# Opérateur de Volterra

En mathématiques, dans le domaine de l'analyse fonctionnelle, l'opérateur de Volterra, nommé d'après Vito Volterra, n'est autre que l'opération de l'intégration indéfinie, vue comme un opérateur linéaire borné sur l'espace $L^{2}([0,1])$ des fonctions de $[0,1]$ à valeurs dans $\mathbb {C}$ et de carré sommable. C'est l'opérateur correspondant aux équations intégrales de Volterra.

## Définition

L'opérateur de Volterra $V$ peut être défini pour une fonction $f\in L^{2}([0,1])$ et un nombre $t\in [0,1]$ par:
    $V(f)(t)=\int _{0}^{t}f(s)~\mathrm {d} s.$

## Propriétés

* $V$ est un opérateur linéaire borné entre espaces de Hilbert, avec un opérateur adjoint hermitien:$V^{*}:f\mapsto \left[t\mapsto \int _{t}^{1}f(s)~\mathrm {d} s\right].$
Pour tout $(f,g)\in L^{2}([0,1])^{2}$, d'après le théorème de Fubini, ${\begin{aligned}\langle Vf|g\rangle &=\int _{0}^{1}Vf(x){\overline {g(x)}}~\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{x}f(y){\overline {g(x)}}~\mathrm {d} y~\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(y){\overline {g(x)}}\mathbb {1} _{y\leq x}~\mathrm {d} y~\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(y){\overline {g(x)}}\mathbb {1} _{y\leq x}~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}f(y)\int _{y}^{1}{\overline {g(x)}}~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}f(y){\overline {\left(\int _{y}^{1}g(x)~\mathrm {d} x\right)}}~\mathrm {d} y\\&=\langle f|V^{*}g\rangle \end{aligned}}$
* $V$ est un opérateur compact (c'est même un opérateur de Hilbert–Schmidt (en) car c'est un opérateur intégral dont le noyau est de carré intégrable).
Pour tous $f\in L^{2}([0,1])$ et $(x,y)\in [0,1]^{2}$ tel que $x\leq y$,
$|Vf(y)-Vf(x)|=\left|\int _{x}^{y}f(t)~\mathrm {d} t\right|\leq \left(\int _{x}^{y}1~\mathrm {d} t\right)^{1/2}\left(\int _{x}^{y}|f(t)|^{2}~\mathrm {d} t\right)^{1/2}\leq |x-y|^{1/2}\|f\|_{2}\leq \|f\|_{2}$
donc $\mathrm {Im} (V)\subseteq {\mathcal {C}}^{0}([0,1])$, donc d'après le théorème d'Ascoli en notant $B$ la boule unité fermée de $L^{2}([0,1])$, ${\overline {V(B)}}$ est un compact de ${\mathcal {C}}^{0}([0,1])$. Ce raisonnement montre que ${\tilde {V}}:L^{2}([0,1])\to {\mathcal {C}}^{0}([0,1])$ (la co-restriction de $V$ à ${\mathcal {C}}^{0}([0,1])$) est un opérateur compact. Comme l'injection $\iota :{\mathcal {C}}^{0}([0,1])\hookrightarrow L^{2}([0,1])$ est un opérateur (continu), et comme $V=\iota \circ {\tilde {V}}$, on montre ainsi que $V$ est un opérateur compact.
* $V$ n'a pas de valeurs propres et par conséquent, d'après la théorie spectrale des opérateurs compacts, son spectre $0\in \sigma (V)$.
Le même raisonnement déroulé dans le cas des fonctions continues ci-dessous permet de montrer que $0\in \sigma (V)$ et que $0$ n'est pas valeur propre de $V$. Par l'absurde, supposons que $\sigma (V)\neq \{0\}$, considérons $\lambda \in \sigma (V)\backslash \{0\}$. Comme $V$ est compact, $\lambda$ est un valeur propre de $V$. Considérons un vecteur propre $f$ de $V$ associé à $\lambda$. Pour tout $x\in [0,1],\ Vf(x)=\int _{0}^{x}f(t)~\mathrm {d} t=\lambda f(x)$, donc en dérivant (ce qui est permis, car $Vf$ est continue comme intégrale d'une fonction intégrable, donc $f$ est continue car $\lambda \neq 0$, donc $Vf$ est l'intégrale d'une fonction continue, ce qui est bien dérivable), $f(x)=\lambda f'(x)$, donc $f(x)=f(0)\mathrm {e} ^{x/\lambda }=\lambda ^{-1}Vf(0)\mathrm {e} ^{x/\lambda }=0$, ce qui est impossible car $f$ est un vecteur propre (non nul). Ainsi, $0\in \sigma (V)$, et $0$ n'est pas valeur propre de $V$, a fortiori $V$ n'a pas de valeur propre.
* $V$ est un opérateur quasi-nilpotent (c'est-à-dire que le rayon spectral $\rho (V)$ est nul), mais il n'est pas nilpotent.
* La norme de $V$ est exactement $\|V\|={\frac {2}{\pi }}$.
Supposons que $V^{*}V$ admet une valeur propre non nulle $\lambda$. soit $f$ un vecteur propre (non nul) de $V^{*}V$ associé à $\lambda$. Dans ces conditions, $V^{*}Vf=\lambda f$ est deux fois dérivable (même raisonnement que dans la démonstration ci-dessus), donc en dérivant deux fois, $\lambda f''(t)=-f(t)$, donc il existe $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$ tel que pour tout $t\in [0,1],\ f(t)=\alpha \cos(\omega t)+\beta \sin(\omega t)$ où $\omega ^{2}=1/\lambda$. Or, pour tout $t\in [0,1]$,
${\begin{aligned}\lambda f(t)=V^{*}Vf(t)&=\int _{t}^{1}\int _{0}^{y}f(x)~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y=\int _{t}^{1}\int _{0}^{y}\alpha \cos(\omega x)+\beta \sin(\omega x)~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y\\&=\int _{t}^{1}\alpha \left[{\frac {\sin(\omega x)}{\omega }}\right]_{0}^{y}+\beta \left[{\frac {-\cos(\omega x)}{\omega }}\right]_{0}^{y}~\mathrm {d} y\\&={\frac {1}{\omega }}\int _{t}^{1}\alpha \sin(\omega y)-\beta \cos(\omega y)+\beta ~\mathrm {d} y\\&={\frac {1}{\omega }}\left(\alpha \left[{\frac {-\cos(\omega y)}{\omega }}\right]_{t}^{1}-\beta \left[{\frac {\sin(\omega y)}{\omega }}\right]_{t}^{1}+\beta (1-t)\right)\\&={\frac {-1}{\omega ^{2}}}(\alpha \cos(\omega )-\alpha \cos(\omega t)+\beta \sin(\omega )-\beta \sin(\omega t))+{\frac {\beta }{\omega }}(1-t)\\&={\frac {1}{\omega ^{2}}}f(t)-{\frac {\alpha \cos(\omega )+\beta \sin(\omega )}{\omega ^{2}}}+{\frac {\beta }{\omega }}(1-t)\\&=\lambda f(t)-{\frac {\alpha \cos(\omega )+\beta \sin(\omega )}{\omega ^{2}}}+{\frac {\beta }{\omega }}(1-t)\\\end{aligned}}$
Donc $\beta =0$ et $\alpha \cos(\omega )=0$. Or $f\neq 0$ donc $\alpha \neq 0$ donc $\cos(\omega )=0$, donc il existe $n\in \mathbb {N}$ tel que $\omega =\pi /2+n\pi$, donc $\lambda ={\frac {4}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}}}$. Le même calcul que ci-dessus montre que réciproquement, pour tout $n\in \mathbb {N} ,\ \lambda _{n}:={\frac {4}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}}}$ est une valeur propre de $V^{*}V$. Ainsi, l'ensemble des valeurs propres non nulles de $V^{*}V$ est $\{\lambda _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$. Par ailleurs, $\mathrm {Ker} (V^{*}V)=\{0\}$: en effet, si $f\in \mathrm {Ker} (V^{*}V)$, alors de même que dans la démonstration ci-dessous, pour tout $x\in [0,1],\ \int _{0}^{x}f(t)~\mathrm {d} t=0$. On en déduit que $f$ est orthogonale à toute fonction en escalier dans $L^{2}([0,1])$: or celles-ci forment une partie dense de $L^{2}([0,1])$, dont l'orthogonal est alors nul. Ainsi, l'ensemble des valeurs propres de $V^{*}V$ est exactement $\{\lambda _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$. Il s'ensuit que $|\!|\!|V^{*}V|\!|\!|=\max \limits _{n\in \mathbb {N} }|\lambda _{n}|=\lambda _{0}=4/\pi ^{2}$ car $V^{*}V$ est symétrique. Finalement, $|\!|\!|V|\!|\!|={\sqrt {\rho (V^{*}V)}}={\sqrt {|\!|\!|V^{*}V|\!|\!|}}={\sqrt {\frac {4}{\pi ^{2}}}}={\frac {2}{\pi }}.$

## Cas des fonctions continues

On peut de la même manière définir l'opérateur de Volterra sur l'espace ${\mathcal {C}}^{0}([0,1])$ des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la norme $\|\cdot \|_{\infty }$:
$V:f\mapsto \left[x\mapsto \int _{0}^{x}f\right].$
De même que dans le cas $L^{2}([0,1])$ ci-dessus, $V$ n'a pas de valeur propre et $\sigma (V)=\{0\}$.
En effet, $V$ est injectif car $\mathrm {Ker} (V)=\left\{f\in E\ \left|\ \forall x\in [0,1],\displaystyle {\int _{0}^{x}}f(t)~\mathrm {d} t=0\right.\right\}=\{0\}$ (si $f\in \mathrm {Ker} (V)$, alors la primitive de $f$ sur $[0,1]$ qui s'annule en $0$ est nulle, donc $f=0$), mais $V$ n'est pas surjectif car si $g\in \mathrm {Im} (V)$, alors il existe $f\in {\mathcal {C}}^{0}([0,1])$ telle que $\forall x\in [0,1],\ g(x)=\displaystyle {\int _{0}^{x}}f(t)~\mathrm {d} t$, et donc $g$ est dérivable, donc l'image de $V$ est contenue dans l'ensemble des fonctions dérivables sur $[0,1]$, qui est un sous-ensemble strict de ${\mathcal {C}}^{0}([0,1])$. Finalement, $0\in \sigma (V)$ et $0$ n'est pas une valeur propre de $V$.
Ensuite, pour tous $f\in C^{0}([0,1])$ et $x\in [0,1]$,
${\begin{aligned}V^{2}(f)(x)&=V[V(f)](x)=\int _{0}^{x}V(f)(t)~\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)~\mathrm {d} s\right)~\mathrm {d} t\\&=\left[-(x-t)\int _{0}^{x}f(s)~\mathrm {d} s\right]_{t=0}^{t=x}+\int _{0}^{x}(x-t)f(t)~\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}(x-t)f(t)~\mathrm {d} t\end{aligned}}$
Pas une récurrence immédiate, on montre que pour tout $n\in \mathbb {N}$, $V^{n}(f)(x)=\int _{0}^{x}{\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}f(t)~\mathrm {d} t$ et donc : $|V^{n}(f)(x)|\leq \int _{0}^{x}{\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}|f(t)|~\mathrm {d} t\leq {\frac {\|f\|_{\infty }}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}(x-t)^{n-1}~\mathrm {d} t={\frac {1}{n!}}\|f\|_{\infty }.$
Par conséquent, $|\!|\!|V^{n}|\!|\!|\leq {\frac {1}{n!}}$, puis $\rho (V)=\lim \limits _{n\to +\infty }|\!|\!|V^{n}|\!|\!|^{1/n}=0$. Comme pour tout $\forall \lambda \in \sigma (V),\ |\lambda |\leq \rho (V)$, on en déduit que $\sigma (V)=\{0\}$, a fortiori $V$ n'a pas de valeurs propres puisque celles-ci sont contenues dans $\sigma (V)$.