# Comatrice

En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée A est une matrice carrée de même taille, dont les coefficients, appelés les cofacteurs de A, interviennent dans le développement du déterminant de A suivant une ligne ou une colonne. Si A est une matrice inversible, sa comatrice intervient également dans une expression de son inverse.
Dans cette page, A désigne une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif K.

## Définitions

Le cofacteur d'indice i, j de A est :
    $\left(\operatorname {com} A\right)_{i,j}{\overset {\underset {\mathrm {def} }}{=}}\det \left(A'_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det \left(A_{i,j}\right)$, où
* A'$_{i,j}$ est la matrice carrée de taille n déduite de A en remplaçant la j-ème colonne par une colonne constituée uniquement de zéros, sauf un 1 sur la i-ème ligne ;
* A$_{i,j}$ est la sous-matrice carrée de taille n – 1 déduite de A en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne (son déterminant fait donc partie des mineurs de A).
La comatrice de A est la matrice de ses cofacteurs.

## Formules de Laplace

On peut calculer le déterminant de A en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant d'ordre n à celui de n déterminants d'ordre n – 1.
Formules de développement d'un déterminant d'ordre n :
* par rapport à la colonne j :
    $\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{i;j}(\operatorname {com} A)_{i,j}$ ;
* par rapport à la ligne i :
    $\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{i;j}(\operatorname {com} A)_{i,j}$.

## Généralisation

La formule suivante se déduit des formules de Laplace et les inclut :
    $A\;^{\operatorname {t} }\!{\operatorname {com} A}=\left(^{\operatorname {t} }\!{\operatorname {com} A}\right)\;A=\left(\det A\right)\;\mathrm {I} _{n}$,
où I$_n$ désigne la matrice identité de même taille n que A.
La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire de A. Notamment si det A est inversible dans K, alors A est inversible dans M$_n$(K) et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire, ce qui veut dire qu'on a obtenu une formule pour l'inverse, ne nécessitant « que » des calculs de déterminants :
    $A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\,^{\operatorname {t} }\!{\operatorname {com} A}$.
Cette formule n'a guère qu'un intérêt théorique car en pratique, elle est trop lourde pour calculer explicitement A$^{−1}$ dès que n ≥ 4 et la méthode plus élémentaire à base d'opérations élémentaires sur les lignes (inversion par pivot de Gauss) est plus efficace, aussi bien pour l'humain que pour la machine.

## Propriétés de la comatrice

* Compatibilité avec la transposition : com($^t$A) = $^t$(com A).
* Compatibilité avec le produit : com I$_n$ = I$_n$ et pour toutes matrices carrées A et B d'ordre n, com(AB) = (com A)(com B).
* Rang (si K est un corps commutatif) :
** si A est de rang n (c.-à-d. A inversible), com(A) aussi (jointe à la précédente, cette propriété assure que l'application « comatrice » se restreint en un automorphisme du groupe linéaire GL$_n$(K)) ;
** si A est de rang n – 1, avec n ≥ 2, com(A) est de rang 1 ;
** si A est de rang inférieur ou égal à n – 2, com(A) = 0.
* Déterminant : si n ≥ 2, det(com A) = (det A)$^{n–1}$.
* Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, com(com A) = (det A)$^{n–2}$ A.
* Si P(X) = det(A – X I$_n$) est le polynôme caractéristique de A et si Q est le polynôme défini par Q(X) = (P(0) – P(X))/X, alors : $^t$(com A) = Q(A).
* Les égalités com($^t$A) = $^t$(com A) et com(I$_n$) = I$_n$ sont immédiates.
* Produit : si A et B sont inversibles, la formule résulte des propriétés multiplicatives de la transposition, de l'inversion (chacune des deux inversant l'ordre) et du déterminant. Or l'équation com(AB) = (com A)(com B) est polynomiale, à coefficients entiers, en les éléments des deux matrices A et B. En considérant ces 2n$^2$ éléments comme les indéterminées d'un anneau de polynômes à coefficients dans ℤ, et en appliquant ce qui précède au corps des fractions (rationnelles à coefficients dans ℚ) associé (dans lequel A et B sont inversibles), on obtient donc une égalité « absolue ». Lorsqu'on remplace ensuite ces indéterminées par les éléments d'un anneau commutatif quelconque, l'égalité est maintenue.
* Rang :
** Si A est inversible alors com(A) = (det A) $^t$A$^{−1}$ a pour inverse (det A)$^{−1}$ $^t$A.
** Si A est de rang n – 1 et en supposant, par exemple, que ses n – 1 premières colonnes sont linéairement indépendantes et que la dernière en est une combinaison linéaire, avec comme coefficients λ$_1$, … , λ$_{n–1}$, alors, dans com(A), la dernière colonne est non nulle et la k-ième, pour tout k < n, est le produit de la dernière par –λ$_k$.
** Si A est de rang inférieur à n – 2 alors, dans A, n – 1 colonnes quelconques sont liées donc tous les cofacteurs sont nuls.
* Déterminant : si n ≥ 2 et A est inversible alors det(com A) = det[(det A) $^t$A$^{−1}$] = (det A)$^n$ det($^t$A$^{−1}$) = (det A)$^{n–1}$. Pour A non inversible, on peut faire le même « raisonnement générique » que pour le produit ou — si l'on se contente du cas où les matrices sont à coefficients dans un corps — remarquer plus simplement que les deux membres sont nuls d'après les propriétés du rang. Pour des matrices à coefficients réels ou complexes, on peut aussi raisonner par densité.
* Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, (det A) com(com A) = A $^t$com A com(com A) = det(com A) A = (det A)$^{n–1}$ A donc si A est inversible, com(com A) = (det A)$^{n–2}$ A. Le cas général se ramène au cas inversible comme ci-dessus.
* Polynôme caractéristique : d'après le théorème de Cayley-Hamilton, P(A) = 0 donc A Q(A) = P(0) I$_n$ = (det A) I$_n$ = A $^t$(com A). Si A est inversible, on en déduit Q(A) = $^t$(com A). Le cas général se ramène au cas inversible comme ci-dessus.
Si n ≥ 3, les matrices $A\in M_{n}(\mathbb {R} )$ telles que A = com A sont la matrice nulle et les matrices spéciales orthogonales. Si n = 2, ce sont les matrices multiples des matrices spéciales orthogonales.

## Exemples
### Matrices de taille (1,1)

La comatrice de toute matrice de taille (1,1) est la matrice identité I$_1$ = (1).

### Matrices de taille (2,2)

    $\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$.
On calcule les cofacteurs:
$c_{1,1}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}{\begin{array}{|c|}\hline \color {Red}{\cancel {a}}\\\hline \end{array}}&\color {Red}{\cancel {b}}\\\color {Red}{\cancel {c}}&d\end{vmatrix}}=d$
$c_{1,2}=(-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}\color {Red}{\cancel {a}}&{\begin{array}{|c|}\hline \color {Red}{\cancel {b}}\\\hline \end{array}}\\c&\color {Red}{\cancel {d}}\end{vmatrix}}=-c$
$c_{2,1}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}\color {Red}{\cancel {a}}&b\\{\begin{array}{|c|}\hline \color {Red}{\cancel {c}}\\\hline \end{array}}&\color {Red}{\cancel {d}}\end{vmatrix}}=-b$
$c_{2,2}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}a&\color {Red}{\cancel {b}}\\\color {Red}{\cancel {c}}&{\begin{array}{|c|}\hline \color {Red}{\cancel {d}}\\\hline \end{array}}\end{vmatrix}}=a$
Donc
    $\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}\\c_{2,1}&c_{2,2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$.

### Matrices de taille (3,3)

    $\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&&a_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}$.
On rappelle que ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$ (voir déterminant).

## Variations de la fonction déterminant

On suppose ici que K est le corps des réels, et l'on s'intéresse à l'application déterminant, vue comme fonction des coefficients de la matrice :
    $\mathbb {R} ^{n^{2}}\simeq \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ,\;A\mapsto \det A$.
La formule de Leibniz montre que c'est une fonction polynomiale (homogène) donc indéfiniment différentiable.
On peut retrouver et préciser cette régularité grâce aux formules de Laplace (voir supra) : en un point A quelconque de M$_n$(ℝ), la fonction det est affine par rapport à la variable d'indice i, j, et sa dérivée partielle est le cofacteur de A de même indice :
${\frac {\partial \det }{\partial A_{i,j}}}(A)=(\operatorname {com} A)_{i,j}.$
On en déduit, toujours au point A, le gradient de det (si l'on munit M$_n$(ℝ) de son produit scalaire canonique) : $\nabla \det(A)=\operatorname {com} A$
ou encore, sa différentielle donc son développement limité à l'ordre 1 : $\det(A+H)=\det A+{\rm {tr}}\left(\left(^{t}\!\operatorname {com} A\right)H\right)+o\left(\left\|H\right\|\right)$.
Notamment pour le cas où A est la matrice identité : $\nabla \det(\mathrm {I} _{n})=\mathrm {I} _{n}{\text{ et }}\det(\mathrm {I} _{n}+H)=1+{\rm {tr}}(H)+o(\|H\|)$.

## Comatrice et produit vectoriel

Si A est une matrice réelle d'ordre 3, elle agit sur les vecteurs de l'espace euclidien orienté ℝ$^3$. La comatrice de A décrit alors l'interaction de A avec le produit vectoriel :
    $Au\wedge Av=\operatorname {com} A\,(u\wedge v)$.
Notons $\cdot$ le produit scalaire. Pour tout vecteur $x$ de ℝ$^3$,
    $(\det A)u\wedge v\cdot x=\det A[u,v,x]=[Au,Av,Ax]=(Au\wedge Av)\cdot Ax=^{\operatorname {t} }\!A(Au\wedge Av)\cdot x$.
Par conséquent,
    $^{\operatorname {t} }\!A(Au\wedge Av)=(\det A)u\wedge v=^{\operatorname {t} }\!A\operatorname {com} A\,(u\wedge v)$.
On en déduit l'égalité annoncée si A est inversible.
Le résultat s'étend aux matrices non inversibles par densité.