# Parallélogramme

En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère (polygone à quatre côtés) dont les diagonales se coupent en leur milieu. Leur point d'intersection est le centre de symétrie du parallélogramme. Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

## Définitions équivalentes

En géométrie purement affine, un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes :
* les segments $[{\rm {{AC}]}}$ et $[{\rm {{BD}]}}$ ont même milieu
* les vecteurs ${\rm {\overrightarrow {AB}}}$ et ${\rm {\overrightarrow {DC}}}$ sont égaux ;
* les vecteurs ${\rm {\overrightarrow {AD}}}$ et ${\rm {\overrightarrow {BC}}}$ sont égaux.
Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC).
En géométrie euclidienne, sous cette même hypothèse, ces propriétés sont aussi équivalentes à :
* le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
* il est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
* ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
* c'est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.

## Propriétés

* Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
* Dans tout parallélogramme ABCD, on a l'identité du parallélogramme : ${\rm {{AC}^{2}+{BD}^{2}=2\left({AB}^{2}+{BC}^{2}\right)}}$.
* Les angles d'un parallélogramme qui se suivent sont supplémentaires.
* Les angles opposés sont égaux.

### Cas particuliers

* Un losange est un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur. Il est même équilatéral.
* Un rectangle est un parallélogramme ayant au moins un angle droit. Il est même équiangle.
* Un carré est un losange rectangle.

## Aire

Soient $b$ la longueur d'un côté du parallélogramme et $h$ la longueur de la hauteur associée (distance entre les deux côtés de longueur $b$). L'aire ${\mathcal {A}}$ du parallélogramme vaut :
    ${\mathcal {A}}=b\times h.$
En fonction des longueurs $a,b$ des côtés et de la mesure $\alpha$ du petit angle, l'aire est donnée par :
    ${\mathcal {A}}=ab\sin \alpha .$
Avec les notations ci-dessus, l'aire est aussi donnée par le déterminant :
    ${\mathcal {A}}=|\det({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}})|$
En fonction des longueurs $a,b$ des côtés et des longueurs $d,d'$des diagonales, l'aire est donnée par :
    ${\mathcal {A}}^{2}=a^{2}b^{2}-{\frac {1}{16}}(d^{2}-d'^{2})^{2}={\frac {1}{4}}(d^{2}d'^{2}-(a^{2}-b^{2})^{2})$,
ce qui redonne les formules d'aire dans le cas du rectangle ($d=d'$) et dans le cas du losange ($a=b$).

## Antiparallélogramme

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.
Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.

## Équipollence et vecteurs

Il est désormais classique de définir la notion de parallélogramme à partir de celle de vecteur (voir supra) mais on peut inversement, à partir de la notion de milieu, définir (comme en introduction) celle de parallélogramme, puis celle d'équipollence de deux bipoints, et enfin celle de vecteur :
* on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
* deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme (la relation d'équipollence est une relation d'équivalence) ;
* on appelle vecteur ${\rm {\overrightarrow {AB}}}$ la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).
On retrouve alors qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si ${\rm {{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}}}$.