# Estimation spectrale

L'estimation spectrale regroupe toutes les techniques d'estimation de la densité spectrale de puissance (DSP).

## Estimations paramétriques

Les méthodes d'estimation spectrale paramétriques utilisent un modèle pour obtenir une estimation du spectre. Ces modèles reposent sur une connaissance a priori du processus et peuvent être classées en trois grandes catégories :
* Modèles autorégressif (AR)
* Modèles à moyenne ajustée (MA)
* Modèles autorégressif à moyenne ajustée (ARMA).
L'approche paramétrique se décompose en trois étapes :
* Choisir un modèle décrivant le processus de manière appropriée.
* Estimer les paramètres du modèle à partir de données disponibles.
* Estimer le spectre à partir des paramètres du modèle.

### Estimation spectrale à l'aide d'un modèle AR

Un processus autorégressif est semblable à la fonction de transfert d'un filtre à réponse impulsionnelle infinie, en ce sens où la sortie dépend de ses états précédents.

### Estimation spectrale à l'aide d'un modèle ARMA
## Estimation classiques ou non-paramétriques

Ces méthodes d'estimation spectrale dites classiques, ou non-paramétriques, sont toutes basées sur le périodogramme ; voici le raisonnement qui mène à celui-ci. En considérant un processus discret x(n) aléatoire stationnaire du second ordre, on écrit sa fonction d'autocorrélation :
$r_{xx}(k)=E\left\{x(n+k)x^{*}(n)\right\}$
D'après le théorème de Wiener-Khintchine, la densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de l'autocorrélation :
$S_{x}(\omega )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }r_{xx}(k)\,\exp(-j\omega k)$
Estimer la densité spectrale de puissance revient à estimer l'autocorrélation du signal. De manière rigoureuse, l'autocorrélation s'écrit :
$\lim _{N\to \infty }\left\{{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}x(n+k)x^{*}(n)\right\}=r_{xx}(k)$
En pratique, obtenir un signal sur une durée infinie et l'acquérir sans bruit est impossible. Ainsi, on calcule l'autocorrélation sur un intervalle connu :
${\hat {r}}_{xx}(k)={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x(n+k)x^{*}(n)$
En prenant la transformée de Fourier de cette approximation, on obtient le périodogramme :
${\hat {S}}_{per}(\omega )={\frac {1}{N}}{\left|\sum _{n=1}^{N}x(n)\,\exp(-j\omega n)\right|}^{2}.$

### Le périodogramme

Le périodogramme permet une estimation simple de la densité spectrale de puissance en prenant le module au carré de la transformée de Fourier discrète. Il a été introduit par Arthur Schuster en 1898.
${\hat {S}}_{per}(\omega )={\frac {1}{N}}{\left|\sum _{n=1}^{N}x(n)\,\exp(-j\omega n)\right|}^{2}.$
N représente le nombre d'échantillons fixés
ω représente la pulsation
Lorsque l'on considère un échantillonnage temporel $x[n]$ d'un signal $x(t)$, pour estimer la densité spectrale de puissance du signal, le périodogramme est défini par :
${\hat {S}}_{per}(f_{k}=(k-1)\Delta f)={\frac {\Delta T}{N}}{\left|\sum _{n=1}^{N}x[n]\,\exp \left(-j2\pi {\frac {(k-1)}{N}}(n-1)\right)\right|}^{2}={\frac {1}{\Delta f}}{\left|{\frac {1}{N}}TFD[(x[n])][k]\right|}^{2}.$
$\Delta T$ représente la durée entre deux échantillons temporels
$\Delta f={\frac {1}{N\Delta T}}$ représente l'intervalle entre deux échantillons de fréquence
$x[n]=x((n-1)\Delta T)$ est la valeur du $n^{ieme}$ échantillon.

## Biais du périodogramme

Le périodogramme est un estimateur biaisé de la densité spectrale de puissance.
L’espérance de l'estimation de l'autocorrélation se note :
${\begin{aligned}E\{{\hat {r}}_{xx}(k)\}&={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N-k}E\{x(n+k)x^{*}(n)\}\\\ &={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N-k}r_{xx}(k)\\\ &{\frac {N-k}{N}}r_{xx}(k)\end{aligned}}$

## Variance du périodogramme
### Le périodogramme modifié

Une première modification apportée au périodogramme permet de supprimer le biais asymptotiquement.

### Méthode de Bartlett

La méthode de Bartlett ou périodogramme moyenné modifié introduit une moyenne statistique.

### Méthode de Welch

La méthode de Welch améliore celle de Bartlett en introduisant une segmentation du signal, un fenêtrage et la possibilité d'ajouter un recouvrement.

### Méthode de Capon

Voir méthode SVD