# Photographie/Optique/Le principe de Fermat

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## Petits problèmes d'optimisation

Lorsque vous usiez vos frocs ou vos jupettes sur les bancs du lycée, vous avez peut-être détesté l'optique. Dommage, car cette science permet de comprendre beaucoup de choses en photographie. Essayons d'y remédier !
Les grands bonheurs viennent du ciel, les petits bonheurs viennent de l'effort, dit un proverbe chinois.
Imaginons donc que vous vouliez atteindre le sommet d'une montagne. Vous choisirez autant que possible le meilleur itinéraire compte tenu de divers critères : difficultés techniques, passage par les meilleurs points de vue ou par les meilleures stations botaniques, rapidité du parcours, etc. Bref, vous allez optimiser votre ascension en fonction de critères qui vous sont propres.
Supposons maintenant qu'arrivé au sommet, vous laissiez échapper dans la pente un objet capable de rouler, disons, une boîte de conserve ou un zoom flambant neuf. Parmi toutes les trajectoires possibles, cet objet va en « choisir » une qui correspondra elle aussi à certains critères. D'une certaine façon, la nature va optimiser la chute ! Mais comment ?

## Fermat et Maupertuis

En 1744, le mathématicien Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) fut le premier à pressentir que tous les systèmes physiques évoluent selon un principe fondamental, qu'il baptisa principe de moindre action. La nature choisit toujours, parmi toutes les possibilités offertes dans des circonstances données, celle qui est la plus « efficace ». Le principe de moindre action s'applique également à la lumière. Pierre de Fermat (1601-1665) avait proposé bien avant Maupertuis que le trajet suivi par la lumière pour se rendre d'un point à un autre est celui qui correspond à un temps de parcours extrémal (le plus souvent minimal, parfois maximal).
Les mathématiciens préfèrent le terme stationnaire et il vaut mieux retenir le principe de Fermat sous la forme suivante :
* Les trajets suivis par la lumière qui va d’un point à un autre correspondent toujours à des temps de parcours stationnaires.

## Chemins de longueurs stationnaires, minimales ou maximales

Si, dans la plupart des cas, on rencontre des chemins dont la durée de parcours est minimale, il ne faut pas oublier pour autant que d'autres situations peuvent exister. Par exemple, pour aller d'un point A à un point B situés à l'intérieur du miroir concave représenté ci-contre, en se réfléchissant une seule fois sur la surface, la lumière peut emprunter deux parcours de durée minimale (en rouge) et un parcours de durée maximale (en vert). Parmi les parcours constitués de deux segments AM et BM, l'étude de la longueur totale $AMB=AM+MB$ ferait apparaître trois extrema locaux, deux minima et un maximum, correspondant à ces trajets.
Le terme stationnaire peut être compris à partir de cet exemple. Si le point quelconque M effectue un déplacement infiniment petit du premier ordre à la surface du miroir, la variation du chemin optique est également du premier ordre. En revanche, si l'on considère les trois zones qui correspondent aux extrema, alors un déplacement du premier ordre du point entraîne une variation du chemin optique du second ordre ou plus faible encore. En d'autres termes, lorsque le point M se déplace sur le miroir, la variation du chemin optique est rapide presque partout mais très lente au voisinage des trois points particuliers où elle devient quasi nulle, d'où l'emploi du mot « stationnaire ».
Ainsi, lorsque la lumière se déplace dans un milieu transparent et homogène, elle le fait en ligne droite, mais avec une célérité qui dépend de ce milieu. Lorsqu'elle est renvoyée par une surface polie ou lorsqu'elle passe d'un milieu transparent à un autre où sa célérité est différente, elle subit des déviations toujours conformes à ce principe. Nous en reparlerons bientôt !

## Une question fondamentale !

Le grand physicien Richard Feynman s'interroge. Dans un milieu homogène, la lumière va en ligne droite parce que c'est le chemin le plus court. Mais comment fait-elle pour savoir que c'est le plus court, a-t-elle essayé tous les autres ?
       (Richard Feynman, Lumière et Matière, une étrange histoire)
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