# Apeirogone

En géométrie, un apeirogone (du grec ancien : "ἄπειρος" apeiros : infini, sans bornes, et "γωνία" gonia : angle) est un polygone généralisé ayant un nombre infini (dénombrable) de côtés. Le plus souvent, le terme désigne un polygone régulier convexe (tous les angles et tous les côtés sont égaux, et les côtés ne se croisent pas) ; il n'existe pas à ce sens d'apeirogone non trivial en géométrie euclidienne, mais il y en a plusieurs familles (non semblables les unes aux autres) en géométrie hyperbolique.

## Définitions
### Définitions concrètes
#### Géométrie euclidienne

H. S. M. Coxeter part de la donnée, dans un espace euclidien, d'un point de base A$_0$ et d'une translation S ; l'ensemble des itérés A$_i$ = S$^i$(A$_0$) (avec $i\in \mathbb {Z}$) et des arêtes reliant les sommets adjacents $A_{i}$ et $A_{i+1}$définit un apeirogone (régulier). On peut aussi interpréter cette construction comme le partage d'une droite en segments d'égale longueur.

#### Géométrie hyperbolique

La construction classique d'un polygone régulier du plan euclidien (par une suite de rotations de ${\frac {2\pi }{n}}$ autour d'un centre bien choisi) peut s'adapter en itérant des rotations du segment $[A_{i},A_{i+1}]$ autour du point $A_{i+1}$ et d'angle ${\frac {(n-2)\pi }{n}}$ (le point $A_{i}$ devenant le point $A_{i+2}$) ; si on remplace ce dernier angle par un angle $\alpha$ quelconque, on n'obtient qu'un polygone régulier étoilé, ou une ligne polygonale ne se refermant pas, mais restant inscrite dans une couronne circulaire. En revanche, en géométrie hyperbolique (et en prenant pour courbure $K=-1$), si on part d'un côté de longueur a et d'un angle $\alpha \geq \alpha _{0}=2\arcsin {\frac {1}{\cosh(a/2)}}$, la suite des segments s'éloigne à l'infini ; l'ensemble des $A_{i}$, qu'on appelle un apeirogone d'angle $\alpha$ et de côté a, est inscrit dans un horocycle si $\alpha =\alpha _{0}$, et dans un hypercycle si $\alpha >\alpha _{0}$ (certains auteurs réservent le nom d'apeirogone à ceux inscrits dans des horocycles).

### Définition abstraite

Un polytope abstrait est un ensemble partiellement ordonné d'objets (les faces) dont la relation d'ordre modélise l'inclusion des faces de polytopes concrets$^{:22–25}$. Le cas particulier des polygones abstraits correspond à un ordre partiel sur certains sous-ensembles d'un ensemble de sommets : les sommets eux-mêmes, certains ensembles de deux sommets (les arêtes) et les deux sous-ensembles triviaux vide et plein, chaque sommet appartenant exactement à deux arêtes, et le graphe formé des sommets et des arêtes étant connexe$^{:22–25}$$^{:224}$ ; si l'ensemble des sommets est infini dénombrable, on parle d'un apeirogone abstrait$^{:25}$; il est unique à isomorphisme près. Le groupe des automorphismes de l'apeirogone abstrait (appelés symétries dans ce cas) est le groupe diédral infini$^{:31}$.

## Réalisations
### Définition

Une réalisation d'un polygone abstrait est une application de ses sommets vers des points d'un espace métrique (le plus souvent, l'espace euclidien ou l'espace hyperbolique de dimension n) telle que chaque automorphisme du polygone correspond à une isométrie de l'ensemble des images$^{:121}$$^{:225}$ ; deux réalisations sont dites congruentes si la bijection naturelle entre leurs ensembles de sommets est induite par une isométrie des espaces d'arrivée tout entiers$^{:126}$$^{:229}$. Ainsi, les définitions concrètes données précédemment sont des réalisations de l'apeirogone abstrait, respectivement dans le plan euclidien et dans le plan hyperbolique, mais bien qu'isomorphes, elles ne sont pas congruentes.

### Symétries

Le groupe G des automorphismes d'une réalisation V de l'apeirogone abstrait peut se décrire comme engendré par deux symétries (orthogonales), dont le produit envoie chaque sommet de V sur le suivant : la première symétrie laisse un sommet donné $S_{0}$ invariant, et la seconde échange deux sommets adjacents $S_{0}$ et $S_{1}$$^{:140–141}$$^{:231}$ ; selon la réalisation considérée, il est isomorphe au groupe diédral infini (si V est infini) ou au groupe diédral d'ordre 2n (si V a n éléments).