# Courbe de De Rham

En mathématiques, une courbe de De Rham est une courbe fractale continue obtenue comme l'image de l'espace de Cantor ou, de manière équivalente, à partir du développement en base 2 des nombres réels dans l'intervalle unité. De nombreuses courbes fractales bien connues, dont la fonction de Cantor, la courbe de Cesàro-Faber ( courbe C de Lévy ), la fonction point d'interrogation de Minkowski, la courbe de blanc-manger et la courbe de Koch sont toutes des exemples de courbes de De Rham. La forme générale de la courbe a été décrite pour la première fois par Georges de Rham en 1957.

## Construction

On considère un espace métrique complet $(M,d)$ (en général $\mathbb {R}$ $^2$ avec la distance euclidienne habituelle), et une paire d'applications contractantes sur M :
    $d_{0}:\ M\to M,\ d_{1}:\ M\to M.$
D'après le théorème du point fixe de Banach, ceux-ci ont des points fixes $p_{0}$ et $p_{1}$ respectivement. Soit x un nombre réel dans l'intervalle $[0;1]$, ayant un développement binaire
    $x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {b_{k}}{2^{k}}},$
où chaque $b_{k}$ vaut 0 ou 1. On considère l'application
    $c_{x}:\ M\to M$
définie par
    $c_{x}=d_{b_{1}}\circ d_{b_{2}}\circ \cdots \circ d_{b_{k}}\circ \cdots ,$
où $\circ$ désigne la composition des fonctions. On peut montrer que chaque $c_{x}$ projette le bassin d’attraction commun de $d_{0}$ et $d_{1}$ vers un seul point $p_{x}$ dans $M$. L'ensemble de points $p_{x}$, paramétrée par un seul paramètre réel x, est connue sous le nom de courbe de De Rham.

## Condition de continuité

La construction en termes de chiffres binaires peut être comprise de deux manières distinctes. Une solution consiste à projeter l'espace de Cantor en des points distincts du plan. L'espace de Cantor est l'ensemble de toutes les chaînes infiniment longues de chiffres binaires. C'est un espace discret et non connexe. L'espace de Cantor peut être projeté sur l'intervalle réel unité en voyant chaque chaîne comme un développement binaire d'un nombre réel. Dans cette carte, les fractions dyadiques ont deux représentations distinctes sous forme de chaînes de chiffres binaires. Par exemple, le nombre réel 1/2 a deux développements binaires équivalents : $h_{1}=0,1000\cdots$ et $h_{0}=0,01111\cdots$, de manière analogue à l'égalité 0,999... = 1,000... en termes de développements décimaux. Les deux points $h_{0}$ et $h_{1}$ sont des points distincts dans l'espace de Cantor, mais les deux sont projetés sur le nombre même réel 1/2. Ainsi, les réels de l’intervalle unité sont une image continue de l’espace de Cantor.
La même notion de continuité est appliquée à la courbe de De Rham en demandant que les points fixes soient appariés, de sorte que
    $d_{0}(p_{1})=d_{1}(p_{0})$
Avec cet appariement, les développements binaires des fractions dyadiques correspondent toujours au même point, assurant ainsi la continuité à ce point. On considére le comportement en 1/2. Pour tout point p du plan, on a deux suites distinctes :
    $d_{0}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ \cdots (p)$
    $d_{1}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ \cdots (p)$
correspondant aux deux développements binaires $1/2=0,01111\cdots$ et $1/2=0,1000\cdots$. Puisque les deux applications sont toutes deux contractantes, la première suite converge vers $d_{0}(p_{1})$ et la deuxième à $d_{1}(p_{0})$. Si ces deux éléments sont égaux, alors les deux développements binaires de 1/2 correspondent au même point. Cet argument peut être répété à n’importe quelle fraction dyadique, assurant ainsi la continuité en ces points. Les nombres réels qui ne sont pas des fractions dyadiques n'ont qu'une seule représentation binaire unique, et il s'ensuit que la courbe ne peut pas être discontinue en de tels points. La courbe de De Rham résultante $p_{x}$ est une fonction continue de x, pour tout x.
En général, les courbes de De Rham ne sont pas dérivables.

## Propriétés

Les courbes de De Rham sont par construction auto-similaires, puisque
    $p(x)=d_{0}(p(2x))$ pour $x\in [0,1/2]$ et
    $p(x)=d_{1}(p(2x-1))$ pour $x\in [1/2,1].$
Les auto-symétries de toutes les courbes de De Rham sont données par le monoïde qui décrit les symétries de l'arbre binaire infini ou espace de Cantor. Ce soi-disant monoïde à doublement de période est un sous-ensemble du groupe modulaire.
L'image de la courbe, c'est-à-dire l'ensemble des points $\{p(x),x\in [0;1]\}$, peut être obtenu par un système de fonctions itérées utilisant l'ensemble des applications contractantes $\{d_{0},\ d_{1}\}$. Mais le résultat d’un système de fonctions itérées avec deux applications contractantes est une courbe de De Rham si et seulement si les applications contractantes satisfont à la condition de continuité.
Des exemples détaillés et concrets des autosimilarités peuvent être trouvés dans les articles sur l'escalier de Cantor et sur la fonction point d'interrogation de Minkowski. Précisément le même monoïde d'autosimilarités, le monoïde dyadique, s'applique à chaque courbe de De Rham.

## Classification et exemples

Les systèmes suivants génèrent des courbes continues.

### Courbes de Cesàro

Les courbes de Cesàro, également connues sous le nom de courbes de Cesàro – Faber ou courbes en C de Lévy, sont des courbes de De Rham générées par des transformations affines conservant l'orientation, avec des points fixes en $p_{0}=0$ et $p_{1}=1$.
En raison de ces contraintes, les courbes de Cesàro sont déterminées de manière unique par un nombre complexe $a$ tel que $|a|<1$ et $|1-a|<1$.
Les applications contractantes $d_{0}$ et $d_{1}$ sont alors définies comme fonctions complexes dans le plan complexe par :
    $d_{0}(z)=az\ ,\ d_{1}(z)=a+(1-a)z.$
Pour la valeur de $a=(1+\mathrm {i} )/2$, la courbe résultante est la courbe en C de Lévy.

### Courbes de Koch-Peano

De la même manière, on peut définir la famille de courbes de Koch – Peano comme l'ensemble des courbes de De Rham générées par des transformations affines inversant l'orientation, avec des points fixes en $p_{0}=0$ et $p_{1}=1$.
Ces applications sont exprimées dans le plan complexe en fonction de ${\overline {z}}$, le complexe conjugué de $z$ :
    $d_{0}(z)=a{\overline {z}}\ ,\ d_{1}(z)=a+(1-a){\overline {z}}.$
Le nom de la famille vient de ses deux membres les plus célèbres. Le flocon de Koch est obtenue en fixant :
    $a_{\text{Koch}}={\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{6}},$
tandis que la courbe de Peano correspond à :
    $a_{\text{Peano}}={\frac {(1+i)}{2}}.$
La courbe de De Rham pour $a=(1+\mathrm {i} b)/2$ pour les valeurs de $b$ inférieures et proches de 1 ressemble visuellement à la courbe d'Osgood (en). Ces deux courbes sont étroitement liées, mais ne sont pas identiques. La courbe d'Osgood est obtenue par soustraction d'ensembles répétés et constitue donc un ensemble parfait, tout comme l'ensemble de Cantor lui-même. La construction de l'ensemble d'Osgood demande que des triangles de plus en plus petits soient soustraits, laissant derrière eux un ensemble « gros » de mesure non nulle ; la construction est analogue à l'ensemble gras de Cantor, qui a une mesure non nulle. En revanche, la courbe de De Rham n’est pas « grosse » ; la construction n'offre pas de moyen de « grossir » les « segments de droite » qui se situent « entre » les rationnels dyadiques.

### Applications affines générales

Les courbes de Cesàro–Faber et de Peano–Koch sont toutes deux des cas particuliers du cas général d'une paire de transformations linéaires affines sur le plan complexe. En fixant une extrémité de la courbe à 0 et l'autre à 1, le cas général est obtenu en itérant sur les deux transformées
    $d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\alpha &\delta \\0&\beta &\varepsilon \end{pmatrix}}\ ,\ d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\\alpha &1-\alpha &\zeta \\\beta &-\beta &\eta \end{pmatrix}}.$
Étant des transformations affines, ces transformations agissent sur un point $(u,v)$ du plan 2D en agissant sur le vecteur
    ${\begin{pmatrix}1\\u\\v\end{pmatrix}}.$
On voit que le milieu de la courbe se situe en $(u,v)=(\alpha ,\beta )$ ; les quatre autres paramètres peuvent varier pour créer une grande variété de courbes.
La courbe du blanc-manger du paramètre $w$ peut être obtenu en définissant $\alpha =\beta =1/2$, $\delta =\zeta =0$ et $\varepsilon =\eta =w$, soit :
    $d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&0\\0&1/2&w\end{pmatrix}}\ ,\ d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\1/2&1/2&0\\1/2&-1/2&w\end{pmatrix}}.$
Depuis la courbe du blanc-manger pour le paramètre $w=1/4$ est une parabole de l'équation $f(x)=4x(1-x)$, cela illustre le fait que dans certaines occasions, les courbes de De Rham peuvent être lisses.

### Fonction point d'interrogation de Minkowski

La fonction point d'interrogation de Minkowski est générée par la paire d'applications
    $d_{0}(z)={\frac {z}{z+1}}\ ,\ d_{1}(z)={\frac {1}{2-z}}.$

## Non-exemples

Étant donné deux fonctions quelconques $d_{0}$ et $d_{1}$, on peut définir une application à partir de l'espace de Cantor, par itération répétée des chiffres, exactement de la même manière que pour les courbes de De Rham. En général, le résultat ne sera pas une courbe de De Rham si les conditions de continuité ne sont pas remplies. Ainsi, il existe de nombreux ensembles qui pourraient être en correspondance biunivoque avec l'espace de Cantor, dont les points peuvent être associés de manière unique avec des points dans l'espace de Cantor ; cependant, ce ne sont pas des courbes de De Rham, car les rationnels dyadiques ne correspondraient pas au même point.

### Ensemble de Julia de l'ensemble de Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot est généré par une équation itérée de doublement de période $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c.$ L'ensemble de Julia correspondant est obtenu en itérant dans la direction opposée. Cela se fait en écrivant $z_{n}=\pm {\sqrt {z_{n+1}-c}}$, ce qui donne deux racines distinctes déduites de l'itération avant $z_{n+1}$. Ces deux racines peuvent être distinguées comme
    $d_{0}(z)=+{\sqrt {z-c}}\ ,\ d_{1}(z)=-{\sqrt {z-c}}.$
En fixant du nombre complexe $c$, le résultat est l'ensemble de Julia pour cette valeur de $c$. Cette courbe est continue lorsque $c$ est à l'intérieur de l'ensemble de Mandelbrot ; sinon, c'est un nuage de points déconnectés. Cependant, la raison de la continuité n'est pas due à la condition de De Rham, car, en général, les points correspondant aux rationnels dyadiques sont très éloignés les uns des autres. En fait, cette propriété peut être utilisée pour définir une notion de « pôles opposés », de points conjugués dans l'ensemble de Julia.

## Généralisations

Il est facile de généraliser la définition en utilisant plus de deux applications de contraction. Si l'on utilise n applications, alors la décomposition n-aire de x doit être utilisée à la place du développement binaire des nombres réels. La condition de continuité doit être généralisée en :
    $d_{i}(p_{n-1})=d_{i+1}(p_{0})$, pour $i=0\ldots n-2.$
Cette condition de continuité peut être comprise avec l’exemple suivant. Supposons que l'on travaille en base 10. Ensuite, on a (classiquement) la correspondance 0,999...= 1,000... ce qui est une équation de continuité qui doit être appliquée à chaque écart de ce type. Autrement dit, étant donné les chiffres décimaux $b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}$ avec $b_{k}\neq 9$, on a
    $b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k},9,9,9,\cdots =b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}+1,0,0,0,\cdots$
Une telle généralisation permet, par exemple, de produire la courbe en pointe de flèche de Sierpiński (dont l'image est le triangle de Sierpiński ), en utilisant les applications de contraction d'un système de fonctions itérées qui produit le triangle de Sierpiński.

## Courbes multifractales

Ornstein et d'autres décrivent un système multifractal dans lequel, au lieu de travailler sur une base fixe, on travaille sur une base variable.
On considère l'espace produit d'espaces discrets des bases variables $m_{n}$
    $\Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$
pour $A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\cdots ,m_{n}-1\}$ le groupe cyclique, pour $m_{n}\geq 2$ un nombre entier. Tout nombre réel dans l'intervalle unité peut être développé en une suite$(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )$ telle que chaque $a_{n}\in A_{n}$. Plus précisément, un nombre réel $0\leq x\leq 1$ s'écrit comme
    $x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{\prod _{k=1}^{n}m_{k}}}$
Ce développement n'est pas unique, si $a_{n}=0$ pour tout $K<n$. Dans ce cas, on a :
    $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K},0,0,\cdots =a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K}-1,m_{K+1}-1,m_{K+2}-1,\cdots$
De tels points sont analogues aux rationnels dyadiques dans le développement dyadique, et les équations de continuité sur la courbe doivent être appliquées à ces points.
Pour chaque $A_{n}$, il faut préciser deux choses : un ensemble de deux points $p_{0}^{(n)}$ et $p_{1}^{(n)}$ et un ensemble de $m_{n}$ fonctions $d_{j}^{(n)}(z)$ (avec $j\in A_{n}$ ). La condition de continuité est alors comme ci-dessus,
    $d_{j}^{(n)}(p_{1}^{(n+1)})=d_{j+1}^{(n)}(p_{0}^{(n+1)})$, pour $j=0,\cdots ,m_{n}-2.$
Dans son exemple original, Ornstein utilise
    $\Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots$

## Voir également

* Système de fonctions itérées
* Fonction raffinable (en)
* Groupe modulaire
* Groupe fuchsien (en)