# Théorème de Stolz-Cesàro

En mathématiques, le théorème de Stolz-Cesàro établit une condition suffisante d'existence de limite d'une suite. Un cas particulier de cette version discrète de la règle de l'Hôpital est le lemme de Cesàro.
Son nom vient des mathématiciens Otto Stolz et Ernesto Cesàro.

## Énoncé

Soient (u$_n$) et (v$_n$) deux suites réelles, se trouvant dans l'un des deux cas suivants$^,$ :
* (cas 0/0) : (v$_n$) strictement décroissante, $\lim _{n\to \infty }u_{n}=\lim _{n\to \infty }v_{n}=0$;
* (cas ∙/∞) : (v$_n$) strictement croissante et $\lim _{n\to \infty }v_{n}=+\infty$.
${\rm {Si}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{v_{n+1}-v_{n}}}=\ell \in {\overline {\mathbb {R} }}\quad {\rm {alors}}\quad {\frac {u_{n}}{v_{n}}}\to \ell .$
L'énoncé reste vrai si u$_n$ et ℓ sont des nombres complexes ou, plus généralement, des éléments d'un espace vectoriel normé.
On ne s'intéressera qu'au deuxième cas avec ℓ fini. Soit ε > 0. Par hypothèse, on sait qu'il existe N suffisamment grand tel que :
    $\forall n\geqslant N,\ \ell -{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{v_{n+1}-v_{n}}}<\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}\quad \mathrm {et} \quad v_{N}>0.$
Donc :
    $\forall M>N,{\begin{aligned}\left(\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{N+1}-v_{N})&<&u_{N+1}-u_{N}&<&\left(\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{N+1}-v_{N})\\\left(\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{N+2}-v_{N+1})&<&u_{N+2}-u_{N+1}&<&\left(\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{N+2}-v_{N+1})\\&\vdots &&\vdots &\\\left(\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{M}-v_{M-1})&<&u_{M}-u_{M-1}&<&\left(\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{M}-v_{M-1})\\\end{aligned}}$
Soit, par somme :
    $\forall M>N,\left(\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{M}-v_{N})<u_{M}-u_{N}<\left(\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{M}-v_{N})$
En divisant par v$_M$, qui est positif par hypothèse, et en réarrangeant, on a :
    $\forall M>N,\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {u_{N}-(\ell -{\tfrac {\varepsilon }{2}})v_{N}}{v_{M}}}<{\frac {u_{M}}{v_{M}}}<\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {u_{N}-(\ell +{\tfrac {\varepsilon }{2}})v_{N}}{v_{M}}}.$
Par limite de la suite v, on peut trouver M suffisamment grand tel que :
    $\forall M>N,\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {u_{M}}{v_{M}}}<\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}.$
Ce qui permet de conclure.

## Reformulation

En posant a$_n$ = u$_n$ – u$_{n–1}$ et b$_n$ = v$_n$ – v$_{n–1}$ dans le cas ∙/∞ et a$_n$ = u$_n$ – u$_{n+1}$ et b$_n$ = v$_n$ – v$_{n+1}$ dans le cas 0/0, l'énoncé devient :
   Soient (a$_n$) et (b$_n$) deux suites réelles, avec b$_n$ > 0, et telles que ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to \ell \in {\overline {\mathbb {R} }}.$
   * (Cas 0/0) : si les séries ∑a$_n$ et ∑b$_n$ convergent alors ${\frac {\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}}{\sum _{k=n}^{\infty }b_{k}}}\to \ell .$
   * (Cas ∙/∞) : si ∑b$_n$ diverge alors ${\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\to \ell .$

## Exemples

Voici deux applications du cas ∙/∞.
* Le lemme de Cesàro s'obtient en posant b$_n$ = 1.
* Soit α > 0. Sachant que$\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }}{n^{\alpha -1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(1+1/n)^{\alpha }-1}{1/n}}=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}x^{\alpha }\right)_{x=1}=\alpha ,$en posant$a_{n}=(n+1)^{\alpha -1}{\text{ et }}b_{n}=(n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }$on trouve :$\lim _{n\to \infty }{\frac {1^{\alpha -1}+2^{\alpha -1}+3^{\alpha -1}+\ldots +n^{\alpha -1}}{n^{\alpha }}}={\frac {1}{\alpha }}.$(Pour α entier, il s'agit du coefficient dominant du polynôme de la formule de Faulhaber.)

## Généralisations du cas ∙/∞

* Soient (a$_n$) et (b$_n$) deux suites réelles, avec b$_n$ > 0 et ∑b$_n$ = +∞. Alors, les limites inférieure et supérieure de (a$_n$/b$_n$) encadrent celles de la suite des quotients de sommes partielles des deux séries :$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$
* Soient p$_{n,k}$ (n, k ∈ ℕ) des réels positifs tels que$\forall n\in \mathbb {N} \quad \sum _{k}p_{n,k}=1$et s ↦ t la transformation linéaire sur les suites bornées définie par$t_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }p_{n,k}s_{k}.$Une condition nécessaire et suffisante pour que cette transformation soit régulière, c'est-à-dire pour qu'elle vérifie$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell \Rightarrow \lim _{n\to \infty }t_{n}=\ell \quad (*)$est :$\forall k\in \mathbb {N} \quad \lim _{n\to \infty }p_{n,k}=0.$Dans le cas triangulaire inférieur, c'est-à-dire lorsque p$_{n,k}$ = 0 dès que k > n, la transformation s'étend aux suites non bornées, et si la condition de régularité est satisfaite alors l'implication (✻) est encore vraie pour ℓ = ±∞.
Cette condition est nécessaire car pour chaque k, la suite (p$_{n,k}$)$_n$ est la transformée de la suite (δ$_{k,n}$)$_n$.
Supposons que la condition est vérifiée et que s$_n$ → ℓ, et montrons que t$_n$ → ℓ. On se ramène comme dans la preuve précédente au cas ℓ = 0.
Soit ε > 0. Il existe alors N$_1$ tel que $\forall k\geq N_{1}\quad |s_{k}|\leq \varepsilon ,$ puis N$_2$ tel que pour chaque k < N$_1$, $\forall n\geq N_{2}\quad p_{n,k}\leq {\frac {\varepsilon }{N_{1}|s_{k}|}}.$ Alors, pour tout n ≥ N$_2$, ${\begin{aligned}|t_{n}|&\leq \sum _{k}p_{n,k}|s_{k}|\\&\leq \sum _{k<N_{1}}p_{n,k}|s_{k}|+\sum _{k\geq N_{1}}p_{n,k}|s_{k}|\\&\leq \sum _{k<N_{1}}{\frac {\varepsilon }{N_{1}}}+\sum _{k\geq N_{1}}p_{n,k}\varepsilon \\&\leq \varepsilon +\sum _{k}\varepsilon p_{n,k}\\&=2\varepsilon ,\end{aligned}}$ ce qui prouve que t$_n$ → 0.
$p_{n,k}={\begin{cases}{\frac {b_{k}}{\sum _{j=0}^{n}b_{j}}}&{\text{si }}k\leq n,\\0&{\text{si }}k>n.\end{cases}}$