# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 08/Géométrie transcendante, article 2
### Solution du problème de géométrie proposé à la page 140 de ce volume ;

Problème. À quelle courbe appartient une suite indéfinie de points tellement situés sur un même plan ; 1.$^o$ que leurs ordonnées sont équidistantes ; 2.$^o$ que la droite menée de l’origine à chacun d’eux, et prolongée au-delà, retranche de l’ordonnée de celui qui le suit immédiatement, à sa partie supérieure, une longueur constante ?
Solution. Soit $a$ la distance constante entre les ordonnées consécutives ; et soit $b$ la longueur, aussi constante, retranchée à chacune, à sa partie supérieure, par le prolongement de la droite menée de l’origine au point qui précède immédiatement celui auquel cette ordonnée appartient.
Concevons que, à partir de l’un quelconque, ces points aient été consécutivement numérotés $1,2,3,\ldots z-1,z\,;$ soient $\operatorname {P} _{\zeta -1},\operatorname {P} _{\zeta },$ ceux d’entre eux qui occupent respectivement les rangs $z-1$ et $z\,;$ soient $x_{\zeta -1},y_{\zeta -1},$ les coordonnées du premier ; soient $x_{\zeta },y_{\zeta },$ les coordonnées du second, l’équation de la droite menée de l’origine au point $\operatorname {P} _{\zeta -1}$ sera
$y={\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x\,;$
en conséquence, la partie de l’ordonnée de $P_{\zeta }$ interceptée entre cette droite et l’axe des $x$ sera
${\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x_{\zeta }\,;$
il faudra donc que cette longueur, augmentée de $b,$ soit égale à l’ordonnée de $P_{\zeta }\,;$ c’est-à-dire qu’on aura
${\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x_{\zeta }+b=y_{\zeta }\,;$
c’est-à-dire,
$y_{\zeta }x_{\zeta -1}-x_{\zeta }y_{\zeta -1}=bx_{\zeta -1}\,;\qquad$
mais si l’on appelle $A$ l’abscisse arbitraire du point $\operatorname {P} _{0},$ on aura
$x_{\zeta -1}=A+(z-1)a,\qquad x_{\zeta }=A+za\,;$
substituant donc ces valeurs dans l’équation (1) ; elle deviendra
$\left[A+(z-1)a\right]y_{\zeta }-\left[A+za\right]y_{\zeta -1}=b\left[A+(z-1)a\right]\,;\qquad$
équations aux différences du premier ordre et du premier degré.
L’intégrale de cette équation est, en désignant par $B$ l’ordonnée qui répond à l’abscisse $A$
$y=(A+za)\left\{{\tfrac {B}{A}}+b\left[{\tfrac {1}{A+za}}+{\tfrac {1}{A+(z-1)a}}+{\tfrac {1}{A+(z-2)a}}+\ldots +{\tfrac {1}{A+a}}\right]\right\}$
mais on a, $A+za=x\,;$ substituant donc, il viendra
$y=x\left\{{\frac {B}{A}}+b\left({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x-a}}+{\frac {1}{x-2a}}+\ldots +{\frac {1}{A+a}}\right)\right\}.$
Si l’on suppose $A=a$ et $B=b,$ cette équation deviendra
$y=bx\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{2a}}+{\frac {1}{3a}}+\ldots +{\frac {1}{x}}\right).$
Un géomètre nous a adressé une solution pour le cas où la distance constante entre les ordonnées étant infiniment petite et égale à $\operatorname {d} x,$ la longueur $b$ serait aussi infiniment petite et égale à $\lambda \operatorname {d} x.$ On a dans ce cas
$y(x-\operatorname {d} x)-x(y-\operatorname {d} y)=\lambda \operatorname {d} x(x-dx)\,;$
ou en réduisant
$x\operatorname {d} y-y\operatorname {d} x=\lambda x\operatorname {d} x\,;$
ou encore
${\frac {x\operatorname {d} y-y\operatorname {d} x}{x^{2}}}=\operatorname {d} \left({\frac {y}{x}}\right)=\lambda {\frac {\operatorname {d} x}{x}}=\lambda \operatorname {d} .\operatorname {Log} .x\,;$
d’où
${\frac {y}{x}}=\lambda \operatorname {Log} .Cx,$
ou encore
$y=\lambda x\operatorname {Log} .Cx.$
Si l’on veut que la courbe passe par le point $(A,B),$ on aura
$B=\lambda A\operatorname {Log} .CA\,;$
ce qui donne
$C={\frac {\sqrt[{\lambda A}]{e^{B}}}{A}}\,;$
donc
$y=\lambda x\operatorname {Log} .{\frac {x}{A}}{\sqrt[{\lambda A}]{e^{B}}},$
ou bien
$y=\lambda x\left\{\operatorname {Log} .{\frac {x}{A}}+{\frac {B}{\lambda a}}\right\}.$