# Systèmes dynamiques et équations différentielles

(en cours d'écriture. Ce livre sera illustré par des figures et des animations en cours de réalisation.)
La théorie des systèmes dynamiques est comme une boule de cristal. C'est la science qui nous montre l'avenir et le passé à partir du présent.

## Les lois du mouvement
### Les systèmes dynamiques à temps discret

La définition d'un système dynamique à temps discret est très simple. Il suffit d'avoir un ensemble $E$ des états du système et une fonction $f$ de $E$ dans $E$, définie sur $E$ tout entier. Le couple $(E,f)$ définit un système dynamique $S$ à temps discret. $E$ est aussi appelé l'espace des états de $S$ et $f$ détermine sa loi du mouvement : si $S$ est dans l'état $x(t)$ à l'instant $t$ alors il sera dans l'état $f(x(t))=x(t+1)$ à l'instant $t+1$
La connaissance de $f$ et de l'état présent $x(0)$ de $S$ suffit pour déterminer complètement tous ses états ultérieurs, donc tout son avenir : $x(1)=f(x(0)),x(2)=f(x(1))=f(f(x(0)))=f^{2}(x(0)),x(3)=f(x(2))=f(f(f(x(0))))=f^{3}(x(0))$ et plus généralement $x(n)=f(x(n-1))=f^{n}(x(0))$ pour tout entier $n>0$.
Pour connaître le passé à partir du présent il faut que la fonction $f$ soit inversible, c'est à dire qu'elle admette une fonction inverse $f^{-1}$ telle que $f^{-1}(y)=x$ si et seulement si $y=f(x)$
On a alors :
$x(-1)=f^{-1}(x(0)),x(-2)=f^{-1}(f^{-1}(x(0)))=f^{-2}(x(0))$ et plus généralement $x(-n)=f^{-n}(x(0))$ pour tout $n>0$
Posons par définition $f^{0}(x)=x$ et $f^{1}(x)=f(x)$
Lorsque $f$ est inversible, on a donc pour tout entier $t$ positif, négatif ou nul $x(t)=f^{t}(x(0))$
La connaissance de $f$ et de l'état présent $x(0)$ du système suffit donc pour déterminer complètement son mouvement, depuis l'infini dans le passé jusqu'à l'infini dans l'avenir.
La trajectoire du système est l'ensemble des états par lesquels il passe, c'est l'ensemble des $x(t)$ pour tous les $t$ éléments de $\mathbb {Z}$ égal à $\{x(t)|t\in \mathbb {Z} \}=x(\mathbb {Z} )$ où $\mathbb {Z} =\{...-2,-1,0,1,2...\}$ est l'ensemble de tous les entiers.
La suite doublement infinie des états $x(t)$ pour tout entier $t$ détermine le mouvement complet du système. Elle est comme une partition écrite d'avance et le mouvement du système est sa musique. On l'appelle la trajectoire paramétrée par le temps du système. C'est une fonction $x$ de $\mathbb {Z}$ (le temps discret) dans l'espace $E$ des états du système.
La connaissance de $f$ et de l'état présent $x(0)$ du système suffit pour déterminer sa trajectoire paramétrée par le temps : $x(t)=f^{t}(x(0))$ pour tout $t\in \mathbb {Z}$
Pour les systèmes dynamiques à temps discret, le temps, c'est à dire l'ensemble des instants, est représenté par l'ensemble $\mathbb {Z}$ de tous les entiers. C'est bien sûr une représentation du temps très artificielle, mais elle s'impose assez naturellement pour certains systèmes dont les états sont repérés tous les ans, ou tous les mois, ou tous les jours. Si par exemple on étudie les variations d'une population animale qui a une période annuelle de reproduction au printemps, il peut suffire de la compter chaque année juste avant la période de reproduction.
La suite montrera que les systèmes dynamiques à temps continu peuvent toujours être étudiés à partir de systèmes à temps discret qui les représentent. C'est pourquoi les systèmes à temps discret, malgré le caractère artificiel de leur représentation du temps, sont fondamentaux pour toute la théorie des systèmes dynamiques.

### Les équations différentielles ordinaires

Les équations différentielles ordinaires permettent de définir les systèmes dynamiques à temps continu les plus élémentaires, c'est à dire ceux dont les états peuvent être déterminés par un nombre fini de nombres réels.
Pour les systèmes dynamiques à temps continu, le temps est représenté naturellement par l'ensemble $\mathbb {R}$ de tous les nombres réels. Il suffit de choisir un instant initial, daté par le nombre $0$, et une unité de temps, la seconde ou l'année par exemple, pour que tous les instants du temps soient chacun datés par un unique nombre réel.
Si $n>0$ est un entier, un n-uplet de nombres réels est une suite finie $(x_{1},x_{2}...x_{n})$ de $n$ nombres réels.
Un 1-uplet de nombres réels est simplement un nombre réel $x$
Un 2-uplet est un couple $(x_{1},x_{2})$
Un 3-uplet est un triplet $(x_{1},x_{2},x_{3})$
L'ensemble de tous les n-uplets de nombres réels est appelé $\mathbb {R} ^{n}$
Les équations différentielles ordinaires sont les lois du mouvement des systèmes dynamiques à temps continu dont les états sont représentés par des éléments de $\mathbb {R} ^{n}$
Elles déterminent pour chaque état d'un système les vitesses de variation des grandeurs qui le définissent :
* $n=1$ est le cas le plus simple. Le mouvement d'un système $S$ est alors représenté par une fonction $x$ de $\mathbb {R}$ (le temps) dans $\mathbb {R}$ (l'espace des états). On suppose que $x$ est une fonction partout dérivable, c'est à dire que sa dérivée $x'(t)$ autrement dit sa vitesse instantanée de variation, est définie pour tout $t$
    Pour définir la loi du mouvement de $S$ on a besoin d'une fonction $F$ de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ qui détermine $x'(t)$ à partir de $x(t)$
          $x'(t)=F(x(t))$
    C'est une équation différentielle ordinaire. On l'appelle la loi du mouvement de $S$
    Par exemple, si $F(x)=x$, on obtient $x'(t)=x(t)$ ou plus simplement $x'=x$
    C'est l'une des équations différentielles ordinaires les plus simples. Elle est la loi d'une croissance exponentielle.
* Pour $n=2$ le mouvement d'un système $S$ est représenté par une fonction $f$ de $\mathbb {R}$ (le temps) dans $\mathbb {R} ^{2}$ (l'espace des états). Une telle fonction peut toujours être définie par deux fonctions $x_{1}$ et $x_{2}$ de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ : $f(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t))$
    On suppose que $x_{1}$ et $x_{2}$ sont toutes les deux partout dérivables.
    Pour définir la loi du mouvement de $S$ on a besoin de deux fonctions $F_{1}$ et $F_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ dans $\mathbb {R}$ qui déterminent $x'_{1}(t)$ et $x'_{2}(t)$ à partir de $x_{1}(t)$ et $x_{2}(t)$
          $x'_{1}(t)=F_{1}(x_{1}(t),x_{2}(t))$
          $x'_{2}(t)=F_{2}(x_{1}(t),x_{2}(t))$
    Ces deux équations forment un système d'équations différentielles ordinaires. Ensemble elles définissent la loi du mouvement de $S$
    Par exemple, si $F_{1}(x_{1},x_{2})=x_{2}$ et $F_{2}(x_{1},x_{2})=1/x_{1}^{2}$ on obtient :
          $x'_{1}(t)=x_{2}(t)$
          $x'_{2}(t)=-\omega ^{2}x_{1}(t)$
    ou plus simplement :
          $x'_{1}=x_{2}$
          $x'_{2}=-\omega ^{2}x_{1}$
    où $\omega ^{2}$ est une constante positive.
    Ce système d'équations différentielles ordinaires est la loi du mouvement d'un oscillateur harmonique.
* Dans le cas général, le mouvement d'un système $S$ est décrit par une fonction de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$ donc par $n$ fonctions $x_{1},x_{2}...x_{n}$ de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$
    $(x_{1}(t),x_{2}(t)...x_{n}(t))$ représente l'état du système à l'instant $t$
    Pour définir la loi du mouvement, on a besoin de $n$ fonctions $F_{1},F_{2}...F_{n}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R}$ et d'un système de $n$ équations différentielles ordinaires :
          $x'_{1}=F_{1}(x_{1},x_{2}...x_{n})$
          $x'_{2}=F_{2}(x_{1},x_{2}...x_{n})$
          $x'_{n}=F_{n}(x_{1},x_{2}...x_{n})$
    Pour simplifier les notations, on note :
    $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2}...x_{n})$
    $\mathbf {x'} =(x'_{1},x'_{2}...x'_{n})$
    $F(\mathbf {x} )=(F_{1}(\mathbf {x} ),F_{2}(\mathbf {x} )...F_{n}(\mathbf {x} ))$
    Le système de $n$ équations différentielles ordinaires peut alors être écrit avec une seule équation :
          $\mathbf {x'} =F(\mathbf {x} )$
    $F$ est une fonction de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$

### Les solutions des systèmes d'équations différentielles ordinaires

Les inconnues d'une équation sont en général des nombres. Les solutions de l'équation sont alors tous les nombres pour lesquels elle est vraie. Les inconnues d'un système de $n$ équations différentielles ordinaires sont des fonctions de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$. Les solutions d'un système de $n$ équations différentielles ordinaires sont toutes les fonction de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$ pour lesquelles les équations différentielles sont vraies.
Les solutions d'un système d'équations différentielles ordinaires sont les trajectoires paramétrées par le temps d'un système dynamique dont il est la loi du mouvement. Ce sont des fonctions $\mathbf {x}$ de $\mathbb {R}$ (le temps) dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ des états.

### La recherche de solutions par intégration

Si on connaît l'état initial $\mathbf {x} (0)$ d'un système $S$ et sa loi du mouvement
$\mathbf {x'} =F(\mathbf {x} )$
on peut calculer approximativement son mouvement en procédant par étapes successives.
On choisit un intervalle de temps $dt$ petit. Petit veut dire ici que la vitesse $\mathbf {x'}$ ne doit pas varier de façon appréciable pendant une si courte durée.
On calcule d'abord $\mathbf {x} (dt)$ à partir de $\mathbf {x} (0)$
$\mathbf {x} (dt)\approx \mathbf {x} (0)+\mathbf {x'} (0)dt=\mathbf {x} (0)+F(\mathbf {x} (0))dt$
De façon générale on calcule $\mathbf {x} ((n+1)dt)$ à partir de $\mathbf {x} (ndt)$
$\mathbf {x} ((n+1)dt)\approx \mathbf {x} (ndt)+\mathbf {x'} (ndt)dt=\mathbf {x} (ndt)+F(\mathbf {x} (ndt))dt$
Si on choisit $dt$ suffisamment petit, la trajectoire peut être ainsi calculée avec une grande précision.
Soit $T>0$ et posons $dt=T/N$ où $N$ est un entier assez grand.
Si quand $N$ tend vers l'infini, donc quand $dt$ tend vers zéro, la somme des $F(\mathbf {x} (t))dt$ pour tous les $t=ndt$ où $n$ est un entier et $0\leq n<N$ telle qu'elle est calculée approximativement ci-dessus, tend vers une limite, on s'attend à ce que cette limite soit l'intégrale entre $0$ et $T$ de $\mathbf {x'} (t)dt=\int _{0}^{T}\mathbf {x'} (t)dt$ où $\mathbf {x}$ est une fonction de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$ telle que $\mathbf {x'} =F(\mathbf {x} )$
Quand on a trouvé une solution $\mathbf {x}$ d'un système d'équations différentielles, on dit qu'on a intégré le système. On a alors :
$\mathbf {x} (T)=\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{T}\mathbf {x'} (t)dt=\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{T}F(\mathbf {x} (t))dt$
Pour trouver les solutions des équations différentielles ordinaires, il n'est en général pas suffisant de connaître des primitives, parce que la fonction $\mathbf {x'}$ n'est pas connue d'avance, on sait seulement qu'elle est telle que $\mathbf {x'} =F(\mathbf {x} )$ mais $\mathbf {x}$ est inconnue.

### Les systèmes de points matériels

La position d'un point matériel dans un espace à d dimensions est repérée par d nombres réels, donc par un élément de $\mathbb {R} ^{d}$ (en général d=1, 2 ou 3). Mais la position ne suffit pas pour déterminer l'état instantané du point. Il faut aussi prendre en compte sa vitesse, donc d nombres réels supplémentaires. Faut-il aussi prendre en compte son accélération pour déterminer son état instantané ? Non, parce que l'accélération n'est pas indépendante de la position et de la vitesse. Dès qu'on connaît les positions et les vitesses de tous les points matériels d'un système, on connaît les forces qu'ils exercent les uns sur les autres et donc leurs accélérations. On en conclut que 2d coordonnées suffisent pour déterminer l'état instantané d'un point matériel dans un espace à d dimensions et que 2nd coordonnées suffisent pour déterminer l'état instantané d'un système de n points matériels dans un espace à d dimensions :
L'espace des états d'un système de n points matériels dans un espace à d dimensions est $\mathbb {R} ^{2nd}$
Soit $\mathbf {x_{i}}$ le vecteur position du $i$-ème point d'un système de $n$ points matériels et $\mathbf {v_{i}}$ son vecteur vitesse. L'état du système est déterminé par les $2n$ vecteurs :
$(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {x_{2}} ,\mathbf {v_{2}} ...\mathbf {x_{n}} ,\mathbf {v_{n}} )$
Sa loi du mouvement est déterminée par les équations différentielles :
$\mathbf {x'_{i}} =\mathbf {v_{i}}$
$\mathbf {v'_{i}} =\mathbf {a_{i}} (\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {v_{1}} ...\mathbf {x_{n}} ,\mathbf {v_{n}} )$
pour tous les $i$ de $1$ à $n$
où $\mathbf {a_{i}}$ est une fonction de $\mathbb {R} ^{2nd}$ dans $\mathbb {R} ^{d}$ qui détermine l'accélération du $i$-ème point matériel.

### Et si la loi du mouvement varie ?

Pour que la loi du mouvement ne varie pas, il faut que le système soit isolé, ou qu'il soit placé dans des conditions extérieures constantes, ou qu'il ne soit pas affecté par les variations extérieures. Si l'environnement varie et s'il influence le système étudié, il n'y a pas de raison que la loi du mouvement soit constante.
Si le système et son environnement interagissent, il faut les considérer comme deux parties d'un système plus complet et étudier leur dynamique commune. Mais si l'environnement agit sur le système étudié sans être affecté par lui en retour, ses variations peuvent être connues d'avance. On est alors conduit à étudier une dynamique dépendante du temps, c'est à dire dépendante des variations prévues de l'environnement. Dans ce cas, la loi du mouvement est définie avec une fonction $F$ de $\mathbb {R} ^{n+1}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$
$\mathbf {x'} =F(\mathbf {x} ,t)$
où $t$ représente le temps.
Une dynamique dépendante du temps peut toujours être redéfinie comme une dynamique indépendante du temps. Il suffit d'agrandir l'espace des états $\mathbb {R} ^{n}$ en ajoutant une nouvelle variable $x_{n+1}$ pour laquelle on impose $x'_{n+1}(t)=1$ quel que soit $t$
La fonction $G$ de $\mathbb {R} ^{n+1}$ dans $\mathbb {R} ^{n+1}$ définie par
$G(x_{1}...x_{n},x_{n+1})=(F(x_{1}...x_{n},x_{n+1}),1)$
représente la même dynamique que $F$ mais elle est indépendante du temps. La nouvelle variable $x_{n+1}$ mesure le passage du temps. Elle sert à incorporer la mesure du temps à l'intérieur du système.

### Déterminisme et lois de causalité

Une loi de causalité, ou loi de cause à effet, est de la forme : si les causes C sont réunies alors les effets D se produiront.
Une loi du mouvement, ou loi dynamique, peut avoir une forme à temps discret : si le système est dans l'état $\mathbf {x} (t)$ à l'instant $t$ alors il sera dans l'état $f(\mathbf {x(t)} )$ à l'instant $t+1$,
ou une forme à temps continu : si le système est dans l'état $\mathbf {x} (t)$ à l'instant $t$ alors sa vitesse $\mathbf {x'} (t)$ à cet instant est $F(\mathbf {x} (t))$
Les lois du mouvement sont un cas particulier des lois de causalité. La cause C est l'état initial $\mathbf {x} (t)$ du système et l'effet D son état ultérieur $\mathbf {x} (t+1)$ ou sa vitesse $\mathbf {x'} (t)$
Les lois de causalité sont des lois déterministes au sens où les effets sont déterminés par les causes, mais la théorie des système dynamiques définit le déterminisme en un sens plus fort : tous les états ultérieurs du système doivent être déterminés par son état présent, et même ses états antérieurs, lorsque sa dynamique est inversible.
Un système dynamique est déterministe au sens fort où sa trajectoire paramétrée par le temps est déterminée par son état présent.
Le déterminisme des systèmes dynamiques permet de justifier le déterminisme des lois de causalité. Pour justifier la loi qui enchaîne les effets D aux causes C, il suffit de prouver que pour toutes les trajectoires paramétrées par le temps pour lesquelles les causes C se produisent, les effets D se produisent également.

### Prédiction dynamique et prédiction causale

Pour faire une prédiction dynamique, il faut connaître avec précision l'état présent du système et sa loi du mouvement. Il suffit alors d'itérer les équations du mouvement, lorsque le temps est discret, ou de les intégrer, lorsque le temps est continu, pour prédire les états ultérieurs du système. Mais en général les systèmes sont trop complexes pour que leurs états présents et leurs lois du mouvement soient connus avec précision.
Pour faire une prédiction causale, il suffit de connaître des causes présentes et des lois de causalité qui permettent d'enchaîner des effets à ces causes. Il n'est pas nécessaire de calculer avec précision tous les états de système, il suffit de raisonner logiquement sur les causes et les effets qui nous intéressent.
La prédiction causale est beaucoup mieux adaptée à notre ignorance des réalités complexes. Elle est d'un usage beaucoup plus souple que la prédiction dynamique. On ne cherche pas à connaître la réalité avec précision ou dans tous ses détails. On se concentre sur un petit nombre de causes et d'effets qui semblent importants.
La prédiction causale est d'usage général, tandis que les applications de la prédiction dynamique sont beaucoup plus limitées. Mais la prédiction dynamique est quand même plus fondamentale, parce qu'elle sert, au moins en principe, à justifier la prédiction causale.

## Compléments mathématiques
### Les flots

Un flot $F$ dans $\mathbb {R} ^{n}$ est une fonction de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$ suffisamment régulière (continue, dérivable...).
On peut le considérer comme un champ de vecteurs : à chaque point $\mathbf {x}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ est attaché le vecteur $F(\mathbf {x} )$
Tous ces vecteurs peuvent être considérés comme les vitesses d'un fluide. Le champ de vecteurs représente ainsi l'écoulement d'un fluide dans $\mathbb {R} ^{n}$ (pour que ce soit un vrai fluide, il faut bien sûr n=3). C'est pourquoi on peut l'appeler un flot.
Un flot $F$ dans $\mathbb {R} ^{n}$ détermine un système dynamique : son espace des états est $\mathbb {R} ^{n}$ et sa loi du mouvement est $\mathbf {x'} =F(\mathbf {x} )$
Les lignes de courant d'un écoulement sont des lignes partout tangentes à la vitesse du fluide à un instant donné. Elles sont aussi les trajectoires des particules de fluide lorsque l'écoulement est stationnaire, c'est à dire lorsque le champ des vitesses ne varie pas :
Une trajectoire d'un système dynamique dans son espace d'états est partout tangente à son vecteur vitesse. Elle est donc une ligne de courant du flot qui représente la dynamique du système.
Une trajectoire paramétrée par le temps d'une particule de fluide entraînée par le flot est également une trajectoire paramétrée par le temps du système dans son espace d'états. On peut la représenter en dessinant une suite de petites flèches sur une ligne de courant, séparées par des intervalles de temps réguliers, comme si le Petit Poucet les avaient tracées derrière lui :
Mais l'une des représentations les plus riches d'enseignements est tout simplement de montrer le mouvement de ce fluide mathématique :

### Les applications linéaires de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{p}$

* Les applications linéaires de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ sont toutes les fonctions de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ définies par $f(x)=px$ où $p\in \mathbb {R}$
    Elles sont représentées dans $\mathbb {R} ^{2}$ par des droites qui passent par l'origine. Toutes les droites qui passent par l'origine représentent une application linéaire, sauf l'axe vertical.
* Les applications linéaires de $\mathbb {R} ^{2}$ dans $\mathbb {R}$ sont toutes les fonctions de $\mathbb {R} ^{2}$ dans $\mathbb {R}$ définies par $f(x_{1},x_{2})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}$ où $a_{1},a_{2}\in \mathbb {R}$
    Elles sont représentées dans $\mathbb {R} ^{3}$ par des plans qui passent par l'origine. Tous les plans qui passent par l'origine représentent une application linéaire, sauf s'ils sont verticaux.
* Les applications linéaires de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R}$ sont toutes les fonctions de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R}$ définies par $f(x_{1},x_{2}...x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}$ où $a_{1},a_{2}...a_{n}\in \mathbb {R}$
* $p$ applications linéaires $f_{i}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R}$ pour $i$ de $1$ à $p$ définissent une application linéaire $f$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{p}$ si on pose $f(\mathbf {x} )=(f_{1}(\mathbf {x} ),f_{2}(\mathbf {x} ),...,f_{p}(\mathbf {x} ))$
    On peut définir $f$ avec la matrice $A$ des coefficients $a_{ij}$ qui déterminent les $f_{i}$
    $f_{i}(x_{1},x_{2}...x_{n})=a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+...+a_{in}x_{n}$
    $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{p1}&a_{p2}&...&a_{pn}\\\end{pmatrix}}$
Les applications linéaires sont étudiées dans le cours d'algèbre linéaire. Elles ont été introduites ici parce que les différentielles d'une fonction de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{p}$ présentées un peu plus loin, sont des applications linéaires de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{p}$

### Les dérivées partielles d'une fonction de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R}$

Pour une fonction $f$ de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ il y a une seule direction de variation pour la variable qui permet de mesurer la différence entre $f(x+dx)$ et $f(x)$. En chaque point $x\in \mathbb {R}$ il y a donc un seul nombre dérivé $f'(x)=\lim _{dx\to 0}{\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}$
Pour une fonction $f$ de $\mathbb {R} ^{2}$ dans $\mathbb {R}$, il y a deux directions de variations, une pour chaque variable. On peut calculer :
$f(x+dx,y)-f(x,y)$
et
$f(x,y+dy)-f(x,y)$
On peut donc calculer deux nombres dérivés, que l'on note ${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)$ (lire "dé rond f sur dé rond x en x y") et ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)$
${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=\lim _{dx\to 0}{\frac {f(x+dx,y)-f(x,y)}{dx}}$
${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=\lim _{dy\to 0}{\frac {f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}}$
On les appelle les dérivées partielles de $f$ au point $(x,y)$
Pour une fonction $f$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R}$ on peut calculer $n$ nombres dérivés, donc autant de dérivées partielles :
${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1}...x_{n})=\lim _{dx_{i}\to 0}{\frac {f(x_{1}...x_{i}+dx_{i}...x_{n})-f(x_{1}...x_{i}...x_{n})}{dx_{i}}}$
pour $i$ de $1$ à $n$

### Les différentielles d'une fonction de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{p}$

* La différentielle $df$ d'une fonction $f$ de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ au point $x$ est l'application linéaire de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ qui s'approche le plus de la variation de $f$ au voisinage de $x$
    Pour tout $dx\in \mathbb {R} ,df(dx)=f'(x)dx$
    Lorsque $dx$ est assez petit $df(dx)\approx f(x+dx)-f(x)$
    Pour ne pas alourdir la notation, on ne précise pas que $df$ dépend du point $x$ où on dérive $f$
    La tangente à la courbe qui représente $f$ au point d'abscisse $x_{0}$ est représentée par la fonction qui à $x$ associe $f(x_{0})+df(x-x_{0})$
* La différentielle $df$ d'une fonction $f$ de $\mathbb {R} ^{2}$ dans $\mathbb {R}$ au point $(x,y)$ est l'application linéaire de $\mathbb {R} ^{2}$ dans $\mathbb {R}$ qui s'approche le plus de la variation de $f$ au voisinage de $(x,y)$
    Pour tous les $dx,dy\in \mathbb {R} ,df(dx,dy)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dy$
    Comme $df$ dépend implicitement du point $(x,y)$ où on dérive on note plus simplement :
    $df(dx,dy)={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy$
    ou même :
    $df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy$
    Lorsque $dx$ et $dy$ sont assez petits $df(dx,dy)\approx f(x+dx,y+dy)-f(x,y)$
    Le plan tangent à la surface qui représente $f$ au point à la verticale de $(x_{0},y_{0})$ est représenté par la fonction qui à $(x,y)$ associe $f(x_{0},y_{0})+df(x-x_{0},y-y_{0})$
* La différentielle $df$ d'une fonction $f$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R}$ au point $(x_{1}...x_{n})$ est l'application linéaire de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R}$ qui s'approche le plus de la variation de $f$ au voisinage de $(x_{1}...x_{n})$
    Pour tous les $dx_{1}...dx_{n}\in \mathbb {R} ,df(dx_{1},...,dx_{n})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}dx_{2}+...+{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}$
    Lorsque les $dx_{i}$ sont assez petits $df(dx_{1},...,dx_{n})\approx f(x1+dx1,x_{2}+dx_{2},...,x_{n}+dx_{n})-f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$
* La différentielle $df$ d'une fonction $f$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{p}$ au point $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ est l'application linéaire de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{p}$ qui s'approche le plus de la variation de $f$ au voisinage de $\mathbf {x}$
    Soit $f$ une fonction de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{p}$ définie par $f(\mathbf {x} )=(f_{1}(\mathbf {x} ),f_{2}(\mathbf {x} ),...,f_{p}(\mathbf {x} ))$ où les $f_{i}$ sont $p$ fonctions de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R}$
    Alors
    $df(\mathbf {dx} )=(df_{1}(\mathbf {dx} ),df_{2}(\mathbf {dx} ),...,df_{p}(\mathbf {dx} ))$

### L'existence et l'unicité d'une solution d'un système d'équations différentielles ordinaires
## Les mouvements au voisinage d'un équilibre
### Un flot est presque linéaire au voisinage d'un équilibre

Soit $F$ le flot dans $\mathbb {R} ^{n}$ d'un système dynamique $S$
Les points d'équilibre de $S$ sont les points de $\mathbb {R} ^{n}$ où il est immobile $\mathbf {x'} =0$
Comme $\mathbf {x'} =F(\mathbf {x} )$ les points d'équilibre de $S$ sont les points $\mathbf {x}$ où son flot s'annule :
$F(\mathbf {x} )=0$
Au voisinage d'un point d'équilibre $\mathbf {x} _{0}$, le flot $F$ est peu différent de sa différentielle $dF$ en ce point :
$F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {dx} )\approx F(\mathbf {x} _{0})+dF(\mathbf {dx} )=dF(\mathbf {dx} )$
si $\mathbf {dx} \in \mathbb {R} ^{n}$ est assez petit.
La différentielle de $F$ en $\mathbf {x} _{0}$ est une fonction de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$, elle est donc aussi un flot. Mais c'est un flot en général plus facile à étudier que $F$ parce qu'il est défini par une application linéaire de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{n}$
Pour étudier les mouvements au voisinage d'un point d'équilibre on a intérêt à étudier le flot linéaire défini par la différentielle du flot initial en ce point, parce que cette différentielle est une bonne approximation du flot que l'on veut étudier.

### Les équilibres dans un espace d'états à une dimension

Soit un système $S$ dont l'espace des états est $\mathbb {R}$ et $F$ son flot, c'est à dire une fonction de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$
Les points d'équilibre de $S$ sont les points $x$ tels que $F(x)=0$
Soit $dF$ la différentielle de $F$ en un point d'équilibre $x_{0}$
$dF(dx)=F'(x_{0})dx$
Soit $x$ une fonction de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ qui représente une trajectoire paramétrée par le temps, donc $x'(t)=F(x(t))$ quel que soit $t$
Si on pose $\Delta x(t)=x(t)-x_{0}$ on a
$(\Delta x)'(t)=x'(t)=F(x(t))=F(x_{0}+\Delta x(t))\approx F(x_{0})+dF(\Delta x(t))=F'(x_{0})\Delta x(t)$
quand $\Delta x(t)$ n'est pas trop grand.
On est donc conduit à l'équation différentielle $\Delta x'=F'(x_{0})\Delta x$
Sa solution générale est $\Delta x(t)=\Delta x(0)e^{F'(x_{0})t}$
C'est une croissance exponentielle quand $F'(x_{0})>0$ et une décroissance exponentielle quand $F'(x_{0})<0$
Si $F'(x_{0})>0$ un écart $\Delta x$ à l'équilibre varie en grandissant, le point $x_{0}$ est donc un équilibre instable.
Si $F'(x_{0})<0$ un écart $\Delta x$ à l'équilibre varie en diminuant, le point $x_{0}$ est donc un équilibre stable.
Si $F'(x_{0})=0$ on ne peut pas conclure. Il faut étudier $F$ plus précisément. La différentielle $dF=0$ ne suffit pas pour caractériser le point d'équilibre.
Voici deux trajectoires paramétrées autour d'un point d'équilibre stable :
Et deux trajectoires paramétrées autour d'un point d'équilibre instable :

### Les oscillations harmoniques

Soit $F$ le flot dans $\mathbb {R} ^{2}$ défini par $F(x,v)=(v,-\omega ^{2}x)$ où $\omega ^{2}$ est une constante positive.
$F$ définit le système d'équations différentielles $(x',v')=F(x,v)$
$x'=v$
$v'=-\omega ^{2}x$
$F$ est un flot linéaire et son unique point d'équilibre est $(0,0)$
Ce flot peut être représenté par un champ de vecteurs :
La solution générale du système d'équations différentielles défini par $F$ est
$x(t)={\frac {v(0)}{\omega }}\sin(\omega t)+x(0)\cos(\omega t)$
$v(t)=v(0)\cos(\omega t)-\omega x(0)\sin(\omega t)$
On peut représenter ces solutions par des trajectoires paramétrées :
ou par un fluide en mouvement :