# Strophoïde

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une courbe strophoïdale, ou simplement une strophoïde, est une courbe engendrée à partir d'une courbe donnée C et de deux points A (le point fixe) et O (le pôle). Dans le cas particulier où C est une droite, A appartient à C, et O n'appartient pas à C, la courbe est appelée une strophoïde oblique. Si, de plus, OA est perpendiculaire à C, la courbe est appelée une strophoïde droite, ou simplement une strophoïde par certains auteurs. La strophoïde droite est aussi parfois appelée courbe logocyclique.

## Construction

La courbe strophoïdale correspondant à la courbe C, au point fixe A et au pôle O est construite de la manière suivante : soit L une droite mobile passant par O et coupant C en K. Soit alors P$_1$ et P$_2$ les deux points de L tels que P$_1$K = P$_2$K = AK. Le lieu géométrique des pointsP$_1$ et P$_2$ est appelé la strophoïde de C relativement au pôle O et au point fixe A. On remarquera que AP$_1$ et AP$_2$ sont orthogonaux.

## Équations
### Coordonnées polaires

Soit la courbe C donnée par $r=f(\theta )$, où l'origine est prise en O. Soit A le point de coordonnées cartésiennes (a, b). Si $K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )$ est un point de la courbe, la distance de K à A est
    $d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}$.
Les points de la droite OK ont pour angle polaire $\theta$, et les points à distance d de K sur cette droite sont à une distance $f(\theta )\pm d$ de l'origine. Par conséquent, l'équation de la strophoïde est donnée par
    $r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}$.

### Coordonnées cartésiennes

Soit C d'équations paramétriques (x = x(t) ,y = y(t)). Soit A le point (a, b) et O le point (p, q). Alors, les formules polaires précédentes montrent que la strophoïde est représentée paramétriquement par :
    $x=u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ y=v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),$
où
    $n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}.$

### Une autre formule polaire

La complexité des formules précédentes limite leur utilité en pratique. Il en existe une forme alternative parfois plus simple, qui est particulièrement utile quand C est une sectrice de Maclaurin de pôles O et A.
Soit O l'origine et A le point (a, 0). Soit K un point de la courbe, $\theta$ l'angle entre OK et l'axe Ox, et $\vartheta$ l'angle entre AK et l'axe Ox. Supposons que $\vartheta$ soit donné en fonction de $\theta$, sous la forme $\vartheta =l(\theta )$. Soit $\psi$ l'angle en K, donc$\psi =\vartheta -\theta$. On peut déterminer r en fonction de l en utilisant la loi des sinus : comme
    ${r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}$.
Soit P$_1$ et P$_2$ les points de la droite OK à distance AK de K, numérotés de façon que$\psi ={\widehat {P_{1}KA}}$ et $\pi -\psi ={\widehat {AKP_{2}}}$. Le triangle $P_{1}KA$ est isocèle d'angle au sommet $\psi$, donc les angles de la base, ${\widehat {AP_{1}K}}$ et ${\widehat {KAP_{1}}}$, valent$(\pi -\psi )/2$. L'angle entre AP$_1$ et l'axe Ox est alors
    $l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2$.
Utilisant le fait que AP$_1$ et AP$_2$ sont perpendiculaires (car le triangleAP$_1$P$_2$ est inscrit dans un demi-cercle), l'angle entre AP$_2$ et l'axe Ox vaut
    $l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2$.
L'équation polaire de la strophoïde se déduit alors de l$_1$ et l$_2$ d'après les formules précédentes :
    $r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}$
    $r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}$
C est une sectrice de Maclaurin de pôles O et A quand l est de la forme $q\theta +\theta _{0}$ ; dans ce cas l$_1$ et l$_2$ ont la même forme, et la strophoïde est soit une autre sectrice de Maclaurin, soit un couple de sectrices ; on peut en trouver une équation polaire simple si on prend l'origine au symétrique de A par rapport àO.

## Cas particuliers
### Strophoïdes obliques

Soit C une droite passant par A. Alors, dans les notations précédentes, $l(\theta )=\alpha$, où $\alpha$ est une constante, et $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ ; $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2$. Avec l'origine en O, les équations polaires de la strophoïde correspondante, appelée une strophoïde oblique deviennent
    $r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}$
et
    $r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}$.
On vérifie facilement que ces deux équations décrivent en fait la même courbe.
Déplaçant l'origine en A (voir, là encore, l'article sectrice de Maclaurin) et remplaçant −a par a, on obtient
    $r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}$ ;
une rotation de $\alpha$ transforme cette équation en
    $r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}$.
En coordonnées cartésiennes (et en changeant les constantes), on obtient
    $y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy$.
C'est une cubique, unicursale d'après l'équation polaire. Elle possède un point double en (0, 0), et la droite y=b lui est asymptote.

### La strophoïde droite

Posant $\alpha =\pi /2$ dans
    $r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}$,
on obtient
    $r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )$.
Cette courbe est appelée la strophoïde droite, et correspond au cas où C est l'axe Oy, O est l'origine, et A est le point (a,0).
L'équation cartésienne est
    $y^{2}=x^{2}{\frac {a-x}{a+x}}$ ;
une représentation paramétrique unicursale est :
    $x=-a{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$
    $y=-at{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$.
La courbe ressemble au folium de Descartes, et la droite x = −a est asymptote aux deux branches infinies. La courbe possède deux autres asymptotes "imaginaires" dans le plan complexifié ${\mathbb {C} }^{2}$, données par
    $x\pm iy=-a$.

### Strophoïdes de cercles passant par les points fixes

Soit C un cercle passant par O et A. Prenant O pour origine et A en (a, 0), on obtient, dans les notations précédentes, $l(\theta )=\alpha +\theta$, où $\alpha$ est une constante. Ainsi, $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ et $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2$. Les équations polaires des strophoïdes correspondantes sont alors
    $r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}$
et
    $r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}$.
Ce sont les équations de deux cercles passant également par O et A, et formant des angles de $\pi /4$ avec C en ces points.