# Univers de Gödel

L'univers de Gödel est une solution aux équations de la relativité générale publiée par le mathématicien Kurt Gödel en 1949.

## Description

L'univers de Gödel est un modèle cosmologique. Cette solution possède plusieurs propriétés remarquables. Elle décrit un univers en rotation, c'est-à-dire un univers qui possède une direction privilégiée que l'on peut localement assimiler à un axe de rotation. Par ailleurs, la structure de l'espace-temps permet l'existence de courbes fermées de genre temps$^,$. Ces travaux sont à l'origine de la recherche d'un plus grand nombre de solutions exactes aux équations d'Einstein.

## Métrique de l'univers de Gödel

La métrique de Gödel est une solution exacte de l'équation d'Einstein avec constante cosmologique. Elle décrit un espace quadri-dimensionnel$^,$ lorentzien (tout comme notre espace-temps) empli de matière non relativiste de pression nulle et d'une constante cosmologique. La métrique (ou l'élément de longueur) de cet espace s'écrit
${\rm {d}}s^{2}=-{\rm {d}}t^{2}+{\rm {d}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\exp(2{\sqrt {2}}\omega x)\;{\rm {d}}y^{2}+{\rm {d}}z^{2}-2\exp({\sqrt {2}}\omega x)\;{\rm {d}}t\;{\rm {d}}y,$
où $\omega$ est une constante réelle représentant la vorticité du fluide qui est au repos par rapport aux coordonnées $x$, $y$, $z$. La densité d'énergie $\rho$ du fluide et la constante cosmologique $\Lambda$ sont reliées à la vorticité par
$4\pi \rho =-\Lambda =\omega ^{2}$
dans un système d'unités tel que la vitesse de la lumière et la constante de gravitation valent 1.

## Propriétés

L'univers de Gödel représente un espace homogène, c'est-à-dire que tous ses points sont équivalents.
Sa principale particularité est qu'il comporte des courbes de genre temps fermées. Par le changement de coordonnées
$\exp({\sqrt {2}}\omega x)=\cosh 2r+\cos \phi \sinh 2r,$
$\omega y\exp({\sqrt {2}}\omega x)=\sin \phi \sinh 2r,$
$\tan \left({\frac {1}{2}}(\varphi +\omega t-{\sqrt {2}}t)\right)=\exp(-2r)\tan {\frac {1}{2}}\varphi ,$
l'élément de longueur se réécrit
${\rm {d}}s^{2}=2\omega ^{-2}\left(-{\rm {d}}t'^{2}+{\rm {d}}r^{2}-(\sinh ^{4}r-\sinh ^{2}r)\;{\rm {d}}\varphi ^{2}-2{\sqrt {2}}\sinh ^{2}r\;{\rm {d}}\varphi \;{\rm {d}}t'\right)+{\rm {d}}z^{2}.$
Le fluide est toujours au repos par rapport aux coordonnées $r$, $\varphi$, $z$ et l'espace autour de l'origine est symétrique par rapport à l'axe $r=0$. L'espace étant homogène, cette propriété se retrouve pour tous les autres points. En $r=0$, le cône de lumière futur est orienté vers le haut, tout comme dans un système de coordonnées polaires ordinaire dans l'espace de Minkowski, et n'inclut pas les lignes de coordonnées de $r$ et $\varphi$. À mesure que l'on considère des points pour des valeurs plus grandes de $r$, les cônes de lumière s'inclinent peu à peu jusqu'à inclure la ligne de coordonnée de $\varphi$ à partir de $r=\ln(1+{\sqrt {2}})$. Les lignes de coordonnées de $\varphi$ sont donc pour les grandes valeurs de $r$ des courbes de genre temps fermées. Pour cette raison, l'espace de Gödel n'est pas considéré comme une solution physiquement acceptable des équations d'Einstein.

## Noter et références

* ↑ Prigogine 1985, sec. 17.7, p. 248.
* 1 2 Retoré et Zémor 2014, p. 115.
* 1 2 Hilgert 1995, sec. 9, § 9.7, p. 53.
* ↑ Ellis 1996, § 2, p. 35.
* ↑ Ellis 1996, § 2, p. 36.
* 1 2 Jaroszkiewicz 2016, chap. 20, p. 231.