OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Unterseeboot 74

Unterseeboot 74 ou U-74 est le nom de plusieurs sous-marins allemands ou U-boot durant la Première et la Seconde Guerre mondiale:
* L'Unterseeboot U-74, de type UE I, sous-marin de la Kaiserliche Marine, a été lancé en 1915 durant la Première Guerre mondiale et qui a été coulé le 17 mai 1916.
** Durant la Première Guerre mondiale, l'Allemagne a possédé deux autres sous-marins avec un nom similaire :
*** UB-74, un sous-marin de type UB III, lancé en 1917 et qui a été coulé le 25 mai 1918.
*** UC-74, un sous-marin de type UC II, lancé en 1916 et qui a été interné à Barcelone le 21 novembre 1918; s'est rendu le 26 mars 1919; démoli à Toulon en juillet 1921.
* L'Unterseeboot 74, un sous-marin de type VII.B, a été lancé en 1940 et a participé à la deuxième bataille de l'Atlantique durant la Seconde Guerre mondiale ; il a été coulé le 2 mai 1942.

## Sources

* (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « German submarine U-74 » (voir la liste des auteurs).
# Unterseeboot 1

Unterseeboot 1 ou U-1 est le nom de plusieurs sous-marins allemands ou U-boot durant la Première, la Seconde Guerre mondiale et plus tard:
* Le SM U-1, de type U 1, 1er sous-marin de la Kaiserliche Marine, a été construit en 1906 et a participé à la première bataille de l'Atlantique durant la Première Guerre mondiale comme sous-marin d'entrainement.
** Durant la première Guerre mondiale, l'Allemagne a possédé deux autres sous-marins avec un nom similaire:
*** UB-1, un sous-marin de type UB I lancé en 1915 et qui a été coulé en juillet 1918.
*** UC-1, un sous-marin de type UC I lancé en 1915 et qui a été coulé en juillet 1917.
* L'Unterseeboot 1, un sous-marin de type II.A, a été lancé en 1935 et a participé à la deuxième bataille de l'Atlantique durant la Seconde Guerre mondiale et qui a été coulé en avril 1940.
* L'Unterseeboot 1, un sous-marin de type 201, a été lancé en 1967 pour la Bundesmarine et arrêté en 1963 pour être reconstruit. Il est alors remis en service de 1967 à 1991, en tant que sous-marin de type 205.
Unterseeboot 1 ou U-1 ou U-I peut faire référence également à:

## Sources

* (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « German submarine U-1 » (voir la liste des auteurs).
# Unterseeboot 104

Unterseeboot 104 ou U-104 est le nom de plusieurs sous-marins allemands ou U-boot durant la Première et Seconde Guerre mondiale :
* L'Unterseeboot 104, de type Mittel U a été construit en 1917 et a participé à la première bataille de l'Atlantique durant la Première Guerre mondiale avant de coulé en avril 1918.
** Durant la première Guerre mondiale, l'Allemagne a possédé deux autres sous-marins avec un nom similaire:
*** UB-104, un sous-marin de Type UB III lancé en 1917 et qui a disparu en septembre 1918
*** UC-104, un sous-marin de Type UC III lancé en 1918 et qui s'est rendu en novembre 1918
* L'Unterseeboot 104 a été construit en 1940 et a participé à la deuxième bataille de l'Atlantique durant la Seconde Guerre mondiale avant de disparaître en novembre 1940.

## Sources

* (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « German submarine U-104 » (voir la liste des auteurs).
# María Antonieta Pons

María Antonieta Pons (11 juillet ou 6 novembre 1992 La Havane – 20 août 2004 Mexico) est une actrice mexicaine et une célèbre danseuse de rumba.

## Biographie

Née à Cuba, d'origine catalane, elle émigre au Mexique où elle devint une actrice très populaire ainsi qu'une extraordinaire danseuse de rumba. Elle mit fin à sa carrière en 1979.

## Filmographie

* 1938 : Siboney de Juan Orol (son premier mari)
* 1942 : La última aventura de Chaflán: Noche de ronda
* 1943 : Konga Roja ; Mi reino por un torero ; Viva mi desgracia ; Balajú ; Cruel destino de Juan Orol ; Toros, amor y gloria
* 1944 : Rosalinda ; Toda una vida ; Los misterios del hampa de Juan Orol
* 1945 : La reina del trópico ; Pasiones tormentosas ; Embrujo antillano de Juan Orol (coréalisateur)
* 1946 : La vida íntima de Marco Antonio y Cleopatra ; La insaciable
* 1947 : Angel o demonio ; La sin ventura ; La bien pagada
* 1948 : Flor de caña
* 1949 : La hija del penal ; La mujer del puerto ; Un cuerpo de mujer ; Piña madura ; Nuestras vidas
* 1950 : El ciclón del Caribe de Ramón Pereda (son second mari) ; La reina del mambo de Ramón Pereda
* 1951 : María Cristina de Ramón Pereda ; La niña Popoff de Ramón Pereda
* 1952 : Carnaval en Brasil (connu aussi sous le nom de Carnaval Atlantida) production brésilienne
* 1953 : Mi noche de bodas
* 1954 : Necesito un marido ; Gaviota ; Qué bravas las costeñas ; Casa de perdición ; La culpa de los hombres
* 1956 : ¡Nunca me hagan eso! ; El teatro del crimen
* 1957 : Sucedió en México ; Flor de canela ; Las mil y una noches ; Los legionarios ; La odalisca n° 13
* 1958 : Acapulqueña ; Ferias de México ; Las cuatro milpas
* 1959 : Una estrella y dos estrellados ; Viva Jalisco que es mi tierra ! de Ramón Pereda
* 1960 : Vámonos para la feria ; El centauro del norte de Ramón Pereda
* 1961 : Romance en Puerto Rico de Ramón Pereda
* 1962 : Voy de gallo de Ramón Pereda
* 1965 : Caña brava de Ramón Pereda
# Liste des cours d'eau d'Israël

Ceci est une liste des cours d'eau d'Israël . Cette liste est classée par bassin versant. Les affluents sont indentés en dessous des cours d'eau principaux.

## mer Méditerranée

Répertoriés du nord au sud.
* Nahal Betzet
* Nahal Kziv
* Ga'aton
* Nahal Na'aman
* Kishon
* Nahal Taninim
* Nahal Hadera
* Nahal Alexander
* Nahal Poleg
* Yarkon
** Ayalon
** Nahal Qana
** Nahal Shillo
* Sorek
* Lakhish
* Nahal Shikma
* Bésor
** Gerar
** Nahal Be'er Sheva
*** Nahal Hevron

## Mer Morte

Répertoriés dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du Jourdain.
* Jourdain
** Nahal Harod
** Nahal Yissakhar
** Nahal Tavor
** Yarmouk
** Nahal Yavne'el
** Nahal Arbel
** Nahal Amud
** Nahal Korazim
** Nahal Hazor
** Nahal Dishon
** Hasbani
*** Ayoun
** Dan
*** Baniyas
* Nahal HaArava
** Nahal Neqarot
*** Nahal Ramon
** Nahal Shivya
** Nahal Paran
** Nahal Hiyyon
* Nahal Zin
* Tze'elim
* Nahal Mishmar
* Nahal Hever

## Mer Rouge (Golfe d'Aqaba)

* Nahal Shahmon
* Nahal Shelomo
# Unterseeboot 17

Unterseeboot 17 ou U-17 est le nom de plusieurs sous-marins allemands ou U-boot durant la Première, la Seconde Guerre mondiale et plus tard :
* L'Unterseeboot 17, un sous-marin de type II.B, qui a été lancé en 1935 et a participé à la deuxième bataille de l'Atlantique durant la Seconde Guerre mondiale et qui a été sabordé le 5 mai 1945.
* L'Unterseeboot 17, un sous-marin de type 206 de la Bundesmarine, qui a été lancé en 1973 et est toujours en service (2012).
Unterseeboot 17 ou U-17 ou U-XVII peut faire référence également à :
# Unterseeboot 20

Unterseeboot 20 ou U-20 est le nom de plusieurs sous-marins allemands ou U-boot durant la Première, la Seconde Guerre mondiale et plus tard :
* L'Unterseeboot 20, un sous-marin de type II.B, qui a été lancé en 1936 et a participé à la deuxième bataille de l'Atlantique durant la Seconde Guerre mondiale et qui a été sabordé le 10 septembre 1944.
* L'Unterseeboot 20, un sous-marin de type 206 de la Bundesmarine, qui a été lancé en 1974 et mis au rebut en 1996 et vendu à l’Indonésie
Unterseeboot 20 ou U-20 ou U-XX peut faire référence également à :

## Sources

* (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « German submarine U-20 » (voir la liste des auteurs).
# Unterseeboot 133

Unterseeboot 133 ou U-133 est le nom de plusieurs sous-marins allemands ou U-boot durant la Première et Seconde Guerre mondiale :
* L'Unterseeboot 133, un sous-marin de type U 127 a été construit en 1918, trop tard pour participer à la Première Guerre mondiale, et non fini à la fin de la guerre ; démoli partiellement en 1919-20.
** Durant la Première Guerre mondiale, l'Allemagne a possédé un autre sous-marin avec un nom similaire :
*** UB-133, un sous-marin de type UB III lancé en 1918 et qui se rend en novembre 1918.
* L'Unterseeboot 133, un sous-marin de type VII.C, a été construit en 1941 et a participé à la deuxième bataille de l'Atlantique durant la Seconde Guerre mondiale avant d'être coulé le 14 mars 1942.
# Tiffany Stansbury

Tiffany Stansbury (née le 16 janvier 1983 à Philadelphie, Pennsylvanie) est une joueuse américaine de basket-ball.

## Biographie

Fille de Terence, qui a passé trois saisons en NBA à Indiana et Seattle avant de jouer principalement en France, elle intègre le Wolfpack de North Carolina State pour deux saisons après deux années à Gulf Coast CC. Deux fois All-ACC Selection (en 2005 et 2006), ses moyennes sont de 11,5 points à 51,8 %, 6,8 rebonds et 1,68 contre. En seulement deux saisons, elle devient avec 99 contres la septième joeueuse du Wolfpack dans cet exercice. Elle est sélectionnée au 29e rang de la draft 2006 par les Comets de Houston.
Coupée le dernier jour de la pré-saison 2007 par les Sparks, avec lesquels elle inscrit 1,5 point et 1,8 rebond en quatre rencontres en 2006, elle est signée par le Lynx pour renforcer leur jeu intérieur.

### En Europe

Elle découvre l'Europe lors de la saison 2006-2007 en Turquie à Cankaya. Elle dispute trois saisons en France de 2007 à 2010 : à l'USVO, à Saint-Amand puis à Aix avant deux saisons en Italie à Umbertide. En 2012, elle retrouve la Turquie d'abord à Edremit en première division turque puis dans son ancien club de Cankaya en Ligue 2 turque
Après six rencontres en seconde division turque à Edirne (14,7 points à 60% et 9,8 rebonds), elle revient en France à Tarbes. En décembre 2014, elle signe en République tchèque au Slavia Prague.

## Distinctions personnelles

* All-ACC Selection (2005, 2006)
# Unterseeboot 140

Unterseeboot 140 ou U-140 est le nom de plusieurs sous-marins allemands ou U-boot durant la Première, la Seconde Guerre mondiale et plus tard :
* L'Unterseeboot 140, de type U 139, sous-marin de la Kaiserliche Marine, a été lancé en 1917 et a participé à la première bataille de l'Atlantique durant la Première Guerre mondiale jusqu'à sa reddition le 23 février 1919 ; utilisé comme navire cible par les États-Unis ; coulé par le destroyer Dickerson au Cap Charles en Virginie le 22 juillet 1921.
** Durant la première Guerre mondiale, l'Allemagne a possédé un autre sous-marin avec un nom similaire :
*** UB-140, un sous-marin de type UB III, juste lancé en 1918 mais inachevé à la fin de la guerre, démoli partiellement en 1919.
* L'Unterseeboot 140, un sous-marin de type II.D, a été lancé en 1940 et a participé à la deuxième bataille de l'Atlantique durant la Seconde Guerre mondiale et qui a été sabordé le 2 mai 1945 et démoli après-guerre.
# Les Plus Grands Succès, volume 2 : 1970-1975

Les Plus Grands Succès, volume 2 : 1970-1975 est une compilation de la chanteuse française Mireille Mathieu parue en France chez Carrère en 1988 regroupant 20 grands succès de la chanteuse du début des années 1970.
# Made in France (album de Jeanne Mas)

Made in France est le quinzième album studio de Jeanne Mas sorti le 2 mai 2012.
# Shirley Povich

Shirley Povich, (15 juillet 1905 - 4 juin 1998) est un journaliste sportif américain qui couvre le baseball de 1923 à 1998 dans le Washington Post. Il reçoit de nombreux prix dont les principaux sont le Grantland Rice Award 1964, le J. G. Taylor Spink Award en 1975, le Red Smith Award en 1983 et l'élection au National Sportswriters Hall of Fame en 1984. Il préside la Baseball Writers Association of America en 1955.

## Biographie

Étudiant en deuxième année de droit à l'Université de Georgetown, Povich devient pigiste au Washington Post en 1923. Deux ans plus, il est journaliste chargé du baseball. Il abandonne durant l'année 1944 sa couverture du baseball pour devenir correspondant de guerre dans le Pacifique. La guerre achevée, il retrouve son poste à la rédaction sportive. Il prend officiellement sa retraite en 1973, mais poursuit sa couverture du jeu pour le Post jusqu'à sa mort. Sa dernière chronique est d'ailleurs publiée au lendemain de son décès.
Son prénom lui vaut d'être inclus dans le Who's Who of American Women en 1958. Comme Povich rappelle dans son autobiographie, le prénom Shirley était souvent donné aux garçons en Nouvelle-Angleterre. Povich est également l'auteur de The Washington Senators (G.P. Putnam Sons, 1954) et de All These Mornings (Prentice-Hall, 1969). Une sélection de ses meilleurs articles au Post sont compilés dans l'ouvrage All Those Mornings... At the Post (PublicAffairs, 2005).

## Famille

Il est le père de la personnalité de télévision Maury Povich.
# Ne vous fiez pas aux apparences

Ne vous fiez pas aux apparences est un livre de Sheila sorti en 2003. Il est basé sur différents entretiens réalisés avec Didier Varrod.
# Shlomo Halberstam

Shlomo Halberstam connu comme le Kerem Shlomo (né le 7 novembre 1907 à Bobowa (Bobov), Galicie, Pologne et mort le 2 août 2000 à Brooklyn, New York) est un rabbin hassidique américain, d'origine polonaise, le 3eme Rebbe de Bobov, survivant de la Shoah, qui reconstruit sa communauté décimée par la Seconde Guerre mondiale.

## Biographie

Shlomo Halberstamest né le 7 novembre 1907$^,$ à Bobowa( Bobov), Galicie, Pologne.
Il est le fils du grand-rabbin Benzion Halberstam, le 2e Rebbe de Bobov et de son épouse Chaya Friedel Halberstam. Benzion Halberstam est né le 27 avril 1874 à Bukowsko, en Galicie et est mort fusillé le 28 juillet 1941 par les Nazis et leurs collaborateurs ukrainiens dans la forêt de Yanover (voir, Janowska (camp de concentration)) près de Lviv, en Galicie, aujourd'hui en Ukraine, en même temps que 20 000 Juifs. Chaya Friedel Halberstam est née le 18 avril 1881 à Gorno-Altaïsk, en Sibérie, Russie et est morte en 1976.
# Ernst Wilhelm von Brücke

Ernst Wilhelm von Brücke est un scientifique allemand né en 1819 à Berlin et mort en 1892. Il est considéré comme l'un des fondateurs de l'anatomie microscopique ou histologie et de la physiologie.

## Biographie

Il commence sa carrière universitaire en enseignant d'abord à Berlin (1846) puis à Königsberg (1848) et finalement à Vienne en Autriche où il s'établit définitivement à partir de 1849.
Ses travaux ont surtout porté sur l'étude de la physiologie des sensations :
* étude des perceptions sonores,
* étude des perceptions visuelles.
Il écrit sur ce sujet Principes scientifiques des beaux-arts: essais et fragments de théorie (Paris, Germer Baillière, Bibliothèque scientifique internationale,1878).
Dans les années 1840-1845, il faisait partie de ce que l'on a appelé la Société berlinoise de physique qui professait que « seules les forces chimiques et physiques, à l'exclusion de toute autre, agissent sur l'organisme. »
Il est connu pour avoir favorisé la carrière scientifique naissante de Sigmund Freud en l'encourageant dans ses travaux et en le faisant nommer Privatdozent en 1885. Freud lui en fut toujours reconnaissant et en parle à plusieurs reprises.
# Miel de Corse

Le miel de Corse ou mele di Corsica en langue corse : est un miel produit en Corse. Cette appellation d'origine est préservée via une appellation d'origine protégée (AOP).

## Origine et histoire

Bien que l'on retrouve des traces de pratiques apicoles paysannes, en Corse, remontant à l'antiquité, cette activité nourricière humaine est presque à l'abandon au sortir de la Seconde Guerre mondiale. Les agriculteurs s'organisent à partir de 1976, demandent et obtiennent une préservation commerciale de l'appellation d'origine, pour leur production de miel.

## Le miel

Il y a six variétés de miels de Corse : « printemps », « maquis de printemps », « miellat du maquis », « maquis d'été », « châtaigneraie » et « maquis d'automne ».

## Économie
### Chiffres de production

La production actuelle est d'environ 250 à 300 tonnes de miel, en Corse.
# Aïssata Traoré

Aïssata Traoré, née le 9 septembre 1997 à Bamako au Mali, est une footballeuse internationale malienne évoluant au poste de milieu de terrain au FC Fleury.

## Biographie
### Carrière en club

Aïssata Traoré joue pour l'AS Super Lionnes, dans son pays natal, avant d'être prêtée au club du Beşiktaş JK, basé à Istanbul, pour la seconde moitié de la saison 2018-2019$^,$. Elle participe au titre de championne de son équipe lors de cette même saison$^,$.

### Carrière internationale

Aïssata Traoré est appelée en équipe nationale du Mali et participe à la Coupe d'Afrique des nations 2018 tenue au Ghana. Lors de cette compétition, elle joue cinq matchs et marque un but.
Buts internationaux :
| Date | Lieu | Adversaire | Résultat | Compétition | Buts marqués |
| 17 novembre 2018 | Accra Sports Stadium Accra, Ghana | Cameroun | L 1–2 | Coupe d'Afrique des nations 2018 - Groupe A | 1 |

## Statistiques

| Club | Saison | Championnat | Championnat | Championnat | Continental | Continental | Coupe nationale | Coupe nationale | Total | Total |
| Club | Saison | Division | Apparitions | Buts | Apparitions | Buts | Apparitions | Buts | Apparitions | Buts |
| Beşiktaş JK | 2018-19 | Première Ligue turque | 9 | 8 | - | - | 5 | 1 | 14 | 9 |
| Beşiktaş JK | Total | Total | 9 | 8 | - | - | 5 | 1 | 14 | 9 |

## Palmarès

Première Ligue turque féminine

   ### Beşiktaş JK

       Championne (1) : 2018-2019
# CPIE Vallée de l'Elorn

CPIE Vallée de l'Elorn est une association du réseau CPIE, dédiée à la défense de l'environnement.
Association loi de 1901 créée en 1983, le CPIN (Centre Permanent d'Initiation à la Nature) est situé à Gorre-Menez sur la commune de Loperhet. Membre du réseau des CPIE, l'association a été labellisé en 1996 en CPIE Vallée de l'Elorn.

## Historique du CPIE Vallée de l'Elorn

L'association a été créée en 1983 et la première classe avec hébergement est accueillie deux ans plus tard. La labellisation CPIE intervient en 1996 et permet au CPIE Vallée de l'Elorn de s'impliquer dans des programmes environnementaux comme le contrat de baie de la rade de Brest ou le programme Bretagne Eau Pure.
Des partenariats sont mis en place avec les collectivités, comme le Syndicat de la Vallée de l'Élorn ou le Conseil général du Finistère.

## Les activités du CPIE

Conformément à son projet associatif, le CPIE de la Vallée de l'Elorn développe des actions selon les objectifs stratégiques suivants :
* Favoriser la découverte, l'étude et la protection du milieu naturel, en développant des activités éducatives à caractère scientifique, technique et l'étude de milieux.
* Promouvoir l'équitation par l'animation d'une école d'équitation et par la mise en place et la gestion d'une base équestre sur la commune de Plougastel-Daoulas et en partenariat avec la municipalité de la commune.

### Favoriser la découverte, l'étude et la protection du milieu naturel

Qui se traduit par :
* Accueil de groupes d'enfants, de jeunes dans le cadre de classes de nature et centres de loisirs
* Accueil d'adultes : formations permanentes, stages, rencontres, débats, conférences, associations
* Le conseil, l'étude, le diagnostic, la gestion, l'entretien, l'aménagement, la valorisation et la préservation des milieux naturels
* La réalisation d'études, d'expertises, de conseils, d'ingénieries qui concourent à une meilleure prise en compte de l'environnement et du développement durable.

### Promouvoir l'équitation

Avec une école d'équitation (galop 5), pour un public scolaire ou handicapé
# Représentations diplomatiques en Croatie

Les représentations diplomatiques en Croatie sont actuellement au nombre de 55. Il existe de nombreuses délégations et bureaux de représentations des organisations internationales et d'entités infranationales dans la capitale Zagreb, et des consulats généraux à Zagreb, Rijeka, Osijek, Split et Vukovar.

## Ambassades à Zagreb

| Albanie Algérie Australie Autriche Azerbaïdjan Belgique Bosnie-Herzégovine Brésil Bulgarie Canada Chili Chine Tchéquie Danemark Égypte Finlande France Allemagne Grèce Vatican Hongrie Inde Indonésie Iran Irlande Israël Italie Japon | Kazakhstan Kosovo Libye Lituanie Malaisie Monténégro Maroc Pays-Bas Macédoine du Nord Norvège Pologne Portugal Qatar Roumanie Russie Serbie Slovaquie Slovénie Corée du Sud Espagne Suède Suisse Turquie Ukraine Royaume-Uni États-Unis |

## Missions diplomatiques

* Ordre souverain militaire et hospitalier de Saint-Jean de Jérusalem, de Rhodes et de Malte

## Consulats
### Consulats généraux à Zagreb

* Chypre

### Consulat général à Rijeka

* Italie
* Serbie

### Consulats généraux à Split

* Allemagne
* Royaume-Uni
# Inégalité log somme

L'inégalité log somme (ou log sum inequality) est fréquemment utilisée en théorie de l'information.

## Énoncé

Soient $a_{1},\ldots ,a_{n}$ et $b_{1},\ldots ,b_{n}$ des réels strictement positifs, avec $a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ et $b=\sum _{i=1}^{n}b_{i}$, alors :
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}\log {\frac {a_{i}}{b_{i}}}\geq a\log {\frac {a}{b}},$
avec égalité si et seulement si $\forall i,j\in \{1,...,n\}^{2},{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {a_{j}}{b_{j}}}$, c'est-à-dire qu'il existe une constante $c$ telle que $\forall i\in \{1,...,n\},a_{i}=c~b_{i}$.
(On prendra $a_{i}\log {\frac {a_{i}}{b_{i}}}=0$ si $a_{i}=0$ et $a_{i}\log {\frac {a_{i}}{b_{i}}}=\infty$ si $a_{i}>0$ et $b_{i}=0$. Ces valeurs sont obtenues par prolongement par continuité en $0$.)

## Preuve

En posant $f(x)=x\log x$, nous avons
    ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\log {\frac {a_{i}}{b_{i}}}&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}f\left({\frac {a_{i}}{b_{i}}}\right)=b\sum _{i=1}^{n}{\frac {b_{i}}{b}}f\left({\frac {a_{i}}{b_{i}}}\right)\\&\geq bf\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {b_{i}}{b}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\right)=bf\left({\frac {1}{b}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)=bf\left({\frac {a}{b}}\right)\\&=a\log {\frac {a}{b}},\end{aligned}}$
où l'inégalité vient de l'inégalité de Jensen puisque ${\frac {b_{i}}{b}}\geq 0$, $\sum _{i=1}^{n}{\frac {b_{i}}{b}}=1$ et $f$ est une fonction convexe.

## Généralisations

Cette inégalité reste valide pour $n=\infty$, puisque $a<\infty$ et $b<\infty$. La preuve ci-dessus reste vraie pour toute fonction $g$ telle que $f(x)=xg(x)$ soit convexe, comme toute fonction croissante continue. La généralisation aux fonctions croissantes autres que le logarithme est donné dans Csiszár, 2004.

## Applications

L'inégalité log-somme peut être utilisée pour prouver des inégalités en théorie de l'information. L'inégalité de Gibbs affirme que la divergence de Kullback-Leibler est positive, et égale à zéro si ses arguments sont égaux. Une preuve utilise l'inégalité log-somme.
Soient $P=(p_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ et $Q=(q_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ des fonctions de masses. Dans l'inégalité log-somme, on change $n=\infty$, $a_{i}=p_{i}$ et $b_{i}=q_{i}$ pour obtenir
    $\mathbb {D} _{\mathrm {KL} }(P\|Q)\equiv \sum _{i}p_{i}\log _{2}{\frac {p_{i}}{q_{i}}}\geq 1\log {\frac {1}{1}}=0$
avec égalité si et seulement si $\forall i\in \{1,...,n\},p_{i}=q_{i}$ (puisque les sommes des $P$ et $Q$ valent 1).
Cette inégalité peut aussi prouver la convexité de la divergence de Kullback-Leibler.