# L’Encyclopédie/1re édition/TRAJECTOIRE

TRAJECTOIRE, s. f. en Géométrie, est le nom qu’on a donné aux courbes qui coupent perpendiculairement, ou sous un angle donné, une suite de courbes du même genre, qui ont une origine commune, ou qui sont situées parallelement.
Ainsi la courbe MNO, (fig. 101. Géom.) qui coupe perpendiculairement une infinité d’ellipses ACB, Acb, &c. décrites d’un même sommet A, est nommée trajectoire. Il en est de même de la courbe MNO, (fig. 102. Géom.) qui coupe perpendiculairement une infinité d’ellipses ACB, acb, &c. égales entre elles, & situées sur le même axe.
M. Leibnitz proposa en 1715, aux géometres anglois de déterminer en général la trajectoire d’une suite de courbes qui avoient le même point pour sommet, & dans lesquelles le rayon de la développée étoit coupé par l’axe en raison donnée. Ce probleme fut résolu d’une maniere très-générale par plusieurs d’entre eux, entre autres, par M. Taylor. Voyez les actes de Leipsic, de 1717. On trouve dans ces mêmes actes différentes solutions fort générales de ce même problème, dont la plûpart ont été recueillies dans le tome II. des œuvres de M. Bernoully, imprimées à Lausanne en 1743. M. Nicole en a aussi donné une solution dans les Mém. de l’académie des sciences de Paris, pour l’année 1725.
Trajectoire réciproque, est le nom que M. Jean Bernoully a donné à une courbe ACB, (fig. 103. Géom.) dont la propriété est telle, que si on fait mouvoir cette courbe parallelement à elle-même le long de son axe AA, & qu’on fasse en même tems mouvoir le long de aa, parallele à AA, une courbe acb, égale & semblable à ACB, ces courbes ACB, acb, se coupent toujours perpendiculairement l’une l’autre. Voyez dans les œuvres de M. Bernoully, que nous avons citées, différentes solutions de ce problème, données par plusieurs savans géometres.
On n’attend pas sans doute que nous entrions ici dans le détail de ces solutions qui renferment la géométrie la plus relevée ; tout ce que nous pouvons dire, c’est que ce problème est indéterminé ; qu’il y a une infinité de courbes qui y satisfont ; & que M. Bernoully & d’autres, en ont déterminé plusieurs, tant géométriques que méchaniques, & donné la méthode générale pour les trouver toutes. Voyez Pantogonie. (O)
Trajectoire, s. f. en Méchanique, se dit de la courbe que décrit un corps animé par une pesanteur quelconque, & jetté suivant une direction donnée & avec une vîtesse donnée, soit dans le vuide, soit dans un milieu résistant.
Galilée a le premier démontré que dans le vuide, & dans la supposition d’une pesanteur uniforme, toujours dirigée suivant les lignes paralleles, la trajectoire des corps pesans étoit une parabole. Voyez Projectile, Balistique, &c.
M. Newton a fait voir dans ses principes que les trajectoires des planetes, ou ce qui revient au même, leurs orbites, sont des ellipses. Voyez Planete & Philosophie newtonienne ; & ce philosophe a enseigné dans le même ouvrage, prop. xli. du liv. I. une méthode générale pour déterminer la trajection d’un corps qui est attiré vers un point donné dans le vuide par une force centripete réglée suivant une loi quelconque. M. Jean Bernoully, dans les mém. de l’acad. des Sciences de 1710, a résolu ce même problème par une méthode qui ne differe presque point de celle de M. Newton ; & différens auteurs en ont donné ensuite des solutions plus ou moins simples.
A l’égard des trajectoires dans le vuide, M. Newton a déterminé dans le II. livre de ses principes, celles que doivent décrire les corps pesans dans un milieu résistant en raison de la vitesse ; M. Keill proposa en 1719 à M. Jean Bernoully de trouver les trajectoires dans un milieu résistant comme une puissance quelconque de la vitesse, & M. Bernoully résolut assez promptement ce problème, comme on le peut voir dans le second volume in-4°. du recueil de ses œuvres imprimées à Lausanne en 1743. Ce qu’il y a de singulier, c’est qu’il ne paroit pas que M. Keill eût trouvé de son côté la solution qu’il proposoit à d’autres : du moins il n’en a donné aucune. M. Euler dans le tom. II. de sa méchanique imprimée à Petersbourg en 1736, a aussi déterminé en général les trajectoires dans un milieu résistant comme une puissance quelconque de la vitesse. On trouve dans le traité de l’équilibre & du mouvement des fluides imprimé à Paris chez David 1744, une solution fort simple de ce problème, d’où l’on déduit la construction des trajectoires dans quelques hypothèses de résistance où on ne les avoit point encore déterminées. Voyez les articles 356 & 357 de ce traité. (O)
Trajectoire d’une planete ou d’une comete, (Astronomie.) est la route, l’orbite ou la ligne qu’elle décrit dans son mouvement. Voyez Orbite.
Quoique les cometes paroissent décrire assez exactement un grand cercle de la sphere, il ne faut pas s’imaginer pour cela que leur véritable cours se fasse dans la circonférence d’un cercle ; car les mêmes apparences s’observeront constamment, soit qu’une comete se meuve dans une ligne droite, soit dans une courbe quelconque, pourvu qu’elle ne sorte pas du même plan. En effet dès que l’on suppose qu’un corps se meut à une distance fort grande, dans un plan qui passe par l’œil, tout corps en mouvement quel qu’il soit, & quelque route qu’on lui attribue, paroîtra constamment dans la circonférence d’un grand cercle ; aussi le plus grand nombre des philosophes & des astronomes du dernier siecle ont-ils supposé que les trajectoires des cometes étoient rectilignes. Hevelius est le premier qui se soit apperçu que ces trajectoires se courboient en s’approchant du soleil. Enfin M. Newton est venu qui a démontré que les cometes se mouvoient dans des orbites fort approchantes d’une parabole dont le soleil occupoit le foyer, ou plutôt dans des ellipses si excentriques que dans la partie qui nous est visible, elles ne different point sensiblement d’une parabole.
Newton, dans la xli. proposition de son III. liv. enseigne la maniere de déterminer la trajectoire d’une comete par le moyen de trois observations, & dans sa derniere proposition, celle de corriger la trajectoire pour la connoître le plus exactement qu’il est possible. Voyez Comete.
M. Halley, dans sa cométographie traduite en françois par M. Lemonnier, nous a donné le calcul des trajectoires des vingt-quatre cometes depuis le tems de Nicéphore Gregoras & de Regiomontanus jusqu’au commencement de ce siecle ; toutes ces trajectoires ont été calculées dans la supposition qu’elles soient des paraboles. On trouve dans la derniere édition des principes mathématiques de la philosophie naturelle, le calcul de la trajectoire de la comete de 1680, dans l’hypothese que cette comete se meuve dans une ellipse fort excentrique ; ce calcul a été fait par M. Halley, qui pour déterminer l’excentricité de cette comete, a supposé sa période de 575 ans. La meilleure maniere de calculer les trajectoires en les supposant elliptiques, seroit de se servir pour cela de quelques observations du lieu & du mouvement apparent de la comete ; mais il faudroit qu’elles fussent fort exactes ; car une petite erreur dans ces observations en produiroit une fort grande dans le calcul de l’excentricité, & par conséquent du tems périodique.
Depuis les 24 cometes calculées par M. Halley, différens astronomes en ont calculé plusieurs autres, dont on peut voir la liste dans les élémens d’Astronomie de M. l’abbé de la Caille qui a eu la principale part à ces calculs.
M. Newton & plusieurs autres géometres après lui, nous ont donné le moyen de faire passer une trajectoire par cinq points donnés, en supposant que cette trajectoire soit une section conique ; pour cela il faut joindre deux des points donnés par une ligne droite, deux autres par une autre, & par le cinquieme point tirer une parallele à cette seconde ligne ; ensuite on prendra pour l’équation générale de la trajectoire $\scriptstyle yy+xy+bxx+cx+cy=0$ (Voyez Courbe.), en omettant le terme constant, parce que y & x sont ici = 0 à la fois ; ensuite on nommera A, B, les deux abscisses connues, & C, D, E, les ordonnées correspondantes ; & au moyen de ces cinq données & de la seconde valeur de x qui répond à l’ordonnée = 0, on déterminera les quatre inconnues a, b, c, e. N. B. qu’il n’y a point ici plus d’inconnues qu’il ne faut, parce que les constantes a, b, qui sont des nombres & non des lignes, se détermineront en fractions $\scriptstyle {\frac {C}{A}}$, $\scriptstyle {\frac {D}{A}}$, $\scriptstyle {\frac {E}{B}}$, &c. (O)