# Corps réel clos

En mathématiques, un corps réel clos est un corps totalement ordonnable dont aucune extension algébrique propre n'est totalement ordonnable.

## Exemples

Les corps suivants sont réels clos :
* le corps des réels,
* le sous-corps des réels algébriques,
* le corps des réels calculables (au sens de Turing),
* le corps des réels définissables (en),
* le corps des séries de Puiseux à coefficients réels,
* tout corps superréel (en particulier tout corps hyperréel).

## Caractérisation des corps réels clos

Un corps commutatif F est réel clos (selon la définition de l'introduction) si et seulement s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
* F est euclidien et tout polynôme de degré impair à coefficients dans F admet au moins une racine dans F ;
* –1 n'est pas un carré dans F et F(√-1) est algébriquement clos ;
* la clôture algébrique de F est une extension finie propre de F ;
* il existe un ordre sur F pour lequel le théorème des valeurs intermédiaires est vrai pour tout polynôme sur F.
Une démonstration de l'implication 1 ⇒ 2 (attribuée par Nicolas Bourbaki à Euler et Lagrange) est donnée dans l'article consacré au théorème de d'Alembert-Gauss.

## Théorème d'Artin-Schreier

Emil Artin et Otto Schreier ont démontré en 1927 que pour tout corps totalement ordonné K, il existe un corps réel clos algébrique sur K et dont l'ordre prolonge celui de K. Cette extension, unique à isomorphisme près, est appelée la clôture réelle de K.
Par exemple, « la » clôture réelle de ℚ est le corps ℝ∩ℚ des réels algébriques, d'après la caractérisation 2 ci-dessus. On peut remarquer que d'après la caractérisation 3, c'est « l'unique » extension algébrique de ℚ dont « la » clôture algébrique ℚ est une extension finie propre.
De plus, pour tout sous-corps « réel » (c'est-à-dire totalement ordonnable) d'un corps algébriquement clos $L$, il existe un sous-corps intermédiaire $F$ réel clos tel que $L=F({\sqrt {-1}})$.

## Théorie des corps réels clos

La théorie des corps réels clos est une théorie du premier ordre dont les symboles non logiques sont les constantes 0 et 1, les opérations arithmétiques +, ×, et la relation ≤ ; les formules sont construites à partir des formules atomiques via les connecteurs ⋀, ⋁, ⇒, et les quantificateurs ∀, ∃ ; les axiomes sont ceux qui expriment que la structure est précisément un corps réel clos.
Cette théorie admet l'élimination des quantificateurs, c'est-à-dire qu'il est possible, à partir d'une formule avec quantificateurs, de trouver une formule sans quantificateurs, avec les mêmes variables libres, et équivalente (c'est-à-dire que l'équivalence logique des deux formules, celle avant élimination et celle après élimination, se déduit des axiomes). Il existe des algorithmes qui mettent en œuvre cette élimination. Le premier, dû à Alfred Tarski, a une complexité non élémentaire, c'est-à-dire qui n'est pas bornée par une tour d'exponentielles $2^{2^{\dots ^{n}}}$, et a donc un intérêt principalement historique, mais donne un exemple d'une théorie axiomatique non triviale ne vérifiant pas le premier théorème d'incomplétude de Gödel.
James Davenport et Joos Heintz ont montré en 1988 que le problème est intrinsèquement complexe : il existe une famille Φ$_n$ de formules avec n quantificateurs, de longueur O(n) et de degré constant, telle que toute formule sans quantificateur équivalente à Φ$_n$ doit mettre en œuvre des polynômes de degré $2^{2^{\Omega (n)}}$ et de longueur $2^{2^{\Omega (n)}}$, avec les notations asymptotiques O et Ω.
Le logiciel QEPCAD et la fonction Reduce de Mathematica 5, par exemple, proposent des implémentations d'algorithmes d'élimination des quantificateurs pour les corps réels clos.
En raison de l'existence d'algorithmes d'élimination des quantificateurs, la théorie des corps réels clos est décidable : à partir de toute formule close, on peut obtenir algorithmiquement une formule équivalente sans quantificateurs ni variables libres, donc facilement décidable.
Une autre conséquence de l'élimination des quantificateurs (indépendamment du fait qu'elle soit réalisable algorithmiquement) est que cette théorie est complète, donc tout corps réel clos a la même théorie du premier ordre que ℝ.

## Groupe multiplicatif

Le groupe multiplicatif de tout corps réel clos $F$ est la somme directe du sous-groupe $\{\pm 1\}$ et de sous-groupes isomorphes à $\mathbb {Q}$ : $F^{*}\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Q} ^{(|F|)}$. En effet, 1 et –1 sont ses seuls éléments de torsion (c.-à-d. racines de l'unité), et le sous-groupe des éléments positifs (les carrés) est divisible.
Réciproquement, pour tout cardinal infini $\kappa$, il existe un corps réel clos dont le groupe multiplicatif est isomorphe à $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Q} ^{(\kappa )}$. En effet, il existe un corps algébriquement clos de caractéristique 0 et de cardinal κ, et (voir supra) un tel corps possède un sous-corps réel clos de même cardinal.