# Solution analytique à l'intersection de deux corps creux à parois épaisses

Cet article illustre, à partir d'un cas courant d'assemblage de deux tubes épais (dans le jargon des tuyauteurs, un piquage et un collecteur) d'axes orthogonaux non concourants (voir fig. 1), une méthode analytique basée sur l'utilisation des propriétés métriques des droites, plans et des coniques. Le but est de déterminer l'intersection de ces deux corps creux et épais en vue de les assembler par soudage.
Pour effectuer un assemblage convenable il est nécessaire d'obtenir des caractéristiques géométriques précises de la préparation afin de permettre, quelle que soit la position de soudage :
L'angle d'ouverture ${\widehat {O}}$ de la préparation soudage est fonction de l'expérience de chacun. Dans l'étude qui suit, les limites sont :
De même, l'angle de chanfreinage ${\widehat {chf}}$ du piquage étant évolutif tout le long de la courbe d'intersection des deux tubes, nous avons fixé un angle minimum de chanfreinage égal à 50°.

## Nature des sections

La méthode utilisée pour déterminer les caractéristiques géométriques de la préparation soudage est une application analytique de la méthode dite des plans sécants de la géométrie descriptive (ou du traçage des métaux en feuille). Un plan contenant l'axe du piquage, coupe les deux corps de manière à déterminer (voir fig. 2) :
* Une section elliptique dans le collecteur, et
* Une section de type bi-rectangulaire dans le piquage.

## La méthode
### Utilisation des plans sécants

Le plan sécant $[P_{\theta }]$ contient l'axe du piquage $[0y]$, sa trace horizontale fait un angle $\theta$ avec $[0x]$ (voir fig. 3).
* La préparation soudage est déterminée dans le repère orthonormé $[x'0y]$ contenant $[P_{\theta }]$
* $\theta \in [0,2\pi ]$
* ${\overline {OO'}}={\frac {d}{\sin {\theta }}}$ avec "d" représentant la distance entre les axes piquage et collecteur, dans le jargon des tuyauteurs "d" est la désaxée.
Les points de la courbe d'intersections des deux tubes sont déterminés dans le plan sécant $[P_{\theta }]$ c'est à dire sous la forme de l'intersection des sections ainsi obtenues (voir fig. 4) :
* Des génératrices des cylindres intérieur, intermédiaires et extérieur du piquage, et
* des sections elliptiques déterminées dans le collecteur.
Nota : Comme le piquage ne traverse pas le collecteur de part en part, les points d'intersections qui nous intéressent correspondent aux racines positives des équations.

### Paramétrage

La préparation doit évoluer dans des limites fixées par l'expérience propre et/ou le savoir faire des professionnels. Toutes variations brusques peut être source de défauts internes, d'aspect ou de profil de soudure voire de cosmétique générale. Une relation est paramétrée entre la position du plan $[P_{\theta }]$ et l'angle d'ouverture ${\widehat {O}}$ acceptable comme suit :
* Pour $\theta =0$ ou $\theta =2\pi$ ;
    ${\widehat {O}}={\widehat {O_{1}}}$, par exemple 45°
* Pour $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ;
    ${\widehat {O}}={\widehat {O_{2}}}$, par exemple 60°
* Pour $\theta =\pi$ ;
    ${\widehat {O}}={\widehat {O_{3}}}$ , par exemple 45°
* Pour $\theta ={\frac {3\pi }{2}}$ ;
    ${\widehat {O}}={\widehat {O_{4}}}$ , par exemple 45°
Entre ces valeurs fixées par l'expérience, la loi de variation de l'angle d'ouverture est choisie, pour une transition douce, comme suit :
* Pour $\theta \in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ ;
    ${\widehat {O}}={\widehat {O_{1}}}+({\widehat {O_{2}}}-{\widehat {O_{1}}})|\sin {\theta }|$.
* Pour $\theta \in ]{\frac {\pi }{2}},\pi ]$ ;
    ${\widehat {O}}={\widehat {O_{3}}}+({\widehat {O_{2}}}-{\widehat {O_{3}}})|\sin {\theta }|$.
* Pour $\theta \in ]\pi ,{\frac {3\pi }{2}}]$ ;
    ${\widehat {O}}={\widehat {O_{3}}}+({\widehat {O_{4}}}-{\widehat {O_{3}}})|\sin {\theta }|$.
* Pour $\theta \in ]{\frac {3\pi }{2}},2\pi ]$ ;
    ${\widehat {O}}={\widehat {O_{1}}}+({\widehat {O_{4}}}-{\widehat {O_{1}}})|\sin {\theta }|$.

### Calcul des points d'intersection

Les points naturels de l'intersection sont représentés en fig. 5 avec les conventions suivantes ;
Pour le piquage :
* $r_{i}=$ rayon intérieur du piquage
* $r_{e}=$ rayon extérieur du piquage
* $P_{i}=$ Surface intérieure du piquage, et
* $P_{e}=$ Surface extérieure du piquage,
Pour le collecteur :
* $R_{i}=$ rayon intérieur du collecteur,
* $R_{e}=$ rayon extérieur du collecteur,
* $C_{i}=$ Surface intérieure du collecteur, et
* $C_{e}=$ Surface extérieure du collecteur.
Les points d'intersection :
* Les points de type "I" correspondent à l'intersection de la surface intérieure du piquage avec la surface intérieure du collecteur,
* Les points de type "E" correspondent à l'intersection de la surface extérieure du piquage avec la surface intérieure du collecteur, et
* Les points de type "N" correspondent à l'intersection de la surface extérieure du piquage avec la surface extérieure du collecteur.

### Détermination de l'équation paramétrique de la courbe d'intersection

L'abscisse $x_{\theta }$ du point d'intersection, voir fig. 4, est :
    $x_{\theta }={\overline {OO'}}+r$, avec $r\in [r_{i},r_{e}]$ soit :
* $x_{\theta }={\frac {d}{\sin {\theta }}}+r$
La section de collecteur contenue dans le plan $[P_{\theta }]$ est une ellipse dont les axes sont :
    $a={\frac {R}{\sin {\theta }}},b=R$ avec $R\in [R_{i},R_{e}]$, son équation est :
    $[{\frac {x_{\theta }}{a}}]^{2}+[{\frac {y_{\theta }}{b}}]^{2}-1=0$ ;
    $x_{\theta }^{2}.\sin ^{2}{\theta }+y_{\theta }^{2}-R^{2}=0$ ;
    $y_{\theta }={\sqrt {(R^{2}-(x_{\theta }\sin {\theta })^{2}}}$, en remplaçant $x_{\theta }$ par sa valeur :

## Préparation du piquage
### Mesure et contrôle de l'angle de chanfreinage du piquage

L'équation paramétrique de la courbe d'intersection $x=f(\theta )$ et $y=g(\theta )$ permet de définir les coordonnées des points "I", "E" et "N" de la fig. 5 qui l'on désigne comme suit :
* $I_{\theta }(xi_{\theta },yi_{\theta })$
* $E_{\theta }(xe_{\theta },ye_{\theta })$
* $N_{\theta }(xn_{\theta },yn_{\theta })$
L'angle de chanfreinage ${\widehat {chf}}$ est donné, tout le long de la courbe d'intersection, par ${\widehat {chf}}=\scriptstyle {\overrightarrow {EN}}.\scriptstyle {\overrightarrow {EI}}$, avec :
    $\scriptstyle {\overrightarrow {EN}}={\begin{pmatrix}xn_{\theta }-xe_{\theta }\\yn_{\theta }-ye_{\theta }\end{pmatrix}}$ et $\scriptstyle {\overrightarrow {EI}}={\begin{pmatrix}xi_{\theta }-xe_{\theta }\\yi_{\theta }-ye_{\theta }\end{pmatrix}}$.
L'angle entre ces deux vecteurs est donné par :
    $\cos({\widehat {chf}})={\frac {\scriptstyle {\overrightarrow {EN}}.\scriptstyle {\overrightarrow {EI}}}{|EN|^{2}.|EI|^{2}}}$
* $\cos {\widehat {chf}}={\frac {(xn_{\theta }-xe_{\theta })(xi_{\theta }-xe_{\theta })+(yn_{\theta }-ye_{\theta })(yi_{\theta }-ye_{\theta })}{{\sqrt {}(xn_{\theta }-xe_{\theta })^{2}+(yn_{\theta }-ye_{\theta })^{2})){\sqrt {}(xi_{\theta }-xe_{\theta })^{2}+(yi_{\theta }-ye_{\theta })^{2}))}}$
Lorsque l'angle de chanfreinage est trouvé hors tolérance, il existe un point $M_{\theta }{\begin{pmatrix}xm_{\theta }\\ym_{\theta }\end{pmatrix}}$ par lequel passe une génératrice dite de contact comprise entre $P_{i}$ et $P_{e}$ (voir Fig. 6) qui coupe $C_{i}$ tel que $\cos({\widehat {chf}})$ soit acceptable. Problème que l'on résoud en déterminant, dans une boucle de calcul, un point d'abscisse intermédiaire $xm$ compris entre $xn_{\theta }$ et $xi_{\theta }$.

### Coupage et chanfreinage du piquage

L'extrémité du piquage est entièrement définie par les trois courbes, $I_{\theta }$, $E_{\theta }$ et $N_{\theta }$. Le tracé de la courbe de coupage correspond à la courbe $E_{\theta }$ que l'on reproduit sur la peau extérieure du tube. Le coupage doit être effectué perpendiculairement au tracé.
Le tracé de la courbe $I_{\theta }$ doit être reproduit sur la peau intérieure du piquage, et celui de la courbe $N_{\theta }$ sur la peau extérieure.
La projection de la courbe $E_{\theta }$ dans l'épaisseur se fait en portant la mesure $xe_{\theta }-xi_{\theta }$ à même le champ découpé. On procédera au chanfreinage en délardant le piquage suivant les pentes $\scriptstyle {\overrightarrow {IE}}$ pour l'intérieur du piquage et $\scriptstyle {\overrightarrow {EN}}$ ou, selon le cas $\scriptstyle {\overrightarrow {EM}}$ pour l'extérieur.

## Préparation du collecteur
### La pénétration piquage / collecteur

La fig. 7 montre une section de la préparation soudage en $\theta$ quelconque, et fait apparaître le point $P$ du collecteur. $\scriptstyle {\overrightarrow {PE}}$ représente la direction de chanfreinage de la pénétration dans le collecteur.
L'angle de chanfreinage ${\widehat {\beta }}$ du collecteur est donné par :
* ${\widehat {\beta }}={\widehat {\alpha }}-{\widehat {O_{\theta }}}$,
avec ;
    ${\widehat {\alpha }}=\arctan \left({\frac {yn_{\theta }-ye_{\theta }}{xn_{\theta }-xe_{\theta }}}\right)$
Le point "P" est un point d'intersection entre :
* la droite passant par "E" et de vecteur directeur ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}\sin {\beta }\\\cos {\beta }\end{pmatrix}}$,
et
* La section elliptique extérieure du collecteur.
L’équation d'une telle droite est donnée, sous la forme d'un déterminant, par :
* ${\begin{vmatrix}x-xe_{\theta }&\cos {\beta }\\y-ye_{\theta }&\sin {\beta }\end{vmatrix}}=0$
de la forme $y=mx+p$, avec :
    $m=-\tan {\beta }$
et
    $p=ye_{\theta }-xe_{\theta }$
Les coordonnées du point "P" s'obtiennent en égalisant l'équation de cette droite avec l'équation de l'ellipse (voir chap. "Détermination de l'équation paramétrique de la courbe d'intersection" ci dessus), en prenant "R" égal au rayon extérieur du collecteur,
    $x_{\theta }^{2}.\sin ^{2}{\theta }+y_{\theta }^{2}-R^{2}=0$.
* $x^{2}(m^{2}+\sin ^{2}{\theta })+2mpx+p^{2}-R^{2}=0$
En posant :
    $A=m^{2}+\sin ^{2}{\theta }$,
    $B=mp$,
    $C=p^{2}-R^{2}$.
    $P_{\theta }{\begin{pmatrix}xp_{\theta }\\yp_{\theta }\end{pmatrix}}$
avec :
* $Xp_{\theta }={\frac {-B+{\sqrt {}B^{2}-AC)}{A}}$
et
* $Yp_{\theta }=mXp_{\theta }+p$

### Coupage de la pénétration

Le découpe doit s'effectuer perpendiculairement à la peau extérieure du collecteur mais, à la différence du piquage, en suivant le tracé intérieur aux courbes "E" et "P". En effet, dans le cas d'un assemblage piquage droit, le tracé de "E" ne croise jamais le tracè de "P" cependant, dans le cas ou le piquage n'est pas droit et en fonction de l'angle d'inclinaison du piquage, les deux tracés peuvent se croiser.

### Reproduction du développement du piquage sur table traçante

Le développement du piquage est une courbe d'équation paramétrique fonction de $\theta$ dans laquelle "r" est égale au rayon extérieur du piquage. Dans le cas de la confection d'un modèle papier qui servira à reproduire le développement sur la pièce réelle, on ajoute 0,5mm au rayon extérieur :
    Equation paramétrique du développement :
* $X=r\theta$
* $Y=ye_{\theta }$
nota : Ce développement correspond à la partie chutée.
Les trois courbes à tracer sont :
* La courbe de contact "E" qui détermine la coupe,
* La courbe intérieure du piquage "I",
* La courbe de chanfreinage "N" éloignée de la courbe de contact "E" de la valeur (voir fig. 8) $yn_{\theta }=ye_{\theta }$. Celle-ci doit être reportée sur la perpendiculaire à la tangente en "E" au point de coordonnées $xe_{\theta },ye_{\theta }$.
En tout point de "E", la tangente est donnée par la dérivée. L'angle $\gamma$ que fait cette tangente avec l'axe $0,x$ est :
    $\tan {\gamma }={\frac {Y'}{X'}}$
soit ;
    $\tan {\gamma }={\frac {(d-r.\sin {\theta }).\cos {\theta }}{{\sqrt {}R^{2}-(d+r.\sin {\theta })^{2})}}$
Avec $r=rint)+(xe-xi)$ pour tenir compte du fait que "xe" n'est pas toujours situé sur la peau extérieure.
La courbe d'équation paramétrique de "N" est donnée par :
* $X=Xe_{\theta }+\delta X$
* $Y=Ye_{\theta }+\delta Y$
Avec :
* $\delta X=(yn_{\theta }-ye_{\theta }).\cos {(\gamma +{\frac {\pi }{2)}}}$
* $\delta Y=(yn_{\theta }-ye_{\theta }).\sin {(\gamma +{\frac {\pi }{2)}}}$

### Optimisation du nombre de génératrices pour développer le piquage

Hypothèse : Le concepteur décide d'assimiler l'arc de courbe compris entre $E1_{\theta },E1_{\theta }$ par un segment de droite $|E1_{\theta },E1_{\theta }|$ si les tangentes en ces deux points forment un angles au plus égal à 1°.
Le développement sera constitué (voir fig. 9) d'une succession de segments de droites de longueurs optimisées.

### Cas du collecteur

La pénétration est composée de deux courbes (voirt fig. 10) :
    La courbe de contact $E_{\theta }$, et
    La courbe de chanfreinage $P_{\theta }$ éloignée de la première de la valeur $\scriptstyle \|{\overrightarrow {NP_{\theta }}}\|$.
L'équation paramétrique de $E_{\theta }$ est :
* $X=r.\cos {\theta }$
* $Y=\arcsin {\frac {X_{\theta }.\sin {\theta }}{R}}$
Avec "R" égal au rayon extérieur du collecteur.
Comme pour le piquage, nous calculons la dérivée de cette fonction pour obtenir la courbe de chanfreinage :
* $X'=-r.\sin {\theta }$
* $Y'=-[{\frac {r.\cos {\theta }}{\sqrt {(1-[{\frac {X_{\theta }.\sin {\theta }}{R}}]^{2})}}}]$
Soit :
    $\tan {\gamma }={\frac {\cos {\theta }}{(\sin {\theta }).{\sqrt {(1-[{\frac {X_{\theta }.\sin {\theta }}{R}}]^{2})}}}}$
Avec :
    "R" égal au rayon extérieur du collecteur.
    $r=rint+(xe_{\theta }-xi_{\theta })$
    $\scriptstyle \|{\overrightarrow {NP_{\theta }}}\|=\scriptstyle {\sqrt {(Xp_{\theta }-Xn_{\theta })^{2}+(Yp_{\theta }-Yn_{\theta })^{2}}}$
L'équation paramétrique de la courbe de chanfreinage $P_{\theta }$ est :
* $X=Xe_{\theta }-\delta X$
* $Y=Ye_{\theta }-\delta Y$
avec :
* $\delta X=\scriptstyle \|{\overrightarrow {NP_{\theta }}}\|.\cos {(\gamma +{\frac {\pi }{2)}}}$
* $\delta Y=\scriptstyle \|{\overrightarrow {NP_{\theta }}}\|.\sin {(\gamma +{\frac {\pi }{2)}}}$

### Suppression des points de rebroussement

Les points de rebroussement produisent des changements brusques de direction dans la préparation soudage, ce qui n'est pas compatible avec un soudage correct des deux éléments à assembler aussi, ces points peuvent être adouci en traçant un cercle tangent de rayon égal à la plus forte épaisseur des deux corps comme illustré aux figures 10 et 11.

## Liens internes

* Propriétés métriques des droites et plans
* Équation du second degré
* Traçage(chaudronnerie)
* Ellipsoïde
* Hyperboloïde
* Calcul vectoriel en géométrie euclidienne
* Plan
* Équation de droite