# Théorie quantique de l'observation/La forêt des destinées

* Physique quantique pour débutants
* Principes et concepts fondamentaux
* Exemples de mesures
* L'intrication
* Théorie générale de la mesure quantique
* La forêt des destinées
* L'apparition des mondes classiques relatifs dans l'Univers quantique
* Références
* Physique quantique pour débutants
* Principes et concepts fondamentaux
* Exemples de mesures
* L'intrication
* Théorie générale de la mesure quantique
* La forêt des destinées
* L'apparition des mondes classiques relatifs dans l'Univers quantique
* Références
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### L'arborescence des destinées d'un observateur idéal

Un observateur idéal est défini comme un système physique capable de réaliser une succession de mesures idéales (cf. 2.2) et de mémoriser leurs résultats. Formellement on peut le considérer comme une collection d'instruments de mesure idéale, isolés de leur environnement sauf aux moments prédéterminés où ils détectent ce qu'ils doivent détecter.
Les $t_{i}$ sont les instants des observations. À chaque instant $t_{i}$, l'observateur idéal effectue la mesure associée à l'observable (cf. 5.2) $O_{i}$. Un observateur idéal est ainsi défini par la suite des $(O_{i},t_{i})$. Les $O_{i}$ opèrent sur l'espace des états de l'environnement de l'observateur, c'est à dire de tout l'Univers sauf l'observateur lui-même.
Idéal ici doit être entendu au même sens que dans mesure idéale. Il ne s'agit pas bien sûr d'un idéal de vertu, mais seulement d'une fiction théorique, simplifiée par rapport à la réalité, mais suffisamment semblable pour nous aider à la comprendre.
Un observateur idéal ne peut pas oublier. Bien sûr les observateurs réels (vivants ou mécaniques) oublient souvent ce qu'ils ont d'abord mémorisé. Mais en général l'information n'a pas été complètement perdue, elle leur est seulement devenue inaccessible. Si on complète l'observateur réel par une mémoire physique qui conserve toutes les informations qu'il oublie, on obtient un système qui ressemble davantage à un observateur idéal.
Aux hypothèses précédentes on ajoute un principe de communication idéale entre observateurs idéaux. Lorsqu'un observateur A observe directement un autre observateur B, les états pointeurs de B sont toujours des états propres de l'observation par A. De cette façon, lorsque A en observe B, il ne fait que copier l'information mémorisée par B. En s'observant mutuellement, donc en communiquant, les observateurs idéaux peuvent alors partager des informations sur une réalité commune à leurs mondes relatifs respectifs (cf. 4.7).
Une destinée complète d'un observateur idéal, est définie par la succession des résultats d'observation $x_{i}$ aux instants $t_{i}$. Elle détermine une succession d'états quantiques de l'observateur. Le premier état, à l'instant initial, juste avant la première mesure, est le produit $\prod _{i=1}^{N}|ready_{i}\rangle$ des états initiaux de tous les instruments de mesure. Le second état est $|x_{1}\rangle \prod _{i=2}^{N}|ready_{i}\rangle$ où $|x_{1}\rangle$ est l'état pointeur du résultat $x_{1}$. Le $j$ème état juste avant la $j$ème mesure est :
$|x_{1}\rangle ...|x_{j-1}\rangle \prod _{i=j}^{N}|ready_{i}\rangle$
Une destinée est soit une destinée complète, soit seulement un segment d'une destinée complète.
Les destinées d'un observateur idéal forment une arborescence. Le pied de l'arbre est l'état initial de l'observateur idéal. Entre deux observations, l'arbre grandit sans diviser ses branches. Lorsqu'une observation a lieu, une branche se divise en autant de branches qu'il y a de résultats de mesure dont la probabilité est non-nulle.
Dans le modèle de l'observateur idéal, deux branches qui se sont séparées ne peuvent pas se rejoindre à nouveau, parce que les observateurs idéaux gardent la mémoire. Ils ne peuvent pas avoir plusieurs passés parce qu'ils ne peuvent pas mémoriser plusieurs passés qui se contredisent.
On pourrait définir un modèle plus général d'un observateur à l'aide de la théorie générale de la mesure (cf. chapitre 5). Il faut alors raisonner non sur des vecteurs d'état mais sur des opérateurs densité. C'est un peu plus compliqué et cela conduit essentiellement aux mêmes conclusions.
La théorie des observateurs idéaux, telle qu'elle est ici définie, est abstraite et générale. Elle ne fait aucune hypothèse sur l'espace dans lequel sont plongés les observateurs, ni sur le reste de son contenu. L'espace à trois dimensions peut être introduit en prenant comme états de base des états quantiques très localisés.
L'arbre des destinées multiples d'un observateur ne déploie pas ses branches dans l'espace à trois dimensions mais dans l'espace abstrait des états quantiques de l'observateur. Si ceux-ci sont localisés, ne serait-ce que de façon approximative, leurs destinées sont également localisées. Les arbres de destinées multiples déploient alors leurs branches dans l'espace-temps, en les faisant croître toujours dans la direction du futur.
L'incompatibilité des mesures quantiques interdit à deux observateurs de faire simultanément sur le même système observé deux mesures incompatibles. Si deux observateurs interagissent simultanément avec un troisième système, la connaissance des interactions entre chacun des observateurs et le troisième système ne suffit pas pour déterminer le résultat. Il faut raisonner comme s'il s'agissait d'une collision entre trois systèmes quantiques. Ce n'est donc pas une mesure idéale.

### Destinée absolue de l'observateur et destinée relative de son environnement

L'état initial de l'observateur et de son environnement est un état de l'Univers. Aux instants ultérieurs les états de l'Univers sont déterminés par des opérateurs d'évolution unitaire. Ils sont en général des états intriqués entre l'observateur et son environnement. À chaque état de l'observateur est donc associé un état relatif de son environnement. Un état initial de l'Univers et une destinée d'un observateur idéal suffisent donc pour déterminer la succession des états relatifs de l'environnement, qu'on peut identifier à la destinée de l'environnement relative à cette destinée de l'observateur.
On peut dire de la destinée de l'observateur qu'elle est absolue, au sens où elle n'est pas relative à la destinée d'un autre observateur.

### Les probabilités des destinées

La règle de Born permet d'attribuer des probabilités aux diverses destinées d'un observateur.
La probabilité d'un résultat de mesure $x_{i}$ ne dépend que de l'état $|\psi \rangle$ de l'environnement relatif (cf. 4.5) à l'état de l'observateur juste avant la $i$ème mesure :
$Pr(x_{i})=|P(x_{i})|\psi \rangle |^{2}$
où $P(x_{i})$ est le projecteur sur le sous-espace des états propres de $x_{i}$.
${\frac {P(x_{i})|\psi \rangle }{|P(x_{i})|\psi \rangle |}}$ est l'état relatif de l'environnement juste après la mesure de $x_{i}$.
De cette façon, avec l'état initial de l'environnement et les opérateurs d'évolution on peut attribuer une probabilité à toutes les destinées d'un observateur idéal. On peut attribuer les mêmes probabilités aux destinées relatives de son environnement.

### L'incomposabilité des destinées

Une destinée d'un observateur idéal A et une destinée d'un autre observateur idéal B sont composables lorsque l'information mémorisée par l'un peut être copiée par l'autre. Il n'est pas nécessaire qu'elle soit copiée, seulement qu'elle puisse l'être. Mais à la fin de la destinée de A, il faut que toutes les observations de B puissent être communiquées à A, pour que leurs destinées soit composables. Les destinées de deux observateurs sont composables lorsqu'ils peuvent se mettre d'accord sur une réalité commune. La probabilité d'une rencontre entre deux destinées composables n'est jamais nulle.
Deux destinées sont incomposables lorsqu'elles ne sont pas composables. Des destinées incomposables sont définitivement séparées. Elles ne pourront jamais se rencontrer. Ce livre introduit le néologisme d'incomposabilité parce que incompatibilité a déjà un autre sens en physique quantique (cf. 2.7). Si les destinées de deux observateurs idéaux contiennent des résultats d'observation mutuellement contradictoires alors elles sont incomposables. La probabilité d'une rencontre entre deux destinées incomposables est toujours nulle.
On peut définir l'incomposabilité d'une façon plus formelle, moins intuitive et mathématiquement plus commode. Formellement, tous les observateurs idéaux peuvent être réunis par produit tensoriel en un unique observateur idéal. Les suites $(O_{ij},t_{ij})$ des observateurs $j$ permettent de définir une nouvelle suite $(O'_{k},t'_{k})$ pour l'observateur qui les réunit tous. Chaque destinée de l'observateur total détermine une unique destinée pour chacun des observateurs ainsi réunis. Deux destinées de deux observateurs sont composables s'il existe au moins une destinée de l'observateur total, de probabilité non-nulle, qui les détermine toutes les deux. Elles sont incomposables sinon.
La séparation entre deux destinées incomposables est une séparation spécifiquement quantique, très différente de la séparation spatiale. Lorsque deux destinées sont séparées quantiquement, l'impossibilité d'une rencontre est définitive, même si elles sont en un même lieu (cf. 4.9). Deux destinées incomposables ne pourront plus jamais interagir. Lorsque deux destinées sont séparées spatialement sans être séparées quantiquement, il suffit qu'elles se rapprochent dans l'espace pour interagir et se réunir ainsi.
La superposition (cf. 1.1) et la discernabilité incomplète (cf. 2.6) des états, l'incompatibilité des mesures (cf. 2.7), l'intrication des parties (cf. 4.1), la relativité des états (cf. 4.3), la décohérence par l'intrication (cf. 4.17), la sélection des états pointeurs (cf. 5.4) et l'incomposabilité des destinées sont les principaux concepts, spécifiquement quantiques, sans analogues classiques, qui permettent de comprendre la signification physique de l'équation de Schrödinger, ou de façon équivalente, du formalisme des opérateurs unitaires.

### La croissance d'une forêt de destinées

Lorsque des observateurs n'interagissent en aucune façon, ni de façon directe en s'observant mutuellement, ni de façon indirecte par l'intermédiaire d'un système quantique dans leur environnement, leurs arbres de destinées croissent de façon indépendante. Il faut pour cela que chacun observe des objets différents et complètement séparés, au sens quantique, des objets observés par les autres, c'est à dire qu'ils ne sont pas intriqués avec eux.
Lorsque deux observateurs interagissent, directement ou indirectement, ils enchevêtrent mutuellement les branches de leurs arbres de destinées, un peu comme Philémon et Baucis. On peut voir ainsi les destinées multiples de nombreux observateurs qui interagissent comme une forêt en croissance dont les arbres entremêlent leurs branches. Pour représenter une évolution quantique, la croissance d'une telle forêt doit respecter des règles très strictes de sélection des enchevêtrements possibles.
Lorsque la communication entre deux observateurs est idéale, chaque branche de l'un se sépare de toutes les branches de l'autre avec lesquelles elle devient incomposable.
Deux observateurs idéaux A et B peuvent aussi interagir par l'intermédiaire d'un troisième quantique C dans leur environnement. Ce n'est pas forcément une communication idéale.
Supposons que A observe un système C qui est ensuite observé par B.
Si A et B font la même mesure sur C et si celui-ci est dans un des états propres de la mesure, alors les branches ne se multiplient pas, A et B obtiennent le même résultat, et ils enchevêtrent leurs branches comme s'il y avait eu une communication idéale de ce résultat. Si C n'est pas dans un état propre de la mesure, les branches de A d'abord, puis celles de B, se multiplient après la mesure sur C, et elles s'enchevêtrent comme s'il y avait eu communication idéale du résultat obtenu.
Si les observables des mesures de A et B sont incompatibles (cf. 2.7), les résultats obtenus par A ne peuvent pas être identifiés à ceux obtenus par B. Dans ce cas, l'enchevêtrement entre les branches ne peut donc pas être déterminé par l'appariement des résultats. Si par exemple, C n'est pas un état propre de la mesure par A tout en étant un état propre de la mesure par B, les branches de A d'abord, puis celles de B, se multiplient après la mesure sur C, mais les branches de A qui étaient composables avec celles de B avant la mesure de C restent composables. L'interaction par l'intermédiaire de C n'introduit pas de nouvelles contraintes d'incomposabilité entre les destinées de A et de B.
Il y a donc essentiellement deux façons pour deux arbres d'enchevêtrer leurs branches lorsque deux observateurs idéaux interagissent. S'ils s'observent mutuellement ou s'ils mesurent la même observable d'un troisième système alors ils enchevêtrent leurs branches par l'appariement des résultats. Si l'interaction ne conduit pas au partage d'une même information alors ils enchevêtrent leurs branches sans discrimination.
Avant la première interaction entre A et B, directe ou par l'intermédiaire d'un troisième système, toutes les destinées de l'un sont composables avec toutes les destinées de l'autre. Les interactions ultérieures introduisent des contraintes d'incomposabilité, des interdits de rencontre entre destinées, dès que A et B s'observent mutuellement ou qu'ils font des mesures compatibles sur un troisième système C. La croissance de la forêt est donc accompagnée d'un processus de différenciation, de séparation entre les arbres, semblable à la maturation cérébrale. Initialement, lors des premières années de la vie, les connexions entre neurones sont très peu différenciées et chaque neurone est connecté à de très nombreux autres. La plupart de ces connexions disparaissent au cours du temps.
Parler de la croissance d'une forêt de destinées est seulement une façon de décrire les solutions de l'équation de Schrödinger quand on l'applique aux systèmes d'observateurs idéaux. Il s'agit de décrire des solutions mathématiques qui résultent des hypothèses simples qu'on a posées. Il ne s'agit pas d'une imagination délirante mais du calcul des conséquences de principes mathématiques.

### Les destinées quantiques virtuelles et les chemins de Feynman

Les états initiaux et les états pointeurs des instruments de mesure qui définissent un observateur idéal déterminent, par produit tensoriel, les états pointeurs de l'observateur lui-même. La sélection des états pointeurs des instruments de mesure (cf. 5.4) sélectionne du même coup la base des états pointeurs de l'observateur idéal.
Lorsqu'un système quantique n'est pas un instrument de mesure macroscopique ou un observateur idéal, aucune base d'états pointeurs n'est a priori privilégiée (cf. 5.5). On peut quand même définir des destinées multiples en choisissant arbitrairement une de ses bases d'états. Mais il n'y a aucune raison de penser que ces destinées sont réelles, parce que les états qui les définissent ne sont pas en général des états par lequel le système passe réellement. Dans la réalité il est dans une superposition de ces états ou dans un état intriqué avec l'environnement. C'est pourquoi ce livre appellent virtuelles de telles destinées quantiques.
Lorsque les $t_{i}$ sont des instants du temps et les $|\phi _{i}\rangle$, des états d'un système S, indexés par le même indice $i$, la suite des $(|\phi _{i}\rangle ,t_{i})$ est un chemin de Feynman.
Les $U_{i}$ sont les opérateurs d'évolution de S entre $t_{i-1}$ et $t_{i}$.
L'amplitude de probabilité associée au chemin de Feynman $(|\phi _{i}\rangle ,t_{i})$ est par définition :
$\prod _{i}\langle \phi _{i}|U_{i}|\phi _{i-1}\rangle$
$t_{0}$ est l'instant initial et $t_{N}$ l'instant final. $|\psi _{0}\rangle$ est un état initial de S et $|\psi \rangle$ un état final.
L'amplitude de probabilité de l'évolution de $|\psi _{0}\rangle$ à $|\psi \rangle$ est :
$\langle \psi |U|\psi _{0}\rangle$
où $U=\prod _{i=1}^{N}U_{i}$
Les $|a_{j}\rangle$ sont une base orthonormée d'états de S. Avec les $t_{i}$ elle détermine un ensemble $F$ de chemins de Feynman de $|\psi _{0}\rangle$ à $|\psi \rangle$. $F$ contient tous les chemins $(|\psi _{0}\rangle ,t_{0})...(|\phi _{i}\rangle ,t_{i})...(|\psi \rangle ,t_{N})$ où les $|\phi _{i}\rangle$ sont toujours choisis parmi les $|a_{j}\rangle$. Si $f$ est un élément de $F$, $|\phi _{i}^{f}\rangle$ est son état intermédiaire à l'instant $t_{i}$.
On a :
$\langle \psi |U|\psi _{0}\rangle =\sum _{f\in F}\prod _{i=1}^{N}\langle \phi _{i}^{f}|U_{i}|\phi _{i-1}^{f}\rangle$
où $|\phi _{0}^{f}\rangle =|\psi _{0}\rangle$ et $|\phi _{N}^{f}\rangle =|\psi \rangle$ quel que soit $f$ dans $F$.
Autrement dit, l'amplitude de probabilité d'une évolution entre un état initial et un état final est la somme de toutes les amplitudes de probabilité de "tous les chemins" qui relient ces deux états. C'est la version finie des intégrales sur tous les chemins de Feynman (Feynman & Hibbs 1965).
Preuve : sachant que $\sum _{j}|a_{j}\rangle \langle a_{j}|=1$, on a
$\langle \psi |U|\psi _{0}\rangle =\langle \psi |U_{N}\prod _{i=1}^{N-1}(\sum _{j_{i}}|a_{j_{i}}\rangle \langle a_{j_{i}}|)U_{i}|\psi _{0}\rangle =\sum _{j_{1}...j_{N-1}}\langle \psi |U_{N}|a_{j_{N-1}}\rangle \prod _{i=1}^{N-1}\langle a_{j_{i}}|U_{i}|\psi _{0}\rangle$
$=\sum _{f\in F}\prod _{i=1}^{N}\langle \phi _{i}^{f}|U_{i}|\phi _{i-1}^{f}\rangle$
Une destinée d'un observateur est définie par une succession d'états quantiques à des instants définis, comme un chemin de Feynman. Comme David Deutsch ne distingue pas destinée et chemin de Feynman, il suggère, d'une façon étonnante, que les intégrales sur les chemins de Feynman, pourraient servir à prouver l'existence des mondes multiples (Deutsch 1997). Pour être définis correctement, les mondes multiples doivent être considérés comme des mondes relatifs aux observateurs, qui ont des destinées multiples. L'état d'un de ces mondes est un état d'un environnement (l'Univers sauf l'observateur) relatif à un état d'un observateur.
Une destinée d'un système observateur est réelle. Les résultats d'observation sont vraiment obtenus. Ils font partie d'une destinée qui existe vraiment. Les chemins de Feynman ne peuvent pas être des destinées réelles, parce que les états intermédiaires ne doivent pas être observés pour qu'on puisse intégrer des amplitudes de probabilité et non des probabilités (cf. 4.18). Si les chemins de Feynman étaient des destinées réelles, il faudrait sommer des probabilités.
Une autre raison fondamentale empêche d'identifier les chemins de Feynman à des destinées réelles. Ils attribueraient de très nombreux passés à un même état présent. Les chemins de Feynman ne forment pas une arborescence parce qu'ils peuvent converger aussi facilement qu'ils divergent. Un état quantique sur un chemin de Feynman est un point de convergence de très nombreux chemins qui définiraient autant de passés s'ils étaient des destinées réelles. Cette propriété de convergence des destinées virtuelles est importante pour utiliser le parallélisme du calcul quantique, mais elle semble évidemment exclue pour des destinées réelles, qui en général semblent avoir un seul passé.

### Le parallélisme du calcul quantique et la multiplicité des passés virtuels

Soit un système à deux qubits qui interagissent de telle façon que le premier agit sur le second sans être affecté en retour, quand on raisonne dans la base {$|0\rangle ,|1\rangle$}. Leur interaction est donc décrite par l'opérateur $U_{f}$ :
$U_{f}|00\rangle =|0f(0)\rangle$
$U_{f}|10\rangle =|1f(1)\rangle$
$U_{f}|01\rangle =|0f(0)^{c}\rangle$
$U_{f}|11\rangle =|1f(1)^{c}\rangle$
où $f$ est une fonction a priori quelconque qui décrit l'effet du premier qubit sur le second, $0^{c}=1$ et $1^{c}=0$.
Si le système est préparé initialement dans l'état ${\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )$, on obtient :
$U_{f}{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|0f(0)\rangle +|1f(1)\rangle -|0f(0)^{c}\rangle -|1f(1)^{c}\rangle )$
Si $f(0)=f(1)$ on obtient :
$U_{f}{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )=-{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|f(0)\rangle +|f(0)^{c}\rangle )$
Si $f(0)\neq f(1)$ on obtient :
$U_{f}{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|0\rangle -|1\rangle )(|f(0)\rangle -|f(0)^{c}\rangle )$
L'état final $|x^{+}\rangle$ ou $|x^{-}\rangle$ du premier qubit révèle donc s'il fait toujours ou non le même effet sur son partenaire.
On peut analyser ce calcul quantique en distinguant deux destinées virtuelles du premier qubit, celle où il passe dans l'état $|0\rangle$ juste après la préparation initiale, l'autre où il passe dans l'état $|1\rangle$. L'opérateur $U_{f}$ détermine l'évolution de ces deux destinées en parallèle. De façon imagée on peut dire que le premier qubit vit deux destinées dans lesquelles il peut faire ou non le même effet sur son partenaire. Ces deux destinées convergent finalement sur un même état $|x^{+}\rangle$ ou $|x^{-}\rangle$. Si c'est $|x^{+}\rangle$ le qubit a fait le même effet dans ses deux destinées virtuelles passées, si c'est $|x^{-}\rangle$, il a fait un effet différent. En ayant plusieurs passés virtuels, le premier qubit permet de récolter les fruits du parallélisme du calcul quantique.
Cet exemple a valeur générale (Deutsch 1985). Le calcul quantique permet toujours de calculer en une seule étape toutes les valeurs d'une fonction. Si par exemple, il dispose de 100 qubits de mémoire pour le registre de données, un ordinateur quantique peut calculer en parallèle et en une seule étape $2^{100}\approx 10^{30}$ (mille milliards de millards de milliards environ) valeurs d'une fonction a priori quelconque. Mais la difficulté est de récolter les fruits de ce parallélisme. Il faut observer un état qui résulte de toutes les destinées virtuelles qui se produisent en parallèle, donc un état qui a de très nombreux passés virtuels.

### Peut-on avoir plusieurs passés si on les oublie ?

Deux destinées réelles différentes d'un même observateur idéal ne peuvent jamais converger sur un seul état parce qu'un observateur idéal n'oublie jamais et parce qu'il ne peut pas conserver des souvenirs contradictoires. Mais s'il oubliait, pourrait-il avoir plusieurs passés, à la façon du qubit dans l'algorithme quantique de Deutsch ci-dessus ?
Pour qu'un calcul quantique parallèle puisse fournir un résultat il est nécessaire que le calculateur soit protégé contre la décohérence par intrication avec son environnement. Si une telle décohérence se produit, tout se passe comme si les destinées virtuelles parallèles étaient observées par l'environnement. Dans ce cas il ne faut plus sommer des amplitudes mais des probabilités pour calculer la probabilité du résultat final (cf. 4.18). Les états
$|x^{+}\rangle$ et $|x^{-}\rangle$ se produiraient avec la même probabilité quelle que soit les valeurs de la fonction $f$, et il n'y aurait plus aucune raison d'affirmer qu'ils ont deux passés virtuels.
Comme nous sommes en permanence soumis à la décohérence par intrication avec notre environnement, tout se passe comme si nous étions observés en permanence par l'environnement. Quand nous oublions, les informations perdues ne le sont pas complètement. L'environnement en conserve toujours une trace. C'est pourquoi deux destinées réellement vécues ne peuvent pas converger sur un même état où elles se superposeraient, même si dans cet état nous avons oublié ce qui pourrait les distinguer.