# Forme trace

En mathématiques la forme trace est un concept associé à la théorie de Galois et à la théorie algébrique des nombres.
Si L est une extension finie d'un corps commutatif K, la forme trace est la forme bilinéaire symétrique sur le K-espace vectoriel L, qui fait correspondre au couple (x, y) la trace de l'application linéaire t ↦ xyt, de L dans L.
Dans le cas d'un anneau d'entiers algébriques d'un corps de nombres (c'est-à-dire d'une extension finie du corps ℚ des rationnels), la forme trace possède une propriété remarquable : son déterminant ne dépend pas de la base choisie. Cette propriété permet de définir le discriminant d'un tel anneau.
La forme trace, à travers la notion de discriminant, permet d'établir des démonstrations d'arithmétique comme la finitude du groupe des classes d'idéaux ou le théorème des unités de Dirichlet.

## Définition et exemple
### Définition 1

Ici, K est un corps commutatif, L une extension finie, α un élément de L et φ$_α$ l'endomorphisme du K-espace vectoriel L qui, à x, associe αx.
* La trace de L sur K de l'élément α est la trace de l'endomorphisme φ$_α$. Elle est en général notée Tr$_{L/K}$(α).
Ceci permet de définir une forme bilinéaire symétrique sur le K-espace vectoriel L :
* La forme trace de L sur K est l'application de L × L dans K qui, à (x, y), associe la trace de xy.

### Exemple 1

Le corps ℚ(i) des rationnels de Gauss est le corps quadratique constitué des nombres de la forme z = x + iy, où x et y sont des rationnels et i l'unité imaginaire. Dans la base (1, i), la matrice de φ$_z$ est :
$M_{z}={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}$
donc la trace de z (relative à l'extension) est le double de sa partie réelle.
On en déduit, si a (resp. b) est un rationnel de Gauss égal à α + iβ (resp. γ + iδ) et Ψ désigne la matrice dans la base (1, i) de la forme trace :
${\text{Tr}}_{\mathbb {Q} (\mathrm {i} )/\mathbb {Q} }(a,b)=2{\text{Re}}(ab)=2\alpha \gamma -2\beta \delta \quad {\text{donc}}\quad \Psi ={\begin{pmatrix}2&0\\0&-2\end{pmatrix}}.$

## Propriétés de la trace

Le premier énoncé concerne le cas où L est une extension simple K(α). Les racines d'un polynôme unitaire sont considérées ici dans une extension où il est scindé, et sont répétées en cas de multiplicité (leur somme est donc l'opposé du coefficient sous-dominant de ce polynôme).
Lien avec les éléments conjugués — Si λ$_1$, λ$_2$, …, λ$_n$ désignent les racines du polynôme minimal de α sur K alors, pour tout polynôme Q à coefficients dans K,
$\mathrm {Tr} _{K(\alpha )/K}(Q(\alpha ))=\sum _{k=1}^{n}Q(\lambda _{k}).$
De manière générale, la trace de L sur K de m est la somme des racines du polynôme caractéristique χ$_m$ de φ$_m$, et si m = Q(α), alors φ$_m$ = Q(φ$_α$) et les racines de χ$_m$ sont les images par Q de celles de χ$_α$. Or dans le cas L = K(α), χ$_α$ n'est autre que le polynôme minimal P de α. En effet, si n est le degré de P, (1, α, α$^2$, … , α$^{n–1}$) est alors une base de L, dans laquelle la matrice de φ$_α$ est la matrice compagnon de P.
Cette première propriété permet d'établir les comportements diamétralement opposés de la forme trace, selon que l'extension est séparable (ci-dessous) ou ne l'est pas (plus loin) :
Cas séparable — Si L est une extension séparable de K et si S désigne l'ensemble des K-plongements de L dans une sur-extension normale alors :
* $\forall m\in K\quad {\text{Tr}}_{L/K}(m)=\sum _{\sigma \in S}\sigma (m)$ ;
* la forme trace de L sur K est non dégénérée.
* On utilise le théorème de l'élément primitif : si L est une extension finie séparable de K alors elle est de la forme K(α) pour un certain élément α, et les λ$_k$ de la propriété précédente ne sont autres que les σ(α). On a m = Q(α) pour un certain polynôme Q ∈ K[X] et Q(σ(α)) = σ(Q(α)) = σ(m).
* Les éléments de S sont linéairement indépendants d'après le théorème d'indépendance de Dedekind, en particulier leur somme est non nulle, c'est-à-dire – d'après le premier point – qu'il existe un élément m de L tel que Tr$_{L/K}$(m) soit non nul. Pour tout élément non nul x de L, il existe alors au moins un élément y de L tel que Tr$_{L/K}$(xy) soit non nul : y = m/x.
Alternativement, le second point se déduit immédiatement de la propriété suivante, utile par ailleurs :
Lien avec le discriminant d'un polynôme — Si α est algébrique de degré n, alors le déterminant de la matrice de la forme trace dans la base (1, α, α$^2$, … , α$^{n–1}$) de K(α) est égal au discriminant du polynôme minimal de α.
Notons M = (m$_{i,j}$) cette matrice et, à nouveau, λ$_1$, λ$_2$, …, λ$_n$ les racines du polynôme minimal P de α. Alors, d'après la première propriété de cette section :
$\forall i,j\in [1,n]\quad m_{i,j}={\text{Tr}}_{K(\alpha )/K}(\alpha ^{i+j})=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}^{i+j}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}^{i}\lambda _{k}^{j}\quad {\text{donc}}\quad M=^{t}\Lambda ~\Lambda ,$
en désignant par Λ la matrice dont le terme d'indice (k, i) est égal à λ$_k$$^i$. Or Λ est une matrice de Vandermonde, si bien que
$\det \Lambda =\prod _{i<j}(\lambda _{j}-\lambda _{i})\quad {\text{donc}}\quad \det M=(\det \Lambda )^{2}=\prod _{i<j}(\lambda _{j}-\lambda _{i})^{2}=\Delta (P).$
Le calcul immédiat de la trace d'une matrice par blocs permet d'établir :
$\mathrm {Tr} _{L/K}=\mathrm {Tr} _{F/K}\circ \mathrm {Tr} _{L/F}$
Grâce à la première propriété, on en déduit :
Cas non séparable — Si L est une extension non séparable de K alors la forme trace de L sur K est identiquement nulle.
Soit α un élément de L non séparable sur K. Dans la première des propriétés ci-dessus, la multiplicité de chaque conjugué de α est alors un multiple de la caractéristique de K, donc Tr$_{K(α)/K}$ est nulle et (par composition) Tr$_{L/K}$ aussi.

## Discriminant d'un anneau
### Définition 2

Dans cette partie, A désigne un anneau intègre dont le groupe additif est un ℤ-module libre de rang fini n. La définition ci-dessous s'applique aussi à tout sous-anneau (non nécessairement unifère) de A, qui est encore un ℤ-module libre, de rang fini inférieur ou égal à n.
Les matrices de changement de base de ces modules étant dans un groupe linéaire sur ℤ, leurs déterminants valent ±1. Le changement de base d'une forme bilinéaire ne modifie pas le déterminant, ce qui donne un sens à la définition suivante :
   Le discriminant Δ$_A$ de l'anneau A est le déterminant de sa forme trace.
L'anneau O$_K$ des entiers algébriques d'un corps de nombres K de degré n est le prototype de cette situation (cf. § « Propriétés noethériennes » de l'article « Entier algébrique »). En notant σ$_1$, … , σ$_n$ les plongements de K dans ℂ (ou dans une extension normale de K) et (b$_1$, … b$_n$) une ℤ-base quelconque de O$_K$,
$\Delta _{O_{K}}=\det(B^{2})\quad {\text{où}}\quad B={\begin{pmatrix}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{pmatrix}}$
car Tr$_{K/ℚ}$(b$_i$b$_j$) = ∑$_k$ σ$_k$(b$_i$b$_j$) = ∑$_k$ σ$_k$(b$_i$)σ$_k$(b$_j$) = ∑$_k$ B$_{ki}$ B$_{kj}$ = ($^t$BB)$_{ij}$ où $^t$B désigne la transposée de la matrice B. Donc det(Tr$_{K/ℚ}$(b$_i$b$_j$)) = det($^t$BB) = det(B)$^2$.

### Exemple 2

Si d ≠ 1 est un entier sans facteur carré, l'anneau des entiers du corps quadratique K = ℚ(√d) est O$_K$ = ℤ[ω] avec ω = (1 + √d)/2 si d est congru à 1 modulo 4, et ω = √d sinon (√d désignant l'une des deux racines carrées de d, dans ℂ si d < 0). Une base de ce ℤ-module est (1, ω) donc, en notant σ(ω) l'élément conjugué de ω :
$\Delta _{\mathbb {Z} [\omega ]}=\left|{\begin{matrix}1&\omega \\1&\sigma (\omega )\end{matrix}}\right|^{2}={\begin{cases}d&{\text{si }}d\equiv 1{\pmod {4}},\\4d&{\text{sinon.}}\end{cases}}$
En effet, ω – σ(ω) est égal à √d si d est congru à 1 modulo 4 et à 2√d sinon.
Pour d = –1, on trouve ainsi que le discriminant de l'anneau ℤ[i] des entiers de Gauss est égal à –4, qui est bien le déterminant de la matrice Ψ de l'exemple 1 ci-dessus.
On calcule de même, plus généralement, le discriminant de ℤ[ω] pour n'importe quel entier algébrique ω (cf. § « Discriminant et polynôme » ci-dessous).

### Propriétés
#### Discriminant et polynôme

Soient a un entier algébrique et ℤ[a] la ℤ-algèbre engendrée par a. Une propriété ci-dessus de la trace montre que :
   Le discriminant de ℤ[a] est égal au discriminant du polynôme minimal de a.
Par exemple, le discriminant de ℤ[i], égal à –4 (§ « Exemple 2 » ci-dessus), est égal au discriminant du polynôme X$^2$ + 1, qui est le polynôme minimal de i.

#### Discriminant d'un idéal

Soit J un idéal non nul de A. Son groupe additif est un ℤ-sous-module libre de rang égal au rang n de A puisque J contient le sous-module αA, de rang n, pour n'importe quel α non nul dans J. On définit sa norme N(J) comme la valeur absolue du déterminant d'une base de J dans une base de A. De la formule de changement de base pour une forme bilinéaire, on déduit alors immédiatement :
   Le discriminant d'un idéal non nul J de A est donné par la formule suivante :
   ${\text{discr}}(J)=(N(J))^{2}~{\text{discr}}(A).$
Soient f un isomorphisme de ℤ-modules de A dans J et F sa matrice dans une base B de A. Si x et y sont deux vecteurs de J et X et Y leurs vecteurs colonnes dans la base de J, image de B par f, on a l'égalité matricielle :
${\text{Tr}}(x,y)=^{\operatorname {t} }\!\!(FX)~T~(FY)=^{\operatorname {t} }\!\!X(^{\operatorname {t} }\!F~T~F)Y.$
On en déduit :
${\text{discr}}(J)=\det(^{\operatorname {t} }\!F~T~F)=\det(F)^{2}~\det(T)=(N(J))^{2}~{\text{discr}}(A).$
Le même argument montre que dans un corps de nombres K de degré n, pour qu'un sous-anneau de O$_K$ de rang n soit égal à l'anneau tout entier, il est suffisant (mais non nécessaire : cf. cas d ≢ 1 mod 4 de l'exemple 2 ci-dessus) que son discriminant soit sans facteur carré ; par exemple pour K = ℚ(ξ) où ξ est une racine de X$^3$ – X – 1, ceci prouve que O$_K$ est réduit à ℤ[ξ], dont le discriminant vaut (d'après le § précédent) –(4(–1)$^3$ + 27(–1)$^2$) = –23.

#### Critère de ramification

Soient (comme dans le § « Définition 2 » ci-dessus) K un corps de nombres et O$_K$ son anneau des entiers. C'est un anneau de Dedekind donc tout idéal y est produit, de façon unique, d'idéaux premiers, en particulier tout idéal engendré par un entier relatif.
   On dit qu'un nombre premier p est ramifié dans K si, dans la décomposition pO$_K$ = P$_1$$^{e(1)}$ … P$_k$$^{e(k)}$ où les P$_i$ sont des idéaux premiers distincts dans O$_K$, au moins un e(i) est strictement supérieur à 1.
Lorsque K est un corps quadratique ou cyclotomique ou, plus généralement, un corps monogène (en), c'est-à-dire lorsque O$_K$ est de la forme ℤ[a], ceci a donc lieu exactement quand p divise le discriminant de O$_K$ (cf. § Discriminant et polynôme ci-dessus). Plus généralement :
Théorème — Un nombre premier est ramifié sur un corps de nombres K si et seulement s'il divise le discriminant Δ$_{OK}$.
L'anneau quotient A := O$_K$/pO$_K$ est une algèbre sur le corps fini F$_p$ := ℤ/pℤ et toute ℤ-base de O$_K$ a pour image une F$_p$-base de A. Par fonctorialité de la trace, la classe de Δ$_{OK}$ modulo p est égale au déterminant de la forme trace de A dans une telle base ou, à produit près par un résidu quadratique non nul, dans n'importe quelle F$_p$-base de A (par le même raisonnement qu'au § précédent). Or (puisque O$_K$ est de Dedekind) les idéaux P$_i$ sont maximaux donc premiers entre eux deux à deux, si bien que le théorème des restes chinois généralisé s'applique : A est isomorphe au produit des A/Q$_i$$^{e(i)}$, où les Q$_i$ sont les images dans A des P$_i$.
On voit donc déjà que p divise Δ$_{OK}$ si et seulement si la forme trace est dégénérée sur au moins l'un des A/Q$_i$$^{e(i)}$, et il reste à montrer que pour un idéal maximal Q de A, la forme trace est dégénérée sur A/Qe si et seulement si e > 1.
* Si e = 1, A/Qe est un corps donc — puisque F$_p$ est parfait — une extension séparable de F$_p$ et la forme trace est alors non dégénérée sur A/Qe.
* Si e > 1, la classe x dans A/Qe d'un élément de Q\Qe est non nulle mais nilpotente donc, pour tout y dans A/Qe, xy est également nilpotent donc de trace nulle, ce qui prouve que la forme trace est dégénérée sur A/Qe.
En particulier, sur tout corps de nombres K, il n'y a qu'un ensemble fini de nombres premiers ramifiés. De plus, si K est différent de ℚ, il y en a toujours au moins un d'après le théorème suivant, démontré dans l'article sur le groupe des classes à l'aide du théorème de Minkowski :
$\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}{\sqrt {|\Delta _{O_{K}}|}},$
Ce théorème prouve en effet que si n > 1 alors |Δ$_{OK}$| > 1, puisque la norme d'un idéal non nul vaut au moins 1 et que (par récurrence) pour tout n ≥ 2, (π/4)$^{n/2}$n$^n$/n! > 1.