# Nombre de Bernoulli

En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés B$_n$ (ou parfois b$_n$ pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels.
Il existe deux conventions pour la définition de ces nombres qui ne diffèrent que par le signe du terme d'indice 1. La convention prise dans la suite de l'article est de considérer le terme d'indice 1 comme négatif.
Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes, dites sommes de Faulhaber, du type:
$\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=0^{m}+1^{m}+2^{m}+\cdots +{(n-1)}^{m}.$
Pour des valeurs entières de m, cette somme s'écrit comme un polynôme de la variable n dont les premiers termes sont :
$\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(n^{m+1}-{\frac {1}{2}}{m+1 \choose 1}{n^{m}}+{\frac {1}{6}}{m+1 \choose 2}{n^{m-1}}-{\frac {1}{30}}{m+1 \choose 4}{n^{m-3}}+{\frac {1}{42}}{m+1 \choose 6}{n^{m-5}}+\ldots \right).$
C'est-à-dire, qu'il existe une suite $(B_{i})$ de rationnels, les nombres de Bernoulli, tels que, pour tout $m$ et tout $n$
$\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}={\frac {1}{m+1}}\sum _{i=0}^{m}{m+1 \choose i}B_{i}n^{m+1-i}.$
Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| B$_n$ | 1 | –1/2 | 1/6 | 0 | –1/30 | 0 | 1/42 | 0 | –1/30 | 0 | 5/66 | 0 | –691/2730 | 0 | 7/6 |
On peut les définir par l'intermédiaire du développement en série entière (convergent si |x| < 2π) :
${\frac {x}{{\rm {e}}^{x}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}}=1-{\frac {1}{2}}\,x+{\frac {1}{6}}\,{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {1}{30}}\,{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {1}{42}}\,{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {1}{30}}\,{\frac {x^{8}}{8!}}+{\frac {5}{66}}\,{\frac {x^{10}}{10!}}-{\frac {691}{2\;730}}\,{\frac {x^{12}}{12!}}+{\frac {7}{6}}\,{\frac {x^{14}}{14!}}+\ldots$
Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin :
$\sum _{k=0}^{n-1}f(k)\approx \int _{0}^{n}f(x)\,{\rm {d}}x-{\frac {1}{2}}(f(n)-f(0))+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(0)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0)}{6!}}+\ldots$
ou les sommes définissant la fonction zêta de Riemann, dues à Leonhard Euler :
$\zeta (2p)=1+{\frac {1}{2^{2p}}}+{\frac {1}{3^{2p}}}+{\frac {1}{4^{2p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2p}}}+\cdots =|B_{2p}|{\frac {2^{2p-1}}{(2p)!}}\pi ^{2p},$
jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème de Fermat.
Les nombres A = 1/6, B = –1/30, C = 1/42, D = – 1/30, ... apparaissent dans Ars Conjectandi de Bernoulli, 1713, page 97.
Les nombres de Bernoulli avec $B_{1}=1/2$ au lieu de $-1/2$ sont la transformée binomiale des premiers et s'obtiennent à partir des nombres de Worpitzky ou, ce qui est équivalent, en appliquant l'algorithme d'Akiyama-Tanigawa à 1/(n+1). À la suite de l'article « The Bernoulli Manifesto » de Peter Luschny, Donald Knuth a adopté la valeur $B_{1}=1/2$, aussi dans les récentes réimpressions du livre Concrete Mathematics$^,$ ; Knuth présente les nouvelles versions dans un texte à part.

## Histoire

Les nombres de Bernoulli ont été découverts à peu près en même temps et indépendamment par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli, dont ils portent le nom, et par le mathématicien japonais Seki Takakazu. La découverte de Seki a été publiée à titre posthume en 1712 dans son ouvrage Katsuyō Sanpō ; celle de Bernoulli, également à titre posthume, dans son Ars Conjectandi publié en 1713. Ada Lovelace, en 1842, traduisant et annotant une description de la machine analytique de Babbage publiée par le mathématicien italien Louis-Frédéric Ménabréa en français dans un journal suisse, décrit dans la note G un algorithme permettant de générer des nombres de Bernoulli avec cette machine. Par conséquent, les nombres de Bernoulli ont la particularité de faire l'objet du premier programme informatique complexe publié.

## Introduction : sommes de puissances

Jacques Bernoulli connaissait quelques formules comme$^,$$^,$ :
${\begin{aligned}1+2+3+\cdots +(n-1)&={\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {n}{2}}&&={\frac {n(n-1)}{2}}\,;\\1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +{(n-1)}^{2}&={\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {n}{6}}&&={\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\,;\\1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +{(n-1)}^{3}&={\frac {1}{4}}n^{4}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}&&={\frac {n^{2}(n-1)^{2}}{4}}\,;\\1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +{(n-1)}^{4}&={\frac {1}{5}}n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {n}{30}}&&={\frac {n(n-1)(2n-1)(3n^{2}-3n-1)}{30}}\,;\\1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +{(n-1)}^{5}&={\frac {1}{6}}n^{6}-{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}n^{2}&&={n^{2}(n-1)^{2}(2n^{2}-2n-1) \over 12}.\end{aligned}}$
Bernoulli observa que l'expression
$S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=0^{m}+1^{m}+2^{m}+\cdots +{(n-1)}^{m}$
est toujours un polynôme en n, de degré m + 1, de terme constant nul, dont le monôme dominant (de degré m + 1) est n$^{m+1}$/m+1 et le monôme de degré m est, si m > 0, –1/2n$^m$.
On démontre (voir plus bas le paragraphe « Formules de récurrence ») que plus généralement, pour 0 ≤ k ≤ m, le coefficient de n$^{m+1–k}$ est le produit de m!/(m + 1 – k)! par un nombre rationnel B$_k$ qui dépend seulement de k et pas de m. On peut donc définir les nombres de Bernoulli B$_k$ par :
$S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {m!}{(m+1-k)!}}{\frac {B_{k}}{k!}}\,n^{m+1-k}={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}B_{k}\,n^{m+1-k}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,{\frac {n^{m+1-k}}{m+1-k}}.$
En particulier, le coefficient de n dans le polynôme S$_m$(n) est le nombre B$_m$.

## Premiers nombres de Bernoulli

En donnant à m la valeur 0, on obtient (avec 0$^0$ = 1) : pour tout entier n > 0,
    $B_{0}n=S_{0}(n)=0^{0}+1^{0}+\cdots +(n-1)^{0}=n,$
ce qui montre que B$_0$ = 1.
En donnant à m la valeur 1, on obtient :
    ${\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}n)=S_{1}(n)=0+1+2+\ldots +(n-1)={\frac {1}{2}}(n^{2}-n),$
ce qui confirme que B$_0$ = 1 et montre que B$_1$ = –1/2.
En donnant à m la valeur 2, on obtient :
    ${\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}n^{2}+3B_{2}n)=S_{2}(n)=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\ldots +(n-1)^{2}={\frac {1}{3}}\left(n^{3}-{\frac {3}{2}}n^{2}+{\frac {n}{2}}\right),$
ce qui montre de plus que B$_2$ = 1/6.
En donnant à m la valeur 3, on obtient :
    ${\frac {1}{4}}(B_{0}n^{4}+4B_{1}n^{3}+6B_{2}n^{2}+4B_{3}n)=S_{3}(n)=0^{3}+1^{3}+2^{3}+\ldots +(n-1)^{3}={\frac {1}{4}}(n^{4}-2n^{3}+n^{2}),$
ce qui montre aussi que B$_3$ = 0.

## Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence

À partir de la condition initiale B$_0$ = 1, on peut calculer les nombres de Bernoulli par récurrence en utilisant le fait que
$\forall m\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}B_{k}=S_{m}(1)=\sum _{k=0}^{0}k^{m}=0^{m}=0,$
ce qui peut se voir comme une relation de récurrence :
$(m+1)B_{m}=-\sum _{k=0}^{m-1}{m+1 \choose k}B_{k}.$
Cette suite d'équations linéaires
    $1+2B_{1}=0,$
    $1+3B_{1}+3B_{2}=0,$
    $1+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}=0,$
    $1+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3}+5B_{4}=0,$ etc.
donne successivement B$_1$ = –1/2, B$_2$ = 1/6, B$_3$ = 0, B$_4$ = –1/30, etc. Par exemple, le détail du calcul de B$_4$ est :
    $5B_{4}=-(1+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3})=-\left(1-{\frac {5}{2}}+{\frac {10}{6}}\right)=-{\frac {1}{6}}.$

## Lien avec les polynômes de Bernoulli

Les polynômes de Bernoulli B$_m$(X) sont reliés aux nombres de Bernoulli par
$B_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,x^{m-k}.$
Ils vérifient les relations :
* $B_{0}(X)=1$ ;
* $\forall n\in \mathbb {N} \quad B'_{n+1}(X)=(n+1)B_{n}(X)$ ;
* $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \int _{0}^{1}B_{n}(x){\rm {d}}x=0$ ;
* B$_m$ (0) = B$_m$ si m ≥ 0 (le terme constant du polynôme de Bernoulli est égal au nombre de Bernoulli de même indice) ;
* B$_m$ (1) = B$_m$ si m ≠ 1.
Les polynômes S$_m$(n) sont également liés aux polynômes de Bernoulli :
$\forall m,n\in \mathbb {N} \quad S_{m}(n)={\frac {B_{m+1}(n)-B_{m+1}(0)}{m+1}}.$
De
    $B'_{n+1}=(n+1)B_{n},$
on déduit que
    $S'_{m}(X)={\frac {B'_{m+1}(X)}{m+1}}=B_{m}(X).$
Par conséquent, les polynômes S$_m$ sont les primitives des polynômes de Bernoulli qui s'annulent en zéro :
$S_{m}(x)=\int _{0}^{x}B_{m}(t){\rm {d}}t=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,{\frac {x^{m+1-k}}{m+1-k}}.$

## Autres conventions et notations utilisées pour définir les nombres de Bernoulli

On utilise parfois la notation b$_n$ pour distinguer les nombres de Bernoulli des nombres de Bell.
La définition employée dans cet article vérifie B$_m$ = B$_m$(0) où B$_m$(x) désigne le polynôme de Bernoulli.
On rencontre également la convention B$_m$ = B$_m$(1), où B$_m$(x) désigne le polynôme de Bernoulli.
Les deux conventions ne diffèrent que pour le signe de B$_1$ ; on a :
$B_{1}(0)=-{\frac {1}{2}}\qquad \,;\qquad B_{1}(1)=+{\frac {1}{2}}.$
Une autre notation, utilisée en topologie, est de considérer les termes pairs sans leur signe (on a b$_{2k}$ = (–1)$^{k–1}$|b$_{2k}$|) :
$b_{m}=B_{m}(0)\qquad \,;\,\qquad B_{m}=|b_{2m}|.$

## Définition par une fonction génératrice

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l'intermédiaire d'une fonction génératrice. La série génératrice exponentielle associée à la suite est x / (e$^x$ – 1), de telle sorte que
${\frac {x}{{\rm {e}}^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$
pour tout x de valeur absolue inférieure à 2π (le rayon de convergence de cette série entière).
Cette définition peut être montrée équivalente à la précédente à l'aide d'un raisonnement par récurrence : le premier terme de la série est clairement B$_0$ (par prolongement par continuité).
    Pour obtenir la relation de récurrence, on multiplie les deux côtés de l'équation par e$^x$ – 1. Alors, en utilisant les séries de Taylor pour la fonction exponentielle, $x=\left(\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j!}}\right)\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}x^{k}}{k!}}\right).$
En développant ceci en produit de Cauchy et en réarrangeant légèrement, on obtient
$x=\sum _{m=0}^{\infty }\left(\sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose j}B_{j}\right){\frac {x^{m+1}}{(m+1)!}}.$
Il est clair, à partir de cette dernière égalité, que les coefficients dans cette série entière satisfont la même relation de récurrence que les nombres de Bernoulli (voir paragraphe : « Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence »).

## Valeurs

Les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants :
| n | B$_n$ | Valeur décimale |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | −1 / 2 | = −0,5 |
| 2 | 1 / 6 | ≈ 0,166 7 |
| 3 | 0 | 0 |
| 4 | −1 / 30 | ≈ −0,033 3 |
| 5 | 0 | 0 |
| 6 | 1 / 42 | ≈ 0,023 81 |
| 7 | 0 | 0 |
| 8 | −1 / 30 | ≈ −0,033 3 |
| 9 | 0 | 0 |
| 10 | 5 / 66 | ≈ 0,075 76 |
| 11 | 0 | 0 |
| 12 | −691 / 2 730 | ≈ −0,253 1 |
| 13 | 0 | 0 |
| 14 | 7 / 6 | ≈ 1,166 7 |
| 15 | 0 | 0 |
| 16 | −3 617 / 510 | ≈ −7,092 2 |
| n | B$_n$ | Valeur décimale |
| 17 | 0 | 0 |
| 18 | 43 867 / 798 | ≈ 54,971 2 |
| 19 | 0 | 0 |
| 20 | −174 611 / 330 | ≈ −529,124 |
| 21 | 0 | 0 |
| 22 | 854 513 / 138 | ≈ 6 192,12 |
| 23 | 0 | 0 |
| 24 | −236 364 091 / 2 730 | ≈ −86 580,3 |
| 25 | 0 | 0 |
| 26 | 8 553 103 / 6 | ≈ 1 425 517 |
| 27 | 0 | 0 |
| 28 | −23 749 461 029 / 870 | ≈ −27 298 231 |
| 29 | 0 | 0 |
| 30 | 8 615 841 276 005 / 14 322 | ≈ 601 580 874 |
| 31 | 0 | 0 |
| 32 | −7 709 321 041 217 / 510 | ≈ −15 116 315 767 |
| 33 | 0 | 0 |

## Signe des nombres de Bernoulli

À l'aide de la fonction génératrice, on peut démontrer que B$_n$ = 0 lorsque n est impair et différent de 1, et que les signes des B$_n$ alternent pour n pair. On a donc :
$B_{2k}=(-1)^{k-1}|B_{2k}|.$

## Formules de récurrence

On justifie ici la définition des nombres de Bernoulli annoncée dans l'introduction. Repartons des sommes
$S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}$
pour tous entiers naturels m et n (en particulier, S$_m$(0) = 0).
On remarque que (d'après la formule du binôme après réindexation) :
    $S_{m+1}(n+1)=\sum _{k=1}^{n}k^{m+1}=\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)^{m+1}=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{m+1}{\binom {m+1}{j}}k^{j}=\sum _{j=0}^{m+1}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n)=S_{m+1}(n)+\sum _{j=0}^{m}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n),$
    $n^{m+1}=S_{m+1}(n+1)-S_{m+1}(n)=\sum _{j=0}^{m}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n)=(m+1)S_{m}(n)+\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n)$
et l'on obtient finalement :
$\forall m,n\in \mathbb {N} \quad S_{m}(n)={\frac {n^{m+1}}{m+1}}-m!\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {S_{j}(n)}{j!(m+1-j)!}},$
ce qu'on peut voir comme une définition des S$_m$(n) par récurrence sur m (incluant l'initialisation S$_0$(n) = n). C'est cette approche qui permet de démontrer par récurrence que les coefficients de S$_m$(n) sont bien de la forme donnée dans l'introduction : $S_{m}(n)=\sum _{i=0}^{m}{\frac {m!}{(m+1-i)!}}{\frac {B_{i}}{i!}}\,n^{m+1-i}$.
Pour tout j ≥ 0, notons B$_j$ le coefficient de n dans S$_j$(n), $S_{j}(n)=B_{j}n+\sum _{k<j}c_{k,j}n^{j+1-k}$, et déduisons de la formule de récurrence des S$_m$(n) ci-dessus, par récurrence sur j, que le coefficient c$_{k,j}$ de n$^{j+1–k}$ dans S$_j$(n) est le produit de j!/(j + 1 – k)! par B$_k$/k! non seulement pour k = j, mais aussi pour tout entier naturel k < j (ce qui est immédiat pour k = 0). En supposant la propriété vraie pour tout j < m, on trouve comme coefficient c$_{m,i}$ de n$^{m+1–i}$ dans S$_m$(n), pour 0 < i < m :
$c_{m,i}=-m!\sum _{{j<m,\,k\geqslant 0} \atop {j+1-k=m+1-i}}{1 \over j!(m+1-j)!}{j! \over (j+1-k)!}{B_{k} \over k!}={m! \over (m+1-i)!}\sum _{k=0}^{i-1}{-B_{k} \over (i+1-k)!k!}={m! \over (m+1-i)!}{B_{i} \over i!},$
la première égalité résultant de l'hypothèse de récurrence et la dernière égalité résultant du § Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence :
$B_{i}=-{\frac {1}{i+1}}\sum _{k=0}^{i-1}{i+1 \choose k}B_{k}=-\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {i!}{(i+1-k)!k!}}B_{k}.$

## Les nombres de Bernoulli et la fonction zêta de Riemann

La première relation a été obtenue par Leonhard Euler$^,$ sous la forme suivante
$B_{2n}=(-1)^{n+1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\left[1+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots \;\right].$
(On peut l'obtenir comme corollaire du calcul de la série de Fourier des polynômes de Bernoulli.)
La relation s'écrit en utilisant la fonction zêta de Riemann :
$B_{2n}=(-1)^{n-1}{\frac {2\,(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\;\zeta (2n),$
relation qui entraîne (pour n > 0) :
$2\,\zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}}{(2n)!}}\,|B_{2n}|.$
L'apparition de B$_{12}$ = –691/2730 semble montrer que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement ; en fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann pour des valeurs entières négatives de la variable, puisque
$\zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}$
et l'on sait que cette dernière est d'étude difficile (voir hypothèse de Riemann).
Il est possible d'exprimer les nombres de Bernoulli grâce à la fonction zêta de Riemann de la façon suivante :
$B_{n}=-n\zeta (1-n)\quad n>1$
et
$B_{1}=\zeta (0).$
En particulier :
    $\zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}\,,\qquad \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}},\qquad \zeta (-3)={\frac {1}{120}},\!\qquad \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}},\!\qquad \zeta (-7)={\frac {1}{240}}.$

## Comportement asymptotique de |B$_{2n}$|

On a l'égalité suivante pour les nombres de Bernoulli d'indice pair :
$|B_{2n}|={\frac {(2n)!\zeta (2n)}{2^{2n-1}\pi ^{2n}}}.$
De la définition de la fonction zêta de Riemann, on déduit que ζ(2n) > 1 (si n > 0,5). Par conséquent, on a l'encadrement :
${\frac {2\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}<|B_{2n}|\leqslant {\frac {2\zeta (2)\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}.$
De l'inégalité ${\rm {e}}^{2n}>{\frac {(2n)^{2n}}{(2n)!}}$ (si n > 0), on déduit que : $(2n)!>\left({\frac {2n}{\rm {e}}}\right)^{2n}$ (si n > 0) , donc :
$|B_{2n}|>2\left({\frac {n}{\pi {\rm {e}}}}\right)^{2n}.$
Par conséquent :
$\lim _{n\to \infty }|B_{2n}|=+\infty .$
On a l'équivalent :
$B_{2n}\sim (-1)^{n-1}{\frac {2\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}$
En utilisant la formule de Stirling pour écrire un équivalent de (2n)!, on démontre l'équivalent quand n tend vers l'infini :
$\left|B_{2n}\right|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi {\rm {e}}}}\right)^{2n}$

## Applications en analyse

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes (circulaire et hyperbolique), dans la formule d'Euler-Maclaurin ainsi que dans des expressions de certaines valeurs de la fonction zêta de Riemann.

### Formule d'Euler-Maclaurin

Soit a un nombre réel et N un entier naturel. Si f est une application de classe ${\mathcal {C}}^{k}$ (avec k ≥ 1) sur [a, a + N].
$f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\cdots +f(a+N-1)=\int _{a}^{a+N}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{j=1}^{k}B_{j}{\frac {f^{(j-1)}(a+N)-f^{(j-1)}(a)}{j!}}+R_{k,a,N}$
avec
$R_{k,a,N}={\frac {(-1)^{k-1}}{k!}}\int _{a}^{a+N}f^{(k)}(x){\tilde {B_{k}}}(x-a)\,{\rm {d}}x$
où ${\tilde {B_{k}}}(x)$ est la fonction périodique de période 1 égale à B$_k$(x), le polynôme de Bernoulli d'indice k, sur l'intervalle [0 ; 1[.
    ${\tilde {B_{k}}}(t)=B_{k}(t-\lfloor t\rfloor )$
où ⌊t⌋ désigne la partie entière de t.

### Développements en série de Taylor

À partir de la fonction génératrice,
${\frac {x}{{\rm {e}}^{x}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}=1-{\dfrac {x}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},|x|<2\pi$
on démontre les formules suivantes :
| $1-{\frac {x}{2}}\;\operatorname {cotan} {\frac {x}{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},|x|<2\pi ,$ $x\;\operatorname {cotan} x=1-\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi ,$ $\operatorname {cotan} x={\dfrac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,$ ${\dfrac {1}{\sin x}}={\dfrac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,$ $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2,$ | ${\dfrac {2}{{\rm {e}}^{x}+1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi ,$ ${\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {{\rm {e}}^{x}+1}{{\rm {e}}^{x}-1}}={\dfrac {1}{2}}\,\operatorname {coth} ({\frac {x}{2}})={\dfrac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}},0<|x|<2\pi ,$ $\operatorname {coth} x={\frac {{\rm {e}}^{x}+{\rm {e}}^{-x}}{{\rm {e}}^{x}-{\rm {e}}^{-x}}}={\dfrac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,$ ${\dfrac {1}{\operatorname {sh} x}}={\dfrac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,$ $\operatorname {th} x=\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2.$ |
Les nombres $T_{n}=|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{2n}}$ sont des nombres entiers appelés nombres tangents ou nombres d'Euler de deuxième espèce.
On a le développement suivant : $\operatorname {tan} x=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}},|x|<\pi /2.$

### Développements en série des nombres de Bernoulli

    ${\begin{aligned}|B_{2n}|&={\frac {(2n)!}{2^{2n-1}\pi ^{2n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}\\&={\frac {2(2n)!}{(2^{2n}-1)\pi ^{2n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2n}}}\\&={\frac {(2n)!}{(2^{2n-1}-1)\pi ^{2n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{2n}}}.\end{aligned}}$

## Propriétés arithmétiques
### Les nombres de Bernoulli et les groupes de classes d'idéaux

Les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli sont liées aux groupes des classes d'idéaux des corps cyclotomiques par un théorème de Kummer. En 1847, Kummer démontrait que le dernier théorème de Fermat était vrai pour un certain ensemble de nombres premiers appelés nombres premiers réguliers. On dit qu'un nombre premier impair est « régulier » s'il ne divise pas le nombre de classes de ℚ(ζ$_p$), sinon on dit que p est irrégulier. Kummer découvrit un lien avec les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli : un nombre premier p impair est régulier si, et seulement si, p ne divise le numérateur d'aucun des nombres B$_2$, B$_4$, … , B$_{p–3}$. Le nombre premier 3 est régulier. Les premiers nombres premiers irréguliers sont : 37, 59, 67, 101, 103, 149 et 157. Si p est régulier, alors l'équation x$^p$ + y$^p$ = z$^p$ n'a pas de solution entière (à part 1, 0 et 1). C'est la raison pour laquelle les nombres de Bernoulli possèdent des propriétés arithmétiques profondes.
Le théorème de Kummer a été renforcé par le théorème de Herbrand-Ribet. Les nombres de Bernoulli sont également liés aux nombres de classes des corps quadratiques par la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla.

### Liens avec la K-théorie algébrique

Il existe aussi un lien avec la K-théorie algébrique : une conséquence de la conjecture de Quillen-Lichtenbaum (en) est le résultat suivant :
* si n = 4k – 2 et c$_k$ est le numérateur de B$_{2k}$/k, alors l'ordre de K$_n$(ℤ) est |c$_k$| si k est pair (n ≡ 6 mod 8), et 2c$_k$ si k est impair (n ≡ 2 mod 8) ;
* si n = 4k – 1 et d$_k$ est le dénominateur de B$_{2k}$/k, alors l'ordre de K$_n$(ℤ) est 4d$_k$ si k est pair (n ≡ 7 mod 8), et 8d$_k$ si k est impair (n ≡ 3 mod 8).

### Théorème de von Staudt-Clausen

Le théorème de von Staudt-Clausen est aussi relié à la divisibilité. Il énonce ceci :
    si l'on ajoute à B$_n$ les inverses $^1$⁄$_p$ pour chaque nombre premier p tel que p − 1 divise n, on obtient, si n = 1 ou n est pair non nul, un nombre entier.
Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli non entiers B$_n$ comme le produit de tous les nombres premiers p tels que p − 1 divise n. En conséquence, si 2n est un entier non nul, le dénominateur du nombre de Bernoulli B$_{2n}$ est sans carré et divisible par 6.

#### Exemples

$B_{1}+{\frac {1}{2}}=0\qquad ;\qquad B_{2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}=1\qquad ;\qquad B_{4}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}=1$
    $B_{6}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}=1\qquad ;\qquad B_{10}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{11}}=1$
    $B_{12}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{13}}=1\qquad ;\qquad B_{14}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}=2\qquad ;\qquad B_{16}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{17}}=-6.$
La propriété se traduit par : pB$_{2m}$ ≡ −1 mod p si p – 1 divise 2m. (La notation a ≡ b mod p signifie que p divise le numérateur de a – b mais pas son dénominateur.)
La conjecture d'Agoh-Giuga postule que p est un nombre premier si et seulement si pB$_{p−1}$ ≡ −1 mod p.

### Continuité p-adique

Une propriété de congruence, dite congruence de Kummer, spécialement importante des nombres de Bernoulli peut être caractérisée comme une propriété de continuité p-adique. Si p, m et n sont des nombres entiers positifs tels que m et n ne sont pas divisibles par p − 1 et $m\equiv n\,{\bmod {\,}}p^{b-1}(p-1),$ alors
$(1-p^{m-1}){B_{m} \over m}\equiv (1-p^{n-1}){B_{n} \over n}\,{\bmod {\,}}p^{b}.$
(La notation a ≡ b mod p$^k$ signifie que p$^k$ divise le numérateur de a – b mais pas son dénominateur.)
Puisque B$_n$ = –nζ(1–n) ceci peut être aussi écrit
$(1-p^{-u})\zeta (u)\equiv (1-p^{-v})\zeta (v)\,{\bmod {\,}}p^{b}$
où u = 1 − m et v = 1 − n, si bien que u et v sont négatifs et non congrus à 1 mod p – 1.
Ceci nous indique que la fonction zêta de Riemann avec 1 − p$^{−s}$ omis dans la formule du produit eulérien, est continue pour les nombres p-adiques sur les nombres entiers négatifs congrus mod p – 1 à un entier fixé $a\not \equiv 1\,{\bmod {\,}}p-1$, et peut donc être étendue en une fonction continue ζ$_p$(s) sur l'anneau topologique ℤ$_p$ des entiers p-adiques : la fonction zêta p-adique.

## Utilisation en topologie

La formule de Kervaire-Milnor pour l'ordre du groupe cyclique des classes de difféomorphismes des (4n − 1)-sphères exotiques qui bordent des variétés parallélisables pour n ≥ 2 fait intervenir les nombres de Bernoulli : si N$_n$ est le numérateur de B$_{4n}$/n, alors le nombre de ces classes de difféomorphisme de sphères exotiques est
    $2^{2n-2}(1-2^{2n-1})N_{n}.$
La formule donnée dans les articles de topologie diffère car les topologues utilisent une convention différente pour nommer les nombres de Bernoulli (ils notent B$_n$ la suite 1, 1/6, 1/30…).

## Formules explicites

On peut en fait également définir les B$_n$ sans récurrence : utilisant les nombres de Stirling (de deuxième espèce), on a (pour n > 1)
    $B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {k!}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}.$
d'où (en utilisant les formules explicites pour les nombres de Stirling et en simplifiant)
    $B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {k!}{k+1}}\left({\frac {1}{k!}}\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}j^{n}.$
On trouve assez souvent dans la littérature l'affirmation selon laquelle des formules explicites pour les nombres de Bernoulli n'existent pas ; les deux dernières équations montrent qu'il n'en est rien. En fait, dès 1893, Louis Saalschütz (de) recensait un total de 38 formules explicites, donnant généralement des références bien plus anciennes.

## Identités remarquables
### Relations de Ramanujan

Les trois relations suivantes, dues à Ramanujan, fournissent une méthode plus efficace pour le calcul des nombres de Bernoulli :
* $m\equiv 0\,{\bmod {\,}}6\qquad {{m+3} \choose m}B_{m}={{m+3} \over 3}-\sum _{j=1}^{m/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},$
* $m\equiv 2\,{\bmod {\,}}6\qquad {{m+3} \choose m}B_{m}={{m+3} \over 3}-\sum _{j=1}^{(m-2)/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},$
* $m\equiv 4\,{\bmod {\,}}6\qquad {{m+3} \choose m}B_{m}=-{{m+3} \over 6}-\sum _{j=1}^{(m-4)/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j}.$

### Une identité de Carlitz

Si m et n sont des entiers strictement positifs :
$(-1)^{m}\sum _{r=0}^{m}{m \choose r}B_{n+r}=(-1)^{n}\sum _{s=0}^{n}{n \choose s}B_{m+s}$