# Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell

L'équation de propagation d'une onde électromagnétique peut se calculer à partir des équations de Maxwell.

## Hypothèses préalables

Supposons que le milieu soit linéaire, homogène, non magnétique et isotrope (L.H.I.). Dans ce cas :
    ${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}\,$ et ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}\,$
où $\mu =\mu _{0}\ \mu _{r}\,$ désigne la perméabilité magnétique et $\epsilon =\epsilon _{0}\ \epsilon _{r}\,$ est la permittivité diélectrique.
Supposons également que ces deux coefficients et la densité de charge électrique $\rho$ ne dépendent pas des variables spatiales (ni temporelles).

## Formulation des relations

Exprimées à l’aide du champ électrique ${\vec {E}}$ et du champ magnétique ${\vec {H}}$, les équations dites de Maxwell dans les milieux continus prennent la forme locale suivante :
* ${\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {E}}\ =\ -\mu \ {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}$
* $\mu \ \mathrm {div} \ {\vec {H}}\ =\ 0$
* ${\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {H}}\ ={\vec {j}}\ +\ \epsilon \ {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$
* $\epsilon \ \mathrm {div} \ {\vec {E}}\ =\ \rho$

### Équation relative au champ électrique E

Pour éliminer le champ magnétique ${\vec {H}}$ entre les relations 1 et 3, il s’agit d’appliquer le rotationnel à la première et de dériver la troisième par rapport au temps. À l’aide des hypothèses et grâce au théorème de Schwarz permettant de permuter les opérateurs différentiels spatiaux et temporels, il vient alors
    ${\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {E}}\ +\ \mu \ {\frac {\partial }{\partial t}}\ \left({\vec {j}}\ +\ \epsilon \ {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)=0.$
L’identité des opérateurs vectoriels $\ {\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {E}}={\vec {\mathrm {grad} }}\ \mathrm {div} {\vec {E}}\ -\ \Delta {\vec {E}}\$ conduit ensuite à la relation
    $\Delta {\vec {E}}\ -\ \mu \ \epsilon \ {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=\ \mu \ {\frac {\partial {\vec {j}}}{\partial t}}\ +\ {\vec {\mathrm {grad} }}\ \mathrm {div} {\vec {E}}$
et la relation 4 implique finalement
    $\Delta {\vec {E}}\ -\ \mu \ \epsilon \ {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=\ \mu {\frac {\partial {\vec {j}}}{\partial t}}\ +\ {\frac {1}{\epsilon }}\ {\vec {\mathrm {grad} }}\ \rho .$

### Équation relative au champ magnétique H

Par un traitement semblable, en appliquant le rotationnel à la relation 3 et en dérivant la première par rapport au temps, il vient
    $\Delta {\vec {H}}\ -\ \mu \ \epsilon \ {\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}=\ -\ {\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {j}}.$

## Application à divers milieux
### Dans les isolants ou dans le vide

La densité de courant est nulle et la densité de charge est constante. Ainsi :
    $\Delta {\vec {E}}\ -\ {\frac {1}{v^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}={\vec {0}},$
    $\Delta {\vec {H}}\ -\ {\frac {1}{v^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}={\vec {0}},$
qui sont deux équations de d'Alembert dont les ondes se propagent à la vitesse $v$ définie par $\epsilon \ \mu \ v^{2}=1$.
Dans le vide ($\mu =\mu _{0}$ et $\epsilon =\epsilon _{0}$), la vitesse de phase est celle de la lumière puisque $\epsilon _{0}\ \mu _{0}\ c^{2}=1$.
Le découplage entre champs magnétique et électrique dans ces deux dernières équations n’est qu’apparent : les deux champs restent en effet liés par les équations de Maxwell (relations 1 et 3 ci-dessus).

#### Solutions

Les équations de d’Alembert possèdent comme solutions des ondes planes harmoniques : partant d’une pulsation $\omega$ et d’un vecteur d'onde ${\vec {k}}$ de norme notée $k$, la fonction scalaire
    $u({\vec {x}},t)=e^{i(({\vec {k}},{\vec {x}})-\omega t)}$
permet de définir des champs
    ${\vec {H}}({\vec {x}},t)=u({\vec {x}},t){\vec {H}}_{0}$
    ${\vec {E}}({\vec {x}},t)=u({\vec {x}},t){\vec {E}}_{0}$
qui sont solutions lorsque $k\,v=\omega .$
Les équations de Maxwell imposent par ailleurs l’orthogonalité des 3 vecteurs :
    $({\vec {E}},{\vec {H}})=({\vec {k}},{\vec {E}})=({\vec {k}},{\vec {H}})=0$
et le rapport des carrés des normes des champs satisfait
    $\mu \ ||H||^{2}=\epsilon \ ||E||^{2}.$
Après avoir successivement vérifié
    ${\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\ =\ -\ i\ \omega \ u\ {\vec {E}}_{0},$
    ${\vec {\mathrm {rot} }}\ {\vec {E}}\ =\ i\ u\ {\vec {k}}\wedge {\vec {E}}_{0},$
    $\mathrm {div} \ {\vec {E}}\ =\ i\ u\ ({\vec {k}},{\vec {E}}_{0}),$
les équations de Maxwell (1 à 4) impliquent respectivement
* ${\vec {k}}\wedge {\vec {E}}_{0}\ =\ -\ \mu \omega {\vec {H}}_{0}$
* $\mu \ ({\vec {k}},{\vec {H}}_{0})\ =\ 0$
* ${\vec {k}}\wedge {\vec {H}}_{0}\ =\ \epsilon \ \omega {\vec {E}}_{0}$
* $\epsilon \ ({\vec {k}},{\vec {E}}_{0})\ =\ 0$
lorsque ${\vec {j}}={\vec {0}}$ et $\rho =0,$ d’où l’orthogonalité des 3 vecteurs.
L’égalité relative aux carrés des normes découle de 1 et de $k^{2}=\mu \ \epsilon \ \omega ^{2}.$

### Dans les conducteurs ohmiques

La loi d'Ohm est la relation phénoménologique liant la densité de courant au champ électrique :
    ${\vec {j}}=\sigma _{\Omega }{\vec {E}},$
$\sigma _{\Omega }$ étant la conductivité électrique (qui est l’inverse de la résistivité).
En supposant que la densité de charge reste constante, les équations de propagation s’écrivent alors
    $\Delta {\vec {E}}\ -\ {\frac {1}{v^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}\ -\ \sigma _{\Omega }\ \mu \ {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=0,$
    $\Delta {\vec {H}}\ -\ {\frac {1}{v^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}\ -\ \sigma _{\Omega }\ \mu \ {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=0.$

#### Solutions

Ces équations possèdent des solutions qui sont des ondes planes amorties, en particulier des ondes harmoniques dont l’amplitude est exponentiellement décroissante : en effet, l’onde s’atténue au fur et à mesure qu’elle se propage dans le milieu conducteur.
Partant d’une pulsation $\omega$, d’un vecteur d’onde ${\vec {k}}$ de norme $k$ et un facteur d’amortissement $\lambda$, la fonction scalaire
    $u({\vec {x}},t)=\mathrm {e} ^{-\lambda ({\vec {k}},{\vec {x}})}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (({\vec {k}},{\vec {x}})-\omega t)}$
est solution de l’équation aux dérivées partielles à condition de respecter deux relations liant respectivement $k$ et $\lambda$ à $\omega$.
Comme dans le cas d’un milieu isolant, il existe des choix de champs proportionnels à $u({\vec {x}},t)$ qui satisfont les équations de Maxwell : ceux-ci respectent encore l’orthogonalité des 3 vecteurs.
Le rapport des carrés des normes des champs satisfait finalement
    $\mu \ \|H\|^{2}=\epsilon \left(1+{\frac {\sigma _{\Omega }^{2}}{\epsilon ^{2}\ \omega ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\ \|E\|^{2}.$
Après avoir successivement vérifié
    $\Delta u\ =(\mathrm {i} -\lambda )^{2}k^{2}u,$
    ${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathrm {i} \ \omega \ u,$
    ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}u,$
$u({\vec {x}},t)$ satisfait l’équation aux dérivées partielles
    $\Delta u\ -\ \mu \ \epsilon \ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\ -\ \sigma _{\Omega }\ \mu \ {\frac {\partial u}{\partial t}}=0$
à condition que
    $(\mathrm {i} -\lambda )^{2}k^{2}+\mu \ \epsilon \ \omega ^{2}+\mathrm {i} \ \sigma _{\Omega }\ \mu \ \omega .$
Quelques calculs algébriques permettent de vérifier que les parties réelle et imaginaire de cette contrainte impliquent
    $k^{2}={\frac {1}{2}}\ \mu \ \epsilon \ \omega ^{2}\ (s+1)$
    $\lambda ^{2}={\frac {s-1}{s+1}}$
où $s=\left(1+{\frac {\sigma _{\Omega }^{2}}{\epsilon ^{2}\ \omega ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}.$
Ce sont les relations liant $k$ et $\lambda$ à $\omega$ (dont on retrouve le cas d’un isolant lorsque $\sigma _{\Omega }=0$).
En particulier, à grande vitesse dans un bon conducteur ($s>\!>1$), on peut admettre l’approximation
    $\lambda \ k=\left({\frac {1}{2}}\ \mu \ \omega \ \sigma _{\Omega }\right)^{\frac {1}{2}}.$
L’inverse de λk{\textstyle \lambda k} (dont l’unité est une longueur) indique la profondeur de pénétration de l’onde (qui est atténuée d’un facteur $e$ après avoir parcouru cette distance) et la profondeur diminue comme l’inverse de la racine de la pulsation.
Il reste enfin à trouver des solutions avec des champs constitués de nombres réels, ceci en dépit d’un traitement faisant intervenir des complexes. Par exemple, en choisissant arbitrairement un champ électrique initial réel ${\vec {E}}_{0}$ et un vecteur d’onde ${\vec {k}}$ orthogonal, définissons le vecteur ${\vec {F}}_{0}$ réel et le déphasage $\theta$ satisfaisant l’égalité
    $(\mathrm {i} -\lambda ){\vec {k}}\wedge {\vec {E}}_{0}\ =\ \mathrm {i} \ \mu \ \omega \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }{\vec {F}}_{0}.$
En définissant ensuite les champs
    ${\vec {H}}({\vec {x}},t)=u({\vec {x}},t)\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }{\vec {F}}_{0}$
    ${\vec {E}}({\vec {x}},t)=u({\vec {x}},t){\vec {E}}_{0}$
on constate qu’ils respectent:
* l’équation 1 de Maxwell (puisque la relation ci-dessus est prévue à cet effet),
* l’équation 3 de Maxwell à cause des relations liant $k$ et $\lambda$ à $\omega$,
* les divergences nulles puisque les trois vecteurs sont orthogonaux.
Par la linéarité de ces équations, les parties réelles des champs électriques et magnétiques ainsi définis satisfont l’ensemble des équations de Maxwell. Il subsiste toutefois un déphasage $0\leq \theta <{\frac {\pi }{4}}$ (nul dans le cas des isolants) défini par :
    $\displaystyle tg(\theta )=\lambda .$
Les éléments précédents permettent de déduire la relation entre les normes des champs complexes ${\vec {E}}$ et ${\vec {H}}$, c'est-à-dire entre les amplitudes de leurs parties réelles respectives, ceci à l’aide de
    $\mu ^{2}\ \omega ^{2}\ \|H\|^{2}=(1+\lambda ^{2})\ k^{2}\|E\|^{2}=\mu \ \epsilon \ \omega ^{2}\ s\ \|E\|^{2}.$