# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur dualiseur
#### Introduction

Étant donné un espace de dimension N, le symbole de Levi-Civita d'ordre N $\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$, aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par $2^{N}$ lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

#### Définition du tenseur dualiseur
##### Tenseur dualiseur en coordonnées contravariantes

La formule
    $*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$
où $\det g$ est le déterminant du tenseur métrique, définit bien un tenseur à partir du symbole de Levi-Civita d'ordre N. Ce tenseur, aussi appelé tenseur de Levi-Civita et noté ${\tilde {\epsilon }}$ est ici appelé tenseur dualiseur. Il est intéressant de noter que pour qu'un scalaire soit un tenseur (d'ordre 0), il faut qu'il soit indépendant du choix du système de coordonnées. Le déterminant du tenseur métrique n'est donc pas un tenseur mais son produit avec le symbole $\epsilon$ est bien un tenseur, indépendant du système de coordonnées.

##### Tenseur dualiseur en coordonnées covariantes

On passe aux coordonnées covariantes en mettant en jeu N fois le tenseur métrique. Le produit de ces N termes avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N est égal au déterminant du tenseur métrique et l'on obtient
    $*_{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}=g_{i_{1}j_{1}}g_{i_{2}j_{2}}\ldots g_{i_{N}j_{N}}{\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}={\sqrt {\det g}}\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$

##### Détermination du signe

Le tenseur dualiseur garde néanmoins un caractère particulier. C'est le choix de la détermination de la racine carrée qui définit l'orientation du système de coordonnées. Retourner une coordonnée doit s'accompagner du changement de signe des composantes du tenseur.
Dans le cas de l'espace-temps quadridimensionnel, le déterminant du tenseur métrique est négatif. Deux possibilités s'offrent alors, considérer que le tenseur dualiseur est imaginaire pur, ou remplacer g par -g. Cette seconde possibilité facilite les calculs mais n'est pas satisfaisante d'un point de vue théorique [connecter avec la mesure de la distance spatiale ou temporelle comme racine carrée de l'intervalle d'espace-temps, dont le signe donne la nature, temps ou espace]

#### Propriétés du tenseur dualiseur
##### Produit de tenseurs dualiseurs

La formule suivante découle directement de la formule obtenue avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole $\delta _{j}^{i}$ est le symbole de Kronecker, représentant la matrice unité.
    $*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}k_{1}\ldots k_{Q}}*_{j_{1}j_{2}\ldots j_{P}k_{1}\ldots k_{Q}}=Q!\times \left|{\begin{matrix}\delta _{j_{1}}^{i_{1}}&\delta _{j_{2}}^{i_{1}}&\ldots &\delta _{j_{P}}^{i_{1}}\\\delta _{j_{1}}^{i_{2}}&\delta _{j_{2}}^{i_{2}}&\ldots &\delta _{j_{P}}^{i_{2}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\delta _{j_{1}}^{i_{P}}&\delta _{j_{2}}^{i_{P}}&\ldots &\delta _{j_{P}}^{i_{P}}\end{matrix}}\right|$

###### résultat d'ordre 2

    $*^{k\;i_{2}\ldots i_{N}}*_{l\;i_{2}\ldots i_{N}}=\left(N-1\right)!\times \delta _{l}^{k}$

###### résultat d'ordre 4

    $*^{km\;i_{3}\ldots i_{N}}*_{ln\;i_{3}\ldots i_{N}}=\left(N-2\right)!\times \left(\delta _{l}^{k}\delta _{n}^{m}-\delta _{n}^{k}\delta _{l}^{m}\right)$

#### Définition du tenseur dual

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre M dans un espace de dimension N définit un tenseur d'ordre N-M, son dual. $\left[*a\right]^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N-M}}={\frac {1}{M!}}*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}a_{i_{N-M+1}\ldots i_{N}}$
Le choix de faire la contraction sur les M derniers indices du tenseur dualiseur est tout à fait arbitraire. La contraction sur une autre famille d'indices fournit la même expression de $*a$, avec un signe éventuellement opposé. Il est aussi à noter que si l'on change l'orientation de l'espace en échangeant deux coordonnées, le tenseur dual change de signe.

#### Tenseurs duaux complètement antisymétriques

Si dans un espace à $N$ dimensions, $A$ est un tenseur à $M$ indices, avec $0<=M<=N$, alors le dual $*A$ est un tenseur à $N-M$ indices, lui-aussi complètement antisymétrique, et l'on a
    $**A=A$
On va le démontrer en dimension 3. La généralisation est facile.

##### dimension 3

Le dual d'un vecteur $b^{k}$ est un tenseur antisymétrique à deux indices $\left[*b\right]_{ij}=*_{ijk}b^{k}$. Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique $a^{ij}$ est un vecteur $\left[*a\right]^{i}={\frac {1}{2}}\times *^{ijk}a_{jk}.$. Tous deux ont 3 composantes indépendantes.
Le dual d'un scalaire $f$ est un tenseur complètement antisymétrique à trois indices $\left[*f\right]^{ijk}=*^{ijk}f$. Réciproquement, le dual d'un tenseur complètement antisymétrique à trois indices $a^{ijk}$ est un scalaire $\left[*a\right]={\frac {1}{6}}*_{ijk}a^{ijk}$. Le tenseur complètement antisymétrique à trois indices dans un espace de dimension 3 n'a qu'une composante indépendante. On l'appelle aussi pseudo-scalaire.
Le dual du dual d'un tenseur complètement antisymétrique à 0, 1, 2 ou 3 indices est le tenseur lui-même. Autrement dit, le dual du dual est l'opérateur identité pour les scalaires, les vecteurs $a^{i}$, les tenseurs antisymétriques à deux indices $a^{ij}=-a^{ji}$ et les tenseurs complètements antisymétriques à trois indices $a^{ijk}=-a^{ikj}=-a^{kji}=-a^{jik}$.
En effet, pour un scalaire on a$\left[**f\right]={\frac {1}{6}}*_{ijk}\left[*f\right]^{ijk}={\frac {1}{6}}*^{ijk}*_{jkl}f=f$ ; pour un vecteur on a $\left[**b\right]^{i}={\frac {1}{2}}*^{ijk}\left[*b\right]_{jk}={\frac {1}{2}}*^{ijk}*_{jkl}b^{l}=\delta _{l}^{i}b^{l}=b^{i}$ ; pour un tenseur antisymétrique à deux indices on a $\left[**a\right]^{ij}={\frac {1}{2}}*^{ijk}\left[*a\right]_{k}={\frac {1}{2}}*^{ijk}*_{klm}a^{lm}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{lm}^{ij}-\delta _{ml}^{ij}\right)a^{lm}=a^{ij}$ ; pour un tenseur complètement antisymétrique à trois indices on a $\left[**a\right]^{ijk}=*^{ijk}\left[*a\right]=*^{ijk}{\frac {1}{6}}*_{lmn}a^{lmn}={\frac {1}{6}}\left(\delta _{lmn}^{ijk}+\delta _{mnl}^{ijk}+\delta _{nlm}^{ijk}-\delta _{nml}^{ijk}-\delta _{mln}^{ijk}-\delta _{lnm}^{ijk}\right)a^{lmn}=a^{ijk}$

##### dimension 4

Le dual d'un scalaire $a$ est le tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire $\left[*a\right]^{ijkl}=*^{ijkl}a$
Le dual d'un vecteur $a_{l}$ est le tenseur complètement antisymétrique $\left[*a\right]^{ijk}=*^{ijkl}a_{l}$. Tous deux ont 4 composantes indépendantes.
Le dual d'un tenseur antisymétrique $a_{kl}$ est le tenseur antisymétrique $\left[*a\right]^{ij}=*^{ijkl}a_{kl}$. Tous deux ont 6 composantes indépendantes.
Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique $a_{jkl}$ est le vecteur $\left[*a\right]^{i}=*^{ijkl}a_{jkl}$
Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire $a_{ijkl}$ est le scalaire $\left[*a\right]=*^{ijkl}a_{ijkl}$
De la même manière qu'en dimension 3, il est facile de démontrer que l'opérateur dual du dual est l'opérateur unité pour les scalaires, les vecteurs, les tenseurs antisymétriques à deux indices et les tenseurs complètement antisymétriques à trois ou quatre indices.