# Espace de Hardy

Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité 𝔻 du plan complexe.

## Le cas hilbertien : l'espace H$^2$(𝔻)
### Définition

Soit f une fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que f admet un développement en série de Taylor en 0 sur le disque unité :
$\forall z\in \mathbb {D} \qquad f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\hat {f}}(n)\ z^{n}\qquad {\text{avec}}\qquad {\hat {f}}(n):={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}.$
On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H$^2$(𝔻) si la suite $({\hat {f}}(n))$ appartient à ℓ$^2$. Autrement dit, on a :
$H^{2}(\mathbb {D} )=\left\lbrace f\in Hol(\mathbb {D} )~\left|~\sum _{n=0}^{+\infty }\,|{\hat {f}}(n)|^{2}<+\infty \right.\right\rbrace$
On définit alors la norme de f par :
$\|f\|_{2}:=\left(\sum _{n=0}^{+\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$

### Exemple

La fonction $z\mapsto \log(1-z)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}$ appartient à H$^2$(𝔻), par convergence de la série $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2}}}$ (série de Riemann convergente).

### Une autre expression de la norme

Pour f holomorphe sur 𝔻 et pour 0 ≤ r <1, on définit :
$M_{2}(f,r):=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t\right)^{\frac {1}{2}}.$
* la fonction r ↦ M$_2$(f, r) est croissante sur [0, 1[.
* f ∈ H$^2$(𝔻) si et seulement si $\lim _{r\to 1^{-}}M_{2}(f,r)<+\infty$ et l'on a :
$\|f\|_{2}^{2}=\lim _{r\to 1^{-}}{{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t}=\sup _{0\leq r<1}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t.$
* Posons $z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}$ où $r\in [0,1[$ et $t\in [-\pi ,\pi ]$. On a :$f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)z^{n}{\hbox{ donc }}f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)r^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}$Alors, par la formule de Parseval, on a :$M_{2}(f,r)^{2}=\sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}$Cette formule prouve la première assertion.
* Si f ∈ H$^2$(𝔻), la formule précédente montre que $M_{2}(f,.)$ est une fonction croissante, bornée donc $\displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)}$ existe et d'après le théorème de convergence monotone cette limite est égale à $\|f\|_{2}$. Réciproquement si $\displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)=M<+\infty }$, pour chaque $N\geq 0$, on a, par croissance de $M_{2}(f,r)$ :$\sum _{n=0}^{N}\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq M^{2}$En passant à la limite quand $r$ tend vers $1^{-}$ puis quand $N$ tend vers $+\infty$, on obtient la deuxième assertion.

### Quelques propriétés de l'espace H$^2$(𝔻)

* L'espace de Hardy H$^2$(𝔻) est isométriquement isomorphe (en tant qu'espace vectoriel normé) à ℓ$^2$. C'est donc un espace de Hilbert.
On considère l'application $T:H^{2}(\mathbb {D} )\rightarrow \ell _{2}$ définie par $T(f)=({\hat {f}}(n))$. Celle-ci est bien définie par définition de H$^2$(𝔻), elle est clairement linéaire. Par unicité du développement en série entière elle est injective, il reste à montrer qu'elle est surjective.
Soit $(a_{n})\in \ell _{2}$, $(a_{n})$ est bornée donc la série entière f définie par $f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}$ a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1, en particulier $f\in Hol(\mathbb {D} )$ et $T(f)=(a_{n})$. $T$ est donc bien surjective.
* Pour tout f ∈ H$^2$(𝔻) et pour tout z dans 𝔻, on a :
$\vert f(z)\vert \leq {\frac {\|f\|_{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}.$
On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz au développement en série de Taylor de f en 0. On a alors, pour tout z dans 𝔻 :
$\vert f(z)\vert \leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert \vert z\vert ^{n}\leq \|f\|_{2}\,{(\sum _{n=0}^{+\infty }\vert z\vert ^{2n})}^{\frac {1}{2}}={\frac {\|f\|_{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}$
Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation f ↦ f(z), de H$^2$(𝔻) dans ℂ, est continue pour tout z dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :
${\frac {1}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}.$
En fait, on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.
* La topologie faible de la boule unité de H$^2$(𝔻) coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.
* Soit (f$_n$) une suite d'éléments de H$^2$(𝔻) qui converge en norme vers f alors (f$_n$) converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers f.
* Soit (f$_n$) une suite d'éléments de H$^2$(𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.

## Le cas général
### Définition

Pour 0 < p < + ∞, on définit l'espace de Hardy H$^p$(𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques f sur le disque unité telles que :
$\sup _{0<r<1}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}~{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)<+\infty .$
On définit alors :
$\|f\|_{p}=\sup _{0<r<1}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}~{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)^{\frac {1}{p}}.$

### Quelques propriétés

* Pour p ≥ 1, H$^p$(𝔻) est un espace de Banach.
* Soit f ∈ H$^p$(𝔻) pour p ≥ 1. Alors pour presque tout t (au sens de la mesure de Lebesgue) :$f^{*}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}):=\lim _{r\to 1^{-}}f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})$existe et l'application f ↦ f* est une isométrie de H$^p$(𝔻) sur le sous-espace $H_{*}^{p}$ de $L^{p}\left([0,2\pi ],{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)$ où :$H_{*}^{p}=\left\{\left.f\in L^{p}\left([0,2\pi ],{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)~\right|~\forall n\leq -1,~{\hat {f}}(n)=0\right\}.$
* On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques : Pour toute f ∈ H$^p$(𝔻), on a :
$\|f\|_{p}=\lim _{r\to 1^{-}}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)^{\frac {1}{p}}.$