# Action par conjugaison

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, une action par conjugaison est un cas particulier d'action de groupe. L'ensemble sur lequel agit le groupe G est ici G lui-même.

## Définitions

   Notons ici, pour tout élément g de G, $aut_{g}:G\to G,x\mapsto aut_{g}(x):=gxg^{-1}$
   l'automorphisme intérieur de G associé à g (c'est un automorphisme de G). Alors, l'application g ↦ aut$_g$, de G dans S$_G$, est un morphisme de groupes.
En effet, aut$_g$∘aut$_h$ = aut$_{gh}$.
   L'action de groupe associée, définie par
   $g\cdot x:=aut_{g}(x)=gxg^{-1},$
   est appelée l'action par conjugaison de G sur lui-même.
   Pour tout x appartenant à G, l'orbite de x sous cette action est appelée la classe de conjugaison de x et est notée C$_x$ :
   $C_{x}=\{gxg^{-1}\ |\ g\in G\}.$
   Ses éléments sont appelés les conjugués de x.

## Applications

* Les classes de conjugaison sont utilisées pour la démonstration du théorème de Wedderburn stipulant que tout corps fini est commutatif.
* Dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, les classes de conjugaison sont à la base de la définition des fonctions centrales d'un groupe fini, elles servent à définir l'espace vectoriel, les caractères des représentations. Dans le même contexte, on les retrouve pour l'analyse du centre d'une algèbre d'un groupe.
* Les automorphismes intérieurs sont utilisés pour la démonstration des théorèmes de Sylow, du théorème de Frattini et dans de nombreuses démonstrations concernant les groupes.
* La diagonalisation d'une matrice consiste à trouver une matrice diagonale qui lui est semblable.
* La conjugaison d'un quaternion purement imaginaire par un quaternion unitaire équivaut à la rotation d'un vecteur de l'espace à trois dimensions. La conjugaison d'un quaternion purement imaginaire par un quaternion quelconque équivaut à une similitude.

## Exemples

* Les classes de conjugaison d'un groupe symétrique sont composées de produits de cycles à supports disjoints de même structure. Ceci signifie que le nombre de cycles de même longueur est le même pour chaque élément d'une classe de conjugaison.
* Les classes de conjugaison d'un groupe alterné et du groupe simple d'ordre 168 sont étudiées dans l'article associé.

## Propriétés

* Quand G est commutatif, l'action par conjugaison est l'identité.
* Les classes de conjugaison constituent une partition de G associée à la relation d'équivalence :$x\sim y\Leftrightarrow \exists g\in G,\quad y=gxg^{-1}.$
* Un élément g de G fixe un élément particulier x si et seulement si g est élément du centralisateur Z$_x$ de x :$gxg^{-1}=x\Leftrightarrow gx=xg\Leftrightarrow g\in Z_{x}.$La formule des classes montre alors que, si C$_x$ désigne la classe de conjugaison de x :$\operatorname {Card} (C_{x})={\frac {\operatorname {Card} (G)}{\operatorname {Card} (Z_{x})}},$en particulier le cardinal de toute classe de conjugaison divise le cardinal de G.
* Un élément g de G fixe donc tout élément de G si et seulement si g appartient au centre Z(G) de G. Plus généralement, $\operatorname {aut} _{g}=\operatorname {aut} _{g'}$ ssi g = g' mod Z(G). Par conséquent, l'action de G (sur G) induit une action (sur G) du groupe quotient G/Z(G).
* L'orbite C$_x$ est réduite à {x} si et seulement si x appartient au centre de G. En choisissant un représentant x$_i$ par classe de conjugaison disjointe du centre, la formule précédente donne donc l'équation aux classes :$\operatorname {Card} (G)=\operatorname {Card} (Z(G))+\sum _{i}{\frac {\operatorname {Card} (G)}{\operatorname {Card} (Z_{x_{i}})}}.$