# Préparation au certificat d'opérateur du service amateur/Lignes de transmission

* À propos de ce livre
* Aperçu de l'activité de radioamateur
* Présentation du certificat et de l'examen

### Outils mathématiques

* Testez votre niveau
* Choisir une calculatrice... et s'en servir !
* Les notations en mathématiques
* Calculs de base
* Rappels de mathématiques
* Résoudre des équations
* Les unités

### Les briques de base

* Loi d'Ohm, énergie, puissance
* Théorie de l'électromagnétisme
* Qu'est-ce qu'une onde ?

### Réglementation

* Réglementation internationale
* Les modulations et classes d'émission
* Fréquences et puissances autorisées
* Procédures radio

### Technique
#### Bases d'électricité

* Circuits électriques
* Courants alternatifs et continus
* Résistances
* Condensateurs
* Bobines
* Transistors
* Amplificateurs
* Oscillateurs et mélangeurs
* Diodes

#### Radioélectricité

* Ondes
* Antennes
* Émetteurs
* Récepteurs
* Lignes de transmission

### Annexes

* Bibliographie, webographie
* Arrêté du 21 septembre 2000
* À propos de ce livre
* Aperçu de l'activité de radioamateur
* Présentation du certificat et de l'examen

### Outils mathématiques

* Testez votre niveau
* Choisir une calculatrice... et s'en servir !
* Les notations en mathématiques
* Calculs de base
* Rappels de mathématiques
* Résoudre des équations
* Les unités

### Les briques de base

* Loi d'Ohm, énergie, puissance
* Théorie de l'électromagnétisme
* Qu'est-ce qu'une onde ?

### Réglementation

* Réglementation internationale
* Les modulations et classes d'émission
* Fréquences et puissances autorisées
* Procédures radio

### Technique
#### Bases d'électricité

* Circuits électriques
* Courants alternatifs et continus
* Résistances
* Condensateurs
* Bobines
* Transistors
* Amplificateurs
* Oscillateurs et mélangeurs
* Diodes

#### Radioélectricité

* Ondes
* Antennes
* Émetteurs
* Récepteurs
* Lignes de transmission

### Annexes

* Bibliographie, webographie
* Arrêté du 21 septembre 2000
[ Modifier le sommaire ]
Comment relier son poste d'émission à l'antenne ? Des problèmes de transfert de l'énergie se posent. Pour les résoudre, nous introduisons ici les notions de pertes en ligne et de coefficients de réflexion.
* Savoirs fondamentaux du chapitre (Arrêté du 21 septembre 2000)
* Ligne bifilaire, câble coaxial
* Pertes, taux d'onde stationnaire
* Ligne quart d'onde impédance
* Transformateur, symétriseur
* Boîtes d'accord d'antenne
* Guide d'ondes
* Impédance caractéristique
* Vitesse de propagation
* Pertes, affaiblissement en espace libre
* Lignes ouvertes et fermées comme circuits accordés.

## Définition

* Définition
* On appelle ligne de transmission l'ensemble des éléments assurant le transfert d'un signal électrique entre sa source et son récepteur.
Le premier élément auquel on pense pour la ligne de transmission est le câble permettant de relier le poste à l'antenne. Il en existe deux types :
* le premier, le plus simple, demande deux fils différents (+ et -), placés côte à côte : on parle de ligne bifilaire ;
* on utilise le plus souvent un câble coaxial : les deux fils sont réunis en un seul, l'un entourant l'autre et séparés par un matériau diélectrique (le plus souvent du plastique). Le courant circule dans un sens au centre et dans l'autre autour (il s'agit d'une ligne asymétrique). L'impédance d'un câble coaxial est standardisée, valant le plus souvent 75 ou 50 Ω ; elle dépend uniquement de l'écartement entre les deux conducteurs ; son expression est $Z_{\text{coaxial}}=140\log {\frac {D}{d}}$ où $D$ est le diamètre total et $d$ le diamètre du câble intérieur.
Il est également possible d'utiliser un guide d'onde, se présentant sous la forme d'un tube rectangulaire, qui est conçu pour des très hautes fréquences, au-dessus de 10 GHz.
La vitesse $v$ de propagation des ondes dans la ligne de transmission, appelée vélocité, est toujours strictement inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide $c$. Le coefficient de vélocité, défini comme le rapport ${\frac {v}{c}}$, est donc toujours plus petit que 1 ; par exemple, pour un câble coaxial typique, il est de 0,66. Les questions à l'examen ne demandent jamais d'en tenir compte, sauf mention contraire.

## Désadaptation : rapport et taux d'ondes stationnaires

Afin de garantir une transmission d'énergie parfaite entre la ligne de transmission et l'antenne, ces deux éléments doivent avoir la même impédance. Si ce n'est pas le cas, une partie de l'énergie sera réfléchie à l'interface ligne/antenne et reviendra dans le circuit électrique, au risque de l'endommager : on parle alors de désadaptation. On définit alors plusieurs grandeurs qui vont permettre de mesurer cette désadaptation.
* Définition
* Le coefficient de réflexion est noté $\rho$ et vaut $\rho ={\frac {U_{\text{réfléchie}}}{U_{\text{émise}}}}={\frac {I_{\text{réfléchie}}}{I_{\text{émise}}}}={\sqrt {\frac {P_{\text{réfléchie}}}{P_{\text{émise}}}}}$.
* Le taux d'ondes stationnaires (TOS), en pourcentages, vaut $100\rho$.
* Le rapport d'ondes stationnaires (ROS) vaut ${\frac {Z_{\text{maximale dans la ligne}}}{Z_{\text{minimale dans la ligne}}}}={\frac {U_{\text{maximale dans la ligne}}}{U_{\text{minimale dans la ligne}}}}={\frac {I_{\text{maximale dans la ligne}}}{I_{\text{minimale dans la ligne}}}}$.
* Le lien entre ROS et TOS est ${\text{ROS}}={\frac {100+\mathrm {TOS} }{100-\mathrm {TOS} }}$.
Dans l'idéal, un bon montage ne réfléchit pas l'énergie : $U_{\text{réfléchie, idéalement}}$, $I_{\text{réfléchie, idéalement}}$ et $P_{\text{réfléchie, idéalement}}$ sont nulles et alors $\rho =0$, d'où TOS = 0 % et ROS = 1 : ce sont les valeurs « parfaites » ; il n'y a alors pas de pertes.
* Exemple : ROS et TOS
* Soit une antenne d'impédance $Z_{a}=75$ Ω alimentée par un câble coaxial d'impédance $Z_{c}=50$ Ω. Quel est le ROS ?
* ROS : ${\frac {Z_{\text{maximale dans la ligne}}}{Z_{\text{minimale dans la ligne}}}}={\frac {75}{50}}=1,5$.
* Une antenne est alimentée avec une puissance de 50 W ; la puissance réfléchie dans la ligne est de 10 W. Quel est le TOS ?
* $\rho ={\sqrt {\frac {P_{\text{réfléchie}}}{P_{\text{émise}}}}}=0,4$ d'où $TOS=100\rho =40\%$.

## Systèmes d'adaptation d'impédance

Pour adapter la ligne de transmission à l'antenne, on utilise un dispositif appelé boîte de couplage (ou boîte d'accord), intercalé entre la ligne et l'antenne.
Les baluns sont utilisés pour effectuer la liaison entre une ligne de transmission symétrique et une ligne asymétrique. Ils sont à base de transformateur. Leur nom est d'ailleurs l'abréviation de balanced/unbalanced (équilibré/non-équilibré).
D'autre part, les symétriseurs permettent de compenser des variations de l'impédance de l'antenne en raison d'une dissymétrie accidentelle de sa structure. Ils sont à base de transformateur

## Impédance de la ligne de transmission

La ligne de transmission possède une impédance propre ; pour la connaître, on adopte la modélisation de la ligne ci-contre. On a alors $Z_{\text{ligne}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}$. L'impédance de la ligne doit être soigneusement établie, en fonction des impédances de la source et de la charge. Si celles-ci sont différentes, on va donner une certaine taille à la ligne, selon la longueur d'onde $\lambda$ de l'onde transmise. En effet, pour une ligne de taille ${\frac {\lambda }{4}}$, $Z_{\text{ligne}}^{2}=Z_{\text{entrée}}\times Z_{\text{sortie}}$. On parle de ligne quart d'onde. Une ligne fermée, c'est-à-dire prévue pour reliée à une charge, peut donc servir de circuit d'accord. Une ligne ouverte, pour laquelle il n'y a pas de charge, forme un court-circuit.
* Exemple : Calculs d'impédances
* Soit un câble coaxial de diamètres extérieur $D=12$ mm et intérieur $d=5$. Quelle est son impédance ?
* $Z_{coax}=140\log {\frac {D}{d}}=53$ Ω.
* Soit un câble coaxial caractérisé par une capacité linéique $C=10$ pF/m et une inductance linéique $L=40$ mH/m. Quelle est son impédance ?
* $Z_{c}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\sqrt {\frac {40\times 10^{-3}}{10\times 10^{-9}}}}\approx 63$ Ω.
* Quelle est l'impédance d'une ligne quart d'onde pour laquelle $Z_{\text{entrée}}=50$ Ω et $Z_{\text{sortie}}=100$ Ω ?
* $Z_{\text{ligne}}^{2}=Z_{\text{entrée}}\times Z_{\text{sortie}}$ donc $Z_{\text{ligne}}={\sqrt {Z_{\text{entrée}}\times Z_{\text{sortie}}}}=70$ Ω.
* Soit un câble coaxial de coefficient de vélocité $p=0,66$, d'impédance caractéristique $Z_{c}=50$ Ω, transmettant une onde de fréquence $f=50$ MHz. Quelle doit être sa longueur en ligne quart d'onde ?
* La longueur d'une ligne quart d'onde est ${\frac {\lambda }{4}}$ ; or, la longueur d'onde est reliée à la fréquence par $\lambda ={\frac {v}{f}}$. Comme $0,66={\frac {v}{c}}$, on déduit que $0,66c=v$ et ainsi $\lambda ={\frac {0,66c}{f}}\approx 4$ m d'où la longueur de la ligne est ${\frac {\lambda }{4}}=1$ m.

## Affaiblissement linéique

La conduction dans la ligne n'est pas parfaite et une partie de l'énergie est perdue, dissipée sous forme d'effet Joule. Le signal est affaibli : on parle d'affaiblissement. Cet affaiblissement est donné en décibels par mètre (dB/m) ; il se calcule par $A={\frac {\text{Gain du câble (dB)}}{\text{Longueur du câble}}}$.
* Exemple : Calculs avec les affaiblissements
* On considère un câble coaxial de 30 m recevant en entrée 40 W. À sa sortie, on mesure une puissance de 10 W. Quel est son affaiblissement linéique en dB/m ?
* $G={\frac {P_{\text{sortie}}}{P_{\text{entrée}}}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}$ soit un affaiblissement en décibels de 6. Pour obtenir l'affaiblissement par mètre, on calcule ${\frac {\text{Gain (dB)}}{\text{Longueur}}}={\frac {6}{30}}=0,2{\text{dB/m}}$.
* On considère un câble coaxial de 10 m recevant en entrée 100 W ; son affaiblissement linéique est de 0,6 dB/m. Quelle est la puissance en sortie ?
* $A={\frac {\text{Gain du câble (dB)}}{\text{Longueur du câble}}}$ d'où ${\text{Gain du câble (dB)}}=A\times {\text{Longueur du câble}}$ et ainsi $G=-0,6\times 10=-6$ dB, ce qui correspond à un gain de ${\frac {1}{4}}$ d'où $P_{\text{sortie}}={\frac {1}{4}}P_{\text{entrée}}=25{\text{W}}$.

## Exercices

* Soit un câble coaxial d'impédance $Z_{c}=50$ Ω et de longueur 50 m. La puissance en entrée est de 200 W et celle en sortie de 50 W. Quel est l'affaiblissement linéique de ce câble ?
* Une antenne est alimentée avec une puissance de 100 W ; on donne le ROS égal à 2. Quelle est la puissance réfléchie dans la ligne ?
* On considère une antenne alimentée avec une puissance de 100 W ; la puissance réfléchie dans la ligne est de 20 W. Quel est le ROS ?

## Corrigés

* L'impédance donnée est inutile. Afin de connaître l'affaiblissement en dB, on forme le rapport ${\frac {50}{200}}={\frac {1}{4}}$ soit un affaiblissement de 6 dB. L'affaiblissement linéique est donc de 0,12 dB/m.
* Pour calculer $P_{\text{réfléchie}}$, il faut calculer le rapport de réflexion $\rho$. Or, on sait que $\mathrm {ROS} ={\frac {100+\mathrm {TOS} }{100-\mathrm {TOS} }}={\frac {100+100\rho }{100-100\rho }}$. On peut résoudre cette équation, d'inconnue $\rho$, avec la calculatrice pour obtenir $\rho ={\frac {1}{3}}={\sqrt {\frac {P_{\text{réfléchie}}}{100}}}$. À nouveau, cette équation, d'inconnue $P_{\text{réfléchie}}$ se résout à la calculatrice pour aboutir à $P_{\text{réfléchie}}=66W$.
* Les données de l'énoncé permettent de calculer immédiatement le rapport de réflexion $\rho ={\sqrt {\frac {P_{\text{réfléchie}}}{P_{\text{émise}}}}}={\sqrt {\frac {20}{100}}}=0,4$. Or, $\mathrm {ROS} ={\frac {100+\mathrm {TOS} }{100-\mathrm {TOS} }}={\frac {100+100\rho }{100-100\rho }}=2,3$.

## Notes

* ↑ En particulier, elle ne dépend ni de la longueur du câble ni de la puissance transmise.
* ↑ Cette formule approchée n'est valable que si le diélectrique est absolument isolant et qu'il n'a aucune propriété magnétique, ce qui sera toujours le cas à l'examen.
* ↑ Une antenne et une ligne sont adaptées lorsqu'elles ont la même impédance.
* ↑ Il ne faut pas confondre circuit ouvert et ligne ouverte. Dans le cas d'une ligne ouverte, l'absence de charge correspond à l'absence d'impédance : la charge peut être considérée comme un fil.
* ↑ Le gain en dB vaut -6, donc pour passer à l'affaiblissement, on prend une valeur positive.