# Série hypergéométrique basique

En mathématiques, les séries hypergéométriques basiques de Heine, ou q-séries hypergéométriques, sont des généralisations q-analogues des séries hypergéométriques généralisées, à leur tour étendues par les séries hypergéométriques elliptiques. Une série x$_n$ est appelée hypergéométrique si le rapport de deux termes successifs x$_{n+1}$/x$_n$ est une fraction rationnelle de n. Si le rapport de deux termes successifs est une fraction rationnelle en q$^n$, alors la série est dite hypergéométrique basique, et le nombre q est appelé base.
La série hypergéométriques basique $_2$ϕ$_1$(q$^α$,q$^β$;q$^γ$;q,x) a d'abord été introduite par Eduard Heine 1846. On retrouve la série hypergéométrique F(α,β;γ;x) à la limite si la base q vaut 1.

## Définition

Il existe deux formes de séries hypergéométriques basiques, les séries hypergéométriques basiques unilatérales ϕ, et les plus générales, les séries hypergéométriques basiques bilatérales ψ.
Les séries hypergéométriques basiques unilatérales sont définies par
    $\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+k-j}z^{n}$
avec
    $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}$
et
    $(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})$
est le q-symbole de Pochhammer.
Le cas spécial le plus important correspond à j=k + 1, où on obtient
    $\;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.$
Cette série est dite balancée si a$_1$ ... a$_{k+1}$ = b$_1$ ...b$_k$q. Elle est dite bien équilibrée si a$_1$q = a$_2$b$_1$ = ... = a$_{k+1}$b$_k$, et très bien équilibrée si on a en plus a$_2$ = −a$_3$ = qa$_1$$^{1/2}$.
La série hypergéométrique basique unilatérale est une q-analogue de la série hypergéométrique dans le sens où elle vérifie (Koekoek et Swarttouw 1996)
    $\lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right].$
Les séries hypergéométriques basiques bilatérales, correspondant aux séries hypergéométriques bilatérales, sont définies par
    $\;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{k-j}z^{n}.$
Le cas spécial le plus important correspond à j=k, où elle devient
    $\;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.$
Les séries unilatérales peuvent être obtenues comme un cas particulier des bilatérales en fixant une des variables b égales à q, au moins quand aucune des variables a est une puissance de q, car alors tous les termes correspondant à n < 0 s'annulent dans ce cas.

## Cas simples

Parmi les cas les plus simples, on trouve
    ${\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots$
et
    ${\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots$
et
    $\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .$

## Le théorème q-binomial

Le théorème q-binomial (publié pour la première fois en 1811 par Heinrich August Rothe$^,$ établit que
    $\;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}$
qui s'obtient en appliquant à plusieurs reprises l'identité
    $\;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).$
Le cas spécial a = 0 est liée à la q-exponentielle.

### Théorème binomial de Cauchy

Le théorème binomial de Cauchy est un cas spécial du théorème q-binomial.
    $\sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad ({\textrm {pour}}|q|<1)$
avec ${\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}$ le coefficient q-binomial :
    ${\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}={\frac {(q)_{N}}{(q)_{n}(q)_{N-n}}}=\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {1-q^{N-n}}{1-q^{n+1}}}.$

## Identité de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan a posé l’identité
    $\;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}$
vraie pour tout |q| < 1 et |b/a| < |z| < 1. Des identités similaires pour $_6$ψ$_6$ ont été données par Bailey. De telles identités peuvent être vues comme des généralisations du théorème de triple produit de Jacobi, qui peuvent être écrites par des q-séries par
    $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.$
Ken Ono donne une série entière liée :
    $A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.$

## Intégrale de contour de Watson

Comme analogue de l'intégrale de Barnes (en) pour la série hypergéométrique, Watson a montré que
    $_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi {\rm {i}}}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-{\rm {i}}\infty }^{{\rm {i}}\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}(-z)^{s}\,\mathrm {d} s$
où les pôles de (aq$^s$ , bq$^s$ ; q)$_∞$ sont sur la gauche du contour et les pôles restants sur la droite. Il existe une intégrale de contour similaire pour $_{r+1}$ϕ$_r$.
Cette intégrale de contour donne un prolongement analytique continu de la fonction hypergéométrique basique en z.