# Théorie du coalescent

En génétique, la théorie du coalescent, appelée aussi théorie de la coalescence, est un modèle rétrospectif de génétique des populations. Son objectif est de suivre l'évolution de tous les allèles d'un gène donné de tous les individus d'une population, jusqu'à une seule copie ancestrale, appelée ancêtre commun le plus récent. Les relations d'hérédité entre les allèles sont représentées sous la forme d'un arbre similaire à un arbre phylogénétique. Cet arbre est aussi appelé coalescent, et la compréhension des propriétés statistiques du coalescent sous différentes hypothèses forme la base de la théorie du coalescent.
Le coalescent utilise des modèles de dérive génétique, en remontant le temps pour reconstruire la généalogie des ancêtres. Dans le cas le plus simple, la théorie du coalescent suppose qu'il n'y a ni recombinaison, ni sélection naturelle, ni flux de gènes, et que la population n'est pas structurée. Des modèles sont ensuite complétés pour prendre en compte une ou plusieurs des composantes de l'évolution biologique. La théorie mathématique du coalescent a été développée au début des années 1980 par John Kingman.

## Théorie

Si l'on considère deux individus, on retrace leurs généalogies en remontant le temps jusqu'à trouver leur ancêtre commun le plus récent, instant où se produit ce qu'on nomme la coalescence.

### Temps de coalescence

L'un des objectifs de la théorie du coalescent est de déterminer la durée écoulée depuis la vie de l'ancêtre commun le plus récent.
On utilise alors la théorie des probabilités. La probabilité que deux lignées coalescent lors de la génération immédiatement précédente est qu'ils aient le même parent. Dans une population diploïde dont la taille Ne est constante, il y a 2N$_e$ copies de chaque locus. Ainsi, pour chaque locus d'une génération il y a dans la génération précédente 2N$_e$ ascendances potentiel de lignée.
La probabilité que deux locus d'une génération coalescencent à la génération précédente est la somme de la probabilité de chaque coalescence possible dans cette précédente génération. Les deux ascendances de lignés sont indépendantes, ainsi la probabilité de chaque locus de la génération précédente d'être le coalescent est de (1/2N$_e$)$^2$ Ainsi cette somme est égal a 2N$_e$ (1/2N$_e$)$^2$ = 1/2N$_e$
On voit donc que la probabilité de coalescence lorsqu'on remonte les générations, suit une loi géométrique : la probabilité que la coalescence arrive à la t-ième génération précédente (c'est-à-dire qu'il n'y ait pas eu de coalescence lors des t-1 premières générations, et qu'elle advienne à la dernière) est de
    $P_{c}(t)=\left(1-{\frac {1}{2N_{e}}}\right)^{t-1}\left({\frac {1}{2N_{e}}}\right).$
Lorsque N$_e$ est suffisamment grand, une bonne approximation de la distribution est donnée par la loi exponentielle
    $P_{c}(t)={\frac {1}{2N_{e}}}e^{-{\frac {t-1}{2N_{e}}}}.$
L'espérance et l'écart-type d'une loi exponentielle sont toutes deux égales au paramètre, ici 2N$_e$. Par conséquent, le temps moyen de coalescence est de 2N$_e$, compté en nombre de générations avant le présent.

### Variation sans sélection

La théorie de la coalescence est aussi utilisée pour modéliser la variation d'une séquence d'ADN sous l'influence de la seule dérive génétique. Cette quantité de variation, (parfois appelée hétérozygotie) est notée ${\bar {H}}$. Sa moyenne est calculée comme le ratio de la probabilité qu'une mutation arrive lors d'une génération donnée divisée par la somme des probabilités que l'un des deux événements (mutation ou coalescence) arrive à cette génération. Cette mutation pouvant atteindre l'une ou l'autre des deux lignées, sa probabilité est donc notée $2\mu$. Ainsi on obtient, en notant $\theta =4N_{e}\mu$,
    ${\bar {H}}={\frac {2\mu }{2\mu +{\frac {1}{2N_{e}}}}};$
    ${\bar {H}}={\frac {4N_{e}\mu }{1+4N_{e}\mu }};$
    ${\bar {H}}={\frac {\theta }{1+\theta }}.$
Lorsque $4N_{e}\mu \gg 1$, la plupart des paires d'allèles ont au moins une différence dans la séquence de leurs nucléotides.

## Représentation graphique

Les coalescents peuvent être représentés par des dendrogrammes qui montrent les relations des différentes branches de la population. Le point où deux branches se rencontrent indique une coalescence.

## Histoire

La théorie de la coalescence est une extension naturelle de concepts classiques de génétique des populations d'évolution sans sélection, et est une approximation du modèle de Wright Fisher (créé par Sewall Wright et Ronald Fisher) pour des populations de grande taille. Elle a été élaborée indépendamment par plusieurs chercheurs au début des années 1980$^,$$^,$$^,$, mais la formulation définitive est attribuée à Kingman. Des contributions majeures ont été effectuées par Peter Donnelly, Robert Griffiths, Richard R Hudson et Simon Tavaré. Parmi celles-ci figurent les modifications du modèle pour inclure la variation de la taille de la population, la recombinaison et la sélection$^,$. En 1999 Jim Pitman et Serik Sagitov ont introduit indépendamment les coalescents avec des collisions multiples de lignées ancestrales. Un peu plus tard la classification complète de processus coalescents échangeables avec fusions multiples a été élaborée par Martin Möhle, Serik Sagitov et Jason Schweinsberg.

## Logiciels

Il existe un grand nombre de logiciels, tant de simulation de jeux de données de processus de coalescence, que d'inférence de paramètres comme les tailles de population ou les taux de migrations. En voici une liste : logiciels en théorie de coalescence (en).