# Méthodes de propulsion spatiale/Principes fondamentaux de la propulsion

Méthodes de propulsion spatialePrincipes fondamentaux de la propulsion :
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DANS NOTRE VIE DE TOUS LES JOURS, nous utilisons, sans toujours le savoir, le principe de la propulsion. Donnons un exemple simple : un nageur se déplace dans l'eau en se propulsant grâce à ses mouvements.
Tous les modes de propulsion font appel à la réaction. Reprenons l'exemple du nageur : ses mouvements projettent en arrière des volumes d'eau et ainsi, par réaction, le nageur avance. Un navire brasse de l'eau et la projette dans le sens opposé à celui dans lequel il se dirigent. Un exemple encore plus simple : un enfant, monté sur une planche à roulettes et projetant son cartable roulera dans le sens inverse du lancé.
L'industrie aéronautique possède aujourd'hui une série de nombreux systèmes de propulsion, adaptés aux différents types d'appareils. Les avions de combat sont ainsi équipés de turboréacteurs (FIGURE 1), fonctionnant selon le principe suivant. L'air est d'abord aspiré puis comprimé. Du kérosène est injecté dans l'air puis enflammé, provoquant une dilatation des gaz, qui s'échappent à grande vitesse par la tuyère. Pour le nageur, c'était les volumes d'eau projetés qui propulsaient le sportif ; dans le cas d'un turboréacteur, ce sont les gaz enflammés.
Le turboréacteur n'est qu'un exemple — entre pulsoréacteur, statoréacteur, superstato, et d'autres encore...

## Les trois lois de Newton sur le mouvement

Isaac Newton, scientifique Anglais du 17esiècle, a établi 3 lois sur le mouvement des corps :
* Le principe de l'inertie. Le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système est constant si et seulement si la somme des vecteurs forces qui s'exercent sur le système est un vecteur nul.
* Le principe fondamental de la dynamique de translation. L'accélération a subie par un corps est proportionnelle à la résultante des forces F qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m. $F=ma$.
* Le principe des actions réciproques. Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même direction mais de sens opposé, exercée par le corps B.
Les moteurs-fusées fonctionnent selon un principe similaire au turboréacteur. La propulsion est produite par la combustion d'un combustible et d'un comburant, stockés dans les réservoirs embarqués. Les gaz produits par la combustion sont rejetés en arrière, vers le sol. Dans un corps entièrement clos, la pression à l'intérieur de la fusée s'exerce de façon identique sur chaque paroi. En revanche, si on perce une des parois, l'équilibre est rompu (FIGURE 2).
Selon la 3e loi de Newton sur le mouvement (toute action produit une réaction opposée), on peut donc émettre comme première approximation que la poussée développée est égale à l'aire de l'ouverture multipliée par la pression interne ; cette approximation reste cependant très grossière.

## Conservation de la quantité de mouvement

La quantité de mouvement d'un système est égale à sa masse multipliée par sa vitesse. Si un des membres du système change de vitesse, l'autre membre éprouvera une variation de vitesse dans l'autre sens : la quantité de mouvement du système reste inchangée (FIGURE 3).
L'exemple le plus connu est celui du canon.
Avant le tir, le système canon-boulet est immobile, sa quantité de mouvement est donc égale à 0. À la mise à feu, le boulet prend de la vitesse et sa quantité de mouvement augmente. Le canon acquiert alors une quantité de mouvement identique vers l'arrière. Le canon étant bien plus lourd, il reculera avec une faible vitesse, mais reculera néanmoins.
Considérons un obus de 6 kilogrammes tiré à 500 m/s depuis un char d'assaut de 20 tonnes. Lors du tir, la quantité de mouvement de l'obus est de $6\times 500=3000$ m/s·kilogramme. La quantité de mouvement du char va donc être identique. Pour trouver sa vitesse de recul, il suffit de poser l'équation $V\times 20000=3000$. Après résolution, on trouve $V=0,15$ m/s. On arrive là à une des faiblesses de cette loi, puisqu'elle ne tient pas compte des frottements au sol. Le char est bien calé et ne recule pas ; cela permet simplement de se faire une idée de la force engendrée.
Pour une fusée, les deux membres du système sont la fusée en elle-même et les gaz éjectés. La quantité de mouvement des gaz est égale à la masse éjectée, pour une seconde, multipliée par leur vitesse d'éjection : ce produit est nommé débit massique. La quantité de mouvement de la fusée est égale au produit de son accroissement de vitesse en une seconde par sa masse. Ce produit n'est autre que la force qui est produite par le lanceur ; elle s'exprime en newtons (voir paragraphe « Les 3 lois de Newton sur le mouvement »). Cette force est dénommée poussée.
Considérons désormais un moteur-fusée au débit massique de 10 kg/s. Les gaz sont éjectés à 1000 m/s. La poussée qu'il communique au lanceur est donc de $10\times 1000=10000N$.

## Satellisation

Pour comprendre pourquoi les satellites tournent, nous allons imaginer que nous construisons une tour de 300 kilomètres de hauteur (FIGURE 4). En haut de cette tour, nous installons un canon. Nous tirons un premier boulet, avec une certaine quantité de poudre (cas A). Le boulet va décrire une trajectoire courbe, et retomber sur Terre sous l'effet de la gravité. Tirons un nouveau boulet, en mettant plus de poudre. Le boulet va partir avec plus de vitesse, il va aller plus loin, et retomber au sol (cas B). Nous essayons une nouvelle fois, avec une importante quantité de poudre. Le boulet va aller encore plus vite, il va à nouveau décrire une trajectoire courbe mais le sol va se dérober sous lui : la Terre est ronde ! Il va donc tomber indéfiniment autour de la Terre : il est sur orbite (cas C).
Les satellites sont mis sur leur orbite par un lanceur. Le lanceur est tiré à la verticale, puis basculé à l'horizontale pour donner de la vitesse au satellite. N'est-ce pas exactement la même chose que notre histoire du canon sur sa tour de 300 km ?
Le mouvement d'un satellite sur orbite est régi par les 3 lois de Kepler. De savantes formules montrerons que la vitesse a laquelle le satellite doit être mis sur orbite dépend de la masse de l'astre autour duquel il doit tourner et de l'altitude de l'orbite. Sur Terre, pour une orbite basse à 200 kilomètres, la vitesse sera de 7,78 kilomètres/seconde. Elle est de 3,09 km/s pour une orbite géostationnaire, à près de 36 000 kilomètres...
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## Rendement propulsif

On appelle puissance utile le produit de la poussée par la vitesse de la fusée. Elle est nulle pour une fusée au repos, mais augmente avec la vitesse de la fusée.
La propulsion par réaction n'est pas le moyen idéal pour tirer profit au maximum de la vitesse des gaz éjectés. En effet, ceux-ci sont abandonnés, mais ils sont toujours en mouvement : il y a une perte. La puissance disponible est donc la somme de la puissance utile et de la puissance perdue.
On peut donc calculer le rendement propulsif, rapport de la puissance utile à la puissance disponible. Ce rapport mesure l'efficacité avec laquelle la propulsion utilise la puissance des gaz éjectés.

## Impulsion spécifique

Afin de pouvoir classer et comparer les différents carburants, un critère de performance a été établi : l'impulsion spécifique. Il est défini par :
    $I_{sp}={\frac {F}{{\dot {m}}\,g_{0}}}$
où F est la poussée fournie par la propulsion, $^{m˙{\displaystyle{\dot{m}}}}$ le débit de matière éjecté et g$_0$ l'accélération de la pesanteur à l'altitude 0.
Le résultat obtenu, exprimé en secondes, représente le temps qu'une fusée pourra produire une poussée de 9,81N avec 1kg d'ergol en considérant que seul le carburant est embarqué : dans nos calculs, la masse de la fusée est égale à 1kg.
| Mode de propulsion | I$_{sp}$ (en s) | Commentaires |
| LO$_2$ . LH$_2$ | 435 | Liquide |
| LO$_2$ (Kérosène) | 320 | |
| N$_2$O$_4$ - (UDMH) | 305 | UDMH (diméthyldrazine dissymétrique) très toxique |
| Réacteur nucléaire | ~800 | Pas opérationnel à ce jour |
| Propulseur électrique | 1500 à 2000 | Problème de rendement énergétique (solution à long terme) |

## Les tuyères

Les gaz incandescents s'échappent par une tuyère, une sorte de conduit de forme oblongue, qui permet de détendre au maximum les gaz.

## Rapport de masse

Le rapport de masse est le rapport entre la masse initiale de la fusée et sa masse finale après consommation du combustible.

## Étages multiples

Il est bien plus facile de lancer un galet de quelques dizaines de grammes que de lancer un rocher de plusieurs dizaines de kilogrammes. Plus la masse est élevée, plus il est difficile de mettre le corps en mouvement — est-il nécessaire de le rappeler ?
Les lanceurs doivent atteindre des vitesses élevées. Il faut donc qu'ils soient le plus léger possible. On découpe donc les fusées en plusieurs étages, chaque étage possédant un réservoir et un moteur ; chaque étage est largué une fois qu'il ne possède plus d'ergols. C'est en quelque sorte une combinaison de fusées de grandeur décroissante, abandonnées l'une après l'autre une fois leur combustible consumé. Ainsi, la fusée monte en s'allégeant petit à petit.
Pour surmonter la force de la pesanteur, une fusée doit être amenée à une vitesse d'au moins 11179.4 m/s soit 40245.9 km/h afin de quitter l'attraction terrestre à partir du sol (noté $Z$). À une altitude Z (en mètres), cette vitesse sera de :
    ${\sqrt {2g{\frac {R}{Z}}}}$
Avec g=9,81 (m/s), R=$6,37\times 106,37\times 10^{6}$ (m) , Z= Altitude en (m) .
La propulsion est basée sur les 3 lois de Newton sur le mouvement :
* La force (F) est égale à la masse (m) multipliée par l'accélération (a): $F=ma$
* Le principe de l'inertie : un corps en mouvement ou à l'arrêt tend à rester en mouvement ou à l'arrêt excepté si une force l'en empêche.
* Toute action produit une réaction opposée : un enfant monté sur une planche à roulettes reculera s'il lance un poids vers l'avant.

## La poussée

Les fusées brûlent du combustible pour accélérer et pour aller dans une certaine direction en éjectant à grande vitesse des gaz. Et c'est grâce à la loi 3 de Newton ! La fusée va aller dans le sens contraire de l'éjection des gaz... On appelle ceci la poussée.
On peut calculer la poussée délivrée à une fusée par la formule:
    $F=v_{g}\times q_{m}+A_{1}(P_{1}-P_{a})$
dans laquelle :
    F, poussée en newtons (N)
    v$_g$, vitesse d'éjection des gaz en m/s
    q$_m$, débit en kg/s
    A$_1$, aire de la section de sortie de la tuyère en mètres carré
    P$_1$, pression à la sortie de la tuyère en Pascal
    P$_a$, pression ambiante ou pression à l'extérieur en Pascal
Note : Ce modèle ne s'applique que lorsqu'on néglige la variation de masse du combustible*

## Relation entre vitesse de la fusée, vitesse d'éjection des gaz, quantité de carburant brûlé et masse de la fusée

Nous savons donc désormais comment calculer la poussée délivrée à une fusée. Mais, avouez-le, ce n'est pas forcément très parlant... Alors, au lieu de parler en poussée, parlons en vitesse.
Vous l'avez vu, il n'y a pas d'action sans réaction. Profitons de ceci pour tirer cette formule nommée conservation de la quantité de mouvement:
dans laquelle V$_g$ est la vitesse d'éjection des gaz en m/s, M$_g$ la masse du carburant brûlé en kilogrammes, M$_f$ la masse de la fusée et V$_f$ la variation de la vitesse de la fusée en m/s.
On déduira de cette formule que :
$V_{f}={\frac {V_{g}\times M_{g}}{M_{f}}}$
Mais attention ! Une fusée ne brûle pas son carburant d'un seul coup (sinon, elle se transformerait en un... missile !) mais petit à petit, avec régularité. Donc, à la « première éjection », si une fusée de 100kg brûle 10kg d'ergols dont les vapeurs sont expulsés à 1000m/s, alors la vitesse de la fusée sera de ${\frac {1000\times 10}{100-10}}=111m/s$. À la seconde, la masse de la fusée aura diminuée de 10kg, sa vitesse sera donc de ${\frac {(1000-111)\times 10}{80}}=111,25m/s$. Ces 111,25m/s sont ajoutés aux 111 précédents, et ainsi de suite...
Il est encore possible de tirer des formules de celle sur la conservation de la quantité de mouvement :
Mais attention ! Il n'est pas possible de calculer de manière exacte la vitesse de la fusée, celle-ci étant ralentie par les frottements dans l'atmosphère ― quand il y en a une.

## Impulsion spécifique

Afin de pouvoir classer et comparer les différents carburants, un critère de performance a été établi : l'impulsion spécifique. Il est défini par :
    $I_{sp}={\frac {F}{{\dot {m}}\,g_{0}}}$
où F est la poussée fournie par la propulsion, $^{m˙{\displaystyle{\dot{m}}}}$ le débit de matière éjecté en kg/s et g$_0$ l'accélération de la pesanteur sur Terre.
Le résultat obtenu, exprimé en secondes, représente le temps qu'une fusée pourra produire une poussée de 9,81N avec 1kg d'ergol en considérant que seul le carburant est embarqué : dans nos calculs, le poids de la fusée est égal à 1kg.
| Mode de propulsion | I$_{sp}$ (en s) | Commentaires |
| LO$_2$ . LH$_2$ | 435 | Liquide |
| LO$_2$ (Kérosène) | 320 | |
| N$_2$O$_4$ - (UDMH) | 305 | UDMH (diméthyldrazine dissymétrique) très toxique |
| Réacteur nucléaire | ~800 | Pas opérationnel à ce jour |
| Propulseur électrique | 1500 à 2000 | Problème de rendement énergétique (solution à long terme) |

## Poussée et poids de la fusée

En connaissant la poussée de la fusée, on peut calculer le poids maximal qu'elle peut soulever par la formule :
$P=m\times g$
Dans laquelle P est la poussée en N, m la masse de la fusée et g l'accélération de la pesanteur sur Terre.
Bien sûr, avec une équation, on déduira que :
$m={\frac {P}{g}}$

## Notes

* ↑ Ce calcul ne tient pas compte de la résistance de l'atmosphère.
* ↑ Le terme approprié en astronautique est Δv.
* ↑ Par une simple équation, dont l'étape intermédiaire est ${\frac {V_{g}\times M_{g}}{M_{f}}}={\frac {M_{f}\times V_{f}}{M_{f}}}$.
* ↑ Chiffres totalement fantaisistes.
* ↑ Toujours par une simple équation.
* ↑ Elle est de 9,81 m/s².