# Calcul tensoriel/Appendices
### Équations de Lagrange

Étant donné un système de coordonnées quelconque $x_{i}$, une variable $\tau$ permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables $x_{i}$ et leur dérivée totale par rapport à $\tau$ ${\dot {x}}_{i}$. On veut trouver une trajectoire $x_{i}\left(\tau \right)$ d'extrémités données $\tau _{1}$ et $\tau _{2}$, qui minimise l'intégrale
    $\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}L\left(x_{i},{\dot {x}}_{i}\right)d\tau$
Considérons une trajectoire infiniment voisine $x'\left(\tau \right)=x\left(\tau \right)+\epsilon \xi \left(\tau \right)$ avec $\epsilon$ un infiniment petit et $\xi \left(\tau _{1}\right)=\xi \left(\tau _{2}\right)=0$. Supposant que les solutions sont trouvées et $\xi \left(\tau \right)$ donné, la fonction
    $S\left(\epsilon \right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(L\left(x_{i},{\dot {x}}_{i}\right)+\epsilon \xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+\epsilon {\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}+o\left(\epsilon \right)\right)d\tau$
est minimale pour $\epsilon =0$ :
    $0=\left[{\frac {dS}{d\epsilon }}\right]\left(0\right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+{\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau$
Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que $\xi$ a été supposée nulle aux bornes, on a
    $0=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-\xi \left(\tau \right){\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau$
Comme la fonction $\xi$ est quelconque, on doit avoir
    ${\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}=0$
* Remarques
** En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
** Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.

### Calcul tensoriel/Appendices/Symbole de Levi-Civita d'ordre N
#### Définition

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N, $\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$, aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.
Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.
Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a apriori $4^{4}=256$ valeurs possibles du symbole. Le symbole $\epsilon _{ttxz}$ vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour $\epsilon _{txyz}$, alors on aura $\epsilon _{txzy}=-1$, $\epsilon _{tyxz}=+1$, $\epsilon _{tyzx}=-1$, etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.

#### Tenseur dualiseur

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention $\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}=\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$. En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.