# Roulement sur un plan incliné

Soit un corps cylindrique de masse M (kg), de centre de gravité $G$, de rayon $R$ (m), roulant sans glisser sur un plan incliné d’un angle $\alpha$ avec l’horizontale, à une vitesse de translation $V$ (m/s) et de rotation $\omega$ (rad/s), le coefficient de résistance au roulement est $\mu$.
* Ce corps cylindrique engendre des actions statiques dues à sa masse et des réactions du plan sur lequel il repose.
* En mouvement, ce corps engendre des actions dynamiques qui lui sont propres et un couple résistant au roulement dû au contact avec le plan incliné sur lequel il se déplace.

## Actions statiques
### Actions du corps sur le plan

La fig.1 représente la décomposition de ${\vec {M}}$ en deux composantes : la composante ${\vec {F}}$ parallèle au plan, la force ${\vec {N}}$ normale au plan au point de contact « a » et la réaction ${\vec {P}}$ du plan.
    ${\vec {F}}=|{\vec {M}}|\sin \alpha$
    ${\vec {N}}=|{\vec {M}}|\cos \alpha$
    ${\vec {P}}=-{\vec {N}}$.

### Réactions du plan

Dans la figure 3, le plan s’oppose au roulement selon une force ${\vec {T}}$ qui est la réaction du plan, dont le coefficient de résistance au roulement est $\mu$.
Le couple résistant sera ${\vec {T}}R={\vec {N}}\mu$, comme ${\vec {N}}={\vec {M}}\cos \alpha$, nous aurons :
    ${\vec {T}}={\frac {\mu }{R}}{\vec {M}}\cos \alpha$,
force qui s’oppose à ${\vec {F}}$.

### Force résultante

La force résultante qui fait rouler le corps sera ${\vec {F}}_{r}={\vec {F}}-{\vec {T}}$ et comme ${\vec {F}}={\vec {M}}\sin \alpha$, nous obtenons
    ${\vec {F}}_{r}={\vec {M}}\sin \alpha -{\vec {M}}{\frac {\mu }{R}}\cos \alpha$,
et en simplifiant :
    ${\vec {F}}_{r}={\vec {M}}(\sin \alpha -{\frac {\mu }{R}}\cos \alpha )$

## Actions dynamiques
### Énergie cinétique de translation

    c’est l’énergie produite par le corps qui se déplace par rapport à un plan (en joules).
    $E={\frac {1}{2}}Mv^{2}$

### Énergie cinétique de rotation

    c’est l’énergie produite par la rotation d’un corps autour d’un axe (le plus souvent passant par son centre de gravité).
$E={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$, avec le moment d’inertie $I=kMR^{2}$, où k est un coefficient qui dépend de la forme du corps. En remplaçant $I$ par sa valeur, nous obtenons :
    $E={\frac {1}{2}}kMR^{2}\omega ^{2}$

### Énergie cinétique totale produite

    c’est la somme des deux énergies précédentes.
$E={\frac {1}{2}}MV^{2}+{\frac {1}{2}}kMR^{2}\omega ^{2}$ et comme $V^{2}=R^{2}\omega ^{2}$, nous obtenons :
    $E=({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}k)MV^{2}$
En remplaçant k par sa valeur en fonction du corps nous obtenons (k=1/2 pour un disque plein, k=1 pour une jante et k=2/5 pour une sphère), et comme $V^{2}=2{\vec {a}}L$, où $L$ est la distance parcourue par le corps, ${\vec {a}}$ est l’accélération prise par le corps = $g(\sin \alpha -{\frac {\mu }{R}}\cos \alpha )$, nous aurons pour les 3 corps différents :
* pour un disque plein (k=1/2), $E={\frac {3}{4}}MV^{2}$, soit:
** $E={\frac {3}{2}}{\vec {M}}(\sin \alpha -{\frac {\mu }{R}}\cos \alpha )L$
* pour une jante (k=1), $E=MV^{2}$, soit :
** $E=2.{\vec {M}}(\sin \alpha -{\frac {\mu }{R}}\cos \alpha ).L$
* pour une sphère (k=2/5), $E={\frac {7}{10}}MV^{2}$, soit :
** $E={\frac {7}{5}}{\vec {M}}(\sin \alpha -{\frac {\mu }{R}}\cos \alpha )L$

## Condition de roulement
### Pour qu’il y ait mouvement

    pour qu’il y ait mouvement le couple moteur ${\vec {F}}R$ doit être supérieur au couple résistant :
${\vec {F}}R>{\vec {T}}R$ comme ${\vec {T}}R=\mu {\vec {N}}$, que ${\vec {N}}={\vec {M}}\cos \alpha$ et ${\vec {F}}={\vec {M}}\sin \alpha$, nous aurons :
${\vec {M}}\sin \alpha >{\frac {\mu }{R}}{\vec {M}}\cos \alpha$ et en simplifiant :
    $\tan \alpha >{\frac {\mu }{R}}$

### Pour qu’il n’y ait pas glissement

    il n’y aura pas de glissement tant que $||{\vec {T}}||\leq \mu ||{\vec {N}}||$, d’après la loi du frottement de Coulomb.
    ${\vec {T}}$ dépend également de la forme $k$ des corps.
    ${\vec {T}}={\frac {k{\vec {M}}\sin \alpha }{1+k}}<\mu {\vec {M}}\cos \alpha$, d’où :
    $\tan \alpha <\mu {\frac {1+k}{k}}$