# Circuit RL

Un circuit RL est un circuit électrique contenant une résistance et une bobine ; il est utilisé dans diverses applications, comme filtre passe-bas ou passe-haut, ou dans les convertisseurs de courant continu. Contenant deux composants, il se décline en deux versions différant dans la disposition des composantes (série ou parallèle).

## Circuit série

Le circuit en série est analysé avec la loi des mailles pour donner :
    $U=U_{R}+U_{L}$

### Régime transitoire

Dans le régime transitoire :
    $U_{R}=R_{t}I,\quad U_{L}=L{\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}$
L'équation différentielle qui régit le circuit est alors la suivante :
    $U=L{\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}+R_{t}I$
Avec :
* U la tension aux bornes du montage, en V ;
* I l'intensité du courant électrique en A ;
* L l'inductance de la bobine en H ;
* R$_t$ la résistance totale du circuit en Ω.
La solution générale, associée à la condition initiale I$_{bobine}$(t = 0) = 0, est :
    $I_{\mathrm {bobine} }={U \over R_{t}}(1-\mathrm {e} ^{-{t \over \tau }})$
    $\tau ={L \over R_{t}}$
Avec τ la constante de temps du circuit, en s.
C'est la constante de temps τ qui caractérise la « durée » du régime transitoire. Ainsi, le courant permanent est établi à 1 % près au bout d'une durée de $4.6\tau$.
Lorsque le courant devient permanent, l'équation se simplifie en U = RI car LdI/dt = 0.

### Régime sinusoïdal permanent

Dans une analyse spectrale en régime sinusoïdal permanent, il faut considérer les impédances des composants en fonction de la pulsation :
    $Z_{R}(\omega )=R,\quad Z_{L}(\omega )=jL\omega =2\pi jLf$
où ω est la pulsation en rad.s$^{-1}$, f est la fréquence en s$^{-1}$ et j désigne l'unité imaginaire, telle que j$^2$ = -1.
On pose U$_e$ = U la tension entrant dans le quadripôle et U$_s$ la tension sortant du quadripôle. On a deux possibilités pour l'expression de U$_s$ :
    $U_{s}=U_{R}={Z_{R} \over Z_{R}+Z_{L}}U_{e}={R \over R+jL\omega }U_{e}$
    $U_{s}=U_{L}={Z_{L} \over Z_{R}+Z_{L}}U_{e}={jL\omega \over R+jL\omega }U_{e}$
On note H$_R$(ω) et H$_L$(ω) les fonctions de transfert de chaque cas respectif.

### Analyse fréquentielle

    $H_{L}(\omega )={V_{L}(\omega ) \over U_{e}(\omega )}={j{L \over R}\omega \over 1+j{L \over R}\omega }$
La fonction de transfert peut s'écrire $H_{L}(\omega )=G_{L}\mathrm {e} ^{j\varphi _{L}}$ où G est le gain et φ$_L$, la phase.
Ainsi, $H_{L}(\omega )=G_{L}\mathrm {e} ^{j\varphi _{L}}$avec :
    $G_{L}={\frac {{\frac {L}{R}}\omega }{\sqrt {1+({\frac {L}{R}}\omega )^{2}}}}$
    $\varphi _{L}=\arg(H)={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {L}{R}}\omega \right)$
Quand ω tend vers 0 :
    $H_{L}\approx j{\frac {L}{R}}\omega \ {\textrm {donc}}\ G_{L}\to 0\ {\textrm {et}}\ \varphi _{L}\to {\frac {\pi }{2}}$
Quand ω tend vers l'infini :
    $G_{L}\to 1\ {\textrm {et}}\ \varphi _{L}\to 0$
Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur la bobine le comportement est du type filtre passe-haut : les basses fréquences sont atténuées et les hautes fréquences passent.
La fréquence de coupure $f_{c}$ d'un circuit est la fréquence pour laquelle le gain en tension vaut :${\frac {1}{\sqrt {2}}}$, soit −3 dB. Cette fréquence est égale à :
    $f_{c}={\frac {R}{2\pi L}}$ (en Hz)