# Théorème de Bolzano-Weierstrass

En mathématiques, et plus précisément en analyse réelle, le théorème de Bolzano-Weierstrass, nommé d'après les mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass, énonce
   Toute suite réelle bornée contient une sous-suite convergente.
ce qui peut se reformuler en termes de valeurs d'adhérence :
   Toute suite réelle bornée a au moins une valeur d'adhérence.
Le théorème s'exprime également sous une forme plus topologique :
   Toute partie fermée bornée de $\mathbb {R}$ est séquentiellement compacte.
Enfin, on peut généraliser le théorème à $\mathbb {R} ^{n}$, ou encore à tout espace vectoriel normé de dimension finie sur $\mathbb {R}$.

## Démonstration (cas réel)

Il existe au moins deux démonstrations usuelles de ce théorème.
La première fait appel à l'extraction d'une suite monotone. Considérons une suite réelle bornée. Elle admet une sous-suite monotone (cf. propriétés des sous-suites), qui est également bornée. Par le théorème de la limite monotone, cette sous-suite converge.
La seconde preuve s'appuie sur une dichotomie$^,$$^,$. Soit $(u_{n})$ une suite réelle bornée. Soit un minorant $m$ et un majorant $M$ de $(u_{n})$. On pose $m_{0}=m,M_{0}=M$. Notons $d_{0}=(m_{0}+M_{0})/2$ le milieu de l'intervalle $[m_{0},M_{0}]$. Tous les termes de $(u_{n})$ sont dans $[m_{0},M_{0}]$, et il y en a une infinité, donc il y en a une infinité dans au moins l'un des deux intervalles $[m_{0},d_{0}]$ et $[d_{0},M_{0}]$. Itérons le processus : posons $m_{1}=m_{0},M_{1}=d_{0}$ ou $m_{1}=d_{0},M_{1}=M_{0}$ de sorte qu'il y ait une infinité de termes de $(u_{n})$ dans $[m_{1},M_{1}]$, et posons $d_{1}=(m_{1}+M_{1})/2$ le milieu de $[m_{1},M_{1}]$. À nouveau, il y a une infinité de termes de $(u_{n})$ dans $[m_{1},d_{1}]$ ou dans $[d_{1},M_{1}]$, et on peut continuer infiniment. Les suites $(m_{n})$ et $(M_{n})$ sont adjacentes car $(m_{n})$ est croissante, $(M_{n})$ est décroissante et l'écart entre les deux est divisé par 2 à chaque étape. Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une limite commune $l$. On pose $\varphi (0)=0$, et pour tout $n$, on choisit $\varphi (n+1)$ comme le plus petit entier strictement supérieur à $\varphi (n)$ tel que $u_{\varphi (n+1)}$ appartienne à $[m_{n+1},M_{n+1}]$, ce qui est possible car une infinité de termes de $(u_{n})$ appartiennent à $[m_{n+1},M_{n+1}]$. Alors, par le théorème des gendarmes, la suite $(u_{\varphi (n)})$ extraite de $(u_{n})$ tend vers $l$.

## Généralisation aux ℝ-espaces vectoriels normés de dimension finie

Le théorème s'applique toujours en remplaçant $\mathbb {R}$ par un $\mathbb {R}$-espace vectoriel normé de dimension finie. En particulier, il est vrai dans $\mathbb {C}$ muni du module complexe.
Cette généralisation peut se prouver à partir du cas réel. Soit un $\mathbb {R}$-espace vectoriel normé de dimension finie $d$, assimilé sans perte de généralité à $\mathbb {R} ^{d}$ muni d'une norme $\lVert \cdot \rVert$, et soit une suite bornée de vecteurs. On remarque que la suite des premières coordonnées est bornée. En appliquant le théorème dans le cas réel, on extrait une sous-suite de vecteurs telle que les premières coordonnées convergent. On extrait alors de cette sous-suite une sous-sous-suite qui fait converger les deuxièmes coordonnées des vecteurs, et ainsi de suite jusqu'aux $d$-ièmes coordonnées. La sous-suite ainsi obtenue converge dans $\mathbb {R} ^{d}$.

## Lien avec la compacité

Une généralisation du théorème affirme qu'un espace métrisable X est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de X.
Cet énoncé peut se décomposer en :
* Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
** Dans un espace (non nécessairement métrisable) compact ou même seulement dénombrablement compact, toute suite admet une valeur d'adhérence :voir l'article « Espace dénombrablement compact ».
** Dans tout espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes :voir l'article « Valeur d'adhérence ».
* L'énoncé proprement dit, le « si » :
   Tout espace métrisable séquentiellement compact est compact.
(Un espace séquentiellement compact est un espace dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.)
Tout espace métrique X séquentiellement compact est évidemment précompact, c'est-à-dire que toute suite dans X admet une sous-suite de Cauchy ou, ce qui est équivalent : pour tout r > 0, X est recouvert par un nombre fini de boules de rayon r.
Pour en déduire qu'il est compact, il suffit d'utiliser les liens généraux entre diverses notions de compacité : puisque X est précompact, il est séparable donc à base dénombrable donc de Lindelöf, c'est-à-dire que tout recouvrement ouvert $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ de X admet un sous-recouvrement dénombrable $\left(V_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$. Puis, en utilisant à nouveau la compacité séquentielle, $\left(V_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ a un sous-recouvrement fini (sinon, on pourrait choisir, pour tout n, un point $x_{n}\notin \cup _{k<n}V_{k}$, et la suite $(x_{n})$ n'aurait pas de valeur d'adhérence).
Une autre approche, plus spécifique, est d'utiliser le fait que pour tout recouvrement ouvert $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ d'un espace métrique séquentiellement compact X, il existe au moins un nombre de Lebesgue, c'est-à-dire un réel r > 0 tel que toute boule ouverte de X de rayon r soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement. Formellement :
    $\exists r\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall x\in X\quad \exists i(x)\in I\quad B\left(x,r\right)\subset U_{i(x)}$.
Soit alors X un espace métrique séquentiellement compact, prouvons qu'il est compact. Soit $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de X et soit r un nombre de Lebesgue pour ce recouvrement. Par précompacité, il existe une partie finie Y de X telle que $X=\bigcup _{x\in Y}B\left(x,r\right)$. On en déduit alors que la sous-famille finie $\left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in Y}$ recouvre X.