# Triangle orthique

En géométrie, le triangle orthique d'un triangle de référence est le triangle ayant pour sommets les pieds des hauteurs du triangle de référence.

## Propriétés

Dans un triangle $ABC$ acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs, concourantes en son orthocentre $H$, sont les bissectrices du triangle orthique $h_{A}h_{B}h_{C}$. Il en résulte que, dans un tel triangle, l'orthocentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique, et les sommets sont donc les centres des cercles exinscrits du triangle orthique. Le triangle orthique est également le triangle podaire et le triangle cévien de l'orthocentre pour le triangle de référence.
Les quadruplets de points $(C,B,h_{C},h_{B})$ ; $(B,A,h_{B},h_{A})$ et $(A,C,h_{A},h_{C})$ sont cocycliques. Les centres des cercles en question sont les milieux des côtés du triangle $ABC$ (selon le théorème de Thalès pour le cercle).
Ainsi, on en déduit les valeurs des angles au sommet du triangle orthique :
    ${\widehat {h_{B}h_{A}h_{C}}}=\pi -{\widehat {BAC}},\ {\widehat {h_{A}h_{C}h_{B}}}=\pi -{\widehat {ACB}},\ {\widehat {h_{C}h_{B}h_{A}}}=\pi -{\widehat {CBA}}$
On a les égalités d'angles inscrits :
    ${\widehat {h_{B}h_{A}A}}={\widehat {h_{B}BA}}={\widehat {ACh_{C}}}={\widehat {Ah_{A}h_{C}}}$
Les longueurs des côtés du triangle orthique sont :
    $h_{A}h_{B}=R\sin(2{\widehat {BAC}})=BC\cos({\widehat {BAC}}),\ h_{B}h_{C}=R\sin(2{\widehat {ABC}})=AC\cos({\widehat {ABC}}),\ h_{C}h_{A}=R\sin(2{\widehat {ACB}})=AB\cos({\widehat {ACB}}),\$
ou R est le rayon du cercle circonscrit à ABC. Son aire est :
    $S={\frac {R^{2}}{2}}\sin(2{\widehat {BAC}})\sin(2{\widehat {CBA}})\sin(2{\widehat {ACB}})$
Le rayon de son cercle inscrit est :
    $r_{orthic}=2R\cos({\widehat {BAC}})\cos({\widehat {CBA}})\cos({\widehat {ACB}})$
et celui de son cercle circonscrit est :
    $R_{orthic}=R/2$

## Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique

Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons joignant le centre du cercle circonscrit aux sommets du triangle $ABC$.
On note $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ de centre $O$, et $A',B',C'$ les pieds des hauteurs issues de $A,B,C$ respectivement.
Une étude des angles inscrits permet de montrer que $(B'C')$ est parallèle à la tangente au cercle circonscrit en $A$. Donc $(OA)$ est perpendiculaire à $(B'C')$. On montre aussi que cette tangente est parallèle à la droite de Simson du point intersection de $(AH)$ avec le cercle circonscrit.
De même $(OB)$ est perpendiculaire à $(A'C')$ et $(OC)$ est perpendiculaire à $(A'B')$.
On peut résumer ceci en :
   Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique.
Le triangle formé par les tangentes au cercle circonscrit est le triangle tangentiel, ses côtés sont donc parallèles à ceux du triangle orthique.
Le triangle orthique est l'unique trajectoire d'un balle sur un billard triangulaire qui se referme en trois rebonds$^,$.
On peut aussi en déduire que les côtés du triangle orthique sont antiparallèles aux côtés du triangle deux à deux.

## Problème de Fagnano

Le triangle orthique est la solution au problème d'optimisation visant à trouver le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre.

## Triangle médian du triangle orthique

Soit un triangle $ABC$ non rectangle, soient $A',B',C'$ les pieds des hauteurs du triangle $ABC$ issues respectivement de $A,B,C$ ; on note $A_{1}$ et $A_{2}$ les projections orthogonales de $A'$ sur $(AB)$ et $(AC)$, $A_{3}$ et $A_{4}$ les symétriques de $A'$ par rapport à $A_{1}$ et $A_{2}$.
La droite $(A_{3}A_{4})$ est parallèle à $(A_{1}A_{2})$, les points $B',C',A_{3},A_{4}$ sont alignés, la droite $(A_{1}A_{2})$ contient les milieux $Q$ et $R$ des côtés $[A'C']$et $[A'B']$ du triangle orthique de $ABC$ , $(A_{1}A_{2})$ est un des côtés de $PQR$, triangle médian du triangle orthique.
A$_3$A$_4$ est égal au périmètre du triangle orthique $A'B'C'$. Ce périmètre est égal à ${\frac {8S^{2}}{abc}}$ où $S$est l'aire du triangle $ABC$ et $a,b,c$ sont les longueurs des côtés de $ABC$.