# Apprentissage supervisé

L'apprentissage supervisé (supervised learning en anglais) est une tâche d'apprentissage automatique consistant à apprendre une fonction de prédiction à partir d'exemples annotés, au contraire de l'apprentissage non supervisé. On distingue les problèmes de régression des problèmes de classement. Ainsi, on considère que les problèmes de prédiction d'une variable quantitative sont des problèmes de régression tandis que les problèmes de prédiction d'une variable qualitative sont des problèmes de classification.
Les exemples annotés constituent une base d'apprentissage, et la fonction de prédiction apprise peut aussi être appelée « hypothèse » ou « modèle ». On suppose cette base d'apprentissage représentative d'une population d'échantillons plus large et le but des méthodes d'apprentissage supervisé est de bien généraliser, c'est-à-dire d'apprendre une fonction qui fasse des prédictions correctes sur des données non présentes dans l'ensemble d'apprentissage.

## Définition mathématique

Soit $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$, un espace probabilisé.

### Jeu de données supervisées

Soit $({\mathcal {X}},{\mathcal {F}}_{X}),({\mathcal {Y}},{\mathcal {F}}_{Y})$ deux espaces mesurables. On peut définir une base de données d'apprentissage (ou ensemble d'apprentissage) comme un ensemble de couples entrée-sortie $(x_{n},y_{n})_{1\leq n\leq N}$ où chaque $x_{n}\in {\mathcal {X}}$ et $y_{n}\in {\mathcal {Y}}$ sont des réalisations respectives des variables aléatoires $X_{n}$ et $Y_{n}$. Les couples de la suite $((X_{n},Y_{n}))_{n\leq N}$ sont indépendants et identiquement distribués suivant la loi d'un couple $(X,Y)$ à valeurs dans $({\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}},{\mathcal {F}}_{X}\otimes {\mathcal {F}}_{Y})$. On rappelle que cette loi est caractérisée par une mesure de probabilité $\mathbb {P} _{(X,Y)}$ définie pour tout évènement $A\in {\mathcal {F}}_{X}\otimes {\mathcal {F}}_{Y}$ par $\mathbb {P} _{(X,Y)}(A)=\mathbb {P} [(X,Y)^{-1}(A)]$
Par exemple $X_{n}$ suit une loi uniforme et $Y_{n}=f(X_{n})+\epsilon _{n}$ où $\epsilon _{n}$ est un bruit centré. Dans ce cas, la méthode d'apprentissage supervisé utilise cette base d'apprentissage pour déterminer une estimation de f notée g et appelée indistinctement fonction de prédiction, hypothèse ou modèle qui à une nouvelle entrée x associe une sortie g(x). Le but d'un algorithme d'apprentissage supervisé est donc de généraliser pour des entrées inconnues ce qu'il a pu « apprendre » grâce aux données déjà annotées par des experts, ceci de façon « raisonnable ». On dit que la fonction de prédiction apprise doit avoir de bonnes garanties en généralisation.

### Théorie de la décision

Plus généralement, l'objectif de l'apprentissage supervisé est d'apprendre une fonction $f$ qui « minimise l'écart entre les variables aléatoires $f(X)$ et $Y$ ». Pour définir cet écart, nous introduisons une fonction de perte $L:{\mathcal {Y}}\times {\mathcal {Y}}\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ qui quantifie la distance entre une prédiction du modèle $f(x)$ et une sortie attendue $y$. À partir de cette fonction, nous pouvons définir le risque statistique d'un modèle $f$. Il est noté $R$ et est défini par :
$R(f)=\mathbb {E} (L(Y,f(X)))=\int _{{\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}L(y,f(x))\mathrm {d} \mathbb {P} _{(X,Y)}(x,y)$
En pratique, on n'a jamais accès directement à $\mathbb {P} _{(X,Y)}$, en revanche il est possible de l'estimer à partir du jeu de données en utilisant la mesure empirique $\mathbb {P} _{(X,Y)}^{N}$ définie pour tout $A\in {\mathcal {F}}_{X}\otimes {\mathcal {F}}_{Y}$ par $\mathbb {P} _{(X,Y)}^{N}(A)={\dfrac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\delta _{(X_{n},Y_{n})}(A)$.
Dès lors, un algorithme d'apprentissage supervisé mettra en œuvre des algorithmes d'optimisation afin de trouver une fonction $f$ qui minimise le risque empirique $R_{N}(f)={\dfrac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}L(Y_{n},f(X_{n}))$. Il faut noter que $R_{N}$ n'est rien d'autre que la moyenne des écart (au sens de $L$) entre les prédictions du modèle et les sorties attendues.

### Classification et régression

On distingue trois types de problèmes solubles avec une méthode d'apprentissage automatique supervisée :
* ${\mathcal {Y}}\subset \mathbb {R}$ : lorsque la sortie que l'on cherche à estimer est une valeur dans un ensemble continu de réels, on parle d'un problème de régression. La fonction de prédiction est alors appelée un régresseur.
* ${\mathcal {Y}}=\{1,\ldots ,I\}$ : lorsque l'ensemble des valeurs de sortie est fini, on parle d'un problème de classification, qui revient à attribuer une étiquette à chaque entrée. La fonction de prédiction est alors appelée un classifieur.
* Lorsque ${\mathcal {Y}}$ est un ensemble de données structurées, on parle d'un problème de prédiction structurée, qui revient à attribuer une sortie complexe à chaque entrée. Par exemple, en bio-informatique le problème de prédiction de réseaux d’interactions entre gènes peut être considéré comme un problème de prédiction structurée dans laquelle l'ensemble possible des sorties structurées est l'ensemble de tous les graphes modélisant les interactions possibles.

### Coût quadratique en régression

Une bonne estimation de $f$ vérifierait $f(X)=\mathbb {E} (Y|X)$. On estimerait donc $Y$ par son espérance conditionnelle par rapport à $X$. Le théorème suivant montre l'intérêt d'utiliser la fonction de perte quadratique dans le cas d'une régression.
Minimisation du coût quadratique — Supposons ${\mathcal {Y}}=\mathbb {R} ^{d}$. On se munit de la fonction de perte quadratique définie pour tout $y,y'\in \mathbb {R} ^{d}$ par $L(y,y')=\|y-y'\|_{2}^{2}$. On suppose également $Y-\mathbb {E} (Y|X)\in L^{2}(\mathbb {R} ^{p},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{p}),\lambda _{p})$, avec $\lambda _{p}$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbb {R} ^{p}$. Alors, la fonction $f$ qui minimise le risque statistique associé à $L$ vérifie $f(X)=\mathbb {E} (Y|X)$.
Démonstration — Calculons le risque statistique associé à la fonction de perte quadratique :
${\begin{aligned}R(f)&=\mathbb {E} (L(Y,f(X)))\\&=\mathbb {E} (\|Y-f(X)\|_{2}^{2})\\&=\mathbb {E} (\|(Y-\mathbb {E} (Y|X))-(f(X)-\mathbb {E} (Y|X))\|_{2}^{2})\\&=\mathbb {E} (\|Y-\mathbb {E} (Y|X)\|_{2}^{2})-2\mathbb {E} (\langle Y-\mathbb {E} (Y|X)|f(X)-\mathbb {E} (Y|X))\rangle )+\mathbb {E} (\|f(X)-\mathbb {E} (Y|X))\|_{2}^{2})\\\end{aligned}}$
Où $\langle \cdot |\cdot \rangle$ désigne le produit scalaire euclidien dans $\mathbb {R} ^{d}$.
On cherche donc à trouver la fonction $f$ qui minimise $R(f)$. Le premier terme de la somme ne dépend pas de $f$, et on peut réécrire le second terme à l'aide de la formule de l'espérance totale :
${\begin{aligned}\mathbb {E} (\langle Y-\mathbb {E} (Y|X)|f(X)-\mathbb {E} (Y|X))\rangle )&=\mathbb {E} (\mathbb {E} (\langle Y-\mathbb {E} (Y|X)|f(X)-\mathbb {E} (Y|X))\rangle |X))\\&=\mathbb {E} (\langle Y-Y|f(X)-Y\rangle )\\&=0\end{aligned}}$
Le second terme est donc nul. Enfin, le troisième terme est positif et s'annule pour $f(X)=\mathbb {E} (Y|X)$.

## Méthodes d'apprentissage supervisé

* Boosting
* Machine à vecteurs de support
* Réseau de neurones artificiels
* Méthode des k plus proches voisins
* Arbre de décision
* Classification naïve bayésienne
* Inférence grammaticale
* Espace de versions

## Applications

* Vision par ordinateur
* Reconnaissance de formes
* Reconnaissance de l'écriture manuscrite
* Reconnaissance vocale
* Traitement automatique de la langue
* Bio-informatique
* Reconnaissance optique de caractères