# Cosmologie/Les équations de Friedmann newtoniennes

Armé de la loi de Hubble et du facteur d'échelle, nous pouvons aborder des équations très importantes de la cosmologie actuelle : les équations de Friedmann. Elles décrivent un univers de densité homogène, sans préférence au niveau de la direction (isotrope), et permettent de calculer le facteur de Hubble en fonction de la densité de l'univers et du facteur d'échelle. Elles sont au nombre de trois et portent les noms de "première équation de Friedmann", "seconde équation de Friedmann" et "équation du fluide cosmologique".
Démontrer ces équations demande d'utiliser la relativité générale, ce qui est affreusement compliqué. Heureusement, il existe une autre manière de déduire cette équation, nettement plus simple et intuitive, en utilisant la physique newtonienne. Les deux approches donnent des résultats similaires, avec cependant quelques différences que nous expliquerons plus tard. Dans ce chapitre, nous allons démontrer ces équations dans un cadre newtonien. Nous n'allons pas faire usage de la relativité et nous utiliserons seulement les outils de la physique classique. Ce qu'on verra dans le chapitre est donc assez simple et accessible.
    Dans ce qui suit, les notations sont les suivantes : $\rho$ est la densité de matière, $G$ est la constante de gravitation et $K$ est un terme dont nous verrons la signification dans ce qui suit.
Les trois équations de Friedmann, en version non-relativiste, sont les suivantes :
| Première équation de Friedmann | $H^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {K}{a^{2}}}$ |
| Seconde équation de Friedmann | ${\frac {a''}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\rho$ |
| Équation du fluide cosmologique de Friedmann | ${\frac {d\rho }{dt}}+3H\rho =0$ |

## La première équation de Friedmann

Pour démontrer la première équation de Friedmann, nous allons considérer que l'univers observable est une sphère de rayon R, de masse M, de volume V, de masse volumique homogène ρ, qui grossit à une vitesse v (la vitesse de l'expansion de l'univers). Le centre de cette sphère est situé là où se trouve l'observateur (la Terre, donc). Prenons maintenant une galaxie située sur le bord de l'univers observable, et posons que son énergie mécanique est notée $E$. Ses énergies potentielle et cinétique sont donc respectivement égales à $E_{pot}=-{\frac {GMm}{R}}$ et $E_{cin}={\frac {1}{2}}mv^{2}$, ce qui donne :
    $E=E_{cin}+E_{pot}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {GMm}{R}}$
Modifions l'ordre des termes :
    ${\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {GMm}{R}}+E$
Nous pouvons alors utiliser la loi de Hubble $v=H\times R$, pour remplacer la vitesse de la galaxie.
    ${\frac {1}{2}}mR^{2}H^{2}={\frac {GMm}{R}}+E$
Isolons maintenant $H^{2}$ en divisant des deux membres par ${\frac {1}{2}}mR^{2}$.
    $H^{2}={\frac {2GM}{R^{3}}}+{\frac {2E}{mR^{2}}}$
Ensuite, rappelons-nous que par définition, $R=R_{t0}\times {\frac {a(t)}{a(t0)}}$. En posant qu'à l'instant t0, le facteur d'échelle est égal à 1, nous avons : $R=R_{0}\times a(t)$. Nous n'allons cependant faire le remplacement que dans le second terme et pas dans le premier. Quelques simplifications ultérieures permettront de se débarrasser du rayon dans le premier terme.
    $H^{2}={\frac {2G}{R^{3}}}M+{\frac {2E}{mR_{0}^{2}a^{2}}}$
Nous allons maintenant poser que $-{\frac {2E}{mR_{0}^{2}}}$ est une constante, que nous allons noter $K$. Prenez garde au signe de cette formule !
    $H^{2}={\frac {2G}{R^{3}}}M-{\frac {K}{a^{2}}}$
Exprimons maintenant la masse de l'univers comme étant égale à sa masse volumique multipliée par le volume : $M={\frac {4\pi }{3}}R^{3}\rho$. On a alors :
    $H^{2}={\frac {2G}{R^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}R^{3}\rho -{\frac {K}{a^{2}}}$
Après quelques simplifications algébriques, nous obtenons la première équation de Friedmann.
    $H^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {K}{a^{2}}}$

## La seconde équation de Friedmann

    Par souci de lisibilité, nous noterons la dérivée première d'une variable $x$ comme ceci : $x'$. Même chose pour la dérivée seconde, notée $x''$. De plus, toutes les dérivées sont par rapport au temps. En clair, $x'={\frac {dx}{dt}}$ et $x''={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$.
La seconde équation de Friedmann est la suivante.
    ${\frac {a''}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\rho$
Celle-ci nous dit comment varie la dérivée seconde du facteur d'échelle, qui elle-même dit si l'expansion de l'univers accélère, ralentit ou reste constante. Il s'agit donc d'une équation très importante pour comprendre la dynamique de l'expansion et comment celle-ci évolue avec le temps.
On peut la démontrer comme suit.
* Démonstration
* Supposons que nous soyons au centre de l'univers observable et prenons un point situé à sa surface, à la limite de l'univers observable. Ce point s'éloigne de nous à une vitesse égale à $v=H\cdot d(t)$, avec $R(t)$ le rayon de l'univers observable. Maintenant, essayons de calculer son accélération. Partons du principe que l'accélération de ce point est intégralement liée à la gravité, c'est à dire qu'il est attiré vers le centre de l'univers observable (on néglige les masses qui ne sont pas dans l'univers observable, bien que ce soit un peu de la triche). L'accélération de ce point se calcule avec la formule de Newton et vaut :
* $R(t)''={\frac {GM}{R(t)^{2}}}$, avec M la masse totale de l'univers.
* Divisons par R(t) :
* ${\frac {R(t)''}{R(t)}}={\frac {GM}{R(t)^{3}}}$
* La masse de l'univers observable est égale au produit de sa densité par son volume :
* ${\frac {R(t)''}{R(t)}}={\frac {G\cdot \rho \cdot V}{R(t)^{3}}}$
* L’univers observable est une sphère, donc son volume est de ${\frac {4}{3}}\pi \cdot R(t)^{3}$. En injectant cette formule dans la précédente, on trouve :
* ${\frac {R(t)''}{R(t)}}={\frac {G\cdot \rho \cdot {\frac {4}{3}}\pi \cdot R(t)^{3}}{R(t)^{3}}}$
* En simplifiant, on trouve :
* ${\frac {R(t)''}{R(t)}}={\frac {4\pi G}{3}}\cdot \rho$
* On applique ensuite la formule $R(t)=R_{0}\cdot a(t)$, valable pour toutes les distances :
* ${\frac {[R_{0}\cdot a(t)]''}{R_{0}\cdot a(t)}}={\frac {4\pi G}{3}}\cdot \rho$
* En simplifiant, on a :
* ${\frac {a(t)''}{a(t)}}={\frac {4\pi G}{3}}\cdot \rho$
Une autre démonstration, équivalente, fait appel à l'équation de Poisson pour le champ gravitationnel.
* Démonstration
* Pour rappel, l'équation de Poisson relie l'accélération de la pesanteur à la densité du corps qui génère la gravité. L'équation en question utilise l'opérateur divergence, défini par :
* $\nabla \cdot {\vec {A}}={\frac {dA}{dx}}+{\frac {dA}{dy}}+{\frac {dA}{dz}}$
* Dans le cas qui nous intéresse, l'accélération n'est autre que l'accélération de l'expansion de l'univers. L'équation de Poisson est donc la suivante :
* $\nabla \cdot {\vec {a_{c}}}=4\pi G\rho$
* Nous avons vu il y a quelques chapitres l'équation suivante, qui donne l'accélération de l'expansion en fonction du facteur de Hubble et du rayon de l'univers r :
* ${\vec {a_{c}}}={\vec {r(t)}}\cdot {\frac {a(t)''}{a(t)}}$
* En combinant les deux équations, on trouve :
* $\nabla \cdot \left[{\vec {r}}{\frac {a(t)''}{a(t)}}\right]=4\pi G\rho$
* L'opérateur $\nabla$ est une dérivée, ce qui fait qu'on peut utiliser la formule ${\frac {d(k\cdot f(x))}{dx}}=k\cdot {\frac {df(x)}{dx}}$.
* ${\frac {a(t)''}{a(t)}}\left[\nabla \cdot {\vec {r}}\right]=4\pi G\rho$
* Maintenant, appliquons la définition de $\nabla$ :
* ${\frac {a(t)''}{a(t)}}\left[{\frac {d{\vec {r}}}{dx}}+{\frac {d{\vec {r}}}{dy}}+{\frac {d{\vec {r}}}{dz}}\right]=4\pi G\rho$
* Par définition, on a ${\frac {d{\vec {r}}}{dx}}={\frac {d{\vec {r}}}{dy}}={\frac {d{\vec {r}}}{dz}}=1$, ce qui donne :
* $3\cdot {\frac {a(t)''}{a(t)}}=4\pi G\rho$
* On réorganise les termes :
* ${\frac {a(t)''}{a(t)}}={\frac {4\pi G}{3}}\rho$

## L'équation du fluide

Enfin, on peut aussi démontrer une troisième équation, appelée l'équation du fluide de Friedmann. Pour la démontrer, partons du principe que l'univers a une masse M égale au produit de son volume par sa densité :
    $M=V\cdot \rho (t)$
Le volume de l'univers dépend du cube du facteur d'échelle, comme nous l'avons vu dans les chapitres précédents :
    $M=V_{0}\cdot a(t)^{3}\cdot \rho (t)$
Divisons des deux côtés par $V_{0}$ :
    ${\frac {M}{V_{0}}}=a(t)^{3}\cdot \rho (t)$
Prenons la dérivée :
    ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {M}{V_{0}}}\right)={\frac {d}{dt}}\left(a(t)^{3}\cdot \rho (t)\right)$
Maintenant, supposons que la masse de l'univers est conservée. Vu que $V_{0}$ est une constante, ${\frac {M}{V_{0}}}$ l'est alors aussi, ce qui fait que sa dérivée est nulle. L'équation précédente devient donc :
    ${\frac {d}{dt}}\left(a(t)^{3}\cdot \rho (t)\right)=0$
Le calcul de la dérivée donne :
    $a(t)^{3}\cdot {\frac {d\rho (t)}{dt}}+{\frac {da(t)^{3}}{dt}}\cdot \rho =0$
La dérivée d'un cube vaut ${\frac {dx^{3}}{dt}}=3x^{2}x'$ :
    $a(t)^{3}\cdot {\frac {d\rho (t)}{dt}}+3a(t)^{2}a(t)'\cdot \rho =0$
On divise par $a(t)^{3}$ :
    ${\frac {d\rho (t)}{dt}}+3{\frac {a(t)'}{a(t)}}\cdot \rho =0$
Sachant que $H={\frac {a(t)'}{a(t)}}$, on a :
    ${\frac {d\rho (t)}{dt}}+3H\rho =0$