# Théorème de Fréchet-Kolmogorov

En analyse fonctionnelle, le théorème de Fréchet-Kolmogorov (noms auxquels on adjoint parfois Riesz ou Weil) donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de fonctions soit relativement compact dans l'espace L$^p$(λ), où λ désigne la mesure de Lebesgue sur ℝ$^n$. Il constitue une variante L$^p$ du théorème d'Ascoli.

## Énoncé

Soient p un nombre réel supérieur ou égal à 1 et B un sous-ensemble de L$^p$(λ).
Cette partie B est relativement compacte si et seulement si les trois propriétés suivantes ont lieu simultanément :
* B est bornée,
* $\lim _{r\to \infty }\int _{\|x\|>r}\left|f\right|^{p}{\rm {d}}\lambda =0$ uniformément par rapport à f ∈ B,
* $\lim _{a\to 0}\|\tau _{a}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}=0$ uniformément par rapport à f ∈ B, où τ$_a$ f désigne la translatée de f par a, c'est-à-dire τ$_a$ f(x) = f(x - a).

## Démonstration

Puisque L$^p$ est complet, B est relativement compact si et seulement s'il est précompact.
Sachant que les trois propriétés sont vraies si B est un singleton, on en déduit facilement qu'elles le restent si B est un précompact.
Réciproquement, supposons que B satisfait les trois propriétés et montrons qu'il est précompact. D'après l'hypothèse 2, il suffit de démontrer que pour tout compact K de ℝ$^n$, l'ensemble B$_{|K}$ des restrictions à K d'éléments de B est précompact.
Pour tout r > 0, notons :
* B$_r$ la boule de ℝ$^n$ de centre 0 et de rayon r ;
* V$_r$ = λ(B$_r$) son volume ;
* μ$_r$ la mesure de probabilité de Lebesgue sur cette boule : μ$_r$(A) = V$_r$$^{−1}$λ(A∩B$_r$) ;
* $\forall f\in {\rm {L}}^{p}(\lambda )\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\quad f_{r}(x)=\int \tau _{x}f{\rm {d}}\mu _{r}.$
D'après l'inégalité de Jensen ou celle de Hölder, pour une mesure de probabilité, la norme L$^p$ est une fonction croissante de p. En appliquant le théorème de Fubini, on en déduit : ${\begin{aligned}\|f_{r}-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}^{p}&\leq \int \left\|\tau _{x}f-f(x)\right\|_{{\rm {L}}^{1}(\mu _{r})}^{p}{\rm {d}}\lambda (x)\\&\leq \int \left\|\tau _{x}f-f(x)\right\|_{{\rm {L}}^{p}(\mu _{r})}^{p}{\rm {d}}\lambda (x)\\&=\int \|\tau _{a}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}^{p}{\rm {d}}\mu _{r}(a)\\&\leq \sup _{\|a\|<r}\|\tau _{a}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}^{p},\end{aligned}}$
ce qui garantit au passage que f$_r$ ∈ L$^p$ mais montre surtout que (d'après l'hypothèse 3) $\lim _{r\to 0^{+}}\|(f_{r})_{|K}-f_{|K}\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}=0$ uniformément par rapport à f ∈ B, si bien que pour démontrer la précompacité (pour la norme L$^p$) de B$_{|K}$, il suffit de vérifier, pour tout r > 0, celle de l'ensemble $\{(f_{r})_{|K}\mid f\in B\}.$ Il est même précompact pour la norme de la convergence uniforme sur K car le théorème d'Ascoli s'applique. On montre en effet qu'en tout point x, cet ensemble est :
* équicontinu d'après l'hypothèse 3 car (en réutilisant la croissance des normes)${\begin{aligned}|f_{r}(y)-f_{r}(x)|&\leq \|\tau _{y}f-\tau _{x}f\|_{{\rm {L}}^{1}(\mu _{r})}\\&\leq \|\tau _{y}f-\tau _{x}f\|_{{\rm {L}}^{p}(\mu _{r})}\\&\leq (V_{r})^{-1/p}\|\tau _{y}f-\tau _{x}f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}\\&=(V_{r})^{-1/p}\|\tau _{y-x}f-f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}~;\end{aligned}}$
* borné d'après l'hypothèse 1 car (par un calcul analogue) $|f_{r}(x)|\leq (V_{r})^{-1/p}\|f\|_{{\rm {L}}^{p}(\lambda )}.$