# Théorème de Noether (mathématiques)

Le théorème de Noether, de Emmy Noether (1918), est un théorème de géométrie symplectique.

## Principe

Soit M une variété différentielle de dimension $n$. Son fibré tangent TM est l'ensemble des couples $(x,{\dot {x}})$ avec x un point de M et ${\dot {x}}$ un vecteur tangent à M en x. On prend alors $L:TM\to \mathbb {R}$ une fonction appelée lagrangien (indépendant du temps cinématique, c'est-à-dire du paramètre cinématique intervenant dans ${\dot {x}}$). On note $p_{\mu }(x,{\dot {x}})={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\in T_{x}^{*}M$ le moment conjugué de Lagrange, une forme linéaire sur l'espace tangent à M en x.
Une symétrie du lagrangien $L$ est un difféomorphisme $f:M\rightarrow M$ tel que l'on ait $L\circ \mathrm {d} f=L$ avec $\mathrm {d} f=(f,f')$, le couple formé par f et sa dérivée. Les symétries de L forment un groupe pour la composition.
Une symétrie infinitésimale du lagrangien $L$ est un champ de vecteurs V sur M tel que le groupe de Lie à un paramètre engendré par le flot de V, $s\mapsto \Phi _{s}^{V}(\cdot )$, soit un sous-groupe des symétries de $L$.
Le théorème de Noether associe à toute symétrie infinitésimale de $L$ une intégrale première de ses équations d'Euler-Lagrange.
Théorème — Si $L:TM\rightarrow \mathbb {R}$ est un lagrangien indépendant du temps cinématique, et que $V$ est une symétrie infinitésimale de $L$, alors la fonction $G$ définie sur $TM$ par :
$G(x,{\dot {x}})=\langle p_{\mu }(x,{\dot {x}}),\;V(x)\rangle$
est une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange associée à $L$ ; c'est-à-dire que $t\mapsto G(x(t),{\dot {x}}(t))$ est constante sur une solution x(t) des équations d'Euler-Lagrange.
Introduisons $s\mapsto \Phi _{s}$, le groupe à un paramètre de difféomorphismes de $V$. Dérivons par rapport à $s$ en $s=0$ l'équation :
$L\left[\mathrm {d} \Phi _{s}(w)\right]=L(w)$
On trouve la condition que doit satisfaire $V$ pour être une symétrie infinitésimale du lagrangien $L$ :
$\partial _{\mathcal {H}}L(w)(V\circ \pi (w))+\partial _{\mathcal {V}}L(w)\left[\nabla _{w}V\right]=0$
où a été introduite une métrique riemannienne arbitraire sur $M$. Le symbole $\partial _{\mathcal {H}}$ désigne la différentielle horizontale. La dépendance de l'équation ci-dessus en la métrique est superficielle. Soit $t\mapsto q(t)$ une solution des équations d'Euler-Lagrange. Alors, il vient :
${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G({\dot {q}}(t))&=\left[\nabla _{t}\partial _{\mathcal {V}}L({\dot {q}}(t))\right]\left(W(q(t))\right)+\partial _{\mathcal {V}}L({\dot {q}}(t))\left[\nabla _{t}W\circ q\right]\\&=\partial _{\mathcal {H}}L({\dot {q}}(t))\left[W(q(t))\right]+\partial _{\mathcal {H}}L({\dot {q}}(t))\left[\nabla _{t}W\circ q\right]\\&=0\end{aligned}}$
D'où le résultat.

## Applications
### Mouvement à force centrale

Un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel de masse $m$ dans un champ de forces dérivant d'un potentiel $V=V(r)$ ne dépendant que du rayon $r$. C'est le problème variationnel associé au lagrangien $L$ sur $\mathbb {R} ^{3}$ :
$L(w)={\frac {m}{2}}\|w\|^{2}-V(r)$
Ce lagrangien est invariant par toutes les rotations dont l'axe passe par l'origine. Un groupe à un paramètre de rotations d'axe $\mathrm {D}$ est engendré par un champ de vecteurs de la forme :
$V(q)=\Omega \wedge q$
où $\wedge$ désigne le produit vectoriel usuel. Par le théorème de Noether, la fonction :
$G_{\Omega }(q,w)=m{\dot {q}}\cdot \left[\Omega \wedge q\right]=-\Omega \cdot m\left(q\wedge {\dot {q}}\right)$
est une intégrale première du mouvement. En faisant varier le vecteur rotation $\Omega$, on conclut que le vecteur suivant, appelé moment cinétique, est constant :
$\mu =m(q\wedge {\dot {q}})$