# Théorie de jauge

En physique théorique, une théorie de jauge est une théorie des champs basée sur un groupe de symétrie locale, appelé groupe de jauge, définissant une « invariance de jauge ». Le prototype le plus simple de théorie de jauge est l'électrodynamique classique de Maxwell.
L'expression « invariance de jauge » a été introduite en 1918 par le mathématicien et physicien Hermann Weyl.

## Historique

La première théorie des champs à avoir une symétrie de jauge était la formulation de l'électrodynamisme de Maxwell en 1864 dans A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (en). L'importance de cette symétrie est restée inaperçue dans les premières formulations. De façon similaire, Hilbert a redérivé l'équation d'Einstein en postulant l'invariance de l'action sous une transformation des coordonnées. Plus tard, lorsque Hermann Weyl a tenté d'unifier la relativité générale ainsi que l'électromagnétisme, il a émis l'hypothèse que l'invariance sous un changement d'échelle (ou de « jauge ») serait en fait une symétrie locale de la relativité générale. Suivant le développement de la mécanique quantique, Weyl, Vladimir Fock et Fritz London ont modifié la jauge en remplaçant le facteur d'échelle par un nombre complexe, transformant ainsi le changement d'échelle en un changement de phase, ce qui est une symétrie de jauge en $U(1)$. Cela permettait d'expliquer l'effet qu'a un champ électromagnétique sur la fonction d'onde d'une particule quantique chargée. Cette transformation de jauge est reconnue comme étant la première théorie de jauge, popularisée par Pauli en 1941.

## Description mathématique

On considère un espace-temps classique modélisé par une variété différentielle lorentzienne à quatre dimensions, pas nécessairement courbe.

### Champs de jauge et espaces fibrés

Les théories de champs de jauge dans l'espace-temps utilisent la notion d'espace fibré différentiel. Il s'agit encore d'une variété différentielle, mais de dimension plus grande que celle de l'espace-temps, qui joue ici le rôle d'espace de base du fibré.
On considère plus précisément un fibré principal, dont la fibre s'identifie au groupe de structure qui est un groupe de Lie précisant la symétrie de la théorie, appelée « invariance de jauge ».
Un champ de jauge $A$ y apparaît comme une connexion, et la forme de Yang-Mills associée $F=\mathrm {d} A$ comme la courbure associée à cette connexion.

### Quelques groupes de Lie
#### Principaux groupes de Lie

* $O(n)$ est le groupe orthogonal sur $\mathbb {R}$ d'ordre $n$, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices $n\times n$ réelles orthogonales (vérifiant $^{t}MM=I_{n}$).
* $SO(n)$ est le groupe spécial orthogonal sur $\mathbb {R}$ d'ordre $n$, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices $n\times n$ réelles orthogonales et de déterminant égal à 1 ($^{t}MM=I_{n}$ et $\operatorname {det} M=1$).
* $U(n)$ est le groupe unitaire sur $\mathbb {C}$ d'ordre $n$ , c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices $n\times n$ complexes unitaires (vérifiant $M^{*}\!M=I_{n}$).
* $SU(n)$ est le groupe spécial unitaire sur $\mathbb {C}$ d'ordre $n$ , c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices $n\times n$ complexes unitaires et de déterminant égal à 1 ($M^{*}\!M=I_{n}$ et $\operatorname {det} M=1$).

#### Cas particuliers

* $O(1)=\{1,-1\}$
* $SO(1)=\{1\}$
* $U(1)$ est le cercle unité complexe. Il est égal à $\exp(\mathrm {i} \mathbb {R} )$.
* $SO(2)$ est isomorphe à $U(1)$ : c'est l'ensemble des rotations (vectorielles) du plan.
* $SO(3)$ est l'ensemble des rotations de l'espace à 3 dimensions.

## Exemples physiques

* La théorie de jauge classique $\mathrm {U} (1)$ s'identifie à la théorie électromagnétique de Maxwell. C'est une théorie abélienne (basée sur un groupe abélien).
* Les théories de jauge basées sur les groupes non abéliens $\mathrm {SU} (n)$ sont appelées théories de Yang-Mills. Deux d'entre elles sous-tendent, après quantification, le modèle standard de la physique des particules :
** le modèle électro-faible de Glashow, Salam et Weinberg, basé sur le groupe $U(1)\times \mathrm {SU} (2)$, qui décrit de façon unifiée l'électromagnétisme et l'interaction nucléaire faible ;
** la chromodynamique quantique, basée sur le groupe $\mathrm {SU} (3)$, qui décrit l'interaction nucléaire forte.
* En 2024, l'invariance de jauge statistique est introduite pour mieux comprendre les liquides et la matière molle$^,$.