# Électronique/Le fonctionnement en petits signaux des transistors

Dans le chapitre précédent, nous avons vu quelles sont les relations entre tensions et courants d'entrée/sortie d'un transistor. Dans cette section, nous allons étudier ce qui se passe quand on place un signal alternatif sur l'entrée d'un transistor. Pour être plus précis, nous allons étudier le fonctionnement d'un transistor soumis à des petits signaux. Par "petits signaux", on veut dire les signaux de faible amplitude, qui sont des déviations par rapport à une tension continue. Dans le reste du cours, nous allons décomposer les signaux en deux sous-signaux : un signal continu qui sert à polariser le transistor, et un signal effectif, qui est amplifié par le transistor. Le premier sera écrit en majuscules, alors que l'autre l'est en minuscules. Par exemple, la tension $V_{A}$ se décompose comme suit :
    $V_{A}(t)=VA+va(t)$, avec $va(t)<<VA$.
Précisons que la plupart des équations d'un transistor ne sont pas conservées quand on rentre dans le cadre du "petit signal". À la place, elles sont remplacées par des équations en petits signaux, qui décrivent comment un transistor réagit quand on lui envoie des signaux alternatifs de petite amplitude sur son entrée. On peut les dériver des équations habituelles, en décomposant chaque variable entre composante alternative et continue, avant de faire diverses manipulations algébriques. En règle générale, les équations en petits signaux s'obtiennent en prenant la dérivée des équations normales. Une conséquence est que les équations linéaires sont conservées telles qu’elles en petits signaux. Précisons que, par exemple, c'est le cas de l'équation $I_{C}=\beta I_{B}$, qui devient :
    $ic(t)=\beta \cdot ib(t)$
L'analyse d'un circuit en petit signal demande de faire quelques manipulations, surtout s'il utilise des transistors (bipolaire ou à effet de champ). Toutes ces manipulations doivent être faites sur le schéma électrique du circuit. Rappelons que les circuits qui fonctionnent en petits signaux doivent être polarisés, histoire de régler les entrées et sorties à des valeurs adéquates.
* Premièrement, il faut remplacer le transistor par un modèle équivalent en petits signaux des transistors utilisés. Et il faut calculer les différents paramètres de ce modèle équivalent à partir des données du circuit.
* Deuxièmement, il faut remplacer les sources de tension et de courant continu, qui disparaissent du circuit. Les sources de tension sont remplacées par un court-circuit, et les sources de courant par un circuit ouvert. De plus, la tension d'alimentation est remplacée par la masse. Intuitivement, c'est lié au fait que l'on filtre les tensions/courants continus pour ne garder que les signaux alternatifs. Pas besoin de tenir compte des tensions/courants continus, ce qui fait que leurs sources disparaissent.
Dans ce qui suit, nous allons établir les différents modèles équivalents d'un transistor en petits signaux. Nous allons commencer par voir les BJT, avant de passer aux FET (aux MOSFET pour être plus précis). Nous allons d'abord voir les MOSFET avant de passer aux BJT. La raison à cela est que tout est plus simple avec les MOSFETs, alors que l'étude est plus compliquée pour les BJTs.

## Les FETs en petits signaux

Le modèle équivalent d'un transistor en petit signaux, sur lequel on ne représente que les petits signaux, est illustré ci-contre. On voit qu'il se résume en une source de courant (définie par le produit de la transconductance et de $vgs(t)$), qui est mise en parallèle d'une conductance de sortie, liée à l'effet Early. En général, on ne doit pas tenir compte de la résistance de sortie, car elle a une valeur assez faible sur les MOSFET. Et c'est la même chose pour la résistance d'entrée, qui est tellement importante qu'on peut considérer qu'elle est équivalente à un circuit ouvert. Le MOSFET se résume alors à une source de courant définie par sa transconductance.

### La transconductance d'un FET

Dans ce qui va suivre, nous allons déterminer la transconductance dynamique d'un FET. Partons de l'équation suivante, démontrée dans le chapitre sur les FET :
    $I_{d}={\frac {1}{2}}\cdot k\cdot (V_{GS}-V_{T})^{2}$
On décompose la tension Vgs en sa composante continue et le signal alternatif $V_{GS}=VGS+v_{gs}(t)$. En injectant dans l'équation précédente, on trouve :
    $I_{d}={\frac {1}{2}}\cdot k\cdot (VGS+v_{gs}(t)-V_{T})^{2}$
En développant, on trouve :
    $I_{d}={\frac {1}{2}}\cdot k\cdot (VGS-V_{T})^{2}+k\cdot (VGS-V_{T})\cdot v_{gs}(t)+{\frac {1}{2}}\cdot k\cdot v_{gs}(t)^{2}$
Le premier terme est la composante continue et on peut l'éliminer pour ne garder que la composante alternative. Ce qui donne :
    $i_{d}(t)=k\cdot (VGS-V_{T})\cdot v_{gs}(t)+{\frac {1}{2}}\cdot k\cdot v_{gs}(t)^{2}$
Le second terme est une distortion qui ruine la linéarité de la relation entre $i_{d}(t)$ et $v_{gs}(t)$. Mais on peut la négliger si la tension $v_{gs}(t)$ est assez faible. On a alors :
    $i_{d}(t)=k\cdot (VGS-V_{T})\cdot v_{gs}(t)$
On peut reformuler cette équation comme suit :
    $i_{d}(t)=g_{m}\cdot v_{gs}(t)$, avec : $g_{m}=k\cdot (VGS-V_{T})$.

### La conductance d'Early

Au modèle précédent, on peut rajouter une résistance $r_{0}$ pour modéliser l'effet Early et sa valeur est d'ailleurs la suivante, avec Va la tension d'Early :
    $r_{0}\approx {\frac {V_{a}}{I_{d}}}$

## Les BJTs en petits signaux

Il existe plusieurs modèles équivalents d'un BJT, le plus connu étant appelé le modèle hydride-pi. Celui-ci est illustré ci-contre. Il s'agit d'un modèle très simple, mais qui suffit pour une étude approchée. On voit qu'il se résume en une source de courant en série avec une conductance base-émetteur. Le générateur de courant fournit le courant de collecteur $ic(t)$, qui est égal au produit de la transconductance $g_{m}$ et de $vbe(t)$. La résistance d'entrée est placée entre la base et l'émetteur et est parcourue par le courant $ib(t)$, alors que la tension à ses bornes est la tension $vbe(t)$. En clair, on peut résumer ce modèle avec les trois équations suivantes :
    $ib(t)={\frac {vbe(t)}{r_{\pi }}}$
    $ic(t)=g_{m}\times vbe(t)=\beta \times ib(t)$
    $ie(t)=ib(t)+ic(t)$
On peut lui rajouter une résistance $r_{0}$ pour modéliser l'effet Early.
| Modèle équivalent hybrid-pi d'un BJT NPN. | Modèle hybrid-pi NPN avec résistance d'Early . |
Un autre modèle équivalent est le modèle en T, qui ressemble beaucoup au modèle hybride-pi, mais avec un placement différent des résistances. Encore une fois, on peut placer une résistance d'Early pour simuler la tension d'Early. L'application de la loi des mailles et de la loi des nœuds donne les trois équations suivantes :
    $ic(t)=g_{m}\times vbe(t)=\beta \times ib(t)$
    $ie(t)={\frac {vbe(t)}{r_{e}}}$
    $ib(t)=ie(t)-ic(t)$
| Modèle équivalent en T d'un BJT NPN, sans résistance d'Early. | Modèle en T d'un NPN avec résistance d'Early. |

### Le calcul de la transconductance d'un BJT

Pour commencer, calculons la transconductance du BJT en petits signaux, qui est définie par l'équation suivante :
    $ic(t)=g_{m}\times vbe(t)$
Partons de l'équation qui donne le courant de collecteur à partir de la tension d'entrée.
    $I_{C}=I_{S}\times e^{\frac {V_{be}}{V_{T}}}$
On peut injecter $V_{be}=VBE+vbe(t)$ dans la dernière équation, ce qui donne :
    $I_{C}=I_{S}\times e^{\frac {VBE+vbe(t)}{V_{T}}}$
On développe l'exponentielle.
    $I_{C}=I_{S}\times e^{\frac {VBE}{V_{T}}}\times e^{\frac {vbe(t)}{V_{T}}}$
Par définition, on a : : $IC=I_{S}\times e^{\frac {VBE}{V_{T}}}$, ce qui simplifie l'équation précédente en :
    $I_{C}=IC\times e^{\frac {vbe(t)}{V_{T}}}$
Si $vbe(t)<<V_{T}$, on peut approximer l'équation précédente en :
    $I_{C}\approx IC\times \left(1+{\frac {vbe(t)}{V_{T}}}\right)$
On développe le terme de droite et on regroupe les termes continus :
    $I_{C}\approx IC+{\frac {IC}{V_{T}}}\times vbe(t)$
Cette forme sépare le terme de droite en une composante continue et le signal alternatif. On a donc :
    $ic(t)\approx vbe(t)\times {\frac {IC}{V_{T}}}$
Cette équation se réécrit sous la forme $ic(t)\approx g_{m}\cdot vbe(t)$ en posant :
    $g_{m}={\frac {IC}{V_{T}}}$
On voit que le gain du transistor dépend du courant de collecteur et donc de la polarisation du transistor.

### Le calcul de la résistance base-émetteur $r_{\pi }$ et du bêta

Dans cette section, nous allons calculer la résistance base-émetteur en petits signaux, qui n'est autre que la résistance du modèle hybride-pi.
C'est une résistance dynamique, définie par l'équation suivante :
    $r_{\pi }={\frac {vbe(t)}{ib(t)}}$
Pour la calculer, nous avons besoin de calculer $ib(t)$. Pour cela, on utilise l'équation : $ic(t)=\beta \times ib(t)$. On a alors :
    $r_{\pi }={\frac {vbe(t)}{ic(t)/\beta }}=\beta {\frac {vbe(t)}{ic(t)}}$
On a vu plus haut que : $g_{m}={\frac {vbe(t)}{ic(t)}}$, ce qui simplifie l'équation précédente en :
    $r_{\pi }={\frac {vbe(t)}{ic(t)/\beta }}$
On peut reformuler cette équation en :
    $r_{\pi }={\frac {\beta }{g_{m}}}$

### Le calcul de la résistance base-émetteur $r_{e}$

Dans cette section, nous allons calculer la résistance base-émetteur du modèle en T, définie par l'équation suivante :
    $r_{e}={\frac {vbe(t)}{ie(t)}}$
Pour la calculer, nous avons besoin de calculer $ie(t)$. Pour cela, on utilise l'équation : $ie(t)=(\beta +1)\times ib(t)$. On a alors :
    $r_{e}={\frac {1}{\beta +1}}{\frac {vbe(t)}{ib(t)}}$
On a vu plus haut que $r_{\pi }={\frac {vbe(t)}{ib(t)}}$, ce qui simplifie l'équation précédente en :
    $r_{e}={\frac {1}{\beta +1}}r_{\pi }$
On peut aller plus loin en se souvenant que : $r_{\pi }={\frac {\beta }{g_{m}}}$
    $r_{e}={\frac {\beta }{\beta +1}}{\frac {1}{g_{m}}}$
Ce qui se simplifie en :
    $r_{e}={\frac {\alpha }{g_{m}}}$

### Le calcul du courant d'émetteur dans le modèle hybride-pi

Dans cette section, nous allons calculer le courant d'émetteur $ie(t)$ en partant des données du modèle hybride-pi, et montrer que l'on retombe bien sur la relation $ie(t)={\frac {vbe(t)}{r_{e}}}$ du modèle en T. Pour cela, partons de l'équation qui définit le courant d'émetteur, à savoir :
    $ie(t)=ib(t)\times (1+\beta )$
En injectant $ib(t)={\frac {vbe(t)}{r_{\pi }}}$, issue du modèle hybride-pi, dans l'équation précédente, on trouve :
    $ie(t)=vbe(t){\frac {1+\beta }{r_{\pi }}}$
On sait que, par définition, ${\frac {1}{r_{e}}}={\frac {1+\beta }{r_{\pi }}}$
    $ie(t)={\frac {vbe(t)}{r_{e}}}$

### Le calcul du courant de base dans le modèle en T

Dans cette section, nous allons calculer le courant de base $ib(t)$ en partant des données du modèle en T, et montrer que l'on retombe bien sur la relation $ib(t)={\frac {vbe(t)}{r_{\pi }}}$ du modèle hybride-pi. Pour cela, partons de l'équation qui définit le courant de base dans le modèle en T, à savoir :
    $ib(t)=ie(t)-ic(t)$
En injectant : $ic(t)=g_{m}\times vbe(t)$ et $ie(t)={\frac {vbe(t)}{r_{e}}}$ dans l'équation précédente, on trouve :
    $ib(t)={\frac {vbe(t)}{r_{e}}}-g_{m}\times vbe(t)$
Factorisons ${\frac {vbe(t)}{r_{e}}}$ :
    $ib(t)={\frac {vbe(t)}{r_{e}}}(1-g_{m}\times r_{e})$
On sait que, par définition, $g_{m}\times r_{e}=\alpha ={\frac {\beta }{1+\beta }}$
    $ib(t)={\frac {vbe(t)}{r_{e}}}\left(1-{\frac {\beta }{1+\beta }}\right)$
Simplifions :
    $ib(t)={\frac {vbe(t)}{r_{e}}}{\frac {1}{1+\beta }}$
Vu que $r_{\pi }=r_{e}(1+\beta )$, on a :
    $ib(t)={\frac {vbe(t)}{r_{\pi }}}$
On retrouve bien l'équation du modèle hybride-pi.