# Théorème des fonctions implicites

En mathématiques, le théorème des fonctions implicites est un résultat de géométrie différentielle. Certaines courbes planes sont définies par une équation cartésienne, c'est-à-dire une équation de la forme f(x, y) = 0, où x et y décrivent les nombres réels. Le théorème indique que si la fonction f est suffisamment régulière au voisinage d'un point de la courbe, il existe une fonction φ de ℝ dans ℝ au moins aussi régulière que f telle que localement, la courbe et le graphe de la fonction φ sont confondus. Plus précisément, si (x$_0$, y$_0$) vérifie l'équation, si f est continûment différentiable et si sa dérivée partielle par rapport à y en (x$_0$, y$_0$) n'est pas nulle alors, au voisinage de (x$_0$, y$_0$), la courbe s'identifie au graphe de φ.
Ce théorème admet une variante plus générale, qui s'applique non plus au plan, mais à des espaces de Banach, c'est-à-dire des espaces vectoriels normés complets. Il équivaut au théorème d'inversion locale, qui indique qu'une fonction différentiable et « suffisamment régulière » est localement inversible (c'est une conséquence directe d'un théorème du point fixe).
Ce théorème est utilisé dans différentes branches des mathématiques, sous cette forme ou sous celle de l'inversion locale. Il permet de démontrer le théorème des extrema liés ; il intervient dans un contexte plus géométrique, pour l'étude des sous-variétés différentielles ; on le trouve encore pour l'étude des équations différentielles où il est, entre autres, utilisé à travers le théorème du redressement d'un flot, permettant de démontrer le théorème de Poincaré-Bendixson. Il dépasse le cadre des mathématiques : les physiciens ou les économistes en font usage, lorsque certaines variables ne peuvent être définies à l'aide d'une fonction, mais uniquement implicitement à l'aide d'une équation.

## Dimension 2

Avant d'énoncer le théorème sous sa forme générale, prenons l'exemple de la dimension 2 :
   Soit f une fonction de classe C$^p$ (avec p > 0) définie sur un ouvert U de ℝ$^2$ et à valeurs dans ℝ. Soit (x$_0$, y$_0$) un point de U tel que f(x$_0$, y$_0$) = 0 et tel que la dérivée partielle de f par rapport à la deuxième variable ne soit pas nulle en (x$_0$, y$_0$). Il existe une fonction réelle $\varphi$ de classe C$^p$, définie sur un intervalle ouvert réel V contenant x$_0$, et un voisinage ouvert Ω de (x$_0$, y$_0$) dans U tels que, pour tout (x, y) ∈ ℝ$^2$ :
   $\left((x,y)\in \Omega {\text{ et }}f(x,y)=0\right)\,\Leftrightarrow \,\left(x\in V{\text{ et }}y=\varphi (x)\right)$
La condition $\varphi (x_{0})=y_{0}$ n'est pas explicitée car elle n'est qu'un cas particulier de l'équivalence. La dérivée de $\varphi$ au point x$_0$ est donnée par la formule :
${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}(x_{0})=-{\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}{{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}}$
Des exemples sont détaillés dans l'article « Fonction implicite ».

## Énoncé

Il est utile d'étendre ce résultat sur des surfaces et non plus sur des courbes, voire sur des espaces vectoriels dont la dimension n'est pas nécessairement finie. On trouve cette version plus générale$^,$ :
Théorème des fonctions implicites — Soient E, F et G trois espaces de Banach et f une fonction de classe C$^p$ définie sur un ouvert U de E × F et à valeurs dans G. Soit (x$_0$, y$_0$) un point de U tel que f(x$_0$, y$_0$) = 0 et tel que la différentielle partielle D$_y$f(x$_0$, y$_0$) soit inversible. Il existe une fonction φ de classe C$^p$ à valeurs dans F, définie sur un voisinage ouvert V de x$_0$, et un voisinage ouvert Ω de (x$_0$, y$_0$) dans U tels que, pour tout (x, y) ∈ E×F :
$\left((x,y)\in \Omega {\text{ et }}f(x,y)=0\right)\,\Leftrightarrow \,\left(x\in V{\text{ et }}y=\varphi (x)\right)$

### Remarques

* L'existence d'un tel ouvert Ω signifie que le graphe de φ est un ouvert de l'ensemble des zéros de f, ce qui garantit automatiquement l'unicité de φ, au sens suivant :Sur toute partie connexe C de V contenant x$_0$, φ est la seule application continue vérifiant
$\varphi (x_{0})=y_{0}\quad {\text{et}}\quad \forall x\in C\quad (x,\varphi (x))\in U{\text{ et }}f(x,\varphi (x))=0.$
* L'unicité sur un ouvert connexe quelconque (même convexe) contenant x$_0$ est trivialement fausse : si f est définie sur ℝ$^2$ par f(x, y) = x$^2$ – y$^2$ et si x$_0$ = y$_0$ = 1, φ$_1$(x) = x et φ$_2$(x) = |x| sont deux solutions distinctes définies sur ℝ.
* L'ouvert Ω peut être choisi de la forme V×W$^,$$^,$.

## Dimension supérieure
### Multiplicateur de Lagrange

Le théorème des fonctions implicites peut aussi être vu comme un outil pour démontrer des résultats, comme le théorème des extrema liés. On se place ici sur un ouvert U d'un espace de Banach E et l'on cherche les extrema d'une fonction f restreinte à un sous-ensemble S ⊂ U défini par une contrainte g(x) = 0, où f : U → R et g = (g$_1$, … , g$_m$) : U → R$^m$ sont supposées continument différentiables et la différentielle dg(a) en chaque point a de S est supposée surjective.
Le théorème des extrema liés indique qu'en chaque point a de S où f est extrémale, la différentielle de f est une combinaison linéaire des différentielles des g$_i$. Le théorème des fonctions implicites permet de montrer simplement ce résultat, en considérant localement S comme le graphe d'une fonction φ définie sur un ouvert V du noyau de dg(a). Le problème se ramène ainsi à l'étude des extrema ordinaires de la fonction z ↦ f(z, φ(z)), et l'on sait qu'une condition nécessaire d'extremum en un point de V est la nullité de la différentielle de cette fonction en ce point. C'est en répercutant sur f et g cette condition qu'on aboutit au résultat.

### Variété différentielle

Une sous-variété différentielle de dimension d de R$^n$ où n et d sont des entiers tels que 0 < d < n, permet de généraliser les notions de courbes ou de surfaces « lisses et régulières » de dimension 2. Les termes de « lisse et régulier » sont des métaphores pour désigner le fait que les objets considérés n'ont pas d'arête ou de point double. L'objet de ce paragraphe concerne les figures à l'image d'une sphère, qui est une variété différentielle de dimension 2, mais pas d'un cube, qui contient des points singuliers.
Le voisinage d'un point O dans une sous-variété M de dimension d de R$^n$ possède la propriété d'être semblable, au sens du difféomorphisme, à un ouvert de R$^d$. On peut l'exprimer de la manière suivante : il existe un homéomorphisme φ$_1$, continument différentiable de R$^d$ dans un ouvert de M contenant le point O et la différentielle de φ$_1$ en un point quelconque est de rang d. Autrement dit, il existe un « bon » paramétrage d'un voisinage de O dans M. Il est aussi possible d'exprimer cette propriété à l'aide d'une équation cartésienne. Il existe un ouvert V de R$^n$ et une fonction ψ de V dans R$^{n–d}$ continument différentiable et dont les différentielles sont surjectives, tels que M∩V soit l'ensemble des points x qui vérifient l'équation ψ(x) = 0, ce qui donne une définition locale à l'aide d'une équation cartésienne$^,$.
L'équivalence de ces deux points de vue se démontre dans un sens avec le théorème des fonctions implicites, la réciproque est plus aisée avec le théorème d'inversion locale.
Supposons que l'on dispose d'une équation paramétrique ψ$_1$(x) = 0 sur le voisinage U. La différentielle de ψ$_1$ en x$_0$, coordonnées du point O, est de rang d et possède un noyau K de dimension n - d et un supplémentaire H de ce noyau de dimension d, d'après le théorème du rang. Tout élément de U s'écrit de manière unique comme égal à une somme x$_0$ + h + k et l'on peut choisir un ouvert U$_H$ de H contenant le vecteur nul et un ouvert U$_K$ de H contenant le vecteur nul tel que x$_0$ + U$_H$ + U$_K$ soit contenu dans U. L'application ψ de U$_H$×U$_K$ dans R$^d$, qui à (h, k) associe ψ$_1$(x$_0$ + h + k) satisfait aux hypothèses du théorème des fonctions implicites, d'où l'existence d'un paramétrage locale du voisinage de O, construit sur le voisinage U$_H$.
On suppose maintenant que l'on dispose d'une représentation paramétrique locale du voisinage de O, c'est-à-dire une application φ$_1$ de R$^d$ dans R$^n$ dont l'image est un voisinage de O dans la variété. Cette situation est illustrée sur la figure de droite. La droite bleue représente R$^d$, la portion de courbe la variété contenant le point O est représentée en rouge. On identifie R$^d$ avec le sous-espace vectoriel de R$^n$ dont les n - d dernières coordonnées sont nulles. L'image de la différentielle de φ$_1$ au point x$_0$ est un sous-espace vectoriel de dimension d, on considère H$_a$ un supplémentaire de ce sous-espace vectoriel. On appelle H$_d$ le sous-espace de R$^n$ ayant les d premières coordonnées nulles. Les sous-espaces H$_a$ et H$_d$ ayant mêmes dimensions, ils sont isomorphes ; soit φ$_2$ un tel isomorphisme. On considère maintenant l'application φ de U×H$_d$ dans R$^n$, qui à x$_0$ + h + k associe φ$_1$(x$_0$ + h) + φ$_2$(k). Ici, h désigne un vecteur de R$^d$ et k un vecteur de H$_a$. L'application φ est continument différentiable et sa différentielle au point x$_0$ est un isomorphisme. Le théorème d'inversion locale montre qu'il existe un ouvert W contenant O et une application ψ$_1$ de W dans R$^n$ différentiable et qui soit localement une réciproque de φ. L'image de l'intersection de la variété et de W est incluse dans H$_d$, si l'ouvert W est choisi suffisamment petit. Il suffit, pour conclure, de composer ψ$_1$ par l'application linéaire qui, à un vecteur de R$^n$, associe le vecteur de R$^{n–d}$ constitué des n - d dernières coordonnées du vecteur d'origine. Si ψ est cette application composée, sur un voisinage de O, la variété est définie par l'équation ψ(x) = 0.

### Théorème du redressement d'un flot

Le théorème des fonctions implicites joue un rôle pour l'étude des équations différentielles. On le trouve à divers endroits, dont le théorème du redressement d'un flot. Considérons l'équation différentielle autonome (1) :
$(1)\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x).$
Ici f désigne une fonction continument différentiable définie sur U, un ouvert d'un espace de Banach E et à valeurs dans E. Le théorème de Cauchy-Lipschitz montre l'existence d'une unique fonction flot φ qui prend ses valeurs dans un ouvert V inclus dans R×U et à valeurs dans E, telle que la fonction qui à t associe φ(t, x) soit l'unique solution de l'équation (1) avec la condition de Cauchy s(0) = x.
Un exemple de flot, au voisinage V$_1$ d'un point x$_0$ de U est illustré en rouge à droite. Si l'on considère l'intersection de V$_1$ avec un hyperplan affine contenant x$_0$ et dont la direction ne contient pas f(x$_0$), on obtient la « pastille » illustrée en rouge et jaune. Pour l'étude locale d'un flot, la configuration équivalente au-dessous, en bleu est plus simple. Si la fonction f est constante, sur un voisinage de la pastille V, pour un point x de V, les solutions de l'équation différentielle (1) sont décrites par le flot φ(t, x) = x + tv où v est le vecteur constant image de f, sur un voisinage de V.
Une conséquence du théorème du redressement est l'existence d'un difféomorphisme ψ défini sur un voisinage W de x tel que :
$\forall x\in W,\;\forall t\in \left]-\mu ,\mu \right[\quad \psi \circ \varphi (t,x)=x+tv$
Autrement dit, il est possible de « redresser » le flot φ à l'aide d'un difféomorphisme ψ, ce qui permet une étude locale plus aisée de l'équation différentielle (1). La démonstration de ce résultat est fondée sur le fait que la fonction flot est aussi continument différentiable. La restriction de φ à W×]–μ, μ[ possède au point (0, x$_0$) une différentielle inversible. Le théorème d'inversion locale permet de conclure. Ce résultat est utilisé, par exemple dans la démonstration du théorème de Poincaré-Bendixson.

### Théorème de Cauchy-Lipschitz

Le théorème précédent est une application directe du théorème d'inversion locale, à la condition de disposer d'un résultat non immédiat. Si la fonction f du paragraphe précédent est de classe C$^1$, alors le flot l'est aussi. Ce résultat porte généralement le nom de théorème de Cauchy-Lipschitz. Cette forme sophistiquée du théorème est traitée dans l'article détaillé. De manière indépendante, deux mathématiciens Pugh et Robbin ont trouvé une même démonstration élémentaire. Elle consiste à étudier l'application T qui à un couple (x, σ) associe une fonction. Ici x est un élément de U avec les notations du paragraphe précédent et σ une fonction d'un petit intervalle contenant O. L'application est définie de la manière suivante :
$T(x,f)(t)=x+\int _{0}^{t}f(\sigma (\tau ))\mathrm {d} \tau -\sigma$
La solution intégrale s, qui à t associe φ(t, x) vérifie l'égalité T(x, s) = 0. Il est relativement simple de montrer que T satisfait les hypothèses du théorème des fonctions implicites, ce qui montre que la fonction qui à x associe la courbe intégrale φ(t, x) est de classe C$^1$. À partir de là, il est simple d'en déduire le caractère C$^1$.
Cette démonstration montre la pertinence du deuxième énoncé, très général, du théorème des fonctions implicites proposé dans cet article. En analyse fonctionnelle et à l'image du résultat de ce paragraphe, il est utile de pouvoir choisir les variables dans un Banach.

## Théorème des fonctions implicites holomorphes

Si on s'intéresse aux fonctions holomorphes à une ou plusieurs variables, on dispose d'une variante du théorème des fonctions implicites appelée théorème des fonctions implicites holomorphes.
   Soient $f_{j}\colon (w,z)\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{p}\mapsto f_{j}(w,z)\in \mathbb {C}$ pour $j=1,\ldots ,n$ des fonctions holomorphes au voisinage d'un point $(w_{0},z_{0})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{p}$ telles que $f_{j}(w_{0},z_{0})=0$ pour tout $j=1,\ldots ,n$. Supposons que
       $\det \left({\frac {\partial f_{j}}{\partial w_{k}}}\right)_{j,k=1}^{n}(w_{0},z_{0})\neq 0.$
   Alors les équations
       $f_{j}(w,z)=0,\qquad j=1,\ldots ,n.$
   admettent une solution holomorphe $w(z)$ au voisinage de $z_{0}$ telle que $w(z_{0})=w_{0}$.