# Introduction

* Figure 4.1 - Energie et vitesse
Avec la physique de Newton, tout problème de mécanique peut être résolu. Mais le problème fondamental de cette dynamique est que toutes les grandeurs utilisées sont en constante évolution au cours du temps. L'idée d'une mécanique se situant au niveau de grandeurs conservées au cours du temps est donc apparue. Nous allons voir que cette "nouvelle" mécanique utilise des grandeurs comme la vitesse. Cela situe cette théorie à un niveau différent de la mécanique de Newton puisque celle-ci, à travers la seconde loi, lie la cause du mouvement à l'accélération, alors que la conservation de l'énergie est liée à la vitesse. On peut résumer cela dans la figure 4.1.
La conséquence mathématique de cette nouvelle situation du problème est que l'intégration nécessaire pour obtenir la vitesse à partir de l'accélération est supprimée. Si la grandeur recherchée est la vitesse (ou la position) le problème est donc considérablement simplifié.

# Travail
## Historiquement

En physique, le travail est une notion bien précise. Elle a pour origine l'expérience simple décrite sur la figure 4.2 :
L'idée est la suivante :
on considère une balance équilibrée par deux masses. La condition d'équilibre veut que :
$m_{gauche}\cdot d_{gauche}=m_{droite}\cdot d_{droite}$
ce qui est le cas sur la figure 4.2.
Maintenant, si on descend la masse $m_{gauche}$ de 10 cm, la masse $m_{droite}$ monte de 20 cm. En effet :
${\frac {0,1}{1}}=\sin(\alpha _{support})={\frac {0,2}{2}}$
Ainsi, on remarque que le produit A du poids de la masse par la hauteur déplacée est le même pour les deux masses :
$A_{gauche}=2\cdot 9,81\cdot 0,1=1\cdot 9,81\cdot 0,2=A_{droite}$
La grandeur $A=F\cdot d$ est donc identique. On peut traduire cette remarque en disant que le travail (A pour Arbeit) pour monter une masse de 1 kg sur une hauteur de 20 cm est le même que celui pour monter une masse de 2 kg sur 10 cm.
Attention, il ne faut pas voir là déjà une conservation. Bien entendu, il y a derrière cette expérience la conservation de l'énergie. Mais le concept de travail utilisé ici, s'il est intimement lié à celui d'énergie potentielle, comme nous le verrons par la suite, reste lié à un déplacement et non à un équilibre, à une situation spatiale des corps utilisés. C'est pourquoi il traduit la naissance de la notion de travail. Cependant cette liaison avec la conservation de l'énergie est assez typique pour que cet exemple ait sa place ici, même si il peut porter à confusion.

## Définition

Voir w:Travail_d'une_force

### Travail simple

La définition la plus simple que l'on puisse envisager est donc :
$A_{F,d}=F\cdot d$
Cette définition correspond au travail A d'une force F s'exerçant sur une masse m que l'on déplace sur une distance d (voir figure 4.3).
Remarquons qu'il s'agit toujours du travail d'une force sur une distance donnée. Parler du travail sans aucune autre précision n'a pas de sens.

### Travail et produit scalaire

Une force qui ne s'exercerait pas parallèlement (et dans le même sens) que le déplacement, ne pourrait pas produire un travail simple. On peut comprendre intuitivement qu'une force s'exerçant perpendiculairement au déplacement ne travaille pas. On peut donc définir le travail d'une manière plus générale :
$A_{F,d}={\overrightarrow {F\cdot }}{\overrightarrow {d}}=\left\Vert {\overrightarrow {F}}\right\Vert \cdot \left\Vert {\overrightarrow {d}}\right\Vert \cos(\alpha )=F\cdot d\cdot \cos(\alpha )$
Cette définition correspond à la situation de la figure 4.4.
Attention, cette définition est valable pour un déplacement rectiligne et une force constante vectoriellement sur tout le déplacement. (constante vectoriellement signifie constante en grandeur et en direction et sens)
Remarquons les cas particuliers de cette définition :
* Si ${\overrightarrow {F}}$ et ${\overrightarrow {d}}$ sont parallèles et de même sens (${\overrightarrow {F}}\left\uparrow \right\uparrow {\overrightarrow {d}}$), alors le travail est positif; on parle de travail moteur.
* Si ${\overrightarrow {F}}$ et ${\overrightarrow {d}}$ sont perpendiculaires (${\overrightarrow {F}}\bot {\overrightarrow {d}}$), alors $\cos(\alpha )=0$ et le travail est nul. On dit que la force ne travaille pas.
* Si ${\overrightarrow {F}}$ et ${\overrightarrow {d}}$ sont parallèles, mais de sens opposés (${\overrightarrow {F}}\left\uparrow \right\downarrow {\overrightarrow {d}}$), alors le travail est négatif; on parle de travail résistant.

### Travail : cas général

Dans ce cas, le déplacement n'est pas forcément rectiligne et la force pas forcément constante vectoriellement. La situation générale correspond donc à la figure 4.5 :
* Figure 4.5 - Travail général
Ainsi, pour déterminer le travail total effectué par la force sur le chemin A-B, il faut décomposer ce dernier en petits bouts de déplacement rectilignes ${\overrightarrow {\Delta l}}$, sur lesquels la force peut être considérée comme vectoriellement constante (c'est-à-dire qu'elle ne change ni en direction, ni en sens, ni en grandeurs).On est ainsi ramené au calcul d'un petit élément de travail $A_{i}$, pour une force ${\overrightarrow {F_{i}}}$ constante, sur un déplacement ${\overrightarrow {\Delta l_{i}}}$ :
$A_{i}={\overrightarrow {F_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\Delta l_{i}}}$
Puis, on somme tous les $A_{i}$ pour obtenir le travail total de A à B :
$A_{AB}\cong \sum _{i=1}^{n}A_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\overrightarrow {F_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\Delta l_{i}}}$
Bien entendu, plus les segments ${\overrightarrow {\Delta l_{i}}}$ sont petits, plus on "colle" au parcours. À la limite, si les ${\overrightarrow {\Delta l_{i}}}$ devenaient infiniment petits, on obtiendrait la valeur exacte du travail sur le trajet AB. On peut donc écrire :
$A_{AB}=\lim _{{\overrightarrow {\Delta l_{i}}}\rightarrow 0}\sum _{i}^{\infty }{\overrightarrow {F_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\Delta l_{i}}}=\int _{A}^{B}{\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {dl}}$
La définition tout-à-fait générale du travail est donc finalement :
$A=\int _{A}^{B}{\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {dl}}$
Finalement, il faut indiquer les unités SI du travail. On a :
$\left[A\right]=\left[F\right]\cdot \left[l\right]=N\cdot m=J=Joules$

### Exemples

* Quel est le travail simple effectué par une force F = 5 N, sur une distance d = 5 m ?
    Solution :
    $A=F\cdot d=5\cdot 5=25J$
* Quel est le travail effectué par le poids d'une cycliste de 60 kg, se déplaçant à 18 km/h, sur une route horizontale ?
    Solution :
    $A=F\cdot d\cdot \cos(\alpha )=F\cdot d\cdot \cos(90)=0J$
* Quel est le travail effectué par une force F = 5 N, s'exerçant avec un angle de 20° par rapport au déplacement, sur une distance de 5 m ?
    Solution :
    $A=F\cdot d\cdot \cos(\alpha )=5\cdot 5\cdot \cos(20)=23,5J$
* Quel est le travail effectué par une force de frottement F = 5 N, sur une distance d = 5 m ?
    Solution :
    $A=F\cdot d\cdot \cos(\alpha )=5\cdot 5\cdot \cos(180)=-25J$
* Quel est le travail effectué par une force $F=l$, colinéaire (parallèle) au déplacement rectiligne et de même sens, sur une distance de 5 m.
    Solution :
    $A=\int _{0}^{5}{\overrightarrow {F\cdot }}{\overrightarrow {dl}}=\int _{0}^{5}F\cdot dl\,\,car{\overrightarrow {F}}\left\uparrow \right\uparrow {\overrightarrow {dl}}$
    $=\int _{0}^{5}l\cdot dl=\left.{\frac {1}{2}}\cdot l^{2}\right|_{0}^{5}={\frac {1}{2}}\cdot (25-0)=12,5\,J$

# Énergie
## Introduction

L'idée d'énergie est intimement liée à celle de travail. En effet, lorsqu'on fournit un travail, quelque chose est produit. Par exemple, on produit de la chaleur par frottement d'un objet sur une table (autrement dit, la force de frottement produit de la chaleur). Cependant, on peut se demander ce qui est produit lorsqu'on fournit un travail pour monter une masse (énergie potentielle) ou pour augmenter sa vitesse (énergie cinétique). En réalité, dans les deux cas on fournit de l'énergie, mais sous une forme différente.

## Énergie potentielle

Quand on travaille pour monter une charge, on produit de l'énergie potentielle. Cette énergie peut être retrouvée si on lâche alors la masse. Arrivé en bas, cette dernière est capable de produire une déformation traduisant un travail. Tout se passe donc comme si l'énergie potentielle était quelque chose de stocké dans la masse alors qu'elle se trouve à une hauteur déterminée. Bien entendu, plus la hauteur est grande, plus l'énergie potentielle est importante (une pierre de 10 g lâchée de 10 m fera plus de dégâts arrivée au sol que la même pierre lâchée de 1 m). De même pour la masse.
Pour déterminer la valeur de l'énergie potentielle contenue dans une masse m placée à une hauteur h, il faut donc calculer le travail que cette masse produit en chutant depuis cette hauteur. Plus précisément, il faut calculer le travail du poids de la masse m se déplaçant sur la hauteur h. On doit donc écrire :
$A={\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {d}}=m{\overrightarrow {g}}\cdot {\overrightarrow {h}}=mg\cdot h$
$=mg\cdot (z_{i}-z_{f})=mgz_{i}-mgz_{f}$
$=E_{pot\,i}-E_{pot\,f}=-\Delta E_{pot}$
où le déplacement h est décomposé en une différence d'altitude $z_{i}-z_{f}$.
On remarque que ce travail se compose de deux parties. Chacune d'elle ne dépend que du lieu où elle est évaluée et de la masse de l'objet. On peut donc appeler chacun de ces termes "énergie potentielle" à la hauteur considérée. Ainsi, le travail se traduit par une différence d'énergie potentielle. Et sa définition prend la forme suivante :
$E_{pot}=m\cdot g\cdot h$

## Énergie cinétique

Quand on travaille pour augmenter la vitesse d'un corps, on produit de l'énergie cinétique.
Pour déterminer la valeur de celle-ci lorsque le corps de masse m passe d'une vitesse $v_{o}$ à une vitesse v, il faut donc calculer le travail pour réaliser cette transformation. On a :
$A={\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {d}}=F\cdot d=ma\cdot d$
$=m\cdot {\frac {v^{2}-v_{o}^{2}}{2\cdot d}}\cdot d={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v_{o}^{2}$
$=E_{cin}-E_{cin\,o}=\Delta E_{cin}$
On remarque que ce travail se compose de deux parties. Chacune d'elle ne dépend que de la vitesse à l'instant considéré et de la masse de l'objet. On peut donc appeler chacun de ces termes "énergie cinétique" pour la vitesse considérée. Ainsi, le travail se traduit par une différence d'énergie cinétique. Et sa définition prend la forme suivante :
$E_{cin}={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}$

## Énergie mécanique

Définissons encore la somme des énergie cinétique et potentielle comme l'énergie mécanique d'une masse m :
$E_{m{\acute {e}}c}=E_{cin}+E_{pot}={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}+m\cdot g\cdot h$
Celle-ci nous sera utile par la suite.

## Exemple

Déterminez l'énergie mécanique d'une masse de 3 kg qui se trouve à un instant donné à une hauteur de 4 m par rapport au repère où l'on considère que l'énergie potentielle est nulle, et se déplace alors à une vitesse de 5 m/s.
    Solution :
    $E_{m{\acute {e}}c}={\frac {1}{2}}\cdot 3\cdot 5^{2}+3\cdot 9,81\cdot 4=155,22\,J$
Bien entendu, on remarque que l'unité de l'énergie est la même que celle du travail, puisque le travail est une différence d'énergie. On a donc :
$\left[E_{m{\acute {e}}c}\right]=\left[E_{cin}\right]=\left[E_{pot}\right]=J$

# Conservation de l'énergie
## Introduction

La notion de conservation est fondamentale en physique. La première grandeur qui pourrait être conservée à laquelle on pense est la masse. Malheureusement, on sait aujourd'hui qu'elle ne l'est pas. Par contre, l'énergie l'est. Nous allons voir dans ce chapitre ce que cela signifie en étudiant le cas de la conservation de l'énergie mécanique. Nous verrons que selon les cas, celle-ci peut aussi ne pas être conservée.

## Théorème de conservation de l'énergie mécanique

L'idée est née de la situation suivante : une masse tombe d'une certaine hauteur ; lorsqu'on la lâche, celle-ci ne possède que de l'énergie potentielle ; en descendant, cette énergie diminue et en même temps, comme la vitesse augmente, son énergie cinétique augmente ; arrivée en bas, la masse n'a plus que de l'énergie cinétique. Tout s'est donc passé comme si l'énergie potentielle s'était transformée en énergie cinétique. Ainsi, on peut dire que l'énergie mécanique, somme d'énergie potentielle et cinétique, est en fait restée constante tout au long de la chute.
Techniquement, on exprime cela de la manière suivante :
$E_{mec}=const.$
Ce qui signifie aussi :
$E_{mec\,2}=E_{mec\,1}$
$E_{mec\,2}-E_{mec\,1}=0$
$\Delta E_{mec}=0$
$ou$
$E_{cin\,2}+E_{pot\,2}-(E_{cin\,1}+E_{pot\,1})=0$
$E_{cin\,2}-E_{cin\,1}+E_{pot\,2}-E_{pot\,1}=0$
$\Delta E_{cin}+\Delta E_{pot}=0$
${\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v_{1}^{2}+m\cdot g\cdot h_{2}-m\cdot g\cdot h_{1}=0$
Toutes ces expressions sont équivalentes. Il est important de bien comprendre que celles-ci signifient que l'énergie mécanique reste la même au cours du temps.
Il est aussi important de dire que cette loi n'est valable qu'en l'absence de frottements. Nous reviendrons par la suite sur cette remarque.

## Exemples

* Un homme saute du plongeoir des 10 m. À quelle vitesse arrive-t-il dans l'eau ?
    Solution :
    En l'absence de frottements, l'énergie mécanique est conservée. Avant de commencer, il est nécessaire de fixer le zéro de l'altitude : on le choisit au niveau de l'eau. Ainsi, on peut évaluer l'énergie mécanique à 10 m de haut et celle au niveau de l'eau. On a :
    $E_{mec\,10m}=E_{cin\,10m}+E_{pot\,10m}$
    $={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot 0^{2}+m\cdot g\cdot 10$
    $=100\cdot m\;(g\cong 10\,m/s^{2})$
    $E_{mec\,eau}=E_{cin\,eau}+E_{pot\,eau}$
    $={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}+m\cdot g\cdot 0$
    $={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}$
    Ainsi, le théorème implique :
    $E_{mec\,eau}-E_{mec\,10m}=0$
    ${\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}-100\cdot m=0$
    $v={\sqrt {200}}$
    $=14\,m/s$
    Pour une hauteur h quelconque, le même calcul mène à :
    $v={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}$
    Remarque :
    Bien évidemment, on retrouve cette même expression en utilisant la cinématique. En effet, pour un MRUA, on a (voir annexe x):
    $v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a\cdot d$
    Pour un objet lâché en chute libre, on a : $a=g$, $d=h$ et $v_{o}=0\,m/s^{2}$.
    Ainsi, on peut écrire :
    $v^{2}=0+2\cdot g\cdot h$
    Ce qui mène à la relation trouvée précédemment.
* Quelle est la hauteur atteinte par un objet qu'on lance verticalement avec une vitesse de 3 m/s ?
    Solution :
    On place le zéro de l'axe au niveau du point de décollage et on l'oriente vers le haut. On peut ainsi déterminer l'énergie mécanique en ce point par :
    $E_{mec\,bas}={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}$
    Car l'énergie potentielle pour h = 0 est nulle.
    D'autre part, au niveau le plus haut atteint par l'objet, sa vitesse étant nulle, l'énergie mécanique vaut :
    $E_{mec\,haut}=m\cdot g\cdot h$
    La conservation de l'énergie implique alors :
    ${\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}=m\cdot g\cdot h$
    $\Rightarrow \quad h={\frac {v^{2}}{2\cdot g}}$
    $\Rightarrow \quad h={\frac {3^{2}}{2\cdot 10}}=0,45\,m$

## Limite du théorème de conservation de l'énergie mécanique

L'idée de conservation de l'énergie implique l'idée de récupérer l'énergie que l'on a fournie. C'est-à-dire qu'il y a des transferts possibles entre différentes formes d'énergie, mais transferts réversibles, et pas de création ni disparition d'énergie du système dans ce cas. Ainsi, quand on augmente l'énergie potentielle d'une masse en la montant, on peut récupérer cette énergie en la laissant redescendre. La possibilité de récupérer l'énergie dépensée est en réalité une propriété de certaines forces dites conservatives. Ce n'est que pour ce type de forces que l'on peut définir la notion d'énergie potentielle. C'est le cas pour le poids, qui est une force conservative, pour laquelle on peut définir une énergie potentielle par $E_{pot}=m\cdot g\cdot h$. Or, toutes les forces ne sont pas conservatives. Pour celles qui ne le sont pas, on ne peut définir d'énergie potentielle. C'est le cas pour la force de frottement par exemple, pour laquelle on ne peut définir d'énergie potentielle.
Ainsi, le théorème de conservation de l'énergie mécanique n'est valable qu'en présence de forces conservatives. Car, dans ce cas, toutes ces forces peuvent être représentées par une énergie potentielle et on peut écrire :
$\Delta E_{mec}=0$
En réalité, en présence de forces non conservatives, on modifie le théorème de la manière suivante :
$\Delta E_{mec}=A_{forces\,non\,conservatives}$
Les conditions qui permettent de déterminer si une force est conservative sont données en annexe x.
pour donner un exemple simple : lorsqu'une bille située en haut d'une pente commence à descendre celle-ci en partant du haut avec une vitesse nulle, cette bille a une énergie mécanique qui sera constante si l'on néglige les frottements et autres forces non conservatives. Cette énergie mécanique = énergie potentielle + énergie cinétique est constante et donc au fur et à mesure de la descente, l'énergie potentielle perdue (baisse de l'altitude la bille) est en fait transformée en énergie cinétique (vitesse de la bille qui augmente). Lors de la remontée de la bille, il se produirait l'inverse : la vitesse diminuerait lors de la montée de la bille (transfert d'énergie cinétique en énergie potentielle).