# Approfondissements de lycée/PS Premiers

Approfondissements de lycée

### Question 1

Montrer que le théorème "divisible par 3" marche pour tout nombre à 3 chiffres (Astuce : Exprimer un nombre à 3 chiffre sous la forme 100a + 10b + c, où 0 ≤ a, b et c ≤ 9)

#### Solution 1

Tout nombre entier à 3 chiffre x peut être exprimé comme suit
    x = 100a + 10b + c
où a, b et c sont des entiers positifs compris entre 0 et 9. Maintenant,
    $x\equiv 100a+10b+c\equiv a+b+c{\pmod {3}}$
    $x\equiv 0{\pmod {3}}$
si et seulement si a + b + c = 3k pour un certain k. Mais a, b et c sont les chiffres de x.

### Question 2

"Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme est divisible par 9." Vrai ou faux ? Déterminer si 89, 558, 51858, et 41857 sont divisibles par 9. Vérifier vos réponses.

#### Solution 2

Le résultat est vrai et peut être démontré comme dans la question 1.

### Question 3

Existe-t'il une règle pour déterminer si un nombre à 3 chiffres est divisible par 11 ? Si oui, déterminer cette règle.

#### Solution 3

Comme précédement
    x = 100a + 10b + c
Maintenant
    $x\equiv a+10b+c\equiv a-b+c{\pmod {11}}$
Un nombre à trois chiffres est divisible par 11 si et seulement si la somme de son premier et dernier chiffre moins le second est divisible par 11.

### Question 4

    ${\begin{matrix}X&2&3&X&5&X&7&X&X&X\\11&X&13&X&X&X&17&X&19&X\\X&X&23&X&X&X&X&X&29&X\\31&X&X&X&X&X&37&X&X&X\\41&X&43&X&X&X&47&X&49&X\\\end{matrix}}$
Le crible premier a été appliqué à la table ci-dessus. Noter que chaque nombre situé directement sous 2 et 5 sont rayés. Construire une grille rectangulaire de nombre allant de 1 à 60 après que le crible premier a été exécuté sur elle, tous les nombres situés directement sous 3 et 5 sont rayés. Quelle est la largeur de la grille ?

#### Solution 4

La largeur de la grille est 15 ou un multiple de celui-ci.

### Question 5

Montrer que p, p + 2 et p + 4 ne peuvent pas être tous des nombres premiers. (p un nombre entier positif)

#### Solution 5

Plaçons-nous en arithmétique mod 3, alors p peut être mis dans une des trois catégories
    1ère catégorie
       $p\equiv 0{\pmod {3}}$
       p n'est pas premier
    2ème catégorie
       $p\equiv 1{\pmod {3}}$
       $p+2\equiv 0{\pmod {3}}$
       p + 2 n'est pas premier
    3ème catégorie
       $p\equiv 2{\pmod {3}}$
       $p+4\equiv 0{\pmod {3}}$
       p + 4 n'est pas premier
Par conséquent p, p + 2 et p + 4 ne peuvent pas être tous premiers.

### Question 6

Montrer que n - 1 a lui-même comme inverse modulo n.

#### Solution 6

    (n - 1)$^2$ = n$^2$ - 2n + 1 = 1 (mod n)
Alternativement
    (n - 1)$^2$ = (-1)$^2$ = 1 (mod n)

### Question 7

Montrer que 10 n'a pas d'inverse modulo 15.

#### Solution 7

Supposons que 10 possède un inverse x mod 15,
    10x = 1 (mod 15)
    2 x 5x = 1 (mod 15)
    5x = 8 (mod 15)
    5x = 8 + 15k
pour un certain entier k
    x = 1,6 + 3k
mais maintenant, x n'est pas un entier, par conséquent 10 n'a pas d'inverse

### Question 8

Trouver x
    ${\begin{matrix}x\equiv 3^{7}+1^{7}+2^{7}++4^{7}+5^{7}+6^{7}+7^{7}\ {\pmod {7}}\\\end{matrix}}$

#### Solution 8

Notons que
    $-a\equiv 7-a{\pmod {7}}$.
Alors
    $1^{7}\equiv (7-6)^{7}\equiv (-6)^{7}\equiv -(6^{7}){\pmod {7}}$.
De même,
    $2^{7}\equiv -5^{7}{\pmod {7}}$
et
    $3^{7}\equiv -4^{7}{\pmod {7}}$.
Alors
    ${\begin{matrix}x&\equiv &1^{7}+2^{7}+3^{7}+4^{7}+5^{7}+6^{7}+7^{7}&\\&\equiv &1^{7}+2^{7}+3^{7}-3^{7}-2^{7}-1^{7}+7^{7}&\\&\equiv &0&{\pmod {7}}\\\end{matrix}}$

### Question 9

9. Montrer qu'il n'existe pas d'entier x et y tels que
    $x^{2}-5y^{2}=3$

#### Solution 9

Regardons l'équation mod 5, nous avons
    $x^{2}=3{\pmod {5}}$
mais
    ${\begin{matrix}1^{2}=1\\2^{2}=4\\3^{2}=9=4\\4^{2}=16=1\end{matrix}}$
Par conséquent, il n'existe pas de x tel que
    $x^{2}=3{\pmod {5}}$

### Question 10

Soit p un nombre premier. Montrer que
(a)
    $(p-1)!\equiv -1\ {\mbox{(mod p)}}$
où
    $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n$
C.a.d. 3! = 1*2*3 = 6
(b)
Maintenant, montrer que
    ${\sqrt {-1}}\equiv {\frac {p-1}{2}}!{\pmod {p}}$
pour p ≡ 1 (mod 4)

#### Solution 10

a) Si p = 2, alors c'est évident. Donc, nous supposons que p est un nombre premier impair. Puisque p est premier, cela implique que chaque élément distinct possède un inverse et que l'inverse de (p - 1) est (p - 1). Puisque
    (p - 1)! = (p - 1) [(p - 2)(p - 3)... 2]
vous pouvez apparier les inverses et les multiplier pour donner 1, et (p - 1) possède comme inverse lui-même, par conséquent, c'est le seul élément non-"éliminé"
    (p - 1)! = (p - 1)
    (p - 1)! = - 1
est requis.
b) À partir de a)
    -1 = (p - 1)!
puisque p = 4k + 1 pour un certain entier positif k, (p - 1)! possède 4k termes
    -1 = 1 x 2 x 3 x... 2k x (-2k) x(- 3) x (- 2) x (- 1)
il existe un nombre pair de nombres négatifs pour le côté droit, donc
    -1 = (1 x 2 x 3 x...2k)$^2$
il s'ensuit
    ${\sqrt {-1}}=1\times 2\times 3\times ...2k$
et finalement, nous notons que p = 4k + 1, nous pouvons conclure
    ${\sqrt {-1}}={\frac {p-1}{2}}!$