# Fonction centrale

En théorie des groupes, une fonction centrale est une application définie sur un groupe et constante le long de ses classes de conjugaison. Les fonctions centrales à valeurs complexes interviennent dans l'étude des représentations d'un groupe compact ; les fonctions centrales complexes de carré intégrable apparaissent comme les éléments du centre de son algèbre hilbertienne (en), d'où leur nom.

## Définition

Une application $f$ définie sur un groupe G est dite centrale si pour tous s et t dans G, on a :
$f(sts^{-1})=f(t)~$
ou encore (via la bijection (s,t)↦(u=st,v=s $^{−1}$))
$\forall u,v\in G\quad f(uv)=f(vu)$

## Propriétés

Pour tout corps K, le groupe G agit naturellement à droite sur l'espace vectoriel K$^G$ des applications de G dans K par : s.f : t↦f(sts$^{−1}$). Les fonctions centrales sur G à valeurs dans K sont donc les points fixes de cette représentation, et forment de ce fait un sous-espace vectoriel de K$^G$.
Cet espace vectoriel des fonctions centrales sur G à valeurs dans K est par ailleurs naturellement isomorphe à l'espace K$^C$, où C désigne l'ensemble des classes de conjugaison de G.

## Exemples

* Sur un groupe abélien, toute fonction est centrale. En effet, les classes de conjugaison sont alors les singletons.
* Un exemple un tout petit peu moins trivial de fonctions centrales est celui des morphismes de groupes à valeurs dans un groupe abélien.
* Un autre est celui de l'application, d'un groupe de torsion G dans l'ensemble ℕ*, qui à chaque élément de G associe son ordre.
* Si G est un groupe topologique, on se restreint en général aux fonctions centrales mesurables, voire continues.

## Algèbre hilbertienne d'un groupe compact

Si G est un groupe compact, on note λ sa mesure de Haar définie comme l'unique mesure de probabilité invariante par translation à gauche, et L$^2$(G) l'espace de Hilbert des fonctions complexes mesurables sur G et de carré λ-intégrable. Cet espace peut être muni :
* d'un produit associatif et distributif d'élément neutre la fonction constante égale à 1, le produit de convolution, défini par :
$\forall f,g\in L^{2}(G),\,f*g(s)=\int _{G}f(t)g(st^{-1})d\lambda (t);$
* d'une involution définie par :
$\forall f\in L^{2}(G),\,f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}.$
Muni de ces lois, L$^2$(G) est une algèbre de Banach involutive, et même une algèbre hilbertienne (en). L'étude de cette algèbre est liée à l'étude des représentations continues de G (lire Théorème de Peter-Weyl).
Cette relation transparait dans l'étude du centre de L$^2$(G). En effet, un calcul direct donne pour toutes fonctions mesurables f et g de carré intégrable :
$f*g(s)-g*f(s)=\int _{G}g(t^{-1}).\left[f(st)-f(ts)\right]~\mathrm {d} \lambda (t).$
Une fonction f appartient au centre de L$^2$(G) si et seulement si pour toute fonction g∊L$^2$(G), les convoluées f∗g et g∗f sont égales presque partout, donc partout car elles sont continues. De fait, cela équivaut à ce que pour presque tous u et v dans G, on a : f(uv)=f(vu).
Le centre de L$^2$(G) est donc le sous-espace vectoriel fermé des (classes de) fonctions centrales mesurables sur G et de carré intégrable.

### Caractère d'un groupe compact

Une représentation continue de dimension finie du groupe compact G est une application continue ρ : G→GL(V) où V est un espace vectoriel complexe de dimension finie.
Le caractère associé est la fonction centrale définie par :
$\chi _{\rho }(s)=Tr\left[\rho (s)\right]$
Deux représentations équivalentes ont même caractère.
On appelle caractère irréductible un caractère associé à une représentation continue irréductible. Les caractères irréductibles appartiennent à L$^2$(G), les caractères associés à deux représentations irréductibles non équivalentes sont orthogonaux, et l'ensemble des caractères irréductibles forme une base hilbertienne de L$^2$(G).
Pour un groupe fini G, le nombre de représentations irréductibles est le nombre des classes de conjugaison de G.