# Théorème de Krein-Milman

Le théorème de Krein-Milman est un théorème, démontré par Mark Krein et David Milman en 1940, qui généralise à certains espaces vectoriels topologiques un résultat géométrique portant sur les ensembles convexes énoncé par Hermann Minkowski en dimension finie (et souvent improprement dénommé lui-même « théorème de Krein-Milman »).
Une forme particulièrement simplifiée du théorème s'énonce : tout polygone convexe est l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses sommets. Cela est vrai aussi d'un polytope convexe.

## Notion de « point extrémal »

Soit $C$ un convexe et $c$ un point de $C$. On dit que $c$ est un point extrémal de $C$ lorsque $C\setminus \{c\}$ est encore convexe. Cela équivaut à dire que, avec $c_{1},c_{2}\in C$, l'égalité $c={\frac {c_{1}+c_{2}}{2}}$ implique $c_{1}=c_{2}=c$.

## Énoncé en dimension finie

Théorème — Tout convexe compact d'un espace affine de dimension finie est enveloppe convexe de l'ensemble de ses points extrémaux.
La démonstration n'est pas très longue, l'outil essentiel étant le théorème d'existence d'un hyperplan d'appui en tout point de la frontière d'un convexe.
La démonstration est une récurrence sur la dimension du convexe. Le résultat est évident pour un singleton ; supposons désormais le résultat vrai pour tous les convexes de dimension strictement inférieure à un entier fixé $k$, et soit $C$ un convexe de dimension $k$.
Quitte à remplacer l'espace ambiant par l'enveloppe affine de $C$, on peut supposer que c'est un espace affine dont la dimension est également $k$.
Prenons maintenant un point $m$ de $C$ et montrons qu'il est dans l'enveloppe convexe des points extrémaux. Pour ce faire, on trace une droite $D$ passant par $m$. L'ensemble $C\cap D$ est alors un convexe de $D$, compact par l'hypothèse de compacité faite sur $C$. Il est donc de la forme $[a,b]$, où $m\in [a,b]$.
Maintenant $a$ comme $b$ sont adhérents au complémentaire de $C$, ce sont donc des points frontières de ce convexe. Il existe donc des hyperplans d'appui $H_{a}$ et $H_{b}$ en ces points. Introduisons les convexes $C_{a}=C\cap H_{a}$ et $C_{b}=C\cap H_{b}$.
On remarque alors que tout point extrémal de $C_{a}$ (rep. $C_{b}$) est encore un point extrémal de $C$. Soit en effet $c$ un tel point extrémal de $C_{a}$, puis $x$ et $y$ deux points de $C\setminus \{c\}$. Si l'un au moins des deux points $x$ et $y$ n'est pas dans $H_{a}$, vu le caractère séparant de cet hyperplan, tout le segment ouvert $]x,y[$ reste dans un seul demi-espace ouvert délimité par $H_{a}$ et évite donc $c$ ; si $x$ et $y$ sont tous les deux sur $H_{a}$, c'est la convexité de $C_{a}\setminus \{c\}$ qui assure que $[x,y]$ évite $c$. Dans tous les cas le segment $[x,y]$ est donc bien tout entier dans $C\setminus \{c\}$ et $c$ est donc extrémal dans $C.$
Par ailleurs, comme $H_{a}$ et $H_{b}$ sont de dimension $k-1$, les deux convexes $C_{a}$ et $C_{b}$ sont de dimension strictement inférieure à $k$. On peut donc leur appliquer l'hypothèse de récurrence. Ceci montre que $a$ (resp. $b$) est combinaison linéaire de points extrémaux de $C_{a}$ (resp. $C_{b}$), donc de points extrémaux de $C$. Tant $a$ que $b$ appartient donc à l'enveloppe convexe de ces points extrémaux, puis à son tour $m$ puisqu'il est sur le segment $[a,b]$.

## Généralisation en dimension infinie

Théorème — Tout convexe compact d'un espace localement convexe séparé est l'enveloppe convexe-fermée de l'ensemble de ses points extrémaux.
La « réciproque (partielle) de Milman » assure que cette représentation d'un convexe compact K comme enveloppe convexe-fermée d'une partie de K est, en un certain sens, optimale : l'adhérence d'une telle partie contient les points extrémaux de K.