# Nombre polygonal centré

En arithmétique géométrique, un nombre polygonal centré est un type de nombre figuré, qui peut être représenté par un polygone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés autour de ce centre en couches polygonales successives avec un nombre donné de côtés. Les côtés d'une couche polygonale contiennent un point de plus que ceux de la couche polygonale précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre k-gonal centré, la première couche contient k points et à partir de la deuxième, chaque couche contient k points de plus que la précédente.

## Relation de récurrence et formule explicite

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième k-gone centré a un point central et n – 1 couches k-gonales régulières. Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième k-gone centré comporte k(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième k-gone centré, et faisant passer au n-ième :
$\forall \ n\geqslant 2\quad C_{k,n}=C_{k,n-1}+k(n-1).$
Ainsi, le n-ième k-gone centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté.
Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième nombre k-gonal centré est donc égal à 1 plus la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison k, ou encore, 1 plus k fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire :
$C_{k,n}=1+\sum _{i=1}^{n}k(i-1)1+k\sum _{i=0}^{n-1}i=1+kT_{n-1}=1+k{\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {kn^{2}-kn+2}{2}}$
Le fait que $C_{k,n}=kT_{n-1}+1$ est illustré sur la figure ci-dessous dans le cas $k=6$.

## Nombre à la fois k-gonal centré et k-gonal

Pour tout entier k ≥ 3, le premier et le k-ième nombres k-gonaux centrés sont aussi k-gonaux (non centrés):
$C_{k,1}=1=P_{k,1}\quad {\text{et}}\quad C_{k,k}={{k^{3}-k^{2}+2} \over 2}=P_{k,k+1}.$
Exemples :
* avec k = 3 : le nombre C$_{3,3}$ = 10 = P$_{3,4}$ est à la fois triangulaire centré et triangulaire ;
* avec k = 4 : le nombre C$_{4,4}$ = 25 = P$_{4,5}$ est à la fois carré centré et carré parfait.

## Nombre polygonal centré premier

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre octogonal centré est le n-ième nombre carré impair. Il ne peut donc pas être premier.
Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre ennéagonal centré est le nombre triangulaire d'indice 3n – 2 ≠ 2. Il ne peut donc pas non plus être premier.
Pour tout entier k différent de 8 et de 9 (et ≥ 3), le 2-ième nombre k-gonal centré, C$_{k,2}$ = 1 + k, peut évidemment être premier. En outre, il existe des nombres k-gonaux centrés premiers de rang n ≥ 3 (contrairement aux nombres k-gonaux).
Exemples : en gras dans les listes suivantes.

## Listes de nombres polygonaux centrés

Nombres polygonaux centrés (nombres polygonaux centrés premiers : en gras) :
| Nom, notation C$_{k,n}$ | Expression | Les dix plus petits nombres | Numéro(s) de suite(s) de l'OEIS |
| Nombres triangulaires centrés, C$_{3,n}$ | ${\frac {1}{2}}(3n^{2}-3n+2)$ | 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136 | A005448 et  A125602 |
| Nombres carrés centrés, C$_{4,n}$ | $2n^{2}-2n+1=n^{2}+(n-1)^{2}$ | 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 | A001844 et  A027862 |
| Nombres pentagonaux centrés, C$_{5,n}$ | ${\frac {1}{2}}(5n^{2}-5n+2)$ | 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226 | A005891 et  A145838 |
| Nombres hexagonaux centrés, C$_{6,n}$ | $3n^{2}-3n+1=n^{3}-(n-1)^{3}$ | 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271 | A003215 et  A002407 |
| Nombres heptagonaux centrés, C$_{7,n}$ | ${\frac {1}{2}}(7n^{2}-7n+2)$ | 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316 | A069099 et  A144974 |
| Nombres octogonaux centrés, C$_{8,n}$ | $(2n-1)^{2}$ | 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 | A016754 |
| Nombres ennéagonaux centrés, C$_{9,n}$ | ${\frac {1}{2}}(3n-1)(3n-2)$ | 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406 | A060544 |
| Nombres décagonaux centrés, C$_{10,n}$ | $5n^{2}-5n+1$ | 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451 | A062786 et  A090562 |
| Nombres undécagonaux centrés, C$_{11,n}$ | ${\frac {1}{2}}(11n^{2}-11n+2)$ | 1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496 | A069125 et  A262344 |
| Nombres dodécagonaux centrés = Nombres étoilés, C$_{12,n}$ | $6n^{2}-6n+1$ | 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541 | A003154 et  A083577 |