# Calcul écrit/Calcul de la racine quatrième d'un nombre

* Opérations arithmétiques élémentaires
** Faire une addition à la main
** Faire une soustraction à la main
** Faire une multiplication à la main
** Faire une division à la main
* Calculer une racine
** Calcul de la racine carrée d'un nombre
** Calcul de la racine cubique d'un nombre
** Calcul de la racine quatrième d'un nombre
** Calcul de la racine n-ième d'un nombre
* Opérations sur les polynômes
* Exercices
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L'extraction de la racine quatrième d'un nombre entier ou décimal telle qu'elle peut être pratiquée à la main ou à l'aide d'un ordinateur est une curiosité rarement exposée mais qui peut intéresser les amateurs.
Voici, présentée sur un exemple, la manière de procéder qui n'est qu'une extension de celle couramment pratiquée pour la racine carrée d'un nombre et assez généralement connue. La justification viendra ensuite.
Soit donc à extraire la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de l'entier 218889236736 (nombre que l'on sait a priori être la quatrième puissance de 684).
On dispose les calculs comme pour une division ordinaire, le nombre précédent prenant la place occupée généralement par le dividende, le résultat venant s'inscrire progressivement à la place du diviseur et les calculs auxiliaires à la place du quotient.

## Méthode

Les différentes étapes du calcul à effectuer sont les suivantes:

## Exemple

| 1 | 2 | 9 | 6 | | | | | | | | | | | ▮ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ |
| ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | | | | | | | | | | | ▮ | | | 4 | × | 6 | 0 | ³ | = | | 8 | 6 | 4 | 0 | 0 | 0 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | 8 | 9 | 2 | | 8 | 9 | 2 | 3 | | | | | | ▮ | 6 | × | 6 | 0 | ² | × | 8 | = | | 1 | 7 | 2 | 8 | 0 | 0 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| — | 8 | 4 | 2 | | 1 | 3 | 7 | 6 | | | | | | ▮ | 4 | × | 6 | 0 | × | 8 | ² | = | | | 1 | 5 | 3 | 6 | 0 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | ▬ | ▬ | ▬ | | | | | | | | | | | ▮ | | | | | | 8 | ³ | = | | | | | 5 | 1 | 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | 5 | 0 | | 7 | 5 | 4 | 7 | | 6 | 7 | 3 | 6 | ▮ | | | T | o | t | a | l | = | 1 | 0 | 5 | 2 | 6 | 7 | 2 | × | 8 | = | 8 | 4 | 2 | | 1 | 3 | 7 | 6 | | | | | | | | |
| | — | 5 | 0 | | 7 | 5 | 4 | 7 | | 6 | 7 | 3 | 6 | ▮ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ |
| | | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▬ | ▮ | | | 4 | × | 6 | 8 | 0 | ³ | = | 1 | 2 | 5 | 7 | 7 | 2 | 8 | 0 | 0 | 0 | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | R | e | s | t | e | | 0 | ▮ | 6 | × | 6 | 8 | 0 | ² | × | 4 | = | | | 1 | 1 | 0 | 9 | 7 | 6 | 0 | 0 | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | ▮ | 4 | × | 6 | 8 | 0 | × | 4 | ² | = | | | | | | 4 | 3 | 5 | 2 | 0 | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | ▮ | | | | | | | 4 | ³ | = | | | | | | | | | 6 | 4 | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | ▮ | | | | T | o | t | a | l | = | 1 | 2 | 6 | 8 | 8 | 6 | 9 | 1 | 8 | 4 | × | 4 | = | 5 | 0 | | 7 | 5 | 4 | 7 | | 6 | 7 | 3 | 6 |

## Justification

Soit A un entier, A$_1$ le nombre de dizaines de mille de A et x la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de A$_1$. Alors x est le nombre de dizaines de la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de l'entier A.
On a
$\leq$
et
$\leq$
donc
$\leq$
Or A$_1$ et (x + 1)$^4$ étant des entiers distincts, leur différence est supérieure ou égale à l'unité. Donc :
$\geq$
et donc
$\geq$
donc
On a donc en définitive :
$\leq$
$\leq$
ce qui établit l'énoncé précédent puisque
$\leq$
Il résulte de là que, si y est le chiffre des unités de la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de A, on a
$\leq$
et que
R étant le reste de l'opération, reste qui vérifie d'ailleurs la relation
ou, tous calculs faits :
Ainsi, on a donc :
ou, ce qui est mieux :
Désignons par B la différence
différence que l'on appellera le premier reste partiel de l'opération.
On a
donc
Alors le quotient de B par 4.(10x)$^3$, c'est-à-dire par le quadruple du cube du décuple de x est un nombre supérieur ou égal à y, y ne pouvant dépasser le chiffre 9 . Si donc on prend pour y un chiffre inférieur (au sens large) à la fois à 9 et à la partie entière de ce quotient, on aura soit le chiffre des unités de la racine quatrième cherchée, soit un chiffre trop fort. Pour lever l'ambigüité il suffit de former le nombre 10x + y, donc de placer le chiffre y à droite de x et d'élever le résultat à sa quatrième puissance. Si le résultat est inférieur ou égal à A, c'est que y convient et la racine quatrième de A approchée à une unité près par défaut est le nombre 10x + y, sinon on refait des essais identiques avec les nombres y - 1, y - 2, etc ...jusqu'à obtenir un résultat inférieur ou égal à A, la dernière tentative livrant donc le chiffre des unités de la racine quatrième.
Ce qui précède justifie les calculs effectués dans l'exemple donné en préambule. Le lecteur habitué aux raisonnements mathématiques n'aura aucune peine à compléter l'explication pour lui-même.
Il ne semble pas utile de dire, puisque c'est évident, que si le nombre A possède des chiffres après la virgule, pour obtenir des décimales au résultat, il suffit de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de quatre chiffres, d'"abaisser" celles-ci et de continuer de la même façon qu'auparavant en plaçant la virgule à l'endroit approprié du résultat.
Enfin, si le nombre A n'est pas une quatrième puissance parfaite, pour obtenir des décimales à la racine quatrième, il suffit là encore de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de quatre chiffres et d'"abaisser" celles-ci une fois arrivé à la fin du nombre.