# Élément conjugué

En mathématiques, les éléments conjugués d'un élément algébrique x sur un corps K sont les racines de son polynôme minimal sur K, dans une extension L de K où ce polynôme est scindé. De façon équivalente, les conjugués de x sont les images de x par les automorphismes de L/K.

## Exemples

* Si α est un élément de K, son polynôme minimal sur K est X – α donc son seul conjugué sur K est lui-même.
* Si α = a + ib est un nombre complexe non réel, c'est-à-dire si sa partie imaginaire b est non nulle, alors son polynôme minimal sur ℝ est (X – α)(X – α) = X$^2$ – 2aX + a$^2$+b$^2$ donc ses conjugués sur ℝ sont α lui-même et son nombre complexe conjugué α.
* Les racines cubiques de l'unité dans ℂ sont
$1,\quad \mathrm {j} =\mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {j} ^{2}={\overline {\mathrm {j} }}=\mathrm {e} ^{\frac {-2\mathrm {i} \pi }{3}}={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}.$
Sur ℚ, j et j$^2$ ont pour polynôme minimal commun X$^2$ + X + 1 et sont conjugués. Plus généralement, les racines primitives n-ièmes de l'unité dans ℂ ont pour polynôme minimal sur ℚ le n-ième polynôme cyclotomique et sont conjuguées sur ℚ.

## Propriétés

* Le polynôme minimal de α sur K est scindé sur toute extension normale L de K contenant α (par exemple une clôture algébrique de K, ou même seulement un corps de décomposition du polynôme). Les conjugués de α sont alors les images de α par les éléments du groupe de Galois de l'extension.
* Soient α un entier algébrique non nul et |α|, le plus grand des modules de ses conjugués sur ℚ. Kronecker a démontré$^,$$^,$ que
* si |α| est inférieur ou égal à 1 alors α est une racine de l'unité ;
* si |α| est inférieur ou égal à 2 et α est totalement réel, c'est-à-dire si tous les conjugués de α sur ℚ appartiennent à l'intervalle réel [–2,2], alors α est de la forme 2 cos(πr) pour un certain rationnel r.
Le point 1 peut se déduire du lemme suivant (utile par ailleurs dans la démonstration du théorème des unités de Dirichlet$^,$) : pour tout entier n et tout réel C, il n'existe qu'un nombre fini d'entiers algébriques α tels que le degré (du polynôme minimal) de α soit inférieur ou égal à n et que |α| ≤ C.
* Preuve du lemme : les coefficients du polynôme minimal P de α sont des fonctions symétriques des conjugués de α. Si le degré de P et les conjugués de α sont bornés alors ces coefficients le sont aussi donc (comme ce sont des entiers) ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs. Ainsi, l'ensemble considéré est fini, comme ensemble des racines d'un nombre fini de polynômes.
* Preuve du point 1 : si α est de degré n alors toutes ses puissances sont de degré inférieur ou égal à n. En appliquant le lemme pour C = 1, on en déduit que ces puissances sont en nombre fini, ce qui permet de conclure.
Il existe divers raffinements de ce point 1 fournissant, en fonction du degré de α, une majoration de |α| moins contraignante mais encore suffisante pour que α soit racine de l'unité.

## Conjugués d'un polynôme

Supposons que f(x) soit un polynôme séparable et irréductible dans K[X], et qu'il existe une extension M/K et un polynôme g dans M[X] tel que g divise f dans M[X]. Si l'on dénote par L le corps de décomposition de f sur K, L/K est galoisienne, et L[X]/K[X] est isomorphe à L/K. De plus, les coefficients de g appartiennent à L. En particulier, le polynôme g est algébrique sur K[X], et donc possède des éléments conjugués sur K[X] : l'ensemble des conjugués de g s'obtient en appliquant les automorphismes de Gal(L/K) sur les coefficients de g.

### Propriétés

Il est naturel de penser que le produit des conjugués de g est égal à f, mais c'est inexact, sauf si g est irréductible et que f est primitif, dans le sens où L/K est engendré par une seule racine de f.
En général, le produit des conjugués de g est égal à cf$^n$, où c appartient au corps K et n est un nombre naturel.