# Ennéagone

Un ennéagone, ou nonagone$^,$$^,$, est un polygone à 9 sommets, donc 9 côtés et 27 diagonales.
La somme des angles internes d'un ennéagone non croisé vaut 7π radians, soit 1 260 degrés.
Un ennéagone régulier est un ennéagone dont les neuf côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a trois : deux étoilés (les ennéagrammes notés {9/2} et {9/4}) et un convexe, noté {9}. C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennéagone régulier ».

## Caractéristiques de l'ennéagone régulier

Si le côté a pour longueur a :
* chacun des 9 angles internes mesure 7π/9 rad = 140° ;
* chaque angle au centre mesure 2π/9 rad = 40° ;
* le rayon du cercle circonscrit vaut${\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{9}}}}$ ;
* l'apothème (le rayon du cercle inscrit) est (a/2) cot(π/9) ;
* La grande diagonale a pour longueur $a\,{\frac {\sin {\frac {4\pi }{9}}}{\sin {\frac {\pi }{9}}}}$ ;
* l'aire est égale à${\frac {9a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{9}}$.

## Construction d'un ennéagone régulier

Un ennéagone régulier n'est pas constructible avec seulement une règle (non marquée) et un compas, car le nombre 9 ne satisfait pas la condition du théorème de Gauss-Wantzel. Il l'est, par contre, « par neusis », avec une règle marquée et un compas.
Soient deux point A et B donnés. Il s'agit de construire un ennéagone de côté [AB] de longueur u. On appelle D1 la droite contenant A et B. Une des méthodes possibles est la suivante:
* Construction de l'axe de symétrie de la figure et d'un triangle équilatéral:
** on trace les cercles C1 de centre A passant par B, et C2 de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F étant le point du demi-plan d'origine D1 dans lequel on veut situer le centre de l'ennéagone ;
** on trace la droite D2 passant par E et F ;
** on trace les droites D3 et D4, passant par F et, respectivement, par A et B.
* Construction du point G (un des sommets de l'enneagone) par neusis :
** on trace le cercle C3 de centre F passant par A ;
** on marque la règle de deux points X et Y distants de u égal au segment AB qui est le côté du triangle équilatéral ;
** on fait glisser la règle marquée en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu'à ce que la marque Y de la règle se trouve sur le cercle C3, en un point H. La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3. On trace la droite D5 passant par B, H et G.
* Construction du point J (un autre sommet de l'ennéagone) et du cercle circonscrit à l'ennéagone :
** on trace le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B. Ces deux cercles se coupent en I et J, J étant le point situé dans le demi-plan d'origine D5 contenant A ;
** on trace la droite D6 passant par I et J. Elle coupe D2 en K centre du cercle circonscrit à l'ennéagone ;
** on trace le cercle C6 de centre K passant par A. Il passe aussi par B, G et J.
* Marquage des points L, M, N et O de l'ennéagone :
** C6 coupe D4, C1 et C2, en des points autres que les points A ou B, respectivement en L, M et N ;
** C6 coupe D2 en un point O dans le demi-plan d'origine D1 contenant K.
* Construction du dernier point P : on trace la droite D7 passant par K et H. Elle coupe C6 en P dans le demi-plan d'origine D5 contenant N.
Le polygone ABNPGOLJM est l'ennéagone recherché.
La démonstration complète est un peu longue mais relève de la géométrie élémentaire.

## Architecture

Les remparts de Palmanova, en Italie, furent bâtis par les Vénitiens en suivant un plan circulaire où les neuf bastions occupent les sommets d'un ennéagone régulier.