# Jeu de rôle sur table — Jouer, créer/Probabilités des dés en jeu de rôle

Nous avons vu précédemment quand et comment le hasard intervient dans une partie de jeu de rôle (lire Le hasard dans les jeux de rôle).
Le hasard étant dans l'idéal utilisé à des moments critiques de la partie, son usage doit être abondamment testé. Mais une bonne compréhension de la notion de probabilité et l'utilisation de quelques outils permet d'orienter les choix au moment de la conception. Je me permet de remettre deux citations :
   « les êtres humains dévient quasi-systématiquement de la rationalité lorsqu’ils font face à des dilemmes décisionnels impliquant des probabilités. »
— Romain Ligneul, The house always wins
   « Pour clore le sujet, n’oubliez pas que les dés sont vos instruments. Apprenez à les utiliser correctement et ils vous aideront énormément. »
— Gary Gygax, Guide du maître.

## Bon, qu'est-ce qu'on veut ?

Vous être en train d'écrire des règles ou bien vous envisagez de modifier des règles existantes. Vous savez déjà :
* ce que vous voulez reproduire autour de la table : immersion, ambiance, suspense, surprise, rebondissement narratif…
* à quel moment intervient le choix ;
* quelle est la complexité de la procédure.
Vous vous posez la question : de quelle manière vais-je générer le hasard ? Jets de dés ? Sous une caractéristique, pour dépasser un seuil, roll & keep..? Tirage de cartes ? De jetons ?
Vous voulez évaluer plusieurs solutions pour guider votre choix.

### Question préliminaire

    La première question est :
       Quelle doit être la fréquence de tel résultat (réussite, échec, avec ou sans complication, avec ou sans éclat) ?
    Le mieux est de l'exprimer sous la forme d'un adjectif : exceptionnel, rare, occasionnel, fréquent.
    Ensuite, il faut associer des résultats de tirage à chaque adjectif.
L'objectif de ce chapitre est de vous aider à mettre en correspondance un adjectif et des résultats de tirage, par l'intermédiaire de nombres appelés « probabilités ».
Pour cela, nous utiliserons du simple comptage, quelques représentations (tableau, graphiques) et l'utilisation que quelques logiciels : tableur (Libreoffice Calc mais ça marche aussi avec Microsoft Office Excel) et simulateur AnyDice de Jasper Flick. On pourra aussi regarder le site Dice.run et Troll.

## Quelques fumbles

Pour mettre en évidence l'importance du sujet, citons quelques erreurs de conception, quelques « maladresses » (fumbles) :
* les livres-jeux de la série « Défis fantastiques » (Gallimard jeunesse) : lors d'un combat, une différence de deux points d'Habileté entre les combattants condamne le plus faible, or la création des personnages est en général aléatoire et le héros a autant de chances d'avoir 7 que 12 en Habileté ; il est donc impossible d'équilibrer les livres en conservant ses règles de création aléatoires ;
* dans RuneQuest IV (Mongoose 2006) : lorsqu'un personnage ayant 100 % s'oppose à un personnage ayant 20 %, il gagne dans 93 % des cas ; lorsqu'un personnage ayant 101 % s'oppose à un personnage ayant 20 %, il gagne dans 62 % des cas ;
* à Donjons & Dragons 5 (Wizards of the Coast 2014), la règle d'avantage/désavantage (lancer deux d20 et conserver soit le plus élevé, soit le plus faible) équivaut à un bonus/malus de ±5 alors que les autres cas prévoient un modificateur de ±3 au maximum ;
* à Wuxia (Studio Mammouth 2005), la probabilité d'avoir une maladresse (échec critique) augmente avec la valeur de l'attribut : plus un personnage a de chances de réussir une action, plus il a de risque de faire une maladresse.

## Quelques notions de base
### Qu'est-ce qu'une probabilité ?

Un événement aléatoire est un événement dont on ne peut pas prédire exactement le résultat. L'exemple le plus simple est le pile ou face : je sais que le résultat ne peut être que pile ou que face, mais si la pièce est équilibrée, je ne peux pas prédire avec certitude le résultat d'un tirage.
Si j'effectue une tirage, j'ai un résultat (pile ou face). Si j'effectue deux tirages, j'ai deux résultats qui peuvent être identiques (pile-pile ou bien face-face) ou qui peuvent être différents (pile puis face, ou bien face puis pile).
Si j'effectue dix tirages, je m'attend à avoir un assortiment de pile et de face mais pas dix pile ni dix face — une telle situation est possible mais est peu probable.
Si j'effectue cent tirages, alors j'aurai à peu près autant de pile que de face. Pas exactement autant mais à peu près.
* Définition
* La probabilité d'un résultat est la proportion idéale d'un résultat lorsque l'on fait un grand nombre de tirages.
C'est une proportion donc en mathématique, elle peut s'exprimer sous la forme d'une fraction. Pour pile ou face, on a « une chance sur deux » d'avoir pile et « une chance sur deux » d'avoir face. La probabilité d'avoir pile est donc p = ½, que l'on peut aussi écrire p = 0,5 (puisque 1 ÷ 2 = 0,5). De même pour face. Comme les probabilités de pile et de face sont identiques, on dit que les événements sont équiprobables.
La probabilité s'exprime souvent pour cent tirages : « pour cent », « pourcent », %. Le pourcentage consiste simplement à multiplier la probabilité par 100 :
    p = ½ = 0,5 = 50 %.
Donc si je fais un seul tirage, je ne sais pas ce que je vais obtenir, je sais juste que j'ai autant de chances d'obtenir un pile qu'un face. Mais si je fais 100 ou 1 000 tirages, je sais que je vais avoir à peu près respectivement 50 et 500 pile. C'est la fameuse loi des grands nombres : les proportions de résultats observés s'approchent des proportions idéales (des probabilités) lorsque l'on a un grand nombre d'événements (de tirages).
Dans le contexte présent, le terme « fréquence » est un synonyme de « probabilité ».

### Probabilités et statistiques

En mathématiques, les probabilités sont la partie théorique de l'étude du hasard ; les statistiques sont l'étude pratique des événements. Par exemple, je veux savoir si ma pièce est équilibrée ou faussée :
* si je fais un seul tirage, je ne peux rien dire ;
* si je fais deux tirages, pas plus : il est aussi fréquent d'avoir deux fois le même résultat que d'avoir deux résultats différents ;
* si je fais dix tirages et que j'ai 7 pile et 3 face, je ne peux toujours rien dire ; en revanche, si j'ai 10 pile, je vais commencer à douter ;
* combien faut-il de tirages pour pouvoir déterminer si ma pièce est équilibrée ou faussée ? C'est à ce type de questions que répondent les statistiques.
Les statistiques sont également utilisée pour les sondages d'opinion et pour déterminer l'erreur faite sur une mesure en général.
Donc, cela ne nous concerne pas. Nous considérerons toujours que nos dés sont idéaux et pas pipés. Mais c'était l'occasion de faire un point de vocabulaire, ce qui est toujours utile si vous désirez faire des recherche sur Internet.

### Dénombrement

Pour déterminer les proportions idéales, les probabilités, il suffit, dans notre cas, de compter les situations possibles. Si les pièces et les dés sont équilibrés, si les jetons et les cartes sont indiscernables et bien mélangés, chaque situation a les mêmes chances de survenir que les autres.
Donc, pour nous, les probabilités se résument à du comptage, à du dénombrement.

#### Moyenne, écart type, médiane et quartiles

Dans le cas de valeurs aléatoires, on indique fréquemment la moyenne et l'écart type. Tenez-vous le pour dit : ce n'est pas pertinent ici.
En effet, la moyenne est très populaire en France car on s'en sert pour les bulletins de notes à l'école mais c'est un médiocre outil en statistiques. Concrètement, elle correspond à deux types de situation :
* « situation d'équilibre » (barycentre) : ce type de situation ne nous concerne pas ;
* « lissage » : on recherche un phénomène constant ayant le même effet que notre phénomène variable, par exemple pour mon éclairage de vélo, je cherche le courant continu (la pile) qui, en alimentant l'ampoule,donne le même éclairage que le courant alternatif (la dynamo) ; cela nous intéresse lorsque l'on considère une succession de tests (donc une succession de résultats variables), c'est le seul cas pour nous où la notion de moyenne est pertinente.
L'écart type indique si les valeurs sont très dispersées ou bien si au contraire elles sont « ramassées » autour d'une valeur « centrale ». Cette indication est utile mais le calcul de l'écart type est relativement compliqué pour ce que l'on a à faire (et il n'est vraiment pertinent que pour un type de loi dite « loi normale » ou « gaussienne »).
Nous nous référerons quant à nous à la notion de quartile. Il s'agit simplement de couper la liste des événements possibles en quatre part égales. La frontière centrale est appelée la médiane et sa valeur est souvent égale à la moyenne. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer les quartiles mais cela importe peu, les différences ne sont pas significatives pour ce que nous avons à faire.
Considérons le jet de 2d6. Les différents jets possibles sont :
| Dé 1 | Dé 2 | Somme |
| 1 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 4 |
| 1 | 6 | 5 |
| 1 | 5 | 6 |
| 1 | 6 | 7 |
| 2 | 1 | 3 |
| 6 | 5 | 11 |
| 6 | 6 | 12 |
La liste des résultats possibles est donc :
    2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12.
Si nous classons la liste par ordre croissant, nous avons :
    2 - 3 - 3 - 4 - 4 - 4 - 5 - 5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 8 - 8 - 8 - 9 - 9 - 9 - 9 - 10 - 10 - 10 - 11 - 11 - 12.
Nous avons 36 résultats que nous découpons en 4 groupes de 9, les séparations sont marquées par une barre verticale épaisse « ❙ » :
    2 - 3 - 3 - 4 - 4 - 4 - 5 - 5 - 5 ❙ 5 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 7 - 7 - 7 ❙ 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 8 - 8 - 8 - 9 ❙ 9 - 9 - 9 - 10 - 10 - 10 - 11 - 11 - 12.
Les quartiles sont donc :
* extrémité basse : 2 ;
* premier quartile : 5 ;
* deuxième quartile, médiane : 7 ;
* troisième quartile : 9 ;
* extrémité haute : 12.
Mais n'oublions pas un indicateur simple et utile : la plage de valeurs, c'est-à-dire la valeur la plus basse et la valeur la plus haute. C'était d'ailleurs de cette manière qu'étaient notés les dés dans AD&D 1 : « 1–8 » indiquait 1d8 et « 2–8 » indiquait 2d4 (mais cette notation est trompeuse car on pourrait croire que la seule différence est la suppression de la valeur 1).

## Considérations de conception (game design) et de mise en œuvre (game play)

Maintenant que nous avons effleuré la notion de probabilité, vous, meneur de jeu et créateur, devez considérer la place du hasard dans votre manière de jouer — ce qui était donc l'objet du chapitre précédent Le hasard dans les jeux de rôle — et bien considérer les éléments suivants : à partir du moment où l'on décide de s'en remettre au dés, alors
* les règles façonnent le monde fictionnel, la diégèse : la probabilité des jets définit ce qui est rare ou fréquent dans votre monde ;
* les règles façonnent la fiction : la probabilité des jets définit si la fiction s'oriente plus souvent dans un sens ou dans un autre ;
* les règles sont l'essence du jeu (c'est le sens du mot game dans roleplaying game) : la probabilité des jets influe sur le caractère ludique.
Donc à la question préalablement posée :
    Qu'est-ce qui est exceptionnel, rare, occasionnel, fréquent ?
répond la question :
    Quelle probabilité associer aux adjectifs « exceptionnel », « rare », « occasionnel » et « fréquent » ?
Cela fait écho à une autre question :
    Quelle est la probabilité pour qu'un personnage « moyen » réussisse une action de difficulté « moyenne » ?
    (Sur ce point, voir Le hasard dans les jeux de rôle → Estimer ses chances.)
Nous proposons de prendre quelques exemple réel pour appréhender le sujet :
Probabilités dans le monde réel :
| Situation | Probabilité | Probabilité |
| Situation | de réussite | d'échec |
| Survivre à une roulette russe | 83 % (5/6) | 17 % (1/6) |
| Survivre à une roulette russe avec deux balles | 67 % (4/6) | 33 % (2/6) |
| Avoir un jour de pluie à Brest | 58 % (210/365) | 43 % (155/365) |
| Pile ou face | 50 % (1/2) | 50 % (1/2) |
| Avoir un beau soleil en été en France métropolitaine | 28 % (29/92) | 72 % (63/92) |
| Avoir un jour de pluie au Cap Corse | 18 % (67/365) | 82 % (75/90) |
| Avoir un beau soleil en hiver en France métropolitaine | 17 % (15/90) | 83 % (75/90) |
| Traverser un champ d'astéroïdes avec un cargo corellien YT-1300 | 0,03 % (1/3 720) | 99,97 % |
| Six bons numéros au Loto (rang 1) | 0,000005 % (1/19 000 000) | 99,999995 % |
| Mourir d'un accident de voiture lors d'un trajet de 100 km dans l'UE | 0,0000008 % (0,8/1 000 000) | 99,9999992 % |
Notez que les termes « réussite » et « échec » ne désignent pas un événement positif ou négatif mais les probabilités de survenue ou non de l'événement.
La fréquence de survenue des événements dépend aussi de la fréquence des jets. Par exemple, si une partie comprend quatre combats, que chaque combat nécessite environ 10 jets par personne et qu'il y a quatre PJ, il y aura donc 160 jets de combat par partie. S'il y a 1 % de risque de faire une maladresse (fumble), cela signifie qu'il y aura environ 1 à 2 maladresse en combat par partie. Si l'unique magicien jette 10 sorts par partie, il y aura une maladresse magique toutes les 10 parties environ.
Si maintenant la maladresse survient avec un 1 sur 1d20 (5 %), cela signifie environ 8 maladresses en combat par partie et une maladresse magique toutes les 2 parties.
Vous pouvez formaliser vos réflexions en remplissant le tableau suivant : « si j'estime qu'un événement rare intervient une fois toutes les trois parties (m = 1/3 = 0,33) et que l'on fait dix jets de dés par parties (n = 10), alors la probabilité de l'événement est m/n = 0,33/10 = 0,033 = 3,3 % ». « Si j'estime qu'un événement occasionnel arrive une fois par parties (m = 1) et que l'on fait 5 jets par partie (n = 5), alors la probabilité de l'événement est m/n = 1/5 = 0,2 = 20 % ».
Probabilité associée aux adjectifs :
| Qualificatif | Nombre de fois par partie (m) | Nombre de jets par partie (n) | Probabilité | Probabilité |
| Qualificatif | Nombre de fois par partie (m) | Nombre de jets par partie (n) | Fraction (m/n) | Pourcentage (%) |
| exceptionnel | | | | |
| rare | | | | |
| occasionnel | | | | |
| fréquent | | | | |
| Rappel : P (%) = 100 × m/n |||||
Le « nombre de jets n » dépend du type de test : jet d'attaque, jet de perception, jet de diplomatie… Il faut ensuite regarder comment on obtient les pourcentage déterminés avec la procédure de résolution choisie (type de dés, combien j'en jette, comment je lis les résultats).
Ce qui suit va vous permettre ensuite de voir si les méthodes de génération de hasard choisies correspondent aux valeurs de ce tableau.

## Courbe plate ou courbe en cloche ?

Si l'on ne jette qu'un seul dé, chaque valeur a autant de chances que les autres d'apparaître. Si l'on trace la fréquence de sorties de chaque valeur (la « fonction de masse »), on a une courbe plate. C'est le cas du dé à vingt faces (d20), courbe bleue dans la figure du haut ci-contre, chaque valeur a 100/20 = 5 % de chances de sortir.
Si l'on jette 3d6 (pour obtenir des valeurs entre 3 et 18), courbe rouge dans la figure du haut, on voit que les valeurs centrales 10 et 11 ont plus de chances de sortir que les valeurs extrêmes 3 et 18. Les valeurs 3 et 18 ne sont obtenues qu'avec une seule combinaison de dés, respectivement (1, 1, 1) et (6, 6, 6), sur 6$^3$ = 216 combinaisons soit une fréquence de 100 × 1/216 = 0,5 % ; la valeur 10 peut s'obtenir par 27 combinaisons : (1, 3, 6), (1, 6, 3), (2, 2, 6), (2, 3, 5), … soit 100 × 27 / 216 = 12,5 %. La fréquence de sortie des valeurs a une forme « en cloche ». Nous avons déjà évoqué ceci dans le chapitre précédent Le hasard dans les jeux de rôle > Linéarité des chances.
Cette considération a une certaine importance dans l'histoire du jeu de rôle. En effet, jusque dans les années 1960, on ne connaissait que les dés à six faces. Un dé ne permet de générer que six valeurs. Ainsi, une table d'événements aléatoires ne peut contenir que six entrées et une échelle de chances de réussite ne peut avoir que sept échelons espacés d'environ 17 % (100/6) :
* aucune chance de réussite, 0 % ;
* faire 1 avec le dé : 100/6 ≃ 17 % de chances ;
* faire 1 ou 2 avec le dé : 100 × 2 / 6 ≃ 33 % de chances ;
* faire 1 à 3 : 50 % ;
* faire 1 à 4 : environ 67 % ;
* faire 1 à 5 : env. 83 % ;
* faire 1 à 6 : 100 %.
Les joueurs de jeux de guerre (wargames) voulaient pouvoir générer plus d'événements et avoir plus de niveaux de puissance pour comparer les unités de leurs armées. En ajoutant plusieurs dés, on obtient surtout des valeurs moyennes et le résultat est donc plus prédictible ; les résultats extrêmes sont peu probables, la procédure génère donc peu de surprise, de chaos. C'est ainsi que les joueurs commencèrent à introduire les dés à 20 faces, et en particulier un des co-créateurs du premier jeu de rôle, Donjons & Dragons, Gary Gygax, en 1974. Gary Gygax fait d'ailleurs figurer cette histoire de formes de courbes dans le Guide du maître de Donjons & Dragons en 1979.
Cependant, si l'on regarde bien la manière dont les dés sont utilisés réellement en jeux de rôle, la différence entre les deux manières de faire, 1d20 ou 3d6, ne réside pas à proprement parler dans le fait que les valeurs extrêmes sortent avec autant de chances ou bien plus rarement que les valeurs médianes. En effet, la plupart du temps, on considère un jet sous une valeur (faire une valeur ou moins) ou bien un jet au dessus d'un seuil (faire une valeur ou plus). Il ne faut donc pas considérer les fréquences d'apparition des valeurs, les courbes du haut, mais les fréquences cumulées, les courbes du bas dans la figure ci-dessus. La courbe pour 1d20 est une droite et la courbe pour 3d6 forme un « S » (courbe sigmoïde) mais la différence entre les deux courbes n'est pas si grande que cela. Les courbes se rejoignent au début (0 % de réussite) et à la fin (100 % de réussite) ainsi qu'au milieu (50 % de réussite).
La différence entre les deux situations tient plus dans le fait que :
* avec 1d20, les probabilités montent régulièrement, chaque fois que l'on monte de 1, on gagne 5 % ;
* avec 3d6, lorsque l'on passe de 1 à 2 on gagne 1,4 %, pour passer de 10 à 11 on gagne 12,5 %.
Avec une courbe en S (3d6), il est donc plus difficile de prédire ses chances de réussite, de savoir s'il est intéressant de gagner un bonus de + 1 ou si un malus de –1 est vraiment pénalisant. En revanche, avec une courbe en S, il est facile de réserver des résultats rares ; par exemple si l'on dit que « 3 est une réussite critique », alors cette réussite critique n'arrivera qu'une fois tous les 216 jets en moyenne. Avec une courbe droite, 1d20, les valeurs extrêmes ont 5 % de chances de survenir, si l'on dit que « 1 est une réussite critique » alors la réussite critique arrivera assez fréquemment, une fois tous les 20 jets en moyenne ; il faut donc prévoir une règle complémentaire si l'on veut que l'événement soit plus rare, par exemple « obtenir un avec 1d20 et réussir un jet de confirmation » (donc faire deux jets).
Pour le reste, si l'on veut qu'un événement ait une probabilité de 30 % environ, on considérera un résultat de 1 à 6 sur 1d20 (que l'on note couramment « 1-6 » ou bien « 6– » pour « 6 ou moins ») et un résultat de 3 à 8 (3-8, 8–) avec 3d6. Si l'on veut une probabilité de 50 %, on aura dans les deux cas 10– (1-10 sur 1d20 et 3-10 sur 3d6) et pour une probabilité de 70 %, on prendra 1-14 (14–) sur 1d20 et 3-12 (12–) sur 3d6. Ces trois situations (les 30e, 50e et 70e centiles) sont représentés par les lignes pontillées sur la figure ci-dessus.
À bien y regarder, la courbe de répartition en S pour 3d6 peut être décomposée en trois parties :
* entre les valeurs 3 et 6 (environ 10 % des situations), une partie droite ;
* entre les valeurs 3 et 14 (environ 80 % des situations), une autre partie droite ;
* entre les valeurs 14 et 18 (environ 10 % des situations), une dernière partie droite ;
la courbe en S est donc très proche d'une courbe en Z. Nous voyons que la partie centrale, qui correspond à 8 jets sur 10, est très proche de la courbe de 1d10 + 5. Donc dans 8 jets sur 10 (plage de valeurs 6-14), on pourrait remplacer le jet de 3d6 par un jet de 1d10 + 5, donc une probabilité linéaire. La courbe en cloche est donc la plupart du temps identique à une courbe plate, avec une progression d'environ 10 % de chances pour chaque incrément de 1. Dans les parties extrêmes, moins de 6 et plus de 14 (plages 3-6 et 14-18), la progression est d'environ 2,5 % pour chaque +1.
Cette vision simplifiée permet de mieux appréhender ses chances de réussite. Cependant, il faudrait faire cette analyse pour chaque situation où l'on ajoute plusieurs dés : 2d6, 2d10…
Donc outre ces deux différences mentionnées ci-dessus, à savoir :
* la difficulté de prévoir comment évoluent les chances de réussite avec 3d6 et
* la nécessité d'avoir une règle supplémentaire pour que les résultats critiques soient rares avec 1d20,
les deux autres différences importantes sont :
* on trouve plus facilement des d6 que des d20 ;
* 3d6 impose de devoir faire des additions.
Les différences sont donc notables mais ne résident pas là où se l'imaginent la plupart des joueurs et joueuses.

## Les jets de dés
### Jet d'un dé unique
#### Histogramme vertical

Chaque événement est l'obtention d'une face. On peut donc représenter la valeur « une occurrence » par la face du dé.
Lorsque l'on s'intéresse à l'obtention d'une valeur, il suffit de représenter le dé au dessus du nombre correspondant.
Lorsque l'on veut obtenir « une valeur ou moins », on empile les dés correspondant à ce critère. Par exemple, pour le critère « 3 ou moins », on empile les dés montrant les faces « 1 », « 2 » et « 3 ».
On peut directement transformer ce dessin en diagramme barres, encore appelé « histogramme ».
Nous constatons que les tests « faire moins que » (règle du type « jet sous une caractéristique », par exemple Basic Role-Playing, RuneQuest, L'Appel de Cthulhu…) et les tests « faire plus que » (règle du type « dépasser une seuil », par exemple d20 System, D&D 3.X, Pathfinder…) sont symétriques : on obtient l'une en retournant l'autre. Pour simplifier, nous n'étudierons par la suite que la première situation, « faire moins que ».
Donc, l'histogramme du haut (« 1d4 = i ») se lit de la manière suivante (lecture des barres de gauche à droite) : « j'ai 25 % d'obtenir un “1” avec 1d4 », « j'ai 25 % d'obtenir un “2” avec 1d4 », « j'ai 25 % d'obtenir un “3” avec 1d4 » et « j'ai 25 % d'obtenir un “4” avec 1d4 ». La probabilité est uniforme, « plate ».
Le second histogramme (« 1d4 ≤ i ») se lit (de gauche à droite) : « j'ai 25 % d'obtenir un “1” ou moins avec 1d4 », « j'ai 50 % d'obtenir un “2” ou moins avec 1d4 », « j'ai 75 % d'obtenir un “3” ou moins avec 1d4 », « j'ai 100 % d'obtenir un “4” ou moins avec 1d4 ».
Une inégalité stricte — « 1d4 < i » — équivaut à tout décaler d'une barre : « obtenir strictement moins que “2” avec 1d4 » équivaut à « obtenir un “1” ou moins avec 1d4 ».

#### Valeurs caractéristiques de la distribution

Les extrema sont évidemment « 1 » et « 4 ».
Si on coupe la liste des événements possibles en deux parts égales :
    « 1 », « 2 » ❙ « 3 », « 4 »
on voit que la médiane, représentée par le trait vertical « ❙ », est située entre « 2 » et « 3 ». On prend par convention la valeur « 2,5 ».
Si l'on sépare la liste en quatre parts égales, on a :
    « 1 » ❙ « 2 » ❙ « 3 » ❙ « 4 »
Les quartiles, représentés par « ❙ », valent donc « 1,5 », « 2,5 » (médiane) et « 3,5 ».
On peut représenter ceci par une « boîte à moustaches ».

#### Tableau

La colonne « Événements » désigne la face sur laquelle tombe le dé, la colonne « Résultat » indique ce qui est attendu. Dans le cas d'un dé unique, le résultat 2 s'obtient avec l'événement « 2 » (la face « 2 » du dé) ; mais si l'on veut avoir pour résultat 2 ou moins, cela s'obtient pour deux événements : « 1 » ou « 2 ».
Probabilités d'avoir un résultat pour 1d4 :
| Résultat | Événements | Nombre d'occurrences | Probabilité | Probabilité | Probabilité |
| Résultat | Événements | Nombre d'occurrences | fraction | pour 1 | pour 100 |
| 1 | « 1 » | 1 | 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 2 | « 2 » | 1 | 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 3 | « 3 » | 1 | 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 4 | « 4 » | 1 | 1/4 | 0,25 | 25 % |
Probabilités de faire une valeur ou moins pour 1d4 :
| Résultat | Événements | Nombre d'occurrences | Probabilité | Probabilité | Probabilité |
| Résultat | Événements | Nombre d'occurrences | fraction | pour 1 | pour 100 |
| 1 | « 1 » | 1 | 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 2 | « 1 » ou « 2 » | 2 | 2/4 | 0,5 | 50 % |
| 3 | « 1 » ou « 2 » ou « 3 » | 3 | 3/4 | 0,75 | 75 % |
| 4 | « 1 » ou « 2 » ou « 3 » ou « 4 » | 4 | 4/4 | 1 | 100 % |
Probabilités de faire une valeur ou plus pour 1d4 :
| Résultat | Événements | Nombre d'occurrences | Probabilité | Probabilité | Probabilité |
| Résultat | Événements | Nombre d'occurrences | fraction | pour 1 | pour 100 |
| 1 | « 1 » ou « 2 » ou « 3 » ou « 4 » | 4 | 4/4 | 1 | 100 % |
| 2 | « 2 » ou « 3 » ou « 4 » | 3 | 3/4 | 0,75 | 75 % |
| 3 | « 3 » ou « 4 » | 2 | 2/4 | 0,5 | 50 % |
| 4 | « 4 » | 1 | 1/4 | 0,25 | 25 % |

#### Histogramme horizontal

La colonne « Événements » prend une forme qui peut directement se transposer histogramme — en graphique à barres :

##### Avoir un résultat donné

    1
    2
    3
    4

##### Avoir une valeur ou moins

    1
    2
    3
    4

##### Avoir une valeur ou plus

    1
    2
    3
    4

#### Arbre

La dernière manière de représenter un jet consiste à faire un graphe de type « arbre ». Chaque événement possible (chaque face) est une branche partant de la « racine » (le point situé en haut du graphe).
La ligne « résultat : “1d4 = i” » se lit de la manière suivante : « si l'événement est “1”, alors le résultat est “1” » — c'est-à-dire « on lit la face du dé ».
La ligne « résultat : “1d4 ≤ i” » se lit de la manière suivante : « si l'événement est “1”, alors le résultat est positif pour les limites “1”, “2”, “3” et “4” » — c'est-à-dire « si on obtient un “1” avec le dé, on réussit le jet pour les caractéristiques valant “1”, “2”, “3” et “4” ».
Ce type de représentation prend son intérêt lorsque l'on fait plusieurs tests l'un après l'autre.

### Somme de deux dés identiques

Nous considérons maintenant 2d4.

#### Histogrammes

La probabilité d'obtenir une valeur ont une forme triangulaire. Il est donc plus probable d'avoir une valeur moyenne — « 5 » — que d'avoir des valeurs extrêmes — « 2 », « 8 ».
La probabilité de faire une valeur ou moins a une forme de S, appelée « sigmoïde ». Ainsi, lorsque l'on passe de « 2 » à « 3 », la probabilité change peu (+6 % environ) ; en revanche, lorsque l'on passe de « 4 » à « 5 », la probabilité varie de manière importante (+ 25 %).

#### Arbre de probabilités

Notre arbre a maintenant deux « étages » : le premier étage est le résultat du premier dé, le second étage est le résultat du second dé. Nous avons 4 × 4 = 16 événements possible, un événement étant la somme de deux dés.

#### Valeurs caractéristiques de la distribution

Classons les valeurs obtenues par ordre croissant et séparons la liste en quatre parties égales :
    « 2 » « 3 » « 3 » « 4 » ❙ « 4 » « 4 » « 5 » « 5 » ❙ « 5 » « 5 » « 6 » « 6 » ❙ « 6 » « 7 » « 7 » « 8 »
Nous avons donc :
* minimum : 2 ;
* 1er quartile : 4 ;
* médiane : 5 ;
* 3e quartile = 6
* maximum : 8.
Par rapport à 1d4, nous voyons que la partie centrale de la boîte à moustache, qui contient la moitié des événements, est plus ramassée par rapport à l'étendue totale.
Nous profitons de cette situation pour mettre en évidence le rapport entre la courbe des probabilités cumulées et la boîte à moustaches. En effet, puisque les quartiles correspondent à des probabilités cumulées de 25 %/50 %/75 %, on peut les obtenir en regardant les valeurs des dés qui donnent les probabilités cumulées mentionnées. Notons toutefois que les valeurs trouvées par cette méthode sont approximatives (3,5/4,5/5,5 alors que les vraies valeurs sont 4/5/6). Cette différence s'atténue lorsque le nombre de dés augmente.

#### Tableau

Nous construisons d'abord un tableau des événements.
Somme de deux dés à quatre faces (2d4) :
| dé 1 | dé 2 | événement (dé 1 + dé 2) |
| 1 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 4 |
| 1 | 4 | 5 |
| 2 | 1 | 3 |
| 2 | 2 | 4 |
| 2 | 3 | 5 |
| 2 | 4 | 6 |
| 3 | 1 | 4 |
| 3 | 2 | 5 |
| 3 | 3 | 6 |
| 3 | 4 | 7 |
| 4 | 1 | 5 |
| 4 | 2 | 6 |
| 4 | 3 | 7 |
| 4 | 4 | 8 |
Nous pouvons aussi construire ce tableau comme une matrice : le contenu de la cellule est la somme du titre de la ligne et du titre de la colonne.
Somme de deux dés à quatre faces (2d4) :
| \ | \ | dé n$^o$ 1 | dé n$^o$ 1 | dé n$^o$ 1 | dé n$^o$ 1 |
| \ | \ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| dé n$^o$ 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| dé n$^o$ 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| dé n$^o$ 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| dé n$^o$ 2 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Puis nous construisons un tableau des occurrences :
Probabilités d'avoir un résultat pour 2d4 :
| Résultat | Événements | Nombre d'occurrences | Probabilités | Probabilités | Probabilités |
| Résultat | Événements | Nombre d'occurrences | fraction | pour 1 | pour 100 |
| 2 | « 1 + 1 » | 1 | 1/16 | 0,0625 | 6,25 |
| 3 | « 1 + 2 » « 2 + 1 » | 2 | 2/16 | 0,125 | 12,5 |
| 4 | « 1 + 3 » « 2 + 2 » « 3 + 1 » | 3 | 3/16 | 0,1875 | 18,75 |
| 5 | « 1 + 4 » « 2 + 3 » « 3 + 2 » « 4 + 1 » | 4 | 4/16 | 0,25 | 25 |
| 6 | « 2 + 4 » « 3 + 3 » « 4 + 2 » | 3 | 3/16 | 0,1875 | 18,75 |
| 7 | « 3 + 4 » « 4 + 3 » | 2 | 2/16 | 0,125 | 12,5 |
| 8 | « 4 + 4 » | 1 | 1/16 | 0,0625 | 6,25 |
Pour la table des probabilités cumulées, nous n'indiquons pas le détail de chaque événement mais directement la somme afin d'économiser de la place : nous n'indiquons par « “1 + 2” “2 + 1” » mais directement « “3” “3” ».
Probabilités de faire une valeur ou moins pour 2d4 :
| Résultat | Événements | Nombre d'occurrences | Probabilités | Probabilités | Probabilités |
| Résultat | Événements | Nombre d'occurrences | fraction | pour 1 | pour 100 |
| 2 | « 2 » | 1 | 1/16 | 0,0625 | 6,25 |
| 3 | « 2 » « 3 » « 3 » | 3 | 3/16 | 0,1875 | 12,5 |
| 4 | « 2 » « 3 » « 3 » « 4 » « 4 » « 4 » | 6 | 6/16 | 0,375 | 37,5 |
| 5 | « 2 » « 3 » « 3 » « 4 » « 4 » « 4 » « 5 » « 5 » « 5 » « 5 » | 10 | 10/16 | 0,625 | 62,5 |
| 6 | « 2 » « 3 » « 3 » « 4 » « 4 » « 4 » « 5 » « 5 » « 5 » « 5 » « 6 » « 6 » « 6 » | 14 | 13/16 | 0,8125 | 81,25 |
| 7 | « 2 » « 3 » « 3 » « 4 » « 4 » « 4 » « 5 » « 5 » « 5 » « 5 » « 6 » « 6 » « 6 » « 7 » « 7 » | 15 | 15/16 | 0,9375 | 93,75 |
| 8 | « 2 » « 3 » « 3 » « 4 » « 4 » « 4 » « 5 » « 5 » « 5 » « 5 » « 6 » « 6 » « 6 » « 7 » « 7 » « 8 » | 16 | 16/16 | 1 | 100 |

### Somme de trois dés identiques

La démarche est la même que ci-dessus. Les choses deviennent juste de plus en plus longues à faire à la main. Voici le début du tableau des événements :
Somme de trois dés à quatre faces (3d4) :
| dé 1 | dé 2 | dé 3 | événement (dé 1 + dé 2 + dé 3) |
| 1 | 1 | 1 | 3 |
| 1 | 1 | 2 | 4 |
| 1 | 1 | 3 | 5 |
| 1 | 1 | 4 | 6 |
| 1 | 2 | 1 | 4 |
| 1 | 2 | 2 | 5 |
| 1 | 2 | 3 | 6 |
| 1 | 2 | 4 | 7 |
Il y a au total 4 × 4 × 4 = 64 événements (combinaisons de dés) possibles.
L'histogramme des probabilités (3d4 = i) forme une courbe en cloche et l'histogramme des probabilités cumulées (3d4 ≤ i) forme une sigmoïde un peu plus aplaties aux extrémités et un peu plus pentue au milieu. Les quartiles valent :
* minimum : 3 ;
* 1er quartile : 5,5 ;
* médiane : 7 ;
* 3e quartile : 8,5 ;
* maximum : 12.

## Somme de dés identiques en général
### Probabilités

Quel que soit le type de dé, à partir du moment où il est numéroté de manière « classique », on a :
* 1d a une probabilité uniforme ; les probabilités cumulées forment une droite ;
* 2d a une probabilité triangulaire ; les probabilités cumulées forment une sigmoïde ;
* 3d et plus : la probabilité est une courbe en cloche et les probabilités cumulées forment une sigmoïde.
Vous trouverez ci-dessous les courbes pour des dés classiques (dés cubiques à six faces).
* nd6 = i
* nd6 ≤ i
* Boîtes à moustaches pour nd6
Pour des raisons de lisibilité, nous n'avons pas représenté les barres mais nous avons relié le sommet des barres par des traits. Cette manière de faire n'est pas recommandée mais facilite la lecture. Pour les boîtes à moustache, nous avons découpé les domaines de valeurs en quatre parties égales par des traits bleus afin de mettre en évidence le phénomène de concentration des tirages.
Cela est aussi vrai pour certains dés « spéciaux » comme les dF (pour Fudge et FATE).

### Quelle influence cela a-t-il sur le jeu ?
#### Plusieurs manière d'avoir un jet dans une plage de valeurs

Comme nous l'avons relevé dans le chapitre précédent (Le hasard dans les jeux de rôle), les deux choses importantes sont :
* le choix des joueuses, ce qui inclue la capacité des joueuses à estimer leurs chances ;
* le fait de savoir si un événement est rare ou fréquent.
Pour une échelle de valeurs donnée, mettons entre 1 et 20, il y a plusieurs manière de générer du hasard : 1d20, 2d10, 3d6…
Avec 1d20, on a autant de chances d'avoir un résultat faible, moyen ou fort. Avec 2d10 ou 3d6, on a plus de chances d'avoir un résultat moyen — « 10 » ou « 11 » — et peu de chances d'avoir un résultat extrême. De fait, si l'on utilise la somme de plusieurs dés, on peut être plus confiant dans le fait d'avoir un résultat moyen, mais les joueuses le savent-elles ? Et d'un point du vue du jeu, est-il vraiment intéressant d'avoir une grande dispersion des valeurs, d'avoir régulièrement des valeurs très élevées ou très basses ?
Un choix de conception (game design) intéressant…

#### Table d'événements aléatoire

Si l'on crée une table d'événements aléatoire, il faut être conscient que si l'on jette plusieurs dés, alors les valeurs centrales sont plus probables. Ainsi, on mettra les événements les plus fréquents et les plus intéressants pour la narration. On peut par exemple classer dans un tableau à deux entrées : une entrée « fréquence » et une entrée « intérêt narratif ». Ce tableau permet d'évaluer la pertinence de l'événement.
Table d'évaluation :
| \ | \ | Intérêt narratif | Intérêt narratif | Intérêt narratif |
| \ | \ | Banal | Intéressant | Riche |
| fré- quence | Rare | 0 | 1 | 2 |
| fré- quence | Occasionnel | 1 | 2 | 3 |
| fré- quence | Fréquent | 2 | 3 | 4 |
Chaque événement est placé dans cette table d'évaluation et se voit donc associer un score. Puis, les événements sont classés par ordre décroissant de pertinence et placés comparés à la liste des valeurs classées par ordre de probabilité décroissante. Par exemple, avec 2d6 :
Classement par probabilité décroissante (2d4) :
| Valeur | Probabilité |
| 5 | 25 % |
| 6 | 19 % |
| 4 | 19 % |
| 7 | 13 % |
| 3 | 13 % |
| 8 | 6 % |
| 2 | 6 % |
Concrètement, dans le tableau précédent, on place les événements ayant des scores élevés en haut du tableau et les événements ayant un score faible en bas.
Cette table est ensuite triée par ordre de valeur de dé croissante pour en faciliter la lecture.

#### Progression des chances

Imaginons que l'on résolve une situation par un jet sous une caractéristique. Avec un seul dé, chaque fois que le PJ progresse de 1 dans sa caractéristique, ses chances de réussite progressent de la même quantité, par exemple +5 % avec 1d20.
En revanche, si l'on additionne plusieurs dés, la courbe sigmoïde fait que :
* aux faibles valeurs, les chances de réussite progressent lentement ;
* aux valeurs médianes, la progression est très rapide ;
* aux fortes valeurs, la progression est lente.
D'un point de vue stratégique, il faut donc rapidement sortir de la zone basse et dépasser la partie médiane. En revanche, il devient moins intéressant d'investir dans une caractéristique déjà élevée. Bien sûr, cela change avec la présence de bonus-malus ; ainsi, dans une situation assortie d'un malus, une caractéristique élevée « devient » une caractéristique moyenne…
Exemple
Une caractéristique est cotée sur 20 environ. L'action est réussie si un jet de dé(s) est inférieur ou égal à la caractéristique.
1d20 + mod. ≤ car. :
| Caractéristique | Modificateur de difficulté | Modificateur de difficulté | Modificateur de difficulté |
| Caractéristique | +2 | 0 | –2 |
| 10 | 60 % | 50 % | 40 % |
| 13 | 75 % | 65 % | 55 % |
| 15 | 85 % | 75 % | 65 % |
2d10 + mod. ≤ car. :
| Caractéristique | Modificateur de difficulté | Modificateur de difficulté | Modificateur de difficulté |
| Caractéristique | +2 | 0 | –2 |
| 10 | 72 % | 45 % | 28 % |
| 13 | 85 % | 72 % | 55 % |
| 15 | 94 % | 85 % | 72 % |
3d6 + mod. ≤ car. :
| Caractéristique | Modificateur de difficulté | Modificateur de difficulté | Modificateur de difficulté |
| Caractéristique | +2 | 0 | –2 |
| 10 | 74 % | 50 % | 26 % |
| 13 | 95 % | 84 % | 63 % |
| 15 | 99 % | 95 % | 84 % |
Lorsque nous sommes du « côté droite » de la sigmoïde (au-dessus de la médiane), donc pour des caractéristiques de 13 ou 15, la situation à 3d6 est plus favorable que celle à 2d10 qui l'est encore plus que celle à 1d20.
Avec AnyDice, nous avons utilisé l'affichage de données « Data: At most » et les expressions output 1d20, output 2d10 et output 3d6. Plutôt que de chercher les lignes « 10 » (ainsi que « 8 » et « 12 » pour les modificateurs ±2), « 13 » (et « 11 ») et « 15 » (et « 17 ») sur les histogramme (ou le texte de la section « Export »), on peut aussi taper des expressions du type output 1d20 - 2 <= 10, les chances de réussite apparaissent sur la ligne « 1 ».
Exemple
Considérons le d20 system. Une caractéristique génère un modificateur allant de –5 à +5 ; s'y ajoute normalement les points de compétence et divers bonus. L'action est réussie si un jet de dés modifié est supérieur à un degré de difficulté (DD).
Les caractéristiques sont cotées sur 20 pour des humains et voici un extrait de la table des modificateurs de caractéristique et la table des degrés de difficulté, tirées du DRS :
Table des modificateurs de caractéristique (extrait) :
| Caractéristique ||
| Valeur | Modificateur |
| 8-9 | –1 |
| 10-11 | 0 |
| 12-13 | +1 |
| 14-15 | +2 |
| 16-17 | +3 |
Table des degrés de difficulte :
| Difficulté de la tâche | DD |
| Très facile | 5 |
| Facile | 10 |
| Moyen | 15 |
| Difficile | 20 |
| Très difficile | 25 |
| Presque impossible | 30 |
Nous sélectionnons quelques cas pour l'étude.
1d20 + mod. de car. ≥ DD :
| Modificateur de Caractéristique | Degré de difficulté | Degré de difficulté | Degré de difficulté |
| Modificateur de Caractéristique | 5 | 10 | 15 |
| 0 | 80 % | 55 % | 30 % |
| +1 | 85 % | 60 % | 35 % |
| +2 | 90 % | 65 % | 40 % |
2d10 + mod. de car. ≥ DD :
| Modificateur de Caractéristique | Degré de difficulté | Degré de difficulté | Degré de difficulté |
| Modificateur de Caractéristique | 5 | 10 | 15 |
| 0 | 94 % | 64 % | 21 % |
| +1 | 97 % | 72 % | 28 % |
| +2 | 99 % | 79 % | 36 % |
3d6 + mod. de car. ≥ DD :
| Modificateur de Caractéristique | Degré de difficulté | Degré de difficulté | Degré de difficulté |
| Modificateur de Caractéristique | 5 | 10 | 15 |
| 0 | 98 % | 62 % | 9 % |
| +1 | 99 % | 74 % | 16 % |
| +2 | 100 % | 84 % | 26 % |
Pour une caractéristique ayant un modificateur nul (0) et un DD 10, les chances de réussite sont plus élevées avec 2d10 et 3d6. Lorsque le DD varie de ±5, les chances de réussite varient de +35/–25 % avec 1d20, de +30/–43 % avec 2d10 et de +36/–53 % avec 3d6. Les DD élevés sont donc défavorables avec 2d10 et a fortiori avec 3d6.
Lorsque le modificateur augmente, la situation est d'autant plus favorable que le nombre de dés augmente pour les DD faibles (5 ou 10) ; elle est d'autant plus défavorable que le nombre de dés augmente pour les DD forts.
Avec AnyDice, nous avons utilisé l'affichage de données « Data: At least » et les expressions output 1d20, output 1d20 + 1 et output 1d20 + 2 ; output 2d10, output 2d10 + 1 et output 2d10 + 2 ; output 3d6, output 3d6 + 1 et output 3d6 + 2. Plutôt que de chercher les lignes « 5 », « 10 » et « 15 » sur les histogramme (ou le texte de la section « Export »), on peut aussi taper output 1d20 >= 5, output 1d20 >= 10 etc. qui donne directement la probabilité de réussite sur la ligne « 1 ».
Notez que dans les deux situations considérées, nous reconstruisons une « table des difficultés » telle que présentée dans la section Estimer ses chances du chapitre précédent.

#### Maladresses et coups de maître

Les situations générant des maladresses (fumbles) et des coups de maître (réussites critiques) sont souvent les valeurs extrêmes « naturelles » des jets — « naturel » signifiant la valeur indiquée par la face du dés sans appliquer de modificateur. Dans le cas d'un dé unique ou d'une somme de dés, les deux valeurs extrêmes — le minimum et le maximum — ont les mêmes probabilités de survenue. Il s'agit donc :
Valeurs extrêmes des jets :
| Jet | Minimum | Maximum | Probabilité |
| 1d20 | 1 | 20 | 5 % (1/20) |
| 2d10 | 2 | 20 | 1 % (1/100) |
| 3d6 | 3 | 18 | 0,462 % (1/216) |
Donc avec 1d20, il y aura probablement plusieurs maladresses et coups de maître par partie. Avec 3d6, cela sera plus rare.
Pour raréfier les situations extrêmes avec 1d20, on peut rajouter une deuxième condition, par exemple pour une maladresse : « faire la valeur extrême et confirmer en échouant à un second jet » et pour un coup de maître : « faire la valeur extrême et confirmer en réussissant à un second jet ».
Pour rendre plus fréquent les situations extrêmes avec 3d6, on peut augmenter la plage, par exemple respectivement « 3-4 » et « 17-18 » soit environ 2% (1/50).

## Variantes d'une somme de dés identiques
### Soustraction de dés

Certains système soustraient des dés. L'opération est en fait identique à ajouter des dés. En effet, on peut remarquer que {–1d4} a les mêmes probabilités que {1d4 – 5}, que {–2d4} a les mêmes probabilités que {2d4 – 10} et de manière générale, {–ndX} a les mêmes probabilités que {ndX – n⋅(X + 1)}.
Ainsi, la probabilité de {1d4 – 1d4} est identique à la probabilité de {2d4 – 5}. Soustraire un dé revient simplement à enlever une valeur constante à la somme des dés.
Si les dés sont identiques, la distribution est centrée sur zéro.
Le jeu Qin (7e Cercle, 2009) utilise un « dé yin-yang » : on jette deux d10 et le résultat le plus élevé est soustrait du résultat le plus faible, et le résultat « 0 » est la valeur zéro (et non dix comme habituellement). Le jet est ainsi toujours positif ou nul. D'un point de vue mathématiques, cela revient à prendre la valeur absolue de la différence.
Puisque nous avons ici pour la première fois une distribution dissymétrique, nous pouvons illustrer la différence entre moyenne et médiane. D'un point de vue calcul, la moyenne s'obtient par :
    Somme des événements/nombre d'événements
Pour simplifier, nous ne considérons pas des d10 mais des d4. Nous avons donc :
Moyenne pour |1d4 – 1d4| :
| Dé 1 | Dé 2 | Événement |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 2 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
| 1 | 4 | 3 |
| 2 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 0 |
| 2 | 3 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 1 | 2 |
| 3 | 2 | 1 |
| 3 | 3 | 0 |
| 3 | 4 | 1 |
| 4 | 1 | 3 |
| 4 | 2 | 2 |
| 4 | 3 | 1 |
| 4 | 4 | 0 |
| Somme | Somme | 20 |
| Moyenne | Moyenne | 1,25 |
En effet :
    somme des événements : (0 + 1 + 2 + 3 + 1 + 0 + 1 + 2 + 2 + 1 + 0 + 1 + 3 + 2 + 1 + 0) = 20
    nombre d'événements : 16
    moyenne : 20/16 = 1,25
Représentons chaque événement par une brique, les briques ayant toutes la même masse et formant des piles régulièrement espacées sur un plateau. Chaque pile correspond à la valeur d'un événement, donc une valeur entre 0 et 3 ; elles sont classées par ordre croissant. Pour chaque position, on empile autant de brique qu'il y a d'événement ayant la valeur correspondante ; on obtient de fait l'histogramme. Le point d'équilibre du plateau est situé entre le centre de la pile « 1 » et le centre de la pile « 2 », plus proche du 1. Si l'on repère les positions par rapport au centre de la pile « 0 », le point d'équilibre est à l'abscisse « 1,25 ».
La médiane, quant à elle, vaut 1 :
    0 0 0 0 1 1 1 1 ❙ 1 1 2 2 2 2 3 3
Dans AnyDice, la moyenne est la première valeur entre parenthèses indiquée après le titre de l'affichage.
Dans le tableur LibreOffice Calc, la moyenne s'obtient avec l'expression =moyenne(C2:C17).
Pour en revenir au dé yin-yang, la règle indique qu'un double « 0 » est une maladresse tandis qu'un autre double est un coup de maître. Le code pour gérer ceci est indiqué en annexe. Dans le graphique ci-contre, la maladresse est représentée par la valeur –1 et le coup de maître par la valeur 10, avec une étiquette « crit. » (réussite ou échec critique).

### Somme de dés différents

Si l'on somme deux dés différents, on obtient une répartition en trapèze. La probabilité cumulée reste une sigmoïde dont la partie centrale est rectiligne. La situation est donc intermédiaire entre le dé seul et la somme de deux dés identiques :
* pour une table aléatoire, les probabilités d'apparition des événements sont identiques pour la plage centrale ;
* pour un jet de type test, les probabilités évoluent de manière linéaire dans la partie centrale (le gain d'un point permet de progresser de manière uniforme) tout en ayant des probabilités plus faibles pour les valeurs extrêmes.
Si l'on somme plus de dés, nous approchons une courbe en cloche. C'est donc une alternative si le but est d'avoir ce type de courbe.
* 1d4 + 1d6
* 2d4 + 1d6
* 1d4 + 2d6
* 1d4 + 1d6 + 1d8
* Boîtes à moustache
Les histogrammes et valeurs ci-dessus peuvent s'obtenir avec AnyDice en utilisant les syntaxes :

### Comparaison de deux dés

Dans certains jeux, on compare deux jets de dés. C'est typiquement le cas des jeux où les dés représentent la capacité du personnage, soit que la caractéristique s'exprime sous la forme de dés (d6 System, Savage World, Earthdawn…), soit que la caractéristique donne un bonus aux dés (d20 System). Dans ces jeux là, lorsque deux personnages s'opposent, le test consiste souvent à comparer les deux jets :
* dé$_1$ > dé$_2$ : le personnage 1 remporte la confrontation ;
* dé$_1$ = dé$_2$ : égalité ;
* dé$_1$ < dé$_2$ : le personnage 2 remporte la confrontation.
Ces conditions peuvent s'écrire respectivement :
* dé$_1$ – dé$_2$ > 0 ;
* dé$_1$ – dé$_2$ = 0 ;
* dé$_1$ – dé$_2$ < 0.
Nous voyons que cette situation est similaire à la soustraction de deux jets.
Par exemple, deux personnages font un bras de fer ; la force de l'un est de 1d6 et la force de l'autre de 1d8, le résultat le plus élevé l'emporte. On compare donc 1d6 à 1d8, ce qui revient à comparer {1d8 – 1d6} à zéro, soit, d'après la section précédente, à comparer {1d8 + 1d6 – 7} à zéro.
Dans le les livres-jeux et le jeu de rôle Défis fantastiques, lors d'un combat, on calcul la force d'attaque (FA) en additionnant 2d6 à la caractéristique habileté. Le personnage ayant la FA la plus élevée remporte l'assaut et inflige des dégâts à l'autre. On compare donc 2d6 + Hab$_1$ à 2d6 + Hab$_2$. Cela revient à comparer {2d6 – 2d6} à {Hab$_2$ – Hab$_1$} donc, au final, à comparer {4d6 – 14} à {Hab$_2$ – Hab$_1$}.
    {2d6 + Hab$_1$} > {2d6 + Hab$_2$} ⇔ {2d6 – 2d6} > {Hab$_2$ – Hab$_1$} ⇔ {4d6 – 14} > {Hab$_2$ – Hab$_1$}
* Cas où les combattants ont la même Habileté
* Cas où les combattants ont 1 point de différence en Habileté
* Cas où les combattants ont 2 points de différence en Habileté
* Cas où les combattants ont 3 points de différence en Habileté
Dans le cas des livres-jeux, si l'on n'utilise pas la règle de chance, un coup porté fait perdre 2 points d'endurance à l'adversaire. On peut donc calculer le nombre de points d'endurance perdus en moyenne pour 10 assauts :
    si un personnage touche à 100 %, il inflige 2 × 10 = 20 points d'endurance pour 10 assauts ; s'il ne touche que 56 % du temps, il n'inflige en moyenne que 0,56 × 20 ≃ 11 points de dégât.
Probabilités lors d'un combat à Défis fantastiques :
| Hab$_2$ – Hab$_1$ | Probabilité de toucher | Probabilité de toucher | Perte d'endurance pour 10 assauts | Perte d'endurance pour 10 assauts |
| Hab$_2$ – Hab$_1$ | combattant 1 | combattant 2 | combattant 1 | combattant 2 |
| 0 | 44 % | 44 % | 9 | 9 |
| 1 | 34 % | 56 % | 11 | 7 |
| 2 | 24 % | 66 % | 13 | 5 |
| 3 | 16 % | 76 % | 15 | 3 |
Nous voyons qu'avec une différence de deux points d'habileté, le personnage le plus faible est touché deux fois plus souvent, il perd son endurance deux fois plus rapidement que le personnage le plus fort.
Dans AnyDice, pour avoir les courbes, on peut utiliser l'une des deux solutions :
Pour avoir directement les probabilités de toucher, on peut utiliser :
On peut calculer toutes les valeurs d'un seul coup en utilisant une boucle (loop) :
La commande loop N over {0..3}{ instructions } répète les instructions contenues entre accolades pour N prenant successivement les valeurs 0, 1, 2 et 3. Dans le nom de l'affichage named"…", il faut mettre le nom de la variable N entre crochet pour qu'AnyDice sache qu'il s'agit bien de la variable et pas d'une lettre à afficher.

### Jet sans limite

Le jet sans limite (JSL) (anglais : open-ended die, littéralement jet à fin ouverte), ou « jet explosif », est un mécanisme de jeu de rôle permettant d'étendre la plage de valeurs données par un jet de dé(s). Lorsque l'on obtient un des extrêmes de la plage, on relance les dés ; le résultat est alors ajouté au résultat précédent si le premier jet était maximal, retranché si le jet était minimal. Ce mécanisme est récursif, ce qui explique le terme de « sans limite ».
Exemple avec 1d10 :
* si le jet donne un résultat entre 2 et 9, je garde le résultat tel quel ;
* si le résultat est un 10, je tire de nouveau un d10 et le résultat est ajouté à ce 10 ; si le deuxième jet est un 10 (on a donc 20 pour l'instant), je tire un troisième dé que j'ajoute…
* si le premier résultat est un 1, je retire un d10 et le résultat est déduit de ce 1 ; si le deuxième jet est un 10 (on a donc –9 pour l'instant), je tire un troisième dé que je retranche…
Les principaux jeux utilisant ce système sont Rolemaster et les jeux dérivés avec un d100 (jet ouvert sur les résultats 1-5 et 95-00) : Jeu de rôle des Terres du Milieu, Spacemaster et HARP. C'est une manière de gérer les maladresses et coups de maître. D'autre jeux n'appliquent le système que « vers le haut ». Par exemple le D6 System, et Star Wars qui en est à l'origine, applique ce système à un seul des dés à six faces lancés, le « dé libre » (wild die). Savage World a le système « d'as ». Anima Beyond Fantasy permet les jets ouverts sur des dés à cent faces : il est donc possible d'obtenir des résultats allant dans les 300, 400… Ce qui permet des actions a priori physiquement impossibles.
AnyDice propose la fonction explode pour faire des jets ouverts « vers le haut » :
donne un d6 qui explose sur les « 6 ». Comme le processus ne s’arrête virtuellement jamais, AnyDice s'arrête à trois lancers supplémentaires appelé « profondeur » (depth) ; on peut modifier ce nombre de lancer supplémentaires. Par exemple pour avoir 5 relancés avec 1d4
Notez la différence entre [explode 2d6] — qui « explose » sur un « 12 » — et 2d[explode d6] — qui jette deux d6 explosifs et en fait la somme.
Si on veut avoir un jet sans limite à la manière de Rolemaster, il faut créer sa propre fonction. Par exemple, pour 1d10 :
Nous voyons ici qu'il est possible de créer des fonctions avec AnyDice. La syntaxe générale est :
et elle s'utilise ensuite comme toutes les fonctions
dans la fonction, la commande result: provoque la sortie de la fonction avec pour valeur l'expression qui suit les deux points.
Dans le cas présent, on définit la fonction : jsl. On demande à AnyDice de tracer la fonction jsl(d10) par la syntaxe :
Pour cette fonction, on a :
* NomDeLaFonction : jsl ;
* VariableEntrée : N ; comme ici la variable est une séquence (une suite de nombre, puisqu'il s'agit des résultats possibles d'un dé), on ajoute :n à ce nom.
La fonction a donc pour paramètre d'entrée N = d10. Si (if en anglais) cette valeur N est égale à 10, alors on lui ajoute le résultat de la fonction explode(d10). Si cette valeur N est égale à 1, alors on lui enlève le résultat de la fonction explode(d10). Les instructions correspondantes sont
Si aucune des conditions n'est réalisée, c'est-à-dire si le résultat est entre 2 et 9, alors l'exécution n'a pas rencontré de commande de sortie result: donc on applique la dernière ligne qui renvoie la valeur de N :

### Choix de dés parmi plusieurs

Nous étudions ici le cas où l'on jette plusieurs dés et où l'on n'en retient que certains, en général le plus élevé ou le plus faible, parfois le dé médian (c'est-à-dire ni le plus élevé, ni le plus faible parmi trois dés). Par exemple :
* dans AD&D1, une des méthodes de détermination des caractéristiques consiste a additionner les trois meilleurs d6 parmi 4 ;
* dans D&D5, un avantage permet de choisir le meilleur de deux d20 et un désavantage impose de choisir le pire ;
* dans Savage World, les personnages joker jettent 1d6 en plus de leur dé de compétence et choisissent le meilleur ;
* dans Usagi Yojimbo 2, on choisit le meilleur résultat entre le dé de caractéristique et le dé de compétence ;
* dans P'tites sorcières, on somme deux dés à six faces, mais selon la puissance du personnage, il s'agit des deux pires dés parmi trois ou quatre (personnage faible) ; simplement de deux dés (personnage moyen) ; des deux meilleurs dés parmi trois ou quatre (personnage fort) ;
* le système natif du Livre des cinq anneaux est appelé roll & keep et consiste à conserver m dés parmi n jetés (noté m k n).
État du tableur :
| | A | B | C |
| 1 | dé 1 | dé 2 | événement |
| 2 | 1 | 1 | =max(A2:B2) |
| 3 | 1 | 2 | |
Avec un tableur, la colonne événement utilise la fonction max si l'on veut le dé le plus élevé, min si l'on veut le dé le plus faible et mediane si l'on veut le dé médian. Par exemple, pour avoir le dé le plus élevé parmi deux : =max(A2:B2). On crée ensuite le second tableau résultats/nb. d'occ/cumul habituel.
Avec AnyDice, on utilise les fonctions highest … of … (le plus grand), lowest … of … (le plus petit) et middle … of … (le médian). Par exemple, pour avoir le d20 le plus petit parmi deux ou pour avoir la somme des trois d6 les plus élevés parmi 4 :
Si les dés sont différents, on utilise highest of … and … et consort. Par exemple, pour avoir le plus petit entre 1d4 et d16, ou le plus grand entre 1d4, 1d6 et 1d8 :
Dans le cas du meilleur ou du pire dé parmi 2d20 (avantage ou désavantage à D&D5), nous avons les quartiles suivants.
Quartiles lorsque l'on choisit 1d20 parmi 2 :
| Situation | 1er quartile | Médiane | 3e quartile |
| Meilleur parmi 2d20 | 10,75 | 15 | 18 |
| 1d20 seul | 5 | 10 | 15 |
| Pire parmi 2d20 | 3 | 6 | 10,75 |
Nous remarquons que par rapport à 1d20 seul, le choix du meilleur ou du pire parmi deux décale les quartiles d'une valeur allant de –4,25 à +5,25, la médiane étant décalée de –4/+5. Cela justifie la remarque préliminaire dans la section Quelques fumbles.
Le tableau ci-dessous indique les quartiles pour le choix de 2d6 parmi 2 à 4, méthode utilisée par P'tites Sorcières.
Quartiles pour P'tites sorcières :
| Dés | 1er quartile | Médiane | 3e quartile |
| 2 pires parmi 4d6 | 3 | 4 | 6 |
| 2 pires parmi 3d6 | 4 | 5 | 7 |
| 2d6 | 5 | 7 | 9 |
| 2 meilleurs parmi 3d6 | 7 | 9 | 10 |
| 2 meilleurs parmi 4d6 | 8 | 10 | 11 |
La table des difficultés pour P'tites Sorcières est la suivante :
Probabilités de réussite dans les P'tites sorcières :
| Possibilité | Difficulté | Difficulté | Difficulté | Difficulté | Difficulté |
| Possibilité | immanquable 3 | facile 5 | moyenne 7 | difficile 9 | exceptionnelle 11 |
| mauvaise | 68 % | 31 % | 9 % | 2 % | 0,1 % |
| faible | 80 % | 48 % | 19 % | 5 % | 0,5 % |
| moyenne | 92 % | 72 % | 42 % | 17 % | 3 % |
| bonne | 98 % | 89 % | 68 % | 36 % | 7 % |
| excellente | 99,6 % | 96 % | 83 % | 52 % | 13 % |

## Avoir deux dés identiques

Le système de Reign (2007) consiste à jeter un nombre de d10 dépendant de la puissance du personnage ; l'action réussit si l'on a au moins une paire (deux dés identiques). La réussite est d'autant meilleure que l'on a de dés ayant la même valeur et que cette valeur est élevée.
La réussite simple (avoir au moins une paire) est similaire au problème dit du paradoxes de l'anniversaires. La manière la plus simple consiste à considérer les risques d'échec c'est-à-dire de n'avoir aucune paire.
Avec 2d10, le premier dé à 10 possibilités ; pour qu'il n'y ait pas de paire, le second dé n'a que 9 possibilités. Donc sur 10 × 10 = 100 combinaisons possibles
    {1 ; 1}, {1 ; 2}, …, {4 ; 7}, … {0 ; 8}, {0 ; 9}, {0 ; 0},
il y a 10 × 9 = 90 combinaisons perdantes
    {1 ; 2}, {1 ; 3}, …, {4 ; 7}, … {0 ; 8}, {0 ; 9}
et logiquement 100 – 90 = 10 combinaisons gagnantes
    {1 ; 1}, {2 ; 2}, …, {9 ; 9}, {0 ; 0}.
Nous avons donc 90 % d'échec et 10 % de réussite. Avec 3d10, il y a 10 × 10 × 10 = 1 000 combinaisons possibles
    {1 ; 1 ; 1}; {1 ; 1 ; 2}, … {0 ; 0 ; 9}, {0 ; 0; 0}
et 10 × 9 × 8 = 720 combinaisons perdantes
    {1 ; 2 ; 3}, {1 ; 2 ; 4}, … {0 ; 9 ; 7}, {0 ; 9 ; 8}
donc 72 % d'échec et 28 % de réussite. Avec n dés, il y a 10$^n$ combinaisons possibles et 10 × 9 × … × (10 – n + 1) situations d'échec ; cette dernière valeur s'appelle un « arrangement » en mathématiques et se note A$^n$$_{10}$. On voit qu'à partir de 11 dés, il y a nécessairement au moins une réussite (puisqu'on ne peut pas avoir 11 valeurs différentes avec des d10).

## Pioche de jetons ou de cartes

Lorsque l'on pioche des objets identiques au toucher en aveugle (pions, pierres, jetons) ou bien des cartes dont le dos est identique, les probabilités de piocher un jeton ou une carte sont tout simplement obtenues en comptant les objets identiques.
Par exemple, si un sac contient 20 jetons blancs et 10 jetons noirs, soit 30 jetons au total, alors :
* on a 20/30 ≃ 0,67 = 67 % de chances de tirer un jeton blanc ;
* on a 10/30 ≃ 0,33 = 33 % de chances de tirer un jeton noir.
Si l'on fait plusieurs tirages successifs sans remettre les jetons, par exemple tirer trois jetons d'un sac, les proportions changent à chaque tirage. Ce point est traité plus loin dans la section Épreuves successives.
Si l'on considère un jeu de 32 cartes classique, alors :
* on a une chance sur quatre de tirer chaque couleur (trèfle, carreau, cœur, pique) donc une probabilité de 1/4 = 0,25 = 25 % ;
* il y a quatre rois donc on a une probabilité de 4/32 ≃ 0,13 = 13 % de chances de tirer un roi ;
* les probabilités de tirer une figure (valet, dame, roi) sont de 12/32 ≃ 0,38 = 38 %.

## Épreuves successives

Le terme « épreuves successives » désigne le fait de recourir plusieurs fois au hasard dans un but unique. Il peut s'agir :
* de refaire un jet jusqu'à le réussir (ou échouer) ;
* d'un combat : on a fréquemment deux jets ou plus par tour de jeu ;
* d'un système dans lequel l'on jette plusieurs dés et l'on dénombre les réussites (et éventuellement les complications) ;
* d'enchaîner les jets pour progresser vers un objectif.
Le terme « jet » peut bien sûr être remplacé par n'importe quel mode de génération de hasard.
La manière la plus simple de représente cette situation est d'utiliser un arbre de probabilités.
Dans la situation la plus simple, chaque jet a deux issues : réussite ou échec. En probabilités, on parle de « processus de Bernoulli » ; l'arbre de probabilités est un arbre binaire (il n'y a que deux branches à chaque nœud).
Lorsque l'on est à une extrémité (une feuille de l'arbre), la probabilité d'obtenir cette situation est le produit des probabilités en parcourant l'arbre depuis la racine. Si par exemple on effectue trois jets successifs avec 40 % de réussite (et donc 60 % d'échec) :
* à chaque branche, on a une probabilité p = 0,4 de réussir et q = 0,6 d'échouer ;
* la probabilité d'échouer à tous les jets est donc de 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,216 = 21,6 % ;
* la probabilité d'avoir au moins une réussite est donc le complément : 1 – 0,216 = 0,784 ; 100 – 21,6 = 78,4 % ;
* la probabilité de n'avoir que des réussites est de 0,064 = 6,4 % ;
* la probabilité d'avoir au moins un échec est donc le complément : 1 – 0,064 = 0,936 ; 100 – 0,4,6 = 93,6 % ;
* trois situations ont une réussite et et une seule ; chaque situation a une probabilité 0,4 × 0,6 × 0,6 = 0,144 = 14,4 % de chances de survenir, il y a donc au total 3 × 0,144 = 0,432 = 43,2 % d'avoir une réussite et une seule.
De manière générale, si la probabilité de réussite est p, alors la probabilité qu'il réussisse au n-ième essai (après n – 1 échecs) vaut :
    $\mathrm {P} (n)=(1-p)^{n-1}\times p$.
En terme de probabilités, c'est une loi binomiale avec k = n – 1.
La probabilité cumulée tend vers 1 (100 %), on peut donner le nombre d'essai médian
    N tel que ∑$_1$$^N$ P(n) ≥ 0,5 ;
on sait que dans la moitié des cas, il faut faire moins d'essais que N pour réussir une épreuve. Le nombre moyen d'essais pour que la réussite soit supérieure à 99 % (par exemple)
    N tel que ∑$_1$$^N$ P(n) ≥ 0,99.
Le nombre moyen d'essais pour qu'il réussisse vaut
    N$_{moy}$ = ∑ n × P(n).
La moyenne est ici intéressante en tant que « lissage » : c'est une « fréquence équivalente » c'est-à-dire que sur un très grand nombre de processus, on a à peu près autant de réussite que si l'on réussissait une fois tous les N$_{moy}$. Par exemple, si on a 5 % de réussir une épreuve, alors il faut en moyenne 20 essais pour réussir, cela signifie que sur un grand nombre de processus, c'est comme si on réussissait un jet tous les 20 jets.
Nombre d'essais pour réussir une action :
| Probabilité de réussite sur un essai | Nombre d'essais médian | Nombre d'essais moyen | Nombre d'essais sûr (99 % de réussite) |
| 5 % | 14 | 20,0 | 90 |
| 10 % | 7 | 10,0 | 44 |
| 20 % | 4 | 5,0 | 21 |
| 30 % | 2 | 3,3 | 13 |
| 40 % | 2 | 2,5 | 10 |
| 50 % | 1 | 2,0 | 7 |
| 60 % | 1 | 1,7 | 6 |
| 70 % | 1 | 1,4 | 4 |
| 80 % | 1 | 1,3 | 3 |
| 90 % | 1 | 1,1 | 2 |

## Les outils informatiques

Nous avons présenté précédemment des méthodes « manuelles » pour aborder les probabilités afin de vous aider à comprendre les principes. Mais la mise en œuvre de ces méthodes est fastidieuse lorsque le nombre de dés augmente : pour 3d6, on a déjà 6$^3$ = 6 × 6 × 6 = 216 possibilités : {1 ; 1 ; 1}, {1 ; 1; 2}, {1 ; 1; 3}, … {1 ; 2 ; 1}, … {6 ; 6 ; 5}, {6 ; 6 ; 6}. Le tableau commence à être fastidieux à construire ! Et si l'on enchaîne cinq jets consécutifs, ou que l'on jette cinq dés avec pour chaque dé une échec ou une réussite, la dernière ligne de l'arbre contient 32 éléments pour 52 éléments au total dans l'arbre, il faut une grande feuille et pas mal de temps…
Nous présentons donc ici des outils informatiques pour nous aider dans cette tâche.

### Avec AnyDice
#### Jet d'un dé unique

Avec un navigateur Internet, ouvrir la page http://www.anydice.com/ puis :
* dans la grande zone de texte, taper : output 1d4 named "dé à quatre faces" ; cela signifie « sortir les résultats pour 1d4 et afficher le titre “dé à quatre faces” » ;
* cliquer sur le bouton [Calculate] (« calculer ») ;
* dans la zone d'outils View, jouez avec les boutons [Table] (table et histogramme horizontal) et [Graph] (graphique) ;
* dans la zone d'outils Data, jouez avec les boutons [Normal] (probabilités d'obtenir une valeur), [At least] (au moins) et [At most] (au plus).
Vous retrouvez les différentes représentations présentées ci-dessus.
Notez que ma commande named "…" est optionnelle.

#### Somme de deux dés identiques

Pour deux dés à quatre faces, la syntaxe est évidemment

#### Somme de trois dés identiques

Pour trois dés à quatre faces, la commande est évidemment :

#### Somme de dés identiques en général

Pour simuler un pile ou face, on peut indiquer un dé dont les faces valent « 0 » ou « 1 » :
Un dF (dé Fudge ou FATE) est un dé dont deux faces sont marquées « – », deux sont vierges et deux sont marquées « + ». De la manière dont ils s'utilisent, on peut considérer que les faces valent respectivement « –1 », « 0 » et « +1 » ; comme les faces vont par paire, c'est comme s'il n'y avait que trois faces soit :

#### Soustraction de dés

On peut simplement écrire :

#### Dé yin-yang

Le dé « yn-yang » est utilisé dans le jeu Qin. On jette deux d10 (un noir et un blanc), le résultat est la valeur absolue de la différence ce qui dans AnyDice se note :
Nous utilisons donc ici une fonction de AnyDice appelée absolute. Notez la syntaxe utilisée pour appeler une fonction : en mathématiques, on note ƒ(x) pour appliquer la fonction ƒ à la valeur x ; dans AnyDice, cela se note [f x] ou, pour utiliser du pseudo-code :
avec ici :
* NomDeLaFonction : absolute ;
* Valeur : d{0..9}-d{0..9}.

#### Divers

Somme du dé le plus élevé et du dé le moins élevé
On jette plusieurs dés à dix faces et on additionne le plus élevé et le plus faible :
Nous utilisons des variables : N qui est le nombre de dés jetés et TOTO qui est le résultat du jet de N dés. Les noms des variables sont nécessairement en lettres capitales.
La commande loop N over {n$_1$..n$_2$} {liste d'instructions} crée une boucle, la variable N prenant les valeurs entières de n$_1$ à n$_2$, la liste d'instructions est exécutée pour chaque valeur successive de N.
L'affectation d'une valeur à une variable se fait avec la syntaxe NOM:valeur. Ici, la commande TOTO:Nd10 indique que la variable TOTO contient le résultat du jet de N dés à dix faces.
La commande highest m of NOM prend les m plus grandes valeurs de la série NOM ; la commande lowest m of NOM prend les m plus petites valeurs de la série NOM. Donc le code [highest 1 of TOTO] + [lowest 1 of TOTO] fait la somme de la plus grande valeur et de la plus petite valeur de la série TOTO.

### Avec un tableur
#### Jet d'un dé unique

Avec un tableur, nous commençons par créer une la liste des événements, en colonne. Il est bien sûr possible de taper les valeurs successivement dans les cases mais cela devient laborieux lorsque le nombre de faces augmente. Pour se simplifier la tâche :
* dans la case en haut à gauche (colonne « A » ligne « 1 »), taper le nom de la liste : « événements » ;
* dans les cases situées en dessous (colonne « A », lignes « 2 » et « 3 »), taper les deux premières valeurs, respectivement « 1 » et « 2 » ;
* sélectionner les deux valeurs : cliquer sur la case « A2 » et faire glisser la souris en maintenant le bouton appuyé jusqu'à la case « A3 », puis relâcher le bouton ; les deux cases sont grisées ;
* positionner le pointeur de la souris sur le petit carré noir qui apparaît en bas à droite de la sélection ; le curseur se transforme en une petite croix ;
* cliquer et faire glisser la souris pour étendre la zone de saisie jusqu'à la case « A5 » ; une étiquette jaune indique la valeur « 4 » ;
* lâcher le bouton de la souris, la liste est créée.
État du tableur :
| | A | B |
| 1 | événements | |
| 2 | 1 | |
| 3 | 2 | |
| 4 | 3 | |
| 5 | 4 | |
| 6 | | |
| 7 | résultats | nb d'occ. |
| 8 | 1 | |
| 9 | 2 | |
| 10 | 3 | |
| 11 | 4 | |
Pour plus de lisibilité, on peut mettre le titre « événements » en gras.
On crée ensuite en dessous une seconde liste identique mais intitulée « résultats » — a différence entre la liste « événements » et la liste « résultats » sera plus claire lorsque l'on passera à deux dés. La liste « résultats » indique les résultats qu'il est possible d'obtenir aux dés.
On crée ensuite une liste « nb d'occ. » à droite de la liste « résultats ». Une fois le titre créé, on sélectionne les cellules B8 à B11 et l'on tape :
puis on clique sur le bouton « Assistant fonction » [ƒx].
Cela ouvre la boîte de dialogue « Assistant fonction ». Pour remplir les champs « données » et « classes », on peut simplement sélectionner les liste en cliquant sur la première cellule et en faisant bouger le pointeur de la souris jusqu'à la dernière cellule en maintenant le bouton enfoncé puis de relâcher le bouton. Sinon, la syntaxe est simplement « première cellule — deux-points — dernière cellule » soit respectivement A2:A5 et A8:A11.
Il faut ensuite s'assurer que le case « Matrice » en bas à gauche est cochée. Puis, on clique sur le bouton [OK] ; la liste se remplit du nombre d'occurrences, soit ici des « 1 » partout.
État du tableur :
| | A | B | C |
| 1 | événements | | |
| 2 | 1 | | |
| 3 | 2 | | |
| 4 | 3 | | |
| 5 | 4 | | |
| 6 | | | |
| 7 | résultats | nb d'occ. | cumul |
| 8 | 1 | 1 | 1 |
| 9 | 2 | 1 | 2 |
| 10 | 3 | 1 | 3 |
| 11 | 4 | 1 | 4 |
Nous créons ensuite une liste nommée « cumul » dans laquelle nous allons indiquer les nombres d'occurrence cumulés, c'est-à-dire les probabilités d'avoir une valeur ou moins. Pour cela, il suffit d'écrire dans la première cellule, C8 :
et d'appuyer sur la touche [Entrée↵] du clavier. Cette expression signifie : « calcule le nombre de valeurs inférieures à la valeur de la cellule A8 qui apparaissent dans la liste A$2:A$5 ». Les signes dollar « $ » dans l'expression « A$2:A$5 » indiquent que les valeurs qui suivent (les numéros de ligne « 2 » et « 5 ») ne doivent pas varier.
Puis, on clique dans la cellule A8, on place le pointeur de la souris sur le petit carré noir en bas à droite — le pointeur se transforme en croix « + » — et on double-clique. Cela étire la liste.
Pour tracer le premier histogramme, on sélectionne les deux listes « résultats » et « nb d'occ. », c'est-à-dire la zone A7:B11, puis on clique sur le bouton [Diagramme]. Cela ouvre la boîte de dialogue « Assistant de diagramme ».
Pour la première étape « 1. Type de diagramme », on s'assure que l'on a bien sélectionné « Colonne » pour un histogramme vertical, « Barre » pour un histogramme horizontal.
À la deuxième étape « 2. Plage de données », il faut cocher les deux cases « Première lige comme étiquette » et « Première colonne comme étiquette ». On peut ensuite cliquer sur le bouton [Terminer].
Pour créer l'histogramme des occurrences cumulées (« faire un valeur ou moins »), on fait de même mais en sélectionnant deux colonnes disjointes. Pour se faire, il faut sélectionner la seconde colonne en maintenant la touche [Ctrl] (« contrôle ») du clavier enfoncée. La plage de données se note alors : A7;A11 ; C7:C11.
État du tableur :
| | A | B | C |
| 1 | événements | | |
| 2 | 1 | | |
| 3 | 2 | | |
| 4 | 3 | | |
| 5 | 4 | | |
| 6 | | | |
| 7 | résultats | nb d'occ. | cumul |
| 8 | 1 | 1 | 1 |
| 9 | 2 | 1 | 2 |
| 10 | 3 | 1 | 3 |
| 11 | 4 | 1 | 4 |
| 12 | | | |
| 13 | quartiles | | |
| 14 | 1,75 | | |
| 15 | 2,5 | | |
| 16 | 3,25 | | |
Pour avoir les quartiles, il suffit de taper :
On retrouve bien la médiane (deuxième quartile) à 2,5.
Comme mentionné plus haut, les valeurs des autres quartiles sont légèrement différentes de celle que l'on trouve « à la main » (1,75 pour 1,5 et 3,25 pour 3,5) car la méthode utilisée par LibreOffice Calc est différente mais cela a peu d'importance.

#### Tableur avec les données d'AnyDice

Vous pouvez utiliser AnyDice pour générer les données et ensuite utiliser le tableur pour d'autres calculs et tracés. Pour cela :
* dans AnyDice, mettez vous dans le mode « Data : Normal » et cliquez sur le bouton « View : Export ».
La fenêtre de résultats contient alors le texte :
Vous pouvez copier ce texte et le coller dans votre tableur :
* lorsque vous collez le texte, cela ouvre la boîte de dialogue « Import de texte » ;
* dans la zone « Option de séparateur », assurez-vous que la case « Virgule » est cochée ;
* cliquez sur le bouton [OK] ;
* assurez-vous que tous les nombres sont alignés à droite des cellules ; si ce n'est pas le cas, il est possible que le séparateur décimal pour votre tableur soit la virgule (alors que c'est le point pour AnyDice) ; dans ce cas-là :
** dans Libre-Office Calc, cliquez sur le menu « Édition » puis choisissez l'option « Rechercher & remplacer… »,
** dans la boîte de dialogue « Rechercher & remplacer » qui s'ouvre, tapez « . » (point de ponctuation, sans les guillemets) dans le champ « Rechercher », tapez « , » (virgule) dans le champ « Remplacer par » et cliquez sur le bouton [tout remplacer].
Refaites l'opération avec le mode « Data : At most » d'AnyDice.

#### Somme de deux dés identiques

On commence par créer le tableau des événements. Pour cela :
* écrire les noms des colonnes en gras : dé 1, dé 2 et 2d4 ;
* dans les cellules A2 et A3, écrire 1 ;
* sélectionner ces deux cellules A2:A3, cliquer sur le petit carré noir en bas à droite de la sélection et amenez-le deux cellules plus bas ; vous avez maintenant quatre fois le nombre « 1 » ;
* recommencez en dessous avec les nombres « 2 », « 3 » et « 4 » ;
* dans la colonne B, créez une liste de « 1 » à « 4 » ; copiez cette liste et collez-là trois fois ;
* dans la cellule C2, tapez : =somme( puis sélectionnez les cellules A2 et B2, puis appuyez sur la touche Entrée↵ du clavier ;
* re-sélectionnez la cellule C2 et double-cliquez sur le petit carré noir en bas à droite de la sélection ; cela « propage » la formule aux cellules situées en dessous.
On crée ensuite la table des occurrences :
* dans la ligne 19, écrire les noms des colonnes en gras : résultats, nb d'occ., cumul ;
* dans les cellules A20 à A27, créer une liste de 2 à 8 : écrire « 2 » dans la cellule A20, « 3 » dans la cellule A21, sélectionnez ces deux cellules et étirez la sélection avec le petit carré noir ;
* sélectionnez les cellules A20:A26, tapez =frequence(et cliquez sur le bouton « Assistant fonctions »
* dans la boîte de dialogue « Assistant fonction » qui s'ouvre :
** dans le camp « données », sélectionnez les cellules C2:C17,
** dans le camp « classes », sélectionnez les cellules A20:A26,
** cochez la case « Matrice »,
** cliquez sur le bouton [OK] ;
* dans la cellule C20, tapez =frequence(C$2:C$17 ; C20) ;
* re-sélectionnez la cellule C20 et double-cliquez sur le petit carré noir en bas à droite de la sélection.
Vous avez toutes les données, il vous reste à tracer les histogrammes et à déterminer les quartiles.
Sections de l'ancien article, à intégrer.

## Un peu de probabilité…
### Choix de certains dés parmi plusieurs (roll & keep)

Dans certains systèmes, lors de la création des personnages, on jette quatre dés à six faces et on retient les trois meilleurs scores. De fait, les résultats obtenus sont meilleurs que si l'on jetait 3d6. Les courbes de probabilité sont représentées ci-contre.
Comparaison des méthodes :
| Jet | Valeur la plus probable | Moyenne |
| 3d6 | 10–11 | 10,5 |
| 3 meilleurs parmi 4d6 | 13 | 12,24 |
Quartiles des méthodes :
| Dés | Minimum | Premier quartile | Médiane | Troisième quartile | Maximum | Écart interquartile |
| 3d6 | 3 | 8 | 10,5 | 13 | 18 | 5 |
| 3 meilleurs parmi 4d6 | 3 | 10 | 12 | 14 | 18 | 4 |
Dans certains jeux (Shadowrun, jeux du Monde des ténèbres, comme Vampire : la Mascarade), la capacité à réussir l'action est également exprimée par un nombre de dés, mais on ne fait pas la somme des dés : on fixe un seuil dans la gamme de valeurs d'un dé (par exemple entre 1 et 6 pour des d6), et l'action est réussie si au moins un dé atteint ou dépasse cette valeur. Bien évidemment, plus le joueur jette de dés, plus il a de chance de réussir au moins un jet.
Quartiles pour le meilleur dé par mi n :
| Nombre de dés | Minimum | Premier quartile | Médiane | Troisième quartile | Maximum | Écart interquartile |
| 1 | 1 | 2 | 3,5 | 5 | 6 | 3 |
| 2 | 1 | 3,5 | 5 | 6 | 6 | 2,5 |
| 3 | 1 | 4 | 5 | 6 | 6 | 2 |
| 4 | 1 | 5 | 6 | 6 | 6 | 1 |
| 5 | 1 | 5 | 6 | 6 | 6 | 1 |
Dans d'autres jeux, comme par exemple Usagi Yojimbo 2e édition, on jette deux ou plusieurs dés pouvant être différents (par exemple 1d4 et 1d6), et on ne retient que la plus haute valeur. Si les deux dés sont identiques (même nombre de faces n), il y a n² combinaisons possibles :
* la valeur « 1 » n'a qu'une seule chance de sortir (1 et 1), soit une probabilité 1/n$^2$ ;
* la valeur la plus haute n a 2n – 1 possibilités de sortir (un des dés est indique n, l'autre peut prendre toutes les valeurs possibles), la probabilité est donc (2n – 1)/n$^2$ ;
* entre ces deux valeurs, la probabilité croît linéairement (pour une valeur i, un des dés doit avoir la valeur i et l'autre une valeur inférieure ou égale à i).
Si les dés n'ont pas le même nombre de faces, n$_1$ et n$_2$ (n$_1$ < n$_2$) :
* de 1 à n$_1$, on a comme ci-dessus un comportement linéairement croissant ;
* entre n$_1$+1 et n$_2$, seul compte le score du dé ayant le plus de faces, on a donc une probabilité uniforme valant 1/n$_2$.
Dans le jeu de rôle P'tites sorcières, on somme deux dés à six faces, mais selon la puissance du personnage, il s'agit
* des deux pires dés parmi trois ou quatre (personnage faible) ;
* simplement de deux dés (personnage moyen) ;
* des deux meilleurs dés parmi trois ou quatre (personnage fort).
Statistiques du système de P'tites sorcières :
| Jet | Valeur la plus probable | Moyenne |
| 2 pires parmi 4 | 4 | 4,65 |
| 2 pires parmi 3 | 5 | 5,54 |
| 2d6 | 7 | 7 |
| 2 meilleurs parmi 3 | 9 | 8,46 |
| 2 meilleurs parmi 4 | 10 | 9,34 |
Quartiles pour P'tites sorcières :
| Dés | Minimum | Premier quartile | Médiane | Troisième quartile | Maximum | Écart interquartile |
| 2 pires parmi 4d6 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 | 3 |
| 2 pires parmi 3d6 | 2 | 4 | 5 | 7 | 12 | 3 |
| 2d6 | 2 | 5 | 7 | 9 | 12 | 4 |
| 2 meilleurs parmi 3d6 | 2 | 7 | 9 | 10 | 12 | 3 |
| 2 meilleurs parmi 4d6 | 2 | 8 | 10 | 11 | 12 | 3 |
On voit que les médianes sont différentes des moyennes, ce qui est caractéristique des distributions asymétriques.
Voir également ci-dessous Dépasser un seuil avec au moins un dé parmi n.

## Probabilité de réussite d'un test
### Probabilité de réussite et équilibre du jeu

Dans une partie de jeu de rôle, la résolution d'une situation hasardeuse est un « jeu dans le jeu ». La manière dont on résout la situation, le test — combien de dés et quels dés on jette par exemple — participe à la construction de l'ambiance, en particulier si le joueur doit faire des choix (notion de stratégie) ; par exemple, le joueur dispose d'une réserve de dés de bonus, doit-il en utiliser un dans la situation présente ou doit-il le garder pour plus tard ?
Mais d'un point de vue du résultat pur, seule importe la probabilité de réussite. Ce point est important pour l'équilibre du jeu : si les jets sont trop difficiles, les joueurs risquent l'écœurement, s'ils sont trop faciles, il n'y aura plus d'enjeu. En particulier, si une situation de vie ou de mort se joue sur un jet, alors une probabilité de 50 % signifie que le personnage a une chance sur deux de mourir, ou bien que statistiquement la moitié de l'équipe va y passer.
Si par contre le personnage a droit à plusieurs essais, alors la probabilité de réussite détermine le nombre d'essais que devra tenter le personnage pour réussir. Par exemple, si un personnage à 50 % de chances de réussite, alors :
* il réussit du premier coup dans 50 % des cas ;
* si le premier essai est un échec, il a 50 % de chances de réussite au second essai, soit une probabilité de 0,5 × 0,5 = 0,25 = 25 % (donc 75 % de réussite en 2 essais ou moins ;
De manière générale, si la probabilité de réussite est p, alors la probabilité qu'il réussisse au n-ième essai (après n – 1 échecs) vaut :
    $\mathrm {P} (n)=(1-p)^{n-1}\times p$.
C'est une loi binomiale avec k = n – 1.
La probabilité cumulée tend vers 1 (100 %), on peut donner le nombre moyen d'essais pour qu'il réussisse,
    n = ∑ n × P(n)
ainsi que le nombre d'essai pour que la réussite soit supérieure à 99 % (par exemple)
    N tel que ∑$_1$$^N$ P(n) ≥ 0,99
Nombre d'essais pour réussir une action :
| Probabilité de réussite sur un essai | Nombre d'essais moyen | Nombre d'essais à 99 % de réussite |
| 5 % | 20,0 | 90 |
| 10 % | 10,0 | 44 |
| 20 % | 5,0 | 21 |
| 30 % | 3,3 | 13 |
| 40 % | 2,5 | 10 |
| 50 % | 2,0 | 7 |
| 60 % | 1,7 | 6 |
| 70 % | 1,4 | 4 |
| 80 % | 1,3 | 3 |
| 90 % | 1,1 | 2 |
Cela permet d'interpréter les notions de « personnage moyen », « caractéristique moyenne », « difficulté moyenne ». On prend par exemple une référence haute : si l'on considère qu'un expert à 90 % de chances de réussir du premier coup une opération de difficulté moyenne, alors il mettra en moyenne 1,1 essai pour réussir, et réussira « à coup sûr » (à 99 % de chances) en deux coups.
Un « personnage moyen » (ayant un score de 50 %) mettra deux fois plus de temps en moyenne pour réussir ; et il réussira à coup sûr en 7 coups. Par exemple, dans une classe de mathématique, les « élèves moyens » mettent en moyenne deux fois plus de temps que leur professeur pour réussir un exercice « moyen », et le dernier met sept fois plus de temps. Et si un mécanicien (ayant un score de 90 % en mécanique) met une heure à effectuer une réparation de difficulté moyenne, par exemple changer les plaquettes de frein, alors amateur éclairé (ayant 50 %) mettra deux heures en moyenne, sept heures au pire des cas.

### Expression de la probabilité

Le cas le plus simple est celui des systèmes donnant directement le pourcentage de réussite (Basic System, Megaversal system, Rêve de dragon, Mega 2…). Mais dans tous les cas, on peut déterminer la probabilité et l'exprimer en pourcentage.
Dans un certain nombre de jeux, un jet est réussi si la valeur des dés est inférieure à la valeur de la caractéristique ou de la compétence. On a donc des probabilités cumulées : si la caractéristique vaut 5, alors la probabilité de réussite est la somme des probabilités d'avoir1, 2, 3, 4 et 5. La courbe, également appelée fonction de densité F, a une forme de S caractéristique (sigmoïde). Dans le cas des Défis fantastiques, le jeu de rôle ou de SimulacreS, le jet se fait avec deux dés à six faces, on a donc le cumul suivant.
Cumul des probabilités de 2d6 :
| Valeur (caractéristique) | Probabilité | Probabilité cumulée (Probabilité de réussite) |
| 2 | 2,8 % | 2,8 % |
| 3 | 5,6 % | 2,8 + 5,6 = 8,3 % |
| 4 | 8,3 % | 8,3 + 8,3 = 16,7 % |
| 12 | 2,8 % | 100 % |
Cette table donne donc les pourcentages de réussite du test
Reperenons l'exemple de la comparaison sntre 1d20, 2d10 et 3d6. Si l'on considère un seuil de 5, on réussit si l'on fait 1, 2, 3, 4 ou 5 ; il faut donc sommer, cumuler les probabilités. Avec 1d20, on a 5 × 5 % = 25 % de chances de réussite ; avec 2d10, on a 1 + 2 + 3 + 4 = 10 % de chance de réussite. Ceci est synthétisé sur la figure ci-contre.
Si l'on considère un jet sous une capacité (ou au-dessus d'une capacité), on voit qu'en utilisant 2d10 au lieu de 1d20, pour un référentiel de niveaux de difficulté donné, on défavorise les personnages faibles (un personnage ayant une capacité en dessous de 11 a moins de chances de réussir l'action avec 2d10 qu'avec 1d20) ; par contre, cela favorise les personnages forts ; ceci s'accentue encore plus en utilisant 3d6. Il est cependant possible d'adapter le référentiel des niveaux de difficulté de manière à retrouver les mêmes probabilités quel que soit le système choisi.
Dans certains jeux, le résultat des dés doit contraire dépasser une valeur seuil, qui est d'autant plus élevée que l'action est difficile. La probabilité de réussite est donc le complémentaire de la fonction de densité, 1 – F (ou 100 – F en %), on a toujours une courbe en S, mais cette fois-ci décroissante.
Dans le cas du d20 system, les capacités du personnage sont évaluées par un malus/bonus déterminé essentiellement par une caractéristique et le degré de maitrise d'une compétence. La difficulté intrinsèque de l'action est donnée par un degré de difficulté (DD). La table suivante traduit l'ensemble en termes de pourcentage de réussite.
Probabilités de réussite dans le d20 system :
| Malus/bonus | Degré de difficulté | Degré de difficulté | Degré de difficulté | Degré de difficulté | Degré de difficulté |
| Malus/bonus | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
| –5 | 80 % | 30 % | 0 % | 0 % | 0 % |
| –3 | 90 % | 40 % | 0 % | 0 % | 0 % |
| 0 | 100 % | 50 % | 5 % | 0 % | 0 % |
| +3 | 100 % | 70 % | 20 % | 0 % | 0 % |
| +5 | 100 % | 80 % | 30 % | 0 % | 0 % |
| +10 | 100 % | 100 % | 55 % | 5 % | 0 % |
| +20 | 100 % | 100 % | 100 % | 55 % | 5 % |
Dans le cas des Contes ensorcelés/P'tites sorcières, on a la table suivante ; les valeurs ont été arrondis à l'unité, sauf pour les valeurs inférieures à 1 % ou supérieures à 99 %.
Probabilités de réussite dans les P'tites sorcières :
| Possibilité | Difficulté | Difficulté | Difficulté | Difficulté | Difficulté |
| Possibilité | immanquable 3 | facile 5 | moyenne 7 | difficile 9 | exceptionnelle 11 |
| mauvaise | 68 % | 31 % | 9 % | 2 % | 0,1 % |
| faible | 80 % | 48 % | 19 % | 5 % | 0,5 % |
| moyenne | 92 % | 72 % | 42 % | 17 % | 3 % |
| bonne | 98 % | 89 % | 68 % | 36 % | 7 % |
| excellente | 99,6 % | 96 % | 83 % | 52 % | 13 % |
Jet sans limite
Si l'on considère la probabilité de dépasser un seuil (il s'agit de l'intégrale de la courbe précédente), on constate donc que :
* sur une tranche de dix-neuf valeurs, la pente est constante ;
* toutes les vingt valeurs, on a un plateau horizontal.
La moyenne du jet sans limite est de 10,4 contre 10,5 pour un jet de d20 normal.
Avec un dé à cent faces, en rejouant les score 1–5 et 96–00, on obtient un profil similaire. Les valeurs interdites sont : …, –95, 5, 96, 196, …
Les valeurs entre 6 et 95 ont 1 % de chances de sortir. Pour avoir une valeur entre 101 et 191, il faut obtenir un 1–5 au premier jet ; il existe 5 combinaisons possible par valeur (par exemple pour 110 : 96 + 14, 97 + 13, 98 + 12, 99 + 11, 00 + 10), soit 0,05 % de chances d'obtenir ce score (chaque combinaison ayant 0,01$^2$ soit 0,01 % de chances de sortir).
Entre 96 et 101, les probabilité croissent de manière linéaire de 0 à 0,05 % de chances :
* on ne peut jamais obtenir 96 (puisque le 96 est rejoué) ;
* le 97 peut s'obtenir avec une seule combinaison : 96 + 01, soit 0,01 % de chances ;
* le 98 peut s'obtenir de deux manières : 96 + 02 et 97 + 01, soit 0,02 % de chances ;
De la même manière, les probabilités entre 191 et 196, les chances passent linéairement de 0,05 % à 0.
Pour les échecs critiques, le calcul est similaire :
* des scores entre 5 et 0, on passe linéairement de 0 à 0,05 % de chances ;
* entre 0 et –90, les chances sont de 0,05 % ;
* entre –90 et –95, les chances passent linéairement de 0,05 % à 0.
Nombre de dés variable
Dans certains jeux (Star Wars 1e éd., D6 System, Le Livre des cinq anneaux), la capacité du personnage à résoudre une action est donnée par un nombre de dés, le seuil à franchir étant un nombre fixe représentant la difficulté de l'action ; par exemple un personnage peu doué aura 1d6 et un personnage très doué aura 5d6, et un seuil de difficulté moyen est 9. Ou alors (RuneQuest, Avant Charlemagne, Empire galactique, Trauma), la difficulté est représentée par un nombre de dés, et la capacité d'un personnage est un nombre fixe ; par exemple, un personnage moyen a une capacité de 9, une action simple se joue à 1d6 et une action complexe à 5d6. On peut faire les mêmes calculs que précédemment, les résultats sont présentés sur la figure ci-contre.
Comme précédemment, nous remarquons que plus on somme de dés, plus on se rapproche d'une courbe en cloche (théorème central limite).
Nous avons représenté sur la figure du bas la probabilité de faire moins qu'une valeur :
* si le nombre de dés représente la difficulté et qu'il faut faire moins qu'un seuil, alors une courbe donnée représente les chances de réussite pour une difficulté donnée (nombre de dés) en fonction du score de la capacité (seuil) ;
* si le nombre de dés représente la capacité et qu'il faut faire au-delà d'un seuil, alors une courbe correspond aux probabilités d'échec pour une capacité fixée (nombre de dés) en fonction de la difficulté (seuil).
Nous représentons ci-dessous les résultats d'une manière différente : on regarde l'évolution de la probabilité de dépasser un seuil donné en fonction du nombre de dés ; le seuil est le nombre indiqué à côté de la courbe. Chaque courbe représente les chances de réussite d'une action de difficulté donnée (le seuil est fixé) en fonction de la puissance du personnage (nombre de dés).
Par exemple, le score « 1 » ne peut s'obtenir qu'avec 1d6, et l'on fait obligatoirement 1 ou plus ; « 1 » est donc représenté par un point unique (1d6, 100 %) de couleur bleu marine. La probabilité de faire 6 ou plus passe de 16,67 % avec 1d6 à 99,99 % avec 5d6 (courbe marron). Un seuil de 18 ne peut pas être atteint avec 1 ou 2d6 ; les probabilités de réussite passent de 0,46 % avec 3d6 à 50 % avec 5d6 (courbe bleu ciel).
Un dé parmi n
Dans certains jeux (Shadowrun, jeux du Monde des ténèbres, comme Vampire : la Mascarade), la capacité à réussir l'action est également exprimée par un nombre de dés, mais on ne fait pas la somme des dés : on fixe un seuil dans la gamme de valeurs d'un dé (par exemple entre 1 et 6 pour des d6), et l'action est réussie si au moins un dé atteint ou dépasse cette valeur. Bien évidemment, plus le joueur jette de dés, plus il a de chance de réussir au moins un jet.
Dans certains cas, le nombre de dés dépassant le seuil donne la qualité de la réussite.
On voit qu'avec ce système, les personnages puissants (ayant un grand nombre de dés) sont surtout favorisés pour les hauts seuils : ils n'ont pas tellement plus de chance de réussir les actions faciles que les personnages faibles, mais réussissent bien mieux les actions difficiles.
Dans certains jeux (par exemple Usagi Yojimbo), on jette deux ou plusieurs dés pouvant être différents (par exemple 1d4 et 1d6), et on ne retient que la plus haute valeur. Si les deux dés sont identiques (même nombre de faces n), il y a n² combinaisons possibles :
* la valeur « 1 » n'a qu'une seule chance de sortir (1 et 1), soit une probabilité 1/n$^2$ ;
* la valeur la plus haute n a 2n – 1 possibilités de sortir (un des dés est indique n, l'autre peut prendre toutes les valeurs possibles), la probabilité est donc (2n – 1)/n$^2$ ;
* entre ces deux valeurs, la probabilité croît linéairement (pour une valeur i, un des dés doit avoir la valeur i et l'autre une valeur inférieure ou égale à i).
Si les dés n'ont pas le même nombre de faces, n$_1$ et n$_2$ (n$_1$ < n$_2$) :
* de 1 à n$_1$, on a comme ci-dessus un comportement linéairement croissant ;
* entre n$_1$ + 1 et n$_2$, seul compte le score du dé ayant le plus de faces, on a donc une probabilité uniforme valant 1/n$_2$.
La probabilité d'atteindre ou de dépasser un score est la somme des probabilités pour les valeurs supérieures ou égalees à ce score. On a donc logiquement (intégrales classiques en mathématiques) :
* une branche de parabole sur la partie où la probabilité croît linéairement :
* un segment de droite sur la partie où la probabilité est constante ;
* une rupture de pente entre les deux, correspondant à la discontinuité dans la progression des probabilités.
La figure ci-contre montre les probabilités lorsque l'on a trois dés, pouvant être différents.
On peut classer les combinaisons de dé par ordre de moyenne croissante.

## Jeux n'utilisant pas de dés

Il existe quelques rares jeux de rôle n'utilisant pas de dés. On peut citer Prince Valiant, qui utilise des pièces de monnaies (pile ou face), ou encore Ambre, qui se joue sans aucun recours au hasard chiffré (ni dés, ni cartes, ni pièces). Dans ce dernier cas, on se contente de comparer les traits : « le plus fort gagne », ou bien, en cas d'égalité trop sensible, c'est le plus rusé qui l'emporte.
Il y a aussi des jeux qui n'utilisent pas de dés, mais qui les remplacent par des cartes à jouer ; si les probabilités en sont changées, le mécanisme n'est pas fondamentalement différent. La plus grosse différence est que, souvent, le joueur peut décider de la carte qu'il joue selon ce qu'il a en main, ce qui lui donne plus de maîtrise sur la destinée de son personnage. Les jeux les plus renommés dans cette catégorie sont Château Falkenstein et Miles Christi. Deadlands et les jeux qui en sont issus (la gamme Savage Worlds) mêlent dés et cartes.
Certains jeux utilisent des cartes de tarot, notamment Ambre et Chimères ; servant avant tout d'aides à la créativité, elles peuvent aussi partiellement remplacer les dés.
    Pour plus de détails voir : w:fr:Mécanisme de simulation dans les jeux de rôle#Gestion des résultats des actions.

## Annexes
### Compléments sur AnyDice
#### Fonction explode

Il est possible de recréer la fonction explode ; c'est parfaitement inutile mais nous le faisons à titre d'exercice, pour mieux comprendre AnyDice. C'est une fonction s'appelant elle-même (fonction récursive) :
* NomDeLaFonction : jslexplode ;
* VariableEntrée : N avec la précision :n.
La fonction a donc pour paramètre d'entrée N = d10. Si cette valeur N est égale à 10, alors on lui ajoute le résultat de la fonction jslexplode(d10), on parle « d'appel récursif » (la fonction s'appelle elle-même) :
Si cette condition n'est réalisée, c'est-à-dire si le résultat est entre 1 et 9, alors l'exécution n'a pas rencontré la commande de sortie result: donc on applique la dernière ligne qui renvoie la valeur de N :
La fonction complète est donc :

#### Fonction de plusieurs variables

Puisque l'on en est aux fonctions, notez que l'expression peut comporter plusieurs variables d'entrée ; AnyDice reconnaît automatiquement les variables utilisée dans la fonction. Par exemple :
va bien calculer 2 + 5. On peut même écrire :

#### Dé yin-yang (Qin)

Le dé yin-yang utilisé dans le jeu Qin est décrit dans la section Soustraction de dés. Le résultat de la soustraction est compris entre 0 et 9; nous utilisons donc a valeur –1 pour indique une maladresse et la valeur 10 pour indiquer un coup de maître.
L'opérateur « & » (esperluette) correspond à l'opérateur booléen « et » (and).

### Bibliographie

* (en) Greg Costikyan, Uncertainty in Games, MIT Press, 2013, 152 p. (ISBN 978-02-6201896-8, présentation en ligne)

## Notes et références

* ↑ [Ligneul 2016] Romain Ligneul, « The house always wins », sur Cog Innov, 14 juin 2016 (consulté le 5 janvier 2017).
* 1 2 Gary Gygax, Guide du maître, TSR, coll. « Règles avancées de Donjons & Dragons 1re éd. », 1987, p. 6.
* ↑ http://anydice.com/
* ↑ https://dice.run/
* ↑ http://www.diku.dk/~torbenm/Troll/
* ↑ « Projet DFix : discussion pour rééquilibrer les DFs », sur La Taverne des aventuriers (consulté le 17 avril 2018)
* ↑ « Skills over 100 % – A rules patch for Mongoose RuneQuest », sur simonhibbs sur site.google.com, 2006 (consulté le 17 avril 2018).
* ↑ David Burckle, « Player’s Handbook : la fureur du dragon », dans Casus Belli, vol. 4, septembre 2014, p. 38–41.
* ↑ Olivier Caïra, « Les règles comme matrice du monde », dans Jeux de rôle. Les forges de la fiction, CNRS, 2007 (ISBN 978-2-271-06497-4), p. 218-220.
* ↑ Réussite : pas de couverture nuageuse. Échec : couverture nuageuse avec ou sans pluie. Bien évidemment, il s'agit d'une moyenne, la couverture nuageuse n'étant pas uniforme. Pour plus de précisions, on pourra voir la carte Pourcentage du nombre de jours de ciel clair en été en France (nébulosité inférieure ou égale à 2/10) sur la page « Vacances d'été en France : nos régions ont du talent ! », sur Météo Paris, 23 avril 2020 (consulté le 14 juin 2022).
* ↑ Michael Witwer, L'Empire de l'imaginaire : Gary Gygax et la naissance de Dungeons & Dragons, Sycko, 2018 (ISBN 979-10-94206-18-8), p. 93-94.
* ↑ Lire par exemple Bastien « Acritarche » Wautoz, « Mes outils “jdr” (partie 5 : les tables aléatoires) », sur Contes des ères abyssales, 7 janvier 2015 (consulté le 19 avril 2018).
* ↑ Document de référence du système, publié selon la licence ludique libre (OGL).
* ↑ 14 = 4 × 3,5, soit quatre fois la moyenne d'un dé.
* ↑ « Reign », sur GRoG (consulté le 21 août 2018)
* ↑ Dans le cas des Défis fantastiques, le test est réussi si le jet est inférieur ou égal (≤) à la valeur, ta,dis que dans SimulacreS, le jet doit être strictement inférieur (<). La table dconsidère une inégalité large (≤), il suffit de décaler d'une ligne les pourcentages dans le cas d'une inégalité stricte (<).

## Voir aussi
### Liens externes

* Caïthness, « Système additif simple », sur Littéraction, 12 août 2012 (consulté le 24 octobre 2013)
* [Hetland 2013] anglais Magnus Lie Hetland, « Simulating Ability: Representing Skills in Games », dans arXiv, 26 juillet 2013 [texte intégral, lien DOI]
* Frédéric Sintes, « Pourquoi nous lançons les dés », sur Limbic system, 23 mai 2012 (consulté le 15 septembre 2017)
* Denis Poinçot, « Statistiques pour les statophobes » [PDF], sur Université de Rennes, 2004 (consulté le 6 décembre 2017)

#### Memento Ludi (Sébastien « Wenlock » Delfino), « Jeter les dés ne suffit plus »

* Sébastien Delfino, « Jeter les dés ne suffit plus ou “pourquoi le gameplay est important” », sur Memento Ludi, 21 juin 2016 (consulté le 9 août 2017)
* Sébastien Delfino, « 1. Définir le gameplay », sur Memento Ludi, 21 juin 2016 (consulté le 9 août 2017)
* Sébastien Delfino, « 2. Paramètres de gameplay et jouabilité », sur Memento Ludi, 22 juin 2016 (consulté le 9 août 2017)
* Sébastien Delfino, « 3. L'agentivité et le système-monde », sur Memento Ludi, 24 juin 2016 (consulté le 9 août 2017)
* Sébastien Delfino, « 4. Au hasard des jeux », sur Memento Ludi, 26 juin 2016 (consulté le 9 août 2017)
* Sébastien Delfino, « 5. Où se cache le gameplay du jeu de rôles ? », sur Memento Ludi, 27 juin 2016 (consulté le 9 août 2017)
* Sébastien Delfino, « 6. Les protagonistes », sur Memento Ludi, 5 septembre 2016 (consulté le 9 août 2017)

#### Probabilités à des jeux particuliers

* (en) « Yahtzee Probability », sur DataGenetics, janvier 2012 (consulté le 11 avril 2018)
* Alain Brobecker, « Yam, Poker et Probabilités », sur abrobecker.free.fr, août 2004 (consulté le 11 avril 2018)
Le hasard dans les jeux de rôle < ↑ > Créer des éléments du monde