OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Le système d'exploitation GNU-Linux

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* Texte sur Wikisource.
* Citations sur Wikiquote.
* Article d’actualité sur Wikinews.
Ce livre s’adresse aux personnes désirant apprendre l'administration d'un système d’exploitation GNU/Linux.
Remarque : il est bon de noter que Linux n'est pas un système d'exploitation en lui-même mais un noyau (ou kernel). Il devient système d'exploitation lorsqu'il est accompagné de GNU et des applications qui s'y greffent. Cet ensemble est appelé une distribution. Par abus de langage, on utilise couramment l'appellation Linux pour désigner GNU/Linux et donc « distribution Linux » au lieu de « distribution GNU/Linux ». Retenez donc que lorsqu'on parle de Linux, le plus souvent on désigne l'ensemble Linux + GNU (On ne peut utiliser Linux seul ou GNU seul).

## Tables de matières

* Qu'est-ce qu'un système d'exploitation ?
* Unix et Linux
* Partitionnement du disque
* Installation
** Installer Debian via le réseau
* Utilisateur Unix, l'interface console
** Le login
** Variables d'environnement
** Commandes de base
** L'aide en ligne man
** L'éditeur de texte vi
** Les shells
** La complétion
** Les jokers
** Les répertoires importants
** Redirection des entrées/sorties
** Invoquer un programme en tâche de fond
** Propriétaires et droits d'accès
** Processus
** Locale
* Administration du système
** Configuration du réseau
** Les utilisateurs et groupes
** Le processus d'initialisation
** Les systèmes de fichiers
** Le système virtuel /proc
** Les périphériques /dev
** L'ordonnanceur de travaux cron
** Le backup : tar et gzip
** ghost avec partimage
** sauvegarde de fichiers avec rsync
** Les fichiers journaux syslog
** Installation de nouveaux logiciels
** Le noyau Linux et les modules
** Autres commandes utiles
** Installation RAID1 logiciel + LVM + XFS
** Scripts de surveillance
** Réseaux sans fil
* Administration des services réseaux
** L'outil d'administration Webmin
** telnet
** cURL
** wget
** Le serveur de noms BIND
** Le serveur de configuration réseau DHCP
** Le serveur de shell distant SSH
** Le partage de fichiers Samba
** Le partage de fichiers NFS
** Le serveur d'impression CUPS
** Le serveur de fichiers FTP
** Le serveur Web Apache
** Le serveur Web Nginx
** La base de données MySQL
** La base de données Memcached
** La base de données Redis
** Le serveur de mails Postfix
** Les annuaires LDAP
** La supervision Nagios
* Sécurisation d'un serveur Linux
** Installation d'un service en mode chroot
** Protection avec iptables
* Erreurs connues
* Médiagraphie
* Auteurs

## Voir aussi

* Debian
* Ubuntu
* Administration réseau sous Linux
* Linux-VServer
* Programmation Bash
* Docker
* 6/68/681/681.3/681.3.0
# Livre de cuisine/Sauce aux champignons2

La sauce au champignons accompagne très bien des pommes de terre, des pâtes ou même des escalopes de volaille.

### Ingrédients

* 500 g champignons épluchés (il ne faut pas les laver mais juste les rincer et les essuyer),
* 25 cl crème fraîche (liquide, semi-liquide ...),
* beurre,
* sel, poivre, un peu de noix de muscade.

### Préparation

* Faire fondre le beurre, y ajouter les champignons coupés en lamelles et les faire revenir dans le beurre 3 à 4 minutes.
* Mettre la crème liquide et laisser épaissir tout en remuant de temps en temps.
# Livre de cuisine/Sauce bolognaise

La sauce bolognaise est une sauce classique de Bologne qui sert à toutes sortes de choses, notamment à garnir les tagliatelles, les lasagnes, mais aussi, en dehors d'Italie, les spaghetti (en vérité les spaghetti à la bolognaise sont un plat de la cuisine internationale mais pas du tout de la tradition italienne, qui utilise le ragù pour garnir les tagliatelles, pâte fraîche à l'œuf).
Le vrai nom de la sauce en italien est ragù alla bolognese, ou le mot ragù vient du français « ragoût ».

## Ingrédients

Préparation de la sauce bolognaise
Pour quatre personnes :
* 300 g de viande de bœuf hachée,
* 100 g de lard maigre de porc haché,
* 1 demi verre de vin blanc,
* 1 verre de bouillon de viande,
* 1 oignon, une carotte et un cèleri émincés,
* 5 cuillerées de jus de tomate (double ou triple concentré),
* huile d'olive, sel.

## Préparation

* Faites revenir doucement oignons, carotte et cèleri émincés dans un peu d'huile d'olive avec le lard maigre.
* Ajoutez la viande et faites-la revenir en la brisant sans cesse avec une cuiller en bois.
* Ajoutez le vin et laissez le réduire.
* Quand la viande est bien cuite, ajoutez la tomate, le bouillon de viande, assaisonnez avec sel.
* Faites cuire à feu doux et à couvert deux heures. Surveillez et remuez souvent avec une cuiller en bois.

## Voir aussi

* Sauce
# Livre de cuisine/Sauce cinq P

La sauce Cinq P est une sauce à la crème fraîche et à la tomate avec du fromage, du persil, du poivre. Elle tient son nom du nom italien de ses cinq ingrédients :
* Panna (crème),
* Pomodoro (Tomate),
* Parmigiano (Parmesan),
* Prezzemolo (Persil),
* Pepe (Poivre).

### Ingrédients

* 2 dl de crème,
* 2 cuillères à soupe de concentré de tomate,
* 2 cuillères à soupe de parmesan,
* 1/2 bouquet de persil,
* à volonté poivre.

### Préparation

* Wikipédia propose un article sur : « Sauce cinq P ».
Mettre le tout dans une casserole, porter à ébullition, cuire à feu doux pendant 5 min.
# Livre de cuisine/Sauce blanche végétalienne

La sauce blanche végétalienne est une sauce chaude.

## Ingrédients

* 15 cl d’huile
* 20 g de farine
* 20 cl de bouillon de légumes
* 20 cl de lait de soja
* noix de muscade
* sauce de soja
* poivre

## Préparation

* Chauffer l’huile dans une casserole, ajouter la farine et faire un roux.
* En remuant sans cesse, ajouter le lait de soja en alternance avec le bouillon, pour obtenir une sauce lisse.
* Assaisonner avec la sauce de soja, du poivre et de la noix de muscade.

## Voir aussi

* Sauce blanche
# Livre de cuisine/Sauce béarnaise

Contrairement à ce que laisse penser son nom, cette sauce n’est pas originaire du Béarn, mais de la région parisienne. Elle est peut-être ainsi nommée parce que le restaurant où elle serait apparue pour la première fois, en 1830, s’appelait Le pavillon Henri IV qui existe toujours à Saint Germain en Laye et qui est l'endroit où est né le petit fils de Henri IV : Louis XIV.

## Ingrédients

* 3 jaunes d’œufs,
* 2 échalotes hachées,
* 175 grammes de beurre,
* branches d’estragon haché + cerfeuil,
* 3 cuillères à soupe de vinaigre de vin ou de vinaigre d'estragon,
* sel et poivre de cayenne.

## Préparation

* Clarifier le beurre. Le faire fondre dans une casserole, écumer et verser le doucement dans un bol en séparant les impuretés.
* Mettre à chauffer dans une casserole les jaunes d’œufs + 1,5 cuillerée à soupe d’eau (1,5 cuillère pour 2 jaunes), porter sur feu doux puis continuer de battre jusqu’à ce que le tout épaississe (bon épaississement quand on fait des trait net en mélangeant).
* Retirer du feu, incorporer petit à petit le beurre clarifié, sans arrêter de mélanger. Saler.
* Ajoutez aux jaunes (en les mélangeant) les échalotes, l’estragon, le cerfeuil, le poivre et le vinaigre dans une casserole, faites réduire doucement.

## Dérivé de sauce béarnaise

Consultez également ces pages dans d’autres projets Wikimedia :
* Sauce arlésienne
* Sauce Choroné
* Sauce Foyot
* Sauce paloise
* Sauce tyrolienne
* Sauce Valois
# Livre de cuisine/Sauce aux champignons

La sauce aux champignons est une sauce chaude.

## Ingrédients

* 300 g de champignons
* 0,5 l d'eau
* 40 g de farine
* 5 cl d'huile de tournesol
* sel, poivre

## Préparation

* Couper les champignons en lamelles et faire revenir à la poêle.
* Chauffer à feu doux l'huile de tournesol, ajouter la farine et mélanger afin d'obtenir une pâte lisse et épaisse.
* Verser petit à petit l'eau tout en continuant de remuer, ajouter les champignons, assaisonner

## Voir aussi

* Sauce aux champignons (2)
# Livre de cuisine/Sauce aux noix

La Sauce aux noix est une soupe aux noix qui se mange comme dessert en Espagne.

## Ingrédients

* 2 litres de lait
* 300g de noix
* 150g de sucre en poudre
* 2 bâtons de cannelle

## Préparation

Infuser à feu doux une demi-heure le lait, la cannelle et les noix, en remuant de temps en temps.
Ajouter le sucre.
Cuire en remuant pendant quelques minutes.
Servir chaud.
# Livre de cuisine/Sauce bolognaise (2)
### Ingrédients

* 200 g de bœuf haché
* 400 g de tomates concassées
* 1 carotte
* 1 oignon
* 1 gousse d'ail
* huile d'olive
* basilic

### Préparation

* Couper les carottes en petits dés. Les faire cuire dans une poêle avec un peu d'huile d'olive.
* Avant la fin de cuisson des carottes, rajouter l'oignon et la gousse d'ail finement coupés.
* Rajouter la viande hachée et le concassé de tomate.
* Laisser cuire encore une dizaine de minutes en remuant.
# Livre de cuisine/Sauce chien

La sauce chien (ou sauce antillaise) est une sauce de la cuisine antillaise dont l'aspect est celui d'un mélange de condiments verts.

## Ingrédients

pour 4 personnes :
* 1 oignon,
* 2 échalotes,
* 1 gousse d'ail,
* 1 cive,
* 1 piment oiseau,
* 1 citron,
* 1 c à s d'huile,
* 1 c à c de vinaigre,
* 2 verres d'eau,
* persil,
* thym,
* laurier,
* sel,
* poivre.

## Préparation

* Porter l'eau à ébullition.
* Retirer les grains du piment.
* Hâcher finement oignons, échalotes, ail, cive, persil et piment.
* Mélanger le tout dans un bol.
* Presser le citron.
* Mélanger l'huile, le jus de citron dans un bol.
* Ajouter le vinaigre.
* Mélanger activement.
* Verser la mixture dans le bol des condiments.
* Mélanger activement.
* Ajouter le thym et le laurier si vous le souhaitez.
* Verser par-dessus un verre d'eau bouillante.
* Ajouter le sel, le poivre.
* Laisser infuser 10 minutes.

## Service

La sauce chien sert à accompagner les poissons grillés et les crustacés (classiquement les langoustes). Elle est aussi utilisée pour accompagner les viandes de barbecue. La sauce ne doit pas être relevée (le piment antillais est un piment doux).
# Mathc initiation/Fichiers h : c79a2

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# Mathc initiation/Fichiers h : c79b

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# Mathc initiation/Fichiers h : c79b01

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# Mathc initiation/Fichiers h : c78hx

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## Les formes sinh(x)sinh(y)

* fa.h < ------------------ > c1a.c
** Vérifions avec la règle d'Osborn1
** sinh(x) + sinh(y) = 2 sinh( (x+y)/2 ) cosh( (x-y)/2
* fb.h < ------------------ > c1b.c
** Vérifions avec la règle d'Osborn1
** sinh(x) - sinh(y) = 2 sinh( (x-y)/2 ) cosh( (x+y)/2 )
* fc.h < ------------------ > c1c.c
** Vérifions avec la règle d'Osborn1
** cosh(x) + cosh(y) = 2 cosh( (x+y)/2 ) cosh( (x-y)/2 )
* fd.h < ------------------ > c1d.c
** Vérifions avec la règle d'Osborn1
** cosh(x) - cosh(y) = 2 sinh( (x+y)/2 ) sinh( (x-y)/2 )
# Mathc initiation/Fichiers h : c78hgb

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# Mathc initiation/Fichiers h : c79

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## La méthode des conjugués

Copier la bibliothèque dans votre répertoire de travail :
* x_hfile.h ............ Déclaration des fichiers h
* x_def.h .............. Déclaration des utilitaires
* x_dx.h ............... Intégrale simple
* Méthode : (sin(x)-1) ==> (sin(x)-1)(sin(x)+1) = (sin(x)**2-1)
** fa.h <................> c1a.c : "1/(cos(x)-1)";
** fb.h <................> c1b.c : "1/(1-cos(x))";
** fc.h <................> c1c.c : "1/(sin(x)-1)";
** fd.h <................> c1d.c : "1/(1-sin(x)";
# Mathc initiation/Fichiers h : c79a

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# Mathc initiation/Fichiers h : c79a1

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Dans ce fichier il y a la déclaration des fichiers h.
# Mathc initiation/Fichiers h : c78hgc

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# Mathc initiation/a451

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# Mathc initiation/a450

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## L'intégrale de surface définie paramétriquement

En mathématiques, une intégrale de surface est une intégrale définie sur toute une surface qui peut être courbe dans l'espace. Pour une surface donnée, on peut intégrer sur un champ scalaire ou sur un champ vectorie Khanacademy : introduction to parametrizing a surface with two parameters ... ... ... Khanacademy : introduction to the surface integral
Copier la bibliothèque dans votre répertoire de travail :
* x_afile.h ............ Déclaration des fichiers h
* x_def.h .............. Déclaration des utilitaires
* x_strcp.h ........... Déclaration des structures (points, vecteurs)
* x_fxy.h .............. Calculer les dérivées partielles
* x_nrsxrt.h ......... Le produit en croix
* x_ps_ts.h .......... L'intégrale de surface
* x_ps_st.h .......... L'intégrale de surface
les fonctions f :
* f.h
Exemples d'application :
* c00a.c .... dtds
* c00b.c .... dsdt
# Mathc initiation/a454

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# Mathc initiation/a452

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# Mathc initiation/a453

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# Mathc initiation/a446

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Texte de la légende :
| fa.h /* ---------------------------------- */ /* save as fa.h */ /* ---------------------------------- */ #define LOOP 2*100 /* ---------------------------------- */ double Rx( double s, double t) { return( (sin(s)*cos(t)) ); } char Rxeq = "+(sin(s)*cos(t))"; /* ---------------------------------- */ double Ry( double s, double t) { return( (sin(s)*sin(t)) ); } char Ryeq = "+(sin(s)*sin(t))"; /* ---------------------------------- */ double Rz( double s, double t) { return( (cos(s)) ); } char Rzeq = "+cos(s)"; /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ double f( double x, double y, double z) { return( x*x ); } char feq = "x**2"; /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ double v( double s) { return( (PI) ); } char veq = "PI"; /* ---------------------------------- */ double u( double s) { return( (0) ); } char ueq = "0"; /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ double bs = 2.*PI; char bseq = "2*PI"; double as = 0. ; char aseq = "0"; /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ | fb.h /* ---------------------------------- */ /* save as fb.h */ /* ---------------------------------- */ #define LOOP 2*100 /* ---------------------------------- */ double Rx( double s, double t) { return( (sin(s)*cos(t)) ); } char Rxeq = "+(sin(s)*cos(t))"; /* ---------------------------------- */ double Ry( double s, double t) { return( (sin(s)*sin(t)) ); } char Ryeq = "+(sin(s)*sin(t))"; /* ---------------------------------- */ double Rz( double s, double t) { return( (cos(s)) ); } char Rzeq = "+cos(s)"; /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ double f( double x, double y, double z) { return( x*x ); } char feq = "x**2"; /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ double v( double t) { return( (2.*PI) ); } char veq = "2*PI"; /* ---------------------------------- */ double u( double t) { return( (0) ); } char ueq = "0"; /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ double bt = PI; char bteq = "PI"; double at = 0.; char ateq = "0"; /* ---------------------------------- */ /* ---------------------------------- */ |
# Mathc initiation/a449

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# Pathologie/Anatomie pathologique/Microscopie

En anatomie pathologique, la microscopie est l'étude microscopique des tissus et des tumeurs à des fins diagnostiques.
Son but est d'identifier des anomalies microscopiques.

# Théorie cellulaire

La théorie cellulaire s'est développé au début du 19e siècle.
Une théorie cellulaire des processus pathologiques a émergé à partir du début du 19e siècle avec des auteurs comme :
* Johannes Peter Müller (1801-1858)
* Rudolf Virchow (1821-1902)
La description microscopique des maladies et des tumeurs humaines s'est ensuite étendue tout le 19e et 20e siècle.

# Galerie

* The Microscopy and Zoology. Wellcome M0017133
* Virchow-cell
* Virchow R, Cellular Pathologie, 1859
# Pathologie/Anatomie pathologique/Pièces opératoires

Pièces opératoires
# Pathologie/Anomalies cellulaires et tissulaires

Anomalies cellulaires et tissulaires
# Pathologie/Anatomie pathologique/Pathologie générale

La pathologie générale est l'étude des phénomènes pathologiques indépendamment des organes qui les portent. L'étude de la pathologie des organes et des systèmes fait l'objet de la pathologie spéciale.
# Pathologie/Anatomie pathologique/Pathologie tumorale

La pathologie tumorale est l'étude des tumeurs dans un but diagnostique ou pronostique.
# Pathologie/Anomalies microscopiques

Les anomalies morphologiques microscopiques ne sont observables qu'au microscope.
Elles sont vues avec le cours de pathologie générale.
Il peut s'agir :
* d'anomalies microscopiques tissulaires
* d'anomalies microscopiques cellulaires
** anomalies du noyau
** anomalies du cytoplasme

# Illustrations microscopiques

* Various forms of cancer, 1838 Wellcome M0011428
* Pathology and bacteriology (electronic resource) (1911) (20353075465)
# Pathologie/Anomalies morbides

Les anomalies morbides ou anomalies pathologiques sont des phénomènes anormaux observés au cours des maladies.
L'adjectif "morbide" renvoit à la maladie. Il semble désuet mais la désigne mieux que "pathologique", qui renvoit non à la maladie mais à l'étude de la maladie ("Pathologie").
# Pathologie/Anomalies macroscopiques

Les anomalies macroscopiques sont des anomalies morphologiques identifiables à l’œil nu ( ou macroscopie).
Pour un organe, ce peut être :
* une absence (aplasie)
* un organe surnuméraire (duplication, triplication)
* une anomalie de couleur (érythrose, mélanose, ictère)
* une anomalie de consistance (ramollissement, induration)
* une anomalie de taille : une augmentation (hyperplasie ou hypertrophie) ou une diminution (hypoplasie ou hypotrophie)
* une rupture (exemple: rupture de la rate)
* une hémorragie
* une nécrose ou un infarctus
* une substance anomale (mucus, caseum)
* une déformation
* un micronodules, de nodules, d'une tumeur
* un kyste ou un pseudokyste
Ces anomalies peuvent être photographiées en photographie macroscopique.
En pathologie clinique et diagnostique, elles doivent être décrites dans la partie macroscopie du compte-rendu d'anatomie pathologique (pathological report).
# Pathologie/Anatomie pathologique/Pathologie chirurgicale

La pathologie chirurgicale est une partie de la pathologie diagnostique dédiée à aux pièces opératoires et à la pratique chirurgicale.
# Pathologie/Anatomie pathologique/Sémiologie morphologique

La sémiologie morphologique est l'étude des signes morphologiques.
Les signes morphologiques sont des anomalies morphologiques ayant un sens, une signification permettant d'établir un lien entre le signifiant (anomalie morphologique) et le signifié (le concept).
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Expression I/Démonstration

Partant de $a_{i;k}=a_{i,k}-\Gamma _{ik}^{j}a_{j}$, on dérive une seconde fois :
${\begin{matrix}a_{i;k;l}&=&a_{i,k,l}-\Gamma _{ik,l}^{j}a_{j}-\Gamma _{ik}^{j}a_{j,l}-\Gamma _{il}^{m}a_{m;k}-\Gamma _{kl}^{m}a_{i;m}\\&=&a_{i,k,l}-\Gamma _{ik,l}^{j}a_{j}-\Gamma _{ik}^{j}a_{j,l}-\Gamma _{il}^{m}a_{m,k}+\Gamma _{il}^{m}\Gamma _{mk}^{n}a_{n}-\Gamma _{kl}^{m}a_{i,m}+\Gamma _{kl}^{m}\Gamma _{im}^{n}a_{n}\end{matrix}}$
Les termes 1, 6 et 7 sont symétriques en kl et disparaissent donc dans le calcul de $a_{i;k;l}-a_{i;l;k}$. Les termes 3 et 4 s'échangent et disparaissent également dans la différence. Restent les termes 2 et 5 :
$R_{i}^{j}_{kl}=-\Gamma _{ik,l}^{j}+\Gamma _{il,k}^{j}+\Gamma _{il}^{m}\Gamma _{mk}^{j}-\Gamma _{ik}^{m}\Gamma _{ml}^{j}$
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Expression II

$R_{ijkl}=g^{pq}\left(\Gamma _{p|ik}\Gamma _{q|jl}-\Gamma _{p|il}\Gamma _{q|jk}\right)+{\frac {1}{2}}\left(g_{ik,j,l}+g_{jl,i,k}-g_{il,j,k}-g_{jk,i,l}\right)$
avec
$\Gamma _{p|ik}=g_{pq}\Gamma _{ik}^{q}={\frac {1}{2}}\left(g_{ip,k}+g_{kp,i}-g_{ik,p}\right)$
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur dualiseur/Nullité de la dérivée covariante

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :
$*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}_{;j}=0^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}_{j}$.
Démonstration.
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique

Le tenseur métrique, noté $g_{ij}$, est le tenseur produit scalaire des vecteurs de la base naturelle. Il est symétrique :
    $g_{ij}=g_{ji}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}$
Le carré d'un élément de longueur est la forme quadratique
    $\left(dl\right)^{2}=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$
À RÉDIGER
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur dualiseur/Nullité de la dérivée covariante/Démonstration

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle.
Démonstration.
L'expression de la dérivée covariante à partir de la dérivée simple et du symbole de Christoffel donne $D_{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)=\partial _{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)+\Gamma _{kj}^{i_{1}}*^{ki_{2}\ldots i_{N}}+\Gamma _{kj}^{i_{2}}*^{i_{1}k\ldots i_{N}}+\ldots +\Gamma _{kj}^{i_{N}}*^{i_{1}i_{2}\ldots k}$
Réécrivons premier terme sous la forme $\partial _{j}\left({\frac {\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}}{\sqrt {\det {g}}}}\right)$. Le symbole de Levi-Civita d'ordre N étant constant, ce terme devient $\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\partial _{j}\left({\frac {1}{\sqrt {\det {g}}}}\right)$.
Dans la liste des termes suivants, le premier se réduit à sa valeur pour laquelle $k=i_{1}$, le deuxième à sa valeur pour laquelle $k=i_{2}$, etc. La somme des N termes vaut donc $\Gamma _{kj}^{k}*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$. Étant donné l'expression de la contraction du symbole de Christoffel $\Gamma _{kj}^{k}=-\partial _{j}\left({\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\right)$, on trouve $D_{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)=0$, c.q.f.d.
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Dérivée partielle

Partant de la définition du tenseur métrique
    $g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}$
on calcule sa dérivée partielle
    $g_{ij,l}=\mathbf {e} _{i,l}\cdot \mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j,l}$
qui s'exprime au moyen du symbole de Christoffel
    $g_{ij,l}=\Gamma _{j|li}+\Gamma _{i|lj}=g_{jm}\Gamma _{li}^{m}+g_{im}\Gamma _{lj}^{m}$
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Matrice inverse

Étant donné un système de coordonnées, la matrice du tenseur métrique en composantes contravariantes $g^{ij}$ est la matrice inverse de la matrice du tenseur métrique en composantes covariantes : $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$. Autrement dit le tenseur métrique est son propre inverse.
Démonstration
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Matrice inverse/Démonstration

On a défini (Cf. transformation contraco) le tenseur métrique inverse $\left(g^{-1}\right)^{ij}$ comme étant l'inverse de $g_{ij}$. En faisant intervenir deux fois le tenseur métrique, on obtient son expression covariante $\left(g^{-1}\right)_{ij}=g_{ik}g_{jl}\left(g^{-1}\right)^{kl}=g_{ik}g_{jl}\left(g^{-1}\right)^{lk}=g_{ik}\delta _{j}^{k}=g_{ij}.$ Le tenseur métrique est donc son propre inverse, c.q.f.d.
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Expression I

$R_{i}^{j}_{kl}=-\Gamma _{ik,l}^{j}+\Gamma _{il,k}^{j}+\Gamma _{il}^{m}\Gamma _{mk}^{j}-\Gamma _{ik}^{m}\Gamma _{ml}^{j}$
Démonstration
# Coréen/Avertissement

Note: Pour utiliser ce wikilivre, votre navigateur doit être configuré pour afficher les caractères coréens. Si les caractères dans la boîte grise en-dessous apparaissent sous forme de boîtes blanches ou (?) ou autres. alors il faut re-régler votre navigateur.
* 철수는 사과를 나에게 준다.