# Distance de Jaro-Winkler

La distance de Jaro-Winkler mesure la similarité entre deux chaînes de caractères. Il s'agit d'une variante proposée en 1999 par William E. Winkler, découlant de la distance de Jaro (1989, Matthew A. Jaro) qui est principalement utilisée dans la détection de doublons.
Le résultat est normalisé de façon à avoir une mesure entre 0 et 1, donc 0 représente l'absence de similarité et 1, l'égalité des chaines comparées.
Cette mesure est particulièrement adaptée au traitement de chaînes courtes comme des noms ou des mots de passe.

## Distance de Jaro

La distance de Jaro entre les chaînes $s_{1}$ et $s_{2}$ est définie par :
    $d_{j}=\left\{{\begin{array}{l l}0&{\text{si }}m=0\\{\frac {1}{3}}\left({\frac {m}{|s_{1}|}}+{\frac {m}{|s_{2}|}}+{\frac {m-t}{m}}\right)&{\text{sinon}}\end{array}}\right.$
où:
* $|s_{i}|$ est la longueur de la chaîne de caractères $s_{i}$ ;
* $m$ est le nombre de caractères correspondants (voir ci-dessous);
* $t$ est le nombre de transpositions (voir ci-dessous).
Deux caractères identiques de $s_{1}$ et de $s_{2}$ sont considérés comme correspondants si leur éloignement (i.e. la différence entre leurs positions dans leurs chaînes respectives) ne dépasse pas :
    $\left\lfloor {\frac {\max(|s_{1}|,|s_{2}|)}{2}}\right\rfloor -1$.
Le nombre de transpositions est obtenu en comparant le i-ème caractère correspondant de $s_{1}$ avec le i-ème caractère correspondant de $s_{2}$. Le nombre de fois où ces caractères sont différents, divisé par deux, donne le nombre de transpositions.

## Distance de Jaro-Winkler

La méthode introduite par Winkler utilise un coefficient de préfixe $p$ qui favorise les chaînes commençant par un préfixe de longueur $\ell$ (avec $\ell \leq 4$). En considérant deux chaînes $s_{1}$ et $s_{2}$, leur distance de Jaro-Winkler $d_{w}$ est :
    $d_{w}=d_{j}+(\ell p(1-d_{j}))$
où :
* $d_{j}$ est la distance de Jaro entre $s_{1}$ et $s_{2}$
* $\ell$ est la longueur du préfixe commun (maximum 4 caractères)
* $p$ est un coefficient qui permet de favoriser les chaînes avec un préfixe commun. Winkler propose pour valeur $p=0.1$

## Exemples

Soit deux chaînes $s_{1}$ MARTHA et $s_{2}$ MARHTA. Nous allons dresser leur table de correspondance. Ici, l'éloignement maximal vaut 6 / 2 - 1 = 2. Dans les cases jaunes de la table ci-dessous, on inscrira donc 1 lorsque les caractères sont identiques (il y a correspondance) et 0 sinon :
| | M | A | R | T | H | A |
| M | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| A | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| R | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| H | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| T | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| A | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
* $m=6$ (nombre de 1 dans la table)
* $|s_{1}|=6$
* $|s_{2}|=6$
* Les caractères correspondants sont {M,A,R,T,H,A} pour $s_{1}$ et {M,A,R,H,T,A} pour $s_{2}$. En considérant ces ensembles ordonnés, on a donc 2 couples (T/H et H/T) de caractères correspondants différents, soit deux demi-transpositions. D'où $t={\frac {2}{2}}=1$
La distance de Jaro est :
    $d_{j}={\frac {1}{3}}\left({\frac {6}{6}}+{\frac {6}{6}}+{\frac {6-1}{6}}\right)=0{,}944$
La distance de Jaro-Winkler avec $p=0{,}1$ avec un préfixe de longueur $\ell =3$ devient
    $d_{w}=0{,}944+(3\times 0{,}1(1-0{,}944))=0{,}961$
Avec les chaînes $s_{1}$ DWAYNE et $s_{2}$ DUANE on trouve :
* $m=4$
* $|s_{1}|=6$
* $|s_{2}|=5$
* $t=0$
La distance de Jaro est :
    $d_{j}={\frac {1}{3}}\left({\frac {4}{6}}+{\frac {4}{5}}+{\frac {4-0}{4}}\right)=0{,}822$
Celle de Jaro-Winkler avec $\ell =1$ :
    $d_{w}=0{,}822+(1\times 0{,}1(1-0{,}822))=0{,}84$
Avec les chaînes $s_{1}$ DIXON et $s_{2}$ DICKSONX, on obtient :
| | D | I | X | O | N |
| D | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| I | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| C | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| K | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| S | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| O | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| N | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| X | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
On calcule l'éloignement maximum pour le critère de correspondance
    $\left\lfloor {\frac {\max(|s_{1}|,|s_{2}|)}{2}}\right\rfloor -1=\lfloor {\frac {8}{2}}\rfloor -1=3$.
* $m=4$ (les deux X ne correspondent pas, car ils sont éloignés de plus de 3 caractères)
* $|s_{1}|=5$
* $|s_{2}|=8$
* $t=0$
La distance de Jaro :
    $d_{j}={\frac {1}{3}}\left({\frac {4}{5}}+{\frac {4}{8}}+{\frac {4-0}{4}}\right)=0.767$
La distance de Jaro-Winkler avec $\ell =2$
    $d_{w}=0{,}767+(2\times 0{,}1(1-0{,}767))=0{,}813$

## Cas particuliers

Avec les chaînes $s_{1}$ 75000 et $s_{2}$ 75020 on doit trouver :
$d_{w}=0.907$
Les correspondances entre les deux chaînes de caractères ne sont pas les mêmes ("75000" pour la première et "7500" pour la seconde). Par conséquent, il faut prendre $m=4$ au lieu de $m=5$.