# Constante d'Apéry

En analyse mathématique, la constante d'Apéry est la valeur en 3 de la fonction zêta de Riemann :
$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\approx 1{,}202$
Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1978 que ce nombre est irrationnel.
On n'en connaît pas de forme fermée.

## Décimales connues

Cette constante était connue avec 128 000 026 décimales en 1998, 1 000 000 000 en 2003 et jusqu'à 400 000 000 000 décimales en 2015.

## Occurrences

Ce nombre apparaît dans diverses situations :
* dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l'électron en électrodynamique quantique ;
* en théorie des graphes ;
* en compagnie de la fonction gamma lors de la résolution de certaines intégrales qui font appel aux fonctions exponentielles (par exemple dans la solution à deux dimensions du modèle de Debye) ;
* en théorie des nombres : pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers strictement positifs pris au hasard n'aient aucun facteur commun est égale à 1/ζ(k) (cf. § « Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »), en particulier, la probabilité pour trois nombres d'être premiers entre eux est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, 1/ζ(3) ≃ 0,831907….

## Irrationalité

Le nombre ζ(3) est irrationnel.
La démonstration d'Apéry passe par une écriture en fraction continue généralisée de cette constante :
    $\zeta (3)={\dfrac {6}{P(0)-{\dfrac {1^{6}}{P(1)-{\dfrac {2^{6}}{P(2)-{\dfrac {3^{6}}{P(3)-...}}}}}}}}$
avec
    $P(x)=34x^{3}+51x^{2}+27x+5.$
En notant les réduites de la fraction ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$, on peut montrer que
    $\left|\zeta (3)-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{1,06}}},$
ce qui permet de conclure.
On ne sait pas s'il est transcendant.
Par comparaison, pour tout entier k > 0, le nombre ζ(2k) est transcendant car commensurable à π$^{2k}$ (par exemple : ζ(2) = π$^2$/6).
Notons que l'on conjecture que le nombre $\zeta (3)/\pi ^{3}$ est irrationnel, voir la suite A276120 de l'OEIS.

## Représentations par des séries
### Séries classiques

    $\zeta (3)=$$^,$ $-{\frac {4\pi ^{2}}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}$ (avec ${\zeta (2k)=(-1)^{k+1}{\frac {(2\pi )^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}}}$, où les ${\textstyle {B_{2k}}}$ sont les nombres de Bernoulli).
    $\zeta (3)=$ ${\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\frac {8}{7}}\lambda (3)$, où λ est la fonction lambda de Dirichlet.
    $\zeta (3)=$ ${\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}={\frac {4}{3}}\eta (3)$, où η est la fonction êta de Dirichlet.
    $\zeta (3)=$$^,$ ${\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n-1}}{n^{2}}}$, où H$_n$ est le n-ième nombre harmonique.
    $\zeta (3)=$ $8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}H_{n-1}}{n^{2}}}$.

### Convergence rapide

Il est à noter que contrairement aux autres formules de ce paragraphe, la première a été déterminée dès le XIXe siècle, en 1830, et ce par Clausen :
    $\zeta (3)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{2^{4n}(2n+1)^{2}}}-{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{\binom {2n+1}{n}}(n+1)^{3}}}$.
    $\zeta (3)=$ ${\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{{\binom {2n}{n}}n^{3}}}$.
    $\zeta (3)=$ ${\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(56n^{2}-32n+5)}{{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}n^{3}(2n-1)^{2}}}$.
    $\zeta (3)=$ ${\frac {1}{64}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!^{10}}{(2n+1)!^{5}}}\left(205n^{2}+250n+77\right)$.
    $\zeta (3)=$ ${\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\left[(2n+1)!(2n)!n!\right]^{3}}{(4n+3)!^{3}(3n+2)!}}\left(126\,392n^{5}+412\,708n^{4}+531\,578n^{3}+336\,367n^{2}+104\,000n+12\,463\right)$.

### Autres

Les Cahiers de Ramanujan ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes :
    $\zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}-1)}}$ ;
    $\zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}+1)}}$.
Srivastava a collecté de nombreuses séries qui convergent vers ζ(3).

## Représentations par des intégrales
### Formules simples

La première est issue de la définition de la fonction ζ par une série et, les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction :
    $\zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ ;
    $\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}+1}}\,\mathrm {d} x$.
La suivante résulte du développement de Taylor de χ$_3$(e$^{ix}$) en x = ±π/2, où χ$_ν$ est la fonction chi de Legendre :
    $\zeta (3)={\frac {4}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\ln {(\sec x+\tan x)}\,\mathrm {d} x$.
Elle ressemble à cette expression de la constante de Catalan K :
    $\mathrm {K} ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln {(\sec x+\tan x)}\,\mathrm {d} x$.
Une autre formule similaire, issue du développement en série entière de la fonction complexe $\ln {(1-z)}$ :
    $\zeta (3)={\frac {8}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\ln {\tan x}\,\mathrm {d} x$
De manière analogue, la constante de Catalan s'exprime par :
    $\mathrm {K} =-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln {\tan x}\,\mathrm {d} x$

### Formules plus compliquées

    $\zeta (3)=$ $\pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\arctan {x})}{\left(x^{2}+1\right)\cosh ^{2}{\frac {\pi x}{2}}}}\,\mathrm {d} x$.
    $\zeta (3)=$ $-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{1-xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=-\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1-xy)}{xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$.
    $\zeta (3)=$ $\int _{0}^{1}{\frac {\ln x\ln(1-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$.
    $\zeta (3)=$ ${\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln x}{(1+x^{2})^{4}}}\,\mathrm {d} x$.
    $\zeta (3)=$ $-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\psi _{2}(1)$, et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma, de ses dérivées, et de la fonction digamma.