# Analyse/Équation différentielle

* Définition
* Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est la fonction y(x) et où peuvent figurer les fonctions y', y'' et la variable x.
Exemples :
* $y'+y=0\,$.
* $y'-2xy=-3\,$.

## Équation différentielle du premier ordre

* Définition
* Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle comporte la fonction inconnue ainsi que sa dérivée première.
Exemple :
* $y'+2y=0\,$.

### Équation différentielle linéaire du premier ordre

* Définition
* {{{1}}}
Exemples :
* $4y'+2y=3x+1\,$.
* $y'+cos(y)=0\,$. n'est pas une équation linéaire (voir Équation linéaire).

### Résolution
#### Équation sans second membre

$xy'-y=0\,$ $xy'=y\,$ $y'/y=1/x\,$ $ln|y|=ln|x|+k\,$ $y(x)=exp(ln|x|+k)\,$ $y(x)=Kx\,$ (avec K = K1 si x>0 ou K = -K1 si x<0) avec $K=exp(k)\,$

#### Exercices

Résoudre $xy'+2y=0\,$
* $xy'+2y=0\,$ $xy'=-2y\,$ $y'/y=-2/x\,$ $ln(y(x))=-2lnx+k\,$ $y(x)=exp(-2ln(x))exp(k)\,$ $y(x)=Kx^{-2}=K/x^{2}\,$

#### Équation avec second membre

$(x+1)y'+2y=1/(x+2)\,$ (que l'on nomme (1))
* On y associe une équation sans second membre : $(x+1)y'+2y=0\,$ (que l'on nomme (0))
* La solution générale de (1) s'obtient en ajoutant la solution générale de (0) à la solution particulière de (1).
* On résoud l'équation sans second membre (0). Cela donne la solution générale de (0).
$(x+1)y'+2y=0\,$ $(x+1)y'=-2y\,$ $y'/y=-2/(x+1)\,$ $ln(y)=-2ln(x+1)+k\,$ $y(x)=exp(-2ln(x+1))exp(k)\,$ $y(x)=K\times 1/(x+1)^{2}\,$
* On cherche la solution particulière de (1). Pour cela on fait varier la constante K. $K\Rightarrow K(x)$. Ainsi $y(x)=K(x)\times 1/(x+1)^{2}\,$ et $y'(x)=K'(x)\times 1/(x+1)^{2}+K(x)\times (-2/(x+1)^{3})\,$. On insère dans (1). $(x+1)[K'(x)\times 1/(x+1)^{2}+K(x)\times (-2/(x+1)^{3})]+2K(x)\times 1/(x+1)^{2}=1/(x+2)\,$ $K'(x)\times 1/(x+1)=1/(x+2)\,$ $K'(x)=(x+1)/(x+2)\,$ or $(x+1)=(x+2)-1\,$ ainsi $K'(x)=(x+2)/(x+2)-1/(x+2)\,$ $K(x)=x-ln(x+2)+k\,$
* La solution particulière de (1) est $Yp(x)=(x-ln(x+2))/(x+1)^{2}\,$ et la solution générale de (1) est la somme de la solution générale de (0) et de la solution particulière de (1) soit $Y(x)=K/(x+1)^{2}+(x-ln(x+2))/(x+1)^{2}\,$

#### Résolution

* On divise par $y^{n}\,$ $A(x)y'y^{-n}+B(x)y^{1-n}=C(x)\,$ On pose $z(x)=y^{1-n}\,$ Ainsi $z'(x)=(1-n)y^{-n}y'\,$ On obtient $(A(x)z'(x))/(1-n)+B(z)z(x)=C(x)\,$que l'on peut résoudre. On revient ensuite à la fonction $y(x)=(z(x))^{1/(1-n))\,$.
Exemple : $xy'+y=y^{3}\,$ (ici y$_n$ = y$_3$).
* On divise par y$_3$. Ainsi $x\times y'/y^{3}+y/y^{3}=1\,$ ou $xy'y^{-3}+y^{-2}=1\,$. On pose $z(x)=y^{-2}\,$ et $z'(x)=-2y^{-3}y'\,$ et on effectue le changement $x/-2\times z'(x)+z(x)=1\,$
* On résout l'équation sans second membre : $x/-2\times z'(x)+z(x)=0\,$ $z'(x)=2/x\times z(x)\,$ $z'(x)/z(x)=2/x\,$ $ln(z(x))=2ln(x)+k\,$ $z(x)=exp(ln(x^{2})+k)=Kexp(x^{2})\,$ avec $K=exp(k)\,$
* On fait varier la constante K, $K\Rightarrow K(x)\,$ $z(x)=K(x)\times x^{2}$ et $z'(x)=K'(x)x^{2}+2K(x)\,$ On insère dans (1): $x/-2[K'(x)x^{2}+2K(x)x]+K(x)x^{2}=1\,$ $-1/2\times K'(x)x^{3}-K(x)x^{2}+K(x)x^{2}=1\,$ $K'(x)=-2x^{-3}$ $K(x)=x^{-2}+C\,$ Ainsi $z(x)=(-2x^{-2}+2)x^{2}\,$ $z(x)=1+Cx^{2}\,$ $z(x)=1/y^{2}\Rightarrow y^{2}=1/z=1/(1+Cx^{2})\,$ Si $1+Cx^{2}>0\,$alors $y(x)=\pm 1/{\sqrt {1+Cx^{2}}}\,$

## Équation différentielle du deuxième ordre

* Définition
* Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation différentielle contenant y" et éventuellement y', y et la variable x.
Exemple :
* $xy''-y=0\,$