# Calcul tensoriel/Notions élémentaires
### Introduction

Pour les besoins du calcul tensoriel, nous serons amenés a utiliser une notation indicielle, ces indices pouvant êtres aussi bien des indices bas que hauts. Il faudra particulièrement faire attention au fait que les indices hauts ne représentent pas une puissance (en cas de réelle utilisation de puissance on peut toujours écrire $(x^{i})^{n}$).
Il faudra faire aussi faire attention au fait que l'on va utiliser des conventions de simplification pour alléger l'écriture. En particulier, la convention d'Einstein: si on a un vecteur:
${\vec {V}}=\sum _{i=1}^{n}V^{i}{\vec {e_{i}}}$
On omettra le signe "somme" et on écrira juste:
${\vec {V}}=V^{i}{\vec {e_{i}}}$
Remarquez la convention d'écrire les composantes avec un indice haut, et les vecteurs de bases avec un indice inférieurs (lorsque l'on utilise les composantes contravariantes - nous verrons ce que c'est précisément plus tard).
Exemples:
* le vecteur: ${\vec {V}}=a^{1}{\vec {e_{1}}}+a^{2}{\vec {e_{2}}}+a^{3}{\vec {e_{3}}}$ s'écrira ${\vec {V}}=a^{i}{\vec {e_{i}}}$ (en spécifiant évidemment que $n=3$)
* le système:
$a^{11}x_{1}+a^{12}x_{2}=b_{1}$
$a^{21}x_{1}+a^{22}x_{2}=b_{2}$
s'écrira $a^{ij}x_{j}=b_{i}$ ($n=2$: attention que l'indice de sommation est j dans ce cas et non pas i.)
Pour les dérivées partielles par rapport aux coordonnées, on utilise indifféremment les notations
    ${\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}=\partial _{i}f=f_{,i}$

### Transformations entre systèmes de coordonnées

On s'intéresse maintenant aux changements de coordonnées entre deux systèmes de coordonnées différents.
Soient deux systèmes de coordonnées a et b (on va donc noter la ième composante d'un point respectivement $\left[x_{a}\right]^{i}$ et $\left[x_{b}\right]^{i}$ dans l'un ou l'autre des système). Considérons les fonctions de transformation :
    $\left[x_{b}\right]^{i}=\left[\Theta _{ba}\right]^{i}\left(\left[x_{a}\right]^{0},\left[x_{a}\right]^{1},\ldots \right)$
    $\left[x_{a}\right]^{i}=\left[\Theta _{ab}\right]^{i}\left(\left[x_{b}\right]^{0},\left[x_{b}\right]^{1},\ldots \right)$
Le jacobien de la transformation relie les variations infinitésimales des coordonnées :
    $d\left[x_{a}\right]^{i}=\sum _{j}\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{j}d\left[x_{b}\right]^{j}$
Ainsi on a:
    $\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{j}={\frac {\partial \left[\Theta _{ab}\right]^{i}}{\partial \left[x_{b}\right]^{j}}}$
Le jacobien de la transformation inverse est l'inverse du jacobien. Introduisant $\delta _{j}^{i}$ le symbole de Kronecker, on a
    $\sum _{j}\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{j}\left[\theta _{ba}\right]^{j}_{k}=\delta _{k}^{i}$
Et le symbole de Kronecker est défini comme suit:
    $\delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}$

### Base naturelle

Nous allons maintenant introduire la notion de "base naturelle".
Par définition, la base naturelle au point $M$ est la base formée par les vecteurs:
$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {OM} }{\partial x^{i}}}$
où $O$ représente évidemment l'origine.
$\mathbf {e} _{i}$ est donc la base naturelle de vecteurs locaux associés à un système de coordonnées quelconque $x^{i}$. Un élément infinitésimal s'écrit dans cette base:
$d\mathbf {l} =\sum _{i}dx^{i}\mathbf {e} _{i}$
On a par définition:
$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {l} }{\partial x^{i}}}$
* Remarques
** La lettre $\mathbf {l}$ étant muette, on voit parfois écrit $\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$, avec le risque de confusion avec l'opérateur dérivation.
** Sauf dans le cas d'un repère cartésien, la base naturelle varie d'un point à un autre. Chaque symbole $\mathbf {e} _{1}$, $\mathbf {e} _{2}$, etc. représente en fait un champ de vecteurs.
** Les vecteurs de base se transforment selon la formule $\left[\mathbf {e} _{a}\right]_{i}=\sum \left[\mathbf {e} _{b}\right]_{i}\left[\theta _{ba}\right]^{i}_{j}$. Démonstration

### composantes covariantes et contravariantes

Soit $V$ un espace vectoriel, et soit ${\vec {V}}\in V$ et $\{e_{i}\}$ une base de $V$.
On note, avec la convention d'Einstein:
${\vec {V}}=V^{i}e_{i}$
Tout simplement, les nombres $V^{i}$ sont les composantes contravariantes du vecteur ${\vec {V}}$. Ce sont les composantes que l'on utilise habituellement.
Les composantes covariantes d'un vecteur sont les composantes d'un vecteur sur la base duale. On note:
${\vec {V}}=V_{i}e^{i}$
ou la base $\{e^{i}\}$ est la base duale de $\{e_{i}\}$, définie par:
$e^{i}e_{j}=\delta _{j}^{i}$
Remarques:
* Tous les vecteurs de la base duale sont orthogonaux à tous les vecteurs de la base de départ d'indices différents (produit scalaire nul).
* Le produit scalaire entre un vecteur de la base ordinaire et un vecteur de la base duale mais de même indice cette fois, vaut 1.
* On peut déduire qu'une base orthonormale est identique à sa base duale.
* La base duale de la base duale est la base de départ.

### Tenseurs

Dans un espace de dimension N, un tableau à P indices $T_{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}$, chaque indice pouvant prendre N valeurs représente les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre P dans un système de coordonnées données, si ce tableau se transforme comme les vecteurs de base locale lors d'un changement de système de coordonnées.
    $\left[T_{a}\right]_{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}=\left[T_{b}\right]_{j_{1}j_{2}\ldots j_{P}}\left[\theta _{ba}\right]^{j_{1}}_{i_{1}}\left[\theta _{ba}\right]^{j_{2}}_{i_{2}}\ldots \left[\theta _{ba}\right]^{j_{P}}_{i_{P}}$
Un tableau $T^{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}$ représente les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre P dans un système de coordonnées données, si ce tableau se transforme comme les variations infinitésimales des coordonnées lors d'un changement de système de coordonnées.
    $\left[T_{a}\right]^{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}=\left[T_{b}\right]^{j_{1}j_{2}\ldots j_{P}}\left[\theta _{ab}\right]^{i_{1}}_{j_{1}}\left[\theta _{ab}\right]^{i_{2}}_{j_{2}}\ldots \left[\theta _{ab}\right]^{i_{P}}_{j_{P}}$
On verra plus bas que des composantes contravariantes et covariantes peuvent correspondre au même tenseur, la transformation étant obtenue au moyen du tenseur métrique.
De la même manière qu'on définit un champ vectoriel comme un vecteur fonction de la position dans l'espace, on définit un champ tensoriel comme un tenseur fonction de la position dans l'espace. Dans la suite, on utilisera le simple mot tenseur, alors qu'on considérera en général un champ tensoriel.
Il n'y a pas de difficulté à définir un tenseur en composantes mixtes. On aura par exemple
    $\left[T_{a}\right]^{i}_{j}^{k}=\left[T_{b}\right]^{l}_{m}^{n}\left[\theta _{ab}\right]^{i}_{l}\left[\theta _{ba}\right]^{m}_{j}\left[\theta _{ab}\right]^{k}_{n}$

### Produit tensoriel

Deux tenseurs A et B d'ordre P et Q étant donnés par leurs $N^{P}$ et $N^{Q}$ composantes covariantes, contravariantes ou mixtes, le produit des composantes définit un tableau de $N^{P+Q}$ composantes. Ce tableau se transforme évidemment comme les composantes d'un tenseur C d'ordre $P+Q$, appelé produit tensoriel de A et B.
On écrira par exemple $C^{ijk}=A^{ij}B^{k}$.

### Tenseur métrique

Le tenseur métrique, noté $g_{ij}$, est le tenseur produit scalaire des vecteurs de la base naturelle. Il est symétrique :
    $g_{ij}=g_{ji}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}$
Le carré d'un élément de longueur est la forme quadratique
    $\left(dl\right)^{2}=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$
À RÉDIGER

### Transformation contraco

On transforme les composantes contravariantes d'un tenseur en composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :
    $x_{i}=\sum _{j}g_{ij}x^{j}$
Étant donné que $g^{ij}$ est la matrice inverse de $g_{ij}$, on a
    $x^{i}=\sum _{j}g^{ij}x_{j}$
* Remarques
** Avec la convention d'Einstein, on sous-entend le symbole $\sum$ dès qu'un indice figure à la fois en haut et en bas. On écrit ainsi $x_{i}=g_{ij}x^{j}$, et $x^{i}=g^{ij}x_{j}$.
** Il y a une convention plus radicale utilisée par certains auteurs suivant laquelle on omet également le tenseur métrique dès lors qu'il intervient dans une contraction. Ainsi, à la place de $a^{i}b_{i}=g^{ij}a_{i}b_{j}$, on écrit $a_{i}b_{i}$.
** La transformation contraco peut être appliquée à plusieurs indices d'un tenseur d'ordre quelconque. Par exemple $a^{ij}=g^{ik}g^{jl}a_{kl}$.

### Contraction

Un tenseur d'ordre P étant donné, on obtient un tenseur d'ordre $P-2$ en sommant toutes les termes correspondant aux mêmes valeurs de deux indices donnés, l'un covariant, l'autre contravariant.
    $A^{ik}=\sum _{j}B^{i}_{j}^{kj}$
Avec la convention d'Einstein, on écrit
    $A^{ik}=B^{i}_{j}^{kj}$
Puisque l'on a $B^{i}_{j}^{kn}=B^{i}_^{mkn}g_{jm}$, on peut effectuer la contraction sur deux composantes contravariantes ou bien deux composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :
    $A^{ik}=B^{imkn}g_{mn}=B^{i}_{m}^{k}_{n}g^{mn}$

### Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs $a^{i}$ et $b^{j}$ est la contraction de leur produit tensoriel. Il s'exprime donc au moyen du tenseur métrique $g_{ij}$ :
    $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a^{i}b^{j}g_{ij}$
C'est un tenseur d'ordre 0, indépendant du choix du système de coordonnées.

### Tenseur dualiseur
#### Introduction

Étant donné un espace de dimension N, le symbole de Levi-Civita d'ordre N $\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$, aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par $2^{N}$ lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

#### Définition du tenseur dualiseur
##### Tenseur dualiseur en coordonnées contravariantes

La formule
    $*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$
où $\det g$ est le déterminant du tenseur métrique, définit bien un tenseur à partir du symbole de Levi-Civita d'ordre N. Ce tenseur, aussi appelé tenseur de Levi-Civita et noté ${\tilde {\epsilon }}$ est ici appelé tenseur dualiseur. Il est intéressant de noter que pour qu'un scalaire soit un tenseur (d'ordre 0), il faut qu'il soit indépendant du choix du système de coordonnées. Le déterminant du tenseur métrique n'est donc pas un tenseur mais son produit avec le symbole $\epsilon$ est bien un tenseur, indépendant du système de coordonnées.

##### Tenseur dualiseur en coordonnées covariantes

On passe aux coordonnées covariantes en mettant en jeu N fois le tenseur métrique. Le produit de ces N termes avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N est égal au déterminant du tenseur métrique et l'on obtient
    $*_{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}=g_{i_{1}j_{1}}g_{i_{2}j_{2}}\ldots g_{i_{N}j_{N}}{\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}={\sqrt {\det g}}\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$

##### Détermination du signe

Le tenseur dualiseur garde néanmoins un caractère particulier. C'est le choix de la détermination de la racine carrée qui définit l'orientation du système de coordonnées. Retourner une coordonnée doit s'accompagner du changement de signe des composantes du tenseur.
Dans le cas de l'espace-temps quadridimensionnel, le déterminant du tenseur métrique est négatif. Deux possibilités s'offrent alors, considérer que le tenseur dualiseur est imaginaire pur, ou remplacer g par -g. Cette seconde possibilité facilite les calculs mais n'est pas satisfaisante d'un point de vue théorique [connecter avec la mesure de la distance spatiale ou temporelle comme racine carrée de l'intervalle d'espace-temps, dont le signe donne la nature, temps ou espace]

#### Propriétés du tenseur dualiseur
##### Produit de tenseurs dualiseurs

La formule suivante découle directement de la formule obtenue avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole $\delta _{j}^{i}$ est le symbole de Kronecker, représentant la matrice unité.
    $*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}k_{1}\ldots k_{Q}}*_{j_{1}j_{2}\ldots j_{P}k_{1}\ldots k_{Q}}=Q!\times \left|{\begin{matrix}\delta _{j_{1}}^{i_{1}}&\delta _{j_{2}}^{i_{1}}&\ldots &\delta _{j_{P}}^{i_{1}}\\\delta _{j_{1}}^{i_{2}}&\delta _{j_{2}}^{i_{2}}&\ldots &\delta _{j_{P}}^{i_{2}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\delta _{j_{1}}^{i_{P}}&\delta _{j_{2}}^{i_{P}}&\ldots &\delta _{j_{P}}^{i_{P}}\end{matrix}}\right|$

###### résultat d'ordre 2

    $*^{k\;i_{2}\ldots i_{N}}*_{l\;i_{2}\ldots i_{N}}=\left(N-1\right)!\times \delta _{l}^{k}$

###### résultat d'ordre 4

    $*^{km\;i_{3}\ldots i_{N}}*_{ln\;i_{3}\ldots i_{N}}=\left(N-2\right)!\times \left(\delta _{l}^{k}\delta _{n}^{m}-\delta _{n}^{k}\delta _{l}^{m}\right)$

#### Définition du tenseur dual

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre M dans un espace de dimension N définit un tenseur d'ordre N-M, son dual. $\left[*a\right]^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N-M}}={\frac {1}{M!}}*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}a_{i_{N-M+1}\ldots i_{N}}$
Le choix de faire la contraction sur les M derniers indices du tenseur dualiseur est tout à fait arbitraire. La contraction sur une autre famille d'indices fournit la même expression de $*a$, avec un signe éventuellement opposé. Il est aussi à noter que si l'on change l'orientation de l'espace en échangeant deux coordonnées, le tenseur dual change de signe.

#### Tenseurs duaux complètement antisymétriques

Si dans un espace à $N$ dimensions, $A$ est un tenseur à $M$ indices, avec $0<=M<=N$, alors le dual $*A$ est un tenseur à $N-M$ indices, lui-aussi complètement antisymétrique, et l'on a
    $**A=A$
On va le démontrer en dimension 3. La généralisation est facile.

##### dimension 3

Le dual d'un vecteur $b^{k}$ est un tenseur antisymétrique à deux indices $\left[*b\right]_{ij}=*_{ijk}b^{k}$. Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique $a^{ij}$ est un vecteur $\left[*a\right]^{i}={\frac {1}{2}}\times *^{ijk}a_{jk}.$. Tous deux ont 3 composantes indépendantes.
Le dual d'un scalaire $f$ est un tenseur complètement antisymétrique à trois indices $\left[*f\right]^{ijk}=*^{ijk}f$. Réciproquement, le dual d'un tenseur complètement antisymétrique à trois indices $a^{ijk}$ est un scalaire $\left[*a\right]={\frac {1}{6}}*_{ijk}a^{ijk}$. Le tenseur complètement antisymétrique à trois indices dans un espace de dimension 3 n'a qu'une composante indépendante. On l'appelle aussi pseudo-scalaire.
Le dual du dual d'un tenseur complètement antisymétrique à 0, 1, 2 ou 3 indices est le tenseur lui-même. Autrement dit, le dual du dual est l'opérateur identité pour les scalaires, les vecteurs $a^{i}$, les tenseurs antisymétriques à deux indices $a^{ij}=-a^{ji}$ et les tenseurs complètements antisymétriques à trois indices $a^{ijk}=-a^{ikj}=-a^{kji}=-a^{jik}$.
En effet, pour un scalaire on a$\left[**f\right]={\frac {1}{6}}*_{ijk}\left[*f\right]^{ijk}={\frac {1}{6}}*^{ijk}*_{jkl}f=f$ ; pour un vecteur on a $\left[**b\right]^{i}={\frac {1}{2}}*^{ijk}\left[*b\right]_{jk}={\frac {1}{2}}*^{ijk}*_{jkl}b^{l}=\delta _{l}^{i}b^{l}=b^{i}$ ; pour un tenseur antisymétrique à deux indices on a $\left[**a\right]^{ij}={\frac {1}{2}}*^{ijk}\left[*a\right]_{k}={\frac {1}{2}}*^{ijk}*_{klm}a^{lm}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{lm}^{ij}-\delta _{ml}^{ij}\right)a^{lm}=a^{ij}$ ; pour un tenseur complètement antisymétrique à trois indices on a $\left[**a\right]^{ijk}=*^{ijk}\left[*a\right]=*^{ijk}{\frac {1}{6}}*_{lmn}a^{lmn}={\frac {1}{6}}\left(\delta _{lmn}^{ijk}+\delta _{mnl}^{ijk}+\delta _{nlm}^{ijk}-\delta _{nml}^{ijk}-\delta _{mln}^{ijk}-\delta _{lnm}^{ijk}\right)a^{lmn}=a^{ijk}$

##### dimension 4

Le dual d'un scalaire $a$ est le tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire $\left[*a\right]^{ijkl}=*^{ijkl}a$
Le dual d'un vecteur $a_{l}$ est le tenseur complètement antisymétrique $\left[*a\right]^{ijk}=*^{ijkl}a_{l}$. Tous deux ont 4 composantes indépendantes.
Le dual d'un tenseur antisymétrique $a_{kl}$ est le tenseur antisymétrique $\left[*a\right]^{ij}=*^{ijkl}a_{kl}$. Tous deux ont 6 composantes indépendantes.
Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique $a_{jkl}$ est le vecteur $\left[*a\right]^{i}=*^{ijkl}a_{jkl}$
Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire $a_{ijkl}$ est le scalaire $\left[*a\right]=*^{ijkl}a_{ijkl}$
De la même manière qu'en dimension 3, il est facile de démontrer que l'opérateur dual du dual est l'opérateur unité pour les scalaires, les vecteurs, les tenseurs antisymétriques à deux indices et les tenseurs complètement antisymétriques à trois ou quatre indices.

### Produit vectoriel

Soient $a^{j}$ et $b^{k}$ deux vecteurs dans un espace de dimension N. Le produit vectoriel de ces vecteurs est le tenseur défini par
$\left(\mathrm {a} \times \mathrm {b} \right)_{i_{1}i_{2}\ldots i_{N-2}}=*_{i_{1}i_{2}\ldots i_{N-2}jk}a^{j}b^{k}$
* en dimension 2, le produit vectoriel est le scalaire défini par $\mathrm {a} \times \mathrm {b} =*_{jk}a^{j}b^{k}$
* En dimension 3, le produit vectoriel est le vecteur défini par $\left(\mathrm {a} \times \mathrm {b} \right)_{i}=*_{ijk}a^{j}b^{k}$, ou, en composantes contravariantes $\left(\mathrm {a} \times \mathrm {b} \right)^{i}=g^{il}*_{ljk}a^{j}b^{k}$.

### Dérivée covariante
#### Dérivée partielle d'un vecteur

Soit un champ vectoriel $\mathbf {v}$ de coordonnées $\left[v_{a}\right]_{i}$ dans la base naturelle associée au système de coordonnées $\left[x_{a}\right]^{\square }$ et de coordonnées $\left[v_{b}\right]_{k}$ dans la base naturelle associée au système de coordonnées $\left[x_{b}\right]^{\square }$.
La dérivée partielle ou dérivée virgule
    $\left[v_{a}\right]_{i,j}=\left[\partial _{a}\right]_{j}\left[v_{a}\right]_{i}$
n'est pas un tenseur. En effet, lorsqu'on dérive la formule de changement de coordonnées
    $\left[v_{a}\right]_{i}(\left[x_{a}\right]^{\Box })=\sum _{k}{\left[\theta _{ba}\right]^{k}_{i}\left[v_{b}\right]_{k}\left(\left[\Theta _{ba}\right]^{\Box }(\left[x_{b}\right]^{\Box })\right)}$
on obtient
    $\left[v_{a}\right]_{i_{,}j}=\sum _{kl}{\left[\theta _{ba}\right]^{k}_{i}(\left[v_{b}\right]_{k_{,}l})\left[\theta _{ba}\right]^{l}_{j}}+\sum _{k}{(\left[\theta _{ba}\right]^{k}_{i_{,}j})\left[v_{b}\right]_{k}}$
formule de transformation d'un tenseur deux fois covariant, troublée par la présence d'un second terme, contenant le jacobien de la matrice de changement de base.

#### Symbole de Christoffel

Le symbole de Christoffel est défini à partir de la dérivée partielle des vecteurs de la base naturelle :
$\Gamma _{ij}^{k}=\left(\partial _{i}\mathbf {e} _{j}\right)\mathbf {e} ^{k}=\mathbf {e} _{j,i}\mathbf {e} ^{k}$
Étant donné la définition de la base naturelle, on peut écrire $\Gamma _{ij}^{k}=\left(\partial _{i}\partial _{j}\mathrm {l} \right)\mathbf {e} ^{k}$ pour mettre en évidence la symétrie du symbole de Christoffel par échange des indices bas :
$\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$
* Remarques
** Le symbole de Christoffel est aussi appelé connexion, avec un signe parfois différent.
** Ce symbole n'est pas un tenseur à cause du second terme de la formule de transformation. On définit néanmoins le symbole $\Gamma _{l|ij}=g_{lk}\Gamma _{ij}^{k}$
** Ce symbole permet de calculer le tenseur dérivée covariante d'un tenseur.
* Voir aussi
** Symbole de Christoffel en coordonnées cylindriques.
** Symbole de Christoffel en Coordonnées sphériques.

#### Symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique

Le symbole de Christoffel s'écrit en fonction de la dérivée partielle $g_{ij,k}={\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}$ du tenseur métrique:
$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}\right)$
Démonstration

#### Contraction du symbole de Christoffel

La contraction du symbole de Christoffel s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du tenseur métrique.
$\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2\det {g}}}\partial _{j}\left(\det g\right)={\frac {1}{\sqrt {\det {g}}}}\partial _{j}{\sqrt {\det {g}}}=\partial _{j}\left(\log {\sqrt {\det {g}}}\right)$
Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration
* Remarques
** Le symbole de Christoffel étant symétrique, le résultat ne dépend de l'indice de contraction : $\Gamma _{ij}^{i}=\Gamma _{ji}^{i}$
** Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs, par exemple dans la formule de la
divergence.

#### Transformation du symbole de Christoffel lors d'un changement de coordonnées

$\left[\Gamma _{a}\right]_{kl}^{i}=\left[\Gamma _{b}\right]_{np}^{m}{\frac {\partial \left[x_{a}\right]^{i}}{\partial \left[x_{b}\right]^{m}}}{\frac {\partial \left[x_{b}\right]^{n}}{\partial \left[x_{a}\right]^{k}}}{\frac {\partial \left[x_{b}\right]^{p}}{\partial \left[x_{a}\right]^{l}}}+{\frac {\partial ^{2}\left[x_{b}\right]^{m}}{\partial \left[x_{a}\right]^{k}\partial \left[x_{a}\right]^{l}}}{\frac {\partial \left[x_{a}\right]^{i}}{\partial \left[x_{b}\right]^{m}}}$

#### Pseudo-contraction de la dérivée partielle du tenseur métrique

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme : $g^{ij}g_{ij,k}=-g_{ij}g^{ij,k}$. Démonstration.
* Remarques
** Si $g_{ij,k}$ était un tenseur, on aurait le signe +.
** On a bien un tenseur en calculant la dérivée covariante $g_{ij;k}$ du tenseur métrique, mais ce tenseur est nul.

#### Dérivée covariante

La dérivée covariante, définie par
    $f_{;i}=f_{,i}$
    $a^{j}_{;i}=a^{j}_{,i}+\Gamma _{mi}^{j}a^{m}$
    $a_{k;i}=a_{k,i}-\Gamma _{ki}^{n}a_{n}$
    $a^{j}_{k;i}=a^{j}_{k,i}+\Gamma _{mi}^{j}a^{m}_{k}-\Gamma _{ki}^{n}a^{j}_{n}$
etc. est un tenseur. La présence des symboles de Christoffel permet d'anihiler le jacobien dans la formule de transformation de la dérivée virgule.

#### Nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Nullité de la dérivée covariante

#### Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :
$*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}_{;j}=0^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}_{j}$.
Démonstration.

### Système de coordonnées localement géodésique

Il est possible de construire un système de coordonnées qui annule les dérivées partielles du tenseur métrique, et donc le symbole de Christoffel en un point donné, sans modifier le tenseur métrique en ce point. Démonstration.
Il est possible de construire un système de coordonnées qui annule les dérivées partielles du tenseur métrique, et donc le symbole de Christoffel sur une ligne donnée.

### Opérateurs différentiels
#### Gradient

Si f est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre 0, et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante : $\left(\nabla f\right)_{i}=\partial _{i}f=f_{,i}=f_{;i}$, aussi appelée gradient de f. Ce vecteur est habituellement exprimé en composantes contravariantes
$\left(\nabla f\right)^{i}=g^{ij}f_{;j}$
Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple le gradient en coordonnées cylindriques et le gradient en coordonnées sphériques.
* Remarques
** Le gradient généralisé d'un tenseur quelconque peut être défini simplement comme sa dérivée covariante. Cette opération ajoute un indice au tenseur.

#### Divergence

La divergence d'un tenseur est le tenseur obtenu en contractant un des indices de la dérivée covariante avec l'indice de la dérivation.

#### Divergence d'un vecteur

Pour un champ vectoriel $\mathbf {v}$, on a
$\nabla \mathbf {v} =v^{i}_{;i}=v^{i}_{,i}+\Gamma _{ij}^{i}v^{j}$
Mettant a profit la formule de contraction $\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{j}{\sqrt {\det g}}$, on a
$\nabla \mathbf {v} ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {\det g}}\;v^{j}\right)$
Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement la divergence dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple la divergence en coordonnées cylindriques et la divergence en coordonnées sphériques.

#### Divergence d'un tenseur d'ordre 2

Suivant le même chemin que pour la divergence d'un champ de vecteurs, on écrit
$a^{ij}_{;j}=a^{ij}_{,j}+\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}+\Gamma _{lm}^{l}a^{im}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{k}\left({\sqrt {\det g}}\;a^{ik}\right)+\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}$

#### Divergence d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2

Dans le cas d'un tenseur antisymétrique, on a
$a^{ij}_{;j}=-a^{ji}_{;j}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{k}\left({\sqrt {\det g}}\;a^{ik}\right)$
En effet, le terme $\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}$ est nul puisque $\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}=-\Gamma _{lm}^{i}a^{ml}=-\Gamma _{ml}^{i}a^{ml}=-\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}$.

#### Remarques

* En écriture quadridimensionnelle, les équations de Maxwell mettent en jeu la divergence du tenseur de champ électromagnétique et de son dual, qui sont des tenseurs antisymétriques d'ordre 2.

#### Laplacien

Le laplacien est la divergence du gradient, la divergence étant prise sur l'indice tensoriel créé par le gradient.
Cette définition est valable pour un scalaire ou un tenseur quelconque $a$. La laplacien $\nabla ^{2}a=a_{;i}^{;i}=g^{ij}a_{;i;j}$ a le même nombre d'indices que $a$.
* Pour un champ scalaire
$\nabla ^{2}a={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {\det g}}\;g^{ij}\partial _{j}a\right)$
* Pour un champ vectoriel
...À RÉDIGER...
Ces formules permettent, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le laplacien dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple le laplacien en coordonnées cylindriques et le laplacien en coordonnées sphériques.

#### Tenseur rotationnel

Étant donné un champ de vecteurs covariants $a_{i}$ dans un espace de dimension quelconque, la dérivée covariante $D_{j}a_{i}=a_{i;j}=a_{i,j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k}$ est un tenseur. Le tenseur rotationnel, défini comme $\left[\mathrm {rot} \;a\right]_{ij}=a_{i;j}-a_{j;i}$ est par construction un tenseur antisymétrique.

#### Expression à partir de la dérivée simple

La symétrie $\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$ du symbole de Christoffel permet d'écrire le tenseur rotationnel à partir de la dérivée simple : $\left[\mathrm {rot} \;a\right]_{ij}=a_{i,j}-a_{j,i}$.

#### Rotationnel en dimension 3

En dimension 3, le tenseur dualiseur permet de construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2. Le rotationnel d'un champ de vecteurs $\mathbf {a}$tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel : $\left[\mathrm {rot} \;\mathbf {a} \right]^{\alpha }={\frac {1}{2}}*^{\alpha \lambda \mu }\left[\mathrm {rot} \;a\right]_{\lambda \mu }$.
Partant d'un champ de vecteurs en coordonnées contravariantes $a^{\nu }$, mettant à profit l'antisymétrie du tenseur dualiseur, la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique $\gamma _{\mu \nu }$ ainsi que sa symétrie, on trouve $\left[\mathrm {rot} \;\mathbf {a} \right]^{\alpha }=*^{\alpha \lambda \mu }\gamma _{\mu \nu }a^{\nu }_{;\lambda }$.

### Tenseur de courbure

La dérivée covariante seconde d'un champ scalaire f est un tenseur d'ordre 2
$f_{;i;j}=f_{,i,j}-\Gamma _{ij}^{k}f_{;k}$
Elle est symétrique parce que le symbole de Christoffel $\Gamma _{ij}^{k}$ est invariant par échange des indices bas (espace sans torsion).
En revanche pour un champ de vecteurs $a_{j}$, les dérivations covariantes ne commutent pas. Le tenseur de courbure de Riemann $R_{i}^{j}_{kl}$ permet de calculer leur différence
$a_{i;k;l}-a_{i;l;k}=R_{i}^{j}_{kl}a_{j}$

#### Expression I

$R_{i}^{j}_{kl}=-\Gamma _{ik,l}^{j}+\Gamma _{il,k}^{j}+\Gamma _{il}^{m}\Gamma _{mk}^{j}-\Gamma _{ik}^{m}\Gamma _{ml}^{j}$
Démonstration

#### Expression II

$R_{ijkl}=g^{pq}\left(\Gamma _{p|ik}\Gamma _{q|jl}-\Gamma _{p|il}\Gamma _{q|jk}\right)+{\frac {1}{2}}\left(g_{ik,j,l}+g_{jl,i,k}-g_{il,j,k}-g_{jk,i,l}\right)$
avec
$\Gamma _{p|ik}=g_{pq}\Gamma _{ik}^{q}={\frac {1}{2}}\left(g_{ip,k}+g_{kp,i}-g_{ik,p}\right)$

#### Propriétés

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Propriétés

#### Symétries

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Symétries

#### Relation cyclique

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Relation cyclique

#### Identité de Bianchi

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Identité de Bianchi
En contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire, on obtient le tenseur de Ricci, clé des équations d'Einstein.

### Tenseur de Ricci

Le tenseur de Ricci est obtenu en contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire :
$R_{ik}=R_{i}^{m}_{km}=g^{jl}R_{ijkl}$
Grâce à la symétrie par paires du tenseur de courbure, le tenseur de Ricci est symétrique.
Le tenseur de Ricci complètement contracté est un scalaire :
$R=g^{ij}R_{ij}$
La divergence du tenseur d'Einstein $R^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}R$ est nulle :
$\left[R^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}R\right]_{;j}=0$
Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.
C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.