# Fondements des mathématiques/Des preuves de cohérence/Preuve formelle de la cohérence de l'arithmétique formelle

La théorie Finitaire1 permet de formaliser la preuve naturelle de la cohérence de l’arithmétique formelle AF.
Il faut montrer que l’ensemble des axiomes de AF est inclus dans l’ensemble VAF des vérités du modèle VAF0. Tous ces ensembles sont constructibles dans Finitaire1.

## Pourquoi prouver des évidences ?

Les 13 axiomes de AF qui traduisent les 13 règles de production de VAF0 sont évidemment vrais de VAF0. Les moyens de preuve de Finitaire 1 sont suffisants pour établir cette évidence. Quand on écrit une telle preuve formelle, on ne cherche qu’en apparence à prouver l’évidence. Mais ce qu’on fait en vérité c’est éprouver l’efficacité de la formalisation. Si les règles permettent de prouver des évidences, c’est un bon signe. Si elles ne le pouvaient pas, elles seraient très insuffisantes. En prouvant formellement des évidences on cherche à prouver la qualité de la formalisation mais pas les évidences que l’on prouve cependant.

## La vérité de AF1

La preuve suivante de la vérité de l’axiome AF1 qui traduit la règle R1 de VAF0 a une valeur générale. N’importe quel axiome qui traduit une règle de production d’un modèle est vrai pour ce modèle, et la preuve de ceci peut être formalisée dans Finitaire1.
AF1 (pour tout x)(pour tout y)(si x=y alors sx=sy)
AF1 est représenté par
a(rttx)asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)b(rx)sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)(rx))a(rs)sss(rx)
Il faut prouver que AF1 est dans VAF. Montrons qu’il est dans VAF5.
VAF5 =def Union(non-V-Prod(AAF4, VAF4, FAF4), et-V-Prod(AAF4, VAF4, FAF4), ou-V-Prod(AAF4, VAF4, FAF4), ex-V-Prod(AAF4, VAF4, FAF4), tt-V-Prod(AAF4, VAF4, FAF4) )
Montrons que AF1 est dans tt-V-Prod(AAF4, VAF4, FAF4)
tt-V-Prod(AAF4, VAF4, FAF4) =def Extension de (Il existe Z’, Z’’, Z’’’, Z’’’’ tels que Z’ Dans Var Et Z’’ Dans AAF4 Et Z’’’ Dans PAF Et Z’’’’ Dans N Et Z Dans PAF Et Z Egale assZ’Z’’’ Et CZ’’CZ’’’’CZZ’’’ Dans Sub) Moins tt-F-Prod(FAF4)
tt-F-Prod(FAF4) =def Extension de (Il existe Z’, Z’’, Z’’’, Z’’’’ tels que Z’ Dans Var Et Z’’ Dans FAF4 Et Z’’’ Dans PAF Et Z’’’’ Dans N Et Z Dans PAF Et Z Egale assZ’Z’’’ Et CZ’’CZ’’’’CZZ’’’ Dans Sub)
Montrons d’abord que AF1 est dans Extension de (Il existe Z’, Z’’, Z’’’, Z’’’’ tels que Z’ Dans Var Et Z’’ Dans AAF4 Et Z’’’ Dans PAF Et Z’’’’ Dans N Et Z Dans PAF Et Z Egale assZ’Z’’’ Et CZ’’CZ’’’’CZZ’’’ Dans Sub) .
AF1 = ass(rx)asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)b(rx)sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)(rx))a(rs)sss(rx)
Il suffit de choisir
Z’ = rx
Z’’ = asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)bosss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)oa(rs)sss(rx)
Z’’’ = asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)b(rx)sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)(rx))a(rs)sss(rx)
Z’’’’ = o
Il reste à montrer que AF1 n’est pas dans tt-F-Prod(FAF4).
Prouvons (i)
(i) Pour tout z’, z’’, z’’’, z’’’’,
si z’ est dans Var, z’’ est dans FAF4, z’’’ est dans PAF, z’’’’ est dans N et Cz’’Cz’’’’Cz’z’’’ est dans Sub
Alors AF1 ≠ assz’z’’’
On peut prouver facilement si z ≠ rx alors AF1 ≠ assz’z’’’, il reste à montrer que AF1 ≠ ass(rx)z’’’.
Supposons AF1 = ass(rx)z’’’ (hyp).
Alors
z’’’ = asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)b(rx)sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)(rx))a(rs)sss(rx)
z’’= asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)bz’’’sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)z’’’a(rs)sss(rx)
On veut déduire une contradiction à partir de hyp. Il suffit de prouver que z’ n’est pas dans FAF4.
FAF4 =def Union(non-F-Prod(AAF3, VAF3, FAF3), et-F-Prod(AAF3, VAF3, FAF3), ou-F-Prod(AAF3, VAF3, FAF3), ex-F-Prod(AAF3, VAF3, FAF3), tt-F-Prod(FAF3)
Montrons que z’ n’est pas dans tt-F-Prod(FAF3).
Le même raisonnement que ci-dessus peut être répété et on est conduit à vouloir prouver que
si x et y sont dans N alors a(rnon)a(ret)b(a(r=)bxy)a(rnon)a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y n’est pas dans FAF3.
FAF3 =def Union(non-F-Prod(AAF2, VAF2, FAF2), et-F-Prod(AAF2, VAF2, FAF2), ou-F-Prod(AAF2, VAF2, FAF2), ex-F-Prod(AAF2, VAF2, FAF2), tt-F-Prod(AAF2, VAF2, FAF2)
non-F-Prod(AAF2, VAF2, FAF2) =def Ensemble-image par non-P-Prod de VAF2
non-P-Prod =def Fonction a(rnon)X
On veut alors montrer que a(ret)b(a(r=)bxy)a(rnon)a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y n’est pas dans VAF2.
La définition de VAF2 conduit à vouloir montrer que a(r=)bxy et a(rnon)a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y ne sont pas tous les deux dans VAF1.
La définition de VAF1 conduit à vouloir montrer que ou a(r=)bxy n’est pas dans VAF0 ou a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y est dans VAF0, pour tous x et y dans N.
VAF0 =def Ensemble-somme de Ensemble induit par Prod à partir de Singleton de a(r=)boo
Prod =def Fonction Prod1(X) Union (Prod2(X) Union (Prod3(X) Union ... Prod13(X) ))
Supposons que a(r=)bxy soit dans VAF0.
Il y a un w tel que a(r=)bxy est dans w et w est dans Ensemble induit par Singleton de Prod à partir de Singleton de Singleton de a(r=)boo
Im par Prod de w est aussi dans Ensemble induit par Singleton de Prod à partir de Singleton de Singleton de a(r=)boo
Prod =def Fonction Prod1(X) Union (Prod2(X) Union (Prod3(X) Union ... Prod13(X) ))
Im par Prod1 de w est donc inclus dans Im par Prod de w
Prod1 =def Fonction Extension de (Il existe un Z’ tel que Z’ Dans X Et CZ’Z Dans Inst-R1)
Inst-R1 =def Ensemble-image par Rep-R1 de Produit cartésien de Tconst et Tconst
Rep-R1 =def Fonction C(a(r=)bXX’)(a(r=)b(a(rs)X)a(rs)X’)
C(a(r=)bxy)a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y est dans Inst-R1 puisque x et y sont dans N et que N est inclus dans Tconst.
On en conclut que a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y est dans Im par Prod1 de w et donc dans VAF0.
Cela termine cette preuve de la vérité de AF1 dans VAF0. Toutes les étapes n’ont pas toujours été explicitées mais il s’agit à chaque fois de la même technique, expliciter les définitions des ensembles étudiés et déduire avec la logique du premier ordre et les axiomes de Finitaire1 les énoncés que l’on veut prouver. Toutes les étapes de ces preuves, longues à écrire mais rapides à trouver, sont également triviales. Elles consistent essentiellement à vérifier qu’on n’a pas oublié de mentionner toutes les règles évidentes dans les axiomes de Finitaire1.

## La vérité de AF14

Il reste à prouver que les représentants de AF14, AF15 et des axiomes d’induction complète sont dans VAF.
AF14 Pour tous x et y, si x<y alors non(x=y)
AF14 est représenté par
a(rttx)asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r<)b(rx)sss(rx))a(r=)b(rx)sss(rx)
Le même raisonnement que pour AF1 conduit à vouloir montrer que a(r<)bxy n’est pas dans VAF0 ou a(r=)bxy n’est pas dans VAF0, pour tous x et y dans N.
On va prouver que VAF0 est inclus dans VAF0 Moins Absurd1
Absurd1 =def Im par Egal-P-Prod de Extension de (Z Dans N Et Z’ Dans N Et Non Z Egale Z’).
Soient PVAF =def Ensemble induit par Prod à partir de Singleton de a(r=)boo.
Montrons que pour tout z dans PVAF z = z Moins Absurd1
Comme o = o, a(r=)boo n’est pas dans Absurd1, donc Singleton de a(r=)boo = Singleton de a(r=)boo Moins Absurd1
Soit z dans PVAF tel que z = z Moins Absurd1.
On peut montrer Prod2(z) Moins Absurd1 =Prod2(z) parce que les éléments de Prod2(z) sont tous de la forme a(r<)buv. De même pour Prod3(z), Prod12(z) et Prod13(z). Pour Prod4(z) à Prod9(z), leurs éléments sont tous de la forme a(r=)b(a(r+)buv)w ou a(r=)b(a(r.)buv)w et ne sont donc pas dans Absurd1. Les éléments de Prod1(z), Prod10(z) et Prod11(z) ne sont pas dans Absurd1 parce que les éléments de z ne sont pas dans Absurd1. On en conclut que Prod(z) Moins Absurd1 = Prod(z).
Par induction complète on conclut que pour tout z dans PVAF z = z Moins Absurd1.
Il est alors facile de prouver que VAF0 = Ensemble-somme de PVAF = VAF0 Moins Absurd1
On peut prouver de la même façon que VAF0 = VAF0 Moins Absurd2 Absurd2 =def Im par <-P-Prod de Extension de Z Dans N et Z’ Dans N et Z Egale Z’.
Supposons alors que a(r=)bxy soit dans VAF0 et que x et y sont dans N.
Comme a(r=)bxy n’est pas dans Absurd1, x = y. Comme a(r<)bxx est dans Absurd2, a(r<)bxy n’est pas dans VAF0. Cela termine cette preuve abrégée de la vérité de AF14. La vérité de AF15 peut être prouvée par un raisonnement semblable.

## La vérité des axiomes d’induction complète

Soit AxIC l’ensemble des (représentants des) axiomes d’induction complète.
AxIC= Ensemble-somme de Image par IC-Prod de PAF
Si P est dans PAF, IC-Prod(P) est l’ensemble fini des axiomes d’induction complète qu’il définit. Ic-Prod(P) contient autant d’éléments que le prédicat P a de variables libres. La construction de AxIC est laborieuse mais elle ne pose pas de difficultés de principes parce qu’il s’agit d’une question décidable. Une démarche semblable aux preuves de vérités des autres axiomes conduit alors à vouloir prouver que les trois hypothèses suivantes sont mutuellement contradictoires pour un élément P de PAF, et n+1 éléments c, c1, ...., cn de N,
(i) la formule qui traduit P(0, c1, ...., cn) , c’est à dire la substitution de 0 à l’une des variables x de P et de c1, ...., cn aux autres variables, est un élément de VAF.
(ii) la formule qui traduit (pour tout x, si P(x, c1, ...., cn) alors P(sx, c1, ...., cn) ) est dans VAF
(iii) la formule qui traduit non P(c, c1, ...., cn) est dans VAF
La preuve de cette contradiction est rendu aisée par le fait que VAF est clos par l’opération de conséquence logique, autrement dit, si une formule est la conséquence logique de formules qui sont dans VAF alors elle est aussi dans VAF.
Toutes ses preuves sont longues à écrire mais elles ne posent pas de véritables difficultés autres que la précision des définitions. Le raisonnement est une simple traduction formalisée du raisonnement mis en œuvre dans la preuve naturelle.
Cela termine cette preuve abrégée que Finitaire1 permet de prouver la cohérence de AF.