# Physique et mathématiques visuelles/Gravitation

La force qui fait tomber les balles sur le sol est la même que la force qui maintient la Lune sur son orbite. Les satellites et les projectiles obéissent tous à la même loi, la loi de la gravitation universelle.

## Les orbites des planètes

La gravitation retient les planètes sur leurs orbites autour du soleil.
La trajectoire d'un mobile en chute libre dépend de son vecteur vitesse initial :
Mais des masses soumises à la gravitation qui ont le même vecteur vitesse et qui passent par le même point ont toujours la même trajectoire :
C'est pourquoi Saturne a des anneaux :

## La loi de la gravitation universelle

Deux masses exercent l'une sur l'autre une force gravitationnelle proportionnelle au produit de leurs masses divisé par le carré de leur distance. Les deux forces, celle exercée par A sur B et celle exercée par B sur A, sont dans la direction de la ligne qui relie les centres des deux masses A et B et elles sont toujours attractives.
Gravitation entre deux billes
Deux billes attirées l'une par l'autre par la gravitation rebondissent l'une sur l'autre.

## Le champ de gravitation

Un champ est une grandeur physique qui peut varier en chaque point de l'espace à chaque instant. Par exemple, la température est un champ. La loi de la gravitation universelle dit qu'une masse $m$ produit en permanence un champ de force de gravitation $\mathbf {g}$ dans tout l'espace :
$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{\frac {m}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$
où $\mathbf {r}$ est le vecteur qui va de la masse $m$ au point considéré, $r$ est sa longueur, $\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} /r$ est le vecteur de longueur unité dans la direction de $\mathbf {r}$ et $G$ est une constante qui dépend du choix des unités de mesure.
La force $\mathbf {F}$ exercée par un champ gravitationnel $\mathbf {g}$ sur une masse $m'$ est $\mathbf {F} =m'\mathbf {g}$
Donc la force exercée par une masse $m$ sur une masse $m'$ est $-G{\frac {mm'}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$
Sur la Terre, le poids d'un corps est la force de gravitation que la Terre exerce sur lui.
Le champ $\mathbf {g}$ est comme un intermédiaire mathématique pour calculer la force exercée par une masse sur une autre.
La force de gravitation exercée par deux masses sur une troisième est la somme des forces exercées séparément par chacune d'elles.
Deux masses tournent l'une autour de l'autre
Selon la théorie de Newton, la force de gravitation est partout. Elle est un champ de force qui remplit tout l'espace. Ce champ peut être dérivé d'un champ scalaire, le champ du potentiel gravitationnel, ici représenté par une gradation de couleurs. Les lignes blanches sont les lignes de force, les lignes qui suivent toujours la direction de la force de gravitation.

## L'égalité de la masse inertielle et de la masse pesante

Selon la théorie de la relativité, il n'y a pas d'interaction instantanée à distance. Une masse ne peut donc pas exercer instantanément sur une autre la force de gravitation. Il faut prendre en compte le temps de propagation de la force. C'est pourquoi la loi de la gravitation universelle est seulement une première approximation. Pour calculer plus précisément les effets de la gravitation, on a besoin de la théorie de la relativité générale.
La grande idée d'Einstein en 1908 : si un ascenseur tombe en chute libre, son passager est en apesanteur pendant toute la durée de la chute, jusqu'à ce que l'ascenseur s'écrase sur le sol.
Stephen Hawking dans un avion qui simule une chute libre
Pour comprendre cette grande idée, il faut connaitre le théorème suivant :
Si un corps est soumis seulement à la gravitation, son accélération ne dépend pas de sa masse.
Preuve : selon la loi de la gravitation, la force $\mathbf {F}$ exercée par un champ de gravitation $\mathbf {g}$ sur une masse $m$ est $\mathbf {F} =m\mathbf {g}$. Selon la loi fondamentale de la dynamique, cette force $\mathbf {F}$ produit une accélération $\mathbf {a}$ telle que $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$. Donc $\mathbf {a} =\mathbf {g}$, quelle que soit la masse $m$.
Dans $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$, $m$ est la masse inertielle, ou le coefficient d'inertie. Elle est l'inverse de l'accélération produite par une force unité. Dans $\mathbf {F} =m\mathbf {g}$, $m$ est la masse pesante, ou la charge gravitationnelle. Elle est égale à la force exercée par un champ gravitationnel unité.
La physique newtonienne n'impose pas l'égalité de la masse inertielle et de la masse pesante. Elles pourraient être différentes. Comme pour le champ électrique, le champ gravitationnel pourrait causer en un même point des accélérations différentes sur des corps différents, si la masse pesante (l'équivalent gravitationnel de la charge électrique) était différente de la masse inertielle.
L'égalité de la masse inertielle et de la masse pesante fait que l'accélération d'un ascenseur en chute libre causée par la gravitation est toujours égale à celle de son passager. C'est pourquoi le passager ne peut pas observer l'effet de la gravitation dans un ascenseur en chute libre. Tout se passe comme s'il ne subissait aucune force, comme en apesanteur.
On sent son propre poids, parce qu'on sent la force que le sol exerce sur nos pieds. On sent le poids d'un corps qu'on porte, parce qu'on sent la force qu'il exerce sur nos mains, ou sur notre dos. Mais ces forces de répulsion entre le sol et nos pieds, ou entre nos mains et un corps lourd qu'elles portent, ne sont pas des forces de pesanteur, mais des forces électriques produites à la surface de contact entre des corps qui se repoussent.
Selon la relativité générale, nous ne pouvons pas sentir la force de pesanteur parce qu'elle n'est pas une force. La force de gravitation n'existe pas. Il n'y a pas, comme le croyait Newton, de force qui nous attire vers le bas. Il y a seulement la force du sol qui nous pousse vers le haut.
Le plancher d'un ascenseur en chute libre n'exerce aucune force sur les pieds du passager, qui n'est donc soumis à aucune force, comme en apesanteur.

## Le choix du référentiel

Selon Newton, le passager d'un ascenseur en chute libre est soumis à la force de pesanteur. Selon Einstein, il n'est soumis à aucune force. La différence vient du choix du référentiel.
Un référentiel est un rocher, ou n'importe quel corps solide, par rapport auquel on peut se repérer et faire des mesures de distance. En plaçant trois plans perpendiculaires sur le rocher, on peut repérer tous les points de l'espace avec les trois nombres x, y, z qui mesurent leurs distances à ces trois plans. On suppose qu'un évènement se produit une fois sur le rocher. Cet évènement définit le temps t = 0. On peut alors repérer les instants t de tous les évènements avec la durée qui les sépare de l'instant t = 0. Un référentiel permet donc d'identifier tous les évènements de l'espace-temps avec quatre nombres, t, x, y, z.
La mesure des vitesses et des accélérations dépend du choix du référentiel. Si on mesure les accélérations sur un manège en mouvement, le résultat n'est pas le même si le référentiel est le sol ou le manège.
Il y a des référentiels meilleurs que d'autres. Le référentiel du sol est meilleur que celui du manège pour étudier les forces. Un rocher qui ne tourne pas sur lui-même par rapport aux étoiles est meilleur qu'un rocher qui tourne sur lui-même. On peut faire la différence entre un rocher qui tourne syr lui-même et un autre qui ne tourne pas sur lui-même sans regarder les étoiles. Il suffit de poser deux masses liées par un ressort. Si le rocher tourne sur lui-même et si son axe de rotation n'est pas parallèle au ressort, les deux masses sont écartées par la rotation.
Les bons référentiels pour mesurer les forces sont tous les rochers qui ne tournent pas sur eux-mêmes et qui ne sont soumis à aucune force. On les appelle des référentiel inertiels.
Des masses en mouvement qui ne sont soumises à aucune force :
Selon la physique newtonienne, les référentiels inertiels sont tous au repos ou en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres, parce que la gravitation est considérée comme une force. Un mouvement est rectiligne uniforme si sa trajectoire est une ligne droite et si sa vitesse est constante.
Selon la théorie de la relativité générale d'Einstein, les référentiels inertiels sont tous les rochers qui ne tournent pas sur eux-mêmes et qui sont en chute libre les uns par rapport aux autres, parce que la gravitation n'est pas considérée comme une force.
Le mouvement de la Lune autour de la Terre est une chute libre. Plus généralement, tous les corps qui n'exercent aucune force les uns sur les autres sont en chute libre les uns par rapport aux autres, parce que la gravitation n'est pas considérée comme une force. Les chutes dans l'air ne sont pas des chutes libres à cause du frottement de l'air. Les chutes dans le vide sont des chutes libres.
La différence entre la physique newtonienne et la relativité générale vient du choix des référentiels inertiels.
Selon la relativité générale le référentiel du sol n'est pas inertiel, parce qu'il n'est pas en chute libre. Il est équivalent au référentiel d'une fusée qui accélère :
Nous ressentons la pesanteur parce que nous sommes accélérés par rapport à un référentiel en chute libre.
Un rocher qui ne tourne pas sur lui-même, en chute libre dans un tunnel qui passe par le centre de la Terre, est un bon référentiel pour mesurer les forces à l'intérieur de la Terre.

## Voir aussi

Relativité
E = m =c²