# Théorème de Schur-Horn

En mathématiques, le théorème de Schur-Horn est un théorème d'algèbre linéaire caractérisant l'ensemble des diagonales possibles, pour une matrice hermitienne de valeurs propres prescrites.

## Énoncé

Étant donnés 2N réels
$d_{1}\geq d_{2}\geq \ldots \geq d_{N}\quad {\rm {et}}\quad \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{N},$
s'il existe une matrice hermitienne d'éléments diagonaux les d$_i$ et de valeurs propres les λ$_i$, alors (théorème de Schur$^,$)
$\sum _{i=1}^{N}d_{i}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\quad {\rm {et}}\quad \forall n<N\quad \sum _{i=1}^{n}d_{i}\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}.$
Réciproquement, si ces conditions sont vérifiées alors (théorème de Horn$^,$) il existe une matrice hermitienne, et même une matrice réelle symétrique, d'éléments diagonaux les d$_i$ et de valeurs propres les λ$_i$.

## Reformulation

Pour deux vecteurs de ℝ$^N$,
$d=(d_{1},d_{2},\ldots ,d_{N})\quad {\rm {et}}\quad \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{N}),$
il existe une matrice hermitienne (et même alors une matrice réelle symétrique) d'éléments diagonaux les d$_i$ et de valeurs propres les λ$_i$ si et seulement si
$\lambda \succ d$
c'est-à-dire — par définition — si, lorsqu'on réordonne de façon décroissante les composantes de ces deux vecteurs, l'égalité et les N – 1 inégalités ci-dessus sont vérifiées.
Or il existe des caractérisations équivalentes de la majorisation :
* λ majorise d si et seulement s'il existe une matrice bistochastique S telle que d = Sλ.
* λ majorise d si et seulement s'il existe une suite finie de vecteurs dont le premier est λ, le dernier est d et le successeur de chaque vecteur x est une combinaison convexe de x et de l'un de ses transposés.

## Démonstration

Notons Λ la matrice diagonale des λ$_i$.
⇒ : Soit $A=(a_{i,j})$ une matrice hermitienne N × N, de valeurs propres les λ$_i$ et de diagonale les d$_i$. Puisque A est normale, il existe une matrice unitaire U telle que A = UΛU* donc$\forall i=1,\ldots ,N\quad d_{i}=a_{i,i}=\sum _{j=1}^{N}|u_{i,j}|^{2}\lambda _{j},$ autrement dit, en notant s$_{i,j}$ = |u$_{i,j}$|$^2$ et $S=(s_{i,j})$ : $d=S\lambda .$
Comme U est unitaire, S est bistochastique, ce qui prouve que λ majorise d.
⇐ : Réciproquement, supposons que λ majorise d. On peut alors passer de λ à d par une suite finie de vecteurs dont chacun est obtenu à partir du précédent en ne modifiant que deux composantes u ≤ v, augmentant u d'au plus v – u et diminuant v d'autant. Construisons par récurrence, pour chaque vecteur x de cette suite (en particulier pour le dernier, ce prouvera l'implication), une matrice réelle symétrique de valeurs propres les λ$_i$ et de diagonale x. Pour le premier vecteur, λ, la matrice Λ convient. Supposons construite une matrice $A=(a_{i,j})$ pour le vecteur x et construisons une matrice B pour son successeur y, qui ne diffère de x que par deux coordonnées, par exemple, pour simplifier les notations : y$_1$ = x$_1$ – δ et y$_2$ = x$_2$ + δ avec δ compris entre 0 et x$_1$ – x$_2$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un angle θ entre 0 et π/2 tel que
$\delta =(x_{1}-x_{2})\sin ^{2}\theta +a_{1,2}\sin(2\theta ).$
Soient R$_θ$ la matrice de rotation plane d'angle θ et I$_{N–2}$ la matrice identité de taille N – 2. La matrice diagonale par blocs $P:={\begin{pmatrix}R_{\theta }&0\\0&I_{N-2}\end{pmatrix}}$ est orthogonale, et un calcul immédiat montre que B = PAP$^T$ convient.