# Polynôme de Zernike

Les polynômes de Zernike sont une suite de polynômes orthogonaux à 2 variables définis sur le disque unité. Ils portent le nom de Frits Zernike ; ils jouent un rôle important en imagerie.

## Définition des polynômes

Les polynômes de Zernike se divisent en deux catégories : les polynômes pairs et les polynômes impairs. Les polynômes pairs s'expriment sous la forme :
    $Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!$
et les polynômes impairs s'écrivent :
    $Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),\!$
où m et n sont des nombres entiers naturels non nuls, avec n ≥ m, φ est l'angle d'azimut exprimé en radians, et ρ est la distance radiale normalisée. Les polynômes radiaux Rm n sont définis par :
    $R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2k}$
ou
    $R_{n}^{m}(\rho )={\frac {\Gamma (n+1)_{2}F_{1}(-{\frac {1}{2}}(|m|+n),{\frac {1}{2}}(|m|-n);-n;\rho ^{-2})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}(2+n+m))\Gamma ({\frac {1}{2}}(2+n-m))}}\rho ^{n}$
pour n − m pair, et sont égaux à 0 pour n − m impair.
Pour m = 0, le polynôme se réduit à R0 n(ρ).

## Interprétation en imagerie

Si l’on considère une onde lumineuse ayant traversé un système imparfait, le front d’onde en sortie du système n’est pas totalement plat : on définit la fonction de déphasage Φ qui à tout point d’un plan de front associe le déphasage entre l’onde lumineuse théorique dans le modèle de l’optique géométrique et l’onde lumineuse réelle en tenant compte des défauts, et qui serait égale à la fonction nulle si le système était parfait.
Il est alors possible d’approximer cette phase dite aberrante en tant que combinaison linéaire de polynômes de Zernike, chacun des polynômes de la base considérée correspondant à une catégorie d’aberration différente.
Ainsi, en optique adaptative, il est possible d’utiliser un analyseur de front d’onde couplé à un système informatique capable de calculer Φ et sa décomposition en polynômes de Zernike en temps réel afin de connaître à tout instant la nature des aberrations du système étudié et éventuellement de les corriger à l’aide d’un miroir déformable (système en boucle fermée).

## Cas particuliers
### Polynômes radiaux

Les premiers polynômes radiaux sont (avec l’aberration géométrique associée) :
    $R_{0}^{0}(\rho )=1$ : piston, correspondant à une image parfaite ;
    $R_{1}^{1}(\rho )=\rho$ : inclinaison sur l’axe des abscisses (tilt X) ou des ordonnées (tilt Y) ;
    $R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1$ : erreur de mise au point ou de focalisation ;
    $R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}$ : astigmatisme à 0 (sur X) ou π/2 (sur Y) radians ;
    $R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho$ : aberration de coma ;
    $R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}$ ;
    $R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1$ : aberration de sphéricité ;
    $R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}$ ;
    $R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}$ ;
    $R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho$ ;
    $R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}$ ;
    $R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}$ ;
    $R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1$ ;
    $R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}$ ;
    $R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}$ ;
    $R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}$.

### Polynômes de Zernike

Les premiers modes de Zernike, avec les indices simples OSA/ANSI et Noll, sont présentés ci-dessous. Ils sont normalisés de telle sorte que : $\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z^{2}\cdot \rho \,{\rm {d}}\rho \,{\rm {d}}\phi =\pi$.
| $Z_{n}^{m}$ | Indices OSA/ANSI ($j$) | Indice Noll ($j$) | Indice Wyant($j$) | Indice Fringe/UA ($j$) | Degré radial ($n$) | Degré azimutal ($m$) | $Z_{j}$ | Nom classique |
| $Z_{0}^{0}$ | 00 | 01 | 00 | 01 | 0 | 00 | $1$ | Piston (voir loi du demi-cercle) |
| $Z_{1}^{-1}$ | 01 | 03 | 02 | 03 | 1 | −1 | $2\rho \sin \phi$ | Tilt (Y-Tilt, tilt vertical) |
| $Z_{1}^{1}$ | 02 | 02 | 01 | 02 | 1 | +1 | $2\rho \cos \phi$ | Tip (X-Tilt, tilt horizontal) |
| $Z_{2}^{-2}$ | 03 | 05 | 05 | 06 | 2 | −2 | ${\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\phi$ | Astigmatisme oblique |
| $Z_{2}^{0}$ | 04 | 04 | 03 | 04 | 2 | 00 | ${\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)$ | Defocus (direction longitudinale) |
| $Z_{2}^{2}$ | 05 | 06 | 04 | 05 | 2 | +2 | ${\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\phi$ | Astigmatisme vertical |
| $Z_{3}^{-3}$ | 06 | 09 | 10 | 11 | 3 | −3 | ${\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\phi$ | Trefoil vertical |
| $Z_{3}^{-1}$ | 07 | 07 | 07 | 08 | 3 | −1 | ${\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi$ | Coma verticale |
| $Z_{3}^{1}$ | 08 | 08 | 06 | 07 | 3 | +1 | ${\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi$ | Coma horizontale |
| $Z_{3}^{3}$ | 09 | 10 | 09 | 10 | 3 | +3 | ${\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\phi$ | Trefoil oblique |
| $Z_{4}^{-4}$ | 10 | 15 | 17 | 18 | 4 | −4 | ${\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\phi$ | Quadrafoil oblique |
| $Z_{4}^{-2}$ | 11 | 13 | 12 | 13 | 4 | −2 | ${\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\phi$ | Astigmatisme oblique secondaire |
| $Z_{4}^{0}$ | 12 | 11 | 08 | 09 | 4 | 00 | ${\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)$ | Aberration de sphéricité |
| $Z_{4}^{2}$ | 13 | 12 | 11 | 12 | 4 | +2 | ${\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\phi$ | Astigmatisme vertical secondaire |
| $Z_{4}^{4}$ | 14 | 14 | 16 | 17 | 4 | +4 | ${\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\phi$ | Quadrafoil vertical |

## Application à la conception optique

Les polynômes de Zernike sont utilisés notamment dans les aberromètres, afin de mesurer les aberrations optiques de l'œil humain (dont, entre autres, l'astigmatisme)$^,$.