# Cosmologie/Le facteur de Hubble

Le facteur de Hubble est d'abord né des observations de Hubble, et précisément de la loi de Hubble, dit que la vitesse d'éloignement d'une galaxie est proportionnelle à sa distance.
    $v(D)=H\times D$, où v est la vitesse extrapolée du redshift, D la distance de la galaxie et H un facteur de proportionnalité nommée paramètre de Hubble.
Nous avons vu qu'en réalité, cette relation est approximative et ne marche pas sur les galaxies lointaines. La véritable définition est plus profonde : le facteur de Hubble est un taux d'accroissement du facteur d'échelle, définit par :
    $H(t)={\frac {a(t)'}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln {a(t)}$
Vous avez peut-être déjà entendu parler de la constante de Hubble pour désigner le paramètre de Hubble. C'était le terme utilisé au tout début de la cosmologie moderne, on pensait que H était constant, mais on sait aujourd'hui que ce n'est pas le cas. Ce n'est donc pas une constante, d'où le fait que nous parlerons de paramètre de Hubble dans de cours. La valeur actuelle de H est sous notée $H_{0}$, et nous utiliserons cette notation dans ce cours.

## La mesure du facteur de Hubble

Formellement, le paramètre de Hubble est égal à une vitesse divisée par une distance, ce qui fait qu'elle est l'inverse d'un temps. Le paramètre de Hubble H a donc pour unité $s^{-1}$, soit l'inverse d'une seconde. Mais dans les faits, les astronomes l'expriment en kilomètres par seconde par mégaparsecs (km/s/Mpc ou $km\cdot s^{-1}\cdot Mpc^{-1}$. Pour rappel, le mégaparsec est une unité astronomique qui vaut environ 3,26 millions d'années-lumière. Avec de telles unités, le paramètre de Hubble actuel, mesuré aujourd'hui, vaudrait approximativement :
    $H\approx 70\cdot km\cdot s^{-1}\cdot Mpc^{-1}$
L'interprétation de cette valeur est que chaque seconde, l'univers grandit de 70 kilomètres par mégaparsecs.
Les mesures du paramètre de Hubble sont assez nombreuses, mais elles semblent converger vers la valeur de 70 mentionnée plus haut, avec cependant des incertitudes de mesure non-négligeables. Pour vous donner quelques exemples, les graphiques ci-dessous et ci-contre vous donnent les valeurs mesurées pour plusieurs compagnes d'observation assez anciennes. Vous voyez que la valeur n'est pas connue avec certitude.
À l'heure actuelle, les cosmologistes ne savent pas expliquer pourquoi les mesures du paramètre de Hubble sont aussi différentes. Ce qui est sûr, c'est que le résultat dépend fortement de la méthode de mesure. Sans rentrer dans les détails techniques, il existe plusieurs méthodes indirectes pour estimer le paramètre de Hubble, qui estiment les distances des objets lointains en analysant la luminosité des supernovæ, des galaxies, des céphéides (des étoiles pulsatiles), et d'autres objets astronomiques. Et suivant la méthode utilisée ou l'objet observé, le paramètre de Hubble n'a pas la même valeur. Peut-être que les mesures sont entachées d'un biais systématique qui dépend de la mesure, peut-être que la valeur du paramètre de Hubble varie suivant la distance des objets considérés, peut-être que l'hypothèse d'un univers isotrope et homogène doit être abandonné, peut-être qu'une nouvelle physique se cache derrière ces résultats disparates, personne ne le sait.
Les valeurs précédentes sont obtenues avec des objets situés à des distances très différentes, pour lesquels la lumière a mis du temps à nous parvenir. Aussi, vous avez peut-être pensé que les différences dans les mesures sont liés aux variations du paramètre de Hubble. Manque de chance, les scientifiques ne sont pas stupides et ils ont pris cela en compte. Les valeurs des graphiques précédents sont des valeurs qui corrigent l'évolution du paramètre de Hubble, à partir d'hypothèses très crédibles sur son évolution.

## Le temps de Hubble

Comme dit plus haut, le paramètre de Hubble est l'inverse d'un temps. Ce temps en question est appelé le temps de Hubble et nous le noterons $T_{H}$. Par définition, il vaut :
    $T_{H}(t)={\frac {1}{H(t)}}$
Il vaut environ 14,4 milliards d'années et cette valeur est très proche de celle actuellement admise par les scientifiques pour l'âge de l'univers (13,6 milliards d'années environ). Précisons que si les estimations actuelles nous disent que les deux sont assez proches, mais rien ne nous dit qu'ils sont exactement identiques. Les mesures et estimations sont en effet entachées d'une marge d'erreur assez large, ce qui fait que les deux mesures peuvent sembler se confondre alors qu'elles sont peut-être légèrement différentes.
Le temps de Hubble n'est pas l'âge de l'univers, attention à ne pas confondre ! Un bon moyen de s'en rendre compte est de regarder ce qui se passe dans un univers où $H(t)$ serait constant, mais positif et non-nul. Le temps de Hubble serait alors constant, alors que l'univers serait en expansion.
La théorie nous dit que temps de Hubble et âge de l'univers n'ont pas de raison de coïncider. Dans la plupart des théories mathématiques de la cosmologie, $T_{H}$ et âge de l'univers ne coïncident qu'en un seul instant $t$ bien précis. À tous les autres instants, ces deux valeurs sont différentes. Dans de nombreuses théories cosmologiques, le temps de Hubble est plusieurs fois inférieur ou supérieur à l'âge de l'univers.
La seule exception est un modèle théorique appelé le modèle $R_{H}(t)=c\cdot t$ (oui, le nom de cette théorie est bien une formule mathématique...), dans lequel le temps de Hubble et l'âge de l'univers se confondent à tout instant. Mais c'est l'exception qui confirme la règle. À l'heure actuelle, on ne sait pas si ce modèle décrit correctement l'univers actuel. Aussi, les scientifiques ne savent pas si la coïncidence actuelle entre temps de Hubble et âge de l'univers en est une ou est valide en permanence.

### Le lien entre temps de Hubble et facteur de décélération

Le temps de Hubble a un lien assez important avec le facteur de décélération. Pour nous en rendre compte, prenons la formule suivante pour le facteur de décélération :
    $q={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{H(t)}}-1={\frac {d}{dt}}T_{H}-1$
L'interprétation de cette équation est assez simple, si on regarde comment évolue la dérivée ${\frac {d}{dt}}T_{H}$. Le cas où ${\frac {d}{dt}}T_{H}=1$ correspond au cas où le temps de Hubble augmente au même rythme que l'âge de l'univers, ce qui signifie que les deux sont égaux. Or, nous verrons dans quelques chapitres que ce n'est possible que si l'expansion de l'univers se fait à vitesse constante. Plus précisément, cela implique que le facteur d'échelle augmente linéairement avec le temps ($a(t)=k\cdot t$), donc que sa dérivée première soit constante et sa dérivée seconde nulle.
Les cas où ${\frac {d}{dt}}T_{H}>1$ et ${\frac {d}{dt}}T_{H}<1$ correspondent alors à une expansion supra- et infra-linéaire. Or, le facteur de décélération est définit de manière à valoir 0 pour un univers en expansion linéaire (à vitesse constante), positif pour une expansion supra-linéaire et négatif pour une expansion infra-linéaire. On voit que pour passer de la dérivée ${\frac {d}{dt}}T_{H}$ au facteur de décélération, il faut retrancher 1.
Une autre manière de réécrire cette formule, qui sera utile dans la suite du cours, est la suivante :
    $q+1={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{H(t)}}={\frac {d}{dt}}T_{H}$

### Le facteur de décélération moyen

Rien n'implique que le facteur de décélération soit une constante. Il peut très bien varier dans le temps, si le facteur de Hubble varie lui aussi. Rien n’empêche d'avoir un univers dont l'expansion accélère, puis stoppe et décéléré, par exemple. Il est alors utile de calculer un facteur de décélération moyen, qui est définit par :
    ${\overline {q}}(t_{0})={\frac {1}{t_{0}}}\int _{0}^{t_{0}}q(t)dt$, avec $t_{0}$ l'âge de l'univers.
On utilise alors l'équation $q={\frac {d}{dt}}T_{H}-1$ :
    ${\overline {q}}(t_{0})={\frac {1}{t_{0}}}\int _{0}^{t_{0}}\left[{\frac {d}{dt}}T_{H}-1\right]dt$
L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales :
    ${\overline {q}}(t_{0})={\frac {1}{t_{0}}}\left[\int _{0}^{t_{0}}\left({\frac {d}{dt}}T_{H}\right)dt-\int _{0}^{t_{0}}1dt\right]$
On calcule la dernière intégrale :
    ${\overline {q}}(t_{0})={\frac {1}{t_{0}}}\left[\int _{0}^{t_{0}}\left({\frac {d}{dt}}T_{H}\right)dt-t_{0}\right]$
On développe :
    ${\overline {q}}(t_{0})={\frac {1}{t_{0}}}\left[\int _{0}^{t_{0}}\left({\frac {d}{dt}}T_{H}\right)dt\right]-1$
L'intégrale et la dérivée s'annulent si on néglige les constantes d'intégration, ce qui donne :
    ${\overline {q}}(t_{0})={\frac {T_{H}(t_{0})}{t_{0}}}-1$
On voit que le facteur de décélération moyen dépend de l'âge de l'univers et du facteur de Hubble actuel, rien de plus. C'est un résultat très intéressant, qui permet soit de calculer le facteur de décélération moyen à partir de l'âge de l’univers, ou de faire l'inverse. L'âge de l'univers vaut donc :
    $t={\frac {T_{H}}{{\overline {q}}(t)+1}}$
Plus haut, nous avons dit que l'âge de l'univers qui fait actuellement consensus est proche du temps de Hubble. Si on en croit l'équation précédente le seul moyen d'avoir $t\approx T_{H}$ est que ${\overline {q}}(t)\approx 0$. En clair, l'univers a eu une expansion approximativement constante, en moyenne. Mais attention, cela ne signifie pas que l'expansion s'est faite de manière régulière tout le temps. Le consensus actuel est que l'univers a alterné entre décélération et d'expansion. Mais nous reparlerons de cela plus tard dans le cours, quand nous parlerons des modèles cosmologiques, de l'accélération de l'expansion de l'univers et de l'inflation.Toute la difficulté de la cosmologie est d'établir comment s'est déroulée l'expansion.

## Le rayon de Hubble

Le rayon de Hubble, noté $R_{H}$, est la distance que parcourt la lumière pendant le temps de Hubble. Il vaut donc, par définition :
    $R_{H}=c\cdot T_{H}={\frac {c}{H(t)}}$
Notons que cette dernière formule est une tautologie sans grande importance, sans sens physique. Dans la plupart des modèles cosmologiques, temps de Hubble et rayon associé n'ont pas de sens physique et ne sont que des conventions. Par exemple, si on suppose que le facteur de Hubble est constant, le rayon de Hubble est constant, alors que l'univers est en expansion.
Un autre point important est que le rayon de Hubble n'est en rien la limite au-delà de laquelle la lumière n'a pas eu le temps de nous parvenir (en termes scientifiques, ce n'est pas un horizon). On peut parfaitement voir des objets qui sont situés au-delà du rayon de Hubble, et les astronomes l'ont déjà fait. Bref, temps et rayon de Hubble sont des conventions.

### La relation entre redshift et rayon de Hubble

On a vu que pour les faibles redshift, la loi de Hubble donne une relation entre distance et redshift qui s'écrit comme suit :
    $z(t)={\frac {H}{c}}\cdot d(t)$
Le terme ${\frac {H}{c}}$ n'est autre que l'inverse du rayon de Hubble, ce qui donne :
    $z(t)={\frac {d(t)}{R_{H}}}$
Rappelons que cette relation ne vaut que pour des distances assez faibles, des galaxies proches.

### L'évolution du rayon de Hubble

On peut s'amuser à calculer dans quelles circonstances le rayon de Hubble est constant. Pour cela, prenons sa dérivée :
    ${\frac {d}{dt}}R_{H}(t)={\frac {d}{dt}}(c\cdot T_{H})=c\cdot {\frac {d}{dt}}T_{H}$
On utilise alors la formule qui relie la dérivée du temps de Hubble au facteur de décélération :
    $q+1={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{H(t)}}={\frac {d}{dt}}T_{H}$
En combinant les deux équations précédentes, on trouve :
    ${\frac {d}{dt}}R_{H}(t)=c\cdot (q+1)$
Cette dérivée s'annule quand $q=-1$. En analysant la dérivée, on remarque que le rayon de Hubble se contracte pour $q<-1$, augmente quand $q>-1$, et reste stationnaire pour $q=-1$. En clair, le rayon de Hubble augmente quand l'expansion qui ralentit, diminue quand l'expansion accélère, reste constante si l'expansion se fait à taux constante.

### Le rayon de Hubble et les vitesses de fuite supra-luminiques

Au-delà du rayon de Hubble, le produit $H\times D$ dépasse la vitesse de la lumière. En effet, calculons la distance à laquelle la vitesse calculée avec la loi de Hubble vaut c :
    $c=H\times d$
On a alors :
    $d={c \over H}=c\times T_{H}$
Prenons n'importe quel objet qui émet de la lumière vers nous. La lumière va a une vitesse c vers nous, mais l'expansion fait que la lumière s'éloigne de nous à une vitesse $v_{rec}$ qui se calcule avec la loi de Hubble. La vitesse des photons venant vers nous, en coordonnées non-comobiles, est donc de $v_{rec}-c$.
Pour les objets au-delà du rayon de Hubble, $v_{rec}>c$ : ils s'éloignent de nous plus vite que la lumière. Ce qui fait que leur lumière ne devrait pas nous rejoindre si le rayon de Hubble restait statique, car elle est supérieure à c. Mais il faut maintenant prendre en compte que le rayon de Hubble grandit à la vitesse qu'on vient de calculer plus haut. Ce qui fait que ces photons dont $v_{rec}>c$ se retrouvent quand même dans la sphère de Hubble, s'ils respectent la condition suivante :
    ${\frac {d}{dt}}R_{H}(t)\geq v_{rec}-c$
Utilisons la formule suivante :
${\frac {d}{dt}}R_{H}(t)=c\cdot (q+1)$
Combinons les deux équations précédentes :
    $c\cdot (q+1)\geq v_{rec}-c$
Simplifions :
    $c\cdot q\geq v_{rec}$
En clair, le rayon de Hubble finit par rattraper ces photons, ce qui fait qu'ils finissent par arriver chez nous.

### Le rayon comobile de Hubble

Notons que l'on peut calculer le rayon de Hubble comobile, c'est à dire en supprimant l'effet de l'expansion. Ce rayon n'a pas plus de sens physique que le rayon de Hubble normal. Il est définit comme toute distance comobile, en divisant par le facteur d'échelle. Cela donne :
    ${\frac {R_{H}(t)}{a(t)}}={\frac {c}{a(t)\cdot H(t)}}$
En utilisant la formule $H={\frac {a'(t)}{a(t}}$ et en simplifiant, on trouve :
    ${\frac {R_{H}(t)}{a(t)}}={\frac {c}{a'(t)}}$
Le rayon comobile est constant si la dérivée du facteur d'échelle est constante, ce qui correspond à une expansion linéaire, où le facteur d'échelle augmente proportionnellement avec le temps.