# CMC/3e/Racines carrées/Exercices

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# Exercices sur les racines carrées
## Exercices de simplification
### Avec la propriété de la multiplication
#### Exercice : Simplifier sous la forme $a{\sqrt {b}}$ avec b = 2

| ${\sqrt {8}}=...\,$ ${\sqrt {32}}=...\,$ ${\sqrt {200}}=...\,$ $3{\sqrt {50}}=...\,$ $-2{\sqrt {18}}=...\,$ | Solution ${\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}\,$ ${\sqrt {32}}=4{\sqrt {2}}\,$ ${\sqrt {200}}=10{\sqrt {2}}\,$ $3{\sqrt {50}}=15{\sqrt {2}}\,$ $-2{\sqrt {18}}=-6{\sqrt {2}}\,$ |

#### Exercice : Simplifier sous la forme $a{\sqrt {b}}$ avec b = 3

| ${\sqrt {12}}\,$ ${\sqrt {75}}\,$ ${\sqrt {243}}=...\,$ $2{\sqrt {48}}=...\,$ $-10{\sqrt {27}}=...\,$ | Solution ${\sqrt {12}}=2{\sqrt {3}}\,$ ${\sqrt {75}}=5{\sqrt {3}}\,$ ${\sqrt {243}}=9{\sqrt {3}}\,$ $2{\sqrt {48}}=8{\sqrt {3}}\,$ $-10{\sqrt {27}}=-30{\sqrt {3}}\,$ |

#### Exercice : Simplifier sous la forme $a{\sqrt {b}}$ avec b entier le plus petit possible

| ${\sqrt {27}}=...\,$ ${\sqrt {128}}=...\,$ $3{\sqrt {24}}=...\,$ $5{\sqrt {126}}=...\,$ $-3{\sqrt {180}}=...\,$ | Solution ${\sqrt {27}}=3{\sqrt {3}}\,$ ${\sqrt {128}}=8{\sqrt {2}}\,$ $3{\sqrt {24}}=6{\sqrt {6}}\,$ $5{\sqrt {126}}=15{\sqrt {14}}\,$ $-3{\sqrt {180}}=-18{\sqrt {5}}\,$ |

#### Exercice : Simplifier sous la forme $a{\sqrt {b}}$ avec b entier le plus petit possible

| ${\sqrt {3}}\times {\sqrt {12}}=...\,$ ${\sqrt {3}}{\sqrt {75}}=...\,$ $3{\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=...\,$ ${\sqrt {5}}\times {\sqrt {32}}=...\,$ | Solution ${\sqrt {3}}\times {\sqrt {12}}=...\,$ ${\sqrt {3}}{\sqrt {75}}=...\,$ $3{\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=...\,$ ${\sqrt {5}}\times {\sqrt {32}}=...\,$ |

### Avec la propriété de la division
#### Exercice : Simplifier sous la forme $a{\sqrt {b}}$ avec b entier le plus petit possible, a pouvant être une fraction

| ${\frac {\sqrt {128}}{\sqrt {2}}}=...\,$ ${\frac {\sqrt {300}}{\sqrt {3}}}=...\,$ ${\frac {6{\sqrt {175}}}{\sqrt {7}}}=...\,$ ${\frac {\sqrt {80}}{\sqrt {45}}}=...\,$ | Solution ${\frac {\sqrt {128}}{\sqrt {2}}}=...\,$ ${\frac {\sqrt {300}}{\sqrt {3}}}=...\,$ ${\frac {6{\sqrt {175}}}{\sqrt {7}}}=...\,$ ${\frac {\sqrt {80}}{\sqrt {45}}}=...\,$ |

#### Exercice : Simplifier pour qu'il n'y ait plus de racines carrées au dénominateur

| ${\frac {-8}{\sqrt {13}}}=...\,$ ${\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {6}}}=...\,$ ${\frac {4}{3{\sqrt {3}}}}=...\,$ ${\frac {2-{\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}=...\,$ | Solution ${\frac {-8}{\sqrt {13}}}=...\,$ ${\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {6}}}=...\,$ ${\frac {4}{3{\sqrt {3}}}}=...\,$ ${\frac {2-{\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}=...\,$ |

## Exercices de type "brevet des collèges"
### Exercice : Réduire les écritures des nombres suivants

| $9{\sqrt {2}}\times 7{\sqrt {3}}\times 2{\sqrt {18}}\,$= ${\sqrt {4+36}}\,$ $5{\sqrt {11}}\times (-5){\sqrt {22}}\,$ ${\sqrt {18}}-{\sqrt {2}}\,$ | Solution $9{\sqrt {2}}\times 7{\sqrt {3}}\times 2{\sqrt {18}}\,$ ${\sqrt {4+36}}\,$ $5{\sqrt {11}}\times (-5){\sqrt {22}}\,$ ${\sqrt {18}}-{\sqrt {2}}\,$ |

### Exercice : Ecrire C et D sous la forme $a{\sqrt {3}}$ où a est un entier

| $C={\sqrt {18}}\times {\sqrt {6}},$ $D=5{\sqrt {12}}+6{\sqrt {3}}-{\sqrt {300}}\,$ | Solution $C=6{\sqrt {3}}\,$ $D=6{\sqrt {3}}\,$ |

### Exercice : Ecrire A sous la forme d'un nombre entier et B sous la forme $a{\sqrt {3}}$ où a est un entier

| $A=(3{\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)-2{\sqrt {2}}\,$ $B=5{\sqrt {27}}+{\sqrt {75}}\,$ | Solution $A=(3{\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)-2{\sqrt {2}}\,$ $B=5{\sqrt {27}}+{\sqrt {75}}\,$ |

### Exercice

ABCD est un rectangle tel que $\scriptstyle {AB={\sqrt {2000}}}$ et $\scriptstyle {BC={\sqrt {1000}}}$.
* La longueur est-elle le double de la largeur ? Pourquoi ?
* Exprimer $\scriptstyle {\sqrt {2000}}$ sous la forme $\scriptstyle {a{\sqrt {5}}}$ et $\scriptstyle {\sqrt {1000}}$ sous la forme $\scriptstyle {b{\sqrt {10}}},$ où a et b sont des entiers.
* Exprimer l’aire du rectangle sous la forme $\scriptstyle {c{\sqrt {2}}}$ , où c est un entier.
* Montrer que la périmètre du rectangle peut s’écrire sous la forme $\scriptstyle {20{\sqrt {5}}(2+{\sqrt {2}})}$