# Fibré de Seifert

En topologie, un fibré de Seifert est une variété de dimension 3 munie d'une « bonne » partition en cercles. Plus précisément, c'est un fibré en cercles sur un orbifold de dimension 2. Ces variétés ont été introduites par Herbert Seifert. La plupart des « petites » variétés de dimension 3 sont des variétés de Seifert, et pour six des huit géométries de Thurston, toute variété orientée compacte sans bord de l'un de ces six types est aussi de Seifert.

## Définition

Une variété de Seifert est une variété de dimension 3 compacte sans bord munie d'une partition en cercles (appelés fibres) telle que chaque fibre possède un voisinage tubulaire formant un tore fibré standard.
Le tore fibré standard correspondant à un couple (a, b) d'entiers premiers entre eux avec a > 0 est le tore de la rotation du disque d'angle 2πb/a (muni de sa fibration en cercles naturelle). La fibre centrale est dite ordinaire si a = 1 et exceptionnelle si a > 1.
L'ensemble des fibres forme un orbifold de dimension 2, noté B et appelé la base – ou la surface des orbites – de la fibration. Son espace topologique sous-jacent est une surface B$_0$ dont certains points – ceux qui correspondent aux fibres exceptionnelles – sont des points singuliers de l'orbifold B.
Une variété de Seifert au sens originel ci-dessus (donc compacte) n'a qu'un nombre fini de fibres exceptionnelles. Mais la définition peut être étendue aux variétés non compactes.
Elle peut d'autre part être étendue aux variétés à bord (le bord sera alors aussi un fibré en cercles, donc sera une réunion de tores si la variété est compacte). Également, quand on étudie les variétés non orientables, il est parfois utile d'autoriser, comme voisinage tubulaire, un tore de réflexion du disque (au lieu d'un tore de rotation), i.e. une bouteille de Klein solide fibrée (au lieu d'un tore solide fibré standard), auquel cas les fibres exceptionnelles peuvent former des familles à un paramètre (au lieu d'être isolées). Dans ces deux cas, la base B de la fibration est un orbifold à bord.

## Classification

Herbert Seifert a classifié tous les fibrés de Seifert (compacts, sans bords) en termes des invariants suivants. À chacun de ces fibrés est associée de façon unique une liste normalisée de symboles de la forme :
$\left(b,(\varepsilon ,g);\{\!\!\{(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\!\!\}\right)$
où
* ε est l'un des 6 symboles o$_1$, o$_2$, n$_1$, n$_2$, n$_3$, n$_4$ (respectivement : Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII dans la notation originelle de Seifert), et est égal à :
** o$_1$ si B et M sont orientables,
** o$_2$ si B est orientable et M est non orientable,
** n$_1$ si B et M sont non orientables et tous les générateurs de π$_1$(B) préservent l'orientation de la fibre,
** n$_2$ si B est non orientable et M est orientable, ce qui entraîne que tous les générateurs de π$_1$(B) renversent l'orientation de la fibre,
** n$_3$ si B et M sont non orientables et g ≥ 2 et exactement 1 générateur de π$_1$(B) préserve l'orientation de la fibre,
** n$_4$ si B et M sont non orientables et g ≥ 3 et exactement 2 générateurs de π$_1$(B) préservent l'orientation de la fibre ;
* g est le genre de la 2-variété sous-jacente à la surface des orbites ;
* b est un entier, soumis de plus aux restrictions que b ne peut valoir que 0 ou 1 si M est non orientable et même, b ne peut valoir que 0 si de plus l'un des a$_{'i}$ vaut 2 ;
* {{(a$_1$,b$_1$),...,(a$_r$,b$_r$)}} est le multiensemble (i.e. la liste non ordonnée et avec répétitions éventuelles, mais les accolades qui le précisent sont généralement omises) des couples d'entiers qui déterminent le type de chacune des r orbites exceptionnelles. Ils sont normalisés de telle façon que 0 < b$_i$ < a$_i$ si M est orientable, et 0 < b$_i$ ≤ a$_i$/2 sinon.
Le fibré de Seifert correspondant à la liste (b,(ε,g);(a$_1$,b$_1$),...,(a$_r$,b$_r$)) peut être construit à partir de celui qui correspond à la liste (0,(ε,g);) par « chirurgie », en découpant r + 1 tores pleins fibrés sans fibre singulière et en recollant à leur place des tores fibrés standards de types (1,b),(a$_1$,b$_1$),...,(a$_r$,b$_r$).
Si l'on s'affranchit des conditions de normalisation alors on peut effectuer les modifications suivantes sur la liste des symboles, sans que cela change le fibré de Seifert qu'elle représente :
* changer à la fois le signe d'un a$_i$ et celui du b$_i$ correspondant ;
* ajouter 1 à b et retrancher simultanément (pour un certain i) a$_i$ de b$_i$ (autrement dit : on peut ajouter n'importe quels entiers à chacun des rationnels b, b$_1$/a$_1$, ..., b$_r$/a$_r$, pourvu que leur somme reste constante) ;
* si la variété n'est pas orientable, remplacer un b$_i$ par son opposé ;
* ajouter une fibre de type (1,0).
Toute liste de symboles est équivalente, par ces opérations, à une unique liste normalisée.
Par ailleurs, toute liste est équivalente à une liste (non normalisée) pour laquelle b est nul : il suffit d'ajouter une fibre de type (1, b).
Chaque liste normalisée est un invariant du fibré de Seifert associé, à isomorphisme près (orienté ou pas, selon le type), mais pas de la variété de Seifert à homéomorphisme près. En effet, certaines variétés de Seifert (comme les espaces lenticulaires) peuvent être fibrées de plusieurs façons et correspondre ainsi à plusieurs listes normalisées. En outre, changer l'orientation d'une fibration orientée a pour effet de remplacer b et tous les b$_i$ par leurs opposés, ce qui, après normalisation, donne la liste (-b-r,(ε,g);(a$_1$, a$_1$-b$_1$),...,(a$_r$, a$_r$-b$_r$)), qui représente la même variété orientable, mais munie de l'orientation inverse.
La somme b + Σb$_i$/a$_i$ est un invariant des fibrations orientées. Elle est nulle si et seulement s'il existe un revêtement fini de B sur lequel le fibré induit est trivial.
La caractéristique d'Euler d'orbifold χ(B) de l'orbifold B est donnée par
    χ(B) = χ(B$_0$)−Σ(1−1/a$_i$)
où χ(B$_0$) est la caractéristique d'Euler usuelle de la surface B$_0$ sous-jacente à l'orbifold B. Le comportement de M dépend en grande partie du signe de χ(B).

## Groupe fondamental

Le groupe fondamental de M s'insère dans la suite exacte
    $\pi _{1}(S^{1})\rightarrow \pi _{1}(M)\rightarrow \pi _{1}(B)\rightarrow 1$
où π$_1$(B) est le groupe fondamental d'orbifold de B (qui diffère du groupe fondamental de sa variété sous-jacente B$_0$). L'image du groupe π$_1$(S$^1$) est un sous-groupe normal cyclique – engendré par l'élément h représenté par n'importe quelle fibre régulière – mais le morphisme de π$_1$(S$^1$) dans π$_1$(M) n'est pas toujours injectif.
Le groupe fondamental de M a la présentation suivante, par générateurs et relations :
* si B est orientable :
    $\langle u_{1},v_{1},...u_{g},v_{g},q_{1},...q_{r},h|u_{i}h=h^{\varepsilon }u_{i},v_{i}h=h^{\varepsilon }v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}[u_{1},v_{1}]...[u_{g},v_{g}]=h^{b}\rangle$
où ε vaut 1 pour le type o$_1$, et -1 pour le type o$_2$.
* si B est non orientable :
    $\langle v_{1},...,v_{g},q_{1},...q_{r},h|v_{i}h=h^{\varepsilon _{i}}v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}v_{1}^{2}...v_{g}^{2}=h^{b}\rangle$
où ε$_i$ vaut 1 ou -1 selon que le générateur correspondant v$_i$ préserve ou inverse l'orientation de la fibre. (Donc les ε$_i$ valent tous 1 pour le type n$_1$, tous -1 pour le type n$_2$, seul le premier vaut 1 pour le type n$_3$, et seuls les deux premiers pour le type n$_4$.)

## Caractéristique d'Euler d'orbifold strictement positive

Les listes normalisées de symboles correspondant à des fibrés de Seifert dont l'orbifold a une caractéristique d'Euler strictement positive sont énumérées ci-dessous. Beaucoup correspondent à différentes fibrations de Seifert d'une même variété. La géométrie de Thurston de la variété correspondante est de type sphérique (en) si le groupe fondamental est fini, et de type S$^2$×R sinon, c'est-à-dire si la variété est non orientable ou si b+Σb$_i$/a$_i$= 0.
(b,(o$_1$, 0);) (b entier) est S$^2$×S$^1$ si b=0, et sinon c'est l'espace lenticulaire L(b,1) (en particulier, (1,(o$_1$, 0);)=L(1,1) est la 3-sphère.)
(b,(o$_1$, 0);(a$_1$, b$_1$)) (b entier) est l'espace lenticulaire L(ba$_1$+b$_1$,a$_1$).
(b,(o$_1$, 0);(a$_1$, b$_1$), (a$_2$, b$_2$)) (b entier) est S$^2$×S$^1$ si ba$_1$a$_2$+a$_1$b$_2$+a$_2$b$_1$ = 0, et sinon c'est l'espace lenticulaire L(ba$_1$a$_2$+a$_1$b$_2$+a$_2$b$_1$, ma$_2$+nb$_2$) où ma$_1$−n(ba$_1$+b$_1$) = 1.
(b,(o$_1$, 0);(2, 1), (2, 1), (n, b$_3$)) (b entier) est la variété prismatique (en) P(m, n) avec m = |(b+1)n + b$_3$| (son groupe fondamental est d'ordre 4mn et son premier groupe d'homologie est d'ordre 4m).
(b,(o$_1$, 0);(2, 1), (3, b$_2$), (3, b$_3$)) (b entier) a pour groupe fondamental une extension centrale du groupe tétraédrique A$_4$ par un groupe cyclique.
(b,(o$_1$, 0);(2, 1), (3, b$_2$), (4, b$_3$)) (b entier) a pour groupe fondamental le produit d'un groupe cyclique d'ordre |12b+6+4b$_2$ + 3b$_3$| et du groupe binaire octaédrique (en) (d'ordre 48), qui est un revêtement double du groupe octaédrique (d'ordre 24).
(b,(o$_1$, 0);(2, 1), (3, b$_2$), (5, b$_3$)) (b entier) a pour groupe fondamental le produit d'un groupe cyclique d'ordre m=|30b+15+10b$_2$ +6b$_3$| et du groupe binaire icosaédrique (en) (d'ordre 120 et parfait), qui est un revêtement double du groupe icosaédrique A$_5$. La variété est le quotient de la sphère de Poincaré par un groupe cyclique d'ordre m. En particulier, (−1,(o$_1$, 0);(2, 1), (3, 1), (5, 1)) est la sphère de Poincaré.
(b,(n$_1$, 1);) (b = 0 ou 1) sont les deux 3-variétés compactes connexes non orientables de géométrie S$^2$×R : pour b = 0 c'est le produit du plan projectif réel par le cercle et pour b = 1 c'est le tore de l'application antipodale de S$^2$.
(b,(n$_1$, 1);(a$_1$, b$_1$)) (b = 0 ou 1) sont les deux mêmes variétés non orientables de géométrie S$^2$×R. Le produit du plan projectif par le cercle correspond aux cas où ba$_1$+b$_1$ est pair.
(b,(n$_2$, 1);) (b entier) est la variété prismatique P(1, |b|), sauf pour b = 0 où c'est la somme connexe de deux copies de l'espace projectif RP$^3$, et pour |b| = 1 où c'est l'espace lenticulaire de groupe fondamental Z/4Z.
(b,(n$_2$, 1);(m, b$_1$)) (b entier) est la variété prismatique P(m, |bm + b$_1$|).

## Caractéristique d'Euler d'orbifold nulle

Les listes normalisées de symboles correspondant à des fibrés de Seifert dont l'orbifold a une caractéristique d'Euler nulle sont énumérées ci-dessous. La géométrie de Thurston de la variété correspondante est euclidienne si elle est non orientable ou si b+Σb$_i$/a$_i$= 0 – ou, ce qui est équivalent : si son groupe fondamental est virtuellement abélien, c'est-à-dire possède un sous-groupe abélien d'indice fini – et c'est la géométrie Nil (en) sinon. Il y a dans cette liste 10 variétés euclidiennes, mais 4 d'entre elles ont deux fibrations de Seifert différentes. Dans cette liste figurent également tous les fibrés associés à des automorphismes du 2-tore de trace 2, 1, 0, −1 ou −2 (ceux associés aux autres automorphismes – d'Anosov – ne sont pas de Seifert, mais ont une géométrie Sol (en)). Les variétés de géométrie Nil ont une unique fibration de Seifert, et sont caractérisées par leur groupe fondamental.
(b,(o$_1$, 0); (3, b$_1$), (3, b$_2$), (3, b$_3$)) (b entier, b$_i$ = 1 ou 2) : dans le cas euclidien b+Σb$_i$/a$_i$= 0, c'est le fibré orienté en 2-tores sur le cercle associé à une rotation d'ordre 3 (de trace −1) du 2-tore.
(b,(o$_1$, 0); (2,1), (4, b$_2$), (4, b$_3$) (b entier, b$_i$ = 1 ou 3) : idem en remplaçant ordre 3 (trace -1) par ordre 4 (trace 0).
(b,(o$_1$, 0); (2, 1), (3, b$_2$), (6, b$_3$)) (b entier, b$_2$ = 1 ou 2, b$_3$ = 1 ou 5): idem avec ordre 6 (trace 1).
(b,(o$_1$, 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)) (b entier) : ce sont des fibrés orientés en 2-tores sur le cercle associés à des automorphismes du 2-tore de trace -2. Dans le cas euclidien (b=−2), cet automorphisme est une rotation d'ordre 2 et l'espace est homéomorphe à celui de (0,(n$_2$, 2);).
(b,(o$_1$, 1); ) (b entier) : ce sont des fibrés orientés en 2-tores sur le cercle associés à des automorphismes de trace 2. Dans le cas euclidien (b=0), cet automorphisme est l'identité et l'espace est le 3-tore.
(b,(o$_2$, 1);) (b = 0 ou 1) : ce sont deux fibrés en bouteilles de Klein sur le cercle. Pour b=0 c'est le fibré trivial et le premier groupe d'homologie de la variété est Z+Z+Z/2Z. Pour b=1 c'est le fibré associé à un twist de Dehn (en) de la bouteille et le premier groupe d'homologie est Z+Z. Ces deux variétés (non orientables et euclidiennes) sont homéomorphes à celles des deux fibrés (b,(n$_1$, 2);).
(0,(n$_1$, 1); (2, 1), (2, 1)) : variété (non orientable et euclidienne) de premier groupe d'homologie Z+Z/4Z, homéomorphe à celle du fibré en bouteilles de Klein (1,(n$_3$, 2);).
(b,(n$_1$, 2);) (b = 0 ou 1) : ce sont les deux fibrés (non orientables et euclidiens) en 2-tores sur le cercle associés aux deux involutions sans point fixe qui renversent l'orientation. Ces deux variétés sont homéomorphes à celles des deux fibrés en bouteilles de Klein (b,(o$_2$, 1);).
(b,(n$_2$, 1); (2, 1), (2, 1)) (b entier) : orienté et, si b=−1, euclidien.
(b,(n$_2$, 2); ) (b entier) : orienté. Dans le cas euclidien (b=0), la variété est homéomorphe à celle du fibré en 2-tores (−2,(o$_1$, 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)).
(b,(n$_3$, 2);) (b = 0 ou 1) : ce sont les deux autres fibrés en bouteilles de Klein sur le cercle, associés à l'homéomorphisme y (en) et à son produit par le twist. Pour b=1, l'espace est homéomorphe à celui de (0,(n$_1$, 1); (2, 1), (2, 1)). Pour b=0, le premier groupe d'homologie est Z+Z/2Z+Z/2Z.

## Caractéristique d'Euler d'orbifold strictement négative

C'est le cas général. Dans ce cas, le fibré de Seifert est déterminé par le groupe fondamental de l'espace. Cet espace est asphérique (i.e. tous ses groupes d'homotopie suivants sont triviaux). Sa géométrie de Thurston est celle du revêtement universel de SL$_2$(R), sauf s'il possède un revêtement fini qui se décompose en un produit (ou, ce qui est équivalent : si la variété est non orientable ou si b+Σb$_i$/a$_i$= 0), auquel cas sa géométrie est celle de H$_2$×R.