# Moment multipolaire axial

En électrostatique, et plus généralement en théorie du potentiel le moment multipolaire axial d'ordre k (entier positif ou nul) est une grandeur physique qui apparaît dans le développement en série du potentiel créé à grande distance par une distribution de charges électrique réparties selon un axe (noté Oz, O étant l'origine).
Dans le cas d'une distribution de charges décrite de façon discrète, c'est-à-dire de N charges de valeurs $q_{n}$ réparties aux positions $z_{n}$ sur l'axe, le moment multipolaire axial d'ordre k ou moment 2$^k$-polaire est défini par:
    $M_{k}=\sum _{n=1}^{N}{q_{n}z_{n}^{k}}$, avec k entier positif ou nul.
Pour une distribution décrite de façon continue par la densité linéique de charges $\sigma (z)$, cette expression s'écrira:
    $M_{k}=\int {\sigma (z)z^{k}dz}$,
l'intégration portant sur tout le domaine de la distribution.
Les moments multipolaires axiaux sont des cas particuliers de moment multipolaire pour des charges réparties selon un axe, il est possible de considérer également les moments multipolaires sphériques dans le cas général.

## Cas d'une distribution de charges discrètes
### Potentiel créé par une charge unique

Pour une charge ponctuelle q située en un point P de l'espace, le potentiel électrostatique créé en un point M est donné par:
    $V(M)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}PM}}$.
Dans le cas particulier où la charge q est situé sur l'axe Oz à la distance $d>0$ de l'origine O, il est possible d'exprimer le potentiel électrostatique au point M repéré par $\mathbf {r} =\mathbf {OM}$:
    $V(M)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\sqrt {r^{2}+d^{2}-2dr\cos {\theta }}}}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r{\sqrt {1+{\epsilon }^{2}-2\epsilon \cos {\theta }}}}}$,
où $\theta$ est l'angle entre $\mathbf {r}$ et l'axe Oz, et $\epsilon ={\tfrac {d}{r}}$.
Il est possible de remarquer que ${\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}-2\epsilon \cos {\theta }}}}$ correspond à la fonction génératrice des polynômes de Legendre:
    ${\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}-2\epsilon \cos {\theta }}}}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\epsilon ^{k}P_{k}(\cos {\theta })}$.
Par suite l'expression du potentiel électrostatique créé au point M par une charge ponctuelle q située au voisinage de l'origine sur l'axe Oz est donnée par:
    $V(M)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{k=0}^{+\infty }{M_{k}{\frac {P_{k}(\cos {\theta })}{r^{k+1}}}}$,
avec $M_{k}=qd^{k}$ moment multipolaire axial.
Clairement les différentes contributions décroissent rapidement avec r et pour d très petit devant la distance r on retrouve sans surprise l'expression du potentiel pour une charge à l'origine.

### Généralisation à plusieurs charges discrètes sur l'axe

Dans le cas plus général de N charges discrètes $q_{n}$ réparties sur l'axe Oz aux positions (algébriques) $z_{n}$, il est clair que du fait de la linéarité des équations de l'électrostatique l'expression du potentiel créé à grande distance en un point M est la somme des potentiels créés part chacune des charges. Il en résulte une expression de la même forme que précédemment :
    $V(M)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{k=0}^{+\infty }{M_{k}{\frac {P_{k}(\cos {\theta })}{r^{k+1}}}}$,
avec:
    $M_{k}=\sum _{n=1}^{N}{q_{n}z_{n}^{k}}$, moment 2$^k$-polaire axial de la distribution.
Le moment d'ordre k = 0 correspond au terme polaire de la distribution, physiquement il s'agit simplement de la charge globale de la distribution: $M_{0}=\sum _{n=1}^{N}{q_{n}}=Q$. Le terme correspondant dans l'expansion en multipôles axiaux est donc en 1/r et domine largement à grande distance sauf si Q = 0 (distribution apolaire).
Le moment suivant correspond au moment dipolaire électrique de la distribution: $M_{1}=\sum _{k=0}^{N}{qz_{n}}$. Le terme correspondant dans la distribution varie en $1/r^{2}$.
Les moments suivants sont dits quadrupolaire (2$^2$), octupolaire (2$^3$), etc.

### Exemple

Il est possible de considérer trois charges, de valeurs $q_{1}$, $q_{2}$ et $q_{3}$, placées respectivement en z = d (d > 0), z = 0 et z = –d. L'expression précédente du moment 2$^k$-polaire $M_{k}$ devient alors:
    $M_{k}=q_{1}d^{k}+(-1)^{k}q_{3}d^{k}$ pour $k=1,2,...,\infty$ et $M_{0}=q_{1}+q_{2}+q_{3}$.
Les cas particuliers suivants peuvent être considérés :
* distribution purement polaire: $q_{1}=q_{3}=0$, $q_{2}\neq 0$: tous les moments multipolaire d'ordre supérieur à 0 sont nuls, le potentiel est celui d'une charge unique placée à l'origine;
* dipôle électrostatique rigide: $q_{1}=-q_{3}=q$, $q_{2}=0$. Dans ce cas le terme polaire de l'expansion est nul, et le premier moment non nul est le moment dipolaire $M_{1}=2qd=p$. Le terme dominant du potentiel est le terme dipolaire électrique $v_{dip.}(M)={\frac {p\cos {\theta }}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}$, avec $\mathbf {p} =2qd\mathbf {e} _{z}$ vecteur moment dipolaire électrique. Le terme suivant dans l'expansion du potentiel est le terme octupolaire faisant intervenir $M_{3}=2qd^{3}$, soit $V_{oct.}={\frac {M_{3}P_{3}(\cos {\theta })}{4\pi \epsilon _{0}r^{4}}}$ et variant en $1/r^{4}$.
* quadrupôle électrostatique linéaire: $q_{1}=q_{3}=q$, $q_{2}=-2q$. Il est facile de vérifier qu'alors les moments polaire et dipolaire $M_{0}$ et $M_{1}$ sont nuls, le premier moment non nul est le moment quadrupolaire $M_{2}=2qd^{2}$ et le terme correspondant dans l'expression du potentiel est $V_{quad.}(M)={\frac {M_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}{\frac {\left(3\cos ^{2}{\theta }-1\right)}{2}}$.

## Cas d'une distribution continue

Dans le cas d'une distribution continue de charge de densité linéique $\sigma (z)$ sur l'axe Oz, le potentiel électrostatique en un point M de l'espace s'écrit:
    $V(M)=\int {\frac {\sigma (z)dz}{4\pi \epsilon _{0}{\sqrt {r^{2}+z^{2}-2zr\cos {\theta }}}}}=\int {\frac {\sigma (z)dz}{4\pi \epsilon _{0}r{\sqrt {1+{\tfrac {z}{r}}^{2}-2{\tfrac {z}{r}}\cos {\theta }}}}}$,
soit en utilisant à nouveau les propriétés de la fonction génératrice des polynômes de Legendre qui apparaît au dénominateur de l'intégrande, il vient :
    $V(M)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{k=0}^{+\infty }{M_{k}{\frac {P_{k}(\cos {\theta })}{r^{k+1}}}}$,
où $M_{k}$ représente le moment 2$^k$-polaire axial donné par:
    $M_{k}=\int {\sigma (z)z^{k}dz}$.
Finalement, pour une distribution continue sur l'axe Oz, et à suffisamment grande distance de celui-ci, le potentiel électrostatique est la somme des contributions polaire, dipolaire, quadrupolaire, ... ,2$^k$-polaire axiales, chacune variant respectivement en $1/r$, $1/r^{2}$, $1/r^{3}$, ..., $1/r^{k+1}$.