# Calcul écrit/Faire une addition à la main

* Opérations arithmétiques élémentaires
** Faire une addition à la main
** Faire une soustraction à la main
** Faire une multiplication à la main
** Faire une division à la main
* Calculer une racine
** Calcul de la racine carrée d'un nombre
** Calcul de la racine cubique d'un nombre
** Calcul de la racine quatrième d'un nombre
** Calcul de la racine n-ième d'un nombre
* Opérations sur les polynômes
* Exercices
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Cette page explique comment additionner des nombres entiers à la main, c'est-à-dire avec papier et crayon, voire de tête.

## Ajout de nombres entiers à 1 chiffre

Il faut pour cela nécessairement connaitre la table d'addition. Rien de mieux que l'entrainement pour cela.
La table d'addition suivante est simplifiée :
* le zéro n'est pas représenté (puisque ajouter 0 à n'importe quel nombre ne le change pas). La table ne donne donc que les chiffres de 1 à 9 ;
* Pour éviter les doublements (et clarifier la lecture), on n'a gardé qu'une seule des additions équivalentes (1+9 et 9+1 par exemple).
Il ne reste que les couples de chiffres utiles et donc à connaitre pour additionner.
Table d'addition :
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 3 | | | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | | | | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | | | | | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 6 | | | | | | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 7 | | | | | | | 14 | 15 | 16 |
| 8 | | | | | | | | 16 | 17 |
| 9 | | | | | | | | | 18 |
Vous pourrez noter quelques couples particuliers ; les repérer vous sera d'une grande aide pour des additions plus compliquées :
* Ceux dont la somme des chiffres font 10 :1+9 ; 2+8 ; 3+7 ; 4+6 ; 5+5.
* Ceux dont la somme est inférieure à 10 (en haut à gauche des 10 dans le tableau)
* Ceux dont la somme est supérieure à 10 (en bas à droite des 10 dans le tableau)
Exemples :
* 4+3=7,
* 5+1=6
* 6+7=13
* 1+9=10

## Ajout de nombres entiers à 2 chiffres, sans retenue

Il faut d'abord savoir décomposer les nombres à deux chiffres en unités et dizaines.
Exemple : 54 se décompose en 4 unités et 5 dizaines.
Sans retenue signifie que la somme des chiffres des unités et des dizaines séparément n'atteint pas 10. Pour cela, il est utile de connaitre les couples de chiffres qui s'y prêtent (voir table d'addition précédente).
Exemple : comment calculer 12 + 53 ?
Tout d'abord on remarque que :
* Somme des unités : 2 + 3 < 10
* Somme des dizaines : 1 + 5 < 10
Donc aucune retenue n'est nécessaire : il suffit de calculer la somme des unités et des dizaines indépendamment !
Cela se fait comme suit :
* Somme des unités : 2 + 3 = 5
* Somme des dizaines : 1 + 5 = 6
Donc on a 5 aux unités et 6 aux dizaines, soit : 65.

### Poser l'addition

Pour bien comprendre, poser les opérations, en inscrivant l'un sous l'autre les deux nombres à additionner et en prenant soin de bien aligner en colonne les unités sous les unités et les dizaines avec les dizaines. Le résultat s'écrira alors aligné en dessous, séparé par une ligne.
On pose donc :

## Ajout de nombres entiers à 2 chiffres, avec 1 retenue

On a une retenue lorsque la somme des unités dépasse 9 (supérieure à 10).
Exemple : 16 + 29
* Somme des unités : 6 + 9 = 15 > 10
Il faut alors faire une retenue pour ce calcul.

### Exemple pas à pas

Comment calculer 36 + 57 ?
On remarque que :
* Somme des unités : 6 + 7 > 10 donc il nous faudra faire une retenue.

#### Calcul des unités

Le calcul s'effectue ensuite en commençant par les unités :
* 6 + 7 = 13
Le résultat (13 unités) peut se décomposer en 3 unités et 1 dizaine.
Ce 1 dizaine sera donc ajouté aux dizaines de 36 (c'est-à-dire 3) et de 57 (c'est-à-dire 5). On dit généralement que l'on « retient 1 » (autrement dit la retenue est 1).
On écrit donc le chiffre des unités 3 en bas dans la ligne des résultats :
et la retenue 1 est notée (en petit) en haut de la colonne des dizaines :

#### Calcul des dizaines

Vient ensuite le calcul des dizaines :
On calcule la somme des dizaines des deux nombres :
* 3 + 5 = 8
puis on y ajoute la retenue :
* 8 + 1 = 9
On inscrit ce résultat dans la colonne des dizaines :

#### Lecture du résultat

Le résultat du calcul de 36 + 57 est donc 93.

## Explication

Notre système de numération est à base décimale, c'est à dire qu'il comporte 10 chiffres. L'écriture des nombres repose sur la convention suivante : chaque chiffre représente une puissance de 10,
* le chiffre le plus à droite concernant l'unité (10 puissance 0),
* le chiffre suivant (à gauche du premier) concerne les dizaines (10 puissance 1),
* et ainsi de suite pour les centaines (10 puissance 2), etc.

### exemple

102 = 1×100 + 0×10 + 2x1

### analyse

Reprenons la somme 12 + 53 :
12 = 1×10 + 2
53 = 5×10 + 3
donc 12 + 53 = 1×10 + 2 + 5×10 + 3 = (1+5)×10 + 5 = 6×10 + 5 = 65
Ce résultat est obtenu par la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition On voit donc que l'écriture en colonne ne fait que traduire cette propriété.

### Et la retenue ?

17 + 57 = 1×10 + 7 + 5×10 + 7 = (5 + 1)×10 + 14 = (5 + 1)×10 + 10 + 4 = (5 + 1 + 1)×10 + 4 = 7×10 + 4 = 74