# John Selfridge

John Lewis Selfridge (né le 17 février 1927 à Ketchikan en Alaska et mort le 31 octobre 2010 à DeKalb (Illinois)), est un mathématicien américain qui a travaillé en théorie analytique des nombres, théorie algorithmique des nombres, et combinatoire. Il est coauteur de 14 articles avec Paul Erdős (ce qui lui donne le nombre d'Erdős 1).

## Biographie

Selfridge obtient son Ph. D. en 1958 à l'université de Californie à Los Angeles sous la supervision de Theodore Motzkin.
Selfridge a travaillé à l'université de l'Illinois à Urbana-Champaign et à l'université de Northern Illinois de 1971 jusqu'à sa retraite en 1991 ; il a dirigé le département des sciences mathématiques en 1972–1976 et en 1986–1990.
Il était éditeur exécutif des Mathematical Reviews de 1978 à 1986 et a supervisé l'informatisation de ses opérations. Il a fondé la Number Theory Foundation (en), qui distribue le prix Selfridge (en) qui porte son nom.

## Contributions

En 1962, Selfridge prouve que 78 557 est un nombre de Sierpiński ; il montre que pour $k=78557$, tous les entiers de la forme $k\cdot 2^{n}+1$ sont divisibles par un des nombres premiers 3, 5, 7, 13, 19, 37 ou 73. Cinq années plus tard, lui et Sierpiński émettent la conjecture que 78 557 est le plus petit nombre de Sierpinski, et serait ainsi la réponse au problème de Sierpinski. Un projet de calcul distribué appelé Seventeen or Bust a réussi, en 2016, à ne laisser sans réponse que cinq des dix-sept possibilités initiales.
En 1964, Selfridge and Alexander Hurwitz ont montré que le 14e nombre de Fermat $2^{2^{14}}+1$ est composé. Toutefois, leur preuve ne fournit pas de diviseur ; ce n'est qu'en 2010 qu'un diviseur du 14e nombre de Fermat a été trouvé$^,$.
En 1975 John Brillhart, Derrick Henry Lehmer et Selfridge développent une méthode pour prouver la primalité d'un entier p en ne connaissant que des factorisations partielles de $p-1$ et $p+1$.
Avec Samuel Wagstaff ils ont également participé au projet Cunningham.
Avec Paul Erdős, Selfridge résout un problème vieux de 250 ans, en montrant que le produit de nombres consécutifs n'est jamais une puissance d'un entier.
Selfridge a décrit en 1960 l'algorithme de Selfridge-Conway pour un partage équitable entre trois partenaires. John Conway a redécouvert l'algorithme indépendamment en 1993. Ni l'un ni l'autre n'ont publié ce résultat dont la solution a été popularisée par Richard Guy.

## Deux conjectures
### Conjecture sur les nombres de Fermat

Selfridge a énoncé la conjecture suivante sur les nombres de Fermat $F_{n}=2^{2^{n}}+1$. Soit g(n) le nombre de facteurs premiers distincts F_n ( suite A046052 de l'OEIS). On ne connaît g(n) que jusqu'à n = 11, et la fonction est monotone croissante. Selfridge a conjecturé qu'au contraire g(n) n'est pas monotone. À l'appui de sa conjecture, il prouve qu'il suffit qu'il existe un autre nombre de Fermat premier, autre que les cinq connus (3, 5, 17, 257, 65537).

### Conjecture sur le test de primalité

Cette conjecture, appelée aussi conjecture PSW, d'après Carl Pomerance, Selfridge et Samuel Wagstaff, est la suivante :
    Soit p un nombre impair, avec p ≡ ± 2 (mod 5). Si 2$^{p−1}$ ≡ 1 (mod p) et f$_{p+1}$ ≡ 0 (mod p), où f$_k$ est le k-ième nombre de Fibonacci, alors p est un nombre premier.
La conjecture est toujours ouverte en août 2015.

## Articles liés

* Nombre de Sierpiński
* Nouvelle conjecture de Mersenne
* conjecture de Lander, Parkin et Selfridge (en)