# Électronique/Les filtres du premier et second ordre

Dans ce chapitre, nous allons voir les filtres du premier et du second ordre, plus précisément la manière dont ils sont fabriqués à partir de composants plus simples. Vous pouvez vous demander en quoi ces filtres méritent qu'on leur attribue un chapitre entier. La raison est que ces filtres de base sont souvent utilisés pour fabriquer des filtres plus compliqués. Il est parfaitement possible de créer des filtres extrêmement puissants en combinant les filtres simples que nous allons voir dans cette section.
Pour rappel, il existe deux grands types de filtres : les filtres passifs d'un côté, les filtres actifs de l'autre. Les filtres passifs sont composés intégralement de composants passifs, d'où leur nom. Ils ne contiennent donc que des résistances, des condensateurs et des bobines. Ils regroupent des filtres classiques, comme les filtres RC, RL et RLC que nous allons voir dans ce qui suit. À l'inverse, les filtres actifs contiennent des composants actifs, comme des amplificateurs opérationnels. Dans ce chapitre, nous allons d'abord voir les filtres passifs, avant de voir les filtres actifs.

## Les filtres passifs du premier et second ordre

Dans cette section, nous allons voir les filtres passifs les plus courants : les circuits RC, RL, et RLC.
    Une étude détaillée des circuits RC, RL et RLC est disponible dans le chapitre Les circuits RL, RC et RLC du wikilivre sur l’électricité. Je conseille vivement de lire ce lien avant de terminer la lecture de ce chapitre.

### Le circuit RC série

Le filtre RC série est composé d'une résistance et d'un condensateur placés en série. La tension d'entrée est envoyée sur la résistance, alors que la tension de sortie est récupérée aux bornes du condensateur. Le montage est équivalent à un pont diviseur et on peut calculer la tension de sortie à partir de la tension d'entrée et des impédances $Z_{c}$ et $Z_{R}$ du condensateur et de la résistance :
    $U_{c}=U\cdot {\frac {Z_{c}}{R+Z_{c}}}=U\cdot {\frac {1/jC\omega }{R+1/jC\omega }}=U\cdot {\frac {1}{1+jRC\omega }}$
On obtient donc la transmittance complexe suivante :
    $T={\frac {1}{1+jRC\omega }}$ pour le circuit RC.
Maintenant, étudions le circuit RC quand la fréquence de la tension d'entrée varie. Il se trouve que les choses varient selon que l'on étudie la tension aux bornes de la résistance ou du condensateur. Pour les hautes fréquences, on a :
    $U_{c}=U\cdot {\frac {1}{1+jRC\omega }}\approx U\cdot {\frac {1}{jRC\omega }}\approx 0$
    $U_{r}=U\cdot {\frac {jRC\omega }{1+jRC\omega }}\approx U\cdot {\frac {jRC\omega }{jRC\omega }}=U$
A basse fréquence, on a :
    $U_{c}=U\cdot {\frac {1}{1+jRC\omega }}\approx U$
    $U_{r}=U\cdot {\frac {jRC\omega }{1+jRC\omega }}\approx 0$
On voit que la tension aux bornes du condensateur est maximale à basse fréquence et nulle à haute fréquence. Ce montage agit donc comme un filtre passe-bas, à savoir qu'il laisse passer les basses fréquences, mais filtre, atténue les hautes fréquences. La tension aux bornes de la résistance fait exactement l'inverse : elle est maximale à haute fréquence et nulle à basse fréquence. Il s'agit donc d'un filtre passe-haut, à savoir qui filtre les basses fréquences mais n'atténue pas les hautes.
| Comportement en fréquence du circuit RC - tension aux bornes de la résistance. | Comportement en fréquence du circuit RC - tension aux bornes du condensateur. |

### Le circuit RL série

Le filtre RL série est composé d'une résistance et d'une bobine placées en série. La tension d'entrée est envoyée sur la résistance, alors que la tension de sortie est récupérée aux bornes de la bobine.
On peut obtenir la relation suivante à partir des lois élémentaires de l'électricité :
    $U_{l}=U\cdot {\frac {jL\omega }{R+jL\omega }}$
On obtient donc la transmittance complexe suivante :
    $T={\frac {jL\omega }{R+jL\omega }}$ pour le circuit RL.
Passons au cas du circuit RL. Il se trouve que les choses varient selon que l'on étudie la tension aux bornes de la résistance ou du condensateur. Pour les hautes fréquences, on a :
    $U_{l}=U\cdot {\frac {jL\omega }{R+jL\omega }}\approx U\cdot {\frac {jL\omega }{jL\omega }}\approx U$
    $U_{r}=U\cdot {\frac {R}{R+jL\omega }}\approx U\cdot {\frac {R}{jL\omega }}=0$
A basse fréquence, on a :
    $U_{l}=U\cdot {\frac {jL\omega }{R+jL\omega }}\approx U\cdot {\frac {jL\omega }{R}}=0$
    $U_{r}=U\cdot {\frac {R}{R+jL\omega }}\approx U\cdot {\frac {R}{R}}=U$
On voit que la tension aux bornes de la résistance est maximale à basse fréquence et nulle à haute fréquence. Ce montage agit donc comme un filtre passe-bas, à savoir qu'il laisse passer les basses fréquences, mais filtre, atténue les hautes fréquences. La tension aux bornes de la bobine fait exactement l'inverse : elle est maximale à haute fréquence et nulle à basse fréquence. Il s'agit donc d'un filtre passe-haut, à savoir qui filtre les basses fréquences mais n'atténue pas les hautes. Ce circuit est donc l'exact opposé du circuit RC.

### Le circuit RLC série

Le filtre RLC série est composé d'une résistance, d'un condensateur et d'une bobine placées en série. La tension d'entrée est envoyée sur la résistance, alors que la tension de sortie est récupérée aux bornes de la bobine.
On peut obtenir la relation suivante à partir des lois élémentaires de l'électricité :
    $Z_{eq}=R+j\left({\frac {LC\omega ^{2}-1}{C\omega }}\right)$
On peut calculer la tension aux bornes de la résistance en fonction de la tension d'entrée :
    $U_{s}=U_{e}\cdot {\frac {R}{R+j\left({\frac {LC\omega ^{2}-1}{C\omega }}\right)}}$
On a donc la transmittance suivante :
    $T={\frac {R}{R+j\left({\frac {LC\omega ^{2}-1}{C\omega }}\right)}}$
Le comportement de cette transmittance est intermédiaire entre celui d'un filtre passe-bas et passe-haut. Rien d'étonnant à cela, vu que ce circuit est un mélange entre un circuit RC et RL, qui sont respectivement passe-haut et passe-bas. Rien d'étonnant à ce qu'elle hérite des propriétés des circuits dont elle est composée. Son impédance est très élevée pour les hautes et basses fréquences, avec un minimum pour une bande de fréquences qui dépend du circuit. Elle filtre aussi bien les basses que hautes fréquences, ce qui fait qu'elle ne laisse passer que les fréquences intermédiaires. On dit qu'il s'agit d'un filtre passe-bande, sous-entendu qui ne laisse passer que les fréquences comprises dans un certain intervalle, une bande de fréquences.

## Les filtres actifs

Les filtres passifs précédents sont les plus simples à étudier et à comprendre. Mais il existe aussi des filtres actifs basés sur des amplificateurs opérationnels, des transistors ou des diodes, parfois d'autres composants. De nos jours, la méthode la plus utilisée dans l'industrie est celle des filtres actifs à capacité commutée, mais bien d'autres existent. Dans les grandes lignes, les filtres actifs fonctionnent à peu près comme leur équivalent passif, avec quelques différences mineures. Dans le détail, certains composants, comme les inductances ou les résistances, sont remplacés par un circuit équivalent qui comprend un AOP ou des transistors. La raison à cela est que, pour des circuits à basse fréquence, les inductances demandées par un filtre passif sont encombrantes et peu pratiques. De plus, il est difficile d'intégrer des inductances dans des circuits intégrés modernes, du fait des techniques de fabrication actuellement en vigueur. Même chose pour les résistances, qui ne sont pas simples à intégrer dans les circuits actuels. Heureusement, on peut fabriquer des filtres efficaces en se passant d'inductances et de résistances, en utilisant intelligemment des composants actifs. Les méthodes pour ce faire sont assez nombreuses, comme vous allez le voir dans ce qui suit.
Les filtres actifs les plus simples sont construits sur le même modèle qu'un circuit passif, sauf que l'inductance est remplacée par un petit circuit. Ils sont construits autour d'un AOP, entouré de résistances et de condensateurs. Cela leur vaut le nom de filtres actifs à réseau RC. Dans de tels filtres, l'inductance est remplacée par un petit circuit composé d'un AOP, d'une résistance et d'un condensateur. De tels circuits, qui simulent une inductance, sont appelés des simulateurs d'inductance. Il en existe un grand nombre, celui illustré ci-contre n'étant qu'un exemple parmi tant d'autres. Nous n'allons pas tous les étudier, mais sachez que celui qui est le plus utilisé actuellement est celui crée par Antoniou en 1969. Il a pour particularité d'être le seul qui soit très tolérant aux défauts de l'AOP utilisé, ce qui en fait le meilleur circuit possible actuellement connu. Par contre, il simule une inductance placée en parallèle du reste du circuit (remarquez dans le schéma ci-dessous qu'il n'y a qu'une seule connexion avec le reste du circuit).
Dans les filtres à capacités commutées, les résistances sont remplacées par des condensateurs couplés à des interrupteurs (des transistors, le plus souvent). Le principe de cette technique est que les deux interrupteurs sont commandés par un signal d'horloge. Le premier interrupteur s'ouvre sur un front montant et se ferme sur un front descendant, alors que le second fait l'inverse. Ainsi, le condensateur se charge suite au front montant, puis se décharge suite au front descendant. Sur une période, il laisse passer un courant bien précis, qui dépend de la tension d'entrée (qui sert de tension de charge), ce qui fait qu'il se comporte comme une résistance. Lors d'une période, il accumule, puis relâche une quantité $Q=C\cdot U$ de charges électriques. Le courant associé est donc de $I={\frac {Q}{T}}={\frac {C\cdot U}{T}}$. Cela donne une résistance égale à : $R={\frac {T}{C}}$. Les circuits à capacité commutée remplacent donc les résistances par le circuit illustré ci-contre. Cela ne se fait cependant pas sans heurts, le circuit devant souvent être modifié de manière à accommoder ce changement. Le simple remplacement ne suffit généralement pas et d'autres modifications assez tordues sont parfois nécessaires.
Dans ce qui suit, nous allons voir les filtres de type RC, sans voir en détail les filtres à capacité commutées. Pour faire simple, dites-vous que ces derniers sont fabriqués en remplaçant les résistances par des capacités commutées. Ce n'est pas totalement faux, mais c'est une simplification acceptable pour ce cours. Dans ce ui va suivre, nous allons donc voir les filtres les plus simples, les plus connus, en commençant par les filtres du premier ordre.

### Les filtres actifs RC du premier ordre

Il existe plusieurs filtres actifs RC de premier ordre. En voici quelques exemples, illustrés dans le tableau ci-dessous. Notez que ceux-ci n'utilisent pas le circuit de simulation d'inductance d'Antiniou.
| Réponse en fréquence | Schéma du circuit | Formule de la transmittance |
| Filtre passe-bas | Filtre passe-bas actif du premier ordre. | $T(\omega )=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}{\frac {1}{1+j{\frac {f}{f_{0}}}}}$, avec $f_{0}=-{\frac {1}{2\pi R_{2}C}}$ |
| Filtre passe-haut | Filtre passe-haut actif du premier ordre. | $T(\omega )=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}{\frac {1}{1+j{\frac {f_{0}}{f}}}}$, avec $f_{0}=-{\frac {1}{2\pi R_{1}C}}$ |
Les filtres du second ordre sont beaucoup plus nombreux, tant les méthodes pour les fabriquer sont différentes.

### Les filtres actifs RC de type Sallen-Key

Une des nombreuses méthodes pour fabriquer de tels filtres se base sur la topologie Sallen-Key, aussi appelée voltage control voltage source (VCVS). Elle est illustrée ci-dessous, dans le cas général et pour les filtres passe-bas et passe-haut. Elle a pour avantage d'être assez peu sensible aux défauts de l'AOP. La raison est que l'AOP est utilisé en tant qu'amplificateur seul, et non dans un montage intégrateur (comme des les autres filtres). Cela permet un fonctionnement à haute fréquence du montage, chose que les autres filtres ont du mal à faire sans AOP de grande qualité. Un autre avantage de cette topologie est qu'elle utilise des résistances et des condensateurs relativement similaires. Entre la plus petite résistance du montage et la plus grande, il n'y a guère qu'un ordre de grandeur en terme de conductance. Pareil pour les capacités, la plus petite étant plus faible d'à peine un ordre de grandeur de la plus grande. Par contre, de tels filtres sont assez difficile à régler, pour obtenir la bande passante exactement souhaitée.
| Réponse en fréquence | Formule de la transmittance |
| Topologie générale | ${\frac {v_{out}}{v_{in}}}={\frac {Z_{3}\cdot Z_{4}}{Z_{1}\cdot Z_{2}+Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})+Z_{3}\cdot Z_{4}}}$ |
| Filtre passe-bas | ${\frac {v_{out}}{v_{in}}}={\frac {j\omega (C_{1}\cdot C_{2})}{R_{1}\cdot R_{2}+j\omega C_{1}(R_{1}+R_{2})+j\omega (C_{1}\cdot C_{2})}}$ |
| Filtre passe-haut | ${\frac {v_{out}}{v_{in}}}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{j\omega (C_{1}\cdot C_{2})+R_{1}\cdot j\omega (C_{1}+C_{2})+R_{1}\cdot R_{2}}}$ |

### Les filtres actifs RC à rétroaction multiple

Une autre méthode est celle des filtres à rétroaction multiple, illustré ci-dessous. Il a les défauts et qualités inverses de celles des filtres Sallen-Key : bande passante assez mauvaise, fonctionnement à haute fréquence compliqué, résistances et condensateurs déséquilibrées, mais réglage facile.

### Les filtres actifs RC de type Biquad

Les filtres Biquad et les filtres à état variable sont deux types de filtres assez proches l'un de l'autre. Ils ont des avantages et inconvénients similaires aux filtres à rétroaction multiple. Une de leur particularité est que suivant où l'on prend la tension de sortie, la tension sera filtrée en passe-bas, passe-haut, ou passe-bande. Le même circuit peut donc servir à la fois de passe-bas, de passe-haut et passe-bande.
Détaillons un peu ces filtres. Ils sont composés d'un ou deux intégrateur en série, couplés à d'autres montages/composants. Dans le cas des filtres Biquad, ils sont formés de plusieurs montages à AOP mis en série : un sommateur, deux intégrateurs et éventuellement des montages multiplieurs. Dans certaines variantes optimisées, on arrive à n'utiliser qu'un seul intégrateur, mais le fonctionnement du circuit devient plus complexe. Pour comprendre comment fonctionne un filtre Biquad, il faut partir de l'équation de la transmittance d'un filtre du second ordre. Pour un filtre passe-haut, celle-ci peut s'écrire comme suit :
    ${\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {K\cdot \omega ^{2}}{\omega ^{2}+{\frac {1}{Q}}{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+\omega _{0}^{2}}}$
On peut réécrire cette équation comme ceci :
    $V_{out}=K\cdot V_{in}-{\frac {1}{Q}}{\frac {\omega _{0}}{\omega }}V_{out}-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}^{2}V_{out}$
Il se trouve que le terme $K\cdot V_{in}$ s'obtient avec un simple sommateur. De même, le terme ${\frac {\omega _{0}}{\omega }}V_{out}$ s'obtient en faisant passer la tension $V_{out}$ dans un intégrateur dont la constante de temps est égale à $-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}$. Un second passage dans un intégrateur identique donne le terme manquant ${\frac {\omega _{0}}{\omega }}^{2}V_{out}$. D'où la présence d'un montage sommateur et de deux montages intégrateurs à AOP. Reste ensuite à ajouter des multiplieurs pour tenir compte de divers facteurs multiplicatifs comme le facteur K et le facteur de qualité Q.
Maintenant, reprenons l'équation du filtre passe-haut vu en début de section. En la multipliant par $-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}$, on obtient l’équation d'un filtre passe-bande du second ordre ! Or, multiplier la tension de sortie initiale par $-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}$ est exactement ce que fait le premier intégrateur. En clair, la sortie du premier intégrateur se comporte comme un filtre passe-bande, dont le facteur de qualité est le même que le filtre passe-haut initial. Et si on re-multiplie encore par $-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}$, on obtient l'équation d'un filtre passe-bas, cette fois-ci. En clair, la sortie du second intégrateur est un filtre passe-bas dont le facteur de qualité est le même que les deux autres filtres précédents. On a donc trois filtres en un !
Précisons qu'il existe plusieurs manières de traduire cette équation en circuit, de nombreuses simplifications et optimisations étant possibles. La version la plus proche de l'équation, sans optimisations particulières, donnerait un circuit semblable à celui-ci :
Une autre possibilité est la suivante :
Et enfin, voici une dernière possibilité :
Il est possible de ruser pour éliminer des AOP au point de n'en conserver qu'un seul, ce qui donne un filtre Biquad à amplificateur unique. L'idée est de remplacer les AOP, sauf un, par un réseau RC, c'est à dire composé de résistances et de condensateurs. Ce réseau RC est placé dans une boucle, qui relie la sortie de l'AOP à son entrée. La conception du réseau RC est relativement complexe, aussi je n'en parlerais pas ici. Au niveau de leurs caractéristiques, ces circuits ont de moins bonnes performances, comme un gain ou une bande passante limitée. Mais ils sont parfaitement adapté aux circuits basse-consommation, pour lesquels un grand nombre d'AOP a tendance à faire augmenter la consommation plus que raison.
Il existe de nombreux autres types de filtres du second-ordre. Les voir en détail ne serait pas utile, ce qui fait que nous allons nous arrêter là pour cette section.