# Vitesse cosmique

Une vitesse cosmique, concept de l'astronautique, est une vitesse seuil qui permet d'échapper à l'influence d'un corps céleste. En 1883, le scientifique russe Constantin Tsiolkovski présente dans son ouvrage L’Espace libre les concepts fondamentaux pour la construction de fusées à réaction comme unique moyen d'échapper à l'attraction de la Terre. Il introduit trois vitesses minimales théoriques, appelées respectivement « première », « deuxième » et « troisième » « vitesses cosmiques » : celle de satellisation autour d'un corps céleste de grande masse, celle de libération d'un corps céleste de grande masse et celle de libération d'un système planétaire.

## Cas de la Terre
### Première vitesse cosmique

La première vitesse cosmique représente la vitesse de satellisation minimale autour de la Terre. Vitesse minimale qu’il faut théoriquement communiquer à un corps, au départ de la Terre, pour le satelliser autour d’elle en orbite basse. Elle est déterminée par la relation
    ${\frac {v_{1}^{2}}{R}}={\frac {G\,M_{\oplus }}{R^{2}}}$,
où :
* $R$ est le rayon de l'orbite, assimilé au rayon terrestre (6 370 km, bien qu'en réalité une orbite n'échappe au frottement de l'atmosphère terrestre que si elle est à une altitude supérieure à 200 km),
* $M_{\oplus }$ est la masse de la Terre (environ 6 × 10$^{24}$ kg) ;
* $G$ est la constante de gravitation (6,674 × 10$^{−11}$ m$^3$/kg/s$^2$)
Cette relation signifie que la force de gravitation exercée par la Terre ($G\,M_{\oplus }\,m/R^{2}$, m étant la masse du corps à satelliser) est exactement compensée par la force centrifuge ($mv_{1}^{2}/R$) qui s'exerce sur le corps quand celui-ci est en orbite circulaire.
La première vitesse cosmique vaut ainsi
$v_{1}={\sqrt {\frac {G\,M_{\oplus }}{D}}}$
soit environ
    $v_{1}\simeq 7{,}9\;{\rm {km\;s^{-1}\simeq 28\,500\;{\rm {km\;h^{-1}}}}}$. C'est, comme indiqué, une vitesse qui tient insuffisamment compte de l'altitude réelle de satellisation.

### Deuxième vitesse cosmique

La deuxième vitesse cosmique correspond à la vitesse de libération d’un corps quittant la Terre. C’est la vitesse minimale au-delà de laquelle un corps peut s’éloigner définitivement de la Terre, en tout cas tant que l'on néglige la présence du Soleil et de notre galaxie. Elle est déterminée, avec les mêmes notations que précédemment, par la relation
    ${\frac {v_{2}^{2}}{2}}={\frac {G\,M_{\oplus }}{R}}$,
obtenue par intégration de l'énergie cinétique devant être acquise par le satellite pour que, quittant la Terre, il atteigne une orbite haute (pouvant être à l'infini). Cette équation, où la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de gravitation se compensent, confère une énergie totale nulle à la fusée, condition nécessaire à ce qu'elle puisse s'échapper de l'attraction terrestre.
La deuxième vitesse cosmique vaut ainsi :
$v_{2}={\sqrt {\frac {2\,G\,M_{\oplus }}{R}}}={\sqrt {2}}\,v_{1}$
soit environ
    $v_{2}\simeq 11{,}2\;{\rm {km\;s^{-1}\simeq 40\,300\;{\rm {km\;h^{-1}}}}}$.
Il n'y a pas ici d'ambiguïté sur la quantité R, qui correspond au rayon terrestre, puisque c'est de là qu'est lancé le corps. C'est là une différence avec la première vitesse cosmique, pour laquelle la quantité D peut représenter le rayon d'une orbite basse, légèrement supérieur (d'environ 3 %) au rayon terrestre. Cependant, cette deuxième vitesse étant obtenue par intégration (intégrale définie) depuis l'orbite du départ, il est possible de l'obtenir en deux fois et la somme de ces deux valeurs sera toujours la même (voir le calcul plus bas). Cela explique le fait que, en pratique, on commence souvent par une satellisation en orbite basse.
La vitesse de libération augmente avec la compacité de l'astre support, c'est-à-dire son rapport M/R. Par exemple, celle de Jupiter est de 59,5 km/s.

### Troisième vitesse cosmique

La troisième vitesse cosmique est définie comme étant la vitesse de libération d’un corps quittant le Système solaire depuis l'orbite terrestre.
Dans un référentiel héliocentrique, cette vitesse est donnée par la même relation que celle donnant la deuxième vitesse cosmique, en remplaçant la masse de la Terre par celle du Soleil, et le rayon de la Terre par la distance moyenne Terre-Soleil :
$v_{3}^{\prime }={\sqrt {\frac {2\,G\,M_{\odot }}{a}}}$
avec
* $a$ la distance moyenne Terre-Soleil, soit une unité astronomique, environ 149,6 millions de kilomètres ;
* ${M_{\odot }}$ la masse du Soleil soit 1,989 1 × 10$^{30}$ kg.
Soit une vitesse $v_{3}^{\prime }\simeq 42{,}1\;{\rm {km\;s^{-1}}}$.
Cette valeur ne correspond pas à la définition de la troisième vitesse cosmique donnée au début de cette section, car elle est établie :
* dans un référentiel héliocentrique,
* pour un corps se trouvant initialement à la distance $a$ du Soleil,
* en l'absence de la Terre, la gravité due à celle-ci étant ignorée dans le calcul.
La prise en compte de la gravité terrestre conduit à devoir rechercher la vitesse de libération dans le cadre du problème à trois corps restreint. Bien qu'il n'existe pas de solution sous forme analytique à ce problème, il est possible d'établir une expression approchée à l'aide de la méthode des coniques juxtaposées.
La vitesse $v_{3}^{\prime }$ donnée ci-dessus étant exprimée dans un référentiel héliocentrique, elle devient dans un référentiel géocentrique $v_{\infty }=v_{3}^{\prime }-v_{\oplus }$ avec$v_{\oplus }={\sqrt {\frac {G\,M_{\odot }}{a}}}\simeq 29{,}7\;{\rm {km\;s^{-1}}}$ la vitesse moyenne de la Terre par rapport au Soleil.
Dans la méthode des coniques juxtaposées, $v_{\infty }$ est une approximation de l'excès de vitesse du corps lorsqu'il quitte la sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil.
En injectant la formule donnant $v_{3}^{\prime }$ dans celle de $v_{\infty }$, cette vitesse géocentrique devient :
$v_{\infty }=({\sqrt {2}}-1)\,v_{\oplus }$
En faisant ensuite l'hypothèse que l'énergie potentielle spécifique est nulle sur la sphère d'influence, la conservation de l'énergie totale spécifique dans le référentiel géocentrique s'écrit :
${\frac {v_{3}^{2}}{2}}-{\frac {G\,M_{\oplus }}{R}}={\frac {v_{\infty }^{2}}{2}}$
dans laquelle $v_{3}$ est la vitesse géocentrique qu'il est nécessaire de communiquer au corps depuis la surface de la Terre pour atteindre la vitesse $v_{\infty }$ sur la sphère d'influence de la Terre. Par suite :
$v_{3}={\sqrt {{\frac {2\,G\,M_{\oplus }}{R}}+({\sqrt {2}}-1)^{2}\,{\frac {GM_{\odot }}{a}}}}$
soit encore, en ré-introduisant la deuxième vitesse cosmique $v_{2}$ et la vitesse orbitale de la Terre $v_{\oplus }$ :
$v_{3}={\sqrt {v_{2}^{2}+({\sqrt {2}}-1)^{2}\,v_{\oplus }^{2}}}$
La valeur obtenue $v_{3}\simeq 16{,}6\;{\rm {km\;s^{-1}}}$ est une approximation numérique de la troisième vitesse cosmique, suivant la définition donnée au début de cette section.

## Cas général

Les formules littérales ci-dessus donnant $v_{1}$, $v_{2}$ et $v_{3}$ sont applicables dans le contexte plus général d'une planète située dans un système planétaire.
Dans ce cas :
* $R$ est le rayon de l'orbite, au moins égal au rayon de la planète, augmenté éventuellement de l'épaisseur de son atmosphère si l'on veut échapper au frottement ;
* $M_{\oplus }$ est la masse de la planète d'où est lancé le projectile ;
* $a$ correspondant à la distance entre la planète et son étoile ;
* $M_{\odot }$ est la masse de l'étoile autour de laquelle tourne la planète d'où est lancé le projectile ;
* $G$ est la constante de gravitation, qui est réputée garder la même valeur dans tout l'Univers.