# Application transposée

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, l'application transposée d'une application linéaire u : E → F entre deux espaces vectoriels est l'application $^t$u : F* → E* entre leurs duals définie par :
$\forall \ell \in F^{*},\qquad ^{\operatorname {t} }\!u(\ell )=\ell \circ u$
ou encore, si $\langle \;,\ \rangle$ est le crochet de dualité de E :
$\forall x\in E,\forall \ell \in F^{*},\qquad \langle ^{\operatorname {t} }\!u(\ell ),x\rangle =\langle \ell ,u(x)\rangle .$
La forme linéaire résultante $^{\operatorname {t} }\!u(\ell )\in E^{*}$ est nommée application transposée de $\ell$ le long de $u$.
Cette définition se généralise à des K-modules à droite sur un anneau (non nécessairement commutatif), en se souvenant que le dual d'un K-module à droite est un K-module à gauche, ou encore un module à droite sur l'anneau opposé K$^{op}$.

## Propriétés

* L'application $^t$u ainsi associée à u est, comme elle, linéaire.
* L'application qui à une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition. C'est elle-même une application linéaire, de L(E, F) dans L(F*, E*).
* ker($^t$u) = (im u)$^⊥$ (donc $^t$u est injective si et seulement si u est surjective) et im($^t$u) = (ker u)$^⊥$ (donc $^t$u est surjective si et seulement si u est injective).
* L'application de transposition est compatible avec la composition : si u est linéaire de E dans F et v linéaire de F dans G,$^{\operatorname {t} }\!(v\circ u)=^{\operatorname {t} }\!u\circ ^{\operatorname {t} }\!v.$(Notamment si u est un isomorphisme, alors l'inverse de la transposée de u est égal à la transposée de l'inverse de u.)
* Pour toutes parties A de E et B de F, on a [u(A)]$^⊥$ = ($^t$u)$^{−1}$(A$^⊥$), et u(A) ⊂ B ⇒ $^t$u(B$^⊥$) ⊂ A$^⊥$.
* Si E et F sont des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif, de bases respectives B et C, alors la matrice de la transposée de u, dans les bases duales C* et B*, est la transposée de la matrice de u dans les bases B et C :$\operatorname {mat} _{C^{*},B^{*}}(^{\operatorname {t} }\!u)=^{\operatorname {t} }\!\operatorname {mat} _{B,C}(u).$En effet, si B = (e$_1$, …, e$_n$) et C = (f$_1$, …, f$_m$), l'élément d'indices i,k de la matrice mat$_{C*,B*}$($^t$u) est 〈$^t$u(f$_k$*), e$_i$〉 et l'élément d'indices k,i de la matrice mat$_{B,C}$(u) est 〈f$_k$*, u(e$_i$)〉.
* Compte tenu du fait que la matrice d'une composée est le produit des matrices, on retrouve, à partir des deux points précédents, la formule $^t$(AB) = $^t$B.$^t$A.

## Application transposée en général

La notion de transposée intervient de façon beaucoup plus générale. Si l'on dispose d'une application $f$ entre deux ensembles :
$f:X\rightarrow Y$.
On en déduit pour tout ensemble $Z$ une application $f^{*}$ :
$f^{*}:\mathrm {Hom} _{Ensemble}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{Ensemble}(X,Z)$
définie par $f^{*}(g)=g\circ f$ où $\mathrm {Hom} _{Ensemble}(A,B)$ désigne l'ensemble $B^{A}$ des applications de $A$ dans $B$.
Si $X$, $Y$ et $Z$ sont des groupes, on peut utiliser exactement la même définition pour construire
$f^{*}:\mathrm {Hom} _{Groupe}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{Groupe}(X,Z)$
où cette fois $\mathrm {Hom} _{Groupe}(A,B)$ désigne l'ensemble des morphismes de groupes de $A$ dans $B$.
On pourrait de même définir la transposée d'un morphisme d'anneaux, d'espaces topologiques, d'espaces vectoriels topologiques, etc.
Cette construction entre donc dans le cadre général de la théorie des catégories.
Si ${\mathfrak {C}}$ est une catégorie $X$, $Y$ sont des objets de ${\mathfrak {C}}$ et $f$ est un élément de $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(X,Y)$. Alors pour tout objet $Z$ de ${\mathfrak {C}}$, il existe une application $f^{*}$ appelée transposée de $f$ :
$f^{*}:\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(X,Z)$.
C'est l'image $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(f,Z)$ de $f$ par le foncteur Hom contravariant $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(\cdot ,Z)$ de ${\mathfrak {C}}$ dans la catégorie $\mathrm {Ens}$ des ensembles.