# Pont brownien

En mathématique, plus précisément théorie des probabilités, un pont brownien standard est un processus stochastique à temps continu de même loi qu'un processus de Wiener mais conditionné à s'annuler en 0 et en 1. À ne pas confondre avec l'excursion brownienne.
Le pont brownien standard est ainsi également appelé « mouvement brownien attaché » ("tied down Brownian motion" en anglais), « mouvement brownien attaché en 0 et 1 » ("Brownian motion tied down at 0 and 1" en anglais) ou « mouvement brownien épinglé » ("pinned Brownian motion" en anglais).
Le pont brownien (non standard) est une généralisation du pont brownien standard en utilisant le conditionnement par l’événement $[B_{t_{1}}=a,B_{t_{2}}=b]$.

## Définition

Un pont brownien standard est un processus stochastique $(B_{t},t\geq 0)$ à temps continu dont la loi est celle d'un processus de Wiener (modèle mathématique du mouvement brownien) sachant l’événement $B_{0}=B_{1}=0$. Il s'agit d'un processus aléatoire gaussien, c'est-à-dire que la loi de probabilité de tout vecteur $(B_{t_{1}},...,B_{t_{n}})$, conditionnellement à $B_{1}=0$, est gaussienne. Il est alors caractérisé par sa moyenne et sa covariance :
${\begin{array}{rl}\forall 0\leq t\leq 1,&\mathbb {E} [B_{t}|B_{1}=0]=0\\\forall 0\leq s<t\leq 1,&\mathrm {Cov} (B_{s},B_{t}|B_{1}=0)=s(1-t).\end{array}}$
Remarque : l'événement $[B_{1}=0]$ est de probabilité nulle. Considérons alors l’événement $\{|B_{1}|<\varepsilon \}$ de probabilité non nulle. On peut ainsi considérer la loi conditionnelle $\mathbb {P} [\cdot \ |\ |B_{1}|<\varepsilon ]$ du mouvement brownien sachant $|B_{1}|<\varepsilon$. La convergence en loi suivante (propriété 12.3.2. du livre de R. Dudley):
$\mathbb {P} [\cdot \ |\ |B_{1}|<\varepsilon ]\quad {\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}\quad \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|=0]$
permet de donner un sens rigoureux à la définition du pont brownien.

## Relations avec d'autres processus stochastiques
### Relations avec le mouvement brownien

Propriété 1
Si $(W_{t},t\geq 0)$ est un processus de Wiener (ou mouvement brownien), alors le processus $(B_{t},0\leq t\leq 1)$ défini par $\displaystyle B_{t}=W_{t}-tW_{1}$ est un pont brownien standard.
Réciproque
Si $(B_{t},0\leq t\leq 1)$ est un pont brownien standard et Z une variable aléatoire normale, alors les processus $(W_{t}^{1},0\leq t\leq 1)$ et $(W_{t}^{2},0\leq t\leq T)$ définis par :
$\forall 0\leq t\leq 1,\quad W_{t}^{1}=B_{t}+tZ\quad {\textrm {et}}\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad W_{t}^{2}=B_{\frac {t}{T}}+{\frac {t}{T}}Z$
sont des processus de Wiener.
Propriété 2
Si $(W_{t},t\geq 0)$ est un processus de Wiener, alors le processus $(B_{t},0\leq t\leq 1)$ défini par $B_{t}=(1-t)W_{\frac {t}{1-t}}$ est un pont brownien standard.
Réciproque
Si $(B_{t},0\leq t\leq 1)$ est un pont brownien standard, alors le processus $(W_{t},t\geq 0)$ défini par $W_{t}=(1+t)B_{\frac {t}{1+t}}$ est un processus de Wiener.

### Relations avec l'excursion brownienne

Le pont brownien et l'excursion brownienne sont deux objets mathématiques différents mais l'un peut se construire à partir de l'autre.
Définissons la transformée de Verwaat $V(f,T,\sigma )$ d'une fonction continue $f:[0,T]\to \mathbb {R}$ par
$V(f,T,\sigma )(t)=\left\lbrace {\begin{array}{ll}f(\sigma +t)-f(\sigma )&{\textrm {si}}\quad 0\leq t\leq T-\sigma \\f(\sigma +t-T)-f(\sigma )&{\textrm {si}}\quad T-\sigma \leq t\leq T.\end{array}}\right.$
Intuitivement, la trajectoire de $V(f,T,\sigma )$ est celle de $f$ sur $[0,T]$ mais coupée au temps $\sigma$ et où les deux parties sont inversées.
Propriété 3
Supposons que$(B_{t},0\leq t\leq 1)$ désigne un pont brownien standard et $\xi$ le temps aléatoire (presque sûrement unique) où $B$ atteint son minimum. Alors le processus $(e(t),0\leq t\leq 1)$ défini par $e(t)=V(B,1,\xi )(t)$ a pour la loi celle de l'excursion normalisée du mouvement brownien. De plus $\xi$ est indépendante de $e$ et est de loi uniforme sur $[0,1]$.
Intuitivement, l'excursion brownienne normalisée est construite à partir d'un pont brownien en le coupant en son minimum et en inversant les deux parties obtenues.
Réciproque
Supposons que$(e(t),0\leq t\leq 1)$ désigne une excursion normalisée du mouvement brownien et $\eta$ une variable aléatoire indépendante de $e$ et de loi uniforme sur $[0,1]$. Alors le processus $(B_{t},0\leq t\leq 1)$ défini par $B_{t}=V(e,1,\eta )(t)$ a pour loi celle du pont brownien. De plus $1-\eta$ est l'unique temps en lequel $B$ atteint son minimum.

### Expression sous forme de diffusion

Le pont brownien peut être exprimé comme un processus de diffusion. En effet, si $W$ est un mouvement brownien standard, la solution de l'équation différentielle stochastique :
$dX_{t}=dW_{t}-{\frac {X_{t}}{1-t}}dt$
munie de la condition initiale $X_{0}=0$ a la même loi que le pont brownien. Notamment, le processus $X$ est markovien, ce qui n'est pas clair à partir de la définition de $X$ comme mouvement brownien conditionné par sa valeur finale.

### Relation avec le processus empirique

D'après le théorème de Donsker, si les variables $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ sont indépendantes identiquement distribuées de loi uniforme sur $[0,1]$, le processus empirique
$\alpha _{n}(t)={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}\leq t\}}-t\right)$
converge en loi vers le pont brownien.

## Propriétés

$(B_{t},0\leq t\leq 1)$ désigne un pont brownien standard.
Propriété 4 (temps d'atteinte)
Soit $b$ un nombre réel alors
$\mathbb {P} \left[{\hbox{il existe }}t\in [0,1]{\hbox{ tel que }}B_{t}=b\right]=e^{-2b^{2}}.$
Propriété 5 (loi du supremum)
Soit $b$ un nombre réel strictement positif alors
$\mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}|B_{t}|\geq b\right]=2\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^{2}b^{2}}.$
C'est cette propriété qui est à l'origine du test de Kolmogorov-Smirnov.
Propriété 6
Soient $a,b$ deux nombres réels strictement positifs alors
$\mathbb {P} \left[-a<B_{t}<b\,,\forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\left[e^{-2m^{2}(a+b)^{2}}-e^{-2((m+1)a+mb)^{2}}\right].$
Propriété 7
Soit $x$ un nombre réel strictement positif alors
$\mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}B_{t}-\inf _{t\in [0,1]}B_{t}\geq x\right]=2\sum _{m\geq 1}(4m^{2}x^{2}-1)e^{-2m^{2}x^{2}}.$

## Généralisation

Il est possible de généraliser la définition du pont brownien pour que ce dernier soit indexé par des classes de fonctions. Soit ${\mathcal {F}}$ une classe de fonctions mesurables définies sur $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ à valeurs réelles et $X$ une variable aléatoire de loi $P=\mathbb {P} ^{X}$ définies sur un espace de probabilité $(\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )$ à valeurs dans $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$. On note $\mathbb {G}$ le $P$-pont brownien indexé par cette classe de fonctions, c'est-à-dire l'unique processus gaussien centrée dont la fonction de covariance est donnée par
$\forall f,g\in {\mathcal {F}},\qquad \mathrm {Cov} (\mathbb {G} (f),\mathbb {G} (g))=\mathbb {E} [f(X)g(X)]-\mathbb {E} [f(X)]\mathbb {E} [g(X)].$
Le pont brownien standard est donc le pont brownien indexé par la classe des fonctions indicatrices ${\mathcal {F}}=\{x\mapsto \mathbf {1} _{\{x\leq t\}}:t\in \mathbb {R} \}.$
Si le processus empirique indexé par une classe de fonctions ${\mathcal {F}}$ converge en loi vers le pont brownien indexé par cette même classe de fonctions, alors cette classe est appelée est une classe de Donsker.