# Montages de base de l'amplificateur opérationnel

Les applications de l'amplificateur opérationnel sont divisées en deux grandes catégories suivant la nature de la contre-réaction :
* si elle s'opère sur l'entrée inverseuse (entrée –), la contre-réaction est dite négative ce qui engendre un fonctionnement du système en mode linéaire ;
* si elle s'opère sur l'entrée non inverseuse (entrée +), la contre-réaction est dite positive et a tendance à accentuer l'instabilité de la sortie qui part vers l'une des tensions de saturation. Le fonctionnement est alors en mode comparateur.
Un dernier ensemble de montages regroupe les structures mixtes ou spéciales : double contre-réaction ou insertion de composants particuliers. Dans ce cas, on ne peut pas, a priori, établir un type de fonctionnement.
Les résistances utilisées dans les schémas de cet article sont de l'ordre du kΩ. Des résistances de moins d'un kΩ nécessiteraient trop de courant et pourraient endommager l'amplificateur. Des résistances de plus d'un MΩ engendreraient trop de bruit thermique et des erreurs significatives dues aux courants de polarisation.

## Circuits en mode linéaire
### Amplificateur différentiel

La sortie est proportionnelle à la différence des signaux appliqués aux deux entrées.
$V_{\mathrm {s} }=V_{2}\left({\left(R_{\mathrm {f} }+R_{1}\right)R_{\mathrm {g} } \over \left(R_{\mathrm {g} }+R_{2}\right)R_{1}}\right)-V_{1}\left({R_{\mathrm {f} } \over R_{1}}\right)$
* Quand ${\frac {R_{\mathrm {f} }}{R_{1}}}={\frac {R_{\mathrm {g} }}{R_{2}}}$,
$V_{\mathrm {s} }={R_{\mathrm {f} } \over R_{1}}\left(V_{2}-V_{1}\right)$
* Quand $R_{1}=R_{\mathrm {f} }$ et $R_{2}=R_{\mathrm {g} }$, on obtient la fonction soustracteur :
$V_{\mathrm {s} }=V_{2}-V_{1}$
Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors $i^{+}=i^{-}=0$. Il y a aussi une contre-réaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre $V_{\mathrm {ed} }=0$ et $V^{+}=V^{-}$.
Calcul des potentiels $V^{+}$ et $V^{-}$ :
* $V^{+}$ est obtenu grâce au pont diviseur de tension à vide :
$V^{+}={R_{g} \over (R_{2}+R_{g})}V_{2}$
* $V^{-}$ est obtenu grâce au théorème de Millman :
$V^{-}={{{V_{s} \over R_{f}}+{V_{1} \over R_{1}}} \over {{1 \over R_{f}}+{1 \over R_{1}}}}={{V_{1}.R_{f}+V_{s}.R_{1}} \over {R_{1}+R_{f}}}$
* Comme :
$V^{+}=V^{-}$
${R_{g} \over {R_{2}+R_{g}}}V_{2}={{V_{1}.R_{f}+V_{s}.R_{1}} \over {R_{1}+R_{f}}}$
${{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}R_{g}.V_{2}=V_{1}.R_{f}+V_{s}.R_{1}$
${{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}R_{g}.V_{2}-V_{1}.R_{f}=V_{s}.R_{1}$
* On obtient le résultat escompté :
$V_{s}={{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}{R_{g} \over R_{1}}V_{2}-{R_{f} \over R_{1}}V_{1}$
* Condition de mise en facteur :
${{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}{R_{g} \over R_{1}}={R_{f} \over R_{1}}$
$(R_{1}+R_{f})R_{g}=R_{f}(R_{2}+R_{g})$
$R_{1}.R_{g}=R_{2}.R_{f}$
* Quand ${\frac {R_{f}}{R_{1}}}={\frac {R_{g}}{R_{2}}}$ ⇒ amplificateur de différence dont le gain est $R_{f} \over R_{1}$
* Quand $R_{1}=R_{\mathrm {f} }$ et $R_{2}=R_{\mathrm {g} }$ ⇒ soustracteur.

### Amplificateurs de tension
#### Amplificateur inverseur

Le signal en sortie est en opposition de phase par rapport au signal d'entrée.
$V_{\mathrm {s} }=-V_{\mathrm {e} }\left({R_{\mathrm {2} } \over R_{\mathrm {1} }}\right)$
Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors $i^{+}=i^{-}=0$. Il y a aussi une contre-réaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre $V_{\mathrm {ed} }=0$ et $V^{+}=V^{-}$. Donc : $V^{+}=0$ et d'après le théorème de Millman : $V^{-}={\left({V_{\mathrm {e} } \over R_{\mathrm {1} }}+{V_{\mathrm {s} } \over R_{\mathrm {2} }}\right) \over {{1 \over R_{\mathrm {1} }}+{1 \over R_{\mathrm {2} }}}}$.
$V^{+}=V^{-}$
$0=\left({V_{\mathrm {e} } \over R_{\mathrm {1} }}+{V_{\mathrm {s} } \over R_{\mathrm {2} }}\right)$
$V_{\mathrm {s} }=-V_{\mathrm {e} }\left({R_{\mathrm {2} } \over R_{\mathrm {1} }}\right)$

#### Amplificateur non inverseur

$V_{\mathrm {s} }=V_{\mathrm {e} }\left(1+{R_{2} \over R_{1}}\right)$
$i^{+}=i^{-}=0$
$V_{\mathrm {ed} }=0$
$V^{+}=V^{-}$
$V_{\mathrm {e} }\left(R_{1}+R_{2}\right)=0*R_{2}+R_{1}*V_{\mathrm {s} }$
$V_{\mathrm {s} }=V_{\mathrm {e} }\left(1+{R_{2} \over R_{1}}\right)$

### Convertisseur courant à tension

$V_{\mathrm {s} }=-I_{\mathrm {e} }\ R_{\mathrm {f} }$
* Aussi appelé Amplificateur à transimpédance ou amplificateur à transrésistance car le rapport de la sortie sur l'entrée $\left({V_{\mathrm {s} } \over I_{\mathrm {e} }}\right)$ donne une valeur de résistance.

### Suiveur

$V_{\mathrm {s} }=V_{\mathrm {e} }\!\$
$Z_{\mathrm {e} }=\infty$
* Souvent appelé étage tampon de tension (Buffer en anglais). Grâce à son impédance d'entrée très importante et à sa faible impédance de sortie, il est destiné à permettre l'adaptation d'impédance entre deux étages successifs d'un circuit.
$i^{+}=i^{-}=0$
$V_{\mathrm {ed} }=0$
$V_{\mathrm {s} }=V_{\mathrm {e} }+V_{\mathrm {ed} }$
$V_{\mathrm {ed} }=0$
$V_{\mathrm {s} }=V_{\mathrm {e} }$

### Sommateur Inverseur

Additionne plusieurs entrées pondérées
$V_{\mathrm {s} }=-R_{\mathrm {f} }\left({V_{1} \over R_{1}}+{V_{2} \over R_{2}}+\cdots +{V_{n} \over R_{n}}\right)$
* Quand $R_{1}=R_{2}=\cdots =R_{n}$
$V_{\mathrm {s} }=-\left({R_{\mathrm {f} } \over R_{1}}\right)(V_{1}+V_{2}+\cdots +V_{n})\!\$
* Quand $R_{1}=R_{2}=\cdots =R_{n}=R_{\mathrm {f} }$
$V_{\mathrm {s} }=-(V_{1}+V_{2}+\cdots +V_{n})\!\$
* La sortie est inversée.
* L'impédance d'entrée $Z_{n}=R_{n}$, pour chaque entrée ($V^{-}$ est une masse virtuelle).
Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors $i^{+}=i^{-}=0$. Il y a aussi une contre-réaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre $V_{\mathrm {ed} }=0$ et $V^{+}=V^{-}$.
Application du théorème de Millman en $V^{-}$
$V^{-}={{V_{s} \over R_{f}}+{\sum _{n\geqslant 1}{{V_{n}} \over {R_{n}}}} \over {{1 \over R_{f}}+\sum _{n\geqslant 1}{1 \over {R_{n}}}}}$
Or :
$V^{+}=0=V^{-}$
Ainsi :
$V^{-}={V_{s} \over R_{f}}+{\sum _{n\geqslant 1}{V_{n} \over R_{n}}}=0$
${V_{s} \over R_{f}}=-{\sum _{n\geqslant 1}{V_{n} \over R_{n}}}$
On obtient le résultat escompté :
$V_{s}=-R_{f}{\sum _{n\geqslant 1}{V_{n} \over R_{n}}}$

### Soustracteur

Voir « Amplificateur différentiel ».

### Intégrateur

La sortie est proportionnelle à l'intégrale temporelle de la tension d’entrée.
$V_{\mathrm {s} }(t)=-\left({1 \over RC}\right)\int {V_{\mathrm {e} }(t)dt}$
* En ajoutant une résistance R' aux bornes du condensateur, on obtient un comportement intégrateur sur une bande de fréquence limitée de 0 à $f_{c}=1/(2\pi R'C)$ (filtre actif passe-bas). Notons qu'à cause des défauts de l'AO réel (voir amplificateur opérationnel – Tension de décalage et courants d'entrée), on adopte quasi-systématiquement cette solution, le comportement intégrateur se retrouvant alors pour les fréquences supérieures à la pulsation de coupure. On évite ainsi la saturation en sortie de l'AO par l'intégration de la composante continue tout en intégrant le signal périodique auquel on porte de l'intérêt.
Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors $i^{+}=i^{-}=0$ et que $V^{+}=V^{-}=0$. Le courant $I$ traversant R et C est donné par :
    $I(t)={\frac {V_{e}(t)}{R}}$
Il peut aussi être exprimé en fonction de la tension de sortie :
    $I(t)=-C{\frac {dV_{\mathrm {s} }(t)}{dt}}$
En utilisant les deux équations précédentes on obtient :
    $V_{\mathrm {s} }(t)=-\left({1 \over RC}\right)\int {V_{\mathrm {e} }(t)dt}$

### Dérivateur

La sortie est proportionnelle au taux de variation de la tension d’entrée.
$V_{\mathrm {s} }(t)=-RC{\frac {dV_{\mathrm {e} }(t)}{dt}}$
* Le dérivateur est utilisé dans les systèmes de régulation pour surveiller le taux de variation de grandeurs physiques telles que par exemple la température ou la pression.
* En ajoutant une résistance en série avec le condensateur, on obtient le schéma d’un filtre passe-haut.
Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors $i^{+}=i^{-}=0$ et que $V^{+}=V^{-}=0$. Le courant $I$ traversant R et C est donné par :
    $I(t)=-{\frac {V_{s}(t)}{R}}$
Il peut aussi être exprimé en fonction de la tension d'entrée :
    $I(t)=C{\frac {dV_{\mathrm {e} }(t)}{dt}}$
En utilisant les deux équations précédentes on obtient :
    $V_{\mathrm {s} }(t)=-RC{\frac {dV_{\mathrm {e} }(t)}{dt}}$

### Amplificateur d'instrumentation

$V_{\mathrm {s} }=\left(1+{2R \over R_{\mathrm {gain} }}\right)(V_{2}-V_{1})$
Le gain est réglable à l'aide d'une seule résistance $R_{\mathrm {gain} }$ qui peut venir se connecter aux bornes d'un circuit intégré ou autre. Ce circuit est réalisé de manière intégrée permettant ainsi une grande précision sur les résistances R ainsi qu'une très bonne stabilité thermique.
Le premier étage de l'amplificateur d'instrumentation ne génère pas d'erreur de mode commun grâce à sa symétrie.

### Simulateur d'inductance

L'impédance équivalente de ce montage est définie par :
$Z_{eq}(\omega )=R_{2}{\frac {1+jR_{1}C\omega }{1+jR_{2}C\omega }}$
les deux fréquences de coupures de ce montage sont :
    $f_{1}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}$ et $f_{2}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}}$
* Ce type de montage est aussi appelé gyrateur.
    $V_{\epsilon +}=V_{e}{\frac {R_{1}}{R_{1}+{\frac {1}{jC\omega }}}}=V_{e}{\frac {jR_{1}C\omega }{1+jR_{1}C\omega }}$
    $I_{1}={\frac {V_{\epsilon +}}{R_{1}}}=V_{e}{\frac {jC\omega }{1+jR_{1}C\omega }}$
    $I_{2}={\frac {V_{e}-V_{\epsilon +}}{R_{2}}}={\frac {V_{e}}{R_{2}}}{\frac {1}{1+jR_{1}C\omega }}$
    $I=I_{1}+I_{2}={\frac {V_{e}}{1+jR_{1}C\omega }}(jC\omega +{\frac {1}{R_{2}}})$
    $I={\frac {V_{e}}{R_{2}}}{\frac {1+jR_{2}C\omega }{1+jR_{1}C\omega }}$
    $Z_{eq}={\frac {V_{e}}{I}}$
L'impédance équivalente de ce montage est donc :
    $Z_{eq}(\omega )=R_{2}{\frac {1+jR_{1}C\omega }{1+jR_{2}C\omega }}$
les deux fréquences de coupures de ce montage sont :
    $f_{1}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}$ et $f_{2}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}}$
Si $R_{1}>>R_{2}$ on a :
    $f<f_{1}$ $Z_{eq}\approx R_{2}$
    $f_{1}<f<f_{2}$ $Z_{eq}\approx L=R_{2}R_{1}C$
    $f>f_{2}$ $Z_{eq}\approx R_{1}$

### Impédance négative

$R_{in}={\frac {V_{s}}{I_{s}}}=-R_{3}{\frac {R_{1}}{R_{2}}}$
Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors $i^{+}=i^{-}=0$ et que $V^{+}=V^{-}=V_{s}$. Le courant $I_{2}$ est donné par :
    $I_{2}={\frac {V_{s}}{R_{1}}}$
Si on considère la tension d'une masse à l'autre (utilisation de la loi des mailles), il est possible d'écrire :
    $(R_{1}+R_{2})I_{2}+R_{3}\cdot I_{s}-V_{s}=0$
En utilisant les deux équations précédentes (on remplace $I_{2}$ dans la deuxième formule) on obtient :
    $(R_{1}+R_{2}){\frac {V_{s}}{R_{1}}}+R_{3}\cdot I_{s}-V_{s}=0$
    $V_{s}(1-{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}})=R_{3}\cdot I_{s}$
    $V_{s}=-I_{s}\cdot R_{3}{\frac {R_{1}}{R_{2}}}$
Ce qui permet de calculer la résistance d'entrée :
    $R_{in}={\frac {V_{s}}{I_{s}}}=-R_{3}{\frac {R_{1}}{R_{2}}}$

### Redresseur simple alternance sans seuil

Ce montage se comporte comme une diode idéale.
Pour étudier ce montage, il faut considérer deux cas : lorsque la diode est passante ou lorsque la diode est bloquée.
* Lorsque la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel est positive, la diode est passante et le circuit se comporte comme un suiveur :
    $V_{s}=V_{e}$
* Lorsque la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel est négative, la diode se bloque (elle ne peut laisser passer un courant négatif). La boucle de contre-réaction n'est plus fermée et le montage se comporte comme un comparateur : la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel vaut $-V_{sat}$. La diode étant bloquée, aucun courant ne parcourt la résistance de charge $R_{L}$. La tension de sortie du montage est donc nulle :
    $V_{s}=0$

### Détecteur de valeur crête

La fonction de ce montage est de « sauvegarder » la valeur la plus élevée de $V_{e}$.
Si $V_{e}>V_{s}$, la sortie de amplificateur tend vers $V_{s}+$, la diode est passante ce qui charge le condensateur C, et augmente $V_{s}$ jusqu'à égaliser l'entrée et la sortie.
Si $V_{e}<V_{s}$, la sortie de l'amplificateur tend vers $V_{s}-$, la diode est bloquée, et la tension de sortie reste constante.

### Amplificateur logarithmique

$v_{s}=-V_{\gamma }\ln \left({\frac {v_{e}}{I_{\mathrm {S} }\,R}}\right)$
Attention, ce schéma est un schéma de principe : utilisé tel quel, ses caractéristiques dépendent de la température$^,$.

### Amplificateur exponentiel

$v_{s}=-R\,I_{\mathrm {S} }\,\mathrm {e} ^{v_{e} \over V_{\gamma }}$
Attention, ce schéma est un schéma de principe : utilisé tel quel ses caractéristiques dépendent de la température.

## Circuits en mode non linéaire
### Comparateur

   $V_{\mathrm {s} }=\left\{{\begin{matrix}V_{\mathrm {S+} }&V_{1}>V_{2}\\V_{\mathrm {S-} }&V_{1}<V_{2}\end{matrix}}\right.$= si (V1 > V2) ⇒ VS= +VCC / si( V1 < V2 ) ⇒ VS= -VCC

### Comparateur à deux seuils ou trigger de Schmitt ou comparateur à hystérésis
#### Comparateur à deux seuils non inverseur

Tension de basculement positif : $V_{\mathrm {T^{+}} }=V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{2}}\right)$ Tension de basculement négatif : $V_{\mathrm {T^{-}} }=-V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{2}}\right)$
T pour threshold, signifiant seuil.
Note : remarquez la position des entrées inverseuse et non inverseuse par rapport au montage amplificateur-inverseur.
Pour cette étude, on considérera que l'amplificateur opérationnel utilisé est parfait, et qu'il fonctionne en « mode comparateur » car il utilise une contre-réaction sur l'entrée non inverseuse de l'AOP. Le gain différentiel de l'amplificateur étant infini, la tension de sortie V$_s$ ne peut valoir que +V$_{cc}$ ou -V$_{cc}$ suivant le signe de la tension différentielle V$_{diff}$.
$V_{diff}=V_{+}-V_{-}=V_{+}=V_{e}\cdot {\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}+V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}$
La tension V$_e$ annulant la tension différentielle V$_{diff}$ vaut donc :
$V_{e}=-V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{2}}}$
Suivant le signe de V$_s$, on peut définir une tension de basculement positif V$_{T+}$ faisant passer la sortie V$_s$ de -V$_{cc}$ a +V$_{cc}$, et une tension de basculement négatif V$_{T−}$ faisant passer V$_s$ de +V$_{cc}$ a -V$_{cc}$ :
Tension de basculement positif : $V_{\mathrm {T^{+}} }=V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{2}}\right)$
$V_{\mathrm {T^{-}} }=-V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{2}}\right)$

#### Comparateur à deux seuils inverseur

Tension de basculement positif : $V_{\mathrm {T^{+}} }=-V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{1}+R_{2}}\right)$ Tension de basculement négatif : $V_{\mathrm {T^{-}} }=V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{1}+R_{2}}\right)$ T pour threshold, signifiant seuil.
Pour cette étude, on considérera que l'amplificateur opérationnel utilisé est parfait, et qu'il fonctionne en « mode comparateur » car il utilise une contre-réaction sur l'entrée non inverseuse de l'AOP. Le gain différentiel de l'amplificateur étant infini, la tension de sortie V$_s$ ne peut valoir que +V$_{cc}$ ou -V$_{cc}$ suivant le signe de la tension différentielle V$_{diff}$.
$V_{diff}=V_{+}-V_{-}=V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}-V_{e}$
La tension V$_e$ annulant la tension différentielle V$_{diff}$ vaut donc :
$V_{e}=V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}$
Suivant le signe de V$_s$, on peut définir une tension de basculement positif V$_{T+}$ faisant passer la sortie V$_s$ de +V$_{cc}$ a -V$_{cc}$, et une tension de basculement négatif V$_{T−}$ faisant passer V$_s$ de -V$_{cc}$ a +V$_{cc}$ :
Tension de basculement positif : $V_{\mathrm {T^{+}} }=-V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{1}+R_{2}}\right)$
$V_{\mathrm {T^{-}} }=V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{1}+R_{2}}\right)$