# Eurocode/1990/Vérifications des états-limites
## Résistance de calcul

La résistance R$_d$ peut être exprimée de la formule :
(1) $R_{d}={\frac {1}{\gamma _{R_{d}}}}R\left\{\eta _{i}{\frac {X_{d,i}}{\gamma _{m,i}}};a_{d}\right\}$
avec :
* γ$_{Rd}$ : coefficient partiel couvrant les incertitudes du modèle de résistance et éventuellement les écarts géométriques,
* η$_i$ : coefficient de conversion,
* X$_{d,i}$ : valeur de calcul de la propriété du matériau i,
* γ$_{m,i}$ : coefficient partiel couvrant les incertitudes des propriétés du matériau,
* a$_d$ : valeur de calcul d'une donnée géométrique.
En supposant γ$_M$ = γ$_{Rd}$*γ$_{m,i}$, la formule devient alors selon l'Eurocode 0.
(2) $R_{d}=R\left\{\eta _{i}{\frac {X_{d,i}}{\gamma _{M,i}}};a_{d}\right\}$
Il est à noter que γ$_{M,i}$ peut incorporer η. Il conviendra donc de vérifier si le coefficient partiel prend ou non en compte le coefficient de conversion au cas par cas. Lors de la simplification à l'aide du coefficient partiel γ$_{M,i}$, on remarque que seule la valeur de X$_{d,i}$ est affectée et non a$_d$.

## Vérification à l'ELU
### Principe

Dans le cas d'une vérification à l'ELU d'ÉQUilibre, les calculs consistent à vérifier que l'effet des actions déstabilisatrices (E$_{d,dst}$) est inférieur ou égal à l'effet des actions stabilisatrices (E$_{d,std}$). Les combinaisons d'actions sont regroupées dans l'ensemble A et définies par la formule 3.
Dans le cas d'une vérification à l'ELU STRucturel ou GÉOtechnique, la valeur de calcul de l'effet des actions (E$_d$) doit être inférieure ou égale à la valeur de calcul de la résistance (R$_d$). Les combinaisons d'actions sont regroupées dans l'ensemble B (formule 3 uniquement ou formule 4 et 5 ensemble) ou dans l'ensemble C (formule 3).
Les valeurs numériques des coefficients partiels pour chaque ensemble sont définies dans le paragraphe Valeurs numériques des actions.
Dans le cas d'une vérification des éléments structuraux géotechniques (fondations, …) à l'ELU STR et la résistance du terrain à l'ELU GEO, trois approches différentes peuvent être utilisées :
* Approche 1 : calcul des éléments structuraux et de la résistance du terrain en appliquant, dans un premier cas, les coefficients partiels de l'ensemble B aux actions et, dans un deuxième cas, les coefficients partiels de l'ensemble C aux actions. Les vérifications des éléments structuraux et de la résistance du terrain sont effectuées à chaque fois dans le cas le plus défavorable.
* Approche 2 : calcul et vérification des éléments structuraux et de la résistance du terrain en appliquant les coefficients partiels de l'ensemble B aux actions géotechniques et aux actions appliquées à la structure.
* Approche 3 : calcul et vérification des éléments structuraux et de la résistance du terrain en appliquant les coefficients partiels de l'ensemble B aux actions appliquées à la structure ou en provenance de celle-ci et en appliquant les coefficients partiels de l'ensemble C aux actions géotechniques.
$^{FR}$L'annexe nationale française recommande l'utilisation de l'approche 2 ou 3.

### Combinaisons d'actions

Les combinaisons d'actions permettent de regrouper dans un même cas de charge plusieurs actions différentes en supposant que chaque charge variable doit être, au moins une fois, une charge dominante et les autres des charges d'accompagnement.Il convient de considérer les actions permanentes provenant du poids propre de la structure comme une action unique. Ainsi, un seul coefficient γ$_{Gj}$ doit être appliqué même si, par exemple, dans le cas d'une poutre sur plusieurs appuis l'application des coefficients γ$_{Gj,sup}$ sur les travées paires et γ$_{Gj,inf}$ sur les travées impaires serait plus défavorable. Seulement lors de la vérification à l'ELU d'équilibre sans vérification de la résistance structurelle, il est autorisé et conseillé d'appliquer le coefficient γ$_{Gj,inf}$ lorsque la charge permanente est favorable et le coefficient γ$_{Gj,sup}$ lorsque la charge permanente est défavorable.
* Situation de projet durable ou transitoire
Pour les états-limites ultimes EQU, les combinaisons d'actions sont définies dans la formule 3 et pour les états-limites ultimes STR et GÉO, dans les combinaisons les plus défavorables entre les formules 4 et 5.
(3) $\sum _{j\geq 1}\left(\gamma _{G,j}G_{k,j}\right)+\gamma _{p}P+\gamma _{Q,1}Q_{k,1}+\sum _{i\geq 2}\left(\gamma _{Q,i}\psi _{0,i}Q_{k,i}\right)$
(4) $\sum _{j\geq 1}\left(\gamma _{G,j}G_{k,j}\right)+\gamma _{p}P+\gamma _{Q,1}\psi _{0,1}Q_{k,1}+\sum _{i\geq 2}\left(\gamma _{Q,i}\psi _{0,i}Q_{k,i}\right)$
(5) $\sum _{j\geq 1}\left(\xi _{j}\gamma _{G,j}G_{k,j}\right)+\gamma _{p}P+\gamma _{Q,1}Q_{k,1}+\sum _{i\geq 2}\left(\gamma _{Q,i}\psi _{0,i}Q_{k,i}\right)$
$^{FR}$L'annexe nationale française impose l'utilisation de la formule 3 pour les états limites STR et GÉO.
* Situation de projet accidentelle
(6) $\sum _{j\geq 1}\left(G_{k,j}\right)+P+A_{d}+\left(\psi _{1,1}{\text{ ou }}\psi _{2,1}\right)Q_{k,1}+\sum _{i\geq 2}\left(\psi _{2,i}Q_{k,i}\right)$
* Situation de projet sismique
(7) $\sum _{j\geq 1}\left(G_{k,j}\right)+P+A_{E_{d}}+\sum _{i\geq 1}\left(\psi _{2,i}Q_{k,i}\right)$

## Vérification à l'ELS
### Principe

Il convient de vérifier que la valeur de calcul des effets d'actions (E$_d$) est inférieure à la valeur limite de calcul du critère d'aptitude (C$_d$).
Dans un élément horizontal subissant donc une flèche verticale, la flèche totale peut-être décomposée en trois flèches. Une flèche à court terme (w$_1$) sous les charges permanentes moins la contre flèche initiale, une flèche additionnelle (w$_2$) représentant le passage du court à long terme et une flèche additionnelle (w$_3$) représentant la déformation sous les actions variables.
Les vibrations doivent également être minimisées afin d'assurer le confort des utilisateurs et d'éviter les défaillances de la structure par phénomène de résonance et la dégradation des éléments secondaires. Elles peuvent être créées par la circulation d'une personne ou d'une foule, par le vent, ou encore par les sollicitations de machines vibrantes. Une étude approfondie du phénomène doit être réalisée si les valeurs des fréquences sollicitantes sont inférieures ou proches de la première fréquence propre de la structure.
$^{FR}$Dans le cas d'une vérification au confort d'un élément de structure supportant le passage de piétons (escalier, salle de sport, tribune de stade, …), il convient de dimensionner la structure pour une fréquence propre supérieure à 5 Hz. La masse participante des charges d'exploitation à prendre en compte est de 20 %.

## Combinaisons d'actions

À l'état-limite de service, trois combinaisons doivent être vérifiées qui sont les combinaisons caractéristiques définies par la formule 8, les combinaisons fréquentes par la formule 9 et les combinaisons quasi-permanente par la formule 10 .
(8) $\sum _{j\geq 1}\left(G_{k,j}\right)+P+Q_{k,1}+\sum _{i\geq 2}\left(\psi _{0,i}Q_{k,i}\right)$(8)
(9) $\sum _{j\geq 1}\left(G_{k,j}\right)+P+\psi _{1,1}Q_{k,1}+\sum _{i\geq 2}\left(\psi _{2,i}Q_{k,i}\right)$(9)
(10) $\sum _{j\geq 1}\left(G_{k,j}\right)+P+\sum _{i\geq 1}\left(\psi _{2,i}Q_{k,i}\right)$(10)

## Application : détermination des combinaisons
### Présentation du problème

Afin de mettre en pratique les formules des combinaisons d'actions et de mieux comprendre le principe d'action dominante et d'action d'accompagnement, nous allons étudier une charpente métallique conformément au schéma 2.
Cette charpente sera soumise à son poids propre, à une charge d'exploitation (entretien) ainsi qu'aux charges climatiques (vent et neige). Nous supposerons que les charges d'exploitation ne sont pas compatibles avec les charges climatiques. Pour la génération des combinaisons à l'ELU EQU, nous supposerons que nous vérifions l'équilibre seul (formule 3 et tableau des coefficients partiels 5) et pour l'ELU STR, nous utiliserons l'approche 2 toujours en utilisant la formule 3. La charge d'exploitation étant indépendante des charges climatiques, nous étudierons dans une première partie le cas poids propre avec charge d'exploitation et dans une deuxième partie le cas poids propre avec charges climatiques.

### Poids propre avec charge d'exploitation

Exemple des combinaisons pour l'ELU EQU avec poids propre et charge d'exploitation :
| Combinaison | Poids propre favorable | Poids propre défavorable |
| G seul | 0,90 * G | 1,10 * G |
| G + Q | 0,90 * G + 1,50 * Q | 1,10 * G + 1,50 * Q |
Exemple des combinaisons pour l'ELU STR avec poids propre et charge d'exploitation :
| Combinaison | Poids propre favorable | Poids propre défavorable |
| G seul | 1,00 * G | 1,35 * G |
| G + Q | 1,00 * G + 1,50 * Q | 1,35 * G + 1,50 * Q |
Exemple des combinaisons pour l'ELS CAR avec poids propre et charge d'exploitation :
| Combinaison | Poids propre favorable |
| G seul | 1,00 * G |
| G + Q | 1,00 * G + 1,00 * Q |
Exemple des combinaisons pour l'ELS FREQ avec poids propre et charge d'exploitation :
| Combinaison | Poids propre favorable |
| G seul | 1,00 * G |
| G + Q | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_1$ * Q |
Exemple des combinaisons pour l'ELS PERM avec poids propre et charge d'exploitation :
| Combinaison | Poids propre favorable |
| G seul | 1,00 * G |
| G + Q | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_2$ * Q |

### Poids propre avec charges climatiques

Exemple des combinaisons pour l'ELU EQU avec poids propre et charges climatiques :
| Combinaison | Poids propre favorable | Poids propre défavorable |
| G seul | 0,90 * G | 1,10 * G |
| G + W | 0,90 * G + 1,50 * W | 1,10 * G + 1,50 * W |
| G + S$_n$ | 0,90 * G + 1,50 * S$_n$ | 1,10 * G + 1,50 * S$_n$ |
| G + W$_{dom}$ + S$_{n,acc}$ | 0,90 * G + 1,50 * W + 1,50 * ψ$_0$ * S$_n$ | 1,10 * G + 1,50 * W + 1,50 * ψ$_0$ * S$_n$ |
| G + W$_{acc}$ + S$_{n,dom}$ | 0,90 * G + 1,50 * ψ$_0$ * W + 1,50 * S$_n$ | 1,10 * G + 1,50 * ψ$_0$ * W + 1,50 * S$_n$ |
Exemple des combinaisons pour l'ELU STR avec poids propre et charges climatiques :
| Combinaison | Poids propre favorable | Poids propre défavorable |
| G seul | 1,00 * G | 1,35 * G |
| G + W | 1,00 * G + 1,50 * W | 1,35 * G + 1,50 * W |
| G + S$_n$ | 1,00 * G + 1,50 * S$_n$ | 1,35 * G + 1,50 * S$_n$ |
| G + W$_{dom}$ + S$_{n,acc}$ | 1,00 * G + 1,50 * W + 1,50 * ψ$_0$ * S$_n$ | 1,35 * G + 1,50 * W + 1,50 * ψ$_0$ * S$_n$ |
| G + W$_{acc}$ + S$_{n,dom}$ | 1,00 * G + 1,50 * ψ$_0$ * W + 1,50 * S$_n$ | 1,35 * G + 1,50 * ψ$_0$ * W + 1,50 * S$_n$ |
Exemple des combinaisons pour l'ELS CAR avec poids propre et charges climatiques :
| Combinaison | Poids propre favorable |
| G seul | 1,00 * G |
| G + W | 1,00 * G + 1,00 * W |
| G + S$_n$ | 1,00 * G + 1,00 * S$_n$ |
| G + W$_{dom}$ + S$_{n,acc}$ | 1,00 * G + 1,00 * W + 1,00 * ψ$_0$ * S$_n$ |
| G + W$_{acc}$ + S$_{n,dom}$ | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_0$ * W + 1,00 * S$_n$ |
Exemple des combinaisons pour l'ELS FREQ avec poids propre et charges climatiques :
| Combinaison | Poids propre favorable |
| G seul | 1,00 * G |
| G + W | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_1$ * W |
| G + S$_n$ | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_1$ * S$_n$ |
| G + W$_{dom}$ + S$_{n,acc}$ | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_1$ * W + 1,00 * ψ$_2$ * S$_n$ |
| G + W$_{acc}$ + S$_{n,dom}$ | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_2$ * W + 1,00 * ψ$_1$ * S$_n$ |
Exemple des combinaisons pour l'ELS PREM avec poids propre et charges climatiques :
| Combinaison | Poids propre favorable |
| G seul | 1,00 * G |
| G + W | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_2$ * W |
| G + S$_n$ | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_2$ * S$_n$ |
| G + W$_{dom}$ + S$_{n,acc}$ | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_2$ * W + 1,00 * ψ$_2$ * S$_n$ |
| G + W$_{acc}$ + S$_{n,dom}$ | 1,00 * G + 1,00 * ψ$_2$ * W + 1,00 * ψ$_2$ * S$_n$ |

## Références

* ↑ E0 P6.3.5
* ↑ E0 PA1.3.1 (5)
* ↑ E0/NA-FR PA1.3.1
* ↑ E0 P6.4.3 (1)
* ↑ E0 P6.4.3.1 (4)
* ↑ E0 P6.4.3.2
* ↑ E0/NA-FR PA1.3.1
* ↑ E0 P6.4.3.3
* ↑ E0 P6.4.3.4
* ↑ E0 P6.5.1
* ↑ E0 PA1.4.4
* ↑ E0/NA-FR A1.4.4 (4)
* ↑ E0 P6.5.3 et E0/NA-FR PA1.4.1