# Hiérarchie arithmétique

En logique mathématique, plus particulièrement en théorie de la calculabilité, la hiérarchie arithmétique, définie par Stephen Cole Kleene, est une hiérarchie des sous-ensembles de l'ensemble N des entiers naturels définissables dans le langage du premier ordre de l'arithmétique de Peano. Un ensemble d'entiers est classé suivant les alternances de quantificateurs d'une formule sous forme prénexe qui permet de le définir.
Les premiers niveaux de la hiérarchie correspondent à la classe des ensembles récursivement énumérables (Σ$_1$$^0$) et à celle des ensembles dont le complémentaire est récursivement énumérable (Π$_1$$^0$), leur intersection étant la classe des ensembles récursifs (Δ$_1$$^0$).

## Classification des formules prénexes

Pour définir la hiérarchie des sous-ensembles définissables de N, on peut utiliser une hiérarchie des formules (au sens du calcul des prédicats) de l'arithmétique. Il s'agit ici de formules du premier ordre, ce qu'indique l'exposant 0, quand on parle de formule Σ$_n$$^0$ ou Π$_n$$^0$. De même, la hiérarchie analytique utilise des formules du second ordre, ce qui est dénoté par l'exposant 1. Dans la suite, on omettra l'exposant 0 car il n'y a pas de risque de confusion.
Au niveau 0, les classes des formules Σ$_0$ et Π$_0$ sont identiques. Ce sont les formules à quantificateurs bornés du langage de l'arithmétique de Peano, c'est-à-dire celles qui sont construites à partir des égalités polynomiales (addition et multiplication sont les seuls symboles de fonctions utilisés), avec les connecteurs usuels, et les quantificateurs universels et existentiels bornés ∃x≤t … et ∀x≤t …. Par exemple, cette formule à deux variables libres x et z est Σ$_0$ (ou Π$_0$) :
est Σ$_0$ (ou Π$_0$).
On définit ensuite inductivement les classes des formules Σ$_n$ et Π$_n$, pour un entier naturel n non nul.
* Si A est une formule Σ$_0$ (ou Π$_0$), ∃x A est une formule Σ$_1$ et ∀x A une formule Π$_1$ ;
* Si S est une formule Σ$_n$, si P est une formule Π$_n$, et si x est une variable quelconque (qui peut ou non apparaître libre dans S et P) alors :
    ∃x S reste Σ$_n$ ;
    ∃x P est une formule Σ$_{n+1}$ ;
    ∀x S est une formule Π$_{n+1}$ ;
    ∀x P reste Π$_n$.
Ainsi, une formule Σ$_n$ ou Π$_n$ est une formule à quantificateurs bornés précédée d'un préfixe de n alternances de quantificateurs commençant par un quantificateur existentiel pour les Σ$_n$, par un quantificateur universel pour les Π$_n$.
La notion que l'on a définie est pour le moment purement syntaxique. On n'a pas classé toutes les formules du langage, mais toute formule étant équivalente à une forme prénexe, est équivalente à une formule de la hiérarchie, dont la matrice ne contient d'ailleurs même pas de quantifications bornées. On peut remarquer également que la négation d'une formule Σ$_0$ étant Π$_0$ (la classe est stable par négation), la négation d'une formule Σ$_n$ est équivalente à une formule Π$_n$.

## Classification des sous-ensembles définissables de N
### Définition par les formules

Un sous-ensemble de N est dit Σ$_n$, respectivement Π$_n$, s'il peut être défini par une formule à une variable libre Σ$_n$, respectivement Π$_n$, et il est dit Δ$_n$ s'il est à la fois Σ$_n$ et Π$_n$. On déduit directement de la définition des formules Σ$_n$ et Π$_n$ qu'un ensemble est Π$_n$ si et seulement si son complémentaire est Σ$_n$, et donc les ensembles Δ$_n$ sont aussi les ensembles Σ$_n$ dont le complémentaire est aussi Σ$_n$.
Il peut être commode d'étendre la notion aux uples d'entiers naturels : un sous-ensemble de N$^p$, où p est un entier naturel non nul, est Σ$_n$, respectivement Π$_n$, s'il est défini par une formule Σ$_n$, respectivement Π$_n$, à p variables libres.
De façon équivalente on parle aussi de prédicat ou de relation sur N Σ$_n$ ou Π$_n$.
On classe ainsi tous les sous-ensembles définissables au premier ordre de N comme Σ$_n$ ou Π$_n$, c'est ce que l'on appelle la hiérarchie arithmétique. Classer un ensemble dans la hiérarchie permet d'une certaine façon de mesurer le « degré de calculabilité » de l'ensemble grâce à la complexité logique d'une formule qui le définit. Plus un ensemble est haut dans la hiérarchie, « moins » il est calculable.
En effet, en suivant les méthodes employées par Gödel pour démontrer son premier théorème d'incomplétude, on montre que la classe des ensembles Σ$_1$ est exactement la classe des ensembles récursivement énumérables. Ainsi, Δ$_1$ désigne la classe des ensembles récursivement énumérables et de complémentaire récursivement énumérable, donc la classe des ensembles récursifs.

### Le treillis de l'inclusion sur la hiérarchie arithmétique

Si l'on ajoute un quantificateur « inutile » (c'est-à-dire portant sur une variable qui n'apparait pas dans la formule), en tête ou en queue du préfixe de quantificateurs d'une formule Σ$_n$ ou Π$_n$, on obtient une formule trivialement équivalente. Il est donc immédiat que :
Σ$_n$ ∪ Π$_n$ ⊂ Σ$_{n+1}$ ∩ Π$_{n+1}$ = Δ$_{n+1}$ .
Par ailleurs on a, évidemment par définition des Δ$_n$ :
Le treillis de l'inclusion sur la hiérarchie arithmétique est entièrement décrit par ces relations d'inclusion, en particulier ces inclusions sont des inclusions strictes, ce qui résulte essentiellement de l'indécidabilité du problème de l'arrêt, qui dit directement que Δ$_1$ est une partie stricte de Σ$_1$ et donc de Π$_1$.

### Propriétés de clôture

Chaque classe Σ$_n$, Π$_n$ ou Δ$_n$ est stable par intersection et réunion; on le déduit en construisant dans l'ordre adéquat la forme prénexe de la conjonction ou de la disjonction de deux formules Σ$_n$ ou Π$_n$. Elles sont également stables par produit cartésien. La classe des ensembles Δ$_n$ est stable par passage au complémentaire et donc par toutes les opérations booléennes.

### Contraction des quantificateurs de même nature

On peut montrer que tout ensemble de la hiérarchie peut toujours se définir au même niveau par une formule où chaque alternance est réduite à un seul quantificateur et où la matrice est une formule Σ$_0$ :
* Σ$_n$ : ∃x$_1$ ∀x$_2$ ∃x$_3$ … Qx$_n$ F
* Π$_n$ : ∀x$_1$ ∃x$_2$ ∀x$_3$ … Qx$_n$ F
où F est Σ$_0$.
On peut utiliser pour ceci le codage des couples de Cantor, qui se manipule par des formules Σ$_0$.

### Définition par projection et passage au complémentaire

Un ensemble Σ$_n$ s'écrit A = { n∈N / ∃(a$_1$, …, a$_k$)∈N$^k$, P(n, a$_1$, …, a$_k$) } avec P une formule Π$_{n-1}$ à k+1 variables libres. On peut alors former l'ensemble B = { (n, a$_1$, …, a$_k$)∈N$^{k+1}$ / P(n, a$_1$, …, a$_k$) }, qui est Π$_{n-1}$ dans N$^{k+1}$, et constater que A est le projeté de B selon la première coordonnée.
Une quantification existentielle correspond ainsi à une projection. On peut en déduire une autre définition de la hiérarchie arithmétique qui ne fait pas appel directement aux formules. En effet, la classe Σ$_n$ étant définie (pour des sous-ensembles de N$^p$ p > 0) :
* La classe des ensembles Π$_n$ est la classe des ensembles dont le complémentaire est Σ$_n$ ;
* La classe des ensembles Σ$_{n+1}$ est la classe des projetés des ensembles Π$_n$.
Ceci définit la hiérarchie, la classe des ensembles Σ$_0$ étant définie.
Il est cependant possible de prendre une autre classe de sous-ensembles de la réunion des N$^p$, p > 0, comme point de départ, en conservant la même hiérarchie à partir du rang 1. Par exemple, on peut partir :
* de la classe des ensembles primitifs récursifs (les projetés d'ensembles primitifs récursifs sont bien les ensembles récursivement énumérables, d'après le théorème de forme normale de Kleene) ;
* Les ensembles définis par des équations polynomiales sans paramètres (les projetés de ces ensembles sont alors les ensembles diophantiens, donc les ensembles récursivement énumérables selon le théorème de Matiiassevitch).
Dans le second cas, cela revient, pour la définition par les formules, à prendre à la place des formules Σ$_0$ les formules sans quantificateurs (même bornés).

### Ensembles universels
## Réductibilité et hiérarchie arithmétique

Le théorème de Post fait plus précisément le lien entre hiérarchie arithmétique et le degré de Turing.