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# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie de situation, article 1

PROBLÈME II. Donner la théorie du mouvement du pendule simple d’une longueur variable et fonction de l’angle que fait sa direction avec la verticale, en supposant d’ailleurs le point de suspension fixe ?
Solution. Soit $u$ la longueur que se trouve avoir le pendule, lorsque sa direction fait un angle $t$ avec la verticale ; on devra avoir $u=\phi (t),\ \varphi$ désignant une fonction donnée quelconque. Cette équation sera évidemment l’équation polaire de la courbe que le mobile fixé à l’extrémité inférieure du pendule sera contraint de décrire, et les variations que ce pendule éprouvera dans sa longueur n’auront d’autre effet que de lui faire parcourir cette courbe qui pourra le remplacer, par rapport au mobile, sans que les circonstances de son mouvement en soient aucunement altérées. Le problème se trouve donc ramené à la recherche des circonstances du mouvement d’un point matériel pesant le long d’une courbe plane dont le plan est vertical, c’est-à-dire, à un problème complètement traité dans tous les ouvrages élémentaires.
# Astronomie populaire (Arago)/XVII/09
### CHAPITRE IX comète de sept ans et demi ou de faye

Le 22 novembre 1843, M. Faye, astronome attaché à l’Observatoire de Paris, a découvert une nouvelle comète ; il a été un des astronomes qui ont calculé d’abord ses éléments paraboliques et plus tard ses éléments elliptiques, car il avait été remarqué que l’orbite observée pendant tout le temps qu’elle a été visible était plutôt un arc d’ellipse qu’un arc de parabole. Ainsi M. Faye, a non-seulement fait la découverte du nouvel astre, mais encore il a pris une part active aux calculs qui ont démontré sa périodicité ; je ne peux donc qu’approuver l’usage qui lui a donné le nom de comète de Faye. Parmi les astronomes qui ont cherché par le calcul à déterminer l’orbite qu’elle parcourt, je citerai MM. Goldschmidt, de Gœttingue, Nicolaï, de Manheim, et Le Verrier, de Paris. On n’a retrouvé dans le catalogue des comètes calculées aucun astre dont les éléments eussent quelque ressemblance avec ceux de la nouvelle comète ; mais l’orbite obtenue d’après les observations faites en 1843 et en 1844 a permis de tracer à l’avance une éphéméride des positions de la comète lors de son prochain retour en 1850 et 1851. À l’aide de cette éphéméride, M. Challis, de l’Observatoire de Cambridge (Angleterre), a retrouvé la comète en novembre 1850. Ainsi le retour de l’astre nouveau avait été prédit avec exactitude.
Cette quatrième comète périodique est la dernière des comètes dont le passage ait été jusqu’à ce jour constaté au moins deux fois vers le périhélie.
Les éléments de cette comète, dont l’orbite dépasse celle de Jupiter (fig. 184), sont les suivants, d’après les calculs de M. Le Verrier :
| Année. | Passage au périhélie. | Incli- naison. | Longitude du nœud. | Longitude du périhélie. | Distance péri- hélie. | Sens du mouv. |
| 1843 | 17 octobre | 11°23’ | 209°29’ | 49°34’ | 1,69 | direct. |
| 1846 | 8 avril | 11 22 | 209 31 | 40 43 | 1,70 | direct. |
Durée de la révolution : 2 718 jours ou 7$^{ans}$,44.
Le lecteur, en jetant un coup d’œil sur la figure 184, remarquera combien les orbites des comètes périodiques s’entrelacent les unes avec les autres et avec les orbites des planètes. Mais il devra se rappeler, pour éviter toute fausse appréciation, que les plans de ces orbites sont inclinés diversement sur le plan de l’écliptique, de telle sorte que les ellipses que présente la figure, loin de se couper, passent à des distances assez grandes les unes des autres.
# Astronomie populaire (Arago)/XVII/11
### CHAPITRE XI comète de 1770 ou de lexell

Messier découvrit une comète dans le mois de juin 1770. Les astronomes, dès qu’ils en eurent réuni trois bonnes observations, s’empressèrent, comme d’habitude, de déterminer ses éléments paraboliques. Ces éléments ne ressemblaient pas à ceux des comètes déjà observées.
La comète resta visible fort longtemps. Il fut donc naturel de rechercher jusqu’à quel point ses dernières positions concordaient avec la parabole déterminée à l’aide des premières. Eh bien, les discordances étaient énormes ; aucune combinaison d’éléments paraboliques ne les faisait disparaître. Dans ce cas particulier, jusque là sans exemple, on ne pouvait donc pas légitimement assimiler l’ellipse à la parabole : l’ellipse réelle devait avoir un grand axe assez court.
Lexell trouva, en effet, que la comète de 1770 (n° 85 du catalogue) avait parcouru autour du Soleil une ellipse dont le grand axe était égal seulement à trois fois le diamètre de l’orbite terrestre, et qui correspondait à une révolution de cinq ans et demi. Il représenta ainsi toutes les positions que l’astre alla occuper pendant la longue durée de son apparition, avec l’exactitude des observations elles-mêmes.
Cet important résultat souleva une grave objection. Avec une révolution aussi prompte, il semblait que la comète de 1770 aurait dû se montrer fréquemment, et on n’en trouvait aucune trace dans les cométographes, avant les observations de Messier. Il y a plus, elle a toujours été invisible depuis, quoiqu’on l’ait cherchée attentivement aux places mêmes où l’orbite elliptique de Lexell devait la ramener.
Je laisse à deviner tout ce que la comète perdue fit naître de sarcasmes, bons ou mauvais, contre ces pauvres astronomes qui s’étaient tant vantés d’avoir trouvé définitivement la clef des mouvements cométaires. Il y avait néanmoins, on doit l’avouer, dans cette mystérieuse disparition, une véritable question à résoudre, car la vive lumière dont brillait la comète de 1770, ne permettait pas de supposer qu’elle fût revenue plusieurs fois sans être remarquée. Aujourd’hui tout est éclairci, et les lois de l’attraction universelle ont puisé dans une épreuve qui, au premier aperçu, semblait devoir les ébranler, une force, une évidence nouvelles.
Pourquoi n’avait-on pas vu la comète tous les cinq ans et demi avant 1770 ? Par la raison que son orbite était alors totalement différente de celle qu’elle a parcourue postérieurement.
Pourquoi la comète n’a-t-elle pas été aperçue depuis 1770 ? Par la raison que son passage au périhélie de 1776 s’effectua de jour, et qu’avant le retour suivant, la forme de l’orbite fut tellement altérée par l’attraction planétaire que, si la comète avait été visible de la Terre, on ne l’aurait pas reconnue.
Aux éléments de la comète de Lexell donnés dans le catalogue des comètes, tels que M. Le Verrier les a calculés, il faut ajouter :
# Astronomie populaire (Arago)/XVII/05
### CHAPITRE V sur les moyens de reconnaître si une comète dont les éléments ne sont pas consignés dans le catalogue des comètes peut être classée parmi les comètes périodiques

Lorsqu’on possède les éléments paraboliques d’une comète nouvelle et qu’on ne les trouve semblables à aucun de ceux consignés dans le Catalogue des comètes calculées, on ne peut conclure qu’une chose, c’est qu’elle n’avait pas été observée dans le passé. Nous disons observée et non pas vue ; le lecteur doit comprendre maintenant toute la différence qui existe entre ces deux expressions. Y a-t-il un moyen de reconnaître si la comète nouvelle a cependant des retours plus ou moins fréquents, si elle ne s’éloigne de la Terre et du Soleil que pour s’en rapprocher plus tard. Chaque fois que la comète peut être observée pendant un temps assez long, la question que je viens de poser peut être résolue. En effet, les éléments de la parabole que la comète semble parcourir d’après les premières observations étant obtenus, on peut tracer la courbe qu’elle devra suivre plus tard, et vérifier par l’observation directe si la marche réelle satisfait à la marche théorique. Quand on trouve que les positions nouvelles de l’astre ne coïncident pas, dans les limites des erreurs des observations, avec les positions calculées, on cherche les éléments de la parabole qui peuvent représenter exactement les nouvelles observations, et il arrive souvent que les premières observations ne sont plus comprises dans la courbe nouvellement calculée. L’impossibilité de satisfaire à la fois par un mouvement parabolique à toutes les positions observées, conduit à admettre qu’une ellipse conviendrait mieux pour représenter le mouvement de la comète. On cherche alors l’orbite elliptique de l’astre chevelu, absolument comme l’on fait pour tracer la route d’une planète. On obtient en conséquence la longueur du demi-grand axe de l’ellipse, qui satisfait à toutes les observations. En vertu de la troisième loi de Kepler sur le rapport qui existe entre les cubes des axes des orbites elliptiques et les carrés des temps des révolutions (liv. xvi, chap. vi), on calcule facilement la durée de la révolution de la comète, et on est en mesure d’indiquer à quelle époque la comète doit revenir passer à son périhélie. On peut alors ranger la comète parmi les comètes qui sont périodiques ; il faut attendre cependant, pour prononcer définitivement, que l’observation ait vérifié la prédiction fondée sur le calcul.
Après avoir expliqué comment les diverses circonstances du mouvement propre d’une comète sont l’unique moyen de la reconnaître quand elle reparaît, je vais faire l’application de ces principes aux comètes dont la réapparition est aujourd’hui bien constatée ; on ne connaît encore que quatre comètes qui satisfassent à cette condition : ce sont celles de Halley, Encke, Gambart et Paye.
# Biographie nationale de Belgique/Tome 2/BERLAYMONT, Philippe DE

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BERLAYMONT (Philippe DE), écrivain ecclésiastique, né à Huy en 1576, mort le 2 septembre 1637, entra de bonne heure dans la Compagnie de Jésus, et s’y distingua dans la carrière de l’enseignement. Il a laissé les ouvrages suivants : 1$^o$ Paradisus puerorum, in quo primævæ honestatis totiusque pueritiæ rectè informatæ reperiuntur exempla. Duaci, typis J. Bogardi, 1618, in-8$^o$. Une seconde édition de ce livre a paru l’année suivante à Cologne. — 2$^o$ Bibliotheca moralis, in quâ præcipuæ de christiani hominis officiis quœstiones ad ordinem catechismi revocantur, exemplisque illustrantur. L’auteur venait d’achever cet ouvrage et se préparaît à le livrer à l’impression, quand il mourut.
Foppens, Bibliotheca Belgica, t. II — De Backer, Bibliothèque des écrivains de la Compagnie de Jésus, deuxième série.
# Biographie nationale de Belgique/Tome 2/BERLO DE FRANC-DOUAIRE, Paul-Godefroi DE

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BERLO DE FRANC-DOUAIRE (Paul-Godefroi DE), treizième évêque de Namur, né au château de Franc-Douaire, au pays de Liége, le 22 septembre 1701, de Paul-Marie de Berlo de Franc-Douaire et de Marie-Albertine de Berlo, mort à Nivelles, le 19 janvier 1771. Il était chanoine de Huy et prévôt de Nivelles quand il fut nommé au siége de Namur par l’impératrice Marie-Thérèse. Le pape Benoit XIV confirma cette nomination par bulle du 5 décembre 1746. Le diocèse de Namur était à cette époque, par suite des malheurs de la guerre, dans l’état le plus déplorable : beaucoup d’églises avaient été ruinées par les armées de Louis XIV et le plus grand désordre régnait dans plusieurs villages. De Berlo consacra sa fortune et sa vie entière à réparer tant de maux ; parcourant ses paroisses, bâtissant et consacrant de nouvelles églises, ouvrant sa bourse à toutes les infortunes, il parvint à rétablir partout l’ordre et la paix. Ce fut lui qui fit restaurer, en 1750, le séminaire de Namur que les Français avaient entièrement dévasté et qui conçut le projet de construire la cathédrale de la même ville, qui ne fut cependant achevée que vingt ans plus tard. Enfin sentant ses forces épuisées, il se retira à Nivelles, où sa sœur était abbesse du chapitre de chanoinesses et y mourut dans les sentiments de la plus grande piété. Son corps fut rapporté à Namur, comme l’avait été celui de son parent Ferdinand de Berlo.
Concil. German., t. X, p. 486.
# Biographie nationale de Belgique/Tome 2/BERLAYMONT, Louis, comte DE

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BERLAYMONT (Louis, comte DE), archevêque de Cambrai, né à Bruxelles en 1542, mort à Mons, le 15 février 1594. Il était fils de Charles, comte de Berlaymont, chevalier de la Toison d’or, chef des finances, et l’un des principaux seigneurs des Pays-Bas. Il n’avait que vingt-huit ans lorsqu’il fut choisi archevêque de Cambrai, le 15 september 1570. Le duc d’Alençon s’étant emparé de cette ville, pendant les troubles qui ensanglantaient la Belgique à cette époque, Berlaymont, qui tenait pour les Espagnols, fur forné d’abandonner son siége épiscopal ; il se retira avec son chapitre à Mons, où il tint un concile provincial en 1586. Le pape Clément VIII le nomma pendant ce temps administrateur du diocèse de Tournai, où il fit son entrée le 13 novembre 1591. Il occupa ces fonctions provisoires pendant trois mois et, pendant cet intérim, consacra l’église des Capucins et rétablit la paroisse de Saint-Brice. Dans la cathédrale, il releva aussi les autels de Saint-Jean et de Saint-Georges, qui avaient été détruits par les Iconoclastes. Cambrai ayant été repris par les troupes espagnoles, le 3 octobre 1595, à la suite d’uu siége auquel Louis de Berlaymont avait assisté avec ses troupes et contribué pour une somme de quarante mille livres, le prélat était sur le point de rentrer dans sa métropole, lorsque des difficultés, survenues entre lui et les magistrats de cette ville l’obligèrent à protester contre leur conduite et le forcèrent à se retirer derechef à Mons, où il mourut.
On trouve des détails curieux sur l’archevêque Louis de Berlaymont et son épiscopat dans un manuscrit in-folio, n$^o$ 883, de la bibliothèque municipale de Cambrai, intitulé : Mémoires pour servir à l’histoire de Louys de Berlaymont, etc., où l’on voit les troubles arrivés en ce pays par l’usurpation du sieur d’Inchy, du duc d’Alençon, du sieur de Balagny et d’Henry IV, roi de France, avec plusieurs anecdotes curieuses.
Le Glay, Catalogue des MSS. de la bibliothèque de Cambrai, p. 204. — Le même, Carmeracum Christianum, p. 62. — Lemaistre d’Anstaing, Histoire de la cathédrale de Tournai.
# Biographie nationale de Belgique/Tome 2/BERLENDE, Sainte

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BERLENDE (Sainte), née à Meerbeke, près de Ninove, et y décédée vers l’année 700. C’est une des saintes les plus vénérées, les plus populaires de la Flandre, et à ce titre, son nom mérite de figurer ici. Son père, Odélard, gouvernait, en qualité de comte, tout le pays situé entre Anvers et Condé sur la rive droite de l’Escaut, et faisait sa résidence ordinaire dans le village où la sainte vit le jour. Sa mère, qui portait le nom de Nona, était la sœur de saint Amand. Après la mort de celle-ci, Berlende se dévoua entièrement à son père Odélard, surtout pendant une grave maladie dont il fut atteint et qui dégénéra peu à peu en lèpre. Après lui avoir donné ces preuves éclatantes de son amour filial, elle obtint comme récompense des soins qu’elle lui avait prodigués, la faveur de pouvoir se consacrer à Dieu et se retira dans le monastère de Moorsele, près d’Alost. À la mort d’Odélard, elle obtint de ses supérieures l’autorisation d’aller lui rendre à Meerbeke les honneurs de la sépulture et elle comptait, après s’être acquittée de ce devoir, retourner à Moorsele, lorsqu’elle apprit que, pendant son absence, les Normands avaient saccagé et incendié le monastère où elle s’était d’abord vouée au Seigneur. Sur les instances de ses sujets, elle résolut alors de se fixer à Meerbeke dans la maison paternelle. Elle y réunit autour d’elle quelques compagnes, et se livra, avec elles, au service de Dieu et à la pratique des œuvres de charité. Elle visitait les malades, et portait des secours aux pauvres et aux malheureux. Autant elle était charitable pour les autres, autant elle se montrait sévère et rigide pour elle-même. D’après Hérigère, son biographe, elle mena, pendant dix-sept ans, une vie toute de privation. Sentant alors sa fin prochaine, elle se prépara courageusement à la mort, qui arriva le troisième jour de février vers l’année 700. Son corps fut enseveli dans l’église de Meerbeke auprès de ceux de ses parents. Les fidèles accoururent de tous les côtés pour honorer la tombe de la sainte ; et l’on rapporte que plusieurs obtinrent, par son intercession, des faveurs extra-ordinaires.
Le corps de Berlende fut levé de terre trente ans après sa mort, et renfermé dans une châsse, qui est encore aujourd’hui l’objet de la vénération des fidèles.
Ghesquière, Acta SS. Belgii, V, p 258. — De Ram, Hagiographie nationale, II, p. 57.
# Biographie nationale de Belgique/Tome 2/BERLIKOM, Baudouin

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BERLIKOM (Baudouin), poëte, né à Bois-le-Duc (ancien Brabant) ou peut-être au village de Berlikom, situé dans le voisinage de cette ville et auquel il a apparemment emprunté son nom, mourut à la Haye, le 20 mai 1605. Habile latiniste, il se fit connaître tout à, la fois comme poëte et comme prosateur, et publia un recueil de poésies sous le titre de : Hierostichon sive carminum ex libris sacris et ecclesiasticis metaphrasi poetica concinnatorum libri IX. Lugd. Batav., 1599, in-8$^o$. Cependant Hoffman-Peerlkamp juge assez sévèrement ses poésies où l’on remarque de grandes sympathies pour les doctrines luthériennes ; à l’appui de ses critiques, il cite une épigramme très-vive de J. Douza. Les connaissances juridiques de Berlikom lui avaient procuré à la fin de sa vie, l’emploi de greffier de la cour de Brabant, à la Haye, emploi qu’il occupa jusqu’à sa mort.
Hoffman-Peerlkamp, De poetis latinis, etc., 184-185. — Sweertius, Athenæ Belgicæ, p. 141. — Vander Aa, Biographisch Woordenboek. — Foppens, Biblioth. Belgica, I, 116.
# Biographie nationale de Belgique/Tome 2/BERLO, Ferdinand, comte DE

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BERLO (Ferdinand, comte DE), onzième évêque de Namur, né dans la même ville, en 1654, de Jean, comte de Berlo, seigneur de Brus et Chokier, et d’Anne-Marguerite-Ursule de Berlo d’Hozémont, mort au château de Chokier, près de Liége, le 24 août 1725. Ferdinand de Berlo étudia la philosophie à Louvain, le droit à Ingolstadt et à Rome, puis il devint chanoine de la cathédrale de Liége et archidiacre de la Campine. L’électeur Ferdinand de Bavière, qui protégeait particulièrement sa famille le fit, en outre, nommer abbé mitré des abbayes de Saints-Martin et Castule et de Saint-Uldaric en Bavière. Pierre Van den Perre, évêque de Namur, étant décédé, le roi d’Espagne le désigna pour occuper ce siége, et le pape Innocent XII, confirma ce choix par bulle du 11 décembre 1697. Ferdinand de Berlo administra pendant vingt-sept ans le diocèse de Namur en prélat pieux et éclairé, et les Decreta et Statuta Synodorum Namurcensium, qu’il publia en 1720 (1 vol. in-4$^o$), attestent sa vigilance sur les menées des Jansénistes à cette époque ainsi que son zèle pour le maintien de la discipline ecclésiastique.
Ann. archéol. de Namur, t. IX, p. 289. — Concil. German., t. X, p. 229
# Astronomie populaire (Arago)/XXI/02
### CHAPITRE II durée de la révolution de la lune

C’est à Halley qu’est due en point de fait l’observation de laquelle il résulte, ainsi que nous le disions plus haut (chap. i), que le mouvement de la Lune s’est accéléré depuis les plus anciennes observations, surtout depuis les observations faites du temps des califes jusqu’à nos jours. Quand on rapproche ce résultat des causes physiques qui président aux mouvements célestes, il excite la surprise. Il est impossible, en effet, qu’un astre se meuve autour d’un autre avec plus de rapidité, sans que sa distance à celui-ci ne diminue.
La permanence du mouvement circulatoire exige qu’il y ait égalité entre la quantité dont le corps circulant tombe vers l’astre central, en vertu de son action attractive, dans l’intervalle d’une seconde, quantité qui ne peut manquer d’augmenter lorsque la distance diminue, et la force centrifuge qui, dans le même temps, tend à éloigner le corps circulant du point central. Cette force centrifuge augmente nécessairement avec la vitesse.
On voit dès lors qu’à un mouvement plus rapide de la Lune devrait correspondre une diminution dans la distance de l’astre à la Terre, qu’à une augmentation indéfinie de vitesse correspondrait une diminution indéfinie de la distance. De sorte qu’en dernière analyse, la Lune serait venue se poser sur la Terre, événement qui eût été accompagné d’épouvantables révolutions physiques.
Les astronomes discutèrent beaucoup, vers le milieu du siècle dernier, ces conséquences de l’accélération observée dans le mouvement de la Lune. Heureusement le public n’en fut informé qu’à l’époque où de Laplace eut démontré théoriquement que l’accélération sera renfermée dans des limites fort restreintes, et qu’elle sera suivie à une époque plus ou moins éloignée d’un mouvement graduellement retardé.
Ce résultat de l’illustre géomètre a permis de prouver que la température générale de la Terre n’a pas varié d’un centième de degré dans l’intervalle de 2 000 ans ! malgré le peu de liaison qu’on peut apercevoir au premier coup d’œil entre cette température et le mouvement de la Lune.
# Astronomie populaire (Arago)/XXI/08
### CHAPITRE VIII sur les réapparitions de la lune

On agite souvent cette question : Quel est le plus court intervalle après ou avant la conjonction où l’on ait aperçu la Lune à l’œil nu ? La solution doit intéresser particulièrement les Mahométans.
En effet, la fin du jeûne du ramadan est déterminée par la première apparition de la Lune ; des millions de personnes étant dès lors attentives à ce phénomène, ce serait dans l’Orient surtout que nous trouverions la réponse la plus exacte pour nos climats à la question posée en tête de ce paragraphe ; mais vaudrait-elle la peine de faire des recherches à ce sujet ?
Hévélius dit que dans la zone torride, Vespuce vit dans le même jour la Lune à l’orient et à l’occident du Soleil. Il croyait que dans le climat de Danzig la Lune n’est visible que dès le troisième jour. (Delambre, Astronomie moderne, t. ii, p. 440.)