# Cosmologie/L'expansion de l'univers

Les équations de la relativité expliquent le redshift cosmologique avec le concept d'expansion de l'univers : les corps matériels de l'univers s'éloignent les uns des autres au fil du temps. Les interprétations de la relativité disent que l'expansion de l'univers ne provient pas d'un mouvement des objets dans l'espace, mais d'une modification de la manière de calculer les distances avec le temps. L'image qui est souvent donnée dans la vulgarisation scientifique compare l'univers avec un gâteau au raisin qui gonfle progressivement, les raisins étant les galaxies.

## Le facteur d'échelle, les distances, et le facteur d'échelle

Mettre en équation le phénomène d'expansion de l'univers est assez trivial. Du fait de l'expansion, toute distance entre deux points sera multipliée par un facteur multiplicatif après une durée t. Pour calculer ce facteur multiplicatif, les physiciens font intervenir ce qu'on appelle le facteur d'échelle, noté $a(t)$. Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que nous prenons toutes les mesures dans un référentiel d'origine O, et que nous suivons la distance $x(t)$ d'un objet matériel en fonction du temps. Nous allons comparer les distances entre un instant $t_{0}$ et un instant ultérieur$t$. L'augmentation des distances à cause de l'expansion de l'univers se calcule comme suit :
    $x(t)=x(t_{0}){\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$
Le rapport des facteurs d'échelle est un coefficient multiplicateur qui dit par combien les distances ont été multipliées entre l'époque actuelle et l'instant $t_{0}$. Dit autrement, le facteur d'échelle est ce par quoi il faut diviser les distances actuelles pour obtenir les distances à l'instant $t_{0}$.
    Notons que le facteur d'échelle est sans dimensions (il n'a pas d'unité).
Pour simplifier les calculs, on considère souvent que le facteur d'échelle vaut 1 à un instant idéal pour simplifier les calculs. Sous cette hypothèse, l'équation précédente se simplifie :
    $x(t)=x(t_{0})\cdot a(t)$
L’interprétation de cette équation est assez simple : si le facteur d'échelle augmente de X %, les distances font de même.

### Les distances propres et comobiles

Reprenons la définition du facteur d'échelle vue précédemment :
    $x(t)=x(t_{0}){\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$
Il est possible de réécrire la formule précédente comme suit :
    ${\frac {x(t)}{a(t)}}={\frac {x(t_{0})}{a(t_{0})}}$
Les distances ${\frac {x(t)}{a(t)}}$ et ${\frac {x(t_{0})}{a(t_{0})}}$ sont égale à une distance corrigée de l'influence des facteurs d'échelle. $a(t_{0})$ et $a(t)$. Elle peut s'interpréter comme la distance qu'auraient deux objets s'il n'y avait pas d'expansion. Elle est appelée la distance comobile. À contrario, la distance $x(t)=x(t_{0})\cdot a(t)$ tient compte de l'expansion, qui augmente les distances entre deux objets. Les distances qui tiennent compte de l'expansion, opposées aux distances comobiles, sont appelées des distances propres. Par définition, les distances propres sont celles que l'on peut mesurer, qui ne sont pas corrigées de l'influence du facteur d'échelle.
Il existe une définition alternative de la distance comobile. C'est la distance mesurée à l'instant où $a(t)=1$.
L'augmentation des distances liée au facteur d'échelle n'est pas très intuitive. Dans le monde réel, une expansion a un centre, un point central d'où s'éloignent les autres. Mais avec l'expansion de l'univers, ce n'est pas du tout le cas. Peu importe où l'on soit dans l'univers, tous les autres objets semblent s'éloigner de nous. Un habitant de la Terre verra toutes les galaxies lointaines s'éloigner de la Terre, mais un habitant de la galaxie d'Andromède verra lui aussi l'ensemble des galaxies s'éloigner de lui et non de la Terre ! C'est cette particularité qui fait que l'on doit recourir à un facteur d'échelle pour expliquer l'expansion.

### Le lien entre vitesse et facteur d'échelle

La distinction entre distance comobile et propre peut aussi se faire pour les vitesses, volumes, surfaces et autres. Par exemple, il est possible de calculer une vitesse propre en dérivant la distance propre. Pour cela, on pourrait partir de la définition de la distance propre et en calculer la dérivée.
    Par souci de lisibilité, nous noterons parfois la dérivée première d'une variable $x$, à savoir ${\frac {dx}{dt}}$, comme ceci : $x'$. Le remplacement ne sera pas systématique, la notation ${\frac {dx}{dt}}$ étant plus courante et donc plus claire. La notation $x'$ sera utilisée quand la notation ${\frac {dx}{dt}}$ est trop lourde, par exemple pour simplifier les formules de ce style : ${\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dt}}$ en ${\frac {x'}{x}}$.
    $x(t)'=\left(x(t_{0})\cdot {\frac {a(t)}{a(t_{0})}}\right)'=x(t_{0})'\cdot {\frac {a(t)}{a(t_{0})}}+x(t_{0})\cdot {\frac {a(t)}{a(t_{0})}}'$
Mais les calculs seraient alors un petit peu longs, bien que pas difficiles. Pour éviter ce petit désagrément, nous allons ruser. À la place, nous allons calculer la dérivée de la distance comobile. La dérivée de la distance comobile est naturellement une vitesse, appelée la vitesse comobile. Elle correspond à la vitesse qu'aurait un objet s'il n'y avait pas d'expansion. Elle traduit le fait que les objets s'éloignent ou se rapprochent même sans expansion. Sachant que la distance comobile est définie par $x_{comobile}={\frac {x(t)}{a(t)}}$, on a :
    $v_{comobile}=x_{comobile}'=\left({\frac {x(t)}{a(t)}}\right)'$
On utilise la formule de la dérivée d'un quotient :
    $v_{comobile}={\frac {x(t)'\cdot a(t)-x(t)\cdot a(t)'}{a(t)^{2}}}={\frac {x(t)'\cdot a(t)}{a(t)^{2}}}-{\frac {x(t)\cdot a(t)'}{a(t)^{2}}}$
On simplifie par $a(t)$ :
    $v_{comobile}={\frac {x(t)'}{a(t)}}-{\frac {x(t)\cdot a(t)'}{a(t)^{2}}}$
Les deux termes : ${\frac {x(t)'}{a(t)}}$ et $x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)^{2}}}$ sont techniquement des vitesses. Mais elles sont écrites en coordonnées comobiles, dans le référentiel où $a(t)=1$. Ce sont donc des vitesses que l'on ne peut pas mesurer. Pour passer dans le référentiel général, on doit multiplier par le facteur d'échelle :
    $v_{comobile}\cdot a(t)=x(t)'-x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)}}$
Le terme $x(t)'$ n'est autre que la vitesse propre, la vitesse totale de l'objet qui incorpore les effets de l'expansion.
    $v_{comobile}\cdot a(t)=v_{propre}-x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)}}$
Cette équation peut se reformuler comme suit :
    $v_{propre}(t)=v_{comobile}\cdot a(t)+x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)}}$
Le terme $v_{comobile}\cdot a(t)$ est ce qu'on appelle la vitesse locale. C'est la vitesse qu'a l'objet quand on retire l'effet de l'expansion, mais qu'on prend quand même en compte le facteur d'échelle. En effet, la vitesse comobile est mesurée dans un référentiel particulier, où $a(t)=1$. Et ce référentiel est situé arbitrairement dans le temps, pas forcément dans le temps présent. Pour obtenir la vitesse indépendante de l'expansion, on doit multiplier la vitesse comobile par $a(t)$, afin de tenir compte de la multiplication des distances au cours du temps.
    $v_{propre}(t)=v_{locale}(t)+x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)}}$
On voit que la vitesse propre est la somme de deux vitesses. Une vitesse indépendante du facteur d'échelle et une autre qui dépend du facteur d'échelle. En clair, une vitesse indépendante de l'expansion et une qui y est proportionnelle. La première est une vitesse locale indépendante de l'expansion, alors que le second terme a pour origine l'expansion. Nous allons l'appeler la vitesse d'expansion, bien que ce ne soit pas une vitesse.
En réalité, les seules vitesses sont des vitesses comobiles. Qui dit vitesse dit déplacement d'un objet dans l'espace, donc dans les coordonnées comobiles. L'extension de l'espace n'est pas une vitesse, elle correspond à une modification de l'espace lui-même, pas quelque chose qui se passe dedans, ce n'est pas le déplacement d'un objet matériel ou d'une onde. Si la vitesse locale ne peut dépasser la vitesse de la lumière, la vitesse de l'expansion n'est pas contrainte par $c$ car ce n'est pas une vitesse.

### Le paramètre de Hubble

Tous les développements précédents permettent de retrouver la loi de Hubble. Pour les objets éloignés, la vitesse locale est négligeable par rapport à la vitesse d'expansion. Il est donc utile, de supposer la vitesse locale nulle. Sous cette hypothèse, l'équation précédente se simplifie comme suit :
    $v(t)=x(t)\cdot {\frac {a(t)'}{a(t)}}$
La loi de Hubble ressemble trait pour trait à l'équation précédente, jugez plutôt :
    $v(t)=x(t)\cdot H(t)$
En combinant les deux équations, on trouve :
    $H(t)={\frac {a(t)'}{a(t)}}$
La loi de Hubble est donc un pur dérivé de l'expansion de l'univers. La vitesse mesurée par la loi de Hubble est donc une pseudo-vitesse liée à l'expansion, pas une vitesse propre. Cela explique pourquoi certaines galaxies très lointaines semblent s'éloigner de nous plus vite que la lumière avec la loi de Hubble. En réalité, il ne s'agit pas d'une vitesse propre, limitée par la vitesse c. En réalité, il s'agit d'une pseudo-vitesse liée à l'expansion de l'espace, c'est la vitesse d'expansion. Ainsi, la vitesse supraluminique des galaxies lointaines provient de la vitesse de l'expansion et ne reflète pas une véritable vitesse supraluminique.
Au passage, cela explique pourquoi la loi de Hubble ne fonctionne pas pour les grandes distances. Les développements précédents permettent de calculer une vitesse instantanée, calculée avec des dérivées. Mais dans les faits, rien ne dit que le paramètre de Hubble H est constant dans le temps. Si celui-ci a varié, alors la loi de Hubble finit fatalement par être fausse. La variation de H a été assez lente dans le temps, ce qui fait que la loi de Hubble marche bien avec les galaxies proches, pour lesquelles la lumière a mis peu de temps à nous parvenir. Pour les galaxies lointaines, H a varié durant le temps de trajet de la lumière, ce qui fausse le lien entre distance et redshift.
Notons une grande différence entre la loi de Hubble $v(t)=H\cdot d(t)$, qui est une relation fondamentale, et la loi de Hubble liée au redshift. La relation entre vitesse et redshift dans un univers relativiste est assez complexe. Aussi, l'application de la loi de Hubble aux observations astronomique est assez complexe.

### Le paramètre de Hubble est la rapidité instantanée de l'expansion de l'univers

L'équation précédente peut se reformuler comme suit :
    $H(t)={\frac {d}{dt}}\ln {a(t)}$
Comme on le voit, la démonstration précédente nous donne une nouvelle interprétation du facteur de Hubble : c'est la dérivée logarithmique du facteur d'échelle.
* Pour rappel, la dérivée logarithmique d'une fonction $x(t)$ se note ${\mathcal {L}}$ et est définie par :
* ${\mathcal {L}}(x)={\frac {x'}{x}}$
* Elle porte ce nom car elle est égale à la dérivée du logarithme de la fonction initiale :
* ${\mathcal {L}}(x(t))={\frac {x(t)'}{x(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln {x(t)}$
* Cela nous permet de faire une remarque importante dans la suite du cours : l'intégrale d'une dérivée logarithmique est tout simplement le logarithme de la fonction. Nous ferons ce raccourci très souvent dans le cours.
* $\int {\mathcal {L}}(x(t))dt=\ln {x(t)}+{\text{Constante d'intégration}}$
Pour le dire plus clairement, le facteur de Hubble est le taux, du pourcentage auquel l'expansion a lieu. Pour information, la dérivée ${\frac {da}{dt}}$ s’interprète comme la vitesse de l'expansion de l'univers, la vitesse à laquelle croît le facteur d'échelle. Plus la vitesse de l'expansion est grande, plus l'univers grandit vite et s'étend rapidement. De même, la dérivée seconde de $a(t)$ est l'accélération de l'expansion de l'univers : plus elle est grande, plus l'expansion devient de plus en plus rapide avec le temps. Le facteur de Hubble est donc la vitesse de l’expansion divisée par le facteur d'échelle, soit le taux de variation du facteur d'échelle. Intuitivement, il indique approximativement si le facteur d'échelle augmente de 5 %, 10 % ou 20 % par unité de temps. Si H vaut 0,015, cela signifie que les distances augmentent de 1,5 % par seconde.
    Faites attention à ne pas confondre la vitesse de l'expansion avec la vitesse d'expansion qui est la vitesse d'un objet acquiert à cause de l'expansion.
Maintenant, partons de l'équation précédente et intégrons-la :
    $\int H(t)dt=\ln {a(t)}$
On prend l'exponentielle et on réorganise l'équation :
    $a(t)=\exp \left(\int H(t)dt\right)$
Cette équation permet de calculer le facteur d'échelle quand on connait le facteur de Hubble. L'utilité de cette équation est qu'estimer le facteur de Hubble au cours du temps est possible, même si c'est par des moyens indirects. Les observations astronomiques permettent d'avoir une estimation précise de la valeur actuelle du facteur de Hubble, ainsi que de ses valeurs anciennes. Alors que l'évolution du facteur d'échelle ne l'est pas.

## Le redshift cosmologique

On vient de démontrer la loi de Hubble $v=H\times d$, ce qui signifie qu'elle est valable en tout lieu, à tout instant. Mais n'en déduisez pas que les formules du redshift vues dans le chapitre précédents le sont. En réalité, la relation redshift-distance n'est pas celle obtenue en combinant la loi de Hubble avec la formule $z={v \over c}$ de l'effet Doppler, elle est un peu différente, même si elle ressemble. Dans cette section, nous allons montrer comment l'expansion de l'univers explique le décalage vers le rouge, sans recourir à un effet Doppler.
Le redshift cosmologique est causé par une modification du facteur d'échelle, valable quel que soit le référentiel. En effet, l'expansion de l'univers impacte aussi la longueur d'onde de la lumière, qui est une distance comme une autre. En clair, il influence la lumière lors de son trajet, mais n'a rien à voir avec la vitesse de l'objet émetteur.
Si une onde lumineuse est émise avec la longueur d'onde $\lambda _{0}$ à un instant $t_{0}$, sa longueur d'onde $\lambda$ à un instant $t$ sera égale à :
    $\lambda =\lambda _{0}{\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$
La fréquence d'une onde lumineuse étant proportionnelle à sa longueur d'onde, on a alors :
    $f=f_{0}{\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$

### La relation entre redshift et facteur d'échelle

Il est possible de démontrer une relation entre le facteur d'échelle et le redshift. Pour cela, partons de la définition du redshift z :
    $z(t)+1={\frac {\lambda (t)}{\lambda (t_{0})}}$
On utilise alors l'équation $\lambda (t)=\lambda (t_{0}){\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$, réécrite comme ceci :
    ${\frac {\lambda (t)}{\lambda (t_{0})}}={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$
En combinant les deux équations précédentes, on déduit la valeur du décalage vers le rouge en fonction du facteur d'échelle. Dans ce qui suit, on suppose que $t_{0}$ est l'instant d'émission de la lumière, alors que l'observation a lieu à l'instant $t$.
    $1+z(t)={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$
Posons que le facteur d'échelle actuel vaut 1. L'équation obtenue est alors la suivante :
    $z(t)={\frac {1}{a(t_{0})}}-1$
    $z(t)+1={\frac {1}{a(t_{0})}}$
    $a(t_{0})={\frac {1}{z(t)+1}}$

### La relation entre redshift et paramètre de Hubble

Quelques manipulations algébriques à partir des équations précédentes permettent d'exprimer le facteur de Hubble en fonction du redshift. Pour cela, partons de l'équation suivante :
    $z(t)={\frac {1}{a(t_{0})}}-1$
Prenons la dérivée par rapport au temps :
    ${\frac {dz(t)}{dt}}=\left({\frac {1}{a(t_{0})}}-1\right)'$
Le calcul de la dérivée donne :
    ${\frac {dz(t)}{dt}}=-{\frac {a(t_{0})'}{a(t_{0})^{2}}}$
On applique la formule $H={\frac {a'(t)}{a(t)}}$ :
    ${\frac {dz(t)}{dt}}=-{\frac {H(t_{0})}{a(t_{0})}}$
On multiplie les deux côtés par $a(t_{0})$
    $-{\frac {dz(t)}{dt}}\times a(t_{0})=H(t_{0})$
Maintenant, utilisons l'équation $a(t_{0})={\frac {1}{z(t)+1}}$ :
    $-{\frac {1}{z(t)+1}}{\frac {dz(t)}{dt}}=H(t)$

### La relation entre redshift et temps écoulé depuis l'émission d'un photon

L'équation précédente permet de calculer quel temps temps s'est écoulé depuis qu'un photon a été émis, en fonction de son redshift. Pour cela, prenons l'équation précédente et isolons dt, en multipliant par ${\frac {dt}{H(t)}}$. On obtient alors le temps dt qu'il faut pour obtnir un incrément de redshift dz.
    $dt=-{\frac {1}{H(t)}}{\frac {dz(t)}{z(t)+1}}$
Intégrons cette formule entre O et z :
    $t=-\int _{0}^{z}{\frac {1}{H(t)}}{\frac {dz(t)}{z(t)+1}}$
Il est possible de mettre l'équation précédente sous la forme suivante :
    $t={\frac {1}{H(0)}}\int _{0}^{z}{\frac {dz(t)}{z(t)+1}}{\frac {1}{E(z)}}$, avec $E(z)=H(z)/H(0)$
    Le signe moins disparait car z est négatif, vu que t=0 correspond à maintenant et que z est localisé dans le passé.
Évidemment, résoudre cette équation demande de connaitre E(z), ce qui demande d'avoir un modèle cosmologique sous la main. En utilisant le modèle actuel, on trouve la relation suivante :

### La relation entre redshift et distance d'une source

La distance parcourue par la lumière lors de son trajet n'est autre que le temps précédent multiplié par la vitesse c. La distance en question s'appelle la light-travel distance.
    $d_{l}(z)={\frac {c}{H(0)}}\int _{0}^{z}{\frac {dz(t)}{z(t)+1}}{\frac {1}{E(z)}}$, avec $E(z)=H(z)/H(0)$
Remarquez que le terme ${\frac {c}{H(0)}}$ n'est autre que la distance telle que calculée par la loi de Hubble. Si on note celle-ci $d_{H}$, on a :
    $d_{l}(z)=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {dz(t)}{z(t)+1}}{\frac {1}{E(z)}}$, avec $E(z)=H(z)/H(0)$
Mais il s'agit là d'une distance un peu trompeuse. Il s'agit de la distance parcourue par le photon, mais pas de la distance actuelle à laquelle se situe la source qui a émis la lumière. En effet, l'expansion agit tout le temps et fait que la source s'est éloignée pendant que le photon faisait son voyage.
Il est cependant possible de calculer la distance comobile parcourue par le photon, ce qui demande de diviser le contenu de l'intégrale par le facteur d'échelle a(t), ce qui donne :
    $d_{c}=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {1}{a(t)}}{\frac {dz(t)}{z(t)+1}}{\frac {1}{E(z)}}$, avec $E(z)=H(z)/H(0)$
Or, $a(t)={\frac {1}{z(t)+1}}$, ce qui fait que l'équation précédente se simplifie en :
    $d_{c}=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {dz(t)}{E(z)}}$
On peut obtenir la distance actuelle entre source et récepteur de la lumière en multipliant l'équation précédente par le facteur d'échelle.
    $d_{t0}=d_{H}\times a(t)\times \int _{0}^{z}{\frac {dz(t)}{E(z)}}$
Pour exploiter cette équation, toute la difficulté consiste à connaitre E(z), et donc de savoir comment le facteur de Hubble a évolué dans le temps.

### Le redshift des galaxies proches et la loi de Hubble

Nous allons maintenant supposer que le facteur de Hubble H est resté constant. Dans ce cas, les équations précédentes se simplifient un peu. Les équations pour le temps de parcours et la distance sont donc égales à :
    $t={\frac {1}{H}}\int _{0}^{z}{\frac {dz(t)}{z(t)+1}}$
    $d_{c}={\frac {c}{H}}\int _{0}^{z}dz(t)$
En faisant l'intégrale, on trouve :
    $d_{c}={\frac {c}{H}}z(t)$
En reformulant retrouve la loi de Hubble :
    $z(t)={\frac {H}{c}}\cdot d(t)$
En clair, la loi de Hubble ne fonctionne que dans les cas où le paramètre de Hubble n'a pas trop varié entre l’émission du photon et sa réception. En clair, elle marche pour des petites distances et/ou des durées assez courtes, ce qui correspond aux galaxies proches. Mais pour les observations de galaxies très éloignées, cette formule ne tient juste plus la route. Plus E(z) s'éloigne de 1, plus la relation précédente donne des résultats erronés. L'observation de galaxies à fort redshift et le calcul de leur distance doit se faire avec l'aide d'un modèle cosmologique qui dit comment E(z) a évolué dans le temps, sous peine d'obtenir des résultats invalides.

## L'accélération de l'expansion de l'univers

Il est intéressant de savoir si l'expansion se fait à vitesse constante, ou si l'expansion accélère/décélère. Pour simplifier les calculs, nous allons omettre la vitesse de la lumière et nous concentrer sur la vitesse de l'expansion de l'univers. Cela ne change rien aux résultats que nous allons obtenir vu que la vitesse de la lumière est constante : sa dérivée est donc nulle, ce qui la rend inutile dans les calculs de dérivée qui vont suivre.

### L'accélération de l'expansion en fonction du paramètre de Hubble

Une première étape pour savoir si l'expansion ralentit ou accélère, est de calculer l'accélération de l'expansion de l'univers. Cette accélération est simplement égale à la dérivée de la vitesse de l'expansion.
    $a_{c}={\frac {d}{dt}}(H(t)\times r)$
En développant, on a :
    $a_{c}={\frac {dH(t)}{dt}}\times r+H(t)\times {\frac {dr}{dt}}$
Or, ${\frac {dr}{dt}}$ est simplement la vitesse d'expansion calculée avec la loi de Hubble, ce qui donne :
    $a_{c}={\frac {dH(t)}{dt}}\times r+H(t)^{2}\times r$
Le tout se simplifie en :
    $a_{c}=r\left(H(t)^{2}+{\frac {dH(t)}{dt}}\right)$

### L'accélération de l'expansion en fonction du facteur d'échelle

Une autre manière de quantifier l'accélération de l'expansion est de calculer la dérivée du facteur de Hubble. Le raisonnement derrière cette définition est assez simple. Le facteur de Hubble dit à quel taux les distances dans l'univers augmentent avec le temps. Si la dérivée est nulle, le facteur de Hubble est constant : l'expansion n’accélère pas plus qu'elle ne décélère. Inversement, une dérivée non-nulle nous dit comment le facteur de Hubble varie, et donc comment évolue l'expansion. Si la dérivée est positive, l’expansion accélère, et elle décélère pour le cas négatif.
Sachant que $H={\frac {a(t)'}{a(t)}}$, la dérivée du facteur de Hubble est la suivante :
    ${\frac {dH(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {a(t)'}{a(t)}}\right]$
On utilise alors la formule ${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {u(x)}{v(x)}}\right]={\frac {u(x)'}{v(x)}}-{\frac {u(x)v(x)'}{v(x)^{2}}}$
    ${\frac {dH(t)}{dt}}={\frac {a(t)''}{a(t)}}-{\frac {a(t)'^{2}}{a(t)^{2}}}$
Ce qui se simplifie, en utilisant le facteur de Hubble :
    ${\frac {dH(t)}{dt}}={\frac {a(t)''}{a(t)}}-H(t)^{2}$
On peut réorganiser les termes pour obtenir l'équation suivante :
    ${\frac {a(t)''}{a(t)}}={\frac {dH(t)}{dt}}+H(t)^{2}$
On peut en profiter pour identifier cette équation avec l'équation $a_{c}=r\left(H(t)^{2}+{\frac {dH(t)}{dt}}\right)$, ce qui donne :
    $a_{c}=r(t)\cdot {\frac {a(t)''}{a(t)}}$

### Le facteur de décélération

Il est courant que les cosmologistes utilisent ce qu'on appelle le facteur de décélération, un nombre calculé à partir du facteur de Hubble. Celui-ci est positif si l'expansion est décélérée, négatif si elle accélère, et reste constant si la vitesse d'expansion reste constante. Par définition, ce facteur de décélération q vaut :
    $q=-{\frac {a(t)''/a(t)'}{a(t)'/a(t)}}=-{\frac {a(t)''\cdot a(t)}{a(t)'^{2}}}$
En utilisant la formule $H(t)=a(t)'/a(t)$, la formule précédente se reformule comme suit :
    $q=-{\frac {a(t)''/a(t)'}{H(t)}}=-{\frac {a(t)''}{a(t)'\cdot H(t)}}=-{\frac {a(t)''}{a(t)\cdot H(t)^{2}}}=-{\frac {a(t)''}{a(t)}}\cdot {\frac {1}{H(t)^{2}}}$
On utilise alors la formule ${\frac {a(t)''}{a(t)}}={\frac {dH(t)}{dt}}+H(t)^{2}$ :
    $q=-\left({\frac {dH(t)}{dt}}+H(t)^{2}\right)\cdot {\frac {1}{H(t)^{2}}}$
Quelques manipulations algébriques donnent alors :
    $q=-\left(1+{\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}\right)$
Les formules précédentes peuvent se réécrire sous la forme ci-dessous. Cette formule sera importante dans la suite du cours, car les deux termes $H(t)^{2}$ et ${\frac {a(t)''}{a(t)}}$ peuvent se calculer assez facilement. Dans les chapitres sur les équations de Friedmann, nous verrons que le premier terme se calcule à partir de la première équation de Friedmann et le second terme à partir de la seconde équation de Friedmann. Autant dire que l'étude des modèles cosmologiques est fortement facilitée quand on connaît cette relation.
       ${\frac {a(t)''}{a(t)}}=-q\cdot H(t)^{2}$
Une autre formulation est la suivante :
    $q={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{H(t)}}-1$
La formule se démontre facilement si on calcule la dérivée suivante :
    ${\frac {d}{dt}}{\frac {1}{H(t)}}=-{\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}$
En combinant avec les équations précédentes qui donnent le facteur de décélération en fonction de ${\frac {H(t)'}{H(t)^{2}}}$, on retrouve l'équation précédente.

## Le lien entre expansion et facteur de Hubble

L'expansion, de part son action sur les distances, entraîne naturellement une variation des surfaces, volumes et densités. Prenons par exemple une sphère de rayon $r$ et de volume $V$ : son rayon augmentant avec le facteur d'échelle, son volume fera de même. Quelques calculs triviaux nous disent que son volume évolue avec le facteur d'échelle selon la formule suivante, avec $V_{0}$ le volume de la sphère à l'instant $t_{0}$.
    $V=V_{0}\times a^{3}$
Cette équation nous permet de déduire le rapport entre le facteur de Hubble et l'expansion des volumes. Pour cela, commençons par calculer la dérivée du volume :
    ${\frac {dV}{dt}}={\frac {d(V_{0}\cdot a^{3})}{dt}}=V_{0}{\frac {d(a^{3})}{dt}}=V_{0}\left(3\cdot a^{2}\cdot {\frac {da}{dt}}\right)$
Divisons ensuite par V, ce qui revient à diviser par : $V_{0}\times a^{3}$ :
    ${\frac {V'}{V}}={\frac {V_{0}(3\cdot a^{2}\cdot a')}{V_{0}\cdot a^{3}}}$
On simplifie par $V_{0}$ et par $a^{3}$ :
    ${\frac {V'}{V}}=3{\frac {a'}{a}}=3H$
La formule précédente peut aussi s'écrire de manière moins compacte comme ceci : ${\frac {1}{V}}{\frac {dV}{dt}}=3H$.
Cette équation sera réutilisée plus tard dans le cours, quand nous démontrerons l'équation du fluide de Friedmann.