# Point fixe

En mathématiques, pour une application $f$ d'un ensemble E dans lui-même, un élément $x$ de E est un point fixe de $f$ si $f(x)=x$. Exemples :
* dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A ;
* l'application inverse (définie sur l'ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : –1 et 1, solutions de l'équation ${\frac {1}{x}}=x$ équivalente à l'équation $x^{2}=1$.
Graphiquement, les points fixes d'une fonction $f$ (d'une variable réelle, à valeurs réelles) sont les points d'intersection de la droite d'équation $y=x$ avec la courbe d'équation $y=f(x)$.
Toutes les fonctions n'ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction x ↦ x + 1 n'en possède pas, car il n'existe aucun nombre réel x égal à x + 1.
Pour une fonction f définie sur E et à valeurs dans ${\mathcal {P}}(E)$, un point fixe est un élément x de E tel que $x\in f(x)$, comme dans le théorème du point fixe de Kakutani.

## Point fixe et suites récurrentes

On considère une fonction continue $f:E\to E$ et $(u_{n})$ une suite récurrente définie par sa valeur initiale $u_{0}$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_{n})$. Si $(u_{n})$ converge vers un élément ${\mathcal {l}}$ de E, la limite ${\mathcal {l}}$ est nécessairement un point fixe de f.
Une telle suite ne converge pas forcément, même si f possède un point fixe.

## Point fixe attractif

Un point fixe attractif d'une application f est un point fixe x$_0$ de f tel qu'il existe un voisinage V de x$_0$ sur lequel la suite de nombres réels
$x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\ \dots$
(pour tout x dans le voisinage V) converge vers x$_0$.
Si la fonction f possède une dérivée f' continue et |f '(x$_0$)| < 1 alors le point fixe x$_0$ est attractif. La démonstration est basée sur le théorème du point fixe de Banach.
Par exemple, la fonction cosinus admet un unique point fixe x$_0$ ≈ 0,7390851332, qui est attractif car sin(x$_0$) < 1 (voir le nombre de Dottie).
Cependant, tous les points fixes d'une fonction ne sont pas nécessairement attractifs. Ainsi, la fonction réelle x ↦ x$^2$ + x possède un unique point fixe en 0, qui n'est pas attractif.
Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématique d'attracteur.

## Théorèmes du point fixe

Il existe plusieurs théorèmes permettant de déterminer qu'une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe. Le plus connu est le suivant :
Théorème du point fixe de Banach — Soient E un espace métrique complet et f : E → E une application contractante (c'est-à-dire k-lipschitzienne pour un certain k < 1). Alors f possède un unique point fixe. De plus, ce point fixe est attractif.
Plus précisément, ce théorème assure que toute suite de la forme $u_{n+1}=f(u_{n})$ converge vers ce point fixe $l$ et que $d(u_{n},l)\leqslant k^{n}d(u_{0},l)$ ce qui majore la vitesse de convergence de la suite.

## Utilisation en automatique

En automatique, un système de régulation contrôle une valeur ou propriété de telle façon qu'elle tende à converger vers un point fixe nommé consigne, défini par l'opérateur ou une autre partie du système. On parle par exemple de régulation de position, régulation de température, régulation de vitesse…

## Note

* ↑ Cette hypothèse que la limite de la suite appartient au domaine de définition de la fonction est indispensable : Daniel Perrin, « Un contre-exemple », sur Laboratoire de mathématiques d'Orsay.