# Théorème de Schwarz

Le théorème de Schwarz ou de Clairaut est un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables. Sous certaines hypothèses, il dit que l'ordre des deux dérivations : dériver par rapport à la variable y d'abord, puis par rapport à une variable x revient au même que dériver par rapport à la variable x d'abord puis par rapport à la variable y. Autrement dit :
${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(a)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(a)$
Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861 auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin.

## Énoncé

Théorème de Schwarz$^,$ —  Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E, et f : U → F une application deux fois différentiable en un point a de U. Alors, l'application bilinéaire d$^2$f$_a$ : E×E → F est symétrique.
Corollaire — Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un ouvert de ℝ$^n$. Si f est deux fois différentiable en un point, alors sa matrice hessienne en ce point est symétrique.
La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables :
${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(a)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(a)$
Ce théorème est parfois appelé par les anglophones « Young's theorem » (théorème de Young), nom qui désigne également une extension aux dérivées d'ordre supérieur.

## Un contre-exemple

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées. Un premier contre-exemple, assez compliqué, a été donné par Schwarz lui-même en 1873. Un deuxième contre-exemple, plus simple, est proposé par Peano en 1884. Il s'agit de la fonction définie par :
$f\left(x,y\right)={\begin{cases}{\frac {xy\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{si }}\left(x,y\right)\neq \left(0,0\right)\\0&{\text{sinon,}}\end{cases}}$
qui vérifie
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left(0,0\right)=-1\quad {\text{tandis que}}\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left(0,0\right)=1$

## Application aux formes différentielles

Considérons, en dimension 2, la 1-forme différentielle exacte suivante, où f est de classe C$^2$ :
$\mathrm {d} f=a(x,y)\,\mathrm {d} x+b(x,y)\,\mathrm {d} y.$
Alors,
$a(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y){\text{ et }}b(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y).$
En appliquant le théorème de Schwarz, on en déduit :
${\frac {\partial b}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial a}{\partial y}}(x,y).$
Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.
Plus généralement, en dimension n :
   toute forme exacte de classe C$^1$ est fermée,
ce qui, dans le cas particulier d'une 1-forme ω, s'écrit :
    ${\text{si }}\omega =\mathrm {d} f{\text{ alors }}\mathrm {d} \omega :=\sum _{i<j}\left({\frac {\partial \omega _{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\right)\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}=0.$
Considérons une 1-forme exacte
$\omega =\mathrm {d} f=\omega _{1}\mathrm {d} x_{1}+\omega _{2}\mathrm {d} x_{2}+\ldots +\omega _{n}\mathrm {d} x_{n}$
où la fonction f est de classe C$^2$. Nous savons par ailleurs que
$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\mathrm {d} x_{n}$
Ainsi pour tout $i,j<n$
$\omega _{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$
$\omega _{j}={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$
En dérivant $\omega _{i}$ et $\omega _{j}$ respectivement selon $x_{j}$ et $x_{i}$,
${\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$
${\frac {\partial \omega _{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}$
En vertu du théorème de Schwarz — qui s'applique ici car les $\omega _{i}$ sont supposés de classe C$^1$ — ces deux dérivées partielles sont égales, d'où
$\forall i,j<n,\quad {\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \omega _{j}}{\partial x_{i}}}$
ce qui achève la démonstration.