# Modèles d'équilibre général dynamique stochastique

Un modèle d'équilibre général dynamique stochastique (en anglais, Dynamic Stochastic General Equilibrium, DSGE) est un modèle économique qui se base sur la théorie de l'équilibre général afin de permettre d'évaluer l'impact macroéconomique d'une politique monétaire ou budgétaire.
Le modèle DSGE a été créé par l'école de la nouvelle économie keynésienne sur la base des travaux des modèles de cycles réels (modèles RBC) de Finn E. Kydland et Edward C. Prescott.

## Concept

Les modèles DSGE jouent un rôle majeur dans l'évaluation de l'impact macroéconomique des politiques économiques actuelles. Ces modèles sont utilisés, notamment, par les banques centrales et les institutions internationales comme le Fonds monétaire international.
Ces modèles reposent sur deux principes. Tout d'abord, sur une modélisation des agents économiques au niveau microéconomiques, avec une prise en compte des ménages, des entreprises et de l'État ; ensuite, sur des données passées qui permettent de calibrer le modèle et l'affiner. Les agents économiques sont considérés comme maximisant leurs utilités (pour les entreprises, leurs profits).
L'objectif est de modéliser les variables macroéconomiques telles que la croissance économique, l'inflation, le chômage, etc. Le modèle est dit stochastique car il consiste pour le chercheur à introduire des processus stochastiques exogènes (dits « chocs ») qui modélisent un changement dans le système économique. Dans ces modèles, l'état de l'économie évolue par palier passant de l'instant t à l'instant t+1, les maximisations s'effectuent donc sur l'espérance de la somme des utilités ou des profits futurs tout en tenant compte des contraintes (prix, monnaie,...).
Les modèles DSGE sont issus d'un article séminal écrit par Finn E. Kydland et Edward C. Prescott, considéré comme le point de départ de cette branche des sciences économiques. Aujourd'hui, deux grandes écoles de pensée économiques utilisent ces modèles, avec des paramètres différents : la Nouvelle économie classique, avec des prix libres, et la Nouvelle économie keynésienne, avec des prix imposés par des entreprises monopolistiques.

## Un modèle dynamique d'équilibre général simple

Dans le modèle canonique, le marché est supposé complet. Aussi on ne considère qu'une entreprise et qu'un ménage par souci de simplicité.

### Le problème du ménage

Le ménage a pour objectif de maximiser son utilité, ou préférence, définie par
    $\sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}\log {c_{t}}$
avec $c_{t}$ la consommation du ménage à l'instant t et $0<\beta <1$ un coefficient d'actualisation. À chaque période le ménage doit satisfaire les contraintes de son budget
    $c_{t}+k_{t+1}=w_{t}l_{t}+(1+z_{t}-\delta )k_{t}$
avec $k_{t}$ le capital du ménage à l'instant t, $w_{t}$ le salaire et $l_{t}$ correspondant au temps de travail , $z_{t}$ le taux d'intérêt du capital et $\delta$ le taux de dépréciation du stock de capital.
Étant donné $\beta ,\delta ,w_{t},z_{t},l_{t},k_{0}$ ce problème d'optimisation sous contrainte peut se résoudre avec la méthode des multiplicateur de Lagrange
    $L(...,c_{t},k_{t},\lambda _{t},...)=\sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}[\log {c_{t}}+\lambda _{t}(w_{t}l_{t}+(1+z_{t}-\delta )k_{t}-c_{t}-k_{t+1})]$
avec le multiplicateur de Lagrange $\lambda _{t}$ appelé utilité marginale du revenu. En annulant les dérivées partielles de L on obtient une série d'équations nécessaires pour les optimum de la fonction L.
    dérivée par rapport à $c_{t}$, $1/c_{t}=\lambda _{t}$
    dérivée par rapport à $k_{t}$, $\lambda _{t}=\beta \lambda _{t+1}(1+z_{t+1}-\delta )$
De plus on a une condition dite de transversalité
    $\lim _{t\rightarrow +\infty }\beta ^{t}\lambda _{t}z_{t+1}=0$

### Le problème de l'entreprise

Une entreprise est modélisée par sa fonction de production, ici une fonction de Cobb-Douglas à rendements d'échelle constants,
    $y_{t}=A(k'_{t})^{\alpha }(l'_{t})^{1-\alpha }$
avec $k'_{t}$ le capital nécessaire à la production $y_{t}$ de la période t et $l'_{t}$, le travail. Étant donné le taux d'intérêt du capital $z_{t}$ et le prix du travail $w_{t}$, l'entreprise cherche à maximiser ses profits sur chaque période
    $\max _{k'_{t},l'_{t}}A(k'_{t})^{\alpha }(l'_{t})^{1-\alpha }-z_{t}k'_{t}-w_{t}l'_{t}$
En annulant les dérivées partielles on obtient les équations nécessaires
    $z_{t}=\alpha A(l'_{t}/k'_{t})^{1-\alpha }$
    $w_{t}=(1-\alpha )A(k'_{t}/l'_{t})^{\alpha }$

### Les conditions d'équilibre du marché

* Sur un marché du travail inélastique $l'_{t}=l_{t}=1$.
* Sur le marché des capitaux $k'_{t}=k_{t}$.
* Dans une économie fermée sans gouvernement $y_{t}=c_{t}+k_{t+1}-(1-\delta )k_{t}$

### Synthèse des équations du modèle dynamique simple

L'ensemble des équations précédentes se résument en
    $c_{t}+k_{t+1}=Ak_{t}^{\alpha }+(1-\delta )k_{t}$
    $1=\beta {\frac {c_{t}}{c_{t+1}}}(\alpha Ak_{t+1}^{\alpha -1}+1-\delta )$
ou encore
    $Ak_{t+1}^{\alpha }+(1-\delta )k_{t+1}-k_{t+2}=\beta (Ak_{t}^{\alpha }+(1-\delta )k_{t}-k_{t+1})(\alpha Ak_{t+1}^{\alpha -1}+1-\delta )$
avec $k_{0}$ le capital initial, $A$ et $\alpha$ les paramètres de la fonction de production, $\beta$ le taux d'actualisation de la fonction utilité, et $\delta$ le taux d'inflation les paramètres connus. Remarque contenu des hypothèses retenues ces équations ne dépendent ni des salaires, ni des taux d'intérêt.

### Solutions

Un tel problème peut être résolu en utilisant les techniques de programmation dynamique (voir aussi Dynamic_programming#Example: Mathematical optimization (en)). En particulier la fonction $\log$ étant concave on peut montrer qu'il existe une fonction h telle que $c_{t}=h(k_{t})$.
Pour $\delta =1$, il existe une solution analytique
    $h(k)=(1-\beta \alpha )Ak^{\alpha }$
Pour $\delta <1$, la seule possibilité est de recourir à des approximations. L'équation en k admet un point d'équilibre ${\overline {k}}$ tel que
    $1=\beta (\alpha A{\overline {k}}^{\alpha -1}+1-\delta ).$
En introduisant la déviation logarithmique ${\hat {k}}_{t}=\log {(k_{t}/{\overline {k}})}$ de $k_{t}$ par rapport à ${\overline {k}}$, tel que $k_{t}-{\overline {k}}={\overline {k}}(\exp {{\hat {k}}_{t}}-1)\approx {\overline {k}}{\hat {k}}_{t}$ pour ${\hat {k}}_{t}$ proche de 0, on peut linéariser l'équation (LHS =RHS) autour du point d'équilibre.
Soit $f(k)=Ak^{\alpha }+(1-\delta )k$,
    $LHS=f(k_{t+1})-k_{t+2}\approx f({\overline {k}})-{\overline {k}}+f'({\overline {k}})(k_{t+1}-{\overline {k}})-(k_{t+2}-{\overline {k}})$
    $LHS\approx f({\overline {k}})-{\overline {k}}+f'({\overline {k}}){\overline {k}}{\hat {k}}_{t+1}-{\overline {k}}{\hat {k}}_{t+2}$
de même
    $RHS=\beta (f(k_{t})-k_{t+1})f'(k_{t+1})\approx \beta (f({\overline {k}})-{\overline {k}})f'({\overline {k}})+\beta {\overline {k}}f'({\overline {k}})(f'({\overline {k}}){\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}_{t+1})+\beta (f({\overline {k}})-{\overline {k}})f''({\overline {k}}){\overline {k}}{\hat {k}}_{t+1}.$
Finalement on obtient une équation d'une suite récurrente linéaire de second ordre pour les différences
    ${\hat {k}}_{t+2}=A_{0}{\hat {k}}_{t}+A_{1}{\hat {k}}_{t+1},$
avec $A_{0}=-\beta f'({\overline {k}})$ et $A_{1}=\beta +f'({\overline {k}})-\beta (f({\overline {k}})-{\overline {k}})f''({\overline {k}})$.
Soit
    ${\hat {k}}_{t}=w_{1}P_{1}^{t}+w_{2}P_{2}^{t}$
où $P_{i}=0.5(A_{1}+-{\sqrt {A_{1}^{2}+4A_{0}}})$, si le polynôme $X^{2}-A_{1}X-A_{0}$ admet deux racines distinctes. En l’absence d'une condition initiale supplémentaire fixant ${\hat {k}}_{1}$, par exemple $c_{0}$, on obtient une famille de solutions. Par exemple pour $\beta =0.99$, $\alpha =0.34$, $\delta =0.02$ et $A=1$ on a $P_{1}=0.96$ et $P_{2}=1.04$. Pour éviter les solutions tendant vers l'infini pour lesquelles l'approximation n'est pas valide, on peut choisir $w_{2}=0$. Dans ce cas, connaissant le capital initial $k_{0}$, l'unique solution du problème est donnée par $w_{1}={\hat {k}}_{0}$.

## Modèle dynamique stochastique

Au lieu de considérer les paramètres du modèle simple, on considère certains de ces paramètres comme des variables aléatoires. Par exemple A peut être une variable aléatoire suivant un processus de Markov.

## Débats et critiques

Les modèles DSGE font l'objet de diverses critiques. Pierre Dockès relève qu'ils sont critiquables dans la mesure où leurs tentatives d'intégrer la monnaie et les chocs causés par les politiques monétaire et budgétaire demeurent pauvres.