# Cercles d'Apollonius

En géométrie, le nom de cercles d'Apollonius a été donné à plusieurs configurations différentes.

## Cercles d'Apollonius associés à deux points

Apollonius de Perge propose de définir le cercle comme l'ensemble des points M du plan pour lesquels le rapport des distances MA/MB reste constant, les points A et B étant donnés.
Définition — Si A et B sont deux points distincts et k est un réel strictement positif différent de 1, le cercle d'Apollonius relativement aux points A et B et de rapport k est l'ensemble des points M du plan tels que
    ${\frac {MA}{MB}}=k.$
Démonstration du fait que ce lieu géométrique est bien un cercle, et construction de ce cercle :
* Solution sur (AB) : si k = 1, MA=k MB a une unique solution sur (AB) : le milieu de [AB]. Sinon le problème d'Apollonius MA = k MB a deux solutions sur (AB), disons C et son conjugué harmonique D par rapport à A et B ; D existe dès que C n'est pas le milieu de [AB].
* Solution hors de (AB) : Si MA/MB = k, alors MA/MB = CA/CB ; d'après le théorème de la bissectrice intérieure au triangle AMB, (MC) est la bissectrice de l'angle en M dans le triangle AMB. Comme on a aussi MA/MB=DA/DB, d'après le théorème de la bissectrice extérieure au triangle AMB, (MD) est la bissectrice extérieure de l'angle en M dans AMB. Donc l'angle CMD est droit ; le triangle CMD est rectangle en M, ce qui signifie que M est sur le cercle de diamètre [CD].
* Synthèse : Pour tout M du plan hors de (AB) les droites (MA), (MB), (MC) et (MD) forment un faisceau harmonique. Si de plus M est sur le cercle de diamètre [CD], on sait alors que (MC) et (MD) sont les bissectrices intérieures et extérieures en M du triangle AMB. On conclut avec la caractérisation de la bissectrice en termes de rapport.
* Le cercle de diamètre [CD] est le cercle d'Apollonius relativement aux points A et B et de rapport k.
On peut aussi remarquer que ce lieu est obtenu par l'annulation de la fonction scalaire de Leibniz $MA^{2}-k^{2}MB^{2}$ ; si $G$ est le barycentre de $A(1)$ et $B(-k^{2})$, le lieu est le cercle de centre $G$ et de rayon ${\frac {k}{|k^{2}-1|}}AB$.
Pour k variant, ces cercles forment un faisceau de cercles à points limites A et B.

## Faisceau de cercles d'Apollonius d'un triangle

Soit ABC un triangle. Le cercle c de centre O est circonscrit au triangle ABC.
Les bissectrices en A coupent [BC] en I$_1$ et J$_1$, le cercle c$_1$ de centre O$_1$ a pour diamètre [I$_1$J$_1$].
Les bissectrices en B coupent [AC] en I$_2$ et J$_2$, le cercle c$_2$ de centre O$_2$ a pour diamètre [I$_2$J$_2$].
Les bissectrices en C coupent [AB] en I$_3$ et J$_3$, le cercle c$_3$ de centre O$_3$ a pour diamètre [I$_3$J$_3$].
Le faisceau de cercles d'Apollonius est formé par les trois cercles c$_1$, c$_2$ et c$_3$ d'Apollonius qui ont en commun les deux points P et Q. Ce sont les points de base du faisceau.
Leurs centres O$_1$, O$_2$ et O$_3$ sont alignés sur la médiatrice de [PQ].
Le centre O du cercle circonscrit c et le point de Lemoine du triangle ABC sont situés sur la droite (PQ).
Les points Q (X15) et P (X16) sont les points isodynamiques du triangle ABC. Ce sont les conjugués isogonaux des points de Fermat (X14 et X13)

## Cercles d'Apollonius associés à trois cercles donnés

Le problème d'Apollonius, ou problème des contacts consiste à déterminer les cercles tangents à trois cercles donnés. En partant de trois cercles tangents deux à deux, et en itérant, on obtient une figure fractale ; voir : Cercles d'Apollonius (fractale).