# Tenseur énergie-impulsion

Le tenseur énergie-impulsion est un outil mathématique utilisé notamment en relativité générale afin de représenter la répartition de masse et d'énergie dans l'espace-temps.
La théorie de la relativité restreinte d'Einstein établissant l'équivalence entre masse et énergie, la théorie de la relativité générale indique que ces dernières courbent l'espace. L'effet visible de cette courbure est la déviation de la trajectoire des objets en mouvement, observé couramment comme l'effet de la gravitation.

## Histoire

Le tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique a été écrit, pour la première fois, par Joseph Larmor (1857-1942) en 1898 dans l'essai qui lui a permis de remporter le prix Adams et qu'il a publié en 1900 dans Aether and Matter.
En 1853, William Thomson (1824-1907) introduit la notion de densité d'énergie électromagnétique$^,$ ; en 1873, James Clerk Maxwell (1831-1879), celle de tension électromagnétique$^,$ ; en 1884, John Henry Poynting (1852-1914) et Oliver Heaviside (1850-1925), celle de flux d'énergie électromagnétique$^,$ ; puis, en 1893, Joseph John Thomson (1856-1940), celle de densité de moment électromagnétique$^,$. En 1908, Hermann Minkowski (1864-1909) réunit ces quatre notions dans un tenseur : le tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique. Ce faisant, il introduit la notion de tenseur énergie-impulsion$^,$$^,$. Mais il ne l'applique qu'au champ électromagnétique. C'est à Max von Laue (1879-1960) qu'est due — semble-t-il — l'usage général du tenseur pour décrire la dynamique de n'importe quel type de matière ou de champ : en 1911, il en donne une décomposition générale$^,$$^,$.
En 1908, Max Planck (1858-1947) énonce la propriété d'égalité — à un facteur c$^2$ près — du flux d'énergie et de la densité d'impulsion$^,$$^,$, propriété qu'Henri Poincaré (1854-1912) avait établie en 1900 dans le cas particulier du champ électromagnétique$^,$$^,$.

## Définition

* Tenseur énergie-impulsion pour la matière:
On considère que la matière M qui engendre le champ gravitationnel est un système isolé et en mouvement comme un fluide de poussière avec une vitesse:
$u_{\mu }=c{\frac {dx_{\mu }}{ds}}$
Dans ce cas le tenseur énergie-impulsion de la matière $T_{\mu \nu }$ est par définition :
$(a)\ T_{\mu \nu }\ =\ -{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\ \left({\frac {\partial (\Lambda {\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}-\partial _{m}\left[{\frac {\partial (\Lambda {\sqrt {|g|}})}{\partial (\partial _{m}g^{\mu \nu })}}\right]\right)$
où
$\Lambda =g^{\mu \nu }\Lambda _{\mu \nu }$
$\Lambda _{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\kappa _{0}c^{2}g_{\mu \nu }-\kappa _{0}u_{\mu }u_{\nu }$
$g=det(g_{\mu \nu })$
$\kappa _{o}$ = une distribution propre de la matière
Voyons que vaut $T_{\mu \nu }$ :
comme $\Lambda _{\mu \nu }$ ne contient pas $\partial _{m}g^{\mu \nu }$ la relation (a) devient :
$-T_{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}={\frac {\partial (\Lambda {\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}$
$=\Lambda {\frac {\partial {\sqrt {|g|}}}{\partial g^{\mu \nu }}}+{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial (\Lambda )}{\partial g^{\mu \nu }}}$
$=-{\frac {1}{2}}\Lambda {\sqrt {|g|}}g^{\mu \nu }+{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial (g^{sm}\Lambda _{sm})}{\partial g^{\mu \nu }}}$
comme $\Lambda _{\mu \nu }$ ne contient pas non plus $g^{\mu \nu }$ on peut sortir $\Lambda _{\mu \nu }$
$=-{\frac {1}{2}}\Lambda {\sqrt {|g|}}g^{\mu \nu }+{\sqrt {|g|}}\Lambda _{sm}{\frac {\partial g^{sm}}{\partial g^{\mu \nu }}}$
parmi les $g^{sm}$ il y a un seul $g^{\mu \nu }$ quand $s=\mu \ ,m=\nu$
$=-{\frac {1}{2}}\Lambda {\sqrt {|g|}}g^{\mu \nu }+{\sqrt {|g|}}\Lambda _{\mu \nu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial g^{\mu \nu }}}$
$T_{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}={\frac {1}{2}}\Lambda {\sqrt {|g|}}g^{\mu \nu }-{\sqrt {|g|}}\Lambda _{\mu \nu }$
$T_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\Lambda g^{\mu \nu }-\Lambda _{\mu \nu }$
or
$\Lambda =g^{\mu \nu }\Lambda _{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\kappa _{0}c^{2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }-\kappa _{0}g^{\mu \nu }u_{\mu }u_{\nu }$
$\Lambda ={\frac {4}{2}}\kappa _{0}c^{2}-\kappa _{0}u_{\mu }u^{\nu }\ \ ;(g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4)$
$\Lambda ={\frac {4}{2}}\kappa _{0}c^{2}-\kappa _{0}c^{2}=\kappa _{0}c^{2}$
d'où
$T_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\kappa _{0}c^{2}g^{\mu \nu }-({\frac {1}{2}}\kappa _{0}c^{2}g_{\mu \nu }-\kappa _{0}u_{\mu }u_{\nu })$
soit
$T_{\mu \nu }=\kappa _{0}u_{\mu }u_{\nu }$
La relation (a) nous permet d'injecter $T_{\mu \nu }$ dans l'équation tensorielle d'Einstein, il suffit de prendre l'action de la matière suivante :
$S_{\Lambda }=\chi \int \Lambda {\sqrt {|g|}}\ d^{4}x$
$\chi ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$
et la variation $\delta S_{\Lambda }$ par rapport à $\delta g^{\mu \nu }$ donne:
$\delta S_{\Lambda }=\chi \int \left({\frac {\partial (\Lambda {\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}-\partial _{m}\left[{\frac {\partial (\Lambda {\sqrt {|g|}})}{\partial (\partial _{m}g^{\mu \nu })}}\right]\right)\delta g^{\mu \nu }d^{4}x$
c'est-à-dire
$\delta S_{\Lambda }=\int -\chi T_{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}\ \delta g^{\mu \nu }d^{4}x$
Pour l'action du champ gravitationnel on prend:
$S_{R}=\int \ R{\sqrt {|g|}}\ d{^{4}}x$
$R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu };R_{\mu \nu }\ =\ tenseur\ de\ Ricci$
et la variation $\delta S_{R}$ donne:
$\delta S_{R}=\int (R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }){\sqrt {|g|}}\ \delta g^{\mu \nu }d^{4}x$
Et le principe de moindre action nous donne:
$\delta (S_{R}+S_{\Lambda })=0$
$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$
* Tenseur énergie-impulsion pour le champ électromagnétique sans charge:
En présence du champ électromagnétique $F_{\mu \nu }$
Dans ce cas le tenseur énergie-impulsion du champ EM sans charge $U_{\mu \nu }$ est par définition :
$(b)\ U_{\mu \nu }\ =\ -{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\ \left({\frac {\partial (Q{\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}-\partial _{m}\left[{\frac {\partial (Q{\sqrt {|g|}})}{\partial (\partial _{m}g^{\mu \nu })}}\right]\right)$
où
$Q=g^{\mu \nu }Q_{\mu \nu }$
$Q_{\mu \nu }={\frac {1}{2\mu _{0}}}g^{sm}F_{\mu s}F_{\nu m}$
Maintenant calculons $U_{\mu \nu }$ :
comme $Q_{\mu \nu }$ ne contient pas $\partial _{m}g^{\mu \nu }$ la relation (b) devient
$-U_{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}={\frac {\partial (Q{\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}$
$=Q{\frac {\partial {\sqrt {|g|}}}{\partial g^{\mu \nu }}}+{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial (g^{ab}Q_{ab})}{\partial g^{\mu \nu }}}$
comme
${\frac {\partial {\sqrt {|g|}}}{\partial g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {|g|}}g_{\mu \nu }$
et
$Q=g^{ab}Q_{ab}={\frac {1}{2\mu _{0}}}g^{ab}g^{sm}F_{as}F_{bm}={\frac {1}{2\mu _{0}}}F_{as}F^{as}$
d'où
$Q{\frac {\partial {\sqrt {|g|}}}{\partial g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{as}F^{as}{\sqrt {|g|}}g_{\mu \nu }$
d'autre part
${\frac {\partial (g^{ab}Q_{ab})}{\partial g^{\mu \nu }}}={\frac {1}{2\mu _{0}}}F_{as}F_{bm}{\frac {\partial (g^{ab}g^{sm})}{\partial g^{\mu \nu }}}$
$={\frac {1}{2\mu _{0}}}(F_{as}F_{bm}g^{sm}{\frac {\partial (g^{ab})}{\partial g^{\mu \nu }}}+F_{as}F_{bm}g^{ab}{\frac {\partial (g^{sm})}{\partial g^{\mu \nu }}})$
parmi les $g^{ab}$ il y a un seul $g^{\mu \nu }$ quand $a=\mu \ ,b=\nu$
et parmi les $g^{sm}$ il y a un seul $g^{\mu \nu }$ quand $s=\mu \ ,m=\nu$
$={\frac {1}{2\mu _{0}}}(F_{\mu s}F_{\nu m}g^{sm}{\frac {\partial (g^{\mu \nu })}{\partial g^{\mu \nu }}}+F_{a\mu }F_{b\nu }g^{ab}{\frac {\partial (g^{\mu \nu })}{\partial g^{\mu \nu }}})$
$={\frac {1}{2\mu _{0}}}(F_{\mu s}F_{\nu m}g^{sm}+F_{a\mu }F_{b\nu }g^{ab})$
changeons les indices a=s, b=m, et comme $F_{\mu \nu }$ antisymétrique ça donne
$={\frac {1}{2\mu _{0}}}(F_{\mu s}F_{\nu m}g^{sm}+F_{\mu s}F_{\nu m}g^{sm})$
$={\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{\mu s}F_{\nu m}g^{sm})$
d'où
$U_{\mu \nu }={\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{as}F^{as}g_{\mu \nu }-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{\mu s}F_{\nu }^{\ \ s})$
$U_{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}({\frac {1}{4}}F_{as}F^{as}g_{\mu \nu }+F_{\mu s}F_{\ \ \nu }^{s})$
La relation (b) nous permet d'injecter $U_{\mu \nu }$ dans l'équation tensorielle d'Einstein, il suffit de prendre l'action suivante :
$S_{Q}=\chi \int Q{\sqrt {|g|}}\ d^{4}x$
et la variation $\delta S_{Q}$ par rapport à $\delta g^{\mu \nu }$ donne:
$\delta S_{Q}=\chi \int \left({\frac {\partial (Q{\sqrt {|g|}})}{\partial g^{\mu \nu }}}-\partial _{m}\left[{\frac {\partial (Q{\sqrt {|g|}})}{\partial (\partial _{m}g^{\mu \nu })}}\right]\right)\delta g^{\mu \nu }d^{4}x$
c'est-à-dire
$\delta S_{Q}=\int -\chi U_{\mu \nu }{\sqrt {|g|}}\ \delta g^{\mu \nu }d^{4}x$
Et le principe de moindre action nous donne:
$\delta (S_{R}+S_{\Lambda }+S_{Q})=0$
$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}(T_{\mu \nu }+U_{\mu \nu })$
Remarque les tenseurs d'énergie-impulsion possèdent deux propriétés essentielles :
* Symétrique $T_{\mu \nu }=T_{\nu \mu }$
* Conservatif $(\nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0)$
On peut vérifier que T$_{μν}$ est conservatif c'est-à-dire :
$\nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0$
Comme $T_{\nu }^{\mu }=\kappa _{0}u_{\nu }u^{\mu }$ ça donne
$\nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=\nabla _{\mu }(\kappa _{0}u_{\nu }u^{\mu })=\kappa _{0}u^{\mu }\nabla _{\mu }(u_{\nu })+u_{\nu }\nabla _{\mu }(\kappa _{0}u^{\mu })$
Or on est dans un système isolé, on a $\nabla _{\mu }(\kappa u^{\mu })=0$ car il y a la conservation de masse (comme dans le cas de conservation de charge $\nabla _{\mu }(\rho u^{\mu })=0$)
$\nabla _{\mu }(\kappa u^{\mu })=0$
$\nabla _{\mu }(\kappa u^{\mu })=\nabla _{\mu }(\kappa _{0}\gamma ^{2}u^{\mu })=\gamma ^{2}\nabla _{\mu }(\kappa _{0}u^{\mu })=0$
il nous reste donc
$\nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=\kappa _{0}u^{\mu }\nabla _{\mu }u_{\nu }$
or
$\nabla u_{\nu }=\nabla _{\mu }u_{\nu }dx^{\mu }$
$c{\frac {\nabla u_{\nu }}{ds}}=\nabla _{\mu }u_{\nu }c{\frac {dx^{\mu }}{ds}}$
$\kappa _{0}c{\frac {\nabla u_{\nu }}{ds}}=\kappa _{0}u^{\mu }\nabla _{\mu }u_{\nu }$
mais on a
$\kappa _{0}c{\frac {\nabla g_{\mu \nu }u^{\mu }}{ds}}=\kappa _{0}u^{\mu }\nabla _{\mu }u_{\nu }$
comme $\nabla g_{\mu \nu }=0\ (theoreme\ de\ Ricci)$
on peut sortir $g_{\mu \nu }\ de\ \nabla d'ou$
$\kappa _{0}cg_{\mu \nu }{\frac {\nabla u^{\mu }}{ds}}=\kappa _{0}u^{\mu }\nabla _{\mu }u_{\nu }$
or
${\frac {\nabla u^{\mu }}{ds}}=c({\frac {d^{2}x^{\mu }}{d^{2}s}}+\Gamma _{hk}^{j}{\frac {dx^{h}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}})$
$\nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=\kappa _{0}c^{2}g_{\mu \nu }({\frac {d^{2}x^{\mu }}{d^{2}s}}+\Gamma _{hk}^{j}{\frac {dx^{h}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}})$
Plaçons nous dans un repère normal, les gamma $\Gamma _{hk}^{\mu }$ sont nuls. Et la matière n'a pas d'interaction avec l'extérieur (système isolé) la vitesse des particules est constante donc il n'y a pas d'accélération.
${\frac {d^{2}x^{\mu }}{d^{2}s}}=0$
finalement on a bien : $\nabla _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0$
En présence du champ EM (sans charge) le tenseur énergie-impulsion $U_{\mu \nu }$ du champ EM est aussi conservatif.

## Interprétation le tenseur énergie-impulsion pour la matière

La composante $T^{\mu \nu }$ du tenseur énergie-impulsion est le flux de la $\mu ^{e}$ composante de la quadri-impulsion$^,$.
Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4 × 4 réelle symétrique :
* $T_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)$
Ce tenseur dérive des flux du quadri-moment (quadrivecteur impulsion-énergie) à travers des surfaces de coordonnée $x^{\nu }$ constante.
Les composantes du tenseur énergie-impulsion sont les suivantes :
* T$^{00}$ est la densité d'énergie$^,$$^,$. Elle est positive ;
* cT$^{0i}$ est la composante i du flux d'énergie à travers la surface unité suivant i ;
* T$^{i0}$/c est la densité de la composante i de l'impulsion relativiste$^,$ ;
* T$^{ij}$ est la composante j du flux de la composante i de l'impulsion relativiste. Les composantes T$^{ij}$ sont celles du tenseur des contraintes dans l'espace.
* Par symétrie, {T$_{01}$, T$_{02}$, T$_{03}$}={T$_{10}$, T$_{20}$, T$_{30}$} et sont donc aussi des densités de moments.
    La sous-matrice 3 × 3 des composantes spatiale :
* $T_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)$
est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

## Propriétés

Le tenseur énergie-impulsion est un quadritenseur d'ordre 2$^,$$^,$.
Il est symétrique$^,$$^,$ :
    $T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }$.
Étant symétrique, il ne possède que dix composantes indépendantes.
Le tenseur énergie-impulsion est de divergence nulle :
    ${T^{\alpha \beta }}_{;\alpha }=0$.
Dans le cas d'un fluide parfait, où $T^{\alpha \beta }=Pg^{\alpha \beta }-(\rho +P)u^{\alpha }u^{\beta }$, en métrique plate, cette condition de divergence nulle redonne l'équation de conservation de la masse en régime permanent : div (ρv) = 0

### Dimension et unité

En analyse dimensionnelle, le tenseur énergie-impulsion est homogène à une densité (volumique) d'énergie, c'est-à-dire au produit d'une densité d'impulsion par une vitesse.
Dans le Système international d'unités, son unité est le joule par mètre cube (J/m$^3$), unité dérivée de l'énergie volumique$^,$ :
    1 J/m$^3$ = 1 kg m$^{−1}$ s$^{−2}$.

## Exemples
### Fluide parfait

Pour un fluide au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale diag(ρc^2,-p,-p,-p) où ρ est la masse volumique et p la pression hydrostatique.

### Énergie noire

Placer la constante cosmologique $\Lambda$ dans le membre de droite de l'équation d'Einstein permet de lui associer un tenseur énergie-impulsion :
    $T_{\mu \nu }\left(\Lambda \right)={\frac {c^{4}\Lambda }{8\pi G}}g_{\mu \nu }$.
Cela correspond au tenseur énergie-impulsion d'un fluide parfait dont l'équation d'état est :
    $\rho _{\Lambda }=-{\frac {p_{\Lambda }}{c^{2}}}={\frac {c^{2}\Lambda }{8\pi G}}$.
Si la constante cosmologique est positive, alors le fluide associé est caractérisé par une densité d'énergie $\rho _{\Lambda }c^{2}$ positive et une pression $p_{\Lambda }$ exactement opposée. C'est ce fluide, qui ne correspond à aucune forme connue de matière, qui est appelé l'énergie noire.

## Relativité générale

Le vide est, en relativité générale, une région de l'espace-temps où le tenseur énergie-impulsion s'annule$^,$.