# Règle des moments

En physique, la règle des moments, ou règle du levier, règle des bras de levier, règle des segments inverses, règle des conodes, est une construction graphique qui permet de quantifier les proportions de deux phases en équilibre dans un diagramme de phases représentant la pression ou la température en fonction de la composition d'un mélange binaire (comportant deux espèces chimiques).

## Énoncé

L'exemple pris ici concerne un équilibre liquide-vapeur (gaz), mais peut être transposé à tout autre équilibre de phases.

### Diagramme de phases

Un diagramme de phases isotherme représente, à température donnée constante, la pression en fonction de la composition d'un mélange. Un diagramme isobare représente, à pression donnée constante, la température en fonction de la composition d'un mélange. Ces deux types de diagramme sont utilisés pour des mélanges binaires, constitués de deux espèces chimiques, notées ici $1$ et $2$. Les fractions molaires de ces deux espèces répondent donc à la contrainte $x_{1}+x_{2}=1$. Une courbe de pression ou de température peut ainsi n'être représentée qu'en fonction d'une seule de ces deux fractions : $P=P\!\left(x_{2}\right)$ à température donnée, ou $T=T\!\left(x_{2}\right)$ à pression donnée.
Les courbes reportées sur ces diagrammes représentent les conditions opératoires dans lesquelles débutent les transitions de phase, elles délimitent les domaines d'existence des différentes phases du mélange. Un domaine du diagramme dans lequel n'existe qu'une seule phase est délimité par des courbes fonctions de la composition de cette phase. Par exemple, dans le diagramme ci-contre, le domaine d'existence de la phase liquide seule (aux hautes pressions) est délimité par la courbe de bulle (bleue) $P=P\!\left(x_{2}^{\text{l}}\right)$ tracée en fonction de la composition du liquide ; cette courbe représente les conditions de transition du liquide vers la vapeur dans lesquelles apparait la première bulle de gaz. Le domaine d'existence de la phase gaz seule (aux basses pressions) est délimité par la courbe de rosée (orange) $P=P\!\left(x_{2}^{\text{g}}\right)$ tracée en fonction de la composition du gaz ; cette courbe représente les conditions de transition de la vapeur vers le liquide dans lesquelles apparait la première goutte de liquide.
Entre deux domaines représentant des phases seules, il peut exister un domaine dans lequel les deux phases coexistent en équilibre. Par exemple, dans le diagramme ci-contre, il existe, entre les domaines du liquide seul et du gaz seul, un domaine dans lequel les deux phases coexistent. Dans ce type de domaine, les compositions des phases en équilibre sont données par les intersections des courbes limitrophes et de la droite horizontale isobare ou isotherme (selon le type de diagramme). Dans le diagramme ci-contre, au point ${\mathsf {C}}$ dans le domaine de coexistence des phases liquide et gaz, la composition de la phase liquide est donnée par le point ${\mathsf {C}}^{\text{l}}$ sur la courbe de bulle et la composition de la phase vapeur par le point ${\mathsf {C}}^{\text{g}}$ sur la courbe de rosée, les trois points étant à la même pression $P_{\mathsf {C}}$. Au point ${\mathsf {C}}$ le corps $2$ a une fraction molaire $x_{2}^{\text{l}}$ en phase liquide et $x_{2}^{\text{g}}$ en phase gaz. Le point ${\mathsf {C}}$, lui, se situe à une fraction molaire $x_{2}$ comprise entre $x_{2}^{\text{l}}$ et $x_{2}^{\text{g}}$. Le segment de droite horizontal $\left[{\mathsf {C}}^{\text{g}}{\mathsf {C}}^{\text{l}}\right]$ qui joint les deux courbes limitrophes du domaine biphasé est appelé conode$^,$.

### Démonstration et énoncé de la règle

On suppose que le mélange est constitué d'une quantité de matière totale $n$, dont une quantité $n_{2}$ de l'espèce $2$. On a par définition la fraction molaire globale du corps $2$ :
    $x_{2}={n_{2} \over n}$
Lorsque le mélange est biphasique au point ${\mathsf {C}}$, la quantité de matière se répartit entre une quantité $n^{\text{l}}$ en phase liquide, dont une quantité $n_{2}^{\text{l}}$ de l'espèce $2$, et une quantité $n^{\text{g}}$ en phase vapeur, dont une quantité $n_{2}^{\text{g}}$ de l'espèce $2$. Les bilans de matière donnent :
    $n=n^{\text{l}}+n^{\text{g}}$
    $n_{2}=n_{2}^{\text{l}}+n_{2}^{\text{g}}$
Les fractions molaires du corps $2$ dans les deux phases sont définies par :
    $x_{2}^{\text{l}}={n_{2}^{\text{l}} \over n^{\text{l}}}$
    $x_{2}^{\text{g}}={n_{2}^{\text{g}} \over n^{\text{g}}}$
La longueur du segment $\left[{\mathsf {C}}{\mathsf {C}}^{\text{l}}\right]$ vaut :
    $x_{2}-x_{2}^{\text{l}}={n_{2} \over n}-{n_{2}^{\text{l}} \over n^{\text{l}}}={n_{2}^{\text{l}}+n_{2}^{\text{g}} \over n^{\text{l}}+n^{\text{g}}}-{n_{2}^{\text{l}} \over n^{\text{l}}}={n_{2}^{\text{g}}n^{\text{l}}-n_{2}^{\text{l}}n^{\text{g}} \over \left(n^{\text{l}}+n^{\text{g}}\right)n^{\text{l}}}$
La longueur du segment $\left[{\mathsf {C}}^{\text{g}}{\mathsf {C}}^{\text{l}}\right]$ vaut :
    $x_{2}^{\text{g}}-x_{2}^{\text{l}}={n_{2}^{\text{g}} \over n^{\text{g}}}-{n_{2}^{\text{l}} \over n^{\text{l}}}={n_{2}^{\text{g}}n^{\text{l}}-n_{2}^{\text{l}}n^{\text{g}} \over n^{\text{l}}n^{\text{g}}}$
On obtient la règle des moments, ou règle du levier, règle des bras de levier, règle des segments inverses, règle des conodes$^,$$^,$$^,$$^,$$^,$$^,$$^,$$^,$ :
* Règle des moments ou règle du levier : ${\left[{\mathsf {C}}{\mathsf {C}}^{\text{l}}\right] \over \left[{\mathsf {C}}^{\text{g}}{\mathsf {C}}^{\text{l}}\right]}={x_{2}-x_{2}^{\text{l}} \over x_{2}^{\text{g}}-x_{2}^{\text{l}}}={n^{\text{g}} \over n^{\text{l}}+n^{\text{g}}}={n^{\text{g}} \over n}$
Autrement dit, au point ${\mathsf {C}}$, le rapport des longueurs des segments $\left[{\mathsf {C}}{\mathsf {C}}^{\text{l}}\right]$ et $\left[{\mathsf {C}}^{\text{g}}{\mathsf {C}}^{\text{l}}\right]$ permet de déterminer la proportion $n^{\text{g}}/n$ de gaz dans le mélange. Ce paramètre est appelé taux de vaporisation ou fraction de vapeur :
$\tau ^{\text{g}}={n^{\text{g}} \over n^{\text{l}}+n^{\text{g}}}={n^{\text{g}} \over n}$
On peut de même définir un taux de liquéfaction ou fraction de liquide : $\tau ^{\text{l}}={\left[{\mathsf {C}}{\mathsf {C}}^{\text{g}}\right] \over \left[{\mathsf {C}}^{\text{l}}{\mathsf {C}}^{\text{g}}\right]}={n^{\text{l}} \over n}=1-\tau ^{\text{g}}$.
Si le diagramme est exprimé en fonction de la fraction massique $w_{2}$ du corps $2$ en place de la fraction molaire $x_{2}$, la règle des leviers donne la proportion en masse $m^{\text{g}}$ de gaz rapportée à la masse totale $m$ de mélange : $\tau ^{\text{g}}=m^{\text{g}}/m$.

## Variantes
### Autre grandeur molaire en abscisse

La règle des moments s'applique si l'abscisse représente une grandeur molaire ${\bar {X}}$ (ou une grandeur massique) quelconque des phases (par exemple le volume molaire ${\bar {V}}$). Soit un mélange biphasique composé d'une quantité $n^{a}$ de phase $a$, ayant la propriété extensive $X^{a}$ (par exemple le volume), et d'une quantité $n^{b}$ de phase $b$, ayant la propriété $X^{b}$. Le mélange biphasique a globalement la propriété $X=X^{a}+X^{b}$. On a par définition des grandeurs molaires :
* pour la phase $a$ : ${\bar {X}}^{a}={X^{a} \over n^{a}}$ ;
* pour la phase $b$ : ${\bar {X}}^{b}={X^{b} \over n^{b}}$ ;
* pour le mélange biphasique : ${\bar {X}}={X^{a}+X^{b} \over n^{a}+n^{b}}$.
La fraction de phase $b$ est donnée par la règle des moments :
$\tau ^{b}={{\bar {X}}-{\bar {X}}^{a} \over {\bar {X}}^{b}-{\bar {X}}^{a}}={n^{b} \over n^{a}+n^{b}}$

#### Exemple sur un diagramme de Clapeyron

    Sur le diagramme ci-contre, chaque courbe noire représente, pour une température donnée, la pression d'un corps pur en fonction de son volume molaire. Pour une courbe isotherme donnée :
   * la branche à gauche de la courbe bleue, aux faibles volumes molaires, représente le corps pur à l'état de liquide seul ;
   * la branche à droite de la courbe rouge, aux forts volumes molaires, représente le corps pur à l'état de gaz seul ;
   * le plateau horizontal (appelé conode) joignant ces deux branches représente l'équilibre liquide-vapeur du corps pur à la température et la pression données.
    Au point d'intersection du plateau et de la courbe bleue, le liquide a un volume molaire ${\bar {V}}^{\boldsymbol {\mathsf {L}}}$. Au point d'intersection du plateau et de la courbe rouge, le gaz a un volume molaire ${\bar {V}}^{\boldsymbol {\mathsf {G}}}$. Ces deux points sont aux mêmes pression et température et donnent les volumes molaires des deux phases liquide et gaz lorsqu'elles sont en équilibre dans ces conditions. On considère un point quelconque sur le plateau ; ce point représente un équilibre liquide-vapeur de volume molaire ${\bar {V}}$ tel que ${\bar {V}}^{\boldsymbol {\mathsf {L}}}\leq {\bar {V}}\leq {\bar {V}}^{\boldsymbol {\mathsf {G}}}$. En ce point, la fraction de liquide vaut :
       $\tau ^{\text{l}}={{\bar {V}}-{\bar {V}}^{\boldsymbol {\mathsf {G}}} \over {\bar {V}}^{\boldsymbol {\mathsf {L}}}-{\bar {V}}^{\boldsymbol {\mathsf {G}}}}={n^{\text{l}} \over n^{\text{l}}+n^{\text{g}}}$

### Diagrammes à pression et température constantes

Dans les diagrammes à pression et température constantes, où une propriété quelconque des phases est tracée en fonction de la composition ou d'une grandeur molaire, le théorème de Thalès permet d'appliquer la règle des moments dans les cas où le conode n'est pas parallèle à l'axe des abscisses.

#### Exemple

    Dans le diagramme isobare et isotherme ci-contre, l'enthalpie libre molaire ${\bar {G}}$ d'un mélange binaire est tracée en fonction de la fraction molaire $x_{2}$ de l'un des constituant. Entre les points A et B la phase $a$ est seule. Entre les points D et E la phase $b$ est seule. Entre les points B et D, le segment de droite BD représente l'équilibre d'une phase phase $a$ de composition $x_{2}^{\boldsymbol {\mathsf {B}}}$ et d'une phase $b$ de composition $x_{2}^{\boldsymbol {\mathsf {D}}}$. En un point P quelconque de ce segment, de fraction molaire $x_{2}$, la règle des moments donne :
$\tau ^{b}={\left[{\boldsymbol {\mathsf {PB}}}\right] \over \left[{\boldsymbol {\mathsf {DB}}}\right]}={x_{2}-x_{2}^{\boldsymbol {\mathsf {B}}} \over x_{2}^{\boldsymbol {\mathsf {D}}}-x_{2}^{\boldsymbol {\mathsf {B}}}}={n^{b} \over n^{a}+n^{b}}$

## Application

L'exemple pris ici concerne un équilibre liquide-vapeur (gaz), mais peut être transposé à tout autre équilibre de phases. Le diagramme isotherme ci-contre a été construit pour deux corps (espèces chimiques), notés $1$ et $2$, de pressions de vapeur saturante respectives $P_{1}$ et $P_{2}$ à la température du diagramme. Avec $P_{1}<P_{2}$, le corps $2$ est plus léger que le corps $1$ : il se liquéfie à une pression plus élevée pour une même température.
On suit le segment isoplèthe rouge du diagramme représentant la compression et la liquéfaction, à température constante, d'une quantité $n$ d'un mélange comportant une quantité $n_{2}$ de corps $2$, soit une fraction molaire $x_{2}=n_{2}/n$ de ce corps. Dans les conditions initiales, au point ${\mathsf {A}}$ du diagramme, le mélange est entièrement gazeux. La pression augmente progressivement, à température constante. Entre les points ${\mathsf {A}}$ et ${\mathsf {B}}$ le mélange reste entièrement gazeux.
Au point ${\mathsf {B}}$ apparait la première goutte de liquide, dont la composition est donnée par le point ${\mathsf {B}}^{\text{l}}$. Le mélange est entièrement gazeux, avec $\tau ^{\text{g}}=1$ et $\tau ^{\text{l}}=0$.
Au point ${\mathsf {C}}$ le mélange est biphasique. La composition $x_{2}^{\text{l}}$ de la phase liquide est donnée par le point ${\mathsf {C}}^{\text{l}}$, celle $x_{2}^{\text{g}}$ du gaz par le point ${\mathsf {C}}^{\text{g}}$. La règle des moments donne le taux de vaporisation $0<\tau ^{\text{g}}<1$ et celui de liquéfaction $\tau ^{\text{l}}=1-\tau ^{\text{g}}$. La quantité $n$ de mélange est répartie en une quantité $n^{\text{g}}=\tau ^{\text{g}}n$ de gaz et une quantité $n^{\text{l}}=\tau ^{\text{l}}n$ de liquide. La quantité $n_{2}$ de corps $2$ est répartie en une quantité $n_{2}^{\text{g}}=x_{2}^{\text{g}}n^{\text{g}}$ en phase gaz et une quantité $n_{2}^{\text{l}}=x_{2}^{\text{l}}n^{\text{l}}$ en phase liquide.
Au point ${\mathsf {D}}$ disparait la dernière bulle de gaz, dont la composition est donnée par le point ${\mathsf {D}}^{\text{g}}$. Le mélange est entièrement liquide, avec $\tau ^{\text{g}}=0$ et $\tau ^{\text{l}}=1$.
Entre les points ${\mathsf {B}}$ et ${\mathsf {D}}$ le gaz subit donc une liquéfaction. Le taux de vaporisation $\tau ^{\text{g}}$ diminue avec l'augmentation de pression : la quantité $n^{\text{g}}$ de gaz diminue et la quantité $n^{\text{l}}$ de liquide augmente. La fraction de corps $2$ en phase liquide augmente du point ${\mathsf {B}}^{\text{l}}$, où $x_{2}^{\text{l}}<x_{2}$, au point ${\mathsf {D}}^{\text{l}}={\mathsf {D}}$, où $x_{2}^{\text{l}}=x_{2}$. La fraction de corps $2$ en phase gaz augmente du point ${\mathsf {B}}^{\text{g}}={\mathsf {B}}$, où $x_{2}^{\text{g}}=x_{2}$, au point ${\mathsf {D}}^{\text{g}}$, où $x_{2}^{\text{g}}>x_{2}$.
Entre les points ${\mathsf {D}}$ et ${\mathsf {E}}$ le mélange est entièrement liquide.