# Fonction cylindre parabolique

En mathématiques, les fonctions cylindre parabolique sont des fonctions spéciales définies comme des solutions à l'équation différentielle
    ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left({\tilde {a}}z^{2}+{\tilde {b}}z+{\tilde {c}}\right)f=0.$         (1)
Cette équation apparait lorsque la technique de séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace exprimée en coordonnées cylindriques paraboliques.
L'équation ci-dessus peut être amenée sous deux formes distinctes (A) et (B) en complétant le carré et en redimensionnant z, appelées équations de HF Weber (Weber 1869) :
    ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}z^{2}+a\right)f=0$ (A)
et
    ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left({\frac {1}{4}}z^{2}-a\right)f=0.$ (B)
Si
    $f(a,z)\,$
est une solution, alors le sont aussi
    $f(a,-z),f(-a,\mathrm {i} z){\text{ et }}f(-a,-\mathrm {i} z).\,$
Si
    $f(a,z)\,$
est une solution de l'équation (A), alors
    $f(-\mathrm {i} a,z\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}})\,$
est une solution de (B), et, par symétrie,
    $f(-\mathrm {i} a,-z\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}),f(\mathrm {i} a,-z\mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}}){\text{ et }}f(\mathrm {i} a,z\mathrm {e} ^{\frac {-\mathrm {i} \pi }{4}})\,$
sont aussi des solutions de (B).

## Solutions

Il existe des solutions paires et impaires indépendantes de l'équation de la forme (A). Ceux-ci sont donnés par (suivant la notation d'Abramowitz et Stegun (1965)):
    $y_{1}(a;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}};\;{\frac {1}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {paire} )$
    $y_{2}(a;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {3}{4}};\;{\frac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {impaire} )$
où $\;_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)$ est la fonction hypergéométrique confluente de première espèce.
D'autres paires de solutions indépendantes peuvent être formées à partir de combinaisons linéaires des solutions ci-dessus (voir Abramowitz et Stegun). Une telle paire est basée sur leur comportement à l'infini :
    $U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]$
    $V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2-a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]$
où
    $\xi ={\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}}.$
La fonction U(a , z) se rapproche de zéro pour les grandes valeurs de z et | arg(z)| < π/2, tandis que V(a , z) diverge pour les grandes valeurs de z réel positif.
    $\lim _{z\rightarrow \infty }U(a,z)/\mathrm {e} ^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{pour}}\,|\arg(z)|<\pi /2)$
et
    $\lim _{z\rightarrow \infty }V(a,z)/{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {e} ^{z^{2}/4}z^{a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{si}}\,\arg(z)=0).$
Pour les valeurs demi-entières de a, celles-ci (c'est-à-dire U et V) peuvent être réexprimées en termes de polynômes d'Hermite ; alternativement, elles peuvent également être exprimés en termes de fonctions de Bessel.
Les fonctions U et V peuvent également être apparentées aux fonctions D$_p$(x) (une notation datant de Whittaker (1902)) qui sont elles-mêmes parfois appelées fonctions cylindre parabolique (voir Abramowitz et Stegun (1965)) :
    $U(a,x)=D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x),$
    $V(a,x)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}\left[\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x)+D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(-x)\right].$
La fonction D$_a$(z) a été introduite par Whittaker et Watson comme solution de l'équation ~(1) avec ${\tilde {a}}=-{\frac {1}{4}},{\tilde {b}}=0,{\tilde {c}}=a+{\frac {1}{2}}$ borné à $+\infty$ . Il peut être exprimé en termes de fonctions hypergéométriques confluentes comme
    $D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{2^{a/2}\mathrm {e} ^{-{\frac {z^{2}}{4}}}\left[\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+{\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a}{2}}+1\right)\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)\right]}.$
Un développement en série entière pour cette fonction a été obtenue par Abadir (1993).