclut
$x=+1,27,\qquad x=+7,81\,;$
on trouve ensuite, pour les autres rayons
$xz=+2,26\qquad xz=-9,08,$
$xz^{2}=+4,01\qquad xz^{2}=+10,55\,;$
le tout, en se bornant aux centièmes. Le signe négatif qui affecte le deuxième rayon dans le second cas, indique que ce rayon doit être pris en sens inverse des deux autres. Les figures 4 et 5 indiquent de quelle manière les arcs s’assemblent dans les deux cas.
Soient encore
$B={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}},\qquad M={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}.$
Il vient
$z={\frac {1\pm 1}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {3}}}}.$
En prenant les signes supérieurs, $z$ devient infini. Alors $x$ et $xz$ sont nuls ; mais $xz^{2}={\frac {2Mz^{2}}{\left(2-{\sqrt {3}}\right)z^{2}+\left({\sqrt {3}}-1\right)z+1}}={\frac {2M}{2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {3}}+1.$ La demi-anse se réduit donc ainsi au troisième arc ; le premier et le second se confondant alors avec l’origine du troisième.
Le signe inférieur donne à $z$ une valeur indéterminée ${\frac {0}{0}}$ ; mais on trouve par les règles connues que cette valeur est $z=-{\sqrt {3}}$ ; d’où résulte une construction analogue à celle de la figure 5.
Si l’on supposait, au contraire ;
$B={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}},\qquad M={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}.$
on trouverait pareillement que la demi-anse doit se réduire à un seul arc, lequel devrait alors être le premier, avec l’extrémité duquel se confondraient le second et le troisième, ainsi que cela doit être d’ailleurs ; car il est évident que les suppositions $B=g,M=h$ et $B=h,M=g$ conduisent à deux constructions qui ne diffèrent que par la situation de la courbe.
Ce problème n’est qu’un cas particulier d’un problème plus général qui fait partie d’un petit traité sur les anses de paniers que j’ai placé à la suite de ma statique des voûtes (page 149). Je pourrais donc me contenter de renvoyer à cet ouvrage ; mais, en faveur de ceux qui ne l’ont pas, je vais entrer dans quelques détails sur ce sujet.
Une anse de panier est l’assemblage de plusieurs arcs de cercles de rayons différens, qui se touchent consécutivement : autrement, c’est une des développantes d’un polygone ou d’une portion de polygone convexe.
Soient
$A,$ la demi-base de l’anse de panier ;
$B,$ sa montée ;
$n,$ le nombre des arcs ou centres de la demi-anse ;
$r_{1},r_{2},r_{3},\ldots r_{n},$ les rayons successifs, de la naissance à la claie ;
$\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots \alpha _{n},$ le nombre des degrés des arcs, en allant
toujours de la naissance à la claie ;
$c_{1},c_{2},c_{3},\ldots c_{n},$ les côtés consécutifs du polygone formé par
la rencontre successive des rayons $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots r_{n}\,;$
$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{n},$ les projections de ces côtés sur la demi-base $A$ ;
$b_{1},b_{2},b_{3},\ldots b_{n},$ les projections des mêmes côtés sur la montée $B$ ;
D’après quoi on aura $a_{1}=c_{1}=r_{1},\ b_{1}=0.$
Il est aisé de voir qu’alors on aura cette suite d’équations
$A=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n},$
$r_{5}-B=b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots +b_{n},$
$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3},\ldots +\alpha _{n}={\tfrac {1}{2}}\varpi ,$
${\begin{array}{rlrl}a_{1}=&c_{1},&b_{1}=&0,\\a_{2}=&c_{2}\operatorname {Cos} .\alpha _{1},&b_{2}=&c_{2}\operatorname {Sin} .\alpha _{1},\\a_{3}=&c_{3}\operatorname {Cos} .\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right),&b_{3}=&c_{3}\operatorname {Sin} .\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right),\\\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \\a_{n}=&c_{n}\operatorname {Cos} .\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n-1}\right),&b_{n}=&c_{n}\operatorname {Sin} .\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n-1}\right)\,;\\\end{array}}$
${\begin{aligned}r_{1}=&c_{1}\\r_{2}=&r_{1}+c_{2}\\r_{3}=&r_{2}+c_{3}\\\ldots &\ldots \ldots \\r_{n}=&r_{n-1}+c_{n}.\\\end{aligned}}$
lesquelles seraient insuffisantes pour déterminer les inconnues du problème.
Mais, si l’on veut que les arcs soient égaux, et qu’on désigne l’un d’eux par $\alpha ={\frac {\varpi }{2n}},$ et si l’on veut de plus que les rayons forment une progression géométrique dont le premier terme soit $r$ et la raison $\lambda$, on aura en outre
${\begin{aligned}\alpha _{1}={\frac {\varpi }{2n}},&\qquad r_{1}=r,\\\alpha _{1}+\alpha _{2}={\frac {2\varpi }{2n}},&\qquad r_{2}=\lambda r,\\\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}={\frac {3\varpi }{2n}},&\qquad r_{3}=\lambda ^{2}r,\\\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\qquad \ldots \ldots \ldots ,\\\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\ldots \alpha _{n}={\frac {n\varpi }{2n}},&\qquad r_{n}=\lambda ^{n-1}r\,;\\\end{aligned}}$
au moyen de quoi on aura d’abord
${\begin{aligned}c_{1}=&r,\\c_{2}=&(\lambda -1)r,\\c_{3}=&\lambda (\lambda -1)r,\\\ldots &\ldots \ldots \\c_{n}=&\lambda ^{n-1}(\lambda -1)r\,;\\\end{aligned}}$
et par suite
${\begin{array}{lll}a_{1}&=r,&\qquad b_{1}=0,\\a_{2}&=(\lambda -1)r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}},&\qquad b_{2}=(\lambda -1)r\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2n}},\\a_{3}&=\lambda (\lambda -1)r\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi }{2n}},&\qquad b_{3}=\lambda (\lambda -1)r\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{2n}},\\\ldots &\ldots \ldots ,&\qquad \ldots \ldots \ldots ,\\\end{array}}$
${\begin{aligned}a_{n}=\lambda ^{n-1}(\lambda -1)r\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\,;&\quad b_{n}=\lambda ^{n-1}(\lambda -1)r\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\,;\\\end{aligned}}$
d’où on conclura
$A-r=r(\lambda -1)\left\{\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\lambda ^{2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {3\varpi }{2n}}+\ldots \right.$
$\left.+\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right\$
$\lambda ^{n-1}r-B=r(\lambda -1)\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\lambda ^{2}\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi }{2n}}\right.$
$\left.+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right\$
et telles sont les équations qui doivent déterminer les deux inconnues $\lambda$ et $r$ du problème.
Si l’on prend la somme de leurs produits respectifs par $A$ et $B,$ cette somme deviendra divisible par $r,$ et en observant qu’en général $\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-k)\varpi }{2n}}=\operatorname {Cos} .{\tfrac {k\varpi }{2n}}$ on aura
$\lambda ^{n-1}A-B=(\lambda -1)\left\{{\begin{aligned}&A\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-2)\varpi }{2n}}+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}\right]\\+&B\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right]\\\end{aligned}}\right\}$
équation qui ne renferme plus que la seule inconnue $\lambda .$
Dans le cas de l’anse de panier à cinq centres, en posant, pour abréger
${\begin{aligned}A\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi +B\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi =&M,\\A\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi +B\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi =&N,\\\end{aligned}}$
$\qquad (A-M)\lambda ^{2}+(M-N)\lambda -(B-N)=0,$
$\qquad \qquad \lambda ={\tfrac {-(M-N)\pm {\sqrt {M-N)^{2}+4(A-M)(B-N)}}}{A-M}}\,;$
la première des deux équations en $\lambda$ et $r$ donnera ensuite
$r={\frac {A}{1+(\lambda -1)\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi +\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi \right]}}$
Si, par exemple on suppose $A=200,Bs=100,$ on trouvera $\lambda =2,6,\ r_{1}=44,\ r_{2}=115,\ r_{3}=300.$
Remarques. L’auteur du problème proposé a eu raison de demander que les rayons forment une progression géométrique, parce qu’alors les changemens de courbure, d’un arc à l’autre, suivent le même rapport ; mais il n’a pas été aussi bien fondé à exiger que les arcs soient semblables ; en effet, dans ce cas, les longueurs des arcs sont en progression géométrique, et ce système n’est pas celui qui présenta le plus d’avantages ; il paraît plus convenable que tous les arcs soient de même longueur et que l’anse ait beaucoup de centres, à moins qu’on n’ait intérêt à augmenter l’espace renfermé par l’anse, ou le volurme d’eau qu’elle doit laisser passer. On peut voir toutes ces questions dans l’ouvrage côté ; on y trouve (pag. 153, prob. 6), l’équation d’une courbe dans laquelle les changement de courbure se font par des degrés égaux.
Par analogie, on peut demander l’équation d’une courbe telle que les rayons de courbure, infiniment proches et également inclinés entre eux, forment une progression géométrique.
Soient $x$ et $y$ les coordonnées d’un point quelconque de la courbe, $r$ le rayon vecteur de ce point et $s$ la longueur de l’arc comptée depuis un certain point fixe ; on voit que l’angle formé par l’axe des $x$ avec la normale est le logarithme du rayon de courbure ; c’est-à-dire, qu’on a
$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)=c\operatorname {Log} .r,$
$c$ étant une constante. En différentiant, il vient
${\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)}{1+\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}}}={\frac {c\operatorname {d} r}{r}}.$
Substituant pour $r$ sa valeur ${\frac {\operatorname {d} s^{3}}{\operatorname {d} y^{2}.\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)}},$ il vient
$\operatorname {d} s=c\operatorname {d} r,\qquad$
$s+c'=cr\,;\qquad$
$c'$ étant une nouvelle constante.
Pour intégrer de nouveau l’équation (1), j’y mets pour $r$ sa valeur qui, en supposant $\operatorname {d} s,$ constant, est $-{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {d} s}{\operatorname {d} ^{2}y}},$ et j’ai
$s+c'=-c{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {d} s}{\operatorname {d} ^{2}y}}=-c{\frac {\operatorname {d} s{\sqrt {\operatorname {d} s^{2}-\operatorname {d} y^{2}}}}{\operatorname {d} ^{2}y}}\,;$
d’où, en faisant $\operatorname {d} y=p\operatorname {d} s,$ il vient
$-{\frac {\operatorname {d} p}{\sqrt {1-p^{2}}}}={\frac {c\operatorname {d} s}{s+c'}},$
dont l’intégrale est
$\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=p)=c\operatorname {Log} .(s+c')+\operatorname {Log} .c'',$
$\qquad \qquad p=\operatorname {Cos} .\left\{\operatorname {Log} .c''(s+c')^{c}\right\}.\qquad$
Remettant dans (2) pour $p$ sa valeur ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}},$ et intégrant de nouveau, il vient
$y=c'''+\int \operatorname {d} s.\operatorname {Cos} .\left\{\operatorname {Log} .c''(s+c')^{c}\right\}.\qquad$
Mettant enfin pour $p$ cette même valeur dans $\operatorname {d} x=\operatorname {d} s{\sqrt {1-p^{2}}}$ et intégrant, on aura
$x=c''''+\int \operatorname {d} s.\operatorname {Sin} .\left\{\operatorname {Log} .c''(s+c')^{c}\right\}.\qquad$
On déterminera les cinq constantes par les conditions suivantes : 1.$^o$ qu’à l’origine on a $p=1$ et $s=0\,;$ 2.$^o$ qu’au sommet de la courbe on a $p=0,x=b,y=a\,;$ 3.$^o$ que, quand $x=A,$ on doit avoir $y=B\,;$ 4.$^o$ que, quand $s=0,$ on doit avoir $x=0\,;$ 5.$^o$ enfin que, quand $s=0,$ on doit avoir $y=0.$
La courbe donnée par les équations (3) et (4) est celle dans laquelle (suivant le langage de M. Français) les rayons de courbure sont en progression de grandeur et de position.
* ↑ In-4.$^o$ de 160 pages ; chez Firmin Didot, Paris 1810. J. D. G.
* ↑ La recherche de cette courbe se rattache bien simplement à la théorie développée à la page 42 de ce volume. On a ici $a^{\theta }=R,\ a$ étant une constante ; d’où $\operatorname {d} R=sAR\operatorname {d} \theta ,A$ étant une nouvelle constante. D’un autre côté on a (pag. 49) $\operatorname {d} R=R'\operatorname {d} \theta \,;$ donc $R'=AR,$ et par suite (pag. 51) ${\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}=A.$ En traitant cette équation comme son analogue de la page 53, il viens ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {Ax+y}{Ax-y}},$ ce qui donne, en intégrant, et posant, pour abréger, ${\sqrt {(A-1)^{2}-4A^{2}}}=C,$ $Bx\left\{{\frac {y}{x}}-{\frac {A-1-C}{2}}\right\}^{\frac {A+1+C}{2c}}=\left\{{\frac {y}{x}}-{\frac {A-1+C}{2}}\right\}^{\frac {A+1-C}{2C}}.$ J. D. G.