# Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Calcul intégral
### Notion d'intégrale

* Si $f$ est une fonction définie sur $[a,b]$, où $\scriptstyle a\in \mathbb {R}$ et $\scriptstyle b\in \mathbb {R}$ : on appelle $\scriptstyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ la somme algébrique des aires situées entre les droites verticales $x=a$, $x=b$, l'axe $\scriptstyle (O,{\vec {i}})$ et la courbe $\scriptstyle {\mathcal {C}}\!f$.
* $\forall c\in [a,b]~:~\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{c}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{c}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$
* Si $f$ est une fonction paire, alors : $\int _{-a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=2\int _{0}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t$
* Si $f$ est une fonction impaire, alors : $\int _{-a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0$
* Linéarité de l'intégrale :
** si $f$ et $g$ sont définies sur $[a,b]$ : $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}(f(t)+g(t))\,\mathrm {d} t$
** si $\scriptstyle \lambda \in \mathbb {R}$, alors : $\int _{a}^{b}[\lambda \cdot f(t)]\,\mathrm {d} t=\lambda \cdot \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$
* $\int _{a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0$ $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$
* Si $\scriptstyle f(x)\leqslant g(x)$ sur $[a,b](a<b)$ alors $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leqslant \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x$
* Si $\scriptstyle \forall x\in [a,b]$, on a : $m\leqslant f(x)\leqslant M$ alors $m(b-a)\leqslant \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leqslant M(b-a)$

### Primitives

* Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$, on peut définir la fonction $F(x)={\scriptstyle \int }_{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ de telle sorte que $F$ soit dérivable et $F'(x)=f(x)\;\forall x\in [a,b]$. De plus, $F(a)=0$. La fonction $F$ est alors l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $x=a$.
* Si $F$ est une fonction dérivable sur $[a,b]$ et si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in [a,b]$, alors $f$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$.
* Si $F$ et $G$ sont 2 primitives d'une même fonction $f$ sur $[a,b]$ alors $F$ et $G$ diffèrent d'une constante, c'est-à-dire qu'il existe $\lambda \in \mathbb {R}$ tel que $\forall x\in [a,b]~:~F(x)-G(x)=\lambda .$
* Réciproquement, si $F$ et $G$ sont dérivables sur $[a,b]$ et diffèrent d'une constante sur $[a,b]$, alors $F$ et $G$ sont primitives d'une même fonction $f$ sur $[a,b]$, qui n'est autre que leur dérivée.
* Une même fonction $f$ admet une infinité de primitives sur $[a,b]$ mais ces primitives diffèrent les unes des autres par des constantes.

### Primitives : propriétés opératoires

* Si $h(x)=f(x)+g(x)$, alors $H(x)=F(x)+G(x)+\lambda$
* Si $\scriptstyle h(x)=\mu \,g(x)$ (où $\scriptstyle \mu \in \mathbb {R}$), alors $\scriptstyle H(x)=\mu \,G(x)+\lambda$

### Primitives à connaître

Primitives à connaître :
| Validité | $f$ | $F$ |
| $n\;\in \;\mathbb {R} \setminus \{-1\}$ | $\displaystyle x^{n}$ | $\displaystyle {\frac {x^{n+1}}{n+1}}+\lambda$ |
| cas particulier $n=-1$ | $\displaystyle {\frac {1}{x}}$ | $\displaystyle \ln |x|+\lambda$ |
| | $\displaystyle \sin x$ | $\displaystyle -\cos x+\lambda$ |
| | $\displaystyle \cos x$ | $\displaystyle \sin x+\lambda$ |
| | $\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$ | $\displaystyle \tan x+\lambda$ |
| | $\displaystyle e^{x}$ | $\displaystyle e^{x}+\lambda$ |
| | $\displaystyle \sin(ax+b)$ | $\displaystyle -{\frac {1}{a}}\cdot \cos(ax+b)+\lambda$ |
| | $\displaystyle \cos(ax+b)$ | $\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot \sin(ax+b)+\lambda$ |
| | $\displaystyle e^{ax+b}$ | $\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}+\lambda$ |
| Validité | $f$ | $F$ |
| $\scriptstyle n\;\in \;\mathbb {R} \setminus \{-1\}$ $u{\text{ dérivable}}$ | $\displaystyle u'\cdot u^{n}$ | $\displaystyle {\frac {u^{n+1}}{n+1}}+\lambda$ |
| $u{\text{ dérivable}}$ $u\neq 0$ | $\displaystyle {\frac {u'}{u}}$ | $\displaystyle \ln |u|+\lambda$ |
| $u{\text{ dérivable}}$ | $\displaystyle u'\cdot e^{u}$ | $\displaystyle e^{u}+\lambda$ |

### Calcul d'intégrales

* Théorème fondamental de l'analyse (version équivalente): si $f$ est une fonction admettant $F$ pour primitive, alors $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$.
* Formule d'intégration par parties : si $u$ et $v$ sont deux fonctions pour lesquelles les expressions suivantes ont un sens, alors $\int _{a}^{b}uv'=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'v$.