# L’Encyclopédie/1re édition/CADRAN ou CADRAN SOLAIRE

CADRAN ou CADRAN SOLAIRE, (Ordre encyclopédique. Entend. Raison. Philosophie ou Science. Science de la nature. Mathématiques. Mathématiques mixtes. Astronomie géométrique. Gnomonique, ou Art de faire des Cadrans.) c’est une surface sur laquelle on trace certaines lignes qui servent à mesurer le tems par le moyen de l’ombre du soleil sur ces lignes. Voyez Tems & Ombre.
Les anciens donnoient aussi aux cadrans le nom de sciatériques, parce que l’ombre, σκία, sert à y marquer les heures.
On définit plus exactement le cadran, la description de certaines lignes sur un plan ou sur la surface d’un corps donné, faite de telle maniere que l’ombre d’un style, ou les rayons du soleil passant à-travers un trou pratiqué au style, tombent sur de certains points à certaines heures. Voyez Style.
La diversité des cadrans solaires vient de la différente situation des plans & de la différente figure des surfaces sur lesquelles on les décrit : c’est pourquoi il y a des cadrans équinoctiaux, horisontaux, verticaux, polaires, directs, élevés, déclinans, inclinans, réclinans, cylindriques, &c. Voy. Plan, Gnomonique.
Pour montrer l’heure sur la surface des cadrans, on y met deux sortes de styles : l’un appellé droit, qui consiste en une verge pointue, laquelle par son extrémité & par la pointe de son ombre, marque l’heure ou partie d’heure qu’il est. Au lieu de ces verges, on peut se contenter d’une plaque de métal, élevée parallelement au cadran, & percée d’un trou par où passe l’image du soleil : ce trou représente l’extrémité supérieure de la verge, comme on le voit à presque toutes les méridiennes. V. Méridienne. L’autre espece de style est nommé style oblique ou incliné, ou bien axe, & montre l’heure par une ombre étendue.
Le bout du style droit de tous les cadrans représente le centre du monde, & par conséquent aussi le centre de l’horison, de l’équateur, des méridiens, des verticaux, &c. en un mot de tous les grands cercles de la sphere. Le plan du cadran est supposé éloigné du centre de la terre d’une quantité égale à la longueur du style droit.
En effet, la distance du soleil au centre de la terre est si grande, que l’on peut regarder tous les points de la superficie de la terre que nous habitons, comme s’ils étoient réunis au centre, sans que l’on puisse s’appercevoir que la différence de leur distance réciproque, qui est tout au plus le diametre de la terre, apporte aucun changement sensible au mouvement journalier du soleil autour du centre de la terre, ou autour d’une ligne qui représente ce centre, & que l’on nomme l’axe du monde. C’est pourquoi l’extrémité du style de tous les cadrans peut être prise pour le centre de la terre, & la ligne parallele à l’axe du monde qui passe par l’extrémité de ce style, peut être considérée comme l’axe du monde.
Les lignes horaires que l’on trace sur les plans des cadrans sont la rencontre des cercles horaires, c’est-à-dire des méridiens où le soleil se trouve aux différentes heures, avec le plan du cadran.
Le centre du cadran est la rencontre de sa surface avec l’axe du cadran qui passe par l’extrémité du style & qui est parallele à l’axe du monde. Toutes les lignes horaires se rencontrent au centre du cadran ; d’où il s’ensuit qu’une ligne tirée par l’extrémité du style & par le point de rencontre des lignes horaires, est parallele à l’axe du monde.
Tous les plans des cadrans peuvent avoir un centre, excepté ceux dont le plan est placé de maniere qu’il soit parallele à l’axe du monde ; car alors la ligne tirée par l’extrémité du style parallelement à cet axe, est parallele au plan du cadran, & par conséquent elle ne rencontre point ce plan : ainsi le cadran n’a point alors de centre, & les lignes horaires ne se rencontrent point ; par conséquent elles sont paralleles.
La verticale du plan du cadran est une ligne qui passant par l’extrémité du style, rencontre perpendiculairement ce plan, & y détermine le pié ou le lieu du style. On appelle hauteur du style, la distance du pié du style à sa pointe.
La ligne horisontale est une ligne parallele à l’horison, qui est la rencontre du plan du cadran avec un plan horisontal, qu’on imagine passer par la pointe ou par le pié du style.
La verticale du lieu est à ligne droite, qui passant par le pié du style, est perpendiculaire à l’horison.
On appelle encore verticale celle des lignes d’un cadran, qui passant par le pié du style, est perpendiculaire à la ligne horisontale : cette ligne est la section que fait avec la surface du cadran, le cercle vertical qui lui est perpendiculaire.
Il y a aussi deux méridiennes, dont l’une est la méridienne propre du plan ou la soûstylaire, parce que son cercle qui est un des méridiens, passe par la verticale du plan, & par conséquent par le pié du style ; l’autre qui est la méridienne du lieu, a son cercle méridien qui passe par la verticale du lieu.
Lorsque le cadran ne décline point vers l’orient ou vers l’occident, c’est-à-dire qu’il regarde directement le nord ou le midi, ces deux méridiennes se confondent.
La ligne équinoctiale est la section ou rencontre du plan du cadran avec le plan de l’équinoctial ou de l’équateur : cette ligne est toûjours d’équerre avec la soûstylaire.
Le point où se rencontrent la soûstylaire & la méridienne, est le centre du cadran ; car le centre du cadran est déterminé par la rencontre de deux lignes qui soient les sections du plan du cadran avec deux méridiens. Or la soûstylaire & la méridienne sont les sections du plan du cadran avec deux méridiens : ainsi le point où ces deux lignes se rencontrent, doit être le centre. Ces principes posés, nous allons enseigner la description des principaux cadrans. Voyez Bion.
Les cadrans se distinguent quelquefois en deux especes.
Les cadrans de la premiere espece sont ceux qui sont tracés sur le plan de l’horison, & que l’on appelle cadrans horisontaux ; ou bien perpendiculaires à l’horison sur les plans du méridien ou du premier vertical, & qui sont appellés cadrans verticaux ; au nombre desquels on met aussi ordinairement ceux que l’on trace sur des plans polaires & équinoctiaux, quoiqu’ils ne soient ni horisontaux, ni verticaux.
Les cadrans de la seconde espece sont ceux qui sont tracés sur des plans déclinans, ou inclinés, ou reclinés, ou déinclinés. On trouvera dans la suite de cet article les explications de tous ces mots.
Le cadran équinoctial se décrit sur un plan équinoctial, c’est-à-dire sur un plan qui représente l’équateur. Voyez Equinoctial & Equateur.
Un plan oblique à l’horison s’incline d’un côté, & fait un angle aigu avec l’horison, ou se renverse en arriere en faisant un angle obtus : on appelle ce dernier un plan réclinant ; si sa réclinaison est égale au complément de la latitude du lieu, il se trouve dans le plan de l’équinoctial : ainsi un cadran tracé dessus, prend le nom de cadran équinoctial.
Les cadrans équinoctiaux se distinguent ordinairement en supérieurs, qui regardent le zénith, & en inférieurs qui regardent le nadir.
Or comme le soleil n’éclaire que la surface supérieure d’un plan équinoctial, quand il est sur notre hémisphere ou du côté septentrional de l’équateur, un cadran équinoctial supérieur ne marquera les heures que dans les saisons du printems & de l’été.
De même, comme le soleil n’éclaire que la surface inférieure d’un plan équinoctial, quand il est dans l’hémisphere méridional ou de l’autre côté de l’équateur, un cadran équinoctial inférieur ne marquera les heures qu’en automne & en hyver.
C’est pourquoi afin d’avoir un cadran équinoctial qui serve pendant toute l’année, il faut joindre ensemble le supérieur & l’inférieur ; c’est-à-dire, qu’il faut tracer un cadran sur chaque côté du plan.
Et puisque le soleil luit pendant tout le jour sur l’un ou l’autre côté d’un plan équinoctial, un cadran de cette espece marquera toutes les heures d’un jour quelconque.
Tracer géométriquement un cadran équinoctial. Le cadran équinoctial est le premier, le plus aisé & le plus naturel de tous : mais la nécessité de le faire double, est cause que l’on n’en fait pas un grand usage. Néantmoins comme sa construction fait entendre celle des cadrans des autres especes, & qu’elle fournit même une bonne méthode de les tracer, nous allons en enseigner ici la pratique.
1$^o$. Pour décrire un cadran équinoctial supérieur d’un centre C, (Pl. I. de Gnomon. fig. 4.) décrivez un cercle ABDE, & par deux diametres AD & BE, qui s’entre-coupent à angles droits, divisez ce cercle en quatre quarts AB, BD, DE, & EA ; subdivisez chaque quart en six parties égales par les lignes droites C 1, C 2, C 3, &c. ces lignes seront les lignes horaires. Au centre C attachez un style perpendiculaire au plan ABDE.
Après que le cadran a été ainsi tracé, disposez-le de maniere qu’il soit parallele au plan de l’équateur, que la ligne C 12 soit dans le plan du méridien, & que le point A regarde le sud ou le midi ; l’ombre du style marquera les heures avant & après midi.
Car les cercles horaires divisent l’équateur en arcs de quinze degrés (voyez Équation du tems) ; par conséquent le plan ABDE étant supposé dans le plan de l’équateur, les cercles horaires diviseront pareillement le cercle ABDE en arcs de quinze degrés chacun. C’est pourquoi puisque les angles 12 C 11, 11 C 10, 10 C 9, &c. sont supposés chacun de 15 degrés ; les lignes C12, C11, C10, C9 sont les intersections des cercles horaires avec le plan de l’équinoctial.
De plus, puisque le style qui passe par le centre C représente l’axe du monde, & qu’il est outre cela le diametre commun des cercles horaires ou méridiens, son ombre couvrira la ligne horaire C12 quand le soleil sera dans le méridien ou dans le cercle de douze heures ; la ligne C11, quand il sera dans le cercle de onze heures ; la ligne C10, quand il sera dans le cercle de dix heures.
Pour disposer le plan du cadran parallelement au plan de l’équateur, il ne faut qu’avoir un triangle rectangle de bois dont l’angle oblique à la base soit égale à l’élévation de l’équateur, (par exemple, 41$^d$ 10′ pour Paris) & d’appliquer le plan du cadran à l’hypoténuse ou grand côté de ce triangle, dont on placera la base horisontalement ; & pour mettre la ligne AD dans la direction de la méridienne, il faut savoir trouver la méridienne. Voy. Ligne méridienne.
2$^o$. Pour décrire un cadran équinoctial inférieur, la méthode n’est pas différente de celle que nous venons de suivre pour tracer le supérieur, excepté que l’on ne doit pas tracer les lignes horaires au-delà de la ligne de six heures ; parce que ces cadrans ne peuvent servir qu’en automne & en hyver, où les jours ne passent pas six heures.
3$^o$. Pour décrire un cadran équinoctial universel, joignez deux plans de métal ou d’ivoire ABCD & CDEF (fig. 5.), qui soient mobiles à l’endroit où ils se joignent : sur la surface supérieure du plan ABCD, décrivez un cadran équinoctial supérieur, & un inférieur sur la surface inférieure, ainsi qu’on l’a déjà enseigné, & placez un style au centre I : placez une boîte G dans le plan DEFC, & mettez-y une aiguille aimantée : ajustez sur le même plan un quart de cercle de cuivre AE bien exactement divisé, & qui passe par un trou fait au plan ABCD : cela posé, moyennant l’aiguille aimantée, on peut placer le plan ABCD de maniere que la ligne I12 soit dans le plan du méridien ; & par le moyen du quart de cercle, on peut le disposer de maniere que l’angle BCF soit égal à l’élévation de l’équateur. On pourra donc se servir de ce cadran en quelqu’endroit du monde que ce soit. Il est à remarquer que le jour de l’équinoxe, les cadrans équinoctiaux ne marquent point l’heure, parce qu’ils ne sont point éclairés par le soleil, qui ces jours-là, est dans le plan de l’équateur.
Le cadran horisontal est celui qui est tracé sur un plan horisontal ou parallele à l’horison. Voyez Horison.
Puisque le soleil peut éclairer un plan horisontal pendant toute l’année, lorsqu’il est au-dessus de l’horison ; un cadran horisontal peut montrer toutes les heures du jour pendant toute l’année : ainsi l’on ne sauroit avoir un cadran plus parfait.
Tracer géométriquement un cadran horisontal. Tirez une ligne méridienne AB (fig. 6.) sur le plan immobile donné. Ou tracez-la à volonté sur un plan mobile. Voyez Ligne méridienne.
D’un point pris à volonté, comme C, élevez une perpendiculaire CD, & faites l’angle CAD égal à l’élévation du pole. En D faites un autre angle CDE égal aussi à l’élévation du pole, & tirez la ligne droite DE qui rencontre AB en E. Ensuite faites EB = ED, & du centre B avec le rayon EB, décrivez un quart de cercle EBF, & divisez-le en six parties égales. Par E tirez la ligne droite GH, qui coupe AB à angles droits. Du centre B par les divisions du quart de cercle EF tirez les lignes droites Ba, Bb, Bc, Bd, BH, qui rencontrent la ligne GH aux points a, b, c, d, H. Du point E sur la ligne droite EG portez les intervalles Ea, Eb, &c. c’est-à-dire,portez Ea de E en e, Eb de E en f, Ec, en E en g, &c. Du centre A décrivez un petit cercle, & mettant une petite regle sur le point A & sur les différens points de division a, b, c, d, H, & e, s, g, h, G, tirez les lignes A1, A2, A3, A4, A5 & A11, A10, A9, A8, A7. Par le point A tirez une ligne droite 66, perpendiculaire à la ligne AB. Prolongez la ligne droite A7, au-delà du petit cercle jusqu’en 7, A8 jusqu’en 8, A5 jusqu’en 5, A4 jusqu’en 4. Autour de tout le plan, tracez un quarré, un cercle, ou un ovale. Enfin au point A fixez un style, qui fasse avec le méridien AB un angle égal à l’élévation du pole : ou bien élevez en C un style perpendiculaire égal à CD ; ou bien sur la ligne AE placez un triangle ADE perpendiculaire au plan du cadran.
Les lignes A11, A10, A9, &c. sont les lignes horaires d’avant midi ; & les lignes A1, A2, A3, &c. sont celles d’après midi. Et l’ombre des styles dont on a parlé ci-dessus, tombera à chaque heure sur les lignes horaires respectives.
Si on s’est contenté de tracer à volonté la ligne méridienne, & de décrire ensuite toutes les lignes du cadran, ce qui n’est permis que quand le plan du cadran est mobile, il faut alors orienter le cadran de maniere que la ligne méridienne qu’on y a tracée se trouve dans le plan du méridien : on peut en venir à bout par différens moyens, entr’autres par le moyen de la boussole : mais cette méthode n’est pas extrémement exacte, parce que la déclinaison de l’aiguille aimantée varie ; ainsi il vaut mieux tracer géométriquement la méridienne sur un plan horisontal immobile.
Décrire un cadran horisontal trigonométriquement. Dans les grands cadrans, où l’on a besoin de la plus grande exactitude, il vaut mieux se passer des lignes géométriques, & déterminer les lignes du cadran par un calcul trigonométrique. M. Clapiès, dans les Mémoires de l’académie royale des Sciences, pour l’année 1707, nous a donné un moyen très-aisé & très-expéditif de calculer les lignes horaires : nous rapporterons ses regles ou ses analogies pour chaque espece de cadran dont nous aurons à parler.
Pour le cadran horisontal : l’élévation du pole du lieu étant donnée, trouver les angles que les lignes horaires font avec le méridien, au centre du cadran.
Voici la regle ou l’analogie : comme le sinus total est au sinus de l’élévation du pole du lieu proposé, ainsi la tangente de la distance du soleil au méridien pour l’heure requise, est à la tangente de l’angle cherché.
Le cadran vertical est un cadran tracé sur le plan d’un cercle vertical. Voyez Vertical.
Ces sortes de cadrans varient selon le vertical que l’on choisit. Les verticaux qui sont principalement en usage, sont le méridien, & le premier vertical, c’est-dire, le cercle vertical perpendiculaire au méridien : d’où viennent les cadrans méridionaux, septentrionaux, orientaux, & occidentaux.
Les cadrans qui regardent les points cardinaux de l’horison, s’appellent particulierement cadrans directs. Voyez Direct.
Si l’on prend un autre vertical, on dit que le cadran décline. Voyez Déclinant.
De plus en général, si le plan sur lequel on opere, est perpendiculaire à l’horison, comme on le doit supposer dans tous les cas dont il est question à présent, les cadrans sont appellés particulierement des cadrans droits. Par exemple, on dit : un cadran droit méridional, ou septentrional, &c.
Si le plan du cadran est oblique à l’horison, on dit qu’il incline, ou qu’il récline. Voyez Inclinaison, Réclinant, &c.
Le cadran méridional, ou pour le désigner plus particulierement, le cadran droit directement méridional, est celui que l’on décrit sur la surface du premier vertical, qui regarde le midi.
Le soleil éclaire le plan du premier vertical qui regarde le midi, lorsque dans sa course, il passe de ce vertical au méridien, ou qu’il va du méridien au premier vertical ; en quoi il employe six heures avant midi & six heures après le jour de l’équinoxe ; & environ quatre heures & demie avant midi, & quatre heures & demie après le jour du solstice d’été, & ainsi des autres jours ; & en hyver, le soleil ne paroît sur l’horison qu’après six heures ; d’où il s’ensuit qu’un cadran méridional ne peut marquer les heures que depuis six heures du matin jusqu’à six heures du soir.
Tracer un cadran vertical méridional. Sur le plan du vertical qui regarde le midi, tracez une ligne méridienne AB (fig. 9.) & prenant l’intervalle AC à volonté pour la grandeur du cadran proposé, élevez en C une perpendiculaire d’une longueur indéfinie CD ; & faisant un angle CAD égal à l’élévation de l’équateur, tirez une ligne droite AD qui rencontre la perpendiculaire CD en D ; ensuite faites au point D l’angle CDE égal aussi à l’élévation de l’équateur, en tirant la ligne droite DE qui coupe le méridien en E. Par le point E tirez la ligne droite GH qui coupe le méridien AB à angles droits. Prenez EB égal à ED, & avec ce rayon décrivez un quart de cercle EF. Le reste se fait comme dans le cadran horisontal, excepté que les heures d’après midi doivent être écrites à main droite, & celles d’avant midi à main gauche, ainsi que la figure le fait comprendre. Enfin au point A fixez un style oblique, qui fasse un angle égal à l’élévation de l’équateur ; ou bien, élevez en C un style perpendiculaire égal à CD ; ou enfin, élevez sur AE un triangle ADE, qui soit perpendiculaire au plan du cadran.
L’ombre du style couvrira les différentes lignes horaires aux heures qui répondent à ces lignes.
Le cadran septentrional, ou le cadran droit directement septentrional, se trace sur la surface du premier vertical qui regarde le nord. Voyez Nord.
Le soleil n’éclaire cette surface que quand il avance de l’orient au premier vertical, ou qu’il vient de ce même vertical au couchant : de plus, le soleil est dans le premier vertical à six heures du matin & à six heures du soir le jour de l’équinoxe ; le jour du solstice d’été il se leve sur l’horison de Paris à quatre heures, & arrive au premier vertical vers les sept heures & demie ; & en hyver le soleil n’éclaire point du tout ce plan septentrional ; d’où il est évident que le cadran septentrional ne peut marquer que les heures d’avant sept heures & demie du matin, & celles d’après sept heures & demie du soir. C’est pourquoi, comme dans l’automne & dans l’hyver le soleil ne se leve pas avant six heures, & qu’il se couche avant six heures du soir, on voit que pendant toutes ces deux saisons, le cadran septentrional n’est d’aucun usage : mais en le joignant au cadran méridional, il supplée ce qui manque à celui-ci.
Décrire un cadran vertical septentrional. Tirez une ligne méridienne EB (fig. 10) & du point A décrivez un petit cercle à volonté : au point A faites l’angle DAC égal à l’élévation de l’équateur, & du point C pris à volonté, élevez une perpendiculaire CD qui rencontre AD au point D. Faites un autre angle CDE égal aussi à l’élévation de l’équateur, & tirez pareillement une ligne DE qui rencontre AE au point E. Ensuite prenez IB égal à ED, & par I tirez GH qui coupe SB à angles droits. Du centre B avec le rayon IB décrivez un quart de cercle ; & divisez-le en six parties égales. Par les deux dernieres divisions tirez des lignes du centre B, c’est-à-dire Bh & BG, qui rencontrent GH en h & G, & faites Id égal à Ih, & IH égal à IG. Ensuite appliquant une regle aux points A, d & H, & encore aux points A, h & G, tirez les lignes droites A5, A4, A7, A8. Enfin, au point A fixez un style oblique AD, faisant un angle DAE, avec la ligne méridienne dans le plan du méridien, égal à l’élévation de l’équateur : ou bien un style perpendiculaire en C, égal à CD ; ou, au lieu d’un style, mettez sur la ligne méridienne EA un triangle EDA perpendiculaire au plan du cadran.
Les lignes A4, A5, A6, marqueront les heures du matin ; & les lignes A6, A7, A8, marqueront celles de l’après-midi, & par conséquent l’ombre de l’index montrera ces heures.
Ou bien encore, opérez de la maniere suivante. Dans le cadran méridional (fig. 9.) si les lignes horaires 4 & 5, de même que 7 & 8, sont continuées au-delà de la ligne 6A6, & que le triangle ADE tourne autour de son pole A, jusqu’à ce que AE tombe sur le prolongement de A12 ; il est évident que par ce moyen on a un cadran septentrional, observant seulement ce que l’on a dit sur la maniere de marquer les heures.
Si sur l’extrémité IK d’un cadran horisontal, (fig. 7. Gnomon.) on éleve à angles droits un plan vertical IKNM, & qu’on prolonge l’index horaire AL du cadran horisontal jusqu’à ce qu’il rencontre le plan vertical en L, on n’aura qu’à tirer ensuite du point L à la ligne de contingence ou de rencontre IK des deux plans des lignes droites qui passent par les différens points des heures marquées sur cette ligne IK ; on aura un cadran vertical méridional, dont L sera le centre ; ce qui est évident, puisque l’ombre du style marquera les mêmes heures sur les deux cadrans.
Tracer par la Trigonométrie un cadran vertical septentrional ou méridional. La description de ces cadrans ne differe de celle du cadran horisontal, qu’en ce que l’angle CAD, est égal au complément de l’élévation du pole du lieu ; de sorte que l’on doit se servir de la même analogie que pour le cadran horisontal : en observant seulement que le second terme soit le complément de l’élévation du pole pour le lieu où l’on trace le cadran.
Le cadran oriental, ou le cadran droit directement oriental, est celui que l’on trace sur le côté du méridien qui regarde l’orient. Voyez Orient.
Comme le soleil n’éclaire le plan du méridien qui regarde l’orient, qu’avant midi ; un cadran oriental ne peut marquer les heures que jusqu’à midi.
Tracer un cadran oriental. Sur le côté oriental du plan du méridien, tirez une ligne droite AB (fig. 11.) parallele à l’horison, & joignez-y la ligne AK, qui fasse avec elle un angle KAB, égal à l’élévation de l’équateur. Ensuite avec le rayon DE décrivez un cercle, & par le centre D, tirez EC perpendiculaire à AK ; moyennant quoi le cercle sera divisé en quatre quarts. Subdivisez chacun de ces quarts en six parties égales. Et du centre D, par les différentes divisions, tirez les lignes droites D4, D5, D6, D7, D8, D9, D10, D11. Enfin, en D élevez un style égal au rayon DE perpendiculairement au plan, ou sur deux petites pieces fixées perpendiculairement en E, C, & égales au même rayon DE, attachez un style parallele à EC.
Par ce moyen, chaque index aux différentes heures, jettera une ombre sur les lignes respectives 44, 55, 66, &c.
Le cadran occidental, ou le cadran droit directement occidental, se trace sur le côté occidental du méridien. Voyez Occident.
Comme le soleil n’éclaire qu’après midi le côté du plan du méridien, qui regarde l’occident, on voit qu’un cadran occidental ne peut marquer les heures que depuis midi jusqu’au soleil couchant.
Ainsi, en joignant le cadran occidental avec l’oriental, ces deux cadrans marqueront toutes les heures du jour.
Tracer un cadran occidental. La construction est précisément la même que celle du cadran oriental ; excepté que sa situation est renversée, & les heures écrites conformément à cette disposition.
Le cadran polaire est tracé sur un plan qu’on imagine passer par les poles du monde, & par les points de l’orient & de l’occident de l’horison. Il y en a de deux especes : ceux de la premiere espece regardent le zénith, & sont appellés polaires supérieurs ; ceux de la seconde regardent le nadir, & sont appellés polaires inférieurs.
Ainsi le cadran polaire est incliné à l’horison, avec lequel il fait un angle égal à l’élévation du pole.
Comme le plan polaire PO, QS, (figure 12.) passe par les points O & S de l’orient & de l’occident, il y a un quart de l’équateur, & de chacun des paralleles à l’équateur, intercepté entre ce plan & le méridien PHQ : donc la surface supérieure est éclairée par le soleil depuis six heures du matin jusqu’à six heures du soir ; & la surface inférieure depuis le lever du soleil jusqu’à six heures du matin ; & depuis six heures du soir jusqu’au coucher du soleil.
C’est pourquoi un cadran polaire inférieur marque les heures du matin depuis le lever du soleil jusqu’à six heures, & celles du soir depuis six heures jusqu’à son coucher ; & un cadran polaire supérieur marque les heures depuis six heures du matin jusqu’à six heures du soir.
Tracer un cadran polaire supérieur. Tirez une ligne droite AB (fig. 13.) parallele à l’horison ; & si le plan est immobile, trouvez la ligne méridienne CE : divisez CE en deux parties égales, & par C tirez une ligne droite FG parallele à AB ; ensuite du centre D, avec l’intervalle DE, décrivez un quart de cercle, & divisez-le en six parties égales : du centre D, par les différens points de division, tirez les lignes droites D1, D2, D3, D4, D5, & placez en sens contraire les intervalles E1, E2, E3, E4, E5, c’est-à-dire, E11, 10, 9, 8, & 7, des points 5, 4, 3, 2, 1, &c. élevez des perpendiculaires qui rencontrent la ligne FG aux points correspondans ; enfin élevez en D un style perpendiculaire égal à DE ; ou sur deux styles égaux à ED, placez une verge horisontale parallele à EC : les lignes 12 12, 11 11, 22, 33, &c. seront les lignes horaires.
Un cadran polaire supérieur ne differe des cadrans orientaux & occidentaux, que par sa situation, & que par la maniere d’écrire les heures.
On a un cadran polaire inférieur, en négligeant les heures d’avant midi, 9, 10, & 11, & celles d’après midi, 1, 2, & 3, avec l’heure 12 de midi ; & en ne laissant que les heures 7 & 8 du matin, & 4 & 5 du soir, qui deviendront alors les heures 7 & 8 du soir, & 4 & 5 du matin, en renversant le cadran sens-dessus-dessous.
Tracer tous les cadrans de la premiere espece sur le même corps irrégulier. 1$^o$. Supposons que le plan ABCD, (figure 14.) dans la situation naturelle du corps, soit horisontal ; décrivez dessus un cadran horisontal, comme il a été enseigné plus haut.
2$^o$. Tirez les lignes EM & FL, paralleles à DC, qui seront par conséquent paralleles à l’horison dans la situation naturelle du corps ; si on suppose ensuite que le plan BNMC, fasse un angle CME avec EM, égal à l’élévation du pole ; décrivez dessus un cadran polaire supérieur.
3$^o$. Supposant que le plan opposé ADE, fasse avec EM un angle DEM, égal à l’élévation de l’équateur ; tracez sur ce plan un cadran équinoctial supérieur.
4$^o$. Supposant que le plan KLH, fasse avec LF un angle HLF, égal à l’élévation de l’équateur ; tracez sur ce plan un cadran équinoctial inférieur.
5$^o$. Si le plan opposé FG, fait avec FL un angle GFL, égal à l’élévation du pole ; tracez-y un cadran polaire inférieur.
6$^o$. Si le plan MNKL, & l’opposé EF, sont perpendiculaires à FL ; sur l’un d’eux tracez un cadran méridional, & sur l’autre un cadran septentrional.
7$^o$. Sur le plan EMLF, décrivez un cadran occidental, & un oriental sur le plan opposé.
Nous avons expliqué plus haut & fort en détail les méthodes dont on doit se servir pour tracer ces différentes especes de cadrans.
Cela fait, si le corps est disposé de maniere que le plan MNKL regarde le midi, & que le plan du méridien le coupe en deux dans la ligne de 12 heures du cadran horisontal ABCD, & du cadran méridional MNKL ; tous ces différens plans marqueront en même tems les heures du jour.
Les cadrans secondaires, ou de la seconde espece, sont tous ceux que l’on place sur les plans de cercles différens de l’horison, du premier vertical, de l’équinoctial, & des cercles polaires ; c’est-à-dire sur des plans qui déclinent, inclinent, réclinent.
Les cadrans verticaux déclinans, sont des cadrans droits ou verticaux qui déclinent, ou qui ne regardent pas directement quelqu’un des points cardinaux.
Les cadrans déclinans sont d’un usage fort ordinaire, car les murailles des maisons sur lesquelles on trace communément les cadrans, ne sont pas directement exposées aux points cardinaux. Voyez Déclinant.
Il y a différentes especes de cadrans déclinans, qui prennent leurs noms des points cardinaux vers lesquels ils paroissent le plus tournés, mais dont ils déclinent réellement : il y en a qui déclinent du midi ou du nord, & même du zénith.
Tracer trigonométriquement un cadran vertical déclinant. 1$^o$. La déclinaison du plan & l’élévation du pole du lieu étant donnés, voici la regle pour trouver l’angle formé au centre du cadran par la méridienne & la soûstylaire : comme le sinus total est à la tangente du complément de la hauteur du pole du lieu ; ainsi le sinus de l’angle de déclinaison du plan est à la tangente de l’angle cherché.
2$^o$. La déclinaison du plan étant donnée, avec l’élévation du pole du lieu, voici comment on trouve l’angle formé au centre d’un cadran vertical déclinant, par la soûstylaire & l’axe.
Regle. Comme le sinus total est au sinus du complément de l’élévation du pole ; ainsi le sinus du complément de déclinaison du plan est au sinus de l’angle cherché.
3$^o$. La déclinaison du plan & l’élévation du pole étant données, si on veut trouver l’arc de l’équateur compris entre le méridien du lieu & le méridien du plan ; voici la regle.
Comme le sinus total est au sinus de la hauteur du pole du lieu ; ainsi la tangente du complément de déclinaison du plan est à la tangente du complément de l’angle cherché, que nous appellerons pour abréger, angle de la différence des longitudes.
4$^o$. L’angle de la différence des longitudes, & celui de l’axe avec la soûstylaire, étant donnés, on demande les angles formés au centre d’un cadran vertical déclinant, entre la soûstylaire & les lignes horaires.
Ce problème a trois cas ; car les lignes horaires dont on cherche les angles, peuvent être 1$^o$. entre le méridien & la soûstylaire ; ou 2$^o$. au-delà de la soûstylaire ; ou 3$^o$. du côté du méridien où la soûstylaire n’est pas. Dans les deux premiers cas on doit prendre la différence entre la distance du soleil au méridien à chaque heure, & l’angle de la différence des longitudes trouvées par le dernier problème ; & dans le troisieme cas on doit prendre la somme de ces deux angles, & faire usage de la regle suivante.
Regle. Comme le sinus total est au sinus de l’angle, entre l’axe & la soûstylaire ; ainsi la tangente de la différence de la distance du soleil au méridien, & de la différence des longitudes, ou la tangente de la somme de ces deux angles est à la tangente de l’angle cherché.
5$^o$. L’angle formé par la soûstylaire avec les lignes horaires, & celui de la soûstylaire avec le méridien étant donnés, on peut trouver les angles formés entre le méridien & les lignes horaires au centre des cadrans verticaux déclinans.
Les angles des lignes horaires entre le méridien & la soûstylaire, se trouvent en ôtant l’angle formé par la soûstylaire avec la ligne horaire, de l’angle formé par la soûstylaire avec la méridienne.
Les angles au-delà de la soûstylaire & du côté opposé à celui du méridien, se trouvent en ajoûtant ces deux angles.
On trouve ceux qui sont de l’autre côté du méridien, en prenant leur différence.
Décrire géométriquement un cadran vertical qui décline du midi à l’orient ou au couchant. Trouvez la déclinaison du plan, ainsi qu’il est enseigné à l’article Déclinaison & Déclinateur.
Ensuite tracez sur le papier un cadran horisontal, en supposant que GH soit la ligne de contingence, ou de rencontre du plan avec le plan équinoctial, (figure 16.) : par le point E où la ligne méridienne AE coupe la ligne GH, tirez une ligne droite IK, qui fasse avec GH un angle HEK, égal à la déclinaison du plan donné ; ainsi comme GH représente l’intersection du premier vertical avec l’horison, IK sera l’intersection du plan déclinant & de l’horison ; c’est pourquoi la partie IE doit être élevée au-dessus de GE, en cas que le plan donné décline vers l’occident ; ou bien au-dessous de GE, si le plan décline vers l’orient. Tirez une ligne droite parallele à l’horison, sur le plan ou sur le mur donné pour représenter IK ; & prenant sur cette ligne un point correspondant au point E, transportez-y les différentes distances horaires E1, E2, E3, &c. marquées dans la ligne IK tracée sur le papier : ensuite du point E élevez une perpendiculaire EC, égale à la distance qu’il y auroit de la ligne de contingence GH, au centre d’un cadran méridional élevé sur GH, & dont le style passeroit par le centre de ce cadran, & par le point A : de-là tirez aux différens points 1, 2, 3, &c. les lignes C1, C2, C3, &c. qui seront les lignes horaires : ensuite faites tomber une perpendiculaire AD, du centre A du cadran horisontal, sur la ligne de contingence IK, & transportez la distance ED du point E sur la muraille ; CD sera la ligne soûstylaire. Voyez Soûstylaire.
C’est pourquoi joignant AD & DC à angles droits, l’hypoténuse AC sera un style oblique, qui doit être attaché sur la muraille au point C, de maniere que le côté CD tombe sur le côté CD, & que AD soit perpendiculaire au plan de la muraille. Il faut bien remarquer que la ligne IK qui est tracée obliquement sur le papier, doit être horisontale sur le plan ; & comme on suppose que le soleil éclaire la face du plan qui est tournée vers A, il faut que sur le cadran le point C soit en haut, & le point E en bas.
Tracer un cadran vertical déclinant du nord vers l’orient ou l’occident. Trouvez d’abord la déclinaison du plan, ensuite tracez un cadran vertical déclinant du midi, dans lequel le point C soit en haut, & le point E en-bas ; renversez-le de maniere que le centre C soit en-bas, & le point E en-haut, & portez sur la gauche les heures de la main droite, & au contraire, en supprimant toutes les lignes horaires que l’on ne peut pas voir dans un plan de cette espece.
La meilleure méthode dans la pratique, c’est après que l’on a tracé sur le papier un cadran méridional déclinant, d’en piquer les différens points en le perçant avec une épingle, appliquant ensuite à la muraille la face du papier sur laquelle le cadran est tracé, & ayant soin de mettre le point C en-bas ; le revers donnera tous les points nécessaires pour tracer un cadran septentrional déclinant.
Si le cadran décline trop, ensorte que le point C doive être trop éloigné, on se contentera de ne tracer qu’une partie des lignes horaires ; & au lieu du style triangulaire ACD, on ne mettra qu’une partie du style AC, soûtenue par deux appuis, de maniere pourtant que cette partie de style étant prolongée ainsi que les lignes horaires, puisse rencontrer le plan du cadran au point C.
Les cadrans inclinés sont ceux que l’on trace sur des plans qui ne sont pas verticaux, mais qui s’inclinent ou qui penchent vers le côté méridional de l’horison, en faisant un angle plus grand ou plus petit que le plan équinoctial. Voyez Inclinaison.
On peut concevoir un plan incliné, en supposant que le plan de l’équateur se rapproche du zénith d’un côté, & de l’autre s’abaisse vers le nadir, en tournant sur une ligne tirée du point est au point ouest de l’horison.
Tracer un cadran incliné. 1$^o$. L’inclinaison du plan, comme DC, (fig. 17.) étant trouvée par le moyen d’un déclinateur, ainsi qu’il sera enseigné à l’article Déclinateur ; si ce plan tombe entre le plan équinoctial CE, & le vertical CB, de maniere que l’angle d’inclinaison DCA soit plus grand que l’élévation de l’équateur ECA ; sur le côté supérieur tracez un cadran septentrional, & sur le côté inférieur un méridional pour une élévation de l’équateur, qui soit égale à la somme de l’élévation de l’équateur du lieu donné, & du complément de l’inclinaison du plan à un quart de cercle.
2$^o$. Si le plan incliné FC tombe entre l’horisontal CA, & l’équinoctial CE, tellement que l’angle d’inclinaison FCA soit plus petit que l’élevation de l’équateur ECA ; décrivez un cadran horisontal pour une élévation du pole, égale à la somme de l’élévation du pole du lieu donné, & de l’inclinaison du plan.
Les cadrans ainsi inclinés se tracent de la même maniere que les cadrans de la premiere espece, excepté que le style dans le premier cas doit être fixé sous l’angle ADC, & dans le dernier cas, sous l’angle DFC ; & que la distance du centre du cadran à la ligne de contingence dans le premier cas est DC, & dans le dernier est FC.
Les cadrans réclinans sont ceux que l’on trace sur des plans qui ne sont pas verticaux, mais penchés, en s’écartant du zénith vers le nord, & faisant un angle plus grand ou plus petit que le plan polaire.
On peut concevoir un plan réclinant, en supposant que le plan polaire s’eleve d’un côté vers le zénith, & de l’autre s’abaisse vers le nadir, en tournant autour d’une ligne tirée de l’orient à l’occident. Pour trouver la réclinaison d’un plan, voyez Réclinaison.
Tracer un cadran réclinant, 1$^o$. Si le plan réclinant HC tombe entre le plan vertical BC, & le plan polaire IC, de maniere que l’angle de réclinaison BCH soit plus petit que la distance du pole au zénith BCI, décrivez deux cadrans verticaux, un septentrional & un méridional, pour une élévation de l’équateur égale à la différence entre l’élévation de l’équateur du lieu donné, & l’angle de réclinaison.
2$^o$. Si le plan récliné comme KC, tombe entre le plan polaire IC, & l’horisontal CL, de maniere que l’angle de réclinaison BCK soit plus grand que la distance du pole au zénith ICB : décrivez dessus un cadran horisontal pour une élévation du pole, égale à la différence entre l’angle de réclinaison & l’élévation de l’équateur du lieu donné.
On trace aussi par la Trigonométrie les cadrans inclinans & réclinans, l’inclinaison ou la réclinaison du plan, & l’élévation du pole étant connues ; & l’on trouve les angles faits, au centre d’un cadran inclinant ou réclinant, par le méridien & les lignes horaires.
Un cadran de cette espece est proprement un cadran horisontal pour une latitude égale à l’élévation particuliere du pole sur le plan du cadran : c’est pourquoi l’on détermine les angles par la regle que l’on a donnée pour les cadrans horisontaux.
Quant à l’élévation du pole sur le plan du cadran, on la trouve de cette maniere : le plan étant incliné, son élévation est plus grande que l’élévation du pole du lieu, ou est plus petite, ou lui est égale ; dans les deux premiers cas, pour les cadrans supérieurs méridionaux, ou inférieurs septentrionaux, on a l’élévation particuliere du pole sur le plan, en prenant la différence entre l’élévation du pole du lieu, & l’inclinaison du plan : & dans le dernier cas, le cadran est un cadran polaire, où les lignes horaires seront paralleles, à cause que le plan étant placé sur l’axe du monde, aucun des deux poles n’y peut être représenté.
Pour les cadrans supérieurs septentrionaux, & inférieurs méridionaux, 1$^o$. si l’inclinaison est plus grande que le complément de l’élévation, il faut ajoûter le complément de l’inclinaison au complément de l’élévation. 2$^o$. Si elle est plus petite, il faut ajoûter l’inclinaison à l’élévation. 3$^o$. Si elle est égale, le cadran sera un cadran équinoctial, où les angles au centre seront égaux à la distance du soleil au méridien.
Les cadrans déinclinés sont ceux qui sont en même tems déclinans & réclinans ou inclinés.
On se sert rarement des cadrans inclinés, réclinans, & surtout des cadrans déinclinés ; c’est pourquoi la construction géométrique & trigonométrique en étant un peu compliquée, nous prenons le parti de la supprimer, & de renvoyer ceux qui auroient du goût ou de la curiosité pour les cadrans de cette espece, à la méthode méchanique générale de tracer toutes sortes de cadrans : méthode que nous allons exposer en peu de mots.
Méthode facile de tracer un cadran sur toutes sortes de plans, par le moyen d’un cadran équinoctial mobile. Supposons, par exemple, que l’on demande un cadran sur un plan horisontal ; si le plan est immobile, comme ABDC (fig. 18.) déterminez sa ligne méridienne GF ; ou, si le plan est mobile, prenez une méridienne à volonté. Ensuite par le moyen du triangle EKF, dont vous appliquerez la base sur la ligne méridienne, élevez le cadran équinoctial H, jusqu’à ce que le style GI devienne parallele à l’axe du monde ; ce qui se trouve en faisant l’angle KEF égal à l’élévation du pole, & que la ligne de 12 heures du cadran soit bien directement au-dessus de la ligne méridienne du plan ou de la base du triangle. Alors, si pendant la nuit une bougie allumée est appliquée à l’axe GI, desorte que l’ombre de l’index ou le style GI tombe successivement sur les lignes horaires ; cette même ombre marquera les différentes lignes horaires sur le plan ABCD.
Ainsi marquant des points sur l’ombre, tirez par ces points des lignes au point G ; alors un index étant placé en G, suivant l’angle IGF, son ombre marquera les différentes heures, à la lumiere du soleil.
Si vous voulez un cadran sur un plan vertical, ayant élevé le cercle équinoctial, comme on l’a dit ci-dessus, poussez en avant l’index GI, jusqu’à ce que sa pointe I touche le plan vertical sur lequel vous voulez tracer le cadran.
Si le plan est incliné à l’horison, il faudra trouver l’élévation du pole sur ce même plan, & l’on fera l’angle du triangle KEF égal à cette élévation.
Remarquez qu’outre les différentes especes de cadrans ci-dessus mentionnés, qui sont des cadrans à centre, il y en a d’autres appellés des cadrans sans centre.
Les cadrans sans centre sont ceux dont les lignes horaires sont à la vérité convergentes, c’est-à-dire, tendent à se réunir en un point, mais si lentement que l’on ne sauroit marquer sur le plan donné le centre vers lequel elles sont convergentes.
Les cadrans horisontaux sans centre, doivent être faits pour les endroits où l’élévation du pole est très petite, ou, ce qui revient au même, l’élévation de l’équateur très-grande : en effet dans la fig. 6. si l’on suppose l’angle AED presque droit, c’est-à-dire, l’équateur presque perpendiculaire à l’horison, le point A qui est le centre du cadran deviendra très-éloigné, & la ligne DA qui représente l’axe du monde, sera presque parallele à l’horison.
De-là il s’ensuit que les cadrans verticaux sans centre conviennent aux endroits qui sont fort près du pole, & que les cadrans horisontaux sans centre conviennent aux endroits qui sont fort près de l’équateur.
Pour tracer un cadran horisontal sans centre (fig. 15.) on commencera par tracer la méridienne AO, & par un point quelconque E de cette méridienne, on tirera la perpendiculaire GH qui désignera la ligne de contingence de l’horison & du plan de l’équateur. On fera l’angle CED, égal à l’élévation de l’équateur ; & ensuite ayant porté ED en EB, on divisera la ligne de contingence comme pour un cadran horisontal ordinaire ; on élevera ensuite au point D une perpendiculaire DF de longueur arbitraire ; & ayant tiré la perpendiculaire FL à DF, on transportera FL en LO, & on divisera par le point O, la ligne MN, en intervalles horaires, comme on a divisé la ligne GH par le point B ; ensuite par les points horaires correspondans de ces deux lignes GH, MN, on titera les lignes horaires XI 11 ; enfin aux points E, L, on placera perpendiculairement au plan du cadran l’index EDFL, composé du style DF, & de deux appuis ED, FL, & le cadran sera achevé.
Pour tracer un cadran vertical méridional sans centre, on remarquera qu’un tel cadran n’est autre chose, qu’un cadran horisontal construit pour une hauteur de pole égale au complément de l’élévation du pole donnée ; ainsi la construction de ce cadran sera la même que celle du cadran horisontal sans centre.
Dans la sphere droite, c’est-à-dire, dans les lieux situés sous l’équateur, le cadran horisontal est le même que le cadran polaire, & le cadran vertical est le même que le cadran équinoctial.
Dans la sphere parallele, c’est-à-dire, pour les habitans des poles, le cadran horisontal est le même que le cadran équinoctial ; & le cadran vertical est le même que le cadran polaire.
Outre la description des heures, on trace sur les cadrans solaires beaucoup d’autres choses qui leur servent comme d’accompagnement & d’ornement.
On décrit aussi des cadrans solaires sur la surface de différens corps irréguliers : nous avons déjà fait voir comment sur un corps irrégulier, on pouvoit tracer tous les cadrans de la premiere espece. On peut en tracer de plus sur différens autres corps ; par exemple, sur un bâton, sur un cylindre ; on n’attend pas de nous que nous entrions sur ce sujet dans un plus grand détail, qui n’appartiendroit qu’à un ouvrage complet sur la Gnomonique. Ceux qui voudront en savoir davantage, pourront avoir recours aux différens traités qui en ont été publiés.
On trouvera aussi dans ces mêmes traités des méthodes pour tracer géométriquement des cadrans universels : mais nous ne nous y arrêterons point, parce qu’elles nous paroissent plus curieuses qu’utiles, & que dans un ouvrage de la nature de celui-ci, nous devons principalement faire mention de ce qui peut être le plus d’usage.
Nous ne dirons rien non plus des Cadrans qu’on appelle à réflexion & à réfraction. Voyez ces mots.
Le cadran nocturne ou de nuit, montre les heures de la nuit.
Il y en a de deux especes ; le lunaire ou le cadran à la lune, & le sidéréal ou le cadran aux étoiles.
Le cadran à la lune ou le cadran lunaire est celui qui montre l’heure de la nuit, par le moyen de la lumiere ou de l’ombre de la lune, qu’un index jette dessus.
Tracer un cadran lunaire. Supposons, par exemple, que l’on demande un cadran lunaire horisontal : décrivez d’abord un cadran solaire horisontal : élevez ensuite les deux perpendiculaires AB & CD, (fig. 19.) à la ligne de douze heures ; & divisant l’intervalle GF en douze parties égales, par les différens points de division, tirez des lignes paralleles. Maintenant si on destine la premiere ligne CD au jour de la nouvelle lune, & la seconde au jour où la lune arrive au méridien, une heure plus tard que le soleil ; & enfin la derniere ligne AB au jour de la pleine lune : les intersections de ces lignes avec les lignes horaires donneront des points, par lesquels on tracera une ligne courbe 12 12, qui sera la ligne méridienne de la lune ; on déterminera ensuite de la même maniere les autres lignes horaires, 11, 22, 33, &c. lesquelles seront coupées aux heures solaires correspondantes & respectives, ou par l’ombre de la lune, que jettera le style du cadran. On effacera les lignes horaires du cadran solaire, aussi bien que les perpendiculaires, par où l’on a tiré les heures lunaires ; & on divisera l’intervalle GF par d’autres lignes paralleles en quinze parties égales, qui répondent aux quinze jours entre la nouvelle & la pleine lune. Enfin on écrira auprès de ces lignes les différens jours de l’âge de la lune.
Maintenant, connoissant par un calendrier l’âge de la lune, l’intersection de la ligne de l’âge de la lune, avec les lignes horaires de la lune, donnera l’heure de la nuit.
On peut de la même maniere transformer tout autre cadran solaire en cadran lunaire.
Tracer un cadran lunaire portatif sur un plan, qui peut être disposé selon l’élévation de l’équateur. Décrivez un cercle AB (fig. 20.) & divisez sa circonférence en 29 parties égales. Du même centre D décrivez un autre cercle mobile DE, divisez-le en 24 parties ou en 24 heures égales. Au centre C placez un index, de même que pour un cadran équinoctial.
Si l’on place ce cadran, comme il faut, dans un plan parallele à l’équateur, comme le cadran équinoctial, & que l’on porte la ligne de 12 heures au jour de l’âge de la lune, l’ombre du style donnera l’heure.
Pour se servir d’un cadran solaire, comme si c’étoit un cadran lunaire, c’est-à-dire, trouver l’heure de la nuit, par le moyen d’un cadran solaire, on observera l’heure que l’ombre du style montre à la lumiere de la lune. On trouvera l’âge de la lune dans le calendrier, & on multipliera le nombre des jours par $\scriptstyle {\frac {3}{4}}$ : le produit est le nombre d’heures qu’il faut ajoûter à l’heure marquée par l’ombre, afin d’avoir l’heure que l’on demande. La raison de cette pratique est, que la lune passe tous les jours au méridien, ou à quelque cercle horaire que ce soit, trois quarts d’heure plus tard que le jour précédent. Or le jour de la nouvelle & de la pleine lune, elle passe au méridien en même tems que le soleil ; d’où il s’ensuit que le troisieme jour, par exemple, après la nouvelle lune, elle doit passer deux fois trois quarts d’heure plus tard au méridien, & ainsi des autres.
Si le nombre des jours multipliés par $\scriptstyle {\frac {3}{4}}$, & ajoûtés au nombre des heures, excede 12, il faudra en ôter 12, pour avoir l’heure cherchée.
Si on veut connoître plus facilement & plus exactement l’heure de la nuit par le moyen de l’ombre de la lune sur un cadran solaire, on pourra se servir de la table suivante ; & ajoûter pour chacun des jours de l’âge de la lune, les heures marquées dans cette table, aux heures marquées sur le cadran par l’ombre de la lune.
| Jours de l’âge de la Lune. | Jours de l’âge de la Lune. | Différence des Heures lunaires & des Heures solaires. | Différence des Heures lunaires & des Heures solaires. |
| | | H. | M. |
| 1 | 16 | 0 | 0 |
| 2 | 17 | 0 | 48 |
| 3 | 18 | 1 | 36 |
| 4 | 19 | 2 | 24 |
| 5 | 20 | 3 | 12 |
| 6 | 21 | 4 | 0 |
| 7 | 22 | 4 | 48 |
| 8 | 23 | 5 | 36 |
| 9 | 24 | 6 | 24 |
| 10 | 25 | 7 | 12 |
| 11 | 26 | 8 | 0 |
| 12 | 27 | 8 | 48 |
| 13 | 28 | 9 | 36 |
| 14 | 29 | 10 | 24 |
| 15 | | 11 | 12 |
Le cadran aux étoiles est un instrument par lequel on peut connoître l’heure de la nuit en observant quelque étoile ; ce cadran se fait par la connoissance du mouvement journalier que font autour du pole ou de l’étoile polaire, qui n’en est présentement éloignée que de deux degrés, les deux étoiles de la grande ourse, qu’on appelle ses gardes, ou la claire du quarré de la petite ourse : pour la construction de ce cadran, il faut savoir l’ascension droite de ces étoiles, ou à quel jour de l’année elles se trouvent dans le même cercle horaire que le soleil ; ce qui se peut connoître par le calcul astronomique, ou par un globe, ou avec un planisphere céleste construit sur les nouvelles observations, en mettant sous le méridien l’étoile dont il s’agit, & en examinant quel degré de l’écliptique se trouve en même tems sous ce méridien. V. Globe.
Les jours de l’année où les deux étoiles ont la même ascension droite que le soleil, elles marqueront les mêmes heures que le soleil : mais comme les étoiles fixes retournent au méridien chaque jour plûtôt que le soleil d’environ 1. degré ou 4. minutes d’heures ; ce qui fait 2. heures par mois, il faudra avoir égard à cette différence, pour avoir l’heure du soleil par le moyen des étoiles.
Le cadran, dont il s’agit, est composé de deux plaques circulaires appliquées l’une sur l’autre (fig. 21. Gnomon.) la plus grande a un manche pour tenir à la main l’instrument dans les usages qu’on en fait.
La plus grande roue a environ deux pouces & demi de diametre : elle est divisée en 12 pour les 12 mois de l’année, & chaque mois de 5 en 5 jours ; de telle sorte que le milieu du manche réponde justement au jour de l’année auquel l’étoile, dont on veut se servir, a la même ascension droite que le soleil. Et si on veut que le même cadran serve pour différentes étoiles, il faut rendre le manche mobile autour de la roue, afin de l’arrêter où l’on voudra.
La roue de dessus, qui est la plus petite, doit être divisée en 24 parties égales, ou deux fois 12 heures pour les 24 heures du jour, & chaque heure en quarts ; ces 24 heures se distinguent par autant de dents, dont celles où sont marquées 12 heures, sont plus longues que les autres, afin de pouvoir compter la nuit les heures sans lumiere.
A ces deux roues, on ajoûte une regle ou alidade qui tourne autour du centre, & qui déborde au-delà de la plus grande circonférence.
Ces trois pieces doivent être jointes ensemble par le moyen d’un clou à tête, percé de telle sorte dans toute sa longueur, qu’il y ait au centre de ce clou un petit trou d’environ deux lignes de diametre, pour voir facilement à travers ce trou l’étoile polaire.
L’instrument étant ainsi construit, si on veut savoir l’heure qu’il est de la nuit, on tournera la roue des heures jusqu’à ce que la plus grande dent où est marquée 12 heures, soit sur le jour du mois courant ; on approchera l’instrument de ses yeux, en le tenant par le manche, ensorte qu’il ne penche ni à droite ni à gauche, & qu’il regarde directement l’étoile polaire, ou ce qui est la même chose, qu’il soit à peu près parallele au plan de l’équinoctial ; ensuite ayant vû par le trou du centre l’étoile polaire, on tournera l’alidade jusqu’à ce que son extrémité, qui passe au-delà des circonférences des cercles, rase la claire du quarré de la petite ourse, si l’instrument est disposé pour cette étoile. Alors la dent de la roue des heures, qui sera sous l’alidade, marquera l’heure qu’il est de la nuit. Voyez Bion, Instrumens de Mathématique, & Wolf, Elémens de Gnomonique. On trace souvent sur la surface d’un cadran d’autres lignes que celles des heures, comme des lignes qui marquent les signes du zodiaque, la longueur des jours, les paralleles des déclinaisons, les azimuths, les méridiens des principales villes, les heures babyloniennes & italiques, &c. Voyez Gnomonique.
L’analemme ou le trigone des signes, est l’instrument dont on se sert principalement pour tracer ces sortes de lignes & de points sur les cadrans. Voyez Analemme & Trigone des Signes.
Au reste la description de ces sortes de lignes & de points est plus curieuse qu’utile ; la condition la plus essentielle pour un bon cadran solaire, c’est que les lignes horaires, & sur-tout la méridienne, y soient bien tracées, & le style bien posé ; & toutes les autres lignes qu’on y peut décrire, pour marquer autre chose que les heures du lieu où l’on est, peuvent être quelquefois nuisibles par trop de confusion. (O)
Cadran de Mer. Voyez Boussole.
Cadran, dans les horloges, est une plaque sur laquelle sont peintes ou gravées les heures, les minutes, les secondes, & tout ce que la disposition du mouvement lui permet d’indiquer.
Ce que l’on exige principalement d’un cadran, c’est qu’il soit bien divisé, bien monté, & que toutes les parties s’en distinguent facilement.
Le cadran des montres est fait d’une plaque de cuivre rouge, recouverte d’une couche d’émail de l’épaisseur d’un liard environ.
Les cadrans tiennent pour l’ordinaire à la platine des piliers, par le moyen de plusieurs piés soudés vers leur circonférence, au côté qu’on ne voit pas. Ces piés entrent juste dans des trous percés à la platine ; ils la débordent & l’on fiche des goupilles dans de petits trous percés dans leur partie excédante : ainsi le cadran tient à la platine des piliers de la même maniere que cette platine tient à celle du dessus. Voyez Cage. Pl. I. Horl. fig. 1. (T)
Cadran, se dit, en Architecture, de la décoration extérieure d’une horloge enrichie d’ornemens d’architecture & de sculpture, comme le cadran du palais à Paris, où il y a pour attributs la loi & la justice, avec les armes de Henri III. roi de France & de Pologne. Cet ouvrage est du célebre Germain Pilon.
On ne fait guere usage de ces sortes de décorations dans les bâtimens particuliers, mais elles sont presqu’indispensables aux édifices sacrés, tels que sont les paroisses, les couvens, communautés, &c. ou bien aux monumens publics, comme hôtels-de-ville, bourses, marchés ; alors il est convenable de rendre leurs attributs relatifs aux différens caracteres de l’édifice, & sur-tout que les ornemens soient unis avec des membres d’architecture qui paroissent liés avec le reste de l’ouvrage. Quelquefois ces cadrans sont surmontés par des lanternes, dans lesquelles sont pratiqués des carillons, tels qu’il s’en voyoit au marché-neuf il y a quelques années, & qu’on en voit encore aujourd’hui à celle de la Samaritaine, bâtiment hydraulique situé sur le pont-neuf à Paris.
Les cadrans solaires qui sont placés sur la surface perpendiculaire des murailles dans les grandes cours ou jardins des hôtels, comme au Palais royal à Paris, ou posés sur des piédestaux, s’ornent aussi de figures, attributs & allégories relatifs au sujet ; tel est celui qu’on voit à Fontainebleau dans le jardin de l’orangerie. (P)
Cadran, s. m. (instrument de Lapidaire.) est une machine fort ingénieusement inventée pour tenir le bâton à ciment, à l’extrémité duquel le diamant est attaché, soit avec du mastic ou de l’étain fondu, & lui faire prendre telle inclinaison que l’on souhaite à l’égard de la meule.
Cet instrument, qui est de bois, est composé de quatre pieces principales ; savoir, le corps, la base, & les deux noix. Le corps représenté séparément, fig. 13. Planche du Lapidaire, est une piece de bois d’environ 5 ou 6 pouces de long & de 4 à 5 de large, dans laquelle est un trou K qui est le centre de l’arc hi percé à jour. Sur l’épaisseur de la face gg s’éleve la vis m qui est dans le même plan, & par laquelle elle s’assemble avec la base ux en passant par le trou y ; elle y est retenue par l’écrou en S marqué z, ainsi qu’on peut le voir dans la figure 10. qui représente le cadran tout monté.
La base, outre le trou y, en a encore un autre x qui descend verticalement : ce trou reçoit le clou qui est fixé sur l’établi, comme on voit en R, fig. 5.
Le trou K du corps reçoit la noix II. La partie o est celle qui entre dans le trou K, & la partie p faite en vis reçoit l’écrou Z, fig. 19. au moyen duquel elle se trouve fixée sur le corps du cadran.
L’ouverture circulaire hi reçoit la noix de la fig. 8. la partie r est celle qui entre dans l’ouverture hi ; cette partie est cavée du côté qui doit s’appliquer sur l’arc convexe de l’ouverture circulaire, & elle est de même que la premiere retenue par l’écrou 6, fig. 19.
Les deux noix sont chacune percées d’un trou, dans lequel passe le bâton à ciment 3 1 2, fig. 10. qui peut tourner sur son axe & se fixer dans les ouvertures des noix par le seul frottement, à quoi contribue beaucoup sa forme conique.
Voyez pour l’usage de cet instrument l’article Lapidaire & la figure 5. R est le cadran monté sur son clou, ensorte que le diamant soudé au bout du bâton à ciment porte sur la meule K.