# Coordonnées ellipsoïdales

En géométrie de l'espace, les coordonnées ellipsoïdales sont un système de coordonnées orthogonales tridimensionnelles $(\lambda ,\mu ,\nu )$ qui généralise le système de coordonnées elliptiques bidimensionnelles. Contrairement à la plupart des systèmes de coordonnées orthogonales tridimensionnelles qui présentent des surfaces de coordonnées quadratiques, le système de coordonnées ellipsoïdales est basé sur des quadriques confocales .

## Formules de base

Les coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ peuvent être générées à partir des coordonnées ellipsoïdales $(\lambda ,\mu ,\nu )$ par les équations
    $x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}$
    $y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}$
    $z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}$
où les limites suivantes s'appliquent aux coordonnées
    $-\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.$
Par conséquent, les surfaces à $\lambda$ constant sont des ellipsoïdes
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,$
alors que les surfaces à $\mu$ constant sont des hyperboloïdes à une nappe
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,$
parce que le dernier terme du côté gauche est négatif et que les surfaces sont constantes $\nu$ sont des hyperboloïdes à deux nappes
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1$
parce que les deux derniers termes du côté gauche sont négatifs.
Le système orthogonal de quadriques utilisé pour les coordonnées ellipsoïdales est constitué de quadriques confocales (de mêmes foyers).

## Facteurs d'échelle et opérateurs différentiels

Pour plus de concision dans les équations ci-dessous, on introduit une fonction
    $S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)$
où $\sigma$ peut désigner l'une des trois variables $(\lambda ,\mu ,\nu )$ . En utilisant cette fonction, les facteurs d'échelle peuvent être écrits
    $h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}},\ h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}},\ h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}$
Par conséquent, l'élément de volume infinitésimal est égal à
    $dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu$
et le Laplacien est défini par
    $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]$
D'autres opérateurs différentiels tels que $\nabla \cdot \mathbf {F}$ et $\nabla \times \mathbf {F}$ peuvent être exprimés dans les coordonnées $(\lambda ,\mu ,\nu )$ en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées dans les coordonnées orthogonales.

## Paramétrisation angulaire

Il existe une paramétrisation alternative qui suit de près la paramétrisation angulaire des coordonnées sphériques :
    $x=as\sin \theta \cos \phi ,$
    $y=bs\sin \theta \sin \phi ,$
    $z=cs\cos \theta .$
Ici, $s>0$ paramétrise les ellipsoïdes concentriques autour de l'origine et $\theta \in [0,\pi ]$ et $\phi \in [0,2\pi ]$ sont respectivement les angles polaires et azimutaux classiques des coordonnées sphériques. L'élément de volume correspondant est
    $dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .$