# Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés/Note 01
## NOTES SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.
### NOTE I. SUR LA DÉMONSTRATION DU THÉORÈME I.

Les deux théorèmes du Chapitre I sont la base de toute la théorie des équations et doivent être démontrés d’une manière rigoureuse, et sans rien emprunter de cette même théorie. La démonstration que j’ai donnée du premier théorème (n$^o$ 1) est tirée de la considération des facteurs de l’équation, et pourrait laisser des doutes relativement aux facteurs imaginaires. Il est vrai qu’en supposant connu le théorème sur la forme des racines imaginaires, on est sûr que le produit de deux facteurs imaginaires correspondants est toujours une quantité essentiellement positive, quelque valeur qu’on donne à $x,$ d’où il suit que la différence des signes dans les résultats des substitutions de $p$ et $q$ à la place de $x$ ne peut venir que des racines réelles. Mais on doit observer que la démonstration rigoureuse de ce théorème dépend elle-même du théorème qu’il s’agit de démontrer, de sorte qu’on ne peut l’employer dans la démonstration de celui-ci. Pour éviter toute difficulté, j’ai cherché à démontrer ce théorème par la nature même de l’équation, indépendamment d’aucune de ses propriétés.
Représentons, en général, l’équation proposée par
$\mathrm {P-Q} =0,$
$\mathrm {P}$ étant la somme de tous les termes qui ont le signe $+,$ et $-\mathrm {Q}$ la somme de tous ceux qui ont le signe $-.$ Supposons d’abord que les deux nombres $p$ et $q$ soient positifs et que $q$ soit plus grand que $p\,;$ si, en faisant $x=p,$ on a $\mathrm {P-Q} <0,$ et, en faisant $x=q,$ on a $\mathrm {P-Q} >0,$ il est clair que dans le premier cas $\mathrm {P}$ sera $<\mathrm {Q} ,$ et que dans le second $\mathrm {P}$ sera $>\mathrm {Q} .$ Or, par la forme des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ qui ne contiennent que des termes positifs et des puissances entières et positives, il est évident que ces quantités augmentent nécessairement à mesure que $x$ augmente et que, en faisant augmenter $x$ par tous les degrés insensibles depuis $p$ jusqu’à $q,$ elles augmenteront aussi par des degrés insensibles, mais de manière que $\mathrm {P}$ augmentera plus que $\mathrm {Q} ,$puisque de plus petite qu’elle était elle devient la plus grande. Donc il y aura nécessairement un terme entre les deux valeurs $p$ et $q,$ où $\mathrm {P}$ égalera $\mathrm {Q} ,$ comme deux mobiles qu’on suppose parcourir une même ligne dans le même sens, et qui, partant à la fois de deux points différents, arrivent en même temps à deux autres points, mais de manière que celui qui était d’abord en arrière se trouve ensuite plus avancé que l’autre, doivent nécessairement se rencontrer dans leur chemin. Cette valeur de $x,$ qui rendra $\mathrm {P}$ égal à $\mathrm {Q} ,$ sera donc une des racines de l’équation et tombera entre les valeurs $p$ et $q.$ De même, si, en faisant $x=p,$ on avait $\mathrm {P-Q} >0,$ et, en faisant $x=q,$ on avait $\mathrm {P-Q} <0,$ on aurait dans le premier cas $\mathrm {Q<P} ,$ et dansle second $\mathrm {Q>P} \,;$ et, en faisant augmenter $x$ depuis $p$ jusqu’à $q,$ la quantité $\mathrm {Q}$ augmentera plus que la quantité $\mathrm {P}$ et l’égalera dans un point entre $p$ et $q.$
Si les deux nombres $p$ et $q$ étaient négatifs ou un des deux seulement, alors, prenant un nombre positif $r$ tel que $r+p$ et $r+q$ soient des nombres positifs, il n’y aurait qu’à transformer l’équation par la substitution de $y-r$ à la place de $x\,;$ on aurait ainsi une transformée en $y,$ dans laquelle les substitutions de $r+p$ et de $r+q$ à la place de l’inconnue $y$ donneraient par l’hypothèse des résultats de signes contraires, puisque ces résultats sont les mêmes que ceux qui viendraient des substitutions de $p$ et de $q$ à la place de $x$ dans la proposée. Or, les nombres $r+p$ et $r+q$ étant supposés positifs, on pourra reprendre le raisonnement précédent, et l’on prouvera que l’équation en $y$ aura nécessairement une racine comprise entre les nombres $r+p$ et $r+q\,;$ par conséquent, à cause de $x=y-r,$ l’équation en $x$ aura aussi une racine entre $p$ et $q.$