# Pont de Wheatstone

Il faudrait la ranger dans un wikilivre où elle aurait sa place.
Cet article est relié au Wikilivre : électrocinétique. Comme il y est dit, il complémente l'exercice "problème du pont de Wheatstone".
Le montage en pont de WHEATSTONE était classique pour mesurer avec précision une résistance inconnue X avec un rhéostat de qualité R et un diviseur de tension usuel (R1:R2) de qualité : quand le pont était équilibré ( indication du galvanomètre inséré dans "le pont" égale à zéro ) , le résultat était : X/R = R1/R2 : d'où X.
Inventé en 1843 par Charles Wheatstone (1802-1875)(http://chem.ch.huji.ac.il/history/wheatstone.html, il servira de "pont aux ânes", pour un siècle au moins, pour des générations d'étudiants.
Son principe est cependant assez simple : il est basé sur un pont entre deux potentiomètres

# Rappel sur le potentiomètre

Un diviseur de tension consiste à prendre sur une résistance R , d'extrémités AB auxquelles ont été branchées un générateur de tension E, un point C et prendre la tension entre C et B : si la résistance est R2 , la résistance entre A et C est R1= R-R2 , et la tension U = V(C)-V(B) = R2/(R1+R2) [ V(A)-V(B)]
Si la résistance interne (nommée R5) du générateur est négligeable, alors le dipôle vu entre C et B vaut , d'après le théorème de Thévenin : E * R2/(R1+R2) de résistance interne R1//R2 == R1R2/(R1+R2)

# Pont entre deux potentiomètres

Opposons deux potentiomètres : ACB et A'DB' : on joindra B et B' qu'on prendra comme convention pour "masse"[ V(B)==0] Un voltmètre mesure aisément la ddp V(C)-V(D) = E R2/(R1+R2) - E' R4/(R3+R4).
L'astuce de Wheatstone consiste à remarquer qu'on peut utiliser la MÊME source de tension pour économiser l'investissement : il suffit de joindre A et A' et ne placer que LA source de tension (E,de résistance interne,R5, souvent négligeable) . Le voltmètre sera déclaré comme la résistance R6 de ce tétraèdre ABCD .
Clairement, le pont est équilibré si les deux potentiomètres ont même rapport , soit si
R1/R2 = R3/R4

# Les deux alternatives

Montage 1 : Soit une résistance X à mesurer :plaçons là en position de R3 . Alors on place un rhéostat R de valeur ~R3 en place de R4 et R1~R2 ,et on ajuste jusqu'à l'équilibre ;
Montage 2 : Ou bien R est en place de R1 et R2~R4 : cette disposition est préférable si l'on veut équilibrer les courants dans les deux branches ACB et ADB ( à l'équilibre pas de courant dans le galva, R6); mais X peut chauffer, or X(T) dépend souvent de la température T.
La première alternative convient, SI (et seulement si ) R1et R2 sont de petites résistances qui chauffent en restant dans le même rapport , alors il est "parfois" plus intéressant de ne pas faire passer beaucoup de courant dans X union R ==R4 : l'expérimentation l'indique. De toute façon, on essaie de ne faire passer le courant que le minimum de temps, via une clé-interrupteur du générateur E .

# Pratique

Montage 1 : Régler le Galva en position Voltmètre sensibilité faible ( R6 grand) , et R1 = R2 = 1kOhm : Quand en faisant varier R , on fait basculer le voltmètre, on re-règle au quasi-équilibre. On apprécie vite la valeur de X , et alors ON RÉFLÉCHIT aux problèmes de température , d'environnement , de contacts précis , etc. : en effet , après cette mesure PRÉALABLE, va démarrer la mesure vraie, où l'on va progressivement accroître la sensibilité du voltmètre jusqu'à la position ampèremètre, puis galvanomètre.

# Exemples

Un étudiant mesure la résistance d'une ampoule et trouve 8 ohms et 17 ohms : oui! la résistance a pu chauffer subrepticement. Réciproquement, on peut mesurer la diminution d'une thermistance avec T aisément [en la thermostatant!]. Dans le cas de mesure de jauge de contrainte, l'idéal est d'utiliser deux jauges identiques sur deux matériaux identiques, l'un témoin et l'autre sous contrainte : on élimine ainsi beaucoup d'erreurs d'environnement.

# méthode de substitution

Quand on possède une autre résistance étalon R' réglable de valeur ~X , alors le mieux est la banale méthode de substitution : substituer R' à X et ajuster jusqu'à réobtenir l'équilibre. Descendre alors jusqu'à la sensibilité optimale.

# méthode de Gauss

montage2 : X/R2 = R/R4 : pont sensiblement équilibré ; échanger X et R et rééquilibrer : R'/R2 = X/R4 : d'où X² = R.R' , indépendant de R2 et R4 : cela peut être intéressant !

# méthode d'interpolation

peu usitée, car on préfère utiliser une "bonne boîte R étalon". On demande de trouver le courant i dans le galva , pour une petite variation de X . solution : rappelons la formule du pont de Wheatstone ( cf page : Wikibooks électrocinétique) :
$i=E\cdot {\frac {R_{1}R_{4}-R_{2}R_{3}}{S_{16}}}$, où S16 == les 16 triplets des six résistances ( C(6,3) = 20 ) sauf les 4 triplets_cutsets qui se rencontrent en chacun des 4 sommets_nœuds du tétraèdre.Il s'agit là d'une "transadmittance".
On se place en méthode 2 : On voit immédiatement que $i=E{\frac {RR_{4}-R_{2}X}{X(D8)+T8}}=E\cdot N/D$ avec D8 les Huit doublets de résistances qui interviennent dans S16 et T8 les 8 triplets qui ne contiennent pas X : il est immédiat de dériver cette fonction homographique : di/dX =E.( -R2/D -N.D8/D²) .
* Pour simplifier, donnons le résultat quand R5 = 0 ( ce qui élimine 8 termes ) : D = R6 ( R+R2)(X+R4) + 4termes [ XRR2 + XRR4 + XR2R4 + RR2R4 ] . Si R6 très grand ( cas en voltmètre) : alors, le résultat est trivial : ddp à vide /R6.
Le calcul se conduit de même en méthode 1 ; il apparaît que la méthode 1 a plus de sensibilité ; MAIS le courant est fort dans R1 et R2 ( attention aux températures!).Cf exercice 4.
Avec du matériel rudimentaire, on dispose seulement d'un "pont à un seul fil" et d'une seule bonne résistance réglable R , et un voltmètre rudimentaire ; c'est donc la méthode 1 qui sera utilisée, en essayant "au mieux" de bien graduer le "fil".

# Exercices

Exercice 1 : (oral CCP 2003)E= 10V , les potards sont (800 et 200) et (200 et 800) : quelle est la ddp entre C et D à vide ? que devient-elle si le voltmètre a une résistance de 10000 ohms ?
solution : à vide V(C) = 200/1000 *10 V et V(D) = 800/1000*10 V donc U = - 10V * 0.6 = -6 V .
Avec la résistance du Thévenin équivalent égale à (200//800) * 2 = 320 ohms , le courant dans le voltmètre n'est que de -6 / 10320 A et donc le voltmètre indique seulement - 6 . (1000O/10320) = -5,8 V
Exercice 2 : (X 1970 partiel): un pont R1uR2 et R3uR4 est équilibré et alimenté par un accu de ddp ajustable inconnue. On branche en parallèle sur R4 un dipôle (D)de caractéristique inconnue . Deux voltmètres parfaits mesurent V(D)-V(B) et V(C)-V(D). Montrer que cela permet de relever la caractéristique di dipôle (D) point par point.
solution : U = V(D)-V(B) bien sûr ; I = [V(C)-V(D)] . (1/R3 + 1/R4) (application du théorème de substitution + théorème de Norton )
Exercice 3 : Méthode de Mance : pour mesurer la résistance interne d'une pile (disons Eo, R4) , on l'insère dans la branche DB d'un pont de Wheatstone : montrer que si R4/R3 = R2/R1 , le courant I du galvanomètre ne dépend plus de le f.e.m E du générateur principal. Donc si en faisant varier E, I ne change pas , on obtient R4 !
solution : c'est simplement le théorème de superposition : I dû à E vaut zéro , donc il n'est dû qu'à Eo et donc indépendant de E !
Exercice 4 : Optimisation d'un pont de Wheatstone : la pile d'alimentation a une résistance R5 = ro ( ~1 ohm) ; le galva a une résistance R6 = r ( ~100 ohms) . On veut mesurer R3 = X d'environ 1O OOO ohms. L'idée est de choisir au mieux les résistances R1, R2 et R4 pour avoir une sensibilité maximum ; dans les calculs, on remplacera R4 par sa valeur X. (R2/R1).
Montrer que la ddp U aux bornes du galva est :
$U=E{\Delta X \over X}{\frac {XR_{1}R_{2}}{D}}$ avec $D=(ro(R_{1}+X)+X(R_{1}+R_{2}))\cdot (r(R_{1}+R_{2})+R_{2}(X+R_{1}))$
Il faut optimiser sur R1 et R2 ! Montrer que cela conduit à : R1^2 = roX(r+X)/(ro+X) et R2^2 = ro.r , et qu'alors la sensibilité est : $U=E{\Delta X \over X}/D^{2}$ avec $D=1+{\sqrt {}r_{o}/r)+{\sqrt {}1+r_{o}/X)(1+X/r)$
A.N. ?
solution : SCILAB est extraordinaire et donne cette solution, au demeurant peu intuitive ! Remarquons cependant que si X= sqrt (ro.r) alors toutes les résistances sont égales et c'est ce qui donne la meilleure sensibilité ; mais on n'a pas souvent le choix de r !!!
A.N. On trouve D = 11,1 et donc D^2 = 122 .En pratique, on mesure assez facilement X avec 3 ChS , plus difficilement avec 4 ChS ( problème de résistances de contact )