# Manuel de géométrie vectorielle/Somme et différence de vecteurs
## Somme de vecteurs
### Somme de vecteurs bout à bout

* Propriété
* Si A, B et C sont trois points quelconques, effectuer une translation de vecteur ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ suivie d'une translation de vecteur ${\overrightarrow {\rm {BC}}}$ revient à effectuer une seule translation de vecteur ${\overrightarrow {\rm {AC}}}$.
Les vecteurs peuvent s'additionner naturellement à partir de leur définition par les translations. Ce théorème s'appelle la relation de Chasles.
* Relation de Chasles
* ${\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {BC}}}={\overrightarrow {\rm {AC}}}$

### Somme de vecteurs de même origine

De la caractérisation vectorielle d'un parallélogramme et de la relation de Chasles, on déduit une autre manière d'additionner les vecteurs.
* Propriété
* Si ABDC est un parallélogramme, alors
* ${\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {AC}}}={\overrightarrow {\rm {AD}}}$
Encore une fois, attention à l'ordre des lettres !

## Opposé d'un vecteur

Observons les deux vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ sur le dessin suivant.
Le quadrilatère ABCD étant un parallélogramme, on peut constater que les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ ont deux caractéristiques sur trois en commun :
* Les côtés opposés du parallélogramme étant parallèles, les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ ont la même direction.
* Les côtés opposés du parallélogramme étant de même longueur, les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ ont la même longueur.
Par contre les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ diffèrent par leur sens.
On dit que les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ sont opposés.
L'opposé du nombre 2 est le nombre -2. De la même manière, on note $-{\overrightarrow {u}}$ l'opposé du vecteur ${\overrightarrow {u}}$.
* Définition
* On dit que deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur, mais sont de sens opposés.
* On note $-{\overrightarrow {u}}$ l'opposé du vecteur ${\overrightarrow {u}}$
* Propriété
* L'opposé du vecteur ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ est le vecteur ${\overrightarrow {\rm {BA}}}$ : $-{\overrightarrow {\rm {AB}}}={\overrightarrow {\rm {BA}}}$

## Différence de deux vecteurs

On a vu précédemment le sens de la somme de deux vecteurs. Quel sens donner à la différence ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ de deux vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ ?
Le calcul sur les nombres peut nous aider à entrevoir la réponse. On sait depuis quelques années que par exemple 5-3 peut s'écrire 5+(-3) : la différence de 5 et de 3 est égale à la somme de 5 et de l'opposé de 3.
Appliquons le même principe aux vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$, ce qui est bien pratique puisqu'on vient de voir la somme de deux vecteurs.
À partir d'un point A:
* On construit par translation de vecteur ${\vec {u}}$ un point B tel que ${\overrightarrow {\rm {AB}}}={\vec {u}}$,
* puis on construit par translation de vecteur $-{\vec {v}}$ un point C tel que ${\overrightarrow {\rm {BC}}}=-{\vec {v}}$.
Le vecteur ${\overrightarrow {\rm {AC}}}$ ainsi construit est égal à ${\overrightarrow {u}}-{\overrightarrow {v}}$.
En effet d'après la relation de Chasles :
    ${\overrightarrow {\rm {AC}}}={\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {BC}}}$
Et d'après la construction effectuée :
    ${\overrightarrow {\rm {AC}}}={\overrightarrow {u}}+(-{\overrightarrow {v}})$
Puis en appliquant aux vecteurs les règles de calculs sur les nombres algébriques :
    ${\overrightarrow {\rm {AC}}}={\overrightarrow {u}}-{\overrightarrow {v}}$

## Vecteurs particuliers

* Propriété
* Le vecteur nul est le vecteur qui ne change rien quand on l'additionne à un autre vecteur.
* ${\overrightarrow {\rm {AA}}}={\vec {0}}$
* Quand on additionne un vecteur et son opposé, on trouve le vecteur nul.
* ${\overrightarrow {\rm {AB}}}+(-{\overrightarrow {\rm {AB}}})={\vec {0}}$