# Plus grand petit polygone

En géométrie, un plus grand petit polygone, pour un nombre $n\geqslant 3$ de côtés, est un polygone convexe, de diamètre unité (dont la distance entre deux de ses points est au maximum égale à 1), qui a une aire maximale parmi tous les $n$-gones de diamètre unité.
Pour $n$ = 4 une solution est le carré mais il y en a d'autres ; pour $n$ impair, la solution unique est le polygone régulier mais pour $n$ pair la solution est irrégulière.

## Cas des quadrilatères

Pour $n$ = 4, l'aire d'un quadrilatère arbitraire est donnée par la formule $S=1/2pq\sin \theta$ où $p$ et $q$ sont les longueurs des diagonales du quadrilatère et $\theta$ est l'un des angles qu'elles forment l'une avec l'autre. Pour que le diamètre soit au plus égal à 1, $p$ et $q$ doivent eux-mêmes être au plus égaux à 1. Par conséquent, le quadrilatère a la plus grande aire lorsque les trois facteurs de la formule d'aire sont maximisés individuellement, soit lorsque $p=q=1$ et $\sin \theta =1$. La condition $p=q$ signifie que le quadrilatère est équidiagonal (diagonales de même longueur), et la condition $\sin \theta =1$ signifie qu'il s'agit d'un quadrilatère orthodiagonal (ses diagonales se croisent à angle droit). Les quadrilatères de ce type comprennent le carré à diagonales unitaires, dont l'aire est égale à 1/2. Cependant, une infinité d'autres quadrilatères orthodiagonaux et équidiagonaux ont également un diamètre unité et ont la même aire que le carré (les pseudo-carrés) donc dans ce cas la solution n'est pas unique.

## Cas d'un nombre impair de côtés

Pour les valeurs impaires de $n$, Karl Reinhardt a montré en 1922 que c'est le polygone régulier qui a la plus grande aire parmi tous les polygones de diamètre donné.

## Cas d'un nombre pair de côtés

Dans le cas $n$ = 6, le polygone optimal unique n'est pas régulier. La solution dans ce cas a été publiée en 1975 par Ronald Graham, en réponse à une question posée en 1956 par Hanfried Lenz. Elle prend la forme d'un pentagone équidiagonal irrégulier avec un triangle isocèle obtus fixé à l'un de ses côtés, avec la distance du sommet du triangle au sommet opposé du pentagone égale aux longueurs des diagonales du pentagone. Son aire est égale à 0,674981.... (suite A111969 de l'OEIS), nombre, non exprimable par radicaux car il a pour groupe de Galois S$_{10}$, solution de l'équation :
    4096 x$^{10}$ +8192x $^9$ − 3008 x$^8$ − 30848 x$^7$ + 21056 x$^6$ + 146496 x$^5$ − 221360 x$^4$ + 1232 x$^3$ + 144464 x$^2$ − 78488 x + 11993 = 0.
Graham a émis l'hypothèse que la solution optimale pour le cas général des valeurs paires de $n$ consiste de la même manière en un ($n$−1)-gone équidiagonal avec un triangle isocèle fixé à l'un de ses côtés, son sommet à une distance unitaire du sommet opposé du (n−1)-gone. Dans le cas $n$ = 8 ceci a été vérifié par un calcul informatique par Audet et al$^,$. La preuve de Graham que son hexagone est optimal, et la preuve informatique du $n$ = 8 cas, tous deux impliquaient une analyse de cas de tous les "thrackles" à $n$ sommets possibles avec des arêtes rectilignes.
La conjecture complète de Graham, caractérisant la solution au problème du plus grand petit polygone pour toutes les valeurs paires de $n$, a été prouvée en 2007 par Foster et Szabo.