# Théorème de Pythagore (E-M)

Le théorème de Pythagore permet de calculer des distances dans un triangle rectangle ou de vérifier si un triangle est rectangle connaissant ses côtés.

## Calculs de distances
### Applications directes

Dans ces exercices, le triangle rectangle est donné
* Exercice 1
    Le triangle ABC est rectangle en A. Sachant que AB = 3 et que AC = 4, calculer BC.
    Le triangle ABC est rectangle en A donc $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$.
    Comme AB = 3 et AC = 4, on aura $BC^{2}=9+16=25$ donc BC = 5.
* Exercice 2
    Le triangle MNP est rectangle en P. Sachant que MN = 13 et que NP = 5, calculer MP.
    Le triangle MNP est rectangle en P donc $MP^{2}+NP^{2}=MN^{2}$.
    Comme MN = 13 et NP = 5, on aura $169=MP^{2}+25$, donc $MP^{2}=144$ , puis MP = 12.

### Formules à connaitre

Dans les exercices suivants, il s'agit de trouver quel est le triangle rectangle qu'il faut utiliser
* Exercice 1
    Montrer que dans un carré de côté a, la diagonale est $a{\sqrt {2}}$
    Si on nomme le carré ABCD, on obtient un triangle ABC rectangle en B. La diagonale du carré correspond à AC.
    Le théorème de Pythagore permet d'écrire que $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}$.
    Donc $AC={\sqrt {2a^{2}}}=a{\sqrt {2}}$
* Exercice 2
    Montrer que dans un cube de côté a, la diagonale est $a{\sqrt {3}}$
    Si on nomme le cube ABCDEFGH, on peut remarquer que le triangle ACG est rectangle en C. La longueur AG correspond à la diagonale du cube.
    Le théorème de Pythagore permet d'écrire que $AG^{2}=AC^{2}+CG^{2}$.
    AC est la diagonale du carré ABCD donc $AC^{2}=2a^{2}$.
    CG est une arête du cube don $CG^{2}=a^{2}$.
    Donc $AG^{2}=2a^{2}+a^{2}=3a^{2}$ et $AG={\sqrt {3a^{2}}}=a{\sqrt {3}}$.
* Exercice 3
    Montrer que dans un triangle équilatéral de côté a, la hauteur est $a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$
    On nomme le triangle équilatéral ABC et on appelle I le milieu de [AB]. Le segment [CI] est alors médiane, médiatrice et hauteur du triangle. Le triangle CIA est alors rectangle en I.
    Le théorème de Pythagore permet d'écrire que $CA^{2}=CI^{2}+IA^{2}$.
    On remplace alors CA par a et IA par a/2
    $a^{2}=CI^{2}+{a^{2} \over 4}$ donc ${3a^{2} \over 4}=CI^{2}$.
    Donc $CI={\sqrt {\frac {3a^{2}}{4}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$

### Utilisation dans l'espace

* Exercice 1
    (S) est une sphère de centre O et de rayon 8 cm. On coupe cette sphère par un plan dont la distance à O est de 5 cm. Quel est le rayon du cercle obtenu?
    On appelle H le projeté orthogonal du point O sur le plan de coupe. Si M est un point commun de la sphère et du plan, on a
** OM = 8 car M est sur la sphère.
** OHM est un triangle rectangle en H car M est dans le plan.
    Le théorème de Pythagore permet d'écrire que $OM^{2}=OH^{2}+HM^{2}$.
    On sait que OH = 5 et OM = 8 donc $64=25+HM^{2}$ donc $HM^{2}=39$
    Le point M est donc sur un cercle de centre H et de rayon ${\sqrt {3}}9$
* Exercice 2
    (SABCD) est une pyramide dont la base est un carré ABCD de côté 6 cm et de centre O. Le sommet S de la pyramide se projette orthogonalement en O. La hauteur de la pyramide est de 4 cm.
** Quelle est la longueur SA ?
** Quelle est la valeur de l'apothème (segment joignant le sommet de la pyramide et le milieu d'un côté) ?
    1. Le triangle SOA est rectangle en O.
       Le théorème de Pythagore permet d'écrire $SO^{2}+OA^{2}=SA^{2}$
       OA est la demi-diagonale du carré de côté 6 donc $OA=3{\sqrt {2}}$ et $OA^{2}=18$. D'autre part SO = 4
       On remplace alors $SA^{2}=16+18=34$ donc $SA={\sqrt {34}}$
    2. Si I est le milieu de [AB], [SI] est médiane, médiatrice et hauteur du triangle isocèle SAB donc le triangle SIA est rectangle en I.
       Le théorème de Pythagore permet d'écrire que $SA^{2}=SI^{2}+IA^{2}$.
       $SA^{2}=34$ et IA = 3 donc $34=SI^{2}+9$ donc $SI^{2}=25$ donc SI = 5
* Exercice 3
    Le développement d'un cône est une portion de cercle de rayon 8 cm et d'angle au centre 180°. Quelle est la hauteur du cône?
    Le cône reconstitué aura pour hauteur h, sa base sera un cercle de centre O et de rayon r. Si M est un point du cercle de base et S est le sommet du cône, par construction du développement, on aura SM = 8. Le triangle SOM est rectangle en O. Le théorème de Pythagore permet d'écrire :
    $SO^{2}+OM^{2}=SM^{2}$. Soit en remplaçant $h^{2}+r^{2}=64$
    Pour déterminer h, il faut donc connaître r.
    La portion de cercle qui constitue le développement de cône correspond à un demi-cercle (180° est la moitié de 360°). La longueur de l'arc est donc égale au demi-périmètre soit ${\frac {1}{2}}2\times \pi \times 8$, soit $8\pi$.
    Dans le cône reconstitué, cette longueur correspond au périmètre du cercle de base, soit $2\pi r$. Par comparaison, on obtient r = 4.
    Il suffit maintenant de compléter l'égalité de Pythagore précédente : $h^{2}+16=64$ soit $h^{2}=48=4^{2}\times 3$ donc $h=4{\sqrt {3}}$

### Recherche

* Exercice 1
    Il s'agit de retrouver le théorème d'Al Kashi dans le cas où le triangle ABC possède en A un angle aigu. (connaissance requise : cosinus dans le triangle rectangle).
    On considère un triangle ABC. L'angle de sommet A est aigu. On note a = BC, b = CA et c = AB. Soit H le pied de la hauteur issue de B. On note h = BH et d = AH
** Exprimer HC en fonction de d et b
** Exprimer $a^{2}$ en fonction de d,b et h
** Exprimer $h^{2}$ en fonction de d et c et en déduire $a^{2}$ en fonction de d, b et c
** Exprimer d en fonction de c et cos(A) et retrouver la formule : $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)$
    1. L'angle A étant aigu, le point H est sur le segment [AC], donc HC = b - d.
    2. Le triangle BHC est rectangle en H donc $BC^{2}=BH^{2}+HC^{2}$.
       En remplaçant par les notations de l'énoncé, on a $a^{2}=h^{2}+(b-d)^{2}=h^{2}+(b^{2}-2bd+d^{2})$.
    3. Le triangle BHA est rectangle en H donc $BA^{2}=BH^{2}+HA^{2}$.
       En remplaçant par les notations de l'énoncé $c^{2}=h^{2}+d^{2}$ donc $h^{2}=c^{2}-d^{2}$.
       On peut alors remplacer dans l'égalité précédente: $a^{2}=(c^{2}-d^{2})+(b^{2}-2bd+d^{2})$, puis simplifier,
       $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bd$
    4. Le triangle BHA est rectangle en H. BA (= c) est l'hypoténuse et AH (= d) est le côté adjacent donc $\cos(A)={\frac {d}{c}}$ donc $d=c\cos(A)$. On remplace alors dans l'égalité précédente: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)$

## Triangle rectangle ou non?

* Exercice 1
    Soit BCD un triangle tel que $BC=7$, $CD=3{\sqrt {3}}$ et $BD=3{\sqrt {2}}$. Le triangle est-il rectangle ? Si oui, où se trouve l'angle droit ?
    Le carré d'un des côtés est-il égal à la somme des carrés des deux autres côtés ?
    $BC^{2}=49\,$, $CD^{2}=9\times 3=27$ et $BD^{2}=9\times 2=18$.
    Seul le plus grand des carrés peut être égal à la somme des deux autres. Le plus grand des carrés est 49 mais $27+18\neq 49$. Le triangle n'est donc pas rectangle.
* Exercice 2
    Soit RAS un triangle tel que $RA=6$, $AS=10$ et $RS=8$. Le triangle est-il rectangle ? Si oui, où se trouve l'angle droit ?
    Le carré d'un des côtés est-il égal à la somme des carrés des deux autres côtés ?
    $RA^{2}=36$, $AS^{2}=100$ et $RS^{2}=64$.
    Seul le plus grand des carrés peut être égal à la somme des deux autres. Le plus grand des carrés est 100 et $36+64=100$. On a bien $AS^{2}=RA^{2}+RS^{2}$, le triangle est donc rectangle en R.
* Exercice 3 (recherche)
    Si ABC est un triangle rectangle en A, peut-on, en ajoutant une unité à chacune des dimensions, conserver un triangle rectangle ?
    On note a = BC, b = CA, c = AB. Le triangle est rectangle en A donc le théorème de pythagore permet d'écrire $a^{2}=b^{2}+c^{2}$
    Si on ajoute une unité à chacun des côtés, on obtiendra un triangle dont les dimensions sont a + 1, b + 1 et c + 1. La plus grande des dimensions reste a + 1
    Si le nouveau triangle est encore rectangle, on doit avoir
       $(a+1)^{2}=(b+1)^{2}+(c+1)^{2}$
    Ce qui donne après développement
       $a^{2}+2a+1=b^{2}+2b+1+c^{2}+2c+1$
    Or on sait que $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, donc, en simplifiant on obtient :
       2a = 2b + 2c + 1
    Soit encore
       a = b + c + 1/2
    Mais l'inégalité triangulaire affirme que $a\leq b+c$ donc il n'est pas possible que a = b + c + 1/2. Il est donc IMPOSSIBLE de conserver un triangle rectangle en augmentant toutes les dimensions d'une unité.