# Électricité et magnétisme/Magnétisme
## Les aimants

Comme les forces électriques, les forces magnétiques obéissent au principe de l'attraction des contraires. Les aimants ont toujours deux pôles, un pôle Nord qui est naturellement attiré par le pôle Sud magnétique de la Terre, et un pôle Sud, qui est naturellement attiré par la pôle Nord magnétique de la Terre. Dans une boussole, le pôle Nord de l'aiguille aimantée indique le pôle Nord géographique de la Terre. Le Nord et le Sud géographiques sont donc inversés par rapport au Nord et au Sud magnétiques.
Quand les aimants s'aiment, ils font ça d'une façon un peu particulière. Le pôle Nord de l'un se colle au pôle Sud de l'autre, comme si le magnétisme avait choisi l'érotisme du 69.
Contrairement aux force électriques, on n'a jamais trouvé de charges magnétiques isolées. Apparemment la Nature n'a pas accueilli les monopôles magnétiques. Les aimants sont toujours des dipôles. Si on coupe un aimant au milieu entre ses deux pôles, on n'obtient pas deux monopôles, mais deux nouveaux dipôles, deux nouveaux aimants qui ont chacun deux pôles :
On l'explique en supposant qu'un matériau magnétique est composé d'aimants microscopiques tous alignés dans la même direction :
La magnétostatique est l'étude des forces magnétiques entre des aimants immobiles. Le calcul des forces magnétiques est semblable à celui des forces électriques, sauf qu'on raisonne sur des dipôles, et jamais sur des monopôles :
Comme le champ électrique $\mathbf {E}$ pour les charges électriques, le champ magnétique $\mathbf {B}$ est comme un intermédiaire mathématique qui sert à calculer les forces entre les matériaux aimantés. Il sert aussi à calculer les forces exercées par les aimants sur les charges en mouvement, les forces exercées par les charges en mouvement sur les aimants, et les forces exercées entre des charges en mouvement. Mais il est aussi beaucoup plus qu'un intermédiaire mathématique, parce qu'il a une existence autonome.

## La force magnétique est produite par des courants électriques

Un aimant s'oriente naturellement perpendiculairement à un courant électrique. Son sens dépend du sens du courant. Un courant électrique est donc une source de force magnétique. C'est une découverte faite par Hans Christian Ørsted en 1820 :
Si on coupe le courant, cette force magnétique disparait :
Ampère en a conclu qu'un courant électrique peut se comporter comme un aimant. Cette conclusion l'a conduit à la découverte de la loi d'Ampère (1825) :
Deux fils électriques parallèles parcourus par un courant s'attirent si les courants vont dans le même sens et se repoussent si les courants vont en sens contraire.
La force entre deux fils électriques parcourus par un courant est la force magnétique. Elle ne peut pas être une force électrique puisque les deux fils sont électriquement neutres.
L'unité de mesure du courant électrique, l'ampère a été définie à partir de la force magnétique entre deux fils parcourus par un courant :
« Un ampère est l'intensité d'un courant constant qui, s'il est maintenu dans deux conducteurs linéaires et parallèles, de longueurs infinies, de sections négligeables et distants d'un mètre dans le vide, produit entre ces deux conducteurs une force linéaire égale à 2 × 10−7 newton par mètre1. » (Comité international des poids et mesures, 1948)
Puisque 1 A = 1 C/s, la définition de l'ampère définit également le Coulomb.
Lorsque Ampère a découvert sa loi, on ne connaissait pas les électrons, on ne pouvait donc pas définir l'ampère comme un courant d'électrons. Maintenant que les électrons sont connus et que leur charge -q = -1,602 176 487 × 10$^{−19}$ C a été précisément mesurée, on peut définir l'ampère par le nombre d'électrons qu'il faut pour faire 1 C : 1 ampère = 6.241509074×10$^{18}$ électrons par seconde, à peu près six milliards de milliards d'électrons chaque seconde.
Les boucles de courant se comportent comme des aimants. Deux boucles parallèles s'attirent si leurs courants vont dans le même sens et se repoussent s'ils vont en sens contraire. Une boucle de courant est donc un dipôle magnétique :
Le champ magnétique produit par une boucle de courant est semblable au champ électrique produit par un dipôle électrique :
Ampère a supposé que la force magnétique des aimants est produite par des boucles de courant microscopiques. On sait désormais qu'elle provient surtout du spin des électrons. Les électrons sont des dipôles magnétiques parce qu'ils se comportent comme des toupies. La rotation des électrons sur eux-mêmes n'est pas un courant électrique, mais l'effet est semblable à celui d'une boucle de courant microscopique.
Comme pour le champ électrique, le champ magnétique produit par plusieurs sources est la somme des champs produits par chacune d'elles séparément. Pour deux fils parallèles parcourus par des courant en sens opposés, on obtient le champ total en faisant une somme vectorielle :
Le champ magnétique terrestre est produit au centre de la Terre par son noyau de fer liquide en mouvement permanent :

## La loi de Coulomb en électrodynamique

Pour calculer les forces entre des charges en mouvement on a besoin de la loi de Coulomb généralisée :
Si une charge est éternellement immobile dans un référentiel inertiel, alors la force qu'elle exerce sur une charge en mouvement est la même que la force électrostatique qu'elle exercerait sur cette charge si elle était immobile à la même position.
Si une charge est éternellement immobile dans un référentiel inertiel, le champ électrique dont elle est la source a eu le temps de se propager dans tout l'espace et de s'y établir.
Si une charge est accélérée, il n'y a pas de référentiel inertiel dans lequel elle est éternellement immobile. Le champ de Coulomb dont elle est la source dans son référentiel de repos à un instant donné met du temps à se propager. À un instant ultérieur, elle est la source d'un autre champ de Coulomb, dans un autre référentiel de repos. C'est pourquoi les charges accélérées sont la source d'ondes électromagnétiques qui se propagent dans tout l'espace. La lumière est produite par des charges électriques accélérées :
Une charge électrique immobile n'est pas pas une source de lumière parce qu'aucune onde ne se propage dans le champ électrique qu'elle établit autour d'elle.
La loi de Coulomb généralisée permet de calculer le champ de forces électriques de n'importe quel système de charges en mouvement rectiligne uniforme les unes par rapport aux autres. Pour calculer la force exercée par toutes les charges, il suffit de calculer la somme des forces exercées séparément par chaque charge. Pour calculer la force exercée par une charge, il suffit de se placer dans le référentiel où elle est au repos et de calculer la force de Coulomb. La transformation de Lorentz permet alors de calculer cette force dans n'importe quel référentiel.
(Animation : champ coulombien produit par une charge en mouvement rectiligne uniforme)

## La force magnétique du courant électrique est une conséquence de la contraction de Fitzgerald et de la force de Coulomb

La contraction de Fitzgerald est la contraction de tous les corps solides dans le sens de leur mouvement. Elle est appréciable seulement pour des corps dont la vitesse $v$ approche la vitesse $c$ de la lumière. La facteur de contraction est ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$.
Lorsqu'un corps électriquement chargé est contracté, sa densité de charge augmente. Cet effet est à l'origine de la force magnétique du courant électrique. Le mouvement relatif des charges positives et négatives peut faire apparaitre des différences de densité de charge et donc des forces électrostatiques. Ces forces électrostatiques dans un référentiel sont des forces magnétiques dans un autre référentiel.
On peut faire un modèle d'un fil conducteur parcouru par un courant électrique avec deux fils isolants qui portent des charges opposées et qui glissent l'un sur l'autre. Soit $\lambda _{+}$ la densité de charge sur le fil positif supposé immobile et $\lambda _{-}$ la densité de charge sur le fil négatif qui va à la vitesse $v$. Le courant $I=\lambda _{-}v$.
Le fil négatif représente les électrons de conduction, le fil positif représente le reste du fil métallique. Dans le référentiel R où le fil métallique est au repos, il est électriquement neutre. Donc dans ce référentiel $\lambda _{-}=-\lambda _{+}$.
Soit R' un référentiel qui va à la vitesse $v$ par rapport à R, $\lambda '_{-}$ et $\lambda '_{+}$ les densités de charge négative et positive, mesurées dans R'. Le fil négatif est donc au repos dans R'.
$\lambda '_{+}=\gamma \lambda _{+}$, parce que du point de vue de R', le fil positif est contracté dans le sens de son mouvement. $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ est l'inverse du coefficient de contraction des longueurs.
$\lambda _{-}=\gamma \lambda '_{-}$, parce que du point de vue de R, le fil négatif est contracté dans le sens de son mouvement.
Donc $\lambda '_{-}\neq -\lambda '_{+}$.
Du point de vue de R', la superposition des deux fils, positif et négatif, n'est pas électriquement neutre, elle est donc la source d'un champ électrostatique.
Soit une charge $q$ de vitesse $v$ dans R à la distance $a$ du fil. La force F+ exercée par le fil positif sur la charge $q$ est perpendiculaire au fil :
Mesurée dans R,
$F_{+}={\frac {\lambda _{+}q}{2\pi a\epsilon _{0}}}$
Ce résultat est prouvé à partir du théorème de Gauss dans le chapitre sur les équations de Maxwell.
La charge $q$ est au repos dans R'. La force électrostatique $F'_{-}$ exercée par le fil négatif sur la charge $q$ est perpendiculaire au fil.
$F'_{-}={\frac {\lambda '_{-}q}{2\pi a\epsilon _{0}}}=-{\frac {\lambda _{-}q}{2\pi a\epsilon _{0}\gamma }}$
Mesurée dans R la force $F_{-}$ du fil négatif sur la charge $q$ est égale à $F'_{-}/\gamma$. La charge $q$ subit donc une force
$F_{+}+F_{-}={\frac {\lambda _{+}q(1-1/\gamma ^{2})}{2\pi a\epsilon _{0}}}={\frac {\lambda _{+}qv^{2}}{2\pi a\epsilon _{0}c^{2}}}=-{\frac {Iqv}{2\pi a\epsilon _{0}c^{2}}}$
Si on pose $B=-{\frac {I}{2\pi a\epsilon _{0}c^{2}}}$ on obtient
$F_{L}=F_{+}+F_{-}=qvB$
$B$ est la grandeur du champ magnétique $\mathbf {B}$ créé par le courant $I$ dans un fil de longueur infinie. La force de Lorentz $F_{L}=qvB$ est la force magnétique exercée sur une charge $q$ qui va à la vitesse $v$ dans un champ magnétique $\mathbf {B}$ si sa vitesse est perpendiculaire au champ.
On retrouve ainsi que le champ magnétique agit seulement sur les charges électriques en mouvement.
Dans le référentiel R il n'y a pas de force électrostatique, parce que le fil parcouru par un courant est électriquement neutre. Mais dans le référentiel R' la densité de charge négative est inférieure à la densité de charge positive, à cause de la contraction de Fitzgerald. La densité de charge n'est pas nulle et est la source d'un champ de force électrostatique. Cette force électrostatique dans R' est la force magnétique dans R.
La contraction de Fitzgerald et la force de Coulomb suffisent donc pour expliquer l'existence de la force magnétique produite par un courant électrique.
Un fil parcouru par un courant repousse les charges négatives qui vont dans le sens conventionnel du courant (un courant de charges positives) et attire les charges négatives qui vont en sens contraire. On retrouve ainsi la loi d'Ampère : deux fils parallèles parcourus par un courant s'attirent si les courant vont dans le même sens et se repoussent si les courants vont en sens contraire.
Référence : cours de physique de Feynman, Électromagnétisme, chapitre 13-6.

## Le produit vectoriel

Pour calculer les forces magnétiques produites par des charges en mouvement et les forces magnétiques exercées sur des charges en mouvement, il faut connaitre le produit vectoriel de deux vecteurs dans un espace à trois dimensions :
Le produit vectoriel w = u×v de deux vecteurs u et v est le vecteur
* dont la longueur est uv sin$\theta$ où $\theta$ est l'angle entre entre u et v, u et v sont les longueurs de u et v,
* dont la direction est perpendiculaire à u et v
* et dont le sens est tel que le triplet u, v, w est dans le sens direct.
Le triplet (pouce, index, majeur) de la main droite est dans le sens direct. Celui de la main gauche est dans le sens indirect. (à droite, devant , au-dessus) est dans le sens direct. En général, les axes x, y et z d'un repère sont choisis dans le sens direct.
Le produit vectoriel de deux vecteurs de même direction est le vecteur nul. La longueur du produit vectoriel de deux vecteurs perpendiculaires est le produit de leurs longueurs.

## La loi de Biot-Savart

Si le régime est stationnaire (les courants électriques ne changent pas) le champ magnétique $\mathbf {B}$ produit au point $\mathbf {r}$ par un courant $I$ dans un segment $\mathbf {d\ell }$ d'un fil électrique est
$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I\mathbf {d\ell } \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$
où $\mathbf {r}$ est le vecteur qui va du segment $\mathbf {d\ell }$ au point considéré, $r$ est sa longueur, $\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} /r$ est le vecteur de longueur unité dans la direction de $\mathbf {r}$ et $\mu _{0}$ est une constante qui dépend du choix des unités de mesure.
Avec la loi de Biot-Savart, on peut calculer le champ magnétique produit par un courant électrique. Si le fil est rectiligne et de longueur infinie, les lignes du champ magnétique sont des cercles centrés sur le fil :
La loi de Biot-Savart a une forme mathématique semblable à celle à la loi de Coulomb. La force est inversement proportionnelle au carré de la distance. Ce n'est pas une coïncidence. On peut déduire la loi de Biot-Savart à partir de la loi de Coulomb, parce que la force magnétique du courant électrique a une origine électrostatique.

## La force de Lorentz

Un champ électrique $\mathbf {E}$ et un champ magnétique $\mathbf {B}$ exercent sur une particule de charge $q$ une force $\mathbf {F} _{L}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}$).
$\mathbf {F} _{L}$ est la force de Lorentz :
Avec la force de Lorentz, on explique la force magnétique sur un courant électrique :
Le principe d'un moteur électrique :
Si une boucle de courant est parallèle à un champ magnétique uniforme, la force de Lorentz sur les charges en mouvement produit un couple qui fait tourner la boucle.
L'équation de la force de Lorentz et les équations de Maxwell sont les lois fondamentales de l'électromagnétisme. Les équations de Maxwell disent comment des charges produisent les champs électrique et magnétique dans tout l'espace et comment ces champs évoluent au cours du temps. L'équation de Lorentz dit alors comment ces champs agissent sur des charges.
La loi de Biot-Savart permet de calculer le champ magnétique produit par un courant électrique. La force de Lorentz permet alors de calculer la force entre deux fils parcourus par un courant. Le champ magnétique est comme un intermédiaire mathématique pour calculer les forces entre des charges électriques en mouvement. Mais il est plus qu'un simple intermédiaire mathématique, parce qu'il a une existence autonome.
On peut calculer la force magnétique produite par un courant à partir de la loi de Biot-Savart et à partir de la loi de Coulomb. L'égalité des deux résultats montre que
$\epsilon _{0}\mu _{0}=1/c^{2}$
$\epsilon _{0}$ et $\mu _{0}$ sont des constantes physiques qui ont été mesurées indépendamment de la vitesse $c$ de la lumière. Quand Maxwell a découvert les lois fondamentales du champ électromagnétique, il a découvert que $c={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$ est la vitesse des ondes électromagnétiques. Puisque $c$ est aussi la vitesse de la lumière, il en a conclu que la lumière est une onde électromagnétique.

## La force électromotrice du magnétisme

La force magnétique sur une particule chargée est toujours perpendiculaire à sa vitesse. Le travail de la force est donc toujours nul. L'énergie cinétique de la particule n'est pas modifiée, seulement sa direction. Alors comment les forces magnétiques peuvent-elles produire un courant électrique ? Comment peuvent-elles mettre en mouvement des charges initialement au repos ?
Si une particule se déplace dans le champ créé par un aimant immobile, elle subit une force magnétique. Mais dans un référentiel où la particule est au repos, elle ne subit aucune force magnétique, puisque sa vitesse est nulle. Elle ne peut subir qu'une force électrique. Donc un aimant en mouvement est la source de forces électriques et peut produire ainsi un courant électrique.
Si on place une boucle conductrice dans un champ magnétique constant et si on la fait tourner autour d'un diamètre perpendiculaire au champ magnétique, la force de Lorentz met les électrons en mouvement dans la direction du fil conducteur, dès que la rotation de la boucle leur impose un mouvement qui n'est pas parallèle au champ magnétique. Ce mouvement des électrons dans le sens du fil manifeste la présence d'une tension électrique. On peut donc faire une générateur électrique en faisant tourner une boucle conductrice dans un champ magnétique constant :
La surface bleue est proportionnelle au flux du champ magnétique à travers la boucle. La loi de Faraday, présentée dans le chapitre sur les équations de Maxwell, dit que la tension aux deux bornes de la boucle est l'opposé du taux de variation du flux du champ magnétique à travers la boucle.
Comme la force magnétique du courant électrique, la force électromotrice du magnétisme a une origine électrostatique.
Pour le comprendre il suffit de raisonner sur un circuit carré parcouru par un courant. Soit $\lambda$ la densité linéaire des électrons de conduction. L'intensité du courant est $\lambda v$ où $v$ est la vitesse moyenne des électrons dans le référentiel R où le circuit est au repos. Soit $q$ une charge électrique placée au centre du circuit avec la vitesse $v$ par rapport à R, dans la direction d'un des côtés du carré parcouru par un courant. Soit R' un référentiel tel que la charge $q$ y au repos. Du point de vue de R', la charge $q$ ne peut pas subir de force magnétique, parce que sa vitesse est nulle, mais elle subit une force électrostatique.
Du point de vue de R', les deux côtés du carré parallèles à son mouvement sont contractés dans le sens du mouvement, mais pas les deux côtés perpendiculaires au mouvement. La densité linéaire des électrons de conduction, du côté où leur vitesse moyenne est nulle, est égale $\lambda /\gamma$ où $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ est l'inverse du coefficient de contraction des longueurs. La densité linéaire des électrons de conduction de l'autre côté est $\lambda \gamma$. Elle est différente, parce que les électrons de conduction ont une vitesse moyenne non-nulle par rapport à R'.
Du point de vue de R', la charge $q$ subit une force électrostatique, perpendiculaire au mouvement du circuit et proportionnelle à $\lambda (\gamma -1/\gamma )$. Du pont de vue de R, cette force est $\gamma$ fois plus petite, donc proportionnelle à $\lambda (1-1/\gamma ^{2})=\lambda v^{2}/c^{2}$. Elle est la force magnétique subie par la charge en mouvement dans R.
Dans R', le circuit électrique est une source de champ magnétique variable qui exerce une force électrique sur la charge $q$. La variation du champ magnétique a donc une force électromotrice.