# Équation G

En combustion, l'équation G est une équation pour le champ scalaire $G(\mathbf {x} ,t)$ qui décrit la position instantanée d'une flamme. Elle a été introduite par Forman Williams en 1985$^,$ dans l'étude de la combustion turbulente pré-mélangée. L'équation est dérivée sur la base de la méthode des surfaces de niveau. L'équation a été étudiée pour la première fois par George H. Markstein sous une forme moins générale pour le calcul de la vitesse de combustion$^,$$^,$.

## Description mathématique

L'équation G s'énonce comme suit$^,$$^,$ :
    ${\frac {\partial G}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla G=S_{T}|\nabla G|$
où
* $\mathbf {v}$ est le champ de vitesse d'écoulement,
* $S_{T}$ est la vitesse de flamme locale.
L'emplacement de la flamme est donné par $G(\mathbf {x} ,t)=G_{o}$ qui peut être défini arbitrairement de telle sorte que $G(\mathbf {x} ,t)>G_{o}$ soit la région des gaz brûlés et $G(\mathbf {x} ,t)<G_{o}$ soit la région des gaz non brûlés. Le vecteur normal à la flamme, pointant vers le gaz brûlé, est $\mathbf {n} =\nabla G/|\nabla G|$.

### Vitesse de combustion locale

Selon la théorie Matalon-Matkowsky-Clavin-Joulin la vitesse de combustion de la flamme étirée (en), pour une faible courbure et une faible déformation, est donnée par :
    ${\frac {S_{T}}{S_{L}}}=1+{\mathcal {M}}_{c}\delta _{L}\nabla \cdot \mathbf {n} +{\mathcal {M}}_{s}\tau _{L}\mathbf {n} \mathbf {n} :\nabla \mathbf {v}$
où
* $S_{L}$ est la vitesse de combustion de la flamme pré-mélangée,
* ${\mathcal {M}}_{c}$ et ${\mathcal {M}}_{s}$ sont les deux nombre de Markstein associés au terme de courbure $\nabla \cdot \mathbf {n}$ et au terme $\mathbf {n} \mathbf {n} :\nabla \mathbf {v}$ correspondant à la déformation d'écoulement imposée à la flamme,
* $\delta _{L}$ est l'épaisseur d'une flamme plane,
* $\tau _{L}=D_{T,u}/S_{L}^{2}$ est le temps de séjour de la flamme plane où $D_{T,u}$ représente la diffusivité thermique dans le mélange de gaz imbrûlés.

## Un exemple simple : le brûleur à fente

L'équation G a une expression exacte pour un brûleur à fente simple. Considérons un brûleur à fente plan bidimensionnel de largeur de fente $b$. Le mélange de réactifs pré-mélangés est introduit dans la fente par le bas avec une vitesse constante $\mathbf {v} =(0,U)$, où la coordonnée $(x,y)$ est choisie de telle sorte que $x=0$ se trouve au centre de la fente et $y=0$ se trouve à l'emplacement de l'embouchure de la fente. Lorsque le mélange est enflammé, une flamme pré-mélangée se développe depuis l'embouchure de la fente jusqu'à une certaine hauteur $y=L$ sous la forme d'un dièdre bidimensionnel avec un angle $\alpha$. Pour simplifier, supposons $S_{T}=S_{L}$, ce qui est une bonne approximation sauf près du coin du dièdre où les effets de courbure deviennent importants. Dans le cas stationnaire, l'équation de G se réduit à :
    $U{\frac {\partial G}{\partial y}}=S_{L}{\sqrt {\left({\frac {\partial G}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial G}{\partial y}}\right)^{2}}}$
Si une solution à variables séparées $G(x,y)=y+f(x)$ est introduite, alors l'équation devient :
    $U=S_{L}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\sqrt {U^{2}-S_{L}^{2}}}{S_{L}}}$
qui après intégration donne
    $f(x)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}|x|+C\quad \Rightarrow \quad G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}|x|+y+C$
Sans perte de généralité, on peut choisir l'emplacement de la flamme à $G(x,y)=G_{o}=0$. Puisque la flamme est attachée à l'embouchure de la fente $|x|=b/2,\ y=0$, la condition limite est $G(b/2,0)=0$, qui peut être utilisée pour évaluer la constante $C$. Ainsi, le champ scalaire est :
    $G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}\left(|x|-{\frac {b}{2}}\right)+y$
À la pointe de la flamme, on a $x=0,\ y=L,\ G=0$, ce qui permet de déterminer la hauteur de la flamme :
    $L={\frac {b\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{2S_{L}}}$
et l'angle de la flamme $\alpha$,
    $\tan \alpha ={\frac {b/2}{L}}={\frac {S_{T}}{\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}}$
En utilisant l'identité $\tan ^{2}\alpha =\sin ^{2}\alpha /\left(1-\sin ^{2}\alpha \right)$ on a :
    $\sin \alpha ={\frac {S_{L}}{U}}$
Cette expression est souvent utilisée pour définir la vitesse de combustion $S_{L}$ en mesurant l'angle de dièdre.