# Analyse/Suites
## Définition : suite numérique

Soit l'application $u$ de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$
    $n\in \mathbb {N} \mapsto u_{n}\in \mathbb {R}$
On dit que $(u_{n})$ est la suite numérique de terme général $u_{n}$.
On peut la citer extensivement sous la forme : $\{u_{0},u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n},\cdots \}\subset \mathbb {R}$

### suite extraite

On dit que $(v_{p})$ est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite $(u_{n})$ si et seulement si :

### suite stationnaire

Soit $(u_{n})$ une suite numérique de terme général $u_{n}$ On dit que $(u_{n})$ est une suite stationnaire si et seulement si :
    ${\begin{matrix}a)\quad \exists N\in \mathbb {N} \\b)\quad \exists a\in \mathbb {R} \end{matrix}}$ tels que :$\forall n>N;u_{n}=a$

### Suite Monotone

Une suite est monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante

#### Suite croissante
##### Définition

une suite $(u_{n})$ est croissante à partir d'un certain rang si
    $\exists N\in \mathbb {N}$
       tel que $\forall n\geq N,u_{n+1}\geq u_{n}$

##### Exemple

$U_{n}=n^{2}$

#### Suite décroissante
##### Définition

une suite $(u_{n})$ est décroissante à partir d'un certain rang si
    $\exists N\in \mathbb {N}$
       tel que $\forall n\geq N,\ u_{n+1}\leq u_{n}$

##### Exemple

$u_{n}={\frac {1}{n}}$

#### Application

pour savoir si une suite est monotone il est souvent astucieux
* d'étudier le signe de $u_{n+1}-u_{n}\,$
* d'étudier le signe de ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-1$
* si la suite est de la forme $u_{n}=f(n)\,$, d'étudier la monotonie de f à partir du signe de sa dérivée

##### Exemple

$n+1$

### Suite Bornée
#### Suite Minorée

Une suite $u_{n}$ est minorée s'il existe au moins un réel inférieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:
    $\exists A\in \mathbb {R}$ tel que $\forall n\in \mathbb {N} \ u_{n}>A$

#### Suite Majorée

Une suite $u_{n}$ est majorée s'il existe au moins un réel superieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:
    $\exists A\in \mathbb {R}$ tel que $\forall n\in \mathbb {N} \ u_{n}<A$

#### Suite Bornée

Une suite $u_{n}$ est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe au moins un réel A tel que:
    $|u_{n}|<A\,$

#### Exemples et applications
## Convergence et Limite
### Limite finie
#### Définition

Une suite possédant une limite finie est dite convergente. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
On dit que la suite $(u_{n})$ converge vers une limite $l$ si quel que soit $\epsilon >0$ tous les termes de la suite $(u_{n})$ appartiennent à un intervalle $[l-\epsilon ;l+\epsilon ]$ sauf un nombre fini de termes ou autrement dit:
$\forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N}$
    tel que $\forall n>N(\epsilon )\Rightarrow |u_{n}-l|<\epsilon$
dans ce cas on note $\lim _{n\to \infty }u_{n}=l$ ou $u_{n}\rightarrow l$

#### Unicité de la limite
##### Théorème

Une suite convergente a une unique limite l.

##### Démonstration

Soit une suite $(u_{n})$ convergente, supposons que la suite $(u_{n})$ possède deux limites distinctes $l$ et $l'$
d'après la definition de la limite on peut affirmer que:
    $\forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N}$
       tel que $\forall n>N\Rightarrow |u_{n}-l|<\epsilon$
et
    $\forall \epsilon >0\ \exists N'\in \mathbb {N}$
       tel que $\forall n>N'\Rightarrow |u_{n}-l'|<\epsilon$
donc pour $n>\max(N,N')$ on a
    $|u_{n}-l|<\epsilon \,$ (1)
    $|u_{n}-l'|<\epsilon \,$ (2)
en additionnant (1) et (2) on a
    $|u_{n}-l'|+|u_{n}-l|<2\epsilon \,$ (3)
d'après l'inégalité triangulaire
    $|l-l'|=|l-u_{n}-l'+u_{n}|<|l-u_{n}|+|-l'+u_{n}|=|u_{n}-l'|+|u_{n}-l|\,$ (4)
en intégrant (4) à (3) on obtient
    $|l-l'|<2\epsilon \,$ (5)
puisque cette inégalité est vraie pour tout $\epsilon >0$ et que l'on a posé au départ $l\neq l'$ on peut poser $\epsilon =1/4|l-l'|\,$ en l'intégrant à (5) on obtient
    $|l-l'|<2\times {\frac {1}{4}}|l-l'|\,$
    donc $1<{\frac {1}{2}}\,$
Ce qui est absurde, donc on vient de démontrer par l'absurde que l = l', et donc qu’il existe une et une seule limite à une suite convergente

#### Théorème des suites monotones bornées
##### Théorème

Une suite majorée et croissante est convergente Une suite minorée et décroissante est convergente

##### Démonstration

Rappelons que toute partie non vide et majorée de $\mathbb {R}$ admet une borne supérieure finie. Si l'ensemble $\{u_{n},\;n\in \mathbb {N} \}$ est majoré, il admet une borne supérieure finie : notons-la $l$ . Puisque $l$ est le plus petit des majorants, pour tout $\varepsilon >0$ , $l-\varepsilon$ n'est pas un majorant. Donc il existe $n_{0}$ tel que $l-\varepsilon \leqslant u_{n_{0}}\leqslant l$ . Mais si $(u_{n})$ est croissante, alors pour tout $n\geqslant n_{0}$ ,
$\displaystyle l-\varepsilon \leqslant u_{n_{0}}\leqslant u_{n}\leqslant l\;,$
donc $(u_{n})$ converge vers $l$ .
Si la suite n'est pas majorée, pour tout $A$ , il existe $n_{0}$ tel que $u_{n_{0}}\geqslant A$ . Si $(u_{n})$ est croissante, alors pour tout $n\geqslant n_{0}$ ,
$\displaystyle A\leqslant u_{n_{0}}\leqslant u_{n}\;,$
donc la suite $(u_{n})$ tend vers l'infini.
Si la suite $(u_{n})$ est décroissante, on applique ce qui précède à la suite croissante $(-u_{n})$.

#### Théorème des suites convergentes
##### Théorème

Une suite convergente est bornée

##### Démonstration

($u_{n}$) converge vers l, donc d'après la définition de la convergence d'une suite :
$\forall \epsilon >0,\exists N_{0}(\epsilon )\in \mathbb {N}$ tel que :
$\forall n>N_{0}(\epsilon ),|u_{n}-l|<\epsilon$
D'où pour $n>N_{0}$, on a : $\epsilon >|u_{n}-l|>|u_{n}|-|l|$ Ainsi, $|u_{n}|<\epsilon +|l|$
D'où pour $n>N_{0}$ : $|u_{n}|$ ≤ $max(\epsilon +|l|,|u_{0}|,|u_{1}|,.....,|u_{N_{0})|)=K$
D'où ($u_{n}$) est bornée

### Limite infinie

On dit que la suite $(u_{n})$ diverge vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) si quel que soit $A\in \mathbb {R}$ tous les termes de la suite $(u_{n})$ appartiennent à un intervalle $[M;+\infty [$ (respectivement $]-\infty ;M]$) sauf un nombre fini de termes ou autrement dit:
$\forall A\in \mathbb {R} ,\exists N(A)\in \mathbb {N}$
    tel que $\forall n>N(A)\Rightarrow u_{n}>A$ (respectivement $u_{n}<A$)
dans ce cas on note $\lim _{n\to \infty }u_{n}=+\infty$ ou $u_{n}\rightarrow +\infty$ (respectivement $\lim _{n\to \infty }u_{n}=-\infty$ ou $u_{n}\rightarrow -\infty$)

### Opérations sur les limites
## Adhérence

On appelle valeur d'adhérence d'une suite toute limite finie d'une sous-suite.
Par exemple, soit ${\left(a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }={\left(-1\right)}^{n}$, ses valeurs d'adhérence sont évidemment 1 et -1.
D'après l'unicité de la limite, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite convergente vers l est $\{l\}$. Cependant, la réciproque est fausse : la suite définie par $\forall n\in \mathbb {N} ,u_{2n}=0{\text{ et }}u_{2n+1}=n$ a une unique valeur d'adhérence 0 mais ne converge pas.

## Suites particulières
### Suites de Cauchy

Une suite de Cauchy est définie par :
${\forall \left(n,m\right)\in \mathbb {N} ^{2},\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\left(n,m\right)>N,\left\|a_{n}-a_{m}\right\|<\epsilon }$

## Exercices

Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 12% de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 1985, il coûtait alors 150F. Quel est son prix à la bourse aux livres de 1990 ? de 1995 ?