# Méthode de Newmark

La méthode de Newmark est une méthode d'intégration numérique pour la résolution numérique d'équations différentielles du second ordre. Créée par Nathan Newmark pour la résolution de problèmes de dynamique structurelle, elle convient, non seulement pour des systèmes différentiels linéaires, mais aussi pour des systèmes fortement non linéaires avec une matrice de masse et une force appliquée qui peuvent dépendre à la fois de la position et du temps. Dans ce second cas, le calcul nécessite à chaque pas une boucle d'itération.

## Principe

On considère la forme générale de l'équation de la dynamique :
$M\ {\ddot {x}}(t)+C\ {\dot {x}}(t)+K\ x(t)=f(t)$
dans laquelle M est la matrice de masse, K la matrice de rigidité, et C un éventuel opérateur d'amortissement. Ces opérateurs peuvent venir de la discrétisation (éléments finis, différences finies...) d'un problème de dynamique des structures, par exemple.
Le principe de cette méthode consiste à déterminer par un développement limité la position et la vitesse à l'instant $t$ à partir des mêmes grandeurs à l'instant $t-\Delta t$. Ce développement contient un terme d'erreur du troisième ordre proportionnel à la dérivée de l'accélération. Diverses hypothèses permettent de remplacer cette dérivée troisième par l'accélération au temps précédent en introduisant deux paramètres $\gamma$ et $\beta$. On peut écrire le schéma correctif suivant :
$x_{t}=x_{t-\Delta t}+{\Delta t}\ {\dot {x}}_{t-\Delta t}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left[(1-2\beta )\ {\ddot {x}}_{t-\Delta t}+2\beta \ {\ddot {x}}_{t}\right]$
${\dot {x}}_{t}={\dot {x}}_{t-\Delta t}+{\Delta t}\left[(1-\gamma )\ {\ddot {x}}_{t-\Delta t}+\gamma \ {\ddot {x}}_{t}\right]$
On considère les développements limités suivants :
$x_{t}=x_{t-\Delta t}+\Delta t\,{\dot {x}}_{t-\Delta t}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\,{\ddot {x}}_{t-\Delta t}+{\frac {\Delta t^{3}}{6}}\,x_{t-\Delta t}^{(3)}+o(\Delta t^{3})$
${\dot {x}}_{t}={\dot {x}}_{t-\Delta t}+\Delta t\,{\ddot {x}}_{t-\Delta t}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\,x_{t-\Delta t}^{(3)}+o(\Delta t^{2})$
${\ddot {x}}_{t}={\ddot {x}}_{t-\Delta t}+\Delta t\,x_{t-\Delta t}^{(3)}+o(\Delta t)$
La méthode de Newmark repose sur les approximations suivantes :
${\frac {\Delta t^{3}}{6}}\,x_{t-\Delta t}^{(3)}+o(\Delta t^{3})\approx \beta \,\Delta t^{3}\,x_{t-\Delta t}^{(3)}$
${\frac {\Delta t^{2}}{2}}\,x_{t-\Delta t}^{(3)}+o(\Delta t^{2})\approx \gamma \,\Delta t^{2}\,x_{t-\Delta t}^{(3)}$
En considérant une accélération linéaire entre deux pas de temps, on obtient :
${\ddot {x}}_{t}={\ddot {x}}_{t-\Delta t}+\Delta t\,x_{t-\Delta t}^{(3)}$
On en déduit alors les expressions suivantes :
$x_{t}=x_{t-\Delta t}+\Delta t\,{\dot {x}}_{t-\Delta t}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\,{\ddot {x}}_{t-\Delta t}+\beta \,\Delta t^{3}\,x_{t-\Delta t}^{(3)}$
${\dot {x}}_{t}={\dot {x}}_{t-\Delta t}+\Delta t\,{\ddot {x}}_{t-\Delta t}+\gamma \,\Delta t^{2}\,x_{t-\Delta t}^{(3)}$
${\ddot {x}}_{t}={\ddot {x}}_{t-\Delta t}+\Delta t\,x_{t-\Delta t}^{(3)}$
En remplaçant l'expression de $x_{t-\Delta t}^{(3)}$ dans celles de $x_{t}$ et ${\dot {x}}_{t}$, on obtient :
$x_{t}=x_{t-\Delta t}+{\Delta t}\ {\dot {x}}_{t-\Delta t}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left[(1-2\beta )\ {\ddot {x}}_{t-\Delta t}+2\beta \ {\ddot {x}}_{t}\right]$
${\dot {x}}_{t}={\dot {x}}_{t-\Delta t}+{\Delta t}\left[(1-\gamma )\ {\ddot {x}}_{t-\Delta t}+\gamma \ {\ddot {x}}_{t}\right]$
À chaque pas de temps, il est nécessaire de déterminer toutes les grandeurs $x_{t},{\dot {x}}_{t},{\ddot {x}}_{t}$. Cependant, le schéma d'intégration ne permet de retrouver que deux de ces grandeurs à chaque pas de temps. Pour déterminer la troisième, on utilise la contrainte imposée par l'équation différentielle :$M\ {\ddot {x}}_{t}+C\ {\dot {x}}_{t}+K\ x_{t}=f(t)$
De manière générale, pour garantir une meilleure précision sur $x_{t}$, l'équation différentielle est utilisée pour calculer $x_{t}$ en fonction de ${\dot {x}}_{t}$ et ${\ddot {x}}_{t}$. Pour ce faire, les équations données par le schéma numérique permettent d'exprimer ${\dot {x}}_{t}$ et ${\ddot {x}}_{t}$ en fonction de $x_{t-\Delta t}$, ${\dot {x}}_{t-\Delta t}$ et ${\ddot {x}}_{t-\Delta t}$.
Des deux paramètres $\gamma$ et $\beta$ dépendent les propriétés de l'algorithme, en particulier la stabilité et son caractère implicite ou explicite.
| Domaine | Stabilité |
| $\gamma \leq 1/2$ | instable |
| $1/2\leq \gamma$ et $2\beta \leq \gamma$ | conditionnellement stable |
| $1/2\leq \gamma \leq 2\beta$ | inconditionnellement stable |
Voici une liste de méthodes classiques associées à des valeurs particulières de $\gamma$ et $\beta$:
| Nom de la méthode | γ | β | Propriétés |
| Différences centrées | 1/2 | 0 | explicite et conditionnellement stable |
| Fox Goodwin | 1/2 | 1/12 | conditionnellement stable |
| Accélération linéaire | 1/2 | 1/6 | conditionnellement stable |
| Accélération moyenne | 1/2 | 1/4 | inconditionnellement stable |
On rappelle qu'une méthode est dite explicite quand les déplacements au pas de temps $t$ dépendent explicitement des variables au pas de temps $t-\Delta t$ (c'est le cas lorsque $\beta =0$). Les méthodes implicites font dépendre le déplacement au pas de temps $t$ des vitesses à ce même pas de temps.

## Application particulière

La méthode est également utilisée, de manière moins générale, pour résoudre numériquement des équations différentielles comportant de fortes non linéarités, la force excitatrice ou la force d'amortissement dépendant par exemple de la position, mises sous la forme :
$M\ {\ddot {x}}=f(x,{\dot {x}},t)$
Il faut donc recalculer les forces pour chaque position et vitesse, éventuellement par des calculs très lourds mais, à la différence d'autres méthodes d'intégration numérique, l'algorithme est particulièrement simple.
C'est une méthode pratique applicable à des problèmes qui peuvent être extrêmement complexes. Elle converge raisonnablement quand le pas de temps est suffisamment petit par rapport aux périodes impliquées (périodes propres du système ou périodes d'excitation) mais, à la différence de son utilisation dans le cas linéaire, on ne peut évidemment pas imposer une convergence inconditionnelle.