# Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Note 02
### NOTE II. SUR LA DÉMONSTRATION DU THÉORÈME II.

La démonstration de ce théorème (n$^o$ 5) suppose ces deux propositions, que toute équation peut se décomposer en autant de facteurs simples réels qu’elle a de racines réelles, et que le facteur restant, si le nombre de ces racines est moindre que l’exposant du degré de l’équation, est tel qu’il ne peut jamais devenir négatif, quelque valeur qu’on donne à l’inconnue. La première proposition a été longtemps admise par les analystes comme un résultat de la formation des équations, et d’Alembert est, je crois, le premier qui ait fait sentir la nécessité de la démontrer rigoureusement. À l’égard de la seconde, on pourrait la regarder comme une conséquence de la première mais, pour ne rien laisser à désirer sur la rigueur, il est bon de la démontrer aussi en particulier.
Représentons, en général, par $\left(x^{m}\ldots \right)$ un polynôme quelconque en $x$ du degré $m,$ tel que
$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots \pm \mathrm {V} .$
Si l’on change $x$ en $a,$ il deviendra $\left(a^{m}\ldots \right),$ et il est facile de voir que la différence $\left(x^{m}\ldots \right)-\left(a^{m}\ldots \right)$ de ces deux polynômes semblables sera divisible par $x-a,$ car chaque terme du polynôme $\left(x^{m}\ldots \right),$ comme $\mathrm {N} x^{n},$ donnera dans la différence les termes $\mathrm {N} (x^{n}-a^{n})\,;$ or on a, en général, tant que $n$ est un nombre entier positif,
$x^{n}-a^{n}=(x-a)\left(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^{2}x^{n-3}+\ldots +a^{n-1}\right)\,;$
$x,$
$\left(x^{m}\ldots \right)-\left(a^{m}\ldots \right)=(x-a)\left(x^{m-1}\ldots \right),$
$\left(x^{m-1}\ldots \right)$ étant un polynôme en $x$ du degré inférieur $m-1.$ Ainsi on aura, quelle que soit la quantité $a,$
$\left(x^{m}\ldots \right)=(x-a)\left(x^{m-1}\ldots \right)+\left(a^{m}\ldots \right).$
De la même manière, en prenant une autre quantité quelconque $b,$ on pourra réduire le polynôme $\left(x^{m-1}\ldots \right)$ à cette forme,
$\left(x^{m-1}\ldots \right)=(x-b)\left(x^{m-2}\ldots \right)+\left(b^{m-1}\ldots \right).$
$\left(x^{m-2}\ldots \right)$ étant un autre polynôme du degré inférieur $m-2,$ et ainsi de suite.
Maintenantje remarque que, si l’on a l’équation $\left(x^{m}\ldots \right)=0,$ et que $a$ soit une des racines de cette équation, c’est-à-dire une valeur de $x$ qui y satisfasse, on aura aussi $\left(a^{m}\ldots \right)=0\,;$ donc le polynôme $\left(x^{m}\ldots \right)$ sera alors réductible à la forme
$(x-a)\left(x^{m-1}\ldots \right),$
et par conséquent divisible exactement par $x-a.$
Si, outre la quantité $a,$ il y a une autre quantité $b$ qui satisfasse à la même équation $\left(x^{m}\ldots \right)=0,$ il faudra que cette quantité, étant prise pour $x,$ fasse évanouir l’autre facteur $\left(x^{m-1}\ldots \right)$ et soit, par conséquent, telle que l’on ait $\left(b^{m-1}\ldots \right)=0.$ Donc le polynôme $\left(x^{m-1}\ldots \right)$ sera réductible à la forme $(x-b)\left(x^{m-2}\ldots \right),$ et, par conséquent, on aura
$\left(x^{m}\ldots \right)=(x-a)(x-b)\left(x^{m-2}\ldots \right)\,;$
de sorte que le premier polynôme $\left(x^{m}\ldots \right)$ sera exactement divisible par $x-a$ et par $x-b,$ et ainsi de suite.
Si donc l’équation $\left(x^{m}\ldots \right)=0$ =0 n’a qu’un nombre $n$ moindre que $m$ de racines réelles $a,b,c,\ldots ,$ on aura d’abord
$\left(x^{m}\ldots \right)=(x-a)(x-b)(x-c)\ldots \left(x^{m-n}\ldots \right),$
$\left(x^{m-n}\ldots \right)$
$x,$
$x$
$x$
$x,$
$h$
$\left(x^{m-n}\ldots \right)=0,$
$\left(x^{m-n}\ldots \right)=(x-h)\left(x^{m-n-1}\ldots \right),$
et le polynôme $\left(x^{m}\ldots \right)$ aurait encore le facteur réel $x-h,$ ce qui est contre l’hypothèse. Ce polynôme $\left(x^{m-n}\ldots \right)$ sera donc nécessairement d’un degré pair, et son dernier terme sera toujours positif (n$^o$ 3) ; et le polynôme $\left(x^{m}\ldots \right)$ aura, par conséquent, son dernier terme positif ou négatif, suivant que le nombre des racines positives $a,b,\ldots$ sera pair ou impair.
Non-seulement le polynôme $\left(x^{m-n}\ldots \right)$ aura toujours une valeur positive lorsque l’équation $\left(x^{m-n}\ldots \right)=0$ n’a aucune racine réelle, mais encore quand elle aura des racines réelles doubles ou quadruples, et en général multiples, suivant un nombre pair ; car alors le polynôme aura des facteurs de la forme $(x-g)^{2r},$ $2r$ étant un nombre pair, et il est visible que cette quantité est toujours positive, quelque valeur réelle qu’on donne à $x.$ D’où il s’ensuit que le théorème II a encore lieu pour les racines égales, triples, quintuples, etc. Mais, comme on a des méthodes particulières pour les racines égales, il suffit de considérer les racines inégales et d’avoir une méthode pour les trouver.
Au reste, l’esprit du calcul algébrique, qui est indépendant des valeurs particulières qu’on peut donner aux quantités, fait qu’on peut regarder tout polynôme $\left(x^{m}\ldots \right)$ comme formé du produit d’autant de facteurs simples $x-a,\ x-b,\ x-c,$ qu’il y a d’unités dans l’exposant $m$ du degré de ce polynôme, quelles que puissent être d’ailleurs les quantités $a,b,c,\ldots ,$ ce qui donne cette équation identique
$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\ldots \pm \mathrm {V} =(x-a)(x-b)(x-c)\ldots ,$
laquelle doit toujours avoir lieu indépendamment de la valeur de $x$.
C’est uniquement dans cette transformation des polynômes que consiste la théorie des équations. On a trouvé différentes relations entre les quantités $a,b,c,\ldots$ des facteurs et les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ du polynôme, et ce sont ces relations qui constituent les propriétés générales des équations (voir la Note X).
Les facteurs qu’on suppose aux polynômes qui ne peuvent jamais acquérir une valeur négative sont appelés imaginaires', et les quantités $a,b,c,\ldots$ de ces facteurs sont les racines imaginaires des équations formées en égalant ces polynômes à zéro ; d’où l’on voit que le nombre de ces racines est toujours nécessairement pair, et que leur produit, qui se trouve égal au dernier terme du polynôme, est toujours positif.