# Cercle d'Euler

En géométrie, le cercle d'Euler d'un triangle (aussi appelé cercle des neuf points, cercle de Feuerbach, cercle de Terquem, cercle médian) est l'unique cercle passant par les neuf points remarquables suivants :
* Les trois milieux $I_{i}$ des trois côtés du triangle ;
* Le pied $H_{i}$ de chacune des trois hauteurs du triangle ;
* Le milieu $J_{i}$ de chacun des trois segments reliant l'orthocentre H à un sommet du triangle.

## Découverte

Dans son mémoire E325 présenté en 1763, Euler a considéré séparément les deux cercles circonscrits aux triangles $I_{1}I_{2}I_{3}$ et $H_{1}H_{2}H_{3}$ sans noter leur coïncidence.
En 1821, les mathématiciens français Brianchon et Poncelet démontrent ensemble que les milieux des côtés et les pieds des hauteurs du triangle sont cocycliques : ils mettent ainsi en évidence l'existence d'un cercle passant par ces six points remarquables. L'année suivante, le résultat fut redécouvert par le géomètre allemand Feuerbach. Le cercle d'Euler est aussi appelé cercle de Feuerbach. De plus, toujours en 1822, il démontra que le cercle des neuf points est tangent extérieurement aux cercles exinscrits et tangent intérieurement au cercle inscrit du triangle. Ce résultat s'appelle le théorème de Feuerbach et ajoute quatre nouveaux points remarquables : les points de contact, appelés points de Feuerbach.
Par la suite, Terquem mit en évidence que trois autres points appartiennent à ce cercle : les milieux des segments formés par les sommets du triangle et l'orthocentre. En 1842, Terquem apporta une deuxième preuve au théorème de Feuerbach. Une troisième preuve géométrique fut apportée en 1854.
Depuis, quelques dizaines d'autres points remarquables du triangle ont été ajoutés à la liste des points sur le cercle.

## Démonstration géométrique

* Le quadrilatère $I_{1}I_{3}I_{2}H_{1}$ est un trapèze car $(I_{2}I_{3})$ est parallèle à $(BC)=(I_{1}H_{1})$. Ce trapèze est isocèle car, d'après le théorème de Thalès dans le triangle $(ABC)$, $I_{1}I_{2}$ est la moitié de $AB$. Or il en est de même de $H_{1}I_{3}$, médiane du triangle rectangle $ABH_{1}$. Or un trapèze isocèle est inscriptible dans un cercle. Il en résulte que les points $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$ et $H_{1}$ sont cocycliques. Il en est de même des autres points $H_{i}$.
* L'angle $I_{1}H_{1}J_{1}$ est droit. Il en est de même de l'angle $I_{1}I_{3}J_{1}$ car $(I_{1}I_{3})$ est parallèle à $(AC)$, et, d'après le théorème de Thalès dans le triangle $ABH$, $I_{3}J_{1}$ est parallèle à $(BH)$, qui est perpendiculaire à $(AC)$. Il en résulte que les deux triangles $I_{1}H_{1}J_{1}$ et $I_{1}I_{3}J_{1}$ sont rectangles, donc inscrits dans le cercle de diamètre $[I_{1}J_{1}]$, et donc que les points $I_{1}$, $I_{3}$, $H_{1}$ et $J_{1}$ sont cocycliques. Les trois premiers étant éléments du cercle d'Euler, il en est de même de $J_{1}$. Le même raisonnement s'applique aux autres points $J_{i}$.

## Démonstration par homothétie

Le cercle des neuf points d'Euler est homothétique du cercle circonscrit au triangle dans deux homothéties :
* l'homothétie de centre G et de rapport –1/2 : elle permet de mettre en place la droite et le cercle d'Euler.
* l'homothétie de centre H et de rapport 1/2 : elle permet de trouver les neuf points du cercle d'Euler comme points correspondants du cercle circonscrit.

### L'homothétie de centre G

Notons I$_1$ le milieu de [BC], I$_2$ le milieu de [AC] et I$_3$ le milieu de [AB]. L'homothétie de centre G et de rapport –1/2 transforme le triangle $(ABC)$ en le triangle médian $(I_{1}I_{2}I_{3})$ et le cercle circonscrit à $(ABC)$ en le cercle circonscrit à $(I_{1}I_{2}I_{3})$ : ce dernier cercle est précisément le cercle d'Euler.
Soit H le point aligné avec G et O, que l'homothétie de centre G et de rapport –1/2 transforme en O : alors H est l'orthocentre du triangle ABC. En effet, soit A$_1$ le symétrique de A par rapport à O et considérons le triangle AHA$_1$ : G en est le centre de gravité puisqu'au 2/3 de la droite joignant le sommet H au point O, milieu du côté AA$_1$; AG en est une autre médiane; I$_1$ est ainsi milieu de HA$_1$, les droites (OI$_1$) et (AH) sont donc parallèles, et ${\overrightarrow {OI_{1}}}={\tfrac {1}{2}}{\overrightarrow {AH}}$. Puisque (OI$_1$) est orthogonale à (BC) par construction du cercle circonscrit au triangle ABC, la droite (AH) en est une hauteur de même que (BH) et (CH) par un raisonnement identique.

### L'homothétie de centre H

L'homothétie de centre H et de rapport 1/2, transforme A$_1$ en I$_1$, de même les points I$_2$ et I$_3$ sont les images de deux points du cercle circonscrit. Le cercle d'Euler circonscrit au triangle $(I_{1}I_{2}I_{3})$ est l'image du cercle circonscrit à $(ABC)$, dans l'homothétie de centre H et de rapport 1/2.
On note K$_1$, le point d'intersection (autre que A) de la hauteur (AH$_1$) avec le cercle circonscrit. Le segment [AA$_1$] étant un diamètre, le triangle AK$_1$A$_1$, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle. Les droites (BC) et (K$_1$A$_1$), perpendiculaires à la hauteur (AH$_1$), sont parallèles. La droite (I$_1$H$_1$) passe par le milieu I$_1$ de [HA$_1$], c'est la droite des milieux de HA$_1$K$_1$, H$_1$ est donc milieu de [HK$_1$]. La droite (HK$_1$) étant perpendiculaire à (BC), K$_1$ est le symétrique de H par rapport à (BC).
   Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.
Le point H$_1$ est le milieu de [HK$_1$], c'est donc l'image de K$_1$ par l'homothétie de centre H. Comme K$_1$ est situé sur le cercle circonscrit, H$_1$ est sur le cercle d'Euler.
   Les pieds des hauteurs sont situés sur le cercle d'Euler.
L'homothétie de centre H transforme les sommets du triangle en les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] qui sont les trois points d'Euler K$_1$, K$_2$, K$_3$ situés sur le cercle.
C'est le mathématicien Leonhard Euler qui a remarqué le premier que dans un triangle quelconque (ABC) le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit O et l'orthocentre H sont alignés. (Précisément, l'homothétie de centre G et de rapport –1/2 transforme H en O.)

## Quelques propriétés

On montre, en utilisant l'homothétie introduite au premier paragraphe, que :
* Le rayon du cercle d'Euler est la moitié du rayon du cercle circonscrit.
* Son centre, soit $\Omega$, est sur la droite d'Euler, on a :
${\overline {GH}}=-2{\overline {GO}}$ et ${\overline {G\Omega }}=-{1 \over 2}{\overline {GO}}$
ce dont on déduit que dans un triangle, le centre du cercle d'Euler $\Omega$, est le milieu de [HO], segment joignant l'orthocentre H au centre du cercle circonscrit O.
* On déduit de ces relations que les points $(O,\Omega ,G,H)$ sont en division harmonique :
${\frac {\overline {GO}}{\overline {G\Omega }}}=-{\frac {\overline {HO}}{\overline {H\Omega }}}$
* le cercle d'Euler est le cercle circonscrit au triangle médian (formé par les milieux des côtés) et au triangle orthique (formé par les pieds des hauteurs).
* toute hyperbole équilatère passant par les trois sommets a son centre sur le cercle d'Euler, en particulier l'hyperbole de Kiepert, de Jeřábek et de Feuerbach. C'est le théorème conique de Feuerbach.
* le cercle d'Euler est tangent intérieurement au cercle inscrit à ABC et tangent extérieurement à ses cercles exinscrits. C'est le théorème de Feuerbach.
* l'orthopôle de toute droite passant par le centre du cercle circonscrit est sur le cercle d'Euler.

## Hexagramme de Pascal

Théorème — Dans un hexagramme inscriptible, les côtés opposés se coupent en P, Q et R. Les points P, Q et R sont alignés sur la droite de Pascal (PQ).
Les côtés opposés de l'hexagone croisé H$_1$I$_2$H$_2$I$_3$H$_3$I$_2$H$_1$, inscrit dans le cercle d'Euler, se coupent en P, Q et R.
Une propriété projective que n'avait pas vue Euler :
   La droite de Pascal de l'hexagramme est la droite d'Euler du triangle.

## Généralisation

Le cercle d'Euler est un cas particulier de section conique, où l'on a considéré les trois sommets du triangle A, B et C et son orthocentre H. Ces quatre points forment un quadrilatère complet mais surtout un système orthocentrique. Si on considère un quadrilatère complet qui ne soit pas orthocentrique, on retrouve une propriété similaire en montrant qu'il existe une courbe conique passant par les intersections des diagonales et les milieux des six côtés du quadrilatère. La courbe est une ellipse si H est intérieur à ABC, et une hyperbole sinon (elle est même équilatère si H est sur le cercle circonscrit de ABC).