# Opérateur différentiel

En mathématiques, et plus précisément en analyse, un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.
* Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
* Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.
Un opérateur différentiel agissant sur deux fonctions $D(f,g)$ est appelé opérateur bidifférentiel.

## Exemples

L'opération différentielle la plus commune consiste simplement à prendre la dérivée de la grandeur considérée. Les notations usuelles pour désigner la dérivée première par rapport à une variable x sont par exemple :
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ ou $\partial _{x}$, ou encore $D$ ou $D_{x}$.
La notation en D est attribuée à Oliver Heaviside, qui l'a introduite dans son étude des équations différentielles pour noter des opérateurs différentiels de la forme :
    $\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$
Pour des dérivées d'ordre n supérieur, ces mêmes opérateurs peuvent s'écrire :
    ${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}$, $\partial _{x^{n}}^{n}$ ou encore $D_{x}^{n}$
La notation en "prime" s'utilise plutôt pour exprimer la valeur que prend une fonction dérivée f pour un argument x :
    $f'(x)\,\!$, ou : $[f(x)]'\,\!$
Deux opérateurs différentiels particulièrement fréquents sont l'opérateur nabla, défini dans une base cartésienne $(\mathbf {i} _{1},...,\mathbf {i} _{n})$, par :
    $\nabla =\sum _{k=1}^{n}{\partial \over \partial x_{k}}\mathbf {i} _{k},$
ainsi que l'opérateur laplacien, défini par :
    $\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$
Un autre opérateur utilisé en physique est l'opérateur Θ, dont les vecteurs propres sont les monômes homogènes, défini par
    $\Theta =z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}$ ou, dans le cas de plusieurs variables, $\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.$

## Notations

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$, et $x$ un point de $\Omega$. On introduit les $n$ coordonnées $x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$. Supposons que l'on ait une fonction des $n$ variables $x_{k}$.

### Dérivées du premier ordre

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée $x_{k}$ par le symbole :
    $\partial _{k}\ =\ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}$
On est également amené à introduire l'opérateur différentiel $\mathrm {D} _{k}$ du premier ordre défini par :
    $\mathrm {D} _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}$
Dans cette définition, $\mathrm {i}$ est la « racine de l'unité » complexe : $\mathrm {i} ^{2}=-1$. L'intérêt de définir cet opérateur $\mathrm {D} _{k}$ apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.
On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice $\alpha$ est un $n$-uplet d'entiers
    $\alpha \ =\ \left(\alpha _{1},\ \dots ,\ \alpha _{n}\right)\ ;\quad \ \alpha _{k}\,\in \,\mathbb {N}$
Sa longueur $|\alpha |$ est définie comme la somme des $\alpha _{i}$ et on définit enfin la multi-factorielle :
    $\alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!$

### Dérivées d'ordres plus élevés

* La dérivée partielle d'ordre $\alpha _{k}$ par rapport à la coordonnée $x_{k}$ correspond au symbole :
    $\partial _{k}^{\alpha _{k}}$
* On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global $|\alpha |$ :
    $\partial ^{\alpha }\ =\ \partial _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \partial _{n}^{\alpha _{n}}$
* Et les opérateurs différentiels $\mathrm {D} ^{\alpha }$, d'ordre global $|\alpha |$ :
    $\mathrm {D} ^{\alpha }\ =\ \mathrm {D} _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \mathrm {D} _{n}^{\alpha _{n}}$

## Définition d'un opérateur différentiel
### Définition

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre $m$ est défini par :
${\mathfrak {D}}\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \mathrm {D} ^{\alpha }$
où les $a_{\alpha }(x)$ sont des fonctions de $n$ variables, appelées coefficients de l'opérateur ${\mathfrak {D}}$.

### Propriété de localité

Un opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ est local au sens où, pour déterminer ses effets ${\mathfrak {D}}\,f(x)$ sur une fonction $f(x)$ suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point $x$ est nécessaire.

## Transformée de Fourier
### Introduction de la transformée de Fourier

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction $f(x)$ de $n$ variables $x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$ par :
${\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} x\ \mathrm {e} ^{-\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ f(x)$
Dans cette définition :
* on note $\xi$ le $n$-uplet constitué des variables : $\xi _{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$.
* la mesure est : $\mathrm {d} x=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} x_{k}$.
* le facteur $\langle \xi \,,\,x\rangle$ dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire :$\langle \xi \,,\,x\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}\,\xi _{k}$.
La formule de transformation inverse s'écrit alors :
$f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {f}}(\xi )$
où la mesure est : $\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ =\ {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\quad$ avec $\mathrm {d} \xi =\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} \xi _{k}$.

### Application aux opérateurs différentiels

On applique l'opérateur différentiel $\mathrm {D} _{k}=-\,\mathrm {i} \,\partial _{k}$ à la représentation de Fourier de la fonction $f$. En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :
    $\mathrm {D} _{k}\,f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \left(\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )$
qu'on peut écrire : $({\widehat {\mathrm {D} _{k}\,f}})(\xi )=\xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )$. On en déduit que :
    $({\widehat {\mathrm {D} ^{\alpha }\,f}})(\xi )\ =\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
où : $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\ \times \ \dots \ \times \ \xi _{n}^{\alpha _{n}}$. L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ vérifie donc la relation :
    $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :
$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )$

### Symbole d'un opérateur différentiel

On appelle symbole de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ la fonction $\sigma (x,\xi )$ des $2n$ variables $(x,\xi )$ polynomiale en $\xi$ de degré $m$ :
$\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }$
de telle sorte que :
$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$
On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur ${\mathfrak {D}}$ à partir de son symbole $\sigma$. Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.
Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a_{\alpha }(x)$ ne sont pas constants, le symbole $\sigma (x,\xi )$ dépend des coordonnées d'espace $x$, et l'expression $\sigma (x,\xi )\,{\hat {f}}(\xi )$ n'est pas la transformée de Fourier de $({\mathfrak {D}}\,f)(x)$, c’est-à-dire que :
    $({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$
La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

### Symbole principal d'un opérateur différentiel

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ la fonction :
    $\sigma _{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }$

## Classification des opérateurs différentiels
### Opérateur elliptique

L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ est dit elliptique au point $x\ \in \ \Omega$ si et seulement si :
$\forall \ \xi \ \in \ \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}\ ,\quad \sigma _{m}(x,\xi )\ \neq \ 0$
${\mathfrak {D}}$ est dit elliptique dans $\Omega$ s'il est elliptique pour tout point $x\ \in \ \Omega$.

### Opérateur hyperbolique

L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ est dit hyperbolique dans la direction $\eta$ au point $x\ \in \ \Omega$ si et seulement si : $\sigma _{m}(x,\eta )\neq 0$ et si, pour tout $\xi$ non colinéaire à $\eta$, les racines $\lambda _{i}$ de l'équation :
$\sigma _{m}(x,\ \xi \ +\ \lambda \,\eta )\ =\ 0$
sont toutes réelles. Si, de plus, les $m$ racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur ${\mathfrak {D}}$ est dit strictement hyperbolique dans la direction $\eta$.
${\mathfrak {D}}$ est dit (strictement) hyperbolique dans la direction $\eta$ dans $\Omega$ s'il est strictement hyperbolique dans la direction $\eta$ pour tout point $x\ \in \ \Omega$.

## Exemples importants pour la physique théorique

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

### Opérateur laplacien

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :
* en coordonnées cartésiennes dans $\mathbb {R} ^{n}$ :
    $\Delta \ =\ \sum _{k=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x_{k}^{2}}}$
* soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :
    $\Delta \ =\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial z^{2}}}$
Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

### Opérateur d'alembertien

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x,t)$ dans $\mathbb {R} ^{n+1}$ :
    $\Box \ =\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial t^{2}}}\ -\ \Delta$
où $\Delta$ est le laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et $c$ une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse $c$ dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

### Opérateur de la chaleur

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x,t)$ dans $\mathbb {R} ^{n+1}$ :
    ${\frac {\partial ~}{\partial t}}\ -\ {\tilde {D}}\ \Delta$
où $\Delta$ est le laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et ${\tilde {D}}$ est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

## Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients $a_{\alpha }$ sont indépendants des $n$ variables d'espace $x^{k}$, le symbole de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ est seulement une fonction $\sigma (\xi )$ des $n$ variables $\xi$ polynomiale en $\xi$ :
$\sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }$
de telle sorte que :
    $({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sigma (\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$
Le symbole principal de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ à coefficients constants est la fonction des $n$ variables $\xi$ :
    $\sigma _{m}(\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }$

## Cas général

On a vu que plus haut :
$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$
Pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a_{\alpha }(x)$ ne sont pas constants, le symbole $\sigma (x,\xi )$ dépend des coordonnées d'espace $x$, et on a :
    $({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$

### Expression de la transformée de Fourier

Partons de la relation générale :
    $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :
    $a_{\alpha }(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )$
on obtient :
    $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \times \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
soit :
    $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
A $\xi$ fixé, on fait le changement de variable : $\eta \to t=\xi +\eta$, ce qui donne :
    $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
On reconnait le produit de convolution :
    $\left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
d'où :
    $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)$
qu'on peut réécrire :
$({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(\xi )$