OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Dénombrement
### Dénombrer des listes

* Le nombre de permutations d'un ensemble de $n$ éléments $\scriptstyle (n\geqslant 1)$ est égal à : $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1$
* Si un ensemble $E$ contient $n$ éléments $\scriptstyle (n\geqslant 1)$, le nombre de listes sans répétitions de $E$, $\scriptstyle 1\leqslant p\leqslant n$ est : $n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times (n-(p-1))$
* Lorsqu'on établit une liste de $p$ éléments non nécessairement distincts pris dans un ensemble à $n$ éléments, on obtient $n^{p}$ éléments.

### Combinaisons

* Le nombre de parties de $p$ éléments d'un ensemble de $n$ éléments est noté $\scriptstyle {\binom {n}{p}}$
* Pour tout entier naturel $\scriptstyle n\geqslant 1$ et pour tout entier $p$ tel que $\scriptstyle 0\leqslant p\leqslant n$ : ${\binom {n}{p}}={\frac {n!}{p!(n-p)!}}={\frac {n(n-1)\ldots (n-p+1)}{p!}}$

### Formules et binôme de Newton

* $\forall n\in \mathbb {N} ,\forall p\in \mathbb {N}$
** $0\leqslant p\leqslant n~:~{\binom {n}{n-p}}={\binom {n}{p}}$
** $p\leqslant p\leqslant n-1~:~{\binom {n-1}{p-1}}+{\binom {n-1}{p}}={\binom {n}{p}}$
* $(a+b)^{n}={\binom {n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+\ldots +{\binom {n}{p}}a^{n-p}b^{p}+\ldots +{\binom {n}{n-1}}ab^{n-1}+{\binom {n}{n}}b^{n}$
| 1 |
| 1 | 1 |
| 1 | 2 | 1 |
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
# Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Limites et continuité
### Indéterminations

* Pour une fonction rationnelle, en $\scriptstyle +\infty$ et en $\scriptstyle -\infty$, il suffit de prendre la limite du quotient simplifié des termes de plus haut degré.
* Pour une fonction rationnelle, si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a}f(x)$ donne l'indétermination « $\scriptstyle {\frac {0}{0}}$ », on peut simplifier $f(x)$ par $(x-a)$.
* Pour lever un grand nombre d'indéterminations du type « $\scriptstyle {\frac {0}{0}}$ » avec des fonctions NON rationnelles, on utilise la définition du nombre dérivée : $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
* Lorsqu'une fraction contient des radicaux, il est parfois utile de faire appel à l'expression conjuguée.

### Asymptotes

* Si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a^{+}}f(x)$ ou $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a^{-}}f(x)$ est inifinie, alors la droite $\scriptstyle \Delta \;:\;x=a$ est asymptote verticale
* Si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to +\infty }(f(x)-(ax+b))\;=\;0$, alors la droite $\scriptstyle \Delta \;:\;x=ax+b$ est asymptote oblique à $\scriptstyle {\mathcal {C}}\!f$ en $\scriptstyle +\infty$. Si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to -\infty }(f(x)-(ax+b))\;=\;0$, alors la droite $\scriptstyle \Delta \;:\;x=ax+b$ est asymptote oblique à $\scriptstyle {\mathcal {C}}\!f$ en $\scriptstyle -\infty$.

### Théorèmes de comparaison

* Si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }g(x)=+\infty$ et si $\scriptstyle f(x)>g(x)$ au voisinage de $\alpha$, alors $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }f(x)=+\infty$. Si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }g(x)=-\infty$ et si $\scriptstyle f(x)<g(x)$ au voisinage de $\alpha$, alors $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }f(x)=-\infty$.
* Théorème d'encadrement des limites (ou théorème des gendarmes) : Si $\scriptstyle u(x)\,\leqslant \,f(x)\,\leqslant \,v(x)$ et si $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }u(x)\,=\,\lim \limits _{x\to \alpha }v(x)\,=\,l$, alors $\scriptstyle \lim \limits _{x\to \alpha }f(x)\,=\,l$.

### Limites d'une fonction composée

* Si $\scriptstyle f=g\circ h$, $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a}h(x)=b$ et $\scriptstyle \lim \limits _{x\to b}g(x)=c$, alors on a : $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=c$

### Continuité d'une fonction

* $\scriptstyle \forall a\in \mathbb {R}$, la fonction $f$ est continue au point $a$ si elle vérifie :
** $\scriptstyle a\,\in \,{\mathcal {D}}\!f$
** $\scriptstyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=f(a)$
* $f$ est continue sur un intervalle $I$ si $f$ est définie sur $I$ et si $f$ est continue en tout point de $I$.
* Si $f$ est continue sur un intervalle $\scriptstyle [a,b]$, alors qqst le réel $\scriptstyle c\,\in \,[f(a),f(b)]$ (ou $\scriptstyle [f(b),f(a)]$), l'équation $f(x)=c$ admet au moins une solution dans $\scriptstyle [a,b]$. Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $\scriptstyle [a,b]$, alors qqst le réel $\scriptstyle c\,\in \,[f(a),f(b)]$, l'équation $f(x)=c$ admet une unique solution dans $\scriptstyle [a,b]$.
# Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Logarithme népérien

* $\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {ln\,x}{x}}=0^{+}$
* $\lim \limits _{x\to 0^{+}}x\,ln\,x=0^{-}$
* $\lim \limits _{x\to 1}{\frac {ln\,x}{x-1}}=1$
# Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Complexes et géométrie
### Module et argument d'un nombre complexe

* Si $\scriptstyle M\left({x \atop y}\right)$ ds le repère $\scriptstyle (O,{\vec {u}},{\vec {v}})$ alors : $\scriptstyle M(\rho ,\theta )$ en coordonnées polaires, tel que : ${\begin{cases}\rho =|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\x=\rho \,cos\theta \\y=\rho \,sin\theta \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\rho =|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\cos\theta ={\frac {x}{|z|}}\\sin\theta ={\frac {y}{|z|}}\end{cases}}$
$z{\text{ imaginaire pur}}\Leftrightarrow argz={\frac {\pi }{2}}[2\pi ]{\text{ ou }}argz={\frac {-\pi }{2}}[2\pi ] \atop \textstyle \qquad \qquad \qquad \qquad ~z=iy(y\in \mathbb {R} ^{+*}){\text{ ou }}z=iy(y\in \mathbb {R} ^{-*})$
$z{\text{ est un réel non nul}}\Leftrightarrow argz=0[2\pi ]{\text{ ou }}argz=\pi [2\pi ] \atop \textstyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad z\in \mathbb {R} ^{+*}{\text{ ou }}z\in \mathbb {R} ^{-*}$
* Attention ! 0 n'a pas d'argument !
* $z=\rho (cos\theta +isin\theta )~{\text{ avec }}\rho =|z|{\text{ et }}\theta =arg(z)$ C'est l'écriture trigonométrique du nombre complexe $z$.
* Deux complexes conjugués ont même module et des arguments opposés. $|{\bar {z}}|=|z|{\text{ ou }}arg(|{\bar {z}}|)=-arg(z)\;[2\pi ]$
* $arg({\frac {z'}{z}})=argz'-argz[2\pi ]$ $|{\frac {z'}{z}}|={\frac {|z'|}{|z|}}\quad ({\text{avec }}z'\neq 0{\text{ et }}z'\neq 0)$
* $A(z_{A})$ et $B(z_{B})$, alors l'affixe du vecteur ${\vec {AB}}$, notée $z_{\vec {AB}}=z_{B}-z_{A}$
** $|z_{B}-z_{A}|=AB$
** $\arg(z_{B}-z_{A})=({\vec {u}},{\vec {AB}})\ [2\pi ]$
* $\arg({\frac {z_{B}-z_{A}}{z_{D}-z_{C}}})=({\vec {CD}},{\vec {AB}})\ [2\pi ]$

### Ecriture exponentielle d'un nombre complexe

* ${\text{si }}\rho =|z|{\text{ et }}\theta =\arg(z)\ [2\pi ]$ ${\text{alors }}z=\rho \cdot e^{i\theta }$
* ${\bar {z}}=\rho \,e^{-i\theta }$

### Transformations et complexes

* Translation de vecteur ${\vec {v}}$ : $\displaystyle z'=z+v$
* Symétrie d'axe $(O,{\vec {u}})$ : $\displaystyle z'={\bar {z}}$
* Symétrie de centre $O$ : $\displaystyle z'=-z$
* Homothétie de centre $\Omega (\omega )$ et de rapport $k$ : $\displaystyle z'-\omega =k(z-\omega )$
* Rotation de centre $\Omega (\omega )$ et d'angle $\theta$ : $\displaystyle z'-\omega =(z-\omega )\cdot e^{i\theta }$
# Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Forme algébrique des nombres complexes
### Bases essentielles

* Tout nombre complexe a une écriture unique sous la forme $z=x+iy$ $\scriptstyle (x\in \mathbb {R} \,,\,y\in \mathbb {R} )$.
* $z$ est un imaginaire pur lorsque $\scriptstyle Re(z)\,=\,0$ et $\scriptstyle Im(z)\,\neq \,0$.
* $z+z'=(x+x')+i(y+y')$ $z-z'=(x-x')+i(y-y')$ $zz'=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$
* ${\frac {1}{z}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+i{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}$
* ${\frac {1}{i}}=-i$
* $z=z'\Leftrightarrow \left\{{Re(z)=Re(z') \atop Im(z)=Im(z')}\right.$

### Nombre conjugué

* Si $z=x+iy$ $\scriptstyle (x\in \mathbb {R} \,,\,y\in \mathbb {R} )$, alors on appelle conjugué de $z$ le nombre complexe ${\bar {z}}$ tel que ${\bar {z}}=x-iy$
* $Re(z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$ $Im(z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$
* ${\bar {z+z'}}={\bar {z}}+{\bar {z'}}$ ${\bar {z-z'}}={\bar {z}}-{\bar {z'}}$ ${\bar {zz'}}={\bar {z}}\cdot {\bar {z'}}$ ${\bar {z}}^{n}={\bar {z^{n}}}\scriptstyle (\forall n\in \mathbb {N} )$ ${\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}={\frac {1}{\bar {z}}}$ ${\overline {\left({\frac {z'}{z}}\right)}}={\frac {\bar {z'}}{\bar {z}}}$

### Interprétation graphique d'un nombre complexe

* Le nombre $z$ associé au point $M$ est appelé affixe de $M$.
* $z_{\vec {AB}}=(x_{B}+iy_{B})-(x_{A}+iy_{A})=z_{B}-z_{A}$
* $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=OM$ $|z|$ se lit module de $z$.
* $|z|=|{\bar {z}}|$ $|z|^{2}=|{\bar {z}}|^{2}=z{\bar {z}}$
* $|zz'|=|z|\times |z'|$ $|z^{n}|=|z|^{n}\scriptstyle (\forall n\in \mathbb {N} )$
* $|{\frac {z}{z'}}|={\frac {|z|}{|z'|}}$
* $|z+z'|={\sqrt {(x+x')^{2}+(y+y')^{2}}}$ $|z|+|z'|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$ $\Rightarrow |z+z'|\neq |z|+|z'|$
* Si $\scriptstyle A(z_{A})$ et $\scriptstyle B(z_{B})$, alors $|z_{B}-z_{A}|=|z_{A}-z_{B}|=AB$

### Résolution d'équations du second degré dans C

* ${\sqrt {-\Delta }}$ a un sens dans $\mathbb {C}$
* Si $z$ et $z'sontsolutions$ : $az^{2}+bz+c=a(z-z')(z-z'')$
* $z'z''={\frac {c}{a}}$ $z'+z''={\frac {-b}{a}}$
* Si $\alpha$ est racine de $P(z)$, alors $P(z)$ se factorise par $(z-\alpha )$
# Polonais/Voir aussi
## Voir aussi

* Article Polonais sur Wikipédia.
* Wikipédia en polonais.
* Cours de polonais sur Wikiversité.
* Guide de polonais sur Wikitravel.
# Portable Asus A6VA/Caractéristiques techniques

* Portable ASUS A6VA
* Guide Informatique
* Sommaire
* Caractéristiques techniques
* Astuces
* Mise à jour, optimisation
* Résolution de problèmes
* Installer Ubuntu GNU/Linux
* Installer Windows Vista
* Installer Windows 7
* Conseils divers
* Galerie photos
* Modifier ce modèle
La gamme d'ordinateurs portable Asus A6VA, sortie en France à partir d'août 2005, est à usage multimédia et plus particulièrement destinée aux joueurs avec l'intégration d'une carte graphique dernier cri (à sa sortie).
Portables de milieu de gamme, ils intègrent la plupart des technologies les plus en vogue de l'époque, à l'exception du bluetooth. Cependant la présence d'une webcam intégrée et placée au-dessus de l'écran les différencie de la concurrence.
Les différents modèles de la gamme sont : A6VA-B028H, A6VA-Q038H, A6VA-Q052H, Z92VA-Q048H et Z92VA-Q041H. Ils se distinguent par la brillance ou non de l'écran (technologie Color Shine), la taille de la RAM et la fréquence du processeur.

## Présentation

* La description complète des composants matériels et logiciels des A6VA est disponible sur Wikipédia.
* Présentation officielle sur le catalogue Asus de Décembre 2005 à la page 5 (format pdf).
* Manuel d'utilisation A6VA très détaillé (format pdf)

### RAM

La mémoire vive qui équipe l'A6VA est de la DDR2 PC4200 (533MHz). Deux slots sont disponibles et ils sont tous deux occupés lorsque le portable est équipé d'un Go de RAM (modèle Q038H par exemple).

### Benchmarks

Ici les benchmarks sont effectués sur les 3 principaux modèles de la gamme A6VA. En général les tests sont fait avec la mise à jour du bios «HyperMemory» (voir chapitre Mise à jour, optimisation).
Benchmarks 3DMark :
| modèle | B028H | B028H | B028H | Q052H_1024 | Q052H_1024 | Q052H_1024 | Q052H_1024 | Q038H | Q038H | Q038H | Q038H | Q038H | Q038H |
| propriétaire | antho333 | Arbalest | Arbalest | samtssl | madmaxagor | Shooker | Algury | DemDal | nunurs mega power | poinoute | lab34 | lab34 | lab34 |
| particularités | - | Catalyst 6.14, 2*256Mo | Catalyst 6.14, 256 + 1024Mo | - | 2 barrettes de 512Mo G.Skill | - | - | Catalyst 6.14 | - | tout d'origine, pilotes aussi | pilotes d'origine | Catalyst 5.13 | Catalyst 6.2 |
| 2001 | - | - | - | - | - | - | 15893 | - | 16406 | 15124 | - | - | - |
| 2003 | - | 5791 | 5817 | 6100 | - | - | 6069 | 6096 | - | 5644 | - | - | - |
| 2005 | 2600 | - | - | - | 2905 | 2639 | 2671 | 2701 | - | 2491 | 2438 | 2708 | 2723 |
| 2006 | - | - | - | - | - | - | - | 670 | - | - | - | - | - |
# Usage de l'infinitif en polonais

chcieć - Vouloir
* Participe : chciał (sing. masc), chcieli (pl. masc)
* Conjugaison : chcę, chcesz, chce, chcemy, chcecie, chcą
lubić - Aimer
* Participe : lubił, lubili
* Conjugaison : lubię, lubisz, lubi, lubimy, lubicie, lubią
umieć - savoir
* Participe : umiał, umieli
* Conjugaison : umiem, umiesz, umie, umiemy, umiecie, umieją
potrzebować - Avoir besoin
* Participe : potrzebował, potrzebowali
* Conjugaison : potrzebuję, potrzebujesz, potrzebuje, potrzebujemy, potrzebujecie, potrzebują
Vous pouvez utiliser ces verbes, et beaucoup d'autres, ensemble avec d'autres verbes à l'infinitif :
* Ala lubi pić kawę - Ala aime boire du café
* Ala lubi kawę - veut dire presque la même chose, "boire" est une chose commune que l'on fait avec du café
* Dziecko lubi jeść ciastka - l'enfant aime manger des gâteaux
* Dziecko lubi ciastka - et "manger" est une chose commune que l'on fait avec des gâteaux
* Adam lubi myśleć o Ali - Adam aime penser à Ala
* Adam lubi Alę - Adam aime Ala ("penser à" n'est pas l'action par défaut pour Ala)
* Tomek chce być inżynierem - Tomek veux être ingénieur (devenir ingénieur)
* Dziecko chce jeść - l'enfant veux manger (l'enfant a faim)
* Basia umie robić kawę - Basia sait faire du café
* Kasia potrzebuje umieć jeździć samochodem - Kasia a besoin d'être capable de conduire une voiture (2 infinitifs à la suite l'un de l'autre, voiture à l'instrumental)
* Kasia - prénom féminin courant
* samochód - voiture
# Polonais/Sommaire

| Polonais Apprentissage du Polonais La langue polonaise est membre du groupe slave occidental de la famille de langues Indo-européennes. Elle est plus facile à apprendre si l'on connaît déjà une autre langue apparentée. Celles qui en sont les plus proches sont les autres langues slaves occidentales : le tchèque, le slovaque et le cachoube. Plus éloignées sont les langues slaves méridionales et orientales comme le russe, l'ukrainien, et le serbo-croate. Plus éloignée, mais encore avec quelques similitudes sont les langues baltes : le letton et le lituanien. Quelqu'un qui ne parle aucune langue slave ou balte, mais parle une autre langue indo-européenne, peut encore trouver beaucoup de similitudes entre la grammaire polonaise et la grammaire de cette langue ainsi que beaucoup de mots similaires. Apprendre le polonais est plus difficile pour ceux qui ne connaissent pas de langue indo-européenne ; c'est le cas pour une personne qui ne parle seulement que le chinois, le japonais, ou le coréen... mais cela reste possible. Modifier Grammaire polonaise (Tri en cours) Prononciation polonaise Quelques expressions très utilisées Phrases de base 1 Phrases polonaises de base 2 Plus sur les noms - genres Ordre des mots dans une phrase Pluriel Cas des noms (déclinaisons) Déclinaison du nom féminin Déclinaison du nom masculin Déclinaison du nom neutre Prépositions comme indices des déclinaisons Adjectifs Plus sur les adjectifs Comparatif et superlatif Expressions de groupe Questions Verbes Usage de l'infinitif Modifier | Note importante : ce livre est encore en construction ; cependant, vos modifications seront les bienvenues. Modifier La place du marché à KrakówLa place du marché à Kraków. Voir aussi Article Polonais sur Wikipédia. Wikipédia en polonais. Cours de polonais sur Wikiversité. Guide de polonais sur Wikitravel. Modifier |
# Pompes

Consultez également ces pages dans d’autres projets Wikimedia :
* Article encyclopédique sur Wikipédia.
* Définition sur Wiktionnaire.
* Éléments théoriques et pratiques
* Matériaux
* Énergie
* Fonctions mécaniques
Technologie Modèles
Attention aux idées reçues !!! Quelle que soit la façon dont elle est conçue, une pompe engendre toujours un débit et non une pression. Il n'y a apparition d'une pression que si un obstacle partiel ou total placé du côté du refoulement vient freiner ou arrêter le débit du fluide déplacé.

## Images en réserve

* Fichier:BOMBA HIDRAULICA TRES EN UNO.jpg
* Fichier:BOMBA HIDRAULICA DIAGRAMA.png
* Fichier:BOMBA HIDRAULICA COMO CARACOL.jpg
* Fichier:BOMBA HIDRAULICA QUE PARECE FOCO.png
* Fichier:BOMBA HIDRAULICA QUE PARECE ESCAPE.png
# Portable Asus A6VA

* Portable ASUS A6VA
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La gamme d'ordinateurs portable Asus A6VA, sortie en France à partir d'août 2005, est à usage multimédia et plus particulièrement destinée aux joueurs avec l'intégration d'une carte graphique dernier cri (à sa sortie).
Portables de milieu de gamme, ils intègrent la plupart des technologies les plus en vogue de l'époque, à l'exception du Bluetooth. Cependant la présence d'une webcam intégrée et placée au-dessus de l'écran les différencie de la concurrence.
Les différents modèles de la gamme sont : A6VA-B028H, A6VA-Q038H, A6VA-Q052H, Z92VA-Q048H et Z92VA-Q041H. Ils se distinguent par la brillance ou non de l'écran (technologie Color Shine), la taille de la RAM et la fréquence du processeur.

## Sommaire

* Caractéristiques techniques
* Astuces
* Mise à jour, optimisation
* Résolution de problèmes
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* Conseils divers
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# Portable Asus A6VA/Divers

* Portable ASUS A6VA
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* Caractéristiques techniques
* Astuces
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## Divers

* Conseils pour la batterie :
** au déballage, décharge et recharge à 80% environ 3 fois.
** après si stockage sans utilisation, à 25% environ de charge pour la meilleure conservation de la capacité.
** après les premières recommandations les cycles de charge et décharge ne sont plus très importants au vu de la technologie de l'accus qui te toute façon au bout de 3/4 ans sera en fin de vie (comme le portable d'ailleurs au vu de la vitesse d'évolution)
** On peut travailler sur le portable pendant la charge
** Si vous travaillez sur secteur, pensez à enlever la batterie pour ne pas qu'elle soit 24/24 en charge
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de la dérivée partielle/Démonstration

La matrice $g^{ij}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique $g_{ij}$ : $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$. Profitant de la symétrie du tenseur métrique, on a $g^{ij}g_{ji}=\delta _{i}^{i}$. Or la contraction $g_{i}^{i}=\delta _{i}^{i}$ donne un entier, la dimension de l'espace. C'est donc une constante. Ainsi $g^{ij}\;dg_{ij}=-g_{ij}\;dg^{ij}$. D'où l'expression cherchée.
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/composantes covariantes et contravariantes

Soit $V$ un espace vectoriel, et soit ${\vec {V}}\in V$ et $\{e_{i}\}$ une base de $V$.
On note, avec la convention d'Einstein:
${\vec {V}}=V^{i}e_{i}$
Tout simplement, les nombres $V^{i}$ sont les composantes contravariantes du vecteur ${\vec {V}}$. Ce sont les composantes que l'on utilise habituellement.
Les composantes covariantes d'un vecteur sont les composantes d'un vecteur sur la base duale. On note:
${\vec {V}}=V_{i}e^{i}$
ou la base $\{e^{i}\}$ est la base duale de $\{e_{i}\}$, définie par:
$e^{i}e_{j}=\delta _{j}^{i}$
Remarques:
* Tous les vecteurs de la base duale sont orthogonaux à tous les vecteurs de la base de départ d'indices différents (produit scalaire nul).
* Le produit scalaire entre un vecteur de la base ordinaire et un vecteur de la base duale mais de même indice cette fois, vaut 1.
* On peut déduire qu'une base orthonormale est identique à sa base duale.
* La base duale de la base duale est la base de départ.
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de la dérivée partielle

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme : $g^{ij}g_{ij,k}=-g_{ij}g^{ij,k}$. Démonstration.
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de sa dérivée partielle

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme :
$g^{ij}g_{ij,k}=-g_{ij}g^{ij}_{,k}$
Démonstration

## Remarques

* Si $g_{ij,k}$ était un tenseur, on aurait le signe +.
* On a bien un tenseur en calculant la dérivée covariante $g_{ij;k}$ du tenseur métrique, mais ce tenseur est nul.
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de sa dérivée partielle/Démonstration

La matrice $g^{ij}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique $g_{ij}$ : $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$. Profitant de la symétrie du tenseur métrique, on a $g^{ij}g_{ji}=\delta _{i}^{i}$. Or la contraction $\delta _{i}^{i}$ du tenseur unité donne un entier, la dimension de l'espace. C'est donc une constante. Ainsi $g^{ij}\;dg_{ij}=-g_{ij}\;dg^{ij}$. D'où l'expression cherchée
$g^{ij}g_{ij,k}=-g_{ij}g^{ij}_{,k}$.
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Transformation contraco

On transforme les composantes contravariantes d'un tenseur en composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :
    $x_{i}=\sum _{j}g_{ij}x^{j}$
Étant donné que $g^{ij}$ est la matrice inverse de $g_{ij}$, on a
    $x^{i}=\sum _{j}g^{ij}x_{j}$
# Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Transformations entre systèmes de coordonnées

On s'intéresse maintenant aux changements de coordonnées entre deux systèmes de coordonnées différents.
Soient deux systèmes de coordonnées a et b (on va donc noter la ième composante d'un point respectivement $\left[x_{a}\right]^{i}$ et $\left[x_{b}\right]^{i}$ dans l'un ou l'autre des système). Considérons les fonctions de transformation :
    $\left[x_{b}\right]^{i}=\left[\Theta _{ba}\right]^{i}\left(\left[x_{a}\right]^{0},\left[x_{a}\right]^{1},\ldots \right)$
    $\left[x_{a}\right]^{i}=\left[\Theta _{ab}\right]^{i}\left(\left[x_{b}\right]^{0},\left[x_{b}\right]^{1},\ldots \right)$
Le jacobien de la transformation relie les variations infinitésimales des coordonnées :
    $d\left[x_{a}\right]^{i}=\sum _{j}\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{j}d\left[x_{b}\right]^{j}$
Ainsi on a:
    $\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{j}={\frac {\partial \left[\Theta _{ab}\right]^{i}}{\partial \left[x_{b}\right]^{j}}}$
Le jacobien de la transformation inverse est l'inverse du jacobien. Introduisant $\delta _{j}^{i}$ le symbole de Kronecker, on a
    $\sum _{j}\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{j}\left[\theta _{ba}\right]^{j}_{k}=\delta _{k}^{i}$
Et le symbole de Kronecker est défini comme suit:
    $\delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}$