# Racine carrée de cinq

En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée √5 ou 5$^{1/2}$, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236.
C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

## Éléments introductifs
### Définition, notation et prononciation

* Le nombre 5 ayant exactement deux racines carrées réelles, √5 et –√5, √5 devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », ou « racine carrée principale de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole √, est « radical de cinq», mais elle est peu courante.
* √5 se note également 5$^{1/2}$ (notation Unicode : 5$^½$).
* √5 s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques, pour le terme anglais "square root".

### Valeur approchée

√5 vaut approximativement
* 2,2 360 679 774 dans le système décimal (suite A002163 de l'OEIS),
* 10,00 111 100 dans le système binaire (suite A004555 de l'OEIS) et
* 2,3C6EF372FE94F82C dans le système hexadécimal.

### Irrationalité

La racine carrée de 5, comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un carré parfait, est irrationnelle.

### Développement en fraction continue

Le développement en fraction continue simple de √5 est [2, 4] (suite A040002 de l'OEIS).
Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 1.
Les réduites successives sont :${\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}}\ldots$Elles forment la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=2,u_{n+1}={\frac {2u_{n}+5}{u_{n}+2}}$.
On a : $u_{n}={\sqrt {5}}{\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}+(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}{(2+{\sqrt {5}})^{n+1}-(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}}={\frac {\left\lfloor (2+{\sqrt {5}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }}$, où $\left\lfloor x\right\rceil$ est l'entier le plus proche de $x$.
Les numérateurs forment la suite A001077 de l'OEIS et les dénominateurs la suite A001076 de l'OEIS.

## Calcul d'une valeur approchée
### Méthodes générales
#### Approximation par la méthode de Héron

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.
Prenons la partie entière de √5, x$_0$ = 2.
La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant √A par la formule de récurrence :
    $x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {A}{x_{n}}}}{2}}.$
avec ici, A = 5. Par itérations successives, on obtient :
* $x_{1}={\frac {2+{\tfrac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}=u_{1}=2,25$
* $x_{2}={\frac {{\tfrac {9}{4}}+5{\tfrac {4}{9}}}{2}}=u_{3}={\frac {161}{72}}\approx 2,236\,1$
* $x_{3}={\frac {{\tfrac {161}{72}}+5{\tfrac {72}{161}}}{2}}={\frac {51841}{23184}}=u_{7}\approx 2,236\,067\,977\,9.$
On a .
Les numérateurs forment la suite A081459 de l'OEIS, et les dénominateurs la suite A081460 de l'OEIS.
$(x_{n})$ est une sous-suite de $(u_{n})$ : $x_{n}=u_{(2^{n}-1)}$ , décroissant rapidement vers √5 (convergence quadratique). Une suite croissante associée est $(5/x_{n})$, d'où l'encadrement : $5/x_{n}<{\sqrt {5}}<x_{n}$ . Pour $n=3$, cet encadrement permet déjà d'obtenir ${\sqrt {5}}\approx 2,236\,067\,98$.

### Méthode spécifique
#### Par la suite de Fibonacci

La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős, relie √5 aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2:
    $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}$
Cela donne la formule : ${\sqrt {5}}=7-2\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}\right)$ qui converge très vite, puisque les 6 premiers termes donnent 13 décimales correctes et le 7e donne les 13 suivantes$^,$.

## Lien avec le nombre d'or

La racine carrée de 5 entre dans l'expression du nombre d'or $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$
On trouve donc${\sqrt {5}}=2\varphi -1\quad {\rm {et}}\quad {\sqrt {5}}=\varphi +{\frac {1}{\varphi }}.$

## Autre expression comme somme de série

En utilisant la série génératrice des coefficients binomiaux centraux, on a :
    ${\sqrt {5}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{5^{n}}}$

## Expressions par radicaux infiniment imbriqués

* $1+{\sqrt {5}}=2\varphi =2{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}$ ; voir à Radical_imbriqué#Racine_carrée,
* ${\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}$ car ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}$.

## Trigonométrie

Comme √2 et √3, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :
    $\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}\right),$
    $\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }=\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},$
    $\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}),$
    $\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}},$
    $\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}.$

## Formules de Ramanujan

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :
    ${\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi }\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right){\rm {e}}^{2\pi /5}={\rm {e}}^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).$
    ${\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.$
    $4\int _{0}^{\infty }{\frac {x{\rm {e}}^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,{\rm {d}}x={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+\cdots .$