# S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 9

S'initier au boulier en 10 leçons
* Introduction
* Bases et vocabulaire
* Les 8 techniques de l'addition
* Les 8 techniques de la soustraction
* Exercices
* La multiplication
* Exercices
* La division
** Exemple 1
** Exemple 2
* Exercices
* La base hexadécimale avec le boulier chinois
* Exercices
Leçon 9 - La base hexadécimale avec le boulier chinois.
Le boulier japonais, avec sa quinaire et ses 4 unaires permet d'écrire, dans chaque colonne, les nombres de 0 à 9. Il permet donc d'écrire en base 10 (base décimale).
Le boulier chinois, avec ses 2 quinaires et ses 5 unaires permet toujours d'écrire en base 10 (une quinaire et une unaire sont alors toujours désactivées). Mais il permet aussi d'écrire, dans chaque colonne, les nombres de 0 à 15. Il permet donc d'écrire en base 16 (base hexadécimale).

## Écriture en base hexadécimale
### des chiffres

Il existe 16 chiffres en base hexadécimale : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A (10) , B (11) , C (12) , D (13) , E (14) et F (15) qui se représentent sur le boulier de la manière suivante :
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| A(10) | B(11) | C(12) | D(13) | E(14) | F(15) |

### des nombres

L'écriture des nombres s'effectue en affectant à chaque colonne son poids, comme dans l'écriture hexadécimale, la colonne de droite est la colonne des unités, à sa gauche, la colonne de 16$^1$, à sa gauche la colonne de 16$^2$ ...
Le nombre 1DF3 (1/13/15/3)s'écrit alors
| 1 | D(13) | F(15) | 3 |

## Addition en hexadécimal

Les règles d'additions sont analogues à celles décrites dans la leçon 2 mais plus nombreuses. Elles peuvent se regrouper ainsi

### Ajouter 1, 2, 3, ou 4

* Si le nombre d'unaires est suffisant, activer des unaires (remplacer éventuellement 5 unaires par une quinaire).
* Sinon,
** S'il reste au moins une quinaire désactivée, activer la quinaire et désactiver des unaires (complément à 5).
** Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver deux quinaires et désactiver des unaires (complément à 6).

### Ajouter 5

* S'il reste au moins une quinaire désactivée, activer la quinaire.
* Sinon
** Activer 5 unaires si cela est possible.
** Sinon, activer la unaire de gauche et désactiver deux quinaires et une unaire.

### Ajouter 6, 7, 8 ou 9

* S'il y a assez d'unaires désactivées
** S'il reste au moins une quinaire, activer la quinaire et les unaires.
** Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver les deux quinaires, activer le nombre d'unaires moins une.
* Sinon
** S'il reste deux quinaires, activer les deux quinaires et désactiver des unaires (complément à 10).
** Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire et des unaires (complément à 16).

### Ajouter A (10)

* Si deux quinaires sont désactivées, activer deux quinaires.
* Sinon :
** S'il reste 5 unaires désactivées :
*** S'il reste une quinaire désactivée, activer 5 unaires et une quinaire.
*** Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver deux quinaires et activer 4 unaires.
** S'il ne reste pas 5 unaires désactivées, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire et une unaire.

### Ajouter B (11), C (12), D(13), E (14) ou F (15)

* S'il reste assez d'unaires désactivées :
** S'il reste assez de quinaires désactivées, activer les deux quinaires et les unaires.
** Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire, activer le nombre d'unaires moins une.
* S'il ne reste pas assez d'unaires désactivées, activer la unaire de gauche, désactiver des unaires (complément à 16).

## Soustraction en hexadécimal

Il suffit de prendre les règles précédentes, de remplacer ajouter par ôter et de permuter les verbes activer/désactiver. Ce qui donne :

### Ôter 1, 2, 3, ou 4

* Si le nombre d'unaires activées est suffisant, désactiver des unaires.
* Sinon :
** S'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire et activer des unaires (complément à 5).
** Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer deux quinaires et activer des unaires (complément à 6).

### Ôter 5

* S'il y a 5 unaires activées, désactiver les 5 unaires.
* Sinon :
** s'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire.
** Sinon, désactiver la unaire de gauche et activer deux quinaires et une unaire.

### Ôter 6, 7, 8 ou 9

* S'il y a assez d'unaires activées :
** S'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire et les unaires.
** Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer les deux quinaires, désactiver le nombre d'unaires moins une.
* Sinon :
** S'il reste deux quinaires activées, désactiver les deux quinaires et activer des unaires (complément à 10).
** Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire et des unaires (complément à 16).

### Ôter A (10)

* Si deux quinaires sont activées, désactiver deux quinaires.
* Sinon :
** S'il y a 5 unaires activées :
*** S'il reste une quinaire activée, désactiver 5 unaires et une quinaire.
*** Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer deux quinaires et désactiver 4 unaires.
** S'il n'y a pas 5 unaires activées, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire et une unaire.

### Ôter B (11), C (12), D (13), E (14) ou F (15)

* S'il reste assez d'unaires activées :
** S'il reste assez de quinaires activées, désactiver les deux quinaires et les unaires.
** Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire, désactiver le nombre d'unaires moins une.
* S'il ne reste pas assez d'unaires activées, désactiver la unaire de gauche, activer des unaires (complément à 16).

## Conversion

Il importe de connaître la table de multiplication par 16 :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 |

### Conversion décimal vers hexadécimal

Pour la suite, les boules ne seront plus dessinées, on indiquera seulement le nombre écrit dans chaque colonne.
Exemple: Conversion de 3565 en base hexadécimale
* Écrire le nombre décimal à droite :
| 3 | 5 | 6 | 5 |
* Effectuer la division de ce nombre 3565 par 16 :
| 2 | 2 | 2 | 1 | 3 |
* Convertir le reste en hexadécimal (il suffit pour cela de remplacer la unaire de gauche par deux quinaires à droite) et déplacer le quotient sur la droite :
| 2 | 2 | 2 | D |
* Effectuer la division du nouveau nombre décimal 222 par 16 :
| 1 | 3 | 1 | 4 | D |
* Convertir le reste et déplacer le quotient :
| 1 | 3 | E | D |
* Il n'y a plus de division à opérer, il suffit de convertir le dernier nombre en hexadécimal :
| D | E | D |

### Conversion hexadécimal vers décimal

Exemple: Conversion de 1DF3 en base décimale.
* Écrire le nombre hexadécimal à droite :
| 1 | D | F | 3 |
* Convertir, éventuellement, le nombre le plus à gauche en décimal et le multiplier par 16, la colonne concernée devient alors colonne des unités :
| 1 | 6 | D | F | 3 |
* Convertir et ajouter le nombre suivant (D = 13) :
| 2 | 9 | F | 3 |
* Multiplier le nouveau nombre par 16 :
| 4 | 6 | 4 | F | 3 |
* Convertir et ajouter le nombre suivant (F = 15) :
| 4 | 7 | 9 | 3 |
* Multiplier le nouveau nombre par 16 :
| 7 | 6 | 6 | 4 | 3 |
* Ajouter 3 au résultat final :
| 7 | 6 | 6 | 7 |