# Q-dérivée

En mathématiques, notamment en combinatoire et en calcul quantique, la q-dérivée (aussi appelée dérivée de Jackson) est un q-analogue de la dérivée ordinaire, introduite par Frank Hilton Jackson. C'est l'inverse de la q-intégration de Jackson.

## Définition

La q-dérivée (dérivée de Jackson) d'une fonction $f$ est définie comme$^,$$^,$ :$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.$
Elle est souvent notée $D_{q}f(x)$.
Formellement, en termes d'opérateur de décalage de Lagrange en variable logarithmique, on peut écrire :
$D_{q}={\frac {1}{x}}{\frac {q^{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\ln x}}-1}{q-1}}$.
Ceci montre que $D_{q}$ tend vers la dérivée ordinaire ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ lorsque $q$ tend vers 1.
La q-dérivée a des propriétés analogues à la dérivée usuelle. C'est un opérateur linéaire :
    $D_{q}\left(f(x)+g(x)\right)=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)$.
Il existe une règle de produit analogue à la règle du produit pour la dérivée ordinaire :
    $D_{q}\left(f(x)g(x)\right)=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x)$.
On a aussi l'identité suivante pour les quotients :
    $D_{q}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0$.
Pour la composition, on obtient, avec $g(x)=cx^{k}$ :
    $D_{q}f\left(g(x)\right)=D_{q^{k}}(f)\left(g(x)\right)D_{q}(g)(x)$.
La fonction propre de la q-dérivée est la q-exponentielle $e_{q}(x)$.

## Relation avec les dérivées ordinaires

La q-dérivation ressemble à une dérivation ordinaire, avec quelques différences notables. Par exemple, la q-dérivée du monôme est :
    $\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}$
où $[n]_{q}$ est le q-symbole de Pochhammer de $n$. On peut noter que $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n$, et on retrouve alors la dérivée ordinaire.
La q-dérivée $n$-ième d'une fonction vérifie :
    $\left(D_{q}^{n}f\right)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {\left(q;q\right)_{n}}{\left(1-q\right)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}$
si la dérivée $n$-ième ordinaire de $f$ existe en $x=0$. Ici, $\left(q;q\right)_{n}$ est le q-symbole de Pochhammer et $[n]!_{q}$ est la q-factorielle. Si $f(x)$ est analytique, on peut appliquer la formule de Taylor à la définition de $D_{q}\left(f(x)\right)$ et ainsi obtenir :
    $D_{q}\left(f(x)\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(q-1\right)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x)$.
Le q-analogue du développement de Taylor d'une fonction autour de 0 devient :
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(D_{q}^{n}f\right)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}$.

## q-dérivées d'ordre supérieur

Pour les q-dérivées d'ordre supérieur, on a l'identité suivante$^,$ :
    $D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{\left(1-q\right)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f\left(q^{k}x\right)$,
où ${\binom {n}{k}}_{q}$ est le coefficient q-binomial. En changeant l'ordre de sommation avec $r=n-k$, on obtient la formule suivante$^,$ :
    $D_{q}^{n}f(x)={\frac {\left(-1\right)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{\left(1-q\right)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}\left(-1\right)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f\left(q^{n-r}x\right)$.
Les dérivées d'ordre supérieur sont utilisées pour la formule de q-Taylor et la formule de q-Rodrigues (une formule utilisée pour construire les q-polynômes orthogonaux).

## Exemples

On a :
    $\forall a\in \mathbb {R} ,D_{q}(a)=0$
    $D_{q}(x)=1$
    $\forall n\geqslant 2,\ D_{q}(x^{n})={\frac {q^{n}-1}{q-1}}x^{n-1}=[n]_{q}x^{n-1}.$
    $\forall n\geqslant 1,\ D_{q}(x^{-n})=[-n]_{q}x^{-n-1}.$
    $D_{q}({\sqrt {x}})={\frac {1}{(1+{\sqrt {q}}){\sqrt {x}}}}.$
Les q-dérivées des autres fonctions usuelles (exponentielle, trigonométriques) ne sont pas définies de façon unique (voir q-exponentielle.

## q-intégration

De façon analogue, pour une fonction f donnée, une q-primitive F sera une fonction telle que sa q-dérivée soit f. En partant de la définition de la q-dérivée, on a :
    ${\begin{aligned}\forall x\in \mathbb {R} ,F(qx)=F(x)+(q-1)xf(x)&\Longleftrightarrow &F(x)=F\left({\frac {x}{q}}\right)+(q-1){\frac {x}{q}}f\left({\frac {x}{q}}\right)&\\&\Longleftrightarrow &F(x)=\left[F\left({\frac {x}{q^{2}}}\right)+(q-1){\frac {x}{q^{2}}}f\left({\frac {x}{q^{2}}}\right)\right]+(q-1){\frac {x}{q}}f\left({\frac {x}{q}}\right)&\\&\Longleftrightarrow &F(x)=F\left({\frac {x}{q^{n}}}\right)+(q-1)x\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{q^{n}}}f\left({\frac {x}{q^{n}}}\right)&\\&\Longleftrightarrow &F(x)=C+(q-1)x\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{q^{n}}}f\left({\frac {x}{q^{n}}}\right)&\end{aligned}}$
La dernière équivalence est vraie qui F est continue en 0 et si la série converge.
Cette définition n'induit pas qu'une q-primitive de la fonction f est nécessairement une q-analogue d'une primitive de f.

## Généralisations
### Calcul post-quantique

Le calcul post-quantique est une généralisation de la théorie du calcul quantique ; elle utilise l'opérateur suivant$^,$ :
    $D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(p-q)x}},\quad x\neq 0$.

### Différence de Hahn

Wolfgang Hahn a introduit l'opérateur suivant (parfois appelé différence de Hahn)$^,$ :
    $D_{q,\omega }f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0$.
Lorsque $\omega \to 0$, cet opérateur se réduit à une $q$-dérivée, et lorsque $q\to 1$ cela devient une différence amont. Il s'agit d'un outil efficace pour construire des familles de polynômes orthogonaux et pour étudier certains problèmes d'approximation$^,$$^,$.

### β-dérivée

La $\beta$-dérivée est un opérateur défini comme suit$^,$ :
    $D_{\beta }f(t):={\frac {f\left(\beta (t)\right)-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t,\quad \beta :I\to I$.
Dans cette définition, $I$ est un intervalle donné et $\beta (t)$ est toute fonction continue strictement croissante (c'est-à-dire $t>s\Rightarrow \beta (t)>\beta (s)$). Quand $\beta (t)=qt$ alors cet opérateur est une $q$-dérivée, et quand $\beta (t)=qt+\omega$ cet opérateur est la différence de Hahn.

## Applications

Le q-calcul a été utilisé en apprentissage automatique pour concevoir des fonctions d'activation stochastique.
Pour d'autres formes de q-dérivée, voir Chung et al. 1994.