# Théorème de Schur

En mathématiques, il existe plusieurs théorèmes de Schur.

## En théorie de Ramsey

Un théorème de Schur garantit qu'il n'existe pas de partition finie de l'ensemble des entiers strictement positifs par des sous-ensembles sans somme. Il est généralisé par le théorème de Folkman.
Concrètement$^,$, si l'on attribue une couleur à chaque entier d'un même sous-ensemble de la partition, il existe trois entiers x, y, z de même couleur (avec x et y non nécessairement distincts) tels que x + y = z.
Plus précisément, si c est le nombre de couleurs utilisées, il existe un plus petit entier S(c), appelé nombre de Schur, tel que l'ensemble fini {1, ..., S(c)} ne puisse pas être partitionné en c ensembles sans sommes (on appelle parfois plutôt « nombre de Schur » l'entier s(c) = S(c) – 1, c'est-à-dire le plus grand entier tel que {1, ..., s(c)} puisse être partitionné en c ensembles sans sommes). En 2024 on ne connaît la valeur de S(c) que pour c = 1, 2, 3, 4 et 5 : 0, 5, 14, 45 et 161.

### Cas c = 2

Montrons que S(2) = 5.
* Il existe une partition et une seule de {1, … ,4} en deux parties dont aucune ne contient trois entiers x, y, z tels que x + y = z. En effet, la partition 1, 2, 3, 4 convient, et c'est bien la seule car en appelant « bleu » la couleur de 1 et « vert » l'autre couleur, 2 doit être vert (car 1 + 1 = 2) donc 4 doit être bleu (car 2 + 2 = 4) donc 3 doit être vert (car 1 + 3 = 4).
* Il est impossible d'ajouter 5 à l'une des deux parties sans créer une somme x + y = 5 dans cette partie, car on aura 5 = 1 + 4 ou 5 = 2 + 3.

### Cas c = 3

Montrons que S(3) est au moins égal à 14. Il existe une partition de {1, … ,13} en trois parties dont aucune ne contient trois entiers x, y, z tels que x + y = z, à savoir la partition suivante : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. On remarque qu'il est impossible d'ajouter 14, car selon la couleur du nombre 14, on prendra : 14 = 1 + 13 ou 14 = 2 + 12 ou 14 = 9 + 5. En recensant toutes les partitions analogues de {1, … ,13} (car ce n'est pas la seule de ce type) on s'apercevrait qu'on ne peut jamais ajouter 14. Par suite, S(3) = 14.

### Cas c = 4 et c = 5

La détermination des nombres de Schur suivants est difficile. On a S(4) = 45, mais ce n’est qu’en 2017 qu’on a pu démontrer que S(5) = 161, par une démonstration occupant 2 Po (deux millions de milliards de caractères).

## En combinatoire

Un autre théorème de Schur concerne le nombre de manières d'exprimer un entier naturel comme combinaison linéaire à coefficients entiers (positifs) d'un ensemble donné d'entiers premiers entre eux. Plus précisément, si $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ est un ensemble de n entiers (strictement positifs et distincts) tels que PGCD$(a_{1},\ldots ,a_{n})=1$, alors le nombre $b_{m}$ de n-uplets $(c_{1},\ldots ,c_{n})$ d'entiers naturels tels que $m=c_{1}a_{1}+\cdots +c_{n}a_{n}$ admet comme comportement asymptotique, quand $m$ tend vers l'infini :
$b_{m}={\frac {m^{n-1}}{(n-1)!~a_{1}\cdots a_{n}}}+O(m^{n-2})$
La série génératrice associée est la fraction rationnelle $\sum _{m\in \mathbb {N} }b_{m}X^{m}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-X^{a_{i}}}}$. Comme les $a_{i}$ sont premiers entre eux, ses pôles sont : 1, d'ordre n, et d'autres racines de l'unité, d'ordres < n.
Or la décomposition en éléments simples associée à chaque pôle ω d'ordre r est de la forme ${\frac {c_{r}}{(1-X/\omega )^{r}}}+{\frac {c_{r-1}}{(1-X/\omega )^{r-1}}}+\cdots +{\frac {c_{1}}{1-X/\omega }}$ et pour tout entier k > 0, ${1 \over (1-Y)^{k}}=\sum _{m\in \mathbb {N} }{\binom {m+k-1}{k-1}}Y^{m}$. Puisque ${\binom {m+k-1}{k-1}}\sim _{m\to \infty }{\frac {m^{k-1}}{(k-1)!}}$, il reste donc : $b_{m}=c~{\frac {m^{n-1}}{(n-1)!}}+O(m^{n-2})$, où c est déterminé par : ${\frac {c}{(1-X)^{n}}}$ est l'élément simple d'indice maximum associé au pôle multiple 1, soit $c={\frac {1}{a_{1}\cdots a_{n}}}$.
En particulier, pour tout ensemble $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ d'entiers premiers entre eux, il existe une valeur de m telle que tout entier plus grand admet au moins une représentation comme combinaison linéaire de $a_{1},\ldots ,a_{n}$. Cette conséquence du théorème est en rapport avec le contexte plus familier du problème des pièces de monnaie de représenter un certain montant d'argent à l'aide de pièces de monnaie de valeur faciale donnée. Si ces valeurs faciales sont premières entre elles, comme 2 et 5, tout montant assez grand peut être représenté en utilisant uniquement ces pièces.

## En théorie des nombres

Schur a démontré en 1912 que :
* tout polynôme non constant $P\in \mathbb {Z} [X]$ a une infinité de diviseurs premiers, c.-à-d. qu'il existe une infinité de nombres premiers divisant au moins une valeur $P(k)\neq 0$, avec $k\in \mathbb {Z}$ ;
* pour tout entier $n>0$ et tout sous-groupe H de (ℤ/nℤ)$^×$, il existe un polynôme non constant $P\in \mathbb {Z} [X]$ tel que pour presque tout diviseur premier p de P, la classe de p mod n appartient à H ;
* Si $m^{2}\equiv 1\mod n$, il existe une démonstration élémentaire de l'existence d'une infinité de nombres premiers dans la classe de m mod n.