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# Championnat du monde des rallyes-raids 2014

Le championnat du monde des rallyes-raids 2014 est la 12e édition du championnat du monde des rallyes-raids organisée par la Fédération internationale de motocyclisme. Il comporte 6 manches au calendrier.

## Calendrier et règlement
### Manches du championnat

* Le Abu Dhabi Desert Challenge aux Émirats arabes unis.
* Le Sealine Cross Country Rally au Qatar.
* Le Rallye des Pharaons en Égypte.
* Le Sardegna Rally Race (en) en Italie.
* Le Rallye dos Sertões au Brésil.
* Le rallye du Maroc au Maroc.

### Réglementation
## Résultats

| Manche | Rallye | Podium | Podium | Podium | Podium |
| Manche | Rallye | Pos. | Pilote | Pilote F | Pilote Quad |
| 1re | Abu Dhabi Desert Challenge 4 -10 avril résultats détaillés | 1er | Paulo Gonçalves | Camélia Liparoti | Rafał Sonik |
| 1re | Abu Dhabi Desert Challenge 4 -10 avril résultats détaillés | 2e | Marc Coma | Anastasiya Nifontova | Sergey Karyakin |
| 1re | Abu Dhabi Desert Challenge 4 -10 avril résultats détaillés | 3e | Joan Barreda Bort | | Mohamed Abu Issa |
| 2e | Sealine Cross-Country Rally 20 - 25 avril résultats détaillés | 1er | Joan Barreda Bort | | Mohamed Abu Issa |
| 2e | Sealine Cross-Country Rally 20 - 25 avril résultats détaillés | 2e | Marc Coma | | Rafał Sonik |
| 2e | Sealine Cross-Country Rally 20 - 25 avril résultats détaillés | 3e | Hélder Rodrigues | | |
| 3e | Rallye des Pharaons 18 - 25 mai résultats détaillés | 1er | Juan Carlos Salvatierra | | Rafał Sonik |
| 3e | Rallye des Pharaons 18 - 25 mai résultats détaillés | 2e | Nicolas Cardona | | Eduardo Marcos Echaniz |
| 3e | Rallye des Pharaons 18 - 25 mai résultats détaillés | 3e | Rafael Eraso | | Stefano Dalla Valle |
| 4e | Sardegna Rally Race (en) 7 - 12 juin résultats détaillés | 1er | Alessandro Botturi | Serena Ghione | Rafał Sonik |
| 4e | Sardegna Rally Race (en) 7 - 12 juin résultats détaillés | 2e | Marc Coma | Mirjam Pol | Alexandre Jonchère |
| 4e | Sardegna Rally Race (en) 7 - 12 juin résultats détaillés | 3e | Gerard Farrés | Camélia Liparoti | Stéphane Marthoud |
| 5e | Rallye dos Sertões 21 - 30 août résultats détaillés | 1er | Marc Coma | Moara Sacilotti | Robert Naji Nahas |
| 5e | Rallye dos Sertões 21 - 30 août résultats détaillés | 2e | Paulo Gonçalves | | Rafał Sonik |
| 5e | Rallye dos Sertões 21 - 30 août résultats détaillés | 3e | Jean de Azevedo | | Antonio Gonçalves Rosa Neto |
| 6e | Rallye du Maroc 3 - 9 octobre résultats détaillés | 1er | | | |
| 6e | Rallye du Maroc 3 - 9 octobre résultats détaillés | 2e | | | |
| 6e | Rallye du Maroc 3 - 9 octobre résultats détaillés | 3e | | | |
| | Classement mondial | 1er | | | |
# Mariana Marcelino

Mariana Grasielly Marcelino (née le 16 juillet 1992 est une athlète brésilienne, spécialiste du lancer de marteau.
Elle est triple championne d'Amérique du Sud de la discipline (2017, 2019 et 2021).

## Biographie

Lors des championnats du Brésil de 2017 elle porte le record national à 67,02 m.
Elle récidive aux championnats de 2019 avec 67,45 m.
En 2021, elle devient pour la troisième fois championne d'Amérique du Sud, à Guayaquil. Aux championnats du Brésil elle remporte le septième titre de sa carrière.

## Palmarès

Palmarès international :
| Date | Compétition | Lieu | Résultat | Marque |
| 2016 | Championnats ibéro-américains | Rio de Janeiro | 3e | 60,91 m |
| 2017 | Championnats d'Amérique du Sud | Luque | 1re | 66,83 m |
| 2019 | Championnats d'Amérique du Sud | Lima | 1re | 66,78 m |
| 2021 | Championnats d'Amérique du Sud | Guayaquil | 1re | 66,16 m |
| 2022 | Championnats ibéro-américains | La Nucia | 2e | 64,51 m |

### National

* 7 titres : 2014, 2016-2021

## Records

| Épreuve | Performance | Lieu | Date |
| Lancer du marteau | 68,35 m (NR) | Guayaquil | 23 juin 2021 |
# Ouham-Pendé

La Ouham-Pendé est l'une des 20 préfectures de la République centrafricaine, elle doit son nom à deux cours d'eau du bassin du Chari, la rivière Ouham et la rivière Pendé. Sa superficie est de 32 100 km2 pour une population de 430 506 habitants en 2003. La ville préfecture est Bozoum. Les autres villes importantes de la préfecture sont Paoua, Bocaranga, Ngaoundaye.

## Situation

L'Ouham-Pendé est située au Nord-Ouest du pays, frontalière du Tchad et du Cameroun et limitrophe des préfectures de Ouham à l'est, d'Ombella-M'Poko au sud-est et de Nana-Mambéré au sud-ouest.
Préfectures limitrophes de l'Ouham-Pendé :
| Mayo-Rey | Logone Oriental | |
| Mbéré | | Ouham |
| Nana-Mambéré | | Ombella-M'Poko |

## Administration

La Ouham-Pendé constitue avec la Ouham, la région de la Yadé, numéro 3 de la République centrafricaine.

### Sous-préfectures et communes

La Ouham-Pendé est divisée en six sous-préfectures et 23 communes :
| Sous-préfecture de Bozoum : Bozoum Dan-Gbabiri Birvan-Bolé Kouazo Danayéré Sous-préfecture de Bocaranga : Bocaranga Loura Pendé | Sous-préfecture de Paoua : Bah-Bessar Banh Bimbi Malé Mia-Pendé Mom Nana-Barya Paoua | Sous-préfecture de Koui : Koui Sous-préfecture de Ngaoundaye : Dilouki Kodi Lim Mbili Yémé Sous-préfecture de Bossemptélé : Binon |
Les 23 communes de Ouham-Pendé totalisent 923 villages ou quartiers.
| Sous-préfectures | communes | superficie (km²) | population (hab. 2015) | villages (nbre 2003) | quartiers (nbre 2003) |
| Bocaranga | Bocaranga | 2 449,04 | 74 615 | 155 | 31 |
| Bocaranga | Loura | 500,26 | 12 863 | 28 | 0 |
| Bocaranga | Pendé | 1 671,10 | 14 459 | 38 | 0 |
| Bossemptélé | Binon | 3 677,75 | 22 659 | 37 | 0 |
| Bozoum | Birvan-Bolé | 2 820,24 | 24 580 | 35 | 0 |
| Bozoum | Bozoum | 31,07 | 25 640 | 0 | 32 |
| Bozoum | Dan-Gbabiri | 3 305,77 | 12 052 | 41 | 0 |
| Bozoum | Danayéré | 773,39 | 6 132 | 21 | 0 |
| Bozoum | Kouazo | 926,77 | 9 274 | 37 | 0 |
| Koui | Koui | 2 483,66 | 37 235 | 114 | 0 |
| Ngaoundaye | Dilouki | 439,35 | 28 242 | 36 | 0 |
| Ngaoundaye | Kodi | 1 356,83 | 39 406 | 54 | 0 |
| Ngaoundaye | Lim | 446,51 | 29 374 | 44 | 0 |
| Ngaoundaye | Mbili | 761,27 | - | - | - |
| Ngaoundaye | Yémé | 1 320,51 | 17 074 | 38 | 0 |
| Paoua | Bah-Bessar | 1 503,58 | 37 322 | 50 | 0 |
| Paoua | Banh | 1 317,94 | 35 247 | 71 | 0 |
| Paoua | Bimbi | 1 137,81 | 20 874 | 72 | 0 |
| Paoua | Malé | 1 095,76 | 11 171 | 28 | 0 |
| Paoua | Mia-Pendé | 1 026,64 | 29 943 | 42 | 0 |
| Paoua | Mom | 1 093,19 | 19 115 | 44 | 0 |
| Paoua | Nana-Barya | 862,25 | 20 667 | 40 | 0 |
| Paoua | Paoua | 929,16 | 37 322 | 32 | 29 |

## Économie

La préfecture se situe dans la zone de cultures vivrières à mil et manioc dominants, maïs, courges et haricots. La culture commerciale dominante est le coton. Le nord et l'ouest de la préfecture constistuent une zone d'élevage bovin.
# Francine Lazurick

Francine Lazurick, née Bonitzer le 20 septembre 1909 à Paris où elle est décédée le 20 mai 1990, est une avocate et journaliste française.
Elle est la seconde épouse de Robert Lazurick, député socialiste du Front populaire et, après la Seconde Guerre mondiale, président-directeur général du journal L'Aurore. Francine Lazurick couvre pour L'Aurore le procès Pétain.
Après la mort accidentelle de son mari en avril 1968, Francine Lazurick devient présidente-directrice générale de L'Aurore. Elle quitte ce quotidien en 1978, avant sa vente au groupe Hersant.
# Vaulx Australian Field Ambulance Cemetery

Le Vaulx Australian Field Ambulance Cemetery (cimetière australien des hôpitaux de campagne de Vaulx) est un cimetière militaire de la Première Guerre mondiale, situé sur le territoire de la commune de Vaulx-Vraucourt, dans le département du Pas-de-Calais, au sud d'Arras.

## Localisation

Ce cimetière est situé à 1 km au sud-ouest de Vaulx-Vraucourt, route de Bapaume, à partir de la D 10E2, puis en empruntant sur 100 m un sentier gazonné.

## Histoire

Aux mains des Allemands depuis le début de la guerre, le village de Vaulx-Vraucourt est occupé par les forces du Commonwealth en mars 1917 lors du retrait des troupes allemandes sur la ligne Hindenburg. Il est perdu un an plus tard lors de l'offensive allemande au printemps 1918. Il est repris définitivement le 30 août 1918. Des postes de secours de l'armée australienne étaient installés au sud de Vaulx-Vraucourt pour soigner les blessés. Ce cimetière a été commencé en avril 1917 et utilisé jusqu'en février 1918. Quand ils ont conquis le secteur, les Allemands y ont ensuite enterré leurs soldats. Le cimetière contient 52 sépultures du Commonwealth de la Première Guerre mondiale, dont une non identifiée, et 61 sépultures de guerre allemandes.

## Caractéristiques

Ce cimetière a un plan rectangulaire de 30 m sur 15. Il est entouré d'un muret de briques sur 3 côtés et bordé par un bois. Ce cimetière a été conçu par William Harrison Cowlishaw.

## Sépultures

| Pays | Sépultures |
| Royaume-Uni | 19 |
| Australie | 33 |
| Allemagne | 61 |
| Total | 103 |

## Galerie

* Tombes de soldats allemands.
* Tombes d'un soldat australien.
# Inégalité de Pedoe

En géométrie, l'inégalité de Pedoe (ou inégalité de Neuberg-Pedoe ), portant les noms de Daniel Pedoe (1910-1998) et de Joseph Neuberg (1840-1926), stipule que si a, b et c sont les longueurs de côtés d'un triangle d'aire s, et A, B et C celles d'un triangle d'aire S, alors
    $A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geqslant 16Ss,\,$
avec égalité si et seulement si les deux triangles sont semblables avec comme couples de côtés correspondants ( A, a ), ( B, b ) et ( C, c ).
L'expression de gauche n'est pas seulement symétrique sous l'une des six permutations de l'ensemble { ( A , a ), ( B , b ), ( C , c ) }, mais — de façon moins évidente — elle reste inchangée si a est échangé avec A, b avec B, et c avec C. En d’autres termes, c’est une fonction symétrique du couple formé par les triangles.
L'inégalité de Pedoe est une généralisation de l'inégalité de Weitzenböck, obtenue dans le cas où l'un des triangles est équilatéral.
Pedoe l'a découverte en 1941 et l'a publiée par la suite dans plusieurs articles. Plus tard, il apprit qu'elle était déjà connue de Neuberg au 19ème siècle, mais ce dernier n'a pas prouvé que l'égalité impliquait la similitude des deux triangles.

## Démonstration

Par la formule de Héron, les aires des deux triangles s'écrivent :
    $16s^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})$
    $16S^{2}=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})$
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient,
    $16Ss+2a^{2}A^{2}+2b^{2}B^{2}+2c^{2}C^{2}$
    $\leqslant {\sqrt {(16s^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4})}}{\sqrt {(16S^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4})}}$
    $=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})$
Donc,
    $16Ss\leqslant A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}$
    $=A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$
d'où le résultat.
Il y a égalité si et seulement si ${\tfrac {a}{A}}={\tfrac {b}{B}}={\tfrac {c}{C}}={\sqrt {\tfrac {s}{S}}}$, c'est-à-dire ssi les deux triangles sont semblables.
# André Bernanose

André Bernanose (17 juin 1912 à Nancy - 18 mars 2002 à Nancy) est un centralien, physicien, chimiste et pharmacologue français.

## Biographie

André Bernanose est diplômé de l'École centrale Paris (Promotion 1934). Il a étudié la chimiluminescence durant la fin des années 1940 - début des années 1950, ce qui l'a amené à découvrir l'électroluminescence. Il est à ce titre considéré comme le père de la diode électroluminescente organique (OLED).

## Sources

* Biographie
* Nécrologie
# Walentynów (Lublin)

Walentynów (prononciation : [valɛnˈtɨnuf]) est un village polonais de la gmina de Krzczonów dans le powiat de Lublin de la voïvodie de Lublin dans l'est de la Pologne.
Le village comptait approximativement une population de 96 habitants en 2013.

## Histoire

De 1975 à 1998, le village est attaché administrativement à l'ancienne Voïvodie de Lublin. Depuis 1999, il fait partie de la nouvelle voïvodie de Lublin.
# Championnats du monde de cross-country 1973

Les 1$^{ers}$ Championnats du monde de cross-country IAAF se sont déroulés le 17 mars 1973 à Waregem en Belgique.

## Faits marquants

Il s'agit de la première édition des championnats du monde de cross-country, qui remplacent le Cross des nations. Deux cent quatre-vingt-cinq athlètes représentant vingt-et-un pays participent à cette compétition$^,$.
Chez les hommes, la victoire revient au Finlandais Pekka Päivärinta, un dixième de seconde devant l'Espagnol Mariano Haro qui avait déjà terminé 2e lors de la dernière édition du Cross des nations. Le Néo-zélandais Rod Dixon, déjà 3e sur 1 500 mètres aux Jeux olympiques l'année précédente, s'adjuge une nouvelle fois le bronze. Par équipes, la Belgique s'impose grâce notamment aux 5e et 8e places de Willy Polleunis et Gaston Roelants.
Chez les femmes, l'Italienne Paola Pigni s'impose en individuel, tandis que les Anglaises remportent l'épreuve par équipes.
Lors de l'épreuve junior hommes, l'Écossais Jim Brown et l'équipe d'Espagne remportent le titre.

## Résultats
### Cross hommes (12 km)
#### Individuel

| Rang | Athlète | Temps |
| | Pekka Päivärinta | 35 min 47 s |
| | Mariano Haro | 35 min 47 s |
| | Rod Dixon | 36 min 00 s |
| 4 | Tapio Kantanen | 36 min 05 s |
| 5 | Willy Polleunis | 36 min 05 s |
| 6 | Roger Clark | 36 min 08 s |
| 7 | Juan Hidalgo | 36 min 12 s |
| 8 | Gaston Roelants | 36 min 13 s |

#### Équipes

| Athlètes | Points |
| Belgique Willy Polleunis (5e) Gaston Roelants (8e) Erik De Beck (18e) Erik Gijselinck (19e) Karel Lismont (28e) Marc Smet (31e) | 109 pts |
| Union soviétique Nikolay Sviridov (9e) Pavel Andreyev (17e) Nikolay Puklakov (21e) Boris Olyanitskiy (22e) Valentin Zotov (23e) Vladimir Merkushin (27e) | 119 pts |
| Nouvelle-Zélande Rod Dixon (3e) Dick Tayler (12e) Bryan Rose (14e) Euan Robertson (15e) Eddie Gray (38e) Nathan Healey (54e) | 136 pts |

### Cross femmes (4 km)
#### Individuel

| Rang | Athlète | Temps |
| | Paola Pigni | 13 min 46 s |
| | Joyce Smith | 13 min 58 s |
| | Joske Van Santberghe | 14 min 01 s |
| 4 | Rita Ridley | 14 min 02 s |
| 5 | Sinikka Tyynelä | 14 min 09 s |
| 6 | Jean Lochhead | 14 min 12 s |
| 7 | Marijke Moser | 14 min 13 s |
| 8 | Irja Pettinen | 14 min 14 s |

#### Équipes

| Athlètes | Points |
| Angleterre Joyce Smith (2e) Rita Ridley (4e) Penny Yule (14e) Carol Gould (20e) | 40 pts |
| Finlande Sinikka Tyynelä (5e) Irja Pettinen (8e) Nina Holmén (10e) Aila Koivistoinen (50e) | 73 pts |
| États-Unis Doris Brown (15e) Francie Larrieu (16e) Vicki Foltz (29e) Caroline Walker (30e) | 90 pts |

### Cross junior hommes (7 km)
#### Individuel

| Athlète | Temps |
| Jim Brown | 20 min 53 s |
| José Haro Cisneros | 21 min 01 s |
| Léon Schots | 21 min 08 s |

#### Équipes

| Athlètes | Points |
| Espagne José Haro Cisneros (2e) José Luis Ruiz (7e) Fernando Cerrada (9e) | 18 pts |
| Italie Franco Fava (4e) Aldo Tomasini (5e) Luca Bigatello (13e) | 22 pts |
| Angleterre Dennis Coates (6e) Barry Smith (8e) Tony Staynings (10e) | 24 pts |
# Marie-Isabelle de Guastalla

Marie Isabelle de Gonzague (Guastalla, 14 mars 1680 – Guastalla, 2 décembre 1726) est une noble italienne.
Elle est princesse de Guastalla, fille de Vincent Ier de Guastalla et Marie-Victoire de Guastalla.
Son père a commandé en 1695 au peintre Benedetto Gennari le Jeune de l'école du Guerchin un portrait de la fille pour être envoyé, en 1697, à l'empereur Léopold Ier de Habsbourg, qui voulait choisir de la marier avec son fils Joseph. Mais la raison d'état a empêché le mariage.
# Ouguiya (1973-2017)

L’ouguiya (nom de genre féminin en français ; (ar) أوقية), première du nom (code ISO 4217 MRO) était la devise officielle de la Mauritanie à partir du 28 juin 1973 en remplacement du franc CFA au taux de une ouguiya pour cinq francs CFA. Une nouvelle monnaie portant le même nom a été introduite le 1er janvier 2018 au taux de 10 pour 1.

## Étymologie

Une ouguiya ou ouqiya (ar), vient de l'arabe wqiya (en arabe : أوقية) qui signifie once.

## Historique

Dans le cadre de son aspiration à une autonomie économique à la suite de son indépendance, la Mauritanie a remplacé le franc CFA par sa propre devise nationale. La production des premières coupures d'ouguiya a été réalisée avec le soutien de l'Algérie, qui a procédé à leur impression. Les premiers ouguiyas sont introduites en 1973 en remplacement du franc CFA, au taux de une ouguiya pour cinq francs CFA.

## Subdivisions

La devise a la particularité de ne pas être divisible par 10, 100 ou 1000 : une ouguiya comprend cinq khoums ((ar) خمس), ce qui veut dire « cinquième ».
Il existe une seule autre devise dans ce cas : ariary de Madagascar.

## Change

* 1 ECU = 50,59 ouguiyas (février 1973) ;
* 1 ECU = 64,34 ouguiyas (janvier 1986) ;
* 1 ECU = 97,44 ouguiyas (janvier 1988) ;
* 1 ECU = 116,68 ouguiyas (janvier 1992);
* 1 euro = 148,11 ouguiyas (janvier 1993) ;
* 1 euro = 191,36 ouguiyas (janvier 1997) ;
* 1 euro = 244,45 ouguiyas (janvier 1999) ;
* 1 euro = 283,91 ouguiyas (janvier 2003);
* 1 euro = 404,10 ouguiyas (janvier 2013) ;
* 1 euro = 420,58 ouguiyas (28 décembre 2017).

## Pièces

Les pièces en circulation de l'ancienne ouguiya sont les suivantes :
* 1/5 ouguiya ;
* 1 ouguiya ;
* 5 ouguiyas ;
* 10 ouguiyas ;
* 20 ouguiyas ;
* 50 ouguiyas.
La pièce de 1 ouguiya n'est plus produite par la Banque centrale de Mauritanie (BCM), elle est produite par la monnaie de Paris.

## Billets

Les billets en circulation de l’ancienne monnaie sont ceux de :
* 100 ouguiyas ;
* 200 ouguiyas ;
* 500 ouguiyas ;
* 1 000 ouguiyas ;
* 2 000 ouguiyas (deux versions) ;
* 5 000 ouguiyas.
De nouveaux billets plus difficiles à contrefaire ont été introduits en 2004. C'est à cette occasion qu'a été ajouté le billet de 2 000 ouguiyas.
En 2010, pour fêter le cinquantenaire de l'indépendance nationale, le billet de 5 000 ouguiyas a lui aussi été ajouté pour faciliter les échanges.
En 2012, la BCM produit un nouveau billet de 2 000 ouguiyas. L'ancien billet est alors toujours utilisable.
# Vaumara Rebelo

Vaumara Patricia Carriço Rebelo (née le 23 août 1991 à Luanda en Angola), est une reine de beauté angolaise, élue Miss Angola 2012$^,$.
# Inégalité de Popoviciu

En analyse convexe, l'inégalité de Popoviciu est une inégalité portant sur les fonctions convexes. Elle ressemble à l'inégalité de Jensen et a été découverte en 1965 par le mathématicien roumain Tiberiu Popoviciu.

## Énoncé

    Soit f une fonction d'un intervalle $I\subset \mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$. Si f est convexe, alors, pour trois points quelconques x, y et z de I$^,$,
       ${\frac {2}{3}}\left[f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\right)+f\left({\frac {z+x}{2}}\right)\right]\leqslant {\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)$
Supposons f convexe. Sans perte de généralités, supposons : $x\leq y\leq z$ et $y\leq {\frac {x+y+z}{3}}$,
Alors :
${\frac {x+y+z}{3}}\leq {\frac {x+z}{2}}\leq z\quad \mathrm {et} \quad {\frac {x+y+z}{3}}\leq {\frac {y+z}{2}}\leq z$
On peut donc trouver $s,t\in \left[0;1\right]$ tels que :
${\frac {x+z}{2}}=s{\frac {x+y+z}{3}}+(1-s)z\quad \mathrm {et} \quad {\frac {y+z}{2}}=t{\frac {x+y+z}{3}}+(1-t)z$
En additionnant et multipliant les deux égalités ensemble, on obtient :
$(x+y-2z)\left(s+t-{\frac {3}{2}}\right)=0$
Si $x+y-2z=0,x=y=z$, ce qui conclut. Sinon, on a $s+t={\frac {3}{2}}$ et :
${\begin{matrix}\displaystyle f\left({\frac {x+z}{2}}\right)&\leq &\displaystyle sf\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)&+&(1-s)f(z)\\[3pt]\displaystyle f\left({\frac {y+z}{2}}\right)&\leq &\displaystyle tf\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)&+&(1-t)f(z)\\[3pt]\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)&\leq &{\dfrac {1}{2}}f(x)&+&{\dfrac {1}{2}}f(y)\end{matrix}}$
En sommant les trois inégalités et en multipliant par 2/3, on a bien l'inégalité de Popoviciu. Le cas $y\geq {\frac {x+y+z}{3}}$ est analogue.
    Si une fonction f est continue, alors elle est convexe si et seulement si l'inégalité ci-dessus est vraie pour tout x, y et z de I. Lorsque f est strictement convexe, l’inégalité est stricte sauf pour x = y = z.

## Généralisation

Cette inégalité peut être généralisée à n’importe quel nombre fini n de points au lieu de 3, pris à droite k à la fois au lieu de 2 à la fois :
    Soit f une fonction continue d'un intervalle $I\subset \mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$. Alors f est convexe si et seulement si, pour tout entier n et k où n ≥ 3 et 2 ≤ k ≤ n–1 et n points quelconques x$_1$, ..., x$_n$ de I,
       ${\frac {1}{k}}{\binom {n-2}{k-2}}\left({\frac {n-k}{k-1}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})+nf\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\right)\geqslant \sum _{1\leqslant i_{1}<\dots <i_{k}\leqslant n}f\left({\frac {1}{k}}\sum _{j=1}^{k}x_{i_{j}}\right)$
L'inégalité de Popoviciu peut également être généralisée en une inégalité pondérée$^,$$^,$. L'article de Popoviciu a été publié en roumain, mais le lecteur intéressé peut trouver ses résultats dans la revue en lien Zentralblatt MATH.
# André Bernard

André Bernard peut désigner :
* André Bernard (1892-1928), un entrepreneur français ;
* André Bernard (1930-2015), un coureur cycliste français ;
* André Bernard (1934-2018), un manager d'artistes, programmateur d'émissions télévisées ;
* André Bernard (1935-), un pentathlonien français ;
* André Bernard (1937-), un réfractaire au service militaire pendant la Guerre d'Algérie et anarchiste non violent.
# Walentów

Walentów peut désigner en Pologne :
# Pagasts

Un pagasts (IPA:[pɑgɑst͡s] ; pagasti au pluriel), signifiant littéralement « paroisse », est la plus petite subdivision territoriale et administrative de la Lettonie. Cette paroisse civile s'articule pour la plupart du temps autour d'un village.
La réforme administrative et territoriale du 1er juillet 2009 consiste à fonder des municipalités (novadi) par regroupement d'une ville et des pagasti environnants ou de pagasti entre eux.
# Vinagora

Vinagora est un village de la municipalité de Pregrada (comitat de Krapina-Zagorje) en Croatie. Au recensement de 2011, le village comptait 41 habitants.

## Bâtiments remarquables

L'église datant de 1657 est située sur une colline. Elle comporte une enceinte, une galerie couverte, une statue gothique en bois de Madone (Sainte-Marie de la Visitation), des tours rondes et un clocher à bulbe. Des pèlerinages s'y déroulent.
# Upton (Kentucky)

Upton est une ville américaine située dans les comtés de Hardin et de LaRue, dans le Kentucky. Selon le recensement de 2020, sa population est de 704 habitants.
# Walter Fabian (homme politique)

Walter Max Fabian (né le 24 août 1902 à Berlin - décédé le 15 février 1992 à Cologne) était un homme politique socialiste, résistant, journaliste et traducteur.