# Cours de premier cycle universitaire (L1-L2)/Optique/Optique géométrique

L'optique est la science de l'étude de la lumière. Il existe plusieurs façons de décrire cette dernière : l'optique géométrique et l'optique ondulatoire en sont les deux principales. L'optique géométrique est la partie de l'optique qui fut historiquement la première à être développée. Elle est basée sur la notion de rayon lumineux, c'est pourquoi elle est dite géométrique. L'optique ondulatoire en offre une description plus complète, mais plus difficile à aborder, supposant que la lumière est formée d'ondes.

# Optique géométrique
## Le rayon lumineux

Un rayon lumineux est, mathématiquement, une ligne infiniment fine qui est un élément d'un "modèle", c'est-à-dire une représentation mathématique de la lumière. On suppose alors que la lumière est composée d'une infinité de rayons ayant tous des formes différentes les uns par rapport aux autres. Ainsi un faisceau de lumière est un ensemble de rayons. Cette notion de rayon a une longue histoire : elle fut principalement développée au cours du moyen-âge arabe par Ibn-al-Haytam, autrement dit Halazen, qui fut le premier à discerner le caractère physique (la lumière physique elle-même) et le caractère géométrique de la notion de rayon. C'est à partir de cette distinction que l'optique géométrique va pouvoir se construire. C'est, par exemple, grâce à celle-ci que l'explication de la formation des images par les miroirs fut découverte.
De nombreuses propriétés de ces rayons ont pu être observées. Par exemple sur la photographie ci-contre, il semble que la lumière émise par le soleil prenne la forme de rayons allant en ligne droite. Cette observation est en réalité assez générale : on a pu montrer que les rayons se propagent toujours en ligne droite dans un milieu homogène (un milieu identique en tout point). Cependant, dans les milieux non-homogènes, il est possible que les rayons soient courbés. C'est ce qui se produit lors d'un mirage.
Dans les prochains chapitres, nous nous attacherons à énoncer d'autres lois décrivant certains phénomènes connus.

## La réflexion

Le phénomène de réflexion de la lumière traduit le renvoi de la lumière par un objet, comme un miroir. La loi de la réflexion, décrivant son effet sur un rayon, est connue depuis les grecs. C'est une loi phénoménologique qui n'explique pas totalement la réflexion sur un miroir, car les irrégularités à sa surface compliquent le phénomène. Elle fut exprimée par Ibn-al-Haytam (965-1039) dans son "Discours de la lumière" :
       « le mouvement incident est composé du mouvement dans la direction de la normale à l'intérieur de l'obstacle et du mouvement dans la direction de la normale à la première qui est elle-même prolongée dans le plan où se trouve le mouvement incident. »
Autrement dit, le faisceau incident présente deux mouvements : l'un perpendiculaire à la surface réfléchissante et l'autre parallèle à celle-ci. Ce dernier est simplement prolongé, alors que le premier s'inverse. On peut aussi énoncer la loi de la réflexion de la manière suivante : la direction du rayon après réflexion est symétrique à la direction d'incidence par rapport au plan du miroir.
Sa forme mathématique est la suivante :
       $\alpha =\beta \,$
où $\alpha$ est l'angle entre le rayon incident et la normale à la surface, et $\beta$ est l'angle entre le rayon réfléchi et cette même normale (voir figure 1.1).
Cette réflexion existe sur presque toutes les surfaces, mais on ne peut pas toujours l'observer. Ce qui fait la différence entre les surfaces réfléchissantes et celles qui ne le sont pas tient en première analyse au côté lisse de la surface. Les surfaces réfléchissantes sont suffisamment lisses pour que la réflexion renvoie tous les rayons réfléchis issus de rayons incident parallèles dans la même direction, alors que les surfaces non réfléchissantes, en raison de leur caractère irrégulier, les renvoient dans toutes les directions (voir figure 2.2). On distingue ainsi la réflexion diffuse de la réflexion spéculaire. Pour des raisons de commodité, on supposera pour la suite que les miroirs mis en jeu sont parfaitement lisses, et que l'on peut alors appliques la loi de la réflexion.
| Figure 1.1 | Figure 1.2 | Figure 1.3 |

## Instruments optiques utilisant la réflexion
### Le miroir plat

Le fait qu'un miroir plat forme une image symétrique du monde qui l'entoure n'est pas évident. Cela repose sur la distinction faite par Alazen précédemment mentionnée entre rayon physique et rayon géométrique.
Avec un tel miroir on peut utiliser la loi de la réflexion. L'objet émet une multitude de rayons lumineux dans toutes les directions, notamment en direction du miroir. Parmi ces rayons, seuls certains parviennent à l'œil qui regarde le miroir. La situation est celle présentée sur la figure 1.3.
Alors que le rayon physique qui vient de l'objet est cassé par la réflexion sur le miroir, le rayon géométrique, qui sous-tend la partie du rayon\index{rayon physique} physique qui parvient à l'œil, se prolonge quant à lui au-delà du miroir selon une ligne droite. Chaque rayon physique parvenant à l'œil peut ainsi être prolongé en un rayon virtuel dont la composition géométrique restitue une image de l'objet qui semble située à l'arrière du miroir, comme on le voit sur la figure 1.3. Elle constitue ce qu'on appelle une image virtuelle, c'est-à-dire une image qui n'est constituée d'aucun rayon physique.

### Le miroir sphérique

Naturellement, depuis fort longtemps, l'idée de concentrer les rayons lumineux pour augmenter leur "pouvoir" est venue aux hommes. Le modèle géométrique de la réflexion a tout d'abord permis de comprendre qu'il fallait courber la surface réfléchissante.
* Figure 1.4 - Le miroir sphérique
Comme la courbe qui vient le plus simplement à l'esprit est le cercle, les premiers miroirs concentrateurs ont été sphériques. Mais rapidement une autre courbe fut mise en évidence : la parabole. En effet, la convergence des rayons sur un miroir sphérique n'est que partielle : les rayons parallèles à l'axe optique parvenant aux bords du miroir sont en effet réfléchis sur l'axe optique plus près du miroir que ceux parvenant plus au centre du miroir (voir figure 1.4 : On remarque que les rayons réfléchis ne se croisent pas en un même point sur l'axe optique : il n'y a pas de foyer).

### Le miroir parabolique

Par contre, avec un miroir parabolique, les bords du miroir étant plus aplatis (voir figure 1.5) que pour un miroir sphérique, ils permettent aux rayons parallèles à l'axe optique qui les frappent de converger vers un même point que ceux du centre. Ce point est désigné par le terme de foyer du miroir. Ainsi, un miroir parabolique possède un foyer, au contraire d'un miroir sphérique.
* Figure 1.5 - Le miroir parabolique
Il existe évidemment beaucoup d'applications aux miroirs paraboliques. Remarquons tout d'abord que les miroirs paraboliques ne sont pas faciles à construire. Mais, en bonne approximation, le centre d'un miroir sphérique est parabolique. Il s'agit donc de construire des miroirs très plats.

### Le télescope

C'est un excellent exemple de miroir parabolique. Pour des raisons que nous verrons plus tard, l'observation des étoiles est facilitée par l'utilisation de télescope (comportant des miroirs), par opposition à celle de lunettes (comportant des lentilles). Dans les télescopes se trouvent en effet deux miroirs. L'un est dit secondaire et est plat et l'autre dit primaire est parabolique (voir figure 1.6).

### Le phare de voiture

De nos jours les phares des voitures sont munis de réflecteurs qui ne sont pas paraboliques. Ils sont construits sur la base de la loi de la réflexion pour éclairer sélectivement certaines parties de la route. Pourtant les anciens phares étaient de forme parabolique et l'ampoule se trouvait au foyer de la parabole de manière que les rayons réfléchis soient envoyés vers l'avant parallèlement à l'axe optique. La lumière était ensuite orientée vers les zones à éclairer par des petits prismes imprimés (par moulage) sur la fenêtre de protection du projecteur. Aujourd'hui, bon nombre de projecteurs ont reporté cette fonction de distribution sur le réflecteur principal, laissant la possibilité de conserver une fenêtre de protection lisse. Deux avantages sont apportés par cette nouvelle approche :
* l'intérieur du projecteur devenant visible, le style peut s'introduire jusqu'au cœur de "l'œil de l'automobile",
* l'absence de relief sur la fenêtre permet de concevoir des fenêtres de protection plus inclinées et offre la possibilité d'améliorer le style (encore) et l'aérodynamisme.

### La lampe de poche

De la même manière une lampe de poche est munie d'un réflecteur plus ou moins parabolique censé diriger les rayons parallèlement à l'axe de la lampe.

### Le four solaire

Une application d'un tout autre type exploite aussi la focalisation des rayons sur un miroir parabolique. Cette fois-ci la source de lumière n'est pas placée au foyer mais à l'infini tout comme dans le cas du télescope. Il s'agit du soleil qui fait parvenir ses rayons parallèlement jusqu'au miroir. Si ce dernier a son axe optique parallèle aux rayons solaires, c'est-à-dire si celui-ci est orienté vers le soleil, alors toute l'intensité lumineuse est concentrée au foyer. Cela permet d'obtenir une grande quantité d'énergie localisée en un seul point. C'est le principe du four solaire à concentration. Il en existe de plusieurs types : pour la cuisson domestique comme pour les très hautes températures : 3500°C.

### L'antenne parabolique de télévision

Tout le monde connaît les antennes paraboliques de télévision (voir figure 1.7). Ce sont des surfaces paraboliques qui concentrent le rayonnement provenant d'un satellite en orbite géostationnaire pour augmenter l'intensité du signal reçu. Au foyer de la parabole se trouve un détecteur qui va transformer le rayonnement reçu en un signal électrique. Pourquoi ne pas mettre seulement ce détecteur et se passer de la parabole ? Simplement car le signal émis par le satellite se disperse (pour couvrir une zone importante) et son intensité ne serait pas détectable par le détecteur seul. La parabole concentre donc son rayonnement, augmente son intensité au foyer et permet la détection.
Insérer figure 1.7

### Le rétroviseur
## La réfraction

La réfraction est le changement de direction d'un rayon de lumière lors de son passage d'un milieu transparent à un autre où la lumière a une vitesse différente. Dans ce cas, le rayon a une trajectoire infléchie au point d'incidence, et l'angle du rayon sortant est fonction de l'angle du rayon entrant, mais aussi des vitesses de propagation de la lumière dans ces milieux. Ce phénomène est par exemple responsable de la cassure visible lorsque l'on plonge une paille dans un verre d'eau, ou encore de l'impression de faible profondeur d'une rivière. On appelle dioptre la surface de séparation des deux milieux.

### Loi de Snell-Descartes sur la réfraction

(article détaillé sur Wikipédia : Lois de Snell-Descartes)
On note n l'indice optique (ou indice de réfraction) le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide par celle dans le milieu considéré, et on note $n={\frac {c}{v}}$.
On appelle rayon incident le rayon qui arrive sur le dioptre, rayon réfracté celui qui en repart. On mesure l'angle incident i$_1$ (resp. réfracté i$_2$) entre la normale au dioptre et le rayon incident (resp. réfracté). On pose n$_1$ et n$_2$ les indices optiques des milieux d'origine et d'arrivée du rayon.
La loi de Snell-Descartes sur la réfraction s'énonce alors
   * le rayon réfracté est dans le plan contenant la normale et le rayon incident (on parle de plan d'incidence) ;
   * $n_{1}\cdot \sin(i_{1})=n_{2}\cdot \sin(i_{2})$.
Quand il n'y a pas de solution mathématique à une telle équation, par exemple quand on obtient $|\sin(i_{2})|>1$, il s'agit d'une réflexion totale : il n'y a aucun rayon réfracté.

### Applications
#### Prisme

Le prisme est un exemple de système optique faisant intervenir la réfraction. Le milieu extérieur étant un milieu d'indice optique 1 (air ou vide), le prisme étant dans un matériau d'indice optique n, avec les notations du schéma, on a
   * Loi de Descartes au premier dioptre $\sin(i)=n\cdot \sin(r)$;
   * Loi de Descartes au second dioptre $\sin(i)=n\cdot \sin(r)$;
   * $A=r+r'$
   * $D=i+i'-A$

#### Lentille sphérique

Une lentille est un autre système optique composé de deux dioptres successifs, chacun étant bombé soit vers l'intérieur, soit vers l'extérieur, soit plan (le cas particulier d'une lentille à deux faces planes est appelé une lame). On fait ici l'approximation d'une lentille sphérique mince, c'est à dire que l'on néglige l'épaisseur de la lentille dans le trajet du rayon, i.e. on assimile la lentille à une surface plane. Cette approximation est assez bonne dans les conditions dites de Gauss, où les angles à l'axe optique sont assez faibles.