# Corde (géométrie)

En géométrie, une corde est un segment reliant deux points d’un cercle ou d’une autre courbe.

## Propriétés des cordes d'un cercle
### Longueur

Une corde d'un cercle de rayon $R$ interceptant un angle au centre de mesure $\theta$ est de longueur $2R\sin {\theta \over 2}$.
Une corde d'un cercle est donc de longueur inférieure à celle du diamètre $2R$, avec égalité si et seulement si ses deux extrémités sont diamétralement opposées.
Formule des cordes consécutives : Soient $A,B,C$ trois points d'un cercle de diamètre $d$, $A$ et $C$ étant situés de part et d'autre du diamètre issu de $B$. Par application du théorème de Ptolémée, Les longueurs $c_{1},c_{2},c$ des cordes $[AB],[BC],[AC]$ sont reliées par la relation $c=c_{1}{\sqrt {1-{\frac {c_{2}^{2}}{d^{2}}}}}+c_{2}{\sqrt {1-{\frac {c_{1}^{2}}{d^{2}}}}}$.
La loi de probabilité de la longueur d’une corde dépend de la manière dont sont choisies ses extrémités, ce qui donne lieu au paradoxe de Bertrand.

### Théorème des cordes sécantes

Étant donné un point $M$ à l'intérieur d'un cercle de centre $O$ et de rayon $R$, toutes les cordes $[AB]$ passant par $M$ fournissent un produit $MA\cdot MB$ constant égal à $R^{2}-OM^{2}$. C'est l'opposé de la puissance de $M$ par rapport au cercle.

### Théorème de l'angle inscrit

Étant donné une corde $[AB]$ d'un cercle de centre $O$, tous les angles ${\widehat {AMB}}$ pour des points $M$ du cercle situés du même côté de la corde ont même mesure, égale à ${\frac {1}{2}}{\widehat {AOB}}$.
L'angle de droites $(MA,MB)$ est même constant pour tout point $M$ du cercle.
On en déduit le théorème de l'angle entre deux cordes sécantes indiqué dans la figure de droite.

### Problèmes de partage
#### Dénombrement

Étant donnés n points distincts sur un cercle, les n(n−1)/2 {\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}} cordes qui relient ces points partagent le disque en au plus (n$^4$−6n$^3$+23n$^2$−18n+24)/24 {\textstyle {\frac {n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-18n+24}{24}}} composantes connexes, soit$^,$$^,$$^,$$^,$$^,$$^,$:
    $B_{n,4}={n-1 \choose 4}+{n-1 \choose 3}+{n-1 \choose 2}+{n-1 \choose 1}+{n-1 \choose 0}={n \choose 4}+{n \choose 2}+1$.
Cette formule est la solution du problème du cercle de Moser. Elle coïncide avec les premières puissances de 2 jusqu’au rang n = 5, mais diffère ensuite. Les nombres $B_{n,4}$ sont ceux de la colonne 4 du triangle de Bernoulli.

#### Théorème de la pizza

Ce théorème propose des partages équitables d'un disque par des cordes concourant en un point autre que le centre.

#### Quadrisection

Le problème du partage du disque en quatre parties de même aire par des cordes issues de la circonférence ou des cordes parallèles fait intervenir le nombre de Dottie.

### Diagrammes de cordes

Les cordes d'un cercle permettent de définir les diagrammes de cordes ou diagrammes de Gauss, utiles notamment en théorie des nœuds.

## Corde d'une courbe représentative de fonction

Étant donné une fonction réelle définie sur un intervalle $[a,b]$, la corde reliant les points de coordonnées $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ a pour équation
    $y={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)+f(a)$.
Son coefficient directeur est le taux d'accroissement de la fonction entre les valeurs a et b.
Cette corde réalise ainsi une approximation affine de la fonction par interpolation.