# Formulaire de relativité restreinte

Il faudrait la ranger dans un wikilivre où elle aurait sa place.

### Les notations

Les formules établissent le passage entre les coordonnées (t, x ) d'un événement dans le repère inertiel fixe, disons celui de la Terre, et les coordonnées (t ’, x ’ ) du même événement dans le repère mobile, disons de la fusée, laquelle se déplace le long de l'axe des x avec la vitesse v.
On suppose que les origines du temps coïncident à
    $t\,=\,t'\,=\,0$
On pose :
    $\beta \,=\,v/c$

### Le paramètre angulaire

Pour simplifier les formules il est utile d'introduire le paramètre angulaire défini par les formules suivantes :
    $\beta \,=\,\tanh \theta$ soit $\theta \,=\,\mathrm {atanh} \beta$
À l'aide de ce paramètre on peut écrire :
    $\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}=(1-\tanh ^{2}\,\theta )^{-1/2}=\cosh \,\theta$
    $\beta \gamma \,=\,\beta (1-\beta ^{2})^{-1/2}=\tanh \theta \,\cosh \,\theta =\sinh \,\theta$

### L'invariant de la relativité restreinte

La quantité suivante est invariante dans un changement de coordonnées
    $c^{2}\tau ^{2}\,=\,c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\,c^{2}t'^{2}-(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})$
et définit le temps propre $\,\tau \,.$

### Les transformations de Lorentz

    ${\begin{cases}ct=\gamma (ct'+\beta x')\\x=\gamma (x'+\beta ct')\\y=y'\\z=z'\end{cases}}$
En utilisant les fonctions hyperboliques de l'angle θ, on a :
    ${\begin{cases}ct=ct'\cosh \,\theta +x'\sinh \,\theta \\x=ct'\sinh \,\theta +x'\cosh \,\theta \end{cases}}$
En sens inverse
    ${\begin{cases}ct'=\gamma (ct-\beta x)\\x'=\gamma (x-\beta ct)\\y'=y\\z'=z\end{cases}}$
ou
    ${\begin{cases}ct'=\ ct\cosh \,\theta -x\sinh \,\theta \\x'=-ct\sinh \,\theta +x\cosh \,\theta \end{cases}}$

### La dilatation du temps

Si l'horloge de la fusée mesure la durée $\Delta \,t'$ entre deux événements se produisant dans cette fusée, donc séparés par une distance spatiale $\Delta \,x'=0$, la durée mesurée dans le laboratoire fixe de la Terre est
    $\Delta t=\Delta t'\cosh \,\theta =\gamma \Delta t'={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}\,.$
La durée mesurée dans un repère extérieur est toujours plus grande que la durée propre.

### La contraction des longueurs

Si la fusée est de longueur L’ dans son propre repère, sa longueur L mesurée par la distance entre les deux points de la Terre en coïncidence avec l'avant et l'arrière de la fusée au même instant (sur Terre), donc correspondant à $\Delta t\,=\,0$, est donnée par
    $L=L'/\gamma =L'{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}\,.$
La longueur mesurée sur Terre est plus petite que la longueur propre de la fusée.

### Loi de composition des vitesses

Un obus est tiré dans la fusée avec une vitesse w ’ par rapport au repère de cette fusée, dans la direction du mouvement. La vitesse w de l'obus par rapport à la Terre est
    $w\,=\,{\frac {w'+v}{1+(w'v/c^{2})}}\,.$
En utilisant les paramètres angulaires
    $\alpha '\,=\,\mathrm {atanh} (w'/c)$
    $\alpha \,=\,\mathrm {atanh} (w/c)$
    $\theta \,=\,\mathrm {atanh} (v/c)$
on a
    $\alpha \,=\,\alpha '+\theta$

### Le quadrivecteur énergie-impulsion

    ${\begin{cases}p_{t}=E/c=mc\ dt/d\tau \\p_{x}=m\ dx/d\tau \\p_{y}=m\ dy/d\tau \\p_{z}=m\ dz/d\tau \,.\end{cases}}$
Comme
    $dt/d\tau \,=\,\gamma \equiv (1-\beta ^{2})^{-1/2}\,,$
on a
    $E\,=\,\gamma mc^{2}$
    $p\equiv (p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})^{1/2}=m\gamma \beta c=mv/{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}$
Aux faibles vitesses $v\,\ll \,c$
    $E\,=\,mc^{2}+(1/2)mv^{2}\,.$
On a toujours la relation
    $p\,=\,\beta E/c\,.$
La quantité suivante est invariante dans un changement de repère
    $E^{2}-p^{2}c^{2}\,=\,m^{2}c^{4}$
Pour un photon, m = 0 et
    $E\,=\,pc$

### Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'une particule est
    $K\,=E-mc^{2}\,=\,mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}-1\right)\,.$
Pour $v\ll c$
    $K\,=\,(1/2)mv^{2}\,$
et pour $v\simeq c$
    $K\simeq E\simeq pc={\frac {mc^{2}}{\sqrt {2(1-\beta )}}}\equiv {\frac {mc^{2}}{\sqrt {2[1-(v/c)]}}}\,.$

### Formules de changement de repère

Ce sont les formules de Lorentz
    ${\begin{cases}E/c=\gamma (E'/c+\beta p'_{x})\\p_{x}=\gamma (\beta E'/c+p'_{x})\\p_{y}=p'_{y}\\p_{z}=p'_{z}\end{cases}}$
ou
    ${\begin{cases}E/c=(E'/c)\cosh \theta +p'_{x}\sinh \theta \\p_{x}=(E'/c)\sinh \theta +p'_{x}\cosh \theta \\p_{y}=p'_{y}\\p_{z}=p'_{z}\end{cases}}$
Transformations inverses
    ${\begin{cases}E'/c=(E/c)\cosh \theta -p_{x}\sinh \theta \\p'_{x}=-(E/c)\sinh \theta +p_{x}\cosh \theta \\p'_{y}=p_{y}\\p'_{z}=p_{z}\end{cases}}$

### Le voyage dans le futur des autres

On considère R' le référentiel du voyageur A qui se déplace à 3/5 c ce qui donne une dilatation du temps de
    $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {3}{5}})^{2}}}}=5/4$
    Si T$_0$ est la durée du voyage dans R', dans R le voyage aller a duré T$_1$ = γT$_0$ = 5/4 années, en parcourant vγT$_0$= 3/5 × 5/4 T$_0$ année-lumière= 3/4 T$_0$ a.l.
(a.l. signifie année lumière ou distance parcourue par la lumière en un an )
    Pour simplifier prenons un voyage de T$_0$ = 1 an et pour moderniser le voyage, O et O' sont sous vidéo avec émission en continu.
    Par effet Doppler, les émissions sont reçues au ralenti avec un facteur (1+v/c) = 8/5 qui combiné avec la dilatation du temps 5/4 donne
       $T_{r}={\frac {(1+v/c)}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\times T_{0}={\sqrt {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}}\times T_{0}={\frac {8}{5}}\times {\frac {5}{4}}\times T_{0}=2\times T_{0}$
Il faut donc à chacun, et la situation est symétrique pour B en O et A en O', le double de temps pour visionner en « direct » la vie de l'autre tant que ni l'un ni l'autre ne modifie son mouvement.
* Supposons que A s'arrête au bout d'un an, sans revenir.
       Point de vue de A : Il a reçu 6 mois de la vie de B au ralenti en un an de son trajet et recevra la suite de vie de B avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute des six mois de la vie de B, visionnée au ralenti par A, a été émise 3/4 d'an plus tôt : A sait donc que B a vécu 5/4 d'année depuis son départ, ce qui est bien la durée T$_1$ du voyage de A dans le référentiel de B.
       Point de vue de B : Après avoir reçu au ralenti le voyage aller de A en 2 ans, B reçoit la vie de A avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute du voyage de A, visionnée au ralenti par B, a été émise 3/4 d'an plus tôt : B sait donc que le voyage de A a duré (dans le référentiel de B) 2 ans moins 3/4 année, soit 5/4 d'année, ce qui est bien la durée T$_1$ du voyage de A dans le référentiel de B.
* Supposons maintenant que A en O' fasse demi tour au bout d'un an temps propre pour lui :
       Point de vue de A : Il n'a alors visionné que 6 mois de la vie de B situé en O et il lui reste à recevoir ce qui est sur les 3/4 a.l qui séparent O de O', soit 3/4 ans du vécu de B en O non visionné par A situé en O', auquel il faudra ajouter la durée de vie de B pendant le voyage retour de A, soit T$_1$ = 5/4 ans de la vie de B. A recevra donc en accéléré, en un an de son voyage retour, 2 ans de vie de B en O, ce qui est bien conforme à une réception en accéléré due au fait que le voyage retour rapproche A et O. En effet :
       $T_{r}={\frac {(1-v/c)}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\times T_{0}={\sqrt {\frac {1-{\frac {v}{c}}}{1+{\frac {v}{c}}}}}\times T_{0}={\frac {2}{5}}\times {\frac {5}{4}}\times T_{0}=1/2\times T_{0}$
       A a donc voyagé pendant 2 ans et se retrouve avec B en O qui a vécu 6 mois + 2 ans = 2 ans et demi = 2T$_1$.
       C'est l'effet dilatation du temps.
       Noter que A a fait demi tour dans un espace contenant des ondes qui se propagent vers B en O.
       Point de vue de B : En O, il reçoit pendant 2 ans le voyage aller de A en O' et lorsque A fait demi-tour, il ne le sait pas encore. Lorsqu'il reçoit l'information que A en O' a fait demi tour il y a déjà 3/4 d'an que A voyage sur le retour et A sera dans 6 mois en O : B en O reçoit ce retour d'un an de la vie de A en accéléré en ces 6 mois. B aura mis 2 ans et 6 mois pour recevoir les « 2ans » de voyage de A.
       ${\frac {(1-v/c)}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {(1+v/c)}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {v}{c}}}{1+{\frac {v}{c}}}}}+{\sqrt {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}}={\frac {2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
Pour bien percevoir l'effet relativiste, il faut voir ce que donnerait le formalisme classique.
* En ce qui concerne les messages émis de B vers A, A les perçoit à l'aller en ralenti avec le facteur $(1-v/c)$, et au retour en accéléré avec le facteur $(1+v/c)$, sans le facteur spécifiquement relativiste de dilatation du temps ${\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$. La longueur du trajet de A est 3cT$_0$/5, soit 3/5 a.l. (nous gardons les mêmes unités même si elles ne sont plus vraisemblables pour faciliter la comparaison).
* En ce qui concerne les messages émis de A vers B, B les perçoit à l'aller de A en ralenti avec le facteur ${1 \over (1-v/c)}$, et au retour de A en accéléré avec le facteur ${1 \over (1+v/c)}$.
       Point de vue de A : Pendant le voyage aller d'un an pour B, A reçoit au ralenti la vie de B avec un facteur 1 - 3/5, soit 2/5 de la vie de B. Au retour, A reçoit en accéléré la vie de B avec un facteur 1 + 3/5, soit 8/5 de la vie de B. Au cours de ses deux ans de voyage, A a visionné 2/5 + 8/5 = 2 années de la vie de B.
       Point de vue de B : B reçoit au ralenti une année de voyage de A, avec un facteur 1/(1 + 3/5)) = 5/8. A cet instant, A fait demi-tour, mais B ne le sait pas encore. Il le saura lorsque le signal émis par A lui parviendra, c’est-à-dire dans 3/5 d'année. B verra donc s'écouler 1 + 3/5 = 8/5 d'années pour visionner la totalité du voyage de A avant de le voir faire demi-tour. Ces 8/5 d'années correspondent bien à un an de la vie de A visionnée au ralenti avec un facteur 5/8. Lorsque B voit A faire demi-tour, A est déjà sur le chemin du retour depuis 3/5 d'année. Il lui reste donc 2/5 d'année à voyager. B, quant à lui, visionnera en accéléré la totalité du voyage retour avec un facteur 1/(1 - 3/5)) = 5/2. Ce visionnage du retour durera donc également 2/5 d'année, et B aura visionné 8/5 + 2/5 = 2 années de voyage de A.
L'aller et le retour de A ont duré chacun 1 an, A a vécu 2 ans. Et B a vécu 2 ans pour visionner les 2 ans du voyage de A : classique quoi ! Le temps est le même pour A et B : universel.