# Le ludion

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## Matériel

* 1 bouteille d’eau avec son bouchon,
* 5 trombones,
* 1 stylo à bille transparent,
* Eau,
* Ruban adhésif.

## Expérience

* Enlever la cartouche du stylo-bille mais laisser le petit bouchon qui se trouve à l’extrémité. Boucher avec du ruban adhésif le trou situé le long du tube du stylo à bille. Accrocher les trombones au bas du tub, à la place de la pointe.
* Remplir la bouteille à ras bord (très important pour la réussite de l’expérience). Plonger le stylo dans la bouteille, les trombones en bas, puis reboucher la bouteille.
* Si le stylo flotte l’expérience est prête à démarrer. Si le stylo coule enlever un trombone pour l’alléger.
Comment faire descendre le stylo dans le fond de la bouteille sans la retourner ni la vider ?
Il suffit d’appuyer sur le côté de la bouteille.

## Explication

Bien souvent en physique, il est utile de faire un schéma regroupant toutes les informations connues afin de déterminer l’ensemble des paramètres expérimentaux. La première étape consiste ensuite à faire le bilan des forces qui s’appliquent sur le corps étudié (ici le « sous-marin »).
Bilan des forces qui s’appliquent sur le système crayon-trombone-air :
Il est soumis à deux forces :
* Son poids noté (dirigé vers le bas) : il a tendance à faire couler le système.
Avec :
$\textstyle m_{air}=\rho _{air}.V_{air}=\rho _{air}.\pi r^{2}x$ $\textstyle m_{crayon}=\rho _{crayon}.V_{crayon}=\rho _{crayon}.2\pi eRl$
Notations :
On obtient : $\textstyle P=(\rho _{air}.\pi r^{2}x+\rho _{crayon}.2\pi eRl+m_{leste})g$
* La poussée d’Archimède notée (dirigée vers le haut) : elle a tendance à faire flotter le système.
On obtient :
$\textstyle \Pi =-(2\pi eRl+\pi r^{2}x)\rho _{eau}g$
Remarque : on néglige la poussée d’Archimède sur le leste étant donné le faible volume occupé par celui-ci.
Pour commencer, on considère le système à l’équilibre et on applique la première loi de Newton. Les forces sont toutes parallèles à l'axe z donc : $P-\Pi =0$
On obtient : $\textstyle P=(\rho _{air}.\pi r^{2}x+\rho _{crayon}.2\pi eRl+m_{leste})g-(2\pi eRl+\pi r^{2}x)\rho _{eau}g=0$
Soit : $x={\frac {2eRl}{r^{2}}}\left({\frac {\rho _{eau}-\rho _{crayon}}{\rho _{air}-\rho _{eau}}}\right)-{\frac {m_{leste}}{\pi r^{2}(\rho _{air}-\rho _{eau})}}$ (1)
On pose : $x_{0}={\frac {2eRl}{r^{2}}}\left({\frac {\rho _{eau}-\rho _{crayon}}{\rho _{air}-\rho _{eau}}}\right)-{\frac {m_{leste}}{\pi r^{2}(\rho _{air}-\rho _{eau})}}$
À présent, on se place dans le cas réel où le système ne se trouve pas forcément à l’équilibre Ces forces ce compensent alors plus ou moins. C’est ce qui provoque les mouvements du système dans la bouteille :
Le système monte lorsque : $\textstyle \Pi >P\Rightarrow x>x_{0}$
Le système descend lorsque : $\textstyle \Pi <P\Rightarrow x<x_{0}$
Le système est immobile lorsque : $\textstyle \Pi =P\Rightarrow x=x_{0}$
La constante $\textstyle x_{0}$ représente donc la hauteur limite de la colonne d’air à l’intérieur du stylo en deçà de laquelle le système descend au fond de la bouteille. On peut donc prévoir, en observant le niveau d'eau dans le crayon et augmentant progressivement la pression de la main sur la bouteille, le moment où le "sous-marin va plonger".
On sait donc maintenant que c’est le volume d’air à l’intérieur du stylo qui conditionne le mouvement du système. Car seule la poussée d’Archimède, qui dépend de ce volume, peut contrer les effets de l’attraction gravitationnelle. C’est bien le phénomène que l’on observe lors de l’expérience : lorsque l’on appuie sur les parois de la bouteille, l’eau monte à l’intérieur du crayon et le système descend.
Il se pose alors une nouvelle question : pourquoi le fait d’appuyer fait-il varier le niveau d’eau dans le crayon ?
Pour y répondre, nous allons maintenant nous intéresser aux forces qui s’exercent sur la surface d’eau en contact avec l’air à l’intérieur du crayon. Ces forces résultent de la pression de l’air et de l’eau à cet endroit.
Pour simplifier le problème, nous considérons l’air comme un gaz parfait. Nous pouvons donc déterminer la pression $\textstyle P_{air}$ à partir de la relation des gaz parfaits :
Où : P est la pression du gaz (Pa) V est le volume occupé par le gaz (m3) n est la quantité de gaz contenu dans ce volume (mole) R est la constante des gaz parfaits : R = 8,314 Pa.m3.mole-1.K-1 T est la température du gaz (K)
Au départ, avant de plonger le stylo dans l’eau, le crayon contient moles de gaz à la pression atmosphérique $P_{atm}$ , d’où :
$n_{air}={\frac {P_{atm}V}{RT}}$
avec V : le volume intérieur (« vide ») du crayon
$n_{air}={\frac {P_{atm}.\pi r^{2}l}{RT}}$
Et lorsque l’on plonge le stylo dans l’eau, la même quantité d’air est contenue à l’intérieur de celui-ci. En revanche, on remarque qu’à présent il y a un peu d’eau dans le crayon. Toujours d’après la loi des gaz parfaits, étant donné que seul le volume occupé par l’air a diminué c’est la pression qui a augmenté :
D’où : $P_{air}=P_{atm}\left({\frac {l}{x}}\right)$
Intéressons nous maintenant à la pression exercée par la surface d’eau sur la surface d’air. Celle-ci se décompose en deux parties : la pression hydrostatique (celle subit par les plongeurs) et la pression exercée par le manipulateur. Si on considère l’eau comme un fluide incompressible alors la totalité de la force exercée sur les parois de la bouteille est transmise sur la surface air-eau.
La pression hydrostatique est donnée par : $\textstyle P_{hydrostatique}=\rho _{eau}gz+P_{atm}$ La pression exercée par le manipulateur sur le fluide est donnée par : $P_{ext}={\frac {F_{ext}}{\pi r^{2}}}$
D’où : $P_{eau}=\rho _{eau}gz+P_{atm}+{\frac {F_{ext}}{\pi r^{2}}}$
Prenons le système à l’équilibre : $\textstyle F_{air}=F_{eau}$ C’est deux forces s’exercent sur une même surface. On en déduit que : $\textstyle P_{air}=P_{eau}$
D’où : $x={\frac {P_{atm}l}{\rho _{eau}gz+P_{atm}+P_{ext}}}$ (2)
On vient donc de relier la hauteur de la colonne d’air dans le stylo avec la pression exercée par le manipulateur sur la bouteille.
En combinant les équations (1) et (2), on peut alors définir la valeur minimum $\textstyle F_{0}$ de $\textstyle F_{ext}$ nécessaire pour faire couler le stylo :
Pour résumer :
* Le système monte lorsque : $\textstyle F_{0}<F_{ext}$
* Le système descend lorsque : $\textstyle F_{0}>F_{ext}$
* Le système est immobile lorsque : $\textstyle F_{0}=F_{ext}$