# Manuel de géométrie vectorielle/Barycentre de 3 points pondérés ou plus
## Barycentre de trois points pondérés
### Définition

* Définition
* Soient A, B et C trois points. Soient $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ trois réels vérifiant $\alpha +\beta +\gamma \neq 0$.
* Le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha ),({\rm {B}},\beta ),({\rm {C}},\gamma )\}\,$ est l'unique point G qui vérifie
* $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$
* Si $\alpha +\beta +\gamma =0$, le barycentre n'existe pas.

#### Exemple

    Soit G le centre de gravité de ABC. G est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,1);(C,1)}.

### Localisation

Soit G le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha ),({\rm {B}},\beta ),({\rm {C}},\gamma )\}\,$ (avec $\alpha +\beta +\gamma \neq 0$).
On peut trouver l'emplacement de G par les trois formules suivantes :
${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {AC}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$
${\overrightarrow {\rm {BG}}}={\frac {\alpha {\overrightarrow {\rm {BA}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {BC}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$
${\overrightarrow {\rm {CG}}}={\frac {\alpha {\overrightarrow {\rm {CA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {CB}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$

### Propriétés

On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha ),({\rm {B}},\beta ),({\rm {C}},\gamma )\}\,$ existe, c'est-à-dire $\alpha +\beta +\gamma \not =0$

#### Coplanarité

* Propriété
* Comme ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {AC}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$, alors ${\rm {G\in (ABC)}}$

#### Invariance par multiplication par un réel non nul

* Propriété
* Soit k un réel non nul. Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.
* Démonstration
* $k(\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}})={\vec {0}}$ donc $k\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+k\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+k\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$
* De plus, comme $k\not =0$ et que $\alpha +\beta +\gamma \not =0$, on a bien $k\alpha +k\beta +k\gamma \not =0$
* Donc G est le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},k\alpha ),({\rm {B}},k\beta ),({\rm {C}},k\gamma )\}\,$

#### Égalité valable en tout point

* Propriété
* Pour tout point M :
* $\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {MC}}}=(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {MG}}}$
Les intérêts de cette formule sont multiples :
* Ramener un problème mettant en jeu plusieurs points (A,B,C) à un problème mettant en jeu un seul point (G)
* Calculer explicitement les coordonnées du barycentre en faisant M=O

## Barycentre de n points pondérés

On peut généraliser les propriétés des barycentres à n points pondérés.

### Définition

* Définition
* Soient $({\rm {A}}_{1},{\rm {A}}_{2},\cdots ,{\rm {A}}_{n})$ n points. Soient $(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ n réels vérifiant $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\not =0$.
* Le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}}_{1},\alpha _{1}),({\rm {A}}_{2},\alpha _{2}),\cdots ,({\rm {A}}_{n},\alpha _{n})\}$ est l'unique point G qui vérifie
* $\alpha _{1}{\overrightarrow {\rm {GA_{1}}}}+\alpha _{2}{\overrightarrow {\rm {GA_{2}}}}+\cdots +\alpha _{n}{\overrightarrow {\rm {GA_{n}}}}={\vec {0}}$
* Si $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=0$, le barycentre n'existe pas.
* Exemple
* Soit G le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},1);({\rm {B}},2);({\rm {C}},3);({\rm {D}},-4);({\rm {E}},1)\}\,$ (qui existe car $1+2+3-4+1\not =0$), donc il vérifie l'égalité ${\overrightarrow {\rm {GA}}}+2{\overrightarrow {\rm {GB}}}+3{\overrightarrow {\rm {GC}}}-4{\overrightarrow {\rm {GD}}}+{\overrightarrow {\rm {GE}}}={\vec {0}}$

### Propriétés

On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés $\{({\rm {A}}_{1},\alpha _{1}),({\rm {A}}_{2},\alpha _{2}),\cdots ,({\rm {A}}_{n},\alpha _{n})\}$ existe, c'est-à-dire $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\not =0$.

#### Invariance par multiplication par un réel non nul

* Propriété
* Soit k un réel non nul. Le barycentre de n points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.

#### Égalité valable en tout point

* Propriété
* Pour tout point M :
* $\alpha _{1}{\overrightarrow {\rm {MA_{1}}}}+\alpha _{2}{\overrightarrow {\rm {MA_{2}}}}+\cdots +\alpha _{n}{\overrightarrow {{\rm {MA}}_{n}}}=\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\right){\overrightarrow {\rm {MG}}}$