# Diffusion ambipolaire

La diffusion ambipolaire décrit la diffusion des particules chargées dans un plasma quasineutre, c'est-à-dire dans lequel la densité de charge est nulle en tout point dans l'approximation des milieux continus mais possédant des gradients microscopiques entraînant la présence d'un champ électrique.

## Expression générale

La loi de Stefan-Maxwell donne un système d'équations auquel satisfont les flux de diffusion des espèces, chargées ou non, dans un fluide. On simplifie ce système en considérant :
* que les termes liés aux gradients de température et de pression sont négligeables,
* que la charge totale dans le milieu est nulle,
alors:
       $\sum _{j\neq i}{\frac {x_{i}x_{j}}{\rho {\mathcal {D}}_{ij}}}\left({\frac {\mathbf {J} _{j}}{c_{j}}}-{\frac {\mathbf {J} _{i}}{c_{i}}}\right)=\nabla x_{i}+{\frac {1}{p}}Q_{i}\mathbf {E}$
avec
* $\mathbf {J} _{i}$ est le flux massique de diffusion pour l'espèce i,
* $x_{i}$ la fraction molaire ou volumique,
* $c_{i}$ la fraction massique,
* ${\mathcal {D}}_{ij}$ le coefficient de diffusion binaire,
* $\rho =\sum _{i}\rho _{i}$ la masse volumique,
* $\rho _{i}=n_{i}m_{i}$ où $n_{i}$ est la densité volumique de particules et $m_{i}$ leur masse,
* $p$ la pression,
* $Q_{i}=n_{i}Z_{i}q_{e}$ la densité de charge pour l'espèce i,
* $Z_{i}$ le nombre de charges de la particule i, $Z_{i}=-1$ pour l'électron,
* $q_{e}$ la charge de l'électron,
* $\mathbf {E}$ le champ électrique.
On suppose l'absence de charge globale $\sum _{i}x_{i}Q_{i}=0$, ce qui entraîne l'absence de courant électrique :
       $\sum _{i}\mathbf {J} _{i}Q_{i}=0$
On a donc à résoudre en général un système algébrique comportant un nombre d'équations égal au nombre d'espèces N présentes dans le milieu, en effet le système de Stefan-Maxwell est de rang N-1 puisque par définition de la diffusion $\sum _{i}\mathbf {J} _{i}=0$.

## Simplification : loi de type Fick

Diverses approximations permettent d'écrire le système de Stefan-Maxwell sous forme explicite :
       $\mathbf {J} _{i}\simeq -\rho _{i}D_{i}\left(\nabla x_{i}+{\frac {1}{p}}Q_{i}\mathbf {E} \right)$
    où $D_{i}={\frac {1-w_{i}}{\sum _{k\neq i}{\frac {x_{k}}{{\mathcal {D}}_{ik}}}}}$
    $w_{i}$ est une pondération que l'on peut prendre égale à $x_{i}$ ou $c_{i}$.
Associée à la loi de courant nul, cette équation permet de calculer le champ électrique :
       $\mathbf {E} \simeq {\frac {p}{\sum _{i}{\mathcal {D}}_{i}Q_{i}^{2}}}\sum _{i}{\mathcal {D}}_{i}Q_{i}\nabla x_{i}$
Une analyse asymptotique permet de montrer que les termes liés à l'électron sont dominants dans l'équation ci-dessus et que l'on peut donc l'approximer par :
       $\mathbf {E} \simeq {\frac {p}{Q_{e}}}\nabla x_{e}$
Dans le cas d'un milieu ternaire comprenant un neutre (indice N), un ion (indice I) et des électrons la résolution mène à l'approximation classique :
       $\mathbf {J} _{N}\simeq -\rho _{N}D_{N}\nabla x_{N}$
       $\mathbf {J} _{I}\simeq -\rho _{I}D_{A}\nabla x_{I}$
       $\mathbf {J} _{e}\simeq 0$
avec $D_{A}=2D_{I}$ où $D_{I}$ est le coefficient de diffusion calculé en l'absence de champ électrique.
Le flux ionique est doublé et le flux électronique nul.
L'approximation pour le flux ionique n'est valable que pour des densités électroniques très faibles (voir courbe).