# Équilibre de Lindahl

On se place dans une économie où une entreprise produit un bien public et le vend au prix du marché. Il profite différemment à des consommateurs selon leurs fonctions d'utilité.

## Principe

Pour financer la quantité optimale de ce bien public (supposée connue), l'économiste suédois Erik Lindahl propose de faire payer à chaque consommateur un prix individualisé qui lui correspond (qui respecte ses préférences).
* L'autorité publique concernée (Etat, syndicat, association...) propose à chaque consommateur un prix unitaire. Suivant ce prix, le consommateur annonce la quantité de bien qu'il désire. Si la quantité n'est pas optimale, le prix est ajusté par l'autorité, et ainsi de suite.
* Chaque consommateur rationnel égalise alors son utilité marginale du bien public au prix unitaire qu'il souhaite payer jusqu'à ce que la quantité demandée soit optimale.
* Le système de prix obtenu constitue l'équilibre de Lindahl. On obtient le prix total versé par un consommateur en multipliant le prix individuel par la quantité optimale de bien public.

## Résolution mathématique

Soit une économie comprenant K consommateurs, un bien public noté C, vendu au prix $p_{C}$ et un bien marchand noté M, vendu au prix $p_{M}$. Chaque consommateur k dispose d'un revenu noté $R_{k}$ et consomme des quantités de biens indicées par k suivant une fonction d'utilité notée $U_{k}(C_{k},M_{k})$ (qui dépend des quantités consommées). On note ${\bar {C}}$ la quantité de bien public à l'optimum de Pareto.
Selon le comportement individualiste classique, chaque consommateur maximise son utilité sous sa contrainte:
$P_{k}{\begin{cases}{\text{Max}}&U_{k}(C_{k},M_{k})\\{\text{S/C}}&R_{k}=p_{M}M_{k}+p_{C}^{k}C_{k}\end{cases}}$ $\forall k\in \{1,...,K\}$
En optimisant par un lagrangien le programme, on trouve $C_{k}^{d}$ la demande en bien public du consommateur k. On a alors K marchés et:
* Si $C_{k}^{d}>{\bar {C}}$ alors le prix individuel $p_{C}^{k}$ est trop faible.
* Si $C_{k}^{d}<{\bar {C}}$ alors le prix individuel $p_{C}^{k}$ est trop élevé.
Tous les $p_{C}^{k}$ s'ajustent pour que $C_{k}^{d}={\bar {C}}$ , $\forall k$
Le prix total payé par l'individu k sera: $p_{C}^{k}{\bar {C}}$.
De plus, comme on est à l'optimum: $\sum _{k=1}^{K}p_{C}^{k}{\bar {C}}=p_{C}{\bar {C}}$.
Dans la réalité, on part de la quantité optimale pour déterminer le prix individuels $p_{C}^{k}$.

## Exemple

Le syndic d'un immeuble de six copropriétaires envisage de construire un ascenseur commun pour tous. L'immeuble compte trois étages occupés chacun par deux des copropriétaires.
Le prix du bien public consommé en quantités $A$ (comme ascenseur) est $p_{A}=60000$.
Le prix du bien marchand consommé en quantités $M$ est $p_{M}=1$ (pour simplifier).
On suppose que l'utilité d'un copropriétaire dépend uniquement de son étage. Ainsi, si on note $t_{k}$ l'étage du copropriétaire $k$, sa fonction d'utilité est: $U_{k}=M_{k}+10000t_{k}{\sqrt {A}}$ (plus l'étage est haut, plus l'utilité tirée est importante).
* Il est judicieux de vérifier que, dans cette situation, l'optimum de Pareto est bien en $A=1$ (choix du syndic).
Le théorème BLS (Bowen Lindahl Samuelson) permet de trouver l'optimum de Pareto en égalisant le coût marginal de production (donc le prix) à la somme des dispositions marginales à payer:
$p_{A}=\sum _{k=1}^{6}{\frac {dU_{k}}{dA}}\Leftrightarrow \sum _{k=1}^{6}{\frac {10000t_{k}}{2{\sqrt {A}}}}=60000$
Sachant qu'il y a deux copropriétaires par étage, on peut écrire:
$2{\frac {10000\times 1}{2{\sqrt {A}}}}+2{\frac {10000\times 2}{2{\sqrt {A}}}}+2{\frac {10000\times 3}{2{\sqrt {A}}}}=60000$
${\frac {10000}{\sqrt {A}}}+{\frac {20000}{\sqrt {A}}}+{\frac {30000}{\sqrt {A}}}=60000$
${\sqrt {A}}=1\Leftrightarrow {\bar {A}}=1$
* On égalise les demandes en bien public de chaque individu à la quantité optimale: $A_{k}^{d}={\bar {A}}=1$ , $\forall k$
* Ici, maximiser la fonction d'utilité, revient à égaliser le TMS de M vers A pour chaque individu au rapport des prix (en intégrant le prix individuel du bien public): ${\frac {dU_{k}/dA}{dU_{k}/dM}}={\frac {p_{A}^{k}}{p_{M}}}$
Mais ici l'exemple simple permet d'écrire: ${\frac {dUk}{dA}}=p_{A}^{k}$
On résout donc 6 équations (pour 6 marchés) à 6 inconnues, ou ${\frac {5000t_{k}}{\sqrt {A}}}=p_{C}^{k}$, $\forall k\in \{1,...,6\}$ et $A={\bar {A}}=1$
L'équilibre de Lindahl est donc ${\begin{cases}p_{A}^{1}=p_{A}^{2}=5000\\p_{A}^{3}=p_{A}^{4}=10000\\p_{A}^{5}=p_{A}^{6}=15000\end{cases}}$
La somme des prix individuels finance entièrement le prix d'un ascenseur: $\sum _{k=1}^{6}p_{A}^{k}=p_{A}$
On constate que les copropriétaires des premiers étages payent moins cher que ceux sous les toits, car ils estiment en avoir moins l'utilité. Ce financement est peut-être juste socialement mais sera difficile à mettre en place dans la réalité.

## Problèmes empiriques

Puisqu'on a K marchés, plus ce nombre est grand, plus les prix individualisés se multiplient et sont difficilement envisageables (K doit donc être petit).
Toute communication entre 2 consommateurs est interdite, ce qui, dans la réalité est quasiment impensable, chacun cherchant à réduire le prix qu'il va effectivement payer en demandant à son voisin.