# Suite de composition

La notion de suite de composition est une notion de théorie des groupes. Elle permet, dans un sens qui sera précisé, de considérer un groupe comme « composé » de certains de ses sous-groupes.

## Définitions

Soient G un groupe et e son élément neutre. On appelle suite de composition de G toute suite finie (G$_0$, G$_1$, …, G$_r$) de sous-groupes de G telle que
$G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}$
et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, G$_{i+1}$ soit sous-groupe normal de G$_i$. Les quotients G$_i$/G$_{i+1}$ sont appelés les quotients de la suite.
* Soient Σ$_1$ = (G$_0$, G$_1$, …, G$_r$) et Σ$_2$ = (H$_0$, H$_1$, …, H$_s$) deux suites de composition de G. On dit que
** Σ$_2$ est un raffinement de Σ$_1$, ou encore que Σ$_2$ est plus fine que Σ$_1$, si Σ$_1$ est extraite de Σ$_2$, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) … < j(r) = s tels que G$_i$ = H$_{j(i)}$ pour tout i ∈ {1, …, r – 1}.
** Σ$_1$ et Σ$_2$ sont équivalentes$^,$ si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …, r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient G$_i$/G$_{i+1}$ soit isomorphe au quotient H$_{σ(i)}$/H$_{σ(i)+1}$.
* Soit Σ = (G$_0$, G$_1$, …, G$_r$) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes : a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ; b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ; c) pour tout i ∈ [0, r – 1], G$_{i+1}$ est un sous-groupe distingué maximal de G$_i$ (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de G$_i$). On appelle suite de Jordan-Hölder une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).
Remarque : les auteurs de langue anglaise appellent « composition series » ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder.

## Quelques faits

* Pour tout groupe G, la suite (G, {e}) est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple.
* S$_3$ ⊃ A$_3$ ⊃ {e} est une suite de Jordan-Hölder.
* Théorème de raffinement de Schreier : pour deux suites de composition d'un même groupe, il existe toujours un raffinement de la première et un raffinement de la seconde qui sont équivalents.
* On en déduit que si un groupe admet une suite de Jordan-Hölder, toute suite de composition strictement décroissante de ce groupe admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.
* Si un groupe résoluble G admet une suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient de cette suite est à la fois simple et résoluble, donc est cyclique d'ordre premier, et G est donc fini. En particulier, un groupe abélien infini n'admet pas de suite de Jordan-Hölder.
* Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder.
* Théorème de Jordan-Hölder : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes.

## Généralisation aux groupes à opérateurs

Soient G un groupe à opérateurs et e son élément neutre. On appelle suite de composition de G toute suite finie (G$_0$, G$_1$, …, G$_r$) de sous-groupes stables de G telle que
$G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}$
et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, G$_{i+1}$ soit sous-groupe normal de G$_i$. Les quotients G$_i$/G$_{i+1}$ sont appelés les quotients de la suite.
Une suite principale d'un groupe peut être considérée comme une suite de Jordan-Hölder d'un certain groupe à opérateurs.