# Électricité et magnétisme/E = m c²

La lumière exerce une pression sur les surfaces qui la réfléchissent ou qui l'absorbent. On peut calculer cette pression de radiation avec les équations de Maxwell (1865) parce qu'elle est une force magnétique exercée par l'onde incidente sur les charges électriques qu'elle met en mouvement. Lebedev a observé et mesuré cette pression de la lumière, en 1900.
La pression exercée par la lumière montre qu'elle a une masse. On peut calculer la masse de la lumière avec les équations de Maxwell. On trouve $m={\frac {E}{c^{2}}}$ où $E$ est son énergie.
On croit souvent que $E=mc^{2}$ est une loi de la théorie de la relativité (1905) mais c'est faux. Ce chapitre donne une preuve de $E=mc^{2}$ pour la lumière à partir des équations de Maxwell et de la physique newtonienne.
La théorie de la relativité montre que toute énergie a une masse, même l'énergie cinétique des masses en mouvement, pas seulement la lumière. La masse de l'énergie cinétique n'est pas prise en compte dans les équations de Newton.

## La masse de la lumière

La lumière a une masse.
Preuve : soient deux photons de même énergie qui rebondissent horizontalement entre deux miroirs dans une boite immobile. À chaque rebond un photon exerce une pression sur le miroir. C'est la pression de radiation, qu'on peut calculer à partir des équations de Maxwell. Si on met la boite en mouvement en exerçant une force $F$, l'accélération de la boite est $a={\frac {F}{m}}$, selon la physique newtonienne. La vitesse de la boite modifie la pression que les photons exercent sur ses parois. Si la vitesse de la boite est de la gauche vers la droite, un photon qui va de la droite vers la gauche exerce une pression plus forte vers la gauche que la pression exercée vers la droite par un photon de même énergie qui va vers la droite. Lorsque la boite est accélérée, elle perd une partie de son impulsion qu'elle cède aux photons qui rebondissent sur ses parois. Elle est ainsi freinée, transitoirement, par les photons qu'elle contient. Une boite pleine de photons est donc moins accélérée que la même boite vide soumise à la même force. Donc une boite pleine de photons a une masse plus grande que la même boite vide. Donc les photons ont une masse.
Si on remplissait une boite avec 1 kg de photons, on lui donnerait une énergie à peu près égale à celle libérée par une bombe nucléaire. Lorsqu'une bombe nucléaire explose une partie appréciable de sa masse initiale est transformée en lumière, tout particulièrement en rayons X.
La vitesse $c$ de la lumière est presque égale à $300$ $000$ $km/s=3.10^{8}$ $m/s$. Donc $c^{2}=(3.10^{8})^{2}m^{2}/s^{2}$ est presque égal à $10^{17}m^{2}/s^{2}$. $10$ $MJ=10^{7}$ $J$ est à peu près l'énergie apportée par le pain quotidien. C'est un ordre de grandeur de physicien, pas la recommandation d'un médecin nutritionniste. Pour un physicien, un est presque égal à deux, pas pour un médecin. L'énergie libérée par une bombe nucléaire, environ $1$ $kg.10^{17}m^{2}/s^{2}=10^{17}J$ est donc à peu près égale à l'énergie consommée dans leur nourriture par tous les êtres humains pendant une journée. Ce calcul est fait pour les bombes à uranium. Les bombes à hydrogène sont beaucoup plus puissantes.
On dit parfois que les photons ont une masse nulle, mais c'est faux, parce que leur énergie est une masse. On dit aussi que leur masse au repos est nulle, mais c'est aussi faux, parce qu'il n'y a pas de référentiel où ils sont au repos, donc leur masse au repos n'est pas définie. Dans l'équation $E^{2}=m_{0}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$, $m_{0}=0$ pour les photons parce que $E=pc$ mais $m_{0}$ n'a aucune signification physique.
Il n'y a pas de particule de masse nulle, ni au repos, ni en mouvement. Tout ce qui existe dans l'Univers a toujours une masse. Les particules qu'on dit de masse nulle comme les photons ne sont pas des particules sans masse, mais des particules sans repos. Il n'y a jamais d'observateur pour lequel elles sont immobiles.
On dit parfois du boson de Higgs qu'il donne leur masse à des particules qui sans lui seraient sans masse. Mais c'est faux. Il donne le repos à des particules qui sans lui ne trouveraient jamais le repos.

## La masse au repos

Les masses de toutes les particules, qu'elles soient sans repos ou avec repos, dépendent toujours du référentiel où elle sont mesurées. Mais les particules avec repos ont des référentiels privilégiés, ceux où elles sont au repos. Dans ces référentiels, elles ont ont toujours la même masse au repos $m_{0}$. C'est une constante propre à la particule, qu'elle conserve pendant toute la durée de son existence. Elle est la même pour tous les observateurs, pourvu qu'ils la mesurent avec la formule
$m=\gamma m_{0}$
où $m$ est la masse mesurée, $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$, $v$ est la vitesse de la particule et $c$ celle de la lumière. ${\frac {1}{\gamma }}$ est le coefficient de contraction des longueurs dans le sens de leur mouvement.
Les particules sans repos n'ont pas de masse au repos parce qu'elles n'ont pas de référentiel où elles sont au repos.

## Tout ce qui existe a une impulsion

Tout ce qui existe dans l'Univers a toujours une impulsion.
Preuve : ce qui existe physiquement agit toujours sur d'autres êtres qui existent physiquement. Un être qui n'agirait jamais sur d'autres êtres physiques ne ferait jamais aucun effet et ne pourrait jamais être observé. Il n'aurait pas d'existence physique. Quand un être agit sur un autre, il modifie son mouvement, donc son impulsion $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ pour un corps de masse $m$ et de vitesse $\mathbf {v}$. Or l'impulsion totale est toujours conservée. Si un corps augmente l'impulsion d'un autre, il perd de l'impulsion. Si un corps diminue l'impulsion d'un autre, il gagne de l'impulsion. Donc un corps sans impulsion ne peut pas agir sur un autre et ne peut pas exister physiquement.
On appelle aussi l'impulsion la quantité de mouvement.
L'impulsion d'un photon et de toute particule sans repos peut être calculée avec la formule $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ comme pour toutes les autres particules :
$\mathbf {p} =m\mathbf {c}$
où $m$ est la masse de la particule et $\mathbf {c}$ son vecteur vitesse. La grandeur $c$ du vecteur vitesse $\mathbf {c}$ est la même pour toutes les particules sans repos, dans tous les référentiels. C'est la vitesse de la lumière.
Puisque tout ce qui existe a une impulsion, tout ce qui existe a une masse.

## E = pc

Si on admet les équations fondamentales du photon, données par Einstein (1905) parmi les premières de la physique quantique :
$E=h\nu$
$p={\frac {h}{\lambda }}$
où $h$ est la constante de Planck,
on obtient immédiatement
$E=pc$
parce que
$c=\lambda \nu$
où $\lambda$ est la longueur d'onde du photon et $\nu$ sa fréquence.
On peut aussi prouver $E=pc$ directement à partir des équations de Maxwell, sans passer par la physique quantique, en calculant l'énergie et l'impulsion du champ électromagnétique. Ce calcul est donné à la fin de ce chapitre à partir du vecteur de Poynting d'une onde électromagnétique.
Einstein n'aurait pas énoncé ses équations fondamentales s'il n'avait pas d'abord compris Maxwell.

## E = mc²

Si on admet que l'impulsion d'un photon est $p=mc$ où $m$ est sa masse, on obtient immédiatement à partir de $E=pc$ que
$E=mc^{2}$
est l'énergie d'un photon de masse $m$.
Le calcul de la masse d'un photon piégé dans une boite montre qu'effectivement
$m={\frac {p}{c}}$
est la masse d'un photon d'impulsion $p$.

## L'effet Doppler

Pour comprendre le calcul de la masse de la lumière, il faut connaitre l'effet Doppler.
On peut savoir si la police s'approche ou s'éloigne en écoutant leur sirène. Elle est plus aigüe quand ils s’approchent que quand ils s'éloignent. C'est l'effet Doppler pour les ondes sonores.
Soit une mitraillette qui tire $f$ balles par seconde projetées à la vitesse $V$. $f$ est la fréquence de tir. Soit une cible en papier qui se déplace à la vitesse $v$ par rapport à la mitraillette. La fréquence $f'$ des impacts des balles sur la cible n'est pas la même que la fréquence $f$ de tir, parce que les balles mettent de moins en moins de temps pour atteindre leur cible, si $v$ est dirigé vers la mitraillette, et de plus en plus de temps, si $v$ est dirigé en sens opposé. C'est l'effet Doppler pour une mitraillette.
$f'=f(1-{\frac {v}{V}})$
Preuve : pendant une durée $T$, la cible parcourt une distance $|v|T$, où $|v|$ est la valeur absolue de $v$. Les balles sont espacées d'une distance $L={\frac {|V|}{f}}$. Il y a donc ${\frac {|v|T}{L}}=|{\frac {v}{V}}|fT$ balles sur la distance $|v|T$. Pendant la durée $T$, la mitraillette a tiré $fT$ balles. Si la cible est dirigée vers les balles, ${\frac {v}{V}}<0$, et elle rencontre $fT+|{\frac {v}{V}}|fT=f(1-{\frac {v}{V}})T=f'T$ balles. Si la cible s'éloigne des balles, ${\frac {v}{V}}>0$, et elle rencontre $fT-|{\frac {v}{V}}|fT=f(1-{\frac {v}{V}})T=f'T$ balles.
$f'=f(1-{\frac {v}{V}})$ est la formule de l'effet Doppler non-relativiste. Sa preuve présuppose le théorème d'addition des vitesses de la physique newtonienne. Un calcul relativiste est plus exact, mais donne presque le même résultat, même si $V=c$, pourvu que $v$ soit beaucoup plus petit que $c$.
Si la fréquence de la lumière diminue, sa couleur est décalée vers le rouge. Si la fréquence augmente, la couleur est décalée vers le bleu. L'effet Doppler pour la lumière change sa couleur :
Plus les galaxies sont éloignées de nous, plus leur lumière est décalée vers le rouge, donc plus vite elles s'éloignent de nous. L'observation par Hubble de ce décalage vers le rouge est donc une preuve de l'expansion de l'Univers.

## La pression de radiation

La lumière exerce une pression sur les surfaces qui l'absorbent ou qui la réfléchissent. C'est facile à comprendre si on tient compte de sa masse, parce qu'elle se comporte comme une balle qu'on attrape, si elle est absorbée, ou qui rebondit, si elle est réfléchie.
Soit une balle de masse $m$ et de vitesse $v$ qui rebondit sur une paroi qui reste immobile. On suppose que la vitesse est perpendiculaire à la paroi. Si la balle est parfaitement rebondissante, sa vitesse après le rebond est exactement égale et opposée à sa vitesse avant le rebond. La variation de son impulsion est
$p_{1}-p_{2}=mv_{1}-mv_{2}=mv+mv=2mv$
La variation d'impulsion $dp$ pendant un temps $dt$ est $Fdt$ où $F$ est la force exercée sur la balle :
$F={\frac {dp}{dt}}$
donc
$p_{2}-p_{1}=\int dp=\int Fdt$
La force $F$ exercée par la paroi sur la particule est l'opposée de la force $-F$ exercée par la particule sur la paroi. Donc
$p_{1}-p_{2}=2mv=\int -Fdt$
est l'intégrale de la force exercée par la balle sur la paroi. Cette intégrale est proportionnelle à l'intégrale de la pression exercée par la balle sur la paroi. La pression exercée par la balle sur la paroi est donc proportionnelle au produit de sa masse et de sa vitesse.
L'effet de la pression exercée par la balle ne dépend que de son impulsion. Si on fait varier sa masse et sa vitesse sans faire varier leur produit, l'intégrale de la pression est la même. Un photon d'impulsion $p$ a le même effet qu'une balle de vitesse $v$ et de masse $m={\frac {p}{v}}$. Cela suggère d'attribuer aux photons une masse $m={\frac {p}{c}}$ telle que
$p=mc$
Si on s'avance vers une balle, on subit de sa part quand on la reçoit, ou quand elle rebondit, une pression plus importante que si on est immobile. De la même façon, la pression exercée par la lumière sur une surface dépend de la vitesse de la surface qui reçoit cette pression.
La pression de radiation sur un miroir dépend de la vitesse du miroir de la même façon que la pression exercée par une masse rebondissante sur une paroi en mouvement.
Preuve :
Soit R un référentiel où la paroi est immobile et R' un référentiel qui va à la vitesse $-V$ par rapport à R. Dans R', la vitesse de la paroi est $V$ et celle de la balle est $u=v+V$ avant le rebond et à la vitesse $-v+V$ après le rebond.
Sa variation d'impulsion est donc toujours
$p1-p2=m(v-V-(-v-V)=2mv=2m(u-V)$
Pour une même vitesse $u$ de la balle rebondissante, la pression exercée sur la paroi croît comme $u-V=u(1-{\frac {V}{u}})$.
La pression exercée par un photon dépend de son impulsion $p$ de la même façon qu'une balle rebondissante. Selon, les équations fondamentales du photon
$p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {h\nu }{c}}$
Selon la formule de l'effet Doppler, si $\nu _{0}$ est la fréquence d'un photon, $\nu _{0}(1-{\frac {V}{c}})$ est sa fréquence dans un référentiel d'un miroir qui le rencontre à la vitesse $V$
$p={\frac {h\nu _{0}(1-{\frac {V}{c}})}{c}}$
Si l'impulsion du photon est fixée à $p={\frac {h\nu _{0}}{c}}$ la pression qu'il exerce sur une paroi qui le rencontre à la vitesse $V$ varie comme $1-{\frac {V}{c}}$ de la même façon que la pression exercée par une balle rebondissante de vitesse $u$ varie comme $1-{\frac {V}{u}}$.
Cette preuve est donnée avec les équations de la physique newtonienne et la formule de l'effet Doppler non-relativiste. Le calcul relativiste est plus exact et conduit au même théorème.

## Calcul de la masse d'un photon piégé dans une boite

On exerce une force $F$ horizontale, de la gauche vers la droite, pendant un courte durée $\Delta t$, sur une boite initialement immobile qui contient deux photons, initialement de même énergie $E$, qui rebondissent horizontalement sur ses parois.
On suppose que la force est exercée à l'instant $t=0$ où les deux photons se croisent au milieu de la boite, loin des parois, et que la durée $\Delta t$ est suffisamment courte pour que les photons n'aient pas le temps d'atteindre les miroirs pendant $\Delta t$. Pendant qu'elle est exercée, la force $F$ met donc en mouvement la boite comme si elle était vide, puisque les photons sont loin des parois.
Soit $m$ la masse de la boite vide. Sa vitesse juste après l'application de la force $F$ est
$v(\Delta t)=\int _{0}^{\Delta t}dv=\int _{0}^{\Delta t}adt=\int _{0}^{\Delta t}{\frac {F}{m}}dt$
où $a={\frac {dv}{dt}}$ est l'accélération de la boite.
Lorsque les photons rebondissent sur les miroirs, ils freinent la boite, parce que l'effet Doppler joue en sens opposé pour chacun d'eux. Le photon qui va de droite à gauche exerce une pression plus forte que le photon qui va de gauche à droite.
Les lois de la conservation de l'énergie et de l'impulsion permettent de calculer la vitesse de la boite $v(\infty )$ lorsqu'elle n'est plus freinée par les photons qu'elle contient.
Soient $E_{b}(t)$, l'énergie cinétique de la boite vide, et $p_{b}(t)$ son impulsion. Soient $E_{l}(t)$, l'énergie totale des deux photons, et $p_{l}(t)$ leur impulsion totale.
$E_{b}(0)=0$, $p_{b}(0)=0$
$E_{l}(0)=2E$, $p_{l}(0)=0$
$E_{b}(\Delta t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(\Delta t)$, $p_{b}(\Delta t)=mv(\Delta t)$
$E_{l}(\Delta t)=2E$, $p_{l}(\Delta t)=0$
La conservation de l'énergie impose
$E_{b}(\infty )+E_{l}(\infty )=E_{b}(\Delta t)+E_{l}(\Delta t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(\Delta t)+2E$
La conservation de l'impulsion impose
$p_{b}(\infty )+p_{l}(\infty )=p_{b}(\Delta t)+p_{l}(\Delta t)=mv(\Delta t)$
Soit $p'_{0}$ l'impulsion d'un photon dans la boite dans un référentiel R' où elle est au repos quand le freinage est terminé. L'impulsion de ce photon dans le référentiel R où la boite est en mouvement est
$p_{0}=p'_{0}(1+{\frac {v(\infty )}{c}})$ ou $p_{0}=-p'_{0}(1-{\frac {v(\infty )}{c}})$
selon que le photon va de droite à gauche ou de gauche à droite.
Donc
$p_{l}(\infty )=2p'_{0}{\frac {v(\infty )}{c}}$
Or
$p_{b}(\infty )=mv(\infty )$
Donc
$mv(\infty )+2p'_{0}{\frac {v(\infty )}{c}}=mv(\Delta t)$
Soit $m'$ la masse de la boite avec ses deux photons.
$v(\infty )=\int _{0}^{\Delta t}{\frac {F}{m'}}dt={\frac {m}{m'}}\int _{0}^{\Delta t}{\frac {F}{m}}dt={\frac {m}{m'}}v(\Delta t)$
$m'-m$ est la masse des deux photons dans la boite.
$m'-m=m({\frac {v(\Delta t)}{v(\infty )}}-1)={\frac {mv(\Delta t)-mv(\infty )}{v(\infty )}}=2{\frac {p'_{0}}{c}}$
Or $E=pc$ donc
$m'-m={\frac {2E'}{c^{2}}}$
où $E'$ est l'énergie d'un photon dans R', après avoir freiné la boite.
Si $v(\infty )$ tend vers zéro, $E'$ tend vers $E$. La masse $m_{p}$ d'un photon est donc
$m_{p}={\frac {E}{c^{2}}}$
où $E$ est son énergie.
Lorsque $v(\infty )$ n'est pas infinitésimale, ce calcul non-relativiste donne un résultat faux et absurde : la masse initiale des photons dépend de la force appliquée sur la boite. Mais ce calcule ignore la masse de l'énergie cinétique de la boite. C'est pourquoi il faut prendre la limite où cette énergie cinétique tend vers zéro, pour obtenir le bon résultat.

## L'impulsion du champ électromagnétique

Quand un champ électromagnétique exerce la force de Lorentz sur une charge, il fait varier son impulsion. La conservation de l'impulsion totale impose que l'impulsion du champ varie en même temps et en sens opposé que l'impulsion de la particule. On peut ainsi calculer, à partir des équations de Maxwell, que la densité d'impulsion du champ est obtenue à partir du vecteur de Poynting :
$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$
$\mathbf {E}$ est le champ électrique, $\mathbf {B}$ le champ magnétique et $\mu _{0}$ une constante qui dépend du choix des unités. $\mu _{0}={\frac {1}{\epsilon _{0}c^{2}}}$
La densité d'impulsion ${\frac {\mathbf {p} }{v}}$ d'un champ électromagnétique $\mathbf {E}$, $\mathbf {B}$ est
${\frac {\mathbf {p} }{v}}={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {S} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$
Pour une onde électromagnétique, $B={\frac {E}{c}}$ et $\mathbf {B}$ est perpendiculaire à $\mathbf {E}$, donc
${\frac {\mathbf {p} }{v}}={\frac {1}{c}}\epsilon _{0}E^{2}$
A partir des équations de Maxwell, de Lorentz et de la conservation de l'énergie, on peut calculer que la densité d'énergie du champ électromagnétique est
$u={\frac {1}{2}}(\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2})$
Pour une onde électromagnétique :
$u={\frac {1}{2}}(\epsilon _{0}+{\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}})E^{2}=\epsilon _{0}E^{2}$
Donc
$u={\frac {pc}{v}}$
où $p$ est la grandeur de l'impulsion $\mathbf {p}$ du champ dans le volume $v$.
Si maintenant $E$ est l'énergie du champ dans le même volume :
$E=vu=pc$
L'intensité du champ électrique rayonné par un dipôle est représentée par la couleur. Les flèches représentent le vecteur de Poynting.

## Voir aussi

Physique et mathématiques visuelles : Relativité
Gravitation