# Valuation p-adique

En théorie des nombres, la valuation p-adique ou l'ordre p-adique d'un entier non nul n est l'exposant de la puissance la plus élevée du nombre premier p qui divise n : cet exposant est noté $\nu _{p}(n)$. De manière équivalente, $\nu _{p}(n)$ est l'exposant auquel $p$ apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de $n$. On prolonge cette notation aux rationnels non nuls en posant $\nu _{p}\left({\frac {m}{n}}\right)=\nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)$.
La valuation p-adique est une valuation, analogue de la valeur absolue habituelle. Alors que l'extension des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue aboutit aux nombres réels $\mathbb {R}$, leur extension par rapport à la valuation $p$-adique aboutit au corps des nombres p-adiques $\mathbb {Q} _{p}$.

## Définition et propriétés

Soit p un nombre premier.

### Entiers

La valuation p-adique (des entiers) est définie comme étant l'application
    $\nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {N} \cup \{\infty \}\\n\longmapsto {\begin{cases}\max(\{k\in \mathbb {N} \mid \,p^{k}\mid n\}),&{\text{si }}n\neq 0\\\infty &{\text{si }}n=0\end{cases}}\end{matrix}}$
$\mathbb {N}$ désignant l'ensemble des entiers naturels et $m\mid n$ désignant la divisibilité de $n$ par $m$.
Par exemple, pour $-12$, dont la valeur absolue est égale à$|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$, on a $\nu _{2}(-12)=2$, $\nu _{3}(-12)=1$, et $\nu _{5}(-12)=0$.
La notation $p^{k}\parallel n$ est parfois utilisée pour signifier que $k=\nu _{p}(n)$.
Si $n$ est un entier positif, alors
    $\nu _{p}(n)\leqslant \log _{p}n$
car par définition : $n\geqslant p^{\nu _{p}(n)}$.

### Nombres rationnels

La valuation p-adique peut être étendue aux nombres rationnels$^,$ par :
    $\nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\{\frac {r}{s}}\longmapsto \nu _{p}(r)-\nu _{p}(s)\end{matrix}}$.
Par exemple, $\nu _{2}{\bigl{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$ et $\nu _{3}{\bigl{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$, car ${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$.
On a en particulier:
    $\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)$
    $\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$
De plus, si $\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$, alors
    $\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

## Valeur absolue p-adique

La valeur absolue p-adique sur $\mathbb {Q}$ est la fonction définie par
$|x|_{p}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\p^{-v_{p}(x)}&{\text{si }}x\neq 0.\end{cases}}$
Par exemple, $|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ et ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.$
La valeur absolue p-adique est :
| non-négative | $|r|_{p}\geq 0$ |
| définie positive | $|r|_{p}=0\iff r=0$ |
| multiplicative | $|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$ |
| ultramétrique | $|r+s|_{p}\leqslant \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$ |
Comme elle est multiplicative ($|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$ ) on a $|1|_{p}=1=|-1|_{p}$ et donc on a aussi $|{-r}|_{p}=|r|_{p}.$ L'inégalité triangulaire $|r+s|_{p}\leqslant |r|_{p}+|s|_{p}$ (sous-additivité) découle de l'inégalité ultramétrique $|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$.
Le choix de la base p dans l'exponentiation $p^{-\nu _{p}(r)}$ n'affecte pas la plupart des propriétés, et permet d'avoir la formule du produit :
    $\prod _{0,p}|r|_{p}=1$
où le produit prend en compte tous les nombres premiers p et la valeur absolue habituelle, notée $|r|_{0}$. Cela découle simplement de la décomposition en facteurs premiers.
$\mathbb {Q}$ peut être muni d'une structure d'espace métrique par la distance (ultramétrique et invariante par translation)
    $d\colon {\begin{matrix}\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}\\(r,s)\longmapsto d(r,s)=|r-s|_{p}\end{matrix}}$
La complétion de $\mathbb {Q}$ pour cette distance conduit au corps $\mathbb {Q} _{p}$ des nombres p-adiques.