# Forme symplectique

Une forme symplectique est un objet mathématique à la base de la géométrie symplectique et intervenant - avec des caractéristiques différentes - dans les espaces vectoriels ; dans les fibrés vectoriels ; sur les variétés différentielles.

## Espace vectoriel symplectique

En algèbre linéaire, une forme symplectique sur un espace vectoriel $V$ est une forme bilinéaire non dégénérée alternée $\omega :V\times V\to \mathbb {R}$. Un espace vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé espace vectoriel symplectique.
Exemples :
* $(\mathbb {R} ^{2n},\omega )$ où $\omega =\sum _{k=1}^{n}e_{k}^{*}\wedge f_{k}^{*}$, pour $(e_{k}^{*},f_{k}^{*})_{k=1,...,n}$ la base duale canonique de $\mathbb {R} ^{2n}$, est un espace vectoriel symplectique.
* Si $W$ est un espace vectoriel réel et $V:=W\oplus W^{*}$ alors $(V,\omega )$ est un espace vectoriel symplectique pour $\omega ((w_{1}\oplus \alpha _{1}),(w_{2}\oplus \alpha _{2})):=\alpha _{1}(w_{2})-\alpha _{2}(w_{1})$ où $w_{1},w_{2}\in W$ et $\alpha _{2},\alpha _{2}\in W^{*}$

## Fibré symplectique

En géométrie différentielle, une forme symplectique sur un fibré vectoriel réel $E\to M$ est une section globale lisse $\omega$ du fibré $E^{*}\wedge E^{*}\to M$ qui est non dégénérée fibre par fibre. Un fibré vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé fibré vectoriel symplectique.
Remarques :
* Une forme symplectique de fibré symplectique est une famille lisse $\{\omega _{x}\}_{x\in M}$ de formes symplectiques d'espaces vectoriels dont les espaces vectoriels en question sont les fibres $E_{x}$ du fibré $E\to M$.
Exemples :
* Si $F\rightarrow M$ est un fibré vectoriel réel et $E:=F\oplus F^{*}$ alors $(E,\omega )$, où
    $\omega _{x}((w_{1}\oplus \alpha _{1}),(w_{2}\oplus \alpha _{2})):=\alpha _{1}(w_{2})-\alpha _{2}(w_{1}),\quad \forall x\in M,\;\forall w_{1},w_{2}\in F_{x},\;\forall \alpha _{2},\alpha _{2}\in F_{x}^{*}$,
est un fibré vectoriel symplectique sur $M$.
Ce dernier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.

## Variété symplectique

Toujours en géométrie différentielle, une forme symplectique sur une variété différentielle $M$ est une 2-forme différentielle $\omega$ qui est :
* fermée (au sens de la différentielle extérieure), i.e. $\mathrm {d} \omega =0$ ;
* non dégénérée (fibre par fibre), i.e. pour tout $v\in TM$ non nul, $\omega (v,\cdot )$ est non nul.
Une variété différentielle munie d'une forme symplectique est nommé variété symplectique.
Remarques :
* La forme symplectique $\omega$ d'une variété symplectique $(M,\omega )$ est aussi une forme symplectique de fibré vectoriel dont le fibré en question est le fibré tangent $TM$ de la variété différentielle $M$. Toutefois, ici, on ajoute la condition de fermeture $\mathrm {d} \omega =0$. Lorsque $\omega$ est une forme symplectique pour le fibré $TM$ mais qu'elle ne vérifie pas forcément la condition de fermeture $\mathrm {d} \omega =0$, la paire $(M,\omega )$ est dit être une variété presque-symplectique.
* La condition d'être fermée d'une forme symplectique $\omega$ d'une variété symplectique $(M,\omega )$ implique, par le théorème de Darboux, qu'autour de tout point $x$ de $M$ il existe un système de coordonnées locales $(p_{k},q_{k})_{k=1,...,\dim M}$ tel que $\omega$ s'y écrive de manière canonique $\sum _{k=1}^{\dim M}\mathrm {d} p_{k}\wedge \mathrm {d} q_{k}$.
* L'existence des formes symplectiques sur les variétés différentielles est une question ouverte.
Exemples :
* Si $(M,\omega )$ est une variété symplectique de dimension $2n$, et que $P$ est une sous-variété différentielle de $M$, alors :
** Le fibré tangent de $M$ se restreint en un fibré de rang $2n$ sur $P$, noté $T_{P}M\rightarrow P$. Et $(T_{P}M,\omega |_{T_{P}M})$ est un fibré symplectique sur $P$.
** Si en tout point $x$ de $P$, la forme bilineaire $\omega _{x}$ est non dégénérée en restriction à l'espace tangent $T_{x}P$, alors $(P,\omega |_{T_{P}P})$ est une variété symplectique.