# Qualité métrologique d'un appareil de mesure

La qualité métrologique d'un instrument de mesure ou d'une centrale de mesure comprenant un capteur est l'ensemble des données qui caractérisent le dispositif considéré.
Les principales caractéristiques des instruments de mesure (ou propriétés métrologiques des dispositifs de mesure) sont définies dans le cadre du Vocabulaire international de métrologie et comprennent, entre autres :
* l'étendue de mesure ;
* la résolution ;
* la sensibilité ;
* l'exactitude ;
* la justesse ;
* la fidélité.
Le terme « précision » n'est pas utilisé et constitue une erreur de langage en métrologie. Ce terme est en effet absent du Vocabulaire international de métrologie. Également, la qualité métrologique d'un instrument ou moyen de mesure est distincte de sa « capabilité », qui caractérise son adéquation à remplir une tâche donnée.

## Étendue de mesure

Valeur absolue de la différence entre les valeurs extrêmes d'un intervalle nominal des indications.
Par exemple pour un intervalle nominal des indications de –10 V à +10 V, l'étendue de mesure est 20 V.
En anglais, l'étendue de mesure est quelquefois dénommée « span of a nominal interval ». En français, le terme « intervalle de mesure » est parfois improprement employé.

## Résolution

La résolution d'un appareil est la plus petite variation de la grandeur mesurée qui produit une variation perceptible de l'indication délivrée par l'instrument. Elle peut être exprimée en points, qui sont alors le nombre de valeurs différentes que l'instrument peut afficher. Par exemple un multimètre de 2 000 points pour une étendue de 2 V peut afficher toutes les valeurs comprises entre 0,000 et 1,999 V, sa résolution est donc de 1 mV.
On rencontre également une autre notation. Un appareil sera dit « 3 point 1/2 » au lieu de « 2000 points ». Cela signifie que l'instrument peut afficher une mesure avec trois chiffres après la virgule, plus un « demi chiffre », un chiffre affiché qui ne peut pas prendre toutes les valeurs (par exemple, le chiffre avant la virgule, qui ne peut prendre que les valeurs zéro et un).

## Sensibilité
### Cas général

La sensibilité est un paramètre exprimant la variation du signal de sortie d'un appareil de mesure en fonction de la variation du signal d'entrée.
Un appareil est d'autant plus sensible qu'une petite variation de la grandeur G à mesurer provoquera un changement plus grand de l'indication donnée par l'appareil de mesure.
Note : si la valeur d'entrée est de même nature que la valeur de sortie, la sensibilité est appelée gain.
La sensibilité au voisinage d'une valeur donnée de la grandeur G à mesurer s'exprime de la manière suivante :
    $S={\frac {{\rm {d}}I}{{\rm {d}}G}}$ [1]
    $I$ : indication donnée par l'essai
    $G$ : quantité de grandeur à mesurer
On considère généralement qu'il s'agit de la pente de la courbe de graduation sur un intervalle : la sensibilité moyenne.
On peut écrire alors :
    ${\bar {S}}={\frac {\Delta I}{\Delta G}}$ [2]
Exemple : la largeur d'échelon d'un volucompteur est de 1 cm et la valeur de cet échelon est de 5 cl.
    $S={\frac {10\;{\rm {mm}}}{5\;{\rm {cl}}}}={\frac {2\;{\rm {mm}}}{\rm {cl}}}$

### Cas d'un appareil linéaire

La formule [2] n'a de sens que si sur cet intervalle de mesure l'appareil est linéaire, c’est-à-dire si la sortie est proportionnelle à l'entrée.
    $S={\frac {{\rm {d}}I}{{\rm {d}}G}}=\operatorname {tan} \ \varphi$ [3] ou encore $\varphi =\operatorname {Arctan} \left({\frac {{\rm {d}}I}{{\rm {d}}G}}\right)$
En pratique, on réalise une courbe d'étalonnage où la linéarité est approchée. Pour déterminer la droite on peut utiliser la méthode des moindres carrés.
Il faut préciser que généralement une pente (d'une dépendance linéaire entre deux grandeurs physiques) a sa propre unité de mesure. Prenons comme premier exemple la dépendance entre l'intensité du courant dans un circuit électrique simple (contenant une source de tension continue et une résistance) en fonction de la tension. Dans ce cas la pente de la droite $I={\frac {U}{R}}$ a la dimension de l'inverse d'une résistance électrique. Et cette pente est calculée à partir de la formule ${\frac {\Delta I}{\Delta U}}$, ou ${\frac {I}{U}}$ (point $U$,$I$ pris sur la droite) car la droite doit passer par l'origine du système de coordonnées. Il ne faut pas confondre la pente de la droite physique (ou logique) et la pente de la droite dessinée, qui dépend des échelles utilisées.
Prenons un autre exemple : la détermination de la constante de Planck à partir de l'effet photoélectrique faite par Millikan : en fonction de la fréquence du rayonnement monochromatique qui produit l'effet photoélectrique externe, on détermine la tension électrique de freinage qui arrête les photoélectrons. La loi de conservation de l'énergie pour ce processus s'écrit : $h\nu =E_{\text{ext}}+eU$ où $h$ est la constante de Planck, $\nu$ la fréquence du rayonnement monochromatique, $E_{\text{ext}}$ le travail d'extraction (des électrons du matériau), $e$ est la charge des électrons et $U$ la tension de freinage qui arrête les photoélectrons. La représentation $U(\nu )$ c'est-à-dire $U=-{\frac {E_{\text{ext}}}{e}}+{\frac {h\nu }{e}}$ donne une droite dont la pente théorique est ${\frac {h}{e}}$ ; la pente expérimentale reste obtenue à partir de la droite tracée, par ${\frac {\Delta U}{\Delta \nu }}$. Finalement on égale les deux pentes, théorique et expérimentale, on connaît la valeur de la charge de l'électron et on obtient la valeur de la constante de Planck.
Pour des métaux et pour la lumière visible on a des fréquences de l'ordre de 10$^{14}$ Hz et des tensions de l'ordre du volt, ce qui donne des pentes physiques de l'ordre de 10$^{−15}$ V/Hz ou 10$^{−15}$ V s. La valeur numérique, de 10$^{−15}$, est proche de zéro, ce qui conduirait faussement à l'idée que l'« angle », si on considère la signification fausse de la pente physique comme la tangente d'un angle sur le graphique, est presque nul. On a omis délibérément l'unité de mesure pour la pente dans ce raisonnement, mais normalement on ne doit jamais le faire. En plus, en ce qui concerne la représentation graphique, les meilleurs résultats expérimentaux sont obtenus quand la pente visuelle est proche de 45°, c'est-à-dire qu'on choisit correctement les échelles verticale et horizontale.

## Exactitude de mesure

Un instrument de mesure est d'autant plus exact si les résultats de mesure qu'il indique coïncident avec la « valeur vraie » que l'on cherche à mesurer. Il est à remarquer que l'exactitude ne s'exprime pas par une valeur chiffrée. C'est une appréciation qualitative des résultats.
L'exactitude est plus aisée à définir par l'erreur de mesure. Elle s'exprime en unité de grandeur (erreur absolue) ou en pourcentage (erreur relative).
En dehors des conditions opératoires, l'exactitude d'un appareil est essentiellement liée à deux types de caractéristiques : la justesse et la fidélité. Un appareil est exact s'il est à la fois juste et fidèle.
L'exactitude d'un appareil de mesure peut également être entachée par des causes extérieures : erreur opératoire, erreur provoquée par les grandeurs d'influences (température, pression etc), erreur de référence ou d'étalonnage, erreur d'hystérésis, erreur de finesse etc.

### Justesse

L'erreur de justesse est l'erreur globale résultant de toutes les causes pour chacun des résultats de mesure pris isolément. C'est donc l'aptitude de l'appareil à donner des résultats qui ne sont pas entachés d'erreur.
Dans le cas de mesures multiples c'est l'écart entre le résultat moyen et la valeur vraie.
    $J={\bar {v}}-V$
    ${\bar {v}}$ : moyenne arithmétique d'un grand nombre de mesures
    $V$ : valeur vraie (ou conventionnellement vraie)
Si l'on effectue une représentation en deux dimensions en considérant la valeur vraie comme l'origine on peut considérer l'erreur de justesse comme la distance ${\bar {d}}$ entre le barycentre de l'ensemble des mesures et l'origine.
    ${\begin{matrix}&{\bar {d}}&=&{\sqrt {{\rm {(\sum \cdot \ ({\frac {Ox_{i}}{n}})^{2})}}+{\rm {(\sum \cdot \ ({\frac {Oy_{i}}{n}})^{2})}}{\rm}}}\\&&=&{\sqrt {{\rm {({\overline {Ox}})^{2}}}+{\rm {({\overline {Oy}})^{2}}}}}\end{matrix}}$

### Fidélité

Définition : la fidélité est l'aptitude d'un appareil de mesure à donner des mesures exemptes d'erreurs accidentelles.
La fidélité définit la dispersion des résultats. Si on n'effectue qu'une seule mesure, la fidélité représente la probabilité qu'elle soit représentative du résultat moyen. Ce dernier aurait été obtenu en effectuant une infinité de mesures.
Nota : le résultat moyen est lui-même entaché de l'erreur de justesse.
Si on effectue un ensemble de mesures d'une grandeur G, on obtient une valeur maximum (V$_{max}$) et une valeur minimum (V$_{min}$). Les erreurs limites de fidélité sont alors :
    $F_{\text{max}}=+{\frac {V_{\text{max}}-V_{\text{min}}}{2}}$
    $F_{\text{min}}=-{\frac {V_{\text{max}}-V_{\text{min}}}{2}}$
Exemple : des mesures répétées à l'aide d'un voltmètre donnent :
    $U_{\text{max}}=100,2\;{\rm {V}}$
    $U_{\text{min}}=99,7\;{\rm {V}}$
    $F=\pm {\frac {100,2-99,7}{2}}=\pm {\frac {0,5}{2}}=\pm 0,25\;{\rm {V}}$

### Conclusion

On peut représenter symboliquement la fidélité, la justesse et l'exactitude de la manière suivante :
Dans le premier cas, les mesures sont proches les unes des autres (bonne fidélité) mais en dehors de la zone de probabilité de la valeur vraie (mauvaise justesse).
Dans le deuxième cas, les mesures sont au contraire bien dans la zone où se trouve la valeur vraie et le « barycentre » des points est au centre de la zone rouge (bonne justesse) mais bien que bonnes, les mesures sont dispersées entre elles (mauvaise fidélité).
Le dernier cas présente des mesures justes (dans la zone de la valeur vraie) et fidèles (proches les unes des autres). C'est le cas d'un bon appareil de mesure, à qui l'apport d'une correction n'est a priori pas nécessaire et les mesures effectuées avec l'appareil sont exactes.