# Groupe libre

En théorie des groupes, le groupe libre sur un ensemble S est le groupe F contenant S et caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout groupe G et toute application f : S → G, il existe un unique morphisme de groupes de F dans G prolongeant f.
Soit encore, un groupe G est dit libre sur un sous-ensemble S de G si chaque élément de G s'écrit de façon unique comme produit réduit d'éléments de S et d'inverses d'éléments de S (réduit signifiant : sans occurrence d'un sous-produit de la forme x.x$^{−1}$). Un tel groupe est unique à isomorphisme près ce qui justifie le qualificatif le dans la définition. En général, on le notera F$_S$ ou L(S). Intuitivement, F$_S$ est le groupe engendré par S, sans relations entre les éléments de S autres que celles imposées par la structure de groupe.

## Histoire

Walther von Dyck étudie en 1882 le concept de groupe libre, sans y donner de nom, dans son article Gruppentheoretische Studien (Études en théorie des groupes) publié dans Mathematische Annalen. Le terme de groupe libre a été introduit en 1924 par Jakob Nielsen, qui a défini des transformations qui engendrent le groupe d'automorphismes de ce groupe (en).

## Construction

Soit S' un ensemble équipotent à S et disjoint de S, muni d’une bijection de S vers S'. Pour chaque élément s de S, on note s' l'élément correspondant dans S'.
Notons M l'ensemble des mots sur la réunion de S et de S', c'est-à-dire les chaînes finies de caractères constituées d'éléments de S et de S'. Deux telles chaînes seront dites équivalentes si on peut passer de l'une à l'autre en enlevant ou en rajoutant, en n'importe quelle position, des chaînes de la forme ss' ou s's. Ceci définit une relation d'équivalence R sur M. On définit F$_S$ comme l'ensemble des classes d'équivalence modulo R. On identifie chaque élément s de S avec sa classe dans F$_S$ pour avoir l’inclusion S ⊂ F$_S$.
La concaténation de deux mots définit une loi sur M préservée par l'équivalence. Par passage au quotient, on obtient une loi de groupe sur F$_S$. L'élément neutre est la classe du mot vide, et l'inverse de la classe de s$_1$s$_2$…s$_n$ est la classe de s'$_n$…s'$_2$s'$_1$, et toute classe contient un représentant canonique, de longueur minimale : un mot « réduit », c'est-à-dire ne contenant aucun sous-mot de la forme ss' ou s's.
Vérification de la propriété universelle : Si $G$ est un groupe, toute application ensembliste $f:S\to G$ se prolonge en un morphisme de monoïdes $\varphi :M\to G$ tel que $\varphi (s)=f(s)$ et $\varphi (s')=$ $f(s)^{-1}$. Ce morphisme est constant sur les classes d'équivalence, et induit donc un morphisme de groupes $\varphi :F_{S}\to G$ qui prolonge $f$. De plus, $\varphi$ est l'unique morphisme de groupes $F_{S}\to G$ qui prolonge $f$ car tout élément de $F_{S}$ peut s'écrire comme la classe d'un mot.

## Premières propriétés

* Si S et T ont même cardinalité, alors F$_S$ et F$_T$ sont isomorphes (par fonctorialité de S ↦ F$_S$). Réciproquement, si F$_S$ et F$_T$ sont isomorphes, on peut montrer que S et T ont même cardinal (le cardinal de S est en fait le rang du groupe F$_S$). D’ailleurs si S est infini, F$_S$ a le même cardinal que S, et que S soit fini ou pas, l'ensemble des morphismes de F$_S$ dans ℤ/2ℤ a même cardinal que l'ensemble des parties de S.
* Tout groupe engendré par une partie S est un quotient du groupe libre F$_S$ sur S. En particulier, n’importe quel groupe est le quotient d'un groupe libre, d’où la notion de présentation d'un groupe (par générateurs et relations).
* Le foncteur objet libre qui à tout ensemble S associe le groupe libre F$_S$ est l'adjoint à gauche du foncteur d'oubli, de la catégorie des groupes dans celle des ensembles.
* Si S est de cardinal supérieur ou égal à deux alors F$_S$ est non commutatif. En effet, pour tous x, y ∈ S distincts, xy ≠ yx par unicité de l'écriture.
* Dans la catégorie des groupes, les objets projectifs sont les groupes libres.

## Exemples

* Le groupe libre sur l'ensemble vide est le groupe trivial, et le groupe libre sur un singleton est isomorphe à ℤ.
* Soit n un entier naturel. Le groupe fondamental du plan privé de n points est un groupe libre sur un ensemble de cardinal n.

## Sous-groupes d'un groupe libre

* D'après le théorème de Nielsen-Schreier, tout sous-groupe d'un groupe libre F$_S$ est un groupe libre F$_T$, mais le cardinal de T n'est pas nécessairement inférieur ou égal à celui de S. Par exemple, dans le groupe libre F$_{{a,b}}$ à deux générateurs, le sous-groupe engendré par les a$^n$ba$^{–n}$ (pour tous les entiers n) n’admet aucun système fini de générateurs : c'est un groupe libre sur une infinité dénombrable de générateurs.
* Le groupe dérivé de F$_{{a,b}}$ est lui aussi un groupe libre sur une infinité dénombrable de générateurs : les commutateurs [a$^m$, b$^n$] pour tous les entiers m, n non nuls.
Ainsi, même pour les sous-groupes distingués, on n’a pas d’analogue non abélien du résultat suivant : tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est un groupe abélien libre dont le rang est un cardinal inférieur ou égal au rang du groupe.