# Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation/chap. 3
### CHAPITRE III. LE GROUPE DE TRANSFORMATIONS DE LORENTZ.
#### 11. Formules de Lorentz.

Le résultat négatif de Michelson, l’échec de toutes les expériences tentées pour révéler le mouvement absolu de la Terre, tiennent à des causes profondes qui avaient passé inaperçues dans les débuts de la théorie électromagnétique.
Si l’on effectue, dans les équations fondamentales du champ électromagnétique (équations de Maxwell), la transformation du groupe de Galilée :
| (1-3) | $\left\{{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\end{aligned}}\right.$ |
| (2-3) | $\left\{{\begin{aligned}x&=x^{\prime }+vt,\\y&=y^{\prime },\\z&=z^{\prime },\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\right.$ |
ces équations ne conservent pas leur forme.
En d’autres termes, en ce qui concerne les transformations de coordonnées d’espace et de temps, les équations de Maxwell n’admettent pas le groupe de transformations de la mécanique.
C’est là un fait fondamental.
Mais les équations de Maxwell admettent un autre groupe de transformations que Lorentz a eu le grand mérite de découvrir.
Pour le moment, nous nous bornerons à indiquer le résultat. Considérons, comme au n$^o$ 1, un système $\mathrm {S} ^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }),$ en mouvement rectiligne et uniforme par rapport au système $\mathrm {S} (x,y,z)$ avec une vitesse $v.$ $\mathrm {O} x,$ $\mathrm {O} ^{\prime }x^{\prime }$ sont en coïncidence et parallèles à $v\,;$ $\mathrm {O} y$ et $\mathrm {O} ^{\prime }y^{\prime },$ $\mathrm {O} z$ et $\mathrm {O} ^{\prime }z^{\prime }$ sont parallèles ; la coïncidence des origines $\mathrm {O}$ et $\mathrm {O} ^{\prime }$ des coordonnées constitue un événement pris pour origine des temps, c’est-à-dire à partir duquel on compte le temps dans chacun des systèmes.
Désignons toujours par $c$ la vitesse de la lumière et posons :
$\alpha ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
(abréviation à retenir car elle sera employée dans toute la suite).
Le groupe de Lorentz est le suivant :
| (3-3) | $\left\{{\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {1}{\alpha }}(x-vt),\\y^{\prime }&=y,\\z^{\prime }&=z,\\t^{\prime }&={\frac {1}{\alpha }}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\cdot \end{aligned}}\right.$ |
| (4-3) | $\left\{{\begin{aligned}x&={\frac {1}{\alpha }}(x^{\prime }+vt^{\prime }),\\y&=y^{\prime },\\z&=z^{\prime },\\t&={\frac {1}{\alpha }}\left(t^{\prime }+{\frac {vx^{\prime }}{c^{2}}}\right)\cdot \end{aligned}}\right.$ |
Si les lois de l’électromagnétisme sont exactes dans le système $\mathrm {S} ,$ elles ne peuvent être exactes dans $\mathrm {S} ^{\prime }$ que si les nouvelles coordonnées d’espace et de temps $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$ sont liées aux coordonnées $(x,y,z,t)$ du système $\mathrm {S}$ par les équations de Lorentz (3-3 ; 4-3).
Ces équations forment un groupe, car on reconnaît facilement que deux transformations successives de vitesses $v$ et $v^{\prime }$ équivalent à une transformation unique de même forme, à condition que la vitesse $v^{\prime \prime }$ correspondant à cette transformation unique soit liée aux vitesses $v$ et $v^{\prime }$ par la relation
| (5-3) | $v^{\prime \prime }={\frac {v+v^{\prime }}{1+{\dfrac {vv^{\prime }}{c^{2}}}}}\cdot$ |
Ce n’est plus l’addition des vitesses, comme en mécanique classique. Nous reviendrons bientôt sur cette loi de composition des vitesses.
Le passage de $x^{\prime }$ à $x$ se faisant en remplaçant $v$ par $-v,$ on voit que la vitesse du système $\mathrm {S}$ par rapport au système $\mathrm {S} ^{\prime }$ est $-v.$
Nous établirons plus tard les substitutions qu’on doit faire pour les grandeurs électriques et magnétiques ; pour l’instant, il n’est question que des transformations de longueurs et de temps.
Il est essentiel de remarquer que les équations de Maxwell impliquent que toutes les perturbations électromagnétiques se propagent dans le vide avec la même vitesse $c$ dans toutes les directions et que cette vitesse reste la même dans la substitution définie par le groupe de Lorentz.

#### 12. Le temps local de Lorentz.

La différence entre le groupe de Lorentz et celui de Galilée est profonde. Au lieu du temps $t$ du système $\mathrm {S} ,$ il faut, si les équations du champ électromagnétique doivent conserver leur forme dans le système $\mathrm {S} ^{\prime },$ introduire dans ce système $\mathrm {S} ^{\prime }$ un temps $t^{\prime },$ fonction non seulement de la vitesse $v,$ mais du lieu repéré dans le système $\mathrm {S} (x,y,z)$ puisque le temps $t^{\prime }$ dépend de l’abscisse $x$ de ce lieu. Le temps $t^{\prime }$ a été appelé par Lorentz temps local.
Lorentz, qui avait obtenu ces formules ${\bigg$au facteur $\alpha$ près, car il avait négligé ${\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\bigg )}$ en cherchant les conditions d’invariance des lois du champ électromagnétique, n’avait pas attribué de réalité physique au temps local. L’expression de $t^{\prime }$ n’avait été considérée que comme une fiction mathématique.
Il appartient à Einstein d’avoir établi que le temps $t^{\prime }$ est le temps physique du système $\mathrm {S} ^{\prime },$ c’est-à-dire le temps que marquent des horloges identiques à celles qui, dans le système $\mathrm {S} ,$ mesurent le temps $t$ mais animées de la vitesse $v$ par rapport à $\mathrm {S} .$