# Thermodynamique/Machines thermiques

Une machine thermique est un système ($\sigma$) qui peut effectuer un nombre indéfini de cycles, échangeant, au cours d'un cycle, une quantité de chaleur Q$_1$ avec une source chaude ($\sigma _{1}$, à la température T$_1$) et une quantité de chaleur Q$_2$ avec source froide $\sigma _{2}$ (à la température T$_2$), et un travail W avec le milieu extérieur.

## Préliminaires

On schématise ainsi:
Pour l'étude, on considère que :
* T$_1$ > T$_2$ (source chaude / froide)
* $\sigma$ n'échange que de la chaleur avec $\sigma _{1}$ et $\sigma _{2}$
* $\sigma$ n'échange que du travail avec le milieu extérieur
* La variation d'entropie du système extérieur est nulle
* Un cycle est réversible, c'est à dire que la variation d'entropie globale est nulle
On peut déjà remarquer que :
* La variation d'entropie de $\sigma$ est nulle au cours d'un cycle : lors d'un cycle, l'état initial et l'état final sont les mêmes. Puisque l'entropie est une fonction d'état, elle ne dépend que de l'état du système et ainsi les entropies de l'état initial et de l'état final sont les mêmes, et la variation d'entropie est nulle. De même, lors d'un cycle, la variation d'énergie interne de $\sigma$ est nulle.
       Remarque : on ne peut évidemment pas dire la même chose de $\sigma _{1}$, $\sigma _{2}$ et du milieu extérieur : eux n'effectuent pas de cycle et changent d'état, seul $\sigma$ effectue un cycle
Application du premier principe :
    $\Delta U_{\sigma }=0=W+Q_{1}+Q_{2}\,$
Application du second principe :
    $\Delta S'=0=\Delta S_{\sigma _{1}}+\Delta S_{\sigma _{2}}\,$
Lorsque Q$_1$, Q$_2$ ou W est positif, cela signifie que la machine thermique reçoit de l'énergie, et on oriente la flèche vers $\sigma$. À l'inverse, lorsque Q$_1$, Q$_2$ ou W est négatif, cela signifie que la machine thermique perd de l'énergie, et on oriente la flèche dans l'autre sens $\sigma$.

## Les moteurs

Un moteur est une machine thermique qui laisse s'écouler spontanément la chaleur de la source chaude vers la source froide, ce qui permet de récupérer du travail. On a ainsi :
* Q$_1$ > 0
* Q$_2$ < 0
* W < 0
Le schéma de principe est le suivant :
Dans un moteur, le COP (coefficient de performance) est défini par $COP=-{\frac {W}{Q_{1}}}$

### Exemple simple : les sources de chaleur sont des thermostats

Un thermostat est un système qui garde toujours la même température, quel que soit la quantité de chaleur échangée. Ainsi, T$_1$ et T$_2$ sont constants. Puisqu'on a $\delta Q=T.dS$, on en déduit :
    $Q_{1}=-T_{1}.\Delta S_{\sigma _{1}}\,$
    $Q_{2}=-T_{2}.\Delta S_{\sigma _{2}}\,$
Le signe moins est là car Q$_1$ et Q$_2$ sont comptés par rapport à $\sigma$, et la formule précédente s'applique quand Q est compté par rapport au système dont on considère la température et la variation d'entropie.
Or, selon le second principe, on a $\Delta S_{\sigma _{1}}=-\Delta S_{\sigma _{2}}$ d'où $-{\frac {Q_{1}}{T_{1}}}={\frac {Q_{2}}{T_{2}}}$ ou encore $Q_{2}=-Q_{1}{\frac {T_{2}}{T_{1}}}$.
Or le premier principe nous disait que $W+Q_{1}+Q_{2}=0$ donc $W=-Q_{1}-Q_{2}=Q_{1}{\frac {T_{2}}{T_{1}}}-Q_{1}=Q_{1}.\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1\right)=Q_{1}.{\frac {T_{2}-T_{1}}{T_{1}}}$
Ainsi, le COP vaut :
    $COP=-{\frac {W}{Q_{1}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{1}}}\,$
On remarque tout de suite que pour être le plus performant possible, la source chaude doit être le plus chaud possible et la source froide le plus froid possible.

### Autre exemple : où la source chaude est de l'eau

On considère toujours la source froide comme un thermostat, mais la source chaude est maintenant un volume V d'eau à la température initiale T$_{1,0}$. Cette fois, la température de la source chaude n'est pas constante et tend vers la température de la source froide, supposée constante.
On a, comme précédemment, $-Q_{2}=T_{2}.\Delta S_{\sigma _{2}}$.
Par contre, c'est faux pour $\sigma _{1}$, car T$_1$ n'est pas constant. On a à la place :
    $-\delta Q_{1}=c_{p}.dT_{1}=T_{1}.dS_{\sigma _{1}}\,$
    d'où $dS_{\sigma _{1}}=c_{p}.{\frac {dT_{1}}{T_{1}}}\,$
    en intégrant :$\Delta S_{\sigma _{1}}=\int _{T_{1,0}}^{T_{2}}c_{p}.{\frac {dT_{1}}{T_{1}}}=c_{p}.\ln {\frac {T_{2}}{T_{1,0}}}\,$
Or, on a $\Delta S_{\sigma _{1}}+\Delta S_{\sigma _{2}}=0$ d'où $c_{p}.\ln {\frac {T_{2}}{T_{1,0}}}-{\frac {Q_{2}}{T_{2}}}=0$ donc $Q_{2}=T_{2}.c_{p}.\ln {\frac {T_{2}}{T_{1,0}}}$
Or $-\delta Q_{1}=c_{p}.dT_{1}\,$ donc $-Q_{1}=c_{p}.(T_{2}-T_{1,0})\,$ donc $c_{p}={\frac {Q_{1}}{T_{1,0}-T_{2}}}\,$. En reportant dans l'expression de Q$_2$, on trouve :
    $Q_{2}=Q_{1}.{\frac {T_{2}}{T_{1,0}-T_{2}}}.\ln {\frac {T_{2}}{T_{1,0}}}$
On trouve enfin : $W=-Q_{1}-Q_{2}=-Q_{1}\left(1+{\frac {T_{2}}{T_{1,0}-T_{2}}}.\ln {\frac {T_{2}}{T_{1,0}}}\right)\,$
d'où le COP :
    $COP=1-{\frac {T_{2}}{T_{1,0}-T_{2}}}.\ln {\frac {T_{1,0}}{T_{2}}}\,$

## Réfrigérateur - Pompe à chaleur

Un réfrigérateur - ou une pompe à chaleur - est une machine thermique qui prend de la chaleur à la source froide pour en fournir à la source chaude. Puisqu'un tel transfert ne peut se faire spontanément, on doit fournir du travail à la machine thermique. Ainsi :
* Q$_1$ < 0
* Q$_2$ > 0
* W > 0
Le schéma de principe est le suivant :
Pour une pompe à chaleur, où le but est de réchauffer la source chaude, le COP est :
    $COP=-{\frac {Q_{1}}{W}}$
Pour un réfrigérateur, où le but est de refroidir la source froide, le COP est :
    $COP={\frac {Q_{2}}{W}}$

### Exemple: chauffage d'une maison en hiver à l'aide d'une pompe à chaleur, signification du COP

La source chaude est une maison. On souhaite maintenir la température de la maison constante en hiver. Cependant, l'isolation n'étant pas parfaite, la maison cède une quantité de chaleur Q$_1$ au milieu extérieur. La pompe à chaleur devra donc fournir Q$_1$ au cours d'un cycle.
La source froide est un lac proche. On considère qu'il reste à la température du milieu extérieur, T$_2$ (T$_2$ > 0).
On a, comme dans le cas du moteur :
    $-Q_{1}=T_{1}.\Delta S_{\sigma _{1}}\,$
    $-Q_{2}=T_{2}.\Delta S_{\sigma _{2}}\,$
    $\Delta S_{\sigma _{1}}+\Delta S_{\sigma _{2}}=0\,$
    D'où :$Q_{2}=-Q_{1}.{\frac {T_{2}}{T_{1}}}\,$
Or $W+Q_{1}+Q_{2}=0\,$ d'où $W=-Q_{2}-Q_{1}=Q_{1}.{\frac {T_{2}-T_{1}}{T_{1}}}\,$
D'où le COP :
    $COP=-{\frac {Q_{1}}{W}}={\frac {T_{1}}{T_{1}-T_{2}}}$
À partir de là, il est simple de voir la signification du COP. En effet, on a ${Q_{1}}_{pac}=COP.W$. Si on avait chauffé la maison en ne faisant que convertir le travail en chaleur (en convertissant par exemple de l'électricité par effet Joule), on aurait eu ${Q_{1}}_{joule}=W$ et donc $COP={\frac {{Q_{1}}_{pac}}{{Q_{1}}_{joule}}}$.

### Autre exemple : réfrigérateur

On étudie maintenant un réfrigérateur. La source froide est le réfrigérateur, qu'on souhaite garder à une température constante T$_2$. La source chaude est le milieu extérieur, à température considérée comme constante T$_1$. Comme le réfrigérateur n'est pas parfaitement isolé thermiquement, le réfrigérateur reçoit une certaine quantité de chaleur, qu'on doit alors lui reprendre.
Second principe :
    $\Delta S_{\sigma _{1}}+\Delta S_{\sigma _{2}}=0$ d'où ${\frac {Q_{1}}{T_{1}}}=-{\frac {Q_{2}}{T_{2}}}$ donc :
    $Q_{1}=-Q_{2}.{\frac {T_{1}}{T_{2}}}$
Premier principe :
    $W=-Q_{1}-Q_{2}=Q_{2}.\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}-1\right)=Q_{2}{\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{2}}}$
D'où le COP :
    $COP={\frac {Q_{2}}{W}}={\frac {T_{2}}{T_{1}-T_{2}}}$