# Technologie/Éléments théoriques et pratiques/Résistance des matériaux/Formulaire des poutres simples - Efforts de cohésion

Éléments théoriques et pratiques :
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La poutre est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux et désignant un objet dont la longueur est grande par rapport aux dimensions transverses (section fine).
Le présent formulaire sert à la validation de l'état limite ultime (ELU), c'est-à-dire à la vérification que la pièce n'est pas endommagée (la limite ultime n'est pas atteinte en service) :
    σ$_{max}$ ≤ R$_{pe}$
avec
* σ$_{max}$ : contrainte normale maximale (MPa) ;
* R$_{pe}$ : résistance pratique à l'extension.
On a en général
    $\mathrm {R_{pe}} ={\frac {\mathrm {R_{e}} }{s}}$
avec
* R$_e$ : limite élastique (MPa), dont la définition dépend de la forme courbe de traction et du contexte de l'étude : R$_{eH}$ ou R$_{eL}$ pour une courbe avec limite élastique franche, R$_{p0,2%}$ pour une courbe sans limite élastique franche, R$_m$ pour un matériau cassant dans le domaine élastique ;
* s : coefficient de sécurité, dépendant du contexte.
La contrainte normale maximale se calcule par
    $\sigma _{\mathrm {max} }={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z\ \mathrm {max} }}{w_{z}}}$
où
* M$_{fzmax}$ : moment fléchissant maximal (en Nmm) ;
* w$_z$ : module de flexion de la poutre (mm$^3$).
On a
    $w_{z}={\frac {\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}{\mathrm {V} }}$
où
* I$_{Gz}$ : moment quadratique de la section droite (mm$^4$), noté ci-après simplement I ;
* V : valeur absolue de l'ordonnée la plus éloignée de la fibre neutre (mm),
** pour une section à symétrie horizontale de hauteur h, V = h/2,
** pour une section circulaire, V = R (rayon).
L'effet de l'effort tranchant est en général ignoré.
On utilise la convention des efforts à droite de la coupure.
Pour les cas de charge, on ne représente que les efforts de charge. Les efforts à la liaison A sont notés R$_A$ pour la force et M$_A$ pour le moment.

## Problèmes isostatiques
### Poutres bi-appuyées

La force qu'exerce l'appui de gauche sur la poutre est appelée ${\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {A} }$, celle de l'appui de droite est appelée ${\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {B} }$. Par simplicité, on note $\mathrm {R_{A}} =\|{\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {A} }\|$ et $\mathrm {R_{B}} =\|{\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {B} }\|$.
| Sollicitation | Actions aux liaisons |
| charge concentrée au centre (flexion trois points) | $\mathrm {R_{A}} =\mathrm {R_{B}} ={\frac {\mathrm {F} }{2}}$ |
| charge concentrée | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {\mathrm {F} b}{\mathrm {L} }}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {\mathrm {F} a}{\mathrm {L} }}$ |
| charge uniforme | $\mathrm {R_{A}} =\mathrm {R_{B}} ={\frac {q\mathrm {L} }{2}}$ |
| charge linéaire croissante q(x ) = q$_0$x/L | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {q_{0}\mathrm {L} }{6}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {q_{0}\mathrm {L} }{3}}$ |
| couple concentré en A | $\mathrm {R_{A}} =-\mathrm {R_{B}} ={\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {L} }}$ |
| couple concentré en x = a | $\mathrm {R_{A}} =-\mathrm {R_{B}} ={\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {L} }}$ |

### Poutre console

La poutre est encastrée à gauche et libre à droite (porte-à-faux). Les indices, le sens des effort et le sens des déformation sont omis lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté. La force d'encastrement est appelée La force qu'exerce l'appui de gauche sur la poutre est appelée ${\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {A} }$, on note $\mathrm {R_{A}} =\|{\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {A} }\|$ ; le moment d'encastrement est noté M$_A$.
| Sollicitation | Actions aux liaisons |
| charge concentrée à l'extrémité | $\mathrm {R_{A}} =\mathrm {F}$ $\mathrm {M_{A}} =\mathrm {F} \mathrm {L}$ |
| charge concentrée | $\mathrm {R_{A}} =\mathrm {F}$ $\mathrm {M_{A}} =\mathrm {F} a$ |
| charge uniforme | $\mathrm {R_{A}} =q\mathrm {L}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {q\mathrm {L} ^{2}}{2}}$ |
| charge croissante q(x ) = q$_0$x/L | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {q_{0}\mathrm {L} }{2}}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {q_{0}\mathrm {L} ^{2}}{3}}$ |
| charge décroissante q(x ) = q$_0$(1-x/L) | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {q_{0}\mathrm {L} }{2}}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {q_{0}\mathrm {L} ^{2}}{6}}$ |
| couple | $\mathrm {R_{A}} =0$ $\mathrm {M_{A}} =-\mathrm {C}$ |

## Problèmes hyperstatiques de degré 1
### Poutre encastrée-appuyée

La poutre est encastrée en A et appuyée en B, sans charge en porte-à-faux. La force qu'exerce l'encastrement sur la poutre est appelée ${\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {A} }$, celle de l'appui de droite est appelée ${\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {B} }$. Par simplicité, on note $\mathrm {R_{A}} =\|{\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {A} }\|$ et $\mathrm {R_{B}} =\|{\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {B} }\|$. Le moment d'encastrement est noté M$_A$.
| Sollicitation | Actions aux liaisons |
| charge concentrée au milieu | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {11\mathrm {F} }{16}}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {3\mathrm {F} \mathrm {L} }{16}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {5\mathrm {F} }{16}}$ |
| charge concentrée en x = a | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {\mathrm {F} b(3\mathrm {L} ^{2}-b^{2})}{2\mathrm {L} ^{3}}}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {\mathrm {F} a(\mathrm {L} ^{2}-a^{2})}{2\mathrm {L} ^{2}}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {\mathrm {F} a^{2}(2\mathrm {L} +b)}{2\mathrm {L} ^{3}}}$ |
| charge uniforme | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {5q\mathrm {L} }{8}}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {q\mathrm {L} ^{2}}{8}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {3q\mathrm {L} }{8}}$ |
| charge linéaire décroissante q(x ) = q$_0$(1 - x/L) | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {2q_{0}\mathrm {L} }{5}}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {q_{0}\mathrm {L} ^{2}}{15}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {q_{0}\mathrm {L} }{10}}$ |
| charge triangulaire symétrique | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {21q_{0}\mathrm {L} }{64}}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {5q_{0}\mathrm {L} ^{2}}{64}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {11q_{0}\mathrm {L} }{64}}$ |
| couple en B | $\mathrm {R_{A}} =-\mathrm {R_{B}} ={\frac {3\mathrm {C} }{2\mathrm {L} }}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {\mathrm {C} }{2}}$ |
| couple en x = a | $\mathrm {R_{A}} =-\mathrm {R_{B}} ={\frac {3\mathrm {C} (\mathrm {L} ^{2}-b^{2})}{2\mathrm {L} ^{3}}}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {\mathrm {C} (\mathrm {L} ^{2}-3b^{2})}{2\mathrm {L} ^{2}}}$ |

### Poutre continue à deux travées égales

La poutre est appuyée sur trois appuis répartis symétriquement. La force l'appui de gauche sur la poutre est appelée ${\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {A} }$, celle de l'appui central est appelée ${\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {B} }$ et celle de l'appui de droite est appelée ${\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {C} }$. Par simplicité, on note $\mathrm {R_{A}} =\|{\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {A} }\|$, $\mathrm {R_{B}} =\|{\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {B} }\|$ et $\mathrm {R_{C}} =\|{\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {C} }\|$.
| Sollicitation | Actions aux liaisons |
| charge concentrée au milieu d'une travée | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {13\mathrm {F} }{32}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {11\mathrm {F} }{16}}$ $\mathrm {R_{C}} ={\frac {-3\mathrm {F} }{32}}$ |
| charge uniforme sur une travée | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {7q\mathrm {L} }{16}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {15q\mathrm {L} }{24}}$ $\mathrm {R_{C}} ={\frac {-3q\mathrm {L} }{48}}$ |
| charge concentrée au milieu de chaque travée | $\mathrm {R_{A}} =\mathrm {R_{C}} ={\frac {5\mathrm {F} }{16}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {11\mathrm {F} }{8}}$ |
| charge uniforme sur toute la poutre | $\mathrm {R_{A}} =\mathrm {R_{C}} ={\frac {3q\mathrm {(2L)} }{16}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {5q\mathrm {(2L)} }{8}}$ |

## Problèmes hyperstatiques de degré 2
### Poutre bi-encastrée

La poutre est encastrée en A et en B, sans charge en porte-à-faux. La force qu'exerce l'encastrement sur la poutre est appelée ${\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {A} }$, celle de l'appui de droite est appelée ${\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {B} }$. Par simplicité, on note $\mathrm {R_{A}} =\|{\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {A} }\|$ et $\mathrm {R_{B}} =\|{\vec {\mathrm {R} }}_{\mathrm {B} }\|$. Les moments d'encastrement sont notés M$_A$ et M$_B$.
| Sollicitation | Actions aux liaisons | Moment fléchissant |
| charge concentrée au centre | $\mathrm {R_{A}} =\mathrm {R_{B}} ={\frac {\mathrm {F} }{2}}$ $\mathrm {M_{A}} =-\mathrm {M_{B}} ={\frac {\mathrm {F} \mathrm {L} }{8}}$ | |
| charge excentrée (p. ex. charge roulante) | $\mathrm {R_{A}} ={\frac {\mathrm {F} b^{2}(3a+b)}{\mathrm {L} ^{3}}}$ $\mathrm {M_{A}} ={\frac {\mathrm {F} ab^{2}}{\mathrm {L} ^{2}}}$ $\mathrm {R_{B}} ={\frac {\mathrm {F} a^{2}(a+3b)}{\mathrm {L} ^{3}}}$ $\mathrm {M_{B}} =-{\frac {\mathrm {F} a^{2}b}{\mathrm {L} ^{2}}}$ | |
| charge uniforme | $\mathrm {R_{A}} =\mathrm {R_{B}} ={\frac {q\mathrm {L} }{2}}$ $\mathrm {M_{A}} =-\mathrm {M_{B}} ={\frac {q\mathrm {L} ^{2}}{12}}$ | $\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}(x)={\frac {q}{2}}(-x^{2}+\mathrm {L} x-\mathrm {L} ^{2}/6)$ |

## Voir aussi

* Wikimedia Commons propose des documents multimédia sur les poutres.
* Formulaire des poutres simples - Déformée
* Construction métallique, Réalisation des éléments de structure > Caractéristiques des éléments normalisés