# Opérateur de Laplace-Beltrami

L'opérateur de Laplace-Beltrami est une généralisation de l'opérateur laplacien aux variétés riemanniennes. On part de la définition $\Delta =\mathrm {div} \ \mathrm {grad}$, et l'on est ramené à définir la divergence et le gradient dans le cadre riemannien.
Avertissement : dans cet article, on utilise la convention de sommation d'Einstein. Même quand le signe somme n'est pas omis, on ne somme que par rapport à un indice se trouvant à la fois en positions inférieure et supérieure.

## Divergence associée à une forme volume

Sur une variété différentielle $M$ orientable, la divergence est naturellement associée à une forme volume. Si $\omega$ est une telle forme, toute autre forme de degré maximum s'écrit de façon unique $f\omega$, où $f$ est une fonction. Cela s'applique à la dérivée de Lie de $\omega$ par rapport à un champ de vecteurs $X$. La divergence de $X$ (par rapport à $\omega$) est l'unique fonction telle que ${\mathcal {L}}_{X}\omega =(\mathrm {div} _{\omega }X)\omega$.
D'après la formule ${\mathcal {L}}_{X}=d\circ i_{X}+i_{X}\circ d$, on a ${\mathcal {L}}_{X}\omega =\mathrm {d} (i_{X}\omega )$. Donc, d'après la formule de Stokes, si $X$ est à support compact,
    $\int _{M}(\mathrm {div} _{\omega }X)\omega =\!\int _{M}\mathrm {d} (i_{X}\omega )=0$
Si $\omega$ s'écrit en coordonnées locales $\theta \mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}$, on a
    ${\mathcal {L}}_{X}\omega =({\mathcal {L}}_{X}\theta )\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}+\theta \sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge {\mathcal {L}}_{X}(\mathrm {d} x^{i})\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}$
(car ${\mathcal {L}}_{X}$ est une dérivation).
Si $\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$, on a ${\mathcal {L}}_{X}\mathrm {d} x^{i}=\mathrm {d} ({\mathcal {L}}_{X}x^{i})=d\mathrm {X} ^{i}$, d'où l'on tire $\textstyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =({\mathcal {L}}_{X}\theta )\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}+\theta \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial X^{i}}{\partial x^{i}}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}$, et finalement, $\textstyle \mathrm {div} _{\omega }X={\frac {\mathrm {d} \theta (X)}{\theta }}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial X^{i}}{\partial x^{i}}}$.
Remarque sur l'orientabilité : L'introduction d'une forme volume suppose la variété orientable. Mais si on change la forme volume $\omega$ en son opposée, $\mathrm {div} _{\omega }X)$ ne change pas. En fait, la divergence ne dépend que de la densité associée à $\omega$. Contrairement aux apparences, l'hypothèse d'orientabilté est inutile, on a en fait utilisé une orientation locale.
L'exemple le plus important est celui de la divergence définie par la forme volume canonique d'une métrique riemannienne.
    $\mathrm {d} s^{2}\ =\ g_{ij}(x)\ \mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}$
En coordonnées locales $v_{g}={\sqrt {\det(g_{ij})}}\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}$. D'après la remarque qui précède, il n'est nullement nécessaire de supposer la variété orientable. Le déterminant des $g_{ij}$ est souvent noté $g$, notamment par ceux qui écrivent $\mathrm {d} s^{2}$ la métrique riemannienne, cela ne porte pas trop à confusion.

## Gradient associé à une métrique riemannienne

Le gradient d'une fonction (disons lisse) $f$ est l'unique champ de vecteurs, noté $\nabla f$, tel que $g(X,\nabla f)=\mathrm {d} f(X)$ pour tout champ de vecteurs $X$. En coordonnées locales,
    $\nabla f=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$
Ici, $g^{ij}(x)$ est l'inverse du tenseur métrique, défini en coordonnées par
    $g_{ik}(x)g^{kj}(x)\ =\ \delta _{i}^{j}$
où $\delta _{i}^{j}$ est le symbole de Kronecker.

## Définition et propriétés de base du laplacien

On définit l'opérateur de Laplace-Beltrami comme l'opérateur différentiel du second ordre $\Delta f=\mathrm {div} (\nabla f)$.
En coordonnées locales,
    $\Delta \ =\ {\frac {1}{\sqrt {g}}}\ \partial _{i}\left[{\sqrt {g}}g^{ij}\partial _{j}\right]$
Si $f_{1}$ et $f_{2}$ sont $C^{2}$ et à support compact, on a
    $\int _{M}f_{1}\Delta f_{2}v_{g}=-\int _{M}g(\nabla f_{1},\nabla f_{2})v_{g}=\int _{M}f_{2}\Delta f_{1}v_{g}$
Pour le voir, on remarque que si $f$ est une fonction et $X$ un champ de vecteurs,
    $\mathrm {div} fX=f\mathrm {div} X+\mathrm {d} f(X)=f\mathrm {div} X+g(X,\nabla f)$
En appliquant cette relation à $f=f_{1}$ et $X=\nabla f_{2}$, on obtient
    $\int _{M}{\biglf_{1}\mathrm {div} \nabla f_{2}+g(\nabla f_{1},\nabla f_{2}){\bigr )}v_{g}=\int _{M}\mathrm {div} (f_{1}\nabla f_{2})v_{g}=0$
puisque d'après la formule de Stokes l'intégrale de la divergence d'un champ de vecteurs à support compact est nulle.
Cette formule exprime le fait que $\Delta$ est un opérateur formellement autoadjoint sur $C^{\infty }(M)$, par rapport au produit scalaire global, défini par
    $\langle f_{1},f_{2}\rangle :=\int _{M}f_{1}f_{2}v_{g}$
(noter l'analogie avec les opérateurs symétriques en dimension finie).
$\textstyle \langle f,\Delta f\rangle =-\int _{M}g(\nabla f,\nabla f)v_{g}$ est négatif ou nul. L'opérateur $-\Delta$ est positif (c'est la raison pour laquelle beaucoup de géomètres riemanniens définissent l'opérateur de Laplace comme $-\mathrm {div~grad}$). Enfin, si $M$ est une variété compacte sans bord, les seules fonctions à Laplacien nul sont les constantes (de même que les seules fonctions harmoniques sur un domaine compact de $\mathbb {R} ^{n}$, nulles au bord sont les constantes, la preuve est d'ailleurs la même).

## Extensions

Il existe plusieurs extensions du laplacien quand on sort du cadre des fonctions numériques pour l'appliquer à des formes différentielles, des tenseurs ou de façon générale à des sections de fibrés vectoriels sur la variété riemannienne. Elles partagent certaines propriétés : le même symbole principal, le caractère elliptique. Et elles sont reliées les unes aux autres par des formules faisant intervenir la géométrie de la variété par sa courbure.