# Photographie/Mathématiques/Puissances et racines des nombres

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## Puissances à exposant entier positif

La notion de puissance provient d'un cas particulier de produit : par exemple le produit a × b × c est obtenu en multipliant les nombres a, b et c. Si ces trois nombres sont égaux, ce produit devient alors a × a × a, la puissance cubique, ou cube, du nombre a, notée a$^3$, qui se lit « a puissance 3 » ou encore « a au cube ».
Considérons un nombre quelconque a et multiplions n copies de lui-même :
$P={\underbrace {a\times a\times a\times ...\ a} _{n{\text{ fois }}a}}$
Nous dirons que ce nombre a est élevé à la puissance n et nous écrirons :
$P=a\times a\times a\times ...\ a=a^{n}$
Dans cette écriture le nombre n est appelé exposant.
Quand a est égal à 10, nous aurons des valeurs telles que :
10$^1$ = 10
10$^2$ = 10 × 10 = 100
10$^3$ = 10 × 10 × 10 = 1 000
etc.
L'intérêt de cette écriture est évident pour les grands nombres que l'on peut toujours écrire sous la forme d'un facteur allant de 1 à 9, 9999… multiplié par une puissance de 10, par exemple :
1 000 000 000 000 = 1 × 10$^{12}$= 10$^{12}$
61 327 000 000 000 000 = 6, 132 7 × 10$^{16}$
Dans la plupart des cas, il est toutefois préférable d'utiliser des exposants multiples de 3 qui correspondent mieux aux habitudes de la numération : mille, un million, un milliard, etc.
61 327 000 000 000 000 = 61, 327 × 10$^{15}$

## Racines n-ièmes

Prenons maintenant le problème à l'envers. Au lieu de chercher ce qui se passe lorsque nous élevons un nombre à la puissance n, essayons de trouver quel est le nombre inconnu x qui, élevé à la puissance n, donnera un autre nombre N fixé à l'avance :
$x^{n}=N\,$
Par définition, x sera appelé racine n-ième de N. Si n = 2, nous aurons affaire à une racine carrée, si n = 3, à une racine cubique, si n = 4, à une racine quatrième, etc.
La notation habituelle d'une racine est la suivante :
si $x^{n}=N\,$ alors $x={\sqrt[{n}]{N}}$
Bien entendu, la définition que nous venons de donner nous permet d'écrire :
$({\sqrt[{n}]{N}})^{n}=N$
Pour les racines carrées, il est d'usage de ne pas préciser la valeur de n.
Voici quelques exemples numériques :
          racines carrées :
${\sqrt {4}}=2$
${\sqrt {100}}=10$
${\sqrt {2}}=1,414$ (c'est une valeur usuelle !)
${\sqrt {3}}=1,732$ (celle-là aussi !)
          racines cubiques :
${\sqrt[{3}]{8}}=2$
${\sqrt[{3}]{125}}=5$
          racine sixième :
${\sqrt[{6}]{64}}=2$
etc.
* Remarques importantes :
* sauf en faisant appel aux nombres complexes, qui sortent largement du cadre de cet exposé, on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif.
* la racine carrée d'un nombre est PAR DÉFINITION un nombre positif.
* Ainsi, ${\sqrt {4}}=2$ et non pas $-2\,$

## Produits de puissances

Cherchons à calculer le produit de puissances différentes d'un même nombre :
$a^{m}\times a^{n}=\underbrace {a\times a\times ...\ a} _{m{\text{ fois }}a}\times \underbrace {a\times a\times ...\ a} _{n{\text{ fois }}a}=\underbrace {a\times a\times ...\ a} _{m+n{\text{ fois }}a}=a^{m+n}$
* Retenons que $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\,$
Par exemple : 10$^2$ × 10$^3$ = 100 × 1 000 = 100 000 = 10$^5$ = 10$^{2+3}$

## Quotient de puissances

Calculons maintenant le quotient de puissances différentes d'un même nombre:
${\frac {a^{m}}{a^{n}}}={\frac {\overbrace {a\times a\times ...\ a} ^{m{\text{ fois }}a}}{\underbrace {a\times a\times ...\ a} _{n{\text{ fois }}a}}}=a^{m-n}$
Si m > n, l'exposant est positif,
si m = n, l'exposant est nul et le rapport vaut 1
si m < n, l'exposant est négatif.
Par exemple :
${\frac {10^{5}}{10^{3}}}={\frac {100000}{1000}}=100=10^{2}=10^{5-3}$
${\frac {10^{2}}{10^{5}}}={\frac {100}{100000}}=10^{2-5}=10^{-3}={\frac {1}{1000}}={\frac {1}{10^{3}}}$
* Notons au passage que $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
* et retenons que ${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m}\times a^{-n}=a^{m-n}$
Nous pouvons désormais écrire toutes les puissances d'un nombre, par exemple 10, sous une forme unique :
10$^3$ = 1 000
10$^2$ = 100
10$^1$ = 10
10$^0$ = 1
10$^{-1}$ = 1 / 10 = 0,1
10$^{-2}$ = 1 / 100 = 0,01
10$^{-3}$ = 1 / 1 000 = 0,001
Remarques :
* puissances à exposant nul : pour tout nombre a non nul, on pose par convention que a$^0$ = 1. Dans la plupart des cas on admet que c'est vrai également pour a = 0, et donc que 0$^0$ = 1 mais dans certaines circonstances on doit considérer que 0$^0$ est un nombre indéfini.
* puissances à exposant négatif : on considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a$^{-n}$, lu « a puissance moins n », est l'inverse de la puissance n-ième de a, c'est-à-dire :
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
    On comprend qu'il faut exclure 0 de cette définition car l'inclure reviendrait à diviser par 0, ce qui est impossible
    Attention, une puissance de a à exposant négatif n'est pas forcément négative ; par exemple 3$^{-4}$, l'inverse de la puissance quatrième de 3, est bien une puissance à exposant négatif, car -4 est un entier négatif, mais :
$3^{-4}={\frac {1}{3^{4}}}={\frac {1}{3\times 3\times 3\times 3}}={\frac {1}{81}}>0$

## Puissances d'une puissance

Cherchons enfin à calculer la puissance d'une puissance :
$(a^{m})^{n}=\overbrace {{\underbrace {a\times ...\ a} }_{m{\text{ fois }}a}\times {\underbrace {a\times ...\ a} }_{m{\text{ fois }}a}...\times {\underbrace {a\times ...\ a} }_{m{\text{ fois }}a}} ^{n{\text{ fois }}a^{m}}=\underbrace {a\times ...\ a} _{m\times n{\text{ fois }}a}$
* Il en résulte que $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,$
Par exemple :
$(2^{3})^{2}=8^{2}=64=2^{3\times 2}=2^{6}\,$
Cette dernière formule nous permet de noter autrement les racines d'un nombre, car si les exposants sont tels que m = 1/n, il en résulte que mn = 1 et l'on peut alors écrire :
$(a^{\frac {1}{n}})^{n}=a^{1}=a$
$a^{\frac {1}{n}}$ n'est autre que la racine n-ième de a.
* D'où ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$
Par exemple :
${\sqrt {2}}=2^{\frac {1}{2}}=2^{0,5}\approx 1,414$

## Formulaire

* produit de puissances : $a^{m}\times {a}^{n}=a^{m+n}\,$
* quotient de puissances : ${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}\,$ pour tout $a\,$ non nul
* puissance d'une puissance : $(a^{m})^{n}=a^{m\times {n}}\,$
* puissance d'une produit : $(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}\,$
* puissance d'un quotient : $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ pour tout $b\,$ non nul
* produit d'une puissance par son inverse : $a^{n}\times {a}^{-n}={a^{n}}\times {\frac {1}{a^{n}}}={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}=1$
* Mathématiques
* Notion d'angle solide (B)
* Puissances et racines des nombres (B)
* Progressions arithmétiques et géométriques (B)
* Découverte des logarithmes (B)
* Que fait-on avec les logarithmes ? (B)
* Le nombre d'or (AB)