# Ultralimite

En mathématiques, une ultralimite est une construction géométrique qui associe à une suite d'espaces métriques X$_n$ un espace métrique qui est leur « limite ». Cette construction est une généralisation de la convergence au sens de Hausdorff, et utilise un ultrafiltre pour éviter d'avoir à considérer des sous-suites convergentes.
Pour la limite inductive d'une suite d'ultraproduits, voir Ultraproduit.

## Ultrafiltres

Rappelons qu'un ultrafiltre ω sur l'ensemble ℕ des entiers naturels est une mesure finiment additive ω : 2$^ℕ$ → {0, 1}, allant de l'ensemble des parties 2$^ℕ$ (c'est-à-dire de l'ensemble de tous les sous-ensembles de ℕ) vers l'ensemble {0, 1}, telle que ω(ℕ) = 1. Un ultrafiltre ω sur ℕ est non trivial si, pour tout sous-ensemble fini F ⊂ ℕ, on a ω(F) = 0.

## Limite d'une suite relativement à un ultrafiltre

Soit ω un ultrafiltre non-trivial sur $\mathbb {N}$. Si $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une suite de points d'un espace métrique (X,d) et si x ∈ X, on dit que la suite est ω-convergente vers le point x, appelé la ω -limite de x$_n$, et noté $x=\lim _{\omega }x_{n}$, si pour tout $\epsilon >0$ on a :
    $\omega \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}=1.$
Les propriétés suivantes sont faciles à démontrer :
* si une suite est ω-convergente, sa ω-limite est unique.
* si $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ au sens usuel, $x=\lim _{\omega }x_{n}$. (pour que cette propriété soit vraie, il est crucial que l'ultrafiltre soit non-trivial.)
Une caractérisation importante des espaces compacts est que toute suite est ω-convergente (ce résultat est vrai en fait même pour des espaces topologiques quelconques, en généralisant la définition) ; comme on l'a dit, la ω-limite est d'ailleurs nécessairement unique. En particulier, toute suite bornée de nombres réels admet une ω-limite, puisque tout intervalle fermé de $\mathbb {R}$ est compact.

## Ultralimite d'espaces métriques pointés

Soit ω un ultrafiltre (non trivial) sur $\mathbb {N}$. Soit (X$_n$,d$_n$) une suite d'espaces métriques pointés par des points de base p$_n$∈X$_n$.
On dira qu'une suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, où x$_n$∈X$_n$, est admissible si la suite des nombres réels (d$_n$(x$_n$,p$_n$))$_n$ est bornée, c'est-à-dire s'il existe un réel positif C tel que $d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C$. Notons ${\mathcal {A}}$ l'ensemble de toutes les suites admissibles. On voit facilement (à l'aide de l'inégalité triangulaire) que pour deux suites admissibles $\mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $\mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, la suite (d$_n$(x$_n$,y$_n$))$_n$ est bornée et donc qu'elle est ω-convergente vers ${\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})$. Définissons alors sur l'ensemble ${\mathcal {A}}$ une relation $\sim$ de la manière suivante : pour $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}$, on a $\mathbf {x} \sim \mathbf {y}$ si ${\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.$ Il est facile de voir que $\sim$ est une relation d'équivalence sur ${\mathcal {A}}.$
L'ultralimite de la suite (X$_n$,d$_n$, p$_n$) relativement à ω est un espace métrique $(X_{\infty },d_{\infty })$ défini de la manière suivante :
    $X_{\infty }={\mathcal {A}}/\sim$ (en tant qu'ensemble).
    Pour deux classes d'équivalence (relativement à $\sim$) $[\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]$ contenant les suites admissibles $\mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $\mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, on pose
    $d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).$
Il n'est pas difficile de voir que $d_{\infty }$ est bien définie (c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas des représentants $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$ choisis), et que c'est une distance sur $X_{\infty }$ ; on note $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ l'ultralimite de la suite.

### Le cas des espaces uniformément bornés

Supposons que (X$_n$,d$_n$) soit une suite d'espaces métriques de diamètre uniformément bornés, c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel C>0 tel que diam(X$_n$)≤C pour tout $n\in \mathbb {N}$ (autrement dit, pour tout n et tout couple $(x_{n},y_{n})\in X_{n}^{2}$, on a $d_{n}(x_{n},y_{n})<C$). Alors, pour tout choix de points de base p$_n$ dans X$_n$, toutes les suites $(x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}$ sont admissibles. Dans ce cas, le choix des points de base n'a pas à être spécifié pour définir une ultralimite, et l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })$ dépend seulement de (X$_n$,d$_n$) et de ω ; on écrit alors $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$.

## Propriétés de base des ultralimites

* Si les (X$_n$,d$_n$) sont des espaces métriques géodésiques, alors $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ est aussi géodésique.
* Si les (X$_n$,d$_n$) sont des espaces métriques complets, $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ est également complet.
* Si (X$_n$,d$_n$) est une suite d'espaces compacts qui converge (au sens de Hausdorff) vers un espace (X,d), ce qui implique que les (X$_n$,d$_n$) sont de diamètre uniformément borné, alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ est isométrique à (X,d).
* Si les (X$_n$,d$_n$)sont des espaces métriques propres, et si $p_{n}\in X_{n}$ sont des points de base tels que la suite (X$_n$,d$_n$,p$_n$) converge (au sens de Hausdorff) vers un espace métrique propre (X,d), alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ est isométrique à (X,d).
* Soient κ ≤ 0 et (X$_n$, d$_n$) une suite de CAT(κ)-espaces. Alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ est aussi un CAT(κ)-espace.
* Soit (X$_n$,d$_n$) une suite de CAT(κ$_n$)-espaces, où $\lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .$ Alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ est un arbre réel.

## Cônes asymptotiques

Les cônes asymptotiques d'espaces métriques forment une importante classe d'ultralimites. Soit (X,d) un espace métrique, ω un ultrafiltre (non trivial) sur $\mathbb {N}$, et p$_n$ ∈ X une suite de points de base. Alors l'ultralimite (relativement à ω) de la suite $(X,{\frac {d}{n}},p_{n})$ s'appelle le cône asymptotique de X et se note $Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,$. On choisit souvent la suite des points de base constante : p$_n$=p pour un p fixé de X ; dans ce cas le cône asymptotique ne dépend pas de p et est noté $Cone_{\omega }(X,d)\,$ ou simplement $Cone_{\omega }(X)\,$.
Cette construction joue un rôle important dans la théorie géométrique des groupes, car les cônes asymptotiques (ou plus précisément leurs types topologiques et leurs types lipschitziens) fournissent des invariants quasi-isométriques des espaces métriques en général et des groupes à nombre fini de générateurs en particulier. Les cônes asymptotiques se sont également révélés utiles dans l'étude des groupes relativement hyperboliques (en) et de leurs généralisations.

## Exemples

* Soit (X,d) un espace métrique compact ; posons (X$_n$,d$_n$)=(X,d) pour chaque $n\in \mathbb {N}$. Alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ est isométrique à (X,d).
* Soient (X,d$_X$) et (Y,d$_Y$) deux espaces métriques compacts distincts et soit (X$_n$,d$_n$)une suite telle que pour tout n on ait (X$_n$,d$_n$)=(X,d$_X$) ou (X$_n$,d$_n$)=(Y,d$_Y$). Soit $A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,$ et $A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,$. Alors A$_1$, A$_2$ sont disjoints et $A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .$ Par conséquent, l'un des A$_1$, A$_2$ est de ω-mesure 1 et l'autre a pour ω-mesure 0. Donc $\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ est isométrique à (X,d$_X$) si ω(A$_1$)=1 et est isométrique à (Y,d$_Y$) si ω(A$_2$)=1. Cela montre que l'ultralimite peut dépendre du choix de l'ultrafiltre ω.
* Soit (M,g) une variété riemannienne compacte connexe de dimension m, où g est une métrique riemannienne sur M. Soit d la métrique sur M correspondant à g ; (M,d) est alors un espace métrique géodésique. Choisissons un point de base p∈M. Alors l'ultralimite (et même la limite ordinaire au sens de Hausdorff) $\lim _{\omega }(M,nd,p)$ est isométrique à l'espace tangent T$_p$M de M à p, la distance sur T$_p$M étant donnée par le produit scalaire g(p). Ainsi, l'ultralimite $\lim _{\omega }(M,nd,p)$ est isométrique à l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{m}$ muni de la distance usuelle.
* Soit $(\mathbb {R} ^{m},d)$ l'espace euclidien usuel à m dimensions. Alors le cône asymptotique $Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)$ est isométrique à $(\mathbb {R} ^{m},d)$.
* Soit $(\mathbb {Z} ^{2},d)$ le réseau entier de dimension 2 avec la distance entre deux points du réseau donnée par la longueur du plus court chemin les reliant. Alors le cône asymptotique $Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)$ est isométrique à $(\mathbb {R} ^{2},d_{1})$, où $d_{1}\,$ est la distance de Manhattan sur $\mathbb {R} ^{2}$, connue aussi sous le nom de norme 1 : $d(x,y)=\|x-y\|_{1}$.
* Soit (X,d) un espace métrique géodésique δ-hyperbolique (en), avec δ ≥ 0. Alors le cône asymptotique $Cone_{\omega }(X)\,$ est un arbre réel$^,$.
* Soit (X,d) un espace métrique de diamètre fini. Alors $Cone_{\omega }(X)\,$ est réduit à un point.
* Soit (X,d) un espace CAT(0) métrique. Alors $Cone_{\omega }(X)\,$ est aussi un espace CAT(0).