# Flexion (matériau)

En physique (mécanique), la flexion est la déformation d'un objet sous l'action d'une charge. Elle se traduit par une courbure. Dans le cas d'une poutre, elle tend à rapprocher ses deux extrémités. Dans le cas d'une plaque, elle tend à rapprocher deux points diamétralement opposés sous l'action.
L'essai de flexion d'une poutre est un essai mécanique utilisé pour tester la résistance en flexion. On utilise la flexion dite « trois points » et la flexion dite « quatre points ».
En chaudronnerie, le pliage d'une tôle est une flexion pour laquelle on veut dépasser la limite élastique du matériau, afin d'avoir une déformation définitive (déformation plastique). Dans la plupart des autres cas, on cherche au contraire les conditions nécessaires pour ne pas dépasser la limite élastique, afin de préserver l'intégrité de la pièce.

## Cas d'une poutre

En théorie des poutres, on considère des fibres, c'est-à-dire des petits cylindres de matières générés par une portion dS et une courbe parallèle à la courbe moyenne (la « direction de la poutre ») ; la courbe moyenne passe par les centres de gravité des sections droites (sections perpendiculaires à la courbe moyenne). Les fibres situées vers l'extérieur de la flexion sont en extension, elles sont soumises à de la traction. Les fibres situées à l'intérieur de la flexion sont en compression.
La fibre engendrée par la courbe moyenne est appelée « fibre neutre ». Elle garde sa longueur lors de la flexion.
Par la suite, sauf mention contraire, nous supposerons que la poutre est rectiligne avant la flexion (la courbe moyenne forme une droite) et que les sections sont symétriques. Nous considérerons au début la flexion plane, c'est-à-dire avec des charges agissant dans un plan de symétrie de la poutre.

### Déformation

Du fait de l'hypothèse de Bernoulli (lors de la déformation, les sections planes perpendiculaires à la fibre moyenne restent planes et perpendiculaires à la fibre moyenne),
* la fibre neutre a un allongement nul ;
* les fibres à l'extérieur de la courbure sont étirées ;
* les fibres à l'intérieur de la courbure sont comprimées.
la déformation longitudinale ε varie de manière linéaire en fonction de y.
Par ailleurs, en considérant une poutre droite, si l'on appelle u$_y$(x) la flèche, c'est-à-dire le déplacement vertical du point de la courbe moyenne situé à l'abscisse x en raison de la flexion, on a, d'après la définition générale du rayon de courbure :
    $\gamma ={\frac {1}{\rho }}\simeq {\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{y}}{\mathrm {d} x^{2}}}$.
Le graphique u$_y$(x) donne la forme de la courbe moyenne, encore appelée « déformée de la poutre ».
Si l'on considère un élément infinitésimal de la poutre, alors les fibres forment des arcs de cercle concentriques de même angle dθ. Si ρ est le rayon de courbure de la fibre neutre (y = 0), alors la longueur l d'un arc situé à une ordonnée y vaut :
    $l=(\rho -y)\cdot \mathrm {d} \theta =l_{0}\cdot \left(1-{\frac {y}{\rho }}\right)$
si l$_0$ est la longueur initiale des fibres. On voit que la déformation longitudinale
    $\varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}=-{\frac {y}{\rho }}$
varie de manière linéaire en fonction de y.

### Efforts de cohésion

Si l'on considère les efforts de cohésion (voir les articles Théorie des poutres et Torseur de cohésion), la flexion résulte des moments fléchissants M$_{fy}$ et M$_{fz}$.
Nous considérerons ici la convention des efforts à droite.
On remarque que la valeur de l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à la position x du point considéré :
    $\mathrm {T} =-{\frac {\mathrm {d} \mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {d} x}}$.
Le diagramme des moments fléchissants peut être établi par la méthode du funiculaire.

### Contraintes
#### Contrainte normale pour une poutre droite

Plaçons-nous dans le cas d'un moment fléchissant M$_{fz}$ positif ; dans le plan (Gxy), les fibres sont concentriques, le centre O est situé vers le haut. La longueur de l'arc est proportionnelle au rayon, c'est-à-dire qu'elle varie linéairement en fonction de l'abscisse y considérée. De même, la contrainte normale à la section varie linéairement en fonction de y et l'on trouve :
    $\sigma _{xx}=-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot y$.
où I$_{Gz}$ est le moment quadratique d'axe (Gz), calculé en fonction de la forme de la section droite.
De même que la longueur des fibres, l'allongement relatif ε est proportionnel à y :
    $\varepsilon (y)=-{\frac {y}{\rho }}$
donc, d'après la loi de Hooke, la contrainte varie également de manière linéaire :
    $\sigma _{xx}(y)=\mathrm {E} \cdot \varepsilon (y)=-{\frac {\mathrm {E} }{\rho }}\cdot y$,
la quantité E/ρ étant à déterminer. Un petit élément de surface dS reçoit une force dF valant
    $\mathrm {d} {\vec {\mathrm {F} }}=\sigma _{xx}\cdot {\vec {\mathrm {dS} }}=-{\frac {\mathrm {E} }{\rho }}\cdot y\cdot \mathrm {dS} \cdot {\vec {x}}$.
Le moment dM$_{fz}$ de cette force par rapport au point G (0,0,0) appartenant donc à la ligne moyenne vaut :
    $\mathrm {d} {\vec {\mathrm {M} }}_{\mathrm {f} z}={\vec {y}}\wedge \mathrm {d} {\vec {\mathrm {F} }}={\frac {\mathrm {E} }{\rho }}\cdot y^{2}\cdot \mathrm {dS} \cdot {\vec {z}}$
Le moment fléchissant résulte de l'ensemble de ces moments, et en intégrant sur la section droite, on trouve :
    $\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}={\frac {\mathrm {E} }{\rho }}\cdot \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}$
avec
    $\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}=\int _{\mathrm {S} }y^{2}\cdot \mathrm {dS}$
On a alors :
    ${\frac {E}{\rho }}={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}$
soit
    $\sigma _{xx}(y)=-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot y$.
Le risque de rupture se situe sur la face en extension de la poutre. Si l'on appelle -V l'ordonnée du point situé sur cette face, la contrainte y vaut :
    $\sigma _{xx\ \mathrm {max} }={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\frac {\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}{\mathrm {V} }}}$.
La grandeur I$_{Gz}$/V est appelée « module de flexion élastique » et est noté W$_{él.z}$ :
    $\sigma _{xx\ \mathrm {max} }={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {W} _{\mathrm {{\acute {e}}l.} \ z}}}$.
Si la poutre est symétrique et de hauteur h, on a
    $\mathrm {V} =\pm {\frac {h}{2}}$
Si l'on retient comme limite le fait que la matière doit rester dans le domaine élastique, on a à la limite
    $\sigma =\mathrm {R} _{\mathrm {e} }$
où R$_e$ est la limite d'élasticité. Le moment fléchissant maximal limite est alors
    $\mathrm {M} _{\mathrm {f} \,\max }=\mathrm {R} _{\mathrm {e} }\times \mathrm {W} _{\mathrm {{\acute {e}}l.} \ z}$.
Ceci sera utilisé pour comparer avec la flexion plastique.

##### Note

    Comme c'est la valeur absolue de la contrainte qui nous intéresse, et que de toute manière le signe dépend de la convention choisie, on trouve souvent l'expression
       $\sigma _{xx}={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot y$

#### Contrainte normale pour une poutre courbe

Nous supposons que la poutre est générée par une courbe plane, dans le plan (x, y), et que la fibre neutre reste dans ce plan au cours de la déformation. C'est le cas typique d'un crochet de levage. Le rayon de courbure local (au repos) est noté r(x).
Comme dans le cas de la poutre droite, sous l'effet du moment fléchissant, les sections droites tournent, les fibres sont étirées ou comprimées. Mais contrairement au cas précédent, les fibres n'ont pas la même longueur initiale. La répartition de la contrainte selon y n'est plus linéaire, mais hyperbolique, de la forme :
    $\sigma (y)\propto {\frac {y-a}{r-y}}$.

#### Cisaillement

Dans la plupart des cas, le moment fléchissant s'accompagne d'un effort tranchant (T$_y$ avec M$_{fz}$, T$_z$ avec M$_{fy}$). Cela génère de la cission (τ$_{xy}$ pour T$_y$ et τ$_{xz}$ pour T$_z$). Cette contrainte de cisaillement ne génère que peu de risque de rupture et est donc généralement négligée (modèle de Bernoulli).
La répartition des contraintes n'est pas uniforme : la contrainte sur une surface libre est nécessairement dans le plan de la surface, donc la cission sur les faces extérieure est nulle. On a donc une cission qui croît lorsque l'on s'approche de la fibre neutre. La contrainte maximale vaut alors, si S est l'aire de la section droite :
* poutre de section rectangulaire pleine : $\tau _{\mathrm {max} }={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {S} }}$ ;
* poutre de section circulaire pleine : $\tau _{\mathrm {max} }={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {S} }}$ ;
* tube circulaire mince : $\tau _{\mathrm {max} }\simeq 2\cdot {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {S} }}$ ;
où S est l'aire de la section droite. On voit que sur ces exemples là, la contrainte est 1,5 à 2 fois supérieure au cas du cisaillement simple.
On note que la cission est maximale là où la contrainte normale est nulle (à la fibre neutre), et que la contrainte normale est maximale là ou la cission est nulle (sur les faces externes). On n'a donc pas de synergie entre les deux contraintes.
On se place dans le cas de la flexion trois points entre les deux premiers appuis. On considère un élément de poutre comprise entre deux sections droites placées en x et x + dx, et entre le feuillet d'ordonnée y$_0$ et le bas de la poutre d'ordonnée V. Au niveau du feuillet, la largeur de la poutre est l.
Cet élément de matière est soumis :
* à des forces normales aux sections droites ;
* à la force résultant du cisaillement ; elle s'exerce sur une face rectangulaire de dimensions l×dx.
Le moment fléchissant varie, donc la force normale sur chacune des sections droites est différente. On peut donc en déduire la cission par le principe fondamental de la statique (PFS).
L'effort tranchant T$_y$ est uniforme entre 0 et le milieu de la poutre, et l'on a :
    $\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}=\mathrm {T} _{y}\times x$.
La force sur la face de gauche vaut donc
    ${\bar {\mathrm {F} }}_{1}=\int _{\mathrm {V} }^{y_{0}}(-\sigma _{xx})\cdot \mathrm {dS} =\int _{\mathrm {V} }^{y_{0}}{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}y\cdot \mathrm {dS} ={\frac {\mathrm {T} _{y}x}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\mathrm {Q} (y)$
où
    $\mathrm {Q} (y)=\int _{\mathrm {V} }^{y_{0}}y\cdot \mathrm {dS}$
est le moment statique de la portion de la section droite comprise entre V et y$_0$.
La force sur la face de droite vaut :
    ${\bar {\mathrm {F} }}_{2}=-{\frac {\mathrm {T} _{y}(x+\mathrm {d} x)}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\mathrm {Q} (y_{0})$.
La force résultante vaut
    ${\bar {\mathrm {F} }}={\bar {\mathrm {F} }}_{1}+{\bar {\mathrm {F} }}_{2}=-{\frac {\mathrm {T} _{y}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\mathrm {Q} (y_{0})\mathrm {d} x$.
Le PFS s'écrit donc :
    $\tau _{xy}l\mathrm {d} x-{\frac {\mathrm {T} _{y}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\mathrm {Q} (y_{0})\mathrm {d} x=0$
soit
    $\tau _{xy}={\frac {\mathrm {T} _{y}\mathrm {Q} (y_{0})}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}l}}$.
On a pour les sections évoquées :
* poutre de section rectangulaire pleine de hauteur h et de largeur l : $\mathrm {Q} (y)={\frac {l}{2}}\left({\frac {h^{2}}{4}}-y^{2}\right)$ ;
* poutre de section circulaire pleine de rayon r : $\mathrm {Q} (y)={\frac {2}{3}}(r^{2}-y^{2})^{3/2}$ ;
* tube circulaire mince délimité par deux cylindres de rayons r et R : $\mathrm {Q} (y)={\frac {2}{3}}(r^{3}-y^{3})$.

### Calcul de la déformée

Nous avons vu ci-dessus que :
* la déformation par cisaillement est négligée ;
* la courbure γ et le rayon de courbure ρ sont déterminés en fonction du moment fléchissant M$_{fz}$, du facteur de forme I$_{Gz}$ et du module de Young E :
    $\rho ={\frac {1}{\gamma }}={\frac {\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}{\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}}$ ;
* la déformée u$_y$ est reliée à ρ et à γ selon l'équation différentielle :
    ${\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{y}}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {1}{\rho }}=\gamma$.
On peut donc déterminer la déformée par intégration double :
    $\gamma ={\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{y}}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}$.
Si la poutre est de section uniforme (I$_{Gz}$ ne varie pas) de même matériau (E ne varie pas), on se contente d'intégrer le moment fléchissant :
    $\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}\gamma =\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{y}}{\mathrm {d} x^{2}}}=\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}\Longrightarrow \mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}u_{y}=\iint \mathrm {M} _{\mathrm {f} z}\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {A} \cdot x+\mathrm {B}$
où A et B sont des constantes d'intégration déterminées à partir des conditions limites :
* aux points de liaison, on a u$_y$ = 0 ;
* aux points d'encastrement, on a u’$_y$ = 0 ;
* si le problème est symétrique par rapport à la section droite médiane, on a u’$_y$ = 0 au centre de la poutre.
On s'intéresse en général à la valeur maximale de u$_y$, la « flèche » de la poutre, qui détermine l'état limite en service (ELS, valeur de chargement à ne pas dépasser pour que la forme de la poutre reste compatible avec sa fonction).

#### Note

    On trouve souvent la notation abusive
       EI$_{Gz}$y ’’ = M$_{fz}$.
    y désignant alors le déplacement.
    Par ailleurs, les expressions exactes sont :
       ${\frac {u_{y}''(x)}{\left(1+u_{y}'^{2}(x)\right)^{3/2}}}={\frac {1}{\rho }}=\gamma$
    et donc
       $\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}{\frac {u_{y}''(x)}{\left(1+u_{y}'^{2}(x)\right)^{3/2}}}=\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}$.
La déformée peut être établie graphiquement par la méthode du funiculaire.

### Flexion en grande déformation

Lorsque le rayon de courbure ρ est inférieur à dix fois la hauteur h de la section
    ρ < h*10,
les hypothèses ne sont plus valables. Si toutefois on considère que :
* les sections droites restent planes ;
* les contraintes normales à la section sont indépendantes des contraintes parallèles à la section ;
alors la contrainte normale résultant du moment fléchissant devient
    $\sigma _{xx}={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\rho \mathrm {S} }}+{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}$
où S est l'aire de la section.

### Flexion déviée

La flexion déviée est le cas où les charges ne font pas pivoter la section autour d'un axe principal de moment quadratique; il existe toujours au moins deux axes principaux de moment quadratique quelle que soit la section de la poutre.

#### Poutre symétrique

Dans le cas d'une poutre symétrique, on peut décomposer le vecteur moment de flexion en deux composantes M$_{fy}$ et M$_{fz}$ non nulles. Si l'on reste en petites déformations, le système est linéaire, on peut donc considérer que l'on a une superposition de deux flexions planes. La contrainte normale vaut donc
    $\sigma _{xx}=-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}y+{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} y}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} y}}}z$.
Le plan sur lequel la contrainte s'annule est appelé « plan neutre ».

#### Poutre non symétrique

On détermine les axes principaux d'inertie Y et Z (voir l'article Moment d'inertie), puis l'on se ramène au cas précédent en se plaçant dans le repère (GxYZ) :
    $\sigma _{xx}=-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {fZ} }}{\mathrm {I_{GZ}} }}\mathrm {Y} +{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {fY} }}{\mathrm {I_{GY}} }}\mathrm {Z}$.

### Cas isostatiques
#### Flexion trois points

La flexion trois points est un essai mécanique classique. Il représente le cas d'une poutre posée sur deux appuis simples (appuis linéaires rectilignes qui, dans un problème plan, équivalent à une liaison ponctuelle) et soumise à une charge concentrée, appliquée au milieu de la poutre avec elle aussi un contact simple. On modélise souvent un des appuis comme un pivot afin d'avoir une poutre qui ne se déplace pas horizontalement.
Dans la figure ci-contre, la poutre a une longueur L et la charge centrale est P.
L'effort tranchant est constant en valeur absolue : il vaut la moitié de la charge centrale, P/2. Il change de signe au milieu de la poutre. Le moment fléchissant varie de manière linéaire entre une extrémité, où il vaut 0, et le centre où sa valeur absolue vaut PL/4 ; c'est là que le risque de rupture est le plus important.
Le profil de la poutre est décrit par un polynôme du troisième degré (fonction en x$^3$) sur une moitié de poutre (l'autre moitié étant symétrique).
Les diagrammes des efforts tranchants et moments fléchissants sont traditionnellement représentés remplis de traits verticaux. Cela correspond au découpage des aires en trapèze utilisé pour la méthode graphique.

#### Poutre sur deux appuis avec une charge ponctuelle

Ce cas est la généralisation de la flexion trois points : la charge n'est pas nécessairement appliquée au centre. Cela permet, par exemple, de représenter une charge roulante.
L'analyse entre une extrémité et le point d'application de la charge est la même que pour la flexion trois points, mais le problème n'est plus symétrique.

#### Poutre encastrée

Une poutre encastrée (clamped beam, cantilever), ou poutre en console, représente le cas d'une hampe de drapeau, d'un poteau scellé dans le sol, d'une poutre en porte à faux (par exemple une potence).
On peut remarquer qu'elle se comporte comme la moitié d'une poutre en flexion trois points, l'encastrement correspondant au centre. Le moment fléchissant maximal est au niveau de l'encastrement, c'est là que le risque de rupture est le plus important.

#### Flexion quatre points

La différence principale avec la flexion trois points se situe entre les deux charges : le moment fléchissant est constant et l'effort tranchant est nul. Cette situation est qualifiée de flexion pure ou flexion circulaire.

#### Poutre sur deux appuis avec une charge répartie uniforme

Une charge uniforme permet de décrire le poids propre de la poutre, ou encore le poids d'un liquide dans le cas d'une canalisation ou d'un réservoir.

#### Poutre sur deux appuis avec une charge répartie linéairement

Ce cas peut servir à décrire la charge sur un poteau soutenant un mur vertical ayant d'un côté de la terre ou de l'eau : la pression augmente avec la profondeur.

#### Méthode graphique

La résolution des problèmes de flexion isostatiques peut se faire graphiquement.

### Cas hyperstatiques
#### Poutre appuyée et encastrée (degré 1)

Le cas d'une poutre appuyée et encastrée, par symétrie, est parfaitement identique au cas d'une poutre sur trois appuis à travées identiques (à l'appui, la pente est nulle et correspond à un encastrement).

#### Poutre sur trois appuis(degré 1)

Dans le cas d'une poutre à deux travées identiques de longueur l, sous une charge uniforme q, le moment sur appui est identique au moment en travée d'une poutre simple, à savoir $pl^{2}/8$ ; on ne gagne donc rien en termes de résistance à lier en continuité deux poutres sur un appui commun. Par contre le moment maximal en travée vaut $9pl^{2}/128$ et la flèche maximale est réduite d'environ 40 % par rapport à la poutre isostatique.

#### Poutre bi-encastrée (degré 3)

| Charge continue uniformément répartie q | Charge triangulaire avec un maximum de q$_0$ |
| Charge concentrée P | Couple M$_0$ |

### Flexion plastique

Initialement, on retient comme critère de résistance (état limite ultime, ELU) le fait que la matière doit rester dans le domaine élastique. La charge maximale admise doit donc être telle que
    σ$_{max}$ ≤ R$_{pe}$
avec
* R$_{pe}$ = R$_e$/s : la résistance pratique à l'extension ;
* R$_e$ : la limite d'élasticité, typiquement de 185 à 355 MPa pour un acier de construction (acier non allié à basse teneur en carbone) ;
* s : coefficient de sécurité, typiquement entre 1,5 et 5.
On a donc des structures volontairement surdimensionnées, ce qui permet de faire face à des surcharges accidentelles.
Si l'on admet que certaines zones de la poutre peuvent se plastifier (subir de la déformation plastique), on peut dimensionner plus petit, donc concevoir une structure plus légère.
L'approche généralement retenue consiste à :
* considérer que la limite d'élasticité est la valeur maximale de la contrainte, ce qui revient à simplifier la courbe de traction ;
* prendre pour critère de ruine le moment où la totalité d'une section subit de la déformation plastique.
Lorsque la section est entièrement plastifiée, la contrainte normale vaut :
* -h/2 ≤ y < 0 : σ(y ) = R$_e$ ;
* 0 < y ≤ h/2 : σ(y ) = -R$_e$.
Le moment fléchissant vaut
    ${\mathcal {M}}_{\mathrm {f} }=-\int _{-h/2}^{h/2}y\cdot \sigma (y)\cdot \mathrm {dS}$.
Si la poutre est symétrique, alors
    ${\mathcal {M}}_{\mathrm {f} }=-2\int _{0}^{h/2}y\cdot \sigma (y)\cdot \mathrm {dS} =2\int _{0}^{h/2}y\cdot \mathrm {R_{e}} \cdot \mathrm {dS} =\mathrm {W_{pl}} \times \mathrm {R_{e}}$
où W$_{pl}$ est le module de flexion plastique :
    $\mathrm {W_{pl}} =2\int _{0}^{h/2}y\cdot \mathrm {dS}$.
Notons que l'on a
    W$_{pl}$ = 2S$_z$
où S$_z$ est le moment statique de la demie section.
Par rapport à la flexion élastique, on accepte donc que la poutre subisse un moment fléchissant plus élevé. Le rapport φ entre ces deux moments est appelé « gain » et vaut :
    $\varphi ={\frac {{\mathcal {M}}_{\mathrm {f\ max\ pl} }}{{\mathcal {M}}_{\mathrm {f\ max\ {\acute {e}}l} }}}={\frac {\mathrm {W_{pl}} \times \mathrm {R_{e}} }{\mathrm {W_{{\acute {e}}l}} \times \mathrm {R_{e}} }}={\frac {\mathrm {W_{pl}} }{\mathrm {W_{{\acute {e}}l}} }}$.
C'est un facteur de forme : il ne dépend que de la forme de la section droite.
Gains pour quelques profils normalisés :
| Profil | Gain |
| IPN | 1,18 |
| IPE | 1,15 |
| HEA | 1,15 |
| HEB | 1,16 |
| UPN | 1,19 |
| UAP | 1,18 |
| tube | 1,27 |
| plat | 1,5 |
| rond | 1,7 |
Lorsque la matière rentre dans le domaine plastique, il est nécessaire de faire intervenir la notion de rotule plastique, qui caractérise la plastification locale de la poutre. Le mécanisme de ruine de la structure peut alors être déterminé en utilisant le théorème cinématique ou le théorème statique de la mécanique des structures.

## Cas d'une plaque

Dans la théorie des plaques, on considère
* des feuillets, c'est-à-dire de fines tranches de matières parallèles aux faces de la plaque, le feuillet moyen étant situé au milieu de la plaque, et
* des fibres normales, c'est-à-dire de fins tubes de matière perpendiculaires au feuillet moyen.
Dans la théorie des plaques minces de Kirchhoff-Love, le feuillet moyen se courbe mais n'est pas étiré dans son plan (pas de déformation de « membrane »), et les fibres normales restent perpendiculaires au feuillet moyen au cours de la déformation. On peut donc exprimer simplement les déplacements u et v d'un point selon respectivement x et y en fonction de l'altitude z de ce point, de son déplacement w selon z et des angles θ$_x$ et θ$_y$ :
    u(x, y, z) ≃ z·θ$_y$(x, y) ;
    v(x, y, z) ≃ -z·θ$_x$(x, y) ;
    ${\begin{matrix}\theta _{x}={\frac {\partial w}{\partial y}}{\text{ ;}}\\[1ex]\theta _{y}=-{\frac {\partial w}{\partial x}}{\text{.}}\\\end{matrix}}$
Dans l'absolu, l'hypothèse d'absence de déformation de membrane n'est valable que si la surface peut être développée, c'est-à-dire si elle n'a qu'une seule courbure (cylindre ou cône de révolution). Dans le cas général (voir les exemples de la sphère et de la selle de cheval), il y a nécessairement une étirement. L'hypothèse n'est donc valable que si le déplacement w est faible devant l'épaisseur h de la plaque.

### Déformation

D'après la définition du tenseur des déformations, on a :
    $\left\{{\begin{array}{l}\varepsilon _{11}=z\cdot {\frac {\partial \theta _{y}}{\partial x}}=-z\cdot \gamma _{x}\\[1ex]\varepsilon _{22}=-z\cdot {\frac {\partial \theta _{x}}{\partial y}}=-z\cdot \gamma _{y}\\[1ex]\end{array}}\right.$
où γ$_x$ est la courbure du feuillet moyen dans le plan xz et γ$_y$ dans le plan yz.

### Efforts de cohésion

Les moments fléchissants m$_{xy}$, agissant sur la face normale à x et dont le vecteur est dirigé selon y, et m$_{yx}$, agissant sur la face normale à y et dont le vecteur est dirigé selon x, créent une répartition linéaire de la contrainte normale. Cette situation est similaire à celle de la poutre.

### Contraintes

On peut évaluer les contraintes à partir de la loi de Hooke :
    $\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{11}={\dfrac {1}{\mathrm {E} }}\cdot (\sigma _{11}-\nu \cdot \sigma _{22})\\[2ex]\varepsilon _{22}={\dfrac {1}{\mathrm {E} }}\cdot (\sigma _{22}-\nu \cdot \sigma _{11})\\\end{matrix}}\right.$
soit
    $\left\{{\begin{matrix}\sigma _{11}=-{\dfrac {\mathrm {E} }{1-\nu ^{2}}}\cdot (\gamma _{x}+\nu \gamma _{y})\cdot z\\[2ex]\sigma _{22}=-{\dfrac {\mathrm {E} }{1-\nu ^{2}}}\cdot (\gamma _{y}+\nu \gamma _{x})\cdot z\\\end{matrix}}\right.$
où E est le module de Young et ν est le coefficient de Poisson.
On peut relier les contraintes normales aux moments fléchissants par le principe d'équivalence ; il faut pour cela choisir une convention, à l'instar des conventions des efforts à gauche ou à droite pour les poutres. Ici, nous choisissons de noter les moments positifs s'ils provoquent une courbure vers le bas, c'est-à-dire si la face supérieure est en compression (σ$_{ii}$ < 0 pour z > 0) et la face inférieure est en traction (σ$_{ii}$ > 0 pour z < 0).
Donc, si l'élément de matière fait dx × dy × h, alors
    $\left\{{\begin{matrix}m_{xy}\cdot \mathrm {d} y=\int _{-h/2}^{h/2}\left(\sigma _{11}\cdot z\cdot \mathrm {d} y\right)\cdot \mathrm {d} z\\[1ex]m_{yx}\cdot \mathrm {d} x=\int _{-h/2}^{h/2}\left(\sigma _{22}\cdot z\cdot \mathrm {d} x\right)\cdot \mathrm {d} z\\\end{matrix}}\right.$
soit
    $\left\{{\begin{matrix}m_{xy}=-\mathrm {D} \cdot (\gamma _{x}+\nu \gamma _{y})\\m_{yx}=-\mathrm {D} \cdot (\gamma _{y}+\nu \gamma _{x})\\\end{matrix}}\right.$.
Le terme
    $\mathrm {D} ={\dfrac {\mathrm {E} }{1-\nu ^{2}}}\int _{-h/2}^{h/2}z^{2}\cdot \mathrm {d} z={\dfrac {\mathrm {E} h^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}$
est appelé rigidité flexionnelle. Il joue le même rôle que le facteur E⋅I$_{Gz}$ pour la flexion d'une poutre.
Comme on a
    $\left\{{\begin{matrix}\gamma _{x}\simeq {\dfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\\[2ex]\gamma _{y}\simeq {\dfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\\\end{matrix}}\right.$
on en déduit les équations différentielles :
    $\left\{{\begin{matrix}m_{xy}=-\mathrm {D} \cdot \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\[1ex]m_{yx}=-\mathrm {D} \cdot \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)\\\end{matrix}}\right.$.
Dans le cas général, m$_{xy}$ m$_{yx}$ sont des fonctions de x et de y.

### Cas particuliers
#### Distribution uniforme de moments sur les côtés d'une plaque rectangulaire

Nous allons d'abord nous placer dans le cas simple d'une plaque rectangulaire soumise à des moments uniformes à ses bords ; ce cas ne correspond pas à un cas réel particulièrement intéressant, mais permet d'avoir un certain nombre de résultats de manière simple. Cette situation est similaire à la flexion pure d'une poutre (partie centrale de la flexion à quatre points).
Dans notre cas particulier, on est dans le cas de torseurs couples. Si l'on considère un élément de matière n'importe où dans la plaque, on a donc :
    m$_{xy}$ = M$_x$ ;
    m$_{yx}$ = M$_y$.
Ce sont des constantes, on a donc
    $\left\{{\begin{matrix}\mathrm {M} _{x}=-\mathrm {D} \cdot (\gamma _{x}+\nu \gamma _{y})\\\mathrm {M} _{y}=-\mathrm {D} \cdot (\gamma _{y}+\nu \gamma _{x})\\\end{matrix}}\right.$
Dans ce cas-là, la solution est simple : on obtient des courbures uniformes :
    $\left\{{\begin{matrix}\gamma _{x}=-{\dfrac {\mathrm {M} _{x}-\nu \mathrm {M} _{y}}{\mathrm {D} '}}\\[2ex]\gamma _{y}=-{\dfrac {\mathrm {M} _{y}-\nu \mathrm {M} _{x}}{\mathrm {D} '}}\\\end{matrix}}\right.$
avec
    $\mathrm {D} '=(1-\nu ^{2})\mathrm {D} ={\dfrac {\mathrm {E} h^{3}}{12}}$.
Si l'un des couples extérieurs est nul, par exemple M$_y$ = 0, alors on a
    γ$_y$ = -νγ$_x$,
c'est-à-dire que les deux courbures principales sont opposées (courbe « anticlastique » de type selle de cheval). Dans le cas particulier où M$_y$ = νM$_x$, on a
    γ$_y$ = 0
c'est-à-dire que l'on n'a qu'une courbure que dans un sens. Ce cas est similaire à la flexion pure d'une poutre, mais le résultat est légèrement différent :
    ${\begin{matrix}{\text{plaque :}}&\mathrm {M} _{x}=-\mathrm {D} \gamma _{x}=-{\dfrac {\mathrm {E} h^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\gamma _{x}\\{\text{poutre :}}&\mathrm {M} _{x}=-\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}\gamma _{x}=-{\dfrac {\mathrm {E} h^{3}}{12}}\gamma _{x}\\\end{matrix}}$
Le facteur de différence 1/(1-ν²) provient du fait que la plaque n'a pas la possibilité de s'étendre librement sur les côtés. Dans le cas des métaux (ν ≃ 0,3), on a un écart d'environ 10 % (1/(1-ν²) ≃ 1,10).
Si l'on a M$_y$ = M$_x$, alors
    γ$_y$ = γ$_x$,
la plaque prend donc la forme d'une calotte de sphère. Ceci est en fait vrai quelle que soit la forme de la plaque, pour toute répartition uniforme des moments.

#### Pression uniforme
##### Plaque carrée appuyée

Dans le cas d'une plaque carrée de côté a simplement appuyée chargée par une pression uniforme p$_0$, la flèche maximale w$_{max}$ est au centre et vaut :
    $w_{\mathrm {max} }={\frac {p_{0}a^{4}}{4\pi ^{4}\mathrm {D} }}$.

##### Plaque circulaire encastrée

Dans le cas d'une plaque circulaire de rayon R encastrée, la flèche à une distance r du centre vaut
    $w(r)={\frac {p_{0}}{64\mathrm {D} }}(\mathrm {R} ^{2}-r^{2})^{2}$ ;
la flèche maximale est au centre et vaut
    $w_{\mathrm {max} }={\frac {p_{0}}{64\mathrm {D} }}\mathrm {R} ^{4}$.
Notons que l'on peut également écrire la flèche sous la forme
    $w(r)=w_{\mathrm {max} }\left(1-{\frac {r^{2}}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)^{2}$.

## Application à la construction

Comme il a été vu précédemment, les contraintes (et les déformations) dues à la flexion dans un élément (poutre ou plancher) sont principalement concentrées à proximité des fibres inférieure et supérieure, tandis que celles à proximité de la fibre neutre sont très peu sollicitées. Il est ainsi possible, pour des questions d'économie de matériaux, dans un but financier ou pour réduire le poids propre de l'élément, de concentrer la matière à distance de la fibre neutre et de l'amincir en son centre. C'est la raison pour laquelle on utilise des sections profilées en forme de tubes, de profilés laminés (en U, en I, en H, en cornières), des dalles nervurées ou à caisson, …