# Algèbre de quaternions

En mathématiques, une algèbre de quaternions sur un corps commutatif K est une K-algèbre de dimension 4 qui généralise à la fois le corps des quaternions de Hamilton et l'algèbre des matrices carrées d'ordre 2. Pour être plus précis, ce sont les algèbres centrales simples sur K de degré 2.
Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque).

## Définitions et exemples

On appelle algèbre de quaternions sur K toute algèbre (unitaire et associative) A de dimension 4 sur K qui est simple (c'est-à-dire que A et {0} sont les seuls idéaux bilatères) et dont le centre est K.
On appelle corps de quaternions sur K toute algèbre de quaternions sur K dont l'anneau sous-jacent est un corps.
Exemples
* Le seul corps de quaternions sur R (à isomorphisme près) est le corps H des quaternions de Hamilton.
* L'algèbre M$_2$(K) des matrices carrées d'ordre 2 est une algèbre de quaternions sur K. Elle est isomorphe à l'algèbre End$_K$(E) des endomorphismes de tout plan vectoriel E sur K.

## Conjugaison
### Définition et exemples

Soit A une algèbre de quaternions sur K. Une involution d'algèbre de A est un endomorphisme d'espace vectoriel de A qui est involutif (J$^2$ = Id$_A$) et qui est un antihomomorphisme d'anneaux (J(xy) = J(y)J(x) quels que soient x et y dans A).
Il existe une unique involution d'algèbre J de A telle que, pour tout élément x de A, x + J(x) et xJ(x) appartiennent à K. On l'appelle conjugaison de A. Pour tout élément x de A, on appelle conjugué de x et on note x l'élément J(x) de A.
Pour tout élément x de A, on appelle trace réduite de x et l'on note T(x) l'élément x + x de K ; on appelle norme réduite de x et l'on note N(x) l'élément xx de K.
Exemples
* Dans H, le conjugué du quaternion q = a + bi + cj + dk est a – bi – cj – dk, la trace de q est 2a et la norme de q est a$^2$ + b$^2$ + c$^2$ + d$^2$.
* Dans M$_2$(K), le conjugué de la matrice M = ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$ est la transposée de sa comatrice : $^{t}({\rm {com}}\,M)={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{pmatrix}}$, la trace réduite de M est la trace usuelle a + d de M et la norme réduite de M est le déterminant usuel ad – bc de M.
* Dans l'algèbre End$_K$(E) des endomorphismes d'un plan vectoriel E, le conjugué d'un endomorphisme f est l'adjoint de f par rapport à n'importe quelle forme bilinéaire alternée non nulle ω sur E (toutes ces formes sont proportionnelles), c'est-à-dire l'unique endomorphisme g tel que ω(f(x), y) = ω(x, g(y)). La trace réduite et la norme réduite de f sont la trace et le déterminant usuels de f.

### Propriétés

Soit A une algèbre de quaternions sur K.
* La fonction x ↦ T(x) de A dans K est une forme linéaire non identiquement nulle.
* T(1) = 2.
* La fonction x ↦ N(x) de A dans K est une forme quadratique non dégénérée sur A. La forme bilinéaire symétrique associée à cette forme quadratique est la fonction (x, y) ↦ T(xy) de A × A dans K: quels que soient x et y dans A, on a T(xy) = N(x + y) – N(x) – N(y).
* Pour tout a dans K et pour tout x dans A, on N(ax) = a$^2$N(x).
* Quels que soient x et y dans A, on a N(xy) = N(x)N(y).
* N(1) = 1.
* Pour qu'un élément x de A soit inversible dans A, il faut et il suffit que N(x) soit non nul. La fonction x ↦ N(x) du groupe A* des éléments inversibles de A dans K est un morphisme de groupes.
Une propriété fondamentale est la suivante : pour tout élément x de A, on a

## Constructions d'algèbres de quaternions

On note A une algèbre de quaternions sur K.

### Cas de caractéristique différente de 2

On suppose que la caractéristique de K est différente de 2.
Il existe une base (1, u, v, w) de A à laquelle appartient 1 telle que u$^2$ et v$^2$ appartiennent à K* et telle que uv = –vu = w.
Réciproquement, quels que soient les éléments non nuls a et b de K, il existe une unique structure d'algèbre unitaire sur K$^4$ pour laquelle, si on note (e$_1$, e$_2$, e$_3$, e$_4$) la base canonique, e$_1$ est l'élément unité et telle que e$_2$$^2$ = a, e$_3$$^2$ = b et e$_4$ = e$_2$e$_3$ = –e$_3$e$_2$. On la note (a, b)$_K$.
Si K = R et si a = b = –1, alors elle est le corps H des quaternions de Hamilton.

### Cas de caractéristique 2

On suppose que la caractéristique de K est égale à 2.
Il existe une base (1, u, v, w) de A à laquelle appartient 1 telle que u$^2$ + u et v$^2$ appartiennent à K* et telle que uv = vu + v = w.
Réciproquement, quels que soient les éléments non nuls a et b de K, il existe une unique structure d'algèbre unitaire sur K$^4$ pour laquelle, si on note (e$_1$, e$_2$, e$_3$, e$_4$) la base canonique, e$_1$ est l'élément unité et telle que e$_2$$^2$ + e$_2$ = a, e$_3$$^2$ = b et e$_4$ = e$_2$e$_3$ = e$_3$e$_2$ + e$_3$$^2$. On la note [a, b)$_K$.

### Construction à l'aide des algèbres étales quadratiques

En caractéristique quelconque, on peut construire une algèbre de quaternions à l'aide des algèbre étales quadratiques, par la construction de Cayley-Dickson.
Soit C une algèbre étale quadratique sur K (ce sont les algèbres isomorphes à K × K, ou qui sont des extensions quadratiques séparables sur K — en caractéristique différente de 2, toute extension quadratique est séparable). Il existe un unique automorphisme J de C différent de l'identité, et on l'appelle conjugaison de C et a un élément non nul de K.
Soit a un élément non nul de K. Sur le K-espace vectoriel Q = C × C, la multiplication définie par (x, y)(x', y') = (xx' + aJ(y')y, yJ(x')+ y'x) fait de Q une algèbre de quaternions sur K. On la note (C, b)$_K$. Réciproquement, toute algèbre de quaternons sur K est isomorphe à une telle algèbre.
Par exemple, si K = R, C est le corps C des nombres complexes et si a = –1, alors Q est le corps H des quaternions de Hamilton.

## Types d'algèbres de quaternions

On dit qu'une algèbre de quaternions est déployée (split en anglais) s'il existe un vecteur non nul x de A tel que N(x) = 0. L'algèbre M$_2$(K) est (à isomorphisme près) l'unique algèbre de quaternions déployée sur K.
Les algèbres quaternions sur K qui sont non déployées ne sont autres que les corps de quaternions, et elles peuvent ne pas exister.

## Algèbres de quaternions sur certains corps commutatifs

Si K = R, alors toute algèbre de quaternions sur R est soit déployée, soit isomorphe à H.
Si K est algébriquement clos (ou plus généralement si K est séparablement clos), ce qui est le cas si K = C, toute algèbre de quaternions sur K est déployée.
Si K est fini, alors toute algèbre de quaternions sur K est déployée (cela résulte du fait que tout corps fini est commutatif).