# Traçage en chaudronnerie et tuyauterie/Raccordement de deux sections

En chaudronnerie et en tuyauterie, on doit assembler des pièces par soudage. Ces pièces ont une base simple — cylindre, cône, pyramide, … — mais il faut les découper pour qu'elles s'adaptent avant soudure. La base de cette technique est l'intersection d'un solide avec un plan.
Pour pouvoir travailler les pièces, il faut d'abord « mettre à plat » leurs surfaces. Cette technique, appelée développement d'une tôle, est un élément de base du traçage, une application importante de la géométrie descriptive.
Ces méthodes permettent de fabriquer des éléments pour raccorder deux sections : trémies (entonnoirs), hottes d'aspiration, coudes de tuyauteries, réducteurs…

## Connaissances préliminaires

Un certain nombre de pièces chaudronnées sont obtenues par déformation — pliage, roulage — de tôles. On part d'une tôle rectangulaire, appelée « flanc capable » ; cette tôle est ensuite découpée, puis formée et enfin soudée.

### Technologie du roulage

Le roulage est la technique qui consiste à mettre en forme une tôle initialement plate pour former un cylindre ou un tronc de cône. On utilise pour cela une rouleuse.
On part d'une tôle à plat (calcul de la longueur développée). On trace (au feutre ou à la pointe à tracer) les « quatre axes principaux » du futur cylindre ou cône, c'est-à-dire trois génératrices équidistantes des bords, la quatrième génératrice étant la ligne de soudure. Cela permettra de se repérer pour les opérations ultérieures.
Si ses bords sont droits et si elle n'est pas trop épaisse, la tôle est découpée avec une cisaille guillotine.
Si la forme est complexe, la tôle est tracée : on trace les contours puis on la pointe, c'est-à-dire que l'on met des coups de pointeau tous les 1 à 2 cm. les coups de pointeau forment des cuvettes ; le contraste entre la lumière réfléchie par un côté et l'ombre portée de l'autre côté de la cuvette permet de bien voir le contour lors du découpage. Puis, la tôle est découpée :
* si l'épaisseur est faible, on utilise une cisaille ou « grignoteuse » ;
* si l'épaisseur est importante, on utilise une torche plasma ou chalumeau qui peut être manuel ou à commande numérique.
La tôle est ébavurée : on lime ou on meule ses bords pour qu'ils ne soient pas coupants.
Il existe plusieurs types de rouleuse ; nous décrivons ici la rouleuse à trois rouleaux également appelée « planeur ». Le principe est de déformer la tôle plastiquement par flexion, l'effort étant exercé par trois rouleaux (flexion trois points simple). La rotation des rouleaux permet de déformer la totalité de la tôle de manière (presque) uniforme. Le rouleau entraîneur est mobile verticalement pour pincer la tôle. Le rouleau cintreur est mobile pour régler la flexion.
Il faut s'assurer que les quatre axes principaux tracés se trouvent à l'extérieur.

### Technologie du pliage

Le pliage est la technique qui consiste à mettre en forme une tôle métallique, initialement plane, pour former un dièdre (angle entre deux plans). On utilise pour cela une presse plieuse.
Le principe est de déformer la tôle plastiquement par flexion, l'effort étant exercé par un poinçon, ou contre-vé, et une matrice, ou vé (la matrice est parfois un U).
Le pliage est limité par deux facteurs :
* la forme de la matrice :
** dans le cas d'un vé, on ne peut plier qu'à un angle inférieur à 90 ° (pliage en l'air, la tôle ne vient pas en contact avec le fond du vé), on atteint 90 ° en faisant un pliage en frappe (le contre-vè pousse le tôle au fond du vé et l'emboutit légèrement),
** dans le cas d'un U, c'est le rapport largeur-profondeur qui détermine l'angle ;
* le repli de la tôle : la tôle ne doit pas venir buter sur l'outil.
Avant de plier la tôle, on trace les plis ; c'est ce qui permettra de positionner la tôle sur la presse plieuse. Le traçage se fait donc sur le côté intérieur (TI : tracé intérieur).

### Surfaces développables

Les formes obtenues par roulage et pliage sont des surfaces gauches (c'est-à-dire non planes) dites « développables ». Les surfaces développables peuvent être « mises à plat ».
Toutes les surfaces gauches ne sont pas développables. C'est le cas en particulier de celles qui comportent une courbure selon deux directions : sphère, ellipsoïde de révolution (galet, ballon de rugby), tore (pneu), paraboloïde de révolution (miroir parabolique, parabole), hyperboloïde de révolution (tabouret), paraboloïde hyperbolique (selle de cheval)…

#### Exemples de surfaces non développables

* Sphère
* Ellipsoïde de révolution (galet)
* Ellipsoïde de révolution (ballon de rugby)
* Tore
* Paraboloïde de révolution (parabole)
* hyperboloïde de révolution (tabouret)
* paraboloïde hyperbolique (selle de cheval)
Ces surfaces ne peuvent pas s'obtenir par roulage ou pliage.
Dans ce chapitre, nous étudions exclusivement des surfaces développables.

### Couper un cercle en parts égales, de 4 à 24

Pour tracer des intersections de solides de révolution (cylindres, cônes), il faut savoir couper un cercle en parts égales.
Avant de tracer le cercle, on trace les diamètres horizontal et vertical (droites horizontale et verticale passant par le centre) ; ce sont les « traits d'axe du cercle ». Ainsi, lorsque l'on trace le cercle, celui-ci est séparé en 4 quartiers.
Pour le séparer en 12 parts égales, on place la pointe du compas sur l'intersection d'un axe et du cercle, tout en gardant un écartement égal au rayon. Puis, on trace les arcs de cercle coupant le cercle. On procède ainsi pour chaque intersection axe-cercle, on obtient au total 12 parts égales.
On peut encore placer un point entre chaque point déjà placé : on place la pointe du compas sur un des points et l'on trace un arc de cercle à l'extérieur du cercle de base, et l'on fait de même sur le point voisin ; l'intersection des deux arcs définit un point. Puis, on trace à la règle le diamètre passant par ce point-là ; elle coupe l'arc de cercle en deux parts égales (bissectrice de l'angle). Ainsi, si le cercle est déjà coupé en 4 parts, on en obtient 8 ; si le cercle est déjà coupé en 12 parts, on en obtient 24.
On peut recouper les arcs en 2 par la même méthode et multiplier ainsi leur nombre par 2, pour obtenir encore plus d'arcs.
Le nombre de points à utiliser dépend du périmètre : il faut suffisamment de points pour pouvoir faire un tracé « précis » et lisse. Disons que jusqu'à un diamètre de 100 mm, on peut se contenter de 12 points (ce qui fait un point tous les 26 mm sur la circonférence).

## Intersection d'un cylindre avec un plan
### Cylindre droit
#### Application

Considérons deux tuyaux de même diamètre et d'axe sécants, les axes faisant un angle faible. La jonction peut être décrite par deux cylindres coupés par un plan. Les sections sont appelées « pénétrations », puisque c'est par là que pénètre le fluide.

#### Travail demandé

Le dessin ci-contre représente un cylindre ∅320 mm incomplet et un plan Π de traces (π) et (π'). Tracer le cylindre coupé par Π et faire le développement de la pièce.

#### Démarche

La première chose est de placer des génératrices, c'est-à-dire des droites placées sur la surface du cylindre et parallèles à son axe. On veut que les génératrices soient réparties régulièrement, ce qui permet d'avoir un tracé régulier. Pour cela, on réalise une vue de droite (changement de plan), le cylindre est vu comme un cercle (en haut à gauche) que l'on coupe en 12 parts égales. On numérote les génératrices afin de pouvoir se repérer.
Sur la vue de face (plan vertical), les génératrices sont tracées jusqu'à la trace du plan (π').
Sur la vue de dessus (plan horizontal), on reporte les génératrices. On peut se contenter d'une demi section rabattue pour les tracer ; on peut aussi renvoyer les points du cercle par une charnière mais attention, il n'y a pas de correspondance des numéros.
La vue de face (plan vertical) donne la position en x des intersections entre les génératrices et le plan Π. On reporte ces positions sur les génératrices de la vue de dessus (plan horizontal).
On obtient ainsi 12 points (en vert), que l'on relie à main levée pour avoir une ellipse lisse.
Nous allons maintenant développer la tôle : on imagine que le cylindre tronqué est en papier, que l'on coupe le papier et qu'on le met à plat. On coupe en général selon la génératrice la plus petite : s'il faut fabriquer la pièce à partir d'une tôle à plat, on aura le cordon de soudure le plus petit, soit :
* un temps de fabrication plus court ;
* une économie de matériau et d'énergie ;
* une déformation moindre de la pièce.
La longueur développée de la base droite est le périmètre du cercle p = π×D = π×320 = 1004,8. Les génératrices sont des segments de droite séparés de p/12 = 83,73 mm.
On repère les génératrices, en s'assurant qu'elle se retrouvent à l'extérieur lorsque l'on roule (pour que l'on puisse voir le tracé après roulage), et on reporte leur longueur à partir de la vue de face ou de dessus. On trace ensuite une courbe lisse pour joindre les points.
Notons que pour faire le développement de la tôle, on n'a pas besoin de la vue horizontale : la vue de face fournit la longueur des génératrices.

#### Mise en œuvre concrète

Supposons que l'on veuille fabriquer un tube coupé avec cet angle. Trois solutions sont possibles.
Première solution : on découpe une tôle, on la roule et on la soude. On trace la forme développée sur la tôle puis on la pointe : les coups de pointeau forment des cuvettes que l'on verra malgré la lumière du chalumeau (contraste zone d'ombre-zone réfléchissant la lumière). On découpe la forme au chalumeau, on la roule et on la soude.
Pour tracer et pointer la tôle, on peut utiliser un gabarit : c'est une tôle tracée et découpée comportant des perçage. On donne les coups de pointeau au travers des perçages dans la tôle située en dessous.
Deuxième solution : on part d'un tube existant et l'on enroule la papier autour. On peut ainsi tracer et pointer le tube, ce qui permet de découper au chalumeau. Si l'on a beaucoup de pièces identiques à faire, on peut faire un gabarit en tôle mince que l'on réutilise. Cela implique que le tube a une tolérance suffisamment précise pour que la feuille s'enroule bien.
Troisième solution : on trace directement sur un tube existant. On remesure le périmètre pour prendre en compte les éventuels défauts de fabrication ; on divise ce périmètre par 12 pour pouvoir placer les génératrices. On trace un cercle droit que l'on découpe en 12 et l'on trace les génératrices ; on utilise pour cela une cornière pour être sûr d'être parallèle à l'axe. On reporte les longueurs des génératrices, on pointe et on découpe.

### Cylindre oblique
#### Application

Le cylindre oblique permet de raccorder sur des plans parallèles deux sections circulaires de même diamètre mais non coaxiales.

#### Travail demandé

Développer le cylindre oblique ci-contre.

#### Démarche

Le cylindre n'est pas une forme de révolution, il ne peut donc pas s'obtenir par roulage. Il s'obtient par pliage, donc il faut réaliser deux demi-cylindres (pour éviter la collision tôle-contre-vè lors du pliage) puis les souder. On fabrique deux demi-cylindres identiques, ce qui permet de ne faire qu'un seul développement.
On définit une famille de génératrices [1.A] à [12.L] en coupant le cercle de base en 12 parties égales et en traçant les génératrices.
Puis, on trace une section droite ; il s'agit d'une ellipse dont le petit axe est perpendiculaire aux génératrices, et dont le grand axe est le diamètre du cercle de base. Pour simplifier, on choisit la section droite qui passe au centre du cylindre. Les génératrices coupent une demi ellipse aux points numérotés de 13 à 19.
* Propriété
* On peut approcher le périmètre p d'une ellipse par la formule
* $p\simeq \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-{\frac {1}{2}}(a-b)^{2}}}$
* où a est le grand rayon et b le petit rayon.
Cela permet d'avoir la longueur développée de la tôle. Ici :
    $p\simeq \pi {\sqrt {2(25^{2}+21^{2})-{\frac {1}{2}}(25-21)^{2}}}=145\ \mathrm {mm}$
On commence donc le tracé par une droite de longueur p = 145 mm. Le point de gauche est le point 13, puis on place les points suivants en reportant les distances mesurées sur la section rabattue (qui est en vraie grandeur) : 13'.14'' permet de placer le point 14 sur le développement, …
    Ce faisant, on remplace l'ellipse par un polygone, puisque l'on remplace des arcs par des cordes. Pour limiter la propagation d'erreur, on peut se recadrer sur les points particuliers (point 16 milieu, point 19 à l'extrémité droite). On peut également diviser davantage les arcs d'ellipse et reporter ainsi des cordes plus petites (l'écart entre arc et corde étant ainsi moins grand) ; par exemple, on place quatre points intermédiaires entre les points 13 et 14.
On trace le développement de la section droite horizontalement, les génératrices sont donc verticales. Les génératrices sont en vraie grandeur sur la vue frontale ; on reporte donc la longueur 14'.h' pour avoir 14.H sur le développement, … On remarque que, par symétrie, 14.H = 18.12, 14.8 = 18.L, …

## Pyramide tronquée

Pour fabriquer la pyramide tronquée, on commence par faire deux demi pyramides (pour éviter la collision tôle-contre-vè lors du pliage) puis on les soude. Il faut donc développer deux demi pyramides.
Lorsque l'on prolonge les plis, ils se rencontrent à l'apex (sommet haut de la pyramide). Par ailleurs, si la base de la pyramide est un polygone régulier (les côtés ont tous la même longueur) et si la troncature est droite, on obtient des trapèzes tous identiques.

### Application

Une pyramide raccorde deux sections carrées placées sur des plans parallèles. Si l'axe reliant les centres des carrés est perpendiculaire aux plans, il s'agit d'une pyramide droite. Ce raccordement peut être par exemple une trémie (entonnoir) ou une hotte d'aspiration.

### Pyramide droite à base carrée tronquée
#### Travail demandé

On considère une pyramide à base carrée droite. Développer la demi-pyramide.

#### Démarche

Les grande et petite bases du trapèze sont vues en vraie grandeur sur les plans frontal et horizontal. On détermine la vraie grandeur des côtés non-parallèles, ainsi que la vraie grandeur de la hauteur d'un trapèze, par la méthode de la droite carrée. Rappelons que l'on trace sur les faces intérieures pour le pliage. Comme les moitiés sont symétriques, cela n'a aucune importance ici mais c'est une bonne habitude à prendre.
Pour tracer le premier trapèze :
* On trace la grande base [BC] et sa médiatrice, qui est l'axe de symétrie du trapèze.
* On trace un arc de cercle centré sur le milieu de la grande base avec pour rayon la hauteur d'un trapèze ; l'intersection avec la médiatrice donne le milieu de la petite base. On trace une parallèle à la grande base passant par ce point, cela donne la droite (2,3) supportant la petite base.
* À partir des extrémités de la grande base, on trace un arc de cercle dont le rayon est la longueur des côtés non-parallèles ; l'intersection de ces arcs avec le support de la petite base donne les extrémités 2 et 3 de la petite base.
* On prolonge les côtés non parallèles, (B.2) et (C.3), pour déterminer l'apex S.
* Pour tracer les deux trapèzes adjacents, on trace un cercle dont le centre est l'apex S et passant par les extrémités de la grande base. On reporte sur ce cercle les longueurs des grandes bases. On procède de même pour les petites bases.

### Troncature inclinée
#### Travail demandé

On considère une pyramide à base carrée droite, tronquée par un plan incliné.
Compléter la vue horizontale et développer la demi-pyramide.

#### Démarche

Si le plan de troncature est incliné, on développe le tronc de pyramide droit, puis on retire les longueurs manquantes en partant de l'apex — on pourrait reporter les longueurs d'arêtes, mais habituellement on reporte ce que l'on enlève, ce qui permet de travailler avec les pyramides inclinées.
On choisit les lignes de soudure, [E.5] et [F.6], de manière à avoir deux moitiés symétriques : on fabrique ainsi deux fois la même pièce, en utilisant un seul gabarit.

### Apex inaccessible

Si la différence entre la grande base et la petite base est faible, l'apex se retrouve très loin et l'on ne peut pas l'utiliser pour tracer la développée.

#### Travail demandé

On considère une pyramide à base carrée droite, tronquée.
Compléter la vue horizontale, et développer la demi-pyramide.

#### Démarche

Le premier trapèze 2.3.C.B est construit de manière classique.
Pour construire les trapèzes adjacents, on utilise le fait que les diagonales ont toutes les mêmes longueur, celle-ci étant déterminée sur le premier trapèze tracé. Ainsi, le point A se trouve
* sur le cercle de centre B et de rayon A.B ;
* sur le cercle de centre 2 et de rayon A.2 = B.3 ;
donc à l'intersection des deux cercles. De même, le point 1 est construit en considérant que A.1 = B.2 et longueur du segment 1.2 = longueur du segment 2.3.

## tronc de cône

Sur un cône, toutes les génératrices passent par le sommet S.
Un tronc de cône est l'intersection d'un cône avec un plan.

### Applications

Un tronc de cône droit peut servir de trémie (entonnoir), de réducteur (raccordement de deux tuyaux coaxiaux de diamètres différents, de hotte d'aspiration, …

### Développement d'un tronc de cône droit

On considère dans un premier temps un tronc de cône droit, c'est-à-dire que le plan d'intersection est perpendiculaire à l'axe du cône.

#### Applications

Le tronc de cône droit raccorde deux sections circulaires et coaxiales sur des plans parallèles : l'axe passant par le centre des cercles est perpendiculaire aux plans. Il peut s'agir de raccorder deux tuyaux coaxiaux mais de diamètres différents.

#### Travail demandé

Développer un tronc de cône droit.

#### Démarche

Soit un tronc de cône ; R est le rayon de la base, r est le rayon du cercle supérieur, a est l'apothème, c'est-à-dire la longueur d'une génératrice prolongée jusqu'au sommet S. On appelle a' l'apothème du cône complémentaire (partie qui a été tronquée).
Le développement du tronc de cône est une portion d'anneau. L'arc extérieur se situe sur un cercle dont le centre est le sommet S et dont le rayon est l'apothème a ; sa longueur L est le périmètre de la base du tronc de cône, 2πR. Pour le tracer, on trace un grand arc de cercle de rayon a, puis on délimite un arc de longueur L en utilisant un réglet que l'on courbe à la manière d'une cerce (curvigraphe). Si cela n'est pas possible ou si l'on veut être plus précis, on peut déterminer l'angle α que représente la portion d'anneau :
    $\alpha (^{\mathrm {o} })={\frac {\mathrm {R} }{a}}\times 360$.
L'arc intérieur est sur un cercle de centre S et de rayon a'.

#### Mise en œuvre concrète

Pour rouler le tronc de cône, il faut engager la tôle en s'assurant que la génératrice est parallèle à l'axe des rouleaux. On place une cornière en butée pour guider la tôle.

### Section d'un cône droit par un plan incliné

Considérons un cône de révolution coupé par un plan incliné Π perpendiculaire au plan (x, z), dont la trace sur le plan vertical est (π'). Il s'agit d'un raccordement entre une section circulaire et une section elliptique sur des plans concourants, mais ces sections ne sont pas quelconques.

#### travail demandé

Terminer la vue de dessus et faire le développement du tronc de cône.

#### Démarche

On commence par diviser le cercle de base en 12 arcs égaux et l'on trace les génératrices que l'on repère (numérote). On remarque que les génératrices [a'.1'] et [g'.7'] (en bleu sur la figure) sont en vraie grandeur (VG) dans le plan frontal.
Sur le plan vertical, l'intersection des génératrices avec la trace du plan incliné (π') donne l'abscisse x du point d'intersection, abscisse que l'on reporte sur le plan horizontal : la projection dudit point sur le plan horizontal est sur la projection de la génératrice, et sur la même verticale (ligne de rappel, on « descend » le point).
Cela ne marche pas avec les génératrices [D.4] et [J.10], puisque la projection des génératrice est parallèle à la verticale. Pour obtenir ces points, il faut faire une projection sur le plan $(\mathrm {O} ,{\vec {y}},{\vec {z}})$, ce qui revient à faire tourner le cône d'un quart de tour autour de son axe. Or, comme l'axe est vertical, les point restent à la même hauteur, et la génératrice prend la place des génératrices (a'.1') et (g'.7') qui sont en vraie grandeur.
Il suffit donc de :
* tracer, sur la vue frontale, l'horizontale entre les points d'/j' du plan de section et la génératrice [g'.7'] ou [a'.1'] (nous avons choisi [g'.7']) ;
* mesurer la distance r$_{d'/j'}$ entre cette projection et l'axe ;
* reporter cette distance sur le plan horizontal (au compas ou en utilisant une charnière).
Pour développer la tôle, on utilise la même propriété : si l'on fait tourner le cône pour mettre la génératrice n à la place de [a'.1'] ou [g'.7'], le point garde la même hauteur sur le plan vertical. On projette donc tous les points sur la génératrice [g'.7'] ou [a'.1']. On obtient ainsi la VG sans utiliser de droite carrée.
On développe la tôle comme s'il s'agissait d'un cône droit et l'on trace les génératrices (en reportant la longueur de l'arc de base divisé par 12 ou bien l'angle total divisé par 12). La longueur des génératrices est la longueur projetée sur 7' ou 1' obtenue précédemment. Mais plutôt que reporter la longueur des génératrices depuis le cercle de base, on préfère reporter la distance enlevée depuis le sommet (SA, SB, …, SL) ; en effet, cela sera indispensable avec un cône oblique, on travailler alors toujours avec la même méthode.
Notons que le tracé de la section sur la vue horizontale n'est pas indispensable pour le développement ; et, la forme étant symétrique, il n'est pas non plus nécessaire de repérer complètement les génératrices. On peut donc se contenter de travailler uniquement avec la vue frontale ; on construit un système régulier de génératrices à partir d'une demi section rabattue.

### Tronc de cône oblique

Considérons maintenant le raccordement entre deux sections circulaires mais pas coaxiales sur des plans parallèles. C'est un tronc de cône oblique à base circulaire. L'axe du cône passe par le centre de la base ; ce n'est pas la bissectrice du secteur angulaire. Les sections droites (perpendiculaires à l'axe) sont des ellipses, ce n'est pas un cône de révolution, on ne peut pas le réaliser par roulage. Par ailleurs, l'axe passe par les centre des sections circulaires, il ne passe pas par le centre des sections droites.

#### Application

Cela permet de raccorder sur des plans parallèles deux sections circulaires qui n'ont pas le même diamètre et ne sont pas coaxiales. C'est le cas par exemple de deux tuyaux de diamètres différents et d'axes parallèles non confondus.

#### Travail demandé

Faire le développement du tronc de cône.

#### Démarche

Comme précédemment, comme on ne veut que le développement de la tôle, on peut se contenter de travailler sur la vue frontale. Mais nous travaillerons aussi sur la vue horizontale pour nous habituer à bien repérer les génératrices, ce qui servira si l'on a une section inclinée.
On commence par déterminer la position s' en prolongeant les génératrices connues. Puis, on divise la section du bas en 12 parties égales ; les points sont repérés de 1 à 12 (sur la vue frontale, on ne voit que la moitié des points, 1', 7' à 12'). Sur la vue horizontale, on trace les génératrices s.1 à s.12, elles coupent la section supérieure aux points repérés a à l. Sur la vue frontale, on trace les génératrices s'.1 et s'.7 à s'.12.
Comme précédemment, on remarque que sur la vue frontale, les droites (s'.1) et (s'.7) sont en vraie grandeur (VG).
Le cône incliné ne peut se faire que par pliage, il faut donc développer en deux parties. On coupe la pièce afin d'avoir deux parties identiques. On choisit de démarrer par une génératrice en VG sur la vue frontale, par exemple [G.7], que l'on peut donc directement tracer, et l'on place le sommet S.
On sait que l'arc [6.7] a pour longueur 1/12 du périmètre, soit πD/12 = π×50/12 = 13 mm. Sur le développement, on trace donc un cercle dont le centre est le point 7 et le rayon 13 mm ; on sait que le point 6 est sur ce cercle.

#### Note

    En faisant ceci, on remplace un arc courbe par un segment de droite (une corde) de même longueur. Si l'on a découpé le cercle en un nombre suffisant d'arcs, l'erreur commise est négligeable. On vérifiera quand même sur le développement final que la longueur développée totale est correcte.
On détermine la VG de la distance S.6, par la méthode de la droite carrée ; on trouve 95 mm. Sur le développement, on trace un cercle de centre S et de rayon 95 mm ; l'intersection avec le cercle précédent donne le point 6.
On trace ensuite la génératrice (S.6). Le point F se trouve sur cette droite. La VG de la distance SF est déterminée par la droite carrée, ce qui permet de placer F sur le développement.
On construit les points suivants de la même manière.
Un tronc de cône incliné permet de raccorder deux tuyaux d'axes parallèles et de diamètres différents.

### Cas d'un sommet inaccessible

Si l'apothème est très importante, et en particulier si le diamètre du cercle du haut est peu différent de celui du bas, il n'est pas possible de faire figurer le sommet sur la feuille. Si l'on veut travailler graphiquement, il faut donc trouver une alternative.
Nous prenons ci-dessous le cas de cônes droits mais la méthode peut se généraliser aux cônes obliques.

#### Approximation des trapèzes

La première méthode consiste à considérer une tôle pliée en 3 inscrite dans le cône. Chaque portion est un trapèze dont la grande base a pour longueur le diamètre D du grand cercle, et la petite base celui du petit cercle, d. La longueur des côtés est celle d'une génératrice. Un tel trapèze est simplement la vue frontale du tronc de cône.
Si l'on place ces trois trapèzes l'un à côté de l'autre, alors on voit que l'on a une approximation du développé réel :
* la longueur de la ligne de base est 3×D ≃ π×D, la longueur développée de la base ;
* la longueur de la ligne du haut est 3×d ≃ π×d, la longueur développée de cercle supérieur ;
* la longueur des génératrices est respectée.
Pour améliorer le tracé, il faut :
* rallonger la figure d'une quantité (π-3)×D ≃ 0,14×D, réparti équitablement à gauche et à droite ;
* doubler le nombre de points : on rajoute des points intermédiaires en prenant l'intersection entre :
** l'axe de symétrie du trapèze, et
** la bissectrice entre la base et la perpendiculaire au pli.

#### Approximation des diagonales

La deuxième méthode consiste à construire les génératrices l'une après l'autre, de proche en proche, en considérant que les diagonales qui joignent les génératrices sont rectilignes (alors qu'elles suivent en réalité la courbe du cône). Cela revient à remplacer le cône par une pyramide à base n-gonale (dodécagonale si l'on prend 12 génératrices).
Sur le vue horizontale, on sépare le grand cercle en 12 parts égales, on trace les génératrices, puis on les reporte sur la vue frontale. Les points sont numérotés de 1 à 12 sur le grand cercle et de a à g sur le petit cercle.
La génératrice [10'.j' ] est en vraie grandeur ; si le plan de coupe était incliné, on pourrait projeter toutes les génératrices sur celle-ci, ou bien utiliser une droite carrée.
On trace une diagonale, par exemple [12.a] et [12'.a' ]. On détermine la vraie grandeur de cette diagonale, à l'aide d'une droite carrée. Là encore, si le plan de coupe était oblique, on déterminerait la VG de toutes les diagonales séparément.
Pour développer le tronc de cône :
* On trace la génératrice du milieu (la plus longue si le plan de coupe est oblique), [1.A], verticale et au centre.
* On reporte la longueur de la diagonale depuis A (arc de cercle de centre A et de rayon la VG de la diagonale) ; on reporte la longueur développée d'un arc du grand cercle compris entre deux génératrices (arc de cercle de centre 1 et de rayon π×D/12) ; l'intersection des deux donne le point 12 (ainsi que le point 2 de l'autre côté).
* On reporte la vraie grandeur d'une génératrice depuis 12 (arc de cercle de centre 12 et de rayon la VG de la génératrice) ; on reporte la longueur développée d'un arc du petit cercle compris entre deux génératrices (arc de cercle de centre A et de rayon π×d/12) ; l'intersection des deux donne le point L.
On continue ainsi de proche en proche. Dans l'idéal, on utilise trois compas qui gardent la même ouverture.
Cette méthode permet de tracer directement la développée d'un cône tronqué par un plan oblique. Pour une telle situation, on peut aussi développer un cône droit par la méthode des trapèzes, puis reporter les génératrices.

## Raccordements plus complexes
### Raccordement d'un carré à un cercle

Prenons un exemple courant : une trémie a une extrémité carrée, l'autre est circulaire (ce qui permet de s'adapter à un tuyau). On parle de « raccordement de deux sections parallèles, l'une circulaire, l'autre polygonale. »
La pièce finale peut se décomposer en quatre triangles plans et quatre quarts de cône obliques. Les quarts de cône sont en fait réalisés par pliage ; ce sont des pyramides qui approchent des cônes. De fait, la trémie est réalisée en deux parties qui sont ensuite soudées.

#### Travail demandé

Développer un trémie a base rectangle.

#### Démarche

On divise le cercle en parties égales. On détermine les lignes de soudure, F.1 et C.7.
On trace le triangle (partie plane) : le côté [AB] est en VG sur les deux vues, en déterminant sa hauteur, qui est aussi la VG de [F.1] et de [C.7].
Puis on développe de la manière habituelle les quarts de cône obliques de sommet respectifs A et B. La longueur AF est en VG sur la vue horizontale, la distance F.1 a déjà été déterminée, ce qui permet de tracer F à partir des points A et 1.
Pour réaliser les portions de cônes (demi trémie), on utilise en général 8 plis de 22,5° chacun, on divise donc chaque quart de cercle en 4 parties.
En effet, le développement se fait par la vue du dessus englobant un cercle que l'on divise en 12 parties.
* Trémie idéale, raccordant une section carrée à une section parfaitement circulaire.
* Trémie réelle, réalisée par pliage
Les techniques de traçage vues permettent de résoudre tous les cas : raccordement de deux sections polygonales, raccordement de sections non parallèles, …

### Raccordement de sections sur des plans concourants

Nous avons vu le développement d'un cylindre et d'un cône biseautés. Ce sont des formes simples à développer et à fabriquer (roulage) donc ,si possible, on essaie de se ramener à un de ces cas. Mais ce n'est pas toujours possible.

#### Coude en plusieurs parties
##### Méthode des sphères sécantes

Considérons deux tuyauteries d'axes tangents que l'on veut raccorder par un coude. On utilise la propriété suivante :
* Théorème des sphères auxiliaires
* Soit un cylindre, et une sphère ${\mathcal {S}}$ coupant ce cylindre. S'ils ont un cercle commun ${\mathcal {C}}_{1}$, alors ils se coupent suivant un second cercle ${\mathcal {C}}_{2}$.
* Soit un cône et une sphère ${\mathcal {S}}$ coupant ce cône. S'ils ont un cercle commun ${\mathcal {C}}_{1}$, alors ils se coupent suivant un second cercle ${\mathcal {C}}_{2}$.
Si les cercles sont parallèles, alors il s'agit d'un cylindre ou d'un cône de révolution. Si les cercles ne sont pas parallèles, alors il s'agit d'un cylindre ou d'un cône oblique.
Ces théorèmes sont à la base de la méthode des sphères auxiliaires.

###### Exemple

Considérons deux tuyaux de diamètre différent à raccorder. Ils ont des axes concourants ; la longueur d'un des tuyaux est indéfinie.

###### Démarche

Nous utilisons la méthode dite des « sphères sécantes ».
* Les axes sont reliés par un arc de cercle de centre I. Le point I est sur le plan du haut du tuyau horizontal. Il est à équidistance des axes des deux tuyaux, qui est ici la distant du haut du tuyau vertical à l'axe du tuyau horizontal. Cela définit l'extrémité du tuyau horizontal.
* L'arc de cercle est coupé en 3×2 = 6 parties égales, ce qui permet de définir 3 secteurs angulaires de même angle et leurs bissectrices.
* Les sphères coupant les tuyaux sont centrées sur les axes des tuyaux, ce qui permet d'avoir une section de sphère circulaire correspondant à la section du tuyau. Ces sphères sont également centrées sur les bissectrices des secteurs angulaires. Les centres de toutes les sphères sont sur un arc de cercle de centre I.
* Le centre de la sphère du milieu est donc sur l'arc de cercle défini ci-dessus et sur la bissectrice du secteur angulaire central. Son rayon est déterminé par une progression linéaire (loi proportionnelle) ; dans le cas présent, c'est simplement la moyenne des rayons des sphères extrêmes, mais on peut l'obtenir graphiquement en traçant deux segments parallèles de rayon R$_1$ et R$_3$, le segment de longueur R$_2$ se situant entre les deux.
Grâce aux sphères, nous pouvons tracer trois parties de coude qui seront faciles à développer puisque, en vertu du théorème vu précédemment, nous savons que ce sont des troncs de cône obliques.
Bien évidemment, si les deux tuyaux sont de même diamètre, la méthode nous donne trois cylindres obliques tronqués. Mais pour les coudes cylindriques, on utilise une autre méthode.

##### Méthode des sphères tangentes

Mentionnons quelques propriétés :
* Propriété
* Un cylindre tangent à une sphère est un cylindre de révolution.
* Une surface développable tangente à deux sphères de centres différents et de même rayon est un cylindre de révolution.
* Propriété
* Un cône tangent à une sphère est un cône de révolution.
* Une surface développable tangente à deux sphères de rayons différents, telles que la petite n'est pas incluse dans la grande, est un cône de révolution.

#### Raccordement de sections circulaires quelconques

Si l'on doit raccorder deux sections circulaires quelconques, rien ne garantit que l'on a un cylindre ou un cône. Il faut alors préciser la notion de génératrice, sachant que d'un point de vue pratique, les pièces seront réalisées par pliage et qu'une génératrice correspond à un pli.
* Définition
* Une génératrice d'une surface développable est une droite de contact entre la surface et un plan tangent à cette surface.
On ne peut pas définir de génératrice pour toutes les surfaces gauches ; mais nous pouvons toujours définir des génératrices pour les surfaces développables, voir pour cela l'article de Wikipédia Surface réglée > Plan tangent.

### Raccordement d'une section circulaire et d'une section elliptique

Pour pourvoir tracer le raccordement d'un cercle à une ellipse, il faut s'intéresser à quelques propriétés géométriques.
* propriété 1
* Soit un plan tangent au raccordement. La ligne de contact est une génératrice du raccordement.
Ceci vient du fait que l'on utilise une surface développable pour le raccordement.
* Corollaire
* le plan tangent à la surface est tangent au cercle et à l'ellipse.
* propriété 2
* La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
C'est une propriété bien connue du cercle.
* propriété 3 (rappel)
* On peut approcher le périmètre p d'une ellipse par la formule
* $p\simeq \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-{\frac {1}{2}}(a-b)^{2}}}$
* où a est le grand rayon et b le petit rayon.
Cela va servir à diviser l'ellipse en parties égales.
* propriété 4
* La tangente à une ellipse peut s'obtenir à l'aide du cercle inscrit ou du cercle circonscrit ; soit un point A de l'ellipse,
* avec le cercle inscrit :
* on trace la parallèle au grand axe en A et on cherche son intersection avec le cercle inscrit ; cela définit le point A$_1$,
* on trace la tangente au cercle en A$_1$, cette tangente coupe le petit axe en A$_2$,
* la droite (AA$_2$) est la tangente à l'ellipse en A ;
* avec le cercle circonscrit :
* on trace la parallèle au petit axe en A et on cherche son intersection avec le cercle circonscrit ; cela définit le point A$_1$,
* on trace la tangente au cercle en A$_1$, cette tangente coupe le grand axe en A$_2$,
* la droite (AA$_2$) est la tangente à l'ellipse en A.
* propriété 5
* Par deux droites parallèles non confondues passe un seul et unique plan.
Ainsi, si l'on a une tangente au cercle qui est parallèle à une tangent à l'ellipse, elles définissent un plan tangent au raccordement.

#### Travail demandé

Dessiner le raccordement de deux tuyaux d'axes non coplanaires et de diamètres différents, et développer la tôle.

#### Démarche

La première étape consiste à déterminer un système de génératrices. Pour cela, on détermine un système de plans tangents au cercle et à l'ellipse. Il est facile de tracer la tangente à un cercle ayant une orientation donnée ; on commence donc par tracer les tangentes à l'ellipse.
On divise l'ellipse en 12 arcs égaux, donc de longueur
    $p/12\simeq \pi {\sqrt {2(25^{2}+17,5^{2})-{\frac {1}{2}}(25-17,5)^{2}}}/12\simeq 11\ \mathrm {mm}$
que l'on reporte au compas. On numérote les points de 1 à 12.
Les tangentes aux points 1, 4, 7 et 10 sont horizontales ou verticales ; les points correspondant sur le cercle se trouvent donc sur les axes horizontaux et verticaux. Cela définit les points a, d, g et j, et donc les génératrices [a.1], [d.4], [g.7] et [j.10].
Considérons un autre point de l'ellipse, par exemple le point 2. On trace sa tangente avec la méthode du cercle inscrit. Puis, on trace la perpendiculaire à cette tangente qui passe par le centre du cercle. Cela définit le point b.
La pièce n'est ni un cylindre, ni un cône, elle doit être en deux parties et va donc s'obtenir par pliage. La pièce ne présente pas de symétrie. Pour éviter de souder le long des génératrices les plus longues, [G.7] et [H.8], on choisit comme lignes de soudure les génératrices [D.4] et [J.10]. On commence le développement par [G.7] (choix arbitraire).
On utilise la méthode des diagonales.
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