# Les suites et séries/Les séries de Riemann

Dans ce chapitre, nous allons voir les séries de Riemann et leurs liens avec les nombres premiers. Ces séries peuvent sembler assez peu intéressantes, mais il n'en est rien. Par exemple, les séries de Riemann sont impliquées dans diverses conjectures encore non-résolues sur les nombres premiers. Précisément, de telles suites ont un lien très fort avec la répartition des nombres premiers quand la raison est un nombre complexe. Nous aurons l'occasion de reparler de la fameuse fonction zéta de Riemann, qui n'est autre qu'une série associée à une suite de Riemann. Quelques suites de Riemann particulières donnent aussi des résultats assez intéressants quand on prend leur série (nous verrons cela dans quelques chapitres). Bref, laissons tout cela à plus tard. Nous étudierons ces suites dans les chapitres sur les sommes partielles et les séries.

## La série harmonique et ses dérivées

Nous allons commencer par voir la série harmonique et ses dérivées. Nous allons voir la série harmonique, puis les séries harmoniques généralisées. Dans cette section, nous ne parlerons pas des séries harmoniques alternées. La raison est qu'un futur chapitre est complètement dédié à l'analyse des séries alternées, et que nous avons décider de parler des séries harmoniques alternées dans ce dernier. Mais il y a une autre raison : vu que la série harmonique et ses dérivées divergent, leurs versions alternées convergent conditionnellement. On peut donc les faire diverger ou converger vers n'importe quelle valeur avec les manipulations adaptées.

### La série harmonique

La série de Riemann la plus connue est incontestablement la série harmonique. Pour rappel, la suite harmonique est la suite de l'inverse des entiers naturels :
    $S_{h}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{1}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+...$
Cette série a une limite qui tend vers zéro avec le rang, ce qui fait qu'on pourrait croire qu'elle converge. Mais rappelez-vous : si les suites convergentes ont une limite qui tend vers zéro, la réciproque n'est pas vraie. Et la série harmonique est justement un contre-exemple parfait : elle diverge alors que sa limite est nulle !
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{1}}}=\infty$
* Démonstration
* Pour démontrer que la série harmonique diverge, nous allons la comparer avec une suite qui diverge elle aussi. Dans les grandes lignes, nous allons prendre une suite dont chaque terme est inférieur au terme de même rang dans la suite harmonique. Si on additionne tous les termes de la suite harmonique, on sait que la somme des termes de l'autre suite sera donc inférieure : tous les termes de l'autre suite sont plus petits, donc leur somme doit aussi l'être. Si cette suite, plus petite, diverge, alors la série harmonique doit aussi diverger. Il s'agit d'une méthode de démonstration de divergence assez stéréotypée et assez utile. Il faut préciser qu'il existe une variante pour démontrer qu'une suite converge : on doit trouver une série convergente dont tous les termes sont plus grands que la suite étudiée.
* Or, voici une suite dont tous les termes sont plus petits que ceux de la suite harmonique (à rang égal), mais qui diverge :
* $S=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+...$
* Pour vérifier qu'elle diverge, regroupons les termes par paquets de deux, puis quatre, puis huit, etc.
* $S=1+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+...$
* $S=1+1+1+1+1+...$
* Cette série est équivalente à une série constante, quand on additionne tous ses termes : elle diverge ! Donc la série harmonique, dont tout les termes sont plus grands que la série précédente, diverge aussi. CQFD !

### Les séries harmoniques généralisées

Les séries harmoniques généralisées sont des séries de la forme :
    $S_{h}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a\cdot n+b}}$
Par exemple, on pourrait citer la série de l'inverse des entiers impairs.
Toutes divergent, sans exceptions. Le démontrer demande d'étudier deux cas : celui où $a\geq b$ et celui où $a<b$.
* Démonstration
* Supposons que :
* $a\geq b$
* Ajoutons $a\cdot n$ à l'inégalité précédente :
* $a\cdot n+a\geq a\cdot n+b$
* Si on prend l'inverse, l'inégalité s'inverse :
* ${\frac {1}{a\cdot n+a}}\leq {\frac {1}{a\cdot n+b}}$
* On utilise la formule ${\frac {1}{a\cdot n+a}}={\frac {1}{a}}{\frac {1}{n+1}}$ :
* ${\frac {1}{a}}{\frac {1}{n+1}}\leq {\frac {1}{a\cdot n+b}}$
* Prenons la série :
* $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a}}{\frac {1}{n+1}}\leq \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a\cdot n+b}}$
* On factorise $1 \over a$
* ${\frac {1}{a}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\leq \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a\cdot n+b}}$
* On sait que la série $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}$ diverge, ce qui fait que le terme de gauche diverge. La série harmonique généralisée étant encore supérieure, elle diverge elle aussi.
* Démonstration
* Supposons que :
* $a<b$
* Ajoutons $b\cdot n$ à l'inégalité précédente :
* $b\cdot n+a<b\cdot n+b$
* Si on prend l'inverse, l'inégalité s'inverse :
* ${\frac {1}{b\cdot n+a}}>{\frac {1}{b\cdot n+b}}$
* On utilise la formule ${\frac {1}{b\cdot n+b}}={\frac {1}{b}}{\frac {1}{n+1}}$ :
* ${\frac {1}{b\cdot n+a}}>{\frac {1}{b}}{\frac {1}{n+1}}$
* Prenons la série :
* $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{b\cdot n+a}}>\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{b}}{\frac {1}{n+1}}$
* On factorise $1 \over b$
* $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{b\cdot n+a}}>{\frac {1}{b}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}$
* On sait que la série $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}$ diverge, ce qui fait que le terme de gauche diverge. La série harmonique généralisée étant encore supérieure, elle diverge elle aussi.

## Les séries de Riemann (non-harmonique)

Les séries de Riemann ne sont autre que les séries des suites de Riemann. Pour rappel, ces dernières sont des suites de la forme :
    $u_{n}={\frac {1}{n^{r}}}$
Le coefficient r est appelé la raison de la suite, par analogie avec les suites géométriques. Elle peut être un nombre réel ou complexe et elle est souvent notée r pour un nombre réel et s pour un nombre complexe.
Les séries de Riemann sont notées $\zeta (r)$ et sont de la forme suivante :
    $\zeta (r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}$
    La série harmonique est un cas particulier de série de Riemann pour laquelle r = 1.
Plus la raison est grande, plus la limite obtenue est petite, ce qui fait que la fonction $\zeta (r)$ est décroissante, comme indiquée ci-dessous. Les théorèmes que nous verrons dans le prochain chapitre nous disent que cette série converge ou diverge selon la valeur de sa raison : une raison inférieure ou égale à 1 fait diverger la série, alors qu'une raison supérieure à 1 la fait converger. On peut aussi prouver que :
    $\lim _{r\rightarrow \infty }\zeta (r)=1$

### La série de l'inverse des carrés

Une autre série intéressante est la série de l’inverse des carrés.
    $\zeta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+...$
Un des mathématiciens les plus connu du 18ème siècle, Euler, a démontré que cette série valait :
    $\zeta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

### La série de l'inverse des cubes

Une autre série intéressante, bien qu'un peu moins que la précédente est la série de l’inverse des cubes.
    $\zeta (3)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+...$
Le résultat de cette série est une constante, appelée constante d'Apéry. On sait qu'il s'agit d'un nombre irrationnel, ce résultat ayant été démontré par Apéry lui-même, mais on ne sait pas encore s'il est transcendant ou non.
    $\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}\approx 1{,}202\,056\,903.$

### Les séries de Riemann à exposants pairs

Prenons les séries de Riemann dont l'exposant est un nombre pair. En clair, les suites de la forme : $\zeta (2n)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}$.
Il se trouve que toutes ces séries ont un résultat de la forme suivante avec $a$ un nombre rationnel (fractionnaire) :
    $\zeta (2n)\propto \pi ^{2k}$
Par exemple, on a :
| $\sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{2}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ | $\sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{4}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}$ | $\sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{6}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}$ | $\sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{8}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}$ |
Une formule plus détaillée est la suivante :
    $\zeta (2n)=(-1)^{k+1}\times {\frac {(2\pi )^{2k}}{2\cdot (2k)!}}\times B_{2k}$, avec $B_{n}$ le énième nombre de Bernouilli (nous avions déjà introduit les nombres de Bernouilli dans le chapitre sur les sommes de puissance).
Cette expression nous permet de trouver une approximation du énième nombre de Bernoulli, pour un n assez grand. En effet, prenons la limite de l'équation précédente quand 2n tend vers l'infini :
    $\lim _{r\rightarrow \infty }\zeta (2n)=\lim _{r\rightarrow \infty }\left[(-1)^{k+1}\times {\frac {(2\pi )^{2k}}{2\cdot (2k)!}}\times B_{2k}\right]$
Oublions le terme : $(-1)^{k+1}$ pour simplifier les calculs :
    $\lim _{r\rightarrow \infty }\zeta (2n)=\lim _{r\rightarrow \infty }\left[{\frac {(2\pi )^{2k}}{2\cdot (2k)!}}\times B_{2k}\right]$
Or, on sait que $\lim _{r\rightarrow \infty }\zeta (r)=1$. En faisant le remplacement, on trouve :
    $1=\lim _{r\rightarrow \infty }\left[{\frac {(2\pi )^{2k}}{2\cdot (2k)!}}\times B_{2k}\right]$
On réorganise les termes :
    $\lim _{r\rightarrow \infty }B_{2k}=\lim _{r\rightarrow \infty }{\frac {2\cdot (2k)!}{(2\pi )^{2k}}}$
Si n est assez grand, on peut remplacer la limite par une approximation.
    $B_{2k}\approx {\frac {2\cdot (2k)!}{(2\pi )^{2k}}}$

## Les séries liées aux nombres premiers

Certaines séries sont fabriquées à partir de nombres premiers, comme la suite de l'inverse des nombres premiers. Celles-ci sont très utiles pour étudier les nombres premiers, sans compter que la plupart ont des propriétés assez intéressantes.

### La série de l'inverse des nombres premiers

La série de l'inverse des nombres premiers est de loin la plus simple à étudier. Cette série n'est autre qu'une variante de la suite harmonique, dans laquelle on n'aurait conservé que les termes au dénominateur premier. Et il se trouve que cette série diverge !
    $\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\infty$
Un bon moyen de le prouver est de comparer cette série à une autre série, dont tous les termes sont inférieurs à la série des nombres premiers, qui est de plus connue pour diverger. Cette seconde série est la suivante :
    $\sum \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}$
On sait que chaque terme de la suite de l'inverse des nombres premiers est supérieur au terme de même rang de l'autre suite :
    $\sum _{\scriptstyle p{\text{ prime}} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}\geq \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}$
Vu que la seconde suite a une série qui diverge, celle des nombres premiers aussi.

#### La constante de Meissel–Mertens

Il est intéressant de comparer la somme partielle de l'inverse des premiers à d'autres fonctions/suites. Le fait que la suite de l'inverse des entiers soit une sorte de variante de la suite harmonique nous est utile pour choisir à quelle suite la comparer. On a vu plus haut que la différence entre la série harmonique et la série de la suite $u_{n}=\ln(\ln n)$ est une constante, appelée constante d'Euler-Mascheroni. Et bien on peut comparer la suite de l'inverse des premiers avec la suite $u_{n}=\ln(\ln n)$, mais dont on n'aurait conservé que les termes premiers. Et le résultat est plus ou moins le même avec seulement les premiers qu'avec tous les entiers : la différence converge vers une constante. Mais dans le cas avec seulement les termes premiers, la constante est différente de la constante d'Euler-Mascheroni. Pour résumer, la série de l'inverse des premiers et la série du double logarithme ne différent que d'une constante, appelée constante de Meissel–Mertens. Cette constante a pour définition la formule suivante, avec $\gamma$ la constante d'Euler-Mascheroni :
    $M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln n)\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]$
Sa valeur approchée est la suivante :
    $M\approx 0.26149/72128/47642/78375/54268/38608/69585/90516/\cdots$

### La série de l'inverse des nombres premiers jumeaux

Si la série des nombres premiers diverge, ce n'est pas le cas pour la série des nombres premiers jumeaux. Pour rappel, les nombres premiers jumeaux sont des nombres premiers tels que leur différence est égale à 2 (en clair, ce sont des couples de la forme $(p,p+2)$). Cette série se construit en prenant deux nombres premiers jumeaux et en additionnant leurs inverses. Cette série converge vers une constante appelée la constante de Brun.
    $\sum \limits _{p,\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots$