# Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Fonctions usuelles

Cette page est en travaux. Tant que cet avis n'aura pas disparu, veuillez en considérer le plan et le contenu encore incomplets, temporaires et sujets à caution. Si vous souhaitez participer, il vous est recommandé de consulter sa page de discussion au préalable, où des informations peuvent être données sur l'avancement des travaux.

## Généralités
### Notions d'injection, de surjection et de bijection
#### Définitions

* On dit que la fonction $f$ est injective si : $\forall (x,y)\in E^{2},f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$
* On dit que la fonction $f$ est surjective si : $\forall y\in F,\exists x\in E,y=f(x)$
* On dit que la fonction $f$ est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, donc si : $\forall y\in F,\exists !x\in E,y=f(x)$

#### Bijection réciproque

* Si $\scriptstyle f:E\rightarrow F$ est bijective, on appelle bijection réciproque de $f$ l'application $f^{-1}:{\begin{array}{llll}_{F\rightarrow E}\\^{y\rightarrow x}\end{array}}$ où $x$ est l'unique antécédent de $y$ par $f$.

### Continuité

* Soit $\scriptstyle x_{0}\in I$ et $f$ une fonction. On dit que $f$ est continue en $x_{0}$ si $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
* De manière équivalente, $f$ est continue en $x_{0}$ si et seulement si, pour toute suite $(u_{n})_{n>0}$ qui converge, la suite $\scriptstyle (f(u_{n}))_{n\geqslant 0}$ converge vers $f(x_{0})$.

### Dérivabilité
#### Définition

* On dit que $f$ est dérivable en $\scriptstyle a\in I$ si $\scriptstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ existe. Dans ce cas, on note $f'(a)$ ce nombre réel appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$.
* On dit que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si $f$ est dérivable en tout point de $I$. Dans ce cas, on appelle dérivée de $f$ la fonction $f':{\begin{array}{llll}_{I\rightarrow \mathbb {R} }\\^{x\rightarrow f'(x)}\end{array}}$.

#### Dérivée d'une composée de fonctions

* Soit $\scriptstyle g:J\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction où $J$ est un intervalle tel que $\scriptstyle f(I)\subset J$.
* Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $J$, alors : $g\circ f:{\begin{array}{llll}_{I\rightarrow \mathbb {R} }\\^{x\rightarrow g[f(x)]}\end{array}}$ est dérivable sur $I$ et $\scriptstyle (g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$

#### Dérivée de la réciproque d'une fonction

* Soit $\scriptstyle f:I\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction continue strictement monotone.
** Si $f$ est dérivable en $\scriptstyle a\in I$, $f^{-1}$ est dérivable au point $f(a)$ si et seulement si $\scriptstyle f'(a)\neq 0$, et on a alors : $(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}$
** Si $f$ est dérivable sur $I$ et $\scriptstyle \forall x\in I,f'(x)\neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et $(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$.

### Propriétés utiles sur les variations
#### Variations de fonctions

* On dit que $f$ est croissante si : $\forall (x,y)\in I^{2},x\leqslant y\Rightarrow f(x)\leqslant f(y)$
* On dit que $f$ est strictement croissante si : $\forall (x,y)\in I^{2},x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$
* On dit que $f$ est décroissante si : $\forall (x,y)\in I^{2},x\leqslant y\Rightarrow f(x)\geqslant f(y)$
* On dit que $f$ est strictement décroissante si : $\forall (x,y)\in I^{2},x<y\Rightarrow f(x)>f(y)$

#### Cas de stricte monotonie

* Si $\scriptstyle f:I\rightarrow \mathbb {R}$ est strictement monotone, alors $f$ est injective.
* En particulier, si elle est continue, $\scriptstyle f:I\rightarrow f(I)$ est bijective.
* De plus, $\scriptstyle f^{-1}:f(I)\rightarrow I$ est strictement monotone de même sens que $f$.

#### Théorème

* Soit $\scriptstyle f:I\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction continue strictement monotone. Alors :
** $f(I)$ est un intervalle,
** $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$,
** $f^{-1}$ est continue et strictement monotone de même sens que $f$.

## Bijections réciproques des fonctions trigonométriques

Tableau récapitulatif :
| | Domaine de définition | Domaine d'arrivée | Domaine de dérivabilité | Dérivée | Parité | Autres infos |
| $\cos$ | $\textstyle [0,\pi ]$ | $\textstyle [-1,1]$ | $\textstyle ]0,\pi [$ | $\textstyle \cos '(x)=-\sin(x)$ | paire | |
| $\arccos$ | $\textstyle [-1,1]$ | $\textstyle [0,\pi ]$ | $\textstyle ]-1,1[$ | $\arccos \,\!'(y)={\frac {-1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$ | ni paire, ni impaire ! | |
| $\sin$ | $[{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$ | $\textstyle [-1,1]$ | $]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[$ | $\textstyle \sin '(x)=\cos(x)$ | impaire | |
| $\arcsin$ | $\textstyle [-1,1]$ | $[{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$ | $\textstyle ]-1,1[$ | $\arcsin '(y)={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$ | impaire | |
| $\tan$ | $]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[$ | $\mathbb {R}$ | $]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[$ | $\textstyle \tan '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)$ | impaire | |
| $\arctan$ | $\mathbb {R}$ | $]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[$ | $\mathbb {R}$ | $\arctan '(y)={\frac {1}{1+y^{2}}}$ | impaire | $\scriptstyle \lim _{y\to +\infty }\arctan(y)={\frac {\pi }{2}}$ $\scriptstyle \lim _{y\to -\infty }\arctan(y)={\frac {-\pi }{2}}$ |