# Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Théorie des variations périodiques des mouvements des Planètes/2
### THÉORIE DES VARIATIONS PÉRIODIQUES DES MOUVEMENTS DES PLANÈTES.
#### SECONDE PARTIE CONTENANT LE CALCUL DES VARIATIONS INDÉPENDANTES DES EXCENTRICITÉS ET DES INCLINAISONS POUR CHACUNE DES SIX PLANÈTES PRINCIPALES.

Les variations périodiques des Planètes ont déjà été calculées par plusieurs Géomètres ; mais leurs calculs, épars dans différents Ouvrages, et fondés sur des formules et des données différentes, ne sauraient former un corps. D’ailleurs leurs méthodes mêmes n’ont peut-être pas toute la précision nécessaire pour ne laisser aucun doute sur les résultats ; car un défaut commun à toutes ces méthodes est de donner, dès la seconde approximation, une expression inexacte du rayon vecteur, en y introduisant des termes proportionnels au temps, qui ne doivent point s’y trouver sous cette forme ; et parmi les différents moyens qu’on a employés pour se débarrasser de ces sortes de termes et les faire servir à la détermination des variations séculaires, les uns sont ou trop compliqués ou trop indirects, et les autres ne sont pas assez rigoureux.
On peut donc encore désirer un Ouvrage où cette partie importante de l’Astronomie physique soit traitée avec autant de généralité que d’exactitude, et qui réunisse à une analyse directe et uniforme l’application numérique des formules algébriques à toutes les Planètes principales. C’est le motif qui m’a déterminé à entreprendre ce nouveau travail, comme une suite de celui que j’ai donné sur les Variations séculaires. En les réunissant on aura une analyse complète des perturbations des Planètes principales, causées par leur attraction mutuelle ; et les Astronomes y trouveront tous les secours que la Théorie peut fournir pour la perfection des Tables.
Comme nous avons déjà donné dans la première Partie de la Théorie des variations périodiques les formules générales de ces variations, il ne s’agit plus dans cette seconde Partie que de traduire les mêmes formules en nombres pour chacune des Planètes principales. Or, parmi les différentes espèces de variations périodiques que l’action mutuelle des Planètes peut produire dans leurs mouvements, celles qui se présentent les premières sont les variations qui dépendent uniquement de la distance ou commutation des Planètes entre elles, et qui auraient lieu également si les orbites des Planètes étaient sans excentricité et sans inclinaison. Nous commencerons donc par calculer celles-ci, pour lesquelles nous avons trouvé des formules très-simples, qui représentent directement les corrections de la longitude et du rayon vecteur ; et nous pourrons même négliger entièrement les corrections du rayon vecteur, comme inutiles pour les applications astronomiques, tant à cause de leur petitesse, que parce que les observations immédiates des longitudes sont les seules dont on fasse usage et sur lesquelles on puisse compter. Nous passerons ensuite à la détermination des autres variations qui dépendent tout à la fois des distances des Planètes et de leurs excentricités et inclinaisons.
Quoique l’attraction soit mutuelle entre toutes les Planètes, on peut néanmoins, dans le calcul du mouvement de Saturne, n’avoir égard qu’à l’action de Jupiter, les autres Planètes étant et trop petites et trop éloignées pour pouvoir produire dans Saturne des dérangements sensibles ; et si cette action se trouve insuffisante pour expliquer tous ceux que les Astronomes y ont observés, il faudra avoir recours à d’autres causes pour en rendre raison. Mais, comme les preuves que l’on a déjà de la gravitation universelle ne permettent pas de douter de l’action réciproque de Jupiter et de Saturne, il est important de déterminer à priori les irrégularités dues à cette action, pour pouvoir en dépouiller les résultats des observations, et séparer d’abord les effets de cette cause générale et constante de ceux des autres causes particulières et accidentelles. Je vais donner dans cette Section les inégalités de la longitude de Saturne, dépendantes uniquement de sa distance ou commutation avec Jupiter.
1. Soit $p$ l’angle du mouvement moyen de Saturne, et $r$ sa distance moyenne au Soleil due au mouvement moyen $p$ dans une orbite invariable soit de même $p'$ l’angle du mouvement moyen de Jupiter décrit en même temps que l’angle $p$ du mouvement de Saturne, et $r'$ la distance moyenne de Jupiter au Soleil due à ce mouvement moyen ; enfin soit $\mathrm {T} '$ la masse de Jupiter en parties de celle du Soleil.
En appliquant à ces Planètes les résultats donnés dans la première Partie de la Théorie des variations périodiques (21), on aura pour les inégalités de la longitude de Saturne produites par l’action de Jupiter et indépendantes des excentricités et des inclinaisons, la formule suivante
${\begin{aligned}&-\mathrm {T} '\left[{\frac {1}{n\left(1-n^{2}\right)}}2r^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}+{\frac {3+n^{2}}{n^{2}\left(1-n^{2}\right)}}r[r,r']_{1}-{\frac {3+2n+n^{2}}{n^{2}\left(1-n^{2}\right)}}{\frac {r^{2}}{r'^{2}}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin(p-p')\\&-\mathrm {T} '\left[{\frac {1}{2n\left(1-4n^{2}\right)}}2r^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr}}+{\frac {3+4n^{2}}{2n^{2}\left(1-4n^{2}\right)}}r[r,r']_{2}\right]\sin 2(p-p')\\&-\mathrm {T} '\left[{\frac {1}{3n\left(1-9n^{2}\right)}}2r^{2}{\frac {d[r,r']_{3}}{dr}}+{\frac {3+9n^{2}}{3n^{2}\left(1-9n^{2}\right)}}r[r,r']_{3}\right]\sin 3(p-p')\\&-\mathrm {T} '\left[{\frac {1}{4n\left(1-16n^{2}\right)}}2r^{2}{\frac {d[r,r']_{4}}{dr}}+{\frac {3+16n^{2}}{4n^{2}\left(1-16n^{2}\right)}}r[r,r']_{4}\right]\sin 4(p-p')\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
$n=1-{\frac {dp'}{dp}}=1-({\frac {r}{r'}})^{\frac {3}{2}},$
et où $[r,r']_{1},[r,r']_{2},[r,r']_{3},\ldots$ sont les coefficients de $\cos u,\cos 2u,$$\cos 3u,\ldots$ dans la série résultante du développement de la fonction irrationnelle
$\left(r^{2}-2rr'\cos u+r'^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.$
Cette formule exprime la correction à faire à la longitude de Saturne calculée dans son orbite elliptique. Il y en a une pareille pour la correction du rayon vecteur, mais que nous omettons comme inutile pour les usages astronomiques, ainsi que nous l’avons remarqué plus haut.
2. Pour pouvoir évaluer la formule précédente, il faudra donc commencer par déterminer les valeurs des fonctions $[r,r]_{1},[r,r']_{2},\ldots$ et de leurs différences premières relativement à $r\,;$ c’est à quoi on peut employer les formules données dans le n$^o$ 45 de la première Partie de la Théorie des variations séculaires.
En faisant dans ces formules $s={\frac {1}{2}},$ il est visible que les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ deviennent $[r,r'],[r,r']_{1},[r,r']_{2},\ldots \,;$ de sorte qu’on aura d’abord
$[r,r']_{2}={\frac {2}{3}}\left({\frac {r}{r'}}+{\frac {r'}{r}}\right)[r,r']_{1}-{\frac {2}{3}}[r,r'],$
et l’on trouvera de même
${\begin{aligned}&[r,r']_{3}={\frac {4}{5}}\left({\frac {r}{r'}}+{\frac {r'}{r}}\right)[r,r']_{2}-{\frac {3}{5}}[r,r']_{1},\\&[r,r']_{4}={\frac {6}{7}}\left({\frac {r}{r'}}+{\frac {r'}{r}}\right)[r,r']_{3}-{\frac {5}{7}}[r,r']_{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
d’où, en faisant varier $r,$ on tirera les valeurs des différences de $[r,r']_{2},\ldots$ par conséquent il suffira de connaître les valeurs des deux premières fonctions $[r,r'],[r,r']_{1}$ et celles de leurs différences, pour avoir les valeurs de toutes les autres à l’infini.
3. Dans le même endroit, nous avons fait dépendre ces valeurs de celles des fonctions $(r,r')$ et $(r,r'),$ résultantes du développement de la quantité
$\left(r^{2}-2rr'\cos u+r'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}},$
fonctions qui sont plus faciles à calculer, et pour lesquelles nous avons donné dans le n$^o$ 48 du même Ouvrage des séries très-convergentes ; nous en userons de même ici, d’autant plus que nous avons aussi déjà donné dans la seconde Partie de la même Théorie les valeurs numériques de ces séries pour toutes les Planètes principales ; et même, au lieu de faire dépendre les fonctions $[r,r'],[r,r']_{1},[r,r']_{2},\ldots$ et leurs différences les unes des autres, il sera plus simple de les faire dépendre simplement et immédiatement des fonctions correspondantes $(r,r'),(r,r')_{1},$$(r,r')_{2},\ldots .$
Pour cela on trouvera d’abord, en faisant dans les formules citées $s={\frac {3}{2}}$ et changeant $a,b,c,\ldots$ en $(r,r'),(r,r')_{1},(r,r')_{2},\ldots ,$
${\begin{aligned}&(r,r')_{2}=2\,\left({\frac {r}{r'}}+{\frac {r'}{r}}\right)(r,r')_{1}-6(r,r'),\\&(r,r')_{3}={\frac {4}{3}}\left({\frac {r}{r'}}+{\frac {r'}{r}}\right)(r,r')_{2}-{\frac {5}{3}}(r,r')_{1},\\&(r,r')_{4}={\frac {6}{5}}\left({\frac {r}{r'}}+{\frac {r'}{r}}\right)(r,r')_{3}-{\frac {7}{5}}(r,r')_{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
On trouvera ensuite
${\begin{aligned}&[r,r']\ =\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')-rr'(r,r')_{1},\\&[r,r']_{1}={\frac {rr'}{2}}\left[2(r,r')-(r,r')_{2}\right]=4rr'(r,r')-\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')_{1},\\&[r,r']_{2}={\frac {rr'}{4}}\left[(r,r')_{1}-(r,r')_{3}\right]={\frac {2}{3}}rr'(r,r')_{1}-{\frac {1}{3}}\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')_{2},\\&[r,r']_{3}={\frac {rr'}{6}}\left[(r,r')_{2}-(r,r')_{4}\right]={\frac {2}{5}}rr'(r,r')_{2}-{\frac {1}{5}}\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')_{3},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Enfin on aura par les mêmes formules
${\begin{aligned}&2r{\frac {d[r,r']}{dr}}\ =-[r,r']-\left(r^{2}-r'^{2}\right)(r,r'),\\&2r{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}=-[r,r']_{1}-\left(r^{2}-r'^{2}\right)(r,r')_{1},\\&2r{\frac {d[r,r']_{2}}{dr}}=-[r,r']_{2}-\left(r^{2}-r'^{2}\right)(r,r')_{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
4. Or, en faisant $z={\frac {r'}{r}}$ et prenant pour $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ les expressions en $z$ du n$^o$ 3 de la seconde Partie de la Théorie citée, on a
$(r,r')={\frac {\mathrm {M} }{r^{3}\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\quad (r,r')_{1}={\frac {6\mathrm {N} }{r^{3}\left(1-z^{2}\right)^{2}}}.$
Si donc on suppose
$(0)={\frac {\mathrm {M} }{r^{3}\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\quad (1)={\frac {6\mathrm {N} }{r^{3}\left(1-z^{2}\right)^{2}}},$
et ensuite
${\begin{aligned}&(2)=2\left(z+{\frac {1}{z}}\right)(1)-6(0),\\&(3)={\frac {4}{3}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)(2)-{\frac {5}{3}}(1),\\&(4)={\frac {6}{5}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)(3)-{\frac {7}{5}}(2),\\&(5)={\frac {8}{7}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)(4)-{\frac {9}{7}}(3),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
on aura
${\begin{aligned}&r[r,r']\,\ =\left(1+z^{2}\right)(0)-z(1),\\&r[r,r']_{1}=4z(0)-\left(1+z^{2}\right)(1),\\&r[r,r']_{2}={\frac {2}{3}}z(1)-{\frac {1}{3}}\left(1+z^{2}\right)(2),\\&r[r,r']_{3}={\frac {2}{5}}z(2)-{\frac {1}{5}}\left(1+z^{2}\right)(3),\\&r[r,r']_{4}={\frac {2}{7}}z(2)-{\frac {1}{7}}\left(1+z^{2}\right)(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&2r^{2}{\frac {d[r,r']}{dr}}\,\ =-r[r,r']-\left(1-z^{2}\right)(0),\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}=-r[r,r']_{1}-\left(1-z^{2}\right)(1),\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr}}=-r[r,r']_{2}-\left(1-z^{2}\right)(2),\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{3}}{dr}}=-r[r,r']_{3}-\left(1-z^{2}\right)(3),\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{4}}{dr}}=-r[r,r']_{4}-\left(1-z^{2}\right)(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
Par ces substitutions la formule générale du n$^o$ 1 ne contiendra que les quantités connues $z,\mathrm {T} '\,;$ et cette formule pourra servir pour une Planète quelconque, en tant qu’elle sera dérangée par une Planète inférieure $\mathrm {T} ',$ en prenant $r$ pour la distance moyenne de la Planète troublée et $r'$ pour celle de la Planète perturbatrice.
5. En employant les données du n$^o$ 4 de la seconde Partie de la Théorie citée, on aura d’abord
$z=0{,}545172,\quad \mathrm {M} =1{,}075800,\quad \mathrm {N} =0{,}262042\,;$
et de là on trouvera
${\begin{alignedat}{2}(0)=&2{,}178132\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}3380841,\\(1)=&3{,}183280&&0{,}5028748,\\(2)=&2{,}080150&&0{,}3180946,\\(3)=&1{,}294033&&0{,}1110453,\\(4)=&0{,}782704&&9{,}8935975,\\(5)=&0{,}464710&&9{,}6671820,\\(6)=&0{,}271980&&9{,}4345370,\\(7)=&0{,}156794&&9{,}1953295,\\(8)=&0{,}087960&&8{,}9442852,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}r[r,r']\ \,=&1{,}090064\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0374519,\\r[r,r']_{1}=&0{,}620438&&9{,}7926980,\\r[r,r']_{2}=&0{,}257492&&9{,}4107629,\\r[r,r']_{3}=&0{,}117889&&9{,}0714723,\\r[r,r']_{4}=&0{,}056515&&8{,}7521669,\\r[r,r']_{5}=&0{,}027843&&8{,}4447193,\\r[r,r']_{6}=&0{,}013989&&8{,}1457824,\\r[r,r']_{7}=&0{,}007166&&7{,}8552712,\\r[r,r']_{8}=&0{,}003790&&7{,}5786891,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{aligned}&2r^{2}{\frac {d[r,r']}{dr}}\ =-2{,}620828\qquad &\log .\quad &{\overline {0}}{,}4184385,\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}=-2{,}857608&&{\overline {0}}{,}4560026,\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr}}=-1{,}719395&&{\overline {0}}{,}2353758,\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{3}}{dr}}=-1{,}027319&&{\overline {0}}{,}0117053,\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{4}}{dr}}=-0{,}606589&&{\overline {9}}{,}7828946,\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{5}}{dr}}=-0{,}354435&&{\overline {9}}{,}5495366,\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{6}}{dr}}=-0{,}205133&&{\overline {9}}{,}3120356,\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{7}}{dr}}=-0{,}117359&&{\overline {9}}{,}0695164,\\&2r^{2}{\frac {d[r,r']_{8}}{dr}}=-0{,}065607&&{\overline {8}}{,}8169502,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
6. Maintenant, puisque
$n=1-\left({\frac {r}{r'}}\right)^{\frac {3}{2}}=1-{\frac {1}{z^{\frac {3}{2}}}},$
on aura
$n=-1{,}484276.$
Par le moyen de cette valeur et des précédentes on trouvera celles des coefficients de $\sin(p-p'),sin2(p-p'),\ldots$ dans la formule du n$^o$ 1, et elle deviendra
${\begin{aligned}-\mathrm {T} '&\left[\,+\,0{,}01835\sin \ \ (p-p')-0{,}16250\sin 2(p-p')\right.\\&\ -0{,}03388\sin 3(p-p')-0{,}01015\sin 4(p-p')\\&\ -0{,}00360\sin 5(p-p')-0{,}00141\sin 6(p-p')\\&\ -\left.0{,}00059\sin 7(p-p')-0{,}00026\sin 8(p-p')-\ldots \right].\end{aligned}}$
7. Il ne reste donc plus qu’à substituer la valeur de $\mathrm {T} '$, masse de Jupiter exprimée en parties de celle du Soleil, et de réduire les coefficients en arc, en les multipliant par l’arc égal au rayon.
Nous prendrons pour $\mathrm {T} '$ la valeur que nousavons employée dans la seconde Partie de la Théorie des variations séculaires et qui est ${\frac {1}{1069{,}195}}$ (8). Multipliant cette fraction par $206264{,}8,$ nombre des secondes contenues dans l’arc égal au rayon, on a le nombre $193'',2775$ pour la valeur de $\mathrm {T} '$ en secondes qu’il faudra substituer dans la formule précédente.
Si donc, pour plus de simplicité, on désigne pour ${\text{Ϧ}}$ le lieu moyen de Saturne et par $\mathbb {Z} \!^{\upsilon }$ celui de Jupiter, on aura
${\begin{aligned}-3''{,}547\sin \ \ \left({\text{Ϧ}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+&31''{,}408\sin 2\left({\text{Ϧ}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)\\+6''{,}548\sin 3\left({\text{Ϧ}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+&\ \ 1''{,}961\sin 4\left({\text{Ϧ}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)\\+0''{,}695\sin 5\left({\text{Ϧ}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+&\ \ 0''{,}272\sin 6\left({\text{Ϧ}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)\\+0''{,}114\sin 7\left({\text{Ϧ}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+&\ \ 0''{,}050\sin 8\left({\text{Ϧ}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+\ldots .\end{aligned}}$
8. Cette formule, quoique composée de plusieurs termes, ne constitue cependant qu’une seule équation dépendante de la distance, ou angle au Soleil, entre Saturne et Jupiter, et peut par conséquent être renfermée dans une Table unique, qui aura cette distance pour argument.
On voit que cette équation sera nulle dans les conjonctions et les oppositions de Jupiter et Saturne, que dans les quadratures de ces Planètes elle sera $\pm 9''{,}512,$ et que dans les octants elle montera à $\pm 32''{,}686$ ou $\pm 33''{,}230,$ et sera à peu près à son maximum. D’où il s’ensuit que cette équation sera toujours beaucoup au-dessous des erreurs auxquelles les meilleures Tables connues de Saturne sont encore sujettes, et qui montent à près de $20$ minutes ; elle ne pourra par conséquent contribuer que très-peu à la perfection de ces Tables.
Il était cependant important de voir ce que la Théorie peut donner à cet égard, et quoique la même équation ait déjà été calculée dans les deux Pièces sur les inégalités de Saturne et Jupiter qui ont remporté le Prix de l’Académie des Sciences de Paris en 1748 et 1752 ; cependant, comme les résultats sont fort différents relativement au premier terme, qui dans la Pièce de 1748 a $4''$ pour coefficient et dans celle de 1752 a $-12'',$ j’ai cru qu’il était nécessaire de revenir sur ces calculs pour dissiper les doutes que cette différence pourrait faire naître sur leur exactitude, et fixer ce point de la Théorie de Saturne d’une manière incontestable.
Par cette raison j’ai aussi calculé deux fois plus de termes que M. Euler n’avait fait, afin qu’on puisse être d’autant mieux assuré de la convergence de la série et du degré de précision sur lequel on pourra compter.
Comme dans le calcul des variations de Saturne nous n’avons eu égard qu’à l’effet de l’attraction de Jupiter, nous pouvons ainsi et par la même raison ne tenir compte que de l’action de Saturne dans la détermination des variations de Jupiter ; car ces deux Planètes forment par la grandeur de leurs masses, et par leur éloignement du Soleil, comme un système à part et indépendant des autres Planètes.
Les inégalités du mouvement de Jupiter sont d’autant plus importantes à connaître qu’elles influent sur le temps des éclipses de ses satellites, et par conséquent sur la détermination des longitudes, un des principaux objets de l’Astronomie et un des avantages les plus sensibles qui résultent de cette science. Par cette raison il est nécessaire de calculer ces inégalités avec une précision et une étendue qui ne laissent rien à désirer je vais remplir une partie de cet objet dans la Section présente, qui est uniquement destinée à la recherche des inégalités dépendantes de la distance ou commutation entre Jupiter et Saturne.
1. Soient, comme dans la Section précédente, $p$ l’angle du mouvement moyen de Saturne, $r$ sa distance moyenne, $p'$ l’angle contemporain du mouvement moyen de Jupiter, $r'$ sa distance moyenne, et soit de plus $\mathrm {T}$ la masse de Saturne exprimée en parties de celle du Soleil ; on aura pour les inégalités de la longitude de Jupiter dues à l’action de Saturne, et indépendantes des excentricités et des inclinaisons, une formule semblable à celle du n$^o$ 1 de la même Section, en changeant seulement dans celle-ci les lettres $p',r',\mathrm {T} '$ en $p,r,\mathrm {T} ,$ et vice versâ ; ce qui est évident, puisque dans le cas présent ce sont les lettres affectées d’un trait qui appartiennent à la Planète troublée, tandis que celles sans trait se rapportent à la Planète perturbatrice.
Or on sait que les fonctions $[r,r'],[r,r']_{1},$ demeurent les mêmes en y changeant $r$ en $r'$ et $r'$ en $r,$ puisque le radical $\left(r^{2}-2rr'\cos u+r'^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},$ d’où elles dérivent, ne subit aucune altération par ce changement ; ainsi la formule des inégalités dont il s’agit sera de cette forme
${\begin{aligned}&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{n(\left(1-n^{2}\right)}}2r'^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr'}}+{\frac {3+n^{2}}{n^{2}(\left(1-n^{2}\right)}}r'[r,r']_{1}-{\frac {3+2n+n^{2}}{n^{2}(\left(1-n^{2}\right)}}{\frac {r^{2}}{r'^{2}}}\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,\times \sin \ \ (p'-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{2n(\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}2r'^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr'}}+{\frac {3+4n^{2}}{2n^{2}(\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}r'[r,r']_{2}\right]\sin 2(p'-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{3n(\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}2r'^{2}{\frac {d[r,r']_{3}}{dr'}}+{\frac {3+9n^{2}}{3n^{2}(\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}r'[r,r']_{3}\right]\sin 3(p'-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{4n(\left(1-16n^{2}\right)}}2r'^{2}{\frac {d[r,r']_{4}}{dr'}}+{\frac {3+16n^{2}}{4n^{2}(\left(1-16n^{2}\right)}}r'[r,r']_{4}\right]\sin 4(p'-p)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
$n$ étant $=1-{\frac {p}{p'}}=1-\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\frac {3}{2}}.$
Quant aux inégalités du rayon vecteur, on peut les négliger, comme on l’a fait pour Saturne et par les mêmes raisons.
2. Les valeurs des fonctions $[r,r'],[r,r']_{1},[r,r']_{2},$ sont les mêmes ici que dans la Section précédente.
À l’égard des différences ${\frac {d[r,r']}{dr'}},{\frac {d[r,r']_{1}}{dr'}},\ldots$ il n’y aura qu’à changer dans les formules du n$^o$ 3 de la même Section $r$ en $r'$ et $r'$ en $r,$ en observant que les fonctions $(r,r'),(r,r')_{1},\ldots$ demeurent aussi les mêmes dans ces changements. De sorte qu’on aura
${\begin{aligned}&2r'{\frac {d[r,r']}{dr'}}\ \,=-[r,r']\,\ -\left(r^{2}-r'^{2}\right)(r,r'),\\&2r'{\frac {d[r,r']_{1}}{dr'}}=-[r,r']_{1}-\left(r^{2}-r'^{2}\right)(r,r')_{1},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
Ainsi, en faisant, comme dans le n$^o$ 4 de la Section citée, $z={\frac {r'}{r}},$ et conservant les mêmes valeurs des quantités $(0),(1),(2),$ on aura dans le cas présent
${\begin{aligned}&r^{2}{\frac {d[r,r']}{dr}}\,\ =z\left[\left(1+z^{2}\right)(0)-z(1)\right],\\&r^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}=z\left[\ 4\ z(0)-\left(1+z^{2}\right)(1)\right],\\&r^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr}}=z\left[{\frac {2}{3}}z(1)-{\frac {1}{3}}\left(1+z^{2}\right)(2)\right],\\&r^{2}{\frac {d[r,r']_{3}}{dr}}=z\left[{\frac {2}{5}}z(2)-{\frac {1}{5}}\left(1+z^{2}\right)(3)\right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&2r'^{2}{\frac {d[r,r']}{dr}}\,\ =-r'[r,r']\ \,+z\left(1-z^{2}\right)(0),\\&2r'^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}=-r'[r,r']_{1}+z\left(1-z^{2}\right)(1),\\&2r'^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr}}=-r'[r,r']_{2}+z\left(1-z^{2}\right)(2),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
Mais, comme on a déjà calculé dans la Section précédente les valeurs des quantités
$r[r,r'],\quad r[r,r']_{1},\quad r[r,r']_{2},\ldots ,$
ainsi que celles de
$2r^{2}{\frac {d[r,r']}{dr}},\quad 2r^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}},\quad 2r^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr}},\ldots ,$
on pourra déduire immédiatement de ces valeurs celles des quantités ci-dessus, en faisant
${\begin{aligned}&r'[r,r']\ \,=z\ r[r,r'],\\&r'[r,r']_{1}=z\ r[r,r']_{1},\\&r'[r,r']_{2}=z\ r[r,r']_{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&2r'^{2}{\frac {d[r,r']}{dr'}}\,\ =-2r'[r,r']\ \,-z\times 2r^{2}{\frac {d[r,r']}{dr}},\\&2r'^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr'}}=-2r'[r,r']_{1}-z\times 2r^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}},\\&2r'^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr'}}=-2r'[r,r']_{2}-z\times 2r^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
Telles sont les valeurs qu’il faudra substituer dans la formule générale du numéro précédent ; et cette formule servira, en général, pour une Planète quelconque, en tant qu’elle sera dérangée par une Planète supérieure $\mathrm {T} ,$ en prenant $r'$ pour la distance moyenne de la Planète troublée et $r$ pour celle de la Planète perturbatrice.
3. De cette manière on trouvera
${\begin{alignedat}{2}r'[r,r']\ \,=&0{,}594272\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}7739854,\\r'[r,r']_{1}=&0{,}338245&&9{,}5292315,\\r'[r,r']_{2}=&0{,}140377&&9{,}1472964,\\r'[r,r']_{3}=&0{,}064270&&8{,}8080058,\\r'[r,r']_{4}=&0{,}030811&&8{,}4887004,\\r'[r,r']_{5}=&0{,}015179&&8{,}1812527,\\r'[r,r']_{6}=&0{,}007626&&7{,}8823159,\\r'[r,r']_{7}=&0{,}003907&&7{,}5918047,\\r'[r,r']_{8}=&0{,}002066&&7{,}3152226,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}2r^{2}{\frac {d[r,r']}{dr}}\ \,=&0{,}240257\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}3806766,\\2r^{2}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr'}}=&0{,}881397&&9{,}9451715,\\2r^{2}{\frac {d[r,r']_{2}}{dr'}}=&0{,}656612&&9{,}8173089,\\2r^{2}{\frac {d[r,r']_{3}}{dr'}}=&0{,}431526&&9{,}6350069,\\2r^{2}{\frac {d[r,r']_{4}}{dr'}}=&0{,}269074&&9{,}4298726,\\2r^{2}{\frac {d[r,r']_{5}}{dr'}}=&0{,}162869&&9{,}2118399,\\2r^{2}{\frac {d[r,r']_{6}}{dr'}}=&0{,}096580&&8{,}9848869,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2r'^{2}{\frac {d[r,r']_{5}}{dr'}}=&0{,}056167\qquad \qquad &\log .\quad &8{,}7494844,\\2r'^{2}{\frac {d[r,r']_{6}}{dr'}}=&0{,}031635&&8{,}5001636,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
4. Or, $n$ étant ici égal à
$1-\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\frac {3}{2}}=1-z^{\frac {3}{2}},$
on trouve
$n=0{,}597468,$
et la formule du n$^o$ 1 deviendra par ces substitutions
${\begin{aligned}-\mathrm {T} &\left[\,+\,1{,}34704\sin \ \ (p'-p)-3{,}31904\sin 2(p'-p)\right.\\&\ -0{,}27731\sin 3(p'-p)-0{,}06379\sin 4(p'-p)\\&\ -0{,}01968\sin 5(p'-p)-0{,}00704\sin 6(p'-p)\\&\ -\left.0{,}00276\sin 7(p'-p)-0{,}00116\sin 8(p'-p)-\ldots \right].\end{aligned}}$
5. Dans la première Section de la seconde Partie de la Théorie des variations séculaires, je suis entré dans une discussion assez étendue sur les valeurs des masses des Planètes, et j’ai trouvé pour la masse de Saturne une valeur moindre que celle qu’on avait adoptée jusqu’ici d’après Newton. Cette valeur est de ${\frac {1}{3358{,}40}}\,;$ de sorte qu’en l’employant ici pour $\mathrm {T} ,$ après l’avoir multipliée par $206264{,}8,$ nombre de secondes de l’arc égal au rayon, on aura $614'',1756$ pour la valeur de $\mathrm {T}$ en secondes, qu’il faudra substituer dans la formule précédente.
On aura ainsi, en dénotant toujours par Ϧ le lieu moyen de Saturne et par $\mathbb {Z} \!^{\upsilon }$ celui de Jupiter,
${\begin{aligned}-82''{,}732\sin \ \ \left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&203''{,}847\sin 2\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+17''{,}082\sin 3\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\quad 3''{,}918\sin 4\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+\ \ 1''{,}209\sin 5\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\quad 0''{,}432\sin 6\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+\ \ 0''{,}169\sin 7\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\quad 0''{,}071\sin 8\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$
6. Cette formule est, comme on voit, analogue à celle que nous avons trouvée pour Saturne, et peut de même être représentée par une seule Table, dont l’argument sera la distance ou angle au Soleil entre ces deux Planètes.
Elle est pareillement nulle dans leurs conjonctions et oppositions ; dans les quadratures elle sera de $\pm 98''{,}724,$ et dans les octants elle montera à $156''{,}691$ ou $-250''{,}139,$ et cette dernière valeur sera très-près du maximum. D’où l’on voit que l’équation de Jupiter est presque huit fois plus grande que celle de Saturne, quoique la masse de Saturne qui la produit ne soit qu’environ le tiers de celle de Jupiter qui produit l’équation de Saturne ; ce qui vient de ce que l’action d’une Planète perturbatrice est encore plus augmentée par la lenteur de son mouvement que par la grandeur de sa masse.
Dans la seconde Pièce déjà citée, sur les irrégularités de Jupiter et de Saturne, l’équation dont il s’agit n’est calculée que jusqu’au quatrième terme, et les coefficients s’accordent à très-peu près avec ceux de la formule précédente, en ayant égard à la différence de la masse de Saturne, qui y est supposée, d’après Newton, de ${\frac {1}{3021}}\,;$ de sorte qu’ils s’y trouvent augmentés tous dans la raison de $3558$ à $3021$ ou de $1,1117$ à $1.$ Cet accord peut servir de confirmation à la bonté de nos calculs, et augmenter encore la confiance qu’on y doit avoir. Au reste notre formule, contenant deux fois plus de termes, est aussi à cet égard plus exacte et montre en même temps combien la série est convergente.
7. Les inégalités, qui altèrent le mouvement de Jupiter autour du Soleil, doivent affecter aussi les retours des satellites de cette Planète à leurs conjonctions et les intervalles des éclipses ; et il n’est pas difficile de voir que chaque équation du mouvement de Jupiter produira une équation semblable pour le temps des éclipses de chacun de ses satellites, et dont la quantité en temps sera à la quantité de l’équation de. Jupiter en arc comme le temps de la révolution synodique du satellite sera à l’arc de $360$ degrés.
Or, pour le premier satellite, la durée de la révolution synodique, ou de ses retours aux conjonctions avec Jupiter, est de $1^{\text{j}}18^{\text{h}}28^{\text{m}}35^{\text{s}}{,}948$ ou $152915^{\text{s}}{,}948.$ Divisant ce nombre par $1296000,$ nombre de secondes du cercle entier, on aura le nombre $0{,}11799,$ par lequel il faudra multiplier les équations de Jupiter en secondes de degrés, pour avoir les équations correspondantes du premier satellite en secondes de temps. Appliquant donc cette réduction à la correction de la longitude de Jupiter donnée ci-dessus (5), on aura
${\begin{aligned}-9^{\text{s}}{,}762\sin \ \ \left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&245^{\text{s}}{,}052\sin 2\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+2^{\text{s}}{,}010\sin 3\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\quad 0^{\text{s}}{,}462\sin 4\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+0^{\text{s}}{,}143\sin 5\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\quad 0^{\text{s}}{,}051\sin 6\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+0^{\text{s}}{,}020\sin 7\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\quad 0^{\text{s}}{,}008\sin 8\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right).\end{aligned}}$
Pour le second satellite, la durée de la révolution synodique est de $3^{\text{j}}13^{\text{h}}17^{\text{m}}53^{\text{s}}{,}749,$ ou de $307073^{\text{s}}{,}749,$ et ce nombre divisé par donne le nombre $0{,}23694,$ par lequel il faudra multiplier les coefficients de la correction de Jupiter pour avoir celle du second satellite en temps. Donc
${\begin{aligned}-19^{\text{s}}{,}603\sin \ \ \left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&48^{\text{s}}{,}300\sin 2\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+\ \ 4^{\text{s}}{,}036\sin 3\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\ \ 0^{\text{s}}{,}928\sin 4\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+\ \ 0^{\text{s}}{,}286\sin 5\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\ \ 0^{\text{s}}{,}102\sin 6\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+\ \ 0^{\text{s}}{,}040\sin 7\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\ \ 0^{\text{s}}{,}017\sin 8\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right).\end{aligned}}$
Pour le troisième satellite, la durée de la révolution synodique est de $7^{\text{j}}3^{\text{h}}59^{\text{m}}35^{\text{s}}{,}868,$ ou de $619175{\text{s}}{,}868,$ et ce nombre divisé par $1296000$ donne le nombre $0{,}47776,$ par lequel il faudra multiplier la correction, de Jupiter pour avoir celle du troisième satellite. Ainsi l’on aura
${\begin{aligned}-39^{\text{s}}{,}526\sin \ \ \left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&97^{\text{s}}{,}390\sin 2\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+\ \ 8^{\text{s}}{,}137\sin 3\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\ \ 1^{\text{s}}{,}872\sin 4\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+\ \ 0^{\text{s}}{,}577\sin 5\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\ \ 0^{\text{s}}{,}207\sin 6\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+\ \ 0^{\text{s}}{,}081\sin 7\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\ \ 0^{\text{s}}{,}034\sin 8\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right).\end{aligned}}$
Enfin, pour le quatrième satellite, la durée de la révolution synodique étant de $16^{\text{j}}18^{\text{h}}5^{\text{m}}7^{\text{s}}{,}092,$ ou de $1447507^{\text{s}}{,}092,$ on aura, en divisant ce nombre par $1296000,$ le nombre $1{,}11690,$ par lequel la correction de Jupiter devra être multipliée pour obtenir celle des éclipses du quatrième satellite. Donc
${\begin{aligned}-92^{\text{s}}{,}404\sin \ \ \left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&227^{\text{s}}{,}678\sin 2\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+19^{\text{s}}{,}023\sin 3\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\quad 4^{\text{s}}{,}376\sin 4\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+\ \ 1^{\text{s}}{,}350\sin 5\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\quad 0^{\text{s}}{,}483\sin 6\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\+\ \ 0^{\text{s}}{,}189\sin 7\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+&\quad 0^{\text{s}}{,}080\sin 8\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right).\end{aligned}}$
Au reste ces différentes corrections étant simplement proportionnelles à celle de la longitude de Jupiter, lorsqu’on aura réduit celle-ci en Table, on n’aura plus qu’à multiplier tous les nombres de la Table par les multiplicateurs donnés pour construire les Tables des corrections des éclipses.
8. Parmi les Tables des satellites de Jupiter dressées par feu M. Wargentin, on en trouve pour chaque satellite une qui a pour titre Somme des équations dépendantes de l’action de Saturne sur Jupiter, et qui est proprement composée de différentes Tables, fondées sur diverses équations de Jupiter produites par Saturne. M. de Lalande a donné dans la Connaissance des mouvements célestes pour 1763 les Tables de ces équations pour Jupiter, et je me suis assuré que celles des satellites en dépendent uniquement. M. de Lalande dit qu’elles sont de feu M. Mayer, qui les avait déduites de la Théorie ; mais il ne donne point les formules d’où elles résultent, et je ne sache pas que le travail de Mayer sur cette matière ait jamais été publié.
Cependant, comme il n’est pas difficile de retrouver ces formules d’après les Tables mêmes, les voici
$\qquad$
$\qquad$
${\begin{aligned}&-\ \ 83''\sin \left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+224''\sin 2\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)+14''\sin 3\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)\\&+143''\sin \left[2\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)-{\text{anom. moy. }}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-\right]\\&+\ \ 47''\sin \left[3\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)-{\text{anom. moy. }}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-\right]\\&+\ \ 56''\sin \left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}-{\text{anom. moy. Ϧ}}\right)\\&+\ \ 90''\sin \left[2\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)-{\text{anom. moy. Ϧ}}\right].\end{aligned}}$
9. Il est visible que les trois premières équations dépendantes simplement de la distance de Jupiter à Saturne répondent à celles que nous venons de calculer dans cette Section, et en particulier aux trois premiers termes de la formule trouvée dans le n$^o$ 5. Aussi le coefficient de $\sin \left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)$ est, aux dixièmes de seconde près, le même dans cette formule et dans la précédente ; mais le coefficient du $\sin 2\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)$ est dans notre formule moindre d’un dixième que dans celle de Mayer, et le coefficient du $\sin 3\left(\mathbb {Z} \!^{\upsilon }-{\text{Ϧ}}\right)$ est au contraire plus grand dans celle-là que dans celle-ci d’environ un cinquième. Or, comme le rapport des coefficients est indépendant de la masse de Saturne et n’est donné que par les rapports des distances et des temps périodiques de Saturne et de Jupiter, ainsi qu’on le voit par la formule générale du n$^o$ 1, il s’ensuit que les équations de Mayer ne sont pas exactement conformes à la Théorie de la gravitation ; puisque d’un côté les distances et les temps périodiques des Planètes ne sont susceptibles d’aucune correction qui puisse avoir un effet sensible sur les coefficients dont il s’agit, et que de l’autre on peut compter entièrement sur l’exactitude de nos calculs, laquelle se trouve d’ailleurs confirmée par l’accord de nos résultats avec ceux de la Pièce citée de 1752.
Cependant le grand mérite de l’Auteur et la précision singulière qui distingue tous ses Ouvrages ne permettent pas de douter de la justesse de ses calculs sur les inégalités de Jupiter ; on peut donc présumer qu’il en aura usé à l’égard de ces inégalités comme il l’a fait pour les inégalités de la Lune, et qu’après avoir déterminé les coefficients par la Théorie, il aura cherché à les corriger d’après les observations ; mais les équations trouvées de la sorte ne peuvent être regardées que comme des équations empiriques, du moins en tant qu’elles s’écartent de celles qui résultent de la Théorie, et si ces équations peuvent rapprocher les Tables des observations pendant un certain espace de temps, on doit toujours craindre qu’elles ne les en éloignent dans la suite de plus en plus, comme il arrive déjà aux équations empiriques que feu M. Lambert avait données pour détruire les erreurs des Tables de Halley, dans les oppositions de Saturne et de Jupiter.
Nous croyons donc qu’il est beaucoup plus sûr de s’en tenir uniquement à la Théorie, du moins pour les équations que celle-ci peut fournir, et qu’il conviendrait par conséquent d’employer dans les Tables des satellites les corrections que nous venons de donner, à la place de celles qui résultent de la Table de Mayer pour les inégalités de Jupiter dépendantes de sa distance à Saturne.
Quant aux autres Tables de Mayer qui dépendent à la fois de la distance de Jupiter à Saturne et des anomalies de ces deux Planètes, nousnous réservons de les apprécier lorsque nous aurons calculé la partie des inégalités de Jupiter qui dépend des excentricités.
Après avoir déterminé les variations de Jupiter et de Saturne, nous allons entreprendre le calcul de celles des autres Planètes. Ce calcul ne sera pas plus difficile, mais beaucoup plus long ; car il faudra y avoir égard pour-chaque Planète à l’action de toutes les autres. En effet les orbites de Mars, de la Terre, de Vénus et de Mercure sont assez proches les unes des autres pour qu’elles puissent être sensiblement dérangées par l’attraction mutuelle de ces Planètes ; et en même temps elles doivent l’être aussi par l’action de Jupiter et de Saturne, dont l’éloignement se trouve compensé par la grandeur des masses. Cette Section contiendra les variations périodiques de Mars dues aux actions de Saturne, Jupiter, la Terre, Vénus et Mercure, et dépendantes simplement de sa distance héliocentrique à chacune de ces Planètes.
1. La formule générale des inégalités de la longitude de Mars, provenantes de l’action de Saturne, sera la même que celle que nous avons donnée dans le n$^o$ 1 de la Section précédente pour les inégalités de Jupiter dues à la même action, en y changeant simplement les quantités relatives à Jupiter en quantités analogues pour Mars.
Ayant désigné jusqu’ici par $\mathrm {T} ,r,p$ la masse, la distance moyenne et l’angle du mouvement moyen de Saturne, et par $\mathrm {T} ',r',p'$ les mêmes quantités pour Jupiter, nous désignerons pareillement par $\mathrm {T} ''$ la masse de Mars, par $r''$ sa distance moyenne et par $p''$ l’angle de son mouvement moyen dû à cette distance supposée constante.
Et, en général, les mêmes lettres marquées de trois, de quatre, de cinq traits se rapporteront successivement à la Terre, à Vénus, à Mercure, ainsi que nous en avons usé dans la seconde Partie de la Théorie des variations séculaires.
Il n’y aura donc qu’à changer dans la formule citée $r'$ et $p'$ en $r''$ et $p''\,;$ et l’on aura, pour les inégalités de la longitude de Mars dépendantes de sa distance à Saturne, la formule suivante
${\begin{aligned}&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{n(\left(1-n^{2}\right)}}2r^{2}{\frac {d[r,r'']_{1}}{dr''}}+{\frac {3+n^{2}}{n^{2}(\left(1-n^{2}\right)}}r''[r,r'']_{1}-{\frac {3+2n+n^{2}}{n^{2}(\left(1-n^{2}\right)}}{\frac {r^{2}}{r''^{2}}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin \ \ (p''-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{2n(\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}2r''^{2}{\frac {d[r,r'']_{2}}{dr''}}+{\frac {3+4n^{2}}{2n^{2}(\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}r''[r,r'']_{2}\right]\sin 2(p''-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{3n(\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}2r''^{2}{\frac {d[r,r'']_{3}}{dr''}}+{\frac {3+9n^{2}}{3n^{2}(\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}r''[r,r'']_{3}\right]\sin 3(p''-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{4n(\left(1-16n^{2}\right)}}2r''^{2}{\frac {d[r,r'']_{4}}{dr''}}+{\frac {3+16n^{2}}{4n^{2}(\left(1-16n^{2}\right)}}r''[r,r'']_{4}\right]\sin 4(p''-p)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
dans laquelle
$n=1-{\frac {p}{p''}}=1-\left({\frac {r''}{r}}\right)^{\frac {3}{2}}.$
2. On fera maintenant $z={\frac {r''}{r}},$ et, prenant pour $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ les valeurs correspondantes données dans le n$^o$ 4 de la seconde Partie de la Théorie des variations séculaires, on aura comme dans le n$^o$ 4 de la première Section
$(0)={\frac {\mathrm {M} }{r^{3}\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\quad (1)={\frac {6\mathrm {N} }{r^{3}\left(1-z^{2}\right)^{2}}},$
et ensuite
${\begin{aligned}&(0)={\frac {\mathrm {M} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\\&(1)={\frac {6\mathrm {N} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\\&(2)=2\left(z+{\frac {1}{z}}\right)(1)-6(0),\\&(3)={\frac {4}{3}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)(2)-{\frac {5}{3}}(1),\\&(4)={\frac {6}{5}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)(3)-{\frac {7}{5}}(2),\\&(5)={\frac {8}{7}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)(4)-{\frac {9}{7}}(3),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&r''[r,r'']\,\ =z\left[\left(1+z^{2}\right)(0)-z(1)\right],\\&r''[r,r'']_{1}=z[4z(0)-\left(1+z^{2}\right)(1)],\\&r''[r,r'']_{2}=z\left[{\frac {2}{3}}z(1)-{\frac {1}{3}}\left(1+z^{2}\right)(2)\right],\\&r''[r,r'']_{3}=z\left[{\frac {2}{5}}z(2)-{\frac {1}{5}}\left(1+z^{2}\right)(3)\right],\\&r''[r,r'']_{4}=z\left[{\frac {2}{7}}z(2)-{\frac {1}{7}}\left(1+z^{2}\right)(4)\right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&2r''{\frac {d[r,r'']}{dr''}}\,\ =-r''[r,r'']\ \ +z\left(1-z^{2}\right)(0),\\&2r''{\frac {d[r,r'']_{1}}{dr''}}=-r''[r,r'']_{1}+z\left(1-z^{2}\right)(1),\\&2r''{\frac {d[r,r'']_{2}}{dr''}}=-r''[r,r'']_{2}+z\left(1-z^{2}\right)(2),\\&2r''{\frac {d[r,r'']_{3}}{dr''}}=-r''[r,r'']_{3}+z\left(1-z^{2}\right)(3),\\&2r''{\frac {d[r,r'']_{4}}{dr''}}=-r''[r,r'']_{4}+z\left(1-z^{2}\right)(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
Ainsi il n’y aura qu’à calculer ces différentes valeurs et les substituer ensuite dans la formule du numéro précedent.
3. On a d’abord, par l’endroit cité de la Théorie des variations séculaires,
$z=0,159715,\quad \mathrm {M} =1,006387,\quad \mathrm {N} =0,0709602\,;$
et ces valeurs donnent
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}059765\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0252095,\\(1)=&0{,}502944&&9{,}7015197,\\(2)=&0{,}100085&&9{,}0003680,\\(3)=&0{,}018603&&8{,}2695830,\\(4)=&0{,}003218&&7{,}5075860,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots \,;\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}r''[r,r'']\,\ =&0{,}160748\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}2061467,\\r''[r,r'']_{1}=&0{,}025757&&8{,}4108933,\\r''[r,r'']_{2}=&0{,}003089&&7{,}4897829,\\r''[r,r'']_{3}=&0{,}000412&&6{,}6147187,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots \,;\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r''^{2}{\frac {d[r,r'']}{dr''}}\,\ =&0{,}004195\qquad \qquad &\log .\quad &7{,}6227320,\\2r''^{2}{\frac {d[r,r'']_{1}}{dr''}}=&0{,}052522&&8{,}7203306,\\2r''^{2}{\frac {d[r,r'']_{2}}{dr''}}=&0{,}012489&&8{,}0965140,\\2r''^{2}{\frac {d[r,r'']_{3}}{dr''}}=&0{,}002484&&7{,}3950816,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
4. Maintenant, puisque
$n=1-z^{\frac {3}{2}},$
on trouvera
$n=0{,}936181\,;$
et la formule du n$^o$ 1 deviendra par ces substitutions
$-\mathrm {T} \left[0{,}021878\sin(p''-p)-0{,}007237\sin 2(p''-p)\right.$
$\left.-0{,}000376\sin 3(p''-p)-\ldots \right],$
dans laquelle il ne s’agira plus que de substituer pour $\mathrm {T}$ sa valeur en secondes $193'',2775,$ comme dans le n$^o$ 7 de la première Section.
5. Désignant donc les lieux moyens de Saturne et de Mars par les caractères de ces Planètes, ainsi que nous en userons toujours dans la suite par rapport aux autres Planètes, on aura
$-1''{,}3437\sin({\text{♂}}-{\text{Ϧ}})+0''{,}4445\sin 2({\text{♂}}-{\text{Ϧ}})+0''{,}0231\sin 3({\text{♂}}-{\text{Ϧ}})+\ldots .$
On voit que cette correction, lorsqu’elle est la plus grande, ce qui n’arrive que près des quadratures, ne va qu’un peu au delà d’une seconde ce qui étant fort au-dessous de l’incertitude qui peut rester dans les lieux de Mars déduits des observations, il s’ensuit qu’elle peut être absolument négligée ; mais il était nécessaire de la calculer pour pouvoir s’assurer de sa quantité, et, comme personne n’avait jusqu’ici rempli cet objet, j’ai cru devoir, pour ne rien laisser à désirer dans la Théorie de l’attraction des Planètes, donner aussi la formule numérique de la correction dont il s’agit.
6. Pour appliquer à l’action de Jupiter les formules données dans les deux premiers numéros pour l’action de Saturne, il n’y aura qu’à changer dans ces formules les quantités $r,p,\mathrm {T}$ en $r',p',\mathrm {T} ',$ puisque ces deux Planètes sont l’une et l’autre supérieures par rapport à Mars.
Faisant donc $z={\frac {r''}{r'}}$ et prenant pour $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ les valeurs correspondantes du n$^o$4 de la seconde Partie de la Théorie des variations séculaires, on aura ici
$z=0{,}292962,\quad \mathrm {M} =1{,}021574,\quad \mathrm {N} =0{,}1448093,$
et de là, par les formules du n$^o$ 2 ci-dessus, on trouvera
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}222399\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0872130,\\(1)=&1{,}040260&&0{,}0171419,\\(2)=&0{,}376780&&9{,}5760878,\\(3)=&0{,}128217&&9{,}1079455,\\(4)=&0{,}042773&&8{,}6311697,\\(5)=&0{,}016330&&8{,}2129862,\\(6)=&0{,}014982&&8{,}1766698,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots \,;\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}r''[r',r'']\,\ =&0{,}299570\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}4764990,\\r''[r',r'']_{1}=&0{,}088745&&8{,}9481444,\\r''[r',r'']_{2}=&0{,}0195694&&8{,}2915777,\\r''[r',r'']_{3}=&0{,}004778&&7{,}6792282,\\r''[r',r'']_{4}=&0{,}001200&&7{,}0793117,\\r''[r',r'']_{5}=&0{,}000239&&6{,}3776848,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots \,;\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r''^{2}{\frac {d[r',r'']}{dr''}}\,\ =&0{,}027810\qquad \qquad &\log .\quad &8{,}4442010,\\2r''^{2}{\frac {d[r',r'']_{1}}{dr''}}=&0{,}189855&&9{,}2784220,\\2r''^{2}{\frac {d[r',r'']_{2}}{dr''}}=&0{,}081339&&8{,}9102988,\\2r''^{2}{\frac {d[r',r'']_{3}}{dr''}}=&0{,}029561&&8{,}4707191,\\2r''^{2}{\frac {d[r',r'']_{4}}{dr''}}=&0{,}010255&&8{,}0109357,\\2r''^{2}{\frac {d[r',r'']_{5}}{dr''}}=&0{,}0041349&&7{,}6164650,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
7. Or, $n$ étant comme dans le n$^o$ 4 égal à
$1-z^{\frac {3}{2}},$
on aura
$n=0{,}841432\,;$
et, faisant ces substitutions dans la formule du n$^o$ 1 après y avoir changé $r,p,\mathrm {T}$ en $r',p',\mathrm {T} ',$ il viendra
$-\mathrm {T} '\left[0,126279\sin(p''-p')-0{,}070377\sin 2(p''-p')-0{,}006104\sin 3(p''-p')\right.$
$\left.-0{,}000883\sin 4(p''-p')-0{,}000142\sin 5(p''-p')-\ldots \right],$
$\mathrm {T} '$
$614''{,}1756,$
8. De sorte qu’on aura
${\begin{aligned}-24'',4069\sin \ \ \left({\text{♂}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+&13'',6023\sin 2\left({\text{♂}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)\\+\ \ 1'',1798\sin 3\left({\text{♂}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+&\ \ 0'',1707\sin 4\left({\text{♂}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)\\+\ \ 0'',0275\sin 5\left({\text{♂}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+&\ldots .\end{aligned}}$
Cette correction, quoique beaucoup plus sensible que celle qui vient de l’action de Saturne, est encore assez petite, puisque dans les quadratures où elle est à peu près à son maximum elle ne monte qu’à $26''\,;$ cependant, comme les Tables de Halley dans les oppositions de Mars au Soleil s’écartent rarement des observations au delà d’une demi-minute, on pourrait peut-être par le moyen de la correction précédente diminuer encore l’erreur de ces Tables et ajouter à l’exactitude des éléments sur lesquels elles sont fondées. Mais cet objet demande qu’on ait égard aussi aux corrections qui dépendent en même temps de la commutation des deux Planètes et de leurs anomalies, et dont nous donnerons le calcul dans la suite.
9. M. de Lalande avait déjà calculé les inégalités du mouvement de Mars dues à Jupiter, dans le volume de l’Académie de Paris pour 1761 ; mais je n’ai pas cru que son travail dût me dispenser de les déterminer de nouveau par mes formules, soit parce que celles-ci sont différentes de celles qu’il a employées d’après la méthode de Clairaut, soit parce que je ne pouvais pas répondre de ses calculs comme je crois pouvoir le faire des miens. D’ailleurs il n’a calculé que les deux premiers termes proportionnels au sinus de la distance simple et double de Mars à Saturne ; et l’on pouvait désirer de voir ce que donneraient les autres termes de la série, ne fût-ce que pour s’assurer qu’on n’a aucune erreur sensible à craindre de leur omission.
Les termes que M. de Lalande a trouvés sont
$-25'',74\sin \left({\text{♂}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+12'',21\sin 2\left({\text{♂}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right),$
dont les coefficients diffèrent de ceux de notre formule d’environ une seconde en plus ou en moins. Cette différence est très-petite en elle-même ; cependant, comme nos calculs sont fondés sur les mêmes éléments, elle aurait dû être sinon tout à fait nulle, du moins beaucoup moindre ; mais je n’ai pas cru qu’il valût la peine d’en chercher la raison dans les procédés du calcul de M. de Lalande.
10. Comme l’orbite de Mars est au-dessus de celle de la Terre, il faudra employer dans ce calcul des formules analogues à celles que nous avons données dâns la première Section pour les inégalités de Saturne dues à Jupiter, et que nous avons vu être générales pour toute Planète troublée par une Planète inférieure par rapport à elle.
Changeant donc dans ces formules les lettres $r,p,\mathrm {T}$ qui se rapportent à Saturne en $r'',p'',\mathrm {T} ''$ pour Mars, et les lettres $r',p',\mathrm {T} '$ qui répondent à Jupiter en $r''',p''',\mathrm {T} '''$ pour la Terre, on aura pour les inégalités de la longitude de Mars dépendantes de sa distance à la Terre
${\begin{aligned}&-\mathrm {T} '''\left[{\frac {1}{n(\left(1-n^{2}\right)}}2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{1}}{dr''}}+{\frac {3+n^{2}}{n^{2}(\left(1-n^{2}\right)}}r''[r'',r''']_{1}-{\frac {3+2n+n^{2}}{n^{2}(\left(1-n^{2}\right)}}{\frac {r''^{2}}{r'''^{2}}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin \ \ (p''-p''')\\&-\mathrm {T} '''\left[{\frac {1}{2n(\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{2}}{dr''}}+{\frac {3+4n^{2}}{2n^{2}(\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}r''[r'',r''']_{2}\right]\sin 2(p''-p''')\\&-\mathrm {T} '''\left[{\frac {1}{3n(\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{3}}{dr''}}+{\frac {3+9n^{2}}{3n^{2}(\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}r''[r'',r''']_{3}\right]\sin 3(p''-p''')\\&-\mathrm {T} '''\left[{\frac {1}{4n(\left(1-16n^{2}\right)}}2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{4}}{dr''}}+{\frac {3+16n^{2}}{4n^{2}(\left(1-16n^{2}\right)}}r''[r'',r''']_{4}\right]\sin 4(p''-p''')\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
$n$ étant égal à $1-{\frac {dp'''}{dp''}}=1-\left({\frac {r''}{r'''}}\right)^{\frac {3}{2}}.$
11. Soit maintenant $z={\frac {r'''}{r''}},$ et qu’on prenne pour $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ les valeurs correspondantes parmi celles du n$^o$ 4 de la seconde Partie de la Théorie citée, on déterminera d’abord les valeurs des quantités $(0),(1),(2),\ldots$ par les mêmes formules que ci-dessus $(2)\,;$ mais ensuite il faudra faire, comme dans le n$^o$ 4 de la Section première,
${\begin{aligned}&r''[r'',r''']\,\ =\left(1+z^{2}\right)(0)-z(1),\\&r''[r'',r''']_{1}=\,4\,z(0)-\left(1+z^{2}\right)(1),\\&r''[r'',r''']_{2}={\frac {2}{3}}z(1)-{\frac {1}{3}}\left(1+z^{2}\right)(2),\\&r''[r'',r''']_{3}={\frac {2}{5}}z(2)-{\frac {1}{5}}\left(1+z^{2}\right)(3),\\&r''[r'',r''']_{4}={\frac {2}{7}}z(2)-{\frac {1}{7}}\left(1+z^{2}\right)(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$
${\begin{aligned}&2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']}{dr''}}\ =-r''[r'',r''']\ \ +\left(1-z^{2}\right)(0),\\&2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{1}}{dr''}}=-r''[r'',r''']_{1}+\left(1-z^{2}\right)(1),\\&2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{2}}{dr''}}=-r''[r'',r''']_{2}+\left(1-z^{2}\right)(2),\\&2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{3}}{dr''}}=-r''[r'',r''']_{3}+\left(1-z^{2}\right)(3),\\&2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{4}}{dr''}}=-r''[r'',r''']_{4}+\left(1-z^{2}\right)(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
12. On aura donc de cette manière
$z=0{,}656301,\quad \mathrm {M} =1,110961,\quad \mathrm {N} =0,309374\,;$
et de là
${\begin{alignedat}{2}(0)=&3{,}428182\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}5350639,\\(1)=&5{,}727963&&0{,}7580002,\\(2)=&4{,}404740&&0{,}6439203,\\(3)=&3{,}256463&&0{,}5127461,\\(4)=&2{,}352245&&0{,}3714825,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}(5)=&1{,}673548\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}2236382,\\(6)=&1{,}178726&&0{,}0714129,\\(7)=&0{,}8253849&&9{,}166560,\\(8)=&0{,}877671&&9{,}7616805,\\(9)=&0{,}407838&&9{,}6104877,\\(10)=&0{,}295751&&9{,}4709262,\\(11)=&0{,}227900&&9{,}3577443,\\(12)=&0{,}196564&&9{,}2935039,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots \,;\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}r''[r'',\ r''']\,\ =&1{,}145640\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0590103,\\r''[r'',\ r''']_{1}=&0{,}804502&&9{,}9055269,\\r''[r'',\ r''']_{2}=&0{,}405512&&9{,}6080037,\\r''[r'',\ r''']_{3}=&0{,}254510&&9{,}3512348,\\r''[r'',\ r''']_{4}=&0{,}129859&&9{,}1134706,\\r''[r'',\ r''']_{5}=&0{,}077018&&8{,}8865936,\\r''[r'',\ r''']_{6}=&0{,}046388&&8{,}6664007,\\r''[r'',\ r''']_{7}=&0{,}028177&&8{,}4498881,\\r''[r'',\ r''']_{8}=&0{,}017127&&8{,}2336881,\\r''[r'',\ r''']_{9}=&0{,}010279&&8{,}0119568,\\r''[r'',r''']_{10}=&0{,}005905&&7{,}7711957,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']}{dr''}}\,\ =&-3{,}097098\qquad \qquad &\log .\quad &{\overline {0}}{,}4909550,\\2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{1}}{dr''}}=&-4{,}065254&&{\overline {0}}{,}6090876,\\2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{2}}{dr''}}=&-2{,}912994&&{\overline {0}}{,}4643397,\\2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{3}}{dr''}}=&-2{,}078313&&{\overline {0}}{,}3177109,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2r''^{2}{\frac {d[r'',\ r''']_{4}}{dr''}}=-&1{,}468919\qquad \qquad &\log .\quad &{\overline {0}}{,}1669979,\\2r''^{2}{\frac {d[r'',\ r''']_{5}}{dr''}}=-&1{,}029717&&{\overline {0}}{,}0127178,\\2r''^{2}{\frac {d[r'',\ r''']_{6}}{dr''}}=-&1{,}717400&&{\overline {9}}{,}8557614,\\2r''^{2}{\frac {d[r'',\ r''']_{7}}{dr''}}=-&0{,}498042&&{\overline {9}}{,}6972659,\\2r''^{2}{\frac {d[r'',\ r''']_{8}}{dr''}}=-&0{,}345977&&{\overline {9}}{,}5390471,\\2r''^{2}{\frac {d[r'',\ r''']_{9}}{dr''}}=-&0{,}243449&&{\overline {9}}{,}3864080,\\2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{10}}{dr''}}=-&0{,}174267&&{\overline {9}}{,}2412151,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
13. Or, $n$ étant égal à $1-{\frac {1}{z^{\frac {3}{2}}}}$ (10 et 11), on aura
$n=-0{,}880812\,;$
et la formule du n$^o$ 10 deviendra par ces substitutions
${\begin{aligned}-\mathrm {T} '&\left[+11{,}166933\sin \ \ (p''-p''')-1{,}544523\sin 2(p''-p''')\right.\\&-\left.\ \,0{,}292425\sin 3(p''-p''')-0{,}093040\sin 4(p''-p''')-\ldots \right],\end{aligned}}$
où il faudra encore substituer la valeur de $\mathrm {T} '''$ masse de la Terre, et réduire les coefficients en secondes.
14. Nous ferons, comme dans la Théorie des variations séculaires (deuxième Partie, n$^o$ 14),
$\mathrm {T} '''={\frac {1}{365361}}\,;$
ce nombre, multiplié par celui des secondes de l’arc égal au rayon, donne
$0''{,}564549$
$\mathrm {T} '''$
${\begin{aligned}-6''{,}3043\sin \ \ \left({\text{♂}}-{\text{♁}}\right)+&0''{,}8720\sin 2\left({\text{♂}}-{\text{♁}}\right)\\+0''{,}1651\sin 3\left({\text{♂}}-{\text{♁}}\right)+&0''{,}0526\sin 4\left({\text{♂}}-{\text{♁}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$
où l’on se souviendra que le lieu moyen ♁ de la Terre est à $180$ degrés de celui du Soleil.
Cette correction ne monte, comme on voit, qu’à environ $6''$ dans les quadratures de Mars et de la Terre, où elle est à très-peu près la plus grande ; elle est donc peu importante dans l’état actuel de l’Astronomie, mais elle peut le devenir davantage lorsque la précision des observations, qui paraît augmenter de jour en jour, mettra en état de tenir compte des secondes dans les lieux des Planètes.
15. M. de Lalande ayant aussi calculé l’effet de l’attraction de la Terre sur Mars dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, année 1761, a trouvé pour la partie dépendante de la distance ou commutation de Mars à la Terre les termes
$-13''{,}3\sin \left({\text{♂}}-{\text{♁}}\right)-1''{,}9\sin 2\left({\text{♂}}-{\text{♁}}\right),$
dont les coefficients sont plus que doubles de ceux que nous venons de trouver pour les termes semblables.
Cette différence vient uniquement de ce que M. de Lalande a employé pour le rapport de la masse de la Terre à la masse du Soleil celui que Newton avait donné d’après la parallaxe du Soleil supposée de $10''{\tfrac {1}{2}}\,;$ mais cette parallaxe ayant été rabaissée à $8''{\tfrac {1}{2}}$ par les observations des derniers passages de Vénus, le rapport dont il s’agit a dû être diminué dans la raison des cubes des parallaxes ; ce rapport étant suivant Newton de $1$ à $169282,$ et suivant nos déterminations de $1$ à $365361,$ il s’ensuit que les coefficients de la formule de M. de Lalande doivent être diminués dans le rapport de $365361$ à $169282,$ ou de $2{,}1583$ à $1\,;$ ce qui les réduira à $-6''{,}16$ et $0''{,}88,$ lesquels s’accordent à très-peu près avec ceux de notre formule.
M. de Lalande rapporte dans le même endroit (page 288) une formule que feu M. Mayer lui avait communiquée pour le même objet, et dans laquelle les termes dépendants de la distance de Mars à la Terre sont
$-10''{,}9\sin \left({\text{♂}}-{\text{♁}}\right)+1''{,}6\sin 2\left({\text{♂}}-{\text{♁}}\right)+0''{,}3\sin 3\left({\text{♂}}-{\text{♁}}\right).$
Les lieux de Mars et de la Terre sont, suivant les suppositions de Mayer, des lieux vrais ; mais, en exprimant ces lieux par les lieux moyens, il ne peut résulter aucune différence dans les termes indépendants des excentricités.
En comparant cette formule avec la nôtre, on trouve que pour que les premiers termes deviennent les mêmes, il faut diminuer celui de la formule de Mayer dans la raison de $1{,}729$ à $1\,;$ diminuant ensuite dans la même proportion les coefficient des deux autres termes de celle-ci, ils deviennent $0''{,}93,\ 0''{,}17$, lesquels s’accordent à peu près avec ceux des termes correspondants de notre formule ; d’où l’on peut conclure que Mayer avait employé pour la masse de la Terre une valeur plus grande que celle que nous avons adoptée dans la même raison de $1$ à $1{,}729,$ et par conséquent une parallaxe du Soleil plus grande que $8''{\tfrac {1}{2}}$ dans la raison de $1$ à $1,2\,;$ ce qui donne environ $10''.$ J’ai cru ce détail nécessaire, moins pour la justification de mes calculs, que pour la satisfaction des Astronomes qui voudront faire usage de la correction dont il s’agit dans la Théorie de Mars.
16. Ce calcul dépend des mêmes formulés que celui que nous venons de donner pour l’action de la Terre, puisque Vénus est aussi inférieure à Mars. Seulement il faudra changer dans ces formules (n$^{os}$ 10 et 11) les lettres $r''',p''',\mathrm {T} ''',$ qui se rapportent à la Terre, en $r^{\text{ıv}},p^{\text{ıv}},\mathrm {T} ^{\text{ıv}}$ pour Vénus (1).
Faisant donc $z={\frac {r^{\text{ıv}}}{r''}},$ et prenant pour $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ les valeurs correspondantes dans la Table du n$^o$ 4 (deuxième Partie de la Théorie des variations séculaires), on aura d’abord
$z=0{,}474723,\quad \mathrm {M} =1{,}057182,\quad \mathrm {N} =0,230473,$
et de là par les formules du n$^o$ 2 ci-dessus
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}761782\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}2459522,\\(1)=&2{,}304484&&0{,}3625737,\\(2)=&1{,}326042&&0{,}1225573,\\(3)=&0{,}722926&&9{,}8590938,\\(4)=&0{,}382775&&9{,}5829436,\\(5)=&0{,}199695&&9{,}3003672,\\(6)=&0{,}104892&&9{,}0207424,\\(7)=&0{,}059359&&8{,}7734866,\\(8)=&0{,}043975&&8{,}6432058,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite par les formules du n$^o$ 11
${\begin{alignedat}{2}r''\left[r'',r^{\text{ıv}}\right]\ =&1{,}064806\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0272705,\\r''\left[r'',r^{\text{ıv}}\right]_{1}=&0{,}521607&&9{,}7173436,\\r''\left[r'',r^{\text{ıv}}\right]_{2}=&0{,}187701&&9{,}2734656,\\r''\left[r'',r^{\text{ıv}}\right]_{3}=&0{,}074632&&8{,}8729244,\\r''\left[r'',r^{\text{ıv}}\right]_{4}=&0{,}031049&&8{,}4920437,\\r''\left[r'',r^{\text{ıv}}\right]_{5}=&0{,}013192&&8{,}1203011,\\r''\left[r'',r^{\text{ıv}}\right]_{6}=&0{,}005552&&7{,}7444270,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2r''^{2}{\frac {\left[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]}{dr''}}\,\ =&-2{,}429549\qquad \qquad &\log .\quad &{\overline {0}}{,}3855257,\\2r''^{2}{\frac {\left[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]_{1}}{dr''}}=&-2{,}306748&&{\overline {0}}{,}3630001,\\2r''^{2}{\frac {\left[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]_{2}}{dr''}}=&-1{,}214904&&{\overline {0}}{,}0845419,\\2r''^{2}{\frac {\left[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]_{3}}{dr''}}=&-0{,}634638&&{\overline {9}}{,}8025260,\\2r''^{2}{\frac {\left[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]_{4}}{dr''}}=&-0{,}327561&&{\overline {9}}{,}5152922,\\2r''^{2}{\frac {\left[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]_{5}}{dr''}}=&-0{,}167883&&{\overline {9}}{,}2250068,\\2r''^{2}{\frac {\left[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]_{6}}{dr''}}=&-0{,}086805&&{\overline {8}}{,}9385447,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
17. L’expression de $n$ étant comme dans le paragraphe précédent
$1-{\frac {dt}{z^{\frac {3}{2}}}},$
on aura ici
$n=-2{,}057310\,;$
et, ces substitutions faites dans la formule du n$^o$ 10 appliquée au cas présent, on aura celle-ci
$-\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\left[0{,}388610\sin \left(p''-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)-0{,}046276\sin 2\left(p''-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)-\ldots \right].$
Prenons pour $\mathrm {T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} ,$ masse de Vénus, la valeur ${\frac {1}{278777}}$ adoptée dans la Théorie des variations séculaires ; ce nombre, multiplié par celui des secondes de l’arc égal au rayon, donnera en secondes
$\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0''{,}73989.$
$-0''{,}2876\sin \left({\text{♂}}-{\text{♀}}\right)+0''{,}0342\sin 2\left({\text{♂}}-{\text{♀}}\right)+\ldots .$
On voit que cette correction est insensible, et que, pour qu’elle pût monter à une seconde, il faudrait que la masse de Vénus fût plus que triple de celle que nous avons adoptée, ce qui ne se peut ; ainsi l’on pourra toujours négliger cette correction en toute sûreté.
18. Nous pourrions à la rigueur nous dispenser de calculer ces variations car Mercure étant plus éloigné de Mars que Vénus, et ayant en même temps une masse moindre que cette Planète, on en peut d’abord conclure que l’effet de son action sur Mars sera nécessairement encore moindre que celui de l’action de Vénus, que nous avons vu être insensible. Nous donnerons cependant encore ce calcul, ne fût-ce que pour ne laisser aucun vide dans la Théorie des perturbations des Planètes principales.
On y suivra le même procédé que dans le calcul précédent, mais en prenant, à la place des quantités $r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\mathrm {T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}$ relatives à Vénus, les quantités $r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ qui répondent à Mercure.
Ainsi l’on fera $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r''}},$ et l’on aura
$z=0{,}254054,\quad \mathrm {M} =1{,}016202,\quad \mathrm {N} =0{,}125994,$
d’où l’on tirera
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}161267\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0649321,\\(1)=&0{,}863880&&9{,}9364534,\\(2)=&0{,}272098&&9{,}4347254,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}(3)=&0{,}080402\qquad \qquad &\log .\quad &8{,}9052669,\\(4)=&0{,}023346&&8{,}3682125,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}r''[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,=&1{,}016747\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0072129,\\r''[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}=&0{,}260461&&9{,}4157422,\\r''[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}=&0{,}049762&&8{,}6968923,\\r''[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}=&0{,}010533&&8{,}0225428,\\r''[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{4}=&0{,}002286&&7{,}3590238,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r''{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]}{dr''}}\ \,=&-2{,}103063\qquad \qquad &\log .\quad &{\overline {0}}{,}3228523,\\2r''{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr''}}=&-1{,}068583&&{\overline {0}}{,}0288080,\\2r''{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}}{dr''}}=&-0{,}304298&&{\overline {9}}{,}4832991,\\2r''{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}}{dr''}}=&-0{,}085746&&{\overline {8}}{,}9332139,\\2r''{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{4}}{dr''}}=&-0{,}024125&&{\overline {8}}{,}3824673,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
19. Or, $n$ étant égal à $1-{\frac {1}{z^{\frac {3}{2}}}},$ on aura
$n=-6{,}809280\,;$
et ces substitutions donneront la formule
$-\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\left[0{,}247740\sin(p''-p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})-0{,}022278\sin 2(p''-p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})-\ldots \right].$
La masse $\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ de Mercure a été déterminée dans la Théorie des variations séculaires de ${\frac {1}{2025810}}$ (n$^o$ 14, seconde Partie) ; en la multipliant par $206264''{,}8$ pour la réduire en secondes, on aura
$\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0''{,}101818,$
valeur qu’il faudra substituer dans la formule précédente. On aura ainsi
$-0''{,}0252\sin \left({\text{♂}}-{\text{☿}}\right)+0''{,}0023\sin 2\left({\text{♂}}-{\text{☿}}\right)+\ldots .$
20. Je dois remarquer, au reste, que les valeurs des quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ que j’ai employées ci-dessus (18), ne sont pas tout à fait les mêmes qui se trouvent dans la Table du n$^o$ 4 de la seconde Partie de la Théorie des variations séculaires ; mais aussi sont-elles plus exactes que celles-là. Les valeurs des quantités $\mathrm {M,N,P,Q}$ de cette Table sont les seules que je n’ai pas calculées moi-même, et dont par conséquent je ne suis pas responsable à la rigueur ; ayant voulu en dernier lieu m’assurer aussi de leur exactitude, j’ai trouvé qu’il s’était glissé une légère méprise dans le calcul de celles dont il s’agit, et qu’au lieu de $\mathrm {M} =1{,}016565,\quad \mathrm {N} =0{,}125947,$ il fallait faire
$\mathrm {M} =1{,}016202,\quad \mathrm {N} =0{,}125944.$
Ce changement dans les valeurs de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ en produit un aussi dans celles de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ qui en dépendent ; et, au lieu de $\mathrm {P} =0{,}053451,$$\mathrm {Q} =0{,}016523,$ il faudra faire
$\mathrm {P} =0{,}054868,\quad \mathrm {Q} =0{,}017282.$
Ainsi les valeurs des quantités $(2,5),(5,2)$ qui sont proportionnelles à $\mathrm {P}$ devront être augmentées dans la raison de $53451$ à $54868,$ et celles de $[2,5],[5,2]$ qui sont proportionnelles à $\mathrm {Q}$ devront l’être aussi dans la raison de $16523$ à $17282.$
Il faudra donc réformer ainsi la partie correspondante de la Table citée dans la Théorie des variations séculaires.
Pour $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r''}}=0,254064,$
${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&1{,}016202,&\mathrm {N} =&0{,}125994,\\\mathrm {P} =&0{,}054868,&\mathrm {Q} =&0{,}017282,\\(2,5)=&0{,}029173\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\qquad &[2,5]=&0{,}009189\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&8{,}4649745,&&7{,}9632491,\\(5,2)=&0{,}057878\mathrm {T} ''&[5,2]=&0{,}018230\mathrm {T} ''\\&8{,}7625115,&&8{,}2607861.\end{alignedat}}$
Par conséquent il faudra corriger comme il suit les valeurs de $(2,5),[2,5],$$(5,2),[5,2]$ dans la Table du n$^o$ 16 :
${\begin{alignedat}{2}(2,5)=&0''{,}0187m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\qquad &[2,5]=&0''{,}0059m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&\ \ 8{,}2709734,&&\ \ 7{,}7692480,\\(5,2)=&0''{,}0406m''&[5,2]=&0''{,}0128m''\\&\ \ 8{,}6088577,&&\ \ 8{,}1071323.\end{alignedat}}$
Mais, comme ces corrections ne tombent que sur les dernières décimales des valeurs dont il s’agit, elles ne sauraient avoir une influence sensible sur les résultats que nous avons déduits pour les variations séculaires d’autant que les dernières décimales demeurent toujours plus ou moins incertaines, et que les deux premières sont plus que suffisantes pour la détermination de ces variations. Il n’y aura donc rien à changer à cet égard, et j’aurais même pu me dispenser de donner l’errata précédent, si je ne croyais que la précision la plus scrupuleuse est indispensable dans ces sortes de calculs.
Parmi les inégalités dont la recherche est l’objet du travail qui nous occupe, il n’y en a pas de plus importantes à connaître que celles du mouvement de la Terre ; car elles affectent également le mouvement apparent du Soleil, et l’on sait que la détermination de ce mouvement est comme la base de toutes les autres déterminations astronomiques. Aussi les Astronomes s’y sont-ils tous appliqués particulièrement, et ils sont déjà venus à bout de donner aux Tables du Soleil une précision bien supérieure à celle des Tables des autres Planètes ; mais pour pouvoir les perfectionner encore, il est nécessaire d’avoir une Théorie exacte et complète de tous les dérangements que la Terre peut éprouver de la part des Planètes. Nous allons donner, en suivant notre plan, la partie de cette Théorie qui concerne les variations périodiques, dépendantes uniquement des distances ou commutations entre la Terre et les autres Planètes principales.
1. Il est visible que la formule de ces variations sera la même que celle des variations de Mars dues à la même action de Saturne, en ne faisant qu’y substituer à la place des quantités relatiyes à Mars, les quantités analogues pour la Terre ce qui revient à marquer simplement de trois traits les lettres marquées de deux dans la formule du n$^o$ 1 de la Section précédente.
Ainsi les variations qu’il s’agit de calculer seront contenues dans la formule suivante
${\begin{aligned}&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{n(\left(1-n^{2}\right)}}2r'''^{2}{\frac {d[r,r''']_{1}}{dr'''}}+{\frac {3+n^{2}}{n^{2}(\left(1-n^{2}\right)}}r'''[r,r''']_{1}-{\frac {3+2n+n^{2}}{n^{2}(\left(1-n^{2}\right)}}{\frac {r'''^{2}}{r^{2}}}\right]\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin \ \ \,(p'''-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{2n(\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}2r'''^{2}{\frac {d[r,r''']_{2}}{dr'''}}+{\frac {3+4n^{2}}{2n^{2}(\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}r'''[r,r''']_{2}\right]\sin 2(p'''-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{3n(\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}2r'''^{2}{\frac {d[r,r''']_{3}}{dr'''}}+{\frac {3+9n^{2}}{3n^{2}(\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}r'''[r,r''']_{3}\right]\sin 3(p'''-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{4n(\left(1-16n^{2}\right)}}2r'''^{2}{\frac {d[r,r''']_{4}}{dr'''}}+{\frac {3+16n^{2}}{4n^{2}(\left(1-16n^{2}\right)}}r'''[r,r''']_{4}\right]\sin 4(p'''-p)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
$n=1-{\frac {dp}{dp'''}}=1-\left({\frac {r'''}{r}}\right)^{\frac {3}{2}},$
$r'''$ étant la distance moyenne de la Terre au Soleil, et $r$ celle de Saturne au Soleil.
2. On fera $z={\frac {r'''}{r}},$ et, prenant pour $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ les valeurs correspondantes données dans le n$^o$ 4 de la seconde Partie de la Théorie des variations séculaires, on déterminera les valeurs des quantités
$r'''[r,r'''],\quad r'''[r,r''']_{1},\ldots \quad 2r'''^{2}{\frac {d[r,r''']}{dr'''}},\quad 2r'''^{2}{\frac {d[r,r''']_{1}}{dr'''}},\ldots$
comme dans le n$^o$ 2 de la Section précédente, en changeant simplement $r''$ en $r'''$ dans les formules de ce numéro.
On aura donc d’abord
$z=0{,}104821,\quad \mathrm {M} =1{,}002749,\quad \mathrm {N} =0{,}052338,,$
et de là on trouvera
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}025152\qquad \qquad &\log \quad &0{,}0107882,\\(1)=&0{,}321044&&9{,}5065644,\\(2)=&0{,}041950&&8{,}6227320,\\(3)=&0{,}004397&&7{,}6431565,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}r'''[r,r''']\ \,=&0{,}105111\qquad \qquad &\log \quad &9{,}0216465,\\r'''[r,r''']_{1}=&0{,}011033&&8{,}0427070,\\r'''[r,r''']_{2}=&0{,}000870&&6{,}9394116,\\r'''[r,r''']_{3}=&0{,}000091&&5{,}9598912,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
${\begin{aligned}2r'''^{2}{\frac {d[r,r''']}{dr'''}}\ \,=&0{,}001166\qquad &\log .\quad &7{,}0666986,\\2r'''^{2}{\frac {d[r,r''']_{1}}{dr'''}}=&0{,}022249&&8{,}3473105,\\2r'''^{2}{\frac {d[r,r''']_{2}}{dr'''}}=&0{,}003479&&7{,}5414669,\\2r'''^{2}{\frac {d[r,r''']_{3}}{dr'''}}=&0{,}000365&&6{,}5618762,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$
3. Or, $n$ étant égal à $1-z^{\frac {3}{2}},$ on aura
$n=0{,}966063,$
et par ces substitutions la formule du n$^o$ 1 deviendra
$-\mathrm {T} \left[0{,}007151\sin(p'''-p)-0{,}001807\sin 2(p'''-p)\right.$
$\left.-0{,}000067\sin 3(p'''-p)-\ldots \right].$
Mettant donc pour $\mathrm {T}$ sa valeur en secondes $61'',4176$ (n$^o$ 4, Section précédente), on aura enfin
$-0''{,}4392\sin \left({\text{♁}}-{\text{Ϧ}}\right)+0''{,}1110\sin 2\left({\text{♁}}-{\text{Ϧ}}\right)+0''{,}0041\sin 3\left({\text{♁}}-{\text{Ϧ}}\right)+\ldots ,$
le lieu moyen ${\text{♁}}$ de la Terre étant, comme l’on sait, à $180$ degrés de celui du Soleil.
4. Les inégalités du mouvement du Soleil dues à l’action des Planètes principales sur la Terre ont été calculées d’abord par feu M. Euler dans la Pièce qui a remporté le Prix de l’Académie des Sciences de Paris pour 1756. Il n’y a que la partie de ce calcul qui concerne les inégalités de la longitude, qu’on, puisse regarder comme exacte, celle qui concerne les variations des aphélies et des excentricités étant fondée sur une analyse insuffisante, comme on peut s’en convaincre par notre Théorie des variations séculaires.
Pour les inégalités qui dépendent de Saturne, on ne trouve dans cette Pièce que le terme $-{\frac {1''}{2}}\sin \left({\text{♁}}-{\text{Ϧ}}\right)\,;$ et comme la masse de Saturne y est supposée de ${\frac {1}{3021}},$ tandis que nous l’avons réduite à ${\frac {1}{3358}},$ il faudra, pour comparer ce terme au terme correspondant $-0''{,}4392\sin \left({\text{♁}}-{\text{Ϧ}}\right)$ de notre formule, diminuer le coefficient ${\frac {1''}{2}}$ dans le rapport de $3358$ à $3021$ ou de $1$ à $1{,}1117,$ ce qui le réduira à $0''{,}4498,$ lequel diffère très-peu de celui que nous avons trouvé.
Au reste on voit, par les autres termes que nous avons encore calculés, qu’en effet ce premier terme, quelque peu considérable qu’il soit, est néanmoins le seul dont l’effet puisse être sensible.
5. Ce calcul est entièrement semblable à celui que nous venons d’exposer, et dépend des mêmes formules, en changeant seulement les lettres $\mathrm {T} ,r,p,$ relatives à Saturne, en $\mathrm {T} ',r',p'$ pour Jupiter.
On fera donc $z={\frac {r'''}{r'}},$ et l’on aura,(n$^o$ 4, seconde Partie des Variations séculaires)
$z=0{,}192271,\quad \mathrm {M} =1{,}009263,\quad \mathrm {N} =0{,}095689,$
d’où l’on tirera
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}088236\qquad \qquad &\log \quad &0{,}0367229,\\(1)=&0{,}619059&&9{,}7917319,\\(2)=&0{,}148080&&9{,}1704964,\\(3)=&0{,}033081&&8{,}5195786,\\(4)=&0{,}0067856&&7{,}8315883,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}r'''[r',r''']\,\ =&0{,}194086\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}2879938,\\r'''[r',r''']_{1}=&0{,}037493&&8{,}5739495,\\r'''[r',r''']_{2}=&0{,}005416&&7{,}7336483,\\r'''[r',r''']_{3}=&0{,}000871&&6{,}9398001,\\r'''[r',r''']_{4}=&0{,}000265&&6{,}4233208,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r'''^{2}{\frac {d[r',r''']}{dr'''}}\,\ =&0{,}007415\qquad \qquad &\log .\quad &7{,}8701287,\\2r'''^{2}{\frac {d[r',r''']_{1}}{dr'''}}=&0{,}077134&&8{,}8872459,\\2r'''^{2}{\frac {d[r',r''']_{2}}{dr'''}}=&0{,}020033&&8{,}3017547,\\2r'''^{2}{\frac {d[r',r''']_{3}}{dr'''}}=&0{,}005255&&7{,}7205579,\\2r'''^{2}{\frac {d[r',r''']_{4}}{dr'''}}=&0{,}000991&&6{,}9962445,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
6. Maintenant
$n=1-z^{\frac {3}{2}},$
ce qui donnera
$n=0{,}915692\,;$
et la formule des inégalités de la Terre dues à Jupiter deviendra
${\begin{aligned}-\mathrm {T} '&\left[+0{,}036497\sin(p'''-p')-0{,}013364\sin 2(p'''-p')\right.\\&\ \ -\left.0{,}000850\sin 3(p'''-p')-0{,}000126\sin 4(p'''-p')-\ldots \right]\end{aligned}}$
Il ne s’agira donc plus que d’y substituer pour $\mathrm {T} '$ sa valeur en secondes $193''{,}2775$ (Section précédente, n$^o$ 7), ce qui donnera
${\begin{aligned}-7''{,}0540\sin \ \ \left({\text{♁}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+&2''{,}5829\sin 2\left({\text{♁}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)\\+0''{,}1642\sin 3\left({\text{♁}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+&0''{,}0243\sin 4\left({\text{♁}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+\ldots .\end{aligned}}$
7. Dans la Pièce citée (4) les inégalités de la longitude du Soleil dues à l’action de Jupiter sont représentées par ces deux termes
$-7''{,}06\sin \left({\text{♁}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+2''{,}67\sin 2\left({\text{♁}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right),$
lesquels s’accordent assez bien avec les deux premiers termes de la formule précédente, la valeur de la masse de Jupiter étant d’ailleurs la même de part et d’autre, c’est-à-dire ${\frac {1}{1067}}.$
Ces mêmes inégalités ont de plus été calculées par Clairaut dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1754 ; et elles y sont exprimées par les termes
$-7''{,}1\sin \left({\text{♁}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)+2''{,}7\sin 2\left({\text{♁}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\right)$
qui s’accordent aussi à très-peu près avec les deux premiers de notre formule, quoiqu’un peu moins que ceux d’Euler.
À l’égard des autres termes de cette formule, on voit qu’ils ne sont presque d’aucune considération, mais il était nécessaire de les connaître pour être assuré de leur peu de valeur.
8. On emploiera encore pour ce calcul les mêmes formules que dans le § I, en changeant seulement les quantités $r,p,\mathrm {T} ,$ relatives à Saturne, en $r'',p'',\mathrm {T} ''$ pour Mars ; on pourra même le simplifier beaucoup, en déduisant immédiatement les valeurs des quantités
$r'''[r'',r'''],\quad r'''[r'',r''']_{1},\ldots \quad 2r'''^{2}{\frac {d[r'',r''']}{dr'''}},\quad 2r'''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{1}}{dr'''}},\ldots$
de celles de
$r''[r'',r'''],\quad r''[r'',r''']_{1},\ldots \quad 2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']}{dr''}},\quad 2r''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{1}}{dr''}},\ldots$
déjà données dans le § III de la Section troisième pour l’action de la Terre sur Mars ; nous avons donné les formules nécessaires pour cela dans le
$r$
$r''$
$r'$
$r'''.$
Faisant donc $z={\frac {r'''}{r''}}=0{,}656301,$ on aura
${\begin{alignedat}{2}r'''[r'',r''']\ \,=&0{,}751819\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}8761134,\\r'''[r'',r''']_{1}=&0{,}527995&&9{,}7226300,\\r'''[r'',r''']_{2}=&0{,}266138&&9{,}4251068,\\r'''[r'',r''']_{3}=&0{,}147346&&9{,}1683370,\\r'''[r'',r''']_{4}=&0{,}085226&&8{,}9305737,\\r'''[r'',r''']_{5}=&0{,}050547&&8{,}7036967,\\r'''[r'',r''']_{6}=&0{,}030443&&8{,}4835038,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
et ensuite
${\begin{alignedat}{2}2r'''^{2}{\frac {d[r'',r''']}{r'''}}\ \,=&0{,}528991\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}7234483,\\2r'''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{1}}{r'''}}=&1{,}612040&&0{,}2073758,\\2r'''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{2}}{r'''}}=&1{,}379525&&0{,}1397296,\\2r'''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{3}}{r'''}}=&1{,}069307&&0{,}0291023,\\2r'''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{4}}{r'''}}=&0{,}793601&&9{,}8996022,\\2r'''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{5}}{r'''}}=&0{,}574695&&9{,}7594374,\\2r'''^{2}{\frac {d[r'',r''']_{6}}{r'''}}=&0{,}409944&&9{,}6127245,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
9. Or
$n=1-z^{\frac {3}{2}}=0{,}468315\,;$
et de là on aura pour les inégalités dues à Mars,
${\begin{aligned}-\mathrm {T} '&\left[+3{,}881779\sin(p'''-p'')+31{,}170190\sin 2(p'''-p'')\right.\\&\left.\ \ -1{,}925284\sin 3(p'''-p'')-0{,}420867\sin 4(p'''-p''-\ldots \right].\end{aligned}}$
La valeur de $\mathrm {T} ''$ masse de Mars, telle que nous l’avons déterminée dans la Théorie des variations séculaires, est de ${\frac {1}{1846082}}$ en parties de celle du Soleil. En la multipliant par l’arc égal au rayon pour la réduire en secondes, elle devient $0''{,}111731\,;$ c’est la valeur qu’il faut substituer dans la formule précédente. On aura donc
${\begin{aligned}-0'',4337\sin \ \ \left({\text{♁}}-{\text{♂}}\right)&-3''{,}4827\sin 2\left({\text{♁}}-{\text{♂}}\right)\\+0''{,}2151\sin 3\left({\text{♁}}-{\text{♂}}\right)&+0''{,}0470\sin 4\left({\text{♁}}-{\text{♂}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$
10. Dans la même Pièce déjà citée (4), on trouve pour les inégalités de la longitude du Soleil dues à l’action de Mars ces deux termes
$-0''{,}403\sin \left({\text{♁}}-{\text{♂}}\right)-3''{,}231\sin 2\left({\text{♁}}-{\text{♂}}\right)\,;$
mais la masse de Mars y est supposée de ${\frac {1}{2000000}}.$ En augmentant donc les coefficients $0''{,}403$ et $3''{,}231$ dans le rapport de $1846082$ à $2000000,$ ils deviendront $0''{,}437$ et $3''{,}500,$ lesquels s’accordent, comme on voit, à très-peu près avec les deux premiers de notre formule.
À l’égard des autres termes de cette formule, on voit qu’ils peuvent être entièrement négligés, ne pouvant jamais monter qu’à des décimales de seconde.
11. La formule de ces variations sera encore la même que celle du § I en y changeant seulement les quantités $\mathrm {T} ,r,p,$ relatives à Saturne, en $\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ pour Vénus. Mais Vénus étant inférieure à la Terre, il faudra, pour la détermination des valeurs de
$r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}],\quad r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1},\ldots \quad 2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]}{dr'''}},\quad 2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}}{dr'''}},\ldots$
$r''$
$r'''$
$r'''$
$r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$
Faisant donc $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{r'''}},$ et prenant les valeurs correspondantes de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ dans le n$^o$ 4 de la seconde Partie des Variations séculaires, on aura
$z=0{,}723330,\quad \mathrm {M} =1{,}135963,\quad \mathrm {N} =0{,}336131\,;$
d’où l’on tire
${\begin{alignedat}{2}(0)=&4,996046\qquad \qquad &\log .\quad &0,6986264,\\(1)=&8,871529&&0,9479985,\\(2)=&7,387485&&0,8684966,\\(3)=&5,956443&&0,7749870,\\(4)=&4,709397&&0,6729654,\\(5)=&3,676619&&0,5653305,\\(6)=&2,844299&&0,4539753,\\(7)=&2,190188&&0,3404813,\\(8)=&1,685046&&0,2266118,\\(9)=&1,302760&&0,1148644,\\(10)=&1,021472&&0,0092265,\\(11)=&0,824360&&9,9161169,\\(12)=&0,699867&&9,8450155,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]\ \,=&1{,}192961\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0766261,\\r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}=&0{,}941995&&9{,}9740485,\\r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}=&0{,}527142&&9{,}7219282,\\r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{3}=&0{,}322858&&9{,}5090115,\\r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{4}=&0{,}206224&&9{,}3143386,\\r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{5}=&0{,}134908&&9{,}1300378,\\\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{6}=&0{,}089538\qquad \qquad &\log .\quad &8{,}9520073,\\r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{7}=&0{,}059894&&8{,}7773862,\\r'''[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{8}=&0{,}040119&&8{,}6033502,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]}{dr'''}}\ \,=&-3{,}556045\qquad \qquad &\log .\quad &{\overline {0}}{,}5932815,\\2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}}{dr'''}}=&-5{,}171886&&{\overline {0}}{,}7136489,\\2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}}{dr'''}}=&-4{,}049450&&{\overline {0}}{,}6073961,\\2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{3}}{dr'''}}=&-3{,}162854&&{\overline {0}}{,}5000790,\\2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{4}}{dr'''}}=&-2{,}451637&&{\overline {0}}{,}3894561,\\2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{5}}{dr'''}}=&-1{,}887421&&{\overline {0}}{,}2758688,\\2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{6}}{dr'''}}=&-1{,}445683&&{\overline {0}}{,}1600731,\\2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{7}}{dr'''}}=&-1{,}104162&&{\overline {0}}{,}0430328,\\2r'''^{2}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{8}}{dr'''}}=&-0{,}843539&&{\overline {9}}{,}9261051,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
12. La valeur de $n$ est ici égale à $1-{\frac {1}{z^{\frac {3}{2}}}},$ ce qui donne
$n=-0{,}625531.$
Par ces substitutions la formule des inégalités dues à Vénus deviendra
${\begin{aligned}-\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&\left[+9{,}820869\sin \ \ (p'''-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})-11{,}168298\sin 2(p'''-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\right.\\&-1{,}379716\sin 3(p'''-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})-\ \ 0{,}418198\sin 4(p'''-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\\&-\left.0{,}169076\sin 5(p'''-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})-\ \ 0{,}079229\sin 6(p'''-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})-\ldots \right].\end{aligned}}$
Et mettant pour $\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ masse de Vénus, sa valeur en secondes $0''{,}73989,$ comme dans le n$^o$ 17 de la Section précédente, il viendra
${\begin{aligned}-7''{,}2663\sin \ \ ({\text{♁}}-{\text{♀}})+&8''{,}2634\sin 2({\text{♁}}-{\text{♀}})\\+1''{,}0208\sin 3({\text{♁}}-{\text{♀}})+&0''{,}3094\sin 4({\text{♁}}-{\text{♀}})\\+0''{,}1251\sin 5({\text{♁}}-{\text{♀}})+&0''{,}0586\sin 6({\text{♁}}-{\text{♀}})+\ldots .\end{aligned}}$
13. Les inégalités du mouvement du Soleil produites par l’action de Vénus sur la Terre ont déjà été calculées plusieurs fois ; nous allons rapporter ici les résultats de ces différents calculs, pour les comparer à ceux du nôtre.
On trouve d’abord dans la Pièce déjà citée (4) la formule
$-5''{,}75\sin({\text{♁}}-{\text{♀}})+6{,}02\sin 2({\text{♁}}-{\text{♀}}).$
Mais la masse de Vénus y est supposée de ${\frac {1}{404762}}$ en parties de celle du Soleil, au lieu que nous l’avons faite de ${\frac {1}{278777}}.$ Il faudra donc augmenter les coefficients $5''{,}75$ et $6''{,}02$ dans la raison de ces deux valeurs, pour pouvoir comparer la formule précédente à la nôtre. Par là ils deviennent $8''{,}348$ et $8''{,}741,$ lesquels sont, comme on voit, assez différents de ceux des deux premiers termes de notre formule pour qu’on ne puisse attribuer cette différence qu’à quelque erreur dans les calculs. Or j’ai mis dans le mien assez de soin et de précision pour pouvoir répondre de son exactitude.
Ces mêmes inégalités ont ensuite été calculées par Clairaut dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1754. Il y donne la formule
${\begin{aligned}&-10''\sin \ \ ({\text{♁}}-{\text{♀}})+11''{,}5\sin 2({\text{♁}}-{\text{♀}})\\&+\ \ 1''{,}4\sin 3({\text{♁}}-{\text{♀}})+0''{,}4\sin 4({\text{♁}}-{\text{♀}}),\end{aligned}}$
en supposant la masse de Vénus de ${\frac {1}{198991}}$ de celle du Soleil. Il faudra
$278777$
$198991,$
${\begin{aligned}&-7''{,}14\sin \ \ ({\text{♁}}-{\text{♀}})+8''{,}21\sin 2({\text{♁}}-{\text{♀}})\\&+1''{,}00\sin 3({\text{♁}}-{\text{♀}})+0''{,}29\sin 4({\text{♁}}-{\text{♀}}),\end{aligned}}$
laquelle s’accorde, à quelques centièmes de seconde près, avec celle que nous avons trouvée de sorte que cet accord peut servir de confirmation à l’exactitude de toutes les deux.
Au reste Clairaut n’avait adopté pour la masse de Vénus la valeur rapportée que pour simplifier sa formule en réduisant le coefficient du premier terme à $10'',$ et afin d’en faciliter par là la comparaison avec les observations. L’abbé de la Caille remarqua bientôt que la Table construite sur la formule de Clairaut donnait des résultats trop forts, et en substitua dans ses Tables du Soleil une autre qui peut se réduire à cette formule
${\begin{aligned}&-8''{,}2\sin \ \ ({\text{♁}}-{\text{♀}})+9''{,}5\sin 2({\text{♁}}-{\text{♀}})\\&+1''{,}2\sin 3({\text{♁}}-{\text{♀}})+0''{,}3\sin 4({\text{♁}}-{\text{♀}}),\end{aligned}}$
laquelle ne diffère de celle de Clairaut qu’en ce que tous les coefficients sont diminués dans le rapport de $100$ à $82.$
Mayer a conservé la même Table dans son Recueil des Tables solaires, mais en réduisant encore les valeurs des équations aux deux cinquièmes ; car la plus grande équation, qui dans la Table de la Caille est de $15'',$ n’est plus que de $6''$ dans celle de Mayer.
Ainsi, suivant la Caille, la masse de Vénus serait de ${\frac {1}{242672}}$ et suivant Mayer elle ne serait que de ${\frac {1}{606680}}.$ Celle que nous avons adoptée est entre ces deux-ci, mais beaucoup plus près de la première que de la seconde et l’on peut voir, dans la seconde Partie de la Théorie des variations séculaires, comment nous avons été conduits à cette détermination, qui a d’ailleurs l’avantage de donner des résultats conformes aux observations relativement à un des principaux points de la Théorie du Soleil, le mouvement de son apogée.
14. Depuis, feu M. Euler a donné dans les Commentaires de Pétersbourg deux Mémoires dont le but est de montrer l’insuffisance de la méthode des séries dans la détermination des perturbations de la Terre causées par l’action de Vénus, et l’inexactitude des Tables que la Caille et Mayer en ont données d’après les formules que Clairaut avait trouvées par cette méthode. (Voyez le tome XVI des Novi Commentarii et la première Partie des Acta pour 1778.) L’Auteur y calcule les perturbations dont il s’agit par la méthode des quadratures, ou sommations arithmétiques, et il parvient à une Table toute différente de celles dont nous venons de parler, non-seulement pour la valeur des équations, mais aussi par rapport à leur marche. Il importait non-seulement à l’Astronomie, mais à l’Analyse même, de découvrir la cause d’une si grande différence entre les résultats des deux méthodes, surtout parce que la méthode des séries est comme la base de toutes les recherches sur le système du monde, et que si l’on était obligé d’abandonner cette méthode, on serait forcé aussi de renoncer à toute Théorie générale sur l’effet de l’attraction mutuelle des Planètes.
Heureusement on a reconnu que cette différence ne venait que de la manière d’appliquer la méthode des quadratures à la question dont il s’agit, et feu \mathrm M. Lexell a fait voir dans la seconde Partie des Actes de Pétersbourg pour 1779 qu’en faisant entrer dans le calcul toutes les circonstances nécessaires, il résultait de cette méthode une Table des perturbations de la Terre assez conforme à cette que donnent les formules déduites de l’autre méthode.
Enfin M. Fuss a calculé de nouveau ces perturbations par la méthode des séries dans la première Partie des Actes pour 1780, et il est arrivé à des résultats qui s’accordent avec ceux de M. Lexell, ainsi qu’avec la Table de l’abbé de la Caille déduite de la formules de Clairaut.
La conformité que nous avons trouvée entre celle-ci et la nôtre peut servir de confirmation à ces conclusions, et à assurer davantage la légitimité de la méthode des séries, sur laquelle toute la Théorie des variations du mouvement des Planètes est fondée.
15. Ce calcul dépend des mêmes formules que celui du paragraphe précédent, en y changeant seulement les quantités $\mathrm {T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} ,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ relatives à Vénus, dans les quantités $\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ relatives à Mercure.
On fera donc $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r'''}},$ et l’on aura par le n$^o$ 4 de la seconde Partie des Variations séculaires
$z=0{,}387100,\quad \mathrm {M} =1{,}037828,\quad \mathrm {N} =0{,}189854.$
De là on tire les valeurs suivantes
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}435919\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}1571301,\\(1)=&1{,}576071&&0{,}1975757,\\(2)=&0{,}747647&&9{,}8736965,\\(3)=&0{,}334310&&9{,}5241494,\\(4)=&0{,}144943&&9{,}1611973,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,=&1{,}040991\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0174471,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}=&0{,}411137&&9{,}6139864,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}=&0{,}120172&&9{,}0798017,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}=&0{,}038885&&8{,}5897774,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{4}=&0{,}013166&&8{,}1194463,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]}{dr{\text{v}}}}\ \,]=&-2{,}261744\qquad \qquad &\log .\quad &{\overline {0}}{,}3544435,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr{\text{v}}}}]=&-1{,}751040&&{\overline {0}}{,}2432960,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}}{dr{\text{v}}}}]=&-0{,}755787&&{\overline {9}}{,}8783995,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}}{dr{\text{v}}}}]=&-0{,}323100\qquad \qquad &\log .\quad &{\overline {9}}{,}5093370,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{4}}{dr{\text{v}}}}]=&-0{,}136390&&{\overline {9}}{,}1347825,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
16. La valeur de $n$ est exprimée ici, comme dans le paragraphe précédent, par $1-{\frac {1}{z^{\frac {3}{2}}}},$ de sorte qu’on aura
$n=-3{,}152076.$
Et de là on aura pour les inégalités dues à Mercure la formule
$-\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\left[0{,}376404\sin(p'''-p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})-0{,}009766\sin 2(p'''-p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}})-\ldots \right].$
En substituant pour $\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$ masse de Mercure, sa valeur en secondes $0''{,}101818,$ comme dans le n$^o$ 19 de la Section précédente, on aura
$-0''{,}0383\sin({\text{♁}}-{\text{☿}})+0''{,}0010\sin 2({\text{♁}}-{\text{☿}})+\ldots .$
On voit que cette correction est insensible ; aussi ne l’ai-je calculée que parce qu’elle ne l’avait pas encore été, et pour ne laisser aucun vide dans la Théorie dont il s’agit.
La Théorie de Vénus est une des plus importantes après celle de la Terre. Car cette Planète paraissant très-souvent et avec beaucoup d’éclat, elle peut être d’un grand usage pour y comparer la Lune dans l’observation des longitudes en mer. D’ailleurs la célébrité de ses derniers passages sur le disque du Soleil, et les recherches nombreuses que les observations de ces passages ont occasionnées relativement à la détermination de la parallaxe du Soleil, ont augmenté encore l’intérêt que cette partie de l’Astronomie peut inspirer par elle-même. Elles ont surtout fait souhaiter de connaître parfaitement les inégalités du mouvement de Vénus, pour être en état de mettre dans la détermination dont il s’agit toute la précision dont elle peut être susceptible. C’est donc une recherche très-nécessaire aux progrès de l’Astronomie que celle des dérangements que cette Planète peut éprouver de la part des autres Planètes en vertu de leur attraction mutuelle ; et les Astronomes ne pournont que me savoir gré du travail dont je vais exposer les résultats dans cette Section.
1. Nous pouvons emprunter des Sections précédentes les formules nécessaires pour ce calcul. Ainsi, en changeant seulement, dans celle du n$^o$ 1 de la Section quatrième, les quantités $r''',p''',$ relatives à la Terre, dans les quantités analogues $r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ relatives à Vénus, on aura pour les variations dont il s’agit la formule générale
${\begin{aligned}&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{n\left(1-n^{2}\right)}}2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}+{\frac {3+n^{2}}{n^{2}\left(1-n^{2}\right)}}r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}-{\frac {3+2n+n^{2}}{n^{2}\left(1-n^{2}\right)}}{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}}{r'^{2}}}\right]\\&\,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin \ \ (p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{2n\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}+{\frac {3+4n^{2}}{2n^{2}\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}\right]\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{3n\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{3}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}+{\frac {3+9n^{2}}{3n^{2}\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{3}\right]\sin 3(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{4n\left(1-16n^{2}\right)}}2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{4}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}+{\frac {3+16n^{2}}{4n^{2}\left(1-16n^{2}\right)}}r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{4}\right]\sin 4(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
dans laquelle
$n=1-{\frac {dp}{dp^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=1-\left({\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{r}}\right)^{\frac {3}{2}},$
$r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$
$r$
2. Pour la détermination des quantités
$r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2},\ldots ,\quad 2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\quad 2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\ldots ,$
on aura les mêmes formules que dans le n$^o$ 2 de la Section troisième, et changeant $r''$ en $r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.$
Faisant donc $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{r}},$ on aura par la Table du n$^o$ 4 de la seconde Partie des Variations séculaires
$z=0{,}056820,\quad \mathrm {M} =1{,}001437,\quad \mathrm {N} =0{,}037883,$
et de là on trouvera
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}0130516\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0056316,\\(1)=&0{,}229934&&9{,}3616037,\\(2)=&0{,}0218246&&8{,}3389464,\\(3)=&0{,}0027794&&7{,}4439510,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]\ \,=&0{,}0759293\qquad \qquad &\log .\quad &8{,}8804096,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}=&0{,}005761&&7{,}7604952,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}=&0{,}000327&&6{,}5138292,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]\ \,}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}000439\qquad \qquad &\log .\quad &6{,}6421676,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}011572&&8{,}0634084,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}001319&&7{,}1201460,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
3. Or
$n=1-z^{\frac {3}{2}}=0{,}979123\,;$
ainsi la formule ci-dessus deviendra par ces substitutions
$-\mathrm {T} \left[0{,}003074\sin(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p)-0{,}000648\sin ^{2}(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p)-\ldots \right].$
De sorte qu’en y mettant pour $\mathrm {T}$ sa valeur en secondes $61'',4176,$ on aura
$-0''{,}1888\sin({\text{♀}}-{\text{Ϧ}})+0''{,}0398\sin 2({\text{♀}}-{\text{Ϧ}})+\ldots .$
Cette correction étant fort au-dessous d’une seconde peut être négligée dans tous les cas ; mais il était nécessaire de s’assurer par le calcul qu’elle pouvait toujours l’être, ce que personne n’avait encore fait.
4. Pour ce calcul il n’y a qu’à changer dans la formule du n$^o$ 1 les quantités $r,p$ et $\mathrm {T} ,$ relatives à Saturne, en $r',p',\mathrm {T} '$ pour Jupiter.
Faisant donc $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{r'}},$ on aura par la Table citée
$z=0{,}139076,\quad \mathrm {M} =1{,}004841,\quad \mathrm {N} =0,069370,$
et de là on trouvera
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}044870\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0190622,\\(1)=&0{,}432801&&9{,}6362879,\\(2)=&0{,}075106&&8{,}8756746,\\(3)=&0{,}012641&&8{,}1017814,\\(4)=&0{,}0060326&&7{,}7805045,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\ \,]=&0{,}139756\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}1453697,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}=&0{,}019484&&8{,}2896697,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}=&0{,}002032&&7{,}3078605,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{3}=&0{,}000223&&6{,}3476703,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]\ \,}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}002750\qquad \qquad &\log .\quad &7{,}4393327,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}039544&&8{,}5970850,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}008212&&7{,}9144331,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{3}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}001501&&7{,}1764906,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
5. La valeur de $n$ étant toujours exprimée par $1-z^{\frac {3}{2}},$ elle sera dans le cas présent
$n=0{,}948135,$
et la formule des inégalités dues à Jupiter deviendra
${\begin{aligned}-\mathrm {T} '&\left[0{,}015067\sin(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p')-0{,}004474\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p')\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ -\left.0{,}001100\sin 3(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p')-\ldots \right].\end{aligned}}$
Mettant donc pour $\mathrm {T} '$ sa valeur en secondes $193''{,}2775,$ il viendra
$-2''{,}9121\sin({\text{♀}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon })+0''{,}8647\sin 2({\text{♀}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon })+0''{,}2126\sin 3({\text{♀}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon })+\ldots .$
On voit qu’il n’y a que le premier terme, qui dépend de la distance simple de Vénus à Jupiter, qui puisse être sensible ; encore, étant au-dessous de $3$ secondes, il pourra être négligé tant que l’exactitude des observations ne pourra pas atteindre à la précision des secondes.
6. On changera dans la même formule du n$^o$ 1 les quantités $r,p,\mathrm {T} ,$ relatives à Saturne, dans les quantités $r'',p'',\mathrm {T} ''$ relatives à Mars, et l’on suivra du reste le même procédé dans le calcul.
Mais on pourra abréger ce calcul en partant des quantités que nous avons déjà calculées dans le § IV de la Section troisième pour l’action de Vénus sur Mars, et employant les formules données dans le n$^o$ 2 de la Section deuxième, comme nous en avons usé dans le § III de la Section précédente.
Ainsi, faisant
$z={\frac {dr''}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=0{,}139076,$
on aura
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]\ \,=&0{,}505488\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}7037108,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}=&0{,}247619&&9{,}3937839,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}=&0{,}089106&&8{,}9499059,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{3}=&0{,}035429&&8{,}5493647,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{4}=&0{,}014739&&8{,}1684840,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{5}=&0{,}006262&&7{,}7967414,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]\ \,}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}142387\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}1534703,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}599828&&9{,}7780267,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}398531&&9{,}6004621,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{3}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}230419&&9{,}3625183,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{4}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}126023&&9{,}1004499,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{5}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}067174&&8{,}8272012,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
7. La valeur de $n$ étant encore exprimée par $1-z^{\frac {3}{2}},$ elle sera ici
$n=0{,}672915,$
et la formule des inégalités dues à Mars deviendra
$-\mathrm {T} ''\left[0{,}715104\sin(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p'')-0{,}948534\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p'')-\ldots \right].$
De sorte qu’en y substituant pour $\mathrm {T} '',$ masse de Mars, sa valeur en secondes $0''{,}1117,$ on aura
$-0''{,}0799\sin({\text{♀}}-{\text{♂}})+0''{,}1060\sin 2({\text{♀}}-{\text{♂}})+\ldots .$
Cette correction ne montant pas même à une seconde, on pourra teujours la regarder comme nulle.
8. On suivra encore dans ce calcul le même procédé et les mêmes formules que dans celui du paragraphe précédent, en changeant seulement les quantités $r'',p'',\mathrm {T} '',$ relatives à Mars, en $r''',p''',\mathrm {T} ''',$ et faisant usage des valeurs déjà calculées dans le § IV de la Section précédente pour l’action de Vénus sur la Terre, d’après les formules données dans le n$^o$ 2 de la Section deuxième.
On aura donc
$z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{r'''}}=0{,}723330\,;$
et de là on trouvera
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]\ \,=&0{,}862904\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}9359626,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}=&0{,}681373&&9{,}8333850,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}=&0{,}381298&&9{,}5812645,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{3}=&0{,}233533&&9{,}3683480,\\\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{4}=&0{,}149168\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}1736751,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{5}=&0{,}097583&&8{,}9893743,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{6}=&0{,}064765&&8{,}8113438,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{7}=&0{,}043323&&8{,}6367227,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{8}=&0{,}029019&&8{,}4626867,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]\ \,}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}8601308\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}9345641,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&2{,}378334&&0{,}3762546,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&2{,}166493&&0{,}3357567,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{3}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&1{,}820720&&0{,}2602432,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{4}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&1{,}475006&&0{,}1687938,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{5}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&1{,}170062&&0{,}0682088,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{6}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}916176&&9{,}9619790,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{7}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}712027&&9{,}8524965,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}]_{8}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&0{,}552119&&9{,}7420326,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
9. Or
$n=1-z^{\frac {3}{2}}=0{,}384817\,;$
donc, en faisant ces différentes substitutions, la formule des variations dues à la Terre deviendra
${\begin{aligned}-\mathrm {T} '''&\left[+\ \ 8{,}009396\,\sin \ \ (p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p''')+18{,}250004\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p''')\right.\\&-11{,}584334\sin 3(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p''')-\ \ 1{,}687239\sin 4(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p''')\\&-\left.\ \ 0{,}551945\sin 5(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p''')-\ \ 0{,}231833\sin 6(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-p''')-\ldots \right].\end{aligned}}$
Ainsi, en mettant pour $\mathrm {T} '''$ masse de la Terre, sa valeur en secondes $0''{,}5645,$ on aura
${\begin{aligned}-4''{,}5217\sin \ \ ({\text{♀}}-{\text{♁}})&-10''{,}3030\sin 2({\text{♀}}-{\text{♁}})\\+6''{,}5399\sin 3({\text{♀}}-{\text{♁}})&+\ \ 0''{,}9525\sin 4({\text{♀}}-{\text{♁}})\\+0''{,}3116\sin 5({\text{♀}}-{\text{♁}})&+\ \ 0''{,}1308\sin 6({\text{♀}}-{\text{♁}})+\ldots .\end{aligned}}$
10. M. de Lalande était jusqu’à présent le seul qui eût cherché à déterminer les inégalités périodiques de Vénus ; encore s’était-il contenté de calculer celles qui dépendent de l’action de la Terre, comme les plus sensibles, à cause de la proximité des orbites de ces deux Planètes.
Son calcul se trouve parmi les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1760, et il donne pour résultat ces deux termes
$-9''{,}6\sin({\text{♀}}-{\text{♁}})-22''{,}0\sin 2({\text{♀}}-{\text{♁}}),$
qui répondent, comme on voit, aux deux premiers termes de la formule que nous venons de trouver, mais avec des coefficients presque deux fois plus grands.
Cette différence dans les coefficients vient de celle dans les valeurs adoptées pour la masse de la Terre. M. de Lalande s’en est tenu à la valeur donnée par Newton, laquelle est de ${\frac {1}{169282}}$ en parties de la masse du Soleil, au lieu que nous l’avons réduite à ${\frac {1}{365361}}$ d’après les déterminations les plus exactes des parallaxes du Soleil et de la Lune. (Voyez le n$^o$ 6 de la seconde Partie de la Théorie des variations séculaires.) Il faudra donc, pour comparer les deux premiers termes de notre formule à ceux que M. de Lalande a trouvés, augmenter les coefficients de ceux-là dans le rapport de $169282$ à $365361,$ ce qui les réduira à ceux-ci qui s’accordent, comme on voit, aux dixièmes de seconde près, avec ceux de la formule de M. de Lalande.
Mais, outre les deux termes dont il s’agit, notre formule en contient encore un dont le coefficient est assez considérable pour ne pouvoir pas être négligé, comme M. de Lalande l’a fait. C’est le terme
$6''{,}5399\sin 3({\text{♀}}-{\text{♁}}),$
qui doit influer d’autant plus dans la valeur de la formule, qu’il est de signe contraire aux deux premiers. Ainsi la Table, que M. de Lalande a donnée dans les Mémoires cités et dans la Connaissance des Temps de 1762 pour les inégalités de Vénus dues à l’action de la Terre ; doit être recalculée d’après la formule que nous venons de trouver.
11. La formule du n$^o$ 1 servira encore pour Mercure, en y changeant seulement les quantités $r,p,\mathrm {T}$ en $r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,;$ mais, comme cette Planète est inférieure à Vénus, il faudra déterminer les valeurs des quantités
$r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}],\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1},\quad 2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\ldots ,\quad 2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\ldots ,$
par des formules analogues à celles du § III de la Section troisième, après y avoir changé les quantités $r''$ en $r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ et $r'''$ en $r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$ pour les rapporter au cas présent.
On fera donc $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},$ et l’on aura d’abord par la Table du n$^o$ 4 de la seconde Partie des Variations séculaires
$z=0{,}535164,\quad \mathrm {M} =1{,}072986,\quad \mathrm {N} =0{,}257625\,;$
d’où l’on trouvera
${\begin{alignedat}{2}(0)=&2{,}107096\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}3236844,\\(1)=&3{,}035496&&0{,}4822297,\\(2)=&1{,}950867&&0{,}2901609,\\\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}(3)=&1{,}192407\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0764244,\\(4)=&0{,}708704&&9{,}8504648,\\(5)=&0{,}413817&&9{,}6168083,\\(6)=&0{,}239042&&9{,}3784742,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{aligned}r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,=&1{,}086081\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0358622,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}=&0{,}605705&&9{,}7822615,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}=&0{,}246589&&9{,}3919731,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}=&0{,}110767&&9{,}0444097,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{4}=&0{,}052084&&8{,}7167062,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&-2{,}589705\qquad \qquad &\log .\quad &{\overline {0}}{,}4132503,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&-2{,}771835&&{\overline {0}}{,}4427674,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&-1{,}638514&&{\overline {0}}{,}2144502,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&-0{,}961669&&{\overline {9}}{,}9830257,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}{\frac {d[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{4}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=&-0{,}557815&&{\overline {9}}{,}7464901,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
12. La valeur de $n$ sera ici
$n=1-{\frac {d1}{dz^{\frac {3}{2}}}}=-1{,}554288\,;$
et la formule des inégalités dues à Mercure deviendra
$-\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\left[0{,}136642\sin(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})-0{,}066733\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})-\ldots \right].$
$\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$
$0''{,}1018,$
$-0''{,}0139\sin({\text{♀}}-{\text{☿}})+0''{,}0068\sin 2({\text{♀}}-{\text{☿}})+\ldots .$
Comme cette correction est toujours au-dessous d’un dixième de seconde, elle peut être réputée nulle dans tous les cas.
Mercure, par sa petitesse et par sa proximité du Soleil, est de toutes les Planètes principales celle qui attire le moins notre attention. Mais les Astronomes, occupés à examiner toutes les parties du grand édifice du Système du monde, et pour qui tout phénomène céleste est également précieux, mettent la Théorie de Mercure sur la même ligne que celle des autres Planètes, et y attachent même d’autant plus d’importance qu’elle présente plus de difficultés. La rareté des observations de cette Planète, qui ne peuvent être faites que dans ses passages sur le Soleil, et surtout l’insuffisance de celles que les anciens nous ont tran\sinises, ont retenu jusqu’ici la Théorie de Mercure dans un état d’imperfection que l’observation du dernier passage n’a que trop confirmé. Cette Théorie demande donc encore les recherches des Astronomes, et celles qui font l’objet de cette Section pourront y être utiles, en offrant le calcul des principales inégalités périodiques dues à la gravitation universelle.
1. Mercure étant comme Vénus inférieur à Saturne, on aura pour les variations cherchées une formule semblable à celle du § 1 de la Section précédente, en y changeant seulement les quantités $r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ relatives à Vénus, dans les quantités analogues $r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ relatives à Mercure. Cette formule sera donc
${\begin{aligned}&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{n(\left(1-n^{2}\right)}}2r^{\text{v2}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}+{\frac {3+n^{2}}{n^{2}(\left(1-n^{2}\right)}}r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}-{\frac {3+2n+n^{2}}{n^{2}(\left(1-n^{2}\right)}}{\frac {r^{\text{v2}}}{r^{2}}}\right]\\&\ \ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,\times \sin \ \ (p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{2n(\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}2r^{\text{v2}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}+{\frac {3+4n^{2}}{2n^{2}(\left(1-\ \ 4n^{2}\right)}}r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}\right]\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{3n(\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}2r^{\text{v2}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}+{\frac {3+9n^{2}}{3n^{2}(\left(1-\ \ 9n^{2}\right)}}r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}\right]\sin 3(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p)\\&-\mathrm {T} \left[{\frac {1}{4n(\left(1-16n^{2}\right)}}2r^{\text{v2}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{4}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}+{\frac {3+16n^{2}}{4n^{2}(\left(1-16n^{2}\right)}}r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{4}\right]\sin 4(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$
dans laquelle
$n=1-{\frac {dp}{dp^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=1-\left({\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r}}\right)^{\frac {3}{2}},$
$r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ étant la distance moyenne de Mercure au Soleil, et $r$ celle de Saturne au Soleil.
2. On déterminera toujours les quantités
$r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1},\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2},\ldots ,\quad 2r^{\text{v2}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}},\quad 2r^{\text{v2}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}},\ldots$
par des formules semblables à celles du n$^o$ 2 de la Section troisième, en y changeant $r''$ en $r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}.$
Ainsi, en faisant $z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r}},$ on aura d’abord par la Table du n$^o$ 4 de la seconde Partie de la Théorie des variations séculaires
$z=0{,}040576,\quad \mathrm {M} =1{,}00411,\quad \mathrm {N} =0{,}020284,$
de là on trouvera
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}003714\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0016099,\\(1)=&0{,}122106&&9{,}0867364,\\(2)=&0{,}006252&&7{,}7959912,\\(3)=&0{,}002257&&7{,}3535316,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,=&0{,}040593\qquad \qquad &\log .\quad &8{,}6084480,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}=&0{,}001647&&7{,}2167936,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}=&0{,}000049&&5{,}6931140,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r^{\text{v2}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}000167\qquad \qquad &\log .\quad &6{,}2224563,\\2r^{\text{v2}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}003299&&7{,}5183862,\\2r^{\text{v2}}{\frac {d[r,r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}000204&&6{,}3094172,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
3. Or
$n=1-z^{\frac {3}{2}}=0{,}991827\,;$
donc, faisant ces substitutions dans la formule précédente, elle deviendra
$-\mathrm {T} \left[0{,}000625\sin(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p)-0{,}000094\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p)-\ldots \right]\,;$
de sorte qu’en mettant pour $\mathrm {T}$ sa valeur en secondes $61'',4176,$ on aura
$-0''{,}0384\sin({\text{☿}}-{\text{Ϧ}})+0''{,}0058\sin 2({\text{☿}}-{\text{Ϧ}})+\ldots .$
4. On changera dans la formule du n$^o$ 1 les quantités $r,p,\mathrm {T} ,$ relatives à Saturne, dans les quantités $r',p',\mathrm {T} '$ relatives à Jupiter, et l’on suivra du reste le même procédé.
Faisant donc $z={\frac {dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dr'}},$ on aura par la Table citée
$z=0{,}074428,\quad \mathrm {M} =1{,}001385,\quad \mathrm {N} =0{,}037188,$
${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}012573\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0054263,\\(1)=&0{,}225621&&9{,}3533794,\\(2)=&0{,}020948&&8{,}3211426,\\(3)=&0{,}001315&&7{,}1189588,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,=&0{,}074531\qquad \qquad &\log .\quad &8{,}8723395,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}=&0{,}005551&&7{,}7443831,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}=&0{,}000311&&6{,}4922547,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
enfin
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}000415\qquad \qquad &\log .\quad &6{,}6179434,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}011148&&8{,}0471970,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}001240&&7{,}0933516,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
5. La valeur de $n$ étant
$n=1-z^{\frac {3}{2}}=0{,}979695,$
on trouvera pour la formule des variations dont il s’agit
$-\mathrm {T} '\left[0{,}002944\sin(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p')-0{,}000613\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p')-\ldots \right].$
En mettant pour $\mathrm {T} '\,;$ masse de Jupiter, sa valeur en secondes $193'',2775,$ on aura enfin
$-0''{,}5690\sin({\text{☿}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon })+0''{,}1184\sin 2({\text{☿}}-\mathbb {Z} \!^{\upsilon })+\ldots .$
6. On emploiera toujours les mêmes formules que dans le § I, en y changeant simplement $r,p,\mathrm {T}$ en $r'',p'',\mathrm {T} '',$ pour substituer aux quantités relatives à Saturne les quantités analogues relatives à Mars ; et, comme les valeurs de
$r''[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}],\quad r''[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1},\ldots ,\quad 2r''^{2}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]}{dr''}},\quad 2r''^{2}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr''}},\ldots$
ont déjà été calculées dans le § V de la Section troisième, on en pourra déduire immédiatement celles de
$r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}],\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1},\ldots ,\quad 2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}},\quad 2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}},\ldots$
par les formules données dans le n$^o$ 2 de la Section deuxième.
Ainsi faisant
$z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r''}}=0{,}254054,$
on aura d’abord
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,=&0{,}258309\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}4121389,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}=&0{,}066171&&8{,}8206682,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}=&0{,}012642&&8{,}1018183,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}017675\qquad \qquad &\log .\quad &8{,}2473594,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}139136&&9{,}1434395,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r'',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}052024&&8{,}7162037,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$
7. Or
$n=1-z^{\frac {3}{2}}=0{,}871947\,;$
donc, faisant ces différentes substitutions dans la formule générale, elle deviendra
$-\mathrm {T} ''\left[0{,}081663\sin(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p'')-0{,}039223\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p'')-\ldots \right]\,;$
par conséquent, en mettant pour $\mathrm {T} '',$ masse de Mars, sa valeur en secondes $0''{,}1117,$ il viendra pour la
$-0''{,}0091\sin({\text{☿}}-{\text{♂}})+0''{,}0044\sin 2({\text{☿}}-{\text{♂}})+\ldots .$
8. Ce calcul dépend encore des mêmes formules que celui du paragraphe précédent, en changeant seulement les quantités $r'',p'',\mathrm {T} ''$ en $r''',p''',\mathrm {T} ''',$ et faisant usage des valeurs déjà calculées dans le § V de la Section quatrième.
On fera donc, comme dans cet endroit,
$z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r'''}}=0{,}387100,$
et l’on aura
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,=&0{,}402968\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}6052703,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}=&0{,}159151&&9{,}2018096,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}=&0{,}046518&&8{,}6676249,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}=&0{,}015052&&8{,}1776006,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]\ \,}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}060585\qquad \qquad &\log .\quad &8{,}8425156,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}359525&&9{,}5557291,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}199528\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}3000038,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {d[r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}}{dr^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}094868&&8{,}9775773,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
9. Mais
$n=1-z^{\frac {3}{2}}=0{,}759157\,;$
donc, faisant ces substitutions dans la formule des variations de Mercure, elle deviendra
$-\mathrm {T} '''\left[0{,}092134\sin(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p''')-0{,}834493\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p''')-\ldots \right].$
D’où, en mettant pour $\mathrm {T} ''$ masse de la Terre, sa valeur en secondes $0''{,}564549,$ on aura
$-0''{,}0520\sin({\text{☿}}-{\text{♁}})+0''{,}4711\sin 2({\text{☿}}-{\text{♁}})+\ldots .$
10. Les formules qu’on a employées jusqu’ici serviront encore pour ce calcul, puisque Mercure est également inférieur à Vénus. On changera donc simplement, dans la formule du § I, les quantités $r,p,\mathrm {T}$ en $r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et l’on partira des valeurs déjà calculées dans le § V de la Section cinquième, pour avoir celles de
$r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}],\quad r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1},\ldots ,$
comme on en a usé ci-dessus.
On fera ainsi
$z={\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=0{,}535164,$
${\begin{alignedat}{2}r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{0}=&0{,}581231\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}7643490,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}=&0{,}324152&&9{,}5107483,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}=&0{,}131965&&9{,}1204599,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}=&0{,}059278&&8{,}7728965,\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{4}=&0{,}027873&&8{,}4451930,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
ensuite
${\begin{alignedat}{2}2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{0}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}223454\qquad \qquad &\log .\quad &9{,}3491882,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{1}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}835079&&9{,}9217276,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{2}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}612944&&9{,}7874209,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{3}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}396095&&9{,}5977994,\\2r^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}{\frac {[r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}]_{4}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}}=&0{,}242776&&9{,}3851950,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$
11. Or
$n=1-z^{\frac {3}{2}}=0{,}608502\,;$
donc la formule des variations dont il s’agit deviendra
${\begin{aligned}-\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&\left[+1{,}339359\sin(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})-2{,}706669\sin 2(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\right.\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-0{,}237901\sin 3(p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})-\ldots \right].\end{aligned}}$
De sorte qu’en substituant pour $\mathrm {T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} ,$ masse de Vénus, sa valeur en secondes $0''{,}739892,$ on aura
$-0''{,}9910\sin({\text{☿}}-{\text{♀}})+2''{,}0026\sin 2({\text{☿}}-{\text{♀}})+0''{,}1760\sin 3({\text{☿}}-{\text{♀}})+\ldots .$
12. Les inégalités de Mercure dont nous venons de donner le calcul sont, comme l’on voit, trop petites pour qu’on y puisse avoir égard dans l’état d’imperfection où les Tables de cette Planète se trouvent encore. Mais ce calcul était nécessaire pour s’assurer de la véritable valeur de $c$es inégalités, et il sert d’ailleurs à compléter la Théorie que nous nous sommes engagé de donner sur les variations périodiques des Planètes dépendantes uniquement de leurs distances héliocentriques.
$\quad$Dans plusieurs passages du Mémoire qui précède, Lagrange laisse entrevoir le projet qu’il avait formé de compléter son travail par le calcul des inégalités périodiques des Planètes, qui dépendent des excentricités et des inclinaisons. L’illustre Auteur n’a pas donné suite à ce projet, et il en fait comprendre la raison dans la seconde des deux Notes suivantes qu’il a publiées dans le Recueil de l’Académie de Berlin, et que nous croyons devoir reproduire ici.
Ce Mémoire doit être regardé comme un Supplément à ceux que j’ai donnés en 1782 et 1784, et qui contiennent l’application de la Théorie des variations séculaires et périodiques aux anciennes Planètes principales. J’avais entrepris depuis d’étendre cette application à la nouvelle Planète découverte par M. Herschel mais, pendant que je m’occupais de ce travail, M. du Val le Roi me fit l’honneur de m’envoyer celui qu’il venait de faire sur le même objet ; et je vis avec plaisir que son Ouvrage remplissait le but que je m’étais proposé et rendait le mien inutile. C’est par cette raison que je prends la liberté de le présenter à l’Académie ; je désire qu’elle le trouve assez intéressant pour mériter d’avoir place dans le Recueil qu’elle publie.
Dans la première Partie de la Théorie des variations périodiques des Planètes, imprimée dans le volume de 1783, je me suis contenté de donner le développement de mes formules générales pour les variations indépendantes des excentricités et des inclinaisons ; et dans la seconde Partie, imprimée dans le volume de 1784, j’en ai fait l’application aux six anciennes Planètes principales. La découverte d’une septième Planète exigeait une Addition à ce travail, ainsi qu’à celui sur les équations séculaires. Cet objet se trouve rempli dans le Mémoire de M. du Val le Roi imprimé dans le volume de 1787. Dans le suivant, le même Auteur donne d’abord un développement complet de mes formules pour les variations périodiques, et il en fait ensuite l’application à la nouvelle Planète ; de sorte que ce Mémoire contient en même temps une Addition à son premier Mémoire et un Supplément à mon Mémoire de 1784 ; c’est à ce double titre que je l’offre à l’Académie, et que je désire qu’il puisse aussi avoir place dans son Recueil.
* ↑ Page 219 de ce volume.
* ↑ Pages 238 et 239 de ce volume.