# Tribologie/Contacts localisés

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Plan du livre : :
Généralités • Actualités
Bibliographie
Manifestations du frottement
Diverses approches des problèmes de frottement
Modélisation des actions de contact
Genèse des frottements
Nature et comportement des surfaces frottantes
Usure des surfaces • Endommagement des engrenages • Endommagement des roulements
Matériaux utilisables pour le frottement
Traitements anti-usure
Revêtements anti-usure
Lubrifiants en général • Lubrifiants liquides • Lubrifiants pâteux • Lubrifiants solides et vernis
Techniques de lubrification • Lubrification des engrenages • Lubrification des roulements
Guidages, généralités
Contacts localisés, pressions de Hertz
Guidages par glissement de surfaces
Guidage par roulement
Guidage par sustentation magnétique
Applications pratiques industrielles • Pneumatiques
Applications pratiques en biologie et médecine
Facteurs de frottement
Enseignement et recherche
modèles 0 1 :

## Aspects généraux et historiques
### Présentation

Entre deux pièces mécaniques, les efforts peuvent être transmis par des contacts surfaciques, comme dans le cas des guidages lisses, ou par des contacts de type « linéique » ou « ponctuel » comme ceux que nous allons étudier ici. Les modèles les plus simples correspondant au second cas sont obtenus en mettant un cylindre ou une sphère en contact avec un plan, mais il existe bien d'autres possibilités.
* Dans le cas des contacts surfaciques, on admet en général que les pièces sont quasi indéformables ; quant aux pressions de contact, elles ont des valeurs relativement limitées.
* Dans le cas des contacts linéiques ou ponctuels, en revanche, supposer les pièces indéformables reviendrait à considérer des aires de contact nulles et des pressions infinies, ce qui est évidemment impossible. En réalité, les déformations « étalent » plus ou moins la zone de contact autour du point ou de la ligne théorique et les pressions sont très élevées, typiquement 50 à 100 fois plus que dans les contacts de surfaces. Commes nous le verrons, ces pressions peuvent même dépasser largement la limite d'élasticité des matériaux en présence, sans pour autant provoquer de déformations plastiques.

### Le contexte historique

Ce n'est sans doute pas un hasard si les études sur ce sujet remontent à la seconde moitié du XIXe siècle, période de grand développement du chemin de fer et de l'architecture métallique. À cette époque, en effet, les contacts des roues métalliques avec les rails font apparaître des processus d'endommagement inédits et, pour construire des matériels ferroviaires durables, les ingénieurs ont besoin de méthodes susceptibles de les guider dans leur travail.
Parallèlement, l'apparition du métal fait évoluer les techniques de construction.
Les bâtisseurs du pont Notre-Dame à Mende ou de bien d'autres ponts de pierre étaient fort habiles et leurs constructions ont souvent traversé les siècles pour nous parvenir en excellent état. Ils savaient répartir les poussées sur les appuis, même dans le cas de rives très dissymétriques comme dans notre exemple. Cependant, pour toutes les constructions de cette sorte, les forces transmises au sol restent globalement modérées et surtout, elles sont réparties sur des surfaces relativement importantes.
Il en va tout autrement pour des ouvrages comme le Pont Alexandre III, édifié de 1897 à 1900 par les architectes Cassien-Bernard et Gaston Cousin en collaboration avec les ingénieurs Jean Résal et Amédée Alby. L'arc en acier à trois articulations, de 107,5 m de portée et de 40 m de largeur, est très bas puisque son surbaissement (rapport hauteur/portée) est de 1/17. Au niveau des culées, les poussées sont considérables et appliquées sur des surfaces relativement petites. Il faut alors bâtir des massifs de maçonnerie capables de recevoir des forces très importantes sur des surfaces relativement petites et de transmettre au sol, sur des étendues beaucoup plus grandes, des pressions acceptables.

### Les premières théories

L'étude des contacts localisés trouve des applications à diverses échelles qui vont de la dizaine de m pour les massifs de maçonnerie au cm ou au mm pour les pièces mécaniques ou à quelques μm pour les contacts d'aspérités.
Les premiers calculs de Joseph Boussinesq, auteur en 1876 d'un Essai théorique de l'équilibre des massifs pulvérulents, comparé à celui des massifs solides, sur la poussée des terres sans cohésion, reprenant des études de Coulomb sur ce sujet, reposent sur un ensemble d'hypothèses très restrictives :
* Hypothèses de Boussinesq :
* A - les corps en présence sont supposés semi-infinis,
* B - au voisinage de la future zone de contact, leurs surfaces peuvent être représentées par des quadriques dont les courbures sont connues,
* C - ces corps sont parfaitement élastiques, homogènes et isotropes,
* D - l'aire de contact est assimilée à un très petit élément plan qui ne reçoit que des efforts normaux, donc parallèles entre eux.
* Ces hypothèses appellent divers commentaires :
* A : il s'agit de définir des conditions aux limites. Les contraintes, très élevées dans la zone de contact, diminuent au fur et à mesure que l'on s'éloigne de celle-ci jusqu'à devenir nulles à l'infini, puisque les efforts sont alors répartis sur une surface infiniment grande. Pour les pièces mécaniques, cette hypothèse ne peut s'appliquer sans trop de restrictions que si les zones de contact sont vraiment très petites par rapport aux autres dimensions.
* B : les quadriques sont des surfaces définies par des équations du second degré, complètes ou dégénérées, parmi lesquelles on trouve la sphère, les ellipsoïdes, les hyperboloïdes, les paraboloïdes, les cylindres de révolution (ellipsoïdes infiniment allongés) ou les plans (sphères de rayon infini). Les paraboloïdes et les plans sont comptatibles avec l'hypothèse A mais pas les sphères ni les cylindres. D'autres surfaces techniques, comme les tores que l'on trouve dans les roulements à billes ou les flancs des dents d'engrenages, à base de développantes de cercles, seront assimilées sans trop d'états d'âme à des quadriques. Le plus gros problème posé par cette hypothèse vient en fait de la rugosité qui rend la répartition des pressions de contact très irrégulière et généralement très éloignée du modèle théorique.
* C : l'hypothèse de déformations purement élastiques peut être admise sans grande difficulté mais les matériaux utilisés dans la fabrication des pièces mécaniques ne sont généralement ni homogènes, ni isotropes. Les métaux, en particulier, ont une structure polycristalline et/ou polyphasique, à l'exemple de la fonte. Leurs microcristaux sont également orientés en fonction de la solidification progressive pour les pièces moulées ou du «fibrage » pour les pièces forgées, ce qui fait varier les propriétés mécaniques en fonction de la direction dans laquelle on se place.
* D : dans beaucoup de contacts, la zone d'application des pressions est loin d'être plane et surtout, le fait de ne considérer que des charges normales suppose que l'on fasse abstraction du frottement. Or, on sait que celui-ci modifie profondément les données du problème en augmentant les déformations et en accélérant certains processus de dégradation des pièces.
En 1881, Heinrich Hertz, jeune ingénieur et docteur ès sciences de 24 ans qui se fera bientôt connaître comme physicien, publie dans le célèbre Journal de Crelle (XVII, p. 156), sous le titre Ueber die Beruhrung fester elastischer Körper (Sur le contact des corps solides élastiques), un mémoire qui fera date, puisqu'il s'agit de la première théorie cohérente des contacts ponctuels. Le mémoire de Hertz, qui reprend les hypothèses de Boussinesq, a été cité dans d'innombrables bibliographies par des auteurs qui ne l'ont jamais eu entre les mains, mais il est désormais accessible grâce à trois Professeurs de l'ENSAM d'Angers, MM. Diwisch, Foulon et Rey qui l'ont retrouvé et en ont fourni en 1985 une traduction juxtalinéaire (Publication scientifique et technique n° 30, Le mémoire de Hertz sur les contacts ponctuels, Paris, ENSAM).
D'autres chercheurs, en particulier Belajeff et ses Collègues de l'« École soviétique », ont fourni par la suite d'autres contributions importantes.
Le fait que l'on reste dans le domaine des déformations élastiques permet d'appliquer le « principe de superposition » bien connu en résistance des matériaux. Au premier réseau de contraintes établi par l'application des efforts normaux vont en effet se superposer un second réseau provoqué par les efforts tangentiels résultant du frottement ou de l'adhérence, puis un troisième dû aux contraintes résiduelles dont on favorise l'apparition par des traitements mécaniques ou thermochimiques appropriés, et enfin un quatrième qui correspond aux autres sollicitations des pièces, tension, compression, flexion, torsion ... Ces quatre groupes de contraintes peuvent être définis séparément puis combinés pour aboutir à l'état de charge complet des zones de contact.
Le calcul des contraintes supplémentaires dues au frottement a été conduit de diverses manières par des chercheurs comme Liu (1950), Poritzky (1966) et quelques autres. Il est extrêmement compliqué, au point d'être pratiquement inutilisable dans les situations concrètes. Cependant, des résultats synthétiques et adaptés aux besoins des bureaux d'études ont été publiés quelques années plus tard par Caubet, Cartier et leur équipe du Centre Technique des Industries Mécaniques (CETIM).

## Rappels de géométrie des courbes et des surfaces
### Cercle osculateur d'une courbe plane, rayon de courbure, courbure

Sans entrer dans le détail des définitions mathématiques, disons simplement que le cercle osculateur à une courbe en un point donné est, parmi tous les cercles possibles, celui qui « représente le mieux cette courbe » au voisinage de ce point. À cet endroit, le cercle osculateur et la courbe ont la même tangente, il s'ensuit évidemment que le centre du cercle se trouve sur la normale à la courbe.
Le plus grand cercle, en trait noir fin, tangente la courbe en M et la recoupe en N. On peut imaginer que son rayon diminue jusqu'à ce que N vienne se confondre avec M. Tout comme la tangente à une courbe, le cercle osculateur (tracé ici en pointillés) « coupe cette courbe en deux points confondus ». Dans l'exemple choisi, en diminuant encore le rayon du cercle tangent, on verrait réapparaître le point N de l'autre côté de M.
Le rayon R du cercle osculateur n'est autre que le rayon de courbure de la courbe au point M. Par définition, la courbure C en ce point est l'inverse de ce rayon ; elle est nulle quand le rayon rend vers l'infini, la courbe devenant alors une droite. Il est souvent utile de compter le rayon de courbure de façon algébrique pour distinguer la concavité de la convexité :
$R={\overline {OM}}\quad et\quad C={\frac {1}{R}}$

### Sections et courbures d'une surface

Il n'y a rien de mieux, pour tout connaitre d'une surface autour d'un point, que de la couper par des plans passant par ce point. L'intersection d'une surface par un plan passant par le point M nous donnera une courbe que nous appellerons une section.
Seul petit problème, il existe une infinité de plans passant par M et la méthode n'est pas très efficace ...
En tout point M non stationnaire d'une surface (S) (point autre qu'un ombilic, non situé sur une arête, un méplat, etc.) il est possible de définir le plan tangent (T) et la normale ${\vec {n}}$. Les plans contenant M et la normale sont appelés plans normaux en M à la surface (S), ils sont bien entendu perpendiculaires au plan tangent (T).
Tout plan normal (P) coupe la surface (S) selon une section normale (C) dont on peut définir le centre de courbure O et le rayon de courbure $R={\overline {OM}}$ au point M.
* Le nombre algébrique $C_{n}={\frac {1}{R_{n}}}$ est la courbure normale de la surface (S), au point M et dans la direction du plan (P). En orientant positivement la normale à partir de la matière vers l'extérieur, on trouve des rayons de courbure et des courbures positifs ou négatifs selon que les surfaces sont respectivement convexes ou concaves dans la direction du plan considéré.

### Plans principaux, courbures principales, formule d'Euler

Il existe une infinité de plans normaux à une surface en un point donné mais il est facile de voir que si le plan (P) effectue un demi-tour, toute la surface est décrite. Il en résulte que la courbure normale d'une surface autour d'un point non stationnaire M est une fonction périodique de l'angle de rotation du plan (P), avec une période égale à π. Pour certains types de points stationnaires (a priori sans intérêt en mécanique) on pourrait trouver des périodes plus petites, π/2, π/3, π/4, etc.
Si le plan (P) tourne autour de la normale ${\vec {n}}$, la courbure trouvée dans ce plan varie entre un maximum C'=1/R' et un minimum C"=1/R", atteints dans deux plans (P') et (P") perpendiculaires entre eux.
* (P') et (P") sont les plans principaux de la surface (S) en M,
* R' et R" les rayons de courbure principaux,
* C' et C" les courbures principales.
* attention au signe des rayons et des courbures, ainsi qu'aux notations qui ne sont pas choisies au hasard !
À partir des deux courbures principales, il est possible de calculer toutes les courbures intermédiaires grâce à une formule donnée par Leonhard Euler : la courbure normale C dans un plan de section normale (P) faisant l'angle θ avec le plan principal de plus forte courbure (P') vaut en effet :
* $C=C'\cos ^{2}\theta +C''\sin ^{2}\theta ={\frac {C'+C''}{2}}+{\frac {C'-C''}{2}}\cos 2\theta \quad (1)$
Remarques :
* la courbure totale est définie comme $C'C''={\frac {1}{R'R''}}$
* la courbure moyenne vaut ${\frac {C'+C''}{2}}$.
* pour un élément de surface déterminé au voisinage de M, les plans principaux sont également des plans de symétrie. Inversement, si en un point une surface possède deux plans de symétrie évidents (et seulement deux) alors ces plans sont principaux ; c'est très souvent le cas pour les pièces mécaniques.
Une bague intérieure de roulement à billes possède deux plans principaux évidents en un point M situé au creux de la piste de roulement. Ce point serait l'équivalent d'un col pour deux montagnards : le premier, qui passe d'une vallée à l'autre, s'y trouve au point culminant de sa randonnée. Il y croise le second, qui suit la route des crêtes et pour qui le col est au contraire le point le plus bas.
Il faut tout d'abord reconnaître quels sont les plans de plus grande et de plus petite courbure pour affecter les bons indices, ce qui est fondamental pour la suite de l'étude et pour tous les calculs qui suivront, et bien se mettre en tête que nos courbures sont définies algébriquement.
Avoir 3 € en poche est mieux que devoir 1 € au collègue qui vous a payé deux fois le café à la pause, et devoir 1 € à son collègue est grandement préférable à en devoir 10 000 à son banquier ! On a beau être persuadé que tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif et qu'entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue, le piège est tellement grossier qu'il est très facile d'y tomber. Ici la section la plus courbe est celle qui passe par la ligne des crêtes mais c'est pourtant là, pour cause de concavité, que la courbure est la plus petite.
Nous aurons donc, par exemple, R' = 40 mm et R" = - 10 mm,
ce qui nous donnera immédiatement C' = 0,025 mm$^{-1}$ et C" = - 0,1 mm$^{-1}$.
Ceci montre bien qu'une surface peut parfaitement, en un de ses points, être à la fois convexe et concave selon la direction du plan normal qui va la couper. La courbure passant sans discontinuité d'une valeur positive à une valeur négative, il existe deux directions de plan qui correspondent à une valeur nulle et se calculent facilement à partir de la formule d'Euler :
${\frac {C'+C''}{2}}+{\frac {C'-C''}{2}}\cos 2\theta =0$
On en tire la valeur de θ, en n'oubliant pas deux choses :
* le cosinus nous donne deux angles opposés et donc deux directions symétriques par rapport aux plans principaux,
* cette propriété n'est valable qu'au voisinage immédiat du point M, puisque le tore n'est pas une quadrique et encore moins une surface réglée.

## Courbures et contacts localisés

Les contacts localisés sont souvent utilisés dans les mécanismes de guidage et de transmission de puissance comme les engrenages, les roulements, beaucoup de dispositifs de commande, les contacts cames-poussoirs, les machines d'essais, etc. L'étendue réelle des aires de contact dépend de trois ensembles de paramètres :
* les efforts mis en jeu,
* les caractéristiques géométriques du contact,
* les matériaux des pièces et leurs traitements.
Dans la plupart des cas, deux de ces ensembles sont donnés, les efforts presque toujours, les matériaux très souvent car le choix est finalement très limité, il reste à définir les formes et les dimensions des pièces. Nous allons nous intéresser, dans un premier temps, à ces aspects géométriques.

### Mise en place des surfaces

En l'absence de charge, deux solides (1) et (2), limités par deux surfaces (S$_1$) et (S$_2$), sont en contact en un point I. Si ce point n'est stationnaire sur aucune des deux surfaces, celles-ci possèdent en I une normale commune et un plan tangent commun (T). La figure ci-contre représente les deux solides coupés par un même plan de section normale (P) dans lequel sont définis les rayons de courbure R$_1$ et R$_2$ des sections normales ainsi que les courbures correspondantes C$_1$ et C$_2$.
Attention ! Nous avons défini le signe des courbures de la surface extérieure d'un objet isolé à partir de sa normale extérieure ; nous devons persévérer dans ce sens, même si, une fois nos deux objets mis en contact, nous réalisons soudain que leurs deux normales extérieures sont colinéaires mais de sens opposés. C'est pourquoi la normale commune définira ici un axe Iz que nous orienterons, si possible intelligemment, dans le sens de notre choix. Les deux autres axes Ix et Iy constituant avec Iz un trièdre orthonormé se trouveront alors quelque part dans le plan tangent (T), nous nous en préoccuperons en temps utile.
Deux point M$_1$ et M$_2$ appartenant respectivement aux surfaces (S$_1$) et (S$_2$), très proches de I, sont situés sur une même droite perpendiculaire en H au plan tangent. Par la suite, lorsque les efforts seront appliqués, ces points vont se rapprocher et même, peut-être, arriver au contact l'un de l'autre.
Les deux surfaces sont par hypothèse des quadriques dont les équations s'écrivent sous la forme :
${\overline {HM_{1}}}=z_{1}=a_{1}x^{2}+a_{2}xy+a_{3}y^{2}$ et
${\overline {HM_{2}}}=z_{2}=b_{1}x^{2}+b_{2}xy+b_{3}y^{2}$
La distance ${\overline {M_{1}M_{2}}}$ se calcule de suite :
${\overline {M_{1}M_{2}}}={\overline {M_{1}H}}+{\overline {HM_{2}}}=z_{2}-z_{1}$
${\overline {M_{1}M_{2}}}=(b_{1}-a_{1})x^{2}+(b_{2}-a_{2})xy+(b_{3}-a_{3})y^{2}$
En posant $z={\overline {M_{1}M_{2}}},c_{1}=(b_{1}-a_{1})$, etc., on peut alors écrire :
${\overline {M_{1}M_{2}}}=z=c_{1}x^{2}+c_{2}xy+c_{3}y^{2}$

### Une surface fictive pour mieux comprendre

Dans cette dernière équation, z définit une nouvelle quadrique qui représente le diagramme des distances séparant les points des deux surfaces de départ. Nous allons remplacer le contact de nos deux pièces réelles par celui de deux pièces fictives qui seraient limitées, l'une par la nouvelle quadrique et l'autre, par le plan tangent ; le comportement du nouveau couple suivra fidèlement celui de l'ancien !
Il n'est pas toujours possible de mettre en contact deux points donnés appartenant à deux surfaces différentes, si l'une au moins de ces surfaces présente des concavités, donc des courbures négatives, dans certaines directions. La démonstration de la possibilité ou de l'impossibilité du contact n'est pas toujours évidente pour les surfaces réelles mais nous pouvons remarquer que la surface fictive en contact avec le plan ne doit présenter aucune concavité, c'est-à-dire que sa plus petite courbure doit toujours être positive ou nulle.
Raisonnons sur trois points M$_1$, M$_2$ et M appartenant respectivement aux trois surfaces (S$_1$), (S$_2$) et (S) et situés sur une même droite perpendiculaire en H au plan tangent (T).
H étant toujours très proche de I, les angles α$_1$, α$_2$ et α sont tous les trois très petits, on peut écrire :
$IH\approx \alpha R\approx \alpha _{1}R_{1}\approx \alpha _{2}R_{2}\quad \to \quad \alpha _{1}\approx {\frac {\alpha R}{R_{1}}}\quad et\quad \alpha _{2}\approx {\frac {\alpha R}{R_{2}}}$
et aussi :
${\overline {HM_{1}}}=-R_{1}(1-\cos \alpha _{1})\approx -R_{1}{\frac {\alpha _{1}^{2}}{2}}$
${\overline {HM_{2}}}=R_{2}(1-\cos \alpha _{2})\approx R_{2}{\frac {\alpha _{2}^{2}}{2}}$
${\overline {HM}}=R(1-\cos \alpha )\approx R{\frac {\alpha ^{2}}{2}}$
La définition de la surface (S) est telle que :
${\overline {HM}}={\overline {M_{1}M_{2}}}={\overline {M_{1}H}}+{\overline {HM_{2}}}=-{\overline {HM_{1}}}+{\overline {HM_{2}}}$
donc :
$R{\frac {\alpha ^{2}}{2}}=R_{1}{\frac {\alpha _{1}^{2}}{2}}+R_{2}{\frac {\alpha _{2}^{2}}{2}}$
En remplaçant les angles α$_1$ et α$_2$ par leur valeur, on obtient :
$R{\frac {\alpha ^{2}}{2}}={\frac {R_{1}}{2}}{\frac {\alpha ^{2}R^{2}}{R_{1}^{2}}}+{\frac {R_{2}}{2}}{\frac {\alpha ^{2}R^{2}}{R_{2}^{2}}}$
on divise tout par ${\frac {\alpha ^{2}R^{2}}{2}}$ et finalement...
* ${\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}=C=C_{1}+C_{2}\quad (2)$
Ce résultat, dont l'analogie avec quelques formules d'électricité ou d'optique n'est que purement formelle, est hautement intéressant car il nous permet, à partir des deux courbures des surfaces de départ, de calculer la courbure de la surface fictive.
Tout comme (S$_1$) et (S$_2$), la surface (S) possède deux courbures principales que nous appellerons C' pour la plus grande et C" pour la plus petite. Pour que le contact soit possible il faut que l'on ait :
* $C'\geq C''\geq 0\quad (3)$
Cette condition est nécessaire mais pas suffisante, la forme des pièces hors du voisinage immédiat du point de contact pouvant rendre impossible l'existence d'un contact ponctuel ou linéique à cet endroit.

### ... et un exemple concret pour aller plus loin

Voici un exemple « à caractère scolaire » dans lequel la plupart des difficultés possibles ont été regroupées. Un anneau et une barre sont mis en contact comme indiqué sur la figure ci-dessous, les traces des plans de symétrie dans le plan tangent ont été reprises à droite pour éviter, par la suite, une surcharge qui rendrait les dessins illisibles.
Cet exemple viole allégrement les hypothèses de Boussinesq ! Il en ira de même pour la plupart de ceux que les mécaniciens auront à traiter. Ici les pièces ne sont pas « semi-infinies », le tore n'est pas une quadrique, sans compter les problèmes déjà signalés à propos des matériaux et de la rugosité. Cela ne nous empêchera pas d'en tirer des ordres de grandeur utilisables en pratique.
La première chose à faire est de repérer soigneusement les plans principaux des deux pièces, ce qui est a priori facile en raison des symétries, mais ... attention aux signes ! Par ailleurs, nous convertirons systématiquement toutes les dimensions en mm.
Donnons l'indice 1 au tore et l'indice 2 à la barre.
| pour la pièce 1 | pour la pièce 2 |
| on détermine d'abord les rayons de courbure et les courbures ||
| R'$_1$ = 5 mm d'où C'$_1$ = 0,2 mm$^{-1}$ | R'$_2$ = 10 mm d'où C'$_2$ = 0,1 mm$^{-1}$ |
| R"$_1$ = -30 mm d'où C"$_1$ = -0,0333 mm$^{-1}$ | R"$_2$ infini d'où C"$_2$ = 0 |
| on aura aussi besoin de la somme et de la différence des courbures ||
| Σ$_1$ = C'$_1$ + C"$_1$ = 0,2 - 0,0333 = 0,1667 mm$^{-1}$ | Σ$_2$ = C'$_2$ + C"$_2$ = 0,1 - 0 = 0,1 mm$^{-1}$ |
| Δ$_1$ = C'$_1$ - C"$_1$ = 0,2 + 0,0333 = 0,2333 mm$^{-1}$ | Δ$_2$ = C'$_2$ - C"$_2$ = 0,1 - 0 = 0,1 mm$^{-1}$ |
| φ est l'angle aigu qui va de (P"$_1$) à (P"$_2$) et définit l'orientation du plan tangent ||
Dans un plan de section quelconque (P) passant par la normale commune aux deux surfaces au point I, on peut calculer les deux courbures des surfaces (S$_1$) et (S$_2$), puis les additionner pour trouver la courbure correspondante de la surface fictive (S) en contact avec le plan tangent. Le calcul pourrait ressembler à :
$C_{1}=C'_{1}\cos ^{2}\theta _{1}+C''_{1}\sin ^{2}\theta _{1}$
et
$C_{2}=C'_{2}\cos ^{2}\theta _{2}+C''_{2}\sin ^{2}\theta _{2}$
puis $C=C_{1}+C_{2}$
mais ... ce n'est pas la bonne solution !
Nous allons commencer par définir un système d'axes provisoires de la manière suivante :
* Iu sera construit sur la bissectrice de l'angle formé par les plans (P"$_1$) et (P"$_2$),
* Iv sera construit sur la bissectrice de l'angle formé par les plans (P'$_1$) et (P'$_2$),
* Iz sera la normale commune aux surfaces,
* le trièdre sera orthonormé direct.
Le plan (P) sera repéré par l'angle aigu θ qu'il forme avec l'axe Iv. De cette façon, nous pouvons écrire :
θ$_1$ = θ + φ/2 et θ$_2$ = θ - φ/2
Les formules d'Euler acquièrent alors une certaine symétrie :
$C_{1}=C'_{1}\cos ^{2}(\theta +\phi /2)+C''_{1}\sin ^{2}(\theta +\phi /2)$
et
$C_{2}=C'_{2}\cos ^{2}(\theta -\phi /2)+C''_{2}\sin ^{2}(\theta -\phi /2)$
Pour rester poli, nous qualifierons le calcul qui suit normalement par un terme anglais, « boring ». Il ne présente pas de difficulté importante mais il ne faut pas se tromper dans les signes !
* on additionne C$_1$ et C$_2$, on développe tout le matériel en révisant au passage ses formules de trigonométrie, on regroupe tout ce qui se ressemble plus ou moins et l'on obtient finalement l'expression de la courbure C de la surface fictive en fonction de l'angle θ,
* on dérive C par rapport à θ,
* on annule cette dérivée pour trouver l'orientation des plans (P') et (P") qui contiennent respectivement la plus grande et la plus petite des deux courbures principales de la surface fictive,
* on reporte les valeurs trouvées dans l'expression de C pour trouver les valeurs des courbures principales.
* on vérifie que tout va bien, c'est-à-dire que le contact en I est possible. Si la courbure C" est négative, en effet, rien ne va plus !
Voici donc les formules finales, fort utiles pour briller en société !
La somme des deux courbures principales de la surface (S) s'écrit :
* $\Sigma =C'+C''=C'_{1}+C''_{1}+C'_{2}+C''_{2}=\Sigma _{1}+\Sigma _{2}\quad (4)$
et leur différence :
* $\Delta =C'-C''={\sqrt {\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}+2\Delta _{1}\Delta _{2}\cos 2\phi }}\quad (5)$
Les courbures elles-même se calculent aisément :
* $C'={\frac {\Sigma +\Delta }{2}}$
* $C''={\frac {\Sigma -\Delta }{2}}$
* en vérifiant que $C'\geq C''\geq 0\quad (6)$
Dans notre exemple, nous avons :
$\Sigma =C'+C''=\Sigma _{1}+\Sigma _{2}=0,1667+0,1=0,2667\,mm^{-1}$
$\phi =65^{o}$
$\Delta =C'-C''={\sqrt {\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}+2\Delta _{1}\Delta _{2}\cos 2\phi }}$
$={\sqrt {0,2333^{2}+0,1^{2}+2\cdot 0,2333\cdot 0,1\cos 130}}=0,1856\,mm^{-1}$
d'où :
$C'={\frac {0,2667+0,1856}{2}}=0,2262\,mm^{-1}\quad \to \quad R'=4,42\,mm$ et $C''={\frac {0,2667-0,1856}{2}}=0,0406\,mm^{-1}\quad \to \quad R''=24,66\,mm$
À priori, tout va bien, puisque $0,2262\geq 0,0406\geq 0$
Avant d'aller plus loin, rappelons ce sage conseil de Jean-Marc Lévy-Leblond :
Ne jamais entreprendre un calcul sans en connaître d'abord le résultat !
La possibilité du contact était-elle évidente ? Que se passerait-il si nous augmentions l'angle de 25° ? Au début, la barre tournerait librement mais bientôt, elle viendrait en contact en deux autres points sur l'anneau. Si nous cherchions à tourner encore, nous provoquerions la perte du contact au point I. Si l'anneau était une vraie quadrique, la fin de la rotation serait marquée par l'apparition d'un contact linéique mais ici, avec un tore, la rotation n'est pas limitée au niveau de la zone de contact mais par des formes extérieures plus contraignantes.
La surface fictive pourrait peu ou prou ressembler à une petite olive (ce n'est pas la seule représentation possible) dont l'équateur aurait pour rayon de courbure R' = 4,42 mm et le méridien 24,66 mm en I.
Si cette « olive » est pressée sur un plan, elle y laissera une trace plus ou moins elliptique orientée selon la direction du plan de plus petite courbure. Il nous reste une petite cérémonie à accomplir, trouver l'orientation des axes définitifs qui nous serviront pour la suite du problème. Cette orientation est donnée par un angle α tel que :
* $\tan 2\alpha ={\frac {\Delta _{2}-\Delta _{1}}{\Delta _{2}+\Delta _{1}}}\tan \phi \quad (7)$
Dans notre exemple :
$\tan 2\alpha ={\frac {0,1-0,2333}{0,1+0,3333}}\tan 65=-0,8577\quad \to \quad \alpha =-20,31^{o}$
Cette fois nous pouvons mettre en place les axes Ix et Iy qui vont nous servir par la suite. L'ellipse dont le grand diamètre est porté par l'axe Ix symbolise la future zone de contact qui va s'établir lorsqu'une charge normale sera appliquée.
Le signe de l'angle α ne doit évidemment pas être négligé car c'est lui qui nous permet d'orienter convenablement l'axe Ix par rapport au sens de l'angle φ. Naturellement, si on intervertit les indices 1 et 2 qui désignent les pièces, ce signe change mais le sens de l'angle aussi et le résultat final est conservé.
Notons qu'il n'est pas très étonnant de trouver l'axe Ix quelque part dans l'angle aigu formé par les plans de plus faible courbure des deux surfaces et, par rapport à la bissectrice de cet angle, du côté de la surface la plus «accidentée», celle qui présente la plus grande différence entre sa courbure maximale et sa courbure minimale.

## Le contact « hertzien » ponctuel

Il s'agit maintenant de charger la zone de contact et de voir comment elle va se déformer pour aboutir à une répartition des pressions compatible avec les caractéristiques des matériaux.
Nous noterons ici E$_1$ et E$_2$ les modules d'Young des matériaux constituant les deux pièces (1) et (2), tandis que ν$_1$ et ν$_2$ sont leurs coefficients de Poisson.
Il est commode de déterminer une fois pour toutes deux valeurs k$_1$ et k$_2$ qui sont d'utiles intermédiaires de calcul :
$k_{1}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{\pi E_{1}}}$ et $k_{2}={\frac {1-\nu _{2}^{2}}{\pi E_{2}}}$
Les valeurs de k correspondant à divers matériaux sont données dans un tableau en annexe.
P sera la charge normale agissant sur le contact. Si ce dernier est linéique, nous considérerons alors la charge par unité de longueur q.
La méthode générale utilisée pour cette étude consiste à envisager comment des points tels que M$_1$ et M$_2$, que nous avons utilisés précédemment, peuvent se rapprocher et le cas échéant, venir au contact l'un de l'autre.

### L'ellipse de contact

Nous faisons ici l'impasse sur les calculs de Hertz pour n'en présenter que les principaux résultats.
* la zone de contact est, conformément aux hypothèses, un petit élément plan de forme elliptique et supportant des pressions qui décroissent à partir du centre, que nous appellerons désormais O, pour s'annuler à la périphérie.
* le grand diamètre de cette ellipse, de longueur 2a, est porté par un axe Ox situé dans le plan (P") contenant la courbure minimale de la surface fictive (S) précédemment définie, tandis que le petit diamètre, de longueur 2b est porté par un axe Oy situé dans le plan (P') de plus forte courbure de (S).
La pression de contact est répartie selon un demi-ellipsoïde construit sur l'ellipse de contact. Elle atteint au centre sa valeur maximale, dite parfois « pression hertzienne » :
* $p_{m}={\frac {3}{2}}{\frac {P}{\pi ab}}\quad (8)$
Nous reconnaissons au passage le produit π a b qui n'est autre que la surface de l'ellipse. En un point quelconque de celle-ci, défini par ses coordonnées x et y, la pression vaut :
* $p_{(x,y)}=p_{m}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}\quad (9)$
Cette pression est bien sûr nulle sur le contour de l'ellipse, qui a pour équation : ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
Pour obtenir a et b, il faut calculer l'expression :
* ${\frac {a}{m}}={\frac {b}{n}}={\sqrt[{3}]{{\frac {3\pi }{2}}P{\frac {k_{1}+k_{2}}{\Sigma }}}}\quad (10)$
Fin provisoire de l'article
à suivre - Désolé, des occupations imprévues m'ont empêché, pour beaucoup plus longtemps que je ne l'imaginais, de rédiger la suite de ce travail. J'espère pouvoir m'y remettre bientôt ... Jean-Jacques MILAN 23 avril 2006 à 21:24 (UTC)
Formulaire des contacts ponctuels
* $C=C'\cos ^{2}\theta +C''\sin ^{2}\theta ={\frac {C'+C''}{2}}+{\frac {C'-C''}{2}}\cos 2\theta \quad (1)$
* $C=C'\cos ^{2}\theta +C''\sin ^{2}\theta ={\frac {C'+C''}{2}}+{\frac {C'-C''}{2}}\cos 2\theta \quad (2)$
* $C'\geq C''\geq 0\quad (3)$
* $\Sigma =C'+C''=C'_{1}+C''_{1}+C'_{2}+C''_{2}=\Sigma _{1}+\Sigma _{2}\quad (4)$
* $\Delta =C'-C''={\sqrt {\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}+2\Delta _{1}\Delta _{2}\cos 2\phi }}\quad (5)$
* $C'={\frac {\Sigma +\Delta }{2}}$
    $C''={\frac {\Sigma -\Delta }{2}}$
    en vérifiant que $C'\geq C''\geq 0\quad (6)$
* $\tan 2\alpha ={\frac {\Delta _{2}-\Delta _{1}}{\Delta _{2}+\Delta _{1}}}\tan \phi \quad (7)$
* $p_{m}={\frac {3}{2}}{\frac {P}{\pi ab}}\quad (8)$
* $p_{(x,y)}=p_{m}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}\quad (9)$
* ${\frac {a}{m}}={\frac {b}{n}}={\sqrt[{3}]{{\frac {3\pi }{2}}P{\frac {k_{1}+k_{2}}{\Sigma }}}}\quad (10)$