# Calcul tensoriel/Version imprimable

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# Objectifs du livre

Ce wikibook sur le calcul tensoriel est destiné au lecteur qui a déjà quelques notions d'analyse, notamment par la connaissance des opérateurs différentiels usuels : gradient, divergence, rotationnel et laplacien. Ces opérateurs différentiels auront probablement jusqu'ici été définis au travers de formules valables uniquement dans un système orthonormé de coordonnées, peut-être parfois dans le système de coordonnées sphériques. Par exemple, en coordonnées orthonormées, la divergence aura été définie par la formule $\nabla \cdot \mathbf {E} =\partial _{x}E_{x}+\partial _{y}E_{y}+\partial _{z}E_{z}$.
Mais le champ scalaire $\nabla \cdot \mathbf {E}$, dérivé du champ vectoriel $\mathbf {E}$, a une signification physique indépendante du système de coordonnés choisi pour mesurer l'espace. Le calcul tensoriel est un outil qui permet d'écrire de manière simple, rigoureuse et uniforme les formules des opérateurs différentiels dans un système de coordonnées quelconque. Lorsqu'il retrouvera aisément les formules classiques dans le système cylindrique ou dans le système sphérique, le lecteur sera probablement convaincu de l'intérêt du calcul tensoriel !
Lorsque le lecteur travaillera facilement dans l'espace bidimensionnel ou tridimensionnel avec des tenseurs métriques divers et variés, il ne verra pas de difficulté à mesurer l'espace-temps de la relativité restreinte. Dans cet espace quadridimensionnel, les équations de Maxwell prennent une forme particulièrement simple. Ainsi les deux équations $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ et $\nabla \times \mathbf {E} =-\partial _{t}\mathbf {B}$ impliquant une divergence tridimensionnelle, un rotationnel et une dérivée partielle par rapport au temps se résument à une unique équation de Gauss quadridimensionnelle.
La notion de géodésique dans l'espace-temps permettra au lecteur de retrouver les formules classiques d'accélération centrifuge et accélération de Coriolis dans un référentiel tournant.
Le lecteur pourra aborder les espaces courbes en commençant par un espace à deux dimensions, la sphère.
Sans concept supplémentaire, le lecteur pourra calculer pour n'importe quelle métrique la courbure de l'espace-temps. Il verra qu'il est facile de construire à partir de la courbure un tenseur symétrique, le tenseur d'Einstein, dont la divergence quadridimensionnelle est nulle. Il est tentant d'identifier ce tenseur avec un autre tenseur symétrique de divergence nulle, qui décrit l'énergie et la quantité de mouvement des particules et des champs. Le faire, c'est écrire l'équation fondamentale de la relativité générale et comprendre la gravitation.

# Notions élémentaires
### Introduction

Pour les besoins du calcul tensoriel, nous serons amenés a utiliser une notation indicielle, ces indices pouvant êtres aussi bien des indices bas que hauts. Il faudra particulièrement faire attention au fait que les indices hauts ne représentent pas une puissance (en cas de réelle utilisation de puissance on peut toujours écrire $(x^{i})^{n}$).
Il faudra faire aussi faire attention au fait que l'on va utiliser des conventions de simplification pour alléger l'écriture. En particulier, la convention d'Einstein: si on a un vecteur:
${\vec {V}}=\sum _{i=1}^{n}V^{i}{\vec {e_{i}}}$
On omettra le signe "somme" et on écrira juste:
${\vec {V}}=V^{i}{\vec {e_{i}}}$
Remarquez la convention d'écrire les composantes avec un indice haut, et les vecteurs de bases avec un indice inférieurs (lorsque l'on utilise les composantes contravariantes - nous verrons ce que c'est précisément plus tard).
Exemples:
* le vecteur: ${\vec {V}}=a^{1}{\vec {e_{1}}}+a^{2}{\vec {e_{2}}}+a^{3}{\vec {e_{3}}}$ s'écrira ${\vec {V}}=a^{i}{\vec {e_{i}}}$ (en spécifiant évidemment que $n=3$)
* le système:
$a^{11}x_{1}+a^{12}x_{2}=b_{1}$
$a^{21}x_{1}+a^{22}x_{2}=b_{2}$
s'écrira $a^{ij}x_{j}=b_{i}$ ($n=2$: attention que l'indice de sommation est j dans ce cas et non pas i.)
Pour les dérivées partielles par rapport aux coordonnées, on utilise indifféremment les notations
    ${\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}=\partial _{i}f=f_{,i}$

### Transformations entre systèmes de coordonnées

On s'intéresse maintenant aux changements de coordonnées entre deux systèmes de coordonnées différents.
Soient deux systèmes de coordonnées a et b (on va donc noter la ième composante d'un point respectivement $\left[x_{a}\right]^{i}$ et $\left[x_{b}\right]^{i}$ dans l'un ou l'autre des système). Considérons les fonctions de transformation :
    $\left[x_{b}\right]^{i}=\left[\Theta _{ba}\right]^{i}\left(\left[x_{a}\right]^{0},\left[x_{a}\right]^{1},\ldots \right)$
    $\left[x_{a}\right]^{i}=\left[\Theta _{ab}\right]^{i}\left(\left[x_{b}\right]^{0},\left[x_{b}\right]^{1},\ldots \right)$
Le jacobien de la transformation relie les variations infinitésimales des coordonnées :
    $d\left[x_{a}\right]^{i}=\sum _{j}\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{j}d\left[x_{b}\right]^{j}$
Ainsi on a:
    $\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{j}={\frac {\partial \left[\Theta _{ab}\right]^{i}}{\partial \left[x_{b}\right]^{j}}}$
Le jacobien de la transformation inverse est l'inverse du jacobien. Introduisant $\delta _{j}^{i}$ le symbole de Kronecker, on a
    $\sum _{j}\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{j}\left[\theta _{ba}\right]^{j}_{k}=\delta _{k}^{i}$
Et le symbole de Kronecker est défini comme suit:
    $\delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}$

### Base naturelle

Nous allons maintenant introduire la notion de "base naturelle".
Par définition, la base naturelle au point $M$ est la base formée par les vecteurs:
$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {OM} }{\partial x^{i}}}$
où $O$ représente évidemment l'origine.
$\mathbf {e} _{i}$ est donc la base naturelle de vecteurs locaux associés à un système de coordonnées quelconque $x^{i}$. Un élément infinitésimal s'écrit dans cette base:
$d\mathbf {l} =\sum _{i}dx^{i}\mathbf {e} _{i}$
On a par définition:
$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {l} }{\partial x^{i}}}$
* Remarques
** La lettre $\mathbf {l}$ étant muette, on voit parfois écrit $\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$, avec le risque de confusion avec l'opérateur dérivation.
** Sauf dans le cas d'un repère cartésien, la base naturelle varie d'un point à un autre. Chaque symbole $\mathbf {e} _{1}$, $\mathbf {e} _{2}$, etc. représente en fait un champ de vecteurs.
** Les vecteurs de base se transforment selon la formule $\left[\mathbf {e} _{a}\right]_{i}=\sum \left[\mathbf {e} _{b}\right]_{i}\left[\theta _{ba}\right]^{i}_{j}$. Démonstration

### composantes covariantes et contravariantes

Soit $V$ un espace vectoriel, et soit ${\vec {V}}\in V$ et $\{e_{i}\}$ une base de $V$.
On note, avec la convention d'Einstein:
${\vec {V}}=V^{i}e_{i}$
Tout simplement, les nombres $V^{i}$ sont les composantes contravariantes du vecteur ${\vec {V}}$. Ce sont les composantes que l'on utilise habituellement.
Les composantes covariantes d'un vecteur sont les composantes d'un vecteur sur la base duale. On note:
${\vec {V}}=V_{i}e^{i}$
ou la base $\{e^{i}\}$ est la base duale de $\{e_{i}\}$, définie par:
$e^{i}e_{j}=\delta _{j}^{i}$
Remarques:
* Tous les vecteurs de la base duale sont orthogonaux à tous les vecteurs de la base de départ d'indices différents (produit scalaire nul).
* Le produit scalaire entre un vecteur de la base ordinaire et un vecteur de la base duale mais de même indice cette fois, vaut 1.
* On peut déduire qu'une base orthonormale est identique à sa base duale.
* La base duale de la base duale est la base de départ.

### Tenseurs

Dans un espace de dimension N, un tableau à P indices $T_{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}$, chaque indice pouvant prendre N valeurs représente les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre P dans un système de coordonnées données, si ce tableau se transforme comme les vecteurs de base locale lors d'un changement de système de coordonnées.
    $\left[T_{a}\right]_{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}=\left[T_{b}\right]_{j_{1}j_{2}\ldots j_{P}}\left[\theta _{ba}\right]^{j_{1}}_{i_{1}}\left[\theta _{ba}\right]^{j_{2}}_{i_{2}}\ldots \left[\theta _{ba}\right]^{j_{P}}_{i_{P}}$
Un tableau $T^{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}$ représente les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre P dans un système de coordonnées données, si ce tableau se transforme comme les variations infinitésimales des coordonnées lors d'un changement de système de coordonnées.
    $\left[T_{a}\right]^{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}=\left[T_{b}\right]^{j_{1}j_{2}\ldots j_{P}}\left[\theta _{ab}\right]^{i_{1}}_{j_{1}}\left[\theta _{ab}\right]^{i_{2}}_{j_{2}}\ldots \left[\theta _{ab}\right]^{i_{P}}_{j_{P}}$
On verra plus bas que des composantes contravariantes et covariantes peuvent correspondre au même tenseur, la transformation étant obtenue au moyen du tenseur métrique.
De la même manière qu'on définit un champ vectoriel comme un vecteur fonction de la position dans l'espace, on définit un champ tensoriel comme un tenseur fonction de la position dans l'espace. Dans la suite, on utilisera le simple mot tenseur, alors qu'on considérera en général un champ tensoriel.
Il n'y a pas de difficulté à définir un tenseur en composantes mixtes. On aura par exemple
    $\left[T_{a}\right]^{i}_{j}^{k}=\left[T_{b}\right]^{l}_{m}^{n}\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{l}\left[\theta _{ba}\right]^{m}_{j}\left[\theta _{ab}\right]^{k}_{n}$

### Produit tensoriel

Deux tenseurs A et B d'ordre P et Q étant donnés par leurs $N^{P}$ et $N^{Q}$ composantes covariantes, contravariantes ou mixtes, le produit des composantes définit un tableau de $N^{P+Q}$ composantes. Ce tableau se transforme évidemment comme les composantes d'un tenseur C d'ordre $P+Q$, appelé produit tensoriel de A et B.
On écrira par exemple $C^{ijk}=A^{ij}B^{k}$.

### Tenseur métrique

Le tenseur métrique, noté $g_{ij}$, est le tenseur produit scalaire des vecteurs de la base naturelle. Il est symétrique :
    $g_{ij}=g_{ji}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}$
Le carré d'un élément de longueur est la forme quadratique
    $\left(dl\right)^{2}=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$
À RÉDIGER

### Transformation contraco

On transforme les composantes contravariantes d'un tenseur en composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :
    $x_{i}=\sum _{j}g_{ij}x^{j}$
Étant donné que $g^{ij}$ est la matrice inverse de $g_{ij}$, on a
    $x^{i}=\sum _{j}g^{ij}x_{j}$
* Remarques
** Avec la convention d'Einstein, on sous-entend le symbole $\sum$ dès qu'un indice figure à la fois en haut et en bas. On écrit ainsi $x_{i}=g_{ij}x^{j}$, et $x^{i}=g^{ij}x_{j}$.
** Il y a une convention plus radicale utilisée par certains auteurs suivant laquelle on omet également le tenseur métrique dès lors qu'il intervient dans une contraction. Ainsi, à la place de $a^{i}b_{i}=g^{ij}a_{i}b_{j}$, on écrit $a_{i}b_{i}$.
** La transformation contraco peut être appliquée à plusieurs indices d'un tenseur d'ordre quelconque. Par exemple $a^{ij}=g^{ik}g^{jl}a_{kl}$.

### Contraction

Un tenseur d'ordre P étant donné, on obtient un tenseur d'ordre $P-2$ en sommant toutes les termes correspondant aux mêmes valeurs de deux indices donnés, l'un covariant, l'autre contravariant.
    $A^{ik}=\sum _{j}B^{i}_{j}^{kj}$
Avec la convention d'Einstein, on écrit
    $A^{ik}=B^{i}_{j}^{kj}$
Puisque l'on a $B^{i}_{j}^{kn}=B^{i}_^{mkn}g_{jm}$, on peut effectuer la contraction sur deux composantes contravariantes ou bien deux composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :
    $A^{ik}=B^{imkn}g_{mn}=B^{i}_{m}^{k}_{n}g^{mn}$

### Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs $a^{i}$ et $b^{j}$ est la contraction de leur produit tensoriel. Il s'exprime donc au moyen du tenseur métrique $g_{ij}$ :
    $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a^{i}b^{j}g_{ij}$
C'est un tenseur d'ordre 0, indépendant du choix du système de coordonnées.

### Tenseur dualiseur
#### Introduction

Étant donné un espace de dimension N, le symbole de Levi-Civita d'ordre N $\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$, aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par $2^{N}$ lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

#### Définition du tenseur dualiseur
##### Tenseur dualiseur en coordonnées contravariantes

La formule
    $*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$
où $\det g$ est le déterminant du tenseur métrique, définit bien un tenseur à partir du symbole de Levi-Civita d'ordre N. Ce tenseur, aussi appelé tenseur de Levi-Civita et noté ${\tilde {\epsilon }}$ est ici appelé tenseur dualiseur. Il est intéressant de noter que pour qu'un scalaire soit un tenseur (d'ordre 0), il faut qu'il soit indépendant du choix du système de coordonnées. Le déterminant du tenseur métrique n'est donc pas un tenseur mais son produit avec le symbole $\epsilon$ est bien un tenseur, indépendant du système de coordonnées.

##### Tenseur dualiseur en coordonnées covariantes

On passe aux coordonnées covariantes en mettant en jeu N fois le tenseur métrique. Le produit de ces N termes avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N est égal au déterminant du tenseur métrique et l'on obtient
    $*_{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}=g_{i_{1}j_{1}}g_{i_{2}j_{2}}\ldots g_{i_{N}j_{N}}{\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}={\sqrt {\det g}}\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$

##### Détermination du signe

Le tenseur dualiseur garde néanmoins un caractère particulier. C'est le choix de la détermination de la racine carrée qui définit l'orientation du système de coordonnées. Retourner une coordonnée doit s'accompagner du changement de signe des composantes du tenseur.
Dans le cas de l'espace-temps quadridimensionnel, le déterminant du tenseur métrique est négatif. Deux possibilités s'offrent alors, considérer que le tenseur dualiseur est imaginaire pur, ou remplacer g par -g. Cette seconde possibilité facilite les calculs mais n'est pas satisfaisante d'un point de vue théorique [connecter avec la mesure de la distance spatiale ou temporelle comme racine carrée de l'intervalle d'espace-temps, dont le signe donne la nature, temps ou espace]

#### Propriétés du tenseur dualiseur
##### Produit de tenseurs dualiseurs

La formule suivante découle directement de la formule obtenue avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole $\delta _{j}^{i}$ est le symbole de Kronecker, représentant la matrice unité.
    $*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}k_{1}\ldots k_{Q}}*_{j_{1}j_{2}\ldots j_{P}k_{1}\ldots k_{Q}}=Q!\times \left|{\begin{matrix}\delta _{j_{1}}^{i_{1}}&\delta _{j_{2}}^{i_{1}}&\ldots &\delta _{j_{P}}^{i_{1}}\\\delta _{j_{1}}^{i_{2}}&\delta _{j_{2}}^{i_{2}}&\ldots &\delta _{j_{P}}^{i_{2}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\delta _{j_{1}}^{i_{P}}&\delta _{j_{2}}^{i_{P}}&\ldots &\delta _{j_{P}}^{i_{P}}\end{matrix}}\right|$

###### résultat d'ordre 2

    $*^{k\;i_{2}\ldots i_{N}}*_{l\;i_{2}\ldots i_{N}}=\left(N-1\right)!\times \delta _{l}^{k}$

###### résultat d'ordre 4

    $*^{km\;i_{3}\ldots i_{N}}*_{ln\;i_{3}\ldots i_{N}}=\left(N-2\right)!\times \left(\delta _{l}^{k}\delta _{n}^{m}-\delta _{n}^{k}\delta _{l}^{m}\right)$

#### Définition du tenseur dual

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre M dans un espace de dimension N définit un tenseur d'ordre N-M, son dual. $\left[*a\right]^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N-M}}={\frac {1}{M!}}*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}a_{i_{N-M+1}\ldots i_{N}}$
Le choix de faire la contraction sur les M derniers indices du tenseur dualiseur est tout à fait arbitraire. La contraction sur une autre famille d'indices fournit la même expression de $*a$, avec un signe éventuellement opposé. Il est aussi à noter que si l'on change l'orientation de l'espace en échangeant deux coordonnées, le tenseur dual change de signe.

#### Tenseurs duaux complètement antisymétriques

Si dans un espace à $N$ dimensions, $A$ est un tenseur à $M$ indices, avec $0<=M<=N$, alors le dual $*A$ est un tenseur à $N-M$ indices, lui-aussi complètement antisymétrique, et l'on a
    $**A=A$
On va le démontrer en dimension 3. La généralisation est facile.

##### dimension 3

Le dual d'un vecteur $b^{k}$ est un tenseur antisymétrique à deux indices $\left[*b\right]_{ij}=*_{ijk}b^{k}$. Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique $a^{ij}$ est un vecteur $\left[*a\right]^{i}={\frac {1}{2}}\times *^{ijk}a_{jk}.$. Tous deux ont 3 composantes indépendantes.
Le dual d'un scalaire $f$ est un tenseur complètement antisymétrique à trois indices $\left[*f\right]^{ijk}=*^{ijk}f$. Réciproquement, le dual d'un tenseur complètement antisymétrique à trois indices $a^{ijk}$ est un scalaire $\left[*a\right]={\frac {1}{6}}*_{ijk}a^{ijk}$. Le tenseur complètement antisymétrique à trois indices dans un espace de dimension 3 n'a qu'une composante indépendante. On l'appelle aussi pseudo-scalaire.
Le dual du dual d'un tenseur complètement antisymétrique à 0, 1, 2 ou 3 indices est le tenseur lui-même. Autrement dit, le dual du dual est l'opérateur identité pour les scalaires, les vecteurs $a^{i}$, les tenseurs antisymétriques à deux indices $a^{ij}=-a^{ji}$ et les tenseurs complètements antisymétriques à trois indices $a^{ijk}=-a^{ikj}=-a^{kji}=-a^{jik}$.
En effet, pour un scalaire on a$\left[**f\right]={\frac {1}{6}}*_{ijk}\left[*f\right]^{ijk}={\frac {1}{6}}*^{ijk}*_{jkl}f=f$ ; pour un vecteur on a $\left[**b\right]^{i}={\frac {1}{2}}*^{ijk}\left[*b\right]_{jk}={\frac {1}{2}}*^{ijk}*_{jkl}b^{l}=\delta _{l}^{i}b^{l}=b^{i}$ ; pour un tenseur antisymétrique à deux indices on a $\left[**a\right]^{ij}={\frac {1}{2}}*^{ijk}\left[*a\right]_{k}={\frac {1}{2}}*^{ijk}*_{klm}a^{lm}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{lm}^{ij}-\delta _{ml}^{ij}\right)a^{lm}=a^{ij}$ ; pour un tenseur complètement antisymétrique à trois indices on a $\left[**a\right]^{ijk}=*^{ijk}\left[*a\right]=*^{ijk}{\frac {1}{6}}*_{lmn}a^{lmn}={\frac {1}{6}}\left(\delta _{lmn}^{ijk}+\delta _{mnl}^{ijk}+\delta _{nlm}^{ijk}-\delta _{nml}^{ijk}-\delta _{mln}^{ijk}-\delta _{lnm}^{ijk}\right)a^{lmn}=a^{ijk}$

##### dimension 4

Le dual d'un scalaire $a$ est le tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire $\left[*a\right]^{ijkl}=*^{ijkl}a$
Le dual d'un vecteur $a_{l}$ est le tenseur complètement antisymétrique $\left[*a\right]^{ijk}=*^{ijkl}a_{l}$. Tous deux ont 4 composantes indépendantes.
Le dual d'un tenseur antisymétrique $a_{kl}$ est le tenseur antisymétrique $\left[*a\right]^{ij}=*^{ijkl}a_{kl}$. Tous deux ont 6 composantes indépendantes.
Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique $a_{jkl}$ est le vecteur $\left[*a\right]^{i}=*^{ijkl}a_{jkl}$
Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire $a_{ijkl}$ est le scalaire $\left[*a\right]=*^{ijkl}a_{ijkl}$
De la même manière qu'en dimension 3, il est facile de démontrer que l'opérateur dual du dual est l'opérateur unité pour les scalaires, les vecteurs, les tenseurs antisymétriques à deux indices et les tenseurs complètement antisymétriques à trois ou quatre indices.

### Produit vectoriel

Soient $a^{j}$ et $b^{k}$ deux vecteurs dans un espace de dimension N. Le produit vectoriel de ces vecteurs est le tenseur défini par
$\left(\mathrm {a} \times \mathrm {b} \right)_{i_{1}i_{2}\ldots i_{N-2}}=*_{i_{1}i_{2}\ldots i_{N-2}jk}a^{j}b^{k}$
* en dimension 2, le produit vectoriel est le scalaire défini par $\mathrm {a} \times \mathrm {b} =*_{jk}a^{j}b^{k}$
* En dimension 3, le produit vectoriel est le vecteur défini par $\left(\mathrm {a} \times \mathrm {b} \right)_{i}=*_{ijk}a^{j}b^{k}$, ou, en composantes contravariantes $\left(\mathrm {a} \times \mathrm {b} \right)^{i}=g^{il}*_{ljk}a^{j}b^{k}$.

### Dérivée covariante
#### Dérivée partielle d'un vecteur

Soit un champ vectoriel $\mathbf {v}$ de coordonnées $\left[v_{a}\right]_{i}$ dans la base naturelle associée au système de coordonnées $\left[x_{a}\right]^{\square }$ et de coordonnées $\left[v_{b}\right]_{k}$ dans la base naturelle associée au système de coordonnées $\left[x_{b}\right]^{\square }$.
La dérivée partielle ou dérivée virgule
    $\left[v_{a}\right]_{i,j}=\left[\partial _{a}\right]_{j}\left[v_{a}\right]_{i}$
n'est pas un tenseur. En effet, lorsqu'on dérive la formule de changement de coordonnées
    $\left[v_{a}\right]_{i}(\left[x_{a}\right]^{\Box })=\sum _{k}{\left[\theta _{ba}\right]^{k}_{i}\left[v_{b}\right]_{k}\left(\left[\Theta _{ba}\right]^{\Box }(\left[x_{b}\right]^{\Box })\right)}$
on obtient
    $\left[v_{a}\right]_{i_{,}j}=\sum _{kl}{\left[\theta _{ba}\right]^{k}_{i}(\left[v_{b}\right]_{k_{,}l})\left[\theta _{ba}\right]^{l}_{j}}+\sum _{k}{(\left[\theta _{ba}\right]^{k}_{i_{,}j})\left[v_{b}\right]_{k}}$
formule de transformation d'un tenseur deux fois covariant, troublée par la présence d'un second terme, contenant le jacobien de la matrice de changement de base.

#### Symbole de Christoffel

Le symbole de Christoffel est défini à partir de la dérivée partielle des vecteurs de la base naturelle :
$\Gamma _{ij}^{k}=\left(\partial _{i}\mathbf {e} _{j}\right)\mathbf {e} ^{k}=\mathbf {e} _{j,i}\mathbf {e} ^{k}$
Étant donné la définition de la base naturelle, on peut écrire $\Gamma _{ij}^{k}=\left(\partial _{i}\partial _{j}\mathrm {l} \right)\mathbf {e} ^{k}$ pour mettre en évidence la symétrie du symbole de Christoffel par échange des indices bas :
$\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$
* Remarques
** Le symbole de Christoffel est aussi appelé connexion, avec un signe parfois différent.
** Ce symbole n'est pas un tenseur à cause du second terme de la formule de transformation. On définit néanmoins le symbole $\Gamma _{l|ij}=g_{lk}\Gamma _{ij}^{k}$
** Ce symbole permet de calculer le tenseur dérivée covariante d'un tenseur.
* Voir aussi
** Symbole de Christoffel en coordonnées cylindriques.
** Symbole de Christoffel en Coordonnées sphériques.

#### Symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique

Le symbole de Christoffel s'écrit en fonction de la dérivée partielle $g_{ij,k}={\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}$ du tenseur métrique:
$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}\right)$
Démonstration

#### Contraction du symbole de Christoffel

La contraction du symbole de Christoffel s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du tenseur métrique.
$\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2\det {g}}}\partial _{j}\left(\det g\right)={\frac {1}{\sqrt {\det {g}}}}\partial _{j}{\sqrt {\det {g}}}=\partial _{j}\left(\log {\sqrt {\det {g}}}\right)$
Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration
* Remarques
** Le symbole de Christoffel étant symétrique, le résultat ne dépend de l'indice de contraction : $\Gamma _{ij}^{i}=\Gamma _{ji}^{i}$
** Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs, par exemple dans la formule de la
divergence.

#### Transformation du symbole de Christoffel lors d'un changement de coordonnées

$\left[\Gamma _{a}\right]_{kl}^{i}=\left[\Gamma _{b}\right]_{np}^{m}{\frac {\partial \left[x_{a}\right]^{i}}{\partial \left[x_{b}\right]^{m}}}{\frac {\partial \left[x_{b}\right]^{n}}{\partial \left[x_{a}\right]^{k}}}{\frac {\partial \left[x_{b}\right]^{p}}{\partial \left[x_{a}\right]^{l}}}+{\frac {\partial ^{2}\left[x_{b}\right]^{m}}{\partial \left[x_{a}\right]^{k}\partial \left[x_{a}\right]^{l}}}{\frac {\partial \left[x_{a}\right]^{i}}{\partial \left[x_{b}\right]^{m}}}$

#### Pseudo-contraction de la dérivée partielle du tenseur métrique

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme : $g^{ij}g_{ij,k}=-g_{ij}g^{ij,k}$. Démonstration.
* Remarques
** Si $g_{ij,k}$ était un tenseur, on aurait le signe +.
** On a bien un tenseur en calculant la dérivée covariante $g_{ij;k}$ du tenseur métrique, mais ce tenseur est nul.

#### Dérivée covariante

La dérivée covariante, définie par
    $f_{;i}=f_{,i}$
    $a^{j}_{;i}=a^{j}_{,i}+\Gamma _{mi}^{j}a^{m}$
    $a_{k;i}=a_{k,i}-\Gamma _{ki}^{n}a_{n}$
    $a^{j}_{k;i}=a^{j}_{k,i}+\Gamma _{mi}^{j}a^{m}_{k}-\Gamma _{ki}^{n}a^{j}_{n}$
etc. est un tenseur. La présence des symboles de Christoffel permet d'anihiler le jacobien dans la formule de transformation de la dérivée virgule.

#### Nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Nullité de la dérivée covariante

#### Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :
$*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}_{;j}=0^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}_{j}$.
Démonstration.

### Système de coordonnées localement géodésique

Il est possible de construire un système de coordonnées qui annule les dérivées partielles du tenseur métrique, et donc le symbole de Christoffel en un point donné, sans modifier le tenseur métrique en ce point. Démonstration.
Il est possible de construire un système de coordonnées qui annule les dérivées partielles du tenseur métrique, et donc le symbole de Christoffel sur une ligne donnée.

### Opérateurs différentiels
#### Gradient

Si f est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre 0, et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante : $\left(\nabla f\right)_{i}=\partial _{i}f=f_{,i}=f_{;i}$, aussi appelée gradient de f. Ce vecteur est habituellement exprimé en composantes contravariantes
$\left(\nabla f\right)^{i}=g^{ij}f_{;j}$
Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple le gradient en coordonnées cylindriques et le gradient en coordonnées sphériques.
* Remarques
** Le gradient généralisé d'un tenseur quelconque peut être défini simplement comme sa dérivée covariante. Cette opération ajoute un indice au tenseur.

#### Divergence

La divergence d'un tenseur est le tenseur obtenu en contractant un des indices de la dérivée covariante avec l'indice de la dérivation.

#### Divergence d'un vecteur

Pour un champ vectoriel $\mathbf {v}$, on a
$\nabla \mathbf {v} =v^{i}_{;i}=v^{i}_{,i}+\Gamma _{ij}^{i}v^{j}$
Mettant a profit la formule de contraction $\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{j}{\sqrt {\det g}}$, on a
$\nabla \mathbf {v} ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {\det g}}\;v^{j}\right)$
Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement la divergence dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple la divergence en coordonnées cylindriques et la divergence en coordonnées sphériques.

#### Divergence d'un tenseur d'ordre 2

Suivant le même chemin que pour la divergence d'un champ de vecteurs, on écrit
$a^{ij}_{;j}=a^{ij}_{,j}+\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}+\Gamma _{lm}^{l}a^{im}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{k}\left({\sqrt {\det g}}\;a^{ik}\right)+\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}$

#### Divergence d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2

Dans le cas d'un tenseur antisymétrique, on a
$a^{ij}_{;j}=-a^{ji}_{;j}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{k}\left({\sqrt {\det g}}\;a^{ik}\right)$
En effet, le terme $\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}$ est nul puisque $\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}=-\Gamma _{lm}^{i}a^{ml}=-\Gamma _{ml}^{i}a^{ml}=-\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}$.

#### Remarques

* En écriture quadridimensionnelle, les équations de Maxwell mettent en jeu la divergence du tenseur de champ électromagnétique et de son dual, qui sont des tenseurs antisymétriques d'ordre 2.

#### Laplacien

Le laplacien est la divergence du gradient, la divergence étant prise sur l'indice tensoriel créé par le gradient.
Cette définition est valable pour un scalaire ou un tenseur quelconque $a$. La laplacien $\nabla ^{2}a=a_{;i}^{;i}=g^{ij}a_{;i;j}$ a le même nombre d'indices que $a$.
* Pour un champ scalaire
$\nabla ^{2}a={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {\det g}}\;g^{ij}\partial _{j}a\right)$
* Pour un champ vectoriel
...À RÉDIGER...
Ces formules permettent, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le laplacien dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple le laplacien en coordonnées cylindriques et le laplacien en coordonnées sphériques.

#### Tenseur rotationnel

Étant donné un champ de vecteurs covariants $a_{i}$ dans un espace de dimension quelconque, la dérivée covariante $D_{j}a_{i}=a_{i;j}=a_{i,j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k}$ est un tenseur. Le tenseur rotationnel, défini comme $\left[\mathrm {rot} \;a\right]_{ij}=a_{i;j}-a_{j;i}$ est par construction un tenseur antisymétrique.

#### Expression à partir de la dérivée simple

La symétrie $\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$ du symbole de Christoffel permet d'écrire le tenseur rotationnel à partir de la dérivée simple : $\left[\mathrm {rot} \;a\right]_{ij}=a_{i,j}-a_{j,i}$.

#### Rotationnel en dimension 3

En dimension 3, le tenseur dualiseur permet de construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2. Le rotationnel d'un champ de vecteurs $\mathbf {a}$tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel : $\left[\mathrm {rot} \;\mathbf {a} \right]^{\alpha }={\frac {1}{2}}*^{\alpha \lambda \mu }\left[\mathrm {rot} \;a\right]_{\lambda \mu }$.
Partant d'un champ de vecteurs en coordonnées contravariantes $a^{\nu }$, mettant à profit l'antisymétrie du tenseur dualiseur, la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique $\gamma _{\mu \nu }$ ainsi que sa symétrie, on trouve $\left[\mathrm {rot} \;\mathbf {a} \right]^{\alpha }=*^{\alpha \lambda \mu }\gamma _{\mu \nu }a^{\nu }_{;\lambda }$.

### Tenseur de courbure

La dérivée covariante seconde d'un champ scalaire f est un tenseur d'ordre 2
$f_{;i;j}=f_{,i,j}-\Gamma _{ij}^{k}f_{;k}$
Elle est symétrique parce que le symbole de Christoffel $\Gamma _{ij}^{k}$ est invariant par échange des indices bas (espace sans torsion).
En revanche pour un champ de vecteurs $a_{j}$, les dérivations covariantes ne commutent pas. Le tenseur de courbure de Riemann $R_{i}^{j}_{kl}$ permet de calculer leur différence
$a_{i;k;l}-a_{i;l;k}=R_{i}^{j}_{kl}a_{j}$

#### Expression I

$R_{i}^{j}_{kl}=-\Gamma _{ik,l}^{j}+\Gamma _{il,k}^{j}+\Gamma _{il}^{m}\Gamma _{mk}^{j}-\Gamma _{ik}^{m}\Gamma _{ml}^{j}$
Démonstration

#### Expression II

$R_{ijkl}=g^{pq}\left(\Gamma _{p|ik}\Gamma _{q|jl}-\Gamma _{p|il}\Gamma _{q|jk}\right)+{\frac {1}{2}}\left(g_{ik,j,l}+g_{jl,i,k}-g_{il,j,k}-g_{jk,i,l}\right)$
avec
$\Gamma _{p|ik}=g_{pq}\Gamma _{ik}^{q}={\frac {1}{2}}\left(g_{ip,k}+g_{kp,i}-g_{ik,p}\right)$

#### Propriétés

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Propriétés

#### Symétries

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Symétries

#### Relation cyclique

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Relation cyclique

#### Identité de Bianchi

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Identité de Bianchi
En contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire, on obtient le tenseur de Ricci, clé des équations d'Einstein.

### Tenseur de Ricci

Le tenseur de Ricci est obtenu en contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire :
$R_{ik}=R_{i}^{m}_{km}=g^{jl}R_{ijkl}$
Grâce à la symétrie par paires du tenseur de courbure, le tenseur de Ricci est symétrique.
Le tenseur de Ricci complètement contracté est un scalaire :
$R=g^{ij}R_{ij}$
La divergence du tenseur d'Einstein $R^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}R$ est nulle :
$\left[R^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}R\right]_{;j}=0$
Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.
C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.

# Espace euclidien
### Coordonnées cylindriques

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.
ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise ici la lettre $\phi$ à la place de la lettre $\theta$. Voir une page sur les conflits de notations.

#### Tenseur métrique

En coordonnées cylindriques $\left(r,\phi ,z\right)$, le carré d'un élément de longueur vaut $dl^{2}=dr^{2}+r^{2}\;d\phi ^{2}+dz^{2}$ et donc le tenseur métrique vaut
$g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)$
La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut ${\sqrt {\det {g}}}=r$.
La matrice inverse du tenseur métrique vaut
$g^{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)$
* Base naturelle et base orthonormée
Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\phi },\mathbf {e} _{z}\right)$est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}},\mathbf {e} _{z}\right)$.

#### Symbole de Christoffel

Le seul terme non constant du tenseur métrique en coordonnées cylindriques est $g_{\phi \phi }=r^{2}$, et l'on a $g_{\phi \phi ,r}=2r$. Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux
${\begin{matrix}\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=&-r\\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=&{\frac {1}{r}}\end{matrix}}$

#### Gradient

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient $g^{ij}f_{;i}\mathbf {e} _{j}$ d'un champ scalaire $f$ s'écrit
$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}$
Soit, dans la base orthonormée,
$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}$

#### Divergence

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit $\nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{r}}\partial _{i}\left(rv^{i}\right)$.
Dans la base naturelle, on a
${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&v^{\phi }\mathbf {e} _{\phi }&+&v^{z}\mathbf {e} _{z}\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {1}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&{\frac {\partial }{\partial \phi }}v^{\phi }&+&{\frac {\partial }{\partial z}}v^{z}\end{matrix}}$
et donc dans la base orthonormée $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}},\mathbf {e} _{z}\right)$:
${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&\left\{rv^{\phi }\right\}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}}\right\}&+&v^{z}\mathbf {e} _{z}\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {1}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left\{rv^{\phi }\right\}&+&{\frac {\partial }{\partial z}}v^{z}\end{matrix}}$

#### Laplacien

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques,
* pour un champ scalaire $f$, le laplacien
$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {\det g}}\;g^{ij}\partial _{j}f\right)$
s'écrit
$\nabla ^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)f$
* pour un champ vectoriel
...À RÉDIGER...

#### Rotationnel

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Rotationnel

#### Tenseur de courbure

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de courbure

#### Tenseur de Ricci

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de Ricci

### Coordonnées sphériques

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.
ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise échange ici les symboles $\phi$ et $\theta$, et on utilise la colatitude $\theta$ à la place de la latitude $\phi$. Voir une page sur les conflits de notations.

#### Tenseur métrique

En coordonnées sphériques $\left(r,\theta ,\phi \right)$, où $\phi$ est l'angle azimutal et $\theta \in \left[0,\pi \right]$ est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut $dl^{2}=dr^{2}+r^{2}\;d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$ et donc le tenseur métrique vaut
$g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{matrix}}\right)$
La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut ${\sqrt {\det {g}}}=r^{2}\sin \theta$.
L'inverse du tenseur métrique vaut
$g^{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{-2}&0\\0&0&r^{-2}\sin ^{-2}\theta &\end{matrix}}\right)$
* Base naturelle et base orthonormée
Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\phi }\right)$ est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right)$.

#### Symbole de Christoffel

Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont $g_{\theta \theta }=r^{2}$, $g_{\phi \phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta$, et l'on a $g_{\theta \theta ,r}=2r$, $g_{\phi \phi ,r}=2r\sin ^{2}$, $g_{\phi \phi ,\theta }=2r^{2}\cos \theta \sin \theta$. Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux
${\begin{matrix}\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=&-r\\\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=&-r\sin ^{2}\theta \\\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }&=&r^{-1}\\\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=&-\cos \theta \sin \theta \\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=&r^{-1}\\\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=&\cot \theta \end{matrix}}$

#### Gradient

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, le gradient $g^{ij}f_{;i}\mathbf {e} _{j}$ d'un champ scalaire $f$ s'écrit
$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }$
Soit, dans la base orthonormée
$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}}\right\}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right\}$

#### Divergence

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $r\;\sin \theta$ et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit $(\nabla \cdot \mathbf {v} )^{i}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{i}\left(r^{2}\sin \theta \;v^{i}\right)$.
Dans la base naturelle, on a
${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&v^{\theta }\mathbf {e} _{\theta }&+&v^{\phi }\mathbf {e} _{\phi }\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {2}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&\left({\frac {1}{\tan \theta }}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)v^{\theta }&+&{\frac {\partial }{\partial \phi }}v^{\phi }\end{matrix}}$
et donc dans la base orthonormée $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right)$ :
${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&\left\{rv^{\theta }\right\}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}}\right\}&+&\left\{r\sin \theta \;v^{\phi }\right\}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right\}\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {2}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&\left({\frac {1}{r\tan \theta }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\left\{rv^{\theta }\right\}&+&{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left\{{r\sin \theta \;v^{\phi }}\right\}\end{matrix}}$

#### Laplacien

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques,
* pour un champ scalaire $f$, le laplacien
$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {\det g}}\;g^{ij}\partial _{j}f\right)$
s'écrit
$\nabla ^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)f$
* pour un champ vectoriel
...À RÉDIGER...

#### Rotationnel

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Rotationnel

#### Tenseur de courbure

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de courbure

#### Tenseur de Ricci

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de Ricci

# Espace courbe

Plongement dans un espace euclidien (Nash) Calcul tensoriel/Espace courbe/Plongement dans un espace euclidien

# Espace-temps plan
### Événements

Mercredi 22 février 2006, à 13 h GMT, le battant du carillon de Big-Ben est entré en contact avec sa cloche en un point bien précis. Ce point de l'espace-temps est appelé événement.
Dans un système de coordonnées, un événement de l'univers est décrit par 4 nombres. Par exemple, dans le système de coordonnées terrestre et l'heure GMT, on donnera la latitude, la longitude, l'altitude et l'instant. On dit que l'espace-temps est quadridimensionnel.

### Métrique de la relativité restreinte

Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Métrique de la relativité restreinte

### Transformation de Lorentz

Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Transformation de Lorentz

### Temps propre

Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Temps propre

### Référentiel tournant

Référentiel tournant en coordonnées cartésiennes
Référentiel tournant en coordonnées circulaires

# Électromagnétisme
### Équations de Maxwell (écriture classique)

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Équations de Maxwell (écriture classique)

### Équations de Maxwell (écriture duale)
#### équations de Maxwell, formules topologiques

Les équations de Maxwell peuvent être écrites dans tout système de coordonnées sous la forme
    ${\mathcal {F}}^{ik}_{;i}=0^{k}$
    ${G_}^{ik}_{;i}=0^{k}$
où ${\mathcal {F}}^{ik}$ et ${G_}^{ik}$ sont des tenseurs antisymétriques décrivant le champ électromagnétique. La première équation correspond au premier groupe des équations de Maxwell et la seconde équation correspond au second groupe. Le tenseur ${\mathcal {F}}^{ik}$ est le tenseur dual du tenseur ${F_}_{ik}$ de composantes $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$ :
    ${\mathcal {F}}^{ik}={\frac {1}{2}}\;*^{iklm}F_{lm}$
Le tenseur ${G_}^{ik}$ contient à la fois le tenseur antisymétrique de composantes $\mathbf {-D} ,\mathbf {H}$, les charges et les courants.
Ces équations ne sont rien de plus que des équations topologiques affirmant que le flux du champ électromagnétique à travers une hypersurface fermée de l'espace temps quadridimensionnel est nul. Il manque les équations constitutives reliant les deux tenseurs.

#### quadrivecteur charge-courant

Les expériences physiques montrent que le champ électromagnétique est linéaire, à condition d'éliminer ou de figer les charges. Cela nous conduit à écrire ${G}^{ik}$ comme somme d'un terme linéaire ${G_{L}}^{ik}$ et d'un terme non linéaire ${G_{NL}}^{ik}$ :
    ${G}^{ik}={G_{L}}^{ik}+{G_{NL}}^{ik}$.
En définissant le quadrivecteur charge-courant comme la quadri-divergence de la partie non linéaire du tenseur ${G}^{ik}=$ :
    ${j}^{k}={G_{NL}}^{ik}_{;i}$
et l'équation correspondant au second groupe des équations de Maxwell devient
    ${G_{L}}^{ik}_{;i}=-j^{k}$
Comme la double dérivée covariante d'un tenseur antisymétrique est nulle, on a ${G_{L}}^{ik}_{;i;k}=0$ et donc
    $j^{k}_{;k}=0$
Cette équation correspond à la loi de conservation de la charge.

#### équation constitutive du vide

L'équation constitutive reliant la partie linéaire de ${G}^{ij}$ et ${F}_{ik}$ est simplement
    ${G_{L}}^{ik}={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{ik}$
avec $\mu _{0}=4\pi 10^{-7}$ (SI).

#### écriture traditionnelle des équations de Maxwell

Le second groupe d'équations de Maxwell peut finalement s'écrire sous la forme traditionnelle
    ${F_}^{ik}_{;i}=-\mu _{0}j^{k}$
Avec le même tenseur ${F_}^{ik}$, le premier groupe s'écrit
    $*^{ik}_{lm}{F_}^{lm}_{;i}=*^{iklm}F_{lm}_{;i}=0^{k}$

#### expression des tenseurs électromagnétiques

Pour un tenseur métrique diagonal $(-c^{2},1,1,1)$, les tenseurs électromagnétiques s'écrivent
    $F_{ik}={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}$
    $F^{ik}={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c^{2}&E_{y}/c^{2}&E_{z}/c^{2}\\-E_{x}/c^{2}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c^{2}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c^{2}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}$
    ${G_{L}}^{ik}={\begin{pmatrix}0&D_{x}&D_{y}&D_{z}\\-D_{x}&0&H_{z}&-H_{y}\\-D_{y}&-H_{z}&0&H_{x}\\-D_{z}&H_{y}&-H_{x}&0\end{pmatrix}}$
    $ic{\mathcal {F}}^{ik}={\begin{pmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-E_{z}&E_{y}\\-B_{y}&E_{z}&0&-E_{x}\\-B_{z}&-E_{y}&E_{x}&0\end{pmatrix}}$
    ${G_{L}}_{ik}={\begin{pmatrix}0&-c^{2}D_{x}&c^{2}D_{y}&c^{2}D_{z}\\c^{2}D_{x}&0&H_{z}&-H_{y}\\c^{2}D_{y}&-H_{z}&0&H_{x}\\c^{2}D_{z}&H_{y}&-H_{x}&0\end{pmatrix}}$
    $ic{{\mathcal {G}}_{L}}^{ik}={\begin{pmatrix}0&H_{x}&H_{y}&H_{z}\\-H_{x}&0&-c^{2}D_{z}&c^{2}D_{y}\\-H_{y}&c^{2}D_{z}&0&-c^{2}D_{x}\\-H_{z}&-c^{2}D_{y}&c^{2}D_{x}&0\end{pmatrix}}$
    $j^{k}={\begin{pmatrix}\rho &j_{x}&j_{y}&j_{z}\end{pmatrix}}$

### Champ électrique et champ magnétique

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Champ électrique et champ magnétique

### Expression du tenseur de champ électromagnétique

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Expression du tenseur de champ électromagnétique

### Premier groupe d'équations de Maxwell

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Premier groupe d'équations de Maxwell

### Second groupe d'équations de Maxwell

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Second groupe d'équations de Maxwell

### Tenseur d'énergie-impulsion

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Tenseur d'énergie-impulsion

# Géodésiques

À RÉDIGER

### Équation géodésique

On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.
Un système de coordonnées $x^{i}$ étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale $ds={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}dx^{i}dx^{j}}}$. Le signe optionnel $\left[-\right]$ est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.
Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable $\tau$, on écrit $ds={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}d\tau$, où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à $\tau$. La longueur de la trajectoire est donc la somme
    $\int {\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}d\tau$
En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique
    ${\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial x^{l}}}-{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial {\dot {x}}^{l}}}\right)=0$
avec
    ${\dot {s}}={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}$

### Paramétrisation canonique

Un système de coordonnées étant donné, si l'on choisit de paramètrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l'équation géodésique devient
    ${\ddot {x}}^{k}=g^{kl}\left({\frac {1}{2}}g_{ij,l}-g_{il,j}\right){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$
Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique. Démonstration.

### Expression au moyen du symbole de Christoffel

La forme classique de l'équation géodésique en paramétrage canonique est la suivante :
    ${\ddot {x}}^{k}=-\Gamma _{ij}^{k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$
où $\Gamma _{ij}^{k}$ est le symbole de Christoffel.
Démonstration.

### Système accéléré uniformément

Calcul tensoriel/Géodésiques/Système accéléré uniformément

# Espace-temps courbe
## Métrique quadridimensionnelle en espace-temps courbe

Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Métrique

## Équations d'Einstein

Les équations d'Einstein identifient le tenseur d'énergie-impulsion $T^{ij}$ et l'expression de divergence nulle construite à partir du tenseur de Ricci :
$\left(R^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}R\right)={\frac {8\pi k}{c^{4}}}T^{ij}$
Il existe une relation symétrique :
$\left(T^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}T\right)={\frac {c^{4}}{8\pi k}}R^{ij}$
Démonstration.

## Équations de Maxwell en espace-temps courbe

[Le tenseur de champ électromagnétique peut s'écrire à partir du rotationnel quadrimensionnel d'un quadrivecteur potentiel $A_{i}$ :
$F_{ij}=A_{i;j}-A_{j;i}$.
Parce que la double dérivation covariante d’un champ scalaire ne dépend pas de l’ordre des indices, l’expression du tenseur du champ électromagnétique ne change pas si l’on rajoute au potentiel vecteur un terme $f_{;i}$, 4-divergence d’un scalaire quelconque. Ce terme est appelé jauge.
* La jauge de Lorentz stipule $A^{i}_{i}=0$
* En limitant la divergence au domaine spatial (cas des champs statiques), on a la jauge de Coulomb $A^{\alpha }_{\alpha }=0$
La jauge de Lorentz existe. Partant d’un potentiel vecteur A quelconque, il suffit de trouver la fonction f dont le 4-laplacien soit égal à la 4-divergence de A. Dans un espace-temps plan, c’est une équation harmonique évidemment soluble. Dans un espace temps courbe, ...

### Équation premier groupe

Si l’espace-temps est plan, l’expression $F_{ij}=A_{i;j}-A_{j;i}$ entraine directement l’équation premier groupe de Maxwell $*^{ijkl}F_{jk;l}=0^{i}$ Dans un espace-temps courbe, cette équation s’écrit
$*^{ijkl}R_{mjkl}A^{m}=0^{i}$

### Équation second groupe

L'équation second groupe de Maxwell s'écrit
$A^{i;k}_{;k}-A^{k;i}_{;k}=\mu _{0}j^{i}$
Partant de
$A^{k}_{;i;k}-A^{k}_{;k;i}=R^{kl}_{ik}A_{l}=-R^{l}_{i}A_{l}$
on obtient
$A^{i;k}_{;k}-A^{k}_{;k}^{;i}+R^{i}_{l}A^{l}=\mu _{0}j^{i}$
Le choix de la jauge de Lorentz permet d'éliminer le second terme. L'équation second groupe de Maxwell s'écrit finalement à partir du 4-laplacien et du tenseur de Ricci :
$A^{i;k}_{;k}+R^{i}_{l}A^{l}=\mu _{0}j^{i}$

## Gravité (symétrie sphérique)

Schwarzschild 1916 Reissner 1916 Nordström 1918 (compris comme champ d’une charge électrique en 1960).

# Appendices
### Équations de Lagrange

Étant donné un système de coordonnées quelconque $x_{i}$, une variable $\tau$ permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables $x_{i}$ et leur dérivée totale par rapport à $\tau$ ${\dot {x}}_{i}$. On veut trouver une trajectoire $x_{i}\left(\tau \right)$ d'extrémités données $\tau _{1}$ et $\tau _{2}$, qui minimise l'intégrale
    $\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}L\left(x_{i},{\dot {x}}_{i}\right)d\tau$
Considérons une trajectoire infiniment voisine $x'\left(\tau \right)=x\left(\tau \right)+\epsilon \xi \left(\tau \right)$ avec $\epsilon$ un infiniment petit et $\xi \left(\tau _{1}\right)=\xi \left(\tau _{2}\right)=0$. Supposant que les solutions sont trouvées et $\xi \left(\tau \right)$ donné, la fonction
    $S\left(\epsilon \right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(L\left(x_{i},{\dot {x}}_{i}\right)+\epsilon \xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+\epsilon {\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}+o\left(\epsilon \right)\right)d\tau$
est minimale pour $\epsilon =0$ :
    $0=\left[{\frac {dS}{d\epsilon }}\right]\left(0\right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+{\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau$
Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que $\xi$ a été supposée nulle aux bornes, on a
    $0=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-\xi \left(\tau \right){\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau$
Comme la fonction $\xi$ est quelconque, on doit avoir
    ${\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}=0$
* Remarques
** En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
** Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.

### Calcul tensoriel/Appendices/Symbole de Levi-Civita d'ordre N
#### Définition

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N, $\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$, aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.
Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.
Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a apriori $4^{4}=256$ valeurs possibles du symbole. Le symbole $\epsilon _{ttxz}$ vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour $\epsilon _{txyz}$, alors on aura $\epsilon _{txzy}=-1$, $\epsilon _{tyxz}=+1$, $\epsilon _{tyzx}=-1$, etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.

#### Tenseur dualiseur

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention $\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}=\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$. En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.