# Théorème de Schmidt (théorie des groupes)

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de Schmidt, démontré par Otto Schmidt en 1924, dit que si G est un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, G est résoluble. K. Iwasawa a donné une description plus précise du groupe G sous les mêmes hypothèses.

## Démonstration

On raisonne par récurrence sur l'ordre du groupe. Les groupes cycliques sont résolubles. On suppose donc, pour un certain n, que l'énoncé est vrai pour tous les groupes d'ordre < n, et que G est un groupe non cyclique d'ordre n (donc n > 1) dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents. D'après le lemme 2 ci-dessous, G n'est pas simple. Par hypothèse de récurrence et d'après le théorème de correspondance, il est donc résoluble (car la nilpotence passe aux quotients et la résolubilité aux extensions).
Lemme 1 — Dans un groupe fini dont les sous-groupes maximaux sont d'intersection triviale 2 à 2, l'un de ces sous-groupes maximaux est normal.
Supposons qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal. Alors :
* pour tout sous-groupe maximal H, le normalisateur de H est réduit à H donc le nombre des conjugués de H est égal à l'indice (≥ 2) de H ;
* G n'est pas cyclique, donc :
** l'indice de tout sous-groupe maximal est majoré par |G|/2 ;
** G est la réunion de ses sous-groupes maximaux.
Les H\{e} pour H maximal (où e désigne l'élément neutre) étant de plus supposés disjoints 2 à 2, ils forment une partition de G\{e}. En notant c le nombre de leurs classes de conjugaison, h$_i$ l'indice des sous-groupes de la i-ème classe et g l'ordre de G, on en déduit une contradiction : $g-1=\sum _{i=1}^{c}h_{i}\left({\frac {g}{h_{i}}}-1\right)=cg-\sum _{i=1}^{c}h_{i}\in \left[{\frac {cg}{2}},c(g-2)\right]\Rightarrow 1\leq c<2.$. Ceci contredit l'hypothèse $c\geq 2$.
Lemme 2 — Soit G un groupe fini non cyclique. Si tous les sous-groupes maximaux de G sont nilpotents, alors G n'est pas simple.
Parmi les intersections de deux sous-groupes maximaux distincts (s'il en existe), soit I = H ∩ K d'ordre maximum. C'est un sous-groupe propre du groupe nilpotent H donc l'inclusion de I dans le normalisateur N$_H$(I) est stricte. Par maximalité de |I|, le seul sous-groupe maximal de G contenant N$_H$(I) est donc H. De même, K est le seul sous-groupe maximal contenant N$_K$(I). Le sous-groupe N$_G$(I), qui contient à la fois N$_H$(I) et N$_K$(I), n'est donc inclus dans aucun sous-groupe maximal, c'est-à-dire qu'il est égal à G, ou encore, que I est normal.
Si G est simple, on déduit que |I| = 1 (ou alors, G n'a qu'un sous-groupe maximal). On peut donc appliquer le lemme 1 : l'un des sous-groupes maximaux de G est normal. Comme G est supposé non cyclique, ce sous-groupe n'est pas trivial, ce qui contredit la simplicité de G.

## Précisions sur la structure du groupe

   Soit G un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, alors G est nilpotent ou d'ordre p$^m$q$^n$ avec p et q premiers distincts et m, n ≥ 1.
Tout p-groupe fini est nilpotent. Supposons que |G| a au moins trois diviseurs premiers. Puisque (d'après le théorème de Schmidt) G est résoluble, il possède un sous-groupe normal H d'indice premier p. Comme H est un sous-groupe propre de G, il est nilpotent. Ses sous-groupes de Sylow sont par conséquent (pleinement) caractéristiques dans H donc normaux dans G. Choisissons dans G, pour chaque diviseur premier q de |G|, un q-Sylow P$_q$. D'après ce qui précède, pour tout q ≠ p, P$_q$ est normal dans G. Comme chaque P$_p$P$_q$ (pour q ≠ p) est nilpotent (car propre dans G), P$_p$ est centralisé par tous les P$_q$ si bien qu'il est, comme eux, normal dans G. Par conséquent, G est nilpotent.

## Nombres nilpotents

Un nombre nilpotent est un entier n ≥ 1 tel que tout groupe d'ordre n soit nilpotent. Les nombres nilpotents sont caractérisés par le théorème suivant$^,$ :
   Soit p$_1$$^{k1}$…p$_r$$^{kr}$ la décomposition en facteurs premiers de n. Le nombre n est nilpotent si et seulement si pour tous i ≠ j, k$_i$ est strictement inférieur à l'ordre multiplicatif de p$_i$ modulo p$_j$.
Soit n un entier dont la décomposition en facteurs premiers ne vérifie pas la condition de l'énoncé. Alors, n est multiple d'un entier de la forme p$^k$q avec p et q premiers distincts, k ≥ 1 et p$^k$ ≡ 1 mod q. On construit facilement un groupe non nilpotent d'ordre p$^k$q, comme produit semi-direct de GL(k, F$_p$) par ℤ/qℤ et l'on en déduit un groupe non nilpotent d'ordre n, par produit direct par un groupe arbitraire d'ordre adéquat.
Réciproquement, supposons que la décomposition en facteurs premiers de n vérifie la condition de l'énoncé et montrons que tout groupe G d'ordre n est nilpotent. On procède par récurrence bien fondée, en supposant que l'énoncé est vrai pour tous les ordres < n. D'après la section précédente, G est alors nilpotent ou n a exactement deux facteurs premiers p et q. Mais dans ce second cas, d'après l'hypothèse sur la décomposition en facteurs premiers de n et le 3e théorème de Sylow, G a un p-Sylow et un q-Sylow uniques donc normaux, si bien que G est leur produit direct donc, là encore, G est nilpotent.
(En particulier, les nombres nilpotents pairs sont donc les puissances de 2.)
Pour tout entier c ≥ 1, on a un énoncé plus précis concernant la classe de nilpotence :
   Pour tout nombre nilpotent n, les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
   * la classe de nilpotence de tout groupe d'ordre n est au plus c ;
   * n est « sans puissances (c + 2)-ièmes » (c'est-à-dire que dans la décomposition en facteurs premiers, tous les exposants sont inférieurs ou égaux à c + 1).
Tout groupe d'ordre n (donc nilpotent) est produit direct de ses sous-groupes de Sylow. Sa classe de nilpotence est donc le maximum des leurs.
Pour tout p premier :
* tout groupe d'ordre d'ordre p$^k$ avec k ≤ c + 1 est de classe de nilpotence au plus c ;
* réciproquement, pour tout k ≥ c + 2, il existe des groupes d'ordre p$^k$ dont la classe de nilpotence est strictement supérieure à c.