# Suite arithmético-géométrique

En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

## Définition

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (u$_n$)$_{n∈ℕ}$ à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :
$\forall n\in \mathbb {N} ,~u_{n+1}=a\,u_{n}+b$

### Remarque

    On peut toujours ramener l'étude d'une suite (u$_n$)$_{n≥n0}$ à celle d'une suite (v$_p$)$_{p∈ℕ}$ en posant v$_p$ = u$_{n0+p}$. La suite (u$_n$) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n$_0$ si et seulement si la suite (v$_p$)$_{p∈ℕ}$ est arithmético-géométrique.

## Terme général
### Cas où a = 1

Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, donc
$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=u_{0}+nb$

### Cas où a ≠ 1

En posant
$r={\frac {b}{1-a}}$
on a :
$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r$
(y compris si a et n sont nuls, avec la convention 0$^0$ = 1).
On cherche d'abord le point fixe, c'est-à-dire, le r tel que f(r) = r avec f la fonction x ↦ ax + b associée à la suite :
    $ar+b=r\Leftrightarrow r=b/(1-a)$.
Puis on définit une suite translatée :
    $v_{n}=u_{n}-r$.
La relation u$_{n+1}$ = au$_n$ + b se traduit alors par v$_{n+1}$ + r = a(v$_n$ + r) + b donc
    $v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}$.
La suite (v$_n$) est donc géométrique de raison a. Par conséquent,
    $u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r$.
D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement :
$\forall p\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq p,~u_{n}=a^{n-p}(u_{p}-r)+r$

## Somme des premiers termes

Si a ≠ 1, toujours en posant r = b/(1 – a), la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est :
$S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr$
D'après l'expression du terme général de la section précédente et celle de la somme des premiers termes d'une suite géométrique,
${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a^{k}(u_{0}-r)+r\right)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}$
On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour n > p,
    $\sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{p}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r$.

## Convergence

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u$_0$ – r (si a ≠ 1 et r = b/(1 – a)).
Dans le cas où |a| < 1, la limite de la suite est r quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

## Utilisation

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle).
Exemple : apport de 10 et fuite de 5 % :
    $u_{n+1}=u_{n}+10-0{,}05\,u_{n}$.
Elles se rencontrent aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si R$_n$ représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (R$_n$) est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence :
    $R_{n+1}=(1+t)\,R_{n}-M$.
On les trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états A et B dont les probabilités sont, à l'étape $n$, $p_{n}$ et $q_{n}$ avec $p_{n}+q_{n}=1$. La matrice stochastique est alors :
    ${\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}$.
De la relation
    $(p_{n+1},q_{n+1})=(p_{n},q_{n}){\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}$
on déduit que :
    $p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}$.
Comme d'autre part
    $q_{n}=1-p_{n}$,
en remplaçant on obtient la relation de récurrence:
    $p_{n+1}=(a+b-1)p_{n}+1-b$.