# Tour d'extensions quadratiques

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps, une tour d'extensions quadratiques est une suite finie K$_0$, … , K$_n$ de corps commutatifs dont chacun est une extension quadratique du précédent. Le corps K$_n$ est alors une extension finie de degré 2$^n$ de K$_0$. Si de plus la caractéristique de ces corps n'est pas 2, alors ces extensions sont séparables.
La notion est naturellement liée à celle de construction à la règle et au compas : la construction du polygone régulier à 17 côtés (découverte par Gauss en 1796) peut s'analyser en termes d'une suite d'extensions quadratiques ; le théorème de Wantzel (Wantzel 1837) permet de caractériser les nombres constructibles à la règle et au compas en termes de tour d'extensions quadratiques. Ce théorème a permis de clore certaines grandes questions ouvertes des mathématiques de la Grèce antique, comme la duplication du cube et la trisection de l'angle. L'étude de ces extensions permet, grâce à la théorie de Galois, une démonstration du théorème de Gauss-Wantzel, qui donne la liste des polygones réguliers constructibles à la règle et au compas.
Beaucoup d'auteurs utilisent la notion directement, sans lui attribuer un nom particulier, et parlent, à l'occasion, simplement de suite d'extensions quadratiques.

## Exemples

* Toute extension quadratique est une tour (à un seul élément) d'extensions quadratiques, mais la notion de tour n'est pas vraiment pertinente dans ce cas : le concept d'extension quadratique est suffisant.
* Soient a un entier, n un entier naturel, p = 2$^n$ et r une racine p-ième de a. Alors, ℚ(r) est le dernier corps d'une tour d'extensions quadratiques sur ℚ de longueur inférieure ou égale à n. En effet, si l'on note r$_n$ = r et, pour k de n à 1, r$_{k–1}$ = r$_k$$^2$, alors ℚ(r$_k$) est une extension de degré 1 ou 2 de ℚ(r$_{k–1}$) et ℚ(r$_0$) = ℚ(a) = ℚ. En revanche, l'extension ℚ(r) de ℚ n'est pas normale en général : par exemple pour n = 2 et a = 2, deux des quatre conjugués sur ℚ de la racine quatrième de 2 sont non réelles, or l'extension ℚ($^4$√2) est réelle.
* Soit n un entier dont l'indicatrice d'Euler est une puissance de 2 ; alors l'extension cyclotomique d'une racine primitive de l'unité d'ordre n se décompose en tour d'extensions quadratiques. Ce résultat est établi dans l'article « Théorème de Gauss-Wantzel » pour les cas n = 5 et n = 17. Il est établi de manière générale dans le paragraphe « Propriétés galoisiennes » ci-dessous.

## Propriétés galoisiennes

Lorsqu'une extension L/K est constituée des deux extrémités d'une tour d'extensions quadratiques, son degré est, par construction, une puissance de 2. La réciproque est vraie si l'extension est galoisienne :
   Toute extension de Galois dont le degré est une puissance de 2 est une tour d'extensions quadratiques.
Le groupe de Galois est d'ordre le degré 2$^n$ de l'extension. C'est donc un 2-groupe fini. Par conséquent, il possède une suite de Jordan-Hölder dont les quotients sont d'ordre 2. Le théorème fondamental de la théorie de Galois associe à cette suite une tour d'extensions quadratiques.
Or une extension algébrique L/K est galoisienne si et seulement si elle est à la fois normale (contrairement, par exemple, à ℚ($^4$√2)/ℚ : cf. ci-dessus) et séparable (c'est-à-dire que les polynômes minimaux sur L des éléments de K n'ont pas de racines multiples) et cette seconde condition est facile à satisfaire :
   Sur un corps de caractéristique différente de 2, toute extension de degré égal à une puissance de 2 est séparable.
Dans un tel corps K, pour tout entier naturel k, 2$^k$ n'est pas nul. Soit alors P le polynôme minimal sur K d'un élément de L. Le degré de P est une puissance de 2 donc la dérivée de son monôme dominant n'est pas nulle. Le polynôme P est donc un polynôme irréductible de dérivée non nulle, si bien qu'il est séparable.

## Clôture quadratique

   Dans une clôture algébrique fixée de K, la réunion de toutes les tours d'extensions quadratiques sur K est un sous-corps.
Soient x et y deux éléments de cette réunion L, F le dernier corps d'une tour d'extensions quadratiques contenant x et K$_1$ = K(y$_1$), K$_2$ = K$_1$(y$_2$), … , K$_m$ = K$_{m–1}$(y$_m$) une tour d'extensions quadratiques telle que K$_m$ contienne y. Alors la tour finissant par F, prolongée par F$_1$ = F(y$_1$), F$_2$ = F$_1$(y$_2$), … , F$_m$ = F$_{m–1}$(y$_m$), est une suite croissante d'extensions de degrés 1 ou 2 et F$_m$ contient K(x, y), qui est donc inclus dans L.
(Une démonstration graphique dans le cas particulier ou K est un sous-corps de ℝ est présentée dans l'article « Nombre constructible ».)
C'est donc une extension algébrique de K, et c'est sa plus petite extension quadratiquement close. On l'appelle la clôture quadratique de K.
La clôture quadratique de ℚ est le corps des nombres complexes constructibles (une définition géométrique équivalente est donnée dans l'article « Nombre constructible », le plan complexe étant alors identifié au plan euclidien). C'est une extension de degré infini. En effet, pour toute puissance p de 2, elle contient par exemple ℚ($^p$√2), qui est de degré p sur ℚ.

## Résultats géométriques

Les propriétés précédentes montrent que :
* tout nombre constructible est algébrique de degré une puissance de 2, ce qui résout par la négative trois des problèmes de l'Antiquité :
** la duplication du cube n'a pas de solution constructible (à la règle et au compas) ;
** la trisection d'un angle quelconque non plus car
** le n-gone régulier n'est pas constructible si n n'est pas le produit de nombres de Fermat premiers distincts par une puissance de 2 ;
* tout élément d'une extension normale de ℚ de degré une puissance de 2 est constructible, ce qui montre que réciproquement :
** la condition nécessaire ci-dessus pour que le n-gone régulier soit constructible est également suffisante (en raisonnant sur la n-ième extension cyclotomique).
La condition nécessaire pour qu'un complexe z soit constructible (qui est que son degré soit une puissance de 2) n'est, elle, pas suffisante en général, puisque pour tout entier n ≥ 2, il existe une infinité de polynômes (irréductibles et de degré n) à coefficients entiers dont le groupe de Galois sur ℚ est le groupe symétrique S$_n$.