# Photographie/Objectifs/Ouverture d'un objectif, éclairement des images, vignettage/Calcul de l'éclairement

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## Formule générale dans le cas d'une lentille mince parfaite

À de rares exceptions près, tous les objectifs possèdent un diaphragme de diamètre variable qui limite l'ouverture du faisceau lumineux traversant les lentilles. Ce diaphragme est un organe fondamental dont nous étudierons successivement les différentes fonctions. Supposons pour l'instant que nous ayons affaire à un objectif assimilable à une lentille mince parfaite à laquelle on aurait accolé un diaphragme de diamètre d. Supposons également que cet objectif soit parfaitement transparent et donc qu'il laisse passer la lumière qu'il reçoit sans la réfléchir et sans l'absorber.
Ces deux hypothèses n'ont rien d'extravagant pour la plupart des objectifs courants pas trop épais.
Une petite surface émissive A d'aire dΣ, de luminance L et son image B d'aire dS sont situés dans deux plans conjugués P et P' d'un objectif diaphragmé au diamètre d. Les surfaces A et B se trouvent à la distance angulaire α de l'axe optique du système.
Le grandissement linéaire g permet de calculer l'aire de la surface B en fonction de celle de la surface A : $dS=g^{2}d\Sigma \,$
L'intensité lumineuse émise par la surface A en direction de l'objectif s'écrit : $I=L\,d\Sigma \cos {\alpha }\,$
Vue depuis A, la surface apparente du diaphragme est $S_{a}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\cos {\alpha }$
La distance entre le centre de l'objectif et la surface A est $OA={\frac {p}{\cos \alpha }}$
Le diaphragme est donc vu depuis A sous l'angle solide $d\Omega ={\frac {Sa}{OA^{2}}}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\cos {\alpha }\cdot {\frac {\cos ^{2}\alpha }{p^{2}}}={\frac {\pi \,d^{2}\cos ^{3}\alpha }{4\,p^{2}}}$
Le flux émanant de A et qui traverse l'objectif est alors : $dF=Id\Omega =L\,d\Sigma \cos \alpha {\frac {\pi \,d^{2}\,\cos ^{3}\alpha }{4p^{2}}}={\frac {L\,d\Sigma \,\pi \,d^{2}\,\cos ^{4}\alpha }{4\,p^{2}}}$
Il reste à calculer l'éclairement de l'image : $E={\frac {dF}{dS}}={\frac {L\,d\Sigma \,\pi \,d^{2}\,\cos ^{4}\alpha }{4\,p^{2}\,g^{2}\ d\Sigma }}$
Cette formule se transforme en remarquant que $p={\frac {f(g+1)}{g}}$
Après remplacement et simplification, on trouve finalement :
* $E={\frac {\pi \,L\,d^{2}\,\cos ^{4}\alpha }{4\,f^{2}\,(g+1)^{2}}}$
Que l'éclairement de l'image soit fonction du diamètre de l'ouverture par où passe la lumière n'étonnera évidemment personne. Pourtant, contrairement aux idées reçues, cette propriété du diaphragme ne correspond nullement à sa fonction principale, mais plutôt à un de ses inconvénients, ce que nous prouverons un peu plus tard.

## Ouverture relative

L'une des caractéristiques fondamentales des objectifs est l'ouverture relative, exprimée par le rapport :
$n={\frac {f}{d}}\;$
Remarquons avant d'aller plus loin que ce nombre n est d'autant plus grand que le diamètre du trou est plus petit et donc que l'« ouverture relative » devrait plutôt s'appeler « fermeture relative ».
Nous avons de suite une nouvelle expression de la formule précédente :
* $E={\frac {\pi \,L\,\cos ^{4}\alpha }{4\,n^{2}\,(g+1)^{2}}}$
Cette nouvelle formule montre que toutes choses égales par ailleurs, l'éclairement de l'image dépend de l'ouverture relative de l'objectif utilisé, quels que soient le format de la surface sensible et la distance focale de l'objectif. Elle montre aussi que si le grandissement augmente, l'éclairement du film ou du capteur diminue très vite.
* Objectifs
* Généralités (A)
* Ouverture d'un objectif, éclairement des images, vignettage (ABC)
* Aberrations (B)
* Montures d'objectifs
* Objectifs de focale « normale » (AB)
* Objectifs grand-angulaires (B)
* Objectifs de longue focale et téléobjectifs
* Objectifs catadioptriques (B)
* Systèmes afocaux
* Objectifs à focale variable
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