# Suite de Tribonacci

Une suite de Tribonacci est une suite d'entiers dont la relation de récurrence est inspirée de celle de la suite de Fibonacci : chaque terme est la somme des trois termes qui le précèdent (dans une suite de Fibonacci, chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent).
Le terme de Tribonacci est un néologisme formé de tri (récurrence à trois termes) et de bonacci (en allusion au mathématicien Fibonacci). Il a été suggéré par Feinberg en 1963. Il existe de même des suites de Tetranacci où chaque terme est la somme des 4 termes qui le précèdent et même des suites de k-bonacci où chaque terme est la somme des k termes qui le précèdent.
On définit aussi une suite de mots de Tribonacci, construite à partir de trois lettres à l'aide de la substitution de Tribonacci : a donne ab, b donne ac, et c donne a.

## Étude mathématique

* La suite de Tribonacci étudiée ici est définie par :
** $T_{0}=0$, $T_{1}=1$, $T_{2}=1$ ;
** pour tout entier naturel n, $T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n}$.
* Les dix premiers termes sont donc : 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81 (suite A000073 de l'OEIS décalée d'un cran : $T_{n}=A000073(n+1)$).
* La relation de récurrence peut s'écrire aussi : $T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}=2T_{n-1}-T_{n-4}$ pour $n\geqslant 4$.
* Comme ${\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}T_{n-1}\\T_{n}\\T_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{n}\\T_{n+1}\\T_{n+2}\end{bmatrix}}$, on a :
${\begin{bmatrix}T_{n}\\T_{n+1}\\T_{n+2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{bmatrix}}^{n}{\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}$
* La série génératrice de cette suite est donnée par :
    $F=X+X^{2}+2X^{3}+4X^{3}+7X^{4}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}T_{n}X^{n}={\frac {X}{1-X-X^{2}-X^{3}}}$.
La série génératrice de la suite $T_{n-1}$ est alors $XF$, celle de $T_{n-2}$ est $X^{2}F$ et celle de $T_{n-3}$ est $X^{3}F$ ; la relation de récurrence $T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}$, valable pour tout n supérieur ou égal à 3, assure que
    $F=XF+X^{2}F+X^{3}F+X+X^{2}-X^{2}$.
Les termes en complément correspondent aux 3 premiers termes des suites. Il suffit alors de résoudre cette équation. La fonction génératrice de la suite est donc :
    $F={\frac {X}{1-X-X^{2}-X^{3}}}$.
* Verner Emil Hoggatt Jr. (en) a prouvé en 1980 qu'il existe une partition de ℕ en deux ensembles dont la somme ne contient aucun élément de la suite de Tribonacci.

## Formule de type Binet

L'étude des suites récurrentes linéaires permet de dire que cette suite est combinaison linéaire des trois suites $(\tau ^{n})$, $(r^{n})$, $({\overline {r}}^{n})$ où $\tau ,r,{\overline {r}}$ sont les trois racines du polynôme $X^{3}-X^{2}-X-1$. La racine réelle (environ égale à 1,839), notée $\tau$ par analogie avec la notation $\varphi$ du nombre d'or ou constante de Fibonacci, est appelée constante de Tribonacci. Elle est égale à la limite du quotient (suivant sur précédent) de deux termes consécutifs. Les formules de Cardan en donnent une valeur exacte:
    $\tau ={\frac {{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+1}{3}}$.
Le terme général de la suite est alors :
    $T_{n}=a_{1}\tau ^{n}+a_{2}r^{n}+a_{3}{\overline {r}}^{n}$ où les $a_{i}$ sont donnés par les formules suivantes :
    $a_{1}={\frac {\tau }{|\tau -r|^{2}}}$
    $a_{2}={\frac {r}{(r-{\overline {r}})(r-\tau )}}$
    $a_{3}={\overline {a_{2}}}$
D'après les relations entre coefficients et racines, on a $r+{\overline {r}}=1-\tau ,r{\overline {r}}=1/\tau$, donc $r,{\overline {r}}$, sont de module ${\frac {1}{\sqrt {\tau }}}<1$. On obtient :
    $T_{n}={\frac {\tau ^{n}}{\tau (5-\tau ^{2})}}+\varepsilon _{n}$ où $\varepsilon _{n}\rightarrow 0$,
et aussi, uniquement en fonction de $\tau$$^,$ :
    $T_{n}=\left\lfloor {\frac {\tau ^{n}}{r_{1}(5-\tau ^{2})}}\right\rceil ,$
où$\left\lfloor .\right\rceil$ désigne la fonction « entier le plus proche ».

## Propriétés de la constante de Tribonacci

On a :
$\tau ={\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\tfrac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\tfrac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1{,}839\,286\,755\,214\,161$, décimales données par la suite A058265 de l'OEIS.
Cette constante vérifie par définition :
$\tau ^{3}=\tau ^{2}+\tau +1$
$\tau =1+{\frac {1}{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}$
${\frac {1}{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}+{\frac {1}{\tau ^{3}}}=1$
donc aussi :
$\tau ^{4}=2\tau ^{3}-1$
$\tau +{\frac {1}{\tau ^{3}}}=2$
Son inverse, solution positive de x$^3$ + x$^2$ + x = 1 a pour décimales la suite A192918 de l'OEIS.
Elle intervient dans les coordonnées des sommets du cube adouci.

### Construction géométrique

La constante de Tribonacci, algébrique de degré 3, n'est pas constructible à la règle et au compas, mais on peut la construire à la règle graduée et au compas.
Dans la figure ci-contre, posant $\alpha ={\widehat {BAE}}={\widehat {BDC}}$, on a $BD=\tan {\frac {\alpha }{2}}=\cos \alpha$, donc, posant $t=\tan {\frac {\alpha }{2}}$, on a $AC=1+\sin \alpha =1+{\frac {2t}{1+t^{2}}}$, sachant $t={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$. En éliminant $t$, on obtient $AC^{3}-AC^{2}-AC-1=0$, ce qui montre que la constante de Tribonacci est égale à la longueur $AC$.
On a $EC=\tau (\tau -1)\approx 1,543689$, voir la suite A256099 de l'OEIS.
L'angle $\alpha ={\widehat {BAE}}=\arccos \tau$ vaut environ 57,065°.

## Interprétation combinatoire de la suite de Tribonacci

T$_{n+1}$ est égal au nombre de suites finies d'entiers égaux à 1, 2 ou 3 dont la somme est égale à n , c'est-à-dire le nombre de compositions de n formées à partir de ces entiers ; par exemple $T_{4}=4$ car 3 s'écrit $1+1+1\ ;1+2\ ;2+1\ {\text{ou }}3$$^,$.
De façon imagée, T$_{n+1}$ est le nombre de façons de vider un tonneau de n litres à l'aide de bouteilles de un, deux, ou trois litres, ou le nombre de façons de découper un segment de longueur n en segments de longueur 1, 2 ou 3.
De manière plus générale, le terme d'indice n + 1 d'une suite de k-bonacci (chaque terme est la somme des k précédents, les termes d'indice $0,1,2,3,\dots ,k-1$ étant égaux à $\left(0,1,1,2,\dots ,2^{k-3}\right)$ correspond au nombre de compositions de n formées à partir des entiers de 1 à k.

## Suite de mots de Tribonacci

C'est la suite de mots définie par :
    M(1) = a
et par la substitution de Tribonacci suivante :
    a donne ab, b donne ac, et c donne a.
Nous obtenons alors la suite de mots suivants : a, ab, ab|ac, abac|ab|a, abacaba|abac|ab, abacabaabacab|abacaba|abac...
On s'aperçoit ainsi que chaque mot est obtenu par concaténation des 3 mots précédents : la longueur du mot M(n) est donc égale à $T_{n+1}$.
Le mot infini obtenu à la limite est le mot infini de Tribonacci. C'est un mot purement morphique.
Cette suite de mots intervient dans la construction de la fractale de Rauzy.

## Autres suites remarquables ayant la récurrence de Tribonacci
### 1)

La suite définie par ${\begin{cases}T'_{0}=3,T'_{1}=1,T'_{2}=3\\T'_{n+3}=T'_{n+2}+T'_{n+1}+T'_{n}\end{cases}}$ ; elle est la suite somme des puissances n-ièmes des racines de $X^{3}-X^{2}-X-1$ :
$T'_{n}=\tau ^{n}+r^{n}+{\overline {r}}^{n}$
Premiers termes : 3, 1, 3, 7, 11, 21, 39, 71, 131,..., suite A001644 de l'OEIS.
De $r+{\overline {r}}=1-\tau ,r{\overline {r}}=1/\tau$, on tire $r={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }}{\sqrt {\tau }}}$ où $\theta =\arccos(-{\sqrt {\tau }}(\tau -1)/2)$, d'où la formule :
$T'_{n}=\tau ^{n}+{\frac {2\cos n\theta }{\sqrt {\tau ^{n}}}}$
Et à partir de $n=4$ :
$T'_{n}=\lfloor \tau ^{n}\rceil$
Expression à l'aide de la matrice compagnon de $X^{3}-X^{2}-X-1$ :
$T'_{n}=\operatorname {Trace} \left({\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}^{n}\right).$
Cette suite est à la suite de Tribonacci définie ci-dessus ce qu'est la suite de Perrin à la suite de Padovan ; elle possède la propriété arithmétique remarquable que si $p$ est premier, $T'_{p}-1$ est un multiple de $p$.
Ceci peut être vu comme une application de la propriété de congruence pour les matrices à coefficients entiers : $\operatorname {Trace} A^{p}\equiv \operatorname {Trace} A\mod p$.
Le nombre $n=182$ est le plus petit composé $n$ tel que $T'_{n}-1$ soit un multiple de $n$.

### 2)

La suite définie par ${\begin{cases}T''_{0}=1,T''_{1}=1,T''_{2}=1\\T''_{n+3}=T''_{n+2}+T''_{n+1}+T''_{n}\end{cases}}$.
Premiers termes : 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355,..., suite A000213 de l'OEIS.
En fait, $T''_{n}=T_{n+1}-T_{n-1}$.

### 3)

La suite définie par ${\begin{cases}T'''_{0}=0,T'''_{1}=1,T'''_{2}=0\\T'''_{n+3}=T'''_{n+2}+T'''_{n+1}+T'''_{n}\end{cases}}$.
Premiers termes : 0, 1, 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, ..., suite A001590 de l'OEIS.
En fait, $T'''_{n}=T_{n}-T_{n-1}$.