# Distance d'un point à une droite

En géométrie euclidienne, la distance d'un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point courant de la droite. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (d) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal A$_h$ sur la droite (d). On peut ainsi écrire :
    $d(\mathrm {A} ,(d))=d(\mathrm {A} ,\mathrm {A} _{h})$

## Dans le plan

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (x$_A$ ; y$_A$), alors la distance entre A et (d) est donnée par la formule
    $d(\mathrm {A} ,(d))=\mathrm {AA} _{h}={\frac {|ax_{A}+by_{A}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
En effet, si M(x, y ) est un point quelconque de la droite (d), et si on note ${\vec {n}}$ le vecteur normal à la droite (d) de composantes (a ; b ), alors la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs ${\overrightarrow {\mathrm {AM} }}$ et ${\vec {n}}$ est donnée par les deux expressions :
    $|{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}\cdot {\vec {n}}|=|a(x-x_{\mathrm {A} })+b(y-y_{\mathrm {A} })|=|ax_{\mathrm {A} }+by_{\mathrm {A} }+c|$ ( ax + by = - c car M est un point de (d))
    $|{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}\cdot {\vec {n}}|=\mathrm {AA} _{h}\times ||{\vec {n}}||=\mathrm {AA} _{h}\times {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.
En particulier :
* si la droite a pour équation y = mx + p alors $d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {|y_{\mathrm {A} }-mx_{\mathrm {A} }-p|}{\sqrt {1+m^{2}}}}$ ;
* si la droite a pour équation x = a alors $d(\mathrm {A} ,(d))=|x_{\mathrm {A} }-a|$
* si la droite est donnée par son équation normale: $x\cos \theta +y\sin \theta -p=0$ alors $d(\mathrm {A} ,(d))=\left\vert x_{A}\cos \theta +y_{A}\sin \theta -p\right\vert$ (où, bien entendu $\cos \theta ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ et $\sin \theta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$). La distance d'un point à une droite est tout simplement la valeur absolue de ce polynôme pour les coordonnées du point A. Dire qu'un point appartient à une droite (d) ssi ses coordonnées en vérifient l'équation, cela revient à affirmer que sa distance à (d) est nulle.
Remarque : Si l'on considère la distance algébrique (id. si elle est comptée avec son signe), le polynôme $P(x;y)=\cos \theta \,x+\sin \theta \,y-p$ (avec $p>0$) peut prendre des valeurs positives, négatives ou nulles selon que le point est au-delà, en deçà ou sur la droite considérée. Le signe de cette distance algébrique divise le plan en trois domaines, deux demi-plans et une droite, un peu à la manière de la puissance d'un point par rapport à un cercle qui divise le cercle en trois zones (l'intérieur du cercle, le cercle et l'extérieur du cercle).

## Dans l'espace

Si l'espace est muni d'un repère orthonormé, si la droite (d) passe par le point B et a pour vecteur directeur ${\vec {u}}$, la distance entre le point A et la droite (d) est donnée par la formule
    $d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}$
où ${\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}$ représente le produit vectoriel des vecteurs ${\overrightarrow {\mathrm {BA} }}$ et ${\vec {u}}$ et où $\|{\vec {u}}\|$ représente la norme du vecteur ${\vec {u}}$.
En effet, si l'on note C le point de (d) tel que ${\overrightarrow {\mathrm {BC} }}={\vec {u}}$ alors l'aire du triangle ABC est donnée par les deux expressions
    $\mathrm {A} _{\mathrm {ABC} }={\frac {1}{2}}\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {BC} }}\right\|$
    $\mathrm {A} _{\mathrm {ABC} }={\frac {1}{2}}\mathrm {BC} \times \mathrm {AA} _{h}$.
Cette distance est supérieure ou égale à toute distance séparant le point A d'un plan contenant la droite (d). Si la droite (d)est définie comme l'intersection de deux plans perpendiculaires et si l'on note d$_1$ et d$_2$ les distances du point A à ces deux plans, on a :
    $d(\mathrm {A} ,(d))={\sqrt {{d_{1}}^{2}+{d_{2}}^{2}}}$.

## En dimension n

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) passe par le point B et a pour vecteur directeur ${\vec {u}}$. Tout point $M\in (d)$ peut être écrit ainsi
    $M=B+t{\vec {u}}$
La distance entre le point A et la droite (d) se trouve en calculant la distance AM avec M le point de (d) le plus proche de A. Cela revient à trouver t
    $t={\frac {{\overrightarrow {BA}}\cdot {\vec {u}}}{\|{\vec {u}}\|^{2}}}$
où ${\overrightarrow {BA}}\cdot {\vec {u}}$ représente le produit scalaire des vecteurs ${\overrightarrow {BA}}$ et ${\vec {u}}$. On a donc
    $d(A,(d))=\|A-B-t{\vec {u}}\|=\left\|{\overrightarrow {BA}}-{\frac {{\overrightarrow {BA}}\cdot {\vec {u}}}{\|{\vec {u}}\|^{2}}}{\vec {u}}\right\|$
Cela revient à trouver $M$ qui minimise $AM$. Minimiser $AM^{2}$ revient au même (la fonction carrée est strictement croissante du côté positif).
    $AM^{2}=({\overrightarrow {AB}}+t{\vec {u}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}+t{\vec {u}})$
On cherche ${\frac {d(AM^{2})}{dt}}=0$, pour trouver ce minimum.
    ${\begin{aligned}{\frac {d(AM^{2})}{dt}}=0&\Longleftrightarrow 2{\vec {u}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+t{\vec {u}})=0\\&\Longleftrightarrow 2{\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+2t{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=0\\&\Longleftrightarrow 2{\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+2t\|{\vec {u}}\|^{2}=0\\&\Longleftrightarrow t={\frac {{\overrightarrow {BA}}\cdot {\vec {u}}}{\|{\vec {u}}\|^{2}}}\end{aligned}}$