# Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

Le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà est un théorème d'analyse qui garantit qu'un problème de Cauchy possède toujours au moins une solution locale, sous réserve que la fonction définissant l'équation différentielle soit continue.

## Énoncé

Soient
* $f:K\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ une fonction continue à valeurs dans $\mathbb {R} ^{n}$, définie sur un cylindre compact $K:=[t_{0}-a,t_{0}+a]\times {\overline {B(x_{0},r)}}\subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$,
* $M$ un majorant de la norme de $f$ sur $K$,
* $c={\text{min}}(a,r/M)$.
Alors, il existe une solution
$x:[t_{0}-c,t_{0}+c]\to {\overline {B(x_{0},r)}}$
au problème de Cauchy
$x(t_{0})=x_{0}{\text{ et }}x'=f(t,x).$
On peut même, dans cet énoncé, remplacer simultanément les deux intervalles centrés en $t_{0}$ par des demi-intervalles d'extrémité $t_{0}$.
N. B. Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici.

## Exemples

Les exemples suivants sont donnés par Peano.
L'équation ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=3x^{2/3}$ où le second membre est continu en $x=0$ sans être lipschitzien, admet les solutions $x=t^{3}$ et $x=0$ qui s'annulent toutes les deux en $t=0$ ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle $[0,a]$ et qui prennent la valeur $(t-a)^{3}$ pour $t>a$.
L'équation ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {4xt^{3}}{x^{2}+t^{4}}}$, toujours avec la condition $x(0)=0$, admet les cinq solutions ($C$ étant une constante arbitraire positive) :
    $x(t)=t^{2}~$
    $x(t)=-t^{2}~$
    $x(t)=0~$
    $x(t)=C-{\sqrt {C^{2}+t^{4}}}$
    $x(t)={\sqrt {C^{2}+t^{4}}}-C$

## Esquisse de démonstration

On construit par la méthode d'Euler une suite de fonctions M-lipschitziennes affines par morceaux
$x_{n}:[t_{0}-c,t_{0}+c]\to {\overline {B(x_{0},r)}}$
qui sont des « solutions approchées » de ce problème de Cauchy au sens où pour tout entier n > 0,
$x_{n}(t_{0})=x_{0}\quad {\text{et}}\quad \|x'_{n}(t)-f(t,x_{n}(t))\|\leq 1/n$
(pour tout point t en lequel x$_n$ est dérivable).
Le théorème d'Ascoli permet d'en extraire une sous-suite uniformément convergente. On montre alors (en utilisant la continuité uniforme de f) que la limite x vérifie
$\forall t\in [t_{0}-c,t_{0}+c],x(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))~\mathrm {d} \tau .$
D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, x est donc une « solution exacte » du problème de Cauchy.

## Cas des espaces de Banach

La généralisation « naïve » de l'énoncé aux espaces de dimension infinie est drastiquement fausse :
* pour tout espace de Banach $E$ de dimension infinie, il existe un problème de Cauchy (associé à une fonction continue $f:\mathbb {R} \times E\rightarrow E$) ne possédant pas de solution locale (par translations, les données initiales $t_{0}$, $x_{0}$ peuvent être choisies arbitrairement dans un tel contre-exemple) ;
* si $E$ possède un quotient séparable de dimension infinie, il existe même une fonction continue $f:E\rightarrow E$ pour laquelle l'équation différentielle autonome associée $x'=f(x)$ n'a aucune solution locale (quelle que soit la condition initiale).
Cependant, le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà se généralise en remplaçant $\mathbb {R} ^{n}$ par un espace de Banach, à condition d'ajouter l'hypothèse (redondante en dimension finie) que l'application continue $f$ est compacte. Pour le démontrer, on utilise encore le théorème d'Ascoli, mais aussi le théorème du point fixe de Schauder.