# Énergie cinétique

En physique, l'énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement dans un référentiel donné. Dans le Système international, son unité de mesure est le joule (J).
L'énergie cinétique d'un point matériel dans un référentiel galiléen est égale à la somme des travaux des forces appliquées pour faire passer le point du repos à un mouvement. Ce n'est pas un invariant galiléen, sa valeur dépend du référentiel choisi.

## Histoire

L'expression énergie cinétique provient du grec ἐνέργεια / enérgeia, « force en action » et κίνησις / kínêsis, « mouvement ».
Gottfried Leibniz, s'opposant ainsi à Descartes qui estimait que la quantité de mouvement se conservait toujours, développa l'idée de la « force vive » (vis viva), à laquelle il attribuait la valeur $mv^{2}$. La force vive est donc le double de l'énergie cinétique.
   « Il y a longtemps déjà que j’ai corrigé la doctrine de la conservation de la quantité de mouvement, et que j’ai posé à sa place quelque chose d’absolu, justement la chose qu’il faut, la force (vive) absolue… On peut prouver, par raison et par expérience, que c’est la force vive qui se conserve… »

## Définition
### Pour un point

Dans la théorie de la relativité, l'énergie cinétique $\mathrm {E} _{c}$ d'un point matériel de masse inerte $m$ se déplaçant à une vitesse $v$ dans un référentiel donné vaut :
$\mathrm {E} _{c}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}mv^{2}\ \$
$\ \ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
Le coefficient $\gamma$ (« gamma ») est le facteur de Lorentz, $c$ est la vitesse de la lumière.
Dans les cas non relativistes, c'est-à-dire lorsque la vitesse du point est négligeable devant la vitesse de la lumière, le développement limité de l'énergie cinétique $\mathrm {E} _{c}$ est :
$\mathrm {E} _{c}\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {mv^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {mv^{6}}{c^{4}}}+\dots \approx {\frac {1}{2}}mv^{2}$
Le terme du premier ordre est l'énergie cinétique classique. Pour un objet de 1 kg allant à la vitesse de 10 km/s, la différence entre énergie cinétique relativiste et classique est d'environ 0,04 J pour une énergie cinétique classique de 50 MJ, soit un écart relatif d'environ $10^{-9}$, ce qui en fait une très bonne approximation.

### Pour un solide

On peut assimiler un corps à un système de points matériels $M_{i}$ de masses $m_{i}$ et de vitesses $v_{i}$. En notant $M$ la masse totale du corps, on a $M=\sum _{i}m_{i}$.
Conformément à l'extensivité de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique $\mathrm {E} _{c}$ du système de points peut être définie comme la somme des énergies cinétiques des points matériels constituant le système :
$\mathrm {E} _{c}=\sum _{i}\mathrm {E} _{{c},i}=\sum _{i}{\frac {\gamma _{i}^{2}}{\gamma _{i}+1}}m_{i}v_{i}^{2}\approx {\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}$
Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature du système, déformable ou pas. En passant à la limite des milieux continus et en intégrant sur le volume, on obtient :
$\mathrm {E} _{c}={\frac {1}{2}}\iiint \rho v^{2}\mathrm {d} \tau$
En notant :
* $\rho$ la masse volumique locale ;
* $v$ la vitesse locale ;
* $\mathrm {d}$$\tau$ le volume élémentaire.

### Mise en évidence

Dans le domaine de validité de la mécanique newtonienne, la notion d'énergie cinétique peut être mise en évidence pour un point matériel de masse $m$ constante.
La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :
$m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\sum {\vec {F}}$
avec $\sum {\vec {F}}$ la résultante des forces appliquées au point matériel. Elle comprend les forces d'inertie dans le cas d'un référentiel non galiléen.
En effectuant le produit scalaire par la vitesse ${\vec {v}}$ du point, il vient :
$m\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\right)\cdot {\vec {v}}=\left(\sum {\vec {F}}\right)\cdot {\vec {v}}$
$\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\right)\cdot {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=\sum \left({\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\right)$
On reconnait dans le membre de gauche la quantité $\mathrm {E} _{c}\equiv {\frac {1}{2}}mv^{2}$ qu'on nomme énergie cinétique du point matériel, et dont la dérivée par rapport au temps est égale à la somme des puissances ${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$ des forces appliquées au point.
On peut obtenir une expression plus générale en remarquant que $\int \mathrm {d} \left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=\int m{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}$, puisque $\mathrm {d} (v^{2})=2{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}$. En introduisant la variation infinitésimale de la quantité de mouvement du corps $\mathrm {d} {\vec {p}}\equiv m\mathrm {d} {\vec {v}}$, on obtient :
$\Delta \mathrm {E} _{c}=\int {\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}$
où $\Delta \mathrm {E} _{c}$ désigne la variation d'énergie cinétique.
Dans le domaine de validité de la mécanique relativiste, la masse d'un objet n'est pas invariant de sa vitesse, et en intégrant on obtient finalement :
$\Delta \mathrm {E} _{c}=\int {\vec {v}}\cdot \mathrm {d} (m_{\gamma }{\vec {v}})={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}mv^{2}$

## Théorèmes de l’énergie cinétique

Ces théorèmes, valables uniquement dans le cadre de la mécanique classique, permettent de relier l’énergie cinétique d’un système aux travaux des forces auxquelles celui-ci a été soumis.

### Pour un point

Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel de masse constante parcourant un chemin $\Gamma$ entre une position $A$ et une position $B$ :
   La variation d’énergie cinétique du point entre $A$ et $B$ est égale à la somme des travaux $W_{\Gamma }$ des forces qui s'exercent sur le point le long du chemin $\Gamma$ :
   ${\underset {A\rightarrow B}{\Delta }}\ \mathrm {E} _{c}=\mathrm {E} _{c}^{B}-\mathrm {E} _{c}^{A}=\sum {W_{\Gamma }}$
avec $\mathrm {E} _{c}^{A}$ et $\mathrm {E} _{c}^{B}$ les énergies cinétiques du point respectivement aux positions $A$ et $B$. Le résultat ne dépend pas du chemin $\Gamma$ suivi entre $A$ et $B$, ce qui découle du caractère exact de la différentielle de l'énergie cinétique. Le terme des travaux prend en compte à la fois les forces conservatives et les forces non conservatives. Pour un point matériel, toutes les forces sont extérieures.
On est déduit le théorème de la puissance cinétique :
$P={\frac {\mathrm {dE} _{c}}{\mathrm {d} t}}$

### Pour un solide

Dans un référentiel galiléen, pour un solide déformable de masse constante parcourant un chemin $\Gamma$ reliant un point $A$ à un point $B$ :
   La variation d’énergie cinétique du solide est égale à la somme des travaux des forces intérieures $W_{\Gamma }^{int}$ et extérieures $W_{\Gamma }^{ext}$ qui s'exercent sur et dans le solide le long de $\Gamma$ :
   ${\underset {A\rightarrow B}{\Delta }}\ \mathrm {E} _{c}=\mathrm {E} _{c}^{B}-\mathrm {E} _{c}^{A}=\sum {W_{\Gamma }^{ext}+W_{\Gamma }^{int}}$
avec $\mathrm {E} _{c}^{A}$ et $\mathrm {E} _{c}^{B}$ les énergies cinétiques du solide respectivement aux positions $A$ et $B$. Le résultat ne dépend pas du chemin $\Gamma$ suivi entre $A$ et $B$. Les termes des travaux prennent en compte à la fois les forces conservatives et non conservatives.
On est déduit le théorème de la puissance cinétique pour un solide déformable :
$P_{ext}+P_{int}={\frac {\mathrm {dE} _{c}}{\mathrm {d} t}}$

### Démonstration pour un point

D’après la deuxième loi de Newton, l’accélération du centre de gravité est liée aux forces qui s’exercent sur le point par la relation :
$m\,{\vec {a}}={\vec {F}}$
Pendant une durée $\mathrm {d} t$, le point se déplace de $\mathrm {d} {\vec {\ell }}={\vec {v}}\,\mathrm {d} t$ où ${\vec {v}}$ est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces :
$\delta W={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=m\,{\vec {a}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=m\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\vec {v}}\,\mathrm {d} t=m\,{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}$
Si le point parcourt un chemin $\Gamma$ d’un point $A$ à un point $B$, alors le travail total s’obtient en intégrant le long du chemin :
$W=\int _{\Gamma }{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=\int _{\Gamma }m{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}$
La quantité ${\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}$ étant une différentielle exacte, l’intégrale ne dépend pas du chemin $\Gamma$ suivi entre $A$ et $B$ et peut donc être obtenue explicitement :
$W=m\,\int _{v_{A}}^{v_{B}}{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}=m\,\left(\int _{v_{xA}}^{v_{xB}}v_{x}\,\mathrm {d} v_{x}+\int _{v_{yA}}^{v_{yB}}v_{y}\,\mathrm {d} v_{y}+\int _{v_{zA}}^{v_{zB}}v_{z}\,\mathrm {d} v_{z}\right)=m\,\left(\left[{\frac {v_{x}^{2}}{2}}\right]_{v_{xA}}^{v_{xB}}+\left[{\frac {v_{y}^{2}}{2}}\right]_{v_{yA}}^{v_{yB}}+\left[{\frac {v_{z}^{2}}{2}}\right]_{v_{zA}}^{v_{zB}}\right)$
$W={\frac {1}{2}}m\,\left[\left(v_{xB}^{2}+v_{yB}^{2}+v_{zB}^{2}\right)-\left(v_{xA}^{2}+v_{yA}^{2}+v_{zA}^{2}\right)\right]$
$W={\frac {1}{2}}m\,\left(\left\|{\vec {v_{B}}}\right\|^{2}-\left\|{\vec {v_{A}}}\right\|^{2}\right)={\frac {1}{2}}m\,\left(v_{B}^{2}-v_{A}^{2}\right)=\mathrm {E} _{c_{B}}-\mathrm {E} _{c_{A}}$

## Théorème énergétique de König

Il est possible de réécrire l'énergie cinétique d'un solide sous la somme de deux termes possédant chacun une interprétation physique.

### Énoncé

Pour un solide de masse totale $m$, considéré comme un ensemble de points matériels :
   L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit comme la somme de deux termes :
       $E_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2}}mv^{2}+E_{\mathrm {c} }^{*}\ \$ avec $\ \ E_{\mathrm {c} }^{*}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}$
où :
    $v$ désigne la vitesse du barycentre du solide dans le référentiel d'étude $R$ ;
    $v_{i}$ désigne la vitesse de chaque point matériel dans le référentiel barycentrique $R^{*}$, et $m_{i}$ sa masse.
L'énergie $E_{\mathrm {c} }^{*}$ est appelée énergie cinétique propre du solide, associée aux déplacements propres au solide comme les rotations et les dilatations. Le premier terme correspond à une énergie cinétique de translation qui ne prendrait pas en compte les mouvements propres du solide.

### Pour un solide indéformable

Pour un solide indéformable, la distance entre chaque point matériel qui le constitue est constante. En d'autres termes, le solide ne se dilate et ne se comprime pas, et ne possède pas de mouvement de torsion. Il peut cependant effectuer une rotation dans le référentiel envisagé.
Dans ce cas, le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son centre de masse dans $R$ et un mouvement de rotation autour d'un axe instantané $\Delta$ dans le référentiel barycentrique $R^{*}$.
   L'énergie cinétique d'un ensemble de points matériels s'écrit sous la somme de deux termes :
   $\mathrm {E} _{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}{\vec {L}}\cdot {\vec {\omega }}$
En notant :
* $v$ la vitesse du centre de masse du solide dans le référentiel d'étude $R$ ;
* ${\vec {L}}$ le vecteur moment cinétique du solide par rapport à son centre de masse ;
* ${\vec {\omega }}$ le vecteur vitesse angulaire instantané du solide. Il ne dépend pas du référentiel.
L'énergie cinétique propre du solide devient alors une énergie cinétique de rotation ou encore une énergie cinétique angulaire.
Si de surcroît, l'axe de rotation $\Delta$ est fixe dans le référentiel barycentrique $R^{*}$ bien choisi, le moment cinétique du solide vérifie ${\vec {L}}=I_{\Delta }{\vec {\omega }}$, où $I_{\Delta }$ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $\Delta$. Son énergie cinétique de rotation se met alors sous la forme $E_{r}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}I_{\Delta }\omega ^{2}$.

## Lien avec l'énergie thermique

L’énergie thermique est l’énergie associée à l'agitation des molécules et des atomes qui forment la matière. Pour un gaz parfait, l'expression de l'énergie thermique prend une forme analogue à l'énergie cinétique :
$E_{th}={\frac {1}{2}}mu^{2}={\frac {3}{2}}k_{B}T$
En notant :
* $u$ la vitesse quadratique moyenne ;
* $T$ la température ;
* $k_{B}$ la constante de Boltzmann.
De nature quantique, l’énergie thermique se transforme en énergie électromagnétique par rayonnement. Ce rayonnement thermique peut être approché sous certaines conditions par le modèle du rayonnement du corps noir. La relation entre la chaleur, la température et l’énergie cinétique des atomes et des molécules est l’objet de la mécanique statistique et de la thermodynamique.