# Morphisme

En mathématiques, en algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui préserve certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.
La notion de morphisme se généralise en théorie des catégories où c'est l'un des concepts de base ; ce n'est alors pas nécessairement une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas nécessairement des ensembles.

## Définitions
### Cas général (théorie des modèles)

Soient ${\mathcal {M}}$ et ${\mathcal {N}}$ deux ${\mathcal {L}}$-structures, d'ensembles respectifs $M$ et $N$. Un morphisme de ${\mathcal {M}}$ dans ${\mathcal {N}}$ est une application $m$ de $M$ dans $N$ telle que :
* pour tout symbole de fonction $n$-aire $f\in {\mathcal {L}}$ et pour tout $(a_{i})_{i}\in M^{n}$ on a $m(f^{\mathcal {M}}(a_{i})_{i})=f^{\mathcal {N}}(m(a_{i}))_{i}$ (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
* pour tout symbole de relation $n$-aire $R\in {\mathcal {L}}$ et pour tout $(a_{i})_{i}\in M^{n}$, si $(a_{i})_{i}\in R^{\mathcal {M}}$ alors $(m(a_{i}))_{i}\in R^{\mathcal {N}}$
$c^{\mathcal {N}}$ désignant l'interprétation du symbole $c$ dans la structure ${\mathcal {N}}$.

### Cas des monoïdes

Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application $f:(M,*,e)\longrightarrow (M',\star ,e')$ entre deux monoïdes $(M,*,e)\,$ et $(M',\star ,e')$, qui vérifie :
* $\forall (g,h)\in M^{2},~f(g*h)=f(g)\star f(h)$ ;
* $f(e)=e'$.

### Cas des groupes

Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application $f:(G,*)\longrightarrow (G',\star )\,$, entre deux groupes $(G,*)\,$ et $(G',\star )\,$, qui vérifie :
* $\forall (g,h)\in G^{2},~f(g*h)=f(g)\star f(h)$.
On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence $f(e)=e'$ et $\forall x\in G,f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$.

### Cas des anneaux

Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application $f:A\to B$ entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :
* $\forall a,b\in A,~f(a+_{A}b)=f(a)+_{B}f(b)$ ;
* $\forall a,b\in A,~f(a*_{A}b)=f(a)*_{B}f(b)$ ;
* $f\left(1_{A}\right)=1_{B}$.
dans lesquelles $+_{A}$, $*_{A}$ et $1_{A}$ (respectivement $+_{B}$, $*_{B}$ et $1_{B}$) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux $A$ et $B$.

### Cas des espaces vectoriels

Dans la catégorie des espaces vectoriels (en) sur un corps K fixé, un morphisme est une application $f:E\to F$, entre deux K-espaces vectoriels $(E,+_{E},\cdot _{E})$ et $(F,+_{F},\cdot _{F})$, qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :
* $f$ est un morphisme de groupes de $(E,+_{E})$ dans $(F,+_{F})$ ;
* $\forall x\in E,~\forall \lambda \in K,~f(\lambda \cdot _{E}x)=\lambda \cdot _{F}f(x)$,
ce qui est équivalent à :
$\forall (x,y)\in E\times E,~\forall \lambda \in K,~f(\lambda \cdot _{E}x+_{E}y)=\lambda \cdot _{F}f(x)+_{F}f(y)$.

### Cas des algèbres

Dans le cas de deux $K$-algèbres unifères $(A,+,\times ,.)$ et $(B,{\dot {+}},{\dot {\times }},.)$, un morphisme vérifie :
* $f$ est une application linéaire de $A$ dans $B$ ;
* $f$ est un morphisme d’anneaux,
ce qui est équivalent à :
* $f(1_{A})=1_{B}$ ;
* $\forall (x,y)\in A^{2},~\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},~f(\lambda .x+\mu .y)=\lambda .f(x){\dot {+}}\mu .f(y)$ ;
* $\forall (x,y)\in A^{2},~f(x\times y)=f(x){\dot {\times }}f(y)$.

### Cas des ensembles ordonnés

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y)$^,$$^,$.
La définition des morphismes d'ensembles préordonnés est identique.

### Cas des espaces topologiques

Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

### Cas des espaces mesurables

Dans la catégorie des espaces mesurables, un morphisme est une fonction mesurable.

## Classement

* Un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
* un isomorphisme est un morphisme $f$ entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme $f'$ dans le sens inverse, tels que $f\circ f'$ et $f'\circ f$ sont les identités des structures ;
* un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
* un épimorphisme (ou morphisme épique ou epi) est un morphisme $f:A\to B$ tel que : pour tout couple $g,h$ de morphismes de type $B\to E$ (et donc aussi pour tout $E$), si $g\circ f=h\circ f$, alors $g=h$ ;
* un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme $f:A\to B$ tel que : pour tout couple $g,h$ de morphismes de type $E\to A$ (et donc aussi pour tout $E$), si $f\circ g=f\circ h$, alors $g=h$.
Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.