# S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 5

S'initier au boulier en 10 leçons
* Introduction
* Bases et vocabulaire
* Les 8 techniques de l'addition
* Les 8 techniques de la soustraction
* Exercices
* La multiplication
* Exercices
* La division
** Exemple 1
** Exemple 2
* Exercices
* La base hexadécimale avec le boulier chinois
* Exercices
Leçon 5 - La multiplication
En théorie, une multiplication par n consiste à ajouter n fois le même nombre. Mais il parait peu approprié et certainement trop long d'ajouter 47 fois 283 à lui même pour obtenir 47 × 283.
Donc plusieurs aides sont à notre disposition
* la distributivité: $n\times (100x+10y+z)=100\times nx+10\times ny+nz$
* Multiplier un nombre par 10 revient à le décaler d'une rangée sur la gauche
* les tables de multiplication (à savoir)

## Multiplication par un nombre à un chiffre

On commence par multiplier le poids le plus fort. Pour effectuer le produit 7 × 283 On écrit le multiplicateur à gauche sur le boulier, ou sur une feuille de papier, et on écrit 283 classiquement à droite. Ici la boule rouge représente le calcul non effectué.
| 0 | 2 | 8 | 3 |
* On effectue le produit de 2 par 7 (14) , que l'on met à la place de 2. Le chiffre 2 a alors disparu mais c'est sans importance car il n'est plus utile.
| 1 | 4 | 8 | 3 |
* On effectue le produit de 8 par 7 (56), que l'on met à la place de 8, le chiffre 5 venant s'ajouter au nombre précédent.
| 1 | 9 | 6 | 3 |
* On effectue le produit de 3 par 7 (21) que l'on met à la place de 3, le chiffre 2 venant s'ajouter au nombre précédent.
| 1 | 9 | 8 | 1 |
Le résultat final est alors : 1981
Pour s'exercer : leçon 6.

## Multiplication par un nombre à deux chiffres

On effectuera aussi la multiplication en commençant par les termes de poids fort.
Exemple : Comment multiplier 283 par 47 ?
Pour multiplier 283 par 47, on écrit, à gauche du boulier ou sur une feuille de papier, le multiplicateur 47 et classiquement à droite sur le boulier le muliplicande 283 et on réserve à gauche de ce nombre autant de rangées qu'occupe le multiplicateur (ici deux rangées) :
| 0 | 0 | 2 | 8 | 3 |
* Il s'agit de multiplier d'abord 2 par 47. Opération que l'on fait en 2 temps :
** On multiplie 2 par 4 (8) et on inscrit le résultat dans les deux cases de gauche. Ici comme le résultat est inférieur à 10 la dernière case de gauche est vide :
| 0 | 8 | 2 | 8 | 3 |
** Puis on multiplie 2 par 7 (14) que l'on met en décalage d'une case sur la droite, le 1 venant s'ajouter au nombre précédent :
| 0 | 9 | 4 | 8 | 3 |
* Il s'agit maintenant de multiplier 8 par 47 :
** On effectue le produit de 8 par 4 (32) que l'on ajoute dans les deux colonnes à gauche de 8 :
| 1 | 2 | 6 | 8 | 3 |
** Puis on effectue le produit de 8 par 7 (56) que l'on met à la place de 8, le 5 venant s'ajouter dans la colonne de gauche :
| 1 | 3 | 1 | 6 | 3 |
* On effectue enfin le produit de 3 par 47 :
** On effectue le produit de 3 par 4 (12) que l'on ajoute dans les deux colonnes à gauche de 3 :
| 1 | 3 | 2 | 8 | 3 |
** Puis on effectue le produit de 3 par 7 (21) que l'on met à la place du 3, le 2 venant s'ajouter dans la colonne de gauche :
| 1 | 3 | 3 | 0 | 1 |
le résultat est donc : 13301
Pour s'exercer : leçon 6.

## Encore plus fort

On peut faire le produit de nombres comportant encore plus de chiffres à condition que le nombre de rangées soit suffisant. Exemple : Comment multiplier 4807 par 326 ?
* Écriture de 4807 :
| 0 | 0 | 0 | 4 | 8 | 0 | 7 |
* 4 × 326
** 4 × 3 = 12 :
| 1 | 2 | 0 | 4 | 8 | 0 | 7 |
** 4 × 2 = 8 :
| 1 | 2 | 8 | 4 | 8 | 0 | 7 |
** 4 × 6 = 24 :
| 1 | 3 | 0 | 4 | 8 | 0 | 7 |
* multiplication de 8 par 326
** 8 × 3 = 24 :
| 1 | 5 | 4 | 4 | 8 | 0 | 7 |
** 8 × 2 = 16 :
| 1 | 5 | 6 | 0 | 8 | 0 | 7 |
** 8 × 6 = 48 :
| 1 | 5 | 6 | 4 | 8 | 0 | 7 |
* multiplication de 0 par 326 (rien à faire)
* multiplication de 7 par 326
** 7 × 3 = 21 :
| 1 | 5 | 6 | 6 | 9 | 0 | 7 |
** 7 × 2 = 14 :
| 1 | 5 | 6 | 7 | 0 | 4 | 7 |
** 7 × 6 = 42 :
| 1 | 5 | 6 | 7 | 0 | 8 | 2 |
Le résultat est donc 1 567 082

## Et pour les nombres à virgule ?

La multiplication d'un nombre à virgule par un entier est une opération simple. En écrivant le nombre à virgule, on choisit la colonne qui sera colonne unité. Le résultat final sera alors correctement écrit.
Exemple : Pour multiplier 2,83 par 47. On repère la colonne des unités qui sera la troisième colonne et on écrit 283. On effectue le produit comme dans l'exemple. Le résultat final sera alors 133,01 car la troisième colonne est restée colonne des unités.
La multiplication d'un nombre à virgule par un autre nombre à virgule nécessite une étape supplémentaire.
Exemple : Pour multiplier 480,7 par 3,26, on multiplie 480,7 par 326 en repérant que la colonne des unités est la seconde. On effectue le produit comme dans l'exemple. Le résultat intermédiaire est alors 156 708,2. Comme, en réalité, on devait multiplier par 3,26 et non 326, il faut encore diviser ce nombre par 100, donc déplacer de deux rangées sur la gauche la rangée des unités. Le résultat final est alors 1567,082.