# Catégorie groupoïde

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories et en topologie algébrique, la notion de groupoïde généralise à la fois les notions de groupe, de relation d'équivalence sur un ensemble, et de l'action d'un groupe sur un ensemble. Elle a été initialement développée par Heinrich Brandt en 1927.
Les groupoïdes sont souvent utilisés pour représenter certaines informations sur des objets topologiques ou géométriques comme les variétés.

## Définitions
### Définition au sens des catégories

Un groupoïde est une petite catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.

### Définition algébrique

Un groupoïde G est un ensemble muni de deux opérations : une loi de composition partiellement définie $*$ et une application (partout définie) $.^{-1}$, qui satisfont les trois conditions suivantes sur les éléments f, g et h de G :
* chaque fois que $f*g$ et $g*h$ sont définis simultanément, alors $(f*g)*h$ et $f*(g*h)$ sont aussi définis, et sont égaux, on les note $fgh$ ou $f*g*h$. Réciproquement, si $(f*g)*h$ ou $f*(g*h)$ sont définis, il en est de même de $f*g$ et $g*h$ ;
* $f^{-1}*f$ et $f*f^{-1}$ sont toujours définis (mais éventuellement différents) ;
* chaque fois que $f*g$ est défini, alors $f*g*g^{-1}=f$, et $f^{-1}*f*g=g$. (Ces expressions sont bien définies d'après les axiomes précédents).
On montre alors que :
* si $x*f=u*f$ alors $x=u$. Il suffit en effet de composer à droite par $f^{-1}$ ;
* si $f*y=f*v$ alors $y=v$. Il suffit en effet de composer à gauche par $f^{-1}$ ;
* $(f^{-1})^{-1}=f$. En effet, $(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*f*f^{-1}*(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*f=f$ ;
* si $f*g$ est défini, il en est de même de $g^{-1}*f^{-1}$, et $g^{-1}*f^{-1}=(f*g)^{-1}$. En effet, $f=f*g*g^{-1}$ donc $f*f^{-1}=f*g*g^{-1}*f^{-1}$ ce qui suffit à assurer l'existence de $g^{-1}*f^{-1}$. Par ailleurs, $f^{-1}*f*g*(f*g)^{-1}=f^{-1}=f^{-1}*f*f^{-1}=f^{-1}*f*g*g^{-1}*f^{-1}$ et il suffit de simplifier à gauche $f^{-1}$, $f$ et $g$.

### Lien entre les deux notions

À un groupoïde au sens des catégories, on peut associer le groupoïde au sens algébrique des (iso)morphismes de cette catégorie.
Réciproquement, si G est un groupoïde au sens algébrique, on peut lui associer un groupoïde au sens des catégories de la façon suivante. Les objets de la catégorie associée sont les $x=f^{-1}*f$ lorsque $f$ varie (on remarque que ces éléments vérifient : $x^{-1}=x=x^{n}$). L'ensemble des morphismes x→y, noté $G(f^{-1}*f,g^{-1}*g)=G(x,y)$, est l'ensemble des h tels que $y*h*x$ est défini (cet ensemble pouvant être vide).

## Exemples

* Les groupes sont des groupoïdes (avec un seul objet $x$ et pour ensemble de flèches (morphismes) $G(x,x)=G$).
* Le groupoïde de Poincaré est un groupoïde.
* Toute réunion disjointe $\bigsqcup _{i\in I}G_{i}$ de groupes est un groupoïde, dont l'ensemble des objets est l'ensemble $I$ des indices.
* À partir d'une action de groupe on peut définir un groupoïde en posant G(x,y) = l'ensemble des éléments du groupe qui envoient x sur y.

## Propriétés

Les (petits) groupoïdes forment eux-mêmes une catégorie, les morphismes étant les foncteurs entre groupoïdes. Le groupoïde initial est le groupoïde vide et le groupoïde final est le groupe trivial.
Soit G un groupoïde, on définit la relation d'équivalence $x\equiv\,y$ si G(x,y) est non vide. Elle définit un groupoïde quotient noté $\pi _{0}(G)$. $\pi _{0}$ définit un foncteur (composantes connexes) de la catégorie des groupoïdes vers la catégorie des ensembles.
Soient G un groupoïde et $x$ un objet de G (on dit aussi un point de G). La loi de composition entre les flèches de $G(x,x)$ restreinte à ce sous-groupoïde est une loi de groupe. On note $\pi _{1}(G,x)$ ce groupe.