# Matrice des transpositions

La matrice des transpositions Tr(X) est une matrice carrée de taille n égale à une puissance entière de 2, dont chaque élément Tr(X)ij contient un des éléments {x} d'un vecteur X donné de taille n dont l'indice est égal à un plus la multiplication binaire OU exclusif (XOR) du numéro de ligne i moins un et du numéro de colonne j moins un de l'élément Tr(X)ij.

## Formule

Ainsi, la formule par laquelle les éléments de la matrice Tr(x) sont calculés est donc la suivante : $Tr(X)_{i,j}=x_{1+(i-1)\oplus (j-1)}$ où $i,j\in [1,n]$ et le symbole $\oplus$ représente l'opération OU exclusif (XOR)
Par exemple, la matrice de transpositions $Tr(X)$ obtenue à partir d'un vecteur
    $X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}$
a la forme suivante :
    $Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}$.

## Propriété des quadruples

Une paire arbitraire de lignes (ou paire de colonnes) d'une matrice de transpositions Tr contient $n/2$ quadruples d'éléments avec des valeurs égales des éléments diagonaux. Par exemple, si $Tr_{p,q}$ et $Tr_{u,q}$ sont deux éléments choisis au hasard dans la même colonne $q$ de la matrice $Tr$, alors il découle de cette propriété que $Tr$-la matrice contient un quadruple d'éléments $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$, pour lesquels sont satisfaites les équations $Tr_{p,q}=Tr_{u,v}$ et $Tr_{u,q}=Tr_{p,v}$. Cette propriété « propriété des quadruples » est spécifique aux matrices $Tr$.

## Autres propriétés

* La matrice $Tr$ е une matrice symétrique.
* La matrice $Tr$ е une matrice persymétrique c'est-à-dire qu'elle est également symétrique par rapport à sa deuxième diagonale.

## Matrice des transpositions dont les lignes sont mutuellement orthogonales

La propriété des quadruples permet d'obtenir à partir d'une matrice de transpositions $Tr$ une matrice dont les lignes sont mutuellement orthogonales $Trs$ en changeant le signe d'un nombre impair d'éléments dans chacun des quadruples $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$, $p,q,u,v\in [1,n]$. Il existe un algorithme pour construire $Trs$ une matrice à l'aide de Produit de Hadamard de la matrice $Tr$ et une matrice de Hadamar à n dimensions $H=(h_{ij})$ dont les lignes (à l'exception de la première) sont réorganisées de manière que les lignes de la matrice résultante $Trs$ soient mutuellement orthogonales entre elles :
    $Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)$
    $Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n}$
où:
    «$\circ$» est le produit de Hadamard,
    $I_{n}$ est une matrice unitaire,
    $H(R)$ est une matrice de Hadamard à n dimensions avec permutation des lignes $R=[1,r_{2},...r_{n}]^{T},r_{2},...r_{n}\in [2,n]$ modifie le signe d'un nombre impair d'éléments dans chacun des quadruples;
    $X$ est le vecteur dont les éléments sont dérivés par la matrice $Tr$.
L'ordre $R$ des lignes de la matrice de Hadamard a été obtenu expérimentalement pour les matrices $Trs$ de taille 2, 4 et 8. L'ordre $R$ des lignes de la matrice de Hadamar (par rapport à la matrice de Sylvester-Adamar) ne dépend pas du vecteur $X$. Il a été prouvé que, si $X$ est un vecteur unitaire ($\parallel X\parallel =1$), alors $det(Trs)=-1$ .

## Exemple d'obtention de la matrice Trs

Matrice de transposition avec des lignes mutuellement orthogonales $Trs(X)$ pour $n=4$ est obtenue à partir du vecteur $X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix}}$ par la formule suivante :
    $Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}$,
où $Tr(X)$ — $Tr$ est la matrice obtenue à partir du vecteur $X$, H(R) est une matrice de Hadamar dont les lignes sont décalées dans l'ordre donné R, pour laquelle les lignes des matrices Trs résultantes sont mutuellement orthogonales. La première ligne de la matrice $Trs(X)$ résultante contient les éléments du vecteur $X$ sans permutations ni changements de signe. Compte tenu du fait que les lignes de la matrice $Trs$ sont mutuellement orthogonales:
    $Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T}$,
la matrice $Trs$ fait donc tourner le vecteur $X$, dont elle est issue, dans la direction de l'axe $x_{1}$. L'ordre $R$ des lignes de la matrice de Hadamar ne dépend pas du vecteur $X$. Des exemples de génération de matrices $Tr$ et $Trs$ pour $n=2,4,8$ ont été publiés. La question reste ouverte de savoir s'il est possible de générer des matrices Trs de taille supérieure à 8.