# Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal

* Remarques en vrac
* La chute libre
* Le choc frontal
* La chute libre, avec vitesse initiale
* La chute ralentie sur plan incliné
* La chute ralentie sur plan incliné (suite)
* Diagramme horaire
* Plan de phase
* Intermède : la symétrie
* La chute avec résistance de l'air
* Devoir surveillé 1
* La Balistique extérieure
* Statique
* Les Principes avant 1687
* Principe Fondamental de la Dynamique
* Quelques exercices
* Mouvement de Hooke
* Mouvement de Kepler
* Mouvement dans un champ central
* Devoir surveillé 3
Annexes :
* La pression cinétique des fluides
* Résonances en astronomie
* Quelques exercices d'astronomie
* Le problème de Schwarzschild
* Le système solaire
* La gravimétrie
* L'information
* Le vide
* Remarques en vrac
* La chute libre
* Le choc frontal
* La chute libre, avec vitesse initiale
* La chute ralentie sur plan incliné
* La chute ralentie sur plan incliné (suite)
* Diagramme horaire
* Plan de phase
* Intermède : la symétrie
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* Résonances en astronomie
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* Le système solaire
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* L'information
* Le vide
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Leçon : le choc frontal : lois de Huygens (1629-1695).

## Introduction et notation

Cette leçon ne fait pas partie du cours de cinématique; mais historiquement, elle a joué un rôle très important dans la formation conceptuelle de la mécanique. Elle constitue aussi une source d'exercices conséquente.
Galilée s'en préoccupe, mais sans arriver à conclure (ce qui se passe lors de la percussion est un obstacle expérimental très difficile).
Descartes introduit le concept fondamental : quand un corps ponctuel se déplace, son action ultérieure va dépendre non seulement de sa vitesse mais aussi de sa masse : cela est bien clair , lorsque l'on reçoit un projectile ; mais quelle quantité choisir mv², mv^3 , m²v^5 ? il choisira mv :
NOMMER cette quantité mV, l'IMPULSION (ou quantité de mouvement) et LUI AFFECTER une unité : le kg.(m/s) := le descartes := 1N.s. C'est un avantage indéniable en TP.
Ainsi, une masse de 8 kg à la vitesse de 10 m/s possèdera une impulsion de 80 descartes.
Huygens reprendra les travaux de Descartes et les corrigera. Il aboutira à une belle théorie dès 1654 (note historique : mais ne la publiera pas ; c'est un trait caractéristique du XVIIème siècle ; on signe d'un anagramme, la découverte), et cela le rendit célèbre dans ses tournées-démonstrations , à Paris décembre 1659 , à Londres janvier 1660 . Mais voyant que l'architecte-mathématicien Wren a trouvé aussi la solution sous forme d'une épure très élégante, Huygens se décide à publier ses travaux .
Leibniz(1646-1716) les reformulera . Puis NEWTON (1642-1725) publiera dans les Principia(1687) une théorie plus complète ; mais on est encore loin de la réalité ( choc élastique-visco-plastique ).

## Expérience princeps

Lors d'un choc élastique de deux masses, l'idée est:
si l'on connaît leur impulsion before le choc $[P_{1}^{b},P_{2}^{b}]$,
trouver leur implusion after le choc $[P_{1}^{a},P_{2}^{a}]$.
On considère le cas le plus simple, suivant en cela la philosophie cartésienne:
deux boules égales avec des vitesses opposées donc des impulsions opposées $[P_{1}^{b}=P;P_{2}^{b}=-P]$:
assez intuitivement, "par symétrie", Descartes admet la loi : after le choc, les deux boules repartent avec des impulsions dans l'autre sens : $[P_{1}^{a}=-P;P_{2}^{a}P]$
Alors Huygens fait jouer le principe de relativité de Galilée. Le MÊME PHÉNOMÈNE est décrit par un observateur de vitesse constante Vo comme ceci :
La boule B1 avait l'impulsion m(V-Vo) , la boule B2 avait l'impulsion - m(V+Vo) ; after le choc, B1 repart avec l'impulsion (m(-Vo-V) et B2 avec l'impulsion m(V-Vo) . Et ceci est valable, QUEL QUE SOIT Vo ! Soit réécrit :
$[P1;P2]$ => $[P2;P1]$ :
les boules échangent leur impulsion, c'est LA règle pour des boules de même masse.
En particulier , si Vo = -V ! Alors la conclusion est spectaculaire et tout le monde l'a vue à la pétanque : B2 est immobile, B1 vient la percuter avec la vitesse 2V : après le choc B1 est IMMOBILE et B2 part en arrière avec la vitesse 2V : c'est ce qu'on appelle "faire carreau parfait" :$[P1;0]$ => $[0;P1]$
Le cas du carreau parfait se déduit donc du choc symétrique, via le principe de relativité galiléenne.

## Expérience m1 =3m et m2=m

Si les masses sont inégales , le problème est plus difficile.
[Note expérimentale : Le dispositif expérimental utilise des bancs à coussin d'air sur lesquels glissent sans frottements des chariots-cavaliers de masse différente].
[Note 2: On peut aussi s'affranchir de ce matériel assez onéreux par une construction soigneuse de pendule "en translation" : une planchette possède sur son épaisseur quatre crochets symétriques ; 2.2fils assurent la suspension en translation circulaire . On clampe alors sur la planchette un fort aimant permanent en ferrite. Le tout sera orienté dans le sens du champ magnétique terrestre.
On fabrique deux de ces planchettes . Et on les surcharge de la façon que l'on veut.
Si on monte la planchette B1 de H , alors passant à la verticale elle aura la vitesse sqrt(2gH) , cela était connu de Torricelli , donc de Huygens.
Comme les aimants permanents se repoussent sans "consommer d'énergie", on est placé dans des conditions quasi-idéales (à la résistance de l'air près. De plus , avec des fils de 1m et des masses de 1kg , les oscillations durent longtemps), et on est prêt à expérimenter].
* On peut organiser le TP-Cours suivant : donner la relation de Kircher(1602-1680) pour guide de départ. Laisser alors expérimenter.
Guide de Kircher : on conçoit que la plus massique l'emporte, et si on veut que B1 et B2 repartent avec des vitesses égales et opposées , il faut donner quelque vitesse supplémentaire vers la gauche au barreau B2 : laquelle ? la réponse, trouvée par tâtonnement par Kircher fût : il découvrit que si B1 était immobile et qu'il lançait B2 avec la vitesse -2V , alors B1 reculait à la vitesse -V et B2 se trouvait rejetée à la vitesse +V.[En fait il utilisait la règle de Torricelli : B2 était lâchée de 4H , et on constatait que B1 et B2 remontaient chacune de H]
Alors symboliquement cette expérience s'écrit:
[3m*0 ; m(-2V)]before => [3m(-V) ; mV]after.
On remarque très vite que le problème est LINÉAIRE en V , donc inutile de procéder avec de grandes vitesses.
Huygens , utilisant le principe de relativité galiléenne, généralisa en [3m(-Vo) ; m(-2V-Vo)]before => [3m(-V-Vo) ; m(V-Vo)]after , quelle que soit Vo !
Et donc le "carreau" était obtenu pour [3m.(2V) ; 0]before => [3m.V ; m.3V]after (On a utilisé le changement d'axe x/-x), ce que l'expérience confirme : cela se traduit en hauteur des barreaux par [4H ; 0 ]before => [H ; 9H]after ; et réciproquement par renversement du temps : cela est spectaculaire à voir ; pour les élèves les plus doués, essayer de voir s'ils intuitent : comme 3mg.4H = 12mgH et 3mgH + mg.9H = 12 mgH , on voit que "l'énergie se conserve" [les élèves ne savent pas ce qu'est l'énergie, mais ce "principe" de Torricelli leur semble "assez naturel" ].

## Généralisation

Pour Huygens, la généralisation lui vînt de la considération de la vitesse Vo = -V/2 : dans ce cas : before , [P1 = 3mV/2 ; P2 = -3mV/2] =>after [P1=-3mV/2 ; P2 = +3mV/2] ; soit différemment écrit : before[P ; -P] => after [-P ; P]. Et il se dit que c'était là peut-être la loi généralisable à toutes les masses :
* $[P;-P]_{before}=>[-P;P]_{after}~$
* Enoncé : loi du choc élastique de Huygens(1619-1695)
Et en appliquant le principe de relativité de Galilée , [P + m1.Vo , - P + m2.Vo]before => [-P +m1.Vo ; P +m2.Vo ]after , ce qui englobe tous les cas possibles , puisque c'est vrai quelles que soient P et Vo ! Il suffit de prendre P et Vo tels que m1.(V1-Vo) = P et m2.(V2-Vo) = -P !
Ainsi Huygens a-t-il découvert une loi très importante :
Mais Huygens nota plus encore dans ses équations : la vitesse relative des deux boules P/m1 +P/m2 se transformait en son opposée , lors du choc. Mais pas forcément dans ses expériences!

### le centre de masse

Huygens en considérant un point purement mathématique , appelé G , barycentre de masse , tel que OG = (m1 OB1 + m2 OB2)/(m1+m2) trouva une loi, appelée par lui LA Loi Remarquable :
ce point mathématique G , quelle que soit la violence du choc , continuait sans "frémir" son mouvement uniforme !
[note historique : la notion de centre de gravité est bien connue à l'époque, mais pour un solide . Horrocks fût sans doute un des premiers à avoir appliqué la notion de centre de masse à celui du couple Terre-Lune et son mouvement.]
Enfin , il nota un effet qui généralisait une proposition déjà faite par Torricelli (-1647) : si les boules étaient lancées par gravité pendulaire , la première de la hauteur H1 et l'autre de la hauteur H2 , après le choc les hauteurs H'1 et H'2 étaient telles que m1.H.+m2.H2 se conservait. Autrement dit par la loi de Torricelli :
soit la quantité 1/2 mV^2 := P^2/2m appelée l'énergie cinétique : l'énergie cinétique totale se conservait ! hélas les expériences n'étaient pas concluantes à son époque.
(Bien plus tard , Leibniz reprît cette proposition à son compte pour les chocs élastiques).
Newton fît mieux encore, ce qui sera vu ensuite.

## Exercice de TP-cours

Soit le cas [m1.V. ; 0 ] : trouver les vitesses après le choc .
En écrivant la conservation de la quantité de mouvement totale et celle en module de la vitesse relative , les 2 équations linéaires donnent :
V'2 = 2.m1.V/M et V'1 = (m1-m2).V/M (avec M = m1+m2).
Sans être très compliquée, ces deux résultats ne sont pas si simples à mettre en évidence par une classe de seconde en TP-cours. Ce que les élèves mettent très vite en évidence est le signe (m1-m2) pour le barreau B1 ; introduire la masse totale M est peu évident et l'écrire en pourcentage des masses est mieux perçu :
V'2 =2 p1 .V et V'1 = (p1-p2).V.
Pour Huygens , qui ensuite les mît en pratique dans moult expériences, cela lui prît environ 1 an (en 1654 sans doute ; il a 25 ans !)

## Chocs inélastiques

Newton comprît ce qui était inexact dans la proposition de Huygens :
le cas [P ; -P] donnait en réalité [-P' ; P'] avec P' = e P
et le facteur de restitution e compris entre 0 et 1;
Si e= 0 on dit que le choc est complètement inélastique (les deux Boules restent collées). Évidemment dans ce cas , il y a perte d'énergie cinétique . Bien plus tard , Sadi Carnot(-1832) indiqua la perte d'énergie : 1/2 m1 (V'1-V1)^2 +1/2 m2(V'2-V2)^2 (à faire en exercice ; on voit déjà que cette perte est indépendante du référentiel galiléen choisi).
Ainsi , entre les premiers travaux de Galilée , puis de Torricelli , de Kircher , de Huygens , de Wren , de Newton , il s'écoula 80 ans , juste pour établir les résultats d'une expérience qui ne nous apparaît simple aujourd'hui que parce que le concept d'impulsion est bien compris, et parce que sera généralisé le Principe de la conservation de la quantité de mouvement.

## Résumé

Pour tout système isolé , l'impulsion totale se conserve :
* $P_{totale}^{Systeme\cdot isole}=cste$
* Énoncé : Principe de la conservation de l'impulsion
On peut aussi le dire, comme l'a dit Huygens : pour un système isolé , décomposé en deux sous systèmes S1 et S2 , on aura échange d'impulsion :
* $\Delta P_{1}^{S1}=-\Delta P_{2}^{S2}$
* Énoncé : Principe de la conservation de l'impulsion
Et cette loi ne dépend pas du référentiel galiléen choisi.
De plus :
Dans un choc élastique , l'énergie cinétique (1/2mv²) totale se conserve. Sinon, il y a perte d'énergie.
_______________________________

## Exercices

Attention : en combinant la leçon chute libre et la leçon choc frontal , on arrive déjà à cette chose remarquable : on ne sait pas résoudre certains exercices d'énoncés simples : même en 2006, la mécanique est redoutablement difficile. Et surtout, on ne maîtrise pas bien ce que l'on sait faire et ce que l'on ne sait pas faire , même si des progrès récents ont permis de progresser. Néanmoins, on s'attachera à la règle de modestie prudente : donner les solutions des exercices posés .

### Exercice m<<M

Montrer que si une balle légère(masse m1 = m) rencontre un traîneau (parfaitement glissant) de masse m2 = M >>m , avec la vitesse v , alors la balle rebondit avec une vitesse -v et le traîneau recule un peu : examiner la conservation de l'énergie soigneusement.(Exercice que Huygens résolût contre l'opinion de son maître à penser, Descartes).

### Exercice balle de Zénon.

Une balle lancée verticalement avec la vitesse Vo monte d'une hauteur h et heurte le sol horizontal avec un coefficient de restitution e . Montrer que bien qu'il y ait une infinité de chocs , la balle reste au sol au bout d'un temps fini (célèbre pseudo-paradoxe des Eléates).

### Exercice Rebonds

Une balle de ping-pong est placée sur une balle super-élastique et on lâche le tout d'une hauteur de 1m : à quelle hauteur remonte la balle de ping-pong ? (Attention : ne pas faire l'expérience avec une petite bille d'acier : cela peut être dangereux!). **Généraliser .

### Exercice Ascenseur.**

Une super-balle(e=1) est dans un ascenseur. Elle rebondit toujours à la hauteur H . L'ascenseur monte avec une accélération g0 (c'est à dire V= g0.t). Qu'arrive-t-il ? Puis l'ascenseur continue avec la vitesse constante Vo ; et enfin s'arrête avec la même décélération : qu'arrive-t-il ?

### Exercice pendules de Kircher.

5 billes sont placées côte à côte entre deux murs parfaitement élastiques: On prend la première et on l'envoie avec la vitesse Vo : montrer que le mouvement sera périodique. (ce jouet est souvent réalisé avec 5 petits pendules identiques. Kircher est le premier (? ou bien Marci?) à avoir étudié assez loin des cas de ce genre.

### Exercice thermalisation

Montrer que dans un choc élastique les différences d'énergie cinétique après le choc sont moindre qu'avant le choc.
En déduire que si des balles sont coincées dans deux récipients, de part et d'autre d'un piston libre de masse M , elles finiront par avoir la même énergie cinétique , via le transfert du piston.

## Solutions
### Exercice m<< M.

Cela résulte de l'exercice de cours : V'1 = m-M .V/(m+M) = -V[1 -2m/(M+m)] ; Cependant que la raquette recule de V 2m/(M+m).
L'énergie cinétique*2 est donc mV²(1-eps)² + M V² 4m²/(m+M)² : il faut donc vérifier que (1-eps)² + 4Mm/(m+M)² = 1 ; soit :
-4m/(m+M) + 4 m²/ (m+M)² + 4 Mm/(m+M)²= 0 ? soit -(m+M) +m + M = 0 ;OK. (l'erreur est souvent de négliger des termes o(m²) sans en négliger d'autres, ce qui fût le cas de Descartes).

### Exercice Zénon.

La balle retombe avec la vitesse Vo en un temps 2Vo/g ; et tout recommence avec la vitesse e.Vo :le pseudo-paradoxe de la série infinie géométrique donne une convergence très rapide et donne le temps limite (2Vo/g)/(1-e) , qui est FINI , malgré l'infinité de chocs. Une remarque de pertinence :juste après le choc , le sol a fourni la percussion me.Vo Descartes pour faire remonter la balle et reçu la percussion me.Vo au demi-choc suivant, soit un reçu de Delta-P = 2emVo vers le bas , et le rebond dure Delta-t =2eVo secondes. Si bien que ${\frac {\Delta P}{\Delta t}}=mg$. Ce genre de remarque a précédé les Principia(1687) de plusieurs décennies.

### Exercice Rebonds.

Cette petite expérience est étonnante : la balle remonte à environ 9m !En effet la super-balle remonte avec la vitesse V et éjecte la balle de ping-pong avec la vitesse relative 2V , donc 3V par rapport au sol : donc H =3².h : surprenant ! Évidemment il y a conservation de l'énergie car la super-balle ne remonte pas tout à fait à 1m et la balle pas tout à fait à 9m (Voir l'exercice 1).
De manière plus réaliste , on trouve dans le commerce des super-balles de rayon double donc de masses M et m =M/8 . On trouve alors :
dans le référentiel (R) qui monte à la vitesse de rebond Vo , la grosse balle de masse M part en arrière à la vitesse -2/9 .2 .Vo = -4/9 Vo , soit au total vers le haut avec une vitesse 5/9 .Vo . La petite remonte dans (R) avec la vitesse 14/9 .Vo , soit au total de 23/9 Vo donc remonte à seulement 529/81 H (= 6.53m quand même) , et la grosse remonte à 25/81 H ; évidemment 1 . 529/81 + 8.(25/81) = 9.
On peut imaginer mettre une balle de ping-pong sur la petite balle : l'expérience est plus dure à faire mais donnerait + de36m (au lieu des 49m théoriques pour M >>M1>>m)
Évidemment les élèves les plus shadoks mettent la balle de ping-pong dessous : la balle ainsi "adiabatiquement comprimée" peut atteindre des vitesses gigantesques. Dans le cas réaliste m = M/15 , dès que la grosse boule est arrêtée, la petite a l'énergie totale 16mgh et pourrait remonter à 16.h en enlevant prestement la grosse boule : il y faut une certaine adresse! Remarque : le sol n'a pu fournir aucune énergie. Par contre il a fourni de l'impulsion, et on l'a supposé sans recul.

### Exercice Ascenseur.

Balle dans ascenseur :
Prenons comme moment de départ, la date t=0 où la balle rebondit vers le haut avec la vitesse Vo , donc OB = -1/2gt² +Vo.t et le sol de l'ascenseur monte comme OS =1/2 a t².
Le choc C1 a donc lieu au temps t1 = 2Vo/g' avec g' = g+a . La balle remonte alors à la vitesse relative à l'ascenseur qu'on calcule : on trouve Vo! et son mouvement absolu (avec nouvelle origine des temps t= t1 +t') sera OB = OC1 + (Vo+at1)t' -1/2 g t'² et celui de l'ascenseur continue à être : OS = 1/2.a (t1+t')² . Le choc 2 aura donc "lieu" au temps t1+t2 tel que : 1/2 a.t1² +Vot2 +at1t2 -1/2 g t2² = 1/2 a t1² + at1t2 +1/2 a t2² ; soit :
t2 = 2Vo/g' = t1 ! Et la balle rebondira à nouveau avec la vitesse relative à l'ascenseur égale à Vo , donc vitesse absolue Vo + a.(t1+t2) = Vo + a.(2t1) ! etc .
Autant dire que dans le référentiel accéléré de l'ascenseur , la balle exécute des rebonds réguliers à intervalles de temps 2Vo/(g+a): c'est "comme si le poids de la balle était apparemment m(g+a)".

### Exercice Kircher.

B1 touche B2 et s'arrête. B2 fait de même , etc. B5 est éjectée à la vitesse Vo , atteint le mur et revient . Le processus reprend en sens inverse.

### Exercice Thermalisation.

Soit une masse m de vitesse grande u , et une masse M assez lente de vitesse V. La différence d'énergie est D = 1/2.mu² - 1/2.MV² avant le choc.
Après le choc élastique, les vitesses sont u' et V' et la différence est D'.
On calcule : u' = 2M/S .V -(M-m)/S .u
et de même V' = 2m/S .u +(M-m)/S .V ; avec S = M+m.
En calculant D', on trouve D' = D[ 1-8mM/(m+M)²]= -D (1 -2(M-m)²/S²) et un terme en uV , dont statistiquement on peut supposer la moyenne nulle. En module , il reste donc |D'| = |D| R avec R <1 . Typiquement en envoyant des neutrons sur des deutons R = 7/9 : on dit qu'on a thermalisé les neutrons rapides via de l'eau lourde. On reverra ce calcul plus loin en introduisant des chocs non frontaux.
Il est clair que dans le cas d'un piston "ballotté" par des particules d'énergie cinétique différentes , il y aura transfert d'énergie des "plus chaudes" vers les "plus froides".

## Exercices deuxième série
### Exercice Zénon.

Une balle lancée horizontalement conserve indéfiniment dans le vide sa vitesse horizontale. Montrer qu'elle parcourt une distance finie avant de glisser au sol (cf exercice 2).

### Exercice Escalier.*

Une balle lancée comme en (6/.) est non-élastique (e<1). À un moment elle arrive sur un escalier descendant de marches égales (a = largeur = hauteur) : montrer que le mouvement est périodique si Vo est assez lent [Vo.(2V1/g)/(1-e) < a].

### Exercice Billards.

On admet que lors d'un choc élastique , le rebond suit la loi de Descartes : la vitesse est conservée en module , et l'angle d'incidence donne un angle de réflexion égal. ce rebond caractérise en mathématique un BILLARD. les problèmes de Billards sont redoutables. On peut aussi considérer que c'est un rayon de lumière qui se réfléchit.
Soit un billard circulaire: montrer que le cercle central enveloppe des cordes n'est jamais atteint. Soit un billard elliptique** : montrer qu'il existe une petite ellipse de sûreté en général.

### Exercice Fermi, Pasta , Ulam**

Un problème non résolu ! c'est le problème de Fermi, Pasta et Ulam : une bille élastique est lâchée sur un sol dont le mouvement vertical est z = a sin wt , avec w "assez" grand. Montrer qu'il existe des cas périodiques. mais surtout montrer que le mouvement de la bille va être en général une succession d'"amortis" ou de forçage. (Il existe des logiciels qui montrent magnifiquement le "chaos" résultant).

### Exercice détente adiabatique.*

Sur un axe horizontal glissent 2 Grosses Masses (M) identiques (les raquettes), au départ immobiles. On injecte entre les deux , une balle de tennis de masse m , de vitesse Vo : montrer que la vitesse de la balle diminue progressivement (m << M).

### Exercice Compression adiabatique.

Soit une balle allant élastiquement entre deux murs distants de L. Montrer que si l'on rapproche doucement à la vitesse u , un des murs, alors l'énergie cinétique de la balle E augmente doucement comme (L-u.t)^k : trouver k

## Solutions, deuxième série
### Exercice Zénon.

puisque on a trouvé un temps-fini en (2/.) , la réponse est : X= Vo.t(fini).
Escalier large : C'est assez fascinant mais banal : la balle à chaque marche fait une infinité de rebonds mais à distance finie, puis glisse uniformément jusqu'à X = a , tombe et le processus recommence avec la période T = a/Vo , bien que l'on ne puisse pas tracer la trajectoire !

### Exercice escalier

mais où est passée la solution que j'ai donnée ?

### Exercice Billards.

le cas du cercle est le seul facile : si la bille passe juste par le centre elle ne décrit qu'un diamètre. Sinon , soit AB la première corde et 2 alpha l'angle qu'elle sous-tend : si alpha = p/q . 2Pi , la trajectoire sera fermée et un polygone sera préservé. Sinon, l'ensemble des cordes est dense dans la couronne et ne seront préservés que les points à l'intérieur du cercle de rayon R cos(alpha).

#### Ellipse

Plus subtil.Soit AB un rayon lumineux et BC son réfléchi. La bissectrice de l'angle ABc est celle de F1BF2. Soit F'1 le réfléchi de F1 dans AB , et de même F'2 celui de F2 dans BC . Alors l'angle F'1 B F'2 a toujours la même médiatrice. On passe donc du triangle F'1BF2 au triangle F1BF'2 par simple rotation autour de B et donc F'1F2 = F1F'2 (:=2a) le point de contact de l'ellipse de foyers F1 et F2 avec le rayon AB est le point Q intersection de AB avec F2F'1 :
car F1QA = AQF'1 (par médiatrice) et = BQF2 (opposés par le sommet Q : donc AB est bissectrice extérieure de F1QF2. ce qui démontre la propriété.
On rebelote côté BC et intersection avec F1F'2 , qu'on appelle R .
Il reste à démontrer que Q et R appartiennent à la même ellipse ; mais oui puisque F1Q +QF2 = F'1Q+QF2 = F'1F2 = 2a . idem pour R et F'2RF1 en ligne doite et vaut aussi 2a.
Soit une carte de flot du billard représentant en abscisse l'abscisse curviligne s de A , et l'angle alpha de AB avec la normale en A. Korsch et Jodl (1998, (ISBN 3-540-57457-3) présentent joliment cette carte :
Évidemment si on tire en rasant, pour alpha voisin de Pi/2, on aura alpha quasi constant.
si on augmente , il se produira de petites ondulations.
Enfin si le tir est focal, il passera par l'autre foyer : on obtient ainsi la séparatrice .
car au-delà le tir croisera F1F2 , et il faut refaire tout, pour montrer que cette fois les rayons restent tangents à une hyperbole de foyers F1 et F2 : donc les rayons resteront localisés dans cette cavité : c'est une propriété bien connue en optique catoptrique de Gauss pour deux cavités de même courbure; À la limite le petit axe est une orbite à 2 points. ce qui complète la description de ce système dynamique.
(Un bon livre sur les billards est le Tabachnikov (2006) (ISBN 0-8218-3919-5). Nous reverrons cela dans le cadre du pendule pesant.

### Exercice FermiPastaUlam**

Sont périodiques les cas où en N périodes la balle monte et descend et rebondit sur un maximum ou un minimum du plancher. En général à part ces cas, le mouvement peut être très compliqué , soit en accroissant l'amplitude , soit en accroissant la période : un tel système a été un des premiers modèles de chaos ( on ne disait pas chaos à l'époque : on disait mouvement irrégulier. Ce qui est fascinant est de voir que par "diffusion d'Arnold" la balle finit par pénétrer des régions de très grandes hauteurs.

### Exercice détente adiabatique.*

Comme les raquettes s'écartent , la balle subit des amortis successifs , cependant que les raquettes s'éloignent de plus en plus : en admettant que la balle ait cédé équitablement son énergie , chaque raquette part à la vitesse V telle que : MV² = 1/2 mVo². Assez récemment, on a pu montrer (Xia en 1994?) que par "chocs successifs" la gravité permettait d'envoyer des masses à l'infini en un temps fini (en mécanique classique).

### Exercice compression adiabatique :

on trouve PV^3 = cste et PV ~ E donc E .V^2 = cste

### Fin de leçon

Il est clair que l'on s'est limité ici à des cas très simples : tout le monde sait que le "choc" d'une balle e nni et d'une raquette est terriblement plus compliqué : la balle s'écrase, le cordage recule, etc. néanmoins il convient de repousser ce type d'analyse à plus tard.

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* Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences
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