# Électricité et magnétisme/Électrostatique

On peut produire des forces électriques simplement en frottant l'un sur l'autre des matériaux différents, des cheveux sur du plastique par exemple. On fait ainsi apparaitre des charges électriques égales et opposées sur les deux surface qu'on a frottées. On peut alors observer l'attraction des charges de signes opposés, et la répulsion des charges de même signe :

## La loi de Coulomb

Deux charges électriques immobiles exercent l'une sur l'autre une force électrique proportionnelle au produit de leurs charges divisé par le carré de leur distance. Les deux forces, celle exercée par A sur B et celle exercée par B sur A, sont dans la direction de la ligne qui relie les centres des deux charges A et B. Ces deux forces sont attractives pour des charges de signes opposés et répulsives pour des charges de même signe.
Un champ est une grandeur physique qui peut varier en chaque point de l'espace à chaque instant. Par exemple, la température est un champ. La loi de Coulomb dit qu'une charge électrique $q$ immobile produit en permanence un champ de force électrique $\mathbf {E}$ dans tout l'espace :
$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=k_{e}{\frac {q}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$
où $\mathbf {r}$ est le vecteur qui va de la charge $q$ au point considéré, $r$ est sa longueur, $\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} /r$ est le vecteur de longueur unité dans la direction de $\mathbf {r}$ et $k_{e}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}$ est une constante qui dépend du choix des unités de mesure.
La force $\mathbf {F}$ exercée par un champ électrique $\mathbf {E}$ sur une charge $q'$ est $\mathbf {F} =q'\mathbf {E}$
Donc la force exercée par une charge $q$ sur une charge $q'$ est ${\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qq'}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$
Le champ $\mathbf {E}$ est comme un intermédiaire mathématique pour calculer la force exercée par une charge sur une autre. Mais il est beaucoup plus qu'un simple intermédiaire mathématique. Il a une existence autonome. Maxwell a montré que la lumière est une onde électromagnétique, c'est à dire un mouvement de propagation du champ électromagnétique ($\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$) dont le champ électrique $\mathbf {E}$ est une composante.
Le champ électrique à la surface d'une sphère chargée positivement :
La force exercée par deux charges sur une troisième est la somme des forces exercées séparément par chacune d'elles. Toutes les charges de l'Univers produisent ensemble dans tout l'espace un champ électrique qui est la somme des champs produits séparément par chacune d'elles.
La force de Coulomb est mathématiquement semblable à la force de gravitation : deux masses exercent l'une sur l'autre une force de gravitation proportionnelle au produit de leurs masses divisé par le carré de leur distance. Mais la force de gravitation est toujours attractive, parce qu'il n'y a pas de masse négative. Sur la Terre, le poids d'un corps est la force de gravitation que la Terre exerce sur lui.
Selon la théorie de la relativité, il n'y a pas d'interaction instantanée à distance. Une charge ne peut donc pas exercer instantanément sur une autre la force de Coulomb. Il faut prendre en compte le temps de propagation de la force. C'est pourquoi la loi de Coulomb est seulement une loi de l'électrostatique. Elle permet de calculer correctement les forces entre des charges immobiles.

## La cohésion de la matière est électrostatique

Un tout petit grain de sel
Chaque ligne représente une liaison entre deux ions dans un cristal de NaCl (le chlorure de sodium, c'est le sel ordinaire). Les couleurs bleue et verte représentent les deux espèces d'ions. C'est un cristal cubique centré. Chaque ion Na$^+$ est entouré de 8 proches voisins Cl$^-$. De même chaque ion Cl$^-$ est entouré de 8 proches voisins Na$^+$. Deux ions proches voisins sont toujours de charges opposées, parce que des charges opposées s'attirent tandis que des charges de même signe se repoussent.
La force qui explique la cohésion des solides, des atomes et des molécules est la force de Coulomb. La cohésion des liquides est aussi causée en partie par cette force électrostatique, mais comme les atomes ou les molécules sont en mouvement, des forces électrodynamiques peuvent aussi entrer en jeu.
Un atome d'hydrogène est constitué d'un proton, de zéro, un ou deux neutrons, et d'un électron. Un proton est une charge positive. Un électron est une charge négative, égale mais opposée. Un neutron est neutre. L'électron est lié au proton par la force électrique de Coulomb. Plus généralement, un atome est constitué d'un noyau entouré d'électrons. La charge du noyau est positive, égale mais opposée à la charge totale des électrons.
Lorsque l'atome d'hydrogène est dans son état fondamental, l'état de plus basse énergie, la présence de l'électron autour d'un proton ressemble à un nuage sphérique :
Le proton est au centre. Le nuage autour représente la présence de l'électron.
Si l'atome est excité, la présence de l'électron peut avoir des formes variées :
Une molécule est un assemblage d'atomes. Les électrons sont comme une glu qui lie les noyaux. Deux charges positives se repoussent, mais deux charges positives séparées par une charge négative peuvent s'attirer.
Un ion est un atome ou une molécule qui a perdu ou gagné un ou plusieurs électrons. Comme les atomes et les molécules sont toujours électriquement neutres, les ions sont toujours chargés. Un atome ou une molécule qui a gagné un ou plusieurs électrons est un ion négatif. Un atome ou une molécule qui a perdu un ou plusieurs électrons est un ion positif.
Un solide est un assemblage d'atomes, de molécules ou d'ions, liés les uns aux autres par la force électrostatique.
Pour casser un cristal ionique, il faut séparer des ions attirés par la force électrique :
Les forces attractives entre charges de signes opposés sont plus grandes que les forces répulsives entre charges de même signe. Cette différence fait la cohésion de tous les matériaux.
La masse des noyaux est à peu près 5000 fois plus élevée que la masse des électrons qui les accompagnent, parce que la masse d'un proton ou d'un neutron est à peu près égale à 2000 fois celle d'un électron, qu'un atome a toujours le même nombre de protons et d'électrons, et un nombre de neutrons à peu près égal ou un peu plus grand que le nombre de protons (sauf l'hydrogène ordinaire, qui n'a pas de neutrons). Puisque presque toute la masse est portée par les noyaux (faits de protons et de neutrons), il est plus naturel de dire que les électrons sont une glu qui lie les noyaux que de dire que les noyaux sont une glu qui lie les électrons.
Deux charges ponctuelles de signes opposés devraient s'attirer mutuellement jusqu'à se rejoindre. On peut calculer que l'énergie qu'elle pourrait fournir en tombant ainsi l'une sur l'autre est infinie. Mais la matière habituellement ne s'effondre pas sur elle-même, et elle ne libère jamais une quantité infinie d'énergie. Les corps ont toujours un état de plus basse énergie, qui est leur état fondamental. Dans cet état, ils ne peuvent pas céder d'énergie, parce qu'ils n'ont pas d'état de plus basse énergie où aller. Les atomes, les molécules et les ions sont dans leur état fondamental ou dans des états excités qui ont une énergie plus élevée. Plus un gaz est chaud, plus ses atomes ou ses molécules sont excités. Un solide est dans un état excité, sauf si sa température absolue est zéro Kelvin.
Pour expliquer pourquoi un électron d'un atome d'hydrogène ne tombe pas sur le proton, ou plus généralement pourquoi les matériaux ne s'effondrent pas sur eux-mêmes, la loi de Coulomb ne suffit pas, on a besoin de la physique quantique.

## Qu'est-ce que la tension électrique ?

En régime stationnaire, la tension électrique est la différence de potentiel électrique entre deux points. Son unité de mesure est le Volt (V).
Qu'est-ce qu'un potentiel ?
Pour comprendre le potentiel, il faut comprendre le travail d'une force.
On peut raisonner sur le potentiel électrique de la même façon que sur le potentiel gravitationnel.
On peut déplacer sans effort un objet lourd sur une patinoire, parce qu'on n'a pas à lutter contre la force de pesanteur. En revanche, il faut faire beaucoup d'effort pour soulever un objet lourd verticalement, parce qu'il faut s'opposer à la force de pesanteur. Dans le premier cas, la force de pesanteur ne travaille pas, parce que le déplacement est horizontal. Dans le second cas, la force de pesanteur travaille, parce que le déplacement est vertical.
Le travail W d'une force f sur un mobile qui se déplace en ligne droite sur une longueur d est égale au produit scalaire du vecteur force f et du vecteur déplacement d :
W = f.d = f d cos $\theta$
où $\theta$ est l'angle entre le vecteur force f et le vecteur déplacement d. f et d sont les longueurs des vecteurs f et d.
La force de pesanteur est verticale. Elle ne travaille pas pour un déplacement horizontal parce que cos 90° = 0. Le travail de la force de pesanteur $m\mathbf {g}$ sur une masse $m$ qu'on élève d'une hauteur $h$ est
$W=-mgh$
Le travail d'une force est une énergie. Si $\theta$ > 90°, cos $\theta$ < 0 et W < 0. Le travail de la force a une valeur négative parce qu'il est l'énergie perdue par un corps qui se déplace en luttant contre la force. Cette énergie perdue peut être l'énergie cinétique E = 1/2 mv$^2$. La vitesse v diminue parce que le corps est freiné par la force. Si $\theta$ < 90°, cos $\theta$ > 0 et W > 0. Le travail de la force a une valeur positive parce qu'il est l'énergie acquise par un corps qui se déplace en étant poussé et accéléré par la force.
Dans le système international d'unités de mesure (MKSA, mètre, kilogramme, seconde, Ampère), l'unité d'énergie est le Joule (J). Un Joule est le travail qu'il faut dépenser pour déplacer un corps sur un mètre contre une force de un Newton (N).
1 J = 1 N . 1 m = 1 N.m
La force de pesanteur à la surface de la Terre est à peu près égale à 9.8 N, presque 10 N. Un Joule est donc à peu près l'énergie qu'il faut dépenser pour soulever un corps de 1 kg de dix centimètres.
Lorsque la trajectoire d'un mobile est une ligne courbe, on calcule le travail d'une force en raisonnant sur des lignes brisées qui suivent la trajectoire courbe. Si les longueurs des segments sont de plus en plus courts, une ligne brisée est de plus en plus semblable à la ligne courbe qu'elle suit. On trouve le travail de la force en prenant la limite de la somme des travaux sur chaque segment, quand la longueur des segments tend vers zéro. Le travail de la force est l'intégrale du produit scalaire de la force et du vecteur déplacement sur le chemin suivi.
Par définition du produit scalaire, le travail de la force de pesanteur g sur un segment incliné AB est égal à g(h$_A$ - h$_B$) où h$_A$ - h$_B$ est la différence d'altitude entre ses deux extrémités. Or la différence d'altitude entre A et C est égale à la somme des différences d'altitude entre A et B et entre B et C :
h$_A$ - h$_C$ = (h$_A$ - h$_B$) + (h$_B$ - h$_C$)
Donc le travail de la force de pesanteur g sur un chemin quelconque qui va de A à Z est toujours égal à g(h$_A$ - h$_Z$). Il ne dépend que de la différence d'altitude des extrémités A et Z, pas du chemin qui relie A à Z. On a ainsi prouvé dans le cas particulier du champ de pesanteur à la surface de la Terre :
Théorème : le travail de la force de gravitation ne dépend pas du chemin suivi.
Si on néglige les frottements, l'énergie cinétique d'un mobile sur des montagnes russes est le travail de la force de gravitation à partir du repos initial. Elle ne dépend que du dénivelé $h$, pas du chemin suivi :
Le travail d'une force peut dépendre du chemin suivi. Par exemple, le travail d'une force de frottement est d'autant plus grand que le chemin suivi est plus long.
Lorsqu'un champ de force est tel que le travail de la force entre deux points ne dépend pas du chemin suivi, on peut introduire un potentiel. On le définit en choisissant un point de potentiel zéro. Le potentiel en chaque point de l'espace est alors défini par le travail de la force sur un corps étalon entre ce point et le point de potentiel zéro. Pour la force de pesanteur, on prend comme étalon un corps dont la masse est égale à un. Pour la force électrique, l'étalon est un corps dont la charge électrique est égale à un. Le potentiel est bien défini parce que le travail de la force ne dépend pas du chemin suivi.
Soit W$_{XY}$ le travail de la force sur un corps unité déplacé de X à Y, V$_X$ le potentiel au point X et O un point de potentiel nul. Par définition de V, V$_A$ = W$_{AO}$ et V$_B$ = W$_{BO}$. Donc V$_A$ - V$_B$ = W$_{AO}$ - W$_{BO}$. Or W$_{AO}$ = W$_{AB}$ + W$_{BO}$. Donc V$_A$ - V$_B$ = W$_{AB}$. La différence de potentiel entre deux points est donc toujours égale au travail de la force sur un corps unité déplacé entre ces deux points.
La tension électrique entre deux points est le travail de la force électrique sur une unité de charge déplacée entre ces deux points. En régime stationnaire, le travail de la force électrique ne dépend pas du chemin suivi, cette force dérive donc d'un potentiel. La tension électrique est alors une différence de potentiel. Elle est pour la force électrique ce que la différence d'altitude est pour la pesanteur.
L'unité de charge électrique est le Coulomb. Un Volt (V) est un Joule (J) par Coulomb (C). C'est la différence de potentiel nécessaire pour donner à une charge de un Coulomb une énergie de un Joule.
1 V = 1 J/C
Lorsqu'on impose une tension électrique aux bornes d'un fil métallique, le fil est parcouru par un courant électrique, qui est un courant d'électrons. Les électrons sont accélérés par la force électrique, mais leur énergie cinétique moyenne n'augmente pas, parce qu'ils sont freinés par le métal. Ils perdent en chauffant le métal, toute l'énergie qu'ils ont gagnée, par effet Joule. La lumière électrique a été inventée en faisant chauffer à blanc un fil métallique parcouru par un courant électrique. La résistance électrique d'un matériau mesure sa capacité à freiner les électrons ou les ions qui le traversent.

## L'énergie potentielle

L'énergie potentielle gravitationnelle d'un corps de masse $m$ localisé au point $X$ est égale à $mV_{X}$ où $V_{X}$ est le potentiel gravitationnel au point $X$. Lorsqu'un corps est au repos, son énergie n'est pas visible, pas actuelle, parce que son énergie cinétique est nulle. Lorsqu'un corps au repos est lâché en chute libre, son énergie potentielle de gravitation est transformée en énergie cinétique. L'énergie était présente déjà quand le corps était au repos, mais elle ne s'était pas manifestée, elle était seulement potentielle. Sa transformation en énergie cinétique est une actualisation du potentiel.
Pour un corps en chute libre, lâché au repos, son énergie cinétique à la fin du mouvement est l'actualisation de son énergie potentielle de gravitation, initialement invisible. Elle est égale au travail de la force de pesanteur. Donc le travail de la force est l'actualisation du potentiel. L'énergie potentielle est le potentiel de faire travailler une force. On a du potentiel quand on a une force qu'on peut faire travailler.
L'énergie a de nombreuses formes : l'énergie cinétique ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ est l'énergie d'une masse $m$ du fait de sa vitesse $v$. La chaleur est l'énergie cinétique des atomes et des molécules. L'énergie de la pesanteur, l'énergie électrique et l'énergie nucléaire sont des énergies potentielles qui dépendent des forces gravitationnelles, électriques et nucléaires, respectivement. L'énergie chimique est l'énergie électrique des atomes et des molécules. L'énergie lumineuse est l'énergie cinétique des photons, les particules de lumière.
L'équation de l'énergie cinétique $E={\frac {1}{2}}mv^{2}$ est seulement une première approximation. Un calcul relativiste, en accord avec la théorie d'Einstein, donne un résultat plus précis.
La transformation de l'énergie potentielle de gravitation en énergie cinétique est un exemple de la conservation de l'énergie. L'énergie ne disparait jamais. Lorsqu'un corps perd de l'énergie, il la cède toujours à un autre corps, ou il la transforme en une autre forme d'énergie. Un barrage hydroélectrique transforme l'énergie de pesanteur en énergie électrique. Un four électrique transforme l'énergie électrique en chaleur. Une centrale nucléaire transforme l'énergie nucléaire en chaleur et la chaleur en énergie électrique. Il en va de même pour toutes les formes de production ou de consommation d'énergie. La quantité totale de l'énergie dans l'Univers est constante.

## L'énergie potentielle de la masse : E = mc²

Même la masse est une énergie potentielle.
La masse $m$ de n'importe quel corps est proportionnelle à l'énergie $E$ qui pourrait être libérée si elle était anéantie :
$m={\frac {E}{c^{2}}}$
ou
$E=mc^{2}$
où $c$ est la vitesse de la lumière.
Une masse a toujours le potentiel d'être anéantie.
L'équation $E=mc^{2}$, découverte par Einstein en 1905, peut être prouvée à partir des équations fondamentales de l'électromagnétisme, les équations de Maxwell, découvertes en 1865. Elle est expliquée et prouvée dans le dernier chapitre de ce livre.

## Le gradient d'un potentiel

Lorsque le travail d'une force ne dépend pas du chemin suivi, on dit que le champ de force dérive d'un potentiel, parce qu'on peut calculer la force à partir du potentiel en prenant son gradient.
Pour comprendre le concept de gradient, le plus simple est de raisonner sur le relief d'une montagne. La hauteur h(x,y) d'un point de la surface de la montagne au dessus d'un point (x,y) dans un plan au niveau de la mer est un champ scalaire. On peut l'appeler un champ d'altitude. À partir de ce champ scalaire on peut définir un champ vectoriel. Pour chaque point (x,y) on définit un vecteur v(x,y) qui a pour direction la ligne de plus grande pente de la montagne en ce point, qui est dirigé vers le haut et qui a pour longueur la pente de la ligne de plus grande pente (si on s'élève de 10 m quand on se déplace horizontalement de 100 m, la pente est égale à 10% = 10/100 = 0.1). Le champ des vecteurs ainsi définis est le gradient du champ d'altitude : v = grad h
Sur ces images un champ scalaire est représenté par des nuances de gris. Son gradient est représenté par les flèches. Si le champ scalaire représente l'altitude d'un relief, le premier représente un cône, le second, un plan incliné.
Les lignes de niveau sont les lignes d'égale altitude. Si h était était un potentiel, on les appellerait des lignes équipotentielles.
Les lignes de plus grande pente sont les lignes qui suivent toujours la plus grande pente. Elles sont toujours tangentes au champ vectoriel en chaque point. Si h était un potentiel, on les appellerait des lignes de champ.
Les lignes de plus grande pente sont toujours perpendiculaires aux lignes de niveau. De même les lignes de champ sont toujours perpendiculaires aux lignes équipotentielles.
Les lignes noires sont des lignes de champ, et les lignes marrons des lignes équipotentielles du champ électrique créé par deux charges égales et opposées.
Sur une carte du relief, des lignes de niveau adjacentes signalent toujours la même différence d'altitude. Elles sont d'autant plus serrées que la pente est plus grande. Si de même on trace des lignes équipotentielles adjacentes pour une même différence de potentiel, les lignes sont d'autant plus serrées que le champ est plus grand.
Pour un champ scalaire $h$ dans un espace à deux dimensions, on calcule son gradient en prenant ses deux dérivées partielles. grad $h$ a pour composantes $\partial h/\partial x$ et $\partial h/\partial y$.
Le gradient grad $V$ d'un champ scalaire $V$ dans l'espace à trois dimensions est le champ des vecteurs dont les composantes sont $\partial V/\partial x$, $\partial V/\partial y$ et $\partial V/\partial z$.
Par définition du potentiel, si on déplace un corps étalon de la distance dx, sa variation de potentiel est dV = -f$_x$ dx, où f$_x$ est la composante de la force f dans la direction x. Donc f$_x$ = $-\partial V/\partial x$. De même, f$_y$ = $-\partial V/\partial y$ et f$_z$ = - $\partial V/\partial z$.
La force f sur un corps étalon est l'opposé du gradient du potentiel $V$ :
f = -grad $V$
C'est la formule générale qui permet de calculer un champ de force à partir d'un potentiel.

## Le potentiel de Coulomb produit par une charge

Selon la loi de Coulomb, le champ électrique E créé par une charge -q négative est le champ des vecteurs dirigés vers le centre de la charge dont la grandeur est q/r$^2$ où r est la distance à ce centre. Pour une charge q positive, c'est le même champ, sauf que les vecteurs sont en sens opposé.
Le champ électrique E créé par une charge électrique q dérive du potentiel de coulomb V = q/r où r est la distance au centre de la charge :
E = -grad V = -grad q/r
Les surfaces équipotentielles sont les sphères centrées sur la charge. Les lignes de champ sont toutes les lignes droites qui partent du centre de la charge.
On peut représenter ce potentiel dans un plan qui passe par la charge avec un champ d'altitude :
Les lignes d'égale altitude sont les lignes équipotentielles. Elles sont les intersections des sphères équipotentielles avec un plan qui passe par la charge électrique.
-dV/dr = q/r$^2$ = E, la longueur du vecteur E si q est une charge positive.
Le potentiel de Coulomb d'une charge électrique est semblable au potentiel gravitationnel d'une masse :
Les lignes sont les lignes de champ du champ gravitationnel produit par la Terre, le champ de pesanteur.

## Le potentiel produit par plusieurs charges

Le champ électrique créé par plusieurs charges est la somme des champs créés par chacune d'elles séparément. Or le gradient d'une somme est la somme des gradients, parce que d(f+g)/dx = df/dx + dg/dx. Le champ électrique créé par plusieurs charges dérive donc de la somme des potentiels électriques créés par chacune d'elles séparément. On prouve ainsi que le champ électrique créé par plusieurs charges dérive lui aussi d'un potentiel. Comme le potentiel de Newton est mathématiquement semblable au potentiel de Coulomb, il en va de même pour la force de gravitation.
Le champ produit deux charges égales et opposées peut être représenté avec des lignes de champ :
avec des lignes équipotentielles :
ou en représentant son potentiel comme un relief :
On peut aussi voir les lignes de champ dans l'espace :
Le potentiel gravitationnel produit par la Terre et la Lune est identique au potentiel électrique produit par deux charges électriques négatives qui auraient des charges électriques proportionnelles aux masses de la Terre et de la Lune :
Les lignes de champ sont en bleu, les lignes équipotentielles en rouge.
On peut aussi représenter ce potentiel par un champ d'altitude :

## La charge d'un condensateur

Un condensateur est constitué de deux plaques conductrices, très proches l'une de l'autre, et séparées par un matériau isolant. Chacune des bornes est reliée à une des plaques. Lorsque le condensateur est mis sous tension, une des plaques perd une partie de ses électrons et devient chargée positivement, tandis que l'autre plaque gagne des électrons et devient chargée négativement.
On prouve avec le théorème de Gauss (dans le chapitre sur les équations de Maxwell) que le champ de force électrique $\mathbf {E}$ produit par une plan chargé infini, dont la densité de charge est uniforme et égale à $\sigma$, est lui aussi uniforme de chaque côté du plan chargé, perpendiculaire à lui, que sa grandeur est $E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}$, s'il est entouré par le vide, et que son sens de chaque côté du plan est opposé à son sens de l'autre côté.
Puisque le champ électrique produit par plusieurs charges est la somme des champs produits par chacune d'elles, le champ électrique produit par deux plans chargés parallèles, dont les densités superficielles de charge sont égales et opposées, est donc uniforme entre les plans, perpendiculaires à eux, et sa grandeur est
$E={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$
où $\sigma$ est la valeur absolue de la densité superficielle de charge,
alors qu'il est égal à zéro dans tout l'espace extérieur aux deux plans chargés.
Le champ produit par un condensateur de surface finie est identique au précédent sauf aux bords :
Le travail de la force électrique sur une charge unité entre les plaques est égal à $Ed$ où $d$ est leur distance. Ceci reste vrai pour des plaques finies loin de leurs bords. La tension $V$ entre les plaques est donc proportionnelle à leur charge électrique $Q$. La charge électrique est donc proportionnelle à la tension :
$Q=CV$
où $C$ est la capacité du condensateur. $C$ mesure la quantité de charge reçue par une des plaques pour une tension donnée.
$C={\frac {\epsilon _{0}S}{d}}$
pour des plaques de surface $S$ séparées par le vide, éloignée d'une distance $d$.
Preuve : $C=Q/V={\frac {\sigma S}{Ed}}={\frac {\sigma S}{\sigma d/\epsilon _{0}}}={\frac {\epsilon _{0}S}{d}}$
C'est pourquoi on fait des condensateurs avec de grandes surfaces enroulées sur elles-mêmes, séparées par un film isolant aussi fin que possible.
$\epsilon _{0}$ est la permittivité du vide.
Si les plaques sont séparées par un matériau isolant de permittivité $\epsilon$, la capacité du condensateur est
$C={\frac {\epsilon S}{d}}$

## Électrostatique des matériaux conducteurs

Un matériau est conducteur lorsqu'il contient des charges électriques libres de se déplacer. Dans métaux, ces charges sont les électrons de conduction. Dans les semi-conducteurs, elles peuvent être aussi des trous, des absences d'électrons qui se déplacent dans une mer d'électrons. Dans les solutions ioniques comme l'eau salée, les charges électriques mobiles sont des ions positifs et négatifs.
À l'intérieur d'un matériau conducteur, le champ électrostatique est toujours nul.
Preuve : si le champ n'était pas nul, les charges mobiles subiraient des forces électriques qui les déplaceraient, et le champ ne serait pas statique.
En revanche, les charges électriques peuvent s'accumuler à la surface des matériaux conducteurs. Si on place un objet métallique à proximité de charges électriques, ses électrons de conduction se déplacent pour compenser exactement le champ électrique imposé de l'extérieur à l'intérieur du métal. La somme des deux champs, celui imposé de l'extérieur et celui imposé par les électrons qui se sont accumulés en surface, est toujours égale à zéro à l'intérieur du métal :
Du côté extérieur de la surface d'un matériau conducteur, le champ électrique est perpendiculaire à la surface.
Preuve : si la composante du champ électrique parallèle à la surface n'était pas nulle, les charges superficielles se déplaceraient pour l'annuler.
Si la densité superficielle de charge est positive, le champ électrique en surface est dirigé vers l'extérieur du matériau conducteur. Si elle est négative, il est dirigé vers l'intérieur.
Preuve : si c'était le contraire, les forces électriques pousseraient les charges mobiles à l'intérieur du matériau.
Le champ électrique exerce une force sur les charges électriques superficielles mais ne peut pas les déplacer, parce qu'elles ne peuvent pas sortir du matériau.
Sur la surface d'un matériau conducteur, le champ électrique est
$E={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$
où $\sigma$ est la densité superficielle de charge.
La preuve est donnée à partir du théorème de Gauss, dans le chapitre sur les équations de Maxwell.
Les charges électriques se déplacent toujours dans un sens qui tend à annuler la cause de leur déplacement. Deux charges électriques égales et opposées produisent un champ électrique exactement nul si elles sont exactement superposées. Quand elles s'attirent, elles se déplacent dans un sens qui tend à annuler le champ électrique qui est la cause de leur déplacement.
Lorsqu'on connecte les bornes d'un condensateur avec un fil métallique, les électrons de conduction sont soumis à des forces électriques, imposées par les charges des plaques du condensateur, qui les déplacent dans le sens de la décharge, pas dans le sens d'une augmentation de la charge.

## La polarisation électrique

Un corps est électriquement polarisé lorsqu'une différence de charge apparait entre deux de ses points.
Les corps conducteurs sont polarisés quand ils sont placés dans un champ électrique extérieur uniforme. Des charges électriques superficielles opposées apparaissent sur deux côtés opposés de l'objet.
Les corps isolants sont eux aussi polarisés par un champ électrique uniforme. Des charges électriques superficielles apparaissent sur deux côtés opposés. Comment est-ce possible, alors que par définition, un corps isolant n'a pas de charges électriques libres de se déplacer ?
Dans un corps isolant, les électrons sont comme attachés aux noyaux. Il n'y pas d'électron de conduction libre de passer d'un noyau à un autre. Autour du noyau auquel ils sont attachés, les électrons ont conservé un peu de mobilité. Ils peuvent se concentrer d'un côté ou de l'autre de façon à compenser la force électrique extérieure à laquelle ils sont soumis. On peut songer aux électrons piégés dans un atome ou dans une molécule comme à un fluide électrique qui est retenu par les noyaux et qui peut être déformé. C'est pourquoi les corps isolants peuvent être polarisés par un champ électrique comme les corps conducteurs.
À l'intérieur d'un corps isolant, les charges électriques sont déplacées uniformément lors de sa polarisation par un champ extérieur uniforme. La densité de charge reste donc nulle à l'intérieur du matériau. La densité superficielle de charge est la seule qui varie.
Le déplacement des charges positives et négatives à l'intérieur d'un corps isolant au moment de sa polarisation est un courant électrique transitoire. Mais un courant électrique permanent ne peut pas circuler dans un matériau isolant.
Lorsqu'un corps est électriquement polarisé, il s'oriente dans la direction des forces électriques appliquées :

## L'énergie potentielle d'un système de charges électriques

Comment calculer l'énergie potentielle électrique d'un système de charges ?
Une charge $q$ placée dans un potentiel électrique $V$ a un énergie potentielle électrique $qV$.
Si on fait la somme des énergie potentielles électriques de toutes les charges avec la formule $E_{p}=qV$, on ne trouve pas le bon résultat. Pourquoi ?
Pour calculer l'énergie potentielle d'un système, il faut calculer l'énergie dépensée ou reçue lorsqu'on l'assemble. Lorsqu'on assemble des charges électriques, le champ électrique qu'elles doivent traverser n'est pas le même au début et à la fin de l'assemblage. Le potentiel $V$ qu'on calcule lorsque le système est assemblé n'est pas le potentiel du champ que les charges ont rencontré lorsqu'elles ont été assemblées, il est seulement le potentiel du champ qu'une nouvelle charge rencontrerait si on l'approchait du système.
La première des charges assemblées ne rencontre aucun champ de force électrique pour être mise en place, parce qu'aucune charge n'est présente avant elle. La deuxième charge rencontre le champ produit par la première. La troisième charge rencontre le champ produit par les deux premières, et ainsi de suite jusqu'à la dernière charge, qui rencontre le champ produit par toutes les précédentes.
Exemple : l'énergie potentielle d'un condensateur chargé
Pour charger un condensateur, il faut déplacer des électrons d'une de ses plaques jusqu'à l'autre. La première charge $dq$ déplacée ne rencontre aucun champ, parce que le condensateur n'est pas chargé. Le travail $dW$ qu'il faut fournir pour la déplacer est donc $dW=0$. Si le condensateur est déjà chargé par une charge $q=\int dq$, un nouvelle charge $dq$ rencontre un champ de force électrique, donc une différence de potentiel entre son point de départ et son point d'arrivée $V_{2}-V_{1}={\frac {q}{C}}$. Donc
$dW=(V_{2}-V_{1})dq={\frac {q}{C}}dq$
$W=\int dW=\int {\frac {q}{C}}dq={\frac {1}{2}}CV^{2}$
$E_{p}={\frac {1}{2}}CV^{2}$ est donc l'énergie potentielle électrique d'un condensateur chargé par une charge $Q=CV$, où $C$ est sa capacité et $V$ la différence de potentiel entre ses plaques.

## Où est l'énergie potentielle électrique ?

On attribue une énergie potentielle électrique à des charges électriques. Cette énergie est-elle portée par les charges ? Est-elle localisée sur les charges ?
$E=mc^{2}$. La masse est toujours de énergie. L'énergie a toujours une masse. Cette équation est prouvée à la fin de ce livre, où l'on montre que la lumière piégée dans une boite augmente la masse de la boite. La lumière a donc une masse égale à son énergie divisée par $c^{2}$.
Si l'énergie potentielle électrique était localisée sur les charges, les variations de leur énergie ferait varier leur masse. Mais cet effet n'a jamais été observé.
L'énergie potentielle électrique d'un système de charges est dans tout l'espace où elles produisent un champ électrique, elle est portée par le champ électrique. La densité volumique d'énergie électrique dans un champ électrostatique $\mathbf {E}$ est
${\frac {dE_{p}}{dV}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}$
où $dE_{p}$ est l'énergie potentielle électrique contenue dans un petit volume $dV$.
Quand on rapproche deux charges électriques de même signe, on augmente l'énergie du champ électrique :
Si on rapproche deux charges de signes opposés, on diminue l'énergie du champ électrique. Il en va de même pour les forces nucléaires qui maintiennent ensemble les neutrons et les protons dans un noyau. Il faut leur fournir de l'énergie pour les séparer. C'est pourquoi leur masse est plus grande quand ils sont séparés que quand ils sont réunis:
Il faut une énergie infinie pour séparer les trois quarks qui font un proton, ou un neutron. C'est pourquoi on ne peut jamais observer un quark isolé.
Montrons que ${\frac {dE_{p}}{dV}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}$ permet de calculer correctement l'énergie potentielle électrique d'un condensateur chargé :
$E_{p}=\int _{V}dE_{p}=\int _{V}\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}dV={\frac {Sd\sigma ^{2}}{2\epsilon _{0}}}$
où $S$ est la surface du condensateur, $d$ la distance entre les plaques, $Sd$ le volume entre les plaques et ${\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$ le champ $E$ produit par une densité de charge superficielle $\sigma$.
or
$C={\frac {\epsilon _{0}S}{d}}$ et $V=Ed={\frac {\sigma d}{\epsilon _{0}}}$
Donc
$E_{p}={\frac {1}{2}}CV^{2}$
Lorsqu'on définit le potentiel, on est libre de choisir un point de potentiel nul. Pour calculer les forces électriques, n'importe quel choix convient parce que deux potentiels qui diffèrent par une constante ont le même gradient. Mais pour calculer l'énergie et la présence de sa masse, on n'est évidemment pas libre de modifier l'énergie de toutes les charges en choisissant un autre point de potentiel nul. Le point de potentiel nul doit être choisi de telle façon qu'une charge électrique peut y être placée sans faire d'effort. C'est pourquoi quand on calcule l'énergie électrostatique d'un système de charges, on suppose qu'elles sont placées dans l'espace vide, et on définit un potentiel nul à l'infini. La force exercée par les charges électriques tend vers zéro à l'infini. Il n'y a pas d'effort à faire contre leur force électrique si on est très loin d'elles.
Quand un moment dipolaire est créé par la séparation de charges égales et opposées, comme lors de la charge d'un condensateur, on peut raisonner comme si la densité de charge était initialement partout nulle. Donc il n'y a de force électrique nulle part. N'importe quel point peut donc être choisi comme point de potentiel nul.