# Isomorphisme de Harish-Chandra

En mathématiques, l'isomorphisme de Harish-Chandra, défini par Harish-Chandra en 1951, est un isomorphisme d'anneaux commutatifs entre le centre ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ de l'algèbre enveloppante universelle $U({\mathfrak {g}})$ d'une algèbre de Lie réductive ${\mathfrak {g}}$ et les éléments $S({\mathfrak {h}})^{W}$ de l'algèbre symétrique $S({\mathfrak {h}})$ d'une sous-algèbre de Cartan ${\mathfrak {h}}$ invariants sous l'action du groupe de Weyl $W$.

## Introduction

Soient ${\mathfrak {g}}$ une algèbre de Lie semi-simple, ${\mathfrak {h}}$ sa sous-algèbre de Cartan et $\lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}$ deux éléments de l'espace de poids (où ${\mathfrak {h}}^{*}$ est le dual de ${\mathfrak {h}}$). On fixe qu’un ensemble de racines positives $\Phi _{+}$. Soient $V_{\lambda }$ et $V_{\mu }$ les modules de poids correspondant à $\lambda$ et $\mu$ respectivement.

### Caractères centraux

Les ${\mathfrak {g}}$-modules $V_{\lambda }$ et $V_{\mu }$ sont des représentations de l'algèbre enveloppante universelle $U({\mathfrak {g}})$ et son centre agit sur les modules par multiplication scalaire (cela découle du fait que les modules sont générés par un vecteur de poids le plus élevé). Donc pour $v\in V_{\lambda }$ et $x\in {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$,$x\cdot v:=\chi _{\lambda }(x)v$et de même pour $V_{\mu }$. Les fonctions $\chi _{\lambda },\,\chi _{\mu }$ sont des caractères de ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ dits caractères centraux.

## Énoncé du théorème de Harish-Chandra

Pour tous $\lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}$, il y a égalité des caractères $\chi _{\lambda }=\chi _{\mu }$ si et seulement si $\lambda +\delta$ et $\mu +\delta$ sont dans la même orbite du groupe de Weyl ${\mathfrak {h}}^{*}$, où $\delta$ est la demi-somme des racines positives, parfois appelée vecteur de Weyl.

### Isomorphisme explicite

Plus explicitement, l'isomorphisme peut être construit comme la composition de deux applications, l'une de ${\mathfrak {Z}}={\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ à $U({\mathfrak {h}})=S({\mathfrak {h}}),$ et un autre de $S({\mathfrak {h}})$ dans lui-même.
La première est une projection $\gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})$. Pour un choix de racines positives $\Phi _{+}$, on définit$n^{+}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha },n^{-}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{-}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$les sous-algèbre nilpotente positive et sous-algèbre nilpotente négative respectivement, en raison du théorème de Poincaré – Birkhoff – Witt, il y a une décomposition$U({\mathfrak {g}})=U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}+{\mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).$Si $z\in {\mathfrak {Z}}$ est central, alors en fait$z\in U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}\cap {\mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).$La restriction de la projection $U({\mathfrak {g}})\rightarrow U({\mathfrak {h}})$ au centre est $\gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})$, et est un homomorphisme des algèbres. Ceci est lié aux caractères centraux par$\chi _{\lambda }(x)=\gamma (x)(\lambda )$La deuxième application est l'application de torsion $\tau :S({\mathfrak {h}})\rightarrow S({\mathfrak {h}})$ définie sur ${\mathfrak {h}}$ par $\tau (h)=h-\delta (h)1$ avec $\delta$ le vecteur de Weyl.
Alors ${\tilde {\gamma }}=\tau \circ \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})$ est l'isomorphisme d'Harish-Chandra. La raison pour laquelle la torsion est introduite est que $\chi _{\lambda }$ n'est pas réellement invariant de Weyl, mais on peut prouver que le caractère tordu ${\tilde {\chi }}_{\lambda }=\chi _{\lambda -\delta }$ l'est.

## Applications

Le théorème a été utilisé pour obtenir une preuve algébrique de la formule des caractères de Weyl pour les représentations irréductibles de dimension finie. La preuve a été encore simplifiée par Victor Kac, de sorte que seul l'opérateur de Casimir est nécessaire.
Une conséquence simple est que pour les modules de Verma ou les modules Verma généralisés $V_{\lambda }$ de poids $\lambda$, il n’existe qu’un nombre fini de poids $\mu$ pour lequel un morphisme non nul $V_{\lambda }\rightarrow V_{\mu }$ existe.

## Invariants fondamentaux

Pour ${\mathfrak {g}}$ une algèbre de Lie simple, soit $r$ soit son rang, c'est-à-dire la dimension de toute sous-algèbre de Cartan ${\mathfrak {h}}$ de ${\mathfrak {g}}$. H. S. M. Coxeter a observé que $S({\mathfrak {h}})^{W}$ est isomorphe à une algèbre de polynômes en $r$ variables (voir le théorème de Chevalley-Shephard-Todd pour un énoncé plus général). Par conséquent, le centre de l'algèbre enveloppante universelle d'une algèbre de Lie simple est isomorphe à une algèbre de polynômes. Les degrés des générateurs de l'algèbre sont les degrés des invariants fondamentaux donnés dans le tableau suivant.
| Algèbre de Lie | Nombre de Coxeter h | Nombre de Coxeter dual | Degré des invariants fondamentaux |
| R | 0 | 0 | 1 |
| A$_n$ | n + 1 | n + 1 | 2, 3, 4,... , n + 1 |
| B$_n$ | 2n | 2n − 1 | 2, 4, 6, ... , 2n |
| C$_n$ | 2n | n + 1 | 2, 4, 6, ... , 2n |
| D$_n$ | 2n − 2 | 2n − 2 | n ; 2, 4, 6, ... , 2n − 2 |
| E$_6$ | 12 | 12 | 2, 5, 6, 8, 9, 12 |
| E$_7$ | 18 | 18 | 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 |
| E$_8$ | 30 | 30 | 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 |
| F$_4$ | 12 | 9 | 2, 6, 8, 12 |
| G$_2$ | 6 | 4 | 2, 6 |
Le nombre d’invariants fondamentaux d’un groupe de Lie est égal à son rang. Les invariants fondamentaux sont également liés à l'anneau de cohomologie d'un groupe de Lie. En particulier, si les invariants fondamentaux ont des degrés $d_{1},\cdots ,d_{r}$, alors les générateurs de l'anneau de cohomologie ont des degrés $2d_{1}-1,\cdots ,2d_{r}-1$. De ce fait, les degrés des invariants fondamentaux peuvent être calculés à partir des nombres de Betti du groupe de Lie et vice versa. Dans une autre direction, les invariants fondamentaux sont liés à la cohomologie de l'espace de classification. L'anneau de cohomologie $H^{*}(BG,\mathbb {R} )$ est isomorphe à une algèbre polynomiale sur des générateurs à degrés $2d_{1},\cdots ,2d_{r}$.

## Exemples

* Si ${\mathfrak {g}}$ est l'algèbre de Lie ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$, alors le centre de l'algèbre enveloppante universelle est généré par l'invariant de Casimir de degré 2, et le groupe de Weyl agit sur la sous-algèbre de Cartan, qui est isomorphe à $\mathbb {R}$. Donc l'invariant du groupe de Weyl est le carré du générateur de la sous-algèbre de Cartan, qui est également de degré 2.
* Pour ${\mathfrak {g}}=A_{2}={\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )$, l'isomorphisme de Harish-Chandra dit que${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ est isomorphe à une algèbre polynomiale de polynômes invariants de Weyl à deux variables $h_{1},h_{2}$ (puisque la sous-algèbre de Cartan est deux dimensionnel). Pour $A_{2}$, le groupe de Weyl est $S_{3}\cong D_{6}$ qui agit sur la sous-algèbre de Cartan. Le groupe de Weyl agit par réflexions, ce sont donc des isométries et donc le polynôme de degré 2 $f_{2}(h_{1},h_{2})=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}$ est un invariant de Weyl. Une ébauche du polynôme invariant de Weyl de degré 3 (pour un choix particulier de représentation standard où l'une des réflexions se trouve sur l'axe des x) est présentée ci-dessous. Ces deux polynômes génèrent l'algèbre polynomiale et sont les invariants fondamentaux de $A_{2}$.
* Pour toutes les algèbres de Lie de la classification, il existe un invariant fondamental de degré 2, l'opérateur de Casimir. À travers l'isomorphisme, celui-ci correspondent à un polynôme de degré 2 sur la sous-algèbre de Cartan. Le polynôme invariant est$f_{2}(\mathbf {h} )=h_{1}^{2}+\cdots +h_{r}^{2}$où r est la dimension de ${\mathfrak {h}}$, le rang de l'algèbre de Lie.
* Pour ${\mathfrak {g}}=A_{1}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$, la sous-algèbre de Cartan est unidimensionnelle, et l'isomorphisme de Harish-Chandra montre que ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ est isomorphe à l'algèbre des polynômes invariants de Weyl en une seule variable $h$. Le groupe de Weyl est $S_{2}$ agissant par réflexion, avec un élément non trivial agissant sur les polynômes par $h\mapsto -h$. La sous-algèbre des polynômes invariants de Weyl dans l'algèbre polynomiale complète $K[h]$ est constituée des polynômes pairs, générés par $f_{2}(h)=h^{2}$.

## Généralisation aux algèbres de Lie affines

Le résultat ci-dessus est valable pour les algèbres de Lie réductives, et en particulier semi-simples. Il existe une généralisation aux algèbres de Lie affines montrée par Feigin et Frenkel montrant qu'une algèbre connue sous le nom de centre Feigin-Frenkel est isomorphe à une algèbre W associée à l'algèbre de Lie duale de Langlands $^{L}{\mathfrak {g}}$ $^,$.