# Suite centrale descendante

Soit G un groupe, au sens mathématique. On pose C$^1$(G) = G et, pour tout entier n ≥ 2, on définit par récurrence sur n :
$\ C^{n}(G)=[G,C^{n-1}(G)]=[C^{n-1}(G),G]$
où, A et B étant deux sous-groupes de G, [A, B] désigne le sous-groupe de G engendré par les commutateurs [a, b], avec a dans A et b dans B. La suite $\ (C^{n}(G))_{n\geq 1}$, qu'on note aussi (γ$_n$(G))$_n$, est appelée la suite centrale descendante de G. En particulier, C$^2$(G) est le groupe dérivé de G.
On montre facilement par récurrence sur n que C$^{n+1}$(G) est contenu dans C$^n$(G), autrement dit la suite centrale descendante est décroissante (relativement à la relation d'inclusion).
Un groupe est nilpotent si et seulement sa suite centrale descendante atteint le sous-groupe réduit à l'élément neutre e. Si G est un groupe nilpotent, le plus petit nombre naturel n ≥ 0 tel que C$^{n+1}$(G) = { e } est appelé la classe de nilpotence de G et G est dit nilpotent de classe n.

## Quelques faits

Soit G un groupe.
* Pour tout nombre naturel n ≥ 1, C$^n$(G) est un sous-groupe pleinement caractéristique de G, c'est-à-dire qu'il est stable par tout endomorphisme de G. Cela se démontre facilement par récurrence sur n, compte tenu du fait que si f est un endomorphisme de G et A, B des sous-groupes de G, alors f([A, B]) = [f(A), f(B)].
* Donc, pour tout nombre naturel n ≥ 1, C$^{n+1}$(G) est un sous-groupe normal de G et de C$^n$(G). Le quotient C$^n$(G)/C$^{n+1}$(G) est contenu dans le centre de G/C$^{n+1}$(G) et est donc un groupe abélien.
* Le lemme des trois sous-groupes permet de démontrer (par exemple par récurrence sur j) que $\ [C^{i}(G),C^{j}(G)]\leq C^{i+j}(G)$ pour tous entiers i, j ≥ 1.
* On en tire (par récurrence sur i) que $\ C^{i}(C^{j}(G))\leq C^{ij}(G)$ pour tous entiers i, j ≥ 1.
* Il en résulte que si $\ (D^{n}(G))_{n\geq 0}$ désigne la suite dérivée de G, $\ D^{n}(G)\leq C^{2^{n}}(G)$.
* Il résulte de ceci que si n désigne un nombre naturel, tout groupe nilpotent de classe ≤ 2$^n$ – 1 est résoluble de classe ≤ n.

## Suite centrale descendante et produit tensoriel

Étant donnés un groupe G et un entier naturel n ≥ 1, désignons par F$_n$(G) le groupe quotient C$^n$(G)/C$^{n+1}$(G). En particulier, F$_1$(G) est l'abélianisé de G. On a vu que les quotients F$_n$(G) sont des groupes abéliens. Ils peuvent donc être considérés comme des ℤ-modules. D. J. S. Robinson (de) s'est intéressé aux produits tensoriels de ces modules. Il a montré qu'il existe une (et une seule) application de F$_n$(G) × F$_1$(G) dans F$_{n+1}$(G) qui, pour tout élément a de C$^n$(G) et tout élément b de G, envoie le couple (aC$^{n+1}$(G), bC$^2$(G)) sur [a, b] C$^{n+2}$(G) et que cette application est bilinéaire. En vertu de la propriété universelle du produit tensoriel, il existe donc une et une seule application linéaire du produit tensoriel F$_n$(G) ⊗ F$_1$(G) dans F$_{n+1}$(G) qui, pour tout élément a de C$^n$(G) et tout élément b de G, envoie aC$^{n+1}$(G) ⊗ bC$^2$(G) sur [a, b]C$^{n+2}$(G). Puisque les éléments de la forme [a, b] C$^{n+2}$(G) engendrent F$_{n+1}$(G), cette application linéaire est un homomorphisme surjectif. De proche en proche, on en tire que, pour tout nombre naturel n, il existe un homomorphisme surjectif de $\bigotimes _{i=1}^{n}F_{1}(G)$ (produit tensoriel de n modules égaux à l'abélianisé de G) sur le quotient F$_n$(G) = C$^n$(G)/C$^{n+1}$(G). La structure du premier des quotients de la suite centrale descendante de G, c'est-à-dire la structure de l'abélianisé de G, fournit donc des renseignements sur la structure des autres quotients. Par exemple, puisque le produit tensoriel d'une famille finie de modules finis est lui-même un module fini, il suffit que le premier quotient soit fini pour que les autres quotients le soient aussi. Il en résulte par exemple que tout groupe nilpotent dont l'abélianisé est fini est lui-même fini et tout groupe nilpotent dont l'abélianisé est de type fini est lui-même de type fini.