# Anneau de Cohen-Macaulay

En algèbre commutative, un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau noethérien qui n'est pas nécessairement régulier, mais dont la profondeur est égale à sa dimension de Krull. Une singularité de Cohen-Macaulay est une singularité dont l'anneau local est un anneau de Cohen-Macaulay. Les anneaux portent le nom d'Irvin Cohen et Francis Macaulay.
Dans la hiérarchie des anneaux, on a les inclusions suivantes :
    Anneau universellement caténaire $\supset$ anneau de Cohen-Macaulay $\supset$ anneau de Gorenstein $\supset$ anneau d'intersection complète $\supset$ anneau local régulier.

## Définitions
### Suite régulière

Soit $M$ un module sur un anneau $R$ ; un élément $a\in R$ est dit régulier si $a\cdot x=0$ pour un $x\in M$ implique $x=0$ .
Une suite $(a_{1},\dotsc ,a_{n})$ d'éléments $R$ est appelée suite $M$- régulière si les conditions suivantes sont remplies :
* $M\neq (a_{1},\dotsc ,a_{n})M$ ;
* Pour $i<m$ l'image de $a_{i+1}$ dans $M/(a_{1},\dotsc ,a_{i})M$ n'est pas un diviseur de zéro.

### Profondeur d'un module

Soit $M$ un module sur un anneau $R$ ; la profondeur $\mathrm {prof} (M)$ de $M$ est la longueur maximale d'une suite $M$-régulière d'éléments de $R$ .

### Dimension d'un module

La dimension $\dim(M)$ d'un module $M$ sur un anneau $R$ est la dimension de Krull de $R/\mathrm {Ann} (M)$, où $\mathrm {Ann} (M)$ est l'annulateur de $M$.
Pour un module $M$ de type fini sur un anneau noethérien, on a :
    $\dim(M)=\max\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Ass} (M)\}=\max\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Supp} (M)\}$
où $\operatorname {Ass} (M)$ désigne l'ensemble des à idéaux premiers associés à $M$, et $\operatorname {Supp} (M)$ le support du module.
Pour un module de type fini $M$ sur un anneau local noethérien $R$ on a l'inégalité :
    $\operatorname {prof} (M_{m})\leq \min\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Ass} (M)\}\leq \dim(M)$.

### Cohen-Macaulay

Un module de type fini $M$ sur un anneau noethérien $R$ est appelé un module de Cohen-Macaulay si pour tous les idéaux maximaux $m$ de $R$ on a :
    $\mathrm {prof} (M_{m})=\dim(M_{m})$.
$R$ est un anneau de Cohen-Macaulay si $R$ en tant que module, est un module de Cohen-Macaulay.

## Exemples d'anneaux de Cohen-Macaulay

* La localisation d'un anneau de Cohen-Macaulay.
* Un anneau noethérien de dimension 0 ou, de manière équivalente, un anneau artinien.
* Un anneau noethérien de dimension 1 réduit.
* Un anneau noethérien de dimension 2 normal.
* Un anneau noethérien régulier, comme les entiers $\mathbb {Z}$, ou l'anneau des polynômes $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ sur un corps $K$, ou un anneau de séries formelles $K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$
* Un anneau de Gorenstein.
* L'anneau des invariants $R^{G}$, où $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay sur un corps de caractéristique 0 et $G$ est un groupe fini ou plus généralement un groupe algébrique linéaire dont la composante identité est un groupe réductif. C'est le théorème de Hochster-Roberts (en).
* Un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau caténaire.
* Un anneau déterminant (« determinantal ring » en anglais). Soit $R$ le quotient d'un anneau local régulier $S$ par l'idéal $I$ engendré par les mineurs de taille $r\times r$ des matrices $p\times q$ à éléments dans $S$. Si la codimension (ou hauteur) de $I$ est égale à la codimension $(p-r+1)(q-r+1)$, alors $R$ est appelé un anneau déterminant. Dans ce cas, $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay De même, les anneaux de coordonnées des variétés déterminantes sont des anneaux de Cohen-Macaulay.
* Anneaux de polynômes :
* L'anneau $K[x]/(x^{2})$ est de dimension 0 et donc est de Cohen–Macaulay, mais il n'est pas réduit et donc n'est pas régulier.
* Le sous-anneau $K[t^{2},t^{3}]$ de l'anneau de polynômes $K[t]$, ou sa localisation ou sa complétion en $t=0$, est un domaine de dimension 1 qui est Gorenstein et donc Cohen–Macaulay, mais il n'est pas régulier. Cet anneau peut auss être vu comme l'anneau des coordonnées de la courbe cubique $y^{2}=x^{3}$ sur $K$.
* Le sous-anneau $K[t^{3},t^{4},t^{5}]$ de l'anneau des polynômes $K[t]$, ou sa localisation ou complétion en $t=0$, est un domaine de dimension 1 qui est Cohen–Macaulay mais n'est pas Gorenstein.
* Les singularités rationnelles sur un corps de caractéristique zéro sont des singularités de Cohen-Macaulay.
* Les variétés toriques sur n'importe quel corps sont des variétés de Cohen-Macaulay. Le programme du modèle minimal fait un usage important des variétés avec des singularités de type klt (pour Kawamata log terminal) ; en caractéristique zéro, ce sont des singularités rationnelles et donc des singularités de Cohen-Macaulay. Un analogue des singularités rationnelles en caractéristique positive est la notion de 'F-singularité rationnelle ; là encore, de telles singularités sont des singularités de Cohen-Macaulay.
* Soit $X$ une variété projective de dimension $n\geq 1$ sur un corps, et soit $L$ un faisceau sur $X$. L'anneau de section de $L$
       $R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})$
    est Cohen-Macaulay si et seulement si le groupe de cohomologie $H^{i}(X,L^{j})$ est nul pour tout $1\leq i\leq n-1$ et tous les entiers j. Il s'ensuit, par exemple, que le cône affine $\operatorname {Spec} R$ sur une variété abélienne $X$ est Cohen-Macaulay lorsque $X$ est de dimension 1, mais pas lorsque $X$ a une dimension d'au moins 2 (car $H^{1}(X,O)$ n'est pas nul).

## Exemples géométriques

* Soit $K$ un corps ; la variété algébrique composée de l'axe des X et de l'axe des Y, est décrite par l'anneau de coordonnées $K[x,y]/(x\cdot y)$. Le point d'intersection est décrit par l'anneau
       $R=(K[x,y]/(x\cdot y))_{(x,y)}$
    C'est une singularité parce que $R$ est unidimensionnel, mais l'idéal maximum de $R$ ne peut être engendré que par deux éléments. D'un autre côté, $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay (et même de Gorenstein), puisque l'idéal maximal ne contient pas que des diviseurs de zéro.
* Une singularité plus compliquée est dans l'anneau
       $K[x,y]/(x^{2},x\cdot y)$
    L'anneau local associé à la singularité
       $(K[x,y]/(x^{2},x\cdot y))_{(x,y)}$
    n'est pas un anneau de Cohen-Macaulay. Il est unidimensionnel, mais l’idéal maximal n’est constitué que de diviseurs de zéro, il n’y a donc pas de suite régulière.