# Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle

Étant donnés trois points non alignés A, B et C du plan, il existe quatre cercles tangents aux trois droites (AB), (AC) et (BC). Ce sont le cercle inscrit (celui qui est intérieur au triangle) et les cercles exinscrits du triangle ABC.

## Bissectrices

Un cercle tangent aux trois droites (AB), (BC), (CA) doit posséder un centre équidistant de ces trois droites. Or l'ensemble des points équidistants de deux droites sécantes (d$_1$) et (d$_2$) forme deux droites perpendiculaires, constituées des quatre demi-droites bissectrices chacune d'un des quatre secteurs angulaires construits par les droites (d$_1$) et (d$_2$), et appelées bissectrices des droites (d$_1$) et (d$_2$).
Si on considère les trois côtés du triangle en tant que droites, on dispose en tout de six bissectrices, deux pour chaque couple de droites. Par chacun des sommets du triangle, passe une bissectrice intérieure (qui rencontre le côté opposé du triangle) et une bissectrice extérieure.
Si une bissectrice issue de A rencontre une bissectrice issue de B alors le point d'intersection, étant équidistant de (AB) et (AC) et équidistant de (BA) et (BC), est à égale distance de (CA) et (CB) et appartient donc à l'une (et une seule) des bissectrices issues de C. Il y a donc quatre points de concours possibles.
Cas du cercle inscrit. Les bissectrices intérieures issues de A et B se coupent à l'intérieur des secteurs angulaires (BAC) et (ABC), c'est-à-dire dans le triangle ABC. Le point d'intersection est donc sur la bissectrice intérieure issue de C et plus exactement sur la demi-droite bissectrice du secteur angulaire (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. C'est le cercle inscrit.
Cas des cercles exinscrits. Les bissectrices extérieures issues de A et de B se coupent dans le secteur angulaire (ACB) et rencontrent donc, eux aussi, la demi-droite bissectrice de l'angle (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent au segment [AB] et aux demi-droites d'origines A et B, de supports (AC) et (BC) et ne contenant pas C. C'est un cercle exinscrit au triangle. Un raisonnement analogue peut être fait pour les deux autres couples de bissectrices extérieures.
Le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits sont parfois appelés les quatre cercles tritangents du triangle.

## Notations

Dans cet article, a désigne la longueur du côté [BC], b la longueur du côté [AC] et c la longueur du côté [AB]. Enfin O désigne le centre du cercle inscrit et O$_A$, O$_B$ et O$_C$ les trois centres des cercles exinscrits compris dans les secteurs angulaires issus respectivement de A, B, C.

## Cercle inscrit

Il existe un et un seul cercle intérieur au triangle et tangent à la fois à ses trois côtés. Ce cercle est appelé « cercle inscrit » dans le triangle. C'est le plus grand cercle que peut contenir ce triangle.

### Centre

Son centre est le point d'intersection des bissectrices intérieures ; étant équidistant des côtés, ses coordonnées trilinéaires par rapport aux sommets sont par définition (1 : 1 : 1) ; ses coordonnées barycentriques sont donc $(a:b:c)$ ou $\left({\frac {1}{h_{A}}}:{\frac {1}{h_{B}}}:{\frac {1}{h_{C}}}\right)$ où $h_{A},h_{B},h_{C}$ sont les trois hauteurs. C'est le premier centre X(1) répertorié dans l'ETC.
Les distances $d_{A},d_{B},d_{C}$ du centre du cercle inscrit aux sommets sont données par $d_{A}={\frac {bc}{p}}\cos {\frac {\widehat {A}}{2}}$ ou $d_{A}^{2}={\frac {p-a}{p}}bc$ et les formules permutées.
La relation d'Euler donne la distance d du centre du cercle inscrit au centre du cercle circonscrit : d$^2$ = R$^2$ – 2Rr (avec R rayon du cercle circonscrit, r celui du cercle inscrit).

### Rayon

Le rayon du cercle inscrit est égal, d'après la preuve illustrée ci-contre, à
$r={\frac {S}{p}}={\frac {2S}{a+b+c}}$
où S désigne l'aire du triangle et p = a + b + c/2 son demi-périmètre.
Donc ${\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{A}}}+{\frac {1}{h_{B}}}+{\frac {1}{h_{C}}}$ où $h_{A}={\frac {2S}{a}},h_{B}={\frac {2S}{b}},h_{C}={\frac {2S}{c}}$ sont les trois hauteurs du triangle : le rayon du cercle inscrit est le tiers de leur moyenne harmonique.
Compte-tenu de la formule de Héron, on obtient :
$r^{2}={\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4(a+b+c)}}.$
$T_{A},T_{B},T_{C}$ étant les points de contact du cercle inscrit avec les côtés $[BC],[CA],[AB]$, les distances des points de contact aux sommet, appelées "distances de contact", sont $x=AT_{B}=AT_{C},y=BT_{C}=BT_{A},z=CT_{A}=CT_{B}$.
Comme a = y+z, b = z+x, c = x+y , on obtient :
d'où :
$r^{2}={\frac {xyz}{x+y+z}}$
D'autre part, si l'on se souvient que ${\frac {abc}{2S}}=2R$, où $R$ désigne le rayon du cercle circonscrit au même triangle,
on a :
$Rr={\frac {abc}{2(a+b+c)}}$
Dans le cas du triangle rectangle d'hypoténuse de longueur $c$, l'expression du rayon se simplifie en $r={\frac {a+b-c}{2}}$.

## Point de Gergonne

D'après le théorème de Ceva, les trois céviennes $(AT_{A}),(BT_{B}),(CT_{C})$ joignant les sommets aux points de contact, sont concourantes. En effet, le produit des rapports ${\frac {T_{C}A}{T_{C}B}}\times {\frac {T_{A}B}{T_{A}C}}\times {\frac {T_{B}C}{T_{B}A}}={\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}$ est égal à 1.
Leur point de concours est appelé le point de Gergonne du triangle et le triangle T$_A$T$_B$T$_C$, le triangle de contact (ou triangle de Gergonne) du triangle ABC.
Ses coordonnées barycentriques dans ABC sont $\left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right)=\left({\frac {1}{-a+b+c}}:{\frac {1}{a-b+c}}:{\frac {1}{a+b-c}}\right)$.
Si X est le point de coordonnées barycentriques $\left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right)$, le point d'intersection $X_{A}$ de (AX) et (BC) vérifie ${\frac {1}{y}}{\overline {X_{A}B}}+{\frac {1}{z}}{\overline {X_{A}C}}=0$, soit ${\frac {\overline {X_{A}C}}{\overline {X_{A}B}}}={\frac {z}{y}}$, donc $X_{A}=T_{A}$ et de même $X_{B}=T_{B}$, $X_{C}=T_{C}$ ; donc X est le point de Gergonne.
il est répertorié X(7) dans l'ETC.
De plus, Si T'$_A$ est le point d'intersection des droites (T$_B$T$_C$) et (BC) , les points T'$_A$, B, T$_A$ et C sont en division harmonique.

## Propriétés du triangle de contact

* L'angle à l'un des sommets du triangle de Gergonne est égal à l'angle entre les deux bissectrices issues des sommets du triangle initial formant le côté où se trouve le sommet du triangle de Gergonne.
* Les points d'intersection des bissectrices avec les côtés du triangle de contact permettent de construire trois droites orthogonales aux bissectrices.
* Un triangle et son triangle de contact sont homologiques, de centre le conjugué isogonal du point de Gergonne pour le triangle de référence (nombre de Kimberling X$_{55}$) et d'axe une droite appelée droite de Gergonne du triangle de référence. Les points d'intersection de l'homologie sont les points de Nobbs, qui sont donc par définition sur la droite de Gergonne, de même de que les points de Fletcher et d'Evans du triangle de référence.

## Cercle inscrit dans le triangle médian

Le centre du cercle inscrit dans le triangle médian IJK (I milieu de [BC], etc.), appelé point de Spieker, est le centre de gravité (ou d'inertie) de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle.
C'est en effet le barycentre du système (IJKabc){\textstyle {\begin{pmatrix}I&J&K\\a&b&c\end{pmatrix}}} ; ses coordonnées barycentriques dans le triangle de départ sont donc $(b+c:c+a:a+b)$ ; il est répertorié X(10) dans l'ETC.

## Cercles exinscrits

Il y a trois cercles exinscrits : chacun est tangent à un unique côté du triangle (considéré comme un segment). On note C$_A$ le cercle exinscrit touchant le côté [CB], C$_B$ le cercle exinscrit touchant le côté [AC] et C$_C$ le cercle exinscrit touchant le côté [AB].
Les rayons des cercles exinscrits sont respectivement (démonstration ci-contre) : $r_{A}={\frac {S}{p-a}},\quad r_{B}={\frac {S}{p-b}}\quad {\rm {et}}\quad r_{C}={\frac {S}{p-c}}$ donc
${\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}={\frac {p}{S}}={\frac {1}{r}}$
et $S={\sqrt {r_{A}r_{B}r_{C}r}}$.
De plus, le rayon du cercle circonscrit est donné par $R=r_{A}+r_{B}+r_{C}-r$.
On peut noter les relations : ${\frac {r_{A}}{r}}={\frac {p}{p-a}}={\frac {h_{A}}{h_{A}-2r}}={\frac {\tan({\widehat {B}}+{\widehat {C}})}{\tan {\widehat {A}}}}$, où $h_{A}$ est la hauteur issue de $A$.
Leurs centres sont barycentres du système (ABC−abc){\textstyle {\begin{pmatrix}A&B&C\\-a&b&c\end{pmatrix}}} pour le premier, (ABCa−bc){\textstyle {\begin{pmatrix}A&B&C\\a&-b&c\end{pmatrix}}} pour le second et (ABCab−c){\textstyle {\begin{pmatrix}A&B&C\\a&b&-c\end{pmatrix}}} pour le troisième.
Le terme "exinscrit" a été introduit par Simon Antoine Jean L'Huillier.
Le triangle formé par les centres des trois cercles exinscrits est également appelé triangle exinscrit, ou aussi triangle excentral ou triangle de Bevan.

### Point de Nagel

On note U$_A$ le point de tangence de C$_A$ avec [CB], U$_B$ le point de tangence de C$_B$ avec [AC] et U$_C$ le point de tangence de C$_C$ avec [AB].
Alors les droites (AU$_A$), (BU$_B$) et (CU$_C$) sont concourantes : leur point d'intersection N$_a$ s'appelle le point de Nagel du triangle (nombre de Kimberling X(8)). On appelle le triangle U$_A$U$_B$U$_C$ le triangle de Nagel du triangle ABC.
Le point de Nagel N$_a$, le centre du cercle inscrit I et le centre de gravité G sont alignés sur la droite de Nagel et liés par la relation IN$_a$ = 3 IG. Le point de Spieker est aussi sur cette droite, c'est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian.
Il est possible de construire en quelques secondes le point de Nagel d'un triangle en s'inspirant d'une construction qui aboutit au cercle de Conway.

### Point de Bevan

Les droites (O$_A$U$_A$), (O$_B$U$_B$) et (O$_C$U$_C$) sont également concourantes : leur point d'intersection B$_e$ s'appelle le point de Bevan du triangle ABC (portant le nom de Benjamin Bevan, nombre de Kimberling X(40)) et le triangle O$_A$O$_B$O$_C$ s'appelle le triangle de Bevan de ABC.
Le point de Bevan est le symétrique du centre du cercle inscrit dans ABC, par rapport au centre du cercle circonscrit à ABC. Le point de Bevan et ces deux centres sont donc alignés.
Le point de Bevan est le centre du cercle circonscrit au triangle de Bevan.
Le triangle de Bevan et le triangle de Gergonne sont homothétiques, de centre d'homothétie le conjugué isogonal du mitenpunkt de ABC et de rapport 4abc/((a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)) {\textstyle {\frac {4abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}}.

### Point d'Apollonius

Il existe un unique cercle tangent simultanément aux trois cercles exinscrits et qui les contienne (voir Problème des contacts) ; c'est le cercle d'Apollonius du triangle. Si l'on note V$_A$, V$_B$ et V$_C$ les trois points de tangence alors les droites (AV$_A$), (BV$_B$) et (CV$_C$) sont concourantes : leur point d'intersection A$_p$ s'appelle le point d'Apollonius du triangle (nombre de Kimberling X(181)).

### Mittenpunkt

On appelle mittenpunkt du triangle ABC le point de concours des droites reliant les centres O$_A$, O$_B$, O$_C$ des trois cercles exinscrits aux milieux respectifs des côtés du triangle (nombre de Kimberling X(9)).
Le mittenpunkt M$_i$ est situé sur la droite reliant le centre de gravité G au point de Gergonne G$_e$ avec la relation M$_i$G$_e$= 3M$_i$G.
Le mittenpunkt M$_i$ est situé sur la droite reliant le centre du cercle inscrit au point de Lemoine .
Le mittenpunkt est également le point de Lemoine du triangle de Bevan O$_A$O$_B$O$_C$, triangle formé par les bissectrices extérieures, de sommets les centres des trois cercles exinscrits.
Il est le centre de l'ellipse de Mandart du triangle (l'ellipse inscrite dans le triangle et tangente aux points de contact des cercles exinscrits U$_A$, U$_B$, U$_C$).

## Points de Feuerbach

Les trois cercles exinscrits et le cercle inscrit sont tangents au cercle d'Euler du triangle ABC. Les points de contact Fe, Fe A, Fe B, Fe C de ces cercles s'appellent les points de Feuerbach du triangle. Ce résultat constitue le théorème de Feuerbach.
Les trois points de tangence des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach Fe AFe BFe C du triangle ABC.
Soit S le point de concours des droites (AFe A), (BFe B), (CFe C). Alors le point S, le centre du cercle inscrit, le centre du cercle d'Euler et le point de Feuerbach Fe sont alignés et en division harmonique.
Le cercle passant par les pieds des bissectrices intérieures du triangle ABC passe aussi par le point de Feuerbach Fe.
Le point de Feuerbach Fe est le centre de symétrie d'une hyperbole équilatère (dite hyperbole de Feuerbach) passant en particulier par :
* les trois sommets du triangle ;
* l'orthocentre ;
* le centre du cercle inscrit ;
* le point de Gergonne ;
* le point de Nagel ;
* le mittenpunkt.
Le point de Feuerbach est un des seuls centres du triangle sur l'ellipse de Mandart (ellipse tangente aux côtés du triangle aux points de contact des cercles exinscrits et ayant pour centre le mittenpunkt).