# Géométrie descriptive/Changement de plan

Le changement de plan est l'opération qui consiste à projeter une figure sur un plan différent. Cette méthode est utilisée en général :
* pour faciliter une construction ; par exemple, si l'on fait l'intersection d'un solide avec un plan, on choisit un plan de projection perpendiculaire au plan de coupe ;
* pour voire des figures planes en vraie grandeur, c'est-à-dire que l'on peut mesurer directement les longueurs sur le dessin.

## Plan de profil zx et correspondance de vues

Il peut être utile de travailler avec une troisième projection selon le plan $(\mathrm {O} ,{\vec {x}},{\vec {z}})$, appelé « plan de profil » P. Ce plan est rabattu sur la figure en le faisant tourner autour de l'axe vertical ; ainsi, la ligne de terre est la même.
Soit un point M, avec m sa projection sur $(\mathrm {O} ,{\vec {x}},{\vec {y}})$, m' sa projection sur $(\mathrm {O} ,{\vec {y}},{\vec {z}})$ et m'' sa projection sur $(\mathrm {O} ,{\vec {z}},{\vec {x}})$ :
* m'' est à la même hauteur que m' (cote z) ;
* la coordonnée c est verticale pour m et est horizontale pour m'' ; on peut reporter cette coordonnée graphiquement, soit en utilisant un quart de cercle, soit en utilisant une droite à 45 °.
Cette projection correspond à la vue de droite en dessin industriel.

## Projection sur un plan vertical

Considérons par exemple que l'on veut projeter sur un plan vertical ; cela consiste à changer de point de vue en tournant autour de l'axe vertical ${\vec {z}}$. On parle aussi de « changement de plan frontal », puisque l'on conserve le plan horizontal .
Sur la figure ci-contre, le point M se projette en m et m'. Le plan horizontal reste le même, on décide donc de rabattre le plan vertical sur le plan horizontal ; m reste inchangé.
Le nouveau plan de projection est défini par sa trace avec le plan horizontal ; cette trace définit la nouvelle ligne de terre LT'. La droite (mm'' ) est perpendiculaire à LT', comme à l'habitude.
La distance de m'' à LT' correspond à la cote z, puisque le nouveau plan est également vertical. Donc, pour trouver m'', il suffit de reporter la cote (distance de m' à LT) sur la perpendiculaire à LT' passant par m.
On peut reporter la cote en plaçant les axes z (sur le plan frontal) et z'' (sur le nouveau plan, perpendiculaire à LT').

## Projection sur un plan frontal

On veut maintenant projeter sur un plan frontal. On parle de « changement de plan horizontal », puisque l'on se sert du plan frontal pour faire la projection (donc on conserve celui-ci).

## Projection sur un plan quelconque

Si le nouveau plan de projection n'est ni vertical, ni horizontal, il faut faire une double changement de plan : projections successives sur des plans vertical et frontal.

## Méthode de la droite carrée

Lorsque l'on cherche la vraie grandeur d'un segment de droite [AB] quelconque, on peut de contenter de tracer un triangle rectangle dont la base est la longueur projetée sur le plan horizontal, l = ab, et la hauteur est la différence de cote entre les projections sur le plan frontal, l' = a' et b'. On fait un changement de plan uniquement pour ce segment.
On trace un secteur angulaire droit (deux demies droites perpendiculaires), appelé « droite carrée », et l'on reporte les longueurs sur les demies droites. On trace l'hypoténuse, et on mesure sa longueur ; c'est la vraie grandeur (VG) de [AB].

## Applications
### Trouver l'angle d'un plan avec l'horizontale

Nous voulons mesurer, au rapporteur, l'angle α que fait un plan avec l'horizontale, c'est-à-dire :
* l'angle que fait une ligne de plus grande pente avec la droite horizontale qui lui est coplanaire, ou bien encore
* le complémentaire de l'angle que fait la ligne de plus grande pente avec la verticale, ou bien
* l'angle que fait la normale au plan avec la verticale.
En géométrie descriptive, on s'intéresse à la première solution, qui est plus intuitive.
Les cas d'un plan vertical (α = 90 °) ou horizontal (α = 0 °) sont triviaux : se trace sur le plan vertical $(\mathrm {O} ,{\vec {z}},{\vec {x}})$ est respectivement verticale ou horizontale.

#### Plan parallèle à y

Lorsque le plan est parallèle à l'axe y (mais ni horizontal, ni vertical), ses traces sont parallèles à la ligne de terre LT. Pour voir le plan en bout, il faut le projeter sur le plan de profil $(\mathrm {O} ,{\vec {z}},{\vec {x}})$. On trace la ligne charnière verticale LV. L'intersection de la trace sur le plan horizontal (π) avec l'axe ${\vec {x}}$, A, se rabat avec un arc de cercle en a''. L'intersection de la trace sur le plan vertical (π') avec l'axe ${\vec {z}}$, B, est sa propre projection. La trace (π'') sur le plan de profil $(\mathrm {O} ,{\vec {z}},{\vec {x}})$ est donc la droite (a'' B).
On mesure ainsi l'angle $\alpha =({\widehat {\mathrm {LT} ,(a''\mathrm {B} )}})$.

#### Plan quelconque

Soit un plan Π défini par ses traces (π) et (π') ; ce plan n'est ni parallèle, ni perpendiculaire à l'axe yy. On veut trouver sa ligne de plus grande pente.
Pour cela, il suffit de faire un changement de plan vertical en prenant le plan Π$_1$ perpendiculaire à Π : sa trace horizontale (π$_1$) est perpendiculaire à la trace (π) ; c'est aussi la ligne de terre LT'. Le plan Π est vu en bout selon Π$_1$.
On trace donc une droite (π$_1$) = LT' perpendiculaire à LT, à un endroit arbitraire.
L'intersection de Π et de Π$_1$ (en bleu) est une ligne de plus grande pente de Π ; cette droite est (AB) :
* A est l'intersection de (π) et (π$_1$) ;
* B est l'intersection de (π') et (π$_1$'), sa projection b' sur le plan horizontal $(\mathrm {O} ,{\vec {y}},{\vec {z}})$ est sur LT ; c'est l'intersection de LT et de LT'.
La droite (AB) se projette en (π$_1$) sur le plan horizontal $(\mathrm {O} ,{\vec {x}},{\vec {y}})$, et en (π$_1$') sur le plan frontal $(\mathrm {O} ,{\vec {y}},{\vec {z}})$.
Le point A appartient au plan de projection Π$_1$, donc il est son propre projeté sur Π$_1$. Le point B se projette en b'' sachant que :
* (bb'' ) est perpendiculaire à LT' (ligne de rappel) ;
* bB = bb'' (distances).
Ainsi, la droite (Ab'' ) est la projection de (AB) sur Π$_1$ ; l'angle $\alpha =({\widehat {\mathrm {LT'} ,(\mathrm {Ab''} )}})$ est l'angle en vraie grandeur (VG) que fait la ligne de plus grande pente avec l'horizontale.
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