# Suite de Sheffer

En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, une suite de Sheffer, nommée d'après Isador M. Sheffer, est une suite de polynômes satisfaisant à des conditions permettant le calcul ombral.

## Définition

Soit p$_n$ une suite de polynômes (de variable x) telle que deg(p$_n$) = n. On définit un opérateur linéaire Q par : Q p$_n$(x) = np$_{n–1}$(x) ; la famille des p$_n$ étant une base, ceci définit Q pour tous les polynômes.
La suite p$_n$ est une suite de Sheffer si Q est « invariant par translation », c'est-à-dire si f (x) = g(x + a) (pour tout x) entraîne (Qf)(x) = (Qg)(x + a), autrement dit si Q commute avec tous les opérateurs de translation (on dit qu'un tel Q est un delta opérateur (en)).

## Propriétés

L'ensemble des suites de Sheffer est un groupe pour l'opération de composition ombrale, définie de la manière suivante : soit { p$_n$(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } et { q$_n$(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } deux suites polynomiales, avec
    $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{et}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.$
Alors leur composé ombral $p\circ q$ est la suite polynomiale dont le n-ème terme est
    $(p\circ q)_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }$.
L'élément neutre de ce groupe est la base canonique des monômes $e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}$ (où $\delta$ est le symbole delta de Kronecker).
Deux sous-groupes importants sont celui des suites d'Appell (contenant par exemple les polynômes d'Appell), pour lesquelles l'opérateur Q est la différentiation usuelle, et celui des suites de type binomial, qui sont celles vérifiant l'identité
    $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).$
Une suite de Sheffer { p$_n$(x): n = 0, 1, 2, ... } est de type binomial si et seulement si $p_{0}(x)=1\,$ et $p_{n}(0)=0{\mbox{ pour }}n\geq 1.\,$
Le groupe des suites d'Appell est abélien, et c'est un sous-groupe normal ; le groupe des suites de type binomial n'est ni abélien, ni normal. Le groupe des suites de Sheffer est le produit semi-direct de ces deux sous-groupes ; il en résulte que chaque classe de suites de Sheffer suivant le groupe des suites d'Appell contient exactement une suite de type binomial. Si s$_n$(x) est une suite de Sheffer et p$_n$(x) est la suite de type binomial dans la même classe, alors
    $s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{n-k}(y).$
En particulier, si { s$_n$(x) } est une suite d'Appell,
    $s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{n-k}(y).$
Les suites des polynômes d'Hermite et des polynômes de Bernoulli sont des exemples de suites d'Appell.
Une suite de Sheffer p$_n$ est caractérisée par sa série génératrice exponentielle
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))\,$
où A et B sont des séries formelles de puissances de t. Les suites de Sheffer sont ainsi des exemples de polynômes d'Appell généralisés et satisfont par conséquent à une relation de récurrence associée.

## Exemples

Parmi les suites de polynômes qui sont des suites de Sheffer, on trouve la suite des monômes $(x^{n})$, mais aussi :
* les polynômes d'Abel ;
* les polynômes de Bernoulli ;
* les polynômes d'Hermite ;
* les polynômes de Laguerre ;
ainsi que les polynômes de Mahler, les polynômes de Mott, etc.