# Physique et mathématiques visuelles/Relativité
## Le paradoxe de la course après la lumière

La lumière s'éloigne de nous à 300 000 km/s. Si une fusée va à 200 000 km/s pour poursuivre la lumière, celle-ci s'éloigne de la fusée toujours à la vitesse de 300 000 km/s, et non à 100 000 km/s comme on pouvait s'y attendre. On ne peut jamais ni rattraper la lumière, ni modifier sa vitesse de fuite. La vitesse de la lumière dans le vide est une constante universelle : elle est la même pour tous les observateurs, qu'ils soient sur la Terre ou dans une fusée.
La contraction des longueurs, le ralentissement des horloges et la relativité de la simultanéité suffisent pour montrer que le paradoxe de la course après la lumière ne conduit pas à une contradiction.

## Les roues relativistes

Tous les solides en mouvement sont contractés dans la direction de leur mouvement. Cet effet est appréciable lorsque leur vitesse s'approche de celle de la lumière. C'est la contraction de Fitzgerald. Elle est une conséquence de la géométrie de l'espace-temps, découverte par Einstein avec sa théorie de la relativité.
Un cerceau qui tourne sur lui-même tellement vite que la vitesse de sa circonférence approche celle de la lumière a donc un diamètre plus petit que le même cerceau au repos. Il en va de même pour une roue, si ses rayons sont beaucoup plus souples que sa circonférence. Si la roue tourne sur elle-même, ses rayons ne subissent pas la contraction de Fitzgerald, parce que leur mouvement est perpendiculaire à leur longueur, mais ils peuvent être comprimés par la pression de la circonférence.
Si une roue roule sur le sol avec une vitesse proche de la lumière, la base de la roue n'est pas contractée, parce que sa vitesse est nulle par rapport au sol. En revanche le sommet de la roue est fortement contracté :
Remarque : la lumière n'est pas le seul moyen pour former des images. L'empreinte d'un pied sur du sable mouillé est une image du pied. L'imprimerie fabrique quotidiennement des images par contact. Dans l'animation ci-dessus, on a supposé que les images des roues sont obtenues par contact (par exemple en projetant leur ombre sur un mur de photodétecteurs à leur contact), pas par l'intermédiaire d'un œil ou d'un autre système optique.

## Les dispositifs de mesure spatio-temporelle

Un règle rigide, ou un compas, permet de mesurer la distance entre ses extrémités en la comparant à d'autres distances. Une règle rigide est donc un dispositif de mesure d'une longueur, ou d'un intervalle, spatial. Le point important est que la règle soit rigide, pour que la distance mesurée soit toujours la même. On peut concevoir sur le même modèle des dispositifs de mesure des intervalles spatio-temporels. Une simple horloge est un tel dispositif. Elle permet de pointer deux événements qui sont toujours séparés par la même durée. On peut aussi se servir de deux horloges fixées à un même support rigide, chacune étant utilisée pour pointer un certain événement. Si le dispositif qui déclenche les deux horloges est régulier, l'intervalle spatio-temporel entre les deux événements pointés peut être toujours le même. De tels dispositifs permettent de mesurer l'espace-temps de la même façon que les règles rigides permettent de mesurer l'espace.
Un intervalle est du genre temps lorsqu'il est sur la trajectoire d'un point matériel massif. Il est du genre lumière lorsqu'il est sur la trajectoire d'un rayon de lumière dans le vide. Tous les autres intervalles sont du genre espace. Lorsqu'un intervalle est du genre espace, il existe toujours un repère inertiel pour lequel ses extrémités sont des événements simultanés. Les dispositifs de mesure spatio-temporels permettent de mesurer les trois genres d'intervalle. Une seule horloge suffit pour mesurer les intervalles du genre temps. Deux horloges fixées sur une règle rigide et convenablement synchronisées permettent de mesurer des intervalles du genre espace ou genre lumière.

## Tous les intervalles du genre lumière sont égaux

La théorie permet d'attribuer un nombre réel à tous les intervalles spatio-temporels, quel que soit leur genre, ou plus précisément à leur carré. Les intervalles du genre lumière en particulier sont tous égaux à zéro et donc tous égaux entre eux. C'est a priori surprenant. Cela veut dire par exemple que l'intervalle spatio-temporel entre l'émission d'un photon et sa réception trois mètres plus loin est égal à l'intervalle entre son émission et sa réception trois années-lumière plus loin, comme si le photon en avançant ne s'éloignait jamais de son point de départ. N'est-ce pas le pays des merveilles ?
Les dispositifs de mesure spatio-temporelle et le ralentissement des horloges permettent de comprendre ce résultat contre-intuitif. Imaginons une fusée lancée vers une étoile à trois années-lumière de la Terre. Un photon est émis à l'arrière de la fusée et il est reçu à l'avant, trois mètres plus loin, du point de vue de la fusée, donc une infime fraction de seconde plus tard. Mais à cause du ralentissement des horloges, ce qui dure une infime fraction de seconde du point de vue de la fusée peut durer trois années du point de vue de la Terre, pourvu que la fusée soit suffisamment rapide. Le même dispositif spatio-temporel mesure à la fois un intervalle lumière de trois années-lumière et un intervalle lumière de trois mètres. Il établit ainsi leur égalité.

## Le paradoxe de la double contraction des longueurs

Une longue poutre en mouvement peut-elle entrer dans une grange plus courte qu'elle, puisque sa longueur est contractée dans le sens de son mouvement ?
Mais la grange est aussi contractée dans le sens de son mouvement :
Si Y est en mouvement par rapport à X, il est contracté dans la direction de son mouvement du point de vue de X. Mais si Y est en mouvement par rapport à X, X est également en mouvement par rapport à Y, et il est également contracté dans la direction de son mouvement du point de Y. Si par exemple AB et CD sont deux règles rigides de même longueur quand elles sont au repos et qui glissent l'une sur l'autre, CD est plus courte que AB du point de vue de AB :
A---B
C--D
et AB est plus courte que CD du point de vue de CD :
A--B
C---D
C'est le paradoxe de la double contraction des longueurs. Pour comprendre pourquoi ce paradoxe ne conduit pas à une contradiction, il faut prendre en compte la relativité de la simultanéité :
Soient E, F et G trois points immobiles, tels que F est le milieu entre E et G et EF = 3 m. Soient P, Q et R trois points animés de la vitesse v par rapport à EFG. On suppose qu'à l'instant t= 0, P, Q et R coïncident avec E, F et G respectivement :
E---F---G
P---Q---R
Supposons qu'un flash lumineux est émis en F à l'instant t= 0. À l'instant t = 10$^{-8}$ s, il arrive simultanément en E et G, du point de vue de EFG, parce que EF = FG. À cet instant P, Q et R se sont déplacés :
E---F---G
-P---Q---R
Du point de vue de PQR, le flash émis en Q à l'instant t = 0, arrive simultanément en P et R, parce que PQ = QR, mais il n'arrive pas simultanément en E et G, parce qu'à l'instant où il arrive en G, QE est plus grand que QG, et le flash n'est donc pas encore arrivé en E. La simultanéité de deux évènements dépend donc du point de vue. Ce qui est simultané du point de vue d'un observateur ne l'est pas forcément du point de vue d'un autre observateur en mouvement par rapport au premier. La simultanéité n'est pas absolue mais relative. C'est pourquoi on appelle cette théorie la théorie de la relativité.
Soient AB et CD deux règles rigides de même longueur quand elles sont au repos et qui glissent l'une sur l'autre. Du point de vue de AB, à l'instant où C passe par A, D n'est pas encore arrivé en B. C'est pourquoi CD est contractée par rapport à AB du point de vue de AB :
A---B
C--D
Du point de vue de CD, à l'instant où C passe par A, D est déjà passé par B. C'est pourquoi AB est contractée par rapport à CD du point de vue de CD :
A--B
C---D
La relativité de la simultanéité résout donc le paradoxe de la double contraction des longueurs :
Le paradoxe du double ralentissement des horloges est semblable au précédent : une horloge I en mouvement par rapport à une horloge H est ralentie du point de vue de H. Mais du point de vue de I, c'est l'horloge H qui est ralentie par rapport à I. La relativité de la simultanéité suffit pour montrer que ce paradoxe ne conduit pas à une contradiction.
Si b est une horloge est à la périphérie d'un disque en rotation d'un disque en rotation, elle est ralentie par rapport à une horloge a qui reste au centre :
Mais la situation n'est pas symétrique entre a et b, parce qu'il y a un référentiel d'inertie où a est toujours au repos, mais il n'y en a pas pour b. C'est pourquoi un astronaute qui ferait un long voyage très rapide pourrait revenir sur Terre plusieurs siècles après que son jumeau soit mort.
Il en va de même pour les cerceaux et les roues relativistes. Il n'y a pas de référentiel inertiel où leur périphérie est toujours au repos. La situation n'est pas symétrique entre un observateur au repos par rapport au centre du cerceau et qui ne tourne pas sur lui-même, et un observateur qui tourne sur lui-même avec le cerceau, parce que le référentiel du second n'est pas inertiel. C'est pourquoi un cerceau qui tourne sur lui-même est vraiment contracté par rapport au même cerceau qui ne tourne pas sur lui-même.
La contraction des longueurs, le ralentissement des horloges et la relativité de la simultanéité suffisent pour montrer que le paradoxe de la course après la lumière ne conduit pas à une contradiction, parce que la mesure de la vitesse de la lumière dépend de la mesure des longueurs, des durées et de la simultanéité. Les instruments de mesure embarqués dans la fusée sont contractés et ralentis quand la fusée accélère, et la mesure de la simultanéité est modifiée. C'est pourquoi la lumière peut conserver toujours la même vitesse par rapport à la fusée :
Toutes les lumières d'un même train clignotent simultanément du point de vue d'un observateur au repos dans le train, mais elles ne clignotent pas simultanément pour un observateur qui voit passer le train.
La propagation de la lumière est représentée par le mouvement des lignes oranges. Si la longueur d'un train est l'unité de longueur et la période du clignotement, l'unité de temps, alors la vitesse de la lumière c = 1.
On peut voir que les trains en mouvement sont contractés, que les horloges en mouvement sont ralenties et que la lumière a toujours la même vitesse égale à un, quel que soit le point de vue de l'observateur, au repos, ou dans un train en mouvement.
Diagrammes d'espace-temps d'une rencontre entre deux trains de lumières clignotantes
Sur ces diagrammes d'espace -temps, l'espace est représenté par la direction horizontale, le temps par la direction verticale. Des points sur une même verticale sont des évènements qui se produisent au même lieu. Le temps s'écoule vers le haut. Des points sur une même horizontale sont des évènements qui se produisent au même instant. Si c = 1, la propagation de la lumière est représentée par des droites inclinées à 45° (ici les droites oranges).
Tous ces diagrammes peuvent être obtenus à partir d'un seul d'entre eux par une transformation de Lorentz :
$x'=\gamma (x-vt)$
$t'=\gamma (t-vx/c^{2})$
où $\gamma =1/(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}$ est le coefficient de dilatation des durées. $1/\gamma$ est le coefficient de contraction des longueurs. $v$ est la vitesse relative des deux référentiels qui déterminent une transformation de Lorentz.

## L'addition des vitesses

Si B va à la vitesse u par rapport à A et si C va dans la même direction à la vitesse v par rapport à B, alors C va à la vitesse u+v par rapport à A.
Ce théorème d'addition des vitesses est un théorème de la physique newtonienne, qui ignore la contraction des longueurs, le ralentissement des horloges et la relativité de la simultanéité. Si on tient compte de ces trois effets relativistes, le théorème d'addition des vitesses devient :
Si B va à la vitesse u par rapport à A et si C va dans la même direction à la vitesse v par rapport à B, alors C va à la vitesse (u + v)/(1 + uv/c$^2$) par rapport à A, où c est la vitesse de la lumière.
Si v = c, (u + v)/(1 + uv/c$^2$) = (u + c)/(1 + u/c) = c, la vitesse de la lumière par rapport à A est donc toujours égale à la vitesse de la lumière par rapport à B, quelle que soit la vitesse de A par rapport à B.

## Voir aussi

Électricité et magnétisme
E = m c²
Gravitation