# Procédé archimédien

Un procédé archimédien (Archimedean process) est une méthode de calcul numérique itérative basée sur le calcul de moyennes (le plus couramment pythagoriciennes) de deux termes de deux suites.
Le nom vient du fait qu'il s'agit d'une généralisation de l'algorithme utilisé par Archimède pour donner les premières valeurs approchées de π, en utilisant les moyennes harmonique et géométrique.

## Historique
### Algorithme d'Archimède

Dans son ouvrage De la mesure du cercle du IIIe siècle av. J.-C., Archimède décrit un algorithme de calcul de π qu'on peut définir comme suit :
* On part d'un demi-cercle de centre O et d'extrémités A et B
* Sur la demi-droite tangente au demi-cercle en A, on place un point A$_0$, et on construit B$_0$ sur le demi-cercle tel que ${\widehat {BAB_{0}}}={\widehat {AOA_{0}}}$
* On construit par récurrence les points A$_1$, A$_2$, ... et B$_1$, B$_2$, ... où pour tout n, A$_n$ est l'intersection de AA$_0$ et de la bissectrice de l'angle ${\widehat {AOA_{n-1}}}$, et B$_n$ sur le demi-cercle tel que ${\widehat {BAB_{n}}}={\widehat {AOA_{n}}}$
On a alors, par le théorème de la bissectrice intérieure :
    $\forall n\in \mathbb {N} ,\ {\frac {OA_{n}}{OA}}={\frac {A_{n}A_{n+1}}{AA_{n+1}}}$
Donc
    $\forall n\in \mathbb {N} ,\ {\frac {OA+OA_{n}}{OA}}=1+{\frac {OA_{n}}{OA}}=1+{\frac {A_{n}A_{n+1}}{AA_{n+1}}}={\frac {AA_{n+1}+A_{n}A_{n+1}}{AA_{n+1}}}={\frac {AA_{n}}{AA_{n+1}}}$
d'où :
    ${\frac {OA}{AA_{n}}}+{\frac {OA_{n}}{AA_{n}}}={\frac {OA}{AA_{n+1}}}$
De plus, le théorème de Pythagore donne :
    $\forall n\in \mathbb {N} ,OA_{n}^{2}=OA^{2}+AA_{n}^{2}$
En posant $t_{n}=OA/AA_{n},s_{n}=OA_{n}/AA_{n}$, on déduit les relations de récurrence :
    $\forall n\in \mathbb {N} ,t_{n+1}=t_{n}+s_{n},s_{n+1}={\sqrt {1+t_{n}^{2}}}.$
On pourra reconnaitre des identités trigonométriques en remarquant que, en posant $\theta ={\widehat {AOA_{0}}}$, on a
    $t_{n}=\cot \left({\frac {\theta }{2^{n-1}}}\right),s_{n}=\csc \left({\frac {\theta }{2^{n-1}}}\right).$
Archimède a plus précisément étudié le cas où θ désigne la moitié d'un angle au centre d'un polygone régulier, soit $\theta ={\frac {\pi }{N}}$. Les suites p$_n$ = 2$^n$N/s$_n$ = 2$^n$N tan(π/2$^n$N) et P$_n$ = 2$^n$N/t$_n$ = 2$^n$N sin(π/2$^n$N) désignent alors respectivement les périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits à 2$^n$N côtés. On a alors :
    $\forall n\in \mathbb {N} ,P_{n+1}={\frac {2P_{n}p_{n}}{P_{n}+p_{n}}}=\mathrm {H} (p_{n},P_{n}),p_{n+1}={\sqrt {p_{n}P_{n+1}}}=\mathrm {G} (p_{n},P_{n}).$
où H désigne la moyenne harmonique et G, la moyenne géométrique.
Archimède a appliqué cet algorithme en partant de l'hexagone régulier (N = 6).

### Algorithme de Descartes

Dans un de ses travaux posthumes, Descartes a utilisé une approche différente pour le calcul de π.
On considère A$_0$B$_0$ un secteur circulaire de sommet O. On note M$_0$ le milieu de [A$_0$B$_0$]. On trace P$_0$ l'intersection de l'arc de cercle et de la bissectrice de l'angle ${\widehat {A_{0}OB_{0}}}$. On construit M$_1$ le milieu de M$_0$P$_0$ et on trace la parallèle de A$_0$B$_0$ passant par M$_1$, dont on note respectivement A$_1$ et B$_1$, les intersections avec (A$_0$P$_0$) et (B$_0$P$_0$).
Par construction, A$_1$B$_1$ vaut la moitié de A$_0$B$_0$. De plus, comme (OA$_1$) et (A$_0$P$_0$) sont perpendiculaires, on a :
    $OM_{1}\times OP_{0}=OM_{1}\times (OM_{1}+M_{1}P_{0})=OM_{1}^{2}+OM_{1}\times M_{1}P_{0}=OM_{1}^{2}+M_{1}A_{1}^{2}=OA_{1}^{2}$.
Ainsi, dans le cas où A$_0$ et B$_0$ désignent deux sommets consécutifs d'un polygone régulier à n côtés, OA$_0$ est le rayon de son cercle circonscrit, OM$_0$ celui de son cercle inscrit, et par construction, OA$_1$ et OM$_1$ sont respectivement les rayons des cercles circonscrit et inscrit d'un polygone régulier à 2n côtés.

### Améliorations

James Gregory adapte l'algorithme au calcul de secteurs elliptiques et hyperboliques dans son Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura.
Dans une lettre, Gauss propose d'étudier l'algorithme dans le cas où la moyenne harmonique est remplacée par la moyenne arithmétique. Pfaff parvient à donner la solution générale de ce problème, redécouverte par Borchardt en 1881.

## Principe

On considère deux moyennes M$_1$ et M$_2$, définies pour deux nombres réels positifs, et deux nombres réels positifs a et b. Le procédé archimédien est défini par deux suites :
    $a_{0}:=a,\ b_{0}:=b,\ \forall n\in \mathbb {N} ,a_{n+1}=M_{1}(a_{n},b_{n}),b_{n+1}=M_{2}(a_{n},b_{n}).$
Si M$_1$ et M$_2$ sont deux moyennes strictes, continues et symétriques, alors les deux suites convergent vers une même limite.

## Algorithme d'Archimède–Borchardt

Suggéré d'abord par Gauss, il porte le nom de Karl Wilhelm Borchardt. L'algorithme de Borchardt est une modification de l'algorithme d'Archimède :
    $a_{0}:=a,\ b_{0}:=b,\ \forall n\in \mathbb {N} ,a_{n+1}=M_{1}(a_{n},b_{n}),b_{n+1}=M_{2}(a_{n+1},b_{n}).$
Ainsi, l'algorithme d'Archimède décrit supra correspond au cas où M$_1$ est la moyenne harmonique et M$_2$, la moyenne géométrique, $a=3{\sqrt {3}},b=3{\sqrt {3}}/2$ ; l'algorithme de Descartes correspond au cas où M$_1$ est la moyenne arithmétique et M$_2$, la moyenne géométrique.
La moyenne obtenue avec M$_1$ est la moyenne harmonique et M$_2$, la moyenne géométrique est appelée moyenne de Schwab-Brochardt et vaut:
    $SB(a,b)={\begin{cases}{\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{\arccos(a/b)}}&{\text{ si }}0\leqslant a<b,\\{\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\operatorname {arcosh} (a/b)}}&{\text{ si }}0\leqslant b<a.\end{cases}}$
Le lien entre moyenne de Schwab-Brochardt et intégrale elliptique est établi par Carlson par l'égalité:
    ${\frac {1}{SB(a,b)}}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{{\sqrt {t+a^{2}}}(t+b^{2})}}=R_{F}(a^{2},b^{2},b^{2})$
où le deuxième terme est la forme symétrique de Carlson (de) d'une intégrale elliptique symétrique du premier type.

## Applications
### Calculs de racines carrées

La méthode de Héron, pour le calcul de la racine carrée d'un nombre A, peut être vue comme un algorithme d'Archimède avec les moyennes arithmétique et harmonique, en initialisant a$_0$ à un nombre t quelconque et en posant $b_{n}=A/a_{n}$.

### Calculs d'intégrales elliptiques

Gauss a utilisé l'algorithme d'Archimède avec les moyennes arithmético-géométriques pour le calcul d'intégrales elliptiques après transformation de Landen, repris et approfondi par Derrick Lehmer.

### Calculs de logarithmes et de fonctions trigonométriques réciproques

Carlson utilise l'algorithme de Borchardt avec les moyennes arithmético-géométriques pour le calcul de logarithmes et de fonctions trigonométriques réciproques (circulaires et hyperboliques).