# Cardinal ineffable

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, un cardinal ineffable est un certain type de grand cardinal, introduit par Jensen & Kunen (1969).

## Définitions

Dans les définitions suivantes, $\kappa$ sera toujours un cardinal régulier indénombrable.
Un cardinal $\kappa$ est dit presque ineffable si pour toute fonction $f:\kappa \to {\mathcal {P}}(\kappa )$ (où ${\mathcal {P}}(\kappa )$ est l'ensemble des parties de $\kappa$) ayant la propriété que $f(\delta )\subseteq \delta$ pour tout $\delta \in \kappa$, il existe un $S\subseteq \kappa$ de cardinalité $\kappa$ et homogène pour $f$, dans le sens où pour tous $\delta _{1}<\delta _{2}$ dans $S$, $f(\delta _{1})=f(\delta _{2})\cap \delta _{1}$.
Un cardinal $\kappa$ est dit ineffable si pour chaque fonction $f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}$ (où $[\kappa ]^{2}$ désigne l'ensemble des paires d'éléments de $\kappa$), il existe un sous-ensemble stationnaire de $\kappa$ sur lequel $f$ est homogène : c'est-à-dire, ou bien $f$ envoie toutes les paires d'éléments de ce sous-ensemble sur $0$, ou bien $f$ envoie toutes ces paires sur $1$. Une formulation équivalente est qu'un cardinal $\kappa$ est ineffable si pour toute suite $\langle A_{\alpha }:\alpha \in \kappa \rangle$ telle que $A_{\alpha }\subseteq \alpha$ pour tout $\alpha \in \kappa$, il existe $A\subseteq \kappa$ tel que $\{\alpha \in \kappa :A\cap \alpha =A_{\alpha }\}$ est stationnaire dans $\kappa$.
Une autre formulation équivalente est qu'un cardinal régulier indénombrable $\kappa$ est ineffable si pour tout ensemble $S\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )$ de cardinalité $\kappa$, il existe un filtre ${\mathcal {F}}$ sur $\kappa$ non trivial, $\kappa$-complet, normal (c'est-à-dire stable par intersection diagonale) et décidant $S$ : c'est-à-dire que pour tout $X\in S$, ou bien $X\in {\mathcal {F}}$ ou bien $\kappa \setminus X\in {\mathcal {F}}$. Cette formulation est semblable à une caractérisation des cardinaux faiblement compacts (en).
Plus généralement, $\kappa$ est dit $n$-ineffable (pour un entier positif $n$) si pour tout $f:[\kappa ]^{n}\to \{0,1\}$, il existe un sous-ensemble stationnaire de $\kappa$ sur lequel $f$ est $n$-homogène (c'est-à-dire que $f$ prend la même valeur sur tous les $n$-uplets non ordonnés issus du sous-ensemble). Ainsi, un cardinal est ineffable si et seulement s’il est 2-ineffable. L'ineffabilité est strictement plus faible que la 3-ineffabilité.
Un cardinal totalement ineffable est un cardinal qui est $n$-ineffable pour tout $2\leq n<\aleph _{0}$. Si $\kappa$ est $(n+1)$-ineffable, alors l'ensemble des $n$-cardinaux ineffables inférieurs à $\kappa$ est un sous-ensemble stationnaire de $\kappa$.
Chaque cardinal $n$-ineffable est $n$-presque ineffable (et l'ensemble des cardinaux $n$-presque ineffables lui étant inférieurs est stationnaire), et chaque $n$-presque ineffable est $n$-subtil (en) (et l'ensemble des cardinaux $n$-subtils lui étant inférieurs est stationnaire). Le plus petit cardinal $n$-subtil n'est même pas faiblement compact (et contrairement aux cardinaux ineffables, le plus petit cardinal $n$-presque ineffable est $\Pi _{2}^{1}$-descriptible (en)), mais les cardinaux $(n-1)$-ineffables sont stationnaires en dessous de chaque $n$-cardinal subtil.
Un cardinal $\kappa$ est complètement ineffable s'il existe un ensemble non-vide $R\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )$ tel que :
— tout $A\in R$ est stationnaire ;
— pour tout $A\in R$ et $f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}$, il existe $B\subseteq A$ homogène pour $f$ avec $B\in R$.
Utiliser n'importe quel entier $n\geq 2$ à la place de $2$ conduirait à une définition équivalente, donc les cardinaux complètement ineffables sont totalement ineffables (et leur existence a une plus grande force de cohérence). Les cardinaux complètement ineffables sont $\Pi _{n}^{1}$-indescriptibles pour tout n, mais la propriété d'être complètement ineffable est $\Delta _{1}^{2}$.
La force de cohérence (en) de l'existence des cardinaux complètement ineffables est inférieure à celle de l'existence des cardinaux 1-itérables (en), qui à son tour est inférieure à celle de l'existence des cardinaux remarquables (en), qui est inférieure à celle de l'existence des cardinaux ω-Erdős (en). Une liste des axiomes de grands cardinaux par force de cohérence est disponible dans la section ci-dessous.