# Hiérarchie de Borel

La hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique X comme une réunion croissante d'ensembles de parties de X, indexée par le premier ordinal non dénombrable.

## Notations préliminaires

Soit ${\mathcal {E}}$ un ensemble de parties d'un ensemble X. On note :
* ${\mathcal {E}}_{\sigma }$ l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de ${\mathcal {E}}$ :${\mathcal {E}}_{\sigma }=\left\{\left.\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}~\right|~(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {E}}^{\mathbb {N} }\right\}$
* ${\mathcal {E}}_{\delta }$ l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de ${\mathcal {E}}$ :${\mathcal {E}}_{\delta }=\left\{\left.\cap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}~\right|~(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {E}}^{\mathbb {N} }\right\}.$
Les lettres grecques σ et δ représentent respectivement les mots allemands désignant la réunion (Summe) et l'intersection (Durchschnitt).
On note par ailleurs ω$_1$ le premier ordinal non dénombrable, c'est-à-dire l'ensemble des ordinaux dénombrables.

## Définition de la hiérarchie de Borel

Soient X un espace topologique métrisable, G l'ensemble de ses ouverts et F l'ensemble de ses fermés (F est l'initiale de « fermé », et G celle de « Gebiet » : « domaine (en) » en allemand).
On initialise une induction transfinie sur l'ordinal α ∈ ω$_1$ en notant :
    $\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}=G\quad {\rm {et}}\quad \mathbf {\Pi } _{1}^{0}=F.$
Puis, on définit alors par induction transfinie deux familles d'ensembles :
    $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}=\left(\bigcup _{\beta <\alpha }\mathbf {\Pi } _{\beta }^{0}\right)_{\sigma }\quad {\rm {et}}\quad \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}=\left(\mathbf {\bigcap _{\beta <\alpha }} \mathbf {\Sigma } _{\beta }^{0}\right)_{\delta }.$
Finalement pour chaque ordinal dénombrable α, on note :
    $\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}=\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}\cap \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}.$
Par exemple :
* Δ$^0$ $_1$ est l'ensemble des parties de X qui sont à la fois ouvertes et fermées ;
* Σ$^0$ $_2$, également noté F$_σ$, est l'ensemble des unions dénombrables de fermés ;
* Π$^0$ $_2$, également noté G$_δ$, est l'ensemble des intersections dénombrables d'ouverts ;
* Σ$^0$ $_3$, également noté G$_{δσ}$, est l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de Π$^0$ $_2$ = G$_δ$ ;
* Π$^0$ $_3$, également noté F$_{σδ}$, est l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de Σ$^0$ $_2$ = F$_σ$.
Les ensembles Σ$^0$ $_α$, Π$^0$ $_α$ et Δ$^0$ $_α$ sont respectivement appelés classes additives, multiplicatives et ambiguës. La famille ordonnée par inclusion formée par la totalité de ces classes (pour α ∈ ω$_1$) est appelée la hiérarchie de Borel.

## Propriétés élémentaires

* Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables.
* Pour chaque ordinal dénombrable α, les éléments de Σ$^0$ $_α$ sont les complémentaires des éléments de Π$^0$ $_α$.
* Pour tout ordinal dénombrable α, Δ$^0$ $_α$ est une algèbre d'ensembles.
* Les classes de la hiérarchie de Borel sont emboitées les unes dans les autres comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les flèches symbolisant l'inclusion :
${\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi } _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}$
* Dans X (espace métrisable), tout fermé est un G$_δ$ (et, trivialement, un F$_σ$).
* Dans ℝ, ℚ est un F$_σ$ (comme toute partie dénombrable d'un espace T$_1$) donc ℝ\ℚ est un G$_δ$.
* Dans ℝ, ℚ n'est pas un G$_δ$. En effet, sinon — puisque ℚ et ℝ\ℚ sont denses — l'ensemble vide serait comaigre, ce qui contredirait le théorème de Baire.

## Exhaustion de la tribu borélienne

Si l'on note ${\mathcal {B}}$ la tribu borélienne sur X, on peut montrer que :
    ${\mathcal {B}}=\bigcup _{1\leq \alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{1\leq \alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{1\leq \alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}.$

## Classes de Borel de fonctions

Une fonction f : X → Y (avec X et Y métrisables) est dite Borel-mesurable de classe α si pour tout ouvert U de Y, f$^{−1}$(U) appartient à la classe additive Σ$^0$ $_α$$_{+1}$ de X ou encore : pour tout fermé F de Y, f$^{−1}$(F) appartient à la classe multiplicative Π$^0$ $_{α+1}$.
Les fonctions de classe de Borel 0 sont donc les fonctions continues, tout comme les fonctions de classe de Baire 0.
Toute fonction de classe de Baire 1 est de classe de Borel 1, autrement dit : pour toute fonction f : X → Y limite simple d'une suite de fonctions continues et tout ouvert U de Y, f$^{−1}$(U) est un F$_σ$.
Soient (f$_m$) une telle suite et F un fermé de Y, montrons que f$^{−1}$(F) est un G$_δ$. Pour tout point x de f$^{−1}$(F), d(f$_m$(x), F) ≤ d(f$_m$(x), f(x)) → 0 donc pour tout entier n > 0, en notant S$_n$ le 1/n-voisinage ouvert de F
    $S_{n}:=\left\{y\in Y\mid d(y,F)<{\tfrac {1}{n}}\right\},$
il existe au moins un entier m ≥ n tel que f$_m$(x) ∈ S$_n$ (en fait : tous les entiers m à partir d'un certain rang), ce qui s'écrit :
    $f^{-1}(F)\subset \bigcap _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\bigcup _{m\geq n}f_{m}^{-1}(S_{n}).$
Réciproquement, si, pour un point x, il existe une suite d'entiers m$_n$ ≥ n tels que d(f$_{mn}$(x), F) < 1/n, alors d(f(x), F) = 0, c'est-à-dire (puisque F est fermé) f(x) ∈ F. L'inclusion précédente est donc une égalité, et f$^{−1}$(F) est bien une intersection dénombrable d'ouverts (eux-mêmes réunions dénombrables d'ensembles de la forme f$_m$$^{−1}$(S$_n$), qui sont ouverts par continuité des f$_m$).
On démontre exactement de la même façon$^,$ que plus généralement, toute limite simple d'une suite de fonctions de classe de Borel α est de classe de Borel α + 1.
On en déduit facilement que toute fonction de classe de Baire α est de classe de Borel α si l'ordinal α est fini, et α + 1 s'il est infini (en écrivant α = λ + n avec n entier et λ nul ou ordinal limite, et en raisonnant par récurrence et induction).
La réciproque est fausse en général, mais vraie si Y = [0, 1]$^κ$ avec κ fini ou dénombrable : c'est le théorème de Lebesgue-Hausdorff$^,$.