# Cristallographie géométrique/Symétrie translatoire
## Groupe des translations
### Définition, propriétés

Considérons l'ensemble infini des translations t d'un réseau de dimension n. Soit une loi interne de composition • telle que la composition des translations t$_1$ et t$_2$, de vecteurs τ$_1$ et τ$_2$, produit une translation t$_3$ de vecteur τ$_3$=τ$_1$+τ$_2$ : t$_1$•t$_2$=t$_3$. L'ensemble des translations du réseau muni de la loi interne • forme un groupe, noté T$_n$, dont les éléments sont les translations du réseau. En effet :
* la composition de deux translations t$_1$ et t$_2$ de vecteurs τ$_1$ et τ$_2$ quelconques produit une translation t$_3$ qui est aussi un élément de T$_n$ : le groupe est clos ;
* la loi de composition est associative : (t$_1$•t$_2$)•t$_3$=t$_1$•(t$_2$•t$_3$) ;
* il existe un élément neutre e tel que e•t=t•e=t : e est la translation de vecteur nul ;
* tout élément t possède un élément inverse t$^{−1}$, tel que t•t$^{−1}$=t$^{−1}$•t=e : si t est une translation de vecteur τ, t$^{−1}$ est la translation de vecteur −τ.
D'autre part, le groupe des translations T$_n$ est un groupe abélien : pour tout couple de translations t$_1$ et t$_2$, t$_1$•t$_2$=t$_2$•t$_1$, c'est-à-dire que l'ordre dans lequel sont effectuées les translations ne change pas le résultat. Par simplicité de notation, on écrira par la suite t$_1$t$_2$ au lieu de t$_1$•t$_2$.
L'« ordre » d'un groupe est le nombre d'éléments qui le forment. Le groupe des translations T$_n$ contient une infinité d'opérations de translations, son ordre est donc $\infty$.

### Éléments générateurs

Les translations de vecteurs de base e$_i$ du réseau (avec la translation de vecteur nul qui est l'élément neutre) permettent par l'application de la loi de composition de reconstruire l'ensemble des éléments du groupe T$_n$. Les translations de vecteur e$_i$ forment un « jeu de générateurs » du groupe T$_n$. Ce jeu de générateurs contient un nombre fini d'éléments, plus précisément, le nombre d'éléments générateurs de T$_n$ est égal à la dimension n de l'espace dans lequel ont lieu les translations. Dans l'espace bidimensionnel, les éléments générateurs de T$_2$ sont les translations des vecteurs a et b, t$_a$ et t$_b$. Dans l'espace tridimensionnel, les éléments générateurs de T$_3$ sont les translations des vecteurs a, b et c, t$_a$, t$_b$ et t$_c$.

### Sous-groupes

Le groupe des translations T$_n$ contient une infinité de sous-groupes. Les « sous-groupes triviaux » de T$_n$ sont T$_n$ lui-même et le groupe ne contenant que l'élément neutre, E (ceci est valable pour tous les groupes). Les autres sous-groupes de T$_n$ sont les « sous-groupes propres » de T$_n$ et sont formés par l'application de la loi de composition sur un jeu de générateurs contenant un nombre de translations de vecteurs de base inférieur à n, ou sur un jeu de générateurs contenant des translations de vecteurs multiples des vecteurs de base, etc. La notation U<T signifie que le groupe U est un sous-groupe de T.
Par exemple, le groupe T$_a$ formé par les translations t$_a$ de vecteurs combinaisons linéaires de τ$_a$=a est un sous-groupe de T$_3$ :
* la composition de deux éléments de T$_a$ produit un élément qui appartient à T$_a$ et T$_3$ ;
* comme pour T$_3$, la loi de composition est associative ;
* e est un élément de T$_a$ ;
* pour chaque élément de T$_a$, il existe un élément inverse ;
* le groupe T$_a$ n'est pas vide ;
* tous les éléments de T$_a$ sont aussi éléments de T$_3$ : T$_a$ est inclus dans T$_3$.
Les vecteurs des translations de T$_a$ sont tous parallèles à la direction a.
De même, le groupe T$_{a,b+c}$ formé par les translations t$_a$ et t$_{b+c}$ de vecteurs combinaisons linéaires de τ$_a$=a et τ$_{b+c}$=b+c est un sous-groupe de T$_3$. Les vecteurs des translations de T$_{a,b+c}$ sont tous parallèles au plan (a,b+c).
De manière générale, le groupe T$_m$ d'un réseau de dimension m est un sous-groupe de T$_n$ si m est inférieur ou égal à n.

### Isomorphisme

Deux groupes T et U d'éléments t et u sont isomorphes si il existe une application bijective f telle que pour tout élément t$_i$ de T, f(t$_i$)=u$_j$, et qui préserve la structure de groupe, et dont l'application réciproque f$^{−1}$, telle que pour tout élément u$_i$ de U, f$^{−1}$(u$_i$)=t$_j$, préserve aussi la structure de groupe. D'autre part, f doit vérifier les relations suivantes :
    ${\begin{array}{ccc}f(t_{i}t_{j})=f(t_{i})f(t_{j}),&&f^{-1}(u_{i}u_{j})=f^{-1}(u_{i})f^{-1}(u_{j}).\end{array}}$
Les relations d'isomorphisme entre groupes permet de les classer en « classes d'isomorphisme » ou « groupes abstraits », qui contiennent des groupes de mêmes propriétés. En particulier, deux groupes isomorphes ont le même ordre.
Par exemple, dans l'espace unidimensionnel, soit T le groupe contenant l'ensemble des translations de réseau dont l'élément générateur est la translation t$_a$ de vecteur a. Soit U le groupe dont l'élément générateur est la translation u$_{2a}$=t$_{2a}$ de vecteur 2a. U est un sous-groupe non trivial de T : il est inclus dans T mais il ne contient pas toutes les translations de vecteurs combinaisons linéaires impaires de a, (2n+1)a où n est un nombre entier. Soit f l'application qui associe à une translation t$_{na}$ de T la translation de vecteur double : t$_{2na}$ est un élément de U (et de T). La condition f(t$_1$t$_2$)=f(t$_1$)f(t$_2$) est vérifiée : le vecteur double de la translation t$_1$t$_2$ est égal à la somme des doubles des vecteurs des translations t$_1$ et t$_2$. L'application réciproque de f est f$^{−1}$ qui associe à une translation u$_{2na}$ de U la translation de vecteur moitié : t$_{na}$ est un élément de T (mais pas forcément de U si n est impair). La condition f$^{−1}$(u$_1$u$_2$)=f$^{−1}$(u$_1$)f$^{−1}$(u$_2$) est aussi vérifiée. Les deux groupes U et T sont donc isomorphes.
Par contre, dans le premier exemple tridimensionnel de la section précédente, le sous-groupe T$_a$ de T$_3$ n'est pas isomorphe à T$_3$ : il n'existe pas d'application permettant d'associer de manière unique à tout élément de T$_3$ un élément de T$_a$.