# Équilibre séculaire

En physique nucléaire, l'équilibre séculaire est une situation où la quantité d'un radioisotope reste constante du fait que son taux de production (dû, par exemple à la désintégration d'un isotope-parent) est égal à son taux de désintégration ; dans le cas contraire on parle de déséquilibre radioactif.

## Régime transitoire et régime permanent
### Lois d'évolution

Soit P (« père ») un noyau radioactif de constante radioactive λ$_P$ et F (« fils ») le noyau résultant de sa désintégration, lui-même radioactif de constante λ$_F$ (>> λ$_P$). On désignera par [P] et [F] le nombre de noyaux P et F présents dans un échantillon, ou bien leurs concentrations molaires (exprimées par exemple en mol/kg).
* Si le père est non radiogénique son taux de création est nul, et son taux de destruction est par ailleurs donné par la loi de décomposition radioactive :
    ${\frac {\mathrm {d[P]} }{\mathrm {d} t}}=-\lambda _{\mathrm {P} }[P]$.
* Le taux de création de F est λ$_P$ [P] et son taux de destruction λ$_F$ [F], d'où le bilan :
    ${\frac {\mathrm {d[F]} }{\mathrm {d} t}}=\lambda _{\mathrm {P} }[P]-\lambda _{\mathrm {F} }[F]$.
* Dans le cas d'une chaîne de désintégration on a de même, pour un descendant intermédiaire D$_n$ (fils de D$_{n−1}$ et père de D$_{n+1}$) :
    ${\frac {\mathrm {d[D} _{n}]}{\mathrm {d} t}}=\lambda _{n-1}[\mathrm {D} _{n-1}]-\lambda _{n}[\mathrm {D} _{n}]$.

### Équilibre séculaire

La quantité (ou la concentration) de F est constante (${\mathrm {d[F]} }/{\mathrm {d} t}=0$) si (2e équation ci-dessus) :
    $\lambda _{\mathrm {P} }[P]=\lambda _{\mathrm {F} }[F]$,
donc si les activités de P et F sont égales. Comme les constantes radioactives λ$_P$ et λ$_F$ sont inversement proportionnelles aux demi-vies correspondantes T$_P$ et T$_F$, le résultat précédent peut être écrit sous la forme :
    ${\frac {\mathrm {[F]} }{\mathrm {[P]} }}={\frac {T_{\mathrm {F} }}{T_{\mathrm {P} }}}$.
Dans le cas d'une chaîne de désintégration on a de même, à l'équilibre (3e équation de la section précédente) :
    $\lambda _{n-1}[\mathrm {D} _{n-1}]=\lambda _{n}[\mathrm {D} _{n}]$ donc ${\frac {[\mathrm {D} _{n}]}{[\mathrm {D} _{n-1}]}}={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}$
où D$_{n−1}$ et D$_n$ sont deux descendants successifs, λ$_{n−1}$ et λ$_n$ leurs constantes de désintégration, et T$_{n−1}$ et T$_n$ leurs demi-vies.

### Temporalité

Quand la période (T) du « père » est très nettement supérieure à celle des « fils », les activités des différents fils se mettent à l’équilibre avec celle du père. Autrement dit, le rapport entre la concentration d'un fils et celle du père devient égal au rapport de leurs demi-vies.
L'équilibre séculaire d'une chaîne de désintégration est atteint après un temps égal à environ 10 fois la période du fils dont la période est la plus longue : ex :
* $^{234}$U (T = 2,46 × 10$^5$ ans) est le fils de plus longue période dans la chaîne de $^{238}$U (T = 4,47 × 10$^9$ ans) ; l'équilibre séculaire est donc atteint après plus de deux millions d'années
* $^{228}$Ra (T = 5,75 ans) est à considérer pour la chaîne du $^{232}$Th (T = 1,40 × 10$^{10}$ ans), l'équilibre séculaire est atteint après un demi-siècle environ.
En considérant que les activités de tous les descendants sont alors égales à l'activité de l'isotope tête de filiation, l’erreur commise est inférieure à 1 %.
L'établissement de l'équilibre séculaire explique pourquoi la radioactivité d'un échantillon peut augmenter avec le temps. Par exemple, un gramme d'uranium 238 pur présente une radioactivité de 12 434 Bq. Au bout d'un an se sont formées dans l'échantillon des quantités significatives de $^{234}$Th et $^{234m}$Pa (de périodes radioactives inférieures à un mois), qui ont atteint leur équilibre séculaire avec l'uranium et présentent donc la même activité, alors que la quantité totale d'uranium 238 n'a pas diminué significativement : la radioactivité totale de l'échantillon est alors de 3 × 12 434 = 37 302 Bq. Au bout de 2,5 millions d'années (environ dix fois la période de l'uranium 234), l'équilibre séculaire de la chaîne complète est atteint : l'activité de l'uranium 238 est alors égale à celle de chacun de ses treize descendants (on néglige le $^{234}$Pa, qui représente un mode de désintégration très minoritaire). L'activité totale de l'échantillon d'un gramme est alors de plus de 174 000 Bq, soit 14 fois l'activité initiale.

## Règlementation

Une directive européenne précise les différents équilibres séculaires à considérer pour les évaluations dosimétriques portant sur la population et les travailleurs exposés à la radioactivité.

### Équilibres séculaires à considérer

Source IRSN
| Père | Radionucléides descendants en équilibre | Isotope fils stable |
| $^{90}$Sr+ | $^{90}$Y | $^{90}$Zr |
| $^{137}$Cs+ | $^{137m}$Ba | $^{137}$Ba |
| $^{238}$U+ | $^{234}$Th, $^{234m}$Pa | cf. $^{238}$U$_{sec}$ |
| $^{226}$Ra+ | $^{222}$Rn, $^{218}$Po, $^{214}$Pb, $^{214}$Bi, $^{214}$Po, $^{210}$Pb, $^{210}$Bi, Po | cf. $^{238}$U$_{sec}$ |
| $^{210}$Pb+ | $^{210}$Bi, $^{210}$Po | cf. Uranium 238$^{238}$U$_{sec}$ |
| $^{228}$Ra+ | $^{228}$Ac | cf. Th$_{sec}$ |
| $^{228}$Th+ | $^{224}$Ra, $^{220}$Rn, $^{216}$Po, $^{212}$Pb, $^{212}$Bi, $^{208}$Tl, $^{212}$Po | cf. Th$_{sec}$ |
| $^{238}$U$_{sec}$ | $^{234}$Th, $^{234m}$Pa, $^{234}$Pa, $^{234}$U, Th, $^{226}$Ra, $^{222}$Rn, $^{218}$Po, $^{214}$Pb, $^{214}$Bi, $^{214}$Po, $^{210}$Pb, $^{210}$Bi, Po | $^{206}$Pb |
| $^{232}$Th$_{sec}$ | $^{228}$Ra, $^{228}$Ac, $^{228}$Th, $^{224}$Ra, $^{220}$Rn, $^{216}$Po, $^{212}$Pb, $^{212}$Bi, $^{208}$Tl, $^{212}$Po | $^{208}$Pb |