# Méthode des éléments finis/Formulation
## Introduction

Nous allons apprendre à résoudre des problèmes physiques pouvant être caractérisés par des équations aux dérivées partielles.
Le but de cet article sera de montrer comment vérifier l'équation d'équilibre au sens intégral. Nous nous contenterons de voir ici la formulation pour un système à un degré de liberté.

## Problème physique
### Cas général

Nous considèrerons un problème physique continu linéaire stationnaire :

#### équation locale

    $\forall x\in \Omega =]0,\mathrm {L} [,\qquad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\alpha (x)\cdot {\frac {\mathrm {d} u(x)}{\mathrm {d} x}}\right)+\beta (x)\cdot u(x)-q(x)=0$

#### conditions aux limites

    $u(0)=u_{0}\quad {\text{et}}\quad \left.\alpha (x)\cdot {\frac {\mathrm {d} u(x)}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=\mathrm {L} }=\mathrm {Q} _{0}$
où α, β, q, Q$_0$ et u$_0$ sont des données physiques et des conditions aux limites.
Nous allons voir ci-après des exemples où cette équation est mise en œuvre.

### Barre en traction compression

Établissons cette équation en considérant le cas d'une onde de compression dans une barre.
Considérons un élément de matière compris entre les abscisses x et x + dx ; la section transverse a une aire dS ( = dy×dz). La masse de cet élément de matière vaut
    dm = ρ×dV = ρ×dS×dx.
On néglige le poids propre de l'élément ; celui-ci est soumis aux actions des éléments voisins, d'intensité σ(x)×dS et σ(x + dx)×dS, σ étant la contrainte normale.
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit
    $\mathrm {d} m{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} t^{2}}}=(\sigma (x+\mathrm {d} x)-\sigma (x))\mathrm {dS}$
où u est le déplacement de l'élément de matière.
Le développement limité au premier ordre de σ donne
    $\sigma (x+\mathrm {d} x)\simeq \sigma (x)+{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x$
soit
    $\rho \mathrm {dS} \mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x\mathrm {dS}$.
Par ailleurs, la loi de Hooke s'énonce :
    σ = E×ε
où E est le module de Young, qui caractérise l'élasticité (la raideur) de la matière, et ε est la déformation définie par
    $\varepsilon ={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}$.
Le PFD devient donc
    $\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=\mathrm {E} {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}$
ou encore
    ${\frac {\partial ^{2}u(x)}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u(x)}{\partial t^{2}}}=0$
avec la célérité de l'onde
    $c_{0}={\sqrt {\mathrm {E} }}{\rho }$
Nous allons utiliser la méthode de séparation des variables.
Soit $u=f(x,t)\,$ on cherche la solution sous la forme $u(x,t)=a(t)\cdot w(x)\,$
On a donc :
$a(t){\frac {\partial ^{2}w(x)}{\partial x^{2}}}-{\frac {w(x)}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}a(t)}{\partial t^{2}}}=0\Rightarrow {\frac {c_{0}^{2}}{w(x)}}{\frac {\partial ^{2}w(x)}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{a(t)}}{\frac {\partial ^{2}a(t)}{\partial t^{2}}}=\mathrm {K}$
On peut donc obtenir le système suivant :
${\begin{array}{l}\displaystyle c_{0}^{2}{\frac {\partial ^{2}w(x)}{\partial x^{2}}}=\mathrm {K} w(x)\\[10pt]\displaystyle {\frac {\partial ^{2}a(t)}{\partial t^{2}}}=\mathrm {K} a(t)\end{array}}$
On s'aperçoit donc que l'on peut découpler l'étude dynamique 1D homogène en une étude spatiale et une étude temporelle les deux étant liées par la constante K, dont nous démontrerons plus tard qu'elle est nécessairement négative ou nulle et homogène à une pulsation propre. On appelle l'étude de ces pulsations associées à leurs modes propre l'analyse modale, mais cette étude fera partie d'un cours à part entière. Une fois la base modale constituée on peut réussir à étudier la réponse à un stimulus externe en gardant le découplage spatio-temporel que nous avons effectué.
Par rapport à l’équation générale :
* u est le déplacement longitudinal,
* α est le module de Young, α = E,
* β est le produit de la masse de la section et de la pulsation propre au carré, β = -ρ·S·ω$^2$,
* la sollicitation externe au système, q, est un effort distribué appliqué sur la barre ; par exemple, si la barre est verticale (x est vertical), q peut être le poids propre.

### Conduction thermique

Ici,
* u est la température,
* α est la conductivité thermique, α = λ,
* β est le produit de la masse volumique de la chaleur massique et de la pulsation propre au carré, β = -ρ·c·ω$^2$,
* q est l'énergie produite au sein du matériau.

### Corde vibrante

Ici,
* u est le déplacement transversal,
* α est la tension, α = T,
* β est le produit de la masse de la section et de la pulsation propre au carré, β = -ρ·S·ω$^2$,
* la sollicitation externe au système q est un effort transversal distribué, par exemple le poids propre de la corde.

## Formulations intégrales

Nous avons donc vu que notre équation pouvait représenter quelques problèmes physiques bien connus. Il serait donc intéressant de trouver une méthode permettant de systématiser la résolution de tels problèmes.
Nous allons donc introduire la notion de formulation intégrale sur ce problème scalaire et définir tous les outils nécessaires ainsi que les différentes approches permettant de résoudre un tel système.
On peut distinguer deux grandes familles de formulations :
* la formulation intégrale forte ;
* la formulation intégrale faible.

### Formulation intégrale forte

En mécanique nous avons l'habitude de définir une quantité qu'il nous faudra minimiser dans le but de d'obtenir la solution de notre problème. Cette quantité se nomme résidu et est défini par :
    $\mathrm {R} (u_{\mathrm {N} })={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\alpha (x)\cdot {\frac {du_{\mathrm {N} }(x)}{\mathrm {d} x}}\right)+\beta (x)\cdot u_{\mathrm {N} }(x)-q(x)$
La fonction u$_N$ est l'approximation de la fonction u :
    si u$_N$ = u (solution exacte du problème), alors R(u$_N$) = 0.
Ce résidu nous servira lorsque l'on essayera de minimiser l'erreur dans la formulation variationnelle forte.
Soit la forme intégrale suivante :
    $\int _{\Omega }\varphi (x)\cdot \left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\alpha (x)\cdot {\frac {\mathrm {d} u(x)}{\mathrm {d} x}}\right)+\beta (x)\cdot u(x)-q(x)\right]\cdot \mathrm {d} x=0$
La fonction φ est appelée fonction de pondération.
On peut approcher la fonction u de plusieurs manières, elle doit cependant respecter certaines règles :
* elle doit être suffisamment dérivable pour que la formulation variationnelle soit cohérente ;
* elle doit satisfaire les conditions aux limites.
On peut donc envisager toutes sortes d'approximations, c'est en partie la nature de cette approximation qui définira quelles méthodes nous utiliserons pour résoudre notre problème.
Il reste un paramètre qui conditionnera la méthode que l'on utilisera : la formulation.
On peut très bien s'arrêter à cette formulation, mais il devient alors assez difficile de trouver, dans le cas général, une fonction qui satisfasse nos critères.
Il existe une méthode assez élégante pour pouvoir faciliter la recherche d'une approximation pour la fonction u. En augmentant l'ordre de dérivation de la fonction $\varphi$ nous pouvons intégrer par partie et ainsi abaisser le niveau de dérivation de la fonction $u$ et donc faciliter son approximation.
Cette méthode s'appelle la formulation intégrale faible.

### Formulation intégrale faible

Le but de cette méthode est de simplifier l'obtention des fonctions φ. En effet, que l'on travaille avec une méthode globale ou locale, il sera toujours plus facile de déterminer l'approximation de φ et de u lorsque l'on aura le même ordre de dérivation sur φ et sur u. Pour obtenir la formulation faible à partir de la formulation forte, il faut effectuer une intégration par partie sur Ω = [0,L] :
    $-\int _{0}^{\mathrm {L} }{\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\alpha (x)\cdot {\frac {\mathrm {d} u(x)}{\mathrm {d} x}}\right)\cdot \mathrm {d} x+\left[\varphi (x)\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\alpha (x)\cdot u(x)\right)\right]_{0}^{\mathrm {L} }+\varphi (x)\cdot \left\lbrace \beta (x)\cdot u(x)-q(x)\right\rbrace =0$
On voit que
* l'ordre maximal de dérivation est réduit,
* les conditions aux limites apparaissent naturellement.

## Notes et références

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