# Le noyau atomique/La loi de désintégration radioactive

À l'heure actuelle, les désintégrations sont considérées comme des phénomènes totalement aléatoires. Peut-être arriverons-nous un jour à une compréhension plus fine de l'origine des désintégrations, mais il est pour le moment impossible de prédire quand un noyau va se désintégrer. Cependant, l'aléatoire des désintégrations reste soumis à quelques régularités, qu'on peut décrire par des lois mathématiques.

## La loi de désintégration radioactive

Si on prend un paquet de N noyaux instables, on sait que leur quantité va diminuer avec le temps. Les noyaux se désintégreront progressivement, ne laissant que leurs collègues pas encore désintégrés. On peut rendre compte de cela avec une loi statistique assez connue. Pour cela, il faut prendre un nombre $N$ de noyaux, avec $N$ suffisamment grand pour limiter les variations d'origine statistiques. Dans ces conditions, chaque noyau a une probabilité $\lambda$ de se désintégrer durant un temps $dt$. On trouve alors la formule suivante, par définition.
    $-dN=\lambda N\cdot dt$
Cette formule se réécrit comme suit :
    ${\frac {-dN}{dt}}=\lambda N$
Cette équation nous dit que le terme $\lambda \cdot N$, appelé l'activité, est le nombre de noyaux qui se désintègrent durant un temps $dt$ (c’est-à-dire ${\frac {dN}{dt}}$). Les physiciens peuvent mesurer l'activité d'un échantillon avec des détecteurs spécialisés, qui mesurent les rayonnements émis par les atomes radioactifs (un rayonnement = une désintégration). Pour la plupart des matériaux radioactifs, le nombre de désintégrations par secondes est assez élevé, ce qui demande d'utiliser des unités spéciales. L'unité la plus simple à manier est le Becquerel, nommé en l'honneur du physicien qui a découvert la radioactivité : un becquerel est égal à une désintégration par seconde. Mais son usage donne des résultats assez importants, de l'ordre de plusieurs dizaines de milliers de Becquerels pour la radioactivité d'un corps humain. Pour éviter ce désagrément, on utilisait autrefois le Curie, une unité nommée en l'honneur de Marie et Pierre Curie. Un Curie correspond aux nombres de rayonnements produits par un gramme de Radium, soit environ 37 milliards de désintégrations par secondes. Pour mettre les deux unités en comparaison, un millionième de Curie (1 microcurie) vaut 37 000 becquerels (Bq).

### Une décroissance exponentielle

La formule précédente est une équation différentielle, que l'on peut résoudre. La résolution donne une formule, qui donne le nombre de noyaux non-désintégrés en fonction du temps. Cette formule est appelée loi de désintégration radioactive.
    $N(t)=N_{0}\cdot e^{-\lambda t}$, avec $N_{0}$ le nombre de noyaux à l'instant $t$.
Elle peut se réécrire aussi comme suit. Cette formule montre que le nombre de noyaux instables décroît exponentiellement avec le temps.
    ${\frac {N(t)}{N_{0}}}=e^{-\lambda t}$

### La constante de temps radioactive

Les physiciens utilisent souvent l'inverse de la probabilité $\lambda$, à savoir : $\tau ={\frac {1}{\lambda }}$, appelée : constante de temps radioactive. La formule précédente se réécrit alors comme suit :
    ${\frac {N(t)}{N_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}}$
Pour comprendre ce qu'est physiquement cette constante de temps, il suffit de prendre $t=\tau$. On a :
    ${\frac {N(t)}{N_{0}}}=e^{-{\frac {\tau }{\tau }}}=e^{-1}$
Cette équation dit qu'il s'agit du temps pour que $N(t)={\frac {N_{0}}{e}}$, c'est à dire 36,78% de la quantité initiale. Dit autrement c'est le temps pour que le nombre de noyaux ait diminué de $1-{\frac {1}{e}}$, soit environ 63,2 %.

### La demi-vie

La demi-vie est le temps mis pour que la moitié des noyaux se désintègre, on la note $t_{1/2}$. On peut la calculer avec l'équation précédente. On pose ${\frac {N(t)}{N_{0}}}={\frac {1}{2}}$. En faisant le remplacement dans l'équation ${\frac {N(t)}{N_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}}=e^{-\lambda t}$, on trouve :
    ${\frac {1}{2}}=e^{-\lambda t_{1/2}}$
On prend le logarithme de deux côtés pour éliminer l’exponentielle :
    $\ln {\left({\frac {1}{2}}\right)}=-\lambda \cdot t_{1/2}$
Les formules liées au logarithme permettent de simplifier le premier terme :
    $-\ln {(2)}=-\lambda \cdot t_{1/2}$
On divise ensuite par $-\lambda$ :
    ${\frac {\ln {(2)}}{\lambda }}=t_{1/2}$
En utilisant la constante de temps, on obtient :
    $t_{1/2}=\ln {(2)}\cdot \tau$

## Les filiations radioactives

Il se peut que le noyau produit suite à une désintégration soit lui aussi instable. Il n'est pas rare qu'un noyau instable se désintègre en un noyau lui-même instable, qui lui-même se désintègre en noyau instable, etc. Le résultat est une chaîne de désintégration, aussi appelée filiation radioactive. En parcourant la chaîne de désintégration, le noyau perd de plus en plus de nucléons, jusqu’à tomber sur un noyau stable, où la chaîne de désintégration cesse.

### Le cas à deux désintégrations successives

Pour commencer, nous allons étudier le cas où deux désintégrations successives peuvent avoir lieu, à savoir un atome A se transmute en un atome B, qui lui-même se change en atome C : A -> B -> C. L'atome A a pour constante de désintégration $\lambda _{A}$, de même que les atomes B et C ont respectivement $\lambda _{B}$ et $\lambda _{C}$ pour constante de désintégration.
Le nombre d’atomes de A à un instant t suit la loi de désintégration radioactive vue plus haut :
    ${\frac {dN_{A}}{dt}}=\lambda _{A}N$
    $N_{A}(t)=N_{A}^{0}e^{-\lambda _{A}t}$, avec $N_{A}^{0}$ le nombre de noyaux de A à l'instant $t$.
L'atome B est dans un cas un peu différent. Certes, il se désintègre en atomes C en respectant la loi de désintégration radioactive. Mais il faut aussi prendre en compte l'ajout de nouveaux atomes de B, qui naissent des désintégrations de A. On a donc l'équation suivante (le terme de droite comprend les pertes $\lambda _{B}N_{B}$ et les apports : $\lambda _{A}N$) :
    ${\frac {dN_{B}}{dt}}=\lambda _{A}N_{A}-\lambda _{B}N_{B}$
Or, on sait que $N_{A}(t)=N_{A}^{0}\cdot e^{-\lambda t}$, avec $N_{A}^{0}$ le nombre de noyaux de A à l'instant $t$. En injectant cette équation dans la précédente, on a :
    ${\frac {dN_{B}}{dt}}=\lambda _{A}\cdot N_{A}^{0}e^{-\lambda _{A}t}-\lambda _{B}N_{B}$
La résolution de cette équation différentielle donne, après de laborieux calculs :
    $N_{B}(t)=N_{A}^{0}\cdot {\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)$
Graphiquement, cela donne le graphique ci-contre. On voit que $N_{B}$ augmente avant de diminuer. On peut calculer le temps où $N_{B}$ atteint sa valeur maximale à partir des équations précédentes. Pour cela, on a juste à trouver le temps t qui annule la dérivée de $N_{B}$ (la dérivée s'annule quand t est à la valeur maximale). Pour cela, calculons la dérivée de l'équation précédente, ce qui donne :
    ${\frac {dN_{B}(t)}{dt}}=N_{A}^{0}\cdot {\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}{\frac {d\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)}{dt}}$
L'équation précédente ne s'annule que si :
    ${\frac {d\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)}{dt}}=0$
La dérivée d'une différence est égale à la différence de dérivées :
    ${\frac {d\left(e^{-\lambda _{A}t}\right)}{dt}}-{\frac {d\left(e^{-\lambda _{B}t}\right)}{dt}}=0$
On réorganise les termes :
    ${\frac {d\left(e^{-\lambda _{A}t}\right)}{dt}}={\frac {d\left(e^{-\lambda _{B}t}\right)}{dt}}$
On applique la formule ${\frac {de^{k\cdot x}}{dx}}=k\cdot e^{k\cdot x}$ :
    $\lambda _{A}\left(e^{-\lambda _{A}t}\right)=\lambda _{B}\left(e^{-\lambda _{B}t}\right)$
On réorganise les termes :
    ${\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}}}={\frac {e^{-\lambda _{B}t}}{e^{-\lambda _{A}t}}}$
On utilise la formule ${\frac {e^{x}}{e^{y}}}=e^{x-y}$ :
    ${\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}}}=e^{(\lambda _{A}-\lambda _{B})t}$
On prend le logarithme des deux côtés :
    $\ln {\left({\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}}}\right)}=(\lambda _{A}-\lambda _{B})t$
On isole t :
    $t={\frac {\ln {\left({\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}}}\right)}}{\lambda _{A}-\lambda _{B}}}$
    $t={\frac {\ln {(\lambda _{A})}-\ln {(\lambda _{B})}}{\lambda _{A}-\lambda _{B}}}$
Il est intéressant d'étudier ce qui se passe quand les deux constantes de temps $\lambda _{A}$ et $\lambda _{B}$sont très différentes. On peut alors se retrouver dans deux cas : soit on a $\lambda _{A}>>\lambda _{B}$, soit $\lambda _{A}<<\lambda _{B}$. Étudions ces deux cas l'un après l'autre.

#### Le cas particulier de l'équilibre séculaire

Partons de l'équation vue plus haut :
    $N_{B}(t)=N_{A}^{0}\cdot {\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)$
Supposons que $\lambda _{A}>>\lambda _{B}$.
Le terme ${\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}$ se simplifie alors comme suit :
    ${\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}\approx {\frac {\lambda _{A}}{-\lambda _{A}}}=-1$.
De plus, le terme $\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)$ se simplifie aussi, ne laissant que la deuxième exponentielle :
    $\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\approx -e^{-\lambda _{B}t}$
En combinant toutes les équations précédentes, on trouve
    $N_{B}(t)=N_{A}^{0}\cdot e^{-\lambda _{B}t}$
Ce qui peut être interprété comme une simple désintégration radioactive d'une seule étape, celle du noyau B. En clair, la désintégration du noyau A est tellement rapide que tous les noyau A deviennent presque instantanément les noyaux B. Le nombre de noyaux B avant sa propre désintégration n'est autre que le nombre de noyaux A initial $N_{A}^{0}$.

#### Le cas particulier de l'équilibre

Comme précédemment, partons de l'équation vue plus haut :
    $N_{B}(t)=N_{A}^{0}\cdot {\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)$
Supposons que $\lambda _{A}<<\lambda _{B}$. Le terme $\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)$ se simplifie, ne laissant que la première exponentielle :
    $\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\approx e^{-\lambda _{A}t}$
En combinant toutes les équations précédentes, on trouve
    $N_{B}(t)\approx 0$
Ce qui est logique, car le noyau B doit attendre que le noyau A se désintègre pour être produit.
En termes d'activité, comme le noyau B se désintègre immédiatement après avoir été produit, son activité augmente fortement pendant un laps de temps très court mais atteint rapidement un plateau car comme dit précédemment, le noyau B doit attendre que le noyau A se désintègre pour se désintégrer à son tour. En conséquence, l'activité du noyau B tend vers une valeur équilibre, l'activité du noyau A. Comme tout à l'heure, la chaîne de désintégration se résume donc à une seule désintégration, celle du noyau A.

### Le cas général (les équations de Bateman)

Dans la réalité, les filiations radioactives ont bien plus de 2 réactions successives. Le cas général, avec plus de deux désintégrations successives, est plus complexe à étudier. Dans ce qui va suivre, nous allons prendre une chaîne de N désintégrations : $X_{1}\rightarrow X_{2}\rightarrow X_{3}\rightarrow ...\rightarrow X_{n}\rightarrow ...\rightarrow X_{N}$. Chaque désintégration est similaire à l'équation du noyau B de la section précédente : la quantité du noyau $X_{n}$ diminue du fait des désintégrations, mais il reçoit des apports des désintégrations du noyau $X_{n-1}$. Si on note $N_{n}$ le nombre de noyaux de l'espèce $X_{n}$, on a :
    ${\frac {dN_{n}}{dt}}=-\lambda _{n}N_{n}+\lambda _{n-1}N_{n-1}$
    ${\frac {dN_{n-1}}{dt}}=-\lambda _{n-1}N_{n-1}+\lambda _{n-2}N_{n-2}$
    ${\frac {dN_{n-2}}{dt}}=-\lambda _{n-2}N_{n-2}+\lambda _{n-3}N_{n-3}$
On pourrait développer chaque terme, en calculant chaque $N_{i}$ et en l'injectant dans chaque $\lambda _{i}N_{i}$, comme nous l'avons fait dans le cas à deux désintégrations. Mais au-delà de 3 à 4 désintégrations successives, les calculs deviennent trop laborieux pour que cela soit faisable. Heureusement, il existe une formule qui permet de trouver une formule explicite générale pour $N_{i}$, formule découverte par Henri Bateman. Celle-ci, très compliquée, est mentionnée juste par souci de complétude.
    $N_{n}(t)=\sum _{i=1}^{n}\left[N_{i}(0)\times \left(\prod _{j=i}^{n-1}\lambda _{j}\right)\times \left(\sum _{j=i}^{n}\left({\frac {e^{-\lambda _{j}t}}{\prod _{p=i,p\neq j}^{n}(\lambda _{p}-\lambda _{j})}}\right)\right)\right]$
    Pour les curieux, voici un document qui démontre la formule de Bateman : chaîne de désintégration et équation de bateman.

## Les branchements radioactifs

Certains noyaux peuvent se désintégrer de plusieurs manières, chacune donnant un noyau différent. Chaque possibilité de désintégration est appelée une voie de désintégration et a sa propre probabilité de désintégration. Le cas le plus simple est celui où un noyau a deux voies de désintégration, chacune avec sa probabilité. Un bon exemple est celui du Potassium-40, qui peut se désintégrer en Calcium-40 ou en Argon-40. La probabilité pour que le Potassium-40 se désintègre en Calcium-40 est d'environ 89,28%, l'autre voie de désintégration n'ayant qu'une faible probabilité de 10,72%
| Double voie de désintégration. | Voies de désintégration du Potassium-40. |
Dans ce cas, on peut reformuler la loi de désintégration radioactive comme suit :
    ${\frac {dN}{dt}}=-(\lambda _{1}N+\lambda _{2}N)=-(\lambda _{1}+\lambda _{2})N$
On voit que la probabilité de désintégration totale est la somme de la probabilité de désintégration de chaque voie. Ce résultat se généralise avec plus de deux voies de désintégration.
La constante de temps associée est de :
    $\tau ={\frac {1}{\lambda }}={\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}={\frac {1}{{\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}}={\frac {1}{\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{\tau _{1}\cdot \tau _{2}}}}={\frac {\tau _{1}\cdot \tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}$