# Théorème de Veblen-Young

En mathématiques, le théorème de Veblen-Young, prouvé par Oswald Veblen et John Wesley Young, exprime qu'un espace projectif de dimension au moins trois peut être construit comme l'espace projectif associé à un espace vectoriel sur un corps gauche.
Les plans non-arguésiens donnent des exemples d'espaces projectifs de dimension deux qui ne proviennent pas d'espaces vectoriels sur des corps gauche, ce qui montre que l'hypothèse sur la dimension au moins égale à trois est nécessaire.
Jacques Tits a généralisé le théorème de Veblen-Young aux immeubles de Tits, en démontrant que les immeubles (sphériques) de rang au moins 3 proviennent de groupes algébriques$^,$$^,$.
John von Neumann généralise le théorème de Veblen-Young à la géométrie continue (en) en démontrant qu'un treillis modulaire complémenté (en) d'ordre au moins 4 est isomorphe à l'ensemble des idéaux à droite d'un anneau de von Neumann régulier (en).

## Énoncé

Un espace projectif S peut être défini de manière abstraite comme un ensemble P (les points) muni d'un ensemble L de parties de P (les droites), satisfaisant aux axiomes suivants :
* deux points distincts p et q appartiennent à une droite unique ; on la note pq ;
* (axiome de Veblen ou de Veblen-Young) si a, b, c, d sont des points distincts et si les droites ab et cd se coupent, alors les droites passant ac et bd se coupent également ;
* toute droite contient au moins 3 points.
Le théorème s'énonce alors de la façon suivante.
* Théorème de Veblen-Young — Tout espace projectif de dimension supérieure ou égale à 3 (c'est-à-dire qu'il contient au moins deux droites non sécantes) est isomorphe à l'espace projectif des droites dans un espace vectoriel sur un corps gauche K.
* Notes et références
* (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Veblen–Young theorem » (voir la liste des auteurs).
* ↑ Jacques Tits, Buildings of spherical type and finite BN-pairs, Berlin-New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n$^o$ 386), 1974 (MR 0470099).
* ↑ Jacques Tits et Richard M. Weiss, Moufang polygons, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2002, x+535 p. (ISBN 978-3-540-43714-7, DOI 10.1007/978-3-662-04689-0, MR 1938841) : cet ouvrage reprend la classification de Tits et simplifie les démonstrations.
* ↑ Jacques Tits, « Immeubles de Type Affine », dans Luigi A. Rosati (éd.), Buildings and the Geometry of Diagrams, Berlin, Heidelberg, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n$^o$ 1181), 1986, x+282 p. (ISBN 978-3-540-16466-1, DOI 10.1007/BFb0075514), p. 159-190 : cet article étend le théorème aux immeubles affines de rang supérieur ou égal à quatre.
* ↑ John von Neumann, Continuous geometry, Princeton University Press, coll. « Princeton Landmarks in Mathematics », 1998 (1re éd. 1960) (ISBN 978-0-691-05893-1, MR 0120174, lire en ligne).
* Peter J. Cameron, Projective and polar spaces, vol. 13, London, Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, coll. « QMW Maths Notes », 1992 (ISBN 978-0-902480-12-4, MR 1153019, lire en ligne)
* Oswald Veblen et John Wesley Young, « A set of assumptions for projective geometry », American Journal of Mathematics, vol. 30, n$^o$ 4,‎ 1908, p. 347-380 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2369956, JSTOR 2369956, MR 1506049)
* Oswald Veblen et John Wesley Young, Projective geometry Volume I, Ginn and Co., Boston, 1910 (ISBN 978-1-4181-8285-4, MR 0179666, lire en ligne)
* Oswald Veblen et John Wesley Young, Projective geometry Volume II, Ginn and Co., Boston, 1917 (ISBN 978-1-60386-062-8, MR 0179667, lire en ligne)
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